Из истории развития Из истории развития систем счислениясистем счисления

Выполнили:Выполнили:Савина Д.Савина Д.Сочнева У.Сочнева У.

Скуратович С.Скуратович С.Орлова Е.Орлова Е.

Содержание:Содержание:1. Понятие системы счисления2. Аддитивные системы счисления3. Позиционные системы счисления4. Список литературы

Система счисления

-язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Системы счисления делятся на позиционные и аддитивные системы счисления.

Чтобы узнать, какое число записано в аддитивной системе, нужно просто сосчитать сумму всех входящих в запись чисел, порядок расположения знаков учитывать не нужно.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры в записи зависит от места — позиции, которую она занимает; так, в десятичной системе одна и та же цифра может означать число единиц, или десятков, или сотен и т. д. в зависимости от разряда, где она стоит.

Аддитивные системы счисления

Простейшая система записи натуральных чисел – это представление одной цифры, скажем «палочки» |, которая изображает единицу. Повторяя этот знак, мы можем записать числа два - ||, три - |||, и т д. Каждое число n записывается просто n «палочками> Таким способом первобытный человек мог записать небольшие числа с помощью зарубок на дереве (или, как индейцы Америки, узелков на веревке). В такой системе счисления очень удобно складывать числа — достаточно просто приписать одно к другому:

Столь же легко вычесть из большего числа меньшее. Нетрудно и умножить одно число а на другое Ь — можно записать а рядов по b палочек в каждом, а потом при желании выписать их в строку:

3-7 = 21.Но, конечно, подобный способ записи очень неэкономен и

для больших чисел неизбежно приведет к ошибкам в счете. Возникает естественная идея упрощения записи: разбить ее на одинаковые группы и каждую группу заменить специальным знаком; затем из этих знаков можно опять составить группу, придумать для нее новое обозначение и т. д. По-видимому, примерно такую эволюцию прошли на протяжении сотен и тысяч лет способы счета и нумерации у разных народов.

В древнеегипетских иероглифических записях использованы знаки | для единицы, для десятка, С для сотни (и некоторые другие); скажем, 127 записывалось как

В Древней Греции постепенно сложился другой способ обозначения чисел — здесь однозначные числа 1, 2,..., 9 и несколько следующих за ними «круглых» чисел (10, 20, ..., 90, 100, ...) обозначались после-довательными буквами алфавита с чертой над ними:

Эта традиция через Византию пришла и в древнеславянскую письменность.

В Древнем Риме в качестве «ключевых» чисел использовались 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 — они обозначались соответственно I, V, X, L, С, D и М.

Конечно, не случайно у многих народов «ключевыми» числами оказались 5 и 10: это объясняется тем, что счет велся на пальцах (одной или двух рук). Вероятно, отсюда произошли и обозначения римских цифр V (одна «пятерня») и X (две «пятерни»). Знаки С, М и D — это просто первые буквы латинских слов centum (сто), mille (тысяча) и demimille (полутысяча), a L = 50 можно запомнить как «половинку от С = 100», хотя настоящее его происхождение, видимо, иное. Римские цифры можно увидеть на циферблатах часов, часто ими пользуются для обозначения веков, нумерации глав в книге. Изредка на старом доме можно увидеть и большое римское число — год постройки.

Числа 2, 3, 4, 8, 9, 14, 19, 20, 40, 1989 в этой римской записи выглядят так:

II, III, IV, VIII, IX, XIV, XIX, XX, XL, MCMLXXXIX.Как видно, здесь используется не только сумма, но и разность

двух «ключевых» чисел — для этого перед большим из них ставится меньшее; благодаря этому вместо длинной аддитивной записи, скажем LXXXXIIII, получается более короткая XCIV. Интересно, что наиболее древние тексты использовали длинную, аддитивную запись — «правило разности» появилось позднее.

У аддитивных систем есть очевидные недостатки: с числами, записанными по такой системе, трудно оперировать — складывать их, вычитать, умножать. Чтобы использовать очень большие числа (или дроби), приходится вводить новые цифры или дополнительные знаки, новые правила обращения с ними.

Позиционные системы счисленияСамая древняя позиционная система известна нам

по клинописным табличкам вавилонян, найденным в долине между Тигром и Евфратом, возраст некоторых более 2 или даже 3 тысячелетий. Все иероглифы жителей Древнего Вавилона составлялись из узких вертикальных и горизонтальных клинышков, эти два значка использовались и для записи чисел.

Один вертикальный клинышек обозначал единицу, горизонтальный — десятку. Как записывались числа от 1 до 59, ясно из рисунка 1 (это простая аддитивная запись). Эти группы значков служили «цифрами» шестидесятеричной системы: если требовалось записать число, большее 60, то слева от количества «единиц» записывалась еще одна такая же цифра, означавшая уже число следующего, второго разряда, в 60 раз большего, затем еще левее — «цифра» третьего разряда, 3600 раз большего, чем простая «единица>, и т. д.

Заметим, что у некоторых древних народов вычисления не записывались, а проводились с помощью различных счетных досок (греческий абак, китайские счеты и т. п.), на которых по существу возникало позиционное представление числа. Их потомки — русские счеты еще нередко помогают продавцам, ведь далеко не всюду есть калькуляторы и электронные весы, автоматически умножающие массу товара на его цену.

Десятичная система счисления

Причины, по которым именно десятичная система оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т. е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т. д. Таким образом, именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся.

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических изображений для цифр, разумеется не принципиален. Современные изображения цифр - простая стилизация древних арабских цифр. Мароканский историк Абкелькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры. В самом деле, если посмотреть на рисунок, это предположение кажется не лишенным глубокого смысла.

Так, единица создает лишь один угол, тройка - три, пятерка - пять и т.п. нуль не образует никакого угла, поэтому он не имеет никакого содержания.

Двенадцатеричная система счисления

Ее происхождение связано, несомненно, тоже со счетом на пальцах, а именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т. д. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того чтобы сказать «двенадцать», мы часто говорим «дюжина».

Заметим, что с математической точки зрения двенадцатеричная система имела бы, пожалуй, некоторые преимущества перед десятичной, поскольку число 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 только на 2 и 5, а больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления, создает известные удобства в ее использовании.

Двадцатеричная система счисления

У ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, почти полностью уничтоженную испанскими завоевателями в 16–17 вв.,– была принята двадцатеричная система. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном французском языке: например, «восемьдесят» по-французски будет quatre-vingts, т.е. буквально «четырежды двадцать». Число 20 встречается и во французской денежной системе: основная денежная единица – франк – делится на 20 су.

Двенадцатеричная система счисления использовалась древними египтянами, хозяйственная деятельность которых существенным образом зависела от годовых колебаний уровня воды в Ниле. Этапы сельскохозяйственных работ египтян определили разбивку года на двенадцать месяцев по тридцать суток в каждом (недостающие пять дней добавлялись в конце года, как праздничные). Каждые сутки разделялись на двадцать четыре часа: двенадцать дневных и двенадцать ночных. Дневные и ночные часы различались между собой по продолжительности, так как дневной час представлял собой 1/12 часть дня от восхода солнца и до его захода, а ночной – 1/12 часть ночи от захода Солнца до его восхода.

Список литературы:1. Универсальный современный справочник школьника: 5-

11 классы. – Москва: ЗАО «БАО-ПРЕСС», ООО «ИА «РИПОЛ КЛАССИК», 2005. – 1296с.

2. Учебный справочник школьника. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000. – 1664 с.

3. Энциклопедия «Кирилл и Мефодий». – ООО «Кирилл и Мефодий», 2006.