Инверсия - deoma-cmd.ru˜нверсия.pdf · Инверсия В комплекте...

1

Инверсия

В комплекте использованы формулировки и задачи из учебника Я. П. Понарина, задачниковВ. В. Прасолова и И. Ф. Шарыгина и В. В. Прасолова. Материалы комплекта учитель можетиспользовать на уроках, ученик с его помощью может самостоятельно изучить тему. Комплектпредставляет решения задач, сопровождаемые интерактивными файлами, выполненными впрограмме GInMA. Базовая программа бесплатно скачивается с сайта http://www.deoma–cmd.ru/.Исследование построений с помощью интерактивных файлов углубляет понимание геометрии,развивает воображение учащихся. Пользуясь данным материалом Вы можете дать возможностьребёнку с интересом войти в магический мир геометрии. Самому совершить открытие основныхзакономерностей. Это позволит легче запомнить равенства, которые необходимо знать в старшихклассах школы. Доказательства геометрических утверждений развивают логику обучаемого. Входв интерактивные рисунки выполняется с помощью щелчка по фигуре.

Чтобы увидеть интерактивный рисунок, щелкните по рисунку в тексте. Можновоспользоваться видео «Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки»http://youtu.be/g7KA–HzU_h0.

Чтобы понять, как управлять рисунком, пользуйтесь инструкцией в видео файле«Построение сечения в GinMA» 2.10.2011, http://www.youtube.com/watch?v=z9IDctiHR–M, а также«Руководством для пользователя комплекта» http://www.deoma–cmd.ru/.

Оглавление0. Определения 21. Основы 32. §26 – §29 53. Задачи из раздела 3 84. Из задачника В.В. Прасолова 135. §18. Полярное соответствие 156. Инверсия пространства 167. Стереографическая проекция 28

© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.© Д.В. Шеломовский. Программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/

http://www.deoma-cmd.ru/


http://youtu.be/g7KA-HzU_h0


2

0. Определения

Инверсией плоскости относительно окружности (O,R) называют такое преобразованиеплоскости, при котором каждая точка А, отличная от точки О, отображается на точку А', лежащуюна луче ОА и удовлетворяющую условию: ОА ⋅ ОА' = R2.

Окружность (O,R) называют окружностью инверсии, центр О – центром инверсии, радиус R– радиусом инверсии.

Точки А и А' равноправны в том смысле, что они взаимно инверсны при одной и той жеинверсии. Если точки А переходит в А' при некоторой инверсии, то точка А' при этой инверсиипереходит в точку А. Преобразование, обладающее таким свойством, называют «инволюционное»,то есть преобразование, обратное инверсии, совпадает той же инверсией.

Используют термины «прообраз» для точки А и «образ» для точки А'. Аналогичные терминыиспользуют для любых преобразуемых объектов.

Из определения инверсных точек следует, что:– точки окружности (O, R) и только они взаимно инверсные, то есть неподвижные точки

преобразования;– центр окружности не имеет инверсной точки, образ любой линии, уходящей в

бесконечность, проходит через центр инверсии;– взаимно инверсные точки, лежащие на одной прямой с центром, лежат по разные стороны

от окружности, то есть точки, инверсные точкам внутри окружности находятся вне окружности.Инверсия сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу

между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.Если две данные окружности касаются, то их образами будут или две касающиеся

окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые.



3

1. ОсновыОбраз точки при инверсии

Рис. 1.1. Инверсия точки

Способы построения инверсной точкиРассмотрены три способа построения инверсной точки:– построение методом симметрии,– построение с помощью одного циркуля,– построение с помощью касательной.

Рис.1.2. Построение инверсной точки одним циркулем



ginma:0;42,75

ginma:0;42,626

4

Образ прямой при инверсииДаны центр инверсии О, окружность инверсии (O,R) и прямая АВ. Найдите образ АВ при

инверсии, если прямая не проходит через центр О инверсии. M' – образ пробной точки М.Пользуйтесь первым шагом чтобы выполнить исследование.Докажите, что касательная в центре инверсии О к образу прямой АВ параллельна АВ.Доказательство от противного. Если бы прямая АВ и касательная OD имели общую точку,

при инверсии она оказалась бы на окружности и была бы отлична от точки О. Но касательнаяимеет с прямой ровно одну общую точку.

