單元二 . dea 衡量效率之介紹

單元二單元二 DEADEA 衡量效率之介紹衡量效率之介紹Charnes Cooper and Rhodes於 1978 年提出衡量績效的方法時在評估項目 (KPI)上可擴張到多項投入與多項產出指標但也可應用到彼此不具關係的望小項與望大項等多項指標該法後來被 Banker Charnes and Cooper(1984) 稱為資料包絡分析法 (Data Envelopment Analysis 簡稱 DEA) 在進行績效評估時須先對指標間是否具投入與產出關係作判斷例如若是對醫院的營運績效營運績效作評估而指標的選擇假設如下醫師數護士數病床數機器設備數門診人次急診人次住院人次手術人次請問指標間是否具有投入產出關係答有關故須再分為哪些是投入項或是產出項的判斷 ( 後面會簡單說明 ) 例如若評估的是醫療服務品質績效醫療服務品質績效因而指標變成為醫師與病床比護士與病床比慢性處方籤釋出率藥方重複率 ( 即病人在不同科別間均就診但卻有重複開出某些藥物 ) 急診暫留二日以上比率感染密度請問指標間是否具有關係答無關但須改成哪些是望小項或是望大項的判斷 ( 後面會簡單說明 )

若是針對製造業廠商的經營績效經營績效而言所選擇的指標就多屬具有投入與產出的關係例如在產出上製造業有專業化生產一種商品但也有多元化產出的情況一般若資料來源是財務報表則因採金額計算故就算有多種產品最後仍是以營業收入毛額的統計項目表示因而調整成單一產出又因所要評估的是經營績效故對應的投入項就會是營業成本營業費用固定資產等項目 ( 後面會簡單說明 ) 同理若是針對企業內的某一部門進行績效評估則投入產出項目的數據須僅侷限在該部門例如生產部門的生產績效研發部門的研發績效hellip等評估

Slide 2

Slide 3

CCRCCR 模式模式

2A1A

2A1AA XX

YYTE

AA

AA

21

21)(

效率

假設有 2 種投入 (X1 X2) 有 2 種產出 (Y1 Y2) 的指標因此應採效率方式評估樣本 A 的效率為

請問上式中哪些變數是有數據哪些變數是須要計算X1A X2A Y1A Y2A 是蒐集數據而來α1A α2A β1A β2A 則是利用 DEA 計算而得由於任一個決策單位 (Decision Making Unit 簡稱 DMU) 均會受到評估 ( 例如第 k 個決策單位就寫成 DMUk) 而為求比較方便須將計算出來的各項指標權重 (α1k α2k β1k β2k) 限定在代入上式時所求得的效率 (TEk) 不要超過 1 如此就能直接比較DMU 間的效率何者較佳因此整體模式可以寫成

壹先說明應用在壹先說明應用在投入項與產出項上上

Slide 4

TEk=Max

st

kkkk

kkkk

XX

YY

2211

2211

1

1

1

1

2211

2211

2211

2211

2211

2211

2211

2211

ZZk

ZkZk

kkk

kkkk

BkBk

BkBk

AkAk

AkAk

XX

YY

XX

YY

XX

YY

XX

YY

k

k

0 2121 kkkk

要求計算所獲得的權重值α1k α2k β1k β2k 須使TE 位在 [0 1] 且對其他樣本的模式亦均要求如此故每個 DMU 的 TE 就能作比較相對效率


DEA 的效率 (TE) 評估乃是採對 DMUk 最有利的方式衡量故將計算所獲得的權重選取可以使 TE 最大的解且每個 DMU 均如此作故對每個 DMU 都是公平


Slide 5Slide 5

EF

G

D

B

A HC

Y

X

除了上述的分數模式計算效率 (TE) 外還可以改用右圖理解若簡單以一個產出指標與一個投入指標為例可將各個 DMU 的數據大小畫出其所在位置你會發現哪些 DMU 是標竿在績效改善時可以作為其他 DMU 的參考對象又由圖中你還會發現在績效評估時須先選擇是要採投入導向 ( 或產出導向 ) 來衡量 TE(=YX) 即固定 Y(或 X) 不變比較 X(或 Y) 的大小

