Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 4)

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

§ 1. Геометрическая оптика. п 2 rl r(r2 - r i)1. Расстояние х = ------------—, радиус источника у = —---------т—.г\ + г2 — 2 г г\ + г2 — 2 г2. Полное затмение бывает в том случае, когда расстояние от центра Луны

до поверхности Земли меньше 376000 км; кольцеобразное, когда оно больше этой величины.

4 . Если экран помещен близко от зеркала, то освещенная часть имеет форму четырехугольника. Если же экран находится далеко от зеркала, то получается изображение Солнца в виде эллипса.

5. На экране получится система горизонтальных светлых и темных полос. При повороте щели на 90° полосы становятся вертикальными. При ее повороте на 45° в случае решетки, изображенной на рис. 1 а, полосы пропадут; в случае решетки, показанной на рис. 1 б, появятся полосы, образующие с горизонтом угол 45°. В последнем случае расстояние между полосами станет в у/2 раз меньше расстояния между горизонтальными (или вертикальными) полосами. Во всех случаях полосы параллельны щели.

6. Характер картины не изменится, но полосы сделаются немного уже.7 .6 = 2а. Эта формула охватывает всевозможные случаи, если при отсчете

углов а и 6 придерживаться следующего правила. Пусть свет отражается сначала от первого зеркала, а затем от второго. Тогда под а надо понимать угол, на который следует повернуть первое зеркало, чтобы совместить его со вторым зеркалом. Аналогично, 6 определяется как угол, на который надо повернуть исходное направление луча, чтобы совместить его с направлением луча, отраженного от второго зеркала. Направления вращений произвольны, но в обоих случаях должны быть одинаковы (например, по или против часовой стрелки). Это замечание надо иметь в виду при решении всех задач, аналогичных разбираемой.

8. rl = г0 - 2 (r0N )N , _________________п2г2 = гмг0 - N jn i(r0N) + \Jn22- n j + ri[(r0N ) 2 j .

9. Пусть Ni, N2, N3 — единичные векторы нормалей к плоскостям зеркал; го — единичный вектор падающего на первое зеркало луча; п , г2, гз — единичные векторы луча после отражения от первого, второго и третьего зеркал. Тогда

Г[ = г0 - 2(r0N i)N i, r 2 = ri - 2 (n N 2 )N 2,гз = r 2 - 2(r2N 3 )N 3.

Отсюда легко получить, что гз = — го.12. Р ешение . Положение (точечного) объекта О можно задать углом а ,

который радиус-вектор СО образует с поверхностью зеркала /, или углом j3, который тот же радиус-вектор образует с поверхностью зеркала 2 (рис. 72).

§ 1. Геометрическая оптика 125

Пусть «о и До характеризуют положение объекта О. Легко видеть, что для изображений 0 2 , 0 1 2 , 0 2 1 2 , 0 1 2 1 2 , ..., угол а имеет следующий ряд значений:

а = 2 ( р - а о , 2 р +А р - а 0, Гао , . . .

Этот ряд обрывается на изображении, которое первым оказывается со стороны задней поверхности зеркала /, так как в этом случае лучи от этого изображения уже не смогут отразиться от зеркала 1 . Аналогично, положения изображений 01, 021, 0121, 02121, ... определяются углами

/5 = 2 у - /50 , 2 ip + /50 ,

4< - А), 4< + /50,причем ряд обрывается на изображении, которое впервые оказывается со стороны задней поверхности зеркала 2. Дальнейший ход решения поясним на двух примерах.

Пример 1. га = 5 (р = 27г/5рад = 72°), а 0 = 22° (Д0 = 50°). Для верхнего ряда изображений получаем а = 122, 166, 266°; для нижнего Д = 94, 194°. Углы а и Р связаны соотношением а = 2к + р — Д, или в рассматриваемом случае а = 432° — р. С помощью этого соотношения находим для нижнего ряда а = 338, 238°. Следовательно, в верхнем и нижнем рядах нет совпадающих изображений. Всего изображений — пять.

Пример 2. га = 6 (р = 60°), «о = 20° (До = 40°). Для верхнего ряда изображений а = 100, 140, 220°; для нижнего Д = 80, 160, 200° (а = 220°). Последние изображения в этих рядах совпадают, так что получается всего пять изображений.

Вообще, если га — нечетное, то число изображений равно га. Если же га — четное, то число изображений равно га — 1. Изложенный метод пригоден и для случая, когда га не есть целое число.

13. Если лучи по выходе из призмы собираются ахроматической линзой, то спектрального разложения не будет. Если же выходящие лучи непосредственно падают на экран, то получится белое пятно с окрашенными краями; 5 = 2а.

14. Диаметр изображения приблизительно равен 7,5 см.15. Изображение действительное и увеличенное в два раза, когда объект

находится на расстоянии 30 см от зеркала. Изображение мнимое и увеличенное в два раза, когда объект находится на расстоянии 1 0 см от зеркала.

16. / = 7,5 см.19. Выпуклая поверхность параболоида вращения, ось которого параллель

на лучам.20. / = g /2 uj2 = 490 см.21. Р е ш е н и е . Из законов отражения света следует, что продолжение

отраженного луча С В (рис. 73) пересечет перпендикуляр АА' к плоскости зеркала в точке А', отстоящей от этой плоскости на таком же расстоянии,

126 Ответы и решения

что и точка А. Значит, А'С = АС, а длина светового пути А С В равна длине прямой А'В. Если бы свет распространялся по пути АС'В, то длина этого пути равнялась бы длине ломаной А'С 'В. Сравнение длины ломаной А 'С 'В с длиной прямой А 'С В дает решение задачи.

22. Из равенства углов падения и отражения на основании свойства биссектрисы угла треугольника заключаем, что в приближении параксиальной оптики положения точки-объекта Р и ее изображения Р' в сферическом зеркале связаны соотношением СJ1 0 1

о р >; ~ РЧО1т. е. точки Р, Р ' , С, О являются четырьмя гармоническими точками. Тем самым построение, указанное в тексте задачи, сводится к известной теореме проективной геометрии о полном четырехугольнике.

Рис. 73 Рис. 74

23. Р е ше н ие . Не нарушая общности, можно считать, что показатель преломления первой среды равен единице. Для оптической длины L ломаной, соединяющей точки А и В (рис. 74), имеем

COS р cos ipПри этом должно выполняться дополнительное соотношение

a tg р + Ъ tg ip = const,

которое выражает постоянство длины проекции ломаной А С В на плоскость раздела сред. Для минимума необходимо

dLdip

a sin (рCOS2 ip + nb simp dip

cos2 ip dip

Из дополнительного условия следует

a + b W = оcos2 р cos2 ip dp

Сопоставляя это соотношение с предыдущим, находим

sin р — n sin?/; = О,

т. е. закон преломления света. В том, что этот закон действительно выражает условие минимума оптической длины пути светового луча, а не просто условие


ее экстремума, можно убедиться, либо исследуя знак второй производной d2L/dp2, либо непосредственно из геометрических соображений.

24. Р ешение . Для примера выведем формулу тонкой линзы. Пусть Р — точечный источник света, расположенный на главной оптической оси линзы,а Р — его изображение (рис. 75). Согласно принципу таутохронизма оптические длины всех лучей, вышедших из Р и собравшихся в Р ' , одинаковы. Опишем из Р и Р' как из центров, окружности с радиусами РА и Р'В соответственно. Тогда на основании равенства оптических длин лучей можем написать

{СЕВ) = {АВ ), Е'

где круглые скобки означают опти- рис ^ческие длины лучей, заключенныхв эти скобки. Если лучи РЕ и ЕР' параксиальные, то можно принять, что длина ломаной CED приближенно равна длине ее проекции M N на главную оптическую ось. В этом приближении предыдущее отношение можно записать в виде

M N = пАВ или AM + BN = {п - l)(AL + LB), (24.1)

где L — проекция точки Е на главную оптическую ось. Для тонкой линзы приближенно:

AL = {ЕЕ)2 ЬВ = - {ELf2RX 1 2 R2 ’

где R\ и R2 — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы. Аналогично, при выполнении условия параксиальности справедливы выражения

AM = - (EL)22х\

BN = (EL?2X2

где через х\ и х2 обозначены соответственно длины РА и ВР' . Подставляя написанные выражения в формулу (24.1), получим

1 _ 1Х 2 Х\

( п - 1 ) ( 1Ж

25. р = arctgn.27. Боковое смещение I = dsm{p — ф ) /cosф = 6,6 см.28. h1 = — = 0,215 м.

п cos3 тр29. I = d/n = 10см.30. п = 1,5.31. l2 = 11 + d/n = 18см.32. Фокус отодвинется на d{n — 1 )/п = 2 мм. 3 5 „ _ sin{(^ + 5)/2}3 5 ’ П ~ sin{^/2} '36. 5 = 48° 12'.


38. п = С 2 = 1,439. sin(a/2) ^ 1/'41.

п = у/2 = 1,41.sin(a/2) ^ 1 /га = 0,752; а ^ 97°30'.

42. D = ^ - = 2ал

43. Интервалы 2 3 4 5 6.Угловая дисперсия (в угл. с/А) 0,9 1,7 2,9 8 13 36.

44. Линейная дисперсия (в мм/А): 0,0022; 0,0042; 0,0071; 0,0195; 0,032; 0,088.

45. Желтый луч пройдет без отклонения, синий отклонится к вершине призмы, красный — к основанию призмы.

46. Р е ше н ие . Пусть А В — плоский участок волнового фронта перед трубой (рис. 76). После прохождения через трубу (не изображенную на рисунке) он переходит в плоский участок А 'В ' . Луч С'А' будет продолжением луча АС, а луч D' В' — продолжением луча BD. Тогда {АС С А') = {BDD' В'),

где круглые скобки означают оптические длины лучей, заключенных в эти скобки. Возьмем другой плоский участок волнового фронта АЕ, наклоненный к А В под бесконечно малым углом а. За трубой волновой фронт А Е перейдет в волновой фронт А " Е ' , образующий с прежним волновым фронтом А!В' угол а ' . Угловое увеличение трубы будет N = а '/а . Возьмем тот волновой фронт А " Е ' , который проходит через точку А ' . Лучи перпендикулярны к соответствующим волновым фронтам. Отсюда следует, что оптические длины лучей АА" и Е Е ' при смещении вдоль волнового фронта будут меняться во втором или высшем порядке малости относительно этих смещений. С точностью до второго порядка они остаются неизменными. Следовательно, с такой степенью точности {АС С А') = {EDD' В ' К '). Сравнивая это соотношение с предыдущим, получим {B E D D 'В') = {EDD'В 'К ) , откуда {BE) = {В'К), или nha = n h ' a , где п — показатель преломления среды перед трубой, п — за трубой, h — поперечное сечение падающего пучка лучей, а /г7 — выходящего. В трубе п = п ' , а следовательно, N = а ' / а = h /h ' . Полученные результаты справедливы для любых телескопических систем, т. е. таких систем, после прохождения через которые любой параллельный пучок лучей остается параллельным.

F

Рис. 76


47 . Надо держать призму так, чтобы лучи при прохождении через нее испытывали наименьшее отклонение.

Р е ше н и е . Увеличение, даваемое призмой, вообще говоря, отлично в разных направлениях. В направлении, параллельном преломляющему ребру призмы, оно равно единице, так как поперечные размеры параллельного светового пучка после прохождения через призму в этом направлении не изменяются (см. решение предыдущей задачи). Напротив, в направлении, перпендикулярном к преломляющему ребру, поперечные размеры, вообще говоря, претерпевают изменения. В этом направлении увеличение может быть как больше, так и меньше единицы. Этим и объясняется сплюснутая или вытянутая форма изображения. Только при симметричном ходе пучка через призму его поперечные размеры остаются неизменными во всех направлениях. В этом случае увеличение равно единице и не зависит от направления.

48 . Надо расположить призмы взаимно перпендикулярно, поворачивая их вокруг направления ребер таким образом, чтобы увеличения в двух взаимно перпендикулярных направлениях были одинаковы.

50. Изображение вначале находится на расстоянии I = D(2 — п) = 15 см от ближнего конца диаметра с той же стороны, что и крупинка. При перемещении крупинки вдоль диаметра ее изображение перемещается в том же направлении и сливается с самой крупинкой, когда последняя достигает ближнего конца диаметра.

51. Сначала получается мнимое прямое уменьшенное изображение при отражении от роговицы глаза, которая действует как выпуклое зеркало. Оно дает другое изображение при отражении от вогнутых поверхностей очковых стекол, которое мы и видим.

52. Может. Изображения обратные, d = n{R\ + R2)/{n — 1); N = R\ /R2.53. Передняя поверхность линзы должна быть выпуклой, а задняя вогну

той, причем R\ > R2- d = n{R\ — R2)/{n — 1); N = R\ /R2.54. D ж 2 cm.55. f = 30,8 мм.56. f ' = 40 cm.57. Фокусное расстояние увеличится в 8,64 раза, причем собирающая

линза станет рассеивающей и наоборот.58. / = 9 см.59. Фокусное расстояние объектива в воде должно быть 48 см, а в воздухе

12 см. Увеличение трехкратное.60 . /( = 36 см; /з = 4 см; fi = 45 см; / 2 = 5 см.61 . А I = 0,5 см.62 . Роговица глаза должна быть плоской.63 . / = 20см (линза собирающая).64 . Система телескопическая.65 . Изображение получается на 5 см правее крайней правой линзы систе

мы.66.

69.70.

h — fi + {h + h)f\

d{l\ — ft) — l\f\h = Cab. f L2- l 2f = --------- = 12 cm.3 4 L

(d — /i)(/2 + h) — hh fld = 150.

0,0613 cm,

5 Под ред. Д. В. Сивухина


V72. / = - 2м.73. / = 1,5м.74. R = 72 см, I = 108 см.75. Собирающую линзу с фокусным расстоянием 30 см.76. Оптическую длину луча следует считать положительной в направлении

распространения света и отрицательной в обратном направлении. Поэтому оптические длины всех лучей, соединяющих источник Р с его изображением Р' в плоском зеркале, равны нулю.

77. Примем ось вращения за ось X , а точку пересечения ее с искомой поверхностью за начало координат. Тогда уравнение анаберрационной поверхности будет

где q — абсцисса точки Р ' .При п'2 > п2 получается эллипсоид вращения (рис. 77), вытянутый

вдоль X , с полуосями

При п'2 < п 2 получается двуполостный гиперболоид вращения (рис. 78) с полуосями

( п 2 — п 2)х2 + п ,2(у2 + z2) — 2 п (п — n)qx = О,

и эксцентриситетомV а2 — Ь2 пе =

а п'

и эксцентриситетом

В этом случае изображение Р' — мнимое.Y



Случай п'2 — п2 = 0 может осуществляться либо при п' = п, что не интересно, либо при п' + п = 0. Вторая возможность соответствует отражению света. В этом случае анаберрационная поверхность

у2 + z2 = Aqx

есть параболоид вращения с параметром р = 2q (параболоидальное зеркало). При q > 0 изображение Р' — мнимое (рис. 79), при q < 0 — действительное (рис. 80).


78. Р е ше н ие . Для примера рассмотрим случай 1). Случай 2) может быть рассмотрен аналогично.

Проведем произвольную прямую C D , параллельную большой оси эллипса А В (рис. 81). Точку пересечения ее D с эллипсом соединим с фокусами F\

Рис. 81

и 7*2 . Если D N — нормаль к эллипсу, то Z F \D N = Z F ^D N . Далее, Z D N F 2 = = р. Поэтому из треугольников F \D N и F^DN по теореме синусов находим

F\D s in (р F2D sin(£>

F\N s in -0 ’ F2N simp

5:


Отсюдаsirup _ F\D-\-F2D _ АВ s in ф F\ N + N F 2 F\ F2

Теперь очевидно, что если показатель преломления эллипсоида относительно окружающей среды п = A B /F \F 2 = 1/е и если падающий луч направить по CD, то преломленный луч пойдет по DF\.

81. Р ешение . Направим ось X вдоль прямой РР', а ось Y перпендикулярно к ней. Поместим начало координат в точке пересечения картезианского овала с осью X . Обозначим через q и q' абсциссы точек Р и Р' . Картезианский овал является анаберрационной поверхностью относительно пары точек Р, Р' , а следовательно, уравнение его сечения плоскостью X Y будет

n \ j (х — q)2 + у2 + п r j (х — q')2 + у2 = n q — nq ,

или (после освобождения от радикалов)

[п — п ){х + у ) + 4(71 — п ){п q — п q){x + у )х++ Ann {nq — n'q')(nq — п q){x2 + у2) + A{n2q — п q)x2+

+ Snn{n — n){nq — n q )q q x = 0. (81.1)

Если n 2 — n'2 = 0, то это уравнение переходит в уравнение второго порядка. Это может быть либо при п — п' = 0, что не интересно, либо при п + п' = 0. Во втором случае (81.1) переходит в

Aqqx2 + {q + q ) y 2 - Aqq {q + q )x = 0. (81.2)

Если ввести новые прямоугольные координаты £ и у, поместив начало координат в середине отрезка РР' , то

и уравнение кривой (81.2) примет вид

*(81.3)

При qq' > 0 (81.3) есть уравнение эллипса, фокусами которого являются сопряженные точки Р и Р' (эллипсоидальное зеркало). При qq' < 0 (81.3) есть уравнение гиперболы с фокусами в Р и Р' (гиперболоидальное зеркало).

Уравнение (81.1) переходит в уравнение второго порядка также в том случае, когда одна из точек Р или Р' удалена в бесконечность. Если, например, q = 0 0 , то, сохраняя в (81.1) только старшие члены по q и сокращая на Aq2n 2, получим

{ п 2 — п ) х 2 + п 2у2 — 2 п { п — n ) q x = 0 . (81.4)Этот случай рассматривался в задаче 76.

При qn = q'n' формула (81.1) приводится к виду

[{п + п ) { х 2 + у2) — 2 qnx}2 = 0


и представляет собой уравнение двух совпадающих окружностей. Уравнение одной окружности:

(п + п ) ( х 2 + у2) — 2qnx = 0 . (81.5)Анаберрационная поверхность в этом случае есть сфера радиуса

R = Qn = я'п' п + п' п + п'

(см. следующую задачу).Есть еще один (тривиальный) случай, когда (81.1) должно сводиться к

уравнению второго порядка. Если q = q', то обе сопряженные точки Р и Р' совпадают, т. е. на анаберрационной поверхности световые лучи не должны преломляться. Значит, в этом случае при п ф п' картезианский овал должен вырождаться в сферу или в совокупность двух концентрических сфер. Это требование может служить критерием правильности вычислений. Полагая в (81.1) q = q', находим

(ж2 + у2 — 2qx)l(n + п ) 2{х2 + у2 — 2qx) + Ann q] = 0,

в точке Р, что является уравнением совокупности двух концентрических сфер с центрами

83 . Если Р и Q — апланатические точки сферической поверхности K L, то они же будут апланатическими точками линзы, ограниченной поверхностью K L и сферой M N , имеющей центром точку Р (рис. 82).

84‘ ^ ~ 2(п - - -> rtt85 . £ = - 5 - р/2 П~ 186 . Выпуклый мениск. R\ = 20 см, R 2 =

= 10 см, п = 1,53. Объект помещается со стороны вогнутой поверхности мениска.

87. х> = ^ у' = nRy

м

Рис. 82

nRz(■п' — п)х + nR ’ у {п' — п)х + nR ’

89 . Р е ш е и и е. Разрешив уравнения(■п' — п)х + nR

, Ах + В , Су , Cz У = — ГТ’ Z = C^TX = , , , ах + о У = , Ь’ах -\- о

z = ------ -аж + оотносительно х и у, получим

А'х' + В' С'у' C'z'а'х' -\-Ъ' 1 ^ а'х' + Ы ’ а'х' + Ы ’

(89.1)

(89.2)

А' = —Ъ, В ' = В, а = а, Ъ' = - А , С = аВ АЬ, (89.3)ОЕсли ах + Ъ = 0, то х ' , у ' , Р становятся, вообще говоря, бесконечными.

Это значит, что лучи, вышедшие из какой-либо точки плоскости ах + Ь = = 0 , после прохождения через оптическую систему становятся параллельными. Плоскость ах + Ь = 0 называется фокальной плоскостью пространства предме-


тов. Плоскость о!х' + У = О называется фокальной плоскостью пространства изображений; параллельный пучок лучей, падающий на систему, сходится в одной из точек этой плоскости. Точки пересечения F и F ' фокальных плоскостей с главной оптической осью называются фокальными точками или главными фокусами системы. Для координат этих точек имеем

xf = — ,а

XFf = А

а(89.4)

Сопряженные плоскости, координаты сопряженных точек которых связаны соотношениями у ' = у, z' = z, называются главными плоскостями оптической системы. Они отображаются друг в друга с поперечным увеличением +1. Точки пересечения главных плоскостей с главной оптической осью Н и Н ' называются главными точками системы. Их координаты:

х н =С - Ъ

х н > —С - V _ а В + А(С - Ь)

- ~Са ’(89.5)

Расстояния главных точек от соответствующих главных фокусов называются фокусными расстояниями системы. Для фокусных расстояний имеем

j, С р, , , С аВ — АЪ /qqf = х н ~ x F = / = х н , - x F, = — = — -------. (89.6)а а' Са

Узловые точки К и К ' определяются как сопряженные точки, обладающие следующим свойством: световой луч, проходящий через К под некоторым углом к оптической оси, проходит через К ' под тем же углом и в том же направлении. Это значит, что уравнение луча у = а(х — х к ) переходит в у' == а(х' — х'к /), т. е. — = ------- — Пользуясь формулами (89.1) и имея в виду,У х — Хкчто последнее уравнение должно соблюдаться при любом х, нетрудно получить

Хк = XF - / ', ХК , = х'р, - /. (89.7)

90 . В случае 1) надо положить хн = x'H, = 0, а в случае 2) x f = x'Fi = 0. Отсюда после преобразования координат получим

/ Г = _ - у' /£ ?' ’ п / + £ Г Г С

y y ' - f fJJ : Y X f> '

(90.1)

(90.2)

91 . Главные плоскости совпадают между собой и касаются преломляющейповерхности в точке пересечения ее с главной оптической осью; / = —------ ,j.f _ n'R п — п

п' — п94 . Р е ше н и е . Поместим начала координат каждой из складываемых

систем в фокальные точки. Пусть X \ ,Y \ — координаты точки-объекта, а Х[, У{ — ее изображения в первой системе. Тогда

v V1 f yi f ix ' X y - h f u Y y - Y y -


Примем изображение, даваемое первой системой, за объект во второй системе. Координаты такого «объекта» будут

Х2 = Х ( -5 , у2 = у1/.

Координаты его изображения, даваемого второй системой (относительно F2), обозначим через Х'2, У2'. Тогда

v/ Y'v V1 _ f 1 2 _А 2А 2 — /2/2, ТГ — -JT-У2 / 2

Исключая координаты промежуточного изображения, получим

X 1, = / 2/2f d - S X t Xi, Yi = / 1 / 2 Yt.

Отсюда известным способом (см. задачу 88) находим координаты фокальных и главных точек сложной системы:

М[&

М5 ’

/ 1 / , ' - / ! / 2 ,ХН = --^ --- , ЖН' = -- ^ ---",

(94.1)

(94.2)

причем за начало координат в пространстве предметов принят передний фокус первой системы, а в пространстве изображений — задний фокус второй системы. Для фокусных расстояний сложной системы находим

95.

f = _ h h1 s ’ 1 s '

i = i i _ _ L f _ / 1 / 2 / / 1 / 2 / 1 / 2 ’ 7 / 1 + / 2 - Г

(94.3)

(95.1)

Расстояния главных плоскостей Я и Я ' системы от первой и второй линз равны

0 \Н = —-— Я Ц г , 0 2н ' = -— (95.2)1 - Л - / 2 ’ 1 - /1 - /2 '

96 . «Эквивалентную» линзу следует поместить в передней главной плоскости системы двух линз: / =

97 . / = / 1 / 2/ 1 + / 2 - Z / n

/ 1 + / 2 - Г

, где п — показатель преломления воды.

ЯдЯ2 /»/ 1- 2/ = - В Д - ^ , / = П2П3 — .98.

ЗдесьD = d(n2 - п\)(пъ - п2) + n2[i^i(n2 - п3) + # 2(^1 - п2)],

где d = ОО' (рис. 83) — толщина линзы. Приняв О и О' за начала координат, для координат главных точек Я и Я ' будем иметь

h = ОН = -п\(пъ - гг2) ^ р h! = O'Н' = n3(n2 - т


99 . Обе главные плоскости совпадают и проходят через центр шара. 1) / = = — = — П = 2 R; фокальные точки лежат снаружи шара на расстоя-

2 п — 1нии R от его поверхности.2 ) / = 1,5#; фокальные точки лежат снаружи шара на расстоянии R /2 от его поверхности. Фокальные точки не выходят наружу при п ^ 2 .

100. 1) х' = 15 см. 2) Увели-У' 1 гчение — = 1,5.

101У. Для плосковыпуклой и плосковогнутой линз, т. е. когда R\ или R 2 = ±оо. Если свет

р ис §з падает со стороны сферическойповерхности, то положение фо

куса в пространстве изображений относительно линзы зависит от толщины последней; если со стороны плоской, то не зависит.

102. Когда толщина линзы d > ------- (R\ + R 2) = 3(R\ + R 2), где R\и R 2 — абсолютные значения радиусов кривизны поверхностей линзы.

103. Когда толщина линзы d = (R\ + R 2), где R\ и R 2 — абсолютныеп — 1

значения радиусов кривизны поверхностей линзы.105. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокальные плоскости

расположены на расстоянии 28,2 см от линзы в воздухе и 37,5 см в воде. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии 9,3 см от линзы.

106. / = 50 см. 1) 148 см от плоской поверхности; 2) 143 см от выпуклой поверхности. В обоих случаях изображение находится с противоположной стороны линзы по отношению к объекту.

107. / = 6 см. Главные плоскости лежат внутри линзы на расстояниях 1 и 1,6 см от поверхности линзы с большим радиусом кривизны.

108. / = 2,5 см. Положения фокальных точек и главных плоскостей изображены на рис. 84.

Рис. 84109. Нет. Это имеет место только в том случае, когда узловые точки

совпадают с оптическим центром.110. Собирающая. Главные плоскости лежат со стороны выпуклой поверх

ности на расстоянии d друг от друга. Первая главная плоскость удалена от


выпуклой поверхности на расстояние ----- -. На таком же расстоянии находитсяп - 1 nR2

вторая главная плоскость от вогнутой поверхности. / = ——111. Рассеивающая. Главные

плоскости совпадают и проходят через общий центр кривизны поверхностей линзы. / =_ nR(R — d)

d(n — 1)112. Объект должен нахо

диться в одной из узловых или обратных узловых точек системы 1).

113. Р е ше н и е . Пусть малый объект, перпендикулярный к образующей цилиндра, помещен на внешней поверхности последнего в точке Р (рис. 85). После преломления лучей на внутренней цилиндрической поверхности в окрестности точки А получится промежуточное изображение объекта в некоторой точке Р ' . Пользуясь формулами, приведенными в ответе к задаче 87, легко получить абсциссу х' точки Р' (относительно начала координат А), а также поперечное увеличение у'/у\

/ _ nR2(R2 — R\) у ' _ CL2R2(п2 — n)R\ + n i?2 ’ у (П2 — ri)R\ + n i?2

Оставшиеся две преломляющие поверхности с вершинами в О и О' действуют как линза, для которой

R\R2 , / ,R2(R\ - R2)f = --пri2— — j h = п(п\ - п2) ------—------,

гдеD = n\R\(n2 — п) + nR2(n\ — П2).

Точка Р' по отношению к этой линзе играет роль объекта. Ее абсцисса относительно фокуса F этой линзы:

X = FP' = FH + НО + О А + АР' = f - h - 2R2 + х .

ДалееШ _ £_ у1 X ’

1) Если световой луч выходит из некоторой точки оптической оси под углом и к ней, а по выходе из системы проходит через сопряженную точку под углом и' = —и , то эти две взаимно сопряженные точки называются обратными узловыми точками системы. Пользуясь формулами параксиальной оптики, легко показать, что центрированная система имеет одну пару обратных узловых точек.


и следовательно,у {п2 — n)R\ + nR2 X

У\ n2R2 f ’откуда после несложных преобразований легко получить требуемый результат.

116. Р е ш е н и е. Очевидно, А = £' + е — £, где £ и — координаты предмета и его изображения относительно соответствующих главных плоскостей. Исключая отсюда и из уравнения линзы £', получим

£ 2 + ( Л - е ) £ + ( Л - е ) / = 0 .

Если И — е > 4 /, то уравнение имеет два вещественных корня £i и £2, и существуют два положения предмета, о которых идет речь в условии задачи. Расстояние между этими положениями:

О = 16 - 61 = \ J (A - е)2 - 4 / Г 4 - е ) ,

откуда

/ =(.А — е)2 — а2

4(А - е) 4А 4А 2

Для определения е можно повторить опыт при другом расстоянии А\ междупредметом и экраном.

1 1 2117. + - = — + ( - — . Расстояние h можно измерять либо по

и R \ R и ) R ндуге, либо по перпендикуляру к оси зеркала, так как различие между этими двумя расстояниями может сказаться только на членах высшего порядка (именно, на членах, содержащих /г4).

н с гг * (1/Д- 1/щ>2 h2118. Продольная аберрация равна — — .у 2 j it 1 j и) it

119. 0,2 мм; 0 ,8 mm; 1 ,8mm; 3 ,2 mm.120. 3,1 мм.121. 0,3 m m .123. Продольная сферическая аберрация равна

_ П - 1 Г / 1 _ 1 \ 2/ 1 _ П + 1 п2 \ VR\ и ) VR\ и

1R2 т

п + 1R2

2h2

где v и v — координаты точек на оптической оси, в которых ее пересекают параксиальный луч и луч, встречающий линзу на высоте h.

124. 1) -0,292см; -0,0147см. 2) -1,125см; -0,056см.125. / Кр = 1015 мм, / ж = 1000 мм, / с = 982 мм; А / = 33 мм.126. £>кр = 0,75 мм, Д. = 0,90 мм.

X 1 L L127. N = —----------- = ---------—. Увеличение не зависит от положения

f X ' - a f + aX/ fглаза и равно N = L / f , если X = 0, т. е. предмет помещен в главном фокусе лупы; в этом случае глаз должен быть аккомодирован на бесконечность. Увеличение не зависит от положения предмета и также равно N = L / f , если а = 0, т. е. глаз помещен в заднем фокусе лупы. Когда глаз аккомодирован на наименьшее расстояние ясного зрения, X ' = а — L, N = (L — а) / / . Обычно объект помещается очень близко от главного фокуса, так что практически всегда N = L / / .


128. Если окуляр ахроматизован в отношении фокусных расстояний, то его угловое увеличение не зависит от длины световой волны (см. предыдущую задачу).

129. Р е ше н и е . Фокусное расстояние / системы двух тонких линз, находящихся на расстоянии I друг от друга, определяется формулой

1 1 1 1 7 _ Т + Д “ М '

(129.1)

При этому = ( п - \ ) А {, у = ( п - \ ) А 2,Л /2

(129.2)

где А\ и А 2 — постоянные, зависящие только от кривизны поверхностей линз,Условие ахроматизации:

Подставляя сюда 5(1/f\) = А \5п , 5(1 / f 2) = А 25п, после несложных преобразований получаем решение задачи.

130. f = fi = f 2 - Положения главных плоскостей и фокальных точек показаны на рис. 8 6 .

Рис. 8 6

131. /i = 3 /2, I = V2(/i + / 2) = 2/ 2 = 2/з /ь / = 3/2 / 2 = V2/ i . Положенияглавных плоскостей и фокальных точек показаны на рис. 87. Там же приведен

Рис. 87


ход одного из лучей, падающих на окуляр Гюйгенса параллельно главной оптической оси.

133. / = % f 1. Положения главных плоскостей и фокальных точек показаны на рис. 8 8 . Крест нитей должен быть помещен перед первой линзой на

расстоянии xUf\ от нее.

134. —1 5п 1

' + ЧГSn2 = 0 .

Рис.

f\ П\ - 1 f 2 П2 ~ 1 Фокусные расстояния обеих компонент имеют всегда противоположные знаки. Если вся система собирающая, то линза с большей дисперсией рассеивающая, а линза с меньшей дисперсией собирающая. Наоборот, если система рассеивающая, то линза с большей дисперсией должна быть собирающей, а линза с меньшей дисперсией — рассеивающей.

135. Р е шение . Объектив телескопа, бинокля и т. п. является собирающей системой. Поэтому двояковыпуклая линза этой системы должна делаться из материала с меньшей дисперсией (т. е. крона), а плосковыгнутая — из материала с большей дисперсией (т. е. флинта) (см. решение предыдущей задачи).

136. Первая линза: R\ = 41,6 см; R 2 = —41,3 см; вторая линза: R\ = = -41,3 см; R 2 = оо.

137. Это возможно для толстой линзы благодаря тому, что в формулу, определяющую ее фокусное расстояние, входит п 2. Следовательно, могут существовать два значения щ и п2у которым соответствует одно значение / .

п2Толщина линзы должна быть равна d = —— - (R\ — R 2), где п = J n \ n 2 —nz — 1 v

среднее геометрическое из щ и п 2. Так как толщина существенно положительна, то для возможности ахроматизации необходимо, чтобы R\ — R 2 > 0. Этому условию удовлетворяют только двояковыпуклые и выпукло-вогнутые линзы. Все прочие толстые линзы не могут быть ахроматизированы.

п + 1 R\R2138. Результат следует из формулы / = — =

фокусное расстояние линзы для показателя преломления п = у/п\п2.

139. d = 31,42см; / = - / ' == + 2 0 , 2 см.

141. Пластинку надо повернуть 1 Пр — пп OL лна угол в = ------------- + - = 1 ,8 °а п — 1 2

так, чтобы фиолетовый конец спектра был ближе к объективу, чем красный.

142. Р е ше н ие . Если световой луч А В падает на поверхность шара под углом р и преломляется под углом 'ф (рис. 89), то угол падения ВСО преломленного луча В С на эту

гг — 1 R2 — R\дающей


поверхность будет равен ф>. Отсюда следует, что луч выйдет из шара под углом р к нормали ОС.

143. Если 'ф — угол преломления в капле, то при однократном отражении1 п 2 _ 1

cosp = у —-— , а = \ф) - 2р, а кр = 42°42/, а ф = 40°44/. При двукратном отражении

П , а = 180° + 2р — 6 ф, а кр = 49°46/, а ф = 53°29/.о

144. cosy = ^ щ м ~ + 2) ' 6 = N n + 2 < p - 2 ( N + l ) ф.

Радуги 3-6 порядков характеризуются следующими данными:

Номер радуги Ч> *Ф 5 а

3 76°55' 47°04' 317° 2 0 ' 42°40'4 79°4Г 47°42' 42°20' 42°40'5 81°29' 48°02' 126° 30' 53° 30'6 82°40' 48° и ' 2 1 0 ° 0 0 ' 30°00'

Третья и четвертая радуги находятся сзади наблюдателя, если он обращен лицом к первой радуге. Когда туча проходит между наблюдателем и Солнцем, то наблюдатель видит капли сильно освещенными от тех лучей, которые преломляются в каплях без внутреннего отражения. Интенсивность этих лучей значительно превосходит интенсивность лучей третьей и четвертой радуг. Пятая радуга почти точно совпадает со второй, а шестая находится внутри первой. Эти радуги никогда не бывают видимы, так как при каждом внутреннем отражении интенсивность света ослабляется вследствие преломления. Читателю рекомендуется сделать точные чертежи для хода лучей в капле в случае радуг первых шести порядков.

145. 21°52/; 45°44/. В обоих кругах внешний край синеватый, а внутренний красноватый.

146. Р ешение . Вообразим ряд плоскопараллельных слоев с постоянными показателями преломления щ, п 2, щ , ... (рис. 90). При распространении

COS (р =

Рис. 90


света в такой слоистой среде в силу закона преломления справедливы соотношения:

п \ sm а \ = П 2 sin а^ = пз sin а з = ...

Пусть теперь число слоев неограниченно растет, а толщина каждого из них неограниченно убывает. В пределе мы получим неоднородную среду с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Если показатель преломления меняется мало на протяжении длины световой волны, то можно пренебречь эффектами отражения на границах слоев. Свет распространяется в такой среде вдоль лучей, имеющих форму кривых линий. Примем за ось Z прямую, перпендикулярную к слоям, и обозначим через а угол между осью Z и касательной к лучу, а через N — нормаль к тому же лучу (рис. 91). Тогда

n sin а = const.

Дифференцируя это соотношение по длине s дуги луча и принимая во внимание, что 1 /р = d a /d s , получим

1 sin a d n

р п cos a d s

_ d n d n d n d n .1ак как — = — cos a, - — = — — s m a , to

a s d z d N d z

1 _ 1 d n

p n d N

_ d _

d N(In n ).

Формула выведена для слоистой среды. Однако она справедлива и в общем случае, так как небольшой объем любой среды можно рассматривать как часть слоистой среды (см. также задачу 157).


147. Р е ше н и е . Если п зависит только от г, то путь светового луча A M (рис. 92) будет плоской кривой, лежащей в плоскости, которая проходит через звезду и вертикаль M Z места наблюдения. Обозначим через а переменный угол, составляемый вертикалью M Z и касательной к лучу (этот угол называ-


ется зенитным расстоянием). Через s обозначим длину луча, отсчитываемую от точки М. Тогда

1 d a

р d s

_ d _

d N(Inn),

d a

d s

d a d r

d r d s

d a . d a ,— sm y = — cos(a — p); d r d r

-f— (In n) = — j- (In n) cos 7 = — -f- (In n) sin(a — (d). d N v ' d r K } 1 d r v ' v ^ '

Отсюда

Далее из рис. 92

откуда

Итак,

d a 1 d ( л ,

~ d r tg (a - /3) = ~ d г П П ^

d/3 = — cos 7 = — sin(a — /3),Г Гdfd d(3 dr d(3 , , 1 . , ,

T s = ^ T s = ^ COS{a- f3) = r Sm{a- /3)-

d i d 1 _ 1dr tg(cK — (d) r

Вычитая (147.2) из (147.1), находим

d(a-(d) , .— 7------7 7 = -a ln (n r) .tg (a -(d) V У

Интегрирование этого уравнения дает

sin(o! — (d) щго

sin ско nr 1

(147.1)

(147.2)

(147.3)

где го — радиус земного шара, щ — показатель преломления воздуха у поверхности Земли, ао — видимое зенитное расстояние звезды при наблюдении из точки М. Вычислив из (147.3) tg (a — (d) и подставив полученное значение в (147.1), найдем после интегрирования

ol оо — О'о — — norosmao d r

ПГ — ПдГд Sm2 CKQ(147.4)

Здесь скоо обозначает угол, образуемый асимптотой к лучу с вертикалью места. Разность скоо — ско дает угол отклонения направления луча при прохождении через земную атмосферу и носит название рефракции. Зная закон изменения показателя преломления п с высотой и измеряя видимое зенитное расстояние звезды ско, можно по формуле (147.4) вычислить рефракцию «оо — ско 1).

О Формула (147.4) использовалась при составлении таблиц рефракции. Показатель преломления воздуха п в зависимости от высоты h над земной поверхностью вычислялся по плотности р с помощью формулы п — 1 = Ар , где А — постоянная. (В ранних вычислениях применялась формула п 2 — 1 = Ар , дающая практически такую же точность.)


149. Для видимых зенитных расстояний, не превосходящих примерно 75°, можно пользоваться приближенной формулой

«оо - «О = (no - 1 ) tg Обо

при ао = 70° получаем «оо — «о = 2/46//. В Пулковских таблицах для ао = 70° находим ctoo — ао = 2/45,673//.

