คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

65
รรรรรร รรรรรร 1.รรรรรรรรรรรรรรรร 2.รรรรรรรรรรรรรรรร รรรรรรรรรรรรรรรรรรร 3.รรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรร 4.รรรรรรรร รรรรรรรรร 1.ร.ร.รรรรรรร รรรรรรรรรร รรรรรร 1 2.ร.ร.รรรรรรร รรรรรรรรร รรรรรร 4 3.ร.ร.รรรรรรรร รรรรร รรรรรร 13 4.ร.ร.รรรรรรรรรร รรรรรร รรรรรร 19 5.ร.ร.รรรรรรรร รรรรรรรร รรรรรร 33 6.ร.ร.รรรรรรร รรรรรรรร รรร รรร 34 รรรรรรรรรรรรรรร 2/2 รรรร รรรรรรร รรรรรร รรรรรรรรรรร รรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรรร

Upload: krookay2012

Post on 25-Jun-2015

252 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

รายงานเร��อง 1.ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส 2.ความร� �เบ��องต้�นเก��ยวก�บ

จำ�านวนจำร�ง 3.การประย"กต้#ขิ�งสมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยว 4.เส�นขินาน

จำ�ดีท�าโดีย 1.ดี.ชิ.เกร�กพีล ศร�สว�สดี�* เลขิท�� 1 2.ดี.ชิ.ณั�ฐว"ฒิ� ทองเอ��ยม เลขิท�� 4

3.ดี.ชิ.ย"ทธพีงษ# ก�นหะ เลขิท�� 13 4.ดี.ญ.กาญจำนร�ต้น# กองค�า เลขิท�� 19

5.ดี.ญ.ป1ยาภรณั# ว�ส"วงค# เลขิท�� 33 6.ดี.ญ.พี�ณัณั�ต้า ส�หะวงค# เลขิท�� 34

ม�ธยมศ3กษาป4ท�� 2/2

เสนออาจำารย# กฤษต้ยชิ ทองธรรมชิาต้�

โรงเร�ยนม�ธยมว�ดีธาต้"ทอง

Page 2: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ค�าน�า

รายงานเล5มน��เป6นส5วนหน3�งขิองว�ชิาคณั�ต้ศาสต้ร# ซึ่3�งผู้��จำ�ดีท�าไดี�น�าเสนอเก��ยวก�บเร��อง 1.ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส 2.ความร� �เบ��องต้�นเก��ยวก�บจำ�านวนจำร�ง 3.การประย"กต้#ขิองสมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยว 4.เส�นขินานเพี��อจำะน�าไปใชิ�ในชิ�ว�ต้ประจำ�าว�น ผู้��จำ�ดีท�าหว�งว5ารายงานเล5มน��จำะเป6นประโยชิน#แก5ท5านผู้��อ5านไดี�บ�างไม5มากก;น�อยหากผู้�ดีพีลาดีประการใดีจำ3งขิออภ�ยไว� ณั ท��น��  

คณัะผู้��จำ�ดีท�า

Page 3: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

พี�ทาโกรั�ส

Page 4: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ทฤษฎี�บทพี�ทาโกรั�ส

Page 5: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ทฤษฎี�บทพี�ทาโกรั�ส: ผลรัวมของพี��นท��ของส��เหล��ยมสองรั�ปบนด้ านปรัะชิ#ด้ม$มฉาก (a และ b) จะเท(าก�บพี��นท��ของส��เหล��ยมบนด้ านตรังข ามม$มฉาก (c)

ในว#ชิาคณิ#ตศาสตรั. ทฤษฎี�บทพี�ทาโกรั�ส แสด้งความส�มพี�นธ์.ในเรัขาคณิ#ตแบบย$คล#ด้ รัะหว(างด้ านท��งสามของสามเหล��ยมม$มฉาก ก0าล�งสองของด้ านตรังข ามม$มฉากเท(าก�บผลรัวมของก0าล�งสองของอ�กสองด้ านท��เหล�อ ในแง(ของพี��นท�� กล(าวไว ด้�งน��

Page 6: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ในสามเหล��ยมม"มฉากใดี ๆ พี��นท��ขิองส��เหล��ยมท��ม�ดี�านเป6นดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก เท5าก�บผู้ลรวมพี��นท��ขิองส��เหล��ยมท��ม�ดี�านเป6นดี�านประชิ�ดีม"มฉากขิองสามเหล��ยมม"มฉากน��น

ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวสามารถเขิ�ยนเป6นสมการส�มพี�นธ#ก�บความยาวขิองดี�าน a, b และ c ไดี� ซึ่3�งม�กเร�ยกว5า สมการพี�ทาโกร�ส ดี�งดี�านล5าง

โดียท�� c เป6นความยาวดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก และ a และ b เป6นความยาวขิองอ�กสองดี�านท��เหล�อ

Page 7: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สต้��งต้ามชิ��อน�กคณั�ต้ศาสต้ร#ชิาวกร�ก พี�ทาโกร�ส ซึ่3�งถ�อว5าเป6นผู้��ค�นพีบทฤษฎี�บทและการพี�ส�จำน# แม�จำะม�การแย�งบ5อยคร��งว5า ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวม�มาก5อนหน�าเขิาแล�ว ม�หล�กฐานว5าน�กคณั�ต้ศาสต้ร#ชิาวบาบ�โลนเขิ�าใจำสมการดี�งกล5าว แม�ว5าจำะม�หล�กฐานหลงเหล�ออย�5น�อยมากว5าพีวกเขิาปร�บให�ม�นพีอดี�ก�บกรอบคณั�ต้ศาสต้ร#

