أشهر المنحنيات والمجسمات
TRANSCRIPT
1 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
2 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
3 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
بسم اهللا الرحمن الرحيم
الهندسية و ترجع هذه الجذآبية الى الخلفية رسم المنحنيات من المواضيع الجذآبة و الشيقة في الرياضيات ، و
كل منحنيات الرياضية بش) التوابع(يمكن رسم جميع الدوال . ذه المنحنيات تمتع بها هو الفنية التي ت الحسابية
مسطحة في الصفحة إذا آانت ذات ُبعدين و في الفضاء بشكل منحنيات أو سطوح و أحجام إذا آانت ذات ثالثة
يساعد شكل المنحني المسطح أو الفضائي على سهولة البحث في رابطة و دالة المنحني و مشاهدة .أبعاد
صغيرة أو آبيرة حتى ر و العالئم في فواصل عدديةمتغيرات الدالة نتيجة تغير المقاديالتغيرات التي تطرأ على
سه و قاربه و تقّوية ، آذلك يمكن مشاهدة نقاط القّيم الصغرى و العظمى و سلوك المنحني عند ُمفي الال نها
.مساحته و طوله و مواضيع أساسية أخرى جبرية و هندسية
المنحنيات لها أهمية بالغة في الرياضيات و ها و حصرها توجد بعض جميع المنحنيات التي ال يمكن عّدمن بين
الفيزياء و الفلك و العلوم الهندسية ألن روابط و دوال بعض هذه المنحنيات هي أجوبة مسائل و معادالت مهمة و
طابع حسابي و هندسي عمل عليها أبرز علماء الرياضيات ، و آانت السبب وراء حل مسائل بعضها ذات
مهمًا في بناء هندسة ال ًاية أخرى مهمة آمنحني متساوي المماسات الذي لعب دورمتنوعة و ظهور مسائل رياض
و (خط لنموذجًا ل) و السطح الناتج من دورانه حول ُمقاربه(إقليدية آالهندسة الهذلولية حيث آان هذا المنحني
و منحنيات . علقة ور الُمفي الهندسة الهذلولية ، آذلك أهمية منحني السلسة في المسائل الهندسية و الجس) السطح
أخرى ساعدت في حل المعادالت الجبرية و الحصول على جذور المعادالت التي ال يمكن حلها و منحنيات
.ساعدت على أعطاء حلول تقريبية لمسائل هندسية مهمة آتربيع الدائرة و تثليث الزاوية و تضعيف المكعب
المهمة مرفوقة المسطحة و الفضائية و بعض األشكال الهندسية يت في هذا الكتاب أن أجمع أشهر المنحنيات سّع
بعض المنحنيات و األشكال لم أعثر على . بصورة مع ذآر معادالت رسمها و بعض خصائصها الهندسية
تعريبها أو معادلها في اللغة العربية فأضطريت أن أنتخب لها أسم بالعربي يناسب الترجمة اللغوية للمصطلح
.يناسب المفهوم الرياضي لتلك الكلمة اإلنجليزي أو
آانت بين أوراقي براهين لمعادالت بعض المنحنيات آنت قّد بّرهنت عليها أيام دراستي في المدرسة أضفتها
تعرف القارئ على طريقة إستنتاج روابط و معادالت المنحنيات و آيفية الوصول لها من بعض يللكتاب آي
ية عسى أن يجد فيها القارئ ما يساعده على إستنتاج يالت المثلثاتو و بعض التحالخصائص الهندسية و الفيزيائية
.معادالت سائر المنحنيات
4 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
جمعت هذه المجموعة من المنحنيات من مراجع و مواقع معتبرة يمكن مراجعتها أو زيارتها للتعرف أآثر على
م جميع المنحنيات المسطحة و الفضائية و توجد اليوم برامج حاسوبية تقوم برس. هذه المنحنيات و خصائصها
برامج مباشرة على شبكة األنترنيت تقوم برسم أشهر المنحنيات مع رسوم متحرآة توضح خصائص المنحني
لكن أن نجمع هذه المنحنيات و األشكال الهندسية في ملف واحد و باللغة العربية و بصورة ُمبسطة و جامعة و
و اليوم نحن بأمس الحاجة الى آهذه المواضيع .و قد تحققت و الحمد هللا تي آيفية مناسبة شئ آان من أمنيا
لبنة لجميع العلوم الهندسية و الالتي هي ساعد على بسط و نشر العلوم و باألخّص الرياضية التي تالمشاريع
أحد أهم مواضيع الرياضيات و لواله لما أستطعنا من إدراك موضوع المنحنيات و السطوح الهندسية و، العملية
.ندسية هل و التوابع الجبرية و الو تجسيم الدوا
جالل الحاج عبد
6- 10 - 2009
5 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
أنواع المنحنيات )Plane Curves(المنحنيات المسطحة
o القديمة المنحنيات)Ancient curves(
) circle(الدائرة -
)ellipse(اإلهليلج -
)hyperpola(الهذلولي -
)parapola(الشلجمي -
o المنحنيات الكالسيكيه)Classical curves(
)tractrix(متساوي المماسات -
)limacon (فة باسكالَدمنحني َص -
)nephroid (المنحني الُكلوي -
)folium(منحني ديكارت -
)leminscat(العروتين ذو منحني -
o المنحنيات الدورية)Cycloid Curves(
)cardioid(المنحني القلبي -
)nephroid (المنحني الُكلوي -
)delta(منحني الدالية -
)astroid(يري تحتي رباعي القرن منحني دو -
)cycloid(دويري -
)hypotrochoid(هايبوتروآوئيد -
o المنحنيات الحديثة)Modern Curves(
)sine(منحني الجيب -
)Lissajous(و منحني ليساج -
)catenary(منحني السلسلة -
)clothoid(آلوثوئيد -
)tacnodal(تاآندال -
)Spirals(الحلزونات -
)Archimedean spiral(حلزون أرخميدس -
)logarithm spiral ( أو حلزون متساوي الزواياالحلزون اللوغاريثمي -
6 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
)Space Curves(المنحنيات الفضائيه o المنحنيات الفضائيه الكالسيكيه) Classical Space Curves(
)helix(اللولب -
o الجبريهالمنحنيات) Algebraic Curves(
o الهندسه التفاضليهمنحنيات) Differential Geometry Curves(
o الُعقد) Knots(
)surfaces( السطوح )sphere( الكرة -
)hyperboloid (الُمجسم الهذلولي -
)paraboloid (الُمجسم الشلجمي -
)torus ( الطارة -
)Polyhedron( متعددات السطوح أو الوجوه )cube( المكعب -
)tetrahedron( رباعي السطوح -
)octahedron (ثماني السطوح -
)dodecahedron(إثنا عشري السطوح -
)icosahedron(ُمجسم عشروني -
7 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
لمنحنياتامعادالت إثبات بعض و مفاهيم الصطالحات و اإلبعض Minimal surface
)mean curvature(تطابقيًا تقوسه الوسطي ) يساوي صفر( هو السطح الذي يتالشى - سطح أصغري
Fractals
يمكن بناء منحن تكسيري من أي مضلع منتظم بأن نستبدل . هي مجموعه ذات ُبعد هاوسدورفي غير صحيح - ريهمجموعه آسو
.المولد بكل ضلع ثم نكرر األسلوب نفسه
Elliptic Function
هي معكوس تكامالت إهليلجية . دالة غير متسامية - دالة إهليلجية
Cusp
.ن و تنطبق عندها نهايتا المماس لكل فرع نقطة يلتقي عندها فرعان لمنح-قرنة
Asymptotic
تسعى المسافة بين المنحني و مستقيمه الُمقارب نحو صفر- ُمقارب
)إذا آان المنحني المطلوب رسمه )y f x= . بعدد النقاط التي تصبح فيه قيمة( )f xلهذا المنحني أي ال نهائية يوجد ُمقارب
0
lim ( )x x
f x→
= 0y في هذه الحالة معادلة الُمقارب ∞ x=
2معادلة منحني بهذه الصورة
11
yx
=−
1y معادلة ُمقارب المنحني هي 1y و = = −
Cartesian Coordinate
هي منظومة لتمثيل نقطة في فضاء بداللة أبعادها مقيسة على طول مجموعة من المحاور المتعامدة - إحداثيات ديكارتية متعامدة
)تكتب للنقطة في الصفحة . ثنائيًا , )x y و في الفضاء ( , , )x y z
Polar Coordinate
) و تكتب θ و الزاوية r زوج إحداثيات تحدد موضع نقطة في مستوى بواسطة الطول - إحداثيات قطبية , )r θ
Parametric Equation
مجموعة معادالت تعبر عن عدد من آميات آدوال صريحة – معادالت وسيطية
cossin
x R ty R t=⎧
⎨ =⎩
في الصفحة
cossin
x R ty R tz bt
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
في الفضاء
8 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Symmetry
.تناظر ) صفحة( خاصية تشكيل هندسي بكونه متناظرًا حول محور تناظر أو مرآز تناظر أو مستوي – ناظرت
Squircle
معادلة الدائرة )superellipse( منحني خواصه الهندسية بين الدائرة و المربع ، و هو حالة من اإلهليلج الفائق – دائرة مربعة
4المربعة 4 4( ) ( )x a y b R− + − =
Hippopede
أنتخبت لها أسم مربط الفرس ، هي عبارة عن منحني مسطح معادلته horse fetter الكلمة يونانية تعني – مربط الفرس2 2 2 2 2( )x y cx dy+ = +
Genus
قياس لترابط – نوع
Surface of Revolution
:الدالة التي يرسم بها هذا النوع من المنحنيات هي . طح حول محور هو السطح الناتج من دوران منحن مس- السطح الدوراني
( ) cos
( ) sin
( )
x f u
y f u
z h u
ν
ν
=
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
أو هذه المتغيرات
( ) cos
( ) sin
( )
x f
y f
z h
θ φ
θ φ
θ
=
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
)السطح و الحجم الناتج من دوران منحني مثل )y f x= و a x b≤ :ي يساوx حول محور ≥
22 السطح 1 [ ( )]b
a
A y f x dxπ ′= +∫
]2الحجم ( )]b
a
V f x dxπ= ∫
0 نوع 1 نوع 2 نوع 3 نوع
9 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
)المساحة بين منحني دالته بصورة )y f x= و المحور األفقي في الفاصلة a x b≤ ): تساوي ≥ )b
a
A f x dx= ∫
)طول قطعة من منحني معادلته بصورة )y f x= في الفاصلة a x b≤ 21 : تساوي ≥ [ ( )]b
a
L f x dx′= +∫
طول قطعة من منحني معادلته بصورة ( )( )
x ty t
⎧⎨⎩
a في الفاصلة t b≤ 2 : تساوي ≥ 2[ ( )] [ ( )]b
a
L x t y t′ ′= +∫
)طول قطعة من منحني معادلته القطبية )r f θ= في الفاصلة a bθ≤ 2 : تساوي ≥ 2( )b
a
drL r dd
θθ
= +∫
Pedal curve
