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6{7 ª« ±±»

À�®±¥¢Á, 2003 £.

��� 51(023)

�72

��� 22.1

�«¥ª± ­¤° � ±¨«¼¥¢¨· �¯¨¢ ª

� ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ª°³¦®ª. 6{7 ª« ±±».�.: �®±¥¢, 2003, | 128 ±.

� ª­¨£¥ ¸¨°®ª® ¯°¥¤±² ¢«¥­» § ¤ ·¨ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨ª¥, ¯°¥¤-« £ ¢¸¨¥±¿ ¸ª®«¼­¨ª ¬ 6{7 ª« ±±®¢ ­  § ­¿²¨¿µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µª°³¦ª®¢ ¨ ®«¨¬¯¨ ¤ µ. �±­®¢­®¥ ¥�¥ ±®¤¥°¦ ­¨¥ | ª« ±±¨·¥±ª¨¥ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨. �°®¬¥ ­¨µ, ¥±²¼ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨,²°¥¡³¾¹¨¥ ´ ­² §¨¨ ¨ ¨§®¡°¥² ²¥«¼­®±²¨, ¨ ¯°®±²® ¸³²ª¨.

�­¨£  ¯°¥¤­ §­ ·¥­  ¤«¿ ³· ¹¨µ±¿ 6{7 ª« ±±®¢, ­® ¡³¤¥² ¨­²¥-°¥±­  ¨ ¯®«¥§­  ª ª ¡®«¥¥ ±² °¸¨¬, ² ª ¨ ¡®«¥¥ ¬« ¤¸¨¬ ¸ª®«¼­¨-ª ¬,   ² ª¦¥ ³·¨²¥«¿¬ ¨ °®¤¨²¥«¿¬.

c �.�. �¯¨¢ ª, 2003

�°¥¤¨±«®¢¨¥

�¥°¢®¥ ®²ª°»²¨¥ ¢±¥£¤  § ª«¾· ¥²±¿ ¢ ²®¬,

·²® ¥±²¼ ¢¥¹¨, ª®²®°»¥ ±²®¨² ®²ª°»¢ ²¼.

�.�®¬±®­ À�³µ ­ ³ª¨Á

� ²¥¬ ²¨ª  | ®¤¨­ ¨§ £« ¢­»µ ¸ª®«¼­»µ ¯°¥¤¬¥²®¢. �®±¯°®±¨²¥ °®¤¨²¥«¥© ¨ ³·¥­¨ª®¢, ·²® ®­¨ ¡» ±° §³ ±¤¥« «¨, ¥±«¨¡» ¬®£«¨, ¨ ®² ¡®«¼¸¨­±²¢  ³±«»¸¨²¥: \� ¤® ³¬¥­¼¸¨²¼ ­ -£°³§ª³, ¢ ­ ¸¥© ±¥¬¼¥ £³¬ ­¨² °­»© ±ª« ¤ ³¬ ,   ¬ ²¥¬ ²¨-ª  | ¨ ­¥¤®±²³¯­ , ¨ ­¨ª®¬³ ­¥ ­³¦­ ."

�«®µ  ­¥ ¬ ²¥¬ ²¨ª ,   ¡¥±±¬»±«¥­­ ¿ §³¡°�¥¦ª . � ¥ « ¼®¡³·¥­¨¿ | ­¥ § ³·¨¢ ­¨¥ ­¥¢¥±²¼ ®²ª³¤  ¢§¿²»µ ¯° ¢¨«,  °   § ¢ ¨ ²¨ ¥ ¨­²¥««¥ª² . �  ³°®ª¥ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¢±�¥ ¤®«¦­®¡»²¼ ¿±­®. �±«¨ ¥±²¼ ª ª®¥-²® ­¥¯®­¨¬ ­¨¥ | §­ ·¨², ­¥²­¨ª ª®£® ¯®­¨¬ ­¨¿. �¨´ ® «¾¤¿µ ± ­¥¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬, £³-¬ ­¨² °­»¬ ±ª« ¤®¬ ³¬  ¯°¨¤³¬ ­ ¢ ®¯° ¢¤ ­¨¥ ²¥¬, ª²® ¯°®-¯³±²¨« ª ª®¥-²® ¢ ¦­®¥ ¬¥±²® (­ ¯°¨¬¥°, ­¥ ¯®­¿«, ·²® ² ª®¥¯°®¶¥­² ¨«¨ ¤°®¡¼) ¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¸ª®«¼­»¥ £®¤» ±¨¤¨² ­ ³°®ª µ, ­¥ ¯®­¨¬ ¿, ·²® ² ¬ ²¢®°¿².

�®°¬ «¼­»© §¤®°®¢»© °¥¡�¥­®ª ¬®¦¥² ­¥¢¥°®¿²­® ¬­®£®.�)

�±¿ª®¬³ µ®·¥²±¿ ° ¤®±²¨ ²¢®°·¥±²¢ , ± ¬®±²®¿²¥«¼­»µ (¦¥« -²¥«¼­® | ¯®¤¤¥°¦ ­­»µ °®¤¨²¥«¿¬¨ ¨ ³·¨²¥«¿¬¨) ° §¬»¸«¥-­¨©. �²  ª­¨¦ª  ª ª ° § ¤ �¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¤ ³¬  ² ¼. ��®«¼-¸ ¿ · ±²¼ ¥�¥ § ¤ · ²°¥¡³¥² ­¥ ¤®«£¨µ ¢»·¨±«¥­¨©,   ¿±­®£®¢§£«¿¤ , ±®±°¥¤®²®·¥­­®±²¨. �® ³·²¨²¥ | ¥±²¼ ¨ ®·¥­¼ ²°³¤-­»¥ § ¤ ·¨. �­®© ° § ¯®²°¥¡³¾²±¿ ¤«¨²¥«¼­»¥ ­ ¯°¿¦�¥­­»¥° §¬»¸«¥­¨¿ ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ­ ©²¨ °¥¸¥­¨¥ À¢ ®¤­³ ±²°®·ª³Á.

�°¿¤ «¨ ­¥®¡µ®¤¨¬® °¥¸ ²¼  ¡±®«¾²­® ¢±¥ § ¤ ·¨ ¯®¤°¿¤:­ ¯°®²¨¢, ­¥ª®²®°»¥ ²°³¤­»¥ § ¤ ·¨ «³·¸¥ ¯°®¯³±²¨²¼ ¯°¨¯¥°¢®¬ ·²¥­¨¨, ·²®¡» ¯®° §¬»¸«¿²¼ ­ ¤ ­¨¬¨ ­  ¤®±³£¥ ¨¢¥°­³²¼±¿ ª ­¨¬ ±¯³±²¿ ­¥±ª®«¼ª® ­¥¤¥«¼ ¨«¨ ¬¥±¿¶¥¢.

�)� ¡»±²°® ²¥°¿¥² ¨§­ · «¼­³¾ £¥­¨ «¼­®±²¼, ¥±«¨ ¢§°®±«»¥, «¥­¿±¼,­¥ ¶¥­¿² ¨ ­¥ ° §¢¨¢ ¾² ¥£® ³¬, ­¥ ¦¥« ¾² ¨«¨ ­¥ ³¬¥¾² § ±² ¢¨²¼ ¥£®³·¨²¼±¿.

3

� ª °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨?

�­¨£¨, ²° ª²³¾¹¨¥ ®¡ ¨±ª³±±²¢¥

° ±±³¦¤ ²¼, ¯®«¥§­» «¨¸¼ ²¥¬,

ª²® ¬®¦¥² ®¡®©²¨±¼ ¡¥§ ­¨µ.�'�« ¬¡¥°

� °¥¸¥­¨¨ «¾¡®© § ¤ ·¨ ¥±²¼ ª°³¯¨¶  ®²ª°»²¨¿. � ¤ -·  ¬®¦¥² ¡»²¼ ±ª®«¼ ³£®¤­® ±ª°®¬­®©, ­® ¥±«¨ ®­  § ±² ¢¨« ¡»²¼ ¨§®¡°¥² ²¥«¼­»¬ ¨ ¥±«¨ �» °¥¸¨«¨ ¥�¥ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®,²® ° ¤®±²¼ ¯®¡¥¤» | ¯³±²¼ ¤ ¦¥ ® ­¥© ­¨ª²®, ª°®¬¥ � ±, ­¥³§­ ¥²,| ¤®«¦­  ¡»²¼ ®£°®¬­®©. �±¯®¬­¨²¥ ¢»±ª®·¨¢¸¥£®¨§ ¢ ­­» �°µ¨¬¥¤ !

�±«¨ ¦¥ § ¤ ·  ­¥ ¯®«³·¨« ±¼ ¨ ¯°¨¸«®±¼ ·¨² ²¼ ·³¦®¥°¥¸¥­¨¥�), ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢®§­¨ª­¥² ¢®¯°®±: \� ª ¬®¦­® ¡»«®¤® ½²®£® ¤®£ ¤ ²¼±¿?"

�²¢¥² ¯°®±² | ­¥«¼§¿ ­ ³·¨²¼±¿ ¯« ¢ ²¼, ­¥ ¢®©¤¿ ¢ ¢®¤³.�, ·¥±²­® £®¢®°¿, ¯¨¸³ ¿ ¢±�¥ ½²® ­¥ ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ¤ ²¼ ¢®«-¸¥¡­»© ª«¾·¨ªy). �°®±²® ª ª¨¥-²® § ¤ ·¨ ¬®£«¨ ­¥ ¯®«³·¨²¼-±¿ ¨ ¬®£«  ¢®§­¨ª­³²¼ À¨¤¥¿Á: \�¥ ¡°®±¨²¼ «¨ ½²³ ¯°®²¨¢­³¾z)

ª­¨£³ ¨ ­¥ ¢§¿²¼ «¨ ·²®-­¨¡³¤¼ ¯®¯°®¹¥? � ¬®¦¥² ¡»²¼, ¿ |± ¬»© £«³¯»© ·¥«®¢¥ª ¢ ¬¨°¥, ¨ ¨¬¥­­® ¿ ­¨ª®£¤  ­¥ ±¬®£³­ ³·¨²¼±¿ ¨µ °¥¸ ²¼?"

�¥², ³·¨²¼±¿ ­ ¤® ­¥ ²®¬³, ·²® «¥£ª® ¯®«³· ¥²±¿. �¥­­®¢»±¸¥¥ ­ ¯°¿¦¥­¨¥ ±¨«. �°®ª ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ·¥¬-²® ¢°®¤¥ À®¯¥° ¶¨¨ ­  ¬®§£¥Á, ±®§¤ ¾¹¥© À­®¢»¥ ¨§¢¨«¨­»Á.

�)�¥§ ½²®£® ­¥ ®¡®©²¨±¼. � ²¥¬ ²¨ª  ° §¢¨¢ ¥²±¿ ³¦¥ ­¥±ª®«¼ª® ²»-±¿·¥«¥²¨© | ¤ ¦¥ ¥±«¨ �» ±²®«¼ ¦¥ ² « ­²«¨¢» ¨ ³¯®°­», ª ª ¢¥«¨ª¨¥¯°¥¤¸¥±²¢¥­­¨ª¨, ¦¨§­¼ ±«¨¸ª®¬ ª®°®²ª . �¯ ± ¥² ­ ± ²®«¼ª® ²®, ·²®,ª ª ±ª § « ¢¥«¨ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª ¨ ´¨§¨ª �±  ª �¼¾²®­, ¬» ±²®¨¬ ­  ¯«¥· µ£¨£ ­²®¢, ¬®¦¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨µ ¤®±²¨¦¥­¨¿.

y)�  ¨ ­¥² ­¨ª ª®£® ¢®«¸¥¡­®£® ª«¾·¨ª , ­¨ª ª¨µ ±¢¥°µº¥±²¥±²¢¥­­»µÀ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ±¯®±®¡­®±²¥©Á, ­¨ª ª¨µ ±¢¥°µ¡»±²°»µ ¬¥²®¤¨ª, ¯®§¢®-«¿¾¹¨µ ¡¥§ ²°³¤  ®¢« ¤¥²¼ ­ ³ª®©!

z)�®±ª®«¼ª³ ¬­®£¨¬ «¾¤¿¬ ±¢®©±²¢¥­­® ¢¨­¨²¼ ¤°³£¨µ ¢ ±¢®¨µ ®¸¨¡ª µ¨ ¨±ª ²¼ «®¦­»¥ ®¡µ®¤­»¥ ¯³²¨ ¢¬¥±²® ²®£®, ·²®¡» ¬³¦¥±²¢¥­­® ¨¤²¨ ¯®¯°¿¬®© ª ¶¥«¨.

4

�®¦¥² ¡»²¼, � ± ³²¥¸ ² ¨ ¯°¨¤ ¤³² ±¨«» ¬»±«¨ ¬³¤°¥¶®¢?

� �¯®±®¡­®±²¼ ª ¢®±¯°¨¿²¨¾ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ° ±¯°®±²° ­¥­  ¢ ·¥-«®¢¥·¥±²¢¥, ¯®¦ «³©, ¤ ¦¥ ¢ ¡�®«¼¸¥© ±²¥¯¥­¨, ·¥¬ ±¯®±®¡-­®±²¼ ¯®«³· ²¼ ³¤®¢®«¼±²¢¨¥ ®² ¯°¨¿²­®© ¬¥«®¤¨¨, ®­  ¯°¨-±³¹  ®£°®¬­®¬³ ¡®«¼¸¨­±²¢³. �. � °¤¨

� �¬¥­¨¥ °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨ | ² ª®¥ ¦¥ ¯° ª²¨·¥±ª®¥ ¨±ª³±±²¢®,ª ª ³¬¥­¨¥ ¯« ¢ ²¼ ¨«¨ ¡¥£ ²¼. �¬³ ¬®¦­® ­ ³·¨²¼±¿ ²®«¼ª®¯³²�¥¬ ¯®¤° ¦ ­¨¿ ¨«¨ ³¯° ¦­¥­¨¿. �.�®© 

� : : : ¥±«¨ ¯®¤°®¡­®±²¨ ¶¥«®© ²»±¿·¨ ¤¥« �» §­ ¥²¥ ª ª ±¢®¨¯¿²¼ ¯ «¼¶¥¢, ±²° ­­® ¡»«® ¡» ­¥ ° §£ ¤ ²¼ ²»±¿·³ ¯¥°¢®¥.

�¥°«®ª �®«¬±

� �±ª³±±²¢® ¤¥« ²¼ ¢»¢®¤» ¨  ­ «¨§¨°®¢ ²¼, ª ª ¨ ¢±¥ ¤°³£¨¥¨±ª³±±²¢ , ¯®±²¨£ ¥²±¿ ¤®«£¨¬ ¨ ¯°¨«¥¦­»¬ ²°³¤®¬, ¨ ¯®½²®-¬³ ­¨ ®¤¨­ ±¬¥°²­»© ­¥ ¬®¦¥² ¤®±²¨·¼ ¯®«­®£® ±®¢¥°¸¥­±²¢ ¢ ½²®© ®¡« ±²¨. �¥°«®ª �®«¬±

� �±«¨ ¡» ¬­¥ ¯°¨¸«®±¼ ­ · ²¼ ¢­®¢¼ ±¢®�¥ ®¡³·¥­¨¥, ²® ¿ ¯®±«¥-¤®¢ « ¡» ±®¢¥²³ �« ²®­  ¨ ¯°¨­¿«±¿ ¡» ±¯¥°¢  §  ¬ ²¥¬ ²¨-ª³, ª ª ­ ³ª³, ²°¥¡³¾¹³¾ ²®·­®±²¨ ¨ ¯°¨­¨¬ ¾¹³¾ §  ¢¥°-­®¥ ²®«¼ª® ²®, ·²® ¢»²¥ª ¥² ª ª ±«¥¤±²¢¨¥ ¨§ ¤®ª § ­­®£®.

� «¨«¥® � «¨«¥©

� �¥±¿²¼ ±²° ­¨¶ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¯®­¿²®© «³·¸¥ ±²  ±²° ­¨¶, § -³·¥­­»µ ­  ¯ ¬¿²¼ ¨ ­¥¯®­¿²»µ,   ®¤­  ±²° ­¨¶ , ± ¬®±²®-¿²¥«¼­® ¯°®° ¡®² ­­ ¿, «³·¸¥ ¤¥±¿²¨ ±²° ­¨¶, ¯®­¿²»µ ®²-·�¥²«¨¢®, ­® ¯ ±±¨¢­®. �.�­£

� �ª±¯¥°¨¬¥­² ²®° ¯®¤¢¥±¨« ¢ ª®¬­ ²¥ ¡ ­ ­», ¦¥« ¿ ³§­ ²¼,¤®£ ¤ ¥²±¿ «¨ ¸¨¬¯ ­§¥ ±®±² ¢¨²¼ ¨§ ° §¡°®± ­­»µ ª ª ¯®-¯ «® ¿¹¨ª®¢ ¯¨° ¬¨¤³ ¨ ¤®±² ²¼ ¡ ­ ­», ¢§®¡° ¢¸¨±¼ ­  ­¥�¥.�¡¥§¼¿­  ²¨µ® ±¨¤¥«  ¢ ³£«³, ­ ¡«¾¤ ¿, ª ª ®­ ° ±±² ¢«¿-¥² ¿¹¨ª¨. �­  ²¥°¯¥«¨¢® ¦¤ « , ¯®ª  ½ª±¯¥°¨¬¥­² ²®° ­¥®ª § «±¿ ¯®¤ ¡ ­ ­ ¬¨, ¢­¥§ ¯­® ¢±¯°»£­³«  ¥¬³ ­  ¯«¥·¨ ¨±µ¢ ²¨«  ¡ ­ ­».

� �©­¸²¥©­³ ¯®­ ¤®¡¨« ±¼ ±ª°¥¯ª . �®°»¢¸¨±¼, ®­ ­ ¸�¥« ±®-¢¥°¸¥­­® ¨±ª®°�¥¦¥­­³¾ ±ª°¥¯ª³. �°¨¸«®±¼ ¨±ª ²¼, ·¥¬ ¡»

5

¥�¥ ¢»¯°¿¬¨²¼. �®¢»¥ ¯®¨±ª¨ ¤ «¨ ¶¥«³¾ ª®°®¡ª³ ¯°¥ª° ±-­»µ ±ª°¥¯®ª. �©­¸²¥©­ ±° §³ ¦¥ ¢§¿« ®¤­³ ¨ ¯°¨­¿«±¿ ¨§-£®²®¢«¿²¼ ¯°¨±¯®±®¡«¥­¨¥ ¤«¿ ¯®·¨­ª¨ ±ª°¥¯ª¨-³°®¤¶ . � ¢®§£« ±  ±±¨±²¥­²  À�²® �» ¤¥« ¥²¥?Á �©­¸²¥©­. § ¬¥¸-ª ¢¸¨±¼, ®²¢¥²¨«: À�¨¤¨²¥, : : : ª®£¤  ¿ ±² ¢«¾ ¯¥°¥¤ ±®¡®©¶¥«¼, ®²¢«¥·¼ ¬¥­¿ ®² ­¥�¥ ¯®·²¨ ­¥¢®§¬®¦­®.Á

� � ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ±¢¥¤¥­¨¿ ¬®£³² ¯°¨¬¥­¿²¼±¿ ³¬¥«® ¨ ± ¯®«¼-§®© ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ ®­¨ ³±¢®¥­» ²¢®°·¥±ª¨, ² ª,·²® ³· ¹¨©±¿ ¢¨¤¨² ± ¬, ª ª ¬®¦­® ¡»«® ¯°¨©²¨ ª ­¨¬ ± -¬®±²®¿²¥«¼­®. �. �.�®«¬®£®°®¢

� � ±±ª §»¢ ¾² ¯°® ª ª®£®-²® ´¨«®±®´ , ·²® ®­, ¨¬¥¿ ¤¢³µ³·¥­¨ª®¢ | ®¤­®£® ­¥±¯®±®¡­®£®,   ¤°³£®£® ¸ «®¢«¨¢®£®,|¯°®£­ « ®¡®¨µ, ² ª ª ª ®¤¨­, ¦¥« ¿ ³·¨²¼±¿, ­¥ ¬®£,   ¤°³£®©,¨¬¥¿ ±¯®±®¡­®±²¨, ­¥ ¦¥« «.

� �®§£, µ®°®¸® ³±²°®¥­­»©, ±²®¨² ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬®§£, µ®°®¸®­ ¯®«­¥­­»©. �®­²¥­¼

�¡®§­ ·¥­¨¿ ¨ ±®¢¥²» ·¨² ²¥«¾

�®¬¥°  § ¤ ·, ª ª®²®°»¬ ¢ ª®­¶¥ ª­¨£¨ ¥±²¼ ®²¢¥², ³ª § ­¨¥¨«¨ °¥¸¥­¨¥, ¢»¤¥«¥­» ª³°±¨¢®¬. �¥ª®²®°»¥ § ¤ ·¨ ¨¬¥¾²®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ­®¬¥° (­ ¯°¨¬¥°, § ¤ ·¨ 81 ¨ 810 .) � ª ±¤¥-« ­®, ª®£¤  ¯® ±³²¨ ½²® | ¢ °¨ ­²» ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ § ¤ -·¨. �¢�¥§¤®·ª®© ¯®¬¥·¥­» § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ª ¦³²±¿ ¬­¥ ¡®«¥¥²°³¤­»¬¨. (�¯°®·¥¬, ³ ª ¦¤®£® ·¥«®¢¥ª  ±¢®¨ ¯®­¿²¨¿ ® ²®¬,·²® ²°³¤­®,   ·²® «¥£ª®.)

�¥ ¢®¸¥¤¸¨¥ ¢ ½²³ ª­¨£³ °¥¸¥­¨¿ ¨ ³ª § ­¨¿,   ² ª¦¥ ¨«-«¾±²° ¶¨¨, ª®¬¬¥­² °¨¨ ¨ ¬­®£® ¤°³£¨µ ° §­»µ ¨­²¥°¥±­»µ§ ¤ · ¬®¦­® ­ ©²¨ ­  ± ©²¥ ���� ¯®  ¤°¥±³

http://mmmf.math.msu.su

� ²¥°¨ «» ¦³°­ «  À�¢ ­²Á ¬®¦­® ­ ©²¨ ­  ± ©²¥

http://kvant.mccme.ru

6

�­ ª®¬±²¢®

�®², ª²® ­¥ §­ ¥² ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ­¥ ¬®¦¥²

³§­ ²¼ ­¨ª ª®© ¤°³£®© ­ ³ª¨ ¨ ¤ ¦¥ ­¥ ¬®¦¥²

®¡­ °³¦¨²¼ ±¢®¥£® ­¥¢¥¦¥±²¢ ,   ¯®²®¬³

­¥ ¨¹¥² ®² ­¥£® «¥ª °±²¢ .

�®¤¦¥° �½ª®­, 1267 £.

1. � §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ¤¢¥ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¨ ¯® ¯«®¹ ¤¨,¨ ¯® ´®°¬¥ · ±²¨.

2. �®·¥¬³ ¢®¤®¯°®¢®¤­»¥ ¨ ª ­ «¨§ ¶¨®­­»¥ «¾ª¨ ª°³£«»¥,   ­¥ª¢ ¤° ²­»¥?

3. �®¦­® «¨ ¯°®°¥§ ²¼ ¢ ²¥²° ¤­®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨ ¤»°³, ¢ ª®²®-°³¾ ¯°®«¥§¥² ¢§°®±«»© ·¥«®¢¥ª?

4.  ) �®«®¦¨²¥ ­  ±²®« 3 ±¯¨·ª¨, ·²®¡» £®«®¢ª¨ ­¥ ª ± «¨±¼ ±²®-« .�)

¡) � §°¥¦¼²¥ ²°¥³£®«¼­¨ª ­  4 ²°¥³£®«¼­¨ª , ª ¦¤»© ¨§ ª®²®-°»µ ¨¬¥¥² ®¡¹¨© ®²°¥§®ª £° ­¨¶» ± ª ¦¤»¬ ¨§ ²°�¥µ ¤°³£¨µ.¢) � §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  5 ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢, ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ª®²®°»µ ­¥ ¨¬¥¾² ®¡¹¥© ±²®°®­».y)

�)�² ¢¨²¼ ±¯¨·ª¨ À¸ « ¸¨ª®¬Á ¨«¨ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ±²¥­ ¬¨, ±²³«¼¿¬¨ ¨²®¬³ ¯®¤®¡­»¬ § ¯°¥¹¥­®. �¥«¼§¿ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ª° © ±²®« , ±¢¥¸¨¢ ¿± ­¥£® £®«®¢ª¨ ±¯¨·¥ª.

y)�²®°®­  ®¤­®£® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ¬®¦¥² ¡»²¼ · ±²¼¾ ±²®°®­» ¤°³£®-£®; ­¥«¼§¿ «¨¸¼ ¤®¯³±²¨²¼ ²®·­®£® ±®¢¯ ¤¥­¨¿ ±²®°®­.

7

5. �®±«¥ 7 ±²¨°®ª ¤«¨­ , ¸¨°¨­  ¨ ¢»±®²  ª³±ª  ¬»«  ³¬¥­¼¸¨-«¨±¼ ¢¤¢®¥. �  ±ª®«¼ª® ±²¨°®ª µ¢ ²¨² ®±² ¢¸¥£®±¿ ª³±ª ?

6. �°¥¤«®¦¨« ·�¥°² «®¤»°¾: \�±¿ª¨© ° §, ª ª ¯¥°¥©¤�¥¸¼ ½²®²¢®«¸¥¡­»© ¬®±², ²¢®¨ ¤¥­¼£¨ ³¤¢®¿²±¿. �  ½²® ²», ¯¥°¥©¤¿¬®±², ¤®«¦¥­ ¡³¤¥¸¼ ®²¤ ²¼ ¬­¥ 24 ª®¯¥©ª¨." �°¨¦¤» ¯¥°¥-¸�¥« «®¤»°¼ ¬®±² | ¨ ®±² «±¿ ±®¢±¥¬ ¡¥§ ¤¥­¥£. (�® ¥±²¼ ®²¤ «¢ ²°¥²¨© ° § ·�¥°²³ ²®·­® ²¥ 24 ª®¯¥©ª¨, ·²® ®ª § «¨±¼ ³ ­¥£®ª ½²®¬³ ¬®¬¥­²³.) �ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¡»«® ³ ­¥£® ¯¥°¢®­ · «¼­®?

7. � ¤ ®§�¥° ¬¨ «¥²¥«¨ £³±¨. �  ª ¦¤®¬ ± ¤¨« ±¼ ¯®«®¢¨­  £³±¥©¨ ¥¹�¥ ¯®«£³±¿, ®±² «¼­»¥ «¥²¥«¨ ¤ «¼¸¥. �±¥ ±¥«¨ ­  7 ®§�¥° µ.�ª®«¼ª® ¡»«® £³±¥©?

8. �®¦­® «¨ ®²¬¥°¨²¼ 8 «¨²°®¢ ¢®¤», ­ µ®¤¿±¼ ³ °³·¼¿ ¨ ¨¬¥¿ ¤¢ ¢¥¤°  ¢¬¥±²¨¬®±²¼¾ 15 «¨²°®¢ ¨ 16 «¨²°®¢ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®?

9. �³¯¥¶ ­  540 °³¡«¥© ª³¯¨« 138  °¸¨­ ±³ª­  (·�¥°­®£® ¨ ±¨­¥£®).�ª®«¼ª® ª³¯¨« ®­ ·�¥°­®£® ±³ª­  ¨ ±ª®«¼ª® ±¨­¥£®, ¥±«¨ ±¨­¥¥±²®¨«® 5 °³¡«¥© §   °¸¨­,   ·�¥°­®¥ | 3 °³¡«¿ §   °¸¨­?

10. � ¤¥°¦ ­­»© ¯°¨§­ «±¿, ·²® ³ ­¥£® ²°¨ ±»­ , ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¨µ ¢®§° ±²®¢ ° ¢­® 36,   ±³¬¬  ° ¢­  ·¨±«³ ®ª®­ ¤®¬ , ®ª®-«® ª®²®°®£® ¯°®¨§®¸«® § ¤¥°¦ ­¨¥. �¨«¨¶¨®­¥° ±ª § «, ·²®¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢®§° ±²  ¤¥²¥© ½²®£® ­¥¤®±² ²®·­®. �®£¤  § -¤¥°¦ ­­»© ¤®¡ ¢¨«, ·²® ¥£® ±² °¸¨© ±»­ °»¦¨©, ¬¨«¨¶¨®­¥°®¯°¥¤¥«¨« ¢®§° ±²» ¤¥²¥©. �ª®«¼ª® ¨¬ ¡»«® «¥²?

11. � ª°³¦ª¥, £¤¥ § ­¨¬ ¥²±¿ �¨¸ , ¡®«¥¥ 93% ³· ±²­¨ª®¢ | ¤¥-¢®·ª¨. �¥¬³ ° ¢­® ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¢®§¬®¦­®¥ ·¨±«® ³· ±²­¨ª®¢?

12. � �¢ ­  ¡»«® 3 «¥¯�¥¸ª¨,   ³ �¥²°  | 4. �°®µ®¦¨© ¯°¨±®¥¤¨-­¨«±¿ ª ¨µ ²° ¯¥§¥, § ¯« ²¨¢ 7 ª®¯¥¥ª. �±¥ ¥«¨ ¯®°®¢­³. � ª±«¥¤³¥² ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¤¥­¼£¨ ¬¥¦¤³ �¥²°®¬ ¨ �¢ ­®¬?

13. �®² ±¥¬¼ ¢¥­£¥°±ª¨µ ±³¹¥±²¢¨²¥«¼­»µ: ny��rfa, k�orte, alma,almak, k�ortefa, ny��rfak, almafa. � ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ­  °³±-±ª¨© ¿§»ª: ¡¥°�¥§ , £°³¸ , ¿¡«®­¿, ¿¡«®ª®, ¡¥°�¥§», ¿¡«®-ª¨. (� ¬¥²¼²¥: ½²¨¬¨ ¸¥±²¼¾ °³±±ª¨¬¨ ±«®¢ ¬¨ ¯¥°¥¢¥¤¥­»¢±¥ ±¥¬¼ ¢¥­£¥°±ª¨µ!) �±² ­®¢¨²¥, ª ª®¥ ¢¥­£¥°±ª®¥ ±«®¢® ª -ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥².

8

�¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶  ®² ª³°¨¶»?

� , ·²® §­ ¥¸¼ ¢ ¤¥²±²¢¥ |

§­ ¥¸¼ ­  ¢±¾ ¦¨§­¼, ­® ¨:

·¥£® ­¥ §­ ¥¸¼ ¢ ¤¥²±²¢¥

| ­¥ §­ ¥¸¼ ­  ¢±¾ ¦¨§­¼.�.�¢¥² ¥¢ 

14. �  ¤¢³µ ¯®«ª µ 25 ª­¨£. �  ®¤­®© ¨§ ­¨µ ­  3 ª­¨£¨ ¡®«¼¸¥,·¥¬ ­  ¤°³£®©. �ª®«¼ª® ª­¨£ ­  ª ¦¤®© ¯®«ª¥?

15. � � ¸¨, � ¸¨ ¨ � ¸¨ ¢¬¥±²¥ 11 ¢®§¤³¸­»µ ¸ °¨ª®¢. � � ¸¨­  2 ¸ °¨ª  ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ³ � ¸¨,   ³ � ¸¨ ­  1 ¸ °¨ª ¡®«¼¸¥,·¥¬ ³ � ¸¨. �ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ³ � ¸¨?

16. �¥±²�¥° ³ �¨²¨ ­  ¤¢¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¡° ²¼¥¢. �  ±ª®«¼ª® ¢ ½²®©±¥¬¼¥ ¤¥¢®·¥ª ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬ «¼·¨ª®¢?

17. � ¬ «¼·¨ª  ±²®«¼ª® ¦¥ ±¥±²�¥°, ±ª®«¼ª® ¨ ¡° ²¼¥¢,   ³ ¥£® ±¥±²-°» ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ ±¥±²�¥°, ·¥¬ ¡° ²¼¥¢. �ª®«¼ª® ¢ ½²®© ±¥¬¼¥¬ «¼·¨ª®¢ ¨ ±ª®«¼ª® ¤¥¢®·¥ª?

18. � ®¢¥¶ ¨ ª³° ¢¬¥±²¥ 36 £®«®¢ ¨ 100 ­®£. �ª®«¼ª® ®¢¥¶?

19. �®¢®·ª  ±®¡° « ¢ ª®°®¡ª³ ¦³ª®¢ ¨ ¯ ³ª®¢ | ¢±¥£® 8 ¸²³ª.�±«¨ ¢±¥£® ¢ ª®°®¡ª¥ 54 ­®£¨, ±ª®«¼ª® ² ¬ ¯ ³ª®¢? (� ¦³ª 6 ­®£, ³ ¯ ³ª  | 8.)

20. �  ¯®«¿­¥ °¥¡¿²  ¯ ±³² ¦¥°¥¡¿². �±«¨ ¯¥°¥±·¨² ²¼ ­®£¨ °¥¡¿²¨ ¦¥°¥¡¿², ²® ¡³¤¥² 74,   ¥±«¨ ±·¨² ²¼ £®«®¢», ²® 22. �ª®«¼ª®­  «³£³ ¦¥°¥¡¿²?

21.� �¤¨­ ·¥«®¢¥ª ª³¯¨« 112 ¡ ° ­®¢ ±² °»µ ¨ ¬®«®¤»µ, § ¯« ²¨¢§  ­¨µ 49 °³¡«¥© ¨ 20  «²»­. �  ª ¦¤®£® ±² °®£® ¡ ° ­  ®­ ¯« -²¨« 15  «²»­ ¨ 4 ¯®«³¸ª¨,   §  ¬®«®¤®£® | 10  «²»­. Cª®«¼ª®ª ª¨µ ¡ ° ­®¢ ¡»«® ª³¯«¥­®? (� ®¤­®¬  «²»­¥ 3 ª®¯¥©ª¨,   ¢®¤­®© ª®¯¥©ª¥ | 4 ¯®«³¸ª¨.)

22. � ±±² ¢¼²¥ ·¨±«  1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ¢ ² ª®¬ ¯®°¿¤ª¥, ·²®¡»¬¥¦¤³ ¥¤¨­¨¶ ¬¨ ®ª § « ±¼ ®¤­  ¶¨´° , ¬¥¦¤³ ¤¢®©ª ¬¨ |¤¢¥, ¬¥¦¤³ ²°®©ª ¬¨ | ²°¨,   ¬¥¦¤³ ·¥²¢�¥°ª ¬¨ | ·¥²»°¥¶¨´°».

9

�¥°¥¯° ¢»

�¡»·­»© ¬¥²®¤ ¯°¥®¤®«¥­¨¿

²°³¤­®±²¨ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®¡»

®¡®©²¨ ¥�¥.

23. �¢®¥ ¬ «¼·¨ª®¢ ª ² «¨±¼ ­  «®¤ª¥. � ¡¥°¥£³ ¯®¤®¸�¥« ®²°¿¤±®«¤ ². �®¤ª  ² ª ¬ « , ·²® ­  ­¥© ¬®£«¨ ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿ ¤¢®¥¬ «¼·¨ª®¢ ¨«¨ ²®«¼ª® ®¤¨­ ±®«¤ ². �¬®£«¨ «¨ ±®«¤ ²» ¯¥°¥-¯° ¢¨²¼±¿ ·¥°¥§ °¥ª³?

24. �®¦¥² «¨ ª°¥±²¼¿­¨­ ¯¥°¥¢¥§²¨ ·¥°¥§ °¥ª³ ¢®«ª , ª®§³ ¨ ª -¯³±²³, ¥±«¨ ¢ «®¤ª³ ¢¬¥±²¥ ± ­¨¬ ¯®¬¥¹ ¥²±¿ ²®«¼ª® ¨«¨ ¢®«ª,¨«¨ ª®§ , ¨«¨ ª ¯³±² ? (�¥«¼§¿ ®±² ¢¨²¼ ¡¥§ ¯°¨±¬®²°  ­¨¢®«ª  ± ª®§®©, ­¨ ª®§³ ± ª ¯³±²®©.)

25. �® ¤«¨­­®¬³ ³§ª®¬³ ª ­ «³ ®¤¨­ §  ¤°³£¨¬ ¨¤³² ²°¨ ¯ °®µ®-¤ . � ¢±²°¥·³ ¨¬ | ¥¹�¥ ²°¨ ¯ °®µ®¤ . � ­ « ² ª®© ³§ª¨©,·²® ¤¢  ¯ °®µ®¤  ¢ ­�¥¬ ° §º¥µ ²¼±¿ ­¥ ¬®£³², ­® ¢ ­�¥¬ ¥±²¼§ «¨¢, £¤¥ ¬®¦¥² ¯®¬¥±²¨²¼±¿ ®¤¨­ ¯ °®µ®¤. �®£³² «¨ ®­¨° §º¥µ ²¼±¿?

- - - ���

26. �¥¬¼¿ ­®·¼¾ ¯®¤®¸«  ª ¬®±²³. � ¯  ¬®¦¥² ¯¥°¥©²¨ ¥£® § 1 ¬¨­³²³, ¬ ¬  | §  2, ¬ «»¸ | §  5,   ¡ ¡³¸ª  | §  10¬¨­³². � ­¨µ ¥±²¼ ®¤¨­ ´®­ °¨ª. �®±² ¢»¤¥°¦¨¢ ¥² ²®«¼ª®¤¢®¨µ. � ª ¨¬ ¯¥°¥©²¨ ¬®±² §  17 ¬¨­³²?(�±«¨ ¯¥°¥µ®¤¿² ¤¢®¥, ²® ®­¨ ¨¤³² ± ¬¥­¼¸¥© ¨§ ¨µ ±ª®°®-±²¥©. �¢¨£ ²¼±¿ ¯® ¬®±²³ ¡¥§ ´®­ °¨ª  ­¥«¼§¿. �¢¥²¨²¼ ¨§-¤ «¨ ­¥«¼§¿. �®±¨²¼ ¤°³£ ¤°³£  ­  °³ª µ ­¥«¼§¿. �¨¤ ²¼±¿´®­ °¨ª®¬ ­¥«¼§¿.)

27. � °®­ �¾­µ£ ³§¥­ ¨ ¥£® ±«³£  �®¬ ± ¯®¤®¸«¨ ª °¥ª¥. �  ¡¥-°¥£³ ®­¨ ®¡­ °³¦¨«¨ «®¤ª³, ±¯®±®¡­³¾ ¯¥°¥¢¥§²¨ «¨¸¼ ®¤­®£®·¥«®¢¥ª . �¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ®­¨ ¯¥°¥¯° ¢¨«¨±¼ ·¥°¥§ °¥ª³ ¨ ¯°®-¤®«¦¨«¨ ¯³²¥¸¥±²¢¨¥. �®£«® «¨ ² ª ¡»²¼?

10

28.� �®£³² «¨ ²°¨ °»¶ °¿, ª ¦¤»© ±® ±¢®¨¬ ®°³¦¥­®±¶¥¬, ¯¥°¥-¯° ¢¨²¼±¿ ·¥°¥§ °¥ª³ ­  ¤¢³µ¬¥±²­®© «®¤ª¥, ¥±«¨ ®°³¦¥­®±¶»®²ª §»¢ ¾²±¿ ®±² ¢ ²¼±¿ ± ­¥§­ ª®¬»¬¨ °»¶ °¿¬¨ ¡¥§ ±¢®¨µµ®§¿¥¢?

ABCabc «ABCa « bcABCab « cABC « abc

: : : : : :: : : : : :: : : : : :

« ABCabc

�ª  §   ­ ¨ ¥. �²®¡» ­¥ § ¯³² ²¼-±¿, ®¡®§­ ·¼²¥ °»¶ °¥© ¡³ª¢ ¬¨ A ,B , C ,   ®°³¦¥­®±¶¥¢ | ±®®²¢¥²-±²¢¥­­®, a , b , c . �°®¢¥¤¨²¥ ·�¥°²®·-ª¨, ª®²®°»¥ ¡³¤³² ®¡®§­ · ²¼ °¥ª³.�¥ «¥­¨²¥±¼ ¿¢­® ¢»¯¨±»¢ ²¼ ¢±¥ ¯¥-°¥¤¢¨¦¥­¨¿ «®¤ª¨, ª ¦¤»© ° § ®²¬¥-· ¿, ª²® ­  ª ª®¬ ¡¥°¥£³. (�  °¨±³­-ª¥ | ®¤­® ¨§ °¥¸¥­¨©. � ±²¼ ±²°®ª,·²®¡» ­¥ ¡»«® ±ª³·­®, ¯°®¯³¹¥­ .)

29.� � «®¤ª¥, ¢¬¥¹ ¾¹¥© ²®«¼ª® ¤¢³µ ·¥«®¢¥ª, ·¥°¥§ °¥ª³ ¤®«¦­»¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿ ²°¨ ¬¨±±¨®­¥° �) ¨ ²°¨ ª ­­¨¡ « y). �¨±±¨®­¥-°» ¡®¿²±¿ ®±² ²¼±¿ ­  ª ª®¬-­¨¡³¤¼ ¡¥°¥£³ °¥ª¨ ¢ ¬¥­¼¸¨­-±²¢¥. �®«¼ª® ®¤¨­ ¬¨±±¨®­¥° ¨ ®¤¨­ ª ­­¨¡ « ³¬¥¾² £°¥±²¨.�®¬®£¨²¥ ¨¬ ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿.

30. �±«¨ ¡» ¸ª®«¼­¨ª ª³¯¨« 11 ²¥²° ¤¥©, ²® ³ ­¥£® ®±² «®±¼ ¡»5 ª®¯¥¥ª. � ­  15 ²¥²° ¤¥© ³ ­¥£® ­¥ µ¢ ²¨«® 7 ª®¯¥¥ª. �ª®«¼ª®¤¥­¥£ ¡»«® ³ ¸ª®«¼­¨ª ?

� ¢®¤ ¿¹¨© ¢®¯ ° ® ±. �ª®«¼ª® ±²®¿² 15� 11 = 4 ²¥²° ¤¨?

31. �¥±¿²¥°»¬ ¦¨¢®²­»¬ | ±®¡ ª ¬ ¨ ª®¸ª ¬ | ±ª®°¬¨«¨ 56£ «¥². � ¦¤®© ±®¡ ª¥ ¤®±² «®±¼ 6 £ «¥², ª ¦¤®© ª®¸ª¥ | 5.�ª®«¼ª® ¡»«® ±®¡ ª ¨ ±ª®«¼ª® ª®¸¥ª?

32. � ¤¢³µ ¯ ·ª µ ¢±¥£® 30 ²¥²° ¤¥©. �®£¤  ¨§ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¨ ¯¥-°¥«®¦¨«¨ ¢® ¢²®°³¾ 2 ²¥²° ¤¨, ¢ ¯¥°¢®© ±² «® ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥²¥²° ¤¥©, ·¥¬ ¢® ¢²®°®©. �ª®«¼ª® ²¥²° ¤¥© ¡»«® ¢ ª ¦¤®©¯ ·ª¥?

�)�«®¢® À¬¨±±¨®­¥°Á ¯°®¨§®¸«® ¨§ ´° ­¶³§±ª®£® missionnaire, ¢®§¬®¦-­®, ·¥°¥§ ¯®±°¥¤±²¢® ­¥¬¥¶ª®£® Mission�ar. �§­ · ¥² | ¯°®¯®¢¥¤­¨ª,¯®±« ­¥¶.

y)� ­­¨¡ « | «¾¤®¥¤.

11

�¥°¥ª« ¤»¢ ­¨¿ ±¯¨·¥ª

�¥« ¿ ·²®-­¨¡³¤¼ ¡¥±¯®«¥§­®¥,

®£° ­¨·¨¢ ©²¥±¼ «¨¸¼

± ¬»¬ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬.� ¬´®°

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4

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33. �¡¥°¨²¥ ³ª § ­­®¥ ±«¥¢  ®² ª ¦¤®£® ¨§ °¨-±³­ª®¢ ·¨±«® ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ ³ª -§ ­­®¥ ±¯° ¢  ·¨±«® ª¢ ¤° ²®¢ ±® ±²®°®­®©¢ ®¤­³ ±¯¨·ª³.�)

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rr r r r

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2

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4

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8

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3

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3

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r r rrr rr34. �  °¨±³­ª¥ ¨§ ±¯¨·¥ª ±«®¦¥­ ª¢ ¤° ² 3 � 3 .�¡¥°¨²¥ ) 4 ±¯¨·ª¨, ·²®¡» ®±² «®±¼ 5 ª¢ ¤° ²®¢;¡) 8 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ 2 ª¢ ¤° ² ;¢) 6 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ 3 ª¢ ¤° ² .

35. �¥°¥«®¦¨²¥ ³ª § ­­®¥ ±«¥¢  ­  °¨±³­ª µ ·¨±«® ±¯¨·¥ª, ·²®¡»¯®«³·¨«®±¼ ³ª § ­­®¥ ±¯° ¢  ·¨±«® ª¢ ¤° ²®¢.�)

r rr r r

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rr4 rr

rr

3

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rr2 rr r

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4rr rr r r

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rr3 rr

rr

3

36.  ) �®«®¦¨²¥ 12 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ·¥²»°¥ ¬ «¥­¼ª¨µª¢ ¤° ²  ¨ ®¤¨­ ¡®«¼¸®©.¡) �§ 10 ±¯¨·¥ª ±®±² ¢¼²¥ ²°¨ ª¢ ¤° ² .

�)�¨ª ª¨µ ¡®«² ¾¹¨µ±¿ ¡¥§ ¤¥«  ±¯¨·¥ª ­¥ ¤®«¦­® ¡»²¼!

12

�¡° ²­»© µ®¤

�¥ ²® ·³¤® ¨§ ·³¤¥±,

·²® ³¯ « ¬³¦¨ª ± ­¥¡¥±,

  ²® ·³¤® ¨§ ·³¤¥±,

ª ª ®­ ²³¤  § «¥§!

37. � § ¤³¬ « ·¨±«®, ³¬­®¦¨« ¥£® ­  ¤¢ , ¯°¨¡ ¢¨« ²°¨ ¨ ¯®«³-·¨« 17. � ª®¥ ·¨±«® ¿ § ¤³¬ «?

38. �«�¥¸  § ¤³¬ « ·¨±«®. �­ ¯°¨¡ ¢¨« ª ­¥¬³ 5, ¯®²®¬ ° §¤¥«¨«±³¬¬³ ­  3, ³¬­®¦¨« ­  4, ®²­¿« 6, ° §¤¥«¨« ­  7 ¨ ¯®«³·¨«·¨±«® 2. � ª®¥ ·¨±«® § ¤³¬ « �«�¥¸ ?

39. �¥­¹¨­  ±®¡° «  ¢ ± ¤³ ¿¡«®ª¨. �²®¡» ¢»©²¨ ¨§ ± ¤ , ¥©¯°¨¸«®±¼ ¯°®©²¨ ·¥°¥§ 4 ¤¢¥°¨, ª ¦¤³¾ ¨§ ª®²®°»µ ®µ° ­¿«±¢¨°¥¯»© ±²° ¦­¨ª, ®²¡¨° ¢¸¨© ¯®«®¢¨­³ ¿¡«®ª. �®¬®© ®­ ¯°¨­¥±«  10 ¿¡«®ª. �ª®«¼ª® ¿¡«®ª ¤®±² «®±¼ ±²° ¦­¨ª ¬?

40. � ¬  ¯®«®¦¨«  ­  ±²®« ±«¨¢» ¨ ±ª § «  ¤¥²¿¬, ·²®¡» ®­¨,¢¥°­³¢¸¨±¼ ¨§ ¸ª®«», ° §¤¥«¨«¨ ¨µ ¯®°®¢­³. �¥°¢®© ¯°¨¸« �­¿, ¢§¿«  ²°¥²¼ ±«¨¢ ¨ ³¸« . �®²®¬ ¢¥°­³«±¿ ¨§ ¸ª®«» �®°¿,¢§¿« ²°¥²¼ ®±² ¢¸¨µ±¿ ±«¨¢ ¨ ³¸�¥«. � ²¥¬ ¯°¨¸�¥« �¨²¿ ¨ ¢§¿«4 ±«¨¢» | ²°¥²¼ ®² ·¨±«  ±«¨¢, ª®²®°»¥ ®­ ³¢¨¤¥«. �ª®«¼ª®±«¨¢ ®±² ¢¨«  ¬ ¬ ?

41.� �§ ·¨±«  ¢»·«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°. �§ ¯®«³·¥­­®£® ·¨±«  ¢­®¢¼¢»·«¨ ±³¬¬³ ¥£® (¯®«³·¥­­®£® ·¨±« ) ¶¨´°, ¨ ² ª ¤¥« «¨ ±­®¢ ¨ ±­®¢ . �®±«¥ ®¤¨­­ ¤¶ ²¨ ² ª¨µ ¢»·¨² ­¨© ¢¯¥°¢»¥ ¯®«³-·¨«±¿ ­³«¼. � ª ª®£® ·¨±«  ­ · «¨?

42. �¨²¿ ¨ �¨²¿ ¢§¢¥±¨«¨ ±¢®¨ ¯®°²´¥«¨. �¥±» ¯®ª § «¨ 3 ª£ ¨2 ª£. �®£¤  ®­¨ ¯®«®¦¨«¨ ¯®°²´¥«¨ ­  ¢¥±», ²¥ ¯®ª § «¨ 6 ª£.

| � §¢¥ ¤¢  ¯«¾± ²°¨ ° ¢­® ¸¥±²¨?| ¢®±ª«¨ª­³« �¨²¿.

| � ¢¥±®¢ ±¤¢¨­³²  ¸ª « ,| ¤®£ ¤ «±¿ �¨²¿,| �­¨ ¯®ª -§»¢ ¾² ¢¥±, ª®²®°»© ®²«¨· ¥²±¿ ­  ­¥ª®²®°³¾ ®¯°¥¤¥«�¥­­³¾¢¥«¨·¨­³ ®² ¨±²¨­­®£®.

�ª®«¼ª® ¢¥±¨«¨ ¯®°²´¥«¨ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥?

13

� ±±² ­®¢ª¨ ±ª®¡®ª ¨ §­ ª®¢

� ¡®² ¿ ­ ¤ °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨,

¢±¥£¤  ¯®«¥§­® §­ ²¼ ®²¢¥².

43. � ±±² ¢¼²¥, £¤¥ ½²® ²°¥¡³¥²±¿, §­ ª¨  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²-¢¨© ¨ ±ª®¡ª¨, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ¢¥°­»¥ ° ¢¥­±²¢ :

 ) 4 4 4 4 = 5; ¡) 4 4 4 4 = 17 ; ¢) 4 4 4 4 = 20 ;

£) 4 4 4 4 = 32 ; ¤) 4 4 4 4 = 64 ; ¥) 4 4 4 4 = 48 ;

�¥) 5 5 5 5 = 26 ; ¦) 5 5 5 5 = 30 ; §) 5 5 5 5 = 50 ;

¨) 5 5 5 5 = 55 ; ©) 5 5 5 5 = 120 ; ª) 5 5 5 5 = 130 ;

«) 5 5 5 5 = 625 ; ¬) 5 5 5 5 = 111 ; ­) 5 5 5 5 = 2.

44. �±¯®«¼§®¢ ¢ °®¢­® ¯¿²¼ ° § ¶¨´°³ 3, §­ ª¨ ¤¥©±²¢¨© ¨ ±ª®¡ª¨,¯°¥¤±² ¢¼²¥ «¾¡®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 0 ¤® 11.

�®¤ ±ª   § ª  . (3� 3) � 333 = 0 , 33 : 3 + 3� 3 = 11 .

45. �±¯®«¼§®¢ ¢ °®¢­® ¯¿²¼ ° § ¶¨´°³ 5, ¯°¥¤±² ¢¼²¥ «¾¡®¥ ¶¥«®¥·¨±«® ®² 0 ¤® 10.

�®¤ ±ª   § ª  . (5� 5) � (5 + 5 + 5) = 0 ¨ 5 + 5 + (5� 5) � 5 = 10 .

46. �±¯®«¼§®¢ ¢ °®¢­® ·¥²»°¥ ° §  ¶¨´°³ 4, ±ª®¡ª¨ ¨ §­ ª¨  °¨´-¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨©, ¯°¥¤±² ¢¼²¥ «¾¡®¥ ·¨±«® ®² 0 ¤® 10.

47. �±¯®«¼§®¢ ¢ ¶¨´°³ 7 ·¥²»°¥ ° § , §­ ª¨ ¤¥©±²¢¨© ¨ ±ª®¡ª¨,¯°¥¤±² ¢¼²¥ ¢±¥ ·¨±«  ®² 0 ¤® 10.

�®¤ ±ª   § ª  . 77� 77 = 0 , (77� 7) : 7 = 10 .

48. � ±±² ¢¼²¥ ¢ § ¯¨±¨ 4 � 12 + 18 : 6 + 3 ±ª®¡ª¨, ·²®¡» ¯®«³-·¨«®±¼  ) ·¨±«® 50; ¡) ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¢®§¬®¦­®¥ ·¨±«®.

49. �·¥­¨ª ­ ¯¨± « ¢»° ¦¥­¨¥ 6 � 8 + 20 : 4 � 2 , §­ ·¥­¨¥ª®²®°®£® ° ¢­® 58, ­® § ¡»« ¯®±² ¢¨²¼ ±ª®¡ª¨. �¤¥« ©²¥ ½²®§  ­¥£®.

50. �¥¦¤³ ¶¨´° ¬¨ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ¨ 9, ­ ¯¨± ­­»¬¨ ¢ ³ª -§ ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥, ¯®±² ¢¼²¥ §­ ª¨ ±«®¦¥­¨¿ ¨ ³¬­®¦¥­¨¿ ² ª,·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ¨¬¥«® §­ ·¥­¨¥ 100. (�±¯®«¼§®-¢ ²¼ ±ª®¡ª¨ ­¥«¼§¿. �¥¦¤³ «¾¡»¬¨ ¤¢³¬¿ ±®±¥¤­¨¬¨ ¶¨´° ¬¨¤®«¦¥­ ±²®¿²¼ §­ ª À+Á ¨«¨ À � Á.)

14

�³²ª¨

�¥ «¾¡® | ­¥ ±«³¸ ©,

  ¢° ²¼ ­¥ ¬¥¸ ©.

51. � ª®°§¨­¥ «¥¦ ² 5 ¿¡«®ª. � §¤¥«¨²¥ ¨µ ¬¥¦¤³ ¯¿²¼¾ «¨¶ ¬¨,·²®¡» ª ¦¤»© ¯®«³·¨« ¯® ¿¡«®ª³,   ®¤­® ¿¡«®ª® ®±² «®±¼ ¢ª®°§¨­¥.

52. � ±¥¬¼¥ 5 ¡° ²¼¥¢. � ª ¦¤®£® ¨§ ­¨µ ¥±²¼ ®¤­  ±¥±²° . �ª®«¼ª®¢±¥£® ¤¥²¥© ¢ ±¥¬¼¥?

53. �¢  ®²¶  ¨ ¤¢  ±»­  ±º¥«¨ §  § ¢²° ª®¬ ²°¨ ¿©¶ , ¯°¨·�¥¬ª ¦¤®¬³ ¤®±² «®±¼ ¶¥«®¥ ¿©¶®. �®£«® «¨ ² ª ±«³·¨²¼±¿?

54. � ¤¢³µ ª®¸¥«¼ª µ «¥¦ ² ¤¢¥ ¬®­¥²», ¯°¨·�¥¬ ¢ ®¤­®¬ ª®¸¥«¼ª¥¬®­¥² ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢ ¤°³£®¬. �®¦¥² «¨ ² ª ¡»²¼?

55. �¡«®ª® ±²®¨«® 5 ª®¯¥¥ª,   £°³¸  | 10. �®¢  ª³¯¨« ¿¡«®ª®,  ¯®²®¬ ¯®¤³¬ «: \� ³¦¥ § ¯« ²¨« 5 ª®¯¥¥ª, ¨ ³ ¬¥­¿ ¥±²¼¿¡«®ª®, ª®²®°®¥ ±²®¨² 5 ª®¯¥¥ª. �±«¨ ¿ ¤ ¬ ¥£® ¯°®¤ ¢¶³, ²®®­ ¯®«³·¨² ®² ¬¥­¿ ¢ ±³¬¬¥ 10 ª®¯¥¥ª. �­ ·¨², ¿ ±¬®£³ ¢§¿²¼£°³¸³. �²® ±« ¢­®!" �° ¢ «¨ ®­?

56. �®¤°¿¤ ±²®¿² ¸¥±²¼ ±² ª ­®¢: ²°¨ ± ¢®¤®© ¨ ²°¨ ¯³±²»µ. �®-²°®­³¢¸¨±¼ °³ª®© «¨¸¼ ¤® ®¤­®£® ±² ª ­ , ¤®¡¥©²¥±¼, ·²®¡»¯³±²»¥ ¨ ¯®«­»¥ ±² ª ­» ·¥°¥¤®¢ «¨±¼.

57. �®·¥¬³ ¢ ¯®¥§¤ µ ¢±¥ ±²®¯-ª° ­» ¢±¥£¤  ª° ±­»¥,   ¢ ± ¬®«�¥-² µ ¢±¥ ±²®¯-ª° ­» £®«³¡»¥?

58. �¤¨­ £®±¯®¤¨­ ­ ¯¨± « ® ±¥¡¥: À : : : ¯ «¼¶¥¢ ³ ¬¥­¿ ¤¢ ¤-¶ ²¼ ¯¿²¼ ­  ®¤­®© °³ª¥, ±²®«¼ª® ¦¥ ­  ¤°³£®©, ¤  ­  ­®£ µ¤¥±¿²¼ : : : Á �²® ®­ § ¡»«?

59. �°¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥ ª®° ¡«¼ ±® ±¯³¹¥­­®© ­  ¢®¤³ ¢¥°�¥¢®·­®©«¥±²­¨¶¥© ¢¤®«¼ ¡®°² . � «¥±²­¨¶» 10 ±²³¯¥­¥ª. � ±±²®¿­¨¥¬¥¦¤³ ±²³¯¥­¼ª ¬¨ 30 ±¬. � ¬ ¿ ­¨¦­¿¿ ±²³¯¥­¼ª  ª ± ¥²±¿¢®¤». � ·¨­ ¥²±¿ ¯°¨«¨¢, ª®²®°»© ¯®¤­¨¬ ¥² ¢®¤³ ª ¦¤»©· ± ­  20 ±¬. �¥°¥§ ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¯®ª°®¥²±¿ ¢®¤®© ²°¥²¼¿ ±­¨§³±²³¯¥­¼ª  «¥±²­¨¶»?

15

60. �®«¼¸®©, §¥«�¥­»©, ¦¨¢�¥² ¯®¤ §¥¬«�¥© ¨ ¯¨² ¥²±¿ ª ¬­¿¬¨. �²®½²®?

61. �±² ¯ �¥­¤¥° °¥¸¨« ¤ ²¼ ±¥ ­± ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¨£°» � °¯®¢³¨ � ±¯ °®¢³. �¤¨­ ¨§ ­¨µ ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ ¡¥«»¬¨,   ¤°³£®© |·�¥°­»¬¨. �±² ¯ ³¢¥°¥­, ·²® ®­ ¨«¨ ±¢¥¤�¥² ¢­¨·¼¾ ®¡¥ ¯ °²¨¨,¨«¨ ®¤­³ ¢»¨£° ¥². � ª ®­ ±®¡¨° ¥²±¿ ¨£° ²¼?

62. �£ ¤ ©²¥ § ª®­®¬¥°­®±²¼ ´®°¬ ´¨£³°®ª °¨±³­ª . � ª³¾ ´¨-£³°ª³ ­ ¤® ¯®±² ¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥©? � ¯®±«¥ ­¥�¥?

� ¢±�¥, ®¤­ ª® ¦¥, ª ª ¯®° §¬»±«¨¸¼,

¢® ¢±�¥¬ ½²®¬, ¯° ¢®, ¥±²¼ ª®¥-·²®.

�²® ­¨ £®¢®°¨,   ¯®¤®¡­»¥ ¯°®¨±¸¥±²¢¨¿

¡»¢ ¾² ­  ±¢¥²¥; °¥¤ª®, ­® ¡»¢ ¾².

�.�.�®£®«¼

63. �®°®«¼ ¯®¦¥« « ±¬¥±²¨²¼ ±¢®¥£® ¬¨­¨±²° , ­¥ ±«¨¸ª®¬ ®¡¨¤¥¢¥£®. �­ ¯®¤®§¢ « ¬¨­¨±²°  ª ±¥¡¥ ¨ ¯°¥¤«®¦¨« ¢»¡° ²¼ ®¤¨­ ¨§¤¢³µ «¨±²®·ª®¢, ¯®¿±­¨¢, ·²® ­  ®¤­®¬ ­ ¯¨± ­® À�±² ­¼²¥±¼Á,  ­  ¤°³£®¬ | À�µ®¤¨²¥Á. �¨±²®ª, ª®²®°»© ¢»² ¹¨² ¬¨­¨±²°,°¥¸¨² ¥£® ±³¤¼¡³. �¨­¨±²° ¤®£ ¤ «±¿, ·²® ­  ®¡®¨µ «¨±²ª µ­ ¯¨± ­® À�µ®¤¨²¥Á. �®¬®£¨²¥ ¬¨­¨±²°³ ±®µ° ­¨²¼ ¥£® ¬¥±²®!

64. �§ �®±ª¢» ¢ �¥²¥°¡³°£ ¯®¬· « ­  ÀVolvoÁ ¯°¥¤¯°¨­¨¬ ²¥«¼� ±¿. � ¢±²°¥·³ ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ­  ¢¥«®±¨¯¥¤¥ ¢»¥µ « ¤®¶¥­²�¢ ­ �¥²°®¢¨·. �²® ¨§ ­¨µ ¢ ¬®¬¥­² ¢±²°¥·¨ ¡»« ¡«¨¦¥ ª�®±ª¢¥?

65. � ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ±²®°®­ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¬­®£®³£®«¼­¨ª,¿¢«¿¾¹¨©±¿ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥¬ ·¥²»°�¥µ³£®«¼­¨ª  ¨ ²°¥³£®«¼­¨ª ?

66.� �»­ ®²¶  ¯°®´¥±±®°  ° §£®¢ °¨¢ ¥² ± ®²¶®¬ ±»­  ¯°®´¥±±®° ,  ¯°®´¥±±®° ¢ ° §£®¢®°¥ ­¥ ³· ±²¢³¥². �®¦¥² «¨ ² ª ¡»²¼?

�®¤ ±ª   § ª  . �»­ ®²¶  | ½²® ¡° ². � ¢®² ª²® ®²¥¶ ±»­ ?..

16

�¡¥¦ «¨ ¶¨´°»

� ½²®© ±ª §ª¥ ­¥² ¯®°¿¤ª  |

·²® ­¨ ±«®¢®, ²® § £ ¤ª .

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67. � ª®¥ ·¨±«® ¢ 7 ° § ¡®«¼¸¥ ±¢®¥© ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°»?

68. � ±¸¨´°³©²¥ À¦¨¢®²­®¢®¤·¥±ª¨©Á °¥¡³±: �+ ���� = ���� .

69. �®±±² ­®¢¨²¥ ¯®¢°¥¦¤�¥­­»¥ § ¯¨±¨  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨©,²® ¥±²¼ § ¬¥­¨²¥ §¢�¥§¤®·ª¨ ¶¨´° ¬¨ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼¢¥°­»¥ ° ¢¥­±²¢ :

 ) ��� � �� = 1; ¡) �� � � � � = 1; ¢) 1� � �1 = 1��1 ;

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70. �¥°�¥¦  § ¯¨± « ¯¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«® ¨ ³¬­®¦¨« ¥£® ­  9. � ±¢®¥-¬³ ³¤¨¢«¥­¨¾, ®­ ¯®«³·¨« ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¨±«®, § ¯¨± ­­®¥ ²¥¬¨¦¥ ¶¨´° ¬¨, ­® ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥. � ª®¥ ·¨±«® § ¯¨± « �¥-°�¥¦ ?

71. �¨±«® ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ­  2. �±«¨ ½²³ ¶¨´°³ ¯¥°¥­¥±²¨ ¢ ­ · «®·¨±« , ®­® ³¤¢®¨²±¿. � ©¤¨²¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ² ª®¥ ·¨±«®.

72. �  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¬ °¥¡³±¥ ��� + ��� + : : : + ��� = ����²°¥¡³¥²±¿ ° §­»¥ ¡³ª¢» § ¬¥­¨²¼ ° §­»¬¨ ¶¨´° ¬¨, ®¤¨­ ª®-¢»¥ | ®¤¨­ ª®¢»¬¨. � ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® À¤³¡®¢Á ¬®¦¥²¡»²¼ ¢ À°®¹¥Á?

17

� §°¥§ ­¨¿

| � ª®© ³¦¥ ²» ¤°¿µ«»© ¨ ¡®«¼­®©,

²°¿±�¥¸¼±¿, ª ª ° §¡¨² ¿ ²¥«¥£  : : :�  ·²® ²» ª®¯¨¸¼ ¤¥­¼£¨, ±² °»© �®©?

| �  £«³¯®±²¨. �  ¤®±ª¨ ¤«¿ ª®¢·¥£ .

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73. � §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ²°¨ ° ¢­»¥ · ±²¨. (�¥§ ²¼¬®¦­® ²®«¼ª® ¯® ±²®°®­ ¬ ª«¥²®·¥ª. � ±²¨ ¤®«¦­» ¡»²¼ ° ¢-­» ­¥ ²®«¼ª® ¯® ¯«®¹ ¤¨, ­® ¨ ¯® ´®°¬¥.)

