имени профессора Н. Е. Жуковского УДК 533.695 Кажан...
TRANSCRIPT
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
имени профессора Н. Е. Жуковского
На правах рукописи
УДК 533.695, 629.7.015.3.036
Кажан Егор Вячеславович
Комбинированный метод численного решения стационарных
уравнений Рейнольдса и его применение к моделированию работы
воздухозаборника вспомогательной силовой установки
в компоновке с фюзеляжем летательного аппарата
Специальность 05.07.01 «Аэродинамика и процессы теплообмена
летательных аппаратов»
Диссертация на соискание учѐной степени кандидата технических наук
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент
Власенко Владимир Викторович
Научный консультант:
доктор технических наук, старший научный сотрудник
Босняков Сергей Михайлович
г. Жуковский
2013 г.
2
Оглавление
Глава 1. Математическая постановка задачи ..................................................18
1.1 Система уравнений Рейнольдса, замкнутая моделью
турбулентности (q-ω) .................................................................................... 18
1.2 Математические свойства системы уравнений Рейнольдса... 26
1.3 Постановка краевой задачи для уравнений Рейнольдса (на
примере задачи о моделировании работы вспомогательной силовой
установки в компоновке с фюзеляжем) ...................................................... 30
Глава 2. Выбор и анализ численного метода для решения поставленной
задачи ..................................................................................................................38
2.1 Анализ некоторых схем на основе модельного уравнения .... 38
2.2. Базовый явный метод, основанный на схеме ГКР .................. 43
2.3. Линеаризованная неявная схема на основе схемы ГКР .......... 46
2.4. Особенности реализации неявной схемы ................................. 49
2.5. Особенности постановки численных граничных условий ..... 67
2.6. Комбинированный метод с явной и неявной частями ............ 70
Глава 3. Тестирование разработанного метода ...............................................78
3.1. Тест 1 – турбулентный пограничный слой на пластине ........ 79
3.2. Тест 2 – профиль NACA0012. ................................................... 83
3.3. Тест 3 - компоновка фюзеляж-крыло CRM (Common Research
Model). 88
3
3.4. Тест 4 – Воздухозаборник и элемент мотогондолы
тематической компоновки фюзеляж-крыло-пилон-мотогондола. ........... 91
Выводы к Главе 3 .................................................................................. 97
Глава 4. Применение разработанной методики к моделированию течений в
компоновке ВСУ с фюзеляжем ЛА ..................................................................98
4.1. Расчѐтные исследования обтекания хвостовой части
фюзеляжа и выбор положения створок ресивера ВСУ ........................... 105
4.2. Оценка влияния формы фюзеляжа .......................................... 110
4.3. Анализ физических особенностей течения в воздухозаборном
устройстве ВСУ ........................................................................................... 111
4.4. Валидация расчетной технологии. Интегральные
характеристики воздухозаборного устройства ВСУ ............................... 122
4.5. Полуэмпирическая методика оценки потерь на входе в
двигатель ВСУ ............................................................................................. 131
Выводы к Главе 4 ................................................................................ 136
Выводы ..............................................................................................................138
Список использованных источников .............................................................140
Приложение 1. Анализ схем на основе модельного уравнения ..................155
Приложение 2. Базовый явный численный метод ........................................189
Приложение 3. Матрицы неявного численного метода ...............................199
4
Введение
Предлагаемая работа является обобщением опыта проведения расчетных и
экспериментальных исследований, накопленного в Центральном
Аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) и в Центральном Институте
Авиационного Моторостроения (ЦИАМ). В 1996 и 2003 годах
опубликованы юбилейные сборники статей [1][2], в которых
демонстрируется высокий уровень расчетных и экспериментальных работ,
выполняемых в ЦАГИ. Эти книги являются основой, сформировавшей
научные взгляды автора данной работы. В книге [3] представлен опыт
разработки пассажирских магистральных самолетов, который был учтен в
практической части настоящей работы. Большой задел, который был
создан в ЦИАМ в результате многочисленных теоретических и
практических исследований, описан в книге [4]. Численный метод,
который был создан C.К.Годуновым [5] и в настоящее время имеет
всемирное признание, успешно и плодотворно развивался и
совершенствовался в обоих институтах. Автор внимательно изучил книгу
[6], в которых подробно описаны все особенности реализации метода
Годунова. В ЦАГИ впервые был предложен метод Годунова 2-го порядка
аппроксимации по пространству [7], который впоследствии был обобщен
на многомерные задачи в ЦИАМ [8]. Явная схема Годунова 2-го порядка
аппроксимации по времени [9] зарекомендовала себя как весьма надежный
инструмент для решения сложных практических задач и в течение
нескольких десятилетий успешно эксплуатируется в ЦАГИ [10]. В
последнее время в ЦАГИ исследуется возможность применения идей
Годунова в конечно-элементных методах высокого порядка аппрксимации
[11]. В ЦИАМ был разработан неявный аналог схемы Годунова [12]
применительно к уравнениям Эйлера, который был впоследствии обобщен
5
на уравнения Навье-Стокса [13]. Одновременно в ЦИАМ была
предложена еще одна, весьма эффективная релаксационная неявная схема
для решения уравнений Навье-Стокса [14]. Последняя схема была
использована при создании различных программ ЦИАМ, включая
известную программу КоБра [15]. Эта схема (с некоторыми
модификациями) была использована и в настоящей работе для ускорения
численной технологии [10], которая использовалась в ЦАГИ к началу
данной работы.
Изначально вспомогательная силовая установка (ВСУ) устанавливалась на
ЛА для питания самолѐтных систем и запуска маршевой силовой
установки в местах стоянки ЛА без внешнего энергопитания. Новое
поколение пассажирских магистральных самолетов использует
многофункциональную ВСУ нового поколения, которая применяется на
всех режимах полета ЛА, выполняя следующие функции:
─ запуск маршевого двигателя с помощью воздушного стартера на
земле и в полете;
─ питание сжатым воздухом системы кондиционирования салона и
кабины экипажа на земле и в полете;
─ питание в полете сжатым воздухом системы противообледенения
передней кромки крыла (при отказе одного из маршевых
двигателей);
─ питание бортовой сети самолета электроэнергией переменного тока
на земле и в полете.
Актуальность темы. Новый пассажирский самолет МС-21 использует
многофункциональную вспомогательную силовую установку (ВСУ),
работающую на всех режимах полета. Увеличение энергетической
6
нагрузки на ВСУ и усложнение условий ее функционирования повышает
требования по эффективности и устойчивости еѐ работы. Как правило,
воздухозаборник установки расположен в хвостовой части фюзеляжа в
развитом турбулентном пограничном слое. Поэтому при расчетных
исследованиях работы воздухозаборника ВСУ приходится моделировать с
высокой точностью обтекание всего планера, что требует использования
плотных сеток и значительных ресурсов ЭВМ, включая время расчета.
Проблема значительного ускорения существующей расчетной методологии
при сохранении ее точности весьма актуальна. Соответствующий
результат достигнут в настоящей работе. Актуальность исследования
работы ВСУ определяется важностью обеспечения безопасности
воздушного судна.
Цель диссертации заключается в модификации существующей расчетной
методологии с целью существенного ускорения численного решения
практических задач при сохранении точности и в применении этой
методологии к решению задачи согласования воздухозаборника с
двигателем вспомогательной силовой установки пассажирского
самолета МС-21.
В ЦАГИ была разработана и получила широкое применение технология
вычислительного эксперимента под названием "Электронной
аэродинамической трубы" [16]. Разработанный для этого пакет
прикладных программ (ППП) EWT – ЦАГИ [17] [18] включает весь набор
инструментов для реализации вычислительного эксперимента.
Вычислительный эксперимент позволяет моделировать турбулентные
течения вязкого газа при обтекании реальных геометрий. Среди прочих,
выполнен расчет обтекания модели в условиях реальной
7
аэродинамической трубы. Перед автором данной работы стояла задача
ускорить получение стационарных решений в рамках описанной
технологии и добиться нового качества путем решения класса задач,
недоступного ранее. Программный продукт EWT – ЦАГИ включает в себя
несколько прикладных программ, в том числе V3Solver [19] и ZEUS [20].
Для получения стационарных решений в этих программах используется
метод установления решения по времени. Стационарное течение
получается как предел некоторого нестационарного процесса. Возможны
разные подходы к моделированию этого процесса. Известно, что
численные схемы, которые могут быть использованы в методе
установления, можно разделить на два класса - явные и неявные. Они
имеют свои достоинства и недостатки. Неявные схемы могут быть
абсолютно устойчивы, но требуют больше вычислительных затрат на
совершение итерации по сравнению с явными аналогами. И явные и
неявные численные схемы широко используются в вычислительной
аэродинамике и имеют множество реализаций [21]. В Электронной
Аэродинамической Трубе до последнего времени использовались только
явные численные схемы. Для ускорения получения стационарных
решений применялся метод локального шага по времени. Это означает,
что в разных ячейках сетки расчет проводится с разными значениями шага
по времени, определяемыми локальными условиями устойчивости.
Этого было недостаточно для эффективного использования в
практических расчетах, и перед автором настоящей работы была
поставлена задача: в рамках технологии «Электронной аэродинамической
трубы» (с использованием уже разработанных функций, алгоритмов и
настроек) ускорить получение стационарных решений.
8
Один возможный подход к решению задачи – это многосеточные методы
(multigrid [22] [23]), другой подход – использование неявной схемы. В
работе автора был выбран второй подход.
Современные неявные методы решения стационарных задач
вычислительной аэродинамики, как правило, основаны на принципе
линеаризации зависимости от времени уравнений движения газа [21].
Значения параметров на неизвестном временном слое )1( n
представляются в виде uuu
FuFuF nnn
)()()( 1
, где nn uuu
1 ,
)( nuu
F
- некоторая аппроксимация матрицы Якоби, вычисляемая по
параметрам на известном временном слое nu. В результате,
аппроксимация уравнений движения сводится к системе линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно приращения параметров
u
(неявная схема в “дельта-форме” [24]). При решении трѐхмерных
уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса матрица такой СЛАУ имеет блочно
- ленточную структуру с несколькими ненулевыми блочными
диагоналями, разделенными многочисленными нулевыми диагоналями.
Существующие методы решения таких СЛАУ можно подразделить на два
больших класса.
В первом классе методов СЛАУ для u
не упрощается. Несколько “шагов
по времени” с точным решением СЛАУ при бесконечно больших шагах по
времени эквивалентны решению нелинейной стационарной системы
уравнений методом Ньютона, что обеспечивает квадратичную скорость
сходимости при наличии хорошего начального приближения [25]. Однако,
как правило, начальное поле сильно отличается от решения, поэтому
итерационный процесс приходится начинать с небольших шагов по
времени. При точном решении СЛАУ требуемые вычислительные ресурсы
9
неприемлемо велики [21]. Весьма употребительны различные версии
метода сопряженных градиентов [26] [27], среди которых особенно
эффективным является обобщенный метод минимальных невязок (GMRES
[28]) в безматричной реализации [29]. Однако в общем случае для таких
методов решающее значение имеет применение различных
предобуславливателей [30]. При решении “плохих” практических задач
эти методы не обеспечивают достаточную робастность [30].
Более простым в реализации является второй класс методов, основанный
на упрощении СЛАУ. В целом, методы этого класса можно подразделить
на методы факторизации, связанные с представлением матрицы системы в
виде произведения нескольких матриц специального вида, и методы,
связанные с представлением матрицы системы в виде суммы нескольких
матриц. Высокоэффективная схема первой группы была предложена в
работе [31]. Это так называемый метод переменных направлений (ADI),
при котором матрица системы факторизуется на три множителя,
связанные с численным дифференцированием в каждом из
пространственных направлений. Каждый множитель приводится к
системе, решаемой матричной прогонкой или даже рядом скалярных
прогонок. Однако метод ADI в трехмерном случае обладает условной
устойчивостью. Существует ряд других способов факторизации,
обладающих абсолютной устойчивостью, например, [32]. Во второй
группе схем, основанных на упрощении матрицы системы, используются
такие эффективные методы решения СЛАУ, как блочные методы Якоби и
Гаусса-Зейделя [33] и методы релаксации, среди которых особенно
популярен метод LU-SGS и его модификация LU-SSOR [34]. Как правило,
число итераций таких методов на каждом шаге по времени ограничивается
[21], так что решение упрощенной СЛАУ не находится, что не мешает
сходимости процесса в целом к стационарному решению. В отличие от
10
методов первой группы, методы этого типа легко обобщаются на
неструктурированные сетки [35]. Смена направления обхода ячеек
структурированной сетки, которая ускоряет сходимость метода Гаусса-
Зейделя, на неструктурированных сетках может быть успешно заменена
произвольной перенумерацией ячеек [36].
При упрощении СЛАУ неявной схемы существенную роль играет
сокращение шаблона схемы на неявном слое. Наиболее употребительным
способом для достижения этой цели является метод отсроченной
коррекции (deferred correction) [37], при котором неявный оператор,
применяемый к u
, аппроксимируется с первым порядком точности по
пространству на компактном шаблоне, и лишь в явном операторе
применяется аппроксимация высокого порядка на развѐрнутом шаблоне.
Метод отсроченной коррекции основан на том, что при приближении к
стационарному решению неявный оператор стремится к нулю, что
обеспечивает высокий порядок аппроксимации стационарного решения.
При этом использование неявного оператора первого порядка точности
повышает надежность схемы.
Неявный метод [38], предлагаемый в настоящей работе, основан на методе
отсроченной коррекции и использует для решения системы линейных
уравнений блочный метод Гаусса-Зейделя с перенумерацией ячеек. Этот
метод продолжает традиции отечественной школы вычислительной
аэродинамики, основанной С.К.Годуновым и его последователями.
Ключевым принципом этой школы является использование при
аппроксимации системы дифференциальных уравнений ее
математических свойств, и прежде всего - учет направления
распространения информации. В явной схеме Годунова [6] для этой цели
впервые была использовано решение задачи Римана о распаде
произвольного разрыва. Однако неявная схема, предложенная в
11
классической книге С.К.Годунова с соавторами [6], не относится к этому
классу. Не относится к этому классу и базовый вариант метода ADI [31].
Однако уже в одной из последующих работ авторов ADI [32] был
предложен метод ADI с учетом направления распространения
информации, основанный на расщеплении вектора потоков. Родственными
к работе [32] являются классические отечественные работы [12], [13]. В
этих работах также используется подход ADI, однако матрицы Якоби
конвективных потоков аппроксимируются на гранях ячеек, а в явном
операторе используется нелинейная схема Годунова второго порядка
аппроксимации. Линеаризация Роу [39] признана оптимальным
компромиссом между точностью и эффективностью при вычислении
параметров на гранях ячеек [21]. В работах [14], [40], [41] описана неявная
схема, основанная на решении задачи Римана, которая не использует
факторизацию неявного оператора, с решением СЛАУ блочным методом
Гаусса-Зейделя. Неоценимые консультации по своему опыту применения
подобных схем дали автору разработчики программы КоБра [15].
При построении неявных методов для решения уравнений Рейнольдса,
замкнутых дифференциальной моделью турбулентности, возникает
проблема выбора аппроксимации источников, связанных с производством
и диссипацией турбулентности. Нередко для источников используется
неявная аппроксимация; но следует учитывать возможные случаи
неустойчивости, описанные в [21]. В работе [42] предложена абсолютно
устойчивая схема, в которой для производства турбулентности
используется явная аппроксимация, а для диссипации – неявная. В
настоящей работе используется другой метод, основанный на анализе
собственных чисел матрицы Якоби источников. Этот метод был
сформулирован автором самостоятельно как логическое развитие идей,
изложенных в [10]. Впоследствии автору стало известно, что аналогичный
12
подход был предложен в работе [43], где сообщается, что он обеспечивает
более быструю сходимость, чем метод [42].
Главной оригинальной особенностью численного метода [38], который
будет описан ниже, является локальный выбор явной или неявной схемы и
способа осуществления шага по времени (глобальный, локальный) в
зависимости от соотношения между заданным глобальным шагом по
времени и локальным условием устойчивости явной схемы. Далее будет
показано, что данный комбинированный подход позволяет существенно
ускорить получение стационарного решения по сравнению с методами,
использующими одну и ту же схему во всей расчетной области. Следует
отметить, что существует обширный класс методов зональной
декомпозиции [44], где в разных блоках расчетной сетки используются
разные численные методы. В отличие от методов этого класса, в
предлагаемом подходе выбор схемы определяется в каждой ячейке сетки
на основе локальных параметров численного решения; при этом удается
сохранить однородность алгоритма. Локальный выбор схемы
обеспечивает большую гибкость метода. Эффективность данного подхода
будет продемонстрирована на ряде тестовых задач. Близкий подход, но
содержащий ряд существенных отличий, был использован в работах
[45-48].
Помимо настоящего введения, диссертация включает 4 главы, заключение,
3 приложения и список использованных источников. Содержание работы
изложено на 154 страницах основного текста и 48 страницах приложения.
Список использованных источников содержит 117 наименований. В
работе содержится 49 иллюстраций в основном тексте и 13 в
приложениях.
13
В первой главе диссертации описана математическая постановка задачи.
Выписаны система уравнений Рейнольдса и замыкающие ее
дифференциальные модели турбулентности. Перечислены
рассматриваемые граничные условия.
Вторая глава диссертации посвящена выбору и анализу численного
метода для решения поставленной задачи. Рассматривается явная
численная методология, реализованная к началу данной работы в пакете
прикладных программ EWT-ЦАГИ. Для ускорения этой методологии
было принято решение разработать ее неявный аналог. Описываются
процедура и критерии выбора неявной схемы, включая результаты
предварительных тестов. Проводится анализ свойств (аппроксимация,
устойчивость и др.) выбранной неявной схемы для модельного уравнения.
Дано детальное описание схемы с линейным неявным сглаживателем для
уравнений Рейнольдса. Описываются численные граничные условия.
Вводится комбинированный метод с явной и неявной частью и выбором
заданной величины глобального шага по времени.
Третья глава посвящена тестированию разработанного метода. Точность
базового явного численного метода, реализованного в пакете прикладных
программ EWT-ЦАГИ, была проанализирована в работе [49]. Первая цель
тестирования – показать, что стационарное решение, полученное с
использованием предлагаемого комбинированного метода, совпадает со
стационарным решением, полученным по базовому явному методу.
Вторая и основная цель тестирования – демонстрация ускорения расчета
по сравнению с базовым численным методом, а также с
глобально-неявным методом. Для тестирования рассматриваются
классические тестовые задачи (пограничный слой на пластине, профиль
крыла, модель CRM “фюзеляж-крыло”), а также модельный тестовый
пример, основанный на расчете реального ЛА на практической сетке.
14
В четвѐртой главе предложенный численный метод применяется к
исследованию аэродинамики элементов вспомогательной силовой
установки (ВСУ) в компоновке с хвостовой частью фюзеляжа
магистрального самолѐта МС-21 на различных режимах полѐта. Целью
проведенных исследований являлось определение места расположения
створок ресивера на поверхности фюзеляжа самолѐта и решение задачи
согласования работы двигателя с воздухозаборником. Полную картину
может дать только совместное использование эксперимента и средств
вычислительной аэродинамики. Поэтому работа проводилась как
экспериментально, так и с применением разработанной вычислительной
методологии. Материалы использовались при проектировании
соответствующих агрегатов самолета МС-21. Работа проводилась по
заказу конструкторского бюро и описана в отчетах [50-55]. Эксперимент
проводился в аэродинамической трубе СВС-2 ЦАГИ. Дано описание
экспериментальной установки и средств измерений. Затем изложено
описание расчѐтных исследований обтекания хвостовой части фюзеляжа
самолѐта МС-21. По результатам этих расчетов проводится выбор
расположения створок ресивера ВСУ и определяется толщина
пограничного слоя на входе в ресивер. На основании расчетов полного
обтекания ЛА оценивается влияние формы фюзеляжа на условия течения в
окрестности входа в ресивер ВСУ. Далее проводится анализ физических
особенностей течения в воздухозаборном устройстве ВСУ. Делаются
рекомендации по выбору угла установки створки ресивера. Для оценки
точности численного моделирования течения в ресивере результаты
численного моделирования эксперимента в аэродинамической трубе
СВС – 2 сравниваются с экспериментальными данными. Затем
обсуждаются результаты трехмерного расчета реальной компоновки ВСУ
с хвостовой частью фюзеляжа и проводится сопоставление этих данных с
15
данными численного моделирования экспериментальной модели.
Наконец, анализируется применимость полуэмпирической методики
оценки потерь на входе в двигатель ВСУ и определяются коэффициенты
этой методики.
На защиту выносятся:
1. Модификация известной вычислительной методологии путем
внедрения в алгоритм неявной численной схемы с автоматическим
переключателем типа, позволяющей ускорить расчѐт стационарных
(в среднем) турбулентных течений вязкого газа.
2. Практические результаты, полученные при численном
моделировании работы воздухозаборника вспомогательной силовой
установки (ВСУ). Анализ физических особенностей течения в
ресивере ВСУ для разных режимов ее работы.
Личный вклад автора:
1. Модификация вычислительной методологии (программы) путем
применения комбинированной вычислительной схемы.
2. Демонстрация эффективности (ускорения) разработанной
программы путем проведения верификационных тестовых расчетов.
3. Подготовка и проведение расчетных исследований ВСУ как в
условиях аэродинамической трубы СВС-2, так и в компоновке с
фюзеляжем самолета МС-21.
4. Участие в эксперименте, подготовленном и осуществленном в АДТ
СВС-2 ЦАГИ, с обработкой, анализом и сопоставлением расчетных
и экспериментальных данных.
16
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Предложен комбинированный численный метод с автоматическим
переключателем для моделирования стационарных течений вязкого
сжимаемого газа, сочетающий локальное использование:
─ неявной схемы с заданным глобальным шагом по времени - в
областях, где глобальный шаг превосходит условие устойчивости
явной схемы;
─ явной схемы с локальным шагом по времени - в областях, где
заданный глобальный шаг не превосходит условие устойчивости
явной схемы;
─ и неявной схемы с локальным шагом по времени - в буферных
областях, удалѐнных от изучаемого тела.
2. Впервые в России проведѐн расчѐт полной компоновки ВСУ,
расположенной в хвостовой части самолета с учѐтом фюзеляжа и
ресивера и с последующей экспериментальной валидацией
расчетных данных. Данные испытаний модели воздухозаборника
ВСУ в АДТ СВС-2 ЦАГИ восполнены данными расчета
аэродинамики воздухозаборника натурной вспомогательной силовой
установки в компоновке с фюзеляжем.
Достоверность полученных результатов обосновывается:
1. Сопоставлением результатов расчетов с классическими решениями
(раздел 3.1).
2. Сопоставлением результатов расчетов с экспериментальными
данными (разделы 3.2 и 4.4).
3. Сопоставлением результатов расчетов с расчетными данными других
авторов (раздел 3.2).
4. Сопоставлением результатов расчетов, полученных с использованием
17
различных численных подходов (разделы 3.1, 3.2, 3.3, 3.4) и разных
физических моделей (раздел 3.2).
Практическая ценность работы состоит в следующем. Полученные в
результате работы технические решения приняты к исполнению при
прохождении макетной комиссии Инженерного центра им Яковлева ОАО
«Иркут». Разработанная численная методология внедрена в практику
расчетных работ в ЦАГИ. Разработанная автором программа COMGLEI
включена в пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ. Получено
свидетельство о государственной регистрации №2013610173 [56].
Апробация работы:
Материалы работы докладывались и обсуждались на 14 отраслевых и 5
международных конференциях [57-75].
Публикации. Результаты диссертации изложены в 3 печатных работах
[76] [38] [77].
В заключении автор хотел бы выразить глубокую благодарность к.т.н.
С.В. Михайлову и к.т.н. С.В. Матяшу за неоценимую помощь в разработке
программы «COMGLEI», а также с.н.с. В.Ф. Третьякову и в.и.к.
ОАО «Корпорация Иркут» Е.П. Быкову за помощь в проведении
исследований вспомогательной силовой установки самолѐта МС-21.
18
Глава 1. Математическая постановка задачи
1.1 Система уравнений Рейнольдса, замкнутая моделью
турбулентности (q-ω)
Прогресс в развитии авиации в последние годы в значительной степени
определяется оптимизацией аэродинамических обводов и применением
новых технических решений с использованием существенно нелинейных
режимов обтекания, требующих обязательного учѐта вязкости и состояния
пограничного слоя. К таким задачам можно отнести использование
больших углов атаки с управляемым отрывом потока, разработку
высоконесущих скоростных профилей с развитыми сверхзвуковыми
зонами с замыкающим скачком уплотнения, исследование технических
решений, основанных на взаимодействии интенсивных струй с
элементами планера и внешним потоком (задачи эжекции и
шумоглушения в соплах ТРДД, охлаждения элементов конструкции,
струйного управления вектором тяги, применение интенсивных щелевых
струй для управления обтеканием внешним потоком) и т.д.
Численное решение системы уравнений Рейнольдса (осреднѐнных по
времени уравнений Навье-Стокса) [10][21][78] позволяет детально
исследовать физическую картину течения, получить количественную
оценку параметров течения и аэродинамических характеристик,
исследовать влияние различных факторов и параметров. На основе этого
можно сформировать рекомендации по повышению эффективности
исследуемых технических решений и сэкономить время и объѐмы
необходимых экспериментов, а также облегчить понимание и трактовку
их результатов.
19
В результате, численное решение системы уравнений Рейнольдса для
моделирования реальных процессов как плоских, так и пространственных
течений, имеет большой практический и теоретический интерес.
Считается [18], что в настоящее время научная разработка методов расчѐта
с использованием осреднѐнной по Рейнольдсу (RANS) системы уравнений
Навье-Стокса (с замыканием в виде дифференциальной модели
турбулентности) в основном закончена. Это не означает, что работы в
данном направлении полностью остановлены. Тем не менее, основные
усилия научных школ направлены на развитие методов LES, с которыми
связывается будущее вычислительных работ [79]. Действительно,
опубликованные дифференциальные модели турбулентности [42], как
правило, настроены на решение узкого класса задач и их использование
правомерно только в рамках зонального подхода. Например, известная
модель (k-ω) [80] даѐт приемлемые результаты в пристеночных областях,
где имеется развитый турбулентный пограничный слой. Другая
популярная модель турбулентности (k-ε) [81-83] настроена для
использования в слоях смешения, и еѐ применение за пределами этих
слоѐв проблематично. Удачным решением является комбинированный
подход, использованный в модели SST [84], в котором происходит
плавный переход от модели (k-ω) к модели (k-ε) в зависимости от функции
удалѐнности твѐрдых стенок. Такой подход может быть применен и к
другим моделям турбулентности – например, к модели (q-ω) [85].
Рассмотрим произвольное течение газа. Вырежем в этом течении
фиксированный объем V : поверхность S этого объема неподвижна во
времени, и сквозь нее течет газ. Запишем для этого объема законы
сохранения массы, импульса и энергии.
20
Пусть a - количество произвольной физической величины в единице
объема газа. Тогда интегральный закон сохранения этой физической
величины можно представить в виде:
V
a
S
a
V
dVWsdFdVat
. (1)
В левой части этого уравнения стоит скорость изменения полного
количества величины a в объеме V . Правая часть описывает причины,
вызывающие это изменение:
1) потоки величины a сквозь поверхность S ( aF
- поток
величины a сквозь единицу площади в единицу времени, sd
- вектор
элемента площади, перпендикулярный поверхности);
2) локальные источники и стоки величины a ( aW - это
источниковый член, который описывает скорость возникновения или
расходования величины a за счет локальных источников и стоков).
Применив к интегралу по поверхности теорему Гаусса-Остроградского,
внеся производную по времени под знак интеграла (поскольку constV )
и устремив объем к нулю, получим дифференциальное уравнение,
выражающее этот закон сохранения:
aa
z
ay
ax W
z
F
y
F
x
F
t
a
. (2)
Здесь a
z
a
y
a
x FFF ,, - потоки величины a сквозь единичную площадку,
ориентированную перпендикулярно осям zyx ,, . Дифференциальное
уравнение (2) имеет более узкую область применимости, чем
интегральный закон (1), так как (2) неприменимо к разрывным течениям.
Подход О. Рейнольдса к описанию турбулентных течений [86]
основан на представлении всех параметров газа в виде
21
tratratra ,',,
, где
2
2
,1
,
Tt
Tt
draT
tra
. Интервал осреднения Τ
должен быть много больше характерного времени турбулентных
пульсаций, но много меньше характерного времени изменения среднего
течения [42].
Система уравнений Рейнольдса – это система уравнений для средних
параметров газа – температуры T , трех компонент скорости wvu ,, и
давления p ; она получается осреднением уравнений Навье-Стокса по
времени. В результате возникают дополнительные члены, связанные с
пульсациями. Для замыкания системы уравнений среднего течения
используются полуэмпирические модели турбулентности, которые
призваны так или иначе связать турбулентные потоки с параметрами
среднего течения. В настоящей работе, для определѐнности,
рассматривается только одна модель турбулентности - q модель
Коукли [85], [87], [88]. Эта модель включает два дополнительных
дифференциальных уравнения для следующих параметров
турбулентности:
q определяется как k , где 2/)( 222 wvuk - средняя
кинетическая энергия турбулентности. Параметр q измеряется в м/с и
пропорционален характерной величине пульсаций скорости
2222 '''' wvuV
.
определяется как k
, где
j
iij
x
u
1 - скорость диссипации
кинетической энергии турбулентности ( - плотность газа, ij - тензор
22
вязких напряжений). Этот параметр измеряется в Гц и пропорционален
характерной частоте турбулентных пульсаций.
Модель турбулентности q относится к классу
полуэмпирических моделей, основанных на гипотезе Буссинеска [89] о
том, что процессы турбулентного переноса подобны процессам
молекулярного переноса. Эта гипотеза позволяет использовать для
турбулентных потоков выражения с такой же структурой, как и для
молекулярных потоков.
В случае сжимаемого течения учѐт пульсаций плотности приводит к
необходимости применения осреднения по Фавру [90]:
tratratra ,,~,
, где
atra ,~ . Такое осреднение применяется ко
всем переменным, кроме плотности и давления, которые осредняются по
времени. В дальнейшем мы будем опускать знаки осреднения.
Система уравнений Рейнольдса, замкнутая моделью турбулентности
)( q , представляет собой систему законов сохранения (2), записанных
для величин консервативных параметров TqEwvuU ,,,,,,
.
Объединяя уравнения (2) для каждого компонента вектора U, получим
систему уравнений следующего вида:
Wz
F
y
F
x
F
t
u zyx
. (3)
Потоки вектора u
в системе Рейнольдса целесообразно разделить на
конвективные и диффузионные потоки: дифф
iконв
ii FFF
, где
23
,,, 2
2
2
w
wq
pwwE
pw
vw
uw
w
F
v
vq
pvvE
vw
pv
uv
v
F
u
uq
puuE
uw
uv
pu
u
F конвz
конвy
конвx
(4)
,
0
,
0
,
0
z
qz
kzzizi
zz
zy
zx
диффz
y
qy
kyyiyi
yz
yy
yx
диффy
x
qx
kxxixi
xz
xy
xx
диффx
T
T
TuI
I
I
I
F
T
T
TuI
I
I
I
F
T
T
TuI
I
I
I
F
(5)
Здесь были введены следующие обозначения:
TCkwvu
E V
2
222
- полная энергия единицы массы газа;
ijI - суммарный диффузионный поток i -й компоненты импульса в
направлении оси jx , т.е. сумма молекулярных и турбулентных потоков
импульса – вязких и турбулентных напряжений:
ij
i
j
j
iTij V
x
u
x
uqI
div
3
12
3
2 2; (6)
wIvIuIuI jzjyjxiji - работа вязких и турбулентных напряжений
при конвективном переносе газа;
j - суммарный диффузионный поток тепловой энергии вдоль jx :
j
p
T
Tj
x
TC
PrPr
, (7)
24
где pC - удельная теплоемкость газа при постоянном давлении,
9.0Pr,72.0Pr T ;
kjT - суммарный диффузионный поток кинетической энергии
турбулентности вдоль jx ; модель для этого потока описана в [10] [91];
qjT - суммарный диффузионный поток параметра q вдоль jx :
j
qT
Tqj
x
qT
Pr
; (8)
jT - суммарный диффузионный поток параметра вдоль jx .
jT
Tj
xT
Pr. (9)
Коэффициент молекулярной вязкости, входящий в (6)-(9),
вычисляется по формуле Сатерленда [92]. Коэффициент турбулентной
вязкости в модели )( q вычисляется по формуле
2
T
qFFC Dashwall , (10)
где 09.0C ,
Wwall
dqF 02.0exp1 – пристенная функция
( Wd – расстояние от данной точки до ближайшей твердой поверхности),
)2.0(73.24exp1
75.025.0
T
MFDash – поправка для учета эффектов
сжимаемости, которая основана на результатах работы [93] ( cqM /2T –
турбулентное число Маха, RC
RTCc
p
p
– скорость звука).
Вектор источниковых членов TSqSW ,,0,0,0,0,0
в правой
части системы (3) содержит ненулевые элементы только в уравнениях
25
модели турбулентности )( q . Источниковые члены qS и S
описывают локальные эффекты производства и диссипации
турбулентности; их удобно представить в следующем виде:
,)()(
,1
)(
2
CBAS
qCBAqS qqq (11)
где
.,0,||
,2
1,0,||
2
1
221211
2
CCBGFCFCCA
CBGFFCA
Dashwall
qqwallDashq
В отличие от оригинальной версии модели турбулентности )( q , в
данной работе используется коррекция к производству турбулентности,
предложенная в [94]. Эта коррекция позволяет существенно снизить
нефизичное перепроизводство турбулентности в существенно
нетонкослойных течениях (в частности, на скачках уплотнения и в
окрестности точек растекания при натекании потока на твердую
поверхность). Для этой цели производство кинетической энергии
турбулентности вычисляется по формуле 2
T ||GPk
, где G
–
“тонкослойная” часть градиента модуля скорости, полученная
проецированием градиента модуля скорости ||Vg
на направление e
,
перпендикулярное преимущественному направлению векторов
приращений скорости в окрестности данной точки: geegG
, .
