t t Distributionتوزيـع ) ١(ــات مجهــوال ــه العين ــار من ــذى تخت ــاين المجتمــع ال ــا يكــون تب . فــي معظــم األبحــاث وغالب

إذا كانـت . 2sهـو 2فـإن التقـدير الجيـد للمعلمـة n<30للعينات العشوائية من الحجم 30 >n فإن:

ns

xz

أمـا إذا كـان حجـم العينـة . تقريبـا يتبـع التوزيـع الطبيعـى القياسـى Zهي قيمة لمتغير عشـوائى )()//(فـإن قـيم ( n < 30 )صغير nsx فـي . ال تتبـع التوزيـع الطبيعـى القياسـى

، والـذى قيمـه تعطـى Tهذه الحالة يكون اهتمامنا بتوزيع إلحصـاء مـا سـوف نرمـز لـه بـالرمز : من الصيغة التالية

ns

xt

ــه بتوقيــع "Student"لقــد تمكــن ســتيودنت وهــو لقــب لعــالم إحصــائي، كــان ينشــر أبحاثـــع ـــارة المضـــبوطة لتوزي ـــب اإلحصـــاء tســـتيودنت، أن يشـــتق العب ـــع فـــي كت ويســـمى هـــذا التوزي

ـــع ت " أو " tتوزيـــع " المختلفـــة ـــ tيشـــبه توزيـــع ٠"توزي ع الطبيعـــى القياســـى فكالهمـــا التوزيأكثــر تشــتتا tمتماثـل حــول الصــفر كمــا أن كــال التــوزيعيين لهمــا شــكل النــاقوس ولكــن توزيــع

zبينمــا قــيم s2و xتعتمــد علــى االخــتالف فــي قيمتــي tوذلــك راجــع إلــى الحقيقــة أن قــيم عـن المتغيـر Tيختلف توزيـع المتغيـر. من عينة إلى أخرى xتعتمد فقط على التغير في قيمة

Z في إن التبـاين يعتمـد علـى حجـم العينـةn ودائمـا أكبـر مـن الواحـد الصـحيح ، فقـط عنـدماnالمقــام . فــإن التــوزيعين يتســاويان(n-1) والــذي يظهــر فــي صــيغهs2 يســمى درجــات

nبتكــرار المعاينــة مــن الحجــم . s2بط بتبــاين العينــة المــرت degree of freedomالحريــة بدرجات حريـة tالمقابلة يقال أنها تتبع توزيع tلكل عينة، فإن قيم s2و xوحساب

، حيـث = n-1 . وعلـى ذلـك سـوف يكـون لـدينا منحنيـاتt مختلفـة أو توزيـعt لكـل tزاد ارتفـاع منحنـى أنـه كلمـا كبـرت درجـات الحريـة tمـن خصـائص توزيـع . حجم عينه

. وأصبح أكثر تدببا أي اقل تشتتا وفي النهاية ينطبق على منحنى التوزيع الطبيعي القياسي

بـدرجات حريـة التـالىشـكل الالمنحنـى فـي المحسـوبة مـن tيمثـل توزيـع كـل قـيم 2 = بــنفس الشــكل، . تكــرر اختيارهــا مــن مجتمــع طبيعــى n = 3عينــات عشــوائية مــن الحجــم

المنحنى بدرجات حرية nالمحسوبة من عينات من الحجم tيمثل توزيع كل قيم 20 =

هما المتوسط الحسابى والتباين على التوالي لعينة عشوائية من s2و xنظرية إذا كان :غير معروف فإن 2وتباين مأخوذة من مجتمع طبيعى له متوسط nالحجم

ns

xt .

بدرجات حرية tله توزيع Tهي قيمة لمتغير عشوائى = n-1 .

tالتـى توجـد علـى المحـور األفقـي تحـت منحنـى توزيـع tترمز لقيمـة tبفرض أن -٧(شــكل الكمــا هـو موضــح فــي والتــي المسـاحة علــى يمينهــا قــدرها بـدرجات حريــة

١٥( )١٥-٧( شكل

تأخـذ القـيم حيـث لدرجات حريـة التي تناظر االحتمال tيعطى قيم تجدول ودرجـات الحريـة تأخـذ القـيم 0005. ,001. ,005. ,01. ,025. ,05. ,10.: التاليـة

مـن إلـى 1 = = . يوضـح الصـف الثـاني مـن الجـدول قـيم والعمـود األول مـنوألن المنحنــى . tأمــا محتويــات الجــدول فهــى القــيم . الشــمال قــيم درجــات الحريــة

