환경 시스템 분석환경 시스템 분석Chapter 2 (Transport Chapter 2 (Transport Phenomena)Phenomena)

환경공학과 환경공학과 2005145420051454

박성호박성호

＊다중다상 이론으로부터 물질의 이동에 대한 이류유송과 분산에 의한 ＊다중다상 이론으로부터 물질의 이동에 대한 이류유송과 분산에 의한 이동식을 유도하라이동식을 유도하라 ..

1) 1) 이류이송 이류이송 : : 임의의 세 방향임의의 세 방향 (( 세로축세로축 ,, 측면측면 , , 반대방향과 수직방향반대방향과 수직방향 ))

에서 용존물질 또는 매우 미세한 에서 용존물질 또는 매우 미세한 미립자가 흐름 속도로 이동하는 것을 미립자가 흐름 속도로 이동하는 것을 말한다말한다 ..

2) 분산 : 물질들이 수층 내에서 혼합되는 공정을 말한다 .

＊＊ CSTR CSTR 반응조의 지배방정식을 유도하고 해를 설명하라반응조의 지배방정식을 유도하고 해를 설명하라 ..

CSTR(CSTR( 완전혼합시스템완전혼합시스템 ))

는 유입유량

R 는 반응속도

＊ ＊ 이류유송만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 이류유송만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터

유도하라유도하라 ..

이류이송 이류이송 : : 강이나 하천에서 화학물질이 이동하는 경우에강이나 하천에서 화학물질이 이동하는 경우에 , , 이송은 평균 농도와 이송은 평균 농도와 유량의 곱으로 표현됨유량의 곱으로 표현됨 . . 즉 유속에 의해 이동되는 물질의 양을 의미함즉 유속에 의해 이동되는 물질의 양을 의미함 . .

임의 순간에서 , 검사 체적내의 총 물질의 양은 체적 * 농도 (V*C) 임 . 검사체적 내 시간에 대한 물질 변화는 다음과 같은 방정식으로 표현됨

△ 물질 = ( 물질 유입 률 - 물질 유출 률 )△ 시간 Ca : 유입 농도 Cb: 유출 농도

J : 물질의 유출속도 ,

: 평균유속 ,

C : 농도 ,

Q : 유량 ,

위 방정식을 △위 방정식을 △ tt 로 양변을 나누면로 양변을 나누면 , ,

그리고 양변을 부피그리고 양변을 부피 = = 으로 나누면으로 나누면 , , 로 극한을 취할 때 시간이 로 극한을 취할 때 시간이 변하는 조건하에서 물질의 이송을 나타내는 편미분 방정식을 얻을 수 있다변하는 조건하에서 물질의 이송을 나타내는 편미분 방정식을 얻을 수 있다 . .

＊위의 물질이동식의 수학적 해를 구하라 .

이러한 식은 시간에 대한 물질 유출률을 적분하여 구할 수 있다 .

주어진 시간에 한 지점을 지나가는 물질의 총량

정상상태 조건에서는 Q 가 시간에 따라 일정하므로

＊ 분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 ＊ 분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터

유도하라유도하라 ..

: 분자확산에 의한 물질 플럭스 속도

A : 횡단 면적 ,

: 농도구배 ,

그림 2.5 에서 튜브의 단면적을 두 배로 하면 물질

플럭스 속도는 두 배가 되고 농도구배 ( 구동력 ) 를

두 배로 해도 비슷한 결과가 된다 .

그림 2.5 점 a 에서 점 b 까지의 확산이동 .

비례상수 D( 분자 확산 계수이며 ) 의 단위는 이며 , 시간에 따른 물질의 유동율을 계산하는데 필요하다 .

＊ 분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 ＊ 분산에 의한 이동만 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터

유도하라유도하라 .. FickFick 의 확산이론의 확산이론 - - 유체가 흐르지 않는다고 가정유체가 흐르지 않는다고 가정 - - 단위시간 내 물질이 단위면적을 이동하는 양은 그 면의 법선 방향에 비례단위시간 내 물질이 단위면적을 이동하는 양은 그 면의 법선 방향에 비례 .. -- 확산은 유체를 통과하는 분자의 병진운동확산은 유체를 통과하는 분자의 병진운동 , , 진동운동진동운동 , , 회전운동의 결과회전운동의 결과 . .

   ※ ※FickFick 의 제의 제 11 법칙 법칙 : : 확산에 의한 물질 이동은 농도구배의 급한 정도와 확산에 의한 물질 이동은 농도구배의 급한 정도와 실험장치의 횡단면적에 비례한다고 결론지음실험장치의 횡단면적에 비례한다고 결론지음 . .

＊ ＊ 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을

물질평형으로부터 유도하라물질평형으로부터 유도하라 ..