Автором модели )( q , Т.Коукли, разработаны две версии этой
модели турбулентности, одна из которых, опубликованная в работе [87],
лучше описывает свободную турбулентность, а другая, опубликованная в
26
работе [88], лучше описывает турбулентные пограничные слои. Эти
версии отличаются наборами коэффициентов.
1-й вариант модели )( q :
1Pr qT , 13.1Pr
T , 045.011 C , 395.012 C , 92.02 C ;
2-й вариант модели )( q :
2Pr qT , 2Pr
T , 055.011 C , 5.012 C , 833.02 C .
В работе [85] по аналогии с известной моделью SST Ментера [84]
было предложено использовать переходную функцию, которая близка к
единице на твердой поверхности и обращается в нуль в свободной
турбулентности. В качестве такой функции был использован упрощенный
вариант переходной функции из модели SST:
4
thWd
qF
.
Окончательные значения коэффициентов модели вычисляются по
формуле 21)1( FССFC , где 1C – любой коэффициент из 1-го
варианта модели )( q , а 2C – аналогичный коэффициент из 2-го
варианта этой модели турбулентности. Именно этот вариант модели
)( q используется в настоящей работе.
1.2 Математические свойства системы уравнений Рейнольдса
В системе уравнений Рейнольдса, замкнутой моделью
турбулентности )( q , можно выделить три группы членов, которые
очень сильно отличаются по математическим свойствам: конвективные
потоки, диффузионные потоки и источниковые члены.
27
Для анализа математических свойств конвективных потоков обычно
рассматривают систему уравнений вида (3), из которой выброшены
диффузионные и источниковые члены. В случае одномерного течения без
разрывов, когда все параметры изменяются только вдоль оси x, а вдоль
осей y и z, перпендикулярных оси x, течение равномерно: 0
zy, эта
система уравнений запишется в виде:
.0
x
F
t
u конвx
(12)
Далее проводится характеристический анализ матрицы Якоби
системы (12) .u
Fx
Известно, (см. например [78]), что эта матрица имеет
следующие собственные числа u5,4,3,2,1 (пятикратное), cu 6 ,
cu 7 . Поскольку все собственные числа этой матрицы действительны,
а все собственные векторы линейно независимы, система уравнений (12)
является гиперболической [10], т.е. описывает направленный перенос
возмущений вдоль характеристик. Система (12) имеет три семейства
характеристик: udt
dx (траектории газа), cu
dt
dx и cu
dt
dx
(траектории малых звуковых возмущений). Вдоль характеристик первого
семейства сохраняются инварианты Римана
pz 1 (энтропийный
инвариант), vz 2 , wz 3 , qz 4 и 5z ; вдоль характеристик второго и
третьего семейств – инварианты c
dpuz
7,6 соответственно [10] [78].
28
Если течение изэнтропично ( constp
во всѐм пространстве), то
1
25,4
cuz .
Диффузионные члены присутствуют во всех уравнениях системы
Рейнольдса, кроме уравнения неразрывности. Старшие производные в
этих уравнениях (производные второго порядка) связаны именно с
присутствием диффузионных членов.
Грубую оценку математических свойств уравнений Рейнольдса
можно провести, если рассматривать каждое из уравнений системы как
уравнение для какого-нибудь одного газодинамического параметра, а все
остальные параметры газа, входящие в это уравнение, - как заданные
переменные коэффициенты. Такой подход используется, например, в [10].
Например, если рассматривать уравнение неразрывности, как
уравнение для ρ, то это уравнение в одномерном нестационарном случае
можно представить в виде x
u
xu
t
. Поскольку в левой части
стоит гиперболический оператор, то это уравнение, как уравнение для ρ,
гиперболично. Уравнение для x -компоненты импульса в одномерном
нестационарном случае можно представить в виде
x
p
x
uu
x
u
xt
uT
)(
3
4. Если рассматривать это уравнение,
как уравнение для u , то оно параболично.
Результаты подобного грубого анализа уравнений Рейнольдса,
проведенного в [10], можно сформулировать следущим образом.
В стационарном случае система уравнений Рейнольдса может быть
отнесена к смешанному гиперболически-эллиптическому типу: уравнение
неразрывности гиперболично, остальные – эллиптичны (если
29
рассматривать их по отдельности, как уравнения для u , v , w , E , q , ).
Информация об одном параметре течения (возмущения )
распространяется направленно (вдоль линий тока), а информация об
остальных шести перечисленных параметрах передается во все стороны.
В нестационарном случае система уравнений Рейнольдса может быть
отнесена к смешанному гиперболически-парабоическому типу: уравнение
неразрывности гиперболично, остальные – параболичны. Информация об
одном параметре (возмущения ) распространяется направленно (вдоль
траекторий объемов газа). Информация об остальных шести параметрах
передается по пространству - во все стороны, а по времени – направленно
(из прошлого в будущее).
Для анализа математических свойств системы уравнений Рейнольдса,
связанных с присутствием источниковых членов модели турбулентности,
в работе [10] рассматривается система уравнений, в которой оставлены
только источниковые члены и лагранжевы производные вдоль траекторий
объемов газа ),(
V
tDt
D :
/)(/)(
,,S
qSW
quW
Dt
uD . (13)
Линеаризуем источниковые члены в окрестности некоторой точки
пространства-времени ),( 00 tr
:
)(),( 000 uuRWtrW
,
где u
WR
- матрица Якоби источниковых членов. Тогда решение
системы (13) имеет вид [10]:
, )()( 00 k
tkk
kezetutu
(14)
30
где ke
- собственный вектор матрицы 0R , соответствующий
собственному числу k этой матрицы, а 01
01
0 WRPz
, где P - матрица,
столбцами которой являются собственные векторы ke. В формуле (14)
используется лагранжево представление: под значением параметра в
момент времени t понимается значение параметра в этот момент времени
в том объеме газа, который в момент времени 0t находился в точке 0r
.
Таким образом, из-за присутствия источниковых членов в решении
системы уравнений Рейнольдса появляются моды, экспоненциально
меняющиеся со временем вдоль траекторий объемов газа (а в
стационарном случае – вдоль линий тока). Если 0k , то
соответствующая мода решения (83) затухает. Если 0k , то
соответствующая мода решения растет.
1.3 Постановка краевой задачи для уравнений Рейнольдса
(на примере задачи о моделировании работы
вспомогательной силовой установки в компоновке с
фюзеляжем)
В настоящей работе для получения стационарных решений уравнений
Рейнольдса используется метод установления. В начальный момент
времени задается некоторое начальное поле, не удовлетворяющее
граничным условиям (обычно задается равномерное поле с параметрами
набегающего невозмущенного потока и с условными пограничными
слоями постоянной толщины, “намазанными” на твердые поверхности).
Стационарное решение получается как предел нестационарной адаптации
течения к заданным граничным условиям. При таком подходе расчет
31
ведется на базе нестационарных уравнений Рейнольдса маршем по
времени (т.е. путем последовательного перехода от одного слоя constt к
следующему). Считается, что стационарное решение достигнуто, если в
течение контрольного периода все интегральные характеристики
обтекаемых тел (включая расход в контрольном сечении тракта силовой
установки) не выходят за границы заданного узкого “коридора”.
Для постановки корректной краевой задачи для системы уравнений
Рейнольдса будем пользоваться следующим принципом: если информация
о параметре газа поступает от границы внутрь расчетной области, то при
постановке краевой задачи параметр должен быть задан на границе, т.к.
эта информация влияет на течение внутри.
В случае невязкого течения, описываемого системой уравнений без
диффузионных и источниковых членов, информация передаѐтся вдоль
характеристик (сохранение инвариантов Римана). Соответственно, на
границе нужно задавать столько параметров, сколько инвариантов Римана
передаѐтся от границы внутрь расчѐтной области.
Пусть nV - проекция скорости на внешнюю нормаль к границе
расчетной области, а cVM nn / - число Маха по нормали к границе.
Рассмотрим самые распространѐнные варианты границ:
1. Граница сверхзвукового вытекания потока ( 1nM ). Все
инварианты передаются изнутри расчѐтной области. На границе не
нужно задавать ни одного параметра.
2. Граница дозвукового вытекания потока ( 10 nM ). Внутрь по
характеристикам cVdt
dnn передаѐтся один инвариант
1
27
cVz n . На границе нужно задавать один параметр газа,
32
который вместе с инвариантами, приходящими из расчѐтной
области, позволяет однозначно определить входящий от границы
инвариант. Часто задают давление.
3. Граница дозвукового втекания потока ( 01 nM ). Внутрь по
характеристикам cVdt
dnn и nV
dt
dn передаѐтся шесть
инвариантов: /1 pz , 12 Vz , 23 Vz ( 1V и 2V - компоненты
скорости, касательные к границе расчетной области), qz 4 ,
5z и 1
27
cVz n . На границе нужно задавать значения шести
параметров газа. Например, на входе в сопло часто задают
давление торможения, температуру торможения, параметры
турбулентности и накладывают условие 021 VV .
4. Граница сверхзвукового втекания потока ( 1nM ). Внутрь по
характеристикам передаются все инварианты. На границе нужно
задавать значения всех параметров потока.
5. Твѐрдая поверхность с непротеканием газа ( 0nV ). Внутрь по
характеристикам cVdt
dnn передаѐтся один инвариант
1
25
cVz n . На границе нужно задавать один параметр газа. Для
твѐрдой границы это условие 0nV .
Если в задаче присутствует молекулярная и турбулентная диффузия,
то, согласно выводам раздела 1.2, информация о шести параметрах
распространяется во все стороны. Значит, она гарантированно поступает
от границы внутрь расчетной области и, следовательно, шесть параметров
33
нужно задавать в любом случае. Что касается седьмого параметра, то
информация о нем передается вдоль траекторий объемов газа. Поэтому,
если газ втекает сквозь границу в расчетную область, седьмой параметр
тоже должен быть задан; а если вытекает, его задавать не надо.
В Таблице 1 сравнивается количество параметров, которые
теоретически требуется задать на границах различных типов в случае
системы уравнений Эйлера и в случае системы уравнений Навье-Стокса.
Таблица 1. Количество параметров, которые нужно задать на границе
Тип
границы
Вытекани
е,
Mn>1
Вытекание
,
0<Mn<1
Втекание
,
-1<Mn<0
Втекание
,
Mn<-1
Твердая
стенка
уравнения
Эйлера
0 1 6 7 1
( 0nV )
уравнения
Рейнольдса
6 6 7 7 6
( ,0 qwvu
0/ nT1, 0/ n)
Однако в работе [10] показано, что из-за постепенного затухания
возмущений при диффузионном переносе область влияния границы,
обусловленного диффузией, является конечной. В [10] дана оценка
размера этой области - диффL . Если внешняя граница удалена от
интересующей области течения на расстояние большее, чем диффL , то на
такой границе краевые условия можно ставить так же, как и для невязкого
1 Для примера приведено условие равенства нулю теплового потока
(теплоизолированная твердая стенка).
34
течения. Исключение составляют твѐрдые границы (поверхности
обтекаемых тел), которые находятся внутри интересующей нас области
течения. Здесь пренебречь влиянием диффузии нельзя. На таких границах
нужно задавать шесть параметров. На твѐрдых стенках они известны.
Например, на теплоизолированной стенке необходимо, чтобы все три
компоненты скорости были равны нулю (прилипание) и чтобы нулю был
равен тепловой поток через стенку ( 0/ nT ). Из-за прилипания должны
обнулиться и пульсации скорости на стенке, поэтому там следует задать
0q . В работе [95] для модели )( q рекомендовано задавать на стенке
0/ n .
Рассмотрим в качестве примера постановку краевой задачи для
моделирования работы вспомогательной силовой установки (ВСУ),
которая исследована в Главе 4.
ВСУ представляет собой небольшой газотурбинный двигатель
(рис.1). Его тракт включает обычные элементы подобных двигателей –
воздухозаборник, компрессор, камеру сгорания, турбину и выпускное
устройство. Однако, в отличие от обычных турбореактивных двигателей,
турбина ВСУ рассчитывается таким образом, чтобы практически
полностью воспринять импульс потока, поскольку ВСУ не предназначена
для создания тяги, а предназначена для генерации электроэнергии и
обеспечения самолѐтных систем сжатым воздухом. Соответственно,
выпускное устройство также разрабатывается таким образом, чтобы
обеспечить не разгон потока, а наименее возмущенный выхлоп
отработанного воздуха.
Вспомогательная силовая установка в настоящее время обычно
располагается в хвостовой части фюзеляжа пассажирского самолѐта. Вход
в ВСУ может быть погружен в развитый турбулентный пограничный слой,
35
нарастающий на всей длине фюзеляжа. Для эффективной работы ВСУ
необходимо обеспечить низкие скорости и макисмальную равномерность
потока на входе в двигатель. Поэтому распространена ресиверная
компоновка входного устройства ВСУ, при которой воздух забирается из
потока, обтекающего фюзеляж, через отверстия в корпусе ЛА,
прикрываемые поворотными створками. Воздух тормозится перед
створками и входит в ресивер – полость в корпусе фюзеляжа, которая
имеет достаточно большие размеры по сравнению с входными
отверстиями в корпусе. В ресивере поток выравнивается и его
неоднородность снижается. В глубине ресивера расположен патрубок
воздухозаборника двигателя ВСУ, через который воздух попадает в
компрессор.
Рисунок 1. Схема компоновки ВСУ в корпусе ЛА
36
Для моделирования работы ВСУ необходимо воспроизвести
обтекание всего ЛА в целом, чтобы получить правильную структуру
пограничного слоя перед входом в ресивер ВСУ. Соответственно,
расчетная область должна включать поверхность всего ЛА (рис.2). На всей
поверхности ЛА ставится описанное выше граничное условие
теплоизолированной стенки с прилипанием потока.
Рисунок 2. Общий вид расчетной области для моделирования ВСУ
При моделировании обтекания ЛА на крейсерском режиме полета
)8.0( M внешняя граница расчетной области удаляется от поверхности
ЛА на расстояние нескольких длин фюзеляжа. Это расстояние намного
превосходит характерный размер области влияния границы за счет
диффузии диффL , поэтому на внешней границе ставятся “невязкие”
граничные условия, основанные на анализе числа Маха по нормали к
границе (см. выше). Инварианты Римана, входящие через границу внутрь
расчетной области, вычисляются по параметрам невозмущенного потока
на бесконечности.
В настоящей работе участок тракта ВСУ, содержащий компрессор,
камеру сгорания и турбину, исключается из расчетной области, а в
37
выходном сечении воздухозаборника ВСУ и во входном сечении
выпускного устройства ВСУ ставятся специальные граничные условия –
“активные диски” [96] – см. рис.1.
Входное сечение выпускного устройства является границей
дозвукового втекания потока в расчетную область. Предполагается, что
тангенциальная составляющая скорости газа на входе в выпускное
устройство равна нулю. Задаются давление торможения и температура
торможения, а также параметры турбулентности ,q для потока,
прошедшего турбину ВСУ. Параметры потока во входном сечении
выпускного уструйства полагаются равномерными по сечению. Тогда в
качестве единственного параметра, информация о котором приходит на
границу изнутри расчетной области, используется расход газа exitG ,
который получается интегрированием по внутренним ячейкам расчетной
области, прилегающим ко входу в выпускное устройство. Указанная
информация достаточна для определения параметров потока во входном
сечении выпускного устройства.
Выходное сечение воздухозаборника является границей дозвукового
вытекания потока из расчетной области. Поэтому на этой границе должен
быть задан только один параметр потока. В качестве такого параметра
задается расход газа через выходное сечение (в предположении, что
параметры газа во входном сечении равномерны). Этот расход
принимается равным расходу через выпускное устройство ВСУ - exitG .
Для определения параметров газа в выходном сечении воздухозаборника
ВСУ используются давление торможения, температура торможения и
параметры турбулентности, осредненные по внутренним ячейкам
расчетной области, прилегающим к выходу из воздухозаборника.
38
Глава 2. Выбор и анализ численного метода для решения
поставленной задачи
2.1 Анализ некоторых схем на основе модельного уравнения
Система уравнений Рейнольдса – сложная нелинейная система
дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому для
сравнительного анализа свойств разных численных схем естественно
перейти от системы уравнений Рейнольдса к ее скалярному модельному
аналогу, который сохранял бы главные свойства этой системы.
Исследование свойств модельного уравнения необходимо на первом
этапе выбора численной схемы, однако, лежит вне основной струи данной
диссертационной работы, посвящѐнной практическому использованию
методов вычислительной аэродинамики. Поэтому в данном разделе дано
лишь общее описание проведѐнного анализа, а сам анализ находится в
Приложении 1.
Вначале в Приложении 1 проведено построение неявной численной
схемы для решения стационарных задач методом установления. Схема
строится методом конечного объѐма для модельного уравнения
,0),()(2
2
constuS
y
uu
yy
uu
xt
uvv (15)
где источниковый член )(uS и вязкость )(u - произвольные
нелинейные функции.
Уравнение (15) допускает непрерывное нетривиальное стационарное
решение в невязком случае (при 0v , 0)( uS , 0)( u ) – веер
разрежения, ограниченный характеристиками Ludx
dy v и
Rudx
dy v .
39
Кроме того, при 0v , 0)( uS , constu )( уравнение (15)
допускает нетривиальное стационарное решение типа пограничного слоя.
Неявная схема для решения стационарных задач методом
установления строится на основе следующих принципов:
1) по крайней мере, для линейного случая построенная
аппроксимация должна быть абсолютно устойчивой;
2) поскольку в стационарном пределе зависимость от времени
исчезает, достаточно ограничиться первым порядком аппроксимации по
времени;
3) в стационарном пределе, когда 0
t, неявная схема должна
совпасть с базовой явной схемой.
В базовой явной схеме [10] все потоки вычисляются на явном слое, а
для источниковых членов записывается полунеявная (второго порядка)
аппроксимация. Аппроксимации конвективных потоков в явной схеме
основаны на точном решении задачи Римана о распаде разрыва.
Аппроксимации диффузионных потоков основаны на центрально-
разностной формуле для вычисления производной. Для источникового
члена используется полунеявная аппроксимация с линеаризацией.
Исходя из принципа 1, мы вычисляем все потоки на неявном слое, т.к.
чисто неявная аппроксимация потоков, как правило, является абсолютно
устойчивой. (Устойчивость полученной аппроксимации также
исследована в приложении 1.) Исходя из принципа 2, для решения
стационарных задач достаточно ограничиться двухслойной чисто неявной
схемой.
Введен оператор приращения параметров за шаг по времени:
nn
def
aaa 1. (16)
40
При приближении к стационарному решению все a должны
обращаться в нуль. Поэтому для того, чтобы стационарное решение
совпало с решением по явной схеме, необходимо, чтобы явная часть
аппроксимировалась точно так же, как и в явной схеме.
Неявная часть все равно должна в конце концов обратиться в нуль.
Единственное ее назначение – обеспечить устойчивость схемы в процессе
установления, когда используются большие шаги по времени. Поэтому
для неявной части можно использовать упрощенные аппроксимации,
чтобы облегчить и ускорить решение системы уравнений для 1n
iju , которая
возникает в неявной схеме.
Производится линеаризация приращений потоков, основанная на
принципе Роу. Матрица Роу фиксируется на явном слое. Аналогично,
значение вязкости в диффузионном члене также фиксируется на явном
слое.
Аппроксимация приращения источникового члена основана на его
линеаризации. Выбор аппроксимации должен диктоваться только
соображениями устойчивости. Для достижения абсолютной устойчивости
следует взять комбинацию явной и неявной схем, зависящих от знака
собственных чисел матрицы источников.
В итоге получается система линейных алгебраических уравнений для
нахождения вектора приращений. Для неѐ записывается итерационное
решение по методу Гаусса-Зейделя. По мере приближения к
стационарному решению зависимость от шага по времени пропадает. Если
обрывать итерации Гаусса-Зейделя на каждом шаге по времени до
осуществления полной сходимости к искомому значению приращений,
потребуется большее количество шагов для установления.
41
Также в приложении 1 приведѐн анализ явной и неявной схем с
использованием двух стандартных методов вычислительной
аэродинамики – метода дифференциального приближения и метода
Неймана.
Метод дифференциального приближения [97] связан с разложением
численного решения в ряд Тейлора. Обычно при использовании этого
метода ограничиваются анализом главного члена этого ряда, связанного с
погрешностями аппроксимации, или анализом нескольких старших членов
этого ряда. Поэтому он дает необходимое, но не достаточное условие
устойчивости схемы. Когда в задаче появляется физическая диффузия,
этот метод не срабатывает, т.к. физическая диффузия конкурирует с
численной. Зато этот метод работает в нелинейном случае; а главное, он
позволяет понять причины поведения схемы, объяснить, почему схема
устойчива, и в явном виде выделить слагаемое, не влияющее на решение,
но обеспечивающее устойчивость – неявный сглаживатель.
При помощи этого метода в Приложении 1 даны ответы на вопросы:
почему явная схема теряет устойчивость при числе Куранта 1CFL и
почему построенная неявная схема устойчива при описании
нестационарного развития течения с большими числами Куранта 1CFL .
Кроме того, показано, что неявная схема остается устойчивой при
приближении к стационарному решению, когда неявная часть схемы,
пропорциональная u , становится маленькой, и уравнение неявной схемы
все более и более приближается к уравнению неустойчивой явной схемы.
Метод Неймана [98] (известный также как метод рядов Фурье)
является наиболее универсальным способом точного определения
устойчивости схемы. Условие устойчивости, которое получается методом
Неймана, является не только необходимым, но и достаточным [98]. Кроме
того, метод Неймана позволяет количественно исследовать амплитудные и
42
фазовые ошибки схем. Но, к сожалению, его удается применить только к
линейным задачам.
При помощи этого метода в Приложении 1 доказана устойчивость
построенной неявной схемы в двумерном линейном случае.
Наконец, в Приложении 1 рассмотрена двумерная задача о
взаимодействии пограничного слоя и движущегося скачка уплотнения.
Используется модельное уравнение (15) при 0v , 0)( uS , constu )( .
Задача решается на многоблочной расчетной сетке. Расчѐтная область,
имеющая простую прямоугольную геометрию, разбита на четыре
одинаковых прямоугольных блока. На границах между блоками ставится
граничное условие joint. При этом граничном условии вычисления в
приграничных ячейках данного блока проводятся так, как будто в
приграничных ячейках соседнего блока используется тот же алгоритм
численной схемы, что и в ячейках данного блока.
Скачок уплотнения был задан таким образом, чтобы одна из границ
типа “joint” рассекала его пополам. Вторую границу он пересекал при
движении всем фронтом.
Сначала расчет был проведен с использованием неявной схемы во
всех блоках расчетной области. Поскольку рассматривается
нестационарное течение, используется неявная схема без линеаризации
приращений потоков. В расчетах не было обнаружено никаких эффектов,
связанных с разделением расчѐтной области на блоки. Таким образом,
данное граничное условие обеспечивает “прозрачность” границы для
численной схемы.
Далее был использован зональный подход, при котором верхние
блоки с равномерной сеткой рассчитывались по базовой явной схеме с
шагом по времени, который соответствовал максимальным ограничениям
43
для этой схемы (
4
,
2
maxmax
yдиффxконвh
u
h ). Нижние же блоки
рассчитывались по неявной схеме с тем же шагом по времени. При этом
из-за сильного сгущения сетки к пластине в этих блоках локальное число
Куранта достигало значения 1210 . В расчете не было обнаружено никаких
эффектов, связанных с тем, что в верхних и нижних блоках
использовались различные типы схем.
Эта тестовая задача показывает, что возможно использование разных
схем (явной и неявной) в разных ячейках расчетной области без
использования специальных алгоритмов, сопрягающих решение в “явной”
и “неявной” областях. Этот результат является основой для
комбинированного метода, который будет описан в п.2.7.
В следующем разделе построенная неявная схема будет применена к
полной системе уравнений Рейнольдса.
2.2. Базовый явный метод, основанный на схеме ГКР
К началу данной работы в пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ
был реализован явный численный метод для решения системы уравнений
Рейнольдса, замкнутой моделью турбулентности q-ω [85], [87], [88]–
см. (3)-(5). Подробное описание этого метода дано в Приложении 2; оно
основано на работах [10] и [16] [91]. В настоящем разделе будут лишь
кратко перечислены ключевые характеристики этой базовой явной схемы.
Численная схема строится в рамках конечно-объемного подхода.
Используются многоблочные структурированные сетки с
шестигранными ячейками. В ходе расчета используются параметры газа в
44
центрах ячеек сетки. В общем виде аппроксимация системы уравнений (3)
для ячейки с номером i может быть представлена в виде:
источники
in
потоки
E
E
i
nni
ni WF
Vuu
i
i
1 . (17)
Здесь nnn tt 1 - шаг по времени (индексом n нумеруются
временные слои constt ), iV - объем ячейки.
dtdsnFnFnFF
n
ni
i
t
t E
zzyyxxnE
1
1
- аппроксимация средних за шаг по
времени потоков вектора u
сквозь грань ячейки iE (ds - элемент
площади, );;( zyx nnnn
- единичный вектор внешней нормали к грани).
1
1n
ni
t
t Vin
dVdtWV
W
- аппроксимация осредненных за шаг по времени и по
объему ячейки источниковых членов.
Для описания конвективных потоков используется явная монотонная
схема Годунова-Колгана-Родионова (ГКР) [5][6][7][9], для описания
диффузионных членов – явная центрально-разностная аппроксимация с
модификацией для работы на неравномерных сетках, а для источниковых
членов – локально-неявная аппроксимация. Схема номинально имеет
второй порядок аппроксимации по пространству и времени.
Для совершения шага по времени в базовом явном методе
используется двухшаговая процедура предиктор-корректор [9]. На шаге-
предикторе потоки F
аппроксимируются по параметрам на явном
(известном) временном слое nt , а на шаге-корректоре – по параметрам на
слое 2/2/1 nnn tt . (Эти параметры определяются на шаге-предикторе.)
Источниковые члены на корректоре вычисляются на слое 2/1nt ; на
45
предикторе они не вычисляются, а используется их значение на слое 2/1nt ,
которое было найдено при совершении прелдыдущего шага по времени.
Данный явный численный метод обладает высокой надежностью и в
течение многих лет успешно применялся к решению разнообразных задач
практической аэродинамики. Однако для устойчивости необходимо вести
расчет с обобщенным числом Куранта CFL, меньшим единицы*. Это
приводит к слишком большим временам счета при решении стационарных
задач, особенно при моделировании турбулентных течений вязкого газа,
когда приходится вести расчет на сетках с ячейками, размер которых
отличается на четыре порядка величины или более. Поэтому актуальной
является повышение эффективности (ускорение) расчета.
В базовом явном численном методе для ускорения решения
стационарных задач используется технология локального шага по времени
[10] [99]. Опыт решения задач практической аэродинамики показал, что
эта технология не обеспечивает достаточного ускорения расчета. Поэтому
для ускорения решения стационарных течений была разработана неявная
схема. Эта схема описана в следующих разделах.
При выборе неявной схемы автор руководствовался принципами,
перечисленными в разделе 2.1. Важнейшим требованием является
сохранение точности получения стационарных решений, которую
обеспечивает базовый явный метод.
* Здесь и далее обобщенным числом Куранта CFL называется отношение шага по
времени в данной ячейке сетки к ограничению на шаг по времени для явной схемы
в этой ячейке.
46
2.3. Линеаризованная неявная схема на основе схемы ГКР
В качестве основы для ускорения базового явного численного метода
нужна неявная схема, которую можно было бы рассматривать как
дополнение к базовому явному методу и которая позволила бы сохранить
точность стационарных решений, обеспечиваемую базовым явным
методом. Желательно также, чтобы эта схема обеспечивала не слишком
сильный рост затрат на одну итерацию по сравнению с базовым явным
методом. После анализа литературы автор остановился на неявной
реалаксационной схеме для уравнений Навье-Стокса, предложенной в
работах [14][40][41]. Схема [14] с некоторыми дополнениями
используется для получения стационарных решений системы уравнений
Рейнольдса в различных программах ЦИАМ, в т.ч. – в известной
программе КоБра [15].
Поскольку интерес представляет только стационарное решение
уравнений Рейнольдса, данная неявная схема имеет первый порядок по
времени. Потоки и источниковые члены в уравнении (17)
аппроксимируются по параметрам на неявном (неизвестном) временном
слое 1nt :
источники
ni
n
потоки
E
nE
i
nni
ni WF
Vuu
i
i
111
. (18)
Линеаризация потоков позволяет представить их в виде:
NBRNBRiinEside
E
nE
nE uAuAFu
u
FFF
i
i
ii
1 . (19)
Здесь и далее оператор обозначает приращение параметров за один
шаг по времени: nn aaa 1 . sideu
- приращение вектора
47
консервативных параметров на грани ячейки, iu
- в текущей ячейке, а
NBRu
- в соседней ячейке, расположенной по другую сторону от данной
грани текущей ячейки. iA и NBRA - некоторые матрицы, вычисляемые по
параметрам на явном слое. Проведя также линеаризацию источниковых
членов в текущей ячейке i , представим неявную схему (19) в виде:
n
in
E
nE
i
n
E
NBRNBRii WFV
uRuR
i
i
i
. (20)
Для системы уравнений Рейнольдса, замкнутой моделью
турбулентности )( q , матрицы iR и NBRR имеют размерность 7×7. Из-за
присутствия NBRu
уравнение (20) для данной ячейки связано с
аналогичными уравнениями для соседних ячеек. Таким образом, (20)
представляет собой набор из 7 строчек системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ), имеющей размерность N7 ( N - число ячеек в
текущем блоке расчетной сетки). Многоблочный случай рассматривается
далее при обсуждении граничных условий (раздел 2.5). Каждой ячейке
текущего блока расчетной области соответствует набор из 7 строчек вида
(7). В случае трѐхмерных уравнений Рейнольдса, замкнутых моделью
турбулентности )( q , получающаяся система линейных алгебраических
уравнений (20) имеет ленточную матрицу, с количеством ненулевых
диагоналей, соответствующим шаблону схемы на неявном слое. Если
потоки на неявном слое удается представить в виде (19), то шаблон схемы
содержит 7 ячеек на неявном слое. Таким образом, матрица СЛАУ
содержит 7 ненулевых диагоналей, элементами которых являются
заполненные блоки размерности 7×7. Ненулевые диагонали располагаются
в матрице не подряд, а с разрывами, определяемыми сдвигом индекса i
между текущей ячейкой и ее соседями.
Для сравнения рассмотрим аналогичную запись базовой явной схемы:
48
n
in
E
nE
i
n
i WFV
u
i
i
. (21)
В неявной схеме (20) можно выделить слагаемые, отличающие еѐ от
явной схемы (21):
частьявнаяльсглаживатенеявный
)( ni
n
E
nE
i
n
E
NBRNBRiii WFV
uRuIRu
i
i
i
. (22)
Здесь I - единичная матрица.
Дополнительные члены, содержащие iu
и NBRu
, обеспечивают
устойчивость схемы, сглаживая возмущения, порождаемые неустойчивым
при больших шагах по времени явным оператором (см. Приложение 1).
Далее эти дополнительные слагаемые будут называться неявным
сглаживателем.
При сходимости к стационарному решению неявный сглаживатель
исчезает, т.к. 0 iu
. Если использовать в явной части схемы ту же
аппроксимацию потоков и источников, что и в базовом явном методе, то
стационарное решение, полученное по схеме (3), совпадет с решением,
полученным по базовому явному методу. Таким образом,
удовлетворяются все требования к неявной схеме, которые были
поставлены в пункте 2.1.
Для решения СЛАУ (20) в схеме [14][15] используется поблочный
итерационный метод Гаусса-Зейделя [33]. Это просто означает, что для
приращений параметров в соседних ячейках ( NBRu
) используется
последние найденные в ходе итераций значения. Поэтому для нахождения
нового итерационного значения приращения параметров в текущей ячейке
( iu
) достаточно обратить матрицу iR размером 7×7. Для этого
49
применяется метод LU-разложения с неполным выбором ведущего
элемента [100].
Использование поблочного метода Гаусса-Зейделя обеспечивает
минимальный рост вычислительных затрат на одну итерацию по
сравнению с явной схемой.
2.4. Особенности реализации неявной схемы
В ходе практической реализации неявного численного метода
использовались лишь основные идеи схемы [14][15], описанные в
предыдущем разделе. Построенный неявный метод в своих деталях
неизбежно отличается от метода, реализованного, например, в программе
КоБра [15], - по следующим причинам:
1. При построении явного оператора схемы (22) используются те же
способы аппроксимации потоков и источниковых членов, что и в
базовом явном численном методе, который реализован в пакете
прикладных программ EWT-ЦАГИ (см. раздел 2.2) и который
содержит отличия от методов, используемых в ЦИАМ.
2. Численный метод расписывается применительно к системе уравнений
Рейнольдса, замкнутой моделью турбулентности )( q , которая не
используется в ЦИАМ.
3. Некоторые детали аппроксимации уравнений в схеме [14][15] не были
опубликованы. Поэтому некоторые элементы неявного сглаживателя
были разработаны автором самостоятельно с учетом обзора
имеющейся литературы по вычислительной аэродинамике.