150. Р е ш е н и е. Так как п — 1 <С 1, то Inn = 1п[1 + (п — 1)] ~ п — 1. Тогда

«оо - «о = ^ n 0r0sina0(n0 - 1) К1го

е х р { _ ЯТ _ г °)} у П2Г2 — ПдГд sin2 CKQ

dr,

где р — относительная молекулярная масса воздуха, R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура. Подкоренное выражение можно заменить приближенным выражением

2 2 2 2 - 2 п г — щ г 0 sm ао == (пг + щго sinao)(nr — щго sinao) ~ ЩГо(\ + sinao) (г — го sinao).

Тогда

аоо - а 0 = 2 (п0 - l)x 0 tg a 0 г“ (" “ “о) dx,х0

где xl = (1 - s in a 0). Для функцииК1

Ф (ж 0)

х0

называемой интегралом вероятности ошибок, имеются специальные таблицы О, которыми и можно пользоваться при малых х$.

151. «оо - «о = («о - 1) = 35'29".

152. 33000 км; 1,6- Ю ^ с м ” 1.153. Р е ш е н и е. Необходимо, чтобы показатель преломления воздуха

увеличивался с высотой h. Показатель преломления воздуха зависит только от плотности и увеличивается вместе с ней. Поэтому необходимо, чтобы было dp/dh > 0. Так как р ~ Р /Т , то отсюда получаем

dp _ dP dT

У ~ ~Р~ ~ ~Т’

О См., например, А. А. Марков. Исчисление вероятностей. — М.: ГНТИ, 1924. Наиболее полными таблицами являются: Таблицы вероятностных функций. T.I. — М.: Вычислительный центр АН СССР, 1958.


При механическом равновесии dP /dh = —pg, где g — ускорение свободного падения. Следовательно,

dT РТ ~dh< ~Pg) ИЛИ dT _ p g

dh R 1

где p — относительная молекулярная масса воздуха. С помощью формулы Р. Майера ср — cv = R /p отсюда легко получить

gdT < _ dh ср — cv

-0,025 К/м.

Такое распределение температуры конвективно неустойчиво. Для конвективной устойчивости должно быть

dh ср154. Р е ш еи не. Пусть круг К радиуса

р (рис. 93) представляет путь светового луча в среде, показатель преломления п которой зависит только от расстояния г до точки О. Тогда рис 9 3

- = (In п) = — (In п) cos в. р d N v ' dr v '

Обозначим через Ъ расстояние О А между точкой О и центром А круга К.Тогда

Ь2 = г2 + р2 — 2rpcos0.

Определив отсюда cos в и подставив полученное выражение в предыдущее уравнение, найдем

d(lnn) = — 2 г drг 2 + р2 — 62 ’

откудаС

где С — произвольная постоянная.Возьмем на окружности К про

извольную точку Р и продолжим рис> 9 4 прямую РО до пересечения ее

с окружностью К в точке Р' (рис. 94). В середине До прямой Р Р ' восстановим к ней перпендикуляр CD. Из произвольной точки А\ этого перпендикуляра, как из центра, опишем окружность К\ радиуса р\ , проходящую через точку Р (а следовательно, и через точку Р'). Для того чтобы световой луч описывал окружность К\, необходимо, чтобы показатель преломления среды менялся по закону

п = (154 .2)


где Ь\ обозначает расстояние А\0, а С\ — произвольная постоянная. Докажем, что формулы (154.1) и (154.2) тождественны. Прежде всего установим, что

2 7 2 2 7 2Р - о = pi - b{.

Из прямоугольных треугольников АОАо и АР До находим

р2 = Р Aq + AAq, b2 = AqO2 + AAq,

откудаp2 - b 2 = PAq - A0O2.

Аналогично, из прямоугольных треугольников A\PA q и А\ОАо получим

р\-Ь\ = РА20 - A qO 2.

Сравнивая это с предыдущим выражением, получаем доказываемое. Таким образом, можно положить р2 — Ь2 = р\ - Ъ\ = а2.

Выясним теперь физический смысл постоянных С и С\. Полагая в (154.1) и (154.2) г = 0 и обозначая через щ показатель преломления среды в точке О, находим С = С\ = ща2 . Значит, выражения (154.1) и (154.2) тождественны, и их можно переписать в виде

щ1 + г2/а2

(154.3)

Если показатель преломления среды изменяется по закону (154.3), то луч света, выйдя из точки Р, опишет окружность, центр которой лежит на прямой CD. Положение центра на этой прямой зависит от направления луча в точке Р. Но каково бы ни было направление луча в точке Р, он всегда пройдет через точку Р ' . Следовательно, все лучи, вышедшие из точки Р, соберутся в точке Р ' . Иными словами, Р' является стигматическим изображением точки Р. Подобными свойствами обладает произвольная точка среды. Действительно, в качестве окружности К можно взять любую окружность из семейства окружностей с центрами на прямой CD и проходящих через точку Р, а сама точка Р на окружности К может быть выбрана где угодно. Из построения легко найти и увеличение, даваемое «рыбьим глазом» при изображении какого- либо предмета.

155. р = а.156. Нельзя.Ре ше н и е . Формально движение частицы в консервативном поле сил про

исходит так же, как распространение светового луча в неоднородной изотропной среде. Роль показателя преломления играет скорость частицы v. Поэтому, если бы можно было осуществить «рыбий глаз» в электронной оптике, то скорость электронов v в поле должна была бы определяться выражением

_ VQ 1 + г2/а2

С другой стороны, на основании закона сохранения энергии

mv2 т Т —-----Ь ev = const,


где V — потенциал поля. С помощью этого и предыдущего соотношения можно выразить V как функцию от г. Окажется, что эта функция не удовлетворяет уравнению Лапласа

= &Х. <Э2У _дх2 ду2 dz2

Отсюда следует, что с помощью электростатического поля в вакууме осуществить «рыбий глаз» невозможно. Для этого необходимо наличие пространственного заряда.

157. Р ешение. Радиус кривизны р траектории движения частицы определяется из выражения для центростремительного ускорения

где Fn — слагающая действующей силы вдоль главной нормали к траектории частицы. Если U — потенциальная энергия частицы, то F n = — dU/dN. С другой стороны, по закону сохранения энергии

mv2 dv—— Ь и = const, откуда шг — ОГdN'

Следовательно,1 _ 1 dv

р ~ V dN'Заменив здесь скорость частицы v на показатель преломления п среды, получим искомую формулу для кривизны луча:

1 _ 1 дп р п dN

дdN

(Inn).

158. Р ешение. Заменяя в формуле для кривизны луча величину п на v, получим

1 д п \ p = m {lnv)-

На основании закона сохранения энергии

mv2 ТГ —--- Ь ev = const, е < О, V > О,

причем в силу нормировки потенциала const = 0, так как при V = 0 v = 0. Таким образом,

2 In v = In V + const, 1Р

1 dv2V Ш

En 2V '

159. Пусть AB — малый объект, перпендикулярный к главной оптической оси, а А'В' — его изображение (рис. 95). Оптические длины всех лучей, выходящих из Л и собирающихся в А' , одинаковы. Одинаковы и оптические длины всех лучей, выходящих из В и собирающихся в В ' . Более того, оптические длины всех лучей АА' равны оптическим длинам всех лучей ВВ' . Достаточно доказать это утверждение для лучей, выходящих из объекта АВ параллельно главной оптической оси. Это — параксиальные лучи. Поэтому бесконечно малый участок плоского волнового фронта АВ после прохождения


через объектив остается приблизительно плоским и перпендикулярным к главной оптической оси. Возьмем волновой фронт А' В ' , проходящий через точку А' — изображение точки А. Так как длины всех лучей от одного положения волнового фронта до другого одинаковы, то отсюда и следует доказываемое утверждение.

Проведем теперь через точки А и В бесконечно узкий параллельный пучок лучей, наклоненных к главной оптической оси под произвольным углом и (рис. 96). Волновой фронт В С перейдет в волновой фронт В 'С ', причем ввиду бесконечной тонкости взятого пучка лучей его расходимость в пространстве изображений будет бесконечно мала. Так как оптические длины всех лучей между волновыми фронтами В С и В'С ' одинаковы, то {В В') = (С А 'С '), а по доказанному ранее (ВВ') = (АСА'). Отсюда (АСА') = {СА'С'). После вычитания общей части {СА') находим (А С ) = А'С'. Таким образом, должно быть

пу sin и = п у sin и ,где у = А В , у' = А 'В ' , п — показатель преломления в пространстве предметов, п' — в пространстве изображений. Это и есть искомое условие (так называемое условие синусов Аббе). Оно должно выполняться для любых (малых) значений у и у' и любых углов и и и ' .

160. Р е ше н и е . Входным зрачком системы будет уменьшенное изображение зрачка глаза, помещенного в апланатическую точку Р ' . Передняя апланатическая точка Р будет центром входного зрачка. Пусть плоскость АВ, перпендикулярная к оптической оси, помещена перед апланатической точкой Р на расстоянии а от последней, которое велико по сравнению с диаметром входного зрачка.

Рассмотрим изображение плоскости АВ, даваемое объективом. Из каждой точки плоскости А В через оптическую систему может пройти конус лучей только очень малого раствора, определяемого размерами входного зрачка. Так как эти лучи не параксиальные, а, вообще говоря, наклонены под большими углами к оптической оси, то пучки будут астигматическими. В дальнейшем мы пренебрегаем астигматизмом, а также искривлением плоскости изображения. В этом приближении плоскость А В изобразится в виде сопряженной плоскости А 'В ' , перпендикулярной к оптической оси, и можно следующим способом построить изображение точки.

Из рассматриваемой точки А плоскости А В проводим луч А Р через центр входного зрачка, образующий с оптической осью некоторый угол и. Тогда сопряженный с ним луч А'Р ' пройдет через вторую апланатическую точку Р' под углом и , значение которого определяется условием синусов: nlsinu =


= n'l' sm и' . Точка пересечения этого луча с плоскостью А 'В ' и будет изображением точки А. Пусть у и z — координаты точки А в плоскости А В , а у' и А — координаты точки А ' . В таком случае

У + Zа'2 + у12 + zn

где а' — расстояние точки Р ' от плоскости А'В'. Подставляя эти выражения в условие синусов и вводя обозначение а = nl/n 'l ', получим

а 2(у2 + z2) (a 2 + у ’2 + ^/2) = {у12 + ^/2 )(а2 + у2 + г2).

В силу осевой симметрии системы А /у ' = z/y . Исключая с помощью этого соотношения z ' , найдем

г 2/ /2 , /2\ /2-1 2 /2/1 2\ 2 2/2[а (а ) ~ У \У ~У U - а )* = а У •

Рассмотрим в плоскости А 'В ' прямую у ' = ±р, параллельную оси У. В плоскости А В ей соответствует кривая

[а2 а 2 — р2( 1 — ос2)]у2 — р2( 1 — a 2)z2 = а2 р2,

изображением которой является рассматриваемая прямая. Так как для объективов микроскопов а — малая величина, то, пренебрегая ее квадратом по

„ р р 1'п'сравнению с единицей и вводя обозначение и = — - = — - — , получимаа' а' In

Уа2ии2/ (1 — сс2)

~~z = 1 . (160.1)

Если и 2 < 1, то (160.1) есть уравнение семейства гипербол. Аналогично, семейству прямых z' = ±р, параллельных оси У, соответствует семейство гипербол

= 1 , (160.2)а2 ^ а2и 2/(1 — и2)

получающееся из (160.1) путем поворота на 90° вокруг оптической оси системы. Если на листе бумаги начертить оба семейства (160.1) и (160.2) и поместить полученный рисунок на расстоянии а перед передней апланатической точкой объектива Р , то объектив даст изображение этого рисунка в виде прямоугольной сетки прямых. При и = 1/л/2 уравнение (160.1) переходит в уравнение у2 — z2 = а2, а уравнение (160.2) — в z2 - у2 = а2. Эти гиперболы имеют асимптотами биссектрисы координатных углов. Следовательно, а есть расстояние от начала координат до вершины той из гипербол, асимптоты которой совпадают с биссектрисами координатных углов.

161. a zz 7 мм.162. Р е ш е и и е. Необходимость теоремы очевидна. Докажем ее достаточ

ность. Соединим Р и Р' произвольным лучом. Пусть li и 12 — два бесконечно малых неколлинеарных вектора, проходящих через точку Р, для которых удовлетворяется условие косинусов. Тогда разности

n /s / l /1 — n s l i = Н 1 , n s \'2 — ns\2 = Н2 (162 .1)


не зависят от направления луча, соединяющего Р с Р ' . Но они, конечно, могут зависеть от направлений векторов li и 12. Произвольный вектор 1, проходящий через точку Р и лежащий в плоскости предмета, можно разложить по векторам li и 12: 1 = ali + 612, где а и Ь, разумеется, не зависят от s. Введем вектор Y = а\[ + 6 I2 , умножим (162.1) на а и Ъ и сложим. Получим

n s Y - nsl = Я , (162.2)

где Н = аН\ + ЬН2. Отсюда видно, что разность (162.2) не зависит от s, т. е. условие косинусов выполнено для произвольного вектора 1, проходящего через точку Р и лежащего в плоскости предмета. Следовательно, этот (плоский) предмет изображается оптической системой стигматически.

163. Р еше ние . Направления отрезков li и 12 примем за координатные оси X и Y в пространстве предметов, а точку их пересечения — за начало координат. Аналогичную роль будут играть сопряженные отрезки 1 и I2 в пространстве изображений. Тогда координаты х, у любой точки площадки- объекта будут связаны с координатами х ' , у' сопряженной точки площадки- изображения формулами вида

х = А х , у = B y , (163.1)

где А и В — постоянные. Действительно, поскольку площадки бесконечно малы, координаты х \ у ' должны выражаться линейно через х и у. Эта связь должна быть вида (163.1), так как ось X ' является изображением оси X , а ось Y ' — изображением оси Y.

По условию теоремы лучи, выходящие из Р (рис. 97) в направлениях Т и 12, лежат в поле инструмента. В пространстве изображений они пройдут

Рис. 97

в направлениях сопряженных отрезков \[ и I2 . Рассмотрим сначала изображение отрезка 1ь Возьмем два луча, исходящих из Р в направлениях 12 и 1ь На основании теоремы косинусов можно написать

nl\ cos a — nl[ cos с/ = nl\ — n l [ , (163.2)

где a — угол между отрезками li и 12, а а' — угол между сопряженными отрезками \[ и I2 . Аналогично, рассматривая изображение отрезка 12, получим

nl2 cos а — n l 2 cos а = nl2 — n l 2. (163.3)

Допустим, что 1\ = 12. Докажем, что тогда 1[ = 1'2. В самом деле, вычитание (163.3) из (163.2) дает

n l [ { \ — COS с /) = 71^2 (1 — c o s e /) . (163 .4)


Так как, по предположению, угол а отличен от нуля, то угол а ' также отличен от нуля. Поэтому на основании (163.4) l[ = 12, что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что отрезки li и \2 изображаются оптической системой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рассматриваемом случае в формулах (163.1) А = В, поэтому увеличение любого отрезка в плоскости предмета не зависит от его направления. Отсюда следует, что изображение происходит с сохранением подобия. Но изображение с сохранением подобия характеризуется также сохранением углов. Таким образом, а = с/, и формула (163.2) дает nl\ = п'1[. Вообще для всякого отрезка I, лежащего в плоскости предмета,

nl = nY , I'/I = п /п , (163.5)и вторая часть теоремы доказана.

Следовательно, стигматические изображения площадок, лежащих тангенциально в поле инструмента, могут происходить только с вполне определенным увеличением п/п '. В частности, когда показатели преломления пространств предметов и изображений одинаковы, это увеличение равно единице. Однако если площадки не лежат тангенциально в поле инструмента, то стигматическое изображение возможно и с другим увеличением. Примером может служить изображение площадки при преломлении на поверхности шара, когда изображаемая площадка перпендикулярна к оптической оси и проходит через одну из апланатических точек шара (см. задачу 82).

164. Сформулированная теорема является непосредственным следствием теоремы, доказанной в предыдущей задаче.

165. Теорема доказывается так же, как аналогичная теорема, сформулированная в задаче 162.

166. Р еше ние . В случае стигматического изображения элементов объема всегда существуют три отрезка li, \2у 1з, не находящихся в одной плоскости и лежащих тангенциально в поле инструмента. Повторяя рассуждения, проведенные применительно к изображениям элементов поверхности (см. задачу 163), приходим к заключению, что эти три отрезка изображаются с одним и тем же увеличением. Отсюда уже нетрудно получить сформулированную теорему совершенно так же, как было сделано в решении задачи 163.

167. Ре ше н и е . Пусть Р, Р' — пара сопряженных точек. Докажем теорему сначала для частного случая, когда другая пара сопряженных точек Q , Q' лежит на одном из лучей, соединяющих Р и Р ' , например на луче PQP' (рис. 98). Соединим Р с Р' произвольным лучом Р А Р ' .Так как Р, Р' — сопряженные точки, то (PAP') = (P Q P '). А так как P 'Q ', очевидно, является оптическим изображением PQ, то в силу теоремы, доказанной в предыдущей задаче, (P Q ) = (P'Q'). Комбинируя эти два равенства, получим (PAP') = (QP'Q'), что и требовалось доказать.

Общий случай может быть сведен к рассмотренному частному случаю, если заметить, что произвольные точки Р и Q могут быть всегда соединены кусочно гладкой кривой, отдельные звенья которой являются лучами. Последнее утверждение непосредственно следует из леммы Гейне-Бореля, если принять во внимание, что каждой точке пространства в абсолютном оптиче


ском инструменте соответствует конус лучей конечного раствора, сходящихся в сопряженной точке.

168. Р е ше н ие . Проведем через произвольную точку О пространства предметов три луча, лежащих в поле инструмента и не находящихся в одной плоскости. В пространстве изображений эти три луча пересекутся в сопряженной точке О ' . Примем эти лучи за координатные оси в пространствах предметов и изображений. Тогда координатные оси одной координатной системы будут изображаться координатными осями другой координатной системы. Без ущерба для общности можно принять, что одноименные оси являются сопряженными. В таком случае при надлежащем выборе положительных направлений координатных осей координаты сопряженных точек будут связаны соотношениями

/ пX = — х. п'

/ пУ = ^ v ,

I пz = — Z

TV

(см. решения задач 163 и 166). При постоянных п и п' эти соотношения должны быть справедливы не только для бесконечно малых областей, но и для всего пространства предметов и всего пространства изображений. Отсюда заключаем, что инструмент является телескопической системой, в которой всякая прямая изображается в виде прямой.

169. Р еше ние . Рассмотрим случай одной преломляющей поверхности. Если точка-объект помещена на этой поверхности, то ее изображение получится в той же точке. Отсюда и на основании теоремы, доказанной в задаче 160, заключаем, что оптическая длина луча соединяющего любые сопряженные точки Р и Р ' , должна быть равна нулю (следовательно, если Р — действительная светящаяся точка, то ее изображение будет мнимым). Единственный случай, когда это условие удовлетворяется при любом положении точки Р, реализуется при отражении от плоского зеркала.

Случай нескольких преломляющих поверхностей, а также их комбинаций с отражающими поверхностями сводится к разобранному случаю одной преломляющей поверхности.

170. См доказательство предыдущей теоремы.

§2 . Фотометрия

171. h = у/2 /2 м.172. Точная величина освещенности Е = —---- - , где / — сила света

Rl + dr jдиска, a d — расстояние от диска. При d = 10R Е = .

173. 1в = / 0/ cos3 в, где в — угол между лучом и вертикалью.174. Яркость поверхности шара всюду одинакова, за исключением того

места, на которое падает параллельный пучок лучей.175. Яркость изображения приблизительно пропорциональна отношению

площади отверстия зеркала к фокусному расстоянию.176. Р е шение . Пусть S — видимая площадь фонаря, В — его поверх

ностная яркость, а г — расстояние фонаря от глаза наблюдателя. Световой поток, посылаемый фонарем в глаз наблюдателя, определяется выражением

Ф = BScrг 2 5

§ 2 . Фотометрия 153

где сг — площадь зрачка глаза. Если S' — площадь изображения на сетчатке, то освещенность сетчатки Е будет равна

я * в ' 4 .S' S'

Отношение S ' / S представляет собой квадрат увеличения, даваемого глазом, и равно (d /n r )2, где d — глубина глаза, а п — показатель преломления стекловидного тела глаза. Таким образом,

/717* у

W )Е = ВЕ; Е -) = В d2т. е. освещенность сетчатки не зависит от расстояния до фонаря (см. решение задачи 183). О поверхностной яркости фонаря мы судим по освещенности сетчатки. Поскольку последняя не зависит от расстояния до фонаря, одинаковые фонари, находящиеся на разных расстояниях от глаза, должны казаться одинаково яркими. Это заключение справедливо, если можно пренебречь поглощением света в воздухе, что и было сделано при выводе. При наличии поглощения фонарь кажется тем ярче, чем ближе он находится.

При достаточно большом удалении фонаря величина изображения фонаря на сетчатке благодаря дифракции не зависит от расстояния до него и освещенность сетчатки (если пренебречь поглощением) изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния до фонаря.

178. Е = ттВ.179. Е = ттВ.180. ql\ = arctg(/c2//ci); «2 = arctg^i/fo)-

181. В = ^ { ^ ) Е = 1,5 • 109 кд/м2.182. Е = ттВ/к = 11 • 104 лк.183. Е = ЕоЕ Е = 2,58 • 108 лк.4 f zaz

7184. Освещенность уменьшится в 1- раза. 185 186 187 188 189 190 191 192

185. Приблизительно в ( 1 — -------п = 3,4 раза.V D J п — у п 2 — 1

186. В = В' (см. решение задачи 192).187. Яркость изображения в первом случае не зависит от диаметра линзы,

а во втором пропорциональна квадрату диаметра (для параксиальных лучей).188. 1) 1; 2) 1; 3) 0,25. Вообще яркость В = 1 при N < D/d и В = ^

при N ^ D/d , где N — увеличение трубы, D — диаметр объектива, a d — диаметр зрачка глаза.

189. D = 100мм.190. 1) Четырнадцатая; 2) шестидесятикратное; 3) девятая-десятая.191. Двадцатой.192. Р е ш е н и е. Рассмотрим произвольную оптическую систему, крайним

элементом которой является глаз. Пусть эта система удовлетворяет условию синусов

n y s m u = п у sin?/, (192.1)где у и у' — линейные размеры объекта и его изображения на сетчатке глаза, п и п — показатели преломления пространства предметов и стекловидного


тела глаза (на рис. 99 глаз и изображение на сетчатке не показаны). Условие (192.1) должно выполняться для любого угла наклона и, но в дальнейшем под

tdf

Рис. 99

и мы будем понимать угол, образуемый с оптической осью крайними лучами, которые еще могут пройти через оптическую систему и попасть на сетчатку глаза.

Если яркость объекта В постоянна, то световой поток, попадающий в систему, будет

и

Ф = BS cos в • 27г sin 0 dO = ttBS sin2 и , о

где S — площадь объекта. Световой поток, попадающий в глаз:

Ф; = В' S' cos 0 • 27г sin 9 dO = тгВ' S' sin2 и ,

где В' — яркость изображения, a S' — его площадь. Если пренебречь потерями света при прохождении через систему, то Ф = Ф/ Так как S ~ у2, S' ~ у '2, то отсюда и из (191.1) получаем

4 = 4 ( 192-2)п1 п'1Субъективная или зрительная оценка яркости определяется освещенностью сетчатки: /

Е = %- = 7vBf sin2 и = 7тВ1— sin2?/. (192.3)S' nz

Определим ширину пучка d! , вышедшего из О под углом и, непосредственно за окуляром. (Обычно изображение у2 получается в переднем фокусе окуляра, так что за окуляром пучок световых лучей параллелен.) Так как угол щ всегда мал, то

7/ _ _ 2an sin иd = Zau2 = 2а sm и2 = ---------- у,

У2где а — расстояние от точки 0 2 до передней главной плоскости окуляра, причем мы воспользовались условием синусов для точек О и 0 2. Введем увеличение микроскопа N, равное по определению отношению угла а', под которым предмет виден в микроскоп, к углу а , под которым он был бы виден невооруженным глазом, если бы был помещен на наименьшем расстоянии ясного зрения L. (Для среднего глаза L « 25 см.) Считая эти углы малыми, можем написать

Л _ У V

/ У 2а = —, а

§ 2 . Фотометрия 155

откуда

Следовательно,

у _ a L _ 1 L У2 а' а N а

в! = 2Ln sin и N

(192.4)

Следует различать три случая.Случай 1. Максимальное ограничение светового пучка производит зрачок

глаза: d! равно диаметру зрачка d, однако угол и меньше предельного угла ^макс, допускаемого апертурой микроскопа. В этом случае угол и' определяется только диаметром зрачка и не зависит от увеличения. Согласно (192.3) не зависит от увеличения освещенность сетчатки Е, а с ней и зрительная оценка яркости. Рассматриваемый случай соответствует относительно малому увеличению. Такое увеличение невыгодно, поскольку при нем используется не вся апертура объектива микроскопа. Примером разобранного случая является невооруженный глаз. Здесь зрительная оценка яркости не зависит от расстояния: предметы с одинаковой поверхностной яркостью, помещенные на различных расстояниях, воспринимаются глазом также, как одинаково яркие.

Случай 2. Зрачок глаза и оправа объектива одинаково ограничивают световые пучки: d' = d, и = гамаке- Согласно (192.4) увеличение в этом случае равно

AT AT 2Ln sin Пмакс / 1 ПОN = Жнорм = -------~------- (192.5)

и называется нормальным увеличением. Применение больших увеличений не может повести к увеличению разрешающей способности оптической системы микроскоп-глаз 1). Полагая d = 2 мм и L = 25 см, получаем

-Унорм — 250n sin гамаке- (192.6)

Случай 3. Максимальное ограничение световых пучков производит оправа объектива: d' < d. Угол и' (пропорциональный d') уменьшается в отношении d /d '. В этом же отношении согласно (192.4) увеличивается N. Для освещенности сетчатки (192.3) дает

Е = Е норм( ^ у , (192.7)

где £ НОрм — освещенность при нормальном или меньшем увеличении.Таким образом, если N < N HOpM, то освещенность сетчатки не зависит от

увеличения; если же N > N H0рм, то она обратно пропорциональна квадрату увеличения.

Освещенность равна: 1) 0,16; 2) 0,0625.194. 0,13%.195. Около 2%. _196. 0 = 5,8 • 1СГ4 СГСЭ; Е_х 0,024 СГСЭ = 7,2 В/см.197. Н 2 = 5,8 • 10" 4 СГСМ; Н и 0,024 Э.198. Н « 0,85 Э. *)

*) См. Г. С. Ландсберг. Оптика. Изд. 6 -е, §96, 97. — М.: Физматлит, 2003.


199. Ф = <p(t - — = p[t -

§ 3 . Интерференция света■ Py + JZ~У Для монохроматической вол

ны Ф = Ф о cos(icit — kr + 5), где k = — n — волновой вектор.

200. 1) Ф = ^ ~ Д/с); 2) Ф = Д ~ г/с).R у/г

202 . Когда плоскости колебаний обеих волн взаимно перпендикулярны.Решение. Рассмотрим сложение колебаний, соответствующих обеим

волнам, в некоторой точке пространства. Пусть первое колебание происходит по закону Ei = Ai cos out, а второе — по закону Е2 = A 2 cos(out + S). Результирующее колебание будет определяться выражением

Е = Ei + Е2 = Ai cos сot + А2 cos(icd + 5),

откуда

Е2 = А\ cos2 оot + А2 cos2 (сot + S) + 2 Ai А2 cos out cos (out + S).

Чтобы получить интенсивность /, надо усреднить это выражение по времени.Это дает _____________

I = /2A i -р /2А2 -р 2(AiA 2)cosoutcos out 5),где черта означает усреднение по времени. По условию задачи последний член должен обращаться в нуль, каков бы ни был угол 5. Это возможно только тогда, когда Ai А2 = 0, т. е. колебания должны быть взаимно перпендикулярны.

203 . Р ешение. Возможные комбинации направлений складываемых колебаний представлены на рис. 100. Вероятность каждой комбинации равна 1/8.

0 0 0 0 0 7i 71 0 0 0 71 о

т у т ♦ Т У Т У7 1 7 1 7 1 71 71 0 0 71 71 71 0 71

Рис. 100Амплитуды результирующих колебаний в первой и пятой комбинациях равны 3Ао, а во всех остальных До- Соответствующие интенсивности будут 9/о и /о, где До и А) — амплитуда и интенсивность одного колебания. Для средней интенсивности при сложении всех трех колебаний получим

7 = (2-1-9 + 6 - ^ -1)70 = 3/0.

204 . Р ешение. Интерферирующие волны можно записать в виде

Ф1 = Фо cos(out - kir + 5\), Ф2 = Фоcos(out - k2r + 52).

§ 3 . Интерференция света 157

ОтсюдаФ = Ф1 + Ф2 = 2Фо cos г + ^ 1 2 cos(ut — кг),

где Ак = ki — к2, к = (ki + к2)/2. Максимумы интенсивности получаются там, где выражение

/ Ak ф — ф> \ cos Ф = cos г Н----- -— J

обращается в максимум. Так как к\ = /с2 и угол р между векторами ki и к2 мал, то приближенно можно написать

\Ак\ , 2тгкр = у р,

откуда для Аж следует приведенное в условии задачи выражение.205 . Примем за ось X линию пересечения плоскости падения с плоскостью

экрана. Тогда

Л 2где в — угол падения. При смещении вдоль оси X на ширину полосы Аж величина Ф должна меняться на 7г, что дает

Аж =р cos в

206 . Л = xd/a = 5 • 1(Г5см = 5000 А.207 . па = п + NX/1 = 1,000865. Полосы интерференции смещаются в сто

рону трубки.208 . а ;

209 . ж ?

А (а + г) г2гДж

пХ(а + г): 9'10".

210 . / = /о cos'2 га

2 27TXTOL2 , 8 мм, где п — номер полосы.

А (а + г)'211 . Поверхности равной интенсивности: 1) гиперболоиды вращения; 2) ги

перболические цилиндры.212 . ж = тХ- а + ^

213 . Аж =

2а(п — 1)скЛ дг 4L(n — 1)2о 2= 0,5 мм; N = — -— ---- = ю.2(га — 1)ск " ’ А

214 . Максимальное число полос N = 1(п — 1)а/А = 40 получится при удалении экрана на L == —-------— = 2 0 м от бипризмы.4(га - 1)оПолосы исчезнут, если удалить экран от бипризмы не менее чем на 2L = 40 м. о

215 аг_ 4аЬ ( п ~ 1)2а2 а + b X

216 . Р е ш е н и е. Пока источник S находился на оси системы, центр интерференционной картины получался в точке О (рис. 101). Сместим источник Рис. 101


вверх на h в положение S ' , а затем вообразим, что от бипризмы отрезана часть ACD E. Эта часть действует как плоскопараллельная пластинка толщины d = = 2ha, смещающая картину вниз на N = d(n — 1)/Л полос. Центр картиныиз О' переместится вниз на расстояние х' = N А х , где А х = а

ширина полосы. Смещение из О' будет х' = NX

2 (га — 1)ск а + Ъ _ d(a + Ъ) Под-

2 (гг — 1)ск а 2 ааставляя значение а, получим х' = h + hb/a. Смещение из прежнего центра О будет х = х' - h = /гб/а.

217 . 1) Ширина полос уменьшится в а/(а — 4 /) = 2 раза. 2) Ширина полос уменьшится в а / f = 8 раз.

218 . d = т + \. ... , где т = 0, 1 , 2,(п - 1)

21 9 . I = '/Щ .220 . Нет. Световые пучки, идущие от обеих половин билинзы, не перекры

ваются.221 . а = / X/ Ах = 0 ,6 мм.222 . Интерференционные полосы исчезнут, если удалить экран от билинзы

на расстояние не менее L = D f / a = 50 м. Максимальное число полос N = = D /(2A x) = 60 получается при удалении экрана от билинзы на 1/2Ь = 25 м.

223 . На пути луча S C M надо поместить более тонкую пластинку из того же материала, что и Р. Опыт показывает, что ахроматическая полоса в этом случае по-прежнему остается темной.

224 . 1) Пусть источником света служат две одинаковые некогерентные светящиеся точки S \ и S2 (или светящиеся линии, параллельные прямой, вдоль которой пересекаются плоскости зеркал Френеля), отстоящие друг от друга

на расстояние I. Их мнимые изображения S[ I I и S'2 и S" расположены так, как указано

на рис. 102. Интерференционная картина на экране АВ от пары мнимых источников S[ и S" будет смещена относительно интерференционной картины от другой пары источников S'2 и S'2' на расстояние 0 \ 0 2, равное I. Если I = 1/2Х/р, где (р — угловое расстояние между источниками, то максимумы одной интерференционной картины наложатся на минимумы другой, и интерференционные полосы пропадут. Если источником служит светящаяся полоска ширины Z, параллельная линии пересечения зеркал, то ее можно мысленно

рис jq2 разбить на пары светящихся линий, расстояние между которыми равно 1/2. В этом случае

можно применить рассуждение, приведенное выше, заменив I на 1/2. Полосы пропадут, когда I = Х/р. Если источник имеет неправильную форму, то для получения резких интерференционных полос его поперечные размеры в направлении, параллельном линии, соединяющей соответственные изображения в зеркалах Френеля, должны быть малы по сравнению с Х/р.

2) Размер источника в направлении, перпендикулярном к плоскости зеркала, должен быть мал по сравнению с расстоянием источника до зеркала.


225 . Первое исчезновение полос будет при ширине щели

\ x - f ( L - f ) x - L f

а х хЬ - 3 /

6 аА = 0,58 мм.

226 . D < Х/а ж 0,05 мм.227 . I > f D a / X « 100 см.228 . Пучность: А/4 = 1,25 • 10_5 см; узел: А/2 = 2,5 • 10_5 см.229 . В первом.230 . Так, чтобы линза давала на экране изображение пленки.231 . Р е ш е н и е. Если бы пластинка была абсолютно прозрачна, а свет

строго монохроматичен, то интенсивность отраженного света весьма резко менялась бы при изменении толщины пластинки на величину порядка длины световой волны. Она определялась бы разностью хода между волнами, отразившимися от верхней и нижней поверхностей пластинки. Значит, в случае строгой монохроматичности света и абсолютной прозрачности пластинки при беспредельном увеличении толщины последней интенсивность отраженного света действительно периодически изменялась бы с толщиной. Однако в природе не существует ни абсолютно прозрачных сред, ни строго монохроматических волн.

Если среда обладает поглощением, хотя бы и очень малым, то волна, вступившая в пластинку, при достаточно большой толщине последней не достигает нижней поверхности пластинки, а поглотится в ней. В этом случае интенсивность отраженной от пластинки волны будет определяться формулами Френеля.

Для прозрачной пластинки парадокс устраняется, если принять во внимание, что свет, падающий на пластинку, не строго монохроматичен. Действительно, чтобы наблюдалась интерференция между волнами, отразившимися от передней и задней поверхностей пластинки, необходимо, чтобы спектральная область АА, занимаемая падающим светом, не превосходила величины 5X = = X / N , где N — порядок интерференции. При увеличении толщины пластинки порядок интерференции N растет, а 5X уменьшается. Значит, поскольку АА конечно, при достаточно большой толщине пластинки интерференция волн, отразившихся от верхней и нижней поверхностей пластинки, не будет наблюдаться. Поэтому при дальнейшем увеличении толщины пластинки интенсивность волны, отраженной от пластинки, не будет изменяться, хотя она и не будет определяться формулами Френеля, поскольку световые волны внутри пластинки претерпевают многократные отражения от ее поверхностей.

В нашем рассуждении молчаливо предполагалось, что падающая волна является плоской в строгом смысле этого слова. Нетрудно показать, что парадокс исчезнет, если отказаться даже только от одного этого предположения и принять строгую монохроматичность света и абсолютную прозрачность материала пластинки.

232 . Темной.Р е ш е н и е . Разность хода между лучом, отразившимся от нижней по

верхности пленки, и лучом, отразившимся от ее верхней поверхности, равна 2dncosil) ± А/2. Слагаемое А/2 учитывает «потерю полуволны», т. е. поворот фазы на 7г при отражении от границы пленка-воздух. Первый член достигает максимума 2dn при нормальном падении (ф = 0). Полагая d = УюА и п = = 1,3, получим для разности хода при нормальном падении (0,26 ± 1/2)А. Это соответствует разности фаз приблизительно (90 ±180°). Если дальше


уменьшать толщину пленки, то разность фаз будет стремиться к ±180°, и рассматриваемые лучи, интерферируя между собой, почти целиком погасят друг друга.

233 . Приблизительно при d < А/4п = 10 5 см.234 . Чтобы пленка приобрела зеленоватый цвет, необходимо, очевидно,

ослабить синие и красные лучи с длинами волн примерно 0,4 и 0,6 мкм (в воздухе). Этому соответствует толщина пленки около 0,00050 мм.

235 . 1) Аж = Х/2а = 0,94 мм.2) Р е ш е н и е . Допустим сначала, что линия ртути — двойная с двумя

длинами волн Ai = А и А2 = А + АА. Пусть на отрезке ж от вершины клина укладывается N интерференционных полос с длиной волны Ai и N — 1/2 полос с длиной волны А2, т. е. N Х\ = (N — 1/2) А2. Тогда на конце этого отрезка интерференционные максимумы от длины волны Ai наложатся на интерференционные минимумы от длины волны А2 и интерференционные полосы пропадут. Число N и будет искомым числом полос. Оно равно N = (А2/2)/(А 2 — Ai), или, пренебрегая квадратами АА, N = (А/2)/АА. Допустим теперь, что интервал между Ai и А2 непрерывно и равномерно заполнен длинами волн. Тогда всю спектральную линию можно считать состоящей из двух линий ширины АА/2 каждая с расстоянием между ними АА/2. К этим двум линиям применимы предыдущие рассуждения. Поэтому число полос N найдется из предыдущего результата заменой АА —» АА/2, что дает N = А/АА. Таким образом, считая линию ртути сплошной, находим N « А/АА « 54 600.

3) ж = N Аж « 51,3 м; h = А2/2АА « 14,9см.4) 5р « Л/ ( А Х / Х ) а « 0,25'.

236 . а = ------ Л и 12".2Ахл/п2 — sin2 if

237. а = А2пАх

>//

238. N t239. N t

240. Е

(.L / d f = 2500, АА/А ; (■n L / d f и 5600.

1/N = 4 ■ 10“

■ 470 sin: 2тгха , где ж — расстояние от ребра клина.241. При отражении света на границе стекло-воздух электрический вектор

не испытывает изменения фазы, а при отражении на границе воздух-стекло меняет фазу на 180°.

242. Р е ше н и е . Каково бы ни было расположение линз, свет либо теряет полволны при отражении на обеих границах раздела масла с поверхностями линз, либо совсем не теряет. Поэтому разность хода между лучами, отразившимися от поверхностей линз в месте их соприкосновения, равна нулю. Эти лучи при интерференции усиливают друг друга. Поэтому центр колец в отраженном свете светлый, а в проходящем — темный.

243. В обоих случаях будут наблюдаться две системы полуколец, примыкающих друг к другу. В одной системе центр темный, в другой — светлый. Картина в проходящем свете будет дополнительной по отношению к картине в отраженном свете. (Ср. с решением предыдущей задачи.)

244. А I = 0,32 мм.245. / = 137 см.246. R = 1 м; Акр = 0,7 мкм.

247. / = r i + ^(п — 1)тА = 54 см.


248 . г = д /RX/n = 0,63 мм.