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74. � §¤¥«¨²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨-£³° ¯® «¨­¨¿¬ ±¥²ª¨ ­ ·¥²»°¥ ®¤¨­ ª®¢»¥ · ±-²¨, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®© · ±-²¨ ¡»« °®¢­® ®¤¨­ ª°³-¦®ª.

75. � §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ·¥²»°¥ ° ¢­»¥ · ±²¨. (�¥§ ²¼¬®¦­® ²®«¼ª® ¯® ±²®°®­ ¬ ¨ ¤¨ £®­ «¿¬ ª«¥²®·¥ª.)

76. � §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  ¤¢  ° ¢­»µ  ) ¯¿²¨³£®«¼­¨ª ; ¡) ¸¥±-²¨³£®«¼­¨ª ; ¢) ±¥¬¨³£®«¼­¨ª .

18

77. � §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  ²°¨ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ° ¢­»µ) ¸¥±²¨-³£®«¼­¨ª .

78. � §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ¯®¯®« ¬.

79. � §°¥¦¼²¥ ª ¦¤³¾ ¨§ ´¨£³° ­  ·¥²»°¥ ° ¢­»¥ (¨ ¯® ¯«®¹ ¤¨,¨ ¯® ´®°¬¥) · ±²¨.

 ) ¡) ¢)

80.� � §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² 7� 7 ­  ¯¿²¼ · ±²¥© ¨ ¯¥°¥«®¦¨²¥ ¨µ ² ª,·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ²°¨ ª¢ ¤° ² : 2� 2 , 3� 3 ¨ 6� 6 . �®±² -° ©²¥±¼ ±¤¥« ²¼ ½²® ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨.

19

�±¿ª ¿ ¯ «ª  ® ¤¢³µ ª®­¶ µ

�¤¢®ª ²³ ±«¥¤³¥² ®²ª°»²® ¨ ¿±­®

¨§«®¦¨²¼ ¤¥«®, ¯®²®¬ ³¦¥ ®­ ± ¬

±³¬¥¥² § ¯³² ²¼ ¥£®.

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81. �² ª³±ª  ±³ª­  ¢ 16 ¬¥²°®¢¯®°²­®© ®²°¥§ ¥² ¥¦¥¤­¥¢­®¯® 2 ¬¥²° . �® ¨±²¥·¥­¨¨±ª�®«¼ª¨µ ¤­¥© ®­ ®²°¥¦¥²¯®±«¥¤­¨© ª³±®ª?

81.0 � ¦¤³¾ ¬¨­³²³ ®² ¡°¥¢-­  ¤«¨­» 6  °¸¨­ ®²¯¨«¨¢ -¾² 1  °¸¨­. �  ±ª®«¼ª® ¬¨-­³² ° ±¯¨«¿² ¢±�¥ ¡°¥¢­®?

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82. �® ±ª®«¼ª® ° § «¥±²­¨¶  ­  ¸¥±²®© ½² ¦ ¤®¬  ¤«¨­­¥¥«¥±²­¨¶» ­  ¢²®°®© ½² ¦ ½²®£® ¦¥ ¤®¬ ?

83. �ª®«¼ª® ° ±¯¨«®¢ ­ ¤® ±¤¥« ²¼, ·²®¡» ° ±¯¨«¨²¼ 60²°�¥µ¬¥²°®¢»µ ¡°�¥¢¥­ ­  ¯®«³¬¥²°®¢»¥ ¯®«¥­¼¿?�)

84. �³§­¥¶ ±®¥¤¨­¨« 5 ¶¥¯¥©, ¯® 3 §¢¥­  ¢ ª ¦¤®©, ¢ ®¤­³¶¥¯¼, ° ±ª°»¢ 4 ª®«¼¶  ¨ ±­®¢  ¨µ § ª®¢ ¢. �¥«¼§¿ «¨¡»«® ¢»¯®«­¨²¼ ° ¡®²³ ¡»±²°¥¥?

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685. � ¸¥±²¼ · ±®¢ ³²° ¢ ¯®­¥¤¥«¼­¨ª £³±¥­¨¶ ­ · «  ¢¯®«§ ²¼ ­  ¤¥-°¥¢® ¢»±®²®© 12 ¬. � ¤¥­¼, ²® ¥±²¼ ¤® 18 · -±®¢, ®­  ¯®¤­¨¬ « ±¼ ­ 4 ¬,   §  ­®·¼ ±¯³±ª -« ±¼ ­  3 ¬. �®£¤  ®­ ¤®±²¨£­¥² ¢¥°¸¨­»?

�ª  §   ­ ¨ ¥. �  °¨-±³­ª¥ ¨§®¡° ¦�¥­ £° ´¨ª¤¢¨¦¥­¨¿ £³±¥­¨¶».

�)�¨«¨²¼ ­¥±ª®«¼ª® ¡°�¥¢¥­ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­¥«¼§¿.

20

2 3 2

3

232

3

86. �®«®²®¸¢¥¿ ° §¬¥±²¨«  20 ³·¥­¨¶ ¢ ª®¬-­ ² µ ±¢®¥£® ¤®¬ , ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨-±³­ª¥. �® ¢¥·¥° ¬ ®­  ¯°®¢¥°¿« , ·²®¡»¢ ª®¬­ ² µ ­  ª ¦¤®© ±²®°®­¥ ¤®¬  ¡»-«® 7 ¤¥¢³¸¥ª. �¤­ ¦¤» ¢ £®±²¨ ª ­¨¬¯°¨¥µ «¨ 4 ¯®¤°³¦ª¨. ) � §¬¥±²¨²¥ ¢±¥µ ² ª, ·²®¡» §®«®²®-¸¢¥¿ ­ ±·¨² «  ¢¤®«¼ ª ¦¤®© ±²®°®­» ®¯¿²¼ 7 ¤¥¢³¸¥ª.¡) �  ±«¥¤³¾¹¨© ¤¥­¼ 4 ¤¥¢³¸ª¨ ¯°®¢®¦ «¨ ¯®¤°³£. � §¬¥±-²¨²¥ 16 ®±² ¢¸¨µ±¿ ² ª, ·²®¡» ®¯¿²¼ ± ª ¦¤®© ±²®°®­» ®ª -§ «®±¼ ¯® 7 ¤¥¢³¸¥ª.

�¢¥­ ¤¶ ²¼ ±²³«¼¥¢

�°®¤¥« ©²¥ ² ª®© ½ª±¯¥°¨¬¥­²:

±®±°¥¤®²®·¼²¥±¼ ¨ ±«¥¤³¾¹³¾ ¬¨­³²³

­¥ ¤³¬ ©²¥ ® ¦�¥«²®© ¢¥±�¥«®©¯°»£ ¾¹¥© ¢±¾¤³ ®¡¥§¼¿­¥.

87. �®±² ¢¼²¥ 12 ±²³«¼¥¢ ¢ 3 °¿¤ , ·²®¡» ) ¢ ¤¢³µ °¿¤ µ ¡»«® ¯® 4 ±²³« ,   ¢ ®¤­®¬ | 6;¡) ¢ ª ¦¤®¬ °¿¤³ ¡»«® ¯® 5 ±²³«¼¥¢.

88. � §¬¥±²¨²¥ ¢¤®«¼ ±²¥­ ª¢ ¤° ²­®© ª®¬­ ²» 10 ±²³«¼¥¢ ² ª,·²®¡» ³ ª ¦¤®© ±²¥­» ±²®¿«® 3 ±²³« .

89.  ) � ±¯®«®¦¨²¥ 6 ²®·¥ª ­  4 ®²°¥§ª µ, ·²®¡» ­  ª ¦¤®¬ ®²-°¥§ª¥ ¡»«® 3 ²®·ª¨.¡) � °¨±³©²¥ 5 ° ¢­»µ ¯® ¤«¨­¥ ®²°¥§ª®¢ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²®-¡» ­  ­¨µ ¬®¦­® ¡»«® ° ±¯®«®¦¨²¼ 10 ²®·¥ª | ­  ª ¦¤®¬®²°¥§ª¥ ¯® 4 ²®·ª¨.¢) � °¨±³©²¥ 6 ®²°¥§ª®¢ ¨ ®²¬¥²¼²¥ 9 ²®·¥ª, ·²®¡» ­  ª ¦¤®¬®²°¥§ª¥ ¡»«® 3 ²®·ª¨.£) � °¨±³©²¥ 6 ®²°¥§ª®¢ ¨ ®²¬¥²¼²¥ 12 ²®·¥ª, ·²®¡» ª ¦¤®¬³®²°¥§ª³ ¯°¨­ ¤«¥¦ «¨ 4 ²®·ª¨.

90. �®±² ¢¼²¥ 24 ±²³«  ¢ 6 °¿¤®¢ ¯® 5 ±²³«¼¥¢ ¢ ª ¦¤®¬.

21

�±²­»© ±·�¥²

�§³·¨²¥  §» ­ ³ª¨, ¯°¥¦¤¥ ·¥¬

¢§®©²¨ ­  ¥�¥ ¢¥°¸¨­». �¨ª®£¤  ­¥

¡¥°¨²¥±¼ §  ¯®±«¥¤³¾¹¥¥, ­¥ ³±¢®¨¢

¯°¥¤»¤³¹¥¥.

�.�.� ¢«®¢

91. �ª®«¼ª® ° § ª ­ ¨¡®«¼¸¥¬³ ®¤­®§­ ·­®¬³ ·¨±«³ ­ ¤® ¯°¨¡ -¢¨²¼ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, ·²®¡» ¯®«³·¨²¼ ­ ¨¡®«¼-¸¥¥ ²°�¥µ§­ ·­®¥?

92. � �ª³«¨­» ¨ �­´¨±» ¤¥­¥£ ¯®°®¢­³. �ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¤®«¦­ ¤ ²¼ ®¤­  ¨§ ­¨µ ¤°³£®©, ·²®¡» ³ �­´¨±» ±² «® ­  10 °³¡«¥©¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ �ª³«¨­»?

93. �¢  ¯ ª¥²  ¬®«®ª  ¨ ¯ ·ª  ²¢®°®£  ±²®¿² 94 ª®¯¥©ª¨. � ¤¢¥¯ ·ª¨ ²¢®°®£  ¨ ¯ ª¥² ¬®«®ª  ±²®¿² 80 ª®¯¥¥ª. �²® ¤®°®¦¥:¯ ·ª  ²¢®°®£  ¨«¨ ¯ ª¥² ¬®«®ª ? �  ±ª®«¼ª®?

94. � §®®¬ £ §¨­¥ ¯°®¤ ¾² ¡®«¼¸¨µ ¨ ¬ «¥­¼ª¨µ ¯²¨¶. �®«¼¸ ¿¯²¨¶  ¢¤¢®¥ ¤®°®¦¥ ¬ «¥­¼ª®©. �³¯¨«¨ 5 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶ ¨ 3 ¬ -«¥­¼ª¨µ. �±«¨ ¡» ¢¬¥±²® ½²®£® ª³¯¨«¨ 3 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶» ¨2 ¬ «¥­¼ª¨µ, ²® ¯®²° ²¨«¨ ¡» ­  20 °³¡«¥© ¬¥­¼¸¥. �ª®«¼ª®±²®¨² ¡®«¼¸ ¿ ¯²¨¶ ?

95. �ª®«¼ª® ¤¥¤³¸ª¥ «¥², ±²®«¼ª® ¬¥±¿¶¥¢ ¢­³·ª¥. �¬¥±²¥ ¨¬ 91£®¤. �ª®«¼ª® «¥² ¤¥¤³¸ª¥ ¨ ±ª®«¼ª® ¢­³·ª¥?

96. �¥¤³, ®²¶³ ¨ ±»­³ ¢¬¥±²¥ 100 «¥². �²¶³ ¨ ±»­³ ¢¬¥±²¥ 45 «¥².�»­ ­  25 «¥² ¬®«®¦¥ ®²¶ . �ª®«¼ª® ª®¬³ «¥²?

97. �±«¨ ª ¬®¨¬ ¤¥­¼£ ¬ ¤®¡ ¢¨²¼ ¯®«®¢¨­³ ¨µ, ¤  ¥¹�¥ 10 °³¡«¥©,²® ³ ¬¥­¿ ±² ­¥² 100 °³¡«¥©. �ª®«¼ª® ³ ¬¥­¿ ¤¥­¥£?

98. �¥¤³ 64 £®¤ ,   ¢­³ª³ 16 «¥².�¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² ¤¥¤ ±² ­¥²¢²°®¥ ±² °¸¥ ¢­³ª ?

98.0 �¥¸¨²¥ ³° ¢­¥­¨¥

64 + x = 3(16 + x) .

99. �° ² ¢²°®¥ ¡®£ ·¥ ¬¥­¿, ®²¥¶ ¢²°®¥ ¡®£ ·¥ ¡° ² , ¤¥¤ ¢²°®¥¡®£ ·¥ ®²¶ ,   ³ ­ ± ¢¬¥±²¥ 1000 °³¡«¥©. �ª®«¼ª® ³ ¬¥­¿ ¤¥­¥£?

22

100. �®°®¢  ¢·¥²¢¥°® ¤®°®¦¥ ±®¡ ª¨,   «®¸ ¤¼ ¢·¥²¢¥°® ¤®°®¦¥ ª®-°®¢». �®¡ ª , ¤¢¥ ª®°®¢» ¨ «®¸ ¤¼ ±²®¿² 200 °³¡«¥©. �ª®«¼ª®±²®¨² ª®°®¢ ?

101. �»­ ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥ ®²¶ .�®¤¨«±¿ ®­, ª®£¤  ®²¶³ ¡»«®24 £®¤ . �ª®«¼ª® «¥² ±»­³?

101.0 �»­ ¢²°®¥ ¬®«®¦¥ ®²-¶ . �®£¤  ®²¶³ ¡»«® 40 «¥²,±»­³ ¡»«® 3 £®¤ . �ª®«¼ª®«¥² ®²¶³?

| �ª®«¼ª® ¡³¤¥² ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾±

®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­?

| �¥ §­ ¾,| ®²¢¥²¨«  �«¨± ,| � ±¡¨« ±¼ ±® ±·�¥² .

| �­  ­¥ ³¬¥¥² ±ª« ¤»¢ ²¼.

�¼¾¨± �½°°®«, À�°¨ª«¾·¥­¨¿ �«¨±» ¢ �²° ­¥ ·³¤¥±Á

102. �  ¤¢³µ °³ª µ 10 ¯ «¼¶¥¢. � ­  10 °³ª µ?

103. 3 ª³°¨¶» §  3 ¤­¿ ±­¥±«¨ 3 ¿©¶ . �ª®«¼ª® ¿¨¶ ±­¥±³² 12 ª³° § 12 ¤­¥©?

104. �¿²¼ °»¡ ª®¢ ±º¥«¨ ¯¿²¼ ±³¤ ª®¢ §  ¯¿²¼ ¤­¥©. �  ±ª®«¼ª®¤­¥© ¤¥±¿²¼ °»¡ ª®¢ ±º¥¤¿² ¤¥±¿²¼ ±³¤ ª®¢?

105. �°¨ §¥¬«¥ª®¯  §  2 · ±  ¢»°»«¨ 3 ¿¬». �ª®«¼ª® ¿¬ ¢»°®¾²6 §¥¬«¥ª®¯®¢ §  5 · ±®¢?

106.� 6 ª®±¶®¢ ¢»¯¨«¨ ¡®·®­®ª ª¢ ±  §  8 · ±®¢. �ª®«¼ª® ª®±¶®¢ § 3 · ±  ¢»¯¼¾² ² ª®© ¦¥ ¡®·®­®ª?

107. � §°¥¦¼²¥ ´¨£³°» ­  ²°�¥µª«¥²®·­»¥ ³£®«ª¨.

 ) ¡)

23

�®§° ±²»

�¥ª ¿ ¤ ¬  ­  ¢®¯°®±, ±ª®«¼ª® ¥© «¥²,

®²¢¥²¨« : \�®£¤  ¿ ¢»µ®¤¨«  § ¬³¦,

¬³¦³ ¡»«® 40,   ¬­¥ 20. �¥©· ± ¥¬³ 60.

�­ ·¨², ¬­¥ 30."

108. �¥°�¥¦¥ 11 «¥², �®¢¥ 1 £®¤. �ª®«¼ª® «¥² ¡³¤¥² �¥°�¥¦¥, ª®£¤ ®­ ±² ­¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ �®¢»?

109. �±«¨ ª ¯®«®¢¨­¥ ¬®¨µ «¥² ¯°¨¡ ¢¨²¥ 7, ²® ¯®«³·¨²¥ ¬®© ¢®§° ±²13 «¥² ²®¬³ ­ § ¤. �ª®«¼ª® ¬­¥ «¥²?

110.  ) �®£¤  ®²¶³ ¡»«® 27 «¥², ±»­³ ¡»«® 3 £®¤ . �¥©· ± ±»­³ ¢²°¨ ° §  ¬¥­¼¸¥ «¥², ·¥¬ ®²¶³. �ª®«¼ª® «¥² ª ¦¤®¬³ ¨§ ­¨µ?¡) �¥¸¨²¥ ³° ¢­¥­¨¥ 27 + x = 3(x+ 3) .

111. �¡¤³««  ¢·¥²¢¥°® ±² °¸¥ � µ¬³¤ . �³¬¬  ¨µ ¢®§° ±²®¢ |50 «¥². �¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² �¡¤³««  ¡³¤¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ � µ¬³-¤ ?

112. �²¥¶ ±² °¸¥ ±»­  ¢ 4 ° § . �¥°¥§ 20 «¥² ®­ ¡³¤¥² ±² °¸¥ ±»­ ¢ 2 ° § . �ª®«¼ª® ±¥©· ± «¥² ®²¶³?

113. �¥ª²® ±ª § «: \�®£¤  ¿ ¯°®¦¨¢³ ¥¹�¥ ¯®«®¢¨­³, ¤  ²°¥²¼, ¤ ·¥²¢¥°²¼ ¬®¨µ «¥², ¬­¥ ±² ­¥² 100 «¥²." �ª®«¼ª® ¥¬³ «¥²?

114. �®±ª¢  ±² °¸¥ �¥²¥°¡³°£  ­  556 «¥². � 1981 £®¤³ �®±ª¢ ¡»«  ¢²°®¥ ±² °¸¥ �¥²¥°¡³°£ .  ) � ª ª®¬ £®¤³ ®±­®¢ ­ �®±ª¢  ¨ ¢ ª ª®¬ £®¤³ ®±­®¢ ­ �¥²¥°¡³°£?¡) �®£¤  �®±ª¢  ±² ­¥² °®¢­® ¢¤¢®¥ ±² °¸¥ �¥²¥°¡³°£ ?

115. �²¶³ 32 £®¤ , ±»­³ 5 «¥². �¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² ®²¥¶ ¡³¤¥² ¢ 10 ° §±² °¸¥ ±»­ ?

�¥¸ ¥­ ¨ ¥. �¡®§­ ·¨¬ ¨±ª®¬»© ±°®ª ·¥°¥§ x . �¯³±²¿ x «¥²®²¶³ ¡³¤¥² 32 + x «¥²,   ±»­³ | (5 + x) . �®±ª®«¼ª³ ®²¥¶ ¤®«¦¥­¡»²¼ ¢ 10 ° § ±² °¸¥ ±»­ , ²® 32 + x = 10(5 + x) .

�¥¸ ¿ ½²® ³° ¢­¥­¨¥, ¯®«³· ¥¬ ®²¢¥²: x = �2 . À�¥°¥§ ¬¨­³± 2£®¤ Á ®§­ · ¥² À¤¢  £®¤  ­ § ¤Á. �®±² ¢«¿¿ ³° ¢­¥­¨¥, ¬» ­¥ ¤³¬ -«¨ ® ²®¬, ·²® ¢®§° ±² ®²¶  ­¨ª®£¤  ¢ ¡³¤³¹¥¬ ­¥ ®ª ¦¥²±¿ ¢ 10 ° §¡®«¼¸¥ ¢®§° ±²  ±»­ . �° ¢­¥­¨¥ ®ª § «®±¼ ¢¤³¬·¨¢¥¥ ­ ± ¨ ¯®§ -¡®²¨«®±¼ ®¡® ¢±�¥¬ ± ¬®.

24

116. �²¶³ ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® ±»­³ ¨ ¤®·¥°¨ ¢¬¥±²¥; ±»­ ¢¤¢®¥±² °¸¥ ±¥±²°» ¨ ­  20 «¥² ¬®«®¦¥ ®²¶ . �ª®«¼ª® «¥² ¤®·¥°¨?

117. �«¼¤ °³ ·¥°¥§ 2 £®¤  ¡³¤¥² ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¥¬³ ¡»«®2 £®¤  ­ § ¤,   �«¨­  ·¥°¥§ 3 £®¤  ¡³¤¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥, ·¥¬¡»«  3 £®¤  ­ § ¤. �²® ¨§ ­¨µ ±² °¸¥?

118. �­¥ ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® � ¬ ²®£¤ , ª®£¤  ¬­¥ ¡»«®±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® � ¬ ±¥©· ±. �ª®«¼ª® ¬­¥ «¥², ¥±«¨ ­ ¬¢¬¥±²¥ 70 «¥²?

�¥¸ ¥­ ¨ ¥. �®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³�):

�®© ¢®§° ±² � ¸ ¢®§° ±²

�¥©· ± x y�®£¤  y x=2

�®±·¨² ¢ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ ¢°¥¬¿, ®²¤¥«¿¾¹¥¥ À±¥©· ±Á ®² À²®£¤ Á,±®±² ¢¨¬ ³° ¢­¥­¨¥:

x� y = y �x

2;

®²ª³¤  32x = 2y . �­ ·¨², 3x = 4y . �®±ª®«¼ª³ x + y = 70 , ®²¢¥²

®·¥¢¨¤¥­: x = 40 , y = 30 . �­¥ ±¥©· ± 40 «¥².

119. �®£¤  �®«¿ ¡»« ¬®«®¤, ª ª �«¿, £®¤®¬ ¬¥­¼¸¥ ¡»«® ²�¥²³¸ª¥�®«¥, ·¥¬ �®«¥ ²¥¯¥°¼ ¢¬¥±²¥ ± �«¥©. �ª®«¼ª® «¥² ¡»«® �®«¥,ª®£¤  ²�¥²³¸ª  �®«¿ ¡»«  ¢ ¢®§° ±²¥ �®«¨?

120. �«¼´¨°¥ ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® �«¼¤ °³, ª®£¤  ®­  ¡»« ¢ ¥£® ­»­¥¸­¥¬ ¢®§° ±²¥. �®£¤  ®­ ¡³¤¥² ¢ ¥�¥ ­»­¥¸­¥¬ ¢®§-° ±²¥, ¨¬ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² 28 «¥². �ª®«¼ª® ±¥©· ± «¥² �«¼´¨°¥ ¨±ª®«¼ª® | �«¼¤ °³?

121. �£­ ²³ ±¥©· ± ¢·¥²¢¥°® ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® ¥£® ±¥±²°¥ ¢ ²®²¬®¬¥­², ª®£¤  ®­  ¡»«  ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥ ¥£®. �ª®«¼ª® «¥² ±¥©· ±�£­ ²³, ¥±«¨ ·¥°¥§ 15 «¥² ¥¬³ ¨ ±¥±²°¥ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² 100 «¥²?

122. �°¥ ¨ �«¥ ±¥©· ± ¢¬¥±²¥ 26 «¥², ¯°¨·�¥¬�«¥ ¢ ²°¨ ° §  ¬¥­¼-¸¥ «¥², ·¥¬ ¡³¤¥² �°¥ ²®£¤ , ª®£¤  ¨¬ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² ¢ ¯¿²¼° § ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ �°¥ ±¥©· ±. �ª®«¼ª® «¥² �°¥?

�)À�®£¤ Á ®²­®±¨²±¿ ª® ¢°¥¬¥­¨, ª®£¤  ¬­¥ ¡»«® ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª®� ¬ ±¥©· ±.

25

�ª®«¼ª® ­ ¤® ¢§¿²¼?

�±«¨ ¨§ ª­¨£¨ ¢»²¥ª ¥² ª ª®©-­¨¡³¤¼

¯®³·¨²¥«¼­»© ¢»¢®¤, ½²® ¤®«¦­® ¯®«³· ²¼±¿

¯®¬¨¬® ¢®«¨  ¢²®° , ¢ ±¨«³ ± ¬¨µ

¨§®¡° ¦�¥­­»µ ´ ª²®¢.

�¨ ¤¥ �®¯ ±± ­

123. � ª®°®¡ª¥ «¥¦ ² 10 ª° ±­»µ ¨ 10 ±¨­¨µ ¢®§¤³¸­»µ ¸ °¨ª®¢.�°®¤ ¢¥¶, ­¥ £«¿¤¿, ¤®±² �¥² ¯® ®¤­®¬³ ¸ °¨ª³. �ª®«¼ª® ¸ °¨-ª®¢ ­ ¤® ¢»² ¹¨²¼, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»­³²»µ ¨§ ª®°®¡ª¨ ¸ °¨ª®¢®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ¸«¨±¼ ¤¢  ¸ °¨ª  ®¤­®£® ¶¢¥² ?

124. �ª®«¼ª® ª ° ­¤ ¸¥© ­ ¤® ¢§¿²¼ ¢ ²¥¬­®²¥ ¨§ ª®°®¡ª¨ ± 7 ª° ±-­»¬¨ ¨ 5 ±¨­¨¬¨ ª ° ­¤ ¸ ¬¨, ·²®¡» ¡»«® ¢§¿²® ­¥ ¬¥­¼¸¥¤¢³µ ª° ±­»µ ¨ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ²°�¥µ ±¨­¨µ?

125. � ¯ ª¥²¥ ¯¥°¥¬¥¸ «¨ ª®­´¥²» ²°�¥µ ±®°²®¢, ­¥° §«¨·¨¬»µ ­ ®¹³¯¼. � ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® ª®­´¥² ­ ¤® ¢§¿²¼ ­ ³£ ¤ ¨§¯ ª¥² , ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢§¿²»µ ª®­´¥² ®¡¿§ ²¥«¼­® ¡»«¨ µ®²¿ ¡» ) ¤¢¥; ¡) ²°¨ ®¤­®£® ±®°² ?

126. �ª®«¼ª® ª ° ­¤ ¸¥© ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¢ ²¥¬­®²¥ ¨§ ª®°®¡ª¨, ¢ ª®-²®°®© 10 ª° ±­»µ, 8 ±¨­¨µ, 8 §¥«�¥­»µ ¨ 4 ¦�¥«²»µ ª ° ­¤ ¸¥©,·²®¡» ¢ ª®°®¡ª¥ § ¢¥¤®¬® ®±² «®±¼ ) ­¥ ¬¥­¼¸¥ 6 ±¨­¨µ ª ° ­¤ ¸¥©?¡) µ®²¿ ¡» ¯® ®¤­®¬³ ª ° ­¤ ¸³ ª ¦¤®£® ¶¢¥² ?¢) ­¥ ¡®«¼¸¥ 6 ±¨­¨µ ª ° ­¤ ¸¥©?

127. � ¿¹¨ª¥ 28 ª° ±­»µ, 20 §¥«�¥­»µ, 12 ¦�¥«²»µ, 20 ±¨­¨µ, 10 ¡¥-«»µ ¨ 10 ·�¥°­»µ ¸ °¨ª®¢. �ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ­ ¤® ¢»² ¹¨²¼,­¥ § £«¿¤»¢ ¿ ¢ ¿¹¨ª, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»² ¹¥­­»µ ¸ °¨ª®¢ ®¡¿-§ ²¥«¼­® ®ª § «®±¼ ­¥ ¬¥­¥¥ 15 ¸ °¨ª®¢ ®¤­®£® ¶¢¥² ?

� ¢®¤ ¿¹¨© ¢®¯ ° ® ±. �ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ¬®¦¥² ¢»¡°®±¨²¼ ¨§¿¹¨ª  § ¡° ¢¸¨©±¿ ¢ ­¥£® ­¥¤®¡°®¦¥« ²¥«¼, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»¡°®¸¥­-­»µ ­¥ ¡»«® 15 ®¤­®¶¢¥²­»µ ¸ °¨ª®¢?

128. � ²�¥¬­®© ª« ¤®¢®© ¢ ¡¥±¯®°¿¤ª¥ «¥¦ ² ¡®²¨­ª¨: 10 ¯ ° ·�¥°-­»µ ¨ 10 ¯ ° ª®°¨·­¥¢»µ. �ª®«¼ª® ¡®²¨­®ª ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡»

26

±°¥¤¨ ­¨µ ®ª § « ±¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ¯ °  («¥¢»© ¨ ¯° ¢»© ¡®-²¨­®ª) ®¤­®£® ¶¢¥² ? (� ²¥¬­®²¥ ­¥«¼§¿ ®²«¨·¨²¼ ­¥ ²®«¼ª®¶¢¥² ¡®²¨­ª , ­® ¨ «¥¢»© ®² ¯° ¢®£®.)

�ª  §   ­ ¨ ¥. �±«¨ ¢®§¼¬�¥¬ 20 ¡®²¨­®ª, ²® ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿, ·²®¢±¥ ®­¨ ­  «¥¢³¾ ­®£³: 10 «¥¢»µ ª®°¨·­¥¢»µ ¨ 10 «¥¢»µ ·�¥°­»µ.�­ ·¨², ­ ¤® ¢§¿²¼ 21 ¡®²¨­®ª. �±² «®±¼ ¯®­¿²¼, ¯®·¥¬³ ¯°¨ «¾¡®¬±¯®±®¡¥ ¢»¡®°  21 ¡®²¨­ª  ¨§ 40 ¨¬¥¾¹¨µ±¿ ­ ©¤�¥²±¿ µ®²¿ ¡» ®¤­ ¯ ° . �²® ª ¦¥²±¿ ®·¥¢¨¤­»¬. �® ª ª ³¡¥¤¨²¥«¼­® ¨ ­¥¬­®£®±«®¢­®®¡®±­®¢ ²¼ ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥?

129. � £®±²¨ ¯°¨¸«® 6 ·¥«®¢¥ª ¢ £ «®¸ µ ° §­®£® ° §¬¥° . � ±-µ®¤¨«¨±¼ ¯® ®¤­®¬³, ¨ ­¥ª®²®°»¥ ­ ¤¥¢ «¨ £ «®¸¨ ¡®«¼¸¥£®° §¬¥° . �ª®«¼ª® ¬®£«® ®±² ²¼±¿ £®±²¥©, ­¥ ±³¬¥¢¸¨µ ­ ¤¥²¼£ «®¸¨? � ¥±«¨ £®±²¥© ­¥ 6,   17?

130. �¨­­¨-�³µ, �¿² ·®ª, �°®«¨ª ¨ ®±«¨ª � -�  ±º¥«¨ 70 ¡ ­ ­®¢,¯°¨·�¥¬ ª ¦¤®¬³ ±ª®«¼ª®-²® ¤®±² «®±¼. �¨­­¨-�³µ ±º¥« ¡®«¼-¸¥ ª ¦¤®£® ¨§ ®±² «¼­»µ,   �°®«¨ª ¨ �¿² ·®ª ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨45 ¡ ­ ­®¢. �ª®«¼ª® ¡ ­ ­®¢ ¤®±² «®±¼ ®±«¨ª³?

� ¦¥ ¥±«¨ ®¡º¿±­¥­¨¥ ­ ±²®«¼ª® ¿±­®, ·²®

¨±ª«¾· ¥² ¢±¿ª®¥ «®¦­®¥ ²®«ª®¢ ­¨¥,

¢±�¥ ° ¢­® ­ ©¤�¥²±¿ ·¥«®¢¥ª,

ª®²®°»© ¢±�¥ ¯¥°¥¯³² ¥².

131.� � ¯®£°¥¡¥ 8 ¡ ­®ª ª«³¡­¨·­®£® ¢ °¥­¼¿, 7 ¬ «¨­®¢®£® ¨ 5 ¢¨¸-­�¥¢®£®. �ª®«¼ª® ¡ ­®ª ¬®¦­® ¢ ²¥¬­®²¥ ¢»­¥±²¨ ¨§ ¯®£°¥¡  ±³¢¥°¥­­®±²¼¾, ·²® ² ¬ ®±² ­³²±¿ ¥¹�¥ µ®²¿ ¡» 4 ¡ ­ª¨ ®¤­®£®±®°²  ¢ °¥­¼¿ ¨ 3 ¡ ­ª¨ ¤°³£®£®?

132. � ª®¥ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ·¨±«® ´¨¸¥ª ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» ¯°¨ «¾-¡®© ¨µ ° ±±² ­®¢ª¥ ­  ª«¥²ª µ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ®¡¿§ ²¥«¼­®¢±²°¥²¨«¨±¼ ¡» 4 ´¨¸ª¨, ±²®¿¹¨¥ ¤°³£ §  ¤°³£®¬ ¯® £®°¨§®­-² «¨?

133. � ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¬®¦­® ®²¬¥²¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®©¤®±ª¥, ·²®¡» ±°¥¤¨ ®²¬¥·¥­­»µ ª«¥²®ª ­¥ ¡»«® ±®±¥¤­¨µ (­¨¯® ±²®°®­¥, ­¨ ¯® ¢¥°¸¨­¥) ¨ ·²®¡» ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ª ½²¨¬ ª«¥²ª ¬«¾¡®© ¤°³£®© ª«¥²ª¨ ­ °³¸ «® ¡» ½²® ³±«®¢¨¥?

27

�®­ª¨

�®° ¡«¼ ­  ¬¥«¨ | ¬®°¿ª³ ¬ ¿ª.

(�®«« ­¤±ª ¿ ¯®±«®¢¨¶ )

134. � ¸¨­  ¥¤¥² ±® ±ª®°®±²¼¾ 60 ª¬/·. �  ±ª®«¼ª® ±«¥¤³¥² ³¢¥«¨-·¨²¼ ±ª®°®±²¼, ·²®¡» ¢»¨£° ²¼ ­  ª ¦¤®¬ ª¨«®¬¥²°¥ ¯® ®¤­®©¬¨­³²¥?

135. �¥¦¤³ «¨±®© ¨ § ©¶¥¬ 10 ¬. �®£¤  «¨±  ¯®©¬ ¥² § ©¶ , ¥±«¨®­  ¡¥¦¨² ±® ±ª®°®±²¼¾ 8 ¬/±,   ®­ | ±® ±ª®°®±²¼¾ 7 ¬/±?

136. �®±« ­ ·¥«®¢¥ª ¨§ �®±ª¢» ¢ �®«®£¤³, ¨ ¯°®µ®¤¨² ®­ ª ¦¤»©¤¥­¼ 40 ¢�¥°±². �  ±«¥¤³¾¹¨© ¤¥­¼ ¢±«¥¤ ¯®±« ­ ¤°³£®© ·¥«®¢¥ª,¯°®µ®¤¿¹¨© 45 ¢�¥°±² ¢ ¤¥­¼. �®£¤  ¢²®°®© ¤®£®­¨² ¯¥°¢®£®?

137. � ¤­¥¢­¨ª¥ ³ �®¢®·ª¨ ³¦¥ § ¯¨± ­® 200 § ¬¥· ­¨©,   ³ � -¸¥­¼ª¨ | 112. �¥°¥§ ±ª®«¼ª® ­¥¤¥«¼ ®­¨ ±° ¢­¿¾²±¿, ¥±«¨� ¸¥­¼ª  ¯®«³· ¥² ­  22 § ¬¥· ­¨¿ ¢ ­¥¤¥«¾ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ �®-¢®·ª ?

138. � ¨¤³ ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» 30 ¬¨­³²,   ¬®© ¡° ² | 40 ¬¨­³².�¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ¿ ¤®£®­¾ ¡° ² , ¥±«¨ ®­ ¢»¸¥« ¨§ ¤®¬ ­  5 ¬¨­³² ° ­¼¸¥ ¬¥­¿?

139. � ±± ¦¨°, ¯°®¥§¦ ¿ ¢ ²° ¬¢ ¥, § ¬¥²¨« §­ ª®¬®£®, ª®²®°»©¸�¥« ¢¤®«¼ «¨­¨¨ ²° ¬¢ ¿ ¢ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­³¾ ±²®°®­³. �¥°¥§10 ±¥ª³­¤ ¯ ±± ¦¨° ¢»¸¥« ¨§ ²° ¬¢ ¿ ¨ ¯®¸�¥« ¤®£®­¿²¼ ±¢®-¥£® §­ ª®¬®£®. �¥°¥§ ±ª®«¼ª® ±¥ª³­¤ ®­ ¤®£®­¨² §­ ª®¬®£®,¤¢¨£ ¿±¼ ¢ ¤¢  ° §  ¡»±²°¥¥ §­ ª®¬®£® ¨ ¢ ¯¿²¼ ° § ¬¥¤«¥­­¥¥²° ¬¢ ¿?

140. �°³§®¢¨ª ¯°®¥§¦ ¥² ­¥ª®²®°®¥ ° ±±²®¿­¨¥ §  10 · ±®¢. �±«¨¡» ®­ ¯°®¥§¦ « ¢ · ± ­  10 ª¬ ¡®«¼¸¥, ²® ²®² ¦¥ ¯³²¼ § ­¿«¡» 8 · ±®¢. � ª®¢  ±ª®°®±²¼ £°³§®¢¨ª ?

141. �¢   ¢²®¬®¡¨«¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¥µ «¨ ¨§ ¯³­ª²®¢ � ¨ � ­ -¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³. �¥°¥§ 7 · ±®¢ ¥§¤» ®­¨ ­ µ®¤¨«¨±¼ ­  ° ±-±²®¿­¨¨ 136 ª¬ ®¤¨­ ®² ¤°³£®£®. � ©¤¨²¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³� ¨ � , ¥±«¨ ¢±�¥ ° ±±²®¿­¨¥ ®¤¨­  ¢²®¬®¡¨«¼ ¬®¦¥² ¯°®¥µ ²¼§  10 · ±®¢,   ¤°³£®© | §  12.

28

142. �  5 · ±®¢ ¬®²®¶¨ª«¨±² ¯°®¥§¦ ¥² ­  259 ª¬ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢¥-«®±¨¯¥¤¨±² §  4 · ± . �  10 · ±®¢ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¯°®¥§¦ ¥² ­ 56ª¬ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬®²®¶¨ª«¨±² §  2 · ± . �¯°¥¤¥«¨²¥ ±ª®°®±²¼¢¥«®±¨¯¥¤¨±² .

143. �§ £®°®¤®¢ A ¨ B ­ ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³ ¢»¥µ «¨ ¤¢   ¢²®-¬®¡¨«¿ ¨ ¢±²°¥²¨«¨±¼ ·¥°¥§ 8 · ±®¢. �±«¨ ¡» ±ª®°®±²¼  ¢²®-¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ A , ¡»«  ¡®«¼¸¥ ­  14%,   ±ª®°®±²¼ ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ B , ¡»«  ¡®«¼¸¥ ­  15%, ²® ¢±²°¥-·  ¯°®¨§®¸«  ¡» ·¥°¥§ 7 · ±®¢. �ª®°®±²¼ ª ª®£®  ¢²®¬®¡¨«¿¡®«¼¸¥ ¨ ¢® ±ª®«¼ª® ° §?

144. �°®©¤¿ 3=8 ¤«¨­» ¬®±² , ®±«¨ª � -�  § ¬¥²¨«  ¢²®¬®¡¨«¼,¯°¨¡«¨¦ ¾¹¨©±¿ ±® ±ª®°®±²¼¾ 60 ª¬/·. �±«¨ ®±«¨ª ¯®¡¥¦¨²­ § ¤, ²® ¢±²°¥²¨²±¿ ±  ¢²®¬®¡¨«¥¬ ¢ ­ · «¥ ¬®±² ; ¥±«¨ ¢¯¥-°�¥¤,  ¢²®¬®¡¨«¼ ­ £®­¨² ¥£® ¢ ª®­¶¥ ¬®±² . � ª ª®© ±ª®°®±²¼¾¡¥£ ¥² � -� ?

145. �®°®£  ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» § ­¨¬ ¥² ³ �®¢» 20 ¬¨­³². �¤­ ¦-¤» ®­ ¯® ¤®°®£¥ ¢ ¸ª®«³ ¢±¯®¬­¨«, ·²® § ¡»« ¤®¬  °³·ª³. �®¢ §­ «, ·²® ¥±«¨ ®­ ¯°®¤®«¦¨² ¯³²¼ ¢ ¸ª®«³ ± ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¼¾,²® ¯°¨¤�¥² ²³¤  §  8 ¬¨­³² ¤® §¢®­ª ,   ¥±«¨ ¢¥°­�¥²±¿ ¤®¬®©§  °³·ª®©, ²®, ¤¢¨£ ¿±¼ ± ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¼¾, ®¯®§¤ ¥² ª ­ · «³³°®ª  ­  10 ¬¨­³². � ª³¾ · ±²¼ ¯³²¨ ®­ ¯°®¸�¥«?

146. �®¥§¤ ¯°®µ®¤¨²�) ¬®±² ¤«¨­®© 450 ¬¥²°®¢ §  ¬¨­³²³ ¨ ¯®«¬¨-­³²» ¨¤�¥² ¬¨¬® ²¥«¥£° ´­®£® ±²®«¡ . � ©¤¨²¥ ¤«¨­³ ¨ ±ª®-°®±²¼ ¯®¥§¤ .

147. �¥«ª  §  20 ¬¨­³² ¯°¨­®±¨² ®°¥µ ¢ £­¥§¤®. �ª®«¼ ¤ «¥ª® ° ±-¯®«®¦¥­ ®°¥¸­¨ª ®² £­¥§¤ , ¥±«¨ ­ «¥£ª¥ ¡¥«ª  ¡¥¦¨² ±® ±ª®-°®±²¼¾ 5¬/±,   ± ®°¥µ®¬ | 3¬/±?

148. �  ¤®°®£¥, ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ¤¢   ³« , ­¥² °®¢­»µ ³· ±²ª®¢. �¢-²®¡³± ¥¤¥² ¢ £®°³ ±® ±ª®°®±²¼¾ 15 ª¬/·,   ¯®¤ £®°³ | 30 ª¬/·.�³²¼ ²³¤  ¨ ®¡° ²­®  ¢²®¡³± ¯°®¥§¦ ¥² §  4 · ±  ¡¥§ ®±² ­®-¢®ª. � ©¤¨²¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³  ³« ¬¨.

�)�·¨² ¿ ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼ ­  ¬®±², ¤® ¬®¬¥­² ,ª®£¤  ®­ ¶¥«¨ª®¬ ±º¥µ « ± ­¥£®.

29

��¥²­®±²¼

� ¤¥« ¾ ¨§ ¬³µ¨ ±«®­ , ­® ¬³µ 

¤®«¦­  ¡»²¼ ­ ±²®¿¹¥©.

� §¨«¼ �±ª ­¤¥°

149. �°¥¤±² ¢¼²¥ ª ¦¤®¥ ¨§ ·¨±¥« 1101 ¨ �1101 ¢ ¢¨¤¥  ) 2n + 1;¡) 2n� 1 ; ¢) 2n+ 333 .

150. �°®¨§¢¥¤¥­¨¥ «¾¡»µ ¤¢³µ ­¥·�¥²­»µ ·¨±¥« ­¥·�¥²­®,   ±³¬¬ ¤¢³µ ­¥·�¥²­»µ ·¨±¥« | ·�¥²­ . �®ª ¦¨²¥ ½²®.

151. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ±³¬¬  ¤¢³µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­¥·�¥²­ , ²® ¯°®-¨§¢¥¤¥­¨¥ ½²¨µ ·¨±¥« ·�¥²­®.

152. � §­®±²¼ ¤¢³µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ³¬­®¦¨«¨ ­  ¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥. �®£-«¨ «¨ ¯®«³·¨²¼ ·¨±«® 110 618 110 145 210 181 543?

153. �¢ ¤¶ ²¼ «¥² ²®¬³ ­ § ¤ ¢ µ®¤³ ¡»«¨ ª³¯¾°» ¤®±²®¨­±²¢®¬ 1,3, 5, 10 ¨ 25 °³¡«¥©. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ 25 °³¡«¥© ° §¬¥­¿«¨¤¥±¿²¼¾ ² ª¨¬¨ ª³¯¾° ¬¨, ²® µ®²¿ ¡» ®¤­  ¨§ ½²¨µ ¤¥±¿²¨ª³¯¾° | ¤¥±¿²ª .

154. ��¥²®¢  ¯¨¸¥² ­  ¤®±ª³ ®¤­® ¶¥«®¥ ·¨±«®,   �¥·�¥²®¢ | ¤°³£®¥.�±«¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ·�¥²­®, ¯®¡¥¤¨²¥«¥¬ ®¡º¿¢«¿¾² ��¥²®¢³, ¥±«¨­¥·�¥²­®, ²® �¥·�¥²®¢ . �®¦¥² «¨ ª²®-²® ¨§ ­¨µ ¨£° ²¼ ² ª,·²®¡» ­¥¯°¥¬¥­­® ¢»¨£° ²¼?

155. �® ª°³£³ § ¶¥¯«¥­» 9 ¸¥±²¥°�¥­®ª: ¯¥°¢ ¿ ±® ¢²®°®©, ¢²®° ¿ ±²°¥²¼¥©, : : : , ¤¥¢¿² ¿ ± ¯¥°¢®©. �®£³² «¨ ®­¨ ¢° ¹ ²¼±¿?

156. �  °¨±³­ª¥ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥±¥ª -¥² ¢±¥ ±²®°®­» ¸¥±²¨³£®«¼­¨-ª . �®¦¥² «¨ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥±¥-ª ²¼ ¢±¥ ±²®°®­» 11-³£®«¼­¨ª ,­¥ ¯°®µ®¤¿ ­¨ ·¥°¥§ ®¤­³ ¥£®¢¥°¸¨­³?

157. 100 ´¨¸¥ª ¯®±² ¢«¥­» ¢ °¿¤.� §°¥¸¥­® ¬¥­¿²¼ ¬¥±² ¬¨ «¾¡»¥ ¤¢¥ ´¨¸ª¨, ±²®¿¹¨¥ ·¥°¥§®¤­³. �®¦­® «¨ ¯®±² ¢¨²¼ ´¨¸ª¨ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥?

30

158. � °®²¥ 100 ·¥«®¢¥ª. � ¦¤³¾ ­®·¼ ¤¥¦³°¿² ²°®¥. �®¦­® «¨² ª ®°£ ­¨§®¢ ²¼ ¤¥¦³°±²¢®, ·²®¡» ·¥°¥§ ­¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ª ¦¤»© ¥¤¨­®¦¤» ¯®¤¥¦³°¨« ± ª ¦¤»¬?

159. �¨ª®« © ± ±»­®¬ ¨ ��¥²° ± ±»­®¬ ¡»«¨ ­  °»¡ «ª¥. �¨ª®« ©¯®©¬ « ±²®«¼ª® ¦¥ °»¡, ±ª®«¼ª® ¥£® ±»­,   ��¥²° | ¢²°®¥ ¡®«¼-¸¥, ·¥¬ ¥£® ±»­. �±¥£® ¯®©¬ «¨ 25 °»¡. �ª®«¼ª® °»¡ ¯®©¬ «�¨ª®« ©?

160. � °¿¤ ¢»¯¨± ­» ·¨±«  ®² 1 ¤® 10. �®¦­® «¨ ° ±±² ¢¨²¼ ¬¥¦-¤³ ­¨¬¨ §­ ª¨ À+Á ¨ À� Á ² ª, ·²®¡» §­ ·¥­¨¥ ¯®«³·¥­­®£®¢»° ¦¥­¨¿ ¡»«® ° ¢­® ­³«¾?

161. �®¦­® «¨ ±²¥°¥²¼ ®¤­® ¨§ ¤ ­­»µ  ) 1992; ¡) 1993 ¶¥«»µ ·¨±¥«² ª, ·²®¡» ±³¬¬  ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¨±¥« ¡»«  ·�¥²­ ?

162. �®¦­® «¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  1, 2, : : : , 21 ° §¡¨²¼ ­  ­¥±ª®«¼ª®£°³¯¯, ¢ ª ¦¤®© ¨§ ª®²®°»µ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ° ¢­® ±³¬¬¥¢±¥µ ®±² «¼­»µ ·¨±¥« ½²®© £°³¯¯»?

163. � ­» ¸¥±²¼ ·¨±¥«: 1, 2, 3, 4, 5, 6. � §°¥¸¥­® ª «¾¡»¬ ¤¢³¬·¨±« ¬ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ¯® ¥¤¨­¨¶¥. �®¦­® «¨ ±¤¥« ²¼ ¢±¥ ·¨±« ° ¢­»¬¨?

164. �  99 ª °²®·ª µ ¯¨¸³² ·¨±«  1, 2, : : : , 99, ¯¥°¥¬¥¸¨¢ ¾² ¨µ,° ±ª« ¤»¢ ¾² ·¨±²»¬¨ ±²®°®­ ¬¨ ¢¢¥°µ ¨ ±­®¢  ¯¨¸³² ·¨±« 1, 2, : : : , 99. �«¿ ª ¦¤®© ª °²®·ª¨ ±ª« ¤»¢ ¾² ¤¢  ¥�¥ ·¨±«  ¨99 ¯®«³·¥­­»µ ±³¬¬ ¯¥°¥¬­®¦ ¾². �®ª ¦¨²¥, ·²® °¥§³«¼² ²·�¥²¥­.

165. �  ª³¡¥ ®²¬¥·¥­» ¢¥°¸¨­» ¨ ¶¥­²°» £° ­¥©,   ² ª¦¥ ¯°®¢¥¤¥-­» ¤¨ £®­ «¨ ¢±¥µ £° ­¥©. �®¦­® «¨ ¯® ®²°¥§ª ¬ ¤¨ £®­ «¥©®¡®©²¨ ¢±¥ ®²¬¥·¥­­»¥ ²®·ª¨, ¯®¡»¢ ¢ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ °®¢­®¯® ®¤­®¬³ ° §³?

166. �  ­¥ª®²®°®¬ ¯®«¥ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ±²®¨² ª®°®«¼. �¢®¥ ¯®®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¤¢¨£ ¾² ¥£® ¯® ¤®±ª¥. � ¯°¥¹¥­® ¢®§¢° ¹ ²¼ ª®-°®«¿ ­  ¯®«¥, £¤¥ ®­ ²®«¼ª® ·²® ¡»«. �»¨£°»¢ ¥² ²®² ¨£°®ª,ª²® ¯®±² ¢¨² ª®°®«¿ ­  ¯®«¥, £¤¥ ª®°®«¼ ª®£¤ -²® ³¦¥ ¯®¡»-¢ «. �²® ¨§ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ¯®¡¥¤³ ¯°¨ «¾¡®©¨£°¥ ¯°®²¨¢­¨ª ?

31

�®£¨ª 

� ·²® ³ ¬³µ ¢±¥£¤  ¢¨¤ ¯ ±¬³°­»© ¡»¢ ¥²,

� · ±²® £®«®¢  ­®£®¾ ¯®¤¯¥°² ,

� ¡°®¢¼ ­ ±³¯«¥­ , ²®¬³ ¯°¨·¨­  ² ,

�²® ¬³µ¨ ¬­®£® ° §³¬¥¾²

� ¢ £«³¡¨­³ ¢¥¹¥© ±² ° ¾²±¿ ¢µ®¤¨²¼,

� ­¥ ®¤­¨ ¢¥°¸ª¨ ³·�¥­®±²¨ ±µ¢ ²¨²¼.

�¢ ­ �¥¬­¨¶¥°

167. �±²°¥²¨«¨±¼ ²°¨ ¤°³£ : �¥«®¢, �¥°­®¢ ¨ �»¦®¢. \�®«®±» ®¤-­®£® ¨§ ­ ± ¡¥«»¥, ¤°³£®£® | ·�¥°­»¥, ²°¥²¼¥£® | °»¦¨¥, ­®­¨ ³ ª®£® ¶¢¥² ¢®«®± ­¥ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´ ¬¨«¨¨", | § ¬¥²¨«·¥°­®¢®«®±»©. \�» ¯° ¢", | ¯®¤²¢¥°¤¨« �¥«®¢. � ª¨¥ ³ ª®£®¢®«®±»?

168. �  ±³²ª¨ ¤® ¤®¦¤¿ �¥²¨­ ª®² ¢±¥£¤  ·¨µ ¥². �¥£®¤­¿ ª®² ·¨µ-­³«. \� ¢²°  ¡³¤¥² ¤®¦¤¼",| ¯®¤³¬ « �¥²¿. �° ¢ «¨ ®­?

169. �¿¤®¬ ±¨¤¿² ¬ «¼·¨ª ¨ ¤¥¢®·ª .| � ¬ «¼·¨ª,| £®¢®°¨² ·¥°­®¢®«®±»© °¥¡�¥­®ª.| � ¤¥¢®·ª ,| £®¢®°¨² °»¦¨© °¥¡�¥­®ª.

�±«¨ µ®²¿ ¡» ª²®-²® ¨§ ­¨µ ¢°�¥², ª²® ¬ «¼·¨ª,   ª²® ¤¥¢®·ª ?

170. � ²¥²° ¤¨ ­ ¯¨± ­® 100 ³²¢¥°¦¤¥­¨©:

� ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ®¤­® «®¦­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.

� ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ¤¢  «®¦­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ±²® «®¦­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©.

� ª®¥ ¨§ ½²¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ¢¥°­®?

171.  ) � ª®°®¡ª¥ ª ° ­¤ ¸¨ ­¥ ¢±¥ ®¤­®© ¤«¨­» ¨ ­¥ ¢±¥ ®¤­®£®¶¢¥² . �®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±²¼ ¤¢  ª ° ­¤ ¸ , ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ¨ ¯®¶¢¥²³, ¨ ¯® ¤«¨­¥.¡) � ¬ £ §¨­ ¯°¨¢¥§«¨ ¯« ²¼¿ ²°�¥µ ¶¢¥²®¢ ¨ ²°�¥µ ´ ±®­®¢.�®¦­® «¨ ¢»¡° ²¼ ¤«¿ ¢¨²°¨­» 3 ¯« ²¼¿, ·²®¡» ¡»«¨ ¯°¥¤-±² ¢«¥­» ¢±¥ ¶¢¥²  ¨ ´ ±®­»?

32

172. | � �®¢» ¡®«¼¸¥ ²»±¿·¨ ª­¨£, | ±ª § « � ­¿.| �¥², ª­¨£ ³ ­¥£® ¬¥­¼¸¥ ²»±¿·¨,| ¢®§° §¨«  �­¿.| �¤­ -²® ª­¨£  ³ ­¥£® ­ ¢¥°­¿ª  ¥±²¼,| ±ª § «  � ­¿.�±«¨ ¨±²¨­­® ²®«¼ª® ®¤­® ¨§ ½²¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ±ª®«¼ª® ª­¨£³ �®¢»?

173. �¤¨­ ¨§ ¯®¯³£ ¥¢ A , B , C ¢±¥£¤  £®¢®°¨² ¯° ¢¤³, ¤°³£®©¢±¥£¤  ¢°�¥²,   ²°¥²¨© µ¨²°¥¶| ¨­®£¤  £®¢®°¨² ¯° ¢¤³, ¨­®£¤ ¢°�¥². �  ¢®¯°®± À�²® B?Á ®­¨ ®²¢¥²¨«¨:

A : | �¦¥¶.B : | � µ¨²°¥¶!C : | �¡±®«¾²­® ·¥±²­»© ¯®¯³£ ©.

�²® ¨§ ¯®¯³£ ¥¢ «¦¥¶,   ª²® µ¨²°¥¶?

174. �® ¶ °¿ ¤®¸«  ¢¥±²¼, ·²® ª²®-²® ¨§ ²°�¥µ ¡®£ ²»°¥© ³¡¨« �¬¥¿�®°»­»· . �°¨ª § « ¶ °¼ ¨¬ ¿¢¨²¼±¿ ª® ¤¢®°³. �®«¢¨«¨ ¡®-£ ²»°¨:

�«¼¿ �³°®¬¥¶: | �¬¥¿ ³¡¨« �®¡°»­¿ �¨ª¨²¨·.�®¡°»­¿ �¨ª¨²¨·: | �¬¥¿ ³¡¨« �«�¥¸  �®¯®¢¨·.�«�¥¸  �®¯®¢¨·: | � ³¡¨« §¬¥¿.

�§¢¥±²­®, ·²® ²®«¼ª® ®¤¨­ ¡®£ ²»°¼ ±ª § « ¯° ¢¤³,   ¤¢®¥ ±«³-ª ¢¨«¨. �²® ³¡¨« §¬¥¿?

175. � ª®­´¥°¥­¶¨¨ ³· ±²¢®¢ «® 100 ·¥«®¢¥ª | µ¨¬¨ª¨ ¨  «µ¨¬¨-ª¨. � ¦¤®¬³ ¡»« § ¤ ­ ¢®¯°®±: À�±«¨ ­¥ ±·¨² ²¼ � ±, ²® ª®£®¡®«¼¸¥ ±°¥¤¨ ®±² «¼­»µ ³· ±²­¨ª®¢ | µ¨¬¨ª®¢ ¨«¨  «µ¨¬¨-ª®¢?Á �®£¤  ®¯°®±¨«¨ 51 ³· ±²­¨ª , ¨ ¢±¥ ®²¢¥²¨«¨, ·²®  «µ¨-¬¨ª®¢ ¡®«¼¸¥, ®¯°®± ¯°¥°¢ «±¿. �«µ¨¬¨ª¨ ¢±¥£¤  «£³²,   µ¨¬¨-ª¨ ¢±¥£¤  £®¢®°¿² ¯° ¢¤³. �ª®«¼ª® µ¨¬¨ª®¢ ±°¥¤¨ ³· ±²­¨ª®¢?

176. �«�¥¸ , �®°¿, � ­¿ ¨ �°¨¸  ±®°¥¢­®¢ «¨±¼ ¢ ¡¥£¥. �  ¢®¯°®±,ª²® ª ª®¥ ¬¥±²® § ­¿«, ®­¨ ®²¢¥²¨«¨:

�«�¥¸ : | � ­¥ ¡»« ­¨ ¯¥°¢»¬, ­¨ ¯®±«¥¤­¨¬.�®°¿: | � ­¥ ¡»« ¯®±«¥¤­¨¬.� ­¿: | � ¡»« ¯¥°¢»¬.�°¨¸ : | � ¡»« ¯®±«¥¤­¨¬.

�§¢¥±²­®, ·²® ²°®¥ ±ª § «¨ ¯° ¢¤³,   ®¤¨­ ±®¢° «. �²® ¯®¡¥-¤¨« ¢ ±®°¥¢­®¢ ­¨¨? �²® ±ª § « ­¥¯° ¢¤³?

33

�®«¯³²¨ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥ |

¯®²° ²¨¬ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿

�® ¢°¥¬¿ ª ª®©-²® ®± ¤» ¯® £®°®¤³ ¸�¥« ° §­®±·¨ª

¢®¤» ¨ ª°¨· «: \�®¤ ! �®¤ ! �¢  ¢¥¤°  ¯® ¸¥±²¼ ±³!"

�°®«¥²¥¢¸ ¿ ¡®¬¡  ° §­¥±«  ­  ª³±ª¨ ®¤­® ¨§ ¢�¥¤¥°.

\�®¤ ! �®¤ ! �¢¥­ ¤¶ ²¼ ±³ ¢¥¤°®!",|

ª ª ­¨ ¢ ·�¥¬ ­¨ ¡»¢ «® § ²¿­³« ° §­®±·¨ª.

� ¬´®°

177. �¢®¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ®²¯° ¢¨«¨±¼ ¨§ A ¢ B . �¥°¢»© ¯®¥µ « ­ ¢¥«®±¨¯¥¤¥,   ¢²®°®© | ­   ¢²®¬®¡¨«¥ ±® ±ª®°®±²¼¾, ¢ ¯¿²¼ ° §¡®«¼¸¥© ±ª®°®±²¨ ¯¥°¢®£®. �  ¯®«¯³²¨  ¢²®¬®¡¨«¼ ±«®¬ «±¿,¨ ®±² ¢¸³¾±¿ · ±²¼ ¯³²¨  ¢²®¬®¡¨«¨±² ¯°®¸�¥« ¯¥¸ª®¬ ±® ±ª®-°®±²¼¾, ¢ ¤¢  ° §  ¬¥­¼¸¥© ±ª®°®±²¨ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² . �²® ¨§­¨µ ° ­¼¸¥ ¯°¨¡»« ¢ B ?

178. �³²¼ ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» �³° ²¨­® ¯°®¤¥« « ¯¥¸ª®¬. �¡° ²-­® ®­ ¤¢¨£ «±¿ ²®© ¦¥ ¤®°®£®©, ­® ¯¥°¢³¾ ¯®«®¢¨­³ ¯³²¨ ®­¯°®¥µ « ­  ±®¡ ª¥,   ¢²®°³¾ ¯®«®¢¨­³ ¯³²¨ | ­  ·¥°¥¯ µ¥. �§-¢¥±²­®, ·²® ±ª®°®±²¼ ±®¡ ª¨ ¢ ·¥²»°¥ ° §  ¡®«¼¸¥,   ±ª®°®±²¼·¥°¥¯ µ¨ | ¢ ¤¢  ° §  ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ±ª®°®±²¼, ± ª®²®°®© �³° -²¨­® ¸�¥« ¢ ¸ª®«³. �  ª ª®© ¯³²¼ | ¨§ ¤®¬  ¤® ¸ª®«» ¨«¨ ¨§¸ª®«» ¤® ¤®¬  | § ²° ²¨« �³° ²¨­® ¡®«¼¸¥ ¢°¥¬¥­¨?

179. �¥²¿ ®²¯° ¢¨«±¿ ¯¥¸ª®¬ ¨§ « £¥°¿ ¢ ° ©¶¥­²°. � 12 · ±®¢,ª®£¤  �¥²¿ ¡»« ¢ a ª¬ ®² « £¥°¿, ¥£® ­ £­ « ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¨¯®¤¢�¥§, ¢»± ¤¨¢ ¢ a ª¬ ®² ° ©¶¥­²° . �®±«¥ ½²®£® �¥²¿ ¯°®-¤®«¦¨« ¯³²¼ ¯¥¸ª®¬ ¨ ¯°¨¸�¥« ¢ ° ©¶¥­²° ¢ 14 · ±®¢. �ª®«¼ª®¢°¥¬¥­¨ ¯®²°¥¡³¥²±¿ �¥²¥ ­  ®¡° ²­»© ¯³²¼, ¥±«¨ ­  ¢¥«®±¨¯¥-¤¥ ¥£® ¢¥§«¨ ± ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥© ±ª®°®±²¼¾, ·¥¬ ®­ µ®¤¨² ¯¥¸ª®¬?

180.� �®²®¶¨ª«¨±² ¨ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¢»¥µ «¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨§ ¯³­ª-²  A ¢ ¯³­ª² B . �°®¥µ ¢ ²°¥²¼ ¯³²¨, ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ®±² ­®-¢¨«±¿ ¨ ¯®¥µ « ¤ «¼¸¥ «¨¸¼ ²®£¤ , ª®£¤  ¬®²®¶¨ª«¨±²³ ®±² -¢ « ±¼ ²°¥²¼ ¯³²¨ ¤® B . �®²®¶¨ª«¨±², ¤®¥µ ¢ ¤® B , ±° §³¯®¥µ « ®¡° ²­®. �²® ¯°¨¥¤¥² ° ­¼¸¥: ¬®²®¶¨ª«¨±² ¢ A ¨«¨¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¢ B ?

34

�³° ¶ª¨¥ ¢®¯°®±»

� ¯° ±­® ³¬­»© ®·¨ ¯³·¨²

­  ¦¨§­¼ ¤³° ¶ª³¾ ¬®¾,

¢¥¤¼ ²®, ·²® ³¬­»© ²®«¼ª® ³·¨²,

¿ ¬­®£® «¥² ¯°¥¯®¤ ¾.

�.�³¡¥°¬ ­

t t t181. �°¨ ±¯¨·ª¨ «¥¦ ² ­  ±²®«¥. �¤ «¨²¥ ±°¥¤­¾¾ ±¯¨·ª³¨§ ±¥°¥¤¨­», ­¥ ²°®£ ¿ ¥�¥.

182. �®¦­® «¨ ² ª ¡°®±¨²¼ ¬¿·, ·²®¡» ®­, ¯°®«¥²¥¢ ­¥-ª®²®°®¥ ° ±±²®¿­¨¥, ®±² ­®¢¨«±¿ ¨ ­ · « ¤¢¨£ ²¼±¿¢ ®¡° ²­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨?

183. �°¡³§ ° §°¥§ «¨ ­  4 · ±²¨ ¨ ±º¥«¨. �®£«® «¨ ¯®«³·¨²¼±¿5 ª®°®ª?

184. �ª®«¼ª® ª®­¶®¢ ³ 4 ¯ «®ª? � 5 ¯ «®ª? � 4 ± ¯®«®¢¨­®© ¯ «®ª?

185. �¨·¥£® ­¥ «®¬ ¿ ¨ ­¥ ° §°¥§ ¿, ±®§¤ ©²¥ ­  ±²®«¥  ) ²°¥³£®«¼-­¨ª ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ®¤­®© ±¯¨·ª¨; ¡) ª¢ ¤° ² ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¤¢³µ±¯¨·¥ª.

186. � «»¸ ±º¥¤ ¥² ®¤­® ¯¨°®¦­®¥ §  ®¤­³ ¬¨­³²³. �  ª ª®¥ ¢°¥¬¿®­ ±º¥±² 1000 ¯¨°®¦­»µ?