متماثل فإن tt 1 ١٦-٧( كما هو موضح في شكل .(

) ١٦-٧( شكل

. قيمة ) أ(مثال أوجد = 15 , t.005 . قيمة ) ب( = 15 , t.995

. الحل عند تقاطع الصف tبالبحث في جدول توزيع ) أ( = .005والعمـود 15 =

. t.005 = 2.947نجد أن فإن tباستخدام خاصية التماثل لمنحنى توزيع ) ب(

t.995 = - t.005 أى أنt.995 = -2.947 . حيث مثال أوجد قيمة

= 16 , t = - 1.746 . الحل

وباســتخدام خاصـــية tســالبة فإنهــا تقــع فــي الــذيل األيســر مــن توزيــع tحيــث أن قيمــة :فإن tالتماثل لمنحنى توزيع

746.11 tt . = 95.ومنها -1 = 05.فإن ) ٤(في ملحق tومن جدول توزيع

ح الكهربائيــة المنتجــة بواســطة أحـــد المصــانع تتبــع توزيعـــا مثــال إذا كانــت أعمــار المصـــابي. ســاعة = 500طبيعيــا ، ويــدعي صــاحب المصــنع أن متوســط أعمــار هــذه المصــابيح هــو

ويحقـق اإلنتـاج للمواصـفات القياسـية إذا ٠مصـباحا كـل شـهر20 لمتابعة جودة اإلنتاج يأخـذ تقـــع فـــي n = 20الحجـــم المحســـوبة مـــن عينـــة عشــوائية مـــن tكانــت قيمـــة

ما االستنتاج الذي يمكن وضعه عند اختيار عينة عشوائية من الحجم t.05 , t.05-)(الفترة

n = 20 530لها متوسط حسابيx وانحراف معياريs = 20 ؟ . الحل

عنـد درجـات حريـة t.05 = 1.729نجـد أن tمـن جـدول توزيـع وعلـى ذلـك . 19 = المحسـوبة مـن عينـة عشـوائية مــن tفـإن المنـتج يحقـق المواصـفات القياسـية إذا كانــت قيمـة

:ونجد أن . ( 1.729 , 1.729- )مصباحا تقع في الفترة n = 20الحجم

708.6

2020

500530

ns

xt .

المحسـوبة مـن tفـإن قيمـة 500إذا كانـت ( 1.729 , 1.729- )ال تقع في الفترة .العينة تكون جيدة وتعني أن اإلنتاج أفضل من المطلوب

ــــان مــــن مجتمعــــين طبيعيــــين بمتوســــطى إذا كانــــت لــــدينا عينتــــان عشــــوائيتان مأخوذت21, ـــــايني المجتمعـــــين و ـــــان مســـــتقلتان وتب ـــــت العينت 2إذا كان

221 , ـــــان أو معلومت

n > 1n , 230 < حيث n 1n ,2 يمكن تقديرهما من عينات عشوائية من الحجم

30 . ــــت 2إذا كان

221 , ــــع ــــان كمــــا يحــــدث فــــي معظــــم الحــــاالت ، فــــإن التوزي مجهولت

22ال يكــون معروفــا فيمــا عــدا لــو فرضــنا أن Zالمضــبوط للمتغيــر 2

21 والتبــاين

: يمكن تقديره من الصيغة التالية

2nns)1n(s)1n(s

21

222

2112

p

:وعلى ذلك يكون

21

212111

)()(

nns

xxt

p

بدرجات حرية tالذى يخضع لتوزيع Tهي قيمة لإلحصاء = n1 + n2 - 2 . 1نظرية إذا كان

21 ,xs يمثالن المتوسط والتباين على التوالي لعينة عشوائية من الحجمn1

2وتباين مجهول 1مأخوذة من مجتمع طبيعى بمتوسط 1 2وإذا كانت

22 ,xs يمـثالن

مــأخوذة مـن مجتمـع طبيعــى n2المتوسـط والتبـاين علــى التـوالي لعينـة عشــوائية مـن الحجـم 2وتباين 2بمتوسط

2 مجهول وإذا كانتn1 مستقلة عنn2 2و2

21 فإن:

21

212111

)()(

nns

xxt

p

. بدرجات حرية tله توزيع Tهي قيمة لمتغير عشوائى = n1 + n2 - 2 لهـا Aالمصـابيح مـن النـوع . A,Bمثال يقوم مصنع بإنتاج نوعين مـن المصـابيح الكهربائيـة

التبــاين لكـــال . Bســاعة عـــن متوســط عمــر المصـــابيح مــن النـــوع 100متوســط عمــر أطـــول ــار شــهريا . النــوعين واحــد ــوع األول، 15يخت ــاني 10مصــباحا مــن الن ــوع الث مصــابيح مــن الن

تحقــق القيمــة المواصــفات القياســية إذا وقعــت فــي . tلالختبــار وتحســب قيمــة مصـباحا مـن 15فـإذا تـم سـحب فـي شـهر مـا عينـة عشـوائية مـن (t0.01 , t0.01- )الفتـرة