.مود من نقطة ثابتة على مماس متغير لمنحن معلوم هو المحل الهندسي لقدم الع– المنحني القدمي أو منحني مواقع األعمدة
على الخط P ، الخط المماس على المنحني و العمود في النقطة Oو نقطة ثابتة مثل ) مثل الدائرة في هذا الشكل(منحني ُمعطى
. واحدة ال أآثر و هي المحل الهندسي للمنحني القدمي P ، النقطة Oالمار من
0هي ) pedal point(إذا آانت نقطة القدم 0( , )x yو المعادلة الوسيطية للمنحني الُمعطى ( )
( )
x f t
y g t
=⎧⎪⎨⎪ =⎩
:المعادلة الوسيطية للمنحني القدمي هي 2 2
0 02 2
2 20 0
2 2
( )
( )
P
P
x f fg y g f gxf g
y g gf x f f gyf g
′ ′ ′ ′⎧ + + −=⎪ ′ ′+⎪⎪
⎨⎪ ′ ′ ′ ′+ + −⎪ =
′ ′+⎪⎩
Critical Points
، نحصل على هذه النقاط للمنحني ) minimum( الصغرى و النهاية) maximum(العظمى النهاية نقاط مثل – النقاط الحرجة
.من تساوي اإلشتقاق األول للدالة مع الصفر من ثم حساب جذور المعادلة الحاصلة و البحث في عالئم الجذور
)5: مثال ) 5 3f x x x= − النقاط العظمى و الصغرى آما في الشكل +
. للدالة النهائي ، تعتبر هذه النقطة آذلك نقطة حرجة إذا آان اإلشتقاق األول
f g و ′ t بالنسبة الى g و f إشتقاق ′
10 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Extremum
)global(أو شاملة ) local( هي نقطة تكون لدالة عندها نهاية عظمى أو نهاية صغرى و التي تكون محلية – نهاية قصوى
Saddle Point
ية صغرى في مقطع مستعرض مستٍو نقطة على سطح ، تكون نهاية عظمى في مقطع مستعرض مستٍو ، و نها– نقطة سرجية
.آخر
4معادلة هذا المنحن مثًال 4z x y= −
Convex and Concave
إذا آان اإلشتقاق الثاني لدالة المنحني في هذه النقطة أآبر من ) convex( محدب 0x يعتبر المنحني في النقطة - التحدب و التقعر
)0: أي صفر ال ) 0f x′′ >
: أي إذا آان اإلشتقاق الثاني لدالة المنحني في هذه النقطة أصغر من الصفر ) concave( مقعر 0xيعتبر المنحني في النقطة
0( ) 0f x′′ <
Point of Inflection
و تحسب من تساوي اإلشتقاق تعرف بنقطة إنعطاف فيها تحدب المنحني الى تقعر أو بالعكس النقطة التي يتغير– إنعطافنقطة
)0 :الثاني لدالة المنحني مع الصفر أي ) 0f x′′ =
Tangent line
) معادلة خط المماس على المنحني – خط المماس )y f x= 0 في النقطة 0( , )x y 0: هي 0( )y m x x y= − في هذه +
)0المعادلة )m f x′= ظل الزاوية بين خط المماس على المنحني في هذه النقطة و المحور األفقي ، الزاوية الموجبة جهتها
.خالف عقارب الساعة
Ascending and Descending Function
و إذا آانت ) ascending( إذا آانت قيمة اإلشتقاق األول لدالة أآبر من الصفر الدالة تصاعدية – نازليةالدالة التصاعدية و الت
)أي لكل دالة مثل ) . descending(أصغر من الصفر تنازلية )y f x= في الفاصلة a x b≤ ≤
( ) 0f x′ ية في هذه الفاصلة الدالة تصاعد<
( ) 0f x′ الدالة تنازلية في هذه الفاصلة>
11 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Curve Curvature
.معدل التغير في إنحناء مماس لمنحن بالنسبة الى طول القوس – المنحني) تقّوس(إنحناء
، إنحناء SΔ يساوي N و M و طول القوس بين α هي N و النقطة Mالزاوية بين خطي المماس على المنحني في النقطة
الى تغيرات طول القوس عندما تسعىαالمنحني هو نهاية نسبة تغيرات الزاوية
N نحو M أي :0
limS
Sακ
Δ →
Δ=
Δd و منها
dsακ =
)إذا آانت معادلة المنحني بصيغة )y f x= من هذه الرابطة تقّوس المنحني في آل نقطة يحسب2 3[1 ]
yy
κ′′
=′+
)إذا آانت معادلة المنحني في اإلحداثيات القطبية بصيغة )r f θ= رابطة التقّوس بهذا الشكل 2 2
2 2 3
2[ ]
r r rrr r
θ θθ
θ
κ + −=
+ في هذه
. θ إشتقاق رتبة ثانية بالنسبة الى rθθ و θإشتقاق رتبة أولى بالنسبة الى rθالرابطة
إذا آانت معادلة المنحني وسيطية بصيغة ( )( )
x ty t
⎧⎨⎩
رابطة التقوس هي 2 2 3[ ]
x y y x
x yκ
′ ′′ ′ ′′−=
′ ′+x في هذه الرابطة y و ′ ′
x و tالتفاضل األول بالنسبة الى y و ′′ .t التفاضل الثاني بالنسبة الى ′′
1Rنصف قطر التقوس يساوي κ
=
Bezier Curves
لهذه المنحنيات أهمية بالغة . هذه المنحنيات لتصميم بدنة السيارات Pierre Bezier أستخدم المهندس الفرنسي – منحنيات بيزيير
و في برامج المحاآاة و ) Adobe Illustrator(و أدوب إلستريتور ) Photoshope(في معظم برامج الجرافيك آالفوتوشوب
.آأداة للتحكم في الحرآة ) Animation(الحرآة
، منحني بيزييرالخطي هو خط مستقيم بين 1P و 0Pلنقاط ا: معادلة منحني بيزيير الخطية
: هذه النفطتين و معادلة المنحني
0 1( ) (1 )B t t P tP= − + ، [0,1]t ∈
:معادلة منحني بيزيير التربيعي 2 2
0 1 2( ) (1 ) 2(1 )B t t P t tP t P= − + − + ، [0,1]t ∈
:معادلة منحني بيزيير التكعيبية
[0,1]t ∈ ، 3 2 2 30 1 2 3( ) (1 ) 3(1 ) 3(1 )B t t P t tP t t P t P= − + − + − +
12 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Tractrix المعادلة الوسيطية لمتساوي المماسات نحني طول قطعة المماس بين أي نقطة علىفي هذا الم
في هذا الشكل( و مقارب المنحني Pالمنحني مثل النقطة
بين محورtنفرض الزاوية . aثابت و يساوي ) x محور
x و المتجهة QP→
. معينة الجهة
)للتوضيح إذا آان لدينا منحني مثل )r tمتجهة مثل إسقاط r على محوري اإلحداثي هو :
2 2
( )cos[ ( )] [ ( )]
x tx t y t
α =+
، 2 2
( )sin[ ( )] [ ( )]
y tx t y t
α =+
) عوضًا عن y و xلإلختصار نستعمل )x t و ( )y t
PHQ sinPHQفي المثلث y a tΔ ⇒ =
من هذه الرابطة 2 2
sin ytx y
=+
: و تربيع طرفيها نحصل على
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2
(1 sin )sin sin cotsin
y tx t y t y x x y tt
−+ = ⇒ = ⇒ =
2coscot cos cot sinsin sin
t ax y t x a t t x a x a tt t
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − +
: من تكامل الرابطة األخيرة نحصل على
cos cos ln tansin 2dt tx a t a x a t a c
t= + ⇒ = + +∫
0xلوضعية أو =2
t π=
cos ln tan2tx a t a= +
:ة الوسيطية لمتساوي المماسات هي إذن المعادل
cos ln tan2
sin
tx a t a
y a t
⎧= +⎪
⎨⎪ =⎩
13 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Astroidلمنحني دويري تحتي رباعي القرن المعادلة الوسيطية
(Hypocycloid with four cusps)
34 4a aOO a′ = − =
)ة أربعة أضعاف الدائرة الصغيرة محيط الدائرة الكبير 4 ) ( 3 )2 2π πα θ π θ α θ= − − − ⇒ = − −
O في المثلث NP′Δ مع العلم HH PN′ = sin[ ( 3 )] cos34 2 4a aHH π θ θ′ = − − = −
OOفي المثلث H′ ′Δ 3 cos4aOH θ′ =
O في المثلث NP′Δ cos[ ( 3 )] sin 34 2 4a aO N π θ θ′ = − − =
OOفي المثلث H′ ′Δ 3 sin4aO H θ′ ′ =
33 3cos ( cos3 ) cos (4cos 3cos )4 4 4 4P Pa a a ax OH HH xθ θ θ θ θ′ ′= − = − − ⇒ = + −
33 3sin sin 3 sin (3sin 4sin )4 4 4 4P Pa a a ay O H O N yθ θ θ θ θ′ ′ ′= − = − ⇒ = − −
3
3
cos
sinP
P
x a
y a
θ
θ
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
المنحني عبارة عن محل هندسي نقطة
bعلى محيط دائرة نصف قطرها
aداخل دائرة أخرى نصف قطرها
نبحث حالة من بين عدة حاالت لهذا
المنحني و هي الحالة التي فيها نصف
قطر الدائره الكبيرة أربعة أضعاف
الدائرة الصغيرة أي 4ab =
14 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Epicycloid لمنحني الدحروج الخارجي المعادلة الوسيطية
aaفي نصف القطر ) راديان( طول قوس من محيط الدائرة يساوي الزاوية المقابلة bb
θ α α θ= ⇒ =
)من الشكل يمكن أستنتاج هذه الزاوية و الرابطتها ) ( )2 2
a a bb b
π πφ θ θ φ θ+= − − ⇒ = − −
OOفي المثلث H′Δ ( ) cosOH a b θ= +
OOفي المثلث H′Δ ( )sinO H a b θ′ = +
Oفي المثلث NP′Δ sin[ ( )] cos2
a b a bHH NP b HH bb b
π θ θ+ +′ ′= = − − ⇒ = −
Oفي المثلث NP′Δ cos[ ( )] sin2
a b a bO N b O N bb b
π θ θ+ +′ ′= − − ⇒ =
( ) cos cospa bx OH HH a b b
bθ θ+′= + = + −
( ) sin sinpa by O H O N a b b
bθ θ+′ ′= − = + −
( ) cos cos
( )sin sin
p
p
a bx a b bb
a by a b bb
θ θ
θ θ
+⎧ = + −⎪⎪⎨⎪ +⎪ = + −⎩
المنحني عبارة عن محل
هندسي نقطة على محيط دائرة
تتدحرج من bنصف قطرها
الخارج على دائرة نصف
aقطرها
15 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Cycloid المعادلة الوسيطية لمنحني الدويري
POفي المثلث H′ مع العلم أن PH P H′ ′= sinPO H PH a φ′Δ ⇒ =
PO في المثلث H′ cosPO H OH a φ′ ′Δ ⇒ =
sin ( sin )P P Px OH P H x a a x aφ φ φ φ′ ′ ′= − ⇒ = − ⇒ = −
(1 cos )P P Py O H O H y a acos y aφ φ′ ′ ′= − ⇒ = − ⇒ = −
( sin )
(1 cos )
P
P
x a
y a
φ φ
φ
= −⎧⎪⎨⎪ = −⎩
Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل
تتدحرج aعلى محيط دائرة نصف قطرها
xدون إنزالق على محور
16 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Strophoid ستروفوئيدالقطبية للالمعادلة
OP ألن OPMتساوي الساقين من المثلث الم MP= لذلك 2
MOP PMO π φ∠ = ∠ = ∠MAO و ∠OMAالزوايا −
:تساوي
2OMA π φ∠ = +
22
MAO π φ∠ = −
OM أي ρ و الفاصلة القطبية لها هي M مع العلم المنحني هو مكان هندسي النقطة OMAالمثلث نكتب رابطة الجيب في ρ=
