计算机辅助几何设计基础计算机辅助几何设计基础(Basis of Computer Aided Geometric Design)(Basis of Computer Aided Geometric Design)

课程开场白授课教师：施法中

机械学院飞行器制造工程系办公室：钣金楼 304 ，电话： 82317845 ， 82313512

2004 年 9 月 22 日

第 1 课

欢 迎欢 迎机械学院和兄弟院系机械学院和兄弟院系

研究生选学研究生选学 CAGDCAGD 基础课程基础课程 !!注：注： CAGDCAGD 是计算机辅助几何设计英文名是计算机辅助几何设计英文名 CompComp

uter Aided Geometric Designuter Aided Geometric Design 的首字母缩写的首字母缩写

本课程使用教材：• 教育部研究生工作办公室推荐研究生教学用书

• 施法中编著•计算机辅助几何设计与非均匀有理 B 样

条• (CAGD&NURBS)

• 高等教育出版社， 2001• 勘误表将用电子邮件发给或直接拷给课代表，再分发给大家。

一、 CAGD 背景• 当今世界已进入信息化社会，也就是数字化社会。

在日常生活中可以看到和听到用数字作形容词的大量新名词术语如数字计算机、数码照相机、数字电视、数字 / 图书馆 / 机场 / 北京 / 地球、数字控制等，及许多计算机辅助技术如计算机辅助设计 (CAD) 、计算机辅助制造 (CAM) 、计算机辅助工程分析 (CAE) ，或数字化设计制造或虚拟设计、虚拟制造都属于数字技术。

• 计算机为数字技术的产生和发展创造了必不可少的硬件条件。许多像 CAD 、 CAM 、 CAE 等那样的数字技术实际上都是以计算机软件为载体的产品。现在大多存储在光盘的介质里。一套计算机应用软件可以存储在一张或多张光盘里，售价从几元到几千万元不等。

一、 CAGD 背景 ( 续 1)• CAD/CAM 技术是最早出现的数字技术，开始

于上世纪六十年代出现的数控加工。为了用数控加工代替仿型加工以提高加工精度，零件形状就必须采用数学描述。

• 按照国际流行的概念， CAGD 就是 CAD 。• CAGD 从 20 世纪六十年代产生。到八十年代

中期国际上看准了这一领域最有发展前途的非均匀有理 B 样条 (NURBS) 方法。

• NURBS 方法 1991 年成为工业产品几何定义的国际标准即 STEP ，作为定义产品形状的惟一数学方法。

一、 CAGD 背景 ( 续 2)• CAGD 是与工业 ( 特别是机械工业 ) 密切

结合的学科，其理论迅速被开发成 CAD软件如著名的 CATIA 、 UG 、 Pro/E 、I-Deas 、 Solidworks 等，并很快广泛应用到工业实际，转化为现实生产力，大大促进了工业的发展。

• CAGD 是一门迅速发展的新兴几何学科，应现代工业发展要求出现，又对现代工业发展起到巨大的促进作用。由于它的出现，几何这一古老且传统的学科从没有像今天这样焕发出勃勃生机。

一、 CAGD 背景 ( 续 3)• 从上世纪 70 年代起北航等高校开始 CAD 理论

研究和应用。先后出现了苏步青、刘鼎元 (复旦 ) 、唐荣锡、朱心雄、雷毅、吴骏恒 ( 北航 ) 、梁友栋、彭群生、王国瑾、汪国昭 (浙大 ) 、常庚哲 ( 中国科技大 ) 、汪嘉业 (山大 ) 、杨彭基、杨海成 (西工大 ) 、周儒荣、丁秋林 (南航 ) 、周济 (华中理工大 ) 等一批有贡献和影响的人物。

• 北航703教研室以唐荣锡教授为首在 CAD 研究与教学曾一度辉煌，成功培养了一大批硕士和博士研究生，因当时北航条件受限留不住人，他们大多在 80 年代去了美国， 90 年代去了北京外企。虽投入大量人力长期坚持不懈研发三维 CAD 软件，并已经达到了很高水平，但由于诸多原因，未能实现商品化，很可惜。

一、 CAGD 背景 ( 续 4)•我国二维 CAD 软件即绘图软件如北航海尔的电子图板完全可与 AUTOCAD 并起平坐。中低端三维 CAD 软件如北航海尔的 CAXA 、新洲的 SOLID2000 、红地的金银花等也已占领了一定的市场份额。但具有高级曲面功能的高端 CAD 软件市场几乎都被国外商品软件占领。如航空主机厂所几乎都采用清一色的 CATIA 软件。

•我国大中型机械工业企业已普遍采用 CAD 技术，但应用水平参差不齐。

一、 CAGD 背景 ( 续 5)• 国际上研究 NURBS 的权威 Piegl 在 1994年说“关于 NURBS 的出版物与基础研究落后于开发工作” ，有关 NURBS 研究文献大多散落在国外刊物上，国内一般读者难以接触到。

• 出于研究、教学和推广应用 NURBS ，需要有一本系统介绍理论的教材 ,以长期从事 NURBS研究和本课程教学为基础，在北航教材出版基金支持下， 1994年我编著本教材，由北航出版社出版。 1996年获中国航空工业总公司二等优秀教材奖。 2000 年入选教育部研究生工作办公室推荐研究生教学用书。

• 1995年前 Farin出版多部著作。 1995年 Piegl 与 Tiller 合著的权威之作《 The NURBS book》出版， 1997年又再版。

二、学习本课程的用途1. 参与通用与专用三维 CAD 软件的开发，期盼具有自主知识产权的国产三维 CAD 软件能像二维绘图软件那样占领国内市场份额。

2. 应用引进软件如虎添翼，其内部将不再是“黑盒子”，可以充分发挥软件的潜力。

3. 引进三维 CAD 软件的二次开发。4. 研究处理实际应用中碰到的现有软件难以解决

的疑难问题。5. 为学习和研究 CAM 、 CAE 、 CAPP 创造条件。6. 为继续深造攻读博士学位打下牢固基础。7. 机械类工科研究生必需的能力、思路、学风的培养锻炼。

三、教材和教学原则• 总结反映自苏步青、刘鼎元著《计算几何》后

CAGD取得巨大进展——内容新颖与先进性。• 以本科毕业生为起点，具有研究生的深度与广

度——层次与系统性。• 强调几何——反映工业产品形状这一研究对象本质属性和易为工程人员所接受。

• 面向工程应用。不以追求数学理论严密完整，略去所有烦琐数学公式及推导证明，尽量向读者提供既几何直观又简单实用的原理、方法与结果，便于掌握和推广应用。

• 修订版及以后的教学继续坚持这些原则，增加、修正相当部分内容。建议使用修订版教材。

四、教学安排•本课程原为《计算机辅助几何设计》一门

大课， 2001 年后分成两门各 32 学时小课：《计算机辅助几何设计基础》

《非均匀有理 B 样条》每学期安排一门小课。每周一次两学时。

•《计算机辅助几何设计基础》内容包括从第 1~5章、 7章、 8章 8.7节。

•本课程结束后安排一个大型程序作业 (见新教材 p304) 。

四、教学安排 ( 续 )•两门小课的关系。 可以选《计算机辅助几何设计基础》 ,

不选《非均匀有理 B 样条》。 但若要选《非均匀有理 B 样条》，就必需选《计算机辅助几何设计基础》。这是基础与上层建筑的关系，由本课程很强的系统性所决定。

五、教学环节1. 讲课与双向交流的课堂练习和讨论。2. 自学。3. 穿插进行配套教学软件演示。4. 大型程序作业。5. 第二学期课程的复习考试。• 由于本课程的特殊性，将以讲课为主。• 特别欢迎提出有水平和新意的问题 ,指正错误。• 力争课上理解消化，课下深入巩固。• 只在课间、课后及下学期考前，不另安排专门答疑。