Page 8: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวเก��ยวขิ�องก�บท��งพี��นท��และความยาว ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวสามารถสร"ปไดี�หลายว�ธ� รวมท��งปร�ภ�ม�ม�ต้�ท��ส�งขิ3�น ไปจำนถ3งปร�ภ�ม�ท��ม�ใชิ5แบบย�คล�ดี ไปจำนถ3งว�ต้ถ"ท��ไม5ใชิ5สามเหล��ยมม"มฉาก และอ�นท��จำร�งแล�ว ไปจำนถ3งว�ต้ถ"ท��ไม5ใชิ5สามเหล��ยมเลยก;ม� แต้5เป6นทรงต้�น n ม�ต้� ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สดี3งดี�ดีความสนใจำจำากนอกคณั�ต้ศาสต้ร#เป6นส�ญล�กษณั#ขิองความยากจำะเขิ�าใจำในคณั�ต้ศาสต้ร# ความขิล�งหร�อพีล�งป@ญญา ม�การอ�างถ3งในว�ฒินธรรมสม�ยน�ยมมากมายท��งในวรรณักรรม ละคร ละครเพีลง เพีลง สแต้มปAและการ#ต้�น

Page 9: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ต้ามท��ไดี�กล5าวไปแล�วขิ�างต้�น หาก c แทนความยาวดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก และ a และ b แทนความยาวขิองอ�กสองดี�านท��เหล�อแล�ว ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สจำะสามารถเขิ�ยนในร�ปสมการพี�ทาโกร�สไดี�ดี�งน��

Page 10: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ถ�าทราบความยาวขิองท��ง A และ B ค5า C จำะสามารถค�านวณัไดี�ดี�งน��

ถ�าทราบความยาวดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก C และดี�านประชิ�ดีม"มฉากดี�านใดีดี�านหน3�ง (Aหร�อ B) แล�ว ความยาวดี�านท��เหล�อสามารถค�านวณัไดี�ดี�งน��

หร�อ

Page 11: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สก�าหนดีความส�มพี�นธ#

ขิองดี�านท��งสามขิองสามเหล��ยมม"มฉากอย5างง5าย เพี��อท��ว5าถ�าทราบความยาวขิองดี�านสองดี�าน ก;จำะสามารถหาความยาวขิองดี�านท��เหล�อไดี� อ�กบทแทรกหน3�งขิองทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สค�อ ในสามเหล��ยมม"มฉากใดี ๆ ดี�านต้รงขิ�ามม"มฉากจำะยาวกว5าสองดี�านท��เหล�อ แต้5ส��นกว5าผู้ลรวมขิองท��งสอง

Page 12: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวสามารถกล5าวโดียสร"ปไดี�เป6นกฎีขิองโคซึ่ายน# ซึ่3�งเม��อให�ความยาวขิองดี�านท��งสองและขินาดีขิองม"มระหว5างดี�านน��นมา จำะสามารถค�านวณัหาความยาวดี�านท��สามขิองสามเหล��ยมใดี ๆ ไดี� ถ�าม"มระหว5างดี�านเป6นม"มฉาก กฎีขิองโคซึ่ายน#จำะย5อลงเหล�อทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส

Page 13: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

การัพี#ส�จน.

ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สอาจำเป6นทฤษฎี�บทท��ร� �จำ�กก�นว5าม�การพี�ส�จำน#มากกว5าทฤษฎี�บทอ��น หน�งส�อ The Pythagorean Proposition ม�การพี�ส�จำน#มากถ3ง 370 แบบ

Page 14: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ภาพีเคล��อนไหวแสดีงการพี�ส�จำน#ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส

Page 15: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

การพี�ส�จำน#โดียการจำ�ดีเร�ยงร�ปสามเหล��ยมใหม5

Page 16: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

การพี�ส�จำน#โดียการจำ�ดีเร�ยงพี��นท��

Page 17: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

บทกล�บของทฤษฎี�บทป2ทาโกรั�ส

บทกล�บขิองทฤษฎี�บทป4ทาโกร�สน��นเป6นจำร�ง โดียกล5าวไว�ดี�งน��

ก�าหนดี a, b และ c เป6นจำ�านวนจำร�งบวกท�� a2 + b2 =

c2 จำะม�สามเหล��ยมม"มฉากหน3�งร�ปท��ม�ความยาวดี�านเท5าก�บสามจำ�านวนน��น และสามเหล��ยมน��นจำะม�ม"มฉากระหว5างดี�าน a และ b

ชิ"ดีขิองสามจำ�านวนน��เร�ยกว5า สามส��งอ�นดี�บพี�ทาโกร�ส อ�กขิ�อความหน3�งกล5าวว5า

ส�าหร�บสามเหล��ยมใดี ๆ ท��ม�ดี�าน a, b และ c ถ�า a2 + b2 = c2 แล�วม"มระหว5าง a ก�บ b จำะว�ดีไดี� 90°

บทกล�บน��ย�งปรากฏอย�5ในหน�งส�อ Euclid's Elements ขิอง ย"คล�ดีดี�วย

Page 18: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ถ�าในสามเหล��ยมร�ปหน3�ง ส��เหล��ยมบนดี�านหน3�งเท5าก�บผู้ลรวมขิองส��เหล��ยมบนอ�กสองดี�านท��เหล�อขิองสามเหล��ยมแล�ว แล�วม"มท��รองร�บดี�านท��งสองท��เหล�อขิองสามเหล��ยมน��นจำะเป6นม"มฉาก

