repository.ipb.ac.id · abstrak . sari rahayu. ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui...
TRANSCRIPT
UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI
ANALISIS PROCRUSTES
SARI RAHAYU
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ABSTRAK
SARI RAHAYU. Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes.
Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.
Analisis korespondensi merupakan bagian analisis peubah ganda yang mempelajari hubungan
dua atau lebih variabel dengan memeragakan baris dan kolom secara serempak dari tabel
kontingensi dalam ruang berdimensi rendah dengan menggunakan jarak khi-kuadrat. Dari analisis
korespondensi diperoleh matriks koordinat profil baris dan kolom. Studi ini bertujuan menghitung
ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes dan mengaplikasikan analisis
korespondensi pada dua contoh data yaitu hubungan antara kelompok pegawai dengan kebiasaan
merokok dan hubungan antara provinsi dengan lapangan pekerjaan utama. Ukuran kesesuaian
melalui analisis Procrustes ditentukan dari nilai perbedaan minimum ketiga transformasi geometri
yaitu translasi, rotasi, dan dilasi. Ukuran kesesuaian dalam analisis korespondensi melalui analisis
Procrustes untuk matriks koordinat profil baris dan kolom perlu dilakukan ketiga transformasi.
Hasil analisis untuk hubungan kategori perokok dengan kelompok pegawai menghasilkan ukuran
kesesuaian masing-masing untuk profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan 99.53%. Sedangkan
hasil analisis Procrustes untuk hubungan provinsi dengan lapangan pekerjaan utama menghasilkan
ukuran kesesuaian masing-masing untuk profil baris dan kolom masing-masing sebesar 91.83%
dan 88.25%.
Kata kunci: analisis korespondensi, ukuran kesesuaian, analisis Procrustes
ABSTRACT
SARI RAHAYU. Goodness-of-fit of Correspondence Analysis via Procrustes Analysis. Under
supervision of SISWADI and TONI BAKHTIAR.
Correspondence analysis is a part of multivariate analysis studying the relationship of two
or more variables which are displayed in rows and columns simultaneously from contingency
table in low dimensional space using the Chi-square distance. From correspondence analysis,
it is obtained row and column profiles co-ordinate matrix. This study aims to calculate the
goodness-of-fit of correspondence analysis via Procrustes analysis and applied to two
examples of data, i.e. the relationships between categories of smokers and groups of
employees and the relationship between the province and the main jobs. To obtain the
Procrustes analysis, we need to determine minimum difference through three geometric
transformations, i.e. translation, rotation, and dilation. In correspondence analysis, we need to
do three transformations on Procrustes analysis to obtain goodness-of-fit in row and column
profiles co-ordinate matrix. The result of Procrustes analysis for relationship between
employee groups and smoking habits to row and column profiles is 98.64% and 99.53%
respectively. While the result of Procrustes analysis for relationship between province and the
main jobs to row and column profiles is 91.83% and 88.25% respectively.
Keywords: correspondence analysis, goodness-of-fit, Procrustes analysis
UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI
ANALISIS PROCRUSTES
SARI RAHAYU
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis
Procrustes
Nama : Sari Rahayu
NIM : G54070055
Menyetujui,
Pembimbing I,
Prof Dr Ir Siswadi, MSc
NIP 19490609 197412 1 001
Pembimbing II,
Dr Toni Bakhtiar, MSc
NIP 19720627 199702 1 002
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika,
Dr Toni Bakhtiar, MSc
NIP 19720627 199702 1 002
Tanggal Lulus : ………………………………
Judul Skripsi Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes
Nama Sari Rahayu NIM G54070055
Menyetujui,
Pembimbing I, Pembimbing II,
Prof Dr If Siswadi, MSc Dr Toni Bakhtiar, MSc NIP 19490609 197412 1 001 NIP 19720627 199702 1 002
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika,
Bakhtiar, MSc 627 199702 1 002
a . 0 2 JAN 2014Tangoal Lulus ..................... . .............. .
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan
karuniaNya, sehingga karya ilmiah berjudul Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui
Analisis Procrustes ini dapat penulis selesaikan. Shalawat dan salam tak lupa penulis curahkan
kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta seluruh keluarga, sahabat, dan para pengikutnya
sampai akhir zaman.
Ucapan terima kasih penulis haturkan kepada Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen
pembimbing I dan Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, serta motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terima
kasih juga penulis haturkan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji
yang telah banyak memberi saran. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh
dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan, serta staf dan pegawai di
Departemen Matematika atas semua bantuan dan pelayanannya selama ini.
Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk Bapak, Ibu, Adik tersayang dan Dzulkarnain.
Penulis mengucapkan terima kasih atas doa, kesabaran, dukungan, motivasi, dan kasih sayang
yang tiada henti kepada penulis. Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada teman-teman
Matematika 44, adik-adik Matematika Angkatan 45 dan 46, serta seluruh pihak yang telah
membantu penulis dalam penulisan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Sari Rahayu
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 21 September 1989 dari pasangan bapak
Jumadi dan ibu Sudarini. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 2007,
penulis lulus dari SMA Negeri 1 Cibinong dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa
IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, dengan minor Statistika Terapan sebagai mata
kuliah penunjang. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus
pada semester ganjil tahun akademik 2009-2010. Penulis mendapatkan beasiswa Perhimpunan
Orang Tua Mahasiswa (POM) pada semester ganjil tahun akademik 2007-2008 sampai dengan
semester genap tahun akademik 2009-2010 dan beasiswa Pengembangan Prestasi Akademik
(PPA) pada semester ganjil tahun akademik 2010-2011 sampai dengan semester genap tahun
akademik 2011-2012. Penulis juga pernah menjadi panitia dalam Pesta Sains Nasional 2009 dan
2010, Welcome Ceremony Mathematica, Math Expo, Reuni Akbar Matematika dan kegiatan
kepanitian lainnya.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ................................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. viii
PENDAHULUAN ................................................................................................................... 1
Latar Belakang ................................................................................................................ 1
Tujuan ............................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORI .............................................................................................................. 1
Dekomposisi Nilai Singular ............................................................................................. 1
Analisis Korespondensi .................................................................................................. 3
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi .................................................................. 5
Analisis Procrustes ........................................................................................................... 5
Translasi ................................................................................................................... 5
Rotasi ........................................................................................................................ 6
Dilasi......................................................................................................................... 6
PEMBAHASAN ..................................................................................................................... 8
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes .................. 8
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Baris ................................................. 8
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Kolom ............................................. 9
Contoh Aplikasi Analisis Korespondensi ................................................................ 9
SIMPULAN ............................................................................................................................ 13
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 14
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Bentuk umum tabel kontingensi... ........................................................................................... 3
2 Bentuk umum matriks korespondensi ..................................................................................... 3
3 Data kategori perokok dengan kategori pekerjaan dari beberapa perusahaan ........................ 9
4 Data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu
menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama pada 2011 .................................................... 11
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Plot analisis korespondensi data hasil pengamatan kategori perokok dengan kelompok
pegawai dari beberapa perusahaan .......................................................................................... 10
2 Plot analisis korespondensi data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja
selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama ........................ 12
(1)
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis korespondensi diartikan sebagai
sebuah teknik analisis eksplorasi data untuk
memperlihatkan dengan grafik dari tabel
kontingensi dan data kategori peubah ganda.
Berdasarkan kegunaannya, analisis
korespondensi dan analisis komponen utama
memiliki kesamaan yaitu mereduksi dimensi
data menjadi yang lebih sederhana sedangkan
perbedaannya terletak pada data yang
digunakan. Analisis komponen utama
digunakan untuk data dengan skala
pengukuran kontinu sedangkan analisis
korespondensi digunakan untuk data kategori
(Abdi dan Williams 2010).
Tujuan dari analisis korespondensi ialah
untuk mengubah data tabel menjadi dua
kelompok nilai faktor yaitu satu untuk baris
dan satu untuk kolom. Nilai faktor
memberikan representasi terbaik dari struktur
kesamaan baris dan kolom dari tabel. Analisis
korespondensi memproyeksikan baris-baris
dan kolom-kolom dari matriks data sebagai
titik-titik ke dalam sebuah grafik berdimensi
rendah, biasanya dua. Baris dan kolom dalam
grafik ini diperlihatkan sebagai titik-titik di
mana koordinatnya merupakan nilai faktor
dan dimensinya disebut faktor. Nilai faktor
baris dan kolom memiliki nilai eigen yang
sama dan karena itu, kedua baris dan kolom
dapat dengan mudah diwakili dalam satu peta
tunggal (Abdi dan Williams 2010).
Ukuran kesesuaian digunakan untuk
mengukur seberapa baik analisis
korespondensi menggambarkan data asli
berdimensi tinggi melalui data pendekatan
berdimensi rendah. Metode lain untuk
mendapatkan ukuran kesesuaian ialah dengan
analisis Procrustes. Analisis Procrustes adalah
salah satu metode yang menyatakan
perbedaan dua atau lebih konfigurasi 𝑛 -titik
sebagai suatu nilai numerik (Krzanowski
1990). Nilai numerik yang dihasilkan metode
ini dapat digunakan untuk memperkirakan
ukuran kesesuaian antar-konfigurasi (Sibson
1978).
Dalam analisis Procrustes, nilai perbedaan
minimum dari dua atau lebih konfigurasi
dihitung dengan menggunakan tiga
transformasi geometris yaitu translasi, rotasi,
dan dilasi. Ketiga transformasi tersebut dapat
digunakan untuk menentukan ukuran
kesesuaian yang optimal.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah:
1. Menghitung ukuran kesesuaian analisis
korespondensi melalui analisis Procrustes.
2. Mengaplikasikan analisis korespondensi
pada dua contoh data, yaitu hubungan
antara kategori perokok dengan kelompok
pegawai serta hubungan antara provinsi
dengan lapangan pekerjaan utama.
LANDASAN TEORI
Dekomposisi Nilai Singular
Definisi 1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
Misalkan 𝐀 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛 .
Skalar λ disebut sebagai nilai eigen atau nilai
karakteristik dari 𝐀 jika terdapat suatu vektor
taknol 𝐱, sehingga 𝐀𝐱 = λ𝐱. Vektor 𝐱 disebut
vektor eigen atau vektor karakteristik matriks
𝐀 yang bersesuaian dengan λ (Leon 2001).
Definisi 2 (Nilai Singular)
Misalkan 𝐗 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑝 .
Nilai-nilai singular dari 𝐗 adalah akar dari
nilai eigen yang positif dari matriks 𝐗T𝐗 atau
𝐗𝐗T (Leon 2001).
Definisi 3 (Dekomposisi Nilai Singular)
Setiap matriks 𝐘 yang berdimensi 𝑛 × 𝑝
dapat dinyatakan sebagai bentuk Dekomposisi
Nilai Singular (DNS) sebagai berikut:
𝑛𝐘𝑝 = 𝐔𝑟𝑛 𝐋𝑟𝐖𝑝T
(Jolliffe 2002), di mana 𝐔 dan 𝐖 masing-
masing dengan 𝑟 kolom ortonormal, 𝑟
merupakan pangkat matriks 𝐘 dengan
𝑟 ≤ min 𝑛, 𝑝 . 𝐔T𝐔 = 𝐖T𝐖 = 𝐈𝑟 , dengan 𝐈𝑟
merupakan matriks identitas berpangkat 𝑟 .
𝐋 = diag λ1 , λ2, … , λ𝑟 dengan λ1 ≥
λ2 ≥ ⋯ ≥ λ𝑟 > 0 dan λ𝑖 , 𝑖 = 1,2, …𝑟
merupakan nilai singular dari matriks 𝐘.
Matriks 𝐖 adalah matriks yang kolom-
kolomnya terdiri atas vektor eigen 𝐰𝑖 yang
berpadanan dengan nilai eigen taknol i dari
matriks 𝐘T𝐘. Matriks 𝐔 adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan vektor eigen
yang berpadanan dengan nilai eigen taknol
dari matriks 𝐘𝐘Tdalam bentuk
𝐔 = 𝐮1 , 𝐮2, … , 𝐮𝑟
2
(2)
(3)
= 𝐘𝐰1
λ1
,𝐘𝐰2
λ2
, … ,𝐘𝐰𝑟
λ𝑟
.
Untuk membuktikan persamaan (1),
diperlukan fakta sebagai berikut:
1. 𝐘T𝐘 𝐰 = 𝟎 ↔ 𝐘 𝐰 = 𝟎, untuk sembarang
𝐰 ∈ ℝ𝑝 .
2. 𝐘T𝐘 dan 𝐘𝐘T berpangkat r dan merupakan
matriks semidefinit positif dengan r nilai
eigen positif yang sama.
3. Nilai eigen matriks 𝐘T𝐘 dapat diurutkan
menjadi λ1 ≥ λ2 ≥ ⋯ ≥ λ𝑟 > λ𝑟+1 = ⋯ =λ𝑝 = 0 dengan vektor-vektor eigen yang
bersesuaian adalah 𝐰1 , 𝐰2 , … , 𝐰𝑟 ,𝐰𝑟+1, … , 𝐰𝑝 . Nilai eigen matriks 𝐘𝐘T
dapat diurutkan menjadi λ1 ≥ λ2 ≥ ⋯ ≥λ𝑟 > λ𝑟+1 = ⋯ = λ𝑛 = 0 dengan vektor-
vektor eigen yang bersesuaian adalah
𝐮1 =𝐘𝐰1
λ1, 𝐮2 =
𝐘𝐰2
λ2, … , 𝐮𝑟 =
𝐘𝐰𝑟
λ𝑟, 𝐮𝑟+1,
… , 𝐮𝑛 . Matriks 𝐔 = 𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑟 dan
𝐖 = 𝐰1, 𝐰2 , … , 𝐰𝑟 merupakan matriks
dengan kolom-kolom yang ortonormal.