五、教学环节 ( 续 )• 教学软件演示百闻不如一见，有些难以说清、

理解或印象模糊的内容，会收到一目了然的效果，可操作性带来形状的千变万化给你增添丰富深刻的感性知识。

• 是否认真独立完成大型程序作业收获大不一样。使你所学知识从书本走到亲自实践。就像上了游泳课必须再下水练习才能学会游泳一样。

• 课堂不点名，缺课不补，个别人认为自己自学能力强可以与众不同不听课，也将进行与众不同的考核。

• 与单纯依靠自学相比，认真进行前四个教学环节能收到事半功倍的效果。

六、作业的前期准备为顺利完成作业，每位同学必需在本学期

做好如下准备：1. 了解和熟悉导师的计算机硬软件环境，目前大多使用Windows 2000操作系统，也有使用Windows xp,Unix,Liunix的。

2. 作业采用什么编程语言或工具不限。建议采用近几年和当前研究生普遍采用的 Visual C++工具，也有采用 Visual Basic及 JAVA 的。从过去情况看 ,有相当一部分同学对这些语言或工具还不熟悉 , 建议他们在本学期达到熟悉的程度 , 否则临做作业时再去学语言就会延误作业进程。

七、参考书与刊物参考书：1. Piegl L, Tiller W. The NURBS book. Berlin Heidelber

g ： Springer-Verlag, First Edition;1995, Second Edition;1997

2. Farin G. NURB curves and surfaces, Projective geometry to practical use, MA, USA,1994

3. Farin G. Curves and surfaces for computer aided geometric design: A practical guide, Academic press,1988

4. 朱心雄等著，自由曲线曲面造型技术，科学出版社，2000

5. 王国瑾、汪国昭、郑建民，计算机辅助几何设计，高等教育出版社，施普林格 (Springer) 出版社， 2001

6. 教材参考文献 [70] 与 [117] 。

七、参考书与刊物 ( 续 )主要国外参考期刊：1. CAD ， UK2. CAGD ， USA3. CG&A (Computer Graphics and Applications),

USA4. Computer in industry, USA主要国内参考期刊：1. 计算机辅助设计与图形学学报2. 计算机学报3. 工程图学学报4. 计算机辅助设计与制造 (着重应用 , 非核心刊物 )

八、考核• 内容与要求：独立完成大型程序作业 (见p304) 。• 时间：下学期第三周星期一至星期四下午 3-6点。• 考核方式：课代表负责将全班同学分成四组，每天考核一组；每人交全部源代码与执行文件的电子文档和打印的核心程序源代码，依次按要求进行作业演示，演示中和演示后回答提问。

• 成绩：依据作业演示和回答提问情况判定每个同学独立完成大型程序作业的程度和质量，按百分制给出成绩。

• 本课程 2 学分。只要按要求认真实施上述教学环节，就能取得优良的成绩。

衷心祝愿大家通过本课程学习，

顺利获得本课程学分；真正学到有用的知识，在

能力上有相应的提高。

第一章 绪论• CAGD 的提出 1974年由 Barnhill 与 Riesenfeld 在 Utah大学举行的一次国际会议上提出，以描述它所包含的更多的数学方面，特加上“几何”修饰词。当时含义包括曲线曲面和实体的表示，及其在实时显示条件下的设计，也扩展到如四维曲面的表示与显示等其它方面。从此以后，以一门独立的学科出现。 1971 年由 Forrest 给出“计算几何 (Computational Geometry)—形状信息的计算机表示、分析与综合”这一名称，因有有二义性，不予采用。

1.1 CAGD 的研究对象与核心问题• CAGD 是随着航空、汽车等现代工业的发展与

计算机的出现而产生的一门新兴学科。• 主要研究对象 : ( 机械 ) 工业产品的几何形状。• 两类基本形状及其复合形状：

1. 初等解析形状 仅由初等解析曲面组成，可用画法几何与机械制图表达清楚。大多数机械零件属于这一类。2.自由型形状 以复杂方式自由地变化的曲线曲面即自由型曲线曲面，不能单纯用画法几何与机械制图表达清楚。飞机、汽车 (见图 ) 等外形零件属于这一类。

FBC-1飞豹战斗机

1.1 CAGD 的研究对象与核心问题 ( 续 1)

轿车翼子板冲压件

1.1 CAGD 的研究对象与核心问题 ( 续 2)

1.1 CAGD 的研究对象与核心问题 ( 续3)

• 传统上自由型形状零件采用“模线 - 样板 - 标准样件”的模拟量表示和传递形状信息。因人而异、互换性差、协调问题多、只能串行作业、设计制造周期长，不适应现代工业发展要求。怎样用数学方法惟一地定义自由型曲线曲面？这带来无法由手工完成的巨大计算工作量，随着计算机出现和发展导致 CAGD 的出现和发展。

1.1 CAGD 的研究对象与核心问题 ( 续4)

• 在形状信息的计算机表示、分析与综合中核心问题是形状信息的计算机表示。此即 1974年提出 CAGD 这一术语包含意义中的最主要方面。但并非从数学角度出发仅解决表示就万事大吉。必须从工程角度出发，尽量满足各个方面的要求。总的来说：

是要找到既能有效地满足形状表示又易于进行分析和综合，适合计算机处理，且便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。

1.2 形状数学描述的发展主线自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制

图表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们发现用：显函数 y=f(x),z=f(x,y)

或隐方程 f(x,y)=0,f(x,y,z)=0 来表示自由型曲线曲面存在这样那样的问题。因此，先后提出了各种 CAGD 的方法：

• 1963 Boeing公司的 Ferguson提出用参数矢函数表示曲线曲面的形状数学描述标准形式。引入参数三次曲线 ,构造了 Ferguson双三次曲面片。

• 1964 MIT 的 Coons 提出给定四条边界信息构造曲面片而后拼合的 Coons曲面法，实际只用到 Coons双三次曲面片。

上述两者存在形状控制与连接两个共同问题。

第 2 课

1.2 形状数学描述的发展主线 ( 续1)• 1964 Schoenberg提出的样条函数提供了解决连接问题的一种技术，后来被用于构造参数样条曲线曲面。

• 1971 Renault公司 Bezier 工程师提出具有优良控制性质的由控制多边形定义曲线的 Bezier 方法，在 CAGD 发展史中占有重要地位。

(值得一提 , 稍早于 Bezier ， Citroen公司的 de Casteljau也曾独立地出同样的方法，但结果从未公开发表 ,永远丧失了在 CAGD 中的历史地位。 )

Bezier 方法存在连接问题和不具有局部性质。• 1972 de Boor给出了关于 B 样条函数的一套标

准算法。

1.2 形状数学描述的发展主线 ( 续2)• 1974 GM公司的 Gordon和 Riesenfeld将 B

样条理论用于形状描述，提出了 B 样条曲线曲面。 B 样条方法继承了 Bezier 方法的优良控制性质，具备了 Bezier 方法没有的局部性质，又在参数连续性基础上成功解决了连接问题。

• 1980 Boehm,Cohen提出插入节点技术， 1972 Forrest,1984 Prautzsch提出升阶技术为B 样条方法中最重要两种配套技术。 B 样条方法成功地解决了自由型曲线曲面形状的数学描述问题。但却不能精确描述初等解析形状。

1.2 形状数学描述的发展主线 ( 续3)

• 1975 Syracuse 大学的 Versprille 在他的博士论文中首先提出了有理 B 样条方法。 主要由 Piegl 、 Tiller 和 Farin等人的功绩，至上世纪 80 年代后期， NURBS 方法成为形状描述的最广为流行的数学方法和标准形式 (80 年代初被纳入 IGES规范，进入美国国标 ANS ， 90 年代末我国将 IGES 定为国标， 1991 年 ISO颁布 STEP 国际标准， NURBS 作为定义工业产品几何形状的惟一数学方法， 1992 年成为交互图形编程的 PHIGS 国际标准 ) 。它可以统一表示两类基本形状，因而采用统一的数据库。

