第 8 章 m 通道滤波器组
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第 8 章 M 通道滤波器组. 8.1 M 通道滤波器组的基本关系 8.2 M 通道滤波器的多相结构 8.3 混迭抵消和 PR 条件的多相表示 8.4 M 通道滤波器组的设计 8.5 余弦调制滤波器组. X 0 (z). V 0 (z). U 0 (z). H 0 (z). ↓ M. ↑ M. G 0 (z). X 1 (z). V 1 (z). U 1 (z). H 1 (z). ↓ M. ↑ M. G 1 (z). X M-1 (z). V M-1 (z). U M-1 (z). H M-1 (z). ↓ M. ↑ M. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 9章 小波变换基础第 8章 M 通道滤波器组8.1 M 通道滤波器组的基本关系8.2 M 通道滤波器的多相结构8.3 混迭抵消和 PR条件的多相表示 8.4 M 通道滤波器组的设计8.5 余弦调制滤波器组
第 9章 小波变换基础8.1 M 通道滤波器组的基本关系标准的M通道滤波器组 :
图 8.1.1 M 通道滤波器组
ˆ ( )X z( )X z
HM-1(z) ↓M ↑M GM-1(z)
XM-1(z) VM-1(z) UM-1(z)
H1(z) ↓M ↑M G1(z)
X1(z) V1(z) U1(z)
H0(z) ↓M ↑M G0(z)
X0(z) V0(z) U0(z)
.
.
.
.
.
...
.
第 9章 小波变换基础由第五章 ~第七章的讨论，我们得到图中各处信号之间的如下相互关系： 8.1.1
及 8.1.3
( ) ( ) ( )k kX z X z H z
11
0
1 11
0
1( ) ( )
1 ( ) ( ) (8.1.2)
Ml M
k k Ml
Ml lM M
M k Ml
V z X W zM
X W z H W zM
1
0
1( ) ( ) ( ) ( ) M
l lMk k M k M
l
U z V z X zW H zWM
第 9章 小波变换基础滤波器组的最后输出
令则这样，最后的输出 是 的加权和。
1
0
1 1
0 0
ˆ ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) (8.1.4)
M
k kk
M Ml l
M k M kl k
X z G z U z
X zW H zW G zM
1
0
1( ) ( ) ( ) (8.1.5)M
ll k M k
k
A z H zW G zM
1
0
ˆ ( ) ( ) ( ) (8.1.6)M
ll M
l
X z A z X zW
ˆ ( )X z ( )lMX zW
第 9章 小波变换基础由于 8.1.7 在 时是 的移位，因此， 是 及其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在 时， 是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证 (8.1.8) 则可以去除图 8.1.1 所示滤波器组中的混迭失真 . 再定义 8.1.9 显然， 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。（ 8.1.9 ）式的和（ 7.2.4 ）式的 一样，都称为“失真函数”。
( 2 / )( ) ( )jl j l M
M z eX zW X e
0l ( )jX e ˆ ( )jX e ( )jX e
0l ( 2 / )( )j l MX e
( ) 0 1 ~ 1lA z l M
1
00
1( ) ( ) ( ) ( )M
k kk
T z A z H z G zM
( )T z( )T z
第 9章 小波变换基础由（ 8.1.5 ）式， 能否为零取决于 的性质。将该式写成矩阵形式，有 （ 8.1.10 ）令 （ 8.1.11 ）并令（8.1.10）式右边的矩阵为 ，则在去除混迭失真的情况下，有 （ 8.1.12 ）
1 1( ) ~ ( )MA z A z
( ) ( ) 0 ~ 1k kH z G z k M ， ，
0 1 10 0
0 1 11 1
1 1 10 1 11 1
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
M
M
M M MMM M
H z H z H zA z G zH zW H zW H zWA z G z
M
H zW H zW H zWA z G z
0 0 1( ) [ ( ),0, ,0] , ( ) [ ( ), , ( )] T TMz MA z z G z G z t g
( )zH( ) ( ) ( )z z zt H g
第 9章 小波变换基础由（ 8.1.12 ）式，我们有 （ 8.1.13 ）为保证去除混迭失真 ,可选 这样，若 已知，即可求出综合滤波器组 。（ 8.1.13 ）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为： (8.1.14)式中 是 的伴随矩阵。
