Математика - book-magic. · pdf file2 КРЕАТИВНАЯ МАТЕМАТИКА...

1

КРЕАТИВНАЯМАТЕМАТИКА

(математика в сказках)

2013 г.с. Чендек

Обучение математикепо педагогической технологии

Р.Г. Хазанкина.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

http://www.novapdf.com


2

КРЕАТИВНАЯМАТЕМАТИКА

Методическое пособиедля учителей математики

Автор-составитель Буракова Л.И.

В пособии содержится опыт работы учителя математики МОУ «Чендекс-кая СОШ» Бураковой Л. И. по системе Р.Г. Хазанкина с применениемтворческих заданий для учащихся 5-11 классов.

Предназначено учителям-предметникам, студентам педагогических учеб-ных заведений и рассчитано на творческое использование.

Креативная математика. Методическое пособие для учителей мате-матики. Автор-составитель Буракова Л.И.

Креативная математика. Учебное пособие для учителей математики




3

Углубленное изучение математики помогает учащимся доби-ваться высоких результатов на уроках, быть призерами и победи-телями олимпиад. Творческие работы по предмету, глубоко про-думанные сказки на математические темы, различные логичес-кие задачи, составленные учащимися, показывают высокий уро-вень знания предмета, их смекалку, прекрасные логическое мыш-ление и эрудицию. Работы отличаются большей самостоятель-ностью мышления, более глубокими знаниями, осмысленнымилогическими выводами.

Работа над математическими сказками, сочинениями, стиха-ми, рефератами пробуждает фантазию ребенка, позволяет ему са-мому осмыслить полученные знания, обобщить их, сделать выво-ды и защитить их на уроках – лекциях, практикумах, зачетах.

Использование современных технологий,в том числе информационно-коммуникационных,

в процессе обучения предмету ив воспитательной работе

Главная цель – повышение интереса к математике через но-вые формы обучения, где ученик мог бы стать исследователем.

Данная система предполагает разные типы уроков, где исполь-зуется индивидуальный подход к каждому ученику1. Урок - лекция2. Урок - чтение сказок3. Урок - решение обучающих задач4. Урок - решение ключевых задач5. Урок самостоятельной работы6. Урок сдачи зачета7. Урок принятия зачета8. Урок - консультация9. Урок контрольной работы10.Урок анализа контрольной работы

ВВЕДЕНИЕВведение




4

Методика предполагает выполнение десяти заповедей.

1. Теоретический материал по алгебре обычно не востребован наконтрольных работах. Большинство положений принимается бездоказательства, что приводит к слабым знаниям теоретичес-кого материала, а в дальнейшем и слабому усвоению и практи-ческого материала. Основное правило данной методики – непринимать ничего бездоказательно, поэтому большинство тео-рем выдается таким образом, что способные ученики могутсами сформулировать и доказать, сделать вывод. Учащиесяовладевают настолько теоретическим материалом, что свобод-но решают задачи повышенного уровня сложности.

2. Взаимосвязь с другими учебными предметами. Настоящийинтерес к науке можно привить только тогда, когда показыва-ем, как применяются математические методы в различныхобластях знаний, как используются методы одной науки, ре-шая проблемы другой.

3. Систематически используются теоретические знания при ре-шении задач. Особенно результативен метод доказательстваот «противного», используемый при доказательстве обратныхтеорем, при этом ссылаются на уже доказанные прямые тео-ремы.Учащиеся систематизируют эти методы, подбирают ори-гинальные задачи, в которых они «работают» особенно ярко.

4. Накапливаются идеи, систематизируются, исследуются в раз-личных ситуациях. Найденные решения непростых задач, рас-сматриваются на уроке, анализируются, почему ученик вос-пользовался именно этой идеей решения, обобщаются пути ис-пользования данной идеи в других ситуациях.

5. Ситуация успеха. У учеников всегда есть возможность самимсформировать проблему, обсудить пути, способы решения, выб-рать лучшие из них, спорить, доказывать. Ребята ищут раци-ональные решения с использованием теоретических знаний,

КРЕАТИВНАЯ МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для учителей математики




5

применяют идеи, решения, которые накапливают в специаль-ных блокнотах, учатся задавать вопросы, прогнозируют путирешения, вырабатывают стратегию мышления, учатся нахо-дить продуктивные методы решения.

6. Работа с решенной задачей учит учащихся ставить целый рядпроблем: исследовать условия решения, обобщать, разбиратьнаиболее интересные частные случаи, находить геометричес-кий смысл негеометрических задач, обсуждать возможностьрешить задачу другим способом, что способствует развитиюаналитического мышления, подготавливая успешных учащих-ся к научной деятельности.

7. Обучение видеть красоту математики, процесса решения и ре-зультатов. Умение видеть и чувствовать красоту и стройностьлогических закономерностей. Найденное красивое решение на-долго оставляет чувство удовлетворения, появляется желаниеиспытать его еще и еще раз. Это стимул, а задача учителя –вызвать эти чувства.

8. Опора на успешных учащихся. Они составляют задачи и пока-зывают их решение.

9. Работа с учебной, научно-популярной и научной литературой,справочной литературой,с журналами «Квант», задачниками.Учить работать с книгой, пользоваться справочниками – ос-новная задача учителя.

10. «Математическое» общение на уроке и после урока. Это ре-гулярные зачеты по вертикали. Старшие школьники принима-ют у младших, то есть тех, кто учится на класс ниже. Сильныйпринимает зачет у сильного, средний – у среднего, средний - услабого. Математические бои, КВНы, олимпиады проводятсясистематически.

Введение




6

• Уроки-лекции как правило двухчасовые, в течение которых из-лагается весь теоретический материал изучаемого раздела. Наоснове фронтальной беседы с классом, привлечения учащихсяк объяснению отдельных этапов изложения, можно выяснить,как усваиваются вопросы теории. Одна из важнейших особен-ностей лекции заключается в том, что учитель непрерывно сле-дит за процессом усвоения материала. Достижению более эф-фективного результата способствуют элементы первичногоконтроля и оценка усвоения учащимися содержания лекции. Сцелью интенсификации процесса обучения на уроках использу-ются технические средства обучения, различные таблицы идругие обучающие и контролирующие материалы: опорные схе-мы, таблицы, мультемедийный материал, и т.д.

• Урок чтения сказок, сочинений. На данном уроке учащиесяраскрывают свои знания теоретического материала через сказ-ки, цель которых – осмысление теоретического материала, ра-ботающего на практическую часть.

• Урок решения обучающих задач. Основная задача данного уро-ка – закрепление и углубление теоретического материала, из-ложенного в лекциях. На основе опроса учащихся и повторениявопросов теории на всех предыдущих уроках, где они усваива-ли вопросы теории на уровне обязательного минимума, стро-ятся данные уроки. На этом этапе ведется дифференцирован-ная работа с учетом интересов каждого ученика, проводитсяцеленаправленная работа по выработке у учащихся умений инавыков решения основных задач. Прежде всего обращаетсявнимание на отработку навыков решения систем задач, содер-жащихся в учебном пособии. С учащимися обсуждаются под-ходы к решению опорных задач (ключевых), их оформление.Основным видом деятельности на этих уроках является само-стоятельная работа учащихся.

• Урок решения ключевых задач. На данном уроке рассматрива-ются задачи различного характера, где ученики показываюткрасоту всей математической выкладки, предлагают различ-ные способы доказательства, представляют решение задачвсевозможными способами. Одну задачу можно решить





7

несколькими способами. Задачи берут из различных задачни-ков, сборников, журналов «Квант», придумывают свои задачи.На таких уроках проявляется творчество, самостоятельностьмышления. Трудно удержать интерес учащихся к предмету, еслипреследуется только цель нахождения правильного решения за-дачи с представленными разными способами ее решения.

• Урок самостоятельной работы. Самостоятельная работа науроках применяется различного вида:

а). с предварительным разбором, разбор подробно какой -либо задачи, со всеми теоретическими выкладками, начи-ная с простого задания и постепенно усложняя его;б). решение задач с последующей проверкой. Учащиеся выпол-няют задания самостоятельно, затем проверяют свою работупо образцу, при этом учителю необходимо поэтапно выяснитьосмысление решения путем соответствующих вопросов;в). решение полностью самостоятельно с взаимопроверкой,при которой укрепляется взаимодоверие, воспитывается кол-лективизм.

• Урок сдачи зачета. Система сдачи зачета по «вертикали» по-зволяет учащемуся, принимающему зачет, повторить матери-ал предыдущего класса.

• Урок принятия зачета. На зачете проверяется знание теорети-ческого материала и практической части.

• Урок - консультация носит коррекционный характер. Это подго-товительный этап к контрольной работе.

• Урок контрольной работы. Итог изучения темы.• Анализ контрольной работы. Коррекция на индивидуальном уровне.

Необходимыми условиями работы по данной системе являются:• работа в парах;• посадка в классе;• работа по «вертикали»;• наличие лекционного материала, тетрадей для принятия зачета,

тетрадей сдачи зачета, тетрадей для домашней работы, тетра-дей для классной работы, тетрадей для контрольной работы, за-четных книжчек, карточек, блокнота, тетрадей по сказкам.

Введение




8

Данная методика дает результаты только тогда, когда работапо данной технологии ведется в системе, составными частямикоторой являются полная самостоятельность, открытый учет зна-ний, перспектива повышения оценки, строгий родительский конт-роль, взаимоконтроль.

Это личностно ориентированная система обучения, основан-ная на сотрудничестве, где учащиеся – соучастники образователь-ного процесса.

Дети с хорошими образовательными традициями успешнообучаются по данной системе.

В данной технологии существуют свои контрольно-измери-тельные материалы: тестовый материал и карточки для зачетов,составленные самими учащимися с разным уровнем дифферен-циации, дискеты для контрольных работ.





9

Основные методы обращения с людьми

• Вместо того, чтобы осуждать людей, давайте попытаемся по-нять их.

• Попытаемся оценить положительные стороны других людей.• Главный секрет успеха во взаимоотношениях между людьми

заключается в умении понять точку зрения другого человека исмотреть на вещи и с его, и со своей точек зрения.

Дэйл Карнеги

Шесть правил, соблюдение которых позволяет понра-виться людям• Искренне интересуйтесь другими людьми• Улыбайтесь• Помните, что имя человека — это самый сладостный и самый

важный для него звук на любом языке• Будьте хорошим слушателем, поощряйте других говорить о

самих себе• Говорите о том, что интересует вашего собеседника• Выслушайте вашего собеседника. Делайте это искренне.

Введение




10

За неделю до зачёта предлагаются учащимся теоретические воп-росы по определённой теме, которые они должны подготовить. Кзачёту учащиеся получают индивидуальные карточки с вопросами.

