ΒιογραφικοΣημειωμα...
TRANSCRIPT
Βιογραφικο ΣημειωμαΑ Τσολομυτης
Προσωπικά στοιχεία
Αντώνης ΤσολομύτηςΠανεπιστήμιο ΑιγαίουΤμήμα Μαθηματικών83200 ΚαρλόβασιΣάμος
Τηλ 30 22730 82123Emil atsolaegeangrWeb httpmyriamathaegeangr~atsol
Ημερομηνία Γεννησης 2561967 στον ΠειραιάΠαντρεμένος με τρία παιδιά
Υπηκοότητα ΕλληνικήΥπηρεσία στον Ελληνικό Στρατό Ιούνιος 1996ndashΙανουάριος 1998
Εκπαίδευση
Ιούνιος 1989 Πτυχίο στα Μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο Αθηνών (ΒαθμόςΆριστα 918)
Ιούνιος 1996 Διδακτορική Διατριβή (PhD) από το Ohio State University ΤίτλοςSymmetrizations and convolutions of Convex Bodies υπό την επίβλεψητου V D Milman
Διακρίσεις
1995ndash1996 Presidential Fellow στο ΤμήμαΜαθηματικών τουOhio State UniversityColumbus Ohio usa
11 Δεκεμβρίου 2009 laquoΒραβείο Αριστείας στη Διδασκαλίαraquo της Σχολής Θετικών Επι-στημών του Πανεπιστημίου Αιγαίου
Βιογραφικο Σημειωμα Α Τσολομυτη G 219
Ερευνητικά ενδιαφέροντα
Κυρτή Γεωμετρική ΑνάλυσηΣυναρτησιακή Ανάλυση χώροι πεπερασμένης διάστασης με νόρμα(τοπική θεωρία χώρων Banach)Πιθανοθεωρητικές μέθοδοι και συγκέντρωση μέτρου
Ψηφιακή τυπογραφία ειδικά πολύγλωσσική επεξεργασία επιστη-μονικού κειμένου Προσβασιμότητα για ανθρώπους με προβλή-ματα όρασης (ψηφιακή τυπογραφία επιστημονικού κειμένου σεBraille)
Βιβλία 1 Πραγματική Ανάλυση με τους Μ Ανούση και Β Φελουζή Σά-μος 2014
2 Functional analysis an introduction with Y Eidelman and VD Mil-man Graduate Studies in Mathematics no 66 AMS 2004
3 Σύνολα και Αριθμοί μια εισαγωγή στα Μαθηματικά Πανε-πιστημιακά Μαθηματικά Κείμενα ar 7 LeaderBooks Αθήνα2004
4 Digital Typography using LATEX With A Syropoulos and N Sofro-niou Springer Profesional Computing Springer-Verlag New YorkOct 2002
Ερευνητικές δημοσιεύσεις(subj class AMS2010 52A21)
1 Geometry of random sections of isotropic convex bodies withA Giannopoulos and L Hioni Bulletin of the hms 60 (2016) 20ndash40
2 Remarks on the Rogers-Shephard inequality with A Giannopou-los and E Markessinis Proc Amer Math Soc 144 (2016) no 2763ndash773
3 Asymptotic shape of the convex hull of isotropic log-concaverandom vectors with A Giannopoulos and L Hioni Adv in ApplMath 75 (2016) 116ndash143
4 Geometry of the 119871119902 centroid bodies of an isotropic log-concavemeasure with A Giannopoulos P Stavrakakis and B-H VritsiouTrans AMS 367 (2015) 4569ndash4593
Βιογραφικο Σημειωμα Α Τσολομυτη G 319
5 Quermaszligintegrals and asymptotic shape of random polytopes inan isotropic convex body with N Dafnis and A GiannopoulosMichigan Mathematical Journal vol 62 Issue 1 (2013) 59ndash79
6 Asymptotic shape of random a polytope in a convex body withN Dafnis and A Giannopoulos J Funct Anal (2009)doi101016jjfa20090627
7 Random points in isotropic unconditional convex bodies withA Giannopoulos and M Hatrtzoulaki JLMS (2005) 72 779ndash798
8 Asymptotic formulas for the diameter of sections of symmetricconvex bodies with A Giannopoulos and V D Milman J FunctAnal 223 (2005) 86ndash108
9 Volume radius of a random polytope in a convex body withA Giannopoulos Math Proc Cambridge Philos Soc 134 2003no 1 13ndash21
10 Johnrsquos theorem for an arbitrary pair of convex bodies with A Gian-nopoulos and I Perissinaki Geometriaelig Dedicata 84 (2001) 63ndash79
11 A note on the 119872lowast-limiting convolution body Covnex Geometrymsri Publications Volume 34 1998
12 Convolution bodies and their limiting behavior Duke Math Journal87 (1997) no 1 181ndash203
13 On the convolution body of two convex bodies CR Seances AcadSci Ser I 322 1 (1996) 63ndash67
14 Quantitative SteinerSchwarz-type symmetrizations GeometriaeligDedicata 60 187ndash206 1996
Ερευνητικές δημοσιεύσεις(subj class AMS2010 68U15)
15 A direct TeX-to-Braille transcribing method with A PapasalourosJournal of Science Education for Students with Disabilities Vol20 Iss 1 (2017)
16 Serifed Greek type Is it ldquoGreekrdquo tugboat Vol 38 No 3 pp 312ndash314
17 A direct TeX-to-Braille transcribing method with A PapasalourosASSETS rsquo15 17th International ACM SIGACCESS Conference onComputers amp Accessibility October 26ndash28 2015 Lisbon PortugalACM 978-1-4503-3400-61510httpdxdoiorg10114527006482811376
Βιογραφικο Σημειωμα Α Τσολομυτη G 419
18 The Kerkis Font Family tugboat Vol 23 No 34 296ndash301 2002(invited paper)
Αρθογραφία
(subj class AMS2010 68U15)
1 Εγκατάσταση γραμματοσειρών TrueType στο TEX και LATEX ΤοΕύτυπον 1112 1ndash6 2004
2 Σαρώνοντας με ελεύθερο λογισμικό σε συνεργασία με τονΑ Κοντογεώργη Το Εύτυπον 8 25ndash27 2002
3 Εγκατάσταση νέων γραμματοσειρών στο LATEX2e σε συνεργα-σία με τον Α Συρόπουλο Το Εύτυπον 3 57ndash68 2000
4 LATEX και γραμματοσειρές TrueType σε συνεργασία με τονΑ Συρόπουλο Το Εύτυπον 2 17ndash22 1999
Σημειώσεις
(διαθέσιμες από την ιστοσελίδα μου ή με διπλό κλικ στον συνδετήρα)
1 Κυρτή Γεωμετρία Η Κυρτή Γεωμετρία είναι ένας κλάδος οοποίος χρησιμοποιεί μια μεγάλη παλέτα εργαλείων από διά-φορους κλάδους των Μαθηματικών γεγονός που την κάνειδυσπρόσιτη σε προπτυχιακό επίπεδο Οι σημειώσεις αυτέςαποτελούν μια πολύ εστιασμένη προσπάθεια στο να γίνειπροσιτό το αντικείμενο στους προπτυχιακούς φοιτητές του3ου και 4ου έτους
2 Σημειώσεις στις ακολουθίες και στις Σειρές (βοήθημα Απει-ροστικού Λογισμού ΙampΙΙ μετά την αφαίρεση των ακολουθιώναπό την ύλη της Γrsquo Λυκείου) (2013)
3 Σημειώσεις στον Απειροστικό Λογισμό IV Τα θεωρήματαGreenStokes και Gauss Εννοποιημένη παρουσίαση των κεντρικώνθεωρημάτων της διανυσματικής ανάλυσης με άξονα το Θεμε-λιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού (2012)
Αντώνης Τσολομύτης
ΚΥΡΤΗ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
( )
Σάμος ndash
Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του αρχείου από άλλες ιστοσελίδες
εκτός του httpmyriamathaegeangr
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
hellip
hellipαπό την Ανάλυση
hellipαπό την Ανάλυση και την Αναλυτική Γεωμετρία
hellipαπό τη Γραμμική Άλγεβρα και την Αναλυτική Γεωμε-
τρία
Κυρτές Συναρτήσεις
Η ανισότητα Jensen
H ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου
H ανισότητα Young
H ανισότητα Houmllder για αθροίσματα
H ανισότητα Houmllder για ολοκληρώματα
H ανισότητα Minkowski για αθροίσματα
H ανισότηταMinkowski για ολοκληρώματα
Εφαρμογές
κυρτα σωματα κυρτή θήκη
Νόρμες και κυρτά σώματα
Η συνάρτηση στήριξης
Το πολικό σώμα
Διαχωρισμός και γνήσιος διαχωρισμός
Όγκος κυρτού σώματος
Ιδιότητες Όγκου
Ο όγκος του ℬ119899119901 για 1 le 119901 le infin
Η απόσταση Hausdorff
Όγκος και απόσταση Hausdorff
Το θεώρημα Επιλογής του Blaschke
- -
Η ανισότητα Prekopa-Leindler
Η ανισότητα Brunn-Minkowski
Η ισοπεριμετρική ανισότητα
Η αρχή του Brunn
Το λήμμα του Borel
Ορισμός και ιδιότητες της συμμετρικοποίησης Steiner
Το θεώρημα Σφαιρικότητας του Gross
Η ισοπεριμετρική ανισότητα (η απόδειξη)
Η ανισότητα Blaschke-Santaloacute
hellip
hellipαπό τη Γραμμική Άλγεβρα και την Αναλυτική Γεωμε-
τρία
hellipαπό τη Συναρτησιακή ανάλυση
Φυσική περιγραφή της ισοτροπικής θέσης
Ροπή δύναμης και ροπή αδράνειας
Πίνακας αδράνειας και ροπή αδράνειας
Πολική ροπή αδρανείας
Διαφορά μεταξύ ισοτροπικού και μη ισοτροπι-
κού σώματος
Το ελλειψοειδές αδράνειας και το ελλειψοειδές
κινητικής ενέργειας
Μαθηματική προσσέγγιση της ισοτροπικής θέσης
Ελλειψοειδές Binet και ελλειψοειδές Legendre
Λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις amp μέτρα
Ύπαρξη του ελλειψοειδούς μεγίστου όγκου
Μοναδικότητα ελλειψοειδούς μεγίστου όγκου
η θέση του john
Πολυδιάστατη ανισότητα Brascamp-Lieb και Barthe
Η μονοδιάστατη ανισότητα των Brascamp-Lieb και Barthe
Απόδειξη των ανισοτήτων Brascamp-Lieb και Barthe
Η αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα
Ύπαρξη της θέσης
Μοναδικότητα της θέσης
Ύπαρξη της θέσης
Η συνέχεια του εμβαδού επιφανείας
Τ G
Η Γ
Ιδιότητες της συνάρτησης Γ
Η μέθοδος Laplace
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑhellip
hellip
Οι αποδείξεις που δεν παρουσιάζονται σε αυτή την ενότητα μπορούν
να βρεθούν σε οποιοδήποτε βιβλίο Πραγματικής Ανάλυσης
Στον ℝ119899 η (ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ των σημείων 119909 και 119910 με
συντεταγμένες (1199091 1199092 hellip 119909119899) και (1199101 1199102 hellip 119910119899) αντίστοιχα ορίζεται να
είναι ο αριθμός
1198892(119909 119910) = radic(1199091 minus 1199101)2 + (1199092 minus 1199102)2 + ⋯ + (119909119899 minus 119910119899)2
Επιπλέον για κάθε σημείο 119909 isin ℝ119899 ονομάζουμε (ευκλείδειο) μήκος του 119909τον αριθμό 1198892(0 119909) και τον συμβολίζουμε με 1199092 Δηλαδή
1199092 = radic11990921 + 1199092
2 + ⋯ + 1199092119899
Παρατηρούμε ότι 1198892(119909 119910) = 119909minus1199102 για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 Στα επόμενα
θα προτιμάμε να γράφουμε 119909 minus 1199102 αντί για 1198892(119909 119910)Το σύνολο των σημείων που απέχουν (γνησίως) λιγότερο από 119903 gt 0
από δοθέν σημείο 119909 isin ℝ119899 ονομάζεται ανοικτή μπάλα με κέντρο το 119909και ακτίνα 119903 και συμβολίζεται με 119861(119909 119903) Δηλαδή
119861(119909 119903) = 119910 isin ℝ119899 ∶ 119909 minus 1199102 lt 119903
Ο (Εσωτερικό συνόλου) Έστω ότι το 119870 είναι ένα υποσύ-
νολο του ℝ119899 Λέμε ότι ένα σημείο 1199090 isin ℝ119899 είναι εσωτερικό σημείο του
119870 αν υπάρχει 120598 gt 0 ώστε η ανοικτή μπάλα 119861(1199090 120598) να περιέχεται στο
119870 Το σύνολο όλων των εσωτερικών σημείων του 119870 λέγεται εσωτερικότου 119870 και συμβολίζεται με int119870
Ένα σύνολο μπορεί να έχει κενό εσωτερικό Για παράδειγμα οποιοδήποτε
υποσύνολο ενός (δισδιάστατου) επιπέδου στον ℝ3 Ένα τέτοιο σύνολο
όμως μπορεί να έχει μη κενό εσωτερικό αν θεωρηθεί ως υποσύνολο του
επιπέδου στο οποίο ανήκει
Ο (Σχετικό εσωτερικό συνόλου) Έστω ότι το 119870 είναι υ-
ποσύνολο του ℝ119899 Το σχετικό εσωτερικό του 119870 συμβολίζεται με relint(119870)
hellip
και είναι το εσωτερικό του 119870 στον ελάχιστο υπόχωρο του ℝ119899 που
περιέχει το 119870
Ο (Κλειστή θήκη) Λέμε ότι το 119909 είναι σημείο συσσώρευ-
σης του 119870 sube ℝ119899 αν και μόνον αν για κάθε 120598 gt 0 ισχύει
119861(119909 120598) cap 119870 ⧵ 119909 ne
Το σύνολο όλων των σημείων συσσώρευσης του 119870 λέγεται παράγωγο
σύνολο του 119870 και συμβολίζεται με 119870prime Το σύνολο 119870 = 119870 cup 119870prime λέγεται
κλειστή θήκη του 119870
Παρατηρούμε ότι αν 119909 isin 119870 τότε υπάρχει ακολουθία (119909119898)119898isinℕ στο 119870 ώστε
119909119898 minus 1199092 rarr 0 Αυτό συμβαίνει διότι είτε 119909 isin 119870 οπότε θέτουμε 119909119898 = 119909για κάθε 119898 isin ℕ είτε το 119909 είναι σημείο συσσώρευσης οπότε εφαρμόζουμε
τον Ορισμό για 120598 = 1119898 και επιλέγουμε 119909119898 ένα οποιοδήποτε σημείο
του μη κενού 119861(119909 1119898) cap 119870 Έτσι 119909119898 isin 119870 και 119909119898 minus 1199092 lt 1119898 rarr 0
Κάθε σύνολο 119870 για το οποίο ισχύει 119870 = 119870 λέγεται κλειστό Το
σύνολο 119870 είναι κλειστό για κάθε 119870 sube ℝ119899 δηλαδή ισχύει 119870 = 119870
Ο Η κλειστή θήκη του συνόλου 119861(0 119903) ονομάζεται ευκλεί-δεια μπάλα του ℝ119899 ακτίνας 119903 και συμβολίζεται με ℬ119899
2(0 119903)
Είναι εύκολο να δει κανείς ότι
ℬ1198992(0 119903) = 119909 isin ℝ119899 ∶ 1199092 le 119903
Πράγματι αν 119909 isin ℬ1198992(0 119903) τότε υπάρχει ακολουθία (119909119898)119898isinℕ στο 119861(0 119903)
ώστε 119909119898 minus1199092 rarr 0 Αλλά από τον ορισμό της sdot2 έχουμε ότι για κάθε
119895 = 1 2 hellip 119899 αν 119909119898119895 η 119895 συντεταγμένη του 119909119898 και 119909119895 η 119895 συντεταγμένη
του 119909 ισχύει
|119909119898119895 minus 119909119895| le 119909119898 minus 1199092 rarr 0
Άρα 119909119898119895 rarr 119909119895 και συνεπώς από τον ορισμό της sdot 2 συμπεραίνουμε
ότι 1199091198982 rarr 1199092 Αλλά 1199091198982 le 119903 και έτσι 1199092 le 119903 Αντιστρόφως
αν 1199092 lt 1 τότε 119909 isin 119861(0 119903) sube ℬ1198992(0 119903) Αν τέλος 1199092 = 119903 τότε
η ακολουθία (1 minus 1119898)119909 για 119898 isin ℕ έχει ευκλείδεια νόρμα ίση με
(1 minus 1119898)119903 lt 119903 οπότε ανήκει στο 119861(0 119903) και συγκλίνει στο 119909 Δηλαδήτο 119909 ανήκει στην κλειστή θήκη του 119861(0 119903) δηλαδή στο ℬ119899
2(0 119903)Επιπλέον το ℬ119899
2(0 119903) ως κλειστή θήκη του 119861(0 119903) είναι κλειστό
σύνολο δηλαδή ℬ1198992(0 119903) = ℬ119899
2(0 119903)
hellip
Ο Το σύνολο ℬ1198992(0 1) ονομάζεται μοναδιαία ευκλείδεια
μπάλα του ℝ119899 και συμβολίζεται απλά με ℬ1198992
Εύκολα βλέπουμε ότι το σύνορο bd(ℬ1198992) του συνόλου ℬ119899
2 είναι το σύνολο
119909 isin ℝ119899 ∶ 1199092 = 1
Ο Το σύνολο 119909 isin ℝ119899 ∶ 1199092 = 1 ονομάζεται μοναδιαία(ευκλείδεια) σφαίρα του ℝ119899 και συμβολίζεται με 120138119899minus1
Ο Για δυο υποσύνολα 119860 και 119861 του ℝ119899 και 120582 isin ℝ θαγράφουμε
(i) 119860 + 119861 για το σύνολο 119909 + 119910 ∶ 119909 isin 119860 και 119910 isin 119861
(ii) 120582119860 για το σύνολο 120582119909 ∶ 119909 isin 119860
Παρατηρούμε ότι με τον παραπάνω συμβολισμό ℬ1198992(0 119903) = 119903ℬ119899
2 και
1198611198992(119909 119903) = 119909 + 119903ℬ119899
2
Ο (Φραγμένο σύνολο) Ένα υποσύνολο 119870 του ℝ119899 λέγεταιφραγμένο αν υπάρχει αριθμός 119872 gt 0 ώστε για κάθε 119909 isin 119870 να ισχύει1199092 le 119872 Φανερά αυτό είναι ισοδύναμο με τον εγκλεισμό 119870 sube 119872ℬ119899
2
Π Έστω ότι το 119870 είναι φραγμένο υποσύνολο του ℝ119899 Τότεκαι το 119870 είναι φραγμένο
Απόδειξη Αν το 119870 είναι φραγμένο υποσύνολο του ℝ119899 τότε υπάρχει
αριθμός 119872 ώστε να ισχύει 119870 sube 119872ℬ1198992 Οπότε 119870 sube 119872ℬ119899
2 = 119872ℬ1198992
Π (Συμπαγές υποσύνολο του ℝ119899) Ένα υποσύνολο119870 τουℝ119899 είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο
Π Έστω ότι 119870 119865 sube ℝ119899 Αν το 119870 είναι συμπαγές το 119865κλειστό και 119870 cap 119865 = τότε υπάρχει 119909 isin 119870 και 119910 isin 119865 ώστε
119889(119870 119865) ∶= inf119911 minus 1199082 ∶ 119911 isin 119870 119908 isin 119865 = 119909 minus 1199102 gt 0
Απόδειξη Θέτουμε
120588 ∶= inf119909 minus 1199102 ∶ 119909 isin 119870 119910 isin 119865
Έστω ότι 119909119898 isin 119870 119910119898 isin 119865 ώστε 119909119898 minus 1199101198982 rarr 120588 Αφού 119909119898 isin 119870 και το
119870 είναι συμπαγές η 119909119898 έχει συγκλίνουσα υπακολουθία έστω την 119909119898119896με
hellip
όριο το σημείο 119909 Το 119909 ανήκει στο 119870 γιατί το 119870 είναι κλειστό Έχουμε
ότι 119909119898119896minus 119910119898119896
2 rarr 120588 και 119909119898119896rarr 119909 Από την τριγωνική ανισότητα
1199101198981198962 le 119910119898119896
minus 1199091198981198962 + 119909119898119896
2
Το δεξιό μέρος της παραπάνω ανισότητας είναι φραγμένη ακολουθία
(γιατί είναι συγκλίνουσα) άρα και το αριστερό Θεωρούμε ένα 119872 gt 0ώστε 119910119898119896
le 119872 για κάθε 119896 isin ℕ οπότε 119910119898119896isin ℬ119899
2(0 119872) Το ℬ1198992(0 119872)
είναι κλειστό και φραγμένο σύνολο στον ℝ119899 άρα είναι συμπαγές Άρα
η 119910119898119896έχει υπακολουθία 119910119898119896119897
η οποία συγκλίνει έστω στο 119910 Αλλά
119910 isin 119865 αφού το 119865 είναι κλειστό Η 119909119898119896119897είναι υπακολουθία της 119909119898119896
οπότε
119909119898119896119897rarr 119909 Άρα 119909119898119896119897
minus 119910119898119896119897 rarr 120588 119909119898119896119897
rarr 119909 isin 119870 και 119910119898119896119897rarr 119910 isin 119865
Έτσι
120588 = lim119897rarrinfin
119909119898119896119897minus 119910119898119896119897
= 119909 minus 1199102
Όμως τα 119870 και 119865 είναι ξένα άρα το 119909 είναι διάφορο του 119910 Οπότε το
120588 είναι θετικό
Ο (Συνέχεια) Μια συνάρτηση 119891 ∶ (119883 119889119883) rarr (119884 119889119884)μεταξύ δύο μετρικών χώρων λέγεται συνεχής στο σημείο 1199090 isin 119883 αν
και μόνον αν για κάθε 120598 gt 0 υπάρχει 120575 gt 0 ώστε για κάθε 119909 στο 119883 με
119889119883(119909 1199090) lt 120575 να ισχύει 119889119884(119891(119909) 119891(1199090)) lt 120598
Ο (Απόλυτη συνέχεια) Η 119891 ∶ 119868 rarr ℝ λέγεται απόλυτασυνεχής στο υποδιάστημα 119869 του διαστήματος Ι sube ℝ αν για κάθε 120598 gt 0υπάρχει 120575 gt 0 ώστε αν τα [119886119894 119887119894] για 119894 = 1 2 hellip 119899 είναι πεπερασμένη
οικογένεια ξένων διαστημάτων στο 119869 και sum119899119894=1(119887119894 minus 119886119894) lt 120575 τότε
119899
sum119894=1
|119891(119887119894) minus 119891(119886119894)| lt 120598
Ο (Συνάρτηση Lipschitz) Η 119891 ∶ 119868 rarr ℝ λέγεται Lipschitz
στο υποδιάστημα 119869 του διαστήματος Ι sube ℝ αν υπάρχει 119871 gt 0 ώστε
να ισχύει
|119891(119909) minus 119891(119910)| le 119871|119909 minus 119910|
για κάθε 119909 119910 στο 119869 Ο αριθμός 119871 ονομάζεται σταθερά Lipschitz της 119891στο διάστημα 119869
Παρατηρούμε ότι το να είναι μια συνάρτηση 119891 ∶ 119868 rarr ℝ Lipschitz στο
υποδιάστημα 119869 sube 119868 σημαίνει ότι οι κλίσεις των χορδών στο γράφημα
της 119891 που σχηματίζονται σε σημεία του 119869 είναι φραγμένες
hellip
Π Έστω ότι οι (119883 119889119883) και (119884 119889119884) είναι δυο μετρικοί χώροικαι 119891 ∶ 119883 rarr 119884 μια συνεχής και επί συνάρτηση Αν ο 119883 είναι συμπαγήςτότε και ο 119884 είναι συμπαγής Δηλαδή η συνεχής εικόνα ενός συμπαγούςμετρικού χώρου είναι συμπαγής χώρος
Άσκηση Αποδείξτε ότι bd(ℬ1198992) = 120138119899minus1
Άσκηση Αποδείξτε ότι η συνάρτηση
119891(119909) =⎧⎨⎩
119909 sin 1119909 αν 119909 isin (0 1]
0 αν 119909 = 0
είναι συνεχής αλλά όχι απόλυτα συνεχής (Υπόδειξη Θεωρήστε τα διαστή-
ματα [(1205872)minus1(4((119898 + 119895) + 1))minus1 (1205872)minus1(4(119898 + 119895))minus1] για 119895 = 0 1 hellip 119896 και
αποδείξτε ότι είναι ξένα και έχουν συνολικό μήκος μικρότερο από (2120587119898)minus1)
hellip
Ο (Εσωτερικό γινόμενο) Ένα εσωτερικό γινόμενο στον
ℝ119899 είναι μια απεικόνιση
⟨sdot sdot⟩ ∶ ℝ119899 times ℝ119899 rarr ℝ
για την οποία ισχύουν
(i) ⟨119909 119909⟩ ge 0 για κάθε 119909 isin ℝ119899
(ii) ⟨119909 119909⟩ = 0 hArr 119909 = 0
(iii) ⟨119909 119910⟩ = ⟨119910 119909⟩
(iv) ⟨119909 12058211199101 + 12058221199102⟩ = 1205821⟨119909 1199101⟩ + 1205822⟨119909 1199102⟩ για κάθε 1205821 1205822 isin ℝ
Το πιο συνηθισμένο παράδειγμα είναι το εσωτερικό γινόμενο
⟨119909 119910⟩ =119899
sum119895=1
119909119895119910119895()
όπου τα 119909119895 και 119910119895 είναι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων 119909 και 119910
Στο εξής (εκτός αν ρητά αναφέρεται αλλιώς) κάθε αναφορά σε εσωτερικό
hellip
γινόμενο θα είναι σε αυτό που ορίζεται στην () Εύκολα βλέπουμε
ότι το ⟨sdot sdot⟩ είναι πράγματι εσωτερικό γινόμενο (δηλαδή ικανοποιεί τον
παραπάνω ορισμό) Παρατηρούμε ότι ⟨119909 119909⟩ = 11990922 για κάθε 119909 isin ℝ119899
Επιπλέον ισχύει η εξής
Π (Ανισότητα Cauchy-Schwartz) Για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 ι-σχύει
|⟨119909 119910⟩| le 11990921199102
Απόδειξη Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου για κάθε 120582 isin ℝισχύει
0 le ⟨119909 minus 120582119910 119909 minus 120582119910⟩ = 11990922 + 12058221199102
2 minus 2120582⟨119909 119910⟩
άρα το διώνυμο ως προς 120582 στα δεξιά έχει μη θετική διακρίνουσα Δηλαδή
4⟨119909 119910⟩2 minus 4119909221199102
2 le 0
οπότε προκύπτει η ζητούμενη
Νόρμα είναι μια συνάρτηση από τον ℝ119899 στον ℝ η οποία σε κάθε
διάνυσμα αντιστοιχεί ένα laquoμήκοςraquo και ικανοποιεί τις ιδιότητες του
παρακάτω ορισμού
Ο (Νόρμα) Μια απεικόνιση sdot ∶ ℝ119899 rarr ℝ λέγεται νόρμα
αν
(i) είναι μη αρνητική και κάνει μηδέν μόνο στο 0 Δηλαδή 119909 ge 0για κάθε 119909 isin ℝ119899 0 = 0 και αν 119909 = 0 τότε 119909 = 0
(ii) Είναι θετικά ομογενής 120582119909 = |120582| sdot 119909 για κάθε 119909 isin ℝ119899 για
κάθε 120582 isin ℝ
(iii) Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα 119909 + 119910 le 119909 + 119910 γιακάθε 119909 119910 isin ℝ119899
Παράδειγμα νόρμας είναι η ποσότητα 1199092 που ορίστηκε στην αρχή
του κεφαλαίου και η οποία ονομάζεται ευκλείδεια νόρμα Για την sdot 2οι ιδιότητες (i) και (ii) της νόρμας είναι εύκολο να επιβεβαιωθούν H (iii)
αποδεικνύεται στο Θεώρημα παρακάτω
Η τριγωνική ανισότητα για τις νόρμες έχει την ακόλουθη συνέπεια
η οποία συχνά καλείται laquoκάτω τριγωνική ανισότηταraquo
hellip
Π (κάτω τριγωνική ανισότητα) Για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 ι-σχύει
∣119909 minus 119910∣ le 119909 plusmn 119910
Απόδειξη Χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα έχουμε
119909 = (119909 minus 119910) + 119910 le 119909 minus 119910 + 119910
οπότε 119909 minus 119910 le 119909 minus 119910 Ομοίως
119910 = (119910 minus 119909) + 119909 le 119910 minus 119909 + 119909
και αφού 119909 minus 119910 = 119910 minus 119909 παίρνουμε 119910 minus 119909 le 119909 minus 119910 Έτσι
∣119909 minus 119910∣ le 119909 minus 119910
Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε ότι ∣119909 minus 119910∣ le 119909 + 119910
Εύκολα βλέπουμε ότι κάθε νόρμα sdot στον ℝ119899 ορίζει μια μετρική στον
ℝ119899 με τη σχέση 119889sdot(119909 119910) = 119909 minus 119910 για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 Έτσι ο χώρος
με νόρμα (ℝ119899 sdot ) είναι και ένας μετρικός χώρος με την προηγούμενη
μετρική Διάφορες ιδιότητες από τη θεωρία των μετρικών χώρων μπορούν
να διατυπωθούν με τη βοήθεια της νόρμας Επίσης φράσεις όπως laquohellipως
προς την μετρικήraquo και laquohellipως προς τη νόρμαraquo εδώ ταυτίζονται Για
παράδειγμα η φράση laquoη συνάρτηση 119891 είναι συνεχής ως προς την μετρική
119889sdotraquo ταυτίζεται με τη φράση laquoη συνάρτηση 119891 είναι συνεχής ως προς
τη νόρμα sdot raquo
Π (Συνέχεια Εσωτερικού γινομένου) Το εσωτερικό γινό-μενο είναι συνεχής συνάρτηση ως προς και τα δύο ορίσματά του ταυτόχροναως προς την ευκλείδεια νόρμα
Απόδειξη Αν 119909119898 rarr 119909 και 119910119898 rarr 119910 ως προς την ευκλείδεια νόρμα δηλαδή
αν 119909119898minus1199092 rarr 0 και 119910119898minus1199102 rarr 0 πρέπει να δείξουμε ότι ⟨119909119898 119910119898⟩ rarr⟨119909 119910⟩ Ισοδύναμα πρέπει να δείξουμε ότι |⟨119909119898 119910119898⟩ minus ⟨119909 119910⟩| rarr 0 Απότην ανισότητα Cauchy-Scwhartz (Πρόταση ) έχουμε
∣⟨119909119898 119910119898⟩ minus ⟨119909 119910⟩∣ = ∣⟨119909119898 119910119898⟩ minus ⟨119909119898 119910⟩ + ⟨119909119898 119910⟩ minus ⟨119909 119910⟩∣= ∣⟨119909119898 119910119898 minus 119910⟩ + ⟨119909119898 minus 119909 119910⟩∣le 1199091198982119910119898 minus 1199102 + 119909119898 minus 11990921199102 rarr 0
αφού 119909119898 minus 1199092 rarr 0 119910119898 minus 1199102 rarr 0 και η 1199091198982 είναι φραγμένη ως
συγκλίνουσα
hellip
Π (Συνέχεια ευκλείδειας νόρμας) Η ευκλείδεια νόρμα είναισυνεχής συνάρτηση (ως προς την ευκλείδεια απόσταση) στον ℝ119899
Απόδειξη Αν 119909119898 rarr 119909 ως προς την ευκλείδεια απόσταση θέλουμε
να δείξουμε ότι 1199091198982 rarr 1199092 Αυτό προκύπτει αμέσως από την κάτω
τριγωνική ανισότητα (Πόρισμα ) διότι
∣1199091198982 minus 1199092∣ le 119909119898 minus 1199092 rarr 0
Η παρακάτω πρόταση λέει ότι όλες οι νόρμες στον ℝ119899 (και άρα και
οι μετρικές που προκύπτουν από αυτές) είναι ισοδύναμες
Π Για κάθε νόρμα sdot στον ℝ119899 υπάρχουν σταθερές 119888119862 gt 0 ώστε για κάθε 119909 isin ℝ119899
1198881199092 le 119909 le 1198621199092
Απόδειξη Έστω ότι τα 1198901 1198902 hellip 119890119899 είναι η συνήθης βάση του ℝ119899
Αν 119909 isin ℝ119899 και 1199091 1199092 hellip 119909119899 οι συντεταγμένες του 119909 ως προς τη βάση
θα έχουμε
119909 = ∣∣119899
sum119894=1
119909119894119890119894∣∣ le119899
sum119894=1
119909119894119890119894 =119899
sum119894=1
|119909119894| 119890119894 = ⟨(|119909119895|)119899
119895=1 (119890119895)
119899
119895=1⟩
le (119899
sum119894=1
|119909119894|2)
12
(119899
sum119894=1
1198901198942)
12
()
όπου στην () χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για
τα διανύσματα (|119909119895|)119899119895=1 και (119890119895)119899
119895=1 Θέτουμε 119862 = (sum119899119894=1 119890119894
2)12
οπότε η () λέει ότι 119909 le 1198621199092
Για την αριστερή ανισότητα παρατηρούμε πρώτα ότι η 119891(119909) = 119909είναι συνεχής Πράγματι αν 119909119898 rarr 119909 ως προς την ευκλείδεια απόσταση
θα δείξουμε ότι 119891(119909119898) rarr 119891(119909) Έχουμε
|119891(119909119898) minus 119891(119909)| = ∣119909119898 minus 119909∣ le 119909119898 minus 119909 le 119862119909119898 minus 1199092 rarr 0
Εύκολα βλέπουμε ότι το 120138119899minus1 = 119909 ∶ 1199092 = 1 είναι κλειστό και
φραγμένο σύνολο στον ℝ119899 άρα είναι συμπαγές Οπότε η 119891 ως συνεχής
συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει ελάχιστη τιμή στο 120138119899minus1 Θέτουμε
119888 = min119909isin120138119899minus1 119891(119909) Το 119888 είναι διαφορετικό του μηδενός διότι αφού
είναι ελάχιστη τιμή της 119891 υπάρχει 1199090 isin 120138119899minus1 ώστε 119891(1199090) = 119888 δηλαδή
hellip
1199090 = 119888 Αν λοιπόν 119888 = 0 τότε 1199090 = 0 και άρα 1199090 = 0 isin 120138119899minus1το οποίο είναι άτοπο Άρα 119888 gt 0 Για κάθε 119909 isin ℝ119899 ⧵ 0 ισχύει
1199091199092 isin 120138119899minus1 οπότε 119891(1199091199092) ge 119888 δηλαδή 1199091199092 ge 119888 από όπου
προκύπτει άμεσα 119909 ge 1198881199092 Αν 119909 = 0 αυτή η ανισότητα ισχύει
ούτως ή άλλως
Π Στην απόδειξη της τελευταίας πρότασης αποδεί-
ξαμε ότι κάθε νόρμα στον ℝ119899 είναι συνεχής συνάρτηση ως προς την
ευκλείδεια απόσταση
Για κάθε διανυσματικό υπόχωρο 119867 του ℝ119899 ορίζουμε μια γραμμική
απεικόνιση Proj119867
∶ ℝ119899 rarr 119867 που την ονομάζουμε ορθογώνια προβολή
ή απλά προβολή στον 119867 ως εξής Θεωρούμε μια ορθοκανονική βάση
1198901 hellip 119890119896 του 119867 (όπου 119896 isin ℕ με 119896 le 119899) την οποία επεκτείνουμε σε μια
ορθοκανονική βάση 1198901 hellip 119890119896 119890119896+1 hellip 119890119899 του ℝ119899 Έτσι κάθε στοιχείο 119909του ℝ119899 γράφεται ως sum
119899119895=1 119909119895119890119895 όπου τα 119909119895 είναι οι συντεταγμένες του
119909 ως προς τη βάση 1198901 hellip 119890119899 δηλαδή 119909119895 = ⟨119909 119890119895⟩ για κάθε 119895 = 1 hellip 119899Θέτουμε
Proj119867(119909) =
119896
sum119895=1
119909119895119890119895 isin 119867
Εύκολα βλέπουμε ότι η Proj119867είναι γραμμική απεικόνιση και επειδή
∥Proj119867(119909)∥2= (
119896
sum119895=1
|119909119895|2)12
le (119899
sum119895=1
|119909119895|2)12
le 1199092
συμπεραίνουμε ότι η Proj119867είναι συνεχής απεικόνιση
hellip
Αν τα 119909 και 119910 είναι διανύσματα στοιχεία του ℝ119899 το ευθύγραμμο
τμήμα στον ℝ119899 με άκρα τα 119909 και 119910 είναι το σύνολο
[119909 119910] = (1 minus 120582)119909 + 120582119910 ∶ 120582 isin [0 1]
Η απόδειξη περιγράφεται στο Σχήμα Ένα διάνυσμα 119911 είναι στο
ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα 119909 119910 αν και μόνο αν το 119911 ισούται με το 119909συν ένα υποπολλαπλάσιο του 119910 minus 119909 Δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει
120582 isin [0 1] ώστε 119911 = 119909 + 120582(119910 minus 119909) Ισοδύναμα 119911 = (1 minus 120582)119909 + 120582119910
hellip
copy Y uml
uml copy
ordf
Σ Ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα 119909 και 119910 στον ℝ119899
Σ Ο κύβος είναι κυρτό αλλά όχι γνήσια κυρτό σύνολο Η ευκλείδεια
μπάλα είναι γνήσια κυρτή
Ο (Κυρτό Σύνολο) Ένα σύνολο 119870 υποσύνολο του ℝ119899
λέγεται κυρτό αν για κάθε 119909 119910 τα οποία ανήκουν στο 119870 το ευθύγραμμο
τμήμα με άκρα τα 119909 και 119910 περιέχεται στο 119870 Δηλαδή για κάθε 119909 119910 isin 119870ισχύει
[119909 119910] = (1 minus 120582)119909 + 120582119910 ∶ 120582 isin [0 1] sube 119870
Ο (Γνήσια κυρτό σύνολο) Ένα σύνολο119870 υποσύνολο του
ℝ119899 λέγεται γνήσια κυρτό αν για κάθε 119909 119910 τα οποία ανήκουν στο 119870και για κάθε 120582 στο διάστημα (0 1) το σημείο (1 minus 120582)119909 + 120582119910 ανήκει στο
int(119870)
Ένα υπερεπίπεδο 1198671199090119906 που περνάει από το σημείο 1199090 isin ℝ119899 και
είναι κάθετο στο μοναδιαίο διάνυσμα 119906 είναι το σύνολο
1198671199090119906 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 minus 1199090 119906⟩ = 0= 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ = ⟨1199090 119906⟩
hellip
και οι αντίστοιχοι ημίχωροι είναι οι
119867minus1199090119906 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ le ⟨1199090 119906⟩ και 119867+
1199090119906 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ ge ⟨1199090 119906⟩
Παρατηρούμε ότι το 119906 ανήκει στο 119867+1199090119906 minus 1199090
Επειδή το ⟨1199090 119906⟩ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο ℝ (ανάλογα
με την επιλογή του 1199090) ένα υπερεπίπεδο είναι ένα σύνολο της μορφής
119867119906120582 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ = 120582
για 120582 isin ℝ Οι ημίχωροι που σχηματίζει τώρα το 119867119906120582 είναι τα σύνολα
119867minus119906120582 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ le 120582 και 119867+
119906120582 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ ge 120582
Συχνά αν 120582 ne 0 διαιρούμε το 119906 με το 120582 δηλαδή επιτρέπουμε το 119906 να
μην είναι μοναδιαίο διάνυσμα ώστε το υπερεπίπεδο να περιγράφεται
από το σύνολο
119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ = 1
όπου το 119906 είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα του ℝ119899
Θα ονομάζουμε λωρίδα στον ℝ119899 τον χώρο ανάμεσα σε δύο παράλληλα
υπερεπίπεδα Δηλαδή μια λωρίδα είναι ένα σύνολο της μορφής
Λ119906119886119887 = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119886 le ⟨119909 119906⟩ le 119887 = 119867+119906119886 cap 119867minus
119906119887
όπου 119886 119887 isin ℝ με 119886 le 119887 και το 119906 είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα
Οι ημίχωροι 119867minus119906119886 και 119867+
119906119887 λέγονται και ημίχωροι της λωρίδας Λ119906119886119887και συμβολίζονται και με Λminus
119906119886119887 και Λ+119906119886119887
Ο (Σημεία σε γενική θέση ή affine-ανεξάρτητα) Τα 1199091 hellip 119909119898λέγεται ότι βρίσκονται σε γενική θέση ή ότι είναι affine-ανεξάρτητα όταν
τα 1199092 minus 1199091 1199093 minus 1199091 hellip 119909119898 minus 1199091 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα
Π Αν τα 1199091 hellip 119909119898 είναι σε γενική θέση στον ℝ119899 τότε
119898 le 119899 + 1 διότι 119899 + 2 σημεία σχηματίζουν 119899 + 1 διανύσματα ως
διαφορές των 1199092 hellip 119909119899+2 με το 1199091 και αυτά είναι αναγκαστικά γραμμικώς
εξαρτημένα αφού dim ℝ119899 = 119899
Ο (Ανάστροφος ενός πίνακα) Έστω 119879 ένας 119898 times 119899 πί-
νακας Ονομάζουμε ανάστροφο του πίνακα 119879 τον πίνακα 119899 times 119898 που
έχει για γραμμές τις στήλες του 119879 και για στήλες τις γραμμές του 119879
Συμβολίζεται με 119879119905
hellip
Υπενθυμίζουμε ότι για δύο πίνακες 119879 και 119878 ισχύει (119879119878)119905 = 119878119905119879119905 (εφόσον
βέβαια το γινόμενο 119879119878 έχει νόημα)
Όταν κάνουμε πράξεις με πίνακες και διανύσματα τα διανύσματα θα
τα θεωρούμε ως πίνακες 119899 times 1 Έτσι μπορεί στο κείμενο να γράφουμε για
εξοικονόμηση χώρου laquoτο διάνυσμα 119909 = (1199091 hellip 119909119899)raquo αλλά αν είναι να
γίνουν πράξεις θα πρέπει να έχουμε στο νου μας ότι τα διανύσματα τα
μεταχειριζόμαστε ως στήλες Έτσι αν 119909 = (1199091 hellip 119909119899) και 119910 = (1199101 hellip 119910119899)το εσωτερικό γινόμενο ⟨119909 119910⟩ είναι ίσο με
⟨119909 119910⟩ = ⟨⎛⎜⎜⎜⎝
11990911199092⋮
119909119899
⎞⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
11991011199102⋮
119910119899
⎞⎟⎟⎟⎠
⟩ = (1199091 1199092 hellip 119909119899)⎛⎜⎜⎜⎝
11991011199102⋮
119910119899
⎞⎟⎟⎟⎠
= 119909119905119910
όπου τα παραπάνω γινόμενα είναι γινόμενα πινάκων Ομοίως αν ο 119879είναι 119899 times 119899 πίνακας τότε
⟨119879(119909) 119910⟩ = (119879119909)119905119910 = (119909119905119879119905)119910 = 119909119905(119879119905119910) = ⟨119909 119879119905(119910)⟩
Ο παρακάτω ορισμός είναι γνωστός από την Αναλυτική Γεωμετρία
Ο Ένα κυρτό υποσύνολο ℰ του ℝ119899 λέγεται ελλειψοειδές
με κέντρο την αρχή των αξόνων αν υπάρχει ορθοκανονική βάση 1198901 hellip 119890119899του ℝ119899 και θετικοί αριθμοί 1198861 hellip 119886119899 ώστε
ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
⟨119909 119890119895⟩2
1198862119895
le 1
Οι θετικοί αριθμοί 1198861 hellip 119886119899 είναι τα μήκη των ημιαξόνων του ελλειψοει-
δούς
Μέρος I
Εισαγωγή στην κυρτότητα
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Ο (Kυρτή Συνάρτηση) Μια συνάρτηση 119891 ∶ 119870 rarr ℝ λέγε-
ται κυρτή στο 119870 αν το 119870 είναι κυρτό σύνολο και ισχύει
119891((1 minus 120582)119909 + 120582119910) le (1 minus 120582)119891(119909) + 120582119891(119910)
για κάθε 120582 στο [0 1] και για κάθε 119909 119910 στο 119870
Ο (Γνήσια κυρτή συνάρτηση) Μια συνάρτηση 119891 ∶ 119870 rarrℝ λέγεται γνήσια κυρτή στο 119870 αν το 119870 είναι κυρτό υποσύνολο του ℝ119899
και ισχύει
119891((1 minus 120582)119909 + 120582119910) lt (1 minus 120582)119891(119909) + 120582119891(119910)
για κάθε 120582 στο (0 1) και για κάθε 119909 119910 στο 119870 με 119909 ne 119910
Π Μια απλή συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι
ότι αν μια συνάρτηση 119891 είναι γνήσια κυρτή και για κάποια 119909 και 119910ισχύει
119891((1 minus 120582)119909 + 120582119910) = (1 minus 120582)119891(119909) + 120582119891(119910)
για κάποιο 120582 isin (0 1) τότε αναγκαστικά θα ισχύει 119909 = 119910
Π Η συνάρτηση 119890119909 ∶ ℝ rarr ℝ είναι κυρτή Για να το
αποδείξουμε αυτό δείχνουμε πρώτα ότι για κάθε θετικό πραγματικό
αριθμό 119886 και για κάθε 120582 isin [0 1] ισχύει 119886120582 le (1 minus 120582) + 120582119886 Πράγματι αν120582 = 0 ή 120582 = 1 η ανισότητα προφανώς ισχύει Αν 120582 notin 0 1 τότε θεωρούμε
τη συνάρτηση 119891(119886) = (1minus120582)+120582119886minus119886120582 και αρκεί να δείξουμε ότι αυτή είναι
μη αρνητική για κάθε 119886 gt 0 Χρησιμοποιώντας παράγωγο βλέπουμε
ότι αυτή έχει ελάχιστη τιμή στο 119886 = 1 Δηλαδή 119891(119886) ge 119891(1) = 0Στην ανισότητα αυτή θέτουμε 119886 = 119890119910minus119909 οπότε (119890119910minus119909)120582 le (1 minus 120582) +
120582119890119910minus119909 από όπου με απλές πράξεις προκύπτει ότι
119890(1minus120582)119909+120582119910 le (1 minus 120582)119890119909 + 120582119890119910
για κάθε 119909 119910 isin ℝ και για κάθε 120582 isin [0 1]
Παρατηρούμε επιπλέον ότι η 119890119909 είναι γνήσια κυρτή αφού εύκολα
ελέγχουμε ότι η παράγωγος της 119891 είναι θετική αν 120572 gt 1 οπότε η 119891είναι γνησίως αύξουσα Έτσι 119891(120572) gt 119891(1) = 0 και συνεχίζουμε όπως
παραπάνω υποθέτοντας (χωρίς βλάβη της γενικότητας αφού τα 119909 119910ήταν τυχαία) ότι 119910 gt 119909
Άσκηση Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις
(i)1 + 1199091 + 1199092 (ii) 119909119909 (iii)
11 + 119909 + 1199092 (119894119907) (log 119909)2
είναι κυρτές στο πεδίο ορισμού τους
Άσκηση Αν οι συναρτήσεις 119891 119892 είναι και οι δύο κυρτές με κοινό πεδίο
ορισμού αποδείξτε ότι και η 119891 + 119892 είναι κυρτή
Άσκηση Αν η ℱ είναι μια οικογένεια κυρτών συναρτήσεων με κοινό πεδίο
ορισμού δείξτε ότι η συνάρτηση sup119891isinℱ 119891(119909) είναι κυρτή
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν η 119891 είναι κυρτή και η 119892 κυρτή και αύξουσα τότε
η σύνθεση 119892 ∘ 119891 (όποτε ορίζεται) είναι κυρτή Είναι σωστό το συμπέρασμα
όταν η 119892 δεν είναι αύξουσα
Άσκηση Αν η 119891 ∶ 119868 rarr ℝ είναι κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
119868 sube ℝ τότε για κάθε 119909 119910 119911 που ανήκουν στο Ι με 119909 lt 119910 lt 119911 ισχύει
119891(119910) minus 119891(119909)119910 minus 119909
le119891(119911) minus 119891(119909)
119911 minus 119909le
119891(119911) minus 119891(119910)119911 minus 119910
Άσκηση Έστω ότι το Ι είναι ένα διάστημα στο ℝ και 119891 ∶ 119868 rarr ℝ κυρτή
συνάρτηση Τότε σε κάθε συμπαγές υποδιάστημα 119869 του διαστήματος int(119868)η 119891 είναι 119871119894119901119904119888ℎ119894119905119911 οπότε είναι και απόλυτα συνεχής στο 119869 Επιπλέον είναισυνεχής στο int(119868) (Υπόδειξη Θεωρήστε στοιχεία 119906 lt 119907 στο Ι αριστερά
του 119869 και στοιχεία 119908 lt 119911 στο 119868 δεξιά του 119869 Για οποιαδήποτε στοιχεία 119909119910 isin 119869 με 119909 lt 119910 εφαρμόστε την Άσκηση στα σημεία 119906 lt 119907 lt 119909 lt 119910και στα 119909 lt 119910 lt 119908 lt 119911 Διακρίνετε περιπτώσεις αν 119891(119910) minus 119891(119909) lt 0 ή
119891(119910) minus 119891(119909) ge 0)Άσκηση Αποδείξτε ότι αν η συνάρτηση 119891 ∶ ℝ rarr [0 +infin) είναι κυρτή
και 119891(0) = 0 τότε η συνάρτηση 119865(119905) = 119891(119905)119905 είναι αύξουσα στο ℝ ⧵ 0
Οι Ασκήσεις έως έχουν σκοπό την μελέτη της πρώτης και δεύτερης
παραγώγου μιας κυρτής συνάρτησης
Άσκηση Έστω ότι η ακολουθία συναρτήσεων (119891119899)119899isinℕ από το ανοιχτό
διάστημα 119868 στο ℝ είναι αύξουσα δηλαδή 119891119899(119909) le 119891119899+1(119909) για κάθε 119909 isin 119868για κάθε 119899 isin ℕ Υποθέτουμε επίσης ότι κάθε 119891119899 είναι συνεχής και αύξουσα
συνάρτηση Αποδείξτε ότι αν 119891119899(119909) rarr 119892(119909) για κάθε 119909 isin 119868 τότε η 119892 είναι
αριστερά συνεχής σε κάθε σημείο του 119868Άσκηση Έστω Ι ανοιχτό διάστημα υποσύνολο του ℝ και 119891 ∶ 119868 rarr ℝ κυρτή
Αποδείξτε ότι οι 119891primeminus 119891prime
+ υπάρχουν είναι αύξουσες και ισχύει ότι 119891primeminus le 119891prime
+
Δείξτε επίσης ότι η 119891 είναι διαφορίσιμη στα σημεία 119909 του Ι στα οποία η 119891primeminus είναι
συνεχής Συμπεράνετε ότι η 119891prime είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του Ι εκτός απόένα αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων και η 119891prime είναι αύξουσα στο πεδίο ορισμού
της
(Υπόδειξη Βήμα 1 Εφαρμόζοντας την Άσκηση μια φορά για σημεία
119906 lt 119908 lt 119909 lt 119911 lt 119907 lt 119910 και μια φορά για σημεία 119909 lt 119911 lt 119907 lt 119910 lt 119906 lt 119908αποδείξτε ότι οι 119891prime
minus και 119891prime+ υπάρχουν και
119891primeminus(119909) le 119891prime
+(119909) le119891(119910) minus 119891(119909)
119910 minus 119909le 119891prime
minus(119910) le 119891prime+(119910) ()
ανισότητες που αποδεικνύουν ότι οι πλευρικές παράγωγοι είναι αύξουσες
συναρτήσεις
Βήμα 2 Θεωρήστε την ακολουθία συναρτήσεων (119892119899)119899isinℕ με 119892119899(119909) =(119891(119909 minus 1119899) minus 119891(119909))(minus1119899) και δείξτε ότι είναι αύξουσα ακολουθία συνεχών
και αυξουσών συναρτήσεων με όριο την 119891primeminus Χρησιμοποιήστε την Άσκηση
για να συμπεράνετε ότι η 119891primeminus είναι αριστερά συνεχής Δείξτε ομοίως ότι η 119891prime
+είναι δεξιά συνεχής Επίσης οι μονότονες συναρτήσεις έχουν το πολύ αριθμήσιμο
πλήθος ασυνεχειών
Βήμα 3 Αν 119891primeminus συνεχής στο 119909 τότε από την () για 119909 lt 119910 προκύπτει ότι
119891primeminus(119909) le 119891prime
+(119909) le 119891primeminus(119910) Αφήστε το 119910 rarr 119909+ για το συμπέρασμα)
Άσκηση Έστω Ι ανοιχτό και 119891 ∶ 119868 rarr ℝ διαφορίσιμη συνάρτηση Τα
ακόλουθα είναι ισοδύναμα
(i) H 119891 είναι κυρτή
(ii) H 119891prime είναι αύξουσα συνάρτηση
(Υπόδειξη αν η 119891 είναι διαφορίσιμη τότε από την Άσκηση η 119891primeminus είναι
συνεχής)
Άσκηση Έστω 119891 ∶ 119868 rarr ℝ όπου Ι είναι ανοιχτό και υπάρχει η 119891Prime Η 119891είναι κυρτή αν και μόνο αν 119891Prime ge 0Άσκηση Αν 119868 ανοιχτό διάστημα στο ℝ μια συνάρτηση 119891 ∶ 119868 rarr ℝ έχει
συνάρτηση στήριξης στο σημείο 119911 isin 119868 αν υπάρχει αριθμός 120574119911 isin ℝ ώστε
119891(119909) ge 119891(119911) + 120574119911(119909 minus 119911)
για κάθε 119909 isin 119868 Αποδείξτε ότι η 119891 είναι κυρτή αν και μόνο αν η 119891 έχει συνάρτηση
στήριξης σε κάθε 119911 isin 119868 ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) αν 119891 κυρτή δείξτε ότι
(α) υποθέστε ότι 0 isin 119868 και 119891(0) = 0 Για κάθε 119909 isin 119868 cap (0 +infin) και
για κάθε 119910 isin 119868cap(minusinfin 0) βρείτε 120582 isin (0 1) ώστε 0 = (1minus120582)119909+120582119910και εφαρμόστε την κυρτότητα της 119891 καταλήγοντας στη σχέση
sup119910isin119868cap(minusinfin0)
119891(119910)119910
le inf119909isin119868cap(0+infin)
119891(119909)119909
(β) Επιλέξτε 120574 ώστε
sup119910isin119868cap(minusinfin0)
119891(119910)119910
le 120574 le inf119909isin119868cap(0+infin)
119891(119909)119909
και αποδείξτε ότι η 120574119909 είναι συνάρτηση στήριξης της 119891 στο 0
(γ) Για τη γενική κυρτή συνάρτηση 119891 και τυχόν 119911 isin 119868 θεωρήστε
τη συνάρτηση ℎ ∶ 119868 minus 119911 rarr ℝ με ℎ(119909) = 119891(119911 + 119909) minus 119891(119911) και
αποδείξτε ότι είναι κυρτή με ℎ(0) = 0
(ii) αν η 119891 έχει συνάρτηση στήριξης 119892119911 σε κάθε 119911 isin 119868 δείξτε ότι επειδή
119892119909(119909) = 119891(119909) ισχύει 119891(119909) = sup119911isin119868 119892119911(119909) για κάθε 119909 isin 119868 Με αυτόν τον
τύπο αποδείξτε ότι η 119891 είναι κυρτή
Στα επόμενα το 119868 θα συμβολίζει ένα διάστημα στο ℝ
Θ Έστω ότι η 119891 ∶ 119868 rarr ℝ είναι μια κυρτή συνάρτηση τα1199091 1199092 hellip 119909119899 ανήκουν στο Ι και 1205821 + 1205822 + ⋯ + 120582119899 = 1 με 120582119895 isin [0 1] γιακάθε 119895 = 1 hellip 119899 Τότε το 12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899119909119899 ανήκει στο Ι και ισχύει
119891(12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899119909119899) le 1205821119891(1199091) + 1205822119891(1199092) + ⋯ + 120582119899119891(119909119899)
Απόδειξη Θα αποδείξουμε την ανισότητα Jensen χρησιμοποιώντας τη
μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής Για 119899 = 2 1205821 + 1205822 = 1 άρα1205821 = 1 minus 1205822 έχουμε
119891(12058211199091 + 12058221199092) = 119891((1 minus 1205822)1199091 + 12058221199092)le (1 minus 1205822)119891(1199091) + 1205822119891(1199092)le 1205821119891(1199091) + 1205822119891(1199092)
που ισχύει διότι η 119891 είναι κυρτή Υποθέτουμε ότι ισχύει για 119899 σημεία
και θα δείξουμε ότι ισχύει για 119899 + 1 σημείαΈστω ότι τα 1199091 1199092 hellip 119909119899+1 ανήκουν στο Ι 1205821 hellip 120582119899+1 ge 0 και sum
119899+1119895=1 120582119895 =
1Αν 120582119899+1 = 1 τότε 1205821 = ⋯ = 120582119899 = 0 Οπότε πρέπει να ελέγξουμε
αν ισχύει 119891(120582119899+1119909119899+1) le 120582119899+1119891(119909119899+1) Ισοδύναμα έχουμε ότι 119891(119909119899+1) le119891(119909119899+1) που ισχύει
Αν 0 le 120582119899+1 lt 1 τότε
119891(12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899+1119909119899+1)
= 119891 ((1 minus 120582119899+1) (1205821
1 minus 120582119899+11199091 + ⋯ +
120582119899
1 minus 120582119899+1119909119899) + 120582119899+1119909119899+1)
le (1 minus 120582119899+1)119891 (1205821
1 minus 120582119899+11199091 + ⋯ +
120582119899
1 minus 120582119899+1119909119899) + 120582119899+1119891(119909119899+1)
διότι η 119891 είναι κυρτή Είναι 120582119895(1 minus 120582119899+1) ge 0 για κάθε 119895 και
119899
sum119895=1
(120582119895
1 minus 120582119899+1) =
1 minus 120582119899+1
1 minus 120582119899+1= 1
Από την επαγωγική υπόθεση θα έχουμε ότι
119891(12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899+1119909119899+1)
le (1 minus 120582119899+1) (1205821
1 minus 120582119899+1119891(1199091) + ⋯ +
120582119899
1 minus 120582119899+1119891(119909119899)) + 120582119899+1119891(119909119899+1)
= 1205821119891(1199091) + 1205822119891(1199092) + ⋯ + 120582119899+1119891(119909119899+1)
Η παρακάτω πρόταση μάς δίνει πληροφορίες για την περίπτωση
της ισότητας στην ανισότητα Jensen
Π Αν η 119891 ∶ 119868 rarr ℝ είναι γνήσια κυρτή και υπάρχουν120582119895 isin (0 1) για 119895 = 1 hellip 119899 με sum
119899119895=1 120582119895 = 1 και
119891(12058211199091 + ⋯ + 120582119899119909119899) = 1205821119891(1199091) + ⋯ + 120582119899119891(119909119899)
για κάποια 1199091 hellip 119909119899 isin 119868 τότε ισχύει 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899
Απόδειξη Αν υποθέσουμε ότι
1199091 ne sum119895ne1
120582119895
1 minus 1205821119909119895
τότε από τη γνήσια κυρτότητα της 119891 και την υπόθεση θα ισχύει
119899
sum119895=1
120582119895119891(119909119895) = 119891 (119899
sum119895=1
120582119895119909119895)
= 119891 (12058211199091 + (1 minus 1205821) sum119895ne1
120582119895
1 minus 1205821119909119895)
lt 1205821119891(1199091) + (1 minus 1205821)119891 (sum119895ne1
120582119895
1 minus 1205821119909119895)
και χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της 119891
le119899
sum119895=1
120582119895119891(119909119895)
το οποίο είναι άτοπο Άρα 1199091 = sum119895ne1120582119895
1minus1205821119909119895 Ομοίως για κάθε 119894 = 1 hellip 119899
θα ισχύει 119909119894 = sum119895ne119894120582119895
1minus120582119894119909119895 Έτσι
(1 minus 1205821)1199091 = sum119895ne1
120582119895119909119895 = sum119895ne2
120582119895119909119895 minus 12058211199091 + 12058221199092
= (1 minus 1205822)1199092 minus 12058211199091 + 12058221199092
= 1199092 minus 12058211199091
Άρα 1199091 = 1199092 Ομοίως αποδεικνύουμε ότι όλα τα 119909119895 είναι ίσα με το 1199091
Η ανισότητα Jensen μπορεί να διατυπωθεί και για ολοκληρώματα
υπό την προϋπόθεση ότι το διάστημα ολοκλήρωσης (αν μιλάμε για
Riemann ολοκληρώσιμες συναρτήσεις) ή ο χώρος μέτρου στον οποίο
ολοκληρώνουμε (αν μιλάμε γενικά για ολοκληρώσιμες συναρτήσεις) έχει
μήκος (αντίστοιχα μέτρο) ίσο με 1 Συγκεκριμμένα ισχύει η παρακάτω
πρόταση
Π (Ανισότητα Jensen για ολοκληρώματα) Αν η 119892 ∶ [119886 119887] rarrℝ είναι Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση με 119887 minus 119886 = 1 και η 119891 ∶ Ι rarr ℝ
είναι κυρτή συνάρτηση με το διάστημα 119868 να περιέχει το σύνολο τιμών της119892 τότε
119891 (int119887
119886119892(119909) 119889119909) le int
119887
119886(119891 ∘ 119892)(119909) 119889119909
Γενικότερα αν η 119892 ορίζεται σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω 120583) και η 119891είναι όπως πριν τότε ισχύει
119891 (intΩ
119892 119889120583) le intΩ
119891 ∘ 119892 119889120583
Απόδειξη Για την περίπτωση του ολοκληρώματος Riemann επιλέγουμε
ακολουθία διαμερίσεων 119979119899 με λεπτότητα που συγκλίνει στο μηδέν και
χρησιμοποιούμε την συνέχεια της 119891 (Άσκηση ) οπότε ισχύει
119891 (int119887
119886119892(119909) 119889119909) = lim
119899rarrinfin119891 ⎛
⎝ sum119909119895isin119979119899
119892(119909119895)Δ119909119895⎞⎠
αλλά 119891 κυρτή και sum119909119895isin119979119899Δ119909119895 = 1 οπότε
le lim119899rarrinfin
sum119909119895isin119979119899
119891(119892(119909119895))Δ119909119895
le int119887
119886(119891 ∘ 119892)(119909) 119889119909
Για τη γενική περίπτωση θέτουμε 1199090 = int 119892 119889120583 και χρησιμοποιούμε
την Άσκηση για να βρούμε 119886 119887 isin ℝ ώστε 119886119909 + 119887 le 119891(119909) για
κάθε 119909 isin ℝ και 1198861199090 + 119887 = 119891(1199090) Έτσι θα ισχύει 119891(119892(119909)) ge 119886119892(119909) + 119887Ολοκληρώνοντας την τελευταία και χρησιμοποιώντας ότι 120583(Ω) = 1 καιτον ορισμό του 1199090 παίρνουμε ότι
int (119891 ∘ 119892) 119889120583 ge 1198861199090 + 119887 = 119891(1199090) = 119891 (int 119892 119889120583)
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
H ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου
Θ Θεωρούμε 1199091 1199092 hellip 119909119899 ge 0 και 1205821 1205822 hellip 120582119899 ge 0 μεsum
119899119895=1 120582119895 = 1 Τότε
() 119909112058211199092
1205822 hellip 119909119899120582119899 le 12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899119909119899
Αν 120582119895 gt 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899 τότε η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν όλατα 119909119895 είναι μεταξύ τους ίσα
Συγκεκριμένα
()119899radic11990911199092 hellip 119909119899 le
1199091 + 1199092 + ⋯ + 119909119899
119899
με ισότητα μόνο αν όλα τα 119909119895 είναι μεταξύ τους ίσα
Απόδειξη Η () προκύπτει αμέσως από την () αν θέσουμε 1205821 =⋯ = 120582119899 = 1119899 ge 0 Προφανώς sum
119899119895=1 120582119895 = 1 οπότε
11990911198991 ⋯ 1199091119899
119899 le1119899
1199091 + ⋯ +1119899
119909119899
άρα119899radic11990911199092 ⋯ 119909119899 le
1199091 + 1199092 + ⋯ + 119909119899
119899
Ομοίως και η περίπτωση της ισότητας αφού 1119899 gt 0Μένει να αποδείξουμε την () και να εξετάσουμε την περίπτωση
της ισότητας Θέτουμε 119891(119909) = 119890119909 ∶ ℝ rarr ℝ Η 119891 είναι κυρτή όπως
είδαμε στο Παράδειγμα Θεωρούμε 1199091 1199092 hellip 119909119899 ge 0 Θέτουμε
1199101 = ln 1199091 hellip 119910119899 = ln 119909119899 και εφαρμόζουμε την ανισότητα Jensen για την
119891 τα 1199101 hellip 119910119899 και τα 1205821 hellip 120582119899 οπότε
11989012058211199101+⋯+120582119899119910119899 le 12058211198901199101 + ⋯ + 120582119899119890119910119899
Έτσι
1198901205821 ln 1199091+⋯+120582119899 ln 119909119899 le 1205821119890ln 1199091 + ⋯ + 120582119899119890ln 119909119899
άρα
119890ln(1199091)1205821+⋯+ln(119909119899)120582119899 le 12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899119909119899
επομένως
119909112058211199092
1205822 hellip 119909119899120582119899 le 12058211199091 + 12058221199092 + ⋯ + 120582119899119909119899
Τέλος αν όλα τα 120582119895 είναι θετικά και ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη
ανισότητα χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η 119890119909 είναι γνήσια κυρτή
(Παράδειγμα ) και την Πρόταση για να συμπεράνουμε ότι τα
119910119895 είναι μεταξύ τους ίσα άρα και τα 119909119895
H ανισότητα Young
Λ Αν 119909 119910 ge 0 119901 119902 gt 1 και 119901minus1 + 119902minus1 = 1 τότε
119909119910 le119909119901
119901+
119910119902
119902
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν 119909119901 = 119910119902
Απόδειξη Αν 119909 = 0 ή 119910 = 0 τότε η ανισότητα ισχύει Αν τα 119909 και 119910είναι διάφορα του μηδενός τότε θέτουμε
1205821 =1119901
1205822 =1119902
1199091 = 119909119901 1199092 = 119910119902
και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Οπότε 11990912058211 1199091205822
2 le 12058211199091 + 12058221199092 και άρα
(119909119901)1119901 (119910119902)
1119902 le
1119901
119909119901 +1119902
119910119902
δηλαδή η ζητούμενη Η περίπτωση της ισότητας προκύπτει άμεσα από
το Θεώρημα
H ανισότητα Houmllder για αθροίσματα
Θ Αν 11990911199101 11990921199102 hellip 119909119899 119910119899 ge 0 119901 119902 gt 1 και 119901minus1+119902minus1 =1 τότε
11990911199101 + 11990921199102 + ⋯ + 119909119899119910119899 le (1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899)1119901 (119910119902
1 + ⋯ + 119910119902119899 )
1119902
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν 119910119895 = 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899 ή υπάρχει120582 isin ℝ ώστε 119909119901
119895 = 120582119910119902119895 για κάθε 119895 = 1 2 hellip 119899
Απόδειξη Αν όλα τα 119909119894 ή όλα τα 119910119894 είναι μηδέν τότε η ανισότητα
είναι προφανής Έστω τώρα ότι ούτε τα 119909119894 ούτε τα 119910119894 είναι όλα μηδέν
οπότε τα 1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899 και 1199101199021 + ⋯ + 119910119902
119899 είναι διάφορα του μηδενός
Εφαρμόζουμε την ανισότητα Young για
119909 =119909119894
(1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899)1119901 και 119910 =119910119894
(1199101199021 + ⋯ + 119910119902
119899 )1119902
και παίρνουμε
119909119894119910119894
(sum119899119895=1 119909119901
119895 )1119901 (sum
119899119895=1 119910119902
119895 )1119902
le119909119894
119901
119901(sum119899119895=1 119909119901
119895 )+
119910119894119902
119902(sum119899119895=1 119910119902
119895 )()
άρα
119899
sum119894=1
119909119894119910119894
(1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899)1119901 (119910119902
1 + ⋯ + 119910119902119899 )
1119902
le1
119901(1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899)
119899
sum119894=1
119909119894119901
+1
119902(1199101199021 + ⋯ + 119910119902
119899 )
119899
sum119894=1
119910119894119902 = 1
Συνεπώς
119899
sum119894=1
119909119894119910119894 le (1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899)1119901 (119910119902
1 + ⋯ + 119910119902119899 )
1119902
Αν υπάρχει 120582 isin ℝ ώστε 119909119901119895 = 120582119910119902
119895 για κάθε 119895 = 1 2 hellip 119899 τότε ελέγχουμε
εύκολα ότι ισχύει η ισότητα Ομοίως αν 119910119895 = 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899
Αντιστρόφως αν ισχύει η ισότητα και δεν είναι όλα τα 119910119895 ίσα με το
μηδέν τότε είτε όλα τα 119909119895 είναι ίσα με το μηδέν και ισχύει το ζητούμενο
με 120582 = 0 είτε καμιά από τις ανισότητες () για 119894 = 1 2 hellip 119899 δεν είναι
γνήσια (διότι θα ήταν γνήσιες ανισότητες οι επόμενες) Έτσι σε κάθε μια
από τις () για 119894 = 1 2 hellip 119899 ισχύει η ισότητα Από την περίπτωση
της ισότητας στην ανισότητα Young συμπεραίνουμε ότι
119909119901119894
1199091199011 + ⋯ + 119909119901
119899=
119910119902119894
1199101199021 + ⋯ + 119910119902
119899
για κάθε 119894 = 1 hellip 119899 Άρα 119909119901119894 = 120582119910119902
119894 για κάθε 119894 = 1 hellip 119899 όπου
120582 =119909119901
1 + ⋯ + 119909119901119899
1199101199021 + ⋯ + 119910119902
119899
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
H ανισότητα Houmllder για ολοκληρώματα