520,50ووجد أن Aالمصنع 11 xs . أيضا تم سـحب عينـة عشـوائية مـن المصـنعB مـــــــن الحجـــــــمn2=10 500,40ووجـــــــد أن 22 xs هـــــــل اإلنتـــــــاج يحقـــــــق

المواصفات القياسية ؟. بدرجــات حريـة t0.01 = 2.5فـإن tباستخدام جدول توزيـع . الحل = 15 +

المحسـوبة tذلك اإلنتاج يحقق المواصـفات القياسـية إذا كانـت قيمـة وعلى 23 = 2 – 102التباين المتجمع . , (2.5 , 2.5-)تقع في الفترة

ps هو:

2nns)1n(s)1n(s

21

222

2112

p

.826.214721015

)40)(9()50)(14( 22

2وبأخذ الجذر التربيعي للتباين المتجمع ps فإنsp= 46.3446 . وعلى ذلك:

21

212111

)()(

nns

xxt

p

.228.4

101

1513446.46

)100()500520(

.فإن اإلنتاج ال يحقق المواصفات القياسية ( 2.5 , 2.5- )ال تقع في الفترة tوبما أن فــي بعــض األحيــان بــدال مــن اســتخدام طريقــة العينــات المســتقلة فإنــه غالبــا مــا تســتخدم

ففــي تجــارب تغذيــة الحيــوان عنــد مقارنــة . paired samplesطريقــة العينــات المتزاوجــة عليقتين، حيث توضـع الحيوانـات المتجانسـة فـي أزواج ويشـترط أن تكـون هـذه األزواج علـى

ل وقـد تختلـف األزواج فيمـا بينهـا إال أن أفـراد كـل زوج تكـون متماثلـة درجة عالية من التماثويعطى أحد أفراد كل زوج عليقة بينما يعطى األخر العليقة األخرى وبالتالى فإن المقارنـة بـين

فـــي بعــــض األحيـــان يــــتم ازدواج المشــــاهدات . العليقتـــين تــــتم داخـــل مجموعــــات متجانســــةلمعرفة تأثير دواء على ارتفاع ضغط الدم نختار عينـة عشـوائية فمثال . لمفردات العينة نفسها

مــن األشــخاص ويــتم قيــاس ضــغط الــدم الخــاص بهــم فــي أول فتــرة زمنيــة ثــم nمــن الحجــم أزواج . يعــالجون بهــذا الــدواء وبعــد فتــرة زمنيــة معينــة يــتم قيــاس ضــغط الــدم لهــم مــرة أخــرى

الفــروق ألزواج . (xn, yn),…,(x2 , y2) , (x1 , y1)المشــاهدات ســوف تكــون iiiالمشـاهدات سـوف تكـون yxd , i= 1, 2, ..., n . هـذه الفـروق تمثـل قـيم

سـوف يسـاوى الصـفر إذا كـان الـدواء لـيس Dمتوسـط مجتمـع الفـروق . D لمتغير عشوائى مـن عينـة d، وسـوف تختلـف dوسوف نرمز لمتوسـط الفـروق فـي عينتنـا بـالرمز . له تأثير

ــى أخــرى ولــذلك يعتبــر 2كمــا يحســب تبــاين الفــروق . Dقيمــة لإلحصــاء dإلds والــذي

2يعتبر قيمة لإلحصاء dS ألنه يتغير من عينة إلى أخرى.

مـن أزواج المشـاهدات وإذا كانـت nتمثـل الفـروق لعـدد d1, d2, …, dnنظريـة إذا كـان 2وتبـاين dتمثل عينـة عشـوائية لهـا متوسـط nالفروق التى عددها

ds مـأخوذة مـن مجتمـع2وتباين Dالفروق الطبيعى والذى له متوسط

D فإن:

ns

dtd

D

بدرجات حرية tله توزيع Tهي قيمة لمتغير عشوائى = n-1. Square Distribution -Chi توزيع مربع كاى ) ٢(

وإذا تـم حســاب 2مـن توزيــع طبيعـى تباينــه nإذا تكـرر ســحب عينـات مــن الحجـم S2التوزيـع العينـى لإلحصـاء . S2لكل عينة فإننا نحصل على قيم لإلحصاء s2تباين العينة

والتـي تحسـب X2اهتمامنا سوف يكون في توزيع المتغير . له تطبيقات قليلة في اإلحصاء :قيمته من الصيغة اآلتية

.2

22 )1(

sn

ـــــر العشـــــوائى ـــــع المتغي ـــــع X2توزي ـــــع كـــــاى ( 2يســـــمى توزي ـــــع مرب ـــــة ) توزي ـــــدرجات حري ب1 n . كما ذكرنا سابقا فإن تساوى المقام في صيغةs2 .