187. �±«¨ ¤¢¥­ ¤¶ ²¼ ·¥«®¢¥ª, ° ¡®² ¿ ¯® ¢®±¥¬¼ · ±®¢ ¢ ¤¥­¼, ¤®«¦-­» ¢»ª®¯ ²¼ ¿¬³ £«³¡¨­®© ¢ ¤¥±¿²¼ ± ¯®«®¢¨­®© ¬¨«¼, ±ª®«¼ª®¢°¥¬¥­¨ ¯°®©¤�¥² | ±·¨² ¿ ¨ ¢®±ª°¥±­»¥ ¤­¨! | ¯°¥¦¤¥ ·¥¬®­¨ ¯®«®¦ ² ±¢®¨ «®¯ ²»?

7 10 13

22 30

4 9

188. �¯¨¸¨²¥ ¢ ¯³±²»¥ ª«¥²ª¨ ² ¡«¨¶» ­¥¤®±² -¾¹¨¥ ·¨±« .

189. �°®¤®«¦¨²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ·¨±¥«: 1,11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223,114213, : : :

�®¿ ± ­ ¥ ­ ¨ ¥. � ²¥¬ ²¨ª ±ª ¦¥², ·²® ¬®¦­® ­ ¯¨± ²¼ «¾¡®¥·¨±«®. � , ½²® ² ª. �²°®£® £®¢®°¿, § ¤ ·  ±´®°¬³«¨°®¢ ­  ­¥²®·-­®. �® ¯®±² ° ©²¥±¼ ¢±�¥-² ª¨ °¥¸¨²¼ ¥�¥, ²® ¥±²¼ ­ ©¤¨²¥ ¯°®±²®¥

35

¯° ¢¨«®, ¯® ª®²®°®¬³ ®¡° §®¢ ­  ½²  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼. �±«¨ ­¥¯®«³·¨²±¿, ­¥ ° ±±²° ¨¢ ©²¥±¼ | ¢®§¬®¦­®, �» ±«¨¸ª®¬ ³¬­» ¨±¥°¼�¥§­» ¤«¿ ² ª¨µ ¸³²®·¥ª.

190. �®¢¡®© ¢®¸�¥« ¢ ¡ ° ¨ ¯®¯°®±¨« ¢®¤». �¬¥±²® ®²¢¥²  µ®§¿¨­¢»µ¢ ²¨« ª®«¼² ¨ ¢»±²°¥«¨« ¢ ¯®²®«®ª. �®¢¡®© ¯®¡« £®¤ °¨«¨ ¢»¸¥«. � ·�¥¬ ¤¥«®?

191. �­®¸  ¸�¥« ¯® ¤®°®£¥ ¨ § ¬¥²¨« ¢ «¿¢¸¨©±¿ ­  ®¡®·¨­¥ ¬®²®ªª®«¾·¥© ¯°®¢®«®ª¨. �­ ¯®¡¥¦ « ¤®¬®©, ¢§¿« ª³± ·ª¨, ¢¥°­³«±¿ª ¯°®¢®«®ª¥ ¨ ®¤­³ §  ¤°³£®© ®²ª³±¨« ¢±¥ ª®«¾·ª¨. � ²¥¬ ®­¡°®±¨« ¯°®¢®«®ª³ ¨ ª®«¾·ª¨ ² ¬, £¤¥ ±²®¿«, ¨ ¯°®¤®«¦¨« ±¢®©¯³²¼, ª ª ­¨ ¢ ·�¥¬ ­¨ ¡»¢ «®. � ·�¥¬ ¤¥«®?

�«¥¤³¾¹³¾ § ¤ ·³ ¢°¿¤ «¨ ¬®¦­® °¥¸¨²¼ ¯¥°¥¡®°  ¢ °¨- ­²®¢. �®¬­¨²¥«¼­  ¨ ¥�¥ ­ ³·­ ¿ ¶¥­­®±²¼. �¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¿ µ®-·³ ° ±±ª § ²¼ ®¡ ½²®¬ ª³°¼�¥§¥. �±²¼ ¢ ­�¥¬ ·²®-²® ±¨¬¯ ²¨·­®¥.

192. � ±±¬®²°¨¬ ·¥²»°�¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®, ­¥ ¢±¥ ¶¨´°» ª®²®°®£® ®¤¨-­ ª®¢». � ±±² ¢¨¬ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿ ¨ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¢®§-° ±² ­¨¿. (�°¨ ½²®¬ ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼±¿ À·¨±«®Á, ¯¥°¢ ¿ ¶¨´° ª®²®°®£® ° ¢­  ­³«¾. �¥ ¡³¤¥¬ ®¡° ¹ ²¼ ­  ½²® ¢­¨¬ ­¨¿.)�»·²¥¬ ¨§ ®¤­®£® ¤°³£®¥. �®«³·¨¬ ­®¢®¥ ·¨±«®, ª ­¥¬³ ¯°¨-¬¥­¨¬ ²³ ¦¥ ®¯¥° ¶¨¾, ¨ ² ª ¤ «¥¥. � ¯°¨¬¥°,

9971�17998172

!8721

�12787443

!7443

�34473996

!9963

�36996264

! : : :

¨«¨9972

�27997173

!7731

�13776354

!6543

�34563087

!8730

�03788352

! : : :

�®¢²®°¨¢ ½²³ ®¯¥° ¶¨¾ ¸¥±²¼ ° §, ¯®«³·¨¬ ª ª®¥-²® ·¨±«®.� ª®¥?

193. �¿¯³±¨ª¨, ³ ª®²®°»µ ¥±²¼ ¢ °ª « , ­¥ ¢±¥ ¡ °¬ £«®²». � «¿¯³-±¨ª®¢, ª®²®°»¥ ³¬¥¾² µ°¾ª®² ²¼ ¨ ¯°¨ ½²®¬ ­¥ ¡ °¬ £«®²»,¢ °ª « ­¥². �¥°­® «¨, ·²® ­¥ ¢±¥ «¿¯³±¨ª¨, ³ ª®²®°»µ ¥±²¼¢ °ª « , ³¬¥¾² µ°¾ª®² ²¼?

36

194. �°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿.

� �°¥¤¨ «¾¤¥©, ¨¬¥¾¹¨µ ²¥«¥¢¨§®°», ¥±²¼ ² ª¨¥, ª®²®°»¥­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¬ «¿° ¬¨.

� �¾¤¨, ª ¦¤»© ¤¥­¼ ª³¯ ¾¹¨¥±¿ ¢ ¡ ±±¥©­¥, ­® ­¥ ¿¢«¿-¾¹¨¥±¿ ¬ «¿° ¬¨, ­¥ ¨¬¥¾² ²¥«¥¢¨§®°®¢.

�¥°­® «¨, ·²® ­¥ ¢±¥ ¢« ¤¥«¼¶» ²¥«¥¢¨§®°®¢ ª ¦¤»© ¤¥­¼ ª³-¯ ¾²±¿ ¢ ¡ ±±¥©­¥?

195. � ²¾°¼¬³ ¯®¬¥±²¨«¨ 100 ³§­¨ª®¢. � ¤§¨° ²¥«¼ ±ª § « ¨¬: À�¤ ¬ ¢ ¬ ¢¥·¥° ¯®£®¢®°¨²¼ ¤°³£ ± ¤°³£®¬,   § ²¥¬ ° ±± ¦³ ¯®®²¤¥«¼­»¬ ª ¬¥° ¬, ¨ ®¡¹ ²¼±¿ ¢» ¡®«¼¸¥ ­¥ ±¬®¦¥²¥. �­®-£¤  ¿ ¡³¤³ ª®£®-­¨¡³¤¼ ¨§ ¢ ± ®²¢®¤¨²¼ ¢ ª®¬­ ²³, £¤¥ ¥±²¼« ¬¯ . �µ®¤¿ ¨§ ª®¬­ ²», ¢» ¬®¦¥²¥ ®±² ¢¨²¼ « ¬¯³ µ®²¨²¥¢ª«¾·�¥­­®©, µ®²¨²¥ | ¢»ª«¾·¥­­®©. �±«¨ ¢ ª ª®©-²® ¬®¬¥­²ª²®-²® ¨§ ¢ ± ±ª ¦¥² ¬­¥, ·²® ¢» ¢±¥ ³¦¥ ¯®¡»¢ «¨ ¢ ª®¬­ -²¥ ¨ ®ª ¦¥²±¿ ¯° ¢, ²® ¿ ¢±¥µ ¢»¯³¹³ ­  ±¢®¡®¤³. � ¥±«¨ ®­®¸¨¡�¥²±¿ | ±ª®°¬«¾ ª°®ª®¤¨« ¬. � ­¥ ¢®«­³©²¥±¼, ·²® ª®£®-²® § ¡³¤³: ¥±«¨ ¡³¤¥²¥ ¬®«· ²¼, ²® ¢» ¢±¥ ¯®¡»¢ ¥²¥ ¢ ª®¬­ -²¥, ¯°¨·�¥¬ ­¨ ¤«¿ ª®£® ­¨ª ª®¥ ¯®±¥¹¥­¨¥ ª®¬­ ²» ­¥ ±² ­¥²¯®±«¥¤­¨¬.Á �°¨¤³¬ ©²¥ ±²° ²¥£¨¾, £ ° ­²¨°³¾¹³¾ ³§­¨ª ¬®±¢®¡®¦¤¥­¨¥. (�ª«¾·¥­  ¨«¨ ¢»ª«¾·¥­  « ¬¯  ¨§­ · «¼­® |­¥¨§¢¥±²­®.)

196. �¥ ®²°»¢ ¿ ª ° ­¤ ¸ ®² ¡³¬ £¨, ¯°®¢¥¤¨²¥ ·¥°¥§ ¢±¥ ) ¢¥°¸¨­» ª¢ ¤° ²  ²°¨ ®²°¥§ª , ¢¥°­³¢¸¨±¼ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·-ª³;¡) ¤¥¢¿²¼ ²®·¥ª, ° ±¯®«®¦¥­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ² , ·¥²»°¥ ®²-°¥§ª  (¢®§¢° ¹ ²¼±¿ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·ª³ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®);¢) ¸¥±²­ ¤¶ ²¼ ²®·¥ª, ° ±¯®«®¦¥­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ² , ¸¥±²¼®²°¥§ª®¢, ¢¥°­³¢¸¨±¼ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·ª³.

 ) � �

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¡) � �

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� ¢) � �

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� � �

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� � � �

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�

37

�¥°¥«¨¢ ­¨¿

� ·³²¼ ­¥ ¯« ª «. �¥ ¡»«® ³¤ ·¨!

� ¤ ·  ­¥ °¥¸ « ±¼ | µ®²¼ ³¡¥©.

�±«®¢¼¥ ¡»«® ²°³¤­»¬ ³ § ¤ ·¨.

� ­®: À�¥²¥«  ±² ¿ «¥¡¥¤¥©Á.

�, ¹�¥ª³ £°³±²­® ¯®¤¯¥°¥¢ °³ª®¾,

�¥«¨«, ±« £ « | ­¥ ¸«¨ ¤¥«  ­  « ¤!

�®, «¨¸¼ £« §  ³±² «»¥ § ª°®¾,

� ¢¨¤¥« ¿±­®: ¢®² ®­¨ | «¥²¿² : : :�.�¨­®ª³°®¢

197. �¬¥¾²±¿ ¤¢  ¢¥¤°  | ®¤­® �¥¬ª®±²¼¾ 4 «, ¤°³£®¥ 9 «. �®¦­®«¨ ­ ¡° ²¼ ¨§ °¥ª¨ °®¢­® 6 «¨²°®¢ ¢®¤»?

198. �¬¥¾²±¿ ¤¢®¥ ¯¥±®·­»µ · ±®¢: ­  7 ¬¨­³² ¨ ­  11 ¬¨­³². � ¸ ¤®«¦­  ¢ °¨²¼±¿ 15 ¬¨­³². � ª ±¢ °¨²¼ ¥�¥, ¯¥°¥¢¥°­³¢ · ±»¬¨­¨¬ «¼­®¥ ª®«¨·¥±²¢® ° §?

199. �§ ¯®«­®£® ¢®±¼¬¨«¨²°®¢®£® ¢¥¤°  ®²«¥©²¥ 4 «¨²°  ± ¯®¬®¹¼¾¯³±²»µ ²°�¥µ«¨²°®¢®© ¡ ­ª¨ ¨ ¯¿²¨«¨²°®¢®£® ¡¨¤®­ . (�¨-ª ª¨µ ±®±³¤®¢, ª°®¬¥ ¤ ­­»µ ²°�¥µ, ­¥². �  §¥¬«¾ ­¨·¥£®¢»¯«�¥±ª¨¢ ²¼ ­¥«¼§¿, ² ª ·²® ¢ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ ¤®«¦­® ®ª § ²¼±¿4 «¨²°  ¢ ¢®±¼¬¨«¨²°®¢®¬ ±®±³¤¥ ¨ 4 | ¢ ¯¿²¨«¨²°®¢®¬.)

200. �²«¥©²¥ ¨§ ¶¨±²¥°­» 13 «¨²°®¢ ¬®«®ª , ¯®«¼§³¿±¼ ¡¨¤®­ ¬¨�¥¬ª®±²¼¾ 17 ¨ 5 «¨²°®¢.

201. �¢¥­ ¤¶ ²¨¢¥¤�¥°­ ¿ ¡®·ª  ­ ¯®«­¥­  ª¥°®±¨­®¬. � §«¥©²¥ ¥£®­  ¤¢¥ ° ¢­»¥ · ±²¨, ¯®«¼§³¿±¼ ¯³±²»¬¨ ¯¿²¨¢¥¤�¥°­®© ¨ ¢®±¼-¬¨¢¥¤�¥°­®© ¡®·ª ¬¨.

202. � ¡ ª¥ ­¥ ¬¥­¥¥ 10 «¨²°®¢ ¡¥­§¨­ . �®¦­® «¨ ®²«¨²¼ 6 «¨²°®¢± ¯®¬®¹¼¾ ¤¥¢¿²¨«¨²°®¢®£® ¢¥¤°  ¨ ¯¿²¨«¨²°®¢®£® ¡¨¤®­ ?

203. � ¡®·ª¥ ­¥ ¬¥­¥¥ 13 ¢�¥¤¥° ¡¥­§¨­ . �®¦­® «¨ ®²«¨²¼ 8 ¢�¥¤¥°± ¯®¬®¹¼¾ ¤¥¢¿²¨¢¥¤�¥°­®© ¨ ¯¿²¨¢¥¤�¥°­®© ¡®·¥ª?

204. �¬¥¿ ¤¢  ¯®«­»µ 10-«¨²°®¢»µ ¡¨¤®­  ¬®«®ª  ¨ ¯³±²»¥ 4- ¨5-«¨²°®¢»¥ ª ±²°¾«¨, ®²¬¥°¼²¥ ¯® 2 «¨²°  ¬®«®ª  ¢ ª ¦¤³¾ª ±²°¾«¾. (� ª ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¨µ § ¤ · µ, ¢»«¨¢ ²¼ ­  §¥¬«¾­¨·¥£® ­¥«¼§¿!)

38

�°®¶¥­²»�)

| � ª ½²® ¦¥ ¨§¢¥±²­ ¿ § ¤ · !

| � ª ª ®­  °¥¸ ¥²±¿?

| �  ­¥²! �±«®¢¨¥ ¨§¢¥±²­®¥,

  °¥¸¥­¨¿ ¿ ­¥ §­ ¾.

205. �·¥­¨ª ¯°®·¨² « 138 ±²° ­¨¶, ·²® ±®±² ¢«¿¥² 23% ·¨±«  ¢±¥µ±²° ­¨¶ ¢ ª­¨£¥. �ª®«¼ª® ±²° ­¨¶ ¢ ª­¨£¥?

206. � §«®¦¨²¥ 80 ²¥²° ¤¥© ­  ¤¢¥ ±²®¯ª¨ ² ª, ·²®¡» ·¨±«® ²¥²° -¤¥© ®¤­®© ¨§ ­¨µ ±®±² ¢¨«® 60% ·¨±«  ²¥²° ¤¥© ¤°³£®© ±²®¯ª¨.

207. �®£¤  ¨§ ¯¥°¢®£® ¡¨¤®­  ¯¥°¥«¨«¨ ¢® ¢²®°®© 12,5% ­ µ®¤¨¢-¸¥£®±¿ ¢ ¯¥°¢®¬ ¡¨¤®­¥ ¬®«®ª , ²® ¬®«®ª  ¢ ¡¨¤®­ µ ±² «® ¯®-°®¢­³, ¯® 35 «¨²°®¢. �ª®«¼ª® ¬®«®ª  ¡»«® ¢® ¢²®°®¬ ¡¨¤®­¥?

208. �­®¦¨¬®¥ ³¢¥«¨·¨«¨ ­  50%,   ¬­®¦¨²¥«¼ ³¬¥­¼¸¨«¨ ­  50%.� ª ¨§¬¥­¨«®±¼ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥?

209. �²® ¡®«¼¸¥: 15;43% ®² 5 ¨«¨ 5% ®² 15;43?

210. � ª ¨§¬¥­¨²±¿ ¶¥­  ²®¢ ° , ¥±«¨ ±­ · «  ¥�¥ ³¢¥«¨·¨²¼ ­  100%,  § ²¥¬ ³¬¥­¼¸¨²¼ ­  50%?

211. �¥­³ ª °²®´¥«¿ ¯®¢»±¨«¨ ­  20%. �¥°¥§ ­¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ ¥�¥¯®­¨§¨«¨ ­  20%. �®£¤  ª °²®´¥«¼ ±²®¨« ¤¥¸¥¢«¥: ¤® ¯®¢»-¸¥­¨¿ ¨«¨ ¯®±«¥ ±­¨¦¥­¨¿?

212. A , B ¨ C ±®±²¿§ «¨±¼ ¢ ¡¥£¥­  100 ¬. �®£¤  A ´¨­¨¸¨-°®¢ «, B ®²±² ¢ « ®² ­¥£® ­ 10 ¬. �®£¤  B ´¨­¨¸¨°®¢ «,C ®²±² ¢ « ­  10 ¬. �  ±ª®«¼-ª® ®²±² ¢ « C ®² A , ª®£¤  A§ ª®­·¨« ¡¥£?

212.0 � ®¤­®¬ ¬ £ §¨­¥ ¶¥-­» ³¬¥­¼¸¨«¨ ­  10%,   ¯®-²®¬ ¥¹�¥ ­  10% (®² ­®¢®-£® ³°®¢­¿). � ¢ ¤°³£®¬ ¶¥-­» ¯°®±²® ±° §³ ±­¨§¨«¨ ­ 20%. �²® ¢»£®¤­¥¥ ¤«¿ ¯®-ª³¯ ²¥«¿?

213. �  ¢¥±­³ �¡«®¬®¢ ±¡ ¢¨« ¢ ¢¥±¥ 25%, §  «¥²® ¯°¨¡ ¢¨« 20%, § ®±¥­¼ ¯®µ³¤¥« ­  10%,   §  §¨¬³ ¯°¨¡ ¢¨« 20%. �®µ³¤¥« ®­ ¨«¨¯®¯° ¢¨«±¿ §  £®¤?

�)�¥­² | ®¤­  ±®² ¿ · ±²¼ ³±«®¢­®© ¥¤¨­¨¶».

39

214. �¥­» ±­¨§¨«¨ ­  20%. �  ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ¡®«¼¸¥ ²®¢ ° ¬®¦­® ª³¯¨²¼ ­  ²³ ¦¥ § °¯« ²³?

215. �®¤  �¨µ®£® �ª¥ ­  ±®¤¥°¦¨² 3,5% ±®«¨ (¯® ¢¥±³). �ª®«¼ª®¯°¥±­®© ¢®¤» ­ ¤® ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª 40 ª£ ² ª®© ¢®¤», ·²®¡» ±®-¤¥°¦ ­¨¥ ±®«¨ ¢ ±¬¥±¨ ±®±² ¢¨«® 0,5%?

216. �§ 22 ª£ ±¢¥¦¨µ £°¨¡®¢ ¯®«³· ¥²±¿ 2,5 ª£ ±³µ¨µ £°¨¡®¢, ±®¤¥°-¦ ¹¨µ 12% ¢®¤». � ª®¢ ¯°®¶¥­² ¢®¤» ¢ ±¢¥¦¨µ £°¨¡ µ?

217. �«¨ª, �®°¿ ¨ � ±¿ ±®¡¨° «¨ £°¨¡». �®°¿ ±®¡° « £°¨¡®¢ ­  20%¡®«¼¸¥, ·¥¬ �«¨ª, ­® ­  20% ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ � ±¿. �  ±ª®«¼ª®¯°®¶¥­²®¢ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ �«¨ª, ±®¡° « £°¨¡®¢ � ±¿?

218. �°¥¤¯°¨¿²¨¥ ¯®«³·¨«® § ¤ ­¨¥ §  ¤¢  £®¤  ±­¨§¨²¼ ­  51%®¡º�¥¬ ¢»¯³±ª ¥¬®© ¯°®¤³ª¶¨¨. � ¦¤»© £®¤ ²°¥¡³¾² ±­¨¦ ²¼­  ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢. �  ±ª®«¼ª®?

219. � ±®±³¤¥ ¡»«® 20 «¨²°®¢ ±¯¨°² . � ±²¼ ¥£® ®²«¨«¨ ¨ ¤®«¨«¨±²®«¼ª® ¦¥ ¢®¤». � ²¥¬, ¯¥°¥¬¥¸ ¢, ®²«¨«¨ ² ª³¾ ¦¥ · ±²¼¨ ±®±³¤ ®¯¿²¼ ¤®«¨«¨ ¢®¤®©. � ±®±³¤¥ ±¯¨°²  ®ª § «®±¼ ¢²°®¥¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¢®¤». � ª³¾ · ±²¼ ®²«¨¢ «¨?

220. �¨±«® 51,2 ²°¨¦¤» ³¢¥«¨·¨¢ «¨ ­  ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­-²®¢,   § ²¥¬ ²°¨¦¤» ³¬¥­¼¸ «¨ ­  ²® ¦¥ ± ¬®¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­-²®¢. � °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨«®±¼ ·¨±«® 21,6. �  ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­-²®¢ ³¢¥«¨·¨¢ «¨,   § ²¥¬ ³¬¥­¼¸ «¨ ½²® ·¨±«®?

221. �. �. �®¬®­®±®¢ ²° ²¨« ®¤­³ ¤¥­¥¦ª³ ­  µ«¥¡ ¨ ª¢ ±. �®£¤ ¶¥­» ¢»°®±«¨ ­  20%, ­  ²³ ¦¥ ¤¥­¥¦ª³ ®­ ¯°¨®¡°¥² « ¯®«-µ«¥¡  ¨ ª¢ ±. �¢ ²¨² «¨ ²®© ¦¥ ¤¥­¥¦ª¨ µ®²¿ ¡» ­  ª¢ ±, ¥±«¨¶¥­» ¥¹�¥ ° § ¢»° ±²³² ­  20%?

222. �°®©¤¿ ¯®«®¢¨­³ ¯³²¨, ª ²¥° ³¢¥«¨·¨« ±ª®°®±²¼ ­  25% ¨ ¯®-½²®¬³ ¯°¨¡»« ­  ¯®«· ±  ° ­¼¸¥. �ª®«¼ª® ¢°¥¬¥­¨ ®­ ¤¢¨-£ «±¿?

223. � ±¥­²¿¡°¥ ¯°®¥§¤­®© ¡¨«¥² ­  ¬¥²°® ±²®¨« 800 °³¡«¥©. � ®ª-²¿¡°¥ ±²®¨¬®±²¼ ¡¨«¥²  ³¢¥«¨·¨«¨, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ·¨±«®¯°®¤ ­­»µ ¡¨«¥²®¢ ³¬¥­¼¸¨«®±¼ ­  25%,   ¢»°³·ª  ®² ¨µ ¯°®-¤ ¦¨ ³¬¥­¼¸¨« ±¼ ­  6,25%. �ª®«¼ª® ±² « ±²®¨²¼ ¯°®¥§¤­®©¡¨«¥² ¢ ®ª²¿¡°¥?

40

�­¨£  ±²®¨² °³¡«¼ : : :

�²®¡ °¥·¼ °®¤­³¾ ­¥ § ¡»²¼,

­  ­¥© ¯®·²¨ ­¥ £®¢®°¿,

¨­²¥°¥±³¾±¼ ¿ ª³¯¨²¼

±¥¡¥ ¡®«¼¸®£® ±«®¢ °¿.

�.�³¡¥°¬ ­

224. �­¨£  ±²®¨² 1 °³¡«¼ ¨ ¥¹�¥ ¯®«®¢¨­³ ±¢®¥© ±²®¨¬®±²¨. �ª®«¼ª®®­  ±²®¨²?

225. �  ®¤­³ · ¸ª³ ¢¥±®¢ ¯®«®¦¨«¨ ª°³£ ±»° ,   ­  ¤°³£³¾ |3=4 ² ª®£® ¦¥ ª°³£  ¨ ¥¹�¥ ª¨«®£° ¬¬®¢³¾ £¨°¾. �±² ­®¢¨-«®±¼ ° ¢­®¢¥±¨¥. �ª®«¼ª® ¢¥±¨² ª°³£ ±»° ?

226. �  ª­¨£³ § ¯« ²¨«¨ °³¡«¼, ¨ ®±² «®±¼ § ¯« ²¨²¼ ¥¹�¥ ±²®«¼-ª®, ±ª®«¼ª® ®±² «®±¼ ¡» § ¯« ²¨²¼, ¥±«¨ ¡» §  ­¥�¥ § ¯« ²¨«¨±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® ®±² «®±¼ § ¯« ²¨²¼. �ª®«¼ª® ±²®¨² ª­¨£ ?

227.� �±«¨ £®«®¢®«®¬ª , ° §£ ¤ ­­ ¿ ¯¥°¥¤ ²¥¬, ª ª ° §£ ¤ «¨ ½²³,¡»«  ²°³¤­¥¥, ·¥¬ £®«®¢®«®¬ª , ª®²®°³¾ ° §£ ¤ «¨ ¯®±«¥ ²®£®,ª ª ° §£ ¤ «¨ £®«®¢®«®¬ª³, ª®²®°³¾ ° §£ ¤ «¨ ¯¥°¥¤ ²¥¬, ª ª° §£ ¤ «¨ ½²³, ²® ¡»«  «¨ £®«®¢®«®¬ª , ª®²®°³¾ ° §£ ¤ «¨¯¥°¥¤ ²¥¬, ª ª ° §£ ¤ «¨ ½²³, ²°³¤­¥¥, ·¥¬ ½² ?

228. �·¨²¥«¼ § ¤ « ­  ³°®ª¥ ±«®¦­³¾ § ¤ ·³. � °¥§³«¼² ²¥ ·¨±-«® ¬ «¼·¨ª®¢, °¥¸¨¢¸¨µ ½²³ § ¤ ·³, ®ª § «®±¼ ° ¢­»¬ ·¨±«³¤¥¢®·¥ª, ¥�¥ ­¥ °¥¸¨¢¸¨µ. �®£® ¢ ª« ±±¥ ¡®«¼¸¥: ³·¥­¨ª®¢,°¥¸¨¢¸¨µ § ¤ ·³, ¨«¨ ¤¥¢®·¥ª?

229. �°¨¤³¬ ©²¥  ) ·¥²»°�¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®, ¤¥±¿²¨·­ ¿ § ¯¨±¼ ª®²®-°®£® ±®±²®¨² ¨§ ®¤¨­ ª®¢»µ ¶¨´°, ­® ¢ ¥£® °³±±ª®¬ ­ §¢ ­¨¨¢±¥ ±«®¢  ­ ·¨­ ¾²±¿ ± ° §­»µ ¡³ª¢; ¡) ²°�¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®, § -¯¨±¼�) ª®²®°®£® ±®±²®¨² ¨§ ° §«¨·­»µ ¶¨´°, ±«¥¤³¾¹¨µ ¢ ¯®-°¿¤ª¥ ¢®§° ±² ­¨¿,   ¢ ¥£® ­ §¢ ­¨¨y) ¢±¥ ²°¨ ±«®¢  ­ ·¨­ ¾²±¿± ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ ¡³ª¢».

�)�«¿ �°¨¤¨°». � ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿.y)�«¿ ­¥£® ¦¥. �§»ª, ° §³¬¥¥²±¿, °³±±ª¨©.

41

�®±±² ­®¢¨²¥ ¯³²¼ ª®­¿ : : :

�¨ª ¨±²¨­» ¢»±®ª ­¥¨¬®¢¥°­®;

�°¨¤�¥²±¿ ¯®ª°³¦¨²¼ ¯® ±ª«®­³, ·²®¡

�®±²¨·¼ ¢¥°¸¨­» | ­¥² ¤®°®£¨ ¢ «®¡!

�¯¥¸¨, ¤®ª®«¥ ¤¥­¼,   ²¼¬  ±£³±²¨²±¿ |

�®£¤  ³¦ ¡³¤¥² ¯®§¤­® ²®°®¯¨²¼±¿.

�¦®­ �®­­ (1572{1631)

230. �  °¨±³­ª¥ 6 ®²°¥§ª®¢ ° ±¯®«®¦¥­» ² ª, ·²®ª ¦¤»© ¯¥°¥±¥ª ¥² ²°¨ ¤°³£¨µ ®²°¥§ª . � ±-¯®«®¦¨²¥ 8 ®²°¥§ª®¢, ·²®¡» ª ¦¤»© ¯¥°¥±¥-ª « ²°¨ ¤°³£¨µ ®²°¥§ª .

231. �°�¥¬ µ¨°³°£ ¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¯°®®¯¥°¨°®¢ ²¼ ¢ ¯®«¥¢»µ ³±«®¢¨¿µ ¡®«¼­®-£®, ±²° ¤ ¾¹¥£® § ° §­»¬ § ¡®«¥¢ ­¨¥¬. � ¬¨ µ¨°³°£¨ ²®¦¥¡®«¼­», ¯°¨·�¥¬ ¢±¥ | ° §­»¬¨ ¡®«¥§­¿¬¨. � ° ±¯®°¿¦¥­¨¨µ¨°³°£®¢ ¥±²¼ «¨¸¼ ¤¢¥ ¯ °» ±²¥°¨«¼­»µ ¯¥°· ²®ª. �®¤±ª -¦¨²¥ ¯« ­ ®¯¥° ¶¨¨, ¯®±«¥ ª®²®°®© ­¨ µ¨°³°£¨, ­¨ ¡®«¼­®© ­¥§ ° §¿²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£ . (�®¬®£ ²¼ ¤°³£ ¤°³£³ ¢® ¢°¥¬¿ ®¯¥-° ¶¨© µ¨°³°£¨ ­¥ ¤®«¦­». �¯¥°¨°®¢ ²¼ ®¤­®© °³ª®© ­¥«¼§¿.)

8 35

15 13

30 19

23 16 1

2 25

17 11

232. �®±±² ­®¢¨²¥ ¯® ±®µ° ­¨¢¸¨¬-±¿ ­®¬¥° ¬ ¯³²¼ ª®­¿, ¯®¡»¢ ¢-¸¥£® ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ­  ¢±¥µª«¥²ª µ ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 6 � 6 .(�® ¥±²¼ ° ±±² ¢¼²¥ ·¨±«  ®² 1¤® 36 ² ª, ·²®¡» ®²«¨· ¾¹¨¥±¿­  1 ¡»«¨ ±¢¿§ ­» µ®¤®¬ ª®­¿.)

233. �®ª°®©²¥ ±¥¬¼¾ ±¨­¨¬¨ ª¢ ¤-° ²­»¬¨ ª®¢°¨ª ¬¨ ª° ±­»©ª¢ ¤° ²­»© ª®¢°¨ª ² ª®£® ¦¥° §¬¥°  ² ª, ·²®¡» ±¨­¨¥ ª®¢-°¨ª¨ ­¥ ­ «¥£ «¨ ¤°³£ ­  ¤°³£ ,­® ª ¦¤»© ±¨­¨© ¯®ª°»¢ « ª ª³¾-²® · ±²¼ ª° ±­®£®.

42

234. � ¬  ±¤ ¢ «  ¢ ¡ £ ¦ ¤¨¢ ­, ·¥¬®¤ ­, ± ª¢®¿¦, ª °²¨­³, ª®°-§¨­³, ª °²®­ª³ ¨ ¬ «¥­¼ª³¾ ±®¡ ·®­ª³. �¨¢ ­ ¢¥±¨« ±²®«¼ª®¦¥, ±ª®«¼ª® ·¥¬®¤ ­ ¨ ± ª¢®¿¦, ¢¬¥±²¥ ¢§¿²»¥, ¨ ±²®«¼ª® ¦¥,±ª®«¼ª® ª °²¨­ , ª®°§¨­  ¨ ª °²®­ª  ¢¬¥±²¥. � °²¨­ , ª®°§¨-­  ¨ ª °²®­ª  ¢¥±¨«¨ ¯®°®¢­³; ª ¦¤ ¿ ¨§ ­¨µ ¢¥±¨«  ¡®«¼¸¥,·¥¬ ±®¡ ·®­ª . �®£¤  ¢»£°³¦ «¨ ¡ £ ¦, ¤ ¬  § ¿¢¨« , ·²®±®¡ ª  ­¥ ²®© ¯®°®¤». �°¨ ¯°®¢¥°ª¥ ®ª § «®±¼, ·²® ±®¡ ª  ¯¥-°¥¢¥¸¨¢ ¥² ¤¨¢ ­, ¥±«¨ ª ­¥© ­  ¢¥±» ¤®¡ ¢¨²¼ ± ª¢®¿¦ ¨«¨·¥¬®¤ ­. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¯°¥²¥­§¨¿ ¤ ¬» ¡»«  ±¯° ¢¥¤«¨¢ .

235. �°¨ ·¥«®¢¥ª  | A , B ¨ C | ¯¥°¥±·¨² «¨ ª³·³ ¸ °¨ª®¢ ·¥²»-°�¥µ ¶¢¥²®¢. � ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¯° ¢¨«¼­® ° §«¨· « ¤¢  ¶¢¥² ,  ¤¢  ¤°³£¨µ ­¥ ° §«¨· «: ª²®-²® ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ­¥ ° §«¨· « ª° ±-­»© ¨ ®° ­¦¥¢»©, ¤°³£®© ­¥ ° §«¨· « ®° ­¦¥¢»© ¨ ¦�¥«²»©,  ¥¹�¥ ®¤¨­ ­¥ ° §«¨· « ¦�¥«²»© ¨ §¥«�¥­»©. �«¿¤¿ ­  ² ¡«¨¶³,³§­ ©²¥, ±ª®«¼ª® ª ª¨µ ¸ °¨ª®¢ ¡»«®.

ª° ±­»© ®° ­¦¥¢»© ¦�¥«²»© §¥«�¥­»©

A 2 5 7 9

B 2 4 9 8

C 4 2 8 9

236. �¥°¢ ¿ ±«¥¢  ¶¨´°  ¤¥±¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ° ¢­  ·¨±«³ ¥¤¨­¨¶¢ § ¯¨±¨ ½²®£® ·¨±« , ¢²®° ¿ | ·¨±«³ ¤¢®¥ª, ²°¥²¼¿ | ·¨±-«³ ²°®¥ª, ·¥²¢�¥°² ¿ | ·¨±«³ ·¥²¢�¥°®ª, : : : , ¤¥¢¿² ¿ | ·¨±«³¤¥¢¿²®ª, ¤¥±¿² ¿ | ·¨±«³ ­³«¥©. �°¨¤³¬ ©²¥ ² ª®¥ ·¨±«®.

237. �  °¨±³­ª µ ¯®ª § ­» ° §­»¥ ±¯®±®¡» ° ±±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²-­®© ¤®±ª¥ 24 ª®­¿, ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ ¡¼�¥² ¤¢³µ ¤°³£¨µ. � ±-±² ¢¼²¥ ­  ¤®±ª¥ 32 ª®­¿, ·²®¡» ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¨« °®¢­®¤¢³µ ¤°³£¨µ.

r r r rr r r rr r

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r rr r r rr r r r

43

�³¬¬  ¨ ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥

| � ª ¿ ±¥£®¤­¿ ±°¥¤­¿¿ ²¥¬¯¥° ²³°  ¯®

¡®«¼­¨¶¥? | ±¯°®±¨« °¥¢¨§®° £« ¢¢° · .

238. �¢  ·¥«®¢¥ª  ®²¯° ¢¨«¨±¼ ­  °»­®ª ¯°®¤ ¢ ²¼ ¿¡«®ª¨. � ­¨µ¡»«® ¯® 30 ¿¡«®ª. �¤¨­ ±®¡¨° «±¿ ¯°®¤ ¢ ²¼ ¯® 2 ¿¡«®ª  § 1 °³¡«¼,   ¤°³£®© | ¯® 3 ¿¡«®ª  §  1 °³¡«¼. �¥°¥¤ ­ · «®¬ ²®°-£®¢«¨ ¯¥°¢®£® ¯°®¤ ¢¶  ¢»§¢ «¨ ¤®¬®©, ¨ ®­ ¯®¯°®±¨« ¢²®°®£®¯°®¤ ¢¶  ¯°®¤ ²¼ ¥£® ¿¡«®ª¨. �®² ±² « ¯°®¤ ¢ ²¼ ¯® 5 ¿¡«®ª§  2 °³¡«¿. �±«¨ ¡» ®­¨ ²®°£®¢ «¨ ¯®°®§­¼, ²® ¢»°³·¨«¨ ¡»10 °³¡«¥© ¨ 15 °³¡«¥©,   ¯°®¤ ¢ ¿ ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿, ®­¨¯®«³·¨«¨ 24 °³¡«¿. �³¤  ¨±·¥§ °³¡«¼?

239. � §¡¥©²¥ f1, 2, 9, 25, 49, 64g ­  ¤¢  ¯®¤¬­®¦¥±²¢ , ·²®¡» ±³¬¬ ·¨±¥« ®¤­®£® ¨§ ­¨µ ¡»«  ° ¢­  ±³¬¬¥ ·¨±¥« ¤°³£®£®.

1 9 16 7 12 5 4 3

8 15 10 2 13 6 11 14

240. � §¤¥«¨²¥ ¯®«®±ª³ ­ 4 ®¤¨­ ª®¢»¥ · ±²¨,·²®¡» ¢±¥ · ±²¨ ¨¬¥-«¨ ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±³¬¬³¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ­¨µ ·¨±¥«.

241. �­¿ ¨ � ­¿ ¢¬¥±²¥ ¢¥±¿² 40 ª£, � ­¿ ¨ � ­¿ | 50 ª£, � ­¿¨ � ­¿ | 90 ª£, � ­¿ ¨ � ­¿ | 100 ª£, � ­¿ ¨ �­¿ | 60 ª£.�ª®«¼ª® ¢¥±¨² �­¿?

242. �¥²¢¥°® ª³¯¶®¢ § ¬¥²¨-«¨, ·²® ¥±«¨ ®­¨ ±«®¦ ²±¿¡¥§ ¯¥°¢®£®, ²® ±®¡¥°³²90 °³¡«¥©, ¡¥§ ¢²®°®£® |85, ¡¥§ ²°¥²¼¥£® | 80, ¡¥§·¥²¢�¥°²®£® | 75 °³¡«¥©.�ª®«¼ª® ³ ª®£® ¤¥­¥£?

242.0 �¥¸¨²¥ ±¨±²¥¬³ ³° ¢­¥­¨©:

8>>>><>>>>:

y + z + t = 90;

x+ z + t = 85;

x+ y + t = 80;

x+ y + z = 75:

243. �°¥¤­¨© ¢®§° ±² 11 ¨£°®ª®¢ ´³²¡®«¼­®© ª®¬ ­¤» | 22 £®¤ .�® ¢°¥¬¿ ¬ ²·  ®¤¨­ ¨£°®ª ¯®«³·¨« ²° ¢¬³ ¨ ³¸�¥« ± ¯®«¿.�°¥¤­¨© ¢®§° ±² ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨£°®ª®¢ | 21 £®¤. �ª®«¼ª® «¥²¯®«³·¨¢¸¥¬³ ²° ¢¬³?

44

244. �®£¤  �¨¸  ¯®±²³¯ « ¢ ���, ³·¨²»¢ «±¿ ±°¥¤­¨© ¡ ««  ²-²¥±² ²  ® ±°¥¤­¥¬ ®¡° §®¢ ­¨¨ ¯® ¤¢¥­ ¤¶ ²¨ ¯°¥¤¬¥² ¬. ��¨¸¨ ±°¥¤­¨© ¡ «« ¡»« ° ¢¥­ 3,5. �® ±ª®«¼ª¨¬ ¯°¥¤¬¥² ¬¥¬³ ­³¦­® ¡»«® ¯®¢»±¨²¼ ®¶¥­ª³ ­  ®¤¨­ ¡ ««, ·²®¡» ±°¥¤­¨©¡ «« ®ª § «±¿ ° ¢¥­ 4?

245. �·¨²¥«¼ ¯°®¢®¤¨² ³°®ª ¢ ª« ±±¥. �®§° ±² ³·¨²¥«¿ ­  24 £®¤ ¡®«¼¸¥ ±°¥¤­¥£® ¢®§° ±²  ³·¥­¨ª®¢ ¨ ­  22 £®¤  ¡®«¼¸¥ ±°¥¤-­¥£® ¢®§° ±²  ¢±¥µ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ ¢ ª« ±±¥. �ª®«¼ª® ¢ ª« ±±¥³·¥­¨ª®¢?

?

9 21

35 40

32 28

14 10

20246. �°¿¬®³£®«¼­¨ª ° §-

¡¨² ¯°¿¬»¬¨ ­  25¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢.�«®¹ ¤¨ ­¥ª®²®°»µ¨§ ­¨µ ³ª § ­» ­ °¨±³­ª¥. � ©¤¨-²¥ ¯«®¹ ¤¼ ¯°¿¬®-³£®«¼­¨ª , ®²¬¥·¥­-­®£® ¢®¯°®±¨²¥«¼-­»¬ §­ ª®¬.

247. � ²¿, �¥­ , � ¸ , �¨­  ³· ±²¢®¢ «¨ ¢ ª®­¶¥°²¥. � ¦¤³¾¯¥±­¾ ¯¥«¨ 3 ¤¥¢®·ª¨. � ²¿ ¯¥«  8 ¯¥±¥­ | ¡®«¼¸¥ ¢±¥µ; �¨­ ¬¥­¼¸¥ ¢±¥µ | 5 ¯¥±¥­. �ª®«¼ª® ¯¥±¥­ ¡»«® ±¯¥²®?

248. �®¦­® «¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  ®² 1 ¤® 30 § ¯¨± ²¼ ¢ ² ¡«¨¶³ ¨§5 ±²°®ª ¨ 6 ±²®«¡¶®¢, ·²®¡» ¢±¥ ¸¥±²¼ ±³¬¬ ·¨±¥«, ±²®¿¹¨µ ¢±²®«¡¶ µ, ¡»«¨ ° ¢­»?

249. �®¦­® «¨ § ¯®«­¨²¼ ·¨±« ¬¨² ¡«¨¶³  ) 5 � 5 ; ¡) 6 � 6² ª, ·²®¡» ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢±¥µ·¨±¥« «¾¡®© ±²°®ª¨ ¡»«® ®²-°¨¶ ²¥«¼­®,   ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¢±¥µ ·¨±¥« «¾¡®£® ±²®«¡¶  |¯®«®¦¨²¥«¼­®?

249.0 �®¦­® «¨ ° ±-±² ¢¨²¼ ·¨±«  ¢ ² ¡«¨¶¥19 � 66 ² ª, ·²®¡» ¢ª ¦¤®© ±²°®ª¥ ±³¬¬  ·¨-±¥« ¡»«  ¯®«®¦¨²¥«¼­ ,  ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ |®²°¨¶ ²¥«¼­ ?

45

�®±² ¢«¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨©

� ²¥¬ ²¨ª¨ ¯®µ®¦¨ ­  ´° ­¶³§®¢: ·²® ¡» ¢»

­¨ ±ª § «¨, ®­¨ ¢±�¥ ¯¥°¥¢¥¤³² ­  ±¢®© ±®¡±²¢¥­­»© ¿§»ª.

�®«³·¨²±¿ ­¥·²® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¥.

�.�. ��¥²¥

250. �®«®¢  °»¡» ¢¥±¨² ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® µ¢®±² ¨ ¯®«®¢¨­  ²³«®¢¨-¹ , ²³«®¢¨¹¥ | ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® £®«®¢  ¨ µ¢®±² ¢¬¥±²¥. �¢®±²¥�¥ ¢¥±¨² 1 ª£. �ª®«¼ª® ¢¥±¨² °»¡ ?

251. �·¥­¨ª ¤®«¦¥­ ¡»« ° §¤¥«¨²¼ ·¨±«® ­  2 ¨ ª °¥§³«¼² ²³ ¯°¨¡ -¢¨²¼ 3,   ®­, ¯® ®¸¨¡ª¥, ³¬­®¦¨« ·¨±«® ­  2 ¨ ®² ¯®«³·¥­­®£®· ±²­®£® ®²­¿« 3. �²¢¥² ¢±�¥ ° ¢­® ¯®«³·¨«±¿ ¯° ¢¨«¼­»©. � -ª®©?

252. �¤¨­ ± ¯´¨° ¨ ¤¢  ²®¯ §  ¶¥­­¥©, ·¥¬ ¨§³¬°³¤, ¢ ²°¨ ° § . �±¥¬¼ ± ¯´¨°®¢ ¨ ²®¯ § ¥£® ¶¥­­¥¥ ¢ ¢®±¥¬¼ ° §. �¯°¥¤¥«¨²¼¯°®¸³ ¿ ¢ ±: ± ¯´¨° ¶¥­­¥¥ ¨«¼ ²®¯ §?

253. �¥²¢¥°® ²®¢ °¨¹¥© ¯®ª³¯ ¾² «®¤ª³. �¥°¢»© ¢­®±¨² ¯®«®¢¨­³±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ¢²®°®© | ²°¥²¼ ±³¬¬», ¢­®±¨-¬®© ®±² «¼­»¬¨; ²°¥²¨© | ·¥²¢¥°²¼ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼-­»¬¨; ·¥²¢�¥°²»© | 130 °³¡«¥©. �ª®«¼ª® ±²®¨² «®¤ª ?

254. �´¥­¿�) ª³¯¨« ­  ®¯²®¢®¬ °»­ª¥ ¯ °²¨¾ °³·¥ª ¨ ¯°¥¤« £ ¥²¯®ª³¯ ²¥«¿¬ «¨¡® ®¤­³ °³·ª³ §  5 °³¡«¥©, «¨¡® ²°¨ °³·ª¨ § 10 °³¡«¥©. �² ª ¦¤®£® ¯®ª³¯ ²¥«¿ ®´¥­¿ ¯®«³· ¥² ®¤¨­ ª®-¢³¾ ¯°¨¡»«¼. � ª®¢  ®¯²®¢ ¿ ¶¥­  °³·ª¨?

255. �°¥¤±² ¢¼²¥ ·¨±«® 45 ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ·¥²»°�¥µ ·¨±¥« ² ª, ·²®¯®±«¥ ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ 2 ª ¯¥°¢®¬³ ·¨±«³, ¢»·¨² ­¨¿ 2 ®² ¢²®°®£®·¨±« , ³¬­®¦¥­¨¿ ²°¥²¼¥£® ·¨±«  ­  2 ¨ ¤¥«¥­¨¿ ·¥²¢�¥°²®£®·¨±«  ­  2 ½²¨ ·¨±«  ±² ­®¢¿²±¿ ° ¢­»¬¨.

256. �±²° ²¨¢ ¯®«®¢¨­³ ¤¥­¥£, ¿ § ¬¥²¨«, ·²® ®±² «®±¼ ¢¤¢®¥ ¬¥­¼-¸¥ °³¡«¥©, ·¥¬ ¡»«® ¯¥°¢®­ · «¼­® ª®¯¥¥ª, ¨ ±²®«¼ª® ¦¥ ª®-¯¥¥ª, ±ª®«¼ª® ¡»«® ¯¥°¢®­ · «¼­® °³¡«¥©. �ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¿ ¨±-²° ²¨«? (�®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿, ·²® ·¨±«® ª®¯¥¥ª ¬¥­¼¸¥ 100.)

�)�°®¤ ¢¥¶ ¢ ° §­®±, ª®°®¡¥©­¨ª.

46

257. �§ £®°¿·¥£® ª° ­  ¢ ­­  § ¯®«­¿¥²±¿ §  23 ¬¨­³²», ¨§ µ®«®¤-­®£® | §  17 ¬¨­³². �¼¥° ®²ª°»« ±­ · «  £®°¿·¨© ª° ­. �¥°¥§±ª®«¼ª® ¬¨­³² ®­ ¤®«¦¥­ ®²ª°»²¼ µ®«®¤­»©, ·²®¡» ª ¬®¬¥­-²³ ­ ¯®«­¥­¨¿ ¢ ­­» £®°¿·¥© ¢®¤» ­ «¨«®±¼ ¢ 1,5 ° §  ¡®«¼¸¥,·¥¬ µ®«®¤­®©?

258. �°²¥«¨ ª®±¶®¢ ¯°¥¤±²®¿«® ±ª®±¨²¼ ¤¢  «³£ , ¨§ ª®²®°»µ ®¤¨­¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ ¤°³£®£®. �®«¤­¿  °²¥«¼ ª®±¨«  ¡®«¼¸®© «³£,  ­  ¢²®°³¾ ¯®«®¢¨­³ ¤­¿ ° §¤¥«¨« ±¼ ¯®¯®« ¬. �¤­  ¯®«®¢¨-­  ®±² « ±¼ ¤®ª ¸¨¢ ²¼ ¡®«¼¸®© «³£,   ¤°³£ ¿ ¯°¨­¿« ±¼ § ¬ «»©. � ¢¥·¥°³ ¡®«¼¸®© «³£ ±ª®±¨«¨,   ®² ¬ «®£® ®±² «±¿³· ±²®ª, ª®²®°»© ¡»« ±ª®¸¥­ §  ¤°³£®© ¤¥­¼ ®¤­¨¬ ª®±¶®¬.�ª®«¼ª® ª®±¶®¢ ¢  °²¥«¨?

259. �  ¤­¥ ®§¥°  ¡¼¾² ª«¾·¨. �² ¤® ¨§ 183 ±«®­®¢ ¬®£«® ¡» ¢»-¯¨²¼ ®§¥°® §  ®¤¨­ ¤¥­¼,   ±² ¤® ¨§ 37 ±«®­®¢ | §  5 ¤­¥©. � ±ª®«¼ª® ¤­¥© ¢»¯¼¥² ®§¥°® ®¤¨­ ±«®­?

260. (�. �¼¾²®­) 70 ª®°®¢ ±º¥«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ §  24 ¤­¿,   30 ª®-°®¢ | §  60 ¤­¥©.�) �ª®«¼ª® ª®°®¢ ±º¥«¨ ¡» ²° ¢³ §  96 ¤­¥©?

261. � �¥«¨ª®¡°¨² ­¨¨ ¨ ��� ²¥¬¯¥° ²³°³ ° ­¼¸¥ ¨§¬¥°¿«¨ ¯®¸ª «¥ � °¥­£¥©² , ¢ ª®²®°®© ²¥¬¯¥° ²³°  ¯« ¢«¥­¨¿ «¼¤  (²®¥±²¼ 0� �¥«¼±¨¿) ±®±² ¢«¿¥² 32� ,   ²¥¬¯¥° ²³°  ª¨¯¥­¨¿ ¢®¤»(100� �¥«¼±¨¿) | 212� . �®°¬³«  ¤«¿ ¯¥°¥¢®¤  ²¥¬¯¥° ²³°»¨§ ®¤­®© ¸ª «» ¢ ¤°³£³¾ ² ª®¢ : T� = kT� + b , £¤¥ T� ¨T� | ²¥¬¯¥° ²³°» ¯® � °¥­£¥©²³ ¨ ¯® �¥«¼±¨¾.  ) � ©¤¨²¥·¨±«  k ¨ b . ¡) �³¹¥±²¢³¥² «¨ ²¥¬¯¥° ²³° , ·¨±«®¢»¥ §­ ·¥-­¨¿ ª®²®°®© ¯® ¸ª « ¬ �¥«¼±¨¿ ¨ � °¥­£¥©²  ®¤¨­ ª®¢»?

262. �¯° ¢¤®¬ �±² ¯ �¥­¤¥° ±®¡¨° « ± ¦¨«¼¶®¢ ¤¥­¼£¨ ­  ³±² -­®¢ª³ ­®¢»µ ª¢ °²¨°­»µ ­®¬¥°®¢. �¤ ¬ �®§«¥¢¨· ¨§ 105-©ª¢ °²¨°» ¯®¨­²¥°¥±®¢ «±¿, ¯®·¥¬³ ³ ­¨µ ¢® ¢²®°®¬ ¯®¤º¥§¤¥­ ¤® ±®¡° ²¼ ¤¥­¥£ ­  40% ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢ ¯¥°¢®¬, µ®²¿ ª¢ °-²¨° ² ¬ ¨ ²³² ¯®°®¢­³. �¥ ° ±²¥°¿¢¸¨±¼, �±² ¯ ®¡º¿±­¨«,·²® ¤¢³§­ ·­»¥ ­®¬¥°  ±²®¿² ¢¤¢®¥,   ²°�¥µ§­ ·­»¥ | ¢²°®¥¡®«¼¸¥, ·¥¬ ®¤­®§­ ·­»¥. �ª®«¼ª® ª¢ °²¨° ¢ ¯®¤º¥§¤¥?

�)�¥ ³¤¨¢«¿©²¥±¼: ²° ¢  ° ±²�¥².

47

�°¨­¶¨¯ �¨°¨µ«¥

�­®£¨¥ ¢¥¹¨ ­ ¬ ­¥¯®­¿²­» ­¥ ¯®²®¬³,

·²® ­ ¸¨ ¯®­¿²¨¿ ±« ¡»; ­® ¯®²®¬³,

·²® ±¨¨ ¢¥¹¨ ­¥ ¢µ®¤¿²

¢ ª°³£ ­ ¸¨µ ¯®­¿²¨©.

�®§¼¬  �°³²ª®¢

� ­¥±¥°¼�¥§­®© ´®°¬¥ ¯°¨­¶¨¯ �¨°¨µ«¥�) £« ±¨²: \�¥«¼§¿¯®± ¤¨²¼ 7 ª°®«¨ª®¢ ¢ 3 ª«¥²ª¨, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®© ¡»«® ­¥ ¡®«¼-¸¥ 2 ª°®«¨ª®¢."

�®«¥¥ ®¡¹ ¿ ´®°¬³«¨°®¢ª : \�±«¨ z § ©¶¥¢ ±¨¤¿² ¢ k ª«¥²-ª µ, ²® ­ ©¤�¥²±¿ ª«¥²ª , ¢ ª®²®°®© ­¥ ¬¥­¥¥ z=k § ©¶¥¢." �¥­ ¤® ¡®¿²¼±¿ ¤°®¡­®£® ·¨±«® § ©¶¥¢ | ¥±«¨ ¯®«³· ¥²±¿, ·²® ¢¿¹¨ª¥ ­¥ ¬¥­¼¸¥ 7/3 § ©¶¥¢, §­ ·¨², ¨µ ¡®«¼¸¥ ¤¢³µ.

�¤¨­ ¬ ²¥¬ ²¨ª ±ª § «, ·²® �¨°¨µ«¥ ¯® · ±²®²¥ ³¯®¬¨­ -­¨© ¸ª®«¼­¨ª ¬¨ ­ ¢±¥£¤  ®¡¥±¯¥·¥­® ®¤­® ¨§ ± ¬»µ ¢»±¸¨µ¬¥±². � ¤®¡ ¢¨«: \�®¦ «³©, ¥±²¼ ±¯®±®¡ «¨¸¨²¼ ¥£® «¨¤¥°-±²¢  | ­ §¢ ²¼ ·¼¨¬-­¨¡³¤¼ ¨¬¥­¥¬ ¯°¨­¶¨¯ À­¨ª ª®¥ ·�¥²­®¥·¨±«® ­¥ ° ¢­® ­¨ª ª®¬³ ­¥·�¥²­®¬³Á."

�®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¨­¶¨¯  �¨°¨µ«¥ ®·¥­¼ ¯°®±²®¥, ­® § ±«³-¦¨¢ ¥² ¢­¨¬ ­¨¿, ¯®±ª®«¼ª³ ¯®µ®¦¨¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ À®² ¯°®²¨¢-­®£®Á · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿. �®¯³±²¨¬, ·²® ¢ ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ·¨±-«® § ©¶¥¢ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ z=k . �®£¤  ¢ k ª«¥²ª µ § ©¶¥¢ ¬¥­¼¸¥,·¥¬ k � (z=k) = z . �°®²¨¢®°¥·¨¥!

263. � ¸ª®«¥ 400 ³·¥­¨ª®¢. �®ª ¦¨²¥, ·²® µ®²¿ ¡» ¤¢®¥ ¨§ ­¨µ°®¤¨«¨±¼ ¢ ®¤¨­ ¤¥­¼ £®¤ .

264. � ª« ±±¥ 40 ³·¥­¨ª®¢. � ©¤�¥²±¿ «¨ ² ª®© ¬¥±¿¶ ¢ £®¤³, ¢ ª®-²®°®¬ ®²¬¥· ¾² ±¢®© ¤¥­¼ °®¦¤¥­¨¿ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ 4 ³·¥­¨ª ½²®£® ª« ±± ?

�)�¥²¥° �³±² ¢ �¥¦�¥­ �¨°¨µ«¥ (1805{1859), ¢¥«¨ª¨© ­¥¬¥¶ª¨© ¬ ²¥¬ -²¨ª, ¨§³· «  °¨´¬¥²¨ª³ (²¥®°¥¬  �¨°¨µ«¥ ® ¯°®±²»µ ·¨±« µ ¢  °¨´¬¥-²¨·¥±ª®© ¯°®£°¥±±¨¨), ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ (¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ �¨-°¨µ«¥, °¿¤» �¨°¨µ«¥), ¬¥µ ­¨ª³ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ ´¨§¨ª³ (¯°¨­¶¨¯ �¨-°¨µ«¥ ¢ ²¥®°¨¨ £ °¬®­¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©).

48

265. � ª« ±±¥ 30 ³·¥­¨ª®¢. � ¤¨ª² ­²¥ �®¢  ±¤¥« « 13 ®¸¨¡®ª,®±² «¼­»¥ ¬¥­¼¸¥. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ²°¨ ³·¥-­¨ª  ±¤¥« «¨ ®¸¨¡®ª ¯®°®¢­³.

266. �§ «¾¡»µ ²°�¥µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢ , ±³¬¬  ª®²®-°»µ ·�¥²­ . �®ª ¦¨²¥ ½²®.

�¥¸ ¥­ ¨ ¥. �±¥ ·¨±«  ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ¤¢  ª« ±± : ·�¥²­»¥ ¨ ­¥-·�¥²­»¥. �¥¢®§¬®¦­® ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ²°¨ ·¨±«  ¯® ¤¢³¬ ª« ±± ¬ ² ª,·²®¡» ­¨ ¢ ª ª®© ª« ±± ­¥ ¯®¯ «® ¡®«¥¥ ®¤­®£® ·¨±« . �­ ·¨², ±°¥¤¨«¾¡»µ ²°�¥µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±«  ®¤¨­ ª®¢®© ·�¥²­®±²¨.�µ ±³¬¬  ·�¥²­ .

267. �°¥¤¨ «¾¡»µ ¸¥±²¨ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ª®²®°»µ ª° ²­  5. �®ª ¦¨²¥ ½²®.

268. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¨§ «¾¡»µ n+1 ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢ ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ­ ¶¥«® ¤¥«¨²±¿ ­  n .

269. � ­» 12 ° §«¨·­»µ ¤¢³§­ ·­»µ ·¨±¥«. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¨§ ­¨µ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ | ¤¢³§­ ·­®¥·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ¤¢³¬¿ ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¶¨´° ¬¨.

270. �§ «¾¡»µ «¨ ±²  ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ±³¬¬ ª®²®°»µ ª° ²­  7?

271. �³¹¥±²¢³¾² «¨  ) ¯¿²¼¤¥±¿²; ¡) ¡®«¥¥ ¯¿²¨¤¥±¿²¨ ° §«¨·­»µ¤¢³§­ ·­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬  ­¨ª ª¨µ ¤¢³µ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ° ¢-­  100?

272. �§ «¾¡»µ «¨  ) 51; ¡) 52 ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« ,±³¬¬  ¨«¨ ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ª° ²­  100?

273. �  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ±²®¿² 44 ´¥°§¿. �®ª ¦¨²¥, ·²® ª ¦¤»©¨§ ­¨µ ¡¼�¥² ª ª®£®-­¨¡³¤¼ ¤°³£®£® ´¥°§¿.

274. � ¦¤»© ¨§ 10 ³· ±²­¨ª®¢ ¯¥°¥£®¢®°®¢ ¯®±« « ¯® ¨µ ®ª®­· -­¨¨ ¯®§¤° ¢¨²¥«¼­»¥ ®²ª°»²ª¨ ¯¿²¥°»¬ ¤°³£¨¬ ³· ±²­¨ª ¬.�®ª ¦¨²¥, ·²® ª ª¨¥-²® ¤¢®¥ ¯®±« «¨ ®²ª°»²ª¨ ¤°³£ ¤°³£³.

275. � £°³¯¯¥ 30 ·¥«®¢¥ª. � ¦¤®¬³ ­° ¢¿²±¿ °®¢­® k «¾¤¥© ¨§½²®© £°³¯¯». �°¨ ª ª®¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¬ k ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ©¤³²±¿¤¢  ·¥«®¢¥ª  ¨§ ½²®© £°³¯¯», ª®²®°»¥ ­° ¢¿²±¿ ¤°³£ ¤°³£³?

49

276. �  ¯«®±ª®±²¨ ­ °¨±®¢ «¨ 5 ¯°¿¬»µ. �®-ª ¦¨²¥, ·²® ³£®« ¬¥¦¤³ ª ª¨¬¨-²® ¤¢³-¬¿ ¨§ ­¨µ ­¥ ¡®«¼¸¥ 36� . (�±«¨ ª ª¨¥-­¨¡³¤¼ ¯°¿¬»¥ ¯ ° ««¥«¼­», ±·¨² ©²¥,·²® ³£®« ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ° ¢¥­ 0� .)

277. � ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¤®±ª¨6 � 6 ¬®¦­® ¯®ª° ±¨²¼, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥¤¢¥ ¯®ª° ¸¥­­»¥ ª«¥²ª¨ ­¥ ±®¯°¨ª ± -«¨±¼ (¤ ¦¥ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥)?

�¥¸ ¥­ ¨ ¥. �²¢¥² ®·¥¢¨-¤¥­ ¨§ °¨±³­ª , ­  ª®²®°®¬­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¨§ ¤¥¢¿²¨ § ª° -¸¥­­»µ ª«¥²®ª ­¥ ±®¯°¨ª ± -¾²±¿,   ¤¥±¿²³¾ ª«¥²ª³ ± ±®-¡«¾¤¥­¨¥¬ ³±«®¢¨¿ ­¥ ¯®ª° -±¨¸¼. �® ª ª ¤®ª § ²¼, ·²®­¨ª ª¨¬ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬ ­¥«¼§¿ ° ±¯®«®¦¨²¼ ­  ¤®±ª¥ ¤¥±¿²¼ ­¥-±®¯°¨ª ± ¾¹¨µ±¿ ª«¥²®ª? �¥°¥¡®°®¬? � °¨ ­²®¢ £®° §¤® ¡®«¼¸¥,·¥¬ ª ¦¥²±¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. � ³¦ ±®¢±¥¬ ­¥¢®§¬®¦­® °¥¸¥­¨¥¬¥²®¤®¬ ¯¥°¥¡®° , ¥±«¨ ¤®±ª³ 6 � 6 § ¬¥­¨²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ­  ¤®±ª³° §¬¥°®¬ 2000� 2000 . �ª §»¢ ¥²±¿, ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ¤®±ª³ ­  ª¢ ¤-° ²¨ª¨ ° §¬¥°®¬ 2 � 2 . �®«¼¸¥ ®¤­®© ®ª° ¸¥­­®© ª«¥²ª¨ ¢ ² ª®¬ª¢ ¤° ²¨ª¥ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥²!

278. �  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ­¥«¼§¿ ° §¬¥±²¨²¼ ¡®«¥¥ 32 ­¥ ¡¼¾¹¨µ¤°³£ ¤°³£  ª®­¥©. �®ª ¦¨²¥ ½²®.

279. � ©¤¨²¥ §­ ·¥­¨¥ ¤°®¡¨  )� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �;

¡)� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �, £¤¥ ° §­»¥ ¡³ª¢»| ½²® ° §­»¥ ¶¨´°».

280. �§ «¾¡»µ  ) ¯¿²¨; ¡) ¢®±¼¬¨; ¢) ¤¥¢¿²¨ ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­®¢»¡° ²¼ ¤¢  ² ª¨µ, ° §­®±²¼ ª¢ ¤° ²®¢ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  ) 7; ¡) 13; ¢) 16. �®ª ¦¨²¥ ½²®.

281. � ª ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¶¢¥²®¢ ¬®¦­® ° ±ª° ±¨²¼ ª«¥²ª¨¤®±ª¨ 8� 8 ² ª, ·²®¡» ³ ª ¦¤®© ª«¥²ª¨ ±°¥¤¨ ¥�¥ ±®±¥¤¥© (¯®±²®°®­¥) ¡»«¨ µ®²¿ ¡» ¤¢¥ ª«¥²ª¨, ®ª° ¸¥­­»¥ ¢ ²®² ¦¥ ¶¢¥²?