При ответах разрешается делать на доске, в своих тетрадях,по принятию, сдаче зачетов или в блокноте схематичные черте-жи, краткие записи. Все ответы необходимо подтверждать дока-зательством. После подведения итогов учащимся выставляютсяоценки в зачетные книжки, в журнал.

Рассмотрим теперь материал, подготовленный к зачёту по гео-метрии в 7 классе по теме «Треугольники».

Цели урока:1. Проверить степень усвоения учащимися признаков равенства

треугольников.2. Проверить умение применять признаки равенства треугольни-

ка при решении задач.3. Повышение интереса к уроку.4. Воспитание ответственного отношения к учёбе, сплочённости,

чувства коллективизма.Оборудование: доска, мел, карточки, тетради, блокноты, за-

четные книжки. Ход урока:I. Организационный момент

Добрый день! Добрый час!Как я рада видеть вас.Прозвенел уже звонокНачинается урок.Улыбнулись. Подравнялись.Друг на друга погляделиИ тихонько дружно сели.

УРОКИ

УРОК-ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИКИ» (двухчасовой) (для 7 класса) ( для 8 класса)





11

I. Вопросы:1. Объясните, какая фигура называется треугольником.2. Что такое периметр треугольника?3. Какие треугольники называются равными?4. Что такое теорема и доказательство теоремы?5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, про-

ведённым из данной точки к данной прямой.6. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько

медиан имеет треугольник?7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколь-

ко биссектрис имеет треугольник?8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько вы-

сот имеет треугольник?9. Какой треугольник называется равнобедренным?10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?11. Какой треугольник называется равносторонним?12. Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренно-

го треугольника.13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного тре-

угольника.14. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.15. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.16. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.17. Дайте определение окружности.18. Что такое центр окружности?19. Что называется радиусом окружности?20. Что называется диаметром окружности?21. Что называется хордой окружности?

II этап.Приготовлены чертежи на экране, по которым учащиеся дол-

жны доказывать равенство треугольников.

Урок-зачет по теме «треугольники»




12

Релаксация:Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно

положить на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покояпроизносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать, Прыгать, бегать, рисовать, Но пока не все умеют Расслабляться, отдыхать. Есть у нас игра такая – Очень лёгкая, простая, Замедляется движенье, Исчезает напряжение… И становится понятно – Расслабление приятно!

Быстро встали, улыбнулись, Выше-выше потянулись. Ну-ка, плечи распрямите, Поднимите, опустите. Вправо, влево повернитесь, Рук коленями коснитесь. Сели, встали. Сели, встали. И на месте побежали.





13

III.Каждый учащийся берет номер задания, приготовленный уче-

ником 8 класса. Под номером содержится вопрос на доказатель-ство какой-нибудь теоремы на заданную тему.1. Докажите первый признак равенства треугольников.2. Объясните, как построить прямую перпендикулярную данной.3. Докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треуголь-

ника.4. Докажите второй признак равенства треугольников.5. Докажите третий признак равенства треугольников.6. Объясните, как построить биссектрису угла.7. Объясните, как построить угол равный данному.8. Объясните, как построить отрезок равный данному9. Докажите свойство углов при основании равнобедренного тре-

угольника.

IV. Задачи:1. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиа-

на, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник надва треугольника так, что периметр одного треугольника на 2см больше периметра другого. Найдите боковую сторону дан-ного треугольника.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Наотрезках АС и ВD отмечены точки К и К1 так, что АК = ВК1.Докажите, что: а) ОК = ОК1.

3. В равнобедренном треугольнике одна из сторон равна 6 см . , апериметр треугольника равен 20 см. Найдите остальные сто-роны треугольника.

Рефлекcия:1. Трудным ли для тебя был зачет?2. На каком этапе урока было труднее всего, легче всего?3. В итоге оценка за урок выставляется каждому учащемуся в

зачетку.

Урок-зачет по теме «треугольники»




14

Цели:1.Формирование представлений о математике как универсальном

языке науки, средстве объяснения пословиц и поговорок.2. Развитие логического мышления, пространственного вообра-

жения, критичности мышления, для получения образования вобластях, не требующих углубленной математической подго-товки.

3. С помощью графика функций наглядно показать глубинныйсмысл русских народных пословиц.

4. Воспитание средствами математики культуры личности: отно-шения к математике как части общечеловеческой культуры:понимания значимости математики в раскрытии содержанияпословиц и поговорок.

5. Повышение любви и уважения к слову.

1. Организационный момент: «Через математические знания,

полученные в школе, лежитширокая дорога к огромным,

почти необозримым областямтруда и открытий».

( А. Маркушевич)

Среди наук из всех главнейшихВажнейшая всего одна.Учите алгебру, она глава наукам,Для жизни очень всем нужна.Когда достигнешь ты науки высоты,Познаешь цену знаниям своим,Поймешь, что алгебры красоты,Для жизни будут кладом неплохим.

Урок-лекция по теме«СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

В ПОСЛОВИЦАХ И ПОГОВОРКАХ»





15

Во всем мне хочется дойтиДо самой сути.В работе, в поисках пути,В сердечной смуте.До сущности истекших днейДо их причины,До оснований, до корней,До сердцевиныВсё время схватывая нитьСудеб, событий.Жить, думать, чувствовать, любить,Свершать открытья.

II. Изучение нового материалаСодержание лекции:

1. Введение.2. Из истории возникновения функций.Определение функций.3. Свойства функций в пословицах и поговорках.

Функция – это одно из основных математических и общенауч-ных понятий, выражающее зависимость между переменными ве-личинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология,лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливаетсвойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельностивозникают количественные соотношения, и математика изучает ихв виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактныепеременные величины, изучает различные законы их взаимосвязи,которые на математическом языке называются функциональнымизависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидитзависимость площади у квадрата от величины x его стороны, афизик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотретьв нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды отскорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2

и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например,

Урок-лекция по теме «Свойства функций в пословицах и поговорках»




16

что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к че-тырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появиласьэта зависимость, сделанное абстрактное математическое заклю-чение можно применять в конкретной ситуации к любым конкрет-ным объектам.

2. Из истории возникновения функций.Определение функции.Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху,

когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимо-связаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем большеоленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавленоот голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетитстрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обменаувеличилось количество известных людям зависимостей междувеличинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является по-нятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познанииреального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, онасодержится уже в первых математически выраженных соотно-шениях между величинами, в первых правилах действий над чис-лами, в первых формулах для нахождения площади и объема техили иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия фун-кции и систематическое изучение функциональной зависимостиберут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в матема-тику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было,однако путь к первому такому определению проложил Декарт,который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишьте кривые, которые можно точно представить с помощью уравне-ний, притом преимущественно алгебраических. Постепенно поня-тие функции стало отождествляться таким образом с понятиеманалитического выражения – формулы.





17

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выпол-нение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина,выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смыс-ле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем иИ. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. од-ним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцар-ским математиком Бернулли: «Функцией переменной величиныназывают количество, образованное каким угодно способом изэтой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхи-щение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геомет-рических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощьюранее известных операций. Поэтому один из самых замечатель-ных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя всвоём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда неко-торые количества зависят от других таким образом, что при из-менении последних и сами они подвергаются изменению, то пер-вые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748)примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколькоуточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция перемен-ного количества есть аналитическое выражение, составленноекаким-либо образом из этого количества и чисел или постоянныхколичеств». Так понимали функцию на протяжении почти всегоXVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной за-висимости приняли участие многие крупные математики. Описа-ние функции, почти совпадающее с современным, встречаетсяуже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонни-ком такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее опреде-ление функции:

Зависимость переменной y от переменной x называется функ-цией, если каждому значению x соответствует единственное зна-чение у. Переменную x называют независимой переменной или





18

аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значениеу, соответствующее заданному значению x, называют значениемфункции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозна-чается данная функция, т. е. функциональная зависимость междупеременными x и y; f(x) есть значение функции, соответствую-щее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значениефункции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная,образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принад-лежащих области ее определения), образуют область значенийфункции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функциюсимволом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г.французский математик Клеро. А появился этот символ, когдаформировался общий подход к понятию функции, когда потребо-валось обозначение «функции вообще».

Зарядка.Может выполняться детьми самостоятельно.Дежурные показывают движения у доски, остальные — повторяют.

А теперь, ребята, встали.Быстро руки вверх подняли,В стороны, вперёд, назад.Повернулись вправо, влево,Тихо сели, вновь за дело.

3. Свойства функции в пословицах и поговорках.Функции – это математические портреты устойчивых законо-

мерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрироватьхарактерные свойства функций обратимся к пословицам и пого-воркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых зако-номерностей, выверенное многовековым опытом народа.

– Возрастание функции.Определение: Функция y= f(x) называется возрастающей на

промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2,





19

выполняется неравенствоf(x1)< f(x2) (короче: x1<x2 => f(x1) < f(x2)).Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если,

какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому проме-жутку, ни взять, окажется, что большему значению аргументасоответствует большее значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров», – гласит пословица.Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере про-движения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собра-но, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертика-ли будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топ-лива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Ка-кие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чемдальше в лес…) значение функции будет больше (…тем большедров). Такое свойство функции называется монотонным возрас-танием.

– Неубывающая функция.Определение: Если для любых х1 и х2 из множества Х таких,

что х1<х2, справедливо неравенство f(x1) ? f(x2) , то функцию f(x)называют неубывающей на множестве Х.

Продвижение в лес





20

«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассмат-ривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословицеэта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно,увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобно-го рода функции называются монотонно неубывающими.

– Убывающая функция. Определение: Функция y= f(x) называется убывающей на про-

межутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, вы-полняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1<x2 => f (x1) > f(x2)).

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, ка-кие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку,ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответ-ствует меньшее значение функции.

«Дальше кумы – меньше греха».Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по

мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

Кач

еств

о ка

ши

Количество масла

Мер

а гр

еха

Расстояние до кумы





21

4. Ограниченные функции.Определение: Функция f, определённая на множестве Х, назы-

вается ограниченной на множестве Х1Х, если f (x1), т.е. множество её значений на множестве Х1,

ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, чтодля всех значений x из Х1 выполняется неравенство

m m f(x) m M.В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) напромежутке Х, если существует такое число k, что для всех Х ° kвыполняется неравенство

f(x) m k; (f(x) l k).

Функция ограничена снизу, если весь ее график расположенвыше некоторой горизонтальной прямой y = m;

Функция ограничена сверху, если весь ее график расположенниже некоторой горизонтальной прямой y = M.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекториюскачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с по-словицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

5. Максимум функции.Определение: Пусть функция у = f(x) определена в некоторой

окрестности точки x0.