Για να αποδείξουμε τα παρακάτω χρειαζόμαστε λίγες γνώσεις θε-
ωρίας μέτρου Lebesgue Συγκεκριμμένα χρειαζόμαστε το γεγονός ότι
αν για μια μετρήσιμη συνάρτηση 119891 ∶ 119868 rarr [0 infin) όπου 119868 διάστημα ή
γενικότερα μετρήσιμο υποσύνολο του ℝ ισχύει int119868119891 = 0 τότε η 119891 είναι
ίση με μηδέν σχεδόν παντού
Θ Έστω ότι οι 119891 119892 ∶ 119868 rarr ℝ είναι μη αρνητικές ολο-κληρώσιμες συναρτήσεις με μη μηδενικά ολοκληρώματα και 119901 119902 gt 1 με119901minus1 + 119902minus1 = 1 Τότε
int119868119891119892 le (int
119868119891119901)
1119901
(int119868119892119902)
1119902
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν είτε 119892 = 0 σχεδόν παντού είτε υπάρχει120582 isin ℝ ώστε 119891119901 = 120582119892119902 σχεδόν παντού
Απόδειξη Αν int119868119891119901 = 0 τότε 119891 = 0 σχεδόν παντού οπότε η ανισό-
τητα ισχύει (ως ισότητα) Ομοίως αν int119868119892119902 = 0 Υποθέτουμε τώρα ότι
int119868119891119901 ne 0 και int119868
119892119902 ne 0 Από την ανισότητα του Young έχουμε
119891119892
(int119868119891119901)
1119901 (int119868
119892119902)1119902
le119891119901
119901 int119868119891119901 +
119892119902
119902 int119868119892119902 ()
άρα
int119868
119891119892
(int119868119891119901)
1119901 (int119868
119892119902)1119902
le1
119901int119868119891119901 int
119868119891119901 +
1119902int119868
119892119902 int119868119892119902 = 1
δηλαδή η ζητούμενη Αν ισχύει η ισότητα και 119892 δεν είναι μηδέν σχεδόν
παντού τότε αν int119868119891119901 = 0 συμπεραίνουμε ότι 119891 = 0 σχεδόν παντού
Οπότε το ζητούμενο ισχύει με 120582 = 0 Αν τώρα int119868119891119901 ne 0 τότε ισχύ-
ει ισότητα στην () σχεδόν παντού (αλλιώς η επόμενη ανισότητα
θα είναι γνήσια) και από την περίπτωση της ισότητας στην ανισό-
τητας του Young συμπεραίνουμε ότι 119891119901 = 120582119892119902 σχεδόν παντού με
120582 = (int119868119891119901)1119901(int119868
119892119902)1119902
H ανισότητα Minkowski για αθροίσματα
Θ Αν 1199091 1199101 hellip 119909119899 119910119899 ge 0 και 119901 ge 1 τότε
((1199091 + 1199101)119901 + ⋯ + (119909119899 + 119910119899)119901)1119901 le (1199091
119901 + ⋯ + 119909119899119901)
1119901 + (1199101
119901 + ⋯ + 119910119899119901)
1119901
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν είτε 119901 = 1 είτε 119910119895 = 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899είτε υπάρχει 120582 isin ℝ ώστε 119909119895 = 120582119910119895 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899
Απόδειξη Αν 119901 = 1 η ανισότητα είναι προφανής (ως ισότητα) Έστω
ότι 119901 gt 1 Διαλέγουμε 119902 gt 1 ώστε 119901minus1 +119902minus1 = 1 δηλαδή 119902 = 119901(119901 minus 1)Έχουμε
119899
sum119895=1
(119909119895 + 119910119895)119901 =119899
sum119895=1
(119909119895 + 119910119895)(119909119895 + 119910119895)119901minus1
=119899
sum119895=1
119909119895(119909119895 + 119910119895)119901minus1 +119899
sum119895=1
119910119895(119909119895 + 119910119895)119901minus1
le (119899
sum119895=1
119909119895119901)
1119901
(119899
sum119895=1
(119909119895 + 119910119895)(119901minus1)119902)
1119902
+ (119899
sum119895=1
119910119895119901)
1119901
(119899
sum119895=1
(119909119895 + 119910119895)(119901minus1)119902)
1119902
=⎡⎢⎣
(119899
sum119895=1
119909119895119901)
1119901
+ (119899
sum119895=1
119910119895119901)
1119901 ⎤⎥⎦
(119899
sum119895=1
(119909119895 + 119910119895)119901)
119901minus1119901
Συνεπώς
(119899
sum119895=1
(119909119895 + 119910119895)119901)1minus 119901minus1
119901
le (119899
sum119895=1
119909119895119901)
1119901
+ (119899
sum119895=1
119910119895119901)
1119901
Αλλά 1 minus 119901minus1119901
= 1119901 ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας
Εύκολα τώρα ελέγχουμε την περίπτωση της ισότητας χρησιμοποιών-
τας την περίπτωση της ισότητας του Θεωρήματος
H ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα
Όπως και στην περίπτωση της ανισότητας Houmllder για ολοκλη-
ρώματα έτσι και εδώ θα χρειαστούμε λίγες γνώσεις θεωρίας μέτρου
Lebesgue
Θ Αν 119891 119892 ∶ 119868 rarr ℝ μη αρνητικές ολοκληρώσιμες συναρ-τήσεις και 119901 ge 1 τότε
(int119868(119891 + 119892)119901119889119909)
1119901
le (int119868119891119901119889119909)
1119901
+ (int119868119892119901119889119909)
1119901
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν είτε 119901 = 1 είτε 119892 = 0 σχεδόν παντού είτευπάρχει 120582 isin ℝ ώστε 119891 = 120582119892 σχεδόν παντού
Απόδειξη Αν int119868(119891 + 119892)119901 = 0 τότε 119891 = 119892 = 0 σχεδόν παντού και
η ανισότητα ισχύει (ως ισότητα) Υποθέτουμε ότι int119868(119891 + 119892)119901 ne 0 Αν
119901 = 1 η ανισότητα είναι φανερή (ως ισότητα) Αν 119901 gt 1 όμοια με πριν
θα έχουμε
int119868(119891 + 119892)119901119889119909 = int
119868(119891 + 119892)(119891 + 119892)119901minus1119889119909
= int119868119891(119891 + 119892)119901minus1119889119909 + int
119868119892(119891 + 119892)119901minus1119889119909
le (int119868119891119901119889119909)
1119901
(int119868(119891 + 119892)(119901minus1)119902)
1119902
+ (int119868119892119901119889119909)
1119901
(int119868(119891 + 119892)(119901minus1)119902)
1119902
=⎡⎢⎣
(int119868119891119901119889119909)
1119901
+ (int119868119892119901119889119909)
1119901 ⎤⎥⎦
(int119868(119891 + 119892)119901)
119901minus1119901
Επομένως
(int119868(119891 + 119892)119901119889119909)
1minus 119901minus1119901
le (int119868119891119901119889119909)
1119901
+ (int119868119892119901119889119909)
1119901
Αλλά 1 minus 119901minus1119901
= 1119901 ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας
Η περίπτωση της ισότητας ελέγχεται εύκολα όπως και πριν
Άσκηση Αποδείξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό της κυρτής συνάρτησης
και την ανισότητα Young ότι αν η συνάρτηση 120593 ∶ 119870 rarr ℝ είναι κυρτή τότε και
η συνάρτηση 119890120593 είναι κυρτή
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 0 lt 119901 le 119902 lt infin ισχύει
(int119868|119892|119901)
1119901
le (int119868|119892|119902)
1119902
εφόσον τα ολοκληρώματα υπάρχουν όπου το 119868 είναι διάστημα (ή μετρήσιμο
σύνολο) με μήκος (αντίστοιχα μέτρο) ίσο με 1
Άσκηση Αποδείξτε ότι η συνάρτηση 119891(119909) = 119909minus119899 είναι κυρτή στο (0 infin)και χρησιμοποιήστε την ανισότητα Jensen για να αποδείξετε ότι
(int119868|119892|minus119899)
1minus119899
le int119868|119892|
εφόσον τα ολοκληρώματα υπάρχουν όπου το 119868 είναι διάστημα (ή μετρήσιμο
σύνολο) με μήκος (αντίστοιχα μέτρο) ίσο με 1
Η ανισότητα Minkowski για αθροίσματα μας λέει ότι για κάθε 119901 ge 1η
119909119901 = (119899
sum119895=1
|119909119895|119901)1119901
(όπου τα 119909119895 είναι οι συντεταγμένες του 119909 isin ℝ119899 ως προς τη συνήθη
βάση) ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα Εύκολα βλέπουμε ότι η
sdot 119901 ικανοποιεί και τις υπόλοιπες ιδιότητες της νόρμας και συνεπώς
είναι μια νόρμα στον ℝ119899 Αυτός ο χώρος με νόρμα του οποίου η μετρική
γράφεται 119889119901 (δηλαδή 119889119901(119909 119910) = 119909 minus 119910119901) συμβολίζεται με το ℓ119899119901 και
είναι ένας πλήρης μετρικός χώρος Η πληρότητα ελέγχεται εύκολα διότι
η σύγκλιση ως προς τη μετρική 119889119901 είναι ισοδύναμη με τη σύγκλιση κατά
συντεταγμένη εξαιτίας του ότι
|119909119895 minus 119910119895| le 119909 minus 119910119901 = (119899
sum119895=1
|119909119895 minus 119910119895|119901)1119901
Σημειώνουμε εδώ ότι είναι δυνατόν να ορίσουμε και τον χώρο ℓ119899infin
εφοδιάζοντας τον ℝ119899 με την νόρμα 119909infin = max1le119895le119899 |119909119895|Η ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα μας λέει ότι για κάθε
119901 ge 1 στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων 119862[119886 119887] η
119891119901 = (int[119886119887]
|119891|119901)1119901
ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα Εύκολα ελέγχει κανείς και τις άλλες
ιδιότητες της νόρμας Έτσι ο 119862[119886 119887] γίνεται χώρος με τη νόρμα sdot 119901 και
άρα και μετρικός χώρος Σε αντίθεση με το παράδειγμα του ℓ119899119901 αυτός
δεν είναι ένας πλήρης μετρικός χώρος Για παράδειγμα η ακολουθία
συναρτήσεων 119891119899(119909) = 119909119899 για 119909 isin [0 1] και 119891119899(119909) = 1 για 119909 isin [1 2]ανήκει στο 119862[0 2] και είναι ακολουθία Cauchy ως προς τη νόρμα sdot 119901
αφού για 119899 gt 119898 ισχύει
119891119899 minus 119891119898119901119901 = int
1
0(119909119898 minus 119909119899)119901 119889119909 le int
1
0119909119898119901 119889119909 =
1119898119901 + 1
rarr 0
καθώς 119898 rarr infin Όμως η 119891119899 δεν συγκλίνει σε καμία συνάρτηση στον
119862[0 2] ως προς τη νόρμα sdot 119901 έστω ότι υπάρχει 119892 isin 119862[0 2] με
119891119899 minus 119892119901 rarr 0 Θέτουμε 119891(119909) = 0 για 119909 isin [0 1) και 119891(119909) = 1 για
119909 isin [1 2] Η 119891 είναι ασυνεχής στο 1 οπότε 119891 notin 119862[0 2] Εύκολα ελέγχουμε
ότι 119891 minus 119891119899119901 rarr 0 Αλλά
119891 minus 119892119901 le 119891 minus 119891119899119901 + 119891119899 minus 119892119901 rarr 0
οπότε 119891 minus 119892119901 = 0 Παρατηρούμε τώρα ότι τόσο η 119891 όσο και η 119892είναι συνεχείς στα διαστήματα [1 2] και [0 1 minus 1119898] για κάθε 119898 isin ℕ
Επιπλέον int1minus11198980
|119891 minus 119892|119901 le int20
|119891 minus 119892|119901 = 0 άρα 119892 = 119891 στο διάστημα
[0 1 minus 1119898] για κάθε 119898 isin ℝ119899 Ομοίως 119892 = 119891 στο διάστημα [1 2]Δηλαδή 119892 = 119891 notin 119862[0 2] το οποίο είναι άτοπο
Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε την πλήρωση του χώρου (119862[119886 119887] sdot119901) ο οποίος είναι χώρος με νόρμα και συμβολίζεται με 119871119901[119886 119887]
Άσκηση Αποδείξτε ότι η επιλογή του συμβόλου ℓ119899infin για τον ℝ119899 με νόρμα
την 119909infin = max1le119895le119899 |119909119895| όπου 119909119895 οι συντεταγμένες του 119909 είναι φυσιολογική
δείχνοντας ότι
⎛⎝
119899
sum119895=1
|119909119895|119901⎞⎠
1119901
rarr 119909infin
για 119901 rarr infin
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 1 le 119901 le infin ο ℓ119899119901 είναι πλήρης μετρικός
χώρος
Άσκηση Αποδείξτε ότι η sdot 119901 για 0 lt 119901 lt 1 δεν είναι νόρμα Δείξτε
ισοδύναμα ότι το σύνολο ℬ119899119901 = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119909119901 le 1 για 0 lt 119901 lt 1 δεν είναι
κυρτό σώμα (Μπορείτε να δείτε το παραπάνω σύνολο στον ℝ3 για 119901 = 06και 119901 = 08 στο Παράρτημα Α)
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 119909 isin ℝ119899 ισχύει 1199091 le radic1198991199092 Γενικό-
τερα για κάθε 1 le 119901 lt 119902 lt infin ισχύει
119909119902 le 119909119901 le 1198991119901 minus 1
119902 119909119902
ΚΥΡΤΑ ΣΩΜΑΤΑ
Ο (Κυρτό Σώμα) Έστω ότι το 119870 είναι ένα υποσύνολο
του ℝ119899 Αν το 119870 είναι κυρτό συμπαγές και έχει μη κενό εσωτερικό
δηλαδή το σύνολο int(119870) είναι διαφορετικό του κενού τότε το 119870 λέγεται
κυρτό σώμα
Ο (Κεντρικά συμμετρικό σύνολο) Έστω ότι το 119862 είναι
υποσύνολο του ℝ119899 Αν όποτε το 119909 ανήκει στο 119862 τότε και το minus119909 ανήκει
και αυτό στο 119862 το 119862 λέγεται κεντρικά συμμετρικό ή συμμετρικό ως προς
το 0
Π Κάθε κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870 περιέχειτο 0 στο εσωτερικό του 0 isin int(119870)
Απόδειξη Αφού το 119870 έχει μη κενό εσωτερικό υπάρχει 119909 isin ℝ119899 και 120598 gt 0ώστε 119861(119909 120598) sube 119870 Αλλά το 119870 είναι κεντρικά συμμετρικό οπότε ισχύει
και 119861(minus119909 120598) sube 119870 Όμως το 119870 είναι κυρτό οπότε
12
119861(119909 120598) +12
119861(minus119909 120598) sube 119870
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί αν δείξουμε ότι
119861(0 120598) sube12
119861(119909 120598) +12
119861(minus119909 120598)
Θεωρούμε 119911 isin 119861(0 120598) οπότε 1199112 lt 120598 Φανερά 119911 = 12(119911+119909)+ 1
2(119911minus119909)
οπότε αρκεί να δειχθεί ότι 119911 + 119909 isin 119861(119909 120598) και 119911 minus 119909 isin 119861(minus119909 120598) Αλλά119909 minus (119911 + 119909)2 = 1199112 lt 120598 και (minus119909) minus (119911 minus 119909)2 = 1199112 lt 120598
Ένας τρόπος να περιγράψουμε ένα κυρτό και κεντρικά συμμετρικό
σώμα 119870 στον ℝ119899 είναι μέσω μιας νόρμας
Π Αν η sdot είναι μια νόρμα στον ℝ119899 τότε το σύνολο
119870sdot = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119909 le 1
είναι ένα κυρτό κεντρικά συμμετρικό σώμα στον ℝ119899
Απόδειξη Είναι φανερό ότι το 119870 είναι μη κενό (αφού 0 isin 119870) και ότι είναι
κεντρικά συμμετρικό σύνολο (αφού minus 119909 = 119909 για κάθε 119909 isin ℝ119899)
Επίσης είναι κυρτό διότι αν 119909 119910 isin 119870 και 120582 isin [0 1] τότε
(1 minus 120582)119909 + 120582119910 le (1 minus 120582)119909 + 120582119910 le (1 minus 120582) + 120582 = 1
δηλαδή (1 minus 120582)119909 + 120582119910 isin 119870 Μένει να δειχθεί ότι είναι κλειστό φραγμένο
(οπότε συμπαγές) και με μη κενό εσωτερικό υποσύνολο του (ℝ119899 sdot 2)Το ότι το 119870sdot είναι κλειστό προκύπτει από τη συνέχεια της νόρμας
ως προς την ευκλείδεια απόσταση (Πόρισμα ) αν 119909119898 isin 119870sdot και
119909119898 rarr 119909 ως προς την ευκλείδεια νόρμα τότε από την συνέχεια της sdot θα πρέπει 119909119898 rarr 119909 Αλλά 119909119898 isin 119870sdot συνεπάγεται ότι 119909119898 le 1άρα 119909 le 1 δηλαδή 119909 isin 119870sdot
Το ότι το 119870 είναι φραγμένο και με μη κενό εσωτερικό προκύπτει από
την Πρόταση Σύμφωνα με αυτήν υπάρχουν σταθερές 119888 119862 gt 0ώστε 1198881199092 le 119909 le 1198621199092 για κάθε 119909 isin ℝ119899 Άρα αν 119909 isin 119870sdot τότε
119909 le 1 οπότε 1199092 le 1119888 Δηλαδή 119870 sube ℬ1198992(0 1119888) και συνεπώς το
119870 είναι φραγμένο Επίσης αν 119909 isin 119861(0 1119862) τότε 1199092 lt 1119862 Έτσι
119909 le 1198621199092 le 1 άρα 119909 isin 119870sdot Δηλαδή 119861(0 1119862) sube 119870sdot και άρα το
119870sdot έχει μη κενό εσωτερικό
Ο Κάθε νόρμα sdot στον ℝ119899 ορίζει το κυρτό κεντρικά
συμμετρικό σώμα
119870sdot = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119909 le 1
το οποίο ονομάζεται μοναδιαία μπάλα του (μετρικού) χώρου (ℝ119899 sdot )
Π Η αντίστροφη διαδικασία δηλαδή ο ορισμός μιας
νόρμας sdot 119870 από ένα δοθέν κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870είναι εφικτή και μάλιστα το κυρτό σώμα που ορίζει η sdot 119870 είναι το 119870
Με άλλα λόγια η σχέση νόρμας και κυρτού και κεντρικά συμμετρικού
σώματος στον ℝ119899 είναι - και επί Αυτό θα παρουσιαστεί στην επόμενη
ενότητα
Π (Το σύνολo ℬ119899infin) Είναι εύκολο να δούμε ότι η 119909infin ∶=
max1le119895le119899 |119909119895| όπου (119909119895)119899119895=1 οι συντεταγμένες του 119909 isin ℝ119899 ορίζει μια
νόρμα Η μοναδιαία μπάλα του χώρου αυτού δηλαδή το σύνολο
119909 isin ℝ119899 ∶ 119909infin le 1 είναι ο κύβος ακμής μήκους 2 στις 119899 δια-
στάσεις και συμβολίζεται με ℬ119899infin Δηλαδή είναι το σύνολο [minus1 1]119899 Συχνά
χρησιμοποιείται η λέξη υπερκύβος για τις διαστάσεις 119899 ge 4 Για 119899 = 2πρόκειται για το τετράγωνο [minus1 1] times [minus1 1] στο επίπεδο ℝ2
Σ Ο κύβος ℬ3infin στον ℝ3
Π (Τα σύνολα ℬ119899119901 για 119901 ge 1) Για 119901 ge 1 και 119909 isin ℝ119899
με συντεταγμένες (1199091 1199092 hellip 119909119899) ορίζουμε την ποσότητα
119909119901 = (119899
sum119895=1
|119909119895|119901)1119901
η οποία είναι νόρμα στον ℝ119899 (η τριγωνική ανισότητα είναι το Θεώρη-
μα ) Σύμφωνα με τα παραπάνω το σύνολο
119909 isin ℝ119899 ∶ 119909119901 le 1
είναι ένα κυρτό κεντρικά συμμετρικό σώμα στον ℝ119899 η μοναδιαία μπάλα
του χώρου (ℝ119899 sdot119901) Το σύνολο αυτό συμβολίζεται με ℬ119899119901 Στο Σχήμα
εικονίζεται το ℬ31 δηλαδή το σύνολο των σημείων (1199091 1199092 1199093) isin ℝ3 για τα
οποία ισχύει |1199091|+|1199092|+|1199093| le 1 το οποίο μπορούμε να το περιγράψουμε
ως μια διπλή πυραμίδα (στα αγγλικά ονομάζεται crosspolytope) Είναι
Σ Η μοναδιαία μπάλα ℬ31 του (ℝ3 sdot 1)
εύκολο να δει κανείς ότι για 1 le 119901 lt 119902 lt infin ισχύει ℬ1198991 sube ℬ119899
119901 sube 119861119899119902 sube ℬ119899
infin
Πράγματι αν 119909119901 le 1 τότε |119909119895| le 1 για κάθε συντεταγμένη 119909119895 του 119909Άρα αφού 119901 lt 119902 θα ισχύει |119909119895|119902 le |119909119895|119901 και αθροίζοντας ως προς 119895 θα
έχουμε119899
sum119895=1
|119909119895|119902 le119899
sum119895=1
|119909119895|119901 le 1
Συνεπώς 119909119902 le 1 Για το γενικό 119909 isin ℝ119899 τώρα θεωρούμε το 119909119909119901
frac14 Euml frac14
Euml frac14
Euml frac14
Euml frac14
c
Σ ℬ21 sube ℬ2
32 sube ℬ22 sube ℬ2
3 sube ℬ2infin
για το οποίο ισχύει 119909119909119901119901 = 1 Έτσι από το προηγούμενο
119909119909119901119902 le 1 και άρα 119909119902 le 119909119901 Επίσης είναι άμεσο ότι 119909infin =max1le119895le119899 |119909119895| le 119909119901 για κάθε 119901 isin [1 infin) Τώρα η μονοτονία των συ-
νόλων ℬ119899119901 ως προς 119901 προκύπτει από τον ορισμό τους αν 119909 isin ℬ119899
119901 τότε
119909119901 le 1 άρα 119909119902 le 1 συνεπώς 119909 isin ℬ119899119902 Το Σχήμα δείχνει τα
σώματα ℬ21 ℬ2
32 ℬ22 ℬ2
3 και ℬ2infin Για μια τρισδιάστατη παρουσίαση
αυτών των σωμάτων δείτε στο Παράρτημα Α
Μια άλλη διαδικασία να ορίσουμε κυρτά σώματα εκτός από την
νόρμα είναι μέσω της κυρτής θήκης
Ο (Κυρτή Θήκη) Δοθέντος ενός συνόλου 119860 υποσυνόλου
του ℝ119899 ορίζουμε την κυρτή θήκη του 119860 ως την τομή όλων των κυρτών
συνόλων 119870 τα οποία είναι υποσύνολα του ℝ με Α sube 119870 Γράφουμε
conv(119860) = ⋂119870 ∶ 119870supe119860
119870
όπου το 119870 είναι κυρτό
Φανερά το conv(119860) είναι κυρτό και μάλιστα είναι το ελάχιστο κυρτό
σύνολο που περιέχει το 119860
Ο (Κυρτός Συνδυασμός) Αν τα 1199091 hellip 119909119898 ανήκουν στον
ℝ119899 και 1205821 hellip 120582119898 είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός με sum119898119895=1 120582119895 = 1
τότε το σημείο 119909 = 12058211199091 + ⋯ + 120582119898119909119898 λέγεται κυρτός συνδυασμός των
1199091 hellip 119909119898
Λ Έστω ότι το 119860 είναι υποσύνολο του ℝ119899 Το conv(119860)ισούται με το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών στοιχείων του 119860
Απόδειξη Θέτουμε
Κ = 119898
sum119895=1
120582119895119909119895 120582119895 ge 0119898
sum119895=1
120582119895 = 1 119909119895 isin 119860 119898 isin ℕ ()
(i) Το 119870 είναι είναι κυρτό σύνολο
Έστω 119909 119910 που ανήκουν στο 119870 και έστω 119909 = 12058211199091 + ⋯ + 120582119898119909119898 και
119910 = 12058311199101 + ⋯ + 120583119896119910119896 όπου 119909119895 119910119895 ανήκουν στο 119860 120582119895 120583119895 ge 0 και
119898
sum119895=1
120582119895 = 1 =119896
sum119895=1
120583119895
Πρέπει να δείξουμε ότι αν 120572 ανήκει στο [0 1] τότε το σημείο
(1 minus 120572)119909 + 120572119910 ανήκει στο 119870 Έχουμε
(1 minus 120572)119909 + 120572119910 = (1 minus 120572)(12058211199091 + ⋯ + 120582119898119909119898) + 120572(12058311199101 + ⋯ + 120583119896119910119896)= (1 minus 120572)12058211199091 + ⋯ + (1 minus 120572)120582119898119909119898 + 12057212058311199101 + ⋯ + 120572120583119896119910119896
Τα 119909119895 119910119895 ανήκουν στο 119860 (1 minus 120572)120582119895 ge 0 120572120583119895 ge 0 και
(1 minus 120572)1205821 + ⋯ + (1 minus 120572)120582119898 + 1205721205831 + ⋯ + 120572120583119896
= (1 minus 120572)(1205821 + ⋯ + 120582119898) + 120572(1205831 + ⋯ + 120583119896)= (1 minus 120572)1 + 1205721 = 1
Συνεπώς το σημείο (1 minus 120572)119909 + 120572119910 ανήκει στο 119870 Άρα το 119870 είναι
κυρτό σύνολο
(ii) Κάθε κυρτό σύνολο 119870 περιέχει οποιονδήποτε κυρτό συνδυασμό
οποιωνδήποτε στοιχείων του
Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της επαγωγής στο πλήθος των
σημείων
(α) Για 119898 = 2 Tα 1199091 1199092 ανήκουν στο 119870 Άρα το σημείο (1 minus120582)1199091+1205821199092 ανήκει στο 119870 από τον ορισμό του κυρτού συνόλου
(β) Υποθέτουμε ότι ο κυρτός συνδυασμός119898 σημείων του119870 ανήκει
στο 119870 Έστω 1199091 1199092 hellip 119909119898 119909119898+1 ανήκουν στο 119870 1205821 hellip 120582119898+1 ge0 και
sum119898+1119895=1 120582119895 = 1 Πρέπει να δείξουμε ότι το σημείο 12058211199091 + ⋯ +
120582119898+1119909119898+1 ανήκει στο 119870
i Αν 120582119898+1 = 1 τότε
119898+1
sum119895=1
120582119895119909119895 = 120582119898+1119909119898+1 = 119909119898+1
που ανήκει στο 119870
ii Αν 120582119898+1 lt 1 τότε
119898+1
sum119895=1
120582119895119909119895 = (1 minus 120582119898+1) (119898
sum119895=1
120582119895
1 minus 120582119898+1119909119895) + 120582119898+1119909119898+1
το οποίο ανήκει στο 119870 διότι το σημείο sum119898119895=1
120582119895
1minus120582119898+1119909119895
ανήκει στο 119870 από την επαγωγική υπόθεση και το
(1 minus 120582119898+1) (119898
sum119895=1
120582119895
1 minus 120582119898+1119909119895) + 120582119898+1119909119898+1
είναι κυρτός συνδυασμός δύο σημείων του κυρτού 119870
Από τα παραπάνω λοιπόν το 119870 όπως ορίστηκε στην () είναι κυρτό
σύνολο και άρα περιέχει οποιονδήποτε κυρτό συνδυασμό οποιωνδήποτε
στοιχείων του Αν λοιπόν το 119909 ανήκει στο 119860 τότε το 119909 = 12119909 + 1
2119909 οπότε
ανήκει και στο 119870 Άρα το 119870 είναι υπερσύνολο της κυρτής θήκης του
119860 γιατί η κυρτή θήκη του 119860 είναι το ελάχιστο κυρτό σύνολο που
περιέχει το 119860 Έτσι Κ supe conv(119860) Όμως το conv(119860) είναι κυρτό σύνολο
υπερσύνολο του 119860 Άρα περιέχει σύμφωνα με το (ii) τους κυρτούς
συνδυασμούς στοιχείων του 119860 δηλαδή conv(119860) supe 119870 Οπότε το conv(119860)είναι υπερσύνολο του 119870 Συνεπώς conv(119860) = 119870
Π (Το Simplex) Ονομάζουμε simplex την κυρτή θήκη
οποιωνδήποτε σημείων στον ℝ119899 τα οποία βρίσκονται σε γενική θέση
(affine-ανεξάρτητα) Για παράδειγμα στο Σχήμα βλέπουμε ένα
simplex στον ℝ3 δηλαδή την κυρτή θήκη τεσσάρων σημείων σε γενική
θέση Ειδικά για το ℝ3 οι κυρτές θήκες τεσσάρων σημείων σε γενική
θέση λέγονται και τετράεδρα
Σ Δύο πολύτοπα στον ℝ3 Το πρώτο είναι τετράεδρο
Π (Πολύτοπα) Η κυρτή θήκη οσωνδήποτε (πεπερα-
σμένου πλήθους) σημείων στον ℝ119899 ονομάζεται πολύτοπο Βλέπουμε έναπαράδειγμα στο Σχήμα
Θ (Καραθεοδωρή) Έστω 119860 υποσύνολο του ℝ119899 Τότε ηκυρτή θήκη του 119860 ισούται με όλους τους κυρτούς συνδυασμούς σημείωντου 119860 σε γενική θέση Δηλαδή για κάθε 119909 isin conv(119860) υπάρχουν το πολύ119899 + 1 στοιχεία του 119860 ώστε το 119909 να είναι κυρτός συνδυασμός τους
Απόδειξη (του Radon) Έστω ότι το 119909 ανήκει στο conv(119860) και 119898 ο
ελάχιστος ακέραιος ώστε να υπάρχουν 1199091 hellip 119909119898 στο 119860 1205821 hellip 120582119898 gt 0 και
sum119898119895=1 120582119895 = 1 με 119909 = 12058211199091 +⋯+120582119898119909119898 Θα δείξουμε ότι τα 1199091 hellip 119909119898 είναι σε
γενική θέση Υποθέτουμε το αντίθετο Οπότε τα 1199092minus1199091 1199093minus1199091 hellip 119909119898minus1199091
είναι γραμμικώς εξαρτημένα Έτσι υπάρχουν 1205832 hellip 120583119898 όχι όλα μηδέν
ώστε 1205832(1199092 minus 1199091) + ⋯ + 120583119898(119909119898 minus 1199091) = 0 Άρα
(minus1205832 minus 1205833 minus ⋯ minus 120583119898)1199091 + 12058321199092 + ⋯ + 120583119898119909119898 = 0
Θέτουμε 1205831 = minus1205832 minus 1205833 minus ⋯ minus 120583119898 οπότε τα 1205831 1205832 hellip 120583119898 δεν είναι όλα
μηδέν και ισχύει
() 1205831 + ⋯ + 120583119898 = 0
και
() 12058311199091 + ⋯ + 120583119898119909119898 = 0
Παρατηρούμε ότι λόγω της () ισχύει
119909 =119898
sum119895=1
120582119895119909119895 minus120582119896
120583119896(
119898
sum119895=1
120583119895119909119895) =119898
sum119895=1
(120582119895 minus120582119896
120583119896120583119895) 119909119895
για κάθε 119896 ώστε 120583119896 ne 0 Αλλά τώρα ο συντελεστής του 119909119896 (για 119895 = 119896)στο παραπάνω άθροισμα είναι μηδέν δηλαδή στην πραγματικότητα
αυτό το άθροισμα έχει το πολύ 119898 minus 1 όρους Έτσι θα οδηγηθούμε
σε αντίφαση με την επιλογή του 119898 αν αποδείξουμε ότι μπορούμε να
επιλέξουμε 119896 ώστε το παραπάνω άθροισμα να είναι κυρτός συνδυασμός
Λόγω της () φανερά sum119898119895=1(120582119895 minus (120582119896120583119896)120583119895) = 1 Άρα μένει να δειχθεί
ότι μπορούμε μα επιλέξουμε 119896 ώστε 120582119895 minus (120582119896120583119896)120583119895 ge 0 για κάθε
119895 = 1 2 hellip 119898
Από τη () και αφού δεν είναι όλα τα 120583119895 ίσα με το μηδέν κάποιο
από αυτά είναι θετικό Σχηματίζουμε τους λόγους 120582119895120583119895 για τα 119895 ώστε
120583119895 gt 0 και επιλέγουμε τον μικρότερο λόγο Έστω ότι είναι ο 120582119896120583119896
Ισχυριζόμαστε ότι
120582119895 minus120582119896
120583119896120583119895 ge 0
για κάθε 119895 = 1 2 hellip 119898 Αυτό ισχύει για τους εξής λόγους
(i) Αν 120583119895 = 0 τότε οδηγούμαστε στην 120582119894 ge 0 που είναι αληθής
(ii) Αν 120583119895 gt 0 τότε είναι ισοδύναμη με την 120582119894120583119894 ge 120582119896120583119896 που ισχύει
από την επιλογή του 120582119896120583119896
(iii) Αν 120583119895 lt 0 τότε ισχύει 120582119895120583119895 le 0 le 120582119896120583119896 και άρα 120582119895 ge (120582119896120583119896)120583119894οπότε 120582119895 minus (120582119896120583119896)120583119895 ge 0
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Αν 119860 είναι συμπαγές υποσύνολο του ℝ119899 τότε η κυρτήθήκη του 119860 είναι συμπαγές σύνολο
Απόδειξη Το σύνολο
Β = (1205821 hellip 120582119899+1 1199091 hellip 119909119899+1) ∶ 120582119895 ge 0119899+1
sum119895=1
120582119895 = 1 119909119895 isin 119860
είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του ℝ(119899+1)2οπότε είναι συμπα-
γές Από το θεώρημα του Καραθεοδωρή συμπεραίνουμε ότι η συνεχής
συνάρτηση
Φ(1205821 hellip 120582119899+1 1199091 hellip 119909119899+1) =119899+1
sum119895=1
120582119895119909119895 ∶ 119861 rarr conv(119860)
είναι επί Άρα το σύνολο Φ(119861) είναι συμπαγές Επομένως η κυρτή θήκη
του 119860 είναι συμπαγές σύνολο
Π Αν το 119870 είναι κυρτό υποσύνολο του ℝ119899 τότε
(i) Το 119870 είναι κυρτό σύνολο
(ii) Το int119870 είναι κυρτό σύνολο
(iii) Αν 0 isin int(119870) τότε για κάθε 120582 isin (0 1) ισχύει 120582119870 sube int(119870)
(iv) Αν int119870 ne τότε 119870 = int119870
Απόδειξη
(i) Έστω ότι τα 119909 119910 ανήκουν στο 119870 και 120582 ανήκει στο [0 1] Θέλουμε
να δείξουμε ότι το σημείο (1 minus 120582)119909 + 120582119910 ανήκει στο 119870 Αφού τα
119909 119910 ανήκουν στο 119870 τότε θα υπάρχουν μια ακολουθία 119909119898 στο
119870 ώστε 119909119898 rarr 119909 και μια ακολουθία 119910119898 στο 119870 ώστε 119910119898 rarr 119910 Οι
119909119898 119910119898 ανήκουν στο 119870 και το 119870 είναι κυρτό από την υπόθεση