Перечислим важнейшие особенности реализации неявной схемы.
50
Особенности аппроксимации конвективных потоков
Вектор диффузионных потоков через грань ячейки iE имеет
следующий вид (см. (17) и (4)):
,
Q
QH
psQw
psQv
psQu
Q
sFsFsFF z
y
x
zконв
zyконвyx
конвx
конвEi
(23)
где nSssssiEzyx
);;( - вектор внешней нормали к грани ячейки,
модуль которого равен площади к грани, zyx wsvsusQ -
конвективный поток массы через грань ячейки, /pEH - полная
энтальпия единицы массы газа.
При построении неявного сглаживателя используется линеаризация
потоков – см. (19). Для линеаризации конвективных потоков использован
известный метод Роу [39].
Конвективные потоки через грань iE , согласно [14][15], запишем в
линеаризованном виде:
nE
nE
nE
n
Eконв
iiiiCuAF
11 , n
EnE
nE
nE iiii
CuAF
,
где матрица Роу nEi
A и вектор nEi
C считаются постоянными на
данной грания ячейки в течение всего шага по времени. Матрицы Роу для
конвективных потоков системы уравнений Рейнольдса, замкнутой
моделью турбулентности )( q , выписаны в Приложении 3.
Тогда приращение вектора конвективных потоков будет равно
nE
nE
n
Eконв
iiiuAF
. (24)
51
Величины на гранях nEi
u
, 1nEi
u
и их приращения nE
nE
nE iii
uuu
1
могут быть найдены из решения задачи Римана о распаде произвольного
разрыва методом Роу [39]:
2)(sign
2ii
i
ii
i
E
nLE
nRn
E
E
nLE
nRn
E
uuA
uuu
,
2)(sign
2
1111
1
n
ELn
iERnE
n
ELn
iERnE
i
i
i
i
uuA
uuu
.
В этих формулах Lu
и Ru
- векторы консервативных параметров
слева и справа от грани ячейки (направление RL совпадает с
направлением увеличения индексов структурированной сетки);
1signsign PPAdef
, где nE
def
iAPP
1 ; P - матрица, столбцами которой
являются собственные векторы матрицы Роу nEi
A ; - диагональная
матрица собственных чисел матрицы nEi
A . Тогда приращение вектора u
представится в виде:
2)(sign
2ii
i
ii
i
ELERnE
ELER
E
uuA
uuu
. (25)
Чтобы получить неявную схему первого порядка, будем брать Lu
и
Ru
из центров ячеек, прилегающих к данной грани. Для левых граней
(внешняя нормаль к которым направлена в сторону уменьшения индексов
ячеек структурированной сетки) возьмем NBREL uui
, iER uu
i
, а для
правых граней (внешняя нормаль к которым направлена в сторону
увеличения индексов ячеек структурированной сетки) - iEL uui
,
NBRER uui
. (Напомним, что индекс NBR обозначает соседнюю ячейку,
имеющую общую грань iE с ячейкой i.)
52
Подставим (25) в (24) и учтем, что ||sign nE
nE ii
AAA , где
1|| PPA
defnEi
, || - диагональная матрица, у которой на диагонали
стоят модули собственных чисел матрицы Роу nEi
A .
Пусть iE - грань ячейки, внешняя нормаль к которой направлена в
сторону увеличения индексов ячеек структурированной сетки. Для таких
граней получим следующую аппроксимацию конвективных потоков:
NBR
nE
nE
i
nE
nEn
Eконвn
Eконв u
AAu
AAFF iiii
ii
2
||
2
||1. (26)
Аналогично, пусть iE - грань ячейки, внешняя нормаль к которой
направлена в сторону уменьшения индексов ячеек структурированной
сетки. Для таких граней получим следующую аппроксимацию
конвективных потоков:
NBR
nE
nE
i
nE
nEn
Eконвn
Eконв u
AAu
AAFF iiii
ii
2
||
2
||1. (27)
Введем параметр iEsig , который равен (+1) для граней iE и (-1) для
граней iE .Тогда аппроксимации (26), (27) можно записать одной
формулой:
NBR
nEE
nE
i
nEE
nEn
Eконвn
Eконв u
AsigAu
AsigAFF
iiiiii
ii
2
||
2
||1. (28)
Следует подчеркнуть, что аппроксимация (28) имеет вид (19).
Матрица Роу nEi
A по структуре совпадает с матрицей Якоби
конвективных потоков u
F конвEi
. Все ее элементы могут быть вычислены
через параметры из набора T;;;;; qHwvuf
. Эти параметры
вычисляются путем специального осреденения [39] параметров на явном
53
(известном) временном слое n в ячейках, расположенных слева и справа
от грани iE :
nR
nL
nR
nR
nL
nL ff
f
, (29)
где f - любой параметр из набора T;;;;; qHwvuf
.
По матрицам nEi
A однозначно вычисляются матрицы 1||
PPAnEi
.
Удобно вычислять не матрицу Роу nEi
A , а сразу собственные векторы и
собственные числа. Все компоненты этих матриц вычисляются на явном
слое. Матрицы выписаны в Приложении 3.
Конвективные потоки на явном слое nEконв
iF
в (28)
аппроксимируются при помощи нелинейной схемы Колгана 2-го порядка
по пространству [7]. Вместо функции-лимитера Колгана (minmod)
используется менее диссипативный лимитер Ван-Лира [101] в векторной
версии [10] [102]. Эта аппроксимация конвективных потоков совпадает по
структуре с аппроксимацией конвективных потоков на шаге-корректоре
базовой явной схемы [10]. Отличие между ними заключается в том, что в
базовой явной схеме эта аппроксимация применяется на слое )2/1( n , а
здесь – на явном слое n . При сходимости к стационарному решению,
когда зависимость от номера временного слоя исчезает, эти
аппроксимации становятся одинаковыми.
Особенности аппроксимации диффузионных потоков
Вектор диффузионных потоков через грань ячейки iE имеет
следующий вид (см. (17) и (5)):
54
,
)(
0
n
qn
knnznynxn
zn
yn
xn
zдифф
zyдиффyx
диффx
дифф
E
T
T
TwIvIuI
I
I
I
sFsFsFFi
где nSssssiEzyx
);;( - вектор площади-нормали к грани ячейки,
zizyiyxixin sIsIsII (см. (6)), zzyyxxn sss (см. (7)),
zq
zyqyx
qx
qn sTsTsTT (см. (8), zzyyxxn sTsTsTT (см. (9)),
zk
zykyx
kx
kn sTsTsTT .
Представляем вектор диффузионных потоков на неявном
(неизвестном) временном слое )1( n в виде:
.1 диффn
Eдиффn
Eдифф FFF
ii
(30)
Для диффузионных потоков на явном слое nEдифф
iF
используется
аппроксимация 2-го порядка по пространству, которая по структуре
совпадает с аппроксимацией этоих потоков в базовой явной схеме [10],
только все параметры берутся на явном (известном) слое n .
В величины inI , n , qnT и
nT входят коэффициенты молекулярной
вязкости и турбулентной вязкости T , “турбулентное давление” 2
3
2q
(см. (6)) и всевозможные производные вида x
f
,
y
f
,
y
f
, где f -
компоненты усеченного вектора примитивных переменных
T);;;;;( qTwvuf
. При построении аппроксимации для приращений за
шаг по времени диффF
производится линеаризация величин inI , n , qnT и
55
nT относительно производных
x
f
,
y
f
,
y
f
, для чего коэффициенты
молекулярной и турбулентной вязкости, а также “турбулентное давление”
замораживаются на явном слое n и вычисляются так же, как в базовом
явном методе [10]. Диффузионные потоки кинетической энергии
турбулентности knT , которые обычно малы по сравнению с остальными
потоками энергии, замораживаются на слое n целиком, так что их
приращения полагаются равнми нулю.
Уравнение энергии содержит также член )( wIvIuI znynxn ,
связанный с работой вязких и турбулентных напряжений (т.е.
диффузионных потоков импульса) при конвективном переносе газа со
скоростью wvu ;; . Линеаризация этого члена позволяет представить его
приращение в виде
.)()()(iiiiii
iiiiii
EnEznE
nEynE
nExn
EznnEEyn
nEExn
nEznynxn
wIvIuI
IvIvIuwIvIuI
Поскольку величины iEu ,
iEv , iEw связаны с конвективным
переносом газа, их следует вычислять так же, как и при вычислении
приращений конвективных потоков, то есть по методу Роу.
Поэтому приращение вектора диффузионных потоков (30)
целесообразно представить в виде
диффдиффn
Eдиффn
Eдифф FFFF
ii 21
1
, (31)
где
56
.
0
0
)()()(
0
0
0
0
,
)(
0
2
1
iiiiii
iii
EnEznE
nEynE
nExn
дифф
n
qn
nznnEyn
nExn
nE
zn
yn
xn
дифф
wIvIuI
F
T
T
IwvIvIu
I
I
I
F
Покажем, как производится аппроксимация приращений
диффузионных потоков, входящих в диффF1
, на примере приращения
диффузионного потока x -компоненты импульса xnI . При вычислении
этого приращения величина zxzyxyxxxxn sIsIsII линеаризуется
относительно производных скорости, для чего коэффициенты
молекулярной и турбулентной вязкости, а также “турбулентное давление”
замораживаются на явном слое n :
.)()(,)()(
,3
2
3
2
3
4)(
3
2)( 2
x
w
z
utI
x
v
y
utI
z
w
y
v
x
uqtI
nETxz
nETxy
nET
n
E
xx
ii
i
i
, (32)
Рассмотрим криволинейную систему координат ),,( , связанную с
индексными направлениями структурированной сетки. В этой системе
57
координат ось пересекает грань ячейки, а оси и касательны к
грани. Тогда производные x
f
,
y
f
,
y
f
можно представить в виде:
zyx
f
zyx
f
zyx
f
zyx
f
,,,,,,,,
.
Проведѐм упрощение – пренебрежѐм производными по
криволинейным координатам, касательным к граням. Это позволяет
представить диффузионные потоки в виде (19) и тем самым сокращает
шаблон схемы на неявном слое до 7 ячеек. Подобный подход использован,
например, в программе EDGE (Швеция, FOI) [103]. Для
iE
f
запишем
простейшую центрально-разностную аппроксимацию 1-го порядка
точности. Получим:
zyx
ffsig
zyx
f
zyx
f
iNBR
iNBRE
Ei
i,,,,,,
, (33)
где - расстояние между центром ячейки и центром грани iE .
Параметр iEsig равен (+1) для граней iE , внешняя нормаль к которым
направлена в сторону увеличения индексов ячеек структурированной
сетки, и равен (-1) для граней iE , внешняя нормаль к которым
направлена в сторону уменьшения индексов ячеек структурированной
сетки. Подставив (33) в (32), получим для )()( 1 nxn
nxnxn tItII
следующую аппроксимацию:
58
.)(3
2
)(3
2
)(3
4)(
iNBR
E
zx
iNBR
E
yx
iNBR
E
zyx
iNBR
nETE
xn
wwnx
nz
vvnx
ny
uunz
ny
nx
sigI
i
i
i
ii
Аналогично конструируются аппроксимации для ynI , znI . Таким
же способом получаются и приращения потоков тепла и параметров
турбулентности:
iNBR
iNBRp
E
n
E
Tturb
ET
Tlam
En
TTCn
zn
yn
xsig
i
zyx
i
i
i
PrPr
,
iNBR
iNBR
E
n
E
qT
TE
qn
qqn
zn
yn
xsigT
i
zyx
i
i
Pr
,
iNBR
iNBR
E
n
iET
TEn
i
zyxin
zn
yn
xsigT
Pr
.
В результате член диффF1
можно выразить через приращения
консервативных параметров в ячейках:
iiNBRNBREEдифф uuAsigF
ii
1 . (34)
Здесь u
fdef
- матрица преобразования от консервативных
переменных T ;;;;;; qEwvuu
к примитивным переменным
T);;;;;( qTwvuf
, а A - матрица коэффициентов, зависящих от
криволинейных координат. Заметим, что матрица преобразования не
квадратная - так же, как и матрица A . Квадратной матрицей будет их
произведение. Матрицы приведены в Приложении 3.
59
Теперь рассмотрим устройство диффF2
. Величины n
Exn iI )( , n
Eyn iI )( и
nEzn i
I )( берутся из аппроксимации диффузионных потоков на явном слое.
Как было сказано выше, величины iEu ,
iEv , iEw следует вычислять
по методу Роу. Поэтому следует извлечь эти величины из вектора
приращений консервативных переменных iEu
, вычисленного по
формуле (25). Тогда
.2
)(sign
2
)(sign
2
)(sign
2
)(sign
2
2
22
NBR
nEE
i
nEE
n
E
дифф
ER
nE
EL
nE
n
E
дифф
E
n
E
диффдифф
uAsigI
uAsigI
u
F
uAI
uAI
u
F
uu
FF
iiii
i
i
i
i
i
i
i
i
(35)
Матрица u
F дифф
2 приведена в Приложении 3.
Особенности аппроксимации источниковых членов
При использовании модели турбулентности q вектор
источниковых членов имеет вид TSqSW ,,0,0,0,0,0
. Выражения
для qS и S выписаны в разделе 1.1 – см. (11). Будем вычислять
коэффициенты qA , qB , qC , A , B , C по параметрам на известном
временном слое n . Тогда W
оказывается линейной функцией от двух
последних компонент вектора консервативных переменных u
- от q и от
(см. (11)). Эту функцию для ячейки i можно представить следующим
образом:
60
ni
n
i
ni uu
u
WuWuW
)()( ,
где матрица Якоби источниковых членов имеет вид:
000000
00000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
2qC
A
u
W
q
q
q
,
Здесь
q CBA
q
W
,
CB
W2
- собственные
числа этой матрицы.
Схема (18) аппроксимирует систему уравнений (13) в ячейке i на
неявном (неизвестном) временном слое )1( n . Для значения
источниковых членов на слое )1( n , которое используется в схеме (18),
можно предложить две аппроксимации: явную аппроксимацию
)()()( 1 OuWuW in
, (37)
и неявную аппроксимацию:
)()()( 21 Ouu
WuWuW
n
i
ni
ni
, (38)
Поскольку в схеме (18) для производной
1
n
it
u используется
аппроксимация )(11
Ouu
t
u ni
ni
n
i
, то обе формулы (37), (38) в
61
сочетании с этой аппроксимацией производной
1
n
it
u обеспечивают 1-й
порядок аппроксимации по времени. Это и требуется от схемы, которая
используется для получения стационарных решений.
В Приложении 1 применительно к модельному уравнению показано,
что неявная аппроксимация источниковых членов (38) не гарантирует
абсолютной устойчивости схемы. Источники порождают экспоненциально
растущие моды решения вида tke
, где k - собственные числа матрицы
(см. раздел 1.2, формула (14)). Неявная аппроксимация (38) абсолютно
устойчива только в случае, если все моды являются затухающими, т.е.
если 0q и 0 . Если есть растущие моды ( 0k ), то неявная схема
устойчива лишь при условии, что шаг по времени k /1 . Наоборот,
явная аппроксимация (37) абсолютно устойчива при описании растущих
мод, но условно устойчива при описании затухающих мод.
Однако схема для решения стационарных задач должна быть
абсолютно устойчивой хотя бы в линейном случае, чтобы обеспечить
потенциальную возможность использования сколь угодно больших
значений шага по времени для максимального ускорения сходимости к
стационарному решению. В настоящей работе абсолютно устойчивая
аппроксимация источниковых членов строится следующим образом.
Представим матрицу Якоби источниковых членов в виде
1
PP
u
Wn
i
, где - диагональная матрица собственных чисел
матрицы niuW
/ . Тогда источниковые члены аппроксимируются
следующим образом:
in
in
i uSWW
1 , (39)
62
где 1
2
|| PPS - матрица, соответствующая только отрицательным
собственным числам матрицы uW
/ .
Смысл аппроксимации (39) можно пояснить на примере линейной
системы уравнений без потоковых членов:
ni
n
i
ni
ni uu
u
WuW
t
u
)( .
Для данной системы уравнений схема (18)+(39) имеет вид:
uPPWu n
i
1
2
||
. (40)
Умножив (40) слева на 1P и введя замену переменных uPz 1 ,
представим данную численную схему в виде:
zWPz n
i
2
||1
.
Но эта система уравнений представляет собой набор независимых
друг от друга скалярных уравнений для каждой компоненты вектора z
:
kkk
k
ni
k zWPz
2
||1
.
Теперь видно, что для 0k используется неявная схема
kkk
ni
k zWPz
1 (которая при 0k абсолютно устойчива), а для
0k - явная схема k
ni
k WPz
1
(которая при 0k также абсолютно
устойчива). Получаем в линейном случае абсолютно устойчивую схему.
Аппроксимация (39) была предложена самостоятельно, но
впоследствии автор обнаружил, что такой же способ был использован в
работе [43].
Матрица S выписана в Приложении 3.
63
Особенности решения системы линейных уравнений
Подставив аппроксимации конвективных потоков (28),
диффузионных потоков (31), (34), (35) и источниковых членов (39) в (18),
представим неявную схему в виде (20), где
in
E
E
i
n
i SRV
IR
i
i
0 , (41)
2
)(sign
2
||20
nEE
n
E
дифф
iEE
nES
nE
Eii
i
ii
ii
i
AsigI
u
FAsig
AsigAR
,
2
)(sign
2
||2
nEE
n
E
дифф
NBREE
nES
nE
NBRii
i
ii
iiAsigI
u
FAsig
AsigAR
.
Как было сказано в разделе 2.3, система линейных алгебраических
уравнений (20) решается при помощи поблочного итерационного метода
Гаусса-Зейделя.
В общем случае, матрица системы (20) не удовлетворяет известным
достаточным условиям сходимости метода Гаусса-Зейделя [104]. Однако
на каждом шаге по времени решение системы линейных уравнений можно
не доводить до сходимости. При этом аппроксимация нестационарных
уравнений Рейнольдса теряется, но в конце концов все равно удается
достичь сходимости численного решения системы уравнений к
стационарному решению. Стационарное решение не зависит от точности
выполнения шага по времени и будет аппроксимировать стационарное
решение уравнений Рейнольдса со 2-м порядком. Подобный подход
использован и в [14], [15].
Если не доводить решение методом Гаусса-Зейделя на каждой
итерации до сходимости, то решение будет зависеть от выбора нумерации
64
ячеек. В одномерном случае информация будет распространяться в
направлении нумерации ячеек.
Рассмотрим пример – решение задачи Римана о распаде
произвольного разрыва с двумя симметричными волнами разрежения. Это
нестационарная задача, и при ограниченном количестве итераций за шаг
по времени ее численное решение рассматриваемым методом может быть
неправильным. Но для надежности алгоритма желательно проводить
итерации Гаусса-Зейделя так, чтобы численное решение хотя бы
качественно соответствовало точному.
Расчеты ведутся с небольшими значениями числа Куранта. На рис.3,а
представлено решение, которое получается, если выполнять на каждом
шаге по времени несколько однонаправленных итераций (с одинаковым
направлением обхода ячеек). Видно, что решение симметричной задачи
стало асимметричным. Если же менять направление обхода ячеек на
каждой итерации, то симметрия практически восстанавливается.
Сравнение расчетов с двумя разнонаправленными итерациями за шаг по
времени (рис.3,б) и с шестью разнонаправленными итерациями за шаг по
времени (рис.3,в) показывает, что в одномерных задачах можно
ограничиться двумя разнонаправленными итерациями метода Гаусса-
Зейделя на каждом шаге по времени.
65
Рисунок 3. Зависимость решения от направления обхода ячеек
Рисунок 4. Зависимость решения от числа Куранта
66
Рис.4 показывает, что качество описания нестационарного процесса
быстро ухудшается при увеличении числа Куранта. Но этого качества
и не требуется от схемы, которая предназначена для решения
стационарных задач.
В пространственных задачах для получения того же результата
приходится использовать шесть итераций метода Гаусса-Зейделя на
каждом шаге по времени:
1) итерация с последовательным обходом сечений constj , constk в
положительном направлении индексной оси i (здесь kji ,, - индексы,
используемые для нумерации ячеек на трехмерной
структурированной сетке);
2) итерация с последовательным обходом сечений constj , constk в
отрицательном направлении индексной оси i ;
3) итерация с последовательным обходом сечений consti , constk в
положительном направлении индексной оси j ;
4) итерация с последовательным обходом сечений consti , constk в
отрицательном направлении индексной оси j ;
5) итерация с последовательным обходом сечений consti , constj в
положительном направлении индексной оси k ;
6) итерация с последовательным обходом сечений consti , constj в
отрицательном направлении индексной оси k .
67
2.5. Особенности постановки численных граничных условий
Построенная неявная схема имеет минимальный шаблон на неявном
слое: в уравнении (20) для приращения параметров в данной ячейке i
используются только приращения параметров в ближайших шести
соседних ячейках, которые обозначены в (20) индексом NBR. Благодаря
этому проблема постановки граничных условий возникает только в
случае, когда данная ячейка i прилегает к границе блока расчетной
области. В этом случае нужно:
1. Вычислить поток на явном временном слое nEi
F
через грань ячейки,
расположенную на границе блока расчетной области. Для
определения этого потока используются те же численные граничные
условия, что и в базовом явном численном методе. Эти граничные
условия подробно описаны в работе [10] и здесь рассматриваться не
будут.
2. Определить приращение параметров в отсутствующей соседней
ячейке. Пусть это ячейка с номером bNBRNBR . Тогда в формулу
(20) подставляется bNBRu
, рассчитанное особым образом, в
зависимости от типа граничного условия.
Опишем специфические детали реализации каждого типа граничного
условия, которые предусмотрены в пакете прикладных программ
EWT-ЦАГИ.
1. Граница «joint» - граница регулярной стыковки двух соседних
блоков расчетной области (с непрерывными на границе сеточными
линиями). На каждой итерации метода Гаусса-Зейделя последовательно
обходятся все блоки расчетной области, и при работе в приграничной
68
ячейке i в качестве bNBRu
берется последнее найденное значение u
из
соответствующей приграничной ячейки соседнего блока. Таким образом,
метод Гаусса-Зейделя работает так же, как если бы совместно решалась
система линейных уравнений для всех ячеек всех блоков расчетной
области. Влияние многоблочной структуры сетки проявляется лишь в
специфическом порядке обхода ячеек (с последовательным обходом
блоков сетки).
2. Граница “connect” - граница нерегулярной стыковки двух
соседних блоков расчетной области (с непрерывными на границе
сеточными линиями). Заграничная ячейка заполняется
интерполированными параметрами из соответствующей ячейки соседнего
блока. В качестве bNBRu
берутся интерполированные приращения
параметров из ближайшей приграничной ячейки соседнего блока.
3. Граница “riemann” – внешняя граница расчетной области,
удаленная от обтекаемых тел. Опыт показал, что на такой границе можно
ставить явное граничное условие, т.е. полагать 0bNBRu
. Это не влияет
ни на устойчивость расчета, ни на скорость сходимости к стационарному
решению.
Для определения bNBRu
на границах остальных типов деалется
предположение, что значения параметров в заграничной ячейке линейно
связаны с параметрами в приграничной ячейке. Эта линейная связь может
быть представлена в виде Cuu iNBRb
bE , где bE - некоторая постоянная
матрица, а C
- некоторый постоянный вектор. Отсюда следует
iNBR uub
bE . Подставив это соотношение в (20), получим следующее
уравнение для приграничной ячейки i :
69
ni
n
E
nE
i
n
NBRNBR
NBRNBRiNBRi WFV
uRuRR
i
i
b
b
bE .
4. Граница “symmetry” – плоскость симметрии. В этом случае все
параметры, кроме нормальной к границе компоненты скорости, должны
совпадать с параметрами из приграничной ячейки, а нормальная к границе
компонента скорости отличается знаком. Этому соответствует матрица
1000000
0100000
0010000
00021220
00022120
00022210
0000001
zzzyzx
zyyyyx
zxyxxx
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
bE ,
где );;( zyx nnnn
- единичный вектор внешней нормали к границе.
5. Граница “solid_insulated” – теплоизолированная твердая стенка с
прилипанием потока. В этом случае предполагается, что отсутствующая
соседняя ячейка bNBR имеет нулевой объем, а ее центр расположен на
твердой стенке. Тогда все параметры в этой ячейке, кроме скорости и
характерной величины турбулентных пульсаций скорости (параметра
турбулентности q ), должны совпадать с параметрами из приграничной
ячейки, а скорость и q должны быть равны нулю. Этому соответствует
матрица, которая в безразмерных переменных записывается следующим
образом:
70
1000000
0000000
02112
0000000
0000000
0000000
0000001
2222
nnnnn
nnnn
qwvuT
qwvu
bE .
(Используется система обезразмеривания, в которой компоненты
скорости и величина q относятся к заданной характерной скорости потока
*V , энергия E - к 2*V , температура – к RV /2
* , где Ккг
ДжR
0654764.287 -
газовая постоянная для воздуха, а характерная частота турбулентности -
к ** / LV , где мL 1* .)
2.6. Комбинированный метод с явной и неявной частями
При проведении расчета с заданным глобальным шагом по времени
0t неявная схема (20) оказывается эффективной не во всей расчетной
области. Для примера на рис.5 показана сетка для расчета обтекания
модели CRM (Common Research Model, которая рассматривалась на
семинаре 4th AIAA CFD Drag Prediction Workshop в 2009 г.). При такой
структуре расчетной сетки (которая типична для практических расчетов)
максимальное обобщенное число Куранта (см. раздел 2.2), определяемое
мельчайшими ячейками, прилегающими к поверхности модели, составляет
5max 10CFL . При этом почти во всей расчетной области, кроме тонкого
слоя вокруг модели, локальное число Куранта оказывается меньшим
единицы. В этих областях более эффективным с вычислительной точки
71
зрения является расчет по явной схеме, т.к. она не требует вычисления
компонент матриц iR , NBRR и обращения в каждой ячейке системы из 7
линейных уравнений. Эффективность явной схемы с точки зрения
скорости сходимости к стационарному решению можно еще повысить,
применяя локальный шаг по времени [10] [99]. Напротив, при проведении
расчетов с использованием неявной схемы с большими значениями числа
Куранта в окрестности обтекаемых тел применение локального шага
оказывается в общем случае ненадежным, т.к. нарушения законов
сохранения, обусловленные локальным шагом по времени, при больших
значениях числа Куранта оказываются слишком большими. Это может
приводить к плохой сходимости или даже к неустойчивости расчета.
Рисунок 5. Расчетная сетка для моделирования течения
вокруг Common Research Model
Эти соображения приводят к идее комбинированного метода,
который и выдвигается на защиту в данной работе.
72
По локальным значениям числа Куранта все ячейки расчетной
области подразделяются на три группы. В каждой группе ячеек
выбирается тот подход, который с максимальной эффективностью
позволяет достичь стационарного решения.
В тех ячейках, где локальное число Куранта CFL больше единицы,
применяется неявная схема с заданным глобальным шагом 0t . Это
обычно области сгущения сетки, где расчет по явной схеме шел бы с очень
малым шагом по времени устi и был бы неэффективен.
В тех ячейках, где выполняется условие 11.0 CFL , применяется
базовая явная схема с локальным шагом по времени, равным устit .
Это заметно сокращает объем вычислений в ячейке. К тому же
обеспечивается максимально возможная величина шага по времени в
ячейке, а значит, более быстрая сходимость, чем при использовании
неявной схемы с 0t .
Наконец, в буферных зонах, удаленных от обтекаемых тел, где нужно
как можно быстрее прогнать и погасить все возмущения, применяется
неявная схема с большим и локальным шагом по времени, равным
устit 30 . Эта группа ячеек выделяется условием 1.0CFL .
На рис.6 для расчета обтекания модели CRM показаны области
использования разных типов схем.
73
Рисунок 6. Области использования разных типов схем
в расчете обтекания модели CRM.
При выбранном способе построения неявной схемы
комбинированный метод может быть реализован без существенных
изменений распараллеленного численного алгоритма.
Чтобы превратить неявную схему (20) в базовую явную схему,
достаточно выполнить следующие действия:
1. Положить в неявном операторе IRi ( I - единичная матрица),
0NBRR .
2. Провести в ячейке шаг-предиктор базовой явной схемы с
использованием параметров на явном (известном) временном слое n ,
74
определить параметры на временном слое )2/1( n и вычислить
явную часть схемы (сумму потоков и источниковых членов) по этим
параметрам.
Порядок вычислений при использовании комбинированного метода
показан на рис.7.
Рисунок 7. Порядок вычислений в комбинированном методе
Поскольку совершение шага по времени по явной схеме производится
с использованием только параметров на известном временном слое n , а
iu
находится за одну итерацию, то вычисления по явной схеме
проводятся лишь в ходе первой из шести итераций метода Гаусса-Зейделя.
На остальных итерациях “явные” ячейки пропускаются.
Рассмотрим работу комбинированного метода на границах стыковки
ячеек, в которых используются явная и неявная схемы. Пусть на данном
шаге по времени вычисления в ячейке с номером i ведутся по явной
схеме, а в соседней ячейке с номером NBR - по неявной. Тогда поток
через общую грань этих двух ячеек вычисляется в ячейке i на временном
слое )2/1( n , а в ячейке NBR - на временном слое n . Если теперь учесть,
75
что расчет в “явной” ячейке ведется с локальным шагом по времени,
равным устit , в во всех “неявных” ячейках первого типа – с
глобальным шагом по времени, равным 0t , то станет ясно, что поток
через общую грань “явной” и “неявной” ячеек вычисляется в ячейке i в
момент времени устi
ntt 2
1 , а в ячейке NBR - в момент времени
0 ntt . Эти моменты времени, вообще говоря, не совпадают. Поэтому
значения потока через эту грань в “явной” и “неявной” ячейках будут
различными и, следовательно, расчет будет проводиться с нарушением
консервативности (количества физических величин, выносимые через
данную грань из ячейки i , будут отличаться от количеств этих величин,
вносимых через данную грань в ячейку NBR ). Однако следует напомнить,
что в расчете по неявной схеме итерации метода Гаусса-Зейделя не
доводятся до сходимости. Поэтому аппроксимация нестационарного
процесса все равно теряется. Теряется и она в расчете по явной схеме с
локальным шагом по времени (т.е. с разными шагами по времени в разных
ячейках). Поэтому нельзя даже считать, что к моменту начала шага по
времени обе ячейки находились на одном временном слое nt . В этих
условиях требование консервативности на этапе сходимости становится
несущественным, а основное значение имеют устойчивость алгоритма и
его сходимость к стационарному решению. При достижении же
стационарного решения зависимость от “времени” исчезает, и потому
формулы для потока через данную грань, используемые в “явной” и
“неявной” схеме, совпадают. Таким образом, если стационарное решение
достигается, то численное решение становится консервативным.
76
Опыт решения практических задач показал, что при применении
комбинированного метода численные проблемы на границах стыковки
ячеек, в которых используются явная и неявная схемы, не возникают.
Только после того, как комбинированный метод был полностью
реализован и успешно применен к решению ряда практических задач,
автору стало известно, что идея перехода от неявной схемы к явной, в
зависимости от локального условия устойчивости, использовалась также в
серии работ Ю.Б.Радвогина и Н.А.Зайцева из ИПМ им. М.В.Келдыша РАН
[45-48]. Нужно подчеркнуть, что, несмотря на использование сходной
идеи, комбинированный метод, предлагаемый в настоящей работе,
содержит ряд существенных особенностей, отличающих его от метода
Радвогина и Зайцева:
1. Метод Радвогина и Зайцева был разработан и исследован только
применительно к гиперболическим дифференциальным уравнениям в
частных производных (в частности, к уравнениям Эйлера).
2. В работах Радвогина и Зайцева рассматривается совершенно другой
тип неявной схемы, связанный с расщеплением по пространственным
направлениям и сведением задачи к последовательному решению
одномерных задач. В работе [46] проведен анализ устойчивости
схемы и показано, что для достижения абсолютной устойчивости
такой схемы необходимо осреднять решение, полученное за одну
итерацию по явной и неявной схемам, с весами ¼ (для неявной
схемы) и ¾. По опыту использования комбинированного метода,
который предложен в настоящей работе, устойчивость решения
сохраняется, по крайней мере, вплоть до числа Куранта CFL~106 без
использования дополнительного сглаживания.
77
3. Метод Радвогина и Зайцева предназначен для эффективного решения
нестационарных задач. Поэтому в работах Радвогина и Зайцева при
CFL>1 используется неявная схема с глобальным шагом по времени,
а при CFL<1 – явная схема также с глобальным шагом. В настоящей
работе предложен метод для решения стационарных задач. Поэтому
предлагается использовать явную схему с локальным шагом по
времени и, кроме того, при CFL<0.1 переходить на неявную схему с
локальным шагом по времени, соответствующим CFL=30.
78
Глава 3. Тестирование разработанного метода
Описанный выше метод был реализован в виде программы-солвера
COMGLEI (Combination of Global and Local tau type with Explicit and
Implicit schemes). Эта программа является модификацией неявного блока
программы ZEUS, разработанного совместно автором настоящей статьи и
С.В. Михайловым. После модификаций удалось добиться совпадения
результатов программы COMGLEI с результатами промышленного
солвера V3Solver, в котором реализован базовый явный численный метод.
И ZEUS, и V3Solver входят в пакет прикладных программ EWT-ЦАГИ.
ZEUS [20] представляет собой развивающуюся научную программу, а
V3Solver [19] предназначен для массовых практических расчетов,
проводимых не профессионалами-вычислителями, а пользователями,
которых интересует конечный результат. В последнее время COMGLEI
используется в ППП EWT-ЦАГИ как промышленный солвер вместо
программы V3Solver. Программа COMGLEI распараллелена и эффективно
работает на вычислительных системах до 100 процессоров. Получено
Свидетельство о государственной регистрации этой программы
(№2013610173) [56].
