คณิตศาสตร์ 60 เฟรม กาญจนรัตน์
TRANSCRIPT
รายงานเร��อง 1.ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส 2.ความร� �เบ��องต้�นเก��ยวก�บ
จำ�านวนจำร�ง 3.การประย"กต้#ขิ�งสมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยว 4.เส�นขินาน
จำ�ดีท�าโดีย 1.ดี.ชิ.เกร�กพีล ศร�สว�สดี�* เลขิท�� 1 2.ดี.ชิ.ณั�ฐว"ฒิ� ทองเอ��ยม เลขิท�� 4
3.ดี.ชิ.ย"ทธพีงษ# ก�นหะ เลขิท�� 13 4.ดี.ญ.กาญจำนร�ต้น# กองค�า เลขิท�� 19
5.ดี.ญ.ป1ยาภรณั# ว�ส"วงค# เลขิท�� 33 6.ดี.ญ.พี�ณัณั�ต้า ส�หะวงค# เลขิท�� 34
ม�ธยมศ3กษาป4ท�� 2/2
เสนออาจำารย# กฤษต้ยชิ ทองธรรมชิาต้�
โรงเร�ยนม�ธยมว�ดีธาต้"ทอง
ค�าน�า
รายงานเล5มน��เป6นส5วนหน3�งขิองว�ชิาคณั�ต้ศาสต้ร# ซึ่3�งผู้��จำ�ดีท�าไดี�น�าเสนอเก��ยวก�บเร��อง 1.ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส 2.ความร� �เบ��องต้�นเก��ยวก�บจำ�านวนจำร�ง 3.การประย"กต้#ขิองสมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยว 4.เส�นขินานเพี��อจำะน�าไปใชิ�ในชิ�ว�ต้ประจำ�าว�น ผู้��จำ�ดีท�าหว�งว5ารายงานเล5มน��จำะเป6นประโยชิน#แก5ท5านผู้��อ5านไดี�บ�างไม5มากก;น�อยหากผู้�ดีพีลาดีประการใดีจำ3งขิออภ�ยไว� ณั ท��น��
คณัะผู้��จำ�ดีท�า
พี�ทาโกรั�ส
ทฤษฎี�บทพี�ทาโกรั�ส
ทฤษฎี�บทพี�ทาโกรั�ส: ผลรัวมของพี��นท��ของส��เหล��ยมสองรั�ปบนด้ านปรัะชิ#ด้ม$มฉาก (a และ b) จะเท(าก�บพี��นท��ของส��เหล��ยมบนด้ านตรังข ามม$มฉาก (c)
ในว#ชิาคณิ#ตศาสตรั. ทฤษฎี�บทพี�ทาโกรั�ส แสด้งความส�มพี�นธ์.ในเรัขาคณิ#ตแบบย$คล#ด้ รัะหว(างด้ านท��งสามของสามเหล��ยมม$มฉาก ก0าล�งสองของด้ านตรังข ามม$มฉากเท(าก�บผลรัวมของก0าล�งสองของอ�กสองด้ านท��เหล�อ ในแง(ของพี��นท�� กล(าวไว ด้�งน��
ในสามเหล��ยมม"มฉากใดี ๆ พี��นท��ขิองส��เหล��ยมท��ม�ดี�านเป6นดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก เท5าก�บผู้ลรวมพี��นท��ขิองส��เหล��ยมท��ม�ดี�านเป6นดี�านประชิ�ดีม"มฉากขิองสามเหล��ยมม"มฉากน��น
ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวสามารถเขิ�ยนเป6นสมการส�มพี�นธ#ก�บความยาวขิองดี�าน a, b และ c ไดี� ซึ่3�งม�กเร�ยกว5า สมการพี�ทาโกร�ส ดี�งดี�านล5าง
โดียท�� c เป6นความยาวดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก และ a และ b เป6นความยาวขิองอ�กสองดี�านท��เหล�อ
ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สต้��งต้ามชิ��อน�กคณั�ต้ศาสต้ร#ชิาวกร�ก พี�ทาโกร�ส ซึ่3�งถ�อว5าเป6นผู้��ค�นพีบทฤษฎี�บทและการพี�ส�จำน# แม�จำะม�การแย�งบ5อยคร��งว5า ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวม�มาก5อนหน�าเขิาแล�ว ม�หล�กฐานว5าน�กคณั�ต้ศาสต้ร#ชิาวบาบ�โลนเขิ�าใจำสมการดี�งกล5าว แม�ว5าจำะม�หล�กฐานหลงเหล�ออย�5น�อยมากว5าพีวกเขิาปร�บให�ม�นพีอดี�ก�บกรอบคณั�ต้ศาสต้ร#
ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวเก��ยวขิ�องก�บท��งพี��นท��และความยาว ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวสามารถสร"ปไดี�หลายว�ธ� รวมท��งปร�ภ�ม�ม�ต้�ท��ส�งขิ3�น ไปจำนถ3งปร�ภ�ม�ท��ม�ใชิ5แบบย�คล�ดี ไปจำนถ3งว�ต้ถ"ท��ไม5ใชิ5สามเหล��ยมม"มฉาก และอ�นท��จำร�งแล�ว ไปจำนถ3งว�ต้ถ"ท��ไม5ใชิ5สามเหล��ยมเลยก;ม� แต้5เป6นทรงต้�น n ม�ต้� ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สดี3งดี�ดีความสนใจำจำากนอกคณั�ต้ศาสต้ร#เป6นส�ญล�กษณั#ขิองความยากจำะเขิ�าใจำในคณั�ต้ศาสต้ร# ความขิล�งหร�อพีล�งป@ญญา ม�การอ�างถ3งในว�ฒินธรรมสม�ยน�ยมมากมายท��งในวรรณักรรม ละคร ละครเพีลง เพีลง สแต้มปAและการ#ต้�น
ต้ามท��ไดี�กล5าวไปแล�วขิ�างต้�น หาก c แทนความยาวดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก และ a และ b แทนความยาวขิองอ�กสองดี�านท��เหล�อแล�ว ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สจำะสามารถเขิ�ยนในร�ปสมการพี�ทาโกร�สไดี�ดี�งน��
ถ�าทราบความยาวขิองท��ง A และ B ค5า C จำะสามารถค�านวณัไดี�ดี�งน��
ถ�าทราบความยาวดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก C และดี�านประชิ�ดีม"มฉากดี�านใดีดี�านหน3�ง (Aหร�อ B) แล�ว ความยาวดี�านท��เหล�อสามารถค�านวณัไดี�ดี�งน��
หร�อ
ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สก�าหนดีความส�มพี�นธ#
ขิองดี�านท��งสามขิองสามเหล��ยมม"มฉากอย5างง5าย เพี��อท��ว5าถ�าทราบความยาวขิองดี�านสองดี�าน ก;จำะสามารถหาความยาวขิองดี�านท��เหล�อไดี� อ�กบทแทรกหน3�งขิองทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สค�อ ในสามเหล��ยมม"มฉากใดี ๆ ดี�านต้รงขิ�ามม"มฉากจำะยาวกว5าสองดี�านท��เหล�อ แต้5ส��นกว5าผู้ลรวมขิองท��งสอง
ทฤษฎี�บทดี�งกล5าวสามารถกล5าวโดียสร"ปไดี�เป6นกฎีขิองโคซึ่ายน# ซึ่3�งเม��อให�ความยาวขิองดี�านท��งสองและขินาดีขิองม"มระหว5างดี�านน��นมา จำะสามารถค�านวณัหาความยาวดี�านท��สามขิองสามเหล��ยมใดี ๆ ไดี� ถ�าม"มระหว5างดี�านเป6นม"มฉาก กฎีขิองโคซึ่ายน#จำะย5อลงเหล�อทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส
การัพี#ส�จน.
ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�สอาจำเป6นทฤษฎี�บทท��ร� �จำ�กก�นว5าม�การพี�ส�จำน#มากกว5าทฤษฎี�บทอ��น หน�งส�อ The Pythagorean Proposition ม�การพี�ส�จำน#มากถ3ง 370 แบบ
ภาพีเคล��อนไหวแสดีงการพี�ส�จำน#ทฤษฎี�บทพี�ทาโกร�ส
การพี�ส�จำน#โดียการจำ�ดีเร�ยงร�ปสามเหล��ยมใหม5
การพี�ส�จำน#โดียการจำ�ดีเร�ยงพี��นท��
บทกล�บของทฤษฎี�บทป2ทาโกรั�ส
บทกล�บขิองทฤษฎี�บทป4ทาโกร�สน��นเป6นจำร�ง โดียกล5าวไว�ดี�งน��
ก�าหนดี a, b และ c เป6นจำ�านวนจำร�งบวกท�� a2 + b2 =
c2 จำะม�สามเหล��ยมม"มฉากหน3�งร�ปท��ม�ความยาวดี�านเท5าก�บสามจำ�านวนน��น และสามเหล��ยมน��นจำะม�ม"มฉากระหว5างดี�าน a และ b
