ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ

KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ – ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

∆ιαπανεπιστηµιακό – ∆ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών

“∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”

∆ιπλωµατική Εργασία

Οι Γεωµετρικές Μελέτες του Girard Desargues, η Προοπτική

του & η Συµβολή τους στη Θεµελίωση της Προβολικής

Γεωµετρίας.

Μια Ιστορική ∆ιαδροµή µε ∆ιδακτικές Προεκτάσεις

Μεταπτυχιακός Φοιτητής : Τόγκας Αναστάσιος

Επιβλέπων Καθηγητής : Λάππας ∆ιονύσιος

Αθήνα, Ιούνιος 2009

2

Η παρούσα ∆ιπλωµατική Εργασία

εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών

για την απόκτηση του

Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατος Ειδίκευσης

που απονέµει το

∆ιαπανεπιστηµιακό – ∆ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών

“∆ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών”

Εγκρίθηκε την __________________________ από Εξεταστική Επιτροπή

αποτελούµενη από τους:

Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή

1. Λάππας ∆ιονύσιος (Επιβλέπων Καθηγητής) Αν. Καθηγητής _________

2. Γιαννακούλιας Ευστάθιος Αν. Καθηγητής _________

3. Σπύρου Παναγιώτης Επίκ. Καθηγητής _________

3

Ευχαριστώ θερµά : τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Λάππα ∆ιονύσιο, για την πολύτιµη βοήθειά του στην

επιλογή και διαµόρφωση του θέµατος, για τις συµβουλές του κατά τη διάρκεια της

εκπόνησης της εργασίας, για τον χρόνο που διέθεσε και για την εµπιστοσύνη που µου

έδειξε στις µεταπτυχιακές µου σπουδές. Κατέστη φανερό ότι το να συµβουλεύει τους

φοιτητές του και να στέκεται αρωγός στις προσπάθειές τους, το θεωρεί υποχρέωση.

τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Γιαννακούλια Ευστάθιο που µου έκανε την τιµή να

συµµετάσχει στην Εξεταστική επιτροπή και να συµπαρίσταται στην προσπάθειά µου.

τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Σπύρου Παναγιώτη. Η παρακολούθηση των διαλέξεών του

και ο χρόνος που αφιέρωσε για συζήτηση µαζί µου, µου ενέπνευσαν ένα διαφορετικό και

πολυεστιακό ενδιαφέρον για µελέτη.

& όλους τους διδάσκοντες του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος.

4

one more convert to perspective from Charles Hayter, Introduction to Perspective (1813)

στην µικρή Καλοµοίρα,

στην Κατερίνα

και στους γονείς µου.

D΄

C΄

Β΄

A΄

D

C

B

A

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………...7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Το Γεωµετρικό «Υπόβαθρο» του Desargues1

1.1 Οι Γεωµετρικές µελέτες του Girard Desargues (Περίγραµµα)………………………...14

1.2 Η «κληρονοµιά» των αρχαίων Ελλήνων γεωµετρών………………………………….17

1.3 Οι Προβολικές ιδέες του Πάππου……………………………………………………...20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Προοπτική

2.1 Προέλευση της έννοιας………………………………………………………………...32

2.2 Η Προοπτική στην Αρχαιότητα – Τα Οπτικά του Ευκλείδη…………………………..34

2.3 Η Προοπτική στον Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση…………………………………43

2.4 Η Προοπτική σαν µαθηµατικός κλάδος, λίγο πριν τον Desargues…………………….55

2.5 Η Μέθοδος Προοπτικών Κατασκευών του Desargues (1636)………………………...58

2.6 Ανάλυση της Μεθόδου ………………………………………………………………..68

2.7 Ο Σκοπός της Εργασίας (1636) του Desargues πάνω στην Προοπτική……………...80

2.8 Η µετ’ εµποδίων αποδοχή της µεθόδου του…………………………………………...84

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κωνικές Τοµές

3.1 Οι Κωνικές Τοµές προ του Απολλωνίου………………………………………………88

3.2 Οι Κωνικές Τοµές κατά τον Απολλώνιο………………………………………………94

3.3 Προτάσεις των Κωνικών του Απολλωνίου που µελέτησε ο Desargues

(I.15, 17, 34, 36, 47, 50,...)…………………………………………………………..110

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Tο Μαθηµατικό έργο του Desargues

4.1 Σύνδεση Προοπτικής & Προβολής στο Α΄ Μέρος του Brouillon Project2…………..117

1 Το δείγµα της υπογραφής του G. Desargues που εικονίζεται στο εξώφυλλο της εργασίας, είναι από µια εξουσιοδότηση προς τον αδελφό του Antoine στις 16-12-1629 και από διαθήκη που συνετάχθη στις 22-11-1656. Τα έγγραφα αυτά φυλάσσονται στα Νοµικά Αρχεία της Rhône στη Γαλλία (Chaboud, 1996). 2 Εν συντοµία, BrP.

6

4.2 Σύνδεση Προοπτικής & Κωνικών στο Β΄ Μέρος του Brouillon Project…………….123

4.3 Η εφεύρεση της Προβολικής Γεωµετρίας……………………………………………125

4.4 Brouillon Project (1639) Μέρος Α΄…………………………………………………..129

4.5 Brouillon Project (1639) Μέρος Β΄…………………………………………………..151

4.6 Γενίκευση της Θεωρίας του Απολλωνίου……………………………………………183

4.7 Οι τρεις γεωµετρικές προτάσεις του 1648 (Το «Θεώρηµα του Desargues»)………...188

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Η Προβολική Γεωµετρία µετά τον Desargues

5.1 Τα Θεωρήµατα των Pascal και Brianchon……………………………………………199

5.2 Τοπολογία & Οπτικοποίηση Προβολικού Επιπέδου…………………………………205

5.3 Γιατί τα Θεωρήµατα των Desargues & Πάππου ξεχωρίζουν; Desarguesian & Pappian

planes……………………………………………………………………………………..221

5.4 ∆ύο διδακτικές εφαρµογές: Κατασκευή των ακεραίων στην προβολική ευθεία & Κοινά

σηµεία ευθείας – κωνικής που δεν συναντώνται µε ευκλείδειο τρόπo…………………..229

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A

Οι φιλοσοφικές απόψεις των Husserl & Gadamer πάνω στην έννοια του Ορίζοντa……. 238

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B

Σύντοµο βιογραφικό του Girard Desargues (1591 – 1661)………………………………244

Bιβλιογραφία……..………………………………………………………………………246

Ευρετήριο Όρων – Εννοιών………………………………………………………………248

7

Εισαγωγή

In the Garden of Eden, God is giving Adam a

geometry lesson: “Two parallel lines intersect at

infinity. It can’t be proved but I’ve been there.”

A math joke from the web

Η µελέτη της Γεωµετρίας ξεκίνησε περίπου δυόµιση χιλιάδες χρόνια πριν και είναι

φυσικό σε ένα τόσο µεγάλο χρονικό διάστηµα να έχουν εµφανιστεί αρκετά κοµβικά στάδια

ανάπτυξης και εξέλιξης. Η οπτική γωνία µε την οποία, µέσω της παρούσας εργασίας, θα

προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε τον κλάδο αυτόν είναι η προβολική «σκοπιά». Ας την

οριοθετήσουµε λοιπόν. Κατά την πάροδο των αιώνων διαµορφώθηκαν και αναπτύχθηκαν

τρεις βασικές προσεγγίσεις µελέτης της γεωµετρίας – Η Μετρική, η Προβολική και η

Αναλυτική – και είναι ενδιαφέρον να δούµε εν τάχει τη συµµετοχή της κάθε µιας στο

σηµερινό γνωστικό µας οικοδόµηµα.

Η πρώτη µέθοδος µελέτης άρχισε µε τους αρχαίους Έλληνες γεωµέτρες και βέβαια

αποτυπώνεται στο όνοµα του Ευκλείδη. Η Ευκλείδεια γεωµετρία βασίζεται στη θεµελιώδη

έννοια της απόστασης, δηλαδή στο µήκος. Η απόσταση ποτέ δεν ορίζεται, παραµένει όµως

σαν διαισθητική αρχέτυπη έννοια η οποία υποκρύπτεται σε κάθε γεωµετρικό θεώρηµα. Η

Ευκλείδεια γεωµετρία είναι Μετρική γιατί υποθέτει ότι κάθε τµήµα ή γωνία µπορεί να

µετρηθεί, δηλαδή να συγκριθεί µε µια σταθερή απόσταση ή γωνία. Τις γεωµετρικές

προτάσεις µπορούµε να τις διαιρέσουµε σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη περιέχει εκείνες που

συνδέονται ευθέως µε το µέγεθος των σχηµάτων (π.χ. µήκος), όπως η Ι.47 (Πυθαγόρειο

Θεώρηµα) των Στοιχείων και αυτές που εµπλέκουν περισσότερο ή λιγότερο την ιδέα της

ποσότητας ή της µέτρησης, όπως η Ι.12 («Επί δοθείσης ευθείας, από δοθέντος σηµείου µη

κειµένου επ’ αυτής, δύναται ν’ αχθεί ευθεία γραµµή κάθετος»). Τέτοιες προτάσεις

καλούνται µετρικές (metrical). Η δεύτερη κατηγορία δίνει απόλυτη προτεραιότητα στη

θέση των σχηµάτων και η ιδέα της ποσότητας δεν υπεισέρχεται καθόλου. Οι προτάσεις

αυτής της κατηγορίας καλούνται περιγραφικές (descriptive). Στα Στοιχεία οι περισσότερες

προτάσεις είναι µετρικές και δεν είναι εύκολο να εντοπιστεί µια καθαρά περιγραφική

πρόταση. Ένα δείγµα τέτοιας είναι η πρόταση ΧΙ.2 («Εάν δύο ευθείες τέµνονται τότε

κείνται επί του αυτού επιπέδου και παν τρίγωνον κείται επί του αυτού επιπέδου»). Ακόµα

8

και η ετυµολογία της λέξης Γεωµετρία δείχνει ότι οι Έλληνες είχαν στο µυαλό τους µια

µετρική µελέτη της επιστήµης αυτής. ∆εν µελέτησαν χωρικά χαρακτηριστικά και δεν

πρόσεξαν εσωτερικές δοµικές ποιότητες ευθειών ούτε ανακάλυψαν έννοιες όπως ο

δυισµός3 και η γεωµετρική συνέχεια. Σκέφτονταν πάνω στη γεωµετρία τους µε βάση το

εργαλείο σχεδίασης ευθείας, π.χ. κιµωλία, που κρατούσαν στα χέρια τους. Η σκέψη τους

προέκτεινε την ευθεία µέχρι εκεί που µπορούσε να φτάσει το χέρι τους (ή καλύτερα η

προέκταση του χεριού τους) και όχι το µάτι τους. Έτσι οριοθετούσαν κατά κάποιο τρόπο

την ευθεία. Γι’ αυτό τα ευθύγραµµα τµήµατα τα αποκαλούσαν ευθείες ενώ εµείς βέβαια τα

ξεχωρίζουµε. Ο Αρχιµήδειος ορισµός της ευθείας4 ως την ελάχιστη απόσταση µεταξύ δύο

σηµείων είναι ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγµα, όπως και η λέξη «υποτείνουσα». Η

γεωµετρία τους είναι γεωµετρία της αφής (ή της εν δυνάµει αφής) και όχι της όρασης.

Είναι αµφίβολο αν θα µπορούσαν να δεχτούν σχήµατα τελείως διαφοροποιηµένα από

χωροθετική και τοπολογική οπτική ως εξεικόνιση του ίδιου θεωρήµατος. Ιδέες όπως το ότι

οι παράλληλες θα µπορούσαν να συναντηθούν σε κάποιο σηµείο στο ∞ ή ότι α φορές το β

δεν ισούται απαραίτητα µε β φορές το α, θα τους φαίνονταν αδιανόητες. Το άπειρο, όπου

κι αν είναι, περνά το κατώφλι της αφής και της µέτρησης. Ανήκει διαισθητικά µόνο στο

πεδίο της όρασης. Για παράδειγµα ο Απολλώνιος, όπως και ο Ευκλείδης, δεν έβλεπε τον

κώνο ως «οριακή» περίπτωση κυλίνδρου. Μόνο προς το τέλος της αρχαίας γεωµετρίας

περίπου πεντακόσια χρόνια µετά τον Απολλώνιο, βρέθηκε ο Πάππος ο οποίος έκανε µια

πρώτη γενική αναφορά βασισµένη σε διευθετούσα και εστίες που κάλυπτε τις τρεις

κωνικές τοµές.5 Και αυτός όµως νόµισε ότι «ξεµπέρδεψε» µε αυτές και τίποτε σηµαντικό

δεν απέµενε να κάνει. Έτσι η υπόθεση των κωνικών έκλεισε και άνοιξε πάλι το 1600

περίπου όπου η οπτική διαίσθηση την εφοδίασε µε νέες ιδέες.

Πέρα όµως από τα Στοιχεία του Ευκλείδη και εκτός από τα θεωρήµατα τα οποία

εµφανώς συνδέονταν µε την έννοια της απόστασης, οι γεωµέτρες ενδιαφέρονταν και για

θεωρήµατα τα οποία ενέπλεκαν ευθείες συντρέχουσες ή σηµεία συγγραµµικά. Ένα

αντιπροσωπευτικό παράδειγµα είναι το Θεώρηµα του Πάππου αποδεδειγµένο από τον ίδιο

µε µεθόδους µετρικής γεωµετρίας, περίπου το 300 µ. Χ. Τέτοια θεωρήµατα, που

ονοµάστηκαν προβολικά, ήταν για πολλούς αιώνες απλώς «επισυναπτόµενα» στη

γεωµετρία του Ευκλείδη και δεν αναγνωρίζονταν ως διαφορετικού χαρακτήρα. Έπρεπε να

περιµένουν µέχρι τον 17ο αιώνα, ώστε ο Girard Desargues και σ’ ένα µικρότερο βαθµό πιο

3 Η αρχή του δυισµού διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Gergonne το 1826. 4 Περί σφαίρας και κυλίνδρου Α΄, Λαµβανόµενα, 1 (Σταµάτης, 1970). 5 Ivins, 1946.

9

πέρα ο Blaise Pascal, να τα κάνουν να καρποφορήσουν και να δηµιουργηθούν έτσι τα

θεµελιώδη θεωρήµατα της Προβολικής πια γεωµετρίας. Και οι δύο εκµεταλλεύτηκαν

πλήρως τα θεωρήµατα της µετρικής γεωµετρίας και αργότερα, µετά την έκδοση του έργου

Geometrie der Lage (Γεωµετρία της Θέσης) από τον Von Staudt το 1847, η Προβολική

γεωµετρία καθιερώνεται σαν επιστήµη θεµελιωµένη σε ένα διαφορετικό σύνολο

αξιωµάτων από εκείνο του Ευκλείδη. Συνδέεται δε µε περιγραφικές ιδιότητες των

σχηµάτων οι οποίες µένουν αναλλοίωτες µέσω προβολής, τις λεγόµενες προβολικές

ιδιότητες. Για παράδειγµα επειδή η έννοια του µεγέθους ενός σχήµατος µπορεί να

τροποποιείται όταν δέχεται προβολή, οι µετρικές ιδιότητες είναι γενικά µη προβολικές.

Πάντως υπάρχει και µια υποκατηγορία των µετρικών ιδιοτήτων (οι αναρµονικές) οι οποίες

είναι προβολικές και έτσι η µελέτη τους βρίσκει θέση στην Προβολική γεωµετρία.

Αποδείχθηκε λοιπόν ότι τα θεωρήµατα της Προβολικής γεωµετρίας ήταν ανεξάρτητα από

την έννοια της απόστασης. Τα θεωρήµατα πλέον της Μετρικής γεωµετρίας βρέθηκαν να

είναι ειδικές περιπτώσεις γενικότερων θεωρηµάτων της Προβολικής και έτσι η Ευκλείδεια

γεωµετρία είναι µόνο ένα µέρος του χώρου που καλύπτει η επιστήµη της Προβολικής

γεωµετρίας.

Τέλος η τρίτη µέθοδος της µελέτης της γεωµετρίας, η Αναλυτική, εισήχθη από τον

René Descartes, ο οποίος αναπαρέστησε ένα σηµείο µε ένα σύνολο αριθµών και έτσι

εφάρµοσε αλγεβρικές µεθόδους στην επίλυση γεωµετρικών προβληµάτων. Ο Descartes

χρησιµοποίησε βέβαια την έννοια της απόστασης και έτσι η γεωµετρία του θεωρείται

µετρική αλλά το κατόρθωµά του ήταν ότι χρησιµοποιώντας αλγεβρική γλώσσα για να

εκφράσει γεωµετρικές έννοιες µπόρεσε να απλουστεύσει πολλές αποδείξεις θεωρηµάτων

οι οποίες ήταν δύσκολο να γίνουν µε τις κλασικές µεθόδους. Βέβαια οι µέθοδοι της

Αναλυτικής γεωµετρίας δεν εφαρµόστηκαν µόνο σε µετρικά προβλήµατα αλλά γεωµέτρες

όπως ο Poncelet και ο Cayley τις εφάρµοσαν, µε τροποποιήσεις, σε ολόκληρο το πεδίο της

προβολικής γεωµετρίας. Οι καρτεσιανές συντεταγµένες αντικαταστάθηκαν από τις

οµογενείς συντεταγµένες οι οποίες, ως ανεξάρτητες από µετρικές έννοιες,

«συνεργάζονταν» καλύτερα µε προβολικά προβλήµατα.

Επιπροσθέτως η εφαρµογή της άλγεβρας στη γεωµετρία είχε µια πολύ

ενδιαφέρουσα συνέπεια. Όταν εµφανίστηκε η θεωρία των µιγαδικών αριθµών και η

εξίσωση 2ου βαθµού έδινε πάντα δύο ρίζες, πραγµατικές ή µιγαδικές, ήταν ίσως απλό να

αναρωτηθεί κάποιος για την ύπαρξη φανταστικών σηµείων. Γιατί το πρόβληµα της

εύρεσης κοινών σηµείων σε µια ευθεία και σε µια κωνική δεν µπορούσε να λυθεί

ικανοποιητικά και όταν διαπιστώθηκε ότι το πρόβληµα µεταφράζεται αλγεβρικά σε

10

επίλυση δευτεροβάθµιας εξίσωσης, έγινε ξεκάθαρο ότι η ευθεία και η κωνική έχουν

πάντοτε δύο κοινά σηµεία, µόνο που αυτά θα είναι πραγµατικά ή φανταστικά. Η χρήση

λοιπόν των φανταστικών σηµείων άνοιξε νέους γόνιµους δρόµους διότι έδωσε τη

δυνατότητα στους γεωµέτρες να δουλέψουν πάνω σε γενικότερα θεωρήµατα που δεν θα

ήταν αληθή αν είχαν σταµατήσει µόνο στο χώρο των πραγµατικών σηµείων.

Αλλά ας αναλύσουµε λίγο περισσότερο την έννοια της προβολής. Έστω ότι έχουµε

δύο σχήµατα σε διαφορετικά επίπεδα. Λέµε ότι το καθένα προκύπτει από το άλλο µέσω

παράλληλης προβολής όταν τα αντίστοιχα σηµεία τους ανήκουν σε παράλληλες ευθείες.

(Για παράδειγµα αυτό συµβαίνει όταν ο ήλιος ρίχνει τη σκιά ενός αντικειµένου στο

έδαφος. Έτσι όταν ένα κυκλικό νόµισµα αφήνει ελλειπτική σκιά, οι ευθείες που ενώνουν

κάθε σηµείο του κύκλου µε το αντίστοιχο της έλλειψης είναι παράλληλες). Προφανώς αν

τα επίπεδα είναι παράλληλα, τα δύο σχήµατα µπορούν να ταυτιστούν. Σε αντίθετη

περίπτωση, τα σχήµατα είναι δυνατόν να διαφέρουν αλλά οι ευθείες παραµένουν ευθείες,

οι εφαπτόµενες σε καµπύλες παραµένουν εφαπτόµενες, οι παράλληλες παραµένουν

παράλληλες, τα µισά τµηµάτων παραµένουν µισά και οι ίσες επιφάνειες παραµένουν ίσες.

∆ηλαδή οι «ιδιότητες» της ευθύτητας, της επαφής, της παραλληλίας, της διχοτόµησης και

της ισότητας επιφανειών είναι αναλλοίωτες υπό παράλληλη προβολή. Τέτοιες ιδιότητες

αποτελούν το αντικείµενο της Affine geometry (συσχετισµένης ή οµοπαραλληλικής

γεωµετρίας), η οποία τοποθετείται ανάµεσα στην ευκλείδεια και στην προβολική

γεωµετρία. Ο όρος affine οφείλεται στον Euler.

Από την άλλη µεριά το περιεχόµενο της Προβολικής Γεωµετρίας (Projective

geometry) περιορίζεται σε εκείνες τις ιδιότητες (όπως η ευθύτητα και η επαφή) που µένουν

αναλλοίωτες υπό κεντρική προβολή και όχι υπό παράλληλη. Για δύο σχήµατα σε

διαφορετικά επίπεδα, θα λέµε ότι το καθένα προκύπτει από το άλλο µέσω κεντρικής

προβολής όταν τα αντίστοιχα σηµεία τους συνδέονται µε ευθείες συντρέχουσες, οι οποίες

περνούν από ένα δοσµένο σηµείο O. [Αυτό µπορεί να συµβεί όταν µια λάµπα σ’ ένα

δωµάτιο ρίχνει τη σκιά ενός κυκλικού νοµίσµατος στο πάτωµα ή σ’ ένα τοίχο. Το σύνορο

της σκιάς είναι κυκλικό (αλλά µεγαλύτερο) ή ελλειπτικό στο πάτωµα και υπερβολικό όταν η

σκιά πέφτει στον πλησιέστερο τοίχο]. Αν τα διαφορετικά επίπεδα είναι παράλληλα τότε τα

σχήµατα θα είναι όµοια και η γεωµετρία µπορεί να χαρακτηριστεί πάλι affine. Έτσι

υποθέτουµε ότι τα επίπεδα δεν είναι παράλληλα. Τότε το επίπεδο που περνά από το Ο και

είναι παράλληλο προς το ένα, θα τέµνει το άλλο κατά µια ευθεία, τη λεγόµενη ευθεία φυγής

(vanishing line) για το λόγο που θα εξηγήσουµε αµέσως.

11

Στο ακόλουθο σχήµα, βλέπουµε ένα κουτί που στέκεται σε επίπεδο π και στο

σηµείο Ο υπάρχει ένας φακός.

Στην απέναντι διάφανη έδρα, υπάρχει ένα αδιαφανές σχήµα (κύκλος) έτσι ώστε η σκιά του

να πέφτει στο οριζόντιο επίπεδο π. Έχουµε λοιπόν κεντρική προβολή από το σηµείο Ο.

Γενικά, δύο τεµνόµενες ευθείες προβάλλονται (κεντρικά) σε τεµνόµενες ευθείες, όπως και

στην περίπτωση της παράλληλης προβολής. Υπάρχει όµως µια εξαίρεση κατά την οποία οι

δοθείσες ευθείες τέµνονται σε µια ειδική ευθεία ε που κείται επί του οριζόντιου επιπέδου

το οποίο διέρχεται από το σηµείο Ο. Τέτοιες ευθείες όπως οι ΑΒ και ΑΚ, προβάλλονται σε

παράλληλες ευθείες, στο οριζόντιο επίπεδο π, οι οποίες είναι παράλληλες µε την ΟΑ.

Αντιστρόφως, για οποιεσδήποτε δύο παράλληλες ευθείες στο επίπεδο π, η κάθε µία είναι

συνεπίπεδη µε µία ευθεία σαν την ΟΑ (µε το Α πάνω στην ε). Έτσι, εκτός αν είναι

παράλληλες προς την ευθεία ε, πρέπει να είναι εικόνες δύο ευθειών που περνούν από ένα

ορισµένο σηµείο Α της ε.

12

Η διαδικασία της κεντρικής προβολής συνδέει σηµεία στα δύο επίπεδα µε τέτοιο

τρόπο ώστε η ευθεία που τα ενώνει να περνά πάντα από το Ο. ∆ηλαδή, για να

αποµακρυνθούµε από την ιδέα της σκιάς, παρατηρούµε στο σχήµα ότι σηµεία στο κάθετο

επίπεδο αλλά κάτω από το οριζόντιο προβάλλονται µέσα στο κουτί (όπως το Χ στο Γ) και

σηµεία του καθέτου επιπέδου αλλά πάνω από το οριζόντιο προβάλλονται πίσω από το

κουτί (όπως το Υ στο ∆). Τα µόνα σηµεία όµως που δεν προβάλλονται πουθενά είναι

εκείνα της ευθείας ε, γι’ αυτό το λόγο λέγεται ευθεία φυγής. Επίσης αν ο κύκλος εφάπτεται

στην ευθεία ε, όπως στο σχήµα, η προβολή του είναι παραβολή, αν την τέµνει σε δύο

σηµεία θα είναι υπερβολή (ο ένας κλάδος πίσω από το κουτί) και αν δεν την τέµνει θα

έχουµε έλλειψη. Ο κύκλος στο κάθετο επίπεδο (θα µπορούσε βεβαίως να είναι και πλάγιο)

συνδεόµενος µε το σηµείο Ο δηµιουργεί γενικά πλάγιο κυκλικό κώνο. Έτσι ο ρόλος των

κωνικών στην Προβολική γεωµετρία είναι το ίδιο ζωτικός όσο και ο ρόλος των κύκλων

στην Ευκλείδεια γεωµετρία.

Τέλος, για να τοποθετηθούµε χρονικά, οι ιδέες αυτές σχηµάτισαν το έδαφος πάνω

στο οποίο εργάστηκε ο Poncelet (1788 – 1867). Αποφάσισε δε να ανακατασκευάσει

ολόκληρη την επιστήµη της γεωµετρίας. Το αποτέλεσµα ήταν το σπουδαίο έργο του Traité

des propriétés projectives des figures που εκδόθηκε το 1822. Οι ρίζες βέβαια της

Προβολικής Γεωµετρίας ανιχνεύονται στις προσπάθειες του Desargues. Mέσω της

παρούσης εργασίας επιδιώκουµε να ιχνηλατήσουµε την εξελικτική διαδροµή, µέσα στο

χρόνο, της Προβολικής Γεωµετρίας, στεκόµενοι όµως στο αρχικό (αλλά ίσως όχι

πρωταρχικό) κοµβικό χρονικό σηµείο των αρχών του 17ου αιώνα και αποκωδικοποιώντας

τα έργα του «ιδρυτή» της G. Desargues µε την ελπίδα να αναδείξουµε τον τρόπο σκέψης

αυτού του αυτοδίδακτου µαθηµατικού, αρχιτέκτονα και µηχανικού του στρατού από τη

Λυόν.

Ένα συνοπτικό σχεδιάγραµµα της διαδροµής αυτής είναι το ακόλουθο :

13

_____________________________

Οπτική, Χαρτογραφία, Σκηνογραφία [Πλάτων, Ευκλείδης, Βιτρούβιος, Πτολεµαίος και Πρόκλος (κατά χρονολογική σειρά)]

Απολλώνιος (Κωνικά) Πάππος

Οι προσπάθειες των πρακτικών οδήγησαν (15ος – 17ος αι.) σε 2 βασικές µεθόδους Προοπτικής : “construzione legittima” & “distance – point method”.

Maurolico (~1555) Commandino (~1570)

Βελτιωµένη Μέθοδος Προοπτικής από τον Desargues (1636)

Rough Draft on Conics, Desargues (1639). «Επινόηση» Νέου είδους Γεωµετρίας

Pascal (~1640) Τέλη 18ου αι. : Monge (Descriptive Geometry) & µαθητές του : Brianchon, Carnot & Poncelet. Gergonne , Steiner.

Poncelet (1822) & Von Staudt (1847) : Projective Geometry.

Αρχές 19ου αιώνα : Algebric Projective Geometry. Möbius, Plücker, Cayley

14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Το Γεωµετρικό «Υπόβαθρο» του Desargues

1.1 Οι Γεωµετρικές Μελέτες του Girard Desargues (Περίγραµµα)

Τον 17ο αιώνα εµφανίστηκαν αρκετοί και δηµιουργικοί µαθηµατικοί οι οποίοι

έδωσαν µια νέα ώθηση στην ανάπτυξη των θετικών επιστηµών. Οι περισσότεροι εξ’

αυτών είχαν µελετήσει τα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και έτσι είναι φυσικό να

ερµηνεύουµε τα κατορθώµατά τους σαν µία προσπάθεια να επεκτείνουν και να

γενικεύσουν τις αρχαίες µεθόδους. Υπάρχουν όµως και λίγοι, η δουλειά των οποίων δεν

αντανακλά άµεσα την κλασική παράδοση και προσέγγιση. Ο Girard Desargues ήταν ένας

από αυτούς. Τα έργα του δεν ήταν πολλά, κάποια χάθηκαν, αλλά ξεχώρισαν δύο. Το πρώτο

(1636) αφορούσε στην τέχνη της Προοπτικής, δηλαδή της αποτύπωσης της τρισδιάστατης

πραγµατικότητας στον διδιάστατο καµβά, µια και ο Desargues ήταν και αρχιτέκτονας και

το δεύτερο (1639) σε µια εντελώς νέα – σε σχέση µε τους αρχαίους – προσέγγιση των

κωνικών τοµών, η οποία από τη µια είχε την αφετηρία της στην Προοπτική και από την

άλλη σχηµάτισε το έδαφος στο οποίο ευδοκίµησε η Προβολική Γεωµετρία.

Το 1636 λοιπόν εξέδωσε την – κατά τα λεγόµενά του – βέλτιστη µέθοδο

Προοπτικών κατασκευών σε ένα µόλις 12σέλιδο κείµενο και τρία χρόνια αργότερα (1639)

κυκλοφόρησε πενήντα αντίτυπα της εργασίας του “Brouillon Project d’ une atteinte aux

evenements des rencontres du cone avec un plan” (“Rough Draft of an Essay on the results

of taking plane sections of a cone”), µιας από τις σηµαντικότερες µελέτες στη θεωρητική

γεωµετρία τον 17ο αιώνα. Η επιρροή που άσκησε όµως το δεύτερο ήταν πολύ µικρή την

εποχή αυτή – γιατί η Προοπτική του ήταν στο προσκήνιο – και µέχρι το 1680 περίπου είχε

εντελώς εκµηδενιστεί. Μία κριτική όµως του BrP6 γραµµένη το 1640 από τον Jean de

Beaugrand διασώθηκε και αρκετά αργότερα το 1845 ένα χειρόγραφο - αντίγραφο του BrP -

(γραµµένο το 1679 από τον La Hire) ανακαλύφθηκε από τον Γάλλο γεωµέτρη Michel

Chasles. To κείµενο αυτό, δηµοσιεύθηκε το 1864 από τον Poudra. Η πιο πρόσφατη έκδοση

όµως του BrP κυκλοφόρησε το 1951 από τον Taton και βασίστηκε σε ένα από τα

αυθεντικά αντίτυπα του 1639, το οποίο βρίσκεται στην Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας,

στο Παρίσι.

6 BrP είναι η συντοµογραφία του τίτλου Brouillon Project του Desargues, που θα χρησιµοποιείται εφ’ εξής.

15

Το έργο αυτό µελετήθηκε µόνο από µια µικρή οµάδα µαθηµατικών και παρ’ όλο

που ανάµεσα σ’ αυτούς ήταν ο Pascal, οι ιδέες του ξεχάστηκαν. Κι αυτό γιατί περίπου την

ίδια εποχή ο René Descartes (1596-1650) δηµοσίευσε την πρωτοποριακή δουλειά του (La

Geometrie) µε την οποία συνέδεσε για πρώτη φορά άλγεβρα & γεωµετρία εισαγάγοντας

ένα σύστηµα συντεταγµένων. Αναβίωσαν όµως περίπου 150 χρόνια αργότερα από έναν

φανατικό υποστηρικτή του Ναπολέοντα και της επανάστασής του: τον Gaspard Monge

(1746-1818), o οποίος µέσα από τις ενασχολήσεις του ως µηχανικός, αρχιτέκτονας και

στρατιωτικός µε πλούσιο ρεπερτόριο εφαρµογών έγραψε το 1790 την Παραστατική

Γεωµετρία (Descriptive or Constructive Geometry). O Monge έκανε µια σπουδαία

παρατήρηση: Οι σχέσεις µεταξύ των γεωµετρικών αντικειµένων στο χώρο και των

προοπτικών τους απεικονίσεων οδηγούν σε πλούσια θεωρήµατα στο επίπεδο. Αυτά θα

µπορούν έπειτα να εφαρµοστούν στο επίπεδο χωρίς καµιά αναφορά πια στο πρωτότυπο

χωρικό αντικείµενο. Ο επόµενος και από τους τελευταίους της αλυσίδας ήταν ο Poncelet ο

οποίος, φυλακισµένος από τους Ρώσους, πήρε τις ιδέες του δασκάλου του (του Monge) και

τις οργάνωσε σε ένα πιο αφηρηµένο επίπεδο. Μετά την ολοκλήρωση της προβολικής του

γεωµετρίας αντιλήφθηκε δε ότι σε κάποιες πτυχές της θεωρίας του τον είχε προλάβει ο

Desargues.

Στο BrP ο Desargues παρουσιάζει τη θεωρία των κωνικών τοµών µε ένα τρόπο που

είναι ριζικά καινούργιος. Περιέχονται προτάσεις βασισµένες στα Στοιχεία του Ευκλείδη

αλλά εισάγεται µια «επαναστατική» επινόηση: σηµεία και ευθείες στο άπειρο, καθώς

επίσης και ένας αριθµός νέων εννοιών, όπως οι πόλοι και οι πολικές, τοποθετηµένες στη

θεωρία των κωνικών τοµών. Ενδιαφέρεται ιδιαίτερα για ιδιότητες των σχηµάτων που είναι

«προβολικά» αναλλοίωτες. Η ορολογία εδώ είναι µοντέρνα αφού στο BrP δεν υπάρχουν οι

λέξεις «προβολή» και «αναλλοίωτες». Ο Desargues όµως ήταν γνώστης της έννοιας του

«αναλλοίωτου» και γι’ αυτό τονίζει το γεγονός ότι όταν κάποιος αποδεικνύει µια ιδιότητα

µιας κωνικής τοµής, τότε µπορεί να αποδεικνύει παρόµοια ιδιότητα και για άλλες τοµές

ενός κώνου. ∆εν θεωρεί ότι οι αναγνώστες του έργου του έχουν οποιαδήποτε γνώση των

Κωνικών του Απολλωνίου και ξεκάθαρα δεν θέλει να τον µιµηθεί. Ο Jean de Beaugrand

λέει (Hogendijk, 1991) ότι ο Desargues του είχε πει ότι το BrP ήταν µακράν καλύτερο από

τη δουλειά του Απολλωνίου (γι’ αυτό το λόγο έγραψε και τη κριτική του το 1640). Εξ’

αιτίας των σηµείων και ευθειών στο άπειρο ο Desargues παρήγαγε ένα µεγάλο µέρος από

τη δουλειά του τελευταίου, για τις διαµέτρους και τις «τεταγµένες» (ordinates) µε έναν

ευκολότερο τρόπο απ’ ότι εκείνος ο οποίος είχε αφιερώσει ένα µεγάλο µέρος του βιβλίου Ι

των Κωνικών για το σκοπό αυτό.

16

Στην ιστορία των µαθηµατικών δεν έχει βρεθεί µια καθαρή περιγραφή του τρόπου

µε τον οποίο ο Desargues διασαφήνισε τη θεωρία του Απολλωνίου. Αυτό ίσως οφείλεται

στο γεγονός ότι τα Κωνικά περιγράφουν ένα µάλλον παρωχηµένο θέµα. Τον 19ο αιώνα, το

περιεχόµενο του έργου αυτού είχε µάλλον παρεξηγηθεί και ο Γάλλος ιστορικός της

γεωµετρίας Michel Chasles πίστεψε ότι ο Απολλώνιος είχε απλώς τµήσει έναν πλάγιο

κώνο µε επίπεδα σε ειδικές θέσεις. Έτσι συµπέρανε στη συνέχεια, ότι η κύρια συνεισφορά

του Desargues ήταν το γεγονός ότι εκείνος έκανε το ίδιο αλλά µε αυθαίρετα επίπεδα. Η

άποψη αυτή του Chasles διατυπώθηκε το 1839 στο έργο του Apercu historique sur

l’origine et le developpement des methods en geometrie, δηλαδή λίγο πριν ανακαλυφθεί

από τον ίδιον το αντίγραφο του BrP. Παρ’ όλα αυτά η άποψή του δεν άλλαξε ούτε

τροποποιήθηκε στην επόµενη έκδοση του ίδιου έργου (1875). Προφανώς γιατί δεν

ερµήνευσε σωστά τα Κωνικά. Ο Pascal είχε πει ότι ο Απολλώνιος χρησιµοποιούσε στις

αποδείξεις του το λεγόµενο αξονικό τρίγωνο (axial triangle) ενώ ο Desargues όχι.

Από ένα γράµµα του στον Mersenne (1588-1648) (Taton, 1951) γνωρίζουµε ότι ο

Desargues δούλεψε επίσης µε έναν νέο τρόπο πάνω στην θεωρία των εστιακών σηµείων

(foci) αλλά µάλλον η προσπάθειά του έµεινε ατελής αφού παρ’ όλο που στο τέλος του BrP

εµφανίζεται µια µεγάλη και µυστηριώδης πρόταση, δεν φαίνεται να του προσέθεσε κάτι

νέο πάνω στη θεωρία αυτή, συγκριτικά µε ότι είχε αναπτυχθεί στα Κωνικά.

Τέλος, το περιεχόµενο του BrP δεν είναι µόνο καθαρά µαθηµατικό και ιστορικά

συνδεδεµένο µε τα Κωνικά αλλά συνδέεται και µε έναν άλλον κλάδο που ενδιέφερε τον

Desargues, την Προοπτική.

O Desargues εποµένως, όπως θα προσπαθήσουµε να τεκµηριώσουµε, είναι ένας

αυθεντικός µαθηµατικός, που κατάφερε να µετασχηµατίσει τα µαθηµατικά των

προγενεστέρων σε κάτι εντελώς καινούργιο. Η σχέση αυτή που αναπτύχθηκε µεταξύ των

έργων του και των πηγών του µπορεί να οδηγήσει σε ακόµη µεγαλύτερο θαυµασµό για την

µαθηµατική του έµπνευση. Το BrP κατέχει το τίτλο της πρωταρχικής και µαθηµατικά

οργανωµένης δουλειάς πάνω σε ό,τι ονοµάζουµε σήµερα Προβολική Γεωµετρία και

συνεπώς ο συντάκτης του θεωρείται ο «ιδρυτής» του κλάδου αυτού.

Αρχικά είναι σηµαντικό να περιγράψουµε πως σχηµατίστηκε το γεωµετρικό

υπόβαθρο του Desargues. Το 1637 είχαν δηµοσιευθεί οι πρωτοποριακές αλγεβρικές

µέθοδοι του Descartes και το 1639 ο Mydorge δηµοσίευσε µια πραγµατεία, κλασσικής

«αντιµετώπισης», επί των κωνικών τοµών (αυτή ήταν η β΄ έκδοσή του σε τέσσερα βιβλία

ενώ η α΄ έκδοση ήταν σε δυο βιβλία το 1631).

17

Ο Desargues είχε επίσης στη διάθεσή του τη λατινική έκδοση των Στοιχείων του

Ευκλείδη από τον Commandino, δηµοσιευθείσα το 1572, καθώς επίσης και την λατινική

έκδοση των πρώτων τεσσάρων βιβλίων των Κωνικών του Απολλωνίου, δηµοσιευθείσα το

1566 µε εκτενή σχόλια από τον Ευτόκιο, τον Πάππο και τον ίδιο τον Commandino. Τα

επόµενα τέσσερα βιβλία των Κωνικών µάλλον ήταν άγνωστα στον Desargues. Επίσης δυο

εκδόσεις της Συναγωγής του Πάππου είχαν κυκλοφορήσει από τον Commandino τα έτη

1588 και 1602. Επιπροσθέτως το 1550 περίπου, ο Φραγκίσκος Μαυρόλυκος είχε

προσπαθήσει να ανασυντάξει τα βιβλία V & VI των Κωνικών του Απολλωνίου. Αυτή ήταν

η πρώτη αξιοσηµείωτη πρόοδος στη θεωρία κωνικών από την εποχή του Απολλωνίου.

1.2 Η «κληρονοµιά» των αρχαίων Ελλήνων γεωµετρών

Οι αρχαίοι γεωµέτρες δεν µας άφησαν µόνο τα αποτελέσµατα των προσπαθειών

τους και των µελετών τους αλλά κυρίως, το σπουδαιότερο, δίδαξαν τον τρόπο σκέψης,

εξαγωγής αυτών των αποτελεσµάτων και δόµησης των βασικών εννοιών της γεωµετρίας.

Επειδή πολλές από αυτές τις µεθόδους και ιδέες αφοµοιώθηκαν δηµιουργικά από τον

Desargues, σε αντίθεση µε άλλους που σκοπίµως τις απέρριψαν, είναι αναγκαίο να

περιγράψουµε αυτού του είδους τη «κληρονοµιά». Κατ’ αρχήν η γεωµετρία ασχολείται µε

την έννοια του µεγέθους, µε έναν µάλλον όµως γενικό και δυσδιάκριτο τρόπο. Είναι

ξεκάθαρο ότι τα µεγέθη όπως ευθύγραµµα τµήµατα, επίπεδα σχήµατα και γωνίες είναι οι

δοµικοί λίθοι της γεωµετρίας. ∆εν είναι εύκολο όµως, τυπικά και φιλοσοφικά, να

αναφέρουµε τι σηµαίνουν αυτές οι έννοιες.

Ο Ευκλείδης διέκρινε τις έννοιες «ευθύγραµµο τµήµα» και «µήκος» µε έναν

µάλλον θολό τρόπο για τα σηµερινά δεδοµένα. Για τον Ευκλείδη, η ισότητα ευθυγράµµων

τµηµάτων σηµαίνει ακριβή σύµπτωσή τους και προφανώς ένα ευθύγραµµο τµήµα είναι

«µικρότερο» από ένα άλλο αν µπορεί να συµπέσει µε ένα µέρος του δεύτερου. Τα

ευθύγραµµα τµήµατα µπορούν να προστεθούν (αν γίνουν διαδοχικά) και να αφαιρεθούν

(τοποθετώντας το ένα στο εσωτερικό του άλλου). Πράγµατι, κάποιος µοντέρνος ορισµός

του µήκους θα το αναγνώριζε σαν µια συνάρτηση ορισµένη στο σύνολο των τµηµάτων και

θα ικανοποιούσε κάποιους προφανείς και διαισθητικούς κανόνες (προσθετικότητα,

αναλλοίωτο υπό τη δυνατότητα κίνησης κ.ά.). Το σηµαντικό λοιπόν είναι ότι στα Στοιχεία ,

όπως αναφέρει η Κοινή Έννοια 7 (ή η 4 στην αρχική έκδοσή τους), «τα εφαρµόζοντα επ’

18

άλληλα είναι ίσα µεταξύ τους». Συνεπάγεται λοιπόν ότι θα έχουν το ίδιο µήκος. ∆ηλαδή δεν

µετράµε πρώτα τα µήκη και έπειτα συµπεραίνουµε ότι τα τµήµατα είναι ίσα αλλά

πράττουµε το αντίστροφο. Ας σηµειωθεί ότι και ο ίδιος ο Ευκλείδης εµφανίζεται µάλλον

διστακτικός απέναντι σ’ αυτό, αφού την Κοινή Έννοια 7 την χρησιµοποιεί µόνο δυο φορές

(στις προτάσεις Ι.4 & 8). Το ίδιο συµβαίνει και στο εµβαδόν. Το εµβαδόν (έκταση) ενός

σχήµατος είναι πρωταρχική έννοια στα Στοιχεία, µη αναλύσιµη σε γινόµενο µηκών. Ο

Ευκλείδης δεν δείχνει ότι δυο σχήµατα είναι ισεµβαδικά υπολογίζοντας τα εµβαδά τους

αλλά χρησιµοποιεί κάποιο σκεπτικό µε το οποίο εντοπίζει κοινά στοιχεία τους (βάσεις,

ύψη). Στην απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήµατος (Ι.47) ξεδιπλώνει περίφηµα το

σκεπτικό αυτό.

Στο βιβλίο ΙΙ των Στοιχείων ο Ευκλείδης αποδεικνύει ότι µπορεί να κατασκευασθεί

τετράγωνο ισεµβαδικό µε οποιοδήποτε δοθέν ευθύγραµµο σχήµα. Έτσι όλα τα ευθύγραµµα

σχήµατα γίνονται συγκρίσιµα σε «µέγεθος» και διατάσσονται. Αυτό όµως και πάλι δεν

υποβιβάζει την έννοια του εµβαδού σε γινόµενο µηκών. Αν το δούµε αντίστροφα τώρα, οι

αρχαίοι επέτρεπαν το γινόµενο ευθυγράµµων τµηµάτων γιατί το κατανοούσαν σαν ένα

σχήµα. Το συνέδεαν δηλ. µε ένα ορθογώνιο και το µεταχειρίζονταν σαν εµβαδόν. Έτσι η

στάση τους αυτή απαγόρευε τη διαίρεση ευθυγράµµων τµηµάτων αλλά επέτρεπε το

σχηµατισµό λόγων. Το τελευταίο οδήγησε στην ανάπτυξη της θεωρίας Λόγων µεγεθών

(που περιλαµβάνει και τη δύσκολη περίπτωση της ασυµµετρίας) την οποίαν ο Ευκλείδης

ξεδιπλώνει στο Βιβλίο V. Τις προτάσεις αυτής της θεωρίας έλαβε υπ’ όψιν ο Desargues.

Ας θυµηθούµε τις σηµαντικότερες εξ’ αυτών :

V.16 : a c a b

b d c d= ⇔ = (Εναλλάξ)

V.17 : a c a b c d

b d b d

− −= ⇔ =

V.18 : a c a b c d

b d b d

+ += ⇔ =

Αυτές οι προτάσεις ισχύουν όταν τα a, b όπως και τα c, d είναι µεγέθη του ίδιου είδους,

π.χ. a, b µήκη και c, d εµβαδά. ∆εν µπορεί δηλαδή να σχηµατιστεί λόγος µήκους προς

εµβαδόν. Ούτε µπορούν γενικά να πολλαπλασιαστούν δυο µεγέθη. Μπορούν όµως να

πολλαπλασιαστούν δύο µήκη, όπως δείχνει ο Ευκλείδης στο βιβλίο VI (VI.16) : Αν a, b, c

και d είναι ευθύγραµµα τµήµατα και a c

b d= τότε τα ορθογώνια ad και bc είναι ίσα (σε

εµβαδόν).

19

Άρα η αρχαία ελληνική γεωµετρία υιοθετεί γεωµετρικά αντικείµενα και αυτά δεν

µελετώνται µετρώντας τα µεγέθη τους. Η προσέγγιση αυτή υιοθετήθηκε, περισσότερο ή

λιγότερο, από τον Desargues τον οποίον και παρότρυνε προς αυτήν την κατεύθυνση ο

Descartes (σε ένα γράµµα του προς αυτόν)7. Η εξάπλωση αυτής της προσέγγισης είναι

ένας λόγος για τον οποίον η δουλειά του Desargues έγινε εξαιρετικά δύσκολη για να

µελετηθεί και η λέξη εµβαδόν ολοκληρωτικά αµφίσηµη.

Ας περάσουµε τώρα στις τρεις προτάσεις των Στοιχείων τις οποίες χρησιµοποιεί ο

Desargues :

ΙΙΙ.35 : Αν δύο χορδές τέµνονται σε σηµείο C, τότε AC · CB = AC · CB. (τα γινόµενα

βέβαια αναφέρονται ως ορθογώνια).

III.36 : Αν DB είναι εφαπτοµένη και DCA τέµνουσα, τότε DA · DC = DB2.

VI.2 (Τhe Intercept Theorem) : Αν DE//BC τότε BD CE

DA EA= και αντιστρόφως.

7 Field J. V. & Gray J. J. ,1987.

A

B

A΄

Β΄ C

B

A C

D

20

Η αξία της πρότασης αυτής έγκειται στο γεγονός ότι λόγοι που σχηµατίζονται κατά µήκος

µιας γραµµής µεταφέρονται κατά µήκος µιας άλλης, µέσω παράλληλης προβολής. Θα

µπορούσαµε έτσι να πούµε ότι µέσω αυτού του απλού θεωρήµατος ανατέλλει η έννοια του

«αναλλοίωτου» η οποία διευρυµένη θα παίξει καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της

γεωµετρίας.

1.3 Οι Προβολικές ιδέες του Πάππου

Στο έργο του Μαθηµατική Συναγωγή, ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς έχει συγκεντρώσει

ό,τι τον ενδιαφέρει από τα έργα των προγενέστερων: για επίπεδες καµπύλες ανωτέρου

βαθµού, για τον τετραγωνισµό του κύκλου, τον διπλασιασµό του κύβου, την τριχοτόµηση

της γωνίας, τη µέθοδο της ανάλυσης κλπ. Κάθε φορά που νοµίζει ότι τα έργα των µεγάλων

γεωµετρών χρειάζονται επεξηγήσεις ή συµπληρώσεις, τις διατυπώνει ως λήµµατα. Μας

δίνει, έτσι, πολλές και ποικίλες πληροφορίες για το περιεχόµενο των χαµένων έργων του

Ευκλείδη και του Απολλωνίου. Πέραν αυτού όµως, συµπλήρωσε και επεξέτεινε σε πολλά

σηµεία το έργο των προγενεστέρων του.

Η Συναγωγή αποτελείται από οκτώ βιβλία και από το έκτο αρχίζει να διατυπώνει

βοηθητικές προτάσεις στα Κωνικά του Απολλωνίου. Συγκεκριµένα οι προτάσεις 53 & 54

του VI βιβλίου της Συναγωγής δείχνουν µέχρι ποιο σηµείο έφτασαν οι Έλληνες γεωµέτρες

όσον αφορά στην ιδέα της κεντρικής προβολής και τοµής. Στην VI.53 προσδιορίζει το

κέντρο µιας έλλειψης η οποία είναι απεικόνιση υπό προοπτική ενός κύκλου και στην

VI.54, δοθέντος κύκλου και σηµείου µέσα σ’ αυτόν, βρίσκει ένα άλλο σηµείο έξω από το

επίπεδο από το οποίο ο κύκλος θα φαίνεται σαν έλλειψη η οποία θα έχει κέντρο το σηµείο

Α

Ε

C

D

B

21

που δόθηκε. Μεγάλη ιστορική σηµασία έχει το έβδοµο βιβλίο µε τον τίτλο Λήµµατα γιατί

περιέχει µια επισκόπηση ενός πλήθους έργων για τη γεωµετρική ανάλυση και τους

γεωµετρικούς τόπους, που σχεδόν όλα έχουν χαθεί όπως το έργο Περί Ορισµένης Τοµής

του Απολλωνίου. Στο όγδοο βιβλίο επίσης δίνει την κατασκευή των κυρίων αξόνων µιας

έλλειψης όταν δίνονται δύο συζυγείς διάµετροι.

Θα εξετάσουµε στη συνέχεια κάποια λήµµατα από το έβδοµο βιβλίο που αφ’ ενός

περιέχουν ιδέες που επρόκειτο να παίξουν αργότερα σηµαντικό ρόλο στην Προβολική

γεωµετρία και αφ’ ετέρου χειρίζονται λόγους ευθυγράµµων τµηµάτων µε έναν τρόπο που

δανείστηκε ο Desargues και του άρεσε να χρησιµοποιεί κατά κόρον.

Στην εισαγωγή του έβδοµου βιβλίου της Συναγωγής, ο Πάππος λέει ότι ένας

αριθµός πορισµάτων του Ευκλείδη µπορούν να συνοψιστούν σε µία µόνο πρόταση

διατυπωµένη ως εξής :

Έστω ότι έχουµε 6 σηµεία τοµής 4 ευθειών (a,b,c,d στο σχήµα). Αν δίνονται επιπλέον

3 (E,G,F) που βρίσκονται σε µια ευθεία απ’ αυτές (ή 2 σε περίπτωση που υπάρχει

παραλληλία) και αν 2 σηµεία (P & Q) από τα 6, που δεν ανήκουν στην ευθεία EGF,

κείνται επί δεδοµένων (κατά τη θέση) ευθειών (p & q) τότε και το έκτο σηµείο τοµής

(R) θα κείται επίσης επί δεδοµένης (κατά τη θέση) ευθείας.

Σχ. 1.3.1

22

Ο Πάππος θα µπορούσε να είχε προσθέσει ότι οι ευθείες p, q, r συντρέχουν (Van

Der Waerden, 1954/2003). Στο σχήµα 1.3.1 οι µεταβλητές ευθείες παριστάνονται µε

διακεκοµµένες γραµµές (RD, RC, PB) και οι υπόλοιπες είναι οι δεδοµένες (κατά τη θέση)

ευθείες. Αν φανταστούµε τώρα δύο διαφορετικές θέσεις για τις διακεκοµµένες ευθείες (b,

c, d & b , c , d ), τότε έχουµε το ακόλουθο σχήµα του γνωστού θεωρήµατος του

Desargues:

Σχήµα 1.3.2 (Θ. Desargues στο επίπεδο)

«Αν δύο τρίγωνα PQR και P΄Q΄R είναι έτσι τοποθετηµένα ώστε τα σηµεία τοµής

των αντιστοίχων πλευρών (b & b , c & c , d &d ) να κείνται επ’ ευθείας (α), τότε οι ευθείες

που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές συντρέχουν σε ένα σηµείο S, και αντιστρόφως».

Ο Πάππος παραθέτει και τη γενικότερη περίπτωση όπου οι ευθείες είναι

περισσότερες από τέσσερις και µέσω των ληµµάτων δείχνει το δρόµο για να αποδειχθεί η

προηγούµενη πρόταση. Προτού περάσουµε στα λήµµατα θα αναφέρουµε τον

σηµαντικότερο ορισµό της προβολικής γεωµετρίας, εκείνον του πλήρους τετρα-κορύφου ή

πλήρους σχήµατος 4-σηµείων (complete quadrangle or complete four-point).8

8 Ο όρος quadrangle πρέπει να µεταφράζεται ως τετρακόρυφο ή 4-point και όχι ως τετράγωνο ή τετράπλευρο, για να µην υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης µε την ευκλείδεια σηµασία. To ίδιο συµβαίνει και στην περίπτωση των 3 σηµείων: Άλλο είναι το τρικόρυφο ή 3-point και άλλη έννοια έχει ο όρος triangle ο οποίος αποκτά ισχύ στην προβολική γεωµετρία όταν η τελευταία θεµελιώνεται µε τα αξιώµατα του «µεταξύ» (betweeness), (Efimov, 1978).

23

Ορισµός : Πλήρες σχήµα 4-σηµείων (ή 4-κόρυφο ή 4-γωνο) είναι ένα σχήµα που

αποτελείται από 4 σηµεία (Α,D,F,E και διαβάζεται ADFE) µε οποιαδήποτε 3 εξ’ αυτών µη

συνευθειακά, και από 6 ευθείες που ενώνουν τα σηµεία αυτά ανά δύο. Κάθε ευθεία από

αυτές καλείται πλευρά (side), και δύο από εκείνες που δεν τέµνονται σε κάποιο από τα

αρχικά 4 σηµεία, όπως οι DE & AF, καλούνται αντικείµενες πλευρές (opposite sides). Έτσι

οι 6 πλευρές δηµιουργούν 3 ζεύγη αντικείµενων πλευρών. Τα σηµεία τοµής δύο

αντικείµενων πλευρών καλούνται διαγώνια σηµεία (diagonal points), οπότε υπάρχουν 3

τέτοια (B,G,C) που σχηµατίζουν το διαγώνιο τρίγωνο ή τρικόρυφο (diagonal triangle)

BGC.

Σχήµα 1.3.3 (Πλήρες 4 - κόρυφο)

Ενδιαφέρον έχει και το δυικό σχήµα του πλήρους τετρα-γώνου (complete quadrangle) το

οποίο είναι το πλήρες τετράπλευρο (complete quadrilateral). Ας διατυπώσουµε τον ορισµό

του χρησιµοποιώντας την αρχή του δυισµού (τα σηµεία αντικαθίστανται µε ευθείες και

αντιστρόφως). Έχουµε λοιπόν :

Πλήρες τετράπλευρο είναι ένα σχήµα που αποτελείται από 4 ευθείες (ε1,ε2,ε3,ε4 και

διαβάζεται ε1ε2ε3ε4) που τέµνονται ανά δύο και από 6 σηµεία, τα σηµεία τοµής τους. Κάθε

σηµείο από αυτά καλείται κορυφή (vertice) και δύο από εκείνα που δεν βρίσκονται

συγχρόνως σε κάποια από τις αρχικές 4 ευθείες, όπως τα Β & C, λέγονται αντικείµενες

κορυφές (opposite vertices). Έτσι τα 6 σηµεία δηµιουργούν 3 ζεύγη αντικείµενων

κορυφών. Οι ευθείες που ενώνουν δύο αντικείµενες κορυφές καλούνται διαγώνιοι

(diagonal lines), οπότε υπάρχουν 3 τέτοιες (BC,DE,AF) που σχηµατίζουν το διαγώνιο

τρίπλευρο (diagonal trilateral) [BC,DE,AF] δηλαδή το GHI διαβάζοντάς το µε τον

ευκλείδειο τρόπο.

24

Σχήµα 1.3.4 (Πλήρες 4-πλευρο)

Επιστρέφουµε πάλι στον Πάππο και παρατηρούµε ότι το σχήµα 1.3.1 της πρότασής

του µπορεί να ερµηνευθεί ότι παριστάνει ένα πλήρες τετρακόρυφο PRQS, οι πλευρές του

οποίου τέµνονται από δεδοµένη κατά τη θέση της ευθεία α. Το σκεπτικό της απόδειξης της

πρότασης είναι το εξής : Αν µπορέσουµε να αποδείξουµε ότι το έκτο σηµείο τοµής G

προσδιορίζεται µονοσήµαντα από τα B, C, D, E & F τότε έπεται αµέσως ότι όταν το Ρ

µετατοπίζεται επί της ευθείας ES και το Q επί της FS, τότε το R θα πρέπει να

µετατοπίζεται επί της GS. Το ότι το G προσδιορίζεται µονοσήµαντα από τα B, C, D, E & F

ονοµάζεται θεώρηµα του πλήρους τετρακορύφου και µερικές φορές δεύτερο θεώρηµα του

Desargues. Ο Πάππος βέβαια στα λήµµατα το διατυπώνει µε το δικό του τρόπο,

συγκεκριµένα, για µεν την περίπτωση που µια από τις πλευρές του τετρακορύφου είναι

παράλληλη στην α, στα λήµµατα Ι και ΙΙ, για δε την περίπτωση που και τα 6 σηµεία

D,E,G,F,C,B είναι σε πεπερασµένη απόσταση, στο λήµµα ΙV.

Το λήµµα Ι διατυπώνεται από τον Πάππο ως εξής : Έστω το σχήµα ΑΒΓ∆ΕΖΗ και

έστω ότι Α∆/∆Γ = ΑΖ/ΖΗ. Φέρνω την ευθεία ΘΚ. Τότε η ΘΚ είναι παράλληλη στην ΑΓ.

Από την διατύπωση αυτή είναι δύσκολο να καταλάβουµε τι σχήµα εννοεί ο

Πάππος. Υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις, µία εκ των οποίων είναι η ακόλουθη :

25

Σχήµα 1.3.5

Με όρους προβολικής γεωµετρίας θα βλέπαµε το πλήρες 4-κόρυφο ΕΒΚΘ, οι 6

πλευρές του οποίου τέµνονται από µια ευθεία, την ΑΓ. Όµως σύµφωνα µε το λήµµα, αν τα

5 από τα 6 σηµεία ικανοποιούν την αναλογία Α∆/∆Γ = ΑΖ/ΖΗ, τότε το έκτο σηµείο,

δηλαδή το σηµείο τοµής των ΚΘ & ΑΓ, βρίσκεται στο «άπειρο».

Το λήµµα ΙΙ είναι παρόµοιο, µόνο που µαζί µε την αναλογία στην υπόθεση υπάρχει

και η παραλληλία των ΚΘ & ΑΓ, ενώ το συµπέρασµα περιέχει τη συγγραµικότητα 3

σηµείων, των Α,Β,Ε.

Στο λήµµα ΙΙΙ9 δείχνει κάτι σηµαντικό: ότι ο διπλός λόγος (cross ratio) 4 σηµείων

δεν µεταβάλλεται µε προβολή των σηµείων σε άλλη ευθεία. Το διατυπώνει ως εξής :

Φέρνουµε τις ευθείες ΘΕ και Θ∆ έτσι ώστε να τέµνουν 3 ευθείες ΑΒ, ΑΓ, Α∆. Τότε

ΘΒ⋅Γ∆ ΘΕ⋅ΗΖ=

Θ∆ ⋅ΒΓ ΘΗ ⋅ΖΕ. Φυσικά, όπως έχουµε πει, το γινόµενο ευθυγράµµων τµηµάτων

κατανοείται από τους αρχαίους ως σχήµα και διατυπώνεται αναλόγως. ∆ηλαδή ο Πάππος

δεν γράφει ΘΒ·Γ∆ αλλά το ορθογώνιο που περιέχεται από τα ΘΒ & Γ∆.

9 Πρόταση 129 εβδόµου βιβλίου Συναγωγής.

26

Σχήµα 1.3.6 [Αναλλοίωτο ∆ιπλού Λόγου: (ΘΓ, Β∆) = (ΘΖ, ΕΗ)]

Απόδειξη : Από το σηµείο Θ σχεδιάζουµε την ΚΛ//ΑΖ, όπου Κ, Λ, τα σηµεία τοµής µε τις ∆Α & ΑΒ.

Επιπλέον φέρνουµε από το Λ την ΛΜ//∆Α, όπου Μ το σηµείο τοµής µε την ΕΘ. Έτσι

έχουµε:

EZ E

ZA

Θ=

ΘΛ &

Z

Z

ΛΘ ΘΚ Α = = ΘΜ ΘΗ Η . Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη προκύπτει :

EZ E

Z

Θ= ⇒ ΘΕ⋅ΖΗ = ΘΜ ⋅ΕΖ

Η ΘΜ.

Άρα ΘΕ⋅ΖΗ ΘΜ ⋅ΕΖ ΘΕ⋅ΖΗ ΘΜ

= ⇒ =ΘΗ ⋅ΖΕ ΘΗ ⋅ΖΕ ΘΗ ⋅ΖΕ ΘΗ

(1).

Κατά τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι : ΘΒ⋅Γ∆ ΘΛ

=Θ∆ ⋅ΒΓ ΘΚ

(2). Από τις ισότητες (1), (2) και

επειδή ΘΜ ΘΛ

=ΘΗ ΘΚ

, αποδεικνύεται το ζητούµενο :ΘΒ⋅Γ∆ ΘΕ⋅ΗΖ

=Θ∆ ⋅ΒΓ ΘΗ ⋅ΖΕ

.

Βέβαια εδώ ο Πάππος δείχνει το αναλλοίωτο του διπλού λόγου υπό προοπτική

κρατώντας όµως ένα σηµείο, το Θ, σταθερό. Η γενικότερη περίπτωση είναι ένα βήµα

27

επιπλέον που όµως δεν έγινε από τον Πάππο. Οι κλασσικοί γεωµέτρες δεν χρησιµοποιούν

τον διπλό λόγο 4 σηµείων στη γενική περίπτωση. Αυτό που χρησιµοποιούν εκείνοι, όπως

και ο Desargues αργότερα, είναι η περίπτωση της αρµονικής διαίρεσης 4 σηµείων ή αλλιώς

αρµονική τετράδα (λήµµα V).

Ο µοντέρνος συµβολισµός του διπλού λόγου 4 σηµείων Α, Β, Γ, ∆ είναι :

[Α, Β ; Γ, ∆] ή (ΑΒ, Γ∆) = ΑΓ Α∆ΓΒ ∆Β

10 και είναι θετικός αν τα ζεύγη Α, Β & Γ, ∆ δεν

χωρίζουν το ένα το άλλο (δηλαδή οι κύκλοι µε διαµέτρους ΑΒ & Γ∆ δεν τέµνονται) ενώ

είναι αρνητικός στην αντίθετη περίπτωση. Έτσι στην πρόταση του Πάππου που µόλις

αποδείξαµε θα γράφαµε (ΘΓ, Β∆) = (ΘΖ, ΕΗ).

Λήµµα IV : ΄Εστω το σχήµα ΑΒΓ∆ΕΖΗΘΚΛ και έστω ότι ΑΖ⋅∆Ε ΑΖ⋅ΒΓ

=Α∆ ⋅ΕΖ ΑΒ⋅ΓΖ

.

Τότε τα σηµεία Θ, Η, Ζ είναι συνευθειακά.

Σχήµα 1.3.7

Βλέπουµε και πάλι το πλήρες 4-κόρυφο ΗΘΚΛ, οι 6 πλευρές του οποίου τέµνονται από

µια ευθεία. Σε σύγχρονη ορολογία η αναλογία του λήµµατος δηλώνει ότι ο διπλός λόγος

[Α, Ε ; Ζ, ∆] είναι ίσος µε τον διπλό λόγο [Α, Γ ; Ζ, Β]. Σήµερα λέµε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ,

∆, Ε, Ζ είναι «εν ενελίξει» ή ότι αποτελούν ενελικτική εξάδα, µεταφράζοντας, ίσως όχι

εντελώς ορθά, τον όρο «in involution». Ο όρος αυτός είναι έµπνευση του Desargues και

από τους ελάχιστους που έχουν διατηρηθεί µέχρι σήµερα αφού το παράξενο λεξιλόγιό

του, όπως θα δούµε παρακάτω, έχει τις ρίζες του στην επιστήµη της βοτανολογίας!

10 Αποµνηµονεύεται εύκολα αν θεωρήσουµε ότι στον πρώτο λόγο «ταξιδεύουµε» από το Α στο Β µέσω του Γ και στον δεύτερο λόγο από το Α στο Β µέσω του ∆.

28

Η συγγραµικότητα των σηµείων βέβαια θα µπορούσε να είχε αποδειχθεί εύκολα µε

τη βοήθεια του αντιστρόφου του θεωρήµατος του Μενελάου αλλά ο Πάππος δεν το είδε

και κατέληξε στο συµπέρασµα χρησιµοποιώντας συνεχώς αναλογίες. Στη προσπάθειά του

αυτή απέδειξε έτσι και το αντίστροφο θεώρηµα του Μενελάου, χωρίς να το αναφέρει

κάπου.11

Λήµµα V12 : Στο σχήµα ΑΒΓ∆ΕΖΗΘ προκύπτει ΑΒ/ΒΓ = Α∆/∆Γ. Και αν ΑΒ/ΒΓ =

Α∆/∆Γ τότε τα σηµεία Α, Η, Θ είναι συνευθειακά. Το λήµµα αυτό αναφέρεται στην ειδική

περίπτωση όπου από τα 6 σηµεία του λήµµατος IV, δύο ζεύγη σηµείων συµπίπτουν. (Τα 6

σηµεία εδώ είναι: Α,Α, Γ,Γ, Β,∆). Έτσι προκύπτουν 4 σηµεία (Α, Β, Γ, ∆) που

σχηµατίζουν την αρµονική τετράδα.

Σχήµα 1.3.8

Απόδειξη:

Ενώ το λήµµα φαίνεται να έχει δύο θεωρήµατα (το ένα, αντίστροφο του άλλου) ο

Πάππος αποδεικνύει µόνο το δεύτερο:

Φέρνουµε την ΗΚΛ//ΑΒ. Τότε Α∆ Ζ∆

=ΚΛ ΖΛ

και Γ∆ Ζ∆

=ΗΛ ΖΛ

. Άρα Α∆ ΚΛ

=∆Γ ΗΛ

.

Οµοίως ΑΒ ΚΗ

=ΒΓ ΗΜ

. Από υπόθεση ισχύει ΑΒ/ΒΓ = Α∆/∆Γ, οπότε ΚΛ ΚΗ

=ΗΛ ΗΜ

⇒ΚΛ ΛΗ

=ΗΛ ΛΜ

⇒Α∆ ΛΗ

=∆Γ ΛΜ

⇒Α∆ ∆Γ ∆Θ = = ΛΗ ΛΜ ΘΛ

. Επειδή ΗΛ//Α∆, τότε τα Α, Η, Θ είναι

συνευθειακά.

11 Field & Gray, 1987. 12 Πρόταση 131 εβδόµου βιβλίου Συναγωγής.

29

Αυτή τη φορά αναγνωρίζουµε το πλήρες τετράπλευρο ΑΘ,ΕΓ,ΓΖ,ΕΑ και οι

διαγώνιοι είναι ΕΗΒ, ΖΘ∆ και ΑΒΓ∆. (Μπορούµε να το δούµε και «δυικώς»: το πλήρες

τετρακόρυφο ΕΖΗΘ και τα διαγώνια σηµεία Β, ∆ & το σ. τοµής των ΖΘ, ΕΗ. Βλέπουµε

τότε την ευθεία ΑΓ να ενώνει δύο διαγώνια σηµεία Β, ∆). Από το πρώτο ερώτηµα του

λήµµατος ο Πάππος βρίσκει (χωρίς να λέει πως) ότι οι δύο πρώτοι διαγώνιοι συναντούν

την τρίτη και εγκαθιστούν σ’ αυτήν την αρµονική τετράδα13 : (ΑΓ, Β∆) = - 1 . Και το

δεύτερο ερώτηµα είναι το αντίστροφο: Κάθε αρµονική τετράδα µπορεί να προκύψει από

πλήρες τετράπλευρο.14 Όσο για την απόδειξη που λείπει, ο Πάππος βλέπει, εξ’ αιτίας του

λήµµατος 3, ότι ο διπλός λόγος (ΑΓ, Β∆) ισούται µε τον διπλό λόγο των 4 σηµείων της

ευθείας ΖΘ∆ τα οποία παράγονται προβάλλοντας τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ από το Ε στην

ευθεία ΖΘ∆. Οι προβολές τους είναι αντίστοιχα τα Ζ, σ.τοµής των ΕΗΒ & ΖΘ∆, Θ & ∆.

Με τη σειρά τους αυτά προβάλλονται από το Η στην ευθεία ΑΒΓ∆ και παράγουν τα Γ, Β,

Α, ∆ αντίστοιχα. Έτσι ο λόγος (ΑΓ, Β∆) «επιστρέφει» λίγο αλλαγµένος: (ΓΑ, Β∆).

Άρα (ΑΓ, Β∆)= (ΓΑ, Β∆)⇒2

1ΑΒ Α∆ = ΒΓ ∆Γ

⇒(ΑΓ, Β∆) = ±1. Για τον Πάππο είναι 1,

ενώ για µας είναι -1, αφού τα Α, Γ και Β, ∆ χωρίζουν το ένα το άλλο.

Επίσης στο λήµµα VI βλέπει και την ειδική περίπτωση όπου αν ∆Ζ//ΒΓ τότε

ΑΒ=ΒΓ και αντιστρόφως.

Με σύγχρονη ορολογία λέµε ότι µια αντιστοιχία µεταξύ δύο ευθειών τέτοια ώστε

για όλες τις αντίστοιχες τετράδες Α, Β, Γ, ∆ και Α΄, Β΄, Γ΄, ∆΄ να έχουµε την ισότητα (ΑΓ,

Β∆) = (Α΄Γ΄, Β΄∆΄), καλείται προβολικότητα (projectivity) και τα σύνολα των σηµείων

αυτών προβολικές σηµειοσειρές (projective ranges). Αν τώρα οι δύο ευθείες έχουν ένα

κοινό σταθερό σηµείο που αντιστοιχεί στον εαυτό του, π.χ. ∆≡∆΄, τότε αυτό το

στιγµιότυπο προβολικότητας καλείται προοπτικότητα (perspectivity) και τα σύνολα των

αντιστοίχων σηµείων προοπτικές σηµειοσειρές (perspective ranges). Ακριβώς το τελευταίο

αποδεικνύει ο Πάππος στο λήµµα Χ 15 δηλαδή ότι αν το σηµείο τοµής δύο προβολικών

σηµειοσειρών αντιστοιχεί στον εαυτό του τότε οι σηµειοσειρές αυτές είναι προοπτικές.

13 Η λέξη Αρµονική προέρχεται από τη θεωρία της Μουσικής: Έστω τµήµα Α∆=15, σηµείο Β στα 2/3 του Α∆ και σηµείο Γ στα 2/5 του Β∆. Τότε αν η Α∆ είναι µια τεντωµένη χορδή κουρδισµένη στη νότα Ντο, οι χορδές ΑΒ και ΑΓ θα παίξουν τις άλλες δύο νότες (Μι και Σολ) της λεγόµενης µείζονος συγχορδίας (major triad). 14Αυτό ακριβώς είναι ένα παράδειγµα γιατί στη Προβολική Γεωµετρία οι κατασκευές γίνονται µόνο µε

κανόνα και όχι µε κανόνα & διαβήτη όπως στην Ευκλείδεια: Η εύρεση των συζυγών σηµείων των Α, Γ είναι εφικτή κατασκευάζοντας απλώς µε τον κανόνα ένα πλήρες τετράπλευρο. 15 Πρόταση 136 εβδόµου βιβλίου Συναγωγής.

30

Τέλος µε τη βοήθεια και των ληµµάτων ΧΙ, ΧΙΙ, ΧΙΙΙ, οδηγείται στο περίφηµο

Θεώρηµα του Πάππου:

Αν τα σηµεία Α, Β, Γ κείνται σε µια ευθεία και τα σηµεία ∆, Ε, Ζ σε µια άλλη ευθεία

τότε τα σηµεία τοµής (αν βέβαια υπάρχουν) των ΑΕ & ∆Β, των ΑΖ & ∆Γ και των ΒΖ & ΕΓ

κείνται επ’ ευθείας.

Ο Πάππος αποδεικνύει τα λήµµατα αυτά φέρνοντας κάθε φορά παράλληλες ευθείες

και χειρίζεται µε δεξιοτεχνία τις αναλογίες που προκύπτουν. Στην περίπτωση που οι

ευθείες ΑΓ, ∆Ζ τέµνονται (αν είναι παράλληλες πάλι το δείχνει), το θεώρηµά του

αποδεικνύεται συνθετικώς εφαρµόζοντας το Θ. Μενελάου 5 φορές για τις τριάδες σηµείων

ΑΗΖ, ΓΙΕ, ΒΘ∆, ΑΒΓ και ∆ΕΖ πάνω στις πλευρές του τριγώνου ΚΛΜ και καταλήγουµε

στο συµπέρασµα χρησιµοποιώντας το αντίστροφο του Θ. Μενελάου. Ο Πάππος βέβαια το

αποδεικνύει, χωρίς να αναφέρει το Θ.Μενελάου, «σπάζοντάς το» στα λήµµατα που είπαµε.

Σχήµα 1.3.9 (Θ. Πάππου)

Σήµερα, το θεώρηµα αυτό το θεωρούµε ως ειδική περίπτωση του θεωρήµατος του

Pascal σύµφωνα µε το οποίο τα σηµεία τοµής των απέναντι πλευρών ενός εξαγώνου

εγγεγραµµένου σε µια κωνική κείνται επ’ ευθείας. Η προβολική φύση του θεωρήµατος

αυτού είναι δεδοµένη αφού είναι ένα θεώρηµα καθαρής σύµπτωσης (incidence) χωρίς

αναφορά σε µετρήσεις µηκών ή γωνιών αλλά και ούτε σε οποιοδήποτε είδος διάταξης

(order): σε καθένα από τα δύο σύνολα των τριών συγγραµικών σηµείων είναι αδιάφορο

ποιο κείται ανάµεσα στα άλλα δύο.

31

Συνοψίζοντας, το έργο του Πάππου µας δείχνει ότι οι Έλληνες γνώριζαν κάποιες

ειδικές περιπτώσεις διατηρησιµότητας των αναρµονικών ή διπλών λόγων και µε την

αρχική πρότασή του (σχήµα 1.3.1) που προέκυπτε από τα Πορίσµατα του Ευκλείδη,

έφτασαν ένα βήµα πριν από το θεώρηµα του Desargues. Η πρόταση δεν αναφέρει καν το

τετριµµένο, ότι δηλαδή οι ευθείες p, q, r συντρέχουν (αν βέβαια δεν είναι παράλληλες) , µε

αποτέλεσµα να φαίνεται τελικά παρωχηµένη και δυσνόητη.16 Ίσως γιατί διαπίστωσαν ότι

όλες οι προτάσεις που είχαν καταλήξει δεν µπορούσαν να συσχετιστούν ώστε να

οδηγήσουν σε νέες θεωρίες και σταµάτησαν. Όπως γράφει ο Ivins (1946), αν είχαν

προσθέσει την κρίσιµη ιδέα της σύγκλισης των παραλλήλων στο άπειρο θα περνούσαν στο

επόµενο στάδιο. Έφτασαν έτσι ακριβώς µπροστά από την πόρτα της µοντέρνας γεωµετρίας

αλλά οι καλά εγκατεστηµένες µετρικές τους ιδέες, τους εµπόδισαν να την ανοίξουν και να

περάσουν έτσι σε τελείως νέους χώρους καινούργιας σκέψης και προοπτικής.

16Ο Edmond Halley όταν συµπεριέλαβε την λατινική µετάφραση αυτών των σχολίων του Πάππου στα

Πορίσµατα του Ευκλείδη, στο έργο που εξέδωσε και αφορούσε την Ορισµένη Τοµή του Απολλωνίου, το 1706, παραδέχθηκε ότι το εν λόγω κείµενο είναι αδιευκρίνιστο. Η πρώτη φορά που µελετήθηκε ήταν από τον Simson το 1723. Έτσι µπορούµε να πούµε µε βεβαιότητα ότι ο Desargues δεν είχε γνώση του θέµατος και ότι η ανακάλυψη των περίφηµων θεωρηµάτων του δεν µπορεί να πηγάζει από οπουδήποτε αλλού. Η Συναγωγή του Πάππου αν και ιδιαίτερα γόνιµη είναι ένα παράδειγµα του πόσο διαφορετικά και όχι και τόσο επιτυχηµένα (στην περίπτωση που αναφέραµε) αντιµετώπιζαν ορισµένα θέµατα οι Έλληνες µαθηµατικοί.