sin( )
2 tansin
a AM aAM
π φφ
φ
+= ⇒ =
sin cos 2 cos 2( ) tansin cossin( 2 )
2
AM a aφ φ φρ φ ρπ ρ φ φφ= ⇒ = ⇒ =
−
cos 2cos
a φρφ
=
بحيث N و Mقاط المنحني عبارة عن محل هندسي الن
PM PN OP= =
OAلهذا المنحني مقارب و a=
17 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Ovals of Cassiniالمعادلة القطبية لبيضويات آاسيني
2
1 2PF PF b× =
1OPF 2رابطة الجيب تمام في المثلث 2 21 2 cos( )PF r a ar π θ= + − −
2OPF 2رابطة الجيب تمام في المثلث 2 22 2 cosPF r a ar θ= + −
2 2 4 2 2 2 2 4
1 2 ( 2 cos )( 2 cos )PF PF b r a ar r a ar bθ θ× = ⇒ + + + − =
4 4 2 2 3 3 3 3 2 2 2 42 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 4 cosr a a r a r ar a r ar a r bθ θ θ θ θ+ + − − + + − =
4 4 2 2 2 42 (1 2cos )r a a r bθ+ + − =
2بما أن 2 2 2 21 2cos (1 cos ) cos sin cos cos 2θ θ θ θ θ θ− = − − = − =
:المعادلة القطبية 4 4 2 2 42 cos 2r a a r bθ+ − =
Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل
بحيث حاصل ضرب فاصلة هذه النقطة من
) aالفاصلة بينهما بؤرتي المنحني(نقطتين ثابتتين
b لحالة 2bمقدار ثابت مثل a>
b a< b أو a> b في حالة a= في حالة
18 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Limacon of Pascal باسكال َصَدفة المعادلة القطبية لمنحني
b في حالة a>
OPMفي المثلث القائم الزاوي
cos cosOQ OQ aa
θ θ= ⇒ =
إذن
cosOP OQ QP b a θ= + = +
:المعادلة القطبيه
cosr b a θ= +
bفي حالة a< أو b a>
b في حالة a=
Q بأي نقطة مثل O يوصل المبدأ OQالخط
المنحني عبارة عن محل . aعلى دائرة قطرها
Q بحيث فاصلتها من Pهندسي نقطة مثل
PQ أي bمقدار ثابت مثل b=
19 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Involute of a circle المنحني المنشأ للدائرة
OM a=
APطول القوس MP aφ= =
: هي OPH من المثلث القائم الزاويه P إحداثيات H في x يقطع المحور Pسم خط عمود من نر
sin sinPy yθ ρ θρ
= ⇒ =
cos cosPx xθ ρ θρ
= ⇒ =
OMPمن المثلث القائم الزاويه
sin( ) sin cos sin cosMP MP aφ θ ρ φ θ ρ θ φ φρ
− = ⇒ − = =
cos( ) cos cos sin sina aφ θ ρ φ θ ρ φ θρ
− = ⇒ + =
:من إختصار هذه الراوبط نحصل على
sin cosP Px y aφ φ φ− =
cos sinP Px y aφ φ+ =
:من هذه المعادلتين نحصل على المعادلة الوسيطية لمنحني منشأ الدائرة
(cos sin )
(sin cos )
P
P
x a
y a
φ φ φ
φ φ φ
= +⎧⎪⎨⎪ = −⎩
بحيث حبل Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل
يفتح الحبل aك مرن يلف حول دائرة نصف قطرها أو سل
من حول الدائرة في حالة يكون فيها الحبل مسحوب
يساوي المماس على APيستطلب هذا أن يكون القوس
: أي P من النقطة PM الدائرة
P
P
OH xPH y
==
20 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Cissoid المعادلة الوسيطية للمنحني اللبالبي
ORM cosفي المثلث القائم الزاويه 2 cos2
OR OR aa
θ θ= ⇒ =
OSM 2 في المثلث القائم الزاويه 2coscos
a aOSOS
θθ
= ⇒ =
OR RS OS+ = OPمن خصائص هذا المنحني RS= إذن :
2 2 coscos
aRS OP OS OR OP a θθ
= = − ⇒ = −
22 sin
cosaOP θ
θ=
OPH من المثلث القائم الزاويه Pإحداثيات النقطة cosPx OP θ=
sinPy OP θ=
:المعادلة الوسيطية لهذا المنحني هي
2
3
2 sin
2 sincos
P
P
x a
ay
θ
θθ
⎧⎪ =⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪⎩
بحيث فاصلتها من Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل
مع دائرة OPمحل تالقي الخط (R تساوي فاصلة نقطة Oالمبدأ
محل تالقي أمتداد (Sالى النقطة ) O تمر من aنصف قطرها
OP مع المماس على الدائرة من النقطة M ( أي:
OP RS=
21 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Witch of Agnesi معادلة منحني الساحرة أغنيسي
PAM x=
)OAM tanالزاوية في المثلث القائم ) 2 tan( ) 2 cot2 2 2
PP P
x x a x aa
π πθ θ θ− = ⇒ = − ⇒ =
cos( ) 2 sin2 2
2 2cos( )2 sin
OBOBM OB aa
a aOAM OAOA
π θ θ
π θθ
Δ ⇒ − = ⇒ =
Δ ⇒ − = ⇒ =
22 2 cos2 sin
sin sina aAB OA OB AB a AB θθθ θ
= − ⇒ = − ⇒ =
ABP أي θتساوي ∠ABP ، مع العلم إن الزاوية BPAمن المثلث القائم الزاوية θ∠ : خاصية الخطوط الموازية إذن =2
22 cossin sin 2 cossin
AP aAP AP aAB
θθ θ θθ
= ⇒ = × ⇒ =
22 cosAP a θ=
: هي Pاإلحداثيات العمودية للنقطة 2 22 2 2 cos (2 2cos )P P Py a AP y a a y aθ θ= − ⇒ = − ⇒ = −
2نستعين بهذه التحويالت المثلثاتية 2 2 2 22cos cos (1 sin ) 1 (cos sin ) 1 cos 2θ θ θ θ θ θ= + − = + − = +
(1 cos 2 )Py a θ= −
:المعادلة الوسيطية لهذا المنحني هي
2 cot
(1 cos 2 )
P
P
x a
y a
θ
θ
=⎧⎪⎨⎪ = −⎩
خطان مماسان عليها في النقطة aدائرة نصف قطرها
O و M آما في الشكل ، النقطة A على الخط المار
، الخط B الدائرة في النقطة OA يقطع الخط Mمن
يقطع الخط العمود على MA و موازي Bالمار من
MA من A في النقطة P المنحني هو المحل ،
.Pالهندسي للنقطة
هو مقارب MA و موازي Oالخط المار من
.المنحني
22 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Catenary معادلة منحني السلسلة
P 0 1 توازن القوى في النقطة cossin
T Tsg T
θμ θ==
توازن القوى على بعضهما تقسيم رابطتي0
tansgTμ θ=
2مجموع تربيع آل من رابطتي توازن القوى 2 20( ) ( )T sg Tμ+ =
a 0T نفرض هذه النسبة تساوي العدد الثابت agμ=
00
T a a g Tg
μμ
= ⇒ =
2 2 2 2 20( ) ( )T sg T T g a sμ μ+ = ⇒ = +
في مفهوم التفاضل و اإلشتقاق تفاضل دالة في نقطة معينة يساوي ظل زاوية المماس على منحني الدالة في تلك النقطة و المحور
:إذن ) الجهة الموجبه خالف عقارب الساعة(األفقي 2
2
1tan dy dy s d y dsdx dx a dx a dx
θ = ⇒ = ⇒ =
21 في الهندسه التفاضليه طول جزء من المنحني يساوي ( )ds dydx dx
= +
المعادلة التفاضليه من الدرجة الثانية 2
22
1 1 ( )d y dydx a dx
= +
coshة التفاضليه هو شكل منحني السلسلة المعلقة جواب المعادل xy a ca
= +
(0)جواب هذه المعادلة التفاضلية للشرائط الحدية 0y ′ (0) و = 0y = (0) 0y c a= ⇒ = −
0Taة في هذه الرابطة المعادلة النهائية لشكل منحني السلسلgμ
= cosh xy a aa
= −
سلسله أو حبل أو سلك مرن ُمثبت بين نقطتين معادلة
منحني السلسلة المنحدرة نحو األسفل نتيجة وزنها هو
. جواب معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية
Tلسحب في النقطة شدة اP
0T شدة السحب األفقي على السلسلة في النقطة P
μالكثافة الطولية للسلسلة
s طول السلسلة و dsطول جزء من السلسلة
gثابت التعجيل لألرض أو ثابت جاذبية األرض
θالزاوية بين شدة السحب و المحور األفقي
0T شدة السحب األفقيه في آل نقطة على السلسلة ثابتة و تساوي -1
23 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
24 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Bicorn المنحني الهاللي
Astroid إ ستروئيد / المنحني النجمي\دويري تحتي رباعي القرن
معادلة رسم المنحني
3 32 2 23x y a+ = المعادلة الكارتيزية
3
3
cos ( )
sin ( )
x a t
y a t
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
المعادالت الوسيطية
المساحة23
8
aπ 6a الطول
تتدحرج دون إنزالق نقطة على محيط دائرة عبارة عن محل هندسي المنحني: توضيح بر منها داخل دائرة أخرى أآ
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) ( 2 )y a x x ay a− = + −
2 2
sin( )
((2 cos( )) cos ( )) /(3 sin ( ))
x a t
y a t t t
=
= + +
⎧⎨⎩
1aإذا آان : المساحة المساحة =1
3(16 3 27)A π= −
0 إذا آان : المساحة :توضيح 1a< الةفي هذه الح >1
34 3 6 3(4 3 7)A aπ= − + −⎡ ⎤⎣ ⎦
معادلته من الدرجة الرابعة نوع من أنواع القبعاتCocked hatأسم المنحني آذلك
25 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Cartesian Oval وي ديكارتابيض
Cardioid المنحني القلبي
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) ( )x y ax a x y+ + = + آارتيزية
(1 cos( ))r a θ= − قطبية
(1 cos( )) cos( )(1 cos( ))sin( )
x a t ty a t t= −⎧
⎨ = −⎩
23 المساحة2
A aπ= 8 الطولL a=
المنحني عبارة عن محل هندسي نقطة على محيط دائرة تتدحرج :توضيح مساوية لها في نصف القطرعلى دائرة أخرى
4a لهذا المنحني في cuspنقطة االقرنة
معادلة رسم المنحني
2 2 2 2 2( ) ( )m x a y n x a y k− + + + + = المعادلة الكارتيزية
المساحة
الطول
بحيث pالمحل الهندسي للنقطة . الضلعين المجاورين للرأس ثابتًامجموع المحل الهندسي لرأس مثلث عندما يضل : توضيح mr أي kمجموع فاصلة هذه النقطة من نقطتين ثابتتين ، ثابتة و تساوي nr k′± =
آذلك نيوتن1637أول من طالع هذا المنحني ديكارت عام 1
m n Ellipsem n Hyperpolam Limacon
= →= − →= →
26 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Catenary منحني السلسلة
Cassinian Ovals بيضويات آاسيني
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 4( ) ( )x a y x a y c⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ المعادلة الكارتيزية
