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M03

四則混合之困 —

解答四則混合應用題的策略

小學校本課程發展組

李潤強先生

將軍澳循道衛理小學

樊文輝老師

揭冠凌老師

鄭宇茵老師

教育局

小學校本課程發展組

「以行求知─教學‧學教」經驗分享會

日期:二零一四年三月二十九日(星期六)

第一節時間:上午09:00–上午10:20

2

一步運算四則應用題

學生常遇的困難 針對性改善目標

語文能力

不理解部分字詞/整句句子的意思 閱讀能力較弱，倚靠老師讀題

加強學生認字、閱讀、理解語文的能力

學習態度

不認真讀題，只看關鍵字及數字 不肯思考(只想知道答案，無需理解)

培養學生認真審題的良好學習態度

理解整道題目的意思，才思考計算的方法

數學能力

數學概念不足（四則運算） 運算能力弱 或 不小心

認清四則運算的概念

加強學生速算技巧、紙筆運算技巧

教材質素/合適

題目與生活太過脫節 或 題目過深 選擇與學生生活相關的題型或透過角色扮演讓學生理解題目的含意

3

「以行求知──教學．學教」經驗分享會(2011)

初小解答應用題縱向策略發展

解題四步曲﹕

1. 輕聲讀題

2. 圈出重點

3. 用心解題

4. 列出算式

小組討論：

1. 列寫橫式

2. 討論橫式

3. 學生匯報

4. 計算結果

自擬應用題：

1. 指引及示範

2. 小組擬題

3. 互換驗證

4. 小組匯報

http://www.edb.gov.hk/tc/edu-system/primary-secondary/applicable-

to-primary-secondary/sbss/school-based-curriculum-

primary/professional-sharing/journey-ss/2011/index.html

4

兩步或以上運算四則混合應用題

學生常遇的困難 針對性改善目標

語文能力

題目內容較過往一步運算應用題複雜，牽涉較多詞彙、句子，並要求學生較高層次的語文理解能力。

數學能力

牽涉較多數據、資料，難以分析及列寫一道多步運算的算式解決問題 漏寫括號

？

發展誘因

5

Mr. Chan bought 20 apples and 30

oranges. He put the fruits equally into 5

bags. How many fruits were there in

each bag?

20 + 30 = 50

50 5 = 10

There were 10 fruits in each bag.

星加坡教科書

應用題例子

SINGAPORE

Primary Mathematics Syllabus 2007

6

Level Content

Primary 3 Solving up to 2-step word problems involving the 4

operations.

Primary 4 Solving up to 3-step word problems involving the 4

operations.

Primary 5 Order of operations – Combined operations involving the 4 operations,

– Use of brackets

Solving word problems involving the 4 operations.

http://www.moe.gov.sg/education/syllabuses/

sciences/

分步列式的好處？

1. 4位同學合資買了價值86元的鮮花和78元的巧克力送給陳老師，每人應付多少元？

7

（一道橫式）：

（86 + 78） 4

= 164 4

= 41

每人應付 41元。

（分步列式）：

86 + 78

= 164

鮮花和巧克力共需付164元。

164 4

= 41

每人應付 41元。

有括號題型

學生常犯錯誤：

86 + 78 4

= 164 4

= 41

分步列式的好處？

2. 手工紙10包共100張，畫紙每包12張，每包手工紙比每包畫紙少多少張？

8

（一道橫式）：

12 100 10

= 12 10

= 2

每包手工紙比每包畫紙少2張。

（分步列式）：

100 10

= 10

1包手工紙有10張。

12 10

= 2

每包手工紙比每包畫紙少2張。 學生常犯錯誤：

100 10 12

= 12 10

= 2

兩數相差題型

分步列式的好處？

3. 玫瑰花每枝售 78 元，百合花 6 枝的售價剛好是 4 枝玫瑰花的售價。媽媽各買 3 枝，兩種花的付款相差多少元 ?