249- ° уЦ Г А Д250. rm = [ j щ ^ Г Щ ; ■251 . Р еше ние . Каждое кольцо Ньютона можно определить как линию,

вдоль которой разность хода между интерферирующими лучами постоянна. Легко видеть, что при удаления линзы от пластинки «кольца постоянной разности хода» будут сжиматься к центру картины, а при приближении — расширяться от центра. Центр картины попеременно будет темным и светлым.

252 . Р е ше н ие . Двум длинам волн соответствуют две системы колец Ньютона с незначительно отличающимися размерами. Если линза соприкасается с поверхностью пластинки, то в центре картины светлые (темные) кольца одной системы практически совпадают со светлыми (темными) кольцами другой системы. Поэтому вблизи центра кольца видны почти так же резко, как при монохроматическом свете. Но при некотором удалении от центра светлое кольцо одной системы может совпасть по положению с темным кольцом другой системы. В соответствующем месте кольца Ньютона не будут видны, а в окрестности этого места они будут видны не резко.

Определим номер N светлого кольца для длины волны А2 , которое совпадает по положению с (N + 1)-м темным кольцом для длины волны Аь Первому темному кольцу (точнее, центральному темному пятну) для длины волны Ai соответствует разность хода Ai/2, второму темному кольцу — разность хода Ai + Ai/2 и т. д., наконец, (N + 1)-му темному кольцу — разность хода N Х\ + + Ai/2. Та же разность хода N Х\ + Ai/2, очевидно, должна равняться N Х2у так как должно происходить наложение TV-го светлого кольца для длины волны А2 на (TV + 1)-е темное кольцо для длины волны Аь Итак,

iVAI + | = iVA2> откуда N = ^ * 490.

Отсюда следует, что кольца пропадут в окрестности четыреста девяностого кольца. Легко видеть, что они опять будут резкими в окрестности 2 • 490 = = 980-го кольца. При удалении линзы от пластинки кольца стягиваются к центру (см. решение предыдущей задачи). Если линзу переместить на 490Ац то через поле зрения пройдет 490 колец, и в центре картины кольца исчезнут. При перемещении линзы на 2 • 490Ai = 980Ai, кольца в центре снова будут резкими; при перемещении на 3 • 490Ai = 1470Ai — опять пропадут и т. д.

25 3 . ДА/А = 1/980; ДА = 6 , 0 2 А.254 . Кольца равного наклона с центром F. При наклоне пластинки кольца

становятся эллиптическими. П,ентр картины в точке схождения параллельных лучей, падающих на пластинку нормально. При наклоне пластинки на угол а центр картины смещается на х = f i g а « f a « 5,3 см.

255 . Р еше ние . Разность хода между лучами, отразившимися от передней и задней поверхностей пластинки, равна 2dncosф + А/2. Так как центр колец темный, то эта величина должна содержать нечетное число полуволн. Первому темному кольцу соответствует такое приращение угла преломления ф, что разность хода уменьшается на А. Это дает 2dn(\ — cosф) = А, или Adn sin2 (ф/2) = А. Для малых углов d n ф 2 = А. Малые углы падения и преломления связаны соотношением р = пф. Таким образом, р 2 = пХ/d. Для 6



радиуса первого темного кольца получаем г = f p = f ^ n X / d = 9,5 мм. Величина АЛ находится обычным способом по порядку интерференции, который равен 2dn/X. Это дает АЛ = Л2/(2 dn) = 0,75 А.

256 . Р е шение . Максимальный угол падения (рмакс = D /6 f . Поэтому из

результатов решения предыдущей задачи получаем N = d D 2= 2 .

36 n f 2 X

257 . dMHH = 36n f 2X /D 2 = 0,81 мм.258 . Амплитуда излучателя 3 должна быть в л/ 2 раз больше амплитуд

излучателей 1 и 2. Минимумы нулевой интенсивности направлены под угламив = ±60° к линии источников 123.

259 . Амплитуда излучателя 3 должна быть такой же, что и амплитуды излучателей 1 и 2. Минимумы нулевой интенсивности направлены под теми же углами, что и в предыдущей задаче.

260 . Условие максимумов:А т т Ь cos в + 7г = 2 ш7г, или AhcosO = (2m — 1)Л;

условие минимумов:

2hcos0 = гпХ,

Рис. 103 гДе m — целое число, а 0 — угол между нормальюк идеально отражающей плоскости и направлением из

лучения (рис. 103). Угол 0 может меняться в пределах от —тг/2 до + 7г /2 .h = У4Л. Максимум: в = 0°; минимумы: в = ±90°.h = У2Л. Максимумы: в = ±60°; минимумы: 0 = 0°, ±90°.h = 3/4Л. Максимумы: в = 0°, ±70,5°; минимумы: в = ±48,3°, ±90°.h = Л. Максимумы: 0 = ±41,5°, ±75,5°; минимумы: 0 = 0°, ±60°, ±90°.

261 . Р е ше н ие . Обозначим через V скорость электрона относительно среды, а через v — фазовую скорость света в среде. Движущийся электрон своим полем возмущает молекулы или атомы среды, благодаря чему они становятся источниками световых волн. Пусть А и В — произвольные точки среды на пути движения электрона, а Р — достаточно удаленная точка наблюдения (рис. 104). Пусть в момент времени t = 0 световая волна, возбужденная электроном, вышла из А. В точку наблюдения Р она придет в момент времени t\ = АР/у. Такая же волна выйдет из В позднее на время AB/V. В точку наблюдения Р она придет в момент t 2 = AB/V + ВР/v. Разность времен, таким образом, равна

АВ А Р - В Р12 — t\ — — -------------------- .

V v

Для достаточно удаленной точки Р можно положить АР — ВР = АВ cos 0.

Итак,

*2 “ *| = Ч ^ ( г “ С08УЕсли v/V — cos 0 ф 0, то каждой точке А можно привести в соответствие такую

А В V

§ А. Дифракция света 163

точку В , что волны, вышедшие из А и В, придут в Р в противоположных фазах и погасят друг друга. Если же

cos 0 = —, (2 6 1 . 1)

то при любом положении точек А и В волны, вышедшие из них, придут в Р одновременно и будут усиливать друг друга. Следовательно, в направлении, определяемом условием (261.1), электрон будет излучать. Излучение возможно лишь при V >> v, т. е. когда скорость электрона превосходит фазовую скорость света в среде.

262. Черенковское излучение происходит под углом 0 к направлению полета частицы, который определяется условием cos 6 = 1 /п(3, причем ф — скорость частицы. Для возможности излучения необходимо п(3 > 1. Чтобы излучение могло выйти из блока, на границе А В (рис. 105) не должно быть полного отражения, т. е. nsin 0 < 1, откуда (32(п2 — 1) < 1. Интервал регистрируемых скоростей определяется неравенством — < (З2 < —-----. Чтобы релятивистские частицы ((3 « 1) не реги-

п1 п1 — \стрировались, должно быть п > у /2 .

§ 4 . Дифракция света

263 . 1) гш « л/аЬт\/(а + Ь); 2) п = 0,15 см.264 . 1) гш ~ V bm X ; 2) п = 0,212 см.265 . гш ~ л/аЬт\/\а — Ь\ .266 . На расстоянии 1,2 м.267 . / = 90 см; п = 0,672 мм. Изображения, т. е. максимумы, расположен

ные на оси пластинки, отодвинутся от последней.268 . / « 4/ 0.269 . / « / 0.270 . / « / 0.

271 . у' = - у = 10,5 мм. Опыт был поставлен Полем с параметрами, указанными в задаче. Чтобы опыт удался, необходимо, чтобы глубина неровностейh удовлетворяла условию h < — ------ = 180А « 0,1 мм. Шар можно заменить

D а + о

диском при условии у < — J « 1 м. Соответствующий опыт был поставлен Ангерером. D у а + Ь

272 . h = 2у + 5//4 Л, где т = 0, 1, 2, ...2 (п — 1)273 . Р е ше ние . Если Е\, Е 2, Е% — поля, создаваемые в точке А по

следовательными полными зонами Френеля, то искомое поле Е в точке А представится рядом

Е = ~(Е\ + Е 2 + ... + Е п-\) + д-БД + (En +i + -Елг+ 2 + •••)•Z v > zчетное число

6:


При небольшом N первая скобка близка к нулю, а последняя — к Ем+ i/ 2, такчто - ip- b N+i

Е : Ем ■ > 0.В точке А будет минимум освещенности.

274 . При четном N в точке А будет минимум освещенности (Е = 0), при нечетном N — максимум, приблизительно такой же, как при одной открытой центральной зоне.

275 . Р е ш е н ие. Колебание, вызываемое всеми зонами Френеля, изображается вектором ОС (рис. 106), колебание от одной трети первой зоны —

вектором О А. Вектор А С представляет колебание, вызываемое волнами, отразившимися от внешней части экрана, расположенной за отверстием C D (см. рис. 33). Эти три вектора образуют равносторонний треугольник, если пренебречь уменьшением радиуса витка спирали на одном обороте. При смещении центрального круга к источнику на А /12 фаза отраженной им волны увеличится на 2 • 2тг/12 = тг/З, и колебание изобразится вектором, равным и противопо- ложно направленным вектору АС. Интенсивность всей отраженной волны в точке S обратится в нуль. При смещении круга C D в противоположную сторону фаза колебания О А уменьшится на тг/З и вектор О А повернется в положение ОС. Результирующее колебание найдется сложением векто

ров А С и ОС. Таким путем найдем, что амплитуда колебания в точке S увеличится в л/З раз, а интенсивность — в три раза.

27 6 . h = %А.277 . Энергия перераспределяется, причем в одних точках плоскости изоб

ражения плотность светового потока возрастает, а в других убывает. Весь поток через плоскость изображениявозрастает в 2 раза.

, \Центр ко-

Рис. 106

278 . г =га А

1 /а + 1/6 'лец темный, если m — четное число, и светлый, если m — нечетное число.

Р е ш е н и е . Освещенность в центре дифракционной картины можно найти, разбивая волновую поверхность А С В (рис. 107) на зоны Френеля. Если в ней уложится четное число зон Френеля, то в точке Р получится минимум освещенности;если нечетное — максимум. Построим сферу радиуса Р А с центром в точке Р. Число зон Френеля на волновой поверхности А С В , очевидно, равно длине C D , деленной на А/2. Отсюда легко получить результат, приведенный в ответе.

Рис. 107


279 . г = а -— ------ — . Центр колец темный, если т — четное число,V I1/ / - i / “ lи светлый, если т — нечетное число.

Ре ше н и е . Метод решения такой же, как и предыдущей задачи. Разница только в том, что теперь сферическая волна не расходится, как было раньше, а сходится в точке S (рис. 108). Зоны Френеля для точки Р строятся поэтому с вогнутой стороны сферической волновой поверхности. Число зон, укладывающихся в отверстии диафрагмы, будет равно длине CD, деленной на А/2.

280 . а = А / п 2 = 10м, b = В / п 2 == 20 м.

281 . Центр колец будет темный.Р е ш е н и е . Построение зон

Френеля для расходящейся сферической волновой поверхности (рис. 109) показывает, что при свободном распространении волны действие всей волны в точке Р равно половине действия центральной зоны и что вторичные источники Гюйгенса должны опережать по фазе световые колебания на волновой поверхности АС В на тг/2. Если бы это было не так, то мы получили бы неправильное значение фазы колебаний в точке Р. Допустим, например, что вторичные источники Гюйгенса на волновой поверхности совпадают по фазе со световыми колебаниями на ней. Пусть С\СС[' — центральная зона Френеля. Поскольку волны, идущие в Р из центра этой зоны, проходят меньшее расстояние, чем волны, идущие из ее краев, расчет по методу зон Френеля дал бы неправильное значение фазы колебаний в точке Р, а именно на тг/2 меньше истинного. Чтобы такую ошибку устранить, достаточно увеличить фазы вторичных источников на тг/2 по сравнению с фазой световых колебаний на волновой поверхности АСВ.

Рис. 109 Рис. 110

Построение зон Френеля, разумеется, сохраняет смысл и для сходящейся сферической волны (рис. 110). Понятно, что в этом случае фазы вторичных источников Гюйгенса также должны опережать фазы световых колебаний на сферической волновой поверхности на тг/2. Пока точка наблюдения лежит между серединой центральной френелевой зоны и центром S сферической


волновой поверхности, мы не получаем ничего существенно нового: колебания приходят в эту точку раньше от середины центральной зоны, чем от ее краев.

Дело меняется, когда точка наблюдения Р (рис. 110) отстоит от середины центральной зоны дальше центра S. Теперь колебания, приходящие в S от краев центральной зоны, будут опережать по фазе колебания, приходящие из ее середины, на iг, а результирующее колебание всей центральной зоны придет с опережением на тг/2. Если учесть еще опережение по фазе вторичных источников Гюйгенса, то мы придем к заключению, что при прохождении сферической волны через ее центр фаза колебаний как бы меняется скачком на 7г. Благодаря этому волновое поле нигде не обращается в бесконечность. Действительно, сходящаяся сферическая волна сначала стягивается в точку S, а затем становится расходящейся. Получается наложение двух сферических волн, из которых одна распространяется к центру, а другая от центра. Эти волны в центре S имеют противоположные фазы, благодаря чему там не получается бесконечно больших амплитуд колебаний, как это было бы при всяком ином соотношении фаз.

Все эти выводы, строго говоря, относятся к случаю свободного распространения сферических волн. Когда волна ограничена диафрагмой, они остаются также справедливыми, если только точка наблюдения Р находится не слишком близко от фокуса геометрического схождения лучей. В окрестности фокуса наблюдается сложное распределение амплитуд и фаз светового поля. Но если

исключить из рассмотрения эту окрестность, то окажется, что окончательный результат получится такой же, как если бы фаза волны при переходе через фокус увеличивалась скачком на iг.

Теперь решение задачи очевидно. Сферическая волна, идущая снизу (рис. 34), проходит через фокус S" прежде, чем она попадает на экран. Волна же, идущая сверху, попадает на экран, не проходя через свой фокус S' .

282 . Р е ше н и е . Если г — радиус отверстия, то разность хода между лучами, приходящими от его края и от центра, равна г2/2L, где L — расстояние от центра отверстия до точки наблюдения. Положим сначала г = г ь а затем г = = n (1 — а), где г\ — радиус центральной зоны Френеля. Тогда соответствующие разности фаз будут 7г и S = тг( 1 - а ) 2.

Как видно из векторной диаграммы (рис. 111), амплитуды колебаний Ао и А в рассматриваемых двух случаях связаны соотношением А = Aosin(5/2), а интенсивности — соотношением / == / 0 sin2 (5/2). При а = 1/3

/ = /о sin2 ^ « /о sin2 40° « 0,41/о.

283 . Р е ш е н и е . Как видно из рис. 112, S M 2 = (а - х )2 + г2ш. Извлекая квадратный корень и пренебрегая квадратом малого отрезка х, находим S M «« а + г2ш/2а — х. Аналогично, M S ' «~ Ъ + г2ш/ 2Ъ — х. Далее, х « г2ш/2Р. Радиус т -й зоны определится из условия Рис. 112

Рис. 111


\(SM + MS') — (SA + AS')\ = mX/2. Подставляя сюда вычисленные значения, получим

2 т\Гт = j l I 2 j ‘

\а + b ~ R\

Результат можно получить проще, если заметить, что в принятом приближении зоны Френеля можно строить не на поверхности зеркала, а на поверхности сходящейся волны, отразившейся от зеркала. Радиус кривизны

1 1 2этой поверхности а' найдется по формуле зеркала — |— - — — = 0. Дляa a' R

определения гш теперь достаточно заменить в ответе к задаче 278 величину а на а'.

284 . Р е ше ние . Разность хода {SMS') — (SAS') (рис. 112), возникающая при отражении лучей от соседних зон Френеля, равна нулю для изображения нулевого порядка и ±А/2 для изображений ±1-го порядков. При отражении от центральной и т -й зон она в т раз больше. Из этого условия получаем

Полагая здесь \т\ = 4, находим Ьо « 1,33 см, 6+ 1 = 80 см, Ъ-\ = 400 см.Г ТП X /? /------------------------------------ 1 1 / 2

28 5 . rm = [ ЛИЛ- (R + + (6l _ b2y )j и 0,7 см (т = 5).

28 6 . 1) Ьт = г2/тХ.

т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ьщ, СМ 200 100 66 50 40 33 29 25 22 20

2) См. рис. 113. 3) АЪ = 200 см.

Рис. 113

287- м = 5 е 5 м = 18с“288 . Р е ше ние . При свободном распространении волны интенсивность

( а \ света в точке А (рис. 114) представляется выражением / = /о ------ , гдеV а + о/

/о — интенсивность в центре О, а — расстояние от источника S до точки О, Ъ — расстояние от О до А. Наличие диафрагмы, как в этом легко убедиться


А

с помощью векторной диаграммы (рис. 111), приводит к появлению множителя 4 sin2(5/2), где 5 = 7rR2(\/a + 1/6) — разность фаз между осевыми и крайними

лучами, R — радиус диафрагмы. Таким образом, при наличии диафрагмы интенсивность в точке А будет / == 4/ 0 ( а J sin2 -. Приравнивая про-

V CL и / 2изводную этого выражения по 6 ну-

, 5лю, находим условие экстремума tg - = а 5= — - -. По условию задачи экстрему

му соответствует а = 6, т. е. tg(<5/ 2) = = —5/2. Решая это уравнение графически, находим 5/2 = 2,03. Искомое число зон Френеля будет т = 5/тг = 1,3.

289. Основной фокус есть точка, для которой зоны, начерченные на пластинке, совпадают с зонами Френеля.Если г — радиус первой зоны, начер

ченной на пластинке, то основной фокус определяется выражением /о = г2/А. Следующие фокусы получаются, когда в первой зоне, начерченной на пластинке, укладывается 3, 5, ..., 2/с + 1, ... зон Френеля, т. е. когда г2/ fk = = (2к + 1)А. Следовательно, fk = ±fo/(2k + 1), где к = 0, 1, 2, ... Знаку плюс соответствуют действительные, а ми-нусу — мнимые фокусы.

290. Фокусы пластинки различ- „ аЪных порядков: fk = 7— ,wrtI , i4, где

С

к = 0 , 1, 2 ,(а + 6) (2/с +1)

Положения всех изображений определяются формулой - +

1 _ 1 аh fk

291. Р е шеи не. Допустим сначала, что источник света S — точечный, а зонная пластинка CD наклонена к его оптической оси под углом7г/2 - а (рис. 115). Из рисунка видно х2 = а2 + R2 + 2aRsma. Извлекая квадратный корень и пренебрегая всеми степенями радиуса R, начиная с третьих, получим

R2 cos2 а

•D

Рис. 115

х = а + R sin а + 2 аАналогично,

у = 6 — R sin а + 26Отсюда для разности хода между лучами SCA и SO А находим


или А = До — 5А, где До — значение А при отсутствии наклона зонной пластинки, а — 5А — приращение величины А, обусловленное наклоном:

SA = До(1 — cos2 а) = До sin2 а « Доа2.

Если 5А < Л, то наклон пластинки не скажется существенно на работе зон, расположенных в пределах круга радиуса R. Если же 5А « Л/2, то все зоны, расположенные выше этого круга, становятся бесполезными и даже вредными. Из этого условия находится предельное значение разности хода До ~ А/(2а2). Соответствующее число зон Френеля будет N « До/(А/2) « 1/а2.

Допустим теперь, что фотографируемый предмет не точечный, причем его центр расположен на оси зонной пластинки. Для периферийных точек предмета, не лежащих на оси пластинки, последняя действует как наклонная под углом а. Поэтому предельное число зон Френеля, при котором должно получиться наиболее отчетливое изображение, будет N ~ 1/а2 ~ 400.

292. / = То{1 /4 + 2sin2(5/2)}, где /о — интенсивность света в отсутствие экрана, 5 = кг2/ЬХ — разность фаз между лучами, пришедшими в точку наблюдения от краев и центра углубления. Подставляя числовые значения, получим S = 7г / 2 , / = 5/ 4 / о . Интенсивность увеличится в 5 раз.

293. d 2 < Аг.294. р « у/А~/Ъ = 3,6 • 10-8 рад = 0,0075", h < VbX = 14 м. Угол р

получен в предположении, что можно измерить угловое расстояние между двумя точечными звездами, когда дифракционные картины от них сдвинуты друг относительно друга на величину порядка ширины полосы. Указанный предел может быть уменьшен приблизительно раз в десять.

295. а( cos а - cosao) = га А, где а — ширина щели, а — угол скольжения, соответствующий минимуму, a m — целое число (положительное или отрицательное).

296. Квадрат со стороной L = 3,5 см.297. Р ешение. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля напряженность

поля волны Е\, дифрагировавшей на первом экране, представляется некоторым интегралом по отверстиям этого экрана. Напряженность поля волны Е2, возникшей при дифракции на дополнительном экране, представляется таким же интегралом по отверстиям этого экрана. Сумма Е\ + Е2 представляется интегралом по всей бесконечной плоскости, в которой расположены рассматриваемые экраны. Но таким же интегралом представилось бы поле за экраном, если бы этого экрана совсем не было, т. е. волна распространялась свободно. Следовательно, Е\ + Е2 = Е , где Е — напряженность поля волны в отсутствие экрана, т. е. поля падающей волны. Но в падающей волне свет распространяется только в одном направлении. Для всех других направлений Е = О, а следовательно, Е\ + Е2 = 0, откуда Е\ = Е\, или 1\ = 12.

298. Р ешение. Рассмотрим щель той же ширины, что и черный экран. Если на щель и экран падает одна и та же плоская волна, то количество энергии, поглощенной экраном, будет равно количеству энергии, падающей на щель. Согласно принципу Бабине интенсивности света во всех направлениях, за исключением направления падающей волны, в обоих случаях одинаковы. Следовательно, одинаковы и энергии, рассеянные экраном и щелью. Но в случае щели вся энергия рассеивается. Значит, энергия, поглощенная экраном, равна энергии, рассеянной им.

299. d\n2 — п\ | = (ш + 1/2)A; m = 0, 1, 2, ...


300 . Нулевой максимум sin# = п sin а, минимумы6(sin# — n sin а) = тттА; т = ±1, ±2, ±3, ...

sin[(A^7r<i/A) sin#] 1 2 Г sin[(7r6/A) sin#]301 . 1 = с (301.1)

sin[(7r#/A) sin#] J [ (irb/X) sin# где С — постоянная, а в — угол между нормалью к решётке и заданным направлением, к которому относится интенсивность /.

Р е ш е н и е . Так как требуется рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера на решетке, то можно считать, что

экран, на котором наблюдается эта картина, отодвинут достаточно далеко. Лучи, приходящие из различных щелей решетки в любую точку экрана, можно считать параллельными. Выберем такую точку на экране, чтобы приходящие в нее лучи образовывали угол в с нормалью к решетке. Разность фаз между соседними интерферирующими лучами будет равна 5 = 27r<isin#/A. На векторной диаграмме колебание, приходящее в рассматриваемую точку от какой-либо щели решетки, можно изобразить вектором. Эти векторы образуют ломаную линию с равными звеньями и равными углами (рис. 116). Результирующее колебание изобразится геометрической суммой всех этих векторов. Сложение векторов на плоскости формально тождественно со сложением комплексных чисел. Если первый вектор изобразить

комплексным числом а, то последующие изобразятся комплексными числами и т. д. Их сумма равна

Рис. 116

aej5, ae2j5

А = а[ 1 + + e2jS + ... + е ^ - ' Д = а 1 - eim1 - ei6

Квадрат модуля комплексного числа А дает относительную интенсивность света в рассматриваемой точке экрана:

I = |А |2 = АА' , |2 1 - езт 1 - e~iNS _|а| 1 - ejS 1 _ e - j S

I ,2 2 - (eiNS + , |2 1 - cos(NS)= И 2 - ( е ^ + е - ^ ) = |а| 1 - с о в г '

Так как \а\2 определяет интенсивность дифрагированного света на одной щели, то по известной формуле

Н 2 = С sin [(7 r6 /A ) s in #] 1 2

(тгЬ/Х) s in # J

Подставляя это значение в предыдущее выражение, легко получить ответ. Постоянная С пропорциональна интенсивности падающего света и квадрату ширины щели Ь. Ни от каких других параметров решетки она не зависит.

302 . Р е шение . Представим формулу (301.1) в виде

т = СЪ2( ^ ) 2( ^ ) 2, (302.1)V а / V sinp /


где а = 7r&sin0/A, (3 = ndtsmO/X, а постоянная С от параметров решетки не зависит. Подставляя значение а, получим

где а ' = 7v(d — Ъ) sin0/A, так что а + а' = 7r<isin0/A = /3. Для главных максимумов dsmO = тХ, а + а' = тХ. Поэтому sin2 а = sin2 с/, и следовательно, 1'л = / гл. При т = О рассуждение неприменимо, так как в этом случае в знаменателе smO = 0. Допустим теперь, что О не есть угол на главный максимум. При больших значениях N главные максимумы очень резкие. Практически весь свет концентрируется в главных максимумах, занимающих очень узкие интервалы углов АО, стремящиеся к нулю при N —» оо. Практическое значение имеют только углы, удовлетворяющие условию dsmO = тХ , а также углы, отличающиеся от них ничтожно мало, а в этих случаях применимо доказательство, приведенное выше.

303 . b/d = 1/4 или b/d = 3/4 (см. предыдущую задачу).304 . Р е ш е и и е. Введем обозначения q = b/d, q{d — b)/d = 1 — q. Суммар

ный поток энергии прошедшего света, распределяющийся по всем максимумам, пропорционален q, интенсивность нулевого максимума пропорциональна q2, а потому

По теореме Бабине для дополнительных решеток / ДИф = / ' Иф. Кроме того, / прош = /о + /диф. Исключив из написанных соотношений /дИф и 1ф найдем /диф = (1 - д ) / Прош. Учитывая также, что / прош = <?ДаД, получим / диф =

305 . NdsinO = пХ, но dsmO ф kX, bsinO = тХ, где п, т, к — целые числа. Условие минимума — выполнение хотя бы одного из этих равенств.

306 . d(smO - sin^o) = п \ . Если d >> пХ , то условие максимума принимает вид dcos0o(0 — во) « пХ, т. е. постоянная решетки как бы уменьшилась по сравнению со случаем нормального падения и стала равной dcos во вместо d. При этом углы 0 — Оо, определяющие направления на максимумы, отсчитываются от направления падающего света (или отраженного в отражающей решетке).

30 7 . А = 0,573 А.308 . Если угол падения близок к тг/2, зеркальное отражение наблюдается

всегда. При малых углах падения зеркальное отражение может наблюдаться, если шероховатость поверхности <С А.

Р е ше н и е . Пусть падающие лучи образуют угол 0 с нормалью к плоскости, изображенной на рис. 117 штриховой линией. Рассмотрим интерференцию вторичных волн, исходящих от поверхности тела под углом 0' к нормали. Разность хода каких-либо двух лучей, идущих в рассматриваемом направлении, определяется выражением

Для дополнительной решетки

А = AD — В С = a(sin^/ — sin0) + h(cosO' + cos0).


Здесь а может принимать какие угодно значения. Поэтому если в' ф в, то разность хода А может принимать также какие угодно значения, и притом для неправильной поверхности тела эти значения будут встречаться одинаково

Рис. 117

часто. Это показывает, что правильное отражение, если таковое возможно, может происходить лишь под углом в' = в. В таком случае

А = 2hcos6.

Отсюда видно, что, каково бы ни было h, можно подобрать достаточно большой угол 0, для которого А < А. При этом условии отражение будет правильное. При нормальном падении А = 2h, и правильное отражение возможно лишь при соблюдении условия h <С А.

309. Не могут.310 . т = nd/b, где п = 1,2, 3, ...311 . Исчезнут: 1) спектры порядков 2, 4, 6 , ...; 2) спектры порядков 3, 6 ,

9, ...; 3) спектры порядков 4, 8 , 12, ...312 . Максимальный порядок равен наибольшему из целых чисел, не пре

восходящих d/X.313 . Л = 6481 А.314 . При нормальном падении Л макс = d. Период решетки должен быть не

менее 0,01см, т. е. решетка должна иметь не более 10 штрихов на 1мм. При скользящем падении на пропускающую решетку Л макс = 2d.

315 . Углы дифракции не меняются, интенсивности стремятся к нулю.316 . Углы дифракции не меняются, интенсивности стремятся к нулю.

2777, — 1317 . h = —— — -А, где т = 1, 2, 3, ... Интенсивность нулевого главного

2 (п — 1)максимума равна нулю.

318 . Главные максимумы системы из двух решеток будут на тех жеместах, что и у одной решетки, но интенсивность каждого главного максимума изменится в 4 cos2 cos Oj раз, где в — угол между нормалью к решеткеи направлением на главный максимум.

320 . Если угол между нормалью к ряду вибраторов и направлением на главный лепесток в = Ш + 5, то

Ар —— sin(Ot + 5) + 27гш, Л где т = 0, ±1, ±2, ...


321 . Р ешение. Условие максимума т-го порядка (рис. 118)

d(smO\ — sin 02) = гттА,

а максимума (т + 1)-го порядка

d(smO[ — sin 62) = (т + 1)Л.

При переходе от одного максимума к другому углы в\ и 62 получают приращения А 0\ и Д02, связанные соотношением

d(cos6 \A 6 \ — cos 62А 62) + А.

Кроме того, х\ = /м tg0i, Ж2 = /12 tg 2, причем х\ + лд = а = const. Из этого условия получается второе соотношение

Ыcos2 0\

Ав\ + h2cos2 62

ао2 = 0 .

Из этих двух соотношений находим AOi и А02, а после этого расстояние между максимумами:

Ах = Ах\ = А х2h\

cos2 9\АОх = - 2

cos2 62А02.

Вычисления можно упростить, заметив, что углы 0\ и в2 мало отличаются от угла падения во, соответствующего правильному отражению света от пластинки. Заменив эти углы на во, находим

д ж = h ' h2 Лh\ + h2 d cos3 во

При этом cos$o ~ h\/x\ « h2/ x 2 , или cos^o = (/м + h2)/(x\ + ж2) == (h\ -\- h2)/а = 1/10. Подстановка числовых значений дает Ах = 1 см.

322 . Р ешение. Не теряя общности, при расчетах можно считать решетку бесконечно тонкой. Если ось Z направить перпендикулярно к плоскости решетки в сторону распространения падающей волны, то эта = Еоег ~ кг\ Поле на входе Евх = Е^е

Рис. 118

юлна представится выражением Е = luJt. Поле на выходе

/ p ip x Л- p - г р х х .

£вь,х = DEBX = а р + q-----Y -----)E 0etwt.

Это соотношение должно рассматриваться как граничное условие, которому на поверхности решетки должна удовлетворять дифрагированная волна. В силу этого последнюю надо записать в виде

Е = аЕоеi{tot — k z ) + ДЕое i{tot — kx x — k z z ) + f32E0ei(ujt-\-kx x — kz z)

На поверхности решетки (z = 0) это выражение переходит в предыдущее, если положить Д = f32 = otqj2; kx = р. Если угол дифракции равен 6, то кх =


= к sin в , или к sin в = р. Введя длину волны Л = 2iх/к и период решетки d = 2iт/р, получим dsinO = А. Таким образом, весь спектр состоит только из главных максимумов нулевого, первого и минус первого порядков. Если d < А, то волны первых порядков за решеткой не пропадают, а становятся неоднородными. Они проникают лишь в тонкий слой вблизи решетки и экспоненциально затухают при удалении от нее.

323. 1) 8,1 угл. с/А; 2) 0,0197 мм/А; 3) 50,7 А/мм.324. Около 0,12 мм.

= 0,63 • 1 0 4 рад/см = 13 угл. с/А.325. D = 1 л ,_________d cos 0 d ^ \ - ( n X / d ) 2

326. 600 штрих/мм.327. А в = X

Nd cos в328. Аж = f X / l = 3,3 мкм.329. Около 1000.330. 12 000 и 48000.331. Нет.332. Разрешающая способность не изменится. Дисперсионная область

уменьшится вдвое.333. Максимальный порядок спектра равен целому числу, содержащемуся

в d / А, т. е. m = 3. В этом порядкеfm5X

4A = jA = °'04A- Аж = = 1 мм.V d2 — тп2Х2

334. ж < /А / (Nd) = 0,001 см.где £ — угол между выходящим лучом и по-335. тпХ = 2Н л/п2 — cos2 £

верхностью пластинки.(п2 — \) — Xndn/dX336. D = As АЛ = Х2у/п2 — 1

337. г = L V r ^ T / 2h = 17.2h[(n2 — 1) — Xndn/dX]'

47 200, максимальный338. Минимальный порядок m\ = 2hy/n2 — 1 /Л порядок т 2 = 2hn/X = 62 400.

339. ДА = 0,098 A; R = | [(п2 - 1) - \ n d n / d \ ] = 852000.о А А

340. А£ = XV п2 — 1_ _ . _ 2 he341. Разрешающая

5' ,4.способность не изменится, дисперсионная область

уменьшится вдвое.342. Разрешающая способность увеличится в два раза, дисперсионная

область не изменится.343. Пластинка с большим показателем преломления имеет большую раз

решающую способность, но меньшую дисперсионную область.А2344. L = = 2,5 см.

(гг2 — \)dX345. Будет наблюдаться система пятен, расположенных в узлах прямо

угольной сетки.Aifi = - -346. 2h cos р = шЛ,

dp _ rn dX 2h sin ip ’

347. АЛ = 0,125 A.

2 h sin p>Д А = A = *

m 2 h cos cp


348. 36 300.349. Р е ше н ие . Пусть R — коэффициент отражения света от каждой

посеребренной поверхности пластин интерферометра. (Последние для простоты на рис. 119 изображены математическими плоскостями.) Если Д — интенсивность падающего света, то интенсивности прошедших пучков /, 2, 3, ... будут

Ii = (1 - Д)2/0,h = R 2( l - R ) 2k ,h = R \ l - R ) 2k ,

а соответствующие амплитуды

Ai = (1 - R ) A q,A 2 = R ( \ - R ) A 0j 1 2 3 4 5 6 7

A3 = R2(l - R)A0, ..., Рис. 119

где Ao — амплитуда падающего света. Каждый пучок запаздывает по фазе относительно предыдущего пучка на А = 2hcos(p/X, где h — расстояние между отражающими плоскостями интерферометра, а р — угол падения. С учетом запаздывания амплитуда результирующего колебания прошедшей волны представится геометрической прогрессией:

Л = Ло(1 - r)[l + Re~iA + R 2e~2iA + ...] =

а интенсивность

J A2o ( l-R )2 = /о(1 - R ) 2(1 - Re~iA)( 1 - ReiA) (1 - R f + 4flsin2 (A /2)'

Когда Д = (2m + 1 )7г, это выражение минимально: Im„ = h { \ — ~5) , или j. V 1 + RJ

/мин ~ (1 — R)2 ~ 0, так как отражательная способность R близка к единице.Когда А = 2 ш7г, величина / достигает максимума: / макс = /о- Когда (1 — R)2 + + 4i?sin2 (A/2) = 2(1 — R)2, т. е. 4i?sin2 (A/2) = (1 — R)2, то максимальная интенсивность убывает вдвое. В максимуме А = 2 ш 7г; в точке, где / = Уг/макс, А = 2 ш7г + 6А, причем 4R 2 sin2 (5A/2) = (1 — R )2. Так как эта величина мала по сравнению с единицей, то синус можно заменить самим углом и таким путем получить 5А = (1 — R)/y/R.

Пусть для угла падения р интенсивность линии с длиной волны Л равна половине максимальной. Тогда

^ ^ = 2т7г + (5Д.ЛДля более длинной волны и того же угла падения интенсивность будет также равна половине максимальной при условии

2h cos ipЛ' = 2ш7г — 6 А.


Тогда расстояние между максимумами обеих линий как раз окажется равным полуширине линии, т. е. минимальному расстоянию, разрешаемому интерферометром. В этом случае Л(2ш7г + SA) = Л/(2ш7г - SА), откуда

А + А' _ 2т7г А' - А “ ~ Ж

2т7Г 1 - R y/R,

или ввиду близости линий А и А'Х_6Х 1 - R y/R ттг 7г 2 h

1 - R ~ 1 - R Т 'Это выражение можно записать в том же виде, что и для дифракционной решетки, т. е. А/ <5А = Nm. Роль эффективного числа штрихов играет величина N = тг/( 1 — R). Полученные результаты справедливы и для случая, когда интерферометр работает в отраженном свете.

350. 1) m = ь = 10000; 2) в = А/а = 51, 5".351. Около 1000.352. Около 1 см.353. Р ешение. Пусть 5А — минимальная разность длин волн двух

спектральных линий, разрешаемая призмой при бесконечно узкой коллима- торной щели. Согласно формуле для теоретической разрешающей способности

X/SX = a\dn/dX\, разность показателей преломления для этих спектральных линий равна 5п = А/а. Благодаря различию в показателях преломления первоначально параллельный пучок лучей по выходе из призмы сделается расходящимся. Рассчитаем угловое расхождение вышедшего пучка в предположении, что на призму падал параллельный пучок. Имеем (рис. 120): sirupi = rising . Отсюда при постоянном щ

5п • sinî + ncosî • 5ф\ = 0.Рис. 120

Так как ф\ + ф2 = А = const, и следовательно, 5ф\ + 6ф2 = 0, то5п • sinî = ncosî • 5ф2.

Далее, из sinp2 = r is ing находим искомое угловое расхождение вышедшего пучка:

г sin ф2 . п cos ф2 с , ( sin ф2 п cos ф2 sin ф\ \ .ор2 = ------ on Н----------- дф2 = ---------1------------------ — on,cos (р2 cos (р2 V cos (р2 cos (р2 ncosyj\/

а при установке на угол наименьшего отклонения (р\ = р2 = ф\ = ф2 = ф):

Slp2 = 2s- ^ 6 n = 2s- ^ ± .cos cos а

Для полного использования теоретической разрешающей способности призмы необходимо, чтобы угловая ширина коллиматорной щели а = Ъ/f была мала по сравнению с 5р2. Это дает

2ётф /Аcos р> а


Для А / 2 = ф = 30°, п = 1,73 получаем

2 /А :_ 2 /А _ 2,5 • 10 3 мм.л/ 4 — п2 а а

354. Ъ =L(n2 - 1)

= 4,4 м.А ! d \

3 5 5 . Ъ =Nh(n — 1)

= 2 , 6 м.A dnnp/dX356. d = \dX/dn\ ж0

со1О

357. Ре I I I (Л I I И ( ' . Из формулы решетки d(sm6 — sin 0 о )тХ < 2d, откуда умножением на N = b/d получаем i^pem = 26/Л = 3,3 • 105 и Др™ = Д А _ = 33^

i?np dn/dX358. Спектр будет пересечен темными линиями, имеющими форму от

резков семейства парабол у2 = (Сшж; т = 0, 1,2, где С — постоянная, зависящая от параметров установки. (Начало координат помещено в центре ньютоновых колец, ось X направлена перпендикулярно, а ось У — параллельно щели спектрографа.) Все параболы имеют общую вершину х = 0, у = 0, которой соответствует Л = 0. Отрезки парабол от вершины до фиолетового конца спектра не производятся на опыте. Если щель сдвинуть от центра колец на а, то семейство парабол перейдет в у2 = Стх — а2, где С — та же постоянная. В этом случае параболы с различными т имеют разные вершины, и могут быть получены те части парабол, на которых находятся вершины. При замене дифракционного спектрографа призматическим темные линии остаются, но их форма перестает быть параболической. (Ср. с задачей 685.)