[ ]4 4 2 2 42 1 cos(2 )r a a r cθ+ − + = المعادلة القطبية
المساحة
الطول
بحيث pالمحل الهندسي للنقطة . المحل الهندسي لرأس مثلث عندما يضل جداء الضلعين المجاورين للرأس ثابتًا: توضيح أي2c مقدار ثابت يساوي r 2 و1r من بعضهما a 2ضرب فاصلة هذه النقطة من نقطتين ثابتتين و بفاصلة حاصل
2c = 1r * 2 r أستعمل هذا المنحني في مطالعة حرآة الشمس و األرض
معادلة رسم المنحني
cosh( )xy aa
= المعادلة الكارتيزية
( )
( ) cosh( )
x t tty t aa
=⎧⎪⎨
=⎪⎩
المساحة
الطول
في المسائل a، الثابت هو المنحني الذي يشكله حبل أو آبل أو سلسلة ثقيلة مرنة معلقة بحرية بين نقطتين ثابتتين : توضيح .الهندسية يرتبط بوزن الكبل أو السلسلة
27 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Circle لدائرةا
Cayley’s sextic ُسداسية آايلي
معادلة رسم المنحني2 2 3 2 2 2 24( ) 27 ( )x y ax a x y+ − = +
34 cos ( )3
r a θ=
3
3
3
3
4 cos ( / ) cos4 cos ( / )sin
x a t ty a t t
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
223.50219A الخارجية : المساحة a= 20.05975299 الداخليةA a=
6Lالطول aπ=
:توضيح
معادلة رسم المنحني2 2 2( ) ( )x x y y R° °− + − =
r R=
cossin
x x R ty y R t
°
°
= +⎧⎨ = +⎩
2A المساحة Rπ=
2L الطول Rπ=
) نصف القطر و R: توضيح , )x y° إحداثيات مرآز الدائرة°
28 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Cochleoid الشكلحلزونيمنحني
Cissoid لمنحني اللبالبيا
معادلة رسم المنحني3
2
2xy
a x=
−
2 tan( )sin( )r a θ θ= 2
3
2 sin(2 sin ) / cos
x a ty a t t
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
3A المساحة aπ=
الطول
a2 و مقارب المنحني تساوي yالفاصلة بين محور: توضيح
معادلة رسم المنحني2 2( ) tan( / )x y Arc y x ay+ =
sinar θθ
=
2
( sin cos ) /( sin ) /
x a t t ty a t t=⎧
⎨=⎩
المساحة
الطول
عبارة عن منحني حلزوني:توضيح أي شكل الحلزونsnail-formيعني أسم المنحني
29 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Conchoid of de Siuze منحني صدفية دي سيوز
Conchoid منحني صدفي
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2( ) ( )x a x y b x− + =
secr b a θ= +
المساحة
الطول
طول القطعة الثابتةb الفاصلة بين القطب و المقارب a: توضيح
معادلة رسم المنحني2 2 2( 1)( )x x y ax− + =
sec cosr aθ θ= + (sec cos )cos(sec cos )sin
x t a t ty t a t t= +⎧
⎨ = +⎩
1 المساحة (2 ) 1 (4 ) sec2loopA a a a a Arc a⎡ ⎤= − − − + + −⎣ ⎦
الطول
:توضيح
30 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Devil’s Curve منحني الشيطان
Cycloid دويري
معادلة رسم المنحني2cos(1 ( / ) 2x aArc y a ay y= − − −
( sin )(1 cos )
x a t ty a t= −⎧
⎨ = −⎩
23A المساحة aπ=
8L الطول a=
المساحة و الطول لدورة واحدة
a نصف قطر الدائرة هو المنحني الذي ترسمه نقطة على محيط دائرة عندما تتدحرج دون أنزالق على خط مستقيم: توضيح
معادلة رسم المنحني4 2 2 4 2 2y a y x b x− = −
2 2 2 2 2 2 2(sin cos ) sin cosr a bθ θ θ θ− = −
2 2 2 2 2 2 cos( sin cos ) /(sin cos )
sinx E t
E a t b t t ty E t=⎧
= − − ⇒ ⎨ =⎩
المساحة
الطول
:توضيح
31 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Durer’s shell curve منحني صدفة دوورير
Double of Folium ج فوليوم مزدومنحني
معادلة رسم المنحني2 2 2 2( ) 4x y axy+ =
24 cos sinr a θ θ=
المساحة
الطول
شكل ورقة الشجرfoliumتعني آلمة : توضيح
رسم المنحنيمعادلة 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )x xy ax b b x x y a+ + − = − − +
المساحة و الطول و مقادير عددية اخرى
:توضيح
32 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Ellipse بيضوي/ إهليليج / قطع ناقص
Eight Curve منحني الثمانية
معادلة رسم المنحني4 2 2 2( )x a x y= −
2 2 4cos 2 secr a θ θ=
sinsin cos
x a ty a t t=⎧
⎨ =⎩
24 المساحة3
A a=
6.09722Lالطول a=
:توضيح
معادلة رسم المنحني2 2
2 2
( ) ( ) 1x x y ya b
° °− −+ =
2 22 2 2 0ax bxy cy dx fy g+ + + + + = cossin
x a ty b t=⎧
⎨ =⎩
A المساحة abπ=
2 الطول 4 61 1 1( )(1 ) &4 64 256
a bL a b h h h ha b
π −= + + + + + ⋅⋅⋅ =
+
) و b و نصف طول المحور األقصر aنصف طول المحور األعظم : توضيح , )x y° إحداثيات مرآز اإلهليلج°
33 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Epitrochoid إبيتروآوئيد
Epicycloid دحروج خارجي
معادلة رسم المنحني
( ) cos cos[( ) / ]( )sin sin[( ) / ]
x R r t r R r r ty R r t r R r r t= + − +⎧
⎨ = + − +⎩
حة المسا
الطول
r على محيط دائرة نصف قطرها Pالمنحني الذي ترسمه نقطة : توضيح Rعندما تتدحرج هذه الدائرة من الخارج حول دائرة أخرى ثابتة نصف قطرها
حنيمعادلة رسم المن
( ) cos cos[( ) / ]( )sin sin[( ) / ]
x R r t d R r r ty R r t d R r r t= + − +⎧
⎨ = + − +⎩
المساحة
الطول
عن مرآز دائرةd بفاصلة Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة : توضيح Rتتدحرج خارج دائرة نصف قطرها rنصف قطرها
34 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Fermat’s Spiral فيرماحلزون
Equiangular Spiral حلزون متساوي الزوايا
حنيمعادلة رسم المن
cotar aeθ=
المساحة
الطول
مصطلح آخرمن أجل الحلزون اللوغاريثمي: توضيح 1638أول من أآتشف هذا النوع من الحلزون ديكارت
عند 2
a π عن دائرة المنحني عبارة=
معادلة رسم المنحني2 2r a θ=
المساحة
الطول
1636 ناقش هذا المنحني فيرما عام: توضيح آذلك يعرف هذا المنحني بالحلزون الناقصي و هو أحد أنواع حلزون أرخميدس
yالمنحني متناظر حول الخط x= −
35 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Folium of Descartes منحني ديكارت
Folium منحني ورق الشجر
معادلة رسم المنحني2 2 2 2( )[ ( )] 4x y y x x b axy+ + + =
2cos 4 cos sinr b aθ θ θ= − +
المساحة
الطول
، و فوليوم ثالثي و ) مزدوج(منحنيات و هي عبارة عن فوليوم بسيط ، و فوليوم ثنائي يوجد ثالثة أنواع من هذه ال: توضيح 4bهذا يرجع الى a= 0 وb b و = a=
معادلة رسم المنحني3 3 3x y axy+ =
3(3 sec tan ) /(1 tan )r a θ θ θ= + 3
2 3
(3 ) /(1 )(3 ) /(1 )
x at ty at t
⎧ = +⎪⎨
= +⎪⎩
232
A a= الناحية المغلقة المساحة
4.91748Lالناحية المغلقة الطول a=
1638 ناقش هذا المنحني ديكارت عامأول من : توضيح 0xمقارب هذا المنحني خط معادلته y a+ + =
36 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Frequency Curve ني الترددمنح
Freeth’s Nephroid فريثمنحني ُآلوي
معادلة رسم المنحني
[1 2sin( / 2)]r a θ= +
2 المساحة (8 3 )A a π= لمساحة الداخلية ا+
21.203405Lالطول a=آل الطول
عل محيط الدائرةP في المرآز و النقطة الثابتة Oقطب لهذا المنحني عبارة عن ستروفوئيد الدائرة مع ا :توضيح
2 تساوي AOP الزاوية A سيقطع النيفروئيد قي النقطة y يوازي المحورPإذا رسمنا خط من 7π يمكن
األستعانة بهذه الزاوية لرسم سباعي أضالع منتظم
معادلة رسم المنحني2
22x
y eπ −=
المساحة
الطول
هذا المنحني هو منحني الخطأ الناظمي يستعان بهذا المنحني في األحصاء: توضيح
37 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbolic Spiral حلزون زائدي أو هذلولي
Hyperbola ُهذلولي/ قطع زائد
معادلة رسم المنحني2 2
2 2 1x ya b
− =
2[ ( 1)] /(1 cos )r a e e θ= − − e ال مرآزية
المساحة
الطول
by معادلة المقارب: توضيح xa
= ±
cosh المعادلة الوسيطية & sinhx a t y b t= sec و آذلك = & tanx a t y b t= =
معادلة رسم المنحنيarθ
=
cos
sin
tx at
ty at
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
المساحة
الطول
1710 ناقش هذا المنحني يوهان برنولي عام :توضيح
38 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hypotrochoid منحني دحروج / هايبوتروآوئيد
Hypocycloid داخليدحروج
معادلة رسم المنحني
( ) cos cos
( )sin sin
a bx a b bb
a by a b bb
θ θ
θ θ
−⎧ = − −⎪⎪⎨ −⎪ = − +⎪⎩
2 المساحة 2[( 1)( 2) / ]nA n n n aπ= − −
8 ل الطو ( 1) /nL a n n= −
/n a b=
المنحني الذي ترسمه نقطة على محيط دائرة نصف: توضيح عندما تتدحرج هذه الدائرة داخل دائرة أخرى ثابتة b قطرها
a نصف قطرها
معادلة رسم المنحني
( ) cos cos( )
( )sin sin( )
R rx R r t d tr
R ry R r t d tr
−⎧ = − +⎪⎪⎨ −⎪ = − −⎪⎩
المساحة
الطول
r عن مرآز دائرة نصف قطرها d بفاصلة p محل هندسي نقطة :توضيح Rتتدحرج دون أنزالق داخل دائرة نصف قطرها
39 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Kamplyle of Eudoxus منحني أودوآسيوس
Involute of Circle المنحني المنشأ من الدائرة
معادلة رسم المنحني
(cos sin )(sin cos )
x a t t ty a t t t= +⎧
⎨ = −⎩
المساحة
)21الطول )2
L t at=
)المستقيم مماس على الدائرة( هو المنحني الناشئ من موضع نقطة ثابتة على مستقيم عندما يلف حول دائرة :توضيح