2ال يمكـن أن تكـون سـالبة وعلـى ذلـك فـإن منحنـى توزيـع 2من الواضـح أن قـيم يمكـن الحصـول عليـه X2التوزيـع العينـي لإلحصـاء . ال يمكن أن يكون متماثـل حـول الصـفر

لكــل 2مــن مجتمــع طبيعــى وحســاب القــيم nباختيــار عينــات عشــوائية متكــررة مــن الحجــم يعتمد شكل 2٠بتمهيد المدرج التكرارى لقيم 2عينه ثم يمكن الحصول على منحنى

ـــيم ـــى علـــى ق ـــع ) ١٧-٧( يوضـــح شـــكل . المنحن بـــدرجات حريـــة 2منحنيـــان لتوزي7 10و 2توزيــــع قــــيم 7حيــــث يمثــــل المنحنــــى بــــدرجات حريــــة

بنفس الشـكل . 2من مجتمع طبيعى تباينه n = 8المحسوبة من كل العينات من الحجم 10يمثـل المنحنـى بـدرجات حريـة المحسـوب مـن كـل العينـات مـن 2توزيـع كـل قـيم

.n=11الحجم 2المأخوذة من مجتمع طبيعى لـه تبـاين nيمثل تباين العينة من الحجم s2إذا كان نظرية :فإن

2

22 )1(

sn

1بدرجات حرية 2له توزيع X2هي قيمة لمتغير عشوائى n.

) ١٧-٧( شكل

2بفـــرض أن 2ترمـــز لقيمـــة 2التـــي توجـــد علـــى المحـــور األفقـــى تحـــت منحنـــى كمـا هـو موضـح فـي شـكل والتي تكون المساحة على يمينها قدرها بدرجات حرية

)١٨-٧ .(

) ١٨-٧( شكل 2يعطى قيم هناك جدول

وذلك لقيم مختلفة من و حيث تأخذ القيم: .995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005

40إلـــى 1ودرجـــات حريـــة مـــن يوضـــح الصـــف الثـــانى مـــن الجـــدول قـــيم . 2والعمــود األول مــن الشــمال قــيم درجــات الحريــة أمــا محتويــات الجــدول فهــي لقــيم

.2وعلى ذلك للحصـول علـى قيمـة

والتـي تكـون المسـاحة علـى 6بـدرجات حريـة

مــع 6 فإننــا نبحــث فــي الجــدول عنــد تقــاطع الصــف الــذى بــه 05.يمينهــا تســاوى

592.122وعلى ذلك 05.العمود05. . 2ولعدم تماثـل منحنـى توزيـع فـال بـد مـن

635.12استخدام الجدول إليجاد 95. 6عند.

والتــي تكــون المســاحة علــى 14 بــدرجات حريــة 2لتوزيــع 2أوجــد قيمــة مثـال . 0.01يمينها تساوى

. الحل 0.01 = مـع العمـود 14 عند تقـاطع الصـف 2بالبحث في جدول توزيع 2 141.29نجد أن .

ـــال أوجـــد قيمـــة 2لتوزيـــع 0.99التـــي تكـــون المســـاحة علـــى يســـارها تســـاوى 2مث

. 4بدرجات حرية

. الحل ـــى يســـارها تســـاوي 2قيمـــة ـــي تكـــون المســـاحة عل هـــي 99.الت ـــي تكـــون والت

2وعلـى ذلـك فـإن قيمـة 01. = 99. -1المسـاحة علـى يمينهـا تسـاوى 01. بـدرجات حريـة

4 2هــي تلــك القيمــة فــي جــدول توزيــع 4 التــي تقــع عنــد تقــاطع الصــف 277.132هى = .01والعمود

01. . %99اللتـين تحصـران بينهمـا 15بـدرجات حريـة 2لتوزيـع 2أوجد قيمتي مثال

من المساحة تحت المنحنى بحيث أن المساحة في الطرف األيسر للتوزيع تسـاوى المسـاحة .في الطرف األيمن للتوزيع

ـــا هـــو إيجـــاد قيمتـــى . الحـــل ـــوب هن ـــث أن 2المطل ـــى بحي ـــين تقســـمان المنحن اللتفـــي الطـــرف األيمـــن هـــى 2وعلـــى ذلـــك قيمـــة 005.المســـاحة فـــي الطـــرف األيمـــن هـــى

799.322005. . 2وللحصول على قيمة في الطرف األيسـر والتـي المسـاحة التـي

= 005.-1وبالتـالي فـإن المسـاحة التـى تقـع علـى يمينهـا هـى 0.005ها هـى تقـع علـى يسـار