359. Р ешение. If ^ h2/X = 106см = 10 км. На меньших расстояниях никакой фраунгоферовой картины не возникает. При I <С h2/X справедлива геометрическая оптика. За кристаллом получаются пучки дифрагированных лучей, а в местах их пересечения с плоскостью фотопластинки — система пятен. Нефраунгоферовый характер пятен проявляется в том, что в каждом пятне фаза колебаний меняется от точки к точке, тогда как в случае фраунгоферовой картины она практически одинакова в пределах каждого пятна. Однако направления пучков за кристаллом можно определить, проводя от кристалла прямые на (расположенные в бесконечности) фраунгоферовы максимумы. Этим и объясняется, почему при расчете указанных направлений можно пользоваться формулами фраунгоферовой дифракции.

360. Решение. Пусть на решетку падает пучок параллельных лучей с длиной волны Л под углом скольжения ао. Направление дифрагированного пучка ттг-го порядка определяется условием d{cos «о - cos а) = тХ. Для такого же пучка с близкой длиной волны Л': d{cos «о - cos а') = тХ'. Отсюда

d(cosa — cos а) = га (А — А7), или sin а • 5а = т5Х,

где введены обозначения: 5а = \а - а\, 5Х = |А' - А|. Для спектрального разрешения необходимо, чтобы оба пучка пространственно разделились. Если I — расстояние до фотопластинки, измеренное вдоль направления дифрагированного луча, то боковое смещение одного пучка относительно другого равно х = 15а. Условие разрешения состоит в том, чтобы это смещение было не меньше ширины дифрагированного пучка, т. е. х ^ h. Ширина h определяется


выражением h = D sin а, где D — ширина дифракционной решетки. В результате условие разрешения принимает вид

1т5\ d sin ск

^ D sin а.

Минимальному разрешаемому расстоянию 5Х соответствует знак равенства. Поэтому для разрешающей способности получаем

Л ImX IX

5Х Dd sin2 a h2

Так как IX/h2 <С 1, то Х/5Х <С Nm , т. е. разрешающая способность решетки в рентгеновской области спектра меньше, чем в оптической. Для повышения разрешающей способности надо применять узкие пучки, а фотопластинку помещать возможно дальше от решетки.

361. Р е ше н ие . Пусть О — фокус геометрического схождения лучей (рис. 121); го — ближайшее расстояние от линзы до О. Опишем из О, как

Рис. 121

из центра, сферическую поверхность S радиуса го. При вычислении светового поля на поверхности S можно ограничиться приближением геометрической оптики. Тогда световое поле на S в комплексной форме можно записать в виде

E s = — е*(шг+кго)'Го

Пусть Р — точка наблюдения, dS — элемент поверхности на S, г — расстояние между dS и Р. Световое поле в Р найдется по принципу Гюйгенса по формуле

Ер d S — к ( Г — го )]

Г0Г (361.1)

где интегрирование производится по той части сферической поверхности S, на которой поле отлично от нуля. Очевидно,

г = г0 + р,


где г и го — радиусы-векторы, проведенные из dS в точки Р и О соответственно, а р = ОР. Отсюда ___________

г = Г0\ 1 + 2г0р + р2

Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим с точностью до величин, содержащих квадраты р:

г - го = Горго 2г0 2

(гор)2 ■ Р . 2 / \= РГ1 + 2^ Sm Р’ Г1 ’

а в линейном приближенииг - г о = p r i ,

где ri — единичный вектор в направлении го, т. е. г\ = го/го. Ошибка, допустимая при вычислении г — го, должна быть много меньше длины волны. Поэтому линейным приближением можно пользоваться при условии

— <С А. (361.2)Г О

Вычислим световое поле в окрестности О в предположении, что условие (361.2) выполняется. Направление единичного вектора п можно характеризовать углами р и ф , которые он образует с плоскостями, проходящими через оптическую ось и параллельными сторонам диафрагмы. Очевидно, dS = = rldpd'ij). Введем в плоскости наблюдения (экрана) прямоугольную систему координат с началом в точке О и с осями, параллельными сторонам квадратной диафрагмы. Координаты точки Р обозначим через х и у. Тогда

г — го = г\р = х sin р + увтф.

Если угол а = arctg под которым из О видна половина стороны квадратной 2годиафрагмы, мал, то sinр и sin?/; можно заменить через р и ф . Кроме того, в знаменателе (361.1) г можно приближенно заменить через т*о. Окончательно

+а +аЕР = е^ 0-ik(xip+yip) dp dф.

Если амплитуду в точке О принять равной единице, то амплитуда в точке Р:

д sin[(27rx/A) a ] sin[(27n//A) а ]

(.2тгх/Х)а (2тгу/Х)а ’а интенсивность

Г s i n [ ( 2 7 r x / A ) а] I 2 Г s i n [ ( 2 7 n / / A ) а] I 2

\ (2тгх/Х)а ) \ (2тгу/А) а )

(361.3)

(361.4)

Дифракционная картина получается такая же, как при дифракции Фраунгофера от квадратного отверстия. Расстояния между двумя соседними минимумами, а также от центра центрального максимума до первого минимума равны


Остается проверить, выполняется ли условие (361.2). Так как заметная интенсивность по формуле (361.3) получается при р порядка Ах, то, подставляя в (361.2) р « A/а , придадим (361.2) вид

а > \ А / го- (361.6)

Последнее условие выполняется во всех оптических приборах с линзами или зеркалами.

Случай круглой диафрагмы существенно не отличается от случая квадратной диафрагмы. Интеграл (361.1) для круглой диафрагмы в линейном приближении может быть выражен через бесселеву функцию первого порядка. Дифракционная картина в фокальной плоскости имеет вид светлых и темных концентрических кругов со светлым центром. Радиусы темных колец имеют следующие значения:

R = 0,61А/а; 1,12А/а; 1,62А/а; (361.7)

где а — угол, под которым виден радиус диафрагмы из точки О.362. Р е ш е н и е. В случае самосветящихся точек волны, ими излучаемые,

некогерентны. На экране складываются интенсивности волн, исходящих из этих точек. Пусть обе точки расположены симметрично относительно главной оптической оси. Рассмотрим распределение интенсивности вдоль оси X (рис. 122). Положение точки наблюдения на этой оси можно характеризовать координатой £ = (2ттх/Х)а. Минимальное расстояние между центрами

Рис. 122

дифракционных кружков соответствует по Рэлею разности координат Д£ = тт (см. решение задачи 361). На рис. 122 пунктирные кривые изображают распределение интенсивностей от каждой из рассматриваемых двух самосветящихся


точек, а сплошная кривая дает результирующую интенсивность. Мы видим, что интенсивность в центре картины почти на 2 0 % меньше максимальной интенсивности, равной наибольшей интенсивности от одной святящейся точки. Поэтому при выполнении критерия Рэлея получается раздельное изображение самосветящихся точек.

363. Р еше ние . Если изображаемые точки не самосветящиеся, а освещаются одним и тем же источником света, то волны, исходящие из них, конгерентны. Складывать надо не интенсивности, а амплитуды колебаний, учитывая разность фаз между ними. Из решения задачи 361 следует, что в случае изображения одной точки фаза колебаний одна и та же в пределах каждого светлого кольца (в случае квадратной диафрагмы — светлого квадрата) и меняется на 180° при переходе через минимум освещенности в соседнее светлое кольцо.

1) Отверстия освещаются лучами, параллельными главной оптической оси. В этом случае волны исходят из них в одинаковых фазах. Так как до точки О волны проходят одинаковые расстояния, то в точку О они приходят также в одинаковых фазах. Амплитуда результирующего колебания в точке О будет больше в 2 раза, а интенсивность в 4 раза, чем в случае изображения одного из отверстий. Распределение результирующей интенсивности дает кривая рис. 123. Она имеет лишь один максимум, и изображение в глазу будет такое

же, как и от одной точки. Поэтому при рассматриваемом способе освещения раздельного изображения освещаемых точек не получится, если расстояние между ними равно минимальному расстоянию, требуемому критерием Рэлея. Чтобы получилось раздельное изображение, надо это расстояние увеличить примерно в 1,4 раза. В соответствии с этим в такое же число раз уменьшается и разрешающая способность по сравнению со случаем самосветящихся объектов.


2) Отверстия освещаются параллельными лучами, наклоненными под углом в к главной оптической оси. В этом случае волны из отверстий выходят не с одинаковыми фазами, а с разностью фаз 5 = 27rdsm6/\, где d — расстояние между центрами отверстий. С такой же разностью фаз они придут и в О. Если dsinO = А/4, то 5 = тг/2, интенсивность в О будет в два раза больше соответствующей интенсивности при наличии одного из отверстий. Разрешающая способность при таком освещении будет такая же, как и в случае самосветящегося объекта. Если 5 sin 0 = А/2, то 5 = тт. Тогда волны приходят в О в противоположных фазах и интенсивность там будет равна нулю. Разделение изображений будет выражено весьма резко. При таком освещении расстояние между отверстиями может быть меньше предела Рэлея, и все же будут получаться раздельные изображения их.

3) Отверстия освещаются лучами всевозможных направлений. В этом случае получается практически такая же разрешающая способность, как и для самосветящихся объектов.

364 . 1) 34"; 2) 0,042 мм.365 . Р е ш еи не. Пусть рассматриваемый объект виден невооруженным

глазом под углом а = 1,22А/D, где D — диаметр объектива, т. е. под минимальным углом, который способен разрешить объектив. В трубу тот же объект будет виден под углом j3 = Na. Угол /3 должен быть не меньше угла у = = 1,22А/d, который способен разрешить глаз (d — диаметр зрачка глаза). Из условия получаем

Увеличение N uoрм = D/d называется нормальным. При меньших увеличениях используется только часть объектива, и разрешающая способность системы труба-глаз понижается. Увеличения, больше нормального, не целесообразны, так как при этом разрешающая способность системы не увеличивается, а яркость изображения уменьшается (см. задачу 188).

366 . 1) Разрешаемое угловое расстояние зрительной трубы в = 1,22А/Д где D — диаметр объектива. При визуальных наблюдениях можно принять А = 5500 А; тогда в = 2,76". 2 ) При увеличении N ^ D/d = 1 0 .

367 . 50 = 1,22А/D = 0,023".368 . Угловые размеры почти всех звезд много меньше разрешаемых уг

ловых расстояний даже самых больших телескопов. При таких условиях величина изображения звезды на сетчатке глаза определяется исключительно дифракционными эффектами в оптической системе (телескоп+глаз) и не зависит от увеличения. Но яркость этого изображения пропорциональна световому потоку, поступающему в оптическую систему. Этот световой поток при пользовании телескопом во столько раз больше светового потока, проходящего через зрачок невооруженного глаза, во сколько раз площадь отверстия объектива больше площади зрачка глаза (если увеличение телескопа нормальное). Поэтому в телескоп можно видеть более слабые звезды, чем невооруженным глазом. При нормальном увеличении диаметр выходного зрачка равен диаметру зрачка глаза. Применение больших увеличений при рассматривании звезд бесполезно. При меньших увеличениях не весь свет, поступивший в телескоп, проходит через зрачок глаза.

369 . См. ответ предыдущей задачи.370 . В фЗф = 10 раз.371 . В фЗф = 10 раз.


37 2 . l2 = h D 2/Di = 5 • 104 км.373 . Не может. Диаметр зрачка глаза орла не превышает нескольких

миллиметров. Если предположить, что он равен даже 10 мм, то минимальный угол, под которым орел может видеть раздельно две точки предмета, окажется примерно в 3 раза больше угловых размеров мышонка.

374 . На Луне около 40 м, на Солнце около 20 км.375 . Около 28 км. Рассмотренная задача до сравнительно недавнего

времени представляла интересв связи с гипотезой о каналах на Марсе и их искусственном сооружении. Фотографирование поверхности Марса с помощью ракет и исследование его посредством управляемых аппаратов, спускаемых на поверхность Марса, не подтвердило эту гипотезу.

376 . Р е ше н и е . При малых углах дифракции искомое расстояние х найдется из требования, чтобы разность хода Г2 - г\ крайних интерферирующих лучей (рис. 124) была равна длине волны А. Применяя теорему Пифагора и извлекая квадратные корни с помощью формулы бинома Ньютона, для этой разности нетрудно получить

xD xD ( 2 D 2\

Г2- Г1 = Х - 2 н ( ж + т ) + -Ограничиваясь первым членом, найдем

Ъ\

х ~ 1 5 ’(376Л)

Ошибка при вычислении — п должна быть мала по сравнению с А. Отсюда получаем условие применимости предыдущей формулы

1 /6 2А2 D 2\

ж ( ж + т ) <<L (376.2)

377 . Если пользоваться для радиуса первого темного дифракционного кольца формулой (376.1), то получится

j-^2 _ 2а6А а -\- Ъ

(377.1)

т. е. площадь отверстия должна равняться половине площади центральной френелевой зоны, построенной для точек S и Р (рис. 124). Условие (376.2) сводится к

D 2 (1 Ъ \ Ъ2\

w 0 + в + 2 л) <<1и всегда хорошо выполняется во всякой камере с малым отверстием.


При более точном решении надо пользоваться для радиуса х первого темного кольца формулой х = 1,226А/Т>, что дает

D 2 = 2,44а6АCL ~\~ Ъ

Рэлей, более подробно исследовавший этот вопрос теоретически и экспериментально, нашел для наивыгоднейшего диаметра отверстия

(377.2)

D= '’s\fWb- (т-3>что практически совпадает с (377.1) или (377.2).

378 . D = y /2,44LA « 0,35 мм.37 9 . L и D 2/ (2,44А) и 1000 км; S « (2,44А/ D)2 и 1,5 • 10“ 12.380 . Разрешающая способность увеличится приблизительно в два раза.381 . N ^ D/cL, где D — диаметр объектива, a d — зрачка глаза.382 . L < Dl /( 1,22А) = 3,7 м. Легко видеть, что то же условие соблюдается

и при применении так называемого объективного отсчета на шкале, т. е. при проецировании светового зайчика, отраженного от зеркальца гальванометра на шкалу.

383 . т ~ ^ \ т^г- « 0 , 1 светового года.2 у нслп

385 . в = (ш + 1 / 2 )A/D, где m — целое число.386 . х — fO — (га + l / 2 ) f \ / D , где тп — целое число.387 . О = 2(га + 1/2)A/D, где т — целое число.388 . Р е шение . Для одного пучка света (зеркало М\ или М2 закрыто)

в фокальной плоскости будет наблюдаться система дифракционных колец, появляющихся в результате дифракции на круглой диафрагме зеркала. Диаметры колец определяются размером диафрагмы. Для двух пучков света (зеркала М\ и М2 открыты) одновременно будут наблюдаться две системы колец, которые, вообще говоря, не совпадают друг с другом. Но путем поворота зеркал М2 и ЛД можно вторую систему колец совместить с первой. Тогда они будут интерферировать друг с другом и кольца будут пересечены темными и светлыми полосами, перпендикулярными к линии М\М2.

389 . Р ешение . По принципу Гюйгенса действительные источники света можно заменить виртуальными источниками, распределенными в плоскостях диафрагм, стоящих перед зеркалами М\ и М2. Ради простоты (это не является ограничением) будем считать диафрагмы настолько малыми, что их можно принять за точки. Тогда задача сводится к нахождению интерференционной картины от двух точечных источников S\ и S2 (рис. 125), когерентных между собой. Световые пучки от этих источников, прежде чем они достигнут объектива L, претерпевают отражения от зеркал М\, М2, М3 , М\. Можно в рассуждениях исключить из рассмотрения эти отражения, если заменить источники S\ и S2 воображаемыми источниками 5 / и S2 , которые являются их изображениями в плоских зеркалах. При такой замене фазы Si и 5 / будут одинаковы, равно как и фазы S2 и S'". Тем самым задача свелась к задаче 385. При сближении зеркал Мз и М\ уменьшается расстояние между S'{ и S" , что ведет к увеличению ширины интерференционных полос.


Допустим, что одна из звезд посылает свет перпендикулярно к прямой S\S2. Тогда фазы источников S\ и S2 (а следовательно, S'" и S") будут

ап а"

Рис. 125одинаковы. Для того чтобы вторая звезда дала систему полос, смещенную относительно первой на половину ширины полосы, необходимо, чтобы фазы вторичных источников S1 и S2, возбуждаемых второй звездой, отличались на iг. Это дает

Dsin0 и D9 =где в — угловое расстояние между звездами, a D — расстояние между центрами зеркал М\ и М2. Таким образом,

Если обе звезды одинаковы, то при выполнении этого условия полосы интерференции исчезают. Вообще, интерференционные полосы будут исчезать, если

а (т + 1 /2) Л в = ------D------•

Если одиночную звезду заменить квадратом постоянной поверхностной яркости, то этот квадрат можно разбить на линейные источники, параллельные одной из сторон квадрата, а именно той, которая перпендикулярна к S\S2. Если угловые размеры сторон квадрата равны

то каждый линейный источник одной половины квадрата уничтожит интерференционные полосы, даваемые соответственным источником второй половины квадрата. Вообще, полосы интерференции пропадают при выполнении условия

= 2(ш+ 1/2)ЛD


Расчет для звезд с круглым диском постоянной поверхностной яркости несколько сложнее. Он показывает, что первое исчезновение интерференционных полос наступает тогда, когда

Й_ 1,22А в - “ d“ >

где в — угловой диаметр звезды.390 . 0,047"391 . Sep « A/D.392 . 1 ) Sep & X/d. При А = 1 м Sep & 1°; при А = 10см Sep & 7'.2) Sep « л/Х/Ъ. При А = 1 м Sep « 2'; при А = 10см « 40".3) h <С л/бА- При А = 1 м л/^А = 19,5 км; при А = 10 см л/bX = 6,2 км.393 . Sep « A/D. При А = 1 м « 0,06". При А = 10 см Sip ж 0,006".Метод требует, чтобы источник радиоизлучения находился на прямой,

соединяющей точку наблюдения с центром Луны. Кроме того, он предъявляет весьма жесткие требования к гладкости лунной поверхности и к отступлениям формы Луны от сферической. Высота неровностей поверхности по всей границе лунного диска должна быть мала по сравнению с h = bX/D. Разность наибольшего и наименьшего диаметров лунного диска также не должна превышать этой величины. При А = 1 м h & 100 м; при А = 10 см h & 10 м. Эти жесткие требования исключают возможность использования рассматриваемого метода, по крайней мере, для радиоволн с длиной волны А < 100 м.

394 . О « А/(2К) « 3'.395 . О « А/(2R) ~ 0,2", где R — радиус Земли.396 . в ~ А/(2Ъ) ~ 20". Высота спутника над поверхностью Луны h «

« 500 км. Спутник Земли при работе на волне с длиной 100 м использовать трудно, а обычно даже невозможно из-за влияния земной ионосферы.

397 . Диаграмма имеет «ножевую» форму с угловыми размерами X/D в одном направлении и X/d — в другом.

398 . 1) Около 0,3 мкм; 2) около 0,19мкм.399 . 1) В 2 раза; 2) 0,095 мкм; 3) около 5300.4 0 0 . Р е ш е н и е. Пусть в микроскоп рассматривается объект, величи

на которого I равна наименьшему разрешаемому расстоянию его объектива. Для самосветящихся объектов или объектов, освещаемых диффузно, I = = 0,61A/(nsinir), где rising — числовая апертура объектива. Невооруженным глазом с расстояния ясного зрения L этот объект виден под углом а = 1/L. В микроскоп он виден под углом /3 = N a , где N — увеличение микроскопа. Угол /3 должен быть не меньше минимального углового расстояния у = = 1,22А/d, разрешаемого глазом (d — диаметр зрачка глаза). Условие /3 ^ у дает N ^ 2Lnsmu/d. Увеличение NH0рм = 2Lnsmu/d называется нормальным. Применять увеличения больше нормального не целесообразно, так как при этом разрешающая способность микроскопа не повышается, а яркость изображения уменьшается. (См. задачу 192.)

4 0 1 . Когда узкая щель вертикальна, на экране получается система горизонтальных полос. При горизонтальной щели полосы становятся вертикальными. Когда щель наклонена под углом 45° к горизонту полосы также наклонены под тем же углом, но перпендикулярны к направлению щели. При широкой щели, независимо от ее направления, на экране получается подобное изображение проволочной сетки.

4 0 2 . N ^ D/d.


4 0 3 . / 2 < —---------, где d — диаметр зрачка глаза.2/i п sin а

4 0 4 . n sin а ^ D/(2f), N ^ DL/(fd), где L — расстояние ясного зрения, d — диаметр зрачка глаза.

4 0 5 . £>7г > Г2А2 « 0,25.4 0 6 . Период изменения показателя преломления жидкости равен длине

ультразвуковой волны Л.Р е ше н и е . Показатель преломления жидкости зависит только от ее плот

ности. Поэтому задача сводится к определению пространственного периода изменения плотности жидкости. На рис. 126 черными кружками изображены

^ ---- • ----► • ^ ---- • ----► • ^ ---- • ----►А С В D

Рис. 126

узлы скоростей в стоячей звуковой волне, а стрелками показаны направления движения частиц жидкости в некоторый момент времени. В стоячей волне все частицы жидкости между двумя соседними узлами скорости движутся в одном направлении. При переходе через узел скорости направление движения частиц меняется на противоположное. Пусть смещения частиц жидкости в некоторый момент времени достигли своих максимальных значений. Тогда при направлениях скоростей, указанных на рис. 126, в узлах А , В , ... будут сгущения, а в узлах С , D, ... — разрежения. Через половину периода в узлах А , В , ... будут разрежения, а в узлах С , D, ... — сгущения. Расстояние между двумя соседними сгущениями или разрежениями равно пространственному периоду изменения плотности, а следовательно, и показателя преломления жидкости. Оно, как видно из рис. 126, равно длине ультразвуковой волны Л.

4 0 7 . Р е ш е н и е. Так как частота звуковых колебаний очень мала по сравнению с частотой световых колебаний, то можно считать, что жидкость, в которой распространяется свет, неподвижна. Такая жидкость представляет собой неоднородную среду, показатель преломления которой меняется периодически в направлении, параллельном АВ. Расчет светового поля в такой неоднородной среде представляет очень трудную задачу. Однако, как бы ни распространялся свет внутри жидкости, можно утверждать, что световое поле в плоскости CD при выходе из кюветы будет периодически меняться в направлении CD с периодом Л. Для определения светового поля за кюветой можно, по принципу Гюйгенса, заменить реальные источники света виртуальными, распределенными по поверхности CD. При этом расстояние между двумя соседними одинаковыми виртуальными источниками будет равно длине ультразвуковой волны Л (см. решение задачи 406). Этим задача сведена к дифракции света на двумерной плоской решетке.

4 0 8 . v = f X u / A x = 1200 м/с.4 0 9 . Нельзя.Р е ше н и е . Пространственный период изменения показателя преломления

жидкости в обоих случаях равен длине ультразвуковой волны Л. Поэтому в обоих случаях будут одинаковы углы дифракции. Более того, будет одно и то же распределение интенсивности света в дифракционных спектрах, ибо в обоих случаях показатель преломления как функция координат (при фиксированном времени) меняется по одному и тому же закону синуса. При заметном затухании ультразвука характер изменения показателя преломления


в пространстве в стоячей и бегущей волнах уже не будет одинаковым. В этом случае по характеру дифракционной картины бегущую волну в принципе можно отличить от стоячей.

4 1 0 . Р ешение. Если бы глаз мгновенно реагировал на световое раздражение и не обладал способностью сохранять зрительные впечатления, то, взглянув на жидкость, мы увидели бы светлые и темные полосы, расстояние между которыми равнялось бы расстоянию между двумя соседними сгущениями, т. е. Л. Через половину периода звуковых колебаний на месте каждой светлой полосы образовалась бы темная, и наоборот. В действительности глаз сохраняет зрительные впечатления в течение примерно 0,1с, т. е. в течение времени, которое чрезвычайно велико по сравнению с периодом ультразвуковых колебаний. Поэтому глаз не в состоянии видеть смену полос. Он фиксирует некоторую среднюю освещенность сетчатки, получающуюся путем усреднения мгновенной освещенности по времени, которое очень велико по сравнению с периодом ультразвуковых колебаний. При таком усреднении интенсивность света во всех узлах скоростей сделается одинаковой. Во всех пучностях скоростей интенсивность будет также одинаковой, но отличающейся от интенсивности в узлах. Поэтому период видимой картины должен равняться расстоянию между соседними узлами, т. е. Л/2.

Примечание. Для полного исследования вопроса необходимо было бы показать, почему при усреднении получается система полос, а не равномерное освещение жидкости. Такое исследование требует подробного рассмотрения сложного вопроса о распространении световой волны в сильно неоднородной среде, какой является жидкость при наличии в ней ультразвукового поля. Это исследование, в согласии с опытом, показывает, что полосы должны наблюдаться. Цель рассмотренной нами задачи состояла в том, чтобы, принимая наличие полос как опытный факт, определить расстояние между ними.

4 1 1 . В дифракционных спектрах, наряду с основной частотой и, появятся частоты и ± тттП, где О — частота ультразвуковых колебаний, т — целое число.

Решение. Стенку кюветы, на которую падает световая волна, примем за координатную плоскость X Y , за направление оси Z выберем направление распространения света, а ось X направим перпендикулярно к волновым фронтам ультразвуковой волны. Поле падающей волны имеет вид Е = Eocos(cjt — kz). На передней стенке кюветы, где z = 0, оно равно Е\ = Ео cos cut. Поле Е2 на задней стенке кюветы можно представить в виде Е2 = АЕ\, где А — пропускаемость кюветы, которая, очевидно, является периодической функцией координаты х и времени t. Разложив ее в ряд Фурье и отбросив высшие гармоники, можно написать:

А = а + b\ cos Ш + b2 sin Ш,где а, Ь\, Ъ2 не зависят от времени. В результате амплитуда поля Е2 оказывается модулированной с частотой модуляции О. Такое поле эквивалентно трем гармоническим полям с частотами ш, и — О, и + О. Действительно,

Е2 = АЕ\ = (а + Ъ\ cos Ш + b2 sin Ш) cos cut == a cos сut + {&i cos(o; — 0)t — b2 sin(o; — 0)t}+

+ {&i cos(ic; + 0)t + b2 sin(ic; + 0)t}.

§ 5 . Элементы голографии 189

Отсюда следует, что и вторичные волны Гюйгенса, распространяющиеся от задней стенки кюветы, будут иметь частоты и, и — О, и + О. Такие же частоты появятся и в дифракционных спектрах. Если в разложении А учесть высшие гармоники, то в дифракционном спектре добавятся частоты и ± 20, и ± 30 и т. д.

§ 5. Элементы голографии

4 1 2 . Ф(х) = ах, Ер = Еоехр(тж ), где а = ksmO. При изменении знака проекции кх знак перед произведением ах изменится на обратный.

4 1 3 . Ф = - Л _ Ц 2+ у 2), ЕР = Еоехр | — (ж2 + у2) | .Р е ше н и е . Поле волны, распространяющейся из источника S, в точке Р

можно записать в виде

Ер = — exp {i(out — кг)},

2 2 X Угде г « го + ----- Ь -—, А — постоянная. Учитывая это, получаем результат,2 г0 2 г0

приведенный в ответе.4 1 4 . Ф = т— (ж2 + t/2), = £0ехр{^-(ж 2 + г/2)}.

' 27ГАг0

4 1 5 . £>(ж) = 2Е\ — j E i - 2E0E\ j co s ^ -^ x s in 0 ^ , где у — постоянная, зависящая от условий экспонирования и проявления, называемая коэффициентом контрастности фотопластинки. Пространственный период расположения полос почернения d = А/ sinO.

4 1 6 . D(x) = 2 El - jE f - 'yEoEi exp j iax + ^ (x2 + y2)} -

- i a x ------^ ------- j , где a = к sin в, а для опорной волны былопринято следующее выражение:

Е = Eoexp{i(u;t + kxsinO — kz cos 0)}.

4 1 7 . За голограммой будут распространяться четыре волны, показанные на рис. 127. Точки S' и S" находятся соответственно перед голограммой и за ней

Рис. 127


на том же расстоянии от нее, на котором находилась точка S от фотопластинки при получении голограммы.

Р е ш е н и е . Распределение фаз и амплитуд в плоскости голограммы в падающей волне дается соотношениями

27гФ = — —ж sin 0, Ер = Eoi ехр(—iax),

А

где Eoi — напряженность поля волны в точке О , ось X направлена вверх (см. решение задачи 412). Волновое поле за голограммой будет

A iP = D{x)Ep = Eo\ ^ 2 E q exp(iax) — 7 E\ exp(mx) —

- 7 ^ 1 £ 0 exp ^ (ж2 _|_ y2)J - 7 EqE\ ехр(2 гаж) exp [ - ^ (x2 + y2)JПервый член (см. рис. 127) соответствует волне, идущей под тем же углом 0 к оси, как и падающая волна, второй — волне, идущей почти под тем же углом 0. Третий член соответствует волне, сходящейся на оси системы в точке S ' , удаленной на расстояние а от голограммы. Четвертый член соответствует расходящейся волне, ось которой повернута на угол в\ от оси системы, где sin 01 = 2 sin 0 .

418. Ход световых пучков при просвечивании зонной пластинки представлен на рис. 128. Фокусные расстояния зонной пластинки равны / = ±а.

Рис. 128

При изменении длины волны фокусные расстояния связаны соотношением Л / = Л' f . Приведенные результаты вытекают непосредственно из анализа физического смысла членов выражения D(x), данного в условиях задачи.

419. z = а + х 2 + у 2 т Х . Л— 1 ------ —, Az = - .4а 2 2

Р е ше н и е . Не учитывая сдвиг фазы волны при отражении ее от зеркала (что несущественно для ответа на поставленный в задаче вопрос), разность хода А опорной и предметной волн, приходящих в точку А(х, у , z) (см. рис. 49), равна

А = а + (а — z)2 + х 2 + у2 — z.

§ 5 . Элементы голографии 191

При z <С а, ж « а , у а получаем

А = 2(а — z) Ех2 + у2

2а

Максимальное почернение будет в точках, где А = т \ , т. е.

z = а Ех 2 + у 2

4 а

т \

~2~'Это — уравнение семейства параболоидов вращения.

Возможно и другое решение. Уравнения опорной и предметной волн соответственно:

Е 1 = Ею ехр{г(ш£ — fcz)},

-Ё/2 = Е 2о exp{i(ut — ка — к у (а — z)2 Е х 2 Е у2 )}•

Интенсивность светового поля:

/ ~ (Е\ Е Е2)(Е\ Е Е 2) —

= + Е20 Е 2ЕюЕ2о cos{kz — ка — k^J(а — z)2 Е х 2 Е у2 }.

Условие максимального почернения фотопластинки:

kz — ка — к у (а — z)2 Е х 2 Е у2 = 2 ш 7г,

откудах 2 Е у 2 т Х Л Лz = а + — -----— и Аг = - .

4а 2 2

420. ж = z c t g a ---- ггпХ это будет семейство плоскостей, парал-sin 2 а к sin 2 а ’

лельных зеркалу 3.А/г = ------- = ^ , где в — угол между волновыми векторами опор-

2 cos а 2 sin(0/2) J J г гной и предметной волн.

Р е ше н и е . Уравнение опорной и предметной волн:

Е\ = Ею ехр[г(щ£ — fcz)].Е 2 = E 2q ехр[г(ш£ — кх sin (3 Е kz cos /3 — (/?)],

где /3 = 2 а, ^ — запаздывание фазы отраженной волны, зависящее от расстояния между зеркалом и фотопластинкой и условия отражения ее от зеркала. Интенсивность света:

/ ~ (Е\ Е Е2)(Е\ Е Е2) —= Ею Е Е20 Е 2E\qE2q cos (kz Е kz cos f3 — kx sin (3 — p).

Максимумы почернения соответствуют условию

kz Е kz cos f3 — kx sin f3 — p = 2ттт (m — целые числа),


откуда

z(l+COS/?) 2т7Г (рsin (3 к sin (3 к sin (3

. в 2тж р тХ

ь 2 к sin/? к sin (3 sin2 o! к sin/?

Таким образом, линии равного почернения (пересечения плоскостей равного почернения плоскостью чертежа) располагаются параллельно биссектрисе угла между векторами к и к', т. е. параллельно зеркалу 3 (рис. 129).

Рис. 129Расстояние между плоскостями

Ah = Az cos а = ——— 2 c o s а

А2 sin(0/2)

421. На экране получится изображение металлической пластинки, пересеченное горизонтально расположенными интерференционными полосами. Положение темных полос определяется из условия 25 = (2к + 1)А/2, где 5 — стрела прогиба металлической пластинки в данном месте. Модуль Юнга

_ 24 Fix2

~ аЪъ(2к + 1)А ’

где к = 0, 1,2, ...

§ 6. Поляризация света. Формулы Френеля4 2 2 . Если N — полное число зон Френеля, то интенсивность света в фо

кусе пластинки будет приблизительно в N 2 раз больше, чем при свободном распространении света.

4 2 4 . Уменьшится вдвое независимо от поляризации падающего света.4 2 5 . Разрешающая способность не изменится.

/ л — \ \ 24 2 6 . р = ( ----- - ) . Для воды р = 2 %, для стекла р = 4%.\ п + 1 /4 2 7 . а = 4п/(п+ I)2 = 96%.

§ 6 . Поляризация света. Формулы Френеля 193

4 3 0 . Р ешение . Если отражение не является полным, то, как следует из закона преломления света, каждому углу падения соответствует вещественный угол преломления ф. Поэтому оба отношения 1)

R s _ s i n (у? - ф) Rp _ tg Q - ф)<$s s i n (ср + ф)1 $р tg (ip + ф)

вещественны. Физически это означает, что при отражении либо совсем нет изменения фазы, либо это изменение составляет 180°. Если падающая волна линейно поляризована, то разность фаз между ее компонентой с электрическим вектором, перпендикулярным к плоскости падения, и компонентой с электрическим вектором, лежащим в этой плоскости, равна либо 0°, либо 180°. На основании изложенного такая же разность фаз будет и у компонент отраженной волны. При сложении такие компоненты дают линейно поляризованную

В0ЛНу- cos((p - ф)4 3 1 . tg<5 = c o s ( ( ^ - ^ ) t g a , t g p = ~ cos(ip + lp) t g a .

432. 1) 56° 19'; 2) A = ^ + t + w, , = -0,08.4 3 3 . 57°05'.

435. Dp = %p/n.436. А = т т - 2 р в = 68° .

437. Электрический вектор должен лежать в плоскости падения. Показатель преломления призмы должен быть равен п = 1 / tg{A/2) = у/З = 1,73.

438. 1) Будут; 2) не будут.439. Если свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то

интерференционные полосы исчезнут при углах падения р\ = arctgni и = = arctg п 2. Если свет поляризован в плоскости падения, то исчезновения интерференционных полос не будет.

440. Результат непосредственно получается из формул Френеля.442. Свет внутри слоя диэлектрика испытывает многократные отражения

на его границах (рис. 130). Если 5 = 2ттп1/Х — разность фаз, соответствующая

l) &s и &р — комплексные амплитуды главных компонент падающей волны, электрические векторы которых соответственно перпендикулярны и параллельны плоскости падения. R s и Rp имеют такой же смысл для отраженной, a D s и Dp для преломленной волн.



двукратному прохождению света через слой (т. е. от одной его границы до другой и обратно), то с учетом многократных отражений для комплексной амплитуды отраженной волны можно написать

R , 7 j/ —г8 I j if / 2 —2i5 I j j/ /2 3 —Зг<5 ,Tp — П + d\d\r2e + d\dxr xr 2e -\-dxdxr x V2e

откудаi? d\d\r2e~l5Щ = ri + 1 ^© 1 — rjr 2в~гд

или с учетом соотношений (441.1)

R _ г\ + г2е _г<5

& 1 + Г\Г2в~г5 (442.1)

4 4 3 . При отражении от идеального зеркала может меняться только фаза, но не амплитуда волны. Поэтому для коэффициента Френеля при таком отражении можно написать г2 = ега. Подставляя это значение в формулу (442.1), получим

R _ п + е ^ а - 5)& 1 + п е г(а-<5) ’

откудаI R I2 r\ + 1 + 2r\ cos(o! — 5)

1^ 1 1 + r\ + 2r\ cos(o! — 5)

4 4 4 . Оптическая толщина пленки должна быть равна четверти длины световой волны в вакууме. Показатель преломления пленки п' = у / п , где п — показатель преломления стекла. Отражения не будет также в том случае, когда оптическая толщина пленки In' = lyfn = А/4 + N А/2, где N — целое число. Однако при пользовании белым светом применять толстые пленки невыгодно.

Точное решение задачи можно получить с помощью формулы (442.1). Тот же результат можно получить более просто, если не учитывать многократные отражения, а рассмотреть интерференцию волн, однократно отразившихся от верхней и нижней границ пленки.

2я я г“ 2 2 р 2 *Т 14 4 5 . р = pi + р2о х + p2(J\P\P2 + ... = pi + ------— ,

1 - Р\Р2

а = ОЮ2 + (J\(J2P\P2 + CrUJ2(piP2)2 + ••• = —^ 5 —.А — Р\р2

4 4 6 . Р е ше н ие . Присоединим к системе т плоскостей одну такую же (ш + 1)-ю плоскость. Первые т плоскостей можно заменить одной плоскостью с коэффициентами отражения и пропускания рш и сгт . Тогда задача будет сведена к предыдущей, и мы получим для коэффициентов отражения и пропускания (ш + 1 ) плоскостей

Рт-\-1 — Pm Т Р . т+1 — <7<7т

1 — ppm 1 — РРт

Отсюда методом доказательства от т к т + 1 нетрудно получить

гпр 1 — р

447. рлг =

Pm —

2N

2N + 5,76 ’

1 + (m - 1)р ’

5,76СГЛГ =

СГт —

2АГ + 5,76

1 + (га - 1 )р’

(см. рис. 131).


О 10 20 30 40 50 N

Рис. 131

448. А =

А' =

__________ N(ps Рр)__________(2N - \)PsPp - {N - \)(р8 + Рр) - Г_______ ps - Рр_______ . Is_ _ 1 - рз (2N - 1 )рр + 12(N — 1 )pspp + {ps + Pp) Ip 1 — Рр (277 — l)ps + 1 '

где ps и рр — коэффициенты отражения волн, поляризованных в плоскости падения и перпендикулярно к ней, для одной отражающей поверхности:

Ps =cos (р — п cos г/j cos ip + n cos ip Pp —

n cos p — cost/Л2 n cos <p + cos ip J

449. A = COS 2{(f — ip) — COS2 ((p + ip)cos2((p — ip) + cos2(p + ip)

450. -0,015; -0,091; -0,176; -0,402.451.

= 0 ,0 ; 0,82; 1 ,0 ; 0 ,0 .

N 1 2 3 4 5

д - N 0,148 0,258 0,342 0,409 0,466N + 5,76

N 6 7 8 9 10

A - N 0,512 0,548 0,582 0,611 0,635N + 5,76

452. P ешение . Из формулы Френеля

Др _ tg(у - ф)

следует, что Rp меняет знак при переходе через угол Брюстера. Физически это означает, что при таком переходе Rp претерпевает скачкообразное изменение фазы на 7г. При строгой справедливости формулы Френеля это не вело бы

т


к нарушению непрерывности электромагнитного поля, так как при угле Брюстера Rp = 0. В действительности Rp не обращается в нуль ни при каком угле падения. Поэтому должна существовать окрестность угла Брюстера (обычно довольно узкая), при переходе через которую фаза Rp меняется непрерывно от 0 до 7г. Для света, электрический вектор которого перпендикулярен к плоскости падения, подобной окрестности не существует. Поэтому из нестрогого соблюдения закона Брюстера вытекает эллиптическая поляризация отраженного света, о которой шла речь в условии задачи. Обратное заключение можно получить, если разложить падающую волну на компоненты с колебаниями в плоскости падения и перпендикулярно к ней и принять во внимание, что эти компоненты в линейном приближении отражаются независимо друг от друга (принцип суперпозиции).