معادلة رسم المنحني4 2 2 2( )x a x y= +
2secr a θ= sectan sec
x a ty a t t=⎧
⎨ =⎩
المساحة
الطول
أستعمل هذا المنحني في حل و مطالعة مسئلة تضعيف المكعب: توضيح
40 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Lame Curves منحنيات المه
Kappa Curve منحني آابا
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2( )y x y a x+ =
tanr a θ=
cos cotcos
x a t ty a t=⎧
⎨ =⎩
المساحة
الطول
1662أول مطالعه لذها المنحني آانت عام : يح توض آذلك طالع هذا المنحني آل من نيوتن و برنولي
.κ أسم هذا المنحني مشتق من الحرف اليوناني آابا OPفي منحني آابا دائمًا CD=آما في الشكل
معادلة رسم المنحني
( ) ( ) 1n nx ya b
+ =
المساحة
الطول
4nالمنحني المرسوم في الصورة أعاله هو لحالة : توضيح = جميع األعداد و ال تقتصر على األعداد الصحيحة فقط nلرسم المنحني تأخذ
عدد ُمنطق المنحني هو منحني جبري nإذا آانت ر ُمنطق أي أصم فالمنحني هو منحني متسام إذا آانت غي
2/3n = ⇒ astroid 5 / 2n = ⇒ super ellipse 2n = ⇒ ellipse 3n = ⇒ witch of agnesi 4n = ⇒ rectangular ellipse
41 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Limacon of Pascal باسكال منحني َصَدفة
Lemniscate Bernolli منحني برنولي ذو العروتين
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )x y a x y+ = −
2 22 cos 2r a θ= 2
2
( cos ) /(1 sin )( sin cos ) /(1 sin )
x a t ty a t t t
⎧ = +⎪⎨
= +⎪⎩
2A لمساحةا a=
5.24411L الطول a=
1694برنولي عام طالع هذا المنحني : توضيح 2aتساوي ) 2aثابتتين فاصلتهما (المنحني عبارة عن محل هندسي نقط حاصل ضرب فاصلتها من نقطتين
النقطتين الثابتتين هما بؤرتي المنحني
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) ( )x y ax b x y+ − = +
cosr b a θ= + ( cos ) cos( cos )sin
x b a t ty b a t t= +⎧
⎨ = +⎩
بين الحلقتينالمساحة
2 2 2 2 13 ( 2 )sin ( )bA b a b a ba
−= − + +
أي حلزونsnailليماآون آلمة التينية تعني : توضيح من مرآز دائرة نصفbالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة فاصلتها
.a تتدحرج دون أنزالق حول خارج دائرة أخرى نصف قطرها a قطرها
42 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Lituus منحني بوقي
Lissajous Curve منحني ليساجو
معادلة رسم المنحني
sin( )sin
x a ty b t
ω δ= −⎧⎨ =⎩
المساحة
الطول
المنحني أستعماالت في الفيزياء و الفلكا لهذ: توضيح 1857 طالعه ليسايوس عام
يبين هذا المنحني الحرآة التوافيقية المرآبة
معادلة رسم المنحني2
2 arθ
=
المساحة
الطول
محتال أو عصى الراعي أو األنعقاف أي الcrookليتوس آلمة التينية تعني : توضيح ُمقارب المنحني المحور األفقي و المنحني يلتف حول مبدأ اإلحداثي دون أن يصل إليه
في الشكل منحنيين بوقيين على إحداثي واحد
43 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Nephroid لويالمنحني الُك
Neile’s Semi-Cubical Parabola قطع مكافئ شبه تكعيبي/ مكافئ نيل الشبه تكعيبي قطع
معادلة رسم المنحني3 2y ax= ±
2(tan sec ) /r aθ θ= 2
3
x ty at
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
2 الطول 31 8( ) (4 9 )27 27
L t t= + −
للقطع المكافئ) involute(المنحني عبارة عن المنحني المنشأ : توضيح
لمنحنيمعادلة رسم ا2 2 2 3 4 2( 4 ) 108x y a a y+ − =
2 20.5 (5 3cos 2 )r a θ= − (3cos cos3 )(3sin sin 3 )
x a t ty a t t= −⎧
⎨ = −⎩
212A المساحة aπ=
24L الطول a=
0.5aمحل هندس نقطة على محيط دائرة نصف قطرها : توضيح aتتدحرج دون أنزالق خارج دائرة أخرى نصف قطرها
الشكل الكليوي kidney shaped أي nephroidمعنى آلمة
44 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Parabola لجميالُش/ القطع المكافئ
Newton’s Diverging Parabolas نيوتن المتباينةُشلجميات
معادلة رسم المنحني2 2( 2 )a y x x bx c= − +
المساحة
الطول
)2 ترتبط أنواع هذا المنحني بجذور المعادلة :توضيح 2 ) 0x x bx c− + =
معادلة رسم المنحني2y ax bx c= + +
2 /(1 cos )r a θ= + 2
2x aty at
⎧ =⎨
=⎩
احةالمس
2 الطول 1( ) 1 sinhL t at t t−= + +
: التوضيح
45 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Pear-Shaped Quaric منحني الشكل الكمثري
Pearls of Sluze منحني آللي سلوزا
معادلة رسم المنحني
( )n p my k a x x= −
المساحة
الطول
1657 عام de Sluze أعداد صحيحة ، طالع هذا المنحني p و n و mفي هذه المعادلة : توضيح ,4 الشكل المرسوم لألعداد 2, 3, 4, 2n m p a k= = = = =
نحنيمعادلة رسم الم2 2 3( )b y x a x= − 2 3 (1 )y x x= − آذلك هذه المعادلة الكارتيزية
1 sin(1 sin )cos
x ty t t= +⎧
⎨ = +⎩
المساحة
الطول
1886يرجع تاريخ مطالعة هذا المنحني لعام : توضيح من المنحنيات الدرجة الرابعة
46 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Pursuit Curve منحني المطاردة
Plateau Curves منحنيات بال تيو
معادلة رسم المنحني
( ) [ sin( ) ] /[sin( ) ]( ) [2 sin( )sin( )] /[sin( ) ]
x t a m n t m n ty t a mt nt m n t
= + −⎧⎨ = −⎩
المساحة
الطول
2mفي حالة : توضيح n=المنحني عبارة عن دائرة
معادلة رسم المنحني2 logy cx x= −
المساحة
الطول
1732 ترجع مطالعة هذا المنحني لعام :توضيح على منحني المطاردة P تتحرك على منحني معلوم ، في هذه الحالة النقطة Aإذا آانت النقطة
. يتحرآان بسرعة ثابتة P و Aلوقت ، و في نفس اAإذا آانت دائمًا متجهة نحو
47 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Rhodonea Curve منحني الورود
Quadratrix of Hippias تربيعية هيبياس
معادلة رسم المنحنيcot( / 2 )y x x aπ=
(2 ) /( sin )r aθ π θ= (2 / )(2 / ) cot
x aty at t
ππ
=⎧⎨ =⎩
المساحة
الطول
أستعمل هذا المنحني لحل و مطالعة مسئلة تثليث الزاوية:توضيح
سم المنحنيمعادلة ر
sin( )r a kθ=
عدد زوجkإذا آانت المساحة2
2aA π
عدد فردي k ، إذا آانت =2
4aA π
=
الطول
1723 ترجع مطالعة هذا المنحني لعام :توضيح و إذا آان فردي عدد البتالت k زوجي عدد البتالت يساوي kن ، إذا آاkعدد البتالت في هذا المنحني يرتبط بالمتغير
عدد غير ُمنطق أي أصم عدد البتالت ال نهائي kإذا آان . k 2يساوي 1k 2k المنحني دائرة ، = 5k عدد البتالت أربعة ، = ة عدد البتالت خمس=
48 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Serpentine المنحني األفعواني / منحني الُملتف
Right Strophoid ستروفوئيد
معادلة رسم المنحني2[( ) ] /( )y a x x a x= − +
cos 2 secr a θ θ= 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) /( )( ) /( )
x a t t ay t a t t a
⎧ = − +⎪⎨
= − +⎪⎩
بين المنحني و المقارب تساوي مساحة الناحية المغلقة و آالهما يساويان المساحة20.5 (4 )A a π= −
الطول
بحيث الخط2P و 1Pالستروفوئيد عبارة عن محل هندسي نقطتين مثل : توضيح L يقطع المنحني C في النقطة K فاصلة النقطة الثابتة ، A من Kتساوي فاصلتها
1 أي 2P و 1Pمن 2AK KP KP= إذا آان المنحني. قطب المنحني O النقطة =C عبارة عن خط و OA عمود عليه في هذه الحالة المنحني Right Striphoid
معادلة رسم المنحني2 2 0x y aby a x+ − = 0ab >
المساحة
الطول
. ، شكل المنحني شبيه بالحّية الملتوية 1701ترجع تسمية هذا المنحني لنيوتن عام : توضيح 2 المنحنيات معادلتها يرجع هذا المنحني لمجموعة من 2 3 2x y ey ax bx cx d+ = + + +
49 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Spiral of Archimedes لولب أرخميدس/ حلزون أرخميدس
Sinusoidal Spirals لوالب جيبية
معادلة رسم المنحني
cos( )n nr a nθ=
المساحة
الطول
عدد ُمنطق ، يمكن تشكيل أنواع المعادالت من خالل معادلة هذا المنحنيn: توضيح
1n = 1n المنحني خط ، − 1 المنحني دائرة ، =2
n cardioid ، 1 المنحني آارديوئيد =2
n = المنحني قطع −
2nمكافئ ، = 2n المنحني هذلولي ، − . المنحني ليمنسكات =
معادلة رسم المنحني
r aθ=
المساحة
2 الطول 21( ) [ 1 ln( 1 )]2
L aθ θ θ θ θ= + + + +
الميالد قبل 225 طالع هذا المنحني أرخميدس :توضيح
50 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Straight line الخط المستقيم
Spiric Sections َمقاطع ُمستدقة
ادلة رسم المنحنيمع2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 ( )r a c x y r x c− + + + = +
المساحة
الطول
بحيث هذه الصفحة ) torus( هو المنحني الناتج من تقاطع صفحة مع طارة :توضيح ق م150ترجع مطالعة هذا المنحني الى . موازية مع الخط المار من مرآز الطارة
aنصف قطر مقطع الطارة r حول محور الطارة نصف قطر الدوران c الفاصلة بين الصفحة و مرآز الطارة
معادلة رسم المنحني
y mx b= +
x at by ct d= +⎧
⎨ = +⎩
المساحة
الطول
: توضيح
51 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Tractrix منحني متساوي المماسات
Talbot’s curve منحني تالبوت
معادلة رسم المنحني2 2
2 2 2
2
(1 sin )cos
(1 2 sin )sin
1
x a e t t
a e e t ty
e
⎧ = +⎪
⎡ ⎤− +⎨ ⎣ ⎦=⎪−⎩
، 2
21 bea
= −
المساحة
الطول