Выполните исследование в случае, когда прямая АВ проходит через центр инверсии точку О.Исследуйте преобразование образа при приближении АВ к точке О.

Рис. 1.3. Инверсия прямой

Образ окружности при инверсииОбразом окружности, не проходящей через центр инверсии является окружность.Образом окружности ω, проходящей через центр инверсии, является прямая, радикальная

ось окружности ω и окружности инверсии.

Рис. 1.4. Инверсия окружности



ginma:0;42,74

ginma:0;42,75

5

§26 – §29.26.1. Ортогональные (перпендикулярные) окружности

Углом между кривыми называют угол между касательными в точке пересечения кривых.Теорема. Образом окружности ω, перпендикулярной окружности инверсии, является

окружность ω. При этом взаимно–инверсные точки совпадают только в точках пересечения этихокружностей.

Теорема (обратная). Если окружность ω, отличная от окружности инверсии, отображаетсяинверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.

Теорема. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна при данной инверсии(следовательно, ортогональна окружности инверсии).

Следствие. Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны.

Рис. 2.1. Инверсия ортогональной окружности

§27. Конформность (сохранение угла) при инверсииИнверсия сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу

между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.Если две данные окружности касаются, то их образами будут или две касающиеся

окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые.Пусть окружности с центрами О и Q пересекаются в точке А под углом α. Докажите что угол

между касательными к образам окружностей при инверсии относительно окружности (o,r) в точкеих пересечения равен α.

Рис. 2.2. Конформность для пары окружностейЕсли при инверсии с центром O и радиусом R точки A и B отображаются соответственно на точки

A' и B', то A ' B ' =AB⋅R2

OA⋅OB.



ginma:0;42,73

ginma:0;42,625

6

§28. Инверсия и гомотетияПусть две окружности инверсны относительно окружности ω. Известно, что любые две

неравные окружности являются соответственными при двух гомотетиях. Оказывается, что центринверсии совпадает с центрами этих гомотетий.

Теорема. Если две окружности инверсны при инверсии с центром O, то они гомотетичныотносительно той же точки O.

Теорема. Если две неравные окружности пересекаются, то оба центра их гомотетий являютсяцентрами инверсий, каждая из которых отображает одну из данных окружностей на другую. Еслиданные окружности не имеют общих точек или касаются, то только один из центров их гомотетийявляется центром инверсии, при которой одна из этих окружностей отображается на другую.

Рис. 2.3. Центры гомотетий и окружности инверсии

§29. Применение инверсииПостроить окружность, проходящую через две данные точки A и B и касающуюся данной окружности ω(O,r).Мы умеем строить касательную прямую к окружности, поэтому инверсия позволяет перейти к построению такой прямой. Значит, одна из данных точек должна быть центром инверсии. Удобно, чтобы вторая точка была неподвижной точкой преобразования, то есть лежала на окружности инверсии.

Рис. 2.4. Построение окружности, касающейся данной



ginma:0;42,634

ginma:0;42,627

7

Точки попарного касания четырёх окружностейКаждая из четырёх окружностей a, b, c и d c центрами A, B, C и D, внешне касается двух

других. Докажите, что точки касания E, F, G и H лежат на одной окружности. Вновь одну из точек касания переводим в бесконечность, а другую делаем неподвижной. Две

окружности превратятся в прямые и задача сведётся к существенно более простой.

Рис. 2.5. Доказательство для касающихся окружностей

Теорема ПтолемеяДокажите, что во вписанном в окружность четырехугольнике сумма произведений

противоположных сторон равна произведению его диагоналей.

Рис. 2.6. Доказательство теоремы Птолемея



ginma:0;42,628

ginma:0;42,629

8

3. Задачи из раздела 33.02. Расстояние до взаимно инверсных точек

Дана окружность ω(O,r) и пара взаимно инверсных точек А и В. Пусть С – точка окружности.Докажите, что АС : BС = const.

Рис. 3.1. Доказательство для взаимно инверсных точек

Задача о ромбеДан ромб ABDC. Точки АВС лежат на окружности радиуса r, ABD на окружности радиуса R. Найдите АВ.