NURBS 方法虽已成为标准，它仍在发展中，如权因子与参数化等一些问题有待深入研究。 近几年来 CAGD 学术界提出其它多种形状描述数学方法，无一能替代 NURBS 。

1.3 其它一些重要进展和趋向• 1964 Coons 提出由给定可以是任意类型参数曲线的四条边界生成的双线性混合 Coons曲面片，但不能用于光滑拼接，必须用双三次混合 Coons曲面片，且满足扭矢等相容性条件 ,才能获得一阶参数连续。

• 1969 Gordon推广 Coons曲面法，用于插值在三维空间的曲线网格。由于 Bezier-B 样条方法强调几何直观，而 Coons-Gordon采用代数方法，在方法上几何与代数分歧出现，前者远比后者获得更广泛应用，更具生命力。

1.3 其它一些重要进展和趋向 ( 续1)• 1973 Barnhill给出三角域上的超限插值曲面，

1976 Sabin的三边 Bezier曲面片成为最流行的三边曲面片，可满足有限元分析中广泛应用的三边形元素的需要及用于插值散乱数据，可能在将来会获得更广泛的应用。

• 1997.4 CAD杂志专刊介绍逆向工程 (Reverse Engineering) 。

• 2000朱心雄《自由曲线曲面造型技术》集中总结的其它造型方法：自由变形造型、偏微分方程构造曲面、能量优化法曲线曲面造型、小波方法曲线曲面造型等。

1.3 其它一些重要进展和趋向 ( 续2)• 1974 Manning起，关于参数曲线曲面连续性

即光滑连接的度量问题讨论达十年之久。微分几何里关于接触阶的概念被重新提出，再次出现从纯代数到几何的转向 , 几何连续性被用来替代参数连续性。

• 几何连续性中出现的形状参数和 NURBS 中的权因子提供了用于形状控制的额外自由度，如何实现自动方法确定以替代耗时的交互方法？

• 求交 (intersecting) 、光顺 (fairing) 、等距 (offset) 、混合或过渡 (blending) 等几何处理问题有待从大量的特定算法取得突破性进展

1.4 对于形状数学描述的要求• 从实现计算机对形状处理、便于形状信息传递与产品数据交换角度应满足：1. 惟一性 正因为传统上采用模拟量传递不能保证形状定义的惟一性，才转而采用数学描述，已有的数学方法一般都能满足。 2.几何不变性 即指形状的数学表示及其所表达的形状不随所取坐标系而改变的性质。显函数与隐方程 ( 书上未提 ) 都与所取坐标系有关，一般地都不具有几何不变性。有些参数矢函数表示具有几何不变性，有些则否，但总可以经过适当处理而具有几何不变性。见新教材 p7-9举例及软件演示。

1.4 对于形状数学描述的要求 ( 续1)3. 易于定界 标量函数 ( 指显函数与隐方程的统称 )难于界定一对多的多值曲线的范围，参数矢函数 p=p(u)简单地用参数 u变化范围 [a,b]界定。4.统一性 指统一表示各种形状及处理各种情况，包括特殊情况。如： (1) 希望能用一种统一形式既表示平面曲线又表示空间曲线。标量函数做不到，参数矢函数做得到。 (2) 希望能统一处理垂直切线 ( 即无穷大斜率 ),显函数不允许，隐方程则导致计算机处理出现溢出，参数矢函数很容易得到，置一阶导矢的 x 分量为０即可。 (3) 希望能统一表示两类基本形状。

1.4 对于形状数学描述的要求 ( 续2)　 5.计算机处理简便易行　易于在计算机上实现和易

于推广应用。• 　从形状表示与设计角度应满足：

1.具有丰富的表达力与灵活响应的能力在形状表示上要能表达两类基本形状及其复合形状。在形状设计上不受经常变化的限制且具灵活响应设计员希望设计任意形状的能力。2. 易于实现要求的连接和光滑连接 以便通过拼合描述复杂的形状。3. 易于实现形状控制 能随心所欲灵活操纵形状，既能整体控制，又能局部控制或修改，还要求能预估将发生的变化。

1.4 对于形状数学描述的要求 ( 续3)

4.几何直观 几何意义明显是几何问题本身的要求，从几何直观上处理比变成代数问题易为工程人员接受和具有生命力。

上述要求明显地都是由工程角度提出的，其中有些是基本的，有些是随着 CAGD 学科及其应用的发展不断提出的。

贯穿本学科发展进程和本课程的任务就是怎样解决好这些问题，找到满足这些要求的形状数学描述方法。人们经过二、三十年的探索寻找从满足部分要求到满足大部分要求的形状数学描述方法。问题是由工业界提出，工程师们而不是数学家们是解决这些问题的主要角色。

第二章 曲线曲面的基本理论 尽管早在 18世纪出现的主要研究曲线曲面微分性质的微分几何不能解决 CAGD 问题，但它为 CAGD 提供了理论基础。微分几何的研究对象虽然也是几何，但它涉及那一类形状，也不涉及形状的数学描述方法 ,它是纯数学和抽象的，有关内容比 CAGD更难学 , 本章将从与 CAGD 的结合上介绍有关微分几何的内容，帮助大家学好打好 CAGD 的理论基础。

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线

点、线、面是形状的三个层次，点是最基本的元素，直线是最简单的线。在研究曲线曲面时，首先要解决好点与直线的描述。在解析几何里和高等数学里，选定坐标系后，平面点和空间点分别可用 (x,y) 和 (x,y,z) 表示，即它们都与坐标系有关。在 CAGD 中由几何不变性要求所决定，应该找到与坐标系无关的形状上点的表示方法。这离不开矢量。

第 3 课

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 1)• 什么是矢量？矢量是具有长度和方向并服从相等、

相加、反向、相减和数乘的量。矢量运算中还有点积、叉积、混合积、三矢矢积，但不能相除。

• 矢量依其始端是否位于原点分为绝对矢量和相对矢量。

• 在 CAGD 中，绝对矢量用来表示定义形状的点与形状上的点。

• 一个点意味着一空间位置，由绝对矢量的末端即矢端表示。表示空间点的绝对矢量称为该点的位置矢量。矢端既定空间点也就确定，与坐标系选取及绝对矢量的方向、模长无关。

• 相对矢量是表示点间相互位置关系 ( 如边矢量、一阶导矢 ) 和矢量间相互关系 ( 如高阶导矢 ) 的矢量，又称自由矢量，可在空间任意平移。

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 2)

• 矢量由各分量组成，与常用列阵表示矢量不同的是，本课程中若不特别指明，均用行阵表示矢量。绝对矢量 (表示空间点 ) 与相对矢量均因坐标系选取不同就有不同的坐标分量组成，绝对矢量的方向与模长将随之改变，相对矢量的方向与模长不依赖于坐标系选取。

• 设计员总是把一个点考虑为一个空间位置，而不会考虑它的坐标分量组成。同样地，在理论分析和研究时，人们总是把表示空间点的绝对矢量作为一个整体来看待，不考虑坐标系的选择或组成它的各个坐标分量。

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 3)• 同样地，同一相对矢量由于坐标系的选取不同

就有不同的组成分量 , 但其模长方向不变。即也应把相对矢量当成一个整体看待，不必考虑它的坐标分量组成。

• 考察空间一个孤立的点毫无意义。形状是其上有确定相对位置关系的点的集合，与坐标系选取无关。考察形状毋需坐标系。

• 形状由无数不同点组成，点用绝对矢量矢端表示，于是可以说形状由变化的绝对矢量即变矢量表示。变矢量是随着某个变化的标量或参数而变化，故又称它为该变量或参数的矢函数。