50

�¡µ®¤»

�®£¤  ±³¤¼¡ , ¤®©¤¿ ¤® ¯¥°¥ª°�¥±²ª ,

ª®«¥¡«¥²±¿, ª³¤  ¥© ¯®¢¥°­³²¼,

­¥ ¡®©±¿ ­¥­ §®©«¨¢®, ­® ¦�¥±²ª®

±«¥£ª  ¥�¥ ª®«¥­®¬ ¯®¤²®«ª­³²¼.

�.�³¡¥°¬ ­

282. � ª ¡¨­¥ «¨´²  20-½² ¦­®£® ¤®¬  ¥±²¼ ¤¢¥ ª­®¯ª¨. �°¨ ­ -¦ ²¨¨ ­  ®¤­³ ¨§ ­¨µ «¨´² ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ­  13 ½² ¦¥©,   ¯°¨­ ¦ ²¨¨ ­  ¤°³£³¾ | ®¯³±ª ¥²±¿ ­  8 ½² ¦¥©. � ª ¯®¯ ±²¼ ±13-£® ½² ¦  ­  8-©?

283. �¡®©¤¨²¥ ª®­�¥¬ ¤®±ª³  ) 4� 5 ; ¡) 4� 6 ; ¢) 4� 7 , ¯®¡»¢ ¢ ­ ª ¦¤®¬ ¯®«¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³. (�®§¢° ¹ ²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®.)

284. �§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»¯¨«¥­® ³£«®¢®¥ ¯®«¥. �®¦¥² «¨ ª®­¼®¡®©²¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¯®«¿ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³²¼±¿ ­ ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥?

285. �³§­¥·¨ª ¯°»£ ¥² ­  1 ±¬, ¯®²®¬ ¯°»£ ¥² ­  3 ±¬ ¢ ²®¬ ¦¥¨«¨ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨, § ²¥¬ ¢ ²®¬ ¦¥ ¨«¨ ¯°®-²¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ­  5 ±¬, ¨ ² ª ¤ «¥¥. �®¦¥² «¨ ®­¯®±«¥ 25-£® ¯°»¦ª  ®ª § ²¼±¿ ¢ ¨±µ®¤­®© ²®·ª¥?

286. �§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»°¥§ ­» ª«¥²ª¨ f3 ¨ c6 . �®¦­® «¨®¡®©²¨ ®±² ¢¸¨¥±¿ ª«¥²ª¨, ­  ª ¦¤®© ¯®¡»¢ ¢ °®¢­® ®¤¨­ ° §¨ ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ ¯¥°¥µ®¤¿ ­  ª«¥²ª³, ³ ª®²®°®© ®¡¹ ¿ ±²®°®­ ± ¯°¥¤»¤³¹¥©?

287. �³° ¢¥© ¯®«§ ¥² ¯® ¯°®¢®«®·­®¬³ ª °ª ±³ ª³¡ , ­¨ª®£¤  ­¥¯®¢®° ·¨¢ ¿ ­ § ¤. �®¦¥² «¨ ®ª § ²¼±¿, ·²® ¢ ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥®­ ³¦¥ ¯®¡»¢ « 25 ° §,   ¢ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼­»µ | ¯® 20 ° §?

ss

ss288. �  °¨±³­ª¥ ¨§®¡° ¦�¥­ ¬ °¸°³² ª®°®«¿, ®¡®¸¥¤-

¸¥£® ¤®±ª³ ° §¬¥°®¬ 2 � 2 , ·¥°¥¤³¿ ¤¨ £®­ «¼-­»¥ ¨ ­¥¤¨ £®­ «¼­»¥ µ®¤» ¨ ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®©ª«¥²ª¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³. � °¨±³©²¥ ² ª®© ¬ °¸-°³² ¤«¿ ¤®±ª¨ 8� 8 .

51

�¨­£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨

�±«¨ ­ ¤® | ¿§»ª ±³ µ¨«¨,

±«®¦­»© §¢³ª®¬ ¨ ±«®¢®¬ ®¡¨«¼­»©,

·¨±²® ¢»³· ² ¢­³ª¨ � µ¨«¨

¨ ´®«¼ª«®° ±®·¨­¿² ±³ µ¨«¼­»©.

�.�³¡¥°¬ ­

289. � ­» ´° ­¶³§±ª¨¥ ±«®¢  tour, face, coucher, attacher, pas-sage, orange, vari�et�e, chance, torche, rager, image, courage,r�ev�erence ¨ ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ¢ ¯¥°¥¯³² ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥: ´ ª¥«,±¬¥«®±²¼, ¯°®µ®¤, «¨¶®, ¯®·²¥­¨¥, ¯°¨¢¿§»¢ ²¼, ¯®-¥§¤ª , ®¡° §, ° §­®®¡° §¨¥, «¥¦ ²¼, ³¤®¡­»© ±«³· ©, ¯¥«¼±¨­, ­¥¨±²®¢±²¢®¢ ²¼. �±² ­®¢¨²¥, ª ª®¥ ´° ­¶³§-±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥².

290. �®² ®¡®§­ ·¥­¨¿ ­¥ª®²®°»µ ¤ ² ­  ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨: tarehe tatuDisemba jumamosi; tarehe pili Aprili jumanne; tarehe nneAprili jumanne; tarehe tano Octoba jumapili; tarehe tanoOctoba jumatatu; tarehe tano Octoba jumatano. � ¢®² ¨µ¯¥°¥¢®¤» ­  °³±±ª¨© ¿§»ª (¢ ¯¥°¥¯³² ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥): 5 ®ª²¿¡-°¿, ¯®­¥¤¥«¼­¨ª; 2  ¯°¥«¿, ¢²®°­¨ª; 5 ®ª²¿¡°¿, ±°¥¤ ;5 ®ª²¿¡°¿, ¢®±ª°¥±¥­¼¥; 3 ¤¥ª ¡°¿, ±³¡¡®² ; 4  ¯°¥«¿,¢²®°­¨ª. � ª ­ ¯¨± ²¼ ­  ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤ ²»: ) 3  ¯°¥«¿, ±°¥¤ ; ¡) 2 ¤¥ª ¡°¿, ¢®±ª°¥±¥­¼¥; ¢) 1 ­®¿¡°¿,¯®­¥¤¥«¼­¨ª?

291. �®² ­¥±ª®«¼ª®  ©­±ª¨µ ·¨±«¨²¥«¼­»µ (¢ « ²¨­±ª®© ²° ­±ª°¨¯-¶¨¨):

3 | re;11 | shine ikashma wan;22 | tu ikashma hotne;37 | arwan ikashma wan e tu hotne;47 | arwan ikashma tu hotne;93 | re ikashma wan e ashikne hotne;135 | ashikne ikashma wan e arwan hotne.

�¯°¥¤¥«¨²¥, ª ª®¥ ·¨±«® § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯®- ©­±ª¨ ª ª wan e rehotne. � ¯¨¸¨²¥ ¯®- ©­±ª¨ ·¨±« : 1, 5, 12, 53, 100, 200.

52

�§¢¥¸¨¢ ­¨¿

�²®¡» ¯° ¢¨«¼­® § ¤ ²¼ ¢®¯°®±, ­³¦­®

§­ ²¼ ¡�®«¼¸³¾ · ±²¼ ®²¢¥² .

�.�¥ª«¨ À�¥°­»© ¢®¯°®±Á

292. �§ ²°�¥µ ®¤¨­ ª®¢»µ ¯® ¢¨¤³ ª®«¥¶ ®¤­® ­¥±ª®«¼ª® «¥£·¥ ¤°³-£¨µ, ¨¬¥¾¹¨µ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¬ ±±». � ª §  ®¤­® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥­ ©²¨ ¡®«¥¥ «�¥£ª®¥ ª®«¼¶®?

293. �®¦­® «¨ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¥± ²¥« , ¥±«¨ ª®°®¬»±«  · ¸¥·­»µ ¢¥-±®¢ À­¥¯° ¢¨«¼­»¥Á,   £¨°¨ À¯° ¢¨«¼­»¥Á?

294. �§ ·¥²»°�¥µ ¤¥² «¥© ®¤­  ®²«¨· ¥²±¿ ¯® ¢¥±³ ®² ®±² «¼­»µ,¨¬¥¾¹¨µ ®¤¨­ ª®¢»© ¢¥±. �®¦­® «¨ ¢»¤¥«¨²¼ ¥�¥ ¤¢³¬¿ ¢§¢¥-¸¨¢ ­¨¿¬¨ ­  ¢¥± µ ± ¤¢³¬¿ · ¸ª ¬¨ ¡¥§ £¨°¼?

295. �§  ) 75; ¡) 101 ®¤¨­ ª®¢»µ ¯® ¢¨¤³ ª®«¥¶ ®¤­® ª®«¼¶® (¬» ­¥§­ ¥¬, ª ª®¥ ¨¬¥­­®) ¯® ¢¥±³ ­¥±ª®«¼ª® ®²«¨· ¥²±¿ ®² ®±² «¼-­»µ. �®¦­® «¨ §  ¤¢  ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ®¯°¥-¤¥«¨²¼, «¥£·¥ ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ½²® ª®«¼¶®, ·¥¬ ®±² «¼­»¥?�)

296. �«¼¥ �³°®¬¶³, �®¡°»­¥ �¨ª¨²¨·³ ¨ �«�¥¸¥ �®¯®¢¨·³ §  ¢¥°-­³¾ ±«³¦¡³ ¤ «¨ 6 ¬®­¥²: 3 §®«®²»¥ ¨ 3 ±¥°¥¡°¿­»¥. � ¦¤®¬³¤®±² «®±¼ ¯® ¤¢¥ ¬®­¥²». �«¼¿ �³°®¬¥¶ ­¥ §­ ¥², ª ª¨¥ ¬®­¥-²» ¤®±² «¨±¼ �®¡°»­¥,   ª ª¨¥ �«�¥¸¥, ­® §­ ¥², ª ª¨¥ ¬®­¥²»¤®±² «¨±¼ ¥¬³ ± ¬®¬³. �°¨¤³¬ ©²¥ ¢®¯°®±, ­  ª®²®°»© �«¼¿�³°®¬¥¶ ®²¢¥²¨² À¤ Á, À­¥²Á ¨«¨ À­¥ §­ ¾Á ¨ ¯® ®²¢¥²³ ­  ª®-²®°»© ¢» ±¬®¦¥²¥ ¯®­¿²¼, ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¥¬³ ¤®±² «¨±¼.

| � ³¦ ±! � ¸ ±«³£  ³¡¨²!

�­ ­ ¤¢®¥ ° §°¥§ ­, ¬¨±²¥° �¬¨²!

�³, ·²® ¦. �®£¤  «¾¡¥§­®±²¼ ®ª ¦¨²¥,

�³ ¯®«®¢¨­³, £¤¥ ª«¾·¨, ¯°¨¸«¨²¥.

�±«¨ ­ ¤® ³£ ¤ ²¼ § ¤³¬ ­­®¥ ª¥¬-²® ·¨±«® §  ­ ¨¬¥­¼-¸¥¥ ·¨±«® ¢®¯°®±®¢,   ®²¢¥· ¾² «¨¸¼ À¤ Á ¨«¨ À­¥²Á, ²® ± ¬®¥

�)�» ­¥ ®¡¿§ ­» ­ µ®¤¨²¼ ½²® ª®«¼¶®.

53

«³·¸¥¥ | ¢±¿ª¨© ° § ¤¥«¨²¼ ¬­®¦¥±²¢®, ¢ ª®²®°®¬ ­ µ®¤¨²±¿·¨±«®, ¯®¯®« ¬.

� ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ § ¤³¬ ­® ·¨±«® ®² 1 ¤® 8, ²® ®¯°¥¤¥«¨²¼¥£® ­ ¢¥°­¿ª  ¬®¦­® §  3 ¢®¯°®± ,   ¡»±²°¥¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿,­¥«¼§¿.

297. � §«®¦¨²¥ ¯® ±¥¬¨ ª®¸¥«¼ª ¬ 127 °³¡«�¥¢»µ ¡³¬ ¦¥ª, ·²®¡»«¾¡³¾ ±³¬¬³ ®² 1 ¤® 127 °³¡«¥© ¬®¦­® ¡»«® ¡» ¢»¤ ²¼, ­¥®²ª°»¢ ¿ ª®¸¥«¼ª®¢.

298. �  ±ª®«¼ª® ¢®¯°®±®¢ ¬®¦­® ­ ¢¥°­¿ª  ®²£ ¤ ²¼ ¶¥«®¥ ·¨±«®,§ ª«¾·�¥­­®¥ ¬¥¦¤³ 1 ¨ 1000, ¥±«¨ ­  ¢®¯°®±» ®²¢¥· ¾² ²®«¼ª®À¤ Á ¨«¨ À­¥²Á?

299.  ) �§ 9 ¬®­¥² ®¤­  ´ «¼¸¨¢ ¿ | ¡®«¥¥ «�¥£ª ¿, ·¥¬ ­ ±²®¿¹¨¥.�¢³¬¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿¬¨ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ¡¥§ £¨°¼ ­ ©¤¨²¥ ¥�¥.�ª®«¼ª® ²°¥¡³¥²±¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ¤«¿ ¡) 27; ¢) 80; £) 2003 ¬®­¥²?

300.� �¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ª° ±­»¥, ¤¢¥ ¦�¥«²»¥ ¨ ¤¢¥ §¥«�¥­»¥ £¨°¨. � ª ¦-¤®© ¯ °¥ ®¤­  ¨§ £¨°¼ ­¥¬­®£® «¥£·¥,   ¤°³£ ¿ ²¿¦¥«¥¥. �±¥²°¨ ²¿¦�¥«»¥ £¨°¨ ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢®. �±¥ ²°¨ «�¥£ª¨¥ £¨°¨ ²®¦¥¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢®. �¯°¥¤¥«¨²¥ §  2 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  · ¸¥·­»µ¢¥± µ, ª ª ¿ ¨§ £¨°¼ ¢ ª ¦¤®© ¯ °¥ ²¿¦¥«¥¥.

301. 68  «¬ §®¢ ° §«¨·­» ¯® ¢¥±³. �  100 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ­  · ¸¥·­»µ¢¥± µ ¡¥§ £¨°¼ ­ ©¤¨²¥ ± ¬»© «�¥£ª¨© ¨ ± ¬»© ²¿¦�¥«»©  «¬ §.

302. � £®±²¨­¨¶³ ¯°¨¥µ « ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª. � ­¥£® ¡»«  «¨¸¼ ±¥-°¥¡°¿­ ¿ ¶¥¯®·ª  ¨§ 7 §¢¥­¼¥¢. �  ª ¦¤»© ¤¥­¼ ¯°¥¡»¢ ­¨¿ ¢£®±²¨­¨¶¥ ®­ ° ±¯« ·¨¢ «±¿ ®¤­¨¬ §¢¥­®¬ ¶¥¯®·ª¨. ) � ª®¥ §¢¥­® ¶¥¯®·ª¨ ­ ¤® ° ±¯¨«¨²¼, ·²®¡» ¯°®¦¨²¼ ¢ £®-±²¨­¨¶¥ 7 ¤­¥© ¨ ¥¦¥¤­¥¢­® ° ±¯« ·¨¢ ²¼±¿ ± µ®§¿¨­®¬? (�®-§¿¨­ ¬®¦¥² ¤ ¢ ²¼ ±¤ ·³ §¢¥­¼¿¬¨, ¯®«³·¥­­»¬¨ ¨¬ ° ­¥¥.)¡)� �ª®«¼ª® §¢¥­¼¥¢ ¯°¨¸«®±¼ ¡» ° ±¯¨«¨²¼, ¥±«¨ ¡» ¯³²¥¸¥-±²¢¥­­¨ª ¦¨« ¢ £®±²¨­¨¶¥ 100 ¤­¥© ± ¶¥¯®·ª®© ¨§ 100 §¢¥­¼¥¢?

303. � 9 ¬¥¸ª µ ¢±¥ ¬®­¥²» ­ ±²®¿¹¨¥ (¢¥±¿² ¯® 10 £),   ¢ ®¤­®¬¢±¥ ´ «¼¸¨¢»¥ (¢¥±¿² ¯® 11 £). �¤­¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬ ­  ²®·-­»µ ¢¥± µ ±® ±²°¥«ª®© ®¯°¥¤¥«¨²¼, ¢ ª ª®¬ ¬¥¸ª¥ ´ «¼¸¨¢»¥¬®­¥²».

54

304. �¬¥¾²±¿ 4 ¯ ª¥²  ¨ · ¸¥·­»¥ ¢¥±» ¡¥§ £¨°¼. �  5 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨©° ±¯®«®¦¨²¥ ¯ ª¥²» ¯® ¢¥±³.

305.� �°¥¤¨ 12 ¬®­¥² ¨¬¥¥²±¿ ®¤­  ´ «¼¸¨¢ ¿. � ©¤¨²¥ ¥�¥ §  ²°¨¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  ¢¥± µ ± ¤¢³¬¿ · ¸ª ¬¨ ¡¥§ £¨°¼, ¥±«¨ ­¥¨§-¢¥±²­®, «¥£·¥ ®­  ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ®±² «¼­»µ.

306.� �  ±³¤¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­®£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯°¥¤º¿¢«¥­®14 ¬®­¥². �³¤ §­ ¥², ·²® ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²» ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®-¢®, ­ ±²®¿¹¨¥ ¬®­¥²» ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢® ¨ ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²»«¥£·¥ ­ ±²®¿¹¨µ. �ª±¯¥°² ®¡­ °³¦¨«, ·²® ¬®­¥²» ± 1-© ¯® 7-¾ ´ «¼¸¨¢»¥,   ± 8-© ¯® 14-¾ | ­ ±²®¿¹¨¥. � ª ®­ ¬®¦¥²¤®ª § ²¼ ½²® §  ²°¨ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ¡¥§ £¨°¼?

307.� �¬¥¥²±¿ ¸¥±²¼ ®¤¨­ ª®¢»µ ± ¢¨¤³ £¨°¥ª ¬ ±±®© 1, 2, 3, 4, 5 ¨ 6 £±®®²¢¥²±²¢¥­­®. �  £¨°¼ª µ ±¤¥« «¨ ­ ¤¯¨±¨: À1 £Á, À2 £Á, À3 £Á,À4 £Á, À5 £Á ¨ À6 £Á. � ª ¤¢³¬¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿¬¨ ­  · ¸¥·­»µ¢¥± µ ¡¥§ ¤°³£¨µ £¨°¥ª ¯°®¢¥°¨²¼ ¯° ¢¨«¼­®±²¼ ¢±¥µ ¸¥±²¨­ ¤¯¨±¥©?

308.  ) �  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® · ±²¥© ­ ¤® ° §°¥§ ²¼ ²®°²,·²®¡» ¥£® ¬®¦­® ¡»«® ° §¤ ²¼ ¯®°®¢­³ ª ª ²°®¨¬, ² ª ¨ ·¥-²¢¥°»¬?¡) �ª®«¼ª® ª®¬­ ² ¤®«¦­® ¡»²¼ ¢ ª¢ °²¨°¥, ª³¤  ¬®¦­® § ±¥-«¨²¼ 1, 2, 3 ¨«¨ 4 ±¥¬¼¨, ° §¤¥«¨¢ ¦¨«¯«®¹ ¤¼ ¯®°®¢­³ ¬¥¦¤³¢±¥«¿¥¬»¬¨ ±¥¬¼¿¬¨?¢)� � ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® £¨°¼ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®¤¨­ ª®¢»µ)¬®¦¥² ¡»²¼ ° §«®¦¥­® ¨ ­  3, ¨ ­  4, ¨ ­  5 ª³· ®¤¨­ ª®¢®©¬ ±±»?£)� � ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® £¨°¼ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®¤¨­ ª®¢»µ)¬®¦¥² ¡»²¼ ° §«®¦¥­® ¨ ­  4, ¨ ­  5, ¨ ­  6 ª³· ®¤¨­ ª®¢®©¬ ±±»?

309. � ª« ±±¥ ·¨±«® ®²±³²±²¢³¾¹¨µ ³·¥­¨ª®¢ ±®±² ¢«¿«® 1=6 · ±²¼·¨±«  ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ. �®£¤  ¨§ ª« ±±  ¢»¸¥« ®¤¨­ ³·¥­¨ª,·¨±«® ®²±³²±²¢³¾¹¨µ ±² «® ° ¢­® 1=5 ·¨±«  ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ.�ª®«¼ª® ³·¥­¨ª®¢ ¢ ª« ±±¥?

55

�®¢¬¥±²­ ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±²­ ¿ ° ¡®² 

�¨¢�¥² ¦¥ ª®² � ±¨«¨©

­  ±¢¥²¥ ¡¥§ ³±¨«¨©.

� °¨±  �¨««¥°

310. �®¸ ¤¼ ±º¥¤ ¥² ª®¯­³ ±¥­  §  2 ±³²®ª, ª®°®¢  | §  3, ®¢¶  |§  6 ±³²®ª. �  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ±º¥¤¿² ª®¯­³ ±¥­  «®¸ ¤¼, ª®°®¢ ¨ ®¢¶  ¢¬¥±²¥?

311. �  ¬¥«¼­¨¶¥ ¥±²¼ ²°¨ ¦¥°­®¢ . �  ¯¥°¢®¬ §  ±³²ª¨ ¬®¦­® ±¬®-«®²¼ 60 ·¥²¢¥°²¥© §¥°­ , ­  ¢²®°®¬ | 54,   ­  ²°¥²¼¥¬ | 48.�¥ª²® µ®·¥² ±¬®«®²¼ 81 ·¥²¢¥°²¼ §¥°­ . �  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥¢°¥¬¿ ®­ ±¬®¦¥² ±¬®«®²¼ §¥°­®?

312. � ª®¬­ ²¥ ®ª § «®±¼ 300 ¢�¥¤¥° ¢®¤». �¢  ­ ±®±  ±² «¨ ¢»ª ·¨-¢ ²¼ ¢®¤³. �¤¨­ ­ ±®± §  2 · ±  ¢»ª ·¨¢ ¥² 48 ¢�¥¤¥°, ¤°³£®©§  6 · ±®¢ | 129 ¢�¥¤¥°. �¥°¥§ ±ª®«¼ª® · ±®¢ ¢»ª · ¾² ¢±¾¢®¤³, ¥±«¨ ¥¦¥· ±­® ± ¯®²®«ª  ¯®±²³¯ ¥² 8 ¢�¥¤¥° ¢®¤»?

313. � ¡ ª ¢¬¥¹ ¥²±¿ 60 «¨²°®¢ ¢®¤». � ­¥¬³ ¯°®¢¥¤¥­» ¤¢¥ ²°³-¡». �¥°¥§ ¯¥°¢³¾ ²°³¡³ §  10 ¬¨­³² ¬®¦­® ­ ¯®«­¨²¼ ¯³±²®©¡ ª. �¥°¥§ ¢²®°³¾ ²°³¡³ §  15 ¬¨­³² ¬®¦­® ®¯®°®¦­¨²¼ ¯®«-­»© ¡ ª. �ª®«¼ª® ¢®¤» ®ª ¦¥²±¿ ¢ ¡ ª¥ ·¥°¥§ 5 ¬¨­³², ¥±«¨®²ª°»²¼ ®¡¥ ²°³¡»?

314. �¥°¥§ ª° ­ ¢®¤  § ¯®«­¿¥² ¡ ª §  3 · ± ,   ·¥°¥§ ±«¨¢­®¥ ®²-¢¥°±²¨¥ ¢±¿ ¢®¤  ¨§ ¡ ª  ¢»«¨¢ ¥²±¿ §  5 · ±®¢. �  ª ª®¥ ¢°¥¬¿¢®¤  § ¯®«­¨² ¡ ª ¯°¨ ®²ª°»²»µ ª° ­¥ ¨ ®²¢¥°±²¨¨?�)

315. �¥°«®ª �®«¬± ¨ ¤®ª²®° � ²±®­, ° ¡®² ¿ ¢¬¥±²¥, ¬®£³² ¢»-°»²¼ ª ­ ¢³ §  6 · ±®¢. �±«¨ ¡» �®«¬± °»« 4 · ± ,   § ²¥¬� ²±®­ | 6 · ±®¢, ²® ª ­ ¢  ¡»«  ¡» ¢»°»²  ­  80%. �  ±ª®«¼-ª® · ±®¢ �®«¬±, ° ¡®² ¿ ¢ ®¤¨­®·ª³, ¢»°»« ¡» ½²³ ª ­ ¢³?

316. �¤­  ±­¥£®³¡®°®·­ ¿ ¬ ¸¨­  ¬®£«  ¡» ³¡° ²¼ ¢±¾ ³«¨¶³ § 1 · ±,   ¤°³£ ¿ | §  45 ¬¨­³². � · ¢ ° ¡®²³ ®¤­®¢°¥¬¥­-­®, ¬ ¸¨­» ¯°®° ¡®² «¨ ¢¬¥±²¥ 20 ¬¨­³², ¯®±«¥ ·¥£® ¯¥°¢ ¿

�)�·¨² ©²¥, ·²® ±ª®°®±²¼ ¢»²¥ª ­¨¿ ¢®¤» ¨§ ¡ ª  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¥£®­ ¯®«­¥­­®±²¨.

56

±«®¬ « ±¼. �¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ¢²®° ¿ ¬ ¸¨­  § ª®­·¨«  ° -¡®²³?

317. �¤­  ¬¥«¼­¨¶  ¯¥°¥¬ «»¢ ¥² 19 ¶¥­²­¥°®¢ ¯¸¥­¨¶» §  3 · ± ,¤°³£ ¿ | 32 ¶¥­²­¥°  §  5 · ±®¢, ²°¥²¼¿ | 10 ¶¥­²­¥°®¢ § 2 · ± . � ª ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ 133 ²®­­» ¯¸¥­¨¶»,·²®¡», ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­ · ¢ ° ¡®²³, ®­¨ ®ª®­·¨«¨ ¥�¥ ®¤­®¢°¥-¬¥­­®?

318. �¤¨­ ·¥«®¢¥ª ¢»¯¼¥²ª ¤¼ ¯¨²¨¿ §  14 ¤­¥©,  ¢¬¥±²¥ ± ¦¥­®¾ |§  10 ¤­¥©. �  ±ª®«¼ª®¤­¥© ¦¥­  ¢»¯¼¥² ²³¦¥ ª ¤¼?�)

318.0 �  ¤¥±¿²¼ ¤­¥© ¯¨° ² �°�¥¬ ±¯®±®¡¥­ ¢»¯¨²¼ ¡®·ª³ °®¬ ,  ³ ¯¨° ²³¸ª¨ �¬¥«¨ ³¸«® ¡ ­ ½²® ¤¢¥ ­¥¤¥«¨. �  ±ª®«¼ª® ¤­¥©¯°¨ª®­· ² °®¬ ¯¨° ²», ¤¥©±²¢³¿¢¤¢®�¥¬?

319. � «»¸ ¬®¦¥² ±º¥±²¼ ²®°² §  10 ¬¨­³², ¡ ­ª³ ¢ °¥­¼¿ | § 8 ¬¨­³²,   ª ±²°¾«¾ ¯°®±²®ª¢ ¸¨ | §  15 ¬¨­³². � °«±®­¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ ½²® §  2, 3 ¨ 4 ¬¨­³²» ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. �  ª ª®¥¢°¥¬¿ ®­¨ ¢¬¥±²¥ ¬®£³² ¯®ª®­·¨²¼ ± § ¢²° ª®¬, ±®±²®¿¹¨¬ ¨§²®°² , ¡ ­ª¨ ¢ °¥­¼¿ ¨ ª ±²°¾«¨ ¯°®±²®ª¢ ¸¨?

320. �  312 · ±  ° ¡®²» ¯¥°¢»© ¸² ¬¯®¢®·­»© ¯°¥±± ¬®¦¥² ¨§£®-²®¢¨²¼ 42% ¢±¥µ § ª § ­­»µ ¤¥² «¥©. �²®°®© ¯°¥±± §  9 · ±®¢° ¡®²» ¬®¦¥² ¨§£®²®¢¨²¼ 60% ¢±¥µ ¤¥² «¥©. �ª®°®±²¼ ° ¡®-²» ²°¥²¼¥£® ¯°¥±±  ­  20% ¡®«¼¸¥ ±ª®°®±²¨ ¢²®°®£® ¯°¥±± .�  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¡³¤¥² ¢»¯®«­¥­ ¢¥±¼ § ª § ¯°¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­®©° ¡®²¥ ¢±¥µ ²°�¥µ ¯°¥±±®¢?

321. �°¨ ²° ª²®°­»¥ ¡°¨£ ¤» ¢¬¥±²¥ ¢±¯ µ «¨ ¯®«¥ §  4 ¤­¿. �²®¦¥ ¯®«¥ ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ¡°¨£ ¤» ¢¬¥±²¥ ¢±¯ µ «¨ ¡» §  6 ¤­¥©,  ¯¥°¢ ¿ ¨ ²°¥²¼¿ ¢¬¥±²¥ | §  8 ¤­¥©. �® ±ª®«¼ª® ° § ¡®«¼¸¥¯«®¹ ¤¼, ¢±¯ µ¨¢ ¥¬ ¿ §  ²°¨ ¤­¿ ¢²®°®© ¡°¨£ ¤®©, ¯® ±° ¢­¥-­¨¾ ± ¯«®¹ ¤¼¾, ¢±¯ µ¨¢ ¥¬®© §  ¤¢  ¤­¿ ²°¥²¼¥© ¡°¨£ ¤®©?

322. �¢ ­, ��¥²° ¨ �¨°¨«« ª®±¨«¨ ²° ¢³. ��¥²° ¨ �¨°¨«« ±ª®±¨«¨ ¡»¢±¾ ²° ¢³ ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ �¢ ­. �¢ ­ ¨ �¨°¨«« ±ª®±¨«¨ ¡»

�)�²  § ¤ ·  | ¨§ À�°¨´¬¥²¨ª¨Á �.�.� £­¨¶ª®£®.

57

¢±¾ ²° ¢³ ¢²°®¥ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ��¥²°. �® ±ª®«¼ª® ° § ¡»±²°¥¥,·¥¬ �¨°¨««, ±ª®±¨«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ �¢ ­ ¨ ��¥²°?

323. �¥²»°¥ ·�¥°­¥­¼ª¨µ ·³¬ §¥­¼ª¨µ ·¥°²�¥­ª  ·¥°²¨«¨ ·�¥°­»¬¨·¥°­¨« ¬¨ ·¥°²�¥¦ ·¥²»°¥ · ± . �±«¨ ¡» ¯¥°¢»© ·¥°²�¥­®ª ·¥°-²¨« ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥,   ¢²®°®© | ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥, ²® ¨¬ ¯®²°¥-¡®¢ «®±¼ ¡» ±²®«¼ª® ¦¥ ¢°¥¬¥­¨; ¥±«¨ ¡», ­ ®¡®°®², ¯¥°¢»©·¥°²¨« ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥,   ¢²®°®© | ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥, ²® ®­¨³¯° ¢¨«¨±¼ ¡» §  ¤¢  · ±  ±®°®ª ¬¨­³². �  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ­ ·¥°-²¨«¨ ¡» ·¥°²�¥¦ ¯¥°¢»¥ ²°¨ ·¥°²�¥­ª  ¡¥§ ¯®¬®¹¨ ·¥²¢�¥°²®£®?

324.� �°¨ ª ­ «® °¬¥©¶  ª®¯ «¨ ª ­ ¢³. �­ · «  ¯¥°¢»© ª ­ «® °-¬¥¥¶ ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³-£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³, § ²¥¬ ¢²®°®© ¯°®° ¡®² « ¯®-«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼¢±¾ ª ­ ¢³, ­ ª®­¥¶, ²°¥²¨© ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨,­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³. � °¥-§³«¼² ²¥ ª ­ ¢  ¡»«  ¢»°»² . �® ±ª®«¼ª® ° § ¡»±²°¥¥ ¡»« ¡» ¢»°»²  ª ­ ¢ , ¥±«¨ ¡» ± ± ¬®£® ­ · «  ° ¡®² «¨ ¢±¥ ²°®¥¢¬¥±²¥?

325.�  ) �°¨ ¯¨° ²  § µ¢ ²¨«¨ ª®° ¡«¼ ± ° §­®®¡° §­¥©¸¨¬ ¤®¡°®¬.� ¦¤»© ³¢¥°¥­, ·²® ®­ ¡» ¯®¤¥«¨« ¤®¡»·³ ­  ° ¢­»¥ · ±²¨,­® ®±² «¼­»¥ ¥¬³ ­¥ ¤®¢¥°¿¾². �±«¨ ¡» ¯¨° ²®¢ ¡»«® ¤¢®¥,²® ¢»©²¨ ¨§ ¯®«®¦¥­¨¿ ¡»«® ¡» «¥£ª®: ®¤¨­ ° §¤¥«¨« ¡» ¤®-¡»·³ ­  ¤¢¥ · ±²¨,   ¤°³£®© ¢§¿« ¡» ²³, ª®²®° ¿ ¥¬³ ª ¦¥²±¿¡�®«¼¸¥©. �°£ ­¨§³©²¥ ° §¤¥« ¤®¡»·¨ ¬¥¦¤³ ²°¥¬¿ ¯¨° ² -¬¨, ·²®¡» ­¨ª²® ­¥ ·³¢±²¢®¢ « ±¥¡¿ ®¡¤¥«�¥­­»¬. (�®¡»·  ­ -±²®«¼ª® ° §­®°®¤­  ¨ ¢ª³±» ¯¨° ²®¢ ­ ±²®«¼ª® ­¥±µ®¦¨, ·²®®¡º¥ª²¨¢­®£® ±¯®±®¡  ±° ¢­¥­¨¿ ®²¤¥«¼­»µ · ±²¥© ­¥ ±³¹¥-±²¢³¥².) ¡) � ¥±«¨ ¯¨° ²®¢ ­¥ 3,   15?

326. � ®¤­®£®  ° ¡  ¡»« ª³¢¸¨­ ¬®«®ª , ³ ¤°³£®£® | µ«¥¡,   ³ ²°¥-²¼¥£® | 6 ´¨­¨ª®¢. �  ®¡¥¤ ²°¥²¨©  ° ¡ § ¯« ²¨« ®±² «¼­»¬20 ¬®­¥². � ª ±«¥¤³¥² ° §¤¥«¨²¼ ½²¨ ¤¥­¼£¨, ¥±«¨ ¥«¨ ¯®°®¢­³,4 ª³¢¸¨­  ¬®«®ª  ±²®¿² ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® 3 µ«¥¡ ,   ®¤¨­ª³¢¸¨­ ¬®«®ª  ° ¢­®¶¥­¥­ 36 ´¨­¨ª ¬?

58

�¥«¨¬®±²¼

�¥«®¥ ·¨±«® a ¤¥«¨²±¿ ­  ¶¥«®¥·¨±«® b , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥

¶¥«®¥ ·¨±«® k , ·²® a = kb .

327. � ·¨±«³ 15 ¯°¨¯¨¸¨²¥ ±«¥¢ ¨ ±¯° ¢  ¯® ®¤­®© ¶¨´°¥ ² ª,·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¤¥-«¨«®±¼ ­  15.

327.0 � ·¨±«³ 10 ¯°¨¯¨¸¨²¥±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ¯® ®¤­®© ¶¨´-°¥ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼·¨±«®, ª° ²­®¥ 72.

328. �¥ª®²®°®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  4 ¨ ­  6. �¡¿§ ²¥«¼­® «¨ ®­® ¤¥-«¨²±¿ ­  24?

329. � ©¤¨²¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ¤¥«¿¹¥¥±¿ ­  36, ¢§ ¯¨±¨ ª®²®°®£® ³· ±²¢³¾² ¢±¥ 10 ¶¨´° ¯® ®¤­®¬³ ° §³.

330. �  ¤®±ª¥ ­ ¯¨± ­®: 645�7235 . � ¬¥­¨²¥ §¢�¥§¤®·ª³ ¶¨´°®© ² ª,·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ­  3.

331. � ¬¥­¨²¥ §¢�¥§¤®·ª¨ ¢ § ¯¨±¨ ·¨±«  72�3� ¶¨´° ¬¨ ² ª, ·²®¡»·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ¡¥§ ®±² ²ª  ­  45.

332. � ±²° ­¥ �­·³°¨¨ ¢ ®¡° ¹¥­¨¨ ¨¬¥¾²±¿ ª³¯¾°» ±«¥¤³¾¹¨µ¤®±²®¨­±²¢: 1  ­·³°, 10  ­·³°®¢, 100  ­·³°®¢, 1000  ­·³°®¢.�®¦­® «¨ ®²±·¨² ²¼ ¬¨««¨®­  ­·³°®¢ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼°®¢­® ¯®«¬¨««¨®­  ª³¯¾°?

�����

�

333. � ©¤¨²¥ ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, ¯¥°¢ ¿ ¶¨´°  ª®²®°®£®° ¢­  ° §­®±²¨ ¬¥¦¤³ ½²¨¬ ·¨±«®¬ ¨ ·¨±«®¬, § ¯¨-± ­­»¬ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ­® ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥.

334. �¥°­® «¨, ·²® ¥±«¨ § ¯¨± ²¼ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥ ¶¨´°» «¾¡®-£® ¶¥«®£® ·¨±« , ²® ° §­®±²¼ ¨±µ®¤­®£® ¨ ­®¢®£® ·¨±¥« ¡³¤¥²¤¥«¨²¼±¿ ­  9?

335. � ©¤¨²¥ ¢±¥ ¤¢³§­ ·­»¥ ·¨±« , ±³¬¬  ¶¨´° ª®²®°»µ ­¥ ¬¥­¿-¥²±¿ ¯®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ­¨ ­  2, ­¨ ­  3, : : : , ­¨ ­  8, ­¨ ­  9.

336. �³¹¥±²¢³¥² «¨ ¶¥«®¥ ·¨±«®, ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¶¨´° ª®²®°®£® ° ¢­®528?

59

337. �ª®«¼ª® ¶¨´° ¢ ·¨±«¥ 11 : : : 11 , ¥±«¨ ®­® ¤¥«¨²±¿ ¡¥§ ®±² ²ª ­  999 999 999?

338. � ·¨±«¥ ¯¥°¥±² ¢¨«¨ ¶¨´°» ¨ ¯®«³·¨«¨ ·¨±«®, ¢ 3 ° §  ¬¥­¼¸¥¥¨±µ®¤­®£®. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¨±µ®¤­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  27.

339. � ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°. � ¯®«³·¥­­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨-¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ¨ ² ª ¤ «¥¥. �®£¤  ¢ ±¥¤¼¬®© ° § ª·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ¯®«³·¨«¨ 1000. � ª ª®£®·¨±«  ­ · «¨?

340. �¥§­ ©ª  ¯¥°¥¬­®¦¨« ¢±¥ ·¨±«  ®² 1 ¤® 100. �®±·¨² « ±³¬¬³¶¨´° ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. � ¯®«³·¥­­®£® ·¨±«  ®­ ±­®¢  ¯®±·¨² «±³¬¬³ ¶¨´°, ¨ ² ª ¤ «¥¥. � ª®­¶¥ ª®­¶®¢ �¥§­ ©ª  ¯®«³·¨«®¤­®§­ ·­®¥ ·¨±«®. � ª®¥?

�  ¬ ¥ ·  ­ ¨ ¥. �  ª®¬¯¼¾²¥°¥ «¥£ª® ¯®±·¨² ²¼, ·²® ·¨±«® 100! |¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯¥°¢»µ 100 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« | ° ¢­® 9332621544394-415268169923885626670049071596826438162146859296389521759999322-991560894146397615651828625369792082722375825118521091686400000-0000000000000000000 , ¢±¥£® 158 ¶¨´°. �­ ¿ ½²®, ­¥²°³¤­® ¢»·¨±-«¨²¼, ·²® ±³¬¬  ¶¨´° ·¨±«  100! ° ¢­  648, ² ª ·²® ±³¬¬  ¶¨´°±³¬¬» ¶¨´° ° ¢­  18,   ±³¬¬  ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ·¨±« 100! ° ¢­  9. �® ­¥«¼§¿ «¨ °¥¸¨²¼ § ¤ ·³ ¡¥§ ² ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨©?

341. � ª ¦¤®£® ¨§ ·¨±¥« ®² 1 ¤® 1 000 000 000 ¯®¤±·¨² «¨ ±³¬¬³¥£® ¶¨´°, ³ ª ¦¤®£® ¨§ ¯®«³·¨¢¸¥£®±¿ ¬¨««¨ °¤  ·¨±¥« ±­®¢ ¯®¤±·¨² «¨ ±³¬¬³ ¶¨´°, ¨ ² ª ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¥ ¯®«³·¨«¨¬¨««¨ °¤ ®¤­®§­ ·­»µ ·¨±¥«. � ª¨µ ·¨±¥« ¯®«³·¨«¨ ¡®«¼¸¥¢±¥£®?

�� � �� = ����342. �¥²¿ § ¬¥­¨« ¢ ¯°¨¬¥°¥ ­  ³¬­®¦¥­¨¥®¤¨­ ª®¢»¥ ¶¨´°» ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¡³ª¢ -¬¨,   ° §­»¥ | ° §­»¬¨. �®ª ¦¨²¥, ·²® ®­ ®¸¨¡±¿.

343.  ) �®ª ¦¨²¥, ·²® ·¨±«  ¢¨¤  aa , abcabc , abcdeabcde ¤¥«¿²±¿­  11.¡) �±«¨ ª ¯°®¨§¢®«¼­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¯¨± ²¼ ·¨±«®, § ¯¨± ­­®¥²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«®¡¥§ ®±² ²ª  ° §¤¥«¨²±¿ ­  11: ­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  ¢¨¤  aa , abba ,abccba ª° ²­» 11. �®ª ¦¨²¥ ½²®.

60

�£°»

�±²¼ ¢¥¹¨, ª®²®°»¥ ±¯®ª®©­®

¬®¦­® ®¡º¿±­¨²¼ ¤¢ ¦¤» ¨

²°¨¦¤», ­¥ ®¯ ± ¿±¼, ·²® ²¥¡¿

¯®©¬³².

�°¥¬³¤° ¿ �®¢ 

344. �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±² ¢¿² ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ « ¤¼¨ (§  ®¤¨­µ®¤ | ®¤­³ « ¤¼¾), ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ . (�²® ª -ª³¾ « ¤¼¾ ¯®±² ¢¨«, ­¥ ³·¨²»¢ ¥²±¿. �¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ « ¤¼¾¤ ¦¥ ¯®¤ ¡®© ±¢®¥© « ¤¼¨.) �²® ­¥ ¬®¦¥² ¯®±² ¢¨²¼ « ¤¼¾,¯°®¨£°»¢ ¥². �²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥ | ¯¥°¢»©¨«¨ ¢²®°®©?

345. �­¿ ¨ � ­¿ ¢»¯¨±»¢ ¾² 8-§­ ·­®¥ ·¨±«®, ±² ¢¿ ¶¨´°» ¯® ®·¥-°¥¤¨, ­ ·¨­ ¿ ±® ±² °¸¥£® ° §°¿¤ . � ·¨­ ¥² �­¿. �®¦¥² «¨� ­¿ ¤®¡¨²¼±¿, ·²®¡» ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ­  9?

346. � ¤¼¿ ±²®¨² ­  ¯®«¥ a1 . �  µ®¤ ° §°¥¸ ¥²±¿ ±¤¢¨­³²¼ ¥�¥ ­ «¾¡®¥ ·¨±«® ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª ¢¯° ¢® ¨«¨ ­  «¾¡®¥ ·¨±«® ª«¥-²®ª ¢¢¥°µ. �»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ¯®±² ¢¨² « ¤¼¾ ­  ¯®«¥ h8 .� ª®£® ¥±²¼ ¢»¨£°»¸­ ¿ ±²° ²¥£¨¿?

347. �¬¥¾²±¿  ) 2; ¡) 3 ®¤¨­ ª®¢»¥ ª³·¨ ª ¬­¥©. �¢®¥ ¨£° ¾-¹¨µ ¡¥°³² ¯® ®·¥°¥¤¨ «¾¡®¥ ·¨±«® ª ¬­¥© ¨§ «¾¡®© ª³·¨, ­®²®«¼ª® ¨§ ®¤­®©. �»¨£°»¢ ¥² ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. �²®¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

348. �¢®¥ ¨£° ¾², ¯¥°¥¤¢¨£ ¿ª®°®«¿ ¯® ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥.�®¯³±ª ¾²±¿ µ®¤» ­  ®¤­® ¯®«¥¢«¥¢®, ¢­¨§ ¨«¨ ¯® ¤¨ £®­ «¨¢«¥¢®-¢­¨§. �»¨£°»¢ ¥² ²®²,ª²® ±² ¢¨² ª®°®«¿ ­  ¯®«¥ a1 .�°¨ ª ª¨µ ­ · «¼­»µ ¯®«®-¦¥­¨¿µ ª®°®«¿ ¢»¨£°»¢ ¥²­ ·¨­ ¾¹¨©,   ¯°¨ ª ª¨µ |¥£® ¯ °²­�¥°?

348.0 �¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ª³·¨ª ¬­¥©. �¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ¡¥°³² ¯® ®·¥°¥¤¨ ª ¬­¨.� §°¥¸ ¥²±¿ ¢§¿²¼ ®¤¨­ª ¬¥­¼ ¨§ «¾¡®© ª³·¨¨«¨ ¯® ®¤­®¬³ ª ¬­¾ ¨§®¡¥¨µ ª³·. �»¨£°»¢ ¥²¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨.�±±«¥¤³©²¥ ½²³ ¨£°³.

61

349. �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¡¥°³² ¨§ ª³·¨ ª ¬­¥© 1, 2 ¨«¨ 4 ª ¬­¿. �»-¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. �°¨ ª ª®¬·¨±«¥ ª ¬­¥© ¢ ª³·¥ ­ ·¨­ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼, ª ª ¡» ­¨¨£° « ¥£® ¯ °²­�¥°?

350. � °¿¤ ° ±¯®«®¦¥­» 12 ª«¥²®ª. �  ± ¬®© ¯° ¢®© ª«¥²ª¥ ±²®¨²¡¥« ¿ ´¨¸ª , ­  ± ¬®© «¥¢®© | ·�¥°­ ¿. �¢  ¨£°®ª  ¯® ®·¥°¥¤¨¯¥°¥¤¢¨£ ¾² ±¢®¾ ´¨¸ª³ ­  ®¤­® ¯®«¥ | ¢¯¥°�¥¤ ¨«¨ ­ § ¤.(�°®¯³±²¨²¼ µ®¤ ­¥«¼§¿.) �°®¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¾² ²®£®, ³ ª®£®­¥² µ®¤ . �²® ¢»¨£°»¢ ¥²: ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­�¥°?

351. �  ¤®±ª¥ ±­ · «  ­ ¯¨± ­® ·¨±«® 1. � ¦¤»¬ µ®¤®¬ ª ·¨±«³¬®¦­® ¯°¨¡ ¢¨²¼ 3, 5 ¨«¨ 7. �³­¿ ¨ �°®­¿ µ®¤¿² ¯® ®·¥°¥¤¨² ª, ·²® ¯®±«¥ «¾¡®£® µ®¤  �³­¨ ¯®«³· ¾²±¿ ·�¥²­»¥ ·¨±« ,  ¯®±«¥ «¾¡®£® µ®¤  �°®­¨ | ­¥·�¥²­»¥. �°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ¢±¥½²¨ ­¥·�¥²­»¥ ·¨±«  ¡»«¨ ¯°®±²»¬¨.�) �¥«¼ �°®­¨ | ­ §¢ ²¼·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ ±² . �¥«¼ �³­¨ | ¯®¬¥¸ ²¼ �°®­¥. (�±«¨ ¯¥°-¢»¬ ­ §®¢�¥² ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ 100, �³­¿, ¢»¨£° ¢¸¨¬ ¢±�¥ ° ¢­®±·¨² ¥²±¿ �°®­¿.) �²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

352. �¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¢®¤¿² · ±®¢³¾ ±²°¥«ª³ ­  2¨«¨ 3 · ±  ¢¯¥°�¥¤. �±«¨ ¢ ­ · «¥ · ±®¢ ¿ ±²°¥«ª  ³ª §»¢ ¥² 12,  ¯®¡¥¤¨²¥«¥¬ ®¡º¿¢«¿¥²±¿ ²®², ¯®±«¥ ·¼¥£® µ®¤  ®­  ³ª § « ­  6, ³§­ ©²¥, ª²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥.y)

353.� �£° ¾² ¤¢®¥. �¥°¢»© ­ §»¢ ¥² ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2¤® 9. �²®°®© ³¬­®¦ ¥² ½²® ·¨±«® ­  ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«®®² 2 ¤® 9. � ²¥¬ ¯¥°¢»© ³¬­®¦ ¥² °¥§³«¼² ² ­  «¾¡®¥ ¶¥«®¥·¨±«® ®² 2 ¤® 9, ¨ ². ¤. �»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ¯¥°¢»¬ ¯®«³·¨²¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡®«¼¸¥ 1 000. �²® ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥ ¢»¨£°»-¢ ¥² | ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­�¥°?

354. �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±² ¢¿² ¯® ®¤­®¬³ ª®­¾ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±-ª³. �¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ ´¨£³°³ ¯®¤ ¡®© ° ­¥¥ (­¥ ¢ ¦­®, ± ¬¨¬

�)�°®±²®¥ ·¨±«® | ½²® ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ¨¬¥¥² °®¢­® ¤¢ ° §«¨·­»µ ¤¥«¨²¥«¿: ± ¬®£® ±¥¡¿ ¨ 1. �¥°¢»¥ ¤¢ ¤¶ ²¼ ¯°®±²»µ ·¨±¥«² ª®¢»: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71.

y)�²°¥«ª  ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ ­¥±ª®«¼ª® ®¡®°®²®¢, ¯°¥¦¤¥ ·¥¬ ®±² ­®¢¨²±¿­  ¶¨´°¥ 6.

62

¨£°®ª®¬ ¨«¨ ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª®¬) ¯®±² ¢«¥­­®© ´¨£³°». �²® ­¥¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤, ¯°®¨£°»¢ ¥². �²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®©¨£°¥?

355. � ±²°®·ª³ ­ ¯¨± ­® ­¥±ª®«¼ª® ¬¨­³±®¢. �¢  ¨£°®ª  ¯® ®·¥°¥-¤¨ ¯¥°¥¯° ¢«¿¾² ®¤¨­ ¨«¨ ¤¢  ±®±¥¤­¨µ ¬¨­³±  ­  ¯«¾±. �»-¨£°»¢ ¥² ¯¥°¥¯° ¢¨¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨© ¬¨­³±. �²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥: ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­�¥°?

356. �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ®¡°»¢ ¾² «¥¯¥±²ª¨ ³ °®¬ ¸ª¨, ¯°¨·�¥¬ § ®¤¨­ ° § ¬®¦­® ®¡®°¢ ²¼ 1 ¨«¨ 2 ±®±¥¤­¨µ (°¿¤®¬ ° ±²³¹¨µ)«¥¯¥±²ª . �»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ±¤¥« ¥² ¯®±«¥¤­¨© µ®¤. �²®¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

357. �  ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 7� 7 ¤¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ § ª° ¸¨¢ ¾² ª«¥²ª¨² ª, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¨¬¥«¨ ®¡¹¨µ  ) ±²®°®­; ¡) ²®·¥ª. �°®¨£°»-¢ ¥² ²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤. �²® ¢»¨£°»¢ ¥² ¯°¨¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

358. �  ®ª°³¦­®±²¨ ¤ ­» 20 ²®·¥ª. �£° ¾² ¤¢®¥. � ¦¤»¬ µ®¤®¬¨£°®ª ¯°®¢®¤¨² µ®°¤³ ± ª®­¶ ¬¨ ¢ ¤ ­­»µ ²®·ª µ ² ª, ·²®-¡» µ®°¤» ­¥ ¯¥°¥±¥ª «¨±¼ ¢­³²°¨ ª°³£ . (�¬¥²¼ ®¡¹¨¥ ª®­¶»µ®°¤» ¬®£³².) �°®¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ¯°®¢¥±²¨ µ®°-¤³. �²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

B

C

359. �®²» ¨¬¥¾² ´®°¬³ ª¢ ¤° ² 9 � 9 . �±¥ ª¢ ¤° ²¨ª¨, ª°®¬¥¶¥­²° «¼­®£®, § ¯®«­¥­» ¬�¥¤®¬.� ¶¥­²°¥ | ¤�¥£®²¼. �  ®¤¨­µ®¤ ° §°¥¸ ¥²±¿ ° §«®¬¨²¼ ±®²»¢¤®«¼ «¾¡®© ¢¥°²¨ª «¼­®© ¨«¨£®°¨§®­² «¼­®© «¨­¨¨ ¨ ±º¥±²¼²³ · ±²¼, £¤¥ ­¥² ¤�¥£²¿. �°®-¨£°»¢ ¥² ²®², ª®¬³ ®±² «±¿ ²®«¼-ª® ¤�¥£®²¼.  ) �²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? � ¥±«¨ ¤�¥£®²¼­ µ®¤¨²±¿ ­¥ ¢ ¶¥­²°¥,   ¢ ª«¥²ª¥ ¡) B ; ¢) C ?

63

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�±«¨ ¢  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¬ ° ¢¥­±²¢¥ ° §­»¥ ¶¨´°» § ¬¥­¨²¼° §­»¬¨ ¡³ª¢ ¬¨,   ®¤¨­ ª®¢»¥ ®¤¨­ ª®¢»¬¨, ²® ¯®«³·¨²±¿¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© °¥¡³±. �¥¸ ²¼ ¥£® ¬®¦­® ° §­»¬¨ ±¯®±®¡ -¬¨. �¥£·¥ ¢±¥£® ¯®¯°®±¨²¼ ª®¬¯¼¾²¥° ¯¥°¥¡° ²¼ ¢±¥ ¢ °¨- ­²». �® ½²® ¡¥±±¬»±«¥­­®: ¤«¿ ²®£® ¨ ±®±² ¢«¥­» °¥¡³±»,·²®¡» °¥¸ ²¼ ¨µ ±¢®¥© £®«®¢®©, ­ µ®¤¿ ±¯®±®¡» ¯¥°¥¡¨° ²¼­¥ ¬¨««¨®­» ¨ ­¥ ²»±¿·¨,   ®¤¨­-¤¢  ¢ °¨ ­²  (¢¯°®·¥¬, ¡»-¢ ¾² °¥¡³±», ¢ ª®²®°»µ ± ¬»© ¡»±²°»© ±¯®±®¡ °¥¸¥­¨¿ |¯¥°¥¡° ²¼ ¤¥±¿²®ª ¢ °¨ ­²®¢).

360. �¥¸¨²¥ °¥¡³±»:  ) �X ��� = 2001 ; ¡) ��� � �� � � = 2002 .

361. �¥¸¨²¥ °¥¡³±». (�¤¨­ ª®¢»¬ ¡³ª¢ ¬ ¤®«¦­» ±®®²¢¥²±²¢®-¢ ²¼ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¶¨´°», ° §­»¬ | ° §­»¥. �³¦­® ­ ©²¨ ¢±¥

¢®§¬®¦­»¥ ¢ °¨ ­²».)

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362. �  ¤®±ª¥ ¡»«¨ ­ ¯¨± ­» 10 ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨-±¥«. �®£¤  ±²�¥°«¨ ®¤­® ¨§ ­¨µ, ²® ±³¬¬  ¤¥¢¿²¨ ®±² ¢¸¨µ±¿®ª § « ±¼ ° ¢­  2002. � ª¨¥ ·¨±«  ®±² «¨±¼ ­  ¤®±ª¥?

363. �©° ² ¢»¯¨± « ¯®¤°¿¤ ¢±¥ ·¨±«  ¬¥±¿¶ :

12345678910111213 : : :

¨ ¯®ª° ±¨« ¤­¨ °®¦¤¥­¨¿ ²°®¨µ ±¢®¨µ ¤°³§¥©. �ª § «®±¼, ·²®­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¤­¿ °®¦¤¥­¨¿ ­¥ ¨¤³² ¯®¤°¿¤ ¨ ¢±¥ ­¥¯®ª° ¸¥­-­»¥ ¯°®¬¥¦³²ª¨ ±®±²®¿² ¨§ ®¤¨­ ª®¢®£® ª®«¨·¥±²¢  ¶¨´°. �®-ª ¦¨²¥, ·²® ¯¥°¢®¥ ·¨±«® ¬¥±¿¶  ¯®ª° ¸¥­®.

65

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¯°¨­¥±¨ ²® | ­¥ §­ ¾ ·²®.

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? ? ?364. �¥°¥±² ¢¼²¥ ·¨±« , ·²®¡» ±³¬¬» ¢®

¢±¥µ ³ª § ­­»µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿µ (¯® £®°¨-§®­² «¿¬, ¢¥°²¨ª «¿¬ ¨ ¤¢³¬ ¤¨ £®­ -«¿¬) ±² «¨ ®¤¨­ ª®¢».

365.  ) � ±±² ¢¼²¥ ·¨±«  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8¨ 9 ¢ ² ¡«¨¶³ 3 � 3 , ·²®¡» ±³¬¬» ·¨-±¥« ¢±¥µ ³ª § ­­»µ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ -·¥ ­ ¯° ¢«¥­¨© ±®¢¯ ¤ «¨.

¡) �® ¦¥ | ¤«¿ ·¨±¥« �4 , �3 , �2 , �1 , 0, 1, 2, 3, 4.

366. � ª° ±¼²¥ ª«¥²ª¨ ª¢ ¤° ²  4� 4 ¢ 4 ¶¢¥²  ² ª, ·²®¡» ®¤¨­ -ª®¢»¥ ¶¢¥²  ­¥ ¯®¢²®°¿«¨±¼ ­¨ ¢ ±²°®·ª µ, ­¨ ¢ ±²®«¡¶ µ, ­¨¯® ®¡¥¨¬ ¤¨ £®­ «¿¬.

367. � ª° ±¼²¥ ­¥±ª®«¼ª® ª«¥²®ªª¢ ¤° ²  4 � 4 ² ª, ·²®¡»«¾¡ ¿ § ª° ¸¥­­ ¿ ª«¥²ª ¨¬¥«  ®¡¹³¾ ±²®°®­³ °®¢­®± ²°¥¬¿ ­¥§ ª° ¸¥­­»¬¨,  «¾¡ ¿ ­¥§ ª° ¸¥­­ ¿ | °®¢­®± ®¤­®© § ª° ¸¥­­®©.

367.0 � ±±² ¢¼²¥ ¢ ª«¥²ª µª¢ ¤° ²  4 � 4 §­ ª¨À+Á ¨ À� Á ² ª, ·²®¡»¤«¿ «¾¡®© ª«¥²ª¨ °®¢­®¢ ®¤­®© ª«¥²ª¥, ±®±¥¤­¥©± ­¥© ¯® ±²®°®­¥, ¡»«¯°®²¨¢®¯®«®¦­»© §­ ª.

368. � ª ¡¨­¥ «¨´²  20-½² ¦­®£® ¤®¬  ¥±²¼ ¤¢¥ ª­®¯ª¨. �°¨ ­ -¦ ²¨¨ ­  ®¤­³ ¨§ ­¨µ «¨´² ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ­  13 ½² ¦¥©,   ¯°¨­ ¦ ²¨¨ ­  ¤°³£³¾ | ®¯³±ª ¥²±¿ ­  8 ½² ¦¥©. � ª ¯®¯ ±²¼ ±13-£® ½² ¦  ­  8-©?

369. �°¨¤³¬ ©²¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ¶¨´° ¬¨ 17, ¤¥«¨²±¿­  17 ¨ ¨¬¥¥² ±³¬¬³ ¶¨´°, ° ¢­³¾ 17.

370. �°¨¤³¬ ©²¥  ) ·¥²»°¥; ¡) ²»±¿·³ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬ ª®²®°»µ ° ¢­  ¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾.

66

371. �³¹¥±²¢³¾² «¨ ¤¢  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±« �),±³¬¬  ¶¨´° ª ¦¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­   ) 11; ¡) 13;¢)� 1018?£)� �±«¨ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® n ­¥ ¤¥«¨²±¿ ­  3, ²® ±³¹¥±²¢³¾²¤¢  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±« , ±³¬¬  ¶¨´° ª ¦¤®-£® ¨§ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  n . �®ª ¦¨²¥ ½²®.

�²®£® ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼, ¯®²®¬³ ·²®

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372. �®¬¥°   ¢²®¡³±­»µ ¡¨«¥²®¢ ±®±²®¿² ¨§ 6 ¶¨´°, ­ ·¨­ ¿ ± ¡¨-«¥²  000 000 ¨ ª®­· ¿ ¡¨«¥²®¬ 999 999. �¨«¥² ±·¨² ¥²±¿ ±· ±²-«¨¢»¬, ¥±«¨ ±³¬¬  ¯¥°¢»µ ²°�¥µ ¥£® ¶¨´° ° ¢­  ±³¬¬¥ ²°�¥µ¯®±«¥¤­¨µ. �®±² ²®·­® «¨ ª³¯¨²¼ 1000 ¡¨«¥²®¢ ¯®¤°¿¤, ·²®¡»±°¥¤¨ ­¨µ ­ ¢¥°­¿ª  ­ ¸�¥«±¿ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ±· ±²«¨¢»©?

373. �°¨¤³¬ ©²¥ 100-§­ ·­®¥ ·¨±«® ¡¥§ ­³«¥¢»µ ¶¨´°, ¤¥«¿¹¥¥±¿­  ±³¬¬³ ±¢®¨µ ¶¨´°.

374. �®¦­® «¨ ¯¥°¥­³¬¥°®¢ ²¼ °�¥¡° ª³¡  ·¨±« ¬¨ ®² 1 ¤® 12 (ª ¦¤®¥°¥¡°® | ±¢®¨¬ ·¨±«®¬), ·²®¡»±³¬¬  ­®¬¥°®¢ «¾¡»µ ²°�¥µ °�¥¡¥°,±µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥,¤¥«¨« ±¼ ­  3?

374.0 �®¦­® «¨ ¯®-ª° ±¨²¼ °�¥¡°  ª³¡ ²°¥¬¿ ª° ±ª ¬¨, ·²®-¡» ¢ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥±µ®¤¨«¨±¼ °�¥¡°  ¢±¥µ²°�¥µ ¶¢¥²®¢?

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5375. � ­ · «¥ ¢® ¢±¥µ ª«¥²ª µ ² ¡«¨¶» 3 � 3

±²®¿² ­³«¨. �®¦­® ¢»¡° ²¼ ª¢ ¤° ²2�2 ¨ ³¢¥«¨·¨²¼ ­  1 ¢±¥ ·¥²»°¥ ¥£® ·¨±-« . �¤ ±²±¿ «¨ §  ­¥±ª®«¼ª® ² ª¨µ ®¯¥° -¶¨© ¯®«³·¨²¼ ¨§®¡° ¦�¥­­³¾ ­  °¨±³­ª¥² ¡«¨¶³?

�)�¬¥¾²±¿ ¢ ¢¨¤³ ¤¢  ·¨±« , ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ­  1,­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  5 ¨ 6, 1297 ¨ 1298.

67

376. �  ¯«®±ª®±²¨ ¯°®¢¥¤¥­® ­¥±ª®«¼ª® ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§-ª®¢, ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. �±¥£¤ «¨ ¬®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ¥¹�¥ ­¥±ª®«¼ª® ®²°¥§ª®¢, ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ ª®­-¶» ¤ ­­»µ ®²°¥§ª®¢ ² ª, ·²®¡» ¢±¥ ®²°¥§ª¨ ¢¬¥±²¥ ®¡° §®¢ «¨®¤­³ ­¥± ¬®¯¥°¥±¥ª ¾¹³¾±¿ «®¬ ­³¾?

377.� �  ¯«®±ª®±²¨ «¥¦ ² ª°³£¨ ° ¤¨³± , ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ ª®²®°»µ ­¥¨¬¥¾² ®¡¹¨µ ¢­³²°¥­­¨µ ²®·¥ª. �±¥£¤  «¨ ¬®¦­® ° ±ª° ±¨²¼ª°³£¨ ¢ ²°¨ ¶¢¥² , ·²®¡» «¾¡»¥ ¤¢  ª ± ¾¹¨µ±¿ ª°³£  ¡»«¨° §­®£® ¶¢¥² ?

378.� �®¦­® «¨ ¡¥±ª®­¥·­»© «¨±² ª«¥²· ²®© ¡³¬ £¨ ² ª ° §¡¨²¼ ­ ¤®¬¨­®¸ª¨ 1 � 2 , ·²®¡» ª ¦¤ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¨¤³¹ ¿ ¯® «¨­¨¿¬±¥²ª¨, ° §°¥§ «  ¯®¯®« ¬ «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ¤®¬¨­®¸¥ª?

379. � ±±² ¢¼²¥ ª°¥±²¨ª¨ ¨ ­®«¨ª¨ ¢ ² ¡«¨¶¥ ° §¬¥°®¬ 5� 5 ² ª,·²®¡» ¢ ª ¦¤®© ±²°®ª¥, ª°®¬¥, ¡»²¼ ¬®¦¥², ¯¥°¢®©, ª°¥±²¨ª®¢¡»«® ¡» ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ­®«¨ª®¢,   ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ ª°®¬¥, ¡»²¼¬®¦¥², ¯®±«¥¤­¥£®, ­®«¨ª®¢ ¡»«® ¡» ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ª°¥±²¨ª®¢.

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ss380.� �§ 40 ±¯¨·¥ª ®¡° §®¢ ­  ª¢ ¤° ²-­ ¿ °¥¸�¥²ª . �®ª ¦¨²¥, ª ª ±­¿²¼9 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ¯®«­®±²¼¾ ­¥ ±®µ° -­¨«®±¼ ª®­²³°  ­¨ ®¤­®£® ª¢ ¤° ² (±®±²®¿¹¥£® ¨§ ®¤­®£® ¨«¨ ¡®«¼¸¥-£® ª®«¨·¥±²¢  ¬ «¥­¼ª¨µ ª¢ ¤° ²¨-ª®¢). �®±² ²®·­® ³ª § ²¼ ®¤¨­ ±¯®-±®¡, ª ª ½²® ±¤¥« ²¼.