Άρα το σημείο (1 minus 120582)119909119898 + 120582119910119898 ανήκει στο 119870 Μένει να δείξουμε
λοιπόν ότι (1 minus 120582)119909119898 + 120582119910119898 rarr (1 minus 120582)119909 + 120582119910 Γνωρίζουμε ότι
119909119898 minus 1199092
rarr 0 και 119910119898 minus 1199102
rarr 0 και θέλουμε να δείξουμε ότι
((1 minus 120582)119909119898 + 120582119910119898) minus ((1 minus 120582)119909 + 120582119910)2
rarr 0
Έχουμε
((1 minus 120582)119909119898 + 120582119910119898) minus ((1 minus 120582)119909 + 120582119910)2
= (1 minus 120582)(119909119898 minus 119909) + 120582(119910119898 minus 119910)2
le (1 minus 120582)(119909119898 minus 119909)2
+ 120582(119910119898 minus 119910)2
= (1 minus 120582)119909119898 minus 1199092
+ 120582119910119898 minus 1199102
rarr (1 minus 120582)0 + 1205820 = 0
(ii) Αν int119870 = προφανώς είναι κυρτό Αν int119870 ne έστω ότι
τα 119909 119910 ανήκουν στο int(119870) Θέλουμε να δείξουμε ότι το σημείο
(1 minus 120582)119909 + 120582119910 ανήκει στο int(119870) Το 119909 ανήκει στο int(119870) άραυπάρχει 1205751 gt 0 ώστε 119861(119909 1205751) sube 119870 Το 119910 ανήκει στο int(119870) άραυπάρχει 1205752 gt 0 ώστε 119861(119910 1205752) sube 119870 Θέτουμε 120575 = min1205751 1205752 gt 0και ισχύει ότι τα σύνολα 119861(119909 120575) και 119861(119910 120575) είναι υποσύνολα
του 119870 Αν δείξουμε ότι το 119861((1 minus 120582)119909 + 120582119910 120575) είναι υποσύνολο
του 119870 τότε το σημείο (1 minus 120582)119909 + 120582119910 θα ανήκει στο int(119870) Όμως
(Άσκηση )
119861((1 minus 120582)119909 + 120582119910 120575) = (1 minus 120582)119861(119909 120575) + 120582119861(119910 120575) sube 119870
αφού το 119870 είναι κυρτό
(iii) Θεωρούμε ένα 120598 gt 0 ώστε 1198611198992(0 120598) sube int(119870) και 119909 isin 120582119870 Τότε
(1120582)119909 isin 119870 και άρα conv(ℬ1198992(0 120598) (1120582)119909) sube 119870 αφού το 119870 είναι
κυρτό Εύκολα βλέπουμε (με όμοια τρίγωνα στο Σχήμα ) ότι
^
duml
uml
cent
Σ Το σύνολο conv119909 ℬ1198992(0 120598) Το 119903 είναι ίσο με 120598(1 minus 120582)
ℬ1198992(119909 120598(1 minus 120582)) sube conv(ℬ119899
2(0 120598) (1120582)119909) sube 119870
οπότε 119909 isin int(119870)
(iv) Αν 119909 isin int(119870) τότε υπάρχει 120575 gt 0 ώστε 119861(119909 120575) sube 119870 συνεπώς
119861(0 120575) sube 119870minus119909 δηλαδή 0 isin int(119870minus119909) Άρα από το (iii) για κάθε
120582 isin (0 1) ισχύει 120582(119870minus119909) sube int(119870minus119909) Ισοδύναμα 120582119870minus120582119909+119909 subeint(119870) και παίρνοντας θήκες 120582119870minus120582119909+119909 sube int(119870) Τέλος αφήνονταςτο 120582 rarr 1minus παίρνουμε 119870 sube int(119870) ως εξής Αν 119911 isin 119870 τότε για κάθε
120582 isin (0 1) ισχύει
120582119911 minus 120582119909 + 119909 isin 120582119870 minus 120582119909 + 119909 sube int119870
Οπότε 120582119911 minus 120582119909 + 119909 isin int119870 και σε τώρα αφήνουμε το 120582 να πάει
στο 1 από αριστερά
Ο αντίστροφος εγκλεισμός είναι προφανής διότι int119870 sube 119870 άρα
int119870 sube 119870
Π Έστω 119860 φραγμένο υποσύνολο του ℝ119899 Τότε
conv(119860) = conv(119860)
Απόδειξη Αφού 119860 sube conv(119860) συμπεραίνουμε ότι 119860 sube conv(119860) Το
τελευταίο όμως σύνολο είναι κυρτό από την Πρόταση (i) άρα
conv(119860) sube conv(119860)Αντιστρόφως 119860 sube 119860 οπότε conv(119860) sube conv(119860) Όμως το 119860 είναι
φραγμένο και άρα το 119860 είναι κλειστό και φραγμένο δηλαδή συμπαγές
Έτσι από το Πόρισμα και το conv(119860) είναι συμπαγές οπότε είναι
και κλειστό Άρα conv(119860) sube conv(119860)
Η ισότητα στην παρπάνω πρόταση δεν ισχύει αν το σύνολο 119860 δεν
είναι φραγμένο Αυτό μπορεί να ελεγχθεί εύκολα για παράδειγμα με το
σύνολο
119860 = (0 0) cup (119909 119910) ∶ 119910 =1119909
119909 gt 0 sube ℝ2
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 119909 isin ℝ119899 και για κάθε 120598 gt 0 ισχύει
12
119861(119909 120598) +12
119861(minus119909 120598) = 119861(0 120598)
και γενικότερα για κάθε 120582 isin [0 1] και για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 ισχύει
(1 minus 120582)119861(119909 120598) + 120582119861(119910 120598) = 119861((1 minus 120582)119909 + 120582119910 120598)
Άσκηση Αποδείξτε ότι ένα υποσύνολο 119860 του ℝ119899 είναι κυρτό αν και
μόνο αν για κάθε 120582 isin (0 1) ισχύει (1 minus 120582)119860 + 120582119860 = 119860 Επίσης δώστε ένα
παράδειγμα ενός μη κυρτού συνόλου 119865 για το οποίο να υπάρχει 1205820 isin (0 1)ώστε (1 minus 1205820)119865 + 1205820119865 = 119865 (Υπόδειξη Το σύνολο ℚ δεν είναι κυρτό)
Άσκηση Έστω ότι ο 119879 είναι ένας 119899 times 119899 πίνακας πραγματικών αριθμών
και 1199091 hellip 119909119896 isin ℝ119899 Αποδείξτε ότι
119879(conv(1199091 hellip 119909119896)) = conv(1198791199091 hellip 119879119909119899)
Γενικότερα για κάθε 119860 sube ℝ119899 ισχύει 119879(conv(119860)) = conv(119879(119860))
Άσκηση Αποδείξτε ότι κάθε ελλειψοειδές
ℰ = 119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
1199092119895
1198862119895
le 1
με μήκη ημιαξόνων τους θετικούς αριθμούς 1198861 hellip 119886119899 είναι κυρτό σώμα
Επίσης βρείτε ένα πίνακα 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 ώστε 119879(ℰ) = ℬ1198992 και αποδείξτε
ότι det 119879 ne 0 Τέλος αποδείξτε ότι κάθε ελλειψοειδές στον ℝ119899 με κέντρο το 0είναι εικόνα του ℬ119899
2 μέσω κατάλληλου πίνακα 119879 όπου det 119879 ne 0
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν 119870 sube ℝ119899 τότε το σύνολο kernel(119870) όπου
kernel(119870) = 119911 isin ℝ119899 ∶ [119911 119909] sube 119870 για κάθε 119909 isin 119870
είναι κυρτό υποσύνολο του 119870 Επιπλέον αν το 119870 είναι κυρτό τότε 119870 =kernel(119870)
Άσκηση Έστω ότι το 119870 είναι κυρτό υποσύνολο του ℝ119899 Δείξτε ότι για
κάθε 119909 isin int(119870) και για κάθε 119910 isin 119870 ισχύει [119909 119910) sube int(119870)
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν 119878 είναι το simplex
conv(0 1198901 1198902 hellip 119890119899)
όπου 1198901 hellip 119890119899 είναι η συνήθης ορθοκανονική βάση του ℝ119899 τότε int(119878) ne
(Υπόδειξη Δείξτε ότι υπάρχει 120575 gt 0ώστε119861(1199090 120575) sube 119878 όπου 1199090 = (2119899)minus1 sum119899119895=1 119890119895
Κάθε σημείο 119910 isin 119861(1199090 120575) πρέπει να έχει όλες τις συντεταγμένες του μη αρ-
νητικές και επιπλέον το άθροισμα των συντεταγμένων του sum119899119895=1 119910119895 να είναι
μικρότερο ή ίσο από το 1 Αν συμβαίνουν αυτά τότε 119910 isin 119878 αφού
119910 = 11991011198901 + 11991021198902 + ⋯ + 119910119899119890119899 + (1 minus119899
sum119895=1
119910119895) 0
και ο συνδυασμός αυτός είναι κυρτός)
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε simplex 119878 στον ℝ119899 που είναι κυρτή θήκη
119899 + 1 σημείων σε γενική θέση είναι κυρτό σώμα
Άσκηση Για οποιαδήποτε σύνολα 119860 119861 υποσύνολα του ℝ119899 δείξτε ότι
conv(119860 cup 119861) = ⋃0le120582le1
((1 minus 120582)119860 + 120582119861)
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν το 119860 είναι ανοικτό στον ℝ119899 τότε και το conv(119860)είναι ανοικτό
Άσκηση Δείξτε ότι αν το 119880 είναι ανοιχτό υποσύνολο του ℝ119899 και 119909 isin 119880τότε υπάρχει simplex 119878 ώστε 119909 isin int(119878) και 119878 sube 119880
Άσκηση Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε υποσύνολα 119862 119863 του ℝ119899 ισχύει
conv(119862 + 119863) = conv(119862) + conv(119863)
Άσκηση Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε υποσύνολο 119862 του ℝ119899 ισχύει
conv(int(119862)) = int(conv(119862))
Θα δούμε τώρα ότι κάθε κεντρικά συμμετρικό κυρτό σώμα μας δίνει
την δυνατότητα να ορίσουμε μια νόρμα
Ο Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό κεντρικά συμμετρικό
σώμα στον ℝ119899 Το 119870 επάγει στον ℝ119899 μια νόρμα για κάθε 119909 isin ℝ119899
θέτουμε
119909119870 = inf120582 gt 0 ∶ 119909 isin 120582119870
Ο ορισμός είναι καλός δηλαδή 120582 gt 0 ∶ 119909 isin 120582119870 ne διότι το 119870 ως
κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμα περιέχει το 0 στο εσωτερικό του
(Πρόταση ) Δηλαδή υπάρχει 120598 gt 0 ώστε Β(0 120598) sube 119870 Συνεπώς
για 120582 = 21199092120598
119909 isin 119861(0 120598120582) = 120582119861(0 120598) sube 120582119870
Η 119909119870 είναι νόρμα
(i) Φανερά 119909119870 ge 0 για κάθε 119909 στον ℝ119899 Αν 119909 = 0 τότε 0 isin 120582119870για κάθε 120582 gt 0 οπότε 0119870 = 0 Αν 119909119870 = 0 τότε υπάρχει
120582119898 gt 0 με 120582119898 rarr 0 ώστε 119909 isin 120582119898119870 συνεπώς (119909120582119898) isin 119870 Το 119870όμως είναι συμπαγές άρα και φραγμένο Δηλαδή υπάρχει Μ gt 0ώστε 1199091205821198982 le 119872 για κάθε 119898 isin ℕ οπότε 1199092 le 119872120582119898 rarr 0Συμπεραίνουμε ότι 119909 = 0
(ii) Αν 119905 = 0 η 119905119909119870 = |119905| sdot 119909119870 είναι προφανής Αν 119905 ne 0
119905119909119870 = inf120582 gt 0 ∶ 119905119909 isin 120582119870 = inf 120582 gt 0 ∶ 119909 isin120582119905119870
(θέτουμε 120583 = 120582|119905|)
= inf 120583|119905| gt 0 ∶ 119909 isin 120583|119905|119905
119870
(|119905|119905 = plusmn1 και minus119870 = 119870)
= inf120583|119905| gt 0 ∶ 119909 isin 120583119870= |119905| inf120583 gt 0 ∶ 119909 isin 120583119870 = |119905| sdot 119909119870
(iii) Για κάθε 120598 gt 0 από τον ορισμό του infimum υπάρχει 120582120598119909 ώστε
119909 isin 120582120598119909119870 και 119909119870 + 120598 gt 120582120598119909 Ομοίως υπάρχει 120582120598119910 gt 0 ώστε
119910 isin 120582120598119910119870 και 120582120598119910 lt 119910119870 + 120598 Επειδή
119909 + 119910 isin 120582120598119909119870 + 120582120598119910119870 = (120582120598119909 + 120582120598119910)119870
θα έχουμε
119909+119910119870 le 120582120598119909 +120582120598119910 lt 119909119870 +120598+119910119870 +120598 = 119909119870 +119910119870 +2120598
για κάθε 120598 gt 0 οπότε 119909 + 119910119870 le 119909119870 + 119910119870
Έχοντας τώρα την νόρμα sdot 119870 που ορίστηκε από το κυρτό και
κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870 θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τον
Ορισμό και να ορίσει έτσι ένα νέο κυρτό και κεντρικά συμμετρικό
σώμα Η παρακάτω πρόταση μάς λέει ότι αυτό το σώμα είναι το ίδιο
το 119870
Π Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό και κεντρικά συμμετρικόσώμα στον ℝ119899 και sdot 119870 η επαγόμενη νόρμα Τότε το σύνολο 119909 isin ℝ119899 ∶119909119870 le 1 είναι το ίδιο το 119870
Απόδειξη Ας θέσουμε 119860 = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119909119870 le 1 Θα δείξουμε ότι 119860 = 119870
Αν 119909 isin 119870 τότε
119909119870 = inf120582 gt 0 ∶ 119909 isin 120582119870 le 1
αφού ήδη 119909 isin 1 sdot 119870 Άρα 119909 isin 119860 και δείξαμε ότι 119870 sube 119860Έστω τώρα ένα 119909 isin 119860 δηλαδή 119909119870 le 1 Για κάθε 119898 isin ℕ ισχύει
(1 minus 1119898)119909119870 le 1 minus 1119898 lt 1 Οπότε από τον ορισμό της sdot 119870 θα
υπάρχει 120582 isin (0 1) ώστε (1 minus 1119898)119909 isin 120582119870 Όμως 120582119870 sube int(119870) sube119870 (από τις Προτάσεις και (iii)) Το 119870 όμως είναι κλειστό
υποσύνολο του ℝ119899 οπότε θα περιέχει και το 119909 αφού αυτό είναι το όριο
ως προς την ευκλείδεια νόρμα της ακολουθίας των (1 minus 1119898)119909 isin 119870(1 minus 1119898)119909 minus 1199092 = 1199092119898 rarr 0 καθώς 119898 rarr infin
Άσκηση Αν τα 119860 και 119861 είναι κυρτά συμμετρικά σώματα αποδείξτε ότι
119909119860 = 119909119861 για κάθε 119909 isin ℝ119899 αν και μόνο αν 119860 = 119861Άσκηση Αποδείξτε ότι αν ℰ είναι το ελλειψοειδές
119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
1199092119895
1198862119895
le 1
τότε για κάθε 119909 isin ℝ119899 ισχύει
119909ℰ = ⎛⎝
119899
sum119895=1
1199092119895
1198862119895
⎞⎠
12
Ο (Υπερεπίπεδο στήριξης) Έστω ότι το 119870 είναι κλειστό
και κυρτό υποσύνολο του ℝ119899 και Η υπερεπίπεδο (dim 119867 = 119899 minus 1) Το 119867
λέγεται υπερεπίπεδο στήριξης του κυρτού συνόλου 119870 στο 1199090 το οποίο
ανήκει στο bd(119870) αν 1199090 isin 119867 και το 119870 περιέχεται ή στον ημίχωρο Ηminus ή
στον Η+
Για την αποφυγή συγχύσεων θα θεωρούμε ότι 119870 sube 119867minus1199090119906 επιλέγοντας
κατάλληλα το 119906 isin 120138119899minus1 Ισχύει λοιπόν ότι ⟨119909 119906⟩ le ⟨1199090 119906⟩ για κάθε
119909 isin 119870
Π Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα στο ℝ119899 Για κάθε119906 isin 120138119899minus1 υπάρχει μοναδικό επίπεδο στήριξης 119867119906 του 119870 (σε κάποιο σημείοτου bd(119870)) κάθετο στο 119906
Απόδειξη Αφού το 119870 είναι συμπαγές σύνολο και το εσωτερικό γινόμενο
συνεχής συνάρτηση ως προς κάθε μεταβλητή του (Πρόταση ) η
συνάρτηση ⟨119909 119906⟩ για 119909 isin 119870 έχει μέγιστη τιμή σε κάποιο σημείο 1199090 isin 119870
Παρατηρούμε ότι το 1199090 είναι στοιχείο του συνόρου του 119870 Διότι αν όχι
είναι στο εσωτερικό του οπότε υπάρχει 120575 gt 0 ώστε 1199090 + 120575ℬ1198992 sube 119870 Άρα
1199090 +1205752
119906 isin 1199090 + 120575ℬ1198992 sube 119870
Αλλά
⟨1199090 +1205752
119906 119906⟩ = ⟨1199090 119906⟩ +1205752
gt ⟨1199090 119906⟩
το οποίο είναι άτοπο από την επιλογή του 1199090
Φανερά 119870 sube 119867minus1199090119906 από την επιλογή του 1199090 οπότε το 1198671199090119906 είναι
επίπεδο στήριξης του 119870 στο 1199090
Τέλος για τη μοναδικότητα αν 1198671199091119906 είναι ένα άλλο υπερεπίπεδο
στήριξης κάθετο στο 119906 που διέρχεται από το 1199091 isin 119870 τότε ⟨1199091 119906⟩ =⟨1199090 119906⟩ Διότι αλλιώς είτε ⟨1199091 119906⟩ lt ⟨1199090 119906⟩ οπότε 1199090 notin 119867minus
1199091119906 supe 119870 το
οποίο είναι άτοπο είτε ⟨1199091 119906⟩ gt ⟨1199090 119906⟩ οπότε 1199091 notin 119867minus1199090119906 supe 119870 το οποίο
είναι και πάλι άτοπο Έτσι
1198671199091119906 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ = ⟨1199091 119906⟩= 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119906⟩ = ⟨1199090 119906⟩ = 1198671199090119906
Η παραπάνω πρόταση μάς επιτρέπει να ορίσουμε μια συνάρτηση
από το 120138119899minus1 στο ℝ ως εξής
Ο Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα στον ℝ119899 Ορί-
ζουμε τη συνάρτηση ℎ119870 ∶ 120138119899minus1 rarr ℝ με
ℎ119870(119906) = sup⟨119909 119906⟩ ∶ 119909 isin 119870
η οποία σε κάθε διεύθυνση 119906 δίνει την απόσταση του υπερεπιπέδου
στήριξης 119867119906 του 119870 από το μηδέν ή αλλιώς το μέγεθος της μεγαλύτερης
προβολής στοιχείου του 119870 στη διεύθυνση του 119906 (δείτε Σχήμα ) Η
ℎ119870 ονομάζεται συνάρτηση στήριξης του κυρτού σώματος 119870
yen
yen
centyen
Σ Η συνάρτηση στήριξης στη διεύθυνση 119906 isin 120138119899minus1
Π Έστω ότι τα 119860 και Β είναι κυρτά σώματα στον ℝ119899Για κάθε 120582 gt 0 ισχύει
ℎ119860+119861 = ℎ119860 + ℎ119861
καιℎ120582119860 = 120582ℎ119860
όπου ℎ119860 ℎ119861 είναι οι συναρτήσεις του 119860 και του Β αντίστοιχα
Απόδειξη Έχουμε
ℎ119860+119861(119906) = sup⟨119886 + 119887 119906⟩ 119886 isin 119860 119887 isin 119861= sup⟨119886 119906⟩ + ⟨119887 119906⟩ 119886 isin 119860 119887 isin 119861= sup⟨119886 119906⟩ 119886 isin 119860 + sup⟨119887 119906⟩ 119887 isin 119861= ℎ119860(119906) + ℎ119861(119906)
Επίσης για 120582 gt 0
ℎ120582119860(119906) = sup⟨120582119886 119906⟩ ∶ 119886 isin 119860= 120582 sup⟨119886 119906⟩ ∶ 119886 isin 119860= 120582ℎ119860(119906)
Λ Αν τα 119860 Β είναι κυρτά σώματα στον ℝ119899 τότε
Α sube 119861 αν και μόνο αν ℎ119860(119906) le ℎ119861(119906)
για κάθε 119906 στο 119878119899minus1
Απόδειξη (rArr) Επειδή το 119860 είναι υποσύνολο του Β ισχύει
ℎ119860(119906) le sup119909isin119860
⟨119909 119906⟩ le sup119909isin119861
⟨119909 119906⟩ = ℎ119861(119906)
(lArr) Αν το 119860 δεν είναι υποσύνολο του Β θεωρούμε ένα 1199090 isin Α ⧵ 119861Η συνάρτηση 119891(119910) = 1199090 minus 1199102 είναι συνεχής στο 119861 διότι
|119891(119910)minus119891(119911)| = ∣1199090minus1199102minus1199090minus1199112∣ le ∥(1199090minus119910)minus(1199090minus119911)∥2= 119910minus1199112
Το 119861 όμως είναι συμπαγές σύνολο συνεπώς η 119891 έχει ελάχιστη τιμή
στο 119861 έστω στο σημείο 1199100 isin 119861 Αφού 1199090 notin 119861 ισχύει 1199090 minus 11991002 ne 0και μπορούμε να ορίσουμε το διάνυσμα 119906 = (1199090 minus 1199100)1199090 minus 11991002 το
οποίο ανήκει στη μοναδιαία σφαίρα 120138119899minus1
Ι Για κάθε 119910 isin 119861 ισχύει ⟨119910 119906⟩ le ⟨1199100 119906⟩[Απόδειξη του Ισχυρισμού Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει 119910 isin 119861 ώστε
⟨119910 minus 1199100 119906⟩ gt 0 Φανερά 119910 ne 1199100 (αλλιώς η προηγούμενη ανισότητα
δεν ισχύει) Το 119870 είναι κυρτό και άρα θα περιέχει και το
(1 minus 120582)1199100 + 120582119910 = 1199100 + 120582(119910 minus 1199100)
Έτσι για κάθε 120582 isin (0 1) ισχύει
∥1199090 minus (1199100 + 120582(119910 minus 1199100))∥2
2= ⟨1199090 minus 1199100 minus 120582(119910 minus 1199100) 1199090 minus 1199100 minus 120582(119910 minus 1199100)⟩= 1199090 minus 11991002
2 + 1205822119910 minus 119910022 minus 2120582⟨1199090 minus 1199100 119910 minus 1199100⟩
= 1199090 minus 119910022 + 120582(120582119910 minus 11991002
2 minus 2⟨1199090 minus 1199100 119910 minus 1199100⟩)
Επειδή λοιπόν
⟨1199090 minus 1199100 119910 minus 1199100⟩ = ⟨119909119900 minus 11991002119906 119910 minus 1199100⟩ gt 0
για 120582 αρκετά κοντά στο 0 (συγκεκριμένα αν 0 lt 120582 lt 2⟨1199090 minus 1199100 119910 minus1199100⟩119910 minus 11991002
2) προκύπτει ότι
∥1199090 minus (1199100 + 120582(119910 minus 1199100))∥2lt 1199090 minus 11991002
το οποίο είναι άτοπο από την επιλογή του 1199100 ]
Άρα για κάθε 119910 isin 119861 ⟨119910 119906⟩ le ⟨1199100 119906⟩ Οπότε
() ℎ119861(119906) = sup119910isin119861
⟨119910 119906⟩ = ⟨1199100 119906⟩
αφού 1199100 isin 119861 Από τον ορισμό του 119906 εύκολα ελέγχουμε ότι ⟨1199100 119906⟩ lt⟨1199090 119906⟩ και από την ()
ℎ119861(119906) le ⟨1199100 119906⟩ lt ⟨1199090 119906⟩ le sup119909isin119860
⟨119909 119906⟩ = ℎ119860(119906)
το οποίο είναι άτοπο Επομένως Α sube 119861
Λ Για κάθε Α Β 119870 κυρτά σώματα στον ℝ119899 ισχύουν ταπαρακάτω
(i) Αν 119860 + 119870 = 119861 + 119870 τότε 119860 = 119861
(ii) Αν 119860 + 119870 sube 119861 + 119870 τότε 119860 sube 119861
Απόδειξη
(i) Η 119860 + 119870 = 119861 + 119870 συνεπάγεται την ℎ119860+119870(119906) = ℎ119861+119870(119906) γιακάθε 119906 isin 120138119899minus1 Άρα ℎ119860(119906) + ℎ119870(119906) = ℎ119861(119906) + ℎ119870(119906) οπότεℎ119860(119906) = ℎ119861(119906) Συνεπώς Α = Β
(ii) Έχουμε ℎ119860+119870(119906) le ℎ119861+119870(119906) το οποίο συνεπάγεται ότι
ℎ119860(119906) + ℎ119870(119906) le ℎ119861(119906) + ℎ119870(119906)
συνεπώς ℎ119860(119906) le ℎ119861(119906) Επομένως 119860 sube 119861
Άσκηση Για οποιουσδήποτε αριθμούς 0 lt 1199051 lt 1199052 lt hellip lt 119905119898 με
119898 ge 119899+1 θεωρήστε τα σημεία 119909119895 = 119909(119905119895) ∶= (119905119895 1199052119895 1199053119895 hellip 119905119899119895) isin ℝ119899 πάνω στην
laquoκαμπύλη αδρανείαςraquo 119872 ∶= (119905 1199052 1199053 hellip 119905119899) ∶ 119905 gt 0 στον ℝ119899 Αποδείξτε ότι
το πολύτοπο 119862(119898 119899) = conv1199091 1199092 hellip 119909119898 (ονομάζεται κυκλικό πολύτοπο) έχειτην ιδιότητα αν 1199041 1199042 hellip 119904119896 είναι οποιαδήποτε από τα 1199051 1199052 hellip 119905119898 με 2119896 le 119899τότε υπάρχει υπερεπίπεδο στήριξης 119867 του 119862(119898 119899) ώστε
119862(119898 119899) cap 119867 = conv119909(1199041) 119909(1199042) hellip 119909(119904119896)
δηλαδή
ο κυρτός συνδυασμός οποιονδήποτε 119896 κορυφώντου 119862(119898 119899) είναι έδρα του διάστασης 119896 minus 1 (lowast)
χρησιμοποιώντας την παρακάτω διαδικασία
Θεωρήστε το πολυώνυμο
0 le 119901(119905) =119896
prod119894=1
(119905 minus 119904119894)2 = 1205730 + 1205731119905 + 12057321199052 + ⋯ + 12057321198961199052119896
όπου οι συντελεστές του πολυωνύμου εξαρτώνται μόνο από τα 1199041 hellip 119904119896
Θεωρήστε το υπερεπίπεδο 119867 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119887⟩ = minus1205730 όπου 119887 =(1205731 1205732 hellip 1205732119896 0 0 hellip 0) isin ℝ119899 Αποδείξτε ότι οι κορυφές 119909(119904119894) ανήκουν στο
119867 και όλες οι υπόλοιπες ανήκουν στον ίδιο γνήσιο ημίχωρο που ορίζει το 119867
Π Τα πολύτοπα που έχουν την ιδιότητα (lowast) ονομάζονται
119896-neighborly πολύτοπα Παρατηρήστε ότι στο επίπεδο μόνο τα τρίγωνα είναι -
neighborly στον ℝ3 μόνο οι τριγωνικές πυραμίδες (4 κορυφές) είναι -neighborly
και γενικότερα τα simplices στον ℝ119899 είναι 119899-neighborly Όμως για παράδειγμα
στον ℝ3 δεν είναι δυνατόν να σχεδιαστεί ένα 2-neighborly πολύτοπο όπως το
παραπάνω με 5 ή περισσότερες κορυφές αφού η συνθήκη 2119896 le 119899 απαιτεί το
πολύτοπο να βρίσκεται τουλάχιστον στον ℝ4 Αυτός είναι ο λόγος που δεν
έχουμε σχήμα σε αυτή την άσκηση
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 για κάθε
119909 isin ℝ119899 ⧵ 0 και για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119879 ισχύει
ℎ119879(119870)(119909) = ℎ119870(119879119905119909)
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν ℰ είναι το ελλειψοειδές
119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
1199092119895
1198862119895
le 1
τότε για κάθε 119906 = (1199061 hellip 119906119899) isin ℝ119899 ισχύει
ℎℰ(119906) = ⎛⎝
119899
sum119895=1
1198862119895 1199062
119895⎞⎠
12
Ο Αν το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα που περιέχει το 0 στο
εσωτερικό του θέτουμε
119870∘ = 119910 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119910⟩ le 1 forall119909 isin 119870
Το 119870∘ είναι κυρτό σώμα και ονομάζεται πολικό σώμα του 119870
Πριν αποδείξουμε ότι το 119870∘ είναι πράγματι κυρτό σώμα αξίζει να κάνουμε
την εξής (ιστορικού περιεχομένου) παρατήρηση
Π Η έννοια του πολικού σώματος προέρχεται από
έννοιες της Ευκλείδειας γεωμετρίας οι οποίες μελετήθηκαν πρώτα από
τον Απολλώνιο στο Βιβλίο ΙΙΙ των κωνικών του Για κάθε σημείο 119862 στο
επίπεδο διαφορετικό της αρχής των αξόνων και κάθε ευθεία από το
119862 που τέμνει τον κύκλο κέντρου 119874 και ακτίνας 1 στα σημεία 119860 και 119861ορίζουμε το σημείο 119879 ώστε η τετράδα (119860 119861 119862 119879) να είναι αρμονική
δηλαδή να ισχύει119862119861119862119860
=119879119861119879119860
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων 119879 καθώς αλλάζει η ευθεία που
διέρχεται από το 119862 είναι μια ευθεία κάθετη στην ευθεία 119874119862 και η οποία
ονομάζεται laquoπολική ευθείαraquo του 119862 ως προς τον κύκλο ακτίνας 1 και
κέντρου 119874 (Σχήμα ) Το σημείο 119862 ονομάζεται laquoπόλοςraquo της πολικής
ευθείας και μπορεί να δείξει κανείς ότι αν 119867 το σημείο τομής της πολικής
ευθείας με την ευθεία 119874119862 τότε ισχύει
() 119874119862 sdot 119874119867 = 1
(δείτε στο [ΕΓ] Ενότητα ) Ο όρος laquoπόλοςraquo χρησιμοποιήθηκε για
πρώτη φορά από τον F J Servois το ενώ ο όρος laquoπολική ευθείαraquo
προτάθηκε δύο χρόνια αργότερα από τον J D Gergonne Ανάλογοι
είναι οι ορισμοί για μεγαλύτερες διαστάσεις ορίζοντας τώρα τα πολικά
z
x
y
x
y
z
Σ Η πολική ευθεία 119879119867 του πόλου 119862 όταν αυτός είναι μέσα ή
έξω από τον κυκλικό δίσκο ακτίνας 1
υπερεπίπεδα ενός σημείου (διάφορου του 119874) στον χώρο Μπορεί εύκολα
να δείξει κανείς ότι η τομή των ημιχώρων που ορίζονται από τα πολικά
υπερεπίπεδα των σημείων του συνόρου του 119870 είναι το σώμα 119870∘ (Άσκη-
ση ) αλλά και αντίστροφα η τομή των ημιχώρων που ορίζονται
από τα πολικά υπερεπίπεδα των σημείων του συνόρου του 119870∘ είναι το
σώμα 119870 (Άσκηση ) Οι τελευταίες δύο προτάσεις περιέχουν την
πληροφορία ότι το 119870∘ είναι κυρτό σύνολο (ως τομή ημιχώρων) και το
ότι (119870∘)∘ = 119870 ιδιότητες που θα δούμε και παρακάτω
Αποδεικνύουμε τώρα ότι το πολικό ενός κυρτού σώματος 119870 είναι
κυρτό σώμα
(i) Το 119870∘ είναι κυρτό σύνολο Πράγματι αν 119910 119911 isin 119870∘ και 120582 isin [0 1]για κάθε 119909 isin 119870 ισχύει
⟨119909 (1 minus 120582)119910 + 120582119911⟩ = (1 minus 120582)⟨119909 119910⟩ + 120582⟨119909 119911⟩ le (1 minus 120582)1 + 1205821 = 1
συνεπώς (1 minus 120582)119910 + 120582119911 isin 119870∘
(ii) Το 119870∘ είναι σώμα
(α) Το int119870∘ είναι διάφορο του κενού συνόλου Πράγματι πα-
ρατηρούμε πρώτα ότι το 119870 είναι φραγμένο Άρα υπάρχει
Μ gt 0 ώστε το 119870 να είναι υποσύνολο του 1198611198992(0 119872) Ισχυ-
ριζόμαστε ότι
1198611198992 (0
1119872) sube 119870∘()
Αν 119910 isin 1198611198992(0 1119872) τότε 119910
2le 1119872 Θεωρούμε 119909 isin 119870
οπότε 119909 isin 1198611198992(0 119872) δηλαδή 119909
2le 119872 Άρα
⟨119909 119910⟩ le 1199092119910
2le
1119872
119872 = 1
Έτσι το 119910 ανήκει στο 119870∘ επιβεβαιώνοντας την () Συμ-
περαίνουμε ότι το 0 ανήκει στο int119870∘ Άρα το int119870∘ είναι
διάφορο του κενού συνόλου
(β) Το 119870∘ είναι φραγμένο Πράγματι επειδή 0 isin int119870 υπάρχει
120598 gt 0 ώστε να ισχύει ℬ1198992(0 120598) sube 119870 Θα δείξουμε ότι 119870∘ sube
ℬ1198992(0 1120598) Αν 119910 isin 119870∘ ⧵ 0 το σημείο 1205981199101199102 ανήκει
στο ℬ1198992(0 120598) άρα και στο 119870 Οπότε θα πρέπει να ισχύει
⟨119910 1205981199101199102⟩ le 1 ισοδύναμα 1199102 le 1120598
(γ) Το119870∘ είναι κλειστό Πράγματι έστω ότι119910119898 isin 119870∘ και119910119898 rarr 119910ως προς την ευκλείδεια νόρμα Δηλαδή 119910119899 minus 1199102 rarr 0 Γιανα δείξουμε ότι το 119910 ανήκει στο 119870∘ αρκεί να δείξουμε ότι
⟨119909 119910⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119870 Όμως ⟨119909 119910119898⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119870και για κάθε 119898 isin ℕ οπότε από τη συνέχεια του εσωτερικού
γινομένου παίρνουμε ότι ⟨119909 119910⟩ = lim119898rarrinfin⟨119909 119910119898⟩ le 1
Π Αν το 119870 είναι ένα κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμαστον ℝ119899 τότε και το 119870∘ είναι κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμα
Απόδειξη Αν 119910 isin 119870∘ αρκεί να δείξουμε ότι minus119910 isin 119870∘ Όμως για κάθε
119909 isin 119870 ισχύει minus119909 isin 119870 αφού το 119870 είναι κεντρικά συμμετρικό Άρα
⟨119909 minus119910⟩ = ⟨minus119909 119910⟩ le 1
Π Έστω ότι το ℰ είναι ένα ελλειψοειδές με κέντρο στο
0 και μήκη ημιαξόνων 1198861 hellip 119886119899 Αν χρησιμοποιήσουμε τις διευθύνσεις
των ημιαξόνων του για το σύστημα συντεταγμένων τότε
ℰ = (1199091 hellip 119909119899) isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
1199092119895
1198862119895
le 1
Το πολικό του ℰ∘ είναι το ελλειψοειδές