效率邊界線的形成

XC

YC

1 投入導向即在相同產出 YC 下是否有其他 DMU 的投入比 XC更少結果發現若將 DMUB與 DMUD 的數據給予各種不同的權重 (λ＞ 0) 作加總則可獲得BD 上的各點數據其中有一點 Crsquo 的產出也是 YC 但投入卻較 XC更少因此 TEC( 相對效率 )＝ YCCrsquoYCC 而且 DMUC 可參考 DMUB與 DMUD(因 λB與 λD 均＞ 0) 進行投入面的績效改善因此會有 XC減少幅度的訊息但 YC 不會變故投入導向只會提供DMU 在各項投入指標的改善訊息2 產出導向同理也可在 BD 上找到一點 Crsquorsquo 其投入是與 DMUC 相同的 XC 但產出卻比 YC 更多因此 TEC( 相對效率 ) ＝ XCCXCCrsquorsquo 且 DMUC 仍是參考 DMUB 與DMUD(因 λB與 λD 均＞ 0) 進行績效改善 (即 YC 的增加 )

CrsquoCrsquorsquo

就 DMUC 而言若相對效率 (TEC＝ YCXC) 是選擇

故產出導向只會提供各項產出的改善訊息

O

效率邊界線效率邊界線由 Y軸開始順時鐘旋轉直到與第一個 DMU 相交才停止如此可以將全部的 DMU 包絡起來

Slide 6Slide 6

EFG

D

B

A HC

Y

XHAkX)XλX(λTE

k

HHAAk

線內的 DMU(如 A Chellip ) 就透過與效率效率邊界線邊界線距離的遠近距離的遠近來衡量其來衡量其效率水準的高效率水準的高低低若以投入導向為例各個 DMU 的效率可寫為

同理產出導向亦同因此就各個 DMU 而言其效率的一般式為HAk)YλY(λ

YTEHHAA

kk

因此若連接所有外圍的 DMU 如圖中 B D E 等相對 TE＝ 1 所組成的效率邊界線故該線可採一般化寫法

O

0λEDBHλBλAλ HBA 的其中只有

因不具效率的DMU 不會位在邊界線上其數據自然不會被參考因此 λ 會為 0

0DEA故

為因其對應的效率邊界線而言就

計算時會等於在其他 HAk

DDBBk

K

λλX)XλX(λTE

DBHCADMU

0故


計算時會等於在其他的

同理

DEAλλX)XλX(λTE

EDFGDMU

HAk

EEDDk

K

ne0

ne0

而且式中 Ahellip H 在投入 ( 或產出 )導向下將以 XAhellip XH(或 YAhellip YH) 代入

Slide 7

)(k 模式可寫為為例率採投入導向衡量相對效以樣本 kTE

CCRCCR 的線性模式的線性模式

)( k 則模式為效若改採產出導向衡量績 TE

kkHHAA

k

XTEXλXλst

TE Min

在進行績效改善參考愈值得因表示該值愈大者若由前面敘述可知須注意的是

軟體去求算上面模式由的數據輸入建檔實務上就是將各

C)1TE(λ

DMUDMU

DEADMU

kkHHAA

k

YTEYλYλst

TEMax

HAkX)XλX(λTE

k

HHAAk

HAk)YλY(λYTE

HHAA

kk

Slide 8

一什麼情況應採投入導向或產出導向來進行績效評估答主要視被評估者需要投入面或產出面的績效改善資訊而定另外也可依研究對象的特性而定例如非營利事業 ( 如公家機關醫院等 ) 就較需要投入面的改善資訊以進行績效提升這是因其特性是產出面 ( 如服務人數 ) 就算給予增加多少服務人數的資訊管理者也因無法參考與改善但營利事業 (如銀行 )則投入導向或產出導向大概均可端視其所需改善績效的資訊而定

二 DEA 的邊界線由於是連接具有效率的 DMU 而形成然後其他 DMU 的效率 (TE)之高低就是依距離效率邊界線的遠近來衡量故 DEA 較適於橫斷面資料 (Cross-section Data 即數據是處於相同時點 ) 的樣本否則若不同時點 ( 或年度 ) 的樣本其效率邊界線可能不一樣因而在評估效率時就會有偏誤

幾個問題釐清幾個問題釐清

Slide 9

DEA 若採縱橫面資料 (Panel Data 即一群樣本的歷年資料 ) 可能會因後面年度假設有技術水準進步發生時其產出會較大或投入會較少不論那一種均會使其位於效率邊界線上造成TE=1 者大部分是後面年度的 DMU 但這是技術水準進步而非管理者有效率因此縱橫面資料評估出來的效率就不適當故 DEA 較適合應用在橫斷面資料