• 微分几何与 CAGD 都是用矢函数来描述曲线与曲面的。

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 4)• 在形状数学描述的理论分析与研究中，总

是采用矢量记号进行，就是把矢量当成一个整体来看待的。

• 但在具体计算与程序实现时，均应分别在各个分量上进行，最后合在一起。这时就必须要选取合适的坐标系。这样才能实现数字化的目的。但不管坐标系如何选取 ,计算结果的矢量关系不变。

• 本课程中 矢量常用小写斜黑体英文或希腊字母给出，如 p 、 c 等。它们的齐次坐标或带权矢量用相应的大写黑斜体字母表示，如 P 、 C 。

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 5)

• 在图形中将矢量记号写于点的附近以标记该点，绝对矢量的矢杆与箭头都与坐标系选取有关，对表示矢端位置没有意义不再画出。例如用给定点 a表示绝对矢量 a的矢端位置的一空间点。相对矢量仍用矢杆与箭头画出。

• 从点 a 到点 b 的矢量 ( 为相对矢量 )c=b-a 。相对矢量可加减，仍得到相对矢量。

•绝对矢量加或减相对矢量得到绝对矢量。•但两个或多个绝对矢量相加不一定得到绝对矢量，仅在满足重心组合或凸组合条件下才得到绝对矢量，否则不能判定。

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 6)

• CAGD 中怎样表示直线和曲线？点动成线，直线和曲线都可看成一动点 p 随着某个参数 u变化的运动轨迹即，其上点的位置矢量是参数 u的矢函数 p=p(u) ，这是微分几何里表示直线和曲线的一般的参数矢函数形式，不涉及形状和表示方法。

• 用于表示直线的矢函数 p(u) 有多种表示方法。如用一点 p0 与一个表示方向的矢量 d 时可写出直线方程 p(u)=p0+ud 。最常用两点p0 与 p1间的线性插值表示。用参数 u表示直线的始点 p0 到直线上点 p的距离与 p0到 p1 的距离之比 ( 如图 2.1) ，

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 7)

p0

p1

P(u)u :

(1-u)

0 1

uu

图 2.1 两点 p0 与 p1 的线性插值定义直线段 p(u) ， p(u) 与定义域 构成映射关系

1][0,u

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 8)

则有 p(u) - p0=

或 p(u) - p0=u(p1- p0)

改写得 p(u)= p0+u(p1- p0) ( 即点 p0 和方向矢量 p1- p0 定义 )

或 p(u)=(1-u)p0+u p1 ， 0u1 或 u[0,1] (2.1) 这 (2.1) 式是人们在理论分析研究时更偏爱的在 CAG

D 中的直线方程，要牢记。当参数 u 从 0 变化到 1时， p点就扫出了从 p0 到 p1 的直线段， 是该直线段的定义域。从上图或直线方程可见，对应定义域内一个值 u ，就得到直线段上一个点 p(u)( 见教材 p14 例 1 ，将位置矢量直接代入方程，经矩阵运算，即得 p(u) 。也可写出三个分量方程，分别计算得 p(u) 的三个分量，然后合在一起就是 p(u)) ，反之亦然，两者构成一一对应的映射关系。

）（ )(uu

upp

11

1][0,u

2.1 CAGD 中的矢量、点与直线( 续 9)

• 上述直线方程右端用到两个函数 (1-u) 与 u 都是线性的，故称为线性插值，这里参数 u把定义域分成两段长度之比等于 p(u)把直线段分成两段长度之比，又称仿射参数映射。

• 与只能用零次和一次多项式函数表示直线不同，在 CAGD 中 ,将遇到高次直线。例如参数二次直线

p(u)=(1-u2) p0+ u2 p1,

• 高次直线与线性插值的差别在于和定义域间的映射关系不同： 线性插值中 p(1/2)=(p0+ p1)/2,

在参数二次直线中 p(1/2)=0.75 p0+0.25 p1 。

1][0,u

2.2 曲线曲面的参数表示• 因不涉及形状和表示方法，微分几何里曲线上点的位置矢量就用一般的参数矢函数表示

p = p(u) （ 2.2） 也称参数表示。微分几何主要研究曲线曲面的微分性质，

及一些整体性质，它们都与坐标系选取无关。在理论研究时不必考虑它的坐标分量组成，而是当成一个整体看待。

• 具体计算和程序实现时，均应分别在各个分量上进行，最后合在一起，这时就必须要选取合适的坐标系。这样才能实现数字化的目的。

• 注意，理论研究与具体计算是两回事，不要混同一起。微分几何的理论研究是要找到曲线曲面的性质 (主要是微分性质 ) 及其定量关系。而具体计算则是要给出具体的数字化结果。

2.2 曲线曲面的参数表示 ( 续 1)• 在 CAGD 里，曲线大都采用称为基表示的一种

特殊的参数矢函数形式 p(u)= (2.3)

其中 i=0,1,…,n 称为基函数，决定了曲线的整体性质； ai, i=0,1,…,n 称为系数矢量，当基函数确定后，就决定了是绝对矢量还是相对矢量，也决定了曲线的形状。

• 在 CAGD里，希望找到具有符合形状数学描述要求的一类曲线。采用基表示，寻找合适的基函数有可能做到。采用解析几何里那种参数表示 (x=x(u),y=y(u),z=z(u)) 或微分几何里一般参数矢函数都做不到。

n

0iii u)(a

),(ui

2.2 曲线曲面的参数表示 ( 续 2)• 如果把参数 u视作时间， p(u) 可看做一质点随时间变化的运动轨迹， p(u)关于u 的一、二阶导矢分别就是质点的速度矢量与加速度矢量，可看作 p=p(u) 的物理解释。有可能曲线即运动轨迹相同但矢函数不同，因而速度矢量与加速度矢量不同。实际上工业产品形状是不应随时间或运动而改变的，参数 u没有时间的物理意义，只是作比喻，帮助我们理解而已。

2.2 曲线曲面的参数表示 ( 续 3)• 曲面是曲线的推广。在微分几何里曲面表示为双参数的矢函数

p = p(u,v) （ 2.4）•相应地，在 CAGD里，曲面大都采用称为基表示的一种特殊的参数矢函数形式

p(u,v)= (2.5)

是分别以 u 和 v 为变量的两组基函数，其乘积为曲面的基函数。 aij 为系数矢量。

• (2.2)~ (2.5) 与解析几何里的参数表示统称为参数表示或参数形式，相应的曲线曲面都称为参数曲线曲面。显函数与隐方程统称为非参数表示。

m

0ijiij

n

0j

vu )( )(a

)()( vu ji 与

2.2 曲线曲面的参数表示 ( 续 4)• 与非参数表示相比，曲线曲面采用基表示那

种特殊参数矢函数的参数表示具有一系列的优点：1. 能满足几何不变性要求。2. 易于规定曲线曲面的范围。3. 易于表示空间曲线。4. 仿射变换与投影变换容易执行。5. 易于计算曲线曲面上的点及其它信息。6. 易于处理多值问题。7. 易于处理无穷大斜率。8. 便于曲线曲面的分段分片描述。9. 提供曲线曲面形状控制的较多自由度。10. 为向高维问题推广提供了可能性

2.2 曲线曲面的参数表示 ( 续 5)• 诸优点的重要性不能等量齐观，几何不变性居

第一位。• 解析几何中的参数表示与微分几何中的一般的

参数矢函数表示都不能用于形状数学描述。只有到 CAGD 中， 1964 年 Ferguson 提出的参数矢函数用于形状数学描述，从此成为形状数学描述的标准形式。以后本课程所指曲线曲面，除非特指外，均为表示成参数矢函数形式的曲线曲面。