ℰ∘ = (1199101 hellip 119910119899) isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
1199102119895 1198862
119895 le 1
με τους ίδιους άξονες με το ℰ και μήκη ημιαξόνων 119886minus11 hellip 119886minus1
119899 Αυτό
προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Cauchy-Schwartz Πράγματι αν ℰprime
το παραπάνω ελλειψοειδές με μήκη ημιαξόνων 119886minus11 hellip 119886minus1
119899 θα δείξουμε
ότι ℰprime = ℰ∘ Αν 119910 = (1199101 hellip 119910119899) isin ℰprime και 119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin ℰ τότε
⟨119909 119910⟩ =119899
sum119895=1
119909119895119910119895 =119899
sum119895=1
119909119895
119886119895119886119895119910119895 le (
119899
sum119895=1
1199092119895
1198862119895)
12
(119899
sum119895=1
1198862119895 1199102
119895 )12
le 1
Άρα 119910 isin ℰ∘
Αντίστροφα αν 119910 = (1199101 hellip 119910119899) isin ℰ∘ τότε ⟨119909 119910⟩ = sum119899119895=1 119909119895119910119895 le 1
για κάθε 119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin ℰ Αν 119910 = 0 προφανώς 119910 isin ℰprime Αν 119910 ne 0τότε θεωρούμε το σημείο 119909 = (119909119895)119899
119895=1 με
119909119895 =1198862
119895 119910119895
radicsum119899119894=1 1198862
119894 1199102119894
για 119895 = 1 hellip 119899 Εύκολα ελέγχουμε ότι 119909 isin ℰ άρα θα πρέπει ⟨119909 119910⟩ le 1η οποία με απλές πράξεις δίνει sum
119899119894=1 1198862
119894 1199102119894 le 1 Συνεπώς 119910 isin ℰprime
Π Το πολικό του κυρτού σώματος ℬ1198991 είναι το ℬ119899
infin
Πράγματι αν 119910 isin (ℬ1198991 )∘ τότε ⟨119909 119910⟩ le 1 για κάθε 119909 isin ℬ119899
1 Επιλέγουμε 1198950ώστε |1199101198950
| = max119895=1 hellip 119899 |119910119895| Αν |1199101198950| = 0 τότε προφανώς 119910 = 0 isin ℬ119899
infin
Αν |1199101198950| ne 0 θεωρούμε το διάνυσμα 119909 με συντεταγμένες 119909119895 = 0 για κάθε
119895 ne 1198950 και 1199091198950= 1199101198950
|1199101198950| Εύκολα βλέπουμε ότι 119909 isin ℬ119899
1 οπότε αφού
119910 isin (ℬ1198991 )∘ θα πρέπει να ισχύει ⟨119909 119910⟩ le 1 Αλλά ⟨119909 119910⟩ = |1199101198950
| δηλαδήmax119895=1 hellip 119899 |119910119895| le 1 από όπου συμπεραίνουμε ότι 119910 isin ℬ119899
infin Δείξαμε λοιπόν
ότι (ℬ1198991 )∘ sube ℬ119899
infin Αντιστρόφως αν 119910 isin ℬ119899infin τότε max119895=1 hellip 119899 |119910119895| le 1 όπου
119910119895 για 119895 = 1 hellip 119899 οι συντεταγμένες του 119910 Αν θεωρήσουμε οποιοδήποτε
119909 isin ℬ1198991 θα έχουμε
|⟨119909 119910⟩| = ∣119899
sum119895=1
119909119895119910119895∣ le119899
sum119895=1
|119909119895| |119910119895| le max119895=1 hellip 119899
|119910119895|119899
sum119895=1
|119909119895| le 1
Άρα ⟨119909 119910⟩ le 1 και συνεπώς 119910 isin (ℬ1198991 )∘
Σ Το πολικό σώμα του ℬ1198991 είναι το ℬ119899
infin
Π Στο προηγούμενο παράδειγμα παρατηρούμε ότι
το πολικό του ενός πολυτόπου έχει έδρα στη διεύθυνση που το αρχικό
πολύτοπο έχει κορυφή Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτό είναι γενικό
χαρακτηριστικό των πολυτόπων και των πολικών τους και δεν ισχύει
μόνο για την περίπτωση του ℬ1198991 και του ℬ119899
infin
Η συνάρτηση στήριξης ℎ119870 ορίστηκε για διανύσματα στη μοναδιαία
ευκλείδεια σφαίρα Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε τον ορισμό της σε
όλο το ℝ119899 αφού ο Ορισμός είναι καλός και για διανύσματα που
δεν έχουν μήκος ισο με 1
Ο Αν το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα στον ℝ119899 επεκτείνουμετον ορισμό της συνάρτησης στήριξης ℎ119870 του 119870 σε κάθε σημείο 119910 του ℝ119899θέτοντας
ℎ119870(119910) = sup⟨119909 119910⟩ ∶ 119909 isin 119870
Παρατηρούμε ότι για 119910 ne 0 ισχύει ℎ119870(119910) = 1199102ℎ119870(1199101199102)Από τον ορισμό του πολικού σώματος και τον ορισμό της συνάρτησης
στήριξης προκύπτει εύκολα ότι 119870∘ = 119909 isin ℝ119899 ∶ ℎ119870(119909) le 1 Αν το 119870είναι κεντρικά συμμετρικό οπότε είναι και το 119870∘ γνωρίζουμε ήδη ότι
119870∘ = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119909119870∘ le 1 (Πρόταση ) Στο φυσιολογικό ερώτημα
ποια είναι η σχέση της ℎ119870 με την sdot 119870∘ για κεντρικά συμμετρικά κυρτά
σώματα απαντάει η παρακάτω πρόταση
Π Έστω 119870 κυρτό και συμμετρικό ως προς το 0 σώμαστον ℝ119899 Τότε
ℎ119870(119910) = 119910119870∘
Απόδειξη Ισχύει
ℎ119870(119910) = sup⟨119910 119909⟩ ∶ 119909 isin 119870 = 119910119870∘ sup ⟨119910
119910119870∘ 119909⟩ ∶ 119909 isin 119870
()
Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι το τελευταίο supremum ισούται με 1Επειδή το 119910119910119870∘ έχει sdot 119870∘ -νόρμα ίση με 1 ανήκει στο 119870∘ Συνεπώς
⟨119910119910119870∘ 119909⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119870 οπότε το παραπάνω supremum είναι
μικρότερο ή ίσο του 1 Αν είναι γνήσια μικρότερο το 1 θεωρούμε 120582 gt 1ώστε
120582 sup ⟨119910
119910119870∘ 119909⟩ ∶ 119909 isin 119870 lt 1
Έτσι
sup ⟨120582119910
119910119870∘ 119909⟩ ∶ 119909 isin 119870 lt 1
οπότε 120582119910119910119870∘ isin 119870∘ Αλλά
∥120582119910
119910119870∘∥
119870∘
= 120582 gt 1
το οποίο είναι άτοπο (Πρόταση )
Άσκηση Αποδείξτε με άμεσο τρόπο (χωρίς τη χρήση της απόδειξης του
Παραδείγματος ) ότι (ℬ1198992)∘ = ℬ119899
2 και για κάθε 119903 gt 0 ισχύει (119903ℬ1198992)∘ =
119903minus1ℬ1198992
Άσκηση Αν 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 αντιστρέψιμος πίνακας και 119870 κυρτό σώμα
που περιέχει το 0 στο εσωτερικό του αποδείξτε ότι και το 119879(119870) περιέχει το 0στο εσωτερικό του και (119879(119870))∘ = (119879119905)minus1(119870∘)
Άσκηση Αποδείξτε με τη χρήση παραγώγων ότι η παράσταση ⟨119909 119910⟩για 119909 isin ℝ119899 με sum
119899119895=1 1199092
119895 1198862119895 le 1 και 119910 ne 0 μεγιστοποιείται για το 119909 με
συντεταγμένες
119909119895 =1198862
119895 119910119895
radicsum119899119894=1 1198862
119895 1199102119895
119895 = 1 hellip 119899 όπου τα 119910119895 είναι οι συντεταγμένες του 119910 και τα 119886119895 είναι θετικοί
αριθμοί
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν τα 119860 και 119861 είναι κυρτά σώματα που περιέχουν
το 0 στο εσωτερικό τους τότε
(i) (119860 cap 119861)∘ = conv(119860∘ cup 119861∘)
(ii) (Α + Β)∘ sube 119860∘ cap 119861∘ Δώστε ένα παράδειγμα όπου δεν ισχύει η ισότητα
Άσκηση Αν το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα που περιέχει το 0 στο εσωτερικό
του αποδείξτε ότι για κάθε 119905 gt 0 ισχύει (119905119870)cap(119905minus1119870∘) sube ℬ1198992 καιℬ119899
2 sube 119905119870+119905minus1119870
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 1 lt 119901 lt infin και 1 lt 119902 lt infin με 119901minus1+119902minus1 = 1ισχύει (ℬ119899
119901 )∘ = ℬ119899119902
Άσκηση Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα που περιέχει το 0 στο
εσωτερικό του
(i) Αν 119909 isin bd(119870) αποδείξτε ότι το πολικό υπερεπίπεδο του 119909 όπως
ορίστηκε στην Παρατήρηση είναι επίπεδο στήριξης του πολικού
σώματος 119870∘ (Υπόδειξη παρατηρήστε ότι σύμφωνα με την () το
πολικό υπερεπίπεδο του 119909 είναι το 119911 isin ℝ119899 ∶ ⟨119911 119909⟩ = 1)
(ii) Αποδείξτε ότι κάθε υπερεπίπεδο στήριξης του 119870∘ έχει πόλο στο bd(119870)και έτσι το 119870∘ είναι η τομή των ημιχώρων που ορίζονται από τα πολικά
υπερεπίπεδα στοιχείων του bd(119870)
Άσκηση Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα που περιέχει το 0 στο
εσωτερικό του
(i) Αν 119909 isin bd(119870∘) αποδείξτε ότι το πολικό υπερεπίπεδο του 119909 όπως
ορίστηκε στην Παρατήρηση είναι επίπεδο στήριξης του σώματος
119870
(ii) Αποδείξτε ότι κάθε υπερεπίπεδο στήριξης του 119870 έχει πόλο στο bd(119870∘)και έτσι το 119870 είναι η τομή των ημιχώρων που ορίζονται από τα πολικά
υπερεπίπεδα στοιχείων του bd(119870∘)
Η Άσκηση έχει ως συνέπεια το γεγονός ότι ((ℬ119899119901)∘)∘ = ℬ119899
119901για κάθε 0 lt 119901 lt 1 Στη συνέχεια θέλουμε να δείξουμε ότι αυτό ισχύει
γενικά για κάθε κυρτό σώμα 119870 που περιέχει το 0 στο εσωτερικό του
δηλαδή ισχύει (119870∘)∘ = 119870
Ο Τα σύνολα 119870 και 119863 στον ℝ119899 διαχωρίζονται από το
υπερεπίπεδο Η119906120582 αν 119870 sube 119867minus119906120582 και 119863 sube 119867+
119906120582 ή 119870 sube 119867+119906120582 και 119863 sube 119867minus
119906120582
Έτσι στην περίπτωση που 119870 sube 119867minus119906120582 και 119863 sube 119867+
119906120582 ισχύει ⟨119909 119906⟩ le 120582 για
κάθε 119909 isin 119870 και ⟨119910 119906⟩ ge 120582 για κάθε 119910 isin 119863
Ο Τα 119870 119863 διαχωρίζονται γνήσια αν υπάρχει λωρίδα
Λ119906119886119887 με 119886 lt 119887 ώστε 119870 sube Λminus119906119886119887 και 119863 sube Λ+
119906119886119887 ή 119870 sube Λ+119906119886119887 και 119863 sube Λminus
119906119886119887
Στην περίπτωση λοιπόν που ισχύει 119870 sube Λminus119906119886119887 και 119863 sube Λ+
119906119886119887 θα έχουμε
⟨119909 119906⟩ le 119886 lt 119887 le ⟨119910 119906⟩
για κάθε 119909 isin 119870 και για κάθε 119910 isin 119863
Π Αν τα 119870 και 119863 είναι κυρτά υποσύνολα του ℝ119899 ταακόλουθα είναι ισοδύναμα
(i) Τα 119870 και 119863 διαχωρίζονται (αντίστοιχα διαχωρίζονται γνήσια)
(ii) Το κυρτό σύνολο 119870 minus 119863 = 119888 minus 119889 ∶ 119888 isin 119870 119889 isin 119863 και το 0διαχωρίζονται (αντίστοιχα διαχωρίζονται γνήσια)
Απόδειξη (i)rArr(ii) Το 119870minus119863 είναι κυρτό διότι αν 1198881 minus1198891 1198882 minus1198892 isin 119870minus119863και 120582 isin [0 1] έχουμε
(1minus120582)(1198881minus1198891)+120582(1198882minus1198892) = ((1minus120582)1198881+1205821198882)minus((1minus120582)1198891+1205821198892) isin 119870minus119863
Έστω ότι Λ119906120572120573 = 119909 ∶ 120572 le ⟨119906 119909⟩ le 120573 με 120572 lt 120573 είναι η λωρίδα που
διαχωρίζει γνήσια τα 119870 και 119863 Ας υποθέσουμε ότι 119870 sube 119909 ∶ ⟨119906 119909⟩ le 120572και 119863 sube 119910 ∶ ⟨119906 119910⟩ ge 120573 Τότε
119870 minus 119863 sube 119909 minus 119910 ∶ ⟨119906 119909 minus 119910⟩ le 120572 minus 120573
Συνεπώς αφού 120572 minus 120573 lt 0 τα 119870 minus 119863 και 0 διαχωρίζονται γνήσια από
τη λωρίδα
Λ119906120572minus1205730 = 119911 ∶ 120572 minus 120573 le ⟨119906 119911⟩ le 0
(ii)rArr(i) Έστω ότι η λωρίδα
Λ119906minus1205740 = 119911 ∶ minus120574 le ⟨119906 119911⟩ le 0
με 120574 gt 0 διαχωρίζει γνήσια το 119870 minus 119863 από το 0 Άρα αν 119909 isin 119870 και
119910 isin 119863 θα ισχύει ⟨119906 119909 minus 119910⟩ le minus120574 οπότε ⟨119906 119909⟩ + 120574 le ⟨119906 119910⟩ για κάθε
119909 isin 119870 και για κάθε 119910 isin 119863 Αν θέσουμε 120572 = sup⟨119906 119909⟩ ∶ 119909 isin 119870 ισχύει120572 + 120574 le ⟨119906 119910⟩ για κάθε 119910 isin 119863 Άρα τα 119870 και 119863 διαχωρίζονται γνήσια
από τη λωρίδα
Λ119906120572120572+120574 = 119911 ∶ 120572 le ⟨119906 119911⟩ le 120572 + 120574
Θ Έστω ότι τα 119870 119863 είναι κυρτά υποσύνολα του ℝ119899Αν το 119870 είναι συμπαγές το 119863 κλειστό και 119870 cap 119863 = τότε τα 119870 119863διαχωρίζονται γνήσια
Απόδειξη Από την Πρόταση υπάρχουν 1199090 isin 119870 1199100 isin 119863 ώστε
119889(119870 119863) = 1199090 minus 11991002 gt 0
Θέτουμε 119906 = 1199100 minus 1199090 το οποίο είναι διαφορετικό του μηδενός Ισχυρι-
ζόμαστε τώρα ότι η λωρίδα
119909 ∶ ⟨1199090 119906⟩ le ⟨119909 119906⟩ le ⟨1199100 119906⟩
διαχωρίζει το 119870 από το 119863 Πράγματι αν 119909 isin 119870 τότε
⟨119909 119906⟩ le ⟨1199090 119906⟩ hArr ⟨119909 minus 1199090 119906⟩ le 0 hArr ⟨119909 minus 1199090 1199100 minus 1199090⟩ le 0
Εάν υποθέσουμε ότι αυτό είναι λάθος τότε υπάρχει 1199091 isin 119870 ώστε
⟨1199091 minus 1199090 1199100 minus 1199090⟩ gt 0 Το [1199090 1199091] είναι υποσύνολο του 119870 αφού το 119870είναι κυρτό άρα
119911120582 = 1199090 + 120582(1199091 minus 1199090) isin 119870 για κάθε 120582 isin [0 1]
Έχουμε
1199100 minus 11991112058222 = (1199100 minus 1199090) minus (119911120582 minus 1199090)2
2
= ⟨(1199100 minus 1199090) minus (119911120582 minus 1199090) (1199100 minus 1199090) minus (119911120582 minus 1199090)⟩= 1199100 minus 11990902
2 + 119911120582 minus 119909022 minus 2⟨1199100 minus 1199090 119911120582 minus 1199090⟩
= 1199100 minus 119909022 + 12058221199091 minus 11990902
2 minus 2120582⟨1199100 minus 1199090 1199091 minus 1199090⟩= 1199100 minus 11990902
2 + 120582(1205821199091 minus 119909022 minus 2⟨1199100 minus 1199090 1199091 minus 1199090⟩)
lt 1199100 minus 119909022
το οποίο είναι άτοπο για 120582 gt 0 αρκετά κοντά στο μηδέν αφού η
παρένθεση είναι αρνητική καθώς το 120582 πηγαίνει στο μηδέν από δεξιά
Ομοίως
119863 sube 119909 ∶ ⟨119906 119909⟩ ge ⟨119906 1199100⟩
Δυο κυρτά σύνολα δεν διαχωρίζονται μόνο υπό τις προϋποθέσεις
του Θεωρήματος Αν είναι κυρτά και έχουν ξένα εσωτερικά τότε
και πάλι διαχωρίζονται Τα βήματα που απαιτούνται παρουσιάζονται
στην Άσκηση
Μια εφαρμογή του διαχωρισμού κυρτών συμπαγών συνόλων είναι
ότι το πολικό του 119870∘ είναι το 119870
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 με 0 isin int(119870) ισχύειότι (Κ∘)∘ = Κ
Απόδειξη Αν 119909 isin 119870 τότε ⟨119909 119910⟩ le 1 για κάθε 119910 isin 119870∘ Αλλά αυτό
συνεπάγεται (από τον ορισμό του (119870∘)∘) ότι 119909 isin (119870∘)∘ Άρα 119870 sube (119870∘)∘
Αντίστροφα έστω ότι 119909 isin (119870∘)∘ Πρέπει να δείξουμε ότι 119909 isin 119870 Αν
όχι τότε τα 119909 και 119870 διαχωρίζονται γνησίως Άρα υπάρχει 119906 isin ℝ119899 ⧵0ώστε
⟨119911 119906⟩ le 1 lt ⟨119909 119906⟩
για κάθε 119911 isin 119870 Η ανισότητα στα αριστερά μας λέει ότι 119906 isin 119870∘ Ως εκ
τούτου η ανισότητα στα δεξιά τώρα μας λέει ότι 119909 notin (119870∘)∘ το οποίο
είναι άτοπο Συνεπώς (119870∘)∘ sube 119870
Π Αν τα 119870 και 119871 είναι κυρτά σώματα με 0 isin int(119870)0 isin int(119871) και 120582 gt 0 ισχύουν οι εξής ιδιότητες
(i) (120582119870)∘ =1120582
119870∘
(ii) 119870 sube 119871 αν και μόνο αν 119870∘ supe 119871∘
(iii) Για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 ισχύει (119879(119870)∘) =(119879119905)minus1(119870∘)
Απόδειξη (i) 119910 isin (120582119870)∘ αν και μόνο αν ⟨119910 120582119909⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119870Ισοδύναμα ⟨120582119910 119909⟩ le 1 και άρα 120582119910 isin 119870∘ ισοδύναμα 119910 isin (1120582)119870
(ii) Έστω ότι 119870 sube 119871 Αν 119910 isin 119871∘ τότε ⟨119909 119910⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119871Αλλά 119870 sube 119871 άρα η ⟨119909 119910⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119870 Συνεπώς 119910 isin 119870∘ Δείξαμε
δηλαδή ότι 119871∘ sube 119870∘
Αντιστρόφως αν 119871∘ sube 119870∘ από το ευθύ συμπεραίνουμε ότι (119871∘)∘ supe(119870∘)∘ Η χρήση της Πρότασης ολοκληρώνει την απόδειξη
(iii) 119910 isin (119879(119870))∘ αν και μόνο αν ⟨119909 119910⟩ le 1 για κάθε 119909 isin 119879(119870)Ισοδύναμα ⟨119879(119911) 119910⟩ le 1 για κάθε 119911 isin 119870 Αλλά
⟨119879(119911) 119910⟩ = (119879119911)119905119910 = (119911119905119879119905)119910 = 119911119905(119879119905119910) = ⟨119911 119879119905(119910)⟩
Άρα 119910 isin (119879(119870))∘ αν και μόνο αν 119879119905(119910) isin 119870∘ ισοδύναμα 119911 isin (119879119905)minus1(119870∘)
Άσκηση Έστω ότι τα 119870 119871 είναι κεντρικά συμμετρικά κυρτά σώματα
στον ℝ119899 Αποδείξτε ότι 119909119870 le 119872119909119871 αν και μόνο αν 119870 supe 119872minus1119871 αν και μόνο
αν 119909119870∘ ge 119872minus1119909119871∘
Άσκηση Έστω ότι το 119870 είναι κεντρικά συμμετρικό κυρτό σώμα στον ℝ119899
και 119865 υπόχωρος του ℝ119899 διάστασης 119896 όπου 119896 = 1 hellip 119899 Αποδείξτε ότι ισχύει(119870 cap 119865)∘ = 119875119865(119870∘) όπου το πολικό (119870 cap 119865)∘ εννοείται μέσα στον υπόχωρο 119865(Υπόδειξη Από την Πρόταση αρκεί να δειχθεί ότι 119870 cap 119865 = (119875119865(119870∘))∘)
Άσκηση Έστω ότι τα κυρτά σύνολα 119870 και 119863 έχουν ξένα εσωτερικά
Αποδείξτε ότι τα 119870 και 119863 διαχωρίζονται ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) Αποδείξτε ότι αν το 119870 είναι κυρτό σύνολο και 119909 isin 120597119870 τότε υπάρχει
υπερεπίπεδο στήριξης του 119870 στο 119909 (Υπόδειξη Θεωρήστε ακολουθία
119910119898 notin 119870 ώστε 119910119898 rarr 119909 Διαχωρίστε τα 119910119898 και 119870 με υπερεπίπεδα
κάθετα στα μοναδιαία 119906119898 σύμφωνα με το Θεώρημα και περάστε
σε συγκλίνουσα υπακολουθία της 119906119898)
(ii) Θεωρήστε το σύνολο 119864 = int(119870) minus int(119863) Φανερά 0 notin 119864 Δείξτε ότι
το 119864 είναι ανοικτό σύνολο Έτσι είτε 0 notin 119864 είτε 0 isin 120597119864 Στην πρώτη
περίπτωση εφαρμόστε το Θεώρημα και την Πρόταση ενώ
στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήστε το (i)
Άσκηση Αποδείξτε ότι το σύνολο 119870 sube ℝ119899 είναι κυρτό αν και μόνο αν
119870 = ⋂119867minus ∶ 119867 υπερεπίπεδο στήριξης του 119870
όπου με 119867minus συμβολίζουμε τον ημίχωρο που σχηματίζει το υπερεπίπεδο 119867 ο
οποίος περιέχει το 119870
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν τα 119909 και 119910 δεν ανήκουν στο conv(119862) τότε
conv(119862 cup 119909)) = conv(119862 cup 119910)
αν και μόνο αν 119909 = 119910
Άσκηση Το 119910 λέγεται βαρύκεντρο του κυρτού σώματος 119870 και γράφουμε
119910 = bar(119870) αν 119910 = int119870119909 119889119909 δηλαδή αν 119910 = (1199101 hellip 119910119899) και
119910119895 = int119870
119909119895 119889119909 = int119870⟨119909 119890119895⟩ 119889119909
όπου (119890119895)119899119895=1 η συνήθης βάση του ℝ119899 Αποδείξτε ότι
(i) Το 119910 είναι το βαρύκεντρο του 119870 αν και μόνο αν
⟨119911 119910⟩ = int119870⟨119911 119909⟩ 119889119909
για κάθε 119911 isin ℝ119899
(ii) bar(119870 minus bar(119870)) = 0
(iii) Το βαρύκεντρο κυρτών συμάτων ανήκει στο εσωτερικό τους bar(119870) isinint(119870)
(iv) (119870 minus bar(119870))∘ ∘ = 119870 minus bar(119870)
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΓΚΟΥ
Ο (Όγκος Παραλληλεπιπέδου) Ορίζουμε τον όγκο vol119899(119861)ενός παραλληλεπιπέδου 119861 στον ℝ119899 να είναι το γινόμενο 119899 laquoανεξάρτη-
τωνraquo ακμών δηλαδή αν 119861 = [1198861 1198871] times ⋯ times [119886119899 119887119899] (ως προς κατάλληλη
ορθοκανονική βάση) τότε
vol119899(119861) =119899
prod119895=1
(119887119895 minus 119886119895)
Όταν η διάσταση εννοείται τότε γράφουμε vol(119861) ή και |119861|Στη συνέχεια θα ορίσουμε τον όγκο ενός πολυπαραλληλεπιπέδου
δηλαδή ενός συνόλου που είναι ένωση πεπερασμένου πλήθους παραλ-
ληλεπιπέδων με παράλληλες μεταξύ τους ακμές και ξένα εσωτερικά να
είναι το άθροισμα των όγκων των παραλληλεπιπέδων
Ο Αν 119860 = 1198611 cup 1198612 cup ⋯ cup 119861119896 με 119861119895 παραλληλεπίπεδα και
int(119861119895) cap int(119861119894) =
για 119894 διαφορετικό του 119895 τότε ορίζουμε τον όγκο του 119860 να είναι
vol119899(119860) =119899
sum119895=1
vol119899(119861119895)
Π Ο ορισμός αυτός αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι
καλός Δηλαδή αν ένα πολυπαραλληλεπίπεδο γράφεται ως πεπερασμένη
ένωση παραλληλεπιπέδων με ξένα εσωτερικά με δύο τρόπους τότε και
οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα Για να γίνει σαφές αυτό που
περιγράφουμε εδώ σκεφτείτε ότι το [0 1] times [0 1] γράφεται και ως
([0 12] times [0 1]) cup ([12 1] times [0 1])
αλλά και ως
([0 12] times [0 12]) cup ([12 1] times [0 12]) cup ([0 1] times [12 1])
Το να είναι καλός ο παραπάνω ορισμός σημαίνει ότι και οι δύο γραφές
πρέπει να δίνουν το ίδιο εμβαδόν Και πράγματι αυτό συμβαίνει Τα
βήματα για την απόδειξη ότι ο ορισμός είναι καλός περιγράφονται στην
Άσκηση
Π Τόσο ο όγκος παραλληλεπιπέδου όσο και ο όγκος
πολυπαραλληλεπιπέδου ικανοποιούν προφανώς τις ιδιότητες
vol119899(119909 + 119861) = vol119899(119861) και vol119899(120582119861) = 120582119899vol119899(119861)
για κάθε παραλληλεπίπεδο ή πολυπαραλληλεπίπεδο 119861 για κάθε 119909 isin ℝ119899
και για κάθε 120582 gt 0
Τέλος σταθεροποιούμε ένα σύστημα αξόνων και ορίζουμε τον όγκο
ενός κυρτού σώματος 119870 ως εξής
Ο Το σύνολο 119870 υποσύνολο του ℝ119899 λέγεται Jordan με-
τρήσιμο αν
supvol119899(119860) ∶ 119860 sube 119870 = infvol119899(119861) ∶ 119861 supe 119870
όπου τα Α και 119861 είναι πολυπαραλληλεπίπεδα
Αν αυτό συμβαίνει τότε την κοινή τιμή την ονομάζουμε όγκο του
κυρτού σώματος 119870 και τη συμβολίζουμε με vol119899(119870) ή αν δεν υπάρχει
ασάφεια για τη διάσταση του χώρου με vol(119870) ή |119870|
Π Θα δούμε παρακάτω ότι ο ορισμός αυτός είναι
ανεξάρτητος του συστήματος αξόνων που σταθεροποιήσαμε (δείτε
Πρόταση (v))
Π Αν θέσουμε 120594119870 ∶ ℝ119899 rarr ℝ με 120594119870(119909) = 1 αν 119909 isin 119870και 120594119870(119909) = 0 αν 119909 notin 119870 τότε εύκολα βλέπουμε ότι το 119870 είναι Jordan
μετρήσιμο αν και μόνο αν η 120594119870 είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο ℝ119899 και
σε αυτή την περίπτωση
vol(119870) = intℝ119899
120594119870(119909) 119889119909 = intinfin
minusinfin⋯ int
infin
minusinfin120594119870((1199091 hellip 119909119899)) 1198891199091 hellip 119889119909119899
Ο Ορισμός μπορεί να δοθεί για κάθε υποσύνολο 119870 του ℝ119899
Υπάρχουν όμως και σύνολα για τα οποία η παραπάνω ισότητα δεν
ισχύει Τότε λέμε ότι το 119870 δεν έχει όγκο Αλλά αν το 119870 είναι κυρτό σώμα
τότε είναι πάντα Jordan μετρήσιμο δηλαδή έχει όγκο
Θ Αν το 119870 είναι κυρτό σώμα στον ℝ119899 τότε το 119870 είναι119869119900119903119889119886119899 μετρήσιμο
Απόδειξη Αποδεικνύουμε πρώτα τον ακόλουθο ισχυρισμό
Ι Αν το 119870 είναι υποσύνολο του 119880 όπου 119880 είναι ανοιχτό σύνολο
τότε υπάρχει πολυπαραλληλεπίπεδο Α ώστε να ισχύει 119870 sube 119860 sube 119880
[Απόδειξη του ισχυρισμού Θέτουμε 120588 = 119889(119870 ℝ119899 ⧵ 119880) οπότε σύμφωνα
με την Πρόταση ισχύει 120588 gt 0 Επίσης θέτουμε
Β0 = [minus1205884radic119899
120588
4radic119899]
119899
Το 1198610 είναι ένας κύβος στον ℝ119899 με κέντρο το 0 και
diam1198610 = 2radic119899120588
4radic119899=
1205882
lt 120588
Αν το 119909 ανήκει στο 119870 τότε
() 119909 + 1198610 sube 119880
όπου το 119909 + 1198610 είναι κύβος με κέντρο το 119909 H () ισχύει διότι το Β0δεν επιτρέπει μεγάλες μεταβολές της νόρμας Οι μεταβολές της νόρμας
μέσα στο 119909 + 1198610 είναι πάντα μικρότερες του 120588 διότι η διάμετρος του
κύβου είναι μικρότερη του 120588 Το 119909 είναι το κέντρο του κύβου άρα το 119909ανήκει στο int(119909 + 1198610) Οπότε κάθε σημείο 119909 του 119870 καλύπτεται με έναν
κύβο κέντρου 119909 Έτσι
119870 sube ⋃119909isin119870
int(119909 + 1198610)
Το 119870 είναι συμπαγές άρα έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα Δηλαδή
υπάρχουν 1199091 hellip 119909119899 στο 119870 ώστε
119870 sube119873
⋃119894=1
int(119909119894 + 1198610) sube119873
⋃119894=1
(119909119894 + 1198610) συνεπώς 119870 sube 119860 sube 119880
με 119860 = ⋃119873119894=1(119909119894 + 1198610) πολυπαραλληλεπίπεδο ]
Το 119870 είναι σώμα άρα το int(119870) δεν είναι κενό Αν 119909 isin int(119870) θέτουμε
119870 = 119870 minus 119909 οπότε 0 isin int(119870) Έστω ένα 120598 gt 0 Θα δείξουμε ότι
το 119870 είναι Jordan μετρήσιμο Θεωρούμε το σύνολο (1 minus 120598)119870 Από την
Πρόταση (iii) ισχύει (1 minus 120598)119870 sube int(119870) Άρα από τον ισχυρισμό
υπάρχει πολυπαραλληλεπίπεδο Α0 ώστε (1 minus 120598)119870 sube 1198600 sube int119870 sube 119870και άρα
1198600 sube 119870 sube1
1 minus 1205981198600
Συνεπώς
1198600 + 119909 sube 119870 sube 119909 +1
1 minus 1205981198600
Έχουμε
vol(119909 + 1198600) = vol(1198600) le supvol(119860) 119860 sube 119870 le infvol(119861) 119861 supe 119870
όπου τα Α Β είναι πολυπαραλληλεπίπεδα Το 119909 + (1 minus 120598)minus11198600 περιέχει
το 119870 Έτσι χρησιμοποιώντας την Παρατήρηση θα έχουμε
infvol(119861) 119861 supe 119870 le vol(119909 +1
1 minus 1205981198600) = vol(
11 minus 120598
1198600)
= (1
1 minus 120598)119899
vol(1198600)
Έτσι συμπεραίνουμε ότι
()
0 le infvol(119861) 119861 supe 119870minussupvol(119860) 119860 sube 119870 le ((1
1 minus 120598)119899
minus 1) vol(1198600)
Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη πρέπει να αφήσουμε το 120598 να πάει στο
μηδέν Αλλά πρέπει να ξεπεράσουμε πρώτα το πρόβλημα ότι το 1198600εξαρτάται από το 120598 Για να το κάνουμε αυτό παρατηρούμε ότι 1198600 sube 119870και το 119870 ως κυρτό σώμα είναι φραγμένο Οπότε υπάρχει κύβος 119876 με
μήκος ακμής έστω 119872 gt 0 ώστε 119870 sube 119876 Άρα 1198600 sube 119876 και από τον ορισμό
του όγκου για τα πολυπαραλληλεπίπεδα vol(1198600) le vol(119876) = 119872119899 Έτσι
η () γίνεται
0 le infvol(119861) 119861 supe 119870 minus supvol(119860) 119860 sube 119870 le ((1
1 minus 120598)119899
minus 1) 119872119899
Αφήνοντας το 120598 να πάει στο μηδέν από δεξιά ολοκληρώνεται η απόδειξη
Άσκηση Αποδείξτε ότι ο Ορισμός είναι καλός ακολουθώντας τα
παρακάτω βήματα
(i) Υποθέστε ότι το πολυπαραλληλεπίπεδο 119860 γράφεται ως πεπερασμένη
ένωση των παραλληλεπιπέδων 119861119894 με ξένα εσωτερικά για 119894 = 1 hellip 119896 και
πεπερασμένη ένωση των παραλληλεπιπέδων 119862119895 με ξένα εσωτερικά για
119895 = 1 hellip 119896 για 119895 = 1 hellip 119898
(ii) Αποδείξτε ότι sum119896119894=1 vol(119861119894) = sum
119898119895=1 vol(119862119895) εξηγώντας πρώτα γιατί 119861119894 =
cup119898119895=1(119861119894 cap 119862119895) με τα 119861119894 cap 119862119895 να έχουν ξένα εσωτερικά
Ιδιότητες Όγκου
Οι ιδιότητες του όγκου που παρουσιάζονται στις παρακάτω προ-
τάσεις μπορούν να αποδειχθούν τόσο με τον ορισμό του όγκου μέσω
πολυπαραλληλεπιπέδων όσο και με τη βοήθεια του ολοκληρώματος
Riemann των χαρακτηριστικών συναρτήσεων (Παρατήρηση )
Π Για σύνολα που έχουν όγκο ισχύουν οι παρακάτωιδιότητες
(i) Αν 1198701 sube 1198702 τότε vol(1198701) le vol(1198702)
(ii) Αν 119870 sube ℝ119899minus1 τότε vol119899(119870) = 0
(iii) vol(120582119870) = 120582119899vol(119870)
(iv) vol(119870 + 119905) = vol(119870)
(v) Αν 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 πίνακας με Τ119905119879 = 119868 τότε vol(119879(119870)) = vol(119870)
Απόδειξη Αποδεικνύουμε μόνο το (v)
Το (v) ισχύει αν 119870 παραλληλεπίπεδο θεωρούμε το
119861 = [0 1205721] times ⋯ times [0 120572119899] = 119899
sum119895=1
120582119895119890119895 0 le 120582119895 le 120572119895
Έχουμε
119879(119861) = 119879 (119899
sum119895=1
120582119895119890119895) 0 le 120582119895 le 120572119895 = 119899
sum119895=1
120582119895(119879119890119895) 0 le 120582119895 le 120572119895
Αλλά
Τ11989011989522 = ⟨119879119890119895 119879119890119895⟩ = (119879119890119895)119905119879119890119895 = 119890119905
119895119879119905119879119890119895 = 119890119905119895119890119895 = ⟨119890119895 119890119895⟩ = 1
Άρα το μήκος του διανύσματος 119879119890119895 είναι 1