Рис. 3.2. Решение задачи о ромбе



ginma:0;42,635

ginma:0;42,689

9

3.07. Построить окружность которая касается трёх данныхПостройте окружность, касающуюся трех данных окружностей, имеющих общую точку.Использована инверсия, которая все три окружности преобразовывает в прямые.

Рис. 3.3. Решение задачи о построении окружности

3.10. Окружность касается двух данных и содержит точкуПостроить окружность, содержащую точку А и касающуюся окружности с центром в точке В

и окружности с центром в точке С.




ginma:0;42,636

ginma:0;42,630

10

3.11. Окружность касается данной и ортогональна второй даннойЧерез точку А проведите окружность, ортогональную данной окружности (B,R) и

касающуюся данной окружности (C,r).


3.13. Построение инвертирующей окружностиДаны две окружности (O,r) и (O',r'). Постройте окружность относительно которой данныеокружности взаимно инверсны.

Рис. 3.6. Решение задачи о построении инвертирующей окружности



ginma:0;42,633

ginma:0;42,632

11

3.15. Аналог теоремы Пифагора для четырёхвершинникаВ выпуклом четырехугольнике ABCD ABC + ADC ∠ ∠ = 90°. Докажите, что

(AB CD⋅ )² + (AD BC⋅ )² = (AC BD⋅ )².В невыпуклом четырёхвершиннике ABCD ABC + BCD ∠ ∠ = 90°. Докажите, что

(AB CD⋅ )² + (AD BC⋅ )² = (AC BD⋅ )².

Рис. 3.7. Аналог теоремы Пифагора

3.18. Сумма углов криволинейного треугольникаТри окружности с центрами А, В и С имеют общую точку О и попарно пересекаются в точках

D, E и F. Найдите сумму углов криволинейного треугольника DEF.

Рис. 3.8. Сумма углов криволинейного треугольника



ginma:0;42,637

ginma:0;42,638

12

3.19. Инверсия в концентрические окружностиДаны две непересекающиеся окружности. Найти инверсию, переводящую их в пару

концентрических окружностей.

Рис. 3.9. Инверсия в концентрические окружности

3.21. Инверсия в равные окружностиПостройте окружность, инверсия относительно которой переводит две неравные окружности

в две равные. Воспользуйтесь инвариантностью симметрии при инверсии.

Рис. 3.10. Инверсия в равные окружности



ginma:0;42,623

ginma:0;42,639

13

4. Из задачника В.В. Прасолова28.11. Окружность касается трёх данных

Даны окружности α(A,r), β(B,R) и γ(C,ρ). Постройте окружность, касающуюся α внутреннимобразом, β и γ внешним образом.

Рис. 4.1. Окружность касается трёх данных

28.22. ГМТ точек касанияНайдите геометрическое место точек касания окружностей, вписанных в сегмент.

Рис. 4.2. ГМТ точек касания



ginma:0;42,640

ginma:0;42,641

14

28.25. Радикальные осиДокажите, что радикальные оси окружностей, вписанных в сегмент, проходят через одну точку.

4.3. Радикальные оси

28.30. Окружность ФейербахаТочки А , В , С₀ ₀ ₀ – середины сторон ВС, АС и AB треугольника ABC. Докажите, что окружностьФейербаха А В С₀ ₀ ₀ касается вписанной и любой вневписанной окружностей треугольника АВС.

4.4. Окружность Фейербаха



ginma:0;42,658

ginma:0;42,425

15

§18. Полярное соответствие

Точки А и B называют сопряжёнными относительно окружности (O,R) если скалярноепроизведение OA⋅OB=R2 . Из определения следует, что:

– точки окружности (O, R) и только они самосопряжённые;– центр окружности не имеет сопряжённой точки;– сопряжённые точки, лежащие на одной прямой с центром O, лежат по разные стороны от

окружности, то есть точки, сопряжённые точкам внутри окружности находятся вне окружности;– множество всех точек B, сопряжённых с данной точкой А относительно окружности (O,R),

это прямая, перпендикулярная прямой ОА. Такую прямую называют полярой точки Аотносительно данной окружности. Точку А называют полюсом этой прямой;

– центр О не имеет поляры, прямые, проходящие через О, не имеют полюсов.– если точка А лежит вне окружности, то точки касания касательных из А к окружности

лежат на поляре;Докажите, что если точка B лежит на поляре точки А, то точка А лежит на поляре точки B.