บทกล�บน��สามารถพี�ส�จำน#ไดี�โดียใชิ� กฎีขิองโคไซึ่น# หร�อต้ามการพี�ส�จำน#ดี�งต้5อไปน��

Page 19: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ก�าหนดีสามเหล��ยม ABC ม�ดี�านสามดี�านท��ม�ความยาว a,b และ c และ a2 + b2 = c2 เราจำะต้�องพี�ส�จำน#ว5าม"มระหว5าง a และ b เป6นม"มฉาก ดี�งน��น เราจำะสร�างสามเหล��ยมม"มฉากท��ม�ความยาวขิองดี�านประกอบม"มฉาก เป6น a และ b แต้5จำากทฤษฎี�บทป4ทาโกร�ส เราจำะไดี�ว5าดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก ขิองสามเหล��ยมร�ปท��สองก;จำะม�ค5าเท5าก�บ c เน��องจำากสามเหล��ยมท��งสองร�ปม�ความยาวดี�านเท5าก�นท"กดี�าน สามเหล��ยมท��งสองร�ปจำ3งเท5าก�นท"กประการแบบ "ดี�าน-ดี�าน-

ดี�าน" และต้�องม�ม"มขินาดีเท5าก�นท"กม"ม ดี�งน��นม"มท��ดี�าน a และ b มาประกอบก�น จำ3งต้�องเป6นม"มฉากดี�วย

Page 20: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

จำากบทพี�ส�จำน#ขิองบทกล�บขิองทฤษฎี�บทป4ทาโกร�ส เราสามารถน�าไปหาว5าร�ปสามเหล��ยมใดี ๆ เป6นสามเหล��ยมม"มแหลม, ม"มฉาก หร�อ ม"มปCาน ไดี� เม��อก�าหนดีให� c เป6นความยาวขิองดี�านท��ยาวท��ส"ดีในร�ปสามเหล��ยม

Page 21: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

•ถ้ า a2 + b2 = c2 สามเหล��ยมน��นจะเป4นสามเหล��ยมม$มฉาก

•ถ้ า a2 + b2 < c2 สามเหล��ยมน��นจะเป4นสามเหล��ยมม$มแหลม

•ถ้ า a2 + b2 > c2 สามเหล��ยมน��นจะเป4นสามเหล��ยมม$มป5าน

Page 22: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

  จ0านวนตรัรักยะ           น�กเรั�ยนเคยทรัาบมาแล วว(าจ0านวน  เชิ(น  0, 1, 5, -7, , , และ เป4นจ0านวนท��สามารัถ้เข�ยนให อย�(ในรั�ป   เม��อ A และ B เป4นจ0านวนเต7มท�� ในทางคณิ#ตศาสตรั.เรั�ยกจ0านวนเหล(าน��ว(า  จ0านวนตรัรักยะ          น�กเรั�ยนย�งทรัาบอ�กว(า  เศษส(วนใด้ๆ เม��อ A เป4นจ0านวนเต7ม และ B เป4นจ0านวนเต7มท��ไม(เท(าก�บศ�นย.  สามารัถ้เข�ยนให อย�(ในรั�ปทศน#ยมได้  โด้ยการัน0าต�วส(วนไปหารัต�วเศษด้�งต�วอย(างต(อไปน��

1.

ดี�งน��น

Page 23: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

2.

ดี�งน��น

Page 24: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

โดียว�ธ�ดี�งกล5าว เราสามารถเขิ�ยนเศษส5วนต้5อไปน��ให�อย�5ในร�ปทศน�ยมไดี�ดี�งน��1. หร�อ

2. หร�อ

3. หร�อ -

4. หร�อ

5. หร�อ         ทศน�ยมท��ไดี�จำากขิ�อ 1 ถ3งขิ�อ 5  เร�ยกว5า ทศน�ยมซึ่��า  เราสามารถจำ�ดีทศน�ยมซึ่��าเป6นสองกล"5ม ดี�งน��1.  ทศน�ยมซึ่��าศ�นย#  เชิ5น      และ     ในกล"5มน��ไม5น�ยมเขิ�ยนต้�วซึ่��าศ�นย# เชิ5น

เขิ�ยนเป6น

เขิ�ยนเป6น

Page 25: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

- เขิ�ยนเป6น -2.  ทศน�ยมท��ไม5ใชิ5ทศน�ยมซึ่��าศ�นย#  เชิ5น , - , - และ  

ในทางกล�บก�น  เราสามารถเขิ�ยนทศน�ยมซึ่��าให�อย�5ในร�ปเศษส5วนไดี�  ซึ่3�งน�กเร�ยนเคยเขิ�ยนทศน�ยมซึ่��าศ�นย#ให�อย�5ในร�ปเศษส5วนมาแล�ว  เชิ5น

1.

2.

Page 26: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

  ต้�วอย5างการค�านวณั จำงเขิ�ยน     ให�อย�5ในร�ปเศษส5วนว�ธ�ท�า          ให�                                   ดี�งน��น              - - - - - - - - (1)

                  ค�ณัท��งสองขิ�างขิองสมการ  (1)  ดี�วย  10

                  จำะไดี�                                หร�อ              - - - - - - - - (2)

หมายเหต้"   เม��อค�ณัทศน�ยมดี�วย  10  จำ"ดีทศน�ยมจำะเล��อนไปทางขิวาหน3�งต้�าแหน5ง สมการ (2)  ลบดี�วยสมการ (1)   - - - - - - - - - -ใชิ�สมบ�ต้�การเท5าก�น                   จำะไดี�                                        

                   

ดี�งน��น                               น��นค�อ              หร�อ

ต้อบ

Page 27: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

จำงเขิ�ยน    ให�อย�5ในร�ปเศษส5วนว�ธ�ท�า          ให�                                   ดี�งน��น               - - - - - - - - (1)

