Кирилл Борисов Александр Сурков · УДК 330.4 ББК 65В6...
TRANSCRIPT
Кирилл Борисов
Александр Сурков
Двусторонний альтруизми пенсионная системав моделяхперекрывающихся поколений
Препринт Ec-01/08
Факультет экономики
Санкт-Петербург2008
УДК 330.4 ББК 65В6
Борисов К.Ю., Сурков А.В. Двусторонний альтруизм и пенсионная система в моделях перекрывающихся поколений: препринт. – СПб., 2008. ‐ 40 c.
В работе исследованы равновесные траектории в двух моделях перекрывающихся поколений с двусторонним альтруизмом. Пер‐вая модель позволяет проанализировать случай различной склон‐ности индивида помогать своим детям и родителям («несиммет‐ричный» альтруизм). Равновесие в ней представляет собой равнове‐сие по Нэшу. Ситуация, описываемая второй моделью, оказывается эквивалентной случаю, когда два последовательных поколения – не работающие родители и работающие дети, имеют общий бюджет.
Печатается по решению Ученого совета СПб ЭМИ РАН
Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рам‐ках научно‐исследовательского проекта РГНФ «Долгосрочные по‐следствия пенсионной реформы: неравенство и экономический
рост», проект № 08‐02‐00411а.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ............................................................................................................4 1. Модель перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом ....................................................................................................5 1.1. Описание модели .................................................................................5 1.2. Пенсионная система в модели перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом.........................................................13 1.3. Модель перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом и неоднородными потребителями..............................20
2. Модель перекрывающихся поколений для расширенной семьи .26 2.1. Описание модели ...............................................................................26 2.2. Пенсионная система в модели перекрывающихся поколений для расширенной семьи ..........................................................................31 2.3. Модель перекрывающихся поколений для расширенной семьи в случае неоднородных потребителей......................................34
Заключение ....................................................................................................39 Библиография ...............................................................................................40
4
ВВЕДЕНИЕ Модель перекрывающихся поколений является удобным инст‐
рументов для анализа влияния на поведение экономических аген‐тов государственного долга, пенсионных систем, налогообложения и других аспектов экономической политики. Эта модель была неза‐висимо предложена М. Аллэ [1] и П. Самуэльсоном [2] а после вве‐дения П. Даймондом в нее производственного сектора [3] стала од‐ной из самых популярных макроэкономических моделей. Более поздние существенные модификации модели связаны с учетом мо‐тива наследования [4], оказывающегося важным при обсуждении рикардианской эквивалентности в задачах о государственном долге, и разработкой моделей перекрывающихся поколений с неоднород‐ными потребителями (см., например, [5]), открывшей принципи‐ально новые возможности по исследованию вопросов неравенства и распределения. В настоящее время модели перекрывающихся по‐колений посвящена обширная литература (см., например, кни‐гу [6]), оставляющая, впрочем, открытыми некоторые вопросы, важные с точки зрения приложений.
Одним из таких вопросов является описание в рамках модели перекрывающихся поколений так называемого «двустороннего аль‐труизма»: возможной помощи представителям старшего поколе‐ния (родителям) со стороны представителей следующего (младше‐го) поколения (детей) одновременно с возможностью наследования. Несмотря на то, что был предпринят ряд исследований, посвящен‐ных этой проблеме (см., например, [7]), предлагаемые в этой ситуа‐ции формулировки модели вызывают определенные сомнения [8]. Между тем, межпоколенческие трансферты такого типа могут ока‐зываться существенными при рассмотрении проблем государствен‐ного долга и пенсионных систем.
Относительное невнимание со стороны исследователей к про‐блеме корректного описания двустороннего альтруизма, возможно, объясняется тем, что в странах Запада межпоколенческий двусто‐ронний альтруизм не распространен (о ситуации в США см. [9,10]). В России – вероятно, чаще, чем в западных странах, встречается
5
расширенная семья, т.е. семья, включающая в себя представителей нескольких поколений. При этом родители и их работающие дети, которые в противном случае образовывали бы отдельные нуклеар‐ные семьи, могут свободно осуществлять двусторонние трансферты. Можно с уверенностью сказать, что помощь родителям со стороны детей является одобряемой в российском обществе, и должна быть включена в модели, описывающие поведение людей в области межпоколенческих отношений. Поэтому учет двустороннего аль‐труизма кажется особенно актуальным при анализе эффектов рас‐пределительной или накопительной пенсионной системы для усло‐вий России.
В настоящей работе мы рассматриваем два подхода к описанию двустороннего альтруизма в модели перекрывающихся поколений. В гл. 1 мы обобщаем подход [7], описывающий равновесие в модели перекрывающихся поколений с двусторонним альтруизмом как равновесие по Нэшу, на случай неоднородных потребителей. В гл. 2 мы развиваем модель, описывающую ситуацию, когда два последо‐вательных поколения – не работающие родители и работающие дети, имеют общий бюджет, что является типичным для расши‐ренной семьи (в этой части работы мы в основном следуем [11]). Первый подход позволяет проанализировать случай различной склонности индивида помогать своим детям и родителям («несим‐метричный» альтруизм), в то время как второй подход свободен от, возможно, не слишком реалистичного представления о том, что уровень межпоколенческих трансфертов формируется как равнове‐сие по Нэшу. В рамках обоих подходов мы рассматриваем накопи‐тельную и распределительную пенсионные системы.
1. МОДЕЛЬ ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОКОЛЕНИЙ С «НЕСИММЕТРИЧНЫМ» АЛЬТРУИЗМОМ
1.1. Описание модели
Поведение потребителя Следуя книге [6] будем описывать жизненный цикл индивида в
следующих обозначениях. Индивид, родившийся в момент времени
6
t, работает в течение периода t, начинающегося в момент t и закан‐чивающегося в момент времени t+1. В конце этого периода проис‐ходят следующие события: • у индивида появляется (1+n) потомков, которые начинают свой жизненный цикл;
• индивид получает доход, складывающийся из зарплаты wt и при‐ходящейся на него доли возможного наследства родителей, кото‐рые как раз заканчивают свой жизненный цикл – если наследство родителей составляет 0tx ≥ , то на данного индивида приходится величина xt/(1+n);
• этот доход индивид может потратить на потребление ( )0tc ≥ ,
сбережения (st) или помощь родителям ( )0tz ≥ , родившимся в момент 1t − ; Бюджетное ограничение этого индивида в момент времени t+1
имеет вид
1t
t t t t
xc s z w
n+ + = +
+.
В период t+1 индивид не работает. В конце этого периода сбе‐режения индивида составляют Rt+1st, где Rt+1=1+rt+1, а rt+1 – процент‐ная ставка, действовавшая в период t+1. Кроме того, индивид может получить помощь со стороны детей в размере (1+n)zt+1. Всю эту сумму (сбережения и помощь детей) индивид делит между теку‐щим потреблением dt+1 и наследством xt+1. Его бюджетное ограни‐чение в момент времени t+2 имеет вид
( )1 1 1 11t t t t td x R s n z+ + + ++ = + + . Предположим, что полезность, которую индивид, родивший‐
ся в момент t, извлекает из своего собственного потребления, опре‐деляется с помощью функции полезности
( ) ( ) ( )1 1, ,t t t tU c d u c u dβ+ += + где ct – это потребление индивида в первый период жизни, dt+1 – потребление индивида во второй период жизни, а функция ( )u ⋅ – одинакова для всех индивидов во все периоды времени и удовле‐творяет естественным условиям – является непрерывной, монотон‐
7
но возрастающей, строго вогнутой и дважды непрерывно диффе‐ренцируемой на R+, причем ( )0u ′ = ∞ .
Предположим также, индивид приобретает полезность не только от своего потребления, но и от потребления своих родите‐лей и потомков, т.е. имеет место двусторонний межпоколенческий альтруизм. Полагая, что межпоколенческий альтруизм может быть «несимметричным», будем описывать его двумя параметрами: межпоколенческими коэффициентами дисконтирования потреби‐теля по отношению к своим родителям 0α ≥ и потомкам 0γ ≥ . В рамках данных предположений, считая, что вышеупомянутые по‐лезности входят в целевую функцию индивида аддитивно, запишем последнюю в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 211
tt t t t t
u dV u c u d n u c u d
nα β γ β+ + += + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦+
…
Параметры ,α γ выбраны так, что дисконтирование полезностей родителей и потомков индивида производится с учетом «приходя‐щейся» на индивида доли полезности потребления родителей и числа потомков. Итак, задача, которую решает потребитель, ро‐дившийся в момент t, устроена следующим образом:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
1 max1
,1
1 ,, 0, , 1, ,
.
tt
t
t t
u dn u c u d
nx
c s z wn
d x R s n zx z t tx x
θθ θ
θ
θθ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ
α γ β
θ
∞ −
+=
+ + + +
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
⎧ + + = +⎪ +⎪⎪ + = + +⎨⎪ ≥ = +⎪
≤⎪⎩
∑
…
Наследство tx , которое получил индивид, задает в задаче начальное состояние.