Мер

а

Расстояние





22

Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существуеттакая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выпол-няется неравенство f (x) < f(x0),т.е. значение функции в этой точ-ке больше, чем её значение во всех других точках, достаточноблизких к x0.

«Пересев хуже недосева», – издавна говорили земледельцы.Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой порырастет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, пото-му что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить другдруга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобра-зить её графиком, где урожай представлен как функция плотностипосева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Макси-мум – это наибольшее значение функции по сравнению с её зна-чениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, скоторой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Недосол на столе – пересол на спине». Качество пищи зави-сит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли –невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежут-ке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье стано-вится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция дос-тигает максимума. Малейший щепотью соли больше или мень-ше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качествопищи снизилось.

Уро

жай

а (х) - плотность посева

у f(a)- максимум





23

1. Вогнутость и выпуклость функции.

«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица заслужива-ет того, чтобы быть включённой в правила научной организациитруда. Тем более, что за ней так и видится графическое выраже-ние.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борь-бу с противоположной, весьма распространенной манерой рабо-ты. На нее тоже есть своя пословица:

«Горяч на почине, да скоро остыл».

Обе функции, представленные на графиках зависящими от вре-мени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, растиможно по-разному.

Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такоесвойство функции называется вогнутостью. Парабола вершинойвниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спада-ет всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряю-щимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построеннаядля положительных значений аргумента.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функциислабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называетсявыпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущен-ный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше кего полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать;

рабо

та р

абот

а

время время





24

однако искривление его траектории сохраняет прежний характер.Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функциейявляется и гипербола, построенная для отрицательных значенийаргумента.

1. Периодичность функции.Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если

существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x изобласти определения функции справедливо равенство f (x + T) =f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x).

«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-тодело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки ула-дить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказываетсясказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказкапредставляет собой диалог:

– Рассказать тебе сказку про белого бычка?– Расскажи.– Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про бе-

лого бычка?– Так давай же!– Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку

про белого бычка?– Ну хватит!– Ты ну хватит… и так далее.Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитиро-

ванием первых слов песни «У попа была собака». Ради полнотыприведём и её.

«У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Онеё убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа быласобака. Он её любил…» и так далее.

Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора опериодических функциях, для уяснения математического понятияпериода и тех искажений, которые привносятся в него обыденнойречью.





25

Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не вся-кую повторяемость. Но повторяемость может быть более илименее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенныетексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно по-вторится через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.

В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечнойактивности». Если бы все явления на Солнце подчинялись стро-гой периодичности, их можно было бы предсказывать на скольугодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Сол-нца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом,потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, какв ближайшее время изменится количество солнечных пятен, ин-тенсивность солнечных вспышек и т.п.

Прекрасные примеры периодических функций даёт тригоно-метрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса периодсоставляет 3600, для тангенса – 1800.

Современная математика знает множество функций, и у каж-дой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого измиллиардов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого укаждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно также облик каждой функции можно представить сло-женным из набора характерных деталей. В них проявляются ос-новные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся раз-глядеть самые существенные их черты, самые глубокие законо-мерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круганаблюдаемых событий. Общей оказывается и математическаямодель, построенная на основе этих закономерностей.





26

Литература:1. Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9

кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.:Дрофа, 2004.

2. Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные мате-риалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвеще-ние, 1982.

4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. – М.5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО

«Столетие», 1995г

Итог урока:Ребята, сегодня мы с вами попытались понять как предста-

вить пословицы и поговорки в виде некоторой функции, изобрази-ли графически пословицы и поговорки, описали свойства функций-пословиц.

Рефлексия1. Трудным ли был для тебя материал?2. Много ли ты интересного узнал?3. Что тебе очень понравилось?4. Как эмоционально ты чувствовал себя на уроке?





27

1. Целью зачетного урока для принимающего является повторе-ние изученного ранее, но на более высоком уровне, системати-зация, классификация, обобщение материала, его творческоепереосмысление.

2. Зачетный урок проводится только в рамках школьного распи-сания. К зачетному уроку необходимо приготовить зачетнуюкарточку, содержащую ключевые задачи, а также задания, учи-тывающие индивидуальные особенности сдающего зачет.

3. Зачет по всей теме призван проверить уяснение теоретическихоснов изучаемой темы, умение распознавать и решать ключе-вые задачи, использовать знание теории и алгоритмы решенияключевых задач в новой ситуации.

4. Если старший школьник обнаруживает у сдающего зачет непо-нимание сути разбираемого материала, то здесь же, не откла-дывая, объясняет ему подробно и обстоятельно теорему илизадачу, а затем предлагает младшему рассказать все сначала.Если сдающий зачет сумеет убедить принимающего в том, чтовсе понял (например, что без труда решает задачи), то оценкане снижается.

5. Принимающий зачет обязан быть дображелательным и в тожевремя требовательным.

6. Естественными и традиционными на зачетах являются следу-ющие вопросы и задания: «...не понял - докажи почему и отку-да это следует?...»; «...а что будет если...»; «...приведи контр-пример...»; «...составь аналогичную задачу...»; «...рассмотри ча-стный случай...»; «...проверь результат...» и т.д.

7. Заканчивается зачет выставлением трех оценок: по теории, порешению задач, по ведению тетради и блокнота. Каждая оцен-ка при этом аргументированно мотивируется и выставляется взачетную книжку.

ПАМЯТКАПРИНИМАЮЩЕМУ ЗАЧЕТ

Памятка принимающему зачет




28

1. Подготовка к сдаче зачета начинается с первой лекции учите-ля по теме подбора дополнительной литературы.

2. Главное твое домашне задание – осмыслить то, о чем шел раз-говор на уроке, если что-либо непонятно во время объяснения,то необходимо прервать учителя и попросить его объяснитьнепонятное. Любой урок должен начинаться с вопросов уча-щихся к учителю. Вопросы необходимо задавать учителю истаршим школьникам даже по мелочам.

3. Следует тщательно вести записи в блокноте не только формул,но и всех ключевых или просто интересных задач, дополнятьматериал собственными находками или изобретениями.

4. Наиболее значимые вопросы нужно включать в карточку и по-ложить ее на стол учителю перед уроком-консультацией.

5. Необходимо воспитать в себе уважительное отношение к стар-шим школьникам. Помни, кому как ни ему понятны все твоизатруднения, и он всегда рад тебе помочь, если чувствует твоестремление понять, запомнить и научиться применять знания крешению задач.

6. Ценить требовательность к себе со стороны твоего научногоруководителя – уровень его требовательности к тебе соответ-ствует уровню твоего развития и уровню уважения к тебе, какличности.

7. Не зазнавайся, перед тобой огромный океан знаний, будь тре-бователен в первую очередь к себе.

8. Если на зачете получена неудовлетворительная оценка, то по-старайся как можно быстрее исправить в ближайшее время.Будь настойчив в своем желании преодолевать трудности.

ПАМЯТКАСДАЮЩЕМУ ЗАЧЕТ





29

МатематикаВычитать, слагать, считать,Умножать, делить, решать.По законам делать это -

учит математика.Знать законы надо все:Сочетательный закон -Для удобства служит он,Переместительный закон,Свойства нулика, однеркиИ квадрат и куб числа,И деление с остаткомНадо знать как дважды два.Упрощение выражений упростит все нам решение.И порядок действий выполненьяПоможет верно по порядкуОтвет вписать в свою тетрадку.А если нам поразмышлять-Все это в жизни пригодитсяИ лучше не лениться,А добросовестно учиться.

Математика – не шутка, и не знать её жутко!Села я сегодня утром

математику учить.Ведь конечно очень важно

мне пятерку получить.Я учу параграф «пять»

чтобы дроби сосчитать.Мы числитель вычитаем,

знаменатель оставляем.Так же с точностью наоборот

все числители слагаем,знаменатель оставляем.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТИХОТВОРЕНИЯМатематические стихотворения

Мария Узун




30

Стихи деленияЧто за черточка такая между цифрами в дроби.Я ее пока не знаю.Ну, учебник, помоги!Прочитала пункт второй, разобравшись с той чертой.Это линия простая, и теперь ее я знаю.Это черточка деленья.Она достойна уважения.Еще немножечко терпенья и будет черточка в уменьи!

ДробиШли по дороге школьной математики, встретили дробей стройные отрядики.Встали с ними в рядики, примерив их нарядики.Знакомиться мы стали,«Все темы очень нужные»,- сказал нам генерал, - «и будут очень легкими, коль ты не пропускал».Конечно это верно, вы познакомиться мечтаете наверное.Знакомьтесь, это чудо, случится превращение дробей.Решенье станет вдруг делением.А это там на кресле сравнение дробей сидят весь день и спорят кто больше, кто сильней.Тут чудеса, там споры, здесь сравнения.И требует все это огромного умения.Тут правильные дроби с неправильными дружат и математике все верно служат.





31

Жили были двое друзей звали их Окружность и Круг. Окруж-ность была похожа на обруч очень тоненький и легкий. А Кругбыл похож на арену в цирке или сцену.

Дроби становились друг на друга, Числитель вставал на чертуделения, которая лежала на голове у Знаменателей, забиралисьна свою арену, то есть Круг и кружили Окружность вместо обру-ча как в цирке. В этой стране было очень весело. Но однажды кним в страну пришли войска Долей. Они хотели разрушить все,что они создали. Они поставили в Окружность Диаметры и Ради-усы, да ещё и добавили Хорду. Обычно эти части ставили тольконочью, а днем они были невидимыми и не мешали Дробям весе-литься и крутить обручи. Но их веселье прекратилось.

Однажды Мудрец Центр «О» круга и окружности сделал всекак было. Но Доли на этом не успокоились и разделили окруж-ность на дуги диаметром. Склеить эти дуги было не так легко.Нужно было наклеить одну точку диаметра на окружностии идругую, склеить их, тогда диаметр днем становился невидимым.Но все таки Мудрец смог склеить дуги с помощью жидкости, ко-торую поручили добыть Кругу. Круг справился с этой задачей.Тогда Долям ничего не оставалось делать, кроме как подружить-ся со всеми остальнымии. И все они были счастливы.