                  ค�ณัท��งสองขิ�างขิองสมการ  (1)  ดี�วย  1000

                  จำะไดี�                       หร�อ      - - - - - - - - (2)

หมายเหต้"   เม��อค�ณัทศน�ยมดี�วย  1000  จำ"ดีทศน�ยมจำะเล��อนไปทางขิวาสามต้�าแหน5ง                  ค�ณัท��งสองขิ�างขิองสมการ  (1)  ดี�วย  10

                  จำะไดี�                          หร�อ         - - - - - - - - (3)

หมายเหต้"   เม��อค�ณัทศน�ยมดี�วย  10  จำ"ดีทศน�ยมจำะเล��อนไปทางขิวาหน3�งต้�าแหน5ง สมการ (2)  ลบดี�วยสมการ (3)   - - - - - - - - - -ใชิ�สมบ�ต้�การเท5าก�น                  จำะไดี�                                             

                   ดี�งน��น                                        น��นค�อ                  ต้อบ  

Page 28: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

 

แผู้นผู้�งจำ�านวนต้รรกยะ น�กเร�ยนไดี�เห;นแล�วว5า  จำ�านวนต้รรกยะ  หมายถ3ง  จำ�านวนชิน�ดี

ต้5างๆ ดี�งแผู้นผู้�งต้5อไปน�� 

แผู้นผู้�งขิองจำ�านวนต้รรกยะ   

Page 29: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

จำ�านวนอต้รรกยะ           ถ3งแม�ว5าจำ�านวนเต้;ม  เศษส5วน  และทศน�ยมซึ่��า  จำะม�ประโยชิน#และสามารถน�าไปใชิ�ไดี�อย5างกว�างขิวาง แต้5ก;ย�งม�ป@ญหาหร�อสถานการณั#บางอย5างท��ไม5สามารถใชิ�จำ�านวนดี�งกล5าวแทนปร�มาณัท��ต้�องการส��อไดี�  ดี�งเชิ5น สถานการณั#ต้5อไปน��          โรงเร�ยนแห5งหน3�งต้�องการท�าสวนหย5อมหน�าโรงเร�ยนเป6นร�ปส��เหล��ยมจำ�ต้"ร�ส  โดียให�ม�พี��นท��ขินาดี  2  ต้ารางวา  สวนหย5อมน��จำะต้�องม�ดี�านแต้5ละดี�านยาวเท5าไร          น�กเร�ยนทราบแล�วว5าพี��นท��ขิองร�ปส��เหล��ยมจำ�ต้"ร�สเท5าก�บผู้ลค�ณัขิองความยาวขิองดี�าน  เม��อให�  แทนความยาวขิองดี�าน  จำ3งไดี�ว5า

          ดี�งน��น  การหาความยาวขิองดี�าน  จำ3งเป6นการหาจำ�านวนท��ยกก�าล�งสองแล�วไดี�  2  โดียเร��มจำากการลองแทนค5า     ดี�วยจำ�านวนเต้;มบวก  ดี�งน��

          จำากต้ารางจำะไดี�ว5า    ม�ค5าอย�5ระหว5าง  1  ก�บ  2  

1 2

1 4

Page 30: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เพี��อหาค5า เป6นทศน�ยมหน3�งต้�าแหน5ง  จำ3งแบ5งชิ5วงระหว5าง  1  ก�บ  2  ออกเป6นส�บส5วนเท5าๆ ก�น  แล�วพี�จำารณัาว5า     ควรม�ค5าเท5าใดี  โดียลองแทนค5า    ดี�วยทศน�ยมหน3�งต้�าแหน5งท��อย�5ระหว5าง  1  และ  2  ดี�งน��

จำากต้ารางจำะไดี�ว5า     ม�ค5าระหว5าง  1.4  ก�บ  1.5

เพี��อหาค5า    เป6นทศน�ยมสองต้�าแหน5ง  จำ3งแบ5งชิ5วงระหว5าง  1.4 และ  1.5  ออกเป6นส�บส5วนเท5าๆ ก�น  แล�วพี�จำารณัาว5า    ควรจำะม�ค5าเท5าใดี  โดียลองแทนค5า   ดี�วยทศน�ยมสองต้�าแหน5งท��อย�5ระหว5าง  1.4 และ 1.5  ดี�งน��

จำากต้าราง  จำะไดี�ว5า      ม�ค5าอย�5ระหว5าง  1.41 ก�บ  1.42            

1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.21 1.44 1.69 1.96 2.25

1.41 1.42 1.431.9881 2.0164 2.0449

Page 31: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เพี��อหาค5า    เป6นทศน�ยมต้�าแหน5งถ�ดีๆ ไป  จำ3งท�าในท�านองเดี�ยวก�น  ดี�งต้ารางต้5อไปน��

จำากต้าราง  จำะไดี�ว5า     ม�ค5าอย�5ระหว5าง  1.414  ก�บ  1.415

จำากต้าราง  จำะไดี�ว5า      ม�ค5าอย�5ระหว5าง  1.4142 ก�บ  1.4143

จำากต้าราง  จำะไดี�ว5า     ม�ค5าอย�5ระหว5าง  1.41421  ก�บ  1.41422

1.411 1.412 1.413 1.414 1.4151.99092

11.99374

41.99656

91.99939

62.00222

5

1.4141 1.4142 1.41431.99967881 1.99996164 2.00024449

1.41421 1.414221.9999899241 2.0000182048

Page 32: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ถ�าหาค5า   ต้5อไปเร��อยๆ จำะพีบว5า  ค5าท��ไดี�น��นเป6นทศน�ยมท��ต้5อไปไดี�โดียไม5ส��นส"ดี  ซึ่3�งอาจำใชิ�เคร��องค�านวณัค�ดีไดี�    เป6นทศน�ยมหลายต้�าแหน5ง  ดี�งน��1.414213562373095048801688724209...