1( ) ( ) ( )z z zg H t
0( ) [ ( ),0, ,0] [ ' ,0, ,0]T kz MA z c z t
( )zH ( )zg
adj ( )( ) ( )det ( )
zz zz
Hg tH
adj ( )zH ( )zH
第 9章 小波变换基础a. 若 是 FIR 的，显然 det 也是 FIR 的，这时 将变成 IIR 的；b. 若选择 ，这时 可保证是 FIR的，但由于 ，因此 的阶次将远大于 ;c. 若 有零点在单位圆上， 的幅度将会产生较大的失真。
( )zH ( )zH( )zg
0det ( ) ( )nz cz zH t ( )zg( ) adj ( )z zg H ( )zg
( )zH( )zH ( )zg
第 9章 小波变换基础8.2 M 通道滤波器的多相结构仿照（ 7.6.9 ）和（ 7.6.10 ）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为： (8.2.1)写成矩阵形 (8.2.2)
记
1
,0
( ) ( )M
l Mk k l
l
H z z E z
0 0,0 0,1 0, 11
1 1,0 1,1 1, 1
( 1)1 1,0 1,1 1, 1
( ) 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
M M MM
M M MM
MM M MM M M M M
H z E z E z E zH z zE z E z E z
H z zE z E z E z
1 ( 1)0 1 1( ) [ ( ), ( ), , ( )] , ( ) [1, , , ] (8.2.3)T M T
Mz H z H z H z z z z h e
第 9章 小波变换基础并记（ 8.2.2 ）式右边的矩阵为，则 (8.2.4) 称为多相矩阵，而 是由上一节的 A
C 矩阵的 第一列构成的。同理，对综合滤波器组 按第二类多相结构展开，有 (8.2.5)
写成矩阵形式：
( ) ( ) ( )Mz z zh E e
( )ME z ( )zh( )zH
( )kG z1
( 1 ),
0
( ) ( )M
M l Mk l k
l
G z z R z
第 9章 小波变换基础
记该式右边的多相矩阵为 ，则（ 8.2.6 ）式可写为如下更简洁的形式 (8.2.7)
( 1) ( 2)0 1 1
0,0 0,1 0, 1
1,0 1,1 1, 1
1,0 1,1 1, 1
( ), ( ), , ( ) , , ,1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
M MM
M M MM
M M MM
M M MM M M M
G z G z G z z z
R z R z R zR z R z R z
R z R z R z
(8.2.6)
( )MzR
( 1)( ) ( ) ( )T M Mz z z z g e R
第 9章 小波变换基础式中已在（ 8.1.11 ）式中定义， 。利用（ 8.2.2 ）和（ 8.2.6 ）式，图 8.1.1 的 M通道滤波器组可改为图 8.2.1(a) 的形式。再利用恒等变换，又可改成图（ b）和（ c）的形式。 在图（ c）中 该图的得到过程与图 7.6.1 和图 7.6.2 的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵 和 的分析，或简单的 的分析。若 为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。
1( ) [ ( )]Tz z e e
( ) ( ) ( )z z zP R E
( )zE ( )zR ( )zP
( )zP
第 9章 小波变换基础我们讨论一下， AC矩阵和多相矩阵的关系。 由（ 8.2.3 ）式对 的定义及（ 8.1.10 ）式对 的定义，我们有 (8.2.8) 由（ 8.2.2 ）式， 又可表为
( )zh ( )zE
1( ) [ ( ), ( ), , ( )]T Mz z zW zW H h h h
( )T zH
1
1
( ) [ ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( )]
( )[ ( ), ( ), , ( )]
T M M M M
M M
z z z z zW z zW
z z zW zW
H E e E e E e
E e e e
第 9章 小波变换基础
(a)
↓M
↑M
1z
1z
. .
.
1z
1z
1z
1z . .
.
↓M
↑M
↓M
↑M
(b)
↓M
↑M
1z
1z
. .
.
1z
1z
1z
1z . .
.
↓M
↑M
↓M
↑M
(c)
↓M
↑M
1z
1z
. .
.
1z
1z
1z
1z . .
.