1 في هذا المنحني :توضيح 12
e< منحني الدواسه و هو>
لمنحني القطع الناقص ) pedal curve( أو منحني القدمي
ادلة رسم المنحنيمع2 2 2 2( ln[( ) / ] )y a a a x x a x= ± + − − − المعادلة الكارتيزية
1 2 2sec ( / )y a h x a a x−= − − المعادلة الكارتيزية ( ) 1/ cosh( ) tanh
x t ty t t t
=⎧⎨ = −⎩
المعادلة الوسيطية
تحت المنحني تساويالمساحة 2
2aA π
=
1 بين نقطتينالطول 2 1 2( ) ln( / )L x x a x x→ ) أو = ) ln coshL t a t=
1692منحني هويغنس عام أول من طالع هذا ال:توضيح يعرف بالكرة الكاذبة y نصف قطره و الشكل الناتج من دوران هذا المنحني حول محور aهو منشأ لمنحني السلسلة ، تعتبر
pseudo-sphereأو شبه آرة aاوي يس ) yمحور ( طول المماس من نقطة على المنحني الى مقاربه . aهو المنحني الذي طول مماسه ثابت و يساوي من المنحنيات المهمة لبناء هندسة ال إقليدية
52 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Trident of Newton ثالثي الشعبمنحني نيوتن
Tricuspoid منحني ثالثي القرن/ منحني الدالية
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 3( 12 9 ) 4 (2 3 )x y ax a a x a+ + + = +
(2cos cos 2 )(2sin sin 2 )
x a t ty a t t= +⎧
⎨ = −⎩
22 المساحة aπ
16a الطول
1745 أول من ناقش هذا المنحني أويلر عام :توضيخ aف قطرها المنحني عبارة عن محل هندسي نقطة على محيط دائرة نص
3a تتدحرج دون إنزالق داخل دائرة نصف قطرها deltoidاألسم اآلخر لهذا المنحني
معادلة رسم المنحني3 2ax bx cx d xy+ + + =
المساحة
الطول
تعني رمح ثالثي الشعب tridentطالع نيوتن هذا المنحني و هو الذي أنتخب له هذا األسم ، : توضيح
53 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Trisectrix of Maclaurin تثليثية ماآلوران
Trifolium منحني ورقة البرسيم/ منحني الثالث ورقات
معادلة رسم المنحني2 2 2 3 2( ) ( 3 )x y a x xy+ = −
cos3r a θ=
المساحة 2
4aA π
=
6.6824466L الطول a=
: توضيح
معادلة رسم المنحني2 2[ ( 3 )] /( )y x x a a x= + −
(2 sin 3 ) / sin 2r a θ θ= −
2 2
2 2
[( 3) /( 1)][( 3) /( 1)]
x a t ty at t t
⎧ = − +⎪⎨
= − +⎪⎩
23 الناحية المغلقة المساحة 3A a=
8.2446532L الناحية المغلقةالطول a=
، أستعمل هذا المنحني لمطالعة و حل 1742لعام ترجع مطالعة هذا المنحني : توضيح x درجة مع محور 60كل زاوية على هذا المنحني في المبدأ يشالمماس .مسئلة تثليث الزاوية
3a تساوي xالفاصلة من مبدأ اإلحداثي الى النقطة التي على المنحني و تقطع محور قدمي للقطع المكافئهو عبارة عن دواسة أو منحني
54 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Watt’s Curve منحني واط
Tschirnhau’s Cubic مكعب تسشيرن هاوس
معادلة رسم المنحني
( / 3)r a sec θ= ×
2
2
3 ( 3)( 3)
x a ty at t
⎧ = −⎪⎨
= −⎪⎩
272 الناحية المغلقة المساحة 35
A a=
)2حية المغلفة الناالطول ) (3 )L t at t= +
المنحني دواسه أو منحني قدمي للقطع المكافئ :توضيح
معادلة رسم المنحني
2 2 2 2 2 2[ sin cos ]r b a c aθ θ= − ± −
المساحة
الطول
مخترع ماآنة البخار) 1819 - 1736( ترجع تسمية هذا المنحني لجيمز واط :توضيح ، قضيبان طول آل2a الفاصلة المرآزية بينهما bإطاران نصف قطر آل منهما
p آل منهما مثبت على محيط إطار و قضيب آخر متصل بإنتهائهما ، النقطة 2cمنهما . وسط هذا القضيب األخير المحل الهندسي لمنحني واط
55 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Sine جيب
Witch of Agnesi منحني زوجة الشيطان/ منحني الساحرة أغنيزي
معادلة رسم المنحني2 2 3( 4 ) 8y x a a+ =
2
22 /(1 )
x aty a t=⎧
⎨= +⎩
24A تساويx محور بين المنحني و المساحة aπ=
الطول
Maria Agnesi عثر عليه في آثار 1748 يرجع تاريخ هذا المنحني لعام :توضيح ، أي نقطة M و النقطة المتقاطرة لها O في aخط مماس على دائرة نصف قطرها
في النقطةM يقطع المماس في O على محيط الدائرة الخط المار منها و من Bمثل N العمود على ، N يوازي OM يقطع الخط الموازي مع ، MN من B العمود على N في P المحل الهندسي لنقطة Pنحني الساحرة أغنيزي هو م.
معادلة رسم المنحني
siny x=
المساحة
الطول
:توضيح
56 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Tangent ظل
Cosine جيب التمام
معادلة رسم المنحنيcosy x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحنيtany x=
احةالمس
الطول
:توضيح
57 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Secant قاطع
Cotangent ظل التمام
معادلة رسم المنحنيcoty x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحنيsecy x=
1cos
yx
=
المساحة
الطول
:توضيح
58 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Arc sine قوس الجيب
Cosecant قاطع التمام
معادلة رسم المنحنيcscy x=
1sin
yx
=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني1siny x−=
arcsiny x=
المساحة
الطول
:توضيح
59 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Arc tangent قوس الظل
Arc cosine قوس جيب التمام
معادلة رسم المنحني1cosy x−=
arccosy x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني1tany x−=
arctany x=
المساحة
الطول
:توضيح
60 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Arc secant قوس القاطع
Arc cotangent قوس ظل التمام
معادلة رسم المنحني1coty x−=
arccoty x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني1secy x−=
arcsecy x=
المساحة
الطول
:توضيح
61 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbolic sine الجيب الزائدي أو الهذلولي
Arc cosecant قوس قاطع التمام
معادلة رسم المنحني1cscy x−=
arccscy x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني
sinhy x=
المساحة
الطول
:توضيح
62 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbolic tangent الظل الزائدي أو الهذلولي
Hyperbolic cosine التمام الزائدي أو الهذلوليجيب
معادلة رسم المنحني
coshy x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني
tanhy x=
المساحة
الطول
:توضيح
63 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbolic secant القاطع الزائدي أو الهذلولي
Hyperbolic cotangent أو الهذلوليظل التمام الزائدي
معادلة رسم المنحني
cothy x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني
secy hx=
1cosh
yx
=
المساحة
الطول
:توضيح
64 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Arc Hyperbolic sine لجيب الزائدي أو الهذلوليقوس ا
Hyperbolic cosecant قاطع التمام الزائدي أو الهذلولي
معادلة رسم المنحني
cscy hx=
1sinh
yx
=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني1sinhy x−=
sinhy arc x=
المساحة
الطول
:توضيح
65 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Arc Hyperbolic tangent قوس الظل الزائدي أو الهذلولي
Arc Hyperbolic cosine قوس جيب التمام الزائدي أو الهذلولي
معادلة رسم المنحني1coshy x−=
coshy arc x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني1tanhy x−=
tanhy arc x=
المساحة
الطول
:توضيح
66 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Arc Hyperbolic secant قوس القاطع الزائدي أو الهذلولي
Arc Hyperbolic cotangent ظل التمام الزائدي أو الهذلوليقوس
معادلة رسم المنحني1cothy x−=
tanhy arc x=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني1sechy x−=
المساحة
الطول
:توضيح
67 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Ellipse إهليلج/ قطع ناقص
Arc Hyperbolic cosecant قوس قاطع التمام الزائدي أو الهذلولي
معادلة رسم المنحني1cschy x−=
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني2 2
2 2
( ) ( ) 1x x y ya b
° °− −+ =
2 22
2 2 2 2sin cosa br
a bθ θ=
+
المساحة
الطول
2A :توضيح A a′ 2B و = B b′ 2F و فاصلة البؤرتين = F c′ = 2PF اإلهليلج على محيطPلكل نقطة مثل PF a′+ =
x y و ° 2 إحداثيات مرآز اإلهليلج و ° 2c a b= e/ و الال مرآزية − c a=
68 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbola هذلولي/ قطع زائد
Parabola شلجم/ قطع مكافئ
رسم المنحنيمعادلة2 2( ) 4 ( )y y a x x° °− = −
21 cos
arθ
=−
المساحة
الطول
x :توضيح y و ° AFعلى القطع المكافي و A إحداثيات النقطة ° a= Fالبؤرة
معادلة رسم المنحني2 2
2 2
( ) ( ) 1x x y ya b
° °− −− =
2 22
2 2 2 2cos sina br
b aθ θ=
−
المساحة
الطول
2A :توضيح A a′ 2B و = B b′ 2F و = F c′ = 2 2c a b= e/ و الال مرآزية + c a=
2PF على محيط الهذلولي Pلكل نقطة مثل PF a′− = ±
69 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Gamma Function دالة غاما
Beta Function دالة بتا
معادلة رسم المنحني
( )( )( )
xy xx αΓ
=Γ +
يسمى آذلك دالة بتا أويلر أو تكامل أويلر :توضيح 1
1 1
0
( , ) (1 )m nm n x x dxβ − −= −∫
( ) ( )( , )( )m nm nm n
β Γ Γ=Γ +
! و !( 1, 1)( 1)!