4ЯЯ ^ cosy? - ^£2/Н2 cosijj<$s \/£\Ip \ c o s p sj£2/H 2 c o s

R p _ у/б2/р>2 cos^p - y/ei/m c o s ip

л/£2/1*2 COSp + \Je\llL\ COS

D s _ __________ 2 ^ £ \ / im COS i f

\Js \Ip>\ c o s p sj£2/H 2 c o s ip ,

D p 2 ^ £ \ / h \ c o s ip

V £2/l 2 COSip + \j£\llL\ COS Ip

454. P e ш e н и e. Если закон Брюстера имеет место, то угол Брюстера, при котором не отражается p-компонента электрического поля, определяется выражением

tg 4>в £2 £2 1 ~ glP2 £1 £2Ц2 - £1/И (454.1)

Возможен случай, когда не будет отражаться s-компонента. Угол, при котором это имеет место, определяется уравнением

tg р'в = Н2 £21М ~ £\Н2Щ £Щ1 - £2Ц2 (454.2)

Оба случая взаимно исключают друг друга, так как знаки подкоренных выражений в (454.1) и (454.2) противоположны. Если £ и р существенно положительны, то всегда существует угол, при котором не отражается либо р-, либо s-компонента падающей волны. Для определения этого угла «полной поляризации» надо пользоваться той из формул (454.1) или (454.2), у которой подкоренное выражение положительно.

456. Не нарушая общности, можно так выбрать положительные направления отклонений в обеих волнах, чтобы разность фаз между ними лежала в пределах от 0 до 7г. Тогда конец результирующего вектора двух складываемых векторов будет описывать эллипс в направлении от вектора, опережающего по фазе, к вектору, отстающему по фазе.

457. Искомый угол р определяется из уравнения

. 4 п 2 + 1 2 Л - . 2 1 2 7Гsm р ------- 5— cos — sm р Н— cos — = О,n z 8 n z 8

которое дает р\ = 60°32/, р 2 = 38°42/.458. Левая.


459. р = arcsin 2 п2 , S = 2 arctg 1 — пI 21 + п2 2 п

где п — показатель преломления второй (оптически менее плотной) среды относительно первой (п < 1 ).

4 6 0 . п 7* - Д — « 2,41.л/ 2 - 1

4 6 1 . Нельзя.l + s i n ( 37r / 8) г _

4 6 2 . п = ------ ' = 5,028. Так как веществ с показателем преломле-C O S (3 7 T /8 )

ния 5 не существует, то в оптике осуществить этот случай нельзя. Его можно было бы осуществить с более длинными электромагнитными волнами.

4 6 3 . 6°29' или 44°38/. Правая.4 6 4 . 69°21' или 42°46/. Правая.4 6 5 . п = - Д — = 2,4143; А = 35°34'.

л/ 2 — 14 6 6 . Р е ше н ие . Допустим, что электрический вектор колеблется пер

пендикулярно к плоскости падения. Рассмотрим электрическое поле в первой среде в какой-либо точке на границе раздела. Электрическое поле падающей волны в этой точке меняется во времени погармоническому закону. Его можно представить вектором О А, равномерно вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью и (рис. 132). Проекция конца этого вектора на плоскость границы раздела даст значение электрического поля падающей волны в рассматриваемой точке в данный момент времени. Электрическое поле отраженной волны можно представить вектором А В той же самой длины и вращающимся с той же скоростью вокруг точки А. Угол 5 между векторами О А и А В и есть скачок фазы при отражении. Результирующее поле в рассматриваемой точке первой среды изобразится вектором ОВ = О А + А В , вращающимся вокруг точки О. В силу непрерывности тангенциальных компонент электрического поля тот же вектор ОВ будет изображать электрическое поле и по другую сторону границы раздела, т. е. поле преломленной волны. Значит, угол А (рис. 130) есть скачок фазы, испытываемый волной при проникновении во вторую среду. Так как треугольник ОА В — равнобедренный, то 5 = 2А. Доказательство нетрудно распространить и на тот случай, когда электрический вектор колеблется в плоскости падения.

4 6 7 . п > 3,732.4 6 8 . Р е ше н ие . Поместим начало координат на верхней границе слоя

и введем обозначение ( = z + а. Тогда можно написать

Рис. 132

коп =с

(468.1)

где р — постоянная, а ко — волновое число в вакууме. На верхней границе слоя z = 0, и следовательно, ( = а. Обозначим через Ъ значение ( на нижней границе слоя. Очевидно,

I = b — а, кот = - , к()П2 = 7 ,а о


откуда

Р =

П2П \ — П2

П\П2-I, ь =

П1 — П2 П =

к01 = 2 7 Г

П \ — 77-2

77i?72 I771 — 772 Л ’

77 1 772772(1 — z/ l ) + Tl\z/l

(468.2)

(468.3)

Если падающая волна линейно поляризована, то отраженная и прошедшая волны, а также поле внутри слоя будут тоже поляризованы линейно и притом в той же плоскости. Пусть электрическое поле Е параллельно оси Y, а магнитное Н параллельно оси X. Внутри слоя

дЕ Щ ТТ дН 2— = - гк0Н , - - = -гк0п Е.д( д(

Исключая Н, получимд 2Е Р2 р _ 0W С*

Общее решение этого уравнения

E = ^ ( ( A C + B C q),

где А и В — произвольные постоянные, a q определяется уравнением

1 2я = - А - р

Из (468.4) и (468.6) получаем

Н =koVC { ( « Ч К - И К Т

(468.4)

(468.5)

(468.6)

(468.7)

(468.8)

На верхней границе слоя Е = & + R, Н = m ( R — Щ. На нижней границе Е = De~lk°nil, Н = —n 2De_*fc°n2(. Приравнивая эти величины значениям Е и Н на границах слоя, вычисленным из (468.6) и (468.8), найдем

Щ (Aaq + Ba~q) = 8 + R ,

' f [ ( Д Д - О ' - Ж ’] = * - * •Vb (Abq + Bb~q) = De~ikqn2\

iy/b P

Решая эти уравнения, после несложных преобразований получим

[ ( q + l ) A b q - (<7- l ) B b - q] = - D e ~ w .

R

¥s h а1

2 q c h а + ip s h a

D

¥q \/ ? 7 1 / ?72 г/соттЩ & 1

q c h a + ip s h a(468.9)

! П2a = q In — .77l

где(468.10)


Представлять решение в этой форме удобно, если р2 < 1/4, т. е. когда величина q вещественна. Если же р2 > 1/4, то q2 < 0. В этом случае q и а чисто мнимые. Положим

а = гс/, q = iq , (468.11)где а' и q' вещественны. Тогда

R 1 sin а '

& 2 q ' cos а ' + i p sin а ' ’

D = q V m / n 2 eifco„2i (f q f cos о/ ip sin о/

(468.12)

Промежуточный случай p2 = 1/4 соответствует q = q' = 0. В этом случае обе формулы (468.9) и (468.12) приводят к неопределенности вида 0/0. Раскрывая ее обычными методами, получим

R _ \п(п2/гц) D_ _ 2л/т/п2 ik0n2l< f 2 + г Ь$п2/п$ ’ < f 2 + г \n(ri2/n\)

Если I = 0, то р = 0, q = 1/2, и формулы (468.9) дают

(468.13)

^ = — th а = — th ^ In I ^ J =

D 1 /п\ у/щ/щ

& cho! у П2 ch(ln л/п2/п\ )

П2 — 711

гг2 + rii ’ 2тм

гг2 + 7ii ’Те же результаты, как первое приближение, получаются при I <С А. Таким

образом, если толщина переходного слоя очень мала по сравнению с длиной волны, то, как и следовало ожидать, отражение и преломление происходят практически так же, как и в случае резкой границы.

Рассмотрим другой крайний случай, когда I >> А. В этом случае р2 >> 1, и в формуле (468.7) членом 1/4 можно пренебречь, т. е. положить q' = р. Тогда из (468.12) получаем для коэффициента отражения

_ | ^ | 2 — sin2{р In(тг2/ 1)}р = \ ш \ = v (468.14)

Отсюда видно, что коэффициент отражения р является осциллирующей затухающей функцией толщины слоя I. Амплитуды этих осцилляций

_ 1^макс - 4^2

щ - п2\ 2 / А\247Г7Т-1 ТТ-2 / V I )

(468.15)

убывают обратно пропорционально квадрату толщины переходного слоя. Таким образом, для слоев, толщина которых велика по сравнению с длиной волны, отражение практически отсутствует. Этот вывод не связан со специальным законом изменения показателя преломления (468.3), а относится к любым толстым переходным слоям с плавно меняющимся показателем преломления.

469. Р ешение . Поперечность электромагнитной волны, а также уравнение (469.1) непосредственно следуют из уравнений Максвелла. Для получения приближенных решений уравнения (469.1) будем искать частное решение в виде

Е = A (z) exp j i — Ф(^) j ,


где A (z) и Ф(^) — вещественные функции. После подстановки в (469.1) и отделения вещественных частей от мнимых получим два уравнения:

d2A uj2 г 2 Ы Ф \2)^ + ^ А К - Ы } = 0 ’ (469.3)

dAdz dz dz2

(469.4)

ЕслиI d2 А I u j2 , ,

Ы « - |А| - (469.5)

то в (469.3) первый член может быть отброшен, что приводит к уравнению

( d < £ \ 2 2

\~d^J ~ П ’ (469.6)

из которого находимZ

Ф = dz J n(z) dz. (469.7)zo

После этого уравнение (469.4) дает

А 2п) = 0, А =dz (469.8)

Общее решение:

Е = ехр{ т J n(z)dz} + % ехр{“ ? 1 n(z)dz (469.9)

где Ci, С 2 — произвольные постоянные, вообще говоря, комплексные. Заметим, что произвольных постоянных в этом решении только две, так как выбором Ci и С 2 всегда можно придать постоянным zoi и Z02 любые, наперед заданные значения.

Используя (469.8), нетрудно показать, что (469.3) выполняется при соблюдении двух условий:

Л I dn 2 тт I dz < п, Л I d2n I I dn I

27г I dz2 I ^ I dz I (469.10)

где Л = 27тс/илг — длина волны в среде. Так как Хп = const, то первое из этих условий может быть также записано в виде

I dXI dz < 2тг. (469.11)

470. Р е шеи не. Вычисление средней по времени плотности потока энергии

S = У [ЕН47Г

для каждой из_волн, о которых говорится в условии задачи, показывает, что S = const, т. е. S не зависит от z. Отсюда следует, что волна распространяется без отражения.

471. Утверждение проверяется прямой подстановкой. Доказательство отсутствия отражения производится так же, как и в предыдущей задаче.

§ 7. Кристаллооптика 201

472. Р е ше н ие . Поместив начало координат на границе раздела сред и обозначив через &, R, D амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн, для электрического поля в первой и второй средах можем написать:

Е\ = —= exp J nR f . / f , ]H— — exp< г— n d z >, c J

J? DE 2 = — exp \ / n

0г (472.1)

оВ силу непрерывности тангенциальных компонент электрического вектора

% + R = D. (472.2)

Непрерывность тангенциальных компонент магнитного вектора, как легко убедиться с помощью уравнений Максвелла, может быть выражена равенством

dE\ dE2

dz dz ’ (472.3)

которое должно выполняться на границе раздела сред. Подставляя сюда выражения (472.1), из получающегося соотношения и из (472.2) легко найти

R _ . {dn/dz)2 - (dn/dz)i _ i \ 0 Г / dn\ _ f dn\ 1 , ,Ш 4ccn2 (0) 87m 2 (0 ) L V dz ) 2 \ d z ) J

При этом в знаменателе мы пренебрегли малой величиной (dn/dz)2 — (dn/dz)i, по сравнению с 2пи/с. Коэффициент отражения получается возведением модуля выражения (472.4) в квадрат.

§ 7. Кристаллооптика473. Р ешение . Плоская волна в кристалле имеет вид

Е = E 0eiM _kr), D = D 0eiM “ kr), Н = H 0eiM “ kr), (473.1)

где Ео, Do, Но — постоянные векторы, а к — волновой вектор, связанный с нормальной скоростью волны v соотношением

к = - N.V

Подставим выражения (473.1) в уравнения Максвелла

rot Н = 1 <9Dс dt ’ rot Е = 1 дП

с dt (473.2)

Дифференцирование векторов (473.1) по времени сводится к умножению на icu, а дифференцирование по координатам х, у, z — к умножению на —ikx , —iky, —ikz . Поэтому

Су Gzд_ д_ д_

дх ду dzнх Ну Hz

Сж Gy ®zi kx ky kz

нх Ну Hz■г[кН]ro tH =


и аналогично для ro tE . Подстановка в (473.2) дает

D = — ^ [N H ], Н = ^ [N E ]. (473.3)

4 7 4 . Результат непосредственно следует из формул (473.3), а также извыражения для вектора Пойнтинга S = — [ЕН].Атт

4 7 5 . 1) Вектор D перпендикулярен к главному сечению. В этом случае векторы D и Е одинаково направлены, а потому

D = е±Е. (475.2)

В скалярной форме уравнения (473.3) имеют вид

D = - Н, Н = - Е, (475.3)V V

илие ± Е = - Н , Н = - Е. (475.4)

V VПочленным перемножением этих уравнений находим

v = v0 = —Щ (475.5)л/ Х

Этот результат можно было предвидеть заранее, так как в рассматриваемом случае связь (475.2) между векторами D и Е такова, как если бы среда была изотропна. Рассматриваемая волна и ее показатель преломления п а = у/е± называются обыкновенными.

2) Вектор D лежит в главном сечении кристалла. Так как векторы Е, D , N лежат в одной плоскости (см. задачу 474), то вектор Е можно представить

в видеЕ = Е d + Елг,

где Е d и Елг — составляющие этого вектора вдоль D и N соответственно. Тогда [NE] = [NE^] и уравнения (473.3) в скалярной форме примут вид

D = - Н, Н = - Е п . (475.6)V V

Очевидно,

_ (ED) _ E llD ll+ E ± D ± _ \ ( D \\E d ~ ~ Я Г ~ d - D (T jf + 7 Г Т

Как видно из чертежа (рис. 133), D\\ = D sin а, D± = D cos а, где а — угол между оптической осью кристалла и волновой нормалью. Следовательно, E d = D(sm2 a/s\\ + co s 2 a/s:^). Если ввести обозначение

1 _ sin2 a cos2 а _ N _

£ “ HI ~ HI ’(475.7)

то связь между D и E d представится в виде D = sE d . Уравнение (475.5) будет отличаться от уравнения (475.4) заменой Е на E d , а — на е. Отсюда


следует, что скорость волны будет определяться выражением v = ve = c/y/s , а ее показатель преломления — выражением

1п2 £|| £ ±

(475.8)

Такая волна называется необыкновенной.4 7 6 . Волна распадается на две волны: обыкновенную с электрическим век

тором, перпендикулярным к главному сечению кристалла, и необыкновенную, вектор D которой лежит в главном сечении. Направления волновых нормалей обеих волн будут совпадать, но их скорости, вообще говоря, будут разными. Если волновая нормаль направлена вдоль оптической оси, то волны будут распространяться так же, как в изотропной среде.

4 7 7 . В кристалле направление луча определяется вектором Пойнтинга S == — [ЕН]. Поэтому необыкновенный луч в общем случае не совпадает по на-

4тгправлению с волновой нормалью. Волновые нормали всегда лежат в плоскости падения, а необыкновенный луч может выходить из нее даже при нормальном падении. В последнем случае волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн при вступлении в кристалл не преломляются, а необыкновенный луч наклонен к ним и может выходить из плоскости падения. Если бы волновой фронт был неограниченным, то пространственного разделения обыкновенного и необыкновенного лучей не происходило бы. Оно возникает лишь при ограничении световых пучков диафрагмами.

4 7 8 . Лучи, исходящие из какой-либо точки А удаленного предмета и попадающие в глаз наблюдателя, практически параллельны. Каждый луч при вступлении в плоскопараллельную кристаллическую пластинку распадается на два луча. Оба луча по выходе из пластинки остаются параллельными, хотя они и испытали различные боковые смещения. Глаз соберет оба луча в одной и той же точке сетчатки, поскольку он аккомодирован на рассматривание удаленных предметов (на бесконечность). Эта точка схождения лучей и будет (единственным) изображением точки А.

4 7 9 . / = 5см.4 8 0 . Показатели преломления дают отношения нормальных скоростей.4 8 1 . Для определения показателя преломления обыкновенного луча пла

стинка может быть ориентирована как угодно. Чтобы получить главный показатель преломления необыкновенного луча, ее надо ориентировать так, чтобы плоскость, проходящая через оптическую ось кристалла и нормаль к границе раздела пластинки со стеклом кристалл-рефрактометра, была перпендикулярна к плоскости падения.

Решение. Действие кристалл-рефрактометра основано на полном внутреннем отражении. Пластинка исследуемого кристалла кладется на поверхность стекла с очень высоким (до 2) показателем преломления N. Свет падает со стороны стекла и отражается от пластинки. Показатель преломления п исследуемого вещества вычисляется по предельному углу полного внутреннего отражения по формуле п = N sirup. В случае отражения от кристалла существуют два предельных угла, соответствующих обыкновенному и необыкновенному лучам. Предельный угол для обыкновенного луча не зависит от ориентации пластинки и, следовательно, может быть измерен при любой ориентации. Предельный угол необыкновенного луча изменяется с изменением ориентации пластинки.


Для простоты рассуждений предположим, что падающий свет всегда поляризован так, что в кристалле возникает лишь необыкновенная волна. Вообще говоря, при полном внутреннем отражении световое поле проникает во «вторую» среду в виде неоднородной (поверхностной) волны. Но если свет падает строго под предельным углом полного внутреннего отражения, то волна во второй среде будет однородна. Она распространяется параллельно границе раздела. Ее волновая нормаль во второй среде параллельна линии пересечения плоскости падения с плоскостью раздела сред. Повернем кристалл так, чтобы его оптическая ось стала перпендикулярна к этой линии. Тогда волна в кристалле будет распространяться перпендикулярно к оптической оси. Известно, что в этом случае всякая однородная волна распадается на обыкновенную с электрическим вектором, перпендикулярным к оптической оси, и необыкновенную, электрический вектор которой параллелен оптической оси. Итак, при такой ориентировке кристалла электрический вектор необыкновенной волны параллелен оптической оси. Значит, на кристалл-рефрактометре в этом случае будет измерен главный показатель преломления необыкновенной волны.

4 8 2 . Кристалл отрицателен, пластинка вырезана параллельно оптической оси.

4 8 3 . Оба показателя будут иметь постоянные значения, соответствующие минимальному и максимальному значениям, приведенным в предыдущей задаче.

4 8 4 . Оптическая ось должна быть параллельна преломляющему ребру призмы.

48 5 . Пластинка должна быть вырезана параллельно оптической оси: d\ = = 0,603 мм; d2 = 0,673 мм.

4 8 6 . На экране образуются 4 пятна. Интенсивности относятся как 1 : 3 : 1 : 3.

4 8 7 . Уменьшится в отношении 3 : 2.4 8 8 . В стекле и фарах автомашины главные плоскости поляроидов должны

быть параллельны между собой и составлять угол 45° с горизонтом. При этом у всех машин они должны быть повернуты в одну и ту же сторону (считая по ходу машины).

4 8 9 . (р = 5° 17'.4 9 0 . AR = 5,16 мкм.4 9 1 . Через призмы проходит необыкновенный луч. Вторая призма пропус

кает больше света. В обоих случаях угол а должен удовлетворять условию 1 / п 0 < sin а < 1 / п е, откуда 37°6/ < а < 42°18/, 5 = 6 ° IS'.

4 9 2 . Р е ше н и е . Векторы Е и D необыкновенной волны лежат в главном сечении кристалла. В том же сечении лежат векторы N и s, причем угол 5 между этими векторами равен углу между векторами Е и D (см. задачу 475). Пусть а и /3 — углы, образуемые векторами Е и D с оптической осью кристалла. Тогда

D\\ = Dcosjd = £\\Е\\ = £\\Ecosa, D± = Dsin/3 = £±E± = £±E sin a.

Отсюда

t g / 3 = — t g a = t g a .£ || n e


Исландский шпат — отрицательный кристалл (п0 > пе), так что (3 > а. Для угла 5 получаем

tg <5 = tg(/3 - а) Оо - » l)tg /зп20 + п\ tg2 /3 '

Из этой формулы легко получить следующее выражение для максимального значения угла 5:

tg 82 2 Щ - п%2 П0Пе

4 9 3 . d = — —---- - = 0,027 мм.4(щ - п2)

4 9 4 . d = — —------ = 0,014 мм.4(Пе ~ По)21 1

4 9 5 . — (у/ё^ — y/s^) = 2т + где т — целое число.Л 24 9 6 . При введении пластинки в полволны интерференционные полосы

смещаются на половину ширины полосы; при повороте поляроида на 90° они смещаются в противоположную сторону на половину ширины полосы относительно начального положения; если убрать поляроид, то положение интерференционных полос не изменится, но интенсивность их возрастет вдвое. При введении пластинки в четверть волны происходит смещение полос на четверть ширины полосы; если в этом случае убрать поляроид, то интерференционные полосы пропадут.

4 9 7 . Р ешение . Пусть / п — интенсивность поляризованного света, а / е — интенсивность естественного света. При первом положении николя интенсивность прошедшего света равна

а при втором

По условию

In cos2 60°

откуда In = h- Максимальная интенсивность I s = 3/г /п,= 721П; Д = ‘/2, h l h = 3.

/ к sin2 о; — р/ 1 0 0 1

минимальная 1 Р =

4 9 8 . =

49 9 .

500 .

501 . =

р/ 2 0 0 2 2

^ = 2т2 — 1 3

л/ш - 1 \2( y / m - WV л/ m + 1 /л/гп +

т — 1

2

: 0,058.

= 1.502 . Свет будет поляризован по левому кругу.503 . Свет останется линейно поляризованным, но плоскость колебаний

электрического вектора повернется на угол 2 а и станет симметрично расположенной со своим исходным положением относительно оси пластинки в полволны.

50 4 . /3, = - J + f = -35°, /32 = J | = +55°.


Р е ш е н и е . Свет не пройдет через второй николь, если электрический вектор перпендикулярен к главной плоскости этого николя, т. е. параллелен

прямой АВ , перпендикулярной к той же плоскости (рис. 134). Ось пластинки должна быть ориентирована по биссектрисе угла AON\ или угла N\OB, ему дополнительного до iг (см. предыдущую задачу). Это дает два значения угла Р, приведенных в ответе.

505 . У = 1 ( 1 — - £ _ )2 , *h 2 V 100/

506 . Возможны два решения:а = 0 , 1.

D / 3 = f :

2 ) / 3 = -- I

4 OLcos. 4 О!

8111 2 ’Рис. 134 где /3 — угол, на который должен быть повер

нут николь Щ относительно николя N\.507 . Р еше и не. Условие образования темной полосы минимального по

рядка будет либо d{ne - п 0) = т \ 2 + У4А2 , либо d{ne - п 0) = т \ 2 + 3/4А2, в зависимости от направления вращения и ориентации николя. Здесь А2 — наибольшая длина волны в падающем свете, для которой т есть целое число. Аналогичное условие для минимальной длины волны Ai будет либо d{ne — п 0) = (га + к)Х\ + У4А1 , либо d{ne — п 0) = (га + к)Х\ + 3/4Аь Исключая ш, в обоих случаях получим

£ _ djrie - Пр)(Х2 - Ai) _Ai А2

508 . 12 полос.Р е ше н и е . Разность хода между необыкновенным и обыкновенным луча

ми, вносимая кварцевой пластинкой, равна А = d(ne — п 0). Подставляя сюда числовые значения d, пе, п 0, нетрудно убедиться, что эта разность для длин волн Ад и Af практически одинакова. Число длин волн Ад, укладывающихся на интервале А, будет к\ = А/Ад. Соответственно к2 = А/Ад. Число темных полос равно к2 — к\ = 1 2 , так как темные полосы получаются в местах спектра, соответствующих тем длинам волн, для которых состояние поляризации не изменяется в результате прохождения через кварцевую пластинку, т. е. для которых разность хода А составляет целое число длин волн.

50 9 . т « Лшкс(пех ~ По) « 1 0 полос.

510 . А 2 = a2 {cos2(a — f3) — s in 2 а sin2/3sin2 (6/2)},

A 2 = a2 sin2 2a sin2 (5/2) (николи скрещены),

A 2 = a2( 1 — sin2 2asin 2 (A/2)) (николи параллельны).Здесь 5 — разность фаз между двумя главными компонентами прошедшей волны, которая вводится пластинкой, а — амплитуда падающей волны.

511. / = ^ sin2 2asm2(5/2) = 0,19/о, где 5 = ^ d(ne — п 0) ~ ц 7г.2 А 2512 . Отношение яркостей: 1) пропорционально квадрату косинуса угла

поворота; 2 ) пропорционально квадрату котангенса угла поворота.513 . Р е шение . После прохождения через поляризатор свет становится

линейно поляризованным. В кристаллической пластинке он распадается на


две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях и распространяющиеся с различными скоростями. Поэтому если свет монохрома- тичен, то между этими волнами после прохождения через пластинку возникнет разность фаз, и при сложении они дадут, вообще говоря, эллиптически- поляризованную волну. Ориентировка и форма эллипса будут зависеть от разности фаз. При одной и той же толщине пластинки они будут меняться с изменением длины волны. В частности, эллипс может вырождаться в прямую. Доля света, проходящего через анализатор, зависит от формы эллипса и его ориентации относительно главной плоскости анализатора. Поэтому если падающий свет белый, то различные монохроматические компоненты его, вообще говоря, в различной степени будут пропущены системой, с чем и связана наблюдаемая окраска.

514 . Когда главная плоскость анализатора параллельна главным направлениям в пластинке.

516 . У исландского шпата очень большая разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, так что даже в тонких пластинках получаются большие разности хода, при которых интерференция в белом свете невозможна.

517 . Р ешение . Когда пластинки одинаково ориентированы, то вносимая ими разность хода велика, т. е. соответствует высокому порядку интерференции. В белом свете интерференция высоких порядков, как известно, наблюдаться не может. Если одну из пластинок повернуть относительно другой на 90°, то вносимая ими разность хода будет такая же, какая вносится тонкой пластинкой, толщина которой равна разности толщин рассматриваемых пластинок. Если эта разность толщин мала, то может получиться настолько малая разность хода, что будет возможна интерференция в белом свете.

518 . 5,97 и 28,57.519 . 14,91 и 19,50.520 . В синий цвет (дополнительный к оранжевому).521 . 1) Когда главные направления пластинки совпадают с главными плос

костями николей; 2 ) когда пластинка вырезана перпендикулярно к оптической оси; 3) когда разность хода, сообщаемая пластинкой, равна четному числу полуволн.

522 . d = 0,07 мм.523 . 1) Николи скрещены и пластинки параллельны: разность хода A R =

= d\An\ + d2A n 2 ~ 3Ai, где Ai « 6000 А. Поле зрения окрашено в красный цвет (третьего порядка).

2) Николи параллельны, а пластинки скрещены: A R = d\An\ — d2A n 2 ~ « А2 ~ 5000 А. Поле зрения окрашено в зеленый цвет (первого порядка).

5 2 4 . г = Пе ~ П° 1п'е - п'0 а

525 . На частоту 2и.526 . Надо повернуть на одинаковый угол и анализатор и поляризатор,

между которыми вставлена пластинка.527 . При повороте на 360° получаются цвета: 2 раза сине-зеленый второго

порядка, 2 раза желтый первого порядка, 2 раза чувствительный оттенок первого порядка.

528 . Вследствие плеохроизма.529 . Р е ше н ие . Поставим на пути света пластинку в четверть волны

и николь. После прохождения пластинки свет становится линейно поляри-


зованным, причем направление колебания электрического вектора составляет угол ±45° с осью кристалла. На рис. 135 а указано это направление для правополяризованного и левополяризованного света в случаях, когда пластинка сделана из положительного одноосного кристалла. Направление это определяется с помощью анализатора. Рис. 135 6 относится к случаю, когда пластинка сделана из отрицательного кристалла.

Ось кристаллаУ Направление

света

Ось кристалла^Н ап равл ен и е

света

Правополяризованныйсвет

Левополяризационныйсвет

Левополяризационныйсвет

Правополяризованныйсвет

Рис. 135

530 . Р е ш е н и е. Поставим на пути света пластинку в четверть волны и николь. Если при вращении николя и при любом положении пластинки интенсивность не меняется, — естественный свет, если интенсивность меняется и падает до нуля, — поляризованный по кругу свет, если же интенсивность меняется, но не падает до нуля, — частично поляризованный по кругу свет.

Вместо пластинки можно применять компенсатор Бабине и установить его так, чтобы он вносил разность хода в А/4.

531 . Надо поместить на пути распространения света пластинку в четверть волны, а за ней николь. Если вращением пластинки вокруг направления луча можно найти такое положение, при котором свет, прошедший через нее, можно погасить последующим вращением николя, то падающий свет был эллиптически поляризован. Если это сделать не удается, то мы имеем дело либо со смесью естественною света с линейно поляризованным, либо со смесью естественного света с эллиптически поляризованным. Для того чтобы отличить друг от друга эти два последних случая, на пути света ставят сначала только один николь и устанавливают его на минимум интенсивности проходящего света. Затем перед николем помещают пластинку в четверть волны. Вращением пластинки и николя снова добиваются минимума интенсивности. Если этот минимум интенсивности получается при прежнем положении николя (или при повороте его на 180°), то мы имеем смесь естественного света с линейно поляризованным. Если же для получения минимума требуется повернуть николь на некоторый угол, — то смесь естественного света с эллиптически поляризованным.

Вместо пластинки в четверть волны можно применять компенсатор Бабине. Не обязательно устанавливать компенсатор так, чтобы он вносил разность хода точно в А/4, а лишь приближенно. Большой точности в такой установке не требуется.

532 . 1) sin 2/ = sin 2i sin 5; 2) tg20 = tg2icos5, где в — угол между одним из главных направлений пластинки и одной из полуосей эллипса, а искомое отношение полуосей равно tg /.

Решение. Линейно поляризованный луч по выходе из пластинки превращается в эллиптически поляризованный, характеризуемый эллипсом колеба-


ний:х = a cos out, у = bcos(out + 5).

Для определения полуосей полученного эллиптического колебания найдем компоненты светового вектора х' и у' на оси координат, повернутые на угол 0 относительно первоначальной системы осей, совпадающих с главными направлениями пластинки:

х = a cos 0 cos иЛ + Ъ sin 0 cos(ic;£ + 5) = A cos(ic;£ + а ), у = —a sin 0 cos иЛ + 6 cos(out + 5) = В cos(out + /3),

где А и В определяются из следующих уравнений:

A cos а = a cos 0 + b sin 0 cos A sin а = 6 sin 0 sin В cos (5 = —a sin 0 + Ъ cos 0 cos 5, В sin (3 = b cos 0 sin (532.1)

ОтсюдаA2 = a2 cos2 0 + b2 sin2 0 + ab sin 20 cos В2 = a2 sin2 6 + b2 cos2 0 — ab sin 20 cos

Складывая и вычитая, получаема 2 73)2 2 , 7 2 73)2А - Б = а +6 = Я ,

А2 — В2 = (a2 — 62) cos 20 + 2ab sin 20 cos

(532.2)

(532.3)(532.4)

где R — амплитуда волны, прошедшей через поляризатор. Для того чтобы амплитуды А и В соответствовали колебаниям вдоль осей эллипса, необходимо выбрать угол 0 так, чтобы разность Д2 — В2 была максимальной или минимальной. Приравнивая первую производную нулю, получаем

tg2fl = Л , о cos (532.5)az — bz

Из (532.1) находим

ABsm(a — (3) = — ab sin 5,2 _ 7 2

AB cos(a — (3) = ab cos 20 cos S — — sin 20 (532.6)

илиД Б cos(o! — /3) _ a2 — b2

ab cos 20 cos S 2abcosStg 20.

Подставляя вместо tg20 его значение из (532.5), получаем —---- —---- - = 0,ao cos 20 cos ооткуда cos(a — /3) = 0 , ( а - f3) = ± т г /2 . Следовательно, из первого уравнения

(532.6) имеем AB = ±absin5. Так как b/a = tg г, то

sin 2% 2(1 h^ Т б 2’ cos 2 i (г tr

^ Т б 2’ tg 2 i 2ab

a2 — b2Таким образом, уравнение (532.5) будет иметь следующий вид:

tg 20 = tg 2icos5.


Полагая tg I = В/А, найдем

sin 2 / = 2 АВ

А 2 + В 2

2 absinS . г—— ттг = sm sm о. az + bz

533 . Р е ше н ие . Когда угол между главной плоскостью поляризатора и одним из главных направлений исследуемой пластинки равен г и 90° — г, свет, прошедший через пластинку, имеет одинаковое отношение полуосей В/А (см. решение задачи 532).

Обозначим через 2а угол между одноименными полуосями подобных эллипсов, соответствующих этим случаям. Тогда 2а = 90° — 2(г — 0) или 20 = = 2(а + г) — 90°, где 0 — угол между одним из главных направлений пластинки и осью эллипса. Из соотношения tg20 = tg2icos5 получаем

с- ctg 2{% + а)COSO = ---tg 2%

Измерение величин г и а можно провести двояко:1) Поместив исследуемую пластинку между скрещенными николями, опре

деляют ее главные направления. Повернув затем пластинку на некоторый угол г, помещают за ней вторую пластинку, при помощи которой эллиптическое колебание превращают в прямолинейное. Полученное колебание тушится анализатором. Поворачивают исследуемую пластинку на угол 90° — г, скрепляют анализатор с компенсирующей пластинкой и, поворачивая его, находят новое положение полного затемнения. Угол поворота анализатора 2а.

2) Компенсирующую пластинку скрепляют с анализатором и, поворачивая его и исследуемую пластинку, находят оба положения полного затемнения. Тогда угол поворота исследуемой пластинки равен 90° — 2г или 90° + 2г, а угол поворота анализатора 2 а.

534 . Р ешение . 1) Если свет поляризован по кругу, то слагающие колебания по координатным осям могут быть представлены в виде

х = acosu t, у = asinujt.

После прохождения через кристаллическую пластинку, сообщающую некоторую разность хода, уравнения колебаний могут быть написаны так:

х = acosout, у = a sin(ujt + 5).

При угле а между главной плоскостью анализатора и одним из главных направлений пластинки результирующее колебание при выходе из анализатора будет

a cos a cos ut + a sin a sin(ic;£ + 5) == a(cos a + sin a sin 5) cos cut + a sin a cos 5 sin cut;

отсюда получаем для интенсивности

/ = a2 {(cos a + sin a sin 5)2 + (sin a cos 5)2} = a2(l + sin 2a sin 5).

2) При постоянном значении 5 интенсивность достигает максимума или минимума, когда cos 2а = 0, т. е. когда а = х/а к , Если sin 5 > 0, то первому


значению соответствует максимум, а второму — минимум; при sin 5 < 0 — наоборот.

535 . Р ешение. Согласно предыдущей задаче интенсивность света, прошедшего через анализатор,

/ = а2 (1 + sin 2а sin S).При постоянном угле а интенсивность будет минимальной, когда

3 7sin 5 = — 1, т. е. при 5 = -7г, -7г, ...,

и максимальной, когда1 5 9Sin 5=1 , Т. е. ПрИ S = —7Г, -7Г, -7Г, ,’ н 2 ’ 2 ’ 2 ’

если sin 2а > 0. Если же sin 2а < 0, то в первом случае будет минимум, а во втором — максимум интенсивности. Следовательно, в поле зрения будут видны чередующиеся светлые и темные полосы. При вращении клина будет меняться угол а и, следовательно, в каждой точке клина будет изменяться интенсивность.

При углах а = 90, 180 и 270° весь клин будет освещен равномерно, а при углах а = 45, 135, 225, 315° будет наблюдаться наиболее резкая разница в интенсивности темных и светлых полос, причем при переходе через углы а = 90, 180, 270° темные полосы будут переходить в светлые, а светлые — в темные.

536 . Р ешение. Разложим мысленно световую волну на две составляющие, электрические векторы которых взаимно перпендикулярны и параллельны главным осям пластинки. При введении пластинки интерференционные полосы от каждой составляющей сместятся.Если введенная пластинка является пластинкой в полволны, то разность смещений составит половину ширины полосы. В этом случае при введении пластинки интерференционные полосы пропадут. При введении поляроида они появятся вновь. Исключение составляет случай, когда оси поляроида наклонены под углом 45° к осям пластинки. В этом случае интерференционные полосы наблюдаться не будут.

537 . Р ешение. В системе главных осей X , Y эллиптическое колебание описывается уравнениями Ех == a cos cut, Еу = b sin out (рис. 136). Перейдем к новой системе £, р, оси которой являются биссектрисами прежних координатных углов. В этой системе то же колебание представится в виде

Рис. 136

Щ

Erf

1

i

(a cos иЛ + b sin cut)

(—a cos oot + b sin out)

a2 + b22

cos (out — (/?),

-b2 cos[ic;£ — (7Г ¥>)],2


где р — острый угол, определяемый уравнением tgp = Ъ/а. Колебания вдоль осей £ и г] совершаются с одинаковыми амплитудами д/(а2 + 62) /2, причем колебание вдоль оси £ опережает по фазе колебание вдоль оси р на угол 5 = = 7Г — 2р.

Внесем кристаллическую пластинку так, чтобы ее оси были ориентированы вдоль £ и р и чтобы она изменила разность фаз до =Ьтг/2. Для этого должно быть выполнено соотношение

(cut — р — k^l) — (cut — 7г + р — kvl) = =Ьтг / 2,

откудаj _ 2р - тт± тг/2 _ (^/тг - У2 ± У4

пrj — П£Тогда волна перейдет в волну, поляризованную по кругу. Знаку плюс соответствует то же направление вращения, что и в исходной эллиптически поляризованной волне, а знаку минус — противоположное. Такой же результат получится, если толщину пластинки изменить на шЛ/(ггг? — щ), где m — целое число.

Л2 1538. d = 1,5 мм.25Х (п0 — пе) — X(dn0/ d \ — dne/dX)539. Р ешение. Как следует из закона преломления (рис. 137),

sin фе _ П0 sin фо Не

В призме николя сечение ВС перпендикулярно к ее основаниям АВ и CD, а по условию задачи волновая нормаль необыкновенной волны должна быть параллельна длинному ребру призмы. Поэтому

а = 7Г

2 Фе •

Далее, по условию задачи

Ф о — 2 — Ф + £) 5

где Р — предельный угол полного внутреннего отражения на границе ВС для обыкновенного луча. Он определяется уравнением sin/З = п/п0. Подставляя числовые значения п, п0 и пе, находим

Р = 68° 15', ф0 = 20°, фе = 22°, а = 68°.

Рис. 137


Наконец,

540. Для канадскоге бальзама а/Ь = 4,93, апертура 2р = 34°20/. Для льняного масла а/Ь = 4,14, апертура 2р = 40°50/.

Решение. Поскольку в рассматриваемом случае электрический вектор направлен либо перпендикулярно к оптической оси (обыкновенная волна), либо параллельно ей (необыкновенная волна), направления волновых нормалей и световых лучей совпадают. Необыкновенный луч, падающий на плоскость разреза ВС (рис. 138), всегда проходит через нее и притом без отклонения.