600.42فـي الطـرف األيسـر هـى 2وعلى ذلـك فـإن قيمـة 995.995. وبالتـالي فـإن

. 32.799 , 4.600القيمتين هما F F Distributionتوزيع ) ٣(

ـــع ـــة الهامـــة التـــى تســـتخدم فـــي مجـــال اإلحصـــاء Fيعتبـــر توزي مـــن التوزيعـــات االحتماليكنسبة لتوزيعيين مستقلين يتبعان توزيـع ) توزيع ف ( Fنظريا يمكن تعريف توزيع . التطبيقى

2 فإذا كانت . وكل منهما له درجات حرية خاصة بهf قيمة للمتغير العشوائىF فإن ، :

22

21

21

22

22

22

21

21

222

121

ss

/s/s

//f

.

2حيث 1 2هـي قيمـة لتوزيـع 111 بـدرجات حريـة n 2و

2 هـي قيمـة لتوزيـع2 122بدرجات حرية n.

ــة عشــوائية مــن الحجــم f لحســاب قیمــة ــار عين ــه تبــاين n1نخت 2مــن مجتمــع طبيعــى ل1

2ونحسب 1

21 /s . أيضا نختـار عينـة عشـوائية مسـتقلة مـن الحجـمn2 مـن مجتمـع طبيعـى

2آخــر لــه تبــاين 2 2ونحســب

222 /s . 2النســبة للقيمتــين

121 /s 2و

222 /s تنــتج

2حيــث fتوزيـع كــل القيمـة الممكنــة مـن f٠قيمـة 1

21 /s 2يمثـل البســط و

222 /s

إذا اعتبرنا كل النسـب الممكنـة حيـث . ,21بدرجات حرية Fيمثل المقام يسمى توزيع 22

22 /s 2يمثـل البسـط و

121 /s يمثـل المقــام ، فـي هـذه الحالـة نحصــل علـى توزيـع كــل

12ولكــن بــدرجات حريــة Fالقــيم الممكنــة التــى تتبــع توزيــع , . درجــات الحريــة المرتبطــةي البسط دائمـا يوضـع أوال متبوعـا بـدرجات الحريـة المرتبطـة بتبـاين العينـة بتباين القيمة التى ف

. ,21يعتمــد لــيس فقــط علــى المعلمتــين Fوعلــى ذلــك منحنــى توزيــع . التــى فــي المقــاممنحنيـان ٠ولكن أيضا على ترتيبهما وبمجرد الحصول علـى القيمتـين يمكـن تعريـف المنحنـى

٠) ١٩-٧( شكل موضحة في F لتوزيع

) ١٩-٧( شكل

2نظرية إذا كانت 1

22 , ss تمثالن تبايني عينتـين عشـوائيتين مسـتقلتين مـن الحجـمn2 ,

n1 2مأخوذتين مجتمعين من طبيعيين بتباينتى1

22 , على التوالي فإن:

.ss

/s/sf 2

221

21

22

22

22

21

21

بفــــــرض أن ٠,21بــــــدرجات حريـــــة Fيتبــــــع توزيـــــع Fهـــــي قيمـــــة لمتغيــــــر عشـــــوائي ),( 21 f ترمز لقيمةf على المحور األفقي تحت منحنى توزيعF بـدرجات حريـة

111 n 122و n والتي تكون المساحة على يمينها تساوى والموضـحة ). ٢٠-٧( في شكل

) ٢٠-٧( شكل

),(الستخراج قيم 21 f يوجد جدوالن ، األول عند=

والعمود األول لقـيم 1وفي كل منهما يكون الصف األول لقيم = .01واآلخر عند 05.2 أما محتويات الجدول فهو لقيم),( 21 f . علـى سـبيل المثـال مـن جـدول توزيـعF نالحظ أن:

71.7)4,1(f,46.7)7,5(f 05.01.

6.224)1,4(f,94.4)10,9(f 05.01.

),(في إيجاد Fوباستخدام النظرية التالية يمكن استخدام جدول توزيع 211 f.

),(يمكن كتابة نظرية 211 f 21بدرجات حرية, على الشكل:

),(1),(

12211

ff

:هى f.95(7,12)وعلى ذلك فإن قيمة

2801.057.31

)7,12(1)12,7(

05.95.

ff

عنـد مسـتوى معنويـة ) ٦(في ملحق Fمستخرجة من جدول توزيع f.05(12 , 7 )حيث أن = .05 1ودرجات حرية = 12, 2 = 7 ،

Distribution of Product and Quotient:توزیع حاصل الضرب والقسمة

االحتمـال عشـوائیین مـن النـوع المتصـل لهمـا دالـه كثافـة متغیـرین X , Yان إذا كـ: نظریـة

المشتركة X,Y x,yf ذا كا :فإن Z = X Y, W = X/Yن وا

Z X ,Y X,Y

1 z 1 zf (z) f x, dx f , y dy,x x y y

W X,Y

f (w) y f wy, y dy.