三 DEA 有一個涉及評估出來的效率值 (TE) 若要具有鑑別度則根據 Golany與 Roll(1989) 所提出的經驗法則要求樣本數＞兩倍的指標數

亦即假設有 K個 DMU 而有 N 項投入 (X)與M 項產出 (Y) 則

否則 DEA 評估出來的各個 DMU之績效值將幾乎為 1

幾個問題釐清幾個問題釐清 ((續續 ))

K＞ 2(N＋M)

Slide 10

因此若遇到 DMU 的樣本數太少時一般又會採取增加研究年度的方式來使樣本數變多但為使技術水準變動的影響降到最低大都僅增加研究年度前後各 1 年即總共 3 年的因應方式因實務上認為還在可接受的範圍更何況 DEA 的評估對象多是非營利單位也較難發生管理技術的改變

可再以圖形說明上述鑑別度不足的概念


Slide 11

圖投入導向的效率邊界線

X2A

C

O X1

B

因圖形只有兩軸若以投入導向說明假設在相同的 Y 下樣本有兩項X1 X2 又若 DMU 只有 3 筆因 3 ＜＜6=2times(1+2 項目 )因此 3 個樣本很容易就位在 ( 或形成 ) 效率邊界線如右圖所示導致 DEA 計算所獲得之績效值均會為 1


Slide 12

四如何確認蒐集來的評估項目中哪些是產出項投入項 ( 或哪些是望大項望小項 )

答利用 Pearson 相關係數檢定產出項 ( 或望大項 ) 與投入項 ( 或望小項 ) 間因須具同向性(Isotonicity) 故要求相關係數的符號為正號且最好具顯著性若呈顯著負號則表歸類錯誤須重新判斷或篩選較不重要者刪除

此外產出項 ( 或望大項 ) 間不能具顯著相關投入項 ( 或望小項 ) 間亦同因可能是有相同意義的項目重複了須刪除其中之一除非能除非能確認是分屬不同定義則可不刪確認是分屬不同定義則可不刪


Slide 13

例一以銀行業的經營績效為例若選擇以下項目則請判斷項目間是否具有投入與產出的關係若有請說明哪些是投入項哪些是產出項

1 投資所得收入 2短期放款 3 中長期放款 4員工人數 5固定資產 ( 即機器設備土地 )毛額 6存款資金

答是具有投入與產出的關係 1 投資所得收入 2短期放款 3 中長期

放款 4員工人數 5固定資產 ( 即機器設備土

地 )毛額 6存款資金注意將來在電腦實習時指令的下法上 Y=__ 項 X=__ 項

練習練習

產出項 (Y)

投入項 (X)

Slide 14

練習練習例二以醫院的經營績效為例若選擇以下項目則請判斷項

目間是否具有投入與產出的關係若有請說明哪些是投入項哪些是產出項

1 醫師人數 2 護理人數 3 其他醫事人員數 4總病床數 5貴重儀器設備數 6門 (急 ) 診人次 7住院人日 8 手術人次 9 出院人次

答是具有投入與產出的關係 6門 (急 ) 診人次 7 住院人日 8 手術人次 9 出院人次 1 醫師人數 2 護理人數 3 其他醫事人員數 4總病床數 5貴重儀器設備數注意電腦實習時指令的下法上 Y=__ 項 X=__ 項

產出項

投入項

Slide 15

如果評估項目不具投入與產出關係則變成是在計算如何加權各項指標以獲得效能 (TE) 值此時必須先根據研究對象的特性或研究目的或望大望小之項數多寡決定究竟要採望大導向或望小導向來衡量以便進行指標數據的調整

1 若採望大導向衡量效能則凡是屬於望小項的指標均應將數據取倒數的方式輸入資料檔這時就能使其變成 ____項性質

亦即套用 DEA軟體的格式

但改成下述寫法

注意此時之指令 Y=__ 項但因分母為 1 表示投入項 (X) 還有11 項項只是數據為 1 故在建立資料檔時各樣本的投入數據均要輸入 1 因此 X=__ 項

1

)(1

)(1

)(效能4

243

132211 A

AA

AAA

A

YX

YX

YYTE

即即仍寫成

貳應用在貳應用在望大項與望小項上

AA

AAA XX

YYTE

2211

2211)(效率

CCRCCR 模式模式

望大

例三各縣市的綠色績效之評估項目假設為 1空氣品質 (含各類污染氣體濃度 ) 2垃圾妥善率 3 資源回收率 4廢水檢驗不合格率 5垃圾清理及機具數 6綠地面積 7環境音量監測不合格時段數