В а D

Ъ

С

В частности, через призму могут проходить необыкновенные лучи, направленные по ее диагонали. Таким лучам соответствует максимально возможный угол падения р, при котором имеется необыкновенный луч, проходящий через призму. Если угол падения превышает р, то нет ни одного необыкновенного луча, который мог бы пройти через призму: в этом случае необыкновенный луч попадает на боковую поверхность призмы и поглощается на ней. Углу р соответствует угол преломления необыкновенного луча фе, определяемый соотношением

tg Фе = -• а

Подберем отношение а/Ь таким образом, чтобы при углах падения, не превышающих предельного угла р, ни один обыкновенный луч не мог пройти через разрез ВС, а испытывал бы на нем полное внутреннее отражение. Для этого достаточно, чтобы обыкновенный луч SO, падающий на АВ снизу под углом р, встречал плоскость разреза ВС под предельным углом полного внутреннего отражения (3: sin/З = п/п0. Как видно из рис. 138,

0 = | - (Фе+Фо), и следовательно, должно быть

соз(фе + ф0) = — .П0Добавив сюда закон преломления:

sin i f = По sin фо = пе sin фе ,получим полную систему уравнений для нахождения искомых величин: отношения а/Ь и апертуры 2р. Из нее находим удобные расчетные формулы:

(■П2о ~ п 2 ) ( ^ 2 ) + [п1 -п\- 2п(п + Пе) ] ^ 2 ~ (п + Пе)2 = О,Пе

Т Т т Щ Щ 'sm< =


541. Р ешение. Для того чтобы обыкновенный луч, падающий на грань АВ снизу под углом р (рис. 139), испытал полное внутреннее отражение от плоскости разреза ВС, необходимо, чтобы угол падения на эту плоскость

превосходил предельный угол полного внутреннего отражения:

а-фо^Ро , sin(30 = (541.1)П0Обыкновенный луч, падающий на АВ сверху, тем более испытает полное внутреннее отражение.

Для того чтобы необыкновенный луч, падающий на грань АВ сверху под углом р' , прошел через плоскость разреза ВС , необходимо, чтобы он падал на ВС под углом, не превосходящим предельного угла полного внутреннего отражения:

а + ф'е^фе, sm(3e = —. (541.2)ПеТогда необыкновенный луч, падающий на АВ снизу, пройдет через ВС. Наибольшей апертуре призмы соответствуют в (541.1) и (541.2) знаки равенства. В этом случае угол р + р' равен апертуре призмы. Потребовав дополнительно р = (//, будем иметь

а - ф о = фо, а + фе = фе, (541.3)причем

sin р = п0 sin ф0 = пе sin фе, (541.4)tga = (541.5)

Отсюда могут быть найдены все интересующие нас величины. Из (541.3) получаем

Ф о + ф е = Р е - фо = 5°12'. (541.6)Таким образом, углы ф0, фе, р малы, и их синусы можно заменить самими углами. Это дает для апертуры

2<р = (Ре - Ро) = 8° 10' (541.7)П 0 + П е

и для отношения сторон

а/Ъ = tg {Ро + ф0) = tg {Ро + tp/по) = 0,826.(541.8)

Таким образом, из всех поляризационных призм рассматриваемая призма является наиболее короткой. Практически эту призму распиливают не по диагонали, а как указано на рис. 140, чтобы легче монтировать ее и предо-


хранить поверхность распила от запыления. Но все же и на практике отношение длины к ширине остается меньше единицы.

542. Р е ше н и е . Исключая Н из формул (473.3), получим

откуда

v2B - с2Е = —c2(NE)N,

(DE)2 2 V = С = D2 ’

(542.1)

(542.2)

543. Р еше н ие . Первые два утверждения непосредственно вытекают из формулы (542.2), а также из связи между векторами D и Е:

Da = ^ 2 SapEp (а, /3 = X, у, z).

Векторы Е и D определят плоскость, к которой перпендикулярен вектор Н. После этого определится вектор N как перпендикулярный к плоскости DH или к плоскости ЕН

544. аа = с /у/е^ (а = ж, у , z), где аа — нормальная скорость волны, когда электрический вектор направлен вдоль диэлектрической оси а. Три величины аа называются главными скоростями света в кристалле.

545. Р е ш е н и е . Выражая в левой части (542.1) вектор Е через D, получим

D a = ~ ^ ^ ( N E ) N a (a = x , y , z ) . (545.1)V —

Умножая обе части этого равенства на N a , суммируя по а и замечая, что (ND) = О, найдем

Е N1 О, (545.2)

или более подробно

N1 +N2 1Уу + N1 = 0. (545.3)

Эта формула называется законом Френеля для нормальных скоростей света в кристалле. Чтобы не исследовать особо случаи, когда один или несколько знаменателей обращаются в нуль, закон Френеля лучше писать в виде

/ 2 2 \ / 2 2 \ Дт2 . / 2 2 \ / 2 2 \ дт2 . / 2 2 \ / 2 2 \ дт2 г\(V - ay)(v - a z )Nx + (v - az )(v - ax)Ny + (v - ax){v - a y)Nz =0.

546. P еше ние . Запишем закон Френеля (545.4) в виде(545.4)

F(v2) = (v2 - ay)(v2 - az) N 2 + (v2 - az)(v2 - ax)Nl++ (v2 — a2x)(v2 — a2y) N 2z = 0. (546.1)

Это квадратное относительно v2 уравнение имеет два вещественных положительных корня. Для доказательства выберем координатные оси так, чтобы

Ox Uy Oz • (546 .2)


Тогда

F{cLx) (ах &у)(&Х &z) О,F(ay) ( г/ &г)(&у ^ж) ^ 5F(a2z) = ( 4 - а\){а\ - а2у) ф 0.

Отсюда видно, что (546.1) имеет два вещественных положительных корня,/9 2 2 *-* / /2 2 2один из которых v лежит между аж и ау, а другой v — между ау и а2.

Этим корням соответствуют две волны, распространяющиеся с нормальными скоростями v' и v":

ах ^ v ^ ау ^ ^ az. (546.3)Линейная поляризация каждой из волн следует из соотношений:

D'x : D'y : D'z =

D" : D" : D" =

N x

N x

N v

Nv

N z

N z (546.4)

которые получаются из (545.1). Штрихами обозначены величины, относящиеся к одной волне, а двумя штрихами — к другой волне. Формулы (546.4) показывают, что для обеих волн отношения Dx : Dy : Dz вещественны. Физически это означает отсутствие сдвига фаз между колебаниями Dx, Dy, Dz, откуда и следует линейная поляризация обеих волн. Умножая теперь скалярно первое из уравнений

u,2D' - с2Е' = —c2(NE')N, u"2D" - с2Е" = —c2(NE")N

на D", а второе на D', вычитая из одного уравнения другое и замечая, что (E'D") = (E"D'), (D'N) = (D"N) = 0, получим

(v/2 - v"2)(D’D") = 0. (546.5)

Отсюда при г/ ф v" получаем (D'D") = 0, что и требовалось доказать.547. Р ешение. Из формулы (546.3) следует, что равенство v' = v"

возможно только при условии v1 = v" = ау. Подставляя в (546.1) той же задачи v = ау, находим

(a2 - a2)(a2 - a2x)N2 =0.Если все три главные скорости различны, то отсюда следует Ny = 0, т. е. оптические оси, если они существуют, лежат в координатной плоскости ZX. Угол /3 между оптической осью и осью Z найдется из формулы (545.3), если в ней положить v = ау, Ny = 0. Это дает

(547.1)

где пх, пу, nz — главные показатели преломления кристалла. Таким образом, оптические оси первого рода лежат в координатной плоскости Z X и симметрично расположены относительно оси Z.


548 . 1) Оптическая ось совпадает с осью Z (положительный кристалл)/ //2 2 2 , 2 - 2 v = aXj v = ах cos а + az sm а,

где а — угол между оптической осью (осью Z) и нормалью к фронту волны. 2) Оптическая ось совпадает с осью X (отрицательный кристалл)

// /2 2 - 2 , 2 2 v = aZl v = ах sm а + az cos а,

где а — угол между оптической осью (осью X) и нормалью к фронту волны.550 . Р е шеи не. Все формулы кристаллооптики, в которых речь идет о

распространении волн вдоль волновых нормалей, получаются из формул

D = — - [NH], Н = - [NE], Da = s aEa.V V

Путем векторного умножения первых двух уравнений на s этой системе легко придать вид

Е = — - [sH], H = - [ s D ] , Ea = — Da,С С С а

откуда и следует доказываемая теорема.551 . Результат легко получить с помощью теоремы обращения.552 . Оптические оси первого рода лежат в плоскости Z X симметрично

относительно оси Z , образуя с ней угол у, определяемый формулой

tg 7 = Oz_

Ux tg /з.

Отсюда следует, что оптические оси первого рода расположены ближе к оси Z, чем оптические оси второго рода.

553 . Кристалл положителен, если nz - пу > пу — пх, и отрицателен, еслиTLZ Пу ^ Пу Пх .

554 . Кристалл положителен.556 . 1) Оптическая ось направлена вдоль оси Z (положительный кри

сталл):/ 1 1 2 , 1 . 2и = аХ1 —г = — cos а + — sm а, и"г аАх azz

где а — угол между оптической осью (осью Z) и направлением луча.2) Оптическая ось направлена вдоль оси X (отрицательный кристалл):

// 1 1 - 2 , 1 2и = az, —г = sm а Н— г- cos а. ии azx azz558 . Решение. Компоненты вектора индукции D в кристалле связаны

с компонентами вектора напряженности электрического поля Е соотношениями:

Dx — СххЕх + 8ХуЕу ~\~ £XzEz,Еу = Сух Ех + СууЕу + £yzEZj (558.1)Dz = szxEx + szyEy + £zzEz.

Кристаллы три-, тетра- и гексагональной систем имеют ось симметрии соответственно третьего, четвертого и шестого порядков. Примем эту ось за


ось Z прямоугольной системы координат, а оси X и Y выберем произвольно. Ради определенности рассмотрим кристалл тетрагональной системы. Координатную систему неподвижно свяжем с кристаллом. Сохраняя неизменным направление электрического поля в пространстве, повернем кристалл вокруг оси Z на 90° (рис. 141, положения / и II).

Положение II

Рис. 141Компоненты векторов D и Е относительно повернутой системы координат

будем обозначать штрихами. Так как свойства кристалла в произвольном направлении не изменяются при повороте этого направления в кристалле на 90° вокруг оси Z, то в повернутой системе координат справедливы соотношения:

Е х £ххЕХ Т &ХуЕу Т &XzEzlD y — еухЕ х + еууЕу + syzE zl (558.2)D z = szxE x + £zyE y + szzE z.

Но компоненты векторов E и D в первоначальной и повернутой системах координат связаны соотношениями (см. рис. 141, положения I и II):

Е'х = Е у , Еу = —E Xl E z = E z,

D x = D y , D'y = - D x , D'Z = D Z.

На основании этих соотношений уравнения (558.2) переходят в следующие:

Dy = SxxEy SxyEx Т £xzEz ,

D x = £ухЕу £ууЕ х T £yzEZj Dz = SzxEy — SzyEx + £zzEz .

Эти уравнения, равно как и уравнения (558.1), справедливы, каков бы ни был вектор Е, что возможно лишь при выполнении соотношений: £хх = £уу, еху = = —£уХ, £xz = —£yz, £xz = £yz• Из этих соотношений и из симметрии тензора £ следует, что недиагональные элементы этого тензора обращаются в нуль.

Далее, так как £хх = еуу, то для любого вектора Е, перпендикулярного к оси Z, имеем D = £ЖЖЕ. При таком направлении Е кристалл ведет себя как изотропная среда. Все направления, перпендикулярные к оси Z в оптическом отношении, характеризуются одинаковыми свойствами. Отсюда следует, что кристалл одноосный, причем его оптическая ось направлена параллельно оси Z.


Таким же методом могут быть разобраны кристаллы три- и гексагональной систем.

560 . См. рис. 142 (о — обыкновенный луч, е — необыкновенный).

Отрицательный

в

Рис. 142

561 . Кристалл положителен, ось наибольшей диэлектрической проницаемости перпендикулярна к пластинке.

562 . Перпендикулярно к любой из диэлектрических осей кристалла.


563 . Вследствие того, что в кварце происходит вращение плоскости поляризации. Угол поворота плоскости поляризации для пластинки кварца толщиной в 1 мм меньше 180° для видимого света любой окраски.

564 . Если пластинку, вырезанную перпендикулярно к оптической оси из кварца, т. е. вещества, вращающего плоскость поляризации, поместить между двумя скрещенными николями, то такая система будет пропускать свет (см. решение предыдущей задачи), и картина не будет меняться при вращении пластинки вокруг направления распространения света. Если пластинка вырезана параллельно оси, то явление значительно усложняется. Линейно поляризованная волна, вступая в пластинку, распадается на две линейно поляризованные волны, распространяющиеся с разными скоростями. Разность фаз между ними будет поэтому изменяться, и свет из линейно поляризованного превратится в эллиптически поляризованный. Система также будет пропускать свет, но интенсивность его будет меняться при вращении пластинки вокруг направления распространения света.

565 . Вследствие дисперсии вращательной способности кварца.566 . Из -за отличия направления вращения плоскости поляризации (лево-

и правовращающий кварц).567 . 1) Если поместить пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно

к оптической оси, между скрещенными николями и осветить систему монохроматическим светом, то она будет пропускать свет; повернув анализатор на угол, меньший 90°, можно снова погасить свет. Если при этом наблюдатель должен вращать анализатор по направлению часовой стрелки, то кварц будет правовращающий, если же против часовой стрелки, то левовращающий.

2) Если осветить систему белым светом, то пластинка будет казаться глазу окрашенной. Если вращать анализатор по часовой стрелке, то для правовращающего кварца окраска меняется в сторону коротких длин волн видимого спектра. Для левовращающего кварца порядок изменения окраски обратный.

568 . d = 4,5 мм.569 . 1) 7,5 мм; 2) 3,75 мм.570 . d = 7гА3/(8В5Х) « 1900 мм (в формуле предполагается, что угол

вращения плоскости поляризации измеряется в радианах).571 . Ап = рХ/{тг1) « 1,1 • 1(Г 8.572 . Ап = 7,1 • 1 0 -5.573 . Р е ш е н и е. Прибор помещается между параллельными николями

так, что линия соприкосновения правого и левого кварца совпадает с главным сечением поляризатора. Однородное освещение поля зрения будет наблюдаться только в том случае, когда одно из главных направлений в пластинке совпадает с главным сечением поляризатора. При применении монохроматического света можно добиться наиболее выгодного условия для работы прибора, изменяя толщину клиньев так, чтобы угол вращения плоскости поляризации для данного света был близок к 90°. В этих условиях прибор наиболее чувствителен к отклонению одного из главных направлений в пластинке от главного сечения поляризатора.

574 . Угол в между направлением движения частицы и волновым вектором к (или, что то же, волновой нормалью N) излучения Вавилова-Черенкова определяется уравнением

cos в = N)V (574.1)

§ 8 . Скорость света 221

где v — нормальная скорость волны (т. е. скорость распространения фазы в направлении N), зависящая от частоты и и направления нормали N, а V — скорость частицы в среде. Скорость v в данном направлении N может иметь два значения v\ и н2. В соответствии с этим уравнение (574.1) разбивается на два:

cos(9i = — S cos 62 = — -. (574.2)V V

Излучение Вавилова-Черенкова в кристалле образует, вообще говоря, две сложные конические поверхности, образующие которых (волновые нормали) определяются уравнениями (574.2). Излучение возможно лишь при выполнении одного из условий: v\ < V или н2 < V. При некоторых значениях V может получиться одна коническая поверхность или ни одной. Наконец, возможен случай, когда получается лишь часть какой-либо из конических поверхностей(574.2) (поскольку v\ и н2 зависят от направления N). Конусам нормалей(574.2) соответствуют конусы лучей, которые могут быть найдены по общим формулам кристаллооптики.

§ 8. Скорость света576 . Аберрация света есть изменение направления распространения свето

вой волны при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой. Если бы скорость Земли v относительно звезды оставалась неизменной, то движение Земли сказалось бы только на кажущемся положении звезды на небесном своде и аберрация не могла бы наблюдаться. Аберрация света возникает вследствие изменения v, обусловленного вращением Земли вокруг Солнца. Угол аберрации А в определяется разностью относительных скоростей Земли Av в диаметрально противоположных точках земной орбиты: tgA0 = У2Ан/ с. Эта разность относительных скоростей, а с ней и угол А в одинаковы для всех звезд и не зависят от собственного движения последних.

577 . 1) 0,32"; 2) в 64 раза.578 . с = ADZN/(2n - 1) = 2,99 • 105 км/с.579 . и = (о/ — uj) / (к' — к) = duj/dk.580 . и = v — Xdv/dX, где Л — длина волны в среде (формула Рэлея); и =( л , X dn\= v{l + - ^ ,п dX;583 . 1) и = а = v\ 2) и = i\CX

5) и =л/с2 + Ь2Х2

с ^ 1= —; 6) и = —V £/jL

V З а= 2; 3 ) И = 2ТХ =

фц) '

3 2а- v; 4) и = — = 2v\ z Л

dujг . uj I

Ф + 2Щ584 . £ = 1 + А/ои2, где А — постоянная.586 . и = с2/у = с sin а. См. задачу 592.587 . Р е ш еи не. Пусть при К 0 в контуре совершаются свободные

колебания:I = 10еш\ V = V0eiLUt,

где / — сила тока в контуре, а V — напряжение на обкладках конденсатора, связанные между собой соотношением


Если в момент t = 0 в контур ввести сопротивление R , то, начиная с этого момента, колебания будут описываться уравнением

T/~ ,d 2I „ dl I

L{uj)№ + R H + c W) = 0,

откудаI = I0eiat, t> 0,

где uj — комплексная частота, определяемая уравнением

ojL(oj) 1ujC(uj)

= iR.

Если R исчезающе мало, то ш должна отличаться от ш также на исчезающе малую величину. Но и удовлетворяет уравнению

ojL(oj)

Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности их дифференциалами, получим

_J__ ti_uj2C2 duj (щС)| (ш — и) = iR ,

откуда и = ш + id, причемR _ d(ujL) 1 d(uuC) _ d(ujL) L d(uuC)

5 duj uj2C 2 duj duj C duo

При определении джоулева тепла надо проинтегрировать выражение RI2 по времени. Поскольку возведение в квадрат — нелинейная операция, необходимо перейти к вещественной форме, т. е. сделать замену

/ -► Re (/) / + /* 2

Энергия, первоначально запасенная в колебательном контуре, будет равна

W = т \ 2 г & . 14 I ш2 + 52 5

или в пределе при 5 ^ 0W = ^ R

4 5 'Подставляя сюда значение для R/5 и пользуясь соотношением шЬ\1$\ = |Vo|, получим

w = Eq| /q|2 djuju) | 670|Vq|2 d(uje)4 duo 4 duo

Если бы между обкладками конденсатора и внутри соленоида был вакуум, то для средних по времени значений магнитной и электрической энергий можно было бы написать

L q\ Iq \24 87Г 87Г


где тш и те — объемы соленоида и конденсатора, а Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей, когда амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в соленоиде равны Vo и /о. Но при заданных Vo и /о поля Е и Н не зависят от среды, заполняющей конденсатор и соленоид. Поэтому предыдущие соотношения остаются справедливыми и в том случае, когда конденсатор и соленоид заполнены веществом. Используя их, получаем следующие выражения для средних по времени значений плотностей электрической и магнитной энергий:

WeW e

Те

1 d(uoe) _ 9 ----- Ибпт - Ц Щ Е 2, Wm = —07Г d(jJ T m 87Г duo

588 . Для средних плотностей энергий и ее потока нетрудно получить

_ = с /edfe , s = UL / f . (ЕЕ*),87г у р duo v 87г у р

откуда и следует требуемый результат.589 . Групповая.590 . Р ешение. Плотность электромагнитной энергии

w = 187Г

d{uo£)duo

(ЕЕ*) + 187Г

d{uop)

duo(НИ*)

— существенно положительная величина. В плоской волне s(EE*) = /х(НН*). Поэтому

d(we) р d{uop) ^ 0

duo £ duoЭто неравенство должно соблюдаться для любых сред, у которых знаки £ и р совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой к2 =

СсГ= — ер > 0. В том же предположении имеет смысл говорить о групповой скорости. Преобразовав предыдущее неравенство к виду

ио duo

^ к dkpvu > О,

легко получить требуемый результат.591 . Р ешение. Записав закон Френеля

Е = О

для нормальной скорости волн в виде

kiио2 — к2а2а

= 0

и дифференцируя по fe, нетрудно получить

ди_ у - N 2adki (V _ a2J 2

I у Njai 14 4 " (^2- 4 ) 2J


Из формулы (545.1) находимУ ' N l = 1 D 2 1 Di^ (v2 - а2а)2 с4 (N E )2 ’ v2 - a 2 c2(NE)iV, ’

V - N 2a a2a = 1 Е К А * ) 2 = 1 ED ^ {v2 - а2а)2 с4 (N E )2 с2 (N E )2 '

Подстановка этих значений в предыдущее соотношение даетдио дио дио дио с2 Гт Гпчтт 1ПЖ = дк~ХвХ + дк~уву + dkZ&Z = ^ tE tND]]-

Из формулы (473.3)

Поэтому[ND] = - [N[NH]] = Щ .

d(jjдк u2D 2

[ЕН1.

Согласно формуле (542.2) h2D 2 = с2(ED) = с2Н2, так чтоduj с г„ тт1 сЕ

* = W | EH| = H s-Наконец, применяя к (542.2) теорему обращения, получим

Е2 ТГ*2о И/'0\

2 2 и = С(D E) С Н 2

Окончательнодси

dk

Рис. 143

с другой стороны

что и требовалось доказать.593 . Можно. Противоречия нет, ибо «зайчик», движущийся

со скоростью v вдоль экрана, не является сигналом. Разных частей экрана достигают фотоны, испущенные в разные моменты, и поэтому сигнал здесь распространяется не вдоль экрана.

594 . В момент t = to + R/c, где R — кратчайшее расстояние от точки наблюдения до экрана, осветится соответствующая ближайшая точка экрана. Затем освещенное пятно будет увеличиваться.

595 . Будем характеризовать точки «видимой» поверхности расстоянием г от точки О и углом в между вектором г и линией ОР (рис. 143). Время испускания света t[, отвечающее точке (г, в), и соответствующее время наблюдения t связаны соотношением

, R R гt\ = t ----- ~ £------- 1— cos в;

t[ - t\ = t[ - t0 + — =C V

поскольку путь г пройден со скоростью v. Отсюдаv ( t - tp)

1 — (v/c) COS вг =


596. Скорость и = dr/d t =1 — (v/c) cos в

максимальна при 0 = 0 и равна

-—V— r . Скорость, перпендикулярная к лучу зрения и± = smO =1 — v/c at

v sin в , максимальна, когда du±/dO = 0, и равна и± макс =\J 1 — V2/с21 — (v/c) cos в'

при угле 0 = 0 макс — a r C C O s ( n /c ) .597. «Видимая» скорость оболочки, как и скорость «зайчика» (см. задачу

593), не являются скоростью какого-либо материального тела или сигнала.598. Источник будет казаться движущимся в направлении, противополож

ном направлению его фактического движения.599. Р е шение . Возьмем сначала за систему отсчета среду. Пусть в ней

распространяется плоская акустическая волна

гр = a cos(ic)t — kr), k = — N,

где N — нормаль к фронту волны. Найдем частоту волны в системе, относительно которой источник неподвижен. Подставляя в предыдущее выражение радиус-вектор источника г = vHCTt + const, находим для фазы: (со - kvHCT)t + + const. Отсюда

Ссист — CJ - kvHCT.Аналогично, для частоты, воспринимаемой наблюдателям,

^набл — CJ k v набл •

Исключая ио и переходя от циклических к обычным частотам, получим

^набл _ 1 — 0 / с ) ( N v H ) __ 1 — ('Снабл/с) COS ©набл __ 1 Т ('Снабл/с ) COS $набл

а ист 1 — 0 / с ) ( N v HCT) 1 — (пист/ c ) COS ©ист 1 (пист/ c ) c o s 0 ЖТ

где ©набл и ©Ист — углы между направлением распространения волны и направлениями скоростей наблюдателя и источника; 0 набл = тг - © набл, 0 ЖТ = = 7г — ©ист — дополнительные к ним углы, т. е. углы между теми же скоростями и линией наблюдатель-источник. При больших скоростях источника или наблюдателя отношение ^н абл /^и ст может получиться отрицательным; тогда в предыдущей формуле следует переменить знак.

л Л П ^набл С Пиабл60 0 . ------= ------------ , где скорости п набл и уИСТ считаются положительными,^ист С + Пист

если они направлены от наблюдателя к источнику.601 . ЬР^Х = 1 + - (N vqth) = 1 — cos 0, где 0 — угол между скоростью

^ист С Систочника и линией наблюдения в системе отсчета, в которой наблюдатель покоится. Волновая нормаль N проведена в той же системе.

60 2 . Р е ш е н и е . Пусть плоскость зеркала перпендикулярна к оси X , а само зеркало движется вдоль этой оси со скоростью v. Тогда при надлежащем выборе начала отсчета времени абсцисса зеркала будет х3 = vt. Представим падающую и отраженную волны в виде

aexp | , a exp jiic/ (t + | .



В силу граничных условий поля падающей, отраженной и прошедшей волн на поверхности зеркала связаны между собой однородной линейной зависимостью с коэффициентами, не зависящими от времени. Это может быть тогда и только тогда, когда фазы этих волн на поверхности зеркала в любой момент времениравны между собой: out — — х 3 = uJt + — х 3, откуда

с с

Сс/ у' 1 — V/с J 2 ^UJ V 1 + v/c с

60 3 . и' = и{ \ =р 2Nv/c). Знак минус соответствует отражению от удаляющегося зеркала, знак плюс — от приближающегося зеркала.

60 4 . Р еше н ие . Лучи от источника S (рис. 144), пройдя через стеклянную пластинку М и линзу L, отражаются от плоского зеркала R , которое

Рис. 144

может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа. Линза L дает изображение источника S на поверхности вогнутого зеркала С , центр кривизны которого совпадает с осью вращения зеркала R. Сосуд Р наполняют исследуемым веществом, в котором измеряется скорость света. Если зеркало R неподвижно, то лучи, отраженные от С и R, снова сойдутся в точке S. Зеркало М отклонит часть лучей в сторону и даст действительное изображение источника в S\. При вращении зеркала R изображение S\ смещается в S[. По величине смещения S\S[ можно вычислить скорость света в исследуемом веществе. Так как цель задачи — ответить на принципиальный вопрос, какую скорость света дает метод Фуко, то воздушные зазоры между R и Р, а также между Р и С можно считать бесконечно тонкими и во всех расчетах пренебречь толщиной этих зазоров.

Обычный расчет проводится следующим способом. На прохождение расстояния от R до С и обратно волновой фронт, распространяющийся с фазовой скоростью, затрачивает время Т = 2D/v, где D — расстояние между зеркалами R и С. За это время R повернется на угол р = ТО, если О — угловая скорость вращения зеркала. Луч, отраженный от зеркала R, вращается с вдвое большей


скоростью. За то же время он повернется на угол а = = 2ТО = (4D/v)Cl.Угол а легко рассчитать по величине смещения S\S[. Таким образом,

v = ADQ

а(604.1)

В этом рассуждении не принято во внимание изменение частоты, которое согласно принципу Доплера должно происходить при отражении света от вращающегося зеркала R. Поэтому оно не дает ответа, что за скорость вычисляется по формуле (604.1).

Поместим начало координат на оси вращающегося зеркала R и направим ось Y по линии пересечения плоскости этого зеркала с плоскостью чертежа. Так как линейные скорости различных точек вращающегося зеркала различны, то и изменение частоты волны при ее отражении от зеркала будет разным в зависимости от того, в каком месте зеркала произошло отражение. Благодаря этому различные точки волнового фронта будут распространяться в среде с различными фазовыми скоростями. Это поведет к вращению волнового фронта в среде. Если за направление положительного вращения принять направление вращения зеркала R , то для угловой скорости вращения волнового фронта в среде можно написать

П' = 1 dv c o s р dy

1 dv dev c o s p doo d y J

где p — угол падения светового луча на зеркало R. Так как v = ос/к, то

dv 1 оо dk v v2

doo к к2 doo оо оои ’

где и — групповая скорость. Остается определить doo/dy. Если оо — частота волны, отраженной от зеркала в точке с координатой у, а оо + doo — с координатой у + dy, то по принципу Доплера — = — О cos р dy, откуда

00 с

— — ^ = - 2 9 , - = - 2 9 — ,c o s p d y с n v

где п — показатель преломления. Таким образом,

О' =оои

- ) .20 —и/ nv

20п

Отраженный от зеркала С волновой фронт будет также поворачиваться при распространении в веществе с угловой скоростью 0 ; и притом, как легко сообразить, в том же направлении, что и падающий волновой фронт. С другой стороны, на прохождение слоя вещества толщиной 2D волновой фронт затрачивает время Т = 2D/v. За это время он повернется в среде на уголCl'T = ----- — 1^. По выходе из сосуда Р в вакуум волновой фронт преломляется, вследствие чего угол поворота увеличивается в п раз и становится равным

^ /rT1 ADCL ( v Л ADCL ADCLm l Т = ----- --------1 = ---------------- .V \и / и V


Этот поворот надо прибавить к повороту 4DO/v, найденному ранее без учета эффекта Доплера. Таким образом, измеряемый угол поворота а в действительности равен

^ _ 4DQ /4DQ _ 4D Q \ _ 4DQ

V \ и V ) и ’так что вместо формулы (604.1) получаем

_ 4DQ

а

Следовательно, метод вращающегося зеркала Фуко дает групповую скорость.60 5 . Метод вращающегося зеркала дает групповую скорость и = v( 1 +

+ — . Так как п = c/v , топ а л /

с п \ 7а- = -----\ = 1,76.и 1 , х dn

+ п d \

Майкельсон на опыте нашел с/и = 1,75.60 6 . Р ешение. Пусть в эфире распространяется световая волна под

углом а к оси Z. Плоскость, проходящую через волновую нормаль и ось Z, примем за координатную плоскость XZ. Если координатная система покоится относительно эфира, то волновое движение можно записать в виде

Е = Ео cos[ic;£ — к(х sin а + z cos а)],

причем скорость света с = и/к не зависит от направления его распространения. Запишем ту же волну в координатной системе, движущейся относительно эфира в направлении оси Z со скоростью v. Если в начальный момент времени обе системы совпали, то координаты в новой системе выразятся через координаты в старой системе формулами

х' = ж, у' = у, z — z — vt.

(604.2)

Значит, волновое движение относительно новой системы представится в виде

Е = Eq cos[ic) t — к(х' sin а + z! cos а)],

где ио1 = и — kv cos а.Таким образом, частота волны при наблюдении в новой системе изменяется.

Напротив, длина волны А = 2тг/к остается без изменения. Фазовая скорость света с' в движущейся системе также изменяется. Она, очевидно, равна

/ сУс = — = с — v cos а. к

(606.1)

От фазовой скорости надо отличать скорость светового сигнала. Она, очевидно, найдется по классической теореме сложения скоростей. Компоненты скорости светового сигнала в неподвижной системе равны с sin а и с cos а. В движущейся системе ж-компонента остается без изменения, а ^-компонента уменьшится на v. Итак, компоненты скорости и светового сигнала относительно движущейся системы координат будут равны их = сх = с sin a, uz = cz — v = с cos а — v. Отсюда видно, что световой сигнал распространяется в движущейся системе


под другим углом к оси Z, чем в неподвижной системе (аберрация света!). Для самой скорости светового сигнала и получаем

2 2 2 2 2 и = их + uz = с — 2cv cos а + v .

В дальнейших расчетах будем пренебрегать величиной v2 по сравнению с с2 В этом приближении

и = с — vcosa, (606.2)

Вт. е. скорость светового сигнала в движущейся системе отчета равна фазовой скорости. Скорость света относительно движущейся системы координат зависит от направления его распространения. Относительно этой системы эфир ведет себя как покоящаяся, но анизотропная среда.

Установив это, допустим, что относительно эфира со скоростью v в направлении оси Z движется наблюдатель с дифракционной решеткой, плоскость которой параллельна плоскости XZ, а штрихи параллельны оси Y . Вторичные волны Гюйгенса, выходящие из двух соседних точек решетки А и В, удаленных друг от другана период решетки d (рис. 145), приходят в точку С и там интерферируют. Первая волна на прохождение от решетки до точки С затрачивает время

и = А СА С

и(0\) с — v cos в\А С / v--- ( 1 Ч— cos 01с V с

а вторая£2 — В С В С В С f v о

----- 1 Н----COS 02с V си(02) С — V cos 02 Так как АС cos 0i = ВС cos 02, то разность времен равна

В С - А С12 — ь\ — -----------.

Для наблюдения фраунгоферовой дифракции точку С надо удалить в бесконечность. Тогда в пределе 0i = 02 = 0, ВС — АС = 0sin0, и мы получаем

t2 - t 1 = <isin в

Для простоты предположим, что падающая волна распространяется в направлении оси Z (т. е. перпендикулярно к плоскости решетки). Тогда а = 0, и' = = и — kv. Вторичные волны Гюйгенса выходят из точек решетки А и В с одинаковыми фазами. В точку С они приходят с разностью фаз

А = сУ(£2 — В) = (си — kv)ds[n° = ^ (l — -^jdsmO.с Л V с /


Для того чтобы в направлении О образовался главный дифракционный максимум, необходимо, чтобы разность фаз А составляла 2ттт, где т — целое число. Это дает

dsmO = тХ!, (606.3)где

А' = Л , . (606.4)1 — V/C

Таким образом, явление происходит так, как если бы эфир покоился, а длина волны смещалась в красную сторону согласно формуле (606.4).

Разобранным методом нетрудно рассмотреть и случай наклонного падения света на решетку. Это предлагается сделать читателю.

60 7 . АЛ = 21 А.608 . 5 А = 0,046 А.60 9 . АЛ « 450 А.61 0 . 5А = 21 А.61 1 . Удаляется со скоростью v = 1380 км/с.61 2 . АЛ = 1,1 А.61 3 . v = 2 км/с.61 4 . Если бы кольцо было сплошным твердым образованием, то его пери

ферия должна была бы иметь большую линейную скорость, чем внутренние края. Напротив, если бы кольцо состояло из отдельных мелких спутников планеты, то для далеких и близких к планете спутников соотношение линейных скоростей было бы обратным. Наблюдая эффект Доплера от краев колец, можно определить, скорость какого края больше, и сделать тем самым однозначный выбор из обоих предположений.

А. А. Белопольский в 1896 г. нашел, что скорость внутреннего края кольца Сатурна равна 21км/с, а внешнего 16 км/с. Отсюда следует, что кольцо Сатурна не может быть твердым образованием, а должно состоять из большого числа мелких спутников.

61 5 . V = 3600 В.61 6 . Л = 2v//Xu = 50см.

§ 9. Теория относительности и оптика движущихся тел61 7 . Фотоаппарат фиксирует лучи, которые приходят в него одновременно.

Поэтому, вследствие конечности скорости света, точки предмета, лежащие дальше от фотоаппарата, чтобы дать вклад в изображение, должны испустить лучи раньше, чем более близкие точки.

Рассмотрим, например, светящийся предмет кубической формы со стороной I, пролетающий на большом расстоянии от точки фотографирования со скоростью v перпендикулярно к лучу света, направленному на фотоаппарат (рис. 146а). Вследствие движения тыльная грань A B E F , невидимая при неподвижном кубе, становится видимой при движении, так как из точек Е и F свет излучился на время 1/с раньше, чем с грани A B C D , когда точки Е и F находились в положении Е' и Е '. На фотографии (рис. 146 6) грань A B E F выйдет в виде прямоугольника А 'В'Е 'F' со стороной A'F' = (v/c)l .

С другой стороны, грань ABCD вследствие сокращения Лорентца будет сжатой в направлении движения в у 1 — v2/c2 раз так, что ее изображение А'В'С'D' на фотографии получится в виде прямоугольника со стороной

§ 9 . Теория относительности и оптика движущихся тел 231

A'D' = 1у/1 - v2/c2 . Нетрудно видеть, что на фотографии общая форма движущегося куба не искажается, так как он кажется повернутым на угол р = = arcsin(n/c) при сохранении своих пропорций (рис. 146 6).

Рис. 146

Аналогично, для движущегося шара вследствие совместного действия запаздывания света и сокращения Лорентца видимая форма шара не искажается: на фотографии он получается в форме круга. Чтобы наблюдать при помощи фотоаппарата сокращение Лорентца в чистом виде, нужно воспользоваться внешним источником освещения, например, лампой-вспышкой, который исключает кажущийся поворот движущихся предметов.

618. Никакой информации о влиянии ускорения на ход часов преобразования Лорентца не дают. На этот вопрос нельзя ответить без рассмотрения конкретного вида часов. Вопрос этот должен решаться экспериментально. Например, ускорение существенно влияет на ход маятниковых часов. А для многих часов (например, основанных на атомных и ядерных переходах) независимость их хода от ускорения установлена на опыте вплоть до гигантских ускорений.

619. Да, можно. В динамическом рассмотрении, однако, обычно нет необходимости (не говоря уже о том, что оно может оказаться очень сложным), поскольку результат следует уже из преобразований Лорентца и, следовательно, получится в любой лорентц-инвариантной динамической теории. Динамическое рассмотрение становится вместе с тем необходимым при детальном анализе нестационарных процессов, например соударений релятивистских частиц.

620. Размер системы в направлении движения /ц = 2 d o / л/\ — v2/с2, а в перпендикулярном направлении l± = do.

621. Концентрация останется неизменной.622. Плотность тока j = ne{ve - щ) (е — заряд электрона, ve — средняя

скорость электронов, щ — средняя скорость ионов). Ее максимальное значение j Mакс = 2пес, поскольку абсолютные значения ve и щ не превосходят скорости света.


623. р= — f0 . где ро — плотность вещества в системе отсчета, где1 - (V/ с)2тело покоится, а р — плотность того же вещества, измеренная в движущейся системе, V — скорость одной системы относительно другой.

624. т = г = — 2 го « 9,5г0 :тег

2,1 • 1(Г5 с.л/\-(32 гпе2625. Р ешение. Систему отсчета, относительно которой наблюдатель

покоится, условимся считать неподвижной, а систему, в которой покоится источник, — движущейся. Полагая (см. решение задачи 599) v = ^набл, пнабл == 0, Нист = Щ 0ист = 0, ПОЛуЧИМ

V _ сЩ С + V cos в ’

где щ — частота световой волны в месте нахождения источника, измеренная с помощью неподвижных часов. Если ее измерить с помощью движущихся часов (т. е. часов, неподвижных в системе источника), то благодаря замедлению хода последних мы получим вместо ь>\ частоту

Щ = ист = У\ \ / 1 - (З2 , Р = - ,С

и следовательно,

1) При 0 = 0 — =щ

C i -/?2 _ C i -/?2щ 1 + (3 cos в 1 — (3 cos в

1-/31 + /3'

2) При 0 = 7Т/2 (поперечный эффект Доплера) v = ^од/1 — Р2. 626. Полагая пИСт = 0, пнабл = Щ ^набл = получим

V 1 + р cos во

щ ~ у 1 - р 2627. Искомая формула получится из требования, что отношение частот

и/щ не должно зависеть от способа вычисления. Пусть одна и та же плоская световая волна наблюдается в двух системах отсчета Ко и К, из которых вторая движется относительно первой со скоростью v. Источник покоится в системе Ко. Пусть во и 0 — углы между направлением вектора v и обратными направлениями луча в этих системах. Тогда

cos# — cos 0о = P(cos6 c o s Oq — 1).