4. Karena 𝐰1 , 𝐰2 , … , 𝐰𝑝 merupakan
matriks ortogonal, maka 𝐰𝑖𝐰𝑖T = 𝐈
𝑝𝑖=1 .
5. 𝐘 𝐰i𝐰iT
𝑝𝑖=1 = 𝐘 𝐰i𝐰i
T 𝑝𝑖=1 , untuk
sembarang 𝐰𝑖 ∈ ℝ𝑝 . Bukti:
Misalkan 𝐔 = 𝐘𝐰1
λ1,𝐘𝐰2
λ2, … ,
𝐘𝐰𝑟
λ𝑟 ,
𝐖 = 𝐰1 , 𝐰2, … , 𝐰𝑟 ,
𝐋 = 𝑑iag λ1 , λ2, … , λ𝑟 .
Diperoleh
𝑛𝐔𝑟𝐋𝑟𝐖𝑝T
= 𝐘𝐰1
λ1
,𝐘𝐰2
λ2
, … ,𝐘𝐰𝑟
λ𝑟
λ1 0
0 λ2
⋯ 0⋯ 0
⋮ ⋮0 ⋯
⋱ ⋮
⋯ λ𝑟
𝐖1T
𝐖2T
⋮𝐖𝑟
T
= 𝐘𝐰1 , 𝐘𝐰2 , … , 𝐘𝐰𝑟
𝐖1T
𝐖2T
⋮
𝐖𝑟T
= 𝐘 𝐰𝑖𝐰𝑖T 𝑟
𝑖=1
= 𝐘 𝐰𝑖𝐰𝑖T 𝑟
𝑖=1
= 𝐘 𝐰𝑖𝐰𝑖T + 𝟎 𝑟
𝑖=1
= 𝐘 𝐰𝑖𝐰𝑖T + 𝐘 𝐰𝑖𝐰𝑖
T 𝑝𝑖=𝑟+1 𝑟
𝑖=1
= 𝐘 𝐰𝑖𝐰𝑖T
𝑝𝑖=1
= 𝐘𝐈 = 𝐘.
Dekomposisi nilai singular tidak bersifat
tunggal. Jika vektor-vektor kolom matriks 𝐔
dan 𝐖 ingin dilengkapi sehingga 𝐔 dan 𝐖
menjadi matriks-matriks ortogonal yang
masing-masing memiliki dimensi 𝑛 × 𝑛 dan
𝑝 × 𝑝, maka DNS dapat dituliskan ke dalam
bentuk DNS Bentuk Lengkap (DNSBL).
Definisi 4 (Dekomposisi Nilai Singular
Bentuk Lengkap)
Setiap matriks 𝐘 berdimensi 𝑛 × 𝑝 dapat
dinyatakan sebagai bentuk Dekomposisi Nilai
Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) sebagai
berikut:
𝑛𝐘𝑝 = 𝐔𝑛𝑛 𝐋𝑝𝐖𝑝T
di mana 𝐔T𝐔 = 𝐈𝑛 , 𝐖T𝐖 = 𝐈𝑝 , dan
𝐋 = diag λ1 , λ2 , … , λ𝑟 𝑟𝟎𝑝−𝑟
𝑛−𝑟𝟎𝑟 𝑛−𝑟𝟎𝑝−𝑟
.
Definisi 5 (Dekomposisi Nilai Singular
Terampat)
Jika diberikan matriks definit positif
𝛀 (𝑛 × 𝑛) dan 𝚽 (𝑝 × 𝑝) dan X merupakan
matriks data berdimensi 𝑛 × 𝑝 maka
Dekomposisi Nilai Singular Terampat (DNS
Terampat) dari matriks X dapat dinyatakan
sebagai
𝐗 = 𝐀𝐃μ𝐁T
dengan 𝐀T𝛀𝐀 = 𝐁T𝚽𝐁 = 𝐈 dan 𝐃μ
merupakan matriks diagonal nilai singular
dengan 𝜇1 ≥ 𝜇2 ≥ ⋯𝜇𝑟 > 0 . Matriks 𝐀 dan
𝐁 dapat dicari dengan DNS dari matriks
𝛀1/2𝐗𝚽1/2 yaitu
𝛀1/2𝐗𝚽1/2 = 𝐔𝐋𝐖T
𝛀1/2 𝐀𝐃μ𝐁T 𝚽1/2 = 𝐔𝐋𝐖T
di mana 𝐔T𝐔 = 𝐕T𝐕 = 𝐈 sehingga diperoleh
𝐀 = 𝛀−1/2𝐔, 𝐃μ = 𝐋, dan 𝐁 = 𝚽−1/2W.
Definisi 6 (Jarak Euclid)
Jarak Euclid antara 𝐲𝑖 dan 𝐲𝑗 dari matriks
𝑛𝐘𝑝 = 𝐲1 , 𝐲2, … , 𝐲n T didefinisikan sebagai
𝑑𝐸 𝐲𝑖 , 𝐲𝑗 = 𝐲i − 𝐲j T 𝐲i − 𝐲j
(Jolliffe 2002).
Definisi 7 (Jarak Mahalanobis)
Jarak Mahalanobis antara 𝐲𝑖 dan 𝐲𝑗 dari
matriks 𝑛𝐘𝑝 = 𝐲1 , 𝐲2, … , 𝐲𝑛 T didefinisikan
sebagai
𝑑𝑀 𝐲𝑖 , 𝐲𝑗 = 𝐲𝑖 − 𝐲𝑗 T𝐒−1 𝐲𝑖 − 𝐲𝑗 ,
dengan S adalah matriks koragam yang
diperoleh dari 𝐘. Diasumsikan 𝐘 berpangkat 𝑝
sehingga 𝐒−1 ada (Jolliffe 2002).
Definisi 8 (Teras)
Misalkan 𝐘 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛 .
Teras dari matriks 𝐘 atau ditulis tr 𝐘
merupakan jumlah elemen-elemen diagonal
utama dari 𝐘:
tr 𝐘 = y𝑖𝑖𝑛𝑖=1
(Leon 2001).
(4)
(8)
(5)
(6)
(7)
3
Definisi 9 (Jarak khi-kuadrat)
Jarak khi-kuadrat didefinisikan sebagai
𝜒2 = 𝑂𝑖𝑗 −𝐸𝑖𝑗
2
𝐸𝑖𝑗
𝑝𝑗 =1
𝑛𝑖=1
dengan
𝑂𝑖𝑗 = nilai frekuensi pengamatan pada baris
ke-i dan kolom ke-j (𝑂𝑖𝑗 = 𝑛𝑖𝑗 ),
𝐸𝑖𝑗 = nilai frekuensi harapan di mana
𝐸𝑖𝑗 =𝑛𝑖 .𝑛.𝑗
𝑛..
𝑛𝑖 . = jumlah frekuensi pada baris ke-i,
𝑛.𝑗 = jumlah frekuensi pada kolom ke-j,
𝑛 = banyaknya baris,
𝑝 = banyaknya kolom
(Daniel 1990).
Analisis Korespondensi
Analisis korespondensi ditemukan dan
dikembangkan pertama kali tahun 1960-an di
Perancis (Benzecri 1969). Analisis
korespondensi merupakan bagian analisis
peubah ganda yang memelajari hubungan
antara dua atau lebih variabel dengan
memeragakan baris dan kolom secara
serempak dari tabel kontingensi dalam ruang
berdimensi rendah dengan menggunakan jarak
khi-kuadrat. Analisis korespondensi
digunakan untuk mereduksi dimensi variabel
dan menggambarkan profil vektor baris dan
profil vektor kolom suatu matriks data dari
tabel kontingensi (Greenacre 1984).
Tujuan yang ingin dicapai dalam analisis
korespondensi antara lain mengetahui
hubungan antara satu kategori variabel baris
dengan satu kategori kolom serta menyajikan
setiap kategori variabel baris dan kolom dari
tabel kontingensi sehingga dapat ditampilkan
secara bersama-sama pada satu ruang vektor
berdimensi kecil secara optimal.
Andaikan N merupakan matriks data yang
unsur-unsurnya bilangan tak negatif
berukuran 𝑛 × 𝑝 , di mana n menunjukkan
banyaknya baris dan p menunjukkan
banyaknya kolom. Tabel kontingensi dari N
adalah tabel yang mencatat data hasil
pengamatan dengan melibatkan dua variabel,
variabel I dan variabel II. Variabel I sebagai
variabel baris terdiri dari i kategori dan
variabel II sebagai variabel kolom terdiri dari j
kategori. Sel yang dibentuk baris ke-i dan
kolom ke-j memunyai frekuensi pengamatan
𝑛𝑖𝑗 yang ditunjukkan seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Bentuk umum tabel kontingensi
Variabel
1
Variabel 2 Total
1 2 ... p
1 𝑛11 𝑛12 ... 𝑛1𝑝 𝑛1. 2 𝑛21 𝑛22 ... 𝑛2𝑝 𝑛2.
... ... ... ... ... ...
n 𝑛𝑛1 𝑛𝑛2 ... 𝑛𝑛𝑝 𝑛𝑛 .
Total 𝑛.1 𝑛.2 ... 𝑛.𝑝 𝑛..
(Greenacre 1984)
dengan
𝑛𝑖 . = 𝑛𝑖𝑗𝑝𝑗 =1
𝑛.𝑗 = 𝑛𝑖𝑗𝑛𝑖=1
𝑛.. = 𝑛𝑖𝑗𝑝𝑗 =1
𝑛𝑖=1
di mana i = 1, 2, ..., n dan j = 1, 2, ..., p.
Matriks Korespondensi
Matriks korespondensi P didefinisikan
sebagai matriks yang unsur-unsurnya adalah
unsur matriks N yang telah dibagi dengan
jumlah total unsur matriks N.
𝐏 = 1
𝑛 ... 𝐍
dengan 𝑛.. = 𝟏T 𝐍𝟏 . Dari Tabel 1 diperoleh
matriks korespondensi seperti pada Tabel 2
berikut.
Tabel 2 Bentuk umum matriks korespondensi
Variabel
1
Variabel 2 Total
1 2 ... p
1 𝑝11 𝑝12 ... 𝑝1𝑝 𝑝1. 2 𝑝21 𝑝22 ... 𝑝2𝑝 𝑝2.
... ... ... ... ... ...
n 𝑝n1 𝑝n2 ... 𝑝𝑛𝑝 𝑝𝑛 .
Total 𝑝.1 𝑝.2 ... 𝑝.𝑝 1
(Greenacre 1984)
Vektor jumlah baris matriks P ialah
𝐫 = 𝐏𝟏 = 𝑝1., 𝑝2., … , 𝑝𝑛 . T
= (𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑛 )T .
Vektor jumlah kolom matriks P ialah
𝐜 = 𝐏T𝟏 = 𝑝.1, 𝑝.2, … , 𝑝.𝑝
= 𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑝 .
Matriks diagonal dari elemen-elemen vektor
jumlah baris r adalah 𝐃𝑟 yang berukuran
𝑛 × 𝑛 dan 𝐃𝑐 adalah matriks diagonal dengan
ukuran 𝑝 × 𝑝 dari elemen-elemen vektor
jumlah kolom c dengan
𝐃𝑟 = diag 𝐫 =
𝑝1. 0 …0 𝑝2. …⋮ ⋮ ⋱
00⋮
0 0 … 𝑝𝑛 .
dan
(11)
(12)
(13)
(14)
(9)
(10)
4
𝐃𝑐 = diag 𝐜 =
𝑝.1 0 …0 𝑝.2 …⋮ ⋮ ⋱
00⋮
0 0 … 𝑝.𝑝
.
Matriks Profil Baris dan Kolom
Matriks profil baris dan profil kolom dari
P diperoleh dengan cara membagi vektor baris
dan vektor kolom dengan masing-masing
massanya. Matriks profil baris (R) dan profil
kolom (C) dinyatakan dengan:
𝐑 = 𝐃𝑟−1𝐏 =
𝑝11
𝑝1.
𝑝12
𝑝1.⋯
⋮ ⋮ ⋱𝑝𝑛1
𝑝𝑛 .
𝑝𝑛2
𝑝𝑛 .⋯
𝑝1𝑝
𝑝1.
⋮𝑝𝑛𝑝
𝑝𝑛 .
= 𝐫 1
T
⋮𝐫 𝑛
T
dan
𝐂 = 𝐃𝑐−1𝐏T =
𝑝11
𝑝.1
𝑝21
𝑝.1⋯
⋮ ⋮ ⋱𝑝1𝑝
𝑝.𝑝
𝑝2𝑝
𝑝.𝑝⋯
𝑝𝑛1
𝑝.1
⋮𝑝𝑛𝑝
𝑝.𝑝
= 𝐜 1
T
⋮𝐜 𝑝
T .