ชิ"ดีขิองสามจำ�านวนน��เร�ยกว5า สามส��งอ�นดี�บพี�ทาโกร�ส อ�กขิ�อความหน3�งกล5าวว5า
ส�าหร�บสามเหล��ยมใดี ๆ ท��ม�ดี�าน a, b และ c ถ�า a2 + b2 = c2 แล�วม"มระหว5าง a ก�บ b จำะว�ดีไดี� 90°
บทกล�บน��ย�งปรากฏอย�5ในหน�งส�อ Euclid's Elements ขิอง ย"คล�ดีดี�วย
ถ�าในสามเหล��ยมร�ปหน3�ง ส��เหล��ยมบนดี�านหน3�งเท5าก�บผู้ลรวมขิองส��เหล��ยมบนอ�กสองดี�านท��เหล�อขิองสามเหล��ยมแล�ว แล�วม"มท��รองร�บดี�านท��งสองท��เหล�อขิองสามเหล��ยมน��นจำะเป6นม"มฉาก
บทกล�บน��สามารถพี�ส�จำน#ไดี�โดียใชิ� กฎีขิองโคไซึ่น# หร�อต้ามการพี�ส�จำน#ดี�งต้5อไปน��
ก�าหนดีสามเหล��ยม ABC ม�ดี�านสามดี�านท��ม�ความยาว a,b และ c และ a2 + b2 = c2 เราจำะต้�องพี�ส�จำน#ว5าม"มระหว5าง a และ b เป6นม"มฉาก ดี�งน��น เราจำะสร�างสามเหล��ยมม"มฉากท��ม�ความยาวขิองดี�านประกอบม"มฉาก เป6น a และ b แต้5จำากทฤษฎี�บทป4ทาโกร�ส เราจำะไดี�ว5าดี�านต้รงขิ�ามม"มฉาก ขิองสามเหล��ยมร�ปท��สองก;จำะม�ค5าเท5าก�บ c เน��องจำากสามเหล��ยมท��งสองร�ปม�ความยาวดี�านเท5าก�นท"กดี�าน สามเหล��ยมท��งสองร�ปจำ3งเท5าก�นท"กประการแบบ "ดี�าน-ดี�าน-
ดี�าน" และต้�องม�ม"มขินาดีเท5าก�นท"กม"ม ดี�งน��นม"มท��ดี�าน a และ b มาประกอบก�น จำ3งต้�องเป6นม"มฉากดี�วย
จำากบทพี�ส�จำน#ขิองบทกล�บขิองทฤษฎี�บทป4ทาโกร�ส เราสามารถน�าไปหาว5าร�ปสามเหล��ยมใดี ๆ เป6นสามเหล��ยมม"มแหลม, ม"มฉาก หร�อ ม"มปCาน ไดี� เม��อก�าหนดีให� c เป6นความยาวขิองดี�านท��ยาวท��ส"ดีในร�ปสามเหล��ยม
•ถ้ า a2 + b2 = c2 สามเหล��ยมน��นจะเป4นสามเหล��ยมม$มฉาก
•ถ้ า a2 + b2 < c2 สามเหล��ยมน��นจะเป4นสามเหล��ยมม$มแหลม
•ถ้ า a2 + b2 > c2 สามเหล��ยมน��นจะเป4นสามเหล��ยมม$มป5าน
จ0านวนตรัรักยะ น�กเรั�ยนเคยทรัาบมาแล วว(าจ0านวน เชิ(น 0, 1, 5, -7, , , และ เป4นจ0านวนท��สามารัถ้เข�ยนให อย�(ในรั�ป เม��อ A และ B เป4นจ0านวนเต7มท�� ในทางคณิ#ตศาสตรั.เรั�ยกจ0านวนเหล(าน��ว(า จ0านวนตรัรักยะ น�กเรั�ยนย�งทรัาบอ�กว(า เศษส(วนใด้ๆ เม��อ A เป4นจ0านวนเต7ม และ B เป4นจ0านวนเต7มท��ไม(เท(าก�บศ�นย. สามารัถ้เข�ยนให อย�(ในรั�ปทศน#ยมได้ โด้ยการัน0าต�วส(วนไปหารัต�วเศษด้�งต�วอย(างต(อไปน��
1.
ดี�งน��น
2.
ดี�งน��น
โดียว�ธ�ดี�งกล5าว เราสามารถเขิ�ยนเศษส5วนต้5อไปน��ให�อย�5ในร�ปทศน�ยมไดี�ดี�งน��1. หร�อ
2. หร�อ
3. หร�อ -
4. หร�อ
5. หร�อ ทศน�ยมท��ไดี�จำากขิ�อ 1 ถ3งขิ�อ 5 เร�ยกว5า ทศน�ยมซึ่��า เราสามารถจำ�ดีทศน�ยมซึ่��าเป6นสองกล"5ม ดี�งน��1. ทศน�ยมซึ่��าศ�นย# เชิ5น และ ในกล"5มน��ไม5น�ยมเขิ�ยนต้�วซึ่��าศ�นย# เชิ5น
เขิ�ยนเป6น
เขิ�ยนเป6น
- เขิ�ยนเป6น -2. ทศน�ยมท��ไม5ใชิ5ทศน�ยมซึ่��าศ�นย# เชิ5น , - , - และ
ในทางกล�บก�น เราสามารถเขิ�ยนทศน�ยมซึ่��าให�อย�5ในร�ปเศษส5วนไดี� ซึ่3�งน�กเร�ยนเคยเขิ�ยนทศน�ยมซึ่��าศ�นย#ให�อย�5ในร�ปเศษส5วนมาแล�ว เชิ5น
1.
2.