381.� � ­» ¤¢¥ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¸¥±²¥°�¥­ª¨ ±13 §³¡¼¿¬¨ ª ¦¤ ¿. �µ ­ «®¦¨«¨ ¤°³£ ­  ¤°³£  ² ª, ·²® §³¡¼¿±®¢¯ «¨ (² ª, ·²® ¯°®¥ª¶¨¿ ­  ¯«®±ª®±²¼ ¢»£«¿¤¨² ª ª ®¤­ ¸¥±²¥°�¥­ª ). �®±«¥ ½²®£® ·¥²»°¥ ¯ °» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ §³¡¼¥¢¢»¯¨«¨«¨. �±¥£¤  «¨ ¬®¦­® ¯®¢¥°­³²¼ ½²¨ ¸¥±²¥°�¥­ª¨ ¤°³£®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£  ² ª, ·²®¡» ¯°®¥ª¶¨¿ ­  ¯«®±ª®±²¼ ¢»£«¿-¤¥«  ª ª ®¤­  ¶¥« ¿ ¸¥±²¥°�¥­ª  (¯°®¹¥ £®¢®°¿, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥¤¢¥ ¤»°ª¨ ­¥ ±®¢¯ «¨)?

68

382.  ) �®¦­® «¨ ¢ ¶¥­²°» ª«¥²®ª ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢¡¨²¼ 16 £¢®§-¤¥© ² ª, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥ ²°¨ £¢®§¤¿ ­¥ «¥¦ «¨ ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©?¡) � 10 £¢®§¤¥© | ¢ ¶¥­²°» ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 5� 5?

�° ¥ ¤ ³ ¯ ° ¥¦¤ ¥­ ¨ ¥. �°¿¬ ¿ | ½²® ­¥ ²®«¼ª® ¢¥°²¨ª «¼, ¤¨ -£®­ «¼ ¨«¨ £®°¨§®­² «¼.

383.  ) �°¨¤³¬ ©²¥ ² ª³¾ ´¨£³°³, ª®²®°®© ­¥«¼§¿ ­ ª°»²¼ ¯®«³-ª°³£, ­® ¤¢³¬¿ ½ª§¥¬¯«¿° ¬¨ ª®²®°®© ¬®¦­® ­ ª°»²¼ ª°³£²®£® ¦¥ ° ¤¨³± . ¡) �®¦¥² «¨ ² ª ¿ ´¨£³°  ¡»²¼ ¢»¯³ª«®©?

384. �°¨¤³¬ ©²¥ ±¨±²¥¬³ ¨§ 4 £¨°¼, ª®²®°»¬¨ ¬®¦­® ¢§¢¥±¨²¼ ­ · ¸¥·­»µ ¢¥± µ «¾¡®© ¶¥«»© ¢¥± ®² 1 ¤® 40 £. (�¨°¨ ¬®¦­®ª« ±²¼ ­  ®¡¥ · ¸ª¨ ¢¥±®¢.)

�®¤ ±ª   § ª  . �¨°¨ 1 ¨ 2 ¯®§¢®«¿¾² ¢§¢¥±¨²¼ «¾¡®© ¶¥«»© ¢¥±®² 1 ¤® 3. � £¨°¨ 1 ¨ 3 | «¾¡®© ¢¥± ®² 1 ¤® 4. �°¨¤³¬ ©²¥ ²°¨ £¨°¨,± ¯®¬®¹¼¾ ª®²®°»µ ¬®¦­® ¢§¢¥±¨²¼ «¾¡®© ¶¥«»© ¢¥± ®² 1 ¤® 13. �²®«¼ª® ¯®±«¥ ½²®£® °¥¸ ©²¥ § ¤ ·³ ® ·¥²»°�¥µ £¨°¿µ.

385. �²¬¥²¼²¥ 6 ²®·¥ª ­  ¯«®±ª®±²¨ ² ª, ·²®¡» ®² ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1 ­ µ®¤¨«¨±¼ °®¢­® 3 ²®·ª¨.

386. � ±¯®«®¦¨²¥ ­  ¯«®±ª®±²¨ 7 ²®·¥ª ² ª, ·²®¡» ±°¥¤¨ «¾¡»µ²°�¥µ ¨§ ­¨µ ­ ¸«¨±¼ ¤¢¥ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1.

387. �®°² ¨¬¥¥² ´®°¬³ ¯°¿¬®³£®«¼­®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¢¥°µ­¿¿£° ­¼ ª®²®°®£® | ª¢ ¤° ². �¥°µ ¨ ¡®ª  ²®°²  ° ¢­®¬¥°­®¯®ª°»²» £« §³°¼¾. � §¤¥«¨²¥ ²®°² ­  5 · ±²¥©, ·²®¡» ¢±¥· ±²¨ ±®¤¥°¦ «¨ ¯®°®¢­³ ¨ ²®°² , ¨ £« §³°¨.

388. �®¦­® «¨ ¯®¤®¡° ²¼ §­ ª¨ ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ 1� 2� 3� 4� 5� 6�� 7� 8� 9� 10� 11� 12� 13� 14� 15� 16� 17� 18� 19� 20 ,·²®¡» ¥£® §­ ·¥­¨¥ ±² «® ° ¢­® 20?

389.� �¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª® «¥² ¯®±«¥ ° ±¯ ¤  ¨¬¯¥°¨¨, ±®±²®¿¢¸¥© ¨§16 ª­¿¦¥±²¢, ®ª § «®±¼, ·²® ª ¦¤®¥ ª­¿¦¥±²¢® ¤°³¦¨² ± ²°¥-¬¿ ¤°³£¨¬¨ ª­¿¦¥±²¢ ¬¨ ¨ ¢° ¦¤³¥² ±® ¢±¥¬¨ ®±² «¼­»¬¨.�®¦­® «¨ ° §¡¨²¼ ½²¨ ª­¿¦¥±²¢  ­  8 ¯ ° ¤°³¦¥±²¢¥­­»µ ª­¿-¦¥±²¢?

69

�­¤³ª¶¨¿

: : : ¢»¯°®±¨«±¿ ®±² ²¼±¿ ®¤­³ ­®·ª³; ®² ®¤­®© ­®·ª¨

¤¢¥ ­®·ª¨, ®² ¤¢³µ ­®·¥ª ¤¢¥ ­¥¤¥«¨, ®² ¤¢³µ ¬¥±¿¶¥¢

¤¢  £®¤ ,   ®² ¤¢³µ £®¤®¢ ¦¨« ²°¨¤¶ ²¼ «¥².

390. �°¨¤³¬ ©²¥ 10 ° §«¨·­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬  ª®²®°»µ¤¥«¨²±¿ ­  ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ.

�ª  §   ­ ¨ ¥. �­ · «  ¯°¨¤³¬ ©²¥ ²°¨ ·¨±« , ±³¬¬  ª®²®°»µ ¤¥-«¨²±¿ ­  ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ. �®²®¬ ¯®¤³¬ ©²¥, ­¥«¼§¿ «¨ ¯®«³·¨²¼ ·¥-²»°¥ ² ª¨µ ·¨±« , : : :

391. �¥«¨²±¿ «¨ ·¨±«® 11 : : : 11 (¢®±¥¬¼¤¥±¿² ®¤­  ¥¤¨­¨¶ ) ­  81?

392. � §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­   ) 6; ¡) 7 ª¢ ¤° ²®¢.¢) �ª ¦¨²¥ ¢±¥ §­ ·¥­¨¿ n , ¤«¿ ª®²®°»µ ª¢ ¤° ² ­¥«¼§¿ ° §-°¥§ ²¼ ­  n ¬¥­¼¸¨µ ª¢ ¤° ²®¢.£) �°¨ ª ª¨µ n ° ¢­®±²®°®­­¨© ²°¥³£®«¼­¨ª ­¥«¼§¿ ° §°¥§ ²¼­  n ¬¥­¼¸¨µ ° ¢­®±²®°®­­¨µ ²°¥³£®«¼­¨ª®¢?

393. � ¯®±�¥«ª¥ 100 ¤®¬®¢. �ª®«¼-ª® § ¡®°®¢, ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ¤°³£ ¤°³£ , ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼,·²®¡» ª ¦¤»© § ¡®° ®£®° ¦¨-¢ « µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¤®¬ ¨ ­¨ª -ª¨¥ ¤¢  § ¡®°  ­¥ ®£®° ¦¨¢ «¨¡» ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¤®¬®¢?

�ª  §   ­ ¨ ¥. �¥¸¨²¥ § ¤ ·³ ±­ · «  ­¥ ¤«¿ 100,   ¤«¿ ¬¥­¼¸¨µ·¨±¥«: 1, 2, 3, : : :

394.  ) �«®±ª®±²¼ ° §¡¨²  ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ®ª°³¦­®±²¿¬¨ ­  · ±²¨.�®ª ¦¨²¥, ·²® ª ¦¤³¾ · ±²¼ ¬®¦­® ¢»ª° ±¨²¼ ®¤­®© ¨§ ¤¢³µª° ±®ª ² ª, ·²® «¾¡»¥ ¤¢¥ £° ­¨· ¹¨¥ ¯® ¤³£¥ · ±²¨ ¡³¤³²° §­®£® ¶¢¥² .¡) �®ª ¦¨²¥ ²® ¦¥ ± ¬®¥, ¥±«¨ ¯«®±ª®±²¼ ° §¡¨²  ­  · ±²¨®ª°³¦­®±²¿¬¨ ¨ ¯°¿¬»¬¨.¢)� �  ¯«®±ª®±²¨ ° ±¯®«®¦¥­» ­¥±ª®«¼ª® À²°¥­®¦­¨ª®¢Á (²°¥-­®¦­¨ª ±®±²®¨² ¨§ ²°�¥µ «³·¥© ± ®¡¹¥© ¢¥°¸¨­®©). �®ª ¦¨-²¥, ·²® ¥±«¨ ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ®£° ­¨·¨¢ ¾¹¨µ ²°¥­®¦­¨ª «³·  ­¥

70

¯ ° ««¥«¼­», ²® · ±²¨, ­  ª®²®°»¥ ®­¨ ° §¡¨¢ ¾² ¯«®±ª®±²¼,¬®¦­® ¢»ª° ±¨²¼ ²°¥¬¿ ª° ±ª ¬¨ ² ª, ·²®¡» · ±²¨, £° ­¨· -¹¨¥ ¯® ®²°¥§ª³ ¨«¨ «³·³, ®ª § «¨±¼ ¡» ¢»ª° ¸¥­» ¢ ° §­»©¶¢¥².

395. � ² ¡«¨¶¥ ¨§ ²°�¥µ ±²°®ª ¨ 1992 ±²®«¡¶®¢ ¯°®¨§¢®«¼­»¬ ®¡° -§®¬ ° ±±² ¢«¥­» ´¨¸ª¨: 1992 ¡¥«»µ, 1992 ª° ±­»µ ¨ 1992 ±¨-­¨µ. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¬®¦­® ² ª ¯¥°¥±² ¢¨²¼ ´¨¸ª¨ ¢ ª ¦¤®©±²°®ª¥, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ ®ª § «¨±¼ ´¨¸ª¨ ¢±¥µ ²°�¥µ¶¢¥²®¢.

65

4

3

21

7

396. �  ª ª®¥ ­ ¨-¡®«¼¸¥¥ ·¨±«®· ±²¥© ¬®£³²° §¡¨²¼ ¯«®±-ª®±²¼ n ¯°¿¬»µ?

�ª  §   ­ ¨ ¥.�°¨ ¯°¿¬»¥ ¤¥«¿² ¯«®±ª®±²¼, ± ¬®¥ ¡®«¼¸¥¥, ­  7 · ±²¥©. �¥²¢�¥°² ¿¯°¿¬ ¿ ° §°¥§ ¥² ­¥ ¢±¥,   ²®«¼ª® 4 · ±²¨ ¨ ° §¡¨¢ ¥² ¯«®±ª®±²¼ ­ 11 · ±²¥©.

397.  ) �®±² ¢¼²¥ 5 ´¨¸¥ª ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³, ·²®¡» «¾¡®© ±®-±²®¿¹¨© ¨§ 9 ª«¥²®ª ª¢ ¤° ² ±®¤¥°¦ « ¢ ²®·­®±²¨ ®¤­³ ´¨¸ª³.¡) �ª®«¼ª® ´¨¸¥ª ¬®¦¥² ±²®¿²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥, ¥±«¨ «¾-¡®© ±®±²®¿¹¨© ¨§ 9 ª«¥²®ª ª¢ ¤° ² ±®¤¥°¦¨² ¢ ²®·­®±²¨ ®¤­³´¨¸ª³?

398. �  ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 4�4 ±²®¨² À«¥²³· ¿ « ¤¼¿Á, ª®²®° ¿ µ®¤¨²² ª ¦¥, ª ª ®¡»·­ ¿ « ¤¼¿, ­® ­¥ ¬®¦¥² ¢±² ²¼ ­  ¯®«¥, ±®±¥¤-­¥¥ ± ¯°¥¤»¤³¹¨¬. �®¦¥² «¨ ®­  ®¡®©²¨ ¢±¾ ¤®±ª³, ¯®¡»¢ ¢­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³¢¸¨±¼ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥?

399. �® ª®«¼¶¥¢®© «¨­¨¨ ¬¥²°® ª³°±¨°³¾² 24 ¯®¥§¤ . �­¨ ¨¤³²¢ ®¤­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ±ª®°®±²¿¬¨ ¨ ° ¢­»¬¨¨­²¥°¢ « ¬¨. �ª®«¼ª® ¯®¥§¤®¢ ­ ¤® ¤®¡ ¢¨²¼, ·²®¡» ¯°¨ ²®©¦¥ ±ª®°®±²¨ ³¬¥­¼¸¨²¼ ¨­²¥°¢ «» ­  1/5?

71

�¥°¥¢¼¿

�³° ª ¢¨¤¨² ­¥ ²® ± ¬®¥ ¤¥°¥¢®,

·²® ¢¨¤¨² ³¬­»©.

�¨«¼¿¬ �«¥©ª�)

r r r rr r r r r rr r r rr r r rr r

A B

400. � ¤®±ª³ ¢¡¨²® 20 £¢®§¤¨ª®¢. � ±±²®¿-­¨¥ ¬¥¦¤³ ±®±¥¤­¨¬¨ ° ¢­® 1 ±¬. � -²¿­¨²¥ ­¨²ª³ ¤«¨­®© 19 ±¬ ®² A ¤® B² ª, ·²®¡» ®­  ¯°®¸«  ·¥°¥§ ¢±¥ £¢®§-¤¨ª¨.

401. �ª®«¼ª® ¡»«® ¡°�¥¢¥­, ¥±«¨ ¯¿²¼¾¤¥±¿²¼¾ ¤¢³¬¿ ° ±¯¨« ¬¨ ¨§­¨µ ¯®«³·¨«¨ 72 ¯®«¥­ ?

402.  ) �¬¥¥²±¿ «¨±² ¡³¬ £¨. �£® ¬®¦­® ° §®°¢ ²¼ ­  5 · ±²¥©.� ¦¤»© ­®¢»© ª³±®ª ¬®¦­® ° §®°¢ ²¼ ­  5 · ±²¥© ¨«¨ ®±² -¢¨²¼ ¶¥«»¬, ¨ ². ¤. �®¦­® «¨ ¯®«³·¨²¼ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ 50 ª³±-ª®¢?¡) �±«¨ ¢±¿ª¨© ° § «¨±² ¬®¦­® °¢ ²¼ ­  8 ¨«¨ ­  12 · ±²¥©,¢»¿±­¨²¥, ¬®¦­® «¨ ¨§ ®¤­®£® «¨±²  ¯®«³·¨²¼ 60 ª³±ª®¢; ¤®-ª ¦¨²¥, ·²® «¾¡®¥ ·¨±«® ª³±ª®¢, ¡®«¼¸¥¥ 60, ¯®«³·¨²¼ ¬®¦­®.

����JJJJJ��

���CCCCCCCCCCC������

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q qq qqq403. N ²®·¥ª ±®¥¤¨­¥­» ­¥¯¥°¥±¥ª ¾-

¹¨¬¨±¿ ®²°¥§ª ¬¨ ² ª, ·²® ¨§ ª ¦-¤®© ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¢ ª ¦¤³¾ ¨§ ®±-² «¼­»µ ¯® ®²°¥§ª ¬, ¯°¨·�¥¬ ¥¤¨­-±²¢¥­­»¬ ¯³²�¥¬. �ª®«¼ª® ®²°¥§-ª®¢?

404. �  ±²®«¥ «¥¦ ² ¤¢¥ ª³·ª¨: ¢ ®¤­®©7 ±¯¨·¥ª,   ¢ ¤°³£®© 8. � ·¨­ ¾-¹¨© ¤¥«¨² ª³·ª³ ­  ¤¢¥ ª³·ª¨, § -²¥¬ ¢²®°®© ¤¥«¨² ®¤­³ ¨§ ª³·¥ª ­  ¤¢¥, ¨ ². ¤. �°®¨£°»¢ ¥²²®², ª²® ­¥ ±¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ ®·¥°¥¤­®£® µ®¤ . � ¢¨±¨² «¨ °¥-§³«¼² ² ½²®© ¨£°» ®² ²®£®, ª²® ª ª ¨£° ¥², ¨«¨ ¢ ¦­® «¨¸¼,ª²® µ®¤¨² ¯¥°¢»¬?

�)�¨«¼¿¬ �«¥©ª (1757{1827) |  ­£«¨©±ª¨© ¯®½² ¨ µ³¤®¦­¨ª.

72

s s s s s s s sss s s s s ss s s s

s ss s s ss s s ss s ss s s s s s s s

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ssssssss

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ssssss

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ssss

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ssssssss405. �¤®«¼ £° ­¨¶ ª«¥²®ª

¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¯®«®-¦¨«¨ ±¯¨·ª¨. �ª®«¼-ª® ±¯¨·¥ª ­¥®¡µ®¤¨¬®³¡° ²¼, ·²®¡» « ¤¼¿ ¬®£-«  ¤®¡° ²¼±¿ ± «¾¡®£® ¯®-«¿ ­  «¾¡®¥, ­¥ ¯¥°¥¯°»-£¨¢ ¿ ·¥°¥§ ±¯¨·ª¨?

406. � §¥¬«¾ ¢¡¨«¨ 19 ª®«»¸-ª®¢. �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±¢¿-§»¢ ¾² ¯ °» ª®«»¸ª®¢¡¥·¥¢®©: ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ |®¤­³ ¯ °³. �»¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¨£°®ª, ¯°¨ µ®¤¥ ª®²®°®-£® ®¡° §®¢ « ±¼ § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿, ±®±² ¢«¥­­ ¿ ¨§ ¡¥·�¥¢®ª(¢¥°¸¨­ ¬¨ «®¬ ­®© ¤®«¦­» ¡»²¼ ª®«»¸ª¨). �¥ ° §°¥¸ ¥²±¿±¢¿§»¢ ²¼ ¤¢  ³¦¥ ° ­¥¥ ±®¥¤¨­¥­­»µ ª®«»¸ª . �²® ¢»¨£° ¥²¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

407. � ª®¥ ­ ¨-¡®«¼¸¥¥ ·¨±«®¢¥°�¥¢®·¥ª,±®¥¤¨­¿¾¹¨µ±®±¥¤­¨¥ ³§«»±¥²ª¨ ° §¬¥° 4 � 6 , ¬®¦­®° §°¥§ ²¼, ·²®¡» ±¥²ª  ­¥ ° ±¯ « ±¼ ­  ®²¤¥«¼­»¥ ª³±ª¨?

408. �±�¥ ­ · «®±¼ ± ®¤­®© ª³°¨¶», ª®²®° ¿ ±­¥±«  ¤¢  ¿©¶ . �§­¨µ ¢»¢¥«¨±¼ ¶»¯«¿² : ¯¥²³µ ¨ ª³°¨¶ . �®£¤  ®­¨ ¯®¤°®±«¨,¯¥²³µ  ±º¥«¨ ±° §³,   ª³°¨¶³ | ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ®­  ±­¥±«  ¤¢ ¿©¶ . � ª ¤¥« «¨ ¨ ¤ «¼¸¥: ¨§ ¿¨¶ ¢»¢®¤¨«¨ ¶»¯«¿², ¥«¨ ª³° ¨¯¥²³µ®¢, : : : �±�¥ ¯°¥ª° ²¨«®±¼, ª®£¤  ¨§ ¿¨¶ ¢»«³¯¨«¨±¼ ®¤­¨²®«¼ª® ¯¥²³µ¨. �­ ¿, ·²® ¡»«¨ ±º¥¤¥­» 1994 ¯¥²³µ , ¢»¿±­¨²¥,±ª®«¼ª® ±º¥«¨ ª³°.

73

�¥°¨®¤¨·­®±²¼

� ¯®¢²®°¿¾ ¯³²¼ §¥¬­®©

¡»«»µ «¾¤±ª¨µ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨©;

­¨·²® ­¥ ­®¢® ¯®¤ «³­®©,

ª°®¬¥ ¬®¨µ ¯¥°¥¦¨¢ ­¨©.

�.�³¡¥°¬ ­

409. � ·­�¥¬ ±·¨² ²¼ ¯ «¼¶» ­  °³ª¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¯³±²¼1-¬ ¡³¤¥² ¡®«¼¸®©, 2-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, 3-¬ | ±°¥¤­¨©, 4-¬ |¡¥§»¬¿­­»©, 5-¬ | ¬¨§¨­¥¶, 6-¬ | ±­®¢  ¡¥§»¬¿­­»©, 7-¬ |±°¥¤­¨©, 8-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, 9-¬ | ¡®«¼¸®©, 10-¬ | ³ª § -²¥«¼­»©, ¨ ² ª ¤ «¥¥. � ª®© ¯ «¥¶ ¡³¤¥² 2017-¬?

410. �¡¥¤¨²¥±¼, ·²®  ) 1=3 = 0;(3) ; ¡) 1=6 = 0;1(6) ; ¢) 7=30 = 0;2(3) ;£) 7=11 = 0;(63) .

411. � ©¤¨²¥ ±®²³¾ ¶¨´°³ ¯®±«¥ § ¯¿²®© ¢ ¤¥±¿²¨·­®© § ¯¨±¨ ·¨±-«  1=7 .

412. � §¤¥«¨²¥ À³£®«ª®¬Á ·¨±«® 1 ­   ) 9; ¡) 99; ¢) 9 999.£) �®ª ¦¨²¥ ®¡¹¥¥ ¯° ¢¨«®: 1= 99 : : : 9| {z }

n

= 0;(0 : : : 0| {z }n�1

1) .

¤) �¨±²® ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ¯° ¢¨«¼­ ¿ ¤°®¡¼ ° ¢­  ² ª®© ®¡»ª-­®¢¥­­®© ¤°®¡¨, ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ª®²®°®© | ¯¥°¨®¤,   ¢ §­ ¬¥­ -²¥«¥ | ·¨±«® 10r � 1 = 9 : : : 9| {z }

r

, £¤¥ r | ¤«¨­  ¯¥°¨®¤ . �®ª -

¦¨²¥ ½²®.

413. �¡° ²¨²¥ ¢ ¤¥±¿²¨·­»¥ ¤°®¡¨ ·¨±« :  ) 23=99 ; ¡) 1234=999999 .

414. �ª®«¼ª® ·¨±¥«, ª° ²­»µ 13, ¨¬¥¥²±¿ ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ ±²  ·¨±¥«¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 1, 11, 111, 1111, : : : ?

415. �±«¨ ·¨±«® ¢¨¤  11 : : : 11 ª° ²­® 7, ²® ®­® ª° ²­® ¨ 11, ¨ 13,¨ 15873. �®ª ¦¨²¥ ½²®.

416. �¥°¢³¾ ¶¨´°³ k -§­ ·­®£® ·¨±« , ª° ²­®£® 13, ±²�¥°«¨ ¨ § -¯¨± «¨ ¯®§ ¤¨ ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°» ½²®£® ·¨±« . �°¨ ª ª¨µ k¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ª° ²­® 13? (� ¯°¨¬¥°, ¨§ ª° ²­»µ 13 ·¨-±¥« 503906 ¨ 7969 ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯®«³· ¥¬ ·¨±«  39065 ¨ 9697,¯¥°¢®¥ ¨§ ª®²®°»µ ª° ²­® 13,   ¢²®°®¥ | ­¥².)

74

417.  ) �¥¸¨²¥ °¥¡³± ������ � 5 = ������ .¡) � ©¤¨²¥ ¸¥±²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ³¬¥­¼¸ ¾¹¥¥±¿ ¢ 5 ° § ¯°¨¯¥°¥­®±¥ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¢ ª®­¥¶ ·¨±« .¢) �¥¸¨²¥ °¥¡³±: ������ � 6 = ������ . (�ª § ­¨¥. � ±«®¢ µ°¥¡³±  ¨±¯®«¼§®¢ ­» ¤¢  ±«®£ : ��� ¨ ��� . �¡®§­ ·¼²¥ ��� == x ¨ ��� = y .)£) �³¹¥±²¢³¥² «¨ ¸¥±²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨­  2, 3, 4, 5 ¨ 6 ¤ �¥² ·¨±« , § ¯¨± ­­»¥ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ·²®¨ ± ¬® ·¨±«®, ­® ¢ ¤°³£®¬ ¯®°¿¤ª¥?¤) � ©¤¨²¥ ¢±¥ ¸¥±²¨§­ ·­»¥ ·¨±« , ª®²®°»¥ ³¢¥«¨·¨¢ ¾²±¿¢ ¶¥«®¥ ·¨±«® ° § ¯°¨ ¯¥°¥­®±¥ ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°» ¨§ ª®­¶  ¢­ · «®.

418. � ª®© ¶¨´°®© ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ·¨±«® 3377 + 7733 ?

419. � ©¤¨²¥ ¤¢¥ ¯®±«¥¤­¨¥ ¶¨´°» ·¨±«  22000 .

420. � ª®¢  ¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ·¨±«  9999999999

?

421. �¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  41. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ¥£® ¶¨´-°» ¶¨ª«¨·¥±ª¨ ¯¥°¥±² ¢¨²¼, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ²®¦¥ ¡³¤¥²¤¥«¨²¼±¿ ­  41. (� ¯°¨¬¥°, §­ ¿, ·²® 93 767 ¤¥«¨²±¿ ­  41,¬®¦­® ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® 37 679 ²®¦¥ ¤¥«¨²±¿ ­  41.)

422.�  ) � ±±¬®²°¨¬ ·¨±« : 1, 11, 111, 1111, : : : �®ª ¦¨²¥, ·²® ±°¥¤¨­¨µ ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  196 673.¡) �®ª ¦¨²¥, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ®¤­¨¬¨²®«¼ª® ¥¤¨­¨¶ ¬¨ ¨ ª° ²­®¥ ·¨±«³ 196 673.¢) �«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  a , ­¥ ¤¥«¿¹¥£®±¿ ­¨ ­  2,­¨ ­  5, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® b , ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥-­¨¥ ab § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿ ®¤­¨¬¨²®«¼ª® ¥¤¨­¨¶ ¬¨. �®ª ¦¨²¥ ½²®.

423.� �±«¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  a ¨ m ¢§ ¨¬­® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¥²² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ n , ·²® an�1 ¤¥«¨²±¿ ­  m . �®ª ¦¨²¥ ½²®.

424. � ª¨¥ ¯°®±²»¥ ·¨±«  ­¥«¼§¿ § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ¤¢³µ ±®-±² ¢­»µ ·¨±¥«?

75

�° ©­®±²¨

�±¥£¤  ¨§¡¥£ ²¼ ª° ©­®±²¥© |

²®¦¥ ª° ©­®±²¼.

425. � ¢¥°¸¨­ µ 100-³£®«¼­¨ª  ° ±±² ¢«¥­» ·¨±«  ² ª, ·²® ª ¦¤®¥° ¢­® ±°¥¤­¥¬³  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¬³ ¤¢³µ ±®±¥¤­¨µ. �®ª ¦¨²¥,·²® ·²® ¢±¥ ®­¨ ° ¢­».

426.� � ª ¦¤®£® ¯ °« ¬¥­² °¨¿ ­¥ ¡®«¥¥ ²°�¥µ ¢° £®¢. �®ª ¦¨²¥,·²® ¯ °« ¬¥­² ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ¤¢¥ ¯ « ²» ² ª, ·²® ³ ª -¦¤®£® ¢ ®¤­®© ± ­¨¬ ¯ « ²¥ ¡³¤¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢° £ . (�§-¢¥±²­®, ·²® ¥±«¨ B | ¢° £ ¯ °« ¬¥­² °¨¿ A , ²® A | ¢° £¯ °« ¬¥­² °¨¿ B .)

427.� � ¤ ­® ­¥±ª®«¼ª® ª° ±­»µ ¨ ­¥±ª®«¼ª® ±¨­¨µ ²®·¥ª. �¥ª®²®-°»¥ ¨§ ­¨µ ±®¥¤¨­¥­» ®²°¥§ª ¬¨. � §®¢�¥¬ ²®·ª³ À®±®¡®©Á,¥±«¨ ¡®«¥¥ ¯®«®¢¨­» ¨§ ±®¥¤¨­�¥­­»µ ± ­¥© ²®·¥ª ¨¬¥¾² ¶¢¥²,®²«¨·­»© ®² ¥�¥ ¶¢¥² . �±®¡»¥ ²®·ª¨ ° §°¥¸ ¥²±¿ ¯¥°¥ª° ¸¨-¢ ²¼: ­  ª ¦¤®¬ ¸ £³ ¢»¡¨° ¥²±¿ «¾¡ ¿ ®±®¡ ¿ ²®·ª  ¨ ¯¥-°¥ª° ¸¨¢ ¥²±¿ ¢ ¤°³£®© ¶¢¥². �®ª ¦¨²¥, ·²® ·¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª®¸ £®¢ ­¥ ®±² ­¥²±¿ ­¨ ®¤­®© ®±®¡®© ²®·ª¨.

428. � ª«¥²ª¨ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ² ¡«¨¶» ¢¯¨± ­» ­¥ª®²®°»¥ ·¨±« .� §°¥¸¥­® ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¬¥­¿²¼ §­ ª ³ ¢±¥µ ·¨±¥« ­¥ª®²®°®£®±²®«¡¶  ¨«¨ ­¥ª®²®°®© ±²°®ª¨. �®ª ¦¨²¥, ·²® ½²¨¬¨ ®¯¥° -¶¨¿¬¨ ¬®¦­® ¯°¥¢° ²¨²¼ ¤ ­­³¾ ² ¡«¨¶³ ¢ ² ª³¾, ³ ª®²®°®©±³¬¬» ·¨±¥«, ±²®¿¹¨µ ¢ «¾¡®¬ ±²®«¡¶¥ ¨«¨ ¢ «¾¡®© ±²°®ª¥,­¥®²°¨¶ ²¥«¼­».

429.� �  ¤®±ª¥ ­ ¯¨± ­® ­¥±ª®«¼ª® ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. � §°¥¸¥­®±²¨° ²¼ ± ¤®±ª¨ «¾¡»¥ ¤¢  ° §«¨·­»µ ·¨±«  ¨ ¯¨± ²¼ ¢¬¥±²®­¨µ ¨µ ­ ¨¡®«¼¸¨© ®¡¹¨© ¤¥«¨²¥«¼ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ®¡¹¥¥ ª° ²-­®¥. �®ª ¦¨²¥, ·²® ª®£¤ -­¨¡³¤¼ ·¨±«  ¯¥°¥±² ­³² ¬¥­¿²¼±¿,²® ¥±²¼ ¨§ «¾¡»µ ¤¢³µ ·¨±¥« ®¤­® ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ­  ¤°³£®¥.

430.� � ª°³£¥ ¯°®¢¥«¨ ­¥±ª®«¼ª® (ª®­¥·­®¥ ·¨±«®) ° §«¨·­»µ µ®°¤² ª, ·²® ª ¦¤ ¿ ¨§ ­¨µ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ ª ª®©-«¨¡®¤°³£®© ¨§ ¯°®¢¥¤¥­­»µ µ®°¤. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¢±¥ ½²¨ µ®°¤»¿¢«¿¾²±¿ ¤¨ ¬¥²° ¬¨ ª°³£ .

76

�®¬¡¨­ ²®°¨ª 

�²¥¶ ¤ �¥² ¤¢³µ«¥²­¥© ¤®·¥°¨ «®¦ª³ ¨ ±¯° ¸¨¢ ¥²:

| �ª®«¼ª® ³ ²¥¡¿ «®¦¥ª?

| �¤­ .

� �¥² ¤°³£³¾:

| �¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®?

| �¢¥.

� �¥² ²°¥²¼¾.

| �¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®?

| �­®£®.

| �¥², ²» ±ª ¦¨.

�¥¢®·ª  ± ¯°¥³¢¥«¨·¥­­»¬ ¢»° ¦¥­¨¥¬ ¡°¥§£«¨¢®±²¨

®²®¤¢¨£ ¥² ®² ±¥¡¿ ²°¥²¼¾ «®¦ª³:

| �®§¼¬¨, ®­  £°¿§­ ¿!

�. �³ª®¢±ª¨©, À�² ¤¢³µ ¤® ¯¿²¨Á

�®¬¡¨­ ²®°¨ª  | ½²® ° §¤¥« ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ¢ ª®²®°®¬ ¨§³· ¾²,±ª®«¼ª® ª®¬¡¨­ ¶¨©, ¯®¤·¨­�¥­­»µ ²¥¬ ¨«¨ ¨­»¬ ³±«®¢¨¿¬, ¬®¦­®±®±² ¢¨²¼ ¨§ ¤ ­­»µ ®¡º¥ª²®¢. �°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ª ®¡¹¨¬¯°¨­¶¨¯ ¬, ° ±±¬®²°¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢.

1) �ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²°�¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«?� ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ²°�¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«® | ½²® 999. � ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ¤¢³§­ ·-

­®¥ | 99. �®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² 999� 99 = 900 ²°�¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«.�®² ¦¥ ®²¢¥² ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. �®®¡° §¨²¥, ·²®

¬» ¯¨¸¥¬, ¶¨´°  §  ¶¨´°®©, ²°�¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®. �­ · «  ­ ¯¨¸¥¬ «¾¡³¾¨§ ¤¥¢¿²¨ ¶¨´° 1, 2, : : : , 9 ¢ ° §°¿¤ ±®²¥­. � ²¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥±¿²¨ ¶¨´° |¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢; ­ ª®­¥¶, ª ª³¾-­¨¡³¤¼ («¾¡³¾) ¶¨´°³ | ¢ ° §°¿¤¥¤¨­¨¶. �²¢¥²: 9 � 10 � 10 = 900 .

CBA���

2) �ª®«¼ª® ±¯®±®¡®¢ ¯°®¥µ ²¼

¨§ A ¢ C , ¥±«¨ ±¨±²¥¬  ¤®°®£

² ª®¢ , ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥?�°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ C , ­ ¤®

«¾¡»¬ ¨§ ²°�¥µ ¢®§¬®¦­»µ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼¨§ A ¢ B ,   § ²¥¬ | «¾¡»¬ ¨§ ¯¿²¨ ±¯®±®¡®¢¨§ B ¢ C . �¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ¢­® 3 � 5 = 15 .

3) �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²-

­®© ¤®±ª¥ ¡¥«³¾ ¨ ·�¥°­³¾ « ¤¼¨, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ®¤­  ¤°³-

£³¾?

77

�­ · «  ¯®±² ¢¨¬ ­  «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ¡¥«³¾ « ¤¼¾. �«¿·�¥°­®© « ¤¼¨ ®±² ­¥²±¿ 49 ¯®«¥©. �²¢¥²: 64 � 49 = 3136 .

� ¬¥²¼²¥: ¬» ¯¥°¥¬­®¦ ¥¬ ·¨±«  64 ¨ 49,   ­¥ ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¨µ. �¤-­  ¨§ ±² ­¤ °²­»µ ®¸¨¡®ª, ª®²®°³¾ ¤¥« ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨¥, ±®±²®¨² ¢ ²®¬,·²® ®­¨ ¯³² ¾², ª®£¤  ­ ¤® ±ª« ¤»¢ ²¼,   ª®£¤  ³¬­®¦ ²¼. �¥¦¤³ ²¥¬¢±�¥ ¯°®±²®: ±³¬¬  m + n ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ½«¥¬¥­²®¢ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¤¢³µ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­®¦¥±²¢, ®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ±®±²®¨² ¨§ m ,   ¤°³£®¥ ¨§n ½«¥¬¥­²®¢. � ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ mn | ½²® ª®«¨·¥±²¢® ¯ ° ¢¨¤  (x; y) , £¤¥x ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ m ½«¥¬¥­²®¢ ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  (­ ¯°¨¬¥°,½²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¬­®¦¥±²¢® 64 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥© ¤«¿ ¡¥«®© « ¤¼¨),   y , ¯°¨ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ x , ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ ­¥ª®²®°»µ n ½«¥¬¥­²®¢(­ ¯°¨¬¥°, y | ®¤­® ¨§ 49 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥© ¤«¿ ·�¥°­®© « ¤¼¨).

D C

BA

��

��

�­®£¤  ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ±³¬¬³, ¨¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥: ­ ¯°¨¬¥°, ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥©, ¢¥-¤³¹¨µ ­  °¨±³­ª¥ ¨§ ²®·ª¨ K ¢ ²®·ª³ M , ° ¢­®2 � 2 + 3 � 3 = 13 .

4) �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»-

«®¦¨²¼ ¢ °¿¤ ª° ±­»©, ¦�¥«²»© ¨ §¥«�¥-

­»© ¸ °¨ª¨?�®² ¢±¥ 6 ±¯®±®¡®¢:

ª ¦ §ª § ¦

¦ ª §¦ § ª

§ ª ¦§ ¦ ª

5) �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®© ­¨¦­¥©

ª«¥²ª¨ ¨§®¡° ¦�¥­­®£® ­  °¨±³­ª¥ ª¢ ¤° ²  9 � 9 ¢ ¯° ¢³¾

¢¥°µ­¾¾, ­¨ ° §³ ­¥ ¯®¡»¢ ¢ ­¨ ­  ®¤­®© § ª° ¸¥­­®© ª«¥²ª¥

¨ ¤¢¨£ ¿±¼ ²®«¼ª® ¢¢¥°µ ¨«¨ ¢¯° ¢®?

A

B

C

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11 1 1 1 1 1 1 1

1

1 2

2

2

4

4

8

1

1

2

2

4

4

5

5 7

7

12

12

17

17

D

�¥² ­¨ ±¨«, ­¨ ¦¥« ­¨¿ °¨±®¢ ²¼ ¢±¥ ¢ °¨ ­²»: ½²® ¯°¨¬¥° ­¥ ² ª¯°®±², ª ª ¯°¥¤»¤³¹¨©! �²® ¦¥ ¤¥« ²¼? � ¢ ©²¥ ¯®±² ¢¨¬ ¯¥°¥¤ ±®¡®©

78

¡®«¥¥ ±ª°®¬­³¾ ¶¥«¼: ­ ©¤�¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥© ¨§ «¥¢®© ­¨¦­¥© ª«¥²ª¨ ­¥¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ­¾¾,  , ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ A . �·¥¢¨¤­®, ² ª¨µ ¯³²¥© ¤¢ .�²®«¼ª® ¦¥ ¯³²¥© ¢¥¤³² ¢ ²®·ª³ B . �¥¯¥°¼ «¥£ª® ¯®­¿²¼, ·²® ¢ ª«¥²ª³ C¬®¦­® ¯°®©²¨ ·¥²»°¼¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ (¤¢  ¨§ ­¨µ ¢¥¤³² ·¥°¥§ A ,   ¤¢  |·¥°¥§ B ).

� ª¨¬ ®¡° §®¬, ª«¥²ª³ §  ª«¥²ª®©, ¬» ¬®¦¥¬ § ¯®«­¿²¼ ¤®±ª³, ¨±¯®«¼-§³¿ ¯° ¢¨«® ±³¬¬»: ¥±«¨ ¢ ­¥ª®²®°³¾ ª«¥²ª³ Z ¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ ±¯° ¢  ¨§ª«¥²ª¨ X ¨ ±­¨§³ | ¨§ Y , ²® ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ ª«¥²ª³ Z¥±²¼ ±³¬¬  ª®«¨·¥±²¢ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ X ¨ Y . � ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ D¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ 17 + 7 = 24 ±¯®±®¡ ¬¨.

� ª ¯®²¨µ®­¥·ª³ ¨ § ¯®«­¨¬ ¢±¾ ¤®±ª³. �²¢¥²: 678.

6) �ª®«¼ª® ±«®¢ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­»µ) ¬®¦­® ¯®-

«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢  ����?����, ����, ����, ����, ���� ¨ ���� | ¢±¥£® 6 ±¯®±®¡®¢.

7) �ª®«¼ª® ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ 1000 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ² ª¨µ,

ª®²®°»¥ ­¥ ª° ²­» ­¨ 2, ­¨ 5?� ª ¨§¢¥±²­®, ·¨±«® ­¥ ª° ²­® ­¨ 2, ­¨ 5, ¥±«¨ ¥£® ¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  |

½²® ®¤­  ¨§ ·¥²»°�¥µ ¶¨´° 1, 3, 7, 9. �­ ·¨², ¢ ª ¦¤®¬ ¤¥±¿²ª¥ °®¢­®·¥²»°¥ ¨­²¥°¥±³¾¹¨µ ­ ± ·¨±« ,   ¢±¥£® ² ª¨µ ·¨±¥« 400.

�±²¼ ¨ ¤°³£®© ±¯®±®¡. � ±±¬®²°¨¬ ¬­®¦¥±²¢® U = f1; 2; 3; : : : ; 1000g¨ ¤¢  ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢ : A = f2; 4; 6; : : : ; 1000g ¨ B = f5; 10; 15; : : : ; 1000g .� ± ¨­²¥°¥±³¥² ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  U , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ ­¨ A ,­¨ B . �¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ®²¢¥² jU j � jAj � jBj (£¤¥ jU j , jAj ¨ jBj | ª®-«¨·¥±²¢  ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢ U , A ¨ B ±®®²¢¥²±²¢¥­­®) ­¥¯° ¢¨«¼­»©.�¥«® ¢ ²®¬, ·²® ½«¥¬¥­²», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ®¡  ¬­®¦¥±²¢  A ¨ B (²® ¥±²¼ ·¨±-« , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¶¨´°®© 0), ¡»«¨ ¢»¡°®¸¥­» ¤¢ ¦¤», µ®²¿ ±«¥¤®¢ «®¨µ ¢»¡°®±¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨­ ° §. � ¢®² ¯° ¢¨«¼­»© ®²¢¥²:

jU j � jAj � jBj+ jA \ Bj;£¤¥ A \ B | ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢ A ¨ B . � ¢ ©²¥ ¯°®¢¥°¨¬ ½²³ ´®°-¬³«³:

1000 � 500� 200 + 100 = 400:

8) �ª®«¼ª® ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© ¢ ¢»¯³ª«®¬ ¯¿²­ ¤¶ ²¨-

³£®«¼­¨ª¥?�®¦­®, ª®­¥·­®, ­ °¨±®¢ ²¼ 15-³£®«¼­¨ª ­  ¡®«¼¸®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨,

¯®±·¨² ²¼ ¤¨ £®­ «¨ ¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª ®²¢¥²³ 15 | ·¨±«® ±²®°®­. �® «³·¸¥­ ©²¨ ®¡¹³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ·¨±«  ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© n -³£®«¼­¨ª .

�·¥¢¨¤­®, ¢ ²°¥³£®«¼­¨ª¥ 3 ±²®°®­» ¨ ­¨ ®¤­®© ¤¨ £®­ «¨; ¢ ·¥²»-°�¥µ³£®«¼­¨ª¥ 4 ±²®°®­» ¨ 2 ¤¨ £®­ «¨; ¢ ¯¿²¨³£®«¼­¨ª¥ 5 ±²®°®­ ¨ 5¤¨ £®­ «¥©. �³²¼ ±«®¦­¥¥ ³¢¨¤¥²¼, ·²® ³ ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª  6 ±²®°®­ ¨9 ¤¨ £®­ «¥©.

79

�®®¡¹¥, ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» n -³£®«¼­¨ª  ¢»µ®¤¿² n�1 ®²°¥§ª®¢ (¤¢¥±²®°®­» ¨ n� 3 ¤¨ £®­ «¨). �¬­®¦¨¢ n ­  (n� 1) ¨ ­¥ § ¡»¢ ° §¤¥«¨²¼­  2 (¨¡® ³ ª ¦¤®£® ®²°¥§ª  ¤¢  ª®­¶ ), ¯®«³·¨¬ ®²¢¥²: ·¨±«® ±²®°®­ ¨¤¨ £®­ «¥© n -³£®«¼­¨ª  ° ¢­®

n(n� 1)=2: (�)� · ±²­®±²¨, ³ 15-³£®«¼­¨ª  ¢±¥£® 15 � 14=2 = 105 ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥©.

�¾¡¨²¥«¼ ¨­¤³ª¶¨¨ ¬®¦¥² ¤®ª § ²¼ ´®°¬³«³ (�) ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬.�°¨ n = 3 ´®°¬³«  (�) ¢¥°­ . �·¥¢¨¤­®, (n+ 1) -³£®«¼­¨ª ¬®¦­® ¯®«³-·¨²¼ ¨§ n -³£®«¼­¨ª  ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ®¤­®© ­®¢®© ¢¥°¸¨­». �§ ½²®© ¢¥°¸¨­»¢»µ®¤¿² ®²°¥§ª¨ | ±²®°®­» ¨ ¤¨ £®­ «¨ | ¢® ¢±¥ ®±² «¼­»¥ n ¢¥°¸¨­.�­ ·¨², (n+ 1) -³£®«¼­¨ª ¨¬¥¥² °®¢­® ­  n ¡®«¼¸¥ ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥©,·¥¬ n -³£®«¼­¨ª. �®±ª®«¼ª³

n(n� 1)

2+ n =

n2 � n+ 2n

2=

(n+ 1)n

2;

¬» ¢¨¤¨¬, ª ª ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ´®°¬³«  ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² n ª n+1 . �®·­¥¥£®¢®°¿, ¥±«¨ ´®°¬³«  (�) ¤ ¢ «  ¢¥°­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¤«¿ n -³£®«¼­¨ª , ²® ¨¤«¿ (n + 1) -³£®«¼­¨ª  ¢±�¥ ¡³¤¥² ¯° ¢¨«¼­®. �» ¯®¬­¨¬, ·²® ¯°¨ n = 3´®°¬³«  ¢¥°­ . �­ ·¨², ¯® ¨­¤³ª¶¨¨, ®­  ¢¥°­  ¯°¨ «¾¡®¬ n .

�» ° §®¡° «¨ ³¦¥ ¢®±¥¬¼ ° §­»µ ª®¬¡¨­ ²®°­»µ § ¤ ·. �®° ¯¥°¥©²¨ ª ¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ¯®­¿²¨¿¬.

�¥°¥±² ­®¢ª¨. � ª²®°¨ «

�¢  ½«¥¬¥­²  a ¨ b ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¯¨± ­» ¢ ±²°®·ª³ ¢±¥£® ¤¢³¬¿ ±¯®±®-¡ ¬¨: ab ¨ ba . �«¿ ²°�¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ª ª ¬» §­ ¥¬ ¨§ ·¥²¢�¥°²®£® ¯°¨¬¥° ,±³¹¥±²¢³¥² 6 ¢ °¨ ­²®¢. �¥²°³¤­® ¯®±·¨² ²¼ ¨ ·¨±«® ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¬­®-¦¥±²¢  ¨§ 4 ½«¥¬¥­²®¢:

123412431324134214231432

213421432314234124132431

312431423214324134123421

412341324213423143124321

�±¥£® 24 ¯¥°¥±² ­®¢ª¨, ° ±¯®«®¦¥­­»¥ ¢ 4 ±²®«¡¶  ¯® 6 ¯¥°¥±² ­®¢®ª¢ ª ¦¤®¬. �·¥¢¨¤­®, ¯¥°¥±² ­®¢ª¨ ­  5 ½«¥¬¥­² µ ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¢5 ±²®«¡¶®¢, ¯® 24 ¢ ª ¦¤®¬. �­ ·¨², ¢±¥£® ±³¹¥±²¢³¥² 5 � 24 = 120 ² ª¨µ¯¥°¥±² ­®¢®ª.

�«¿ ·¨±«  ¯¥°¥±² ­®¢®ª n ½«¥¬¥­²®¢ ¥±²¼ ®¡®§­ ·¥­¨¥: n! (·¨² ¥¬:À½­ ´ ª²®°¨ «Á). � ª²®°¨ « ° ¢¥­ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¢±¥µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«

80

®² 1 ¤® n . � ¯°¨¬¥°, 4! = 1 � 2 � 3 � 4 . �³­ª¶¨¿ n! ¢®§° ±² ¥² ®·¥­¼¡»±²°®. � ª, 1! = 1 , 2! = 2 , 3! = 6 , : : : , 10! = 3 628 800 . � ª²®°¨ «»¢®§­¨ª ¾² ¢ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¥ ®·¥­¼ · ±²®. �®½²®¬³ ¯°¨­¿²® ±·¨² ²¼, ·²®¥±«¨ ®²¢¥² ¢»° ¦¥­ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «», ²® ¢±�¥ ±¤¥« ­®. (�²®¬³ ¢ ­¥¬ -«®© ±²¥¯¥­¨ ±¯®±®¡±²¢³¥² ®²ª°»² ¿ ¢ 1730 £®¤³  ­£«¨©±ª¨¬ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¬�¦. �²¨°«¨­£®¬ ´®°¬³«  ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦�¥­­®£® ¢»·¨±«¥­¨¿:

n! �p2�nnn=en:

�²­®±¨²¥«¼­ ¿ ®¸¨¡ª  ¯°¨ ¯®«¼§®¢ ­¨¨ ½²®© ´®°¬³«®© ®·¥­¼ ­¥¢¥«¨ª  ¨±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ ³¢¥«¨·¥­¨¨ ·¨±«  n . �²® ² ª®¥ e ¨ ¯®·¥¬³ ¢¥°­ ´®°¬³«  �²¨°«¨­£ , ±¥¬¨ª« ±±­¨ª³ ®¡º¿±­¨²¼ ±®¢¥°¸¥­­® ­¥¢®§¬®¦­®.)

�« ¢­®¥ ±¢®©±²¢® ´ ª²®°¨ «  ®·¥¢¨¤­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿:

(n+ 1)! = (n+ 1) � n!:�®¤±² ¢¨¬ ¢ ½²³ ´®°¬³«³ n = 0 . �®«³·¨¬:

1! = 1 � 0!;®²ª³¤  0! = 1 . � ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢® ¬­®£¨µ ´®°¬³« µ ¤«¿ ¥¤¨­®®¡° §­®©§ ¯¨±¨ ®·¥­¼ ³¤®¡­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¡®§­ ·¥­¨¥¬ 0! = 1 . � ¢®² ®¯°¥¤¥«¨²¼(�1)! ­¨ª ª ­¥«¼§¿: ° ¢¥­±²¢® 0! = 0 � (�1)! ­¥¢®§¬®¦­® ­¨ ¯°¨ ª ª®¬§­ ·¥­¨¨ (�1)! .

� §¬¥¹¥­¨¿

�«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦­®¥ ¯®­¿²¨¥ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¨ | ° §¬¥¹¥­¨¥. � ¢ ©²¥ ° ±-±¬®²°¨¬ ² ª³¾ ±¨²³ ¶¨¾: ¢ ª« ±±¥, ¢ ª®²®°®¬ 25 ³·¥­¨ª®¢, ­³¦­® ¢»-¡° ²¼ ±² °®±²³, ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹­¨ª  § ¬¥±²¨²¥«¿. �ª®«¼ª¨¬¨±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼?

�·¥¢¨¤­®, ±­ · «  25 ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ «¾¡®£® ³·¥­¨ª  ¢±² °®±²». � ²¥¬ ¨§ 24 ®±² ¢¸¨µ±¿ | § ¬¥±²¨²¥«¿ ±² °®±²»,   ¯®±«¥ ½²®£®«¾¡®© ¨§ 23 ®±² ¢¸¨µ±¿ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®¬®¹­¨ª®¬ § ¬¥±²¨²¥«¿. �®¯° ¢¨«³ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¢±¥£® ¨¬¥¥¬

A325 = 25 � 24 � 23

¢ °¨ ­²®¢.�®®¡¹¥, ·¥°¥§ Akn (·¨² ¥¬: À  ¨§ ½­ ¯® ª Á) ®¡®§­ · ¾² ·¨±«® ±¯®±®¡®¢

¢»¡° ²¼ ¨§ ¤ ­­»µ n ½«¥¬¥­²®¢ ±­ · «  ¯¥°¢»© ½«¥¬¥­², ¯®²®¬ ¢²®°®©,²°¥²¨©, : : : , k -©. �»·¨±«¿¾² ¥£® ¯® ´®°¬³«¥

Akn = n(n� 1) � � � (n� k + 1):

� ¬¥²¼²¥: ¢ ¯° ¢®© · ±²¨ °®¢­® k ¬­®¦¨²¥«¥©, ¨ ¯®±«¥¤­¨© ¨§ ­¨µ ° ¢¥­n�k+1 ,   ¢®¢±¥ ­¥ n�k , ª ª ¬®£«® ¯®ª § ²¼±¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. �®°¬³«³¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¨ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «»:

Akn = n!=(n� k)!:

81

�¨±«  ±®·¥² ­¨©

�°¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ¢ ª« ±±¥ ¨§ 25 ·¥«®¢¥ª ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ­¥ ±² °®±²³,¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹­¨ª  ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿,   ²°®©ª³ ­ · «¼­¨ª®¢, ª®-²®°»¥, ®¡« ¤ ¿ ° ¢­»¬¨ ¯° ¢ ¬¨, ¡³¤³² ³¯° ¢«¿²¼ ¨ ±³¤¨²¼ ª« ±±, ­¥¢»¿±­¿¿, ª²® ¨§ ²°®¨µ £« ¢­»©, ª²® ¬¥­¥¥ £« ¢­»©,   ª²® ² ª ±¥¡¥. �®£¤ ±¯®±®¡®¢ ¡³¤¥² ­¥ A3

25 ,   ¢ 6 ° § ¬¥­¼¸¥. (�®¤³¬ ©²¥ ®¡ ½²®¬ µ®°®¸¥­¼ª®!�¤¥±¼ 6 = 3! | ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ­¦¨°®¢ ²¼ ²°�¥µ ­ · «¼­¨ª®¢, ²®¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ¢±¥µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¨§ 3 ½«¥¬¥­²®¢.)

�®®¡¹¥, ®·¥­¼ ¢ ¦­»¥ ¤«¿ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¨ ¨ ²¥®°¨¨ ¢¥°®¿²­®±²¥© ·¨±-«  ±®·¥² ­¨© Ckn (·¨² ¥¬: À·¨±«® ±®·¥² ­¨© ¨§ ½­ ¯® ª Á ¨«¨ À¶¥ ¨§ ½­ ¯®ª Á) ¬®¦­® ¢»·¨±«¨²¼ ¯® ´®°¬³«¥

Ckn = Akn=k! =n!

k!(n� k)! :

� ±®¦ «¥­¨¾, ­¨ ¤«¿ ²®·­®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ­¨ ¤«¿ ±¢®©±²¢ ·¨±¥«±®·¥² ­¨© ¢ ½²®© ¡°®¸¾°¥ ¬¥±²  ­¥ ­ ¸«®±¼. �® ¤«¿ ¯¥°¢®£® §­ ª®¬-±²¢  ± ª®¬¡¨­ ²®°¨ª®© ±ª § ­­®£® ¨ ² ª ¯°¥¤®±² ²®·­®. �¥°­�¥¬±¿«³·¸¥ ª ­ ¸¨¬ ®¡»·­»¬ § ¤ · ¬, ®±² ¢¨¢ ²¥®°¨¾ ­  ¡³¤³¹¥¥.

431. � ª¨®±ª¥ ¯°®¤ ¾² 5 ¢¨¤®¢ ª®­¢¥°²®¢ ¨ 4 ¢¨¤  ¬ °®ª. �ª®«¼-ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ª³¯¨²¼ ª®­¢¥°² ¨ ¬ °ª³?

432. � ´³²¡®«¼­®© ª®¬ ­¤¥ (11 ·¥«®¢¥ª) ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ª ¯¨² ­ ¨ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿. �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼?

�¥¸ ¥­ ¨ ¥. � ¯¨² ­®¬ ¬®¦¥² ±² ²¼ «¾¡®© ¨§ 11 ´³²¡®«¨±²®¢.�®±«¥ ¢»¡®°  ª ¯¨² ­  ­  °®«¼ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¬®£³² ¯°¥²¥­¤®¢ ²¼10 ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¥«®¢¥ª. � ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±²¼ 11 � 10 = 110 ° §­»µ¢ °¨ ­²®¢ ¢»¡®° .

�²  § ¤ ·  ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥¬, ·²® ¢»¡®° ª ¯¨² ­ ®£° ­¨·¨¢ ¥² ª°³£ ¯°¥²¥­¤¥­²®¢ ­  °®«¼ § ¬¥±²¨²¥«¿: ª ¯¨² ­ ­¥¬®¦¥² ¡»²¼ ±¢®¨¬ § ¬¥±²¨²¥«¥¬. � ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¡®°» ª ¯¨² ­ ¨ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬»¬¨ | ² ª¨¬¨, ª ª ¢»¡®°»ª®­¢¥°²  ¨ ¬ °ª¨.

433. �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ £« ±­³¾ ¨ ±®£« ±­³¾¡³ª¢» ¨§ ±«®¢  ª®­¢¥°²?

�®¿ ± ­ ¥ ­ ¨ ¥. �« ±­³¾ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ (®¨«¨ ¥),   ±®£« ±­³¾ | ¯¿²¼¾ ±¯®±®¡ ¬¨ (ª, ­, ¢, ° ¨«¨ ²).

82

434. �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³¡¥«³¾ ¨ ·�¥°­³¾ « ¤¼¨ ² ª, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ ?

435. �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³¡¥«®£® ¨ ·�¥°­®£® ª®°®«¿, ·²®¡» ¯®«³·¨« ±¼ ¤®¯³±²¨¬ ¿ ¯° ¢¨-« ¬¨ ¨£°» ¯®§¨¶¨¿?

436. � ­­¨¬ ³²°®¬ ­  °»¡ «ª³ ³«»¡ ¾¹¨©±¿ �£®°¼ ¬· «±¿ ¡®±¨ª®¬.�ª®«¼ª® ®±¬»±«¥­­»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼, ¢»·�¥°-ª¨¢ ¿ ­¥ª®²®°»¥ ±«®¢  ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿? (�® ¢±¥ ¯°¥¤«®¦¥-­¨¿ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¤®«¦­» ¢µ®¤¨²¼ ¯®¤«¥¦ ¹¥¥ �£®°¼ ¨ ±ª §³¥-¬®¥ ¬· «±¿.)

437. � · «¼­¨ª ²° ­±¯®°²­®£® ¶¥µ  ¯°¨£« ±¨« ­¥±ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª­  ±®¢¥¹ ­¨¥. � ¦¤»© ³· ±²­¨ª ±®¢¥¹ ­¨¿, ¢µ®¤¿ ¢ ª ¡¨­¥²,¯®¦¨¬ « °³ª¨ ¢±¥¬ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨¬. �ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ³· ±²-¢®¢ «¨ ¢ ±®¢¥¹ ­¨¨, ¥±«¨ ¡»«® ¢±¥£® 78 °³ª®¯®¦ ²¨©?

438. �°»±  ¡¥¦¨² ¯® « ¡¨°¨­²³, ª®²®°»© ³±²°®¥­ ² ª, ·²® ±­ · « ®­  ¤®«¦­  ¢»¡° ²¼ ®¤­³ ¨§ ¤¢³µ ¤¢¥°¥©, § ²¥¬ ®¤­³ ¨§ ²°�¥µ¤¢¥°¥©,   §  ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ¥�¥ ®¦¨¤ ¾² ·¥²»°¥ ¤¢¥°¨. �°®©¤¿¤¢¥°¼, ª°»±  ­¥ ¬®¦¥² ¢¥°­³²¼±¿ ·¥°¥§ ­¥�¥ ®¡° ²­®. �ª®«¼-ª¨¬¨ ° §«¨·­»¬¨ ¯³²¿¬¨ ª°»±  ¬®¦¥² ¯°®©²¨ « ¡¨°¨­² ®²­ · «  ¤® ª®­¶ ?

RN R RN N

) ? q

RN RR NN

q?)

� -r

439. � ¯®µ®¤ µ®¤¨«¨ 80% ³·¥­¨ª®¢ ª« ±± ,   ­  ½ª±ª³°±¨¨ ¡»«® 60%ª« ±± , ¯°¨·�¥¬ ª ¦¤»© ¡»« ¢ ¯®µ®¤¥ ¨«¨ ­  ½ª±ª³°±¨¨. �ª®«¼-ª® ¯°®¶¥­²®¢ ª« ±±  ¡»«¨ ¨ ² ¬, ¨ ² ¬?

440. � ª« ±±¥ 35 ³·¥­¨ª®¢. 20 ¨§ ­¨µ § ­¨¬ ¾²±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥-±ª®¬ ª°³¦ª¥, 11 | ¢ ¡¨®«®£¨·¥±ª®¬,   10 ­¨·¥¬ ­¥ § ­¨¬ ¾²±¿.�ª®«¼ª® °¥¡¿² § ­¨¬ ¾²±¿ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨ª®©, ¨ ¡¨®«®£¨¥©?

441. �  ¤¨±ª®²¥ª¥ 80% ¢°¥¬¥­¨ ¡»« ¢»ª«¾·¥­ ±¢¥², 90% ¢°¥¬¥­¨¨£° «  ¬³§»ª  ¨ 50% ¢°¥¬¥­¨ ¸�¥« ¤®¦¤¼. � ª³¾ ­ ¨¬¥­¼¸³¾

83

¤®«¾ ¢°¥¬¥­¨ ¢±�¥ ½²® ®¡¿§ ­® ¡»«® ¯°®¨±µ®¤¨²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­-­®?

442. �§ 100 ·¥«®¢¥ª 85 §­ ¾²  ­£«¨©±ª¨© ¿§»ª, 80 | ¨±¯ ­±ª¨©,75 | ­¥¬¥¶ª¨©. �ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª § ¢¥¤®¬® §­ ¾² ¢±¥ ²°¨ ¿§»-ª ?

� ¢®¤ ¿¹¨© ¢® ¯ ° ® ±. �ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ­¥ §­ ¾²  ­£«¨©±ª¨©¿§»ª? ¨±¯ ­±ª¨©? ­¥¬¥¶ª¨©?

443. � ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ®² 1 ¤® 1993 ¡®«¼¸¥: ²¥µ, ª®²®°»¥ª° ²­» 8, ­® ­¥ ª° ²­» 9, ¨«¨ ²¥µ, ª®²®°»¥ ª° ²­» 9, ­® ­¥ª° ²­» 8?

444. �ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ¬¥­¼¸¨µ 1 000, ª®²®-°»¥ ­¥ ª° ²­» ­¨ 2, ­¨ 5? � ­¥ ª° ²­»µ ­¨ 2, ­¨ 3, ­¨ 5?

445. �ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ·�¥²­ ¿ ¶¨´° ?

�®¤ ±ª   § ª  . �¬¥±²® ²®£®, ·²®¡» ¯®¤±·¨²»¢ ²¼ ª®«¨·¥±²¢®²°¥¡³¥¬»µ ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ®¯°¥¤¥«¨²¥ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·-­»µ ·¨±¥«, ³ ª®²®°»µ ¢±¥ ¶¨´°» ­¥·�¥²­».

446. � ª¨µ ·¨±¥« ¡®«¼¸¥ ±°¥¤¨ ¯¥°¢®£® ¬¨««¨®­ : ²¥µ, ¢ § ¯¨±¨ª®²®°»µ ¥±²¼ ¶¨´°  7, ¨«¨ ²¥µ, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥�¥ ­¥²?

447. �ª®«¼ª® ±¥¬¨§­ ·­»µ ·¨±¥« ­¥ ±®¤¥°¦ ² ¶¨´°» 2?

448. �ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ 8 ·¥«®¢¥ª ¬®£³² ¢±² ²¼ ¢ ®·¥°¥¤¼ ª ²¥- ²° «¼­®© ª ±±¥?

449. �ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² 9-§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¶¨´°» ª®²®°»µ ° ±¯®«®-¦¥­» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿ (²® ¥±²¼ ª ¦¤ ¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ¬¥­¼¸¥¯°¥¤»¤³¹¥©)?

450. �ª®«¼ª® ° §­»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¶¨´°» ·¨-±¥«:  ) 133; ¡) 9 854; ¢) 3 213; £) 98 561; ¤) 32 123?

451. �ª®«¼ª® ° §«¨·­»µ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­»µ) ±«®¢ ¬®¦­®¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢:  ) ª°®²; ¡) ¬ ²¥¬ ²¨ª ;¢) ­ ¯®«¥®­®­¥­ ¢¨±²­¨·¥±²¢®?

452. �ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²°�¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¼ ª®²®°»µ ¢µ®-¤¨² °®¢­® ®¤­  ¶¨´°  5?

84

��������� ¨ ��������)

�¥´«¥ª±¨¿

�®§­ ­¨¥ | ½²® § ¦¦�¥­­»¥ ´ °»

¢¯¥°¥¤¨ ¨¤³¹¥£® ¯ °®¢®§ .