9

（一道橫式）：

？

（分步列式）：

？

較複雜的兩數相差題型

78 3 78 4 6 3

兩步或以上運算四則混合應用題

必備知識：

• 學生掌握四則運算的基礎概念

• 學生能理解及解答一步運算四則應用題

• ……

重溫四則運算的基礎概念

重溫四則運算的基礎概念

11

重溫四則運算的基礎概念

12

「兩數相差」包括：

•…比…多/少 •…比…貴/便宜

重溫四則運算的基礎概念

13

加強分析與應用 Q.1) 找 「80人」與「12艘帆船」合共多少？

還是找 「80人的12倍」或「12艘帆船的80倍」 ？ 一個數的倍數乘法

Q.2) 找 「媽媽全日共用去」

「早上用去」與「下午用去」合共多少？

兩數合共加法

Q.3) 找 「小明的波子比大強的少多少粒」 「小明的波子與大強的相差多少

粒」兩數相差減法

Q.4) 找 「珍珠75顆，每20顆串成一條」 「 75

顆包含多少個20」

分物(包含分)除法

加強分析與應用 • 了解學生對四則分辨的能力

• 即時診斷的方法

-算式

-口頭回答

-關係式

整體學生的表現

•整體而言，各班約用了一至兩節的時間重溫

•大部分學生能短時間內列出算式

•6題的小測試中，平均有5-6題算式答對

•未能寫出關係式

整體學生的表現

•能列式，但不太懂寫出關係式，覺得文字太複雜，難寫出。

•未能準確地即時運用

數學語言作口頭回答

部分學生的情況

•沒有理解題意，認關鍵字

檢討及教學策略的調整

•簡化為圖像和文字

•個別能力稍遜進行個別指導

重溫的成效

重溫後，雖然學生未能即時在口頭或測試中表現出來；但在後期的教學，學生有以下的情況︰

-加強審題技巧，令他們更仔細閱讀題目

-能一步步以數學語言解說

四則混合應用題

教學策略 一.除加、除減、乘除混合應用題

– 畫圖 • 畫圖表示題幹的資料，方便學生分析多個數據的關係

（建議不使用四則運算符號表示）

– 關係式 • 分析問題的要求，思考首步運算的方法

– 分步列式 • 利用「分步列式」引入，過渡至列寫「一道橫式」

– 歸一法 • 在乘除混合中，強調「歸一法」的應用

二.四則混合應用題 – 分類（三步運算應用題 、四步或以上運算應用題 ） 21

四則混合應用題

教學策略—畫圖

22

建議不使用四則運算符號表示，避免影響學生思考運算的方法。

…… 15件

四則混合應用題 教學流程（一）利用生活情景引入四則運算法則

23

學生自行嘗試：

12 3 + 6 或

6 + 12 3 引入「先除後加」法則

老師引入分步運算：

12 3 = 4 橙1個售4（元）。 4 + 6 = 10 要付10 （元）。

四則混合應用題 教學流程（二）討論正/反例子，加深認識四則運算法則

24 • 橫式 /答案是否相同？

• 哪一個計算方法正確？為什麼 ?

四則混合應用題 教學流程（三）掌握四則運算法則的技巧

25

掌握「先除後加」法則

掌握

1.計算括號部分

2. 「先除後加」

四則混合應用題 教學流程（四）掌握應用題，先「分步列式」後「一道橫式」

26

分步列式

提供圖像解題，培養學生畫圖解題的能力。

分步列式 一道橫式

提供全部答句。

四則混合應用題 教學流程（四）掌握應用題，先「分步列式」後「一道橫式」

27

自由選擇「分步列式」或「一道橫式」

100 180 6 = 100 30 = 70 應找回 70元。

180 6 = 30 模型火車一盒售30元。 100 30 = 70 應找回 70元。

或

180 6 = 30 100 30 = 70 應找回 70元。

或

不提供答句。

後期

四則混合應用題 教學流程（五）在乘除混合中，加強「歸一法」概念

28

利用簡單的情景，引入「歸一法」。

集中處理類同的題型，鞏固「歸一法」的應用。

隨後加入非「歸一法」題型的應用題。

四則混合應用題 教學流程（六）四則混合應用題（三步運算應用題 、

四步或以上運算應用題 ）

29

三步運算應用題

哥哥買了價值 16 元的餅乾及 3 瓶鮮奶，鮮奶每瓶售 8 元。哥哥付

100 元，應找回多少元 ?

思考區/草稿

100 (16 + 8 × 3)

或使用分步列式

四步運算應用題

劍蘭每枝15元，水仙花每盆85元，買9枝劍蘭和2盆水仙花，

付350元，應找回多少元？

思考區/草稿

350 (15 × 9 + 85 × 2 )