• 曲线曲面采用参数表示并非十全十美，非参数表示如隐方程的优点不应被忽视。

2.3 曲线论2.3.1 曲线的表示• 曲线的一般的参数矢函数形式或参数曲线方程 p = p(u) ， u[u1,u2] 对应的非参数表示即显函数 y=y(x) 。 其中位置矢量 p 、参数 u分别与函数值纵坐标y、横坐标 x相对应，但非等价关系。前者的许多性质可由后者得到。

• 描述形状的参数曲线总是有界的，其范围用定义域u1uu2 或 u[u1,u2]表示，又称参数域。

• 参数曲线的参数可能有某种几何意义或没有任何几何意义。但 CAGD 中参数曲线的参数一般都没有任何几何意义。这样的参数称为一般参数或任意参数。

2.3.2 曲线的表示 ( 续 1)

• 曲线参数化：给定一个具体的单参数矢函数即参数曲线方程，称之为给定了一个曲线参数化 (parametrization),它既决定了所表示的形状，也决定了该曲线上点与其参数域内的点( 即参数值 ) 的一种对应关系 ( 见教材 p20图 2.3) 。一般地，当取任意参数时，参数域内线段长度比既不等于曲线上对应曲线段弧长比，也不等于曲线上对应曲线段弦长比。仅取弧长或其线性函数时，才等于曲线上对应曲线段弧长比，但一般地仍不等于曲线上对应曲线段弦长比。

2.3.2 曲线的表示 ( 续 2)

• 同一条曲线的参数化不惟一。教材 p20 上以第一象限内原点为圆心的四分之一单位圆为例可用两个不同方程表示，差别在于曲线上点与参数内点的对应关系不同。

• 可通过参数变换后采用新参数表示来改变曲线上的参数化分布，称为重新参数化。

• 正常情况下，曲线上点与参数域内的点一一对应。曲线上这种映射关系不成立的点称为奇点(singular point) 。如自交点即重点就是奇点。

2.3.2 曲线的表示 ( 续 3)• 将曲线p=p(u) 对参数 u 求导，得一阶导矢

p 上一点表示对一般参数 u 的一阶导矢。极限符号内的分子表示一弦线矢量，除以 u后方向不变。当 u0 ，则 p(u+u)p(u) ， p(u+u)- p(u)就成为 p(u) 处的一个切线矢量，故一阶导矢 被称为 p(u)处的切矢。导矢都是相对矢量，可任意平移。为图解表明 是 p(u) 处的切矢，把 的始端移至 p(u) ，看作附着于 p(u) 的一个矢量 ( 见教材 p21图 2.4) 。类似可给出高阶导矢及处理。

u

uuu

uuu

uu

)(-)(

d

d)( limlim

00

ppppp

)(up

)(up)(up

第 4 课

2.3.2 曲线的表示 ( 续 4)• 曲线上切矢为非零矢量的点称为正则点 (regula

r rpoint) 。曲线在正则点处的切线方向即该点处切矢的方向。曲线上所有点都是正则点的曲线称为正则曲线。曲线上一点处一阶导矢为零矢量 ,称为切矢消失，这样的点也是奇点。曲线在零切矢的奇点处的切线方向不能由一阶导矢确定，而由曲线在该点处的最低阶非零导矢的方向确定。

• 曲线的弧长 由弧长的微分等于弦长的微分即

于是 ,2

22 u

us d

d

ddd

22 p

p

，pdd s

2.3.2 曲线的表示 ( 续 5)

,22

2

uu

s

d

d

d

d 2p

，0)(d

d u

u

ss p

则 ds= ，uu d)(p

给定计算弧长 s的参数 u0后，积分可得曲线弧长

uusu

ud)(

0 p

2.3.2 曲线的表示 ( 续 6)• 可见曲线弧长是参数 u单调增函数，曲线上弧长增加的方向即弧长度量的正向，故其反函数u=u(s)存在。于是就得到了一般的以曲线自身弧长为参数的曲线方程

p = p(u(s)) 仍记为 p = p(s) 称为曲线的弧长参数化。其中 s 称为自然参数。

2.3.3 切触阶的概念• 若两曲线 c1 与 c2 在公共点p0 ，对弧长直到 n

阶的导矢相同，则称 c1 与 c2 在该点具有 n阶切触 ( 或接触 )(contact of order n) 。

2.3.3 切触阶的概念 ( 续 1)• 切触阶表示两曲线在公共点相切接触的程度。• 两曲线都取自身弧长 s 为参数， p1 与 p2 分别

为两曲线上公共点 p0 的邻近点 ,选择 p0至 p1与 p2 分别都是弧长增加方向 ( 即曲线正向 ) ，且以弧长 p0p1=弧长 p0p2 为主无穷小 s。则由 Taylor 展开

这里右上角一撇表示对弧长的一阶导矢。可见 ,当两曲线在 p0点有 n切触阶时 ,连线 p1p2 为 n+1 阶无穷小。

• 由定义，两曲线相交至少有零阶切触。两曲线相切至少有一阶切触。

n(n)1

(n)2

2121221 -

!

1-

!2

1- s

nss ）（）（）（ ccccccpp

2.3.3 切触阶的概念 ( 续 2)• 从一阶导矢的极限定义可知，一阶导矢是两点构成的差商矢量的极限。因而一阶切触可以看作两曲线在交点处有两个公共点。… , n 阶切触可以看作两曲线在交点处有 n+1个公共点。

• 切触阶是两曲线间的内在性质 , 与参数选取无关。• 切触阶是曲线连接光滑度 ( 用几何连续性表示 )

的客观度量。• 两曲线在公共点，对任意参数直到 n阶的导矢相同，是两曲线在该点具有 n阶切触的充分条件，不是充要条件。

• 类似地，与一平面有公共点 p0 的曲线 p=p(s) 上从 p0 到邻近点 p的弧长 p0p=s为主无穷小，若 p到该平面的距离为 n+1 阶无穷小，则称该曲线与该平面在 p0点有 n阶切触。

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率• 考察以自身弧长为参数的曲线 p=p(s) 上一、二

阶导矢不平行的正则点。由 dp2=ds2 得

表明 p’(s) 为单位矢量，称为单位切矢，表示为

由 2=1 ，两边求导得’=0 ，故 。但’不再是单位矢量。除以模长得称为主法矢的另一单位矢量

1ds

d)( p

p s

ds

d)(

pp s

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 ( 续1) 于是有叉积矢量

称为副法矢或次法矢。

、、 三个单位矢量称为曲线的基本矢。在微分几何里很有用。但在 CAGD因不取自身弧长为参数，都采用一般参数表示 p=p(u) 。相应可得采用一般参数表示的三个基本矢公式：

,,pp

pp

p

p

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 ( 续2)• 将曲线在 p(u) 作 Taylor 展开

则 p(u+u) 到曲线在 p(u) 处的密切面 ( 即一、二阶导矢所在平面 ) 的距离

是关于 u的三阶无穷小，曲线与密切面至少有二阶切触。由此可理解密切面与曲线“最贴近”的含义。

3)(3!

1)(

2!

1)()()( uuuuuuuuu 2 ppppp

3)(

3!