Точность базового явного численного метода, реализованного в
пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ, была проанализирована в
работе [49]. Поэтому для определения точности предложенного
комбинированного метода достаточно убедиться в том, что стационарное
решение, полученное с использованием этого метода, совпадает со
стационарным решением, полученным по базовому явному методу. Хотя в
стационарном пределе схема (20) совпадает с базовым явным методом (см.
(22)), стационарное решение может быть не единственным. Более того, на
79
практике вместо стационарного решения нередко достигается предельный
цикл с малыми квазипериодическими колебаниями около некоторого
постоянного среднего значения. В этих условиях совпадение решения с
решением, полученным по базовому явному методу, уже не гарантировано
и должно быть проверено на тестовых задачах.
Вторая и основная цель тестирования – демонстрация ускорения
расчета по сравнению с базовым численным методом.
По общей совокупности практического опыта автора, можно
рекомендовать вести расчеты практических задач с максимальным числом
Куранта, не превосходящим 106. Именно это значение maxCFL
использовалось в описанных далее тестах (кроме Теста 3).
3.1. Тест 1 – турбулентный пограничный слой на пластине
Для теста выбран режим 8.0M . Число Re, соответствующее длине
пластины 6.1L м, равно 6108.22Re L . Поверхность пластины
считалась теплоизолированной. Была построена расчетная сетка,
содержащая 165 ячеек вдоль пластины, 185 ячеек поперѐк пограничного
слоя (ПС) (в конце пластины), при этом размер пристеночных ячеек
обеспечивает 34 10;10 y , где W
vyy
* , WWv /* – универсальная
координата ПС [105] - вычисляется на основе данных из расчѐта. Такое
сильное сгущение сетки было выбрано для того, чтобы улучшить
описание пограничного слоя в начальной части пластины, где толщина
пограничного слоя мала. (Сеточные линии были параллельны поверхности
пластины.)
80
Рисунок 8. Профиль безразмерной скорости в сечении х=1.2 м. (Тест 1)
На рисунке 8 изображены профили скорости в поперечном сечении
пограничного слоя, полученные в расчетах по явной схеме с локальным
шагом по времени и по описанной выше комбинированной технологии.
Профили изображены в переменных “закона стенки” )( yfu , где
*/ vuu . Также показан “теоретический” профиль, который вычислялся
по следующим полуэмпирическим формулам:
1) при 5.13u - по формуле Сполдинга [106] с коррекцией,
предложенной в [107]:
4324.02 )4.0(16.16
1)4.0(
6
1)4.0(
2
14.01 uuuueeuy u
, (42)
2) при y30 – по формуле Коулса [108]:
81
yyu
2sin2
4.05ln
4.0
1 2 . (43)
Здесь lye / , где ey – координата внешней границы пограничного
слоя, которая определялась по данным расчета с использованием модели
турбулентности )( q , как координата ближайшей к стенке точки, в
которой Vuu e 995.0 . Константа в формуле Коулса (43)
определялась так, чтобы эта формула давала uuuu ee / при y :
1ln4.02
1 eu . Для данного режима было получено значение
468.0 . Следует отметить, что значение очень чувствительно к
определению внешней границы пограничного слоя.
Рисунок 8 показывает, что максимальное отличие местной величины
скорости в профиле пограничного слоя в конце пластины, полученные в
расчетах по явной схеме с локальным шагом по времени (солвером
V3Solver) и по описанной выше комбинированной технологии (солвером
COMGLEI), составляет менее 0.4% от величины местной скорости и
находится в глубине пограничного слоя. Это различие результатов,
полученных с применением различных типов совершения шага по
времени, можно объяснить тем, что при получении решения по явной
схеме при стремлении к сходимости медленно сокращается длина
ламинарного участка, и, несмотря на то, что расчет по явной схеме
продолжался в 5 раз дольше, решение все еще недосошлось и было
прервано по причине ограниченности вычислительных ресурсов.
82
Рисунок 9 Сравнение сходимости интегрального параметра
коэффициента вязкого трения. (Тест 1)
При использовании COMGLEI сходимость по сопротивлению
интегральной величины сопротивления трения Cxfa с точностью 1%
достигается в 27 раз быстрее (рисунок 9), чем при использовании явной
схемы с локальным шагом по времени. На оси абсцисс отложено время
проведения расчета, измеряемое в условных единицах, равных среднему
времени расчѐта одного шага по времени солвером V3Solver.
83
3.2. Тест 2 – профиль NACA0012.
Для сравнения с расчетом используются экспериментальные данные,
представленные в работе [109].
Рисунок 10 Расчѐтная сетка около профиля. (Тест 2)
Длина хорды профиля 1L м. В эксперименте имелся ламинарно-
турбулентный переход на L05.0 . Расчѐтная сетка (рисунок 10) состоит из
четырѐх блоков и имеет сгущения к поверхности профиля, размер
пристеночных ячеек обеспечивает 7.0;02.0y . Поверхностная сетка
имеет сгущения к носку и к задней кромке профиля. Поверхность
моделируется граничным условием «теплоизолированная поверхность с
прилипанием». Слева, справа и сверху – мягкое граничное условие
набегающего потока, основанное на инвариантах Римана.
Для теста выбран режим: 26.2,799.0 M , 0000009Re ,
теплоизолированная поверхность. Турбулентность в точке, удалѐнной от
границ расчѐтной области на такое же расстояние, что и профиль,
92.0q м/с, 77.0 Гц при скорости набегающего потока примерно
270 м/с. На этом режиме обтекание носит отрывный характер. Следует
отметить, что модель турбулентности q не обеспечивает достаточного
качества моделирования отрывных зон.
84
Рисунок 11 Распределение коэффициента давления на профиле на
режиме 26.2,799.0 M .(Тест 2)
Примерно на середине верхней поверхности профиля расположен
скачок уплотнения. Из-под скачка уплотнения начинается область
отрывного течения. На рисунке 11 приведено сравнение распределения
коэффициента давления 2
21
V
ppCp
, полученного в расчѐтах как по
явной схеме с локальным шагом по времени (солвером V3Solver), так и по
комбинированной технологии (солвером COMGLEI). Кроме того,
приведены экспериментальные данные [109]. Различия между расчѐтами
достигают величины 0.001 по коэффициенту давления pC .
На рисунке 12 результаты расчетов с использованием программы
V3Solver сравниваются с расчетами других авторов с использованием
разных физических моделей (разных моделей турбулентности). Данные
85
расчетов других авторов взяты из работы [109]. Результаты, полученные с
использованием ППП EWT-ЦАГИ, несколько расходятся с
экспериментальными данными, но укладываются в общий разброс
расчетных данных.
Рисунок 12. Сравнение с расчетами других авторов
На рисунке 13 приведена история сходимости интегральной
подъѐмной силы в расчѐтах. При использовании COMGLEI на
рассматриваемом отрывном режиме сходимость по Сya с точностью 0.01
достигается в 3 раза быстрее, чем при использовании явной схемы с
локальным шагом по времени. Однако во всех расчетах имеются
незатухающие колебания с амплитудой менее 0.01.
86
Рисунок 13. Сравнение сходимости интегрального параметра
подъѐмной силы профиля на режиме 26.2,799.0 M .(Тест 2)
Также были проведены расчеты для безотрывного режима
0,8.0 M , 0000009Re . Для этого режима есть возможность
сравнить с экспериментом только величину коэффициента сопротивления.
Экспериментальные данные разбросаны в диапазоне (0.0100, 0.0170). И
солвер V3Solver, и солвер COMGLEI дают величину 0.0166. На рисунке 14
приведены графики сходимости. При использовании COMGLEI на
рассматриваемом безотрывном режиме сходимость по Сya с точностью
0.001 достигается в 20 раз быстрее, чем при использовании явной схемы с
локальным шагом по времени.
87
Рисунок 14. Сравнение сходимости интегрального параметра
подъѐмной силы профиля на режиме 0,8.0 M . (Тест 2)
Предложенная в данной работе комбинированная технология в тестах
1 и 2 совпадает с неявной схемой с глобальным шагом по времени, так как
заданная величина глобального шага по времени была столь большой, что
во всей расчѐтной области не было ячеек, для которых выполнялось бы
локальное условие устойчивости явной схемы. Поэтому сравнения с
отдельной реализацией неявной схемы с глобальным шагом по времени не
проводилось.
88
3.3. Тест 3 - компоновка фюзеляж-крыло CRM (Common
Research Model).
Многоблочная структурированная расчетная сетка взята на сайте
серии семинаров AIAA CFD Drag Prediction Workshop
http://aaac.larc.nasa.gov/tsab/cfdlarc/aiaa-dpw/Workshop4/workshop4.html и
содержит примерно 3 500 000 ячеек. Сетка была модифицирована –
изменено сгущение к поверхности с прилипанием, а также переразбита
поверхностная сетка на крыле и горизонтальном оперении. Удаленная
часть сетки прорежена и отделена условием несогласованной стыковки
блоков “Connect” [10].
Сетка отмасштабирована к размерам экспериментальной модели.
Математическая модель представляет собой правую половину ЛА.
Геометрические параметры для получения аэродинамических
коэффициентов и сечения сравнения локальных параметров взяты из
статьи [110]. Поверхностная расчѐтная сетка представлена на рисунке 15.
Рассмотрен следующий режим обтекания модели: число Маха
M=0.85, полное давление P0=301 800 Па, полная температура T0=142.5ºК,
число Re=19800000, скоростной напор q=95185 кг/м/с2. Турбулентность
на границе расчетной области (q=1.7 м/с, =50 Гц) была задана таким
образом, что районе модели величина q составляет около 0.3% от
скорости набегающего потока.
89
Рисунок 15 Поверхностная расчѐтная сетка (Тест 3)
Сравнение интегральных характеристик, полученных в расчѐтах по
явной схеме с локальным шагом по времени и по рассматриваемой
технологии, было выполнено для угла атаки 2.24 . Различия между
расчѐтами по коэффициенту сопротивления Cxa и по коэффициенту
подъемной силы Cya не превосходят величины 0.0001. Сравнение с
экспериментом для данного теста проводить не имеет смысла, т.к. в
заданной геометрии модели CRM никак не учитывалась крутка крыла под
действием аэродинамических нагрузок. Данные расчетов участников
семинара 4th AIAA CFD Drag Prediction Workshop также выполнялись без
учета крутки крыла и обнаруживают большое расхождение с
экспериментом.
На рисунке 16 представлены графики сходимости расчѐтов по трѐм
методам: по явной схеме с локальным шагом по времени (“явная”), по
неявной схеме с глобальным шагом по времени (“неявная глоб.”) и по
предложенной в данной работе комбинированной технологии (“комб.”).
90
Заданная величина глобального шага по времени превышала условие
устойчивости для явной схемы в 105 раз и в расчете по неявной схеме с
глобальным шагом по времени, и в расчѐте по комбинированному методу.
Рисунок 16. Сравнение сходимости интегрального параметра
подъѐмной силы (Тест 3)
При использовании COMGLEI на рассматриваемом режиме
сходимость по Cya с точностью 0.01 достигается в 5 раз быстрее, чем при
использовании явной схемы с локальным шагом по времени, а с
точностью 0.001 - в 2 раза быстрее. В данной практической задаче
скорость сходимости в расчѐтах по неявной схеме с глобальным шагом по
91
времени уступает даже скорости сходимости в расчѐтах по явной схеме с
локальным шагом по времени (и, соответственно, уступает скорости
сходимости при использовании комбинированного метода).
Распределение зон, в которых работают различные типы схем,
применяемых в комбинированном численном методе, было показано
выше, на рис.6.
3.4. Тест 4 – Воздухозаборник и элемент мотогондолы
тематической компоновки фюзеляж-крыло-пилон-
мотогондола.
Одной из ключевых особенностей ППП EWT-ЦАГИ является его
способность моделировать течение на расчѐтных сетках низкого качества
по параметрам ортогональности и равномерности ячеек. Такие сетки могут
получаться при моделировании обтекания реальных объектов со сложной
геометрией. Построение расчѐтных сеток вокруг таких геометрий крайне
трудоѐмко и может занимать значительное время. Контроль качества
построенных сеток и оценка влияния недочѐтов построенной расчѐтной
сетки на моделируемое течение до проведения расчѐтов также затруднѐн.
Возможны ситуации, когда сетка имеет сильные недочѐты в областях,
ошибки в моделировании течения в которых не влияют на течение в
интересующей области. Это делает возможным запуск солвера на сетках,
некоторые части которых имеют крайне низкое качество. В условиях
решения практических задач это позволяет сильно сократить время
построения расчѐтной сетки и снизить требования к квалификации
специалиста, занимающегося построением расчѐтных сеток.
Однако тестирование различных численных схем на таких задачах
требует слишком больших вычислительных затрат. А в классических
тестах во многих случаях не удается воспроизвести проблемы, которые
92
возникают в промышленных расчетах. Поэтому в настоящем разделе
рассматривается неклассическая тестовая задача, позволяющая сравнить
работу промышленных солверов при моделировании течения в
воздухозаборных устройствах силовых установок на практических сетках.
Из типовой «практической» расчѐтной сетки тематической
компоновки фюзеляж-крыло-пилон-мотогондола были выделены блоки,
содержащие воздухозаборник и элемент мотогондолы. По границам
выделенной расчѐтной области в заграничных ячейках были заданы
параметры из сошедшегося расчѐта полной рассматриваемой компоновки
фюзеляж-крыло-пилон мотогондола на режиме 78.0M , 5.2
(рисунок 17). В качестве начального условия задавался невозмущѐнный
поток с параметрами на бесконечности.
Рисунок 17. Расчѐтная сетка полной компоновки. Рамкой выделена
расчѐтная область теста 4
Схема рассматриваемой расчѐтной области представлена на рисунках
18 и 19. Поверхностная расчѐтная сетка - на рисунке 20.
93
Рисунок 18. Расчѐтная область воздухозаборника и элемента
мотогондолы (Тест 4).
Рисунок 19. Топология расчѐтной сетки вокруг воздухозаборника и
элемента мотогондолы (Тест 4).
94
Рисунок 20. Поверхностная сетка воздухозаборника и элемента
мотогондолы (Тест 4).
Данный тест не содержит экспериментальных данных, производится
сравнение результатов, полученных применением различных численных
схем, рассматриваемых в настоящей работе, а именно:
1. Явная численная схема с локальным шагом по времени (эталон).
2. Неявная численная схема с глобальным шагом по времени
3. Предлагаемая комбинированная схема COMGLEI
Различия между сошедшимися состояниями расчѐтов по
коэффициенту сопротивления Cxa и по коэффициенту подъемной силы
Cya не превосходят величины 0.0001.
95
Рисунок 21. Сравнение сходимости коэффициента сопротивления
трения (Тест 4)
На рисунке 21 представлены графики сходимости расчѐтов по трѐм
методам: по явной схеме с локальным шагом по времени (“явная”), по
неявной схеме с глобальным шагом по времени (“глоб.”) и по
предложенной в данной работе комбинированной технологии (“комб.”).
Заданная величина глобального шага по времени превышала условие
устойчивости для явной схемы в 106 раз и в расчете по неявной схеме с
глобальным шагом по времени, и в расчѐте по комбинированному методу.
96
При использовании COMGLEI на рассматриваемом режиме
сходимость по Cxf с точностью 0.01 достигается в 20 раз быстрее, чем при
использовании явной схемы с локальным шагом по времени, и в 7 раз
быстрее, чем при использовании неявной схемы с глобальным шагом по
времени.
На рисунке 22 изображено распределение зон, в которых работают
различные типы схем, применяемых в комбинированном численном
методе. Для простоты визуализации приведена плоскость симметрии.
Слой вокруг тела – зона применения неявной численной схемы с
глобальным шагом по времени. Далее – зона применения явной схемы с
локальным шагом по времени. «Буферных» ячеек – зоны применения
неявной схемы с локальным шагом по времени – в задаче нет в силу ее
специфики.
Рисунок 22. Зоны применения различных схем в расчетах
комбинированным методом (Тест 4)
Явная схема,
локальный шаг
Неявная схема,
глобальный шаг
97
Выводы к Главе 3
Предложенный комбинированный метод позволил без изменения
точности результата ускорить получение стационарных решений
уравнений Рейнольдса по сравнению с базовым явным численным
методом, а именно:
в тестовой задаче «пограничный слой на пластине» - в 27 раз
(сходимость по Cxfa с точностью 1%)
в тестовой задаче «профиль NACA0012» на отрывном режиме –
в 3 раза (сходимость по Сya с точностью 0.01), на безотрывном–
в 20 раз (сходимость по Сya с точностью 0.001).
в тестовой задаче «компоновка фюзеляж-крыло CRM» - в 5 раз
(сходимость по Сya с точностью 0.01) , либо в 2 раза
(сходимость по Сya с точностью 0.001).
в тестовой задаче «воздухозаборник и элемент мотогондолы
тематической компоновки фюзеляж-крыло-пилон-мотогондола»
- в 20 раз (сходимость по Сxf с точностью 0.01).
После ускорения пакет прикладных программ EWT-ЦАГИ по
экономичности ресурсов не уступает другим программам аналогичного
класса, доступным в ЦАГИ.
98
Глава 4. Применение разработанной методики к
моделированию течений в компоновке ВСУ с фюзеляжем ЛА
Изначально вспомогательная силовая установка (ВСУ)
устанавливалась на ЛА для питания самолѐтных систем и запуска
маршевой силовой установки в местах стоянки ЛА без внешнего
энергопитания. По мере развития и совершенствования авиационной
техники, энергетическая нагрузка на ВСУ и еѐ системы непрерывно
возрастает, а условия функционирования становятся всѐ более сложными.
Новый пассажирский самолѐт МС-21 (рисунок 23) использует
многофункциональную ВСУ нового поколения, которая выполняет
следующие функции: запуск маршевого двигателя с помощью воздушного
стартера на земле и в полете; питание сжатым воздухом системы
кондиционирования салона и кабины экипажа на земле и в полете;
питание в полете сжатым воздухом системы противообледенения
передней кромки крыла (при отказе одного из маршевых двигателей);
питание бортовой сети самолета электроэнергией переменного тока на
земле и в полете.
Рисунок 23. Математическая модель геометрии самолѐта МС-21
99
Кроме того, ВСУ должна обладать высокой надѐжностью во всѐм
эксплуатационном диапазоне режимов полѐта. Требования к
воздухозаборникам таких ВСУ достаточно противоречивы. С одной
стороны, они должны обеспечивать необходимый расход воздуха с
заданными параметрами, а с другой – иметь малое внешнее
сопротивление. При этом на выбор геометрических параметров
воздухозаборника ВСУ существенное влияние оказывает его компоновка.
В настоящее время наиболее распространѐнной компоновкой ВСУ
является еѐ размещение в хвостовой части фюзеляжа, то есть в зоне
развитого турбулентного пограничного слоя, нарастающего на всей длине
фюзеляжа.
Как показывает практика разработки входных устройств ВСУ, в этих
условиях с успехом могут использоваться входные устройства
ресиверного типа с забором воздуха с помощью подвижных створок,
открывающихся навстречу набегающему потоку (см. рис.1 в Главе 1).
Такие входные устройства обладают малым весом, простотой
конструкции и позволяют разместить в ресивере необходимое количество
панелей звукопоглощающих конструкций. Установка подвижных створок
на верхней поверхности фюзеляжа практически исключает попадание
посторонних предметов в ресивер и компрессор ВСУ.
Особенность задачи согласования двигателя ВСУ с
воздухозаборником заключается в том, что воздухозаборник расположен в
ресивере, который создаѐт застойную зону с повышенным давлением.
Основная проблема заключается в том, что ресивер и его створки
утоплены в развитом турбулентном слое, наросшем на всей длине
фюзеляжа. Принципиальная схема компоновки ВСУ на самолѐте МС-21
представлена на рисунке 24. На рисунке 24 а) рамкой ограничены
габариты вспомогательной силовой установки. Применяется
100
воздухозаборник ресиверного типа. Ресивер представляет собой полость в
корпусе фюзеляжа ЛА. На рисунке 24,б) границы ресивера выделены
рамкой. Неравномерный из-за развитого турбулентного пограничного слоя
на фюзеляже набегающий поток попадает в ресивер через две
симметрично расположенные открывающиеся створки, отклоняющиеся на
угол 30º. На рисунке 24,б) изображена закрытая створка. На открытых
створках происходит торможение неравномерного набегающего потока.
Затем в ресивере производится выравнивание потока. Воздухозаборник
двигателя ВСУ расположен непосредственно в ресивере и представляет
собой патрубок в центре нижней поверхности ресивера (см рисунок 24,б)).
а)
б)
Рисунок 24. Схематичное изображение компоновки ВСУ самолета МС-21
и принципиальная схема воздухозаборного устройства ресиверного типа
Основной интерес представляет два режима работы ВСУ: режим
работы на месте и режим крейсерского полета. Целью проведенных
исследований являлось определение места расположения створок ресивера
на поверхности фюзеляжа самолѐта и решение задачи согласования
работы двигателя с воздухозаборником.
101
Полную картину может дать только совместное использование
эксперимента в АДТ и средств вычислительной аэродинамики [16].
Поэтому работа проводилась как экспериментально, так и с применением
разработанной вычислительной методологии. Материалы использовались
при проектировании соответствующих агрегатов самолета МС-21. Работа
проводилась по заказу конструкторского бюро и описана в отчетах [50-55].
Цель эксперимента заключалась в валидации предложенной
расчетной методологии и выработке технических решений по ресиверу и
воздухозаборнику ВСУ.
На рисунке 25 изображена схема экспериментальной модели ресивера
ВСУ вместе с измерительными устройствами.
Рисунок 25. Экспериментальная модель ресивера ВСУ и
измерительные устройства
102
Разработанная для этих исследований модель является продолжением
прямоугольного сопла АДТ СВС-2 ЦАГИ (рисунок 26). Корпус модели
является базовой деталью, на которую устанавливаются: модуль
ресиверного входного устройства со створками; измерительный модуль;
гребѐнка приѐмников полного давления для исследования характеристик
пограничного слоя; механизированный дроссель с расходомерным
устройством, который подключался к эжекторной системе СВС-2. В
измерительном модуле установлены три гребѐнки по 14 приѐмников
полного давления в каждой.
Рисунок 26. Экспериментальная установка
Основным критерием при выборе масштаба модели ресиверного
входного устройства является сохранение параметра /HВХ у модели и
исследуемого объекта, где - высота пограничного слоя в зоне створок
модели, а HВХ - высота входа створки. На основании описанных выше
103
расчѐтных исследований хвостовой части фюзеляжа самолѐта МС-21 была
определена толщина пограничного слоя перед входом в воздухозаборное
устройство ВСУ. По соотношению этой толщины и толщины
пограничного слоя, нарастающего на стенках сопла АДТ СВС-2 в месте
предполагаемой установки модели, был выбран масштаб
экспериментальной модели: 1:6.486.
Ещѐ одной особенностью эксперимента является неполное
соответствие геометрии модели и формы ресивера воздухозаборника ВСУ
самолѐта МС-21.
Вместе с экспериментом проводились расчетные исследования.
В настоящее время не существует надѐжных методов,
обеспечивающих расчѐт характеристик ВУ ресиверного типа в условиях
развитого турбулентного течения при наличии также отрывного обтекания
элементов конструкции ВУ. В данной части настоящей работы
разработанная вычислительная технология применяется к решению
данной задачи.
В расчѐтах применялись структурированные многоблочные
расчѐтные сетки, адаптированные к особенностям геометрии и течения.
Всего использовалось 11 различных сеток. Количество ячеек в одной из
сеток превышало 30 миллионов, а число блоков было равно 2245. Поэтому
эффективность используемой вычислительной технологии была
существенна для решения данной задачи.
При торможении потока створкой до входа в ресивер до значений
числа Маха M<0.5 оказывается возможным расчитывать характеристики
потока на входе в двигатель ВСУ раздельно. Из расчѐта фюзеляжа ЛА по
параметрам пограничного слоя в зоне установки входных отверстий
ресивера воздухозаборника ВСУ можно расчитать потери коэффициента
полного давления потока в этом пограничном слое. При этом оставшиеся
104
потери в первом приближении не зависят от течения снаружи ресивера.
Для их оценки можно рассмотреть работу ВСУ на режиме стоянки ЛА
М = 0.
Средствами вычислительной аэродинамики исследовались:
1. Трѐхмерное обтекание компоновки фюзеляж-крыло самолѐта МС-21
для определения зон расположения створок ресивера и характеристик
пограничного слоя на фюзеляже в этих зонах.
2. Обтекание створок ресивера в двумерном приближении для оценки
влияния параметров внешнего потока на характеристики течения в
ресивере воздухозаборника ВСУ.
3. Трѐхмерные течения в экспериментальной установке на режимах
М=0–0.9 с целью валидации расчѐтной методологии на течениях с
развитыми пограничными слоями, торможением неравномерного
потока створкой, выравниванием и поворотом потока в ресивере и с
последующим попаданием в воздухозаборник двигателя ВСУ.
Имитировались нештатные ситуации, возможные в полѐте –
неоткрытие одной из створок, отсутствие одной или всех створок
(например, из-за повреждения). Рассматривался весь рабочий
диапазон расходов через двигатель ВСУ.
4. Трѐхмерные течения в реальном воздухозаборнике ВСУ самолѐта
МС-21 на режиме М = 0 без бокового ветра для внесения поправок в
результаты эксперимента. Рассматривался весь рабочий диапазон
расходов через двигатель ВСУ.
105
4.1. Расчѐтные исследования обтекания хвостовой части
фюзеляжа и выбор положения створок ресивера ВСУ
В данном разделе изложено описание расчѐтных исследований
обтекания хвостовой части фюзеляжа самолѐта МС-21. По результатам
этих расчетов проводится выбор расположения створок ресивера ВСУ и
определяется толщина пограничного слоя на входе в ресивер.
На данном этапе была построена математическая модель планера
магистрального самолѐта МС-21 без ВСУ в масштабе 1:1.
Рассматривалось обтекание планера на режимах, возможных в
крейсерском полете (число Маха М=0.78…0.82, угол атаки α=-3°…2.5°).
Ввиду отсутствия режимов с углами скольжения все расчѐты
проводились для половины (левой) ЛА. Некоторые результаты расчѐтов в
виде изолиний H/ PPP (отношение локального статического давления к
давлению набегающего потока) приведены на рисунке 27.
Рисунок 27. Пример распределения давления на хвостовой части
самолѐта М=0.8, α=2.5. Выделена изолиния 1/ H PPP
106
Для расположения створок ресивера в хвостовой части фюзеляжа
выбирается зона малого отклонения местного давления от статического
давления набегающего потока. Такое давление на поверхности позволяет
разместить элементы воздухозаборного устройства ВСУ без изменения
нагрузок на обшивку самолѐта. На рисунке 27 выделены поверхностные
изолинии 1P и приведены другие изолинии с шагом 0.01.
В результате специальной серии численных экспериментов
выяснилось, что моделирование выпускного устройства ВСУ меняет
распределение донного давления в хвостовой части самолѐта не более чем
на 0.01 величины статического давления набегающего потока. Поэтому в
дальнейших расчетах, описанных в настоящем разделе, детального
моделирования выпускного устройства ВСУ не производилось.
Хвостовая часть самолѐта имеет сужение, поэтому представляется
целесообразным рассматривать линии-меридианы и одномерные
распределения давления вдоль этих меридианов. На рисунке 28
представлены распределения давления вдоль двух меридианов на боковой
поверхности хвостовой части самолѐта. Как на поверхностных полях
давлений, так и на распределениях вдоль меридианов виден отчѐтливый
рост давления вдоль направления строительной оси фюзеляжа самолѐта.
107
Рисунок 28. Распределение давления H/ PPP вдоль меридианов.
Красной стрелкой показано положение сечения В
Сужение фюзеляжа приводит к расширению линий тока обтекающего
газа, торможению потока, и, согласно теореме Бернулли [92] – росту
давления. Эффект устойчиво проявляется на всех рассмотренных режимах
полѐта самолѐта.
Для пояснения полученных тенденций изменения статического
давления на рисунке 29 показано характерное распределение давления при
невязком дозвуковом обтекании сужающегося конуса. Из рисунка видно,
что давление растѐт по мере приближения к вершине конуса. При этом в
течении есть область, где P близко к единице.
108
Рисунок 29. Пример невязкого обтекания сужающегося тела (конуса)
Из анализа рисунка 28 следует, что распределение давления
позволяет расположить входное устройство ВСУ в верхней части
фюзеляжа на меридиане 2-2 в сечении В. (В этом сечении распределения
давления вдоль указанного меридиана отклоняются от давления
набегающего потока не более чем на 0.01.)
Конструктивные ограничения не позволяют разместить двигатель
ВСУ вниз по потоку относительно зоны расположения створок. Поэтому
требуется обеспечить разворот заторможенного набегающего потока.
Целесообразно использовать для такого разворота ресивер [111].
Характеристики потока в месте предполагаемой установки
воздухозаборника ВСУ определяются состоянием пограничного слоя.
Сужение фюзеляжа приводит к образованию более толстого (по
сравнению с классическим пограничным слоем на пластине) слоя газа с
пониженным относительно набегающего потока давлением торможения.
В литературе можно найти различные методики определения
внешней границы пограничного слоя на криволинейной поверхности –
109
см., напр., [112] [113]. К сожалению, особенности геометрии хвостовой
части самолѐта не позволяют определить толщину пограничного слоя
этими способами. Поэтому толщина пограничного слоя была определена
следующим образом. Был проведѐн дополнительный расчет обтекания
геометрии исследуемого ЛА в невязкой постановке. Толщина
пограничного слоя определялась как расстояние от поверхности
фюзеляжа, на которой скорости, взятые из вычислительных
экспериментов с невязким и вязкими обтеканиями, отличаются менее чем
на 0.01 значения величины скорости. Толщина пограничного слоя в
сечении, близком к сечению B (рис.28), составляет 355 мм. Характерные
профили числа М и коэффициента восстановления полного давления
H00 / PP в пограничном слое представлены на рисунке 30.
Рисунок 30. Распределение числа М и полного давления от
поверхности в месте входа в ресивер. М∞ = 0.8
110
4.2. Оценка влияния формы фюзеляжа
Были исследованы два варианта геометрии ЛА без ВСУ в масштабе
1:1, называемые далее «геометрия 1» и «геометрия 2». Наибольшими
различиями между ними можно считать изменение сечения фюзеляжа с
круглого на овальное и удлинение хвостовой части фюзеляжа с
соответствующей сменой расположения вертикального оперения (ВО) и
горизонтального оперения (ГО). Различие геометрий проиллюстрировано
на рисунке 31. Мотогондола и пилон не моделировались. В данной работе
расчетная сетка состояла из 323 блоков и 2.7 миллиона узлов.
Рисунок 31. Различия «геометрии 1» и «геометрии 2»
На рисунке 32 представлены изолинии статического давления,
отнесѐнного к давлению набегающего потока на одном из крейсерских
режимов полѐта. Из рисунка видно, что при изменении геометрии ЛА
сохраняется качественный характер обтекания хвостовой части фюзеляжа
– в начале сужения фюзеляжа присутствует зона разгона, около донной
части фюзеляжа - зона торможения потока. Заметные различия в характере
обтекания (ВО) мало влияют на распределение давления по поверхности
фюзеляжа. В верхней части фюзеляжа в районе ВО и ГО изолиния 1P
111
присутствует на обоих вариантах ЛА. Характеристики пограничного слоя
также качественно не изменились.
а)
б)
Рисунок 32. Изолинии P . а) «геометрия 1»; б) «геометрия 2».
Выделена изолиния 1P . Шаг изолинии 0.01.
Таким образом, модификация формы фюзеляжа в пределах,
рассматриваемых на этапе конструирования самолета, не оказывает
существенного влияния на выбор компоновки ВСУ.
4.3. Анализ физических особенностей течения в
воздухозаборном устройстве ВСУ
Как отмечалось выше, входное устройство ВСУ целесообразно
располагать в районе изолинии 1P . Конструктивные особенности
вспомогательной силовой установки не позволяют расположить двигатель
ВСУ так, чтобы его вход был ориентирован против потока. Требуется
осуществить разворот потока. Разворот потока происходит в ресивере.
Если разместить у входа в ресивер стационарный щиток, давление в
112
ресивере будет выше за счѐт торможения набегающего потока при
натекании на этот щиток. Однако постоянная работа ВСУ в полѐте не
предусматривается, на неѐ возложены лишь функции запуска двигателя на
земле и питание самолѐтных систем в аварийной ситуации. Чтобы снизить
сопротивление и защитить входное устройство от попадания льда и
посторонних предметов, следует вместо стационарного щитка
использовать открывающуюся створку (рис.33; см. также рис.1).
Рисунок 33. Обтекание створки. Линии тока и изолинии P при
расчѐтном расходе воздуха через работающий двигатель ВСУ на
крейсерском режиме полѐта ЛА.
113
Для анализа физических особенностей течения в воздухозаборном
устройстве ВСУ моделирование производилось в двумерной постановке.
При этом также оценивались нагрузки на створку и стенку отсека на
крейсерском режиме полѐта.
Схема расчѐтной области приведена на рисунке 34. На границе
расчѐтной области задавалось распределение параметров потока, взятое из
трѐхмерного расчѐта компоновки фюзеляж-крыло (без моделирования
створки). Угол отклонения створки соответствует крейсерскому режиму
полѐта.