或使用分步列式

畫圖 /計算直式

畫圖 /計算直式

除加、除減混合應用題

學生表現

30

除加：教學流程（一）利用生活情景引入四則運算法則

• 讓學生想出兩個方法計算

• 普遍學生認為 12÷3+6 或 (12÷3)+6

• 多以一道橫式計算

• 老師介紹可以分步計算

除加：教學流程（二）討論正/反例子，加深認識四則運

算法則

除加：教學流程（三）掌握四則運算法則的技巧

• 學生掌握「先除、後加」計算法則

• 計算良好

策略:以圖解題

策略:分步計算

除加：教學流程（四）掌握應用題，先「分步列式」後「一道橫式」

除減混合應用題 教學流程（一）利用生活情景引入四則運算法則

• 讓學生認識了分步計算

• 開始嘗試運用

除減：教學流程（二）

討論正/反例子

除減：教學流程（三）掌握四則運算法則的技巧

學生掌握

• 先計算括號部分

• 「先除、後加或減」計算法則

計算良好

除減：教學流程（四）掌握應用題，先「分步列式」後「一道橫式」

策略:以圖解題

策略: 分步計算

學生認為… • 解題容易 • 列式容易 • 計算容易

高能力學生 中能力學生 能力稍遜學生

題目簡單易明，

一道列式可以

直接計算

分步列式易明，

計算簡單

分步列式易明，

計算簡單

除加、除減混合應用題：測試

• 回顧除加和除減應用題

• 讓學生自由選擇作答方法

1. 模型火車6盒售180元，大暉付100元買模型火車一盒，應找回多少元？

2. 曲奇餅每盒有24塊，夾心餅每盒有12塊。把1盒曲奇餅和1盒夾心餅平均分給4人，每人可得餅多少塊？

3. 紅葡萄8公斤售72元，青葡萄8公斤售56元，每公斤紅葡萄比每公斤青葡萄貴多少元？

4. 4盒巧克力售160元，糖果每盒售78元，李太太現買巧克力和糖果各一盒，共需付多少元？

5. 媽媽付100元買了6個煎堆，找回4元，每個煎堆平均售多少元？

6. 裙子每條原價78元，現每條減價14元，姐姐有192元，最多可買裙子多少條？

7. 手工紙10包共100張，畫紙每包12張，每包手工紙比每包畫紙少多少張？

除加、除減混合應用題：測試

能力稍遜學生仍選擇用一道橫式方法，但表現不理想

除加、除減混合應用題：測試

答對題數 全級百分率 7 45.05% 6 30.63% 5 8.11% 4 6.31% 3 2.70% 2 4.50% 1 0.90% 0 1.80%

全級約

25%同學

答對5題或以下

除加、除減混合應用題：測試

哪兩題學生表現欠佳?

列式 全級答錯率

1 100-180÷6 9.01%

2 (24+12)÷4 12.61%

3 (72-56)÷8 17.12%

4 160÷4+78 9.91%

5 (100-4)÷6 32.43%

6 192÷(78-14) 23.42%

7 12-100÷10 14.41%

除加、除減混合應用題：測試

5.媽媽付100元買了6個煎堆，找回4元，每個煎堆平均售多少元?

學生錯誤… • 不理解題意 • 漏寫括號

(100 4) 6

除加、除減混合應用題：測試

6.裙子每條原價78元，現每條減價14元，姐姐有192元，最多可買裙子多少條?

4C葉同學

學生錯誤…

•不理解題意

•漏寫括號

分步列式：

無需使用括號

192 (78 14)

除加、除減混合應用題：測試

7) 手工紙10包共100張，畫紙每包12張，每包手工紙比每包畫紙少多少張？

學生錯誤…

能力稍遜學生思考了找出一包手工紙的數量後，容易忽略減數與被減數的位置。

分步列式：

學生能準確列寫減法算式。

12 100 10

除加、除減混合應用題：測試

回饋：

找出表現欠佳學生，鼓勵他們

• 畫圖解題

• 分步列式計算

希望重新建立他們的信心

設立檢視關卡，了解學生實際情況：

• 大部分學生列寫一道橫式

• 即使能力稍遜學生也不願意分步，亦沒有畫圖解題，但橫式常出錯。

讓學生自由選擇計算方法，部分學生未能認清自己的需要？？？

回饋策略: 畫圖、分步計算

再強調分步列式的好處……

乘除混合應用題

學生表現

49

學習歸一法

• 先想想「一件物件」的概念

18張貼紙售54元

1張貼紙售多少元?

25張貼紙共用了…

發展與延伸

• 強化學生對先找「一件物件」的想法

• 幫助處理乘除問題

高能力學生 中能力學生 能力稍遜學生

未教

已掌握 明白題目，但不知如何計算

認為題目出錯，不明題意

施教

後

更掌握

學懂先找一件物件，掌握解題和計算

當明白先找一件物件，認識解題方法

四則混合應用題

學生表現

四則混合應用題

工作紙設計

•引入題型較複雜的四則混合列式計算題。

•從課本中挑選較難的題目，改編成工作紙形式，讓學生在課堂上完成。

鼓勵表現欠佳的學生先畫圖解題，後分步列式

四則混合應用題 學生的轉變

兩步運算應用題：

大部份學生

• 不想畫圖

• 「一道橫式」

小部分學生

• 畫圖

• 「分步列式」。

三步或以上運算應用題：

「畫圖」策略 •畫圖解題的人數明顯增加

「分步列式」策略

1. 全部選用「一道橫式」

2. 主要選用「一道橫式」，但遇到較複雜的題目時，會選用「分步列式」

3. 全部選用「分步列式」

學生的轉變— 「畫圖」策略

畫圖解題的人數明顯增加

1) 貨倉內儲存了不少貨物，昨天運送了 280 箱，今天運送了 2 次，每次運送 148 箱，還剩下 316 箱。貨倉內原有貨物多少箱 ?