Н.Селина

В стране Рациональные дроби жили выражения двух нацио-нальностей: целые и дробные. В группу дробных входили те вы-ражения, которые при некоторых значениях переменных могут неиметь смысла. Дробные выражения имеют смысл только при всехдопустимых значениях переменных. К целым относились все остальные

Сказка«ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ»

Сказка«РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИМатематические сказки




32

выражения. Все рациональные выражения имели вид дроби, чис-литель и знаменатель которой — многочлены. Все выражения жилимирно между собой, но относились друг к другу абсолютно одинако-во. У них не было ни близкого друга, ни подруги. Существовал лишьединый коллектив. Так продолжалось довольно долго. Но вот од-нажды два выражения понравились друг другу. Они стали постепен-но замечать, что похожи друг на друга, что у них есть общие интере-сы, в общем, они поняли, что равны друг перед другом, тождествен-но равны. И они стали отделяться от коллектива, им стало интерес-нее вдвоем, чем в толпе. Они решили создать семью – тождество.Узнав об этом, правитель этой страны, чтобы отделить их друг отдруга, решил в одном из выражений поменять знак перед дробью.Он думал, что после этого они станут непохожими и разойдутся. Кего великому горю, они не думали расходиться. Они создали такоеновое правило: если изменить знак числителя (знак знаменателя),знак перед дробью, то получится выражение равное данному тожде-ству. И когда это произошло, правитель выгнал их из своей страны ивелел им никогда не возращаться обратно. И вот тождественная параушла из своего дома. Им нужно было как-то выжить, и они придума-ли правило сложения и вычитания дробей с разными и с одинаковы-ми знаменателями. С помощью этих правил, они стали увеличиватьчисло себе подобных и создавать новую могучую державу.

Мария Узун

Действительные, рациональные, иррациональные, натуральные,целые числа.

В алгебре предстояли выборы президента. На пост главы пре-тендовали представители из четырех партий: первая – партиямножества натуральных чисел; вторая – партия множства раци-ональных чисел; третья – партия множества целых чисел; чет-вертая - партия множества иррациональных чисел. Предста-вителем из партии натуральных чисел является буква N и ееименем обозначались все множества натуральных чисел, куда

Сказка-сочинение«КВАДРАТНЫЕ КОРНИ»





33

входили все числа,с помощью которых исчислялись предметы.Множество рациональных чисел ( т.е. все дроби) представлялосьбуквой Q. Целые числа предпочли букву Z, а иррациональные буквой I.К иррациональным числам относились приближенные значения и глав-ным советником партии было постоянное число приблизительноравное 3,14. Итак, выборы были назначены на начало следующегопериода, характерного для определенной бесконечной десятичнойдроби. Эти выборы уже проводились который год, но каждый разоканчивались одним исходом: каждая партия получала равное коли-чество голосов. И поэтому страна так и жила без правителя и неимела общепринятых законов. Это происходило потому, что голосо-вать приходили все жители, кроме одного знака – Знака принадлеж-ности. Он ни разу не пришел на выборы, и поэтому все партии полу-чали равное количество голосов. И вот перед этими выборами егорешили вызвать в дом парламента, узнать, почему он не голосует, иуговорить его проголосовать. И вот ему пришла телеграмма с при-глашением в дом парламента. И Знак принадлежности отправился встолицу. Когда он пришел на собеседование, его спросили:

– Уважаемый гражданин! Скажите нам, почему вы отказыва-етесь голосовать?

Неужели вам так трудно это сделать?Тогда Знак принадлежности ответил:– Мне не трудно, но я просто не имею права отдать принад-

лежность одной партии, а другую партию оставить без нее.– Но как же теперь быть? – спросили его снова.– Я предлагаю объединить на время все партии в одну и на-

звать ее множеством действительных чисел, и обозначить бук-вой R и тогда я смогу голосовать за партию и каждое множествостанет членом парламентской думы.

И сказал Знак принадлежности:– Партии рассмотрели все предложения, и нашли предложение

Принадлежности самым достойным. И поэтому объединились водно множество действительных чисел, но так и остались отдель-ными партиями, а поэтому Принадлежность смог голосовать. Ипосле этого в Алгебре воцарились порядок и спокойствие навсегда.

Мария Узун

Математические сказки




34

Жили-были Пифагор и два Катета.Не хватало им только того,что сделали бы из двух катетов прямоугольный треугольник. Нуж-но было создать формулу и теорему, и может быть какие-нибудьсвойства. Но им было трудно. Прошло несколько лет, Пифагорсоздал все свои теоремы, свойства, формулы, а Катеты сиделибез дела. Наконец, Пифагор сказал: «Слушайте, не сидите бездела, поделайте что-нибудь, например, почертите геометричес-кие фигуры или что-нибудь еще». Но, конечно, любимым заняти-ем Катетов было чертить различные фигуры. И они взялись засвое любимое дело – чертить различные геометрические фигу-ры. Они изобразили круги, четырехугольники, ромбы, квадраты,треугольники, одним словом все, что знали. Наконец они получи-ли треугольник, показали его Пифагору. А затем сказали:

– Да это же прямоугольный треугольник!– Хорошо, вы придумали формулу. А где теорема?– Да, – с ленью ответили катеты.– Ну ну, только не лениться.– Хорошо, хорошо.И все разошлись по своим комнатам. На следующее утро ка-

теты прибежали к Пифагору в кабинет и сказали:– Дядюшка Пифагор, мы тут составили формулу, но что-то в

ней не хватает?– Покажите-ка?- они ее показали, там было написано: «а+в=с».

а-катет, в-катет, с-гипотенуза».– Ладно, давайте я вам прочитаю, что у меня получилось»!– И он стал читать:– В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов катетов.Пифагор задумался:– Квадрат гипотенузы...? Квадрат...? Квадрат...? Гипотенузы...?

Я все понял»! – воскликнул он, – к этой формуле а+в=с нужноподставить квадраты и получится а2+в2=с2. Да, ну конечно же,нужно подставить квадраты.

Сказка по геометрии«КАК НАЙТИ ГИПОТЕНУЗУ»





35

– Получилась теорема Пифагора, которая названа в честь ве-ликого ученого-математика Пифагора.

Наталья Селина.

Смотрели однажды поросята в своей деревне по телевизорупередачу «Проблемы экологии в нашей стране». Узнали они прозагрязнение нашей атмосферы. Наф-Наф сказал: «Давайте по-садим около нашего домика по дереву». Ниф- Ниф и Нуф-Нуфсогласились. На следующий день пошли они в лесок и выбралисебе по дереву. Наф-Наф выбрал березку, Нуф-Нуф – ель, Ниф-Ниф – осинку. Пришли они домой и решили посадить деревцавдоль стенки, домика. Ну тут у них вышел спор. Каждый из ниххотел посадить свое дерево между двумя другими. Но каждыйраз у них ничего не получалось. И вдруг Наф-Наф воскликнул:«Я все понял! У нас ничего не получится. Один может посадитьсвое дерево между двумя другими. В школе мы ведь изучали погеометрии аксиому. Вот она нам сейчас и пригодится. Вспомни-те: «из трех точек на прямой одна и только одна лежит междудвумя другими».

Братья Нуф-Нуф и Ниф-Ниф с ним согласились и разрешилисвоему брату Наф-Нафу дерево посадить в середину, так как онпервый вспомнил аксиому. Вот такие были три умных поросенка.

Вера Новикова

Жили были две сестры Трапеции. Старшая имела большуюплощадь, а младшая меньшую площадь. Старшая была большойзазнайкой, она все время хваставалась тем, что она больше. Былу сестер друг Отрезок. Он во всем старался помочь младшейТрапеции. А старшая в это время сидела перед зеркалом. Не-взлюбили её за это меньшая Трапеция и Отрезок. И решили они

СКАЗКА«ТРИ ПОРОСЕНКА»

Сказка«ТРАПЕЦИЯ»





36

что-нибудь сделать для старшей сестры, чтобы она думала нетолько о себе, но и о других. Но никак не могли ничего придумать.А старшая сестра в это время стала приказывать все младшей.Огорчилась совсем меньшая Трапеция. И вот однажды за рабо-той она кое-что придумала, осталось только дождаться Отрезка.А когда он подошел, она ему сказала: «Можешь ли ты, Отрезок,встать в трапецию так, чтобы она разделилась на две одинако-вые по площади трапеции?». Понравилась эта мысль Отрезку. Такони и сделали. И нечем теперь хвастаться старшей сестре —большой Трапеции.

Наташа Ошлокова

В одном городе жили График и Функция. Каждый жил сам посебе. И было у них одно горе, не было у них ни точек, ни прямых,ни отрезков, ни чисел.Они только всегда думали о своем горе.Однажды из другого города Числа вышли гулять и заблудились,шли они шли и попали в городок, где жили График и Функция. Ониих увидели и рассказали о своем горе. Числа подумали и сказали:«Давайте-ка сходим в наш городок». Они ответили: «Давайте». Ивот они пришли к ним в город. Жители на них смотрели и думали,кто же это такие, а числа сказали, что это График и Функция. Вотони подружились и стали все вместе жить.Они задумали оченьхорошую идею, чтобы всем собраться в кучу и чтобы что-то по-лучилось. В начале у них ничего не получалось, а затем они ещёраз попробовали и у них получилась координатная прямая.

Дима Попов

В стране Математика жили мальчик и девочка. Мальчика зва-ли НОД, а девочку НОК. Однажды они вышли на улицу поигратьи НОК предложила: «Давай будем играть в математические прят-ки». «А как это?» – удивился НОД. « Ну смотри. Твое имя НОД

Сказка«ГРАФИК И ФУНКЦИЯ»

Сказка«НОД и НОК»





37

будет расшифровываться так: Наибольший Общий Делитель, амое имя НОК – Наименьшее Общее Кратное. Чтобы тебя найти,а ты будешь прятаться в числах, я должна: во первых, разложитьданные числа на простые множители; во вторых, составить про-изведение из общих простых множителей с наименьшим показа-телем; в-третьих, найти значение полученного произведения. Ты,чтобы найти меня, должен, во-первых, разложить числа, за кото-рыми я прячусь, на простые множители; во-вторых, составитьпроизведение из этих простых множителей, при этом взяв наи-больший показатель; и в-третьих, найти значение полученногопроизведения».

Так из детской игры математических пряток появились в учеб-нике НОД и НОК.

Мария Узун





38

1. Из 100 коллекционеров 70 собирают старинные монеты, 75 – знач-ки, 80 – этикетки со спичечных коробок и 85 – марки. Сколько изних увлекаются всеми видами коллекционирования сразу?(Из 100 коллекционеров – 30 не собирают старинные мо-неты, 25 не интересуются значками, 20 равнодушны к эти-кеткам от спичечных коробков и 15 без энтузиазма отно-сятся к филателии. ( 30+25+20+15)=90 любителей не за-нимаются, по крайне мере, одним из четырех видов кол-лекционирования. 10 коллекционеров собирают и монеты,изначки, и этикетки, и марки.).