1))(-))(( uuuu

pp

p,p,ppp

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 ( 续3)• 曲线上一点处的、、 三个单位矢量构成一个活动的局部坐标系，称为 (Frenet) 活动标架。三个坐标轴依次为曲线在该点的切线、主法线与副法线。三个坐标平面依次为密切面、法面与从切面。见新教材 P24图 2.5 。于是曲线上该点的任一个矢量可以表示成三个基矢量的线性组合，从而可考察曲线在该点处的微分性质或几何性质。首先考察三基本矢对弧长的一阶导矢 、 、 ，可得曲线论的基本公式

τ-

κ

κ

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 ( 续4)• 右端系数矩阵为反对称阵，其中两系数与即

曲率与挠率。基本公式几何意义见新教材 P24图 2.6。

• 基本公式中第一个方程，两边取绝对值得

可知曲率的几何意义为曲线的单位切矢对于弧长的转动率。 0 ，故称为绝对曲率。因单位切矢对弧长的一阶导矢即二阶导矢 p的模长等于曲率，故或 p特称为曲率矢。它与主法矢同向，指向曲线凹的一方。曲率的倒数称曲率半径。沿主法线方向离曲线上点 p(u)的距离为曲率半径的一点称为曲率中心。以曲率中心为圆心曲率半径为半径的圆称为密切圆。

sκ

s

αα

0lim

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 ( 续5)• 曲线挠率的几何意义：曲线挠率的绝对值等

于副法线方向对于弧长的转动率。 >0 、 =0 、<0 分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线与左旋空间曲线。

• 在一般参数下的曲率与挠率计算公式

• 其中 为三矢量 的混合积。

2

3

)(

pp

p,p,p

p

pp

κ

）（ p,p,p p,p,p

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 ( 续6)• 曲线的弧长 s、曲率、挠率是曲线的几何不变量，三个基本矢、、 及其对弧长的各阶导矢是曲线的不变矢，都与参数选取无关。

• 特殊地 ,对于平面曲线 p(u)=[x(u) y(u)], 因绝对曲率不能反映弯曲方向，特引进相对曲率 ( 又称带符号曲率 ) r。 r=， r>0 、 <0 分别表示曲线沿正向前进时逆时针转 ( 或向左转 ) 与顺时针转 ( 或向右转 ) 。 曲线上 r=0 的点称为拐点。平面曲线的主法矢定义为由单位切矢逆转 /2 得到，因此副法矢成为与转向无关的固定矢量即平面的单位法矢 ( 在显示器屏幕上为垂直屏幕由里指外的方向 ) 。由此避免了平面曲线因采用绝对曲率时主法矢与副法矢经拐点方向发生突变的问题。平面曲线的相对曲率计算公式

2322r /）（ yx

yxyx

2.3.5 曲线的几何特征• 参数曲线 p=p(u) 的几何特征与对应的非参数曲线即函

数曲线 y=y(x) 的几何特征有着本质差别。它不等于各坐标分量函数几何特征的简单迭加。

• 平面参数曲线 p=p(u) 不存在函数曲线 y=y(x) 与所取坐标系有关的几何特征如关于 y轴对称、关于原点对称、上升、下降、上凹、上凸、极大点、极小点等。另外出现隐方程函数曲线 F(X,Y)=0 具有的一些特征如重点、尖点等。

• 平面参数曲线 p=p(u) 的凸性含义与对应的函数曲线 y=y(x) 的上凹、上凸含义不同。平面参数曲线若恒在其上任一点切线的同侧，称为凸的，否则为非凸的。

• 平面参数曲线与函数曲线 y=y(x)存在含义相同的拐点，但 y=y(x) 上的拐点由二阶导数为零所决定，而 p=p(u)上的的拐点由 决定，从而导致拐点数量不同。00, ppp

2.3.5 曲线的几何特征 ( 续 1)• 平面参数曲线与函数曲线 y=y(x)存在连接光滑

度的度量不同，后者采用可微性，可微性即参数连续性不再是前者的客观度量，而必须引入几何连续性。

• 因在 CAGD里广泛采用组合曲线 ,仅是分段解析的 , 不再如微分几何里的曲线那样是整体解析的 ,因而微分几何里两个基本定理相应修改为：– 两条有向平面组合曲线可叠合的充要条件是：在适当

地选择自然参数 s 后，它们有相同的曲率函数 r(s)与连续的 Frenet标架。

– 两条不含逗留点 ( 即 的点 ) 的空间组合曲线可叠合的充要条件是：在适当地选择自然参数 s 后，它们有相同的曲率函数 (s) 、挠率函数 (s) 与连续的 Frenet标架。

0pp

2.4 曲面论2.4.1 曲面表示 曲面用双参数的矢函数表示即有曲面方程

p = p(u,v), u1uu2,v1vv2

可见其范围常用两个参数的变化区间给出。这表示了 uv 参数平面上一个矩形区域，映射到曲面上就得到具有四条边界的曲面。曲面也可定义在 uv 参数平面的某个区域上，用 (u,v)给出。正常情况下，参数域内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系 (P28图 2.7) ，曲面上这种映射关系不成立的点称为曲面的奇点。

给定一个具体的曲面方程称为给定一个曲面参数化。它既决定了所表示的曲面的形状，也决定了该曲面上的点与其参数域内的点的一种对应关系。

固定两参数之一，如 v=v0[v1,v2] ，就得到曲面上一条u 线 p(u,v0) 。类似地 , 如 u=u0[u1,u2],p(u0,v) 表示曲面上一条v 线。曲面 p(u,v) 上存在两族等参数线：一族 u 线与一族 v 线。四条边界为 p(u1,v) 、 p(u2,v) 、 p(u,v1) 、 p(u,v2) 。

2.4.1 曲面表示 ( 续 1)• 给定定义域内两个参数值 (u0,v0) 得到曲面上一点 p(u0,v0) 。在该点处总有一条 u 线 p(u,v0) 和一条 v 线 p(u0,v) 。它们在该点处分别有 u向偏导矢即 u向切矢 pu(u0,v0) 与 v向偏导矢即 v向切矢 pv(u0,v0) 。

• 如果两者不平行，则得曲面在该点单位法矢

00

),()(

),()( 0

000

00 vvvuuu v

vuv,u

u

vuv,u

p

pp

p ,

)()(

)()()(

0000

000000 v,uv,u

v,uv,uv,u

u

u

v

v

pp

ppn

2.4.1 曲面表示 ( 续 2)• 其方向随叉乘的两偏导矢互换位置而取反，是人

为的。相应在 CAD 软件里有法矢反向的操作。• 曲面上一点处两偏导矢叉积不等于零的点，称为

曲面的正则点（曲线上切矢非零的点为曲线的正则点）。两偏导矢叉积等于零的点是曲面上的一种奇点，它与曲线上由零切矢引起的奇点（不能由重新参数化消除）不同，有可能通过重新参数化消除。

• 曲面的参数可以有确定的几何意义，但在 CAGD里曲面的参数都没有任何几何意义。

• 对应曲线 p(u) 的等距线 (u)=p(u)d,有曲面 p(u,v) 的等距面 (u,v)=p(u ,v)dn

其中 d为等距值。

第 5 课

2.4.2 直纹面与可展曲面• 如果曲面的两族等参数线中有一族是直线，则该

曲面称为直纹面。它可看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹 (运动中直线方向长度都可能改变 ) 。直纹面上这族直线称为母线。柱面 (母线平行 ) 、锥面 (母线过一点 ) 都是直纹面。机翼表面一般是直纹面。

• 由准线与母线矢量定义的直纹面方程 1 ： p(u,v)=(u)+ v(u)

其中 (u) 为与所有母线相交的一条曲线称准线， (u) 为过准线上每点的母线方向上的非零矢量。

• 两边界准线参数对应的直纹面方程 2 ：p(u,v)=(1-v)p(u,0)+vp(u,1), 0u,v1

其中 p(u,0) 、 p(u,1) 为两条边界准线。

2.4.2 直纹面与可展曲面 ( 续 1)• 可展曲面：沿着直纹面的每一条母线只有唯一的

切平面，称该直纹面为可展曲面。• 直纹面为可展曲面的充要条件：

直纹面用方程 1时： 直纹面用方程 2时：

• 可展曲面的类型：柱面、锥面与切线曲面。2.4.3 曲面上的曲线和曲面的度量性质• 曲面 p(u,v) 上曲线：令 (t)=[u(t) v(t)]也即 u=u(t),v

= v(t) 表示 uv 参数平面上参数域内一条曲线，则 p = p(u(t) ,v(t))