32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Προοπτική

2.1 Προέλευση της έννοιας

Η λέξη Προοπτική – Perspective προέρχεται από την λατινική Perspectiva, έναν

όρο που υιοθέτησε ο Ρωµαίος φιλόσοφος Βοήθιος (~500 µ.Χ) καθώς µεταφράζοντας τον

Αριστοτέλη προσπαθούσε να αποδώσει τον ελληνικό όρο οπτική. Το 15ο αιώνα, σήµαινε η

παρατήρηση, διαµέσου ενός διαφανούς επιπέδου, µιας σκηνής από ένα σταθερό σηµείο.

Στη συνέχεια καθώς τράβηξε το ενδιαφέρον των επιστηµόνων ο όρος έγινε perspectiva

artificialis ή perspective pingendi για να ξεχωρίζει από την προηγούµενη perspective

naturalis ή communis.

Η επιστηµονική προοπτική, γνωστή σαν κεντρική προβολή ή κεντρική προοπτική ή

προοπτική της σχεδίασης σε επίπεδο ή προοπτική της Αναγέννησης ή γραµµική προοπτική

είναι ένας επιστηµονικός τρόπος εικονικής αναπαράστασης. Είναι η προοπτική της

φωτογραφικής µηχανής. Πηγάζει από της επιστήµη της γεωµετρικής οπτικής και

µοιράζεται µε αυτήν την ίδια θεµελιώδη βάση: την ευθύγραµµη διάχυση των ακτίνων του

φωτός.

Η ∆υτική ζωγραφική έλαβε µια γεωµετρική υπόσταση εξ’ αιτίας της σύνδεσής της

µε τα οπτικά της κλασικής αρχαιότητας. Η ψευδαίσθηση της διάστασης του βάθους είναι

µια από τις θεµελιώδεις αρχές της και η ιδέα της απλής στατικής εστίασης ή κεντρικής

σύγκλισης στην Αναγεννησιακή προοπτική, οφείλεται στην απαίτηση για αναπαράσταση

των «εσωτερικών» διαφόρων θεµάτων. Η µόνη διαφορετικού είδους παράδοση εικονικής

αναπαράστασης είχε αναπτυχθεί από τους Κινέζους οι οποίοι όµως επειδή αναπαρίσταναν

τοπία στη φύση βασίζονταν σε ένα κινούµενο σηµείο όρασης (travelling eye). Έτσι οι

Κινέζοι καλλιτέχνες, εκτός κάποιων εξαιρέσεων, υιοθέτησαν την σύµβαση της

παραλληλίας των ευθειών όταν αναπαριστούσαν κτίρια (και όχι την οπτική αρχή της

σύγκλισης των παραλλήλων), η οποία είχε το πλεονέκτηµα να επιτρέπει στο µάτι να κοιτά

«γλιστρώντας» πιο εύκολα από σκηνή σε σκηνή. Στο παρακάτω σχήµα17 φαίνονται δύο

17 Ανακτήθηκε από το Internet.

33

είδη προβολής: η πλάγια παράλληλη προβολή (Α) (που υιοθετείται και στην στερεοµετρία)

και η προβολή µε προοπτική που πηγάζει από την κεντρική σύγκλιση ευθειών (Β).

Ας περιγράψουµε για λίγο και την ψυχοφυσιολογική βάση της προοπτικής ψευδαίσθησης.

Η σφαίρα του µατιού είναι µια µικρή διοπτρική κάµερα και λαµβάνει εικόνες από τον

εξωτερικό κόσµο οι οποίες προβάλλονται στην εσωτερική της επιφάνεια. Αυτή είναι µια

λεπτή και ευαίσθητη µεµβράνη, ο αµφιβληστροειδής χιτώνας. Οι εικόνες σχηµατίζονται

από την προβολική δράση του φωτός. Όταν το φως περάσει από µια µικρή τρύπα οι

ακτίνες του συµπεριφέρονται όπως οι συντρέχουσες ευθείες. Η τεχνολογία των

φωτογραφικών µηχανών στηρίζεται σ’ αυτό το φαινόµενο. Κάθε σηµείο του θέµατος, µε

τη βοήθεια του φωτός, απεικονίζεται σε µια εσωτερική επιφάνεια, οπότε συνδέεται µε το

είδωλό του µέσω µιας ευθείας, της ακτίνας θέασης (line of sight).18

Για να έχουµε βέβαια ορθολογιστικό, δηλαδή απεριόριστο, αµετάβλητο και

οµογενή, χώρο η προοπτική χρειάζεται δύο προϋποθέσεις: α) µάτι µοναδικό κι ακίνητο και

β) η επίπεδη τοµή να περνά από το οπτικό µας πεδίο. Ξεχνά ότι δεν βλέπουµε µε ένα µάτι

αλλά µε δύο συνεχώς κινούµενα, που καταλήγουν σε σφαιρικό πεδίο όρασης και όχι σε 18 Η προβολική δράση του φωτός αναδεικνύεται εντυπωσιακά στην camera obscura (σκοτεινό δωµάτιο). Υπήρξε η πρώτη στοιχειώδης φωτογραφική µηχανή. Απλά απουσιάζει το µέσο οριστικής καταγραφής του ειδώλου. Η εικόνα είναι άυλη, προσωρινή, µια αενάως διαφεύγουσα απεικόνιση. Τον οµώνυµο όρο εισηγήθηκε ο Kepler. Συµπτωµατικά, καθώς ολοκληρωνόταν η παρούσα εργασία, το περιοδικό Φωτογράφος (τ. 187, Ιούλιος 2009) δηµοσίευσε µία εντυπωσιακή εφαρµογή της συγκεκριµένης τεχνικής η οποία σήµερα επιβιώνει µόνο σε κάποια µουσεία φωτογραφίας.

34

επίπεδο. Προσπαθεί να µετατρέψει τον ψυχοφυσιολογικό χώρο σε µαθηµατικό χώρο

δηλαδή να πετύχει την εξαντικειµενίκευση του υποκειµενικού.

2.2 Η Προοπτική στην Αρχαιότητα – Τα Οπτικά του Ευκλείδη

Οι ρίζες της προοπτικής ανήκουν χρονικά στον 5ο αιώνα π.Χ. Τότε έκανε την

εµφάνισή της µια εντελώς νέα προσέγγιση στην απεικόνιση διαφόρων θεµάτων. Από την

εννοιακή ή ιδεοπλαστική τάση στην εµφάνιση διαφόρων θεµάτων οι καλλιτέχνες περνούν

σε µια οπτικο – ρεαλιστική τάση.

Κάποια πρώτα ίχνη που δείχνουν ότι οι αρχαίοι είχαν κάποιους κανόνες στη

γλυπτική ή στη ζωγραφική τους συναντάµε στον Πλάτωνα. Ο Πλάτων (427 – 348 π.Χ.)

στον Σοφιστή (235d – 236a) εξηγεί τα δύο είδη της µιµητικής τέχνης. Ο Θεαίτητος ρωτά

τον Ελεάτη ξένο γι’ αυτά και εκείνος του απαντά ότι το πρώτο είδος είναι η εικαστική κατά

την οποίαν κάποιος προβαίνει στην κατασκευή οµοιώµατος διατηρώντας τις αναλογίες του

προτύπου και ως προς το µήκος και ως προς το πλάτος και ως προς το βάθος. Στην

ερώτηση του Θεαίτητου, «Μα τι, όλοι όσοι αποµιµούνται κάτι, αυτό δεν επιχειρούν να

κάνουν;» ο ξένος απαντά ότι υπάρχει και ένα δεύτερο είδος, η φανταστική. Σ’ αυτήν, όσοι

πλάθουν ή ζωγραφίζουν έργα µεγάλων διαστάσεων, για να αποδώσουν τις αληθινές

αναλογίες του προτύπου, πρέπει τα πάνω µέρη να τα κάνουν να φαίνονται µικρότερα του

κανονικού και τα κάτω µεγαλύτερα, επειδή τα πρώτα τα βλέπουµε από µακριά και τα

δεύτερα από κοντά.

[Σοφιστής (235d – 236a): ΘΕΑΙ. Τι δ’; οÙ πάντες οƒ µιµούµενοί τι τοàτ’ ™πιχειροàσι δρ©ν; ΞΕ. ΟÜκουν Óσοι γε τîν µεγάλων πού τι πλάττουσιν œργων ½ γράφουσιν. ε„ γαρ ¢ποδιδο‹‹‹‹εν τήν τîîîîν καλîîîîν ¢¢¢¢ληθινήν συµµετρίαν, οŒσθ’ Óτι σµικρότερα µέν τοàààà δέοντος τα ¥¥¥¥νω, µείζω δε τά κάτω φαίνοιτ’ ¥ν διά τό τά µέν πόρρωθεν, τά δ’ ™γγύθεν Øφ’ ¹µîν Ðρ©σθαι.] Η προοπτική στην αρχαία Ελλάδα και στη Ρώµη ήταν γνωστή ως σκηνογραφία

(skenographia), ένας όρος που κάλυπτε όλες τις επινοήσεις που ρυθµίζουν τις επιδράσεις

της ύπαρξης του χώρου ανάµεσα στον παρατηρητή και στο αντικείµενο που παρατηρεί.

Περιλαµβάνει επίσης εφαρµογές κανόνων οπτικής στη ζωγραφική, στη γλυπτική και στην

αρχιτεκτονική. Εφαρµόστηκε για πρώτη φορά στο θέατρο του ∆ιονύσου στην Αθήνα το

δεύτερο µισό του 5ου αιώνα π.Χ. όταν το δράµα άρχιζε να απαιτεί πιο περίπλοκα σκηνικά.

35

Ο διάσηµος Ρωµαίος αρχιτέκτονας του πρώτου αιώνα µ.Χ. Βιτρούβιος γράφει ότι ο

ζωγράφος Αγάθαρχος ο Σάµιος ήταν ο εφευρέτης της σκηνογραφίας και ότι την εφάρµοσε

όταν επρόκειτο να κάνει τα σκηνικά σε µια τραγωδία του Αισχύλου (525-456 π.Χ.) στην

Αθήνα, πιθανόν κάπου το 430 π.Χ. Επιπλέον αρκετοί επιστήµονες – φιλόσοφοι άρχισαν να

γράφουν πάνω σ’ αυτό το θέµα και να µελετούν κανόνες προοπτικής. Έδειξαν ότι αν από

ένα σταθερό σηµείο «ατενίσουµε» ένα θέµα πρέπει να ακολουθήσουµε τις οπτικές ακτίνες

κατά έναν φυσικό νόµο τέτοιον ώστε φυσικές εικόνες του θέµατος να µπορούν να

αποδώσουν την εµφάνιση κτιρίων σε σκηνικά και πως ό,τι σχεδιάζεται σε κάθετες και

επίπεδες επιφάνειες να µπορεί να δώσει την εντύπωση ότι κάποια εικόνα υποχωρεί οπτικά

κάποιας άλλης ή προβάλλεται σε κάποιαν άλλη. Από την περιγραφή αυτή µπορούµε να

εξάγουµε το συµπέρασµα ότι οπτικοί κανόνες άρχισαν να εφαρµόζονται στην κατασκευή

σκηνικών ώστε να αποδοθεί κάποια σωστή ψευδαίσθηση βάθους αλλά δεν µπορούµε

ασφαλώς να καταλάβουµε µε ποιο τρόπο. Καµιά από τις πραγµατείες στο αντικείµενο της

σκηνογραφίας δεν επιβίωσε. Αυτό που έχουµε είναι τα Οπτικά του Ευκλείδη. Περιέχει

θεωρητικές µελέτες που µάλλον ακολούθησαν τις προσπάθειες και τα συµπεράσµατα των

πρακτικών.19

Αν και τίποτα σηµαντικό δεν έµεινε από την κλασική Ελληνική ζωγραφική, κάποια

σχεδιασµένα δοχεία που βρέθηκαν και χρονολογούνται περίπου το 500 π.Χ. υποδηλώνουν

κάποια ανάπτυξη πρακτικής προοπτικής. Οι καλλιτέχνες άρχιζαν να πειραµατίζονται µε

την αναπαράσταση επιπέδων και ευθειών στο «βάθος». Η σύγκλιση ευθειών ήταν µη

συστηµατική και εφαρµοζόταν σε µεµονωµένα επίπεδα µέσα στην εικόνα και όχι σε

ολόκληρη την εικόνα σαν µια ολότητα. Οι παράλληλες ακµές στερεών αντικειµένων

καθώς «υποχωρούσαν», σχεδιάζονταν παράλληλες ή απλώς αποκλίνουσες. Η κεντρική

σύγκλιση ευθειών χρησιµοποιήθηκε µε συνέπεια σε µία µικρή χρονικά φάση της αρχαίας

ζωγραφικής: στις διακοσµήσεις τοίχων που βρέθηκαν στη Ρώµη και στη Ποµπηία και

χρονολογούνται από το 80 έως το 30 π.Χ. Ο Βιτρούβιος, στο έργο του “∆έκα βιβλία πάνω

στην αρχιτεκτονική” (De architectura libri decem), αναφέρει τέτοιου είδους διακοσµήσεις

και δίνει έναν σύντοµο και δυσνόητο ορισµό της σκηνογραφίας:

“Τα είδη της «διευθέτησης» είναι η ιχνογραφία (plan), η ορθογραφία (elevation) και

η σκηνογραφία (perspective). Η ιχνογραφία απαιτεί τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Η

ορθογραφία είναι η κατακόρυφη εικόνα της όψης του θέµατος. Σκηνογραφία είναι η

«διαβαθµισµένη» σχεδίαση των µπροστινών και των «υποχωρούντων» πλευρών και η

19 Μία άλλη πραγµατεία στα οπτικά έγραψε ο µαθηµατικός του 1ου αι. π.Χ. Ηλιόδωρος ο Λαρισαίος µε τίτλο «Κεφάλαια των Οπτικών Υποθέσεων». Για άλλους, το έργο αυτό γράφτηκε από τον υιό του, ∆αµιανό.

36

«συνάντησή» τους στο κέντρο ενός κύκλου. Αυτά τα τρία είδη προκύπτουν από τη

φαντασία και την επινόηση”.

Άρα λοιπόν κάποιο είδος λειτουργικού συστήµατος κεντρικής σύγκλισης ήταν σε

χρήση τον 1ο αιώνα π.Χ., τουλάχιστον µεταξύ των αρχιτεκτόνων. Στην επόµενη γενιά

όµως η προοπτική παραµελήθηκε γιατί άρχισε να δίνεται έµφαση περισσότερο στη

διακόσµηση καθ’ εαυτήν.

Επίσης ο Πρόκλος στα Σχόλιά του στο Ι βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, (Α΄

µέρος, παράγραφος 13)20 αναφέρει ότι “… η οπτική διαιρείται στην κυρίως οπτική και στην

κατοπτρική. Στη πρώτη αποδίδονται ψευδή φαινόµενα όπως η σύγκλιση παραλλήλων

ευθειών και η δεύτερη είναι η κατοπτρική. Μελετά δε και την σκηνογραφικήν. ...”

[……¹ µέν [Ñπτικήν] τα‹ς ×ψεσι γραµµα‹ς χρωµένοι καί τα‹ς ™κ τούτων συνισταµέναις γωνίαις, διαιρουµένη δέ ε‡ς τε τήν „δίως καλουµένην ÑÑÑÑπτικήν, ¼τις τîîîîν ψευδîîîîς φαινοµένων παρά τάς ¢¢¢¢ποστάσεις τîîîîν ÐÐÐÐρατîîîîν τήν α„„„„τίαν ¢¢¢¢ποδίδωσιν, οŒŒŒŒον τÁÁÁÁς τîîîîν παραλλήλων συµπτώσεως ½½½½ τÁÁÁÁς τîîîîν τετραγώνων ææææς κύκλων θεωρίας, καί ε„ς τήν κατοπτρικήν σύµπασαν τήν περί τάς ¢νακλάσεις τάς παντοίας πραγµατευοµένην καί τÍ ε„καστικÍ γνώσει συµπλεκοµένην, καί τήν λεγοµένην σκηνογραφικήν δεικνàσαν, πîς ¥ν τα φαινόµενα µή ¥ρυθµα ½ ¥µορφα φαντάζοιτο ™ν τα‹ς ε„κόσι παρά τάς ¢ποστάσεις καί τά Þψη τîν γεγραµµένων.] Τελικά είχαν οι αρχαίοι Έλληνες και οι Ρωµαίοι µια θεωρία κεντρικής προοπτικής

ανάλογη µε την νεότερη, όπου µια ζωγραφιά θεωρείται µια διαφανής επίπεδη προβολή µε

ένα σταθερό σηµείο όρασης; Η απάντηση ήταν αρνητική µέχρι που ο αρχαιολόγος Η. G.

Beyen ανακάλυψε (και τις δηµοσίευσε στο Jahrbuch Deutsh. Archaol. Instit. το 1939) πως

κάποιες τοιχογραφίες στην Ποµπηία, στην Ρώµη και στην Boscoreale, έδειξαν µια

κατασκευή µε ένα σηµείο που αντιστοιχούσε κατά κάποιο τρόπο στο σηµερινό σηµείο

φυγής. Τα χαµηλότερα µέρη αυτών των τοιχογραφιών δεν έδειξαν την ίδια συνέπεια στην

κεντρική σύγκλιση και ήταν κατώτερα της προοπτικής µεταχείρισης που αναµενόταν. Η

ερµηνεία που έχει δοθεί γι’ αυτό είναι ότι οι καλλιτέχνες που σχεδίασαν αυτές τις εικόνες

δεν ήταν οι αυθεντικοί γνώστες αλλά αντέγραφαν περισσότερο ή λιγότερο σωστά, εικόνες

που είχαν δει πάνω σε σκηνή. Κι επειδή η σκηνή ήταν συνήθως σε µια ανασηκωµένη

πλατφόρµα το χαµηλότερο µέρος µιας τέτοιας κατασκευής έλειπε, οπότε έπρεπε οι

ζωγράφοι να αναπληρώσουν αυτό το µειονέκτηµα µε δικές τους προσθήκες και κάνοντας

χρήση της πιο διαδεδοµένης παράλληλης προοπτικής.

Το γνωστό ζεύγος σιδηροδροµικών γραµµών που «εξαφανίζεται» σε ένα σηµείο,

έχει ένα ισοδύναµο στην αρχαιότητα. Ο Ρωµαίος ποιητής – φιλόσοφος Λουκρήτιος (Titus

20Morrow, 1970, στίχοι 40.11 – 40.20

37

Lucretius Carus, 98-55 π.Χ) στο έργο του De rerum natura περιγράφει προοπτικές

αναπαραστάσεις και συγκεκριµένα εξηγεί πως ένα περιστύλιο που αποτελείται από οκτώ

κίονες µπορεί να εµφανίζεται να συγκλίνει σε ένα αθέατο σηµείο ενός κώνου. Αλλά η

γεωµετρική αρχή της όρασης δεν ήταν καθολικά αναγνωρισµένη στην αρχαιότητα. Μία

αντίπαλη θεωρία ήταν η Επικούρεια θεωρία εικόνων κατά την οποία η όραση είναι µια

συνεχής ακολουθία ειδώλων ή πολύ λεπτών επιφανειών (films) τις οποίες διαπερνά αέρας

µε άπειρη ταχύτητα. Αυτές προσκρούουν στα µάτια µας, και µας δίνουν την όραση ως

αποτέλεσµα διαρκούς επαφής µε αυτά. Αυτή η θεωρία όρασης οδήγησε στη παράδοξη

πεποίθηση ότι τα ουράνια σώµατα εισέρχονται στο νου µας µόνο ως µεγέθη. Ίσως ο

Ευκλείδης να έγραψε τα Οπτικά για να πολεµήσει τέτοιες απόψεις. Επίσης ο Κλαύδιος

Πτολεµαίος στο έργο του Περί Αναλλήµατος δουλεύει µε την ορθογώνια προβολή της

ουράνιας σφαίρας στο επίπεδο του ορίζοντα, προκειµένου να λύσει προβλήµατα της

σφαιρικής αστρονοµίας. Επίσης όπως είδαµε στο έβδοµο βιβλίο της Συναγωγής του

Πάππου υπάρχουν θεωρήµατα πάνω σε προοπτική και προβολή.

Έτσι ίσως καταλήγουµε ότι οι αρχαίοι κατείχαν ένα σύστηµα προοπτικής που είχε

οµοιότητα µε την Αναγεννησιακή προοπτική αλλά δεν είναι βέβαιο ότι αυτό ήταν ένα

οργανωµένο σύστηµα κεντρικής προβολής. Η πρώτη πλήρης προσπάθεια

ορθολογικοποίησης του εικονικού χώρου φαίνεται να έχει επιτευχθεί τον 15ο αιώνα µ.Χ.

Η Οπτική ήταν µια από τις επιστήµες που αναπτύχθηκε στην αρχαιότητα και έλαβε

αξιοσηµείωτη προσοχή στον ύστερο Μεσαίωνα. Ενέπνευσε και εφοδίασε τους πρώιµους

«προοπτικιστές» µε διαλεκτικές και συγχρόνως τεχνικές αρχές. ∆ιαλεκτικά, συνέβαλε στην

ιδέα πως η όραση θα έπρεπε να αντιµετωπιστεί µε επιστηµονικό τρόπο και τεχνικά

βοήθησε στη διαµόρφωση κανόνων. Από την Οπτική η θεωρία της προοπτικής

κληρονόµησε τη θεµελιώδη αρχή πως η όραση λαµβάνει χώρα µέσω ευθυγράµµων

οπτικών ακτίνων. Πλούσιο έδαφος επίσης για µελέτες δόθηκε και από το ερώτηµα του πως

η οπτική εντύπωση ενός αντικειµένου εξαρτάται από τη γωνία θέασης. Από αυτό

προκύπτει και το θεµελιώδες αποτέλεσµα ότι οι παράλληλες ευθείες εµφανίζονται να

συγκλίνουν. Τελικά η θεωρία της Οπτικής περιορίστηκε στο πεδίο των οπτικών

εµφανίσεων και τα συµπεράσµατά της δεν εξαντλούν το ερώτηµα του πως επιτυγχάνεται η

αναπαράσταση αντικειµένων πάνω σε ένα επίπεδο. Ωστόσο όµως χρησιµοποιήθηκαν για

να εξαχθούν χρήσιµοι κανόνες στο τοµέα της ζωγραφικής.

38

Τα Οπτικά21

Το αρχαιότερο σωζόµενο βιβλίο στη γεωµετρική οπτική είναι τα Οπτικά του Ευκλείδη

γραµµένο περίπου το 300 π.Χ. Περιέχει 12 ορισµούς ή αξιώµατα και 58 θεωρήµατα (τα 20

ανήκουν καθαρά στην επιστήµη της οπτικής και τα άλλα 38 σχετίζονται µε προοπτικά

φαινόµενα). Τα Οπτικά έθεσαν τα θεµέλια πάνω στα οποία η γεωµετρική οπτική µπορούσε

να αναπτυχθεί και να φθάσει σε ένα αξιοσηµείωτα υψηλό επίπεδο. Άσκησαν µεγάλη

επιρροή στους Μεσαιωνικούς συγγραφείς της οπτικής και εµµέσως συνεισέφεραν σε

µεγάλο βαθµό στην εξέλιξη της Αναγεννησιακής προοπτικής. Ας αναφέρουµε τους 4

πρώτους ορισµούς ή αξιώµατα:

I. Οι ευθείες γραµµές που απορρέουν από το µάτι διαχέονται µέσα σε χώρο απείρως

εκτεινόµενο. (Ο Ευκλείδης υποστήριζε αυτή τη φυγόκεντρο θεωρία των οπτικών

ακτίνων).

II. Το σχήµα του χώρου που βρίσκεται εντός του πεδίου όρασής µας είναι ένας κώνος

ο οποίος έχει την κορυφή του στο µάτι και τη βάση του στα πέρατα αυτών που

ορώνται.

III. Αυτά τα πράγµατα πάνω στα οποία οι οπτικές ακτίνες πέφτουν ορώνται, ενώ εκείνα

πάνω στα οποία αυτές δεν πέφτουν, δεν ορώνται.

IV. (Angle axiom) Αυτά τα πράγµατα που ορώνται εντός µεγαλύτερης γωνίας

εµφανίζονται µεγαλύτερα, αυτά που ορώνται εντός µικρότερης γωνίας

εµφανίζονται µικρότερα, ενώ αυτά που ορώνται εντός ίσων γωνιών εµφανίζονται

ίδιου µεγέθους.

Το αξίωµα IV υποδηλώνει ότι το µέγεθος της εικόνας ενός ευθυγράµµου τµήµατος

µπορεί να οριστεί µετρώντας το µήκος του ειδώλου του, που θα εµφανιστεί αν το

κοιτάξουµε από καθορισµένη θέση και το εντάξουµε (το είδωλό του) σ’ ένα επίπεδο

σχεδίασης. Συνέπεια αυτού είναι ο απλός τρόπος που οι σύγχρονοι σχεδιαστές µετρούν το

µέγεθος ενός αντικειµένου όταν πρόκειται να το σχεδιάσουν στο χαρτί: το κοιτούν µε τη

βοήθεια ενός βαθµονοµηµένου µολυβιού από την απόσταση που θέλουν και βρίσκουν το

µήκος του ειδώλου.

Θα δούµε αργότερα ότι η προοπτική εισήχθη από τον Alberti τον 15ο αιώνα ως

τοµή µιας οπτικής πυραµίδας. Το πρόβληµα όµως είναι πως κατασκευάζεται αυτή η τοµή.

21 Τα αποσπάσµατα των Οπτικών που ακολουθούν είναι από το Brigstocke Η. 2001 και από το Andersen, 2007.

39

Ο Ευκλείδης δεν απάντησε σ’ αυτό γιατί ο στόχος του ήταν να ασχοληθεί απλώς µε

οπτικές εµφανίσεις και όχι µε προβολές. Ανεξάρτητα από αυτό όµως η θεωρία του

χρησιµοποιήθηκε για εικονικές αναπαραστάσεις όπως για παράδειγµα στον προσδιορισµό

της εικόνας ενός ευθυγράµµου τµήµατος που µόλις αναφέρθηκε.

Ο σκοπός των Οπτικών είναι να εκφράσουν µε γεωµετρικές προτάσεις την ακριβή

σχέση µεταξύ των πραγµατικών µεγεθών αντικειµένων και των φαινοµενικών µεγεθών που

συγκροτούν την οπτική µας εικόνα. Ο Ευκλείδης συνέδεσε, σε ζεύγη, σηµεία πάνω στα

αντικείµενα, µε τις εικόνες τους, όπως γίνεται σε µοντέρνες κατασκευές. Έδειξε ότι το

φαινόµενο µέγεθος των αντικειµένων είναι ευθέως ανάλογο της οπτικής γωνίας. Οι

ακόλουθες είναι µερικές από τις προτάσεις των Οπτικών που σχετίζονται µε την

προοπτική:

Πρόταση 6 (Θεώρηµα Σύγκλισης):

Οι παράλληλες ευθείες που ορώνται από µια απόσταση, φαίνονται να βρίσκονται σε άνισες

αποστάσεις µεταξύ τους.

Η απόδειξη έπεται προφανώς από τον ορισµό IV. Στο παρακάτω σχήµα η ΒΓ

οράται από µικρότερη γωνία απ’ότι η ∆Ε. Και η γωνία ∆ΟΕ είναι µικρότερη της γωνίας

ΜΟΝ. Έτσι και τα διαστήµατα µεταξύ των παραλλήλων δεν εµφανίζονται ίσα αλλά άνισα.

Σχήµα 2.2.1 (Πρόταση 6 Οπτικών)

Ο Ευκλείδης εδώ δεν συµπέρανε όµως ότι αν οι παράλληλες προεκταθούν απείρως, θα

εµφανίζονται να συναντώνται σε ένα σηµείο. Τον 13ο αιώνα ο Witelo (1230 – µετά από το

40

1275) , ο οποίος έγραψε για την οπτική, ακολούθησε παρόµοια τακτική σχολιάζοντας αυτό

το θεώρηµα: Συµπέρανε ότι οι παράλληλες ποτέ δεν θα ιδωθούν να συναντώνται γιατί ο

µεταξύ τους χώρος πάντοτε θα οράται υπό κάποια γωνία από το µάτι. Σήµερα λέµε βέβαια

ότι στο άπειρο η γωνία αυτή γίνεται µηδέν. Τον 13ο αιώνα όµως η έννοια του απείρου δεν

ήταν αποδεκτή στις αποδείξεις από τους µαθηµατικούς. Οι ισχυρισµοί και οι γνώσεις του

Witelo ίσως δείχνουν την ύπαρξη δύο διαφορετικών σχολών σκέψης (εκείνης που δεχόταν

µε ευκολία την τοµή των παραλλήλων και εκείνης που ήταν επιφυλακτική απέναντι σ’

αυτό) σχετικά µε την γεωµετρική «ορθότητα» των σηµείων φυγής και εξηγούν κατά

κάποιο τρόπο την αργοπορηµένη αποδοχή του κεντρικού σηµείου φυγής από τους

καλλιτέχνες της εποχής.

H οπτική θεωρία µελετήθηκε συνδεόµενη µε τη προοπτική. ∆ηλαδή τα εξαγόµενα

της οπτικής εφαρµόστηκαν στην προοπτική προβολή. Όµως υπάρχουν κάποια που δεν

είναι συµβατά µε τη θεωρία της προοπτικής. ∆ηλαδή υπάρχουν κάποιες διαφορές που

όµως δεν ήταν αντιληπτές. Το πιο γνωστό παράδειγµα οπτικού συµπεράσµατος που δεν

συµφωνεί πλήρως µε τη θεωρία της προοπτικής είναι η πρόταση 6. Είδαµε ότι ο Ευκλείδης

θεώρησε δύο παράλληλες και εξέτασε δύο περιπτώσεις: Αν το µάτι βρίσκεται πάνω στο

επίπεδο των παραλλήλων και αν βρίσκεται πάνω από αυτές. Το θεώρηµα αυτό της

σύγκλισης φαίνεται να βρίσκεται σε συµφωνία µε το θεώρηµα του σηµείου φυγής. Μια

προσεκτικότερη εξέταση όµως δείχνει ότι αυτή η συµφωνία δεν είναι πλήρης γιατί το

συµπέρασµα του Ευκλείδη είναι ορθό µόνο για την περίπτωση που το µάτι ή η προβολή

του πάνω στο επίπεδο των παραλλήλων πέφτει ανάµεσα στις δύο παράλληλες. Αν τους

ισχυρισµούς του Ευκλείδη τους εφαρµόσουµε όταν το µάτι βρίσκεται σε µια άλλη θέση,

τότε καταλήγουµε σε διαφορετικά αποτελέσµατα για το πώς εµφανίζονται οι παράλληλες

και πως θα έπρεπε να σχεδιαστούν. Στις αρχές του 18ου αιώνα ο Humphry Ditton έγραψε

ότι µερικές τοµές των δύο παραλλήλων εµφανίζονται να αποκλίνουν ενώ άλλες να

συγκλίνουν (Andersen, 2007, σελ. 726), υπονοώντας ότι οι ευθείες εµφανίζονται σαν

καµπύλες. Αν και είναι εννοιολογικά σηµαντικό να είµαστε ενήµεροι του γεγονότος ότι

κάποια συµπεράσµατα της οπτικής δεν µπορούν να εφαρµοστούν στην προοπτική,

ιστορικά δεν ήταν αξιοσηµείωτο αφού το θεώρηµα της σύγκλισης ενέπνευσε τους

σχεδιαστές στην αρχαιότητα αλλά και κατά την Αναγέννηση να απεικονίσουν τις

ορθογώνιες ευθείες (orthogonals) σαν συγκλίνουσες ευθείες.

41

Πρόταση 10 (Θεώρηµα της µείζονος απόστασης):

Από ένα οριζόντιο επίπεδο που βρίσκεται κάτω από το µάτι του παρατηρητή, εκείνα τα

µέρη που είναι µακρύτερα από το µάτι εµφανίζονται περισσότερο ανυψωµένα.

Παρά την απουσία προβολών στο έργο του Ευκλείδη, υπάρχει ένα σηµείο της

απόδειξης αυτής της πρότασης που αναδεικνύει σε κάποιο βαθµό την έννοια της προβολής.

Σχήµα 2.2.2 (Πρόταση 10 Οπτικών)

Οι οπτικές ακτίνες ΒΜ, ΒΛ, ΒΚ τέµνουν την κάθετη ΕΗ στα σηµεία Μ΄, Λ΄, Κ΄ και το Κ΄

εµφανίζεται ψηλότερα από το Λ΄, όπως επίσης το Λ΄ ψηλότερα από το Μ΄. Όµως το σχήµα

αυτό δεν είναι προφανές ότι αποτελεί αυτό που έχει στο µυαλό του ο Ευκλείδης

διατυπώνοντας την πρόταση 10. Σχηµάτισε µεν την πρόταση αυτή µε έναν γενικό τρόπο,

για αντικείµενα που βρίσκονται σε επίπεδα κάτω από το µάτι Β, περιορίστηκε δε

παίρνοντας το εικονιζόµενο παράδειγµα µε τα τρία σηµεία Μ, Λ, Κ που κείνται σε µια

οριζόντια ευθεία κάτω από το Ο, αποδεικνύοντας ότι η ΛΚ εµφανίζεται ψηλότερα από την

ΛΜ. Η τελευταία γνωστή απόδειξη απαιτεί την κάθετη ΗΕ η οποία τέµνει τις οπτικές

ακτίνες. Έτσι επειδή το Κ΄ είναι ψηλότερα από το Λ΄ και το Λ΄ από το Μ΄ , τότε το ΛΚ θα

εµφανίζεται ψηλότερα από το ΛΜ αφού τα ΛΚ, ΛΜ ορώνται υπό τις αντίστοιχες οπτικές

τους ακτίνες. Η ευθεία λοιπόν ΗΕ µπορεί να ερµηνευθεί ως η αναπαράσταση ενός

επιπέδου προβολής, αλλά η λειτουργικότητά της στην απόδειξη είναι απλώς να δώσει έναν

προσανατολισµό ύψους στις οπτικές ακτίνες. Το σηµαντικό λεκτικό σηµείο στην απόδειξη

είναι ότι η ΛΜ οράται εντός της γωνίας Μ΄ΒΛ΄ κι όχι ότι προβάλλεται πάνω στην ΗΕ.

Μάλιστα ο Knorr υποστηρίζει (Andersen, 2007, σελ. 725) ότι η κάθετη ΗΕ είναι

µεταγενέστερη προσθήκη και ότι η αυθεντική απόδειξη του Ευκλείδη είναι διαφορετική.

Ως εκ τούτου διαφωνεί µε την άποψη ότι ο Ευκλείδης γνώριζε την έννοια της προβολής

στα Οπτικά. Από τη πρόταση 10 φαίνεται ότι ο Ευκλείδης γνώριζε µια θεµελιώδης αρχή

42

της κεντρικής προοπτικής, ότι δηλαδή τα αντικείµενα προβάλλονται από την οπτική ακτίνα

πάνω στο επίπεδο σχεδίασης. Περιέγραψε λοιπόν κάποια προοπτικά φαινόµενα ωστόσο

όµως δεν προχώρησε στον χώρο των προοπτικών κατασκευών.

Αξιοσηµείωτη είναι και η πρόταση 36 η οποία αναφέρει ότι οι τροχοί ενός άρµατος

φαίνονται ελλειπτικοί όταν ορώνται από πλάγια θέση.

Αφήσαµε για το τέλος την πρόταση 8 η οποία έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και έχει

προκαλέσει αρκετές φορές σύγχυση στους ιστορικούς της προοπτικής:

Πρόταση 8:

Ίσα και παράλληλα µεγέθη που απέχουν ανίσως από το µάτι, δεν εµφανίζονται

αντιστρόφως ανάλογα των αποστάσεών τους από το µάτι.

Σχήµα 2.2.3 (Πρόταση 8 Οπτικών)

Ο Ευκλείδης επιθυµούσε ν’ ανακαλύψει αν υπήρχε µια απλή γεωµετρική αναλογία µεταξύ

του φαινόµενου µεγέθους ίσων και παραλλήλων ευθειών και των αποστάσεών τους από το

µάτι. Στο ακόλουθο σχήµα το Ε είναι το µάτι και τα ΑΒ, GΚ είναι δύο παράλληλα µεγέθη.

Το ΑΒ απέχει διπλάσια απόσταση από το Ε απ’ ότι το GΚ, αλλά η γωνία υπό την οποία

οράται το ΑΒ είναι µεγαλύτερη από το µισό της γωνίας υπό την οποία οράται το GΚ.

Η σύγχυση προέκυψε όταν ο Leonardo Da Vinci έγραψε: «Το δεύτερο αντικείµενο

(ΑΒ) που απέχει από το πρώτο (GK) όσο απέχει το πρώτο από το µάτι, θα εµφανίζεται

κατά το ήµισυ του µεγέθους του πρώτου, ωστόσο όµως στη πραγµατικότητα θα έχουν το

ίδιο µέγεθος». Με άλλα λόγια, αν διπλασιάσεις την απόσταση θα µειωθεί στο µισό το

φαινόµενο µέγεθος, οπότε τα µεγέθη φαινόµενο µέγεθος & απόσταση από το µάτι είναι

αντιστρόφως ανάλογα. Το θέµα είναι τι εννοεί φαινόµενο µέγεθος. Προφανώς αντίφαση µε

τον Ευκλείδη δεν υφίσταται γιατί ο τελευταίος εννοoύσε γωνίες όρασης οι οποίες

µετρώνται βέβαια µε τόξα, ενώ ο Leonardo είχε στο µυαλό του το επίπεδο σχεδίασης, το

οποίο παράγει ευθύγραµµες προβολές και σχηµατίζει όµοια τρίγωνα µε τις οπτικές ακτίνες.

43

2.3 Η Προοπτική στον Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση

Know that a painted thing can never appear truthful

where there is not a definite distance for seeing it.

[Leon Battista Alberti, 1425]

Θα ιχνηλατήσουµε σχετικά γρήγορα την εξέλιξη της προοπτικής µέχρι το τέλος του

16ου αιώνα, µια και δεν είναι αυτός ο σκοπός της παρούσης εργασίας, για να εστιάσουµε

έπειτα στη δουλειά του Desargues και να αναδειχθούν καλύτερα οι ιδέες του και οι

καινοτοµίες που ξεπήδησαν µέσα απ’ αυτές.

Το πρόβληµα της απεικόνισης του φυσικού κόσµου οδήγησε στα µαθηµατικά τον

ζωγράφο της Αναγέννησης. Αυτό ήταν φυσικό αφού τότε ήταν έντονο το ενδιαφέρον για

τη ρεαλιστική ζωγραφική: Πέρα από το χρώµα και τη φυσική τους υπόσταση, τα

αντικείµενα που απεικονίζει ο ζωγράφος είναι γεωµετρικά στερεά µε καθορισµένη θέση

µέσα στο χώρο. Η γλώσσα που είναι κατάλληλη γι’ αυτά τα ιδεατά αντικείµενα και µπορεί

να περιγράψει τις ιδιότητες που τα χαρακτηρίζουν καθώς και τις σχετικές τους θέσεις στο

χώρο είναι η ευκλείδεια γεωµετρική γλώσσα. Οι καλλιτέχνες την είχαν έτοιµη. Χρειαζόταν

απλώς να την χρησιµοποιήσουν.

Ο καλλιτέχνης της Αναγέννησης στράφηκε όµως προς τα µαθηµατικά και για έναν

δεύτερο λόγο: επηρεάστηκε από την αναβίωση της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας. Η

σκέψη του εµποτίστηκε µε το δόγµα πως τα µαθηµατικά αποτελούν την ουσία του

πραγµατικού κόσµου και πως η τάξη µέσα στο Σύµπαν ερµηνεύεται λογικά µε τους όρους

της γεωµετρίας. Έτσι, όπως και ο Έλληνας φιλόσοφος, πίστεψε πως για να φτάσει στην

πραγµατική ουσία του θέµατός του έπρεπε να το αναγάγει στο µαθηµατικό του

περιεχόµενο. Μαρτυρία αυτής της τάσης είναι η γνωστή µελέτη του Leonardo Da Vinci

πάνω στις αναλογίες, µε την οποία προσπαθεί να συνταιριάξει τη δοµή του ιδεώδους

ανθρωπίνου σώµατος µε τα «ιδανικά» σχήµατα, το τετράγωνο & τον κύκλο. Όµως υπήρχε

ακόµη ένας λόγος. Ο καλλιτέχνης του ύστερου Μεσαίωνα και της Αναγέννησης ήταν

συγχρόνως αρχιτέκτονας και µηχανικός, οπότε τα µαθηµατικά ήταν ήδη αναγκαία. Οι

βασιλιάδες, οι αξιωµατούχοι της Εκκλησίας και οι µεγαλέµποροι ανέθεταν

κατασκευαστικά προβλήµατα στον καλλιτέχνη. Έτσι αυτός σχεδίαζε και έκτιζε παλάτια,

νοσοκοµεία, εκκλησίες, κάστρα, πολεµικές µηχανές, γέφυρες, κλπ. Άρα ο καλλιτέχνης της

Αναγέννησης ήταν ο καλύτερος γνώστης των εφαρµοσµένων µαθηµατικών.

44

Όλες οι µέθοδοι που χρησιµοποιήθηκαν στην ιστορία της ζωγραφικής, δηλαδή τα

διάφορα συστήµατα προοπτικής χωρίζονται σε δυο µεγάλες κατηγορίες: τα εννοιακά και

τα οπτικά (Kline Μ., 2002). Στα πρώτα, ο στόχος είναι να οργανωθούν τα πρόσωπα και τα

αντικείµενα σύµφωνα µε κάποια αρχή που έχει ελάχιστη ή και καθόλου σχέση µε την

πραγµατική εµφάνιση της ίδιας της σκηνής που απεικονίζεται. Η ζωγραφική και η

χαρακτική των Αιγυπτίων ήταν κατά το µεγαλύτερο µέρος τους εννοιακές. Το µέγεθος των

ανθρώπων σ’ αυτές εξαρτιόταν συνήθως από τη θέση τους στην πολιτικο – θρησκευτική

ιεραρχία. Το πιο σηµαντικό πρόσωπο ήταν ο Φαραώ και γι’ αυτό εµφανιζόταν µε το

µεγαλύτερο µέγεθος. Η σύγχρονη ζωγραφική σε πολλές περιπτώσεις είναι εννοιακή, όπως

και η κινέζικη και η γιαπωνέζικη σε µεγάλο βαθµό. Αντίθετα ένα οπτικό σύστηµα

προοπτικής προσπαθεί να µεταδώσει στο µάτι την ίδια εντύπωση που θα µετέδιδε και η

ίδια η σκηνή. Παρ’ όλο που αρχικά η ζωγραφική των Ελλήνων και των Ρωµαίων ήταν

πρωτίστως οπτική, η επιρροή του χριστιανικού µυστικισµού γύρισε τους καλλιτέχνες πίσω

στο εννοιακό σύστηµα, το οποίο επικράτησε στα χρόνια του Μεσαίωνα. Οι

πρωτοχριστιανικοί και µεσαιωνικοί ζωγράφοι απεικόνιζαν τα θέµατά τους µε έναν τρόπο

συµβολικό: Αποσκοπούσαν περισσότερο στη δηµιουργία θρησκευτικού συναισθήµατος

παρά στο να αποδοθούν οι άνθρωποι και τα αντικείµενα µε ρεαλιστικό τρόπο. Μορφές που

οπτικά θα έπρεπε να βρίσκονται η µια πίσω από την άλλη, απεικονίζονταν συνήθως δίπλα

– δίπλα. Χαρακτηριστικά ήταν τα άκαµπτα φορέµατα και τα γωνιώδη πρόσωπα. Οι

χωρικές σχέσεις αγνοούνται, αφού τα µέτρα και µεγέθη θεωρούνται ασήµαντα. Το στυλ

που επικράτησε κατά αυτό τον τρόπο ήταν το βυζαντινό. Αυτό κυριάρχησε στην

µεσαιωνική ζωγραφική αν και µερικές φορές βρίσκουµε σ’ αυτήν κατάλοιπα του οπτικού

συστήµατος που χρησιµοποιούσαν οι Έλληνες & οι Ρωµαίοι. Ένα έργο που θεωρείται

αντιπροσωπευτικό της Μεσαιωνικής ζωγραφικής είναι ο Ευαγγελισµός22 του Simone

Martini (1285 – 1344).

22 Ανακτήθηκε από το Internet.

45

Το φόντο είναι χρυσαφένιο όπως σε πολλά παρόµοια έργα. ∆εν υπάρχουν ενδείξεις

οπτικού συστήµατος προοπτικής. Η κίνηση είναι από τον άγγελο προς την Παρθένο και

από εκεί πάλι στον άγγελο. Τα χρώµατα και οι επιφάνειες είναι αρκετά όµορφες και οι

γραµµές ευχάριστα καµπύλες ωστόσο όµως οι µορφές καθ’ εαυτές στερούνται

συναισθήµατος και δεν προσθέτουν συγκίνηση στον θεατή. Η γενική αίσθηση του συνόλου

θυµίζει περισσότερο µωσαϊκό. Το µόνο στοιχείο που δείχνει ότι αυτό το έργο κάνει κάποια

πρόοδο προς την απόδοση ρεαλισµού είναι το δάπεδο. Είναι ένα επίπεδο πάνω στο οποίο

στέκονται οι µορφές και τα άψυχα αντικείµενα.

Οι χαρακτηριστικές επιρροές της Αναγέννησης που έστρεψαν τους καλλιτέχνες

προς το ρεαλισµό και τα µαθηµατικά, άρχισαν να γίνονται αισθητές κοντά στο τέλος του

13ου αιώνα. Τότε ο Αριστοτέλης έγινε ευρέως γνωστός χάρη στις µεταφράσεις των

κειµένων του από τα αραβικά και τα ελληνικά. Οι ζωγράφοι άρχισαν να συνειδητοποιούν

την ανυπαρξία ρεαλισµού στη Μεσαιωνική ζωγραφική και προσπάθησαν να την αλλάξουν.

Έτσι εµφανίστηκαν οι πρώτες απόπειρες προς τον νατουραλισµό. Άρχισαν να

χρησιµοποιούν πραγµατικούς ανθρώπους για µοντέλα θρησκευτικών παραστάσεων, να

αξιοποιούν τις ευθείες γραµµές και τις πολλαπλές επιφάνειες µε τέτοιο τρόπο ώστε να

αναδυθεί το συναίσθηµα. Η ουσιαστική διαφορά ανάµεσα στην τέχνη του Μεσαίωνα και

της Αναγέννησης ήταν η εισαγωγή της τρίτης διάστασης, δηλαδή η αναπαράσταση του

διαστήµατος, του όγκου, της µάζας και των διαφόρων οπτικών φαινοµένων. Η τρίτη αυτή

46

διάσταση έπρεπε να ενσωµατωθεί σε ένα νέο οπτικό σύστηµα ζωγραφικής. Κάτι τέτοιο

επιχείρησαν συνειδητά ο Duccio (1255-1318) και ο Giotto (1276-1336) κατά τις αρχές του

14ου αιώνα. Στα έργα του Duccio, O θρίαµβος της Μαντόνας και ο Μυστικός ∆είπνος,

αρχίζει να παριστάνεται το βάθος, ωστόσο όµως υπάρχουν αρκετές ατέλειες. Ο Giotto

αποδίδει καλύτερα την αίσθηση ρεαλισµού. Εκτιµά καλύτερα τις χωρικές σχέσεις και οι

σκηνές του ήταν καλύτερα «ζυγισµένες». Ήταν µια από τις κεντρικές µορφές στην

ανάπτυξη της οπτικής προοπτικής. Οι ζωγραφιές του δεν ήταν οπτικά άψογες, όµως το

έργο του το χωρίζει τεράστια απόσταση από το αντίστοιχο των προηγουµένων. Ακολουθεί

ο Ambrogio Lorenzetti (1290-1348) ο οποίος βελτιώνει την τεχνική και φτάνει στο

ανώτατο επίπεδο που έφτασε ποτέ καλλιτέχνης της Αναγέννησης πριν από την εισαγωγή

του µαθηµατικού συστήµατος προοπτικής. Τον 15ο αιώνα οι καλλιτέχνες αντιλήφθηκαν

πως το κλειδί για την επιστηµονική προσέγγιση της προοπτικής βρισκόταν στη γεωµετρία.

Οι παράγοντες που συνετέλεσαν σ’ αυτό ήταν: Πρώτον, η επαφή µε τα συγγράµατα των

αρχαίων. ∆εύτερον, η φιλοσοφία της Αναγέννησης. Σύµφωνα µε αυτήν τα µαθηµατικά

ήταν η γλώσσα µε την οποία εκφράζονταν οι απόλυτες αλήθειες. Οι ερευνητές

προσπαθούσαν να θεµελιώσουν τις επιστήµες σύµφωνα µε µαθηµατικές αρχές. Και επειδή

η τέχνη θεωρείτο τότε επιστήµη (ζήλευε µάλιστα το γόητρο των τεσσάρων πλατωνικών

τεχνών: αριθµητικής, γεωµετρίας, µουσικής και αστρονοµίας) έπρεπε να γίνει το ίδιο και

µ’ αυτήν. Έτσι προσέτρεξαν στη γεωµετρία.

Η πρώτη κατασκευή επιστηµονικής προοπτικής αποδίδεται στον αρχιτέκτονα,

γλύπτη και µηχανικό από τη Φλωρεντία, Filippo Brunelleschi (1377-1446). Χρονολογείται

περίπου το 1420 αλλά δεν υπάρχει κάποια λεπτοµερής καταγραφή από τα πειράµατά του.

Πιθανώς πέρασε τη µέθοδό του προφορικά στους µαθητές του. Από τον ζωγράφο και

συγγραφέα Giorgio Vasari (1511-1574) µαθαίνουµε απλώς ότι επινόησε ένα ευφυές

σύστηµα που περιλάµβανε µια κάτοψη & ανύψωση (plan and elevation method). Στο πάνω

µέρος του σχήµατος23 2.3.1 φαίνεται η κάτοψη (plan) του µικρού πυργίσκου (κάτω δεξιά)

και στο κάτω µέρος η ανύψωση (elevation), δηλαδή ό,τι κοιτά το µάτι Ε από το δάπεδο

προς τα πάνω.

23 Ανακτήθηκε από το Internet.

47

Σχήµα 2.3.1 (Plan & Elevation method)

Με τη βοήθεια κάποιας επίπεδης τοµής ζωγράφισε έτσι τα δύο διάσηµα έργα (που

δυστυχώς χάθηκαν) που αναπαριστούν το Φλωρεντιανό βαπτιστήριο του S. Giovanni και

της Signoria. Χρησιµοποίησε ένα µηχανικό σύστηµα που βασιζόταν στην αρχή ότι οι

οπτικές ακτίνες είναι ευθείες γραµµές και εξηγείται καλύτερα στην ξυλογραφία του Dürer

που θα δούµε παρακάτω. Ανάµεσα στους µαθητές του ήταν ο Donatello (1386-1466), o

Masaccio (1401-1428) και πολλοί άλλοι. Η µέθοδος αυτή (plan and elevation) ήταν

κατάλληλη για σχεδιασµό αρχιτεκτονικών και γεωµετρικών σχηµάτων και

χρησιµοποιήθηκε σε µεγάλο βαθµό. ∆εν περιείχε σηµεία φυγής. Το φηµισµένο πείραµα

του Brunelleschi, το λεγόµενο Brunelleschi’s peepshow, που επιβεβαίωνε την αξιοπιστία

της µεθόδου του ήταν το εξής:

Αρχικά ζωγράφισε το Βαπτιστήριο σ’ ένα ξύλινο κάδρο (είτε παρατηρώντας το απ’

ευθείας, είτε ζωγραφίζοντας την αντανάκλαση της πραγµατικής τρισδιάσταστης εικόνας σ’

έναν καθρέφτη) στο οποίο όµως άφησε µια µικρή τρύπα κάπου στη µέση. Καλούσε στη

συνέχεια τους παρατηρητές να σταθούν µπροστά από το Βαπτιστήριο, µε το ένα χέρι να

κρατούν έναν καθρέφτη και µε το άλλο να κρατούν το ζωγραφισµένο έργο του, κατά τον

εξής τρόπο, όπως φαίνεται στην εικόνα:24

24 Η εικόνα που αποτυπώνει το πείραµα του Brunelleschi ανακτήθηκε από το Internet.

48

Κρατώντας το έργο του από την ανάποδη όψη, να κοιτούν µέσα από την τρύπα τον

καθρέφτη. Αυτό που θα βλέπουν θα είναι η ζωγραφιά του (µαζί βέβαια µε το µάτι τους).

Τότε αν κινούν κατάλληλα τον καθρέπτη κοιτώντας συγχρόνως και το Βαπτιστήριο στο

βάθος, θα δουν µε ευχαρίστηση το έργο να ευθυγραµµίζεται και να ταιριάζει απόλυτα µε

το Βαπτιστήριο. Αυτό σηµαίνει ότι το έργο έχει σχεδιαστεί υπό προοπτική και µε σωστή

κλίµακα.

Αµέσως µετά τις προοπτικές δηµιουργίες του Brunelleschi, ο συνάδελφος

αρχιτέκτονας Alberti µηχανεύθηκε µια προοπτική κατασκευή την οποία περιέγραψε στην

γνωστή πραγµατεία του De picture ή Della pittura (1436), γραµµένη πρώτα στα λατινικά

(1435) και αµέσως µετά στα ιταλικά, για τον φίλο του Brunelleschi και την ελίτ των

καλλιτεχνών της Φλωρεντίας. Είναι η πρώτη γνωστή καταγεγραµµένη και ολοκληρωµένη

προοπτική κατασκευή. Είχε ένα ιδιαίτερο πλεονέκτηµα. Ο Alberti διάλεξε για απεικόνιση

ένα πλακιδωτό δάπεδο που µπορούσε να προεκταθεί, όπως έγραφε, «σχεδόν στο άπειρο».

Ακριβώς επειδή ήταν πλακιδωτό (σαν σκακιέρα) µπορούσε να χρησιµεύσει άριστα σαν ένα

τρισδιάστατο πλέγµα το οποίο θα βοηθούσε να µετρηθούν τα ύψη στην προοπτική εικόνα.

Ο κύριος σκοπός του ήταν να ενισχύσει τον ζωγράφο µε µια µέθοδο ώστε να µπορεί να

εντοπίζει και να µετρά στην προοπτική, όλα τα σχήµατα και αντικείµενα που έβλεπε. Αυτά

θα εµφανίζονταν έτσι στον θεατή ο οποίος αν στεκόταν στο προκαθορισµένο σηµείο

όρασης θα τα έβλεπε όπως στην πραγµατικότητα µέσα από ένα ανοικτό παράθυρο. O

Alberti έγραφε : «Εκείνος που κοιτά µια εικόνα όπως εγώ έχω περιγράψει, θα αντικρύζει

µια επίπεδη τοµή της οπτικής του πυραµίδας». Η µέθοδος του Alberti περιλάµβανε τη

χρήση ενός σηµείου φυγής για τις ορθογώνιες ευθείες (orthogonal lines) του θέµατος,

49

δηλαδή τις παράλληλες (µεταξύ τους) αλλά κάθετες στο επίπεδο σχεδίασης. Αυτό το

σηµείο λεγόταν κεντρικό σηµείο (centric point). Και για να αποδείξει την ορθότητα της

µεθόδου του σχεδίαζε την διαγώνιο του σχεδιασµένου πλέγµατος ώστε να δείξει ότι οι

διαγώνιοι των πλακιδίων αυτού του πλέγµατος ήταν όλες πάνω στην ίδια ευθεία, όπως και

στο πραγµατικό πλακιδωτό δάπεδο (σχήµα 2.3.2 & 2.3.3). Γιατί αν ένας καλλιτέχνης

σχεδίαζε το «βάθος» των ευθειών µε κάποια αυθαίρετη µέθοδο, παίρνοντας π.χ. κάθε

διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών transversals (είναι οι ευθείες του θέµατος που είναι

παράλληλες µε την ground line) ως σταθερό κλάσµα του αµέσως προηγούµενου

διαστήµατος, τότε οι διαγώνιοι των πλακιδίων δεν θα βρίσκονταν στην ίδια ευθεία (όπως

στο σχήµα 2.3.2 & στο έργο25 του Giovanni di Paolo, The Presentation, που ακολουθεί).

Ίσως γι’ αυτό η µέθοδος του Alberti ονοµάστηκε construzione legittima, όρος µε µοντέρνα

Ιταλική προέλευση.

Σχήµα 2.3.2

Σχήµα 2.3.3 (Προοπτική απεικόνιση πλακιδωτού δαπέδου)

25 Ανακτήθηκε από το Internet.

50

Giovanni di Paolo, The Presentation, 1448

Στο ακόλουθο σχήµα περιγράφεται η µέθοδος του Alberti για την σχεδίαση της προοπτικής

εικόνας ενός ορθογωνίου (ή πλακιδίου) :

51

Σχήµα 2.3.4 (Alberti: construzione legittima)

Το ορθογώνιο ABQP βρίσκεται πίσω από τον καµβά ABDE µε τη µεγαλύτερη πλευρά του να βρίσκεται

πάνω στην τοµή (ground line) AB των επιπέδων σχεδίασης & εδάφους. To σηµείο C είναι το «κεντρικό

σηµείο» (το µετέπειτα «σηµείο φυγής»), δηλαδή το ίχνος της ακτίνας όρασης η οποία είναι κάθετη προς τον

καµβά. Αν το C είναι στο µέσο του πλάτους του καµβά, τότε φυσικά θα είναι πιο καλά «ζυγισµένη» η εικόνα.

Τα βήµατα της κατασκευής είναι:

1. Σχεδιάστε τις CA, CB.

2. Σχεδιάστε από το C παράλληλη στην ΑΒ, που τέµνει την πλευρά BD του καµβά στο Ν.

3. Προεκτείνετε την CN κατά τµήµα ΝΟ ίσο σε µήκος µε την απόσταση Eye-C.

4. Πάρτε ένα σηµείο L στην ΑΒ τέτοιο ώστε LB=BQ.

5. Από το σηµείο τοµής Z της LO µε την BD, σχεδιάστε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, που τέµνει τις

CA & CB στα Χ & Υ αντίστοιχα.

Το τραπέζιο ΑΧΥΒ είναι η επιθυµητή προοπτική εικόνα. Στη συνέχεια έρχεται ο µεγάλος δάσκαλος της προοπτικής και ένας από τους

καλύτερους µαθηµατικούς του αιώνα του, ο Piero della Francesca (1416 – 1492). Εκείνος

προχώρησε σηµαντικά σε σχέση µε τον Alberti. Στα τελευταία είκοσι χρόνια της ζωής του

έγραψε τρεις πραγµατείες για να δείξει πως µπορεί ο ορατός κόσµος να αναχθεί στη

µαθηµατική ευταξία µε τη βοήθεια των αρχών της προοπτικής και της στερεοµετρίας. Η

επονοµαζόµενη distance – point µέθοδος που ακολούθησε, χρησιµοποιήθηκε περισσότερο

γιατί ήταν βελτιωµένη. Επέτρεπε ολόκληρη την κατασκευή εντός του πλαισίου σχεδίασης

της προοπτικής εικόνας: Η µέθοδος είναι όµοια µε την προηγούµενη. Απλώς έπαιρναν το

CO (κι όχι το ΝΟ) ίσο µε το Eye-C αλλά για να έπεφτε το Ο εντός του καµβά, έπρεπε η

απόσταση Eye-C να ήταν µικρότερη ή ίση από το µισό του πλάτους του καµβά. Τέτοιες

µικρές αποστάσεις θέασης έχουν εντοπιστεί σε πολλά έργα ζωγραφικής στην Αναγέννηση

και µαρτυρούν την αναµενόµενη προτίµηση των καλλιτεχνών να κατασκευάζουν έργα

χωρίς να βγαίνουν έξω από το πλαίσιο του καµβά. Πάντως η θέση του µατιού του

καλλιτέχνη είναι µέρος της σύνθεσης του έργου. Για να έχει το βέλτιστο αποτέλεσµα ο

θεατής, θα πρέπει να παρατηρεί τη ζωγραφιά από την ίδια θέση, δηλαδή το µάτι του θα

πρέπει να βρίσκεται στο επίπεδο του κύριου σηµείου φυγής και ακριβώς µπροστά από

αυτό, σε απόσταση ίση µε την απόσταση από το κύριο σηµείο φυγής µέχρι ένα από τα

διαγώνια σηµεία φυγής. Γι’ αυτό οι πίνακες θα πρέπει να είναι κρεµασµένοι έτσι ώστε να

ανεβαίνουν ή να κατεβαίνουν ανάλογα µε το ύψος του θεατή.

52

Από τους καλλιτέχνες που δηµιούργησαν την επιστήµη της προοπτικής δεν πρέπει

να παραλείψουµε τον διάσηµο Leonardo Da Vinci (1452-1519). Ο δρόµος στον οποίο

βάδιζε περνούσε από βαθιές µελέτες σε πολλούς τοµείς: ανατοµία, προοπτική, φυσική,

χηµεία, γεωµετρία.

Η κατασκευή µιας προοπτικής εικόνας είναι, στη µαθηµατική γλώσσα, ένα είδος

κεντρικής προβολής. Το κέντρο της προβολής, δηλαδή η κορυφή του οπτικού κώνου που

τέµνεται από το επίπεδο της εικόνας αυτής (picture plane) είναι το µάτι του καλλιτέχνη και

η αρχή της οπτικής του ακτίνας. Τα σηµεία τοµής της οπτικής του ακτίνας, καθώς αυτή

«σαρώνει» το προς σχεδίαση θέµα, µε το επίπεδο εικόνας θα δώσουν τα σηµεία της

προοπτικής εικόνας του θέµατος.

Η διαδικασία αυτή φαίνεται καθαρά σε κάποιες µηχανικές συσκευές οι οποίες

επινοήθηκαν για να βοηθήσουν τους καλλιτέχνες στο σωστό σχεδιασµό προοπτικών

εικόνων διαφόρων αντικειµένων. Μια τέτοια εικονίζεται στο σχήµα 2.3.5 :

Σχήµα 2.3.5 : Μηχανική επινόηση για το σωστό σχεδιασµό σε προοπτική, από τον

Vignola, Le due regole della prospettiva, Rome, 1583.26

Η εικόνα του σχήµατος 2.3.5 είναι από ένα έργο πάνω στην προοπτική του

Giacomo Barozzi da Vignola (1507 – 1573) o οποίος ήταν αρχιτέκτονας και ζωγράφος. Το

έργο αυτό δηµοσιεύθηκε στη Ρώµη δέκα χρόνια µετά τον θάνατό του, µε εκτενή σχόλια

από τον Egnazio Danti (1536 – 1586) ο οποίος ήταν επαγγελµατίας µαθηµατικός. Η

συσκευή αυτή όµως δεν προσέφερε κάτι καινούργιο το 1583 γιατί ήταν η ίδια µε αυτή που

περιέγραψε και απεικόνισε ο Albert Dürer (1471 – 1528) στην ακόλουθη εικόνα. O Dürer

26 Η εικόνα είναι από το Αndersen, 2007.

53

άσκησε µεγάλη επίδραση. Έµαθε τις αρχές της προοπτικής στην Ιταλία και συνέχισε τη

µελέτη πάνω στο θέµα αυτό και µετά την επιστροφή του στη Γερµανία.

Εικόνα 2.3.6. Σχεδιάζοντας ένα λαούτο σε σωστή προοπτική µε τη βοήθεια µιας

«συσκευής», Dürer, Nuremberg, 1525.

Αυτός ο τύπος της συσκευής χρησιµοποιεί την εικονιζόµενη χορδή για να δώσει «σάρκα

και οστά» στην ακτίνα θέασης. Στο σχήµα 2.3.5 η χορδή ξεκινά από ένα σταθερό σηµείο G

(θέση µατιού) και καταλήγει στερεωµένη µε ένα µολύβι σε ένα σηµείο L του αντικειµένου.

Στο σηµείο Η κρέµεται ένα βαρίδι για να την κρατά τεντωµένη. Το σηµείο στο επίπεδο της

εικόνας το οποίο αντιστοιχεί στο L, είναι το Ν η θέση του οποίου (στο επίπεδο του ξύλινου

πλαισίου AKCD) µαρκάρεται ως τοµή δύο άλλων χορδών AC & DB, οι οποίες

ρυθµίζονται έτσι ώστε να τέµνονται στο Ν. Το ότι η χορδή AC είναι διαγώνιος, µάλλον

είναι τυχαίο. Τώρα για να µεταφερθεί η θέση του Ν στο χαρτί EF πάνω στο οποίο

πρόκειται να γίνει το σχέδιο, η χορδή LGH αποµακρύνεται και η «πόρτα» που µεταφέρει

το χαρτί EF κλείνει µέσα στο κάδρο. Το ίδιο προσπαθεί να κάνει και ο καλλιτέχνης στην

εικόνα 2.3.6 αλλά ο Dürer δεν µας αφήνει να διακρίνουµε καθαρά τις κινήσεις του.

Παρόµοια είδη µηχανικής βοήθειας περιγράφονται σε όλες σχεδόν τις µελέτες

54

καλλιτεχνών πάνω στην προοπτική. Η χρήση τους βέβαια λειτουργεί ως συµπλήρωµα της

θεωρητικής εργασίας που έχει γίνει πριν απ’ αυτά.

Οι αρχικές και τυπικές τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν για προοπτικές κατασκευές

δεν ήταν όµως επαρκείς όταν χρειαζόταν να απεικονίσουν περίπλοκα αντικείµενα.

Στόχευαν συνήθως στην απεικόνιση «καθαρών» αρχιτεκτονικών αντικειµένων όπως σπίτια

ή άλλα «κυβοειδή». Αυτό που πρωτίστως ενδιέφερε τους ζωγράφους ήταν να δώσουν την

αίσθηση του βάθους στις εικόνες τους παραµελώντας άλλες πτυχές της µαθηµατικά

σωστής προοπτικής. Επιπλέον, µια εικόνα θα πρέπει να συνεχίσει να φαίνεται σωστή

ακόµη κι αν θεαθεί από διαφορετικές θέσεις συγκριτικά µε την ιδανική θέση θέασης υπό

την οποία κατασκευάστηκε. Μάλιστα φαίνεται ότι οι καλλιτέχνες είχαν την τάση να

κατασκευάζουν εικόνες των οποίων η ιδεώδη απόσταση θέασης ήταν υπερβολικά µικρή.

Οι προηγούµενες εικόνες αντιπροσωπεύουν την πρακτική αυτή αφού παρατηρούµε ότι η

απόσταση θέασης (σηµείο στήριξης G) από το επίπεδο εικόνας είναι ίση µε το πλάτος του

επιπέδου αυτού (δηλ. του κάδρου) στο σχήµα 2.3.5 και περίπου 1,5 φορά το ίδιο πλάτος

στην εικόνα 2.3.6.

Έτσι η εµπειρία εφοδίασε τους καλλιτέχνες µε κάποιους κανόνες προοπτικών

κατασκευών που απλώς χρειάζεται να εφαρµοστούν σε κάποια σηµεία στην εικόνα και από

εκεί και πέρα οι κανόνες αυτοί εµφανίζονται ανεξήγητα ευέλικτοι σε σχέση µε την θέση

όρασης προς την εικόνα. Πίσω όµως από τους κανόνες αυτούς κρύβονταν κάποιες

µαθηµατικές αρχές. Οι καλλιτέχνες βέβαια δεν είχαν λόγο να ενδιαφερθούν σοβαρά γι’

αυτές και έτσι δεν εκπλήσσει το γεγονός ότι οι περισσότερες δουλειές τους πάνω στην

προοπτική απλώς περιέγραφαν δουλεµένα παραδείγµατα και αφιέρωναν από ελάχιστο έως

µηδενικό χώρο για την θεωρητική πλαισίωση και υποστήριξή τους. Αξιοσηµείωτη

εξαίρεση ήταν το έργο του Piero della Francesca, De prospective pingendi. O Piero ήταν

φηµισµένος µαθηµατικός και το έργο αυτό µοιάζει στη δοµή του και στη δυσκολία του µε

άλλες µαθηµατικές του µελέτες. Μάλλον κυκλοφόρησε ως χειρόγραφο τον 16ο αιώνα

αλλά η µικρή του αναγνωσιµότητα δεν βοήθησε στο να εκδοθεί τότε. Μέρος αυτού

εµφανίστηκε σε έργο του Daniele Barbaro (1513 – 1570) που εκδόθηκε στη Βιέννη το

1569 και όλο το έργο τυπώθηκε το 1899.

Είδαµε λοιπόν µέχρι εδώ πως η µαθηµατική προοπτική χειραφέτησε τις µορφές από

το χρυσό φόντο των µεσαιωνικών πινάκων και τις άφησε ελεύθερες να σεργιανίζουν στα

«λιβάδια» του φυσικού κόσµου.

55

2.4 Η Προοπτική σαν µαθηµατικός κλάδος, λίγο πριν τον Desargues

Το πρώτο παράδειγµα θεωρητικής γεωµετρικής πραγµατείας στην προοπτική είναι

αυτό που ο Federico Commandino (1509–1575) έδωσε σε κάποια από τα σχόλια που

πρόσθεσε στη δεύτερη έκδοση του έργου Planisphaerium του Πτολεµαίου, το 1558. Ο

Commandino σκόπευε να αποδείξει ότι κάτω από στερεογραφική προβολή27 οι κύκλοι πάνω

στην επιφάνεια της σφαίρας προβάλλονται (στο επίπεδο του Ισηµερινού) ως κύκλοι. Αυτό

το συµπέρασµα χρησιµοποιήθηκε αλλά δεν αποδείχθηκε, από τον Πτολεµαίο, ο οποίος

ίσως σκέφτηκε ότι οι µελετητές του θα το εξήγαγαν από τα θεωρήµατα του Απολλωνίου.

Κι έτσι αυτό ακριβώς έκανε κι ο Commandino. Σε µια δοσµένη κωνική τοµή ο

Απολλώνιος είχε ορίσει την λεγόµενη υπεναντία (subcontrary) τοµή και είχε αποδείξει ότι

αυτή η υπεναντία τοµή είναι επίσης κύκλος. (Παράγραφος 3.2). Οπότε µετά από αυτήν την

απόδειξη του Απολλωνίου δεν είναι δύσκολο να αποδείξουµε κι εµείς ότι στο παρακάτω

σχήµα, που φαίνεται η στερεογραφική προβολή, η τοµή του επιπέδου του Ισηµερινού µε

τον κώνο είναι υπεναντία στον δοσµένο (πράσινο) κύκλο και έτσι είναι κι αυτή κύκλος (ο

µπλε κύκλος).

27 Η στερεογραφική προβολή είναι µια κεντρική προβολή η οποία έχει το κέντρο της σε κάποιο από τους δύο πόλους της σφαίρας (π.χ. στο σχήµα είναι στον βόρειο πόλο) και προβάλλει τα σηµεία της σφαίρας πάνω στο επίπεδο του Ισηµερινού (π.χ. τα σηµεία Α, Β προβάλλονται ως Α΄, Β΄). Έτσι η προβολή ενός κύκλου που βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας είναι η τοµή του επιπέδου του Ισηµερινού µε τον κώνο ο οποίος έχει τον βόρειο πόλο ως κορυφή και τον κύκλο ως βάση.

56

Σχήµα 2.4.1 Στερεογραφική Προβολή

Παίρνοντας µια τοµή της σφαίρας, προκύπτει το ακόλουθο σχήµα :

Σχήµα 2.4.2 Τοµή της σφαίρας

Η BC αναπαριστά τον κύκλο πάνω στη σφαίρα και η Β΄C΄ είναι η εικόνα της πάνω στον

ισηµερινό. Τότε :

1 1' ' ( ) ( )

2 2 2

BEOOB C EB OD EB OE OCB= + = + = = . Άρα τα τρίγωνα OBC & OB C΄ είναι

όµοια. Οπότε σύµφωνα µε την απόδειξη του Απολλωνίου, θα ισχύει το ζητούµενο.

57

Ενώ δούλευε µε τέτοιου είδους τοµές ο Commandino έγραψε ότι αυτές µπορούν να

ληφθούν ως τοµές σε οπτικές πυραµίδες ή ως προοπτικές εικόνες. Έτσι για πρώτη φορά

συνδέεται ξεκάθαρα η προοπτική προβολή µε την κεντρική προβολή.

Ανάµεσα στον Commandino και στον Desargues, επτά µαθηµατικοί28 έγραψαν

πάνω στην προοπτική. Ξεχωρίζει ο Guidobaldo del Monte (1545–1607), ο οποίος

θεωρείται ο πατέρας της µαθηµατικής θεωρίας της προοπτικής γιατί ήταν ο πρώτος που

παρουσίασε µελέτες στις οποίες εξέτασε διάφορες ιδιότητες προοπτικών προβολών.

Εισήγαγε την έννοια του σηµείου φυγής µιας ευθείας που δεν είναι παράλληλη µε το

επίπεδο σχεδίασης, ως το σηµείο όπου η οπτική ακτίνα γινοµένη παράλληλη µε την ευθεία

αυτή, τέµνει το επίπεδο σχεδίασης. Επιπλέον απέδειξε ότι η προοπτική εικόνα µιας ευθείας

ορίζεται από το σηµείο τοµής της µε το επίπεδο σχεδίασης και από το σηµείο φυγής της.

Αυτό είναι το κύριο θεώρηµα της προοπτικής. Τα συµπεράσµατα του Guidobaldo

αποτέλεσαν πηγή έµπνευσης για τον Γερµανό µαθηµατικό Simon Stevin (1548-1620). Ο

τελευταίος ταξινόµησε κάπως τα θεωρήµατα του Guidobaldo, γενίκευσε κάποια απ’ αυτά

και το 1605 έγραψε µια πιο συνεκτική και κατανοητή θεωρία προοπτικής. Πάντως και οι

δυο τους δεν ανέπτυξαν ούτε διεύρυναν την ιδέα του Commandino να χειριστεί την

προοπτική ως ισότιµη µε διάφορες κεντρικές προβολές.

Αυτό το έκανε, λίγο πριν τον Desargues, ο Βέλγος Ιησουίτης Francois Aguilon

(1546-1617) ο οποίος στο έργο του Opticorum libri sex (1613) συµπεριέλαβε µια

πραγµατεία προοπτικής σε ένα κεφάλαιο, περισσότερο από 200 σελίδες, που ήταν

αφιερωµένο σε προβολές. Όµως, για τον Aguilon όπως και για τον Commandino, η έννοια

της προοπτικής αναπαράστασης σαν κεντρική προβολή δεν είχε εφαρµόσιµες συνέπειες

στην επίλυση προοπτικών προβληµάτων.

28 Danti, Benedetti, del Monte, Stevin, Aguilon, Marolois, Aleaume.

58

2.5 Η Mέθοδος Προοπτικών Kατασκευών του Desargues (1636)29

Ο αυθεντικός τίτλος του συγκεκριµένου έργου του Desargues είναι : ‘‘Exemple de

l’une des maniéres universélles du S.G.D.L.30 touchant la practique de la perspective sans

emploier aucun tiers point, de distance ny d’autre nature, qui soit hors du champ de

l’ouvrage.’’ και σε µετάφραση στην αγγλική :

‘‘Example of one of S.G.D.L general methods of drawing in perspective without using any

third point, a distance point or any other kind, which lies outside the picture field”.

Η πρώτη έκδοση του έργου του πραγµατοποιήθηκε το 1636 και ήταν µόλις 12

σελίδες, ακολούθησε όµως και µια δεύτερη περισσότερο λεπτοµερής έκδοση το 1648 από

τον Abraham Bosse µε τίτλο ‘Maniére universélle de Mr. Desargues, pour praticquer la

perspective par petit - pied , comme le Geometral.’ η οποία έχει διορθώσεις, επεξηγήσεις

και τρεις επιπλέον γεωµετρικές προτάσεις. Αντίτυπο της δεύτερης υπάρχει στην Βρετανική

βιβλιοθήκη και της πρώτης στην Εθνική βιβλιοθήκη της Γαλλίας στο Παρίσι.

Όπως φαίνεται καθαρά από τον τίτλο, ο Desargues παρουσιάζει µια νέα µέθοδο

Προοπτικών κατασκευών η οποία περιέχει την εξής καινοτοµία: δεν χρησιµοποιούνται,

όπως γινόταν µέχρι τώρα, βοηθητικά σηµεία (distance points ή vanishing points) εκτός του

επίπεδου πίνακα σχεδίασης – προβολής. ∆εν εξηγεί όµως σε ποιες ιδέες ή θεωρήµατα

βασίζεται αυτή ή γιατί είναι σωστή. Αντιθέτως σε εκείνους που θα ήθελαν να ξέρουν,

γράφει χαρακτηριστικά την ακόλουθη αινιγµατική φράση:

[… The general rules of this procedure are expressed in a different style, they take in

various general methods of procedure, they are applicable to a number of different cases

and figures and only two obvious and familiar propositions are required to demonstrate

them to those who wish to understand them.]31.

∆εν ξεκαθαρίζει λοιπόν ποια είναι αυτά τα δύο θεωρήµατα ώστε να µπορέσουµε

να καταλάβουµε τα θεωρητικά θεµέλια της προοπτικής του, ωστόσο όµως η παρουσίαση

της δουλειάς του θα αποκαλύψει πλήθος γεωµετρικών ιδιοτήτων που χρησιµοποιούσε. Η

µέθοδός του απεικονίζεται στη µοναδική εικόνα – πινακίδα που υπάρχει στο έργο του και

είναι η ακόλουθη:

29 Υπάρχει στην αγγλική και στη γαλλική γλώσσα στο Field & Gray 1987. 30 Sieur Girard Desargues Lyonnais. 31 Field & Gray 1987, σελ. 147.

59

Η «πινακίδα»32 του Desargues (1636)

32 Ανακτήθηκε από το website της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας (ΒΝF).

60

Εκτός από τον τίτλο του έργου του που διακρίνεται καθαρά στο άνω µέρος της

εικόνας, υπάρχουν τρία ξεχωριστά σχήµατα στα οποία είναι σχεδιασµένα τα ίδια γράµµατα

αλλά µε διαφορετικό στυλ στο κάθε σχήµα (π.χ. παρατηρήστε τα a, α και Α). Ξεκινά

λοιπόν:

Για εκείνους που απλώς γνωρίζουν πώς να ακολουθήσουν τους παλαιούς κανόνες

για να ασκήσουν την τεχνική της προοπτικής, αυτό το παράδειγµα το οποίο εκφράζεται µε

απλούς όρους και περιλαµβάνει ένα θέµα (εννοεί το εικονιζόµενο κλουβί ή πύργο) που έχει

δουλευτεί µε αυτούς τους παλαιούς κανόνες, είναι απολύτως πρακτικό και κατάλληλο.