⟨119879119890119894 119879119890119895⟩ = (119879119890119894)119905119879119890119895 = 119890119905119894(119879119905119879)119890119895 = 119890119905
119894119890119895 = ⟨119890119894 119890119895⟩ = 0
διότι το 119894 είναι διαφορετικό του 119895 Άρα τα 119879119890119895 είναι ορθοκανονικά
διανύσματα Συνεπώς το Τ(Β) είναι παραλληλεπίπεδο με μήκη ακμών
πάλι τα 1205721 hellip 120572119899 Άρα
vol(119879(119861)) = 1205721 hellip 120572119899 = vol(119861)
Για πολυπαραλληλεπίπεδα ισχύει αφού αυτά είναι ένωση παραλληλε-
πιπέδων και για το γενικό σώμα παίρνουμε supremum ως προς όλα τα
πολυπαραλληλεπίπεδα μέσα σε αυτό
Η ακόλουθη πρόταση μάς λέει πώς συμπεριφέρεται ο όγκος όταν
εφαρμόζουμε στο σώμα Κ έναν αντιστρέψιμο πίνακα
Π Αν ο 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 είναι αντιστρέψιμος πίνακας τότεvol(119879(119870)) = | det 119879| vol(119870)
Απόδειξη Η απόδειξη θα γίνει εύκολα αν καταφύγουμε στο θεώρημα
αλλαγής μεταβλητών του απειροστικού λογισμού Αν για 119909 isin 119879(119870)θέσουμε 119910 = 119879minus1(119909) isin 119870 τότε η Ιακωβιανή αυτής της αλλαγής μετα-
βλητών είναι η det 119879 Επίσης 120594119879(119870) = 1 αν και μόνο αν 120594119870(119879minus1(119909)) = 1Έτσι έχουμε
vol(119879(119870)) = intℝ119899
120594119879(119870)(119909) 119889119909 = intℝ119899
120594119870(119879minus1(119909)) 119889119909
= intℝ119899
120594119870(119910)| det 119879| 119889119910 = | det 119879| vol(119870)
Άσκηση Αποδείξτε με τη βοήθεια του ολοκληρώματος Riemann ότι αν το
σύνολο 119870 sube ℝ119899 έχει όγκο τότε vol(120582119870) = 120582119899vol(119870) και vol(119870 + 119905) = vol(119870) για
κάθε 120582 gt 0 και για κάθε 119905 isin ℝ119899
Άσκηση Θέτουμε 119904(119870) = vol(119870)vol(119870∘) Αποδείξτε ότι για κάθε κυρτό
σώμα 119870 με το 0 στο εσωτερικό του και για κάθε για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα
119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 ισχύει 119904(119879(119870)) = 119904(119870)
Άσκηση Αποδείξτε χρησιμοποιώντας το θεώρημα αλλαγής μεταβλητών
του Απειροστικού Λογισμού ότι αν 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 πίνακας με 119879119905119879 = 119868 τότε
vol(119879(119870)) = intℝ119899
120594119879(119870)(119909) 119889119909 = intℝ119899
120594119870(119909) 119889119909 = vol(119870)
Άσκηση [Όγκος του simplex] Θεωρούμε 119899 γραμμικά ανεξάρτητα διανύσμα-
τα 1199091 1199092 hellip 119909119899 στον ℝ119899 θέτουμε 1199090 = 0 και για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 θέτουμε
119886119896 την απόσταση του 119909119896 από το span1199091 hellip 119909119896minus1 και 119878119899 = conv1199090 1199091 hellip 119909119899Αποδείξτε με επαγωγή στο 119899 ότι
vol(119878119899) =1119899
119899
prod119896=1
119886119896
Άσκηση Έστω ότι τα 119870 και 119871 είναι δυο κυρτά σώματα στον ℝ119899 με το
119871 κεντρικά συμμετρικό Θεωρούμε ένα υποσύνολο 119977 του 119870 με την ιδιότητα
για κάθε 119909 119910 isin 119977 με 119909 ne 119910 ισχύει 119909 minus 119910119871 ge 1 Αποδείξτε ότι το 119977 είναι
αναγκαστικά πεπερασμένο και η πληθικότητά του είναι μικρότερη ή ίση του
πηλίκου
vol(119870 + 12119871)
vol( 12119871)
(Υπόδειξη Δείξτε ότι τα 119909 + 12119871 για 119909 isin 119977 έχουν ξένα εσωτερικά)
Άσκηση Έστω ότι τα 119870 και 119871 είναι κυρτά σώματα στον ℝ119899 Ορίζουμε
τον αριθμό κάλυψης 119873(119870 119871) του 119870 από το 119871 να είναι ο
119873(119870 119871) = min119873 isin ℕ ∶ υπάρχουν 1199091 hellip 119909119899 isin ℝ119899 ώστε 119870 sube119873
⋃119895=1
(119909119895 + 119871)
Αποδείξτε τις ακόλουθες ιδιότητες
(i) vol(119870) le 119873(119870 119871)vol(119871) Επιπλέον για κάθε κυρτό σώμα 119879 ισχύει vol(119870+119879) le 119873(119870 119871)vol(119871 + 119879)
(ii)vol(119870 + 119871)
vol(119871)le 2119899119873(119870 119871)
(iii) Αν το 119871 είναι κεντρικά συμμετρικό τότε
119873(119870 119871) levol(119870 + 1
2119871)vol( 1
2119871)le 2119899 vol(119870 + 119871)
vol(119871)
(Υπόδειξη Εξηγήστε πρώτα με βάση την Άσκηση γιατί μπορείτε
να θεωρήσετε ένα μεγιστικής πληθικότητας υποσύνολο 119977 του 119870 με την
ιδιότητα που περιγράφεται σε εκείνη άσκηση)
(iv) Αν το 119871 είναι κεντρικά συμμετρικό και vol(119870) = vol(119871) τότε 119873(119870 119871)1119899 le4119873(119871 119870)1119899
ℬ119899119901 1 le 119901 le infin
Φανερά το σύνολο ℬ119899infin είναι ένα παραλληλεπίπεδο με μήκος κάθε
ακμής του ίσο με Συνεπώς ο όγκος του είναι 2119899
Θα υπολογίσουμε τώρα τον όγκο του ℬ119899119901 για 1 le 119901 lt infin Θεωρούμε
το ολοκλήρωμα
119868119901 = intℝ119899
exp(minus119909119901119901) 119889119909 = (int
ℝexp(minus|119905|119901) 119889119905)
119899
Ισχύει
119868119901 = intℝ119899
⎛⎝int
infin
119909119901
119889119889119905(
minus119890minus119905119901)⎞⎠ 119889119905 119889119909
= intℝ119899
(intinfin
0120594[119909119901infin)(119905)
119889119889119905(
minus119890minus119905119901)) 119889119905 119889119909
και αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης
= intinfin
0(
119889119889119905(
minus119890minus119905119901) (intℝ119899
120594[119909119901infin)(119905) 119889119909)) 119889119905
Παρατηρούμε ότι 120594[119909119901infin)(119905) = 1 αν και μόνο αν 119909119901 le 119905 αν και μόνο
αν 119909 isin 119905ℬ119899119901 δηλαδή αν και μόνο αν 120594119905ℬ119899
119901(119909) = 1 Αλλιώς ταυτόχρονα και
119887119899119901 1 le 119901 le infin
οι δυο χαρακτηριστικές είναι μηδέν Άρα
119868119901 = intinfin
0(
119889119889119905(
minus119890minus119905119901)vol(119905ℬ119899119901 )) 119889119905 = vol(ℬ119899
119901 ) 119901 intinfin
0119905119899+119901minus1119890minus119905119901 119889119905
Έτσι έχουμε αποδείξει ότι
vol(ℬ119899119901 ) 119901 int
infin
0119905119899+119901minus1119890minus119905119901 119889119905 = (int
ℝexp(minus|119905|119901) 119889119905)
119899
από όπου προκύπτει ότι
vol(ℬ119899119901 ) =
(2 intinfin
0119890minus119905119901 119889119905)
119899
intinfin
0119901119905119899+119901minus1119890minus119905119901 119889119905
=(2Γ (1 +
1119901))
119899
Γ (1 +119899119901)
όπου
Γ(119909) = intinfin
0119905119909minus1119890minus119905 119889119905
Η συνάρτηση Γ είναι από τις ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες συναρτήσεις στα
Μαθηματικά και μερικές ιδιότητές της παρουσιάζονται στο Παράρτημα Β
Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε μια ασυμπτωτική εκτίμηση της συνάρτησης
Γlim
119909rarr+infin
Γ(119909 + 1)radic2120587119909(119909119890)119909
= 1
Από αυτή τη σχέση εύκολα συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν σταθερές 1198881(119901)και 1198882(119901) ώστε
1198881(119901)1
1198991119901 le vol(ℬ119899119901 )1119899 le 1198882(119901)
11198991119901
Άσκηση Χρησιμοποιήστε τα παραπάνω καθώς και της ιδιότητες της
συνάρτησης Γ όπως αυτές παρουσιάζονται στο Παράρτημα Β για να αποδείξετε
ότι
(i) vol119899(ℬ1198991 ) = 2119899119899
(ii)
vol119899(ℬ1198992) =
⎧⎨⎩
radic120587 119899
(1198992)αν 119899 άρτιος
2119899radic120587 119899minus1 ((119899 minus 1)2)119899
αν 119899 περιττός
Στις παρακάτω ασκήσεις μελετάμε την κατανομή του όγκου μέσα στην
Ευκλείδεια μπάλα
Άσκηση Υπολογίστε τον 119899minus1-όγκο της τομής της ℬ1198992 με ένα υπερεπίπεδο
που απέχει 119905 από την αρχή των αξόνων
Άσκηση Εκτιμήστε το 119903119899 isin ℝ ώστε vol119899(119903119899ℬ1198992) = 1
Άσκηση Υπολογίστε τον όγκο του 119860 = convℬ1198992 119909 για κάθε 119909 isin ℝ119899
Στη συνέχεια αποδείξτε ότι αν ένα κυρτό σύνολο 119870 ικανοποιεί τις ℬ1198992 sube 119870 και
vol119899(119870) lt infin τότε το 119870 είναι φραγμένο
Άσκηση Αν 119903119899 isin ℝ ώστε vol119899(119903119899ℬ1198992) = 1 και 119867119905 υπερεπίπεδο που απέχει
απόσταση 119905 από την αρχή των αξόνων υπολογίστε τον όγκο vol119899minus1(119903119899ℬ1198992 cap119867119905)
και αποδείξτε ότι
lim119899rarrinfin
vol119899minus1(119903119899ℬ1198992 cap 119867119905) = radic119890 119890minus1205871198901199052
Άσκηση Θέτουμε 119871119899 = 119909 isin ℝ119899 ∶ |119909119899| le 1 Αποδείξτε ότι
vol119899(119903119899ℬ1198992) ge 1 minus
1120587radic119890
119890minus120587119890
Παρατηρήστε ότι το προηγούμενο μας λέει ότι το μεγαλύτερο μέρος του όγκου
της 119903119899ℬ1198992 βρίσκεται σε κάθε() λωρίδα πλάτους γύρω από την αρχή των
αξόνων Αποδείξτε όμως ότι ο περισσότερος όγκος δεν είναι στην τομή όλων
αυτών των λωρίδων αφού vol119899((1199031198992)ℬ1198992) = 12119899 rarr 0
Άσκηση Η προηγούμενη άσκηση μάς υποδεικνύει ότι ο όγκος σε μια
Ευκλείδεια μπάλα συγκεντρώνεται ισχυρά κοντά στην επιφάνειά της Επιβε-
βαιώστε αυτό το γεγονός αποδεικνύοντας ότι για κάθε 120598 gt 0 η ποσότητα
vol119899(119903119899ℬ1198992) minus vol119899((1 minus 120598)119903119899ℬ119899
2) τείνει στη μονάδα με εκθετικό ως προς τη
διάσταση ρυθμό
Η παρακάτω άσκηση έχει ως στόχο να απαντηθεί το ερώτημα των
Busemann-Petty το οποίο ρωτάει το εξής αν τα 119870 και 119879 είναι δυο κεντρικά
συμμετρικά κυρτά σώματα στον ℝ119899 με την ιδιότητα για κάθε υπερεπίπεδο 119867που περνάει από το μηδέν να ισχύει vol119899(119870 cap 119867) lt vol119899(119879 cap 119867) είναι σωστό
ότι vol119899(119870) lt vol119899(119879)
119887119899119901 1 le 119901 le infin
Άσκηση Θέτουμε 119876119899 για τον κύβο όγκου 1 στον ℝ119899 δηλαδή 119876119899 =[12 12]119899 Περί το ο Keith Ball απέδειξε (στο [Bal]) ότι για κάθε
υπερεπίπεδο 119867 που περνάει από το μηδέν ισχύει 1 le vol119899minus1(119876119899 cap 119867) le radic2Χρησιμοποιείστε αυτό το γεγονός και τους υπολογισμούς που έγιναν στις
προηγούμενες ασκήσεις για την 119903119899ℬ1198992 για να δείξετε ότι η απάντηση στο
πρόβλημα Busemann-Petty είναι αρνητική
Άσκηση Η τεχνική που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του
όγκου του ℬ119899119901 δηλαδή μέσω ενός ολοκληρώματος που υπολογίζεται με δύο
τρόπους είναι αρκετά συνηθισμένη Για ένα άλλο παράδειγμα (που απαιτεί
όμως γνώση θεωρίας μέτρου) αποδείξτε ότι για κάθε 119906 isin 120138119899minus1 ισχύει
int120138119899minus1
|⟨119906 120579⟩|119902 119889120590(119906) =2Γ ( 1+119902
2 ) Γ (1 + 1198992)
radic120587119899Γ ( 119899+1199022 )
όπου 120590 το μέτρο Haar στην 120138119899minus1 Από το παραπάνω να συμπεράνεται ότι
(int120138119899minus1
|⟨119906 120579⟩|119902 119889120590(119906))1119902
≃ radic119902
119902 + 119899
(Υπόδειξη Ξεκινήστε με το ολοκλήρωμα
intℝ119899
|⟨119909 120579⟩|119902119890minus|119909|22
(radic2120587)119899119889119909
Ελέξτε ότι αν αλλάξετε σε πολικές συντεταγμένες αυτό γίνεται
vol119899minus1(120138119899minus1)(radic2120587)119899 (int
infin
0119903119899+119902minus1119890minus11990322 119889119903) (int
120138119899minus1|⟨119906 120579⟩|119902 119889120590(119906))
Για έναν δεύτερο τρόπο υπολογισμού παρατηρήστε ότι το αρχικό ολοκλή-
ρωμα είναι ανεξάρτητο του 120579 isin 120138119899minus1 και συνεπώς μπρορεί να υπολογι-
στεί αν θέσουμε 120579 = (1 0 0 hellip 0) στην οποία περίπτωση ισούται με το
intinfinminusinfin
|119909|119902119890minus11990922radic2120587 119889119909)
ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΚΥΡΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
Ο Για 119862 119863 κυρτά σώματα στον ℝ119899 ορίζουμε την από-
σταση 119867119886119906119904119889119900119903119891119891 120575(119862 119863) να είναι η ποσότητα
120575(119862 119863) = max max119909isin119862
min119910isin119863
119909 minus 1199102 max119910isin119863
min119909isin119862
119909 minus 1199102
z
NBYumlOz NJOcopyO 9uml Y copy9
NBYcopyO NJOumlOz 9uml Y copy9
Σ Η απόσταση Hausdorff μεταξύ του 119862 και του 119863 είναι η μεγα-
λύτερη από τις δύο αποστάσεις στο σχήμα
Ελέγχουμε τώρα ότι η 120575 είναι μετρική Φανερά λόγω συμμετρίας του
ορισμού 120575(119862 119863) = 120575(119863 119862) 120575(119862 119863) = 0 αν και μόνο αν
max max119909isin119862
min119910isin119863
119909 minus 1199102 max119910isin119863
min119909isin119862
119909 minus 1199102 = 0
Ισοδύναμα θα έχουμε
max119909isin119862 min119910isin119863 119909 minus 1199102 = 0max119910isin119863 min119909isin119862 119909 minus 1199102 = 0 hArr
forall119909 isin 119862 min119910isin119863 119909 minus 1199102 = 0forall119910 isin 119863 min119909isin119862 119909 minus 1199102 = 0
Οπότε
forall119909 isin 119862 119909 isin 119863forall119910 isin 119863 119910 isin 119862 hArr
119862 sube 119863119863 sube 119862
Συνεπώς 119862 = 119863
H τριγωνική ανισότητα ελέγχεται με στοιχειώδεις πράξεις αλλά θα
την δείξουμε γρηγορότερα με την βοήθεια της ακόλουθης πρότασης
Π Αν 119862 119863 κυρτά σώματα στον ℝ119899 τότε
(i) 120575(119862 119863) = inf120575 ge 0 ∶ 119862 sube 119863 + 120575ℬ1198992 119863 sube 119862 + 120575ℬ119899
2
(ii) 120575(119862 119863) = max|ℎ119862(119906) minus ℎ119863(119906)| ∶ 119906 isin 120138119899minus1
Απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Έστω ότι τα 119862 119863 119864 είναι κυρτά
σώματα στον ℝ119899 Από την (ii) θα έχουμε
120575(119862 119863) = max|ℎ119862(119906) minus ℎ119863(119906)| 119906 isin 120138119899minus1le max|ℎ119862(119906) minus ℎ119864(119906)| + |ℎ119864(119906) minus ℎ119863(119906)| 119906 isin 120138119899minus1le max|ℎ119862(119906) minus ℎ119864(119906)| 119906 isin 120138119899minus1 + max|ℎ119864(119906) minus ℎ119863(119906)| 119906 isin 120138119899minus1le 120575(119862 119864) + 120575(119864 119863)
Απόδειξη της Πρότασης
(i) Θέτουμε 1205721 = max119909isin119862 min119910isin119863 119909 minus 1199102 Έτσι για κάθε 119909 isin 119862ισχύει min119910isin119863 119909 minus 1199102 le 1205721 οπότε λόγω της συμπάγειας του
119863 υπάρχει 119910 στο 119863 ώστε 119909 minus 1199102 le 1205721 Άρα 119909 minus 119910 isin 1205721ℬ1198992
συνεπώς
119909 isin 119910 + 1205721ℬ1198992 sube 119863 + 1205721ℬ119899
2
Έτσι
119862 sube 119863 + 1205721ℬ1198992 sube 119863 + 120575(119862 119863)ℬ119899
2
Ομοίως αν 1205722 = max119910isin119863 min119909isin119862 119909 minus 1199102 τότε
119863 sube 119862 + 1205722ℬ1198992 sube 119862 + 120575(119862 119863)ℬ119899
2
Άρα
inf120582 gt 0 ∶ 119862 sube 119863 + 120582ℬ1198992 119863 sube 119862 + 120582ℬ119899
2 le 120575(119862 119863)
Αντίστροφα έστω 120582 gt 0 119862 sube 119863 + 120582ℬ1198992 και 119863 sube 119862 + 120582ℬ119899
2 Τότε
για κάθε 119909 στο 119862 έχουμε ότι 119909 isin 119863 + 120582ℬ1198992 Άρα υπάρχει 119910 isin 119863
ώστε 119909 minus 1199102 le 120582 οπότε
max119909isin119862
min119910isin119863
119909 minus 1199102 le 120582
Ομοίως max119910isin119863 min119909isin119862 119909minus1199102 le 120582 Συμπεραίνουμε ότι 120575(119862 119863) le120582 Δηλαδή
120575(119862 119863) le inf120582 gt 0 ∶ 119862 sube 119863 + 120582ℬ1198992 119863 sube 119862 + 120582ℬ119899
2
Επομένως
120575(119862 119863) = inf120582 gt 0 ∶ 119862 sube 119863 + 120582ℬ1198992 119863 sube 119862 + 120582ℬ119899
2
(ii) Για κάθε 120582 gt 0 ώστε 119862 sube 119863 + 120582ℬ1198992 και 119863 sube 119862 + 120582ℬ119899
2 έχουμε ότι
για κάθε 119906 isin 120138119899minus1
ℎ119862(119906) le ℎ119863+120582ℬ1198992(119906) = ℎ119863(119906) + ℎ120582ℬ119899
2(119906) = ℎ119863(119906) + 120582
άρα ℎ119862(119906) minus ℎ119863(119906) le 120582 Ομοίως για κάθε 119906 isin 120138119899minus1 έχουμε
ότι ℎ119863(119906) minus ℎ119862(119906) le 120582 οπότε |ℎ119863(119906) minus ℎ119862(119906)| le 120582 και άρα
max119906isin120138119899minus1 |ℎ119863(119906) minus ℎ119862(119906)| le 120582 Παίρνοντας infimum ως προς το 120582προκύπτει ότι max119906isin120138119899minus1 |ℎ119863(119906) minus ℎ119862(119906)| le 120575(119862 119863)Αντίστροφα Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι
120575(119862 119863) = max max119909isin119862
min119910isin119863
119909 minus 1199102 max119910isin119863
min119909isin119862
119909 minus 1199102
= max119910isin119863
min119909isin119862
119909 minus 1199102
Λόγω της συμπάγειας των 119862 και 119863 υπάρχουν 1199090 isin 119862 και 1199100 isin 119863ώστε
120575(119862 119863) = 1199090 minus 11991002
Αν 120575(119862 119863) = 0 τότε 119862 = 119863 οπότε ℎ119862 = ℎ119863 και το ζητούμενο
ισχύει Αν 120575(119862 119863) ne 0 θέτουμε
1199060 =1199100 minus 1199090
1199100 minus 1199090isin 120138119899minus1
Ι Το υπερεπίπεδο Η που είναι κάθετο στο 1199060 και περνάει
από το 1199090 στηρίζει το 119862 στο 1199090
[Απόδειξη ισχυρισμού Αν ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής τότε
υπάρχει 1199091 στο 119862 ώστε ⟨1199091 1199060⟩ gt ⟨1199090 1199060⟩ Οπότε ⟨1199091minus1199090 1199060⟩ gt 0Θέτουμε 119911120582 = (1minus120582)1199090+1205821199091 isin 119862 και καταλήγουμε σε άτοπο όπως
στην απόδειξη του Θεωρήματος δείχνοντας ότι υπάρχει
120582 gt 0 ώστε 1199100 minus 1199111205822 lt 1199100 minus 11990902 ]
Από τον παραπάνω ισχυρισμό συμπεραίνουμε ότι ℎ119862(1199060) =⟨1199090 1199060⟩ Φανερά αφού ℎ119863(1199060) = sup⟨119910 1199060⟩ ∶ 119910 isin 119863 ισχύει
ℎ119863(1199060) ge ⟨1199100 1199060⟩
Τώρα όμως
ℎ119863(1199060) minus ℎ119862(1199060) ge ⟨1199100 1199060⟩ minus ⟨1199090 1199060⟩ = ⟨1199100 minus 1199090 1199060⟩
=1199100 minus 11990902
2
1199100 minus 11990902= 1199100 minus 11990902
Συνεπώς
max119906isin119878119899minus1
|ℎ119863(119906) minus ℎ119862(119906)| ge ℎ119863(1199060) minus ℎ119862(1199060)
ge 1199100 minus 11990902 = 120575(119862 119863)
Π Έστω ότι τα 119870 1198701 1198702 hellip είναι κυρτά σώματα με0 isin int(119870) Τότε 119870119898 rarr 119870 ως προς τη μετρική Hausdorff για 119898 rarr infin ανκαι μόνο αν για κάθε 120598 gt 0 υπάρχει 1198980 isin ℕ ώστε για κάθε 119898 ge 1198980ισχύει
(1 minus 120598)119870 sube 119870119898 sube (1 + 120598)119870
Απόδειξη Αν 120575(119870119898 119870) rarr 0 για κάθε 120579 gt 0 υπάρχει 1198980 = 1198980(120579) isin ℕώστε για κάθε 119898 ge 1198980 να ισχύει 120575(119870119898 119870) lt 120579 Συνεπώς 119870119898 sube 119870 + 120579ℬ119899
2και 119870 sube 119870119898 + 120579ℬ119899
2 Αφού 0 isin int(119870) υπάρχει 120588 gt 0 ώστε 120588ℬ1198992 sube 119870
Έτσι συνεχίζοντας τους προηγούμενους εγκλεισμούς παίρνουμε
119870119898 sube 119870 + 120579ℬ1198992 = 119870 +
120579120588
120588ℬ1198992 sube 119870 +
120579120588
119870 = (1 +120579120588) 119870
Επίσης
(1 minus120579120588) 119870 +
120579120588
119870 = 119870 sube 119870119898 + 120579ℬ1198992 = 119870119898 +
120579120588
120588ℬ1198992 sube 119870119898 +
120579120588
119870
οπότε από τον κανόνα της διαγραφής (Λήμμα )
(1 minus120579120588) 119870 sube 119870119898
Έτσι αν επιλέξουμε 120579 gt 0 ώστε 120579 lt 120588120598 θα πάρουμε
(1 minus 120598)119870 sube 119870119898 sube (1 + 120598)119870
για κάθε 119898 μεγαλύτερο του 1198980 που αντιστοιχεί σε αυτό το 120579Αντιστρόφως η (1 minus 120598)119870 sube 119870119898 sube (1 + 120598)119870 συνεπάγεται την
ℎ(1minus120598)119870 le ℎ119870119898le ℎ(1+120598)119870 και από τις ιδιότητες της συνάρτησης στήριξης
(Πρόταση ) (1 minus 120598)ℎ119870 le ℎ119870119898le (1 + 120598)ℎ119870 από όπου προκύπτει
|ℎ119870119898minus ℎ119870| le 120598ℎ119870 Η τελευταία ποσότητα είναι οσοδήποτε μικρή επιθυ-
μούμε αφού το 119870 ως κυρτό σώμα είναι φραγμένο
Θ Ο όγκος vol(119862) ως συνάρτηση από τα κυρτά σώματαεφοδιασμένα με τη μετρική 119867119886119906119904119889119900119903119891119891 στο ℝ είναι συνεχής
Απόδειξη Έστω ότι τα 119862 1198621 1198622 hellip 119862119898 hellip είναι μια ακολουθία κυρτών
σωμάτων ώστε 120575(119862119898 119862) rarr 0 Θα δείξουμε ότι vol(119862119898) rarr vol(119862) Επειδήο όγκος και η απόσταση Hausdorff είναι αναλλοίωτα στις μεταφορές
υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το 0 ανήκει στο εσωτερικό
του 119862 (το 119862 ως κυρτό σώμα έχει μη κενό εσωτερικό) Από το Πόρισμα
για κάθε 120579 gt 0 υπάρχει 1198980 isin ℕ ώστε για κάθε 119898 ge 1198980 να ισχύει
(1 minus 120579)119862 sube 119862119898 sube (1 + 120579)119862
Παίρνοντας όγκους στην παραπάνω προκύπτει ότι
(1 minus 120579)119899vol(119862) le vol(119862119898) le (1 + 120579)119899vol(119862)
από όπου συμπεραίνουμε ότι
∣vol(119862119898) minus vol(119862)∣ le max((1 + 120579)119899 minus 1) (1 minus (1 minus 120579)119899) vol(119862)
Επιλέγοντας κατάλληλο 120579 gt 0 ώστε η τελευταία ποσότητα να είναι
μικρότερη δοθέντος 120598 gt 0 καταλήγουμε στο συμπέρασμα
Άσκηση Χρησιμοποπιήστε τον Ισχυρισμό της απόδειξης του Θεωρήμα-
τος για να αποδείξετε ότι για κάθε κυρτό σώμα 119870 υπάρχει ακολου-
θία πολυπαραλληλεπιπέδων 119875119898 sube 119870 η οποία συγκλίνει στο 119870 ως προς τη
μετρική Hausdorff (Παρατηρήστε ότι για κάθε 120598 gt 0 αν 0 isin int(119870) τότε
(1 minus 120598)119870 sube int(119870))
Θ Κάθε φραγμένη ακολουθία κυρτών σωμάτων στον ℝ119899
έχει συγκλίνουσα υπακολουθία ως προς τη μετρική 119867119886119906119904119889119900119903119891119891
Απόδειξη Έστω ότι τα 1198621 1198622 hellip είναι μια ακολουθία κυρτών σωμάτων η
οποία είναι φραγμένη Δηλαδή περιέχεται στο 119861 ∶= 119877ℬ1198992 για κατάλληλο
119877 gt 0Ι Η 1198621 1198622 hellip περιέχει μια ακολουθία 1198631 1198632 hellip για την οποία
ισχύει
120575(119863119898 119863119896) le1
2min119898119896
[Απόδειξη του ισχυρισμού Θα δείξουμε ότι υπάρχουν ακολουθίες
11986211 11986212 hellip11986221 11986222 hellip⋮ ⋮ ⋱
όπου κάθε γραμμή στον παραπάνω πίνακα είναι υπακολουθία της
προηγούμενης ώστε
() 120575(119862119898119894 119862119898119895) le1
2119898
Αν αυτό γίνει τότε θα θέσουμε
1198631 = 11986211 1198632 = 11986222 hellip 119863119898 = 119862119898119898
οπότε τα 119863119898 119863119896 βρίσκονται και τα δύο στον παραπάνω πίνακα στη
γραμμή min119898 119896 Οπότε
120575(119863119898 119863119896) le1
2min119898119896
από την () Θα κατασκευάσουμε τώρα τον πίνακα των υπακολουθιών
Ας υποθέσουμε ότι έχει κατασκευαστεί η 119898 γραμμή δηλαδή η 1198621198981 1198621198982 hellipμε 120575(119862119898119894 119862119898119895) le 12119898 Θα κατασκευάσουμε την 119898 + 1 γραμμή ώστε
120575(119862119898+1119894 119862119898+1119895) le1
2119898+1
Το 119861 είναι συμπαγές άρα
Β = 1198771198611198992 sube ⋃
119909isin119861int(119861119899
2 (1199091
2119898+2 ))
Άρα υπάρχει πεπερασμένο πλήθος μπαλών της μορφής Β (119909 12119898+2)που καλύπτουν το Β
Σε κάθε ένα από τα 119862119898119894 για 119894 = 1 2 3 hellip αντιστοιχούμε εκείνες τις
μπάλες Β (119909 12119898+2) από το προηγούμενο βήμα που το τέμνουν οι
οποίες το καλύπτουν αφού όλες καλύπτουν το Β Όλες οι υποοικογένειες
των πεπερασμένου πλήθους Β (119909 12119898+2) είναι πεπερασμένο πλήθος και
σε αυτές απεικονίζουμε το απειροσύνολο 1198621198981 1198621198982 hellip Άρα υπάρχει μιαυποοικογένεια των Β (119909 12119898+2) στην οποία απεικονίζεται ένα άπειρο
πλήθος από τα 1198621198981 1198621198982 hellip την οποία ονομάζουμε 119862119898+11 119862119898+12 hellip Μένει
να δείξουμε ότι
120575(119862119898+1119894 119862119898+1119895) le1
2119898+1
Έστω ότι 119909 isin 119862119898+1119894 Αυτό βρίσκεται σε μια από τις μπάλες με ακτίνα
12119898+2 που τέμνουν το 119862119898+1119894 Αν 119888 είναι το κέντρο αυτής της μπάλας
τότε
119909 minus 1198882 le1
2119898+2
Όμως το 119862119898+1119895 καλύπτεται από τις ίδιες μπάλες ακτίνας 12119898+2 διότι
έτσι επιλέχθηκε Δηλαδή
119861 (1198881
2119898+2 ) cap 119862119898+1119895 ne
Συνεπώς υπάρχει 119910 στο 119862119898+1119895 ώστε 119888 minus 1199102 le 12119898+2 Αλλά τότε
119909 minus 1199102 = (119909 minus 119888) minus (119910 minus 119888)2
le 119909 minus 1198882 + 119888 minus 1199102
le1
2119898+2 +1
2119898+2 =1
2119898+1
Δείξαμε δηλαδή ότι για κάθε 119909 που ανήκει στο 119862119898+1119894 υπάρχει 119910 στο
119862119898+1119895 ώστε
119909 minus 1199102 le1
2119898+1
Ομοίως για κάθε 119910 που ανήκει στο 119862119898+1119895 υπάρχει 119909 στο 119862119898+1119894 ώστε
119909 minus 1199102 le1
2119898+1
Άρα
120575(119862119898+1119894 119862119898+1119895) le1
2119898+1 ]
Θα δείξουμε τώρα ότι
119863119898 rarr 119863 =infin
⋂119896=1
(119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992)
Τα 119863119896 + (12119896minus1)ℬ1198992 είναι κλειστά και φραγμένα σύνολα Άρα και η τομή
τους είναι κλειστό και φραγμένο σύνολο Θα δείξουμε ότι η ακολουθία
119863119896 + (12119896minus1)ℬ1198992 είναι φθίνουσα Έχουμε 120575(1198631 1198632) le 12 άρα
1198631 +12
ℬ1198992 supe 1198632
Ομοίως 120575(1198632 1198633) le 122 άρα
1198632 +1
22 ℬ1198992 supe 1198633 hellip
και γενικά έχουμε ότι
119863119896 +1
2119896 ℬ1198992 supe 119863119896+1
διότι 120575(119863119896 119863119896+1) le 12119896 Έτσι
1198631 + ℬ1198992 = 1198631 +
12
ℬ1198992 +
12
ℬ1198992 supe 1198632 +
12
ℬ1198992 = 1198632 +
122 ℬ119899
2 +1
22 ℬ1198992
supe 1198633 +1
22 ℬ1198992 = 1198633 +
123 ℬ119899
2 +1
23 ℬ1198992 supe hellip supe 119863119896 +
12119896minus1 ℬ
1198992
= 119863119896 +1
2119896 ℬ1198992 +
12119896 ℬ119899
2 supe 119863119896+1 +1
2119896 ℬ1198992
Άρα η 119863 είναι φθίνουσα τομή μη κενών συμπαγών συνόλων Οπότε
το 119863 θα είναι διαφορετικό του κενού συνόλου Έχουμε ότι το 119863 είναι
υποσύνολο του 119863119896 + (12119896minus1)ℬ1198992 Επίσης ισχύει
119863 sube 119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992 sube 119863119896 + 120598ℬ119899
2
για 119896 αρκετά μεγάλο (119896 ge 1+log2(1120598)) Μένει να δείξουμε ότι 119863119896 sube 119863+
120598ℬ1198992 Έτσι θα καταλήξουμε στο 120575(119863 119863119896) le 120598 Θέτουμε 119866 = int(119863 + 120598ℬ119899
2)το οποίο είναι διαφορετικό του κενού συνόλου (αφού περιέχει μεταφορά
της ευκλείδειας μπάλας) Από το ότι η 119863119896 + (12119896minus1)ℬ1198992 είναι φθίνουσα
έχουμε
(1198631 + ℬ1198992) ⧵ 119866 supe (1198632 +
12
ℬ1198992) ⧵ 119866 supe hellip
Η τομή αυτής της ακολουθίας είναι υποσύνολο του 119863 αφού
infin
⋂119896=1
((119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992) ⧵ 119866) sube
infin
⋂119896=1
(119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992) = 119863
Επίσης φανερά το 119863 είναι υποσύνολο του 119866 = int(119863 + 120598ℬ1198992) διότι
αν πάρουμε ένα 119909 στο 119863 τότε θα έχουμε 119909 + 120598ℬ1198992 sube 119863 + 120598ℬ119899
2 οπότε
ℬ1198992(119909 120598) sube 119863 + 120598ℬ119899
2 και άρα 119909 isin int(119863 + 120598ℬ1198992) Θέτουμε
119860 =infin
⋂119896=1
((119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992) ⧵ 119866) = (
infin
⋂119896=1
(119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992)) ⧵ 119866
Άρα το Α είναι υποσύνολο του ℝ119899 ⧵ 119866 το οποίο αφού 119863 sube 119866 είναιυποσύνολο του ℝ119899 ⧵ 119863 Συνεπώς το Α είναι το κενό σύνολο γιατί τα
στοιχεία του ανήκουν στο 119863 και στο συμπλήρωμα του 119863 Άρα υπάρχει