表示曲面 p(u,v) 上一条以 t 为参数的曲线。

0)( ,,ρ0,0))(-,1)(,1),(,0),(( uuuu pppp

2.4.3 曲面上的曲线和曲面的度量性质 ( 续1)• 曲面的第一类基本量与第一基本形式 曲面上曲线对参数 t 求导得曲线切矢

其中

于是 令 称为第一类基本量。则 I=ds2=dp2=Edu2+2Fdudv+Gdv2

称为第一类基本形式。可见，其几何意义为曲面上曲线弧长微分的平方。

t

vv

t

uu

vu d

d

d

dvu

,,,p

pp

p

v u v up p p

22vvu

22u

22 ddd2ddd vvuus ppppp 2uvu

2u pppp G,FE ,

2.4.3 曲面上的曲线和曲面的度量性质 ( 续3)• 曲面上曲线的弧长

由上式可得给定弧长起点参数 t0后，则有曲面上曲线的弧长计算公式

• 曲面上两曲线的交角 求出两曲线的交点及其在交点的两个单位切矢，取点积即得交角的余弦。

• 曲面面积 曲面上由四条参数线 u=u0, u=u0+u,

v=v0, v=v0+v界定的一微小曲面片的面积可用曲面在 p(u0,v0 )点的两个矢量 pudu 与 pvdv 为邻边构成的平行四边形的面积 dA|pu pv|dudv来逼近 ,

因 |pu pv|2=EG-F 2 ，于是得定义在上的那部分曲面面积

2222

2 2d

dvGvuFuE

t

ss

p

t

tts

0

d2p

vuFEGA dd2

2.4.4 曲面上的曲率性质• 曲面的曲率是由曲面上曲线的曲率引入的。取弧长 s 为参数，则曲面 p(u ,v) 上的曲线为

p(s)=p(u(s),v(s)) 对弧长 s 求导得切矢 p = puu + pvv 再次对弧长 s 求导得曲率矢

　 p = puu(u )2 +2puvuv +pvv(v)2

p在曲面曲线 p点处的曲面单位法矢 n上的投影 pn称为曲面在该点处沿切矢 p 方向的法曲率。 n =pn=puun(u )2 +2puvn uv +pvvn(v)2

可见 n 可正可负，取决于 p在 n上的投影分量是否与 n同向。

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 1)• 曲面上过 p点具有相同切矢方向 p 的曲线有无数条。由于 pp，它们的 p都位于过 p点垂直于 p的法面内，且在曲面单位法矢上的投影相同。

• 若给定增量 s, 得曲面曲线上 p点邻近一点 p1= p(u(s+s),v(s+s))

则 p1点到曲面在 p点切平面的有向距离 (P32图 2.8)

=(p1-p)n 由 Taylor 展开p1-p=p(u(s+s),v(s+s))-p(u(s),v(s))= 于是得

2)Δ(2

1Δ ss εpp

2)(2

1sδ εnnp

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 2)

　令 = pn ds2

　称曲面在 p点的第二基本形式。可见其几何意义：

曲面在其上一点 p的第二基本形式 是过曲面上曲线一点 p的邻近点到曲面在该点的切平面的无穷小距离的主部的两倍。　令 L= puun ， M=puvn， N= pvvn　称为第二类基本量。于是可得与 n ：

= Ldu2+2Mdudv+Ndv2

22

22

ddd2d

ddd2d

vGvuFuE

vNvuMuLκn

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 3)• 上式表明曲面上一点 p沿由 du 与 dv决定的切线方向的法曲率只和曲面在该点的六个基本量及所取方向有关。也即，过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲面上曲线都具有相同的法曲率。法曲率是曲面上一点沿切平面内某一方向的曲率性质。

• 设曲面上曲线在 p点的主法矢与曲面单位法矢 n夹角为 (图 2.8), 则 n=cos。于是有

n= pn = n = cos 若 /2 ，得

上两式给出了曲面曲线上一点处曲线曲率与法曲率的关系。

cosnκ

κ

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 4)• 若 < 、 = 、 >/2 ，则分别有 n > 、 = 、 <0 。• 特殊地，当 =0 或时，曲面曲线成为平面曲线，

即过 p点的曲线切矢与曲面法矢构成的平面同曲面的交线，称为法截线。法截线的曲率 = |n| 。

• 曲面法矢的正向是人为的，导致 n 的正负随之而改变。若曲面法矢指向曲面凹的一方或与法截线的的曲率矢同向， </2 ， n > 0 ，否则 n<0 。

• 曲面上一点的法曲率总是沿其切平面内某一方向的法曲率。切平面内有无数多方向，就有无数多法曲率。除平面与球面外，这无数多法曲率是不相同的。其中的最大值和最小值称为主曲率，所在的方向称为主方向。

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 5)• 因曲面上一点的法曲率随切平面内所取方向变化。

将法曲率对表示方向的比值du/dv或 dv/du求导，令其等于零，可得 n 的二次方程

它的两个实根就是两个主曲率 1 与 2 。所在主方向由二次方程

的两个实根决定。两个主方向互相垂直。

0

LEκMFκ

LEκLEκ

nn

nn

0

dddd 22

NML

GFE

uvuv

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 6)• 已知曲面上一点的两个主曲率 1 与 2 ，可由 E

uler 公式 n= 1cos2+2 sin2

　求出与 1 所在主方向夹角的方向的主曲率 n 。• Gaussian 曲率

• 平均曲率

• 曲面上一点 K > 、 = 、 < 0, 表示该点的类型依次为椭圆点、抛物点与双曲点。

2

2

21 FEG

MLNκκK

)(2

2

2 221

F-EG

GLFMENκκH

2.4.4 曲面上的曲率性质 (续 7)• 曲面在椭圆点的邻近部分位于曲面在该点的切平

面的同侧。如鸡蛋上的点。• 曲面上一点法曲率为零的方向称为渐近方向。曲

面在抛物点的一个主方向就是曲面在该点的渐近方向。除该方向外，曲面在该点的一切法截线在该点的邻近部分都朝着切平面的同侧弯曲。如柱面、锥面点等可展曲面上的点。

• 曲面在双曲点有两个渐近方向，曲面在该点的法截线在该点的邻近部分在两对对顶角内分别朝着切平面的异侧弯曲，而呈马鞍形。

• Gaussian 曲率 K0 是曲面在该点为局部凸的条件。 曲面上的椭圆点与抛物点都是曲面上局部凸的点。• 曲面上曲线方向总在一个主方向的曲线称为曲率

线，曲面上有两族正交的曲率线。

2.5 曲线曲面的几何不变性• 曲线曲面的几何不变性 是指它们的数学表示

及其所表达的形状不依赖于坐标系的选择或者说在旋转平移变换不变的性质。

• CAGD 中曲线的基表示按其中的基函数具有怎样的规范性分类：(1)规范基表示 满足(2) 部分规范基表示 满足(3)非规范基表示 上两种以外的情况。

• 曲线的基表示中系数矢量的判别：与具有规范性的那些基函数相联系的系数矢量是绝对矢量，部分规范基表示中的其它系数矢量是相对矢量，非规范基表示中的系数矢量不能判定。

i

n

ii

0

ap

。10

n

ii

。nkk

ii

0 1,0

2.5 曲线曲面的几何不变性 ( 续1)• 规范基表示具有几何不变性。对其进行旋转平移变换只需对系数矢量进行同样的变换。部分规范基表示也具有几何不变性，对其进行旋转平移变换时可对其中的绝对矢量进行同样的变换，但对其中的相对矢量只进行旋转变换，不进行平移变换。非规范基表示不具有几何不变性，不能对其执行旋转平移变换。