�¡° ²¨²¥ ¨µ ±¢¥²®¬ ¢­³²°¼, ¨

±«³·¨²±¿ ª ² ±²°®´ .

�.� ±²¥°­ ª

� ¯®¯  ¡»«  ±®¡ ª ,

�­ ¥�¥ «¾¡¨«,

�­  ±º¥«  ª³±®ª ¬¿± ,

�­ ¥�¥ ³¡¨«.

� §¥¬«¾ § ª®¯ «,  

�  ¬®£¨«¥ ­ ¯¨± «:\� ¯®¯  ¡»«  ±®¡ ª , : : : "

�±¥ ±«»¸ «¨ ­¥±ª®­· ¥-¬³¾ ¨±²®°¨¾ ® ±¢¿¹¥­­¨ª¥¨ ±®¡ ª¥. �²® ±²¨µ®²¢®°¥-­¨¥ ¨­²¥°¥±­® ²¥¬, ·²® ®­®±­®¢  ¨ ±­®¢  ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ª ± ¬®¬³ ±¥¡¥, ¯®¤®¡­® §¬¥¥,§ £« ²»¢ ¾¹¥© ±®¡±²¢¥­­»©µ¢®±².

�«¥¤³¾¹ ¿ ´° §  | ²¨¯¨·­»© ¯°¨¬¥° ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, £®¢®-°¿¹¥£® ® ±¥¡¥ ± ¬®¬. �¥°¥±·¨² ©²¥ ¡³ª¢», ¨ �» ³¡¥¤¨²¥±¼,·²® ½²® | ·¨±² ¿ ¯° ¢¤ :

� � ½²®© ´° §¥ ¤¢ ¤¶ ²¼ ¢®±¥¬¼ ¡³ª¢.

�®² ¤°³£¨¥ ¯°¨¬¥°»:

� �» ²®«¼ª® ·²® ­ · «¨ ·¨² ²¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ·²¥­¨¥ ª®²®-°®£® �» ³¦¥ § ª ­·¨¢ ¥²¥.

�)À�®´¨§¬Á ¨ À¯ ° ¤®ª±Á | ±«®¢  £°¥·¥±ª¨¥. À�®´¨§¬Á (�o'���� ) ®§­ -· ¥² ° ±±³¦¤¥­¨¥, ´®°¬ «¼­® ª ¦³¹¥¥±¿ ±®¢¥°¸¥­­® ¡¥§³¯°¥·­»¬, ­® ±®-¤¥°¦ ¹¥¥ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®¸¨¡ª³, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ª®­¥·­»© ¢»¢®¤ ®ª -§»¢ ¥²±¿  ¡±³°¤­»¬. �¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥±²­»µ ±®´¨§¬®¢ ¿¢«¿¥²±¿±«¥¤³¾¹¨©: À�®, ·²® ²» ­¥ ²¥°¿«, ²» ¨¬¥¥¸¼; ²» ­¥ ²¥°¿« °®£®¢, ±«¥¤®¢ -²¥«¼­®, ²» ¨µ ¨¬¥¥¸¼.Á� ¯ ° ¤®ª±¥ (�����o�o� ), ­ ®¡®°®², ³¬®§ ª«¾·¥­¨¥, ª ¦³¹¥¥±¿ ­¥¢¥°-

­»¬, ¯°®²¨¢®°¥· ¹¨¬ À§¤° ¢®¬³ ±¬»±«³Á, ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®.

85

� � ½²®© ´° §¥ ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢Á, ¤¢  ° -§  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À½²®©Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢®À´° §¥Á, ·¥²»°­ ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢±²°¥· ¥²-±¿Á, ·¥²»°­ ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±«®¢®Á, ¸¥±²¼° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° §Á, ¤¥¢¿²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢®À° § Á, ±¥¬¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¢ Á, ²°¨ ° §  ¢±²°¥-· ¥²±¿ ±«®¢® À·¥²»°­ ¤¶ ²¼Á, ²°¨ ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®-¢® À²°¨Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¥¢¿²¼Á, ¤¢  ° -§  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±¥¬¼Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢®À¸¥±²¼Á.

� Only the fool would take trouble to verify that his sentencewas composed of ten a's, three b's, four d's, forty-six e's, six-teen f's, four g's, thirteen h's, �fteen i's, two k's, nine l's,four m's, twenty-�ve n's, twenty-four o's, �ve p's, sixteen r's,forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's,four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apos-trophes, seven hyphens, and, last but not least, a single !

� In this sentence, the word and occurs twice, the word eight

occurs twice, the word four occurs twice, the word fourteen

occurs four times, the word in occurs twice, the word occurs

occurs fourteen times, the word sentence occurs twice, theword seven occurs twice, the word the occurs fourteen times,the word this occurs twice, the word times occurs seven times,the word twice occurs eight times and the word word occursfourteen times.

� �²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±®¤¥°¦¨² ¤¢¥­ ¤¶ ²¼ ±«®¢, ¤¢ ¤¶ ²¼¸¥±²¼ ±«®£®¢ ¨ ±¥¬¼¤¥±¿² ²°¨ ¡³ª¢».

� �®£¤  §  ½²¨¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ ­¥ ­ ¡«¾¤ ¾², ®­® ­ ¯¨± ­®¯®-­¥¬¥¶ª¨.

� .¨ª±¡ ° -®¯ ²¾ ²¨·, ®¢¥« ­  ¢ °¯±, ª ² ®­­¥¬�

� �¥¢¿²¼ ±«®¢ ­ § ¤ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¥¹�¥ ­¥ ­ · «®±¼.

86

� �²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±®±²®¿«® ¡» ¨§ ¤¥±¿²¨ ±«®¢, ¥±«¨ ¡» ®­®¡»«® ­  ¯¿²¼ ±«®¢ ª®°®·¥.

� �±«¨ ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ­¥ ±³¹¥±²¢®¢ «®, ª²®-­¨¡³¤¼¯°¨¤³¬ « ¡» ¥£®.

� �±«¨ ¡» ¿ ¤®¯¨± « ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥,

� �¯° ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥. �³¸¥¢­®¡®«¼­»¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ¤³¸¥¢­®-¡®«¼­®©, ¢±²³¯¨¢¸¨© ¢ ª®­´«¨ª² ± ®¡¹¥±²¢®¬. (�§ ³·¥¡-­¨ª  ¯±¨µ¨ ²°¨¨.)

� � ª ¢»£«¿¤¥«® ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¥±«¨ ¡» � ° ¢­¿-«®±¼ 3?�)

� �¤¥ ¡» �» ­¨ ¢±²°¥²¨«¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ³­¨·²®¦¼²¥¥£®.

� �²®² ¯°¨­¶¨¯ ­ ±²®«¼ª® ¢±¥®¡º¥¬«¾¹, ·²® ­¨ª ª®¥· ±²­®¥ ¥£® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ­¥¢®§¬®¦­®.

� �®, ·²® ¿ � ¬ ±¥©· ± ¯°¥¤±ª §»¢ ¾, ±¡³¤¥²±¿.

� �» ¬¥­¿ ¯®¬­¨²¥? � | ²®² ± ¬»© ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ­¥¯°®¨§¢�¥« ­  � ± ­¨ª ª®£® ¢¯¥· ²«¥­¨¿.

� �®·¥¬³ ¢±¥ ­¥¯°¨¿²­®±²¨ ¯°®¨±µ®¤¿² ¢ ± ¬®¥ ­¥¯®¤µ®¤¿-¹¥¥ ¢°¥¬¿?

� �¥ ­ ¯®¬¨­ ¥² «¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ® �³¸ª¨­¥?

� �°¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ­  ¯®±«¥¤­¥©, 500-© ±²° ­¨¶¥ ª­¨£¨ ­ -¯¥· ² ­®:

�)� ¬¥²¼²¥, ¢ ¬¨°¥, £¤¥ � ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ° ¢­® 3, �» ±ª § «¨ ¡» ­¥À¥±«¨ ¡» � = 3Á,   À¥±«¨ ¡» � = 2Á ¨«¨ À¥±«¨ ¡» � 6= 3Á. �¯°®·¥¬,¨§¬¥­¨²¼ � | §­ ·¨² £«³¡®· ©¸¨¬ ®¡° §®¬ ¨§¬¥­¨²¼ ¨ ¢±¾ ¬ ²¥¬ ²¨ª³,¨ ¢¥±¼ ¬¨°. �®¦ «³©, ­¨ ¯®­¿²¨¥ À¯°¥¤«®¦¥­¨¥Á, ­¨ À3Á ­¥ ¢»¤¥°¦ «¨ ¡»² ª®£® ¯®²°¿±¥­¨¿.

87

�¯¥· ²ª¨

±. 500: �¬¥±²® À�¯¥· ²ª¨Á ±«¥¤³¥² ·¨² ²¼ À�¯¥· ²ª Á.

� (�«³· © ­  ½ª§ ¬¥­¥.) �¨«¥² ¢ª«¾· « ¢ ±¥¡¿ ±«¥¤³¾¹¥¥:\� ¯¨¸¨²¥ ¢®¯°®±, ¯®¤µ®¤¿¹¨© ¤«¿ ¢»¯³±ª­®£® ½ª§ ¬¥­ ¯® ½²®¬³ ª³°±³,   § ²¥¬ ®²¢¥²¼²¥ ­  ­¥£®."

�«¿ ®²¢¥²  ¤®±² ²®·­® ¤¢ ¦¤» ¯¥°¥¯¨± ²¼ ½²®² ¢®¯°®±!

� � ¯¥°¥¢®¤³ ±¢®¥© ±² ²¼¨ �¨²«¢³¤ ­ ¯¨± « ¯°¨¬¥· ­¨¿:

� ¢¥±¼¬  ¡« £®¤ °¥­ ¯°®´¥±±®°³ �¨±±³ §  ¯¥°¥¢®¤½²®© ±² ²¼¨.

� ² ª¦¥ ¡« £®¤ °¾ ¯°®´¥±±®°  �¨±±  §  ¯¥°¥¢®¤¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿.

� ² ª¦¥ ¡« £®¤ °¾ ¯°®´¥±±®°  �¨±±  §  ¯¥°¥¢®¤¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿.

�®·¥¬³ ½²®² °¿¤ ¡« £®¤ °­®±²¥© ­¥ ­³¦­® ¯°®¤®«¦ ²¼?

� ¬®®²°¨¶ ­¨¥

�«¾° «¨§¬ ­³¦¥­ ­ ¸¥© ±²° ­¥ ª ª

¢®§¤³µ, ¨ ¤¢³µ ¬­¥­¨© ®¡

½²®¬ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥².

�.�.�®°¡ ·�¥¢�)

� �®§³­£ �®°®·¥! ± ¬ ±«¥¤³¥² ²®¬³, ª ·¥¬³ ¯°¨§»¢ ¥². �¢®² ¯°¨ª § �¥ ±¬¥²¼ ª®¬ ­¤®¢ ²¼! ¯°®²¨¢®°¥·¨² ± ¬±¥¡¥.

� � ¬®§¢ ­¶¥¢ ­ ¬ ­¥ ­ ¤®: ª®¬ ­¤¨°®¬ ¡³¤³ ¿.

�)�¥­¥° «¼­»© ±¥ª°¥² ²¼ �� ����, ¯®·²¨ ±³¬¥¢¸¨© ³­¨·²®¦¨²¼ª®¬¬³­¨§¬.

88

� �®®¡° §¨²¥ ¬ ©ª³ ± ­ ¤¯¨±¼¾ �  ½²®© ¬ ©ª¥ ­¨·¥£® ­¥

­ ¯¨± ­®.?!

� �¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨ ± ¬® ±¥¡¥ ¯° ¢¨«® �¥² ¯° ¢¨« ¡¥§

¨±ª«¾·¥­¨¿.?

� �¥ ±«³¸ ©±¿ ¬¥­¿!

� �¤¥± °°®¢­® ²°¨�) ®¸¨¡ª¨.

� � ª ¯¥°¥¢¥±²¨ ­  °³±±ª¨© ¿§»ª ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ \It's di�cultto translate this English sentence into Russian"y)?

� ¢¥°­®, ² ª:\�²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ²°³¤­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ± °³±-±ª®£® ­   ­£«¨©±ª¨©."

� � ¢»­³¦¤¥­ ¡»« ¯¥°¥¢¥±²¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ­  °³±±ª¨©¿§»ª, ¯®±ª®«¼ª³ ­¥ ±³¬¥« ¯°®·¨² ²¼ ¥£® ¢ ®°¨£¨­ «¥ |­  ± ­±ª°¨²¥.

� ° ¤®ª± «¦¥¶ 

�¥ §°¿ «¨ §­ ­¼¥¬ ¡¥±¯®«¥§­»¬

±¢®© ¤³µ ¤°¥¬®²­»© ¬» ²°¥¢®¦¨¬?

� ²¥µ, ª²® § £«¿¤»¢ ¥² ¢ ¡¥§¤­³,

®­  § £«¿¤»¢ ¥² ²®¦¥.

�.�³¡¥°¬ ­

� �¹�¥ ¢ �°¥¢­¥© �°¥¶¨¨ §­ «¨ À¯ ° ¤®ª± «¦¥¶ Á. �°¥¤-±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ­¥ª²® £®¢®°¨²: À� «£³.Á �«¨ ¯°¥¤±² ¢¼-²¥, ·²® �» ·¨² ¥²¥ ¢ ª­¨£¥:

�®, ·²® §¤¥±¼ ­ ¯¨± ­®, | ­¥¯° ¢¤ .z)

�)�«®¢® À²°¨Á | ®¸¨¡ª  ¨«¨ ­¥²?y)�®±«®¢­»© ¯¥°¥¢®¤: \�°³¤­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ½²®  ­£«¨©±ª®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥

­  °³±±ª¨© ¿§»ª."z)� ª ·²® ¦¥ ²³² ­ ¯¨± ­®? �±«¨ ¯° ¢¤ , ²® ²®£¤  | ½²® ­¥¯° ¢¤ ;  

¥±«¨ ­¥¯° ¢¤  | ²® ½²® ¯° ¢¤ !

89

� � ®¤­®¬ ¯®«ª³ ¡° ¤®¡°¥¾ ¯°¨ª § «¨ ¡°¨²¼ ¢±¥µ ²¥µ, ª²®­¥ ¡°¥¥²±¿ ± ¬. �®«¦¥­ «¨ ¡° ¤®¡°¥© ¡°¨²¼ ± ¬ ±¥¡¿?

� �®¦¥² «¨ �±¥¬®£³¹¨© �®£ ±®§¤ ²¼ ª ¬¥­¼, ª®²®°»© ®­± ¬ ¯®¤­¿²¼ ­¥ ±¬®¦¥²?

� �²® ¯°®¨§®©¤�¥², ¥±«¨ ¢±¥±®ª°³¸ ¾¹¥¥ ¯³¸¥·­®¥ ¿¤°®¯®¯ ¤�¥² ¢ ­¥±®ª°³¸¨¬³¾ ¡°®­¾?

� � ¦¤®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¬®¦­® ­ §¢ ²¼, ¯°®¨§­¥±¿ ­¥-±ª®«¼ª® ±«®¢. � ¯°¨¬¥°, ·¨±«® 2 § ¤ �¥²±¿ ®¤­¨¬ ±«®¢®¬,  ·¨±«® 22 | ¤¢³¬¿.

� ¢ ©²¥ ° ±±¬®²°¨¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ­¥«¼§¿

§ ¤ ²¼ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ ¤¥±¿²¼¾ ±«®¢ ¬¨. �£® ®¯¨± ­¨¥ ±®-±²®¨² ¢±¥£® ¨§ 9 ±«®¢, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥£® ®±­®¢­®¬³±¢®©±²¢³.

�®´¨§¬»

� �±«¨ ° ¢­» ¯®«®¢¨­», ²® ° ¢­» ¨ ¶¥«»¥. �®«³¯³±²®©±² ª ­ ° ¢¥­ ¯®«³¯®«­®¬³; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯³±²®© ±² ª ­° ¢¥­ ¯®«­®¬³.

� � ±±¬®²°¨¬ ° ¢¥­±²¢® 1 =2

3� 1. �±«¨ ¥¤¨­¨¶³ ¢ §­ ¬¥-

­ ²¥«¥ § ¬¥­¨¬ ­ 2

3� 1, ²® ¯®«³·¨¬:

1 =2

3�2

3� 1

:

�®¢²®°¨¢ ½²³ ®¯¥° ¶¨¾ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ­®¢®© ¥¤¨­¨¶¥,±²®¿¹¥© ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥, ¨ ¯®±²³¯ ¿ ¤ «¥¥ ¯®¤®¡­»¬ ®¡° -

90

§®¬, ¬» ¯®±²°®¨¬ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¶¥¯­³¾ ¤°®¡¼:

1 =2

3�2

3�2

3�2

3� : : :

:

� ¤°³£®© ±²®°®­», 2 = 23�2 , ² ª ·²®

2 =2

3� 2=

2

3�2

3� 2

=2

3�2

3�2

3�2

3� : : :

:

�®±²°®¥­­»¥ ¤°®¡¨ ° ¢­»! �­ ·¨², ° ¢­» ¨ ·¨±« , ¨§ª®²®°»µ ®­¨ ¯®«³·¥­», ²® ¥±²¼ 1 = 2. �¨«¼­»© ¨ ®·¥­¼¢ ¦­»© °¥§³«¼² ², ª®²®°»© ¬­®£¨¥ ³·¨²¥«¿ ±ª°»¢ ¾²®² ±¢®¨µ ³·¥­¨ª®¢!

� �¡®§­ ·¨¬

S = 1+1

2+1

3+1

4+1

5+1

6+1

7+1

8+1

9+

1

10+

1

11+

1

12+ : : :

�·¥¢¨¤­®,

S

2=1

2+1

4+1

6+1

8+

1

10+

1

12+ : : : (�)

�»·¨² ¿ ½²® ° ¢¥­±²¢® ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®, ¯®«³· ¥¬:

S �S

2= 1 +

1

3+1

5+1

7+1

9+

1

11+ : : : (��)

�®±ª®«¼ª³ 12 < 1 , 1

4 < 13 ,

16 < 1

5 ,18 < 1

7 , ¨ ¢®®¡¹¥,12n < 1

2n�1 , ²® ª ¦¤®¥ ±« £ ¥¬®¥ ¯° ¢®© · ±²¨ ´®°¬³«»(�) ¬¥­¼¸¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ±« £ ¥¬®£® ´®°¬³«» (��) .�«¥¤®¢ ²¥«¼­®,

S

2< S �

S

2;

·²® ³¤¨¢¨²¥«¼­®.

91

�®²¥¸­»¥ ¨±²®°¨¨

� ±¯®°¾ ¨±ª°¥­­¥ ¨ ·¥±²­®,

¿ ·¨±²®© ¨±²¨­» ¯®±°¥¤­¨ª,

¨ ¬­¥ ±®¢±¥¬ ­¥ ¨­²¥°¥±­®,

·²® £®¢®°¨² ¬®© ±®¡¥±¥¤­¨ª.

�.�³¡¥°¬ ­

� �°¥±²¼¿­¨­ ¸�¥« ¯® ¤®°®£¥ ±® ±¢®¨¬ ±»­®¬. �»­ ° ±±ª §»¢ « ·²®-²® ®²¶³ ¨ ±ª § « ¥¬³ ­¥¯° ¢¤³. �°¥±²¼¿­¨­ ¤®£ ¤ «±¿, ·²® ±»­®¡¬ ­»¢ ¥² ¥£®. �®£¤  ®­ ±ª § «: \�¥©· ±, ±»­®ª, ¬» ¯®¤µ®¤¨¬ ª¬®±²³. �²®² ¬®±² ­¥ ¯°®±²®©,   ¢®«¸¥¡­»© | ®­ ¯°®¢ «¨¢ ¥²±¿¯®¤ ²¥¬¨, ª²® £®¢®°¨² ­¥¯° ¢¤³." �®£¤  ±»­ ³±«»¸ « ½²®, ®­ ¨±¯³-£ «±¿ ¨ ¯°¨§­ «±¿ ®²¶³, ·²® ®¡¬ ­³« ¥£®. �®²¨²¥ ³§­ ²¼, ·²® ¡»«®¤ «¼¸¥? � ¤ «¼¸¥ ª°¥±²¼¿­¨­ ±® ±¢®¨¬ ±»­®¬ ¢±²³¯¨«¨ ­  ¬®±²,¨ ¬®±² ¯°®¢ «¨«±¿ ¯®¤ ª°¥±²¼¿­¨­®¬ | ¢¥¤¼ ­¨ª ª¨µ ¢®«¸¥¡­»µ

¬®±²®¢ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ­¥ ¡»¢ ¥².

� (�°¨¤¨·¥±ª¨© ª §³±.) �±²°¥²¨«¨±¼ ¢ ¯³±²»­¥ ²°¨ ¯³²­¨ª . �¢®¥,­¥ ±£®¢ °¨¢ ¿±¼, °¥¸¨«¨ ³¡¨²¼ ²°¥²¼¥£®. �®·¼¾ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ®²° -¢¨« ¥£® ¢®¤³,   ¤°³£®© (­¥ §­ ¿ ® ²®¬!), ¯°®ª®«®« ¡³°¤¾ª ± ¢®¤®©² ª, ·²® ¢®¤  ¢±ª®°®±²¨ ¢»²¥ª«  ¨ ¡¥¤­¿£  ¯®£¨¡ ®² ¦ ¦¤».

�²® ³¡¨©¶ ? � ±³¤¥ ¢²®°®© ³²¢¥°¦¤ «, ·²® ¡« £®¤ °¿ ­¥¬³ ²°¥²¨©¯°®¦¨« ¤ ¦¥ ¤®«¼¸¥, ·¥¬ ¥±«¨ ¡» ®­ ¢»¯¨« ®²° ¢³. � ®²° ¢¨²¥«¼®¯° ¢¤»¢ «±¿ ²¥¬, ·²® ¢¥±¼ ¿¤ ¢»²¥ª ¨ ­¨ª ª ­¥ ¯®¢°¥¤¨« ¦¥°²¢¥.

� �°¨ ±²°®¨²¥«¼±²¢¥ ¬®±²  ·¥°¥§ �¥¢³ ­¥±ª®«¼ª® ²»±¿· ·¥«®¢¥ª ¡»«¨§ ­¿²» ¡®©ª®¾ ±¢ ©, ·²®, ­¥ £®¢®°¿ ³¦¥ ® ° ±µ®¤ µ, ·°¥§¢»· ©­®§ ¬¥¤«¿«® ° ¡®²». �±ª³±­»© ±²°®¨²¥«¼ £¥­¥° « �®°¡¥¶ ¢»¤³¬ «¬ ¸¨­³, §­ ·¨²¥«¼­® ®¡«¥£·¨¢¸³¾ ¨ ³±ª®°¨¢¸³¾ ½²®² ²°³¤. �¤¥-« ¢ ®¯»²», ®¯¨± ­¨¥ ¬ ¸¨­» ®­ ¯°¥¤±² ¢¨« �« ¢­®³¯° ¢«¿¾¹¥¬³¯³²¥© ±®®¡¹¥­¨¿ ¨ ¯®«³·¨« ­  ¡³¬ £¥ ®´¨¶¨ «¼­»© ¨ ±²°®¦ ©¸¨©¢»£®¢®°: § ·¥¬ ®­ ½²®© ¬ ¸¨­» ¯°¥¦¤¥ ­¥ ¨§®¡°�¥« ¨ ²¥¬ ¢¢�¥« ª §­³¢ ®£°®¬­»¥ ¨ ­ ¯° ±­»¥ ° ±µ®¤».

� � · «¼­¨ª §»°¿­±ª®£® ³§«  ±¢¿§¨ �¿¯³­®¢ ¯®¦ «®¢ «±¿ ¢ ¬¨«¨-¶¨¾: \�¦¥¬¨«¥¢ ­ °³¸ ¥² ¯° ¢¨«  ¢¥¤¥­¨¿ ¬¥¦¤³£®°®¤­»µ ° §-£®¢®°®¢ : : : �­ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¬» ¯®¤±«³¸¨¢ ¥¬ ¥£® ¯¥°¥£®¢®-°». �°®¸³ ° §º¿±­¨²¼ �¦¥¬¨«¥¢³, ·²® ¥£® ¤¥©±²¢¨¿ ­®±¿² ®±ª®°-¡¨²¥«¼­»© µ ° ª²¥°,   ¯®¤®¡­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¿¢«¿¾²±¿ ª«¥¢¥²®©."� ®¡®±­®¢ ­¨¥ ±¢®¥© ¦ «®¡» �¿¯³­®¢ ¯°¨« £ ¥² ¤®ª« ¤­³¾ ²¥«¥´®-­¨±²ª¨ �¥­¿£¨­®© ± ¨§«®¦¥­¨¥¬ ±®¤¥°¦ ­¨¿ ° §£®¢®°  �¦¥¬¨«¥¢ .(À�°®­¨ª  ²¥ª³¹¨µ ±®¡»²¨©Á, 1980 £.)

92

�¥±² ¯®  °¨´¬¥²¨ª¥

� ­ ¸¨ ¤­¨ ¯®°²°¥²» ¯¨¸³² §  ±¥¬¼ ¬¨­³², °¨±®¢ ²¼

®¡³· ¾² §  ²°¨ ¤­¿,  ­£«¨©±ª¨© ¿§»ª ¢²®«ª®¢»¢ ¾²

§  ±®°®ª ³°®ª®¢, ¢®±¥¬¼ ¿§»ª®¢ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¯°¥¯®¤ ¾² ±

¯®¬®¹¼¾ ­¥±ª®«¼ª¨µ £° ¢¾°, £¤¥ ¨§®¡° ¦¥­» ° §«¨·­»¥

¯°¥¤¬¥²» ¨ ­ §¢ ­¨¿ ¨µ ­  ½²¨µ ¢®±¼¬¨ ¿§»ª µ.

�«®¢®¬, ¥±«¨ ¡» ¬®¦­® ¡»«® ±®¡° ²¼ ¢®¥¤¨­® ¢±¥

­ ±« ¦¤¥­¨¿, ·³¢±²¢  ¨ ¬»±«¨, ­  ª®²®°»¥ ¯®ª  ·²®

³µ®¤¨² ¶¥« ¿ ¦¨§­¼, ¨ ¢¬¥±²¨²¼ ¨µ ¢ ®¤­¨ ±³²ª¨, ±¤¥« «¨

¡», ¢¥°®¿²­®, ¨ ½²®.

� ¬ ±³­³«¨ ¡» ¢ °®² ¯¨«¾«¾ ¨ ®¡º¿¢¨«¨: \�«®² ©²¥ ¨

¯°®¢ «¨¢ ©²¥!"

� ¬´®° (1740{1794) À�»±«¨ ¨ ¬ ª±¨¬»Á

453. �£³°¶» ±®¤¥°¦ «¨ 99% ¢®¤». � ±²¼ ¥�¥ ¨±¯ °¨« ±¼, ² ª ·²® ¢®£³°¶ µ ±² «® 98% ¢®¤». � ª³¾ · ±²¼ ¢¥±  ¯®²¥°¿«¨ ®£³°¶»?

454. � ®¤­®© ³°­¥ «¥¦ «¨ ¤¢  ¡¥«»µ ¸ ° , ¢ ¤°³£®© | ¤¢  ·�¥°-­»µ, ¢ ²°¥²¼¥© | ®¤¨­ ¡¥«»© ¨ ®¤¨­ ·�¥°­»©. �  ª ¦¤®© ³°­¥¢¨±¥«  ² ¡«¨·ª , ³ª §»¢ ¢¸ ¿ ¥�¥ ±®¤¥°¦¨¬®¥:

�� �� ��

�³²­¨ª ¯¥°¥¢¥±¨« ² ¡«¨·ª¨ ² ª, ·²® ²¥¯¥°¼ ¢±¥ ­ ¤¯¨±¨­¥¢¥°­». �®¦­® «¨, ¢»­³¢ ®¤¨­ ¸ °, ®¯°¥¤¥«¨²¼, ·²® £¤¥ ­ -µ®¤¨²±¿?

455. � ±²° ­¥ ²°¨ £®°®¤ : �° ¢¤¨­, �£³­®¢ ¨ �¥°¥¬¥­±ª. �¨²¥«¨�° ¢¤¨­  ¢±¥£¤  £®¢®°¿² ¯° ¢¤³, �£³­®¢  | «£³²,   ¦¨²¥«¨�¥°¥¬¥­±ª  ±²°®£® ¯®¯¥°¥¬¥­­® «£³² ¨ £®¢®°¿² ¯° ¢¤³. �®-¦ °­»¬ ¯®§¢®­¨«¨:

| � ­ ± ¯®¦ °!| �¤¥ £®°¨²?| � �¥°¥¬¥­±ª¥.

�³¤  ¥µ ²¼ ¯®¦ °­»¬? (�®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿, ·²® ¯®¦ ° ¤¥©±²¢¨-²¥«¼­® ±«³·¨«±¿ ¨ ª³¤ -­¨¡³¤¼ ¥µ ²¼ ¯®¦ °­»¥ ¤®«¦­».)

93

456. �¤¨­ ¬ ±²¥° ±² ¢¨² ­  ¤«¨­­®© «¥­²¥ ¬¥²ª¨ ®² ¥�¥ ­ · «  ·¥°¥§ª ¦¤»¥ 36 ±¬, ¤°³£®© | ·¥°¥§ 25 ±¬. �®£³² «¨ ¤¢¥ ¬¥²ª¨®ª § ²¼±¿ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1 ±¬ ¤°³£ ®² ¤°³£ ?

r r r r rr� �� �� � � 0 25 50 75

36 72

457. �®¥§¤ ¯°®µ®¤¨²�) ¬®±² ¤«¨­®© 450 ¬¥²°®¢ §  ¬¨­³²³ ¨ ¯®«¬¨-­³²» ¨¤�¥² ¬¨¬® ²¥«¥£° ´­®£® ±²®«¡ . � ©¤¨²¥ ¤«¨­³ ¨ ±ª®-°®±²¼ ¯®¥§¤ .

458. � ª ª®­²¥©­¥° ¬¨ ¢¥±  130 ª£ ¨ 160 ª£ ¯®«­®±²¼¾ § £°³§¨²¼£°³§®¢¨ª £°³§®¯®¤º�¥¬­®±²¼¾ 3²®­­»?

459. �·¥­¨ª³ ­  ª®­²°®«¼­®© ¤ «¨ 20 § ¤ ·. �  ª ¦¤³¾ ¢¥°­® °¥-¸�¥­­³¾ § ¤ ·³ ¥¬³ ±² ¢¿² 8 ¡ ««®¢, §  ª ¦¤³¾ ­¥¢¥°­® °¥-¸�¥­­³¾ | ¬¨­³± 5 ¡ ««®¢, §  § ¤ ·³, ª®²®°³¾ ®­ ­¥ ¡° «±¿°¥¸ ²¼,| 0 ¡ ««®¢. �·¥­¨ª ¯®«³·¨« ¢ ±³¬¬¥ 13 ¡ ««®¢. �ª®«¼-ª® § ¤ · ®­ ¯»² «±¿ °¥¸¨²¼?

460. �«¨¬¯¨ ¤ , �®±¨¯ ²°  ¨ �®«¨ª±¥­  ¯¨«¨ · ©. �±«¨ ¡» �«¨¬-¯¨ ¤  ¢»¯¨«  ­  5 · ¸¥ª ¡®«¼¸¥, ²® ®­  ¢»¯¨«  ¡» ±²®«¼ª®,±ª®«¼ª® ¤¢¥ ¤°³£¨¥ ¢¬¥±²¥. �±«¨ ¡» �®±¨¯ ²°  ¢»¯¨«  ­  9 · -¸¥ª ¡®«¼¸¥, ²® ®­  ¢»¯¨«  ¡» ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® ¤¢¥ ¤°³£¨¥ ¢¬¥-±²¥. �ª®«¼ª® ª ¦¤ ¿ ¢»¯¨«  · ¸¥ª ¨ ³ ª®£® ª ª®¥ ®²·¥±²¢®,¥±«¨ � °¯®¢­  ¢»¯¨«  11 · ¸¥ª, �¢ °®¢­  ¯¨«  ¢¯°¨ª³±ª³,  ª®«¨·¥±²¢® ¢»¯¨²»µ �¨²®¢­®© · ¸¥ª ª° ²­® ²°�¥¬?

461. � ª²¥°¨¨ ° §¬­®¦ ¾²±¿ ¤¥«¥­¨¥¬ ¯®¯®« ¬ ±® ±ª®°®±²¼¾ 1 ¤¥-«¥­¨¥ ¢ ¬¨­³²³. �±«¨ ¯®± ¤¨²¼ ¢ ±®±³¤ ± ¯¨² ²¥«¼­®© ±¬¥±¼¾1 ¡ ª²¥°¨¾, ²® ·¥°¥§ · ± ®­ § ¯®«­¨²±¿ ¡ ª²¥°¨¿¬¨. �¥°¥§ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¡»«  § ¯®«­¥­  ¯®«®¢¨­  ±®±³¤ ? � ·¥°¥§ ª ª®¥¢°¥¬¿ § ¯®«­¨«±¿ ¡» ±®±³¤, ¥±«¨ ¡» ¢ ­ · «¥ ¢ ­�¥¬ ¡»«® ¤¢¥¡ ª²¥°¨¨?

�)�·¨² ¿ ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼ ­  ¬®±², ¤® ¬®¬¥­² ,ª®£¤  ®­ ¶¥«¨ª®¬ ±º¥µ « ± ­¥£®.

94

462. � §°¥¦¼²¥ ´¨£³°³ ­  9 ° ¢­»µ(¨ ¯® ´®°¬¥, ¨ ¯® ¯«®¹ ¤¨) · ±-²¥©.

463. � ¦¤»© §°¨²¥«¼, ¯°¨¸¥¤¸¨©­  ±¯¥ª² ª«¼ À�®°®«¥¢±ª¨© ¦¨-° ´Á, ¯°¨­�¥± ± ±®¡®© «¨¡® ®¤-­³ ¤®µ«³¾ ª®¸ª³, «¨¡® ¤¢  ª®-· ­  £­¨«®© ª ¯³±²», «¨¡® ²°¨²³µ«»µ ¿©¶ . �²®¿¢¸¨© ³ ¢µ®-¤  �¥ª«¼¡¥°°¨ �¨­­ ¯®¤±·¨² «,·²® ª®¸¥ª ¡»«® 64 ¸²³ª¨. �®±«¥±¯¥ª² ª«¿ ®¡   °²¨±²  | ª®°®«¼¨ £¥°¶®£ | ¡»«¨ ± ­®£ ¤® £®«®¢» § ª¨¤ ­» ¯°¨¯ ± ¬¨, ¯°¨-·�¥¬ ­  ¤®«¾ ª ¦¤®£® ¤®±² «®±¼ ¯®°®¢­³ ¯°¥¤¬¥²®¢ (  ¯°®¬ -µ®¢ ¦¨²¥«¨ �°ª ­§ ±  ­¥ ¤¥« ¾²). �° ¢¤ , ª®°®«¼ ¯°¨­¿« ­ ±¥¡¿ «¨¸¼ ¯¿²³¾ · ±²¼ ¢±¥µ ¿¨¶ ¨ ±¥¤¼¬³¾ · ±²¼ ª ¯³±²», ­®¢±¥ ¤®µ«»¥ ª®¸ª¨ ¯®«¥²¥«¨ ¨¬¥­­® ¢ ­¥£®. �ª®«¼ª® §°¨²¥«¥©¯°¨¸«® ­  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥?

464. �² ¯®²®«ª  ª®¬­ ²» ¢¥°²¨ª «¼­® ¢­¨§ ¯® ±²¥­¥ ¯®¯®«§«¨ ¤¢ ¯ ³ª . �¯³±²¨¢¸¨±¼ ¤® ¯®« , ®­¨ ¯®¯®«§«¨ ®¡° ²­®. �¥°¢»©¯ ³ª ¯®«§ ¢±�¥ ¢°¥¬¿ ± ¯®±²®¿­­®© ±ª®°®±²¼¾,   ¢²®°®© µ®²¿ ¨¯®¤­¨¬ «±¿ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥ ¯¥°¢®£®, ­® § ²® ±¯³±ª «±¿ ¢¤¢®¥¡»±²°¥¥ ¯¥°¢®£®. � ª®© ¯ ³ª ° ­¼¸¥ ¯°¨¯®«§ ®¡° ²­®?

465.� � ±¯®«®¦¨²¥ ­  ¯«®±ª®±²¨ 11 ®¤¨­ ª®¢»µ ª¢ ¤° ²®¢, ·²®¡»®­¨ ­¥ ­ «¥£ «¨ ¤°³£ ­  ¤°³£  ¨ ¢»¯®«­¿«®±¼ ³±«®¢¨¥: ª ª ¡»­¨ ° ±ª° ±¨²¼ ª¢ ¤° ²» ¢ ²°¨ ¶¢¥²  | ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ©¤³²±¿¤¢  ª¢ ¤° ²  ®¤­®£® ¶¢¥² , ¨¬¥¾¹¨¥ ®¡¹¨© ®²°¥§®ª £° ­¨¶»,²® ¥±²¼ ¯°¨«¥£ ¾¹¨¥ ¤°³£ ª ¤°³£³ · ±²¼¾ ±²®°®­» (­¥ ²®·-ª®©!).

466. � ¬¥­¨²¥ ¡³ª¢» ¢ ±«®¢¥ ��������������� ¶¨´° ¬¨ (° §­»¥ ¡³-ª¢» | ° §­»¬¨ ¶¨´° ¬¨, ®¤¨­ ª®¢»¥ | ®¤¨­ ª®¢»¬¨) ² ª,·²®¡» ¢»¯®«­¿«¨±¼ ­¥° ¢¥­±²¢ � > � > � > � < � < � < � < � < � > � > � > � < � < � < �:

95

467. � ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ¤®±ª¨ 4�4 «¥¦¨² ±«¨¢ . �¡¥°¨²¥ 6 ±«¨¢ ² ª,·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ £®°¨§®­² «¼­®¬ ¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢¥°²¨ª «¼­®¬°¿¤³ ®±² «®±¼ ·�¥²­®¥ ·¨±«® ±«¨¢.

468.  ) �  ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 6� 6 ° ±±² ¢¼²¥ 8 ´¥°§¥© ² ª,·²®¡» ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¨« °®¢­® ®¤­®£® ´¥°§¿.

¡) �®¦­® «¨ ² ª ° ±±² ¢¨²¼ 9 ´¥°§¥©?

469. � ²° ¬¢ ¥ ¥µ «¨ 60 ·¥«®¢¥ª: ª®­²°®«�¥°», ª®­¤³ª²®°», «¦¥ª®­-¤³ª²®°» (£° ¦¤ ­¥, ¢»¤ ¢ ¢¸¨¥ ±¥¡¿ §  ª®­¤³ª²®°®¢), «¦¥-ª®­²°®«�¥°» (£° ¦¤ ­¥, ¢»¤ ¢ ¢¸¨¥ ±¥¡¿ §  ª®­²°®«¥°®¢), ¨,¢®§¬®¦­®, ®¡»·­»¥ ¯ ±± ¦¨°». �¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® «¦¥ª®­-²°®«�¥°®¢ ¨ «¦¥ª®­¤³ª²®°®¢ ¢ 4 ° §  ¬¥­¼¸¥ ·¨±«  ­ ±²®¿¹¨µª®­¤³ª²®°®¢ ¨ ª®­²°®«�¥°®¢. �¡¹¥¥ ·¨±«® ª®­²°®«�¥°®¢ ¨ «¦¥-ª®­²°®«�¥°®¢ ¢ 7 ° § ¡®«¼¸¥ ®¡¹¥£® ·¨±«  ª®­¤³ª²®°®¢ ¨ «¦¥-ª®­¤³ª²®°®¢. �ª®«¼ª® ¢ ²° ¬¢ ¥ ®¡»·­»µ ¯ ±± ¦¨°®¢?

470. � ±±² ¢¼²¥ ¢ ª°³¦®·ª µ·¨±«  1, 2, 3, : : : , 8, ·²®-¡» ­¨ ¢ ª ª¨µ ¤¢³µ ±®¥-¤¨­�¥­­»µ ®²°¥§ª®¬ ª°³-¦®·ª µ ­¥ ®ª § «¨±¼ ¡»±®±¥¤­¨¥ (²® ¥±²¼ ®²«¨-· ¾¹¨¥±¿ ­  1) ­ ²³-° «¼­»¥ ·¨±« .

471. �¨£³°  ­  °¨±³­ª¥ ±®±² ¢«¥­  ¨§ª¢ ¤° ²®¢. � ©¤¨²¥ ±²®°®­³ «¥¢®-£® ­¨¦­¥£®, ¥±«¨ ±²®°®­  ± ¬®£® ¬ -«¥­¼ª®£® ° ¢­  1.

472.  ) �®­¼ ¢»¸¥« ± ­¥ª®²®°®£® ¯®«¿¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¨ ·¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª®µ®¤®¢ ¢¥°­³«±¿ ­  ­¥£®. �®ª ¦¨²¥,·²® ®­ ±¤¥« « ·�¥²­®¥ ·¨±«® µ®¤®¢.¡) �§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»¯¨«¥­® ³£«®¢®¥ ¯®«¥. �®¦¥² «¨ ª®­¼®¡®©²¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¯®«¿ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³²¼±¿ ­  ¨±-µ®¤­®¥ ¯®«¥?

96

¢) �®¦¥² «¨ ª®­¼ ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®£® ­¨¦­¥£® ³£«  ¸ µ¬ ²­®©¤®±ª¨ ¢ ¯° ¢»© ¢¥°µ­¨©, ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ °®¢­® ®¤¨­° §?

473. �®±ª³ ° §¬¥°®¬ 8�8 ° §°¥§ «¨ ­  ·¥²»°¥ · ±²¨ ¨ ±«®¦¨«¨ ¨§­¨µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ° §¬¥°®¬ 5�13 . �²ª³¤  ¯®¿¢¨« ±¼ «¨¸­¿¿ª«¥²ª ?

474. �¿²¼ ¡° ²¼¥¢ ¤¥«¨«¨ ­ ±«¥¤±²¢® ®²¶  ¯®°®¢­³. � ­ ±«¥¤±²¢¥¡»«® ²°¨ ¤®¬ . �®±ª®«¼ª³ ¤®¬  ¯¨«¨²¼ ­¥«¼§¿, ¨µ ¢§¿«¨ ²°¨±² °¸¨µ ¡° ² ,   ¬¥­¼¸¨¬ ¢»¤¥«¨«¨ ¤¥­¼£¨: ª ¦¤»© ¨§ ²°�¥µ±² °¸¨µ ¡° ²¼¥¢ § ¯« ²¨« ¯® 800 °³¡«¥©,   ¬¥­¼¸¨¥ ¡° ²¼¿° §¤¥«¨«¨ ½²¨ ¤¥­¼£¨ ¬¥¦¤³ ±®¡®©. �ª®«¼ª® ±²®¨« ®¤¨­ ¤®¬?

475. �§ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ° §¬¥°®¬10 � 7 ¢»°¥§ «¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª1 � 6 , ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥.� §°¥¦¼²¥ ¯®«³·¥­­³¾ ´¨£³°³­  ¤¢¥ ° ¢­»¥ · ±²¨, ¨§ ª®²®°»µ¬®¦­® ±«®¦¨²¼ ª¢ ¤° ².

476. �§¢¥±²­®, ·²® a ¨ b | ­ ²³° «¼-­»¥ ·¨±« ,   ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ·¥²»°�¥µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© |1) a+ 1 ¤¥«¨²±¿ ­  b , 2) a = 2b+ 5,3) a+ b ¤¥«¨²±¿ ­  3, 4) a+ 7b | ¯°®±²®¥ ·¨±«®| ²°¨ ¢¥°­»µ,   ®¤­® ­¥¢¥°­®¥. � ©¤¨²¥ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¯ °»·¨±¥« a , b .

97

477. � °¨±³©²¥ ­  ª«¥²· ²®© ¡³¬ £¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ¸¨°¨­®© 33 ¨¢»±®²®© 32 ª«¥²ª¨ ¨ ° §°¥¦¼²¥ ¥£® ­  ª¢ ¤° ²», ª ª ¯®ª § ­®­  °¨±³­ª¥. (�¥§ ²¼ ¬®¦­® ²®«¼ª® ¢¤®«¼ «¨­¨© ±¥²ª¨!)

� §¡¨¥­¨¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ­  ° §­»¥ ª¢ ¤° ²»

478. �±«¨ ®² ­¥ª®²®°®£® ¤¢³§­ ·­®£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 2, ²® °¥§³«¼² ²° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  3,   ¥±«¨ ®²­¿²¼ ­¥ 2,   3, ²® ° §¤¥«¨²±¿­¥ ­  3,   ­  2. �±«¨ ª ½²®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 4, ²® °¥§³«¼² ²° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  5,   ¥±«¨ ®² ­¥£® ®²­¿²¼ 5, ²® ° §¤¥«¨²±¿­  4. �®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨ ®² ½²®£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 5, ²® ° §¤¥«¨²±¿­ ¶¥«® ­  6,   ¥±«¨ ¦¥ ®² ­ ¸¥£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 6, ²® ° §¤¥«¨²±¿­  5. � ½²® ¥¹�¥ ­¥ ¢±�¥: ¥±«¨ ª ½²®¬³ § ¬¥· ²¥«¼­®¬³ ·¨±«³¯°¨¡ ¢¨²¼ 7, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿ ­  8,   ¥±«¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 8,²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  7. �²® ¦¥ ½²® §  ·¨±«®?

479.  ) �®£¤  ª®¬¨±±¨¿ ¯°¨¥µ «  ¢ ¡®«¼­¨¶³, ² ¬ ­ µ®¤¨«¨±¼ 3 ¢° -·  ¨ 1996 ¯ ¶¨¥­²®¢. �®¬¨±±¨¿ ¯®¯°®±¨«  ª ¦¤®£® ³ª § ²¼¤¢³µ ¢° ·¥©. � ¦¤»© ¢° · ­ §¢ « ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¢° ·¥©,   ¯ ¶¨-

98

¥­²» ­ §»¢ «¨ ª®£® ³£®¤­®. �®ª ¦¨²¥, ·²® ª®¬¨±±¨¿ ±¬®£« ¢»¿¢¨²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­®£® ¯ ¶¨¥­² .

¡) � �®­²®°¥ ° ¡®² ¾² 200 ¯±¨µ¨·¥±ª¨ §¤®°®¢»µ ¨ 1999 ±³¬ -±¸¥¤¸¨µ ±®²°³¤­¨ª®¢. �¤­ ¦¤» ª ¦¤»© ±®²°³¤­¨ª ­ ¯¨± «¤®ª« ¤­³¾ § ¯¨±ª³, ¢ ª®²®°®© ¯¥°¥·¨±«¨« 1999 ±¢®¨µ ª®««¥£,¯® ¥£® ¬­¥­¨¾, ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ. � ¦¤»© ¯±¨µ¨·¥±ª¨ §¤®°®¢»©±®²°³¤­¨ª ¢¥°­® ³ª § « ¢±¥µ ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ,   ª ¦¤»© ±³¬ -±¸¥¤¸¨© ¬®£ ³ª § ²¼ ­  ª®£® ³£®¤­®, ª°®¬¥ ±¥¡¿. �®ª ¦¨²¥,·²® ­  ®±­®¢ ­¨¨ ½²¨µ ¤ ­­»µ ¬®¦­® ¢»¿¢¨²¼ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥199 ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ.

480. � ®¤­®© ¨§ ²°�¥µ ª®¬­ ² ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± , ¢ ¤°³£®© | ²¨£°,   ¢²°¥²¼¥© ­¥² ­¨ª®£®. �  ¤¢¥°¨ «¥¢®© ª®¬­ ²» ­ ¯¨± ­®: \�¨£°¢ ¯° ¢®© ª®¬­ ²¥", ­  ¤¢¥°¨ ±°¥¤­¥©: \�¥¢ ¿ ª®¬­ ²  ¯³±² ",­  ¤¢¥°¨ ¯° ¢®©: \�°¨­¶¥±±  ¢ ±°¥¤­¥© ª®¬­ ²¥". �§¢¥±²­®,·²® ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ª®¬­ ²», £¤¥ ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± , ¨±²¨­­ ,­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ª®¬­ ²», £¤¥ ±¨¤¨² ²¨£° | «®¦­ ,   ­ ¤¯¨±¼­  ¤¢¥°¨ ¯³±²®© ª®¬­ ²» ¬®¦¥² ¡»²¼ ª ª ¨±²¨­­®©, ² ª ¨«®¦­®©. �¤¥ ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± ,   £¤¥ | ²¨£°?

481. � §°¥¦¼²¥ ¨§®¡° ¦�¥­­³¾ ­  °¨±³­ª¥´¨£³°³ ­   ) ·¥²»°¥; ¡) ¯¿²¼ ®¤¨­ ª®-¢»µ · ±²¥©. (�®¦­® °¥§ ²¼ ­¥ ²®«¼ª®¯® ±²®°®­ ¬ ¨ ¤¨ £®­ «¿¬ ª«¥²®ª.)

482. �°¥¤±² ¢¼²¥ ·¨±«® 203 ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬»­¥±ª®«¼ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ¯°®-¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®²®°»µ ²®¦¥ ° ¢­® 203.

483. �®ª° ±¼²¥ ª«¥²ª¨ ¤®±ª¨ 5�5 ¢ ¯¿²¼ ¶¢¥-²®¢ ² ª, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ £®°¨§®­² «¼-­®¬ °¿¤³, ¢ ª ¦¤®¬ ¢¥°²¨ª «¼­®¬ °¿¤³¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢»¤¥«¥­­®¬ ¡«®ª¥ ¢±¥ ¶¢¥² ¢±²°¥· «¨±¼ ¡» ¯® ®¤­®¬³ ° §³.

484. � ª®¥ ·¥²»°�¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«® ¢ 83 ° § ¡®«¼¸¥ ±¢®¥© ±³¬¬» ¶¨´°?

99

485. �¨±«  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ¨ 512 ° ±±² ¢¼²¥ ¢ ª«¥²ª µ² ¡«¨¶» 3 � 3 ² ª, ·²®¡» ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¯® ¢±¥¬ ¢¥°²¨ª «¿¬,£®°¨§®­² «¿¬ ¨ ®¡¥¨¬ £« ¢­»¬ ¤¨ £®­ «¿¬ ¡»«¨ ° ¢­».

486. � ®¤­®© ª³·¥ 18 ª®­´¥², ¢ ¤°³£®© | 23. �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±º¥-¤ ¾² ®¤­³ ¨§ ª³·,   ¤°³£³¾ ¤¥«¿² ­  ¤¢¥ ª³·¨. �²® ­¥ ¬®¦¥²¯®¤¥«¨²¼ (¥±«¨ ¢ ª³·¥ ®¤­  ª®­´¥² ), ¯°®¨£°»¢ ¥². �±²¼ «¨ ³­ ·¨­ ¾¹¥£® ¢»¨£°»¸­ ¿ ±²° ²¥£¨¿?

487. �®«¿ ª«¥²· ²®© ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 8�8 ¡³¤¥¬ ¯® ®·¥°¥¤¨ § ª° -¸¨¢ ²¼ ¢ ª° ±­»© ¶¢¥² ² ª, ·²®¡» ¯®±«¥ ®ª° ±ª¨ ª ¦¤®© ®·¥-°¥¤­®© ª«¥²ª¨ ´¨£³° , ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ § ª° ¸¥­­»µ ª«¥²®ª, ¨¬¥-«  ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨. �®ª ¦¨²¥, ª ª ¬®¦­® § ª° ±¨²¼ 28 ª«¥²®ª,±®¡«¾¤ ¿ ½²® ³±«®¢¨¥. (� ª ·¥±²¢¥ ®²¢¥²  ° ±±² ¢¼²¥ ­  ²¥µª«¥²ª µ, ª®²®°»¥ ¤®«¦­» ¡»²¼ § ª° ¸¥­», ·¨±«  ®² 1 ¤® 28 ¢²®¬ ¯®°¿¤ª¥, ¢ ª®²®°®¬ ¯°®¢®¤¨«®±¼ § ª° ¸¨¢ ­¨¥.)

488. �® ª°³£³ ±²®¿² 20 ª®°§¨­. �®¦­® «¨ ° §«®¦¨²¼ ¢ ­¨µ 99  °-¡³§®¢, ·²®¡» ª®«¨·¥±²¢   °¡³§®¢ ¢ «¾¡»µ ¤¢³µ ±®±¥¤­¨µ ª®°-§¨­ µ ®²«¨· «¨±¼ °®¢­® ­  1?

489. � ²³°­¨°¥ ³· ±²¢³¾² 15 ¸ µ¬ ²¨±²®¢. �®¦¥² «¨ ¡»²¼, ·²® ª­¥ª®²®°®¬³ ¬®¬¥­²³ ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ±»£° « °®¢­® 7 ¯ °²¨©?

490. �³¡ ±²®¨² ­  ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥ ¨ ®±¢¥¹�¥­ ¯°¿¬® ±¢¥°µ³. � ª®¢ ²¥­¼?

491. �ª®«¼ª® ±²®°®­ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ±¥·¥­¨¥ ª³¡  ¯«®±ª®±²¼¾?

�ª  §   ­ ¨ ¥. �®¦­® ½ª±¯¥°¨¬¥­²¨°®¢ ²¼ ­  ª °²®¸ª¥, ¢»°¥§ ¿¨§ ­¥�¥ ª³¡¨ª ¨ ° ±±¥ª ¿ ¥£®.

492. �°¥¤¨ «¾¡»µ «¨ 10 ®²°¥§ª®¢ ­ ©¤³²±¿ 3, ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­®±®±² ¢¨²¼ ²°¥³£®«¼­¨ª?

493. � ±²°®ª¥ 20 ¶¥«»µ ·¨±¥«. �³¬¬  «¾¡»µ ²°�¥µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²®¿¹¨µ ·¨±¥« ¯®«®¦¨²¥«¼­ . �®¦¥² «¨ ±³¬¬  ¢±¥µ 20 ·¨±¥«¡»²¼ ®²°¨¶ ²¥«¼­ ?

494. �¥¬­®© ¸ ° ¯® ½ª¢ ²®°³ ¯«®²­® ®¡²¿­³«¨ ¢¥°�¥¢ª®©. ��¥ ¤«¨-­³ ³¢¥«¨·¨«¨ ­  1 ¬¥²°. �¡° §®¢ ¢¸¨©±¿ § §®° ° ¢­®¬¥°­®° ±¯°¥¤¥«¨«¨ ¯® ½ª¢ ²®°³. �¬®¦¥² «¨ ¢ ­¥£® ¯°®¸¬»£­³²¼¬»¸¼?

100

495. �® ®«¨¬¯¨©±ª®© ±¨-±²¥¬¥ (¯°®¨£° ¢¸¨©¢»¡»¢ ¥²) ±®°¥¢­³-¾²±¿ 50 ¡®ª±�¥°®¢.�ª®«¼ª® ¡®�¥¢ ­ ¤®¯°®¢¥±²¨ ¤«¿ ¢»¿¢«¥-­¨¿ ¯®¡¥¤¨²¥«¿?

495.0 �«¨²ª  ¸®ª®« ¤  ±®±²®¨²¨§ ®²¤¥«¼­»µ ¤®«¥ª, ®¡° §³¾¹¨µ 4¢¥°²¨ª «¼­»µ °¿¤  ¨ 6 £®°¨§®­² «¼-­»µ. �  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«®° §«®¬®¢ ¥�¥ ¬®¦­® ° §«®¬ ²¼ ­ ®²¤¥«¼­»¥ ¤®«¼ª¨, ¥±«¨ ¢±¿ª¨© ° §«®¬ ²¼ ° §°¥¸ ¥²±¿ «¨¸¼ 1 ª³±®ª?

496. �¥°¢»© ° §¡®©­¨ª ¢§¿« 100 °³¡«¥© ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ¢¸¥©-±¿ ¤®¡»·¨, ¢²®°®© ¢§¿« 200 °³¡«¥© ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª ,²°¥²¨© | 300 °³¡«¥© ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª , ¨ ² ª ¤ «¥¥.�ª § «®±¼, ·²® ¤®¡»·³ ¯®¤¥«¨«¨ ¯®°®¢­³. �ª®«¼ª® ° §¡®©­¨-ª®¢ ¨ ª ª®¢  ¤®¡»· ?

497. �³¬¬  ­¥±ª®«¼ª¨µ ·¨±¥« ° ¢­  1. �®¦¥² «¨ ±³¬¬  ¨µ ª¢ ¤° -²®¢ ¡»²¼  ) ¬¥­¼¸¥ 0,1; ¡) ¡®«¼¸¥ 1101?

498. �®¬¥±²¨²¥ ¢ ª¢ ¤° ² 1 � 1 ­¥±ª®«¼ª® ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ª°³-£®¢, ±³¬¬  ° ¤¨³±®¢ ª®²®°»µ ¡®«¼¸¥ 1101.

499. �ª�®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ° ±±² ¢¨²¼ 8 ­¥ ®²«¨·¨¬»µ ¤°³£®² ¤°³£  « ¤¥© ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£¤°³£ ?

500. � ª ¡»±²°¥¥: ¯°®¥µ ²¼ ¯ °®µ®¤®¬ ¯® °¥ª¥ ²³¤  ¨ ®¡° ²­® ¨«¨¯® ®§¥°³ ²® ¦¥ ° ±±²®¿­¨¥ ²³¤  ¨ ®¡° ²­®?�)

501. � °®µ®¤ ¸�¥« ®² �¨¦­¥£® �®¢£®°®¤  ¤® �±²° µ ­¨ 5 ±³²®ª,  ®¡° ²­® | 7 ±³²®ª. �ª®«¼ª® ¢°¥¬¥­¨ ¯«»¢³² ¯«®²» ®² �¨¦-­¥£® �®¢£®°®¤  ¤® �±²° µ ­¨?

502. � ¯°³¤ ¯³±²¨«¨ 30 ¹³ª, ª®²®°»¥ ª³¸ «¨ ¤°³£ ¤°³£ . �³ª ±·¨² ¥²±¿ ±»²®©, ¥±«¨ ®­  ±º¥«  ²°�¥µ ¹³ª (±»²»µ ¨«¨ £®«®¤-­»µ). � ª®¢® ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¹³ª, ª®²®°»¥ ¬®£³² ­ ±»-²¨²¼±¿? y)

�)�®¤±ª §ª . �±«¨ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤  ° ¢­  ±ª®°®±²¨ ²¥·¥­¨¿ °¥ª¨, : : :y)�º¥¤¥­­ ¿ ±»² ¿ ¹³ª  ³·¨²»¢ ¥²±¿ ¯°¨ ¯®¤±·�¥²¥ ·¨±«  ±»²»µ ¹³ª!

101

503. �¯° ¢  ­ ¯¨± ­» ­¥ª®²®°»¥ ·¨±-«¨²¥«¼­»¥ ¿§»ª  ¨ ¨, ­  ª®²®°®¬£®¢®°¿² ­  ®±²°®¢¥ �³ ©®²¥ ¢ �¥-« ­¥§¨¨. � ¦¤®¥ ·¨±«¨²¥«¼­®¥¡®«¼¸¥ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ­  2 (². ¥. «¨-¡® ¢±¥ ·�¥²­»¥, «¨¡® ­¥·�¥²­»¥, ­ -¯°¨¬¥°: 1, 3, 5, 7 ¨ ². ¤. ¨«¨ 28, 30,32 ¨ ². ¤.). �¯°¥¤¥«¨²¥ §­ ·¥­¨¿½²¨µ ·¨±«¨²¥«¼­»µ ¨ ­ ¯¨¸¨²¥ ¯®±¢®¥¬³ ³±¬®²°¥­¨¾ ­¥±ª®«¼ª® ·¨±-«¨²¥«¼­»µ ¿§»ª  ¨ ¨ ± ¨µ §­ ·¥­¨-¿¬¨.

thabung ke nua lo

thabung ke nua vak

libenyita ke nua khasa

libenyita ke nua kun

libenyita ke nua thabung

libenyita ke nua thabungke nua lo

libenyita ke nua thabungke nua vak

504. � ©¤¨²¥ ² ª¨¥ ²®·ª¨ ­  §¥¬­®¬ ¸ °¥, ·²® ¥±«¨ ¯°®©²¨ 10 ª¬­  ¾£, 10ª¬ ­  ¢®±²®ª ¨ 10ª¬ ­  ±¥¢¥°, ²® ¢¥°­�¥¬±¿ ¢ ¨±µ®¤­³¾²®·ª³.

�° ¥ ¤ ³ ¯ ° ¥¦¤ ¥­ ¨ ¥. �®­¥·­®, ¥±«¨ ¬» ¢»©¤¥¬ ¨§ ²®·ª¨, ³¤ -«�¥­­®© ®² �¦­®£® ¯®«¾±  ­  10 ª¬, ²® ±­ · «  ¯°¨¤�¥¬ ­  ¯®«¾±,¯®²®¬ 10 ª¬ ¯°®²®¯·¥¬±¿ ­  ¬¥±²¥,   § ²¥¬ ¯°®©¤�¥¬ 10 ª¬, ¢®§¢° -¹ ¿±¼ ¢ ­ · «® ¬ °¸°³² . �® ¬®¦­® «¨ ±·¨² ²¼, ·²® ­ ¸¥ ²®¯² ­¨¥­  ¬¥±²¥ ¡»«® ­ ¯° ¢«¥­® ­  ¢®±²®ª? �¥¤¼, ­ µ®¤¿±¼ ­  �¦­®¬¯®«¾±¥, ­  § ¯ ¤ ¬» ¤¢¨£ «¨±¼ ¡» ²®·­® ² ª ¦¥ | ±²®¿ ­  ¬¥±²¥!�®±² ° ©²¥±¼ ­ ©²¨ ¤°³£®¥ °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨, ¤«¿ ·¥£® ±­ · «  ³¯°®-±²¨²¥ ¥�¥ | ¯°¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ¯°®¸�¥« 10ª¬ ­  ¢®±²®ª¨ ®ª § «±¿ ² ¬ ¦¥, ®²ª³¤  ¢»¸¥«. �®£¤  ½²® ¢®§¬®¦­®?

505. � ¶ °¿ �¢¨¤®­  ¡»«® 5 ±»­®¢¥©. �§ ®±² «¼­»µ ¥£® ¯®²®¬ª®¢15 ¨¬¥«¨ ¯® ²°¨ ±»­  (¨ ­¨ ®¤­®© ¤®·¥°¨),   ®±² «¼­»¥ ³¬¥°«¨¡¥§¤¥²­»¬¨. �ª®«¼ª® ¢±¥£® ¡»«® ¯®²®¬ª®¢ ³ �¢¨¤®­ ?

506. �®¦­® «¨ ³¢¥§²¨ ¨§ ª ¬¥­®«®¬­¨ 50 ª ¬­¥©, ¬ ±±» ª®²®°»µ370 ª£, 372 ª£, 374 ª£, : : : , 468 ª£, ­  7 ²°�¥µ²®­ª µ?

507. �¥±ª®«¼ª® ¿¹¨ª®¢ ¢¬¥±²¥ ¢¥±¿² 10 ²®­­, ¯°¨·�¥¬ ª ¦¤»© ¢¥±¨²­¥ ¡®«¼¸¥ 1 ²®­­». �ª®«¼ª® ²°�¥µ²®­®ª § ¢¥¤®¬® ¤®±² ²®·­®,·²®¡» ³¢¥§²¨ ¢¥±¼ £°³§?

508. �  ¤®±ª¥ ¡»«¨ ­ ¯¨± ­» ·¥²»°¥ ·¨±« . �µ ±«®¦¨«¨ ¢±¥¢®§-¬®¦­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¯® ¤¢  ¨ ¯®«³·¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ±³¬¬»: 2,4, 9, 9, 14, 16. � ª¨¥ ·¨±«  ¡»«¨ ­  ¤®±ª¥?

102

509. �« ±± ¯®±²°®¥­ ¢ ¢¨¤¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª . � ª ¦¤®¬ °¿¤³ ¢»-¡° ­ ± ¬»© ¢»±®ª¨©, ¢ ª ¦¤®© ¸¥°¥­£¥ | ± ¬»© ­¨§ª¨©. �²®¢»¸¥: ± ¬»© ¢»±®ª¨© ¨§ ­¨§ª¨µ ¨«¨ ± ¬»© ­¨§ª¨© ¨§ ¢»±®-ª¨µ?

510. �¢®¥ ¨£° ¾² ­  ¸ µ¬ ²­®©¤®±ª¥, ¯¥°¥¤¢¨£ ¿ ¯® ®·¥°¥¤¨®¤­®£® ª®°®«¿. �®¯³±ª ¾²±¿µ®¤» ­  ®¤­® ¯®«¥ ¢«¥¢®, ¢­¨§¨«¨ ¢«¥¢®-¢­¨§ ¯® ¤¨ £®­ -«¨. �»¨£°»¢ ¥² ²®², ª®¬³³¤ ±²±¿ ¯®±² ¢¨²¼ ª®°®«¿­  «¥¢»© ­¨¦­¨© ³£®«. �°¨ª ª¨µ ­ · «¼­»µ ¯®«®¦¥­¨¿µª®°®«¿ ¢»¨£°»¢ ¥² ­ ·¨-­ ¾¹¨©,   ¯°¨ ª ª¨µ ¥£®¯ °²­�¥°?

510.0 �¬¥¾²±¿ 2 ª³·¨ ª ¬-­¥©. �¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¡¥°³² ¯®®·¥°¥¤¨ ª ¬­¨. � §°¥¸ ¥²±¿¢§¿²¼ ®¤¨­ ª ¬¥­¼ ¨§ «¾¡®©ª³·¨ ¨«¨ ¯® ®¤­®¬³ ª ¬­¾ ¨§®¡¥¨µ ª³·. �»¨£°»¢ ¥² ¢§¿¢-¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. �°¨ª ª®¬ ·¨±«¥ ª ¬­¥© ¢ ª³· µ¢»¨£°»¢ ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨©?