1198960 isin ℕ ώστε το σύνολο (1198631198960+ (121198960minus1)ℬ119899
2) ⧵ 119866 να είναι το κενό Άρα
1198631198960+
121198960minus1 ℬ
1198992 sube 119866 sube 119863 + 120598ℬ119899
2
Όμως για κάθε 119896 ge 1198960
119863119896 sube 1198631198960+
121198960minus1 ℬ
1198992
αφού
119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992 sube 1198631198960
+1
21198960minus1 ℬ1198992 sube 119863 + 120598ℬ119899
2
Οπότε
119863119896 sube 119863119896 +1
2119896minus1 ℬ1198992 sube 119863 + 120598ℬ119899
2
Έτσι για αρκετά μεγάλο 119896 ισχύει 119863119896 sube 119863 + 120598ℬ1198992 και 119863 sube 119863119896 + 120598ℬ119899
2
Επομένως 120575(119863119896 119863) le 120598
ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ PREKOPA-LEINDLER ΚΑΙ
BRUNN-MINKOWSKI
Η παρουσίαση των επόμενων θεμάτων με πλήρη αυστηρότητα
απαιτεί τη γνώση θεωρίας μέτρου κάτι που ξεφεύγει από τους σκοπούς
του παρόντος Οι αναγνώστες που δεν έχουν αυτές τις γνώσεις θα
πρέπει να αποδεχθούν τα ακόλουθα
(i) Οι συναρτήσεις που θα εμφανίζονται παρακάτω θα είναι πάντα
ολοκληρώσιμες
(ii) Σε οποιοδήποτε πολλαπλό ολοκλήρωμα που εμφανίζεται παρακά-
τω μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά της ολοκλήρωσης (Θεώρημα
Fubini)
(iii) Το συνολικό laquoμήκοςraquo ενός υποσυνόλου του ℝ είναι το supremum
των μηκών συμπαγών υποσυνόλων του (εσωτερική κανονικότητα
του μέτρου Lebesgue) Για παράδειγμα |(2 5)| = 5 minus 2 = 3 και
το [2 + 1119899 5 minus 1
119899] είναι συμπαγές υποσύνολο του (2 5) με
sup119899
∣[2 +1119899
5 minus1119899
]∣ = sup119899
(5 minus1119899
minus (2 +1119899)) = sup
119899(3 minus
2119899) = 3
-
Θ Έστω ότι οι 119891 119892 ℎ ge 0 είναι ολοκληρώσιμες συναρτή-σεις από το ℝ119899 στο ℝ και 0 lt 120582 lt 1 Αν ισχύει
() ℎ((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge 119891(119909)1minus120582119892(119910)120582
για κάθε 119909 119910 στο ℝ119899 τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge (intℝ119899
119891(119909) 119889119909)1minus120582
(intℝ119899
119892(119910) 119889119910)120582
- -
Π Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση 119896(119909) = 119891(119909)1minus120582119892(119909)120582
τότε από την ανισότητα Houmllder για 119901 = 1(1 minus 120582) και 119902 = 1120582 (οπότε1119901
+ 1119902
= 1) προκύπτει
intℝ119899
119896(119909) 119889119909 le (intℝ119899
(119891(119909)1minus120582)119901)
1119901
(intℝ119899
(119892(119909)120582)119902)
1119902
= (intℝ119899
119891(119909) 119889119909)1minus120582
(intℝ119899
119892(119910) 119889119910)120582
Δηλαδή η αντίστροφη της παραπάνω ανισότητας Η διαφορά εδώ
είναι ότι η ℎ πρέπει να ικανοποιεί την (61) για κάθε 119909 και για κάθε 119910
οπότε θα είναι μεγαλύτερη από την 119896(119909) που ικανοποιεί την (61) (με
ισότητα) μόνο για 119909 = 119910 Με αυτή την έννοια η ανισότητα Prekopa-
Leindler ερμηνεύεται ως laquoαντίστροφη μορφήraquo της ανισότητας Houmllder
Για την απόδειξη του Θεωρήματος θα χρειαστούμε το ακόλουθο
λήμμα
Λ Αν η 119891 ∶ ℝ rarr [0 infin) είναι μετρήσιμη συνάρτηση τότε
intℝ
119891(119909) 119889119909 = intinfin
0∣119909 isin ℝ ∶ 119891(119909) ge 119905∣ 119889119905
Απόδειξη Θέτουμε 119860119905 = 119909 ∶ 119891(119909) ge 119905 για κάθε 119905 ge 0 Παρατηρούμετώρα ότι 120594[0119891(119909)](119905) = 1 αν και μόνο αν 0 le 119905 le 119891(119909) αν και μόνο
αν 120594119860119905(119909) = 1 για 119905 ge 0 Αλλιώς και οι δύο αυτές χαρακτηριστικές
συναρτήσεις είναι ίσες με μηδέν Έτσι αλλάζοντας την κατάλληλη στιγμή
τη σειρά ολοκλήρωσης έχουμε
intℝ
119891(119909) 119889119909 = intℝ
int119891(119909)
0119889119905 119889119909
= intℝ
intinfin
0120594[0119891(119909)](119905) 119889119905 119889119909
= intinfin
0int
ℝ120594119860119905
(119909) 119889119909 119889119905
= intinfin
0∣119909 ∶ 119891(119909) ge 119905∣ 119889119905
-
Απόδειξη του Θεωρήματος Θα κάνουμε επαγωγή στο 119899 Πριν
αποδείξουμε την περίπτωση 119899 = 1 αποδεικνύουμε το εξής
Ι Αν τα 119877 119878 119879 sube ℝ είναι μη κενά σύνολα που έχουν laquoμήκοςraquo
(δηλαδή είναι μετρήσιμα) και 0 lt 120582 lt 1 ώστε 119877 supe (1 minus 120582)119878 + 120582119879 τότε
|119877| ge (1 minus 120582)|119878| + 120582|119879| όπου | sdot | είναι το μήκος (μέτρο Lebesgue)
[Απόδειξη του ισχυρισμού Επειδή |(1 minus 120582)119878| = (1 minus 120582)|119878| και |120582119879| = 120582|119879|αρκεί να αποδείξουμε ότι |119878 + 119879| ge |119878| + |119879| Σύμφωνα με την ιδιότητα
του μήκους που περιγράψαμε στην αρχή του κεφαλαίου θα υποθέσουμε
χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι τα 119878 119879 είναι συμπαγή Άρα το 119878 έχει
μέγιστο στοιχείο έστω το 119904 και το 119879 έχει ελάχιστο στοιχείο έστω το
119905 Έτσι 119878 minus 119904 sube (minusinfin 0] και 119879 minus 119905 sube [0 infin) Δηλαδή τα σύνολα αυτά
έχουν κοινό στοιχείο μόνο το 0 Οπότε αφού 0 isin 119879 minus 119905 συνεπάγεται
ότι 119878 minus 119904 sube (119878 minus 119904) + (119879 minus 119905) και αφού 0 isin 119878 minus 119904 συνεπάγεται ότι
119879 minus 119905 sube (119878 minus 119904) + (119879 minus 119905) Άρα αφού η μόνη τομή του 119878 minus 119904 με το
119879 minus 119905 είνα το 0 συμπεραίνουμε ότι
|119878 + 119879| = |119878 + 119879 minus (119904 + 119905)| = ∣(119878 minus 119904) + (119879 minus 119905)∣
ge ∣(119878 minus 119904) cup (119879 minus 119905)∣ ge |(119878 minus 119904)| + |(119879 minus 119905)|ge |119878| + |119879|
ολοκληρώνοντας την απόδειξη του ισχυρισμού ]
Ξεκινάμε την επαγωγική διαδικασία Έστω ότι 119899 = 1 Από την (61)εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει
119911 ∶ ℎ(119911) ge 119905 supe (1 minus 120582)119909 ∶ 119891(119909) ge 119905 + 120582119910 ∶ 119892(119910) ge 119905
διότι αν119891(119909) ge 119905 και 119892(119910) ge 119905 τότε από την υπόθεση ℎ ((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge119905 άρα (1minus120582)119909+120582119910 isin 119911 ∶ ℎ(119911) ge 119905 Άρα από τον παραπάνω ισχυρισμό
ισχύει
∣119911 ∶ ℎ(119911) ge 119905∣ ge (1 minus 120582)∣119909 ∶ 119891(119909) ge 119905∣ + 120582∣119910 ∶ 119892(119910) ge 119905∣
Χρησιμοποιούμε τώρα το Λήμμα και ολοκληρώνοντας ως προς 119905παίρνουμε
intℝ
ℎ ge (1 minus 120582) intℝ
119891 + 120582 intℝ
119892 ge (intℝ
119891)1minus120582
(intℝ
119892)120582
όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Αριθ-
- -
μητικού-Γεωμετρικού Μέσου (Θεώρημα ) Αυτό επιβεβαιώνει το
πρώτο βήμα της επαγωγής
Έστω ότι το αποτέλεσμα ισχύει για 119899 minus 1 και ότι 119891 119892 ℎ ∶ ℝ119899 rarr ℝόπως στην υπόθεση Επειδή ℝ119899 = ℝ times ℝ119899minus1 για κάθε 119905 isin ℝ θέτουμε
119891119905 ∶ ℝ119899minus1 rarr ℝ με 119891119905(119909) = 119891(119905 119909) και ομοίως ορίζουμε τις 119892119905 και ℎ119905
Έτσι αν 119905 = (1 minus 120582)1199051 + 1205821199052 για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899minus1 ισχύει
ℎ119905((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge (1198911199051(119909))1minus120582
(1198921199052(119909))120582
Εφαρμόζοντας την επαγωγική υπόθεση συμπεραίνουμε ότι
intℝ119899minus1
ℎ119905(119909) 119889119909 ge (intℝ119899minus1
1198911199051(119909)119889119909)1minus120582
(intℝ119899minus1
1198921199052(119909)119889119909)120582
()
Ορίζουμε τις συναρτήσεις 119865 119866119867 ∶ ℝ rarr ℝ θέτοντας 119865(119905) = intℝ119899minus1 119891119905(119909)119889119909και ομοίως για τις 119866 και 119867 Η () γράφεται ως 119867((1 minus 120582)1199051 + 1205821199052) ge119865(1199051)1minus120582119866(1199052)120582
Έτσι αναχθήκαμε στην περίπτωση 119899 = 1 που την έχουμε επιβεβαιώ-
σει Συνεπώς
intℝ
119867(119905) 119889119905 ge (intℝ
119865(119905) 119889119905)1minus120582
(intℝ
119866(119905) 119889119905)120582
οπότε
intℝ
intℝ119899minus1
ℎ(119905 119909) 119889119905119889119909 ge (intℝ
intℝ119899minus1
119891(119905 119909) 119889119905119889119909)1minus120582
(intℝ
intℝ119899minus1
119892(119905 119909) 119889119905119889119909)120582
που είναι η ζητούμενη
Άσκηση Επεκτείνετε το Λήμμα στον ℝ119899 δείχνοντας ότι αν 119891 ∶ ℝ119899 rarr[0 infin) μετρήσιμη συνάρτηση τότε
intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = intinfin
0vol119899119909 isin ℝ119899 ∶ 119891(119909) ge 119905 119889119905
Άσκηση Χρησιμοποιήστε την προηγούμενη άσκηση για να αποδείξετε
-
ότι για κάθε κυρτό σώμα 119870 ισχύει
intℝ119899
119890minus119909119870 119889119909 = 119899 vol119899(119870)
Με τον ίδιο τρόπο αποδείξτε ότι για κάθε 119901 gt 0 ισχύει
intℝ119899
119890minus119909119901119870 119889119909 = Γ (1 +
119899119901) vol119899(119870)
Άσκηση Έστω ότι η 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin) ικανοποιεί την 0 lt intℝ119899 119891 lt infinκαι η log 119891 είναι κοίλη συνάρτηση (δηλαδή η minus log 119891 είναι κυρτή) Αποδείξτε
ότι υπάρχει 119905 isin (0 1) ώστε το σύνολο 119870(119905) = 119909 isin ℝ119899 ∶ 119891(119909) gt 119905 να έχει
θετικό μέτρο Lebesgue και είναι κυρτό φραγμένο και με μη κενό εσωτερικό
(Υποδειξη για το φραγμένο χρησιμοποιήστε την Άσκηση ενώ για το μη
κενό εσωτερικό αποδείξτε το ότι λόγω θετικού μέτρου περιέχει 119899 + 1 σημεία σε
γενική θέση)
-
Η ανισότητα Brunn-Minkowski παίζει κεντρικό ρόλο στη θεωρία
των κυρτών σωμάτων Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αποδειχθεί Εδώ
επιλέγουμε τη χρήση της ανισότητας Prekopa-Leindler
Θ (Πολλαπλασιαστική μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski)
Έστω ότι τα 119878 119879 είναι μη κενά συμπαγή υποσύνολα του ℝ119899 Τότε
vol ((1 minus 120582)119878 + 120582119879) ge vol(119878)1minus120582vol(119879)120582
για κάθε 120582 isin [0 1]
Απόδειξη Θέτουμε 119891 = 120594119878 ∶ ℝ119899 rarr ℝ και 119892 = 1119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ με
120594119878(119909) = 1 αν 119909 isin 1198780 αν 119909 notin 119878 και 120594119879(119909) =
1 αν 119909 isin 1198790 αν 119909 notin 119879
Οπότε int 119891 = vol(119878) και int 119892 = vol(119879) Θέτουμε 119877 = (1 minus 120582)119878 + 120582119879 και
ℎ = 120594119877 Οι ℎ 119891 119892 ικανοποιούν τις υποθέσεις της ανισότητας Prekopa-
Leindler αφού αν 119891(119909) = 0 ή 119892(119910) = 0 η υπόθεση της Prekopa-Leindler
ισχύει Ενώ αν 119891(119909) ne 0 και 119892(119910) ne 0 τότε 119909 isin 119878 και 119910 isin 119879 οπότε
(1 minus 120582)119909 + 120582119910 isin (1 minus 120582)119878 + 120582119879 και άρα ℎ((1 minus 120582)119909 + 120582119910) = 1 Έτσι και
πάλι επαληθεύονται οι υποθέσεις της Prekopa-Leindler
- -
Συνεπώς
int ℎ ge (int 119891)1minus120582
(int 119892)120582
δηλαδή int 1119877 ge (int 1119878)1minus120582
(int 1119879)120582
άρα
vol(119877) ge vol(119878)1minus120582vol(119879)120582
οπότε
vol ((1 minus 120582)119878 + 120582119879) ge vol(119878)1minus120582vol(119879)120582
Θ (Αθροιστική μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski)
Έστω ότι τα 119878 119879 είναι μη κενά και συμπαγή υποσύνολα του ℝ119899 Τότε
vol(119878 + 119879)1119899 ge vol(119878)1119899 + vol(119879)1119899
Αν ισχύει η ισότητα για κάποιο τότε ένα από τα 119878 119879 είναι πολλαπλάσιοτου άλλου
Απόδειξη Η απόδειξη της περίπτωσης της ισότητας δεν θα γίνει σεπαραπομ-
πή αυτό το σημείο γιατί απαιτεί άλλου είδους απόδειξη η οποία είναι πιο
περίπλοκη Θα αποδείξουμε μόνο την ανισότητα
Γράφοντας |Α| αντί για vol(119860) θέτουμε
119870 =119878
|119878|1119899 119871 =119879
|119879|1119899 και 120582 =|119879|1119899
|119878|1119899 + |119879|1119899
(αν |119878| = 0 ή |119879| = 0 βλέπουμε εύκολα ότι η ζητούμενη ανισότητα
ισχύει οπότε υποθέτουμε ότι |119878| ne 0 και |119879| ne 0) Παρατηρούμε ότι
120582 isin [0 1] και ότι 1 minus 120582 = |119878|1119899(|119878|1119899 + |119879|1119899) Επίσης |119870| = 1 και
|119871| = 1 Εφαρμόζουμε την πολλαπλασιαστική μορφή της ανισότητας
Brunn-Minkowski
∣(|119878|1119899
|119878|1119899 + |119879|1119899
119878|119878|1119899 +
|119879|1119899
|119878|1119899 + |119879|1119899
119879|119879|1119899 )∣ ge 11minus120582 sdot 1120582 = 1
Άρα
∣(119878
|119878|1119899 + |119879|1119899 +119879
|119878|1119899 + |119879|1119899 )∣ ge 1
από όπου προκύπτει
|119878 + 119879|1119899 ge |119878|1119899 + |119879|1119899
Π Ηπολλαπλασιαστική μορφή της ανισότητας Brunn-Min-
kowski σε σχέση με την προσθετική της μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι
είναι ανεξάρτητη της διάστασης 119899 Παρόλα αυτά εύκολα βλέπει κανείς
ότι οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες
Στοι-
χειώδης
απόδειξη
της Brunn-
Minkowski
(να προ-
στεθείhellip)
Άσκηση Αποδείξτε ότι η πολλαπλασιαστική μορφή της ανισότητας
Brunn-Minkowski ισχύει αν και μόνο αν ισχύει η προσθετική της μορφή
Άσκηση Αποδείξτε με επαγωγή ότι αν 120582119894 gt 0 και 119870119894 κυρτά σώματα για
119894 = 1 hellip 119898 τότε ισχύει
vol119899(120582119894119870119894) ge119898
prod119894=1
vol(119870119894)120582119894
Χρησιμοποιήστε αυτή την ανισότητα για να αποδείξετε ότι για θετικά ορισμέ-
νους 119899 times 119899 πίνακες 119860119894 ισχύει
det (119899
sum119894=1
120582119894119860119894) ge119898
prod119894=1
det(119860119894)120582119894
Ο Έστω ότι το Α είναι διαφορετικό του κενού και συμ-
παγές υποσύνολο του ℝ119899 που έχει όγκο Το εμβαδόν επιφανείας του Αορίζεται να είναι το όριο
120597119860 = lim119905rarr0+
vol(119860 + 119905ℬ1198992) minus vol(119860)119905
εφόσον το όριο αυτό υπάρχει
Λ Αν119860 υποσύνολο τουℝ119899 το οποίο έχει εμβαδόν επιφανείαςτότε για κάθε 119903 gt 0 το 119903119860 έχει εμβαδόν επιφανείας και ισχύει
120597(119903119860) = 119903119899minus1120597(119860)
- -
Απόδειξη Γράφοντας | sdot | αντί για vol119899 από τον ορισμό του εμβαδού
επιφανείας έχουμε
120597(119903119860) = lim119905rarr0+
|119903119860 + 119905ℬ1198992| minus |119903119860|119905
= lim119905rarr0+
119903119899 ∣119860 + (119905119903)ℬ1198992∣ minus 119903119899|119860|
119905
= 119903119899 lim119905rarr0+
∣119860 + (119905119903)ℬ1198992∣ minus |119860|
119905= 119903119899minus1 lim
119905rarr0+
∣119860 + (119905119903)ℬ1198992∣ minus |119860|
119905119903= 119903119899minus1120597(119860)
Για να αποδείξουμε την ισοπεριμετρική ανισότητα θα αποδείξουμε
πρώτα ένα θεώρημα το οποίο μας λέει ότι από όλα τα σώματα με τον
ίδιο όγκο το ελάχιστο εμβαδόν επιφανείας το έχει η ευκλείδεια μπάλα
Θ Αν vol119899(ℬ1198992) = vol119899(119860) με το Α να είναι υποσύνολο
του ℝ119899 που έχει όγκο και εμβαδόν επιφανείας τότε
120597119860 ge 120597ℬ1198992
Απόδειξη Γράφοντας |sdot| αντί για vol119899 και χρησιμοποιώντας την ανισότητα
Brunn-Minkowski έχουμε
120597119860 = lim119905rarr0+
|119860 + 119905ℬ1198992| minus |119860|119905
ge lim119905rarr0+
(|119860|1119899 + |119905ℬ119899
2|1119899 )
119899minus |119860|
119905
= lim119905rarr0+
(|119860|1119899 + 119905|ℬ119899
2|1119899 )
119899minus |119860|
119905= lim
119905rarr0+
119899 (|119860|1119899 + 119905|ℬ119899
2|1119899 )
119899minus1|ℬ119899
2|1119899
1= 119899|119860|
119899minus1119899 |ℬ119899
2|1119899 = 119899|ℬ119899
2|119899minus1119899 |ℬ119899
2|1119899 = 119899|ℬ119899
2|
Όμως
120597(ℬ1198992) = lim
119905rarr0+
|ℬ1198992 + 119905ℬ119899
2| minus |ℬ1198992|
119905= lim
119905rarr0+
|(1 + 119905)ℬ1198992| minus |ℬ119899
2|119905
= lim119905rarr0+
(1 + 119905)119899|ℬ1198992| minus |ℬ119899
2|119905
= |ℬ1198992| lim
119905rarr0+
(1 + 119905)119899 minus 1119905
= |ℬ1198992| lim
119905rarr0+
119899(1 + 119905)119899minus1
1= 119899|ℬ119899
2|
Συνεπώς 120597119860 ge 120597(ℬ1198992)
Θ (Η Ισοπεριμετρική ανισότητα) Έστω ότι το 119860 είναιυποσύνολο του ℝ119899 το οποίο έχει όγκο και εμβαδόν επιφανείας Αν 120597119860 =120597(119903ℬ119899
2) τότεvol119899(119860) le vol119899(119903ℬ119899
2)
Απόδειξη Το σύνολο (|119903ℬ1198992|
1119899 |119860|
1119899 )119860 έχει όγκο ίσο με |119903ℬ119899
2| διότι
∣|119903ℬ119899
2|1119899
|119860|1119899
119860∣ = (|119903ℬ119899
2|1119899
|119860|1119899
)119899
|119860| = |119903ℬ1198992|
Οπότε θα έχουμε ότι
120597 (|119903ℬ119899
2|1119899
|119860|1119899
119860) ge 120597(119903ℬ1198992)
Έτσι χρησιμοποιώντας το Λήμμα συμπεραίνουμε ότι
(|119903ℬ119899
2|1119899
|119860|1119899
)119899minus1
120597119860 ge 120597(119903ℬ1198992)
οπότε |119903ℬ1198992||119860| ge 1 Επομένως |Α| le |119903ℬ119899
2|
Άσκηση Έστω ότι το 119860 είναι υποσύνολο του ℝ119899 το οποίο έχει όγκο και
εμβαδόν επιφανείας Αποδείξτε ότι
(|119860||ℬ119899
2|)
1119899
le (120597119860120597ℬ119899
2)
1119899minus1
Μια άλλη εφαρμογή της ανισότητας Brunn-Minkowski είναι η αρχή
του Brunn Μας περιγράφει μια ιδιότητα του όγκου των τομών ενός
σώματος 119870 με υπερεπίπεδο κάθετο σε συγκεκριμένη διεύθυνση
- -
Θ Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα στον ℝ119899 και120579 isin 120138119899minus1 Θέτουμε 120579⟂ = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 120579⟩ = 0 και θεωρούμε τησυνάρτηση 119891120579 ∶ ℝ rarr ℝ με
119891120579(119905) = vol119899minus1(119870 cap (120579⟂ + 119905120579))
Τότε η 1198911(119899minus1)120579 είναι κοίλη στον φορέα της
Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι 120579 = 119890119899 Έτσι
119891120579(119905) = vol119899minus1(119870 cap 119909 ∶ 119909119899 = 119905) Θέτουμε 119870(119905) = 119909 isin ℝ119899minus1 ∶ (119909 119905) isin119870 οπότε 119891120579(119905) = vol119899minus1(119870(119905)) Αν τα 119905 119904 είναι στον φορέα της 119891120579 (δηλαδή
αν 119891120579(119905) ne 0 και 119891120579(119904) ne 0) και 120582 isin [0 1] ισχύει
119870((1 minus 120582)119905 + 120582119904) supe (1 minus 120582)119870(119905) + 120582119870(119904)
Πράγματι αν 119911 = (1 minus 120582)119909 + 120582119910 με 119909 isin 119870(119905) και 119910 isin 119870(119904) τότε(119909 119905) isin 119870 και (119909 119904) isin 119870 και από την κυρτότητα του 119870 συμπεραίνουμε
ότι (1 minus 120582)(119909 119905) + 120582(119910 119904) isin 119870 Οπότε ((1 minus 120582)119909 + 120582119910 (1 minus 120582)119905 + 120582119904) isin 119870
δηλαδή (1 minus 120582)119909 + 120582119910 isin 119870((1 minus 120582)119905 + 120582119904)Εφαρμόζουμε τώρα την ανισότητα Brunn-Minkowski στον ℝ119899minus1 και
(γράφοντας | sdot | για τον 119899 minus 1-όγκο) παίρνουμε
∣119870((1 minus 120582)119905 + 120582119904)∣1(119899minus1)
ge ∣(1 minus 120582)119870(119905) + 120582119870(119904)∣1(119899minus1)
ge (1 minus 120582)∣119870(119905)∣1(119899minus1) + 120582∣119870(119904)∣
1(119899minus1)
δηλαδή το ζητούμενο
Η αρχή του Brunn αποδείχθηκε ως συνέπεια της ανισότητας Brunn-
Minkowski Όμως για κυρτά σύνολα είναι ισοδύναμη με αυτήν Οι λε-
πτομέρειες δίνονται στην Άσκηση
Άσκηση Αποδείξτε ότι η αρχή του Brunn συνεπάγεται την ανισότητα
Brunn-Minkowski ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) Για δυο κυρτά σύνολα 119870 και 119879 στον ℝ119899 θεωρήστε τα 1198701 = 119870 times 0 subeℝ119899+1 1198791 = 119879 times 1 sube ℝ119899+1 και
119871 = conv1198701 1198791 = (1minus120582)(119909 0)+120582(119910 1) ∶ 120582 isin [0 1] 119909 isin 119870 119910 isin 119879
Δείξτε ότι 119871(119905) = (1 minus 119905)119870 + 119905119879 για κάθε 119905 isin [0 1]
(ii) Εφαρμόστε την αρχή του Brunn για τα 119871(0) 119871(1) και 119871(12)
Το λήμμα του Borel μας λέει ότι ο όγκος μειώνεται πολύ γρήγορα
από τη στιγμή που αποκοπεί από ένα κυρτό σώμα ένα κυρτό τμήμα
του όγκου μεγαλύτερου του 12
Θ Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον ℝ119899
και 119860 ένα κεντρικά συμμετρικό κλειστό και κυρτό υποσύνολο του ℝ119899 πουικανοποιεί την vol119899(119870 cap 119860) =∶ 120575 gt 12 Τότε για κάθε 119905 gt 1 ισχύει
vol119899(119870 cap (119905119860)119888) le 120575 (1 minus 120575
120575 )(119905+1)2
Απόδειξη Παρατηρούμε ότι
119860119888 supe2
119905 + 1(119905119860)119888 +
119905 minus 1119905 + 1
119860()
Πράγματι αν όχι τότε υπάρχει 119886 isin 119860 ώστε
119886 =2
119905 + 1119909 +
119905 minus 1119905 + 1
119910
όπου 119910 isin 119860 και 119909 isin (119905119860)119888 δηλαδή 119909 notin 119905119860 Κάνοντας στοιχειώδεις
πράξεις προκύπτει ότι
1119905119909 =
119905 + 12119905
119886 +119905 minus 12119905
(minus119910)
Το minus119910 ανήκει στο 119860 αφού το 119860 είναι κεντρικά συμμετρικό Άρα το
119909119905 γράφεται ως κυρτός συνδυασμός στοιχείων του 119860 Επειδή το 119860είναι κυρτό συμπεραίνουμε ότι 119909119905 isin 119860 δηλαδή 119909 isin 119905119860 το οποίο είναι
άτοπο
Επιστρέφοντας στην () και τέμνοντας με το 119870 παίρνουμε
119870 cap 119860119888 supe2
119905 + 1((119905119860)119888 cap 119870) +
119905 minus 1119905 + 1
(119860 cap 119870)
Η ανισότητα Brunn-Minkowski στην πολλαπλασιαστική της μορφή δίνει
1 minus 120575 = |119870 cap 119860119888| ge ∣(119905119860)119888 cap 119870∣2(119905+1)|119860 cap 119870|(119905minus1)(119905+1)
- -
από όπου με απλές πράξεις προκύπτει η ζητούμενη
Άσκηση Διερευνήστε και επιβεβαιώστε το λήμμα του Borel όταν 119870 =ℬ119899
2|ℬ1198992|1119899 και το 119860 είναι κατάλληλο πολλαπλάσιο του 119870
Άσκηση Ίδια άσκηση με την προηγούμενη όταν 119870 = ℬ119899infin|ℬ119899
infin|1119899 και
119870 = ℬ1198991 |ℬ119899
1 |1119899
Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ STEINER
Έστω ότι το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα και Η υπερεπίπεδο στον ℝ119899
με 0 isin 119867 Το συμμετρικό κατά Steiner του 119870 ως προς το Η ορίζεται ως
εξής Για κάθε ευθεία 119871 κάθετη στο Η με 119870 cap 119871 ne μετατοπίζουμε το
ευθύγραμμο τμήμα 119870 cap 119871 πάνω στην 119871 μέχρι το κέντρο του να βρεθεί
πάνω στο Η Η ένωση όλων αυτών των μετατοπισμένων ευθύγραμμων
τμημάτων συμβολίζεται με St119867(119870) (ή St(119870) αν εννοείται ποιο είναι το
υπερεπίπεδο ως προς το οποίο γίνεται η συμμετρικοποίηση) και λέγεται
Steiner συμμετρικό του 119870 ως προς το υπερεπίπεδο Η Θα ακολουθήσει
ο αυστηρός ορισμός της συμμετρικοποίησης
Αν το 119867 είναι υπερεπίπεδο που περνάει από την αρχή των αξόνων
θα γράφουμε Proj119867για την ορθογώνια προβολή πάνω το 119867 Αν για
παράδειγμα το 119906 είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο 119867 τότε Proj119867(119909) =
119909 minus ⟨119909 119906⟩119906
Ο Έστω ότι το Κ είναι ένα κυρτό σώμα στον ℝ119899 και Ηυπερεπίπεδο στον ℝ119899 ώστε 0 isin Η Το συμμετρικό κατά Steiner του 119870ως προς το Η ορίζεται να είναι το σύνολο
St119867(119870) = 119910 + 120582119906 ∶ 119910 isin Proj119867(119870) και |120582| le
12
|119870 cap (119910 + ℝ119906)|
όπου το 119906 να είναι κάθετο στο Η 1199062 = 1 και ℝ119906 ∶= 119903119906 ∶ 119903 isin ℝ
Στα παρακάτω το Η θα είναι ένα υπερεπίπεδο με 0 isin Η και 119871 η κάθετη
ευθεία στο Η που περνάει από το 0 όπως στο Σχήμα (σελίδα )
Αν το υπερεπίπεδο εννοείται ποιο είναι ή ισχύει κάτι οποιοδήποτε και
αν είναι το 119867 τότε θα γράφουμε και St(119870) παραλείποντας το 119867 από
τον συμβολισμό
Ακολουθεί μια σειρά προτάσεων που περιγράφουν διάφορες από
τις ιδιότητες της συμμετρικοποίησης Steiner
Λ Αν το Τ sube ℝ2 είναι ένα τραπέζιο με τις παράλληλες πλευ-ρές του κάθετες στο υπερεπίπεδο (εδώ ευθεία) 119867 τότε η συμμετρικοποίησηSteiner του 119879 ως προς το 119867 είναι και πάλι τραπέζιο
Πριν δώσουμε την αυστηρή απόδειξη και για να γίνει αυτή ευκολότερα
κατανοητή κοιτάξτε στο Σχήμα Στα αριστερά βλέπουμε το τραπέζιο
119879 το οποίο είναι να συμμετρικοποιηθεί Στα δεξιά έχουμε το τραπέζιο
που σχηματίζεται με την κυρτή θήκη των συμμετρικοποιημένων βάσεων
του αρχικού τραπεζίου Δηλαδή το σχήμα που εικονίζεται στα δεξιά δεν
d
Z [
[
[
copy [ Y Z
uml Z
copy [
uml
x
y
z
|
Z
YZ
[
Y[d
~
Σ Τραπέζιο και η κυρτή θήκη των συμμετρικοποιημένων πλευρών
πάνω στις ευθείες 1198711 και 1198712
είναι a priori το συμμετρικοποιημένο τραπέζιο του δεξιού σχήματος αλλά
το τραπέζιο που σχηματίζεται αν συμμετρικοποιήσουμε τις βάσεις (και
μόνο) του αρχικού τραπεζίου και στη συνέχεια πάρουμε την κυρτή τους
θήκη Αυτό που θέλουμε να δείξουμε για να αποδειχθεί το παραπάνω
λήμμα είναι ότι St(119879) = 119862119863119864119865 Αυτό θα είναι σωστό αν αποδείξουμε ότι
η τομή του 119879 με την ευθεία 119871 δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχειτο ίδιο μήκος με την τομή του 119862119863119864119865 με την 119871 δηλαδή το τμήμα 119866119867
Απόδειξη του λήμματος Θεωρούμε τραπέζιο 119879 με τις βάσεις του κάθετες
στον άξονα των 119909 και υποθέτουμε επίσης ότι η μία κορυφή του είναι στην
αρχή των αξόνων με τη μία βάση του μήκους 120572 πάνω τον άξονα των 119910
ενώ η άλλη βάση του με μήκος 120573 έχει τετμημένη 120574 (δείτε Σχήμα ) Έστω
ότι 120582 isin (0 1) Αρκεί να αποδείξουμε ότι το μήκος της τομής του 119879 με
την ευθεία 119871 παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου και με τετμημένη 120582120574έχει μήκος (1minus120582)119886+120582119887 Αν αποδειχθεί αυτό θα ολοκληρωθεί η απόδειξη
αφού τα στοιχεία που συνιστούν αυτή την έκφραση παραμένουν τα
ίδια και στο τραπέζιο
conv0 times [minus1205722 1205722] 120574 times [minus1205732 1205732]
που είναι σχεδιασμένο στα δεξιά του Σχήματος Αυτό τώρα είναι
εύκολο αν τα άκρα της βάσης 120574 times [minus1205732 1205732] έχουν τεταγμένες 1205731και 1205732 ώστε 120573 = 1205732 minus 1205731 τότε οι μη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου
119879 ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις
119910 =1205732 minus 120572
120574119909 + 120572 και 119910 =
1205731
120574119909
Έτσι
|119860119861| =1205732 minus 120572
120574120582120574 + 120572 minus
1205731
120574120582120574
Εύκολα βλέπουμε ότι η τελευταία παράσταση ισούται με (1 minus 120582)120572 + 120582120573δηλαδή το ζητούμενο
Λ Για κάθε (μετρήσιμο) σύνολο 119870 sube ℝ119899 και για κάθε119909 isin ℝ119899 ισχύει St119867(119870 + 119909) = St119867(119870) + Proj
119867(119909)
Απόδειξη Έστω ότι 119867 = ℝ119899minus1 και 119906 ένα κάθετο στον 119867 μοναδιαίο
διάνυσμα Αν πάρουμε ένα στοιχείο (119911 120582) isin ℝ119899 όπου 119911 isin ℝ119899minus1 και
120582 isin ℝ τότε αυτό ανήκει στο St119867(119870+119909) αν και μόνο αν γράφεται ως (119911 120582)όπου 119911 isin Proj
119867(119870+119909) και |120582| le (12)|(119870+119909)cap(119911+ℝ119906)| Αλλά από τη
γραμμικότητα της προβολής ισχύει Proj119867(119870 + 119909) = Proj
119867(119870) + Proj
119867(119909)
Επίσης
∣(119870 + 119909) cap (119911 + ℝ119906)∣ = ∣119870 cap ((119911 minus 119909) + ℝ119906)∣
αφού το μήκος είναι αναλλοίωτο στις μεταφορές Εύκολα βλέπουμε (επειδή
119906 ⟂ 119867) ότι (119911minus119909)+ℝ119906 = 119911minusProj119867(119909)+ℝ119906 Οπότε (119911 120582) isin St119867(119870+119909)
αν και μόνο αν 119911 minus Proj119867(119909) isin Proj