เม��อไม5สามารถแทน   ไดี�ดี�วยเศษส5วนหร�อทศน�ยมซึ่��า  จำ3งจำ�าเป6นต้�องแทน     ดี�วยจำ�านวนชิน�ดีใหม5โดียใชิ�เคร��องหมายเกณัฑ์#   ดี�งน��นจำ3งเขิ�ยนส�ญล�กษณั#     แทนจำ�านวนบวกท��ยกก�าล�งสองแล�วไดี�  2

น��นค�อ  จำากป@ญหาการท�าสวนหย5อมขิ�างต้�น  จำะไดี�ค�าต้อบว5าสวนหย5อมน��ม�ดี�านแต้5ละดี�านยาว     วา

เป6นต้�วอย5างขิองจำ�านวนท��ไม5สามารถเขิ�ยนแทนไดี�ดี�วยทศน�ยมซึ่��า  จำ3งไม5สามารถเขิ�ยนแทนไดี�ดี�วยเศษส5วน    จำ3งไม5ใชิ5จำ�านวนต้รรกยะ  แต้5เป6นต้�วอย5างขิองจำ�านวนอต้รรกยะ

Page 33: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ต้�วอย5างขิองจำ�านวนอต้รรกยะ  เชิ5น1) 1.234567891011121314

2) 3.4323223222...

3) 16.79779777977779...

4) -4.399339933399...

อ�กต้�วอย5างหน3�งขิองจำ�านวนอต้รรกยะ  ค�อ     ซึ่3�งม�ค5าเท5าก�บ 3.141592653589793238462...         ค�อ  อ�ต้ราส5วนขิองความยาวขิองเส�นรอบวงขิองวงกลมต้5อความยาวขิองเส�นผู้5านศ�นย#กลางขิองวงกลม  เม��อน�กเร�ยนค�านวณัหาพี��นท��ขิองวงกลมโดียใชิ�ส�ต้ร     หร�อ ค�านวณัหาความยาวขิองเส�นรอบวงกลมโดียใชิ�ส�ต้ร     เม��อ    แทนร�ศม�ขิองวงกลม  ม�กใชิ�ค5าประมาณัขิอง  เป6น     หร�อ  3.1416  หร�อ  3.142  ซึ่3�งเป6นจำ�านวนต้รรกยะท��งหมดี

จำ�านวนท��เป6นจำ�านวนต้รรกยะหร�อจำ�านวนอต้รรกยะ เร�ยกว5า จำ�านวนจำร�ง

Page 34: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

รากท��สอง

          รากท��สองขิองจำ�านวนจำร�งบวกใดี ๆ ม�ท� �งรากท��สองท��เป6นบวก และรากท��สองท��เป6นลบ                          เป6นรากท��สองท��เป6นบวกขิอง  2                   -    เป6นรากท��สองท��เป6นลบขิอง   2         เน��องจำาก  

ถ�า     แล�วรากท��สองขิอง                             เป6นรากท��สองท��เป6นบวกขิอง                        -     เป6นรากท��สองท��เป6นลบขิอง                             เป6นรากท��สองท��เป6นบวกขิอง  1  เพีราะ                      -     เป6นรากท��สองท��เป6นลบขิอง  1    เพีราะ   พี�จำารณัา  รากท��สองขิอง  2                    รากท��  2  ค�อ     และ -                        และ - เป6นจำ�านวนอต้รรกยะ  ต้ามท��กล5าวมาแล�ว

Page 35: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

การหารากท��สอง เราสามารถหารากท��สองขิองจำ�านวนต้5างๆ ไดี�หลายว�ธ�  ใน

ท��น��จำะขิอกล5าวเฉพีาะการหารากท��สองโดียว�ธ�การแยกต้�วประกอบ  การประมาณั  และการเป1ดีต้ารางหารากท��สอง  ซึ่3�งเป6นต้ารางส�าเร;จำร�ปท��ม�ไว�ให�ในภาคผู้นวกท�ายเล5มหน�งส�อเร�ยนเร��องจำ�านวนจำร�ง

1.การแยกต้�วประกอบ การหารากท��สองโดียว�ธ�การแยกต้�วประกอบ  การแยก

ต้�วประกอบขิองจำ�านวนใดีๆ เป6นการเขิ�ยนจำ�านวนน��นในร�ปการค�ณัขิองจำ�านวนเฉพีาะ เชิ5น   เราจำะน�าความร� �เร��องการแยกต้�วประกอบมาใชิ�หารากท��สองขิองจำ�านวนไดี�  ดี�งน��ต้�วอย5างท��  1จำงหารากท��สองขิอง  900

ว�ธ�ท�า                                                            

                                     

                                     

          รากท��สองขิอง  900  เท5าก�บ     และ - -

Page 36: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ต้�วอย5างท��  2จำงหารากท��สองขิอง  784

ว�ธ�ท�า                                                            

                                     

                                     

          รากท��สองขิอง  784  เท5าก�บ  และ - -

ต้�วอย5างท��  3จำงหารากท��สองขิอง   ว�ธ�ท�า                            รากท��สองขิอง   เท5าก�บ                                          

                                       