여기서 ,   C = 농도 , t = 시간 , T = i 방향의 평균유속 ,    

= i 방향의 거리 , L R = 반응변환율 ,        

는 는 ii 방향의 확산 계수이다방향의 확산 계수이다 . Fick. Fick 의 이론에서는의 이론에서는 , , 난류 개수로 유동에 의한 난류 개수로 유동에 의한 분산은 분자확산과 유사하다고 가정한다분산은 분자확산과 유사하다고 가정한다 . x, y, z . x, y, z 방향의 분산계수는 주어진 로 방향의 분산계수는 주어진 로 일정하다고 가정된다일정하다고 가정된다 . . 직각좌표로 방정식을 표현하면 다음과 같다직각좌표로 방정식을 표현하면 다음과 같다 . .

직각 좌표로 방정식을 표현하면 다음과 같다직각 좌표로 방정식을 표현하면 다음과 같다 . .

＊유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도하라 .

＊ 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도하라＊ 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 유도하라 ..

위의 식의 해는 위의 식의 해는 , , 초기조건초기조건 , , 경계조건에 의존한다경계조건에 의존한다 . . 여러 저자들은 여러 저자들은 종종 (x), (x), 횡횡 (y), (y), 연직연직 (z) (z) 방향의 분산계수방향의 분산계수 (E)(E) 의 수치를 근사 하는 식을 나타내었다의 수치를 근사 하는 식을 나타내었다 . .

부정류에서는부정류에서는 , , 종방향의 유속은 공간과 시간에 따라 다양하게 변할 수 있다종방향의 유속은 공간과 시간에 따라 다양하게 변할 수 있다 . . 일차원 일차원 물질이동식은 다음과 같다물질이동식은 다음과 같다 . .

여기서 Q = 부피 유량 ,

A = 횡단면적 ,

위의 방정식을 해석적으로 풀기 위해서는 A, Q, E 에 대한 간단하고 정확한 함수 관계가 필요하다 .

그러나 , 실제 문제에서는 , 부정류의 유동 방정식을 수치해석적으로 풀 수 있으며 , St.Venant 방정식과 같은 개수로 유동의 수치해와 일치된다 :

개수로 유동의 연속방정식

b = 수면의 폭 , L f = Darcy-Weisbach 마찰 계수 ( 무차원계수 ) g = 중력 가속도 상수 , P = 습윤길이 , L Qi = 강에서 단위 길이당 횡방향의 유입유동 , Q = 유량 ( 유출량 ), z = 기준면 위의 수위의 절대 높이 , L

＊ 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을＊ 유속과 분산이 있는 경우의 물질이동식을 물질평형으로부터 물질평형으로부터

유도하라 유도하라 ..

＊ 하천모형 ＊ 하천모형 : QUAL2E, : QUAL2E, 호수호수 , , 하천하천 , , 연안 모형 연안 모형 : :

WASP6, MFEMWASPWASP6, MFEMWASP QUAL2E (QUAL2E ( 하천하천 )) - - 미국 미국 EPAEPA 에서 에서 QUAL-Ⅰ QUAL-Ⅰ 모델에 예측수질항목을 추가하여 발전시킨 모델에 예측수질항목을 추가하여 발전시킨 QUAL-Ⅱ QUAL-Ⅱ 모델을 모델을 PCPC 에서 사용 가능하도록 만든 것이다에서 사용 가능하도록 만든 것이다 . . - - 조류와 용존산소와의 상호관계조류와 용존산소와의 상호관계 , , 온도보정계수온도보정계수 , , 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 비보존성 물질과 33 가지의 보존성 물질가지의 보존성 물질 , , 입입․․출력 방법개량 등을 보완시킨 출력 방법개량 등을 보완시킨 11 차원 차원 수질 예측 모델로서 수질 예측 모델로서 11 차원 정상상태차원 정상상태 (Stedy state)(Stedy state) 는 물론이고 는 물론이고

가동적상태에서도 예측할 수 있다가동적상태에서도 예측할 수 있다 . .

- 하천에서의 1 차원 수질해석을 위한 수치모형으로서 13 개 수질오염인자의 시뮬레이 션이 가능하고 점오염원 및 비점원 오염원 , 하천의 지류 및 용수취수 등을 다양하게 정상상태 또는 조류의 유사 동적상태로서 모델링할 수 있다 . 하천에서의 물질전달거동인 유체이동과 확산은 1 차원적 해석에 의한 식 (1) 을 기본식으로 사용한다 .

- 여기서 식 (1) 의 좌측항은 어느 지점에서 시간에 대한 농도변화를 나타내며 , 우측 항은 순서대로 확산에 의한 물질이동항 , 유체이동항 , 각 오염물질에 대한 지배함수를 포함한 유출입항을 각각 표시하고 있으며 정상상태인 경우에는 로서 표현된다 .