Рисунок 34. Схема расчѐтной области
114
Рисунок 35 иллюстрирует процесс торможения набегающего потока
об открытую створку. Зона торможения перед створкой сравнима с
размером створки. При входе в ресивер число М заторможенного потока
не превышает величины М<0.2 на всех рассмотренных режимах работы
двигателя ВСУ. Диапазон изменения числа Маха на рис.35 ограничен
значением 0.5, хотя максимальное число Маха 8.0~M . Значение М=0.5
было выбрано потому, что именно при M<0.5 оказывается возможным
расчитывать характеристики потока на входе в двигатель ВСУ раздельно
(см. раздел 4.5).
Также на рисунке 35 показан профиль пограничного слоя, который
показывает соотношение между толщиной пограничного слоя и
характерным размером входного отверстия ресивера ВСУ.
Рисунок 35. Линии тока и изолинии P при расчѐтном расходе воздуха
через работающий двигатель ВСУ на крейсерском режиме полѐта ЛА
115
На рисунках 33 и 35 можно также видеть течение через щель между
створкой и корпусом фюзеляжа, которое несколько уменьшает размеры и
интенсивность локальной зоны разрежения за створкой. На режиме
крейсерского полѐта проток воздуха через щель уменьшает силы,
действующие на створку. При отсутствии набегающего потока (на земле)
эта щель увеличивает эффективную площадь входа в ресивер.
Сила, действующая на закрытую створку в крейсерском полѐте
( 8.0~M , высота около 11 км), не превышает 700 Н. Сила в крейсерском
полѐте, действующая на открытую створку, находится в диапазоне
значений от 1600 Н до 2400 Н, что связано с отрывным характером
обтекания внешней поверхности створки. Расчѐтная нагрузка в
крейсерском полѐте, действующая на заднюю стенку отсека, не превышает
600 Па.
На режиме взлета ( 5.0~M , высота 1 км) нагрузки выше. Сила,
действующая на закрытую створку на режиме взлѐта ЛА, не превышает
1000 Н. Сила, действующая на открытую створку на взлѐтном режиме ЛА,
находится в диапазоне значений от 3200 Н до 3600 Н. Расчѐтная нагрузка в
полѐте на взлѐтном режиме ЛА, действующая на заднюю стенку отсека, не
превышает 1000 Па.
На рисунке 36 приведены некоторые дополнительные результаты
моделирования работы ВСУ на крейсерском режиме полѐта ЛА. При
значительном изменении расхода через двигатель ВСУ качественного
перестроения обтекания створки не наблюдается.
116
а)
б)
Рисунок 36. Линии тока и изолинии P на крейсерском режиме
полѐта ЛА: а) при нулевом расходе на одну створку (ВСУ не работает);
б) при удвоенном расчѐтном расходе через работающий двигатель ВСУ
Рисунки 37 и 38 показывают изменение картины течения в ресивере
при изменении угла установки створки. На рис.37 представлены поля
числа Маха, на рис.38 – поля коэффициента восстановления полного
давления H00 / PP . На рисунке видно, что при установке створки на угол
менее 22º торможения потока на входе в ресивер до значений числа Маха
М < 0.5 не происходит. Течение внутри ресивера оказывается сильно
неравномерным. По полям полного давления (рис.38) видно, что при угле
створки 15º в ресивер входит воздух из внутренней области пограничного
слоя, с пониженным . Из-за недостаточного торможения потока о
створку скорость воздуха во входящей в ресивер струе оказывается
большой, и эта струя сохраняет свою целостность при огибании стенок
ресивера вплоть до патрубка воздухозаборника ВСУ. При взаимодействии
интенсивной струи с краями патрубка возникают сильные вихревые
эффекты, которые приводят к еще бо льшим потерям .
117
Рисунок 37. Поля числа Маха в ресивере при различных углах
установки створки. Режим крейсерского полета 8.0M
118
Рисунок 38. Поля коэффициента восстановления полного давления в
ресивере при различных углах установки створки. Режим крейсерского
полета 8.0M
119
Примерно так же обстоит дело и при угле створки 22º. Но начальный
уровень во входящей струе выше (забирается воздух из более высоких
слоев пограничного слоя), а сама струя медленнее. Число Маха на входе в
ресивер немного меньше 0.5. Поэтому вихревые эффекты возле патрубка
гораздо слабее.
При угле установки створки 30º удаѐтся затормозить поток перед
входом в ресивер до уровня М < 0.2. Входящая струя оказывается мало
интенсивной и плавно подходит к отверстию патрубка без вязких потерь в
вихревых образованиях.
На основании этих расчетов было рекомендовано выбирать угол
установки створки ресивера не меньше 22º.
Этот вывод подтверждается результатами экспериментальных
исследований в АДТ СВС-2. На рисунке 39 показаны полученные из
эксперимента в АДТ СВС-2 зависимости коэффициента восстановления
полного давления H00 / PP от приведенного расхода через двигатель
ВСУ K288.15
101325 КС0
КС0
КСПР
T
P
ПаGG ( КСG ,
КС0P и КС0T - расход,
давление торможения и температура торможения в контрольном сечении
на входе в двигатель ВСУ) [114] [115]. Рисунок 39,а) соответствует
условиям крейсерского режима полета, которые рассмотрены и на
рис.37-38. Потери полного давления снижаются по мере увеличения угла
установки створки (в рассматриваемом диапазоне изменения углов
створки). Разница между уровнями коэффициента полного давления на
входе в двигатель ВСУ при углах створки 15° и 30° достигает 3%.
120
а) 8.0M
б) 0M
Рисунок 39. Зависимость коэффициента восстановления полного
давления на входе в двигатель ВСУ от расхода через двигатель при
различных углах установки створки. Данные эксперимента в СВС-2
На рисунке 39,б) показаны аналогичные результаты для режима
стоянки. Здесь потери полного давления гораздо меньше, и влияние угла
установки створки также мало. Для объяснения такого отличия на
рисунке 40 показаны полученные в трехмерном расчете
экспериментальной модели поля числа Маха и коэффициента
восстановления полного давления в ресивере для режима 0M при
угле установки створки 30°. Показано сечение ресивера плоскостью, не
проходящей через патрубок воздухозаборника ВСУ. При отсутствии
внешнего потока всасываемая струя воздуха входит в ресивер с малой
скоростью ( 03.0M ) и быстро смешивается с застойным воздухом в
ресивере. Крайне малые потери полного давления связаны с вязкими
эффектами при обтекании острых углов створки, щели створки, стенки
входного отверстия. После смешения струи с застойным воздухом в
ресивере этот воздух еще долго циркулирует в ресивере, прежде чем войти
121
в патрубок воздухозаборника. Поэтому уровень еще чуть-чуть
снижается из-за вязких потерь на стенках ресивера. Однако очевидно, что
при увеличении ресивера скорость газа в застойном течении внутри
ресивера будет уменьшаться, и общие потери будут падать. (В пределе
бесконечно большого ресивера потери на стенках ресивера должны
исчезнуть.)
Рисунок 40. Расчетные поля числа Маха (сверху) и коэффициента
восстановления полного давления в ресивере для режима 0M при
угле установки створки 30°
122
4.4. Валидация расчетной технологии. Интегральные
характеристики воздухозаборного устройства ВСУ
Для оценки точности численного моделирования течения в ресивере
результаты численного моделирования эксперимента в аэродинамической
трубе СВС – 2 были сопоставлены с экспериментальными данными.
При помощи ППП EWT-ЦАГИ проведено численное моделирование
приведенных в Таблице 2 экспериментальных пусков. Геометрия
экспериментальной модели представлена на рисунках 41-42.
Таблица 2. Рассмотренные режимы экспериментальных пусков (М = 0)
Левая створка Правая створка № протоколов
открыта открыта 1, 2, 3, 4
закрыта открыта 5, 6, 7, 8, 8
отсутствует закрыта 10
отсутствует отсутствует 11
Рисунок 41. Экспериментальная модель входного устройства ВСУ
123
Рисунок 42. Устройство ресивера экспериментальной модели
Для численного моделирования по чертежам модели в АДТ была
построена математическая модель с сохранением масштаба. Сама АДТ
СВС-2 не моделировалась, рассматривалось течение в полубесконечной
области. Ресивер выполнен в призматической форме, дно расположено
под углом к верхней поверхности. Окна, через которые воздух поступает в
ресивер – симметричные, выполнены в форме трапеций.
Передние и задние границы окон параллельны, внешние боковые
границы находятся под углом к оси симметрии. Внутренние боковые
границы параллельны оси симметрии. Створки имеют конечную толщину
и пространственную профилировку. Створки не касаются внешней
поверхности ресивера. Параллельно боковым границам створок
расположены тонкие рассекатели потока. При численном моделировании
эксперимента они рассматривались как бесконечно тонкие.
Воздухозаборник ВСУ расположен в нижней части ресивера по оси
симметрии модели. Вход в воздухозаборник расположен под углом к
нижней и к верхней поверхностям. Стенки воздухозаборника толстые и
имеют пространственную профилировку. Конструктивные особенности
124
ресивера, связанные с силовой схемой самолѐта, экспериментальной
моделью не воспроизводятся.
Расчѐтная сетка модели экспериментальной установки имела 142
ячейки вдоль внешней поверхности модели в направлении по потоку, 88
ячеек в поперечном направлении и 96 ячеек над поверхностью. В ресивере
– в продольном направлении 92 ячейки, 88 ячеек в поперечном
направлении и 80 ячеек в высоту. Воздухозаборник ВСУ моделировался
32 ячейками в высоту и 16 ячейками поперѐк канала. Около всех
поверхностей с условием прилипания расположен пристеночный блок
толщиной 32 ячейки. Для моделирования условия прилипания толщина
первой пристеночной ячейки задавалась равной 10-6
м, что удовлетворяет
условию 1~
y . Вдоль длины створки помещено 38 ячеек, поперѐк
створки – 32 ячейки. Толщина профилированной створки моделировалась
8 ячейками. Всего расчѐтная сетка модели экспериментальной установки
содержала 5 016 832 ячеек. Моделирование тонких рассекателей потока
осуществлялось постановкой граничного условия непротекания на
границах соответствующих блоков расчѐтной сетки.
Кроме того, была построена расчѐтная сетка вокруг модели
экспериментальной установки без створок, представляющей собой
ресивер, в который воздух поступает через отверстия во внешней
поверхности – окна. Эта расчѐтная сетка по своей структуре аналогична
расчѐтной сетке вокруг модели экспериментальной установки со
створками, описанной выше, и содержит 2 042 368 ячеек.
Всего на данном этапе рассматривалось три модели – модель с двумя
открытыми створками, модель с одной закрытой створкой и одним окном
и модель с двумя окнами (см. Таблицу 2). Для всех трѐх моделей
вычислительные эксперименты на режимах с двумя открытыми окнами и
125
на режимах с одним открытым окном проводились на одинаковых
расчѐтных сетках. Для моделирования закрытого окна ставилось условие
непротекания (которое математически эквивалентно описанному в разделе
2.5 условию “плоскость симметрии”) в плоскости входа через правое окно.
На рисунке 43 сопоставляются дроссельные характеристики
экспериментальной модели (зависимости коэффициента восстановления
полного давления H00 / PP от приведенного расхода через двигатель
ВСУ K288.15
101325 КС0
КС0
КСПР
T
P
ПаGG ), полученные в расчете и в
эксперименте. На рис.43,а рассмотрена штатная ситуация с двумя
открытыми створками на режиме стоянки 0M , а на рис.43,б – на
режиме крейсерского полѐта 0M .8.
Из рисунка видно, что разница между результатами расчѐта модели в
АДТ СВС-2 и эксперимента не превышает 0.001 величины коэффициента
восстановления полного давления на режиме М =0 и 0.002 на режиме
М = 0.8.
а)
б)
Рисунок 43. Сравнение результатов расчѐта модели для АДТ СВС-2
ЦАГИ с экспериментом, обе створки открыты. а)М = 0; б) М = 0.8
126
После валидации вычислительная технология была применена к
численному моделированию работы реального воздухозаборного
устройства самолета МС-21.
Была построена математическая модель хвостовой части самолѐта в
компоновке с входным устройством ВСУ. Данная модель не является
симметричной и содержит тонкие элементы силовой конструкции (с
учетом толщины их стенок), тонкую обшивку хвостовой части фюзеляжа,
тонкие противопожарные перегородки, симметричные профилированные
створки ресивера без механизма крепления, профилированные отсекатели
потока на створках и профилированный воздухозаборник ВСУ. Общая
схема математической модели представлена на рисунке 44. Масштаб
модели соответствует натурному изделию.
Рисунок 44. Поверхностная расчѐтная сетка компоновки хвостовой
части фюзеляжа и входного устройства ВСУ
вход в двигатель ВСУ
створки
127
Математическая модель содержит следующие упрощения и
дополнения:
1. Модель фюзеляжа продлена до границ расчѐтной области
параллельным сдвигом крайнего сечения по границе ресивера.
2. К воздухозаборнику ВСУ добавлена буферная область для
обеспечения более благоприятных условий работы граничного
условия «вход активного диска».
3. К выходному сечению добавлена буферная область для обеспечения
более благоприятных условий работы граничного условия «выход
активного диска».
4. Убраны отсекатели потока на створках.
Была построена пространственная многоблочная структурированная
расчѐтная сетка. Из-за несимметричности геометрии рассматривалась
полная модель хвостовой части самолета.
Расчѐтная сетка содержит 1081 блок, 3 724 224 ячейки и имеет
сгущения к характерным элементам геометрии. Пристеночные блоки
имеют толщину 16 ячеек с геометрическим сгущением к поверхности. Для
моделирования условия прилипания толщина первой пристеночной
ячейки задавалась равной 10-6
м, что обеспечивает выполнение условия
1~y . Окружность фюзеляжа моделируется 112 ячейками,
преимущественно в верхней части, из них по 28 ячеек приходится на
каждую створку. По длине фюзеляжа расположено 56 ячеек, из них 14
приходятся на створку. По периметру каждой створки расположено 38
ячеек, по радиусу створок (О-сетка) – 32 ячейки. По периметру торца
ресивера расположено 160 ячеек, по длине ресивера – 96 ячеек. Высота
каждого шпангоута моделируется от 8 до 72 ячейками. Воздухозаборник
128
ВСУ моделируют 72 ячеек по высоте с внешней стороны и 136 ячеек с
внутренней стороны, 64 ячейки по периметру. Вдоль буферных областей
расположено 16 ячеек. Количество ячеек выбирается из соображений о
степени неравномерности потока на основании опыта [49].
На рисунке 45 представлена полученная в расчѐте дроссельная
характеристика натурного воздухозаборника ВСУ самолѐта МС-21 в
компоновке с хвостовой частью фюзеляжа на режиме стоянки ЛА М=0.
Также приведены соответствующие значения величины параметра
окружной неравномерности потока Oσ [114], которые оценивались
следующим образом. Контрольное сечение было расположено внутри
патрубка воздухозаборника ВСУ и имело прямоугольную форму. Для
такого сечения определялась величина 0min0max0 / PPPD , где max0P ,
min0P , 0P - соответственно макимальное, минимальное и среднее
значения полного давления в контрольном сечении. Согласно данным
книги [115], для ТРДД можно воспользоваться приближенной оценкой
3/σO D . На рисунке 46 такие же характеристики представлены для
нештатного случая с одной открытой створкой.
На рисунках 43, 45 и 46 выделены диапазоны зачений приведенного
расхода воздуха через двигатель ВСУ 2<GПР<2.5 кг/с в штатном режиме
работы и максимального приведенного расхода воздуха через двигатель
ВСУ в экстремальных условиях 4<GПР<4.5 кг/с.
Отличие результатов расчѐта модели (рис.43) от результатов расчѐта
реальной компоновки воздухозаборника ВСУ самолѐта МС-21 (рис.45а,
46а) при приведенном расходе воздуха через воздухозаборник ВСУ
GПР=4.0 кг/с составляет 0.004 величины коэффициента восстановления
полного давления и для случая двух открытых створок, и для случая
одной открытой створки. Это различие, по видимому, связано с неполным
129
соответствием геометрии модели в АДТ СВС–2 и геометрии реальной
компоновки воздухозаборника ВСУ с фюзеляжем самолѐта МС-21.
а)
б)
Рисунок 45. а) Дроссельная характеристика воздухозаборника; б) значения
параметра окружной неравномерности потока. Обе створки открыты
а)
б)
Рисунок 46. а) Дроссельная характеристика воздухозаборника; б) значения
параметра окружной неравномерности потока. Открыта одна створка
130
Кроме описанных расчетов для натурной компоновки ВСУ с хвостовой
частью фюзеляжа самолета МС-21, были проведены расчеты
экспериментальной модели входного устройства ВСУ на разных режимах
обтекания ( 8.0...0M ). На рисунке 47 представлены интегральные
характеристики для наихудшего рассмотренного нештатного случая, когда
одна створка не открылась, а другая сорвана. Для режима крейсерского
полета 8.0M для всех значений приведенного расхода через двигатель
ВСУ коэффициент восстановления полного давления 6.0 , а параметр
окружной неравномерности потока на входе в двигатель ВСУ 01.0σO .
а)
б)
Рисунок 47. Наихудший рассмотренный нештатный случай (одна створка
не открылась, другая сорвана). а) Дроссельные характеристики
воздухозаборника для разных чисел M ; б) значения параметра окружной
неравномерности потока для крейсерского режима 8.0M
Полученные во всех расчетах уровни и Oσ находятся в пределах
области устойчивой работы двигателя ВСУ.
131
4.5. Полуэмпирическая методика оценки потерь на входе в
двигатель ВСУ
Во всех проведенных расчетах работы ВСУ (на всех рассмотренных
режимах) число Маха на входе в ресивер не превышало величины М<0.5.
В инженерной практике применяется полуэмпирическая методика оценки
потерь на входе в двигатель ВСУ, основанная на предположении (по
аналогии с [94]), что при малых скоростях потока на входе в ресивер
суммарные потери полного давления на входе в двигатель ВВ 1σ
можно разделить на четыре части, которые вычисляются независимо друг
от друга:
ΔσВ = ΔσПС + ΔσСТВ + Δσ + ΔσПАТР, (44)
где:
ΔσПС - потери в пограничном слое на фюзеляже;
ΔσСТВ - потери на торможение открытой створкой
неравномерного потока;
Δσ - потери в ресивере на разворот потока в ресивере и втекание
в патрубок воздухозаборника;
ΔσПАТР -потери на трение в патрубке воздухозаборника.
Составляющие формулы (44) рассчитываются следующим образом.
ΔσПС = AПС(1 – π(M∞)) (45)
где π(M∞) – газодинамическая функция, АПС – эмпирическая константа;
ΔσСТВ = AСТВ GΣПР2, (46)
где GΣПР – суммарный приведенный расход забираемого из ресивера
воздуха [116][117], АСТВ – эмпирическая константа;
Δσ = АGΣПР2 ,
(47),
132
где А – также эмпирическая константа;
ΔσПАТР = АПАТРGПР2, (48),
где GПР – приведенный расход через воздухозаборник ВСУ [114][115],
АПАТР – также эмпирическая константа.
Эмпирические константы в формулах (45)-(48) зависят от
особенностей конструкции.
Описанные в предыдущем разделе трехмерные расчеты реального
воздухозаборного устройства ВСУ в компоновке с хвостовой частью
фюзеляжа самолета МС-21 позволили проверить применимость данной
методики и определить коэффициенты формул (46)-(48).
Рассматривался режим стоянки М = 0. На этом режиме первый член в
формуле (44) отсутствует (ΔσПС = 0). Углы установки створок во всех
расчетах были заданы равными 30°. По результатам расчетов течения
определялись средние значения коэффициента потерь полного давления
1σ в трех контрольных сечениях. Первым контрольным сечением
были входные отверстия ресивера ВСУ. Значение 1σ , определявшееся в
этом сечении, отождествлялось с СТВσ . Второе контрольное сечение
располагалось на входе в патрубок воздухозаборника ВСУ, а третье – в
глубине патрубка воздухозаборника ВСУ (рисунок 48). Значение Δσ
определялось как )σσ( 12 . Наконец, значение 3σ , определенное по
контрольному сечению 3, отождествлялось с коэффициентом суммарных
потерь полного давления Вσ . Полученные таким образом значения
СТВσ , Δσ и Вσ для рассмотренных режимов работы ВСУ приведены в
Таблице 3.
133
Рисунок 48 – Контрольные сечения 2 и 3. Показано расположение
контрольных точек интегрирования потерь полного давления
Анализ таблицы 3 показывает, что для всех рассмотренных режимов
работы ВСУ ВСТВ . Это означает, что потери полного
давления в патрубке воздухозаборника ВСУ (между контрольными
сечениями 2 и 3) ΔσПАТР несущественны (в рамках выбранного способа
вычисления средних коэффициентов потерь, о чем будет сказано ниже).
Сечение 2
Сечение 3
134
Таблица 3. Потери полного давления, М = 0, угол створки 30°
Gпр, кг/с ΔσСТВ ΔσΔ ΔσВ ΔσВа
Режимы с двумя открытыми створками
1.87 0.00145 0.00000 0.00145 0.00452
2.18 0.00140 0.00036 0.00176 0.00694
2.58 0.00370 0.00048 0.00418 0.00833
2.60 0.00375 0.00162 0.00537 0.00643
3.04 0.00432 0.00142 0.00575 0.00859
3.06 0.00393 0.00163 0.00556 0.01091
3.63 0.00582 0.00280 0.00862 0.01000
4.56 0.00891 0.00550 0.01341 0.01734
Режимы с одной открытой створкой
1.67 0.00301 0.00000 0.00301 0.00550
1.91 0.00410 0.00243 0.00653 0.00678
2.31 0.00631 0.00116 0.00747 0.00867
4.52 0.01665 0.00464 0.02129 0.02565
5.06 0.02501 0.00402 0.02903 0.03057
На рисунке 49 представлены зависимости )(σ 2ПРGf ,
соответствующие Таблице 3. Кроме полученных в расчетах точек, на этот
рисунок нанесены зависимости, соответствующие формулам (45) и (46).
Эти зависимости были получены методом наименьших квадратов, и таким
образом были найдены значения коэффициентов АСТВ и А. Видно, что
сумма формул (45) и (46) описывает суммарные потери на входе в
двигатель ВСУ с погрешностью не более 0.0014 для случая двух открытых
створок и не более 0.0025 для нештатного случая одной открытой створки.
135
Эта точность становится приемлемой (ошибка не превосходит 15% от
истинного значения ΔσВ) при кг/c3~ПР G .
а) две открытые створки
б) одна открытая створка
Рисунок 49. Анализ применимости инженерной методики
Представленные на рис.49 значения коэффициента потерь полного
давления 1σ , так же как и значения коэффициента восстановления
полного давления , представленные в предыдущих разделах,
определялись взятием среднего арифметического из значений в
контрольных точках (см. рис. 48), положение которых примерно
соответствует положению гребѐнок датчиков полного давления в
реальном аэродинамическом эксперименте. В предыдущих разделах такой
способ получения был существенным, поскольку там производилось
сопоставление с экспериментом. Если сопоставления с экспериментом нет
(как в случае расчетов натурной ВСУ в компоновке с хвостовой частью
фюзеляжа самолета МС-21), то можно рассмотреть более точный способ
осреднения потерь полного давления в контрольном сечении -
интегрирование по граням ячеек, расположенным в этом контрольном
136
сечении. Такое интегрирование, в отличие от принятого в
аэродинамическом эксперименте, позволяет включить потери в
пограничном слое. Результаты такого интегрирования представлены в
последней колонке Таблицы 3 (ΔσВа). Видно, что при этом способе
осреднения уровень потерь вырастает, т.к. этот способ осреднения
учитывает все потери потока, включая потери на трение в патрубке.
Выводы к Главе 4
Для магистрального самолѐта МС-21 проведѐн комплекс
исследований по определению характеристик ресиверного входного
воздухозаборного устройства (ВУ) вспомогательной силовой установки
(ВСУ), расположенного в хвостовой части фюзеляжа и выполненного с
двумя подвижными створками.
1. Проведено численное моделирование эксперимента в АДТ СВС-2
ЦАГИ. Данные эксперимента восполнены данными расчета
натурной вспомогательной силовой установки в компоновке с
фюзеляжем.
2. При моделировании эксперимента расчетные данные хорошо
согласуются с экспериментальными данными. Максимальное
расхождение расчетного и экспериментального значений
коэффициента восстановления полного давления составляет
0.1%.
3. Полученные в расчетах натурной ВСУ в компоновке с хвостовой
частью фюзеляжа самолета МС-21 уровни коэффициента
восстановления полного давления и параметра окружной
137
неравномерности потока Oσ находятся в пределах области
устойчивой работы двигателя ВСУ. На режиме 0M в штатном
случае работы входного устройства ВСУ 985.0 , 01.0σO .
В нештатном случае ( 0M , открыта одна створка) 977.0 ,
012.0σO . Для наихудшего нештатного случая (крейсерский
полет 8.0M , одна створка сорвана, другая не открылась)
6.0 , 01.0σO .
4. Показано, что приемлемый уровень потерь полного давления и
однородности течения на входе в ВСУ обеспечивается при угле
наклона створки, большем некоторого минимального значения.
Для рассмотренной компоновки ресивера и створок рекомендован
диапазон углов наклона створки 22º-30º. При угле створки,
меньшем 22º, в ресивер входит воздух с низким полным
давлением из глубинных областей пограничного слоя, и из-за
недостаточного торможения потока створкой число Маха на входе
в ресивер ( 5.0M ) слишком велико, чтобы обеспечить
нормальные условия на входе в двигатель.
5. Показано, что инженерная методика по вычислению потерь на
входе в двигатель ВСУ, основанная на раздельном вычислении
потерь на торможение потока створкой, потерь в ресивере и
потерь в воздухозаборнике, применима в рекомендованном
диапазоне углов наклона створки ресивера. Определены
эмпирические константы методики для натурной ВСУ в
компоновке с хвостовой частью фюзеляжа самолета МС-21 на
режиме стоянки ЛА М=0.
138
Выводы
В данной работе решена важная практическая задача, имеющая
существенное значение в области авиадвигателестроения и
заключающаяся в том, что с использованием предложенного
комбинированного численного метода разработан проект входного
воздухозаборного устройства вспомогательной силовой установки (ВСУ),
расположенного в хвостовой части фюзеляжа магистрального самолѐта
МС-21 и выполненного с двумя подвижными створками. По работе
сделаны следующие выводы:
1. Предложенный комбинированный метод позволил без изменения
точности результата ускорить получение стационарных решений
уравнений Рейнольдса по сравнению с базовым явным методом от 5
до 27 раз, в зависимости от задачи. В задаче об обтекании
воздухозаборника и элемента мотогондолы тематической модели
комбинированный метод ускорил расчет по сравнению с базовой
явной схемой в 20 раз, по сравнению с неявной схемой – в 7 раз.
После ускорения пакет прикладных программ EWT-ЦАГИ по
экономичности ресурсов не уступает другим программам
аналогичного класса, доступным в ЦАГИ.
2. Экспериментальная валидация показывает, что предложенная
численная технология позволяет предсказывать интегральные
характеристики воздухозаборного устройства ВСУ с достаточной для
практического использования точностью. Максимальное расхождение
расчетного и экспериментального значений коэффициента
восстановления полного давления составляет 0.1%.
3. Показано, что на крейсерском режиме полета ( 8.0M ) приемлемые
для устойчивой работы двигателя ВСУ уровни потерь полного
139
давления и неоднородности потока на входе в воздухозаборник ВСУ
реализуются при угле установки створки ресивера не менее 22°. Если
это условие не выполнено, в ресивер входит воздух с низким полным
давлением из глубинных областей пограничного слоя, и из-за
недостаточного торможения потока створкой число Маха на входе в
ресивер ( 5.0M ) слишком велико, чтобы обеспечить нормальные
условия на входе в двигатель.
4. Полученные в результате работы технические решения в рамках
концепции ВСУ с ресивером позволяют обеспечить высокие
характеристики согласования воздухозаборника с двигателем. На
режиме 0M в штатном случае работы входного устройства ВСУ
коэффициент восстановления полного давления 985.0 , а параметр
окружной неравномерности потока 01.0σO . В нештатном случае
( 0M , открыта одна створка) 977.0 , 012.0σO . Для
наихудшего нештатного случая (крейсерский полет 8.0M , одна
створка сорвана, другая не открылась) 6.0 , 01.0σO . Указанные
значения и Oσ находятся в пределах области устойчивой работы
двигателя ВСУ.
140
Список использованных источников
1. Под редакцией Нейланда В.Я. ЦАГИ – основные этапы научной
деятельности 1968-1993. М. Физматлит, 1996.
2. Под редакцией Дмитриева В.Г. ЦАГИ – основные этапы научной
деятельности 1993-2003. М. Физматлит, 2003.
3. Под редакцией Бюшгенса Г.С. Аэродинамика и динамика полета
магистральных самолетов. Москва: ЦАГИ, Авиа, 1995.
4. Под редакцией Крайко А.Н. Газовая динамика. Избранное. М.
Физматлит, 2000.
5. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных
решений гидродинамики. “Математический сборник. 1959 г., Т.
вып.47(89), №3, стр.271-306.
6. Годунов С.К., , Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н.,
Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой
динамики. М. Наука, 1976.
7. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений
производной к построению конечно-разностных схем для расчета
разрывных решений газовой динамики. «Ученые записки ЦАГИ», т. 3, №6,
1972, стр. 68-77.
8. Н.И.Тилляева. Обобщение модифицированной схемы
С.К.Годунова на произвольные нерегулярные сетки. «Ученые записки
ЦАГИ», т.17, №2, 1986.
9. Родионов А.В. Монотонная схема второго порядка аппроксимации
для маршевых расчетов неравновесных потоков. «ЖВМ и МФ», т.27, №4,
1987.
141
10. Власенко В.В. О математическом подходе и принципах
построения численных методологий для пакета прикладных программ
EWT-ЦАГИ. В сборнике “Практические аспекты решения задач внешней
аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных
по времени уравнений Навье-Стокса”. “Труды ЦАГИ”, вып. 2671, 2007,
с. 20-85.
11. Волков А.В. Разработка методов численного решения
пространственных задач обтекания тел вязким газом на основе схем
высокого порядка точности. Диссертация на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук. ЦАГИ, М., 2009.
12. Иванов М.Я., Нигматулин Р.З. Неявная схема С.К. Годунова
повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера.
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987 г., Т. т.27,№11, стр.1725-1735.
13. Иванов М.Я., Крупа В.Г., Нигматулин Р.З. Неявная схема С.К.
Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений Навье-
Стокса. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989 г., Т. т.29, №6, стр.888-901.
14. Копченов В.И., Топеха Е.А. Неявная релаксационная конечно-
разностная схема для системы уравнений Эйлера // Научно-технический
отчет ЦИАМ №11543, 1989.
15. Браилко И.А., Макаров В.Е., Федорченко Ю.П., Шорстов В.А.
Программный комплекс COBRA v2.5. Правообладатель ФГУП «ЦИАМ
имени П.И.Баранова. Свидетельство о государственной регистрации
программы для ЭВМ № 2010613209. Зарегистрировано 14.05.2010.
16. Neyland V.Ya., Bosniakov S.M., Glazkov S.A., Ivanov A., Matyash
S.V., Mikhailov S.V., Vlasenko V.V. Conception of electronic wind tunnel and
first results of its implementation. Progress in Aerspace Sciences. 2001 г., Т.
37, pp.121 145.
142
17. Босняков С.М., Власенко В.В., Енгулатова М.Ф., Зленко Н.А.,
Матяш С.В., Михайлов С.В. Программный комплекс для создания
геометрии ЛА, создания многоблочной 3-х мерной расчетной сетки,
получения полей течения при помощи решения системы уравнений
Эйлера и системы уравнений Навье-Стокса, осредненных по времени
обработка результатов расчета (EWT). Свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ №2008610227 (от 9 января 2008 года),
Реестр программ для ЭВМ.
18. Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики
двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени
уравнений Навье-Стокса. Сборник статей. “Труды ЦАГИ”, вып. 2671,
2007.
19. Власенко В.В., Матяш С.В., Михайлов С.В. Программа расчета
3-х мерных полей течения в районе тел сложной пространственной
конфигурации при помощи уравнений Навье-Стокса, осредненных по
времени, на многопроцессорных компьютерах и кластерах (V3Solver).
Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
№2008610230 (от 9 января 2008 года), Реестр программ для ЭВМ.
20. Михайлов С.В. Программа, реализующая зонный подход, для
расчета нестационарного обтекания вязким потоком турбулентного газа
сложных аэродинамических форм, включая крыло с механизацией (ZEUS).
Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
№2013610172 (от 9 января 2013 года), Реестр программ для ЭВМ.
21. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and
Applications. New York : Elsevier, 2001.
22. Федоренко Р.П. Многосеточный метод для схем конечного
элемента. ЖВМ и МФ. 1961 г., Т. 1, 5.
143
23. Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schuller.A. Multigrid. Cornwall :
Academic Press, MPG Books, , 2001.
24. Yoon S., Kwak D. Implicit methods for the Navier-Stokes equations.
“Computing Systems in Engineering”. 1990 г., Т. Vol.1, Nos.2-4, pp.535-547.
25. Venkatakrishnan V. Newton Solution of inviscid and viscous
problems. AIAA Journal. 1989 г., Т. 27, pp. 885-891.
26. Hestenes M.R., Stiefel E.L. Methods of conjugate gradients for
solving linear systems. J. Res. Nat. Bur. Stand. 1952 г., Т. Vol.49, p. 409.
27. Sonneveld P. S. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric
linear systems. SIAM J. Scientific Statistsics and Computing. 1989 г., Т. 10,
pp.36-52.