Ξεκινάµε µε τρία µέρη προπαρασκευαστικής διαδικασίας. Το ένα αφορά στο θέµα και

υλοποιείται στο επίπεδο της βάσης του ή κάπου αλλού. Τα άλλα δύο αφορούν στην

εµφάνιση του θέµατος και συνήθως υλοποιούνται στην εικόνα του θέµατος καθ’ εαυτήν.

Το θέµα του παραδείγµατος είναι ένα κλουβί µε τετράγωνη βάση και µε κάθετες ευθείες οι

οποίες συγκλίνουν προς τα πάνω σε ένα σταθερό σηµείο.

Το σχήµα στο δεξί µέρος της πινακίδας

Το τετράγωνο m,l,i,k είναι η βάση του κλουβιού που εικονίζεται στο κύριο µέρος

της εικόνας. Το ευθύγραµµο τµήµα x είναι το ύψος των καθέτων πλευρών (εδρών) και η

ευθεία d είναι 3 µονάδες της κλίµακας µέτρησης (οργιά, fathom). Το τµήµα ts είναι το

ύψος του µατιού του παρατηρητή από το επίπεδο της βάσης (το σηµείο t είναι στο επίπεδο

της βάσης και το µάτι στο σηµείο s, έξω και πάνω από το επίπεδο της βάσης). Η ευθεία ab

είναι η τοµή του επιπέδου σχεδίασης της εικόνας (δηλ. του επιπέδου στο οποίο θα

σχεδιαστεί το θέµα, υπό προοπτική) και του επιπέδου της βάσης του θέµατος. Το µάτι

µπορεί να βλέπει είτε το επίπεδο σχεδίασης µπροστά από το θέµα είτε το θέµα πίσω από το

επίπεδο αυτό. Το τµήµα tc είναι η κάθετη απόσταση από το µάτι προς το επίπεδο

σχεδίασης (ή απλά επίπεδο εικόνας). Από το σηµείο a ή το b της ευθείας ab (όποιο είναι

κοντινότερα στη βάση του θέµατος, εδώ από το a) σχεδιάζουµε µια τέµνουσα ag στο

επίπεδο της βάσης, παράλληλη προς την tc. Έπειτα, από τις 4 κορυφές του τετραγώνου της

βάσης και από το µέσο (το σηµείο 15) µιας πλευράς του τετραγώνου, σχεδιάζουµε ευθείες

παράλληλες προς την ab που τέµνουν την ag : mr, lh, kn, ig και 15e. Από το b σχεδιάζουµε

επιπλέον την ευθεία bq // ag, tc.

Ας αρχίσουµε τώρα τις µετρήσεις: Κάθε πλευρά του τετραγώνου είναι 15 πόδια. Το

τµήµα x που υποδηλώνει το ύψος της κάθετης έδρας του θέµατος είναι 18 πόδια (17 πόδια

πάνω από το έδαφος και 1 πόδι κάτω από αυτό). Η ab είναι 12 πόδια. Το τµήµα της ευθείας

61

ag που περιέχεται ανάµεσα στις rm και ab τυχαίνει να είναι 17 πόδια, δηλαδή το επίπεδο

σχεδίασης τοποθετείται 17 πόδια µπροστά από το θέµα. Η ts είναι 4½ πόδια, δηλαδή το

µάτι βρίσκεται πάνω από το επίπεδο της βάσης του θέµατος, σε ύψος 4½ ποδιών. Το ίχνος

t της κάθετης από το µάτι s προς το έδαφος απέχει από το επίπεδο σχεδίασης 24 πόδια,

δηλαδή tc = 24. Αυτή είναι η πρώτη από τις τρεις προπαρασκευαστικές διαδικασίες.

Ολόκληρη αυτή η χαραγµένη πινακίδα προετοιµάζεται να δεχθεί µια εικόνα

οποιουδήποτε µεγέθους, υποθέτοντας ότι είναι κάθετη (η πινακίδα) στο επίπεδο της βάσης

του θέµατος, το οποίο (το επίπεδο) την συναντά στην ευθεία ab. Η εικόνα αυτή θα

αναπαριστά στο τέλος το κλουβί µέσω ενός προοπτικού σχήµατος του οποίου το µέγεθος

θα «ταιριάζει» µε αυτό της εικόνας, χωρίς να χρησιµοποιήσουµε οποιοδήποτε σηµείο

εκτός της πινακίδας και χωρίς να χρειαστεί να φτιάξουµε µια άλλη προοπτική κατασκευή

κάπου αλλού µε πλάτος το ίδιο µε την υπάρχουσα (δηλαδή την ab) και κατόπιν να την

µεταφέρουµε στην πινακίδα µας υπό κατάλληλη κλίµακα βέβαια.

Το σχήµα στο κάτω µέρος της πινακίδας

Στο χαµηλότερο µέρος της πινακίδας σχεδιάζουµε την ευθεία ΑΒ η οποία

αντιστοιχεί στην ευθεία ab. Στα άκρα της Α, Β και προς το ίδιο µέρος της φέρνουµε τις

παράλληλες AF, ΒΕ, κάθετες στην ΑΒ. Έπειτα διαιρούµε την ΑΒ σε τόσα ίσα µέρη όσα

είναι τα πόδια της ab (δηλαδή 12). Κατασκευάζουµε έτσι µια κλίµακα αυτού του αριθµού

των ποδιών όπου π.χ. το όγδοο µέρος να υποδιαιρείται σε ίντσες και σε άλλες ευθείες, αν

χρειαστεί. Επιπλέον λαµβάνουµε υπ’ όψιν το ύψος του µατιού από το έδαφος (4½ πόδια)

ως εξής : θεωρούµε ΑF=BE=4½ µέρη της κλίµακας που κατασκευάσαµε στην ΑΒ. Τέλος

σχεδιάζουµε την ευθεία FE που προκύπτει έτσι παράλληλη στην ΑΒ.

Στην ευθεία FE σηµειώνουµε το σηµείο στο οποίο το µάτι βρίσκεται ακριβώς

απέναντί του και σε κάθετη απόσταση (όπως είπαµε 24 ποδιών). Από αυτό το σηµείο, το

G, φέρνουµε την GC παράλληλη προς τις AF, BE και έτσι το χωρίο AFEB διαιρείται στα

χωρία GCAF & GCBE. Είτε τώρα σε όλο το AFEB είτε σε κάποιο από τα µικρότερα

χωρία, όπως στο GCAF, σχεδιάζουµε τις AG & CF (διαγώνιοι του παραλληλογράµµου).

Από το σηµείο τοµής αυτών φέρνουµε την HD//ΑΒ που τέµνει την GC στο Τ. Έπειτα, από

κάποιο εκ των Η, Τ σχεδιάζουµε νέα διαγώνιο HG ή TF. Στο παράδειγµά µας βλέπουµε

την HG, ενώ στο επάνω αριστερό µέρος της πινακίδας βλέπουµε την ft (τα γράµµατα εδώ

62

είναι µικρά αλλά έντονα δακτυλογραφηµένα). Από το σηµείο τοµής των ft & ag διέρχεται

η nq//ab. Οµοίως από το σηµείο τοµής των nq & cg, δηλαδή το ο, σχεδιάζουµε την ευθεία

of και από το σηµείο τοµής των of & ag διέρχεται η su//ab. H διαδικασία αυτή µπορεί να

συνεχιστεί όσες φορές θέλουµε. Υποθέτοντας ότι εκτελούµε τη διαδικασία αυτή

χρησιµοποιώντας τις ευθείες CF & AF (όπως στο κάτω µέρος της εικόνας), οι ευθείες NQ

& SV θα είναι πάντοτε στην ίδια θέση σαν να είχαν κατασκευαστεί χρησιµοποιώντας τις

ευθείες AG & CG. Τέλος, το µέρος της ευθείας ab ή AB δηλαδή το ac ή AC στο

παράδειγµά µας διαιρείται σε τόσα ίσα µέρη όσα είναι τα πόδια (24) της απόστασης από το

µάτι έως στην εικόνα. Τα βλέπουµε σηµειωµένα ακριβώς από κάτω από την ΑC. Έτσι

τελειώνει η δεύτερη προπαρασκευαστική διαδικασία που έχει σχέση µε την προοπτική

κατασκευή. Η διαδικασία αυτή οδηγεί σε ένα σχήµα που καλούµε Κλίµακα Βάθους

(Distance Scale, Eshelle des Eloignemens. Είναι το σχήµα acgf στο πάνω αριστερό µέρος

της πινακίδας).

Στη συνέχεια από το σηµείο G ή g σχεδιάζουµε ευθείες προς τα σηµεία στα οποία

πρωτοδιαιρέσαµε την ΑΒ, δηλαδή στα 12 ίσα µέρη. Στο παράδειγµά µας αυτές οι ευθείες

είναι σχεδιασµένες στο χωρίο GCBE ή gcbe. Με τον ίδιο τρόπο σχεδιάζουµε ευθείες από

το G προς τις υποδιαιρέσεις ενός εκ των 12 ποδιών, όπως φαίνεται στο όγδοο πόδι. Αυτή

είναι η τρίτη προπαρασκευαστική διαδικασία κατά την οποία σχηµατίζεται το τριγωνικό

σχήµα GCB ή gcb το οποίο καλούµε Κλίµακα ∆ιαστάσεων (Dimension Scale, Echelle des

Mesures) και βοηθά τον σχεδιαστή όπως οι αναλογικοί διαβήτες33.

Μέσω της αντιστοιχίας µεταξύ αυτών των κλιµάκων µπορούµε να

κατασκευάσουµε υπό προοπτική ό,τι επιθυµούµε. ∆ιότι µε τη κλίµακα βάθους βρίσκουµε

στο σχέδιο µας τη θέση κάθε σηµαντικού σηµείου του επιπέδου της βάσης του θέµατός

µας καθώς και του ίδιου του θέµατος. Και µε τη κλίµακα διαστάσεων βρίσκουµε τις

διάφορες διαστάσεις (µετρήσεις) των ευθειών του θέµατος που είναι παράλληλες στο

επίπεδο σχεδίασης – µε τέτοιο τρόπο ώστε να ταιριάζουν µε την εικόνα που θα

σχεδιάσουµε – καθώς και τη γωνία υπό την οποία ορώνται από το µάτι του παρατηρητή.

Στη συνέχεια, θεωρώντας τις ευθείες AB, ab και ab ως µια ευθεία, σαν

αποτέλεσµα των τριών προπαρασκευαστικών διαδικασιών, η εµφάνιση στο σχέδιό µας της

ευθείας ag είναι η AG ή ag και η εµφάνιση της bq είναι η BG ή bg. Έτσι η AG αποκτά

βάθος µέχρι το σηµείο G καθώς την τµήσαµε πρώτα στο µισό, έπειτα στο ένα τρίτο, στο

ένα τέταρτο κ.ο.κ. Αυτό έγινε µέσω της διαδικασίας που έδωσε την κλίµακα βάθους.

33 Μαθηµατικά εργαλεία εποχής.

63

Επιπροσθέτως, το σηµείο το οποίο αποκόβει την AG ή ag κατά το ½, δηλαδή το σηµείο

που συναντά την HD (δεν το ονοµάζει στο σχήµα του) είναι η εµφάνιση ενός σηµείου της

ag που απέχει 24 πόδια από το επίπεδο σχεδίασης. ∆ηλαδή είναι πίσω από την εικόνα

σχεδίασης σε απόσταση ίση µε εκείνη του µατιού από το επίπεδο σχεδίασης. Οµοίως το

σηµείο που αποκόβει την AG κατά το 13 (αυτό αποδεικνύεται εύκολα µε όµοια τρίγωνα),

δηλαδή το σηµείο που συναντά την NQ (ούτε αυτό το ονοµάζει) είναι η εµφάνιση ενός

σηµείου της ag που απέχει 48 πόδια πίσω από το επίπεδο σχεδίασης, δηλαδή διπλάσια

απόσταση από την αντίστοιχη του µατιού από το επίπεδο αυτό. Και µε τον ίδιο τρόπο το

σηµείο που αποκόβει την AG κατά το 14 είναι η εµφάνιση ενός σηµείου της ag που

απέχει 72 πόδια πίσω από το επίπεδο σχεδίασης, δηλαδή τριπλάσια απόσταση. Η

διαδικασία µπορεί προφανώς να συνεχιστεί όσες φορές θέλουµε ώστε να αποδοθεί το

απαιτούµενο βάθος.

Οι ευθείες της κλίµακας διαστάσεων δηλαδή οι ευθείες που ενώνουν το G ή

g µε τα σηµεία διαίρεσης της ΑΒ ή ab σε 12 πόδια, είναι σηµειωµένες στη πινακίδα και

διαιρούν τα 5 από τα 12 πόδια, του τµήµατος BC της ευθείας ΑΒ. Αυτές οι ευθείες

διαιρούν κάθε ένα από τα τµήµατα των ευθειών HD ή hd, NQ ή nq, SV ή su (και

οποιεσδήποτε άλλες παράλληλες προς τις τελευταίες) επίσης σε 5 ίσα πόδια

δηµιουργώντας έτσι τον ίδιο αριθµό διαφορετικών κλιµάκων στις ποικίλες απεικονίσεις

των ευθειών του θέµατος που είναι παράλληλες προς το επίπεδο σχεδίασης και

τοποθετηµένες σε ποικίλες αποστάσεις πίσω από αυτό.

Τελικά σαν αποτέλεσµα των τριών προπαρασκευαστικών διαδικασιών προκύπτει

ότι η ευθεία ΑΒ ή ab είναι 12 πόδια, η ευθεία HD ή hd 24 πόδια, η NQ ή nq 36 και η SV ή

su 48, δηλαδή το µήκος της κάθε µιας µετριέται στα πόδια που η κλίµακα διαστάσεων

αποδίδει στο µέρος που την συναντά.

Είναι λοιπόν προφανές ότι η HD είναι η εµφάνιση (απεικόνιση) µιας ευθείας στο

επίπεδο της βάσης του θέµατος που είναι παράλληλη µε την ab και κείται σε 24 πόδια πίσω

από την εικόνα. Αλλά η κορυφή της βάσης m απέχει µόνο 17 πόδια πίσω από την εικόνα

µας οπότε θα βρίσκεται σε µια ευθεία rm//ab η οποία θα είναι 7 πόδια λιγότερα από την

ευθεία που αναπαριστά η HD. Έτσι η εµφάνιση του σηµείου m στην εικόνα (επίπεδο

σχεδίασης) βρίσκεται µε τον ακόλουθο τρόπο.

Αρχικά χρησιµοποιώντας την κλίµακα βάθους πρέπει να εντοπίσουµε ένα σηµείο

της ευθείας AG που να αντιστοιχεί στο σηµείο r της ag το οποίο βρίσκεται 17 πόδια πίσω

64

από την εικόνα, δηλαδή να βρούµε την εµφάνιση του σηµείου r. Για να γίνει αυτό,

σχεδιάζουµε από το F µία ευθεία (διακρίνεται στην πινακίδα) µέχρι την 17η διαίρεση της

AC και το σηµείο στο οποίο τέµνει την AG, δηλαδή το R, είναι η εµφάνιση του r. Έπειτα

φέρνουµε από το R παράλληλη προς την ΑΒ πάνω στην οποία θα βρίσκεται η εµφάνιση

του m. Επειδή τώρα rm = 1,5 πόδι, ενώνουµε το G µε εκείνο το σηµείο της ΑΒ που δείχνει

1,5 πόδι από τα 12 της αρχικής διαίρεσης της ΑΒ. Το σηµείο τοµής της τελευταίας µε την

παράλληλη από το R προς την ΑΒ, δηλαδή το Μ, είναι η ζητούµενη εµφάνιση της κορυφής

m της βάσης του κλουβιού.

Περνάµε τώρα να βρούµε την εµφάνιση του σηµείου k. Επειδή ar=17 πόδια, rh=9

και hn=3 πόδια, προκύπτει ότι το k βρίσκεται σε ευθεία nk παράλληλη στην ab και σε

απόσταση 29 πόδια πίσω από την εικόνα σχεδίασης, δηλαδή 5 πόδια µακρύτερα από την

ευθεία που αναπαριστά η HD. Έτσι χρησιµοποιώντας την κλίµακα βάθους πρέπει να

εντοπίσουµε ένα σηµείο της ευθείας AG που να αντιστοιχεί στο σηµείο n της ag το οποίο

βρίσκεται 29 πόδια πίσω από την εικόνα, δηλαδή να βρούµε την εµφάνιση του σηµείου n.

Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουµε από το G µία ευθεία (διακρίνεται στην πινακίδα) µέχρι την

5η διαίρεση (από τις 24) της AC και το σηµείο τοµής της µε την HD το ενώνουµε µε το F.

Η τελευταία ευθεία (από το F) συναντά την ΑG σε ένα άλλο σηµείο, το οποίο είναι η

εµφάνιση του n της ag. Κατόπιν από το σηµείο αυτό φέρνουµε παράλληλη προς την ΑΒ

(και προς τ’ αριστερά), οπότε το Κ που αναζητούµε θα βρίσκεται πάνω στην παράλληλη

αυτή. Επειδή nk=7,5 πόδια θα πρέπει, όπως και λίγο πριν, να µεταφέρουµε µέσω της

κλίµακας διαστάσεων 7,5 πόδια (από τα 12) της ΑΒ στην παράλληλη αυτή. Αυτό µπορεί

να γίνει εύκολα και έτσι εντοπίζεται το Κ που είναι η ζητούµενη εµφάνιση της κορυφής k

της βάσης του κλουβιού.

Με τον ίδιο τρόπο εντοπίζονται και τα σηµεία L, I, δηλαδή οι εµφανίσεις των

άλλων δύο κορυφών l, i της βάσης του κλουβιού. Να σηµειώσουµε ότι αν κάποιος θέλει να

βρει την εµφάνιση ενός σηµείου της ag που απέχει αρκετά µεγαλύτερη απόσταση π.χ. 53

πόδια από το επίπεδο σχεδίασης πάλι µπορεί να ακολουθήσει την προηγούµενη διαδικασία

αλλά τώρα θα πάρει ως αφετηρία όχι την HD αλλά την NQ η οποία απέχει όπως είπαµε 48

πόδια από το επίπεδο σχεδίασης, για να χρειαστεί ακόµη 5 µέχρι να βρει την ζητούµενη

εµφάνιση. Έτσι σχεδιάσαµε τις ευθείες ML, MK, KI & LI δηλαδή τις εµφανίσεις των

πλευρών της βάσης mlik του κλουβιού.

Στη συνέχεια θα βρούµε την εµφάνιση της κορυφής του κλουβιού που βρίσκεται σε

ύψος 17 ποδιών πάνω από το σηµείο m. Από το σηµείο Μ σχεδιάζουµε την ευθεία Μst

κάθετη στην ΑΒ η οποία θα έχει µήκος 17 πόδια µετρηµένα όµως (µέσω της κλίµακας

65

διαστάσεων) όχι στην ΑΒ αλλά στην RM. Έτσι εντοπίζουµε το σηµείο st της ευθείας Mst.

Οι ευθείες Lff, Kfr & Isp βρίσκονται µε τον ίδιο τρόπο.

Αν θέλουµε να βρούµε τις εµφανίσεις σηµείων του θέµατος που βρίσκονται 1 πόδι

κάτω από τα σηµεία m, l, i, k χρησιµοποιώντας τις κάθετες ευθείες που βρήκαµε

προηγουµένως, προεκτείνουµε κάθε µια από αυτές τις εµφανίσεις προς τα κάτω κατά ένα

πόδι, µετρηµένο όµως στην κατάλληλη κλίµακα που αποδίδει η κλίµακα διαστάσεων.

Αποµένει να εντοπίσουµε την εµφάνιση της επάνω κορυφής του κλουβιού. Στο

σχήµα στο δεξί µέρος της πινακίδας υπάρχει η ευθεία Ζ η οποία είναι 13,5 πόδια και

αντιπροσωπεύει το ύψος της στέγης. Η κορυφή αυτή θα βρίσκεται σε κάθετη απόσταση

17+13,5 πόδια ακριβώς πάνω από το κέντρο της βάσης του θέµατος, οπότε µε την µέθοδο

που περιγράψαµε πριν, εντοπίζουµε την εµφάνισή της που είναι το σηµείο Æ. Έτσι

σχεδιάζονται και οι ευθείες της στέγης.

Στο κυρίως µέρος της πινακίδας βλέπουµε και κάποιες άλλες ευθείες τις V, Z, W &

R. Αυτές είναι µετρήσεις των υψών ανθρώπων που είναι δυνατόν να στέκονται σε ποικίλες

θέσεις στο επίπεδο της βάσης του θέµατος. Οι αναφορές του Desargues σε ανθρώπινες

φιγούρες είναι ελάχιστες για να φανούν χρήσιµες στους προοπτικούς σχεδιαστές.

Η ευθεία Χ είναι η µέτρηση του ύψους ενός προσώπου που στέκεται στο κάτω

µέρος του βαθουλώµατος του κλουβιού. Η ευθεία β είναι η εµφάνιση µιας ευθείας µήκους

12 ποδιών όπου το κάτω άκρο της είναι στο επίπεδο της βάσης του θέµατος και σε κάποιο

σηµείο της ευθείας hl, ενώ το πάνω άκρο της ακουµπά στην κάθετη ακµή Lff. Η ευθεία

είναι η εµφάνιση µιας ευθείας µήκους 5 ποδιών η οποία κρέµεται από το µέσο της άνω

ακµής µιας κάθετης έδρας.

Όλες αυτές οι εµφανίσεις – διακοσµητικών στοιχείων, σκιών και γενικά οτιδήποτε

µπορεί να παρασταθεί καλλιτεχνικώς – µπορούν, µέσω της γνώσης των κατάλληλων

αποστάσεων (αποστάσεις από το επίπεδο σχεδίασης, από το επίπεδο της βάσης του

θέµατος κλπ), να δηµιουργηθούν σε οποιαδήποτε επίπεδη επιφάνεια είτε είναι κάθετη στην

ευθεία της όρασης είτε όχι34 και ακόµη αν γνωστά σηµεία όπως το σηµείο φυγής είναι έξω

από την εικόνα σχεδίασης. Υπάρχουν επίσης κανόνες για όσους θέλουν να

χρησιµοποιήσουν χρώµατα αλλά οι αποδείξεις αυτών εξαρτώνται µερικώς από τη

Γεωµετρία και µερικώς από τη Φυσική. ∆εν υπάρχουν όµως σε κανένα βιβλίο

34 Ο Desargues αναφέρεται ως ο πρώτος που λαµβάνει υπ’ όψιν την περίπτωση όπου το επίπεδο σχεδίασης δεν είναι κάθετο στην ακτίνα της όρασης. Η περίπτωση όµως αυτή εξετάστηκε από τον Benedetti στο έργο του “De rationibus operationum perspectivae” στο Diversarum speculationum … liber (1585). [Field & Gray, 1987, σελ. 215].

66

δηµοσιευµένο στη Γαλλία.35 Για τις διάφορες καταστάσεις που προκύπτουν στη προοπτική

σχεδίαση υπάρχουν και άλλες ανεξάρτητες µέθοδοι επίτευξης του επιθυµητού

αποτελέσµατος ή και µέσω διαφόρων οργάνων ο σχεδιασµός των οποίων προέρχεται από

γεωµετρικά θεωρήµατα.

Τέτοια όργανα σχεδιάζουν ένα θέµα ενώ κοιτάµε σ’ αυτό µέσω ενός σχήµατος

µικροτέρου, ίσου ή µεγαλύτερου µεγέθους, το οποίο σχήµα εµφανίζεται στο επίπεδο

σχεδίασης καθώς το όργανο εφαρµόζεται και λειτουργεί πάνω σ’ αυτό. Εδώ ο Desargues

φαίνεται να αναφέρεται στον Παντογράφο και στο έργο Pantographice του Christoph

Scheiner (1573 – 1640) το οποίο δηµοσιεύθηκε στη Ρώµη το 1631. Ο Scheiner περιγράφει

τη χρήση του Παντογράφου (τον οποίον επινόησε το 1603). Το όργανο αυτό που

εικονίζεται στο σχήµα στερεώνεται πάνω στο επίπεδο σχεδίασης και σε µία άκρη έχει ένα

µολύβι. Σχεδιάζει δε εικόνες, τις οποίες ο παρατηρητής βλέπει µέσω του επιπέδου

σχεδίασης, σε ρυθµιζόµενη κλίµακα.

Σχήµα 2.5.1 Παντογράφος

35 Αυτό το κενό καλύφθηκε από την έκδοση έργου του Leonardo Da Vinci πάνω στη ζωγραφική το 1651.

67

Σχήµα 2.5.2 Παντογράφος

Υπάρχουν επίσης και µαθηµατικώς κατασκευασµένες µέθοδοι για τον σχεδιασµό

ευθειών στην λάξευση λίθων για αρχιτεκτονικούς σκοπούς ή για τον σχεδιασµό ποικίλων

τύπων ηλιακών ρολογιών.

Τελειώνοντας ο Desargues αναφέρει κάποιες προτάσεις που τις διατυπώνει µε έναν

διαφορετικό τρόπο, δείχνοντας ότι προκύπτουν από τη δουλειά του στην προοπτική :

Ας φανταστούµε ότι από το σταθερό κέντρο του µατιού περνά µια ευθεία χωρίς

συγκεκριµένη θέση και απείρως προεκτάσιµη σε κάθε κατεύθυνση. Την καλούµε Ευθεία

Οράσεως (Line of Sight, Ligne de l’oeil) και µπορεί αν χρειαστεί να σχεδιαστεί παράλληλη

µε οποιαδήποτε άλλη.

Όταν το θέµα είναι ένα σύνολο σηµείων και από τα σηµεία του θέµατος και από το

µάτι σχεδιάσουµε παράλληλες ευθείες και τις προεκτείνουµε ώστε να συναντήσουν το

επίπεδο σχεδίασης, τότε η εµφάνιση του θέµατος κείται σε ευθείες που συνδέουν τα

σηµεία τοµής των παραλλήλων αυτών µε το επίπεδο σχεδίασης.

Όταν το θέµα αποτελείται από ευθείες, αυτές θα είναι είτε παράλληλες είτε

τεµνόµενες.

Όταν οι ευθείες του θέµατος είναι παράλληλες, η ευθεία της όρασης που έχει

σχεδιαστεί παράλληλη προς αυτές, θα είναι είτε παράλληλη είτε όχι µε το επίπεδο

σχεδίασης. Αλλά κάθε µια από τις ευθείες του θέµατος πάντα θα βρίσκεται σε ένα επίπεδο

µε την ευθεία όρασης έτσι ώστε η τελευταία να θεωρηθεί σαν κοινός άξονας όλων αυτών

των επιπέδων.36

Όταν οι ευθείες του θέµατος είναι παράλληλες µεταξύ τους και η ευθεία όρασης

που έχει σχεδιαστεί παράλληλη προς αυτές, είναι παράλληλη µε το επίπεδο σχεδίασης, οι

εµφανίσεις των ευθειών αυτών του θέµατος θα είναι επίσης παράλληλες ευθείες και µεταξύ

τους και µε τις ευθείες του θέµατος και µε την ευθεία όρασης.

Όταν οι ευθείες του θέµατος είναι παράλληλες µεταξύ τους και η ευθεία όρασης

που έχει σχεδιαστεί παράλληλη προς αυτές δεν είναι παράλληλη µε το επίπεδο σχεδίασης,

οι εµφανίσεις των ευθειών αυτών του θέµατος συγκλίνουν στο σηµείο όπου οι ευθεία

όρασης συναντά το επίπεδο σχεδίασης (πρόκειται για το σηµείο φυγής).

36 Ο Desargues φαίνεται να προετοιµάζει το έδαφος για το σηµαντικότερο έργο του “Brouillon Project d’ une

atteinte aux evenements des rencontres du cone avec un plan” (“Rough Draft of an Essay on the results of

taking plane sections of a cone”) το οποίο κυκλοφορεί τρία χρόνια αργότερα, το 1639.

68

Όταν οι ευθείες του θέµατος συγκλίνουν σε ένα σηµείο έτσι ώστε η ευθεία όρασης

που περνά από αυτό να είναι παράλληλη µε το επίπεδο σχεδίασης (εδώ ο Desargues τις

θεωρεί συγκλίνουσες αλλά είναι παράλληλες µε την ευκλείδεια έννοια µεταξύ τους αλλά

µη παράλληλες µε το επίπεδο σχεδίασης), οι εµφανίσεις αυτών των ευθειών του θέµατος

είναι παράλληλες ευθείες και µεταξύ τους και προς την ευθεία όρασης (αλλά όχι µε τις

ευθείες του θέµατος όπως στην προ-προηγούµενη παράγραφο).

Και όταν οι ευθείες του θέµατος συγκλίνουν σε ένα σηµείο έτσι ώστε η ευθεία

όρασης που περνά από αυτό δεν είναι παράλληλη µε το επίπεδο σχεδίασης, οι εµφανίσεις

αυτών των ευθειών θα συγκλίνουν (στο επίπεδο σχεδίασης) στο σηµείο όπου η ευθεία

όρασης συναντά την εικόνα σχεδίασης.

Τέλος η πρόταση που ακολουθεί δεν µπορεί να εξηγηθεί τόσο σύντοµα όσο οι

προηγούµενες:

«Για να αποδώσουµε µια επίπεδη τοµή κώνου, θα σχεδιάσουµε δύο ευθείες (µέσα

σ’ αυτήν) των οποίων οι εµφανίσεις τους θα γίνουν οι άξονες του σχήµατος που θα

αναπαριστά την τοµή αυτή».

A Paris, en May 1636.

Avec Privilége.

2.6 Ανάλυση της Μεθόδου

Αφού είδαµε µε ποιο τρόπο ο Desargues περιέγραψε, στη γλώσσα του, την

προοπτική του στο οµότιτλο έργο του (1636) ας περάσουµε τώρα σε µια επεξήγηση και

διασαφήνιση της δουλειάς του.

Αυτό που έχει στο µυαλό του και προτρέπει να κατασκευάζει ο καλλιτέχνης που

ακολουθεί τη µέθοδό του, φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα :

69

Σχήµα 2.6.1

Πρόκειται για την τριδιάστατη απεικόνιση της µεθόδου του που την απέδωσε µε

διδιάστατο τρόπο στην πινακίδα του που είδαµε στο έργο του. Σχεδόν όλα τα σηµεία του

σχήµατος διαβάζονται όπως και στην πινακίδα του για να υπάρχει αντιστοιχία. Ο πύργος

θεωρούµε ότι βρίσκεται προς το µέρος της V1S1. Παρατηρήστε ότι το επίπεδο εικόνας

AFGEBCA στο σχήµα 2.6.1, είναι το αντίστοιχο AFGEBCA στην πινακίδα και η V1S1

είναι µια αποτέµνουσα (δηλ. //ΑΒ) η οποία εµφανίζεται στον καµβά ως VS. Θεωρούµε το

οριζόντιο επίπεδο εδάφους (ground plane), το κατακόρυφο επίπεδο εικόνας AFEB (picture

plane), την τοµή τους ΑΒ (ground line), τη θέση του µατιού στο σηµείο Ο (eye point) και

τις ορθές προβολές του Q και G στα επίπεδα αυτά αντίστοιχα. Το σηµείο G είναι, στην

µετέπειτα γλώσσα της προοπτικής, το κύριο σηµείο φυγής (principal vanishing point)37 και

οι όροι αποτέµνουσες, ορθογώνιες και κάθετες (transversals, orthogonals & verticals)

χαρακτηρίζουν ευθείες, στο θέµα που πρόκειται να απεικονιστεί, παράλληλες µε τις AB,

37 Στην εποχή της τεχνοτροπίας Μπαρόκ, θεωρούσαν ότι το κύριο σηµείο φυγής «γεφύρωνε» το χάσµα Θεού – ανθρώπου.

70

OG & OQ αντίστοιχα. Η ευθεία π.χ. CΤ καλείται ορθογώνια ευθεία. Ο Desargues λοιπόν,

όπως και πολλοί πριν από αυτόν, ενδιαφέρονταν αρχικά να προσδιορίσουν τις προοπτικές

εικόνες (στο επίπεδο AFEB) αυτών των τριών τύπων ευθειών. Θεώρησε δεδοµένο βέβαια

το γεγονός ότι οι ορθογώνιες ευθείες, δηλαδή οι παράλληλες της CT, απεικονίζονται στο

επίπεδο εικόνας σαν ευθείες που περνούν από το G, οι αποτέµνουσες σαν αποτέµνουσες

και οι κάθετες σαν κάθετες. H Andersen (1991) γράφει ότι ίσως αυτό να ήταν το ένα από

τα δύο θεωρήµατα τα οποία υπονοούσε στην αρχή του έργου του ο Desargues. Το

σηµαντικό γι’ αυτόν αρχικά, ήταν να απεικονίσει το βάθος των ορθογώνιων ευθειών,

δηλαδή να προσδιορίσει την εικόνα Τi ενός τυχαίου σηµείου Τ στην ευθεία QC. Κατόπιν

θα είναι εύκολο να απεικονιστεί και η αποτέµνουσα V1S1 (ως VS στο σχήµα 2.6.1).

Άρα λοιπόν λόγω των οµοίων τριγώνων OGTi & CTTi προκύπτει ότι : ( )

( )

dδ αϕ α α

=

και αν GC=h έχουµε ( ) d

h d

δ αα

=+

. Η τελευταία ισότητα περιγράφεται στην επανέκδοση

της Προοπτικής από τον Bosse το 1648 (σελ. 338), σε ένα τµήµα µε τίτλο “Autre

fondement encore du trait de la perspective” («Ακόµα ένα θεµέλιο της πραγµατείας στην

Προοπτική») που προστέθηκε µάλλον υπό τις οδηγίες του Desargues. Η αναλογία που

προέκυψε από τα όµοια τρίγωνα είναι µεν απλή, όµως για να χρησιµοποιηθεί µε τέτοιο

τρόπο ώστε να δηµιουργηθεί µια βέλτιστη προοπτική κατασκευή, χρειαζόταν µια

κατάλληλη µαθηµατική διαίσθηση την οποία φαίνεται ότι ο Desargues διέθετε.

Αν α=d τότε δ(d)=φ(d), δηλαδή το Τi είναι το µέσο του GC και αναπαριστά το Τ το

οποίο θα βρίσκεται σε απόσταση ίση µε εκείνην του µατιού Ο από το επίπεδο σχεδίασης.

Αυτό ακριβώς θέλει να πει ο Desargues όταν δείχνει στην πινακίδα του το σηµείο τοµής

των AG, HD, το οποίο λέει ότι είναι η εµφάνιση ενός σηµείου της ag που απέχει 24 πόδια

από το επίπεδο σχεδίασης. Στη συνέχεια προχωρά στα σηµεία του θέµατος που βρίσκονται

σε πολλαπλάσια απόσταση (α=nd) από την ΑΒ (ground line). Έτσι η αναλογία γίνεται :

( ) 1

1

nd

h n

δ=

+ οπότε πρέπει ν’ απεικονιστούν πάνω στην GC τα σηµεία Τi ως εξής : για

n=1 GT1=δ(1d)=h/2, για n=2 GT2=δ(2d)=h/3, κοκ.

∆είχνουµε λοιπόν το κάτω αριστερό µέρος της πινακίδας του, δηλαδή το επίπεδο AFGC

στο σχήµα 2.6.1, µε έναν πιο καθαρό τρόπο:

71

Σχήµα 2.6.2

Τα σηµεία Τ, O, P είναι τα Τi για i=1,2,3 και τα βρίσκει φέρνοντας παράλληλες από τα

σηµεία D1, D2, D3 κλπ. Κι αυτό γιατί προφανώς GT=h/2, GO=h/3 λόγω των οµοίων

τριγώνων D2D1H και D2FG, GP=h/4 λόγω των οµοίων τριγώνων D3D2Q και D3FG, κλπ. Οι

παράλληλες αυτές είναι οι εµφανίσεις στο επίπεδο σχεδίασης των αποτεµνουσών ευθειών

του θέµατος που απέχουν από την ΑΒ (ground line) αποστάσεις d, 2d, 3d αντίστοιχα. Στο

παράδειγµά του ο Desargues επέλεξε απόσταση µατιού GO=d=24 πόδια αλλά προφανώς η

µέθοδός του εφαρµόζεται για οποιαδήποτε τέτοια απόσταση. Στη συνέχεια εµβαθύνει και

περνά από τις αποτέµνουσες (transversals) που απέχουν από την ευθεία ΑΒ (ground line)

απόσταση nd, σε εκείνες που απέχουν (r/s)d και (n+(r/s))d (r<s). Αυτό το κάνει εξηγώντας

πως βρίσκει την εµφάνιση του σηµείου r του θέµατος, που απέχει 17 < 24 πόδια από την

ab, δηλαδή το σηµείο R. Έτσι, για να φανεί αυτό, δείχνουµε πάλι το επίπεδο εικόνας

AFGC της πινακίδας ως εξής :

72

Σχήµα 2.6.3

Ξεκινά πάλι από την ισότητα ( ) 1

1

nd

h n

δ=

+ προσαρµοσµένη για n=r/s :

(( / ) )r s d s

h r s

δ=

+. Χωρίζει την AC σε ένα σηµείο R έτσι ώστε

AR r

AC s= , οπότε από τα

όµοια τρίγωνα ΑRS1 και FGS1 προκύπτει : 1 1

1

AS S GAR r s

S G FG s AG r s= = ⇒ =

+. Έτσι φέρνει

παράλληλη από το S1 προς τις βάσεις για να µεταφέρει τον λόγο 1S G s

AG r s=

+ στην GC,

οπότε βρίσκει το αντίστοιχο Τ1 για να ισχύει η ισότητα GT1 = (( / ) )r s dδ = s

hr s+

. Η

ευθεία λοιπόν S1T1 είναι η εµφάνιση, στο επίπεδο σχεδίασης, της αποτέµνουσας V1S1

(σχήµα 2.6.1) που απέχει από την ΑΒ απόσταση (r/s)d.

Στη συνέχεια προχωρά για να βρεί την εµφάνιση, στο επίπεδο σχεδίασης, της

αποτέµνουσας που απέχει από την ΑΒ απόσταση (n+(r/s))d. Άρα ψάχνει ένα σηµείο Τ2

που λόγω της αναλογίας (( ( / )) ) 1

/ 1

n r s d

h n r s

δ +=

+ + θα ισχύει, π.χ. για n=1, GT2

= ((1 ( / )) )r s dδ + = 1

1 / 1 2

sh h

r s r s=

+ + +. Αυτό το επιτυγχάνει όταν φέρνει την GR,

73

βρίσκει το σηµείο τοµής της R1 µε την HT, το ενώνει µε το F και βρίσκει το S2. H

παράλληλη από το S2 δίνει στο GC το ζητούµενο σηµείο Τ2 και είναι η εµφάνιση, στο

επίπεδο σχεδίασης, της αποτέµνουσας που απέχει από την ΑΒ απόσταση (1+(r/s))d. Τα

παραπάνω εξηγούνται όπως και λίγο πριν, λόγω των οµοίων τριγώνων FGS2 και S2D1R1,

διότι 2

1 2 1 1 / 2

GS FG s

A S A R r= = . Άρα 2

1

2

/ 2 2

GS s s

GA s r r s= =

+ + και µέσω της παράλληλης

µεταφέρει πάλι τον λόγο στην GD=h/2. Οµοίως µπορεί να βρεθεί και η εµφάνιση της

επόµενης αποτέµνουσας που απέχει από την ΑΒ απόσταση (2+(r/s))d κλπ. Αυτήν την

διαδικασία που περιγράψαµε την αποκαλεί Κλίµακα Βάθους (Eshelle des Eloignemens)

αφού µέσω αυτής «βαθαίνουν» οι ορθογώνιες (orthogonal) ευθείες (όπως η CT στο σχήµα

2.6.1) και «σβήνουν» στο σηµείο G. Επίσης απεικονίζονται όπως είδαµε στο επίπεδο

σχεδίασης και οι αποτέµνουσες (transversals), όπως η V1S1.

Μετά την κλίµακα βάθους που αφορά στις ορθογώνιες ευθείες, το επόµενο βήµα

του Desargues ήταν να κατασκευάσει κλίµακες για τις αποτέµνουσες (transversals) και τις

κατακόρυφες (verticals) ευθείες. Έτσι επέλεξε µια κλίµακα στην ΑΒ και την χώρισε, όπως

είδαµε στην πινακίδα, σε 12 ίσα τµήµατα που το καθένα αναπαριστά ένα πόδι. Ενώνοντας

τα σηµεία διαίρεσης µε το G µεταφέρει την κλίµακα από την ΑΒ πάνω στις εµφανίσεις των

αποτεµνουσών. Έτσι σε οποιαδήποτε απόσταση κι αν βρίσκεται από την ΑΒ µια

αποτέµνουσα του θέµατος, το τµήµα πάνω στην απεικόνισή της που περιέχεται ανάµεσα

στις GC και G8 (βλ. πινακίδα) αναπαριστά ένα πόδι. Αυτή η κατασκευή αποδίδει ένα

σύνολο κλιµάκων, µία σε κάθε αποτέµνουσα όπως η HD, η QN, η VS κλπ. Παρ’ όλο που

οι κλίµακες αυτές είναι διαφορετικές εξ’ αιτίας των ποικίλων αποστάσεων των

αποτεµνουσών από την ΑΒ (ground line), τις θεώρησε ως µία και την αποκάλεσε, όπως

είδαµε, Κλίµακα ∆ιαστάσεων (Dimension Scale, Echelle des Mesures). Για να την

κατασκευάσει, χρησιµοποίησε το σηµείο G αλλά οποιοδήποτε σηµείο πάνω στον ορίζοντα

εξυπηρετούσε επίσης. Αυτό το συναντάµε στην έκδοση του Bosse (1648, plate 28) :

74

Εικόνα 2.6.4

Με αυτές τις κλίµακες ο Desargues είχε επιτύχει ένα σύστηµα «προοπτικών»

συντεταγµένων που τον βοήθησε να αντιστοιχίσει ένα σηµείο του χώρου µε Ευκλείδειες

συντεταγµένες, σε ένα σηµείο στο επίπεδο σχεδίασης το οποίο έχει τις αντίστοιχες

προοπτικές συντεταγµένες. Και αυτό το δείχνει επίσης καλύτερα ο Bosse (1648, plate 27):

75

Εικόνα 2.6.5 Κατασκευή συστήµατος συντεταγµένων.

H προσπάθεια του Desargues είναι αξιοσηµείωτη γιατί κατόρθωσε, βασισµένος σε

απλά µαθηµατικά, να συγκροτήσει µια µέθοδο προοπτικών κατασκευών η οποία

αποτέλεσε την τελειοποίηση των µεθόδων που εφαρµόζονταν από το 1435, όταν ο Alberti

περιέγραψε την πρώτη γνωστή µέθοδο τέτοιων κατασκευών και την εφάρµοσε για να

σχεδιάσει δάπεδο στρωµένο µε πλακάκια. Οι διάδοχοί του εφάρµοσαν ο καθένας την δική

του κατασκευή αλλά όλοι µελέτησαν και ξεκίνησαν τις προσπάθειές τους από το

παράδειγµά του. Τα δάπεδα µε πλακάκια ήταν δηµοφιλή γιατί εφοδίαζαν εύκολα τους

καλλιτέχνες µε ένα σύστηµα συντεταγµένων για την σχεδίαση του δαπέδου αυτού. Η

καινοτοµία του Desargues ήταν το γεγονός ότι εισήγαγε ένα γενικό σύστηµα

συντεταγµένων στο επίπεδο σχεδίασης βασισµένο στις κλίµακες βάθους (για τις

ορθογώνιες ευθείες) και διαστάσεων (για τις αποτέµνουσες και τις κατακόρυφες). Άρα δεν

76

χρειαζόταν να συµπεριλάβει σηµεία από την βάση του θέµατος για την κατασκευή του.

Απλώς η βάση (plan) αυτή παραχωρούσε δύο από τις συντεταγµένες κάποιου σηµείου του

οποίου η εµφάνιση έπρεπε να βρεθεί και µετά η ανύψωση (elevation) έδινε την τρίτη

συντεταγµένη.

Η Προοπτική του Desargues (1636) ήταν τελικά απλώς ένα λιτό εγχειρίδιο που

παρείχε οδηγίες στους καλλιτέχνες για σωστή προοπτική απεικόνιση µε τον καλύτερο

τρόπο. Σίγουρα έκρυβε τα θεωρητικά του θεµέλια και το σκεπτικό των µετρήσεων και των

υπολογισµών του. Το έργο του Bosse το 1648 βελτίωσε κάπως τα πράγµατα

(υπερασπίζοντας επιπλέον τον Desargues στη διαµάχη που ακολούθησε) και οι

µεταγενέστεροι όπως ο Brook Taylor (1685 – 1731) εξέλιξαν την µέθοδο ενσωµατώνοντας

κι άλλες λεπτοµέρειες και παρουσιάζοντας διάφορες πτυχές της προοπτικής απεικόνισης.

Αν και η περαιτέρω ανάλυση της προοπτικής ξεφεύγει από τον σκοπό µας θα

δείξουµε τέλος κάποιες παραµέτρους που παρουσιάζονται διεξοδικά πια στα σύγχρονα

εγχειρίδια προοπτικής και που ο Desargues ασφαλώς τις είχε λάβει υπ’ όψιν.

Σχήµα 2.6.6 Παράµετροι σύγρονης προοπτικής κατασκευής

Το σχήµα αυτό δείχνει τον σκελετό της προετοιµασίας του καλλιτέχνη που πρόκειται να

σχεδιάσει κάποιο αντικείµενο και να το αποτυπώσει στον καµβά (image plane). Οι

77

παράµετροι που θα καθορίσουν τις επιλογές του και οι οποίες ανήκουν στην κρίση του

καλλιτέχνη και όχι του γεωµέτρη είναι οι εξής:

Χ = ΕV (απόσταση µατιού – θέµατος, object distance)

x = PV (απόσταση µατιού – καµβά, viewing distance). To PrP είναι το Principal Point.

Z = EB (µέγεθος θέµατος, object size)

z = PC (µέγεθος εµφάνισης του θέµατος, image size).

Το µέγεθος θέµατος Ζ µπορεί να είναι είτε το ύψος, είτε κάποια απόσταση µεταξύ δύο

αντικειµένων είτε γενικότερα µια αυθαίρετη µονάδα µέτρησης στον φυσικό χώρο. Ο

γεωµέτρης στην συνέχεια παρέχει την γνωστή αναλογία : x/X = z/Z . Εκτός όµως από

αυτές τις 4 βασικές παραµέτρους υπάρχουν και άλλες 2 : η οπτική γωνία, η οποία

δηµιουργεί τον λεγόµενο κύκλο θέασης (circle of view) και οι διαστάσεις του καµβά

(format dimension). Το µέτρο της οπτικής γωνίας καθορίζει και καθορίζεται µε τη σειρά

του από άλλους καλλιτεχνικής φύσης παράγοντες, όπως την απόσταση που θα ιδωθεί το

έργο, το ύψος στο οποίο θα κρεµαστεί, το είδος του θέµατος (π.χ. τοπίο ή όχι) και από τον

σκοπό του καλλιτέχνη (π.χ. αν το ζητούµενο είναι ο θεατής να δει λεπτοµέρειες ή όχι).

Συνήθως µια γωνία που κυµαίνεται από 45° έως 60° θεωρείται «καλή» για να «απολαύσει»

ο θεατής κάποιο έργο από κάποια λογική απόσταση. Επίσης οι διαστάσεις του καµβά θα

επηρεάσουν το µέγεθος εµφάνισης του θέµατος (image size) γιατί σε κάποιες περιπτώσεις

το εικονιζόµενο θέµα θα «γεµίσει» τον καµβά και σε άλλες όχι. Έτσι λοιπόν βλέπουµε ότι

η σωστή προοπτική απεικόνιση αρχίζει να γίνεται µάλλον δύσκολη υπόθεση και ο

γεωµέτρης πρέπει εκτός από την βασική αναλογία, να δώσει τύπους στους οποίους θα έχει

ενσωµατώσει και τις άλλες παραµέτρους.

Η βασική αναλογία γράφεται καλύτερα ως εξής : z/x = Z/X ή

image size object size

viewing distance object distance= . Αν το Ζ αναπαριστά την ακτίνα του κύκλου θέασης

όπως στο σχήµα 1, τότε αυτή η αναλογία είναι η βάση όλων των προοπτικών µεταβλητών.

Για παράδειγµα µε σταθερό το χ, αν πολλαπλασιάσουµε την object distance µε έναν

αριθµό κ, τότε το µέγεθος της εικόνας µας (image size) θα µειωθεί µε συντελεστή 1/κ. Ο

καλλιτέχνης µπορεί να χρησιµοποιήσει την αναλογία κατά τους εξής τρόπους:

Α) image size (z) = Z*(x/X), για να βρεί το µέγεθος της εικόνας, αν σταθεροποιήσει τα χ &

Χ.

Β) object distance (X) = x*(Z/z), για να βρεί την πραγµατική απόσταση του αντικειµένου

που απεικονίζεται κάπου, αν γνωρίζει τα χ & Ζ.

78

Γ) viewing distance (x) = z*(X/Z), για να δεί πως συνδέεται η απόστασή του από τον

καµβά, µε το µέγεθος της εικόνας, σταθεροποιώντας την object distance X.

∆) image scale = z/Z (Λόγος Οµοιότητας).

Επίσης η γωνία του κύκλου θέασης προς τον καµβά, θα πρέπει να είναι

µεγαλύτερη από την οπτική γωνία θέασης του αντικειµένου, ώστε ο καµβάς να «χωρέσει»

το είδωλο. Το πόσο θα «χωρέσει» είναι θέµα του καλλιτέχνη. Η οπτική γωνία θέασης του

αντικειµένου καλείται visual angle ή angular size και στο σχήµα 1 είναι η διπλάσια της

γωνίας EVB, αν φανταστούµε βέβαια ότι το αντικείµενο «κεντράρεται» ως προς την

direction of view. Ο τύπος λοιπόν ( ) / 2

object size

EVBobject distance

εϕ = θα βοηθήσει για περαιτέρω

πειραµατισµούς.

Μετά από αυτήν την µικρή παρένθεση για την προοπτική στη σύγχρονή της µορφή

θα τελειώσουµε το µέρος αυτό επιστρέφοντας στη πινακίδα του Desargues για να την

προσεγγίσουµε µε έναν πιο µοντέρνο και κατανοητό τρόπο:

90 µοίρες κύκλος θέασης

ground line: 12 πόδια στα 24 πόδια από το µάτι

Ορίζοντας

12π. σε 24π. βάθος (δηλ. σε 48π. από µάτι)

12π. σε 48π. βάθος

12π. σε 72π. βάθος12π. σε 96π. βάθος

12π. σε 120π. βάθος

V.P.D.v.p.

Σχήµα 2.6.7 Η πινακίδα του Desargues σε µοντέρνα εµφάνιση.

79

Το σχήµα αυτό δείχνει τον τρόπο του Desargues στο κυρίως µέρος της πινακίδας

που σκοπό έχει να αποδώσει σωστά, την αίσθηση του βάθους. Το σηµείο D.v.p. είναι

διαγώνιο σηµείο φυγής (diagonal vanishing point) και οι πορτοκαλί ευθείες είναι οι

εµφανίσεις των transversals ευθειών στον καµβά οι οποίες «σβήνουν» προς το κύριο

σηµείο φυγής V.P. Το D.v.p. είναι το σηµείο F στην πινακίδα του και έτσι η µέθοδός του

δικαιολογεί το πλεονέκτηµα που αναφέρει και στον τίτλο του έργου του. ∆ηλαδή δεν

απαιτείται σηµείο φυγής έξω από τον καµβά και προσπαθεί µέσα σ’ αυτόν να «στριµώξει»

την εµφάνιση του θέµατος.

Τέλος απαντούµε και σε ενα άλλο ερώτηµα που αναδύεται στο παράδειγµα (µε τον

πύργο) που µας παρουσίασε. Την απόσταση από το µάτι µέχρι τον καµβά την επέλεξε 24

πόδια (≈8 m). Αυτή όµως φαίνεται κάπως µεγάλη σε σχέση µε την απόσταση 17 ποδιών

που απέχει ο καµβάς από την κοντινότερη κορυφή m του σχετικά µικρού πύργου. Πως

εξηγείται αυτό;

Η µέθοδός του εφαρµόζεται για οποιαδήποτε απόσταση d (µάτι – καµβά) επιλέξει ο

ζωγράφος αρκεί βέβαια να ληφθεί υπ’ όψη ότι η κεντρική ακτίνα όρασης (central line of

vision) πρέπει να «σαρώνει» ολόκληρο το θέµα µέσα από το πεπερασµένο επίπεδο

σχεδίασης δηλαδή τον καµβά. Βλέπουµε στην πινακίδα ότι ο πραγµατικός καµβάς έχει

πλάτος ab = 12 πραγµατικά πόδια (real feet) και το πλάτος αυτό µεταφέρθηκε στο κύριο

µέρος της πινακίδας (ο καµβάς σε σµίκρυνση) ως πλάτος ΑΒ = 12 «κλιµακοποιηµένα»

πόδια (scaled feet). Αν εφαρµόσουµε την αναλογία που αναφέραµε,

image size object size

viewing distance object distance= , για την ακµή mst (η κατακόρυφη µπροστινή ακµή

του πύργου) έχουµε z/24 = 17/(24+17), αφού η κορυφή st του πύργου βρίσκεται σε ύψος

17 πραγµατικών ποδιών από το m. Άρα z=9,95~10 real feet. Έτσι η ακµή mst

σχεδιαζόµενη στον καµβά πλάτους ab=12 real feet θα έχει ύψος 10 real feet και ο

ζωγράφος βρίσκεται σε απόσταση από τον καµβά 24 real feet. Ο λόγος 10/12 αποδίδει τον

σχεδιαζόµενο πύργο να καταλαµβάνει µεγάλο µέρος του καµβά και τον θεωρεί

ικανοποιητικό, για να φαίνονται οι λεπτοµέρειες. Για να έχουµε την ίδια «αίσθηση» ως

αναγνώστες (µε τον ζωγράφο) πρέπει αν εκτυπώσουµε την πινακίδα να βρούµε και εµείς

τον ίδιο λόγο. Πράγµατι αν µετρήσουµε τις διαστάσεις Mst & AB σε µια εκτύπωση, θα

καταλήξουµε στον ίδιο λόγο 10/12. ∆ηλαδή ο Desargues συνδέει σωστά την απόσταση του

ζωγράφου από τον καµβά µε τις διαστάσεις του ζωγραφισµένου πύργου µέσα στον καµβά.

Έτσι µια απόσταση 2ΑΒ = 24 scaled feet είναι σχετικά καλή για να «απολαύσει» ο

αναγνώστης το απεικονιζόµενο θέµα, οπότε τα 24 scaled feet µεταφέρονται ως απόσταση

80

από τον πραγµατικό καµβά σε 24 real feet. Αν επέλεγε απόσταση tc<24 τότε η απόσταση

του αναγνώστη θα έπρεπε να ήταν µικρότερη από 2ΑΒ µε συνέπεια να δυσκολεύεται η

θέαση. Η ελάττωση της απόστασης µάτι – καµβά θα οδηγούσε επίσης και σε αύξηση των

διαστάσεων του εικονιζόµενου πύργου µέσα στο καµβά και κατά συνέπεια σε µη

επιθυµητό αποτέλεσµα. Εξ’ άλλου ο σκοπός των προοπτικών κατασκευών δεν ήταν µόνο

να αναπαράγουν µια σκηνή στη φύση αλλά να επιτύχουν µια αρµονικά τοποθετηµένη

σύνθεση.

Να σηµειώσουµε ότι και το ύψος µάτι – έδαφος που επέλεξε ο Desargues (4,5

πόδια) είναι «καλό» και αντιστοιχεί σε ύψος ενός καθισµένου ζωγράφου. Με σύγχρονους

όρους προοπτικής, ένα ύψος κοντά στα 5 πόδια καλείται normal eye view, χαµηλότερο

είναι η λεγόµενη worm’s eye view και ψηλότερα η bird’s eye or aerial view.

2.7 Ο Σκοπός της Εργασίας (1636) του Desargues πάνω στην Προοπτική

Από τα µέσα του 16ου αιώνα και έπειτα οι µαθηµατικοί άρχισαν να δείχνουν

ενδιαφέρον για προβλήµατα προοπτικής. Για παράδειγµα τα εκτενή σχόλια του Danti πάνω

στις προοπτικές µεθόδους του Vignola στο Le due regole della prospettiva, (Rome, 1583)

δείχνουν καθαρά ότι τέτοιου είδους προβλήµατα τράβηξαν τη προσοχή των µαθηµατικών.

Παρ’ όλα αυτά το έργο του Desargues πάνω στην προοπτική (1636) δεν έχει κάποιο

θεωρητικό κοµµάτι όπως αυτό του Danti. Απλώς είδαµε ένα καλοδουλεµένο παράδειγµα

και η µέθοδός του προτείνεται ως η πιο βελτιωµένη από όλες τις προηγούµενες. Η

παρουσίαση του έργου του µοιάζει όχι µόνο µε την πλειονότητα προηγουµένων έργων

άλλων επιστηµόνων αλλά και µε τις άλλες εργασίες του Desargues. Ανήκει ξεκάθαρα στην

πρακτική που επικρατούσε, εντός της οποίας ο Desargues κέρδιζε τα προς το ζην, σαν

µηχανικός του στρατού και σαν αρχιτέκτονας. Το µόνο έργο που ξεχώρισε και δεν ανήκει

στην πρακτική αυτή είναι η δουλειά του πάνω στις κωνικές τοµές (το Brouillon Project), µε

την οποία κέρδισε δικαιωµατικά µια θέση στο πάνθεον των πρωτοπόρων µαθηµατικών.

Ο Desargues ισχυρίστηκε καθαρά, όπως φαίνεται και στον τίτλο του έργου του (στην

παράγραφο 2.5) ότι η µέθοδός του πάνω στην προοπτική υπερέχει σαφώς από οποιαδήποτε

προηγούµενη. Πράγµατι, το µειονέκτηµα της πρώτης µεθοδικά διατυπωµένης µεθόδου από

τον Alberti της λεγόµενης construzione legittima και των διαφόρων παραλλαγών της, ήταν

81

ότι οι ευθείες που απαιτούνταν για την κατασκευή της προοπτικής εικόνας έπρεπε κατά

ένα µέρος να σχεδιαστούν πάνω στο επίπεδο σχεδίασης αλλά έξω από τον καµβά. Αυτό

έκανε την κατασκευή δύσκολη για να εφαρµοστεί σε τοίχο ή σε καµβά εντός κάδρου, όπου

επιπλέον χώρος δεν ήταν πάντα διαθέσιµος. Η µέθοδος του Desargues ξεπέρασε αυτό το

εµπόδιο. Επέτρεπε κατασκευές που µπορούσαν να διεξαχθούν εντός του πλαισίου του

καµβά για οποιαδήποτε απόσταση θέασης. Έτσι ικανοποιούσε µια καθολική ανάγκη για

λύση στο πρόβληµα που περιγράψαµε.

Όπως είδαµε, ο Desargues διάλεξε ως παράδειγµα για απεικόνιση σε προοπτική,

έναν πύργο (ή κλουβί) µε πυραµιδωτή οροφή δηλαδή, γεωµετρικά, έναν κύβο όπου στην

άνω έδρα του στεκόταν µια πυραµίδα µε τετράγωνη βάση. Ήταν ένα τυπικό δείγµα

αρχιτεκτονικής όπου εµφανιζόταν σε πολλές προοπτικές κατασκευές. Προφανώς ο

Desargues ήταν ενηµερωµένος για την κατάσταση που επικρατούσε στον τοµέα της

προοπτικής και επέλεξε λοιπόν ένα τυπικό παράδειγµα για να το αποδώσει µε το δικό του

εξ’ ολοκλήρου διδιάστατο τρόπο (δηλαδή χωρίς να χρησιµοποιεί σηµεία από το προς

απεικόνιση θέµα, όπως γινόταν στα σχήµατα 2.3.5 & 2.3.6 της παραγράφου 2.3)

εργαζόµενος µόνο µέσα στη δοθείσα έκταση του καµβά.

Η µέθοδός του περιλαµβάνει ένα σύνολο συντρεχουσών ευθειών (pencil of lines)

που ξεκινούν από ένα επιλεγµένο σηµείο και τέµνουν ευθείες παράλληλες (transversal

lines) µε την τοµή (ground line) επιπέδου καµβά & επίπεδου βάσης θέµατος. Τα σηµεία

τοµής των πρώτων ευθειών µε κάθε µια από τις transversal lines χρησιµεύουν για να

εγκαταστήσει σ΄αυτήν ο Desargues κλίµακες οι οποίες µε τη σειρά τους θα βοηθήσουν στη

σωστή απεικόνιση των σηµείων του πύργου που απέχουν ποικίλα ύψη από τη βάση του.

∆ηλαδή πρώτα επιλέγει σηµεία της βάσης του πύργου, απεικονίζοντας στον καµβά πρώτα

τη διδιάστατη βάση (plan) και µετά έρχεται η σειρά της ανύψωσης (elevation) δηλαδή της

τρίτης διάστασης. Οι κλίµακες είναι αυτό το χαρακτηριστικό για το οποίο η µέθοδος του

Desargues ξεχωρίζει. Αυτές οι κλίµακες µπορούν να κατασκευαστούν και ξεχωριστά, όπως

δείχνει στο άνω αριστερό µέρος της πινακίδας του έργου του, αφήνοντας καθαρή την

επιφάνεια του καµβά από το πλέγµα ευθειών που φαίνονται στο κάτω µέρος της πινακίδας.

Οι συντρέχουσες ευθείες που χρησιµοποιεί ο Desargues (άλλοτε τις θεωρεί

ανατέλλοντες από ένα σηµείο κι άλλοτε συγκλίνουσες σε ένα σηµείο) παραπέµπουν σε

εκείνες που είδαµε στις πρώτες µεθόδους προοπτικής οι οποίες εφαρµόζονταν για την

προοπτική απεικόνιση πλακιδωτών δαπέδων. Πολλά τέτοια εµφανίζονται σε

αναγεννησιακά έργα φανερώνοντας έτσι το ενδιαφέρον των καλλιτεχνών για τέτοιου

είδους απεικονίσεις. Η κατασκευή της προοπτικής εικόνας πλακιδωτών δαπέδων είναι

82

ισοδύναµη µε την κατασκευή κλιµάκων σε κάθε transversal ευθεία κι αυτό επειδή οι

διαδοχικές σειρές των πλακιδίων καθώς βαθαίνουν ακολουθούν το ίδιο µοτίβο µε αυτό που

παρουσιάζει ο Desargues στη πινακίδα του ή µετέπειτα και πιο καθαρά ο Bosse (Bosse,

1648):

Σχήµα 2.7.1 Κατασκευή κλιµάκων στις παράλληλες µε την ΑΒ ευθείες.

83

Ο Desargues δηλαδή απεικονίζει αρχικά την κάτοψη της βάσης (ground plan) του πύργου

του. Οι οµοιότητες βέβαια µεταξύ της µεθόδου του και εκείνων που είχαν αναπτύξει οι

προγενέστεροι είναι προφανείς και όχι τυχαίες. Η αιτία είναι ότι όλες είναι µαθηµατικά

ισοδύναµες και δεν είναι δύσκολο ν’ αποδείξει κανείς αυτήν την ισοδυναµία. Όµως οι

µαθηµατικές αποδείξεις δεν ήταν το ζητούµενο στα περισσότερα έργα προοπτικής και σ’

αυτό το πνεύµα κινήθηκε και ο Desargues ο οποίος απλώς περιέγραψε τη µέθοδό του χωρίς

κάποιο ίχνος µαθηµατικής αιτιολόγησης. Παρ’ όλη δε την διαµάχη για την αυθεντικότητα

και αποτελεσµατικότητα της µεθόδου, η τελευταία έγινε αρκετά δηµοφιλής στους κύκλους

των καλλιτεχνών οι οποίοι ελάχιστα ενδιαφέρονταν για τα µαθηµατικά που κρύβονταν

πίσω από την περιγραφή της µεθόδου. Έτσι εξηγείται γιατί η προοπτική του, στην έκδοση

του 1636, ήταν µόλις 12 σελίδες. Και για την ακρίβεια 10 σελίδες γιατί στις δύο τελευταίες

απευθύνεται, όπως λέει ο ίδιος, στους θεωρητικούς (les contemplatifs). Και ενώ θα

περίµενε κανείς να βρει σ’ αυτό το κοµµάτι κάποια µαθηµατική απόδειξη που θα

δικαιολογούσε τα προγραφόµενα, βλέπει τον Desargues να «µεταφράζει» την προοπτική

του ως ένα σύνολο ιδιοτήτων συντρεχουσών και παραλλήλων ευθειών. Επιπλέον αρχίζει

να βρίσκει οµοιότητες ανάµεσα σε συντρέχουσες και παράλληλες ευθείες µε αποτέλεσµα

να οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι από το 1636 δούλευε στο µυαλό του την ιδέα να

παροµοιάζει τις παράλληλες σαν συγκλίνουσες. Πράγµατι τρία χρόνια αργότερα, στη

πραγµατεία του επί των κωνικών, κάνει σαφές ότι οι παράλληλες συναντώνται σε ένα

σηµείο που κείται σε άπειρη κατεύθυνση. Σ’ αυτό είναι πιθανό να έφτασε καθώς είδε,

µέσω της µεθόδου του, ότι οι ευθείες του πλέγµατος (προηγούµενο σχήµα) στο επίπεδο

της βάσης είναι δέσµες παραλλήλων ευθειών οι οποίες είτε γίνονται συγκλίνουσες στην

προοπτική τους εµφάνιση (στην περίπτωση που είναι κάθετες στο επίπεδο του καµβά,

δηλαδή οι orthogonal lines) είτε παραµένουν παράλληλες (αν είναι παράλληλες στο

επίπεδο του καµβά, δηλαδή οι transversals lines). Τέλος, στην τελευταία παράγραφο ο

Desargues αλλάζει απροσδόκητα θέµα και εισάγει το πρόβληµα της προοπτικής

απεικόνισης µιας κωνικής τοµής, ένα πρόβληµα πρωτοποριακό τότε. Άρα όλα δείχνουν ότι

το 1636 προετοίµαζε το έδαφος για την επόµενη δουλειά του που θα αφορούσε κωνικές

τοµές. Αυτό συνέβη το 1639.

84

2.8 Η µετ’ εµποδίων αποδοχή της µεθόδου του

Παρά το γεγονός ότι ο Desargues ξόδεψε µόλις 12 σελίδες παρουσιάζοντας την

Προοπτική του το 1636, η µέθοδός του έτυχε µεγάλης προσοχής και επαινέθηκε. Το 1637

οι δύο διάσηµοι µαθηµατικοί της εποχής του, ο Descartes και ο Fermat εξέφρασαν ανοιχτά

την εκτίµησή τους στην προσπάθεια του Desargues (Taton, 1951).

Το 1642 εµφανίστηκε ένα κλασικό για την εποχή βιβλίο πάνω στην προοπτική, το

La Perspective Pratique. ∆ηµοσιεύθηκε ανώνυµα αλλά ήταν κοινό µυστικό πως ο

συγγραφέας του ήταν ο Ιησουίτης Jean Dubreuil (1602-1670) ο οποίος εργαζόταν σε

εκδοτικές επιχειρήσεις προτού προσχωρήσει στο τάγµα των Ιησουιτών. Ήταν ένας

ενθουσιασµένος προοπτικιστής ο οποίος ήθελε να πληροφορήσει τους πρακτικούς χωρίς

όµως να τους επιβαρύνει µε θεωρητικές αναλύσεις. Παραδέχτηκε ότι είχε εµπνευστεί από

πολλούς άλλους που είχαν εισχωρήσει στον χώρο της προοπτικής και µάλιστα είχε

αναφέρει αρκετά ονόµατα. Αγαπούσε την µέθοδο distance point αλλά αναφέρθηκε και

στην µέθοδο του Desargues. Συνέχισε τις δηµοσιεύσεις το 1647 και το 1649 αλλά το

πρώτο µέρος (1642) ήταν ιδιαίτερα δηµοφιλές αφού µεταφράστηκε στα γερµανικά (1672)

και δυο φορές στα Αγγλικά (1710, 1743). Στην πρώτη έκδοση ήταν ενθουσιασµένος µε τον

Desargues αλλά παρουσίασε όµως την µέθοδό του κάνοντας όµως κάποιες αλλαγές,

αλλοιώνοντάς την, γράφοντας κιόλας ότι θα συµφωνούσε και ο εφευρέτης της:

“Because perhaps not all for whom I work have an adequate background to grasp

this practice clearly, I have thought the author would allow me to help them as well

as I can, that they may pull out its usefulness” (Andersen 2007)

Επιπλέον αναπαρήγαγε και την πινακίδα του Desargues µε διαφορετικό τρόπο και χωρίς

την άδειά του (Andersen 2007, σελ. 450):

85

Σχήµα 2.8.1 Αντίγραφο της πινακίδας του Desargues από τον πολέµιό του Dubreuil.

Ο Desargues δυσαρεστήθηκε πολύ µε την αντιµετώπιση του Dubreuil και ξεκίνησε έτσι

µια δυνατή διαµάχη µεταξύ τους. O Dubreuil κατά την αναφορά του στη µελλοντική

έκδοση του βιβλίου του έγραψε ότι θα παρέλειπε οποιαδήποτε θετική κριτική υπέρ του

Desargues, όπως και έκανε. Και ενώ στην αρχή φάνηκε ότι ο Dubreuil ήταν ο µόνος κύριος

ανταγωνιστής του, το 1644 «συµµάχησε» µε τον λιθοξόο Jacques Curabelle o οποίος είχε

ενοχληθεί από δύο δηµοσιεύσεις πάνω στην τέχνη του, του Desargues (1640) και του

υποστηρικτή του Abraham Bosse (1643). Έτσι η διαµάχη εξαπλώθηκε, η φήµη του

Desargues υπέστη πλήγµα και οι συνάδελφοί του έπαψαν να τον θεωρούν ως τον εφευρέτη

86

µιας νέας προοπτικής µεθόδου.38 Η αλλαγή της στάσης αυτής φάνηκε στην αντίδραση ενός

άλλου διάσηµου προοπτικού, του ιερέα Jean Francois Niceron (1613-1646). Η λατινική

έκδοση του βιβλίου του εµφανίστηκε χωρίς το εγκωµιαστικό για την µέθοδο του

Desargues µέρος, το οποίο υπήρχε στην πρώτη έκδοση στα Γαλλικά. Ο Dubreuil είχε

«βοηθήσει» και σ’ αυτό. Επιπλέον ο τελευταίος κατηγόρησε τον Desargues ότι είχε

αντιγράψει τους προηγούµενους Γάλλους προοπτικούς Vaulezard και Aleaume.

Συγκεκριµένα σχολίασε ότι οι κλίµακες «βάθους» που είδαµε στη µέθοδό του δεν ήταν

δικής του έµπνευσης. Αυτό είναι σωστό γιατί και ο Vaulezard το 1631 και ο Aleaume

είχαν στις εργασίες τους τέτοιες κλίµακες. Πράγµατι αρκετοί συγγραφείς είχαν δουλέψει

µε κλίµακες αφού ήταν φυσικό να θέλουν να προσδιορίσουν σωστά το «βάθος» των

transversal ευθειών. ∆εν είναι σίγουρο ότι ο Desargues είχε δει τις δουλειές των

προηγουµένων δύο Γάλλων αλλά κι αν ακόµα είχε γίνει έτσι, δεν αποπειράθηκε να

αντιγράψει τα σχέδια τους. Πάντως επεξέτεινε τη χρήση κλιµάκων και σε τρισδιάστατα

σχήµατα ενώ προηγούµενες εργασίες έδειχναν εφαρµογές σε επίπεδα σχήµατα.

Παρ’ όλες τις κατηγορίες που του προσέδιδαν, ο Desargues δεν αποµονώθηκε

εντελώς, χάρη σ’ έναν φανατικό υποστηρικτή του: τον διάσηµο χαράκτη Abraham Bosse

(1602-1676). O Bosse αφιέρωσε πολύ από τον χρόνο του για προωθήσει την µέθοδο του

Desargues και το 1648 δηµοσίευσε το βιβλίο ένα τµήµα του οποίου θα δούµε στην

παράγραφο 4.7. Εκεί το λιτό 12σέλιδο εγχειρίδιο του 1636 του Desargues αναλύθηκε

εξονυχιστικά σε περίπου 350 σελίδες και η πινακίδα του αντικατεστάθη από 150 περίπου

σχεδιαγράµµατα. Ο Bosse ήταν από τους συγγραφείς που στεναχωρήθηκαν για το χάσµα

µεταξύ των πρακτικών µαθηµατικών και των θεωρητικών µαθηµατικών. Θεωρούσε ότι οι

πρώτοι δεν ήταν αρκετά υποµονετικοί ώστε να καταλάβουν τους δεύτερους και οι

τελευταίοι δεν προσπάθησαν να γίνουν περισσότερο κατανοητοί και να δώσουν τα φώτα

τους σ’ εκείνους που προσπαθούσαν να ασκήσουν την τέχνη της προοπτικής (Bosse,

1648). Αυτήν την ανησυχία την µοιράστηκε µε τον Desargues o οποίος φιλοδοξούσε να

γεφυρώσει το χάσµα και είχε τα προσόντα γι’ αυτό. Ήταν κοντά και στην προσέγγιση των

προοπτικών απέναντι στη γεωµετρία όπως επίσης και στον µαθηµατικό τρόπο σκέψης.

Ήθελε να διδάξει και τους πρακτικούς µαθηµατικά και τους µαθηµατικούς εφαρµογές του

αντικειµένου τους. Απλώς έκανε το λάθος να σκεφτεί να τα κάνει και τα δυο την ίδια

στιγµή. Έτσι ανέµενε πως το BrP θα είχε απήχηση και στους µαθηµατικούς και στους

38 Λέγεται ότι ο Desargues είχε τάξει ένα µεγάλο χρηµατικό ποσό σε όποιον θα έβρισκε καλύτερη µέθοδο προοπτικών κατασκευών.

87

πρακτικούς. Το αποτέλεσµα ήταν ακριβώς το αντίθετο όπως του υπέδειξε και ο Descartes

σε γράµµα του στις 19 Ιουνίου 1639 (Taton, 1951).

Η δηµοσίευση του βιβλίου του Bosse συνέπεσε χρονικά µε την ίδρυση στο Παρίσι

της Βασιλικής Ακαδηµίας Ζωγραφικής & Γλυπτικής (Academie Royale de Peinture and

Sculpture). Κύριος σκοπός της Ακαδηµίας ήταν η επιµόρφωση των σπουδαστών της και ο

Bosse προσφέρθηκε να βοηθήσει διδάσκοντας προοπτική. Έτσι έγινε δεκτός και άρχισε τις

διαλέξεις τον Μάιο του 1648. Αν και η Ακαδηµία δεν δεχόταν χαράκτες ως µέλη, ο Bosse

έλαβε έναν ακαδηµαϊκό τίτλο το 1951. Τη χρονιά αυτή εµφανίστηκαν στο Παρίσι κάποια

γραπτά του Leonardo da Vinci σε δύο εκδόσεις (Ιταλική και Γαλλική). Αυτά προκάλεσαν

έναν «θερµό» σχολιασµό για τις διαλέξεις του Bosse. Ο τελευταίος δίδασκε µε ζήλο τους

µαθητές του την µέθοδο του Desargues και τους συµβούλευε να δηµιουργούν τις συνθέσεις

τους σύµφωνα µε τους κανόνες και νόµους της προοπτικής. Πολλοί ακαδηµαϊκοί όµως

βρήκαν τις διαλέξεις του Bosse υπερβολικά τεχνικές και υιοθέτησαν ένα γενικότερο

πλαίσιο διδασκαλίας της ζωγραφικής βασισµένο στο βιβλίο του Leonardo. O Bosse δεν

µπορούσε να δεχτεί την άποψή τους γιατί θα έπρεπε να σταµατήσει να διδάσκει την

τεχνική προοπτικών κατασκευών (σταµατώντας παράλληλα και την µέθοδο του

Desargues) και να χρησιµοποιεί την έκδοση του Leonardo σαν βασικό εγχειρίδιο. Άρχισε

λοιπόν πάλι µια διαφωνία για την περιβόητη µέθοδο. Ο Bosse βρήκε υποστηρικτή στο

πρόσωπο του ζωγράφου Laurent de La Hire, ο γιος του οποίου ήταν ο Philippe de La Hire,

µαθητής του Desargues και ένας από τους λίγους που εξέλιξαν τις δηµιουργικές ιδέες του

στη γεωµετρία (Ο Blaise Pascal ήταν άλλος ένας). Μετά τον θάνατο του Laurent de La

Hire το 1656, ο Bosse όµως βρέθηκε σε δύσκολη θέση. Λίγο αργότερα του πρότειναν να

χρησιµοποιήσει ένα νέο βιβλίο προοπτικής (Traité de Perspective) γραµµένο από το µέλος

της Ακαδηµίας Jacques de Bicheur, το οποίο εµφανίστηκε το 1660 και δεν έχει βρεθεί

κανένα αντίτυπο. Ο Bosse πάλι αρνήθηκε και το 1661 (τη χρονιά του θανάτου του

Desargues) απεβλήθη από την Ακαδηµία. Απτόητος όµως συνέχισε να υπερασπίζεται

την µέθοδο του Desargues δηµοσιεύοντας το 1665 όλες τις διαλέξεις που είχε δώσει στην

Ακαδηµία, προσπαθώντας µάταια να ξανακερδίσει την εύνοιά της.

Μετά τον θάνατο του Desargues η µέθοδός του διαδόθηκε και εκτιµήθηκε έξω από

τα σύνορα της Γαλλίας. Το έργο του Bosse µεταφράστηκε στα Γερµανικά το 1664 και η

µέθοδος εφαρµόστηκε ευρέως από Γερµανούς χαράκτες. Ο Taton (1951) γράφει ότι

µεταφράστηκε και στα Ιαπωνικά χωρίς να αναφέρει όµως αν είχε εκεί την αναµενόµενη

επιτυχία.