↓M
↑M
↓M
↑M
第 9章 小波变换基础
第 9章 小波变换基础
第 9章 小波变换基础记 (8.2.9)
(8.2.10)则 (8.2.11a)或 (8.2.11b)（ 8.2.11 ）式即是混迭分量矩阵 和多相矩阵 的关系。
1
1 ( 1)( 1)
1 1 11
1
M
M M M
W W
W W
W
1 ( 1)( ) [1, , , ]Mz diag z z D*( ) ( ) ( )T Mz z zH E D W
( ) ( ) ( )H T Mz z zH W D E
( )zH( )MzE
第 9章 小波变换基础8.3 混迭抵消和 PR条件的多相表示定理 8.1 一个 M通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵 为伪循环矩阵。 所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵
将其主对角线以下的元素都乘以 所得到的矩阵，即
( ) ( ) ( )z z zP R E
0 1 2 1
1 0 1 2
2 1 0 3
1 2 3 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
M
M M
M M M
P z P z P z P zP z P z P z P zP z P z P z P z
P z P z P z P z
1z
第 9章 小波变换基础
该伪循环矩阵所对应的时域关系是：
现证明定理 8.1 。 由图 8.2.1 （ c），有
0 1 2 11
1 0 1 21 1
2 1 0 3
1 1 11 2 3 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
M
M M
M M M
P z P z P z P zz P z P z P z P zz P z z P z P z P z
z P z z P z z P z P z
0 1 2 1
1 0 1 2
2 1 0 3
1 2 3 0
( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( ) ( )
( 1) ( 1) ( 1) ( )
M
M M
M M M
p n p n p n p np n p n p n p np n p n p n p n
p n p n p n p n
第 9章 小波变换基础 (8.3.1) (8.3.2)于是最后的输出
该式是 M通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有
1 11
0
1( ) ( ) ( ) 0,1, , 1M
k l kM Ml
k
V z z W X z W l MM
1
,0
( ) ( ) ( )M
s s l ll
U z P z V z
1( 1 )
0
1 1( 1 )
,0 0
1 1 1( 1 )
,0 0 0
ˆ ( ) ( )
( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) (8.3.3)
MM s M
ss
M MM s M M
s l ls l
M M MM s M k l k
s ls l k
X z z U z
z P z V z
z P z zW X zWM
第 9章 小波变换基础 (8.3.4)
因为 为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等于零。 也就是说，使混迭抵消的充要条件是使 时的 (8.3.5) 记 (8.3.6)
1 1 1( 1 )
,0 0 0
1ˆ ( ) ( ) ( )M M M
k kl l M s Ms l
k l s
X z X zW W z z P zM
( ) 1, 2, , 1kX zW k M ，
0k
1 1( 1 )
,0 0
( ) 0M M
kl l M s Ms l
l s
W z z P z
1( 1 )
,0
( ) ( )M
l M s Ms l l
s
z z P z Q z
第 9章 小波变换基础则（ 8.3.5 ）式可表为： (8.3.7)式中 c为不等于零的常数。为便于观察矩阵中元素的规律，现对（ 8.3.6 ）式作进一步的展开。假定 M=4 ，有 (8.3.8a) (8.3.8b) (8.3.8c) (8.3.8d)
01
0
0( )
0 1, , 1
nMkl
ll
cz kW Q z
k M
3 2 10 0,0 1,0 2,0 3,0( )Q z z P z P z P P
4 3 2 11 0,1 1,1 2,1 3,1( )Q z z P z P z P z P
5 4 3 22 0,2 1,2 2,2 3,2( )Q z z P z P z P z P
6 5 4 33 0,3 1,3 2,3 3,3( )Q z z P z P z P z P
第 9章 小波变换基础 注意式中省去了 的 。同时，（ 8.3.7 ）式可表为
由于 ，所以上式又变为： (8.3.9)
常数 c’包含了常数 c和 M。由于 W是 DFT矩阵，其第一行和第一列全为１。因此，（ 8.3.9 ）式意味着
4, ( )s lP z 4( )z
00
1
1
( )( ) 0
( ) 0
n
H
M
Q z czQ z