28. Sad Y., Schulz M.H. GMRES: a generalized minimum residual
algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM J. Scientific and
Statistical Computing. 1986 г., Т. 7, pp. 856-869.
29. Zingg D., Pueyo A. An eficient Newton-GMRES solver for
aerodynamic computations. AIAA Paper. 1997 г., Т. 97-1955.
30. Venkatakrishnan V. Preconditioned conjugate gradient methods for
the compressible Navier-Stokes equations. AIAA Journal. 1991 г., Т. 29,
pp.1092-1110.
31. Beam R.M., Warming R.F. An implicit finite-difference algorithm
for hyperbolic systems in conservation-law form. Journal of Computational
Physics. 1976 г., Т. 22, pp.87-l10.
32. Steger J.L., Warming R.F. Flux vector splitting of the inviscid
gasdynamic equations with application to finite-difference methods. Journal of
Computational Physics. 1981 г., Т. 40, pp.263-293.
33. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы
решения линейных систем. – М.: Мир, 1991
144
34. Yoon S., Jameson A. An LU-SSOR scheme for the Euler and Navier-
Stokes equations. AIAA Journal. 1988 г., Т. 26, pp.1025-1026.
35. Batina J.T. Implicit upwind solution algorithms for three-dimensional
unstructured meshes. AIAA Journal. 1993 г., Т. 31, pp.801-805.
36. Anderson W.K., Bonhaus D.L. An implicit upwind algorithm for
computing turbulent flows on unstructured grids. Computers & Fluids. 1994 г.,
Т. 23, pp.1-21.
37. Ferziger J.H., Perić M. Computational methods for fluid dynamics.
3rd rev.ed. б.м. : Springer, 2002.
38. Кажан Е.В. Повышение устойчивости явной схемы Годунова-
Колгана-Родионова локальным введением неявного сглаживателя. Учѐные
записки ЦАГИ. 2012 г., Т. XLIII, №6.
39. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and
difference schemes. Journal of Comput. Phys. 1981 г., Т. 43, pp.357-372.
40. Топеха Е.А., Копчѐнов В.И.,. Неявная релаксационная конечно-
разностная схема для системы уравнений Навье-Стокса. Методы
исследования гиперзвуковых летательных аппаратов. Ежегодная научная
школа-семинар ЦАГИ. Механика жидкости и газа. Сборник докладов.
1994 г г., Стр. 9.1-9.10.
41. Топеха Е.А., Копчѐнов В.И.,. Неявная релаксационная конечно-
разностная схема для системы уравнений Эйлера. Методы исследования
гиперзвуковых летательных аппаратов. Ежегодная научная школа-
семинар ЦАГИ. Механика жидкости и газа. Сборник докладов. 25февраля-
1марта 1992 г г., Т. Часть 3.
42. Wilcox D.C. Progress in hypersonic turbulence modeling. AIAA Paper
91-1785. 1991 г.
43. Spalart P.R., Allmaras S.R. A One-Equation Turbulence Model for
Aerodynamic Flows. AIAA Paper 92-439. 1992 г.
145
44. Glowinski R., Golub G.H., Meurant G.A., Periaux J. (Eds.).r.
Domain decomposition methods for Partial Differential Equations. б.м. :
Hardcove, 1988. стр. 431p. ISBN: 0-89871-220-3.
45. Radvogin Y.B., Zaitsev N.A. LOCALLY IMPLICIT SECOND
ORDER ACCURATE DIFFERENCE SCHEME FOR SOLVING 2D TIME-
DEPENDENT HYPERBOLIC SYSTEMS AND EULER EQUATIONS.
Applied Numerical Mathematics. 2000. Т. 33. № 1. С. 525-532.
46. Радвогин Ю.Б. ЭКОНОМИЧНЫЕ БЕЗУСЛОВНО
УСТОЙЧИВЫЕ ЛОКАЛЬНО-НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Препринты
ИПМ им. М.В. Келдыша. 2003. № 35. С. 1-32.
47. Radvogin Yu.B. EFFICIENT UNCONDITIONALLY STABLE
LOCALLY IMPLICIT DIFFERENCE SCHEMES FOR SOLVING TWO-
DIMENSIONAL HYPERBOLIC SYSTEMS. Russian Journal of Mathematical
Physics. 2004. Т. 11. № 3. С. 335-354.
48. Зайцев Н.А., Радвогин Ю.Б., Рыков Ю.Г. РАСЧЕТ
НЕСТАЦИОНАРНОГО ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА В СОПЛАХ И
ТРУБАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СХЕМ НОВОГО, “ЯВНО-
НЕЯВНОГО”, ТИПА. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2004. № 52. С.
1-32.
49. Бабулин А.А., Босняков С.М, Матяш С.В., Михайлов С.В.
Оценка точности результатов расчѐтов с применением EWT. В сборнике
“Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей
летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений
Навье-Стокса”. “Труды ЦАГИ”, вып. 2671, 2007, с. 126-142.
146
50. Босняков С.М., Лысенков А.В., Кажан E.В., Третьяков В.Ф.
Расчѐтные исследования полей потока на входе в воздухозаборник
вспомогательной силовой установки. Этап 14.3 //Отчѐт о научно-
исследовательской работе часть 14.3.8 №7637.- НИО-1 ЦАГИ, 2010
51. Акинфиев В.О., Третьяков В.Ф. Экспериментальные
исследования аэродинамикивоздухозаборника вспомогательной силовой
установкив АДТ СВС-2 //Отчѐт о научно-исследовательской работе №
7710.- НИО-1 ЦАГИ, 2011
52. Кажан E.В., Третьяков В.Ф. Расчѐтные исследования по
определению параметров потока на входе во вспомогательную силовую
установку самолѐта МС-21 //Отчѐт о научно-исследовательской работе
№7706.- НИО-1 ЦАГИ, 2011
53. Акинфиев В.О., Кажан E.В., Третьяков В.Ф. Расчѐтные
исследования по определению параметров потока на входе во
вспомогательную силовую установку самолѐта МС-21 //Отчѐт о научно-
исследовательской работе по составной части ОКР №7746.- НИО-1
ЦАГИ, 2012
54. Акинфиев В.О., Ливерко Д.В., Третьяков В.Ф.
Экспериментальные исследования аэродинамики воздухозаборника
вспомогательной силовой установки в верхней компоновке в СВС-2
//Отчѐт о научно-исследовательской работе № 7743.- НИО-1 ЦАГИ,
2012
55. Акинфиев В.О., Ливерко Д.В., Третьяков В.Ф.
Экспериментальные исследования аэродинамики исполнительной модели
вспомогательной силовой установки (СВС-2) //Отчѐт о научно-
исследовательской работе № 01-7796.- НИО-1 ЦАГИ, 2013
147
56. Кажан Е.В. Программа расчета стационарных течений на основе
решения системы уравнений Рейнольдса, замкнутой дифференциальной
моделью турбулентности для напряжений Рейнольдса, на многоблочных
структурированных расчетных сетках (COMGLEI). Свидетельство о
государственной регистрации программы для ЭВМ №2013610173 (от 9
января 2013 года), Реестр программ для ЭВМ.
57. Босняков С. М., Власенко В.В. ,Глазков С.А. , Житенев В.К.,
Кажан Е.В.,Квест Ю. , Михайлов С. В. Problems in practical application
of high-resolution numerical schemes to internal and external tasks of
aerodynamics. Zurich : International congress on industrial and applied
mathematic, 2007.
58. Босняков С.М., Власенко В.В.,Кажан Е.В., Михайлов С.В.,
Элиасон П., Маронги Ч. Acceleration of urans for application to separated
high-lift flows. Vienna : European congress on computational methods in
applied sciences and engineering ECCOMAS, 2012.
59. Кажан Е.В., Курсаков И.А., Лысенков А.В. Multigrid accelerated
numerical methods based on implicit scheme for moving control volumes for
WT flows simulating. Mosсow : 3th Russian-Chinese Workshop on numerical
mathematics and scientific computing, 2013.
60. Кажан Е.В., Курсаков И.А., Лысенков А.В. Zhukovskiy : 13th
Russian-Chinese Conference on Aviation Science and Technology, 2013.
61. Кажан Е.В. Development of effective numerical technology and its
application for simulation of an aerodinamical experiment in Wind Tunnel.
Shanghai : 12th Russian-Chinese Conference on Aviation Science and
Technology, 2012.
62. Кажан Е.В. Разработка технологии численного моделирования
внутренних течений в силовых установках. г.Королѐв : XVII Научно-
148
техническая конференция молодых учѐных и специалистов РКК
"Энергия", 2005.
63. Кажан Е.В. Об опыте реализации неявной схемы в рамках
продукта EWT-ЦАГИ. пос. Володарского : Материалы XVII школы-
семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2006.
64. Кажан Е.В. О методах решения СЛАУ в рамках реализации
неявной схемы в рамках продукта EWT-ЦАГИ. пос. Володарского :
Материалы XVIII школы-семинара "Аэродинамика летательных
аппаратов", 2007.
65. Кажан Е.В. Реализация неявной численной схемы в рамках
пакета EWT-ЦАГИ. пос. Володарского : Материалы XIX школы-семинара
"Аэродинамика летательных аппаратов", 2008.
66. Кажан Е.В. Неявная схема в проекте Zeus. пос. Володарского :
Материалы XX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов",
2009.
67. Кажан Е.В., Курсаков И.А. Опыт применения бездисковых
станций к задачам вычислительной аэродинамики. пос. Володарского :
Материалы XX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов",
2009.
68. Кажан Е.В., Матяш С.В. Применение численных расчѐтов при
вычислении приращений внешних аэродинамических нагрузок на планер ЛА
для учѐта режима работы двигателя. пос. Володарского : Материалы XX
школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2009.
69. Кажан Е.В. Вычисление приращений внешних аэродинамических
нагрузок на планер ЛА от работы двигателя на основе численных
расчѐтов. пос. Володарского : Материалы XXI школы-семинара
"Аэродинамика летательных аппаратов", 2010.
149
70. Кажан Е.В. Численное исследование влияния режима работы СУ
на особенности обтекания крыла под большим углом атаки. пос.
Володарского : Материалы XXI школы-семинара "Аэродинамика
летательных аппаратов", 2010.
71. Кажан Е.В. Использование численной схемы с зависящем от
решения типом шага по времени для моделирования турбулентных
течений вязкого газа в элементах СУ с ВРД. пос. Володарского :
Материалы XXII школы-семинара "Аэродинамика летательных
аппаратов", 2011.
72. Акинфиев В.О., Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Исследование
течения на входе во вспомогательную силовую установку самолѐта МС-
21.. пос. Володарского : Материалы XXII школы-семинара "Аэродинамика
летательных аппаратов", 2011.
73. Акинфиев В.О., Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Исследования
параметров потока на входе во вспомогательную силовую установку
(ВСУ) в хвостовой части фюзеляжа самолѐта. пос. Володарского :
Материалы XXII школы-семинара "Аэродинамика летательных
аппаратов", 2012.
74. Анисимов К.С., Кажан Е.В., Подаруев В.Ю. Расчѐтные
исследования аэродинамики силовой установки перспективных
компоновок гражданских самолѐтов . пос. Володарского : Материалы
XXIV школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2013.
75. Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Определение условий работы
вспомогательной силовой установки в полѐте.. пос. Володарского :
Материалы XXIV школы-семинара "Аэродинамика летательных
аппаратов", 2013.
76. Босняков С. М., Акинфиев В. О., Власенко В. В.,
Глазков С. А., Горбушин А. Р., Кажан Е. В., Курсаков И. А.,
150
Лысенков А. В., Матяш С. В., Михайлов С. В. Использование методов
вычислительной аэродинамики в экспериментальных работах ЦАГИ.
Математическое моделирование. 2011 г., Т. 23, N 11, стр. 65-98.
77. Кажан Е.В. О возможности использования неявной схемы в
рамках пакета EWT-ЦАГИ. Труды ЦАГИ. 2007 г., Т. 2671.
78. Hirsch Ch. Numerical Computation of Internal and External Flows.
б.м. : John Wiley & Sons Ltd, 1996. стр. 714. Т. 2. Computational Methods for
Inviscid and Viscous Flows.
79. Piomelli U. Large-eddy simulation: achivements and challenges.
Progress in Aerospace Sciences. 1999 г., Т. 35.
80. Wilcox D.C. Reassessment of the scale determining function for
advanced turbulence models. AIAA Journal. 1988 г., Т. 19, N2.
81. Jones W.P., Launder B.E. The prediction o flaminarization with a
two-equation model of turbulence. International Journal of Heat and Mass
Transfer. 1972 г., Т. 15.
82. Launder B.E., Sharma B.I. Application of energy dissipation model
of the turbulence to the calculation of flow near a spinning disc. Letters in Heat
and Mass Transfer. 1974 г., Т. 1.
83. Lam C.K.G., Bremhorst K.A. Modified form of the k-epsilon model
predicting wall turbulence. J. Fluids Eng. 1981 г., Т. 103.
84. Menter F.R. Improved two-equation k-omega turbulence models for
aerodinamic flows. NASA TM-103975. 1992 г.
85. Михайлов С.В. Адаптация коэффициентов q-ω модели
турбулентности к особенностям течения. Материалы XX Школы-семинара
"Аэродинамика летательных аппаратов. 2009 г.
86. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous
fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. Of the Roy. Soc., 1895
151
(имеется русский перевод в кн.: “Проблемы турбулентности”. М., ОНТИ,
1936).
87. Coakley T.J. Turbulence modeling methods for the compressible
Navier-Stokes equations. AIAA-83-1693. 1983 г.
88. Coakley T.J., Hsieh T. Comparison between implicit and hybrid
methods for the calculation of steady and unsteady inlet flows. AIAA-85-1125,
1985.
89. Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes. Paris, Memories
presentees par diverses savants a l’Acad. d. Sci., 1877.
90. Favre A. Equations des gaz turbulents compressibles I, II. Journal de
Mecanique. 1965 г., Т. 3,4.
91. S.Bosnyakov, I.Kursakov, A.Lysenkov, S.Matyash, S.Mikhailov,
V.Vlasenko, J.Quest. Computational tools for supporting the testing of civil
aircraft configurations in wind tunnels. Progress in Aerospace Sciences, Vol.44,
2008, pp.67–120.
92. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Главная
редакция Физ.-Мат. лпитературы. 5-е. Москва : Наука, 1991. Т. 1. ISBN/5-
02-0114015-5.
93. Dash S., Weilersteen G,. Vaglio-Laurin R. Compressibility effects
in free turbulent shear flows, TR-75-1436, AFOSR, 1975.
94. Матяш С.В. Идея модификации )( q -модели турбулентности
для устранения нефизичных эффектов при численном моделировании
152
существенно неоднородных течений // Материалы XX школы-семинара
«Аэродинамика летательных аппаратов». – 26–27 февраля 2009. Пос.
Володарского.
95. Marvin J.G. Turbulence modeling for hypersonic flows. The 3d Joint
Europe/US Short Course in Hypersonics. Aachen : RWTH, 1990.
96. С.М.Босняков, В.О.Акинфиев, В.В.Власенко, С.А.Глазков,
А.В.Лысенков, С.В.Матяш, С.В.Михайлов. Методология
математического моделирования обтекания моделей в аэродинамических
трубах и опыт ее практического применения. Часть I. Методология
расчета. “Техника воздушного флота”, т.LXXX, №5 (682), 2006, стр.1-20.
97. Шокин Ю.И., Яненко П.Н. Метод дифференциального
приближения: применение к газовой динамике. Новосибирск, "Наука",
Сиб. отд., 1985.
98. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в
теорию). М., "Наука", 1977.
99. Jameson A. A perspective on computational algorithms for
aerodynamic analysis and design. “Progress in Aerospace Sciences”, Vol.37,
No.2, 2001, p.197.
100. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М., “Мир”,
1999.
101. van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme.
Part V: A second-order sequel to Godunov’s method. “Journal of
Computational Physics”, Vol.32, No.1, 1979.
102. Матяш С.В. Новый метод использования принципа
минимальных приращений в численных схемах второго порядка
аппроксимации. “Ученые записки ЦАГИ”, т.XXXVI, №3-4, 2005, стр.42-
50.
153
103. Eliasson P. EDGE: A Navier-Stokes solver for unstructured grids.
Proc. Finite Volumes for Complex Applications III. 2002 г., pp.527–534.
104. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные
методы. М., “Бином”, 2004.
105. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Москва : Наука,
1978.
106. D.B. Spalding. A single formula for the law of the wall.
J.Appl.Mech., V. 28, 1961, pp. 455-457.
107. V. Vlasenko, A. Shiryaeva. Numerical simulation of non-stationary
propagation of combustion along a duct with supersonic flow of a viscid gas.
Proc IMechE Part G: J. of Aerospace Engineering, Vol. 227, No. 3, pp. 480–
492.
108. D.E. Coles. The law of the wake in the turbulent boundary layer. J.
Fluid Mech., V. 1, 1956, pp. 191-226.
109. T.L. Holst. Viscous Transonic Airfoil Workshop Compendium of
Results // AIAA Paper 87-1460. – 1987. NASA Ames Research Center, Moffett
Field, California.
110. Rivers M.B., Dittberner A. Experimental Investigations of the
NASA Common Research Model in the NASA Langley National Transonic
Facility and NASA Ames 11-Ft Transonic Wind Tunnel // AIAA Paper
2011-1126. – 2011.
154
111. Идельчик Л.Е. Гидравлическое сопротивление. изд. Москва-
Ленинград. 1954 г.
112. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя. М. : "Наука", 1969.
113. Власенко В.В., Морозов А.Н. Алгоритм инициирования
ламинарно-турбулентного перехода при численном моделировании
течения на базе уравнений рейнольдса. Учѐные записки ЦАГИ. 2011 г., Т.
XLII, 4.
114. Ремеев Н.Х. Аэродинамика воздухозаборников сверхзвуковых
самолетов. Жуковский, Издательский отдел ЦАГИ, 2002.
115. Под ред. Г.С.Бюшгенса. Аэродинамика, устойчивость и
управляемость сверхзвуковых самолетов. М., “Наука. Физматлит”, 1998.
155
Приложение 1. Анализ схем на основе модельного
уравнения
Содержание
1. Модельное уравнение и его точные решения
2. Общий вид схемы для решения модельного уравнения
3. Точное и линеаризованное решения задачи Римана
4. Анализ различных способов аппроксимации источниковых членов
5. Явная схема для модельного уравнения
6. Неявная схема для модельного уравнения
7. Анализ схем методом дифференциального приближения
8. Анализ схем методом Неймана
9. Возможность комбинированного расчета
с использованием явной и неявной схем
1. Модельное уравнение и его точные решения
Будем рассматривать двумерное модельное уравнение с конвективным, диффузионным и
источниковым членами:
,0),()(2
2
constuS
y
uu
yy
uu
xt
uvv (П1.1)
или
,Sy
F
y
F
x
F
t
u diffconvy
convx
. (П1.2)
y
uuuFuuF
uuF diffconv
yconv
x
)()(,)(,
2)(
2
v
Считаем, что источниковый член )(uS и вязкость )(u - произвольные нелинейные функции.
В отличие от уравнения переноса 0
x
ua
t
u, у которого единственное стационарное
решение – тривиальное constu , данное уравнение допускает еще нетривиальные
стационарные решения:
156
1. При 0)( uS - стационарный скачок уплотнения:
.,
,,
0
0
xxU
xxUu
2. При 0)( uS , 0)( u - непрерывное нетривиальное стационарное решение. Это решение
следующей задачи:
.,0,0,;
,0,0,
,0,0,),0,(
,0,0,
,0,0,)0,,(
,02
2
RL
R
L
R
L
uutyx
txu
txutxu
yxu
yxuyxu
y
uu
xt
uv
(П1.3)
Данная задача имеет точное аналитическое решение:
.,
,,/
,,
),,(:
;,
,,
,,
),,(:
tuxu
tuxtutx
tuxu
tyxuty
yu
xu
yu
xyu
y
x
yu
xu
tyxuty
LR
RL
LL
RR
RL
LL
v
v
vvv
v
v
(П1.4)
Стационарное решение задачи (П1.4), удовлетворяющее условию энтропии – веер разрежения,
ограниченный характеристиками Ludx
dy v и
Rudx
dy v (рис.П1.1,а).
3. При 0)( uS , 0v , constu )( - стационарный пограничный слой, описываемый
уравнением 2
22
2 y
uu
x
с граничными условиями outUyu ),0( , 0)0,( xu . Это
автомодельное решение вида xCxx
yf
U
u
out
)(,
)(
, которое очень напоминает решение
Блазиуса для уравнений Навье-Стокса (рис. П1.1,б).
157
а)
б)
Рисунок П1.1 Стационарные решения модельного уравнения
2. Общий вид схемы для решения модельного уравнения
При построении схем для модельного уравнения мы не будем интересоваться порядком
аппроксимации. Для простоты конвективный член будет описываться схемой, основанной на
схеме Годунова 1-го порядка аппроксимации (без градиентов), а для диффузионного члена
будет использована простейшая центрально-разностная аппроксимация. Мы также будем
полагать, что сеточные линии параллельны осям x и y и шаги сетки вдоль этих осей - xh , yh -
постоянны.
Мы будем строить численные схемы для решения уравнения (П1.2) методом конечных
объемов. Интегрируем (П1.2) по объему, который заметается ячейкой сетки );( ji при переходе
от временного слоя n к временному слою )1( n (этот объем и нумерация индексов показаны
на рис.П4.2):
2/1
2/1
2/1
2/1
12/1
2/1
2/1
2/1
1 i
i
j
j
n
n
i
i
j
j
n
n
x
x
y
y
t
t
x
x
y
y
t
t
diffconvy
convx dtdydxSdtdydx
y
F
y
F
x
F
t
u. (П1.5)
По теореме Гаусса-Остроградского переходим в левой части формулы (П1.5) к интегралу по
поверхности объема, показанного на рис.П1.2:
2/1
2/1
2/1
2/1
1i
i
j
j
n
n
x
x
y
y
t
t
ydiffconv
yxconv
xt dtdydxSdtdxnFFdtdynFdydxun ,
где Ttyx nnnn ;;
- единичный вектор внешней нормали к поверхности данного объема.
158
Рисунок П1.2. Ячейка и нумерация индексов
Вводим обозначения:
2/1
2/1
2/1
2/1
1
2/1
2/1
12/1
2/1
1
2/1
2/1
12/1
2/1
1
2/1
2/1
12/1
2/1
1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
.),,(1
,),,(1
,),,(1
,),,(1
,),,(1
,),,(1
,),,(1
,),,(1
,),,(1
2/12/12/12/1
2/12/12/12/1
2/12/12/12/1
11
i
i
j
j
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
j
j
n
n
j
j
n
n
i
i
j
j
i
i
j
j
x
x
y
y
t
tyx
ij
x
x
t
t
njdiff
x
diffj
x
x
t
t
njdiff
x
diffj
x
x
t
t
njconvy
xj
convy
x
x
t
t
njconvy
xj
convy
y
y
t
t
niconv
x
yi
convx
y
y
t
t
niconv
x
yi
convx
x
x
y
y
n
yx
nij
x
x
y
y
n
yx
nij
dxdydttyxShh
S
dxdttyxFh
FdxdttyxFh
F
dxdttyxFh
FdxdttyxFh
F
dydttyxFh
FdydttyxFh
F
dxdytyxuhh
udxdytyxuhh
u
(П1.7)
В итоге произвольная схема для решения уравнения (П1.2) на постоянной сетке, линии
которой параллельны осям x и y , может быть представлена в следующем виде:
ij
y
diffj
diffj
y
j
convyj
convy
x
i
convxi
convx
nij
nij
Sh
FF
h
FF
h
FFuu
2/12/12/12/12/12/1
1
(П1.8)
3. Точное и линеаризованное решения задачи Римана
Задача Римана о распаде произвольного разрыва для невязкого аналога уравнения (П1.4) без
источникового члена формулируется следующим образом:
159
.,
,,)0,(
,02
2/1
2/1
2
jR
jL
xxu
xxuxu
u
xt
u
(П1.9)
При построении схем мы будем пользоваться функцией RL uu ,decay , значение которой –
величина ),( txu при 0,2/1 txx j из точного решения задачи (П1.9). Рассматриваемое
уравнение является гиперболическим; оно имеет характеристики udt
dx , вдоль которых
сохраняется инвариант Римана uz . Точное решение фактически получается методом
характеристик. Мы приводим здесь это точное решение без вывода (рис. П1.3).
1) если RL uu , то решение – скачок уплотнения, движущийся со скоростью 2
RL uuD
. В
этом случае
.0,
,0,,decay
Du
Duuu
R
L
RL (П1.10)
2) если RL uu , то решение – веер разрежения, ограниченный характеристиками Ludtdx / и
Rudtdx / . В этом случае
.0,0
,0,
,0,
,decay
RL
RR
LL
RL
uu
uu
uu
uu (П1.11)
Рисунок П1.3 Варианты точного решения задачи Римана (П1.9)
160
Кроме того, при построении неявных схем мы будем использовать функцию RL uu ,decayRoe ,
значение которой – величина ),( txu при 0,2/1 txx j из линеаризованного решения задачи
(П1.9) по методу Роу. Это решение основано на линеаризации конвенктивного потока:
),(),(2
)(2
RLRLconv uuCuuuA
uuF , (П1.12)
где постоянные коэффициенты ),( RL uuA и ),( RL uuC находятся из условий:
.2
),(),(
,2
),(),(
2
2
RRLRRL
LRLLRL
uuuCuuuA
uuuCuuuA
, (П1.13)
Решая (П1.13), находим
.222
)(
,2
),(,2
),(
2RLRLconv
RLRL
RLRL
uuu
uuuuF
uuuuC
uuuuA
(П1.14)
Соответственно, вместо (П1.9) будем решать задачу о распаде разрыва для линейного
уравнения:
.,
,,)0,(
,0),(
2/1
2/1
jR
jL
RL
xxu
xxuxu
x
uuuA
t
u
(П1.15)
Решение этой задачи – разрыв, движущийся со скоростью 2
RL uuD
. Соответственно,
.0,
,0,,decayRoe
Du
Duuu
R
L
RL (П1.16)
В случае, когда исходный разрыв – скачок уплотнения ( RL uu ), это решение совпадает с
точным. Если же исходный разрыв – скачок разрежения ( RL uu ), то в точном решении этот
нефизичный разрыв распадается в веер разрежения, а в решении Роу – остается неизменным
(рис. П1.4).
Решение (П1.16) можно переписать в симметричной форме:
.2
)(sign2
,decayRoe LRRLRL
uuD
uuuu
(П1.17)
161
Рисунок П1.4 Варианты линеаризованного решения задачи Римана (П1.5) методом Роу
4. Анализ различных способов аппроксимации источниковых членов
Проанализируем различные способы аппроксимации источникового члена. Выбросим из
уравнения (П1.1) все члены, кроме нестационарного и источникового. Будем также полагать,
что constuS )( :
.,, 00 constSSut
u
(П1.18)
Точное решение уравнения (П1.18):
.exp)0()( 00 tS
uS
tu
(П1.19)
При 0 имеем экспоненту, растущую до бесконечности; при 0 - экспоненту, которая
убывает и выходит на полочку.
Рассмотрим три аппроксимации данного уравнения:
а) явную:
0
1
Suuu n
nn
; (П1.20)
б) неявную:
01
1
Suuu n
nn
; (П1.21)
Явную аппроксимацию (П1.20) можно переписать в виде:
162
.1 001
Su
Su nn
(П1.22)
Отсюда получаем
nn Su
Su
1)0( 00 . (П1.23)
Легко проверить, что при 0 (П1.23) переходит в точное решение (П1.19).
При конечных необходимо, чтобы поведение геометрической прогрессии (П1.23)
качественно напоминало поведение экспоненты (П1.19).
Если 0 , то геометрическая прогрессия (П1.23) растет при любом , как и экспонента
(П1.19). В этом случае явная схема устойчива при любом .
Если же 0 , то при ||
1
решение начинает менять знак от шага к шагу, а при
||
2
-
еще и экспоненциально растет, тогда как исходная экспонента всегда положительна и затухает.
Итак, явная схема (1.1.20) при 0 абсолютно устойчива, а при 0 - устойчива, если
выполняется ограничение ||
1
.
Решение, полученное по неявной аппроксимации (П1.21):
n
n Su
Su
1
1)0( 00 . (П1.24)
Геометрическая прогрессия (П1.24) растет при ||
1
. При 0
||
1
знаменатель
геометрической прогрессии увеличивается до бесконечности, и мы получаем слишком
большие ошибки. При ||
1
решение начинает менять знак от шага к шагу и
экспоненциально растет, а при ||
2
- еще и экспоненциально затухает, меняя знак.
Если же 0 , то при любом геометрическая прогрессия (П1.24) положительна и затухает,
как и точное решение.
Итак, неявная схема (П1.21) при 0 устойчива, если выполняется ограничение ||
1
, а
при 0 - абсолютно устойчива.
Полученные результаты по поведению явной и неявной схем в зависимости от шага по
времени приведены на рис. П1.5.
163
а) 0 , малые шаги по времени б) 0 , малые шаги по времени
в) 0 , большие шаги по времени г) 0 , большие шаги по времени
Рисунок П1.5. Поведение явной и неявной схем в зависимости от шага по времени
5. Явная схема для модельного уравнения
В нашей “явной” схеме все потоки вычисляются на явном слое, а для источниковых членов
записывается полунеявная (второго порядка) аппроксимация.
Аппроксимации конвективных потоков в явной схеме:
,,
,,decay,,decay
,,
,2
,2
1,2/1,2/1
,,12/1,1,2/1
2/12/12/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
nji
nj
nji
nj
nji
nji
ni
nji
nji
ni
njj
convy
njj
convy
ni
i
convx
ni
i
convx
uuuu
uuuuuu
uFuF
uF
uF
vv (П1.25)
164
где RL uu ,decay - точное решение задачи о распаде разрыва для уравнения 02
2
u
xt
u.
Для вертикальных конвективных потоков также используется точное решение задачи о распаде
разрыва, но для линейного уравнения переноса 0
x
u
t
uv , которое предписывает всегда
брать решение снизу ( 0v ).
Аппроксимации диффузионных потоков основаны на центрально-разностной формуле для
вычисления производной по y :
y
nji
njidiff
jdiffj
y
nji
njidiff
jdiffj
h
uuuF
h
uuuF
1,,
2/12/1
,1,
2/12/1 )(,)(
. (П1.26)
Вязкость вычисляется не по значению n
ju 2/1 , которое получается из решения задачи о
распаде разрыва и является асимметричной функцией от n
jiu , и n
jiu 1, , а по значению
2
1,,
2/1
n
ji
n
jidiff
j
uuu
.
Для источникового члена используется полунеявная аппроксимация с линеаризацией (чтобы
не решать итерациями нелинейное уравнение для 1n
iju ):
.)(
2
1)(
2
)()()(
2
)(1
11
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
ij uuuSuSuuuSuSuSSuS
S
(П1.27)
Поведение полунеявной схемы при разных шагах по времени также показаны на рис.П1.5.
Тогда неизвестное значение 1n
iju находится по формуле:
)(
)(2
1
1 2/12/12/12/11 nij
y
diffj
diffj
x
convi
convi
nij
nij
nij uS
h
FF
h
FF
uS
uu
. (П1.28)
Условие устойчивости данной схемы определяется тремя ограничениями:
1. Аппроксимация горизонтального конвективного потока порождает стандартное
ограничение Куранта-Фридрихса-Леви:
|| D
hxconv
x , (П1.29)
где D - скорость самой быстрой волны в решении задачи о распаде разрыва.
2. Аппроксимация вертикального конвективного потока также порождает
КФЛ-ограничение, но более простого вида:
v
yconv
y
h . (П1.30)
165
3. Аппроксимация вертикального диффузионного потока порождает ограничение на шаг
по времени, которое можно получить при помощи метода Неймана:
4
2
ydiffh
. (П1.31)
4. Ограничение, которое учитывает взаимодействие вертикальной конвекции и
вертикальной диффузии:
2/4
4
conv
y
diff
diff
y
11
. (П1.32)
5. Суммарное ограничение, связанное с пространственными потоками, имеет вид:
1
11
yconvx
xy
. (П1.33)
6. Аппроксимация источникового члена порождает следующее ограничение:
|)(|
2.0nij
source
uS . (П1.34)
Окончательное ограничение на шаг по времени:
.;min source
xy . (П1.35)
6. Неявная схема для модельного уравнения
Наша неявная схема для решения стационарных задач методом установления строится на
основе следующих принципов:
1) по крайней мере, для линейного случая построенная аппроксимация должна быть абсолютно
устойчивой;
2) поскольку в стационарном пределе зависимость от времени исчезает, достаточно
ограничиться первым порядком аппроксимации по времени;
3) в стационарном пределе, когда 0
t, неявная схема должна совпасть с явной.
Чтобы получить абсолютно устойчивую схему, обычно бывает достаточно все потоки
вычислять на неявном слое ( 1n ). При этом, если схема имеет вид (П1.8), мы получим 1-й
порядок аппроксимации по времени, т.к. формула
n
ij
n
ij uu 1
дает значение t
u
на слое ( 1n )
с 1-м порядком точности. Итак, при вычислении потоков на слое ( 1n ) мы удовлетворим
принципу 2 и, скорее всего, удовлетворим принципу 1 (хотя абсолютная устойчивость схемы
еще должна быть доказана).
166
Чтобы удовлетворить принципу 3, представим каждый поток на слое ( 1n ) в виде
FFF nn 1. Тогда сумма потоков будет выглядеть следующим образом:
.