Рис. 5.1. Полярное соответствие



16

6. Гл.8, §4. Инверсия пространства относительно сферы

Инверсией пространства относительно сферы (O, R) называют такое преобразованиепространства, при котором каждая точка А, отличная от точки О, отображается на точку А',лежащую на луче ОА и удовлетворяющую условию: ОА ⋅ ОА' = R2.

Сферу (O,R) называют сферой инверсии, центр О – центром инверсии, радиус R – радиусоминверсии.

Точки А и А' равноправны – взаимно инверсны при одной и той же инверсии.Расстояние между образами А' и В' пропорционально расстоянию между прообразами:

OBOA

RABBA

⋅⋅=

2

'' .

Углом между двумя кривыми называют угол между касательными к кривым в их общей точке.

Ортогональными кривыми называют такие кривые, касательные к которым в их общей точке перпендикулярны.



17

§4.2. Образы плоскостей и сфер, прямых и окружностейПользуясь контрольной точкой, проверьте свойства инверсии:– сфера инверсии отображается на себя;– прямая (без точки О), проходящая через центр инверсии, отображается на себя;– плоскость (без точки О), проходящая через центр инверсии, отображается на себя;– образ сферы радиуса r, содержащей центр инверсии, – это плоскость. Она перпендикулярна

линии центров сферы и сферы инверсии. Она удалёна от центра инверсии на расстояние r

R

2

2

;

– образ плоскости, не содержащей центр инверсии, – это сфера, проходящая через центринверсии;

– плоскость, содержащая центр инверсии, переходит в себя;– образ сферы, содержащей центр инверсии, – это плоскость, не содержащая центр инверсии;– образ сферы, не содержащей центр инверсии, – это сфера, не содержащая центр инверсии;– окружность, содержащая центр инверсии, отображается на прямую;– окружность, не содержащая центр инверсии, отображается на окружность;– инверсия сохраняет величину угла между кривыми;– касающиеся тела при инверсии переходят в касающиеся.Инверсия сохраняет величину угла между кривыми. Угол между двумя кривыми равен углу

между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.Если две данные сферы касаются, то их образами будут или две касающиеся сферы, или

касающиеся сфера и плоскость, или две параллельные плоскости.Если две сферы, две плоскости или плоскость и сфера пересекаются под некоторым углом, их

образы пересекаются под тем же углом.

Рис. 6.1. Свойства инверсии пространства

Рис. 6.2. Свойства инверсии пространства (2)



ginma:0;42,483

ginma:0;42,483,2

ginma:0;42,483,4

ginma:0;42,483,5

ginma:0;42,483,7

18

Инверсия сферы в себя [4, 16.6]

а) Дана сфера и точка О, лежащая вне её. Докажите, что существует инверсия с центром О,пepеводящая данную сферу в себя.

б) Дана сфера и точка О, лежащая внутри ее. Докажите, что существует инверсия с центромО, переводящая данную сферу в сферу, симметричную ей относительно точки О.



19

Гомотетичность двух взаимно инверсных сфер [4, 16.7], [5, 20.8].

Даны сфера инверсия с центром I и радиусом R и сфера c центром O и радиусом r. Пусть врезультате инверсии сфера (O, r) переходит в сферу c центром Q. Докажите, что I – центргомотетии, переводящей сферу с центром O в сферу с центром Q.

Исследование. На рисунке показаны A – точка сферы c центром O радиусом r, A' – результатинверсии точки А, B – вторая точка пересечения прямой АI и сферы c центром O. При этом

22 rOIBIAI −=⋅ . Исходная сфера задана точками O и r, инверсия – центром I и точкой Q. Радиуссферы инверсии определяет положение точки Q. Создайте исходную сферу, определите инверсиюи исследуйте результат инверсии.