2. За обеденным столом собрались один дедушка, 1 бабушка, 2отца, 2 матери, 4-ро детей, 3 внука, 1 брат, 2 сестры, 2 сына, 1свекр, 1 свекровь и 1 невестка. На сколько персон минимальнодолжен быть накрыт стол?(Стол должен быть накрыт, по крайней мере, на 7 персондля 1 дедушки и 1 бабушки (образующих супружескуюпару), их сына, его жены и их 3 детей (внуков родителейсына первого сына и двух дочерей).

3. Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 монет. Онразложил их на кучки по 4 монетки так, что денег в каждойкучке стало поровну. Тут он заметил, что набор монет разный.Сколько денег было в копилке?(2,2,3,3;13,3,3;1,1,3,5;1,2,2,5 =40).

4. В равенстве 101-102=1 передвиньте одну цифру так, чтбы оностало верным.(101-102 =1).

5. Семь девяток выписали подряд 9999999. Поставьте между не-которыми их них «+» или «-» так, чтобы получившееся выра-жение равнялось 1989. (999+999-9=1989).

6. Изготовляя конфетти, Вася разрезал лист бумаги на 4 части,некотрые из полученных кусков он снова разрезал на 4 части ит.д Может ли в некоторый момент оказаться 1989 кусков?(Нет. Действительно,при каждой операции количество кус-ков увеличивается на 3, поэтому общее число кусков при

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИКРЕАТИВНАЯ МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для учителей математики




39

делении на 3 дает в остатке 1. Число же 1989 делится на 3).7. На какую цифру оканчивается число 1989 в степени 1989?

(на 9).8. На складе имеются гвозди в ящиках по 24 кг, 23 кг, 17 кг, 16 кг.

Количество ящиков неограничено. Помогите кладовщику от-пустить со склада ровно 100 кг гвоздей. Не распечатывая ящи-ки. Ящик с весов снимать нельзя.(17+17+17+17+16+16=100).

9. Буквы заменить цифрами, МА=ТЕ=МА=ТИ=КА, чтобы соблю-дался знак равно.(2х1=8-6=2/1=8/4=3-1)

10. На двух руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?(50)

11. Даны цифры, нужно убрать знак «+» так, чтобы в результатеполучилось 100.( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 0 0 . ( 1 + 2 + 3 4 + 5 6 + 7 ;1+23+4+5+67=100)

12. К числу 1989 припишите по цифре слева и справа так, чтобыполученное шестизначное число делилось на 88.(819896)

13. Найдите такие два числа, что при умножени первого на 2 получит-ся квадрат второго, а при умножении первого на 3 – куб второго.(9/8 и 3/2)

14. При умножении 4 на четырехзначное число, все цифры кото-рого различны, получается число, записываемое теми же циф-рами, но в обратном порядке. Какое это число?(2178х4=8712).

15. Решите выражение 7-1+2 х 3+8:4+5=?(19)

16. Три клоуна Бим, Бом, Бам и вышли на арену в красной, зеле-ной и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. УБима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, нирубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях и врубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?(Бим – красная рубашка, красные туфли; Бом – зеленая ру-

башка, синие туфли; Бам – синяя рубашка, зеленые туфли).

Логические задачи




40

17. В квадратики запишите цвета так, чтобы зеленый был в сере-дине, а красные по краям.

18. Как-то раз знаменитый индийский математик Рамануджан ехалв автомобиле со своим английским другом математиком Харди.– Вы говорите, что не бывает незамечательных чисел, – ска-зал Харди. – А вот номер моей машины 1729, – ничем не заме-чательное число.– Что Вы, – воскликнул Рамануджан, – это же наименьшее число,которое представляется в виде суммы кубов двух натуральных чи-сел двумя различными способами. Найдите оба эти представления.





41

(1729=13 +123 = 93+ 103).19. В салоне самолета было 42 пассажира, Некоторые из них были

москвичи. Остальные иногородние. Среди москвичей было 9мужчин. Некоторые из пассажиров были артистами, но ни однаиз иногородних женщин артисткой не была.Всего иногороднихмужчин было 18, из них13 не были артистами. Среди пассажи-ров, не являвшихся артистами было 16 мужчин и 11 женщин. 5москвичей не были артистами. Сколько всего было артистов всамолете? (15)

20. Решите арифметический ребус:ХYZT+ XYZ

XY X

1 9 8 9(1792

+ 17917

11 9 8 9

Логические задачи




42

1. Профессор ложится в 8 часов, а встает в 9 часов. Сколько спитпрофессор? (1 час)

2. Вы капитан, на вашем судне 2 пассажира, каждому по 25 лет.Сколько лет капитану? (сколько лет тебе)

3. Отец и сын попали в катастрофу, отец умер, сын попал в боль-ницу. Входит хирург и говорит: «Это мой сын». Кто хирург?(мать)

4. Сколько грецких орехов в пустом стакане? (0).5. Есть 7 ноября в Греции? (есть)6. Четверо хоронили брата. У погибшего братьев нет. Кто его

хоронил? (сестры)7. Палку разрезали на 12 частей. Сколько разрезов? (11)8. На двух руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)9. Врач сделал 3 укола с перерывами по 30 минут. Сколько време-

ни он затратил? (1 час)10. Каждый месяц оканчивается на 30 и 31. В каком месяце есть

число 28? (в каждом)11. Человек зашел в темную комнату. На столе стоит свеча и

лампа, что нужно зажечь в первую очередь? (спичку)12. У пастуха 10 овец. Все кроме 10 умерли. Сколько овец оста-

лось? (10)13. Ночной сторож умер. Будут ли платить пенсию? (нет)14. Синий платок бросили в черное море. Каким он будет? (мок-

рым)15. Может ли страус назвать себя птицей? (нет)16. На российской границе петух снес яйцо. Какой стране оно бу-

дет принадлежать? (петух не несется)17. Может ли муж жениться на сестре своей вдовы? (нет)18. Почему в поезде стоп-кран красный, а в самолете синий? (в

самолете нет)19. Кода коня покупаешь, каким он становится? (мокрым)20. От чего плавают гуси? (от берега)

ЗАДАЧИ(тезисы)





43

1. Электропоезд длиной 18 метров проезжает мимо километро-вого столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится,чтобы проехать мост длиной 36 м?

2. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника. Влажностькоторого 99%. За время хранения на базе влажность уменьши-лась на 1%. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе?

3. Города А и В расположены на реке на росстоянии 10 км другот друга. В каком случае теплоходу потребуется больше вре-мени: проплыть от А до В и обратно или проплыть 20 км поозеру?

4. Цену на товар уменьшили на 10%, а затем ещё на 10%. Ста-нет ли он дешевле, если его цену сразу снизить на 20%?

5. В пятиугольнике четыре стороны имеют одинаковую длину, апятая отличается на 2,5 см. Какую длину имеет каждая сторо-на, если его периметр 8 см?

6. Разность квадратов двух натуральных двузначных чисел, запи-санных с помощью цифр m и n взятых в обратном порядке,равна 792. Найдите сумму этих чисел.

7. Гриша работал за станком 3 часа, а Толя работал 4 часа. Вме-сте они сделали 44 детали. Сколько деталей сделал каждый ихних, если за 1 час работы они вместе сделали 13 деталей?

8. Настя и мама приготовили 110 пельменей, причем Настя рабо-тала 2 часа, а мама 3 часа. Сколько всего пельменей сделалаНастя и сколько мама, если вместе за 1 час они делали 43 пель-меня?

9. Некоторое двузначное число на 18 больше суммы его цифр, аквадрат этого числа на 680 больше квадрата его второй циф-ры. Найдите квадрат этого числа.

10. 25% суммы чисел a и b равны 125% разности чисел a и b.Найдите сумму чисел a и b, если разность между утроеннымчислом а и половиной числа b равна 32.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИТекстовые задачи




44

ЗАДАЧИС ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

1. Расположите на плоскости 14 точек и соедините их непересе-кающимися прямыми так, чтобы из каждой точки выходилоровно четыре отрезка.

2. На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, онизаняли отрезки длиной а. На другой прямой через такие же про-межутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длиной в. Восколько раз а меньше в?

3. Как разрезать треугольник на три такие части, из которых можносложить прямоугольник?

4. Как разрезать квадрат на пять прямоугольников так, чтобыникакие два из них не имели общей стороны?

5. Разрежьте прямоугольник 3х9 на восемь квадратов?6. Точки А,В,С и Д лежат на окружности. Найдите точку Е, та-

кую, чтобы сумма расстояний от нее до А,В,С и Д точек быланаименьшей.

7. Дан прямоугольник. Вдоль какой прямой его надо разрезать так,чтобы из двух получившихся частей можно было сложить ромб?Постройте эту прямую с помощью циркуля и линейки.

8. Расположите десять точек на пяти отрезках так, чтобы на каж-дом отрезке было по четыре точки.

9. Король хочет построить шесть крепостей и соединить каждыедве из них дорогой. Начертите такую схему расположения кре-постей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка и накаждой из них пересекались только две дороги.

10. Проведите две прямые так, чтобы на двух отрезках оказа-лось по три точки.





45

Число 33ллион, 3о, 3тон, 3ллер, 3умфатор, 3буна, 3бунал, 3ко, 3котаж,

авс3я, с3ж, ви3на, быс3на, 3сто, 3гонометрия, па3от, 3льяж, 3ко-лор...

Число 100100лб, водо100к, до100чка, ли100к, ку100ок, ки100чка, ко100ч-

ка, тро100чка, мо100к, и100пник, ше100к, 100ронник, ре100ран,пре100л, про100й,мо100вая, про100филя, 100па, 100янка, До100ев-ский, ба100вать, по100ялец, переро100к, о100лбенеть, же100кость,и100щенный, бе100лочь, на100йчивый, во100рг, 100л, сви100к, пи-100лет, за100лье, 100лица, и100рия, на100йка, 100рож, 100пор,100ять, 100г и т.д.

Построение рисунков на координатной плоскости.Постройте фигуру, рисунок на координатной плоскости, после-

довательно соединив точки:

СЛОВА,СОСТОЯЩИЕ ИЗ НАЗВАНИЯ ЧИСЕЛ

Слова, состоящие из названия чисел




46

Уточка. Автор фигуры Субботина Марина, ученица 7 класса(3; 0); (1; 2); (-1;2); (3;5); (1;7); (-3;6); (-5;7); (-3;4); (-6;3); (-3;3);(-5;2); (-5;-2); (-2;-3); (-4;-4); (1;-4); (3;-3); (6;1); (3;0) глаз (-1;5).