2/12/12/12/12/12/1
2/12/12/12/12/12/1
2/12/12/12/12/12/12/12/1
2/12/12/12/1
1
2/1
1
2/1
1
2/1
1
2/1
1
2/1
1
2/1
y
n
jdiffn
jdiff
y
n
j
convy
n
j
convy
x
n
i
convx
n
i
convx
y
diffj
diffj
y
convj
convj
x
convi
convi
y
diffj
n
jdiffdiff
j
n
jdiff
y
convj
n
j
convy
convj
n
j
convy
x
convi
n
i
convx
convi
n
i
convx
y
n
jdiffn
jdiff
x
n
j
convy
n
j
convy
x
n
i
convx
n
i
convx
h
FF
h
FF
h
FF
h
FF
h
FF
h
FF
h
FFFF
h
FFFF
h
FFFF
h
FF
h
FF
h
FF
(П1.36)
Здесь введен оператор nn aaa 1. При приближении к стационарному решению все a
должны обращаться в нуль. Поэтому для того, чтобы стационарное решение совпало с
решением по явной схеме, необходимо, чтобы явная часть -
y
n
jdiffn
jdiff
y
n
jconvn
jconv
x
n
iconvn
iconv
h
FF
h
FF
h
FF 2/12/12/12/12/12/1 (П1.37)
- аппроксимировалась точно так же, как и в явной схеме. Соответственно, берем
.)(21
,)(21
,,
,,decay,,decay
1,,
,1,2/1
,1,
1,,2/1
1,2/1,2/1
,,12/1,1,2/1
y
nji
njin
jin
ji
n
jdiff
y
nji
njin
jin
ji
n
jdiff
nji
n
j
convy
nji
n
j
convy
nji
nji
n
iconvn
jin
ji
n
iconv
h
uuuuF
h
uuuuF
uFuF
uuFuuF
vv
(П1.38)
Здесь RL uu ,decay - точное решение задачи о распаде разрыва.
Неявная часть все равно должна в конце концов обратиться в нуль. Единственное ее
назначение – обеспечить устойчивость схемы в процессе установления, когда используются
большие шаги по времени. Поэтому для неявной части можно использовать упрощенные
аппроксимации, чтобы облегчить и ускорить решение системы уравнений для 1n
iju , которая
возникает в неявной схеме.
167
Для аппроксимации conv
iF 2/1 и diff
iF 2/1 производится линеаризация потоков. Мы предполагаем,
что в окрестности грани 2/1i можно приближенно заменить решение нелинейного
уравнения
)()(2
2
uSy
uu
y
u
xt
u
на решение линейного уравнения
)(2
2
2/12/1 uSy
u
x
uA
t
uii
,
где, согласно методу Роу, лучше всего брать 2
,1,
2/1
nji
nji
i
uuA
. Итак, матрица Роу
фиксируется на явном слое. Аналогично, значение вязкости в диффузионном члене также
фиксируется на явном слое: )(21
,1,2/1n
jin
jii uu .
Соответственно, горизонтальный конвективный поток выражается формулой (П1.14), откуда
,2
2/1
,1,
2/1
i
nji
njiconv
i uuu
F (П1.39)
где n
i
n
ii uuu 2/1
1
2/12/1
. Значения 1
2/1
n
iu и n
iu 2/1 следует брать из решения задачи о распаде
разрыва для нашей линеаризованной системы уравнений на грани 2/1 jxx в моменты ntt
и 1 ntt , соответственно:
.2
)(sign2
,2
)(sign2
1,
1,1
2/1
1,1
1,1
2/1
,,1
2/1
,1,
2/1
nji
nji
i
nji
njin
i
nji
nji
i
nji
njin
i
uuD
uuu
uuD
uuu
(П1.40)
Здесь была использована формула (П1.17). В этих формулах 2
,1,n
jin
ji uuD
(вычисляется на
слое n в обеих формулах, т.к. мы перешли к линейной системе уравнений и, соответственно,
зафиксировали 2/1iD ). Вычитая одну из формул (П1.39) из другой, получим
2
)(sign2
,,1
2/1
,1,
2/1
jiji
i
jiji
i
uuD
uuu
. (П1.41)
Подставив (П1.40) в (П1.38) и учтя, что Duu n
jin
ji
2
,1,, получим
.2
||
2
||
2||
2
,12/12/1
,2/12/1
,,1
2/1
,1,
2/12/1
jiii
jiii
jiji
i
jiji
iconv
i
uDD
uDD
uuD
uuDF
(П1.42)
168
Аналогичная аппроксимация приращений вертикальных потоков (с учетом 0 constv ):
.,2/1 jiconvj uF v (П1.43)
Поскольку мы решили зафиксировать вязкость на явном слое, то получаем
.,1,
2/1
,1,
2/1
1,
11,
2/12/1
1
2/12/1
y
jiji
j
y
nji
nji
j
y
nji
nji
j
n
jdiffn
jdiffdiff
i
h
uu
h
uu
h
uuFFF
(П1.44)
Аппроксимация источникового члена основана на его линеаризации:
nij
nij
nij
nij
nij
nj uuuSuSuuuSuSuS )()()()()( . (П1.45)
Отсюда (см. (П1.8))
.1
)()(
)()(1
2/1
2/1
2/1
2/1
1
2/1
2/1
2/1
2/1
1
nij
x
x
y
y
t
tyx
nij
nij
x
x
y
y
t
t
nij
nij
nij
yx
ij
udxdydtuhh
uSuS
dxdydtuuuSuShh
S
i
i
j
j
n
n
i
i
j
j
n
n
(П1.46)
2/1
2/1
2/1
2/1
11 i
i
j
j
n
n
x
x
y
y
t
tyx
dxdydtuhh
- среднее значение величины u в данной ячейке за шаг по времени.
Очевидно, )(1 2/1
2/1
2/1
2/1
1
Oudxdydtuhh
nij
x
x
y
y
t
tyx
i
i
j
j
n
n
.
Теперь сравним (П1.46) с аппроксимацией источникового члена в явной схеме:
nij
nij
nij
nijij uuuSuSS 1)(
2
1)( .
В стационарном пределе, когда зависимость от времени исчезает, явная схема дает
)( n
ijij uSS . Чтобы неявная схема дала бы то же стационарное решение, нужно в (П1.46)
использовать аппроксимацию 1)1(
1 2/1
2/1
2/1
2/1
1
nij
nij
x
x
y
y
t
tyx
uudxdydtuhh
i
i
j
j
n
n
. Получаем
.)()1()(
)1()()(
)1()()( 1
ijnij
nij
nijij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nij
nijij
uuSuS
uuuuuSuS
uuuuSuSS
(П1.47)
С точки зрения порядка аппроксимации по времени, нас устроит любое значение 1~ , т.к. это
обеспечивает ).,,(),,(1 22
2/1
2/1
2/1
2/1
1
yx
x
x
y
y
t
tyx
ij hhOdxdydttyxShh
Si
i
j
j
n
n
Поэтому выбор аппроксимации
169
должен диктоваться соображениями устойчивости. Заниматься неявной схемой имеет смысл,
только если эта схема устойчива при больших шагах по времени, чем явная схема. Для
достижения абсолютной устойчивости следует при 0)( n
ijuS взять явную схему ( 1 ), а
при 0)( nijuS - неявную схему ( 0 ). Окончательно берем
.2
|)(|)()( ij
nij
nijn
ijij uuSuS
uSS
(П1.48)
Подставив (П1.38), (П1.42), (П1.43), (П1.44) и (П1.45) в (П1.36) и далее в (П1.8), представим
неявную схему в виде:
)(
2
|)(|)(1
1
2
||
2
||
2
||
2
||
1
2/12/12/12/12/12/1
1,,
1,,
2/1
,1,
2/1
,2/12/1
,12/12/1
,12/12/1
,2/12/1
nij
y
n
jdiffn
jdiff
y
n
j
convy
n
j
convy
x
n
i
convx
n
i
convx
ij
nij
nij
jiji
y
y
jiji
j
y
jiji
j
yji
iiji
ii
jiii
jiii
x
ij
uSh
FF
h
FF
h
FF
uuSuS
uuh
h
uu
h
uu
hu
DDu
DD
uDD
uDD
h
u
v
(П1.49)
или, более компактно,
,1,1,,1,1,1,11,1,n
jijijijiijijjijijiji RHSuAuAuAuAuA (П1.50)
где
).(
,,
,2
||,
2
||
,2
|)(|)(
2
||
2
||1
2/12/12/12/1
2/121,2/121,
2/12/1,1
2/12/1,1
2/12/122/12/12/12/1
nij
y
n
jdiffn
jdiff
x
n
iconvn
iconv
n
j
y
jij
y
ji
ii
x
jiii
x
ji
nij
nij
jj
y
iiii
x
ij
uSh
FF
h
FFRHS
hA
hA
DD
hA
DD
hA
uSuS
h
DDDD
hA
(П1.51)
Итак, (П1.50) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений для
нахождения вектора Tyxyx NNNNjj uuuuu ,,1,2,1 ,...,, . Запишем для неѐ итерационное
решение по методу Гаусса-Зейделя:
nk
jiji
k
jiji
k
ijij
k
jiji
k
jiji RHSuAuAuAuAuA
1,1,,1,1
11
,1,1
1
1,1, (П1.52)
или
k
jiji
k
jiji
k
jiji
k
jijin
ij
k
ij uAuAuAuARHSAu 1,1,,1,1
1
,1,1
1
1,1,
11
(П1.53)
170
По мере приближения к стационарному решению зависимость от шага по времени
пропадает. Таким образом, если обрывать метод Гаусса-Зейделя до осуществления полной
сходимости, потребуется большее количество шагов для установления.
7. Анализ схем методом дифференциального приближения
Метод дифференциального приближения связан с разложением численного решения в ряд
Тейлора. Обычно при использовании этого метода ограничиваются анализом главного члена
этого ряда, связанного с погрешностями аппроксимации, или анализом нескольких старших
членов этого ряда. Поэтому он дает необходимое, но не достаточное условие устойчивости
схемы. Когда в задаче появляется физическая диффузия, этот метод не срабатывает, т.к.
физическая диффузия конкурирует с численной. Зато этот метод работает в нелинейном
случае. Но главное, он позволяет понять причины поведения схемы, объяснить, почему схема
устойчива.
Учитывая ограничения в области применимости метода дифференциального приближения, мы
будем вести наши рассуждения на примере “невязкого” модельного уравнения без
источникового члена, которое получается из (П1.1) при 0)( uS , 0)( u :
02
2
y
uu
xt
uv . (П1.54)
В этом разделе будут даны ответы на следующие вопросы:
1. Почему наша явная схема теряет устойчивость при числе Куранта CFL >1?
2. Почему построенная нами неявная схема устойчива при описании нестационарного
развития течения с большими числами Куранта CFL>1, хотя в Части II было показано, что с
ростом числа Куранта ошибки неявной схемы при описании нестационарного течения могут
быть очень большими?
3. Остается ли устойчивой наша неявная схема при приближении к стационарному
решению, когда неявная часть схемы, пропорциональная u , становится маленькой, и
уравнение неявной схемы все более и более приближается к уравнению неустойчивой явной
схемы?
Чтобы не разбирать различные варианты схемы, связанные с разными вариантами решения
задачи о распаде разрыва, будем вести наш анализ на примере решения задачи о формировании
стационарной волны разрежения, рассмотренной в разделе 1 данного Приложения. Точное
решение этой задачи дается формулой (П1.4). Оно включает как этап нестационарного
развития решения, так и его стационарный предел. На рис.П1.1,а показано стационарное
численное решение этой задачи. Нестационарный этап развития решения иллюстрируется
рисунком П1.6.
171
а) срез численного решения
плоскостью consty
б) срез численного решения
плоскостью 0 constx
Рисунок П1.6. Численное решения задачи П.1.3 при помощи явной схемы.
Срезы функции ),,( tyxu плоскостями consty и constx
Как показывает рис.П.1.6, в этой задаче всегда 0
x
u, и потому в решении задачи о распаде
разрыва всегда будет работать веточка, когда решением задачи является волна разрежения.
Будем брать только 0x . Тогда и на каждой грани )2/1( i будем иметь jiji uu ,1,0 , и
n
ji
n
ji
n
ji uuu ,,1, ),decay( . Кроме того, в распаде Роу всегда будет 02
1,1,
2/1
n
i
n
ji
i
uuD .
Запишем наши явную и неявную схемы для решения уравнения (П1.47) одной формулой:
.2
)(
2
)(1
22
1
1,,2
,12
,
1,,
,1
,,1
,
,1,
y
nji
nji
nji
nji
x
y
jiji
ji
nji
nji
ji
nji
nji
x
ij
h
uuuu
h
h
uuu
uuu
uu
h
u
v
v
(П1.55)
Оператор определяется формулой nn aaa 1. При 0 получим нашу явную схему, а
при 1 - нашу неявную схему.
Запишем дифференциальное приближение к схеме (П1.47). Предполагаем, что численное
решение – дискретная функция n
jiu , , определенная только в центрах ячеек сетки, является
172
частью непрерывной и достаточное число раз дифференцируемой функции. Раскладываем все
компоненты уравнения в ряды Тейлора относительно точки );;( nji вплоть до )( 3O , где под
)( 3O понимаются любые члены порядка )( pn
y
m
x hhO , 3 pnm . Все частные
производные, которые будут встречаться в наших формулах, будут вычисляться в точке
);;( nji .
);(2
32
2
2
,
1
,
Ot
u
t
uuuu n
ji
n
jiij
);(42
)(22
1
2
1
2
32
2
2
,
32
2
2
,,
,1,
xxxn
jixx
x
n
ji
n
ji
n
ji
n
jihO
h
x
uh
x
uuhO
h
x
uh
x
uuu
uu
);(22
)(2
)(422
32
2
2
,,
32
2
23
2
2
2
,
,1,
Oh
t
u
x
u
t
uu
t
uu
Ot
u
t
uhO
h
x
uh
x
uuu
uu
xn
ji
n
ji
xxxn
jiij
n
ji
n
ji
);(422
1)(
22
1
2
32
2
2
,,
32
2
2
,
,,1
xxxn
ji
n
jixx
x
n
ji
n
ji
n
jihO
h
x
uh
x
uuuhO
h
x
uh
x
uu
uu
);(2
)(2
)(22
32
2
22
32
2
2
,
32
2
222
2
2
,
,1
1
,1,1
Ot
uh
tx
u
t
u
hOh
x
uh
x
uuO
t
uh
tx
uh
x
uh
x
u
t
uu
uuu
x
xx
x
n
jixx
x
n
ji
n
ji
n
jiji
);(22
)(2
)(422
32
2
2
,
2
,,
32
2
223
2
2
2
,,1
,,1
Oh
t
u
x
u
t
uuh
tx
uu
t
uu
Ot
uh
tx
u
t
uhO
h
x
uh
x
uuu
uu
xn
jix
n
ji
n
ji
xxxxn
jiji
n
ji
n
ji
);(2
)(2
)(22
32
2
22
3
2
2
2
,
32
2
222
2
2
,
1,
1
1,1,
Ot
uh
ty
u
t
u
hOh
y
uh
y
uuO
t
uh
ty
uh
y
uh
y
u
t
uu
uuu
y
y
y
y
n
jiy
y
y
n
ji
n
ji
n
jiji
);(22222
322
2
22
,
2
,1
2
xx
x
n
ji
n
ji
hOhu
xh
u
x
uu
).(2
)(2
3
2
2
23
2
2
2
,,1,, y
y
yy
y
y
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji hOh
y
uh
y
uhO
h
y
uh
y
uuuuu
173
Подставляем все эти соотношения в (П1.55):
.)(2
)(22222
1
2)(
2
1
)(22
)(22
1
)(2
2
2
23
22
2
22
,
2
,
2
2
2
223
2
2
2
32
2
2
,
2
,,
32
2
2
,,
2
2
2
y
y
xx
x
n
ji
n
jix
y
y
xnjix
nji
nji
xnji
nji
x
hOh
y
u
y
uhO
hu
xh
u
x
uu
h
t
uh
ty
u
t
uO
t
u
t
u
h
Oh
t
u
x
u
t
uuh
tx
uu
t
uu
Oh
t
u
x
u
t
uu
t
uu
h
Ot
u
t
u
v
v
Опускаем везде индексы n
ji , и приводим подобные члены:
).(2222
2
222
2
22
2
2
2
2
2
Oty
u
t
u
x
u
tx
uu
y
uhu
x
h
t
u
y
uu
xt
u
yx vv
v
(П1.56)
Анализ дифференциального приближения к явной схеме
Рассмотрим сначала явную схему ( 0 ). Для нее (П1.56) можно представить в виде:
).(2222
2
2
22
O
y
uh
yx
uuh
xt
u
y
uu
xt
u yxv
v
(П1.57)
Таким образом, вместо исходного уравнения (П1.54) мы решаем модифицированное уравнение
(П1.57), которое содержит в правой части дополнительные члены порядка )(O со вторыми
производными от u .
Члены
x
uuh
x
x
2 и
y
uh
y
y
2
v - это численная вязкость с коэффициентами вязкости
2
uhxx и
2
vyx
h . Они размазывают, сглаживают решение.
Теперь исследуем роль члена
2
2
2 t
u. С точностью до )(O наше уравнение совпадает с
уравнением (П1.54). Значит, )(2
2
O
y
uu
xt
uv и
174
).(
)(2
)(2
22
2
2
Ot
u
yt
uu
x
Ot
u
y
u
txO
y
uu
xtt
u
tt
u
v
vv
Отметим этот факт, который понадобится нам позднее:
).(2
2
O
t
u
yt
uu
xt
uv (П1.58)
Продолжаем преобразования:
).(2
)(2
2
)(22
)(22
)(
22
22
2
222
2
22
2
2
Oy
u
yx
uu
yx
uu
x
Oy
u
y
u
xyx
uu
x
Oy
u
y
u
xy
u
yxx
uu
x
Oy
uu
xyy
uu
xu
x
Ot
u
yt
uu
xt
u
vv
vv
vvv
vvv
v
Таким образом,
).(222
222
2
2
O
x
uu
yy
u
yx
uu
xt
uv
v
(П1.59)
Итак, 2
2
2 t
u
- тоже диффузионный член. Первые два слагаемых в (П1.59) имеют тот же знак,
что и последние два слагаемых в правой части уравнения (П1.57) (напомним, что мы работаем
в области, где 0u и 0v ). Но в уравнение (П1.52) член 2
2
2 t
u
входит со знаком “минус”
и, следовательно, понижает численную вязкость.
Отдельно рассмотрим член
x
uu
yv . В точном решении (П1.4) он строго равен нулю
всюду, т.к. точное решение при v
yt не зависит от y , а в стационарном решении исчезает
весь член 2
2
2 t
u
. В численном решении он может проявляться в момент перехода к
175
стационарному решению, т.к. граница v
yt размазана численной вязкостью. Но в этой
области решение уже должно быть почти стационарно, )(
O
t
u (поскольку сами эффекты
размазывания имеют порядок )(O ), и )(2
2
O
y
uu
xv . Отсюда в этой области
)(
O
y
u
x
uu v и )( 22
O
y
u
yx
uu
yvv . При подстановке в (П1.57) этот
член войдет со знаком “плюс”. Следовательно, он стремится стабилизировать решение в
области приближения к стационарному решению.
Вводим числа Куранта x
xh
uCu
и y
yh
Cu
v и подставляем (П1.59) в (П1.57). В большей
части решения, кроме области перехода к стационарному решению, имеем
).(12
122
22
O
y
uCu
h
yx
uCu
uh
xy
uu
xt
uy
y
xx
vv (П1.60)
Если 1, yx CuCu , то мы имеем всюду положительную численную вязкость. Явная схема
устойчива.
Если 1, yx CuCu , то получаем отрицательную численную вязкость, которая должна привести
к неограниченному росту возмущений. Явная схема становится неустойчивой.
В окрестности приближения к стационарному решению (П1.57) превращается в следующее
уравнение:
).(12
122
22
O
y
uCu
h
yx
uCu
uh
xy
uu
xt
uy
y
xx
vv (П1.61)
Устойчивость схемы в этой области при 1, yx CuCu зависит от того, какой из двух
диффузионных членов “победит”. Но в целом это не важно, - при методе установления
невозможно приблизиться к стационарному решению, не пройдя через существенно
нестационарные стадии, а в этой области явная схема гарантированно неустойчива при
1, yx CuCu .
Вот почему пользоваться явной схемой можно лишь при 1, yx CuCu . При больших числах
Куранта добавок
2
2
2 t
u делает явную схему неустойчивой.
176
Анализ дифференциального приближения к неявной схеме
Теперь обратимся к неявной схеме ( 1 ).
Поскольку t
u
x
u
t
uu
xtx
uu
2
, то для неявной схемы (П1.56) можно представить в
виде:
).(
newschemeexplicitinas
222
2
2
2
2
2
Ot
u
yt
uu
xy
uh
yx
uuh
xt
u
y
uu
xt
u
yx
vv
v
(П1.62)
Неявные добавки связаны только с t
и исчезают при 0
t.
При этом мы уже видели (см. (П1.58)), что ).(2
2
O
t
u
yt
uu
xt
uv
Получаем, что численное решение, полученное по неявной схеме, описывается следующим
дифференциальным уравнением:
).(2222
2
2
22
O
y
uh
yx
uuh
xt
u
y
uu
xt
u yxv
v
(П1.63)
Как видим, неявный оператор с запасом компенсирует вредный член
2
2
2 t
u, делавший
явную схему неустойчивой при 1, yx CuCu .
Вводим числа Куранта x
xh
uCu
и y
yh
Cu
v и подставляем (П1.59) в (П1.63). В большей
части решения, кроме области перехода к стационарному решению, имеем
).(12
122
22
O
y
uCu
h
yx
uCu
uh
xy
uu
xt
uy
y
xx
vv (П1.64)
Численная вязкость всегда строго больше нуля. При этом она тем больше, чем больше число
Куранта.
Заметим также, что при любом числе Куранта численная вязкость неявной схемы больше, чем
численная вязкость явной схемы. Минимальная численная вязкость неявной схемы достигается
при 0Cu . В этом пределе она совпадает с максимальной численной вязкостью явной
схемы, которая растет при уменьшении числа Куранта.
177
Итак, пока решение нестационарно, неявный оператор поддерживает устойчивость схемы,
компенсируя вредный член
2
2
2 t
u.
При непосредственном приближении к стационарному решению проявляется добавок
)( 22
O
y
u
yx
uu
yvv , и получаем
).(12
122
22
O
y
uCu
h
yx
uCu
uh
xy
uu
xt
uy
y
xx
vv (П1.60)
В принципе, этот добавок может вызвать колебания и даже неустойчивость при приближении
к стационарному решению.
При выходе численного решения на незатухающие колебания около постоянного среднего
значения (предельный цикл) можно порекомендовать использовать осреднение численного
решения по времени.
В отличие от явной схемы с локальным шагом по времени, для неявной схемы с глобальным
шагом по времени осреднение по времени является оправданной процедурой. В самом деле,
численное решение описывается уравнением (П1.63). Если решение вышло на режим
колебаний в ограниченном диапазоне значений ];[ maxmin uu , то при осреднении по интервалу
времени 1t
0max
1
~)0()(
1
0
2
2
2
2
t
uT
t
t
ut
t
u
dtt
u
tt
ut
.
Итак, 2
2
2 t
u
пропадет, и мы получим стационарное решение, совпадающее с решением,
полученным по явной схеме.
8. Анализ схем методом Неймана
Метод Неймана (известный также как метод рядов Фурье) является наиболее универсальным
способом точного определения устойчивости схемы. Условие устойчивости, которое
получается методом Неймана, является не только необходимым, но и достаточным. Кроме
того, метод Неймана позволяет количественно исследовать амплитудные и фазовые ошибки
схем. Но, к сожалению, его удается применить только к линейным задачам.
Для метода Неймана можно было бы и добавить вязкие члены, но мы будем рассматривать
тоже невязкий случай, чтобы дать количественное выражение тех эффектов, которые
обнаруживает метод дифференциального приближения. Кроме того, метод Неймана требует,
178
чтобы уравнение было линейным, и поэтому будем рассматривать линейный аналог уравнения
(П1.54):
0,,0
consta
y
u
x
ua
t
uvv . (П1.61)
При этом мы, по крайней мере, сможем проверить, удовлетворяет ли наша неявная схема
высказанному нами в разделе 6 данного Приложения 1-му принципу построения схемы:
построенная схема должна быть абсолютно устойчивой хотя бы в случае линейного
уравнения.
Поведение гармоник точного решения
Мы рассматриваем решение уравнения (П1.61) в конечной области прямоугольной формы,
имеющей размеры xL вдоль оси x и yL вдоль оси y . Хорошие (удовлетворяющие условиям
Дирихле*) функции, определенные в конечной области, можно раскладывать в бесконечные
ряды (а не интегралы) Фурье, предполагая, что за пределами области функции периодически
продолжаются.
Разложим точное решение уравнения (П1.61) в сечении consty , constt в бесконечный
ряд Фурье:
k x
kk
k x
k xh
tyAxkL
tyAtyxu ,exp),(2
exp),(),,(
ii (П1.62)
где введено обозначение
xx
xk
N
k
L
hk
22 (П1.62а)
( xN - количество ячеек вдоль оси x ). Запись (П1.62) означает, что мы представили ),,( tyxu в
виде суммы гармоник (гармонических функций) амплитудой ),( tyAk и длиной волны
(периодом) вдоль оси x
k
NhN
k
hh xxx
x
k
xk
2
22. (П1.62б)
Чтобы найти зависимость ),( tyAk , подставим (П1.62) в (П1.61):
* Функция )(xf , определенная на конечном интервале длиной L , удовлетворяет условиям
Дирихле, если: 1) этот интервал можно разбить на конечное число интервалов, где она непрерывна и
монотонна; 2) для любой точки разрыва 0x существуют )0( 0 xf и )0( 0 xf . Решения задач
аэродинамики, как правило, удовлетворяют условиям Дирихле.
179
0exp
k x
kkk
x
kk xhy
AA
ha
t
A ii v . (П1.63)
Но это разложение нуля в ряд Фурье. Значит, все коэффициенты этого ряда должны быть
равны нулю:
0
y
AA
ha
t
A kk
x
kk v
i . (П1.64)
Теперь разложим в бесконечный ряд Фурье функцию ),( tyAk в каждом сечении constt :
m y
mkm
m y
kmk yh
tUymL
tUtyA ,exp)(2
exp)(),(
ii (П1.65)
где введено обозначение
yy
y
mN
m
L
hm
22 (П1.66а)
( yN - количество ячеек вдоль оси y ). Запись (П1.65) означает, что мы представили ),( tyAk в
виде суммы гармоник (гармонических функций) амплитудой )(tUkm и длиной волны
(периодом) вдоль оси y
m
NhN
m
hh y
yy
y
m
y
m
2
22. (П1.66б)
Чтобы найти зависимость )(tUkm , подставим (П1.66) в (П1.64). Применив такое же
рассуждение, как при переходе от (П1.63) к (П1.64), получим:
0 km
y
mkm
x
kkm Uh
Uh
adt
dU vii . (П1.67)
Получили обыкновенное дифференциальное уравнение, линейное, однородное, 1-го порядка
относительно kmU . Оно имеет следующее решение:
t
hhaUtU
y
m
x
kkmkm
viexp)0()( . (П1.68)
Подставляя (П1.68) в (П1.65), а (П1.65) в (П1.62), получим, что мы представили точное
решение уравнения (П1.61) в виде:
k m y
m
x
kkm ty
hatx
hUtyxu v
iexp)0(),,( . (П1.69)
180
Перейдем в повернутую прямоугольную
систему координат ; , у которой ось
направлена вдоль единичного вектора
22
;
y
m
x
k
y
m
x
k
hh
hh
e
(рис.П1.7).
Видно, что
Рис.П1.7. Поворот системы координат
y
hh
hx
hh
h
yxyyxx
y
m
x
k
y
m
y
m
x
k
x
k
yx
2222
);cos();cos(
ee
(П1.70)
Тогда (П1.69) можно переписать в виде:
k m
km
y
m
x
kkm tc
hhUtyxu
22
exp)0(),,( i , (П1.71)
где введено обозначение
e
,22
V
hh
hha
c
y
m
x
k
y
m
x
k
km
v
. (П1.72)
Запись (П1.69) означает, что мы представили точное решение уравнения (П1.47) в виде суммы
двумерных гармонических функций, имеющих длину волны вдоль оси x (период в каждом
сечении constty , ) k
xk
h
2 и длину волны вдоль оси y (период в каждом сечении
consttx , ) m
y
m
h
2 . А запись (П1.71) означает, что гармоники с длинами волн mk ; ,
не меняя амплитуды )0(kmU , движутся в направлении вектора e
с постоянной
фазовой скоростью, равной проекции скорости течения v;aV
на направление вектора e
.
В отличие от одномерного случая, гармоники разных линейных масштабов движутся в разных
направлениях: для разных значений );( mk мы имеем разные направляющие векторы e
.
181
Поведение гармоник численного решения
Теперь проделаем аналогичные действия с численным решением уравнения (П1.61). Запишем
наши явную и неявную схемы для решения уравнения (П1.61) одной формулой (ср. с (П1.55)):
.1,,,1,1,,,1,
y
nji
nji
x
nji
nji
y
jiji
x
jijiij
h
uu
h
uua
h
uu
h
uua
u
vv
(П1.73)
При 0 получим нашу явную схему, а при 1 - нашу неявную схему.
Поскольку численное решение n
jiu , - дискретная функция, определенная в конечном числе
точек – в центрах ячеек сетки размерностью yx NN , то ее можно разложить только в
конечный ряд Фурье, который будет содержать yx NN членов. Дальнейшие выкладки будут
проведены для случая, когда числа ячеек в каждом пространственном направлении ( xN и yN )
четны.
Разложим численное решение дискретного уравнения (П1.73) в сечении constj , constn в
конечный ряд Фурье:
2
12
2
12
, exp)~
(2
exp)~
(
x
x
x
x
N
Nk
knjk
N
Nk
x
x
njk
nji iAhik
LAu
ii . (П1.74)
Амплитуды гармоник численного решения помечены тильдой - kA~, чтобы отличить их от
амплитуд гармоник точного решения - kA . Чтобы найти зависимость n
jkA )~
( от n и j ,
подставим (П1.74) в (П1.73) и после сокращения на ikiexp получим:
.
)~
()~
(exp1)
~(
)~
()~
(exp1)
~(
)~
(
1
1
y
njk
njk
x
knjk
y
jkjk
x
kjk
jk
h
AA
hAa
h
AA
hAa
A
v
v
i
i
(П1.75)
Теперь разложим в конечный ряд Фурье функцию njkA )
~( в каждом сечении constn :
2
12
2
12
exp~2
exp~
)~
(
y
y
y
y
N
Nm
mnkm
N
Nm
y
y
nkm
njk jUhjm
LUA
ii . (П1.76)
Чтобы найти зависимость n
kmU~
от n , подставим (П1.76) в (П1.75). Получим:
182
.
exp1~exp1~
exp1~exp1~~
x
mnkm
x
knkm
y
mkm
x
kkm
km
hU
hUa
hU
hUa
U
ii
ii
v
v
(П1.77)
Введем одномерные числа Куранта x
xh
aCu
и y
xh
aCu
:
.~
exp1exp1
~exp1exp11
nkmmykx
kmmykx
UCuCu
UCuCu
ii
ii
Вспомнив, что n
km
n
kmkm UUU~~~ 1
, перепишем это выражение в виде:
.
~exp1exp1)1(1
~exp1exp11 1
nkmmykx
nkmmykx
UCuCu
UCuCu
ii
ii
Получаем
km
kmnkm
nkm
U
U
L
L
1
)1(1~
~ 1
, (П1.78)
где введена функция
mykxyxkm CuCuCuCu iiL exp1exp1),( (П1.79)
Поскольку правая часть (П1.78) не зависит от n , то n
kmU~
- геометрическая прогрессия со
знаменателем
km
kmkmr
L
L
1
)1(1. (П1.80а)
Таким образом,
nrUrUU kmn
kmkmn
kmkmnkm iexp||)0()()0(
~ . (П1.80б)
Здесь мы представили комплексное число kmr в показательной форме записи: kmerr kmkm
i || .
Подставляя (П1.80б) в (П1.76), а (П1.76) в (П1.74), получим, что мы представили численное
решение уравнения (П1.47) в виде:
2
12
2
12
, exp||)0(
x
x
y
y
N
Nk
N
Nm
km
y
m
x
knkmkm
nji ty
hx
hrUu
i , (П1.81)
183
где xhix , yhjy , nt . Переходя к переменной 22
y
m
x
k
y
m
x
k
hh
yh
xh
, получим
2
12
2
12
22
~exp||)0(),,(
x
x
y
y
N
Nk
N
Nm
km
y
m
x
knkmkm tc
hhrUtyxu
i , (П1.82)
где введено обозначение
22
~
y
m
x
k
km
km
hh
c
. (П1.83)
Запись (П1.81) означает, что мы представили точное решение уравнения (П1.61) в виде суммы
двумерных гармонических функций, имеющих длину волны вдоль оси x (период в каждом
сечении constty , ) k
Nh
h xx
k
xk
2 и длину волны вдоль оси y (период в каждом
сечении consttx , ) m
Nh
h y
y
m
y
m
2. Поскольку
2;
2
xx NNk , то
;2
x
kN
k,
;
2
y
mN
m и, соответственно, ;2 x
xxk h
k
Nh и
;2 y
y
ym hm
Nh . Таким образом, процессы с линейным масштабом, меньшим, чем
yx hh 22 , не разрешаются схемой.