Решение. Пусть A – точка сферы c центром O радиусом r, A' – результат инверсии точки А

относительно сферы с центром в I радиуса R. При этом 2

2

'IA

RIAIA = . Пусть B – вторая точка

пересечения прямой АI и сферы c центром O. При этом 22 rOIBIAI −=⋅ . Пусть точка Q

расположена на луче OI, так, что 22

2

rIO

RIOQI

−= . Тогда точка A' – результат гомотетии точки B с

центром гомотетии в точке I и коэффициентом гомотетии 22

2

rIO

Rk

−= . Значит, точки A' заполняют

сферу с центром в точке Q, гомотетичную сфере c центром O с центром гомотетии в точке I и

коэффициентом гомотетии 22

2

rIO

Rk

−= . Следовательно, результат инверсии это сфера с центром в

точке Q.

Рис.6.3. Гомотетичность двух взаимно инверсных сфер



ginma:0;42,529

20

Две взаимно инверсные окружности

Докажите, что две взаимно инверсные окружности принадлежат одной сфере (или в однойплоскости).

Решение. Пусть точки исходной окружности А, В, С и Р. Пусть их образы при инверсииточки А', В', С' и Р' не лежат в плоскости АВС. По свойству секущих, точки A, Р, А' и Р' лежат наокружности (ОА ⋅ ОА' = R2 = ОР ⋅ ОР').

Пересекающиеся окружности АВР и AА'Р задают сферу, на которой расположены такжеточки С, А', В', С' и Р'. Сферу однозначно определяют 4 точки, значит, сфера АВРР' и результат еёинверсии сфера А'В'Р'Р – это одно и то же.

Эта сфера содержит две взаимно инверсные точки А и А', значит, она при инверсии переходитсама в себя. Это и есть искомая сфера.

Рис.6.4. Две взаимно инверсные окружности



ginma:0;42,484

21

Описанные окружности граней тетраэдра [4, 16.8]

Докажите, что угол между описанными окружностями двух граней тетраэдра равен углумежду описанными окружностями двух других его граней.



22

Прямая из фиксированной точки пересекает сферу [6, 234], [4.16.9]

Прямая из точки А пересекает сферу в точках В и С. Найдите геометрическое место точек С,если точка В расположена на данной окружности DEF.

Решение. Точки В и С взаимно инверсны относительно сферы с центром в точке А и радиусом √∣AO2−R2∣ . Задача свелась к предыдущей.

Рис.6.5. Луч пересекает сферу



ginma:0;42,497

23

Четыре сферы, попарно касающиеся в шести точках [4, 16.13], [5, 20.17].

Четыре сферы попарно касаются друг друга в шести различных точках. Докажите, что этишесть точек лежат на одной сфере.

Пусть исходные сферы имеют центры A, B, C и D. Обозначим точки касания сфер так: точкаO касания сфер А и В, точка BC касания сфер B и C, точка AC касания сфер A и C и так далее (AD,BD, CD). Конфигурацию задают центры сфер A, B, C и точка Р.

Решение. Выполним инверсию относительно сферы с центром О и радиусом АO (это радиуссферы с центром А). Эта инверсия переводит точку О в бесконечность и превращает сферы,касающиеся в этой точке, в плоскости. При этом А – неподвижная точка преобразования.

Образ сферы А – это плоскость α, перпендикулярная АО. Плоскость содержит точки АС' иAD' – образы точек AС и AD.

Образ сферы В – плоскость β, перпендикулярная ВО (и параллельная образу сферы А),содержащая ВС' и ВD' – образы точек ВС и ВD.

Образ сферы C – это сфера γ, касающаяся двух построенных плоскостей в точках АС' и ВС'.Такая сфера имеет диаметр, равный расстоянию между плоскостями. Образ сферы D – этоаналогичная сфера δ, касающаяся двух построенных плоскостей в точках AD' и ВD'. Точка СDкасания сфер C и D переходит в точку касания образов сфер СD'. Ясно, что отрезки (АС', ВС') и(АD', ВD') перпендикулярны плоскостям α и β, равны диаметру сферы γ и параллельны междусобой. Отрезки (АС', AD') и (СD', ВD') – это отрезки внешних касательных сфер γ и δ,перпендикулярные параллельным диаметрам. Они также равны диаметру сферы γ, параллельнымежду собой и перпендикулярны отрезкам (АС', ВС') и (АD', ВD'). Значит, (АС', ВС', ВD', АD') –это квадрат. Точка СD' – это середина отрезка, соединяющего центры сфер γ и δ, то есть, центрквадрата. Следовательно, образы пяти точек касания – это вершины квадрата и его центр, шестой –бесконечно удалённая точка. Все они лежат в плоскости квадрата и при обратном преобразованиипереходят на одну сферу.