مثال

iXمتغیرین عشوائیین مستقلین حیث X , Yإذا كان ~ UNIF(0,1) ذا كان , W = X/Yوا

W = X/Y أوجد داله كثافة االحتمال لكل منZ , W ؟

:الحــل

Z X ,Y

1

z

1 zf (z) f (x, ) dx.x x1 dxx

ln Z 0 z 1,

:أذن. انظر الشكل التالى

W X ,Y

1 1/ w

0 0

2

f (w) y f (wy, y)dy

1y dy y dy2

1 1 1 w .2 w

F , T The t and F Distributioتوزیعي

مــن التوزیعــات اإلحصــائیة الهامــة التــى تســتخدم فــى مجــال اإلحصــاء F , tیعــد توزیــع االســــتنتاجى إلجــــراء العدیــــد مــــن اختبــــارات الفــــروض المتعلقــــة بتحلیــــل التبــــاین وتصــــمیم التجــــارب

.واختبار معنویة خطوط االنحدار وغیر ذلك من التطبیقات اإلحصائیة :متغیر عشوائي یتبع التوزیع الطبیعي القیاسي أي أن Zإذا كان :نظریة

Z ~ N (0, 1) ذا كان 2متغیر عشوائي یتبع توزیع مربع كاي أي أن W، وا( )W ~ ،

ذا كان :مستقلین فإن Z , Wوا

ZTW /

بدرجات حریة tله توزیع :وذلك بدالة كثافة احتمال على الشكل

2 ( 1) / 2

[( 1) / 2]f (t) , t( / 2)(1 t / )

حیـــــــث tیوضـــــــح منحنیــــــان لتوزیـــــــع التــــــالىشـــــــكل ال. tهــــــو معلمـــــــة توزیــــــع یعتبــــــر العـــــــدد 2,20 .

tجــدول توزیــع . Tعمومــا یكــون مــن الصــعوبة تقــدیر دالــة التوزیــع التجمیعــي لمتغیــر عشــوائي P[Tیعطـــــــــــــــــــــــــــــــي t ( )] شـــــــــــــــــــــــــــــــكلالكمـــــــــــــــــــــــــــــــا هـــــــــــــــــــــــــــــــو موضـــــــــــــــــــــــــــــــح فـــــــــــــــــــــــــــــــى

tحیـــث التـــالى ( ) ترمـــز لقیمـــةt التـــي توجـــد علـــى المحـــور األفقـــي تحـــت منحنـــى توزیـــعt . والتي المساحة على یمینها قدرها بدرجات حریة

tالجدول یعطى قیم ( ) التي تناظر االحتمال لدرجات حریـة حیـث تأخـذ ودرجات الحریة تأخذ القیم من 0005. ,001. ,005. ,01. ,025. ,05. ,10.: القیم التالیة

1 إلـى والعمـود األول مـن یوضـح الصـف الثـاني مـن الجـدول قـیم .tأمــا محتویــات الجــدول فهــي القــیم . الشــمال قــیم درجــات الحریــة ( ) . وألن

1tالمنحنى متماثل فإن ( ) t ( ) التالىشكل الكما هو موضح فى.

مثال

) أ(أوجد .005 15t .) ب( , ,995 15t

:الحــل

15 عنـــد تقــــاطع الصـــف ) ٩(ملحــــق فـــي tجــــدول توزیـــع فـــيبالبحـــث ) أ( والعمــــود.005 نجد أن .005 15 2.947t .

:فإن tالتماثل لمنحنى توزیع باستخدام خاصیة) ب( .995 .00515 15t t أي أن .995 15 2.947t .

مثال

:حیث أوجد قیمة t (16) 1.746

:الحــل

ــع tحیــث أن قیمــة ــذیل األیســر مــن توزی وباســتخدام tســالبة فإنهــا تقــع فــى ال :فإن tخاصیة التماثل لمنحنى توزیع

1t (16) t (16) 1.746 . = 95.ومنها -1 = 05.فإن tومن جدول توزیع

مثال

7بدرجات حریة tمتغیرا عشوائیا له توزیع Tإذا كان :أوجد P[T < -1.415 ]) ب( P [ T < 1.415 ]) أ( ( P [ -1.895 < T < 1.415) ج(

:الحــل P (T > -1.415 ] = 1 <P [ T 1 = (1.415- 0.9 = 0.1 ) أ( P [T > 1.415] = 0.1- <P [ T = [ 1.415 ) ب( P [ -1.895 < T < 1.415 ] = 1-P(T > 1.415) – P( T > 1.895) ) ج(