А запись (П1.82) означает, что гармоники с длинами волн mk ; движутся в направлении
вектора e
с фазовой скоростью kmc~ . При этом их амплитуда меняется по закону
n
kmkm rU ||)0( .
Сравнивая поведение гармоник численного решения (П1.82) с поведением гармоник точного
решения (П1.71), мы приходим к выводу, что из-за погрешностей аппроксимации появляются
ошибки двух родов:
1. Амплитудные ошибки: амплитуда гармоник точного решения постоянна, а амплитуда
гармоник численного решения меняется по закону n
kmkm rU ||)0( . Амплитудные ошибки
184
можно охарактеризовать отношением амплитуды численного решения к постоянной
амплитуде точного решения, равной )0(kmU . Это отношение равно n
kmr || .
Если 1|| kmr , то амплитуда гармоник численного решения растет неограниченно. Это и есть
неустойчивость схемы. Таким образом, мы получаем условие устойчивости: 1|| kmr для
всех длин волн mk ; . Можно доказать, что это условие является не только необходимым, но
и достаточным.
2. Фазовые ошибки проявляются в том, что гармоники численного решения движутся по
пространству со скоростями, отличающимися от скоростей соответствующих гармоник
точного решения. Это приводит к искажению скоростей распространения волн, а также к
искажению профиля решения (если разные гармоники движутся с разными скоростями –
численная дисперсия). Фазовые ошибки можно охарактеризовать отношением фазовой
скорости гармоник численного решения 22
~
y
m
x
k
km
km
hh
c
к фазовой скорости
амплитуде точного решения 22
y
m
x
k
y
m
x
k
km
hh
hha
c
v
.
Далее амплитудные и фазовые ошибки рассматриваться не будут, поскольку они
характеризуют лишь поведение схемы при описании нестационарных процессов, а предметом
интереса в настоящей работе являются стационарные решения. Поэтому мы ограничимся лишь
анализом устойчивости явной и неявной схем.
Анализ свойств явной схемы
Для явной схемы нужно положить в (П1.80а) 0 . Это дает
.expexp1
1
mykxyx
kmkm
CuCuCuCu
r
ii
L
(П1.84)
Как видим, комплексное число kmr представляет собой сумму действительного числа
yx CuCu 1 и комплексных чисел kxCu iexp и myCu iexp . Эту сумму удобно
представить геометрически – см. рис.П1.8.
185
Для устойчивости ( 1|| kmr ) нужно, чтобы радиус-вектор, соответствующий числу kmr ,
находился внутри единичного круга (закрашенная область на рис.П1.8). Легко понять, что
наиболее тяжелая для устойчивости ситуация, которая обеспечивает максимальную длину
вектора kmr , реализуется в случае, когда mk - см. рис.П1.9. (Вообще, это
естественно: у нормальной схемы максимальные проблемы должны возникать с теми
гармониками, которые хуже всего разрешаются сеткой, т.е. с самыми короткими длинами
волн.)
Рис.П1.8. Параметр kmr для явной схемы
Рис.П1.9. Наихудшая ситуация для явной схемы
Получаем условие устойчивости:
1221 yx CuCu ,
откуда
1 yx CuCu . (П1.85)
Переведем условие (П1.85) в ограничение на шаг по времени:
1yx hh
a
v ,
откуда
yxyx hh
a
11
11
v
. (П1.86)
Итак, знаменитое двумерное условие устойчивости из книги Годунова на самом деле строго
выводится в линейном случае методом Неймана. Особо хочется обратить внимание, что это
условие не “с запасом” - оно дает точную границу устойчивости схемы. Но – только в случае
линейного конвективного уравнения.
186
Анализ свойств неявной схемы
Для неявной схемы нужно положить в (П1.80а) 1 . Это дает
.expexp11
,1
1
mykxyxkm
km
km
zCuCuCuCu
r
iiL
L
(П1.89)
Условие устойчивости 1|| kmr можно в данном случае переформулировать в виде
1|1| kmL . Комплексное число kmL1 представляет собой сумму действительного числа
yx zCuCu 1 и комплексных чисел kxCu iexp и myCu iexp . Эту сумму удобно
представить геометрически – см. рис.П1.10.
Для устойчивости ( 1|1| kmL ) нужно, чтобы радиус-вектор, соответствующий числу
kmL1 , находился вне единичного круга (закрашенная область на рис.П1.10). Наиболее
тяжелая для устойчивости ситуация, которая обеспечивает минимальную длину вектора
kmL1 , реализуется опять-таки в случае, когда mk - см. рис.П1.11. Но для этого
случая имеем
11|1| yxyxkm CuCuCuCuL .
В остальных случаях 1|1| kmL . Итак, мы доказали, что наша неявная схема хотя бы в
случае линейного модельного уравнения (П1.61) является абсолютно устойчивой. Таким
образом, построенная нами неявная схема удовлетворяет Принципу 2, который был
сформулирован в разделе 6 настоящего Приложения.
Эффект возможной неустойчивости неявной схемы, который был обнаружен выше, здесь не
возникает – не потому, что он связан с каким-то нелинейным взаимодействием, а потому, что
он возникает в момент приближения к стационарному решению, а в линейном случае решение
нестационарно всегда (за исключением тривиального случая равномерного потока).
Рис.П1.10. Параметр kmr для неявной
схемы
Рис.П1.11. Наихудшая ситуация для неявной схемы
187
9. Возможность комбинированного расчета
с использованием явной и неявной схем
В этом разделе будет рассмотрен результат, полученный автором на этапе, предшествовавшем
исследованиям, описанным в разделах 1-8 настоящего Приложения. На этом этапе
рассматривалась возможность применения неявной схемы к решению нестационарных задач.
Тем не менее, полученный результат стал поводом к идее комбинированного численного
метода, который выносится на защиту в настоящей работе.
Рассматривается модельное уравнение (П1.1) с 0v , 0)( uS , 0 const :
y
uu
xt
u
22
2 . (П1.90)
Для получения нестационарного решения строится неявная схема вида (П1.8), в которой все
потоки аппроксимируются на слое )1( n . Для аппроксимации производных по пространству
используются те же идеи, что и в неявной схеме, описанной в разделе 6 настоящего
Приложения. Однако, в отличие от той схемы, в схеме для решения нестационарных задач не
производится линеаризация потоков.
Рассматривается двумерная задача о взаимодействии пограничного слоя и движущегося скачка
уплотнения.
Расчетная область имеет прямоугольную форму. На нижней границе задано “условие
прилипания” 0u . Пограничный слой на пластине в начальный момент времени 0t
отсутствует. Пусть L - длина расчетной области. В начальный момент времени в сечении был
задан разрыв параметров: 0
0
10 , /3,( )
, / 3.
L
R
u u x Lu x
u u x L. Такой разрыв является аналогом скачка
уплотнения в реальных течениях и должен двигаться со скоростью 0
11
2 2
L Ru u
D u . Сквозь
левую границу непрерывно вдувается поток со скоростью 010Lu u . При 0t t скачок
движется вдоль пластины, а на пластине постепенно нарастает пограничный слой. Расчет
заканчивается в момент времени, когда в скачок должен достигнуть сечения 2 /3x L .
Задача решается на многоблочной расчетной сетке. Расчѐтная область разбита на четыре
одинаковых прямоугольных блока по 50х50 ячеек, всего – 10000 ячеек. В продольном
направлении сетка всюду равномерна. В поперечном направлении сетка в обоих верхних
блоках равномерная, а в нижних блоках имеет сгущение к стенке. Сгущение осуществляется
по геометрическому закону. Отношения размеров соседних ячеек не превышает 1.5, отношение
размера максимальной ячейки к размеру минимальной - 610 . На границах между блоками
ставится граничное условие “joint”. При этом граничном условии вычисления в приграничных
188
ячейках данного блока проводятся так, как будто в приграничных ячейках соседнего блока
используется тот же алгоритм численной схемы, что и в ячейках данного блока.
Скачок уплотнения был задан таким образом, чтобы одна из границ типа “joint” рассекала его
пополам. Вторую границу он пересекал при движении всем фронтом.
Сначала расчет был проведен с использованием неявной схемы во всех блоках расчетной
области. В расчетах не было обнаружено никаких эффектов, связанных с разделением
расчѐтной области на блоки. Таким образом, граничное условие “joint” обеспечивает
“прозрачность” границы для численной схемы.
Далее был использован зональный подход, при котором верхние блоки с равномерной сеткой
рассчитывались по базовой явной схеме с шагом по времени, который соответствовал
максимальным ограничениям для этой схемы (
4
,
2
maxmax
yдиффxконвh
u
h ). Нижние же блоки
рассчитывались по неявной схеме с тем же шагом по времени. При этом из-за сильного
сгущения сетки к пластине в этих блоках локальное число Куранта достигало значения 1210 . В
расчете не было обнаружено никаких эффектов, связанных с тем, что в верхних и нижних
блоках использовались различные типы схем – см. рис.П1.12.
Эта тестовая задача показывает, что возможно использование разных схем (явной и неявной) в
разных ячейках расчетной области без использования специальных алгоритмов, сопрягающих
решение в “явной” и “неявной” областях.
Рисунок П1.12. Решение задачи о взаимодействии пограничного слоя со скачком с
применением зонального подхода. Расчѐтная область разделена на четыре одинаковых блока,
верхние блоки считаются по явной схеме с числом Cu=1, нижние - по неявной схеме.
Используется глобальный шаг по времени.
189
Приложение 2. Базовый явный численный метод
Базовый явный численный метод, используемый в пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ,
реализован для многоблочных регулярных сеток с шестигранными ячейками. В ходе расчета в
памяти хранятся параметры газа в центрах ячеек сетки. На рис.П2.1 показана ячейка расчетной
сетки с номером ),,( kji .
Рис.П2.1. Ячейка расчетной сетки и нумерация индексов
1. Определение характеристик расчетной сетки
Центры ячеек расчетной сетки определяются, как среднее арифметическое вершин ячейки, а
центры граней ячеек – как среднее арифметическое вершин грани. Удобство такого подхода
заключается в малом количестве вычислений, в устойчивости алгоритма к “плохим сеткам” (с
сильно вытянутыми, скошенными и вырожденными ячейками), а также в том, что центры
ячеек находятся на середине отрезков, соединяющих центры противолежащих граней ячеек.
При формулировке численного метода вводится система координат ),,( kji , связанная с
сеточными линиями.
Введем операторы приращений вдоль сеточных линий:
190
.
;
;
,,,,12/1
,,2/1,,12/1
,,,,2/12/1
kjikjii
kjikjiRi
kjikjiLi
aaa
aaa
aaa
; (П2.1)
Приращения координат вдоль сеточных линий определяются следующими соотношениями:
.
;
;
2/12/12/1
2/12/1
2/12/1
iRii
Liii
Rii
Ri
Lii
Li
r
r
. (П2.2)
Чтобы установить связь между производными от параметров газа вдоль сеточных линий и
производными вдоль осей декартовых координат, нужно знать матрицу Якоби преобразования
координат:
1
kji
kji
kji
kkk
jjj
iii
zzz
yyy
xxx
zzz
yyy
zyx
J . (П2.3)
Эту матрица определяется как в центрах ячеек, так и в центрах граней.
В центрах ячеек метрические коэффициенты, входящие в (П2.3), вычисляются по формуле:
i
Li
Lii
Lii
Ri
iLi
Li
Ri
Ri
kjii
rrrr
2/1
2/12/12/1
2/1
2/1
2/1
2/1
,,2
,2
,,ioninterpolat
, (П2.4)
где использована функция
RL
LRLL
RL
RLLRRLRL
xxx
xxxx
),,,ion(interpolat . (П2.5)
Здесь учтено, что i
Li
Li
Ri
Ri rr
2/1
2/1
2/1
2/1
, т.к. центр ячейки находится на середине отрезка,
соединяющего противолежащие грани.
В центрах граней ячеек, расположенных внутри расчетной области (не на границе)
метрические коэффициенты вычисляются так:
,
,
,2
,2
,,ioninterpolat
2/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/1
2/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/1
,,2/1
2/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/1
2/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/12/1,2/1,2/1
,,2/1
2/12/1
2/1
2/1
2/1
2/1
,,2/1
kjikjikjikji
kjikjikjikji
kjik
kjikjikjikji
kjikjikjikji
kjij
iRii
Li
iRi
Ri
Li
Li
kjii
rrrr
rrrrr
rrrr
rrrrr
rrr
(П2.6)
191
В центрах граней ячеек, расположенных на границе (эти грани имеют номера 2/1i и
2/1 iNi , где iN - число внутренних ячеек вдоль оси i в данном блоке расчетной области),
используются формулы:
,
,2
,2
,,ionextrapolat
2/1
2/1
,,2/1
2/1
2/12/32/12/1
2/3
2/3
2/1
2/1
,,2/1
iLN
LN
kjNi
iR
Ri
Li
Ri
R
iL
L
iR
R
kji
i
i
i
rr
rrrr
(П2.7)
где использована функция
2
21112121 ),,,ion(extrapolat
xxxxx , (П2.8)
и учтено, что i
L
L
iR
R rr
2/3
2/3
2/1
2/1
, т.к. центр ячейки находится на середине отрезка, соединяющего
противолежащие грани.
Исключение составляет граница типа “Joint”, где используются те же формулы (9), что и для
внутренних граней ячеек.
Для производных вдоль направлений, касательных к границе расчетной области, на гранях
2/1i и 2/1 iNi для любого типа границы используются те же формулы (9), что и для
внутренних граней ячеек.
Отметим, что формулы (П2.4), (П2.6), (П2.7) дают значения метрических коэффициентов со
2-м порядком аппроксимации.
2. Аппроксимация конвективных потоков
Для описания конвективных потоков в пакете EWT-ЦАГИ используется модифицированный
вариант схемы Годунова-Колгана-Родионова (ГКР). Это одна из наиболее эффективных и
надежных схем типа Годунова (то есть схем, основанных на решении задачи Римана о распаде
произвольного разрыва), разработанных в России. Это монотонная схема 2-го порядка
аппроксимации по всем переменным.
Чтобы достичь второго порядка аппроксимации по пространственным координатам,
предполагается, что распределение параметров в каждой расчетной ячейке является линейным.
Минимальный шаблон схема будет иметь, если при вычислении градиентов параметров в
ячейке ограничиться использованием двух соседних ячеек, тогда
ii
mi
ii
mi
kjii
m PPf
P
2/1
2/1
2/1
2/1
,,
, . В соответствии с теоремой Годунова, при использовании
любой линейной функции f схема оказывается немонотонной, с нефизичными осцилляциями
192
решения, или даже неустойчивой,. Поэтому при вычислении приращений параметров в ячейке
используется нелинейная функция-лимитер, которая отслеживает распределение параметров
газа вдоль сеточной оси и ограничивает значения градиентов таким образом, чтобы обеспечить
монотонность схемы:
ii
nmi
ii
nmi
n
kjii
m PPP
2/1
2/1
2/1
2/1
,,
)(,
)(limiter , (П2.9)
где mP - m -я компонента вектора параметров газа P
.
Эти градиенты вычисляются лишь с 1-м порядком аппроксимации – этого достаточно для
достижения 2-го порядка аппроксимации при расчете параметров газа.
Этот подход был впервые предложен В.П.Колганом, который предложил первую функцию-
лимитер. Десять лет спустя аналогичный метод был предложен и математически обоснован
А.Хартеном. Таким образом, широко используемый во всем мире TVD-подход является
аналогом подхода, используемого в пакете EWT-ЦАГИ.
Чтобы достичь второго порядка аппроксимации по времени, используется двухшаговая
процедура “предиктор-корректор.
Шаг-предиктор используется, чтобы получить начальное приближение к значениям
параметров на )1( n -м временном слое - * kjiP
(с 1-м порядком точности по времени).
Вычисления производятся по схеме (4), причем потоки вычисляются по формулам типа
)( 2/12/1n
ii PFF
, где )(PF
- вектор потоков сквозь грань, , а niP 2/1
- значения параметров газа
на гранях ),,2/1( kji и ),,2/1( kji на известном временном слое n . На предикторе в ячейке
),,( kji эти значения вычисляются по следующим формулам:
., 2/1,,,,2/12/1,,,,2/1 iRi
n
ijki
nkji
nkjii
Li
n
ijki
nkji
nkji
PPP
PPP
(П2.10)
Производные в (П2.10) рассчитываются по формуле (П2.9). Поскольку в ячейке ),,1( kji для
вычисления nkjiP ,,2/1
используется вторая из формул (П2.10), предиктор является
неконсервативной процедурой (при работе в ячейках ),,( kji и ),,1( kji используются разные
значения nkjiP ,,2/1
). Тем не менее лишь при использовании этой процедуры удается доказать
монотонность схемы ГКР для уравнения переноса.
Шаг-корректор используется, чтобы получить окончательные значения параметров на )1( n -м
временном слое - 1 nkjiP
. Чтобы достичь 2-го порядка точности по времени, делается
предположение, что параметры зависят линейно не только от пространственных координат, но
193
и от времени. Если это так, то среднее значение потока за шаг по времени равно значению
потока на слое )2/1( n : )()(1
21
2/12/12/1nn
i
t
t
ini tFdttFF
nn
n
. Поэтому вычисления
производятся снова по схеме (4), но потоки вычисляются по формулам типа )( 2/12/12/1
n
ii PFF
.
Чтобы определить значения параметров газа на грани ячейки ),,2/1( kji на временном слое
)2/1( n , мы сначала находим параметры в центрах ячеек на слое )2/1( n . Для этого мы
используем оценки для параметров на слое )1( n , которые были получены на
шаге-корректоре - *,, kjiP
. С их помощью получаем *
,,,,2/1
,,2
1kji
nkji
nkji PPP
.
Параметры распределены по пространству и по времени линейно. В рамках схемы второго
порядка аппроксимации, градиенты параметров постоянны по пространству и времени.
Поэтому на слое )2/1( n берутся те же значения градиентов, что и на шаге-предикторе – со
слоя n :
n
kjii
n
kjii
PP
,,
2/1
,,
,что экономит вычислительные затраты на совершение шага по
времени. Рассчитанные таким способом производные в центрах ячеек используются только в
“невязкой” части схемы.
На грани ячейки ),,2/1( kji в момент времени 2/1 ntt возникает разрыв параметров.
Параметры газа слева от грани ) , ,2/1( kji (в ячейке ) , ,( kji ) и справа от грани ) , ,2/1( kji
(в ячейке ) , ,1( kji ) равны
iRi
n
kjii
nkjiRi
Li
n
ijki
nkjiL
PPP
PPP
2/1
,,1
2/1,,12/1
2/1,, ,
. (П2.11)
Окончательное значение параметров газа на грани - 2/12/1
n
iP
берѐтся из решения задачи Римана о
распаде произвольного разрыва при 02/1 ntt . Это значение позволяет вычислить потоки
через грань ),,2/1( kji - 2/1iF
(см. (4)).
Поскольку параметры распределены слева и справа от грани линейно, решение задачи Римана
о распаде произвольного разрыва не будет автомодельным. Однако этим прененбрегается в
силу малости времени после распада. Находится решение автомодельной задачи Римана о
распаде разрыва между двумя полубесконечными однородными невязкими потоками с
параметрами RL PP
, :
), ,decay( 2/1,,2/1 RL
nkji PPP
(П2.12)
194
Использование решения задачи Римана позволяет правильно распределить информацию,
приходящую на грань из обеих соседних ячеек по характеристикам, и обеспечивает высокие
надежность и качество результатов.
Схема ГКР устойчива, если удовлетворяется стандартное ограничение Куранта-Фридрихса-
Леви (КФЛ) на шаг по времени. Физический смысл этого условия - плоские волны,
распространяющиеся вдоль нормалей к граням, не должны успеть дойти до центров
противолежащих граней. Скорости крайних волн, идущих от граней внутрь ячейки - 2/1ic и
2/1ic , находятся из решения задачи о распаде разрыва для граней ),,2/1( kji и
) , ,2/1( kji .Отсюда, шаг по времени не должен превышать величину
2/1
2/12/12/1
2/1
2/12/12/1 )(;
)(min
i
iii
i
iiiEuleri
c
nrr
c
nrr
. (П2.13)
Аналогично вычисляются ограничения вдоль других сеточных линий: Eulerj и
Eulerk .
3. Аппроксимация диффузионных потоков
Диффузионные потоки сквозь грани расчетной ячейки сетки и имеют вид линейных
комбинаций выражений вида m
lf
T
Tf x
f
PrPr
, где
lf - параметры из набора
;;;;; qwvuTf
.
При аппроксимации этих членов уже нельзя пользоваться моделью распада разрыва между
двумя полубесконечными потоками, - ведь в этой модели параметры газа между волнами
постоянны, и 0
m
l
x
f.
Рассмотрим для примера грань ),,2/1( kji . Перейдем в криволинейную систему координат,
связанную с сеточными линями - ),,( kji (см. раздел 1 данного Приложения). Будем
вычислять производную на грани по формуле:
m
k
km
j
jm
i
im x
f
x
f
x
f
x
f
. (П2.14)
Для получения аппроксимации 2-го порядка точностиприменяется формула, учитывающая
возможную неравномерость расчѐтной сетки и совпадающая с центрально-разностной
аппроксимацией на равномерных сетках:
)(2
1 2,,1,,2/1
2
12
2
2
12/1 ,,1,,,,1,,
hOfff
kjikjii
iiiikjikjikjikji
.
195
Поскольку )(2
1
2
12/12/1,,1,,2/1 hOi
Rii
Likjikjii , производную
kjikjiif
,,1,,2
122 /
достаточно вычислить с первым порядком точности. Для этого
используются значения производных i
f
в центрах ячеек, прилегающих к данной грани.
Получаем
iRii
Li
ii
i
i
ii
i
ii
f
ff
2/12/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/12
1
. (П2.15)
Для вычисления производных вдоль касательных к грани направлений также используются
значения производных в центрах ячеек:
,,,,ioninterpolat
,,,,ioninterpolat
2/12/1
,,1,,2/1
2/12/1
,,1,,2/1
iRii
Li
kjikkjikik
iRii
Li
kjijkjijij
fff
fff
(П2.16)
Используемые в аппроксимации (П2.15)-(П2.16) производные в центрах ячеек вычисляются по
формуле, которая на равномерной сетке превращается в центральную разность:
2
,2
,,ioninterpolat 2/12/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
mimi
mi
i
mi
i
im
fff
. (П2.17)
Рассчитанные таким способом производные в центрах ячеек используются только в
“диффузионной” части схемы.
На шаге-корректоре значения параметров f
в (П2.15)-(П2.17) вычисляются на временном слое
)2/1( n . Поскольку предиктор – промежуточный шаг, который призван дать решение лишь с
1-м порядком точности, на предикторе используются значения градиентов на слое )2/1( n ,
которые были рассчитаны на корректоре предыдущего шага по времени. (Проблема первого
шага по времени при этом не возникает, поскольку величина первого шага по времени всегда
берется равной нулю.)
Наконец, для вычисления молекулярной и турбулентной вязкости на грани ),,2/1( kji
необходимы значения параметров потока на грани ячейки - 2/1if
. Можно было бы взять это
значение из решения задачи о распаде произвольного разрыва. Однако решение задачи Римана
– принципиально асимметричная процедура, которая определяется взаимодействием потоков
слева и справа от грани ячейки. Это противоречит изотропии молекулярной диффузии,
196
интенсивность которой не зависит от направления диффузионного потока. Иногда
использование значения из решения задачи Римана приводит к ситуации, когда 2/1iT в ходе
расчета берется то слева от грани, то справа от грани, что вызывает нефизичные
автоколебательные процессы. Поэтому параметры на грани ячейки в диффузионных потоках
вычисляются следующим образом:
mimin
kjin
kjiviscid
i fff 2/12/12/1
,,12/1
,,2/1 ,,,ioninterpolat
. (П2.18)
Описанная аппроксимация диффузионных потоков устойчива при выполнении следующего
ограничения на шаг по времени:
D
rr iiNSi
4
|| 22/12/1
, (П2.19)
где D - наибольший из коэффициентов диффузии, присутствующих в задаче:
T
T
T
T
T
TT
Pr;
Pr;
PrPr;
3
4max
1qTCTC pp
D .
Зная ограничения (П2.13) и (П2.19), можно рассчитать ограничение на шаг по времени,
учитывающее взаимодействие конвекции и диффузии:
2/411
4
Euleri
NSi
NSiflux
i
. (П2.20)
Окончательное ограничение на шаг по времени, связанное с потоковыми членами,
рассчитывается по формуле:
fluxk
fluxj
fluxi
flux
111
1
. (П2.21)
4. Аппроксимация источниковых членов
Для источниковых членов используется неявная аппроксимация. Используются выражения
(11), в которых коэффициенты CBACBA qqq ,,,,, зависят от значений “вязких” градиентов
скорости.
На предикторе используются значения “вязких” градиентов с предыдущего шага, со слоя
)2/1( n , и применяется явная аппроксимация источниковых членов 1-го порядка точности по
времени:
nq
nqn
nq
n qCBAqS
2/12/1 1
)(
,
22/12/1 )()( nnnnnn CBAS .
197
На корректоре рассчитываются новые значения “вязких” градиентов – по параметрам на слое
)2/1( n . Затем по новым значениям “вязких” градиентов рассчитываются новые значения
коэффициентов - 2/12/12/12/12/12/1 ,,,,, nnq
nq
nq
nq
nq CBACBA . Параметры турбулентности на слое
)1( n находятся из решения следующей системы нелинейных уравнений:
,)()(2
/)(
,)()(2
/)(
12/111
12/111
nnnnnnn
nnnnnnn
SSVF
qSqSVqFqq
(П2.22)
где 2/12/1 )(,)( nn FqF - разность потоков через грани ячейки (потоки умножены на
площади к граням ячеек ячейки – см. (68)); V - объем ячейки; в формулах для nqS )( , 1)( nqS ,
nS )( , 1)( nS используются новые значения коэффициентов CBACBA qqq ,,,,, .
Схема (П2.22) – локально-неявная схема. Она не связана с неизвестными параметрами на слое
)1( n в соседних ячейках. В результате не возникает необходимости решать гигантские
системы нелинейных уравнений для всех ячеек расчетной сетки одновременно; в каждой
ячейке решается система из двух нелинейных уравнений.
Система нелинейных уравнений (П2.22) решается приближенно, с помощью одной итерации
метода Ньютона (что эквивалентно линеаризации). Обращение матрицы
n
kjiu
W
,,
R
производится аналитически.
Сначала по новым значениям коэффициентов CBACBA qqq ,,,,, пересчитываются значения
nnq
nqn
nq
nn qCBAqS
2/12/1 1
)( и 22/12/1 )()( nnnnnn CBAS . После
этого вычисляются величины VqFqSR nn /)()( 2/11
и VFSR nn /)()( 2/12
. Наконец,
значения 11 nn q и 11 nn рассчитываются по следующим формулам:
,det
,det
21111
21212211
R
RRqq
nnnn
nnnn
где 1112
1
, 2222
1
, n
n
nq
q qA
C
2
2/1
12)(2
, 2211det , а собственные числа
матрицы R равны
nq
nqn
nq
CBA
2/1
2/1
1 , nnn CB 2/12/1
2 2 . (П2.23)
198
(Матрица R вычисляется на слое n , а не на слое )2/1( n , т.к. значения параметров на слое
)2/1( n , полученные по упрощенной процедуре на предикторе, в условиях
экспоненциального роста мод решения менее надежны, чем значения параметров на слое n .
Что касается коэффициентов CBACBA qqq ,,,,, , то мы можем рассчитать их только на слое
)2/1( n ; поэтому делается предположение о том, что эти коэффициенты постоянны в течение
шага по времени и равны 2/12/12/12/12/12/1 ,,,,, nnq
nq
nq
nq
nq CBACBA . Именно поэтому значения
nqS )( и nS )( вычисляются также с использованием значений
2/12/12/12/12/12/1 ,,,,, nnq
nq
nq
nq
nq CBACBA .)
Данная аппроксимация источниковых членов устойчива при выполнении условия:
|),max(|5
1
21
source . (П2.24)
Пусть flux - ограничение на шаг по времени, связанное с конвективными и диффузионными
членами и рассчитанное по формуле (П2.21). Тогда итоговое ограничение на шаг по времени
вычисляется по формуле:
sourcefluxуст ,min . (П2.25)
199
Приложение 3. Матрицы неявного численного метода
В настоящем разделе все матрицы приведены в безразмерном виде. Используется следующая
система обезразмеривания. Плотность обезразмеривается на характерное заданное значение
* . Компоненты вектора скорости и параметр турбулентности q обезразмериваются на
характерную величину скорости *V . Давление обезразмеривается на 2**V , температура – на
R
VT
2** , где
Ккг
ДжR
0654764.287 - газовая постоянная для воздуха. Энергия E
обезразмеривается на 2*V . Теплоемкости единицы массы обезразмериваются на R .
Молекулярная и турбулентная вязкости обезразмериваются на **** LV , где 1* L м.
Параметр турбулентности обезразмеривается на L
V *
.
1. Матрицы в аппроксимации приращений конвективных потоков
Матрица Роу конвективных потоков:
nzyxn
nzyxn
nnnznynxnn
zznzzzyzxzn
yyyznyyyxyn
xxxzxynxxxn
zyx
n
i
VnnnV
VqnqnqnqV
qVVwVHnvVHnuVHnVV
HV
qnnVwnwnvnwnunwnnqV
wV
qnnwnvnVvnvnunvnnqV
vV
qnnwnunvnunVununnqV
uV
nnn
A
00
00
012)1()1()1(2
)1(
012)1()1()1()1(2
)1(
012)1()1()1()1(2
)1(
012)1()1()1()1(2
)1(
0000
2
22
22
22
2
1
Ее матрица собственных чисел:
cV
cV
V
V
V
V
V
n
n
n
n
n
n
n
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
Ее матрица собственных векторов:
200
00001222
10
22220
00
00
00
1100
222
qqqnqnqn
cVHcVHvnuncnV
unwncnV
wnvncnV
q
cnwcnwwncnwncnwn
cnvcnvcnvnvncnvn
cnucnucnuncnunun
nnn
P
zyx
nnxyzzxyyzx
zzzxyyx
yyxzyzx
xxyzzyx
zyx
Матрица, обратная матрице собственных векторов:
012
11
221
221
221
2
2
1
2
1
012
11
221
221
221
2
2
1
2
1
02
111112
2
11
02
111112
2
11
02
111112
2
11
0112
12
12
12
12
2
2
11
12
111112
2
1
222
22
222
22
2222
22
222
22
222
22
2
2
22
22
222
22
1
c
q
cc
n
c
M
c
n
c
M
c
n
c
MM
c
qM
c
q
cc
n
c
M
c
n
c
M
c
n
c
MM
c
qM
c
qn
c
n
c
nM
c
n
c
nM
c
n
c
nMnMnMn
c
qM
c
qn
c
n
c
n
c
nM
c
nM
c
n
c
nMnMnMn
c
qM
c
qn
c
n
c
n
c
nM
c
n
c
nM
c
nMnMnMn
c
qM
c
q
c
q
c
qM
c
qM
c
qMq
c
qM
c
q
ccM
cM
cM
c
qM
P
zzyyxxn
zzyyxxn
zzzzxzyyzxyxxyz
yyxyzyyzyx
xzzxy
xxyxzzxyxxzyyzx
zyx
zyx
где приняты обозначения TwvuV ,,
, zyxn wnvnunV , 2222 wvuV
,
2
2
2)1( q
VH
pc
, 2
22
c
VM
, c
uM x ,
c
vM y ,
c
wM z ,
c
VM n
n . Все
компоненты этих матриц вычисляются на явном слое через осредненные по Роу значения <u>,
<v>, <w>, <H>, <q>, <ω>.
2. Матрицы в аппроксимации приращений диффузионных потоков
i
i
iiii
iii
iii
iii
i
E
E
EEEE
EEE
EEE
EEE
E
a
a
aaaa
aaa
aaa
aaa
A
15
14
13121110
987
654
321
00000
00000
00
000
000
000
000000
, где
i
ii
E
zyxnEE
sz
sy
sx
a
3
41 ,
201
i
ii
E
yxnEE
sx
sy
a
3
22
i
ii
E
zxnEE
sx
sz
a
3
23
i
ii
E
yxnEE
sx
sy
a
3
24
i
ii
E
zyxnEE
sz
sy
sx
a
3
45
i
ii
E
zynEE
sy
sz
a
3
26
i
ii
E
zxnEE
sx
sz
a
3
27
i
ii
E
zynEE
sy
sz
a
3
28
i
ii
E
zyxnEE
sz
sy
sx
a
3
49
nEE
nEE
nEEE iiiiiii
wavauaa 74110
nEE
nEE
nEEE iiiiiii
wavauaa 85211
nEE
nEE
nEEE iiiiiii
wavauaa 96312
i
n
iE
n
iE
i
E
zyxTT
T
TEs
zs
ys
xa
PrPr113
i
n
iEn
iEi
E
zyxqT
T
Es
zs
ys
xa
Pr14
i
n
iEn
iEi
E
zyx
T
T
Es
zs
ys
xa
Pr15
202
ni
ni
ni
nin
ini
nin
i
nin
i
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
i
qwvuqwvu
w
v
u
1000000
01
00000
01
211111
2
2
0001
00
00001
0
000001
2222
0000000
0000000
000
0000000
0000000
0000000
0000000
2
nzn
nyn
nxn
nzn
nyn
nxn
дифф
IIIwIvIuIu
F
3. Матрица в аппроксимации приращений источниковых членов
n
nq
n
qnq
n
nnqn
nq
qnq qC
A
S
000000
)(00000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
2
, где
0,0
0,1nq
nq
q
,
0,0
0,1n
n
,
q CBA
q
W
,
CB
W2
.