Q z
W
H MWW I0
0
1
1
( ) '( ) 0
( ) 0
n
n
Q z c zQ z
Q z
W
第 9章 小波变换基础 (8.3.10) 由（ 8.3.8 ）和（ 8.3.10 ）式可知，矩阵中各元素应有如下规律（以 M=4 为例） 1. 同为 的系数应该相等，即 2. 同为 的系数应该相等，即 3. 同为 的系数应相等，即 4. 由于 ，因此，在（ 8.3.8 ）的前两个式子中，必应有
00 1 1( ) ( ) ( ) ' n
MQ z Q z Q z c z
3z
0,0 1,1 2,2 3,3P P P P
2z
1,0 2,1 3,2P P P 1z 2,0 3,1P P
0 1( ) ( )Q z Q z4
3,0 0,1P z P
第 9章 小波变换基础5. 同理，由（ 8.3.8b ）和（ 8.3.8c ）式，应有由（ 8.3.8c ）和（ 8.3.8d ）式，应有因此矩阵 P的各元素之间应有
1 53,1 0,2z P z P
2 63,2 0,3z P z P
0,0 0,1 0,2 0,3
1,0 1,1 1,2 1,3,
2,0 2,1 2,2 2,3
3,0 3,1 3,2 3,3
0,0 0,1 0,2 0,31
0,3 0,0 0,1 0,21 1
0,2 0,3 0,0 0,11 1 1
0,1 0,2 0,3 0,0
[ ]
s l
P P P PP P P P
PP P P PP P P P
P P P Pz P P P Pz P z P P Pz P z P z P P
P
第 9章 小波变换基础 注意式中由 改成 是因为矩阵 实际上是 。由此我们可以看出， 确实是一伪循环矩阵。
5z 1z P
4( )zP
4( )zP ( )zP
第 9章 小波变换基础定理 8.2 一个通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是 (8.3.11) 式中 为整数， ， c为不等于零的常数。证明： PR条件意味着混迭抵消条件成立。由（ 8.3.4 ）式，在 k=0 时，有 (8.3.12)由（ 8.3.6 ）式的定义，则
01( ) ( ) ( ) Mnz z z cz
z
0 IP R E
I 00 ,n r 0 1M
1 1( 1 )
,0 0
1ˆ ( ) ( ) ( )M M
l M s Ms l
l s
X z X z z z P zM
1
0 1 10
1 1ˆ ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]M
l Ml
X z X z Q z X z Q z Q z Q zM M
第 9章 小波变换基础由（ 8.3.10 ）式，并定义 (8.3.13)则 (8.3.14)我们希望 ，则 。由（ 8.3.8a）式，由于因此，要求 ，则等效要求 中只能包含一项。不失一般性，设 中下标为 的元素不为零，该项是 。由于 又是伪循环矩阵，也即从第一行开始，以下各行元素都是第０行元素循环移位的结果，因此， 必然具有如下形式：
0 1 1( ) ( ) ( ) ( )MQ z Q z Q z Q z ˆ ( ) ( ) ( )X z X z Q z
0ˆ ( ) ( )X z cx n n 0( ) nQ z cz
( 1) ( 2) 10 0,0 1,0 2,0 1,0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M M
M MQ z Q z z P z z P z z P z P z
0( ) nQ z cz 0 ( )Q z
0 ( )Q z ( ,0)( 1 )
,0( )Mz P z
( )zP
( )zP
第 9章 小波变换基础
即 (8.3.15)于是定理得证。
( 1 )r,0
( 1 )r,0
( 1 )r,0
( 1 ) 1r,0
( 1 )r,0
0 0 ( ) 0 00 0 0 ( ) 0
0 0 0 0 ( )( )
( ) 0 0
0 ( ) 0
M
M
M
M
M
z p zz P z
z P zz
z z P z
z P z
P
( 1 )1
0( )
0MMz z
z
IP
I
第 9章 小波变换基础8.4 M 通道滤波器组的设计定理 8.1 和定理 8.2指出，对 M通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真，则 应为伪循环矩阵。若再做到准确重建，则 的每一行（或列）只能有一个元素不为零，整个 的如（ 8.3.11 ）式所示。这样，实现 PR的 M通道滤波器组的 结构已确定，其余的任务即是寻求 来满足 。直接求出 是比较困难的。由于 ，因此，由给定形式后 的来寻求 相对比较容易。又由于一旦求出 后为求 需要求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不稳定或是使 为 IIR 的。因此，为避免求逆运算，我们往往假定 是仿酉的。
( ) ( ) ( )z z zP R E( )zP
( )zP
( )zP( ), ( ), 0,1, , 1k kH z G z k M ( )zP
( ), ( )k kH z G z ( ) ( ) ( )z z zP R E( )zP ( )zE
( )zE ( )zR
( )zR( )zE