Следуя [7], будем считать, что решения о потреблении, сбе‐режениях, помощи родителям и оставляемом наследстве представ‐ляют собой равновесие по Нэшу, то есть индивид, принимая свое решение, воспринимает решения членов остальных членов семьи как данность. В частности, определяя помощь родителям zt, инди‐
8
вид полагает, что его решение способно повлиять на потребление родителей следующим образом
t t td d z= + где td – уровень потребления родителей, определяющийся их соб‐ственными решениями и решениями других детей о помощи роди‐телям, которые индивид принимает как данность. Аналогичным образом, решение об оставляемом наследстве 1tx + принимается ис‐ходя из предположения, что в представлении индивида потребле‐ние потомка задается соотношением
11 1 1
tt t
xc c
n+
+ += ++
Возможно, описанный механизм принятия решений не впол‐не соответствует взаимоотношениям между одновременно живу‐щими членами семьи – родителями и детьми. Альтернативная мо‐дель развивается в разделе 2.
В рамках сделанных предположений можно заключить, что по‐следовательность ( ) , 1,
, , , ,t t
c d s x zθ θ θ θ θ θ = + … является решением задачи
потребителя (оптимумом потребителя) только тогда, когда для нее при всех , 1,t tθ = + … выполнены условия
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
,
,1
1 ,
, 0, , 01 1
, 0, , 0
причем если
причем если
t t
u c R u dx
c s z wn
d x R s n z
u d u du c z u c z
n nu c u d x u c u d x
x x
θ θ θ
θθ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θθ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
β
α α
γ β γ β
+ +
+ + + +
+ + + + + +
′ ′=
+ + = ++
+ = + +
′′ ′≤ ≥ = >
+ +′ ′ ′ ′≤ ≥ = >
=
Указанные необходимые условия становятся достаточными, если их дополнить условием трансверсальности, в данном случае имеющим вид
( ) ( )lim 1 0t
t ttn u c sγ
→+∞′+ =⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Подробнее об условиях трансверсальности см. [6].
9
Из приведенных условий немедленно вытекает, что для сущест‐вования оптимума потребителя необходимо выполнение следую‐щего соотношения между параметрами
( )1 nαγ β≤ + .
Производственный сектор Будем предполагать, что производственный сектор описывается
неоклассической макроэкономической производственной функци‐ей ( ),F K L , где K – запас основного капитала в экономике, L – чис‐ленность занятых, а производственный сектор решает задачу о мак‐симизации «экономической» прибыли при заданных ставке про‐цента r и ставке заработной платы w. При условии полного выбы‐тия капитала за рассматриваемый период времени условия равно‐весия на рынках капитала и труда имеют вид
1 ( , ), ( , )K LR r F K L w F K L′ ′= + = = . Введем капиталовооруженность труда k K L= и производст‐
венную функцию в интенсивной форме
( ) ( ) ( )1,1 ,f k F k F K LL
= = ,
которую будем считать дважды непрерывно дифференцируемой на R+, монотонно возрастающей и строго вогнутой, причем ( )0 0f = . Тогда, условия равновесия на рынках труда и капитала можно пе‐реписать в виде ( ) ( ) ( ),R f k w f k k f k′ ′= = − .
Равновесие в модели перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом
Единственным источником пополнения основного капитала, предположительно полностью выбывающего за каждый период времени, являются сбережения индивидов
1t t tK s L+ = . Поделив на Lt, это выражение можно переписать следующим обра‐зом
( ) 11 t tn k s++ = . Это уравнение описывает эволюцию капиталовооруженности в за‐висимости от сбережений st.
10
Сделанные предположения позволяют нам определить равно‐весие в модели перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом.
Определение 1 Последовательность ( )* * * * * * * *
, 1,, , , , , , ,
t tk R w c d s x zθ θ θ θ θ θ θ θ θ = + …
, где * 0, , 1,k t tθ θ> = + … , называется равновесной траекторией в модели перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом, если выполняются следующие условия: • ( ) ( ) ( )* * * * * *, , , 1,R f k w f k k f k t tθ θ θ θ θ′ ′= = − = + … ;
• последовательность ( ) , 1,, , , ,
t tc d s x zθ θ θ θ θ θ = + … является оптимумом
потребителя; • ( ) * *
11 , , 1,n k s t tθ θ θ++ = = + … . В дальнейшем мы будем интересоваться стационарными рав‐
новесиями в модели перекрывающихся поколений с «несиммет‐ричным» альтруизмом.
Определение 2 Стационарными равновесиями в модели перекрывающихся
поколений с «несимметричным» альтруизмом называется равно‐весная траектория ( )* * * * * * * *
, 1,, , , , , , ,
t tk R w c d s x zθ θ θ θ θ θ θ θ θ = + …
, для которой
( ) ( )* * * * * * * * * * * * * * * *
, 1,, , , , , , , , , , , , , ,
t tk R w c d s x z k R w c d s x zθ θ θ θ θ θ θ θ θ = +
=…
.
Условия, характеризующие стационарные равновесия, имеют вид:
(1)
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
* * * * * *
* * *
** * * *
* * * * *
* * * *
* * * *
* *
, ,
,
,1
1 ,
1 , 1 0, 0
1, 1 0, 0
1 0.
R f k w f k k f k
u c R u d
xc s z wn
d x R s n z
n R n R z z
R R x x
n k s
β
α β α β
γ γ
′ ′= = −
′ ′=
+ + = ++
+ = + +
⎡ ⎤≤ + − + = ≥⎣ ⎦
≤ − = ≥
+ = >
(1)
11
При этом условие трансверсальности выполнено тогда и только то‐гда, когда ( )1 1nγ + < .
Условия (1) позволяют заключить, что ситуация, когда индивид одновременно помогает родителям и оставляет наследство детям, возможна лишь в исключительном случае
( )*1
1R
nα
β γ= =
+.
В остальных случаях индивид либо оставляет наследство, либо по‐могает родителям, либо не делает ни того, ни другого. Опишем ус‐ловия, при которых индивид оставляет наследство или помогает родителям. Определим на множестве положительных чисел функ‐цию ( )s k , следующим образом
( ) ( ) ( ){ }0arg max ,ss k u w k s u R k sβ≥= − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2)
где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),R k f k w k f k k f k′ ′= = − . Пусть 1 2,k k – решения уравнений
( ) ( ) ( )1 2 1 21 , ,
1f k f k k k
nα
γ β′ ′= = ≤
+.
Рассматривая устойчивые равновесия, для которых ( )* 1s k n′ < +
мы можем сформулировать следующее предложение (в других обозначениях данные утверждения приведены в [7]).
Предложение 1 1. Для любого стационарного равновесия ( )* * * * * * * *, , , , , , ,k R w c d s x z в
данной модели выполняются неравенства *1 2k k k≤ ≤ .
2. При этом, чистые трансферты от родителей к детям ( )* * *1x n zξ = + − могут быть положительными лишь в случае, ко‐
гда *1k k= , а отрицательными – когда *
2k k= . 3. Кроме того, если ( ) ( )1 11s k n k< + , то существует такое стационар‐
ное равновесие, для которого *1k k= и * 0x > .
12
4. Если ( ) ( )2 21s k n k> + , то существует такое стационарное равнове‐
сие, для которого *2k k= и * 0z > .
5. Если ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , 1s k n k s k n k≥ + ≤ + и 1 2k k< , то найдется ста‐
ционарное равновесие, в котором *1 2k k k≤ ≤ , и * * 0x z= = .
6. Если 1 2k k= , то в стационарном равновесии, в котором *
1 2k k k= = , а чистые межпоколенческие трансферты { }* , 0ξ > = <
если ( ) ( ) { }( ) ( )1 2 1 2, 1 1s k s k n k n k= < = > + = + .
Действительно, если ( ) ( )1 11s k n k< + , то даже при 1k k= , когда
достигается максимум функции ( ) ( )1s k n k− + , мотив жизненного цикла не обеспечивает сбережений достаточных для поддержания равновесной капиталовооруженности. При этом необходимо, что‐бы чистые межпоколенческие трансферты *ξ были положительны, что возможно только лишь когда задействован мотив наследования. Аналогично, при ( ) ( )2 21s k n k> + в стационарном равновесии дол‐жен быть задействован мотив помощи родителям. Если же ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , 1s k n k s k n k≥ + ≤ + и 1 2k k< , то на отрезке [ ]1 2,k k обяза‐
тельно найдется точка [ ]*1 2,k k k∈ , для которой ( ) ( )* *1s k n k= + , и
которая описывает равновесие как в модели перекрывающихся по‐колений без межпоколенческого альтруизма и возможности осуще‐ствлять межпоколенческие трансферты, так и в рассматриваемой модели.