Pemilihan Jarak Untuk menghitung jarak profil baris atau
kolom dalam kategori yang sama digunakan
jarak khi-kuadrat yang didefinisikan:
jarak antara profil baris 𝒓𝑖 dan profil baris 𝒓𝑗
adalah
d2 𝒓𝑖 , 𝒓𝑗 = 𝒓𝑖 − 𝒓𝑗 T𝐃𝑐
−1 𝒓𝑖 − 𝒓𝑗
jarak antara profil kolom 𝒄𝑖 dan profil kolom
𝒄𝑗 adalah
d2 𝒄𝑖 , 𝒄𝑗 = 𝒄𝑖 − 𝒄𝑗 T𝐃𝑟
−1 𝒄𝑖 − 𝒄𝑗
Jika jarak khi-kuadrat antara dua baris atau
kolom adalah nol, maka kedua baris atau
kolom tersebut memiliki sebaran frekuensi
sama. Semakin besar jarak antarkedua baris
atau kolom, semakin besar pula perbedaan
sebaran frekuensi relatif kedua baris atau
kolom tersebut.
Dekomposisi Inersia
Keseluruhan perbedaan tiap ruang dari
setiap himpunan baris/kolom diukur dari total
inersianya. Total inersia adalah jumlah
kuadrat jarak terbobot dari titik-titik
(baris/kolom) terhadap sentroidnya. Total
inersia untuk titik baris ialah
in 𝐼 = 𝑟𝑖𝑛𝑖=1 𝒓 𝑖 − 𝒄 T𝐃c
−1 𝒓 𝑖 − 𝒄 .
Total inersia untuk titik kolom ialah
in 𝐽 = 𝑐𝑗𝑝𝑗=1 𝒄 𝑗 − 𝒓
T𝐃𝑟
−1 𝒄 𝑗 − 𝒓 .
Total inersia untuk titik baris dan titik kolom
secara bersamaan adalah
Inersia total = 𝑝𝑖𝑗 −𝑟𝑖𝑐𝑗
2
𝑟𝑖𝑐𝑗𝑗𝑖 =
χ2
𝑛 ...
Dekomposisi Nilai Singular Terampat
Untuk mereduksi dimensi data
berdasarkan keragaman data (nilai eigen/
inersia) terbesar dengan mempertahankan
informasi yang optimum diperlukan
dekomposisi nilai singular. Dekomposisi nilai
singular terampat dari matriks 𝐏 adalah
𝐏 − 𝐫𝐜T = 𝐀𝐃𝜇𝐁T
di mana 𝐀 dan 𝐁 diperoleh dari penguraian
nilai singular matriks 𝐃𝑟−1/2 𝐏 − 𝐫𝐜T 𝐃𝑐
−1/2
dan berlaku
𝐀T𝐃𝑟−1𝐀 = 𝐁T𝐃𝑐
−1𝐁 = 𝐈; 𝜇1 ≥ 𝜇2 ≥ ⋯𝜇𝑟 > 0
dengan 𝐃𝜇 merupakan matriks diagonal yang
berukuran 𝑟 × 𝑟 dari nilai singular 𝜇 dari
𝐏 − 𝐫𝐜T , 𝐀 dan 𝐁 masing-masing merupakan
sumbu utama dari baris dan kolom.
Dengan demikian, matriks koordinat profil
baris dan matriks koordinat profil kolom
dinyatakan sebagai
𝐅 = 𝐃𝑟−1𝐀𝐃μ
dan
𝐆 = 𝐃𝑐−1𝐁𝐃μ .
Penggambaran dalam ruang berdimensi
rendah, misalnya s, maka koordinat yang
digunakan untuk menggambarkan profil-profil
tersebut adalah s unsur pertamanya.
Hubungan antarkategori ditelusuri melalui
formula transisi, yaitu
𝐅 = 𝐑𝐆𝐃μ−1
dan
𝐆 = 𝐂𝐅𝐃μ−1 .
Jumlah kuadrat terbobot dari titik-titik
koordinat sekitar sumbu utama ke-s di setiap
himpunan sama dengan μ𝑠2 , yang dinotasikan
oleh λ𝑠 dan disebut inersia utama ke-s. Inersia
utama baris dan kolom adalah
𝐅T𝐃r𝐅 = 𝐃𝜇2 ≡ 𝐃𝜆
𝐆T𝐃c𝐆 = 𝐃𝜇2 ≡ 𝐃𝜆
(Greenacre 1984).
Kontribusi mutlak memberikan informasi
mengenai proporsi inersia yang dapat
diterangkan oleh masing-masing kategori
terhadap pembentukan sumbu utama. Rumus
untuk menghitung kontribusi mutlak (KM)
untuk baris dan kolom yaitu sebagai berikut:
KM𝑖𝑠 =𝑟𝑖×𝑓𝑖𝑠
2
μ𝑠2
dan
KM𝑗𝑠 =𝑐𝑗 ×𝑔𝑗𝑠
2
μ𝑠2
dengan :
KM𝑖𝑠 = kontribusi mutlak kategori baris ke-i
terhadap pembentukan sumbu ke-s
KM𝑗𝑠 = kontribusi mutlak kategori kolom ke-j
(15)
(18)
(22)
(16)
(17)
(40)
(27)
(20)
(21)
(26)
(19)
(23)
(24)
(25)
(29)
(28)
(30)
(31)
5
(35)
(37)
(38)
(36)
(34)
terhadap pembentukan sumbu ke-s
𝑓𝑖𝑠2 = koordinat baris ke-i pada sumbu ke-s
𝑔𝑗𝑠2 = koordinat kolom ke-j pada sumbu ke-s
μ𝑠 = nilai singular ke-s.
Kontribusi relatif atau koordinat kosinus
digunakan untuk melihat proporsi inersia dari
setiap kategori yang diterangkan oleh sumbu
utama yang terbentuk. Rumus untuk
menghitung masing-masing kontribusi relatif
untuk baris dan kolom adalah
KR𝑖𝑠 =𝑓𝑖𝑠
2
𝑓𝑖𝑠2
𝑠
dan
KR𝑗𝑠 =𝑔𝑗𝑠
2
𝑔𝑗𝑠2
𝑠
di mana KR𝑖𝑠 dan KR𝑗𝑠 adalah kontribusi
relatif kategori ke-i dan kategori ke-j yang
dijelaskan oleh sumbu ke-s.
Kontribusi relatif yang tinggi pada suatu
titik untuk sumbu utama ke-s, menunjukkan
bahwa sumbu utama ke-s menjelaskan inersia
titik tersebut dengan baik. Secara umum
tingginya kontribusi titik terhadap inersia
sumbu utama berimplikasi pada tingginya
kontribusi relatif sumbu utama tersebut.
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi
Besaran 𝛼12, … , 𝛼𝑟
2 dapat
diinterpretasikan sebagai besarnya
kontribusi yang diberikan pada total inersia
oleh dimensi pertama, kedua, dan seterusnya,
sehingga besaran relatif untuk mengukur
besarnya kehilangan informasi dapat
dirumuskan sebagai berikut :
GFAK 𝐗, 𝐘 = 𝛼𝑖
2𝑠𝑖=1
𝛼𝑖2𝑟
𝑖=1
× 100%
dengan 𝛼𝑖 merupakan nilai singular dari
matriks X dan 𝑠 << 𝑟 dengan 𝑠 berdimensi
rendah.
Analisis Procrustes
Misalkan 𝐗 adalah matriks berukuran
𝑛 × 𝑝 dan 𝐘 berukuran 𝑛 × 𝑞 yang masing-
masing merupakan representasi konfigurasi
yang akan dibandingkan. Koordinat titik ke-𝑖 pada ruang Euclid diberikan oleh nilai-nilai
pada baris ke-𝑖 matriks. Konfigurasi pertama
berada pada ruang berdimensi 𝑝 dan titik ke-𝑖
memiliki koordinat 𝑥𝑖1 , 𝑥𝑖2 , … , 𝑥𝑖𝑝 , sedang-
kan konfigurasi kedua berada pada ruang
berdimensi 𝑞 dan titik ke-𝑖 memiliki koordinat
𝑦𝑖1 , 𝑦𝑖2 , … , 𝑦𝑖𝑞 . Jika 𝑝 > 𝑞 maka konfigurasi
kedua berada dalam subruang dari ruang
berdimensi 𝑝 . Perbedaan dimensi ruang ini
dapat diselesaikan dengan memasangkan
𝑝 − 𝑞 kolom nol di kolom mana saja termasuk
memasangkan 𝑝 − 𝑞 di kolom terakhir dari 𝐘
sehingga menjadi matriks berukuran 𝑛 × 𝑝
(Siswadi et al. 2012). Dengan demikian, tanpa
mengurangi keumuman dapat diasumsikan
bahwa 𝑝 = 𝑞.
Untuk menentukan nilai perbedaan dari
konfigurasi 𝐗 dan 𝐘 , analisis Procrustes
menggunakan jumlah kuadrat jarak antartitik
yang bersesuaian, yaitu
𝐸 𝐗, 𝐘 = 𝑥𝑖𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 2𝑝
𝑗=1𝑛𝑖=1
= tr 𝐗 − 𝐘 T 𝐗 − 𝐘 .
Nilai perbedaan minimum dihitung dengan
menggunakan tiga transformasi geometris
yaitu translasi, rotasi, dan dilasi yang
diberikan oleh Bakhtiar dan Siswadi (2011).
1. Translasi
Definisi 10 (Sentroid)
Misalkan 𝐗 = 𝑥𝑖𝑗 , maka sentroid
kolom dari matriks 𝐗 dinotasikan sebagai
𝐂𝐗 = (𝑥∙1 , 𝑥∙2, … , 𝑥∙𝑝), di mana
𝑥∙𝑗 =1
𝑛 𝑥𝑖𝑗
𝑛𝑖=1 , 𝑗 = 1,2, …𝑝.
Dalam analisis Procrustes, translasi
diartikan sebagai proses pemindahan
seluruh titik dengan jarak yang tetap dan
arah yang sama. Penguraian persamaan
(34) menghasilkan: 𝐸 𝐗, 𝐘
= 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥∙𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦∙𝑗 2−
𝑝𝑗 =1
𝑛𝑖=1
2 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥∙𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦∙𝑗 𝑝𝑗 =1
𝑛𝑖=1
𝑥∙𝑗 − 𝑦∙𝑗 +𝑛 𝑥∙𝑗 − 𝑦∙𝑗 2𝑝
𝑗=1 .
Penguraian persamaan (36) menghasilkan
𝐸 𝐗, 𝐘 = 𝐸 𝐗𝑇 , 𝐘𝑇 + 𝑛 𝑍XY
di mana 𝐗𝑇 = 𝐗 − 𝟏𝑛𝐂X , 𝐘𝑇 = 𝐘 − 𝟏𝑛𝐂Y ,
𝑍XY = 𝑥∙𝑗 − 𝑦∙𝑗
2
.𝑝𝑗=1
𝐗𝑇 dan 𝐘𝑇 merupakan konfigurasi 𝐗
dan 𝐘 setelah ditranslasi. 𝐂X dan 𝐂Y
masing-masing adalah sentroid kolom dari
𝐗 dan 𝐘 , 𝟏𝑛 merupakan vektor kolom
berukuran 𝑛 × 1 yang semua unsurnya
bernilai 1, sedangkan 𝑍XY merupakan jarak
kuadrat dari kedua sentroid kolom 𝐗 dan
𝐘 . Penyesuaian optimal dengan translasi
dapat dilakukan dengan menghimpitkan
sentroid kolom 𝐗 dan 𝐘 sehingga 𝑍XY = 0.
Dengan demikian, nilai perbedaan
minimum dari konfigurasi 𝐗 dan 𝐘 setelah
dilakukan penyesuaian optimal dengan
translasi adalah
𝐸𝑇 𝐗, 𝐘 = 𝐸 𝐗𝑇 , 𝐘𝑇
= 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥∙𝑗 − 𝑦𝑖𝑗− 𝑦
∙𝑗
2
.𝑝𝑗=1
𝑛𝑖=1
(32)
(33)
6
(39)
(40)
(44)
(43)
(41)
(42)
2. Rotasi
Rotasi merupakan proses pemindahan
seluruh konfigurasi titik dengan sudut
yang tetap tanpa mengubah jarak setiap
titik terhadap sentroidnya. Rotasi 𝐘
terhadap 𝐗 dilakukan dengan mengalikan
matriks 𝐘 dengan matriks ortogonal 𝐐 ,
yaitu 𝐸 𝐗, 𝐘 = 𝐸 𝐗, 𝐘𝐐 dengan 𝐐T𝐐 =
𝐐𝐐T = 𝐈. Nilai perbedaan minimum dari
konfigurasi 𝐗 dan 𝐘 setelah dilakukan
penyesuaian dengan rotasi adalah
𝐸𝑅 𝐗, 𝐘 = inf𝑄
𝐸 𝐗, 𝐘𝐐 .