第 9章 小波变换基础这样 (8.4.1) 是一个极简单的计算。同时 (8.4.2) 保证了系统的 PR性质。反之，若系统满足 PR ，由（ 8.4.2 ）和（ 8.4.1 ）式， 必定是仿酉的。现在的问题是如何设计出 使之满足（ 8.4.2 ）式，一旦求出，由 (8.4.3a) (8.4.3b)即可求出 和 。
0( ) ( )nz cz zR E
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nz z z cz z z cz P R E E E I
( )zE( )zE
1
,0
( ) ( )M
l Mk k l
l
H z z E z
1
( 1 ),
0
( ) ( )M
M l Mk l k
l
G z z R z
( )kH z ( ), 0,1, , 1kG z k M
第 9章 小波变换基础 给定一个范数等于 1的向量 ，其维数为 ，那么 是 的矩阵，定义 (8.4.4) 则 是仿酉矩阵，即 (8.4.5) 每一个 ，都是一个一阶的仿酉系统，该系统可由图 8.4.1来实现。
mV
1M Hm mV V M M
1( ) H Hm m m m mz z C I V V V V
( )m zC
( ) ( )m mz z C C I
( ), 0,1, , 1m z m M C
第 9章 小波变换基础
图 8.4.1 一阶仿酉系统 的实现 可以证明，一个 J阶的仿酉矩阵 可由一阶的简单仿酉矩阵 的级联来构成，即 (8.4.6) 式中为常数酉矩阵，即 ，那么， 可由图 8.4.2来实现。
HmV mV
1z
1
( )m zC
( )zE( )m zC
1 1( ) ( ) ( ) ( )J Jz z z zE C C C UH dU U I ( )zE
第 9章 小波变换基础
图 8.4.2 的实现 文献［ 15］进一步证明了常数酉矩阵可进一步作如下分解： (8.4.7)式中 D 是对角阵，其元素 ，而矩阵可表为 (8.4.8)
( )zE
…1( )zC 2 ( )zCU ( )J zC
1 2 1Md U U U U D
ijiiD e
2 Hi i i U I u u
第 9章 小波变换基础将 按（8.4.5）式分解， 由（8.4.4）式的 表示，而将 可按（8.4.6）式分解后， 又由（8.4.7）式的 表示。因此，决定的 主要是向量 和 ，现在的工作是选定一目标函数，然后对 和 求最优，从而得到所需要的“好的”分析滤波器 。目标函数可选 这 M个滤波器阻带能量的和，即 (8.4.9) 令 将对 和 最小可得到 ，再由 即可得到综合滤波器组。
( )zE ( )m zC
mV U iU
iu ( )zEmV iu
mV iu( )kH z
( ), 0,1, , 1kH z k M
1 2
0
( )M
jk
k
H e d
阻带
mV iu ( )kH z( 1)( ) ( )N
k kG z cz H z
第 9章 小波变换基础
(a)
(b) 图 8.4.3 (a) 矩阵的实现 (b) 矩阵 的实现 文献 [15]利用此方程设计了一个三通道的滤波器组，其幅频响应如图 8.4.4 所示， 的数值如表 8.4.1 所示。
D 1M U d I …2M U 1U
iu2Hiu
iU
0 1 2( ), ( ) ( )h n h n h n和
第 9章 小波变换基础 表 8.4.1三通道滤波器组各滤波器的系数 0 -0.0429753 -0.0927704 0.0429888 1 0.0000139 0.0000008 -0.0000139 2 0.1489104 0.0087654 -0.1489217 3 0.2971954 0.0000226 0.2972354 4 0.3537539 0.1864025 -0.3537496 5 0.2672266 -0.0000020 0.2672007 6 0.0870758 -0.3543303 -0.0870508 7 -0.0521155 -0.0000363 -0.052090 8 -0.0875973 0.3564594 0.0875786 9 -0.0427096 -0.0000049 -0.042706710 0.0474530 -0.1931082 -0.047445211 0.0429618 0.0000230 0.042967712 0.0 0.0 0.013 -0.0232765 -0.0000026 -0.023274914 0.0000022 0.0 0.0000022
n 0( )h n1( )h n 2( )h n
第 9章 小波变换基础
图 8.4.4 三通道滤波器组的幅频响应0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0H0 H1 H2
d
B
第 9章 小波变换基础8.5 余弦调制滤波器组8.5.1 余弦调制滤波器组的基本概念及伪QMFB
我们在 6.2 节介绍了 DFT 滤波器组。其思路是给定一个原型滤波器组，令 (8.5.1a)则 (8.5.1b)
2
0( ) ( )j knM
kh n h n e
( 2 / )0( ) ( ), 0,1, , 1j j k M
kH e H e k M