ต้�วอย5างการค�านวณั จำงเขิ�ยน ให�อย�5ในร�ปเศษส5วนว�ธ�ท�า ให� ดี�งน��น - - - - - - - - (1)
ค�ณัท��งสองขิ�างขิองสมการ (1) ดี�วย 10
จำะไดี� หร�อ - - - - - - - - (2)
หมายเหต้" เม��อค�ณัทศน�ยมดี�วย 10 จำ"ดีทศน�ยมจำะเล��อนไปทางขิวาหน3�งต้�าแหน5ง สมการ (2) ลบดี�วยสมการ (1) - - - - - - - - - -ใชิ�สมบ�ต้�การเท5าก�น จำะไดี�
ดี�งน��น น��นค�อ หร�อ
ต้อบ
จำงเขิ�ยน ให�อย�5ในร�ปเศษส5วนว�ธ�ท�า ให� ดี�งน��น - - - - - - - - (1)
ค�ณัท��งสองขิ�างขิองสมการ (1) ดี�วย 1000
จำะไดี� หร�อ - - - - - - - - (2)
หมายเหต้" เม��อค�ณัทศน�ยมดี�วย 1000 จำ"ดีทศน�ยมจำะเล��อนไปทางขิวาสามต้�าแหน5ง ค�ณัท��งสองขิ�างขิองสมการ (1) ดี�วย 10
จำะไดี� หร�อ - - - - - - - - (3)
หมายเหต้" เม��อค�ณัทศน�ยมดี�วย 10 จำ"ดีทศน�ยมจำะเล��อนไปทางขิวาหน3�งต้�าแหน5ง สมการ (2) ลบดี�วยสมการ (3) - - - - - - - - - -ใชิ�สมบ�ต้�การเท5าก�น จำะไดี�
ดี�งน��น น��นค�อ ต้อบ
แผู้นผู้�งจำ�านวนต้รรกยะ น�กเร�ยนไดี�เห;นแล�วว5า จำ�านวนต้รรกยะ หมายถ3ง จำ�านวนชิน�ดี
ต้5างๆ ดี�งแผู้นผู้�งต้5อไปน��
แผู้นผู้�งขิองจำ�านวนต้รรกยะ
จำ�านวนอต้รรกยะ ถ3งแม�ว5าจำ�านวนเต้;ม เศษส5วน และทศน�ยมซึ่��า จำะม�ประโยชิน#และสามารถน�าไปใชิ�ไดี�อย5างกว�างขิวาง แต้5ก;ย�งม�ป@ญหาหร�อสถานการณั#บางอย5างท��ไม5สามารถใชิ�จำ�านวนดี�งกล5าวแทนปร�มาณัท��ต้�องการส��อไดี� ดี�งเชิ5น สถานการณั#ต้5อไปน�� โรงเร�ยนแห5งหน3�งต้�องการท�าสวนหย5อมหน�าโรงเร�ยนเป6นร�ปส��เหล��ยมจำ�ต้"ร�ส โดียให�ม�พี��นท��ขินาดี 2 ต้ารางวา สวนหย5อมน��จำะต้�องม�ดี�านแต้5ละดี�านยาวเท5าไร น�กเร�ยนทราบแล�วว5าพี��นท��ขิองร�ปส��เหล��ยมจำ�ต้"ร�สเท5าก�บผู้ลค�ณัขิองความยาวขิองดี�าน เม��อให� แทนความยาวขิองดี�าน จำ3งไดี�ว5า
ดี�งน��น การหาความยาวขิองดี�าน จำ3งเป6นการหาจำ�านวนท��ยกก�าล�งสองแล�วไดี� 2 โดียเร��มจำากการลองแทนค5า ดี�วยจำ�านวนเต้;มบวก ดี�งน��
จำากต้ารางจำะไดี�ว5า ม�ค5าอย�5ระหว5าง 1 ก�บ 2
1 2
1 4
เพี��อหาค5า เป6นทศน�ยมหน3�งต้�าแหน5ง จำ3งแบ5งชิ5วงระหว5าง 1 ก�บ 2 ออกเป6นส�บส5วนเท5าๆ ก�น แล�วพี�จำารณัาว5า ควรม�ค5าเท5าใดี โดียลองแทนค5า ดี�วยทศน�ยมหน3�งต้�าแหน5งท��อย�5ระหว5าง 1 และ 2 ดี�งน��
จำากต้ารางจำะไดี�ว5า ม�ค5าระหว5าง 1.4 ก�บ 1.5
เพี��อหาค5า เป6นทศน�ยมสองต้�าแหน5ง จำ3งแบ5งชิ5วงระหว5าง 1.4 และ 1.5 ออกเป6นส�บส5วนเท5าๆ ก�น แล�วพี�จำารณัาว5า ควรจำะม�ค5าเท5าใดี โดียลองแทนค5า ดี�วยทศน�ยมสองต้�าแหน5งท��อย�5ระหว5าง 1.4 และ 1.5 ดี�งน��
จำากต้าราง จำะไดี�ว5า ม�ค5าอย�5ระหว5าง 1.41 ก�บ 1.42
1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.21 1.44 1.69 1.96 2.25
1.41 1.42 1.431.9881 2.0164 2.0449
เพี��อหาค5า เป6นทศน�ยมต้�าแหน5งถ�ดีๆ ไป จำ3งท�าในท�านองเดี�ยวก�น ดี�งต้ารางต้5อไปน��
จำากต้าราง จำะไดี�ว5า ม�ค5าอย�5ระหว5าง 1.414 ก�บ 1.415
จำากต้าราง จำะไดี�ว5า ม�ค5าอย�5ระหว5าง 1.4142 ก�บ 1.4143
จำากต้าราง จำะไดี�ว5า ม�ค5าอย�5ระหว5าง 1.41421 ก�บ 1.41422
1.411 1.412 1.413 1.414 1.4151.99092
11.99374
41.99656
91.99939
62.00222
5
1.4141 1.4142 1.41431.99967881 1.99996164 2.00024449
1.41421 1.414221.9999899241 2.0000182048
ถ�าหาค5า ต้5อไปเร��อยๆ จำะพีบว5า ค5าท��ไดี�น��นเป6นทศน�ยมท��ต้5อไปไดี�โดียไม5ส��นส"ดี ซึ่3�งอาจำใชิ�เคร��องค�านวณัค�ดีไดี� เป6นทศน�ยมหลายต้�าแหน5ง ดี�งน��1.414213562373095048801688724209...