Berdasarkan persamaan (35), nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi
dapat dituliskan sebagai
𝐸 𝐗, 𝐘𝐐
= tr 𝐗 − 𝐘𝐐 T 𝐗 − 𝐘𝐐
= tr 𝐗T − 𝐐T𝐘T 𝐗 − 𝐘𝐐
= tr 𝐗T𝐗 − 𝐗T𝐘𝐐 − 𝐐T𝐘T𝐗+𝐐T𝐘T𝐘𝐐
= tr 𝐗T𝐗 − 𝐗T𝐘𝐐 − 𝐗T𝐘𝐐 T+𝐐T𝐘T𝐘𝐐
= tr 𝐗T𝐗) − tr 𝐗T𝐘𝐐 − tr 𝐗T𝐘𝐐 T + tr(𝐐T𝐘T𝐘𝐐
= tr 𝐗T𝐗) − tr 𝐗T𝐘𝐐 − tr 𝐗T𝐘𝐐 + tr(𝐐𝐐T𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗) − 2 tr 𝐗T𝐘𝐐 + tr(𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 + tr 𝐘T𝐘 − 2 tr 𝐗T𝐘𝐐 .
Nilai tr 𝐗T𝐘𝐐 yang semakin besar
akan meminimumkan 𝐸 𝐗, 𝐘𝐐 . Jadi,
harus dipilih matriks ortogonal 𝐐 yang
memaksimumkan tr 𝐗T𝐘𝐐 .
Teorema
Jika 𝐗, 𝐘 dan 𝐐 matriks ortogonal
dengan 𝐗 ∈ ℝ𝑛×𝑝 , 𝐘 ∈ ℝ𝑛×𝑝 , dan 𝐐 ∈ℝ𝑝×𝑝 maka nilai tr 𝐗T𝐘𝐐 akan
maksimum bila dipilih 𝐐 = 𝓦𝓤T dengan
𝓤𝓛𝓦T merupakan hasil Dekomposisi
Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL)
dari matriks 𝐗T𝐘.
Bukti:
Misalkan 𝓤𝓛𝓦T merupakan hasil
DNSBL dari matriks 𝑝𝐗T𝐘𝑝 , sehingga
𝑝𝐗T𝐘𝑝 = 𝑝𝓤𝑝𝓛𝑝𝓦𝑝
T . 𝓛 = (σ𝑖𝑗 ) adalah
matriks diagonal dengan σ𝑖𝑗 ∈ ℝ, 𝓤 dan
𝓦 masing-masing merupakan matriks
ortogonal, sehingga
tr 𝐗T𝐘𝐐 = tr 𝐐𝐗T𝐘
= tr 𝐐𝓤𝓛𝓦T
= tr 𝓦T𝐐𝓤𝓛 .
Karena 𝐐 merupakan matriks
ortogonal, akibatnya 𝓦T𝐐𝓤 juga
ortogonal. Misalkan 𝓦T𝐐𝓤 = 𝐏 = 𝑝𝑖𝑗 ,
maka berlaku −1 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1, sehingga
tr 𝐗T𝐘𝐐 = tr 𝐏𝓛
= 𝑝𝑖𝑖 (σ𝑖𝑖)𝑛𝑖=1
≤ tr 𝓛 .
Jadi, tr 𝐏𝓛 akan maksimum jika
𝐏𝓛 = 𝓦T𝐐𝓤𝓛 = 𝓛 . Kondisi ini dapat
terpenuhi jika 𝐐 = 𝓦𝓤T (Bakhtiar 1995).
Berdasarkan teorema tersebut,
penyesuaian optimal dengan rotasi dapat
dilakukan dengan memilih matriks
ortogonal 𝐐 = 𝓦𝓤T . Nilai perbedaan
minimum setelah penyesuaian optimal
dengan rotasi dapat dituliskan menjadi
𝐸𝑅 𝐗, 𝐘 = tr 𝐗T𝐗) + tr(𝐘T𝐘 − 2 tr 𝓛 .
3. Dilasi
Dilasi merupakan proses penskalaan
data melalui pembesaran/pengecilan jarak
setiap titik dalam konfigurasi terhadap
sentroidnya. Dilasi 𝐘 terhadap 𝐗 dilakukan
dengan cara mengalikan konfigurasi 𝐘
dengan suatu skalar 𝑐 , yaitu 𝐸 𝐗, 𝐘 =𝐸 𝐗, 𝑐𝐘 . Nilai perbedaan minimum dari
dua konfigurasi 𝐗 dan 𝐘 setelah dilakukan
penyesuaian dengan dilasi adalah
𝐸𝐷 𝐗, 𝐘 = inf𝑄
𝐸 𝐗, 𝑐𝐘 .
Berdasarkan persamaan (35), nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan dilasi
dapat dituliskan sebagai
𝐸 𝐗, 𝑐𝐘
= tr 𝐗 − 𝑐𝐘 T 𝐗 − 𝑐𝐘
= tr 𝐗T − 𝑐𝐘T 𝐗 − 𝑐𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 𝑐𝐗T𝐘 − 𝑐𝐘T𝐗 + 𝑐2𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 𝑐𝐗T𝐘 − 𝑐 𝐗T𝐘 T + 𝑐2𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 𝑐 tr 𝐗T𝐘 − 𝑐 tr 𝐗T𝐘 T +
𝑐2tr 𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 𝑐 tr 𝐗T𝐘 − 𝑐 tr 𝐗T𝐘 +
𝑐2tr 𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 2𝑐 tr 𝐗T𝐘 + 𝑐2 tr 𝐘T𝐘 .
Persamaan (43) merupakan bentuk
fungsi kuadrat dengan variabel 𝑐 sehingga
untuk meminimumkan nilai 𝐸 𝐗, 𝑐𝐘 ,
turunan pertamanya harus sama dengan
nol dan turunan keduanya lebih besar dari
nol.
𝑑𝐸
𝑑𝑐 = −2 tr 𝐗T𝐘 + 2𝑐 tr 𝐘T𝐘
0 = −2 tr 𝐗T𝐘 + 2𝑐 tr 𝐘T𝐘
2𝑐 tr 𝐘𝑇𝐘 = 2 tr 𝐗𝑇𝐘
𝑐 = tr 𝐗T𝐘
tr 𝐘T𝐘 .
7
(45)
𝑑𝐸
𝑑𝑐 = −2 tr 𝐗T𝐘 + 2𝑐 tr 𝐘T𝐘
𝑑2𝐸
𝑑𝑐 2 = 2 tr 𝐘T𝐘 > 0.
Dari (a) dan (b), diketahui bahwa
nilai 𝐸 𝐗, 𝑐𝐘 minimum pada saat
memiliki nilai 𝑐 seperti pada persamaan
(44). Dengan menyubstitusikan nilai 𝑐 ,
nilai perbedaan minimum setelah
penyesuaian optimal dengan dilasi
menjadi:
𝐸𝐷 𝐗, 𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 2c tr 𝐗T𝐘 + 𝑐2tr 𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 2tr 𝐗T𝐘
tr 𝐘T𝐘 tr 𝐗T𝐘 +
tr 𝐗T𝐘
tr 𝐘T𝐘
2
tr 𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 − 2 tr2 𝐗T𝐘
tr 𝐘T𝐘 +
tr2 𝐗T𝐘
tr 𝐘T𝐘
= tr 𝐗T𝐗 −tr2 𝐗T𝐘
tr 𝐘T𝐘 .
Dengan menggunakan aljabar sederhana,
secara analitik telah dibuktikan bahwa dalam
analisis Procrustes, urutan pengerjaan yang
menghasilkan jarak paling minimum adalah
translasi-rotasi-dilasi. Bukti dapat dilihat di
Bakhtiar dan Siswadi (2011).
Secara umum, ukuran kesesuaian analisis
korespondensi dan analisis Procrustes
diberikan sebagai berikut:
1. Analisis korespondensi
GFAK 𝐗, 𝐘 = 𝛼𝑖
2𝑠𝑖=1
𝛼𝑖2𝑟
𝑖=1
× 100%,
dengan 𝛼𝑖 merupakan nilai singular dari
matriks X.
2. Analisis Procrustes
GFP 𝐗, 𝐘 = 1 −𝐸𝑇𝑅𝐷 𝐗,𝐘
tr 𝐗T𝐗 ,
dengan 𝐸𝑇𝑅𝐷 𝐗, 𝐘 merupakan nilai
perbedaan minimum translasi, rotasi dan
dilasi dari matriks X terhadap matriks Y.
(46)
(47)
8
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
PEMBAHASAN
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi
melalui Analisis Procrustes
Ukuran kesesuaian analisis korespondensi
untuk tampilan gambar (representasi) tanpa
memperhitungkan massa akan dicari masing-
masing menggunakan matriks koordinat profil
baris dan kolom sebagai matriks data yang
didefinisikan dengan F dan G dengan matriks
pendekatannya masing-masing yaitu M dan N
melalui analisis Procrustes dengan
menentukan nilai perbedaan minimum yang
dilakukan menggunakan tiga transformasi
geometri, yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Ukuran kesesuaian analisis korespondensi
untuk setiap matriks menggunakan analisis
Procrustes melalui transformasi geometri
translasi, rotasi dan dilasi diberikan pada
pembahasan berikut.
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat
Profil Baris
Penyesuaian dengan Translasi
Nilai perbedaan minimum diperoleh ketika
jarak kedua sentroid dari kedua matriks sama
dengan nol 𝑍𝐅𝐌 = 0 . Nilai perbedaan
minimum melalui proses translasi adalah
𝐸 𝐅, 𝐌 = 𝐸 𝐅𝑇 , 𝐌𝑇 + 𝑛 𝑍𝐅𝐌. Pada matriks data F diperoleh 𝐂𝐅 ≠ 𝟎T
dan 𝐂𝐌 ≠ 𝟎T sehingga 𝑍𝐅𝐌 ≠ 0 . Dengan
demikian transformasi translasi perlu
dilakukan. Ilustrasi bahwa 𝐂𝐅 ≠ 𝟎T dan
𝐂𝐌 ≠ 𝟎T diberikan pada Lampiran 3.
Penyesuaian dengan Rotasi
Misalkan F𝑇 merupakan matriks F yang
telah ditranslasi dan M𝑇 merupakan matriks
M yang telah ditranslasi sebagai matriks
pendekatannya. Setelah penyesuaian dengan
translasi, dilakukan rotasi dengan mengalikan
matriks M𝑇 dengan matriks ortogonal 𝐐. Nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi
sesuai dengan persamaan (40) menjadi
𝐸 F𝑇 , M𝑇𝐐
= tr F𝑇TF𝑇 + tr M𝑇
TM𝑇 − tr F𝑇TM𝑇𝐐 .
Nilai 𝐸 F𝑇 , M𝑇𝐐 tersebut akan minimum
dengan memaksimumkan tr F𝑇TM𝑇𝐐
dengan 𝐐 = 𝓦𝓤T yang diperoleh dari
DNSBL F𝑇TM𝑇 = 𝓤𝓛𝓦T . Jika 𝐐 = 𝐈 maka
𝐸𝑅 F𝑇 , M𝑇 = 𝐸 F𝑇 , M𝑇 . Karena 𝐐 ≠ 𝐈 sehingga perlu dicari matriks ortogonal Q
untuk memperoleh 𝐸𝑅 F𝑇 , M𝑇𝐐 . Oleh karena
itu, transformasi rotasi perlu dilakukan.
Ilustrasi bahwa 𝐐 ≠ 𝐈 diberikan pada
Lampiran 4.
Penyesuaian dengan Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan setelah
transformasi translasi dan rotasi dilakukan.
Dilasi F𝑇 terhadap M𝑇 dilakukan dengan
mengalikan konfigurasi M𝑇 dengan suatu
skalar 𝑐. Nilai perbedaan setelah penyesuaian
dengan dilasi dapat ditulis sebagai:
𝐸 F𝑇 , 𝑐M𝑇𝐐
= tr F𝑇TF𝑇 + 𝑐2tr M𝑇
TM𝑇
−2𝑐 tr F𝑇TM𝑇𝐐 .
Persamaan (50) merupakan bentuk dari
fungsi kuadrat dengan variabel 𝑐 , sehingga
nilai 𝑐 yang meminimumkan nilai
𝐸 F𝑇 , 𝑐M𝑇𝐐 yaitu
𝑐 = tr F𝑇
TM𝑇𝐐
tr M𝑇TM𝑇
.
Dengan menyubstitusikan nilai 𝑐 ke
persamaan (50), diperoleh nilai perbedaan
minimum:
𝐸𝑇𝑅𝐷 𝐅, 𝐌
= tr F𝑇TF𝑇 −
tr 2 F𝑇T M𝑇𝐐
tr M𝑇T M𝑇
.
Ukuran kesesuaian berdasarkan nilai
perbedaan minimum diperoleh dengan
perhitungan berikut:
GFP F,M = 1 −𝐸𝑇𝑅𝐷 𝐅, 𝐌
𝐅 2
= 1 −
tr F𝑇
TF𝑇 − tr2 F𝑇
TM𝑇𝐐
tr M𝑇TM𝑇
tr F𝑇TF𝑇
= 1 − 1 − tr2 F𝑇
TM𝑇𝐐
tr F𝑇TF𝑇 tr M𝑇
TM𝑇
= tr 2 F𝑇
T M𝑇𝐐
tr F𝑇T F𝑇 tr M𝑇
T M𝑇 .
Dengan demikian, ketiga transformasi
perlu dilakukan dalam analisis Procrustes
untuk mendapatkan ukuran kesesuaian
analisis korespondensi matriks profil baris
dengan pendekatannya.