第 9章 小波变换基础 即 M个分析滤波器组是由 作调制所得到的，调制因子是 ，相应的频谱是 做均匀移位所得到的。移位距离是 。这样，为防止 之间有混迭， 的截止频率在 ，带宽为 。如图 6.1.2 所示。 DFT滤波器是一种复数调制滤波器组，即使 是实的， 也是复的，这样，对实信号 ，经分析滤波器组的分析后， M个子带信号也都变成复信号。这是 DFT滤波器组的缺点。
( )h n2j knMe
( )jH e
2 M( )j
kH e ( )jH e M
2 M( )h n
( ), 1 ~ 1kh n k M
( )x n
第 9章 小波变换基础为了克服 DFT滤波器组的这一缺点，人们又提出了“余弦调制”滤波器组的概念。假定我们给定两个原型滤波器 和 ，令 (8.5.2a) (8.5.2b) 则可得到 M个分析滤波器和 M个综合滤波器，但它们都是实系数的滤波器。式中 (8.5.3)
( )h n ( )g n( ) 2 ( ) cos[( 0.5)( ) ]
2k kDh n h n k n
M
( ) 2 ( ) cos[( 0.5)( ) ]2
0,1, , 1k k
Dg n g n k nM
k M
( 1) 4kk
第 9章 小波变换基础 D是整个滤波器组输出相对输入的延迟 . 由于 , 是原型的 , 乘以余弦函数所得到的，因此称它们为“余弦调制”滤波器组。现就（ 8.5.2 ）及（ 8.5.3 ）式的给出做一些说明。 对给定的原型低通滤波器 ，我们首先由它得到一个 2M大的 DFT分析滤波器组，即令 (8.5.4a) (8.5.4b)
( )kh n( )kg n ( )h n ( )g n
( )h n
2( ) ( ) knk Mp n h n W
2( ) ( ) 0,1, , 2 1kk MP z H zW k M
第 9章 小波变换基础式中 。我们假定 是实的，所以 是偶对称的，并假定 是低通的，其截止频率在 处，带宽为 ，如图 8.5.1a所示。由于 (8.5.4c) 所以 如图 8.5.1b 所示。 由该图可以看出， 和 是相对 为对称的。这样，如果我们把 和 相结合形成一个滤波器，那么该滤波器将具有实系数，且带宽度为 。现在讨论如何实现这两个滤波器的结合。
2 / 22
j MMW e ( )h n
( )jH e ( )jH e
2 M M
( / )( ) ( ) 0,1, , 2 1j j k MkP e H e k M
( )jkP e
( )jkP e
2 ( ) , 1, , 2 2jM kP e k M
0 ( )kP z2 ( )M kP z
2 M
第 9章 小波变换基础
图 8.5.1 余弦调制滤波器组的频率响应 (a)原型低通 (b)2M 个分析滤波器组 令 (8.5.5a) (8.5.5b)
)(0jeH
M2 M2
1
0P 1P 2P12 MP
0P12 MP
M2 M2 2
… …
( )jH e
( ) ( )kk kU z C H zW
*( ) ( )kk kV z C H zW
第 9章 小波变换基础 式子中 为模为 1的范数。令 (8.5.6) 式中 也是模为 1的范数。由于 (8.5.7) 是阶次为 N-1 的 FIR 实系数低通滤波器，所以，由（ 8.5.6 ）式得到的 (8.5.8)
kC*( ) ( ) ( ), 0,1, , 1k k k k kH z a U z a V z k M
ka1
0
( ) ( )N
n
n
H z h n z
1
0
( ) ( ) 0,1, , 1N
nk k
n
H z h n z k M
第 9章 小波变换基础 也是 N-1 阶的 FIR 滤波器，由于 的共轭特性，因此 也是实系数。显然， 是低通的， 是高通的，其余则是带通的。 由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一般应和分析滤波器组具有相同的幅频响应。因此，我们可选 (8.5.9) 这样，由（ 8.5.5 ）～（ 8.5.9 ）式保留了三个常数待确定，即 。如同所有的滤波器组一样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真和相位失真的问题。
( ), , ,k k k kU z V a c( )kh n 0 ( )H z
1( )MH z
*( ) ( ) ( ), 0,1, , 1k k k k kG z b U z b V z k M
, k k kc a b和
第 9章 小波变换基础 由（ 8.1.9 ）式，在 M通道滤波器组中失真函数 总有如下的形式： (8.5.10)若选择 (8.5.11a)或等效地选择 (8.5.11b) 则 (8.5.12a)或 (8.5.12b)
( )T z
1
0
1( ) ( ) ( )M
k kk
T z H z G zM
( ) ( 1 )k kg n h N n
( 1) 1 ( 1)( ) ( ) ( )N Nk k kG z z H z z H z
( 1) 11
0
( ) ( ) ( )N M
k kk
zT z H z H zM
1 2( 1)
0
( ) ( )M
j j N jk
k
MT e e H e
第 9章 小波变换基础这样，如果 具有线性相位，从而去掉了相位失真。若 再是功率互补的，则可去掉幅度失真。文献 [15]证明了如下关系： 1. 为去除混迭失真，应选择 ； 2. 选择 ，可保证 ， 和 有着同样的相频响应； 3. 选择 ，可使 ，从而使 具有线性相位，从而去除相位失真； 4. 选择 及 ，保证了第 1条的 条件，即去除混迭失真。对 的此种制约，可选