Page 37: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

2.การประมาณั  การหารากท��สองโดียการประมาณั น�กเร�ยนเคยทราบมา

แล�วว5าในการหารากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มบวก  เม��อรากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มบวกน��น  ไม5เป6นจำ�านวนเต้;ม  ค5าท��ไดี�จำะเป6นจำ�านวนอต้รรกยะ  แต้5เพี��อความสะดีวกในการน�าไปใชิ�  จำ3งต้�องหาค5าประมาณัขิองจำ�านวนอต้รรกยะน��น

ในกรณั�ท��จำ�านวนท��ต้�องการหารากท��สองใกล�เค�ยงก�บจำ�านวนท��สามารถหารากท��สองไดี�โดียง5าย  ก;จำะประมาณัรากท��สองขิองจำ�านวนน��นดี�วยรากท��สองขิองจำ�านวนท��ใกล�เค�ยงน��น เชิ5น                    15  ใกล�เค�ยงก�บ  16  และ     ดี�งน��น                         10  ใกล�เค�ยงก�บ   9   และ       ดี�งน��น                      165 ใกล�เค�ยงก�บ 169 และ     ดี�งน��น  

การประมาณัขิ�างต้�น  เป6นการประมาณัหารากท��สองท��เป6นจำ�านวนอต้รรกยะดี�วยจำ�านวนเต้;ม  ถ�าต้�องการประมาณัเป6นทศน�ยม   น�กเร�ยนจำะไดี�แนวค�ดีจำากการท�าก�จำกรรมต้5อไปน��

Page 38: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

พี�จำารณัาการหารากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มจำากต้�วอย5างต้5อไปน��ต้�วอย5าง     การหาค5าประมาณัขิอง   ท�าไดี�ดี�งน��

1. เป6นจำ�านวนอต้รรกยะ  ซึ่3�งอย�5ระหว5างจำ�านวนเต้;มบวกสองจำ�านวนค�อ 3 และ 4 แสดีงไดี�ดี�งน��

2.จำากต้าราง  13  ม�ค5าใกล�เค�ยง  9  และ  16  พีอๆ ก�น แต้5ใกล�  16  มากกว5าเล;กน�อย จำ3งประมาณั เป6นทศน�ยมหน3�งต้�าแหน5ง  โดียเร��มจำาก  3.5  แสดีงไดี�ดี�งน��

3.จำากต้าราง  13  ม�ค5าใกล�เค�ยง  12.96  มากกว5า  13.69  จำ3งประมาณั  เป6นทศน�ยมสองต้�าแหน5ง  โดียเร��มจำาก  3.60 แสดีงไดี�ดี�งน��

3 49 13 16

3.5 3.6 3.712.25 12.96 13.00 13.69

3.60 3.61

12.960013.000013.032

1

Page 39: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

4.จำากต้าราง  13  ม�ค5าใกล�เค�ยง  12.9600  และ  13.0321 พีอๆ ก�น แต้5ใกล� 13.0321 มากกว5าเล;กน�อย  จำ3งประมาณั   เป6นทศน�ยมสามต้�าแหน5ง  โดียเร��มจำาก 3.605 แสดีงไดี�ดี�งน��

5.จำากต้าราง  13  ม�ค5าใกล�เค�ยง  13.003236  มากกว5า  12.996025  จำ3งไดี�ค5าประมาณั ขิอง เป6น  3.606

ดี�งน��น  ค5าประมาณัขิอง     เป6นทศน�ยมสองต้�าแหน5ง  ค�อ  3.61

3.605 3.606

12.996025 13.00000013.00323

6

Page 40: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

3.การเป1ดีต้าราง   ว�ธ�หารากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มบวกท��สะดีวกและรวดีเร;ว

กว5าว�ธ�การประมาณั  ค�อ  การเป1ดีต้าราง  น�กคณั�ต้ศาสต้ร#ไดี�สร�างต้ารางส�าเร;จำร�ปแสดีงรากท��สองท��เป6นบวกขิองจำ�านวนเต้;มบวกเพี��อความสะดีวกและรวดีเร;วในการน�าไปใชิ�หารากท��สองขิองจำ�านวนท"กจำ�านวนต้��งแต้5  1  ถ3ง  100  ในร�ปขิอง     ส�าหร�บค5าโดียประมาณัขิอง และ    รวมท��ง    ดี�วย  ต้ามต้ารางท��ก�าหนดีไว�ให�ในภาคผู้นวกท�ายเล5มหน�งส�อเร�ยนเร��องจำ�านวนจำร�ง  เชิ5น

10

11

12

13

14

15

16

3.162

3.317

3.464

3.606

3.742

3.873

4.000

100

121

144

169

196

225

256

10.000

1.331

1.728

2.197

2.744

3.375

4.096

0.1000

0.0909

0.0833

0.0769

0.0714

0.0667

0.0625

Page 41: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

บทท�� 3 การัปรัะย$กต.ของสมการัเชิ#งเส นต�วแปรัเด้�ยว

3.1 ทบทวนการัแก สมการัเชิ#งเส นต�วแปรัเด้�ยว น�กเร�ยนเคยทราบความหมายขิองสมการและสมบ�ต้�ขิองการเท5าก�นท��น�ามาใชิ�ในการหาค�าต้อบขิองสมการมาแล�ว ดี�งน��ความหมายของสมการั สมการ เป6นประโยคท��แสดีงการเท5าก�นขิองจำ�านวน โดียม�ส�ญล�กษณั# = บอกการเท5าก�นสมการอาจำม�ต้�วแปรหร�อไม5ม�ต้�วแปรก;ไดี� เชิ5น 3x + 2 = 59 เป6นสมการท��ม� x เป6นต้�วแปร และ 8 – 11 = -3 เป6นสมการท��ไม5ม�ต้�วแปร