(53)
(54)
(56)
(57)
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat
Profil Kolom
Penyesuaian dengan Translasi
Nilai perbedaan minimum diperoleh ketika
jarak kedua sentroid dari kedua matriks sama
dengan nol 𝑍𝐆𝐍 = 0 . Nilai perbedaan
minimum melalui proses translasi adalah
𝐸 𝐆, 𝐍 = 𝐸 𝐆𝑇 , 𝐍𝑇 + 𝑛 𝑍𝐆𝐍.
Pada matriks data G diperoleh 𝐂𝐆 ≠ 𝟎T
dan 𝐂𝐍 ≠ 𝟎T sehingga 𝑍𝐆𝐍 ≠ 0 . Dengan
demikian transformasi translasi perlu
dilakukan. Ilustrasi bahwa 𝐂𝐆 ≠ 𝟎T dan
𝐂𝐍 ≠ 𝟎T diberikan pada Lampiran 5.
Penyesuaian dengan Rotasi
Misalkan G𝑇 merupakan matriks G yang
telah ditranslasi dan N𝑇 merupakan matriks 𝐍
yang telah ditranslasi sebagai matriks
pendekatannya. Setelah penyesuaian dengan
translasi, dilakukan rotasi dengan mengalikan
matriks N𝑇 dengan matriks ortogonal 𝐐. Nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi
sesuai dengan persamaan (40) menjadi
𝐸 G𝑇 , N𝑇𝐐
= tr G𝑇TG𝑇 + tr N𝑇
TN𝑇
−2 tr G𝑇TN𝑇𝐐 .
Nilai 𝐸 G𝑇 , N𝑇𝐐 tersebut akan minimum
dengan memaksimumkan tr G𝑇TN𝑇𝐐
dengan 𝐐 = 𝓦𝓤T yang diperoleh dari
DNSBL G𝑇TN𝑇 = 𝓤𝓛𝓦T . Jika 𝐐 = 𝐈 maka
𝐸𝑅 G𝑇 , N𝑇 = 𝐸 G𝑇 , N𝑇 . Karena 𝐐 ≠ 𝐈 se-
hingga perlu dicari matriks ortogonal Q untuk
memperoleh 𝐸𝑅 G𝑇 , N𝑇𝐐 . Oleh karena itu,
transformasi rotasi perlu dilakukan. Ilustrasi
bahwa 𝐐 ≠ 𝐈 diberikan pada Lampiran 6.
Penyesuaian dengan Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan setelah
transformasi translasi dan rotasi dilakukan.
Dilasi G𝑇 terhadap N𝑇 dilakukan dengan
mengalikan konfigurasi N𝑇 dengan suatu
skalar 𝑐. Nilai perbedaan setelah penyesuaian
dengan dilasi dapat ditulis sebagai:
𝐸 G𝑇 , 𝑐N𝑇𝐐
= tr G𝑇TG𝑇 + 𝑐2tr N𝑇
TN𝑇 −
2𝑐 tr G𝑇TN𝑇𝐐 .
Nilai 𝑐 yang meminimumkan nilai
𝐸 G𝑇 , c N𝑇𝐐 ialah
𝑐 = tr G𝑇
TN𝑇𝐐
tr N𝑇TN𝑇
.
Dengan menyubstitusikan nilai 𝑐 ke
persamaan (55), diperoleh nilai perbedaan
minimum:
𝐸𝑇𝑅𝐷 𝐆, 𝐍 = tr G𝑇TG𝑇 −
tr 2 G𝑇TN𝑇𝐐
tr N𝑇TN𝑇
.
Ukuran kesesuaian berdasarkan nilai
perbedaan minimum diperoleh dengan
perhitungan berikut:
GFP 𝐆, 𝐍
= 1 −𝐸𝑇𝑅𝐷 𝐆, 𝐍
𝐆 2
= 1 −
tr G𝑇
TG𝑇 − tr2 G𝑇
TN𝑇𝐐
tr N𝑇TN𝑇
tr G𝑇TG𝑇
= 1 − 1 − tr2 G𝑇
TN𝑇𝐐
tr G𝑇TG𝑇 tr N𝑇
TN𝑇
= tr2 G𝑇
TN𝑇𝐐
tr G𝑇TG𝑇 tr N𝑇
TN𝑇 .
Dengan demikian, untuk mendapatkan
ukuran kesesuaian analisis korespondensi
diperlukan ketiga tahapan dalam analisis
Procrustes yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Contoh Aplikasi Analisis Korespondensi
Data yang digunakan untuk contoh
pertama aplikasi analisis korespondensi
adalah data hasil pengamatan kategori
perokok dengan kelompok pegawai dari
beberapa perusahaan yang bersumber pada
Greenacre (1984). Kategori perokok dari hasil
pengamatan dibedakan menjadi empat
kategori, yaitu kategori tidak merokok,
perokok ringan yang merokok 1 s.d 10 batang
perhari, perokok sedang yang merokok 11 s.d
20 batang perhari dan perokok berat yang
merokok lebih dari 20 batang perhari. Untuk
kelompok pegawai, dibedakan menjadi lima
yaitu manager senior, manager yunior,
pegawai senior, pegawai yunior dan
sekretaris. Banyaknya sampel yang diamati
adalah 193 orang (Tabel 3).
Tabel 3 Banyaknya perokok dengan
kelompok pegawai dari beberapa
perusahaan
Kelompok
Pegawai
Kategori Perokok
TIDAK RINGAN SEDANG BERAT
Manager
Senior (1) 4 2 3 2
Manager
Yunior (2) 4 3 7 4
Pegawai
Senior (3) 25 10 12 4
Pegawai
Yunior (4) 18 24 33 13
Sekretaris
(5) 10 6 7 2
(55)
9
Gambar 1 Plot analisis korespondensi data hasil pengamatan kategori perokok dengan
kelompok pegawai dari beberapa perusahaan
Berdasarkan plot analisis korespondensi
(Gambar 1) terlihat bahwa masing-masing
kelompok pegawai memiliki letak yang relatif
berjauhan, hal ini memberikan keterangan
bahwa masing-masing kelompok tidak
memiliki kemiripan dalam mengkonsumsi
jumlah rokok.
Perhitungan analisis korespondensi
menghasilkan total inersia sebesar 0.08519.
Dua dimensi pertama mampu menerangkan
99.5% dari total inersia (Lampiran 1).
Kontribusi baris yang paling besar dalam
pembentukan sumbu utama pertama diberikan
oleh pegawai senior sebesar 51.2%.
Sementara untuk sumbu utama kedua
diberikan oleh manager yunior sebesar 55.1%
(Lampiran 1). Kontribusi kolom yang paling
besar dalam pembentukan sumbu utama
pertama diberikan oleh kategori tidak pernah
merokok sebesar 65.4% dan untuk sumbu
utama kedua diberikan oleh kategori perokok
berat sebesar 50.6% (Lampiran 1).
Nilai kontribusi relatif baris kelompok
manager yunior, pegawai senior, pegawai
yunior, dan staf sekretaris lebih besar
diterangkan oleh sumbu utama pertama,
sementara kelompok manager senior lebih
besar diterangkan oleh sumbu utama kedua.
Kontribusi relatif kolom untuk kategori tidak
merokok, perokok sedang dan perokok berat
lebih besar diterangkan oleh sumbu utama
pertama dan perokok ringan oleh sumbu
utama kedua.
Ukuran kesesuaian untuk data kategori
perokok dengan kelompok pekerjaan dari
beberapa perusahaan yang dihitung melalui
analisis Procrustes masing-masing untuk
profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan
99.53% (Lampiran 1).
Contoh data kedua aplikasi analisis
korespondensi adalah data penduduk berumur
15 tahun ke atas yang bekerja selama
seminggu yang lalu menurut provinsi dan
lapangan pekerjaan utama yang diolah dari
Hasil Survei Angkatan Kerja Nasional
(Sakernas) Agustus 2011 yang dilakukan oleh
Badan Pusat Statistik.
Kategori lapangan pekerjaan utama yaitu
(A) pertanian-kehutanan-perburuan-
perikanan, (B) pertambangan-penggalian, (C)
industri pengolahan, (D) listrik-gas-air, (E)
bangunan, (F) perdagangan besar-eceran-
rumah makan-hotel, (G) angkutan-
pergudangan-komunikasi, (H) keuangan-
asuransi-usaha persewaan bangunan-tanah-
jasa perusahaan, dan (I) jasa kemasyarakatan-
sosial-perorangan. Untuk kelompok provinsi
dibedakan menjadi (1) Aceh, (2) Sumatera
Utara, (3) Sumatera Barat, (4) Riau, (5)
Kepulauan Riau, (6) Jambi, (7) Sumatera
Selatan, (8) Kepulauan Bangka Belitung, (9)
Bengkulu, (10) Lampung, (11) DKI Jakarta,
(12) Jawa Barat, (13) Banten, (14) Jawa
Tengah, (15) DI Yogyakarta, (16) Jawa
Timur, (17) Bali, (18) Nusa Tenggara Barat,
(19) Nusa Tenggara Timur, (20) Kalimantan
Barat, (21) Kalimantan Tengah, (22)
Kalimantan Selatan, (23) Kalimantan Timur,
(24) Sulawesi Utara, (25) Gorontalo, (26)
Sulawesi Tengah, (27) Sulawesi Selatan, (28)
Sulawesi Barat, (29) Sulawesi Tenggara, (30)
Maluku, (31) Maluku Utara, (32) Papua dan
(33) Papua Barat. Banyaknya sampel yang
diamati adalah 109.670.399 orang (Tabel 5).
10
Tabel 5 Penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama pada 2011
No Provinsi Lapangan Pekerjaan Utama
Total A B C D E F G H I
1 Aceh 898225 11739 72509 3966 113934 299183 69173 25040 358704 1852473
2 Sumatera Utara 2595244 30288 483988 11390 332780 1208842 246883 118250 884449 5912114
3 Sumatera Barat 813699 29824 153130 9124 127991 441786 106972 40489 347710 2070725
4 Riau 1086037 37659 145753 10151 124939 490910 95364 56332 377035 2424180
5 Kepulauan Riau 97757 15952 195368 4551 59755 193860 48580 26728 139273 781824
6 Jambi 770848 21517 48786 4525 63098 231221 57533 22822 214648 1434998
7 Sumatera Selatan 2029448 42225 168171 5949 124580 558401 129687 61203 433440 3553104
8 Kep. Bangka Belitung 152884 148549 32186 1435 26817 111897 13214 11209 91443 589634
9 Bengkulu 456467 9480 25323 2828 43567 161061 26210 14795 133988 873719
10 Lampung 1715268 27239 358572 3636 162881 605747 129625 40446 438887 3482301
11 DKI Jakarta 30404 15284 690816 15894 163033 1642120 393284 440825 1196758 4588418
12 Jawa Barat 3675713 131781 3571915 35078 1194823 4554503 1096994 494960 2699014 17454781
13 Banten 630122 62908 1140427 18050 231911 1118385 295786 201536 830535 4529660
14 Jawa Tengah 5376452 79440 3046724 29152 1097380 3402091 563144 264681 2057071 15916135
15 DI Yogyakarta 431070 12464 266768 4247 133128 480136 68200 50063 352519 1798595
16 Jawa Timur 7520067 132588 2665473 24399 1158525 3908294 709844 362314 2458836 18940340
17 Bali 556615 12635 290132 6859 185705 596527 81744 83281 391376 2204874
18 Nusa Tenggara Barat 872088 49587 169577 2508 89284 370239 85578 29560 293819 1962240
19 Nusa Tenggara Timur 1360265 23627 124697 2420 59405 147439 87407 20810 270189 2096259
20 Kalimantan Barat 1294481 78646 89493 4409 97395 277324 51545 21002 232277 2146572
21 Kalimantan Tengah 605378 60463 31277 3712 52107 157741 29409 14373 151241 1105701
22 Kalimantan Selatan 756416 74277 117126 4317 94961 390121 77729 35752 274230 1824929
23 Kalimantan Timur 454258 162640 84554 7063 85327 364266 76774 48236 307885 1591003
24 Sulawesi Utara 321121 24806 65984 4653 82431 196182 73065 22856 199622 990720
25 Gorontalo 159123 15020 44015 175 28642 65851 34590 6401 91393 445210
26 Sulawesi Tengah 654739 26254 65750 1812 57492 190410 44314 15792 204436 1260999
27 Sulawesi Selatan 1469245 29038 223246 7831 178717 654516 181214 55828 575863 3375498
28 Sulawesi Barat 315762 5629 30973 1236 20758 72203 14685 4508 70294 536048
29 Sulawesi Tenggara 467200 38159 51782 1901 54277 169917 56418 11538 175356 1026548
30 Maluku 321494 5947 45338 2425 23356 92986 36882 7928 113756 650112
31 Maluku Utara 241341 7605 10763 809 18221 55287 27740 2929 73175 437870
32 Papua 1036520 33174 19885 2910 36358 130766 52225 16483 147906 1476227
33 Papua Barat 163164 8932 11580 221 16233 56325 17010 4392 58731 336588
Total 39328915 1465376 14542081 239636 6339811 23396537 5078822 2633362 16645859 109670399
11
12
Hasil plot analisis korespondensi dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2 Plot analisis korespondensi data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja
selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama
Berdasarkan plot analisis korespondensi
(Gambar 2) diketahui bahwa penduduk di
provinsi 32, 19 dan 20 memiliki posisi yang
relatif berdekatan, hal ini memberikan
keterangan bahwa penduduk di provinsi
tersebut memiliki kemiripan dalam
menentukan lapangan pekerjaan utama yaitu
di bidang pertanian-kehutanan-perburuan-
perikanan. Penduduk di provinsi 5, 11 dan 13
memiliki karakteristik yang sama dalam
menentukan lapangan pekerjaan utama yaitu
di bidang keuangan-asuransi-usaha persewaan
bangunan-tanah-jasa perusahaan, hal ini
terlihat dari posisi yang relatif berdekatan.