В заключение заметим, что в случае, когда репрезентативный индивид оставляет наследство, равновесная капиталовооруженность в данной модели определяется, как и в модели Рамсея, модифици‐рованным «золотым» правилом, т.е. имеет место недонакопление ( )* 1R n> + . Abel [7] отмечает, что если индивид наследства не остав‐
ляет, а, напротив, помогает родителям, то может иметь место лю‐бое соотношение между равновесной капиталовооруженностью и «золотой».
13
1.2. Пенсионная система в модели перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом
В данном разделе в рамках модели перекрывающихся поколе‐ний с «несимметричным» альтруизмом мы рассмотрим обязатель‐ную накопительную и распределительную пенсионные системы. Анализ последствий введения той или иной пенсионной системы мы будем изучать в рамках исследования сравнительной статики. При этом для простоты будем предполагать, что как в «старом» со‐стоянии равновесия (без пенсионной системы), так и в «новом» (с пенсионной системой) наблюдается недонакопление, т.е. ( )* 1R n> + .
Накопительная пенсионная система в модели перекрывающихся поколе‐ний с «несимметричным» альтруизмом в случае совершенного рынка
капитала Введем в рассматриваемую модель обязательную накопитель‐
ную пенсионную схему, устроенную следующим образом: в первый период своей жизни индивид, родившийся в момент времени t, обязан внести вклад в пенсионный фонд в размере 0ta ≥ , а во вто‐рой период он получает пенсию в размере Rt+1at.
При изучении последствий введения накопительной пенсион‐ной системы важным фактором является степень совершенства рынка капитала, под которым здесь мы будем понимать возмож‐ность для индивида занимать. Если рынок капитала совершенен, и индивид не ограничен в кредите, то задача индивида при наличии накопительной пенсионной системы оказывается полностью экви‐валентной такой же задаче в случае без пенсионной системы
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 1 1 1
1 max1
,1
1 ,, 0, , 1, ,
.
tt
t
t t
u dn u c u d
nx
c s a z wn
d x R s a n zx z t tx x
θθ θ
θ
θθ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
α γ β
θ
∞ −
+=
+ + + +
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
⎧ + + + = +⎪ +⎪⎪ + = + + +⎨⎪ ≥ = +⎪
≤⎪⎩
∑
…
14
В этой ситуации введение накопительной пенсионной системы лишь уменьшает добровольные сбережения *sθ на aθ , и иного влия‐ния на состояние равновесия в данной модели не оказывает. Сфор‐мулированные выше условия равновесия в модели перекрываю‐щихся поколений с «несимметричным» альтруизмом требовали положительности сбережений. При введении пенсионной системы это требование модифицируется, превращаясь в необходимость положительности суммарных сбережений индивида, включающих его накопления в пенсионном фонде
( ) * *11 0, , 1,n k s a t tθ θ θ θ++ = + > = + …
Это значит, что в равновесии в модели перекрывающихся поколе‐ний с накопительной пенсионной системой добровольные сбере‐жения индивида могут быть отрицательными, т.е. он может зани‐мать. При этом объем заимствования не может превосходить пен‐сионных накоплений индивида, которые в данном случае можно трактовать как обеспечение займа [6].
Накопительная пенсионная система в модели перекрывающихся поколе‐ний с «несимметричным» альтруизмом в случае несовершенного рынка
капитала Если индивид ограничен в кредите – например, его доброволь‐
ные сбережения не могут быть меньше 0s ≤ , то задача потребителя с учетом накопительной пенсионной системы имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 1 1 1
1 max1
,1
1 ,, , 0, , 1, ,.
tt
t
t t
u dn u c u d
nx
c s a z wn
d x R s a n zs s x z t tx x
θθ θ
θ
θθ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
α γ β
θ
∞ −
+=
+ + + +
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
⎧ + + + = +⎪ +⎪⎪ + = + + +⎨⎪ ≥ ≥ = +⎪
≤⎪⎩
∑
…
При этом последовательность ( ) , 1,, , , ,
t tc d s x zθ θ θ θ θ θ = + …
является реше‐
нием задачи потребителя (оптимумом потребителя) только тогда, когда для нее при всех , 1,t tθ = + … выполнены условия
15
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
,11 ,
, ,
, , 01 1
, , 0
причем если
причем если
причем если
xc s a z w
nd x R s a n z
u c R u d u c R u d s s
u d u du c u c z
n nu c u d u c u d x
x
θθ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θθ θ θ
θ θ θ θ θ
θ
β β
α α
γ β γ β
+ + + +
+ + + +
+ + + + +
+
+ + + = ++
+ = + + +
′ ′ ′ ′≥ = >
′′ ′≤ = >
+ +′ ′ ′ ′≤ = >
0, 0, t tz x xθ≥ ≥ =
Условия стационарного равновесия в случае, когда индивид ог‐раничен в кредите s s≥ , будут иметь несколько иной вид, чем (1):
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
* * * * * *
** * * *
* * * * *
* * * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
* *
, ,
,1
1 ,
, 0,
, 0, 01 1
, 0, 0
1 0.
R f k w f k k f k
xc s a z wn
d x R s a n z
u c R u d u c R u d s s s s
u d u c u d u c z zn n
u c u d u c u d x x
n k s a
β β
α α
γ β γ β
′ ′= = −
+ + + = ++
+ = + + +
⎡ ⎤′ ′ ′ ′≥ − − = ≥⎣ ⎦⎡ ⎤′ ′ ′ ′≤ − = ≥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎡ ⎤′ ′ ′ ′≤ − = ≥⎣ ⎦+ = + >
Воспользовавшись обозначениями предыдущего раздела, в рамках исследования сравнительной статики, проанализируем, как будет меняться состояние равновесия при увеличении размера обя‐зательного взноса в пенсионный фонд а. 1. Если ( ) ( )1 11s k n k< + , то исходное равновесие характеризуется тем,
что в нем *10a
k k== и *
00
ax
=> .
• При росте обязательного взноса в пенсионную систему равно‐весные сбережения будут уменьшаться, так как в равновесии данного типа ( ) ( )* *
11 1n k n k s a+ = + = + .
• Пока ( ) 11a n k s≤ + − равновесие характеризуется неизменным потреблением и оставляемым наследством: происходит лишь
16
перераспределение добровольных сбережений в пользу обяза‐тельных.
• При ( ) 11a n k s> + − равновесная капиталовооруженность
( ) ( )* 1k s a n= + + оказывается больше 1k . При этом *s s= и
положительное наследство возможно при *1k k≥ . С ростом a
равновесное потребление и в первый и во второй период жиз‐ни индивида будет расти.
• Положительная помощь родителям становится возможной при *
2k k≥ , однако одновременно с положительным наследст‐вом она допускается лишь в исключительном случае 1 2k k= .
2. Если ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , 1s k n k s k n k≥ + ≤ + и 1 2k k< , то в исходном рав‐
новесии *1 20a
k k k=
≤ ≤ и * *
0 00
a ax z
= == = .
• При росте обязательного взноса в пенсионную систему равно‐весные сбережения будут уменьшаться, сохраняя ( ) * *1 n k s a+ = + , пока ( ) *1a n k s≤ + − . Так как величина *s a+ остается постоянной, то потребление и межпоколенческие трансферты индивидов не изменятся.
• При ( ) *1a n k s> + − равновесная капиталовооруженность нач‐
нет расти ( ) *1 n k a s+ = + . Так как добровольные сбережения
достигнут минимума *s s= , то становится возможным поло‐
жительное наследство ( )*1k k≥ . Рост a приведет к росту равно‐
весного потребления и в первый и во второй период жизни. • Положительная помощь родителям становится возможной при *
2k k≥ , однако одновременно с положительным наследст‐вом она допускается лишь в исключительном случае 1 2k k= .
3. Если в исходном равновесии ( ) ( )2 21s k n k> + , это равновесие ха‐
рактеризуется тем, что в нем *20a
k k== и *
00
az
=> .
• При росте обязательного взноса в пенсионную систему добро‐вольные сбережения будут уменьшаться, так как в равновесии данного типа ( ) ( )* *
21 1n k n k s a+ = + = + .
17
• Пока ( ) 21a n k s≤ + − равновесие характеризуется неизменным потреблением и оставляемым наследством: происходит лишь перераспределение добровольных сбережений в пользу обяза‐тельных.
• При ( ) 21a n k s> + − *s s= и помощь родителям может быть
положительной при *2k k≥ . Равновесная капиталовооружен‐
ность равна ( ) ( )*21 1n k s a n k+ = + > + . С ростом a равновесное
потребление и в первый и во второй период жизни индивида будет расти.
Распределительная пенсионная система в модели перекрывающихся по‐колений с «несимметричным» альтруизмом
Введение распределительной пенсионной системы означает, что бюджетные ограничения индивида, родившегося в момент вре‐мени t, имеют вид
( )
( )( )1 1 1 1 1
,1
1 .
tt t t t t
t t t t t t
xc s w z a
nd x R s n z a+ + + + +
⎧ + = + − +⎪ +⎨⎪ + = + + +⎩
, (3)
т.е. распределительная схема описывается принудительным меж‐поколенческим трансфертом от детей к родителям.