m nm nm n
β + + =+ +
معادلة رسم المنحني
1
0
( ) t xx e t dt∞
− −Γ = ∫
المساحة
الطول
) :توضيح 1) ( )n n nΓ + = Γ
( 1) !n nΓ + =
70 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Legendre Function دالة ليجاندر
Bessel Function دالة بسل
معادلة رسم المنحني
2
0
( 1)( ) ( )! ( 1) 2
kn k
nk
xJ xk n k
∞+
=
−=
Γ + +∑
2التفاضليه بسل معادلة دالة بسل عبارة عن جواب :توضيح 2 2( ) 0x y xy x n y′′ ′+ + − = 0المنحنيات في الشكل الى 1 2 3 4 5( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )J x J x J x J x J x J x
معادلة رسم المنحني
22
1( ) ( 1)2 !
nn
n n
dp x xn dx
= −
1)2 دالة ليجاندر هي جواب معادلة ليجاندر التفاضليه :توضيح ) 2 ( 1) 0x y xy n n y′′ ′− − + + = 0المنحنيات في الشكل الى 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( ), ( )p x p x p x p x p x
71 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Julia Set مجموعة جوليا
Mandelbrot Set مجموعة مندلبروت
معادلة رسم المنحني2
1n nz z c+ = +
ثابت عدد مرآبc :توضيح ، األشكال الناتجة من مجموعة )comlex plane(مجموعة مندلبروت عبارة عن مجموعة من النقاط في الصفحة المرآبة
)fractal(مندلبروت تعرف بالكسوريات أو المنحني الكسوري
معادلة رسم المنحني2( )cf z z c= +
متغير عدد مرآبc :توضيح حاصل هذه المعادلة أشكال آسورية
72 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hilbert Curve منحني هيلبرت
Lorenz Attractor جاذب لورينتز
معادلة رسم المنحني
( )
( )
dx y xdtdy x z ydtdz xy ydt
σ
ρ
β
= −
= − −
= −
ثوابت الُبعديةβ و ρ و σفي هذه المعادالت :توضيح
معادلة رسم المنحني
عبارة عن فضاء آسوري مستمر ، يمكن إنشاء منحني هيلبرت ثنائي و ثالثي األبعاد:توضيح
73 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Plane الصفحة
Space Line خط في الفضاءال
معادلة رسم المنحنيx x y y z z
a b c° ° °− − −= =
x x aty y btz z ct
°
°
°
= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩
2 بين نقطتين الطول 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )L x x y y z z= − + − + −
)في معادلة رسم المنحني إحداثيات نقطة يمر منها الخط :توضيح , , )x y z° ° ° .a و b و c أو مخالفة للصفر ثوابت إحداثيات متجهة موازية مع الخط
معادلة رسم المنحني
0ax by cz d+ + + =
المساحة
الطول
معادلة الصفحة المارة من ثالثة نقاط معينة :توضيح 1 1 1
2 2 2
3 3 3
0x x y y z zx x y y z zx x y y z z
− − −− − − =− − −
74 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Sٍphere آرة
Helix لولب
معادلة رسم المنحني
cossin
x r ty r tz ct
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
المساحة
2الطول 2( )L t r c t= +
ثابتc نصف قطر اللولب و r :توضيح
2تقوس اللولب 2
rr c
κ =+
معادلة رسم المنحني2 2 2 2( ) ( ) ( )x x y y z z R° ° °− + − + − = cos sinsin coscos
x Ry Rz R
θ φθ φφ
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
24 السطح مساحة Rπ
34حجم ال3
Rπ
)مرآز الكرة :توضيح , , )x y z° ° نصف قطر الكرةR و °
75 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Ellipsoid ُمجسم إهليلجي
Cylinder أسطوانه
ة رسم المنحنيمعادل
cossin
x ry rz z
θθ
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
22 السطححةمسا 2rh rπ π+
2rحجم ال hπ
أرتفاغ األسطوانهh نصف قطر القاعدة و r :توضيح
معادلة رسم المنحني2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 1x x y y z za b c
° ° °− − −+ + =
cos sinsin sincos
x a uy b uz c
νν
ν
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
المساحة
4حجم ال3
V abcπ=
c و b و aطول المحاور :توضيح
76 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbolic Parabolic ُمجسم هذلولي شلجمي/ ُمجسم مكافئ زائدي
Cone مخروط
معادلة رسم المنحني
cossin
x auy auz u
νν
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
A الجانبيه المساحة rsπ= 2 في هذه الرابطة 2s r h= +
21حجم ال3
V r hπ=
أرتفاع المخروطh نصف قطر القاعدة و r :توضيح
2 tan( )rarch
ϑ زاوية رأس المخروط=
معادلة رسم المنحني2 2
2 2
z x yc a b= −
المساحة
الطول
saddle الشكل يشبه السرج :توضيح
77 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperbolic Cylinder أسطوانه هذلوليه/ أسطوانه مكافئ زائدي
Elliptic Cylinder نه إهليلجيةأسطوا
معادلة رسم المنحني2 2
2 2 1x ya b
+ =
cossin
x a uy b uz ν
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
المساحة
Vحجم ال abhπ=
األرتفاعh نصف طول محاور القاعدة و b و a :توضيح قاعدة األسطوانه إهليلج
معادلة رسم المنحني2 2
2 2 1x ya b
− =
sinhcosh
x a uy b uz ν
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
المساحة
الطول
:توضيح
78 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperboloid of one sheet ي بصفحة واحدةُمجسم هذلول
Parabolic Cylinder أسطوانه شلجميه / أسطوانه مكافي ناقصي
معادلة رسم المنحني2 2 0x rz+ =
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني2 2 2
2 2 2 1x y za a c
− − =
sinh cossinh sincosh
x a uy a uz c u
νν
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
المساحة
الطول
:توضيح
79 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Helicoid لولبيُمجسم
Pseudosphere شبه آرة
معادلة رسم المنحني2 1 2 2 2 2 2 2[ sec (( ) / ) ]z a h x y a a x y−= + − − −
cos sinsin sin
cos ln[tan( )]2
x uy u
z
νν
νν
⎧⎪ =⎪
=⎨⎪⎪ = +⎩
24A السطحمساحة aπ= 32حجم ال3
V aπ=
2 لكرة الكاذبه أو شبه آرة تقوسه يساوي تقوس الكرة لكن سالبيعرف هذا الحجم با :توضيح
1a
−
معادلة رسم المنحنيz cθ= في اإلحداثي األسطواني
tan( )y zx c= اإلحداثيات الكارتيزية
cossin
x uy uz c
νν
ν
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
الوسيطية
المساحة2 2
2 2 2[ ln( )]2
r c rA r c r cc
θ + += + +
:توضيح
80 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hyperboloid of Two Sheet ُمجسم هذلولي بصفحتين
Mmobius Sstrip شريط موبيوس
معادلة رسم المنحني( , ) [1 ( / 2)cos( / 2)]cos( , ) [1 ( / 2)cos( / 2)]sin( , ) ( / 2)sin( / 2)
x u u uy u u uz u u
ν νν νν ν
= +⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩
طح موبيوس ذو وجه واحد أي ليس له داخل و خارج أو فوق و تحتس المساحة
2 للسطح المكعبي المعادلة :توضيح 2 3 2 2 22 2 2 0R y x y y Rxz x z y z yz− + + − − − + = )logفي اإلحداثيات األسطوانيه )sin( / 2) cos( / 2)r zθ θ=
معادلة رسم المنحني2 2 2
2 2 2 1x y za b c
− − =
2
2
1 cos
1 sin
x a u
y a uz cu
ν
ν
⎧ = +⎪⎪ = +⎨⎪ =⎪⎩
المساحة الطول
:توضيح
81 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Klein Bottle ة آالينقارور
Monkey Saddle سرج القرد
معادلة رسم المنحني2 2( 3 )z x x y= −
3 2
( , )( , )( , ) 3
x u uy uz u u uv
νν ν
ν
⎧ =⎪ =⎨⎪ = −⎩
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني[( 2 cos )cos( / 2) sin( / 2)sin cos ]cos
[( 2 cos ) cos( / 2) sin( / 2)sin cos ]sin
( 2 cos )sin( / 2) cos( / 2)sin cos
x u u u
y u u u
z u u
ν ν ν
ν ν ν
ν ν ν
⎧ = + +⎪⎪ = + +⎨⎪ = − + +⎪⎩
سطح قارورة آلين شبيه سطح موبيوس المساحة
الطول
:توضيح
82 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Torus لطارةا
Whitney Umbrella مظلة ويتني
معادلة رسم المنحني
2
x uy uz
ν
ν
⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩
2 جزء من السطح المساحة 2 24 (1 )dA u ν ν= + +
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2( )c x y z a− + + =
( cos ) cos( cos )sin
sin
x c a uy c a uz a
νν
ν
= +⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩
2 المساحة ( )( )A R r R rπ= + −
الطول 2
2( )( )4
V R r R rπ= + −
نصف قطر مقطع الطارةr نصف قطر الدوران ، R :توضيح
83 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Cyclide سيكاليد
Planar Enneper بيريمستوي إن
معادلة رسم المنحني
( ) kGauss z z=
المساحة
ول الط
.مثقوبة ، يبين هذا السطح آيفية إنضمام أنواع مختلفة من النهايات ) أو آرتين(عبارة عن آرة :توضيح
معادلة رسم المنحني
rو نصف قطر مثل 0xلنقطة مثل 2
00 0 2
0
( )( , ) x x rI x r xx x−
= +−
المساحة
الطول
عبارة عن إنعكاس هندسي لطارة معيارية)Dupin Cyclide (أحد أنواع السيكاليد :توضيح ائرة حول محور الشكل الهندسي الناتج من دوران د)standard torus(الطارة المعيارية
هو نوع من أنواع التحويالت في الصفحة اإلقليدية ) geometric inversion(نعكاس الهندسي اإل . أو سطح رباعي) quatric surface( عبارة عن سطح من الدرجة الرابعة اليدالسيك
84 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Unduloid آندولئيد
Enneper Surface سطح إنيبير
معادلة رسم المنحني
3 2
2 3
2 2
13
13
x u u u
y u
z u
ν
ν ν ν
ν
⎧ = − +⎪⎪⎪ = − − +⎨⎪⎪ = −⎪⎩
zالمعادلة في هذه u iν= +
)minimal surface( في نظرية السطوح األصغرية Alfred Enneper أول من عرف هذا النوع من السطوح :توضيح أو نظرية الحّد األدنى من السطوح