Penduduk di provinsi 8 dan 23 memiliki
karakteristik yang berbeda dengan penduduk
di provinsi lainnya dalam menentukan bidang
pekerjaan utama yaitu di bidang
pertambangan-penggalian, hal ini terlihat dari
posisi provinsi yang terletak berjauhan dengan
provinsi lainnya.
Perhitungan analisis korespondensi
menghasilkan inersia sebesar 0.16876. Dua
dimensi pertama mampu menerangkan
85.80% dari total inersia (Lampiran 2).
Kontribusi baris yang besar dalam
pembentukan sumbu utama pertama diberikan
oleh provinsi 11 sebesar 22.6 % dan untuk
sumbu utama kedua diberikan oleh provinsi 8
sebesar 53.7 % (Lampiran 2). Kontribusi
kolom yang paling besar dalam pembentukan
sumbu utama pertama diberikan oleh lapangan
pekerjaan utama di bidang pertanian-
kehutanan-perburuan-perikanan (A) sebesar
55.1 % dan untuk sumbu utama kedua
diberikan oleh lapangan pekerjaan utama di
bidang pertambangan-penggalian (B) sebesar
86 % (Lampiran 2).
Dari hasil perhitungan, nilai kontribusi
relatif baris untuk provinsi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 26,
27, 28, 29, 30, 31, 32 dan 33 lebih besar
diterangkan oleh sumbu utama pertama,
sementara provinsi 8, 14, 16, 22, 23, 24 dan
25 lebih besar diterangkan oleh sumbu utama
kedua. Pada hasil perhitungan kontribusi
relatif kolom, kategori lapangan pekerjaan
utama di bidang pertanian-kehutanan-
perburuan-perikanan (A), industri pengolahan
(C), bangunan (E), perdagangan besar-eceran-
rumah makan-hotel (F), angkutan-
pergudangan-komunikasi (G), keuangan-
asuransi-usaha persewaan bangunan-tanah-
jasa perusahaan (H) dan jasa kemasyarakatan-
sosial-perorangan (I) lebih besar diterangkan
oleh sumbu utama pertama dan lapangan
pekerjaan utama di bidang pertambangan-
penggalian (B) dan listrik-gas-air (D) oleh
sumbu utama kedua.
Ukuran kesesuaian untuk data penduduk
berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama
seminggu yang lalu menurut provinsi dan
lapangan pekerjaan utama yang dihitung
melalui analisis Procrustes untuk profil baris
dan kolom masing-masing sebesar 91.83%
dan 88.25% (Lampiran 2).
13
SIMPULAN
Dalam analisis korespondensi, untuk
mendapatkan ukuran kesesuaian bagi
pendekatan matriks data F dan G untuk profil
baris dan kolom dengan menggunakan analisis
Procrustes, ketiga transformasi yaitu translasi,
rotasi dan dilasi perlu dilakukan. Ukuran
kesesuaian analisis korespondensi melalui
analisis Procrustes diterapkan pada dua contoh
data. Pertama yaitu data hasil pengamatan
kategori perokok dengan kelompok pegawai
dari beberapa perusahaan yang bersumber
pada Greenacre (1984) yang menghasilkan
ukuran kesesuaian melalui analisis Procrustes
untuk setiap matriks profil baris dan kolom
sebesar 98.64% dan 99.53%. Kedua yaitu data
penduduk berumur 15 tahun ke atas yang
bekerja selama seminggu yang lalu menurut
provinsi dan lapangan pekerjaan utama
menghasilkan ukuran kesesuaian melalui
analisis Procrustes untuk setiap matriks profil
baris dan kolom sebesar 91.83% dan 88.25%.
DAFTAR PUSTAKA
Abdi, H. 2007. Singular Value Decomposition
(SVD) and Generalized Singular Value
Decomposition (GSVD). In N.J. Salkind
(Ed.): Encyclopedia of Measurement and
Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage.
Abdi H, Williams LJ. 2010. Correspondence
Analysis. In Neil Salkind (Ed.):
Encyclopedia of Research Design.
Thousand Oaks (CA): Sage.
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2012.
Statistik Indonesia 2012. Jakarta: BPS.
Bakhtiar T. 1995. Tinjauan terhadap Urutan
Pengerjaan Transformasi Geometris pada
Analisis Procrustes untuk Mencari Norma
Kuadrat Perbedaan Minimum [Skripsi].
Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal
Procrustes Analysis: Its Transformation
Arrangement and Minimal Distance.
International Journal of Applied.
Mathematics and Statistics 20:16 24.
Benzécri JP. (1969). Statistical analysis as a
tool to make patterns emerge from data. In
Watanabe(Ed.): Methodologies of Pattern
Recognition. New York: Academic Press.
Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric
Statistics. 2nd
Ed. Boston: PWS-KENT.
Greenacre MJ. 1984. Theory and Applications
of Correspondence Analysis. London:
Academic Press.
Greenacre MJ. 2007. Correspondence
Analysis in Practice. 2nd
Ed. London:
Chapman and Hall.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component
Analysis. 2nd
Ed. Berlin: Springer-Verlag.
Krzanowski WJ. 1990. Principles of
Multivariate Analysis, A User’s
Perspective. New York: Oxford University
Press.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta:
Erlangga. Terjemahan dari: Linear
Algebra with Applications. 5th
Ed.
Sibson R. 1978. Studies in the Robustness of
Multidimensional Scaling: Procrustes
Statistics. J. Roy. Statist. Soc. B 40(2):
234–238.
Siswadi, Bakhtiar T, Maharsi R. 2012.
Procrustes Analysis and the Goodness-of-
fit of Biplots: Some Thoughts and
Findings. Applied Mathematical Sciences
6(72): 3579 – 3590.
Siswadi, Suharjo B. 1999. Analisis Eksplorasi
Data Peubah Ganda. Bogor: Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor.
.
Lampiran 1 Hasil analisis korespondensi untuk data hasil pengamatan kategori perokok dengan
kategori pekerjaan
Matriks Korespondensi
0.0207 0.0104 0.0155 0.0104 0.0207 0.0155 0.0363 0.0207
𝐏 = 0.1295 0.0518 0.0622 0.0207 0.0933 0.1244 0.1710 0.0674 0.0518 0.0311 0.0363 0.0104
Profil Baris
1 2 3 4
Tidak Ringan Sedang Berat Margin
1 0.364 0.182 0.273 0.182 1.000
2 0.222 0.167 0.389 0.222 1.000
3 0.490 0.196 0.235 0.078 1.000
4 0.205 0.273 0.375 0.148 1.000
5 0.400 0.240 0.280 0.080 1.000
-------- -------- -------- --------
Margin 0 .316 0.233 0.321 0.130
Profil Kolom
1 2 3 4 5 Margin
Tidak 0.066 0.066 0.410 0.295 0.164 1.000
Ringan 0.044 0.067 0.222 0.533 0.133 1.000
Sedang 0.048 0.113 0.194 0.532 0.113 1.000
Berat 0.080 0.160 0.160 0.520 0.080 1.000
-------- -------- -------- -------- --------
Margin 0.057 0.093 0.264 0.456 0.130
Dimensi Singular Value Inertia Proportion Cumulative Proportion Explained
1 0.27342 0.07476 0.878 0.878
2 0.10009 0.01002 0.118 0.995
3 0.02034 0.00041 0.005 1.000
-------- ---------- ----------
Total 0.08519 1.000 1.000
Koordinat Faktor baris
Row Koor 1 Koor 2 Koor 3 Koor 4
1 -0.0658 -0.1937 0.0710 -0.0000
2 0.2590 -0.2433 -0.0337 -0.0000
3 -0.3806 -0.0107 -0.0052 -0.0000
4 0.2330 0.0577 0.0033 -0.0000
5 -0.2011 0.0789 -0.0081 -0.0000
Koordinat Faktor kolom
Column Koor 1 Koor 2 Koor 3 Koor 4
1 Tidak -0.3933 -0.0305 -0.0009 0.0000
2 Rendah 0.0995 0.1411 0.0220 0.0000
3 Sedang 0.1963 0.0074 -0.0257 0.0000
4 Berat 0.2938 -0.1978 0.0262 0.0000
Kontribusi relatif baris
Marginal Dim Total
Row Profile 1 2
1 0.057 0.092 0.800 0.893
2 0.093 0.526 0.465 0.991
3 0.264 0.999 0.001 1.000
4 0.456 0.942 0.058 1.000
5 0.130 0.865 0.133 0.999
Kontribusi relatif kolom
Marginal Dim Total
Column Profile 1 2
1 Tidak 0.316 0.994 0.006 1.000
2 Rendah 0.233 0.327 0.657 0.984
3 Sedang 0.321 0.982 0.001 0.983
4 Berat 0.130 0.684 0.310 0.995
Kontribusi total baris
Marginal Dim
Row Profile 1 2
1 0.057 0.003 0.214
2 0.093 0.084 0.551
3 0.264 0.512 0.003
4 0.456 0.331 0.152
5 0.130 0.070 0.081
-------- --------
1.000 1.000
Kontribusi total kolom
Marginal Dim
Column Profile 1 2
1 Tidak 0.316 0.654 0.029
2 Rendah 0.233 0.031 0.463
3 Sedang 0.321 0.166 0.002
4 Berat 0.130 0.150 0.506
-------- --------
1.000 1.000
Ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes untuk data kategori
perokok dengan kategori pekerjaan dari beberapa perusahaan disajikan dalam tabel berikut.
Hubungan Peubah Ukuran kesesuaian analisis
korespondensi
Ukuran kesesuaian analisis
Procrustes
Matriks data F dan matriks
pendekatannya (M) 98.64% 98.64%
Matriks data G dan matriks
pendekatannya (N) 99.53% 99.53%
Pada tabel di atas ditunjukkan bahwa pendekatan matriks menggunakan analisis Procrustes
memberikan ukuran kesesuaian yang cukup yaitu lebih dari 95% .
Lampiran 2 Hasil analisis korespondensi untuk data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang
bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama.