Попытаемся установить, как изменится состояние стационар‐ного равновесия (возможного, естественно, лишь при
, , 1,a a t tθ θ= = + … ) при введении распределительной пенсионной системы. Переопределим функцию (2) следующим образом
( ) ( ) ( ) ( ){ }0, arg max 1 ,ss k a u w k s a u R k s n aβ≥= − − + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),R k f k w k f k k f k′ ′= = − . Вид функции ( ),s k a , позво‐ляют заключить, что 0as′ < .
Теперь мы можем изучить влияние введения распределитель‐ной пенсионной системы в рамках исследования сравнительной статики. 1. Если ( ) ( )1 1,0 1s k n k< + , то в исходном равновесии *
10ak k
== и
*
00
ax
=> . Введение распределительной пенсионной системы тип
18
равновесия не меняет: ( ) ( ) ( )1 1 10, ,0 1
as k a s k n k
>< < + , *
10ak k
>= ,
*
00
ax
>> . Так как равновесная капиталовооруженность осталась
прежней, то потребление, сбережения и суммарные межпоко‐ленческие трансферты индивидов не изменятся. То есть, можно заключить, что оставляемое наследство увеличится так, чтобы скомпенсировать обязательный трансферт от детей к родителям, предусматриваемый пенсионной системой * *
0 0a ax x a
> == +
2. Если ( ) ( )2 2,0 1s k n k> + , то исходное равновесие характеризуется
тем, что в нем *20a
k k== и *
00
az
=> .
• Введение распределительной пенсионной системы тип равно‐весия не меняет, если ( ) ( ) ( )2 2 20
1 , ,0a
n k s k a s k>
+ < < , и тогда *
20ak k
>= и * *
0 00
a az z a
> == − > – помощь родителям со сторо‐
ны детей уменьшится так, чтобы скомпенсировать обязатель‐ный трансферт от детей к родителям, предусматриваемый пенсионной системой.
• Если же введение распределительной пенсионной системы изменит тип равновесия, т.е. ( ) ( ) ( )2 2 20
, 1 ,0a
s k a n k s k>≤ + < , то
индивид перестанет добровольно помогать родителям. При этом, если ( ) ( )1 1, 1s k a n k≥ + , то найдется равновесие, в котором
* *1 20 0a a
k k k k> =
≤ ≤ = и * *
0 00
a ax z
> >= = . В этой ситуации, даже
прекратив помогать родителям индивид не способен скомпен‐сировать обязательный межпоколенческий трансферт. Так как равновесная капиталовооруженность установится на более низком уровне, чем в случае без пенсионной системы, то по‐требление индивида уменьшится вместе с суммарными чис‐тыми трансфертами от родителей к детям.
• При более высоком уровне обязательных межпоколенческих трансфертов, когда ( ) ( )1 1, 1s k a n k< + , новое состояние равнове‐сия может предусматривать оставление наследства. Однако, равновесная капиталовооруженность при этом установится на
19
уровне * *1 20 0a a
k k k k> == < = и потребление индивида умень‐
шится вместе с суммарными чистыми трансфертами от роди‐телей к детям.
3. Если ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2,0 1 , ,0 1s k n k s k n k≥ + ≤ + и 1 2k k< , то в исходном
равновесии *1 20a
k k k=
≤ ≤ и * *
0 00
a ax z
= == = .
• Введение распределительной пенсионной системы тип равно‐весия не меняет, если ( ) ( ) ( )1 1 10
1 , ,0a
n k s k a s k>
+ ≤ < , и тогда в но‐
вом равновесии * *
0 00
a ax z
> >= = . Однако суммарные чистые
трансферты от родителей к детям уменьшатся, что приведет к уменьшению потребление индивида.
• Введение распределительной пенсионной системы может по‐менять тип равновесия. Если ( ) ( )1 10
, 1a
s k a n k>< + , то индивид
начинает оставлять наследство. При этом в новом равновесии, равновесная капиталовооруженность установится на уровне
* *10 0a a
k k k> == < и потребление индивида уменьшится.
4. В исключительном случае ( )1 nαγ β= + , когда индивид может одновременно помогать родителям и оставлять наследство, в ис‐ходном равновесии *
1 20ak k k
== = , а чистые межпоколенческие
трансферты { }*
0, 0
aξ
=> = < если
( ) ( ) { }( ) ( )1 2 1 2,0 ,0 , 1 1s k s k n k n k= < = > + = + . В равновесии с распре‐
делительной пенсионной системой *1 20a
k k k>= = , а чистые
трансферты от родителей к детям { }*
0, 0
aξ
>> = < если
( ) ( ) { }( ) ( )1 2 1 2, , , 1 1s k a s k a n k n k= < = > + = + – они увеличатся так, чтобы скомпенсировать обязательный трансферт от детей к ро‐дителям, предусматриваемый пенсионной системой. Благосос‐тояние индивида не изменится.
20
1.3. Модель перекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом и неоднородными потребителями
В данном разделе мы будем считать, что в общество состоит из индивидов, межпоколенческие коэффициенты дисконтирования ( ),α β γ которых принадлежат набору
{ }, : , , ,h lh l
h l
α αα αγ γ γ γβ β β β
⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈ ∈⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎩ ⎭
причем ,h h l l h lα β α β γ γ> > . То есть, все общество разбивается на четыре непересекающиеся группы A, B, C и D, такие, что
, , ,h C lA B DA C h B D l
A B h C D l
α α αα α αγ γ γ γ γ γ
β β β β β β= = = = = = = = .
Пусть , , , ,i i A B C Dσ = доля индивидов, принадлежащих к соответст‐вующей группе, в общей численности населения
, , ,0 1, , , , , 1.i i
i A B C Di A B C Dσ σ
=
< ≤ = =∑
Стационарное равновесие в модели перекрывающихся поколений с «не‐симметричным» альтруизмом и неоднородными потребителями Определим стационарное равновесие в модели перекрываю‐
щихся поколений с двусторонним альтруизмом и неоднородными потребителями как набор { }{ }* * * * * * * *, , , , , , , , , , ,i i i i ik R w c d s x z i A B C D= , для
которого * 0k > , а также выполняются следующие условия: • ( ) ( ) ( )* * * * * *,R f k w f k k f k′ ′= = − ;
• последовательность ( ) ( )* * * * *
, 1,, , , , , , , , , , , ,i i i i it t
c d s x z c d s x z i A B C Dθ θ θ θ θ θ = += =…
является оптимумом потребителя с межвременным коэффици‐ентом дисконтирования βi, , , ,i A B C D= и межпоколенческими коэффициентами дисконтирования , , , , ,i i i A B C Dα γ = , т.е. ре‐шением задачи
21
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
1 max1
,1
1 ,, 0, , 1, ,
.
tti i i
t
t t
u dn u c u d
nx
c s z wn
d x R s n zx z t tx x
θθ θ
θ
θθ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ
α γ β
θ
∞ −
+=
+ + + +
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
⎧ + + = +⎪ +⎪⎪ + = + +⎨⎪ ≥ = +⎪
≤⎪⎩
∑
…
• ( ) * *
, , ,1 i i
i A B C Dn k sσ
=
+ = ∑ .
Выпишем условия стационарного равновесия в модели пере‐крывающихся поколений с двусторонним альтруизмом и неодно‐родными потребителями: 1. Условия стационарного оптимума потребителя индивида, при‐надлежащего к группе , , ,i A B C D= , имеют вид
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
* * *
** * * *
* * * * *
* * *
* * *
,
,1
1 ,
1 , 1 0,
1, 1 0;
i i i
ii i i
i i i i
i i i i i
i i i
u c R u d
xc s z w
nd x R s n z
n R n R z
R R x
β
α β α β
γ γ
′ ′=
+ + = ++
+ = + +
⎡ ⎤≤ + − + =⎣ ⎦
≤ − =
2. Эволюция капиталовооруженности описывается выражением ( ) * *
, , ,
1 0i ii A B C D
n k sσ=
+ = >∑ .
Из условий 1–2, которые в равновесии должны выполняться со‐вместно, можно заключить, что в стационарном равновесии • * 1 1h lR γ γ≤ < , т.е. индивиды из групп B, D наследства не остав‐ляют;
• ( ) ( )
*
1 1h l
h l
Rn n
α αβ β
≥ >+ +
, т.е. индивиды из групп С, D родителям не
помогают;
22
• индивиды из группы А могут как оставлять наследство, так и по‐могать родителям, индивиды из группы B могут помогать роди‐телям, а индивиды из группы С могут оставлять наследство. Определим на множестве положительных чисел функцию
( ) ( ), , ,
i ii A B C D
S k s kσ=
= ∑ (4)
где ( ) ( ) ( ){ }0arg max ,i s is k u w k s u R k sβ≥= − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , , ,i A B C D= , а
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),R k f k w k f k k f k′ ′= = − .