628.C i - / ? 2

1 — pn(h') cos в ’

л/ l - P 2

если Pn(v) cos в < 1,

если Pn{v) cos 0 > 1,pniyV) cos в — 1 ’

где в — угол между вектором v и направлением луча, а п(у) — показатель преломления среды.

629. Р ешение. Пусть в момент t = i! начала обеих координатных систем совпадают между собой. В этот момент поставим отметку в той точке распространяющегося ряда плоских волн, которая проходит через начало координат. Произвольный наблюдатель А, находящийся в «неподвижной» системе отсчета,


начинает счет проходящих мимо него волн в тот момент, когда мимо него проходит сделанная отметка. К моменту времени t он насчитает п = Ф/(27г) волн, где Ф = u t — k r — фаза проходящей мимо него волны в момент t. Наблюдатель А' в «движущейся» системе отсчета производит такой же счет волн и к моменту i! насчитает N ' = Ф//(27г) волн, где Ф' = uc'i! = k V . К моменту встречи мимо обоих наблюдателей пройдут одни и те же волны. Поэтому в момент встречи наблюдателей N = N ' , а следовательно, Ф = Ф'. Это и доказывает требуемое соотношение, так как из рассуждения ясно, что £, г и г' означают время и координаты одного и того же события в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета.

630. Если а — угол между направлением пучка Качаловых лучей и перпендикуляром к линии наблюдения, то должно быть

а < X = 0,22- 1(Г2 рад = 7'.

Указанная в задаче трудность была преодолена Айвсом следующим способом. В спектрограф направлялось излучение не только непосредственно от Качаловых частиц, но и их свет после отражения от зеркала. Плоскость зеркала была установлена перпендикулярно к оси спектрографа. Тогда, если пучок Качаловых лучей образует с перпендикуляром к линии наблюдения угол а, то его изображение в зеркале составляет с этим перпендикуляром угол —а. Таким образом, одновременно наблюдался продольный эффект Доплера, соответствующий продольным скоростям +nsiim и —vsma. Смещенные линии в продольном эффекте должны быть симметрично расположены относительно несмещенной линии. Поперечный же эффект Доплера должен дать для обоих случаев смещение в одну и ту же (красную) сторону. Опыт показал, что смещенные линии в этом случае расположены асимметрично относительно несмещенной линии. Именно, на продольное доплеровское смещение накладывается дополнительное смещение в красную сторону. По положению смещенных линий относительно несмещенной можно рассчитать это дополнительное смещение. Айвс нашел, что в пределах ошибок измерений оно согласуется с релятивистской формулой для поперечного эффекта Доплера.

631. Из -за эффекта Доплера длина волны в системе координат, движущейся вместе с жидкостью, равна Л' = Л + АЛ, причем в первом приближении—— = Здесь п = п(Х). ПоэтомуЛ с/п 4 '

/л/\ /л лл\ dn . л л dn vп(Х) = п(Х + АЛ) « п + — АЛ = п + Хп—сь А Сь А с

с _ с/п ^ с ^dn vп(Х') dn v п dX пА + ---

Из релятивистской формулы сложения скоростей получим

п(Л') + V

1 + п(Х')с

( с л dn v \ Щ 1 v\\ - - X7 ^ - + v ) \ l -------\п а А п /V с п /

с ( Л 1 Л dn \— Ьгч1---- ------ — )п \ nz п ал /

632. Р е ше н ие . Если скорость частицы (в единицах скорости света) равна (3, то ее энергия будет & = 8 ф /д /1 - /3 2 , где &о — энергия покоя.


Отсюда найдем (3. По релятивистской теореме сложения скоростей скорость2вдвижущейся частицы в лабораторной системе отсчета будет (3' = (30ТН =

Зная (3, вычислим (3', а затем у /1 — (З'2. Получим у /1 — (З12 =1 + (32'

2(< - 2 и Далее

г = 0 _ 9У__ сеУТЗДТ2 2 g0 'О-

В случае ультрарелятивистских движений &' = 2&2/&о. Для протонов &о = 0,937 ГэВлу ' и 213 ГэВ.

633. At = — (1 - J \ - I 3 2 ) & - ( - ) = 0,0143 год = 5,24 сут.V С \ С/

634. Ш = тс2 = 9 - 1027 эрг = 9 • Ю20 Дж, М = 13000т, v = су/3/2 = 2,6 х х 105 км/с.

635. Р ешение. Пусть т и v — масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени, а тгаз и vra3 — те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времени. Так как газы, уже покинувшие ракету, не оказывают влияния на ее движение, то можно принять тгаз = 0. Однако dmra3 ф 0, так как газы непрерывно образуются. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем

m v+

П'Цаз'Сгаз = const, (635.1)у/ 1 — V2/с2 V 1 “ газ/с2

т+

Шгаз= const. (635.2)

у/ 1 — V2/с2 V 1 “ ^аз/с2Дифференцируя уравнение (635.1) с учетом (635.2) и полагая в окончательном результате ш газ = 0, получим

у/ 1 — v2/с2dv + (v - vra3) d-

у / 1 — V2/с2

Согласно релятивистскому закону сложения скоростейv — и

Уггз

0.

1 — vu/с2

Исключая Нгаз, после несложных преобразований находимdv u dm

(635.3)

Интегрируя в предположении постоянства и, получим

гщт

1 - А) \ з-_[3\с/2‘ 1+А) 1-/?

(635.4)

где /3 = v/c, (3q = vq/ с. Если начальная скорость vq равна нулю, то

то _ / 1 + (3\с/2и т VI — /ЗУ

(635.5)

При ускорении ракеты и > 0, при торможении и < 0.


636. тот

= ехр -v - V Q (636.1)

(формула Циолковского).A Q 7 f 1 + {3\с/ 2и q Q /1637. т0 = т( ) = 2,84 ■104515 т. Эта цифра невообразимо велика

(масса Земли 6 • 1021 т, масса Солнца 2 • 1027 т, масса Галактики ~ 3 • 1038 т). Было бы необоснованной экстраполяцией применять к телам таких размеров, если бы они существовали, законы физики, установленные для тел совсем других масштабов. Приведенный расчет показывает, однако, иллюзорность и полную бессмысленность пытаться решить проблему межзвездных сообщений с помощью ракет на химическом топливе. Идеальной для решения этой проблемы была бы фотонная ракета, в которой роль газовой струи играет световое излучение, испускаемое ракетой. В этом случае и достигает предельного значения и = с. Для фотонной ракеты формула (636.5) переходит в

т0 _ / 1 + /Л1/2 ~ \ \ - в ) (637.1)

638. Р е ш е н и е. Время т, которое пройдет на ракете (если предположить, что она движется с постоянной скоростью v относительно Земли), связано с земным временем соотношением

т = | л/ \ — f32 dt = д/1 — (З2 £, о

где /3 = v/c. Время £, необходимое для прохождения расстояния R , равно R/v. Отсюда для заданных т и R получаем необходимую скорость:

c(1_5 i f ) ис(1“ 0’963' 10"'0)-У 1 + с2т 2/ R2

Для нахождения искомого отношения масс применим формулу (635.4) к фотонной ракете. При ускорении ракеты и = +с, при торможении и = —с. Если Мо — начальная, Мк — конечная массы ракеты, а М — масса в конце ускорения (равная массе в начале торможения), то

м 0 _ / 1 + э у /2 м _ / 1 - д у х/2 _ / 1 + э у /2 ~М ~ VI - ( З ) ’ АД ~ VI +/з) ~ \ \ - / з )

Следовательно,М0 _ 1 + (3 _ 4R2

АД _ 1 - (3 ~ ^М2' (638.1)

По этой формуле находим Мо/Мк « 4 • 10ю.639. Р ешение. Пусть в системе координат К, связанной с Землей,

в момент времени t система координат К ' , связанная с космическим кораблем, имеет скорость н, равную скорости корабля в данный момент. В следующий бесконечно близкий момент t + dt скорость космического корабля в системе К будет равна и + du, а в системе К' некоторой величине du . Так как в рас-


сматриваемый момент t системы К и К' движутся друг относительно друга с постоянной скоростью v, то, применив формулу сложения скоростей, получим

и + du = и + du'1 + и du'/с2

Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, будем иметь

du = 1 2 du,

где /3 = и/с. Промежутки времени dtf и dt в системах К и К' связаны соотношением dt' = у /1 — f32 dt, а, следовательно, ускорения — соотношением

du' 1 du~dd ~ (1 - (З2) 3/ 2 ~ d t '

По условию = а = const, поэтому

du/dt = а(1 — /32)3/2.

Интегрируя с начальным условием t = 0, и = 0, получимat

у/ 1 + a2t2/ с2

Учитывая, что и = ds/dt и интегрируя еще раз при условии t = 0, s = О, получим выражение для проходимого пути s:

& ( I aztz 8 = - ( Л/ 1 н------5 - - 1 s 2 с2или t = - \ 1 Н----- .с V as

На плоскости st последние уравнения представляют гиперболы (отсюда и название «гиперболическое» движение). Таким образом, в системе К, связанной с Землей, для прохождения расстояния s = R/2 кораблю понадобится время

t R 2с

В системе же К' собственное время т будет равно

1 - dt = - In < - t +a cл a2t2 ! + — cz

с A л at c A , f i?ar = - Arsh — = - Arsh < —-а с a I 2 c 1 + Лг

На все путешествие понадобится вдвое большее время то = 2т:

то — ArshаRa2?


Для больших расстояний R, для которых R >> 2с2/а = Rq (в данном случае для а = 10м/с2, Rq = 2 световых года), последняя формула принимает вид

то « ^ l n { ^ f } « 21 ГОД.

640. Р ешение. В системе координат, связанной с ракетой, dp'r/d t = = М'а , где М' — масса ракеты с топливом. Изменение импульса р'г равно по абсолютной величине изменению импульса излученного света и противоположно по направлению:

dpr = - - d&f = —cdM

где d&f = с2 dM' — изменение энергии излученного света. Отсюда

М'а cdM'

dt

Расходуемая мощностьd%fw = —- - = М ас.

dtКонечная масса ракеты М к связана с начальной массой Мо соотношением (см. задачу 638)

МК = М0 ТТД м о = | / | м к,где /3 = v/с, v — максимальная скорость ракеты (скорость в середине пути). Для равноускоренного движения (см. решение задачи 639)

о _ (a/c)t . Д /, ,Р у/1+аЧ*/<? ’ 2с V а й ’

откуда

Подставляя это значение, найдем, что необходимая мощность в начале пути равна

wo = Моас = асМк « MKa v t M « 3 • 1031 эрг/с.1 — (3 с4

Если сравнить это с мощностью взрыва первой атомной бомбы, при котором примерно за 10”6 с выделилось 5 • Ю20 эрг, то мы получим, что для данной ракеты необходимо в секунду расходовать энергию 6 • 104 таких бомб.

641. Р ешение. Пренебрегая движением атомов водорода относительно Земли, находим, что интенсивность P(t) космического излучения, состоящего из атомов водорода, налетающих на корабль, растет в первую половину пути по закону

P(t) = П(?нО • v(t),где п = п0/ \J 1 - /32(t) — плотность водорода в системе координат, связанной с кораблем, Шц = шнс2/ д/1 — (32(t) — энергия одного атома водорода в той же системе, (3(t) = v(t)/c — скорость корабля относительно Земли (и относительно водородного газа).


Для равноускоренного движения (см. задачу 639)at/с

Pit) = с 1 + a2t2/ с2

Таким образом,

P(t) = n0mHc3 t = щ т ясаЬ ^ 1 + a2t2/c2.

Максимальное значение эта величина имеет для середины пути, где £ =R /, c2 ^

~ 2 V 1 + Л г 0но равно

2 uR I c2 Л RaДмакс —щтнс — у 1 + Лл 1( 1 + 23 ! n0mHc■ ( S r : 6,3 • 1015 эрг/(см2 • с).

Для сравнения отметим, что интенсивность космических лучей, приходящих на Землю, Р3 = 3 • 10”3 эрг/(см2 • с).

642. Р ешение. Вследствие аберрации происходит смещение видимого положения звезд на небесной сфере. По сравнению с земным наблюдателем для космонавта звезды как бы сбегаются к точке небесной сферы, к которой направлена скорость движения корабля, и разбегаются от диаметрально противоположной точки. Это смещение видимого положения описывается соотношением

, cos 0 f3 , л/\ - (З2cos О = - --------- -, или sin О =sm в----------1 — p cos 0 1 — p cos О

где /3 = v/с, v — скорость корабля относительно Земли, в' — угол между направлением полета и звездой в системе корабля, а в — тот же угол в системе

Земли. Например, при галактической скорости (3 = \ — 0,5 х х 10”8 звезды, расположенные в полусфере в земной системе координат, на космическом корабле будут видны в пределах конуса с углом раствора 20' « « 0,6 угловых минут.

64 3 . Р ешение. Обозначим через К систему координат, в которой неподвижен радиолокатор, а через К' — систему, в которой неподвижен предмет. Оси X и X ' выберем так, чтобы они были параллельны друг другу и направлению скорости

предмета в системе К (рис. 147). На предмет падает и от него отражается излучение от радиолокатора, которое в системе К' благодаря эффекту Доплера имеет частоту

/ 1 — в cos ipUJ = UJ—. ,C l - / ? 2

Рис. 147

(643.1)


где (3 = у/с, р — угол между осью X и направлением на предмет в системе К (см. задачу 626). Таким образом, в системе К ' предмет играет роль радиопередатчика, излучающего частоту сУ в направлении радиолокатора, которое в этой системе составляет некоторый угол ф' с осью X' (этот угол, вообще говоря, отличается от угла ф = тт + р, который составляет это направление с осью X' в системе К').

Закон преобразования углов легче всего получить из формулы сложения скоростей

Нх и 'х + V 1 + u'xv/c2

И Л И и С О Б фи' cos гр' + V

1 + vu' cos гр'/с2 ’(643.2)

применяя ее к распространению света. Учитывая, что скорость света постоянна во всех инерциальных системах и = и' = с, получим

СОёфсоёгр' + (3

1 + (3 cos гр'(643.3)

откудаcos гр' cos гр — (3

1 — (3 cos гр(643.4)

Учитывая, что в системе К' радиолокатор движется относительно предмета со скоростью —у, перейдем снова к системе К. В этой системе частота принимаемого радиолокатором отраженного сигнала выражается формулой

ио* = ио 1 + (3 cos гр' 1 — (3 cos р 1 + (3 cos гр'

Используя формулу (643.4) и равенство ф = тт + р, получим

UJ-. = UJ1 — (3 cos р

1 + (3 cos р

(643.5)

(643.6)

Отметим, что при р = тг/2, т. е. при движении предмета перпендикулярно к радиусу-вектору, соединяющему его с радиолокатором, никакого смещения частоты отраженного сигнала (принимаемого тем же радиолокатором) не наблюдается.

644. Все орбиты образуют семейство окружностей с общей касательной в точке ускорения. Поэтому максимальное расстояние между s-й и (s — 1)-й окружностью

As = Rs — Rs i2me

еЯо 1 - 1n 2 o2 ( s - l ) n2(s — l )2

Это расстояние монотонно растет с увеличением s и будет максимальным для последней орбиты s = N:

А N =2гпс

Сщ Nn2N 2

( N - 1)n2(N — l )2

2me

еЯо 1,7 см.

Энергия на выходе микротрона = Nnmc2 « 12МэВ.645. Р е ш е и и е. Пусть монохроматический свет приходит к наблюдателю

от удаленного источника. Обозначим через щ частоту света, воспринимаемую


наблюдателем, покоящимся в какой-либо инерциальной системе отсчета. Если в момент времени t = 0 наблюдатель начнет двигаться к источнику с постоянным ускорением а (рис. 148а), то к моменту t он приобретет скорость v = at, а свет пройдет путь I = ct. Произойдет изменение частоты света, воспринимаемого наблюдателем. Если пренебречь величинами порядка (у/с)2,

то по принципу Доплера изменение частоты будет определяться выражением

v — щ v at alщ с с с2

Пусть теперь наблюдатель покоится в инерциальной системе отсчета, но есть однородное гравитационное поле g = —а (рис. I48 6). Тогда согласно принципу эквивалентности должно наблюдаться в точности такое же изменение частоты, что и в предыдущем случае, т. е.

^ = 4 , (645.1)Щ с2

где I — расстояние, проходимое светом в направлении гравитационного поля. Если гравитационное поле неоднородно, то полученную формулу можно применять для каждого бесконечно малого участка пути, проходи

мого светом. При этом составляющая гравитационного поля, перпендикулярная к направлению распространения света, на его частоту не влияет. Поэтому

d v g d r

v с2

Для перехода к конечным изменениям частоты надо это выражение проинтегрировать. Путь интегрирования можно выбрать произвольно, так как гравитационное поле — потенциальное. В результате:

In — = 4 [ g d r = ip' У 2, (645.2)V \ cz J cz

где pi — p>2 — разность гравитационных потенциалов между начальной и конечной точками пути, вдоль которого распространяется свет. При распространении света от высшего гравитационного потенциала к низшему его частота увеличивается, при распространении в противоположном направлении — уменьшается.

64 6 . N > — (~ )2 = 2,3 • 105.~ т \vJ

64 7 . В красную.64 8 . ДА/А « GM/vqc2 « 0,075, где G — гравитационная постоянная, го ~

« 2- 106см — радиус звезды, найденный по среднему расстоянию между нейтронами.

64 9 . — = = 7,8 • 10-11; в фиолетовую.V c2(R + h) ’ ^ у65 0 . Av/v = gh/c2 = 5,45 • 10"13.

Свет Свет

Рис. 148

§ 10. Давление света 241

гг А v h v 265 1 . При круговом движении спутника — = — -г. При эллиптическомv R с1

движении в правой части появится коэффициент порядка единицы.65 2 . — = - cos © — —г (1 — 2 cos2 0) +

v с 2 с1n c _ . , n A r V2 , SRh 1 ) 0 - тг/2 , v

Pi - Р2С2

= -2,3- 10-

2) 0 = 89°, Av/v = 4,38 • 1(Г7.65 3 . Р е ш е н и е. Будем считать, что свет состоит из корпускул с массой т

(например, пусть т = hu/c2, где hv — энергия фотона). Такая корпускула сможет удалиться от тела с массой М с расстояния г на бесконечность при условии mv2/2 ^ GMm/r, где v — радиальная скорость корпускулы. Полагая v = с, получаем отсюда условие невидимости поверхности звезды г < rg = = 2GM/c2 « ЗМ/Мс [км], где Мс — масса Солнца. Ответ не зависит от массы корпускулы га, но применение нерелятивистских соотношений к свету делает случайным точное совпадение полученного результата с тем, что дает общая теория относительности. Радиус rg называется гравитационным радиусом тела.

§ 10. Давление света

65 4 . Р = и(\ + г) cos2 р, где и — плотность энергии падающей волны; Т = = 1/ 2гл(1 — г) sin 2 (р.

Р е ше н и е . Если N — число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших в 1 с на зеркало, равен (Nhu/cjcS cos ср, где S — площадь зеркала. Так как Nhu = и, то этот импульс равен pi = uS cos ср • i, где i — единичный вектор, проведенный в направлении падающего луча. Импульс отраженных в 1 с фотонов р 2 = ruS cos р • Т, где Т — единичный вектор в направлении отраженного луча. Таким образом, изменение импульса световой волны в 1 с вследствие отражения от зеркала равно

Р 2 — Pi = —uS{i — ri) cos p.

В силу закона сохранения импульса изменение импульса зеркала будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила F, действующая на зеркало со стороны излучения, равна

F = pi — р 2 = uS(i — ri') cos р,

а сила f, действующая на единицу площади зеркала,

f = и(i — ri') cos р.

Проецируя это выражение на нормаль к зеркалу и на плоскость зеркала, получим результаты, приведенные в ответе.

65 5 . Р = и{cos2 р + % cos р)\ Т = У2и sin 2р.Р е ше н и е . Если отражающая поверхность идеально матовая, то она от

ражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отражения получатся лучи всевозможных направлений, и все эти направления равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отразившегося фотона составляет с нормалью к зеркалу угол между в и в + dO, равна (1/27г)еЮ = sin OdO, так как соответствующий элемент телесного угла


с№ = 27rsin OdO. Результирующий импульс всех отразившихся фотонов будет перпендикулярен к плоскости зеркала. Среднее значение проекции импульса одного отраженного фотона на нормаль к зеркалу равно

7г / 2

— cos в sm в ад = - — .J с 2 со

Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фотонов мы получим

Р2 = NcS COS р • - — n = - uS COS (pn,где n — единичный вектор нормали к поверхности зеркала. Сила же f, действующая на единицу площади зеркала, будет равна

п Pi - Р2 Л 1 \f = — - — = u { i - - п ) cosp.

Проецируя это выражение на нормаль п и плоскость зеркала, получим результаты, приведенные в ответе.

65 7 . Р = и /3, где и — плотность излучения.65 8 . 1) Р\ = 0,46дин/м2 или приблизительно полмиллиграмма на квадрат

ный метр; 2) Р2 = 2Р\ = 0,92дин/м2; 3) Рз = Ъ/2Р\ = 0,69дин/м2.65 9 . F = Q/c ~ 3,5 • 10-5 дин.66 0 . 1) F = Su , где S — площадь диаметрального сечения шара, и —

плотность энергии падающей волны; 2) F = Su ; 3) F = % Su.Решение. Так как размеры шара

велики по сравнению с длиной световой волны, то при решении задачи можно ограничиться приближением геометрической оптики и не учитывать дифракцию. Чтобы объединить оба первых случая, допустим, что коэффициент отражения поверхности шара равен г и не зависит от угла падения р. Сила f, действующая на единицу поверхности шара, равна f = = ucosp(i — ri') (см. решение задачи 654). Направим ось X параллельно падающим лучам (рис. 149). В силу симметрии результирующая сила све

тового давления на шар должна быть направлена вдоль оси X и равна F = = J f x dS, где dS — элемент поверхности шара, а интегрирование ведется по освещенной половине этой поверхности. Имеем

f x —U cos р — ru cos р cos(7r — 2р) = (1 — г)и cos р + 2ru cos3 р.

Далее, dS = 2тга2 sinp dp, где а — радиус шара. Интегрирование дает F = = 7та2и. Таким образом, сила F не зависит от коэффициента отражения и одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно черного шаров. Решение в случае идеально матовой поверхности шара производится таким же методом и дает F = V37та2и.

Рис. 149

§ 10. Давление света 243

66 1 . На идеально отражающий шар световое давление будет больше.Решение. Если бы коэффициент отражения г не зависел от угла па

дения, то сила светового давления в обоих случаях была бы одинакова (см. решение предыдущей задачи). Однако в действительности г зависит от угла падения, и поэтому сила давления будет в обоих случаях различна. Пусть луч АВ (рис. 150) падает на шар под углом падения р = 45°. Тогда отраженные фотоны будут распространяться перпендикулярно к падающему лучу и каждый из них передаст шару импульс hv/c. Если же фотон падает на шар в пределах поверхности, ограниченной окружностью BD , то, отразившись, он будет иметь слагающую импульса, направленную противоположно распространению падающего света; в этом случае он передаст шару импульс, больший чем hv/c. Напротив, если фотон попадет на шар в пределах кольца BEFD , то переданный им импульс будет меньше hv/c. Если г не зависит от угла падения, то избытки переданных импульсов по сравнению с hv/c на круге BD будут полностью компенсированы недостатками на кольце BEFD. В действительности г зависит от угла падения. Для неполяризованного света г возрастает с возрастанием угла падения. Поэтому недостатки переданных импульсов на кольце BEFD будут превосходить по величине избытки их на круге BD. Отсюда следует, что сила светового давления на шар, частично отражающий свет, будет меньше, чем в случае идеально отражающего шара.

66 2 . F\ = 5,9 • 1013 дин = 60000 тс. Д А = Г6

Рис. 150

10" ЗдесьF2 16 7T2aR5

а — радиус земного шара, R — расстояние Земли до Солнца, Т — время обращения Земли вокруг Солнца. По сравнению с силой тяготения сила светового давления ничтожно мала, и ее влияние на движение планет лежит далеко за пределами точности астрономических измерений.

6 6 3 . а < —3 иТ2 = 5,8 • 10 5 см. Результат получен в предположении, что16 7Г2 *R5

в рассматриваемом случае применима геометрическая оптика. На самом деле, так как вычисленное значение а того же порядка, что и длина световой волны, здесь существенно влияние дифракции. При учете последней а получится, очевидно, меньше, так как свет давит не только на переднюю, но и на заднюю сторону шарика. Поэтому геометрическая оптика может дать лишь верхнюю границу для а.

66 4 . и' = и( 1 ± 4 v /с), где и — плотность энергии падающей волны, и' — отраженной, а п — скорость движения зеркала. Знак плюс соответствует движению зеркала навстречу распространению света, а знак минус — противоположному случаю.

Решение. Вообразим бесконечно длинный цилиндр, в котором без трения медленно движется зеркальный поршень со скоростью v (и « с). В цилиндре в направлении движения поршня распространяется цуг волн, длина которого I = с. Пусть в момент времени t = 0 голова цуга достигла поршня. Тогда, как нетрудно рассчитать, конец цуга достигнет поршня в момент вре-


мени t = с/(с — v). За это время поршень пройдет путь х = vt = у с / ( с — у), а головной фронт отраженной волны — путь ct. Поэтому длина отраженного цуга будет

7/ , . c + vI = ct + х = с ----- .с — V

Если плошадь поршня равна единице, то изменение энергии световой волны в этом процессе равно u'l' — ul. При этом световое давление Р произвело работу Рх. Следовательно,

ul = ul ' + Рх.При медленном движении поршня световое давление можно принять равным Р = 2и, если пренебречь добавочными членами порядка и{у/с). Подставляя в предыдущее выражение значения Р, ж, /, I' , получим результат, приведенный в ответе для удаляющегося поршня. Этот результат верен, если пренебречь величинами порядка (ж/с)2.

665. Если интенсивность пучка так велика, что он вызывает на поверхности тела энергичное испарение, то сообщаемый телу импульс может значительно превосходить величину 2uSt. Объясняется это тем, что испаряющиеся в вакуум частицы уносят импульс, в результате чего тело испытывает отдачу.

666. Напряженность электрического поля Ро в несфокусированном пучкеоценим по формуле W = — EHS = — E2S, а давление излучения Ро — по ттг Атг Атг

Wформуле Ро = — . Таким путем находим

£Ь « Д о 2 = У = 1,45 • 103 СГСЭ = 4,3 • 105 В/см.

Ро ~ 1,67 • 105 дин/см2 « 0,16 атм.

В фокусе можно пользоваться теми же формулами, вычислив предварительно ширину пучка. Для оценки будем считать, что весь свет концентрируется в пределах центрального светлого кружка с радиусом R = 0,61/А/г и площадью 7гР2 = 7г(0,61/А/г)2 = (0,61 • 7г/А)2/Р, где г — радиус поперечного сечения падающего пучка. Эту площадь и надо подставить в предыдущие формулы вместо S. В результате получим

Е « /Ё 2 « 5 „ Е0 = 1,5- 103£Ь = 6,4 • 108 В/см,0,617г/А

р = (оД / аД 0 = 2,25' ю6р° w 3,6 ' 1С|5 а™'Ш 2667. 1) Р = — (1 + г) = -(1 + г) дин/см2, где г — коэффициент от-

стЬ 3 ____& 1 18тт &ражения поверхности; 2) Р « —— « 150(1 + г) атм; 3) Е ж - \ ---- ~

СТА1 А V СТ« 6 - 104СГСЭ «1,8- 107 В/см.

§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы из других разделов физики

668. ап — 12ttN = 2,66- 10-21 см3.2ttN

§ 1 1 . Молекулярная оптика и смежные вопросы 245

670. макс = е£ о /(ти) = еЕоХ/(2тттс) « 5,3 см/с; Fm/Fe = vMaKC/2c « « 0,9 • 10“ 10. Несмотря на свою малость, сила Fm играет важную роль, так как именно она обусловливает световое давление. (См. решение задачи 671.)

1 (е2/тс) Е^и2у s 1 (е2/т) Е^и2у671. F =

с ’ 2 (си2 - и%)2 + (уи)2где Eq — ам-2 (и;2-ш 2) + (7ш)2

плитуда электрического поля световой волны.Решение. Если волна распространяется в направлении оси Z, вектор Е

направлен вдоль оси X, а вектор Н — вдоль оси Y, то

Е = Е х = Eq cos out, Н = Ну = Hq cos ut.

Если пренебречь действием магнитного поля, то уравнение движения электрона можно записать в виде

X + ух + (jjlx = — E q COS Сot. тИнтегрируя его, находим скорость электрона х в установившемся вынужденном колебании:

(е /т) E qlu г , , ( 2 2ч • .Лх = —у ----- I /— ту {7 ucoscjt + (cj — ш0) smcjt}.(ш2 - cjJ) + (7ч;)2

На колеблющийся электрон будет действовать сила F = - [vH] со стороны магнитного поля световой волны. Эта сила, как легко видеть, будет направлена по оси Z. Она равна

F = Н ух —(е2/тс) E qX

(ш2 - ш2)2 + (7ш)2 {до; cos u t + (и2 — uq) sin ut} cos ut.

Усредняя это выражение по времени, получим результат, приведенный в ответе.

Энергия, поглощаемая электроном в 1 с, равна работе силы трения т ух в течение этого времени, т. е.

1| т у х 2 dt.о

Интегрирование и усреднение по времени дает е.672. 1) р/ро порядка 10-8, где р — индуцированный момент; 2) р/ро

порядка 1СГ5.673. Невыполнение закона v = с/у/ё объясняется наличием большого

постоянного дипольного момента у молекулы воды (1,8 • 10-18СГСЭ), не играющего роли в оптических явлениях для частот видимого спектра. Для низких частот (радиоволны) дипольные молекулы воды за период колебания электромагнитного поля успевают преимущественно ориентироваться в направлении электрического поля. Поэтому поляризуемость среды и ее показатель преломления для таких частот будут зависеть от наличия у молекул постоянных дипольных моментов. Показатель преломления радиоволн равен квадратному корню из статической диэлектрической проницаемости (для воды п = л/е = = л/зТ =9). Но уже в области сантиметровых волн постоянные дипольные моменты молекул воды не успевают ориентироваться в направлении электрического поля. В этой области показатель преломления резко убывает с возраста-


нием частоты. В оптической области частот дипольные молекулы практически перестают поворачиваться под действием электрического поля световой волны, и их постоянные моменты не влияют на показатель преломления.

67 4 . п= 1,107.67 5 . е = 1 - AirelNs

m3uj2 £47relNy

тИ uj1 , где N3 и NK концентрации (т. е.числа частиц в 1 см3) электронов и ионов, еэ, еи, тэ, ши — их заряды и массы. Суммирование ведется по всем ионам. В силу квазинейтральности ионосферы концентрация положительных ионов с большой точностью равна сумме концентраций электронов и отрицательных ионов. Поэтому последним слагаемым в выражении для £ можно пренебречь, поскольку масса иона велика по сравнению с массой электрона. Сделав это и опуская значок «э», получим

£ = 1 - ^ W2’ где 4тге2Мгп

67 6 . Может: п < 1 для радиоволн в ионосфере; п < 1 для рентгеновских лучей.

67 7 . В области аномальной дисперсии имеется сильное поглощение, и величина и = v — Xdv/dX, как скорость распространения сигнала или скорость распространения энергии, теряет смысл. (Формула для групповой скорости выводится в предположении, что поглощения нет или оно мало.)

67 8 . Полагая л/ s = ±i>t, преобразуем выражение Е = Еоег( -/с2:) к виду:Е ТТ! X Z iuit TITTTI Т7' Т7' . — x z iujt= Еое е , или Е = Еое е

В вещественной формеЕ = Eoe^z cos ut, или Е = F,oe~™z cos out.

Это — стоячие волны. Амплитуда первой волны экспоненциально возрастает, а второй — экспоненциально затухает в направлении оси Z. Выбор знака перед к должен определяться физическими условиями. В обоих случаях есть затухание, но нет поглощения.

67 9 . Если ш > шо, то волна пройдет через ионосферу; если ш < шо, то волна полностью отразится. Здесь

= 5 ,6 4 • ю 4 с ж £ : с - 1 ,

где Ломакс — концентрация электронов на такой высоте, где она максимальна.68 0 . N = тгтЩ е2 = 1,24 • 10"V 2.68 1 . Чтобы р адиоволна могла достигнуть Земли, ее длина волны должна

быть < 3,34/л/АГ • Ю6 см = 2,3 • 102 см = 2,3 м.

68 2 . v = ,/с 2 + — А2.V 7тт ____________

68 3 . При £(щ) = 0, что в случае плазмы дает ио = д/47xNe2/m . Длина волнового вектора к, а с ней и фазовая скорость могут быть какими угодно 1).

О Это утверждение справедливо, если можно пренебречь тепловым движением электронов (средняя скорость теплового движения электрона мала по сравнению со скоростью света с). При учете теплового движения электронов получается зависимость и от к.

ш0 = 47гАгмаксе


Групповая скорость и = duo/dk = 0. Поэтому лучше говорить не о «волне», а просто о колебаниях электрического поля, а также о колебаниях электронов плазмы относительно ионов.

684 . Р е ш е н и е. Уравнение колебаний гармонического осциллятора в электрическом поле Е = E o e lu Jt : г + cjqT = — Е для установившихся

Е тколебаний дает г = ----- ~----- - Плотность собственно энергии электрического— (Л*поля:

W| = 8T1 / Е + Е* \ 2 йг V 2 / 1г + И г + К0МПЛ-сопр-

Плотность потенциальной энергии:

w 2 =NtTILOq

Плотность кинетической энергии:

Nrn / Г -Г г* \2w3 =

( 1т

Nmujl о *ч — —— (г + гг ) + компл. сопр.

Nmuj2 , 2 *ч---- -— (г — гг ) + компл. сопр.

Подставляя сюда выражение для г и замечая, что из дисперсионной формулы4irNe2/m dieuj) ( г — 1)(cCq+ cc2)

£ = 1 Н---- — Чг следует — —- = 1 Н--------- ,— ------ , получим для плотности' ’ ' auj ' 'zэлектрической энергии:

еЕ2 , 1 ф а ;)™ * ,We = —- + —-----ЕЕ + компл. сопр.3z7r 3z7r auj

Для плотности магнитной энергии имеем обычное выражение, как в недиспергирующей среде.

685 . Спектр будет пересечен темными полосами, сужающимися от красного конца его к фиолетовому. Нулевая полоса (т. е. полоса, которой соответствует нулевая разность хода) горизонтальна. При введении стеклянной пластинки полосы становятся наклонными.

686 . Наклон полос тем больше, чем больше толщина пластинки, и практически не зависит от дисперсии показателя преломления последней. При переносе пластинки из одного плеча интерферометра в другое наклон меняет знак.

687 . Обозначим через ук расстояние интерференционной полосы к-го порядка от положения нулевой полосы, какое она занимала до введения в плечи интерферометра стеклянной пластинки и слоя паров натрия. До введения пластинки и паров натрия ук = ак\, где а — постоянная прибора. После введения пластинки и паров натрия рассматриваемая полоса сместится, и мы получим ук = а[к\ - (ггст - 1)/ст + (Дыа - 1)/ыа]- В вершине крюка dyk/dX = 0, что дает

/(Щ = __к_ + ln_ fd n \ (687 1 )VdA/Na Na Na VdA/ст

Порядок интерференции к = 1СТ(пСТ - 1)/А велик (несколько тысяч), а потому последним слагаемым в формуле (687.1) можно пренебречь.

688- /о = ^ д т (п" - 1)(АА)2-68 9 . 1) Если не учитывать движения осциллятора как целого, то частота

рассеянного света будет и. 2) Будет излучаться свет частоты uq.


69 0 . Р ешение. При угле Брюстера преломленный луч перпендикулярен к отраженному, колебания электронов в молекулах среды перпендикулярны к направлению преломленного луча и, значит, совпадают с направлением, в котором должен лежать отраженный луч (предполагается, что молекулы изотропны). Поэтому в направлении отраженного луча свет, поляризованный перпендикулярно к плоскости падения, излучаться не может.

691 . Если свет, поляризованный перпендикулярно к плоскости падения, падает под углом Брюстера, то индуцированные дипольные моменты молекул среды хотя и параллельны направлению отраженного луча, но дипольные моменты молекул слоя не параллельны этому направлению. Поэтому молекулы слоя излучают в рассматриваемом направлении, что и ведет к появлению отраженного света.

692 . Для возможности отражения недостаточно, чтобы молекулы среды излучали в направлении отражения. Для этого необходимо еще, чтобы их излучения были когерентны или, по меньшей мере, частично когерентны. Это не соблюдается для изотропных сред, построенных из анизотропных молекул, так как условием изотропии таких сред является полная хаотичность в ориентации анизотропных молекул. Пока выполняется это условие, среда ведет себя так, как если бы ее молекулы были бы изотропны. Флуктуации анизотропии, которые всегда имеют место, приводят к дополнительному рассеянию света во всех направлениях, но правильного отражения не дают. Оно получилось бы, если бы нарушить в какой-либо мере хаотичность в ориентации молекул. По всей вероятности, это имеет место для мономолекулярного слоя приграничных анизотропных молекул среды. Такого рода ориентация, возможно, является одной из причин отступлений от формул Френеля при отражении света от совершенно чистых поверхностей жидкостей.

693 . Решение. Поле, излучаемое всей средой

где слагаемые представляют поля излучения отдельных слоев. При строгой однородности волны поляризации Р = Роег( -кг) члены ряда (693.1) равны по абсолютной величине, и его сумма не имеет определенного значения. В действительности волна поляризации имеет передний фронт, перед которым волновое возмущение отсутствует. Таким образом, в действительности ряд (693.1) содержит конечное число членов и неопределенность исчезает. Чтобы вычислить его сумму, вообразим, что первый слой вместе с излучаемым им полем удален, а оставшаяся среда сдвинута вверх на толщину слоя I. Вообразим, далее, что фазы всех дипольных моментов среды изменены на одну и ту же величину таким образом, что диполи, оказавшиеся после смещения на границе раздела, получили те же фазы, какие имели бы в тот же момент времени удаленные с этой границы диполи первого слоя. Ввиду медленности изменения членов ряда (693.1) и тождественности слоев ясно, что в результате этих воображаемых операций поле излучения вне среды практически остается без изменения. Но теперь оно может быть представлено в виде Е = Е 2 — Ез + ... Вместе с (693.1) это дает Е = V2E i . Для толщины слоя нетрудно получить I = 7v/(kz f z). (Мы направили ось Z в сторону среды перпендикулярно к границе раздела.) Волновой вектор в вакууме f определяется компонентами:

Е = E i - Е 2 + Е 3 - ... (693.1)


69 4 . Р е ш е н и е. Разобьем воображаемую среду, заполняющую верхнее полупространство, на слои толщины L = iv/(kz — f z). Тогда плоские волны, излучаемые в нижнее полупространство соседними слоями, будут иметь противоположные фазы. Рассуждая, как в предыдущей задаче, найдем, что поле излучения всей воображаемой среды эквивалентно половине поля излучения ее первого слоя. Если электрический вектор (а следовательно, и вектор Р) перпендикулярен к плоскости падения, го для отношения комплексных амплитуд отраженной и падающей волн получим

Rs I fz — kz cos ip — n cos гр<f s L f z + kz cos ip + n cos гр

Вторая формула Френеля получается аналогично. Необходимо лишь учесть зависимость излучения от его направления. Играет роль только компонента вектора Р, перпендикулярная к направлению излучаемой волны, параллельная компонента излучения не дает.