Page 42: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

สมการซึ่3�งม� x เป6นต้�วแปรและม�ร�ปท��วไปเป6น ax + b = 0 เม��อ a, b เป6นค5าคงต้�ว และ a # 0 เร�ยกว5า สมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยว

สมบ�ต#ของการัเท(าก�น สมบ�ต#การัมาตรั

ถ�า a = b แล�ว b = a เม��อ a และ b แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ

เราอาศ�ยสมบ�ต้�สมมาต้รเขิ�ยนแสดีงการเท5าก�นขิองจำ�านวนไดี�สองแบบ ดี�งต้�วอย5าง

1. a + b = c หร�อ c = a = b2. x – 3 = 2x + 7 หร�อ 2x + 7 = x –

3

Page 43: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

สมบ�ต#ถ้(ายทอด้

ถ�า a = b และ b = c แล�ว a = c เม��อ a, b และ c แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ เราใชิ�สมบ�ต้�ถ5ายทอดี ดี�งต้5อไปน�� ถ�า x = 5 + 7 และ 5 + 7 = 12 แล�วจำะสร"ปไดี�ว5า x = 12 ถ�า x = -3y และ -3y = 0.5 แล�วจำะสร"ปไดี�ว5า x = 0.5

Page 44: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

น0า 3 มาบวกท��งสองข างของสมการั

น0า -7 มาบวกท��งสองข างของสมการัหรั�อ น0า 7 มาลบท��งสองข าของสมการั

สมบ�ต#การับวก ถ�า a = b แล�ว a + c = b + c เม��อ a, b และ c แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ เราใชิ�สมบ�ต้�ถ5ายทอดี ดี�งต้�วอย5าง

1 .ถ�า a = 5 แล�ว a + 3 = 5 + 3

2. ถ�า x + 7 = 2 แล�ว (x + 7) -7 = 2 - 7

Page 45: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

สมการัการัค�ณิ

น0า 3 มาค�ณิท��งสองข างของ

สมการั

ถ�า a =b แล�ว ca = cb เม��อ a, b และ c แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ เราใชิ�สมบ�ต้�การค�ณั ดี�งต้�วอย5าง1 . ถ�า m + 1 = 2n แล�ว 3(m + 1) = 3(2n) 2. ถ�า -3x = 15 แล�ว -3x = 15

น0า -1 มาค�ณิท��งสองข างของสมการั

หรั�อน0า -3 มาหารัท��งสองข างของสมการั

-3 -33

Page 46: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ต�วอย(างสมการัเชิ#งเส นต�วแปรัเด้�ยว 2x = 0 1x+ 3 = 0 8y – 11 = 9y + 7

ค0าตอบของสมการั ค0าตอบของสมการั ค�อ จำ�านวนท��แทนต้�วแปรในสมการแล�วท�าสมการเป6นจำร�ง ค0าตอบของสมการั ค�อ การหาค�าต้อบขิองสมการค�าต้อบขิองสมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยวจำะม�เพี�ยงค�าต้อบเดี�ยว เชิ5น 2x – 5 = 0 ต้อบ 2.5 -4y – 5 = 0 ต้อบ 0

2

Page 47: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

การแก�สมการ ต้�วอย5าง 15x + 9 = 69 ว�ธ�ท�า 15x + 9 = 69 น�า 9 มาลบท��งสองขิ�างขิองสมการ 15x + 9 – 9 = 69 – 9 15x = 60 น�า 15 มาหารท��งสองขิ�างขิองสมการ 15x – 15 = 60 – 15 X = 4

.

...

Page 48: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

สมการเชิ�งเส�น ต�วอย(างกรัาฟของสมการัเชิ#งเส น สมการัเชิ#งเส น ค�อสมการท��แต้5ละพีจำน#ม�เพี�ยงค5าคงต้�ว หร�อเป6นผู้ลค�ณัระหว5างค5าคงต้�วก�บต้�วแปรยกก�าล�งหน3�ง ซึ่3�งจำะม�ดี�กร�ขิองพีห"นามเท5าก�บ 0 หร�อ 1

สมการเหล5าน��เร�ยกว5า "เชิ�งเส�น" เน��องจำากสามารถวาดีกราฟขิองฟ@งก#ชิ�นบนระบบพี�ก�ดีคาร#ท�เซึ่�ยนไดี�เป6นเส�นต้รง ร�ปแบบท��วไปขิองสมการเชิ�งเส�นในต้�วแปร x และ y ค�อ

              

Page 50: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

              

โดียท�� m ค�อค5าคงต้�วท��แสดีงความชิ�นหร�อเกรเดี�ยนต้#ขิองเส�นต้รง และพีจำน# b แสดีงจำ"ดีท��เส�นต้รงน��ต้�ดีแกน y ส�าหร�บสมการท��ม�พีจำน# x2, y1/3, xy ฯลฯ ท��ม�ดี�กร�มากกว5าหน3�งไม5เร�ยกว5าเป6นสมการเชิ�งเส�น

Page 51: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

สมการัเหล(าน��ล วนเป4นสมการัเชิ#งเส น                                                                              

Page 52: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

รั�ปแบบของสมการัเชิ#งเส นในสองม#ต# สมการเชิ�งเส�นท��ซึ่�บซึ่�อน อย5างเชิ5นต้�วอย5างขิ�างบน สามารถเขิ�ยนใหม5โดียใชิ�กฎีเกณัฑ์#ขิองพี�ชิคณั�ต้ม�ลฐานให�อย�5ในร�ปแบบท��ง5ายขิ3�น ในส��งท��จำะอธ�บายต้5อไปน�� อ�กษรต้�วใหญ5ใชิ�แทนค5าคงต้�ว (ท��ไม5ระบ"จำ�านวน) ในขิณัะท�� x และ y ค�อต้�วแปร