88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Κωνικές Τοµές

3.1 Οι Κωνικές Τοµές προ του Απολλωνίου

Προτού περάσουµε στη µαθηµατική δουλειά του Απολλωνίου, ο οποίος φαίνεται

ότι γοήτευσε ιδιαίτερα τον Desargues, ας δούµε που είχαν φθάσει οι κωνικές τοµές πριν

απ’ αυτόν έτσι ώστε να κατανοήσουµε τις καινοτοµίες του.

Πρωτοπαρουσιάστηκαν κατά την προσπάθεια του Μέναιχµου να λύσει το

πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου και ειδικότερα να κατασκευάσει δύο µέσους

αναλόγους. Νωρίτερα ο Ιπποκράτης ο Χίος (~430 π.Χ.), σύµφωνα µε τον Πρόκλο,

ασχολήθηκε µε το διπλασιασµό του κύβου και ακριβέστερα µε το πρόβληµα της

κατασκευής ενός κύβου του οποίου ο όγκος είχε δεδοµένο λόγο (π.χ. 1:2) µε εκείνον ενός

δεδοµένου κύβου.39 Ήταν ο πρώτος40 που αναγνώρισε ότι το πρόβληµα θα µπορούσε να

λυθεί αν κατασκευάζονταν δύο µέσες ανάλογοι x και y µεταξύ δύο δεδοµένων

ευθυγράµµων τµηµάτων α και β, ο λόγος των οποίων είναι ο δεδοµένος λόγος. ∆ηλ. θα

ισχύει α : x = x : y = y : β από όπου εύκολα προκύπτει ότι α3 : x3 = α : β , µε α3 τον

δεδοµένο κύβο και x3 τον ζητούµενο κύβο. Λύσεις στο πρόβληµα αυτό της κατασκευής

των δύο αναλόγων δόθηκαν από πολλούς, αρχής γινοµένης από τον Αρχύτα (~390 π.Χ.) µε

µια εξαιρετικά ευφυή τρισδιάστατη λύση. Ακολουθούν ο Εύδοξος (~370 π.Χ), ο

Μέναιχµος (~350 π.Χ.) και άλλοι επιφανείς Έλληνες µέχρι και τον Πάππο (~320 µ.Χ.).

Μας ενδιαφέρει η λύση του Μέναιχµου :

Ζητείται να κατασκευασθούν δύο µέσες ανάλογοι χ και y µεταξύ δύο δεδοµένων

ευθυγράµµων τµηµάτων α και β. Υποθέτουµε ότι το πρόβληµα έχει λυθεί. Τότε από την α :

x = x : y = y : β προκύπτουν οι ισότητες χ2=αy και χy=αβ. Έτσι το σηµείο Θ(χ, y)

κατασκευάζεται ως σηµείο παραβολής και υπερβολής (Ο Μέναιχµος δεν χρησιµοποιούσε

τις λέξεις παραβολή και υπερβολή. Αυτές εισήχθησαν αργότερα από τον Απολλώνιο). Στη

συνέχεια ο Ευτόκιος αποδεικνύει λεπτοµερώς ότι και αντιστρόφως η α : x = x : y = y : β

συνάγεται από τις χ2=αy και χy=αβ, οπότε το σηµείο Θ αποτελεί πράγµατι τη λύση του

39 Ένα από τα περίφηµα και άλυτα (µέχρι το τέλος του 5ου αι. π.Χ.) προβλήµατα των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών είναι η µεγέθυνση του κύβου κατά έναν προκαθορισµένο λόγο. Αυτό, στην περίπτωση του λόγου 2 : 1, µας δίνει τον διπλασιασµό του κύβου, το λεγόµενο «∆ήλιο πρόβληµα». 40 Από τα σχόλια του Ευτοκίου στο Archimedis Opera III, 104 (Van der Waerden, 1954/2003)

89

προβλήµατος. Εναλλακτικά, το Θ προσδιορίζεται επίσης ως σηµείο τοµής των παραβολών

χ2=αy και y2=χβ. Η κατασκευή αυτή του Μέναιχµου είναι καθαρά θεωρητική : δεν

περιλαµβάνει κανένα όργανο ούτε καν διαβήτη και κανόνα, παρά µόνο κωνικές τοµές.

Το σηµαντικότερο επίτευγµα που αποδίδεται στον Μέναιχµο λοιπόν είναι η

εµφάνιση των κωνικών τοµών, τις οποίες χρησιµοποίησε για να επιλύσει το ∆ήλιο

πρόβληµα. Η ανακάλυψη όµως µάλλον είναι δύσκολο να αποδοθεί σε αυτόν, αφού η

φράση η οποία για πολλούς ιστορικούς των µαθηµατικών αποτελεί τεκµήριο (και µάλιστα

το µοναδικό) της ανακάλυψης των τριών κωνικών τοµών και η οποία περιέχεται στην

επιστολή του Ερατοσθένη προς τον βασιλιά Πτολεµαίο της Αιγύπτου, είναι αρκετά

διφορούµενη. Η ακριβής φράση είναι: «µηδέ Μεναιχµείους κωνοτοµείν τριάδας»41 και

µέσω αυτής ο Ερατοσθένης προτρέπει όσους ασχολούνται µε την επίλυση του ∆ηλίου

προβλήµατος να µην χρησιµοποιούν τις τριάδες του Μεναίχµου. Ποιες είναι όµως οι

τριάδες αυτές; Αν είναι οι τρεις κωνικές τοµές (παραβολή, έλλειψη & υπερβολή) τότε ο

χαρακτηρισµός των τριάδων ως Μεναιχµείων θα µπορούσε πράγµατι να σηµαίνει ότι ο

Μέναιχµος ήταν εκείνος που τις ανακάλυψε. Όµως στη λύση του που είδαµε λίγο πριν δεν

χρησιµοποιούνται και οι τρεις κωνικές τοµές αλλά είτε δύο παραβολές είτε µια παραβολή

και µια υπερβολή. Μια δεύτερη αντίρρηση που θα µπορούσε να διατυπώσει κάποιος στην

ερµηνεία αυτής της φράσης είναι ότι σε µια τόσο πρώιµη περίοδο όπως είναι η περίοδος

του Μεναίχµου, οι κωνικές τοµές δε θα πρέπει ακόµα να αντιµετωπίζονταν ως καµπύλες

που ανήκουν σε µια ενιαία κατηγορία.42

Η ανακάλυψη των τριών κωνικών τοµών στην πριν από τον Μέναιχµο περίοδο

φαίνεται εύλογη λοιπόν, ιδιαίτερα αν λάβουµε υπ’ όψιν ότι αµέσως µετά από αυτόν, προς

τα τέλη δηλαδή του 4ου αι. π.Χ., η θεωρία των κωνικών τοµών είχε αναπτυχθεί σε τέτοιο

βαθµό, ώστε να γράφονται ειδικές πραγµατείες µε αντικείµενο τη θεωρία αυτή. Πράγµατι

γνωρίζουµε από τον Πάππο ότι τη περίοδο αυτή είχαν γραφεί τουλάχιστον δύο τέτοιες

πραγµατείες. Η πρώτη από τον Αρισταίο τον πρεσβύτερο (πιθανώς κατά τα έτη 330-320

π.Χ.) µε τίτλο Στερεοί τόποι δηλ. για κωνικές τοµές ως γεωµετρικούς τόπους και

αποτελείτο από πέντε τόµους. Η δεύτερη από τον Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.Χ.) και

έφερε τον τίτλο Κωνικά. Τα έργα αυτά, δυστυχώς όµως, δεν διασώθηκαν. Ο Αρχιµήδης

βέβαια παραθέτει συχνά προτάσεις από κάποια Κωνικά Στοιχεία που ενδεχοµένως να ήταν

κάποια από τα έργα αυτά. Πολύ αργότερα µάλιστα ένας µαθητής του Γαλιλαίου, ο

41 Είναι από τον Ευτόκιο στα Σχόλιά του στον Αρχιµήδη και την αναφέρει ο Πρόκλος στον ορισµό IV της ευθείας (Morrow, 1970, στίχος 11.23) 42 Χριστιανίδης Γ., 2003.

90

Βικέντιος Βιβιάνι (1622 – 1703) προσπάθησε να αναπαραγάγει το έργο του Αρισταίου στο

εν έτει 1701 εκδοθέν έργο του υπό τον τίτλο «Divinatio Aristaei». Συνεπώς, στα τέλη του

4ου π.Χ. αι. η θεωρία των κωνικών τοµών είχε ήδη µελετηθεί συστηµατικά, οπότε η

ανακάλυψη των κωνικών τοµών θα πρέπει να έγινε αρκετά νωρίς, πιθανώς πριν από την

εποχή του Μεναίχµου.

Η πρώιµη αυτή θεωρία των κωνικών τοµών µας οδηγεί τώρα σε δύο ερωτήµατα.

Ένα πρώτο ερώτηµα είναι αν οι τρεις καµπύλες που δηλώνονται µε την ονοµασία «κωνικές

τοµές» ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά ως τοµές κώνου. Η απάντηση φαίνεται εκ πρώτης

όψεως καταφατική αν και έχει υποστηριχθεί και η αντίθετη άποψη ότι οι τρεις καµπύλες

ανακαλύφθηκαν αρχικά ως επίπεδες καµπύλες και αργότερα διαπιστώθηκε ότι είναι

δυνατόν να προέλθουν ως τοµές κώνου. Ίσως το δεύτερο αυτό στάδιο να συνδέεται µε το

έργο του Αρισταίου. Συνηγορεί άλλωστε σ’ αυτό η ονοµασία Στερεοί Τόποι του έργου του.

Πως όµως έγινε αυτή η ανακάλυψη; Μια πιθανή απάντηση δίνεται από τον W.R. Knorr

(Van der Waerden, 1954/2003) o οποίος έχει υποστηρίξει µια υποθετική κατά σηµείο

κατασκευή των δύο από τις τρεις καµπύλες (παραβολή & υπερβολή) µε αφορµή την

εύρεση δύο µέσων αναλόγων.

Ένα δεύτερο ερώτηµα αφορά τους ορισµούς των τριών καµπυλών βασικό στοιχείο

των οποίων είναι ο κώνος. Πως, όµως, όριζαν τον κώνο; Ο ορισµός του κώνου, κατά την

προ του Απολλωνίου περίοδο, είναι εκείνος που δίνει ο Ευκλείδης στο βιβλίο ΧΙ των

Στοιχείων :

Ορισµός XI.18 : «Κώνος είναι το περιληφθέν σχήµα, όταν ορθογώνιον τρίγωνον

περιστραφεί γύρω από τη µία εκ των καθέτων πλευρών µένουσα ακίνητη και επανέλθει

στη θέση από την οποία άρχισε να κινείται. Και αν η µένουσα ακίνητη κάθετη είναι ίση

προς την άλλη κάθετη, την εκτελούσα την περιστροφή, ο κώνος θα είναι ορθογώνιος, εάν

δε µικροτέρα, αµβλυγώνιος, εάν δε µεγαλυτέρα, οξυγώνιος».

Παρατηρούµε ότι ο κώνος που ορίζεται µε αυτόν τον τρόπο είναι πάντοτε ορθός

κώνος. Ο ορισµός του κώνου, λοιπόν, κάλυπτε µόνο τους ορθούς κώνους και έτσι οι κώνοι

των αρχαίων ήταν µόνον ορθοί κώνοι εκ περιστροφής. Τους διέκριναν ανάλογα µε το εάν η

γωνία της κορυφής ήταν ορθή, αµβλεία ή οξεία και χρησιµοποιούσαν τον κάθε τύπο για να

παραγάγουν ένα µόνο είδος κωνικής τοµής, τέµνοντας τον κώνο µε ένα επίπεδο πάντα

κάθετο σε µια γενέτειρα :

91

Σχήµα 3.1.1 Οι κωνικές τοµές πριν τον Απολλώνιο.

Οι αρχαίες ονοµασίες των κωνικών τοµών είναι (κοιτώντας τα σχήµατα µε τη σειρά) :

ορθογωνίου κώνου τοµή (παραβολή), οξυγωνίου κώνου τοµή (έλλειψη) και αµβλυγωνίου

κώνου τοµή (υπερβολή). Οι ορισµοί αυτοί αντανακλούν τον τρόπο γένεσης των καµπυλών,

92

είναι δηλαδή «ορισµοί δια της γενέσεως» και από αυτούς εξήχθησαν οι χαρακτηριστικές

ιδιότητες των κωνικών τοµών, τα «συµπτώµατά» τους, σύµφωνα µε την αρχαιοελληνική

ορολογία. Με τον όρο σύµπτωµα µιας καµπύλης οι αρχαίοι εννοούν την συνθήκη την

οποία πρέπει να ικανοποιούν τα σηµεία του επιπέδου (και µόνον αυτά, θα λέγαµε σήµερα)

για να βρίσκονται πάνω στην καµπύλη. Τα συµπτώµατα λοιπόν αντιστοιχούν στις

σηµερινές εξισώσεις τους ως προς ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων που

αποτελείται από τον άξονα της κάθε καµπύλης και την εφαπτόµενη στο άκρο του άξονα.

Έτσι π.χ. η εξίσωση χ2 = 2py (ή κατά την ελληνική ορολογία : το τετράγωνο από του

ευθυγράµµου τµήµατος χ είναι ίσο µε το ορθογώνιο από των ευθυγράµµων τµηµάτων 2p

και y) είναι το σύµπτωµα της παραβολής, όπου χ και y είναι οι συντεταγµένες ενός

σηµείου της παραβολής. Εδώ υποτίθεται ότι ο άξονας Χ εφάπτεται της παραβολής στην

αρχή και ότι ο άξονας Υ είναι παράλληλος µε τον άξονα της παραβολής.

∆εν είναι γνωστό όµως ένα σηµαντικό σηµείο : πως ο Μέναιχµος εξήγαγε, από

αυτή τη µέθοδο γενέσεως των κωνικών τοµών, τα «συµπτώµατά» τους, δηλαδή τις

εξισώσεις τους, που χρειαζόταν για να επιτύχει τον διπλασιασµό του κύβου. Στην

απάντηση αυτού του ερωτήµατος βοηθά ένας από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς όλων

των εποχών, ο Αρχιµήδης. Ο Αρχιµήδης δίνει πάντοτε τις εξισώσεις της έλλειψης και της

υπερβολής µε τη µορφή «δύο τετµηµένων», ως εξής :

Β

Γ

∆

χ x1

y

Α

93

Έστω ΑΒ=α ο κύριος άξονας της κωνικής. Η κάθετη Γ∆=y από ένα σηµείο Γ της

κωνικής στην ΑΒ ονοµάζεται τεταγµένη και οι αποστάσεις Α∆=χ και Β∆=χ1 ονοµάζονται

τετµηµένες. Στην περίπτωση της έλλειψης έχουµε χ1=α-χ, ενώ στην περίπτωση της

υπερβολής χ1=α+χ. Το «σύµπτωµα» της καµπύλης είναι και στις δύο περιπτώσεις – σε

σύγχρονο συµβολισµό – y2=αχχ1, ή y2=αχ(α – χ) για την έλλειψη και y2=αχ(α + χ) για

την υπερβολή.

Στη συνέχεια ο Αρχιµήδης43 πρωτοπορεί και αποδεικνύει ότι κάθε έλλειψη µπορεί

να θεωρηθεί ως τοµή ενός κυκλικού κώνου, η κορυφή του οποίου µπορεί να επιλεγεί

οπουδήποτε σε ένα επίπεδο συµµετρίας της έλλειψης. Αρχίζει λοιπόν από το σύµπτωµα

της έλλειψης και αποδεικνύει ότι η καµπύλη που παριστάνει αυτό το σύµπτωµα κείται

πράγµατι σε έναν ορθό ή σε έναν πλάγιο κυκλικό κώνο. Το σπουδαίο είναι τώρα ότι η ίδια

ακριβώς απόδειξη µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το αντίστροφο και να εξαχθεί το

«σύµπτωµα» αν γνωρίζουµε ότι η καµπύλη κείται σε έναν ορθό (για πλάγιο, δυσκολεύει η

απόδειξη) κυκλικό κώνο. Άρα µπορεί κανείς να υποθέσει ότι οι αρχαίοι είχαν ήδη

χρησιµοποιήσει µια τέτοια µέθοδο απόδειξης για να βρουν το «σύµπτωµα» και ότι ο

Αρχιµήδης απλώς γενίκευσε και αντέστρεψε µια γνωστή απόδειξη.44

Γιατί τέλος οι αρχαίοι περιορίστηκαν σε τοµές που κατασκευάζονται από επίπεδα

κάθετα σε µια γενέτειρα του κώνου; Ήταν η γενική περίπτωση τόσο δύσκολη; Οι Van der

Waerden και Zeuthen (Van Der Waerden, 1954/2003) θεωρούν ότι αυτό που κυρίως τους

43 Περί Κωνοειδέων και Σφαιροειδέων, προτάσεις 7, 8. 44 Van Der Waerden, 1954/2003.

Β Α ∆

Γ

χ1

α χ

y

94

ενδιέφερε ήταν ν’ αποδείξουν ότι µια καµπύλη µπορεί πάντοτε να ληφθεί ως κωνική,

δηλαδή ως τοµή ενός κώνου. Αυτή ακριβώς η απόδειξη είναι που γίνεται εξαιρετικά απλή

όταν το τέµνον επίπεδο είναι κάθετο σε µια γενέτειρα. Γιατί υπάρχει µια απειρία κώνων εκ

περιστροφής, οι οποίοι τέµνονται από ένα δεδοµένο επίπεδο κατά µια δεδοµένη κωνική

καµπύλη, αλλά από όλους αυτούς τους κώνους, οι δύο των οποίων η κορυφή βρίσκεται

στην κάθετη προς το επίπεδο της συγκεκριµένης αυτής κωνικής σε µια από τις κορυφές

της, είναι µακράν πιο εύκολοι να κατασκευαστούν.

3.2 Οι Κωνικές Τοµές κατά τον Απολλώνιο

Ας περάσουµε τώρα στον Απολλώνιο, ο οποίος µαζί µε τον Πάππο, προσέφεραν, εκ

µέρους των αρχαίων, πλούσιο υλικό στον Desargues. Είναι ο τρίτος επιφανής µαθηµατικός

(οι άλλοι δύο ήταν ο Ευκλείδης και ο Αρχιµήδης) της ελληνιστικής εποχής και ο

τελευταίος µεγάλος γεωµέτρης του αρχαίου κόσµου. Καταγόταν από την Πέργη της

Παµφυλίας στα νότια της Μικράς Ασίας. Η περίοδος ακµής του Απολλωνίου τοποθετείται

γύρω στο 210 π.Χ. κατά τη βασιλεία του Πτολεµαίου του Φιλοπάτορος. Νέος, µετέβη στην

Αλεξάνδρεια και εκεί σπούδασε µαθηµατικά πλησίον των µαθητών του Ευκλείδη. Τη

φήµη του στην αρχαιότητα την απέκτησε πρωτίστως από το έργο του στη µαθηµατική

αστρονοµία αλλά τα Κωνικά δηλ. οι κωνικές τοµές, είναι το magnum opus του

Απολλωνίου. Eίναι γραµµένο σε οκτώ βιβλία από τα οποία σώζονται επτά, τέσσερα στο

πρωτότυπο ελληνικό κείµενο και τρία σε αραβική απόδοση. Αυτό το αριστούργηµα έχει

δικαίως αποσπάσει τον υπέρτατο θαυµασµό από όλους τους µαθηµατικούς της

αρχαιότητας και των νεότερων χρόνων. Στο έργο του αφ’ ενός εντοπίζεται η εποχή της

ωριµότητας της Ευκλείδειας Γεωµετρίας των αρχαίων και αφ’ ετέρου διαγράφονται τα

όρια της αποδοτικότητας των γεωµετρικών µεθόδων της αρχαιότητας. Ο τελευταίος

ισχυρισµός ενισχύεται και από την ιστορική εξέλιξη : Χρειάστηκαν οι αλγεβρικές µέθοδοι

δηλ. η Αναλυτική Γεωµετρία του Descartes για να «ανθίσει» εκ νέου και σε µέγιστο βαθµό

η Γεωµετρία. Πέρα από την πληρότητα του κυρίου έργου του, των Κωνικών, εκείνο που

προσδίδει ιδιαίτερη ποιότητα στη µαθηµατική του δηµιουργία είναι ότι παρ’ όλο που η

παρουσίαση της ύλης έχει γεωµετρικό χαρακτήρα, η σκέψη του είναι κατά βάση

αλγεβρική. Τα συµπτώµατα των κωνικών τοµών δηλ. οι µορφές των εξισώσεών τους ήταν

ανάλογες µε τις αντίστοιχες των Fermat και Descartes τον 17ο αιώνα µ.Χ. µε µια

95

σηµαντική διαφορά όµως : οι πρώτες «καλύπτονταν» από τον Απολλώνιο, ασφαλώς όχι

σκοπίµως, µε έναν «γεωµετρικό µανδύα». Συνυφασµένη µε τις αλγεβρικές τάσεις του

Απολλώνιου είναι και η προσπάθειά του να δώσει µια κατ’ αρχήν ενιαία µορφή στα

συµπτώµατα των κωνικών τοµών. Όπως θα δούµε στη συνέχεια ο Απολλώνιος πέτυχε µια

ενιαία µορφή για τα συµπτώµατα αυτά, ορίζοντας έτσι µια παράµετρο έτσι ώστε ανάλογα

µε το είδος της κωνικής τοµής, η παράµετρος, ένα µέρος της ή κάτι µεγαλύτερό της να

εµφανίζεται στο σύµπτωµα. Η σχέση αυτού που εµφανίζεται στο σύµπτωµα προς την

παράµετρο οδήγησε τον Απολλώνιο στην ονοµασία της αντίστοιχης κωνικής τοµής και

παίζει το ρόλο της ποιοτικής αναλλοιώτου της.

Ο Απολλώνιος µετασχηµάτισε ριζικά την προγενέστερη θεωρία των κωνικών

τοµών. Που έγκειται όµως η καινοτοµία του; Κατά τον σχολιαστή Ευτόκιο, η καινοτοµία

του Απολλωνίου συνίσταται στο ότι γενίκευσε και ανέπτυξε περαιτέρω την προηγούµενη

θεωρία. Η συµβολή του έγκειται, πρώτον, στην απελευθέρωση του ορισµού µιας κωνικής

τοµής από την απαίτηση να πρόκειται για ορθό κώνο και δεύτερον, στην επιτυχή

αναζήτηση κοινής µορφής για τα «συµπτώµατα» που ενίσχυσε ουσιαστικά τον αλγεβρικό

χαρακτήρα της θεωρίας τους και οδήγησε τον Απολλώνιο στη θέσπιση των όρων

παραβολή, έλλειψη και υπερβολή.

Κατ΄αρχήν αντί να χρησιµοποιήσει ορθό κώνο, ορίζει την κωνική επιφάνεια ως

επιφάνεια που σχηµατίζεται όταν µια ευθεία γραµµή που διέρχεται από σταθερό σηµείο Ο,

προεκτεινόµενη και προς τις δύο κατευθύνσεις, περιστραφεί περί την περιφέρεια κύκλου

που δεν βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε το σηµείο:

Σχήµα 3.2.1 Ορισµός κώνου από τον Απολλώνιο.

Ο

96

Έτσι εισάγει πλέον τις κωνικές τοµές ως τοµές τυχόντος κώνου µε ένα επίπεδο

κατάλληλα φερόµενο. Έτσι για την παραγωγή των τριών κωνικών τοµών δεν απαιτούνται

πια τρία είδη κώνου αλλά αρκεί ένας και µόνο κώνος, που µπορεί να είναι και πλάγιος:

Σχήµα 3.2.2 Οι κωνικές τοµές κατά τον Απολλώνιο.

Στη συνέχεια ο Απολλώνιος εισάγει τις νέες ονοµασίες για τις τρεις καµπύλες και

τις ονοµάζει για πρώτη φορά µε τα ονόµατα που χρησιµοποιούµε και σήµερα. Οι νέες

ονοµασίες δεν δηλώνουν πια τον τρόπο γέννησης των καµπυλών αλλά εκφράζουν

συνοπτικά τις χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. Εγκαταλείπεται λοιπόν ο ορισµός δια της

γενέσεως και εµφανίζεται ο ορισµός δια της ιδιότητος. Αλλά και οι ίδιες οι ιδιότητες,

δηλαδή τα «συµπτώµατα» διατυπώνονται µε τρόπο πιο γενικό. ∆εν αναφέρονται πια στον

άξονα της εκάστοτε καµπύλης αλλά σε µια τυχούσα διάµετρο και στην εφαπτοµένη στο

άκρο αυτής (θα λέγαµε λοιπόν ότι το σύστηµα συντεταγµένων του Απολλωνίου δεν είναι

ορθογώνιο αλλά πλαγιογώνιο). Ο Απολλώνιος ονοµάζει τα γράµµατα χ και y

«αποτεµνόµενη» και «τεταγµένως κατηγµένη (προς τη διάµετρο)». Από εδώ προέρχονται οι

γνωστοί όροι «τετµηµένη» και «τεταγµένη». Τέλος το ευθύγραµµο τµήµα p (στο σύµπτωµα

y2=px) το οποίο στη παλαιά θεωρία ήταν η απόσταση από την κορυφή του κώνου στο

97

επίπεδο το οποίο έτεµνε κάθετα τη γενέτειρα, ο Απολλώνιος το ονόµαζε «ορθία» (επειδή

είναι κάθετο στη διάµετρο, άρα όρθιο) και εµείς σήµερα «παράµετρο».

Ας εµβαθύνουµε τώρα αναπτύσσοντας τα τµήµατα των βιβλίων I και II των

Κωνικών (η θεωρία των διαµέτρων και των τεταγµένων) τα οποία είναι απαραίτητα για να

κατανοήσουµε πως ο Desargues επεξήγησε και εξέλιξε την θεωρία του Απολλωνίου.

Είδαµε λίγο πριν πως ο Απολλώνιος όρισε την κωνική επιφάνεια. Ο κώνος είναι το στερεό

(ποσότητα ύλης) που περιέχεται µεταξύ της κορυφής Α, της κωνικής επιφάνειας και του

επιπέδου του κύκλου Γ (σχ. 3.2.3α). Παρατηρώντας το σχ. 3.2.3α (το σχ. 3.2.3β είναι το

ίδιο από άλλη όµως οπτική γωνία, ώστε να φανούν καλύτερα τα τρία επίπεδα a, b, c και ο

κώνος, µε σκοπό να κατανοηθεί πλήρως η µάλλον πολύπλοκη γεωµετρική κατασκευή)

περιγράφουµε λοιπόν τη θεωρία του Απολλωνίου :

Σχήµα 3.2.3α. Κατασκευή κύριας διαµέτρου κωνικής από τον Απολλώνιο

98

Σχήµα 3.2.3β. (Το σχήµα 3.2.3α. από άλλη οπτική γωνία)

Ο κύκλος Γ καλείται βάση του κώνου. Η ευθεία ΑΜ καλείται άξονας (axis) του

κώνου και ο κώνος θα είναι ορθός αν ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο a αλλιώς θα

καλείται πλάγιος. Θεωρούµε την τοµή Γ΄ ενός επιπέδου c (που δεν διέρχεται από το Α) και

της κωνικής επιφάνειας. Αν το επίπεδο αυτό είναι παράλληλο στο επίπεδο του κύκλου Γ,

δηλαδή στο επίπεδο a, τότε η κωνική τοµή Γ΄ είναι επίσης κύκλος και θα υπάρχει βέβαια

µια «δεσµίδα» παραλλήλων επιπέδων που θα τέµνουν τον κώνο σε κύκλους. Το ίδιο

δείχνει ο Απολλώνιος (Κωνικά Ι.5) και για τον πλάγιο κώνο. Όλα τα άλλα επίπεδα

τέµνουν την κωνική επιφάνεια σε µια καµπύλη που δεν είναι κύκλος και που την ονοµάζει

κωνική τοµή. Επίσης στην περίπτωση της υπερβολής θεωρεί τους δυο κλάδους σαν

ξεχωριστές κωνικές τοµές του ιδίου όµως γεωµετρικού «αντικειµένου», τους οποίους

ονοµάζει «αντικείµενους κλάδους».

Κωνικά I.7 : Κάθε κωνική τοµή Γ΄, η οποία δεν είναι κύκλος, έχει µια διάµετρο d.

Απόδειξη (σχ.3.2.3α) : Έστω ότι το επίπεδο c που δηµιουργεί την κωνική τοµή Γ΄ τέµνει το

επίπεδο της βάσης του κώνου κατά ευθεία v. Φέρνουµε την ευθεία ΜΝ⊥v. Έστω τώρα ότι

το επίπεδο ΑΜΝ, δηλαδή το επίπεδο b, τέµνει το επίπεδο c κατά ευθεία d. Θεωρούµε στην

κωνική τοµή Γ΄ µια χορδή P´Q´//v, η οποία τέµνει την d στο σηµείο R´. Οι ευθείες ΑP´,

AQ´, AR´ συναντούν το επίπεδο a στα σηµεία P, Q και R αντίστοιχα. Τότε η PQ είναι

χορδή του κύκλου Γ και τέµνει την ευθεία της διαµέτρου ΜΝ στο R. Προφανώς PQ//v,

99

οπότε PQ⊥ΜΝ. Έτσι PR=RQ και επειδή PQ//v//PQ΄ (λόγω ΧΙ.9 Στοιχείων), τότε

' '

' '

PR P R

RQ R Q= , οπότε P R΄=R΄Q΄. Εποµένως η ευθεία d είναι διάµετρος της κωνικής τοµής

Γ΄ και ονοµάζεται κύρια διάµετρος. Ας σηµειωθεί ότι δεν έχει µόνο η έλλειψη διάµετρο,

όπως ίσως προκύπτει από το σχήµα, αλλά και οι άλλες δύο κωνικές τοµές (παραβολή &

υπερβολή).

Οι έννοιες της διαµέτρου και της τεταγµένης (ordinate) κατέχουν ένα κεντρικό

ρόλο, όπως θα δούµε, στην θεωρία του Απολλωνίου. Χορδή µιας καµπύλης είναι ένα

ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει δύο σηµεία αυτής. ∆ιάµετρος µιας καµπύλης είναι ένα

ευθύγραµµο τµήµα που διχοτοµεί όλες τις χορδές της καµπύλης που έχουν µια

συγκεκριµένη διεύθυνση, δηλαδή είναι παράλληλες. Τα µισά των χορδών αυτών καλούνται

τεταγµένες (ordinates) σε αντιστοιχία µε τη διάµετρό τους. Η σταθερή γωνία ω ανάµεσα σε

µια διάµετρο και στις τεταγµένες της καλείται γωνία των τεταγµένων. Η γωνία ω είναι

ορθή σε δύο περιπτώσεις : α) αν ο κώνος είναι ορθός οπότε η προβολή της κορυφής Α στο

επίπεδο της βάσης, δηλαδή το σηµείο Α΄ στο σχ. 3.2.3α, ταυτίζεται µε το Μ και τότε το

επίπεδο ΑΜΝ, δηλαδή το επίπεδο b, θα είναι πάντα κάθετο στο επίπεδο της βάσης και β)

αν ο κώνος είναι πλάγιος και τα σηµεία Α΄, Μ και Ν είναι συνευθειακά. Στη γενική

περίπτωση λοιπόν, όπως συµβαίνει στο σχήµα, το κέντρο Μ της βάσης είναι διαφορετικό

από τη προβολή Α΄ και π.χ. ω=78°.

Ο Απολλώνιος αποκαλεί την τοµή του επιπέδου ΑΜΝ µε τον κώνο αξονικό

τρίγωνο (axial triangle).O Chasles νόµιζε ότι ο όρος αξονικό τρίγωνο προέκυπτε µόνο από

την τοµή του επιπέδου ΑΜΑ΄ µε τον κώνο. Πίστευε δηλαδή ότι ο Απολλώνιος απλώς

έτεµνε τον κώνο µε επίπεδα κάθετα στο επίπεδο ΑΜΑ΄, όπου στη περίπτωση αυτή η γωνία

ω θα είναι ορθή και η κύρια διάµετρος θα είναι άξονας της καµπύλης. Όµως ο Απολλώνιος

γράφει σαφώς στην Ι.7 ότι η γωνία ω δεν είναι απαραίτητα ορθή.

Στη συνέχεια ακολουθούν οι αποδείξεις των θεµελιωδών ιδιοτήτων (συµπτώµατα)

των τριών τύπων των κωνικών τοµών (Κωνικά Ι. 11 – 14). Και στις τρεις περιπτώσεις το

σύµπτωµα περιλαµβάνει ένα ευθύγραµµο τµήµα p που αποκαλείται όπως είπαµε ορθία

(latus rectum). Το σχεδιάζει δε κάθετο στη διάµετρο (πάνω στο επίπεδο της κωνικής) και

ξεκινά από ένα σηµείο τοµής της διαµέτρου µε την κωνική.

Το σύµπτωµα της παραβολής

100

Η παραβολή κατά τον Απολλώνιο προκύπτει ως τοµή της επιφάνειας τυχόντος

κυκλικού κώνου µε ένα επίπεδο παράλληλο προς µια µόνο γενέτειρα (σε ορθογώνιο κώνο

το επίπεδο αυτό είναι κάθετο σε άλλη γενέτειρα). Ακριβέστερα ο Απολλώνιος ορίζει και

διακρίνει τις κωνικές τοµές µε βάση την έννοια της διαµέτρου. Εδώ λοιπόν γράφει ότι η

διάµετρος είναι παράλληλη προς µια γενέτειρα. Πως όµως ο Απολλώνιος κατέληξε στο

σύµπτωµα από τον ορισµό αυτό;

Σχήµα 3.2.4 Η διαδικασία εξαγωγής του συµπτώµατος της παραβολής από τον Απολλώνιο.

Παρατηρώντας το σχήµα έχουµε τα εξής: Η γωνία της κορυφής του πλάγιου κώνου είναι η

ΒΑΓ (Β, Γ αντιδιαµετρικά σηµεία). Το επίπεδο κ τέµνει το κώνο, είναι παράλληλο προς τη

γενέτειρα ΑΓ και τέµνει το επίπεδο της βάσης κατά ευθεία ΖΗ. Χωρίς να βλάπτεται η

γενικότητα, τα Β, Γ πάντα µπορούν να βρεθούν ώστε να είναι αντιδιαµετρικά και τότε

ΒΓ⊥ΖΗ. Έτσι χρησιµοποιεί ο Απολλώνιος λοιπόν το αξονικό τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω τώρα Χ

τυχόν σηµείο της παραβολής. Φέρνουµε από το Χ παράλληλη προς την ΖΗ (πάνω στο

101

επίπεδο κ) που τέµνει την ∆Λ στο Υ. Τώρα αν από το Υ φέρουµε παράλληλη (πάνω στο

επίπεδο ΑΒΓ) προς τη ΒΓ, αυτή θα τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία Μ και Ν αντίστοιχα. Το

επίπεδο ΧΜΝ θα είναι τότε παράλληλο προς το επίπεδο της βάσης και η τοµή του µε την

κωνική επιφάνεια θα είναι κύκλος διαµέτρου ΜΝ. Ας σηµειωθεί ότι η ΜΝ θα είναι

διάµετρος αφού η ΧΥ προκύπτει κάθετη στην ΜΝ και αν προεκταθεί θα τµήσει την

παραβολή στο σηµείο Φ, έτσι ώστε το Υ να είναι το µέσο της ΧΦ (αποδεικνύεται µε τον

τρόπο της απόδειξης της Ι.7 πιο πάνω, ότι ΧΥ = ΥΦ). Έτσι στο τρίγωνο ΧΜΝ θα ισχύει

(ΧΥ)2 = ΜΥ · ΥΝ (1) [Θεώρηµα τεµνοµένων χορδών κύκλου].

Τα ΜΥ και ΥΝ υπολογίζονται ως εξής :

Επειδή ΜΥ//ΒΛ και ∆Λ//ΑΓ έχουµε : ΜΥ ΒΛ ΒΓ ΒΓ

= = ⇒ ΜΥ = ∆Υ∆Υ ∆Λ ΑΓ ΑΓ

.

Οµοίως :ΥΝ ΛΓ ΒΓ ΒΓ

= = ⇒ ΥΝ = ∆Α∆Α ∆Α ΑΒ ΑΒ

. Η ισότητα (1) γίνεται τώρα :

(ΧΥ)2 = 2 ΒΓ

⋅∆Α ⋅∆Υ ΑΒ⋅ΑΓ (2). Ο Απολλώνιος παρατήρησε στη συνέχεια ότι η

ποσότητα στην αγκύλη είναι σταθερή (εξαρτάται µόνο από τον κώνο και το επίπεδο τοµής

κ) και αποµένει να την εντοπίσει γεωµετρικά. Την κατασκευάζει λοιπόν σαν ένα

ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το ∆, πάνω στο επίπεδο κ και κάθετο προς την ∆Υ. Την

ονοµάζουµε ∆Π, αποκαλείται δε latus rectum (erect side), oρθία από τον Απολλώνιο και

σήµερα παράµετρο p. Η ισότητα (2) γίνεται τώρα : (ΧΥ)2 = ∆Π · ∆Υ. Ο Απολλώνιος είδε

την ισότητα αυτή γεωµετρικά (εµβαδόν τετραγώνου = εµβαδόν ορθογωνίου), αγγίζει όµως

και την αλγεβρική θεώρηση: στο παραπάνω σύµπτωµα συνυπάρχουν οι συντεταγµένες ∆Υ

= χ (αποτεµνόµενη, η σηµερινή τετµηµένη) και ΧΥ = y (τεταγµένως κατηγµένη, η σηµερινή

τεταγµένη). Έτσι προκύπτει η µοντέρνα ισότητα y2 = pχ µε άξονες την διάµετρο ∆Λ και

την εφαπτοµένη της παραβολής (στο επίπεδό της) στο σηµείο ∆, η οποία βέβαια είναι

παράλληλη µε την ΧΥ. Ας σηµειωθεί ότι το σύστηµα συντεταγµένων δεν είναι κατ’

ανάγκην ορθογώνιο αφού η ΧΥ δεν είναι κατ’ ανάγκη κάθετη στη ∆Λ.

Για να κατανοηθούν πλήρως τα προηγούµενα χρειάζεται να προσθέσουµε κάποια

σχόλια κοιτώντας το ίδιο σχήµα από άλλη οπτική γωνία :

102

Σχήµα 3.2.5 (Το προηγούµενο σχήµα από άλλη οπτική γωνία)

Η ∆Λ δεν είναι βέβαια πάντα κάθετη στην ΧΥ (και στην ΛΖ). Θα είναι κάθετη µόνο όταν

το αξονικό τρίγωνο ΑΒΓ είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης του κώνου. Το τελευταίο

επιτυγχάνεται πάντα σε ορθό κώνο, αλλά µπορεί να συµβεί και σε πλάγιο κώνο (αν το

ΑΒΓ είναι µεν κάθετο στη βάση, αλλά ο άξονας του κώνου όχι). Τότε το ∆ θα είναι η

κορυφή της παραβολής και η ∆Λ θα είναι ο άξονάς της. Στη περίπτωση αυτήν εντάσσεται

και ο προ του Απολλωνίου ορισµός της παραβολής, ως ορθογωνίου κώνου τοµή

(ορθοτοµή). Στο σχήµα µας φαίνεται η γενική περίπτωση όπου η ∆Λ δεν είναι ο άξονας της

παραβολής (παρατηρήστε ότι το ∆ δεν είναι η κορυφή της) αλλά απλώς µια, κατά τον

Απολλώνιο, διάµετρος. Τέλος ο Απολλώνιος αποδεικνύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν

ισχύει η ισότητα (2) τότε το σηµείο Χ ανήκει στην τοµή του επιπέδου κ µε τον κώνο, που

είναι η παραβολή.

103

Το σύµπτωµα της έλλειψης

Η έλλειψη ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας ενός τυχόντος κυκλικού κώνου µ’ ένα

επίπεδο (µη παράλληλο µε το επίπεδο της βάσης) που τέµνει όλες τις γενέτειρες. Η

διάµετρος εδώ, κατά τον Απολλώνιο, πρέπει να τέµνει τη δεύτερη γενέτειρα ΑΓ του

αξονικού τριγώνου ΑΒΓ σε εσωτερικό της σηµείο (ενώ στην υπερβολή όπως θα δούµε, σε

εξωτερικό της σηµείο). Είναι αξιοθαύµαστο εδώ ότι ο Απολλώνιος βλέπει και µελετά την

«αχίλλειο πτέρνα» του ορισµού κατά την οποία είναι δυνατό το επίπεδο να τέµνει όλες τις

γενέτειρες αλλά η κωνική τοµή να είναι κύκλος! Αυτό συµβαίνει στην «σπάνια»

περίπτωση που το αξονικό τρίγωνο ΑΒΓ είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης του κώνου, ο

κώνος δεν είναι ορθός (ΑΒ≠ΑΓ) και η γωνία ΑΒΓ ίση µε τη γωνία ΑΘ∆, π.χ. 62° (σχ.

3.2.6). Η τοµή στην περίπτωση αυτή ονοµάζεται υπεναντία (subcontrary) και

αποδεικνύεται ότι είναι κύκλος ως εξής :

Είπαµε ότι το αξονικό τρίγωνο ΑΒΓ είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης. Άρα αν Χ

τυχαίο σηµείο της κωνικής τοµής, το παράλληλο προς τη βάση επίπεδο ΧΜΝ θα είναι

επίσης κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε ΧΥ⊥ΜΝ και βέβαια ΧΥ⊥∆Θ (Το

Υ προέκυψε όπως και στη προηγούµενη διαδικασία της παραβολής, φέρνοντας δηλαδή

από το Χ παράλληλη προς την ευθεία v και στη συνέχεια από το Υ παράλληλη προς τη

ΒΓ). Στον κύκλο διαµέτρου ΜΝ από το θεώρηµα τεµνοµένων χορδών ισχύει ΧΥ2 = ΜΥ ·

ΥΝ. Όµως ΜΥ · ΥΝ = ∆Υ ·ΥΘ λόγω των οµοίων τριγώνων ∆ΜΥ και ΥΝΘ. Έτσι ΧΥ2 =

∆Υ ·ΥΘ, που σηµαίνει ότι η κωνική τοµή είναι κύκλος.

104

Σχήµα 3.2.6 Υπεναντία: Η έλλειψη που όµως δεν είναι έλλειψη, αλλά κύκλος.

105

Σχήµα 3.2.7 Η διαδικασία εξαγωγής συµπτώµατος της έλλειψης από τον Απολλώνιο.

Επιστρέφουµε τώρα στη διαδικασία παραγωγής του συµπτώµατος της έλλειψης που είναι

ανάλογη µε την αντίστοιχη της παραβολής. Αρχικά όπως και πριν για τυχαίο σηµείο Χ της

έλλειψης, φέρνοντας τις ΧΥ//v και ΜΥΝ//ΒΓ, δηµιουργούµε το παράλληλο προς τη βάση

του κώνου επίπεδο ΧΜΝ. Έτσι ΧΥ⊥ΜΝ και η τοµή του επιπέδου ΧΜΝ µε την κωνική

επιφάνεια είναι πάλι ο κύκλος διαµέτρου ΜΝ. Άρα έχουµε και εδώ την ισότητα (ΧΥ)2 =

ΜΥ · ΥΝ (3). Τα ΜΥ και ΥΝ υπολογίζονται µε παρόµοιο τρόπο :

Επειδή ΥΝ//ΓΛ και ΑΤ//ΘΛ έχουµε: ΥΝ ΓΛ ΓΤ ΓΤ

= = ⇒ ΥΝ = ΥΘΥΘ ΘΛ ΑΤ ΑΤ

.

Επειδή ΥΜ//ΒΛ και ΑΤ//∆Λ έχουµε:ΜΥ ΒΛ ΒΤ ΒΤ

= = ⇒ ΜΥ = ∆Υ∆Υ ∆Λ ΑΤ ΑΤ

.

Έτσι η σχέση (3) γίνεται 2( ) [ ]ΒΤ ΓΤ

ΧΥ = ⋅ ⋅ΥΘ ⋅∆ΥΑΤ ΑΤ

.

106

Κοιτώντας την τελευταία ισότητα γεωµετρικά, ο Απολλώνιος θέτει τη ποσότητα στην

αγκύλη µε ∆Π΄, πρέπει όµως να εντοπίσει το σηµείο Π΄ (που θα βρίσκεται βέβαια στην

κάθετη της ∆Θ στο σηµείο ∆) και επιπλέον αντιµετωπίζει ένα ακόµη πρόβληµα: Η

ποσότητα ∆Π΄ δεν είναι σταθερή γιατί εξαρτάται από το σηµείο Υ και κατά συνέπεια από

το τυχαίο σηµείο Χ της κωνικής τοµής, οπότε δεν µπορεί να παίξει το ρόλο της σταθερής

παραµέτρου, όπως στη παραβολή. Αυτά τα ξεπερνά ως εξής :

2 2

΄΄

ΒΤ⋅ΓΤ ∆Π ΒΤ⋅ΓΤ∆Π = ⋅ΥΘ ⇔ =

ΑΤ ΥΘ ΑΤ. Το δεύτερο µέλος τώρα είναι σταθερό και θέτει

2

ΒΤ⋅ΓΤ ∆Π=

ΑΤ ∆Θ, οπότε το ∆Π είναι η σταθερή παράµετρος µε το σηµείο Π επί της κάθετης

της ∆Θ στο σηµείο ∆. Έτσι ΄∆Π ∆Π

=∆Θ ΥΘ

και το Π΄ βρίσκεται αν από το σηµείο Υ φέρουµε

την ΥΡ//∆Π η οποία θα τέµνει την ΠΘ στο Ρ΄. Τότε ΥΡ΄ = ∆Π΄ και το Π΄ εντοπίζεται πάνω

στη ∆Π. Έτσι το σύµπτωµα της έλλειψης είναι

(ΧΥ)2 = ∆Π΄·∆Υ. Αν στη συνέχεια θέσουµε ∆Π = p (η σταθερή παράµετρος) , ∆Θ = d

(µήκος της διαµέτρου), ΧΥ = y και ∆Υ = χ, τότε ( )p

΄ d xd

∆Π = − και το σύµπτωµα

«ντύνεται» αλγεβρικά : 2 2py px x

d= − που είναι εξίσωση έλλειψης µε τις σηµερινές

απόψεις.

Βλέπουµε λοιπόν ότι το τετράγωνο της ΧΥ είναι ισοδύναµο µε το ορθογώνιο

∆ΥΡ΄Π΄ το οποίο έχει «παραβληθεί» στην ∆Π, αλλά είναι µικρότερο («ελλείπει») από το

ορθογώνιο ∆ΥΡΠ. Τη ∆Π ο Απολλώνιος την ονοµάζει ορθία πάλι, ως σταθερή παράµετρο

και αποκαλείται βέβαια όπως και στην παραβολή latus rectum (erect side). Όµως τώρα

δίνει και στη ∆Θ όνοµα. Την ονοµάζει πλαγία (Κωνικά Ι.13) και αποκαλείται latus

transversum (transverse side).

Επίσης να προσθέσουµε ότι η ΧΥ δεν είναι πάντα κάθετη στην ∆Θ και έτσι το

σύστηµα συντεταγµένων δεν είναι κατ’ ανάγκη ορθογώνιο. Η περίπτωση αυτή γίνεται

κατανοητή στο σχήµα 3.2.8 όπου η συγκεκριµένη οπτική γωνία µας επιτρέπει να

παρατηρήσουµε ότι η ΧΥ σχηµατίζει µε τη ∆Θ γωνία π.χ. 54° και δεν είναι άξονας της

έλλειψης αλλά είναι απλώς διάµετρος. Αν όµως συµβεί ΧΥ⊥∆Θ, δηλαδή το αξονικό

τρίγωνο ΑΒΓ να είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης, τότε η ∆Θ εκτός από διάµετρος θα

είναι και άξονας της έλλειψης (τα ∆, Θ θα είναι τότε και κορυφές της). Στην περίπτωση

107

αυτή εντάσσεται και ο προ του Απολλωνίου ορισµός της έλλειψης ως οξυγωνίου κώνου

τοµή (οξυτοµή).

Σχήµα 3.2.8 Το προηγούµενο σχήµα από άλλη οπτική γωνία.

Το σύµπτωµα της υπερβολής

Όπως χαρακτηριστικά γράφει ο Απολλώνιος (Κωνικά Ι.12) η υπερβολή είναι η

κωνική τοµή που προκύπτει όταν κώνος τµηθεί δια επιπέδου τέµνοντος τη βάση του κώνου

κατά ευθεία κάθετη στη βάση του αξονικού τριγώνου ΑΒΓ (εδώ όπως είπαµε και στην

παραβολή δεν βλάπτεται η γενικότητα αφού πάντα µπορεί να σχεδιαστεί η ΒΓ κάθετη στην

ΖΗ) και η διάµετρος της κωνικής αυτής τοµής εκβαλλοµένη συναντά µια πλευρά του

αξονικού τριγώνου εκτός της κορυφής του κώνου (σχήµα 3.2.9).

108

Σχήµα 3.2.9 Η διαδικασία εξαγωγής του συµπτώµατος της υπερβολής από τον Απολλώνιο.

109

Η διαδικασία ξεκινά µε τον ίδιο τρόπο όπως και στις δύο προηγούµενες

περιπτώσεις φέρνοντας όµως τώρα την ΑΚ//∆Λ στο επίπεδο του αξονικού τριγώνου ΑΒΓ.

Ισχύει λοιπόν και εδώ η ισότητα (ΧΥ)2 = ΜΥ · ΥΝ (1). Τα ΜΥ και ΥΝ υπολογίζονται

ως εξής :

Επειδή ΥΜ//ΒΛ και ΑΚ//∆Λ έχουµε : ΜΥ ΒΛ ΒΚ ΒΚ

= = ⇒ ΜΥ = ∆Υ∆Υ ∆Λ ΑΚ ΑΚ

.

Επειδή ΥΝ//ΓΛ και ΑΚ//ΣΛ έχουµε : ΥΝ ΛΓ ΚΓ ΚΓ

= = ⇒ ΥΝ = ΥΣΥΣ ΛΣ ΑΚ ΑΚ

. Έτσι η σχέση (1)

γίνεται 22

( ) [ ]ΒΚ ⋅ΚΓ

ΧΥ = ⋅ΥΣ ⋅∆ΥΑΚ

.

Κοιτώντας την τελευταία ισότητα γεωµετρικά, ο Απολλώνιος θέτει τη ποσότητα στην

αγκύλη µε ∆Π΄, πρέπει όµως να εντοπίσει το σηµείο Π΄ (που θα βρίσκεται βέβαια στην

κάθετη της ∆Λ στο σηµείο ∆) και επιπλέον αντιµετωπίζει και εδώ το ίδιο µε την έλλειψη

πρόβληµα: Η ποσότητα ∆Π΄ δεν είναι σταθερή γιατί εξαρτάται από το σηµείο Υ και κατά

συνέπεια από το τυχαίο σηµείο Χ της κωνικής τοµής, οπότε δεν µπορεί να παίξει το ρόλο

της σταθερής παραµέτρου, όπως στη παραβολή. Αυτά τα ξεπερνά και πάλι ως εξής :

2 2

΄΄

ΒΚ ⋅ΓΚ ∆Π ΒΚ ⋅ΓΚ∆Π = ⋅ΥΣ ⇔ =

ΑΚ ΥΣ ΑΚ. Το δεύτερο µέλος τώρα είναι σταθερό και θέτει

2

ΒΚ ⋅ΓΚ ∆Π=

ΑΚ ∆Σ, οπότε το ∆Π είναι η σταθερή παράµετρος µε το σηµείο Π επί της κάθετης

της ∆Λ στο σηµείο ∆. Έτσι ΄∆Π ∆Π

=∆Σ ΥΣ

και το Π΄ βρίσκεται αν από το σηµείο Υ φέρουµε

την ΥΡ//∆Π η οποία θα τέµνει την ΠΣ στο Ρ΄. Τότε ΥΡ΄ = ∆Π΄ και το Π΄ εντοπίζεται πάνω

στη ∆Π. Έτσι το σύµπτωµα της έλλειψης είναι

(ΧΥ)2 = ∆Π΄·∆Υ. Αν στη συνέχεια θέσουµε ∆Π = p (η σταθερή παράµετρος) , ∆Σ = d

(µήκος της διαµέτρου), ΧΥ = y και ∆Υ = χ, τότε ( )p

΄ d xd

∆Π = + και το σύµπτωµα

«ντύνεται» και πάλι αλγεβρικά : 2 2py px x

d= + που είναι εξίσωση υπερβολής µε τις

σηµερινές απόψεις. Βλέπουµε λοιπόν ότι το τετράγωνο της ΧΥ είναι ισοδύναµο µε το

ορθογώνιο ∆ΥΡ΄Π΄ το οποίο έχει «παραβληθεί» στην ∆Π, αλλά είναι µεγαλύτερο

(«υπερβάλλει») από το ορθογώνιο ∆ΥΡΠ. Τη ∆Π, δηλαδή τη σταθερή παράµετρο, ο

Απολλώνιος την ονοµάζει πάλι ορθία (latus rectum) και τη ∆Σ πλαγία (latus transversum).

Επίσης όπως και πριν η ΧΥ δεν είναι πάντα κάθετη στη ∆Λ και έτσι η διάµετρος

δεν ταυτίζεται µε τον άξονα της υπερβολής. Αν βέβαια συµβεί ΧΥ⊥∆Λ, δηλαδή το

110

αξονικό τρίγωνο ΑΒΓ να είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης, τότε η ∆Λ εκτός από

διάµετρος θα είναι και άξονας. Στην περίπτωση αυτή εντάσσεται και ο προ του

Απολλωνίου ορισµός της υπερβολής ως αµβλυγωνίου κώνου τοµή (αµβλυτοµή).

Από την παρουσίαση της δουλειάς του Απολλωνίου στις κωνικές τοµές

προκύπτουν τα ακόλουθα συµπεράσµατα :

Α) Το «ενιαίο» στη µορφή των συµπτωµάτων των κωνικών τοµών είναι µια πραγµατική

καινοτοµία, αφού κάποιες µορφές συµπτωµάτων προϋπήρχαν.

Β) Οι ισότητες των συµπτωµάτων δικαιολογούν απόλυτα τις ονοµασίες των κωνικών

τοµών (παραβολή, έλλειψη & υπερβολή).

Γ) Επεξέτεινε το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων σε πλαγιογώνιο που ορίζεται από µια

διάµετρο της κωνικής τοµής και µια εφαπτοµένη στο άκρο της.

∆) Τέλος, οι χειρισµοί του δείχνουν µια ωριµότητα στο έργο του και η αλγεβρική του

σκέψη είναι «προ των πυλών».

3.3 Προτάσεις των Κωνικών του Απολλωνίου που µελέτησε ο Desargues (I.15, 17, 34, 36, 47, 50…)

Στη συνέχεια ο Απολλώνιος αποδεικνύει ένα µεγάλο αριθµό θεωρηµάτων στις

κωνικές τοµές, επιστρέφοντας στην επιπεδοµετρία και συγκεκριµένα εργαζόµενος µόνο

στο επίπεδο της κωνικής τοµής. Θα ασχοληθούµε βέβαια µε αυτά που αποτέλεσαν

αντικείµενο µελέτης από τον Desargues και θα αναφέρουµε αµέσως κάποια που αφορούν

στην έλλειψη. Τα αντίστοιχα ισχύουν για την παραβολή, την υπερβολή, ακόµα και για τον

κύκλο.

Θεωρούµε έλλειψη µε κύρια διάµετρο d (όπως κατασκευάστηκε στην πρόταση Ι.7)

και έστω Β, ∆ τα σηµεία τοµής µε την έλλειψη. Το µέσο Γ της Β∆ καλείται κέντρο της

έλλειψης.

Κωνικά Ι.15 (σχήµα 3.3.1) : Έστω ´à και Γ∆΄ οι τεταγµένες της διαµέτρου Β∆

(δηλ. τα µισά της χορδής Β΄∆΄ που διέρχεται από το Γ). Τότε η Β΄Γ∆΄ είναι επίσης

διάµετρος της έλλειψης και οι τεταγµένες της (όπως π.χ. τα µισά της χορδής Κ΄Λ΄) είναι

παράλληλες προς τη Β∆. Η ευθεία Β΄∆΄ καλείται συζυγής διάµετρος της Β∆.

111

Οι τεταγµένες που αντιστοιχούν στη διάµετρο Β΄∆΄ ικανοποιούν επίσης µια

εξίσωση σαν το «σύµπτωµα» της έλλειψης που αποδείξαµε, δηλαδή την ισότητα

2 2py px x

d= − ή καλύτερα στη γεωµετρική της µορφή 2 2p

pΚΜ = ΒΜ − ΒΜΒ∆

, όπως

φαίνεται στο σχήµα 3.3.1. Έτσι ο Απολλώνιος ορίζει νέα παράµετρο p΄ (latus rectum) από

την σχέση p p ΄ ΄⋅ = Β∆ ⋅Β ∆ και αν Κ΄Μ΄ είναι η νέα τεταγµένη που αντιστοιχεί στη

διάµετρο Β΄∆΄, τότε ικανοποιεί την όµοια ισότητα 2 2p΄΄ ΄ p΄ ΄ ΄ ΄ ΄

΄ ΄Κ Μ = ⋅Β Μ − Β Μ

Β ∆.

Σχήµα 3.3.1

Κωνικά Ι.17, 32, (σχήµα 3.3.1) : Η διερχόµενη από το σηµείο Β ευθεία η οποία

είναι παράλληλη προς τις τεταγµένες της διαµέτρου Β∆, δεν συναντά την έλλειψη σε άλλο

σηµείο. Πρόκειται για την εφαπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Β, ενώ οποιαδήποτε άλλη

ευθεία που διέρχεται από το Β συναντά την έλλειψη και σε δεύτερο σηµείο. Οµοίως η

έλλειψη έχει εφαπτοµένες στα σηµεία ∆, Β΄ και ∆΄.

Κωνικά Ι.34, 36, (σχήµα 3.3.2) : Αν από ένα σηµείο Β1 της έλλειψης διαφορετικό

από τα Β, ∆, Β΄ και ∆΄ φέρουµε ευθεία που τέµνει την Β∆ στο Η και θεωρήσουµε µια

τεταγµένη Β1Κ της διαµέτρου Β∆, τότε η ευθεία Β1Η δεν συναντά την έλλειψη σε δεύτερο

σηµείο, δηλαδή είναι εφαπτόµενη, αν και µόνο αν ισχύει η αναλογία ΒΗ ΒΚ

=Η∆ Κ∆

.

112

Σχ. 3.3.2

Κωνικά Ι.47, (σχήµα 3.3.3) : Έστω ότι η Β1Γ τέµνει την έλλειψη στο σηµείο ∆1.

Τότε η Β1∆1 είναι διάµετρος της έλλειψης και οι τεταγµένες της (π.χ. ΝΜ, ΜΛ) είναι

παράλληλες προς την εφαπτοµένη στο Β1. Συνεπώς όλες οι ευθείες που περνούν από το

κέντρο Γ της έλλειψης είναι διάµετροι.

Σχ. 3.3.3

Κωνικά Ι.50, (σχήµα 3.3.4) : Οι τεταγµένες που αντιστοιχούν στην διάµετρο Β1∆1

ικανοποιούν επίσης µια όµοια µε το σύµπτωµα εξίσωση. Ο Απολλώνιος ορίζει και πάλι νέο

latus rectum p1 από την ισότητα 1 1

1 1 12

p ZB

B H B H= όπου Ζ είναι το σηµείο τοµής των

εφαπτοµένων ΒΗ1 και Β1Η. Έτσι αποδεικνύει ότι για οποιαδήποτε τεταγµένη ΜΛ, ισχύει η

ισότητα 2 211 1 1

1 1

ppΜΛ = ΜΒ − ΜΒ

Β ∆.

113

Σχ. 3.3.4

Κωνικά Ι.54-56 : Σ’ αυτές τις προτάσεις ο Απολλώνιος δείχνει ότι κάθε έλλειψη

έχει έναν άξονα και ότι µπορεί να προκύψει σαν τοµή επιπέδου µε ορθό κώνο.

Οµοίως αποδεικνύει ότι όλες οι παράλληλες στη κύρια διάµετρο της παραβολής

είναι επίσης διάµετροι (Ι.46), ότι οι τεταγµένες της διαµέτρου ικανοποιούν ισότητα σαν το

σύµπτωµα της παραβολής (Ι.49) και ότι η παραβολή έχει επίσης έναν άξονα (Ι.53). Για την

υπερβολή τώρα, ορίζει το κέντρο ως το µέσο της Β∆ όπου Β και ∆ είναι τα σηµεία τοµής

της κύριας διαµέτρου µε τους αντικείµενους κλάδους. Στη συνέχεια, πιστός στην

«µεθοδολογία» του, αποδεικνύει ότι κάθε ευθεία που περνά από το κέντρο και τέµνει την

υπερβολή είναι επίσης διάµετρος και ότι οι αντίστοιχες τεταγµένες ικανοποιούν ισότητα

σαν το σύµπτωµα της υπερβολής.

Τέλος στο δεύτερο βιβλίο των Κωνικών (ΙΙ.1-19) εισάγει την έννοια των

ασυµπτώτων της υπερβολής και δίνει αρκετές προτάσεις γι’ αυτές, ενώ στην ΙΙ.20

αποδεικνύει µεταξύ άλλων ότι κάθε ευθεία που περνά από το κέντρο της υπερβολής, αλλά

δεν τέµνει την υπερβολή ούτε είναι ασύµπτωτη, είναι διάµετρος των αντικείµενων κλάδων

(δηλαδή διχοτοµεί δέσµη παραλλήλων χορδών µε συγκεκριµένη διεύθυνση δ και µε άκρα

στους αντικείµενους κλάδους).

Ανακεφαλαιώνοντας προσεκτικά τη θεωρία του Απολλωνίου που αναπτύξαµε, για

τις διαµέτρους και τις τεταγµένες, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι είναι τεχνικά

εξαίρετη αλλά συγχρόνως περίεργη και χωρίς εµφανείς στόχους. Πράγµατι, αρχικά

αποδεικνύει ότι κάθε κωνική τοµή έχει µία κύρια διάµετρο και στη συνέχεια συµπεραίνει

114

ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες διάµετροι, µε τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες, αφού στην Ι.51

δείχνει ότι τα συµπτώµατα των κωνικών τοµών δεν ισχύουν µόνο για την κύρια διάµετρο

αλλά και για τις υπόλοιπες. Έπειτα δείχνει ότι κάθε κωνική τοµή (δηλ. τοµή πλαγίου

κώνου µε επίπεδο) µπορεί επίσης να προκύψει από τοµή ορθού κώνου µε το επίπεδο. Στην

περίπτωση αυτή, η κύρια διάµετρος είναι και άξονας της κωνικής και συνεπώς η ίδια

κωνική τοµή µπορεί να έχει διαφορετικές κύριες διαµέτρους (κάθε διάµετρος µπορεί να

γίνει κύρια διάµετρος). Έτσι η έννοια της κύριας διαµέτρου η οποία φαινόταν σηµαντική

στην αρχή, χάνει προοδευτικά την σηµασία της και είναι φυσικό να αναρωτιέται κανείς

γιατί ο Απολλώνιος δεν την εγκαταλείπει τελείως.

Εδώ κρύβεται µια δυσκολία η οποία απαντά στο ερώτηµα αυτό και είναι ο

προάγγελος της προβολικής γεωµετρίας. Στα σχήµατα 3.2.3α & 3.2.3β η κύρια διάµετρος

Β∆, δηλαδή η ευθεία d, έχει προκύψει ως τοµή του επιπέδου της κωνικής τοµής Γ΄ και του

επιπέδου ΑΜΝ όπου ΜΝ η ευθεία της διαµέτρου της κυκλικής βάσης του κώνου. Αυτό

µπορεί να περιγραφεί µε ένα διαφορετικό τρόπο χρησιµοποιώντας την «µοντέρνα» έννοια

της προβολής : Για οποιοδήποτε σηµείο Χ του κυκλικού δίσκου Γ, προκύπτει ένα σηµείο

Χ΄ ως τοµή της ευθείας ΑΧ µε το επίπεδο της κωνικής τοµής Γ΄ (σχήµα 3.3.5). Η

αντιστοίχηση η οποία στέλνει το Χ στο Χ΄ καλείται κεντρική προβολή µε κέντρο το Α και

το Χ΄ καλείται προβολή του Χ. Έτσι η διάµετρος d της κωνικής τοµής Γ΄ είναι η προβολή

της διαµέτρου ΜΝ του κύκλου Γ (σχήµα 3.2.3α). Όµως εδώ υπάρχει µια σηµαντική

λεπτοµέρεια. Το κέντρο C της κωνικής Γ΄ δεν είναι γενικά η προβολή του κέντρου Μ του

κύκλου Γ και έτσι οι άλλες διάµετροι της κωνικής τοµής δεν είναι οι προβολές των άλλων

διαµέτρων του κύκλου. Στο σχήµα 3.3.5 φαίνεται ότι η προβολή του Μ είναι το σηµείο Μ΄

που δεν είναι το κέντρο της έλλειψης και ότι η προβολή µιας άλλης διαµέτρου ΚΛ του

κύκλου είναι η Κ΄Λ΄ που δεν είναι διάµετρος της έλλειψης. ∆ηλαδή από όλες τις

διαµέτρους του κύκλου που προβάλλονται στο επίπεδο της κωνικής τοµής, µία δηµιουργεί

την κύρια διάµετρο Β∆ της έλλειψης (σχήµα 3.3.6). Γι’ αυτό το λόγο δεν µπορούµε να

δεχτούµε τις άλλες διαµέτρους της κωνικής τοµής µε το ίδιο σκεπτικό κατασκευασµένες

(σχήµα 3.2.3α) όπως τη κύρια διάµετρο και έτσι µάλλον κατανοούµε την επιµονή του

Απολλωνίου στην έννοια αυτή.

115

Σχ. 3.3.5

Σχ. 3.3.6

116

∆εκαοκτώ περίπου αιώνες µετά, ο Desargues ξεπερνά αυτή τη δυσκολία. Στις 4

Απριλίου 1638, σε ένα γράµµα του προς τον Mersenne, ανακοινώνει ότι έχει βρει µια

γενικότερη θεωρία κωνικών τοµών χωρίς να χρησιµοποιεί αξονικά τρίγωνα και χωρίς να

διακρίνει την κύρια διάµετρο από τις άλλες :

“…Et aussi sans employer pour cela aucun des triangles par l’essieu ny

faire distinction d’un principal diametre d’avec les autres…”.45

Η θεωρία αυτή βρίσκεται στο έργο του BrP και θα τη δούµε στη συνέχεια.

45 Taton 1951, σελ. 84.

117

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

Tο Μαθηµατικό έργο του Desargues

4.1 Σύνδεση Προοπτικής & Προβολής στο Α΄ µέρος του Brouillon

Project46

Η πραγµατεία του στις κωνικές τοµές (Brouillon Project, 1639) χωρίζεται σε δύο

µέρη. Στο πρώτο δεν καταπιάνεται µε κωνικές τοµές αλλά ασχολείται µε ιδιότητες

συγκλινουσών ευθειών (pencil of lines) και συνόλων συγγραµικών σηµείων. Είναι ένα

µεταβατικό στάδιο, µια γέφυρα µεταξύ της προοπτικής και κωνικών. Προετοιµάζει έτσι το

έδαφος για το δεύτερο µέρος που είναι η µελέτη των κωνικών. Το έργο του είναι

γραµµένο, αντίθετα µε όλα τ’ άλλα, αποκλειστικά για µαθηµατικούς. Ο Descartes (1596 –

1650) το βρήκε δύσκολο να διαβαστεί. Μία όµως προσεκτική µελέτη αναδεικνύει

συνέπεια, µεθοδικότητα και αυστηρή λογική στην ανάπτυξη του περιεχοµένου του. Οι

δυσκολίες δεν είναι άµεσα προφανείς και ενώ κάπου είναι τετριµµένες, κάπου αλλού

δυσχεραίνουν το έργο των µελετητών. Για παράδειγµα ο Descartes σε ένα γράµµα στις 19

Ιουνίου 1639, υπέδειξε σαν εµπόδιο στην κατανόηση το ανατρεπτικό λεξιλόγιο που

χρησιµοποιεί και επιµένει ο Desargues.47 Όχι µόνο δίνει νέα ονόµατα σε νέες έννοιες που

εισάγει αλλά ονοµάζει µε νέο τρόπο και πράγµατα που είναι ήδη γνωστά και

ονοµατολογικά καθιερωµένα. Όµως το λεξιλόγιο από µόνο του δεν µπορεί να θεωρηθεί

αξεπέραστο εµπόδιο. Ο Desargues το χρησιµοποιεί µε έναν συνεπέστατο τρόπο και µέσα

στο έργο υπάρχουν σηµεία όπου οι ιδέες του δεν θα ήταν κατανοητές χωρίς τη χρήση της

νέας ορολογίας – βοτανολογικής προέλευσης. Από την άλλη µεριά πολλοί µαθηµατικοί,

ίσως όχι της εµβέλειας των Descartes και Pascal48 θα συναντούσαν αρκετές δυσκολίες.

Τελικά το BrP έγινε µεν αποδεκτό αλλά ο πλήρης σκοπός του δεν φαινόταν τότε να έχει

εκτιµηθεί σωστά. Κατά συνέπεια ο Desargues δεν ενσωµατώθηκε τελείως µέσα στην

46 Θυµίζουµε ότι το Brouillon Project αναφέρεται αρκετές φορές εν συντοµία ως BrP. 47 Ο Marin Mersenne (1588 – 1648) έστειλε ένα αντίτυπο του έργου του Desargues στον Descartes για να πεί τη γνώµη του. Το γράµµα απάντησης του Descartes (19 Ιουνίου 1639) βρίσκεται στα γαλλικά στον Taton (1951, σελ. 185-186) και σε αγγλική µετάφραση στο Field & Gray (1987, σελ. 176-177). Ο Mersenne είχε δηµιουργήσει έναν κύκλο φιλοσόφων και µαθηµατικών και φρόντιζε οι εργασίες αυτών να κυκλοφορούν στον κύκλο αυτόν προς κριτική. Έτσι είναι πιθανό η πραγµατεία του Desargues να τυπώθηκε στα 50 αντίτυπα γι΄αυτό το λόγο. 48 O νεαρός τότε Blaise Pascal (1623 – 1662) ήταν ενθουσιασµένος από τη δουλειά του Desargues.

118

ιστορικά γεωµετρική παράδοση και ένας λόγος γι’ αυτό ήταν τα λίγα αντίτυπα του BrP που

προορίζονταν για τον κύκλο του Mersenne και µάλλον δεν έφτασαν στους µεγάλους

µαθηµατικούς της επόµενης γενιάς, όπως τον Newton (1642 – 1727) και τον Leibniz (1646

– 1716).49 Σ’ αυτούς και σε άλλους απλώς έφθασε ό,τι η πρώτη γενιά µετέδωσε.

Σχετικά τώρα µε το λεξιλόγιο του Desargues: Ο Ivins (1946) παρατηρεί ότι το

λεξιλόγιο στο BrP συνδέεται µε το έργο του Alberti, De pictura (1435). Μπορεί να

περιγράφεται ως βοτανικής προέλευσης (botanical), αλλά ο Ivins εξειδικεύει τη προέλευση

αυτή περισσότερο, χαρακτηρίζοντάς την µε τον όρο “arboricultural” (arbre = δέντρο). Θα

συναντήσουµε όρους όπως δέντρο, κλαδί, κλαρί, µάτι κλάδου, κόµβος κ.ά. Αυτά

αναφέρονται σε ευθείες ή ευθύγραµµα τµήµατα ή σηµεία. Ο Alberti παροµοιάζει επίσης τις

ακτίνες θέασης σαν να ξεπροβάλλουν ως «κλαριά» από τον κορµό ενός δέντρου. Όµως δεν

υπάρχει ένδειξη ότι το κείµενο αυτό µε την παροµοίωση του Alberti ήταν διαθέσιµο στον

Desargues στην αρχική του έκδοση (1435). Κάποιες µετέπειτα εκδόσεις ήταν πιθανό να

είχαν διαβαστεί από τον Desargues αλλά ήταν συνοπτικές, µαθηµατικά µη επαρκείς και

χωρίς λεπτοµέρειες όπως η προηγούµενη παροµοίωση. Έτσι η προέλευση του λεξιλογίου

µάλλον αποδίδεται στις «ανησυχίες» του και στην προσπάθειά του ν’ αποδώσει αυστηρά

και µε συνέπεια τις ιδέες του. Εξ’ άλλου ως µηχανικός του στρατού µπορεί να ήθελε να

προσδώσει και µια άλλη διάσταση στο έργο του. Για παράδειγµα ο βασικός όρος “arbre”

που συνήθως µεταφράζεται ως δέντρο, βρίσκεται και µε µια άλλη έννοια: είναι ένας

κεντρικός άξονας ενός µηχανισµού στον οποίον αναφέρονται τα υπόλοιπα εξαρτήµατά

του.

Αν και το λεξιλόγιό του Desargues δεν παραπέµπει τελικά σε µια εµφανή σύνδεση

της εργασίας του µε την προοπτική παράδοση που ξεκινά από την εποχή του Alberti,

ωστόσο όµως οι µαθηµατικές έννοιες που παρουσιάζονται στο πρώτο µέρος του BrP έχουν

σηµαντικές οµοιότητες µε την δουλειά του πάνω στην προοπτική. Το ακόλουθο σχήµα

κυριαρχεί στο έργο του και είναι θεµελιώδες στην Προβολική Γεωµετρία.

49 Όπως έχει αναφερθεί το BrP βγήκε για πρώτη φορά στο φως και µάλιστα χειρόγραφο (όχι από τον ίδιο τον Desargues αλλά από µαθητή του), µόλις το 1845 και δηµοσιεύθηκε το 1864 από τον Poudra. Μόνο ένα αντίτυπο έχει διασωθεί από τα 50 που εκδόθηκαν το 1639 για τους σκοπούς του Mersenne και αυτό βρίσκεται στην Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας στο Παρίσι.

119

Σχήµα 4.1.1 ∆ιπλός Λόγος (ΑΓΒ∆)=(Α΄Γ΄Β΄∆΄)

Το σχήµα αυτό µπορούµε να το θεωρήσουµε ως εξής: ∆οθέντος σηµείου Ο,

τεσσάρων συγγραµικών σηµείων Α, Β, Γ, ∆, και µιας ευθείας ε΄, οι θέσεις των σηµείων Α΄,

Β΄, Γ΄, ∆΄, εντοπίζονται αν φέρουµε ευθείες που ενώνουν τα Α, Β, Γ, ∆ µε το Ο και δούµε

που τέµνουν την ευθεία ε΄. Η ίδια διαδικασία χρησιµοποιείται για να κατασκευαστεί η

προοπτική εικόνα θεµάτων µέσω µηχανικών συσκευών που είδαµε στην παράγραφο 2.3.

Οι ευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο∆ µοιάζουν µε τη χορδή που αντιστοιχεί στην ακτίνα θέασης, ο

καµβάς είναι εδώ η ευθεία ε΄ και το προς απεικόνιση αντικείµενο είναι η ευθεία ε. Αυτό το

απλό σχήµα όµως έδωσε και µια άλλη ιδέα: Η σχέση αντικειµένου και εικόνας του είναι

συµµετρική. ∆ηλαδή αν το Α΄ είναι η εικόνα του Α τότε και το Α θα είναι η εικόνα του Α΄.

Αυτή η ιδέα είναι που ξεχωρίζει. Τα έργα όµως πάνω στην προοπτική επικεντρώνουν

αλλού το ενδιαφέρον και εµποδίζουν να φανεί αυτή η σηµαντική ιδέα. Και ενώ οι

καλλιτέχνες ψάχνουν τι αλλάζει κατά την προβολή υπό την προοπτική τους, ο Desargues

κάνει ακριβώς το αντίθετο: Παρατηρεί τι δεν αλλάζει. Ψάχνει δηλαδή για ιδιότητες που

παραµένουν αναλλοίωτες κατά τη διαδικασία της προβολής. Αυτόν όµως τον στόχο δεν τον

διατυπώνει αλλά επιτρέπει στην κωνική προβολή που πηγάζει από την προοπτική, να γίνει

το θεµέλιο ενός νέου είδους γεωµετρίας αφού µέσα από το έργο του αφήνει σε κάποιον να

δει θεωρήµατα που ενώ ισχύουν για ένα ιδιαίτερο σχήµα (µια κωνική τοµή), να ισχύουν

επίσης και για άλλα σχήµατα (οι άλλες κωνικές τοµές) που συνδέονται µε το πρώτο µέσω

κωνικής (ή κεντρικής) προβολής (Field, 1987). Οπότε αν κάποιο θεώρηµα που αφορά

120

ιδιότητες αµετάβλητες κάτω από κεντρική προβολή αποδειχθεί για µια κωνική τοµή θα

µπορεί να αποκτά ισοδύναµη διατύπωση και απόδειξη και για τις άλλες κωνικές. Έτσι τα

αποτελέσµατα στα οποία είχε καταλήξει ο Απολλώνιος δουλεύοντας ξεχωριστά για κάθε

κωνική, είναι για τον Desargues τώρα ενοποιηµένα και αποδεδειγµένα µε απλούστερο

τρόπο.

Για παράδειγµα θα δούµε στο έργο του την βασική έννοια της ενελικτικής εξάδας η

οποία, όπως αποδεικνύει, παραµένει αναλλοίωτη όταν προβάλλεται κεντρικά. Αν στη

συνέχεια, σε 2 ζεύγη εκ των 6 σηµείων τα σηµεία κάθε ζεύγους ταυτίζονται, τότε η

ενελικτική εξάδα γίνεται τετράδα η οποία σαφώς θα παραµένει πάλι αναλλοίωτη και δίνει

τον λεγόµενο ∆ιπλό λόγο (cross – ratio). . Ο διπλός λόγος 4 σηµείων Α, Β, Γ, ∆ είναι το

σύνθετο κλάσµα ΑΓ Α∆ΓΒ ∆Β

ή ΑΓ ⋅∆ΒΒΓ⋅Α∆

. Και θα είναι αναλλοίωτη γιατί απλώς θεωρείται

από τον Desargues ειδική περίπτωση της γενικότερης των 6 σηµείων. Του αρέσει δηλαδή

να «συντηρεί» την γενικότητα και να αποµακρύνεται από τις ειδικές περιπτώσεις αυτής.