由於項目間不具投入與產出的關係且項目中屬於望大性質有 __項屬於望小性質有 __項因此以 _____導向作為效能的評估

將望小項取倒數的理由 ( 或作法 ) 說明「 1空氣品質 (含各類污染氣體濃度 )」「 4廢水檢驗不合格率」「 7環境音量監測不合格時段數」若有些縣市的數據是較小者其表現本就較佳但因採望大衡量故會被評為較差此時取成倒數就變成數據小者其倒數值會變大所以評比仍然是較佳才不會出錯

因此若採望大導向衡量效能則下指令時 Y=__ X=__ Slide 16

練習練習

2 若採望小導向衡量效能則凡是屬於望大項的指標均應將數據取倒數的方式輸入資料檔這時將使其變成望小項性質但此時之效能模式變成

因分子為 1 表示產出項 (Y) 還有 11 項項只是數據為 1 故在建立資料檔時各樣本的產出數據均要輸入 1 因此Y=__ 項 X=__ 項

Slide 17

)(1

)(1

1)(效能

42

431

32211 AA

AA

AA

A

XY

XY

XXTE

即即

練習練習例四以醫院的品質績效為例若選擇以下項目 1降血糖藥重複率 2

抗精神分裂藥重複率 3 抗憂鬱藥重複率 4 急診暫留二日比率 5電腦斷層 90 日內重複率 6剖腹產率 7 感染密度 8 平均住院日 9 粗死亡率 10 醫師病床比 11 護理人員病床比 12 醫事人員病床比請問項目間是否具有投入與產出的關係

答不具有投入與產出的關係一望大項 10 醫師病床比 11 護理人員病床比 12 醫事人員病床比

二望小項 1降血糖藥重複率 2抗精神分裂藥重複率 3抗憂鬱藥重

複率 4 急診暫留二日比率 5電腦斷層重複率 6剖腹產率 7感染密度 8 平均住院日 9粗死亡率

因望大項 =3 ＜望小項 =9 基於取倒數時項數少可以較方便因此採 ___ 衡量當然若因望小項對樣本來講較重要希望在績效評估後能獲得望小項的參考建議則理由更適當因此下指令時 Y=__ X=__

一望大項二望小項

Slide 18

Slide 19

TEk=Max

st

kkkk

kkkk

XX

YY

NN

MM

11

11

1

1

1

11

11

11

11

11

11

NKNK

MKMK

NBNB

MBMB

NANA

MAMA

XX

YY

XX

YY

XX

YY

kk

kk

kk

kk

kk

kk

0 11 kkkk NM

附錄附錄 (( 參考參考 ))DEADEA 由原始分式型態轉成線性由原始分式型態轉成線性 (( 對偶對偶 )) 型態型態

假設有 K 個DMU(k=1hellipK) 有 N 種投入(n=1hellipN) 有M 種產出 (m =1hellipM) 現針對 DMUk

進行管理效率評估如下



Slide 20

1)()(

)()(

111

11

1

111

11

1

NANN

NA

NN

MANN

MA

NN

XXXXXX

YXXYXXts

kkkk

k

kkkk

k

kkkk

k

kkkk

k

附錄附錄 ((續續 ))上述模式之分數型態在實際求解時一般會將其轉成線性型態因為比較容易求解故有所謂的投入導向與產出導向二種轉換方式

)

令(

ax

NN11

1111

NN11

M1

NN11

1

NN11

NN11

NN11

M11

kkkk

kkkkkk

kkkkk

kk

kkkk

k

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

XXuYuYu

YXX

YXX

XXXX

XXYY

M

MM

M

M

一

已在上述定義過k

kkkk

kk

u

XXv

1

NN11

11

令

0

1

111

11111

1

NANAMAMA

NANAMAMANANA

MAMA

XvXvYuYu

XvXvYuYuXvXv

YuYu

kkkik

kkkikkk

kik

下面的分子與分母可消掉

下面的分子與分母無法消掉

Slide 21

附錄附錄 ((續續 ))