เม��อไม5สามารถแทน ไดี�ดี�วยเศษส5วนหร�อทศน�ยมซึ่��า จำ3งจำ�าเป6นต้�องแทน ดี�วยจำ�านวนชิน�ดีใหม5โดียใชิ�เคร��องหมายเกณัฑ์# ดี�งน��นจำ3งเขิ�ยนส�ญล�กษณั# แทนจำ�านวนบวกท��ยกก�าล�งสองแล�วไดี� 2
น��นค�อ จำากป@ญหาการท�าสวนหย5อมขิ�างต้�น จำะไดี�ค�าต้อบว5าสวนหย5อมน��ม�ดี�านแต้5ละดี�านยาว วา
เป6นต้�วอย5างขิองจำ�านวนท��ไม5สามารถเขิ�ยนแทนไดี�ดี�วยทศน�ยมซึ่��า จำ3งไม5สามารถเขิ�ยนแทนไดี�ดี�วยเศษส5วน จำ3งไม5ใชิ5จำ�านวนต้รรกยะ แต้5เป6นต้�วอย5างขิองจำ�านวนอต้รรกยะ
ต้�วอย5างขิองจำ�านวนอต้รรกยะ เชิ5น1) 1.234567891011121314
2) 3.4323223222...
3) 16.79779777977779...
4) -4.399339933399...
อ�กต้�วอย5างหน3�งขิองจำ�านวนอต้รรกยะ ค�อ ซึ่3�งม�ค5าเท5าก�บ 3.141592653589793238462... ค�อ อ�ต้ราส5วนขิองความยาวขิองเส�นรอบวงขิองวงกลมต้5อความยาวขิองเส�นผู้5านศ�นย#กลางขิองวงกลม เม��อน�กเร�ยนค�านวณัหาพี��นท��ขิองวงกลมโดียใชิ�ส�ต้ร หร�อ ค�านวณัหาความยาวขิองเส�นรอบวงกลมโดียใชิ�ส�ต้ร เม��อ แทนร�ศม�ขิองวงกลม ม�กใชิ�ค5าประมาณัขิอง เป6น หร�อ 3.1416 หร�อ 3.142 ซึ่3�งเป6นจำ�านวนต้รรกยะท��งหมดี
จำ�านวนท��เป6นจำ�านวนต้รรกยะหร�อจำ�านวนอต้รรกยะ เร�ยกว5า จำ�านวนจำร�ง
รากท��สอง
รากท��สองขิองจำ�านวนจำร�งบวกใดี ๆ ม�ท� �งรากท��สองท��เป6นบวก และรากท��สองท��เป6นลบ เป6นรากท��สองท��เป6นบวกขิอง 2 - เป6นรากท��สองท��เป6นลบขิอง 2 เน��องจำาก
ถ�า แล�วรากท��สองขิอง เป6นรากท��สองท��เป6นบวกขิอง - เป6นรากท��สองท��เป6นลบขิอง เป6นรากท��สองท��เป6นบวกขิอง 1 เพีราะ - เป6นรากท��สองท��เป6นลบขิอง 1 เพีราะ พี�จำารณัา รากท��สองขิอง 2 รากท�� 2 ค�อ และ - และ - เป6นจำ�านวนอต้รรกยะ ต้ามท��กล5าวมาแล�ว
การหารากท��สอง เราสามารถหารากท��สองขิองจำ�านวนต้5างๆ ไดี�หลายว�ธ� ใน
ท��น��จำะขิอกล5าวเฉพีาะการหารากท��สองโดียว�ธ�การแยกต้�วประกอบ การประมาณั และการเป1ดีต้ารางหารากท��สอง ซึ่3�งเป6นต้ารางส�าเร;จำร�ปท��ม�ไว�ให�ในภาคผู้นวกท�ายเล5มหน�งส�อเร�ยนเร��องจำ�านวนจำร�ง
1.การแยกต้�วประกอบ การหารากท��สองโดียว�ธ�การแยกต้�วประกอบ การแยก
ต้�วประกอบขิองจำ�านวนใดีๆ เป6นการเขิ�ยนจำ�านวนน��นในร�ปการค�ณัขิองจำ�านวนเฉพีาะ เชิ5น เราจำะน�าความร� �เร��องการแยกต้�วประกอบมาใชิ�หารากท��สองขิองจำ�านวนไดี� ดี�งน��ต้�วอย5างท�� 1จำงหารากท��สองขิอง 900
ว�ธ�ท�า
รากท��สองขิอง 900 เท5าก�บ และ - -
ต้�วอย5างท�� 2จำงหารากท��สองขิอง 784
ว�ธ�ท�า
รากท��สองขิอง 784 เท5าก�บ และ - -
ต้�วอย5างท�� 3จำงหารากท��สองขิอง ว�ธ�ท�า รากท��สองขิอง เท5าก�บ
2.การประมาณั การหารากท��สองโดียการประมาณั น�กเร�ยนเคยทราบมา
แล�วว5าในการหารากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มบวก เม��อรากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มบวกน��น ไม5เป6นจำ�านวนเต้;ม ค5าท��ไดี�จำะเป6นจำ�านวนอต้รรกยะ แต้5เพี��อความสะดีวกในการน�าไปใชิ� จำ3งต้�องหาค5าประมาณัขิองจำ�านวนอต้รรกยะน��น
ในกรณั�ท��จำ�านวนท��ต้�องการหารากท��สองใกล�เค�ยงก�บจำ�านวนท��สามารถหารากท��สองไดี�โดียง5าย ก;จำะประมาณัรากท��สองขิองจำ�านวนน��นดี�วยรากท��สองขิองจำ�านวนท��ใกล�เค�ยงน��น เชิ5น 15 ใกล�เค�ยงก�บ 16 และ ดี�งน��น 10 ใกล�เค�ยงก�บ 9 และ ดี�งน��น 165 ใกล�เค�ยงก�บ 169 และ ดี�งน��น
การประมาณัขิ�างต้�น เป6นการประมาณัหารากท��สองท��เป6นจำ�านวนอต้รรกยะดี�วยจำ�านวนเต้;ม ถ�าต้�องการประมาณัเป6นทศน�ยม น�กเร�ยนจำะไดี�แนวค�ดีจำากการท�าก�จำกรรมต้5อไปน��
พี�จำารณัาการหารากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มจำากต้�วอย5างต้5อไปน��ต้�วอย5าง การหาค5าประมาณัขิอง ท�าไดี�ดี�งน��
1. เป6นจำ�านวนอต้รรกยะ ซึ่3�งอย�5ระหว5างจำ�านวนเต้;มบวกสองจำ�านวนค�อ 3 และ 4 แสดีงไดี�ดี�งน��
2.จำากต้าราง 13 ม�ค5าใกล�เค�ยง 9 และ 16 พีอๆ ก�น แต้5ใกล� 16 มากกว5าเล;กน�อย จำ3งประมาณั เป6นทศน�ยมหน3�งต้�าแหน5ง โดียเร��มจำาก 3.5 แสดีงไดี�ดี�งน��
3.จำากต้าราง 13 ม�ค5าใกล�เค�ยง 12.96 มากกว5า 13.69 จำ3งประมาณั เป6นทศน�ยมสองต้�าแหน5ง โดียเร��มจำาก 3.60 แสดีงไดี�ดี�งน��
3 49 13 16
3.5 3.6 3.712.25 12.96 13.00 13.69
3.60 3.61
12.960013.000013.032
1
4.จำากต้าราง 13 ม�ค5าใกล�เค�ยง 12.9600 และ 13.0321 พีอๆ ก�น แต้5ใกล� 13.0321 มากกว5าเล;กน�อย จำ3งประมาณั เป6นทศน�ยมสามต้�าแหน5ง โดียเร��มจำาก 3.605 แสดีงไดี�ดี�งน��
5.จำากต้าราง 13 ม�ค5าใกล�เค�ยง 13.003236 มากกว5า 12.996025 จำ3งไดี�ค5าประมาณั ขิอง เป6น 3.606
ดี�งน��น ค5าประมาณัขิอง เป6นทศน�ยมสองต้�าแหน5ง ค�อ 3.61
3.605 3.606
12.996025 13.00000013.00323
6
3.การเป1ดีต้าราง ว�ธ�หารากท��สองขิองจำ�านวนเต้;มบวกท��สะดีวกและรวดีเร;ว
กว5าว�ธ�การประมาณั ค�อ การเป1ดีต้าราง น�กคณั�ต้ศาสต้ร#ไดี�สร�างต้ารางส�าเร;จำร�ปแสดีงรากท��สองท��เป6นบวกขิองจำ�านวนเต้;มบวกเพี��อความสะดีวกและรวดีเร;วในการน�าไปใชิ�หารากท��สองขิองจำ�านวนท"กจำ�านวนต้��งแต้5 1 ถ3ง 100 ในร�ปขิอง ส�าหร�บค5าโดียประมาณัขิอง และ รวมท��ง ดี�วย ต้ามต้ารางท��ก�าหนดีไว�ให�ในภาคผู้นวกท�ายเล5มหน�งส�อเร�ยนเร��องจำ�านวนจำร�ง เชิ5น
10
11
12
13
14
15
16
3.162
3.317
3.464
3.606
3.742
3.873
4.000
100
121
144
169
196
225
256
10.000
1.331
1.728
2.197
2.744
3.375
4.096
0.1000
0.0909
0.0833
0.0769
0.0714
0.0667
0.0625
บทท�� 3 การัปรัะย$กต.ของสมการัเชิ#งเส นต�วแปรัเด้�ยว
3.1 ทบทวนการัแก สมการัเชิ#งเส นต�วแปรัเด้�ยว น�กเร�ยนเคยทราบความหมายขิองสมการและสมบ�ต้�ขิองการเท5าก�นท��น�ามาใชิ�ในการหาค�าต้อบขิองสมการมาแล�ว ดี�งน��ความหมายของสมการั สมการ เป6นประโยคท��แสดีงการเท5าก�นขิองจำ�านวน โดียม�ส�ญล�กษณั# = บอกการเท5าก�นสมการอาจำม�ต้�วแปรหร�อไม5ม�ต้�วแปรก;ไดี� เชิ5น 3x + 2 = 59 เป6นสมการท��ม� x เป6นต้�วแปร และ 8 – 11 = -3 เป6นสมการท��ไม5ม�ต้�วแปร
สมการซึ่3�งม� x เป6นต้�วแปรและม�ร�ปท��วไปเป6น ax + b = 0 เม��อ a, b เป6นค5าคงต้�ว และ a # 0 เร�ยกว5า สมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยว
สมบ�ต#ของการัเท(าก�น สมบ�ต#การัมาตรั
ถ�า a = b แล�ว b = a เม��อ a และ b แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ
เราอาศ�ยสมบ�ต้�สมมาต้รเขิ�ยนแสดีงการเท5าก�นขิองจำ�านวนไดี�สองแบบ ดี�งต้�วอย5าง
1. a + b = c หร�อ c = a = b2. x – 3 = 2x + 7 หร�อ 2x + 7 = x –
3
สมบ�ต#ถ้(ายทอด้
ถ�า a = b และ b = c แล�ว a = c เม��อ a, b และ c แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ เราใชิ�สมบ�ต้�ถ5ายทอดี ดี�งต้5อไปน�� ถ�า x = 5 + 7 และ 5 + 7 = 12 แล�วจำะสร"ปไดี�ว5า x = 12 ถ�า x = -3y และ -3y = 0.5 แล�วจำะสร"ปไดี�ว5า x = 0.5
น0า 3 มาบวกท��งสองข างของสมการั
น0า -7 มาบวกท��งสองข างของสมการัหรั�อ น0า 7 มาลบท��งสองข าของสมการั
สมบ�ต#การับวก ถ�า a = b แล�ว a + c = b + c เม��อ a, b และ c แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ เราใชิ�สมบ�ต้�ถ5ายทอดี ดี�งต้�วอย5าง
1 .ถ�า a = 5 แล�ว a + 3 = 5 + 3
2. ถ�า x + 7 = 2 แล�ว (x + 7) -7 = 2 - 7
สมการัการัค�ณิ
น0า 3 มาค�ณิท��งสองข างของ
สมการั
ถ�า a =b แล�ว ca = cb เม��อ a, b และ c แทนจำ�านวนจำร�งใดี ๆ เราใชิ�สมบ�ต้�การค�ณั ดี�งต้�วอย5าง1 . ถ�า m + 1 = 2n แล�ว 3(m + 1) = 3(2n) 2. ถ�า -3x = 15 แล�ว -3x = 15
น0า -1 มาค�ณิท��งสองข างของสมการั
หรั�อน0า -3 มาหารัท��งสองข างของสมการั
-3 -33
ต�วอย(างสมการัเชิ#งเส นต�วแปรัเด้�ยว 2x = 0 1x+ 3 = 0 8y – 11 = 9y + 7
ค0าตอบของสมการั ค0าตอบของสมการั ค�อ จำ�านวนท��แทนต้�วแปรในสมการแล�วท�าสมการเป6นจำร�ง ค0าตอบของสมการั ค�อ การหาค�าต้อบขิองสมการค�าต้อบขิองสมการเชิ�งเส�นต้�วแปรเดี�ยวจำะม�เพี�ยงค�าต้อบเดี�ยว เชิ5น 2x – 5 = 0 ต้อบ 2.5 -4y – 5 = 0 ต้อบ 0
2
การแก�สมการ ต้�วอย5าง 15x + 9 = 69 ว�ธ�ท�า 15x + 9 = 69 น�า 9 มาลบท��งสองขิ�างขิองสมการ 15x + 9 – 9 = 69 – 9 15x = 60 น�า 15 มาหารท��งสองขิ�างขิองสมการ 15x – 15 = 60 – 15 X = 4
.
...
สมการเชิ�งเส�น ต�วอย(างกรัาฟของสมการัเชิ#งเส น สมการัเชิ#งเส น ค�อสมการท��แต้5ละพีจำน#ม�เพี�ยงค5าคงต้�ว หร�อเป6นผู้ลค�ณัระหว5างค5าคงต้�วก�บต้�วแปรยกก�าล�งหน3�ง ซึ่3�งจำะม�ดี�กร�ขิองพีห"นามเท5าก�บ 0 หร�อ 1
สมการเหล5าน��เร�ยกว5า "เชิ�งเส�น" เน��องจำากสามารถวาดีกราฟขิองฟ@งก#ชิ�นบนระบบพี�ก�ดีคาร#ท�เซึ่�ยนไดี�เป6นเส�นต้รง ร�ปแบบท��วไปขิองสมการเชิ�งเส�นในต้�วแปร x และ y ค�อ
โดียท�� m ค�อค5าคงต้�วท��แสดีงความชิ�นหร�อเกรเดี�ยนต้#ขิองเส�นต้รง และพีจำน# b แสดีงจำ"ดีท��เส�นต้รงน��ต้�ดีแกน y ส�าหร�บสมการท��ม�พีจำน# x2, y1/3, xy ฯลฯ ท��ม�ดี�กร�มากกว5าหน3�งไม5เร�ยกว5าเป6นสมการเชิ�งเส�น
สมการัเหล(าน��ล วนเป4นสมการัเชิ#งเส น
รั�ปแบบของสมการัเชิ#งเส นในสองม#ต# สมการเชิ�งเส�นท��ซึ่�บซึ่�อน อย5างเชิ5นต้�วอย5างขิ�างบน สามารถเขิ�ยนใหม5โดียใชิ�กฎีเกณัฑ์#ขิองพี�ชิคณั�ต้ม�ลฐานให�อย�5ในร�ปแบบท��ง5ายขิ3�น ในส��งท��จำะอธ�บายต้5อไปน�� อ�กษรต้�วใหญ5ใชิ�แทนค5าคงต้�ว (ท��ไม5ระบ"จำ�านวน) ในขิณัะท�� x และ y ค�อต้�วแปร
สมการัเชิ#งเส นท��มากกว(าสองต�วแปรัสมการเชิ�งเส�นสามารถม�ต้�วแปรไดี�มากกว5า 2 ต้�ว สมการเชิ�งเส�นท��วไปท��ม�จำ�านวนต้�วแปร n ต้�วสามารถเขิ�ยนไดี�ในร�ปแบบ
ซึ่3�ง a1,a2,...,an เป6นส�มประส�ทธ�* x1,x2,...,xn ค�อต้�วแปร และ b ค�อค5าคงต้�ว เม��อเราต้�องการเขิ�ยนสมการต้�วแปรน�อยๆ เชิ5น 3 ต้�ว เราอาจำแทนท�� x1,x2,x3 ดี�วยชิ��อต้�วแปรอ��นๆ เชิ5น x,y,z ไดี�ต้ามต้�องการสมการดี�งกล5าวจำะเป6นการน�าเสนอระนาบเก�น n–1 ม�ต้� (hyperplane) ในปร�ภ�ม�แบบย"คล�ดี n ม�ต้� เชิ5นระนาบสองม�ต้�ในปร�ภ�ม�สามม�ต้� เป6นต้�น
รั�ปแบบมาตรัฐาน
เม��อ A และ B ไม5เป6นศ�นย#พีร�อมก�น และท��ง A, B, C จำะต้�องเป6นจำ�านวนเต้;มท��ม�ต้�วหารร5วมมากเท5าก�บ 1 และม�กเขิ�ยนให� A
≥ 0 เพี��อความสะดีวกเชิ5นก�น ร�ปแบบมาต้รฐานน��สามารถแปลงให�เป6นร�ปแบบท��วไปไดี�ไม5ยากน�ก
รั�ปแบบอ#งพีารัาม#เตอรั.
ร�ปแบบน��เป6นสมการหลายชิ��น (simultaneous
equations) สองสมการในพีจำน#ขิองต้�วแปรพีาราม�เต้อร# t ท��ม�ความชิ�น m = V/T โดียม�ระยะต้�ดีแกน x อย�5ท�� (VU−WT) / V และระยะต้�ดีแกน y อย�5ท�� (WT−VU) / Tสมการร�ปแบบน��ม�ความส�มพี�นธ#ก�บร�ปแบบจำ"ดีสองจำ"ดี เม��อ T = p−h, U = h, V = q−k, และ W = k จำะไดี�
ซึ่3�งในกรณั�น��ค5าขิอง t จำะแปรผู้�นต้��งแต้5 0 ท��จำ"ดี (h, k) ไปย�ง 1 ท��จำ"ดี (p, q) ค5าขิอง t ท��อย�5ระหว5าง 0 ก�บ 1 ท�าให�เก�ดีการประมาณัค5าในชิ5วง (interpolation)
ส5วนค5าอ��นขิอง t จำะท�าให�เก�ดีการประมาณัค5านอกชิ5วง (extrapolation)
เส นขนาน
เส นตรังสองเส นท��อย�(บนรัะนาบเด้�ยวก�น ขนาน ก�น ก7ต(อเม��อ เส นตรังท��งสองเส นน��นไม(ต�ด้ก�น
บทน#ยาม
พี#จารัณิารั�ปต(อไปน��
รั�ปท��1
รั�ปท��2
ถ้ าเส นตรังสองเส นขนานก�น แล ว รัะยะห(างรัะหว(างเส นตรังค�(น��นจะเท(าก�นเสมอ
และในทางกล�บก�น ถ้ า เส นตรังสองเส นม�รัะยะห(างรัะหว(าง เส นตรัง เท(าก�นเสมอ
แล วเส นตรังค�(น��นจะขนานก�น
เส นตรังสองเส นในแต(ละข อต(อไปน�� อย�(บนรัะนาบเด้�ยวก�น จง พี#จารัณิาว(า เส นตรังค�(ใด้ขนานก�น เพีรัาะเหต$ใด้
1) 2)
ม$มภายในท��อย�(บนข าง เด้�ยวก�น ของเส นต�ด้
เรั�ยกเส นตรัง AB ว(าเส นต�ด้ AB เรั�ยก ม$ม X และม$ม Y ว(าม$มภายในท��อย�(บนข าง
เด้�ยวก�นของเส นต�ด้ AB
เม��อเส นตรังเส นหน<�ง ต�ด้เส นตรัง ค�( หน<�ง เส นตรังค�(น��นขนานก�น ก7ต(อ เม��อ ขนาด้ของม$มภายในท��อย�(บน ข าง
เด้�ยวก�นของเส นต�ด้ รัวมก�นเท(า ก�บ 180 องศา
เม��อเส นตรังเส นหน<�ง ต�ด้เส นตรัง ค�(หน<�ง เส นตรังค�(น��นขนานก�นก7ต(อเม��อขนาด้ของม$มภายใน
ท��อย�(บน ข างเด้�ยวก�นของเส นต�ด้ รัวมก�นเท(า ก�บ 180 องศา
จำบการน�าเสนอ