Matriks Korespondensi
0.0082 0.0001 0.0007 0.0000 0.0010 0.0027 0.0006 0.0002 0.0033
0.0237 0.0003 0.0044 0.0001 0.0030 0.0110 0.0023 0.0011 0.0081
0.0074 0.0003 0.0014 0.0001 0.0012 0.0040 0.0010 0.0004 0.0032
0.0099 0.0003 0.0013 0.0001 0.0011 0.0045 0.0009 0.0005 0.0034
0.0009 0.0001 0.0018 0.0000 0.0005 0.0018 0.0004 0.0002 0.0013
0.0070 0.0002 0.0004 0.0000 0.0006 0.0021 0.0005 0.0002 0.0020
0.0185 0.0004 0.0015 0.0001 0.0011 0.0051 0.0012 0.0006 0.0040
0.0014 0.0014 0.0003 0.0000 0.0002 0.0010 0.0001 0.0001 0.0008
0.0042 0.0001 0.0002 0.0000 0.0004 0.0015 0.0002 0.0001 0.0012
0.0156 0.0002 0.0033 0.0000 0.0015 0.0055 0.0012 0.0004 0.0040
0.0003 0.0001 0.0063 0.0001 0.0015 0.0150 0.0036 0.0040 0.0109
0.0335 0.0012 0.0326 0.0003 0.0109 0.0415 0.0100 0.0045 0.0246
0.0057 0.0006 0.0104 0.0002 0.0021 0.0102 0.0027 0.0018 0.0076
0.0490 0.0007 0.0278 0.0003 0.0100 0.0310 0.0051 0.0024 0.0188
0.0039 0.0001 0.0024 0.0000 0.0012 0.0044 0.0006 0.0005 0.0032
0.0686 0.0012 0.0243 0.0002 0.0106 0.0356 0.0065 0.0033 0.0224
0.0051 0.0001 0.0026 0.0001 0.0017 0.0054 0.0007 0.0008 0.0036
0.0080 0.0005 0.0015 0.0000 0.0008 0.0034 0.0008 0.0003 0.0027
𝐏 = 0.0124 0.0002 0.0011 0.0000 0.0005 0.0013 0.0008 0.0002 0.0025
0.0118 0.0007 0.0008 0.0000 0.0009 0.0025 0.0005 0.0002 0.0021
0.0055 0.0006 0.0003 0.0000 0.0005 0.0014 0.0003 0.0001 0.0014
0.0069 0.0007 0.0011 0.0000 0.0009 0.0036 0.0007 0.0003 0.0025
0.0041 0.0015 0.0008 0.0001 0.0008 0.0033 0.0007 0.0004 0.0028
0.0029 0.0002 0.0006 0.0000 0.0008 0.0018 0.0007 0.0002 0.0018
0.0015 0.0001 0.0004 0.0000 0.0003 0.0006 0.0003 0.0001 0.0008
0.0060 0.0002 0.0006 0.0000 0.0005 0.0017 0.0004 0.0001 0.0019
0.0134 0.0003 0.0020 0.0001 0.0016 0.0060 0.0017 0.0005 0.0053
0.0029 0.0001 0.0003 0.0000 0.0002 0.0007 0.0001 0.0000 0.0006
0.0043 0.0003 0.0005 0.0000 0.0005 0.0015 0.0005 0.0001 0.0016
0.0029 0.0001 0.0004 0.0000 0.0002 0.0008 0.0003 0.0001 0.0010
0.0022 0.0001 0.0001 0.0000 0.0002 0.0005 0.0003 0.0000 0.0007
0.0095 0.0003 0.0002 0.0000 0.0003 0.0012 0.0005 0.0002 0.0013
0.0015 0.0001 0.0001 0.0000 0.0001 0.0005 0.0002 0.0000 0.0005
Profil Baris
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Row A B C D E F G H I Margin
1 0.485 0.006 0.039 0.002 0.062 0.162 0.037 0.014 0.194 1.000
2 0.439 0.005 0.082 0.002 0.056 0.204 0.042 0.020 0.150 1.000
3 0.393 0.014 0.074 0.004 0.062 0.213 0.052 0.020 0.168 1.000
4 0.448 0.016 0.060 0.004 0.052 0.203 0.039 0.023 0.156 1.000
5 0.125 0.020 0.250 0.006 0.076 0.248 0.062 0.034 0.178 1.000
6 0.537 0.015 0.034 0.003 0.044 0.161 0.040 0.016 0.150 1.000
7 0.571 0.012 0.047 0.002 0.035 0.157 0.036 0.017 0.122 1.000
8 0.259 0.252 0.055 0.002 0.045 0.190 0.022 0.019 0.155 1.000
9 0.522 0.011 0.029 0.003 0.050 0.184 0.030 0.017 0.153 1.000
10 0.493 0.008 0.103 0.001 0.047 0.174 0.037 0.012 0.126 1.000
11 0.007 0.003 0.151 0.003 0.036 0.358 0.086 0.096 0.261 1.000
12 0.211 0.008 0.205 0.002 0.068 0.261 0.063 0.028 0.155 1.000
13 0.139 0.014 0.252 0.004 0.051 0.247 0.065 0.044 0.183 1.000
14 0.338 0.005 0.191 0.002 0.069 0.214 0.035 0.017 0.129 1.000
15 0.240 0.007 0.148 0.002 0.074 0.267 0.038 0.028 0.196 1.000
16 0.397 0.007 0.141 0.001 0.061 0.206 0.037 0.019 0.130 1.000
17 0.252 0.006 0.132 0.003 0.084 0.271 0.037 0.038 0.178 1.000
18 0.444 0.025 0.086 0.001 0.046 0.189 0.044 0.015 0.150 1.000
19 0.649 0.011 0.059 0.001 0.028 0.070 0.042 0.010 0.129 1.000
20 0.603 0.037 0.042 0.002 0.045 0.129 0.024 0.010 0.108 1.000
21 0.548 0.055 0.028 0.003 0.047 0.143 0.027 0.013 0.137 1.000
22 0.414 0.041 0.064 0.002 0.052 0.214 0.043 0.020 0.150 1.000
23 0.286 0.102 0.053 0.004 0.054 0.229 0.048 0.030 0.194 1.000
24 0.324 0.025 0.067 0.005 0.083 0.198 0.074 0.023 0.201 1.000
25 0.357 0.034 0.099 0.000 0.064 0.148 0.078 0.014 0.205 1.000
26 0.519 0.021 0.052 0.001 0.046 0.151 0.035 0.013 0.162 1.000
27 0.435 0.009 0.066 0.002 0.053 0.194 0.054 0.017 0.171 1.000
28 0.589 0.011 0.058 0.002 0.039 0.135 0.027 0.008 0.131 1.000
29 0.455 0.037 0.050 0.002 0.053 0.166 0.055 0.011 0.171 1.000
30 0.495 0.009 0.070 0.004 0.036 0.143 0.057 0.012 0.175 1.000
31 0.551 0.017 0.025 0.002 0.042 0.126 0.063 0.007 0.167 1.000
32 0.702 0.022 0.013 0.002 0.025 0.089 0.035 0.011 0.100 1.000
33 0.485 0.027 0.034 0.001 0.048 0.167 0.051 0.013 0.174 1.000
--------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
Margin 0.359 0.013 0.133 0.002 0.058 0.213 0.046 0.024 0.152
Profil Kolom
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
A 0.023 0.066 0.021 0.028 0.002 0.020 0.052 0.004 0.012 0.044 0.001 0.093 0.016 0.137 0.011 0.191 0.014
B 0.008 0.021 0.020 0.026 0.011 0.015 0.029 0.101 0.006 0.019 0.010 0.090 0.043 0.054 0.009 0.090 0.009
C 0.005 0.033 0.011 0.010 0.013 0.003 0.012 0.002 0.002 0.025 0.048 0.246 0.078 0.210 0.018 0.183 0.020
D 0.017 0.048 0.038 0.042 0.019 0.019 0.025 0.006 0.012 0.015 0.066 0.146 0.075 0.122 0.018 0.102 0.029
E 0.018 0.052 0.020 0.020 0.009 0.010 0.020 0.004 0.007 0.026 0.026 0.188 0.037 0.173 0.021 0.183 0.029
F 0.013 0.052 0.019 0.021 0.008 0.010 0.024 0.005 0.007 0.026 0.070 0.195 0.048 0.145 0.021 0.167 0.025
G 0.014 0.049 0.021 0.019 0.010 0.011 0.026 0.003 0.005 0.026 0.077 0.216 0.058 0.111 0.013 0.140 0.016
H 0.010 0.045 0.015 0.021 0.010 0.009 0.023 0.004 0.006 0.015 0.167 0.188 0.077 0.101 0.019 0.138 0.032
I 0.022 0.053 0.021 0.023 0.008 0.013 0.026 0.005 0.008 0.026 0.072 0.162 0.050 0.124 0.021 0.148 0.024
-------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
Margin 0.017 0.054 0.019 0.022 0.007 0.013 0.032 0.005 0.008 0.032 0.042 0.159 0.041 0.145 0.016 0.173 0.020
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Margin
A 0.022 0.035 0.033 0.015 0.019 0.012 0.008 0.004 0.017 0.037 0.008 0.012 0.008 0.006 0.026 0.004 1.000
B 0.034 0.016 0.054 0.041 0.051 0.111 0.017 0.010 0.018 0.020 0.004 0.026 0.004 0.005 0.023 0.006 1.000
C 0.012 0.009 0.006 0.002 0.008 0.006 0.005 0.003 0.005 0.015 0.002 0.004 0.003 0.001 0.001 0.001 1.000
D 0.010 0.010 0.018 0.015 0.018 0.029 0.019 0.001 0.008 0.033 0.005 0.008 0.010 0.003 0.012 0.001 1.000
E 0.014 0.009 0.015 0.008 0.015 0.013 0.013 0.005 0.009 0.028 0.003 0.009 0.004 0.003 0.006 0.003 1.000
F 0.016 0.006 0.012 0.007 0.017 0.016 0.008 0.003 0.008 0.028 0.003 0.007 0.004 0.002 0.006 0.002 1.000
G 0.017 0.017 0.010 0.006 0.015 0.015 0.014 0.007 0.009 0.036 0.003 0.011 0.007 0.005 0.010 0.003 1.000
H 0.011 0.008 0.008 0.005 0.014 0.018 0.009 0.002 0.006 0.021 0.002 0.004 0.003 0.001 0.006 0.002 1.000
I 0.018 0.016 0.014 0.009 0.016 0.018 0.012 0.005 0.012 0.035 0.004 0.011 0.007 0.004 0.009 0.004 1.000
-------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- -------- -------- -------- -------
Margin 0.018 0.019 0.020 0.010 0.017 0.015 0.009 0.004 0.011 0.031 0.005 0.009 0.006 0.004 0.013 0.003
Dimension Singular Value Inertia Proportion Explained Proportion Cumulative
1 0.32434 0.10519 0.623 0.623
2 0.19892 0.03957 0.234 0.858
3 0.13294 0.01767 0.105 0.963
4 0.05461 0.00298 0.018 0.980
5 0.04509 0.00203 0.012 0.992
6 0.02883 0.00083 0.005 0.997
7 0.01646 0.00027 0.002 0.999
8 0.01426 0.00020 0.001 1.000
--------- ---------- ----------
Total 0.16876 1.000 1.000
Koordinat Faktor Baris
Row Koor 1 Koor 2 Koor 3 Koor 4 Koor 5 Koor 6 Koor 7 Koor 8 Koor 9
1 - 0.3078 0.0492 0.1675 0.0830 -0.0698 0.0834 0.0245 0.0131 0.0000
2 - 0.1700 0.0715 0.0908 0.0392 0.0123 -0.0120 0.0028 - 0.0014 0.0000
3 - 0.1130 - 0.0351 0.1096 0.0738 -0.0419 -0.0110 - 0.0302 - 0.0276 0.0000
4 - 0.2179 - 0.0286 0.1207 0.0355 0.0243 0.0035 - 0.0276 - 0.0316 0.0000
5 0.4964 - 0.0974 - 0.1511 -0.0194 -0.0736 0.0583 - 0.0572 - 0.0195 0.0000
6 - 0.4058 0.0051 0.1314 0.0006 -0.0097 0.0011 - 0.0132 - 0.0177 0.0000
7 - 0.4438 0.0602 0.0911 -0.0561 0.0405 - 0.0312 - 0.0024 - 0.0076 0.0000
8 - 0.3273 - 1.9887 - 0.5308 -0.0329 0.0755 0.0014 0.0319 0.0216 0.0000
9 - 0.3745 0.0283 0.1520 0.0569 0.0355 0.0166 - 0.0055 - 0.0273 0.0000
10 - 0.2635 0.1007 - 0.0120 -0.0292 0.0113 - 0.0160 0.0211 - 0.0084 0.0000
11 0.7531 - 0.1673 0.4327 -0.0674 0.0612 0.0028 0.0056 0.0110 0.0000
12 0.3374 0.0236 - 0.0717 0.0081 -0.0315 - 0.0385 - 0.0001 0.0014 0.0000
13 0.5019 - 0.0534 - 0.0800 -0.1222 -0.0431 0.0482 - 0.0071 - 0.0212 0.0000
14 0.0858 0.1135 - 0.1474 0.0055 0.0210 0.0226 0.0003 - 0.0008 0.0000
15 0.2346 - 0.0036 0.0458 0.1192 0.0111 0.0650 0.0389 - 0.0149 0.0000
16 - 0.0558 0.0862 - 0.0502 0.0045 0.0329 - 0.0049 0.0022 0.0098 0.0000
17 0.2140 0.0014 0.0807 0.1336 0.0618 0.0467 - 0.0302 0.0253 0.0000
18 - 0.2183 - 0.0819 0.0190 -0.0093 -0.0116 - 0.0179 0.0345 - 0.0120 0.0000
19 - 0.5927 0.1124 0.0363 -0.1651 -0.0676 0.0368 - 0.0014 0.0284 0.0000
20 - 0.5648 - 0.1110 - 0.0317 -0.0373 0.0499 0.0005 - 0.0257 0.0120 0.0000