0

1

0

11

11

1111

kkkk

kkkk

kkkk

vvuu

XvXv

XvXvYuYu

NM

NN

NKNKMKMK

請問上述線性型態模式的限制式有幾條答至少有 K條限制式但 K＞M+N 故可以再利用線性規劃中的對偶方法繼續縮減限制式因此模式可以再變成

Slide 22

0≧

st

in

K1

K1

11K11

K1

11K11

k

kk

kk

k

k

k

TE

XTEXX

XTEXX

YYY

YYY

TEM

NNKNA

KA

MMKMA

KA

限制式變成M+N條



此模式的效率 (TEk) 是出現在投入項 (X1khellip XNk) 上故稱為投入導向效率評估模式

Slide 23

0≧

st

a

K1

K1

11K11

K1

11K11

k

k

k

kk

kk

k

XXX

XXX

YYY

YYY

xM

NNKNA

KA

MMKMA

KA

附錄附錄 ((續續 ))若一開始是採分子調整為 1 的做法則最後的模式之 θk 將出現在產出項 (Y1khellip YMk) 上因而稱為產出導向效率評估模式須注意的是 θk 還要再

取倒數才是效率 (TEk) 因從限制式可看出TEk

＝ Y1k (λ1Y1A+hellip+λKY1k) ＝ 1θk

若是針對製造業廠商的經營績效經營績效而言所選擇的指標就多屬具有投入與產出的關係例如在產出上製造業有專業化生產一種商品但也有多元化產出的情況一般若資料來源是財務報表則因採金額計算故就算有多種產品最後仍是以營業收入毛額的統計項目表示因而調整成單一產出又因所要評估的是經營績效故對應的投入項就會是營業成本營業費用固定資產等項目 ( 後面會簡單說明 ) 同理若是針對企業內的某一部門進行績效評估則投入產出項目的數據須僅侷限在該部門例如生產部門的生產績效研發部門的研發績效hellip等評估

Slide 2

Slide 3

CCRCCR 模式模式

2A1A

2A1AA XX

YYTE

AA

AA

21

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效率




Slide 4

TEk=Max

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kkkk

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2211

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1

1

1

1

2211

2211

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2211

2211

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2211

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ZZk

ZkZk

kkk

kkkk

BkBk

BkBk

AkAk

AkAk

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YY

XX

YY

XX

YY

XX

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k

k

0 2121 kkkk





Slide 5Slide 5

EF

G

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O


Slide 6Slide 6

EFG

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同理

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Slide 7




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Slide 8




Slide 9






K＞ 2(N＋M)

Slide 10




Slide 11


X2A

C

O X1

B



Slide 12





Slide 13






練習練習

產出項 (Y)

投入項 (X)

Slide 14





產出項

投入項

Slide 15






1

)(1

)(1

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243

132211 A

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A

YX

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即即仍寫成


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2211)(效率

CCRCCR 模式模式

望大





練習練習



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42

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Slide 18

Slide 19

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kkkk

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Slide 20

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Slide 22

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Slide 4

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1

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Slide 5Slide 5

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Slide 6Slide 6

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Slide 8




Slide 9






K＞ 2(N＋M)

Slide 10




Slide 11


X2A

C

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B



Slide 12





Slide 13






練習練習

產出項 (Y)

投入項 (X)

Slide 14





產出項

投入項

Slide 15






1

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)(1

)(效能4

243

132211 A

AA

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A

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即即仍寫成


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YYTE

2211

2211)(效率

CCRCCR 模式模式

望大





練習練習



Slide 17

)(1

)(1

1)(效能

42

431

32211 AA

AA

AA

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XY

XY

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即即








Slide 18

Slide 19

TEk=Max

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Slide 22

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Slide 8




Slide 9






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Slide 10




Slide 11


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Slide 12





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練習練習

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243

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42

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42

431

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42

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1

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CCRCCR 模式模式

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42

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B



Slide 12





Slide 13






練習練習

產出項 (Y)

投入項 (X)

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產出項

投入項

Slide 15






1

)(1

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)(效能4

243

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AA

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A

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即即仍寫成


AA

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2211)(效率

CCRCCR 模式模式

望大





練習練習



Slide 17

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X2A

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B



Slide 12





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練習練習

產出項 (Y)

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Slide 14





產出項

投入項

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1

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單元二 . dea 衡量效率之介紹

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