例例 7.7.

.,

,

633

312

321

1 成为对角矩阵使求正交矩阵

设

APPP

A

λ

λ

λ

λ

的特征方程为解

633

312

321

)(

.

f

A

)9)(1(

321

32330

40 22

321

312

32123 rr

901 321 的特征值为所以，A

02

12

1

,

0

1

1

000

100

022

~

733

322

322

,0

1

11

1

eP

EA

xEA

单位化基础解系为

）求解方程组（时，当

313

13

1

,

1

1

1

000

110

101

~

633

312

321

0

00

0

22

2

eP

EA

xEA

单位化，基础解系为

）求解方程组（时，当

626

16

1

,

2

1

1

000

120

111

~

333

382

328

9

09

9

33

3

eP

EA

xEA

单位化，基础解系为

）求解方程组（时，当

9

0

1

6

2

3

10

6

1

3

1

2

16

1

3

1

2

1

),,,(

1

321

APP

P

eeeP

则

即

令：正交矩阵

例例 8.8.

.22 nEA

nA

证明：

阶正定矩阵，是设

n

APP

PA

2

1

1

,使正交矩阵是正定矩阵，所以存在证一：因为

),,2,1(,0

.

ni

AA

i

i

所以是正定矩阵，因为的特征值为矩阵其中

2

2

2

2

)2(

)2(

2

1

11

1

n

E

PEPAPP

PEAP

而

.22

),,2,1(,0

)2()2)(2(

)2(2

21

1

n

i

n

EA

ni

PEAPEA

因为

故

.),,2,1( 都大于零的全部特征值所以

是正定矩阵，证二：因为

niA

A

i

.2)2()2)(2(2

),,2,1(22

2

21n

n

i

EA

niEA

AEA

可得系，应的行列式值之间的关由矩阵的特征值与其对

的特征值为故的多项式，是矩阵又因为

例例 9.9.

.

542

452

222

的正定性

用不同方法判别

A

23

232

2321

3223

223121

21

32312123

22

21321

9

23)

3

2(3)(2

855)22(2

844552),,(

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxf

解一：（惯性指数法）

33

322

3211

3

2

xy

xxy

xxxy

令

.

3

.9

2332 2

322

21

是正定的为正定二次型，其矩阵所以

．指数为由标准型可知，正惯性

则得标准型

Af

yyyf

.

.010)49(2

320

230

222

542

452

222

;0652

22

;02

3

2

1

是正定矩阵所以

的各阶顺序主子式为法）解法二：（顺序主子式

A

A

A

A

A

.

542

110

222

)1(

542

110

222

542

452

222

23

rr

EA

由于解法三：（特征值法）

.

10,1,1

)10()1(

92

42)1(

942

010

422

)1(

2

23

是正定的故，，均为正数，的特征值为

所以，

A

A

cc

例例 10.10.

.00 Uxx

U

时，有所以，当是可逆矩阵，因为证：

.00

,01 矛盾，此与故

为可逆矩阵，而事实上，若

xUxUx

UUx

.

T

T

U A U U

f x Ax

设 是可逆矩阵，且 ，

证明： 为正定二次型

2( )

0 0 0

0.

.

T T T T

T

f x Ax x U Ux Ux Ux Ux

x Ux Ux

f

f x Ax

而

又因为 时， ，所以有 ，

故

即 为正定二次型