利用繪圖的方法，增加對題目的理解。

能力高的學生，普遍不畫圖，並能以一道算式完成題目。

學生的轉變—「分步列式」策略

1. 全部選用「一道橫式」

1) 煎堆每個8元，油角每打24元，買10個煎堆和30隻油角，

共付多少元？

5) 有麵粉3250克，師傅先用1250克做了5個朱古力蛋糕，然後把剩下的麵粉全部用來做芒果蛋糕，平均每個芒果蛋糕需用200克麵粉。師傅共做了蛋糕多少個？

**部分中上能力的學生，普遍能完成有關題目，但在列寫一道橫式的過程中也感到吃力！

5) 玫瑰花每枝售 78 元，百合花 6 枝的售價剛好是 4 枝玫瑰花的售價。媽媽各買 3 枝，兩種花的付款相差多少元 ?

學生的轉變—「分步列式」策略

1. 全部選用「一道橫式」

部分中能力/能力稍遜的學生，主要選用「一道橫式」，但遇到較複雜的題目時，會選用「分步列式」。

學生的轉變—「分步列式」策略 2. 選用「一道橫式」及「分步列式」

「一道橫式」

「一道橫式」

「一道橫式」

「一道橫式」

分步列式

4A蘇同學

學生的轉變—「分步列式」策略 2. 選用「一道橫式」及「分步列式」

「一道橫式」

「一道橫式」

「一道橫式」

畫圖：分步

畫圖：分步

分步列式

分步列式

部分中能力/能力稍遜的學生，主要選用「一道橫式」，但遇到較複雜的題目時，會選用「分步列式」。

4A王同學

學生的轉變—「分步列式」策略 3.全部選用「分步列式」

部分中能力/能力稍遜的學生，感到「分步列式」較容易處理，全部選用「分步列式」作答。

4A鄧同學

學生的轉變—「分步列式」策略 「分步列式」中，表達答句感到困難

部分能力稍遜的學生，在選用「分步列式」時利用文字表達答句感到困難，只能寫出最後答句。

漏寫 「+316」

總結

學生的轉變

• 對能力稍遜的學生而言，四則應用題是他們面對的一大難點，面對大量文字和數字，以往學生會顯得無從入手

• 引入四則單步重溫、分步、畫圖等策略後，學生對題目的理解力提升了，解題的信心大了

• 對有特殊學習需要的學生的幫助尤為明顯

蔡同學的轉變

有讀寫困難的學生，閱讀及處理大量文字會感到困難，容易放棄完成應用題，因他認為花上大量時間也不可能正確列寫算式。

蔡同學的轉變

除加、除減混合應用題

蔡同學的轉變

四則混合應用題

朱同學的轉變

有特殊學習需要，對學習數學興趣不大，文字理解弱，欠自信心，基本運算亦常因大意而出錯。

朱同學的轉變

除加、除減混合應用題

朱同學的轉變

四則混合應用題

教學流程檢視

• 重溫四則單步運算的概念

• 認識除加／除減的運算法則

• 解答除加／除減應用題，並引入兩步運算、關係式及畫圖等不同解題技巧

• 認識乘除的運算法則

• 解答乘除應用題，並強調歸一法的解題技巧

• 利用不同策略，解答三步以上的四則應用題

計劃成效

• 對高能力學生而言問題不大，普遍能以一道算式解題。

• 對中能力學生而言，引入分步列式有助他們處理較複雜的應用題，避免欠括號的情況。

• 對能力較低的學生而言，畫圖、分步列式等能提升學生的解題信心及對題目的理解，以往難以入手的題目都有顯著改善

• 不同學生有不同需要，需要多元性策略以助他們處理四則的問題。

• 學生能在不同的範疇上應用分步列式，顯示有關技巧已內化。

推行計劃時面對的困難

• 答題以先列式，後答句的形式，與坊間大多教科書及補充不同

• 考試評分準則有差異

• 四則應用題是橫跨六級的課題，宜及早作全校性規劃，定出答題模式、工作紙設計、評分準則等