511. �  ¤®±ª¥ 6� 6 ¤¢®¥ ¯® ®·¥°¥-¤¨ § ª° ¸¨¢ ¾² ª«¥²ª¨ ² ª,·²®¡» ­¥ ¯®¿¢«¿«¨±¼ § ª° -¸¥­­»¥ ³£®«ª¨ ¨§ ²°�¥µ ª«¥-²®ª. �°®¨£°»¢ ¥² ²®², ª²®­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤.�)

511.0 �¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ª« ¤³² ¯¿² ª¨ ­  ª°³£«»©±²®«, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ­ «¥£ «¨¤°³£ ­  ¤°³£ . �°®¨£°»¢ ¥²²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼µ®¤. �²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥?

512. �¢®©­»¬¨ ¸ µ¬ ² ¬¨ ­ §®¢�¥¬ ¨£°³, ®²«¨· ¾¹³¾±¿ ®² ®¡»·-­»µ ¸ µ¬ ² ²®«¼ª® ²¥¬, ·²® ª ¦¤»© ¨§ ¯°®²¨¢­¨ª®¢ ¬®¦¥²¤¥« ²¼ 2 µ®¤  ¯®¤°¿¤. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¡¥«»¥ ¬®£³² ¢»¨£° ²¼¨«¨ ¤®¡¨²¼±¿ ­¨·¼¥©.

513. �®±² ¢¼²¥ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ 8 ´¥°§¥©, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨¤°³£ ¤°³£ .

�)� ³£®«®ª ¬®£³² ¢µ®¤¨²¼ ª«¥²ª¨, § ª° ¸¥­­»¥ «¾¡»¬ ¨§ ¨£°®ª®¢. �­»-¬¨ ±«®¢ ¬¨, ­ ¤® ¯°¥¤±² ¢«¿²¼ ±¥¡¥, ·²® ª ° ­¤ ¸¨ ³ ­¨µ ®¤­®£® ¶¢¥² .

103

514. �¥°¢ ¿ ±«¥¢  ¶¨´°  ¤¥±¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ° ¢­  ·¨±«³ ¥¤¨­¨¶¢ § ¯¨±¨ ½²®£® ·¨±« , ¢²®° ¿ | ·¨±«³ ¤¢®¥ª, ²°¥²¼¿ | ·¨±-«³ ²°®¥ª, ·¥²¢�¥°² ¿ | ·¨±«³ ·¥²¢�¥°®ª, : : : , ¤¥¢¿² ¿ | ·¨±«³¤¥¢¿²®ª, ¤¥±¿² ¿ | ·¨±«³ ­³«¥©. �°¨¤³¬ ©²¥ ² ª®¥ ·¨±«®.y)

515. �®±² ¢¼²¥ ¢¬¥±²® ¬­®£®²®·¨© ·¨±« �), ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ ¨±-²¨­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥:

� ½²®¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨ ¶¨´°  0 ¢±²°¥· ¥²±¿ : : : ° §,¶¨´°  1 | : : : ° §, 2 | : : : ° §, 3 | : : : ° §, 4 |: : : ° §, 5 | : : : ° §, 6 | : : : ° §, 7 | : : : ° §,8 | : : : ° §, 9 | : : : ° §.

�®¤ ±ª   § ª  . � ¯®«­¨²¥ ² ¡«¨¶³:

�¨´°  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

¢±²°¥· ¥²±¿ ° §.

516. �  ¡ «³ ¡»«® 43 ·¥«®¢¥ª . �¥°¢ ¿ ¤ ¬  ² ­¶¥¢ «  ± 8 ª ¢ «¥° -¬¨, ¢²®° ¿ | ± 9 ª ¢ «¥° ¬¨, ²°¥²¼¿ | ± 10 ª ¢ «¥° ¬¨, : : : ,  ¯®±«¥¤­¿¿ ¤ ¬  ² ­¶¥¢ «  ±® ¢±¥¬¨ ª ¢ «¥° ¬¨. �ª®«¼ª® ¡»«®¤ ¬ ¨ ±ª®«¼ª® ª ¢ «¥°®¢?

517. �®¦¥² «¨ ° ¢­¿²¼±¿ ¥¤¨­¨¶¥ ±³¬¬  ±²  ¤°®¡¥©, §­ ¬¥­ ²¥«¨ª®²®°»µ ­¥·�¥²­»? �­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±³¹¥±²¢³¾² «¨ ² ª¨¥ ­¥-·�¥²­»¥ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  a1 , a2 , : : : , a100 , ·²®

1

a1+

1

a2+ : : :+

1

a100= 1?

518.�  ) � ¢¥°¸¨­ µ ¯° ¢¨«¼­®£® 7-³£®«¼­¨ª  ° ±±² ¢«¥­» ·�¥°­»¥¨ ¡¥«»¥ ´¨¸ª¨. �®ª ¦¨²¥, ·²® ­ ©¤³²±¿ ²°¨ ´¨¸ª¨ ®¤­®£®¶¢¥² , «¥¦ ¹¨¥ ¢ ¢¥°¸¨­ µ ° ¢­®¡¥¤°¥­­®£® ²°¥³£®«¼­¨ª .¡) �¥°­® «¨  ­ «®£¨·­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤«¿ 8-³£®«¼­¨ª ?¢)� �»¿±­¨²¥, ¤«¿ ª ª¨µ ¯° ¢¨«¼­»µ n -³£®«¼­¨ª®¢  ­ «®£¨·-­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®, ¤«¿ ª ª¨µ | ­¥².

y)� ª®¥ ·¨±«® ¥¤¨­±²¢¥­­®.�)�«¿ �°¨¤¨°». � ¯¨± ­­»¥ ¢ ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿.

104

À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á,

¨«¨ ¤¨«¥¬¬  § ª«¾·�¥­­®£®

�°¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ª ª-²® ° § ¯®±«¥ ³°®ª®¢ ¢» ± ¯°¨¿-²¥«¥¬ § ¤¥°¦ «¨±¼ ¢ ¸ª®«¥. �¨ª®£® ¢ ª®°¨¤®°¥ ³¦¥ ­¥ ¡»«®, ¨¢» ° ¤®¢ «¨±¼ ²¨¸¨­¥. �¤°³£ ¨§ ¥¬³ ®¤­®¬³ ¢¥¤®¬®£® ¬¥±² ¢»¡¥¦ « �®¢®·ª  ¨ ­ · « ª ª®©-²® ¤³¡¨­®© ª°³¸¨²¼ ¢±�¥, ·²®¬®¦¥². �­ · «  ¢» ° ±²¥°¿«¨±¼ ®² ­¥®¦¨¤ ­­®±²¨, ­® ¯®²®¬,·²®¡» ¥£® ®±² ­®¢¨²¼, ±µ¢ ²¨«¨ ·²® ¯®¤ °³ª³ ¯®¯ «®±¼,| ¨²³² ­¥ª±² ²¨ ¢¨¤¨²¥ ±¯¥¸ ¹¥£® ­  §¢³ª ¡¨²®£® ±²¥ª«  ¤¨°¥ª-²®°  ¸ª®«».

�®¢®·ª³ ³¦¥ ­¥ ¤®£®­¨¸¼, ¤¨°¥ª²®° ¥£® ­¥ ¢¨¤¥«. �® § ²®¤¨°¥ª²®° ¢¨¤¥« ¢ ±. � ¯®±ª®«¼ª³ ±¢¨¤¥²¥«¥© ­¥ ¡»«®, ®¯° ¢-¤ ²¼±¿ ²°³¤­®. � ­¨§ª® ®¯³¹¥­­»¬¨ ®² ­¥§ ±«³¦¥­­»µ ®¡¢¨-­¥­¨© £®«®¢ ¬¨ ¢» ±¨¤¨²¥ ¢ ª ¡¨­¥²¥ ¤¨°¥ª²®°  ¨ ±«³¸ ¥²¥:À� ±¢®¨¬¨ ³¸ ¬¨ ±«»¸ «, ª ª ¡¨«¨ ±²¥ª« . � ­¥ ¢¥°¾, ·²®®­¨ ° §¡¨«¨±¼ ± ¬¨. � ­¨ª ª®£® �®¢®·ª¨ ²³² ­¥ ¡»«®, ¢® ¢±¿-ª®¬ ±«³· ¥ ¿ ¥£® ­¥ ¢¨¤¥«. �±«¨ ¢» ®¡  ®²ª ¦¥²¥±¼ ¯°¨§­ ²¼±¢®¾ ¢¨­³, ²® ¯®«³·¨²¥ ¯® § ¬¥· ­¨¾ ¢ ¤­¥¢­¨ª §  ²®, ·²®¡¥£ «¨ ¯® ¸ª®«¥. �±«¨ ®¤¨­ ¨§ ¢ ± ¯°¨§­ ¥² ¢¨­³,   ¤°³£®©­¥², ¿ ¯°®¹³ ²®£®, ª²® ¯°¨§­ «±¿ ¨ ¤ ¦¥ ¤ ¬ ¥¬³ ª®­´¥²ª³,  ¤°³£®¬³ ¯°¨¤�¥²±¿ § ¯« ²¨²¼ §  ¢¥±¼ °¥¬®­² ¨ ° ±±² ²¼±¿ ±­ ¸¥© ¸ª®«®©. � ¥±«¨ ¯°¨§­ ¥²¥±¼ ®¡ , ²® ¯®¯®« ¬ § ¯« ²¨²¥§  °¥¬®­² ¸ª®«» | ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ½²³ ­¥¯°¨¿²­³¾ ¨±²®°¨¾¨±·¥°¯ ­­®©.Á

À�®­¿²­®Á, | ®²¢¥· ¥² ¢» µ®°®¬, ¨ ¤¨°¥ª²®° ° §¢®¤¨² ¢ ±¯® ° §­»¬ ª« ±± ¬, ·²®¡» ¢» ®¡¤³¬ «¨ ¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥. �®-±®¢¥²®¢ ²¼±¿ ¤°³£ ± ¤°³£®¬ ¢» ­¥ ¬®¦¥²¥, ¨ °¥¸¥­¨¥ ª ¦¤®¬³¯°¨¤¥²±¿ ¯°¨­¨¬ ²¼ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®. �² ª: ¯°¨§­ ²¼ ¨«¨ ®²-°¨¶ ²¼ ¢¨­³?

�¯°®·¥¬, ¯°¥¤ ¢ ²¼ ²®¢ °¨¹  ­¥ £®¤¨²±¿. �®½²®¬³ ¯®±² -° ¥¬±¿ ®²¢«¥·¼±¿ ®² ¬®° «¼­»µ ±®®¡° ¦¥­¨©, À¢»ª«¾·¨¬Á £®-«®± ±®¢¥±²¨ ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢» ®¡  § ¨­²¥°¥±®¢ ­» ²®«¼-ª® ¢ ²®¬, ·²®¡» ®²¤¥« ²¼±¿ ª ª ¬®¦­® «¥£·¥. �» ¬®¦¥²¥ ° ±-

105

±³¦¤ ²¼ «®£¨·¥±ª¨: À�±«¨ ¯°¨¿²¥«¼ °¥¸¨² ¯°¨§­ ²¼ ¢¨­³, ²®¯°¨§­ ¢ ²¼ ­³¦­® ¨ ¬­¥ | ¨­ ·¥ ¢»£®­¿² ¨§ ¸ª®«» ¨ § ±² ¢¿²®¤­®£® ¬¥­¿ ¯« ²¨²¼ §  ¢±�¥. �±«¨ ®­ ­¥ ¯°¨§­ ¥² ¢¨­³, ²® ¬­¥²®¦¥ «³·¸¥ ¯°¨§­ ²¼±¿ | ²®£¤  ¬¥­¿ ¢®®¡¹¥ ­¥ ­ ª ¦³² ¨¤ ¦¥ ª®­´¥²ª³ ¤ ¤³². � «¾¡®¬ ±«³· ¥ | «³·¸¥ ±®§­ ²¼±¿!Á �¢» ¨¤�¥²¥ ª ¤¨°¥ª²®°³, ¯°¨¤³¬»¢ ¿, ª ª ¢» ° §¡¨«¨ ±²¥ª«®. �®¢ ¸ ¯°¨¿²¥«¼ ° ±±³¦¤ « ²®·­® ² ª ¦¥ ¨ ²®¦¥ ¯°¨¸¥« ª ¢»¢®-¤³, ·²® «³·¸¥ ¯°¨§­ ²¼±¿. � °¥§³«¼² ²¥ | ¯« ²¨²¥ §  °¥¬®­².

� ¢¥¤¼ ¥±«¨ ¡» ­¥ ±®§­ «¨±¼, ²® ®²¤¥« «¨±¼ ¡» ¢±¥£®-²® § -¬¥· ­¨¥¬. �®«³· ¥²±¿ ¯ ° ¤®ª± «¼­ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ | ±®¢¥°¸¥­-­® ¯° ¢¨«¼­»¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¯°¨¢¥«¨ ª ­¥¦¥« ²¥«¼­®¬³ ¨±µ®¤³.�²® ¨ ¥±²¼ §­ ¬¥­¨²»© ¯ ° ¤®ª±, ¨§¢¥±²­»© ª ª À¤¨«¥¬¬  § -ª«¾·�¥­­®£®Á (®¡»·­® ° ±±ª §»¢ ¾² ¨±²®°¨¾ ¯°® ¤¢³µ § ª«¾-·�¥­­»µ, ±¨¤¿¹¨µ ¢ ° §­»µ ª ¬¥° µ,   °®«¼ ¤¨°¥ª²®°  ¨£° ¥²±«¥¤®¢ ²¥«¼).

�±«¨ ¢ ¬ ª ¦¥²±¿, ·²® ¢®¯°®± ½²®² ­¥ ®·¥­¼ ±¥°¼�¥§­»© | ª ª®¥ ¤¥«®­ ¬, ±¢®¡®¤­»¬ «¾¤¿¬, ¤® ª ª¨µ-²® § ª«¾·�¥­­»µ! | ¯®¤³¬ ©²¥ ® ¤°³£®¬¢ °¨ ­²¥ ½²®£® ¯ ° ¤®ª± . �  ±¥© ° § ¢ ­�¥¬ ³· ±²¢³¾² ¤¢¥ ¢° ¦¤³¾¹¨¥¤¥°¦ ¢», ª®²®°»¥ ¬®£³² ­ ­¥±²¨ ° ª¥²­®-¿¤¥°­»© ³¤ °. �±«¨ ­ ¯ ¤ ¾²®¤­®¢°¥¬¥­­®, ®¡¥ ­¥±³² ®£°®¬­»© ³¹¥°¡. �±«¨ ®¤­  ±²° ­  ­ ¯ ¤ ¥²,  ¤°³£ ¿ ­¥ £®²®¢  ª  ² ª¥, ²® ­ · ¢¸ ¿ ¢®©­³ ¯¥°¢®© ¯®¡¥¦¤ ¥² ¨ (·¥°¥§­¥±ª®«¼ª® ²»±¿· «¥², ª®£¤  ±¯ ¤�¥² ° ¤¨® ª²¨¢­®±²¼) ±¬®¦¥² ¢®±¯®«¼§®-¢ ²¼±¿ ¡®£ ²±²¢ ¬¨ ¯°®¨£° ¢¸¥© ±²° ­». � ª®­¥¶, ¥±«¨ ®¡¥ ±²° ­» ­¥­ ¯ ¤ ¾², ²® ­¥±³² ­¥ ®·¥­¼ §­ ·¨²¥«¼­»© ³¹¥°¡ | ¢±¥£® «¨¸¼ ­ ¤® ¯« -²¨²¼ § °¯« ²³ ¢®¥­­»¬ ¨ ¬®¤¥°­¨§¨°®¢ ²¼ ¢®®°³¦¥­¨¿. �¥³¦¥«¨ ¨ ¢ ½²®¬±«³· ¥ «®£¨ª  ®¡¥¨¬ ±²®°®­ ¬ ¯®¤±ª §»¢ ¥² ¢»¡®°  £°¥±±¨¢­®£® ¯®¢¥¤¥-­¨¿? �¡ ½²®¬ ¤ ¦¥ ¤³¬ ²¼ ±²° ¸­® : : :

�£°®ª¨ �·ª¨

I II I II

� � 3 3

� � 0 5

� � 5 0

� � 1 1

� ° ¤®ª± § ª«¾·�¥­­®£® ¬®¦­®±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¨ ­  ¿§»ª¥ ²¥®°¨¨¨£°. �¢  ¨£°®ª  ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤¥« -¾² ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ µ®¤®¢:À¯°¨§­ ²¼Á (ª®°®²ª® À� Á) ¨«¨ À®²°¨-¶ ²¼Á (À�Á). �±«¨ ®¡  ¤¥« ¾² µ®¤ �,²® ¯®«³· ¾² ¬ «®; ¥±«¨ ®¡  ¢»¡¨° ¾²µ®¤ �, ²® ¯®«³· ¾² ±³¹¥±²¢¥­­®¡®«¼¸¥; ¥±«¨ ¦¥ ®¤¨­ ¨£°®ª ¤¥« ¥² µ®¤ �,   ¤°³£®© | �, ²®¯¥°¢»© ¯®«³· ¥² ¥¹�¥ ¡®«¼¸¥,   ¢²®°®© ­¥ ¯®«³· ¥² ­¨·¥£®

106

µ®°®¸¥£®. �±�¥ ½²® ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ² ¡«¨¶». �¥«¨·¨­»¢»¨£°»¸¥© (·¨±«  1, 3, 5) ¢»¡° ­» ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥­¥¥ ¯°®¨§-¢®«¼­®. �§ ² ¡«¨¶» ¢¨¤­®, ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ µ®¤¥ ¯°®²¨¢­¨ª ¨£°®ª ¯®«³·¨² ¡®«¼¸¥, ¥±«¨ ±¤¥« ¥² µ®¤ �,   ­¥ � | ½²® ¨®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ¯ ° ¤®ª±.

� 1979 £®¤³ ¬¨·¨£ ­¥¶ �®¡¥°² �ª±¥«¼°®¤ °¥¸¨« ¨±±«¥¤®-¢ ²¼ ¤¨«¥¬¬³ § ª«¾·�¥­­®£® ± ¯®¬®¹¼¾ ª®¬¯¼¾²¥° . �­ ®¡° -²¨«±¿ ± ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ ¯°®¢¥±²¨ ²³°­¨° ª®¬¯¼¾²¥°­»µ ¯°®-£° ¬¬ ¢ ®¯¨± ­­³¾ ¢»¸¥ ¨£°³. �  ¥£® ¯°¨§»¢ ®²ª«¨ª­³«¨±¼14 ·¥«®¢¥ª. �³°­¨° ¡»« ®°£ ­¨§®¢ ­ ² ª: ª ¦¤ ¿ ¯°®£° ¬¬ ¨£° «  5 ±¥°¨© ¯® 200 ¨£° ± ¤°³£¨¬¨ ¯°®£° ¬¬ ¬¨, ¢ ²®¬ ·¨±-«¥ ± ¬  ± ±®¡®©. �®¡¥¤¨²¥«¥¬ ²³°­¨°  ®¡º¿¢«¿« ±¼ ª®¬ ­¤ ,­ ¡° ¢¸ ¿ ¢ ±³¬¬¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ®·ª®¢ (§ ¬¥²¼²¥:¶¥«¼ ­¥ ¢ ²®¬, ·²®¡» ¯®¡¥¤¨²¼ ª ¦¤³¾ ¨§ ¯°®£° ¬¬-±®¯¥°­¨¶,  ­ ¡° ²¼ ¢ ±³¬¬¥ ¯®¡®«¼¸¥ ®·ª®¢).

�°¨­¶¨¯» ¨£°» ¯°®£° ¬¬ ¬®£«¨ ¡»²¼ «¾¡»¬¨ (­ ¯°¨¬¥°,®·¥°¥¤­®© µ®¤ � ¨«¨ � ¬®¦­® ¢»¡¨° ²¼ ±«³· ©­®), ­® ¡®«¼-¸¨­±²¢® ¯°®£° ¬¬ ¯®¬­¨«¨ ¢±¥ ¯°¥¤»¤³¹¨¥ µ®¤» ¯°®²¨¢­¨ª ¨ ¢»¡¨° «¨ ®·¥°¥¤­®© µ®¤,  ­ «¨§¨°³¿ ½²³ ¨­´®°¬ ¶¨¾. �¢-²®°» ±² ° «¨±¼ ±®±² ¢¨²¼ ¯°®£° ¬¬» ² ª, ·²®¡» ¯®®¹°¿²¼À±®²°³¤­¨·¥±²¢®Á ¯°®²¨¢­¨ª  (²® ¥±²¼ ¢»¡®° ¨¬ µ®¤  �), ¨ ª²®¬³ ¦¥ § ° ¡ ²»¢ ²¼ ®·ª¨, À¯°¥¤ ¢ ¿Á.

�°¥¦¤¥ ·¥¬ ±ª § ²¼, ·¥¬ § ª®­·¨«®±¼ ½²® ±®±²¿§ ­¨¥  «£®°¨²¬®¢, ­ -¯®¬­¾ ° ±±ª § �¤£ °  �® À�ª° ¤¥­­®¥ ¯¨±¼¬®Á: \� §­ « ®¤­®£® ¢®±¼-¬¨«¥²­¥£® ¬ «¼·¨ª , ª®²®°»© ¨§³¬«¿« ¢±¥µ ±¢®¨¬ ¨±ª³±±²¢®¬ ¨£° ²¼ ¢À·�¥² ¨ ­¥·¥²Á. �£°  ½²  ®·¥­¼ ¯°®±² ¿: ®¤¨­ ¨§ ¨£° ¾¹¨µ § ¦¨¬ ¥² ¢°³ª¥ ­¥±ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢,   ¤°³£®© ¤®«¦¥­ ³£ ¤ ²¼, ·�¥²­®¥ ¨µ ·¨±«® ¨«¨­¥·�¥²­®¥. �±«¨ ³£ ¤ ¥² | ¯®«³·¨² ®¤¨­ ¸ °¨ª. �±«¨ ­¥² | ¤®«¦¥­ ®²-¤ ²¼ ¸ °¨ª ¯°®²¨¢­¨ª³. � «¼·¨ª, ® ª®²®°®¬ ¿ £®¢®°¾, ®¡»£°»¢ « ¢±¥µ¢ ¸ª®«¥. � §³¬¥¥²±¿, ³ ­¥£® ¡»« ±¢®© ¬¥²®¤ ®²£ ¤»¢ ­¨¿, ®±­®¢ ­­»© ­ ¯°®±²®© ­ ¡«¾¤ ²¥«¼­®±²¨ ¨ ®¶¥­ª¥ ±®®¡° §¨²¥«¼­®±²¨ ¯ °²­�¥°®¢. � -¯°¨¬¥°, ¨£° ¥² ± ­¨¬ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯°®±²®´¨«¿, § ¦ « ¢ °³ª¥ ¸ °¨ª¨ ¨±¯° ¸¨¢ ¥²: À��¥² ¨«¨ ­¥·¥²?Á � ¸ ¨£°®ª ®²¢¥· ¥²: À�¥·¥²Á | ¨ ¯°®-¨£°»¢ ¥². �® ¢ ±«¥¤³¾¹¨© ° § ³¦¥ ¢»¨£°»¢ ¥², ¨¡® ®­ ° ±±³¦¤ ¥² ² ª:À�°®±²®´¨«¿ ¢§¿« ¢ ¯¥°¢»© ° § ·�¥²­®¥ ·¨±«®, µ¨²°®±²¨ ³ ­¥£® µ¢ ²¨² ª ª° § ­ ±²®«¼ª®, ·²®¡» ¢§¿²¼ ²¥¯¥°¼ ­¥·¥²,| ¯®½²®¬³ ¿ ¤®«¦¥­ ±ª § ²¼­¥·¥²". �­ £®¢®°¨²: À�¥·�¥²Á | ¨ ¢»¨£°»¢ ¥². �¬¥¿ ¤¥«® ± ¯ °²­�¥°®¬­¥¬­®£® ¯®³¬­¥¥, ®­ ° ±±³¦¤ « ² ª: À� ¯¥°¢»© ° § ¿ ±ª § « ­¥·�¥²; ¯®¬­¿

107

½²®, ®­ ¡³¤¥² ° ±±·¨²»¢ ²¼ (ª ª ¨ ¯¥°¢»©), ·²® ¢ ±«¥¤³¾¹¨© ° § ¿ ±ª ¦³·�¥², ¨, ±² «® ¡»²¼, ¥¬³ ±«¥¤³¥² ¢§¿²¼ ­¥·¥². �® ®­ ²®²· ± ±®®¡° §¨², ·²®½²® ±«¨¸ª®¬ ¯°®±² ¿ µ¨²°®±²¼, ¨ °¥¸¨²±¿ ¢§¿²¼ ·�¥²Á."

�¥§³«¼² ² ²³°­¨°  ®ª § «±¿ ­¥ ¢ ¯®«¼§³ ¢¨§ ­²¨©±ª¨µ µ¨-²°¥¶®¢: ¢»¨£° «  ± ¬ ¿ ¯°®±² ¿ ¨§ ¯°®£° ¬¬. ��¥ ¯°¨¤³¬ «�­ ²®«¨© � ¯¯®¯®°² ¨§ �®°®­²®. �£° ¥² ®­  ² ª:

� ¯¥°¢»© µ®¤ | � ;

� ª ¦¤»© ±«¥¤³¾¹¨© µ®¤ | ½²® ¯°¥¤»¤³¹¨© µ®¤ ¯°®²¨¢-­¨ª .

�®² ¨ ¢±�¥!

� ¬¥²¼²¥, ·²® ¯°®£° ¬¬  À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ­¥ ±¯®-±®¡­  ¢»¨£° ²¼ ­¨ ®¤­®© ¨£°»; «³·¸¥¥, ­  ·²® ®­  ¬®¦¥²­ ¤¥¿²¼±¿,| ½²® ­¨·¼¿. �¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯®ª  ¯°®²¨¢­¨ª ®²-¢¥· ¥² ­  ¥�¥ µ®¤» � ±¢®¨¬¨ �, ®¡¥ ¯°®£° ¬¬» ­ ¡¨° ¾² ¯®3 ®·ª . � ª ²®«¼ª® ¯°®²¨¢­¨ª À®¡¬ ­»¢ ¥²Á ¯°®£° ¬¬³ À�»|¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á, ±¤¥« ¢ µ®¤ �, ®­  ¬±²¨² §  ½²® µ®¤®¬ �, ¢ «³·-¸¥¬ ±«³· ¥ ¢®§¢° ¹ ¿ ±¥¡¥ ¯®²¥°¿­­»¥ ®·ª¨. �® ¯°®£° ¬¬ À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ­¥ §«®¯ ¬¿²­ : ª ª ²®«¼ª® ¯°®²¨¢­¨ªÀ° ±ª ¿«±¿Á, ±¤¥« ¢ µ®¤ �, ®­  ®²¢¥· ¥² ²¥¬ ¦¥ À¤®¡°®¦¥« -²¥«¼­»¬Á µ®¤®¬.

�®·¥¬³ ¦¥ À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¯®¡¥¦¤ ¥² ¢ ²³°­¨°¥?� ±±¬®²°¨¬ ¬¨­¨-±®°¥¢­¨¢ ­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ³· ±²¢³¥² ¥¹�¥ ®¤­ ¯°®£° ¬¬  À�°¥¤ ²¥«¼Á, ¢±¥£¤  ¤¥« ¾¹ ¿ µ®¤ �. �³±²¼ ª ¦¤ ¿¨£°  ±®±²®¨² ¨§ 10 µ®¤®¢. �±¥£® ¯°®¢¥¤�¥¬ ²°¨ ¨£°»: À�» |¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¯°®²¨¢ À�°¥¤ ²¥«¿Á, À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á¯°®²¨¢ ± ¬®© ±¥¡¿ ¨, ­ ª®­¥¶, À�°¥¤ ²¥«¼Á ± ¬ ± ±®¡®©.

�¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ­ ¡¨° ¥² ¢ ¯¥°¢®© ¨¢²®°®© ¨£° µ, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, 9 ¨ 30 ®·ª®¢. � À�°¥¤ ²¥«¼Á ¢ ¯¥°¢®© ¨²°¥²¼¥© ¨£° µ ­ ¡¨° ¥² 14 ¨ 10 ®·ª®¢. �²®£®: À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á¯®¡¥¦¤ ¥² ± °¥§³«¼² ²®¬ 39 ®·ª®¢ ¯°®²¨¢ 24 ³ À�°¥¤ ²¥«¿Á.

�±«¨ ¡» ¯°®£° ¬¬  À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¡»«  ·¥«®¢¥ª®¬, ¥�¥ ¬®¦­®¡»«® ¡» ­ §¢ ²¼ ¤®¡°®¦¥« ²¥«¼­®©, £®²®¢®© ª ±®²°³¤­¨·¥±²¢³, ­¥ ¯°®¹ -¾¹¥© ¯°¥¤ ²¥«¼±²¢  ¨ ­¥ §«®¯ ¬¿²­®©. �®ª «¼­® ½²¨ ±¢®©±²¢  ­¥¢»£®¤­».�«®¡ «¼­® | ¨¬¥­­® ®­¨ ¯°¨¢®¤¿² ª ²°¨³¬´³. �®³·¨²¥«¼­® ¨ ¤«¿ ­ ± ±¢ ¬¨, ­¥ ¯° ¢¤  «¨?

108

�²¢¥²», ³ª § ­¨¿, °¥¸¥­¨¿

�¥ ² ª ³¦ ±«®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ±¥°¨¾ ¢»¢®¤®¢, ¢

ª®²®°®© ª ¦¤»© ¯®±«¥¤³¾¹¨© ¯°®±²¥©¸¨¬

®¡° §®¬ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®. �±«¨ ¯®±«¥

½²®£® ³¤ «¨²¼ ¢±¥ ±°¥¤­¨¥ §¢¥­¼¿ ¨ ±®®¡¹¨²¼

±«³¸ ²¥«¾ ²®«¼ª® ¯¥°¢®¥ §¢¥­® ¨ ¯®±«¥¤­¥¥, ®­¨

¯°®¨§¢¥¤³² ®¸¥«®¬«¿¾¹¥¥, µ®²¿ ¨

«®¦­®¥ ¢¯¥· ²«¥­¨¥.�¥°«®ª �®«¬±

2. �°»¸ª  ª¢ ¤° ²­®£® «¾ª  ¬®£«  ¡» ¯°®¢ «¨²¼±¿ ¢ ­¥£®.5. �  1 ±²¨°ª³.10. 2, 2 ¨ 9. �»¯¨¸¥¬ ° §«®¦¥­¨¿ ·¨±«  36 ­  ²°¨ ¬­®¦¨²¥«¿:

1 � 1 � 36 = 1 � 2 � 18 = 1 � 3 � 12 = 1 � 4 � 9 = 1 � 6 � 6 = 2 � 2 � 9 = 2_3 � 6 = 3 � 3 � 4:�³¬¬» ±®¬­®¦¨²¥«¥© ½²¨µ ° §«®¦¥­¨© ° ¢­», ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, 38, 21,

16, 14, 13, 13, 11 ¨ 10. �­ ¿ ª®«¨·¥±²¢® ®ª®­, ¬¨«¨¶¨®­¥° ­¥ ¬®£ ³±² ­®¢¨²¼¢®§° ±²» «¨¸¼ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ 2 � 2 � 9 = 1 � 6 � 6 . �±«¨ ¢ ±¥¬¼¥ ¥±²¼ ±² °¸¨©±»­, ¢ °¨ ­² 1 � 6 � 6 ®²¯ ¤ ¥².

11. 15. � ¨¬¥­­®, 14 ¤¥¢®·¥ª ¨ �¨¸ .13. �°³¸  (¯«®¤, ª®²®°»© ¢¨±¨² ­  ¤¥°¥¢¥) ¨ £°³¸  (¤¥°¥¢®, ­  ª®²®-

°®¬ ° ±²³² ¯®µ®¦¨¥ ­  ½«¥ª²°¨·¥±ª³¾ « ¬¯®·ª³ ¯«®¤», ª®²®°»¥ ¬®¦­®±ª³¸ ²¼) ®¤¨­ ª®¢® §¢³· ² ¯®-°³±±ª¨, ­® ­¥ ¯®-¢¥­£¥°±ª¨. �ª®­· ­¨¥ k®§­ · ¥² ¬­®¦¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®,   ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ¡³ª¢ fa ¯°¥¢° ¹ ¥² ¿¡«®ª®¢ ¿¡«®­¾, ¡¥°�¥§®¢³¾ ±¥°�¥¦ª³ | ¢ ¡¥°¥§³, ¨ ¢®®¡¹¥, ¯«®¤ | ¢ ¤¥°¥¢®, ­ ª®²®°®¬ ½²®² ¯«®¤ ° ±²�¥².

15. � ¤¨¬ � ¸¥ ¥¹�¥ 2 ¸ °¨ª . �®£¤  ³ ­¥�¥ ±² ­¥² ±²®«¼ª® ¦¥ ¸ °¨-ª®¢, ±ª®«¼ª® ³ � ¸¨. � ³ � ¸¨ 1 ¸ °¨ª § ¡¥°�¥¬ | ²®£¤  ³ ­¥£® ±² ­¥²¸ °¨ª®¢ ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ³ ¤°³£¨µ. �±² «®±¼ ° §¤¥«¨²¼ ¯®°®¢­³ ­ ²°®¨µ 11 + 2 � 1 = 12 ¸ °¨ª®¢.

17. 3 ±¥±²°» ¨ 4 ¡° ² .18. 14 ®¢¥¶. �±«¨ ¢±¥ 36 ¦¨¢®²­»µ | ª³°», ²® ­®£ 2 � 36 = 72 . �¥¬

®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶  ®² ª³°¨¶»? � ®¢¶» ­  2 ­®£¨ ¡®«¼¸¥! �­ ·¨², § ¬¥­¿¿ª³°¨¶³ ­  ®¢¶³, ¬» ³¢¥«¨·¨¢ ¥¬ ·¨±«® ­®£ ­  ¤¢¥, ¨ ² ª¨µ § ¬¥­ ­ ¤®¯°®¨§¢¥±²¨ (100 � 72) : 2 = 14 .

19. �±«¨ ¡» ¢ ª®°®¡ª¥ ¡»«¨ ²®«¼ª® ¦³ª¨, ²® ­®£ ¡»«® ¡» 6 � 8 = 48 ,²® ¥±²¼ ­  6 ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ³ª § ­® ¢ § ¤ ·¥. �¥±²¼ À«¨¸­¨µÁ ­®£ ®±² «®±¼¨§-§  ²®£®, ·²® ³ ¯ ³ª  ­  2 ­®£¨ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ ¦³ª . �­ ·¨², ½²¨ 6 ­®£¯°¨­ ¤«¥¦ ² ¯ ³ª ¬, ²® ¥±²¼ ¯ ³ª®¢ 6 : 2 = 3 . �³ª®¢ ²®£¤  8 � 3 = 5 .�² ª, ¢ ª®°®¡ª¥ 5 ¦³ª®¢ ¨ 3 ¯ ³ª . �°®¢¥°¨¬: ³ 5 ¦³ª®¢ 30 ­®£, ³ 3 ¯ ³ª®¢24 ­®£¨,   ¢±¥£® 30 + 24 = 54 ­®£¨, ª ª ¨ ²°¥¡³¥² ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨.

109

22. 41312432.23. � «¼·¨ª¨ ­  «®¤ª¥ ¯«»¢³² ª ¤°³£®¬³ ¡¥°¥£³. �¤¨­ ¨§ ­¨µ ®±² -

�¥²±¿ ² ¬,   ¤°³£®© ¢®§¢° ¹ ¥²±¿. �¤¨­ ±®«¤ ² ¯¥°¥¯° ¢«¿¥²±¿, ¢»«¥§ ¥²,  ¬ «¼·¨ª ¢®§¢° ¹ ¥² «®¤ª³. � ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²®¡» ¯¥°¥¯° ¢¨²¼ ®¤­®£®±®«¤ ² , «®¤ª  4 ° §  ¯«»¢�¥² ®² ¡¥°¥£  ¤® ¡¥°¥£ .

26. �¥°¥µ®¤¿² ¯ ¯  ¨ ¬ ¬  2 ¬¨­³²»� ¯  ± ´®­ °¨ª®¬ ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ 1 ¬¨­³² �¥°¥µ®¤¿² ¡ ¡³¸ª  ¨ ¬ «»¸ 10 ¬¨­³²� ¬  ± ´®­ °¨ª®¬ ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ 2 ¬¨­³²»�¥°¥µ®¤¿² ¯ ¯  ¨ ¬ ¬  2 ¬¨­³²»

�²®£® 17 ¬¨­³²27. �­¨ ¯®¤®¸«¨ ± ° §­»µ ±²®°®­.32. �±«¨ ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ ²¥²° ¤¥©, ·¥¬ ¢® ¢²®°®©, ²® ¢

¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ 30 : 3 = 10 ²¥²° ¤¥©,   ¢® ¢²®°®© | 20. �­ ·¨², ¢ ¯¥°¢®©¯ ·ª¥ ¡»«® 12 ²¥²° ¤¥©,   ¢® ¢²®°®© | 18.

39. �­  ±®¡° «  10 � 2 � 2 � 2 � 2 = 160 ¿¡«®ª. �²° ¦­¨ª¨ ¯®«³·¨«¨160� 10 = 150 ¿¡«®ª.

40. �¨²¿ ±º¥« 4 ±«¨¢». �­ ·¨², ³¢¨¤¥« ®­ 4 � 3 = 12 ±«¨¢. �®±² ¢¨¬² ¡«¨¶³:

� ¬  �­¿ �®°¿ �¨²¿

�¢¨¤¥«( ) � 12�º¥«( ) � 4�±² ¢¨«( ) ? 8

� ¯®«­¨¬ ¥�¥. �®°¿ ®±² ¢¨« ²¥ ± ¬»¥ 12 ±«¨¢, ª®²®°»¥ ³¢¨¤¥« �¨²¿. �®°¿±º¥« ²°¥²¼ ³¢¨¤¥­­»µ ¨¬ ±«¨¢. �­ ·¨², �®°¿ ±º¥« 6 ±«¨¢,   ³¢¨¤¥« 18±«¨¢. �¬¥­­® ±²®«¼ª® ±«¨¢ ®±² ¢¨«  �­¿ (¬¥¦¤³ ¯°®·¨¬, 12 : (2=3) = 18 ).� ¬  ®±² ¢¨«  18 : (2=3) = 27 ±«¨¢:

� ¬  �­¿ �®°¿ �¨²¿

�¢¨¤¥«( ) � 27 18 12�º¥«( ) � 9 6 4�±² ¢¨«( ) 27 18 12 8

41. � §­®±²¼ ¬¥¦¤³ ·¨±«®¬ ¨ ±³¬¬®© ¥£® ¶¨´° ¢±¥£¤  ¤¥«¨²±¿ ­  9.�®½²®¬³ ¢±¥ ·¨±« , ª°®¬¥, ¢®§¬®¦­®, ¨±µ®¤­®£®, ¤¥«¿²±¿ ­  9. �«¥¤®-¢ ²¥«¼­®, 0 ¯®«³·¨«±¿ ¨§ 9, ·¨±«® 9 ¯®«³·¨«®±¼ ¨§ 18, ¨ ¢®®¡¹¥, ¨¬¥¥¬¶¥¯®·ª³:

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

�¤¥±¼ ­³¦­® ¡»²¼ ¢­¨¬ ²¥«¼­»¬: 81 ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ª ª ¨§ 90, ² ª ¨¨§ 99. �® 90 ­¨ ¨§ ª ª®£® ·¨±«  ­¥ ¯®«³·¨¸¼! � ·¨±«® 99 ¯®«³· ¥²±¿¨§ 100, ¨§ 101, : : : , ¨§ 109.

110

43. �¥) 5 � 5 + 5 : 5 = 26 ; ¦) (5 : 5 + 5) � 5 = 30 ; §) 5 � 5 + 5 � 5 = 50 ;¨) 55+5�5 = 55 ; ©) 5 �5 �5�5 = 120 ; ª) 5 �5 �5+5 = 130 ; «) 5 �5 �5 �5 = 625 ;¬) 555 : 5 = 111 .

44. 3 : 3+(3�3) �3 = 1 ; (3+3) : 3+3�3 = 2 ; 3+(3�3) �33 = 3 ; 3 : 3++3�3+3 = 4 ; 3 : 3+3 : 3+3 = 5 ; 3+3+(3�3) �3 = 6 ; 3 �3�(3+3) : 3 = 7 ;3 + 3 + (3 + 3) : 3 = 8 ; 3 � 3� (3� 3) : 3 = 9 ; 3 : 3 + 3 + 3 + 3 = 10 .

45. 5 : 5 + (5� 5) � 5 = 1 ; (5 + 5) : 5 + 5� 5 = 2 ; (5 � 5� 5� 5) : 5 = 3 ;5 � 5 : 5 + 5 � 5 = 4 ; 5 + (5 � 5) � (5 + 5) = 5 ; 5 + 5 : 5 + 5 � 5 = 6 ;5 + 5 : 5 + 5 : 5 = 7 ; 5 + (5 + 5 + 5) : 5 = 8 ; (5 � 5� 5) : 5 + 5 = 9 .

46. 4+4�4�4 = 0 ; 4 : 4+4�4 = 1 ; 4 : 4+4 : 4 = 2 ; (4+4+4) : 4 = 3 ;(4� 4) � 4 + 4 = 4 ; (4 + 4 � 4) : 4 = 5 ; 4 + (4 + 4) : 4 = 6 ; 4 + 4 � 4 : 4 = 7 ;4 + 4 + 4� 4 = 8 ; 4 + 4 + 4 : 4 = 9 ; (44� 4) : 4 = 10 .

47. 7 : 7 + 7� 7 = 1 ; 7 : 7 + 7 : 7 = 2 ; (7 + 7+ 7) : 7 = 3 ; 77 : 7� 7 = 4 ;7� (7 + 7) : 7 = 5 ; (7 � 7� 7) : 7 = 6 ; 7 + (7� 7) � 7 = 7 ; (7 � 7 + 7) : 7 = 8 ;7 + (7 + 7) : 7 = 9 .

50. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 � 9 = 100 .51. �¤­® ¿¡«®ª® ®²¤ ©²¥ ¢¬¥±²¥ ± ª®°§¨­®©.53. � ¢²° ª «¨ ¤¥¤, ¥£® ±»­ ¨ ¢­³ª.54. �¤¨­ ª®¸¥«�¥ª ¢­³²°¨ ¤°³£®£®.55. �¥².56. �¥°¥«¥©²¥ ¢®¤³ ¨§ ¢²®°®£®

±² ª ­  ¢ ¯¿²»©.58. �¢®¥²®·¨¥ ¯®±«¥ ±«®¢  À¤¢ ¤¶ ²¼Á.59. �¥±²­¨¶  ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ¢¬¥±²¥ ± ª®° ¡«�¥¬.60. �®«¼¸®© §¥«�¥­»© ¯®¤§¥¬­»© ª ¬­¥¥¤.62. � §¤¥«¨²¥ ¯® ¢¥°²¨ª «¨ ´¨£³°ª¨ ¯®¯®« ¬ ¨ ¢±¯®¬­¨²¥, ª ª ¯¨¸³²

¨­¤¥ª± ­  ¯®·²®¢®¬ ª®­¢¥°²¥.63. �¨­¨±²° ¬®¦¥² ¢»² ¹¨²¼ «¨±²®ª ¡³¬ £¨ ¨, ­¥ £«¿¤¿, ±¦¥·¼ ¥£®.

�®±ª®«¼ª³ ­  ®±² ¢¸¥¬±¿ «¨±²ª¥ ­ ¯¨± ­® À�µ®¤¨²¥Á, ª®°®«¾ ¯°¨¤�¥²±¿¯°¨§­ ²¼, ·²® ­  ³­¨·²®¦¥­­®¬ «¨±²ª¥ ¡»«® ±«®¢® À�±² ­¼²¥±¼Á.

65. 8 (±¬. °¨±.).66. �®¦¥². �²¥¶ ±»­  | ½²® ¬³¦; ¯°®´¥±±®° | ¦¥­¹¨­ .68. 1 + 1999 = 2000 .69. °) �°®¨§¢¥¤¥­¨¥ 6� ­  � ¬®¦¥² ¡»²¼ ¤¢³µ§­ ·­»¬ ·¨±«®¬ ²®«¼ª®

¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ¢²®°®© ±®¬­®¦¨²¥«¼ ° ¢¥­ 1. �­ ·¨², ¢® ¢²®°®© ±²°®-ª¥ °¥¡³±  ±²®¨² ·¨±«® 111. �®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼° ¢­  6 ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢ ° §°¿¤¥ ¥¤¨­¨¶ ¯¥°¢®£® ±®¬­®¦¨²¥«¿ ±²®-¨² 6.

70. �®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ¯¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ­  9 ¯®«³·¥­® ·¨±«®¯¿²¨§­ ·­®¥, ²® ¢ ¨±µ®¤­®¬ ·¨±«¥ ª° ©­¿¿ ±«¥¢  ¶¨´°  1.

�¨±«®, ¯®«³·¥­­®¥ ¯®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ¤ ­­®£® ·¨±«  ­  9, ®ª ­·¨¢ ¥²±¿

111

¶¨´°®© 1. �­ ·¨², ¨±µ®¤­®¥ ·¨±«® ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ¶¨´°®© 9 ( 9 � 9 = 81 ):

1***9� 99***1

�±«¨ ¡» ¢ ° §°¿¤¥ ²»±¿· ¨±µ®¤­®£® ·¨±«  ±²®¿«  ¶¨´°  2 (¨«¨ «¾¡ ¿¡�®«¼¸ ¿ ¶¨´° ), ²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡»«® ¡» ±«¨¸ª®¬ ¡®«¼¸¨¬: 12 001 � 9 >> 100 000 . �­ ·¨², ¢ ° §°¿¤¥ ²»±¿· | ¶¨´°  0 ¨«¨ 1. � ±±¬®²°¨¬ ¤¢ ±«³· ¿:

1)

11**9� 99**11

.

�®±ª®«¼ª³ 11 � 9 = 99 , ¢²®° ¿¶¨´°  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ (®­  ¦¥ |° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢ ¨±µ®¤­®£® ·¨±« )¥±²¼ 9. �¬¥¥¬:

11*99� 999*11

� ª ­¥ ¡»¢ ¥², ¯¥°¢»© ±«³· © ­¥¯®¤µ®¤¨². (�® ­¥ ° §®¡° ²¼ ¥£®¡»«® ¡» ®¸¨¡ª®©. �¥¸¨²¼ °¥¡³± |§­ ·¨² ­¥ ²®«¼ª® ¯®¤®¡° ²¼ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯®¤µ®¤¿¹¨© ¢ °¨ ­², ­® ¨¤®ª § ²¼, ·²® ­¥² ­¨ª ª¨µ ¤°³-£¨µ.)

2)

10**9� 99**01

.

�®±ª®«¼ª³ 9 � 9 = 81 , ¢ ° §°¿¤¤¥±¿²ª®¢ ¨§ ° §°¿¤  ¥¤¨­¨¶ ¯¥°¥-­®±¨²±¿ 8. �²®¡» ¢ ° §°¿¤¥ ¤¥-±¿²ª®¢ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ®ª § « ±¼ ¶¨-´°  0, ¯°¥¤¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ¨±µ®¤-­®£® ·¨±«  ¤®«¦­  ¡»²¼ 8:

10*89� 998*01

�®«³· ¥¬ ®²¢¥²:

10989� 998901

.

80.

81. 7, ¯®±ª®«¼ª³ ¯®±«¥¤­¨© ª³±®ª ®²°¥§ ²¼ ­¥ ­ ¤®. 82. � 5 ° §.84. �®¦­® ¶¥«¨ª®¬ ° ±ª®¢ ²¼ ®¤­³ ¶¥¯¼ (3 §¢¥­ ).

85. �²¢¥²: ¢® ¢²®°­¨ª ±«¥¤³¾¹¥© ­¥¤¥«¨ ¢ 6 · ±®¢ ¢¥·¥° . � ± ¬®¬¤¥«¥, §  ±³²ª¨ £³±¥­¨¶  ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ¢¢¥°µ ­  1 ¬¥²°. �­ ·¨², §  8 ±³²®ª(²® ¥±²¼ ª 6 · ± ¬ ³²°  ¢²®°­¨ª  ±«¥¤³¾¹¥© ­¥¤¥«¨) ®­  ¯®¤­¨¬¥²±¿ ­ ¢»±®²³ 8 ¬. � ª 18 · ± ¬ ¢²®°­¨ª  | ¯®ª®°¨² ¢¥°¸¨­³!

90. �ª § ­¨¥. � °¨±³©²¥ ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª.92. 5 °³¡«¥©. � ±¯°®±²° ­�¥­­»© ­¥¯° ¢¨«¼­»© ®²¢¥² | 10 °³¡«¥©.

�®¯³±²¨¬, ®¤­ ª®, ·²® ³ ­¨µ, ±ª ¦¥¬, ¯® 50 °³¡«¥©. �±«¨ �ª³«¨­  ¤ ±²

112

10 °³¡«¥©, ²® ³ �­´¨±» ®ª ¦¥²±¿ 60 °³¡«¥©,   ³ �ª³«¨­» 40. �«¥¤®¢ -²¥«¼­®, ° §­¨¶  ±®±² ¢¨² ­¥ 10,   20 °³¡«¥©.

94. 20 °³¡«¥©. �³¯¨²¼ 5 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶ | ²® ¦¥, ·²® ª³¯¨²¼ 10 ¬ -«¥­¼ª¨µ, ² ª ·²® ¯®ª³¯ª  5 ¡®«¼¸¨µ ¨ 3 ¬ «¥­¼ª¨µ ¯²¨¶ ° ¢­®¶¥­­  ¯®-ª³¯ª¥ 13 ¬ «¥­¼ª¨µ. �­ «®£¨·­®, ¶¥­  3 ¡®«¼¸¨µ ¨ 5 ¬ «¥­¼ª¨µ ° ¢­  ¶¥­¥11 ¬ «¥­¼ª¨µ ¯²¨¶. �­ ·¨², 13�11 = 2 ¬ «¥­¼ª¨¥ ¯²¨¶» ±²®¿² 20 °³¡«¥©.

95. �¥¤³¸ª¥ 84 £®¤ , ¢­³·ª¥ 7 «¥².96. �¥¤³ 100 � 45 = 55 «¥², ±»­³ (45 � 25) : 2 = 10 «¥², ®²¶³ 10 +

+ 25 = 35 «¥².100. �±«¨ ±®¡ ª  ±²®¨² x °³¡«¥©, ²® ª®°®¢  ±²®¨² 4 � x , 2 ª®°®¢» |

8 � x ,   «®¸ ¤¼ | 16 � x . �²®¡» ­ ©²¨ x , ° §¤¥«¨¬ 200 °³¡«¥© ­  1 + 8 ++ 16 = 25 · ±²¥©. �² ª, ±®¡ ª  ±²®¨² 8 °³¡«¥©,   ª®°®¢  | 32.

103. �°¨ ª³°¨¶» ±­¥±«¨ §  3 ¤­¿ 3 ¿©¶ . �«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 3 ª³°¨¶»±­¥±³² §  12 ¤­¥© ¢ 4 ° §  ¡®«¼¸¥ ¿¨¶ (3 � 4 = 12 ),   12 ª³° §  12 ¤­¥© ¥¹�¥¢ 4 ° §  ¡®«¼¸¥, ²® ¥±²¼ 12 � 4 = 48 ¿¨¶. �¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ ³¤®¡­® § ¯¨± ²¼¢ ¢¨¤¥ ² ¡«¨¶»:

�³° �­¥© �¨¶3 3 33 12 3 � 4 = 1212 12 12 � 4 = 48

105. �  2 · ±  6 §¥¬«¥ª®¯®¢ ¢»°®¾² 6 ¿¬, §  5 · ±®¢ | ¢ 2 12° § 

¡®«¼¸¥, ²® ¥±²¼ 15 ¿¬.106. 12 ª®±¶®¢. �®±¥¶ §  · ± ¢»¯¨¢ ¥² 1=48 ¡®·®­ª . �  3 · ±  ®¤¨­

ª®±¥¶ ¢»¯¨¢ ¥² 1=12 ¡®·®­ª .108. �®£¤  �¥°�¥¦  ±² ­¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ �®¢», ° §­®±²¼ ¨µ ¢®§° ±²®¢

¡³¤¥² ° ¢­  ³¤¢®¥­­®¬³ ¢®§° ±²³ �®¢». �®±ª®«¼ª³ ° §­®±²¼ ¢®§° ±²®¢ ­¥¬¥­¿¥²±¿ ±® ¢°¥¬¥­¥¬, ®­  ¢±¥£¤  ° ¢­  11 � 1 = 10 £®¤ ¬. �­ ·¨², �®¢¥¡³¤¥² 5 «¥²,   �¥°�¥¦¥ | 15.

109. 13 + 7 = 20 «¥² ­ § ¤ ¿ ¡»« ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥, ·¥¬ ±¥©· ±. �«¥¤®¢ -²¥«¼­®, ¬­¥ 40 «¥².

110.  ) � §­¨¶  ¢ ¢®§° ±²¥ ¬¥¦¤³ ®²¶®¬ ¨ ±»­®¬ ° ¢­  27 � 3 == 24 £®¤ ¬. �¥©· ± ®²¶³ ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ±»­³. �®½²®¬³ 24 £®¤  |½²® ³¤¢®¥­­»© ¢®§° ±² ±»­ .

113. 1 + 12+ 1

3+ 1

4= 25

12¨ 100 : 25

12= 48 .

117. �­¨ °®¢¥±­¨ª¨, ¨¬ ¯® 6 «¥².119. 1 £®¤. �²®¡» ­¥ § ¯³² ²¼±¿, ®¡®§­ ·¨¬ ¢®§° ±²» �®«¨, �«¨ ¨

�®«¨ ¡³ª¢ ¬¨ � , � ¨ � ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. �®±ª®«¼ª³ �®«¿ ¡»« ¬®«®¤,ª ª �«¿, � �� «¥² ­ § ¤,   ²�¥²³¸ª  �®«¿ ¡»«  ¢ ¢®§° ±²¥ �®«¨ � ��«¥² ­ § ¤, ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨ ¬®¦­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

��� «¥² ­ § ¤ �®«¥ ¡»«® ­  1 £®¤ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ � +� «¥².�ª®«¼ª® «¥² ¡»«® �®«¥ � �� «¥² ­ § ¤?

113

�¥¯¥°¼ ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ° ¢¥­±²¢ 

� � (� ��) = � +� � 1;

  ¨±ª®¬ ¿ ¢¥«¨·¨­  ¥±²¼ � � (� ��) .128. �»±²°®¨¬ ¡®²¨­ª¨ ¯ ° ¬¨. �®£¤  ¢±¥£® ¡³¤¥² 20 ¯ °. �§¿¢ 21

¡®²¨­®ª, ¬» ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢®§¼¬�¥¬ ¤¢  ¡®²¨­ª  ¨§ ª ª®©-²® ¯ °», ²® ¥±²¼¢±¾ ¥�¥ ¶¥«¨ª®¬!

130. �®±ª®«¼ª³ �®¢  ¨ �°®«¨ª ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ 45 ¡ ­ ­®¢, ª²®-²® ¨§ ­¨µ±º¥« ­¥ ¬¥­¥¥ 23 ¡ ­ ­®¢. �­ ·¨², �¨­­¨{�³µ ±º¥« ­¥ ¬¥­¥¥ 24 ¡ ­ ­®¢.�®¢ , �°®«¨ª ¨ �³µ ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ ­¥ ¬¥­¥¥ 69 ¡ ­ ­®¢. �®±ª®«¼ª³ �¿-² ·ª³ ²®¦¥ ·²®-²® ¤®±² «®±¼, ²® �®¢ , �°®«¨ª ¨ �³µ ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ °®¢­®69 ¡ ­ ­®¢,   �¿² ·®ª { 1 ¡ ­ ­.

131. 7. �ª § ­¨¥. �±«¨ ¢»² ¹¨¬ 8 ¡ ­®ª, ²® ½²® ¬®£³² ®ª § ²¼±¿3 ¡ ­ª¨ ¬ «¨­®¢®£® ¨ 5 ¡ ­®ª ¢¨¸­�¥¢®£® ¢ °¥­¼¿.

134. 60 ª¬/· | ½²® 1 ª¨«®¬¥²° ¢ ¬¨­³²³. �¥±ª®­¥·­® ¡»±²°® ¤¢¨-£ ²¼±¿ ­¥«¼§¿, ¢»¨£° ²¼ ­  ª ¦¤®¬ ª¨«®¬¥²°¥ 1 ¬¨­³²³ ­¥ ³¤ ±²±¿.

159. �¨ª®« © �¥²°®¢¨· ¯®©¬ « 5 °»¡.166. � ·¨­ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼ ¯°¨ «¾¡®¬ ­ · «¼­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨

ª®°®«¿. �³²¼ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. �®¤±·¨² ¥¬ ·¨±«® ¢¥°²¨ª «¼­»µµ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ± ¨±µ®¤­®£® ¯®«¿ ¤®©²¨ ¤® ­¨¦­¥© (¯¥°¢®©)£®°¨§®­² «¨,   ² ª¦¥ ª®«¨·¥±²¢® À¯°¿¬»µÁ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥²¤®©²¨ ¤® ¢¥°µ­¥© (¢®±¼¬®©) £®°¨§®­² «¨. �®±ª®«¼ª³ ±³¬¬  ½²¨µ ·¨±¥«° ¢­  8� 1 = 7 , ²® ®¤­® ¨§ ­¨µ ­¥·�¥²­®.

�³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«�¥­­®±²¨, ­ ¤® ±¤¥« ²¼ ­¥·�¥²­®¥ ·¨±«® µ®¤®¢, ·²®¡»¤®©²¨ ¤® ­¨¦­¥© £®°¨§®­² «¨. �®£¤  ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¯°¿¬®¢­¨§; ­®¬¥° £®°¨§®­² «¨ ³¬¥­¼¸¨²±¿ ­  1 ¨ ¨§ ·�¥²­®£® ±² ­¥² ­¥·�¥²­»¬.�²® ¤¥« ²¼ ¢²®°®¬³? �±«¨ ®­ ±¤¥« ¥² £®°¨§®­² «¼­»© µ®¤ ¨«¨ ¢¥°­�¥²±¿¤¨ £®­ «¼­»¬ µ®¤®¬ ­  ¨±µ®¤­³¾ £®°¨§®­² «¼, ²® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ±° §³±¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼. �®½²®¬³ ¢²®°®© ¨£°®ª ¡³¤¥² ¢»­³¦¤¥­ ±¤¥« ²¼ ¢¥°²¨-ª «¼­»© ¨«¨ ¤¨ £®­ «¼­»© µ®¤, ±¯³±²¨¢¸¨±¼ ¥¹�¥ ­¨¦¥.

� ®²¢¥² ¯¥°¢»© ¨£°®ª ®¯¿²¼ ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¢¥°²¨ª «¼­® ¢­¨§. �²®°®¬³,·²®¡» ­¥ ¯°®¨£° ²¼, ®¯¿²¼ ¯°¨¤�¥²±¿ ®¯³±²¨²¼ ª®°®«¿ ¥¹�¥ ­¨¦¥, ¨ ² ª¡³¤¥² ¯°®¤®«¦ ²¼±¿ ¤® ²®£®, ª ª ¯®±«¥ ®·¥°¥¤­®£® µ®¤  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª ª®°®«¼ ¯®¯ ¤�¥² ­  ­¨¦­¾¾ £®°¨§®­² «¼. �®£¤  ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ¯°¨¤�¥²±¿±¤¥« ²¼ £®°¨§®­² «¼­»© µ®¤ ¨«¨ ¯®¤­¿²¼ ª®°®«¿ ¯® ¤¨ £®­ «¨ ¢¢¥°µ, ¯®±«¥·¥£® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¯®¡¥¦¤ ¥², ±² ¢¿ ª®°®«¿ ­  ° ­¥¥ ¯°®©¤¥­­®¥ ¯®«¥.

� ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¡» ° §¬¥°» ¤®±ª¨ ¡»«¨ ¨­»¬¨ (­ ¯°¨¬¥°, 9� 9 ),²® ­¥ ª ¦¤®¥ ¨±µ®¤­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ª®°®«¿ ¯°¨­®±¨«® ¡» ¢»¨£°»¸ ²®¬³,ª²® ¤¥« ¥² ¯¥°¢»© µ®¤: 16 ¯®«¥© (¯®¤³¬ ©²¥, ª ª¨¥ ¨¬¥­­®) ¡»«¨ ¡» ¢»-¨£°»¸­»¬¨ ¤«¿ ¢²®°®£® ¨£°®ª .

172. 0 ¨«¨ 1000.174. �®¡°»­¿ �¨ª¨²¨· ¨ �«�¥¸  �®¯®¢¨· ±ª § «¨ ®¤­® ¨ ²® ¦¥, ¯®½²®-

¬³ ¯° ¢¤³ ±ª § « �«¼¿ �³°®¬¥¶. �¬¥¿ �®°»­»·  ³¡¨« �®¡°»­¿ �¨ª¨²¨·.

114

177. �¢²®¬®¡¨«¨±² ¸�¥« ¯¥¸ª®¬ ±²®«¼ª® ¦¥ ¢°¥¬¥­¨, ±ª®«¼ª® ¢¥«®±¨-¯¥¤¨±² § ²° ²¨« ­  ¢¥±¼ ¯³²¼.

180. �®±ª®«¼ª³ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¯°®¥µ « ²°¥²¼ ¯³²¨ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ¬®-²®¶¨ª«¨±² ¯°®¥µ « ¤¢¥ ²°¥²¨, ¥£® ±ª®°®±²¼ ¡®«¼¸¥ ¯®«®¢¨­» ±ª®°®±²¨¬®²®¶¨ª«¨±² .

181. �®±² ²®·­® ¯¥°¥¤¢¨­³²¼ ª³¤ -­¨¡³¤¼ ª° ©­¾¾ ±¯¨·ª³ (­ ¯°¨-¬¥°, ¯®«®¦¨²¼ ¥�¥ °¿¤®¬ ± ¤°³£®© ª° ©­¥©).

182. � , ¬®¦­® ¡°®±¨²¼ ¬¿· ¢¥°²¨ª «¼­®.183. �±«¨ ¯®±² ° ²¼±¿, ¨§  °¡³§  ¬®¦­® ¢»°¥§ ²¼ ª³±®ª ¢ ¢¨¤¥ À±²®«-

¡¨ª Á, ¨¤³¹¥£® ±ª¢®§¼ ¢¥±¼  °¡³§. � ½²®£® ª³±ª  ¡³¤³² ¤¢¥ ª®°ª¨, ±®¥¤¨-­�¥­­»¥  °¡³§­®© ¬¿ª®²¼¾.

185.  ) �®«®¦¨²¥ ±¯¨·ª³ ¢ ³£«³ ±²®« , À®²°¥§ ¢Á ¥¾ ²°¥³£®«¼­¨ª.¡) �¢¥ ±¯¨·ª¨ ¯®«®¦¨²¥ ¢ ³£«³ ±²®« , ·²®¡» ª° ¿ ¥£® ¤ «¨ ¤¢¥ ¤°³£¨¥±²®°®­» ª¢ ¤° ² .

187. �°¨ ±¥ª³­¤». �  ½²® ¢°¥¬¿ ®­¨, ª®­¥·­®, ¯®©¬³², ·²® ¨¬ ­¨ª®£¤ ­¥ ¢»°»²¼ ² ª®© ¿¬», ¤  ¨ °»²¼ ¥�¥ ­¥§ ·¥¬. (�®¤°®¡­®±²¨ | ¢ ±ª §ª¥� ¬¥«» �°¥¢¥°± À�½°¨ �®¯¯¨­±Á.)

188.

7 10 13

22 26 30

4 9 14189. 31121314. � ¦¤®¥ ±«¥¤³¾¹¥¥ ·¨±«® ®¯¨±»¢ ¥² ¯°¥¤»¤³¹¥¥: À¢

·¨±«¥ ¡»«  ®¤­  ¥¤¨­¨¶ Á | 11; À¤¢¥ ¥¤¨­¨¶»Á | 21; À®¤­  ¥¤¨­¨¶ , ®¤­ ¤¢®©ª Á | 1112 ¨ ² ª ¤ «¥¥.

190. � ª®¢¡®¿ ¢ £®°«¥ § ±²°¿«  ª®±²¼ ¨ ®² ¨±¯³£  ¢»±ª®·¨« !191. �­ £ ¤ «: À«¾¡¨² | ­¥ «¾¡¨², : : : Á.192. �±¥£¤  ¯®«³·¨²±¿ ·¨±«® 6174, ª®²®°®¥ ¯¥°¥µ®¤¨² ± ¬® ¢ ±¥¡¿.198. 15 = (11� 7) + 11 . � ¯³±²¨¬ · ±» ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ·¥°¥§ 7 ¬¨­³²

­ ·­�¥¬ ¢ °¨²¼ ª ¸³.

7

11 11

11 + 11� 7 = 15

�«¿ �­ ©ª¨. �²® ¯°¨¸«®±¼ ¡» ¤¥« ²¼, ¥±«¨ ¡» ¡»«¨ · ±» ­  47 ¬¨­³²¨ ­  31 ¬¨­³²³ (  ª ¸³ ¯®-¯°¥¦­¥¬³ ­ ¤® ¢ °¨²¼ °®¢­® 15 ¬¨­³²)?