Рис.6.6. Четыре сферы, попарно касающиеся в шести точках



ginma:0;42,481

24

Четыре сферы, попарно касающиеся в четырёх точках [4, 16.14], [5, 20.18]Даны четыре сферы с центрами A,B,C и D., причём сферы A и В касаются в точке F, B и С – в

точке G; D и С – в точке H, A и D – в точке E. Докажите, что точки E, F, G и H лежат на однойокружности (или на одной прямой).

Решение. Выполним инверсию относительно сферы с центром F (точкой касания сфер А и В)и радиусом АF (радиус сферы с центром А).

Образ сферы А – плоскость A', перпендикулярная АF содержащая E' – образ точки Е. Образ сферы В – плоскость B', перпендикулярная ВF (и параллельная образу сферы А)

содержащая G' – образ точки G. Образ сферы C –это сфера, касающаяся плоскости B' в точке G' и проходящая через Н'.

Образ сферы D – это аналогичная сфера, касающаяся плоскости A' в точке Е' и проходящая черезН'. Точка F касания сфер A и D переходит в бесконечно удалённую точку.

Известно, что если две сферы касаются двух параллельных плоскостей и касаются междусобой, то три точки касания (Е', G' и Н') расположены на прямой. Её прообраз – это окружность(или прямая), содержащая также центр инверсии точку F.

Рис.6.7. Четыре сферы, попарно касающиеся в четырёх точках



ginma:0;42,523

25

Пятая сфера касается четырёх

Даны четыре сферы с центрами A, B, C и D, причём сферы A и В касаются в точке F, B и С – вточке G; D и С – в точке H, A и D – в точке E. Постройте пятую сферу, которая касается каждой изэтих сфер.

Решение. Выполним инверсию относительно сферы с центром F (точкой касания сфер А и В)и радиусом АF (радиус сферы с центром А).

Образ сферы А – плоскость A', перпендикулярная АF и содержащая E' – образ точки Е.Образ сферы В – плоскость B', перпендикулярная ВF (и параллельная образу сферы А),содержащая G' – образ точки G. Образ сферы C –это сфера, касающаяся плоскости B' в точке G' ипроходящая через Н'. Образ сферы D – это аналогичная сфера, касающаяся плоскости A' в точкеЕ' и проходящая через Н'. Точка F касания сфер A и D переходит в бесконечно удалённую точку.Образ пятой сферы касается образов всех построенных сфер, то есть это сфера с радиусом,равным половине расстояния между плоскостями A' и В', центр которой удалён от центров сферС' и D' на известное расстояние. В общем случае можно построить две таких сферы. Находимточки касания Q1...Q4 и строим их прообразы O1..O4, пользуясь которыми построим искомуюсферу.

Рис.6.8. Пятая сфера касается четырёх



ginma:0;42,525

26

Построение сферы, касающейся трёх данных

Постройте сферу, внешним образом касающуюся трёх данных сфер, попарно касающихсядруг друга внешним образом, если центры всех сфер лежат в одной плоскости.

Решение. Выполним инверсию относительно сферы с центром А1 (точкой касания сфер А иВ) и радиусом АА1 (радиус сферы с центром А).

Образ сферы А – плоскость A', перпендикулярная АB содержащая С1' – образ точки С1

касания сфер С и A.

Образ сферы В – плоскость B', перпендикулярная AB (и параллельная образу сферы А),содержащая B1' – образ точки B1 касания сфер D и A.

Образ сферы C –это сфера, касающаяся плоскости B' в точке B1' и плоскости A' в точке C1'.