لة رسم المنحنيمعاد
المساحة
الطول
، سطح دوراني لسلسلة ثابت مخالف للصفر) mean curvature(عبارة عن سطح دوراني تقّوسه الوسطي :توضيح )elliptic catenary(إهليجية
85 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Boy's Surface بويسطح
Snailshell صدفة الحلزون
معادلة رسم المنحني
المساحة
الطول
:توضيح
معادلة رسم المنحني4
1 6 3
3 (1 )Im( )2 5 1
z zgz z
−= −
+ − ،
4
2 6 3
3 (1 )Re( )2 5 1
z zgz z
+= −
+ −
6
3 6 3
1 1Im( )25 1
zgz z
+= −
+ − ، 2 2 2
1 2 3g g g g= + +
1
2
3
gxggyg
gzg
⎧=⎪
⎪⎪
=⎨⎪⎪
=⎪⎩
Werner Boyأول من عثر على هذا السطح . حقيقية في فضاء ثالثي األبعاد عبارة عن غمر إسقاط الصفحة ال:توضيح . إلنشاء هذا السطح نبدأ من آرة و نزيل منها قبة آروية . 1901عام
Re الجزء الحقيقي
Imالجزء الخيالي
86 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Trefoil knot رباط ثالثي الوريقات
Breather Surface ح المتنفسسطال
معادلة رسم المنحني
2
2 2 2 2 2
2(1 )cosh sinh[(1 )cosh sin ( 1 )]
a au aux ua a au a a ν
−= − +
− + −
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 [ 1 cos cos( 1 ) sin sin( 1 )]cosh[(1 )cosh sin ( 1 )]
a a a a auya a au a a
ν ν ν νν
− − − − − −=
− + −
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 [ 1 sin cos( 1 ) cos sin( 1 )]cosh[(1 )cosh sin ( 1 )]
a a a a auza a au a a
ν ν ν νν
− − − − + −=
− + −
و هو عبارة عن موجة غير خطية في مجال الطاقة التي ترآز بطريقة ) breather( األسم مستعار من المتنفس :توضيح موضعية و متذبذبه
معادلة رسم المنحني
المساحة
الطول
:توضيح
87 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Elliptic Paraboloid ُمجسم شلجمي إهليلجي
Catenoid سطح السلسلة اإلهليجية
معادلة رسم المنحني
cosh( )cos
cosh( )sin
x a ua
y a ua
z
ν
ν
ν
⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪
=⎪⎪⎩
معادلة رسم المنحني2 2
2 2
x y za b c
+ =
cos
sin
x a u
y b uz u
ν
ν
⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩
المساحة حجم ال
:توضيح
المساحة حجم ال
:توضيح
88 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Pretzel Surface سطح بريتزل
Steiner Roman Surfaces سطوح شتاينر الروماني
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2 0x y x z y z axyz+ + − =
21( , ) sin 2 sin
21( , ) sin cos 221( , ) cos sin 22
x u a u
y u a u
z u a u
ν ν
ν ν
ν ν
⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩
الحجم :ح توضي3
6aV =
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2 2 2[(( 1) )(( 1) )]x y c x y c z d− + − + + − + =
المساحة
الطول
نوع من أنواع الكعك المملحpretzel :توضيح
89 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Cube لمكعبا
Euler's polyhedron Formula صيغة أويلر لمتعدد الوجوه
V E F المتعدد السطوح
4 6 4 رباعي الوجوه
6 12 8 مكعب
8 12 6 ثماني السطوح
12 30 20 إثنا عشري السطوح
20 30 12 مجسم عشروني
2Vرؤوس في متعدد سطوح ثالثي الُبعد و ال بين أعداد الوجوه و الحروف العالقة التي تربط :توضيح E F− + = V عدد الرؤوس E عدد الحواف Fعدد الوجوه
معادلة رسم المنحني
26A المساحة a=
3Vحجم ال a=
من األجسام األفالطونية :توضيح
90 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Octahedron ُمجسم ثماني/ ثماني السطوح / ثماني األوجه
Tetrahedron ُمجسم رباعي/ رباعي السطوح / رباعي الوجوه
معادلة رسم المنحني
23 المساحة4
A a=
32حجم ال12
V a=
من األجسام األفالطونية :توضيح األضالعالهرم من األشكال الهندسية الكثيرة السطوح و يمكن أن تكون قاعدة الهرم ثالثي األضالع أو رباعي
معادلة رسم المنحني
22 احةالمس 3A a=
32حجم ال3
V a=
من األجسام األفالطونية :توضيح
91 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Icosahedron ُمجسم عشروني
Dodecahedron إثنا عشري السطوح
معادلة رسم المنحني
23 المساحة 25 10 5A a= +
31حجم ال (15 7 5)4
V a= +
من األجسام األفالطونية :توضيح
معادلة رسم المنحني
25 المساحة 3A a=
35لحجم ا (3 5)12
V a= +
من األجسام األفالطونية :توضيح
92 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Hypersphere فوق آرة
Rhombohedron منشور ُمعيني
معادلة رسم المنحني
المساحة
الطول
متوازية األضالعأو سطوحه جوانبه السطوح منشور سداسي :توضيح
معادلة رسم المنحني
n sphere−
المساحة
الطول
2 هندسيًا تعرف الدائرة :توضيح sphere− 3 و الكرة sphere− 4عن ثالثة أبعاد أي إذا تعدت األبعادn في هذه ≤nالحالة sphere− 2 عبارة عن مجموعة نقاط تصدق عليها الرابطة 2 2 2 2
1 2 3 nx x x x R+ + + ⋅⋅⋅ = Rنصف قطر فوق الكرة
93 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Menger's Sponge إسفنجة مينجر
Hypercube فوق مكعب
معادلة رسم المنحني
المساحة
الطول
تماثل نوني األبعاد للمربع:توضيح يمكن إنشاء هذا الشكل في فضاء ثالثي األبعاد ال
معادلة رسم المنحني
Space filling
منجرإلنشاء أسفنجة: توضيح أبدأ من مكعب-1 )مربعات( أقسام 9ه المكعب الى ووج قسم آل وجه من -2 حذف المكعب في المرآزفي وسط آل وجه و إ إحذف المكعب -3 3 و 2 و 1 آرر المراحل -4
94 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
Deco cube ديكو آيوب
Simplex ُمبسط
معادلة رسم المنحني
المساحة
الطول
ألبعاد للمثلثاثل نوني اتمعد ، ُمبسط نوني الُب n-simplex: توضيح
simplex-3 رباعي الوجوه ، simplex-2 المثلث ، simplex-1 الخط ، simplex-0 النقطة simplex-4 هخماسي الوجو
معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2((x + y - c ) + (z - 1) ) ((y + z - c ) + (x - 1) ) ((z + x - c ) + (y - 1) ) = d
المساحة
الطول
آامن المساحة :توضيح يمكن إنشائه بواسطة ترتيب ستة دوائر على وجوه المكعب
95 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
2 2 3 4x y z z+ = 2 2 2x y z z+ = 4 2 4 2 2 2 6 0x y y x x y z+ − + = 2 2 2 3 0x y z z+ + =
2 21yx =+ 6 6 6x +y +z =1 2 2 2 2 2 3(y +z -1) +(x +y -1) = 0 3 3 3 3 27 5 0y xz y z z z zx + + + + + =
2 2 3 2x y z z+ + = 2 2 2 2( )x y z= + 2 2 23 3 1x y z+ + = 2 3 2 2 2 3( ) ( )x y z y− = −
3 3 3 3 5 0x y xz y z z z+ + + + = 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0x y z x y+ + − + = 4 2 2 33 0x x y z− + + = 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1000( )( )( ) 1x y z x yx z y z+ + + +
+ + =
96 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
2 3 2 4 3
410 0x x y y z
z− + + + −
=
3 2 2 0x z y− + + = 2 2 6 4
2 5 3
5 2 5 155 15 5x xz y yz y y+ + + +
= +
2 2 3 2 2 2( ) 4 ( 1)x y x y z+ = +
2 4 2 26 2x x y z− = 3 2 2
2 3
10x z x y x yyz z
+ + +
=
2 2 0x y z+ + = 2 2 2 3 3x yz x z y z y+ = +
3 2 2 2x x z y+ − 2 2 2 0x y z+ − = 2 2 2 0x y z− = 2 3 4 2 2 0y z z x z+ − − =
2 2 2 3 3xyz + xz + 2 yz + 3 y = 0 2 3 3 0x y z− = 2 2 2 2 2 23 3 1x y z x y z+ + + = 0xyz =
97 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
3 2 2 2 3( 1) ( 1) 0z x y− + + − = 2 2 4 2x y z z+ + = 3 2 2 2 3( 1) ( 1) 0xy z x y− − + + − = 2 4 3 2 0x y y z+ + =
3 2 3 4 0x y z yz+ + = 2 2 3 0x y z z+ + = 3 2 3 2 2 3( 1) ( 1) ( 1) 0x y z− + − + − = 2 2 3( ) 0x z y+ + =
2 2 2 1x y z+ + = 2 3 5 0x y z+ + = 2 2 3 3 2 2x yz xy y y z x z+ + + = 2 3 2 2 3( ) ( )x y x y z− = +
2 2 2 3( 1)x y z= − 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3100( 1) 0x y y z x z
x y z+ + +
+ + − =
2 2 2 3 2 3 2( ) 27y x z x y z− − =
2 2 2 1x y z+ − =
98 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
2 3 2 2x z y z+ = 3 2 2 4
2 3 2 4
256 128 16144 4 27 0
z x z x zxy z x y y
− + +
− − =
4 2 2 2 0x x y z− − = 2 2 2 3
2 3 2 3
[ (9 / 4) 1](9 / 80) 0
x y zx z y z
+ + − −
− =
3 2 2 2 3( 2) ( 3) 0z x y− + + − = 2( ) 0yz x y z+ − = 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( )( )
x y z R rR x y
+ + + − =
+ 3 2 3
4 3x z x y zz x y z
+ + +
=
2 2 3 0x y z+ = 2 2 0x y z− = 3 2 2(1 )x y z= − 2 2 2 1z x y− − =
2 2 3(1 ) 0x y z z+ − − = 4 3 2x z yz+ = 2 3 2 4 3 4 0x x y y z z− + + + − = 2 4 4 100x y z xyz− + + − =
2 2 1y z+ = 52 0xyz yz z+ + = 2 2 3 3( 1)x z y y+ = − 52 0xyz yz z+ + =
99 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم
المصادر
:الكتب
MATHEMATICAL HANDBOOK OF FORMULAS AND TABLES- SCHUM\S OUTLINES
على مصطفى بن األشهر ، أآاديما. ، د) عربي– فرنسي –انكليزي (معجم الرياضيات
:المواقع
Page_ainM/wiki/org.wikipedia.en://http http://mathworld.wolfram.com/ http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html http://www.gap-system.org/~history/Curves/Curves.html http://virtualmathmuseum.org/gallery4.html http://www.2dcurves.com/ http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
100 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم