理财规划师 — 基础知识 — 第 7 章

《理财规划师—基础知识》 1

理财规划师—基础知识—第 7章

概率基础1

统计基础2

收益和风险 3


本章提示重点 P555

利用等可能事件计算概率互补事件概率、概率的加法和乘法几种常见的统计表和统计图计算几种常见的统计量投资风险和收益计算

难点互补事件概率、概率的加法和乘法货币时间价值风险和收益的计算


本章内容

主要内容

主要内容

概率基础

统计基础

收益和风险

统计表统计图

常用统计量

货币时间价值

随机事件概率

收益率计算分析度量


第 1 节概率基础

随机事件

概率


随机事件随机事件是指在同一组条件下，每次试验可能出现，也可能不出

现的事件，也称偶然事件。必然事件必然事件是指在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。不可能事件不可能事件是指在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件。

概率论研究的是随机事件，并且把必然事件和不可能事件包括在随机事件内作为两个极端来看待。随机事件简称为事件，一般用大写字母 A ， B ， C 等表示；必然事件用 Ω 表示；不可能事件用 Φ 表示。

如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，则这个事件称为基本事件基本事件或简单事件简单事件。一个试验中所有简单事件的全体称为样本空间或基本空间，记为 Ω 。


事件的关系

BA B

A

B

A

B

A B

A

B

BA BA BA

AB BA

BBSBB ,

B


事件的概率

事件 A 的概率是描述事件 A 在试验中出现的可能性大小的一种度量，记为 P （ A ）。则称 P （ A ）为事件 A 的概率。

概率的古典定义：

概率统计定义：

主观概率的定义：是一个决策者根据个人对某事件是否发生，根据本人掌握的信息对该事件发生可能性的判断。

n

mAAP

事件个数样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数事件

)(

pn

mAP )(


事件的概率

条件概率当某一事件 B 已经发生时，求事件 A 发生的概率，称这种概率为事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率（ conditional probability ），记为 P （ A│B ）。

0)|( ）（　，）（）（

BPBP

ABPBAP

)|( BAPBPABP ）（）（

)|( ABPAPABP ）（）（


事件的概率

全概率公式设 n 个事件 A1 ， A2 ， A3 ，…， An 互不相

容， P （ Ai ）＞ 0 （ i ＝ 1 ， 2 ，…， n ），事件 B

满足：

则

上式即为全概率公式。

nAAAB 21

)|()()(1

ii

n

i

ABPAPBP


第 2 节统计基础

统计表和统计图二维统计表、三维统计表直方图、散点图、饼状图、盒形图（箱线图）

常用统计量平均数

– 算术平均、几何平均、中位数、众数

随机变量的数字特征– 数序期望、方差、标准差、协方差、相关系数


统计表

统计表统计表是用于展示数据的一个基本工具。

组成：表头（表号、总标题、表中数据单位等）、

行标题、列标题、数字资料。

表中的上下两条横线一般用粗线，中间的用细线。

表中数据一般是右对齐，有小数点的应该以小数点

对齐，且小数点的位数应统一。


统计图

直方图是展示分组数据分布的一种图形，用矩形的宽

度和高度（即面积）来表示频数分布。

散点图描述时间序列数据。每组数据（ xi ， yi ）在坐

标系中用一个点表示。


统计图

饼状图用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形，表示一个样本（或总体）中各个组成部分的数据占全部数据的比例。

盒形图（箱线图）是由一组数据的最大值、最小值、中位数、两个四分位数这五个特征值绘制而成的，用于反映原始数据分布的特征。


数据类型

数据类型数据类型

按计量尺度

按计量尺度

按收集方法

按收集方法

按时间状况

按时间状况

分类数据分类数据

顺序数据顺序数据

数值型数据

数值型数据

观测数据观测数据

实验数据实验数据

截面数据截面数据

时序数据时序数据


数据类型与统计图示

数据类型数据类型

品质数据品质数据数值型数据数值型数据

汇总表汇总表

条形图条形图

饼状图饼状图

环形图环形图

原始数据原始数据分组数据分组数据时序数据时序数据多变量数据多变量数据

茎叶图茎叶图

箱线图箱线图

直方图直方图线图线图散点图散点图

气泡图气泡图

雷达图雷达图


常用统计量

平均数

算数平均数（简单平均数）

几何平均数

–是 n 个变量值乘积的 n 次方根。

–是适用于特殊数据的一种平均数，主要用于计算比

率（平均增长率）的平均。


常用统计量中位数

是将一组数据（随机变量）排序后，处于中间位置上的变量值（数值）。用 Me 表示。中位数主要用于测度顺序数据的集中趋势，也适合用于作为数值型数据的集中趋势，但不适用于分类数据。

设一组数据为 x1 ， x2 ，…， xn ，按从小到大排序后

为 x （ 1 ）， x （ 2 ），…， x （ n ），则中位数为：

　，ｎ为偶数

　　　　　，ｎ为奇数

}{2

1)1

2()

2(

)2

1(

nn

n

xx

x


常用统计量

众数（模数）（ mode ）。是在一组数据（随机变量的可能结果）中出现频率最高（多）的变量值（数值）。用 M0 表示。众数主要用于测度分类数据的集中趋势，也适合作为顺序数据以及数值型数据集中程度的测度值。一般情况下，只有在数据量较大的情况下，众数才有意义。


常用统计量

四分位数（ quartile ）。也称四分位点，它是一

组数据排序后处于 25% 和 75% 位置上的值。四

分位数是通过 3 个点将全部数据分为 4 部分，其

中每部分包含 25% 的数据。显然，中间的四分

位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指

处于 25% 位置上的数值（称为下四分位数）和

处在 75% 位置上的数值（上四分位数）。


常用统计量

数学期望一般记作 E （ X ）或 μ 表示。

)(XE

1iii Xpx 为离散型）　　（

为连续型）　（Xdxxxf

)(


数学期望的性质

)()( XCCEXCE

)()()( YEXEYXE

为常数）　　（CCCE )(

)()()( YEXEXYE

1

2

3

4

《理财规划师—基础知识》22

常用统计量

方差方差：一个随机变量 X 的取值与期望值的离差平方之期望值即为方差。一般记为 D（ x ）、 Var(x ）、。

标准差标准差（均方差）：方差的算数平方根。

)(2 x

})]({[)()( 22 xExExVarxD

)()( xDxVar


常用统计量

样本方差样本方差使用样本数减去 1 后去除离差平方和，其样本数据减 1即 n－ 1 称为自由度。

样本标准差样本标准差即是样本方差的算数平方根。

n

ii )XX(

nS

1

22

1

1

n

ii )XX(

nS

1

2

1

1


常用统计量

协方差：协方差： X， Y 是两个不互相独立的随机变量，则有

称为随机变量 X 与 Y 的协方差。

)]}()][({[),( yEyxExEyxCov


协方差的性质

)()()(),( yExExyEyxCov

)(),(),,(),( xDxxCovxyCovyxCov 　　

),(2)()()( yxCovyDxDyxD

),(),(),(

,),,(),(

2121 yxCovyxCovyxxCov

bayxabCovbyaxCov

是常数

1

2

3

4


常用统计量

0)(,0)(,)()(

),( yDxD

yDxD

yxCovxy 　

称为随机变量 X 与 Y 的相关系数。是一个无量纲的量。

ρ ＝ 1 完全正相关 ρ ＝ 0 不相关 ρ ＝ -1 完全负相关

相关系数相关系数：


第三节收益与风险

货币时间价值货币时间价值计算

– 单利终值和现值、复利终值和现值、年金

收益率的计算预期收益率、投资组合的收益率、内部收益率、持有期收益率、到期收益率、贴现收益率、必要收益率、息票收益率

风险度量方差和标准差、变异系数、 β 系数


货币时间价值

一般用利息来衡量货币时间价值；但其实质是社会（资金）平均利润。

分析货币时间价值时，不考虑通货膨胀和风险因素。

货币时间价值可以用短期国债率、银行存款利率等作为参照值。

一般以无风险和无通货膨胀的利率作为货币的时间价值。


货币时间价值

单利终值和现值的计算单利是只就本金计息

TRPI

式中： I 为利息； P 为本金； R 为利率； T为时间（期限）。

注意：年利率为 % ；月利率为‰；日利率为‰。；在计算时，资金时间的单位要与利率表示的时间单位保持一致。


货币时间价值

单利终值和现值的计算单利终值

单利现值

)ni(VVn 10

ni

VV n

10


货币时间价值

复利终值和现值的计算复利即是本利和（利加利）复利终值

复利现值

nn )i(VV 10

nnnn

)i(V

)i(

VV

1

1

10


货币时间价值

年金定期、等额的系列收支。普通年金即后付年金：每期期末收付的年金。普通年金终值

普通年金现值i

)i(AV

n

sn

11

i

)i(AV

n

s

110


货币时间价值

偿债基金根据年金终值计算公式，可得：

称为偿债基金系数。年资本回收额

与偿债基金计算同理

11

nsn)i(

iVA

11 n)i(

i


货币时间价值

先付年金（预付年金）：每期起初支付的年金。预付年金终值

预付年金现值

111 1

i

)i(AV

n

sn

111 1

0 i

)i(AV

)n(

s


货币时间价值

永续年金无限地定期支付的年金。

永续年金终值为无限大。

永续年金现值

iAVs

10


货币时间价值

递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。一般用 m 表示递延期数。

递延年金终值与普通年金终值计算相同递延年金现值

– 方法 1 ：把递延年金视为 n 期普通年金，求出递延期末的现值，然后再将此现值调整到第一期初。

– 方法 2 ：是假设递延期中也进行支付，先求出（ m+n ）期年金现值；然后，扣除实际并未支付的递延期（ m ）的年金现值；即可得出最终结果。


收益率的计算

收益率：是指投资收益额与本金之比。

收益＝基本收入（利率和股利）＋资本收入（价差收益）

0

01

0

1

0

011

P

)PP(

P

I

P

)PP(IR


预期收益率

单个产品或单项投资的预期收益率

投资组合的预期收益率

n

iii RP)R(E

1

n

iii RW)R(E

1


投资组合的收益率

类似于投资组合预期收益率，只是其中参数的经济意义不同而已。

wi ：第 i项投资在投资组合中的权重； ri ：第 i项投资的收益率。

nn

n

iii rwrwrwrwr

22111


其他收益率

内部收益率（ IRR ），也称内含报酬率，是

使得 NPV=0 的折现率。主要用于投资方案（项目）的评价

持有期收益率持有某种金融工具，在其未到期之前的某个时点

卖出，所获得的收益率。


其他收益率

到期收益率持有购买的某种债券，直到到期时的收益率。使未来各期利息收入、到期本金收入现值之和等于债券（购买）价格的贴现率。

当期收益率是债券息票到期收益率的近似值，等于年息票利息与债券价格之比。


其他收益率

贴现收益率贴现额与本金之比贴现实得额＝票据面额 × （ 1－贴现率 ×未到期天

数 ÷360 ）必要收益率

投资者要求的最低回报率，如期望收益率必要收益率＝无风险收益率＋风险收益率

息票收益率即是票面利率


风险的度量

方差与标准差

变异系数

β 系数


风险的定量表达

方差一个随机变量 x 的方差，可表示为：

})]({[)( 2xExExVar

标准差一个随机变量 x 的标准差，可表示为：

})]({[)()( 2xExExVarx


变异系数

标准差与数学期望的比值适用于不同方案（项目）的期望值不同时的

比较表示每一单位所承担的风险

）（变异系数

XE


β 系数

用来测定某种股票的收益率受整个市场收益率变化影响程度的指标。它衡量的是个别股票的市场风险市场投资组合（ M ）的 β 系数等于 1

)M(D

)M,icov(


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