Образ искомой сферы D – это сфера, касающаяся плоскостей A' и В' и сферы С'. Её центр О'лежит в плоскости центров, которая содержит центр инверсии и переходит в себя. Он равноудалёнот плоскостей А' и B', и от сферы С', причём расположен дальше от центра инверсии, чем сфераС'. Пусть образ четвёртой сферы касается А' и B' в точках D1' и Е'. Тогда эта сфера касается сферA и В в прообразах этих точек точках D1 и Е. Пользуясь этими точками, строим искомую сферу.

Рис.6.9. Построение сферы, касающейся трёх данных



ginma:0;42,527

27

Пять сфер [4, 16.17], [5, 20.11]

Четыре сферы попарно касаются в различных точках, и их центры лежат в одной плоскости.Пятая сфера касается всех этих сфер. Найдите отношение расстояния от её центра до плоскости крадиусу этой сферы.

Решение. Выполним инверсию относительно сферы с центром А1 (точкой касания сфер А иВ) и радиусом АА1 (радиус сферы с центром А). Образ сферы А – плоскость A', перпендикулярнаяАB и содержащая С1' – образ точки С1 касания сфер С и A. Образ сферы В – плоскость B',перпендикулярная AB (и параллельная образу сферы А) и содержащая B1' – образ точки B1

касания сфер B и A. Образ сфер C, D, O – это сферы, касающиеся плоскостей A' и B', то есть триравные касающиеся друг друга сферы. Плоскость АВС переходит в себя, так как центр инверсииточка А1 лежит в ней. Центры сфер С' и D' остаются в плоскости АВС, поскольку сферысимметричны относительно этой плоскости. Центры сфер С', D' и О' образуют правильныйтреугольник, вершина О' которого удалена от стороны С'D' (и плоскости AВС) на расстояние,равное высоте треугольника, которая в 3 раз больше, чем половина стороны, равная радиусукаждой из этих сфер. Поскольку сферы О' и О гомотетичны относительно точки, лежащей вплоскости АВС, отношение расстояния к радиусу не изменяется. Поэтому отношение расстоянияот центра пятой сферы до плоскости к радиусу сферы равно 3 .

Рис.6.10. Пять сфер



ginma:0;42,526

28

7. Стереографическая проекция

Стереографическая проекция – это центральная проекция сферы (O,R) из её точки S наплоскость П, касающуюся сферы в диаметрально противоположной точке S'.

Пусть плоскость П касается сферы в точке N, SN – диаметр этой сферы. Стереографическойпроекцией из точки S называют отображение сферы с выколотой точкой S на плоскость П, прикотором точке А, лежащей на сфере, сопоставляется точка А', в которой луч SА пересекаетплоскость П.

Докажите, что стереографическая проекция сферы (O,R) из её точки S на плоскость П, намножестве точек этой сферы совпадает с инверсией пространства относительно сферы (S,2R).

Доказательство. При стереографической проекции из точки S точке А, лежащей на сфере, сопоставляется

точка А', в которой луч SА пересекает плоскость П. Пусть SO = R, ∠OSA = α. Тогда SA = 2Rcosα,SN = 2R, SN : SA' = cosα. Значит, SA ⋅ SA' = 4R2.

При инверсии пространства относительно сферы (S,2R) по определению SA ⋅ SA' = 4R2.

Рис. 7.1. Стереографическая проекция точки



ginma:0;42,479

29

Свойства стереографической проекции (как инверсии)

Стереографическая проекция – это частный случай инверсии. Пользуясь контрольной точкой,проверьте свойства инверсии:

– при проектировании окружность на сфере, проходящая через точку S, переходит в прямую вплоскости проекции;

– при проектировании окружность на сфере, не проходящая через точку S, переходит в окружность в плоскости проекции;

– при проектировании сохраняются углы между кривыми;

– при проектировании касающиеся кривые преобразуются в касающиеся;

– прямые и окружности плоскости при обратной проектированию операции проектируютсяна сферу в окружности, соответственно проходящие и не проходящие через центр проектированияточку S.

Рис.7.2. Стереографическая проекция окружности



ginma:0;42,472,3

30

Группы касающихся окружностей

Задание. Расположите на плоскости четыре окружности так, чтобы каждая касалась трёх изостальных.

Расположите на плоскости шесть окружностей так, чтобы каждая касалась ровно четырёх изостальных.