. = 1 - 0.1 - .05 = .85 ویشــبه t = 0متماثــل حــول العمـود المقــام عنــد Tیالحـظ أن المنحنــى لدالــة كثافــة احتمــال

. الـــذي یتبـــع التوزیـــع الطبیعـــي القیاســـي Zكثیـــرا منحنـــى دالـــه كثافـــة االحتمـــال للمتغیـــر العشـــوائي 1,3,7بـدرجات حریـة Tیوضح ثالثة المنحنیات للمتغیـر التالى شكلال ومنحنـيZ . یالحـظ

.اوسع من التوزیع الطبیعي tأن ذیل توزیع التالىشكل المن

أي یسـاوي صـفر،التوزیـع البـد وأن أن متوسـطفإننـا نتوقـع t = 0عنـد tلخاصـیة التماثـل لتوزیـع أن E T 0 ــــدما .عن 2 ــــدما 1عن یصــــبح التوزیــــعt ویمكــــن كوشــــيهــــو توزیــــع

1 إثبات أن المتوسط غیر موجود عندما تباین . كما ذكرنا في الفصل السادسT هو:

2Var(T) E(T ) 32

.

2التبــاین غیــر معــروف عنــدما , 1 . وعلــى الــرغم مــن صــعوبة الحصــول علــى العــزوم , Wواسـتقاللیة Tفإنه یمكن الحصول علیها باستخدام تعریف Tمن دالة كثافة احتمال المتغیر

Z : 2 2E(T) E(Z)E , E(T ) E(Z )E .

W W

مثال

أوجد 0.025 0.9 0.107 , 7 , 7t t t .

:الحــل

: فإن ) ٩( ملحق في tمن جدول توزیع , 0.025 0.9 0.10 0.107 2.365, 7 7 1.415, 7 1.415t t t t

مثال

:أوجد 5/4بتباین tله توزیع Tإذا كان P [ -1.812 < T < 1.812 ].

:الحــل

10التباین هنا هو , /( 2) 5/ 4 :وعلى ذلك

P [ -1.812 < T < 1.812 ]= .90 :حیث

0.05 .9510 1.812, 10 1.812t t

. tوالمستخرجة من جدول توزیع

مثال

14بــــــــــــــدرجات حریــــــــــــــة tلــــــــــــــه توزیــــــــــــــع Tإذا كـــــــــــــان أوجــــــــــــــد الثابــــــــــــــتc بحیــــــــــــــث أنP[ T c ] 0.90 .

:الحــل

P(Tنجــــــــــــــــــــــد أن tمــــــــــــــــــــــن جــــــــــــــــــــــدول توزیــــــــــــــــــــــع 1.761) 0.05 ــــــــــــــــــــــى ذلــــــــــــــــــــــك وعل 0.05c 1.761 14t .

متغیرین عشوائیین مستقلین كل منهما یتبـع توزیـع مربـع كـاي بـدرجات W , Vإذا كان :نظریة 1حریة 2 , على التوالي ، فإن:

1

2

W /FV /

1 . بدرجات حریة Fتوزیع له 2 , حتمال دالة كثافة اF سوف تكون على الشكل: 1 1

1 2

/ 2 / 2 11 2 1 2

( ) / 21 2 1 2

( ) / 2]( / ) uf (u) 0 u( / 2) ( / 2) (1 u / )

1علــــى معلمتــــین Fیعتمــــد توزیــــع 2 , 1المعلمــــة األولــــى . بــــنفس الترتیــــب هــــي عــــددیوضـح منحنیـات التـالىشـكل ال. هي عدد درجات حریـة المقـام 2درجات حریة البسط والثانیة

. لزوجین من درجات الحریة Fزیع لدالة كثافة احتمال تو

F),(بفـرض أن 21 ترمـز لقیمـة مـن قــیم المتغیـر العشـوائيF علـى المحــوروالتـي تكـون المســاحة 2و 1 بـدرجات حریــة Fاألفقـي تحـت منحنـى توزیـع

ـــــــــــى یمینهـــــــــــا تســـــــــــاوى ـــــــــــى عل ـــــــــــالىشـــــــــــكل الوالموضـــــــــــحة ف : أى أن الت1 2P { F F ( , )] .