Белочка. Автор фигуры Клепивова Мария, ученица 6 класса(0; 5); (-2; 7); (-2;8); (0;10); (1;12); (2;10); (3;12); (4;10); (5;8);(4;5); (5;0); (5;6); (9;10); (11;10); (13;8); (13;5); (12;4); (11;4); (10;5); (9; 4); (9;-3); (4;-7); (-4;-7); (-4;-6); (-2;-5); (-3;-4); (-3;-3); (-1;-1);(0;-1); (-1;1); (-3;1); (-4;0); (-5;0); (-5;-1); (-4;3); (-1;3); (0;5)

Шишка: Автор фигуры Толстых Сергей, ученик 7 класса(-2; 3); (-3;4); (-4;4); (-5;3); (-5;1); (-4,3); (-2;3); (-4;0); (-3;1); (-1;1); (-1;0); (-2;1); (-3;-1); (-4;0); Глаз: (1;8).

Звезда. Автор фигуры Друшлякова Настя, ученица 6 классаА ( 0; 3 ), В ( -1; 1), С (-3; 1), D (-1; 0), Е ( -2; -2), F (0; -1), G (2;-2), К ( 1;0 ), L (3; 1), М (1; 1 ), А ( 0; 3).

Бабочка. Автор фигуры Яковлева Валя, ученица 6 класса(6;0),(0,5;5,5), (0,5;4,5), (2;5), (3;6), (6;8), (9;9,5), (11,10), (13;9,5),(15;8,5), (14,5;7), (11;2), (9;0,5), (7;-1),(6;-0,5), (5;-1), (4;-4), (3;-5), (2,5;-6,5), (1;-8), (0,5;-11), (0;-12), (-0,5;11), (-0,5;-9), (-1;-8,5), (-2;-8,5),(-1,5;-7,5), (-3;-6), (-2,5;-4), (-2;-3), (-1,5;-2), (-1;-1), (-2;-2), (-3,5;-3,5), (-4;-2), (-5;-4), (-6;-5,5), (-7,5;-6),(-8;-7), (-8,5;-6), (-9,5;-5,5), (-10,5;-5,5), (-12;-7), (-14;-8), (-12,5;-6), (-11,5;4), (-12;3), (-12;1), (-10;3),(-11;3), (-11,5;5), (-14;7), (-14,5;11), (-15;13), (-14;14), (-13;14,5),(-10;14), (-9;13),-6;11), (-3;7), (-1,5;4,5).(6;0), (-0,5;5,5), (-1,5;4,5), (-2;3), (-2;1), (-3;0), (-4,5;-1), (-4;-2).(-1;-1), (-1;1), (0;2,5), (0,5;4,5).(6,0), (1;7), (2,5;8,5), (3,5;9,5), (4,5;9).(6;0), (-0,5;7), (-1;8,5), (-2;10), (-3,5;11,5)

ПОСТРОЕНИЕ РИСУНКОВНА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ





47

Собака. Автор фигуры Анисимов Вова, ученик7 класса(14;-3), (12;-3), (8,5;-2), (4;3), (2;4), (1;5), (1;8), (-2;5), (-3;5), (-6;3), (-7;1), (-11;-1), (-10;-3),(-6;-4), (-2;-4), (-1;-3), (1;-5), (1;-8), (-2;-10), (-11;-10), (-13;-11), (-13;-13), (4;-13), (5;-12), (9;-12), (14;-10), (10;-10), (9;-11), (9;-13),(14;-13)

Лебедь.(2;12), (2;13), (3;13,5), (4;13,5), (5;13), (3;4), (8;4), (6;1), (3;1), (2;2),(2;4), (4;11), (4;12,5), (3,5;12,5), (2;11), (2;12), (3;12), и (3;3), (4;2),(6;2), и (2,5;12,5).

Снегирь.(5;-2), (0;3), (-1;3), (-1,5;2,5), (-1;2), (-1;0), (0;-1), (2;-1,5), (3,5;-1,5), (5;-2)

Лиса.(7,5;5), (-4;7), (-3;7), (-3;9), (1;1), (3;0), (5;-0,5), (7;-4), (7;-8), (10;-5), (13;-3), (17;-2), (19;-2), (17;-3), (14;-7), (7;-9), (6;-10), (2;-10),(2;-9), (5;-9), (3;-8), (1,5;-6), (0,5;-3),(0,5;-10),(-2,5;10),(-2,5;-9), (-1;-9), (-1;-3), (-3;-10), (-6;-10), (-6;-9), (-4,5;-9), (-3;-4),(-3;0,5), (-4;3), (-5;3), (-7,5;4), (-7,5;5)

Медведь.(4;-4), (4;-6), (8,5;-7,5), (9;-7), (9;-6), (9,5;-5), (9,5;-3,5), (10;-3), (9,5;-2,5), (4;5), (3;6), (2;6), (0;5),(-3;5), (-7;3), (-9;-1), (-8;-5), (-8;-7), (-4,5;-8), (-4,5;-7), (-5;-6,5), (-5;-6), (-4,5;-5), (-4;-5), (-4;-7), (-1;-7),(-1;-6), (-2;-6), (-1;-4), (1;-8), (3;-8), (3;-7), (2;-7), (2;-6), (3;-5), (3;-6), (5;-7),(7;-7), ухо (6;-4), (6;-3), (7;-2,5), (7,5;-3), глаз (8;-6)

Ракета(-3;-13),(-6;-13), (-3;-5), (-3;6), (0;10), (3;6), (3;-5), (6;-13), (3;-13),

(3;-8), (1;-8), (2;-13),(-2;-13), (-1;-8) (-3;-8), (-3;-13).

Построение рисунков на координатной плоскости




48

Самолет(-7;0), (-5;2), (7;2), (9;5), (10;5), (10;1), (9;0), (-7;0),(0;2), (5;6), (7;6),(4;2), (0;1), (6;-3), (8;-3), (4;1), (0;1).

Собака(-7;4,5), (-8;5), (-10,5;3,5), (-10;3), (-7;4,5), (-5;5,5), (-5,5;8), (-5;8),(-4,5;6), (-4;6), (-3;8),(-2,5;8), (-3;6), (-2,5;5,5), (-3;4,5), (-2;2), (0;1), (4,5;0), (7;4), (8;4),(5,5;0), (6;-5), (4,5;-6),(4;-5), (4,5;-4,5), (4;-4), (3,5;-3), (4;-4), (3;-6), (-1,5;-6), (1,5;-5,5),(2,5;-5), (2,5;-4,5), (3,5;-3,5), (2,5;-4,5), (2;-5), (2;-4), (1;-5), (1;-4,5),(0;-5), (0;-6), (-2;-6), (-1,5;-5), (-1;-5), (-1;-4,5),(-2;-4,5), (-2,5;-6), (-4;-5), (-3,5;-2,5), (-3;-2,5), (-3,5;-4), (-4;-1), (-4,5;0,5), (-4,5;1), (-5,5;0),(-6;0,5), (-6,5;-1), (-8;0), (-9;-1), (-10;3), глаз: (-5,5;3,5), (-5,5;4,5),(-4,5;4,5), (-4,5;3,5),(-5,5;3,5).

Дельфин(-7;-2), (-3;4), (-1;4), (2;7), (2;4), (5;4), (9;-5), (10;-9), (8;-8), (5;-10), (7;-5), (3;-2), (-7;-2).ласт (0;0), (0;2),(2;1), (3;0), (0;0) и глаз (-4;0), (-4;1), (-3;1), (-3;0),(-4;0).

Голубь. Автор фигуры Архипов Саша, ученик 6 класса(-4;8), (-5;7), (-5;6), (-6;5), (-5;5), (-5;4), (-7;0), (-5;-5), (-1;-7), (3;-7), (9;-2), (13;-2), (14;-1), (6;1),(8;4), (15;7), (3;8), (2;7), (0;3), (-1;3), (-2;4), (-1;6), (-2;8), (-4;8) и глаз (-3,5; 6,5)

Воробей.(-6;1), (-5;-2), (-9;-7), (-9;-8), (-5;-8), (-1;-5), (3;-4), (5;-1), (8;1),(9;3), (2;2), (4;6), (3;11), (2;11),(-2;6), (-2;2), (-4;4), (-5;4), (-6;3), (-6;2), (-7;2), (-6;1)





49

Петух( 1,5;5.5), ( 2,5;3,5), (2; 3), (2,5; 3), (3; 3,5), (3;4,5), (2,5;5,5), (3,5;6),(2,5;6,5), (3;7), (2,5;7), (2,5;7), (2;7)(2;8), (1,5;7), (1,5;8,5), (1;7),(1;6,5), (0,5;6), (0,5;5), (-0,5;4), (-2,5;3), (-4,5;4),(-5;5), (-4,5;6), (-5,5;8), (-6,5;8,5), (-7,5;8), (-8,5;7), (-9;6), (-9;4), (-8,5;2,5), (-8,5;1), (-8;0),(-8;1), (-7,5;0,5), (-7,5;2), (-7;0,5), (-6,5;1,5), (-5,5;0,5), (-4,5;0), (-3,5;-2,5), (-3;-3), (-3;-5,5),(-4;-5,5), (-3;-6), (-2;-6), (-2,5;-5,5), (-2,5;-4), (0;-1), (0;-0,5), (1;0),(2,5;1,5), (2,5;2,5), (2;3) и(-0,5;3), (-0,5;2,5), (-1,5;1), (-2,5;1), (-5;2,5), (-4,5;3), (-5;3,5), (-4,5;3,5)и (1,5;6,5)

Ласточка.(-5; 4), (-7; 4), (-9; 6), (-11; 6), (-12; 5), (-14; 5), (-12; 4), (-14; 3), (-12; 3), (-11; 2), (-10; 2),(-9; 1), (-9; 0), (-8; -2), (0; -3), (3; -2), (17; -2), (4; 0), (17; 4), (4; 2),(2; 3), (6; 9), (10; 11), (3; 11), (1; 10), (-5; 4), глаз (-10,5; 4,5).

Ёжик.(2;-1), (3,5;0,5), (4;-1), (5;0), (4;2), (2;1), (2;3), (4;5), (4;6), (2;5),(1;7), (1;8), (0;7), (0;9), (-1;7),(-2;8),(-2;7), (-3;7), (-2;6), (-4;6), (-3;5), (-4;5), (-3;4), (-5;4), (-4;3),(-5;3), (-4;2), (-6;2), (-5;1),(-6;1), (-5;0),(-6;0), (-5;-1), (-6;-2), (-4;-2), (-5;-3), (-3;-4), (-4;-5), (-2;-5), (-1;-6), (3;-6), (3;-5),(1;-5), (1;-4), (2;-3), (2;-1)

Кошечка. Автор фигуры Оленников Данил, ученик 7 класса(-2;-7), (-4;-7), (-3;-5), (-7;-1), (-7;-2), (-8;3), (-8;5), (-7;6), (-6;5), (-5;5), (-4;6), (-3;5), (-3;3), (-4;2), (-3;1), (-1;3), (1;3), (4;1), (4;2), (3;6),(4;7), (5;7), (6;6), (5;1), (5;-5), (6;-6), (5;-7), (3;-7), (4;-5), (2;-3),(2;-2), (1;-1), (-1;-1),(-2;-2),(-1;-6), (-2;-7). Усы 1) (-9;5), (-5;3), (-2;2). 2) (-2;3), (-8;3), 3) (-9;2), (-5;3), (-1;5) глаза (-6;4) и (-4;4).