Пусть 1 2, , ,i ik k i h l= – решения уравнений
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 , , , , , , ,1
, .
i i i ii
i i
A C B D A B C D
f k f k k k i A B C Dn
k k k k k k k k
αγ β
′ ′= = ≤ =+
= > = = < =
.
Возможен единственный вариант взаимного расположения чисел 1 2, , , , , ,i ik k i A B C D= : 1 1 1 1 2 2 2 2 .B D A C A B C Dk k k k k k k k= < = ≤ = < = Переформулируем Предложение 1 для случая неоднородных
потребителей.
Предложение 2 1. Для любого стационарного равновесия
{ }{ }* * * * * * * *, , , , , , , , , , ,i i i i ik R w c d s x z i A B C D= в данной модели выполня‐
ются неравенства *1 1 2 2A C A Bk k k k k= ≤ ≤ = . Далее, по аналогии с
Предложением 1 обозначим 1 1 1 2 2 2,A C A Bk k k k k k≡ = ≡ = 2. Чистые трансферты от родителей к детям могут быть положи‐тельными лишь в группах A и C, когда *
1k k= , а отрицательными – лишь в группах A и B, когда *
2k k= . То есть, всегда * * * * 0B C D Dx z x z= = = = .
3. Кроме того, если ( ) ( )1 11S k n k< + , то существует такое стационар‐
ное равновесие, для которого *1k k= и { }* *max , 0A Cx x > .
4. Если ( ) ( )2 21S k n k> + , то существует такое стационарное равнове‐
сие, для которого *2 2A Bk k k= = и { }* *max , 0A Bz z > .
23
5. Если ( ) ( )1 11S k n k≥ + , ( ) ( )2 21S k n k≤ + 1 2k k< , то найдется стацио‐
нарное равновесие, в котором *1 2k k k≤ ≤ и * * * * 0A A C Bx z x z= = = = .
6. Если 1 2k k k≡ = , ( ) ( )1 2s S k S k≡ = , и
• ( )1s n k< + , то найдется стационарное равновесие, в котором *k k= и { }* *max , 0A Cxξ > ;
• ( )1s n k> + , то найдется стационарное равновесие, в котором *k k= и { }* *max , 0A Bzξ > ;
• ( )1s n k= + , то найдется стационарное равновесие, в котором *k k= и * * * 0A C Bx zξ = = = .
Предложение 2 поясняется аналогично Предложению 1. Если индивиды из групп A или C оставляют наследство, то они
оказываются богаче, чем индивиды из групп B и D, которые наслед‐ства не оставляют, в том смысле, что для первых величина
** * *
* *
11ii i
d nc wR R
ξ+⎛ ⎞+ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
больше (здесь и далее мы полагаем, что * 1R n> + ). Аналогичным образом, если индивиды из групп A или B помогают родителям, то они оказываются беднее, чем индивиды из групп С и D, которые родителям не помогают.
Пенсионная система в модели перекрывающихся поколений с «несим‐метричным» альтруизмом и неоднородными потребителями В случае неоднородных потребителей последствия введения на‐
копительной или распределительной пенсионных систем можно проанализировать аналогично случаю однородных агентов. Инте‐рес представляют перераспределительные эффекты, которые мо‐дель с однородными потребителями описать не может. Введение накопительной пенсионной системы в случае совершенного рынка капитала, как и ранее, на состояние равновесия не влияет. В случае несовершенного рынка капитала накопительная пенсионная систе‐ма может увеличить благосостояние индивидов за счет принужде‐ния их к сбережениям. Этот эффект связан с ростом личных сбере‐жения потребителей и не имеет перераспределительного характе‐
24
ра. Иная ситуация возникает при введении распределительной пенсионной системы.
Распределительная пенсионная система в модели перекрывающихся по‐колений с «несимметричным» альтруизмом и неоднородными потре‐
бителями Переопределим функцию (4) следующим образом:
( ) ( ), , ,
, ,i ii A B C D
S k a s k aσ=
= ∑ , где
( ) ( ) ( ) ( ){ }0, arg max 1i s is k a u w k s a u R k s n aβ≥= − − + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .
Как и ранее, можно заключить, что 0aS ′ < . В рамках исследования сравнительной статики опишем эффек‐
ты введения распределительной пенсионной системы в модели пе‐рекрывающихся поколений с «несимметричным» альтруизмом и неоднородными потребителями. 1. Если ( ) ( )1 1,0 1S k n k< + , то в исходном равновесии *
10ak k
== и
{ }* *
0 0max , 0A Ca a
x x= =
> . Введение распределительной пенсионной
системы тип равновесия не меняет: ( ) ( ) ( )1 1 10, ,0 1
aS k a S k n k
>< < + ,
*10a
k k>= , { }* *
0 0max , 0A Ca a
x x> >
> . При этом индивиды из групп B и
D не оставляют наследства, не помогают родителям, и вынужде‐ны осуществлять обязательный трансферт от детей к родителям, предусматриваемый пенсионной системой. Это приводит к уменьшению их потребления и сбережений. Так как равновесная капиталовооруженность в равновесии данного типа не измени‐лась, то можно заключить, что сбережения (а значит и потребле‐ние, и суммарные чистые трансферты от родителей к детям) ин‐дивидов, которые могут оставлять наследство, вырастут. Таким образом, введение распределительной пенсионной систе‐мы приведет в данном случае к перераспределению богатства от потребителей, не оставляющих наследство («бедных»), к потре‐бителям, оставляющим наследство («богатым»). Это связано с тем, что «богатые» могут, хотя бы отчасти, скомпенсировать обя‐зательный трансферт от детей к родителям за счет увеличения
25
наследства, в то время как «бедные» наследства не оставляют и этого сделать не могут.
2. Если ( ) ( )2 2,0 1S k n k> + , то исходное равновесие характеризуется
тем, что в нем *20a
k k== и { }* *
0 0max , 0A Ba a
z z= =
> .
• Введение распределительной пенсионной системы тип равно‐весия не меняет, если ( ) ( ) ( )2 2 20
1 , ,0a
n k S k a S k>
+ < < , и тогда *
20ak k
>= и { }* *
0 0max , 0A Ba a
z z> >
> . При этом, индивиды из групп
С и D не помогают родителям, не оставляют наследства, и вы‐нуждены осуществлять обязательный трансферт от детей к ро‐дителям, предусматриваемый пенсионной системой. Это при‐водит к уменьшению их потребления и сбережений. Так как равновесная капиталовооруженность в равновесии данного ти‐па не изменилась, то можно заключить, что сбережения (а зна‐чит и потребление, и суммарные чистые трансферты от роди‐телей к детям) индивидов, которые могут помогать родителям, вырастут. Таким образом, введение распределительной пенсионной сис‐темы приведет в данном случае к перераспределению богатст‐ва от потребителей, не помогающих родителям, к потребите‐лям, помогающим родителям. Это связано с тем, что первые могут, хотя бы отчасти, скомпенсировать обязательный транс‐ферт от детей к родителям за счет уменьшения помощи роди‐телям, в то время как вторые родителям не помогают и этого сделать не могут.
• Если же введение распределительной пенсионной системы изменит тип равновесия, т.е. ( ) ( ) ( )2 2 20
, 1 ,0a
S k a n k S k>≤ + < , то
индивид перестанет добровольно помогать родителям. При этом, если ( ) ( )1 1, 1S k a n k≥ + , то найдется равновесие, в котором
* *1 20 0a a
k k k k> =
≤ ≤ = и * * * *
0 0 0 00A A C Ba a a a
x z x z> > > >= = = = . В этой
ситуации, даже прекратив помогать родителям индивид не способен скомпенсировать обязательный межпоколенческий трансферт. Так как равновесная капиталовооруженность уста‐
26
новится на более низком уровне, чем в случае без пенсионной системы, то потребление всех индивидов уменьшится вместе с суммарными чистыми трансфертами от родителей к детям.
• При более высоком уровне обязательных межпоколенческих трансфертов, когда ( ) ( )1 1, 1S k a n k< + , новое состояние равнове‐сия может предусматривать оставление наследства. Однако, равновесная капиталовооруженность при этом установится на уровне * *
1 20 0a ak k k k
> == < = и потребление всех индивидов
уменьшится вместе с суммарными чистыми трансфертами от родителей к детям.
3. Если ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2,0 1 , ,0 1S k n k S k n k≥ + ≤ + и 1 2k k< , то в исходном
равновесии *1 20a
k k k=
≤ ≤ и * * * *
0 0 0 00A A C Ba a a a
x z x z= = = == = = = .
• Введение распределительной пенсионной системы тип равно‐весия не меняет, если ( ) ( ) ( )1 1 10
1 , ,0a
n k S k a S k>
+ ≤ < , и тогда в
новом равновесии * * * *
0 0 0 00A A C Ba a a a
x z x z> > > >= = = = . Однако сум‐
марные чистые трансферты от родителей к детям уменьшатся, что приведет к уменьшению потребления всех индивидов.
