42510011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Площі фігур

Дидактичний матеріал до уроку геометрії

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011• Геометрія - це наука про властивості фігур

• Геометрія – слово грецьке,

означає «землемірство»

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

З давніх часів обчислювання площ було одним з найважливіших застосувань геометрії. У Стародавньому Єгипті заплави річки Нілу землероби почали обробляти приблизно в п’ятому тисячолітті до н.е. Тоді і виникла потреба в обчисленні площ. На підставі документів, що дійшли до нас, вже у Х Υ – ХΥІ ст. до н.е. єгиптяни вміли вимірювати площі прямокутника, трикутника і трапеції за відомими тепер правилами.

Обчислення площі або поверхні фігури називається « квадратурою», що в перекладі з латинської означає надання квадратної форми. У стародавніх єгиптян квадратура якоїсь фігури зводилася до побудови квадрата, що мав таку саму площу. Звідси зрозуміле походження слова «квадратура».

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Поняття площі Числове значення якої має властивості

Якщо фігура розбивається

На частини , що є

простими фігурами

Площа квадрата

Додатна величина

Площа

Мають рівні площі

Дорівнює одиниціТо площа фігури = сумі площ її частин

проста

Рівні фігури

можна розбити

Скінченну кількість плоских трикутників

Геометрична фігура

Сторона дорівнює одиниці вимірювання

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Плоским трикутником

називають скінченну частину площини,

обмежену трикутником

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Геометричну фігуру називатимемо простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Площа – це додатна величина, числове значення якої має такі

властивості:• рівні фігури мають рівні площі;• якщо фігура розбивається на частини, що

є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;

• площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

За одиницю вимірювання площ приймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011• 1 мм 2– площа квадрата зі стороною 1 мм• 1 см 2 – площа квадрата зі стороною 1 см• 1 дм 2– площа квадрата зі стороною 1 дм• 1 м 2 – площа квадрата зі стороною 1 м• 1 ар - площа квадрата зі стороною 10 м,• 1 гектар – площа квадрата зі стороною

100м

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Квадрат

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони

S = d2

S = a 2

Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Прямокутник

Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін S = a b

Площа прямокутника дорівнює половині квадрата його діагоналі , помноженій на синус кута між ними S = d2 sin φ

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Паралелограм

S = a hа

S = b hв

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї

S = a b sin αПлоща паралелограма дорівнює добутку його сторін на синус кута між ними

Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними

S = d1 d2 sin φ

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Чотирикутник Площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними

S = d1 d2 sin φ

Площа чотирикутника , в який можна вписати коло, дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола

S = p r

Півпериметрр = (a +b + c + d )

Площа чотирикутника, навколо якого можна описати коло, знаходиться за формулою

S = ))()()(( dpcpbpapp

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ромб

Площа ромба дорівнює добутку квадрата його сторони на синус кута ромба

S = d1 d2 Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей

S = a hПлоща ромба дорівнює добутку його сторону на висоту

S = а2 sin α

від грецького «ромбос» - бубон ( у стародавні часи цей ударний музичний інструмент мав форму ромба).

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

S = d1 d2 sin φ

Площа трапеції дорівнює половині добутку її діагоналей на синус кута між ними

S = ( a + b)hПлоща трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту

S = h2Площа рівнобічної трапеції, діагоналі якої перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти

Трапеція

21

21

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Трикутник

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони

S = a hа

S = b hв

S = bсsin αПлоща трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними

Площа трикутника виражається через добуток його сторін та радіус описаного кола

Формула Герона

21

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Трикутник

Площа рівностороннього трикутника виражається через

його сторону

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів

S = a b

Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола

S= pr

21

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Герон Александрійський ( мабуть І ст. н.е.) – давньогрецький математик –

енциклопедист, який працював в Александрії. Праці його мали головним чином прикладний характер.

Він був видатним механіком, його навіть називали « Герон – механік». У творах « Пневматика» і

«Механіка» описав автомат для відкривання дверей, автомат для продажу «священної води», пожежний насос тощо. Багато уваги Герон приділяв питанням геодезії і практичному застосуванню геометрії. У

кращій з математичних праць «Метрика», він виклав практичні правила для обчислення площ та об’ємів

геометричних фігур, які застосовували давньогрецькі, римські та середньовічні землеміри і

техніки.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011• Формула Герона красива, симетрична, зручна, легко

запам’ятовується, справжня формула – красуня! Цікава й історія її творення. Називають її ім'ям Герона Олександрійського (Старшого) не зовсім заслужено, бо вперше відкрив і обґрунтував її Архімед. А Герон тільки через чверть тисячоліття після того вмістив її у своїй праці «Метрика». Тому справедливіше було б називати її формулою Архімеда або принаймні Архімеда – Герона. Отже, про формулу Герона можна було б написати цілу поему.

• Формула Герона досить корисна, бо за її допомогою можна розв’язувати багато цікавих і важливих задач. І все таки користуватися нею бажано тільки тоді, коли вона справді доцільна.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Задача

Знайти площу трапеції, у якої паралельні сторони 20 см і 60 см, а непаралельні – 13 см і 37 см

А

ВС

DК N

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011І спосіб

За формулою Герона S KCD = 240 (см 2) S KCD = KD· CN,

KD = 60 – 20 = 40 (см), CN = 12 (см) За формулою площі трапеції S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2).• Відповідь: S = 480 (см2).

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

ІІ спосіб

З трикутника CKD за теоремою косинусів CD2 = CK2 + KD2 – 2 CK · KD cos < CKD

знайдемо cos < CKD = cos α і sin α. тоді CN = CK sin α. CN =12 (см). За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2).• Відповідь: S = 480 (см2).

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

ІІІ спосіб

• Нехай КN = х, тоді ND = 40 – х. Для ∆ CKN і ∆ CND застосуємо теорему

Піфагора і знайдемо CN : CN 2 = 132 – х2, CN2 = 372 – (40 -х)2 . З рівняння 132 – х2 = 372 – (40 -х) 2

х = 5, CN =12 (см) . За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480

(см2).• Відповідь: S = 480 (см2).

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

ІУ спосіб

• Продовжимо АВ і СD до перетину в т. О. ∆АОD ˜ ∆ВОС (за кутами ). Тоді OD =1,5 ∙ 37 = 55,5 (см), ОА =1,5 ∙13 = 19,5 (см).

За формулою Герона знайдемо SAOD = 540 (см2).

SABCD = SAOD.

SABCD =480 (см2).• Відповідь: S = 480 (см2).

98

31

6020

АДВС

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011А

R

GP

L

BM

C

N

O

D

F

Задача Один веселий кулінар зробив торт у вигляді правильного шестикутника АВСDFG . Після цього

він перетворив його у круглий торт, з’ївши залишки. Поміркувавши, він вирішив, що попередня форма торта була кращою, і , знову з’ївши залишки, отримав нарешті правильний шестикутник LMNOPR . Яку частину початкового торта з’їв кулінар?