50

Жираф. Автор фигуры Селина Наташа, ученица 8 класса(-2;-14), (-3;-14), (-3,5;-10), (-3,5;0), (-4;2), (-7;16,5), (-8;16,5), (-11;17), (-11;17,5), (-9;18),(-7,5;19), (-6,5;20), (-6;19,5), (-6;19), (-5;18), (-4;13,5), (0;5), (6;3),(8;0), (6;2), (7;0), (8;-5),(9,5;-14), (8,5;-14), (7,5;-8,5), (4,5;-3,5), (0,5;-3,5), (-1;-5,5), (-1,5;-9), (-2;-14), глаз: (-8;20).

Слон. Автор фигуры Логунов Алексей, ученик 8 класса(-6;-1), (-5;-4), (-2;-6), (-1;-4), (0;-5), (1;-5), (3;-7), (2;-8), (0;-8),(0;-9), (3;-9), (4;-8), (4;-4),(5;-6), (8;-4), (8;0), (6;2), (4;1), (0;1), (-2;2), (-6;-1), (-10;-2), (-13;-4), (-14;-7), (-16;-9),(-13;-7), (-12;-10), (-13;-14), (-10;-14), (-10;-13), (-9;-13), (-10;-9),(-5;-9), (-5;-15), (-2;-15),(-2;-13), (-2;-10), (-1;-10), (-1;-11), (-2;-13), (0;-15), (2;-11). (2;-9) иглаза (0;-2) и (4;-2).

Верблюд. Автор фигуры Новикова Вера, ученица 6 класса(-10; -2), (-11; -3), (-10,5; -5), (-11; -7), (-12; -10), (-11; -13), (-13; -13), (-13,5; -7,5), (-13; -7),(-12,5; -5), (-13; -3), (-14; -1), (-14; 4), (-15; -6), (-15; -3), (-14; 2), (-11; 4), (-10; 8), (-8; 9),(-6; 8), (-5; 5), (-3;8),(-1;9), (0;8), (0,5;6), (0,5;4), (3;2,5), (4;3), (5;4),(6;6), (8;7), (9,5;7), (10;6), (11,5;5,5), (12;5), (12;4,5), (11;5), (12;4),(11;4), (10;3,5), (10,5;1,5), (10;0), (6;-3),(2;-5), (1,5;-7), (1,5;-11), (2,5;-13), (1;-13), (0;-5), (-0,5;-11), (0;-13),(-1,5;-13), (-1,5;-7),(-2;-5), (-3;-4), (-5;-4,5), (-7;4,5), (-9;-5), (-10;-6), (-9;-12), (-8,5;-13), (-10,5;-13), (-10;-9,5),(-11;-7), глаз (8,5;5,5)

Орёл. Автор фигуры Шуклин Артем, ученик 7 класса(0,5;5), (-0,5;6), (-1;7), (-1,2;9), (-2;11), (-2;13), (-1;16,5), (-3;14),(-2;17), (-1;19), (-1;20),





51

(-3;17), (-3;18), (-2;21), (-4;18), (-4;20), (-5,5;17,5), (-5;19), (-6;18),(-7;10), (-6,5;7), (-6;5),(-5;3), (-4;1), (-3;0,5), (-4;-2), (-6;-5), (-5;-5), (-7;-8), (-9;-11), (-7;-10), (-7,5;-13), (-6;-11),(-6;-13), (-5;-11), (-5;-12), (-3;-7), (-3;-9), (-4;-10), (-3,5;-10,2), (-4;-11), (-2;-9), (-2;-9,2),(-1;-9), (-2,3;-10,2), (-1,8;-10,3), (-2;-11,5), (-1;-11), (-0,5;-9), (-1;-7), (0;-6), (1;-4), (3;-4), (5;-4,4), (6;-5) глаз: (5;-3,5)

Страус. Автор фигуры Ермилова Катя, ученица 6 класса(0;0), (-3;-1), (-4;-4), (-4;-8), (-6;-10), (-6;-8,5), (-5;-7), (-5;-1), (-3;1), (-1;2), (-2;3), (-3;5),(-5;3), (-5;5), (-7;3), (-7;5), (-9;2), (-9;5), (-6;8), (-4;8), (-3;6), (-1;7),(1;7), (0;9), (-3;8), (0;10),(-3;10), (0,12), (-3;12), (-1;13), (2;13), (0;15), (2;15), (4;14), (6;12),(5;10), (4;9), (3;7), (7;5), (9;8), (9;11), (7;14), (7;16), (9;17), (10;17),(11;16), (14;15), (10;15), (14;14), (11;14), (10;13), (11;11), (11;8),(10;5), (8;2), (7;1), (4;0), (2;-2), (3;-4), (4;-5), (6;-6), (8;-8), (9;-10),(7,5;-9), (7;-8), (6;-7), (2;-5), (1;-3), (0;0), глаз (9,5;16)

Лошадка. Автор фигуры Железнов Евгений, ученик 8 класса( - 7 ; 3 ) , ( - 7 ; 7 ) , ( - 6 ; 8 ) , ( - 6 ; 9 ) , ( - 5 ; 8 ) , ( - 4 ; 9 ) , ( - 4 ; 8 ) , ( -2;3),(6;3),(7;4),(8;4),(10;1),(10;-2),(9;-2),(9;0),(7;1),(7;0), (6;-4),(6;-8),(4;-8),(5;-7),(5;-4),(5;-2),(5;0),(5;-2),(4;-4),(5;-6),(4;-7),(3;-4),(4;-1),(3;0),(0;0),(-1;-4),(-1;-8) (-3;-8),(-2;-7),(-2;0),(-2;-2),(-4;-4),(-3;-6),(-4;-7),(-5;-4),(-3;-1),(-4;1),(-5;5),(-6;3),(-7;3). (-6;6)

Рыба(3;3) (0;3) (-3;2) (-5;2) (-7;4) (-8;3) (-7;1) (-8;-1) (-7;-2) (-5;0) (-1;-2) (0;-4) (2;-4) (3;-2) (5;-2) (7; 0) (5;2) (3;3) (2;4) (-3;4) (-4;2) глаз(5;0)





52

Цветок. Автор фигуры Ткач Ира, ученица 7 класса(-1,-4), (-1,-7), (0,-8), (0,-3), (4,1), (5,4), (2,2), (0,-2), (0,5), (2,6),(3,8), (2,10), (3,11), (2,13), (1,12), (1,11), (0,12), (0,13), (-1,12), (-2,14),(-2,12), (-3,13), (-4,11), (-3,10), (-4,8), (-3,6), (-1,5), (-1,-3), (-2,0), (-5,3),(-4,-1), (-1,-4).

Бобр. Автор фигуры Узун Мария, ученица 7 класса(-12.0,-1.0), (-9.5,1.5), (-8.5,2.0), (-7.0,2.0), (-6.0,1.5), (-5.0,2.5), (-4.5,3.5),(-3.5,4.5), (-1.5,5.0), (1.0,5.0), (3.0,4.0), (5.5,2.5), (6.5,1.5), (8.0,-1.0),(12.5,-1.0), (15.5,-2.0), (15.5,-3.0), (13.0,-3.5), (6.5,-3.5), (5.5,-4.5),(3.5,-5.5),(1.0,-5.5), (0.5,-5.0), (0.5,-4.5), (1.0,-4.0), (-2.5,-4.0), (-3.0,-5.0), (-4.0,-5.5),(-7.0,-5.5), (-8.0,-5.0), (-8.0,-4.5), (-6.5,-4.0), (-8.0,-3.0), (-10.0,-2.0),(-11.0,-2.0),(-12.0,-1.5), (-12.0,-1.0).Глаз (-9.5,-0.5).

Тетерев. Автор фигуры Селина Наташа, ученица 8 класса(12;2),(9;9),(10;9),(8;12),(6;12),(4;10),(4;7),(2;5),(-1;6),(-4;12),(-5;11),(-5;9),(-6;13), (-6;9),(-7;12),(-8;13),(-9;13),(-8;9),(-9;11),(-9;9),(-10;10),(-11;8),(-12;8),(-11;6),(-13;7), (-13;6),(-12;5),(-13;4),(-13;3),(-11;3),(-12;1),(-7;1),(-11;0),(-9;-1),(-12;-2),(-7;-5),(-8;-8), (-7;-9),(-4;-7),(-5;-9),(-1;-7),(1;-8),(3;-8),(3;-9),(4;-10),(3;-11),(7;-11),(5;-10),(5;-9), (6;-8),(9;-7),(12;-2),(12;2).Глаз (7;10).





53

Урок можно начать:Добрый день! Добрый час!Как я рада видеть вас.Прозвенел уже звонокНачинается урок.Улыбнулись. Подравнялись.Друг на друга погляделиИ тихонько дружно сели.

Среди наук из всех главнейшихВажнейшая всего одна.Учите алгебру, она глава наукам,Для жизни очень всем нужна.

Когда достигнешь ты науки высоты,Познаешь цену знаниям своим,Поймешь, что алгебры красоты,Для жизни будут кладом неплохим.

Во всем мне хочется дойтиДо самой сути.В работе, в поисках пути,В сердечной смуте.До сущности истекших днейДо их причины,До оснований, до корней,До сердцевиныВсё время схватывая нитьСудеб, событий,Жить, думать, чувствовать, любитьСвершать открытья

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ МОМЕНТЫОрганизационные моменты




54

Мы будем учиться, работать с охотойИ ничего не попросим взамен.Как хорошо, что есть на светеДве дружных команды:Учащихся и учителей!

Приветствие учеников.Проверь-ка, дружок,Ты готов начать урок?Все ль на месте,Все в порядке,Ручка, книжка и тетрадка?Все ли правильно сидят?Все ль внимательно глядят?

Девиз урока:Кроет уж лист золотойВлажную землю в лесу…Смело топчу я ногойВешнюю леса красоту,С холода щёки горят:Любо в лесу мне бежать,Слышать, как сучья трещат,Листья ногой загребать!

(А. Майков)

«Через математические знания, полученные в школе, лежитширокая дорога к огромным, почти необозримым областям тру-да и открытий».

(А. Маркушевич)

“О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”.А были ли открытия в вашей жизни?Что значат слова “Я сделал открытие”?Если человек своим трудолюбием, упорством достигает исти-

ны в чем-либо, то это и есть его открытие.