( )T z( )j
kH e
* *1 1k k k ka b a b
( 0.5)( 1) / 22
k Nk Mc W ( )kU z ( )kV z
( )H z*
k kb a ( 1)( ) ( )Nk kG z z H z ( )T z
1( 1)kk ka ja *
k kb a,k ka b ka
第 9章 小波变换基础 (8.5.13)这时， 可简化为 (8.5.14)5.总之，按（ 8.5.13 ）式选择 及使 如（ 8.5.11b ）式，我们可近似消除混迭失真，并完全去除相位失真。在上述条件下， 和 最后简化为（ 8.5.2 ）式，且在该式中 即分析和综合滤波器组来自于同一个原型低通滤波器 。式中 D=N-1
, ( 1)4
kj kk ka e
( )T z1
2 2
0
1( ) [ ( ) ( )]M
k kk
T z U z V zM
ka ( )kG z
( )kh n ( )kg n( ) ( )g n h n
( )h n
第 9章 小波变换基础 6. 余下的问题是幅度失真。幅度失真的原因来自（ 8.5.12b ）式的 不是全通的。由于余弦调制滤波器组的 和 均来自原型滤波器 ，因此， 的形态便直接和 有关，也即余弦调制滤波器组的设计归结到 的设计。前已述及， 的截止频率为 ，带宽为 。我们自然希望 在通带内尽量地平，在阻带内具有最大的衰减。因此，定义 (8.5.15a) (8.5.15.b)
( )jT e
( )kH z ( )kG z
( )H z ( )T z ( )H z( )H z
( )kH z 2 MM ( )jH e
/ 2 2( / ) 21 0
[ ( ) ( ) 1]M j j MH e H e d
2
22
( )j
M
H e d
第 9章 小波变换基础 并令 (8.1.15c) 是通带和阻带性能之间的一个调节参数， , 通过使 最小可得到最优的 。由此形成的 和 即为伪 QMFB。
1 2(1 )
0 1 ( )H z
( )kH z ( )kG z
第 9章 小波变换基础8.5.2 余弦调制滤波器组准确重建的条件
我们以多相结构和仿酉矩阵来讨论余弦调制滤波器组实现 PR的条件。对（ 8.5.2 ）式给出的余弦调制的基本形式，我们假定 和 可以不等长，如 的长度为 ， 的长度为 ，并假定整个滤波器组的延迟 D也是可变的，其变化范围是 (8.5.16a)为讨论的方便，假定 D取某一固定值，即 (8.5.16b)
( )h n ( )g n( )h n hN ( )g n gN
[ 1, ( 1)]h gD M N N M
2 , 0 2 1, D sM d d M s Z
第 9章 小波变换基础 近年来的研究表明，余弦调制滤波器组既可通过DCT-Ⅳ来实现，也可通过 DCT-Ⅲ及 DCT-Ⅱ来实现。有关四类 DCT的定义见文献 [19]。当用 DCT-Ⅳ来实现时， D为奇数，当用 DCT-Ⅲ来实现时， D为偶数。 我们的任务是寻求分析滤波器组 的原型 及综合滤波器组的原型 ，使得整个 FB 具有 PR性质。为此，我们首先将 和 表成 2M 个多相分量的和， 即： (8.5.17a) (8.5.18a)
( )kH z( )H z( )G z
( )H z ( )G z
2 12
0
( ) ( )M
l Ml
l
H z z E z
2 1
2
0
( ) ( )M
l Ml
l
G z z R z
第 9章 小波变换基础 式中 (8.5.17b) (8.5.18b)
分别是 所对应的时域序列的长度。 定义 (8.5.19a) (8.5.19b)
' 1
0
( ) (2 )hN
kl
k
E z h Mk l z
' 1
0
( ) (2 )gN
kl
k
R z g Mk l z
', 'h gN N ( ), ( )lE z R z
0 0 1 1( ) [ ( ), ( ), , ( )]Mz diag E z E z E zh
1 1 2 1( ) [ ( ), ( ), , ( )]M M Mz diag E z E z E z h
第 9章 小波变换基础 (8.5.20) 再令 (8.5.21) 则分析滤波器组 的多相结构可表为： (8.5.22)同理，对综合滤波器组，我们可定义：
1 ,1[ ] 2cos[( )( ) ( 1) ]2 2 4
0 1, 0 2 1
kk l
Dk lM
k M l M
C
20
1 1 21
( )( )
( )z
zz z
hE C
h
0 1 1( ), ( ), , ( )MH z H z H z
1
( 1)
1
( ) ( )M
M
zz z
z
h E
第 9章 小波变换基础 (8.5.23a) (8.5.23b) (8.5.24) (8.5.25) 则综合滤波器组 的多相结构可表为： (8.5.26)
0 1 2 0( ) [ ( ), ( ), , ( )]M Mz diag R z R z R z g
1 2 1 2 2( ) [ ( ), ( ), , ( )]M M Mz diag R z R z R z g
2 ,[ ] 2cos[(2 1) (2 1 ) ( 1) ]2 2 4
0 1, 0 2 1
kk l
Dk M lM
k M l M
C