• 因此 , 在 CAGD 中 , 人们更愿意采用规范基表示。• 非规范基表示总可以通过某种处理 (加上一项零矢量，使它的基函数与另一些项基函数之和为零，或与其它所有项基函数之和为零 ) 变成部分规范基表示，甚至变成规范基表示。使之从不具有几何不变性到具有几何不变性。

2.5 曲线曲面的几何不变性 ( 续2)• 曲线曲面的几何不变性的理论与实际应用价值：

(1) 是形状数学描述的基本要求。(2) 可视方便与需要任意选取合适的坐标系，保证获得不变的形状。在实物测量造型 ( 即逆向工程 ) 中可在不同测量坐标系中测量同一组数据点，采用相同的具有几何不变性的数学方法处理，就可以得到同样的形状。(3) 应用几何不变性可将局部坐标系里的曲线曲面表示经过适当的变换得到在总体坐标系里的表示。(4) 可将位于坐标系里规范位置的形状方便地变换到空间任意位置。(5) 应用于曲线曲面的几何特征分析。(6) 在生成任意方向的投影视图与轴测图时，不必计算并变换所有需绘制或显示的点，仅需变换基表示中那些系数矢量，再计算需绘制或显示的点，节省大量变换计算，提高了图形生成速度。 (完成大型程序作业用 )

2.6 参数化与参数变换• 给定一正则曲线 令 u=u(t), 满足

曲线从表示为老参数 u的矢函数变成新参数 t的矢函数。称为重新参数化 (reparametrization) 。

这里u=u(t) 是对曲线进行的参数变换。将曲线对新参数求导得

保证变换后的曲线也是正则的。

则且 ],,[],[, 10100d

duutt

t

u

。],[ 10),( uuuu pp

][)),(( 10 t,tttu pp

t

u

ut d

d

d

d

d

d pp

0d

d

t

u

第 6 课

2.6 参数化与参数变换 (续 1)• 不合适的参数化 :(1)du/dt=0;(2) 一个老参数对

应多个新参数 (图２ .11) 。导致变换后的曲线出现奇异，不可采用。

• 变换后对新参数的一阶导矢的变化：与老一阶导矢平行， du/dt>0,同向， du/dt<0,反向；模长改变。

• 线性函数的参数变换 , 保持正则性 ,把曲线从定义在老参数域上变换到新参数域上 , 称为域变换。(1)u[0,1]t[t1,t2],

(2)u[u1,u2]t[0,1], u(t)=(1-t)u1+tu2

(3)u[u1,u2]t[t1,t2],

12

1)(tt

tttu

212

11

12

2)( utt

ttu

tt

tttu

2.6 参数化与参数变换 (续 2)• 域变换常用来将整体参数域变换到局部参数域，

或者反之，且用来重新界定曲线或进行分割或剪裁。

• 在曲线方向保持不变的域变换下，　与老的 k阶导矢方向相同，仅模长改变。曲线

上点与参数域内点的对应关系也保持不变。• 若u(t) 为非线性函数，则新老二阶导矢方向与

模长都发生改变。曲线上点与参数域内点的对应关系也发生改变。

• 描述同一条曲线的不同曲线方程之间可用参数变换联系起来。换言之，参数变换不改变曲线的形状。一般地，只改变曲线上点与参数域内点的对应关系；特殊地，曲线上点与参数域内点的对应关系也不改变。

。k

k

k

k

k

t

u

ut

d

d

d

d

d

d pp

2.6 参数化与参数变换 (续 3)• 从参数变换对导矢影响可知，曲线各阶导矢都

与参数有关。这给曲线研究带来极大不便。人们希望找到反映曲线内在性质的参数，这就是自身弧长参数。曲线以自身弧长为参数，称为弧长参数化。弧长参数化及以弧长的线性函数为参数的曲线参数化都是均匀的曲线参数化，即参数域内均匀分布的点对应曲线上沿曲线弧长均匀分布的点。

• 弧长参数化引出曲线一个重要性质是切矢成为单位矢量。这极大简化了微分几何中对曲线的研究。

• 在ＣＡＧＤ中常用单段或分段参数多项式曲线及参数有理多项式曲线 , 不能取自身弧长为参数。

2.6 参数化与参数变换 (续 4)• 证明取弧长 s 为参数的 n次参数多项式矢函数

不能表示曲线：求一阶导矢得　则应有 |p(s)|=1,故 |p(s)| ２＝１。于是

(p(s))2-１ =0　上式为２ (n-1)次方程，至多存在２ (n-1)个实根。这表明曲线上至多只有２ (n-1)点具有单位切矢，满足弧长参数化要求。而曲线上除这２(n-1)点外还有其它无数多个点都不具有单位切矢。仅在特殊情况如 n=1时，上式对于任意 s成立。这时它所表示的不再是曲线而是直线。证毕。

n

0i

iiss ap )(

n

0iisis 1i)( ap

2.6 参数化与参数变换 (续 5)• 可以证明，取弧长为参数时，有理一次多项式

曲线甚至连直线都不能表示。• 可否先用一般参数表示多项式曲线，然后作参

数变换成弧长参数，岂不是可取弧长为参数吗？不，虽可作这种变换得弧长参数化，但已不再是参数多项式矢函数，而是另一种形式复杂得多的矢函数。

• 类似地，可对正则曲面 p=p(u,v), (u,v)进行参数变换。令

　满足 Jacobi行列式不为零的条件

)()(

)(v,u

v,uvv

v,uuu,

2.6 参数化与参数变换 (续 6)

　则得以新参数表示的曲面

　这一过程称之为曲面的重新参数化。 Jacobi行列式不为零的条件保证变换后得到的曲面也是正则的。变换后的曲面有法矢　　

　用不同方程描述同一张曲面间的差别在于曲面上点与参数域内点的对应关系不同。

类似地，可采用域变换改变曲面的参数域。

且,0)(

)(

v

v

u

vv

u

u

u

v,u

vu,

)( )),(),(( v,uv,uvv,uupp

vuvu v,u

vu,pppp

)(

)(

第二章小结• 曲线曲面上的点用只画出矢端位置的位置矢量表

示，在ＣＡＧＤ中分别用单参数和双参数的基表示矢函数形式描述曲线曲面。其中的基函数决定了所表示曲线曲面的性质，系数矢量决定了曲线曲面的形状。具有几何不变性的基表示及所表达的形状与所取坐标系无关。

• 理论研究时，总把点和表示曲线曲面形状的矢函数当成一个整体，不考虑坐标系的选取及坐标分量函数如何；但在计算和编程以实现数字化时，作为手段，要给出合适坐标系，在各个分量上分别进行，然后合在一起。

• 曲线曲面采用基表示矢函数形式后，出现了许多与用非参数表示的曲线曲面不同的性质，较好地满足了工业产品形状数学描述的要求，从而成为形状数学描述的标准形式。

第二章小结 ( 续 1)• 曲线论的基本公式表示了曲线上一点处三个基

本矢关于弧长的一阶导矢与三个基本矢的关系。基本公式和引出的曲率与挠率对曲线的微分性质即曲线上一点邻近的行为给出了定量的描述。

• 曲面的度量性质和曲率性质都是由曲面上曲线引入的。

• 曲面上曲线一点的曲率矢在曲面单位法矢上的投影得到法曲率，一般地，它随曲面在该点的切平面内所取方向改变，其中最大最小值就是主曲率，两个主曲率的乘积得到高斯曲率，由高斯曲率大于、等于、小于零判定了曲面点的类型。这些曲率性质给出了曲面在一点的微分性质即邻近部分的行为。

第二章小结 ( 续 2)• 正则的参数变换不改变曲线曲面的形状，但一

般地改变了形状上的点与参数域内点间的对应关系。

• 尽管曲线引入弧长参数给微分几何的研究带来莫大方便，但在ＣＡＧＤ中广泛应用的参数多项式曲线与有理多项式曲线却不能取自身弧长为参数。