• Введение распределительной пенсионной системы может по‐менять тип равновесия. Если ( ) ( )1 10
, 1a
S k a n k>< + , то индивиды
из групп A и C в новом равновесии могут оставлять наследство. При этом равновесная капиталовооруженность установится на уровне * *
10 0a ak k k
> == < и потребление всех индивидов умень‐
шится.
2. МОДЕЛЬ ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОКОЛЕНИЙ ДЛЯ РАСШИРЕННОЙ СЕМЬИ
2.1. Описание модели
Поведение потребителя Как и в предыдущей главе, следуя книге [6], мы будем описы‐
вать жизненный цикл индивида в следующих обозначениях. Инди‐вид, родившийся в момент времени t, работает в течение периода t,
27
начинающегося в момент t и заканчивающегося в момент времени t+1. В конце этого периода происходят следующие события: • у индивида появляется (1+n) потомков, которые начинают свой жизненный цикл;
• индивид получает доход, складывающийся из зарплаты wt и при‐ходящейся на него доли возможного наследства родителей, кото‐рые как раз заканчивают свой жизненный цикл – если наследство родителей составляет 0tx ≥ , то на данного индивида приходится величина xt/(1+n);
• этот доход индивид может потратить на потребление ( )0tc ≥ ,
сбережения (st) или помощь родителям ( )0tz ≥ , родившимся в момент 1t − ; Бюджетное ограничение этого индивида в момент времени t+1
имеет вид
1t
t t t t
xc s z w
n+ + = +
+.
В период t+1 индивид не работает. В конце этого периода сбе‐режения индивида составляют Rt+1st, где Rt+1=1+rt+1, а rt+1 – процент‐ная ставка, действовавшая в период t+1. Кроме того, индивид может получить помощь со стороны детей в размере (1+n)zt+1. Всю эту сумму (сбережения и помощь детей) индивид делит между теку‐щим потреблением dt+1 и наследством xt+1. Его бюджетное ограни‐чение в момент времени t+2 имеет вид
( )1 1 1 11t t t t td x R s n z+ + + ++ = + + . Складывая бюджетные ограничения индивидов, живущих од‐
новременно в период t, но принадлежащих к разным поколениям ( ) ( ) ( )
( )1
1 1 ,
1 ,t t t t t
t t t t t
n c s z n w x
d x R s n z−
+ + + = + +⎧⎪⎨
+ = + +⎪⎩
получаем бюджетное ограничение расширенной семьи ( ) ( ) ( ) 11 1t t t t t td n c s n w R s −+ + + = + + .
Иными словами, наличие межпоколенческих трансфертов (xt и zt) дает возможность расширенной семье распределять совокупный доход семьи, стоящий в правой части этого выражения, между по‐
28
треблением всех живущих одновременно членов семьи и сбереже‐ниями.
Предположим, что индивиды получают одинаковую полез‐ность ( )u ⋅ от потребления, которая не меняется в течение их жиз‐ненного цикла. Допустим также, что семья одинаково ценит по‐требление всех 2+n ныне живущих членов, а полезность будущего потребления семьи учитывает с коэффициентом дисконтирования γ . В таком случае, естественно принять следующий вид целевой функции для семьи, существующей в момент времени t,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 11 1 1t t t t tV u d n u c n u d n u cγ + +
⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦ …
С другой стороны, эту целевую функцию можно записать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 21
1 1tt
t t t t
u dVu c u d n u c u d
n nγ γ γ+ + += + + + + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +
…
Иначе говоря, максимизируя данную целевую функцию, инди‐вид, родившийся в момент времени t, учитывает «приходящуюся на него» долю полезности родителей, полезность своего потребления в первый период жизни, полезность потребления во второй период жизни с коэффициентом дисконтирования γ , а также дисконтиро‐ванные полезности потребления всех своих потомков. Дисконтиро‐вание полезностей потребления потомков производится с учетом их числа – возникающий коэффициент дисконтирования равен ( )1 nγ + . Коэффициент γ позволяет потребителю соизмерить по‐
лезность как своего «сегодняшнего» и своего же «завтрашнего» по‐требления, так и свое «сегодняшнее» потребление с «завтрашним» потреблением одного своего непосредственного потомка. Уровень межпоколенческого альтруизма в модели перекрывающихся поко‐лений для расширенной семьи оказывается настолько высоким, что потребитель ценит потребление членов семьи, живущих одновре‐менно с ним, столь же высоко, как и свое «сегодняшнее» потребле‐ние, а потребление своих потомков – столь же высоко, как и свое будущее потребление.
В отличие от предыдущей главы, следуя [11], мы будем предпо‐лагать, что решение принимается членами расширенной семьи со‐
29
вместно и оказывается согласованным. Модель поведения расши‐ренной семьи имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) 1
1 1
1 1 max
1 1 , , 1,
t
t
t t
n u d n u c
d n c s n w R s t ts s
θθ θ
θ
θ θ θ θ θ θ
γ
θ
∞ −
=
−
− −
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ + + + ≤ + + = +⎪⎨
≤⎪⎩
∑…
В этой постановке задачи ограничения, связанные с неотрица‐тельностью межпоколенческих трансфертов , 0, , 1,x z t tθ θ θ≥ = + … , исчезают, так как решение принимается членами расширенной се‐мьи совместно, и значение имеют лишь чистые межпоколенческие трансферты ( )1x n zθ θ θξ = + − , которые могут иметь любой знак.
Будем считать, что функция полезности потребления ( )u ⋅ удовлетворяет естественным условиям – является непрерывной, мо‐нотонно возрастающей, строго вогнутой и дважды непрерывно дифференцируемой на R+, причем ( )0u ′ = ∞ . Тогда последователь‐ность ( ) , 1,
, ,t t
c d sθ θ θ θ = + … является решением данной задачи оптимиза‐
ции (оптимумом потребителя) только тогда, когда для нее при всех , 1,t tθ = + … выполнены условия
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 ,
,
.
d n c s n w R s
u c u d
R u d u d
θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ θγ
−
+ +
+ + + = + +⎧⎪′ ′=⎨
⎪ ′ ′=⎩
Указанные необходимые условия становятся достаточными, если их дополнить условием трансверсальности, в данном случае имеющим вид
( ) ( )lim 1 0t
t ttn u c sγ
→+∞′+ =⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Подробнее об условиях трансверсальности см. [6].
Производственный сектор Как и ранее, будем предполагать, что производственный сектор
описывается неоклассической макроэкономической производст‐венной функцией ( ),F K L , где K – запас основного капитала в эко‐номике, L – численность занятых, а производственный сектор реша‐
30
ет задачу о максимизации «экономической» прибыли при задан‐ных ставке процента r и ставке заработной платы w. При условии полного выбытия капитала за рассматриваемый период времени условия равновесия на рынках капитала и труда имеют вид
1 ( , ), ( , )K LR r F K L w F K L′ ′= + = = . Введем капиталовооруженность труда k K L= и производст‐
венную функцию в интенсивной форме
( ) ( ) ( )1,1 ,f k F k F K LL
= = ,
которую будем считать дважды непрерывно дифференцируемой на R+, монотонно возрастающей и строго вогнутой, причем ( )0 0f = . Тогда, условия равновесия на рынках труда и капитала можно пе‐реписать в виде ( ) ( ) ( ),R f k w f k k f k′ ′= = − .
Равновесие в модели перекрывающихся поколений для расширенной семьи Единственным источником пополнения основного капитала,
предположительно полностью выбывающего за каждый период времени, являются сбережения индивидов
1t t tK s L+ = . Поделив на Lt, это выражение можно переписать следующим обра‐зом
( ) 11 t tn k s++ = . Это уравнение описывает эволюцию капиталовооруженности в за‐висимости от сбережений st.
Сделанные предположения позволяют нам определить равно‐весие в модели перекрывающихся поколений с двусторонним аль‐труизмом.
Определение 3 Последовательность ( )* * * * * *
, 1,, , , , ,
t tk R w c d sθ θ θ θ θ θ θ = + …
, где * 0, , 1,k t tθ θ> = + … , называется равновесной траекторией в модели перекрывающихся поколений с двусторонним альтруизмом, если выполняются следующие условия: • ( ) ( ) ( )* * * * * *, , , 1,R f k w f k k f k t tθ θ θ θ θ′ ′= = − = + … ;
31
• последовательность ( ) , 1,, ,
t tc d sθ θ θ θ = + … является оптимумом потре‐
бителя; • ( ) * *
11 , , 1,n k s t tθ θ θ++ = = + … . В дальнейшем мы будем интересоваться стационарными рав‐
новесиями в модели перекрывающихся поколений с двусторонним альтруизмом, т.е. равновесиями, для которых
( ) ( )* * * * * * * * * * * *
, 1,, , , , , , , , , ,
t tk R w c d s k R w c d sθ θ θ θ θ θ θ = +
=…
.