F),(السـتخراج قــیم 21 یوجــد جــدوالن األول عنــد=.05 واآلخــر عنــد = .01 أمـا محتویــات 2والعمــود األول لقـیم 1وفـى كـل منهمـا یكــون الصـف األول لقـیم

F),(الجدول فهو لقیم 21 . المثال من جدول توزیععلى سبیل F نالحظ أن: .01 .05F (5,7) 7.46 , F (1,4) 7.71

.01 .05F (9,10) 4.94 , F (4,1) 224.6

مثال

1سوف نرمز له بالرمز ( F إذا كان توزیع 2F ( , ) 1بدرجات حریة ) 2 , أوجد : ) أ( .05 7,8F )ب( .01 9,4F

:الحــل

1عندما ) أ( 7 , 2 8 فإن .05 7,8 3.5F . 1عندما ) ب( 9 , 2 4 فإن 0.01 9,4 14.66F . 1إیجاد فى Fتوزیع ستخدام جدول ا یمكن 1 2F ( , ) من العالقة االتیة

.1 2 11 2

1F ( , )F ( , )

وعلى سبیل المثال قیمة .95 7,12F هي:

.95.05

1 1F (7,12) 0.2801F (12,7) 3.57

ـــث أن حی .05 12,7F ـــع مســـتخرجة مـــن جـــدول ـــي Fتوزی ـــد ) ١٠(ملحـــق ف عن1حریةودرجات = .05معنویة مستوى 12 , 2 7 .

مثال

:بحیث أن c , dفإن الثابتین F(4,9)هو Fإذا كان توزیع P(F c) .01 , P(F d) .05

:یمكن الحصول علیهما كما یأتي

0.99.01

0.95.05

1 1c F (4,9) .0682 ,F (9,4) 14.66

1 1d F (4,9) .1667.F (9,4) 6.00

:فإن F( 6,9 )هو Fوأكثر من ذلك إذا كان 1 1P(F .2439) PF 0.2439

1P 4.100 .05.F

. F (9,6)هو F / 1وذلك ألن توزیع

مثال

2Xفاثبـت أن بـدرجات حریـة tیتبـع توزیـع Xاذا كـان k,1(بـدرجات حریـة Fیتبـع توزیـع

kحیث)

:الحــل

X: دالة كثافة االحتمال للمتغیر العشوائي

k 1 2 x2

X

k 12f x 1 x / k

1 kk2 2

:لیكن 2y u x y w yx x

X XYd df (y) y y y yf fdy dy

k 1

2

k 12 2 1 y / k

1 k2 y k2 2

k 1 1 1 k 12 2 2 2

k 12 k y k y

1 k2 2

k k 112 22

k 12 k k yy

1 k2 2

k k 11 12 22

k 12 k k y , 0, y < y

1 k2 2

وهذه دالة كثافة االحتمال لمتغیرعشوائى یتبع توزیع 1, 2

F , 1 21, k یتبع Yأي أن :اذن 1بدرجات حریة Fتوزیع 2,

مثال

1بــــدرجات حریــــة Fیتبــــع توزیــــع Xاذا كــــان 2, 1أثبــــت أنYX

یتبــــع توزیــــعF بــــدرجات

2 1,

:الحــل

1سوف نضع 2m, n دالة كثافة االحتمال للمتغیر العشوائي ل فى الصیغة التالیةX

n m m m n12 2 2 2

X

m n2f x n m X n mx 0 < x <

m n2 2

:لیكنy = 1 / x = u (x) → x = 1/y = w (y)

2

d 1w ydy y

Y Xdf (y) w(y) f w ydy

m nm 1n m 222 2

2

m n1 1 12 n m n m

m ny y y 2 2

m m n1 2n m m n2 2

2 2 2

m n12 n m ny m

m n y2 2

m nn m n 1 22 2 2

m n2 n m (y) (ny m)

m n2 2

m nn m n 1 22 2 2

m n2 n m y (m ny) , 0 y

m n2 2

1Y وهذة دالة كثافة االحتمال للمتغیرX

یتبع توزیعF بدرجات حریةn,m أي بدرجات حریة

2 1, .

مثال

:ثبت أنأ m ,nبدرجات حریة Fمتغیر عشوائي یتبع توزیع Xاذا كانm X m nnY ~ B ,m 2 21 X

n

:الحــل

X : دالة كثافة االحتمال للمتغیر العشوائي

n m m m n12 2 2 2

X

m n2f (x) n m x n mx , 0 x

m n2 2

:لیكنm x n yny u(x) x w(y)m m 1 y1 x

n

2

nd mw(y) ,dy (1 y)

Y X

m nd 2f (y) w(y) f (w(y)) , c

m ndy2 2

m n2m m1 1n m 2 2

2 22

n n yn ym mcn m ( ) n m(1 y) m 1 y 1 y

m nn m m n m m m m 21 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2 2 2 1c n m y (1 y)

1 y

m m nm 11 2 22cy (1 y)

nm 11 22

m n2 y 1 y , 0 y 1

m n2 2

nیتبع توزیع بیتا بمعلیمتین عشوائى وهذه دالة كثافة االحتمال لمتغیر mb , a2 2

.