214. �  25%, ¨¡® 1 : (1� 0;2) = 1;25 .225. �¥²¢¥°²¼ ª°³£  ¢¥±¨² 1 ª£, ª°³£ | 4 ª£.229.  ) 1111; ¡) 147.237. � §°¥¦¼²¥ ¤®±ª³ ­  4 ¤®±ª¨ 4 � 4 ¨ ­  ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ¢ ³£«³

° §¬¥±²¨²¥ 8 ª®­¥© ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ²  3� 3 .238. �®®¡° §¨²¥, ·²® ¯°®¤ ¢¥¶ ­¥ ³¸�¥« ¤®¬®©,   ®±² «±¿ §  ±¢®¨¬ ¯°¨-

« ¢ª®¬. �³±²¼ ¯®ª³¯ ²¥«¨ ²° ²¿² ¯® 2 °³¡«¿, ¯®ª³¯ ¿ ³ ª ¦¤®£® ¯°®¤ ¢¶ ­  °³¡«¼. �®£¤  ¯¥°¢»¥ 10 ¯®ª³¯ ²¥«¥© ª³¯¿² 20 ¤®°®£¨µ ¨ 30 ¤¥¸�¥¢»µ

115

¿¡«®ª, ² ª ·²® ¤¥¸�¥¢»¥ ¿¡«®ª¨ ª®­· ²±¿ ° ­¼¸¥, ·¥¬ ¤®°®£¨¥. �³¡«¼ ¨±-·¥§ ¯®²®¬³, ·²® ®±² ¢¸¨¥±¿ 10 ¤®°®£¨µ ¿¡«®ª ¯°®¤ «¨ ­¥ ¯® ¤¢  ¿¡«®ª  § °³¡«¼,   ª ª ±¬¥±¼, ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿.

�°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯®±ª®«¼ª³ ¡®«¥¥ ¤®°®£®¥ ¿¡«®ª® ±²®¨«® 12

°³-¡«¿ §  ¸²³ª³,   ¡®«¥¥ ¤¥¸�¥¢®¥ | 1

3°³¡«¿, ±«¥¤®¢ «® ¯°®¤ ¢ ²¼ ¨µ ¯®�

12+ 1

3

�: 2 = 5

12°³¡«¿. �²  ¶¥­  ¢»¸¥, ·¥¬ ³±² ­®¢«¥­­ ¿ ¯°®¤ ¢¶ ¬¨

¶¥­  ¢ 25°³¡«¿ §  ¸²³ª³. (� ¢»¸¥ °®¢­® ­  5

12� 2

5= 1

60.)

242. �±¥£® ¤¥­¥£ ³ ª³¯¶®¢ (90+85+80+75) : 3 = 110 °³¡«¥©. �®½²®¬³³ ¯¥°¢®£® 110�90 = 20 , ³ ¢²®°®£® 110�85 = 25 , ³ ²°¥²¼¥£® 110�80 = 30 ,  ³ ·¥²¢�¥°²®£® 110 � 75 = 35 °³¡«¥©.

249 0 . � ±±¬®²°¨²¥ ±³¬¬³ ¢±¥µ ·¨±¥« ² ¡«¨¶».261.  ) �®¤±² ¢¨¢ T� = 0 , ¯®«³·¨¬ b = 32 . �°¨ T� = 100 ¯®«³· ¥¬

212 = 100a + b , ®²ª³¤  a = 1;8 . ¡) T = �40� .267. � §¡¥©²¥ ¢±�¥ ¬­®¦¥±²¢® ¶¥«»µ ·¨±¥« ­  5 ª« ±±®¢: ¢ ®¤¨­ ª« ±±

¯®¬¥±²¨²¥ ·¨±« 

: : :� 14; �9; �4; 1; 6; 11; 16; 21; 26; : : : ;¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 1 ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  5, ¢ ¤°³£®© | ·¨±« 

: : :� 13; �8; �3; 2 7; 12; 17; 22; 27; : : : ;¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 2, ¢ ²°¥²¨© | ·¨±« , ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 3 ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  5,¢ ·¥²¢�¥°²»© | ®±² ²®ª 4, ¢ ¯¿²»© | ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 0.

268. �ª § ­¨¥. � §¡¥©²¥ ¢±¥ ¶¥«»¥ ·¨±«  ­  n ª« ±±®¢ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨± ²¥¬, ª ª®© ®±² ²®ª ¯®«³· ¥²±¿ ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  n .

271.  ) � , ­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  ®² 50 ¤® 99.

272. ¡) � ±±¬®²°¨¬ 51 ¿¹¨ª ± ² ¡«¨·ª ¬¨: 0 , 1{99 , 2{98 , 3{97 ,

: : : , 49{51 , 50 . �¨±«® ¯®¬¥¹ ¥¬ ¢ ¿¹¨ª, ­  ² ¡«¨·ª¥ ª®²®°®£® ¯°¨±³²-±²¢³¥² ®±² ²®ª ¤¥«¥­¨¿ ·¨±«  ­  100. �±«¨ ·¨±¥« 52, ª ª¨¥-²® ¤¢  ¯®¯ ¤³²¢ ®¤¨­ ¿¹¨ª.

281. � §®¡¼�¥¬ ¤®±ª³ ­  16 ª¢ ¤° ²¨ª®¢ 2 � 2 ¨ ¯®ª° ±¨¬ ¨µ ¢ ° §-­»¥ ¶¢¥² . �®ª ¦¥¬, ·²® ¡®«¼¸¥ 16 ¶¢¥²®¢ ¯®«³·¨²¼ ­¥«¼§¿. � ±±¬®²°¨¬ª«¥²ª³ «¾¡®£® ¶¢¥² . �¿¤®¬ ± ­¥© ¥±²¼ ¥¹�¥ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ²®£® ¦¥ ¶¢¥² .�²¨ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ¨¬¥¾² ²®«¼ª® ®¤­³ ±®±¥¤­¾¾ ª«¥²ª³ ²®£® ¦¥ ¶¢¥²  (±°¥-¤¨ ° ±±¬®²°¥­­»µ), ¯®½²®¬³ ¥±²¼ ¥¹�¥ ®¤­  ª«¥²ª  ² ª®£® ¦¥ ¶¢¥² . �² ª,ª ¦¤®£® ¶¢¥²  ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥²»°�¥µ ª«¥²®ª; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¶¢¥²®¢ ­¥ ¡®«¼-¸¥ 16.

293. �° ¢­®¢¥±¨¬ ­  ¢¥± µ £°³§ ¡®«¥¥ ²¿¦�¥«»©, ·¥¬ ²¥«®, ª®²®°®¥­³¦­® ¢§¢¥±¨²¼. � ²¥¬ ­  · ¸ª³ ± £¨°¿¬¨ ¯®«®¦¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¥¬®¥ ²¥«® ¨±­¨¬¥¬ ­¥±ª®«¼ª® £¨°¼, ·²®¡» ¢®±±² ­®¢¨²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥. �¥± ±­¿²»µ £¨°¼° ¢¥­ ¢¥±³ ²¥« .

294. �®«®¦¨¬ ­  · ¸ª¨ ¯® ®¤­®© ¤¥² «¨. �±«¨ ¢¥±» ®±² ­³²±¿ ¢° ¢­®¢¥±¨¨, ²® ­  · ¸ª µ «¥¦ «¨ µ®°®¸¨¥ ¤¥² «¨. (�±«¨ ¢¥±» ­¥ ¢ ° ¢­®-¢¥±¨¨, ²® µ®°®¸¨¥ | ¤¢¥ ®±² ¢¸¨¥±¿; °¥¸¥­¨¥ ¯°¨ ½²®¬  ­ «®£¨·­®.)

116

� ¬¥­¨¬ ®¤­³ ¨§ ­¨µ ®¤­®© ¨§ ®±² ¢¸¨µ±¿. �±«¨ ¢¥±» ®±² ­³²±¿ ¢° ¢­®¢¥±¨¨, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ¤¥² «¼ | ·¥²¢�¥°² ¿ (®±² ¢¸ ¿±¿; ²®«¼ª® ¢ ½²®¬±«³· ¥ ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ §­ ²¼,�) «¥£·¥ ®­  ®±² «¼­»µ ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥). �±«¨ ¦¥®¤­  ¨§ · ¸¥ª ®¯³±²¨²±¿, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ | ²  ¤¥² «¼, ª®²®°³¾ ²®«¼ª® ·²®¯®«®¦¨«¨ ­  · ¸ª³.

296. �®¯°®± ¬®¦¥² §¢³· ²¼ ² ª: À�¥°­® «¨, ·²® ¨ �«�¥¸¥ �®¯®¢¨·³, ¨�®¡°»­¥ �¨ª¨²¨·³ ¤®±² «®±¼ µ®²¿ ¡» ¯® ®¤­®© ±¥°¥¡°¿­®© ¬®­¥²¥?Á �±«¨®²¢¥² ³²¢¥°¤¨²¥«¼­»©, ²® ®¡¥ ¬®­¥²» �«¼¨ �³°®¬¶  | §®«®²»¥. �±«¨®²°¨¶ ²¥«¼­»©, ²® �«¼¥ ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿­»¥ ¬®­¥²». � ¥±«¨ �«¼¿­¥ ±¬®¦¥² ®²¢¥²¨²¼ ­¨ À¤ Á, ­¨ À­¥²Á, ²® ®­ ¯®«³·¨« §  ±«³¦¡³ §®«®²³¾ ¨±¥°¥¡°¿­³¾ ¬®­¥²».

�®¦­® ¡»«® § ¤ ²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ¢®¯°®±», ­ ¯°¨¬¥°:| �¥°­® «¨, ·²® µ®²¿ ¡» ®¤­®¬³ ¨§ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¡®£ ²»°¥© ¤®±² «¨±¼

¤¢¥ ±¥°¥¡°¿­»¥ ¬®­¥²»?| � ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ ¬®­¥², ·¥¬ ³ �«�¥¸¨ �®¯®¢¨· ?| �±«¨ ¿ § ¡¥°³ ®¤­³ ¨§ ²¢®¨µ ¬®­¥² ¨ ¤ ¬ ¢¬¥±²® ­¥�¥ §®«®²³¾, ²®

±² ­¥² «¨ ³ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ? (� ¬¥²¼²¥, ·²® ¢ ½²®¬ ¢®¯°®±¥ ­¥ ³¯®-¬¿­³²» ¬®­¥²», ¤®±² ¢¸¨¥±¿ ¤¢³¬ ¤°³£¨¬ ¡®£ ²»°¿¬!)

298. �²³ § ¤ ·³ ³¤®¡­® °¥¸ ²¼, ¯°¨¬¥­¿¿ ¤¢®¨·­³¾ ±¨±²¥¬³ ±·¨±«¥-­¨¿.

� ¯°¨¢»·­®©, ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿ «¾¡®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®¯°¥¤±² ¢¨¬® ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¢ ¢¨¤¥

ak � 10k + ak�1 � 10k�1 + : : :+ a1 � 101 + a0 � 100;£¤¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» a0 , a1 , : : : , ak ¬®£³² ¯°¨­¨¬ ²¼ «¾¡»¥ ¶¥«»¥ §­ ·¥-­¨¿ ®² 0 ¤® 9. � ¯°¨¬¥°,

3467 = 3000 + 400 + 60 + 7 = 3 � 103 + 4 � 102 + 6 � 101 + 7 � 100:�­ «®£¨·­®, ¢ ¤¢®¨·­®© ±¨±²¥¬¥ «¾¡®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¯°¥¤±² ¢¨-

¬® (¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬) ¢ ¢¨¤¥

bm � 2m + bm�1 � 2m�1 + : : :+ b1 � 21 + b0 � 20;£¤¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» b0 , b1 , : : : , bm ¬®£³² ¯°¨­¨¬ ²¼ §­ ·¥­¨¿ 0 ¨«¨ 1.

� ª, 467 = 256+211 = 256+128+83 = 256+128+64+19 = 256+128++64+16+2+1 = 1�28+1�27+1�26+0�25+1�24+0�23+0�22+1�21+1�20 , ¨«¨,±®ª° ¹�¥­­®, 467 = 1110100112 , £¤¥ ¤¢®©ª  ®¡®§­ · ¥² ®±­®¢ ­¨¥ ±¨±²¥¬»±·¨±«¥­¨¿.

�¾¡®¥ ·¨±«® ®² 1 ¤® 1023 ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¤¢®¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨-±«¥­¨¿ ª ª ¤¥±¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«® (¢®§¬®¦­®, ­ ·¨­ ¾¹¥¥±¿ ­  ­³«¼). � -

�)�®ª ¦¨²¥, ·²® ¢»¿±­¨²¼ ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ­¥¢®§¬®¦­®.

117

¯°¨¬¥°,1023 = 1111111111;1000 = 1111101000;513 = 1000000001;32 = 0000100000

�«¿ ¢»¿±­¥­¨¿ «¾¡®© ¶¨´°» (À¡¨² Á) ¤¢®¨·­®© § ¯¨±¨ ¤®±² ²®·­® § -¤ ²¼ ®¤¨­ ¢®¯°®±. � ¯°¨¬¥°, ¤«¿ ¢»¿±­¥­¨¿ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¤®±² ²®·­®±¯°®±¨²¼: À�¨±«® ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ 512?Á

� ª §  10 ¢®¯°®±®¢ ¬®¦­® ³§­ ²¼ ¢±¥ ¶¨´°» ¤¢®¨·­®© § ¯¨±¨ ·¨±« ,²® ¥±²¼ ± ¬® ·¨±«®. ��¥­¼¸¥£® ª®«¨·¥±²¢  ¢®¯°®±®¢ ­¥¤®±² ²®·­®, ¨¡® ¤«¿¤¥¢¿²¨ ¢®¯°®±®¢ ª®¬¡¨­ ¶¨© ®²¢¥²®¢ (²¨¯  À¤  { ­¥²Á) ¨¬¥¥²±¿ 29 = 512 ,·²® ­¥ ¯®§¢®«¿¥² ° ±¯®§­ ²¼ 1000 ·¨±¥«.

299. �¤¥±¼ ¤¥«¥­¨¥ ­¥ ¯®¯®« ¬,   ­  ²°¨, ¯® ¢®§¬®¦­®±²¨, ° ¢­»¥· ±²¨.¢) �¥°¢®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥: ª« ¤�¥¬ ­  · ¸¨ ¯® 27 ¬®­¥². � ±«³· ¥ ° ¢­®¢¥±¨¿´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  | ±°¥¤¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ 26. �±«¨ ¦¥ ®¤­  · ¸  «¥£·¥, ²®´ «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ «¥¦ ¹¨µ ­  ­¥©.

�²®°®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥: ª« ¤�¥¬ ­  ®¡¥ · ¸¨ ¯® 9 ¬®­¥² ¨§ ·¨±«  À¯®¤®-§°¥¢ ¥¬»µÁ, ¨ ² ª ¤ «¥¥.

� ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ¤«¿ n ¬®­¥², ¨±ª®¬®¥ ·¨±«® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© k ®¯°¥¤¥-«¿¥²±¿ ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢

3k�1 < n 6 3k:

� ¦¥²±¿ ®·¥¢¨¤­»¬, ·²® k ¥±²¼ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ·¨±«® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨©, ²®¥±²¼ ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ ±¯®±®¡¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ±¨²³ ¶¨¿ ¬®¦¥² ±«®¦¨²¼±¿ ² ª,·²® ¯®±«¥ k � 1 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ­¥ ¡³¤¥² ¢»¤¥«¥­ .

�®ª § ²¥«¼±²¢® ¬®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. �°¨ ª ¦¤®¬¢§¢¥¸¨¢ ­¨¨ ¬®­¥²» ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ­  ²°¨ £°³¯¯»: ¬®­¥²», ¯®¯ ¢¸¨¥ ­ «¥¢³¾ · ¸³, ¬®­¥²», ¯®¯ ¢¸¨¥ ­  ¯° ¢³¾ · ¸³, ¨, ­ ª®­¥¶, ¬®­¥²», ­¥¯®¯ ¢¸¨¥ ­¨ ­  ª ª³¾ · ¸³. �±«¨ ­  · ¸¨ ¢¥±®¢ ¡»«® ¯®«®¦¥­® ° §-­®¥ ·¨±«® ¬®­¥², ²® ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¯¥°¥²¿­³«  · ¸ª , £¤¥ ¬®­¥² ¡®«¼¸¥,´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¢ «¾¡®© ¨§ ½²¨µ ²°�¥µ £°³¯¯ ¨ ² ª®¥¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥ ¢®®¡¹¥ ­¥ ¤ ±² ­ ¬ ­¨ª ª¨µ ±¢¥¤¥­¨©. �±«¨ ¦¥ ­  · ¸ µ¡»«® ¯®°®¢­³ ¬®­¥², ²® «¨¡® ¢¥±» ³° ¢­®¢¥±¿²±¿ (½²® §­ ·¨², ·²® ´ «¼-¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ­¥ ¯®¯ «  ­  ¢¥±»), «¨¡® ®¤­  ¨§ · ¸ ¯¥°¥²¿­¥² (´ «¼¸¨¢ ¿¬®­¥²  | ­  ¡®«¥¥ «¥£ª®© · ¸¥).

�³±²¼ ¯®±«¥ ª ¦¤®£® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ª ¦¤»© ° § ®ª -§»¢ ¥²±¿ ¢ ²®© £°³¯¯¥, ª®²®° ¿ ±®¤¥°¦¨² ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¬®­¥². �®£¤ ¯°¨ ª ¦¤®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¨ ·¨±«® ¬®­¥² À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ ¬®­¥² ³¡»¢ ¥² ­¥¡®«¥¥ ·¥¬ ¢ ²°¨ ° § , ² ª ·²® ¯®±«¥ (k � 1) ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ®±² ­¥²±¿ ­¥¬¥­¥¥ ·¥¬ n

3k�1> 1 À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ ¬®­¥².

300. �¡®§­ ·¨¬ ª° ±­»¥ £¨°¨ ·¥°¥§ �1 ¨ �2 , ¦�¥«²»¥ |�1 ¨ �2 ,  §¥«�¥­»¥ | �1 ¨ �2 . �­ · «  ¯®«®¦¨¬ ­  «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ £¨°¨ �1 ¨�1 ,   ­  ¯° ¢³¾ | �2 ¨ �1 . � ±±¬®²°¨¬ ¤¢  ±«³· ¿:

118

� �¥±» ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. �®±ª®«¼ª³ ¨§ £¨°¼ �1 ¨ �2 ®¤­  «�¥£ª ¿,  ¤°³£ ¿ ²¿¦�¥« ¿, ²® ¥±²¼ ¤¢¥ ¢®§¬®¦­®±²¨: «¨¡® £¨°¨ �1 ¨ �1«�¥£ª¨¥,   £¨°¨ �1 ¨ �2 ²¿¦�¥«»¥; «¨¡® £¨°¨ �1 ¨ �1 ²¿¦�¥«»¥,  £¨°¨ �1 ¨ �2 «�¥£ª¨¥. �²®°»¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬ ±° ¢­¨¢ ¥¬ ª° ±­»¥£¨°¨.

� �¥±» ­¥ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. �³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«�¥­­®±²¨, ¯¥°¥¢¥±¨« «¥¢ ¿ · ¸ . �®£¤  ®¡¿§ ²¥«¼­® �1 ²¿¦�¥« ¿,   �2 «�¥£ª ¿. �±«¨ ¡»£¨°¿ �1 ¡»«  «�¥£ª ¿,   �1 ²¿¦�¥« ¿, ²® ¢¥±» ¡»«¨ ¡» ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨.�­ ·¨², ¥±²¼ ²°¨ ¢®§¬®¦­®±²¨: �1 ¨ �1 ®¡¥ «�¥£ª¨¥; �1 ²¿¦�¥« ¿,  �1 «�¥£ª ¿; ­ ª®­¥¶, ®¡¥ £¨°¨ �1 ¨ �1 | ²¿¦�¥«»¥.

� §«¨·¨²¼ ½²¨ ²°¨ ±«³· ¿ ®·¥­¼ ¯°®±²®: ¤®±² ²®·­® ­  «¥¢³¾ · ¸³¢¥±®¢ ¯®«®¦¨²¼ �1 ¨ �2 ,   ­  ¯° ¢³¾ | �1 ¨ �1 .

302.  ) �±«¨ ° ±¯¨«¨²¼ ²°¥²¼¥ §¢¥­®, ²® ¶¥¯®·ª  ° ±¯ ¤�¥²±¿ ­  ²°¨· ±²¨: 1, 2 ¨ 4 §¢¥­ . � ¨µ ¯®¬®¹¼¾ ³¤ ±²±¿ ° ±¯« ²¨²¼±¿: 1 = 1 , 2 = 2 ,3 = 2 + 1 , 4 = 4 , 5 = 4 + 1 , 6 = 4 + 2 , 7 = 1 + 2 + 4 .¡) �¥¸¨¬ § ¤ ·³ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ (n ¤­¥© ¨ n §¢¥­¼¥¢). � ¬¥²¨¬ ±­ · « ,·²® ¥±«¨ ³ ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª  ¨¬¥¥²±¿ ¶¥¯®·ª  ¨§ n = (k+1)2k+1�1 §¢¥­¼¥¢,²® ®­ ¬®¦¥² ° ±¯¨«¨²¼ k §¢¥­¼¥¢ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ª³±ª¨, ±®±²®¿¹¨¥±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¨§ (k + 1) , 2(k + 1) , 22(k + 1); : : : ; 2k(k + 1) §¢¥­¼¥¢.

� ±¯®« £ ¿ ½²¨¬¨ ª³±ª ¬¨ ¨ k ° ±¯¨«¥­­»¬¨ §¢¥­¼¿¬¨, ¯³²¥¸¥±²¢¥­-­¨ª ¬®¦¥² ° ±¯« ·¨¢ ²¼±¿ ± µ®§¿¨­®¬ ¢ ²¥·¥­¨¥ n ¤­¥©. �±«¨ ·¨±«® n§¢¥­¼¥¢ ¶¥¯®·ª¨ ­¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ n = (k + 1)2k+1 � 1 , ²® ­ ¤®° ±±¬®²°¥²¼ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® k ² ª®¥, ·²® n < (k + 1)2k+1 � 1 . �· ±²­®±²¨, ¥±«¨ n = 100 , ²® ¤®±² ²®·­® ° ±¯¨«¨²¼ k = 4 §¢¥­ . (� ª¨¥?)

303. � ­³¬¥°³¥¬ ¬¥¸ª¨ ·¨±« ¬¨ ®² 0 ¤® 9. �®§¼¬�¥¬ ¨§ ª ¦¤®£® ¬¥¸-ª  ±²®«¼ª® ¬®­¥², ª ª®¢ ¥£® ­®¬¥°. �±«¨ ¡» ¢±¥ ¬®­¥²» ¡»«¨ ­ ±²®¿¹¨¥,®­¨ ¢¥±¨«¨ ¡» 10+20+: : :+90 = 450 £. �§¡»²®ª ¢¥±  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­®¬¥°®¬¬¥¸ª , £¤¥ «¥¦ ² ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²».

�«¿ �­ ©ª¨. �®¦­® «¨ ®¡®©²¨±¼ ®¤­¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬, ¥±«¨ ª®«¨·¥-±²¢® ¬¥¸ª®¢ ± ´ «¼¸¨¢»¬¨ ¬®­¥² ¬¨ § ° ­¥¥ ­¥¨§¢¥±²­® ¨ ¬®¦¥² ®ª -§ ²¼±¿ «¾¡»¬, ®² 0 ¤® 10?�)

304. � ¯®¬®¹¼¾ ²°�¥µ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ° ±¯®«®¦¨¬ ¯® ¢¥±³ ²°¨ ¯ ª¥² (¢§¢¥¸¨¢ ¿ ª ¦¤³¾ ¯ °³), ¯®²®¬ ¯®«®¦¨¬ ­  ®¤­³ · ¸ª³ ¢¥±®¢ ®±² ¢¸¨©-±¿ (·¥²¢�¥°²»©) ¯ ª¥²,   ­  ¤°³£³¾ ²®² ¨§ ²p�¥µ, ª®²®°»© ¨¬¥¥² ±°¥¤­¨©¢¥±. �¿²»¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬ ±° ¢­¨¬ ¢¥± ·¥²¢�¥°²®£® ¯ ª¥²  «¨¡® ± ± ¬»¬²¿¦�¥«»¬, «¨¡® ± ± ¬»¬ «�¥£ª¨¬ ¨§ ²°�¥µ.

�)�«¿ ®²¢¥²  ­  ½²®² ¢®¯°®± ¯®«¥§­® §­ ²¼ ¤¢®¨·­³¾ ±¨±²¥¬³ ±·¨±«¥­¨¿¨«¨ µ®²¿ ¡» ¨¬¥²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ­  ±¢¥²¥ ¥±²¼ ·¨±«  1, 2, 4, 8,: : : � §³¬¥¥²±¿, ·¨±«® ¬®­¥² ¢ ¬¥¸ª¥ ¬®¦­® ±·¨² ²¼ ² ª¨¬ ¡®«¼¸¨¬, ª ª²®£® ¯®²°¥¡³¥² °¥¸¥­¨¥.

119

305. � ­³¬¥°³¥¬ ­ ¸¨ ¬®­¥²» ·¨±« ¬¨ ®² 1 ¤® 12. �­ · «  ¯®«®¦¨¬­  «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ ¬®­¥²» 1, 2, 3, 4,   ­  ¯° ¢³¾ | 5, 6, 7 ¨ 8. � ±±¬®²-°¨¬ ¤¢  ±«³· ¿:

� �¥±» ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. �­ ·¨², ´ «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ (c 9¯® 12) ¬®­¥². �²®² ±«³· © ¤®¢®«¼­® ¯°®±². �° ¢­¨¢ ¥¬ ¬®­¥²» 9¨ 10 ± 1 ¨ 2.

{ �±«¨ ° ¢­®¢¥±¨¥, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ 11 ¨«¨ 12. �  ®¤­® ¢§¢¥¸¨¢ -­¨¥ ®­  ­ µ®¤¨²±¿.

{ �±«¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ­¥², ²® ¥¹�¥ ¯°®¹¥. � «¼¸¨¢ ¿ | 9 ¨«¨ 10,¯°¨·�¥¬ ¨§¢¥±²­® ¤ ¦¥, «¥£·¥ ®­  ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ­ ±²®¿¹¥©.

� �¥¢ ¿ · ¸  «¥£·¥. � «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ ¢§¢¥¸¨¢ ¥¬»µ. �®«®¦¨¬ ­ «¥¢³¾ · ¸³ ¬®­¥²» 9, 10, 11 ¨ 4,   ­  ¯° ¢³¾ | 1, 2, 3 ¨ 8.

� §¡¥°�¥¬ ¢±¥ ²°¨ ±«³· ¿:

{ �¥¢ ¿ · ¸  ¯®-¯°¥¦­¥¬³ «¥£·¥. �®£¤  ´ «¼¸¨¢ ¿ ®¤­  ¨§¤¢³µ ¬®­¥²: 4 ¨«¨ 8 (¨µ ¯®«®¦¥­¨¥ ­¥ ¬¥­¿«®±¼). �«¿ ¥�¥ ®¡­ -°³¦¥­¨¿ ¤®±² ²®·­® ®¤­®£® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿.

{ �¥±» ³° ¢­®¢¥±¨«¨±¼. � «¼¸¨¢ ¿ ®¤­  ¨§ ¬®­¥² 5, 6, 7, ¯°¨-·�¥¬ ®­  ²¿¦¥«¥¥ ­ ±²®¿¹¥©. �±² «¼­®¥ ¯®­¿²­®.

{ �¥£·¥ ±² «  ¯° ¢ ¿ · ¸ . � «¼¸¨¢ ¿ ®¤­  ¨§ ¬®­¥² 1, 2, 3,¨ ®­  «¥£·¥.

� �°¥²¨© ±«³· © (ª®£¤  ¯°¨ ¯¥°¢®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¨ ¯¥°¥¢¥±¨«  «¥¢ ¿ · -¸ ) ¯® ±³²¨ ­¨·¥¬ ­¥ ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¢²®°®£®.

306. �ª±¯¥°² ¬®¦¥²

1) ¯®«®¦¨²¼ ­  «¥¢³¾ · ¸ª³ 1-¾ ¬®­¥²³, ­  ¯° ¢³¾ | 8-¾. �° ¢ ¿· ¸ª  ¯¥°¥¢¥±¨², ±³¤ ³¢¨¤¨², ·²® 1-¿ ¬®­¥²  ´ «¼¸¨¢ ¿,   8-¿ |­ ±²®¿¹ ¿.

2) ¯®«®¦¨²¼ ­  ¯° ¢³¾ · ¸ª³ 2-¾, 3-¾ ¨ 8-¾ ¬®­¥²», ­  «¥¢³¾ | 9-¾,10-¾ ¨ 1-¾. �¥¢ ¿ · ¸ª  ¯¥°¥¢¥±¨². �³¤ ³¡¥¤¨²±¿, ·²® 2-¿ ¨ 3-¿¬®­¥²» ´ «¼¸¨¢»¥,   9-¿ ¨ 10-¿ | ­ ±²®¿¹¨¥.

3) ¯®«®¦¨²¼ ­  «¥¢³¾ · ¸ª³ 4-¾, 5-¾, 6-¾, 7-¾, 8-¾, 9-¾ ¨ 10-¾ ¬®­¥²»,  ­  ¯° ¢³¾ | ®±² «¼­»¥. �° ¢ ¿ · ¸ª  ¯¥°¥¢¥±¨². �­ ·¨², ­ «¥¢®© · ¸ª¥ ´ «¼¸¨¢»µ ¬®­¥² ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ­  ¯° ¢®©, ². ¥. 4-¿, 5-¿,6-¿ ¨ 7-¿ ¬®­¥²» ´ «¼¸¨¢»¥,   11-¿, 12-¿, 13-¿ ¨ 14-¿ | ­ ±²®¿¹¨¥.

5 �®·­® ² ª ¦¥ ¯°®¢¥°ª  2k�1 ´ «¼¸¨¢»µ ¨ 2k�1 ­ ±²®¿¹¨µ ¬®­¥²¬®¦¥² ¡»²¼ ®±³¹¥±²¢«¥­  §  k ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ¯°¨ «¾¡®¬ k > 1 .

120

307. �®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¤¢  ±®®²­®¸¥­¨¿

x1 + x2 + x3 = x6;

x1 + x6 < x3 + x5;

ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¤«¿ ¯° ¢¨«¼­®±²¨ ­ ¤¯¨±¥©, £¤¥ ·¥°¥§ xk®¡®§­ ·¥­  ¬ ±±  £¨°¼ª¨ ± ­ ¤¯¨±¼¾ Àk £° ¬¬®¢Á.

308.  ) � §®¡¼�¥¬ ®²°¥§®ª ­  12 ° ¢­»µ · ±²¥©. �¢¥°µ³ ­ °¨±³¥¬ ¤³£¨,° §¡¨¢ ¾¹¨¥ ¥£® ­  3 ° ¢­»¥ ¤®«¨,   ±­¨§³ | ­  4. � °¥§³«¼² ²¥ ®²°¥§®ª° §¤¥«¨«±¿ ­  ª³±®·ª¨ ¤«¨­» 3, 1, 2, 2, 1 ¨ 3.

�«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯¨°®£ ¤®±² ²®·­® ° §°¥§ ²¼ ­  ¸¥±²¼ · ±²¥©: 14, 1

12,

16, 1

6, 1

12¨ 1

4.

�±«¨ ¦¥ ¯¨°®£ ° §¤¥«�¥­ ­  5 · ±²¥©, ²® ¯°¨ ° §¤¥«¥ À­  ²°®¨µÁ ª®¬³-²® ¤®±² ­¥²±¿ «¨¸¼ ®¤­  · ±²¼. �­  ¡³¤¥² ±®±² ¢«¿²¼ 1

3¯¨°®£ , ·²® ­¥

¯®§¢®«¨² ° §¤¥«¨²¼ ¥£® ­  ·¥²¢¥°»µ.¡) �³±²¼ ¯«®¹ ¤¼ ª¢ °²¨°» ° ¢­  12. �±­®, ·²® ¸¥±²¼ ª®¬­ ², ¯«®¹ ¤¨ª®²®°»µ ° ¢­» 3, 3, 2, 2, 1 ¨ 1, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³±«®¢¨¿¬ § ¤ ·¨.

�¿²¨ ª®¬­ ² ­¥¤®±² ²®·­®. � ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¯°¨ ° ±±¥«¥­¨¨ ²°�¥µ ±¥¬¥©¢ ¯¿²¨ ª®¬­ ² µ µ®²¿ ¡» ®¤­  ±¥¬¼¿ ¯®«³·¨² ²®«¼ª® ®¤­³ ª®¬­ ²³, ¨¯«®¹ ¤¼ ¥�¥ ¤®«¦­  ¡»²¼ 4. �°¨ ° §¬¥¹¥­¨¨ ·¥²»°�¥µ ±¥¬¥© ² , ª®²®°®©¤®±² ­¥²±¿ ½²  ª®¬­ ² , ¯®«³·¨² ±«¨¸ª®¬ ¡®«¼¸³¾ ¯«®¹ ¤¼.

309. �­ · «¥ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ ¡»«® ¢ 6 ° § ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ®²±³²±²¢³¾-¹¨µ, ². ¥. ®²±³²±²¢³¾¹¨¥ ±®±² ¢«¿«¨ 1=7 · ±²¼ ·¨±«  ¢±¥µ ³· ¹¨µ±¿. �®-±«¥ ¢»µ®¤  ®¤­®£® ³·¥­¨ª  ¨§ ª« ±±  ®²±³²±²¢³¾¹¨¥ ±®±² ¢¨«¨ 1=6 · ±²¼®² ®¡¹¥£® ·¨±«  ³· ¹¨µ±¿.

315. �  10 · ±®¢. 320. 3 · ±  45 ¬¨­³². 324. � 2,5 ° § . �±«¨¡» ¢±�¥ ¢°¥¬¿ ª®¯ «¨ ¢±¥ ²°®¥, ²® ®­¨ ¢»ª®¯ «¨ ¡» 1+3 �0; 5 = 2; 5 ª ­ ¢».340. �±¯®¬­¨²¥ ¯°¨§­ ª ¤¥«¨¬®±²¨ ­  9 ¨ § ¬¥²¼²¥, ·²® 100! ¤¥«¨²±¿­  9.

363. �®¯³±²¨¬, ·¨±«® 1 ­¥ ¯®ª° ¸¥­®. �±«¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¨§ ¯®ª° ¸¥­-­»µ ·¨±¥« ¤¢³§­ ·­®¥, ²® ¯¥°¢»© ¨§ ­¥¯®ª° ¸¥­­»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ±®±²®¨²¨§ ­¥·�¥²­®£® ·¨±«  ¶¨´°,   ¯®±«¥¤­¨© | ¨§ ·�¥²­®£® ·¨±«  ¶¨´°. �±«¨ ¦¥­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¨§ ¯®ª° ¸¥­­»µ ·¨±¥« ®¤­®§­ ·­®¥, ²® ¯¥°¢»© ¨§ ­¥¯®ª° -¸¥­­»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ±®±²®¨² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¨§ 8 ¶¨´°. �® ½²® ±«¨¸ª®¬¬ «®: ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 7 ¯®ª° ¸¥­­»µ ¶¨´° ¢¬¥±²¥ ± ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 8 � 4 = 32­¥¯®ª° ¸¥­­»¬¨ ¤ ¾² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 39 ¶¨´°,   ¤ ¦¥ ± ¬»© ª®°®²ª¨© ¬¥-±¿¶ (´¥¢° «¼) ¤ �¥² 47 ¶¨´°. � ®¡®¨µ ±«³· ¿µ ¯®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥.�­ ·¨², ·¨±«® 1 ¤®«¦­® ¡»²¼ ¯®ª° ¸¥­®.

369. 15317. �±«¨ ®²¡°®±¨²¼ ¤¢¥ ¯®±«¥¤­¨¥ ¶¨´°», ²® ®±² ¢¸¨¥±¿ ¶¨´-°» ¢ ±³¬¬¥ ¤ ¾² 9,   ·¨±«®, ¨§ ­¨µ ±®±² ¢«¥­­®¥, ¤¥«¨²±¿ ­  17. �»¯¨¸¥¬­¥±ª®«¼ª® ª° ²­»µ 17, ¯®ª  ­¥ ¯®«³·¨¬ ­³¦­³¾ ±³¬¬³ ¶¨´°: 17, 34, 51,68, 85, 102, 119, 136, 153.

371.  ) � ¯°¨¬¥°, 2 899 999 ¨ 2 900 000.

121

372. �¥². � ¯°¨¬¥°, ±°¥¤¨ ­®¬¥°®¢ ®² 000 001 ¤® 001 000 (¨«¨ ®²998 999 ¤® 999 998) ­¥² ±· ±²«¨¢»µ.

375. � ¦¤ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ­  1 ¶¥­²° «¼­®¥ ·¨±«®. �®¢­®­  1 ¢®§° ±² ¥² ¨ ±³¬¬  ·¨±¥« ³£«®¢»µ ª«¥²®ª.�) �® 18 6= 4 + 5 + 7 + 6 .

378. �®¦­®.381. �¥ ¢±¥£¤ . �±«¨ ¢»¯¨«¨²¼ 1, 5, 6 ¨ 8 §³¡¼¿, ²® ¯°¨ «¾¡®¬ ¯®¢®-

°®²¥ ª ª¨¥-­¨¡³¤¼ ¤¢¥ ¤»°ª¨ ±®¢¬¥±²¿²±¿.384. 1, 3, 9 ¨ 27.388. �­ · «  ¢¥§¤¥ ¯®±² ¢¼²¥ §­ ª + . �®«³·¨²¥ ±³¬¬³ 1 + 2 + 3 +

+ : : : + 19 + 20 = 210 . � ²¥¬ ±®®¡° §¨²¥, ·²® ¯®±² ¢¨²¼ §­ ª À� Á ¯¥°¥¤ª ª¨¬-«¨¡® ·¨±«®¬ a | ²® ¦¥ ± ¬®¥, ·²® ¢»·¥±²¼ ³¤¢®¥­­®¥ ·¨±«® a .�«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤®±² ²®·­® °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ 210 � 2x = 20 ¨ § ²¥¬ ¨§¨¬¥¾¹¨µ±¿ ·¨±¥« 2, 3, : : : , 19, 20 ±®±² ¢¨²¼ ·¨±«® x .

393. �²¢¥² ¤«¿ n ¤®¬®¢: ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ 2n� 1 § ¡®°®¢. � ± ¬®¬¤¥«¥, ¥±«¨ ¤®¬ ®¤¨­, ²® ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨­ § ¡®°, ·²® ±®®²-¢¥²±²¢³¥² ´®°¬³«¥ 2 � 1 � 1 = 1 . � «¼¸¥ ¯°¨¬¥­¨¬ ¨­¤³ª¶¨¾. �±«¨ ¤«¿k = 1 , 2, : : : , n� 1 ¤®¬®¢ ´®°¬³«  2k� 1 ³¦¥ ¯°®¢¥°¥­ , ²® ° ±±¬®²°¨¬n ¤®¬®¢, ¢®ª°³£ ª®²®°»µ ¯®±²°®¥­® ¬ ª±¨¬ «¼­® ¢®§¬®¦­®¥ ª®«¨·¥±²¢®§ ¡®°®¢. � ª®©-²® ®¤¨­ § ¡®° ®£®° ¦¨¢ ¥² ¢±¥ ¤®¬ . �±«¨ ½²®² ¢­¥¸­¨©§ ¡®° ±­¥±²¨, ²® ± ¬»¬¨ ¢­¥¸­¨¬¨ ±² ­³² ­¥ª®²®°»¥ ¤¢  § ¡®° . �³±²¼¢­³²°¨ ®¤­®£® ¨§ ­¨µ ¡³¤¥² k ¤®¬®¢,   ¢­³²°¨ ¤°³£®£® | ®±² «¼­»¥ n�� k ¤®¬®¢. � ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨­¤³ª¶¨¨ ¢®ª°³£ k ¤®¬®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼¯®±²°®¥­® ­¥ ¡®«¼¸¥ 2k � 1 § ¡®°®¢,   ¢®ª°³£ ®±² «¼­»µ n� k ¤®¬®¢ |­¥ ¡®«¼¸¥, 2(n�k)� 1 § ¡®°®¢. �­ ·¨², ¢±¥£® § ¡®°®¢ ­¥ ¡®«¥¥ (2k� 1)++ (2(n� k)� 1) + 1 = 2n� 1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.

396. �¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ f(n) ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® · ±²¥©, ­  ª®²®°»¥ n¯°¿¬»µ ¬®£³² ° §¡¨²¼ ¯«®±ª®±²¼. �®°¨±®¢ ¢, ¬®¦­® § ¯®«­¨²¼ ² ¡«¨¶³

n 1 2 3 4 5 6 7 8

f(n) 2 4 7 11 16 22 29 37

¨ ®¡­ °³¦¨²¼ § ª®­®¬¥°­®±²¼ f(n+1) = f(n)+n . � ¬ ®±² «®±¼ ¤®ª § ²¼½²³ § ª®­®¬¥°­®±²¼ ¨ ¢»¢¥±²¨ ¨§ ­¥�¥ ¿¢­³¾ ´®°¬³«³

f(n) =n(n+ 1)

2+ 1:

403. � §®¢�¥¬ ®¤­³ ¨§ ²®·¥ª ª®°­¥¬. �®¯®±² ¢¨¬ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼-­»µ ¢¥°¸¨­ ¯®±«¥¤­¨© ®²°¥§®ª (¥¤¨­±²¢¥­­®£® ¯® ³±«®¢¨¾) ¯³²¨, ¢¥¤³-¹¥£® ¢ ½²³ ²®·ª³ ¨§ ª®°­¿. �²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ N � 1 ¢¥°¸¨­ ¬¨

�)�­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±²®¿¹¥¥ ¢ ³£«®¢®© ª«¥²ª¥ ·¨±«® ¯®ª §»¢ ¥², ±ª®«¼ª®° § ¡»«  ¯°®¨§¢¥¤¥­  ®¯¥° ¶¨¿ ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ª¢ ¤° ²®¬ 2� 2 .

122

¨ ®²°¥§ª ¬¨ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥. �²®¡» ±¤¥« ²¼ ½²® ®·¥¢¨¤­»¬, ³¤®¡-­® ° ±±² ¢¨²¼ ­  ®²°¥§ª µ ±²°¥«ª¨, ¢¥¤³¹¨¥ ®² ª®°­¿: ¢ ª ¦¤³¾ ²®·ª³,ª°®¬¥ ¢¥°¸¨­», ¢¥¤�¥² ®¤­  ±²°¥«ª .

� ¤ ·³ ¬®¦­® °¥¸¨²¼ ² ª¦¥ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨: ³¤ «¿¿ «¾¡®© «¨±²y) ¤¥°¥-¢ z), ¬» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ³¤ «¿¥¬ ®¤­® °¥¡°®. (�²°®£® £®¢®°¿, ­ ¤® ¥¹�¥¤®ª § ²¼, ·²® ¤¥°¥¢¼¥¢ ¡¥§ «¨±²¼¥¢ ­¥ ¡»¢ ¥². �«¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬£° ´, ¢ ª®²®°®¬ ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» ¨±µ®¤¨² ­¥ ¬¥­¥¥ 2 °�¥¡¥°. �§ ¥£®¢¥°¸¨­» A1 ¯°®©¤�¥¬ ¯® °¥¡°³ ¢ A2 . �§ A2 ¢»µ®¤¨² ¡®«¥¥ ®¤­®£® °¥¡° ,¯®½²®¬³ ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¢ ¢¥°¸¨­³ A3 6= A1 , ¨§ ­¥�¥ | ¢ A4 , : : : �®±ª®«¼ª³·¨±«® ¢¥°¸¨­ £° ´  ª®­¥·­®, ° ­® ¨«¨ ¯®§¤­® ®¡° §³¥²±¿ ¶¨ª«.)

405. 63 ±¯¨·ª¨. 409. � «¼¶» ¡³¤³² ¯®¢²®°¿²¼±¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ 8,¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥­¨¿ 2001 ­  8. �¥°¢»¬¨¤�¥² ³ª § ²¥«¼­»© ¯ «¥¶.

423. � ±±¬®²°¨²¥ ·¨±«  1, a , a2 , : : : , am . �®±ª®«¼ª³ ®±² ²ª®¢ ®²¤¥«¥­¨¿ ­  m ¢±¥£® «¨¸¼ m , ²® ª ª¨¥-²® ¤¢  ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ·¨±¥«¤ ¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ®±² ²ª¨ ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  m . � §­®±²¼ ½²¨µ ·¨±¥« ¤¥«¨²±¿­  m .

426. �°®¨§¢¥¤�¥¬ ±­ · «  ° §¡¨¥­¨¥ ¯°®¨§¢®«¼­»¬ ®¡° §®¬. �±«¨ ¢ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯ « ²¥ ³ ¯ °« ¬¥­² °¨¿ A ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ¢° £®¢, ²® ·¨±-«® ¥£® ¢° £®¢ ¢ ¤°³£®© ¯ « ²¥ ­¥ ¡®«¼¸¥ 1. �®½²®¬³ ¯®±«¥ ¯¥°¥¬¥¹¥­¨¿A ¢ ¤°³£³¾ ¯ « ²³ ±³¬¬ °­®¥ ·¨±«® ¯ ° ¢° £®¢ ¢­³²°¨ ¯ « ² ³¬¥­¼¸¨²-±¿. � ª¨¥ ¯¥°¥¬¥¹¥­¨¿ ¯°®¤®«¦¨¬ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ²°¥¡³¥¬®¥ ³±«®¢¨¥ ­¥¢»¯®«­¨²±¿.

427. �°¨ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ­¨¨ «¾¡®© ®±®¡®© ²®·ª¨ ·¨±«® ®²°¥§ª®¢ ± ° §-­®¶¢¥²­»¬¨ ª®­¶ ¬¨ ³¬¥­¼¸ ¥²±¿ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  1.

429. �°¨ ¢»¯®«­¥­¨¨ ®¯¥° ¶¨© ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢±¥µ ­ ¯¨± ­­»µ ­  ¤®±-ª¥ ·¨±¥« ®±² �¥²±¿ ­¥¨§¬¥­­»¬,   ±³¬¬  ¬®¦¥² ²®«¼ª® ³¢¥«¨·¨¢ ²¼±¿.

430. �®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ± ¬ ¿ ª®°®²ª ¿ ¨§ ½²¨µ µ®°¤ | ­¥ ¤¨ ¬¥²°,²® ®­  ­¥ ¬®¦¥² ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ ­¨ª ª®© ¤°³£®© ¨§ ½²¨µ µ®°¤.

433. 2 � 5 = 10 .434. �¥«³¾ « ¤¼¾ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª. �¥§ ¢¨-

±¨¬® ®² ±¢®¥£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿ ®­  ¡¼�¥² 15 ¯®«¥© (¢ª«¾· ¿ ¯®«¥, ­  ª®²®°®¬®­  ±²®¨²). �®½²®¬³ ®±² �¥²±¿ 49 ¯®«¥©, ­  ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ·�¥°-­³¾ « ¤¼¾. � ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 64 � 49 = 3136 ° §­»µ ±¯®±®¡®¢.

435. �¥«®£® ª®°®«¿ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  «¾¡®¥ ¨§ 64 ¯®«¥©. �¤­ ª®ª®«¨·¥±²¢® ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ®­ ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² ¡¨²¼, § ¢¨±¨² ®² ¥£® ° ±¯®-«®¦¥­¨¿. �®½²®¬³ ° §¡¥°�¥¬ ²°¨ ±«³· ¿:

y)�¨±² | ½²® ¢¥°¸¨­ , ¨§ ª®²®°®© ¨±µ®¤¨² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¡°®.z)�¥°¥¢® | ½²® ±¢¿§­»© £° ´ ¡¥§ ¶¨ª«®¢, ²® ¥±²¼ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ®² «¾-

¡®© ¢¥°¸¨­» ¬®¦­® ¤®©²¨, ¤¢¨£ ¿±¼ ¯® °�¥¡° ¬, ¤® «¾¡®© ¤°³£®© ¢¥°¸¨­»,¯°¨·�¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬, ¥±«¨ ­¨ ° §³ ­¥ ¢®§¢° ¹ ²¼±¿ ­ § ¤.

123

� ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¢ ³£«³ (³£«®¢ ¢±¥£® 4), ²® ®­ ¡¼�¥² 4 ¯®«¿(¢ª«¾· ¿ ²®, ­  ª®²®°®¬ ±²®¨²) ¨ ®±² �¥²±¿ 60 ¯®«¥©, ­  ª®²®°»¥¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ·�¥°­®£® ª®°®«¿;

� ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ­  ª° ¾ ¤®±ª¨, ­® ­¥ ¢ ³£«³ (² ª¨µ ¯®«¥© |24), ²® ®­ ¡¼�¥² 6 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·�¥°­®£® ª®°®«¿ ®±² �¥²±¿ 58 ¢®§¬®¦­»µ¯®«¥©;

� ¥±«¨ ¦¥ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ­¥ ­  ª° ¾ ¤®±ª¨ (² ª¨µ ¯®«¥© | 36),²® ®­ ¡¼�¥² 9 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·�¥°­®£® ª®°®«¿ ®±² �¥²±¿ 55 ¢®§¬®¦­»µ¯®«¥©.

� ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 4 � 60 + 24 � 58 + 36 � 55 = 3612 ±¯®±®¡®¢.441. �¥°¥©¤�¥¬ ª ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¬ ±®¡»²¨¿¬: ±¢¥² ¡»« ¢ª«¾·¥­ 20%

¢°¥¬¥­¨, ¬³§»ª  ¬®«· «  10%,   ¤®¦¤¼ ­¥ ¸�¥« 50% ¢°¥¬¥­¨, ² ª ·²® ¤®-¯®«­¨²¥«¼­»¥ ±®¡»²¨¿ ­¥ ¬®£«¨ § ­¿²¼ ¡®«¥¥ 20+10+50 = 80% ¢°¥¬¥­¨.�«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬³§»ª  ¯®¤ ¤®¦¤�¥¬ ¢ ²¥¬­®²¥ §¢³· «  ­¥ ¬¥­¼¸¥ 100 �� 80 = 20% ¢°¥¬¥­¨.

443. �®¡ ¢¼²¥ ª ²¥¬ ¨ ¤°³£¨¬ ·¨±« , ª° ²­»¥ ¨ 8, ¨ 9. �±² ­¥²-±¿ ±° ¢­¨²¼ ª®«¨·¥±²¢® ·¨±¥«, ª° ²­»µ 8

��19938

�= 249

�, ± ª®«¨·¥±²¢®¬

·¨±¥«, ª° ²­»µ 9��

19939

�= 221

�.

445. �®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¢±²°¥· ¾²±¿²®«¼ª® ­¥·�¥²­»¥ ¶¨´°», ° ¢­® 56 = 15 625 . �±¥£® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«900 000. �®½²®¬³ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼µ®²¿ ¡» ®¤­  ·�¥²­ ¿ ¶¨´° , ° ¢­® 900 000 � 15 625 = 884 375 .

449. 10. �»¯¨¸¥¬ ¢±¥ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿: 9876543210. �²®¡»¯®«³·¨²¼ ¤¥¢¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ­³¦­® ³¡° ²¼ ®¤­³ ¶¨´°³. �²® ¬®¦­®±¤¥« ²¼ 10 ±¯®±®¡ ¬¨.

453. 50%.454. �®±² ²®·­® ¨§¢«¥·¼ ¸ ° ¨§ ³°­» �� . �±«¨ ®­ ¡¥«»©, ²® ¢ ­¥©

¡¥«»¥ ¸ °»,   ·�¥°­»¥ ¸ °» | ¢ ³°­¥ �� . �±«¨ ®­ ·�¥°­»©, ²® ¢ ³°­¥

�� ·�¥°­»¥,   ¢ ³°­¥ �� ¡¥«»¥ ¸ °».456. �®£³². � ¯°¨¬¥°, 9-¿ ¬¥²ª  ®¤­®£® ¨ 13-¿ ¤°³£®£® ­ µ®¤¿²±¿

¤°³£ ®² ¤°³£  ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1 ±¬, ¨¡® 13 � 25 � 9 � 36 = 1 .457. �®«¬¨­³²» ¯®¥§¤ ¤¢¨¦¥²±¿ ¬¨¬® ±²®«¡ , §­ ·¨², ¯®«¬¨­³²»

¯®¥§¤ À±º¥§¦ ¥²Á ± ¬®±² , ². ¥. ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼­  ¬®±² ¤® ¬®¬¥­² , ª®£¤  ®­ ­ · « ±º¥§¦ ²¼ ± ­¥£®, ¯°®¸«® ¯®«¬¨­³-²». �² ª, §  1=2 ¬¨­³²» ¯®¥§¤ ¯°®¸�¥« 450 ¬, ®²ª³¤  ±ª®°®±²¼ ° ¢­ 450 : (1=2) = 900 ¬/¬¨­ = 54 ª¬/· . �¬­®¦ ¿ ±ª®°®±²¼ ­  1/2 ¬¨­³²»,­ µ®¤¨¬ ¤«¨­³ ¯®¥§¤ . �²¢¥²: 54 ª¬/·; 500 ¬.

460. �«¨¬¯¨ ¤  � °¯®¢­  ¢»¯¨«  11 · ¸¥ª, �®±¨¯ ²°  �¨²®¢­  |9, �®«¨ª±¥­  �¢ °®¢­  | 7.

482. 203 = 7 � 29 � 1 � : : : � 1 (¢±¥£® 203� 7� 29 = 167 ¥¤¨­¨¶).

124

1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13

14 15 16 17 18 19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

487. �®±¬®²°¨²¥ ­  °¨±³­®ª.492. � ±±¬®²°¨²¥ ®²°¥§ª¨ ¤«¨­ 1,

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ¨ 512 (¨«¨ 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ¨ 55).

493. � ±±¬®²°¨²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼-­®±²¼

a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b

¨ § ¯¨¸¨²¥ ­¥° ¢¥­±²¢  a+ b+ c > 0 ,7a+ 7b+ 6c < 0 . �°¨¬¥°: a+ b = �7 ,c = 8 .

495. 49, ¨¡® ª ¦¤»© ¡®© ³¬¥­¼¸ -¥² ª®«¨·¥±²¢® ³· ±²­¨ª®¢ ­  1.

495 0 . � ­ · «¥ ¡»« ®¤¨­ ª³±®ª, ¢ ª®­¶¥ ±² «® 5 � 8 = 40 . � ¦¤»©° §«®¬ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ª®«¨·¥±²¢® ª³±ª®¢ ­  1. �²¢¥²: 40� 1 = 39 .

496. �±«¨ ° §¡®©­¨ª¨ ¤¥«¨«¨ x °³¡«¥©, ²® ¯¥°¢®¬³ ¤®±² «®±¼ 100 ++ x�100

10,   ¢²®°®¬³

200 +x� 200� (100 + x�100

10)

10:

�°¨° ¢­¿¢ ½²¨ ¤®«¨, ­ ©¤�¥¬ x = 8100 , ®²ª³¤  100 + (x� 100)=10 = 900 .�° ³£ ® © ± ¯ ® ± ® ¡ ¬¥­¥¥ ±² ­¤ °²¥­, ­® ¡»±²°¥¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ¶¥«¨ ¨

®·¥­¼ ª° ±¨¢. (�¥ §°¿ ½²³ § ¤ ·³ ¯°¨¯¨±»¢ ¾² �¥®­ °¤³ �©«¥°³!) � ·-­�¥¬ ± ª®­¶ : n -© ° §¡®©­¨ª ¯®«³·¨« 100n °³¡«¥©. �°¥¤¯®±«¥¤­¨© ¯®«³·¨«100(n � 1) ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª , ² ª ·²® À®±² ²®ªÁ | 1000 °³¡«¥©.�­ ·¨², ¯®±«¥¤­¨© ¯®«³·¨« 900 °³¡«¥©, n = 9 .

498. � §¡¨¢ ª¢ ¤° ² ­  n2 ª¢ ¤° ²¨ª®¢, ¢¨¤¨¬, ·²® ¢ ­¥£® ¬®¦­®¢¯¨± ²¼ n2 ­¥ ­ «¥£ ¾¹¨µ ¤°³£ ­  ¤°³£  ª°³£®¢ ° ¤¨³±  1

2n. �¥° ¢¥­±²¢®

n2 � 12n

= n2> 1101 ¢»¯®«­¥­®, ­ ¯°¨¬¥°, ¯°¨ n > 2202 .

500. �® ®§¥°³ ¡»±²°¥¥. �³±²¼ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤  ° ¢­  v , ±ª®°®±²¼²¥·¥­¨¿ u . �±«¨ v 6 u , ¯ °®µ®¤ ¢®®¡¹¥ ­¥ ¢»¯«»¢¥² ¯°®²¨¢ ²¥·¥­¨¿;¥±«¨ ¦¥ v > u > 0 , ²® ¢±�¥ ¤¥«® ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥

s

u+ v+

s

v � u >2s

v:

501. 35 ±³²®ª. �¡®§­ ·¨¬ ¡³ª¢®© s ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ �¨¦­¨¬ �®¢-£®°®¤®¬ ¨ �±²° µ ­¼¾,   ¡³ª¢ ¬¨ v ¨ u | ±ª®°®±²¼ ²¥·¥­¨¿ °¥ª¨ ¨±®¡±²¢¥­­³¾ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤  (²® ¥±²¼ ±ª®°®±²¼, ± ª ª®© ¤¢¨£ «±¿ ¡» ®­¢ ®§¥°¥). �®£¤  �

s = 5(v + u);

s = 7(v � u):

125

�¬­®¦¨¢ ¯¥°¢®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ­  7,   ¢²®°®¥ ­  5 ¨ ¢»·²¿ ¨§ ¯¥°¢®£® ¢²®°®¥,¯®«³·¨¬

7s� 5s = 35(v + u)� 35(v � u);®²ª³¤  2s = 70u , ²® ¥±²¼ s = 35u .

502. �±«¨ 7 ¹³ª ­ ±»²¿²±¿ (±º¥¢ ª ¦¤ ¿ ¯® 3 £®«®¤­»¥ ¹³ª¨), ²®®±² ­³²±¿ ¥¹�¥ 2 £®«®¤­»¥, ª®²®°»¥ ±¬®£³² ­ ±»²¨²¼±¿ (±º¥¢ ª ¦¤ ¿ ¯®3 ¹³ª¨, ª®²®°»¥ ²®«¼ª® ·²® ­ ±»²¨«¨±¼). � ª¨¬ ®¡° §®¬ 7 + 2 = 9 ¹³ª¬®£³² ­ ±»²¨²¼±¿. �±«¨ ¦¥ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ­ ±»²¨«¨±¼ 10 ¹³ª, ²®¢±¥£® ®ª ¦¥²±¿ ±º¥¤¥­® ­¥ ¬¥­¥¥ 30 ¹³ª, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®.

506. �±«¨ ¡» ª ¬­¨ ³¢¥§«¨, ²® ­  ª ª³¾-²® ²°�¥µ²®­ª³ ¯®«®¦¨«¨ ¡» 8ª ¬­¥©. �® ¤ ¦¥ 8 ± ¬»µ «�¥£ª¨µ ª ¬­¥© ¢¥±¿² ¡®«¼¸¥ 3 ²®­­.

506. 5 ²°�¥µ²®­®ª. �®ª ¦¥¬ ±­ · « , ·²® 4 ²°�¥µ²®­®ª ¬®¦¥² ­¥ µ¢ -²¨²¼. �®§¼¬�¥¬ 13 ®¤¨­ ª®¢»µ ¿¹¨ª®¢ ¢¥±®¬ ¯® 10=13 ²®­­». �®£¤  ¢ ®¤­³²°�¥µ²®­ª³ ¬» ­¥ ±¬®¦¥¬ ¯®¬¥±²¨²¼ ¡®«¼¸¥ ²°�¥µ ¿¹¨ª®¢,   ¢ ·¥²»°¥ |¡®«¼¸¥ 12 ¿¹¨ª®¢.

�®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® 5 ²°�¥µ²®­®ª ¢±¥£¤  µ¢ ² ¥². �¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ª ¦¤³¾ ²°�¥µ²®­ª³ ¬» ¬®¦¥¬ ¯®£°³§¨²¼ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ²®­­ £°³§  (¥±«¨¯®£°³¦¥­® ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ²®­­, ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨²¼ ¥¹�¥ ¿¹¨ª). �®£¤  ¢ 5 ²°�¥µ-²®­®ª ¬®¦­® ¯®£°³§¨²¼ ­¥ ¬¥­¼¸¥ 10 ²®­­.

508. �¢¥ ®±² «¼­»¥ ±³¬¬» ° ¢­» 12 ¨ 16,   ± ¬¨ ·¨±«  ° ¢­» «¨¡®(�1) , 2, 6 ¨ 10, «¨¡® (�3=2) , 5=2 , 13=2 ¨ 19=2 .

509. � ±±¬®²°¨²¥ ±²®¿¹¥£® ¢ ®¤­®© ¸¥°¥­£¥ ± ± ¬»¬ ­¨§ª¨¬ ¨§ ¢»-±®ª¨µ ¨ ¢ ®¤­®¬ °¿¤³ ± ± ¬»¬ ¢»±®ª¨¬ ¨§ ­¨§ª¨µ.

511 0 . � ½²®© ¨£°¥ ¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼ ¯¥°¢»©, ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ° §¬¥°®¢±²®« ! �¥¤¼ ®­ ¬®¦¥² ¯¥°¢»¬ µ®¤®¬ ¯®«®¦¨²¼ ¯¿² ª ² ª, ·²®¡» ¶¥­-²°» ¯¿² ª  ¨ ±²®«  ±®¢¯ «¨. �®±«¥ ½²®£® ­  ª ¦¤»© µ®¤ ¢²®°®£® ¨£°®ª ®­ ¬®¦¥² ®²¢¥· ²¼ ±¨¬¬¥²°¨·­® ®²­®±¨²¥«¼­® ¶¥­²°  ±²®« . �°¨ ² ª®©±²° ²¥£¨¨ ¯®±«¥ ª ¦¤®£® µ®¤  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¯®§¨¶¨¿ ±² ­®¢¨²±¿ ±¨¬-¬¥²°¨·­®©,   ¢²®°®© ¢±�¥ ¢°¥¬¿ ­ °³¸ ¥² ½²³ ±¨¬¬¥²°¨¾. �®½²®¬³ ¥±«¨¢®§¬®¦¥­ ®·¥°¥¤­®© µ®¤ ¢²®°®£® ¨£°®ª , ²® ¢®§¬®¦¥­ ¨ ±¨¬¬¥²°¨·­»©¥¬³ ®²¢¥²­»© µ®¤ ¯¥°¢®£®.

514. 2100010006.515.

�¨´°  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

¢±²°¥· ¥²±¿ 1 7 3 2 1 1 1 2 1 1 ° §.

¨«¨

�¨´°  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

¢±²°¥· ¥²±¿ 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1 ° §.

�®¤¥°¦ ­¨¥

�°¥¤¨±«®¢¨¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

� ª °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

�¡®§­ ·¥­¨¿ ¨ ±®¢¥²» ·¨² ²¥«¾ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

�­ ª®¬±²¢® : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

�¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶  ®² ª³°¨¶»? : : : : : : : : : : : : : : : : : :9

�¥°¥¯° ¢» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :10

�¥°¥ª« ¤»¢ ­¨¿ ±¯¨·¥ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12

�¡° ²­»© µ®¤ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13

� ±±² ­®¢ª¨ ±ª®¡®ª ¨ §­ ª®¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :14

�³²ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15

�¡¥¦ «¨ ¶¨´°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

� §°¥§ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18

�±¿ª ¿ ¯ «ª  ® ¤¢³µ ª®­¶ µ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

�¢¥­ ¤¶ ²¼ ±²³«¼¥¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21

�±²­»© ±·�¥² : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22

�®§° ±²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

�ª®«¼ª® ­ ¤® ¢§¿²¼? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :26

�®­ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

��¥²­®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30

�®£¨ª  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32

�®«¯³²¨ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :34

�³° ¶ª¨¥ ¢®¯°®±» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :35

�¥°¥«¨¢ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

�°®¶¥­²»: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :39

�­¨£  ±²®¨² °³¡«¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

�®±±² ­®¢¨²¥ ¯³²¼ ª®­¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

127

�³¬¬  ¨ ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ : : : : : : : : : : : : : : : : 44

�®±² ¢«¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :46

�°¨­¶¨¯ �¨°¨µ«¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48

�¡µ®¤» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

�¨­£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

�§¢¥¸¨¢ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

�®¢¬¥±²­ ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±²­ ¿ ° ¡®²  : : : : : : : : : 56

�¥«¨¬®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59

�£°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

�¥¡³±» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :64

�°¨¬¥°» ¨ ª®­±²°³ª¶¨¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68

�­¤³ª¶¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70

�¥°¥¢¼¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :72

�¥°¨®¤¨·­®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74

�° ©­®±²¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :76

�®¬¡¨­ ²®°¨ª  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :77

� ° ¤®ª±» ¨ ±®´¨§¬» �) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85

�¥±² ¯®  °¨´¬¥²¨ª¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93

À�» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á �) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105

�²¢¥²», ³ª § ­¨¿, °¥¸¥­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109

�)�²¨ ¤¢¥ £« ¢ª¨ ­ ¯¨± ­» ­  ®±­®¢¥ ±² ²¥© �.�. � ¡ ·­¨ª®¢  ¢ ¦³°-­ «¥ À�¢ ­²Á (­®¬¥° 6 §  1989 £®¤ ¨ ­®¬¥° 6 §  1990 £®¤).

128