[2,20.30]. Расположите на плоскости двенадцать окружностей так, чтобы каждая касаласьровно пяти из остальных.

Расположите на плоскости двадцать окружностей так, чтобы каждая касалась трёх изостальных.

Исследование. В Вашем распоряжении четыре интерактивных файла. Исследуйте, какпостроены конфигурации. На всех интерактивных рисунках активна точка А касания парыокружностей. На простейшем рисунке активна также точка В – центр стереографическойпроекции.

Решение. Четыре окружности на сфере получены, как сечения сферы правильнымполувписанным тетраэдром. Окружности на плоскости – это стереографическая проекция первойгруппы окружностей.

Рис. 7.3. Касающиеся окружности и способ их построения



ginma:0;42,473

ginma:0;42,475

ginma:0;42,474

ginma:0;42,476

31

Точки пересечения окружностей на сфере [5,20.31]

На сфере даны три окружности PAB, PBC и PAC. На окружностях выбраны точки D∈PAB,E∈PBC, F∈PAC, отличные от точек A, B, C и P. Докажите, что окружности AEF, BDF и CDEпересекаются в одной точке.

Исследование. Задайте сферу точками О и R. Перемещая точки A, B, C, D, E, F и P по сферепроверьте утверждение задачи.

Решение. Рассмотрим стереографическую проекцию из точки P. При этом преобразованииокружности PAB, PBC и PAC перейдут в прямые А'В', А'C' и С'В'. Окружности AEF, BDF и CDEперейдут в окружности A'E'F', B'D'F' и C'D'E'. Известно, что такие окружности пересекаются водной точке Q'. Таким образом, искомая точка пересечения – это прообраз Q точки Q'.

Рис. 7.4. Пересечение троек окружностей



ginma:0;42,494

32

Преобразование окружности в окружность [4,16.20]

В пространстве даны окружность S и точка В. Пусть А — проекция точки В на плоскость,содержащую окружность S. Для каждой точки D окружности S рассмотрим точку М — проекциюточки А на прямую DB. Докажите, что все точки М лежат на одной окружности.



33

Свойство проекций на грани пирамиды [4, 16.21], [2,20.28]

Дана пирамида SABCD, причём ее основание – четырёхугольник ABCD сперпендикулярными диагоналями, а плоскость основания перпендикулярна прямой SO, где O –точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных източки O на боковые грани пирамиды, лежат на одной окружности.

Рис. 7.5. Свойство проекций на грани пирамиды

Пусть OE перпендикулярна грани SAB,(OH перпендикулярна грани SAD, OF перпендикулярнаграни SBC, OG перпендикулярна грани SCD), Е – точка пересечения ₀ SE и AB (F – точка₀пересечения SF и BC, G –₀ точка пересечения SG и CD, H –₀ точка пересечения SH и AD). Тогдаплоскость ASE перпендикулярна грани SAB, значит, точка Е – это основание перпендикуляра,₀опущенного из О на сторону АВ. Известно, что в четырёхугольнике с перпендикулярнымидиагоналями основания проекций, опущенных на стороны из точки пересечения диагоналей настороны, лежат на одной окружности. Значит, Е₀F₀G₀H –₀ окружность. Окружность Е₀F₀G₀H ₀ - этостереографическая проекция кривой ЕHGF на плоскость основания. Значит, ЕHGF - этоокружность.



ginma:0;42,806

ginma:0;42,478

34

Литература

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия. Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.

2. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: Т.2: Стереометрия, преобразования пространства. –М.:Изд. МЦНМО. 2006. – 256 с.

3. В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии – М.: МЦНМО, 2000. – 584 с.

4. В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. –М.: «НАУКА», 1989, Библиотекаматематического кружка, вып. 19. – 287 с.

5. В. В. Прасолов. Задачи по стереометрии: Учебное пособие. –М.: МЦНМО, 2010. – 352 с.

6. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. Стереометрия. 10 – 11 кл.: Пособие для учащихся. –М.: Дрофа, 1998.– 272 с.

7. И.Д. Жижилкин И. Д. Инверсия.–М.: Изд–во МЦНМО, 2009.–72 с.



Инверсия - deoma-cmd.ru˜нверсия.pdf · Инверсия В комплекте...

Documents