Για να κάνει χρήση της ιδιότητας του «αναλλοίωτου» προκειµένου να διερευνήσει

γεωµετρικές σχέσεις µεταξύ των κωνικών, είναι αναγκαίο να εισάγει και σηµεία (της

εξάδας ή άλλης ν-άδας) που δεν απέχουν όλα πεπερασµένες αποστάσεις από ένα σταθερό

σηµείο της ευθείας ή γενικότερα της γραµµής. Αυτό εξηγείται γιατί κάποιες κωνικές είναι

κλειστές καµπύλες όπως ο κύκλος και η έλλειψη και κάποιες άλλες ανοικτές όπως η

παραβολή και η υπερβολή.50

Άρα ο Desargues στο πρώτο µέρος του BrP εισάγει ορθώς τον µελετητή στην

έννοια σηµείου που «τοποθετείται» σε µια ευθεία αλλά σε άπειρη απόσταση (point at

infinity) από ένα σταθερό σηµείο αυτής και µάλιστα θεωρώντας ότι µπορούµε να

φτάσουµε σ’ αυτό «ταξιδεύοντας» από το σταθερό σηµείο και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Και από αυτό συµπεραίνουµε πως φαντάζεται την ευθεία: Σαν µια «κλειστή καµπύλη». Η

περιγραφή τέτοιων σηµείων όµως δεν είναι καινούργια. Προηγούµενοι επιστήµονες, όπως

ο Johannes Kepler (1571 – 1630) έχουν αναφερθεί πάλι σε τέτοια σηµεία, αλλά ο

Desargues µπόρεσε να τα µαθηµατικοποιήσει µε έναν έξυπνο τρόπο:

Σχήµα 4.1.2 Ενελικτική ή Αρµονική τετράδα (ΑΓΒ∆)

50 Όπως θα δούµε και αναλυτικά στο έργο του, υπάρχουν και δύο εκφυλισµένες περιπτώσεις κωνικών τοµών, η ευθεία (αν η τοµή επιπέδου & κώνου είναι µόνο µια γενέτειρα) και ένα σηµείο (η κορυφή του κώνου).

121

Στο σχήµα που βλέπουµε θεωρεί την ενελικτική τετράδα (αρµονική σήµερα) όπου τα

σηµεία Β & ∆ διαιρούν αντιστοίχως εσωτερικά & εξωτερικά στον ίδιο λόγο το τµήµα ΑΓ.

∆ηλαδή ΑΒ Α∆

=ΒΓ ∆Γ

. Τώρα αν το Β κινηθεί προς το µέσο του ΑΒ τότε το σηµείο ∆ θα

πρέπει να κινηθεί δεξιότερα και µακρύτερα από το Γ ώστε να µπορέσει το Α∆ να «γίνει»

ίσο µε το ∆Γ. Έτσι για να παραµείνει ο διπλός λόγος των σηµείων Α, Β, Γ, ∆ σταθερός, το

σηµείο Β ταυτίζεται µε το µέσο του ΑΓ και το σηµείο ∆ θα «λάβει θέση» στο άπειρο (at

infinity).

Αν πάµε τώρα στο σχήµα 4.1.1, και φανταστούµε ότι οι συντρέχουσες ευθείες

δηµιουργούν στις ε και ε΄ τετράδες σηµείων του τύπου που µόλις περιγράψαµε, τότε ο

γεωµετρικός (ή καλύτερα «ηµιαλγεβρικός») ορισµός του σηµείου στο άπειρο είναι

ισοδύναµος µε το εξής γεωµετρικό αποτέλεσµα: οι συντρέχουσες στο Ο ευθείες θα πρέπει

να είναι παράλληλες και το Ο θα είναι το σηµείο συνάντησης στο άπειρο. Ο Kepler είχε

ορίσει µε παρόµοιο τρόπο τα σηµεία στο άπειρο, στα πλαίσια µιας πραγµατείας πάνω στα

οπτικά η οποία δηµοσιεύθηκε το 1604. Εισήγαγε τα σηµεία αυτά µε σκοπό να βρεί τη

δεύτερη εστία της παραβολής. Έτσι βλέπουµε ένα άλλο δείγµα σύνδεσης κωνικών τοµών

µε σηµεία στο άπειρο. Όµως ο Kepler ασχολήθηκε πολύ λίγο µε αυτά και µόνο για την

παραβολή. Ο Desargues πάντως δεν δίνει κάποια ένδειξη που να οδηγεί στο ότι γνώριζε τη

δουλειά του Kepler και εξ’ άλλου τα µελετά µε διαφορετικό τρόπο και σκοπό.

Έτσι ο Desargues γενικεύει την έννοια της δέσµης ευθειών (pencil of lines) και

επιτρέπει στο σηµείο τοµής να µπορεί να βρίσκεται σε άπειρη απόσταση (το

αντιλαµβάνεται τότε ως σηµείο σύγκλισης). Η δέσµη αυτή λοιπόν συµπεριλαµβάνει πάντα

είτε συντρέχουσες είτε παράλληλες – συγκλίνουσες ευθείες (pencil of parallel lines). Την

γενίκευση αυτή την είδαµε να κάνει την εµφάνισή της στις τελευταίες παραγράφους της

Προοπτικής του (1636).

Σχετικά µε την µη αναµενόµενη επιτυχία του BrP, η Andersen (1991) υποστηρίζει

µια «αποτυχηµένη» σύνδεση προοπτικής και προβολής, δίνοντας δύο παραδείγµατα.

Στο πρώτο µέρος του BrP ο Desargues δείχνει ότι η ενελικτική εξάδα σηµείων

µένει αναλλοίωτη όταν προβάλλεται κεντρικά. Όπως είπαµε όµως δεν συνδέει πουθενά

αυτό το αποτέλεσµα µε την διατηρησιµότητα του διπλού λόγου που είναι άµεση συνέπεια

της ενελιξιµότητας. Έτσι δεν φαίνεται πιθανό για έναν πρακτικό του 17ου αιώνα να

µπορεί, µελετώντας τον Desargues, να καταλάβει την σπουδαιότητα την

διατηρησιµότητας. Την δεύτερη δεκαετία του 18ου αιώνα, ο Brook Taylor ήρθε κοντά

122

στην αναγνώριση της σχέσης ανάµεσα στην διαίρεση ενός ευθυγράµµου τµήµατος

προοπτικά και στην διατηρησιµότητα του διπλού λόγου. Τώρα αν ο Desargues είχε στο

µυαλό του το ότι αυτή η συνέπεια της ενελιξιµότητας ήταν προφανής και θα µπορούσε να

εφαρµοστεί, δεν µπορούµε να το γνωρίζουµε αφού δεν έδειξε οποιαδήποτε πρακτική

εφαρµογή.

Στο δεύτερο µέρος του BrP, όπως θα δούµε λεπτοµερώς στη συνέχεια, o Desargues

διαπραγµατεύεται κωνικές τοµές και φτάνει σε εντυπωσιακά αποτελέσµατα αλλά πάλι δεν

φαίνονται πως µπορούν να εφαρµοστούν. Αν διαβάσει κανείς την τελευταία παράγραφο

στην Προοπτική του (1636) θα περιµένει κάποιον τρόπο για την Προοπτική απεικόνιση

κωνικών τοµών. Εκεί ακριβώς είδαµε ότι γι’ αυτό δίνει την ιδέα να βρεθούν δύο ευθείες

της κωνικής που όταν προβληθούν να γίνουν οι άξονες της ζητούµενης απεικόνισης της

κωνικής. Όµως και πάλι το BrP δεν παρέχει κάποιο εφαρµόσιµο αποτέλεσµα για να

σχεδιαστεί η προοπτική εικόνα κωνικής τοµής. Βέβαια για πρακτικούς λόγους αυτό δεν

είναι µεγάλη ζηµιά. Θα ήταν όµως χρήσιµο αν π.χ. µας έλεγε πότε ένας κύκλος

προβάλλεται σε κύκλο κλπ., όπως έκανε ο Commandino (παράγραφος 2.4). Σε όλες τις

περιπτώσεις όπου οι καλλιτέχνες ήθελαν να απεικονίσουν έναν κύκλο σαν µια άλλη

κωνική τοµή, το έκαναν µε τον ευκολότερο τρόπο: µε την σηµείο προς σηµείο κατασκευή.

Ήταν µια λύση που χρησιµοποιήθηκε όχι µόνο από τους πρακτικούς αλλά και απ’ όλους

τους µαθηµατικούς που ασχολήθηκαν µε το θέµα. Από όλο το BrP, το µοναδικό σηµείο

που ο Desargues βλέπει κάποια εφαρµογή της θεωρίας του στην προοπτική είναι στο τέλος

του BrP όπου γράφει ότι η εµφάνιση, πάνω σε ένα επίπεδο, µιας δέσµης συντρεχουσών

ευθειών (pencil of lines) είναι επίσης µια δέσµη συντρεχουσών ευθειών.51

Τα δύο αυτά παραδείγµατα αντανακλούν το γεγονός της ανεπιτυχούς προσπάθειας

του Desargues να ενοποιήσει δύο κόσµους µε κοινό ενδιαφέρον σε κάποια γεωµετρικά

προβλήµατα. Και παρά το ότι µπορούσε µε ευκολία να ισορροπεί ανάµεσά τους και να

κάνει γόνιµες επαφές µε πρακτικούς και επιστήµονες, του έλειπε και µια άλλη ικανότητα:

να εκφράσει µε προσιτό τρόπο αυτό που έχει στο µυαλό του. Έτσι όπως θα δούµε αµέσως

παρακάτω διάλεξε ένα στυλ γραφής και ένα λεξιλόγιο διαφορετικό από αυτό που

χρησιµοποιούσαν οι µαθηµατικοί χωρίς όµως να καταφέρει να γεφυρώσει το χάσµα που

ήθελε.

Έτσι από τη µια είδαµε ότι η προοπτική βοήθησε τον Desargues στο να θεωρήσει

τις παράλληλες συγκλίνουσες και πάνω σ’ αυτό να οικοδοµήσει µε προβολικό τρόπο αλλά

51 Η αναφορά βρίσκεται στο τέλος της παραγράφου 4.5.

123

από την άλλη µεριά να µην καταφέρνει να ενοποιεί πλήρως την Προοπτική µε την

Προβολή. Επιπλέον στο BrP δουλεύει προβολές ευθειών σε ευθείες και επιπέδων σε

επίπεδα αλλά όχι προβολές από το χώρο σε επίπεδο, οι οποίες είναι πιο κοντά στην

προοπτική. Βλέπουµε λοιπόν ότι στην ιστορία των µαθηµατικών ότι τα επιστηµονικά

επιτεύγµατα δεν προκύπτουν πάντα από την «βασιλική» οδό αλλά διαµορφώνονται µερικές

φορές µέσα από περίπλοκα µονοπάτια.

4.2 Σύνδεση Προοπτικής & Κωνικών στο Β΄ Μέρος του Brouillon Project

H τελευταία παράγραφος που είδαµε στο έργο του πάνω στην Προοπτική

(παράγραφος 2.5) το 1636, αναφέρεται στην εύρεση προοπτικής εικόνας µιας κωνικής

τοµής. Είναι ο συνδετικός κρίκος των δύο έργων (1636 & 1639) και δείχνει ότι πολλές από

τις ιδέες στο BrP τις είχε στο µυαλό του όταν έγραφε την προοπτική.

Στο Β΄ Μέρος του BrP, ο Desargues διερευνά ιδιότητες κωνικών από την άποψη

των ιδιοτήτων σηµειοσειρών σε ευθείες. Τις ευθείες τις θεωρεί πάνω στο επίπεδο µιας

κωνικής και τα σηµεία πάνω σ’ αυτές προκύπτουν από δέσµες ευθειών η κορυφή των

οποίων είναι η κορυφή του κώνου. Με προοπτική ορολογία, θα λέγαµε ότι εξετάζει

ιδιότητες κωνικών όταν τον κώνο τον θεωρεί ως οπτικό κώνο, δηλαδή στεκόµενος στην

κορυφή του, παρατηρεί το επίπεδο της κωνικής. Ο κώνος στην πλήρη µαθηµατική του

διάσταση επεκτείνεται απεριόριστα εκατέρωθεν της κορυφής του ενώ ο οπτικός κώνος των

προοπτικών είναι πεπερασµένος και ορίζεται ευρισκόµενος µεταξύ της κορυφής που είναι

το µάτι του ζωγράφου και της βάσης του που είναι το προς σχεδίαση αντικείµενο. Η βάση

όµως ως το περίγραµµα του αντικειµένου µπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήµα. Άρα ο

οπτικός κώνος στην τέχνη της προοπτικής µπορεί να µην είναι καν ούτε ένα µέρος του

µαθηµατικά ορισµένου κώνου. Και µάλιστα οι προοπτικοί ίσως θεωρούσαν οπτική

πυραµίδα και όχι κώνο, αφού τα περισσότερα προς σχεδίαση θέµατα συνήθως

περιβάλλονταν από επίπεδες επιφάνειες. Ίσως γι’ αυτό δεν βρέθηκε κάποιος πριν από τον

Desargues που να µπορέσει να εξελίξει µαθηµατικά την προοπτική.

Αν εξαιρέσουµε τα κυκλικά τόξα κάποια αψίδας ή εισόδου που συχνά

εµφανίζονταν σε διάφορα έργα, τα περισσότερα παραδείγµατα στις µελέτες πάνω στην

προοπτική κατά την Αναγέννηση δεν περιλαµβάνουν την απεικόνιση καµπυλών σαν

καµπύλες. Όταν χρειαζόταν αυτό, έπαιρναν σηµεία στην προς απεικόνιση καµπύλη,

124

έβρισκαν τις εικόνες τους στο επίπεδο σχεδίασης και τις ένωναν µε µια όµοια καµπύλη.

Αυτή η σηµείο προς σηµείο προβολή των καµπυλών υπάρχει στον Piero della Francesca

αλλά και στον Federico Commandino στα σχόλιά του πάνω στο έργο του Πτολεµαίου,

Planisphaerium. Ο Commandino αναγνωρίζει την ισοδυναµία µεταξύ της στερεογραφικής

προβολής και της προοπτικής των καλλιτεχνών, ασχολείται δε µε την προβολή κύκλων.

Στο Planisphaerium υπάρχουν µόνο κύκλοι που παραµένουν (υπό προβολή) κύκλοι αλλά

στα σχόλιά του εξετάζει πότε είναι δυνατόν καµπύλες, όταν προβάλλονται, να δίνουν

διαφορετικές κωνικές. Επιτρέπει όµως γι’ αυτό στον οπτικό κώνο να αλλάζει θέση, σαν

έναν τρόπο για ν’ αλλάξει την κωνική τοµή και έτσι αποµακρύνεται από την ιδέα να

θεωρεί όλες τις κωνικές τοµές σαν προοπτικές εικόνες η µία της άλλης, δηλαδή σαν τοµές

ενός και µόνο κώνου. Ο µαθητής του Commandino, Guidobaldo del Monte, πλησιάζει

περισσότερο στο να σχηµατίσει µια γενική θεωρία προβολών κωνικών. ∆είχνει κώνους

που περιέχουν κύκλο και µια άλλη κωνική τοµή.

Αν οι κωνικές τοµές είχαν προκύψει από τις µελέτες στην προοπτική, τουλάχιστον

τα ονόµατά τους θα περίµενε κανείς να τα συναντούσε και σε µελέτες πάνω στα ηλιακά

ρολόγια (sundials). Όµως καµιά τέτοια µελέτη δεν δείχνει αξιοσηµείωτη τάση να στραφεί

σε µελέτη πάνω στις κωνικές (Field, 1987). Οµοίως και ένας άλλος ταλαντούχος

µαθηµατικός, ο Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) σε µια πραγµατεία του πάνω στα

ηλιακά ρολόγια δεν καταπιάνεται µε κάποια θεωρία κωνικών. Σ’ ένα µικρό παράρτηµα

όµως αποδεικνύει κάποια θεωρήµατα που αφορούν κωνικές τοµές χωρίς όµως να

χρησιµοποιεί την σηµαντική ιδέα της προβολής, παρ’ όλη τη στενή της σύνδεση µε τα

ηλιακά ρολόγια. Η πραγµατεία αυτή του Benedetti φαίνεται να είναι γνωστή σε

µεταγενέστερους συγγραφείς αλλά για τον Desargues δεν υπάρχει τέτοια ένδειξη.

Άρα από τις µελέτες πάνω στην προοπτική, στα ηλιακά ρολόγια και στους

γνώµονες (gnomonics) δεν φαίνεται οι γεωµέτρες του 16ου και του πρότερου 17ου αιώνα

να κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι οι κωνικές τοµές είναι όλες προοπτικές εικόνες η µία

της άλλης. Ο Desargues ήταν ο πρώτος που κάνει εκτεταµένη χρήση αυτής της προοπτικής

σχέσης. Γιατί όµως προχώρησε ένα βήµα παραπέρα και που τον οδήγησε αυτό, θα

αναλυθεί στην επόµενη παράγραφο.

125

4.3 Η εφεύρεση της Προβολικής Γεωµετρίας

Στο BrP o Desargues θεωρεί όλες τις κωνικές σαν ένα είδος που προέρχονται από

τοµές ενός µόνο και οποιουδήποτε είδους κώνου. Αυτή η ορθολογική αντιµετώπιση τον

οδήγησε στην παραδοχή µιας προοπτικής σχέσης µεταξύ των κωνικών η οποία µπόρεσε να

οδηγήσει τον Desargues σε µια νέα θεωρία καµπυλών και σε µια «εφεύρεση» ενός νέου

τρόπου να «κάνουµε» γεωµετρία. Ακριβώς εδώ όµως αναδύεται ένα ερώτηµα. Ήταν αυτή

η προοπτική σχέση και µόνον αυτή που οδήγησε τον Desargues σε αυτή τη νέα γεωµετρία

– γιατί τότε αυτό µόνο δεν φαίνεται και τόσο σπουδαίο κατόρθωµα για να το καταφέρει

µόνο εκείνος – ή µήπως υπήρχε και κάτι άλλο;

Πράγµατι αν και κάποιος µπορεί να δει (και στις µέρες µας) τις κωνικές τοµές σαν

να είναι όλες προοπτικές εικόνες η µια της άλλης, αυτή η σχέση δεν είδαµε να είναι

προφανής στον Commandino, στον Benedetti, στον del Monte και στον Kepler οι οποίοι

όλοι τους εργάστηκαν πάνω στα οπτικά και ήταν όλοι ταλαντούχοι µαθηµατικοί. Γιατί να

πιστώνουµε στον Desargues αυτήν την «ανακάλυψη» την οποία δεν είδαν οι

προηγούµενοι;

Επιπλέον ο Desargues στο BrP κάνει χρήση της προοπτικής σχέσης µεταξύ

κωνικών κυρίως όταν αποδεικνύει ένα γενικό θεώρηµα υποβιβάζοντάς το όµως στην

περίπτωση κύκλου (ως την αυθεντική κωνική τοµή) στον ίδιο κώνο, αλλά δεν κάνει σαφή

αναφορά στη σχέση αυτή.

Άρα φαίνεται µάλλον απίθανο αυτή η προβολική αντιµετώπιση των κωνικών τοµών

να πηγάζει από την αναγνώριση µιας προοπτικής σχέσης µεταξύ διαφόρων τύπων κωνικών

τοµών. Θα ήταν πιο εύλογο, έχοντας αναγνωρίσει την προοπτική σαν έναν τύπο προβολής

(όπως είδαµε ότι το έκανε ο Commandino), ο Desargues, σαν µαθηµατικός, να επέλεξε να

εξετάσει τις θεµελιώδεις απλές περιπτώσεις (που ξεκινούν από την κωνική – κύκλος) µε

κάποια επιπλέον προσοχή (όπως σε µικρότερο βαθµό είχε κάνει κι ο del Monte). Έτσι

όµως, ίσως µειώνεται η συµβολή του Desargues.

Το τελευταίο αναιρείται γιατί θα διαπιστώσουµε στο BrP ότι η κρίσιµη απόφαση

που τον έκανε να ξεχωρίσει και τον οδήγησε στην προβολική γεωµετρία ήταν να

ενδιαφερθεί προσωπικά και µε πάθος για τις ιδιότητες που µένουν αναλλοίωτες υπό κάποιου

είδους προβολή. Μια τέτοια ιδιότητα είναι εκείνη των ευθειών που σχηµατίζουν δέσµη. Αν

οι ευθείες συναντώνται σε ένα σηµείο, τότε και η εικόνα θα περιέχει επίσης ευθείες που θα

συναντώνται σε ένα σηµείο. Οι τελευταίες παράγραφοι στην Προοπτική (1636) τον

126

δείχνουν να προχωρεί προς αυτό το θεώρηµα (το οποίο για να αποκτήσει καθολικότητα

χρειάζεται η επινόηση των σηµείων στο άπειρο, ώστε η δέσµη να συµπεριλάβει και

παράλληλες ευθείες). Η έννοια του αναλλοίωτου διατρέχει όλο το έργο του στις κωνικές,

δηλαδή το BrP (1639). Αρχικά την βρίσκουµε στο πρώτο µέρος του έργου του όπου δεν

συζητά για κωνικές αλλά για σηµεία και δέσµες ευθειών. Την συναντάµε όµως και στο

δεύτερο µέρος όπου ο Desargues περιγράφοντας κωνικές από την άποψη των αµετάβλητων

ιδιοτήτων τους, καθιστά σαφές ότι η ιδιότητα της ύπαρξης µιας κωνικής τοµής είναι

αµετάβλητη καθ’ εαυτή υπό κάποια προβολή (Field, 1987). Οι κωνικές παραµένουν

κωνικές όπως οι δέσµες ευθειών παραµένουν δέσµες.

Εδώ πρέπει να πούµε ότι εάν πράγµατι ήταν αυτή η έννοια του αναλλοίωτου υπό

προοπτική προβολή που οδήγησε τον Desargues στη νέα του γεωµετρία, τότε

αναδεικνύεται και µια οµοιότητα στη δουλειά του και σ’ εκείνη του Filippo Brunelleschi

(1377-1446). O τελευταίος µελέτησε εκτεταµένα την προοπτική ακριβώς εξ’ αιτίας της

µεγάλης ανησυχίας που εκδήλωνε για τα αναλλοίωτα. Ήθελε να είναι σίγουρος ότι οι

αναλογίες που ενσωµάτωνε στην αρχιτεκτονική του δεν θα άλλαζαν όταν τελικά το κτίριο

θα ανεγείρετο.

Η δουλειά του Desargues πάνω στις κωνικές είναι προϊόν της «ανωτέρας»

παράδοσης των θεωρητικών µαθηµατικών που οι Έλληνες, όπως ο Ευκλείδης, ο

Απολλώνιος & ο Πάππος, διαµόρφωσαν. Το BrP κινείται σ’ αυτήν την κατεύθυνση και

µπορεί να θεωρηθεί κι ως φόρος τιµής στην καθοµολογουµένη προσπάθεια του

Commandino να αναβιώσει αυτήν την παράδοση µέσω της δηµοσίευσης των έργων του

Απολλωνίου και του Πάππου (Μπολώνια, ~1566). Όσον αφορά στα υπόλοιπα έργα του

Desargues, αυτά θεωρούνται ότι ανήκουν σε µια διαφορετική «κατωτέρα» παράδοση των

πρακτικών µαθηµατικών. Αυτό δεν προξενεί έκπληξη αφού ως αρχιτέκτονας και

µηχανικός κέρδιζε τα προς το ζην διδάσκοντας πρακτικά και εφαρµόσιµα µαθηµατικά.

Αυτά τα έργα, συµπεριλαµβανοµένης και της 12σέλιδης πραγµατείας του στην προοπτική

(1636), απλώς παραχωρούσαν οδηγίες στους αντίστοιχους τεχνίτες ή καλλιτέχνες και δεν

στόχευαν στην κατανόηση των µαθηµατικών θεωριών που υποκρύπτονταν.

Στο τέλος του BrP, ο Desargues κλείνει µε τρεις παραγράφους: Μία (κάπως

µεγαλύτερη σε έκταση, συγκριτικά µε τις επόµενες δύο που είναι περίπου πέντε γραµµές η

κάθε µία) για την προοπτική, µία για τα ηλιακά ρολόγια και µία για τη λάξευση των λίθων

για χρήση στην αρχιτεκτονική. Σε αυτές τις παραγράφους κάπως αναφέρει λακωνικότατα

ότι η θεωρητική δουλειά του έχει εφαρµογές σ’ αυτούς τους τρεις πρακτικούς τοµείς.

127

Μοιάζει σαν να θέλει να διαφηµίσει επόµενα έργα.52 Σε αυτά τα έργα γίνεται µια

µετάβαση σε κατασκευές τριών διαστάσεων. Το µεγαλύτερο µέρος της ελληνιστικής

µαθηµατικής παράδοσης είναι αφιερωµένο σε κατασκευές δύο διαστάσεων, µε κανόνα και

διαβήτη. Ο Ευκλείδης βέβαια στα βιβλία XI – XIII των Στοιχείων µελετά εκτεταµένα και

αναλύει τα τρισδιάστατα σχήµατα στα επιµέρους τους διδιάστατα, µέσω πολλών

θεωρηµάτων και µε τρόπο όµως που δεν µεταφέρεται εύκολα σε πρακτικές πραγµατείες.

Τα περισσότερα έργα στην προοπτική ήταν απλώς εγχειρίδια. Έτσι ο Desargues

καθοδηγούµενος και από την πρακτική παράδοση αλλά και από τη θεωρητική,

«δηµιούργησε» µία νέα και φυσική «αφετηρία» για κάποια σηµεία στη µαθηµατική του

φαντασία που δεν τα είχαν αναδείξει σαφώς οι Έλληνες. Η επαφή του Desargues µε την

µαθηµατική πρακτική παράδοση ίσως είναι η αιτία που η επινόηση της προβολικής

γεωµετρίας δεν συνέβη πριν από την τέταρτη δεκαετία του 17ου αιώνα. Αν και οι

γραµµικές προοπτικές κατασκευές άρχισαν µεθοδικά από τις αρχές του 15ου αιώνα, το

πλαίσιο στο οποίο αυτές διαµορφώθηκαν έγινε µαθηµατικά επαρκές στα µέσα του 16ου

αιώνα. Έτσι τράβηξαν το ενδιαφέρον των µαθηµατικών και ο Desargues πήγε λίγο

µακρύτερα. Είδε την προοπτική σαν µια πηγή νέων τεχνικών που µπορούσαν να

«προεκτείνουν» την τότε γεωµετρία. Περιέργως όµως στη συνέχεια, η προβολική

γεωµετρία δεν έδειξε να «θυµάται» και πολύ την προέλευσή της και το BrP απέτυχε να

βρεί µια αξιοπρεπή και µόνιµη θέση στο πάνθεον των έργων που συγκροτούν την

γεωµετρική παράδοση. Πράγµατι η προβολική γεωµετρία σε αυτό το σηµείο ξεχάστηκε και

θεωρείται ότι επινοήθηκε εκ νέου στις αρχές του 19ου αιώνα. Οι «εφευρέτες» αυτή τη φορά

είναι µηχανικοί του στρατού και µαθητές της περίφηµης Ecole Polytechnique, στο Παρίσι,

όπου ο Gaspard Monge (1746-1818) δίδασκε τη δική του Παραστατική γεωµετρία

(Descripitive Geometry) στην οποία έδινε τεχνικές απόδοσης τρισδιάστατων αντικειµένων

σε διδιάστατες εικόνες που είχαν πολλά κοινά µε την προοπτική. Σε αυτό το χρονικό κενό

των δύο περίπου αιώνων οι παράλληλες ευθείες δεν µπορούσαν σχεδόν καθόλου να

θεωρούνται «κατά Desargues» συγκλίνουσες.

Η «γέννηση» της προβολικής γεωµετρίας που προήλθε από την συνάντηση της

πρακτικής παράδοσης µε την θεωρητική, που ο κατάλληλος άνθρωπος επέτρεψε και

διεύρυνε δεν είναι µοναδική περίπτωση. Το ίδιο περίπου συνέβη και µε την άλγεβρα. Οι

ταπεινές απαρχές της εντοπίζονται σε κείµενα πρακτικής αριθµητικής και στη συνέχεια

52 Το 1640, δηλαδή ένα έτος µετά από το BrP, δηµοσίευσε µια πραγµατεία στα ηλιακά ρολόγια η οποία δεν είχε βρεθεί µέχρι το 1983 όπου ένα αντίτυπο αυτής ήρθε στο φως. Το ίδιο έκανε και µε µια άλλη που είχε ως αντικείµενο τη λάξευση λίθων. Αυτές οι δύο πραγµατείες όµως δεν είχαν θεωρητικό ενδιαφέρον αλλά µόνο πρακτικό.

128

γίνονται µέρος µιας θεωρητικής παράδοσης που πρωτοσυναντάται σε µελέτες του Cardano

(Ars Magna, Βασιλεία, 1545) και του Bombelli (Algebra, Μπολόνια, 1572). Η τελευταία

δουλειά τοποθετεί την άλγεβρα στο πλαίσιο της ευκλείδειας παράδοσης, υιοθετώντας την

παρουσίαση µέσω ορισµών και αξιωµάτων. Ο Bombelli (1526-1572) είναι κι εκείνος ένα

παράδειγµα µαθηµατικού που προσπαθούσε να κερδίσει τα προς το ζην, ως µηχανικός,

εντός της πρακτικής παράδοσης. Στο ίδιο στυλ κινούνται και οι µηχανικοί Simon Stevin

(1548-1620) & Albert Girard (1595-1632) οποίοι έκαναν αξιοσηµείωτες µελέτες στο πεδίο

της άλγεβρας. Η ανάπτυξη της τελευταίας και η αποµάκρυνσή της από τις πρακτικές

αριθµητικές πραγµατείες (απ’ όπου προήλθε) λαµβάνει χώρα (µε τη βοήθεια της

ανακάλυψης των Αριθµητικών του ∆ιόφαντου) µέσα από τη δουλειά του Tartaglia (1500-

1557) και γίνεται λίγο νωρίτερα από την ανάπτυξη της τρισδιάστατης γεωµετρίας την

οποία πραγµατοποίησε ο µαθητής του Benedetti µέσα από τις εργασίες του περίπου το

1570. Οι πραγµατείες του Benedetti προέκυψαν από τις ενασχολήσεις του µε την

ζωγραφική υπό προοπτική και µε τα ηλιακά ρολόγια. Στη συνέχεια αποµακρύνθηκε από

την πρακτική παράδοση και σχηµάτισε θεωρητικό πλαίσιο. Όµως µε τις νέες του

προσεγγίσεις στα γεωµετρικά προβλήµατα που αντιµετώπιζε, δεν οραµατίστηκε κάποια

περαιτέρω χρησιµότητα. Ο Desargues όµως, ασχολούµενος κι αυτός µε παρόµοια

προβλήµατα και χρησιµοποιώντας παρόµοιες προσεγγίσεις, βλέπει σε κάθε συµπέρασµα

µια ευρύτερη σηµασία και κάνει αυτό που δεν έκανε ο Benedetti, δηλαδή παράγει µια

ολοκληρωµένη θεωρία η οποία δεν είναι απλώς το άθροισµα των συµπερασµάτων του

αλλά είναι κάτι νέο και µεγαλύτερης σπουδαιότητας.53

Ακολουθεί αναλυτικά και σύµφωνα µε τον τρόπο γραφής και διήγησης του

Desargues, το πολυσυζητηµένο και µάλλον δυσνόητο Brouillon Project.

53 Την διαφορά Desargues – Benedetti την συναντάµε κι αλλού: Galileo – Benedetti στην πραγµατεία του δεύτερου για την ελεύθερη πτώση των σωµάτων (στην Μηχανική) καθώς επίσης και στο δίδυµο Kepler – Copernicus στην Αστρονοµία. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις οι νέες θεωρήσεις των Galileo & Kepler ήταν συνέπειες της µαθηµατικοποίησης των µέχρι τότε µελετών. Τα µαθηµατικά είχαν φθάσει δηλαδή σε ένα επίπεδο αρκετό ώστε να θεµελιώνουν και να διευρύνουν κάποια κατάλληλη ιδέα.

129

4.4 Brouillon Project (1639) Μέρος Α΄

[Το περιεχόµενο του έργου του Desargues, (1639), “Brouillon Project d’ une atteinte

aux evenements des rencontres du cone avec un plan” (“ Rough Draft of an Essay on the

results of taking plane sections of a cone”)]54

O Desargues αρχίζει µε την άποψή του για την ευθεία, λέγοντας ότι είναι µια

ακολουθία σηµείων που προεκτείνεται απεριόριστα προς τις δύο κατευθύνσεις και αµέσως

διατυπώνει την πρωτοποριακή ιδέα ότι οι ευθείες περιέχουν ένα σηµείο στο άπειρο το

οποίο µπορεί να αποκτήσει υπόσταση, ταξιδεύοντας κάποιος προς αυτό κατά µήκος της

ευθείας και προς κάθε κατεύθυνση. Αυτό του επιτρέπει να χειρίζεται ισότιµα οικογένειες

συντρεχουσών ευθειών (pencils of lines) και δέσµες παραλλήλων ευθειών που το σηµείο

τοµής (ή σύγκλισης) είναι ένα σηµείο στο άπειρο (point at infinity). Έτσι τις δέσµες αυτές

µπορούµε να τις αποκαλούµε επίσης pencils of parallel lines.

Τις δύο αυτές λοιπόν κατηγορίες αφού δεν τις διαφοροποιεί, τις περιγράφει µε ένα

όνοµα : ∆ιάταξη ευθειών (Ordinance of straight lines, Ordonnance de lignes droites). 55

Την τοποθεσία στην οποία τέµνονται ή συγκλίνουν την ονοµάζει σηµείο τοµής -

σύγκλισης της ∆ιάταξης (Butt of an ordinance of straight lines, But d’une ordonnance de

droictes). Έτσι οποιεσδήποτε δύο ευθείες του επιπέδου θα ανήκουν σε µία διάταξη της

οποίας το σηµείο τοµής θα είναι είτε σε πεπερασµένη απόσταση είτε σε άπειρη.

Τα παραπάνω τα γενικεύει και στα επίπεδα. Το επίπεδο προεκτείνεται απεριόριστα

προς όλες τις κατευθύνσεις µέσω πλήθους σηµείων που είναι σκορπισµένα σ’ αυτό. Κατ’

αναλογία ορίζει τη ∆ιάταξη επιπέδων (Ordinance of planes, Ordonnance de plans) και η

τοποθεσία στην οποία τέµνονται ή συγκλίνουν λέγεται Άξονας της ∆ιάταξης (Axle of an

ordinance of planes, But or Essieu d’ une ordonnance de plans). Έτσι οποιαδήποτε δύο

επίπεδα θα ανήκουν σε µια διάταξη της οποίας ο άξονας θα είναι είτε σε πεπερασµένη

απόσταση είτε σε άπειρη.

54 Ό,τι ακολουθεί είναι βασισµένο στις 2 εκδόσεις του έργου του : στην γαλλική πρωτότυπη από τον Τaton (1951) και στην αγγλική µετάφραση των Field & Gray (1987). Επεξηγήσεις, σχόλια, σχήµατα και µετάφραση της ορολογίας στα ελληνικά, έχουν προστεθεί από τον γράφοντα. 55 Επειδή το πρωτότυπο κείµενο είναι γραµµένο στη µητρική γλώσσα του Desargues, παρουσιάζουµε τους ορισµούς του σε δύο γλώσσες, γαλλικά & αγγλικά, για πληρέστερη εικόνα και για βέλτιστη προσέγγιση της σκέψης του.

130

Στη συνέχεια ξεδιπλώνει πληθώρα όρων βοτανολογικής (!) προέλευσης που

φαίνεται ότι δυσχεραίνουν την ανάγνωση του κειµένου. Χρησιµοποιεί όρους όπως κορµός,

κλάδοι, κλαρί και κύριο κλαδί για την έννοια της ευθείας ή του ευθ. τµήµατος και τους

όρους κόµβος και µάτι (κλαδιού) για την έννοια του σηµείου. Συγκεκριµένα:

Κορµός (Trunk, Tronc) είναι µια ευθεία η οποία περιέχει σηµεία από τα οποία

περνούν άλλες ευθείες.

Κόµβοι (Knots, Nœuds) είναι τα σηµεία του κορµού από τα οποία περνούν οι

ευθείες αυτές.

Κλάδος (Branch, Rameau) είναι οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από έναν κόµβο,

στον κορµό.

Κλάδος εκ κορµού (Branch springing from the trunk, Rameau desployé au tronc)

είναι εκείνος που τέµνει τον κορµό και «αποκλίνει» απ’ αυτόν.

Κλάδος πάνω στον κορµό (Branch folded to the trunk, Rameau plié au tronc) είναι

τµήµα του κορµού µεταξύ δύο κόµβων.

Κλαρί (Shoot of a branch, Brin de Rameau) είναι τµήµα κλάδου ανάµεσα σε

κόµβους κλάδων.

Κορώνα (Crown, Rameure) είναι δέσµη παραλλήλων κλάδων.

Σχήµα 4.4.1 To λεξιλόγιο του Desargues

Κλάδος στον κορµό

Παράλληλοι κλάδοι

Κορµός

Κόµβος

Κλάδος εκ κορµού

Κλαρί

131

∆εσµευµένο κοινό σηµείο (Engaged, Engagé) εκ τριών συνευθειακών σηµείων είναι εκείνο

που βρίσκεται ανάµεσα στα άλλα δύο. Σε αντίθετη περίπτωση καλείται Αποδεσµευµένο

κοινό σηµείο (Disengaged, Desgagé). ∆ηλαδή σε δύο ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ & ΑΓ του

ίδιου φορέα ισχύει:

Σχήµα 4.4.2

∆ύο σηµεία αναµεµειγµένα µε άλλα δύο (Points mixed, Points meslez) είναι εκείνα

όπου το ένα του κάθε ζεύγους είναι ανάµεσα στα δύο του άλλου ζεύγους ενώ το άλλο έξω

απ’ αυτά.

∆ύο σηµεία µη αναµεµειγµένα µε άλλα δύο (Points unmixed, Points démeslez) είναι

εκείνα τα οποία βρίσκονται είτε ανάµεσα στα άλλα δύο του δευτέρου ζεύγους είτε έξω απ’

αυτά.

Σχήµα 4.4.3

Β Α Γ

Α ∆εσµευµένο

Β Γ Α

Α Αποδεσµευµένο

F C D G

C,G αναµεµειγµένα µε F,D

F D C G

C,G µη αναµεµειγµένα µε F,D

F D C G

C,G µη αναµεµειγµένα µε F,D

132

Όταν σ’ ένα επίπεδο 4 σηµεία δεν είναι συνευθειακά, οποιοδήποτε απ’ αυτά είναι

ένα ∆εικτικό σηµείο (Marker post, Borne) σε σχέση µε τα άλλα.

Κάθε ευθεία που διέρχεται από 2 εκ 4 τέτοιων σηµείων καλείται ∆εικτική ευθεία

(Marker line, Bornale droite) σε σχέση µε τα σηµεία αυτά.

∆ύο τέτοιες ευθείες που ενώνουν ανά δύο τα 4 σηµεία σχηµατίζουν ζεύγος το οποίο

καλείται Ζεύγος ∆εικτικών ευθειών (Pair of marker lines, Couple de bornales droites).

Κάθε δεικτική ευθεία µπορεί να χαρακτηριστεί κορµός.

Σχήµα 4.4.4

Στη συνέχεια ο Desargues αναφέρει ότι θα χρησιµοποιήσει τις προτάσεις 5 & 6

καθώς επίσης και τις 9 & 10 του βιβλίου ΙΙ των Στοιχείων του Ευκλείδη, µαζί µε τα

αντίστροφά τους.

∆εικτικές Ευθείες

133

Σχήµα 4.4.5 Πρόταση ΙΙ.5

∆ηλαδή, αν C µέσο του ΑΒ τότε : AD·DB + CD2 = CB2.

Σχήµα 4.4.6 Πρόταση ΙΙ.6

∆ηλαδή, αν C µέσο του ΑΒ τότε : AD·DB + CB2 = CD2.

Σχήµα 4.4.7 Πρόταση ΙΙ.9

∆ηλαδή, αν C µέσο του ΑΒ τότε : AD2 + DB2 = 2(AC2 + CD2).

134

Σχήµα 4.4.8. Πρόταση ΙΙ.10

∆ηλαδή, αν C µέσο του ΑΒ τότε : AD2 + DB2 = 2(AC2 + CD2).

Θα χρησιµοποιήσει δε και τις προτάσεις ΙΙΙ.35 (τεµνόµενες χορδές) & ΙΙΙ.36 (εφαπτόµενη

κύκλου) που αναφέραµε στην αρχή της εργασίας.

Έπειτα φθάνει στον πρώτο χρήσιµο όρο, το ∆έντρο.

Τρία ζεύγη σηµείων, ή και περισσότερα, Β,Η, C,G & D,F πάνω σε µια ευθεία -

κορµό σχηµατίζουν ένα ∆έντρο (Tree, Arbre) όταν υπάρχει ένα σηµείο Α τέτοιο ώστε

ΑΒ·ΑΗ = AC·AG = AD·AF = … (Τα γινόµενα τα αναφέρει βέβαια ως ορθογώνια). Το

σηµείο Α καλείται Μάτι κλαδιού (Stump, Souche), ενώ τα άλλα 6 σηµεία είναι οι κόµβοι.

Υπάρχουν έτσι διάφορες περιπτώσεις :

Σχήµα 4.4.9 Τα «∆έντρα» του Desargues

Κύριο Κλαδί (Limb, Branche) καλείται καθένα από τα 6 τµήµατα ΑΒ, ΑΗ, AC, AG,

AD & AF.

∆έντρα µε δεσµευµένα το Α

∆έντρο µε αποδεσµευµένο το Α

135

Μέσα Κύρια Κλαδιά (Mean limbs, Branches moyennes) είναι τα δύο, που

σχηµατίζουν το καθένα από τα ίσα γινόµενα, εφ’ όσον είναι ίσα µεταξύ τους π.χ. ΑΒ =

ΑΗ. Αλλιώς, αν δηλαδή δεν είναι ίσα, λέγονται Ακραία Κύρια Κλαδιά (Extreme limbs,

Branches extremes). Οι 6 κόµβοι διακρίνονται µε τη σειρά τους σε Μέσους (αν ανήκουν

στα Μέσα κύρια κλαδιά) και Άκρους (αν ανήκουν στα Ακραία κύρια κλαδιά).

Ζεύγος Κύριων Κλαδιών (Paired limbs, Branches couplez entre eux) αποτελούν δύο

κύρια κλαδιά π.χ. ΑΒ, ΑΗ, τα οποία όµως ανήκουν στο ίδιο γινόµενο εκ των τριών ίσων

που αναφέρθηκαν λίγο πιο πάνω στον ορισµό του ∆έντρου.

∆ύο κόµβοι όπως οι G, C στον κορµό του δέντρου που είναι άκρα δύο κύριων

κλαδιών - του ίδιου γινοµένου - ΑG, AC σχηµατίζουν Ζεύγος κόµβων (Knots paired,

Nœuds couplez entre eux).

Κάθε τµήµα δέντρου, όπως το GF, που περιέχεται ανάµεσα σε δύο κόµβους

καλείται Κλαρί Κλάδου πάνω στο Κορµό (Shoot of a branch folded to its trunk, Brin de

Rameau plié au tronc). Κάθε κλαρί µπορεί δηλαδή να προκύψει είτε από άθροισµα ή

διαφορά δύο κύριων κλαδιών.

Κάθε τέτοιο κλαρί κλάδου πάνω στον κορµό, όπως το GF, έχει και ένα Ταίρι

(Paired shoot, Brin couplez), π.χ. το GD. Αυτό ερµηνεύεται ως εξής: Τα GD, GF

«πηγάζουν» από το κόµβο G του κύριου κλαδιού AG και τα πέρατά τους D & F συνιστούν

ζεύγος κόµβων (µε την έννοια που αναφέρθηκε λίγο πριν).

Βλέπουµε ότι ο Desargues επιµένει σε δυσδιάκριτη ορολογία διακρίνοντας

διάφορες περιπτώσεις αποµακρύνοντας έτσι όσους, κυρίως σύγχρονούς του, προσπάθησαν

να µελετήσουν το έργο του.

Ακολουθεί, µάλλον απότοµα, το πρώτο του ενδιαφέρον αποτέλεσµα το οποίο θα

πηγάζει βέβαια από την µόνη, έως τώρα, ισότητα των υποθέσεών του :

ΑΒ·ΑΗ = AC·AG = AD·AF (1)

Λήµµα 1: Ο λόγος ενός κύριου κλαδιού, π.χ. του ΑG, προς το «ταίρι» του AC (οι

παράγοντες κάποιου γινοµένου εκ των τριών σχηµατίζουν, όπως είπαµε, Ζεύγος κυρίων

κλαδιών) ισούται µε το λόγο του γινοµένου των δύο κλαριών που επισυνάπτονται στο AG

(δηλ. έχουν άκρο το G και ), των GD, GF, προς το αντίστοιχο γινόµενο των δύο κλαριών

που επισυνάπτονται στο AC, δηλαδή των CD, CF. Ακολουθώντας τα λεγόµενα του

Desargues διατυπώνουµε : Σε ένα δέντρο B, H, C, G, D, F µε «µάτι» ένα σηµείο Α ισχύει :

136

( )AG GD GF GB GH

ήAC CD CF CB CH

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅.56 Παρόµοιες ισότητες προκύπτουν και για τους

λόγους AB/AH & AD/AF.

Απόδειξη : Από την ισότητα (1), δηλ. από τον ορισµό του δέντρου, έχουµε :

AG AD AG AD GD

AF AC AF AC CF= ⇒ = = (προσθέτοντας ή αφαιρώντας), και οµοίως

AF AG GF

AC AD CD= = . Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη προκύπτει το ζητούµενο.

Εδώ ο Desargues δίνει τον ορισµό της Ενέλιξης57 (Involution, Involution). Είναι

µια διάταξη τριών ζευγών58 «οµολόγων» σηµείων Β,Η, C,G & D,F σε µια ευθεία (όπου

δύο από κάθε ζεύγος είναι αναµεµειγµένα ή όχι µε τα δύο σηµεία καθενός από τα άλλα δύο

ζεύγη) έτσι ώστε : GD GF GB GH

CD CF CB CH

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ (2).

Τα κλαριά, π.χ. GD, GF, που το ένα άκρο τους είναι κόµβος (το G) κύριου

κλαδιού, του AG και τα άλλα άκρα D & F είναι κόµβοι κύριων κλαδιών του ίδιου

γινοµένου της ισότητας (1), δηλαδή των AD & AF, σχηµατίζουν Ζεύγος Κλαριών (Shoots

of branches paired with one another, Brins de Rameaux accouplez entre eux).

Τα ζεύγη κλαριών GD, GF & CD, CF που προκύπτουν από τους κόµβους C, G των

κύριων κλαδιών AC, AG (του ίδιου γινοµένου της (1)) λέγονται Συγγενικά Ζεύγη Κλαριών

και κατά συνέπεια τα γινόµενα GD·GF & CD·CF καλούνται Συγγενικά Ορθογώνια

(Rectangles related to one another, Rectangles relatifs entre eux).

Τα ζεύγη κλαριών GD, GF & GB, GH που το ένα άκρο τους είναι κόµβος (το G)

κύριου κλαδιού, του AG και τα άλλα 4 άκρα είναι ανά δύο οι κόµβοι των κύριων κλαδιών

ΑD, AF (του ίδιου γινοµένου της (1)) και των ΑΒ, ΑΗ (του ίδιου γινοµένου της (1))

λέγονται ∆ίδυµα Ζεύγη Κλαριών και τα αντίστοιχα γινόµενα GD·GF & GB·GH καλούνται

∆ίδυµα Ορθογώνια (Τwin rectangles, Rectangles gemeaux entre eux).

56 Ο Desargues δίνει και τις ισότητες που προκύπτουν από κυκλική µετάθεση των γραµµάτων οι οποίες είναι ισοδύναµες µε τους αναρµονικούς ή διπλούς λόγους : (GCBD)=(GCFH). 57 Η λέξη Involution είναι ο µοναδικός όρος από το λεξιλόγιο του Desargues που «επιβιώνει» σήµερα. H διαχρονικότητά του και η ελληνική του «έκδοση», η Ενέλιξη, ίσως δηλώνουν ένα εσωτερικό «περιτύλιγµα» που παρέχει η διάταξη των 6 ή και περισσοτέρων σηµείων η οποία αποτελεί στην σκέψη του Desargues έναν νοηµατικό «πυρήνα» για τη θεωρία του, η οποία µε τη σειρά της θα πυροδοτήσει την ανάπτυξη της Προβολικής γεωµετρίας. 58 Ο Taton (1951) γράφει ότι ο Desargues βλέποντας τα 6 σηµεία ως 3 ζεύγη µε κάποιου είδους διάταξη, αφήνει να βγει στο φως και η αλγεβρική του σκέψη.

137

Με την ορολογία αυτή ο Desargues διατυπώνει τον ορισµό της Ενέλιξης στη δική

του γλώσσα και όχι βέβαια µε την αναλογία (2) :

Όταν σε µια ευθεία ΑΗ υπάρχουν 3 ζεύγη «οµολόγων» σηµείων Β,Η, C,G & D,F

(όπου δύο από κάθε ζεύγος είναι αναµεµειγµένα ή όχι µε τα δύο σηµεία καθενός από τα

άλλα δύο ζεύγη) και δύο Συγγενικά Ορθογώνια, π.χ. GD·GF, CD·CF έχουν λόγο ίσο µε το

λόγο των αντιστοίχων ∆ιδύµων Ορθογωνίων τους, δηλαδή των GB·GH & CB·CH, τότε η

διάταξη αυτή των 3 ζευγών σηµείων στην ευθεία καλείται Ενέλιξη.

Όπως παρατηρούµε η περίεργη ορολογία αρχίζει και δίνει καρπούς. Κάποιος

µπορεί να παράγει, ακολουθώντας την, ευκολότερα την αναλογία της Ενέλιξης από το αν

προσπαθήσει να την αποµνηµονεύσει.

Είναι σηµαντικό ότι η ιδιότητα της Ενέλιξης είναι ανεξάρτητη της θέσεως του

κεντρικού σηµείου Α και της διάταξης των 3 ζευγών των 6 σηµείων. Επίσης από το Λήµµα

1 συµπεραίνει ότι η θέση του σηµείου Α µπορεί να προσδιοριστεί από τον ορισµό της

Ενέλιξης, γνωρίζοντας δηλαδή τις θέσεις των κόµβων G, C, D, F σε ένα δέντρο ΑΗ.

Αν τώρα σε ένα δέντρο του οποίου το µάτι Α είναι δεσµευµένο ανάµεσα σε δύο

κόµβους οποιουδήποτε ζεύγους κύριων κλαδιών, (θυµίζουµε ότι εννοεί ζεύγος τµηµάτων

γινοµένου της ισότητας (1)) και υπάρχει ζεύγος µέσων κύριων κλαδιών, π.χ. AD, AF, τότε

οι δύο µέσοι κόµβοι D, F είναι «χωρισµένοι» ο ένας µε τον άλλον και ο καθένας τους είναι

«αποµονωµένος». Σε αυτήν την περίπτωση ο κάθε ένας κόµβος από αυτούς λέγεται Απλός

Μέσος Κόµβος (Simple mean knot, Nœud moyen simple).

Σχήµα 4.4.10

∆ηλαδή: AD=AF τα µέσα κύρια κλαδιά & D, F είναι οι Απλοί Μέσοι Κόµβοι.

Αν όµως στο δέντρο το µάτι Α είναι αποδεσµευµένο από δύο κόµβους

οποιουδήποτε ζεύγους κύριων κλαδιών τότε δύο µέσοι κόµβοι ενός ζεύγους µέσων κύριων

κλαδιών ταυτίζονται και έτσι το σηµείο αυτό καλείται ∆ιπλός Μέσος Κόµβος (Double

mean knot, Nœud moyen double).

Σχήµα 4.4.11

138

Βλέπουµε δηλαδή στο σχήµα ένα ζεύγος µέσων κύριων κλαδιών (AD=AF) και ο

διπλός µέσος κόµβος είναι ο DF. (Οι κόµβοι ίδιου χρώµατος ανήκουν στο ίδιο γινόµενο

της θεµελιώδους ισότητας (1), π.χ. οι C, G ανήκουν στο «ορθογώνιο» AC·AG).

Τα άνισα κύρια κλαδιά π.χ. ΑΒ & ΑΗ λέγονται, όπως αναφέραµε λίγο πριν,

Ακραία κύρια κλαδιά και οι κόµβοι τους Β & Η Ακραίοι κόµβοι. Από αυτούς, ο κόµβος Β

που είναι πλησιέστερα στο µάτι Α, (και που θα είναι ανάµεσα σε απλούς ή διπλούς µέσους

κόµβους) καλείται Εσωτερικός Ακραίος Κόµβος (Inner extreme knot, Nœud extréme

interieur) ενώ ο Η Εξωτερικός Ακραίος Κόµβος (Outer extreme knot, Nœud extréme

extérieur).

Λόγω της θεµελιώδους ισότητας (1) αν ο εσωτερικός ακραίος κόµβος Β είναι σε

κάποια απόσταση από το µάτι Α, τότε το ταίρι του, δηλαδή ο εξωτερικός ακραίος κόµβος

Η θα βρίσκεται µακρύτερα (ΑΗ>ΑΒ). Έτσι αν ο Β είναι ένας διακριτός κόµβος και

διαφορετικός από το µάτι Α, τότε ο Η θα βρίσκεται σε κάποια πεπερασµένη απόσταση από

το Α, πάντα βέβαια πάνω στον κορµό του δέντρου. Αλλά αν ο Β ταυτίζεται µε το µάτι Α,

τότε ο εξωτερικός κόµβος Η βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από το µάτι. Οπότε σε ένα

δέντρο, το µάτι και ο κορµός (από το µάτι προς το άπειρο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση),

σχηµατίζουν ένα ζεύγος ακραίων κύριων κλαδιών εκ των οποίων το µικρότερο

συρρικνώνεται στο µάτι, δηλαδή το ΑΑ, και το µεγαλύτερο εκτείνεται στο άπειρο (Α∞).

Εποµένως το µάτι Α, το σηµείο στο ∞ και άλλα ζεύγη κύριων κλαδιών µπορούν να

σχηµατίσουν διάταξη Ενέλιξης. Σ’ αυτήν την περίπτωση, το σχήµα θα µπορούσε να ήταν

το ακόλουθο:

Σχήµα 4.4.12 Ενελικτική εξάδα µε ένα σηµείο στο ∞

Τα δέντρα αυτού του τύπου συχνά εµφανίζονται σε σχήµατα που προκύπτουν από

ειδικές επίπεδες τοµές κώνου.

Βλέπουµε ότι τον Desargues τον απασχολούν διάφορες περιπτώσεις ενελικτικών

εξάδων. Ο σκοπός του είναι να καταλήξει στην επόµενη σηµαντική έννοια, της

ενελικτικής τετράδας. Αυτό το κατορθώνει, αν από τα 3 ζεύγη σηµείων της εξάδας Β,H,

C,G, D,F, τα 2 ζεύγη των 4 σηµείων γίνουν 1 ζεύγος των 2 σηµείων. Εστιάζει λοιπόν σε

G C D F B≡A

H→∞

139

δύο περιπτώσεις τις οποίες αναφέρουµε, τονίζοντας ότι την δεύτερη περίπτωση την

ονοµάζει ενελικτική τετράδα και όχι τη πρώτη :

Α)

Σχήµα 4.4.13 Τετράδα «∆έντρου» µη ενελικτική

Το µάτι Α είναι δεσµευµένο ανάµεσα στα δύο κύρια κλαδιά AC, AG του ζεύγους AC·AG

και υπάρχουν δύο ζεύγη µέσων κύριων κλαδιών (AC=AG & AF=AD, δηλαδή C≡F &

D≡G, προκύπτει δε από την θεµελιώδη ισότητα (1) ότι το Α είναι µέσο του CG). Οι

κόµβοι C,G είναι απλοί µέσοι κόµβοι, όπως και οι D,F. Ενώ οι κόµβοι Β,Η είναι ακραίοι

κόµβοι (αφού ΑΒ≠ΑΗ). Από το λήµµα 1 έχουµε AG GD GF GB GH

AC CD CF CB CH

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅, οπότε

GD·GF=CD·CF & GB·GH=CB·CH. O Desargues ανακαλύπτει όµως και αναφέρει εδώ ότι

η τελευταία ισότητα γίνεται δυσερµήνευτη (“Ce qui est incomprehensible…”) όταν το Η

είναι στο ∞ (και άρα B A≡ , δηλ. GΒ=CB) γιατί προκύπτει CH=GH! Παρ’ όλα αυτά τη

βρίσκει χρήσιµη σε αρκετές γεωµετρικές κατασκευές.

Έτσι είδαµε ότι τα 3 ζεύγη σηµείων Β,H, C,G, D,F, µειώθηκαν σε δύο ζεύγη, στον

κορµό των οποίων το ένα ζεύγος Β,Η αποτελείται από δύο ακραίους κόµβους Β & Η

(εσωτερικό & εξωτερικό) και το άλλο ζεύγος C,D αποτελείται από δύο απλούς µέσους

κόµβους οι οποίοι προήλθαν από συρρίκνωση τεσσάρων απλών µέσων κόµβων. Επιπλέον

η ισότητα GB·GH=CB·CH δίνει την αναλογία HF BG

HG BF= . Επαναλαµβάνουµε ότι αυτήν

την περίπτωση δεν την θεωρεί ενελικτική τετράδα.59

Β) Ενελικτική τετράδα λοιπόν ονοµάζει την ακόλουθη διάταξη :

59 Αυτό το είδος «δέντρου» που περιγράφει ο Desargues αποκαλείται κατά τη νεότερη ορολογία

Ελλειπτική Ενέλιξη. Οι δύο κόµβοι ζεύγους κύριων κλαδιών («συζυγείς» κόµβοι), όπως οι D & F, αν ταυτίζονται τότε συγκροτούν την εστία (focus) ή ένα διπλό σηµείο (double point) της ενέλιξης. Εδώ δεν υπάρχει καµιά τέτοια εστία, γι’ αυτό η ενέλιξη καλείται ελλειπτική. Επίσης ισχύει ΑΒ·ΑΗ = AC·AG = AD·AF = - κ2 , γιατί τα AD, AF αν τα θεωρήσουµε προσανατολισµένα έχουν αντίθετη φορά. Έτσι δικαιολογείται και αλγεβρικά γιατί δεν υπάρχουν εστίες. Οι συζυγείς κόµβοι Β, Η δεν θα βρίσκονται τότε προς το ίδιο µέρος του κέντρου Α και τα ευθύγραµµα τµήµατα µε άκρα ζεύγη συζυγών κόµβων, όπως ΒΗ, CG, κλπ, καλύπτουν το ένα κάποιο µέρος του άλλου. Θα ακολουθήσουν και άλλα δύο είδη ενέλιξης (παραβολική και υπερβολική) και όλα αυτά θα συνδεθούν αργότερα µε τις κωνικές τοµές.

140

Σχήµα 4.4.14 Τετράδα «∆έντρου» ενελικτική

Εδώ το µάτι Α είναι αποδεσµευµένο από τα δύο µέσα κύρια κλαδιά AC, AG του ζεύγους

AC·AG όπως και από τα AD, AF του ζεύγους AD·AF. ∆ηλαδή :

AD, AF : Μέσα κύρια κλαδιά, AC, AG : Μέσα κύρια κλαδιά,

ΑΒ, ΑΗ : Ακραία κύρια κλαδιά, (ΑΑ, Α∞ : Ακραία κύρια κλαδιά),

CG, DF : ∆ιπλοί µέσοι κόµβοι, Β, Η : Ακραίοι κόµβοι

και ένας από τους δύο ακραίους κόµβους κείται ανάµεσα στους δύο διπλούς µέσους

κόµβους ή ένας από τους δύο διπλούς µέσους κόµβους κείται ανάµεσα στους δύο ακραίους

κόµβους. Οι δύο διπλοί µέσοι κόµβοι όπως και οι δύο ακραίοι κόµβοι λέγονται

Αντίστοιχοι Κόµβοι (Knots that correspond to one another, Nœuds correspondans entre

eux). Γι’ αυτό είναι σωστό σε µια ενελικτική τετράδα να δηλώνουµε ποια σηµεία

σχηµατίζουν τα δύο ζεύγη.

Εδώ λοιπόν ισχύει C≡G & D≡F, δηλαδή ταυτίζει τους κόµβους που ανήκουν στο

ίδιο ζεύγος µέσων κύριων κλαδιών. Έτσι έχουµε τα 2 ζεύγη των 4 σηµείων Β,Η, CG,DF.

Τότε και πάλι το Α θα είναι µέσο του FG αφού από την θεµελιώδη ιδιότητα (1) του

∆έντρου προκύπτει AB·AH=AG2=AF2, οπότε AG=AF. Από το λήµµα 1 προκύπτει ο τύπος

BC BG BD BF

HC HG HD HF

ΑΒ ⋅ ⋅= =

ΑΗ ⋅ ⋅ για την εξάδα και αφού υποθέτει ότι οι κόµβοι D & F

ταυτίζονται όπως επίσης και οι C & G, έχουµε :

2 2

2 2

BG BF

HG HF

ΑΒ= =

ΑΗ ή

BG BF

HG HF= ή 1

BF HG

BG HF

⋅=

⋅. Αυτή είναι η περίπτωση της

Ενελικτικής τετράδας60 των σηµείων B, H, G, F η οποία περιγράφεται και διαφορετικά:

Τα σηµεία Β και Η διαιρούν το τµήµα FG εσωτερικά και εξωτερικά στον ίδιο λόγο. Είναι η

Αρµονική διαίρεση 4 σηµείων (∆ιπλός Λόγος), (ΒΗGF) = 1BG BF

GH FH= , την οποία είχαν

60 Αυτή είναι η Υπερβολική Ενέλιξη. Υπάρχουν δύο εστίες (foci) ή δύο διπλά σηµεία (double points), τα DF & CG. Εδώ έχουµε ΑΒ·ΑΗ = AC·AG = AD·AF = κ2, οπότε υπολογίζονται οι αποστάσεις των εστιών από το κέντρο Α της ενέλιξης. Οι συζυγείς κόµβοι Β, Η βρίσκονται προς το ίδιο µέρος του κέντρου Α και θα υπάρχουν κι άλλα τέτοια ζεύγη σηµείων, π.χ. Μ, Ν, που θα είναι συζυγή αρµονικά των εστιών (οπότε οι εστίες θεωρούνται σταθερά σηµεία). Τα ευθύγραµµα τµήµατα µε άκρα ζεύγη συζυγών κόµβων, όπως ΒΗ, ΜΝ, κλπ, θα είναι το ένα ολόκληρο µέσα στο άλλο και όχι κατά ένα µέρος όπως στην ελλειπτική ενέλιξη. Αποµένει η Παραβολική Ενέλιξη την οποία ο Desargues δεν τη βλέπει εδώ γιατί είναι εκφυλισµένη περίπτωση αλλά διαπιστώνει την ύπαρξή της αργότερα, στις κωνικές τοµές.

141

αναφέρει ο Απολλώνιος και ο Πάππος. Είναι προφανές ότι αν B, H, G, F είναι σε ενέλιξη

τότε επίσης είναι και τα G, F, B, H.

Επίσης ισχύουν και άλλες αναλογίες που συνδέουν και το µάτι Α :

Αφού AB·AH=AG2 τότε AH AG

AG AB= . Επειδή όµως

2

2

BG

HG

ΑΒ=

ΑΗ έχουµε :

2

2

AB AG BG

AG AH HG⋅ = , οπότε

AH AG HG

AG AB BG= = .

Και σ’ αυτήν την περίπτωση όπως και στη προηγούµενη, αν Β≡Α τότε Η=∞ και

επειδή BG BF

HG HF= άρα GH = FH!

Προκύπτει τέλος ότι αν δοθούν 3 σηµεία της τετράδας, προσδιορίζεται µοναδικά η

θέση του τέταρτου αρµονικού σηµείου.

Έτσι το σηµαντικό, για τον Desargues, συµπέρασµα είναι ότι η έννοια της

Ενελικτικής τετράδας περιλαµβάνει δύο είδη του ίδιου γένους, δηλαδή δύο εκδοχές : τη

µία µε τα 4 συνευθειακά σηµεία όπου το καθένα βρίσκεται σε πεπερασµένη απόσταση από

τ’ άλλα και την άλλη όπου το τέταρτο σηµείο βρίσκεται στο ∞ ενώ κάποιο από τα άλλα

τρία διχοτοµεί την απόσταση των άλλων δύο και ταυτίζεται µε το µάτι του δέντρου.

Το τελευταίο σχήµα, δηλαδή της ενελικτικής τετράδας Β,Η F,G µπορούµε να το

δούµε και µε έναν αντίστροφο τρόπο :

Σχήµα 4.4.15

Να θεωρήσουµε τους κόµβους Β, Η ως διπλούς µέσους κόµβους και τους F, G ως

ακραίους κόµβους. Τότε όµως το µάτι του δέντρου δεν θα είναι το µέσο Α του FG αλλά το

µέσο L του ΒΗ. Τότε τα µάτια Α, L λέγονται Αµοιβαία Μάτια (Stumps reciprocal to one

another, Souches reciproques entre elles).

Στη συνέχεια ο Desargues καταλήγει σε διάφορες ισότητες συσχετίζοντας τα 4

σηµεία της ενέλιξης µε το µάτι Α, δηλαδή το µέσο του FG.

Λήµµα 2 : Στην ενελικτική τετράδα [Β,Η, F,G] µε µάτι Α ισχύει

BF BG BABH⋅ = ⋅ .

142

Απόδειξη :

Σχήµα 4.4.16

Είδαµε ότι η θεµελιώδης ισότητα (1) της ενελικτικής εξάδας γίνεται εδώ

ΑΒ·ΑΗ=ΑG2=AF2 ⇔ AB (AB + BH) = ΑG2 ⇔ AB·BH = ΑG2 – AB2 ⇔

AB·BH = (AG – AB) (AG + AB) ⇔ AB·BH = BG (AF + AB) ⇔ BA·BH = BG·BF.

Η ισότητα BF BG BH BA⋅ = ⋅ µας οδηγεί τώρα και σε ένα άλλο συµπέρασµα. Ο

κόµβος Β µπορεί να θεωρηθεί µάτι και το µάτι Α να θεωρηθεί κόµβος. ∆ηλαδή ο κόµβος Β

γίνεται µάτι για τα δύο ζεύγη κόµβων G,F & A,H και από το λήµµα 1 προκύπτει ότι

BF FA FH FH

BG GA GH GH

⋅ = = ⋅ . Με παρόµοιο σκεπτικό µπορεί και ο κόµβος Η να θεωρηθεί ως

µάτι για τα δύο ζεύγη κόµβων G,F & Β,Α.

Λήµµα 3 : Αν Β, Η & G, F είναι 4 σηµεία (ή ακριβέστερα 2 ζεύγη) σε ενέλιξη και

Α το µέσο του FG, τότε ΑG·HF = AΗ·BF.

Απόδειξη :

Σχήµα 4.4.17

Λόγω της ενέλιξης ισχύει BF HF

BG HG= , που σηµαίνει ότι αφού HF>HG τότε BF>BG.

Έχουµε και την ισότητα του δέντρου AB·AH=AG2=AF2. Ισοδύναµα συνεχίζουµε :

ΑΗ·(FB – FA) = AG2 ⇔ AH·FB – AH·AF = AG2 ⇔ AH·BF = AG2 + AH·AF ⇔

AH·BF = AG (AG +AH) ⇔ AH·BF = AG (AF + AH) ⇔ ΑG·HF = AΗ·BF.

143

O Desargues τελειώνει εδώ τη συζήτηση πάνω στην έννοια της Ενέλιξης

αναλύοντας, όπως είδαµε, διάφορους σχηµατισµούς σηµείων πάνω στην δική του ευθεία ή

όπως θα λέγαµε σήµερα, τελειώνει την γεωµετρία της προβολικής ευθείας. Στη συνέχεια

περνά στο προβολικό επίπεδο αποδεικνύοντας αρχικά το θεώρηµα του Μενελάου

διατυπωµένο φυσικά µε το δικό του τρόπο.

Θεώρηµα 1 (Μενελάου) :

Σχήµα 4.4.18

Όταν σε µια ευθεία – κορµό Η, D, G, διέρχονται από τους κόµβους Η, D, G, τρεις

ευθείες – κλάδοι εκ κορµού, ΗΚh, D4h & G4K, τότε ο λόγος οποιουδήποτε κλαριού Dh

οποιουδήποτε κλάδου D4h, προς το ταίρι του D4 (που ξεκινά από τον ίδιο κόµβο D)

ισούται µε το σύνθετο λόγο των λόγων των κλαριών των άλλων δύο κλάδων, σε

κατάλληλη διάταξη όµως. Με άλλα λόγια :

Αν ΗΚh, D4h & G4K είναι τέµνουσες ευθείες της HDG τότε 4 4

Dh Hh GK

D HK G

⋅=

⋅.

Απόδειξη :

Σχεδιάζοντας την KF//HDG έχουµε : 4 4

Dh Dh DF

D DF D= ⋅ .

Αλλά Dh Hh

DF HK= και

4 4

DF GK

D G= . Έτσι προκύπτει το ζητούµενο.

(Η απόδειξη είναι ίδια µε εκείνη του Πτολεµαίου στο έργο του Αλµαγέστα).

4

h

K

H

D G

F

144

Το αντίστροφο του Θ. Μενελάου επίσης ισχύει : Αν Η, D, G είναι τρία σηµεία

πάνω στις ευθείες hK, h4 & K4 αντίστοιχα, έτσι ώστε 4 4

Dh Hh GK

D HK G

⋅=

⋅, τότε τα σηµεία αυτά

είναι συγγραµικά.

Η µοντέρνα διατύπωση θα ήταν : Αν η ευθεία HGD τέµνει τις πλευρές του

τριγώνου ΚΗ4 τότε 4

14

h K

K

H G

G h

D

H D⋅ ⋅ = , όπου το κοινό γράµµα σε κάθε κλάσµα είναι

σηµείο της τέµνουσας HGD.

Το Θ.Μενελάου είναι ένα από τα κύρια εργαλεία του Desargues γιατί τον βοηθά να

βρει ίσους λόγους και ίσα γινόµενα λόγων σε διαφορετικές ευθείες. Το χρησιµοποιεί

αµέσως στη συνέχεια για να αποδείξει το αναλλοίωτο της ενελικτικής εξάδας η οποία

προβάλλεται κεντρικά σε µια άλλη ευθεία.

Θεώρηµα 2 : Όταν σε έναν κορµό GH βρεθούν 3 ζεύγη κόµβων B,H, D,F, C,G σε

ενέλιξη και από αυτούς περνούν 3 ζεύγη κλάδων εκ κορµού BK,HK, FK,DK, CK,GK, που

όλοι ανήκουν στην ίδια διάταξη (ordinance) της οποίας ο στόχος (butt) είναι το σηµείο Κ,

τότε όλοι µαζί αποτελούν ένα Mπουκέτο Kλάδων ∆έντρου (Bough of a tree, Ramée) και

τέµνουν οποιαδήποτε ευθεία cb (κατάλληλα σχεδιασµένη) του ίδιου επιπέδου σε 3 νέα

ζεύγη κόµβων b,h, d,f, c,g τα οποία βρίσκονται επίσης σε ενέλιξη.

5

4

3

2

h

b

d

f

F H

K

D B C G

c

g

Σχήµα 4.4.19 Αναλλοίωτο ενελικτικής εξάδας

145

Με άλλα λόγια : Αν DC DG DB DH

FC FG FB FH

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ τότε

dg dc db dh

fg fc fb fh

⋅ ⋅=

⋅ ⋅.

Απόδειξη :

Φέρνουµε την Df η οποία τέµνει τις ΒΚ, CK, GK & HK στα σηµεία 2, 3, 4, 5 αντίστοιχα.

Τότε :

4

4

gd Kd D

gf KD f

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο Dfd και τέµνουσα την 4Κg).

3

3

cd Kd D

cf KD f

⋅=

⋅(Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο Dfd και τέµνουσα την 3Κc).

Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη : 2

4 3

4 3

dg dc Kd D D

fg fc KD f f

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Αλλά :

4

4

D GD KF

f GF Kf

⋅=

⋅ (Θ. Μενελάου στο τρίγωνο DFf και τέµνουσα Κ4G) και

3

3

D CD KF

f CF Kf

⋅=

⋅ (Θ. Μενελάου στο τρίγωνο DFf και τέµνουσα Κ3C).

Έτσι : 22

dg dc Kd KF GD CD

fg fc KD Kf GF CF

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . (3)

Οµοίως :

2

2

bd Kd D

bf KD f

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο Dfd και τέµνουσα την 2Κb).

5

5

hd Kd D

hf KD f

⋅=

⋅(Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο Dfd και τέµνουσα την 5Κh).

Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη : 2

2 5

2 5

db dh Kd D D

fb fh KD f f

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Αλλά :

2

2

D BD KF

f BF Kf

⋅=

⋅ (Θ. Μενελάου στο τρίγωνο DFf και τέµνουσα Κ2B) και

5

5

D HD KF

f HF Kf

⋅=

⋅ (Θ. Μενελάου στο τρίγωνο DFf και τέµνουσα Κ5H).

Έτσι : 22

db dh Kd KF BD HD

fb fh KD Kf BF HF

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . (4)

146

Από τις ισότητες (3) & (4) και επειδή DC DG DB DH

FC FG FB FH

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ λόγω της αρχικής ενελικτικής

εξάδας, προκύπτει η ζητούµενη ισότητα dg dc db dh

fg fc fb fh

⋅ ⋅=

⋅ ⋅.

Ο Desargues αναφέρει και την περίπτωση (η οποία υπονοείται από τη διατύπωση

του θεωρήµατος 2) όπου το Κ είναι στο ∞, οπότε οι 6 κλάδοι εκ κορµού θα είναι

παράλληλοι µεταξύ τους και τότε η µεταφορά της ενέλιξης από την ευθεία GH στην ευθεία

cb αποδεικνύεται εύκολα µέσω της VI.2 των Στοιχείων που έχει ήδη αναφερθεί. Επίσης αν

η ευθεία cb είναι παράλληλη σε έναν από τους 6 κλάδους, π.χ. στον DK, τότε το ταίρι του,

δηλαδή ο κλάδος FK, τέµνει την ευθεία cb στο µάτι της ενέλιξης. Έτσι το µάτι γίνεται ο

ακραίος κόµβος και το ταίρι του το ∞.

Λήµµα 4 : Στην περίπτωση της ενελικτικής τετράδας B,C, D,F (όπου Β≡Η & C≡G

για να δούµε και τη «µητρική» εξάδα) όταν µια ευθεία cb είναι παράλληλη µε έναν από

τους 4 κλάδους εκ κορµού, π.χ. τον DK, τότε ο κόµβος f (που η cb τέµνει το ταίρι του DK,

δηλ. τον FK) είναι το µέσο του κλαριού cb (c≡g & b≡h).

Σχήµα 4.4.20

147

Απόδειξη :

Αν από το σηµείο CG σχεδιάσουµε παράλληλη προς την cb και αποδείξουµε ότι το f΄ είναι

µέσο του Cb , τότε εύκολα προκύπτει και το ζητούµενο.

Αρχικά λόγω της ενέλιξης έχουµε : BD CD

BD CF BF CDBF CF

= ⇔ ⋅ = ⋅ .

Επειδή Cb //DK τότε : 'Cb BC

DK BD= . Επειδή Cf΄//DK τότε :

'

DK FD

Cf FC= . Πολλαπλασιάζουµε

κατά µέλη και προχωρούµε :

' ( )( )

'

Cb BC FD BC FD BD DC FC CD

Cf BD FC BF CD BF CD

⋅ ⋅ + += = = =

⋅ ⋅ ⋅

2 2BD DC DC BD FC CF CD BD DC DC BF CD CF CD

BF CD BF CD

⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅= = =

⋅ ⋅

22

BD DC BF CF BF

BF BF

+ + += = = .

Έτσι το f΄ είναι µέσο του Cb , οπότε και το f θα είναι µέσο του cb.

Το αντίστροφο του λήµµατος αποδεικνύεται εύκολα. Όταν δηλαδή ένας κλάδος π.χ.

ο FK διχοτοµεί το κλαρί cb τότε η ευθεία cb είναι παράλληλη στον κλάδο DK, το ταίρι του

FK. Κι αυτό γιατί επειδή η ενέλιξη στην ευθεία BF µεταφέρεται όπως είδαµε στην ευθεία

cb και το f είναι το µέσο του cb, σύµφωνα µε τα όσα έχουµε πει το f θα ταυτίζεται µε το

µάτι και το τέταρτο σηµείο της ενέλιξης στην ευθεία cb θα είναι στο ∞. Οι κλάδοι εκ

κορµού DK, FK (όπως και οι BK, GK) λέγονται Αντίστοιχοι κλάδοι (Branches that

correspond to one another, Rameaux correspondans entre eux).

Λήµµα 5 : Όταν, στη περίπτωση της ενελικτικής τετράδας, δύο αντίστοιχοι κλάδοι

εκ κορµού, π.χ. οι BK, GK, είναι κάθετοι µεταξύ τους τότε ο καθένας διχοτοµεί τη γωνία

που σχηµατίζουν οι άλλοι δύο αντίστοιχοι κλάδοι DK & FK.

Απόδειξη:

148

Σχήµα 4.4.21

Φέρνουµε Df//BK οπότε Df⊥GK. Σύµφωνα µε το λήµµα 4 η GK διχοτοµεί τη Df στο

σηµείο m. Έτσι τα τρίγωνα KDm και Kfm είναι ίσα (σύµφωνα µε την Ευκλείδεια

σύµπτωση) αφού έχουν την Km κοινή και Dm=fm. Έτσι προκύπτει το ζητούµενο.

Οµοίως αποδεικνύεται και το αντίστροφο, δηλαδή όταν η GK διχοτοµεί τη γωνία

DKF τότε η GK είναι κάθετη στην ΒΚ η οποία µε τη σειρά της θα διχοτοµεί την

παραπληρωµατική γωνία της γωνίας DKF. Συνεπώς ο Desargues καταλήγει στο

συµπέρασµα ότι όταν σε ένα επίπεδο υπάρχουν 4 ευθείες που τέµνονται σε σηµείο Κ, π.χ.