＊ 유역 관리 모형 ＊ 유역 관리 모형 : SWMM, BASIN: SWMM, BASIN

SWMM (SWMM ( 유역유역 ))

도시지역의 유출수도시지역의 유출수 (runoff)(runoff) 와 관련된 강우유출수의 양과 질을 해석하기 위해 와 관련된 강우유출수의 양과 질을 해석하기 위해 EPAEPA 에서 개발한 모형이다에서 개발한 모형이다 . . 우수관이나 합류관 또는 자연적인 배수가 있는 우수관이나 합류관 또는 자연적인 배수가 있는 집수구역집수구역 (catchment)(catchment) 에 단일사상의 경우나 연속적인 모의에 단일사상의 경우나 연속적인 모의 (simulation)(simulation) 를 통해 를 통해 유량유량 , , 수위수위 , , 오염농도를 예측할 수 있다오염농도를 예측할 수 있다 . .

＊예제 ＊예제 2.12.1

강에서 살충제의 이송이동강에서 살충제의 이송이동 살충제 살충제 AlachlorAlachlor 의 평균물질 플럭스의 평균물질 플럭스 (kgd-1)(kgd-1) 를 계산하라를 계산하라 . . 살충제의 평균농도는 살충제의 평균농도는

1.0 μgL-1 1.0 μgL-1 이며이며 , , 평균 유량은 평균 유량은 50 m3s-1 50 m3s-1 임임 . . 강우 유출량이 높다고 가정할 때강우 유출량이 높다고 가정할 때 , , 일년간 이 지점을 지나는 물질 총량의 계산 값은 정확하게 예측한 것인가일년간 이 지점을 지나는 물질 총량의 계산 값은 정확하게 예측한 것인가 ..

유속에 의한 평균 이송율유속에 의한 평균 이송율 (kg d-1)(kg d-1) 은 다음의 식으로 계산된다은 다음의 식으로 계산된다

. . 유량과 농도는 매우 밀접한 관련이 있기 때문에 , 연간 평균 농도와 연간 평균유량을 사용하여 한 지점을 지나가는 , 연간 총 물질 배출량을 구할 수 없다 . 유동이 많으면 농업지역의 강우 유출로 인한 살충제 농도가 상승한다 . 위에 계산된 물질 방류속도는 그 해의 총 평균 물질 방류속도보다 적다 . 따라서 다음의 방정식을 이용하여 그 해 동안의 한 지점을 지나는 물질 총량을 계산한다 .

＊예제 ＊예제 2.12.1

평균물질 유출 는 평균농도에 평균유량을 곱하고 , 평균물질 변화량을 더한 것과 같다 . 평균으로부터의 편차는 와 로 표시되고 , 평균물질 변화량은 유량과 농도 사이의 상호관계에 의존한다 .

＊예제 ＊예제 2.22.2

두 용기 사이로 확산되는 화학물질에 대해 두 용기 사이로 확산되는 화학물질에 대해 mg/dmg/d 의 단위로 물질 유동율을 의 단위로 물질 유동율을 계산하여라계산하여라 . . 화학물질은 화학물질은 -1mg L-1 cm-1 -1mg L-1 cm-1 의 농도구배로 의 농도구배로 10cm10cm 의 거리를 통해 의 거리를 통해 확산한다확산한다 . .

농도구배가 시간에 따라 일정하게 유지되고 , 화학물질 1mg 이 이동하는데 1 년 걸린다는 것을 고려한다면 , 이것의 물질 이동율은 대단히 느리다고 할 수 있음 (그림 2.5 은 사실상 비정상상태 조건에서 실험된 것임 ).

＊ 예제 ＊ 예제 2.32.3

물속 카페인물속 카페인 (C9H8O)(C9H8O) 의 분자 확산속도는 의 분자 확산속도는 0.63×10-5cm2s-1 0.63×10-5cm2s-1 이다이다 . 1.0mg/L. 1.0mg/L의 용액에 대해서의 용액에 대해서 , , 약 약 60 μm 60 μm 두께의 유체막으로 이루어진 창자막두께의 유체막으로 이루어진 창자막 (( 면적 면적 : : 0.1m2 )0.1m2 ) 을 통과하는 물질 유동을 을 통과하는 물질 유동을 mg/smg/s 로 계산하여라로 계산하여라 . . 위의 유동율을 위의 유동율을 가정한다면가정한다면 , , 카페인 카페인 1 mg1 mg 이 창자막 이 창자막 0.1 m2 0.1 m2 통과하는데 시간이 어느 정도 통과하는데 시간이 어느 정도 걸리겠는가걸리겠는가 ? (? ( 주의 주의 : : 막을 통과하는 이동은 이동과 물질대사시에 단계적인 막을 통과하는 이동은 이동과 물질대사시에 단계적인 속도제한이 존재한다고 가정한다속도제한이 존재한다고 가정한다 .) .)

( 창자막 내부의 카페인의 농도는 0 로 가정 )