1 2 21 0 2( ) [ ( ), ( )] Tz z z z R g g C
0 1 1( ), ( ), , ( )MG z G z G z
( 1) ( 2)( ) [ , , ,1] ( )T M M Mz z z z g R
第 9章 小波变换基础 在上面的讨论中， 都是 的多相矩阵，这样，整个滤波器组的多相传递矩阵 (8.5.27)文献 [66]证明了具有如下形式： (8.5.28)式中 为 的反单位阵。
( ), ( )z zE R M M
21 2 2 0
1 0 2 1 1 21
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ), ( )]
( )T
z z z
zz z z
z z
P R E
hg g C C
h
2 12 1
1
2 ( 1)T M dM s
dM
M
0 IJ 0C C
I 00 J
MJ M M
第 9章 小波变换基础
将（ 8.5.28 ）代入（ 8.5.27 ）式，有
(8.5.29)由定理 8.2 ，一个通道 FB实现 PR的充要条件是 (8.5.30)不失一般性，可假定 c =1 。对比（ 8.5.30 ）和（ 8.5.29 ）式，我们可得到在 d取不同值时实现 PR的 的表达式：
22 11 2 2 0
1 0 1 21 1
( )( ) 2 [ ( ), ( )] ( 1)
( )M dM s
dM
zz M z z z
z z
0 IJ 0 hP g g
I 00 J h
01( ) ( ) ( ) M rm
r
z z z czz
0 IP R E
I 0
( )zP
第 9章 小波变换基础
(8.5.31a)及 (8.5.31b)
1(2 1)1
1
( ) 0 1M ds
d
z z d Mz
0 IP
I 0
2 121
1
( ) 2 1M ds
d M
z z M d Mz 0
0 IP
I
第 9章 小波变换基础 现对上式中的一些参数作一简单的解释：在（ 8.5.30 ）式中， ,且整个 FB的延迟等于 。由于我们在（ 8.5.16b ）式中假定 ，因此，若 ，则 ；若 ，则 。这即是（ 8.5.31 ）式中 d在两种情况下取值时单位阵 I的下标及 的幂的取值的原因。
0 0,0 1m r M
0( 1) 1m M r 2D sM d 0 1d M
01, 2 1r d m s 2 1M d M 01, 2r d M m s
1z
第 9章 小波变换基础由于 ， 分别由原型 的多相分量所组成，因此，由（ 8.5.31 ）式可找到 ， 为实现 PR 所应遵循的关系。文献 [68] 经过冗长的推导给出了在 和 d取不同值时的 PR条件的表达式。文献[10] 把它写为一简洁的形式，即：
满足（ 8.5.32b ）式的 和 有如下关系：
( ) ( ) ( )z z zP R E ( ), ( )z zR E( ), ( )G z H z
( )lE z ( )lR zl
2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (8.5.32 )2
( ) ( ) ( ) ( ) 0 (8.5.32 )
s
l M l M l M l
l M l M l l
zE z R z E z R z aM
E z R z E z R z b
( )lR z ( )lE z
第 9章 小波变换基础 (8.5.33a) (8.5.33b) 若选择 ，即 ，那么（ 8.5.32a）式变成 (8.5.30)显然：
这 M/2 个方程犹如 M/2 个两通道滤波器组的 PR条件。
( ) ( )l lR z z E z
( ) ( )M l M lR z z E z
1, 0 ( ) ( ), 0,1, , 2 1l lR z E z l M
2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0,1, , / 2 12
s
l M l M l M lzE z E z E z E z l MM
0 2 1 1
1 2 2 1 2
2 2 3 2 3
( ) ( ) ( ) ( )2
( ) ( ) ( ) ( )2
( ) ( ) ( ) ( )2
s
M M M
s
M M M
s
M M M
zE z E z E z E zMzE z E z E z E zMzE z E z E z E zM
第 9章 小波变换基础 由（ 8.5.19 ） -（ 8.5.22 ）式，我们可得到分析滤波器组实现的信号流图，如图 8.5.2 所示
图 8.5.2 余弦调制分析滤波器组的实现
1z
1z
. .
.
1z
20 ( )ME z
21( )ME z
22 1( )MME z
0 ( )H z
1( )H z
1( )MH z
( )X z
第 9章 小波变换基础总之，余弦调制滤波器的 M个分析滤波器 均来自一个低通原型滤波器 。因此将使设计简单化，即最优化时仅对 进行，从而使需要最优的参数大大减少。由 得到余弦调制 的可通过 DCT的快速算法来实现，使整个计算的复杂性大大降低。有关 M通道调制型滤波器组的理论与实现是一个很有吸引力的研究课题，至今这方面的论文仍是很多。
0 1 1( ), ( ), , ( )MH z H z H z
( )H z( )H z
( )H z 0 1 1( ), ( ), , ( )MH z H z H z