BK, DK, GK, FK, µε 2 από αυτές κάθετες µεταξύ τους (π.χ. BK⊥GK) και µε κάθε µια από

αυτές να διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζεται από τις άλλες δύο, τότε οποιαδήποτε άλλη

ευθεία που τις τέµνει, «γεννά» 4 κόµβους π.χ. Β, D, G, F που βρίσκονται σε ενέλιξη.

Λήµµα 6α : Όταν σ’ ένα επίπεδο, µια ευθεία FK διχοτοµεί στο σηµείο f µια

πλευρά Gh ενός τριγώνου GBh (το Κ είναι σηµείο τοµής των Ff & Bh) και από το Κ περνά

ευθεία KD//Gh, τότε τα 4 σηµεία B, D, G, F που κατασκευάζονται έτσι στην τρίτη πλευρά

του τριγώνου, βρίσκονται σε ενέλιξη.

149

Σχήµα 4.4.22

Απόδειξη : Στην διχοτοµηµένη ευθεία Gfh παρατηρούµε ότι έχουµε 4 σηµεία σε ενέλιξη

(G, f, h, ∞!). Σχεδιάζοντας λοιπόν την KG βλέπουµε ότι τα σηµεία αυτά προβάλλονται

κεντρικά µέσω του «κέντρου» Κ σε µια άλλη ευθεία, στα αντίστοιχα G, F, B, D. Λόγω του

θεωρήµατος 2 (αναλλοίωτο ενέλιξης) λοιπόν, η ενέλιξη στην ευθεία Gh µεταφέρεται µέσω

του Κ στην ευθεία FG και προκύπτει το ζητούµενο.

Λήµµα 6β : Όταν στο προηγούµενο σχήµα δεν φέρουµε την KD αλλά από τη

γωνία Β, που είναι απέναντι από την πλευρά Gh, φέρουµε την Bp//Gh τότε τα σηµεία

τοµής της Ff µε τις πλευρές του τριγώνου δηλαδή τα F, f, K, p βρίσκονται σε ενέλιξη.

Σχήµα 4.4.23

150

Απόδειξη : Οµοίως τα 4 σηµεία G, f, h, ∞ προβάλλονται κεντρικά µέσω του Β στα

αντίστοιχα σηµεία F, f, K, p. Έτσι και πάλι η ενέλιξη µεταφέρθηκε από την ευθεία Gh στην

ευθεία Ff.

Ο Desargues σ’ αυτό το σηµείο τελειώνει το πρώτο µισό του έργου του Rough

Draft on Conics, το οποίο στόχευε όπως είδαµε να παρουσιάσει σε όλες τις πτυχές την

βασική έννοια της Ενέλιξης. Aς δούµε όµως κάποια σχόλια :

Είδαµε από το θεώρηµα 2 ότι η ιδιότητα της ενέλιξης παραµένει αναλλοίωτη υπό

κεντρική προβολή. Προκύπτει προφανώς όµως και κάτι άλλο γενικότερο. Για 4 δοθέντα

σηµεία A, B, C, D µε οποιαδήποτε διάταξη, η ποσότητα AC AD

CB DB ή

AC DB

CB AD

⋅⋅

παραµένει

επίσης αναλλοίωτη. Αυτό ο Desargues δεν το αναφέρει καθόλου και µε την ποσότητα αυτή

ασχολείται µόνο αν τα σηµεία είναι σε ενέλιξη. Στην µοντέρνα προβολική γεωµετρία το

κλάσµα αυτό καλείται ∆ιπλός Λόγος (cross – ratio ή double ratio ή anarmonic ratio)

τεσσάρων σηµείων και συµβολίζεται (ABCD).

Η στάση του Desargues απέναντι στον διπλό λόγο µοιάζει µε την στάση των

αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών απέναντι στο µήκος. Σύµφωνα µε αυτήν κάποιος ήθελε

συχνά να γνωρίζει αν δύο ευθύγραµµα τµήµατα έχουν ή όχι το ίδιο µήκος αλλά σπάνια να

βρίσκει αυτό το µήκος. Έτσι και στην προβολική γεωµετρία κάποιος θέλει συχνά να

γνωρίζει αν δύο τετράδες συνευθειακών σηµείων έχουν ή όχι τον ίδιο διπλό λόγο αλλά

σπάνια να τον υπολογίζει. Ο Desargues λοιπόν πρωτοεξέφρασε αυτήν την άποψη

δουλεύοντας µε την ενελικτική εξάδα και στην συνέχεια την τετράδα. Μπόρεσε έτσι να

εξετάζει αν σύνολα συνευθειακών σηµείων παραµένουν προβολικώς ισοδύναµα (δηλαδή

αν εµφανίζονται «παρατεταγµένα» µε τον ίδιο τρόπο κάπου αλλού) όπως ένας κλασικός

γεωµέτρης διέθετε τεχνικές για να εξετάζει αν ζεύγη σηµείων εµφανίζονται και αυτά

«παρατεταγµένα» µε τον ίδιο τρόπο κάπου αλλού, µε την έννοια της ίσης απόστασής τους.

Και όπως έπραττε ο κλασικός γεωµέτρης, απέφευγε να µετράει µήκη (δηλαδή να

υπολογίζει διπλούς λόγους) χωρίς πρώτα να εγκαθιδρύσει ένα σύστηµα προβολικών

ισοδύναµων σχηµατισµών.

Στο δεύτερο µέρος που ακολουθεί, ο Desargues στρέφει την προσοχή του στη

προβολική µελέτη των κωνικών τοµών και βλέπει πρώτος ότι όλες οι µη εκφυλισµένες

κωνικές τοµές είναι προβολικά ισοδύναµες µε τον κύκλο. Η θαυµάσια αυτή ιδέα τον

οδηγεί να τις «ενοποιεί» µε την έννοια ότι υπάρχουν σηµαντικές ιδιότητες των κωνικών

151

που αποδεικνύονται για όλες τις τοµές µε µία απλή απόδειξη και την παρατήρηση ότι οι

ιδιότητες αυτές είναι προβολικά αναλλοίωτες.

4.5 Brouillon Project (1639) Μέρος Β΄ (Θεωρία Κωνικών Τοµών)

Όταν µια ευθεία διέρχεται από ένα σταθερό σηµείο (fixed point, point immobile) και

από ένα σηµείο περιφέρειας κύκλου, δύναται να κινηθεί διατηρώντας κοινό σηµείο µε τη

περιφέρεια αυτή. Το σταθερό σηµείο βέβαια µπορεί να είναι είτε πάνω στο επίπεδο του

κύκλου είτε όχι.

Όταν το σταθερό σηµείο είναι πάνω στο επίπεδο του κύκλου, σύµφωνα µε όσα

αναφέρθηκαν στο Α΄ Μέρος, µπορεί να βρίσκεται είτε σε πεπερασµένη είτε σε άπειρη

απόσταση. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις πάντως, η ευθεία καθώς κινείται παραµένει στο

επίπεδο του κύκλου και η κίνησή της γεννά µια διάταξη ευθειών οι οποίες συναντούν τον

κύκλο. Αν δε το σηµείο τοµής τους (Butt), δηλαδή το σταθερό σηµείο, βρίσκεται σε

πεπερασµένη απόσταση τότε έχουµε pencil of lines ενώ αν βρίσκεται σε άπειρη έχουµε

pencil of parallel lines.

Όταν το σταθερό σηµείο είναι έξω από το επίπεδο του κύκλου (πάλι σε πεπερασµένη ή

άπειρη απόσταση) η ευθεία καθώς κινείται παραµένει πάντα έξω από το επίπεδο του

κύκλου και κατά τη περιστροφή της περιβάλλει, εσωκλείει ή περιγράφει ένα στερεό σχήµα

που καλούµε Περιέλιξη (Roll, Rouleau). (H ονοµασία αυτή υποδηλώνει ένα γένος που,

όπως θα δούµε στη συνέχεια, περιέχει δύο άλλα γένη : Κυλίνδρους & Κώνους).

Το σταθερό σηµείο της ευθείας καλείται Κορυφή (Vertex of the roll, Sommet du

rouleau). Η κίνηση της ευθείας (σήµερα τη λέµε γενέτειρα) «γεννά» την Επιφάνεια

(Surface or Envelope) της Περιέλιξης. Όταν τώρα το σταθερό σηµείο βρίσκεται σε άπειρη

απόσταση (έξω από το επίπεδο του κύκλου) η ευθεία καθώς κινείται περιγράφει ένα

στερεό που καλείται Κύλινδρος (Column or Cylinder, Colomne ou Cylindre) ενώ όταν το

σηµείο βρίσκεται σε πεπερασµένη απόσταση η περιέλιξη στενεύει στο σταθερό σηµείο και

φαρδαίνει καθώς αποµακρυνόµαστε από αυτό έτσι ώστε να σχηµατίζονται δύο κώνοι µε

κοινή κορυφή:

152

Σχήµα 4.5.1 Περιέλιξη

Υπό αυτό το σκεπτικό, το σχήµα καλείται Κώνος (Cornet or Cone). Υπάρχουν βέβαια

διάφορα είδη κώνων και κυλίνδρων. Η ονοµασία Κώνος, ενώ οπουδήποτε αλλού δηλώνει

το στερεό που βρίσκεται προς το ένα µέρος της κορυφής, εδώ θα χρησιµοποιείται για να

περιγράψει συγχρόνως και τα δύο µέρη που σχηµατίζονται και είναι αντικείµενα προς την

κορυφή, αλλιώς ο κώνος δεν θα είναι πλήρης.

Όταν ένα επίπεδο διαφορετικό από εκείνο του κύκλου της βάσης, τέµνει την περιέλιξη

θα το καλούµε Επίπεδο Τοµής (Plane of section, Plan de coupe). Μπορεί να την τέµνει

βέβαια και στη κορυφή της αλλά είτε έτσι είτε αλλιώς αυτό µπορεί να εξεταστεί κατά δύο

τρόπους : α) κάποιες φορές µπορεί η κίνηση της ευθείας να την φέρνει (την ευθεία αυτή)

παράλληλη µε το επίπεδο τοµής και β) ποτέ να µην τη φέρνει παράλληλη.

Ο Desargues τώρα διερευνά όλες τις σχετικές θέσεις Επιπέδου Τοµής & Περιέλιξης :

Όταν το επίπεδο τοµής τέµνει την περιέλιξη στην κορυφή κατά τέτοιο τρόπο που η

κίνηση της ευθείας την φέρνει (την ευθεία αυτή) κάποιες φορές παράλληλη µε το επίπεδο

τοµής :

Αν η κορυφή είναι σε πεπερασµένη απόσταση τότε η κίνηση της ευθείας δεν

µπορεί να την κρατά πάντα παράλληλη (εδώ εννοεί µε τη γενικότερη έννοια: ή και πάνω

στο επίπεδο) µε το επίπεδο τοµής αλλά µερικές φορές.

Αν η κορυφή είναι σε άπειρη απόσταση τότε η κίνηση της ευθείας την κρατά

πάντα παράλληλη µε το επίπεδο τοµής. Εδώ ο Desargues φαντάζεται προφανώς το

ακόλουθο σχήµα όπου το επίπεδο τοµής περνά από τη κορυφή Α µόνο που επειδή η Α

είναι στο ∞, η γενέτειρα παραµένει πάντα παράλληλη µε αυτό!

F

153

Σχήµα 4.5.2 Κώνος µε την κορυφή του στο ∞!

Όταν το επίπεδο τοµής τέµνει την περιέλιξη στην κορυφή κατά τέτοιο τρόπο που η

κίνηση της ευθείας ποτέ δεν την φέρνει (την ευθεία αυτή) παράλληλη µε το επίπεδο τοµής:

Αν η κορυφή είναι σε πεπερασµένη απόσταση τότε η ευθεία δίνει καθαρά ένα κοινό

σηµείο στο επίπεδο τοµής. (Τοµή Επιπέδου & Περιέλιξης = ένα σηµείο).

Αν η κορυφή όµως είναι σε άπειρη απόσταση τότε το αποτέλεσµα είναι αδύνατο να

το φανταστούµε και να το κατανοήσουµε.

Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις η κίνηση της ευθείας µπορεί να φέρει πάντως την

ευθεία πάνω στο επίπεδο τοµής µόνο µία ή δύο φορές. Όταν συµβεί µία φορά, το επίπεδο

τοµής «αγγίζει» την επιφάνεια (Τοµή Επιπέδου & Περιέλιξης = µία ευθεία – διπλή):

154

Σχήµα 4.5.3 Τοµή επιπέδου & περιέλιξης = ευθεία

Ενώ όταν η γενέτειρα είναι δύο φορές στο επίπεδο τοµής τότε αυτό διαιρεί το στερεό

(Τοµή Επιπέδου & Περιέλιξης = δύο ευθείες) :

Σχήµα 4.5.4 Τοµή επιπέδου & περιέλιξης = δύο ευθείες

Όταν τώρα το επίπεδο της τοµής τέµνει την περιέλιξη αλλά όχι στην κορυφή της µε

τέτοιο τρόπο ώστε η κίνηση της ευθείας δεν την φέρνει ποτέ παράλληλη στο επίπεδο

τοµής :

Αν συναντώνται (επίπεδο και ευθεία) σε πεπερασµένη απόσταση τότε η κίνηση της

ευθείας δηµιουργεί στο επίπεδο τοµής µια κλειστή καµπύλη (δηλαδή εννοεί Τοµή

Επιπέδου & Περιέλιξης = έλλειψη ή κύκλος).

Αν συναντώνται όµως σε άπειρη απόσταση τότε το αποτέλεσµα είναι αδύνατο να

το φανταστούµε και να το κατανοήσουµε.

Όταν τώρα το επίπεδο της τοµής τέµνει την περιέλιξη αλλά όχι στην κορυφή της µε

τέτοιο τρόπο ώστε η κίνηση της ευθείας να την φέρνει κάποιες φορές παράλληλη στο

επίπεδο τοµής :

Αυτό όµως δεν µπορεί να συµβεί αν την τέµνει σε άπειρη απόσταση, ούτε στο είδος

της περιέλιξης που λέγεται Κύλινδρος ούτε στο είδος που λέγεται Κώνος. Μπορεί όµως να

συµβεί αν την τέµνει σε πεπερασµένη απόσταση: Όταν ένα επίπεδο τοµής συναντά έναν

κώνο, όχι όµως στην κορυφή του, κατά τέτοιο τρόπο ώστε η γενέτειρα να βρεθεί κάποιες

φορές παράλληλη στο επίπεδο τοµής, τότε αυτό µπορεί να συµβεί είτε σε µία θέση είτε σε

155

δύο θέσεις της γενέτειρας κατά τη κίνησή της. Και αν συµβεί το πρώτο, δηλαδή αν η

γενέτειρα βρίσκεται σε µία θέση παράλληλη µε το επίπεδο τοµής, τότε κατά την κίνησή

της ιχνογραφεί στο επίπεδο τοµής µια καµπύλη που, σε άπειρη απόσταση στρίβει, γυρίζει

πίσω κατά τον ίδιο τρόπο και επιστρέφει στο σηµείο που ξεκίνησε (εννοεί την Παραβολή).

Ενώ αν συµβεί το δεύτερο, η γενέτειρα ιχνογραφεί µία καµπύλη (εννοεί την Υπερβολή) η

οποία σε άπειρη απόσταση διαιρείται σε δύο ίσα και όµοια µέρη (εννοεί τους δύο κλάδους)

εκ των οποίων ο ένας θεωρείται εδώ ως αποτέλεσµα της σχέσης επιπέδου τοµής και

περιέλιξης.

Συµπερασµατικά το επίπεδο τοµής και η περιέλιξη, εξαιρουµένης της βάσης της,

συναντώνται είτε σε ένα µόνο σηµείο, είτε σε µια µόνο ευθεία, είτε σε δύο ευθείες

συνεπίπεδες, είτε σε µια καµπύλη. Θα εξαιρέσουµε όµως τις δύο πρώτες περιπτώσεις και

θα ασχοληθούµε µόνο µε τις υπόλοιπες. Το µέρος του στερεού σώµατος της περιέλιξης

που το επίπεδο τοµής «αποκόβει», καλείται απλώς Τοµή (Section of the roll, Coupe de

rouleau). Οι ευθείες ή οι καµπύλες που ιχνογραφούνται στο επίπεδο τοµής κατά τη κίνηση

της γενέτειρας αποτελούν το Σύνορο της Τοµής (Edge of the section, Bord de la coupe).

Όταν το σύνορο της τοµής είναι δύο ευθείες, το σηµείο τοµής τους (Butt) µπορεί να είναι

σε πεπερασµένη απόσταση (εννοεί την κορυφή κώνου) είτε σε άπειρη απόσταση (στέλνει

την κορυφή στο άπειρο, οπότε τον κώνο τον κάνει κύλινδρο). Όταν το σύνορο της τοµής

είναι µια καµπύλη η οποία, όπως περιγράψαµε και πιο πριν, σε πεπερασµένη απόσταση

γυρίζει πίσω και κλείνει, καλείται Κύκλος ή Ωοειδής – Έλλειψη στη καθοµιλουµένη –

(Circle, Oval or Ellipse, Cércle, Ovale ou Elipse). Όταν το σύνορο της τοµής είναι µια

καµπύλη που, σε άπειρη απόσταση τώρα, γυρίζει πίσω και κλείνει, τότε καλείται

Παραβολή (Parabola, Parabole). Τέλος όταν το σύνορο είναι µια καµπύλη η οποία, όπως

είδαµε, σε άπειρη απόσταση διαιρείται σε δύο ίσα και όµοια µέρη (εννοεί τους δύο

κλάδους), καλείται Υπερβολή (Hyperbola, Hyperbole). Τα παραπάνω αποτυπώνονται στα

ακόλουθα σχήµατα :

156

Έλλειψη : Η κίνηση της γενέτειρας δεν την φέρνει ποτέ παράλληλη µε το επίπεδο

τοµής.

Σχήµα 4.5.5 Έλλειψη

Παραβολή : Η κίνηση της γενέτειρας την φέρνει µια και µοναδική φορά παράλληλη µε το

επίπεδο τοµής.

Σχήµα 4.5.6 Παραβολή

157

Υπερβολή : Η κίνηση της γενέτειρας την φέρνει ακριβώς δύο φορές παράλληλη µε το

επίπεδο τοµής.

Σχήµα 4.5.7 Υπερβολή

Συνοψίζοντας, τονίζουµε και διευκρινίζουµε τα εξής : Ο Desargues δεν ξεχώριζε

τον κώνο (και µάλιστα τον διπλό κώνο, όπως ο Απολλώνιος) και τον κύλινδρο αλλά τους

θεωρούσε δύο είδη του ίδιου γένους, της Περιέλιξης (Roll). Αυτό όµως ήταν φυσικό αφού

οικοδοµούσε τις θεωρίες του πάνω στις δύο θεµελιώδεις επινοήσεις του : Σηµείο στο ∞ και

ευθεία στο ∞. Γι’ αυτό το λόγο παρουσιάζει µια συστηµατική διάκριση των διαφόρων

περιπτώσεων. (Ας σηµειωθεί ότι ο κύλινδρος δεν είχε µελετηθεί από τον Απολλώνιο. Αυτό

το έκανε ένας σχολιαστής του 4ου αιώνα µ.Χ., ο Σειρήνος, του οποίου κάποια

αποσπάσµατα από τη δουλειά του είχε συµπεριλάβει στα Κωνικά του ο Commandino).

Σήµερα λέµε ότι δύο επίπεδες τοµές σε κώνο δίνουν δύο κωνικές οι οποίες συσχετίζονται

µέσω κεντρικής προβολής από την κορυφή του κώνου, ενώ δύο επίπεδες τοµές σε κύλινδρο

δίνουν ελλείψεις οι οποίες συσχετίζονται µέσω παράλληλης προβολής (affine) από το

σηµείο στο άπειρο. Επιπροσθέτως ο Desargues αναφέρει ότι υπάρχουν διάφορα είδη

ελλείψεων και υπερβολών (εννοεί ανάλογα µε την εκκεντρότητα) αλλά ένα µόνο είδος

παραβολών (όλες όµοιες µεταξύ τους).

158

Έτσι όλες τις κωνικές τοµές τις θεωρεί προβολικώς ισοδύναµες µε τους κύκλους :

απλώς εκείνες που δεν συναντούν την ευθεία στο άπειρο (στο επίπεδό τους) γίνονται

ελλείψεις, εκείνες που την «αγγίζουν» γίνονται παραβολές και εκείνες που την «κόβουν»

γίνονται υπερβολές.61

i Έστω τώρα σε ένα επίπεδο, κάποιες ευθείες της ίδιας διάταξης (pencil), π.χ. FCB,

FXY, FIK, (F είναι το σηµείο τοµής – σύγκλισης των ευθειών) συναντούν ένα σχήµα62

NB, NC και έστω ότι µια ευθεία NHGO τέµνει τις ευθείες της διάταξης στα σηµεία Ο, G,

H αντιστοίχως.

Σχήµα 4.5.8 Αποτέµνουσα NG των συντρεχουσών στο F ευθειών

Αν κάποιο από αυτά µαζί µε το F σχηµατίζουν ενέλιξη µε το ζεύγος των άλλων δύο

συνευθειακών τους σηµείων, π.χ. τα G,F & X,Y, τότε καλούµε την ευθεία ΝG

61 Εδώ ο Desargues φαίνεται να ασκεί κριτική στον Απολλώνιο αφού αναφέρει: Οι πιο αξιοσηµείωτες ιδιότητες των κωνικών τοµών είναι κοινές σε όλα τα είδη και τα ονόµατά τους, έλλειψη, παραβολή και υπερβολή, δόθηκαν µόνο εξ’ αιτίας εξωγενών χαρακτηριστικών. 62 O Desargues το αναφέρει ακριβώς έτσι : σχήµα NB,NC. Μάλλον δεν θέλει να συνδεθούν οι ορισµοί που δίνει, αποκλειστικά µε κάποιο συγκεκριµένο είδος κωνικής.

159

Αποτέµνουσα63 των ευθειών της διάταξης F (Transversal to the straight lines of an

ordinance, Traversale aux droites d’ une ordonnance). Οι δε ευθείες της διάταξης F

καλούνται Τεταγµένες της Αποτέµνουσας NG (Ordinates of a transversal, Ordonées d’ une

traversale). Το σηµείο στο οποίο η αποτέµνουσα τέµνει την τεταγµένη της, π.χ. το G,

καλείται Σηµείο Αποτοµής (Transversal Point, Point traversal). Κάθε ευθεία, π.χ. η FE, εκ

των τεταγµένων της αποτέµνουσας που δεν συναντά, ή απλώς αγγίζει, το σχήµα (π.χ. την

κωνική τοµή) καλείται Τακτική (Ordinal, Ordinale) για να ξεχωρίζει από τις τεταγµένες οι

οποίες «διασχίζουν» το σχήµα. Κάθε ευθεία που διχοτοµεί το σχήµα λέγεται ∆ιάµετρος

(Diametral, Diametrale) του σχήµατος και ∆ιάµετρος-Αποτέµνουσα (Diametransversal,

Diametraversale) των τεταγµένων της.

Ξεφεύγοντας από το τρίγωνο NBC και γενικότερα σε ένα σχήµα όπως η έλλειψη η

οποία τέµνεται από την τεταγµένη FCB, µας ενδιαφέρουν τα τµήµατα OC, OB (που

δηµιουργεί το σηµείο αποτοµής Ο µε τα σηµεία τοµής έλλειψης και τεταγµένης) και τα

τµήµατα FC, FB (που δηµιουργεί το σηµείο τοµής – σύγκλισης F µε τα σηµεία τοµής

έλλειψης και τεταγµένης). Συνεπώς οι λέξεις Αποτέµνουσα και Τεταγµένες έχουν επινοηθεί

για να δηλώνουν κάποιες ευθείες (µε κάποιες ιδιότητες) που εµφανίζονται συχνά σε

επίπεδες τοµές Περιέλιξης (δηλ. κώνων – κυλίνδρων). Σε κάθε µια τεταγµένη λοιπόν τα

δύο σηµεία (C & B) της τοµής της µε το σύνορο του σχήµατος (π.χ. έλλειψη) βρίσκονται

σε ενέλιξη µε τα άλλα δύο σηµεία (F & O), το σηµείο τοµής – σύγκλισης και το σηµείο

αποτοµής.

Ας θυµίσουµε ότι σε µια ενελικτική τετράδα από τους δύο κόµβους του Ακραίου

ζεύγους κόµβων, είναι δυνατόν ο ένας να συµπέσει µε το µάτι του δέντρου και ο άλλος να

«φύγει» στο άπειρο. Από την άλλη µεριά, οι δύο αυτοί κόµβοι του Ακραίου ζεύγους

κόµβων µπορούν να ταυτιστούν και µεταξύ τους και µαζί µε έναν από τους άλλους δύο

κόµβους του Μέσου ζεύγους κόµβων. Σε αυτήν την περίπτωση τα 4 σηµεία της ενέλιξης

συρρικνώνονται σε 2, στο ένα εκ των οποίων φανταζόµαστε 3 σηµεία.

Μεταφερόµαστε τώρα σε ένα επίπεδο οποιασδήποτε τοµής περιέλιξης:

Το σηµείο τοµής – σύγκλισης των τεταγµένων (δηλ. το F) µπορεί να βρίσκεται είτε

στο σύνορο του σχήµατος είτε όχι και σε κάθε περίπτωση είτε σε πεπερασµένη απόσταση

είτε στο άπειρο.

Η αποτέµνουσα των τεταγµένων µπορεί να συναντά ή να µην συναντά το σύνορο

του σχήµατος και σε κάθε περίπτωση µπορεί να βρίσκεται σε πεπερασµένη ή σε άπειρη

63 Η Αποτέµνουσα, όπως θα δούµε και παρακάτω, είναι η Πολική.

160

απόσταση. (Το επίπεδο που περιγράφει ο Desargues εδώ είναι το σηµερινό Προβολικό

επίπεδο).

Όταν το σηµείο τοµής – σύγκλισης των τεταγµένων (δηλ. το F) κείται στο σύνορο του

σχήµατος (σε πεπερασµένη ή σε άπειρη απόσταση) η αποτέµνουσα των τεταγµένων

γίνεται κι αυτή τεταγµένη που περνά από το F. Έτσι αγγίζει το σχήµα στο σηµείο F.64

Όταν το σηµείο τοµής – σύγκλισης των τεταγµένων (δηλ. το F) δεν κείται στο σύνορο

του σχήµατος (σε πεπερασµένη ή σε άπειρη απόσταση) και όλες οι τεταγµένες συναντούν

το σύνορο του σχήµατος, η αποτέµνουσα δεν θα το συναντά (γιατί το F µπορεί να είναι

τότε µέσα στην κωνική οπότε η αποτέµνουσα NG θα βρίσκεται έξω από αυτήν). Ενώ αν

δεν το συναντούν όλες οι τεταγµένες, τότε η αποτέµνουσα θα το συναντά (όπως στο

τελευταίο σχήµα). Επιπλέον τα τµήµατα FC, FB µπορεί να είναι ίσα ή άνισα. Αν είναι ίσα

τότε θα είναι ίσα και τα OC, OB & αντιστρόφως. (∆ηλ. F≡O ή F≡∞! και Ο µέσο – µάτι

του CB).

Όταν τώρα η αποτέµνουσα (σε πεπερασµένη ή άπειρη απόσταση) δεν συναντά το

σύνορο του σχήµατος, όλες οι τεταγµένες το συναντούν (γιατί το F θα βρίσκεται ή εντός

της κωνικής ή στο άπειρο).

Όταν η αποτέµνουσα (σε πεπερασµένη ή άπειρη απόσταση) συναντά το σύνορο του

σχήµατος, το κάνει σε ένα ή σε δύο σηµεία. Και οµοίως εδώ τα τµήµατα OC, OB µπορεί

να είναι ίσα ή άνισα. Αν είναι ίσα τότε θα είναι ίσα και τα FC, FB & αντιστρόφως.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η βάση της θεωρίας του Desargues είναι η οικογένεια

συντρεχουσών ευθειών (pencil of lines) η οποία είναι και η βάση της προβολικής

γεωµετρίας. Γι’ αυτό διερευνά εξονυχιστικά όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Έστω ότι στο

ακόλουθο σχήµα η ευθεία FDE συναντά µια δοθείσα κωνική στα σηµεία D & E και R το

τέταρτο αρµονικό σηµείο.

64 Η πολική γίνεται τότε εφαπτοµένη.

161

Σχήµα 4.5.9 Γ.τόπος του 4ου αρµονικού σηµείου R = Πολική ευθεία του F

Τότε καθώς η FDE διατρέχει την οικογένεια ευθειών (το F είναι το σταθερό σηµείο

σύγκλισης αυτών), το R ιχνογραφεί έναν γεωµετρικό τόπο, που ο Desargues είπε ότι είναι

µια ευθεία. (Όπως και ο Απολλώνιος στα Κωνικά, IV.9). Ονόµασε δε, όπως είδαµε, αυτόν

τον τόπο Αποτέµνουσα (Πολική σήµερα) της οικογένειας των ευθειών αλλά δεν απέδειξε65

ότι ο τόπος αυτός είναι ευθεία. Τη θεώρησε βέβαια καλώς σαν πλήρη ευθεία και όχι απλώς

σαν ένα ευθύγραµµο τµήµα που δηµιουργείται µόνο από τις τεταγµένες που συναντούν την

κωνική. Ακολουθεί το κλασικό θεώρηµα της Ενέλιξης του Desargues που φέρει τ’ όνοµά

του :

Θεώρηµα 3 (Θεώρηµα Ενέλιξης του Desargues) :

Έστω ότι σ’ ένα επίπεδο έχουµε 4 δεικτικά σηµεία (marker points) B, C, D, E δια µέσου

των οποίων διέρχονται 3 ζεύγη δεικτικών ευθειών (marker lines) BCN, EDN, BEF, DCF,

65 Field & Gray, 1987.

162

BDR, ECR. (Σήµερα λέµε : Έστω B, C, D, E οι 4 κορυφές πλήρους 4 – κορύφου το οποίο

,όπως είδαµε στο µέρος που αναφέρεται στον Πάππο, έχει 3 ζεύγη αντικείµενων πλευρών :

BC & ED που τέµνονται στο Ν, BE & CD που τέµνονται στο F και BD & CE που

τέµνονται στο R).66 Τότε τα ζεύγη των ευθειών αυτών τέµνουν οποιαδήποτε ευθεία l σε 3

ζεύγη σηµείων, Ι,Κ, P,Q, H,G αντίστοιχα, τα οποία βρίσκονται σε ενέλιξη. Επιπλέον κάθε

κωνική που περνά από τα B, C, D, E τέµνει την ευθεία l σε 2 σηµεία, L,M, τα οποία µε τα

2 εκ των 3 παραπάνω ζευγών σηµείων βρίσκονται πάλι σε ενέλιξη. Αν δε, δύο αντικείµενες

ευθείες είναι παράλληλες, π.χ. BCN//EDN, τότε ο λόγος των ορθογωνίων (=γινοµένων)

των «συγγενικών» κλαριών εκ κορµού, δηλαδή IB IC

KE KD

⋅⋅

, ισούται µε τον λόγο των

«διδύµων» ορθογωνίων τους δηλαδή των ορθογωνίων των κλαριών που είναι «τυλιγµένα»

στον κορµό, δηλαδή IQ IP

KQ KP

⋅⋅

. (Ο κορµός θεωρείται η ευθεία l).

66 Ο Taton (1951) βασισµένος στη κριτική του Jean de Beaugrand (1640) γράφει ότι η προέλευση αυτού του θεωρήµατος εντοπίζεται στα λήµµατα του βιβλίου VII της Συναγωγής του Πάππου (Λήµµατα Ι έως VII, Προτάσεις 127-133) τα οποία σχετίζονται µε το χαµένο έργο Πορίσµατα του Ευκλείδη. Αυτά εγκαθιδρύουν τη σχέση που υπάρχει ανάµεσα στα σχηµατιζόµενα τµήµατα της τέµνουσας l και στα 3 ζεύγη των αντικείµενων πλευρών του πλήρους τετρακορύφου. Συγκεκριµένα το αντίστροφο της πρότασης 130 δίνει την ενέλιξη των 6 σηµείων Ι,Κ, P,Q, H,G. Όµως η περίπτωση αυτή περιλαµβάνει µόνο ευθείες και χρειάζεται µεγάλο «βήµα» για να µεταφερθεί στις κωνικές (µε τα σηµεία L, M). Τώρα αν ο Desargues είχε διαβάσει ο ίδιος το κείµενο του Πάππου ή απλώς το γνώριζε σε ένα βαθµό εξ’ αιτίας της παρέας του µε τους Mydorge & Mersenne, αυτό βέβαια είναι δύσκολο να το απαντήσουµε.

163

Σχήµα 4.5.10 Θεώρηµα Ενέλιξης του Desargues

Απόδειξη :

Αρχικά θα αποδείξουµε ότι τα 3 ζεύγη σηµείων Ι,Κ, P,Q, H,G, βρίσκονται σε ενέλιξη.

IQ CQ BF

IP CF BP

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο QFP και τέµνουσα την ICB).

KQ DQ EF

KP DF EP

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο QFP και τέµνουσα την KDE).

Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη: IQ KQ CQ BF DQ EF

IP KP CF BP DF EP

⋅ ⋅⋅ = ⋅

⋅ ⋅ (1)

BF DF GQ

BP DQ GP

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο QFP και τέµνουσα την BGD).

CQ HQ EP

CF HP EF

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο QFP και τέµνουσα την CHE).

Έτσι η ισότητα (1) καταλήγει: QI QK QG QH

PI PK PG PH

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ , που δείχνει ότι τα 3 ζεύγη σηµείων

Ι,Κ, P,Q, H,G, βρίσκονται σε ενέλιξη. Θυµίζουµε απλώς ότι τα «ορθογώνια» QI·QK &

PI·PK, ο Desagues τα αποκαλεί «συγγενικά», ενώ τα QI·QK & QG·QH (οι ηγούµενοι όροι)

«δίδυµα».

Υποθέτουµε τώρα ότι η κωνική που διέρχεται από τα σηµεία B,C,D,E είναι κύκλος.

Έτσι έχουµε:

QL·QM = QC·QD (Θεώρηµα τεµνόµενων χορδών) και οµοίως PL·PM = PB·PE & FC·FD

= FB·FE. ∆ιαιρώντας τις δύο πρώτες ισότητες κατά µέλη:

QL QM QC QD

PL PM PB PE

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ και εκµεταλλευόµενοι την τρίτη προκύπτει :

QL QM QC QD FB FE

PL PM PB PE FC FD

⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅. Λόγω όµως της ισότητας (1) έχουµε:

QI QK QL QM

PI PK PL PM

⋅ ⋅=

⋅ ⋅,

που δείχνει ότι τα 3 ζεύγη σηµείων Ι,Κ, P,Q, L,M, βρίσκονται σε ενέλιξη.

O Desargues υποστηρίζει ότι το ίδιο ισχύει και για οποιαδήποτε κωνική που περνά

από τα σηµεία B,C,D,E και δεν είναι απαραίτητα κύκλος. Αυτό το δικαιολογεί θαυµάσια

ως εξής: Αυτή µπορεί να αναπαρασταθεί σαν µια επίπεδη τοµή κώνου η οποία

αντιστοιχίζεται, µέσω κεντρικής προβολής (από τη κορυφή), πάνω σε ένα άλλο επίπεδο

στο οποίο η κωνική να είναι κύκλος. Επειδή όµως η ενέλιξη είναι προβολικά αναλλοίωτη,

(αυτό το έχει αποδείξει στο Α΄ µέρος του BrP) το θεώρηµα εξακολουθεί να ισχύει.

Τέλος στην περίπτωση που BC//DE, έχουµε:

164

IB IP

EK KP= λόγω των οµοίων τριγώνων PBI & PEK. Οµοίως:

IC IQ

KD KQ= λόγω των οµοίων τριγώνων QIC & QKD. Τέλος πολλαπλασιάζουµε κατά

µέλη: IB IC

KE KD

⋅⋅

=IQ IP

KQ KP

⋅⋅

.

Καταλήγοντας διατυπώνει στη γλώσσα του το εξής συµπέρασµα: Θα γίνει

κατανοητό ότι αυτό το θεώρηµα εφαρµόζεται σε πολυάριθµες περιπτώσεις και δείχνει ότι

κάθε σηµαντική ευθεία και κάθε σηµαντικό σηµείο αναδύονται µε τον ίδιο τρόπο για κάθε

είδος τοµής περιέλιξης (δηλ. κυλίνδρου ή κώνου). Είναι δε σπάνιο για µια ευθεία στο

επίπεδο µιας τοµής περιέλιξης να έχει µια σηµαντική ιδιότητα σχετικά µε την τοµή αυτή

και να µην αντιστοιχεί σε µια άλλη ευθεία µιας άλλης τοµής που να έχει την ίδια ιδιότητα.

Η άλλη αυτή ευθεία βέβαια θα πρέπει να έχει δηµιουργηθεί από ανάλογη κατασκευή

«µπουκέτου» ευθειών των οποίων το σηµείο τοµής – σύγκλισης θα είναι στη κορυφή της

περιέλιξης. 67

Στη συνέχεια, πριν περάσει σε γενικές προτάσεις που αφορούν γενικές τοµές περιέλιξης,

παρέχει το ακόλουθο λήµµα που είναι χαρακτηριστικό του κύκλου:

Λήµµα 7 :

67 Με αυτήν την παράγραφο, ο Desargues αρχίζει και δείχνει την επιµονή του στην σπουδαιότητα και στην γενικότητα της προβολικής µεθόδου την οποία περιγράφει και µελετά.

165

Σχήµα 4.5.11

Έστω ότι σε διάµετρο ΑΤ κύκλου LMEC δύο σηµεία Α, Ι βρίσκονται σε ενέλιξη µε τα δύο

αντιδιαµετρικά σηµεία Ε, C και έστω οι ευθείες LIS & LAM που διέρχονται από ένα

τυχαίο σηµείο L του κύκλου και από τα σηµεία Α, Ι.

Έστω επίσης ότι από τα σηµεία E, C & T (κέντρο) περνούν 3 ζεύγη ευθειών, ER, EO,

CP, CN, TB, TD, συζυγών68 (Conjugate, Conjugées) ευθειών, οπότε εξ’ αιτίας των

ιδιοτήτων του κύκλου θα είναι κάθετες στις LA & LI αντίστοιχα.

∆ύο ευθείες, όπως οι CP & ER, όπου κάθε µια είναι παράλληλη µε µια (άρα

παράλληλες και µεταξύ τους) εκ δύο διαµέτρων τοµής περιέλιξης οι οποίες είναι συζυγείς69

µεταξύ τους, λέγονται Συζυγικές (Conjugal, Conjugales) µεταξύ τους.

68 Εδώ υπάρχει δυσκολία στη µετάφραση. Αναφέρει για πρώτη φορά τη λέξη συζυγείς και δεν διευκρινίζει ποιες εννοεί. Από τα επόµενα προκύπτει ότι εννοεί συζυγείς τις ΤΒ & LA, ενώ τις CP & ER τις ξεχωρίζει και τις ονοµάζει συζυγικές. Τον όρον αυτόν εξάλλου δεν τον είχε αρχικά χρησιµοποιήσει, αλλά τον πρόσθεσε σε 4 σελίδες συµπληρώσεων στο τέλος του έργου του. 69 Η έννοια των συζυγών διαµέτρων έχει οριστεί από τον Απολλώνιο στη παρούσα εργασία: Η κάθε µια διχοτοµεί χορδές που είναι παράλληλες προς την άλλη. Στον κύκλο οι συζυγείς διάµετροι είναι κάθετες.

166

Τότε σε κάθε µια από τις LA, LI το τµήµα που περιέχεται µεταξύ δύο σηµείων της που

έχουν προκύψει από τις συζυγικές ευθείες προερχόµενες από τα Ε & C, είναι ίσο µε το

τµήµα που περιέχεται µεταξύ των σηµείων τοµής της άλλης εκ των LA, LI και του κύκλου.

∆ηλαδή: ΝΟ = LM & PR = LS.

Επιπλέον το «ορθογώνιο» του κάθε ζεύγους συζυγικών ευθειών προερχόµενες από τα

Ε, C προς την κάθε µια εκ των LA, LI ισούται µε το «ορθογώνιο» των τµηµάτων που

έχουν κοινό άκρο το L και τα άλλα δυο άκρα τους είναι τα σηµεία τοµής της κάθε µιας εκ

των LA, LI µε αυτές τις συζυγικές ευθείες. ∆ηλαδή: CP·ER = LP·LR & CN·EO = LN·LO.

Απόδειξη:

Α) ΝΟ = LM & PR = LS.

Αφού CP//TB//ER και Τ µέσο του CE, τότε Β µέσο του PR. Όµως Β µέσο του LM, άρα

LP=MR. Οµοίως προκύπτει ότι NL=OS.

Επειδή τώρα τα σηµεία C, I, E, A είναι σε ενέλιξη και LC⊥LE, προκύπτει70 ότι οι LC,

LE είναι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν οι LA, LI. Έτσι τα ορθογώνια τρίγωνα

CLP & CLN όπως και τα LER & LEO είναι ίσα µεταξύ τους. Εποµένως LR=LO και

LP=LN. Άρα προκύπτουν οι ζητούµενες ισότητες ΝΟ = LM & PR = LS .

Επιπροσθέτως επειδή ΜC⊥ΜE, προκύπτει οµοίως ότι οι ΜC, ΜE είναι διχοτόµοι των

γωνιών που σχηµατίζουν οι ΜA, ΜI. Άρα (µε συγκρίσεις τριγώνων) προκύπτει ότι IM=IS

και IL=IX (Χ το σηµείο τοµής της ΙΜ µε τον κύκλο).

Β) CP·ER = LP·LR & CN·EO = LN·LO.

Το τρίγωνο CLH είναι ορθογώνιο µε ύψος LP, οπότε προκύπτουν τα όµοια τρίγωνα

LPH, CLH (Η σηµείο τοµής EL & CP) & CPL. Επίσης αφού CP//ER έχουµε πάλι όµοια

τρίγωνα, LPH µε LRE & LPH µε LOE. Άρα επειδή CPL~LRE έχουµε CP LP

LR RE= ⇔

⋅ ⋅CP RE=LR LP . (Οµοίως βγαίνει και CP RE MR MP⋅ = ⋅ ).

Οµοίως επειδή CLΝ~LΟE έχουµε CN LN

LO EO= ⇔ CN·EO = LN·LO.

70 Αποδεικνύεται ξεχωριστά µε διάφορους τρόπους ότι αν C, I, E, A αποτελούν αρµονική τετράδα και το L βλέπει υπό ορθή γωνία το τµήµα CE τότε LE, LC διχοτόµοι.

167

Λήµµα 8 :

Σχήµα 4.5.12

Συνεχίζοντας την προηγούµενη κατασκευή, έστω ότι από κάποιο σηµείο εκ των Α, Ι, π.χ.

το Ι, περνά η ΙΖ κάθετη στην LA, την µία εκ των LA, LI. Στην LA και σε κάποιο σηµείο εκ

των P, R, π.χ. στο P, περνά µια άλλη ευθεία PKQ, που τέµνει την ΙΖ στο Κ και την ER στο

Q, κατά τέτοιο τρόπο ώστε ΖΙ2 = ΖΚ·ZR. Τότε RP BR BP

RQ CP RE

⋅=

⋅ και το «ορθογώνιο» CP·RE

ισούται µε τα «ορθογώνια» ZI·BT & MR·ΜP.

[Η ισότητα CP·RE= MR·ΜP αποδείχτηκε µόλις πριν.]

Απόδειξη :

168

Επειδή ΖΚ//RQ έχουµε : 2

RP ZP ZP ZR ZP ZR

RQ ZK ZK ZR ZI

⋅ ⋅= = =

⋅.71 (1)

Επειδή CP//TB//IZ//ER η ενέλιξη των 4 σηµείων Α,Ι, Ε,C µε µάτι το Τ (που είναι µέσο του

CE) µεταφέρεται στην ευθεία LA, όπου προκύπτει ενέλιξη των 4 σηµείων Α,Z, R,P µε µάτι

το Β (που είναι επίσης µέσο του LM). Επιπλέον προκύπτουν οι παρακάτω ισότητες :

Α) TI TE

TE TA= γιατί από την ενέλιξη έχω : ...

IE AE TE TI TA TE

IC AC TI TC TA TC

− −= ⇔ = ⇔ ⇔

+ +

2TE TA TI= ⋅ .

Β) IC·IE = IT·IA (το Τ είναι το µάτι). Αυτή προκύπτει από το λήµµα 2 στο Α΄ µέρος του

BrP. Όπως αναφέρεται εκεί, µπορούµε στη συνέχεια να θεωρήσουµε το Ι σαν µάτι και το Τ

σαν κόµβο. Έτσι την τελευταία ισότητα την βλέπουµε µε άλλη σκοπιά : IC·IE = IT·IA,

δηλαδή ενέλιξη 4 σηµείων C,E, A,T, µε µάτι το Ι. Τώρα πάλι το λήµµα 2, εφαρµοζόµενο

στην τελευταία ενέλιξη δίνει, για έναν κόµβο Α : AC·AE = AT·AI. Άρα AC AI

AT AE= και

επειδή AC CP AP

AT TB AB= = και

AI ZI AZ

AE ER AR= = προκύπτουν οι ισότητες CP·RE= ZI·BT

(2) και AP·AR=AB·AZ. Η τελευταία ισότητα µας «δείχνει» άλλη ενέλιξη µε µάτι Α, οπότε

από το λήµµα 1 στο Α΄ µέρος έχουµε : AZ ZP ZR

AB BP BR

⋅=

⋅.

Αφού όµως 2AZ ZI ZI

AB BT BT ZI= =

⋅, τότε

2ZI ZP ZR

BT ZI BP BR

⋅=

⋅ ⋅⇔

2

BP BR ZP ZR

BT ZI ZI

⋅ ⋅=

⋅. Έτσι από

τις ισότητες (1) & (2) προκύπτει το ζητούµενο, RP BR BP

RQ CP RE

⋅=

⋅.

Συνεχίζοντας προκύπτουν και τα ακόλουθα : RP BR BP

RQ CP RE

⋅=

⋅⇔

2RP BR BP

RQ RP CP RE

⋅=

⋅ ⋅⇔

1

4CP RE RP RQ⋅ = ⋅ ⋅ . Επίσης όπως είδαµε και πρωτύτερα : ΙΧ=ΙL, CX=CL, IM=IS &

EM=ES. Εποµένως LIC CIX=ɵ ɵ .

71 Ακολουθώντας την τακτική των Αρχαίων, ο Desargues δεν λέει ότι πολλαπλασιάζει τους όρους του κλάσµατος µε το ZR, αλλά το αναφέρει ως κοινό ύψος των «ορθογωνίων» ZP·ZR & ZK·ZR.

169

Θεώρηµα 4 :

Αν οι ευθείες FCB & FDE συναντούν µια κωνική στα Β,C & D,E αντίστοιχα, G σηµείο

τοµής των BD, CE, και Ν σηµείο τοµής των BE, CD, τότε η ευθεία GN είναι η

αποτέµνουσα (transversal) των συντρεχουσών στο F ευθειών. ∆ηλαδή τα σηµεία F,G, X,Y

είναι σε ενέλιξη.72

Σχήµα 4.5.13 NG Πολική του F

Απόδειξη:

72 O Desargues εδώ αναπτύσσει τη θεωρία πόλων και πολικών και αποδεικνύει ότι µέσα σε ένα πλήρες 4-κόρυφο BCDE που εγγράφεται σε κωνική, η ευθεία που ενώνει δύο διαγώνια σηµεία, π.χ. τα G, N, είναι η πολική του τρίτου διαγώνιου σηµείου, δηλαδή του F. Έτσι δείχνει τη βάση της κατασκευής της πολικής ενός σηµείου.

170

GX DX BN

GY DN BY

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ΝΧΥ και τέµνουσα την DBG).

GX CX EN

GY CN EY

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο NXY και τέµνουσα την CGE).

FX DX EN

FY DN EY

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ΝΧΥ και τέµνουσα την FDE).

FX CX BN

FY CN BY

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ΝΧΥ και τέµνουσα την FCB).

Άρα FX GX

FY GY= , που δείχνει ότι τα F,G, X,Y είναι σε ενέλιξη.

Συνεχίζοντας την προηγούµενη κατασκευή, όπως φαίνεται στο αµέσως επόµενο σχήµα,

σχεδιάζουµε την NF και βλέπουµε ότι οι 4 ευθείες NF, NX, NG, NY της «δεσµίδας» από

το Ν περνούν από τα 4 σηµεία της ενελικτικής τετράδας F,G, X,Y. Οµοίως λοιπόν θα

δίνουν κι άλλες ενελικτικές τετράδες και σε άλλες ευθείες που περνούν από το F, όπως τις

F,O, C,B και F,H, I,K. Το ίδιο θα συµβαίνει και µε τη «δεσµίδα» ευθειών GF, GC, GO, GB

οι οποίες αφού περνούν από την ενελικτική τετράδα F,O, C,B, θα δίνουν κι άλλη τέτοια

τετράδα, την F,H, P,Q, στην άλλη ευθεία FH. Επιπλέον αν η ευθεία FH τέµνει την κωνική

στα σηµεία L, M, τότε από το θεώρηµα 3 προκύπτει ότι τα F,Η, L,M είναι επίσης σε

ενέλιξη καθώς και τα σηµεία L,M, I,K, Q,P, αποτελούν ενελικτική εξάδα. Έτσι η ευθεία

GN είναι η αποτέµνουσα των συντρεχουσών στο F ευθειών.

171

Σχήµα 4.5.14 NG Πολική του F και NF Πολική του G

Επειδή τώρα καθένα από τα ζεύγη I,K & P,Q βρίσκεται σε ενέλιξη µε τα F,H,

προκύπτει ότι θα είναι ζεύγος ακραίων κόµβων ενός δέντρου στο οποίο τα F,H θα είναι

δύο διπλοί µέσοι κόµβοι. Συνεπώς και τα σηµεία L,M θα αποτελούν ζεύγος ακραίων

κόµβων.

Απ’ όλα αυτά συµπεραίνουµε ότι στη τοµή περιέλιξης CLDEMB, που περιέχει τα 4

δεικτικά σηµεία B,C,D,E, η ευθεία GF είναι επίσης η αποτέµνουσα των συντρεχουσών στο

Ν ευθειών και η FN είναι η αποτέµνουσα των συντρεχουσών στο G ευθειών.

Και όταν σε επίπεδο γενικής τοµής περιέλιξης, υπάρχει οικογένεια συντρεχουσών

(τεταγµένων) σε σηµείο στο ∞ ευθειών, [δηλαδή παραλλήλων] και οι ευθείες όλες τέµνουν

την τοµή αυτή, τότε τα τµήµατα, σε κάθε µια τεταγµένη, που περιέχονται µεταξύ του

σηµείου τοµής αποτέµνουσας - τεταγµένης και του καθενός εκ των δύο σηµείων τοµής της

τεταγµένης µε το σύνορο του σχήµατος, είναι ίσα µεταξύ τους. Το ίδιο επίσης ισχύει για

τα τµήµατα που περιέχονται µεταξύ του σηµείου σύγκλισης των τεταγµένων (δηλαδή του

σηµείου στο ∞) και του καθενός εκ των δύο σηµείων τοµής της τεταγµένης µε το σύνορο

172

του σχήµατος. Σ’ αυτήν την παράγραφο θέλει να πει το εξής: Όταν το F πάει στο ∞,

δηλαδή οι τεταγµένες FCB, FLM, κλπ είναι παράλληλες, τότε το Ο γίνεται µέσο του BC

όπως και το Η µέσο του LM. 73

Άρα στο επίπεδο της γενικής τοµής περιέλιξης, µια οποιαδήποτε ευθεία είναι, σε

σχέση µε την τοµή, αποτέµνουσα ευθειών συντρεχουσών (τεταγµένων) σε κάποιο σηµείο

και αν το σηµείο είναι στο ∞, αυτή η αποτέµνουσα είναι διάµετρος της κωνικής ή αλλιώς

διάµετρος-αποτέµνουσα των ευθειών αυτών.74

Και ένα οποιοδήποτε σηµείο είναι, σε σχέση µε την τοµή, το σηµείο τοµής –

σύγκλισης κάποιων ευθειών, τεταγµένων µιας αποτέµνουσας και αν οι τεταγµένες αυτές

είναι παράλληλες, το σηµείο αυτό θα είναι στο ∞.75

Έτσι η κατασκευή της πολικής ενός σηµείου F είναι η εξής: Έστω ότι δύο ευθείες FCB

& FDE τέµνουν την κωνική στα B,C, & D,E αντίστοιχα. Τότε τα ζεύγη των ευθειών BE,

CD & BD, EC δηµιουργούν τα σηµεία N & G αντίστοιχα. Έτσι η αποτέµνουσα NG είναι η

ζητούµενη πολική (του F). Συνεπώς είναι εύκολο να σχεδιαστoύν και οι εφαπτοµένες της

κωνικής από το σηµείο F. Απλώς ενώνουµε το F µε τα σηµεία τοµής της πολικής του F µε

την κωνική. Είναι επίσης δυνατό να κατασκευάσουµε την εφαπτοµένη της κωνικής σε

δοσµένο σηµείο Ρ 76 : Σχεδιάζουµε πρώτα µια άλλη εφαπτοµένη της κωνικής (µε τον

προηγούµενο τρόπο) και ονοµάζουµε Β το σηµείο επαφής. Σχεδιάζουµε τη διάµετρο BC

και φέρνουµε από το Ρ παράλληλη προς την εφαπτοµένη, που θα τέµνει την BC στο Q.

Στη συνέχεια βρίσκουµε το τέταρτο αρµονικό σηµείο R (τα άλλα τρία είναι: Β,C,Q) και η

RP είναι η ζητούµενη εφαπτοµένη στο Ρ. Αυτές οι κατασκευές είναι ευκολότερες από τις

αντίστοιχες στα Κωνικά ΙV του Απολλωνίου.

Μετά από τα προηγούµενα καταλήγει στο:

Θεώρηµα 5 :

73 Είναι η περίπτωση της ενελικτικής τετράδας που έχει µελετήσει εξονυχιστικά στο Α΄ µέρος του BrP. 74 Η έννοια της διαµέτρου – αποτέµνουσας εδώ συµφωνεί µε την έννοια της διαµέτρου όπως την είχε περιγράψει ο Απολλώνιος. Η διάµετρος λοιπόν είναι η πολική του σηµείου στο ∞. Μάλιστα αναφέρει ότι η Απολλώνια διάµετρος είναι ειδική περίπτωση της δικής του έννοιας, της Αποτέµνουσας. Φαίνεται καθαρά λοιπόν η προσπάθεια γενίκευσης της Απολλώνιας θεωρίας. 75 Αυτή η παράγραφος είναι η δυική της προηγούµενης και το σηµείο αυτό είναι ο πόλος. Ο Desargues δείχνει την αυστηρότητα των προβολικών αρχών. 76 Μια ευκολότερη κατασκευή θα δούµε στην παράγραφο 5.1 ως κατάλληλη εφαρµογή του Θ. Pascal.

173

Οι πολικές (ευθείες) των σηµείων που κείνται στην NG συντρέχουν όλες στο F και

αντιστρόφως οι πόλοι των συντρεχουσών στο F ευθειών κείνται στην NG.77

Αν η κωνική είναι κύκλος µε την NG διάµετρο, όλες οι πολικές (του Ν) είναι

παράλληλες, κάθετες δε στη NG και συγκλίνουν βέβαια στο σηµείο στο ∞. Αν η κωνική

δεν είναι κύκλος, το θεώρηµα πάλι ισχύει (υπό την έννοια της προβολής).

Εδώ ο Desargues µε αφορµή την ειδική περίπτωση της εφαπτοµένης προς την κωνική

από τον πόλο F, διαπιστώνει ότι αυτή η τεταγµένη (η εφαπτοµένη δηλαδή) της

αποτέµνουσας NG φέρνει στο φως ένα τρίτο είδος ενέλιξης (πέραν των δύο που έχει ήδη

ανακαλύψει στο Α΄ µέρος του BrP), την Παραβολική Ενέλιξη. Αυτό είναι ένα είδος που

τοποθετείται ανάµεσα στην Ελλειπτική και στην Υπερβολική ενέλιξη. Εδώ, όπως έχουν

εξηγηθεί τα δύο τελευταία είδη, ισχύει ΑΒ·ΑΗ = AC·AG = AD·AF = 0, οπότε ένας

κόµβος κάθε ζεύγους συζυγών κόµβων πάντοτε ταυτίζεται µε το µάτι Α και είναι µια

περίπτωση «εκφυλισµένη» που δεν κατανοείται ολοκληρωτικά. Η παραβολική ενέλιξη έχει

έτσι µία εστία ή αλλιώς ένα επαλαµβανόµενο σταθερό σηµείο (Α≡Β≡C≡…).

Στη συνέχεια συνοψίζοντας, συνδέει τα τρία είδη «δέντρων» ενέλιξης µε τις κωνικές

τοµές: Κατ’ αρχήν όταν η πολική ευθεία είναι σε άπειρη απόσταση, τίποτα δεν είναι

δυνατόν να φανταστούµε. Αν όµως είναι σε πεπερασµένη απόσταση τότε θα συναντά ή όχι

την κωνική τοµή. Στην περίπτωση που δεν τη συναντά, τότε το «δέντρο» που σχηµατίζεται

στην πολική από τους πόλους των τεταγµένων ευθειών διάταξης F (δηλαδή στο

προηγούµενο σχήµα κάθε τεταγµένη ευθεία που περνά από το F έχει πόλο πάνω στην

πολική του F, στην NG) θα είναι του είδους της Ελλειπτικής ενέλιξης. Εάν τη συναντά,

τότε αυτό θα γίνεται ή σε δύο διαφορετικά σηµεία ή σε δύο που συµπίπτουν (σηµείο

επαφής). Στην πρώτη περίπτωση έχουµε «δέντρο» Υπερβολικής ενέλιξης και στην

περίπτωση της εφαπτοµένης έχουµε, όπως είπαµε, «δέντρο» Παραβολικής ενέλιξης.

Τελειώνοντας την µελέτη των αποτεµνουσών (πολικών) και των πόλων τους ο Desargues

παρουσιάζει την ακόλουθη στερεοµετρική κατασκευή του κέντρου και όλων των

διαµέτρων µιας κωνικής τοµής:

Θεώρηµα 6 :

77 Από το θεώρηµα προκύπτει µέθοδος εύρεσης πόλου µιας ευθείας: Είναι το σηµείο τοµής των πολικών ευθειών δύο τυχαίων σηµείων της.

174

Έστω ότι δίνεται το µέγεθος και η θέση µιας γενικής τοµής περιέλιξης µε σύνορο τη

καµπύλη (δηλαδή την κωνική τοµή) E,D,C,B η οποία αποτελεί τη βάση µιας γενικότερης

περιέλιξης δοθείσης κατά τη θέση κορυφής. Έστω επίσης ένα άλλο δοθέν επίπεδο που

τέµνει αυτήν την περιέλιξη κατά µία κωνική τοµή και το επίπεδο της βάσης κατά έναν

δοθέντα άξονα 4, 5. Τότε το σχήµα που προκύπτει από αυτήν την κατασκευή στο επίπεδο

τοµής θα είναι γνωστό κατά το είδος και τη θέση του και οι διάµετροί του θα φανερώνουν

τις συζυγείς διαµέτρους και τους άξονες καθώς επίσης και κάθε είδος τεταγµένων

(ordinates) και εφαπτοµένων προς το σχήµα αυτό.

Σχήµα 4.5.15

175

Ας διασαφηνίσουµε τι εννοεί.78 Αρχικά θεωρεί έναν γενικευµένο κώνο µε βάση µια κωνική

τοµή Γ (στο σχήµα είναι κύκλος). Θεωρεί επίσης ένα επίπεδο p που τέµνει τον κώνο σε µια

καµπύλη Γ΄ (δεν την αποκαλεί όµως κωνική τοµή). Έστω ότι το επίπεδο p τέµνει και το

επίπεδο της βάσης κατά την ευθεία 4, 5. Ένα άλλο επίπεδο q που περιέχει την κορυφή του

κώνου και είναι παράλληλο προς το επίπεδο p τέµνει το επίπεδο της βάσης κατά µια ευθεία

ΝΗ // 4,5. (H NH είναι η ευθεία ε του σχήµατος). Τότε η ΝΗ θα είναι η πολική κάποιου

δοθέντος σηµείου F στη βάση Γ ή κατά τα λεγόµενα του Desargues η αποτέµνουσα µιας

διάταξης ευθειών (ED, BC, κλπ) δοθέντος σηµείου τοµής F. H KF τέµνει το επίπεδο p της

καµπύλης Γ΄ σε ένα σηµείο F΄ που είναι το κέντρο της, διότι η ενελικτική τετράδα (CBFT)

µεταφέρεται αναλλοίωτη υπό κεντρική προβολή (από το Κ) στην τετράδα (C΄Β΄F΄∞)!

Εποµένως το F΄ παίρνει θέση στο µέσο της C΄Β΄. Στη συνέχεια προσθέτει ότι τα επίπεδα

που περνούν από τη κορυφή Κ και το σηµείο F τέµνουν το επίπεδο p στις διαµέτρους της

κωνικής Γ΄. Από αυτά ξεχωρίζει το επίπεδο των σηµείων Κ, F, O (κέντρο της κωνικής Γ ή

σηµείο τοµής των διαµέτρων της) το οποίο είναι ακριβώς αυτό που οδηγούσε στην

κατασκευή της κύριας διαµέτρου του Απολλωνίου που είδαµε στα Κωνικά Ι.7. (Στο

ανάλογο σχήµα 3.2.3α στη δουλειά του Απολλωνίου, ο πόλος της ευθείας v βρίσκεται στην

κάθετη ΜΝ). ∆εν είναι βέβαια απαραίτητο για τον Desargues να δώσει την κατασκευή που

περιγράψαµε γιατί έχει ήδη αποδείξει πρωτύτερα ότι κάθε κωνική τοµή έχει κέντρο και

διαµέτρους. Αναδεικνύεται όµως µε θαυµάσιο τρόπο η διαφορά του από τον Απολλώνιο:

Βρίσκει τις διαµέτρους της κωνικής Γ΄ αλλά δεν ξεχωρίζει πια την κύρια διάµετρο και

επιπλέον βρίσκει και το κέντρο της F΄, ενώ ο Απολλώνιος δεν το πετύχαινε µε τη δική του

κατασκευή.

Ο Desargues διευκρινίζει τώρα την έννοια των Συζυγών ευθειών (Conjugate lines,

Conjugées droites) στο πλαίσιο της Προβολικής γεωµετρίας. Είναι αυτές που η κάθε µία

διέρχεται από τον πόλο της άλλης. Αυτός ο ορισµός συµφωνεί µε τον Απολλώνιο ορισµό

των συζυγών διαµέτρων. Οι τελευταίες είναι προφανώς κατά Desargues συζυγείς ευθείες.

Οι Ασύµπτωτες (Asymptotes) λοιπόν δεν είναι παρά συζυγείς ευθείες οι οποίες αγγίζουν την

κωνική στο σηµείο στο ∞ και είναι και συζυγείς διάµετροι αφού περνούν από το κέντρο

της κωνικής (υπερβολής).

Λήµµα 9 :

78 Hogendijk, 1991.

176

Σχήµα 4.5.16

Όταν σε ένα επίπεδο µια ευθεία ΡΗ συναντά το σύνορο κωνικής τοµής B,C,D,E στα

σηµεία L, M, δύο άλλες παράλληλες ευθείες BC, DE τέµνουν τον «κορµό» ΡΗ στα Ι, Κ και

από το L περνά µια άλλη ευθεία LRS, τότε :

Α) KS KM IR IM

KD KE IB IC

⋅ ⋅=

⋅ ⋅.

Β) Αν το S είναι τέτοιο ώστε KS·KM=KD·KE φέρνουµε από το Μ παράλληλη προς τις

DE, BC, και έστω ότι η LS τέµνει αυτήν στο Τ και την ΙΒ στο R. τότε π.χ. για τον «κλάδο

ED εκ κορµού ΡΗ» ισχύει KL KM ML

KE KD MT

⋅=

⋅. Αν ο κορµός ΡΗ είναι διάµετρος του σχήµατος

και οι κλάδοι BC, DE είναι οι τεταγµένες του, τότε το «κλαρί» ΜΤ, «εκ κορµού» ΡΗ,

καλείται εδώ συνρυθµιστής (Coadjutor, Coadjuteur) και αλλού κανονική πλευρά ή

παράµετρος (Normal side – parameter, Costé droit – parameter).

Απόδειξη :

KL KM KL IL IL IM

KS KM KS IR IR IM

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅, αφού ED//CB. Άρα

KL KM KS KM

IL IM IR IM

⋅ ⋅=

⋅ ⋅. Επειδή όµως

KL KM KD KE

IL IM IC IB

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ (από το Θεώρηµα 3 της Ενέλιξης) τότε

KS KM KD KE

IR IM IC IB

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ που

είναι το ζητούµενο.

177

Από την προϋπόθεση του (Β) προκύπτει τώρα IR·IM=IC·IB.

Άρα KL KM KL KM KL ML

KE KD KS KM KS MT

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ αφού ΜΤ//KS. Όταν όµως ο κορµός ΡΗ είναι

διάµετρος του σχήµατος και οι χορδές ED, CB είναι οι τεταγµένες της, τότε

2

KL KM ML

KE MT

⋅= και το «κλαρί» ΜΤ είναι η παράµετρος.

O Desargues αναφέρει ότι αυτή η περίπτωση είναι ‘only a [special] case, of a [special]

case, of a [special] case’. Ας εξηγήσουµε τι εννοεί:

Στην Απολλώνια θεωρία των κωνικών τοµών τα «συµπτώµατά» τους, δηλαδή οι

εξισώσεις τους µεταξύ των τεταγµένων (ordinates) και τετµηµένων (abscissas), κατείχαν

περίοπτη θέση. O Desargues όπως δείξαµε έκανε την ίδια δουλειά αλλά δουλεύοντας σ’

ένα γενικότερο πλαίσιο. Η τελευταία ισότητα αν γραφτεί 2 MTKM

ML= ⋅ ⋅KE KL είναι το

σύµπτωµα της έλλειψης έτσι όπως το δείξαµε στον Απολλώνιο,

2 ( )∆Π

= ⋅ ∆Θ−∆Υ ⋅∆Θ

XY ∆Υ , όπου το ΜΤ παίζει το ρόλο της Απολλώνιας παραµέτρου

∆Π=p=ορθία=lactum rectum=erect side. Έτσι ισχυρίζεται ότι η θεωρία του είναι πολύ πιο

γενική από την αντίστοιχη του Απολλωνίου και αποκαλεί την τελευταία special case.79

Ταυτίζει την Απολλώνια παράµετρο µε τη δική του στην περίπτωση που η LM είναι

διάµετρος της κωνικής και η κατεύθυνση των ED, CB είναι εκείνη των τεταγµένων

(ordinates) της. Ας σηµειωθεί ότι ο Desargues δεν αναφέρει ότι η Απολλώνια ορθία είναι

κάθετη στη διάµετρο LM και δεν συζητά καθόλου την περίπτωση της παραβολής. Τέλος

το ότι δεν αναφέρει ευθέως τα Κωνικά του Απολλωνίου ίσως οφείλεται στο ότι φοβόταν

να φανεί κάποιου είδους κριτική στη δουλειά ενός µεγάλου αρχαίου γεωµέτρη τον οποίον

θαύµαζαν πολλοί γεωµέτρες του 17ου αιώνα.

Στο τελευταίο µέρος του BrP ο Desargues εισάγει τις εστίες της έλλειψης και της

υπερβολής και συζητά µερικές από τις ιδιότητές τους. Οι προσπάθειές του συνδέονται µε

τα λήµµατα 7 & 8 αλλά αυτή ακριβώς η σύνδεση δεν είναι καθόλου προφανής και ο

πρώτος που την έφερε στην επιφάνεια ήταν ο Zeuthen το 1903. Επίσης υπάρχει κάποια

σχέση µε τα Κωνικά του Απολλωνίου αλλά και αυτή δεν είναι άµεσα ορατή.

79Η πολλαπλή επανάληψη της φράσης special case µάλλον δείχνει κάποια υπερβολή εκ µέρους του

Desargues.

178

Λήµµα 10 :

Σχήµα 4.5.17

Έστω τα σηµεία Ε, C µιας κωνικής τοµής (εδώ υπερβολής) τα οποία είναι άκρα µιας

διαµέτρου της ΕOC (το κέντρο της κωνικής το ονοµάζει 7, αλλά εµείς Ο) και έστω ότι οι

εφαπτόµενες CD, EB (που θα είναι και παράλληλες) τέµνονται από µια τρίτη εφαπτοµένη

LBD που αγγίζει την κωνική στο L. Τότε το «ορθογώνιο» ΕΒ·CD είναι σταθερού

µεγέθους, ανεξάρτητο από τη θέση του L.

Απόδειξη :

Έστω Α το σηµείο (butt) τοµής – σύγκλισης των CE & LBD. Σχεδιάζουµε την

αποτέµνουσα LI των τεµνουσών την κωνική ευθειών (όπως είναι η CE. Αυτό γίνεται

βρίσκοντας το τέταρτο αρµονικό σηµείο Ι των C, E, A) η οποία τέµνει το σύνορο της

κωνικής στο σηµείο Μ. Επειδή όµως η COE είναι διάµετρος της κωνικής θα είναι και

διάµετρος – αποτέµνουσα κάποιων άλλων τεταγµένων της. Αυτές θα είναι εκείνες που

περνούν από τα 4 ενελικτικά σηµεία C, E, A, I και θα έχουν την ίδια διεύθυνση. Αφού

179

λοιπόν CD//EB τότε LI// CD//EB. Το σηµείο (butt) τοµής – σύγκλισης βέβαια αυτών θα

είναι στο ∞. Επειδή το Ο είναι το µέσο της διαµέτρου, θα είναι το µάτι του ενελικτικού

δέντρου [C,E, A,Ι]. Σύµφωνα µε το λήµµα 2 (και της συνέπειάς του) ως µάτι µπορεί να

θεωρηθεί το Α και η ενελικτική τετράδα θα είναι η [C,E, O,I] ή ακριβέστερα η εξάδα [C,C,

E,E, O,I]. Άρα θα ισχύει AC·AE=AO·AI και από το λήµµα 1 προκύπτει AO OC OE

AI IC IE

⋅=

⋅.

(1)

Σχεδιάζουµε τώρα την OR//BE. Τότε AO OR OR IL

AI IM IM IL

⋅= =

⋅ (IM=IL). (2)

Επίσης ισχύουν EB AE

IL AI= ,

OR AO

CD AC= και επειδή τα δεύτερα µέλη είναι ίσα έχουµε :

ΕΒ·CD=IL·OR. (3).

Από τις (1), (2), (3) προκύπτει OC OE EB CD

IC IE IM IL

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ή

IM IL EB CD

IC IE OC OE

⋅ ⋅=

⋅ ⋅.

Αλλά IM IL

IC IE EC

⋅=

⋅EF

, όπου EF η παράµετρος της διαµέτρου ΕΟC που ο Desargues όρισε

νωρίτερα στο λήµµα 9. Για να κατασκευάσει τώρα την ΕF στην εφαπτοµένη ΒΕ (η

παράµετρος στην Απολλώνια θεωρία ήταν πάντα κάθετη στην αντίστοιχη διάµετρο)

αναφέρει την εξής µέθοδο : Φέρνει τη διχοτόµο EV της γωνίας GEI και το F είναι το

σηµείο τοµής των CV & BE.

Άρα προκύπτει ότι EB CD

OC OE EC

⋅=

⋅EF

, που δείχνει ότι ΕΒ·CD = σταθερό. Επειδή δε Ο µέσο

του CE, καταλήγει στην ισότητα 1

4EB CD EC⋅ = ⋅ ⋅EF .

Στη συνέχεια συµπεραίνει ότι αν η ΕΟC είναι ο µεγάλος άξονας της κωνικής, τότε ένα

«κλαρί» όπως το BD, πάνω σε µια οποιαδήποτε εφαπτοµένη LR, θα είναι η διάµετρος ενός

κύκλου ο οποίος θα τέµνει την ΕΟC σε δύο σηµεία P, Q τέτοια ώστε

1

4PE PC QE QC EC⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅EF , PL + QL ή PL – QL σταθερές ποσότητες και η

εφαπτοµένη στο L διχοτοµεί τη γωνία PLQ. Αυτά τα δύο σηµεία P, Q καλούνται Εστίες

(Foci or Burning points or Navels, Foyerz ou Points bruslans ou Nombrils). Τα τελευταία

συµπεράσµατα όµως ο Desargues δεν τα αποδεικνύει αλλά απλώς αναφέρει ότι είναι

προφανή αποτελέσµατα του αντιστρόφου της αποδεικτικής διαδικασίας του τελευταίου

λήµµατος. Οι Poudra και Coolidge αδυνατούν να βρούν πως προκύπτουν αλλά ο Taton

180

(1951) ακολουθώντας τον Zacharias γράφει ότι προέρχονται από το λήµµα 8. (Ας

σηµειωθεί ότι η εφαπτοµένη LR θα µπορούσε να ήταν και ασύµπτωτη αφού για την

τελευταία, το L είναι στο ∞). Εδώ τελειώνει η εργασία του Desargues που αφορά στην

εύρεση εστιών έλλειψης και υπερβολής. Η εστία παραβολής δεν αναφέρεται ούτε εδώ ούτε

στον Απολλώνιο. Απ’ όσα αναφέρθηκαν προκύπτει ότι ο Desargues είχε διαβάσει καλά τα

Κωνικά και εµπνεύστηκε από τις Απολλώνιες έννοιες και µεθόδους αφού ειδικά για την

παραπάνω µελέτη στις εστίες των κωνικών οι διαφορές του µε τα Κωνικά είναι πολύ

µικρές.

Η τελευταία πρόταση του BrP

Το BrP τελειώνει µε µια περίπλοκη πρόταση που δεν έλαβε ποτέ ανάλογης προσοχής

γιατί συνδέεται µεν µε τις εστίες αλλά δεν είναι εµφανής η χρησιµότητά της.

Θεώρηµα 7 :

Σχήµα 4.5.18 Η τελευταία πρόταση του BrP

181

Όταν στο επίπεδο µιας κωνικής τοµής Ο5ΥΟ8GH, πάνω σε µια ευθεία ΑF η οποία είναι µια

τεταγµένη µιας αποτέµνουσας ΑV (ευθεία ε), το σηµείο αποτοµής Α µαζί µε το F, είναι σε

ενέλιξη µε δύο άλλα σηµεία Χ, Q, τα οποία είναι δύο διπλοί µέσοι κόµβοι της ενέλιξης (ας

την συµβολίσουµε φ), και κάθε ζεύγος κλάδων εκ κορµού XQ που διέρχονται από το

ζεύγος ακραίων κόµβων, όπως το ζεύγος κλάδων FH,AH ή το RG,ZG οι οποίοι τέµνονται

αντίστοιχα στα Η & G που βρίσκονται πάνω στο σύνορο του σχήµατος µε τέτοιο τρόπο

ώστε ο ένας κλάδος να εφάπτεται στο σχήµα όπως ο ΗΑ ή ο GZB, τότε καθένα από αυτά

τα ζεύγη κλάδων δίνει στην αποτέµνουσα VA καθένα από τα ζεύγη κόµβων D,A & E,B

που ανήκουν σε ένα δέντρο (δηλ. το δέντρο προσδιορίζει µια άλλη ενέλιξη σ)80 του οποίου

το µάτι C βρίσκεται στην ίδια ευθεία µε τα σηµεία Ο7 και Ρ, τα οποία είναι µάτια δύο

άλλων δέντρων: του Ο5Ο7Ο8 (που είναι η διάµετρος του σχήµατος που περνά από το F)

και του ΑF.

Ας το αναδιατυπώσουµε σε σύγχρονη γλώσσα : Έστω Γ µια κωνική τοµή, ε µια

αυθαίρετη ευθεία στο επίπεδό της και F ο πόλος της. Επιλέγουµε ένα σηµείο Α πάνω στην

ε και έστω φ είναι µια ενέλιξη στην ΑF µε δύο σταθερά σηµεία Χ, Q, έτσι ώστε φ(Α)=F.

Για ένα σηµείο Β πάνω στην ε, προσδιορίζουµε το σ(Β) πάνω στην ε ως εξής: Σχεδιάζουµε

την εφαπτοµένη ΒΖG από το Β στην κωνική. Θέτουµε φ(Ζ)=R. Το σ(Β)=Ε προσδιορίζεται

ως το σηµείο τοµής GR & ε. (Γι’ αυτό τον λόγο, σ(Α)=D και οι HF, GF είναι οι πολικές

των Α, Ζ αντίστοιχα). Συµπέρασµα : Η αντιστοίχηση σ είναι µια ενέλιξη και το κέντρο της

είναι το σηµείο τοµής των Ο7Ρ & ε, µε Ο7 το κέντρο της κωνικής και Ρ το κέντρο (µάτι)

της ενέλιξης φ.

Η απόδειξη του θεωρήµατος που δίνει ο Desargues είναι αρκετά περίπλοκη και γίνεται

µε όµοια τρίγωνα και αναλογίες. Ο ίδιος αναφέρει ότι ένα µεγάλο µέρος της οφείλεται

στον συνάδελφό του µαθηµατικό Jean Pujos. ∆εν θα την αναφέρουµε, αλλά θα

προσπαθήσουµε να δούµε γιατί ο Desargues έκανε όλο αυτόν τον κόπο. Ας δούµε πρώτα τι

συµπέρανε ο ίδιος από αυτό το θεώρηµα:

Αν η κωνική τοµή του θεωρήµατος γίνει βάση ενός κώνου του οποίου η κορυφή θ

(σχήµα 4.5.19) είναι σε κάποια απόσταση από το µάτι C (µετρηµένη κάθετα δηλ. θC⊥AV

και το θC να είναι ίσο µε ένα από τα µέσα κύρια κλαδιά του δέντρου στην ΑD) και

φέρουµε ένα παράλληλο προς το θΑCD επίπεδο που τέµνει το κώνο και δηµιουργεί µια

κωνική τοµή, τότε οι ευθείες που σχεδιάζονται από την κορυφή του κώνου προς τα σηµεία

80 Η ενέλιξη που θα δηµιουργηθεί στην ΑV θα είναι ελλειπτική, υπερβολική ή παραβολική ανάλογα µε το αν τα σηµεία Χ, Q βρίσκονται αντιστοίχως στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό ή πάνω στο σύνορο της κωνικής τοµής.

182

Χ, Q (του θεωρήµατος) θα δώσουν δύο νέα σηµεία Χ΄, Q΄, που θα είναι οι εστίες (foci,

burning points) της κωνικής τοµής που δηµιουργήθηκε.

Εδώ ο Desargues αναφέρεται σε ένα κώνο µε βάση την κωνική τοµή Γ (την Ο5ΥΟ8GH

του προηγουµένου σχήµατος) και κορυφή ένα σηµείο θ, όπως φαίνεται στο ακόλουθο

σχήµα. Ο κώνος αυτός τέµνει ένα παράλληλο προς το θΑCV επίπεδο σε µια κωνική Γ΄ µε

εστίες Q΄ & Χ΄.

Σχήµα 4.5.19

Στο γράµµα του προς τον Mersenne στις 4 Απριλίου 1638 αναφέρει τις ανακαλύψεις του

σχετικά µε τις διαµέτρους και τις τεταγµένες και συµπληρώνει :

…Μπορεί κανείς να δει µια παρόµοια µέθοδο εύρεσης, σε κάθε είδος κωνικών τοµών, των εστιών και

των ιδιοτήτων τους…

183

Το κείµενο αυτό δείχνει ότι το 1638 ο Desargues προσπαθούσε να κατασκευάσει µια

εναλλακτική θεωρία των εστιών διαφορετική από την αντίστοιχη Απολλώνια,

χρησιµοποιώντας προβολικές µεθόδους. Ίσως η τελευταία πρόταση λοιπόν να είναι

αποτέλεσµα αυτής της προσπάθειας. Τελικά όµως στο BrP δεν προκύπτει µια πλήρης

θεωρία εστιών βασισµένη σε προβολικές µεθόδους. Και επειδή γνώριζε και ο ίδιος ότι δεν

καρποφόρησε η προσπάθειά του όπως θα περίµενε, εντόπισε τις εστίες µε τον τρόπο των

Κωνικών, όπως δείξαµε και πριν.

Τέλος, αναφέρει ότι από το περιεχόµενο του έργου του προκύπτουν ενδιαφέρουσα

συµπεράσµατα που χρησιµεύουν στην προοπτική, στα ηλιακά ρολόγια (sundials) και στη

λάξευση των λίθων (cutting of stones). Για την προοπτική π.χ., προκύπτει ότι ευθείες µιας

διάταξης (δέσµης) συντρεχουσών ευθειών απεικονίζονται στο επίπεδο σχεδίασης σαν

ευθείες που επίσης ανήκουν σε µια διάταξη (δέσµη) συντρεχουσών ευθειών και η οπτική

ακτίνα είναι ο κοινός άξονας (η τοµή) όλων των επιπέδων που ορίζονται από το µάτι και

καθεµιά από τις ευθείες της αρχικής διάταξης. Αυτό είναι το µόνο σηµείο που ο Desargues

δείχνει µια εφαρµογή στην Προοπτική αν και από αυτήν εµπνεύστηκε. Παρόµοια

συµπεράσµατα αναφέρει και για τα άλλα δύο αντικείµενα.

Και ολοκληρώνει το BrP :

¨… Όποιος ενδιαφέρεται για το παρόν έργο, είναι ευπρόσδεκτος να επικοινωνήσει και να πει ό,τι

σκέφτεται γι’ αυτό.¨

Loüé soit Dieu

(Praise Be to God)

4.6 Γενίκευση της Θεωρίας του Απολλωνίου

Από τη µελέτη του BrP προκύπτει ότι ο Desargues γενικεύει τα ακόλουθα

θεωρήµατα τα οποία συναντήσαµε στον Απολλώνιο :

Κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης είναι διάµετρός της.

Κάθε ευθεία παράλληλη στην κύρια διάµετρο µιας παραβολής είναι διάµετρός της.

Κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της υπερβολής, εκτός των ασυµπτώτων, είναι

διάµετρός της.

184

Η γενίκευση βέβαια απαιτεί την καινοτόµο εισαγωγή των σηµείων και ευθειών στο άπειρο.

Είδαµε ότι δεν δίνει περαιτέρω εξηγήσεις για την ύπαρξή τους, ούτε την πηγή της

έµπνευσής του, φαινόταν δε παράλογη για την εποχή του.

Τα τρία παραπάνω θεωρήµατα τα συνοψίζει ως εξής :

Για οποιαδήποτε κωνική τοµή υπάρχει ένα σηµείο (το κέντρο) έτσι ώστε όλες οι

ευθείες που διέρχονται από αυτό είναι διάµετροι της κωνικής (εκτός ίσως από τις

ασύµπτωτες της υπερβολής).81

Αρχικά τα ακόλουθα δύο θεωρήµατα των Κωνικών του Απολλωνίου, αν και δεν

αναφέρονται καθαρά από τον Desargues, φαίνεται να τον ενέπνευσαν στη γενίκευση που

προσπάθησε να κάνει, αν και δεν τα αναφέρει γιατί θέλει µάλλον να κατασκευάσει µια

θεωρία ανεξάρτητη από αυτήν του Απολλωνίου και θεµελιωµένη σε διαφορετική βάση.

Α) Κωνικά ΙII.37 : Έστω ΡΑ, ΡΒ δύο εφαπτόµενες σε µια κωνική τοµή και από το

σηµείο Ρ διέρχεται µια ευθεία που τέµνει την κωνική στα σηµεία Χ & Υ και την ΑΒ στο

Q. Τότε PX QX

PY QY= .

Σχήµα 4.6.1

B) Κωνικά ΙII.38 : Έστω CA, CB δύο εφαπτόµενες σε µια κωνική τοµή, P το µέσο

του ΑΒ και έστω ότι από το Ρ διέρχεται µια ευθεία η οποία τέµνει την κωνική στα Χ & Υ

και την παράλληλη από το C προς την ΑΒ, στο Q. Τότε PX QX

PY QY= .

81 Ο Desargues δεν ξεχωρίζει τις ασύµπτωτες από τις διαµέτρους (αφού συναντούν την υπερβολή στο σηµείο στο ∞). Πιθανότατα πιστεύει ότι οι γεωµέτρες δεν κατασκευάζουν αντικείµενα και σχέσεις στο µυαλό τους, αλλά αυτά υπάρχουν ήδη και απλώς περιγράφονται µε κατάλληλο τρόπο από τους γεωµέτρες.

185

Σχήµα 4.6.2

Ο Desargues βλέπει εφικτό και ένα τρίτο σχήµα :

Σχήµα 4.6.3

∆είχνει µια κωνική τοµή στην οποία µία διάµετρος d διχοτοµεί δέσµη παραλλήλων

χορδών ΧΥ, Χ΄Υ΄, κλπ. Το σηµείο Ρ είναι στο άπειρο. Με σκοπό να ενοποιηθούν τα τρία

προηγούµενα σχήµατα εισήγαγε, όπως είδαµε στο BrP, την ενελικτική τετράδα P,Q, X,Y η

οποία είναι «καθαρή» στα δύο πρώτα σχήµατα και «οριακή» στο τελευταίο. Αν τα Χ, Υ

είναι σταθερά, τότε το Q προσδιορίζεται κατά µοναδικό τρόπο από το Ρ. Ο Desargues

δηλαδή, σε αντίθεση µε τον Απολλώνιο (ο οποίος δεν ενσωµατώνει στη θεωρία του το

σχήµα 4.6.3), δεν βλέπει διαφορά, εξ’ αιτίας βέβαια της προσθήκης του σηµείου στο

186

άπειρο. Επίσης το λεξιλόγιό του στο BrP αποδίδεται πιο «µοντέρνα» ως εξής : Στο σχήµα

4.6.1, το Ρ είναι ο πόλος, η ΑΒ είναι η πολική, και οι ευθείες PQ είναι οι ευθείες της

διάταξης του πόλου Ρ. Τις ονοµάσαµε τεταγµένες (ordinates για τον Desargues, τεταγµένως

κατηγµένες για τον Απολλώνιο). Στα µοντέρνα µαθηµατικά δεν υπάρχει όµως αντίστοιχος

όρος για τις ευθείες PXQY. Οµοίως στα σχήµατα 4.6.2 & 4.6.3, το Ρ είναι ο πόλος της

πολικής που περνά από το C και της διαµέτρου d. Στο BrP είδαµε και τις περιπτώσεις όπου

το Ρ είναι στο κέντρο της κωνικής και η πολική του είναι στο ∞, καθώς επίσης και όταν το

Ρ είναι στο σύνορο της κωνικής όπου τότε η πολική του είναι η εφαπτοµένη. Τελικά

λοιπόν κάθε σηµείο ανεξαιρέτως είναι ο πόλος µιας πολικής και κάθε ευθεία είναι η πολική

ενός πόλου.

Είδαµε ότι ο Απολλώνιος απέδειξε µε τον δικό του τρόπο το εξής :

(Θ) Για κάθε κωνική τοµή υπάρχει ένα σηµείο (το κέντρο) όπου όλες οι ευθείες που

περνούν από αυτό είναι διάµετροι της κωνικής. Ωστόσο όµως ξεχώριζε τη κύρια διάµετρο.

Θα δούµε τώρα πως ο Desargues καταλήγει στο ίδιο, χωρίς όµως να ξεχωρίζει την

κύρια διάµετρο. Από το Θ.4 στο BrP προσδιορίζει το κέντρο του κύκλου ως τον πόλο της

ευθείας στο ∞. Αν d είναι µια ευθεία που περνά από το κέντρο, θα έχει κι αυτή κάποιο πόλο

D (το αναφέρει στις συνέπειες του Θ.4) και αυτός ο πόλος D θα ανήκει στην ευθεία στο ∞,

αφού από το Θ.5 προκύπτει ότι αν ένα σηµείο Ν ανήκει σε µια ευθεία NG τότε ο πόλος της

NG θα ανήκει στην πολική του Ν.82 Έτσι η d είναι η Απολλώνια διάµετρος, ως συνέπεια

του ορισµού πόλου και πολικής (αποτέµνουσας για τον Desargues) και οι αντίστοιχες

τεταγµένες (ή χορδές της κωνικής) είναι οι παράλληλες οι οποίες συναντούν – συγκλίνουν

στο σηµείο – πόλο D στο ∞. Βέβαια τα πιο πάνω συµπεράσµατα που εξάγει από το Θ.4

είναι αρχικά εφαρµόσιµα σε κύκλο. Τα αναβαθµίζει όµως σε κωνικές τοµές γιατί έχει

αποδείξει στο Θ.2 το προβολικό αναλλοίωτο της ενελικτικής εξάδας σηµείων. Στο µυαλό

του λοιπόν έχει το ακόλουθο σχήµα:

82 Το ότι για κάθε κύκλο, κάθε σηµείο του επιπέδου του (εκτός του κέντρου) είναι πόλος µιας ευθείας και κάθε ευθεία (εκτός της ευθείας στο ∞) είναι η πολική ενός σηµείου, όπως και το ότι αν ένα σηµείο Ρ ανήκει σε µια ευθεία q τότε η πολική του Ρ περνά από τον πόλο της q, είναι δυνατόν να αποδειχθούν µόνο µε προτάσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη (και µε τη βοήθεια του Πάππου) και µάλιστα µε απλούστερο τρόπο απ’ ότι ο Desargues. Αν δηλ. έχουµε κύκλο (Ο,ρ), για κάθε σηµείο Ρ του επιπέδου µπορούµε να κατασκευάσουµε σηµείο Η, έτσι ώστε ΟΡ·ΟΗ=ρ2. Η ευθεία που είναι κάθετη στην ΗΟ και περνά από το Η είναι η πολική του Ρ. Απλώς ο Desargues το έκανε µε ένα πιο γενικό τρόπο και είχε άλλους στόχους.

187

Σχήµα 4.6.4

Για ένα σηµείο Ρ του επιπέδου της βάσης, καλούµε προβολή του Ρ το σηµείο τοµής Ρ΄ της

ΤΡ µε το επίπεδο της κωνικής τοµής. Τότε η προβολή της ευθείας ΑΒ είναι η Α΄Β΄. Αν Ρ

είναι ο πόλος της ευθείας ΑΒ (δηλαδή P,Q, X,Y σε ενέλιξη) τότε το Ρ΄ θα είναι ο πόλος

της ευθείας Α΄Β΄, λόγω της αναλλοίωτης ενελικτικής εξάδας σηµείων (Θ.2).

Είδαµε στη δουλειά του Απολλωνίου ότι στη γενίκευση του κύκλου σε κωνική

υπήρχε εµπόδιο. Η διάµετρος του κύκλου (Απολλώνια διάµετρος) δεν ήταν απαραίτητα

διάµετρος της κωνικής. ∆ηλαδή η Απολλώνια διάµετρος δεν ήταν έννοια προβολικά

αναλλοίωτη. Έτσι ο Desargues σκέφθηκε να την αντικαταστήσει µε κάτι γενικότερο, την

πολική ευθεία.

Στη µοντέρνα προβολική γεωµετρία η ενέλιξη είναι µια αντιστοίχιση σ µιας ευθείας

(συµπεριλαµβανοµένης της ευθείας στο ∞) πάνω στο εαυτό της (και αντιστρόφως) η οποία

καλείται προβολικότητα (projectivity). Αν και αυτός ο µοντέρνος ορισµός είναι

188

διαφορετικός από εκείνον του Desargues, κάθε Desarguesian δέντρο προσδιορίζει ακριβώς

µια ενέλιξη σ µε το µοντέρνο νόηµα. ∆ηλαδή σε ένα δέντρο µε µάτι Α, όπως το παρακάτω,

έχουµε :

Σχήµα 4.6.5

σ(Α)=Η, σ(Η)=Α, σ(D)=F, σ(F)=D, σ(C)=G και σ(G)=C. Για οποιοδήποτε σηµείο Χ πάνω

στην ευθεία θα ισχύει σ(Χ)=Υ, όπου Υ ένα σηµείο τέτοιο ώστε: ΑΧ·ΑΥ=ΑΒ·ΑΗ, και µε

το Α να είναι ανάµεσα στα Χ & Υ αν και µόνο αν το Α είναι ανάµεσα στα Β & Η.

Αντιστρόφως αν έχουµε µια ενέλιξη σ σε µια ευθεία, µε σηµείο Η στο ∞, τότε µπορούµε

να κατασκευάσουµε ένα δέντρο βρίσκοντας το Α=σ(Η) και τα C, F, G=σ(C), D=σ(F), κλπ.

4.7 Οι τρεις γεωµετρικές προτάσεις του 1648

(Το «Θεώρηµα του Desargues»)

Το δωδεκασέλιδο έργο της Προοπτικής (1636) του Desargues επανεκδόθηκε το

1648 από τον Abraham Bosse µε τίτλο ‘Maniére universélle de Mr. Desargues, pour

praticquer la perspective par petit - pied , comme le Geometral’. Εδώ ο Bosse επεξηγεί,

διορθώνει, παρουσιάζει αναλυτικά το έργο του Desargues και προσθέτει και αποτελέσµατα

της δικής του εργασίας πάνω στην τέχνη της Προοπτικής. Στο τέλος όµως του βιβλίου του

προσθέτει και κατονοµάζει ρητά τρεις γεωµετρικές προτάσεις οι οποίες δεν συνάδουν µε

το υπόλοιπο περιεχόµενο και στυλ του βιβλίου του. ∆εν υπάρχει κάποια ένδειξη που να

αποδεικνύει ότι αυτές οι προτάσεις είχαν τυπωθεί πριν από το 1648, ωστόσο όµως

πιστεύεται ότι αποτελούν µέρος του χαµένου έργου του Desargues µε τίτλο “Leçons de

Ténèbres” (Μαθήµατα Σκίασης) που γράφτηκε κάπου µετά το έργο του Brouillon Project

on Conics (1639).

Η πρώτη πρόταση είναι αυτό που γνωρίζουµε σήµερα ως «Θεώρηµα του

Desargues» και αφορά σε δύο τρίγωνα που βρίσκονται σε προοπτική. Ο Desargues έδωσε

189

δύο αποδείξεις αυτής της πρότασης και της αντίστροφής της : µια απλή και κοµψή στην

περίπτωση που τα δύο τρίγωνα δεν είναι στο ίδιο επίπεδο και µια άλλη κάπως περίπλοκη

στην δισδιάστατη περίπτωση, χρησιµοποιώντας βέβαια το «αγαπηµένο» του Θεώρηµα του

Μενελάου. Εδώ πρέπει να τονίσουµε κάτι σηµαντικό που θα παίξει ρόλο αργότερα στη

θεµελίωση της Προβολικής γεωµετρίας. Το θεώρηµα του Desargues αποδεικνύεται στις

τρεις διαστάσεις (ή σ’ ένα επίπεδο µέσα σε τρισδιάστατο χώρο) µόνο µε τα απλά

προβολικά αξιώµατα χωρίς καµία αναφορά σε µετρικές ιδέες. Σε αυστηρά διδιάστατο

χώρο η απόδειξη είναι εφικτή µόνο µε την εισαγωγή µετρικών χειρισµών. Γι’ αυτό και ο

Desargues χρησιµοποίησε το θεώρηµα του Μενελάου. Επίσης όταν κάποιες ευθείες στο

σχήµα είναι παράλληλες δίνει και µια ενδιαφέρουσα απάντηση για να δείξει πως το

δισδιάστατο και τρισδιάστατο σχήµα συνδέονται. Ας δούµε λοιπόν τις προτάσεις αυτές.

Πρώτη Γεωµετρική Πρόταση («Θεώρηµα Desargues»)

Όταν ευθείες HDa, HEb, Hlk, DEc, abc, DgK, agl, EfK, bfl, είτε είναι συνεπίπεδες

είτε όχι, τέµνονται µε οποιαδήποτε σειρά και οποιαδήποτε γωνία στα σηµεία µε τα οποία

διαβάστηκαν, τότε τα σηµεία c, f, g είναι συνευθειακά.

(Τα 2 τρίγωνα σε προοπτική είναι τα DEK και abl. Η σκέψη του Desargues κατανοείται

καλύτερα αν παρατηρήσουµε ότι : 2 οποιεσδήποτε εκ των τριών συντρεχουσών στο Η

ευθειών τέµνονται από 2 κόκκινες, 2 πράσινες και 2 µπλε ευθείες αντίστοιχα).

190

Σχήµα 4.7.1 Θ. Desargues στον χώρο

Απόδειξη :

Αν οι ευθείες είναι σε διαφορετικά επίπεδα (σχήµα 4.7.1) :

Οι ευθείες abc, agl, bfl θα βρίσκονται προφανώς στο ίδιο επίπεδο (τρίγωνο abl) και οι

ευθείες DΕc, DgK, EfK θα βρίσκονται σε ένα άλλο (τρίγωνο DEK). Τότε τα σηµεία c, f, g

θα βρίσκονται σε καθένα από τα δύο αυτά επίπεδα. Συνεπώς θα κείνται στην τοµή τους

δηλαδή στην ευθεία cfg.

191

Σχήµα 4.7.2 Θ. Desargues στο επίπεδο

Αν οι ευθείες είναι όλες συνεπίπεδες (σχήµα 4.7.2), τότε :

gD aD lH

gK aH lK

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο HDK και τέµνουσα την agl).

fK lK bH

fE lH bE

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο HΕK και τέµνουσα την bfl).

aD cD bE

aH cE bH

⋅=

⋅ (Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο HDE και τέµνουσα την abc).

Πολλαπλασιάζοντας τις 2 πρώτες ισότητες έχουµε : gD fK aD bH

gK fE aH bE

⋅⋅ =

⋅ και µε τη βοήθεια

της τρίτης προκύπτει ότι cD gD fK

cE gK fE= ⋅ που δείχνει, λόγω αντιστρόφου του Θ. Μενελάου

στο τρίγωνο DKE, ότι τα c, f, g είναι συνευθειακά.

192

Αντίστροφη πρόταση:

Αν οι ευθείες HDa, HEb, Hlk, DEc, abc, DgK, EfK (δηλαδή οι ευθείες του σχήµατος 4.7.1

εκτός των agl & bfl) τέµνονται µε οποιονδήποτε τρόπο και υπό οποιαδήποτε γωνία, στα

σηµεία µε τα οποία διαβάστηκαν και τα σηµεία c, f, g είναι συνευθειακά, τότε οι ευθείες

agl & bfl τέµνονται σε σηµείο l το οποίο θα βρίσκεται στην HK.

Απόδειξη :

Αν οι ευθείες βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα :

Σχήµα 4.7.3

Τότε, οι ευθείες HK, DgK, Had είναι στο επίπεδο p, οι ευθείες HK, EK, HE είναι στο

επίπεδο q και έχουµε και το επίπεδο v, δηλαδή το abcfg (c, f, g συνευθειακά). Τα επίπεδα

p & q τέµνονται στην ευθεία HK, τα επίπεδα q & v τέµνονται στην bf και τα επίπεδα p & v

193

στην ag. Άρα οι ευθείες HK, bf, ag θα περνούν από το ίδιο σηµείο l, το οποίο θα είναι

κοινό και στα 3 επίπεδα.

Αν οι ευθείες είναι όλες συνεπίπεδες (σχήµα 4.7.1) :

Σχεδιάζουµε από το a την ευθεία ag που τέµνει την ΗΚ στο l. Τότε η ευθεία lb,

αποδεικνύεται από το ευθύ, ότι θα συναντά την ΕΚ σε ένα σηµείο, όπως το f, συγγραµικό

µε τα c, g. Έτσι θα περνά βεβαίως από το f, συνεπώς οι δύο ευθείες ag, bf θα περνούν από

το σηµείο l της ευθείας ΗΚ.

Αν τώρα οι ευθείες είναι σε διαφορετικά επίπεδα συµβαίνει και κάτι άλλο:

Σχήµα 4.7.4

194

Από τα σηµεία H, D, E, K σχεδιάζουµε τις ευθείες Hh, Dd, Ee, Kk έτσι ώστε να

καταλήγουν σε ένα σηµείο σε άπειρη απόσταση (µε άλλα λόγια, να είναι παράλληλες) και

να συναντούν το επίπεδο cbagfl στα σηµεία h, d, e, k. Τότε οι ακόλουθες τριάδες είναι

τριάδες συνευθειακών σηµείων : h,l,k, h,d,a, h,e,b, k,g,d, k,f,e & c,e,d. Αυτό συµβαίνει

διότι π.χ. οι ευθείες Hh, Kk, HlK είναι συνεπίπεδες οπότε το επίπεδό τους θα τέµνει το

επίπεδο βάσης cbagfl κατά ευθείς hlk. Άρα τα h, l, k θα είναι συνευθειακά. Οµοίως

αποδεικνύεται και για τις άλλες τριάδες. Έτσι όλες οι ευθείες hlk, hda, heb, kgd, kfe & ced

βρίσκονται στο επίπεδο cbagfl και κάθε µια από αυτές διαιρείται κατά τον ίδιο τρόπο

(λόγο) όπως η αντίστοιχη ευθεία στο τρισδιάστατο σχήµα (Εννοεί π.χ. . lk lK

lh lH= ). Έτσι το

σχήµα, το οποίο οι παράλληλες έχουν δηµιουργήσει στο επίπεδο hdabcedgfkl αντιστοιχεί

ευθεία σε ευθεία, σηµείο σε σηµείο και λόγο σε λόγο, στο τρισδιάστατο σχήµα. Έτσι

µπορεί κάποιος να µελετήσει διάφορες ιδιότητες αποφεύγοντας το στερεό σχήµα,

εργαζόµενος στο επίπεδο σχήµα.

∆εύτερη Γεωµετρική Πρόταση

Έστω 4 συνεπίπεδα σηµεία O, A, D, B και 6 ευθείες DO, DA, BO, BA, OA, DB, οι οποίες

τέµνουν µια οποιαδήποτε άλλη ευθεία 243758 στα σηµεία 2, 4, 3, 7, 5, 8 αντίστοιχα.83

Έστω επίσης 4 συντρέχουσες ευθείες (είτε στο ίδιο επίπεδο µε τις προηγούµενες είτε όχι)

OK, AK, DK & BK. Αν από 3 εκ των σηµείων της ευθείας 243758 περνούν 3

συντρέχουσες σ’ ένα σηµείο ο της ΟΚ, όπως π.χ. οι 2ο, 3ο, 5ο, τότε αυτές τέµνουν τις

άλλες 3 συντρέχουσες στο Κ ευθείες, δηλαδή τις ΚΑ, ΚΒ, ΚD στα σηµεία a, b, d

αντίστοιχα τα οποία µαζί µε τα άλλα 3 σηµεία της ευθείας 243758, δηλαδή µε τα 4, 7, 8,

σχηµατίζουν τριάδες συνευθειακών σηµείων. Έτσι προκύπτουν οι ευθείες 7ab, 4ad & 8db.

Απόδειξη :

Όταν το Κ δεν είναι στο ίδιο επίπεδο µε τα O, A, D, B :

83 Ο Desargues εννοεί το πλήρες 4-κόρυφο (complete quadrangle or complete 4-point), όπου οι 6 πλευρές του

τέµνονται από µια άλλη ευθεία.

195

Σχήµα 4.7.5

Τότε το σχήµα περιλαµβάνει αρκετά επίπεδα όπως τα BDOA, bdoa, KBD. Τότε είναι

προφανές το συµπέρασµα αφού αυτά τεµνόµενα ανά 2, δίνουν τις ευθείες bd, 234758 &

BD8 οι οποίες συναντώνται σε ένα απλό σηµείο, το 8, το οποίο βέβαια µπορεί να

βρίσκεται και σε άπειρη απόσταση (δηλαδή οι εν λόγω ευθείες να είναι παράλληλες). Έτσι

τα 8, d, b είναι συνευθειακά. Οµοίως και για τις άλλες τριάδες.

Όταν το Κ είναι στο ίδιο επίπεδο µε τα O, A, D, B :

Τότε από την προηγούµενη (Πρώτη) Πρόταση προκύπτει πάλι ότι τα 8, d, b είναι

συνευθειακά. Αυτό µπορεί ν’ αποδειχθεί αν κάποιος αφ’ ενός φανταστεί όλες τις ευθείες

του προηγούµενου σχήµατος συνεπίπεδες και αφ’ ετέρου αν προσπαθήσει να εντοπίσει το

ανάλογο του σχήµατος 1 της Πρώτης Πρότασης µέσα στο δισδιάστατο σχήµα. Για να

βοηθήσουµε έχουµε σχεδιάσει το ακόλουθο σχήµα που έχει προκύψει ως εξής: Από το

196

προηγούµενο τρισδιάστατο σχήµα αφαιρέσαµε όλες τις περιττές ευθείες και τις κάναµε

συνεπίπεδες, παρ’ όλο που είναι διαφορετικού χρώµατος. Το τελευταίο βοηθά στο να

αντιστοιχήσουµε εδώ τις ευθείες του σχήµατος 1 : Οι 3 µαύρες ευθείες που συντρέχουν

στο Η (σχήµα 4.7.1) εδώ συντρέχουν στο Ο, οι 2 κόκκινες που τέµνονται στο c εδώ είναι οι

µωβ που τέµνονται στο 8, οι 2 µπλε που τέµνονται στο f εδώ τέµνονται στο b και οι 2

πράσινες που τέµνονται στο g εδώ τέµνονται στο d. Με άλλα λόγια τα τρίγωνα BDK και

ο32 είναι σε προοπτική από το σηµείο Ο. Άρα όπως στο σχήµα 1 τα c, f, g είναι

συνευθειακά έτσι και εδώ τα 8, b, d είναι συνευθειακά

Σχήµα 4.7.6

Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι µπορούµε να δούµε όλο το σχήµα σε ένα

µόνο επίπεδο το οποίο θα υποκαθιστά γεωµετρικώς το τρισδιάστατο σχήµα.

197

Τρίτη Γεωµετρική Πρόταση

Θεωρούµε τις 13 ευθείες DO2, BO3, DA4, BA7, 2347, KaA, KoO, KbB, KdD, 7ab,

4ad, 3ob, 2od τοποθετηµένες σύµφωνα µε το σκεπτικό της προηγούµενης πρότασης. Έστω

ότι σε κάθε µια από τις 4 ευθείες DO2, BO3, DA4, BA7, π.χ. στην ΒΟ3, υπάρχει, εκτός

από τα Β, Ο, 3, ίδιος αριθµός ζευγών άλλων σηµείων, π.χ. τα 2 ζεύγη σηµείων Η,P & F, E

στην ΒΟ3 (όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα), τα 2 ζεύγη σηµείων G,R & L,Y στην

DO2, τα 2 ζεύγη N,M & I,Q στην BA7 και τα 2 ζεύγη S,T & V,X στην DA4. Έστω επίσης

ότι τα 16 αυτά σηµεία τα ενώνουµε µε το Κ (οπότε θα έχουµε 16 + 4αρχικές = 20

συντρέχουσες ευθείες) και στις ευθείες 7ab, 4ad, 3ob, 2od σηµειώνουµε άλλα 16 σηµεία

αντιστοίχως τοποθετηµένα. ∆ηλαδή π.χ. τα Η,P & F, E της ΒΟ3 δίνουν τα h,p & f,e στην

bo3, κ.ο.κ. (Στο ακόλουθο σχήµα διακρίνονται µόνο τα Η,P & F, E στην ΒΟ3 και τα

αντίστοιχά τους h,p & f,e στην bo3. Τα υπόλοιπα µπορούµε να τα φανταστούµε).

Σχήµα 4.7.7

198

Τότε το άθροισµα των 8 λόγων µεταξύ των τµηµάτων σε 2 ευθείες του επιπέδου βάσης,

όπως τις BO3 & DO2, δηλαδή το HO PO FO EO GD RD LD YD

HB PB FB EB GO RO LO YO+ + + + + + + διαφέρει

από το άθροισµα των 8 λόγων στις άλλες δύο ευθείες BA7 & DA4 του επιπέδου βάσης,

δηλαδή το NA MA IA QA SD TD VD XD

NB MB IB QB SA TA VA XA+ + + + + + + , κατά την ίδια ποσότητα που

διαφέρει το αντίστοιχο άθροισµα των 8 λόγων στις αντίστοιχες ευθείες bo3 &do2, δηλαδή

το ho po fo eo gd rd ld yd

hb pb fb eb go ro lo yo+ + + + + + + , από το επίσης αντίστοιχο άθροισµα των 8

λόγων στις 2 επίσης αντίστοιχες ευθείες ba7 & da4, δηλαδή το

na ma ia qa sd td vd xd

nb mb ib qb sa ta va xa+ + + + + + + .

Η απόδειξη είναι αρκετά περίπλοκη και θα αναφέρουµε την κεντρική της ιδέα. Το

πρώτο κλάσµα ΗΟ/ΗΒ το γράφει ως εξής :

3 3( ) ( )

3 3

HO HO H KO ho h Kb KO ho Kb

HB H HB Ko h hb KB Ko hb KB= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , εφαρµόζοντας το Θεώρηµα

Μενελάου 2 φορές στα τρίγωνα Οο3 & Bb3 µε τέµνουσα την HhK. Την διαδικασία αυτή

την κάνει 8+8=16 φορές για τους πρώτους 16 λόγους και µετά από αρκετές πράξεις

προκύπτει το ζητούµενο.

Ο René Taton (1951, σελ. 205) σχολιάζει για την πρόταση αυτήν :

Αυτό το παράδειγµα αναδεικνύει την δυσκολία και την πολυπλοκότητα που «κηλιδώνουν»

πολλά τµήµατα των έργων του Desargues. Όπως σε πολλά εδάφια, το ελάττωµα αυτό

δηµιουργήθηκε από την υπερβολική χρήση του Θ. Μενελάου, από την περιττή πολυπλοκότητα του

σχήµατος και από την κακή εφαρµογή της σηµειογραφίας. Μακριά από το να δώσει διαύγεια, µία

µελέτη έτσι παρουσιασµένη δεν µπορεί παρά να µειώσει την δύναµη της γεωµετρίας, να

αποµακρύνει τον ενδιαφερόµενο από την συνθετική γεωµετρία και να τον ενθαρρύνει να

ακολουθήσει τον Descartes στην προσπάθειά του για αλγεβροποίηση.

Ο Desargues τελειώνει εδώ την τρίτη και τελευταία πρότασή του συµπεραίνοντας

τελικά ότι αν ζεύγη σηµείων βρίσκονται τοποθετηµένα σε µια οποιαδήποτε ευθεία πάνω σε

ένα επίπεδο, τότε αυτά µπορούν να αντιστοιχιστούν µε κατάλληλο τρόπο πάνω σε µια

αντίστοιχη ευθεία ενός άλλου επιπέδου.

Loüé soit Dieu.

(Praise be to God).

199

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

Η Προβολική Γεωµετρία µετά τον Desargues

5.1 Τα θεωρήµατα των Pascal και Brianchon

Αρχικά θα περιγράψουµε την έννοια του εξαγώνου στην Προβολική Γεωµετρία η

οποία είναι διαφορετική από την αντίστοιχη στην Ευκλείδεια (διάκριση σε κυρτό και µη

κυρτό). ∆ύο κορυφές εξαγώνου χαρακτηρίζονται ως διπλανές, εναλλασσόµενες &

αντικείµενες (adjacent, alternate & opposite) ανάλογα µε το αν µεσολαβεί µια, δύο ή τρεις

κορυφές. (Οι ίδιοι χαρακτηρισµοί ισχύουν και για τις πλευρές. ∆ηλαδή θα µεσολαβούν

καµία, µία ή δύο πλευρές). ∆ηλαδή σε ένα εξάγωνο ΑΒΓ∆ΕΖ, οι κορυφές Ζ, Β είναι

διπλανές της Α, οι Γ, Ε είναι εναλλασσόµενες της Α και η ∆ είναι αντικείµενη της Α. Η

ευθεία που ενώνει δύο αντικείµενες κορυφές καλείται διαγώνιος ευθεία. Έτσι το εξάγωνο

ΑΒΓ∆ΕΖ έχει 3 διαγωνίους και 3 ζεύγη αντικείµενων πλευρών: ΑΒ & ∆Ε, ΒΓ & ΕΖ και

Γ∆ &ΖΑ.

Ένα εξάγωνο µπορεί να ονοµαστεί ΑΒΓ∆ΕΖ κατά 12 (=6⋅2) τρόπους: Κάθε µια

από τις 6 κορυφές µπορεί να ονοµαστεί Α, οποιαδήποτε από τις 2 διπλανές της µπορεί να

ονοµαστεί Β και οι υπόλοιπες κατά την υπόλοιπη αλφαβητική σειρά. Επίσης 6 σηµεία ανά

3 µη συνευθειακά µπορούν να ονοµαστούν Α, Β, Γ, ∆, Ε, Ζ κατά 6!=720 τρόπους. Έτσι ο

αριθµός των διαφορετικών εξαγώνων που µπορούν να ονοµαστούν ΑΒΓ∆ΕΖ είναι 720/12

= 60.

Σύµφωνα µε αυτά λοιπόν, το Θεώρηµα του Πάππου (παράγραφος 1.3)

αναδιατυπώνεται: Αν κάθε τριάδα εναλλασσοµένων κορυφών ενός εξαγώνου είναι τριάδα

συνευθειακών σηµείων και τα 3 ζεύγη των αντικειµένων (απέναντι) πλευρών τέµνονται, τότε

τα 3 σηµεία της τοµής είναι συνευθειακά.

Ο νεαρός Blaise Pascal (1623-1662) ανακάλυψε το ακόλουθο (και οµώνυµο)

Θεώρηµα στην ηλικία των 16 ετών: Αν οι 6 κορυφές ενός εξαγώνου κείνται σε κύκλο και τα

3 ζεύγη των αντικείµενων πλευρών τέµνονται τότε τα 3 σηµεία τοµής είναι συνευθειακά.

Όσο για την απόδειξή του, δεν γνωρίζουµε πως το απέδειξε γιατί η πρωτότυπη

απόδειξη χάθηκε. To µόνο που ξέρουµε είναι ότι ο Leibniz την είχε δει στο Παρίσι πριν

χαθεί αλλά τίποτε περισσότερο. Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις ανάλογα µε τα εργαλεία που

200

διέθετε ο κάθε επιστήµονας στην εποχή του. Το πιθανότερο είναι να το απέδειξε, όπως θα

δείξουµε, µε το Θ. Μενελάου που το είχε στη διάθεσή του.

Σχήµα 5.1.1 Θεώρηµα Pascal σε κύκλο

Απόδειξη(1η):84

Έστω ότι έχουµε το εξάγωνο ABCDEF. Για να βρούµε τα σηµεία τοµής των 3 ζευγών των

αντικείµενων πλευρών, βοηθά το εξής σχήµα:

Θα δείξουµε ότι τα σηµεία Ν, L, M είναι συνευθειακά.

Έστω ότι οι ευθείες ΑΒ, CD, EF σχηµατίζουν το τρίγωνο UVW. Εφαρµόζουµε το Θ.

Μενελάου για τις τριάδες των συγγραµικών σηµείων LDE, AMF, BCN στις πλευρές του

τριγώνου UVW και έχουµε:

84 Η συγκεκριµένη απόδειξη βρίσκεται στο Coxeter & Greitzer (1967) αλλά δεν είναι δική τους. Πρωτοεµφανίστηκε στην 18η έκδοση του Theodor Spieker’s Lehrbuch der ebenen Geometrie (Potsdam, 1888). Οι Coxeter & Greitzer δίνουν τη δική τους εκδοχή στο L’hexagramme de Pascal. Un essai pour reconstituer cette découverte, Le Jeune Scientifique 2 (1963), pp.70 – 72.

AB, BC, CD, DE, EF, FA

L N M

201

1VL WD UE

WL UD VE

⋅ ⋅=

⋅ ⋅, 1

VA WM UF

WA UM VF

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ και 1

VB WC UN

WB UC VN

⋅ ⋅=

⋅ ⋅. Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη :

1VL WM UN UE UF VA VB WD WC

WL UM VN UC UD VF VE WA WB

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅i . Το δεύτερο κλάσµα του πρώτου µέλους

ισούται µε 1 λόγω του θεωρήµατος τεµνοµένων χορδών, οπότε 1VL WM UN

WL UM VN

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ που

δείχνει λόγω του αντιστρόφου του Θ. Μενελάου ότι τα σηµεία N, L, M είναι συνευθειακά.

Η ευθεία NLΜ λέγεται ευθεία του Pascal και στο ίδιο εξάγωνο υπάρχουν 60

διαφορετικές τέτοιες ευθείες. Όλες µαζί δηµιουργούν αξιοσηµείωτο σχηµατισµό.

Υπάρχουν δέσµες συντρεχουσών ευθειών και τα κέντρα των δεσµών αυτών είναι ανά

οµάδες συνευθειακά. Σύµφωνα µε το έργο Essay pour les Coniques (1640) που έχει

διασωθεί, ο Pascal γνώριζε και κάτι άλλο όµως : Ότι το θεώρηµά του δεν εφαρµόζεται

µόνο σε εξάγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο αλλά και σε εξάγωνο εγγεγραµµένο σε κωνική

τοµή. Αυτό ακριβώς θα αποδείξουµε στη συνέχεια, µε τη βοήθεια όµως του θεωρήµατος

του Jacob Steiner (1796 – 1863) δηλαδή µε εργαλεία της εποχής της αναβίωσης της

Προβολικής Γεωµετρίας και της θεµελίωσής της µε συνθετικό τρόπο.

Θεώρηµα του Steiner :

Αν δοθούν 4 σταθερά σηµεία Α, Β, Γ, ∆ πάνω σε µια κωνική τότε ο διπλός λόγος των 4

ευθειών85 που περνούν από ένα πέµπτο σηµείο Ο της κωνικής και από το καθένα από τα Α,

Β, Γ, ∆ είναι σταθερός και ανεξάρτητος από τη θέση του Ο.

Η απόδειξη του Θ. Pascal ή του «Μυστικού Εξαγώνου», όπως το ονόµαζε ο ίδιος, είναι

τώρα απλή συνέπεια του Θ. Steiner.

85 Ο διπλός λόγος 4 συντρεχουσών ευθειών ορίζεται ως ο σταθερός διπλός λόγος των 4 σηµείων στα οποία αυτές τέµνονται από οποιαδήποτε άλλη ευθεία. Πρόκειται για τον «δυικό» ορισµό του διπλού λόγου 4 σηµείων.

202

Σχήµα 5.1.2 Θεώρηµα Pascal σε κωνική

Απόδειξη του Θ. Pascal (2η):

Έστω ο διπλός λόγος (Q,S, Z,E) των 4 σηµείων. Προβάλλουµε αυτά τα σηµεία µέσω της

κορυφής Β, πάνω στην κωνική και προκύπτουν αντίστοιχα τα Γ, Α, Ζ, Ε. Με τη σειρά τους

αυτά τα προβάλλουµε στην ευθεία ΑΖ µέσω της κορυφής ∆ και προκύπτουν τα R, A, Z, T.

(Από το θεώρηµα του Steiner έχουµε :

(Q,S, Z,E) = (Γ,Α, Ζ,Ε) = (R,A, Z,T)

Έτσι υπάρχει µια προβολικότητα από το σηµείο Ρ στον εαυτό του τέτοια ώστε :

(PQ,PS, PZ,PE) = (PR,PA, PZ,PT). Αφού οι ευθείες PS, PA ταυτίζονται, όπως και οι PE,

PT, τότε θα ταυτίζονται και οι PQ, PR.

To θεώρηµα του Pascal παρέχει και µια εύκολη µέθοδο κατασκευής εφαπτοµένης

σε ένα δοθέν σηµείο Ε µιας δοθείσης κωνικής τοµής, χωρίς να χρησιµοποιήσουµε

διάµετρο (όπως προέκυψε στην παράγραφο 4.5 µε τις ιδέες του Desargues ή στην

παράγραφο 3.3 µε τις προτάσεις του Απολλωνίου):

Θεωρούµε άλλα 4 σηµεία στην κωνική Α, Β, Γ, ∆ και προκύπτει το πεντάγωνο

ΑΒΓ∆Ε που στη συνέχεια το βλέπουµε ως (εκφυλισµένο) εξάγωνο ΑΒΓ∆ΕΕ. Τότε το

σχήµα

203

µας δείχνει να κατασκευάσουµε πρώτα την ευθεία του Pascal LM και στη συνέχεια να

ενώσουµε το σηµείο τοµής Ν των ΒΓ & LM µε το σηµείο Ε. Τότε η ευθεία ΝΕ θα είναι η

ζητούµενη εφαπτοµένη.

Θεώρηµα του Brianchon (1760-1854)

Αν οι 6 πλευρές ενός εξαγώνου εφάπτονται σε έναν κύκλο τότε οι 3 διαγώνιοι είναι

συντρέχουσες (ή παράλληλες).

Ο C. J. Brianchon (1785-1864) απέδειξε το θεώρηµα το 1806 σε µια εποχή που η αρχή του

δυισµού µόλις είχε αρχίσει να σχηµατιζόταν. Oλοκληρώθηκε περίπου είκοσι χρόνια

αργότερα από τους Poncelet (1788-1867), Gergonne (1771-1859) και J. Plucker (1801-

1868). Όπως και το Θ. Pascal, θα το αποδείξουµε στην περίπτωση του κύκλου αλλά

αποδεικνύεται και για κωνική τοµή αν «βαδίσουµε δυικώς» σύµφωνα µε την 2η απόδειξη

του Θ. Pascal, που αναφέραµε πριν.

AB, BΓ, Γ∆, ∆E, EΕ, ΕA

L N M

204

Σχήµα 5.1.3 Θεώρηµα Brianchon

Απόδειξη :

Έστω Κ, Λ, Μ, Ν, Ο, Π τα σηµεία επαφής των έξι εφαπτοµένων πλευρών του εξαγώνου

ΖΑ, ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Ε, ΕΖ. Υποθέτουµε ότι το εξάγωνο είναι κυρτό έτσι ώστε οι τρεις

διαγώνιοι να τέµνουν τον εγγεγραµµένο κύκλο (οπότε η περίπτωση της παραλληλίας δεν

είναι δυνατή). Στις ευθείες των πλευρών παίρνουµε σηµεία Κ΄, Λ΄, Μ΄, Ν΄, Ο΄, Π΄, έτσι

ώστε ΚΚ΄=ΛΛ΄=ΜΜ΄=ΝΝ΄=ΟΟ΄=ΠΠ΄ και κατασκευάζουµε τους κύκλους k, c, p, οι

οποίοι εφάπτονται στα σηµεία αυτά, όπως φαίνεται στο σχήµα. Επειδή ΑΛ΄=ΑΚ΄ και

∆Ο΄=∆Ν΄, η διαγώνιος Α∆ θα είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων c, p, γιατί τα σηµεία Α, ∆

έχουν την ίδια δύναµη ως προς τους δύο κύκλους. Οµοίως και οι διαγώνιοι ΒΕ, ΓΖ θα είναι

οι ριζικοί άξονες των αντιστοίχων κύκλων. Όµως οι ριζικοί άξονες τριών κύκλων που τα

κέντρα τους δεν είναι συνευθειακά, θα διέρχονται από το ίδιο σηµείο (ή θα είναι πιθανώς

παράλληλοι), το οποίο θα είναι αυτό που θα έχει την ίδια δύναµη και ως προς τους τρεις

κύκλους.

205

5.2 Τοπολογία & Οπτικοποίηση Προβολικού Επιπέδου Ας προσπαθήσουµε να περιγράψουµε το ταξίδι της µαθηµατικής σκέψης η οποία,

µέσα στα µυαλά των δαιµόνιων επιστηµόνων, βρήκε αφορµή την Προοπτική, ενισχύθηκε

στην πορεία, ωρίµασε και οδηγήθηκε στην σύσταση της θεµελιώδους έννοιας της

Προβολικής Γεωµετρίας, στο Προβολικό Eπίπεδο (Projective Plane).

Περιγράψαµε στην παράγραφο 2.3 την µέθοδο σταθµό στην τεχνική της απόδοσης

µε προοπτική, την construzione legittima του Alberti. Είδαµε επίσης ότι η µέθοδός του

λαµβάνει υπ’ όψη κάτι οπτικά προφανές αλλά µαθηµατικά µυστηριώδες: Οι παράλληλες

ευθείες δεν φαίνονται γενικά παράλληλες αλλά εµφανίζονται να συναντώνται στον

ορίζοντα. Το σηµείο τοµής – ή καλύτερα σύγκλισης – αυτών ονοµάστηκε σηµείο φυγής

από τους καλλιτέχνες και σηµείο στο ∞ (point at infinity) από τους µαθηµατικούς. Ο

ορίζοντας, ο οποίος περιέχει όλα τα σηµεία αυτά, ονοµάστηκε ευθεία στο ∞ (line at

infinity). Η µέθοδος αυτή όµως δεν εκµεταλλεύεται πλήρως τα πλεονεκτήµατα των

σηµείων στο ∞. Είδαµε ότι περιλαµβάνει κάποια µέτρηση, οπότε απαιτείται κανόνας και

διαβήτης και έτσι δεν αποµακρυνόµαστε ακόµα από την ευκλείδεια γεωµετρία. Το

εκπληκτικό όµως είναι ότι µπορούµε να αποδώσουµε και να πετύχουµε την ίδια τέλεια

προοπτική άποψη ενός πλακιδωτού δαπέδου, το οποίο ήταν το αγαπηµένο θέµα των

ζωγράφων, µόνο µε κανόνα. Τα µόνα που απαιτούνται για να αρχίσουµε, είναι ο ορίζοντας

και ένα πλακάκι τοποθετηµένο σε µία πλάγια θέση. Ξεκινάµε λοιπόν:

206

Σχήµα 5.2.1 Προοπτική σχεδίαση πλακιδωτού δαπέδου µόνο µε κανόνα

Αρχικά, όπως φαίνεται στο πρώτο σχήµα, τοποθετούµε το πρώτο πλακάκι του οποίου οι

απέναντι πλευρές θα τέµνονται σε δύο σηµεία τα οποία καθορίζουν τον ορίζοντα. Έπειτα

φέρνουµε την διαγώνιο στο πρώτο αυτό πλακάκι και από το σηµείο τοµής της µε τον

ορίζοντα σχεδιάζουµε την δεύτερη διαγώνιο. Συνεχίζοντας κατά τον ίδιο τρόπο και

αφαιρώντας τις βοηθητικές γραµµές (διαγωνίους) κατασκευάσαµε την προοπτική άποψη

του δαπέδου µόνο µε κανόνα.

Η κατασκευή πετυχαίνει από οποιαδήποτε σηµείο κι αν κοιτάµε το επίπεδο γιατί

συµβαίνουν τα εξής τρία απλά πράγµατα:

Α. οι ευθείες παραµένουν ευθείες.

Β. οι τοµές τους παραµένουν τοµές.

Γ. οι παράλληλες, αν τις κοιτάξουµε προς την «σωστή» κατεύθυνση, συναντώνται στον

ορίζοντα.

207

Η τελευταία ιδέα µας οδηγεί να προσπαθήσουµε να κατασκευάσουµε µια δοµή που θα

καλείται Προβολικό Επίπεδο, ενώ θα πρέπει να περιέχει αντικείµενα που καλούνται

«σηµεία» & «ευθείες». Τα αντικείµενα όµως αυτά θέλουµε να ικανοποιούν τα ακόλουθα

αξιώµατα τα οποία πηγάζουν από τις τρεις προηγούµενες διαπιστώσεις. Χρησιµοποιούµε

όµως εισαγωγικά γιατί πρέπει να είµαστε επιφυλακτικοί. Ίσως δεν είναι τα συνήθη σηµεία

και οι συνήθεις ευθείες.

ΑΞ.1 Από οποιαδήποτε δύο διαφορετικά «σηµεία» διέρχεται µοναδική «ευθεία».

ΑΞ.2 Οποιεσδήποτε δύο διαφορετικές «ευθείες» έχουν ένα κοινό «σηµείο» (που

αποδεικνύεται εύκολα από το ΑΞ.1 ότι είναι µοναδικό).

ΑΞ.3 Υπάρχουν 4 «σηµεία» που ανά 3 δεν ανήκουν στην ίδια «ευθεία».

Ας παρατηρήσουµε ότι αυτά είναι αξιώµατα που αφορούν απλώς στην σύµπτωση

(incidence). Είναι τοπολογικής φύσης, συνδέουν τα αντικείµενα του προβολικού επιπέδου

δηλαδή «σηµεία» & «ευθείες» και δεν περιέχουν καθόλου µήκη ή γωνίες. Μερικά από τα

αξιώµατα των Ευκλείδη και Hilbert είναι αυτού του είδους αλλά όχι όλα. Το ΑΞ.1 είναι

ίδιο µε το πρώτο αξίωµα του Ευκλείδη και επιτρέπει την ύπαρξη και κατασκευή ευθειών.

Το ΑΞ.2 διαφέρει. ∆εν εξαιρεί ευθείες από την δυνατότητα να τέµνονται. Απλώς

διατηρούµε την λέξη παράλληλες για εκείνες τις «ευθείες» που τέµνονται πάνω στον

ορίζοντα αλλά αυτό δεν εγκαθιστά µια καινούργια κλάση ευθειών. Ο ορίζοντας

συµπεριφέρεται όπως ακριβώς οποιαδήποτε άλλη «ευθεία». Το ΑΞ.3 απλώς δίνει «ζωή»

στο προβολικό επίπεδο και µπορεί κάποιος να αιτιολογήσει την διατύπωσή του αν

παρατηρήσει ότι στην κατασκευή που περιγράψαµε χρειαζόταν το πρώτο τετράγωνο

πλακάκι για να αρχίσει το «πλέξιµο».

Αν υπάρχει λοιπόν κάπου αυτό που ψάχνουµε και που θέλουµε να καλείται

προβολικό επίπεδο θα είναι µια τριάδα (P, L, I) όπου P θα είναι ένα σύνολο «σηµείων»,

L ένα σύνολο «ευθειών» και I⊆P×L µια σχέση σύµπτωσης που θα πρέπει να πληροί τα

προηγούµενα αξιώµατα. Αρχικά είναι φυσικό να θέλουµε να επεκτείνουµε το Ευκλείδειο

επίπεδο E = (PE, LE, IE), που το ταυτίζουµε αλγεβρικά µε το 2ℝ , εµπλουτίζοντάς το µε τα

«αντικείµενα στο ∞». Για µια ευθεία l θεωρούµε την κλάση ισοδυναµίας [l] όλων των

παραλλήλων µε την l ευθειών. Για κάθε τέτοια κλάση ισοδυναµίας ορίζουµε ένα νέο

208

σηµείο, το p[l] . Αυτό το σηµείο θα είναι στο ∞, εκεί δηλαδή που όλες οι παράλληλες της

ίδιας κλάσης θα συναντηθούν. Επιπλέον ορίζουµε και µια νέα ευθεία, την ευθεία στο ∞,

l∞

. Όλα τα σηµεία p[l] υποτίθεται ότι ανήκουν σε αυτήν την ευθεία. Έτσι θα προκύψει η

εξής δοµή :

⊳ P = PE ∪ p[l] | l ∈LE

⊳ L = LE ∪ l∞

⊳ I = IE ∪( p[l] , l) | l ∈LE ∪( p[l] , l∞)| l ∈LE.

Είναι εύκολο να επαληθεύσουµε ότι αυτή η δοµή (P, L, I) ικανοποιεί τα παραπάνω

αξιώµατα οπότε είναι προβολικό επίπεδο. Όσο για την οπτικοποίηση της δοµής, βλέπουµε

στ’ αριστερά του παρακάτω σχήµατος, 3 δέσµες παραλλήλων ευθειών στο ευκλείδειο

επίπεδο και στα δεξιά πως αυτές οι ευθείες συναντώνται σε σηµεία στο ∞ και πως όλα

αυτά τα σηµεία βρίσκονται στην ευθεία l∞

(που είναι σχεδιασµένη σαν κύκλος).

Παρατηρούµε ότι, σύµφωνα µε τον Desargues, στο σηµείο στο ∞ µπορεί να φτάσει κανείς

ταξιδεύοντας από κάποιο real σηµείο της ευθείας και προς όποια κατεύθυνση θέλει. Άρα

αρχίζουµε να βλέπουµε την ευθεία ως κλειστή καµπύλη και κατά συνέπεια το προβολικό

επίπεδο όχι ακριβώς επίπεδο.

Σχήµα 5.2.286 ∆έσµες παραλλήλων ευθειών (δεξιά) που συγκλίνουν (αριστερά) στο, µοναδικό για κάθε

δέσµη, απειροσηµείο τους. Ο κύκλος είναι ένα µοντέλο της ευθείας στο ∞.

86 Ανακτήθηκε από το Internet.

209

Η έννοια του προβολικού επιπέδου έτσι όπως διαµορφώνεται από τα αξιώµατα

αποκτά όµως µεγάλη γενικότητα και η προβολική επέκταση του πραγµατικού ευκλειδείου

επιπέδου απέχει παρασάγγας από το να είναι το µοναδικό µοντέλο του αξιωµατικού

συστήµατος. Ακόµη και σήµερα δεν υπάρχει τελική ταξινόµηση και απαρίθµηση των

δυνατών προβολικών επιπέδων. Επίσης δεν φαίνεται να απαιτείται τα προβολικά επίπεδα

να έχουν άπειρα «αντικείµενα». Έτσι υπάρχουν τα λεγόµενα finite projective planes και το

µικρότερο από αυτά είναι το λεγόµενο Fano Plane:87

Σχήµα 5.2.3 Fano plane

Λόγω του ΑΞ.3 ξεκινάµε µε 4 σηµεία ανά 3 µη συνευθειακά, τα οποία από το ΑΞ.1

ορίζουν 4

62

=

ευθείες. Εξ’ αιτίας του ΑΞ.2 κάθε ζεύγος ευθειών έχει κοινό σηµείο οπότε

προκύπτουν άλλα 3. Αν προσθέσουµε και µια ευθεία (ο σχεδιασµένος «κύκλος», δηλ. µη

ευκλείδεια ευθεία) η οποία να περιέχει ακριβώς αυτά τα 3 σηµεία τότε η τελική

κατασκευή περιέχει ακριβώς 7 σηµεία και 7 ευθείες και ικανοποιεί τα αξιώµατα.

Επειδή όµως η ανθρώπινη φύση δυσκολεύεται να δεχτεί ότι οι παράλληλες

τέµνονται, βρέθηκε ένα – µη πεπερασµένο – µοντέλο των αξιωµάτων αυτών που µας είναι

σχετικά προσιτό. Αυτό είναι το Πραγµατικό Προβολικό Επίπεδο (Real Projective Plane)

ℝ PP2 το οποίο αποδίδει κάποιου είδους µαθηµατική σηµασία στους όρους «σηµείο»,

«ευθεία», «επίπεδο» και κάνει τα αξιώµατα ν’ αληθεύουν.

Η έµπνευση που οδήγησε τον Poncelet και τους επόµενους στην έννοια αυτή έχει

τις ρίζες της στην Προοπτική και είναι η εξής:

Κατ’ αρχήν η προβολική γεωµετρία έχουµε δει ότι είναι τελικά η γεωµετρία της

όρασης (geometry of vision). Το µάτι του καλλιτέχνη απλώς κοιτούσε ένα σηµείο Α στο

θέµα του και το απεικόνιζε ως Α΄ στον πίνακά του. Σε αυτήν την ακτίνα όρασης δεν

ενδιαφέρει τους θεωρητικούς σε ποιο σηµείο βρίσκεται ο πίνακας, αφού σε όποιο σηµείο

87 Gino Fano (1871 – 1952).

210

κι αν την τέµνει, το µάτι θα εξακολουθεί να βλέπει το ίδιο σηµείο Α µέσα από το επίπεδο

του πίνακα σχεδίασης. Η απόσταση του πίνακα από το µάτι σαφώς αλλάζει αλλά αυτό δεν

ανήκει στη γεωµετρία µας. Αντιλαµβανόµαστε δηλαδή την θέαση του σηµείου Α ως το

αποτέλεσµα µιας ακολουθίας σηµείων – ειδώλων η οποία τείνει στο Α καθώς το µάτι µας

«διατρέχει» και συγχρόνως «οικοδοµεί», µε κάποιου είδους αποβλεπτικότητα, την ακτίνα

όρασης. Μια συγκεκριµένη θέση του πίνακα είναι απλώς ένα «στιγµιότυπο» της όρασης

και παρέχει ένα είδωλο – σηµείο της ακολουθίας. Μήπως λοιπόν το «σηµείο» του

προβολικού επιπέδου που προσπαθούµε να κατανοήσουµε δεν είναι το σηµείο Α που

κοιτάµε (αυτό θα ανήκει στο περιβάλλον µας, στο 3ℝ ) αλλά οποιοδήποτε σηµείο πάνω

στην ακτίνα όρασης µέσα από την οποία «φθάνουµε» σ’ αυτό; Και µήπως η «ευθεία» του

προβολικού επιπέδου είναι µια δέσµη ακτίνων όρασης που ξεκινούν από το µάτι, φθάνουν

σε µια ευθεία του θέµατος και συστήνουν έτσι ένα επίπεδο; Τα παραπάνω οπτικοποιούνται

στο παρακάτω σχήµα.

Σχήµα 5.2.4 Οπτικοποίηση Πραγµατικού Προβολικού Επιπέδου

211

Ως «σηµεία» του προβολικού επιπέδου θεωρούµε τις ευθείες του 3ℝ , ως «ευθείες» τα

επίπεδα του 3ℝ που περνούν από το Ο και ως «επίπεδο» το σύνολο όλων των ευθειών του

3ℝ που περνούν από το Ο. Σύµφωνα λοιπόν µε αυτά, τα προηγούµενα αξιώµατα

ικανοποιούνται αφού:

1. Οποιαδήποτε δύο διαφορετικά «σηµεία» περιέχονται σε µοναδική «ευθεία» αφού

δύο ευθείες διερχόµενες από το Ο ανήκουν σε ακριβώς ένα επίπεδο που περνά από

το Ο.

2. Οποιεσδήποτε δύο διαφορετικές «ευθείες» έχουν ένα µοναδικό κοινό «σηµείο»

αφού δύο επίπεδα τέµνονται κατά µοναδική ευθεία.

3. Υπάρχουν 4 «σηµεία» που ανά 3 δεν ανήκουν στην ίδια «ευθεία», π.χ. οι ευθείες

από το Ο προς τα 4 σηµεία (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) & (1,1,1) δεν ανήκουν ανά 3 στο

ίδιο επίπεδο.

Έτσι λοιπόν οι ευθείες και τα επίπεδα του 3ℝ που περνούν από το Ο συµπεριφέρονται µε

τον ίδιο τρόπο που θα θέλαµε να κάνουν τα «σηµεία» και οι «ευθείες» ενός προβολικού

επιπέδου επειδή αναπαριστάνουν την ιδέα της θέασης από ένα µάτι ευρείας όρασης. Στο

σχήµα, το µάτι είναι στο Ο και κοιτά το επίπεδο z = 1. Τα σηµεία Ρ1, Ρ2, Ρ3,… ορώνται από

το µάτι µέσω των ευθειών L1, L2, L3,… και καθώς το Ρν τείνει στο άπειρο, η ευθεία Lν

τείνει να γίνει οριζόντια. Έτσι είναι φυσικό να αποκαλούµε τις οριζόντιες ευθείες από το

Ο, «σηµεία» στο ∞ του επιπέδου z = 1. Κατά το ίδιο σκεπτικό, το επίπεδο όλων των

οριζοντίων ευθειών από το Ο (δηλαδή το επίπεδο z = 0) καλούµε ορίζοντα ή «ευθεία» στο

∞ του επιπέδου z = 1. Ενώ όµως οι ευθείες L1, L2, L3,… αντιστοιχούν στα σηµεία Ρ1, Ρ2,

Ρ3,…, οι οριζόντιες ευθείες από το Ο δεν αντιστοιχούν σε κάτι στο ευκλείδειο επίπεδο z =

1. Έτσι αυτές επεκτείνουν φυσιολογικά το ευκλείδειο επίπεδο σε κάτι νέο: το προβολικό

επίπεδο.

Αυτό το µοντέλο του προβολικού επιπέδου, το ℝ PP2, αναδεικνύει την διαισθητική

ιδέα που έχουµε για τα σηµεία στο ∞ και επιπλέον κάνει την ιδέα αυτή ακόµα καθαρότερη.

Μπορούµε να δούµε γιατί κάθε ευθεία έχει µόνο ένα σηµείο στο ∞ και όχι δύο: ∆ιότι οι

ευθείες L που συνδέουν το Ο µε τα σηµεία Ρ της ευθείας Μ στο επίπεδο z = 1 τείνουν όλες

212

προς την ίδια µοναδική οριζόντια ευθεία καθώς το Ρ τείνει προς το ∞, σε οποιαδήποτε

κατεύθυνση πάνω στην ευθεία Μ.

Είναι όµως δύσκολο να εντοπίσουµε µια επιφάνεια που να συµπεριφέρεται όπως το

ℝ PP2 και να «συµπλέει» µε την έννοια επίπεδο, αλλά είναι πιο εύκολο να βρούµε µια

καµπύλη που να συµπεριφέρεται όπως µια «ευθεία» του ℝ PP2. Η καµπύλη αυτή µπορεί να

είναι ο κύκλος του σχήµατος 5.2.5. Τα «σηµεία» (δηλαδή οι ευθείες ΟΡ) του ℝ PP2

αντιστοιχούν στα σηµεία του κύκλου που περνά από το Ο. Έτσι κάθε σηµείο Ρ αντιστοιχεί

στο Ρ΄ και το απειροσηµείο της ευθείας µ (δηλαδή η παράλληλη προς την µ) αντιστοιχεί

στο Ο. Βέβαια ο κύκλος δεν είναι ακριβώς µοντέλο προβολικής ευθείας αφού δύο τέτοιες

«ευθείες» (δηλαδή κύκλοι) δεν ικανοποιούν το αξίωµα της µοναδικότητας του σηµείου

τοµής τους, ωστόσο όµως µε παράκαµψη του αξιώµατος αυτού ξεκινά η Ελλειπτική

γεωµετρία του Riemann.

µ

P

O

P'

Σχήµα 5.2.5.: Μοντελοποίηση προβολικής ευθείας µέσω κύκλου

Από τη στιγµή που τα «σηµεία» και οι «ευθείες» του ℝ PP2 έγιναν ευθείες και

επίπεδα του 3ℝ που περνούν από το Ο, η γραµµική άλγεβρα εισέβαλε στο πεδίο της

συνθετικής γεωµετρίας. Ας πάρουµε λοιπόν τα πράγµατα από την αρχή. Το ευκλείδειο

επίπεδο παριστάνεται αλγεβρικά µε το 2ℝ και κάθε σηµείο του αναπαρίσταται ως ένα

διδιάστατο διάνυσµα 2( , )x y ∈ℝ . Μια ευθεία θεωρείται ως το σύνολο όλων των σηµείων

( , )x y που ικανοποιούν την εξίσωση 0ax by c+ + = . Εµείς όµως αφού θεωρούµε τις

ευθείες ως αυθύπαρκτα «αντικείµενα» κι όχι ως σύνολα σηµείων αλλάζουµε συµβολισµό

και τις αναπαριστάνουµε όχι ως εξισώσεις αλλά ως τριάδες ( ), ,a b c . Προφανώς οι τριάδες

213

( , , )a b cλ λ λ µε λ≠0 παριστάνουν την ίδια ευθεία. Και βέβαια ένα σηµείο ( , )x y θα ανήκει

στην ευθεία ( ), ,a b c αν 0ax by c+ + = .

Τώρα κάνουµε το επόµενο βήµα. Εµφυτεύουµε το ευκλείδειο επίπεδο στον

τρισδιάστατο χώρο 3ℝ ως το επίπεδο z=1 που είδαµε πριν. Κάθε σηµείο λοιπόν ( , )x y

τώρα γίνεται ( , ,1)x y . Για κάθε σηµείο του χώρου µε µη µηδενική κατηγµένη εύκολα

αντιστοιχίζουµε µέσω ευθείας ένα ευκλείδειο σηµείο του επιπέδου z=1. Αλγεβρικά θα

λέγαµε ότι για κάθε σηµείο 3( , , )x y z ∈ℝ θεωρούµε τον µονοδιάστατο υπόχωρο που για

z≠0 τέµνει το εµφυτευµένο ευκλείδειο επίπεδο σε ακριβώς ένα σηµείο. Έτσι το διάνυσµα

( , , )p x y z= αντιστοιχεί στο ευκλείδειο σηµείο ( / , / ,1)x z y z . Προφανώς όλα τα

διανύσµατα της ίδιας κλάσης ισοδυναµίας [ ]p αντιστοιχούν στο ίδιο ευκλείδειο σηµείο.

Με άλλα λόγια µια διερχόµενη από το Ο ευθεία προσδιορίζεται από ένα σηµείο (x,y,z) ≠

(0,0,0) αλλά περιέχει όλα τα σηµεία (tx,ty,tz) καθώς το t διατρέχει το ℝ . Έτσι το «σηµείο»

του ℝ PP2 δεν δίνεται από την απλή τριάδα (x,y,z) αλλά από οποιαδήποτε µη µηδενική

πολλαπλάσιά της : (tx,ty,tz). Για παράδειγµα οι τριάδες (3,5,10) & (6,10,20) δείχνουν το

ίδιο «σηµείο». Αυτές οι τριάδες καλούνται Οµογενείς Συντεταγµένες του «σηµείου» στο

ℝ PP2 µια και «οµογενοποιούν» το χώρο µας. Τι γίνεται όµως µε τα υπόλοιπα σηµεία

( , , )x y z του 3ℝ που έχουν κατηγµένη 0; Αυτά τα σηµεία αναπαριστάνουν τα σηµεία στο

∞ της προβολικής πλήρωσης του ευκλειδείου επιπέδου. Αυτό µπορούµε να το

αποδείξουµε ως εξής: Έστω ένα σηµείο 1 2( , )p p p= στο ευκλείδειο επίπεδο. Ορίζουµε και

µια διεύθυνση 1 2( , )r r r= . Θεωρούµε τώρα το σηµείο aq p ar= + , *a∈ℝ . Οι οµογενείς

συντεταγµένες του σηµείου αυτού είναι 1 1 2 2( , ,1)aq p ar p ar= + + . Πολλαπλασιάζουµε µε

1/α και οι συντεταγµένες του ίδιου σηµείου γίνονται 1 1 2 2( / , / ,1/ )aq p a r p a r a= + + .

Σύµφωνα µε την «ευκλείδεια όραση» αυξάνουµε το α συνεχώς και µε την «προβολική

όραση» το στέλνουµε στο +∞ . Βρίσκουµε λοιπόν το διάνυσµα 1 2( , ,0)r r , το οποίο

παρέχει τις οµογενείς συντεταγµένες του σηµείου στο ∞. Αν στέλναµε το α στο -∞ θα

καταλήγαµε πάλι στο ίδιο αποτέλεσµα αλλά θα ταξιδεύαµε προς την αντίθετη

κατεύθυνση. Άρα είχε δίκιο ο Desargues που στην αρχή του BrP έγραφε, όπως είδαµε,

ακριβώς ότι στο σηµείο στο ∞ µπορούµε να φτάσουµε από δύο κατευθύνσεις.

214

Περνάµε τώρα στην «ευθεία». Ένα διερχόµενο από το Ο επίπεδο γνωρίζουµε ότι

έχει µια γραµµική εξίσωση της µορφής ax+by+cz=0. Το ίδιο όµως επίπεδο δίνεται και από

την εξίσωση tax+tby+tcz=0 για οποιοδήποτε µη µηδενικό t. Έτσι η «ευθεία» του ℝ PP2,

κατά παρόµοιο τρόπο δεν δίνεται µόνο από την τριάδα (a,b,c) αλλά από το σύνολο όλων

των µη µηδενικών πολλαπλάσιών της : (ta,tb,tc). Ένα «σηµείο» ( , , )x y z θα ανήκει στην

«ευθεία» (a,b,c) αν και µόνο αν ax+by+cz=0. Τα σηµεία στο ∞, (x,y,0), που ανήκουν

όµως; Προφανώς θα ανήκουν στην «ευθεία» (0,0,c) αφού 0x+0y+c0=0. Η «ευθεία» (0,0,c)

καλείται µε τη σειρά της ευθεία στο ∞.

Αν τώρα δύο σηµεία (x1,y1,z1) και (x2,y2,z2) ανήκουν σε διαφορετικές από το Ο

ευθείες, τότε είναι γεωµετρικά προφανές ότι αυτά θα ανήκουν σε µοναδικό επίπεδο

ax+by+cz=0. Οι συντεταγµένες (a,b,c) του επιπέδου µπορούν να βρεθούν λύνοντας το

σύστηµα: 1 1 1

2 2 2

0

0

ax by cz

ax by cz

+ + =

+ + = . Επειδή όµως οι άγνωστοι είναι περισσότεροι από τις

εξισώσεις, δεν υπάρχει φυσικά µοναδική λύση αλλά ένα σύνολο λύσεων (ta,tb,tc) που όλες

αναπαριστάνουν την ίδια οµογενή εξίσωση ax+by+cz=0. Αυτό είναι τώρα ένα αλγεβρικό

επιχείρηµα που αποδεικνύει ότι δύο «σηµεία» κείνται σε µοναδική «ευθεία», στο ℝ PP2 .

Παρόµοιο αλγεβρικό επιχείρηµα µπορούµε να δώσουµε και για το δεύτερο αξίωµα,

δηλαδή γιατί δύο «ευθείες» έχουν µοναδικό κοινό «σηµείο», στο ℝ PP2 πάντα.

Ας ανακεφαλαιώσουµε µέχρι εδώ. Ξεκινήσαµε από το οικείο ευκλείδειο επίπεδο

και το συµπληρώσαµε µε τα «αντικείµενα» στο ∞: ένα σηµείο στο ∞ για κάθε κλάση

παραλλήλων και µια «περιφερειακή» µοναδική ευθεία στο ∞ που περιέχει όλα αυτά τα

σηµεία. Με τη βοήθεια της άλγεβρας καταλήξαµε σε ένα σύστηµα αναπαράστασης αυτών

των «αντικειµένων» µε συντεταγµένες. Τα ευκλείδεια σηµεία είναι του τύπου (x,y,1) και

τα σηµεία στο ∞ (ή «απειροσηµεία») του τύπου (x,y,0). Οι ευκλείδειες ευθείες είναι της

µορφής (a,b,c) µε a, b όχι συγχρόνως 0 και η ευθεία στο ∞ είναι η (0,0,1).

Βλέπουµε έτσι ότι η άλγεβρα αρχίζει να βοηθά και να παραµερίζει σιγά σιγά τη

γεωµετρία. Μας δίνει δε τη δυνατότητα να «ανοιχτούµε» ακόµη περισσότερο: Αν οι

συντεταγµένες των «σηµείων» και της «ευθείας» ήταν µιγαδικοί αριθµοί, θα χάναµε µεν

την εικόνα που έχουµε σχηµατίζει µέχρι τώρα, δεν θα υπήρχε δε «αλγεβροποιός» διαφορά.

Θα µπορούσαµε λοιπόν να ορίσουµε το Μιγαδικό Προβολικό Επίπεδο (Complex Projective

215

Plane) ℂPP2, κάθε σηµείο του οποίου είναι πάλι ένα σύνολο τριάδων της µορφής (tx,ty,tz),

όπου x, y, z, είναι συγκεκριµένοι µιγαδικοί και το t διατρέχει αυτή τη φορά το ℂ . Οµοίως

και εδώ µπορεί να δείξει κανείς αλγεβρικά την αλήθεια των αξιωµάτων αφού οι

αλγεβρικές ιδιότητες των µιγαδικών γραµµικών εξισώσεων είναι ίδιες µε τις αντίστοιχες

των πραγµατικών γραµµικών εξισώσεων. Έτσι δείξαµε ότι υπάρχουν περισσότερα του

ενός µοντέλα των αξιωµάτων του προβολικού επιπέδου.

Η άλγεβρα αποδεικνύεται ισχυρό εργαλείο γιατί αποµακρύνει ή και εξαλείφει τα

όρια που θέτει η εποπτεία στη γεωµετρία. Αναβαθµίζοντας λοιπόν τα συµπεράσµατά µας

µπορούµε να αυξήσουµε τις οµογενείς συντεταγµένες σε τετράδες (w,x,y,z) και να

ορίσουµε έτσι τον τρισδιάστατο Πραγµατικό Προβολικό Χώρο (Real Projective Space)

ℝ PP3. Θα έχει αντικείµενα που καλούνται «σηµεία», «ευθείες» και «επίπεδα» ορισµένα µε

τον εξής τρόπο:

⊳ Ένα «σηµείο» θα είναι µια διερχόµενη από το Ο ευθεία, στο 4ℝ όµως. Έτσι θα

είναι ένα σύνολο τετράδων tu, όπου u=(w,x,y,z) και το t διατρέχει το ℝ .

⊳ Μία «ευθεία» θα είναι ένα διερχόµενο από το Ο επίπεδο, στο 4ℝ , οπότε ένα

σύνολο 1 1 2 2t u t u+ όπου u1, u2 είναι γραµµικώς ανεξάρτητα σηµεία του 4ℝ και t1, t2

διατρέχουν το ℝ .

⊳ Ένα «επίπεδο» θα είναι ένας τρισδιάστατος διερχόµενος από το Ο χώρος, στο

4ℝ , οπότε ένα σύνολο 1 1 2 2 3 3t u t u t u+ + όπου u1, u2, u3 γραµµικώς ανεξάρτητα σηµεία του

4ℝ και t1, t2, t3 διατρέχουν το ℝ .

Και εδώ µπορούµε να δείξουµε µε τη βοήθεια της άλγεβρας την ισχύ ανάλογων

αξιωµάτων και να µεταβούµε έπειτα, όπως κάναµε και λίγο πριν, στον Μιγαδικό

Προβολικό Χώρο ℂPP33.

Συνεχίζοντας, όπως από το ℝ PP2 «αναβαθµιστήκαµε» στο ℝ PP3, µπορούµε να

«υποβαθµιστούµε» αλγεβρικώς στο ℝ PP1. Το τελευταίο θα είναι βέβαια η Πραγµατική

Προβολική Ευθεία (Real Projective Line). Είναι αυτή ακριβώς που περιγράψαµε

διαισθητικά στην αρχή της παραγράφου, ως ένα επίπεδο διερχόµενο από το Ο. Αν θέλαµε

να δώσουµε όµως έναν αλγεβρικό ορισµό της «ευθείας» θα λέγαµε: Είναι το σύνολο

∪ ∞ℝ µαζί µε όλες τις γραµµικές κλασµατικές συναρτήσεις ( )ax b

f xcx d

+=

+, 0ad bc− ≠ ,

που αντιστοιχίζουν το ∪ ∞ℝ στον εαυτό του. Εκτός από το σύνολο ∪ ∞ℝ που

216

περιέχει τα απαιτούµενα σηµεία µιας προβολικής «ευθείας», βάζουµε επιπλέον και τις

συναρτήσεις αυτού του είδους γιατί οι τελευταίες αποδίδουν αλγεβρικά την

«ελαστικότητα» που προκαλεί στην ευθεία (εποπτικά) η διαδικασία της κεντρικής

προβολής. Ας εξηγήσουµε καλύτερα το τελευταίο. Η συνήθης ευθεία των πραγµατικών

αριθµών δεν έχει την «ελαστικότητα» που εννοούµε γιατί µόλις αποφασίσουµε ποιο

σηµείο αντιστοιχεί στο 0 και ποιο στο 1, ο µετασχηµατισµός σταθεροποιείται και η

αριθµητική τιµή οποιουδήποτε σηµείου στην ευθεία αυτή προσδιορίζεται µοναδικώς.

Αντιθέτως η θέση ενός σηµείου στην προβολική ευθεία ℝ PP1 δεν προσδιορίζεται µόνο από

τις θέσεις των αριθµών 0 & 1, δηλαδή η ευθεία αυτή έχει κάποια «ελαστικότητα». Και αν

στη συνέχεια εγκαταστήσουµε για παράδειγµα µια προβολή που να στέλνει το 0 στο 0, το

1 στο 1 και το 2 στο 3, η «ελαστικότητα» περιορίζεται γιατί η θέση οποιουδήποτε άλλου

σηµείου χ µπορεί να προσδιοριστεί µοναδικώς. Αυτό επιτυγχάνεται, όπως έχουµε δει, µε

τη βοήθεια του θεµελιώδους εργαλείου της προβολικής γεωµετρίας, του διπλού λόγου. Ο

διπλός λόγος διατηρείται στην προβολή γιατί αποδεικνύεται αλγεβρικώς ότι είναι

αναλλοίωτος στους τρεις βασικούς µετασχηµατισµούς ( ,x x l→ + ,x kx→ 1/x x→ ) από

τους οποίους συνθέτονται όλες οι γραµµικές κλασµατικές απεικονίσεις.