Условия, характеризующие стационарные равновесия, имеют вид:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
* * * * * *
* * ** *
* *
1 , ,
1 1,
21 0.
R f k w f k k f k
n w R n sc d
nn k s
γ′ ′= = = −
⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦= =+
+ = >
При этом условие трансверсальности выполнено тогда и только то‐гда, когда ( )1 1nγ + < .
Полученные выражения позволяют сделать следующие выводы: • потребление членов расширенной семьи оказывается одинако‐вым на протяжении всей жизни;
• чистые трансферты от родителей к детям определяются выраже‐нием
( )* * *** *
1
1 2
R s wx zn n
ξ+ −
= − =+ +
и могут быть как положительными, так и отрицательными. Равновесная капиталовооруженность в данной модели опреде‐
ляется, как и в модели Рамсея, модифицированным «золотым» правилом.
2.2. Пенсионная система в модели перекрывающихся поколений для расширенной семьи
В данном разделе в рамках модели перекрывающихся поколе‐ний с двусторонним альтруизмом мы рассмотрим обязательную накопительную и распределительную пенсионные системы, причем последняя будет описана в случае совершенного рынка капитала.
32
Совершенность рынка капитала подразумевает, что индивид имеет возможность занимать, что означает, что допустима отрицатель‐ность личных сбережений индивида. При несовершенном рынке капитала индивид ограничен в кредите – с технической точки зре‐ния этот случай удобнее рассмотреть в разделе «Модель перекры‐вающихся поколений с двусторонним альтруизмом и неоднород‐ными потребителями».
Накопительная пенсионная система в случае совершенного рынка капи‐тала
Введем в рассматриваемую модель обязательную накопитель‐ную пенсионную схему, устроенную следующим образом: в первый период своей жизни индивид, родившийся в момент времени t, обязан внести вклад в пенсионный фонд в размере 0ta ≥ , а во вто‐рой период он получает пенсию в размере Rt+1at. Бюджетные огра‐ничения индивида при этом имеют вид
( ) ( )1 1 1
11
tt t t t t
t t t t t t
xc s a w z
nd x R s a n z+ + +
⎧+ + = + −⎪ +⎨
⎪ + = + + +⎩
.
При этом задача для расширенной семьи при наличии накопи‐тельной пенсионной системы оказывается полностью эквивалент‐ной такой же задаче в случае без пенсионной системы
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )1 1
1 1
1 1 max
1 1 , , 1,
t
t
t t
n u d n u c
d n c s a n w R s a t ts s
θθ θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
γ
θ
∞ −
=
− −
− −
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ + + + + ≤ + + + = +⎪⎨
≤⎪⎩
∑…
Это позволяет сделать вывод, что введение накопительной пенсион‐ной системы лишь уменьшает добровольные сбережения *sθ на aθ , и иного влияния на состояние равновесия в данной модели не ока‐зывает.
Следует заметить, что сформулированные выше условия равно‐весия в модели перекрывающихся поколений с двусторонним аль‐труизмом требовали положительности сбережений. При введении пенсионной системы это требование модифицируется, превраща‐
33
ясь в необходимость положительности суммарных сбережений ин‐дивида, включающих его накопления в пенсионном фонде
( ) * *11 0, , 1,n k s a t tθ θ θ θ++ = + > = + …
Это значит, что в равновесии в модели перекрывающихся поколе‐ний с накопительной пенсионной системой добровольные сбере‐жения индивида могут быть отрицательными, т.е. он может зани‐мать. При этом объем заимствования не может превосходить пен‐сионных накоплений индивида, которые в данном случае можно трактовать как обеспечение займа [6].
Распределительная пенсионная система в модели перекрывающихся по‐колений для расширенной семьи
Введение распределительной пенсионной системы означает, что бюджетные ограничения индивидов разных поколений, одно‐временно живущих в период t, имеют вид
( ) ( ) ( )( ) ( )1
1 1
1t t t t t t
t t t t t t
n c s z a n w x
d x R s n z a−
+ + + + = + +⎧⎪⎨
+ = + + +⎪⎩,
т.е. распределительная схема описывается принудительным меж‐поколенческим трансфертом от детей к родителям. Однако, бюд‐жетное ограничение расширенной семьи при введении распреде‐лительной системы не меняется
( ) ( ) ( ) 11 1t t t t t td n c s n w R s −+ + + = + + . Это означает, что индивиды при введении распределительной пен‐сионной системы, оставляя неизменными свои решения относи‐тельно потребления и сбережений, перестраивают добровольные межпоколенческие трансферты так, чтобы полностью скомпенси‐ровать эффект пенсионной системы. Чистые трансферты от роди‐телей к детям увеличиваются на величину принудительного транс‐ферта от детей к родителям. В стационарном равновесии, возмож‐ном, естественно, лишь при , , 1,a a t tθ θ= = + … , чистые трансферты от родителей к детям приобретают вид
( ) ( ) ( )* * * * *11 1 12
nx n z R s w n an
+ ⎡ ⎤− + = + − + +⎣ ⎦+.
34
2.3. Модель перекрывающихся поколений для расширенной семьи в случае неоднородных потребителей
В данном разделе мы будем считать, что существует две группы населения, состоящие из «терпеливых» и «нетерпеливых» семей. «Терпеливыми» будем считать индивидов, характеризующихся ко‐эффициентом дисконтирования hγ , а «нетерпеливыми» – индиви‐дов с меньшим коэффициентом дисконтирования l hγ γ< . Естест‐венно, предполагается, что в пределах семьи все индивиды имеют один и тот же коэффициент дисконтирования, т.е. он в равной сте‐пени характеризует и индивида, и семью. Мы предполагаем, что
( )1 1h nγ + < . При построении модели перекрывающихся поколений с дву‐
сторонним альтруизмом и неоднородными потребителями мы бу‐дем предполагать, что на сбережения как «терпеливых» так и «не‐терпеливых» индивидов наложено ограничение снизу
, , , 1,h ls s s s t tθ θ θ≥ ≥ = + … где s – некоторая экзогенно заданная величина, которую естествен‐но считать равной нулю или отрицательной: 0s ≤ . Величина s− при этом определяет предельный долг в расчете на каждого члена семьи, и в некоторых ситуациях, вероятно, описывает несовершен‐ство рынка капитала – в частности, 0s = означает, что кредит инди‐виду недоступен.
Стационарное равновесие в модели перекрывающихся поколений для расширенной семьи в случае неоднородных потребителей
Пусть 0 1σ< ≤ – доля «терпеливых» индивидов в общей чис‐ленности населения.
Определение 4 Определим стационарное равновесие в модели перекрываю‐
щихся поколений с двусторонним альтруизмом и неоднородными потребителями как набор { }* * * * * * * * *, , , , , , , ,l l l h h hk R w c d s c d s , для которого
* 0k > , а также выполняются следующие условия: • ( ) ( ) ( )* * * * * *,R f k w f k k f k′ ′= = − ;
35
• последовательность ( ) ( )* * *, 1,
, , , ,l l lt tc d s c d sθ θ θ θ = +
=… является опти‐
мумом потребителя с коэффициентом дисконтирования lγ , т.е. решением задачи
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) * *1
1 1
1 1 max
1 1, , 1,
tl
t
t t
n u d n u c
d n c s n w R ss s t ts s s
θθ θ
θ
θ θ θ θ θ θ
θ
γ
θ
∞ −
=
−
− −
+ + + →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ + + + ≤ + +⎪
≥ = +⎨⎪ ≤ ≤⎩
∑
…
• последовательность ( ) ( )* * *, 1,
, , , ,h h ht tc d s c d sθ θ θ θ = +
=… является опти‐
мумом потребителя с коэффициентом дисконтирования hγ ; • ( ) ( )* * *1 1h ln k s sσ σ+ = + − .
Выпишем условия стационарного равновесия в модели пере‐крывающихся поколений с двусторонним альтруизмом и неодно‐родными потребителями: 3. Условия стационарного оптимума потребителя для «нетерпели‐вого» индивида имеют вид
( ) ( )
( )
* * ** *
* * * *
1 1,
21 1, , 0.
ll l
l ll l
n w R n sc d
n
s s R R s sγ γ
⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦= =+
⎛ ⎞≥ ≤ − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Условие ( )( )* *1 0l lR s sγ − − = означает, что неравенство * 1 lR γ≤
превращается в равенство при *ls s> .
4. Условия стационарного оптимума потребителя для «терпеливо‐го» индивида имеют вид
( ) ( )
( )
* * ** *
* * * *
1 1,
21 1, , 0.
hh h
h hh h
n w R n sc d
n
s s R R s sγ γ
⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦= =+
⎛ ⎞≥ ≤ − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
5. Эволюция капиталовооруженности описывается выражением ( ) ( )* * *1 1 0h ln k s sσ σ+ = + − > .