69 5 . Р ешение. 1) Пусть диполь р помещен в точке 0 внутри щели (рис. 151). Обозначим поле такого диполя через Е'. Возьмем второй диполь pi, помещенный в точке 1 вне щели на таком расстоянии от нее, которое велико по сравнению с Л.Поле этого диполя обозначим через Еь Тогда по теореме взаимности

pEi(O) = PiE/(l). (695.1)Если бы щели не было, то вместо этого соотношения мы имели бы

РЕ?(0) = piE '(l), (695.2)где Е? — поле диполя 1 при отсутствии щели. Поле Е? в окрестности точки 0 может счи- рис 151таться однородным. Поэтому в силу непрерывности тангенциальных компонент электрического поля левые части выражений (695.1) и (695.2) равны. Следовательно, piE '(l) = piE(l), откуда в силу произвольности вектора pi и положения точки 1 получаем вне щели Е' = Е.

Таким образом, щель не влияет на излучение диполя, т. е. на поле в его волновой зоне.

В случае 2) соотношения (695.1) и (695.2) остаются в силе. Однако теперь ввиду непрерывности нормальных компонент вектора индукции £/Ei(0)p = = sEi(0 )p, где г' — диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего щель. Поэтому s'p iE ^l) = spiE(l), откуда Е' = (s/s^E. В частности, если s' = 1, то Е' = sE, т. е. напряженность поля диполя р в его волновой зоне возрастает в £ раз.

69 6 . 1) Е' = Е; 2) Е' = f Е. В обоих случаях поле Е' не зависит отположения диполя относительно оси полости. Решение сводится к электростатической задаче о диэлектрическом цилиндре во внешнем однородном поле.

69 7 . Е' = —— — Е. Поле Е' не зависит от положения диполя относительно£ 2sцентра полости.т / \ т Г f v — vо Л2 4 £ щ I2RT69 8 . 1{и) = щехр | ^ J | , где - = — J ----- (R — газовая посто

янная, р — относительная молекулярная масса газа).


Решение. Вероятность того, что скорость молекулы газа в направлении наблюдателя лежит в интервале (щ v + dv), равна

dw^ = \/-2 A tf еХР{ - ^ } ^ '

Молекула со скоростью v излучает, с точки зрения неподвижного наблюдателя, свет частоты v = 1 + v/c). Отсюда вероятность того, что молекула излучаетсвет с частотой от v до v + dv.

dw v) = ]1ш т ехр { - А т Ц - v*)2}v0 dv-

Так как излучения различных молекул газа некогерентны, то I(v)dv — интенсивность света с частотой в интервале и, v + dv пропорциональна dw(v), откуда нетрудно получить приведенное в ответе выражение.

Л / 2RT699. ДЛ = — J -Д - \/hi2 « 0,042 А, где А — масса грамм-атома водоро-с V Ада.

АЛ vn „ л700 . —— = — cost/, где в — угол между направлением наблюдения и на-

Л справлением движения.

701 . Р е ш е и и е. Уравнения движения упруго связанного электрона в магнитном поле (поле Н по оси OZ):

х + (jJqx = + — уН , у + шоу = — — z = ulz = 0.me meВводя величину rj = х + iy, легко показать, что

у = е^Ы {Аегш01 + Be-iu0ty

есть общий интеграл двух первых уравнений (здесь учтено, что ио >> есщ, и поэтому положено у Uq + и 2ь = шо). Наличие множителя eluJbt, где иоь = = еН/(2тпс), показывает, что в магнитном поле на колебания накладывается вращение с частотой ujl.

702. Приращение кинетической энергии равно

А К = m(ujo ± шь)2г2 т х\г2 : dL mcJoLUbT

где ujl = eH/(2mc) — ларморова частота, шь <С о/о- Изменение К происходит за счет работы вихревого электрического поля, возникающего при включении магнитного поля.

703. Р ешение. Уравнение движения частицы имеет вид m d v /d t = еЕ , где Е — напряженность электрического поля. Действие лоренцевой силы не нужно учитывать, так как она нормальна к траектории и компенсируется силами, обеспечивающими движение частицы по окружности с заданным радиусом г. По закону индукции 2ттгЕ = — —--- —. Комбинируя эти уравнения,с dt егпосле интегрирования получаем m{v — vо) = —— {Н — Но). Если начальное значение напряженности поля Но = 0, то изменение угловой скорости (v — vq)/ г = ujl = —eH/{2mc).


704 . Поляризация волны будет круговой — правой или левой. При правой поляризации (показатель преломления п+) электрический вектор волны вращается по часовой, а при левой (показатель преломления п_) — против часовой стрелки, если смотреть против направления распространения волны. Для п± получаем

2 1 47гЛбз2/ тп± = 1 ---- 7----- ,чцч; Т^н)где N — концентрация электронов, а шн = \еН/тс\ — циклотронная частота.

705 . 7° 14,7'.706 . R = 780 угл.мин/(Э • см).707 . R = (п- — п+) —, где а — угол поворота плоскости поляри-

1 Н Ао Н

зации, Ао — длина волны света в вакууме и Н — напряженность магнитного поля.

Решение. Пусть внешнее магнитное поле Н перпендикулярно к плоскости чертежа и направлено к читателю. В том же направлении распространяется линейно поляризованная волна. Разложим эту волну на две компоненты, поляризованные по правому и по левому кругу. В начальный момент электрические векторы этих компонент параллельны и направлены вдоль О А (рис. 152). После прохождения слоя вещества толщины I электрический вектор Е_ первой компоненты повернется по часовой стрелке на угол р- = 2тг1/Х- = (27г//Ао)п _. Электрический вектор Е+ второй компоненты повернется против часовой стрелки на угол = (27г//Ао)п+. Результирующий вектор Е обеих компонент делит угол между Е+ и Е_ пополам и определяет новое направление плоскости колебаний. Эта плоскость оказывается повернутой относительно исходного положения на угол а. Вращение плоскости колебаний (и перпендикулярной к ней плоскости поляризации) считается положительным, когда оно происходит по часовой стрелке, если смотреть против направления распространения света. Таким образом, угол поворота плоскости колебаний равен

a = tp~ ~ tp+ = У ( п - - п + ) . Рис. 1522 Ао

Сопоставляя это выражение с соотношением а = RIH, получаем результат, приведенный в ответе.

708 . R = п е 0 Ао7тт“> гДе е — заряд электрона (величина отрицательная!),2 т с 1 аАо

а Ао — длина волны в вакууме. Эта формула относится к веществам, молекулы которых не имеют постоянного магнитного момента.

Решение. Пусть среда при отсутствии матнитного поля имеет лишь одну линию поглощения, которой соответствует собственная угловая частота шо- Показатель преломления среды определяется дисперсионной формулой и является функцией аргумента ш2 - ojq, т. е. п = п(ш2 - ujq). Разложим гармоническое колебание электрона в атоме на три колебания: одно вдоль магнитного поля и два круговых, происходящих в плоскости, перпендикулярной к полю, в противоположных направлениях. Если наложить магнитное поле, то частота


кругового колебания, совершающегося против часовой стрелки (если смотреть против направления магнитного поля), будет равна ujq + сад Собственная частота, таким образом, изменилась. Поэтому показатель преломления соответствующей поляризованной по кругу волны будет равен

п+ = п{оо2 - (шо + ад)2} = п(ии2 — шо — 2шоад - ад).Так как частота ад прецессии орбиты мала по сравнению с иоо и ш, то членом uj\ м о ж н о пренебречь и написать

/ 2 2 \ Q д п / 2 2 \ ^ О а д д пn+ =n(UJ - UJ0) - ZUJoUJLTT = n(UJ - UJ0) -------- — •d u J 2 UJ d u J

Аналогично,/ 2 2 \ . W0WL d nn_ = n(uj - CJ0) H-------

UJ OUJ

Недалеко от линии поглощения можно считать ujq = и. Это даетдп

п- - 71+ = ZUJl — •дии

Используя результат решения предыдущей задачи, отсюда легко получить формулу, приведенную в ответе.

709 . В прозрачной области dn/dX отрицательно; следовательно, вращение положительное, т. е. происходит по часовой стрелке, если смотреть против направления распространения света. (Свет распространяется по направлению магнитного поля.)

710 . е/т= -5,28- 10|7СГСЭ.711 . а = ^ — (п- — п+)Ь = 0,93 • и 1 рад. (См. задачи 7072 с u j 2и 713.)712 . Л/АЛ = Атгтс2/(еНХ) = 75000, где е и ттт — заряд и масса электрона

соответственно.713 . Компонента с большей частотой имеет левую круговую поляризацию,

а компонента с меньшей частотой — правую.715 . Для того чтобы излучение было почти полностью деполяризовано,

нужно, чтобы вращение направления колебаний за «время жизни» было равно примерно тг/2, отсюда

еН гр _ тг 2 тс 2

и Н 2 Э.

716 . Нет. Постоянное электрическое поле только смещает положение равновесия, но частота гармонических колебаний остается неизменной.

717 . На угол 45° + 180о7тт (ттт — целое число).718 . Направление, в котором пропускается свет, изменится на противопо

ложное.719 . Нет.720 . Свет, излученный телом В (рис. 67) и возвращающийся к нему

обратно после отражения от николя N\, испытает при прохождении через вращающее вещество дополнительный поворот плоскости поляризации на 45° и поэтому не пройдет через николь N2. Испытав в николе N2 полное внутреннее отражение, этот свет вернется (если поставить еще одно зеркало напротив S2) к телу А. Приведенное решение парадокса Вина было дано Рэлеем.

721 . 6 = 2тгСШ2 и 1,88 • 1СГ2 рад и 65'.


722 . п0 - п е = ВХ0Е2 и 0,13 • 1СГ6.723 . 6 = 2ттВ1Е2 и 3,53°.724 . Е х 16000 В/см.725 . I = Iq/2, где Id — интенсивность света, падающего на ячейку.726 . Оптический знак двоякопреломляющей среды, каковой является жид

кость или газ, помещенные в электрическое поле, определяется скоростями распространения обыкновенной и необыкновенной волн. Последние зависят от показателей преломления, которые в свою очередь определяются зависимостью оптической поляризуемости среды от направления. Ориентация молекул в поле определяется их результирующим дипольным моментом, равным геометрической сумме постоянного и индуцированного моментов молекулы. Для полярных молекул индуцированные моменты малы по сравнению с постоянными — в этом случае ориентация молекул определяется почти исключительно постоянным моментом (см. задачу 672). Легко видеть, что совпадение направлений постоянного дипольного момента и большой оси эллипсоида поляризуемости приводит к образованию оптически положительного кристалла. Если постоянный дипольный момент направлен по наименьшей из этих осей, то получается оптически отрицательный кристалл. Наименее благоприятным для появления эффекта Керра является тот случай, когда постоянный дипольный момент молекулы направлен приблизительно вдоль средней оси ее эллипсоида поляризуемости. В этом случае может получиться как оптически положительный, так и оптически отрицательный кристалл, в зависимости от соотношений между осями эллипсоида поляризуемости анизотропной молекулы. Чаще всего вещество в этом случае остается почти оптически изотропным.

727 . nz - пу = —---- -- (cos20 - - ) , где cos2 0 — среднее по всем моле-щ 2 V 3 /

кулам значение квадрата косинуса угла О между направлением поля и направлением, в котором молекула поляризуется (направлением поляризации).

Решение. Компонента вектора поляризации в направлении вызывающего поляризацию поля Е равна Р = NaEcos2 0, где N — число молекул в единице объема, а — поляризуемость полностью анизотропной молекулы (т. е. дипольный момент, вызываемый полем, равным единице и направленным по «направлению поляризации» молекулы). Если оси молекул распределены хаотически, то

-------- 1 -------- A irN acos2 О = - и £о = 1 + AirNa cos2 О = 1 Н---- -— .

Так как щ = /ёо ~ 1, то щ — 1 = 27rNa/3. Если распределение молекул зависит от угла О между «направлением поляризации» и осью Z, то для световой волны с электрическим вектором Е, направленным по оси Z, имеем

sz = I + AnNa cos2 0.

Для случая, когда Е направлено по оси У,

еу = 1 + AnNa sin2 0 cos2 ср = 1 + 2itNa sin2 О.

Отсюда£z - Еу = nz - пу = - • AnNa(cos2 0 - - ) ,

и так как nz — пу <С щ, получаем ответ, приведенный выше.


Решение. Вероятность того, что ось некоторой молекулы образует с направлением поля угол, заключенный между в и в + dO, равна

W(6)d6 = Cexр | - sinвсШ,

где С — постоянная и U — потенциальная энергия молекулы. В разбираемомр2случае U = ----- рЕо cos 0, где р — индуцированный дипольный момент (р =

2а= aEocosO). Первый член в выражении для U — энергия, затрачиваемая на создание диполя, второй член — энергия диполя во внешнем поле. Имеем

J c o s 2 9 W(в) d9 J c o s 2 в [ 1 + аЕq c o s 2 в/(2кТ)~\ s i n в d99 Л 0 Оcos2 0 = — ------------- « —---------------------------------------

Sw (e)de J [1 + аЕ о c o s 2 9/(2кТ)] s i n 9 d9о о

так как предполагается, что U/kT мало. Интегрируя и подставляя cos2 О в формулу, полученную в предыдущей задаче, находим nz - пу, а затем и В.

729 . В = m - 1 (2 L \2 о \ к т ) '5noAo

730 . а = ~7Г ( ~ 2 ) 2- Решение.

шх = еЕ, р = ex, I = \ 1(0) dO = е4Е 2 8тг

47ГС3Ш 2 3

Средний по времени поток падающей энергии /о = — Е2. Отсюда47ГI 8тг

а ~т0 ~ т ( - С ) 2 = 0,6652 • 1<Г24 см2.\m cz /

731 . сгпр0Т/сгэл — (гттэл/гтТпрот) — 29,5- 10732 . <iO.-yqq 8?Г733 . а = т

2 \ 2

( ^ )734

Ч 2 - 7 ) 2. 1(в) = и ^ 1 \2 ^ sin2eVmc /

щ = Vmc /е2 \ 2 ш4 s i n 2 9

(ш2 - ш2)2 '

(ш2 - ш2) + ш272 ’(7 = 8тг

т2тг

= ДЦ

,2 \ 2

( ^ )2 \ 2

(ш2 - ш2)2 + UJ272 ’

( - УЗтгДГрг / е2 X2

735 . Ц = — — — к(<Aj - ш)2 + 74/4'

2-10 5, где N — число Авогадро.3 RT \mc2 J (ш2 -и>2)2

736 . А = 0,0246; В = 0,106.V 7Г2(п2 — П2

738 . —— sin2 0 dO (формула Рэлея).


739. 1) йФ = 101Лг2(п2 - I)2

2) (1Ф{в) = /0N X 4

V w 2 ( п - I)2

dft.+ cos2 в

N А4 V 2 ями падающего и рассеянного света.7 , п Г г V N a 2 ( 2 i r ) 4 9 V i r 2 ( n 2 - l ) 2 74°. Iz = /о 5Л4 = g /о-----^ -----

<Ш, где в — угол между направлени

ях — ЯоV N a 2 ( 2 w ) 4

15 А4А = Т /Т = 1/3.

9 / 0W ( n 2 - I)2 Тб N X 4 ’

Примечание. Для полностью анизотропных молекул, оси которых распределены хаотически, п2 — 1 = AitNa/Z. (См. задачу 727.)

711 г _ 6 г 1 W - D 2 7 4 1 - 7 г - 5 7° ------N X 4------ ’

742. S = 8-7г313 N X 4

г _ 9 г ^ 2(п2 - I)2ж “ Тб 7° 1VA4 ’

Д = — = -Л 2

(п2 - I)2 «0,165- 10“743 . S = 0,0356 см2.Примечание. Использование формулы Рэлея в случае рассеяния в жид

кости не приводит к точным результатам.744 . 1) S = S0e -ah = 1,84 кал, где а = 7,94 • 10“8 см” 1.2) S = Soe~ah = 1,34 кал, где а = 4 ■ 10_7см_ |.Таким образом, до Земли доходило бы в первом случае примерно 92%, а во

втором случае 67 % падающей на поверхность атмосферы энергии (сопоставить с задачей 737).

745 . 1) При прохождении через раствор световой вектор поворачивается, причем с различным шагом для различных Л. Рассеяние в направлении Е отсутствует, поэтому видны цветные винтовые линии. 2) Шаг винта обратно пропорционален концентрации. Зависимость шага от длины волны дается выражением, приведенным в решении задачи 708.

746 . Рассеянный свет поляризован эллиптически; большая ось эллипса колебаний перпендикулярна к направлениям распространения падающего и рассеянного света; р = cos0 .

747 . Электрический вектор линейно поляризованной компоненты рассеянного света будет перпендикулярен к направлениям распространения падающего и рассеянного света; /ПОляр//неполяр = V2 tg2 в.

748 . Ртутная линия А = 2536 А является резонансной. Увеличивая плотность паров ртути, можно добиться, чтобы в рассеянном свете она была погашена (закон Кирхгофа). Если бы длины волн спутников этой линии были такие же, то следовало бы ожидать, что они погасятся также. Если же эти длины волн иные, то спутники гаситься не будут. Мандельштаму и Ландсбергу действительно удалось погасить резонансную линию, в то время как ее спутники сохранялись.

749 . 1 • 1013 с-1.750 . 4255,1 и 4466,7 А.751 . 217, 315, 457 и 774 см” 1.752 . А/АА « 715.753 . / ф / / кр = exp{—hv/kT}; для различных нормальных колебаний полу

чаем: 0,35; 0,22; 0,11; 0,024.754 . шо = л/kT/Io ~ 10 13 с— 1; здесь /о — момент инерции молекулы.755 . А ту = /1/ ( 87г2/с) = 2,2 см-1.


756. Это колебание не вызывает изменения дипольного момента молекул.757. Через полпериода перемещения меняют знак, а тензор поляризуемости

принимает первоначальное значение, так как оба направления главной оси тензора поляризуемости физически равноправны.

758. Через пол-оборота тензор поляризуемости принимает первоначальное значение. Это означает, что период колебания тензора поляризуемости в два раза меньше периода вращения молекулы.

759. Решение. Электромагнитное поле Е, Н в среде описывается уравнениями Максвелла:

р ЯТТ* 1 яттrot Н = - , rot Е = — + , div (гЕ) = div Н = 0. (759.1)

С ОХ с ох

Представим это поле в виде суммы падающей Ео, Но и рассеянной Е', 4 ' волн:

Е = Е0 + Е', 4 = 40 + 4 '. (759.2)Падающая волна удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

гоШо = ^ ^ , rotE0 = - - ^ , div(£0Eo) = div Но = 0. (759.3)с ot с atПри слабой неоднородности напряженность рассеянного поля мала по сравнению с напряженностью поля падающей волны. Подставляя (759.2) в (759.1) и пренебрегая произведениями малых величин Е', 4 ', 5г, получим

, £0 дЕ' 4тг дrot Н ------ —- = — — г-Г} , W £0 ^Н'r o t E ------- +Г = °>с ot с ot с Ot

divfsoE') = —47rdiv5P,с

л;,, и '(759.4)

где<5Р = ^ 5е.

Air(759.5)

Эти уравнения показывают, что среда может рассматриваться как однородная с диэлектрической проницаемостью £о- Влияние фактически имеющихся неоднородностей эквивалентно наличию в среде дополнительных источников

волн: каждый элемент объема среды dV дает дополнительное излучение как диполь с дипольным моментом 5Р dV. Это дополнительное излучение и есть рассеянный свет. Второе утверждение, о котором говорится в условии задачи, является непосредственным следствием линейности и однородности системы (759.4) как относительно полей Е', 4 ', так и относительно 5г.

760. Р е шеи не. Разобьем среду равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к век

тору К (рис. 153). Выберем расстояние между плоскостями равным Л = 2тт/К. Тогда согласно (759.5) фазы вторичных источников на этих равноотстоящих


плоскостях будут одинаковы. Если бы неоднородность была только в слое I, а дальше среда была однородна, то падающая волна претерпела бы отражение от этого слоя и частично прошла бы дальше. При наличии неоднородности только в слое II мы получили бы другую отраженную волну с той же амплитудой, но иной фазой. При наличии неоднородности в слое III получилась бы третья отраженная волна и т. д. В линейном приближении (см. предыдущую задачу) поле рассеяния всей среды равно простой суперпозиции этих отраженных волн. Чтобы они не гасили, а усиливали друг друга, необходимо выполнение условия Брегга-Вульфа: 2Asin(0/2) = т \, где в — угол между направлениями падающего и рассеянного излучений, а т — целое число.

Покажем, что т = 1. Все плоские волны, отраженные различными слоями, складываясь, дают волну вида Е ' = A /e^a;t_k г \ С другой стороны, дополнительная поляризация среды

£ р = Е ° = а А e i[wt—(к+К )гф 47Г 47Г

Подставляя эти выражения в предпоследнее уравнение (759.4) и сравнивая показатели, легко получить к/ — к = К, откуда

2Asin - = А. (760.1)

Таким образом, при дифракции волны на синусоидальных неоднородностях диэлектрической проницаемости в линейном приближении получается дифракционный спектр только первого порядка.

761. Р е ше н ие . В линейном приближении As = (de/dp)Ap . Всякая неоднородность плотности, возникшая в среде, является источником звуковых волн. Разложим Ар в интеграл или ряд Фурье. Тогда для рассеяния в рассматриваемом направлении будут существенны только те акустические волны, волновой вектор К которых направлен по биссектрисе угла, дополнительного к в (см. рис. 153). Соответствующие им значения 5г представятся в виде суммы волн типа

0£\ = а\е у ’ и ое2 = а2е у С Им соответствуют векторы дополнительной поляризации среды:

^ р 1 _ — a i A c * [(a ;+n)t- (k +K )r]47Г 47Г ’

= а 2А г[(о,—Q)t—(k+K)rl 4тт

Таким образом, источники рассеянного излучения, а значит и само рассеянное излучение, будут иметь частоты и + О и и — О (модуляция световой волны акустической волной). В спектре рассеянного излучения будет наблюдаться дублет с теми же частотами. Это явление называется тонкой структурой линий рэлеевского рассеяния. Смещение частоты равно О = Kv = (27г/А)п, где v — скорость звука, а А — длина звуковой волны. На основании (760.1)

„ 47гг> . в _ v . в л\О = —j— sm - = 2con- sm (761.1)

где с — скорость света в вакууме, а п — показатель преломления среды.Тонкая структура линий рэлеевского рассеяния была предсказана незави

симо друг от друга Л. И. Мандельштамом и Л. Бриллюэном. Экспериментально



явление в жидкостях было обнаружено Е. Гроссом в Ленинграде. Оказалось, что в жидкостях, наряду с двумя смещенными компонентами, наблюдается также и несмещенная компонента. Происхождение несмещенной компоненты было объяснено Ландау и Плачеком. Рассматривая удельный объем жидкости V как функцию давления и энтропии, можно написать

4v' = ( 5 ? ) s 4 f> + ( S ) , 4 s <76L2>Отсюда видно, что существует два вида флуктуаций удельного объема: одни вызваны флуктуациями давления при постоянной энтропии, другие — флуктуациями энтропии при постоянном давлении. Флуктуации первого типа распространяются в виде акустических волн и ведут к появлению смещенных компонент. Флуктуации второго типа рассасываются посредством теплопроводности, а следовательно, распространяются значительно более медленно, — они и ведут к появлению в рассеянном свете несмещенной компоненты. (См. задачу 762.)

762 . Р е ш е и и е. На основании того, что говорилось в решении задачи 761, для искомого отношения можно написать

р _ (av /d s fp K ,? _ / д У \ 2 ( д з \ / д Р \Р-бш + Р+би (.dV/dP)2sA P 2 v ds ) p \ d T j p \ d V Л ’

где мы воспользовались выражениями для А Р 2 и A s2, а также формулой ср = = T ( d s / дТ)р. Так как дифференциал удельной энтальпии di = Т ds + V dP — полный дифференциал, то (д Т / д Р ) 3 = (d V /d s ) p . Поэтому

Р _ f d T \ f d P \ f d V \ / <9s \ _ f d T \ / d V \Р - 8 ш+Р+8и> ~ ~ \ ^ ) s \ d v ) s \ ~ d ^ ) p \ d T J p ~ ~ \ d v ) s \ d f ) p ’

или, на основании тождества (дТ / d V )s{dV/ds)p{ds/дТ )у = — 1,

Р = ( д У \ fds_\ ( д Т \ = (дУ/дТ)Р(дз/дУ)тР - б и + Р + б и \ d T j p \ d V J T \ d s ) v (ds/dT)v

Рассматривая энтропию s как функцию Т и V, получим

/ ds \ _ / ds \ ( &s \ ( 8V \\ d f j p ~ \ d f ) v + \ д у ) т \ д т ) р '

Окончательно:Р _ (ds/dT)p — (ds/dT)y _ ср — cv

Р - 5 и + Р+5и (ds/dT)v cv

(формула Ландау и Плачека).763 . Пять компонент: одна несмещенная компонента и две пары смещен

ных компонент, из которых одна пара получается от рассеяния на продольных акустических волнах, а другая — на поперечных.

764 . 25 компонент; одна несмещенная и 24 смещенные. Дело в том, что в кристалле в каждом направлении могут распространяться одна продольная акустическая волна и две поперечные. В том же направлении могут распространяться две световые волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Каждая из этих световых волн в свою очередь разбивается на


две волны при отражении от акустических волн соответствующих направлений распространения. Это и приводит к появлению в рассеянном свете 24 несмещенных компонент. Однако благодаря слабой анизотропии всех исследованных кристаллов эти 24 компоненты обычно группируются в шесть групп по четыре линии в каждой и не разрешаются спектральными приборами. На опыте наблюдаются шесть смещенных компонент.

765 . Две пары смещенных компонент. Дело в том, что флуктуации второго типа, о которых говорилось в задаче 761, рассасываются в жидком гелии-П посредством распространения второго звука. Одна пара смещенных компонент получается при рассеянии на волнах обычного, а другая пара — второго звука. Несмещенная компонента не должна получаться. Экспериментально явление не исследовалось.

766 . V = о------■ С,а Т - ; «прод = 1,8 • 106 см/с = 18000м/с, «попереч = 1,1 X2nsm(6y2) Ах 106см/с = 11000 м/с. Благодаря большой скорости звука в алмазе тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния удается исследовать с помощью призменных спектрографов.

767 . dsinO = ^ (jn + где т = 0, ± 1 , ± 2 , ..., в — угол междунормалью к отрезку d, лежащей в горизонтальной плоскости, и направлением излучения.

768 . В вакууме излучение отсутствует, так как в этом случае электромагнитные волны могли бы быть только поперечными. Ввиду сферической симметрии могут изучаться только чисто продольные волны, распространяющиеся вдоль радиусов. При колебаниях обкладки конденсатора в среде могут возбуждаться, например, продольные акустические и плазменные волны (в плазменных волнах диэлектрическая проницаемость г(шо) = 0).

769 . Нет. Дипольный момент совокупности частиц с зарядом е и массой т равен р = е ^ г ц , и его производная по времени постоянна, так как в рассматриваемом случае импульс системы сохраняется. Дипольноеже излучение определяется производной р.

770 . Если металл можно считать идеально проводящим (практически это предположение часто справедливо), то электрическое поле в вакууме представляет собой поле заряда е и его электрического изображения — заряда —е, расположенного в металле на таком же расстоянии от границы, на каком находится (в вакууме) заряд е. При пересечении зарядом границы как сам заряд, так и его изображение как бы исчезают. Поэтому излучение окажется таким же, как и при остановке (или слиянии) движущихся навстречу друг другу зарядов е и —е. Для металлов с конечной, но очень высокой проводимостью наблюдаемая картина качественно весьма близка к картине для идеального проводника.

771 . Поле заряда е, находящегося вблизи границы раздела двух любых сред, как и в случае границы металла с вакуумом, можно представить как поле самого заряда и его изображения. Однако заряд изображения зависит от £1 И £2, Причем ОН стремится К нулю При £\ — > £2 И К —6 При £1 —» 1, £2 —> ОО (последний случай эквивалентен случаю идеального зеркала). Отсюда и из ответа к задаче 770 ясно, что переходное излучение возникает при пересечении границы раздела любых сред. Переходное излучение поляризовано так же, как излучение диполя, находящегося на границе раздела, ось которого перпендику

9:


лярна к этой границе (предполагается, что частица движется перпендикулярно к границе раздела).

772. Излучение будет иметь место. По своей природе оно представляет собой переходное излучение, так как последнее должно возникать всегда, когда на траектории заряда изменяется параметр nv (при этом в случае тормозного излучения меняется скорость v, а для обычного переходного излучения показатель преломления п изменяется вдоль траектории заряда за счет пространственной неоднородности среды).

773. Картина ясна, если использовать метод изображений и, вместе с тем, учесть особенности излучения релятивистских частиц при их резком торможении (остановке).

774. Для нерелятивистского заряда (точнее, при условии « « с/n) излучение формируется в зоне с размером I ~ с/поо = А/2тг. В общем же случае зона формирования

^ vn\/(2c) д 2тгс

1 — (v/с) n(us) co s в ’ поиЕсли d >> I, то переходное излучение на обеих границах раздела можно считать независимым (при пренебрежении интерференцией излучения от обеих границ, которая в данном случае приводит к членам, быстро осциллирующим при изменении d, угла наблюдения и т. п., так что интерференционные члены обычно оказываются несущественными). Если d <С I, то излучение от пластинки радикально отличается от излучения от одной границы (достаточно сказать, что при d —» 0 излучение вообще исчезает).

775. Излучение возникает (соответствующий процесс был назван переходным рассеянием), так как под влиянием возмущения в поле заряда появляется также колеблющаяся с частотой и электрическая поляризация.

776. Диэлектрическая проницаемость плазмы

4тгАГе2той2

= 1 - LUp LU

2

Осциллятор перестает излучать, если и < оир, так как в этом случае £ < < 0, и электромагнитные волны в плазме распространяться не могут (сир = = 47rNe2/m — плазменная частота).

0 . 2тгАГе2777. В разреженной плазме показатель преломления п = 1 -------—, групповая скорость и = сп и, таким образом, время запаздывания

т(ш) = ь ( - - - ) 2тг Ne2L = 1,341(гД— А■ О с-778. При наличии центра симметрии эффекты пространственной дисперсии

имеют порядок (а/А)2 ~ 10-7 — 10-8. Учет пространственной дисперсии приводит к выводу о возможности оптической анизотропии кубических кристаллов. Например, если волновой вектор к направлен по оси куба z, то тензор ец имеет вид

&zz — £ OL\k , £х х — £у у — £•> £х у — £x z — £yz — 0 .

При к = 0 тензор ец для кубических кристаллов с центром симметрии вырождается в скаляр sSij.


779. п2 1 — oJq/ oj2 ^ • У З х Т / т

ЗхТ/тс2 ’ ^ ~3 хТ ,---- кпило

UJUJ

780. Решение. Если электрон движется равномерно и слагающая vn его скорости в направлении нормали к волне совпадает с фазовой скоростью и/к самой волны, то его движение происходит «в фазе с волной», подобно движению электронов, вступивших в режим ускорения в линейном ускорителе. В этом случае электрон подвергается действию силы (со стороны электрического поля волны), направленной все время либо вперед (в сторону распространения волны), либо назад. В результате должно наблюдаться сильное взаимодействие электрона с волной, сопровождающееся либо поглощением, либо излучением плазменных волн. Так как vn = (l//c)(vk), то условие сильного взаимодействия электрона с волной может быть записано в виде

(vk) = u j . (780.1)

Это — условие черенковского поглощения или излучения плазменных волн.Частота и плазменных волн слабо зависит от волнового числа к (см. преды

дущую задачу), и поэтому в условии (780.1) и можно заменить плазменнойчастотой _______

шо = у 47rNe2/т .

Пусть vt ~ у/'кТ/т — средняя тепловая скорость электронов в плазме. Если kvr <С шо, то найдется очень мало быстрых электронов, удовлетворяющих условию (780.1), и поглощение будет слабым. Оно будет сильным при условии kvr > шо.

781. Р е ш е и и е. Изменение частоты при рассеянии на свободных электронах определяется эффектом Доплера. Так как тепловая скорость v электронов мала по сравнению со скоростью света, то частота рассеянной волны и связана с частотой падающей волны соотношением

uj — kv = ucq — kov, или ел — ел о = v(k — ко) = vq,

где к и ко — волновые векторы рассеянной и падающей волн, |к| = |ко| = ш/с, |к — ко| = 2( u j / c ) sin(0/2) (0 — угол рассеяния).

Разделим электроны на группы с одинаковыми компонентами скорости vq в направлении вектора q. Каждая из этих групп будет вызывать определенный доплеровский сдвиг частот. Если f (vq) — нормированная функция распределения, то число электронов в группе dN равно

dN = Nf (vq)dvq.

Сечение рассеяния для этой группы электронов равно

<7u dw = aeNf(vq)dvq = aeNf(^

где сге — сечение рассеяния одного электрона и N — число всех электронов. Для максвелловского распределения по скоростям


782 . Р ешение. 1) Наблюдатель видит отдельные вспышки излучения, следующие друг за другом через равные промежутки времени Т* = 2тт/ои*н ,

* еН тс2где ujh = ------тс G

2) Длительность вспышки At « At'(l — v/c) ~ At'{mc2/Щ2, где At' ~1 1 TYIC? TflC~ —г 0 ~ —--- — = —— — промежуток времени, в течение которого электрон

oj o j б &Идвижется в направлении наблюдателя (в пределах конуса с углом раствора в). Множитель (1 — v/c) в выражении для At обусловлен эффектом Доплера (импульс сжимается на величину vAt' , а поэтому его длительность уменьшается на vAt'/с). Спектр состоит из обертонов частоты обращения электрона шД, но при <f/mc2 >> 1 практически непрерывен. В частотном спектре импульса длительностью At больше всего представлена циклическая частота

1 еН ( Ш \ 2Шмакс ~ ~ Г ~ ~ ( о ) ’A t тс \ mcz /

Чтобы в этом убедиться, нужно рассмотреть разложение в ряд Фурье импульса, имеющего форму «всплеска» с длительностью At, причем поле во всплеске меняет знак (что ясно уже из того, что среднее по времени поле в импульсе равно нулю).

783 . Наблюдатель «видит» вспышки излучения, следующие одна за другой через промежутки времени

2тг / v 2 \ г = — у ! ----cos ajин

Длительность вспышкиAt <

27Г

.2 \ 2/ me V\~Т~)еН sin а

спектр состоит из обертонов частоты 2iг/т « шД/sin2 а и имеет максимум на частоте 1 еН sin ск / Ш \ 2

Шмакс ~ ~Г~ ~ ( о ) ’A t тс \ mcz /Таким образом, если не говорить об изменении времени между вспышка

ми, характеристики спектра отличаются от случая движения по окружности заменой поля Н на Н± = Н sin а.

784 . Смысл условия а >> в состоит в том, что каждый импульс можно рассматривать практически независимо от других. Если а <С 0, то излучение «собирается» со всей траектории и эквивалентно излучению двух гармонических осцилляторов, колеблющихся перпендикулярно к скорости их центров масс и перпендикулярно друг к другу (а также со сдвигом фаз на тг/2).

785 . Излучение поляризовано с преобладанием в волне электрического поля Е, направленного перпендикулярно к внешнему магнитному полю (вектор Е направлен вдоль ускорения излучающего заряда).

786 . Интенсивность излучения определяется квадратом модуля фурье-компоненты тока / = | J j(r) exp(ikr) dr| , к = 2тг/А. Интенсивность / ~ N ]I >> Л и / ~ N 2 при I <С А. В указанных случаях

при

I = sin2(7r//A)Ы /\)2

1 ехр ТГ Л ч А2 J'


787 . Первоначальная группировка или фазировка не нужна, необходимо лишь существование инверсной заселенности уровней. Усиление спонтанного излучения отдельных частиц происходит при этом за счет индуцированного испускания. В установившемся режиме усиления движение электронов в мазере эквивалентно некоторой сложной совокупности микротоков, существенно меняющихся по фазе на расстояниях порядка длины волны и в этом отношении пропасти между антенным и мазерным механизмами нет.

788 . Минимальная скорость уМИН = с/п, а минимальная энергия ЕМИН = = Мс2/л/ \ - (нмин/с)2; подставляя п = 1 + Р • 2,81 • 1СГ4, получим ЕМИН = = 100Мс2/^ ,6 2 Р ; здесь М — масса покоя частицы.

789 . Р ешеи не. Для возникновения излучения необходимо, чтобы п2 > > 0, так как в противном случае однородные волны в среде распространяться не могут.

1) Условие возникновения черенковского излучения записывается в виде c/nv = cos в, или п2 cos2 в = 1 / /92, где /3 = v/c. На рис. 154 приведена кривая, изображающая зависимость величины

2 2 а £±|£|||cos26»п COS и = ---- ■-------------------- S-T\£ || | c o s^ в — £j_ s i r r 0

от угла в. При |£ц | cos2 в — s± sin2 в > 0, т. е. при tg2 в < |£ц|/£±, ее ординаты положительны; при tg2 в > |£ц|/£± — отрицательны. Следовательно, для

Рис. 154возникновения излучения необходимо (но не достаточно) выполнение условия tg2 6» < |ец|/е±.

Проведем на том же рисунке горизонтальную прямую с ординатой 1/02. Если эта прямая пересекает кривую, то черенковское излучение возможно; если она не пересекает ее, то излучение невозможно. Абсциссы точек пересечения определят угол в, под которым при заданной скорости v будет наблюдаться черенковское излучение. Так как минимальная ордината равна е±, то условие черенковского излучения запишется в виде \/(32 > е±.


2а) Если возможно нормальное доплеровское излучение с заданной частотой и, то его направление определится формулой

ft1 — j3n cos в

или 2 2 д 1 Л П\2п cos и = — ---- J .Р2

Проведем на рис. 154 горизонтальную прямую с ординатой — ^1---- . Еслиона пересечет кривую п2 cos2 0, то излучение возможно; в противном случае оно невозможно. Абсциссы точек пересечения определят направление излучения. Нормальное доплеровское излучение возможно при условии

1 / Их2/З2 0 w) > £±'

26) Условие аномального доплеровского излучения:1

W

О \ 2 1 + - )

UJ J> £ ± .

3) Аномальное доплеровское излучение равномерно движущегося осциллятора будет иметь место, а черенковское излучение заряда, движущегося с той же скоростью, будет отсутствовать при условии

1 / ft-^ < £ ± < г л 1 + й1

Р22

791 . Помимо частот v\ и щ должны наблюдаться частоты v\ + ^2 и v\ — и2. Суммарную частоту щ + i/2 удалось наблюдать на опыте.

792 . Внутри однородного, резко ограниченного светового пучка показатель преломления больше чем снаружи на п^Е2. Вследствие этого все лучи, образующие с граничной поверхностью пучка угол, меньший критического угла,

п По „оопределяемого условием cost/Kp = ----------или с учетом неравенства гг2А <С_____щ + n2E z

< по, — условием 0кр = EJy2n2/no, будут претерпевать полное отражение.Световой луч не будет расходиться, если угол дифракционной расходимо

сти 0ДИф = 1,22А/D, где D — диаметр луча, меньше 0кр, т. е. при условии

Отсюда

2 Е 2.щ

_ пD 2 п0Е 2с _ (1,22Л)2с 4 4тг 32 П2

§ 12. Тепловое излучение793 . Р ешение. Поместим слой внутрь полости, стенки которой под

держиваются при температуре Т. Тогда в состоянии теплового равновесия в полости установится равновесное (черное) излучение. Рассмотрим пучок этого излучения интенсивности /о, падающий на слой под углом р (рис. 155). После прохождения через слой интенсивность этого пучка уменьшится до /о ехр{—а1/ совф}, где ф> — угол преломления. Полная интенсивность пуч

Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 4)

Education