Το ℝ PP2 είναι το σηµαντικότερο προβολικό επίπεδο αλλά δεν είναι το µοναδικό.

Μπορούν να κατασκευαστούν κι άλλα προβολικά επίπεδα που µιµούνται την κατασκευή

του ℝ PP2 η οποία βασίζεται στις διατεταγµένες τριάδες (x,y,z) και στις γραµµικές

εξισώσεις ax+by+cz=0. Κι αυτό δεν είναι απαραίτητο οι x, y, z να είναι πραγµατικοί

αριθµοί. Ήδη αναφέραµε ότι µπορεί να είναι και µιγαδικοί. Γενικότερα µπορεί να είναι

στοιχεία οποιουδήποτε σώµατος F. Αναλογικά λοιπόν µπορούµε να θεωρήσουµε τον χώρο

F3 των διατεταγµένων τριάδων (x,y,z) µε x, y, z, F∈ . Τότε κατασκευάζουµε το προβολικό

επίπεδο FFPP22 έτσι ώστε να έχει «σηµεία» τις τριάδες (kx,ky,kz) µε x, y, z σταθερά στοιχεία

του σώµατος και το k να διατρέχει το σώµα. Οι «ευθείες» του θα περιέχουν «σηµεία» που

ικανοποιούν την εξίσωση ax+by+cz=0 µε a, b, c σταθερά στοιχεία του σώµατος. Τα

αξιώµατα του προβολικού επιπέδου φυσικά θα ισχύουν και στο FFPP22 όπως ακριβώς και στο

ℝ PP2. Έτσι έχουµε µια µεγάλη ποικιλία επιπέδων FFPP22 γιατί υπάρχει βέβαια µεγάλη ποικιλία

σωµάτων. Ίσως µετά τα ℝ και ℂ το πιο γνωστό σώµα είναι το ℚ . Το ℚ PP2 δεν είναι πολύ

διαφορετικό από το ℝ PP2, απλώς τα «σηµεία» του έχουν ρητές συντεταγµένες και οι

ευθείες του θα είναι γεµάτες κενά αφού θα περιέχουν µόνο «ρητά» σηµεία. Πιο προσιτά

παραδείγµατα προβολικών επιπέδων προκύπτουν όµως όταν το σώµα F είναι

πεπερασµένο. Υπάρχει τέτοιο µε np στοιχεία για οποιαδήποτε δύναµη np οποιουδήποτε

217

πρώτου αριθµού p . Το απλούστερο παράδειγµα είναι το σώµα F2 µε δύο στοιχεία, τα 0 &

1 και βέβαια τις πράξεις + & × (επί) ως ακολούθως:

Το προβολικό επίπεδο F2PP2 θα έχει έτσι 7 «σηµεία» - διανύσµατα - του 3

2F ,

( 32 1− τριάδες) και απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήµα.

Πρόκειται για το Fano Plane που αναλύσαµε πριν. Οι «ευθείες» ικανοποιούν τις γραµµικές

εξισώσεις x=0, y=0, z=0, x+y=0, y+z=0, x+z=0 & x+y+z=0. Για παράδειγµα τα σηµεία της

µη ευκλείδειας ευθείας ικανοποιούν την τελευταία εξίσωση. (Φυσικά το σχήµα είναι

καθαρά συµβολικό και οι συντεταγµένες ουδεµία σχέση έχουν µε τη θέση των

«αντικειµένων» στο επίπεδο). Εναλλακτικά µπορεί να δει κανείς το Fano Plane µε τον

ακόλουθο τρόπο: Το ανάλογο του F2 στο ευκλείδειο επίπεδο 2ℝ είναι ο «χώρος» 22F που

έχει 4 σηµεία (0,1), (0,0), (1,0) & (1,1). Τα οµογενοποιούµε εµφυτεύοντάς τα στο επίπεδο

z=1 του 32F και επιπλέον θεωρούµε και τα τρία σηµεία (στη βάση του τριγώνου) µε

κατηγµένη 0. (Έτσι προκύπτουν οι 7 τριάδες). Τα τελευταία είναι τα σηµεία στο ∞ και η

ευθεία που τα ενώνει είναι η ευθεία στο ∞.

Ενδεικτικά δείχνουµε το αµέσως επόµενο πεπερασµένο προβολικό επίπεδο σε

σώµα F3 , η «ευθεία» του οποίου θα έχει 4 σηµεία και συνολικά θα είναι 13.

× 0 1

0

1

0 0

0 1

+ 0 1

0

1

0 1

1 0

218

Χάρη στα πεπερασµένα σώµατα έχουν αναπτυχθεί σε µεγάλο βαθµό οι πεπερασµένες

γεωµετρίες οι οποίες έχουν εφαρµογές στα µαθηµατικά πληροφοριών & επικοινωνιών.

Αναφέραµε λίγο πριν ότι είναι λίγο δύσκολο να βρούµε µια επιφάνεια που να

συµπεριφέρεται όπως το προβολικό επίπεδο. Ένας από τους πρωταγωνιστές της

συνθετικής προβολικής γεωµετρίας, ο Jakob Steiner (1796-1863) βρήκε την πρώτη εικόνα

του προβολικού επιπέδου. Σήµερα θα την ονοµάζαµε εµφύτευση στον τρισδιάστατο χώρο

(ή καλύτερα στον τετραδιάστο). Όρισε την ακόλουθη αντιστοίχιση από τα σηµεία µιας

σφαίρας στον R3 : (x,y,z)→(yz,xz,xy). Ταυτίζει έτσι τα αντιδιαµετρικά σηµεία της

σφαίρας. Επειδή την προκύπτουσα επιφάνεια την σκέφτηκε κατά την παραµονή του στη

Ρώµη, την ονόµασε Roman Surface. ∆εν την δηµοσίευσε όµως αλλά την ανέφερε στους

φίλους του Weierstrass και Kummer οι οποίοι την δηµοσίευσαν µετά τον θάνατό του. Τη

χρονιά του θανάτου του, ο δεύτερος παρουσίασε το πρώτο εκµαγείο που απεικόνιζε την

επιφάνειά του.

219

Ruth Vollmer: Steiner`s Roman Surface 1970

Diam. 30,5 cm, Collection Dorothea and Leo Rabkin, New York.

Τελειώνοντας, θα ήταν χρήσιµο να ενσωµατώσουµε τη διαδικασία

υποστασιοποίησης του προβολικού επιπέδου και τις προεκτάσεις της που περιγράψαµε,

στο ακόλουθο διάγραµµα:

220

P2

Finite Projective Planes

Προοπτική

Ιnfinite Projective Planes

F2P2

Fano Plane F3P

2

ℝ PP2 (R σώµα) «Ενίσχυση» µε Άλγεβρα

ℝ PP1 ℝ PP3

ℂPP33

QPP22 ℂPP22

FPP22 ((FF σώµα))

221

5.3 Γιατί τα Θεωρήµατα των Desargues & Πάππου ξεχωρίζουν;

Desarguesian & Pappian planes

Τα θεωρήµατα των Desargues & Πάππου, τα οποία αναφέρθηκαν στις

παραγράφους 4.5 και 1.3 αντίστοιχα, είναι διατυπωµένα στο ευκλείδειο επίπεδο (του

Desargues είναι και στον ευκλείδειο χώρο) και αποδεδειγµένα µε ευκλείδειο τρόπο. Γι’

αυτό αφήνουν έξω µία απλή εκδοχή: Αν 2 εκ των 3 ζευγών ευθειών (που τα σηµεία τοµής

τους προκύπτουν συνευθειακά), αποτελούνται από παράλληλες ευθείες τότε και στο τρίτο

ζεύγος οι ευθείες του θα είναι παράλληλες και βέβαια τα σηµεία τοµής δεν θα υπάρχουν.

Στην προβολική γεωµετρία αυτή η εκδοχή δεν διαχωρίζεται88 αφού οι παράλληλες

τέµνονται στον ορίζοντα και ο τελευταίος συµπεριφέρεται όπως κάθε άλλη ευθεία. Έτσι τα

θεωρήµατα αποκτούν µια προβολική «έκδοση»:

Θεώρηµα Πάππου (Προβολική «έκδοση»)

Έξι σηµεία τα οποία µοιράζονται σε δύο ευθείες, σχηµατίζουν ένα εξάγωνο του οποίου τα

3 ζεύγη των απέναντι (αντικείµενων) κορυφών συναντώνται σε µια ευθεία L. Aν αυτή η

ευθεία L είναι ο ορίζοντας έχουµε την affine εκδοχή του θεωρήµατος.

88 Μήπως αυτό είναι δείγµα ότι η ευκλείδεια θέαση είναι «κατώτερη» της προβολικής;

222

Θεώρηµα Desargues (Προβολική «έκδοση»)

Αν δύο τρίγωνα είναι σε προοπτική από ένα σηµείο Ρ, τότε τα ζεύγη των αντιστοίχων

πλευρών τους συναντώνται σε µια ευθεία L. Aν αυτή η ευθεία L είναι ο ορίζοντας έχουµε

και εδώ affine εκδοχή του θεωρήµατος. 89

89 Αν δε το κέντρο προβολής Ρ βρίσκεται και αυτό στον ορίζοντα L, τότε αυτή η affine εκδοχή καλείται “little Desargues theorem” και κρύβεται µεν εξασφαλίζοντας δε, την σωστή προοπτική κατασκευή του πλακιδωτού δαπέδου µόνο µε κανόνα, την οποία δείξαµε βήµα βήµα στην προηγούµενη παράγραφο:

Παροµοίως υπάρχει και το “little Pappus theorem” δηλαδή η affine έκδοση του Θ. Πάππου, όπως την περιγράψαµε λίγο πριν, στην οποίαν το σηµείο Ρ βρίσκεται κι αυτό στον ορίζοντα L.

223

Τα θεωρήµατα αυτά καλούνται λοιπόν προβολικά αφού περιλαµβάνουν µόνο σηµεία,

ευθείες, τοµές ευθειών και επιπλέον η διατύπωσή τους περιέχει και την πιθανή ύπαρξη του

ορίζοντα, δηλαδή της ευθείας στο άπειρο. Άρα θα περίµενε κανείς, οι αποδείξεις τους να

στηρίζονται αποκλειστικά στα τρία αξιώµατα του προβολικού επιπέδου που αναφέρθηκαν

στην προηγούµενη παράγραφο. ∆υστυχώς όµως αυτό δεν είναι δυνατό, ενώ αντιθέτως σε

ν-διάστατο – µε ν>2 – προβολικό χώρο, το Θ. Desargues προκύπτει από τα αρχικά

αξιώµατα. Πρακτικά θέλει να µας πει ότι η επίπεδη προβολική γεωµετρία δεν µπορεί να

υπάρξει χωρίς µια τρίτη διάσταση. Το θεώρηµα είναι η διδιάστατη εικόνα µιας

τρισδιάστατης αλήθειας. Η ανεξαρτησία του από τα αξιώµατα της επίπεδης γεωµετρίας

ήταν η αφετηρία των Non - Desarguesian90 γεωµετριών. Συγκεκριµένα, ο Hilbert έδειξε ότι

δεν προκύπτει από τα αξιώµατα Ι 1-3 (σύνδεσης), ΙΙ (διάταξης), ΙΙΙ 1-4 (σύµπτωσης), ΙV

(παραλληλίας) και V (συνέχειας). Έχουν βρεθεί παραδείγµατα προβολικών επιπέδων που

δεν ικανοποιούν τα θεωρήµατα Desargues & Πάππου. Έτσι αυτό που µπορούµε να

κάνουµε είναι να τα θεωρήσουµε ως νέα αξιώµατα και µαζί µε τα άλλα τρία να

διευρύνουµε το σύνολο των προβολικών επιπέδων και να σχηµατίσουµε έτσι δύο νέες

κλάσεις τέτοιων: τα Desarguesian planes & τα Pappian planes. Το αν τα µεν

συνεπάγονται τα δε, θα το δούµε στη συνέχεια. Τα επίπεδα αυτά περιλαµβάνουν το

πραγµατικό προβολικό επίπεδο RΡ2 και άλλα πολλά, όµως όχι όλα. Επίσης οι

συντεταγµένες τους ικανοποιούν κάποιους νόµους της άλγεβρας, όπως στην περίπτωση

του RΡ2 το οποίο κατασκευάστηκε πάνω στο σύνολο R που είναι σώµα. Άρα φαίνεται ότι

η προβολική γεωµετρία είναι «απλούστερη» και από την άλγεβρα αφού από τα 5

γεωµετρικά αξιώµατα µπορούν να προκύψουν τα 9 αξιώµατα του σώµατος. Ας τα

θυµηθούµε:

α+β=β+α αβ=βα (Αντιµεταθετική Ιδ.)

α+(β+γ)=(α+β)+γ α(βγ)=(αβ)γ (Προσεταιριστική)

α+0=α α1=α (Ουδέτερο στοιχείο)

α+(-α)=0 αα-1=1 (Ύπαρξη Αντιθ.–Αντιστρ.)

α(β+γ)=αβ+αγ (Επιµεριστική)

Σ’ αυτό το σηµείο θα κάνουµε µία παρένθεση για να περιγράψουµε ένα παράδειγµα

προβολικού επιπέδου που δεν είναι Desarguesian (δηλαδή δεν αληθεύει το Θ. Desargues)

90 Desarguian, για άλλους.

224

ούτε Pappian.91 Είναι το λεγόµενο Moulton plane. Τα «σηµεία» του είναι τα συνήθη

σηµεία του R2 και τα σηµεία στο ∞ (ένα για κάθε κλάση παραλλήλων ευθειών). Οι

«ευθείες» του όµως δεν είναι σαν τις συνήθεις ευθείες. Περιλαµβάνει τις συνήθεις ευθείες

αρνητικής, οριζόντιας και κατακόρυφης κλίσης αλλά εκείνες µε θετική κλίση τις θεωρεί ως

εξής: Κάθε µια τέτοια είναι µια «σπασµένη» από τον άξονα χ΄χ ευθεία, σε δύο ηµιευθείες.

Μία µε κλίση κ>0 από κάτω από τον άξονα και µια µε κλίση κ/2 πάνω από τον άξονα. Το

ακόλουθο σχήµα δείχνει τις ευθείες του Moulton:

Το Moulton plane ικανοποιεί τα τρία βασικά αξιώµατα αλλά δεν ικανοποιεί το Θ.

Desargues (ούτε καν το little Desargues theorem, όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα όπου

τα δύο τρίγωνα DEF & NKL είναι σε προοπτική από το σηµείο στο ∞). Είναι δηλαδή ένα

προβολικό επίπεδο αλλά Non-Desarguesian plane.

91 O Hartshorne στο [23] σελ. 42 αποδεικνύει µε γεωµετρικό τρόπο ότι το θεώρηµα του Desargues συνεπάγεται από το θεώρηµα του Πάππου. Οπότε ένα Non-Desarguesian plane είναι και Non-Pappian.

225

Ας επιστρέψουµε στα αξιώµατα του σώµατος τα οποία στην άλγεβρα τα

χρησιµοποιούµε µηχανικά και µε µεγάλη ευκολία. Στην προβολική γεωµετρία όµως δεν

είναι τόσο προφανή. Για παράδειγµα η ιδιότητα α+β=β+α για να αποδειχθεί προβολικώς,

πρέπει να κατασκευαστούν γεωµετρικά τα δύο µέλη και να αποδειχθεί ότι συµπίπτουν στο

ίδιο σηµείο της ευθείας. Η συγκεκριµένη ιδιότητα αληθεύει και σ’ αυτό βοηθά το “little

Pappus theorem”. Ας το δείξουµε στο ακόλουθο σχήµα:

Σε έναν οριζόντιο άξονα τοποθετούµε τους αριθµούς α & β. Βρίσκουµε τη θέση του α+β

ως εξής: Σε µια τυχαία ηµιευθεία που περνά από το Ο παίρνω σηµείο D και φέρνω

παράλληλη προς τον αριζόντιο άξονα Οαβ. Από το β φέρνω την βΗ//ΟD και από το Η την

ΗΚ//Dα. Το σηµείο Κ είναι η θέση του αριθµού α+β γιατί το µήκος β µεταφέρθηκε

καταλλήλως µέσω δύο µπλε και µιας πράσινης ευθείας. Στην ένσταση κάποιου για την

κατασκευή των παραλλήλων απαντούµε ότι δεν έγινε µε ευκλείδειο τρόπο (µε διαβήτη)

αλλά µε προβολικό τρόπο: Για παράδειγµα, ενώνω το α µε το σηµείο στο ∞ της ευθείας

ΟΥ και σχεδιάζεται έτσι η αF. Φυσικά το «πνεύµα» του διαβήτη κυριαρχεί γιατί

α+β=β+α

226

µεταφέρθηκαν τα µήκη, αλλά τα τελευταία δεν τα βλέπει το προβολικό µάτι. Με τον ίδιο

τρόπο και µε τη βοήθεια των δύο ροζ και της άλλης πράσινης ευθείας µεταφέρεται το

µήκος α, προστίθεται στο β και βρίσκουµε τη θέση του αριθµού β+α. Η θέση αυτή είναι

πάλι το σηµείο Κ αλλά αυτό πρέπει να αποδειχθεί µε προβολικό τρόπο και όχι µε

ευκλείδειο. Χάρη στο θεώρηµα του Πάππου και µάλιστα στο little Pappus theorem

αποδεικνύεται το ζητούµενο.

Θα ασχοληθούµε τώρα µε την αντιµεταθετική ιδιότητα ως προς τον

πολλαπλασιασµό, την αβ=βα, γιατί κρύβει κάτι σηµαντικό.

Η µια µπλε ευθεία (αG) που είναι παράλληλη µε την 11 µεταφέρει το µήκος Οα=α στην

ΟG και οι δύο πράσινες το «πολλαπλασιάζουν» µε το µήκος Οβ=β, οπότε στο σηµείο Η

πέφτει ο αριθµός βα. Οµοίως η άλλη µπλε ευθεία (βΑ) που επίσης είναι παράλληλη µε την

11, µεταφέρει αυτή τη φορά το µήκος Οβ=β στην OA και οι δύο κόκκινες το

«πολλαπλασιάζουν» µε το Οα=α, οπότε ο αριθµός αβ θα θέλουµε να πέσει στο Η κι όχι σε

άλλο σηµείο. Το τελευταίο όµως ισχύει όχι βέβαια µε ευκλείδειο τρόπο (δηλαδή µε Θ.

Θαλή) αλλά λόγω του Θ. Πάππου και µάλιστα της affine έκδοσης.

Τα υπόλοιπα αξιώµατα του σώµατος αποδεικνύονται κατά παρόµοιο τρόπο, δηλαδή

γεωµετρικά92, αλλά σε κανένα άλλο δεν χρειάζεται το Θ. Πάππου εκτός από την αβ=βα,

όπως αποδείξαµε µόλις τώρα. Στα άλλα χρειάζεται άλλοτε το Θ. Desargues (στην απόδειξη

της α(βγ)=(αβ)γ), άλλοτε είναι αρκετό το little Desargues theorem ενώ στην α+β=β+α

είδαµε ότι χρειάστηκε το little Pappus theorem. Οι Behnke et al. (1986), δείχνουν ότι από

το Θ. Desargues µπορούµε να συµπεράνουµε το little Desargues theorem (γιατί δεν

92 Stillwell, 2000.

1

1

αβ=βα

227

περιλαµβάνεται στην αρχική διατύπωση του Θ. Desargues, ενώ το αντίστοιχο little Pappus

περιλαµβάνεται στο αρχικό Θ. Πάππου) και από εκεί το little Pappus.93

Από όλα τα παραπάνω καταλήγουµε στα εξής δύο συµπεράσµατα:

Α. Από τα 3 αρχικά αξιώµατα δεν προκύπτει προβολικό επίπεδο της µορφής FP2 µε F

σώµα γιατί δεν αρκούν για να αποδείξουν την αβ=βα. Αυτό µπορεί να γίνει αν προστεθεί

ως ΑΞ.4 το Θ. Πάππου, δηλαδή αν το επίπεδο είναι Pappian.

Β. Αν από τα αξιώµατα του σώµατος εξαιρεθεί η αβ=βα τότε τα υπόλοιπα αποδεικνύονται

αν προστεθεί ως ΑΞ.4 όχι το Θ. Πάππου αλλά το Θ. Desargues, δηλαδή αν το επίπεδο είναι

Desarguesian. Σε αυτή την περίπτωση δηλαδή όταν ισχύουν τα 8 αξιώµατα του σώµατος

(κι όχι 9), το σώµα καλείται στρεβλό (skew field) ή διαιρετικός δακτύλιος (division ring).

Έτσι το προβολικό επίπεδο DP2 µε D διαιρετικό δακτύλιο είναι Desarguesian.

Ανακεφαλαιώνοντας, ας δείξουµε σχηµατικά αυτά που περιγράψαµε :

93 Μάλιστα γράφουν ότι το αντίστροφο, δηλαδή το little Pappus th. ⇒ little Desargues th., παραµένει άλυτο πρόβληµα.

Προβολικό Θ. Des

Affine version

Ευκλείδειο Θ.Des

Little Des

Προβολικό Θ. Παππ.

Affine version

Ευκλείδειο Θ.Παππ.

Little Παππ.

Προβολικό επίπεδο + Θ. Παππ.

Pappian Pl.

Προβολικό επίπεδο + Θ. Des.

Desarguesian Pl.

228

Τέλος, ας αναφέρουµε ότι η ταξινόµηση προβολικών επιπέδων συνεχίστηκε και

εξειδικεύθηκε, πάντα µε τη πολύτιµη βοήθεια της άλγεβρας.94

94 Επινοήθηκαν στη συνέχεια και τα πεπερασµένα Desarguesian planes τα οποία, όπως αποδείχθηκε, είναι και Pappian, σε αντίθεση µε τα µη πεπερασµένα. Άρα έπρεπε να βρεθεί και ένα πεπερασµένο non – Desarguesian επίπεδο. Aυτό έγινε από τον γεωµέτρη Oswald Veblen (1880 – 1960) και τον αλγεβριστή Joseph H.M. Wedderburn (1882 – 1948). Πρόκειται για το λεγόµενο Veblen – Wedderburn plane. (Cerroni, 2004)

Θ. Πάππου Affine version

Θ. Des ή L. Des ή L. Πάππου

α+β=β+α

α+(β+γ)=(α+β)+γ

α(βγ)=(αβ)γ α+0=α

α1=α α+(-α)=0

αα-1=1 α(β+γ)=αβ+αγ

αβ=βα

∆. δακτύλιος

Σώµα

229

5.4 ∆ύο ∆ιδακτικές Εφαρµογές95

Α. Κατασκευή των ακεραίων πάνω σε προβολική ευθεία και όχι σε ευκλείδεια.

9

Α

8765432

ΚΖ

άπειρο0 1

Β

Σχήµα 5.4.1

Επιλέγουµε αυθαίρετα τρία σηµεία µιας ευθείας που αντιστοιχούν στα 0,1 και άπειρο (∞).

Επισηµαίνουµε ότι µε την προβολική µας όραση, βλέπουµε κάπου το άπειρο ενώ δεν

αντιλαµβανόµαστε αποστάσεις. Τα βήµατα είναι τα εξής:

1. Φέρνουµε από το απειροσηµείο δύο τυχαίες ευθείες και σηµειώνουµε ένα τυχαίο

σηµείο Β στη πρώτη ευθεία.

2. Φέρνουµε την 0Β που τέµνει τη δεύτερη ευθεία στο Ζ.

3. Φέρνουµε την 1Ζ που τέµνει την πρώτη ευθεία στο Α.

4. Φέρνουµε την 1Β που τέµνει στο Κ.

5. Φέρνουµε την ΑΚ και βρίσκω το σηµείο 2.

95 Ήδη στις παραγράφους 4.5 και 5.1 έχουν αναφερθεί µέθοδοι κατασκευής πολικών, πόλων και εφαπτοµένων κωνικών τοµών.

230

6. Συνεχίζουµε κατά τον ίδιο τρόπο, πλησιάζοντας ολοένα στο άπειρο χωρίς όµως να

το φτάσω ποτέ.

Η κατασκευή αυτή των ακεραίων δεν επηρεάζεται από τις θέσεις των σηµείων Α και Β.

Αυτά είναι δύο κέντρα προβολής εκ των οποίων το Β «ρίχνει» τα 0,1, ∞ στα Ζ,Κ,∞, το Α

«ρίχνει»µε τη σειρά του τα Ζ,Κ,∞ στα 1,2,∞ κ.ο.κ. Επειδή είδαµε ότι ο διπλός λόγος

µένει αναλλοίωτος υπό κεντρική προβολή, τότε (012∞) = (123∞) = ….

Τέλος το ότι αυτοί είναι οι γνωστοί µας ακέραιοι εξηγείται από την ευκλείδεια

όραση: Το άπειρο τότε δεν το βλέπουµε οπότε οι ευθείες 01, ΖΚ και ΑΒ γίνονται

παράλληλες και τα διαστήµατα [0,1], [1,2] κλπ, γίνονται ίσα. Έτσι τα σηµεία 1,∞ γίνονται

συζυγή αρµονικά των 0,2 κ.ο.κ. Και ενώ το ευκλείδειο µάτι βλέπει [0,1]=[1,2]=….., το

προβολικό βλέπει (0123)=(1234)=… .

Έτσι λοιπόν διαπιστώνουµε ότι η γνωστή µας αναπαράσταση των ακεραίων, κατά

την οποία τοποθετούµε τους αριθµούς 0,1,2 κλπ στην ευκλείδεια ευθεία, έχει µια καθαρά

προβολική θεµελίωση.

Β. Κοινά – αλλά µη πραγµατικά – σηµεία ευθείας και κωνικής.

Όταν στο ευκλείδειο επίπεδο R2 µε τη βοήθεια της Αναλυτικής Γεωµετρίας

λύνουµε το σύστηµα εξισώσεων ευθείας – κωνικής, τυχαίνει αυτό να µην έχει πραγµατικές

λύσεις (∆<0) αλλά δύο συζυγείς µιγαδικές. Τότε η εποπτεία συµβαδίζει µε αυτό το

αλγεβρικό αποτέλεσµα και λέµε ότι η κωνική δεν συναντά την ευθεία, ενώ θα λέγαµε το

αντίθετο αν το σύστηµα είχε πραγµατικές λύσεις και θα δείχναµε το ή τα κοινά σηµεία, οι

συντεταγµένες των οποίων θα συµφωνούσαν µε τις λύσεις του συστήµατος. Μήπως όµως

δεν είναι ακριβώς έτσι; Αφού βρίσκουµε λύσεις έστω και µιγαδικές, µήπως αυτές κάπου

υπάρχουν αλλά είναι αρκετά καλά «καµουφλαρισµένες»;

Θα προσπαθήσουµε στα επόµενα να δείξουµε ότι όταν η κωνική δεν συναντά την

ευθεία εννοούµε ότι δεν την συναντά σε σηµείο ορατό µε ευκλείδειο τρόπο. Αν όµως

δεχτούµε ότι η ευθεία έχει το απειροσηµείο της που όµως δεν βλέπουµε αλλά το

φανταζόµαστε, τότε αυτό ακριβώς το οποίο η ευκλείδεια όραση δεν «πιάνει», θα πρέπει να

συνδέεται µε κάποιο τρόπο µε τα φανταστικά κοινά σηµεία ευθείας – κωνικής. Το δύσκολο

231

σηµείο θα είναι να βρούµε µε ποιον τρόπο συνδέονται οι δύο συζυγείς µιγαδικές λύσεις

του συστήµατος ευθείας - κωνικής µε το απειροσηµείο αυτό.

Αρχικά όµως θα χρειαστεί να αναφέρουµε και να αποδείξουµε ένα θεώρηµα το

οποίο είναι συνέπεια του θεωρήµατος του Pascal:

Θεώρηµα:

Σε µία κωνική εγγράφουµε ένα τετρακόρυφο ABCD και από τις κορυφές του φέρνουµε τις

εφαπτόµενες στην κωνική. Σχηµατίζεται έτσι το περιγεγραµµένο τετράπλευρο EFGH. Οι

απέναντι πλευρές του τετρακορύφου συναντώνται96 ανά δύο στα σηµεία S & U, ενώ οι

απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου στα σηµεία T & V. Τότε τα τέσσερα σηµεία αυτά

είναι συνευθειακά και σχηµατίζουν αρµονική τετράδα.

Σχήµα 5.4.2

Απόδειξη :

96 Αποφεύγουµε τη λέξη «τέµνονται» για να δείξουµε ότι µπορεί να είναι και παράλληλες, το οποίο µεταφράζεται στο ότι θα συναντώνται στο άπειρο.

232

Σύµφωνα µε το Θ. Pascal, το τετρακόρυφο ABCD το θεωρούµε ως εξάγωνο

AABCCD. (Οι εφαπτόµενες στα Α και C είναι οι «πλευρές» του εξαγώνου, ΑΑ και CC). Η

εφαρµογή του Θ. Pascal απεικονίζεται στο σχήµα

όπου οι αντικείµενες πλευρές του τέµνονται στα σηµεία S, U, V τα οποία θα είναι

συνευθειακά και η ευθεία τους είναι η λεγόµενη ευθεία του Pascal.

Στη συνέχεια, το τετρακόρυφο ABCD το βλέπουµε αλλιώς: ως εξάγωνο ABBCDD.

Οπότε το Θ. Pascal εφαρµόζεται σύµφωνα µε το σχήµα:

Έτσι τα S, T, U είναι συνευθειακά. Οπότε προκύπτει ότι και τα τέσσερα σηµεία S, T, U, V

ανήκουν στην ίδια ευθεία (του Pascal). Αποµένει να δείξουµε γιατί σχηµατίζουν αρµονική

τετράδα. Για να αποδειχθεί το τελευταίο αρκεί να δείξουµε ότι οι διαγώνιοι EG & HF του

πλήρους τετραπλεύρου EFGH περνούν αντίστοιχα από τα σηµεία S & U, και τότε από την

ιδιότητα του πλήρους τετραπλεύρου (που είδαµε στον Πάππο) τα S, U θα είναι συζυγή

αρµονικά των T, V.

Για να δείξουµε ότι η διαγώνιος HF περνά από το U, θα αποδείξουµε ότι τα σηµεία

H, F, U, O (σηµείο τοµής AC & BD) είναι συνευθειακά. Αυτό προκύπτει πάλι από το Θ.

Pascal ως εξής:

Το εγγεγραµµένο τετρακόρυφο ABCD το βλέπουµε και εδώ ως «εξάγωνο»

DAACBB και έχουµε

AB, BB, BC, CD, DD, DA

S T U

AA, AB, BC, CC, CD, DA

V S U

233

οπότε τα U, F, O είναι συνευθειακά. Στη συνέχεια το βλέπουµε αλλιώς: ως «εξάγωνο»

ADDBCC και έχουµε

οπότε τα U, H, O είναι συνευθειακά. Έτσι τα σηµεία Η, Ο, F, U ανήκουν στην ίδια ευθεία

(του Pascal). Οµοίως αποδεικνύεται ότι τα σηµεία G, O, E, S ανήκουν και αυτά στην ίδια

ευθεία και έτσι απεδείχθη το θεώρηµα.

Εκµεταλλευόµαστε τώρα µια ειδική περίπτωση του παραπάνω θεωρήµατος: Αν οι

εφαπτόµενες EF, HG τέµνονται στο ∞, δηλαδή είναι παράλληλες (και µε την ευθεία ST),

τότε το V έχει φύγει στο ∞ και το σηµείο Τ γίνεται µέσο του SU. Αυτό ακριβώς είχαµε δει

στο A΄ µέρος του Brouillon Project (παράγραφος 4.4) όπου ο Desargues, µε την βοήθεια

της ενελικτικής ή αρµονικής τετράδας «µαθηµατικοποιούσε» ακριβώς έτσι το σηµείο στο

∞. Εποµένως το απειροσηµείο µιας ευθείας είναι το τέταρτο αρµονικό σηµείο µιας

τριάδας σηµείων που ισαπέχουν µεταξύ τους. Άρα λοιπόν αν δοθούν µία κωνική c και µία

ευθεία ε, που δεν έχουν πραγµατικά – ορατά σηµεία, η διαδικασία εύρεσης της ζητούµενης

τριάδας S, T, U και άρα η υποστασιοποίηση του απειροσηµείου είναι η εξής :

AD, DD, DB, BC, CC, CA

U H O

DA, AA, AC, CB, BB, BD

U F O

234

Σχήµα 5.4.3 ∆ιαδικασία εύρεσης τριάδας S, T, U

Από το σηµείο στο ∞ της ευθείας ε φέρνουµε εφαπτόµενες στην κωνική (δηλαδή

παράλληλες προς την ε). Η ευθεία που ενώνει τα σηµεία επαφής τους τέµνει την ε στο Τ.

Αυτό προορίζεται να είναι το κέντρο της ενελικτικής τετράδας. Φέρνουµε στη συνέχεια

από το Τ τις εφαπτόµενες στην κωνική οι οποίες τέµνουν τις δύο πρώτες παράλληλες

εφαπτόµενες στα σηµεία E, H, F, G. Τέλος οι ευθείες HF και GE τέµνουν την ε στα σηµεία

U και S. Έτσι το Τ θα είναι το µέσο του SU (αφού εµφανίστηκε η αρµονική τετράδα S, U,

T, ∞) και βρέθηκε η τριάδα S, T, U η οποία «δείχνει» το σηµείο στο ∞.

Τα παραπάνω θα τα επιβεβαιώσουµε και αλγεβρικώς µε τη βοήθεια της

Αναλυτικής Γεωµετρίας στα δύο ακόλουθα παραδείγµατα:

1. ∆ίνεται ο κύκλος 2 2 1x y+ = και η ευθεία 2y x= − . Τα φανταστικά κοινά σηµεία είναι

1

2 2(1 , 1 )

2 2i iΦ + − + και 2

2 2(1 , 1 )

2 2i iΦ − − − . Στο σχήµα που ακολουθεί

εφαρµόζουµε ακριβώς τη διαδικασία εύρεσης της τριάδας S, T, U που µόλις περιγράψαµε,

για να δούµε αν τα σηµεία της τριάδας έχουν κάποια σχέση µε τα Φ1, Φ2 που βέβαια δεν

µπορούµε να τα δούµε.

235

Σχήµα 5.4.4

Οι ευθείες έχουν τα ίδια χρώµατα µε εκείνες του σχήµατος 5.4.3, ώστε να γίνουν

κατανοητά τα βήµατα της κατασκευής. Είναι εύκολο αν και χρονοβόρο να βρούµε τις

συντεταγµένες των σηµείων S, T, U. Είναι :

2 2(1 , 1 )

2 2S + − + ,

2 2(1 , 1 )

2 2U − − − και Τ(1, -1). Αντιπαραβάλλουµε τώρα τα

φανταστικά σηµεία Φ1, Φ2 µε τα S, U και βλέπουµε ότι απλώς απουσιάζει το i ! Άρα τα

κοινά σηµεία Φ1, Φ2 µπορεί να είναι ευκλειδείως αόρατα, αλλά µας δείχνουν το δρόµο για

να «ταξιδεύσουµε» στο ∞: Προσδιορίζουµε το ένα ζεύγος S, U της αρµονικής τετράδας

και αυτοµάτως έχουµε προσεγγίσει και το άλλο ζέυγος: Τ, ∞.

236

2. Το δεύτερο παράδειγµα που παρουσιάζουµε περιλαµβάνει την παραβολή 2y x= και την

ευθεία 2y = − . Τα φανταστικά κοινά σηµεία είναι 1( 2, 2)iΦ − και 2( 2, 2)iΦ − − . Το

αντίστοιχο σχήµα που οδηγεί στην εύρεση των σηµείων S, U είναι το εξής:

Σχήµα 5.4.5

Η κατασκευή είναι η ίδια που ακολουθήθηκε και πριν (παρατηρείστε τα χρώµατα των

ευθειών). Ενδιαφέρον έχει εδώ, σε σχέση µε το προηγούµενο σχήµα ευθείας – κύκλου, ότι

τα σηµεία G, H και η δεύτερη εφαπτόµενη GH, δεν φαίνονται γιατί υπάρχουν στο ∞.

Υπολογίζουµε τις συντεταγµένες των S, U και βρίσκουµε :

( 2, 2)S − και ( 2, 2)U − − . Πρόκειται πάλι για τα Φ1, Φ2 χωρίς την «ενοχλητική»

παρουσία του i . Και εδώ λοιπόν τα Φ1, Φ2 µας έδειχναν τα S, U από τα οποία ξεκινά το

«ταξίδι» µας στο ∞!

Είναι φανερό ότι µε τη διδακτική αυτή εφαρµογή προσπαθήσαµε να προσεγγίσουµε

τη σκέψη του Desargues και να δικαιολογήσουµε την αλήθεια των νοητικών του

κατασκευασµάτων. Αναδεικνύεται έτσι ότι σκεπτόταν και εργαζόταν µε πλούσια

σηµασιολογία αλλά και µε δύσκολους σηµασιολογικούς κανόνες. Προχωρούσε έτσι πέρα

από την εποπτεία, και συνεπώς αποµακρυνόταν έτσι από τη σύνταξη. Αντιθέτως ο

237

Descartes επειδή του άρεσε η εποπτεία «θόλωνε» τη διαίσθησή µας για την σηµασιολογία

και έδινε µια πλούσια και καλά επεξεργασµένη σύνταξη. Γι’ αυτόν η ευθεία είναι µια

άκαµπτη ράβδος µέτρησης (όπως και στους αρχαίους), οπότε εµπεριέχεται σ’ αυτήν η

έννοια της απόστασης. Για τον Desargues όµως είδαµε ότι η ευθεία είναι µια ακτίνα

φωτός ή η ευθεία της όρασης. Οµοίως, για τον Καρτέσιο και τους αρχαίους, µια κωνική

τοµή είναι το όνοµα κλάσης ιδεατού και ατελούς αντικειµένου το οποίο γίνεται

συγκεκριµένο όταν οι παράµετροι καθοριστούν. Για τον Desargues όµως οι κωνικές τοµές

συνυπάρχουν όλες σε ένα και µόνο ένα αληθινό αντικείµενο, απολύτως καθορισµένο µέσα

στην προεξέχουσα φύση του. Προετοίµαζε λοιπόν το έδαφος για µια µαθηµατική

µεθοδολογία ικανή να χειρίζεται «γενικά» αντικείµενα, η εξειδίκευση των οποίων

συµβαίνει µάλλον εξ’ αιτίας «τυχαίων» λόγων.

238

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A

Οι φιλοσοφικές απόψεις των Husserl & Gadamer πάνω στην έννοια του

Ορίζοντα.97

Η έννοια του ορίζοντα ως αποτέλεσµα οπτικών και νοητικών διεργασιών έχει

δώσει αφορµή για ερευνητικές µελέτες πάνω στην ανθρώπινη κατανόηση και

συγκεκριµένα στα προβλήµατα που αναδύονται µε την οπτικοποίηση της γνώσης.

Μελετώντας τον Ορίζοντα και για να επιτύχουν τη σύνδεση του οπτικού στοιχείου µε το

επιστηµολογικό, δηλαδή του «κοιτάζειν» µε το «γνωρίζειν», ο Husserl και ο Gadamer,98 οι

δύο Γερµανοί διανοητές καταπιάνονται µε προβλήµατα τα οποία είχαν θέσει οι ζωγράφοι

της Αναγέννησης όταν χρησιµοποιούσαν «ορίζοντες» ως µοντέλα αναπαράστασης και

κατανόησης της οπτικής τους εικόνας.

Ό,τι οι Ιταλοί ζωγράφοι αποκαλούσαν “ l’ orrizonte” και προς το οποίο ο εικονικός

χώρος αναπαρίστανε αντικείµενα τα οποία αποµακρύνονταν για να παράγουν την αίσθηση

του βάθους, ήταν κάτι περισσότερο από ένα τεχνικό πρόβληµα του 16ου αιώνα. Το πως &

που έπρεπε να τοποθετήσουν τον ορίζοντα ήταν ένα θεµελιώδες πρόβληµα κατανόησης.

Τέσσερις αιώνες µετά ο Hans – Georg Gadamer δίνει διάφορες ερµηνείες της πρώιµης

Ιταλικής διαλεκτικής για τη σχέση µεταξύ του ορθού ορίζοντα και της κατανόησης. Η

θεώρηση όµως του Gadamer για τον ορίζοντα δεν πηγάζει απ’ ευθείας από τους Ιταλούς

ζωγράφους αλλά οικοδοµείται πάνω στην εννοιολογική θεµελίωση της έννοιας που

αποδίδεται στον Husserl και στο έργο του Ideas: General Introduction to Pure

Phenomenology, το 1931. Ο Husserl ανέπτυξε τον ορίζοντα ως ένα φιλοσοφικό εργαλείο

για να ενισχύσει τις φαινοµενολογικές του έρευνες πάνω στη δοµή της άµεσης εµπειρίας.

Στη συνέχεια ο Gadamer, µετατοπίζοντας τον ορίζοντα από την φαινοµενολογική σε µια

ερµηνευτική κατηγορία, ασχολήθηκε µε αυτόν για να δώσει τη δική του άποψη πάνω στη

διαδικασία της ανθρώπινης κατανόησης. Η ιστορία του ορίζοντα είναι η ιστορία του

επιστηµολογικού προβλήµατος της εµπειρίας.

Είδαµε ότι οι κατασκευές µε προοπτική στην οποία οι ορίζοντες κατέχουν

σπουδαίο ρόλο ήταν το κορυφαίο καλλιτεχνικό κατόρθωµα της Αναγέννησης. Η

προοπτική είναι η ικανότητα να αναπαραστήσουµε έναν αριθµό αντικειµένων µαζί µε ένα

97 Η ανάπτυξη βασίστηκε στο [32]. 98 Η Φαινοµενολογία του Husserl και η Ερµηνευτική του Gadamer είναι δύο φιλοσοφικά ρεύµατα του 20ου αιώνα τα οποία επανεξετάζουν και επαναπροσεγγίζουν µε το δικό τους τρόπο την εµπειρία και τη γνώση.

239

µέρος του χώρου γύρω τους, κατά τέτοιο τρόπο ώστε το υλικό, εικονικό και χωρικό αυτό

σύνολο να αντικαθίσταται ολοκληρωτικά από την ιδέα ενός διαφανούς επιπέδου µέσω του

οποίου νοµίζουµε ότι η µατιά µας διεισδύει σ’ ένα φανταστικό χώρο. Το επίπεδο αυτό

είναι η πύλη (portal) που µας οδηγεί σε µια µεθοδικά συγκροτηµένη ολότητα των

αντικειµένων, σε µια φαινοµενική υποχώρηση σε βάθος και δεν περιορίζεται από το

σύνορο της εικόνας αλλά απλώς «χάνεται». Το οπτικό αποτέλεσµα ακόµα και σήµερα

εντυπωσιάζει. Η σύνθεση είναι τέτοια ώστε ένα «χωρικό κουτί» αναδεικνύεται, η

εντύπωση του βάθους γίνεται σχεδόν ακατανίκητη και το µάτι σε κάποιες περιπτώσεις

είναι ανήµπορο να εκδιώξει την ψευδαίσθηση, οποιεσδήποτε κι αν είναι οι «προθέσεις»

του εγκεφάλου µας.

Ας θυµηθούµε πως η πρόθεση της κατασκευής µε προοπτική έχει τις πηγές της στο

µνηµειώδες έργο του Alberti “Della pittura” (1435). H δουλειά του, µαθηµατικώς

κωδικοποιηµένη και τυποποιηµένη, ακολούθησε τα καλλιτεχνικά πειράµατα του

Brunelleschi και θεωρείται ως η διαχωριστική γραµµή στην ιστορία της προοπτικής. ∆ιότι

ό,τι καθορίζει την τεχνική της προοπτικής είναι η µαθηµατική της υπόσταση η οποία

εγγυάται τα καλλιτεχνικά αποτελέσµατα. Και ενώ η µαθηµατική ακρίβεια στην προοπτική

του Brunelleschi επετεύχθη δια της πρακτικής, ήταν ο Alberti και µόνο ο Αlberti ο οποίος

χάρισε έκφραση στις ιδέες που αιωρούνταν και περιέβαλαν τον «γυµνό» µαθηµατικό

σκελετό.

A. H φαινοµενολογική χρήση του Oρίζοντα από τον Husserl

O Husserl αρχικά χρησιµοποίησε την έννοια του ορίζοντα για να δώσει έµφαση

στην υποκειµενικότητα της εµπειρίας την οποία θεωρεί ως αναγκαία προϋπόθεση της

επιστηµονικής σκέψης. Είναι το µέσο για κατανόηση της εµπειρίας και για όλα όσα η

εµπειρία εγκρίνει. Η γνώση µας για τον κόσµο αρχίζει και τελειώνει στην εµπειρία. ∆εν

αρνείται πως ίσως υπάρχει ένας πραγµατικός αλλά βιωµατικός κόσµος. Απορρίπτει όµως

τη δυνατότητα αυτός ο κόσµος να είναι άµεσα διαθέσιµος σε εµάς σαν ένα – ικανό να

γνωσθεί – αντικείµενο. Η «ειδητική» µελέτη ή ο προσεκτικός στοχασµός στα νοητικά

υπολείµµατα της εµπειρίας θα µπορούσε να ανακαλύψει όλη την υποκειµενική δοµή που

κρύβεται ανάµεσα στην εµπειρία και στην αντικειµενική γνώση του «πραγµατικού»

κόσµου. Ο ριζοσπαστικός αντι – αντικειµενισµός του Husserl οδηγεί αναγκαία στην

εξέταση του βιώµατος σαν απαραίτητη προϋπόθεση της ανθρώπινης κατανόησης. Τα

240

ιδεαλιστικά αυτά επιχειρήµατα του Husserl αντιστρέφουν τους όρους µε τους οποίους η

επιστήµη εξετάζει τον βιωµατικό κόσµο. Η επιστηµονικά εµπειρική έρευνα δεν οδηγεί σε

γνώση αυτού του βιωµατικού κόσµου. Το βίωµα, µη εξαντικειµενικεύσιµο αλλά

διατεταγµένο σύµφωνα µε a priori τύπους συγκροτεί τον «πανταχού – παρόντα» ορίζοντα

που εγκρίνει όλες τις «υποθετικές κατασκευές», δηλαδή επιστηµονικές θεωρίες ή φυσικούς

νόµους τους οποίους δηµιουργούµε για να µας βοηθήσουν να καταλάβουµε τον κόσµο. Η

φαινοµενολογία του Husserl θεωρεί τη φιλοσοφία ως την «εµπειρία της εµπειρίας». Στη

φαινοµενολογική του ανάλυση συνδέει δύο πράγµατα: το ένα είναι η νόηση (noesis)

δηλαδή ένα ενέργηµα – µία οποιαδήποτε φυσική, ψυχολογική ή διαλεκτική δράση η οποία

κατευθύνεται προς ένα αποβλεπόµενο αντικείµενο, ένα νόηµα (noema) και το άλλο είναι

το αντικείµενο αυτής της αποβλεπτικότητας. Και τα δύο αυτά συγκροτούν την όλη

«πράξη» της εµπειρίας. Με τον τρόπο που θεωρεί ο Husserl τον ορίζοντα, ζωντανεύει την

µεσαιωνική και πρώιµη Αναγεννησιακή έννοια της θέασης η οποία υπαγόρευσε την

θεώρηση της οπτικής πυραµίδας που αποδείχθηκε θεµελιώδης στην σταθεροποίηση των

προοπτικών κατασκευών. Οι σκέψεις των Alberti και Husserl έχουν ένα κοινό: το παλαιό

αξίωµα “Seeing is Knowing”.

Στη συνέχεια ο Husserl εµβαθύνει και θεωρεί ότι ο ορίζοντας, ως ένα εννοιολογικό

εργαλείο στη φαινοµενολογική διερεύνηση της εµπειρίας, έχει τρεις τύπους: τον εσωτερικό

ορίζοντα του νοήµατος, τον εξωτερικό ορίζοντα του νοήµατος µέσα στον κόσµο και τον

προσωρινό ορίζοντα που είναι ουσιώδης στις νοητικές διεργασίες. Αυτές οι τρεις

εκδηλώσεις εξυπηρετούν στη σκιαγράφηση της «εµπειρίας της εµπειρίας».

Η γνώση του νοήµατος ποτέ δεν εξαντλείται στην οποιαδήποτε αντίληψη που

έχουµε γι’ αυτό. Κάτι πάντα µένει, σ’ ένα «περιθώριο», που διαβεβαιώνει ότι το νοηµατικό

αντικείµενο υποδεικνύει κάτι περισσότερο από αυτό καθ’ εαυτό. Για παράδειγµα όταν

θυµόµαστε πως βλέπουµε ένα αντικείµενο δεν θυµόµαστε µόνο την κυριολεκτική εικόνα

του, την απούσα υλική του υπόσταση αλλά και την ιδεώδη ουσία του αντικειµένου

δηλαδή όλες τις εµπειρίες µας που συνδέονται γύρω από αυτό και τις εν δυνάµει υλικές

ενσαρκώσεις του. Άρα απορρέουν κάποιες δυνατότητες που προσδίδουµε σε αυτό το

νοηµατικό αντικείµενο και το περιτριγυρίζουν. Αυτή η ακολουθία δυνατοτήτων σχηµατίζει

τον εσωτερικό ορίζοντα.

Τα αντικείµενα τοποθετούνται στο χώρο µε κάποια σχέση µε άλλα αντικείµενα τα

οποία υποστηρίζουν νοητικά τα πρώτα. Όταν συνειδητά εστιάζουµε σ΄αυτήν την

υποστήριξη τότε δηµιουργούµε τον εξωτερικό ορίζοντα, δηλαδή κάποιο χώρο στον οποίον

το νόηµα υπάρχει σε σχέση µε άλλα αντικείµενα.

241

Στην φαινοµενολογία η εµπειρία είναι προσωρινή, οπότε κάθε νοητική δράση έχει

έναν προσωρινό ορίζοντα. Ο Husserl λέει: «Ο κόσµος που παρουσιάζεται τώρα σε µένα και

σε κάθε νέο τώρα, έχει τον προσωρινό του ορίζοντα που προεκτείνεται σε δύο

κατευθύνσεις, στο γνωστό και στο άγνωστο, στο ζωντανό παρόν και στο µη ζωντανό

παρελθόν και µέλλον». 99

Η έννοια του ορίζοντα κατά τον Husserl η οποία βοηθά στο να οριστεί η

φαινοµενολογική εξήγηση της εµπειρίας διευκολύνει επίσης κάποιον ανασχηµατισµό στο

επιστηµολογικό του δίληµµα. Για τον Husserl ο εµπειρικός κόσµος και η ανθρώπινη

κατανόηση παραµένουν για πάντα χώρια και ενώ η εµπειρία είναι η πηγή της ανθρώπινης

κατανόησης, ωστόσο δεν δίνει «νόµους» µε τους οποίους αυτή η κατανόηση µπορεί να

επαληθευτεί. Γι’ αυτό ακυρώνει την επιστηµονική µέθοδο και την επιµονή της στην

επαναληψιµότητα των πειραµάτων, δηλαδή στην επαλήθευση της εµπειρίας. Ο κόσµος

παραµένει ένας «εξοργιστικός» ορίζοντας που µετακινείται καθώς ο παρατηρητής

προσπαθεί να πλησιάσει σ’ αυτόν.

B. H ερµηνευτική χρήση του Oρίζοντα από τον Gadamer

Ακολουθώντας τη διαίσθηση του Husserl, ο Gadamer βρίσκει στον ορίζοντα µια

εµπειρική διάσταση η οποία µετακινείται εύκολα, στις συζητήσεις για την ανθρώπινη

κατανόηση. Οι τροποποιήσεις του αρχίζουν να εµφανίζονται στην περιγραφή της

Husserlιανής προοπτικής:

«Με τη στάση του απέναντι στον ορίζοντα, ο Husserl προσπαθεί να αιχµαλωτίσει

τον τρόπο µε τον οποίον η περιορισµένη αποβλεπτικότητα του νοήµατος εµφυτεύεται στη

θεµελιώδη συνέχεια του όλου».

Στη φαινοµενολογία η αποβλεπτικότητα έχει περιορισµένη έννοια. Περιγράφει την

κατεύθυνση µιας νοητικής δράσης. Ένα αντικείµενο αποκτά νόηµα όταν ρίξουµε όλη την

προσοχή µας σ’ αυτό, όταν γίνει ένα “object in mind”. Ο προσωρινός ορίζοντας της

εµπειρίας συνδέει όλες τις αποβλεπτικότητες σε αυτό που ο Gadamer περιγράφει

θεµελιώδη συνέχεια του όλου. Η φαινοµενολογία είναι ουσιωδώς περιγραφική. Ο ρόλος της

είναι να περιγράψει τι ακριβώς συµβαίνει στην εµπειρία, όχι να το ερµηνεύσει. Η

ερµηνευτική ασχολείται κυρίως µε το νόηµα και ο Gadamer θέλει να δείξει πως η

99 Στο [32].

242

ερµηνευτική, απελευθερωµένη από τα οντολογικά δεσµά της επιστηµονικής έννοιας της

αντικειµενικότητας, µπορεί να δικαιολογήσει τον ιστορισµό της κατανόησης.

Ο ερµηνευτικός κύκλος του Gadamer µοντελοποιεί τον τρόπο µε τον οποίον η

ερµηνευτική παράγει νόηµα: «Ένα άτοµο που προσπαθεί να καταλάβει, πάντα προβάλλει

κάτι. Προβάλλει ένα νόηµα, π.χ. για ένα κείµενο, σαν µία ολότητα µόλις κάποια αρχική

σηµασία αναδύεται στο κείµενο αυτό. Η αρχική αυτή σηµασία όµως εκδηλώνεται γιατί

διαβάζει το κείµενο µε ειδικές προσδοκίες σε σχέση µε το φυσικό του νόηµα. Ο κύκλος

συνεχίζεται και παράγεται βελτιωµένο νόηµα καθώς αναδύονται νέες σηµασίες». Άρα η

κατανόηση έχει µια δυναµική φύση. Το νόηµα ούτε ενυπάρχει, ούτε είναι αντικειµενίσιµο

στην ερµηνευτική. Παράγεται από την ολοκληρωτικά υποκειµενική και ιστορική

διαδικασία της απόδοσης νοήµατος. Έτσι η έµφαση από τον Gadamer στον ιστορισµό της

κατανόησης εξηγεί γιατί κάποια κείµενα κατανοούνται διαφορετικά από διαφορετικά

ακροατήρια σε διαφορετικές εποχές. Και επειδή η γνώση δεν είναι ένα αντικείµενο προς

ανακάλυψη παραµένει πάντοτε ατελής.

Ο ορίζοντας του Gadamer συµβαδίζει µε έναν άλλον ερµηνευτικό όρο: την

κατάσταση (situation): «Κάθε πεπερασµένο παρόν έχει περιορισµούς. Η κατάσταση

αναπαριστά µια θέση, µια άποψη που περιορίζει όµως τη δυνατότητα της όρασης. Η έννοια

του ορίζοντα είναι βασική στην έννοια της κατάστασης. Ο ορίζοντας είναι το εύρος της

όρασης που περιλαµβάνει κάθε τι που µπορεί να ιδωθεί από ένα σταθερό σηµείο. Άρα

µπορούµε να µιλάµε για στενότητα του ορίζοντα, για δυνατότητα επέκτασης, για

διεύρυνση κλπ. Στη σφαίρα της ιστορικής κατανόησης µιλάµε επίσης για ορίζοντες όταν

βλέπουµε το παρελθόν µε τους δικούς του όρους, όχι µε σύγχρονα κριτήρια». Ο Gadamer

εύκολα λοιπόν συνδέει τη σκέψη µε την όραση µέσω του ορίζοντα. Ο τελευταίος είναι µια

γέφυρα που του επιτρέπει να δει πως η σκέψη µε τη βοήθεια κάποιου είδους θέασης περνά

από την περιορισµένη φύση της σε µια απείρως επεκτάσιµη µορφή. Εδώ ο Gadamer

συλλογίζεται µια µαθηµατική έννοια του χώρου που επιτρέπει σ’ αυτόν να εκτείνεται

απείρως.

Ένας κατάλληλος ιστορικός ορίζοντας µας αφήνει να δούµε τι είναι αυτό που

προσπαθούµε να καταλάβουµε, στις αληθινές του διαστάσεις. Ένα ερώτηµα όµως

παραµένει: Αν οι αληθινές διαστάσεις του αντικειµένου που πρόκειται να ιδωθεί, ανήκουν

στο αντικείµενο ή στο υποκείµενο που το παρατηρεί. Ο ορίζοντας παρουσιάζει αυτές τις

αληθινές διαστάσεις από µία όµως συγκεκριµένη οπτική. Κανένας ορίζοντας δεν εγγυάται

απόλυτες αναλογίες.

243

Η κατανόηση για τον Gadamer βασίζεται σε µια οπτική «γλώσσα». Η εµπειρία,

λαµβανοµένη ως θέαση, παραχωρεί µια σχηµατική γλώσσα που στοχεύει σε ερµηνευτικές

διεργασίες. Ένα πρόσωπο που δεν έχει ορίζοντα, δεν βλέπει αρκετά µακριά και έτσι

υπερεκτιµά κάτι που είναι κοντά σ’ αυτό. Από την άλλη µεριά, το να έχεις ορίζοντα

σηµαίνει όχι να περιορίζεσαι σε αυτό που είναι δίπλα σου αλλά να µπορείς να δεις πέρα

από αυτό. Οι θέσεις αυτές του Gadamer δεν έχουν να κάνουν µε την πραγµατική όραση –

θέαση αλλά χρησιµεύουν για να παρέχουν ερµηνευτικά πλαίσια. Εγκαταλείπει τελείως την

διερεύνηση της εµπειρίας που κινητοποίησε τον Husserl στην ανάπτυξη του όρου

ορίζοντας. Γράφει ότι ένα πρόσωπο που έχει ορίζοντα γνωρίζει την σχετική σηµασία

οποιουδήποτε αντικειµένου εντός αυτού, εάν είναι κοντά ή µακριά, µεγάλο ή µικρό. Ο

ισχυρισµός αυτός έρχεται σε αντίθεση µε τις έρευνες του Husserl και την επιµονή του στην

αδυναµία προσδιορισµών µέσα στην εµπειρία. Για τον Husserl η σχετική σηµασία

οποιουδήποτε αντικειµένου µέσα σ’ έναν ορίζοντα δεν µπορεί να γνωσθεί ακριβώς γιατί

παραµένει απλώς σαν µία ακολουθία διαισθήσεων και ενδείξεων. Η προσπάθεια του

Gadamer να δοκιµάσει να µάθει τη σχετική αυτή σηµασία ή τις αληθινές διαστάσεις των

αποβλεποµένων αντικειµένων, αποκλείεται στον Husserl.

Ανακεφαλαιώνοντας, είδαµε στις προοπτικές κατασκευές την προβληµατική µιας

σχέσης ανάµεσα στη γνώση και στην εµπειρία, που εκφράστηκε µε έναν συγκεκριµένο

τρόπο. Στον Husserl εντοπίσαµε ένα αγεφύρωτο χάσµα µεταξύ της ανθρώπινης

κατανόησης και του εµπειρικού – βιωµατικού κόσµου. Και στον Gadamer βλέπουµε τον

εµπειρικό αυτόν κόσµο σαν ένα υπόβαθρο που αποδίδει συνοχή σε µια κριτική προοπτική.

Η έννοια του ορίζοντα έγινε πολύπλοκη και εµπλουτίστηκε µε την αλληλεπίδραση ορίων

και επέκτασης. Οποιαδήποτε χρήση του ορίζοντα ενεργοποιεί αυτόν τον αµφίδροµο

µηχανισµό και αυτή η αλληλεπίδραση επιτρέπει στον ορίζοντα να µετακινείται εύκολα από

εµπειρικές σε επιστηµολογικές κατηγορίες. Είµαστε αναγκασµένοι να φανταζόµαστε, να

σχηµατοποιούµε και να ονειρευόµαστε αυτό που νοµίζουµε ότι είναι η κατανόηση. Η

ανθρώπινη σκέψη, αυτή η ηλεκτροφυσιολογική λειτουργία του µυαλού µας πραγµατώνεται

όταν την αναπαριστούµε µέσα σε ένα σχήµα. Έτσι το να φανταζόµαστε ορίζοντες,

φανταζόµαστε γνώση και αυτή η διάσταση της φαντασίας είναι αναγκαία για να

αναπλάθουµε τη γνώση.

244

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B

Σύντοµο βιογραφικό του Girard Desargues (1591 – 1661)

Ο Girard ΙΙ Desargues γεννήθηκε στη Lyon της Γαλλίας στις 21 Φεβρουαρίου 1591

και είχε το ίδιο όνοµα µε τον πατέρα του. Ήταν το δέκατο και τελευταίο παιδί του Girard I

Desargues και της Jeanne Croppet. Και τα δύο ονόµατα, Desargues & Croppet, ανήκαν σε

ιστορικές και πολύ εύπορες οικογένειες της περιοχής.

∆εν είχε κάποιο τίτλο πανεπιστηµίου αλλά ήταν αυτοδίδακτος αρχιτέκτονας και

µηχανικός. Αρχικά, δάσκαλός του ήταν ο αδερφός του Antoine και µαζί µε τον πατέρα του

είχαν πολλών ειδών εµπορικές δραστηριότητες. Φοίτησε για ένα διάστηµα σε ένα

φηµισµένο κολλέγιο της Lyon, το College De La Trinité. Οι µαθηµατικές του όµως

ανησυχίες τον έκανα να ασφυκτιά στη Lyon και έτσι το 1625 αφήνει το εµπόριο και

πηγαίνει στο Παρίσι. Οι αδελφοί του Jean και Christophe ήταν δικηγόροι στη βουλή των

Παρισίων και τον βοηθούν να ανέλθει κοινωνικά. Εκεί κερδίζει την εκτίµηση του Γάλλου

καρδιναλίου και πολιτικού Richellieu (1585-1642). Ο τελευταίος πρωταγωνιστεί στην

γαλλική πολιτική σκηνή την περίοδο 1620-1640. Ήταν φανατικός υποστηρικτής της

βασιλικής εξουσίας και για να την ενισχύσει (πράγµα που θα του εξασφάλιζε την εκλογή

του ως καρδιναλίου και τη θέση του άτυπου πρωθυπουργού) πολέµησε την αριστοκρατία

και κατέστειλε τις λαϊκές εξεγέρσεις που προκάλεσε η πολιτική του. Ο Richellieu

παρέλαβε τον Desargues στην ακολουθία του, κατά την πολιορκία της La Rochelle (1628)

υπό την ιδιότητα του στρατιωτικού µηχανικού.

Πριν το 1630 συναντά τον πατέρα Marin Mersenne και µπαίνει στον κύκλο του.

Κάνει γρήγορα επαφές µε µεγάλα ονόµατα των επιστηµών όπως τον Roberval, Beaugrand,

Descartes, Fermat και άλλους. Ειδικά µε τον Descartes η εκτίµηση είναι αµοιβαία. O

Desargues τον υπερασπίζεται σε διάφορες έριδες στις οποίες εµπλέκεται ο µέγας

φιλόσοφος και εκείνος τρέφει για τον πρώτο µεγάλη υπόληψη και αυτό αποδεικνύεται από

πολλά χωρία των επιστολών του, όπου συναντώνται αρκετές εγκωµιαστικές περικοπές. Ο

Mersenne εκείνη την εποχή είχε δηµιουργήσει έναν ευρύ κύκλο από επιστήµονες και

φρόντιζε τις ιδέες του καθενός να τις διαδίδει στους υπολοίπους για κριτική και

σχολιασµό. Βοήθησε να αποκτήσει περίοπτη θέση η «ευρωπαϊκή» γεωµετρία. Το 1635

ανακοινώνει λίστα συµµετεχόντων στην Ακαδηµία του που περιλαµβάνει ηχηρά ονόµατα:

Pascal, Mydorge, Hardy, Roberval, Desargues, και άλλους. Στη «στοά» του Mersenne ο

245

Desargues εξέθετε τις θεµελιώδεις ιδέες των ανακαλύψεών του. Πρέπει να σηµειωθεί ότι οι

θεωρητικές εργασίες του ήταν δευτερογενή προϊόντα των προσπαθειών του. Ο κύριος

σκοπός του ήταν να δώσει στέρεες βάσεις στις µεθόδους που χρησιµοποιούσαν στην πράξη

ζωγράφοι και αρχιτέκτονες. Τις ανακαλύψεις του τις τύπωνε αλλά πρooρίζονταν για τους

φίλους του Mersenne. Γι’ αυτό αρκετά έργα του χάθηκαν και άλλα ανακαλύφθηκαν πολύ

αργότερα. Στο Παρίσι επίσης λέγεται ότι o Desargues είχε συναντήσεις µε έναν διάσηµο

τότε Γερµανό επιστήµονα, τον Isaac Beeckman (1588-1637) o οποίος του δίδαξε

Προοπτική και Γεωµετρία.

To 1648 επιστρέφει στη Lyon. Έδειξε ότι είχε νοσταλγήσει την γενέτειρά του αλλά

δεν ήταν αυτός ο σπουδαιότερος λόγος. Στο Παρίσι είχαν ξεσπάσει διαµάχες γύρω από τις

ιδέες του και την αυθεντικότητα των έργων του οι οποίες τον είχαν στεναχωρήσει και τον

είχαν φέρει σε δύσκολη θέση. Παράλληλα οι αρχές της Lyon τον κάλεσαν να βοηθήσει

στην οικοδόµηση ενός περίφηµου ξενοδοχείου το οποίο σήµερα είναι µουσείο, το Hotel de

Ville de Lyon. H εσωτερική σκάλα είναι δηµιούργηµά του και η κατασκευή του

ξενοδοχείου διήρκησε δέκα χρόνια (1648-1658).

Στις 2 Ιανουαρίου 1657 πεθαίνει ο αγαπηµένος του αδελφός Antoine και το γεγονός

λύπησε αφάνταστα τον Desargues ο οποίος απεβίωσε τον Σεπτέµβριο του 1661.

Ακριβώς τρεις επιστήµονες πίστεψαν σε αυτόν και συνέχισαν την παράδοση που

δηµιούργησε. Οι δύο ήταν και µαθητές του: ο Blaise Pascal και ο Philippe de La Hire. Ο

τρίτος ήταν ο Abraham Bosse.

Λίγο αργότερα, τον 18ο αιώνα, ενδιαφέρθηκαν οι Leibniz & Newton, αλλά ήρθε

τότε στο προσκήνιο ο Απειροστικός τους Λογισµός και ο Desargues ξεχάστηκε.

Η άκρα συντοµία στον τρόπο της εκθέσεώς του & η παράξενη ορολογία του, εµπόδισαν

τον θρίαµβο των ιδεών του, οι οποίες άρχισαν να καταλαµβάνουν περίοπτη θέση στην

επιστήµη µόνο όταν ο Poncelet (1822) επέσυρε την προσοχή των γεωµετρών στο πρόσωπό

του. Τον αποκαλούσε δε «ο Monge του αιώνα του».

Tον 19ο αιώνα, µε την επιµέλεια του γεωµέτρη και ιστορικού των µαθηµατικών

Μichel Chasles άρχισαν να συγκεντρώνονται όσα έργα του δεν είχαν εξαφανιστεί και

πήραν τον δρόµο της δηµοσίευσης.

246

BΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Andersen K., 1991. Desargues’ Method of Perspective, Centaurus, vol. 34: 44-91 2. Andersen K., 2007. The Geometry of an Art. The History of The Mathematical

Theory of Perspective from Alberti to Monge. Springer 3. Behnke H. et al., 1967. Fundamentals of Mathematics. MIT 1983 4. Bosse A. 1648. Maniere universelle de Monsieur Desargues. Archival Facsimiles

Limited 1987 5. Brigstocke Η. 2001. The Oxford Companion to Western Art. Oxford 6. Cerroni C., 2004. Non – Desarguian geometries and the foundations of geometry

from David Hilbert to Ruth Moufang. Historia Mathematica 31, 320-336 7. Chaboud M.,1996. Girard Desargues, Bourgeois de Lyon, Mathematicien,

Architecte. Irem de Lyon. 8. Coolidge J. L., 1940. A history of Geometrical Methods. Dover 1963 9. Coxeter H. S. M., 1949. The real projective plane. Cambridge 1961 10. Coxeter H. S. M., 1964. Projective Geometry. Springer 1987 11. Coxeter. H. S. M. & Greitzer S. L., 1967. Revised Geometry. The Mathematical

Association of America 12. Cremona L. & Leudesdorf C.,1893. Elements of Projective Geometry (1893).

Oxford 13. Davis D. M., 1993. Η Φύση και η ∆ύναµη των Μαθηµατικών. Μετάφραση:

Καραγιαννάκης ∆. & Μαγειρόπουλος Μ., Πανεπ/κές Εκδόσεις Κρήτης 2005 14. Edwards L. 1985. Projective Geometry, Rudolf Steiner Institute 2003 15. Efimov N. V., 1978. Higher Geometry. Mir Publishers 1980 16. Faulkner T. E., 1949. Projective Geometry. Dover 2006 17. Field J. V. & Gray J. J. ,1987. The Geometrical Work of Girard Desargues.

Springer. 18. Field J. V., 1987. Linear Perpective and the Projective Geometry of Girard

Desargues. Nuncius Ann. Storia Sci., 3-40. 19. Field J. V., 1997. The Invention of Infinity: Mathematics and Art in Renaissance.

Oxford 1997 20. Garner L. E., 1981. An Outline of Projective Geometry. Elsevier North Holland,

New York 21. Geymonat L., 1989. Le Principe de Dualité : sa Signification Historique et

Epistémologique. International conference ‘1830 – 1930: Un Siècle de Géometrie’, Institute Henri Poincaré, September 1989, Springer 1992

22. Gill R., 1974. Basic Perspective. London, Thames and Hudson Ltd, 1979 23. Hartshorne R., 1967. Foundations of Projective Geometry. Harvard 24. Heath Τ., 1925. The thirteen books of the Elements Vol.1,2,3. Dover 1956 25. Hilbert D., 1899. Foundations of Geometry. Illinois, Open Court Publishing

Company 1971 26. Hogendijk J. P., 1991. Desargues’ Brouillon Project and the Conics of Apollonius.

Centaurus, Vol. 34: 1-43 27. Ivins W. M., 1946. Art & Geometry. A study in Space Intuitions. Dover 1964 28. Kline M., 1964. Geometry. Mathematics: An Introduction to Its Spirit and Use,

Scientific American 29. Kline M., 1964. Projective Geometry. Mathematics: An Introduction to Its Spirit

and Use, Scientific American

247

30. Kline M., Τα Μαθηµατικά στο ∆υτικό Πολιτισµό. Μετάφραση: Μαρκέτος Σ. , Κώδικας, Αθήνα 2002

31. Kneebone G. T. & Semple J. G., 1952. Algebraic Projective Geometry. Oxford 1963

32. Lima E., 2003. Of Horizons and Epistemology. Problems in the Visuality of Knowledge. Diacritics 33.3-4: 19-35

33. Loria G., 1971. Ιστορία των Μαθηµατικών. Μετάφραση: Μ. Κωβαίος, Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία

34. Morrow R.G., 1970. Proclus a Commentary on the first book of Euclid’s elements, Princeton

35. O’Hara C. W. & Ward D. R. 1937. An Introduction to Projective Geometry. Oxford 1949

36. Ogilvy C. S., 1969. Excursions in Geometry. Dover 1990 37. Panofsky E., 1991. Perspective as Symbolic Form. Tr. Christopher S. Wood, New

York 38. Reinold B., 1952. Linear Algebra and Projective Geometry. Dover 2005 39. Rosenfeld B.A., 1988. A History of Non-Euclidean Geometry. Springer 40. Seideberg A., 1962. Lectures in Projective Geometry. Princeton 41. Stillwell J., 2005. The Four Pillars of Geometry. Springer 42. Taton R., 1951. L’œuvre mathematique de G. Desargues. Presses Universitaires de

France 43. Van der Waerden B. L., 1954. Η αφύπνιση της επιστήµης. Μετάφραση Χριστιανίδης

Γ., Πανεπ/κές Εκδόσεις Κρήτης 2003 44. Young J. W. 1930. Projective Geometry. The Mathematical Association of

America, 1971 45. Απολλωνίου Κωνικά. Τόµος Α΄, Β΄, Γ΄, ∆΄, µετάφραση Ε. Σ. Σταµάτη,. Έκδοση

Τ.Ε.Ε., Αθήνα 1975 46. Βασιλείου E., 2003. Σηµειώσεις Προβολικής Γεωµετρίας. Πανεπιστήµιο Αθηνών,

Τµήµα Μαθηµατικών 47. Λάππας ∆., Ιστορία των Νεώτερων Μαθηµατικών. Σηµειώσεις από το

µεταπτυχιακό µάθηµα κατά το εαρινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους 2006 – 2007 στο Μαθηµατικό τµήµα του Πανεπιστηµίου Αθηνών

48. Σπύρου Π., 2006. Επιστηµολογίες για την ∆ιδακτική των Μαθηµατικών. Πανεπιστήµιο Αθηνών, Τµήµα Μαθηµατικών

49. Σταµάτης Ε., Αρχιµήδους Άπαντα. Τ.Ε.Ε, Αθήνα 1970 50. Σταµάτης Ε., Στοιχεία Ευκλείδη. ΟΕ∆Β, Αθήνα, 1975 51. Στράντζαλος Χ. 1989. Η εξέλιξη των Ευκλείδειων και µη Ευκλείδειων Γεωµετριών.

Εκδόσεις Καρδαµίτσα 52. Χριστιανίδης Γ., 2003. Θέµατα από την ιστορία των Μαθηµατικών. Πανεπ/κές

Εκδόσεις Κρήτης 53. Τ.L.G., Ηλεκτρονική Βιβλιοθήκη Αρχαίων Ελληνικών Κειµένων.

⊳ Όσα σχήµατα δεν αναφέρουν τη πηγή ανάκτησης, σχεδιάστηκαν από τον γράφοντα

µε τη βοήθεια των λογισµικών Geogebra, Sketchpad & Cabri 3D.

248

Ευρετήριο Όρων – Εννοιών Fano plane 209, 217 Little Desargues theorem 222 Little Pappus theorem 222 Moulton plane 224 Roman Surface 218 Ανακάλυψη κωνικών τοµών 89, 90 Αναλλοίωτο ενελικτικής εξάδας 144 Αναρµονικός λόγος βλέπε: διπλός λόγος Αξιώµατα σύµπτωσης 207 Αξονικό τρίγωνο 16, 99, 100, 102, 103, 106, 110 Αποτεµνόµενη 96, 101 Αποτέµνουσα ευθειών 159, … Αρµονική τετράδα 27-29, 120, 121, 140, 231 Αρχαίες ονοµασίες κωνικών τοµών 91 Αρχιµήδειος ορισµός ευθείας 8 Ασύµπτωτες 175, 180, 184 ∆έντρο του Desargues 134, … ∆ιαγώνιο 3-κόρυφο 23 ∆ιαγώνιο τρίπλευρο 23 ∆ιαιρετικός δακτύλιος 227, 228 ∆ιάµετρος – Αποτέµνουσα 172 ∆ιατηρησιµότητα διπλού λόγου 121, 122 ∆ιπλασιασµός κύβου 88 ∆ιπλός λόγος 25, 27, 119, 120, 140, 150, 216 Ενέλιξη ελλειπτική 139, 140, 173, 181 Ενέλιξη παραβολική 138, 140, 173, 181 Ενέλιξη υπερβολική 139, 140, 173, 181 Ενέλιξη 27, 136, 137, 138 Εξάγωνο του Pascal 199 Ευθεία φυγής 10, 12 Ευθείες αποτέµνουσες (transversals) 69-75 Ευθείες κάθετες (verticals) 69 Ευθείες ορθογώνιες (orthogonals) 40, 48, 69, 70 Θεώρηµα Steiner 201 Θεώρηµα ενέλιξης του Desargues 161 Θεώρηµα Μενελάου 143 Θεώρηµα Πάππου (προβολική έκδοση) 221 Θεώρηµα σύγκλισης 39 Θεωρία εστιών 183 Κατασκευή ακεραίων σε προβολική ευθεία 229 Κατασκευή εφαπτοµένης κωνικής από σηµείο εκτός αυτής. 172 Κατασκευή εφαπτοµένης κωνικής σε σηµείο της. 172 Κατασκευή Πολικής ενός σηµείου 172 Κλίµακα Βάθους του Desargues 62, 63, 64, 73 Κλίµακα ∆ιαστάσεων του Desargues 62, 63, 65, 73 Κύρια διάµετρος Απολλωνίου 97, 99, 113, 114, 175 Μέθοδος προοπτικής construzione legittima 13, 49, 51, 80, 205 Μέθοδος προοπτικής distance - point 51

249

Μεναίχµειες τριάδες 89 Μηχανική επινόηση του Durer 53 Μηχανική επινόηση του Vignola 52 Οµογενείς Συντεταγµένες 9, 213, 215 Ορθία 97, 99, 106, 177 Ορισµός κώνου (Απολλώνιος) 95 Ορισµός κώνου (προ Απολλωνίου) 90 Παντογράφος 66, 67 Πείραµα Brunelleschi 46 Περιέλιξη 151, … Πλήρες 4-κόρυφο 23-25, 27, 29 Πλήρες 4-πλευρο 23-25, 27, 29 Πολική ευθεία 161, 169, 187, … Πραγµατικό Προβολικό επίπεδο 210, … Προβολικότητα 29, 187 Προοπτικότητα 29 Σηµείο φυγής 51, 57, 67, 69, 79, 205 Σκηνογραφία 34, 35 Στερεογραφική προβολή 55 Στερεοµετρική κατασκευή κέντρου – διαµέτρων κωνικών 173 Συζυγείς διάµετροι 21, 174, 175, 110 Συζυγείς ευθείες 165, 175 Συζυγικές ευθείες 165 Σύµπτωµα έλλειψης 103 Σύµπτωµα καµπύλης 92 Σύµπτωµα παραβολής 99 Σύµπτωµα υπερβολής 107 Συνρυθµιστής 176 Συστήµατα Προοπτικής 44 Τεταγµένες Αποτέµνουσας 159, 160, 186 Τεταγµένες 99, 110-112 Τεταγµένως κατηγµένη 96, 101, 186 Υπεναντία 55, 103, 104 Φανταστικά κοινά σηµεία 9, 10, 230, 234-236