36
Из условий 1–3, которые в равновесии должны выполняться со‐вместно, видно, что в стационарном равновесии мы будем иметь
* 1 1h lR γ γ≤ < , т.е. *ls s= – «нетерпеливые» индивиды не только не
делают сбережений, но и максимально используют предоставляе‐мые им возможности для заимствования. Для обеспечения поло‐жительного уровня капиталовооруженности сбережения остается делать «терпеливым» индивидам, для которых будем иметь
* 1 hR γ= . Условия стационарного равновесия позволяют сделать следующие выводы • потребление как «терпеливых» так и «нетерпеливых» индивидов не меняется на протяжении всей их жизни;
• потребление членов семьи, состоящей из «нетерпеливых» инди‐видов, составляет
( ) ( )* ** *
1 1
2l l
n w R n sc d
n
⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦= =+
.
Величина 0s ≤ при этом предполагается не слишком большой по модулю, чтобы обеспечить * * 0l lc d= > . Чистые трансферты от родителей к детям в такой семье оказыва‐ются отрицательными
( )* *** *
1
1 2l
l l
R s wxz
n nξ
+ −= − =
+ +,
т.е. имеет место чистая помощь родителям со стороны детей. • сбережения члена «терпеливой» семьи определяются уравнени‐ем
( )* 11
1h
h
s sf
nσ σ
γ⎛ ⎞+ −′ =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
,
а потребление ее членов составляет величину ( ) ( )* * *
* *1 1
2h
h h
n w R n sc d
n
⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦= =+
.
В такой семье чистые трансферты от родителей к детям могут быть как положительными, так и отрицательными
( )* * *** *
1
1 2hh
h h
R s wxz
n nξ
+ −= − =
+ +.
37
Накопительная пенсионная система в случае несовершенного рынка ка‐питала
Ситуация меняется при введении накопительной пенсионной системы в случае несовершенного рынка капитала. При этом «не‐терпеливые» индивиды, так же как и «терпеливые», владеют капи‐талом, делая вынужденные сбережения, предусмотренные обяза‐тельной пенсионной системой, а «терпеливые» индивиды могут уменьшать добровольные сбережения до нуля, или даже заимство‐вать, так как равновесная капиталовооруженность обеспечивается не только за счет добровольных сбережений, но и за счет пенсион‐ных накоплений.
Пусть добровольные сбережения ограничены снизу прежним уровнем 0s ≤ , но как «терпеливые», так и «нетерпеливые» индиви‐ды обязаны делать вынужденные сбережения в размере a.
В стационарном равновесии выполняются следующие соотно‐шения:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
* * ** *
* ** *
* * * * * *
* * * * *
1 1,
21 1
,2
1 1 0, ,
1 1, , 0.
hh h
l l
h
h hh h
n w R n s ac d
nn w R n s a
c dn
s a s a n k w f k k f k
R f k s s R s s
σ σ
γ γ
⎡ ⎤+ + − + +⎣ ⎦= =+
⎡ ⎤+ + − + +⎣ ⎦= =+
′+ + − + = + > = −
⎛ ⎞′= ≤ ≥ − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
При этом оказываются возможными несколько ситуаций: • 0 cra a≤ < , где ( ) ( )1 1h crf a s nγ ′ + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ , cra s> − . При этом сущест‐
вует *hs s> такое, что ( ) ( )* *1 1hs s a n kσ σ+ − + = + и *1h Rγ = . Вве‐
дение накопительной системы с таким уровнем обязательных сбережений приводит для «нетерпеливых» индивидов к росту потребления и росту чистых трансфертов от родителей к детям
( )( )* *** *
1
1 2l
l l
R s a wxz
n nξ
+ + −= − =
+ +,
и не влияет на потребление и чистые трансферты «терпеливых» индивидов.
38
• cr cra a a′≤ ≤ , где ( ) ( )1 1 1cr hf a s n n γ′ ′ + + = + <⎡ ⎤⎣ ⎦ . При этом в ста‐
ционарном равновесии *hs s= , ( ) *1 n k a s+ = + , и *1h Rγ ≤ , но
траектория все еще является динамически эффективной ( )* 1R n≥ + . Это означает, что существует некоторое критическое
значение уровня обязательных сбережений в рамках накопитель‐ной пенсионной системы acr, при превышении которого даже «терпеливые» индивиды максимально используют свои возмож‐ности по заимствованию. При этом оказывается, что и «терпели‐вые» и «нетерпеливые» индивиды берут в долг у пенсионного фонда, т.е. из своих же обязательных сбережений. Введение на‐копительной системы с таким уровнем обязательных сбережений приводит к росту потребления как «терпеливых», так и «нетер‐пеливых» индивидов, приближая уровень капиталовооруженно‐сти к «золотому».
• cra a ′> – дальнейшее повышение уровня обязательных сбереже‐ний приводит к перенакоплению, к динамической неэффектив‐ности траектории и уменьшает потребление как «терпеливых», так и «нетерпеливых» индивидов.
39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящей работе мы рассмотрели две модели перекрываю‐
щихся поколений с двусторонним альтруизмом. Первая модель по‐зволила проанализировать случай различной склонности индивида помогать своим детям и родителям («несимметричный» альтру‐изм). Равновесие в ней представляет собой равновесие по Нэшу, когда родители и дети принимают решения, исходя из собственных предпочтений, полагая выбор остальных участников заданным. Си‐туация, описываемая второй моделью, оказывается эквивалентной случаю, когда два последовательных поколения – неработающие родители и работающие дети, имеют общий бюджет.
В обоих случаях мы находим стационарное равновесие, обсуж‐даем условия его существования, описываем обязательные накопи‐тельную и распределительную пенсионные системы, причем для накопительной пенсионной системы рассматривается как случай совершенного рынка капитала, так и ситуация, когда индивид огра‐ничен в получении кредита. Далее мы обобщаем модели на случай неоднородных потребителей.
Предлагаемые модели представляются полезными при раз‐мышлении об эффектах распределительной или накопительной пенсионной системы в странах с распространенным двусторонним межпоколенческим альтруизмом, к которым, по выводам многих исследователей, относится и Россия.
40
БИБЛИОГРАФИЯ 1. Allais M. Economie et intérêt. Paris: Imprimerie Nationale,
1947. 2. Samuelson P.A. An exact consumption‐loan model of interest
with or without the social contrivance of money // The Journal of Political Economy, 1958, 66(6), pp. 467‐482.
3. Diamond P. National debt in a neoclassical growth model // The American Economic Review, 1965, 55(5), pp. 1126‐1150.
4. Barro R.J. Are government bonds net wealth? // The Journal of Political Economy, 1974, 82(6), pp. 1095‐1117.
5. Борисов К.Ю. Агрегированные модели экономического роста и распределения. – СПб.: СПбЭМИ РАН, 2005.
6. Croix D. de la, Michel P. A theory of economic growth: dy‐namics and policy in overlapping generations. – Cambridge University Press, 2002.
7. Abel A.B. Operative gift and bequest motives // The American Economic Review, 1987, 77(5), pp. 1037‐1047.
8. Michel P., Thibault E., Vidal J.‐P. Intergenerational altruism and neoclassical growth models // Handbook of the economics of giving, altruism and reciprocity / Ed. by Kolm S.‐C., Yth‐ier J.M. – Elsevier B.V., 2006. P. 1055‐1106.
9. Altonji, J.G., Hayashi, F., Kotlikoff, L.J., Is the extended family altruistically linked? Direct tests using micro data. 1989. N.B.E.R. Working paper No. 3046.
10. Котликофф Л., Бернс, С. Пенсионная система перед бурей: то, что нужно знать каждому о финансовом будущем своей страны. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2005.
11. Борисов К.Ю., Сурков А.В. Модель перекрывающихся по‐колений с двусторонним альтруизмом // Экономико‐математические исследования: математические модели и информационные технологии. VI. Сборник трудов Санкт‐Петербургского экономико‐математического института РАН / А.А. Корбут, С.Л. Печерский, Л.А. Руховец, ред. СПб.: Нестор‐История, 2007. C. 45‐60.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Борисов Кирилл Юрьевич – доктор экономических наук, ве‐дущий научный сотрудник Санкт‐Петербургского экономико‐математического института РАН, декан факультета экономики Ев‐ропейского университета в Санкт‐Петербурге, профессор кафедры экономической кибернетики экономического факультета Санкт‐Петербургского государственного университета.
Сурков Александр Владимирович – кандидат физико‐математических наук, научный сотрудник Санкт‐Петербургского экономико‐математического института РАН, доцент факультета экономики Европейского университета в Санкт‐Петербурге, доцент кафедры экономической теории экономического факультета Санкт‐Петербургского филиала государственного университета – Высшей школы экономики.
Объем 1,5 п.л. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Европейский университет в Санкт‐Петербурге 191187 Санкт‐Петербург, ул. Гагаринская, д. 3.