55

Школьные занятия, сочетающие в себе психическую, стати-ческую, динамическую нагрузки на организм ребенка, требуютпроведения на уроках физкультурных минуток для снятия локаль-ного утомления и повышения работоспособности учеников.

Основные задачи физкультминутки:1) снять усталость и напряжение;2) внести эмоциональный заряд;3) совершенствовать общую моторику;4) выработать четкие координированные действия во взаимосвя-

зи с речью;5) тренировка скоростных навыков выполнения мыслительных

операций.

Физкультурная минутка представляет собой небольшой комп-лекс из 3-4 упражнений, не требующих сложной координации дви-жений, предназначенных для развития мышц туловища и шеи, рук,головы, глаз. По времени эти упражнения занимают около 2 ми-нут. Комплексы подбираются в зависимости от содержания учеб-ной нагрузки на данном уроке.

Рассмотрим несколько вариантов проведения физкультмину-ток, применяемых мною на уроках математики: от стандартныхкомплексов до сюжетных и в сочетании с интеллектуальнымизаданиями...

1. Упражнения для головы, шейного и грудного отделовпозвоночника «Имитации».

Цель: снять утомление у ребенка, обеспечить активный от-дых и повысить умственную работоспособность учащихся.

Для проведения физкультминутки используются упражнения дляголовы, шейного и грудного отделов позвоночника:

ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ.ФИЗКУЛЬТМИНУТКИ НА УРОКАХ

МАТЕМАТИКИ

Физкультминутки на уроках математики




56

Упражнения:1) «Черепаха»: наклоны головы вперед-назад.2) «Маятник»: наклоны головы вправо-влево.3) «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, прохо-

дящей через нос и затылок.4) «Сова»: поворот головы вправо-влево.5) «Ёжик нахмурился» (плечи вперёд, подбородок к груди) ? «Ёжик

весёлый» (плечи назад, голову назад).6) «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение

рук.7) «Тянемся – потянемся»: руки вверх, вытягиваем позвоночник.

2. Упражнение для рук1) «Волна»: пальцы сцеплены в замок, поочередно открывая и зак-

рывая ладони, учащиеся имитируют движения волн.2) «Встреча с братом»: поочередно касаемся подушечками 2-5

пальцев руки с большим пальцем.3) «Кулачки»: сжимаем и разжимаем кулачки.

3. Упражнения для ногЦель: профилактика застоя крови в нижних конечностях (це-

лесообразна после длительной работы в положении сидя и стоя).

1) «С носка на пятку»: попеременно становимся на носки, затемна пятки (в положении сидя или стоя).

2) «Шаги (степ)»: ходьба на месте, не отрывая носков от пола.3) «Коленками рисуем круг»: прижимаем колени плотно друг к

другу, ладони рук помещаем на колени и вращаем ими, делаякруги сначала в одну сторону, затем в другую.

4) Приседание.

4. Комплекс упражнений для улучшения мозгового кро-вообращенияа) Исходное положение – сидя на стуле.

1-голову наклонить вправо; 2-исходное положение; 3-голову на-клонить влево; 4-исходное положение; 5-голову наклонить впе-





57

рёд, плечи не поднимать; 6-исходное положение. Повторить 3-4 раза. Темп медленный.

б) Исходное положение – стоя, руки на поясе.1-поворот головы направо; 2-исходное положение; 3-поворот го-ловы налево; 4-исходное положение. Повторить 4-5 раз. Темпмедленный.

5. Комплекс упражнений для снятия утомления с пле-чевого пояса и рук.а) Исходное положение – стоя, руки на поясе. 1-правую руку вперёд, левую вверх; 2-переменить положение

рук. Повторить 3-4 раза. Затем расслабленно опустить вниз ипотрясти кистями, голову наклонить вперёд. Затем повторитьещё 3-4 раза. Темп средний.

б) Исходное положение – сидя или стоя. Кисти тыльной сторонойна поясе.1-2 – свести локти вперёд, голову наклонить вперёд; 3-4 – лок-ти назад, прогнуться. Повторить 5-6 раз. Затем руки вниз ипотрясти ими расслабленно. Темп медленный.

в) Исходное положение – сидя, руки вверх.1-сжать кисти в кулак; 2-разжать кисти. Повторить 6-8 раз.Затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями.Темп средний.

6. Комплекс упражнений для снятия напряжения с мышцтуловищаа) Исходное положение – стойка, ноги врозь, руки за голову.

1-5-круговые движения тазом в одну сторону; 4-6-круговые дви-жения тазом в другую сторону; 7-8 – руки вниз и расслабленнопотрясти кистями. Повторить 4-6 раз. Темп средний.

б) Исходное положение – стойка, ноги врозь.1-2-наклон в сторону, правая рука скользит вдоль ноги вниз,левая, согнутая, вдоль тела вверх; 3-4 – исходное положение;5-8-то же в другую сторону.Повторить 5-6 раз. Темп средний.





58

7. Математическая гимнастика для глаз (варианты про-ведения физминуток для глаз на уроках математики

90 % всей информации об окружающем мире человек получа-ет с помощью органов зрения. Нагрузка на глаза у современногоребенка огромная, а отдыхают они только во время сна. Гимнас-тика полезна всем, а детям особенно, для профилактики наруше-ний зрения.

7.1. Упражнения для глаз с использованием геометричес-ких фигур, расположенных на стене классной комнаты.

Цель: расширение зрительной активности, снятие утомленияна уроке.

На листе ватмана изображаются различные цветные фигуры(квадрат, круг, ромб и.т.д.), вырезаются и размещаются на стенев кабинете.

Во время физминутки дается задание последовательно пере-мещать взгляд с одной фигуры на другую (самостоятельно) илипо названию фигуры (цвета) учителем. Упражнение можно вы-полнять сидя и стоя.

7.2. Упражнения: «8», «знак бесконечности», «геомет-рическая зарядка».

Цель: снятие зрительного напряжения.Задание 1: нарисуйте движениями глаз на доске цифру 8.Задание 2: нарисуйте движениями глаз на доске знак беско-

нечности .8

Данное упражнение можно разнообразить в виде стихотворнойинструкции:

Нарисуй глазами треугольник.Теперь его переверни вершиной вниз.И вновь глазами ты по периметру веди.Рисуй восьмерку вертикально.Ты головою не крути,А лишь глазами осторожно





59

Ты вдоль по линиям води.И на бочок ее клади.Теперь следи горизонтально,И в центре ты остановись.Зажмурься крепко, не ленись.Глаза открываем мы, наконец.Зарядка окончилась. Ты – молодец!

7.3. Упражнение «Цифровые таблицы».Цель: развитие психического темпа восприятия, в частности

скорости зрительных ориентировочно-поисковых движений.

Таблица представляет собой разграфленный на несколько яче-ек квадрат с вписанными в ячейки в беспорядке числами от 1 доn (max 25). При работе с ними надо, концентрируя взгляд в центретаблицы, видеть ее всю целиком и найти все видимые цифры попорядку нарастания счета.

7.4. Комплекс упражнений для глаз:1) вертикальные движения глаз вверх-вниз;2) горизонтальные вправо-влево;3) вращение глазами по часовой стрелке и против;4) закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги (Каж-

дый охотник желает знать, где сидит фазан»).





60

Маленький – большойБлизка учащимся по смыслу, так как отображает «мини - лен-

ту времени» их жизни.Сначала буду маленьким, (приседают на корточки)К коленочкам прижмусь. (обнимают руками колени)Потом вырасту большой (встают на носочки)До люстры дотянусь. (вытягивают руки вверх)

Буги-вугиРуку правую вперёд,А потом её назад.А потом опять вперёдИ немного потрясём.Мы танцуем «Буги-вуги»,Поворачиваясь в круге,И в ладоши хлопаем вот так:Хлоп-хлоп!

(Аналогичные движения совершаются левой рукой и обеиминогами.)

Зарядка.Может выполняться детьми самостоятельно.Дежурные показывают движения у доски, остальные — по-

вторяют.А теперь, ребята, встали.Быстро руки вверх подняли,В стороны, вперёд, назад.Повернулись вправо, влево,Тихо сели, вновь за дело.

Поза покояСесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно

положить на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покояпроизносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФИЗКУЛЬТМИНУТКИКРЕАТИВНАЯ МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для учителей математики




61

Все умеют танцевать,Прыгать, бегать, рисовать,Но пока не все умеютРасслабляться, отдыхать.Есть у нас игра такая –Очень лёгкая, простая,Замедляется движенье,Исчезает напряжение…И становится понятно –Расслабление приятно!

Быстро встали, улыбнулисьВыше-выше потянулись.Ну-ка, плечи распрямите,Поднимите, опустите.Вправо, влево повернитесь,Рук коленями коснитесь.Сели, встали. Сели, встали.И на месте побежали.

Физминутка для глазНе поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по пери-

метру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часо-вой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрел-ке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните го-лову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик сво-его носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,Ноги крепкие расставим.Поворачиваясь вправо,Оглядимся величаво.И налево надо тожеПоглядеть из под ладошек.И – направо! И ещеЧерез левое плечо!а теперь продолжим работу.

Интересные физкультминутки




62


1. Журналы «Математика в школе» 1997 год, № 2, 5, 6.2. Журнал «Квант» 1989 г., № 3,4 , 5.3. Кордемский Б.А. «Математическая смекалка»/ ГИТТЛ.

М.,1954 г.4. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. М., учпедгиз, 1961 г.5. Журнал «Народное образование» № 1, 19916. Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:7. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа,

20048. Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные мате-

риалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.9. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвеще-

ние, 1982.10. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М.11. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО

«Столетие», 1995 г.

Литература




63




64

Введение .................................................................................... 3Урок-зачет по теме «треугольники» ........................................ 10Урок-лекция по теме «Свойства функций в пословицах и

поговорках» ......................................................................... 14Памятка принимающему зачет ................................................. 27Памятка сдающему зачет ........................................................ 28Математические стихи ............................................................. 29Математические сказки ......................................................... 31Логические задачи ..................................................................... 38Задачи (тезисы) ....................................................................... 42Текстовые задачи ..................................................................... 43Задачи с геометрическим содержанием ................................... 44Слова состоящие из названия чисел ........................................ 45Построение рисунков на координатной плоскости ..................... 46Организационные моменты ...................................................... 53Здоровьесберегающие технологии ............................................ 55Физкультминутки на уроках математики .................................. 55Интересные физкультминутки .................................................... 60Литература .............................................................................. 63

СОДЕРЖАНИЕКРЕАТИВНАЯ МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для учителей математики




Математика - book-magic. · pdf file2 КРЕАТИВНАЯ МАТЕМАТИКА...

Documents