21 - 0.5080 - 0.3002 - 0.0087 -0.0053 0.0270 0.0254 - 0.0253 - 0.0035 0.0000
22 - 0.2023 - 0.2359 0.0348 0.0419 0.0220 - 0.0375 0.0061 - 0.0141 0.0000
23 - 0.0863 - 0.8123 - 0.0199 0.0493 -0.0063 0.0042 - 0.0067 - 0.0148 0.0000
24 - 0.0214 - 0.1635 0.1393 0.1150 -0.1657 0.0057 - 0.0703 0.0426 0.0000
25 - 0.0859 - 0.1917 0.0343 -0.0070 -0.2312 0.0221 0.0300 0.0756 0.0000
26 - 0.3800 - 0.0354 0.0756 -0.0034 -0.0272 0.0411 0.0328 0.0017 0.0000
27 - 0.1874 0.0255 0.1328 0.0390 -0.0631 - 0.0148 0.0135 - 0.0108 0.0000
28 - 0.4828 0.0924 0.0411 -0.0433 0.0112 0.0298 0.0091 - 0.0246 0.0000
29 - 0.2965 - 0.1980 0.0597 0.0235 -0.0977 - 0.0121 0.0167 0.0111 0.0000
30 - 0.3003 0.0472 0.1174 -0.0599 -0.1215 0.0236 0.0097 - 0.0417 0.0000
31 - 0.4561 - 0.0137 0.1443 -0.0263 -0.1500 - 0.0253 0.0120 0.0079 0.0000
32 - 0.7320 0.0223 0.0649 -0.1362 0.0156 - 0.0283 - 0.0337 0.0103 0.0000
33 - 0.3389 - 0.1133 0.1243 0.0271 - 0.0729 - 0.0081 0.0433 0.0176
Koordinat Faktor Kolom
Column Koor 1 Koor 2 Koor 3 Koor 4 Koor 5 Koor 6 Koor 7 Koor 8 Koor 9
1 Pertanian - 0.4019 0.0725 - 0.0053 -0.0159 0.0077 -0.0012 - 0.0009 0.0003 0.0000
2 Pertambangan - 0.4197 - 1.5961 - 0.3597 - 0.0305 0.0095 -0.0062 - 0.0003 0.0034 0.0000
3 Industri 0.4075 0.1169 - 0.2400 - 0.0580 -0.0028 0.0128 0.0023 -0.0015 0.0000
4 Listrik_ 0.1389 - 0.1789 0.1485 0.0217 -0.0852 0.1254 - 0.2513 -0.2011 0.0000
5 Bangunan 0.0945 0.0445 - 0.1147 0.1473 -0.0206 0.0155 - 0.0283 0.0309 0.0000
6 Perdagangan 0.2266 - 0.0248 0.0423 0.0450 0.0417 -0.0274 0.0065 -0.0099 0.0000
7 Transportasi 0.2259 - 0.0420 0.1250 - 0.0605 -0.1361 -0.0803 - 0.0139 0.0087 0.0000
8 Keuangan 0.5325 - 0.1559 0.3832 - 0.1511 0.1329 0.0274 - 0.0365 0.0374 0.0000
9 Jasa_Kemasyarakatan 0.1209 - 0.0749 0.1372 0.0136 -0.0456 0.0431 0.0153 -0.0031 0.0000
Kontribusi relatif baris
Marginal Profile Dim Total
Row 1 2
1 0.017 0.655 0.017 0.671
2 0.054 0.655 0.116 0.771
3 0.019 0.365 0.035 0.400
4 0.022 0.714 0.012 0.727
5 0.007 0.845 0.033 0.878
6 0.013 0.902 0.000 0.902
7 0.032 0.917 0.017 0.934
8 0.005 0.025 0.909 0.933
9 0.008 0.826 0.005 0.831
10 0.032 0.852 0.124 0.977
11 0.042 0.717 0.035 0.753
12 0.159 0.933 0.005 0.937
13 0.041 0.897 0.010 0.907
14 0.145 0.171 0.300 0.471
15 0.016 0.711 0.000 0.711
16 0.173 0.218 0.520 0.738
17 0.020 0.589 0.000 0.589
18 0.018 0.842 0.119 0.961
19 0.019 0.880 0.032 0.912
20 0.020 0.947 0.037 0.983
21 0.010 0.737 0.257 0.994
22 0.017 0.403 0.547 0.950
23 0.015 0.011 0.984 0.995
24 0.009 0.005 0.284 0.289
25 0.004 0.070 0.347 0.417
26 0.011 0.932 0.008 0.940
27 0.031 0.591 0.011 0.602
28 0.005 0.944 0.035 0.979
29 0.009 0.622 0.277 0.899
30 0.006 0.711 0.018 0.728
31 0.004 0.822 0.001 0.823
32 0.013 0.955 0.001 0.955
33 0.003 0.758 0.085 0.843
Kontribusi relatif kolom
Marginal Profile Dim Total
Column 1 2
1 Pertanian 0.359 0.966 0.031 0.998
2 Pertambangan 0.013 0.062 0.893 0.954
3 Industri 0.133 0.689 0.057 0.746
4 Listrik_ 0.002 0.096 0.160 0.256
5 Bangunan 0.058 0.185 0.041 0.227
6 Perdagangan 0.213 0.879 0.011 0.890
7 Transportasi 0.046 0.524 0.018 0.542
8 Keuangan 0.024 0.569 0.049 0.617
9 Jasa_Kemasyarakatan 0.152 0.337 0.129 0.466
Kontribusi total baris
Marginal Profile Dim
Row 1 2
1 0.017 0.015 0.001
2 0.054 0.015 0.007
3 0.019 0.002 0.001
4 0.022 0.010 0.000
5 0.007 0.017 0.002
6 0.013 0.020 0.000
7 0.032 0.061 0.003
8 0.005 0.005 0.537
9 0.008 0.011 0.000
10 0.032 0.021 0.008
11 0.042 0.226 0.030
12 0.159 0.172 0.002
13 0.041 0.099 0.003
14 0.145 0.010 0.047
15 0.016 0.009 0.000
16 0.173 0.005 0.032
17 0.020 0.009 0.000
18 0.018 0.008 0.003
19 0.019 0.064 0.006
20 0.020 0.059 0.006
21 0.010 0.025 0.023
22 0.017 0.006 0.023
23 0.015 0.001 0.242
24 0.009 0.000 0.006
25 0.004 0.000 0.004
26 0.011 0.016 0.000
27 0.031 0.010 0.001
28 0.005 0.011 0.001
29 0.009 0.008 0.009
30 0.006 0.005 0.000
31 0.004 0.008 0.000
32 0.013 0.069 0.000
33 0.003 0.003 0.001
-------- --------
1.000 1.000
Kontribusi total kolom
Marginal Profile Dim
Column 1 2
1 Pertanian 0.359 0.551 0.048
2 Pertambangan 0.013 0.022 0.860
3 Industri 0.133 0.209 0.046
4 Listrik_ 0.002 0.000 0.002
5 Bangunan 0.058 0.005 0.003
6 Perdagangan 0.213 0.104 0.003
7 Transportasi 0.046 0.022 0.002
8 Keuangan 0.024 0.065 0.015
9 Jasa_Kemasyarakatan 0.152 0.021 0.022
-------- --------
1.000 1.000
Ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes untuk penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut
provinsi dan lapangan pekerjaan utama disajikan dalam tabel berikut.
Hubungan Peubah Ukuran kesesuaian analisis
korespondensi
Ukuran kesesuaian analisis Procrustes
Matriks data F dan matriks pendekatannya (M) 91.83% 91.83%
Matriks data G dan matriks pendekatannya (N) 88.25% 88.25%
Pada tabel di atas ditunjukkan bahwa pendekatan matriks menggunakan analisis Procrustes memberikan ukuran kesesuaian yang cukup besar untuk data
profil baris dan data profil kolom yaitu lebih dari 85% .
Lampiran 3 Ilustrasi 𝐂𝐅 ≠ 𝟎T dan 𝐂𝐌 ≠ 𝟎T sehingga 𝐙𝐅𝐌 ≠ 𝟎T pada data kategori perokok
dengan kategori pekerjaan dari beberapa perusahaan
Misalkan diberikan matriks 𝐅 dan 𝐌 yaitu
−0.0658 − 0.1937 0.0710 − 0.0000 0.2590 − 0.2433 − 0.0337 − 0.0000
𝐅 = −0.3806 − 0.0107 − 0.0052 − 0.0000 0.2330 0.0577 0.0033 − 0.0000
−0.2011 0.0789 − 0.0081 − 0.0000
−0.0369 − 0.1359 0.0129 − 0.0000 0.2919 − 0.1777 0.0021 − 0.0000
𝐌 = −0.3486 0.0533 0.0107 0.0000 0.2632 0.1184 − 0.0212 0.0000
−0.1696 0.1419 − 0.0044 0.0000
Sentroid dari matriks 𝐅 ialah
𝐂𝐅 = −0.0311 −0.0622 0.0055 −0.0000 ≠ 𝟎T .
Sentroid dari matriks 𝐌 ialah
𝐂𝐌 = −0.1665 × 10−16 −0.2220 × 10−16 −0.0173 × 10−16 0.0000 ≠ 𝟎T .
Jadi. 𝐙𝐅𝐌 ≠ 𝟎T .
Lampiran 4 Ilustrasi bahwa 𝐐 ≠ 𝐈 pada transformasi rotasi.
Pada transformasi translasi diperoleh matriks 𝐅𝑇 dan 𝐌𝑇 di mana
𝐅𝑇 = 𝐅 −1
5𝟏𝟏T𝐅 dan
𝐌𝑇 = 𝐌 −1
5𝟏𝟏T𝐌.
Matriks 𝐅𝑇 dan 𝐌𝑇 sebagai berikut:
−0.0347 − 0.1315 0.0655 0.0000 0.2901 − 0.1811 − 0.0392 − 0.0000
𝐅𝑇 = −0.3495 0.0515 − 0.0106 − 0.0000 0.2641 0.1200 − 0.0022 − 0.0000
−0.1700 0.1411 − 0.0135 0.0000
−0.0369 − 0.1359 0.0129 − 0.0000 0.2919 − 0.1777 0.0021 − 0.0000
𝐌𝑇 = −0.3486 0.0533 0.0107 0.0000 0.2633 0.1184 − 0.0212 0.0000
−0.1696 0.1419 − 0.0044 0.0000
sehingga diperoleh matriks
0.3061 − 0.0583 − 0.0084 0.0000 −0.0583 0.0870 − 0.0047 0.0000
𝐅𝑇T𝐌𝑇 = −0.0084 − 0.0047 0.0008 0.0000
−0.0000 − 0.0000 − 0.0000 0.0000
Untuk memperoleh matriks Q. akan dicari DNSBL dari matriks 𝐅𝑇T𝐌𝑇 . DNSBL dari matriks
𝐅𝑇T𝐌𝑇 ialah
𝐅𝑇T𝐌𝑇 = 𝓤𝓛𝓦T
= −0.9701 − 0.2387 − 0.0000 − 0.0431 0.2415 − 0.9669 0.0000 − 0.0825
0.0219 0.0905 − 0.0000 − 0.9957 0.0000 − 0.0000 − 1.0000 − 0.0000
0.3208 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0731 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
−0.9701 − 0.2387 0.0431 0.0000 0.2416 − 0.9669 0.0825 − 0.0000
0.0220 0.0905 0.9957 − 0.0000 0.0000 − 0.0000 0.0000 1.0000
dan hasil yang diperoleh ialah
𝐐 = 𝓦𝓤𝐓
= 0.9981 − 0.0036 − 0.0429 − 0.0431 −0.0036 0.9932 − 0.0822 − 0.0825 −0.0429 − 0.0822 0.0087 − 0.9957 −0.0431 − 0.0825 − 0.9957 − 0.0000
≠ 𝐈
Lampiran 5 Ilustrasi 𝐂𝐆 ≠ 𝟎T dan 𝐂𝐍 ≠ 𝟎T sehingga 𝐙𝐆𝐍 ≠ 𝟎T
Misalkan diberikan matriks 𝐆 dan 𝐍 yaitu
−0.3933 − 0.0305 − 0.0009 0.0000 𝐆 = 0.0995 0.1411 0.0220 0.0000
0.1963 0.0074 − 0.0257 0.0000 0.2938 − 0.1978 0.0262 0.0000
−0.4424 − 0.0105 − 0.0052 − 0.0000 𝐍 = 0.0506 0.1605 − 0.0036 − 0.0000
0.1469 0.0282 0.0011 − 0.0000 0.2449 − 0.1781 0.0077 0.0000
Sentroid dari matriks G ialah
𝐂𝐆 = 0.0491 − 0.0200 0.0054 0.0000 ≠ 𝟎T
Sentroid dari matriks N ialah
𝐂𝐍 = −0.0694 × 10−16 −0.1388 × 10−16 0.0022 × 10−16 0.0000 ≠ 𝟎T
Jadi. Z𝐆𝐍 ≠ 𝟎T .
Lampiran 6 Ilustrasi bahwa 𝐐 ≠ 𝐈 pada transformasi rotasi.
Pada transformasi translasi diperoleh matriks 𝐆𝑇 dan 𝐍𝑇 di mana
𝐆𝑇 = 𝐆 −1
4𝟏𝟏T𝐆 dan
𝐍𝑇 = 𝐍 −1
4𝟏𝟏T𝐍.
Matriks 𝐆𝑇 dan 𝐍𝑇 sebagai berikut:
−0.4424 − 0.0105 − 0.0063 0.0000 𝐆𝑇 = 0.0504 0.1610 0.0166 0.0000
0.1473 0.0273 − 0.0311 0.0000 0.2447 − 0.1778 0.0208 0.0000
−0.4424 − 0.0105 − 0.0052 − 0.0000 𝐍𝑇 = 0.0506 0.1605 − 0.0036 − 0.0000
0.1469 0.0282 0.0011 − 0.0000 0.2449 − 0.1781 0.0077 0.0000
sehingga diperoleh matriks
0.2798 − 0.0267 0.0042 0.0000
𝐆𝑇T𝐍𝑇 = −0.0267 0.0584 − 0.0019 0.0000
0.0042 − 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Untuk memperoleh matriks Q. akan dicari DNSBL dari matriks 𝐆𝑇T𝐍𝑇 . DNSBL dari matriks
𝐆𝑇T𝐍𝑇 ialah
𝐆𝑇T𝐍𝑇 = 𝓤𝓛𝓦T
= −0.9929 − 0.1185 − 0.0124 − 0.0000 0.1182 − 0.9926 0.0260 0.0000 −0.0154 0.0244 0.9996 − 0.0000 −0.0000 0.0000 − 0.0000 1.0000
0.2830 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0553 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
−0.9929 − 0.1185 0.0124 0.0000 0.1182 − 0.9926 − 0.0260 0.0000
−0.0154 0.0244 − 0.9996 − 0.0000 −0.0000 0.0000 − 0.0000 1.0000
dan hasil yang diperoleh ialah
𝐐 = 𝓦𝓤𝐓
= 0.9997 0.0006 0.0247 0.0000 0.0006 0.9986 − 0.0521 − 0.0000 0.0247 − 0.0521 − 0.9983 − 0.0000 0.0000 − 0.0000 − 0.0000 1.0000
≠ 𝐈