Page 53: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

สมการัเชิ#งเส นท��มากกว(าสองต�วแปรัสมการเชิ�งเส�นสามารถม�ต้�วแปรไดี�มากกว5า 2 ต้�ว สมการเชิ�งเส�นท��วไปท��ม�จำ�านวนต้�วแปร n ต้�วสามารถเขิ�ยนไดี�ในร�ปแบบ

                                     ซึ่3�ง a1,a2,...,an เป6นส�มประส�ทธ�* x1,x2,...,xn ค�อต้�วแปร และ b ค�อค5าคงต้�ว เม��อเราต้�องการเขิ�ยนสมการต้�วแปรน�อยๆ เชิ5น 3 ต้�ว เราอาจำแทนท�� x1,x2,x3 ดี�วยชิ��อต้�วแปรอ��นๆ เชิ5น x,y,z ไดี�ต้ามต้�องการสมการดี�งกล5าวจำะเป6นการน�าเสนอระนาบเก�น n–1 ม�ต้� (hyperplane) ในปร�ภ�ม�แบบย"คล�ดี n ม�ต้� เชิ5นระนาบสองม�ต้�ในปร�ภ�ม�สามม�ต้� เป6นต้�น

Page 54: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

รั�ปแบบมาตรัฐาน                              

เม��อ A และ B ไม5เป6นศ�นย#พีร�อมก�น และท��ง A, B, C จำะต้�องเป6นจำ�านวนเต้;มท��ม�ต้�วหารร5วมมากเท5าก�บ 1 และม�กเขิ�ยนให� A

≥ 0 เพี��อความสะดีวกเชิ5นก�น ร�ปแบบมาต้รฐานน��สามารถแปลงให�เป6นร�ปแบบท��วไปไดี�ไม5ยากน�ก

Page 55: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

รั�ปแบบอ#งพีารัาม#เตอรั.                           

ร�ปแบบน��เป6นสมการหลายชิ��น (simultaneous

equations) สองสมการในพีจำน#ขิองต้�วแปรพีาราม�เต้อร# t ท��ม�ความชิ�น m = V/T โดียม�ระยะต้�ดีแกน x อย�5ท�� (VU−WT) / V และระยะต้�ดีแกน y อย�5ท�� (WT−VU) / Tสมการร�ปแบบน��ม�ความส�มพี�นธ#ก�บร�ปแบบจำ"ดีสองจำ"ดี เม��อ T = p−h, U = h, V = q−k, และ W = k จำะไดี�

                      ซึ่3�งในกรณั�น��ค5าขิอง t จำะแปรผู้�นต้��งแต้5 0 ท��จำ"ดี (h, k) ไปย�ง 1 ท��จำ"ดี (p, q) ค5าขิอง t ท��อย�5ระหว5าง 0 ก�บ 1 ท�าให�เก�ดีการประมาณัค5าในชิ5วง (interpolation)

ส5วนค5าอ��นขิอง t จำะท�าให�เก�ดีการประมาณัค5านอกชิ5วง (extrapolation)

Page 56: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เส นขนาน

Page 57: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์
Page 58: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เส นตรังสองเส นท��อย�(บนรัะนาบเด้�ยวก�น ขนาน ก�น ก7ต(อเม��อ เส นตรังท��งสองเส นน��นไม(ต�ด้ก�น

บทน#ยาม

Page 59: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

พี#จารัณิารั�ปต(อไปน��

รั�ปท��1

รั�ปท��2

Page 60: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

  ถ้ าเส นตรังสองเส นขนานก�น แล ว รัะยะห(างรัะหว(างเส นตรังค�(น��นจะเท(าก�นเสมอ

  และในทางกล�บก�น ถ้ า เส นตรังสองเส นม�รัะยะห(างรัะหว(าง เส นตรัง เท(าก�นเสมอ

แล วเส นตรังค�(น��นจะขนานก�น

Page 61: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เส นตรังสองเส นในแต(ละข อต(อไปน�� อย�(บนรัะนาบเด้�ยวก�น จง พี#จารัณิาว(า เส นตรังค�(ใด้ขนานก�น เพีรัาะเหต$ใด้

1) 2)

Page 62: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

ม$มภายในท��อย�(บนข าง เด้�ยวก�น ของเส นต�ด้

Page 63: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เรั�ยกเส นตรัง AB ว(าเส นต�ด้ AB เรั�ยก ม$ม X   และม$ม Y ว(าม$มภายในท��อย�(บนข าง

เด้�ยวก�นของเส นต�ด้ AB

Page 64: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

เม��อเส นตรังเส นหน<�ง ต�ด้เส นตรัง ค�(   หน<�ง เส นตรังค�(น��นขนานก�น ก7ต(อ  เม��อ ขนาด้ของม$มภายในท��อย�(บน ข าง

  เด้�ยวก�นของเส นต�ด้ รัวมก�นเท(า ก�บ 180 องศา

 เม��อเส นตรังเส นหน<�ง ต�ด้เส นตรัง ค�(หน<�ง เส นตรังค�(น��นขนานก�นก7ต(อเม��อขนาด้ของม$มภายใน

  ท��อย�(บน ข างเด้�ยวก�นของเส นต�ด้ รัวมก�นเท(า ก�บ 180 องศา

Page 65: คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์

จำบการน�าเสนอ