119867(119870) και
|120582| le12∣119870 cap ((119911 minus Proj
119867(119909)) + ℝ119906)∣
Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν (119911 minus Proj119867(119909) 120582) isin St119867(119870) δηλαδή αν
και μόνο αν (119911 120582) isin St119867(119870) + Proj119867(119909)
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 το St(119870) είναι κυρτό σώμα
Απόδειξη Το 119870 ως συμπαγές είναι φραγμένο Άρα υπάρχει 119877 gt 0 ώστε
119870 sube ℬ1198992(0 119877) Συνεπώς St(119870) sube ℬ119899
2(0 119877) οπότε το St(119870) φραγμένο
Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι είναι κλειστό Πράγματι
St(119870) = (119910 120582) ∶ 119910 isin Proj119867(119870) και |120582| le
12
|119870 cap (119910 + ℝ119906)|
όπου το 119906 είναι κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα στον υπερεπίπεδο 119867 και τα
119910 θεωρούνται ως σημεία του ℝ119899minus1 Έτσι αν θεωρήσουμε μια ακολουθία
σημείων (119910119898 120582119898) μέσα στο St(119870) που συγκλίνει έστω στο (119910 120582) (ως προς
την ευκλείδεια νόρμα) τότε από τις ιδιότητες της απόστασης 119910119898 rarr 119910και 120582119898 rarr 120582 Αλλά η προβολή Proj
119867(119870) είναι κλειστό σύνολο αφού το 119870
είναι συμπαγές η απεικόνιση Proj119867είναι συνεχής όπως είδαμε στο τέλος
της Ενότητας σελίδα (δείτε και Πρόταση ) Άρα 119910 isin Proj119867(119870)
Επίσης |120582119898| le 12|119870 cap (119910 + ℝ119906)| και περνώντας στο όριο συμπεραίνουμε
|120582| le 12|119870 cap (119910 + ℝ119906)| Συνεπώς (119910 120582) isin St(119870) οπότε το St(119870) είναι
κλειστό Αφού είναι και φραγμένο είναι συμπαγές υποσύνολο του ℝ119899
Επειδή το 119870 έχει μη κενό εσωτερικό θεωρούμε μια ευκλείδεια μπάλα
ℬ1198992(119909 120598) sube 119870 για κατάλληλα 119909 isin 119870 και 120598 gt 0 Οπότε ℬ119899
2(0 120598) sube 119870 minus 119909Επειδή η συμμετρικοποίηση Steiner αφήνει αναλλοίωτες τις ευκλείδειες
μπάλες συμπεραίνουμε ότι ℬ1198992(0 120598) sube St(119870 minus 119909) Από το Λήμμα
έχουμε ότι St(119870 minus 119909) = St(119870) minus Proj119867(119909) οπότε ℬ119899
2(Proj119867(119909) 120598) sube St(119870)
δηλαδή το συμμετρικοποιημένο 119870 έχει μη κενό εσωτερικό
Μένει να δειχθεί ότι το St(119870) είναι κυρτό Αν τα 119909 119910 ανήκουν στο
St(119870) θεωρούμε το τραπέζιο
Τ = conv ((119870 cap (119871 + 119909)) cup (119870 cap (119871 + 119910))) sube 119870
(δείτε Σχήμα ) Αφού τα 119909 119910 ανήκουν στο St(Τ) και από το Λήμμα
το St(119879) είναι τραπέζιο οπότε κυρτό συνεπάγεται ότι [119909 119910] sube St(119879) subeSt(119870) δηλαδή το St(119870) είναι κυρτό ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Για κάθε 119870 κυρτό σώμα στον ℝ119899 και 119888 ge 0 ισχύει
St(119888119870) = 119888St(119870)
Απόδειξη Έστω ότι 119888 isin ℝ μεγαλύτερο του 0 Από τον ορισμό της
z
uml
copy
TU
TUz
Σ Η συμμετρικοποίηση Steiner Το συμμετρικοποιημένο σώμα
είναι κυρτό
συμμετρικοποίησης θα έχουμε
St(119888119870) = 119910 + 120582119906 ∶ 119910 isin Proj119867(119888119870) και |120582| le
12
|119888119870 cap (119910 + ℝ119906)|
= 119910 + 120582119906 ∶ 119910 isin 119888Proj119867(119870) και |120582| le
12 ∣119888119870 cap 119888 (
119910119888
+ ℝ119906)∣
= 119910 + 120582119906 ∶119910119888
isin Proj119867(119870) και
|120582|119888
le12 ∣119870 cap (
119910119888
+ ℝ119906)∣
Θέτουμε 119909 = 119910119888 και 120583 = 120582119888 Οπότε θα έχουμε
St(119888119870) = 119888119909 + 119888120583119906 ∶ 119909 isin Proj119867(119870) και |120583| le
12
|119870 cap (119909 + ℝ119906)|
= 119888 119909 + 120583119906 ∶ 119909 isin Proj119867(119870) και |120583| le
12
|119870 cap (119909 + ℝ119906)|
= 119888St(119870)
Π Για οποιαδήποτε κυρτά σώματα 119870 119863 στον ℝ119899 ισχύει
St(119870 + 119863) supe St(119870) + St(119863)
Απόδειξη Έστω ότι 119909 isin St(119870) και 119910 isin St(119863) Ισοδύναμα θα έχουμε
ότι 119909 = ℎ + 119897 και 119910 = 119896 + 119898 όπου τα ℎ 119896 ανήκουν στο Η και τα 119897 119898ανήκουν στην 119871 και ισχύει
|119897| le12 ∣(119870 cap (119871 + 119909))∣ και |119898| le
12 ∣(119863 cap (119871 + 119910))∣
Έτσι 119909 + 119910 = (ℎ + 119896) + (119897 + 119898) Φανερά ℎ + 119896 isin 119867 119897 + 119898 isin 119871 και
() |119897 + 119898| le |119897| + |119898| le12 (∣(119870 cap (119871 + 119909))∣ + ∣(119863 cap (119871 + 119910))∣)
Όμως
119870 cap (119871 + 119909) + 119863 cap (119871 + 119910) sube (119870 + 119863) cap (119871 + 119909 + 119910)
και από την Brunn-Minkowski παίρνουμε ότι
∣119870 cap (119871 + 119909) + 119863 cap (119871 + 119910)∣ ge ∣(119870 cap (119871 + 119909))∣ + ∣(119863 cap (119871 + 119910))∣
Έτσι συνεχίζοντας την () οδηγούμαστε στην
|119897 + 119898| le |119897| + |119898| le12 ∣(119870 + 119863) cap (119871 + 119909 + 119910)∣
Συνεπώς το 119909 + 119910 ανήκει στο St(119870 + 119863)
Π Για οποιαδήποτε κυρτά σώματα 119870 119863 στον ℝ119899 αν119870 sube 119863 τότε St(119870) sube St(119863)
Απόδειξη Αφού 119870 sube 119863 ισχύει 119870cap(119871+119909) sube 119863cap(119871+119909) οπότε θα έχουμε
ότι
() |119870 cap (119871 + 119909)| le |119863 cap (119871 + 119909)|
Έστω ότι 119911 isin St(119870) Τότε
119911 = (Proj119867119911) + 120582119906 με |120582| le |119870 cap (119871 + 119911)|
Από την () συνεπάγεται ότι
119911 = (Proj119867119911) + 120582119906 με |120582| le |119863 cap (119871 + 119911)|
Άρα 119911 isin St(119863) Επομένως St(119870) sube St(119863)
Π Για κάθε υπερεπίπεδο 119867 η St119867 ως απεικόνιση από τακυρτά σώματα στα κυρτά σώματα είναι συνεχής
Απόδειξη Αν τα 119870 1198701 1198702 hellip είναι κυρτά σώματα στον ℝ119899 και 119870119898 rarr 119870
θα δείξουμε ότι
St(119870119898) rarr St(119870)
Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι 0 isin int(119870) Από το
Πόρισμα το 119870119898 συγκλίνει στο 119870 αν και μόνον αν για κάθε 120598 gt 0υπάρχει 1198980 isin ℕ ώστε για κάθε 119898 ge 1198980 να ισχύει
(1 minus 120598)119870 sube 119870119898 sub (1 minus 120598)119870
Άρα
(1 minus 120598)St(119870) sube St(119870119898) sube St(119870)(1 + 120598)
δηλαδή το ζητούμενο
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 ισχύει
vol(St(119870)) = vol(119870)
Απόδειξη Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η συμμετρικο-
ποίηση είναι ως προς το υπερεπίπεδο των πρώτων 119899minus1 συντεταγμένων
Έχουμε ότι
vol(119870) = intinfin
minusinfinhellip int
infin
minusinfin120594119870((1199091 1199092 hellip 119909119899)) 1198891199091198991198891199091 hellip 119889119909119899minus1
= intinfin
minusinfinhellip int
infin
minusinfin∣119870 cap (119871 + (1199091 hellip 119909119899minus1))∣ 11988911990911198891199092 hellip 119889119909119899minus1
= intinfin
minusinfinhellip int
infin
minusinfin∣St(119870) cap (119871 + (1199091 hellip 119909119899minus1))∣ 11988911990911198891199092 hellip 119889119909119899
= intinfin
minusinfinhellip int
infin
minusinfin120594St(119870)((1199091 1199092 hellip 119909119899)) 1198891199091198991198891199091 hellip 119889119909119899minus1
= vol(St(119870))
αφού από τον ορισμό της συμμετρικοποίησης ισχύει |119870 cap (119871 + 119909)| =|St(119870) cap (119871 + 119909)|
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 ισχύει
120597(St(119870)) le 120597(119870)
Απόδειξη Έχουμε
St(119870 + 120598ℬ1198992) supe St(119870) + St(120598ℬ119899
2) = St(119870) + 120598ℬ1198992
οπότε
vol(St(119870) + 120598ℬ1198992) minus vol(St(119870))120598
levol(St(119870 + 120598ℬ119899
2)) minus vol(St(119870))120598
=vol(119870 + 120598ℬ119899
2) minus vol(119870)120598
Από τον ορισμό του εμβαδού επιφανείας προκύπτει ότι 120597(St(119870)) le 120597(119870)
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 ισχύει diam(St(119870)) lediam(119870)
Απόδειξη Αν 119909 119910 isin St(119870) και 119879 St(119879) τα τραπέζια όπως στο Λήμ-
μα τότε τουλάχιστον μια από τις διαγώνιες του Τ έχει μήκος
μεγαλύτερο ή ίσο από 119909 minus 1199102 Άρα diam(St(119870)) le diam(119870)
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 αν 119903(119870) = max120588 gt0 ∶ 120588ℬ119899
2 sube 119870 και 119877(119870) = min120588 gt 0 ∶ 119870 sube 120588ℬ1198992 τότε
119903(St(119870)) ge 119903(119870) και 119877(St(119870)) le 119877(119870)
Απόδειξη Αν 120588ℬ1198992 sube 119870 τότε 120588ℬ119899
2 sube St(119870) οπότε
120588 gt 0 ∶ 120588ℬ1198992 sube 119870 sube 120588 gt 0 ∶ 120588ℬ119899
2 sube St(119870)
και άρα 119903(119870) le 119903(St(119870)) Ομοίως για τα 119877(St(119870)) και 119877(119870)
Π Έστω ότι το Κ είναι ένα κυρτό και κεντρικά συμμετρι-κό σώμα στον ℝ119899 Η συμμετρικοποίηση Steiner ως προς οποιοδήποτευπερεπίπεδο ικανοποιεί την
vol((St(119870))∘) ge vol (119870∘)
Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι η συμμετρι-
κοποίηση γίνεται ως προς το διάνυσμα 119890119899 = (0 0 hellip 0 1) δηλαδή το
υπερεπίπεδο ℝ119899minus1 (αλλιώς αλλάζουμε κατάλληλα το σύστημα συντε-
ταγμένων του ℝ119899) Επειδή κάθε διάνυσμα στον ℝ119899 γράφεται ως (119909 119903)με 119909 isin ℝ119899minus1 και 119903 isin ℝ μπορούμε να γράψουμε
St(119870) = (11990912
(119904 minus 119903)) ∶ (119909 119904) (119909 119903) isin 119870
Έχουμε
() 119870∘ = (119910 119905) isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119910⟩ + 119904119905 le 1 (119909 119904) isin 119870
όπου 119909 119910 isin ℝ119899minus1 και 119904 119905 isin ℝ Ομοίως
()
(St(119870))∘ = (119908 119905) isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119908⟩ +12
(119904 minus 119903)119905 le 1 (119909 119904) (119909 119903) isin 119870
όπου 119909 119908 isin ℝ119899minus1 και 119903 119904 119905 isin ℝ Για κάθε σύνολο Α sube ℝ119899 και για κάθε
119905 isin ℝ γράφουμε 119860(119905) = 119907 isin ℝ119899minus1 ∶ (119907 119905) isin 119860 Δηλαδή το 119860(119905) times 119905
είναι η τομή του Α σε ύψος 119905 με επίπεδο παράλληλο στον ℝ119899minus1 Έχουμε
12(119870∘(119905) + 119870∘(minus119905))
=12 119907 isin ℝ119899minus1 ∶ (119907 119905) isin 119870∘ +
12 119906 isin ℝ119899minus1 ∶ (119906 minus119905) isin 119870∘
= 12
119906 +12
119907 ∶ (119907 119905) isin 119870∘ (119906 minus119905) isin 119870∘
= 12
119906 +12
119907 ∶ ⟨119909 119907⟩ + 119904119905 le 1 (119909 119904) isin 119870
⟨119909 119906⟩ + 119903(minus119905) le 1 (119909 119903) isin 119870
(προσθέτοντας κατά μέλη τις ⟨119909 119906⟩ + 119904119905 le 1 και ⟨119909 119906⟩ + 119903(minus119905) le 1)
sube 12
119906 +12
119907 ∶ ⟨11990912
(119906 + 119907)⟩ +12
(119904 minus 119903)119905 le 1 (119909 119904) (119909 119903) isin 119870
Θέτουμε 119908 = (12)119906 + (12)119907 και έχουμε
12(119870∘(119905) + 119870∘(minus119905)) sube 119908 ∶ ⟨119909 119908⟩ +
12
(119904 minus 119903)119905 le 1 (119909 119904) (119909 119903) ∊ 119870
sube (St(119870))∘(119905)
από την () Εφαρμόζοντας τώρα την ανισότητα Brunn-Minkowski
στον ℝ119899minus1 παίρνουμε ότι
vol119899minus1((St(119870))∘(119905))
1119899minus1 ge vol119899minus1 (
12
119870∘(119905))1
119899minus1
+ vol119899minus1 (12
119870∘(minus119905))1
119899minus1
= 2vol119899minus1 (12
119870∘(119905))1
119899minus1
αφού το Κ∘ είναι κεντρικά συμμετρικό Άρα
vol119899minus1((St(119870))∘(119905)) ge 2119899minus1vol119899minus1 (
12
119870∘(119905)) = 2119899minus1 (12)
119899minus1
vol119899minus1(119870∘(119905))
οπότε
vol119899minus1((St(119870))∘(119905)) ge vol119899minus1(119870∘(119905))
για κάθε 119905 isin ℝ άρα
intinfin
minusinfinvol119899minus1((St(119870))
∘(119905)) 119889119905 ge intinfin
minusinfinvol119899minus1(119870∘(119905)) 119889119905
από την οποία προκύπτει
vol119899((St(119870))∘) ge vol119899(119870∘)
Το θεώρημα σφαιρικότητας του Gross μάς λέει ότι οποιοδήποτε
κυρτό σώμα μπορεί να συμμετρικοποιηθεί με μια ακολουθία κατάλληλων
υπερεπιπέδων ώστε τα σώματα που προκύπτουν να συγκλίνουν σε
κατάλληλο πολλαπλάσιο της ευκλείδειας μπάλας Το θεώρημα αυτό
χρησιμοποιείται συχνά για να λυθούν προβλήματα βελτιστοποίησης
όπως η ισοπεριμετρική ανισότητα ή η ανισότητα Blaschke-Santaloacute που
θα δούμε παρακάτω
Θ Έστω Κ κυρτό σώμα στον ℝ119899 με vol119899(119870) = vol119899(ℬ1198992)
Θέτουμε 119964 να είναι η οικογένεια όλων των κυρτών σωμάτων που προ-κύπτουν από το Κ μέσω πεπερασμένου πλήθους διαδοχικών συμμετρι-κοποιήσεων Steiner ως προς υπερεπίπεδα που περνούν από το 0 Τότευπάρχει ακολουθία Κ119898 isin 119964 ώστε
Κ119898 rarr ℬ1198992
ως προς τη μετρική Hausdorff
Απόδειξη Θέτουμε 120588 = inf119877(119871) ∶ 119871 isin 119964 Δηλαδή η 120588 είναι η ελάχιστη
ακτίνα ευκλείδειας μπάλας κέντρου 0 που περιέχει στοιχείο του 119964
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του infimum θεωρούμε ακολουθία Κ119898 isin 119964με
() 119877(119870119898) rarr 120588
Άρα υπάρχει Μ gt 0 ώστε 119877(119870119898) le 119872 για κάθε 119898 isin ℕ αφού η 119877(119870119898)ως συγκλίνουσα (στο 120588) είναι φραγμένη Οπότε από το θεώρημα επιλο-
γής του 119861119897119886119904119888ℎ119896119890 η 119870119898 έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Μετονομάζουμε
αυτή την υπακολουθία σε 119870119898 οπότε υποθέτουμε ότι η 119870119898 συγκλίνει
έστω στο 1198700
Ι 119877(1198700) = 120588
[Απόδειξη του Ισχυρισμού Αφού Κ119898 rarr 1198700 δηλαδή 120575(119870119898 1198700) rarr 0για κάθε 120598 gt 0 υπάρχει 1198980 isin ℕ ώστε για κάθε 119898 ge 1198980 ισχύει
120575(119870119898 1198700) lt 120598 Οπότε Κ119898 sube 1198700 + 120598ℬ1198992 και Κ0 sube 119870119898 + 120598ℬ119899
2 Επειδή
1198700 sube 119877(1198700)ℬ1198992 έχουμε
1198700 + 120598ℬ1198992 sube (119877(1198700) + 120598)ℬ119899
2 άρα 119877(1198700 + 120598ℬ1198992) le 119877(1198700) + 120598
Όμοια για τα 119870119898 ισχύει
119877(119870119898 + 120598ℬ1198992) le 119877(119870119898) + 120598
Οπότε θα έχουμε
119877(119870119898) le 119877(1198700 + 120598ℬ1198992) le 119877(1198700) + 120598
και
119877(1198700) le 119877(119870119898 + 120598ℬ1198992) le 119877(119870119898) + 120598
Δηλαδή 119877(119870119898) minus 119877(1198700) le 120598 και 119877(1198700) minus 119877(119870119898) le 120598 Έτσι |119877(119870119898) minus119877(1198700)| le 120598 για κάθε 119898 ge 1198980 Επομένως
() 119877(119870119898) rarr 119877(1198700)
Από τις () () και από τη μοναδικότητα του ορίου έχουμε ότι
119877(1198700) = 120588 ]
Αφού δείξαμε ότι 120588 = 119877(1198700) συνεπάγεται ότι Κ0 sube 120588ℬ1198992 Θα απο-
δείξουμε ότι Κ0 = 120588ℬ1198992 Αν αυτό δεν είναι σωστό αν δηλαδή 1198700 ⫋ 120588ℬ119899
2
τότε 120588120138119899minus1 ⊈ 1198700 πράγματι αν 120588120138119899minus1 sube 1198700 αφού το 1198700 είναι κυρτό θα
παίρναμε 120588ℬ1198992 = conv(120588120138119899minus1) sube 1198700 το οποίο είναι άτοπο Άρα υπάρχει
1199090 isin 120588120138119899minus1 ⧵ 1198700 Επειδή το ℝ119899 ⧵ Κ0 είναι ανοικτό υπάρχει ανοικτή
μπάλα με κέντρο το 1199090 που δεν τέμνει το 1198700 Τέμνοντας αυτή τη μπάλα
με το 120588120138119899minus1 βρίσκουμε μια ανοικτή περιοχή του 1199090 έστω 1198621199090 πάνω
στη σφαίρα 120588120138119899minus1 ώστε 1198621199090cap 1198700 = Κάνοντας τώρα ανακλάσεις της
περιοχής με κέντρο το 1199090 ως προς υπερεπίπεδα που περνάνε από το
0 μπορούμε να καλύψουμε τη σφαίρα πράγματι για κάθε 119909 isin 120588120138119899minus1
η ανάκλαση της 1198621199090ως προς το υπερεπίπεδο που περνάει από το 0
και είναι κάθετο στη χορδή [119909 1199090] είναι μια ανοικτή περιοχή 119862119909 του 119909(δείτε Σχήμα ) Φανερά
120588119878119899minus1 sube ⋃119909isin120588119878119899minus1
119862119909
uml
Σ Η περιοχή 1198621199090του 1199090 πάνω στη σφαίρα 120588120138119899minus1
uml
uml
zuml
Σ Η ανάκλαση της 1198621199090δίνει ανοικτή περιοχή του 119909
και από τη συμπάγεια της 120588120138119899minus1 υπάρχει πεπερασμένο υποκάλυμμα
Άρα υπάρχει 119873 isin ℕ και 1199091 hellip 119909119873 isin 120138119899minus1 ώστε
120588120138119899minus1 sube119873
⋃119895=1
119862119909119895
όπου τα 119862119909119895είναι ανακλάσεις της 1198621199090
που περιγράψαμε παραπάνω
Ας υποθέσουμε πως για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται τα υπε-
ρεπίπεδα Η1 Η2 hellip Η119896 Θέτουμε
1198630 = St119867119896(St119867119896minus1
(hellip St1198672(St1198671
(1198700)) hellip))
Παρατηρούμε ότι 1198630 sube int(120588ℬ1198992) διότι κάθε χορδή του 119870 που συμμετρι-
κοποιείται ως προς οποιοδήποτε από τα 119867119895 έχει μικρότερο μήκος από
τη αντίστοιχη χορδή της 120588ℬ1198992 αφού το 119870 δεν τέμνει το 1198621199090
(δείτε το
Σχήμα )
uml
uml
zuml
jyacuteY
Σ Η συμμετρικοποίηση ως προς το 119867 δίνει σώμα που δεν τέμνει
ούτε την 1198621199090ούτε την 119862119909
Άρα αφού 1198630 sube int(120588ℬ1198992) τότε 119877(1198630) lt 120588 Από τη συνέχεια της
συμμετρικοποίησης ως προς τη μετρική Hausdorff αφού 119870119898 rarr 1198700συνεπάγεται ότι
119863119898 ∶= St119867119896(St119867119896minus1
(hellip St1198672(St1198671
(119870119898)) hellip))rarr St119867119896
(St119867119896minus1(hellip St1198672
(St1198671(1198700)) hellip)) = 1198630
Όμως119863119898 isin 119964 και από τη συνέχεια της119877 θα ισχύει119877(119863119898) rarr 119877(1198630) lt 120588Άρα υπάρχει 1198980 ώστε 119877(1198631198980
) lt 120588 και 1198631198980isin 119964 Αυτό είναι άτοπο
διότι το 120588 είναι η ελάχιστη ακτίνα περιγεγραμμένης μπάλας στοιχείου
της 119964
Τέλος επειδή η συμμετρικοποίηση διατηρεί τον όγκο και ο όγκος είναι
συνεχής συνάρτηση στα κυρτά σώματα ως προς τη μετρική Hausdorff
έχουμε ότι
vol119899(ℬ1198992) = vol119899(119870) = vol119899(1198700) = vol119899(120588ℬ119899
2)
Άρα 120588 = 1 Συνεπώς Κ0 = Β1198992 Οπότε Κ119898 rarr ℬ119899
2
( )
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει ακολουθία
υπερεπιπέδων 1198671 1198672 hellip ώστε η ακολουθία κυρτών σωμάτων
119870119898 = St119867119898(St119867119898minus1
(hellip St1198671(119870)))
να συγκλίνει στο 119903ℬ1198992 για κατάλληλο 119903 gt 0 (Υπόδειξη Εφαρμόστε το Θεώρημα
του Gross για να βρείτε Κ1 που προκύπτει από το 119870 με πεπερασμένο πλήθος
συμμετρικοποιήσεων που να απέχει από το 119903ℬ1198992 λιγότερο από 1 Στη συνέχεια
εφαρμόστε το Θεώρημα του Gross όχι για το 119870 αλλά για το 1198701)
Άσκηση Έστω ότι τα 119870 και 119879 είναι κυρτά σώματα στον ℝ119899 Αποδείξτε
ότι υπάρχει ακολουθία υπερεπιπέδων 1198671 1198672 hellip που περνάνε από την αρχή
των αξόνων ώστε η ακολουθία
119870119898 = St119867119898(hellip (St1198672
(St1198671(119870))) hellip)
και η
119879119898 = St119867119898(hellip (St1198672
(St1198671(119879))) hellip)
να συγκλίνουν στα vol(119870)1119899ℬ1198992 και vol(119879)1119899ℬ119899
2 αντίστοιχα (Υπόδειξη χρη-
σιμοποιήστε την Άσκηση το γεγονός ότι αν για ένα σύνολο 119860 ισχύει
119903ℬ1198992 sube 119860 sube 119877ℬ119899
2 οποιαδήποτε συμμετρικοποίησή του θα συνεχίσει να ικανο-
ποιεί τους προηγούμενους εγκλεισμούς)
Άσκηση Αποδείξτε (χωρίς τη χρήση της ανισότητας Brunn-Minkowski)
ότι αν 119870 = 119903ℬ1198992 και 119879 = 119877ℬ119899
2 τότε
vol(119870 + 119879)1119899 ge vol(119870)1119899 + vol(119879)1119899
Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε αυτό και την Άσκηση για να παραγάγετε
μια άλλη απόδειξη της ανισότητας Brunn-Minkowski (χωρίς τη χρήση της
ανισότητας Prekopa-Leindler)
( )
Σε αυτή την ενότητα αποδεικνύουμε την ισοπεριμετρική ανισότητα
με τη βοήθεια της συμμετρικοποίησης Steiner
Θεωρούμε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 με |Κ| = |Β1198992| Από το θεώρημα
σφαιρικότητας του Gross υπάρχει ακολουθία κυρτών σωμάτων έστω ότι
είναι η Κ1 1198702 hellip 119870119898 hellip που προκύπτει από το Κ μέσω πεπερασμένου
πλήθους διαδοχικών συμμετρικοποιήσεων Steiner ως προς υπερεπίπεδα
που περνούν από το 0 ώστε 119870119898 rarr ℬ1198992 ως προς τη μετρική 119867119886119906119904119889119900119903119891119891
Γνωρίζουμε ότι 120597119870 ge 120597(119870119898) διότι η 119870119898 προέρχεται από το Κ μέσω της
συμμετρικοποίησης Steiner και η συμμετρικοποίηση μειώνει το εμβαδόν
επιφανείας Σταθεροποιούμε ένα 120598 θετικό Τότε από την Πρόταση
και το γεγονός ότι St(ℬ1198992) = ℬ119899
2 θα έχουμε ότι
|Κ + 120598ℬ1198992| = |St(119870 + 120598ℬ119899
2)| ge |St(119870) + St(120598ℬ1198992)| = |St(119870) + 120598ℬ119899
2|
Επαναλαμβάνοντας πεπερασμένο πλήθος συμμετρικοποιήσεων Steiner
ως προς κατάλληλα υπερεπίπεδα ώστε να προκύψει η 119870119898 θα έχουμε
ότι |Κ + 120598ℬ1198992| ge |119870119898 + 120598ℬ119899
2| Επειδή η συμμετρικοποίηση διατηρεί τον
όγκο ισχύει ότι |Κ| = |Κ119898| Άρα
|119870 + 120598ℬ1198992| minus |119870|120598
ge|119870119898 + 120598ℬ119899
2| minus |119870119898|120598
Παίρνουμε πρώτα όρια ως προς 119898 και αφού 119870119898 rarr ℬ1198992 και ο όγκος είναι
συνεχής ως προς τη μετρική Hausdorff παίρνουμε
|119870 + 120598ℬ1198992| minus |119870|120598
ge|Β119899
2 + 120598ℬ1198992| minus |ℬ119899
2|120598
Τέλος παίρνουμε όρια για 120598 rarr 0+ ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξη
Επομένως 120597119870 ge 120597(ℬ1198992)
-
Μια άλλη εφαρμογή του Θεωρήματος σφαιρικότητας του Gross είναι
η ακόλουθη ανισότητα
Θ Για κάθε συρτό σώμα 119870 με 0 isin int(119870) ισχύει
vol(119870)vol(119870∘) le vol(ℬ1198992)2
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το 119870 είναι ελλειψοειδές
Απόδειξη Εδώ θα αποδείξουμε μόνο την γενική περίπτωση της ανισό-
τητας και όχι την περίπτωση της ισότητας
Όπως δείξαμε στην Πρόταση η συμμετρικοποίηση αυξάνει τον
όγκο του πολικού σώματος δηλαδή vol((St(119870))∘) ge vol(119870∘) Αν τα 1198671
1198672 hellip είναι υπερεπίπεδα που η συμμετρικοποίηση ως προς αυτά δίνει
ακολουθία 119870119898 που συγκλίνει στην 120582ℬ1198992 (120582 = (vol(119870)vol(ℬ119899
2))1119899 αφού
η συμμετρικοποίηση διατηρεί τον όγκο) ισχύει
() vol(119870∘119898) ge vol(119870∘)
-
Πράγματι
vol((St1198672(St1198671
(119870)))∘) ge vol((St1198671
(119870))∘) ge vol(119870∘)
και συνεχίζουμε με επαγωγή
Όμως 119870119898 rarr 120582ℬ1198992 άρα από το Πόρισμα για κάθε 0 lt 120579 lt 1
υπάρχει 1198980 isin ℕ ώστε για κάθε 119898 ge 1198980 ισχύει
(1 minus 120579)120582ℬ1198992 sube 119870119898 sube (1 + 120579)120582ℬ119899
2
Περνώντας στα πολικά σώματα με τη βοήθεια της Πρότασης
συμπεραίνουμε ότι
11 + 120579
1120582
ℬ1198992 sube 119870∘
119898 sube1
1 minus 1205791120582
ℬ1198992
Επιλέγοντας 0 lt 120579 lt 1 ώστε (1 minus 120579)minus1 le 1 + 120598 και 1 minus 120598 le (1 + 120579)minus1
(εύκολα ελέγχουμε ότι αυτό ισχύει για 120579 = 2minus1120598(1 + 120598)minus1) προκύπτει
ότι για κάθε 119898 ge 1198980
(1 minus 120598)1120582
ℬ1198992 sube 119870∘
119898 sube (1 + 120598)1120582
ℬ1198992
Δηλαδή 119870∘119898 rarr 120582minus1ℬ119899
2
Παίρνοντας όρια στην () και χρησιμοποιώντας ότι ο όγκος είναι
συνεχής συνάρτηση προκύπτει ότι
vol(1120582
ℬ1198992) ge vol(119870∘)
Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη με vol(119870) το οποίο ισούται με
vol(120582ℬ1198992) (από την τιμή που έχει το 120582) προκύπτει το αποτέλεσμα
Η ποσότητα vol(119870)vol(119870∘) είναι αναλλοίωτη στους γραμμικούς με-
τασχηματισμούς δηλαδή για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899
ισχύει
vol(119879(119870))vol((119879(119870))∘) = vol(119870)vol(119870∘)
Πράγματι σύμφωνα με τις Προτάσεις και για κάθε αντι-
στρέψιμο πίνακα 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 ισχύει
vol(119879(119870)) = | det 119879|vol(119870) και vol((119879(119870))∘) = | det 119879|minus1vol(119870)
οι οποίες αποδεικνύουν το ζητούμενο Γεννάται λοιπόν το ερώτημα για
ποιο ή ποια σώματα 119870 η παράσταση vol(119870)vol(119870∘) έχει ελάχιστη τιμή
και ποια είναι η ελάχιστη τιμή Το ερώτημα αυτό έτσι όπως διατυπώθηκε
δεν έχει γνωστή απάντηση Εικάζεται ότι η ελάχιστη τιμή του είναι
(4 119899)119899 που είναι η τιμή της παράστασης όταν το 119870 είναι ένα simplex
Αυτή η εικασία είναι γνωστή ως εικασία του MahlerΜια απάν-
τηση σε ένα
ελαφρώς
τροπο-
ποιημένο
ερώτημα
δόθηκε από
τους Jean
Bourgain
και Vitali
Milman την
οποία θα
δούμε στο
επόμενο
μέρος
Άσκηση Αποδείξτε ότι στην ανισότητα Blaschke-Santaloacute αν το 119870 είναι
ελειψοειδές τότε ισχύει η ισότητα Δηλαδή αν το ℰ είναι ένα ελλειψοειδές τότε
ισχύει
vol(ℰ)vol(ℰ∘) = vol(ℬ1198992)2
Άσκηση Έστω ότι το ℰ είναι ένα ελλειψοειδές και για ένα κυρτό σώμα
119870 με το 0 να ανήκει στο εσωτερικό του ισχύει vol(119870) = vol(ℰ) Αποδείξτε ότι
vol(119870∘) le vol(ℰ∘)
Μέρος II
Κλασικές θέσεις κυρτών σωμάτων
Για το υπόλοιπο του βιβλίου είναι
απαραίτητη η γνώση στοιχειώδους
θεωρίας μέτρου Για αυτό παραπέμ-
πουμε είτε στο [ΠρΑναλ] είτε στο
[ΘΜ]
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑhellip
hellip
Θα συμβολίζουμε με 119872119899times119899 το σύνολο όλων των 119899 times 119899 πινάκων με
στοιχεία από το ℝ
Με GL(119899) συμβολίζουμε τη γενική γραμμική ομάδα δηλαδή τους
αντιστρέψιμους 119899times119899 πίνακες με στοιχεία από το ℝ119899 Φανερά 119879 isin GL(119899)αν και μόνο αν det 119879 ne 0
Με 119874(119899) συμβολίζουμε την ορθογώνια ομάδα δηλαδή τους 119899 times 119899πίνακες 119880 με στοιχεία από το ℝ για τους οποίους ισχύει 119880119905119880 = IdΤα στοιχεία της 119874(119899) ονομάζονται ορθογώνιοι πίνακες και από την
πολλαπλασιαστικότητα της ορίζουσας αν ο 119880 είναι ορθογώνιος τότε έχει
ορίζουσα +1 ή minus1 Φανερά αν 119880 isin 119874(119899) τότε 119880minus1 = 119880119905 και διατηρεί
τις γωνίες και τα μήκη διανυσμάτων
(i) ⟨119880119909 119880119910⟩ = ⟨119880119905119880119909 119910⟩ = ⟨119909 119910⟩
(ii) 1198801199092 = radic⟨119880119909 119880119909⟩ = radic⟨119909 119909⟩ = 1199092
Θα συμβολίζουμε με SL(119899) την ειδική γραμμική ομάδα δηλαδή τους
πίνακες στο 119872119899times119899 οι οποίοι έχουν ορίζουσα 1Εύκολα ελέγχουμε ότι οι GL(119899) 119874(119899) και SL(119899) είναι πράγματι
ομάδες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων και είναι μεταξύ τους
διαφορετικές
Ο (Ίχνος πίνακα) Το ίχνος tr(119879) ενός 119899 times 119899 πίνακα 119879ορίζεται ως το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του
Δηλαδή αν 119879 = (119905119894119895)119894119895 τότε
tr(119879) =119899
sum119894=1
119905119894119894 =119899
sum119894=1
⟨119879119890119894 119890119894⟩
όπου τα (119890119894)119899119894=1 αποτελούν την ορθοκανονική βάση ως προς την οποία
είναι γραμμένος ο πίνακας (119905119894119895)119894119895
Εύκολα ελέγχουμε ότι το ίχνος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες για οποιουσ-
δήποτε 119899 times 119899 πίνακες 119879 = (119905119894119895)119894119895 119878 = (119904119894119895)119894119895 και κάθε 120582 isin ℝ
hellip
(i) tr(119879) + tr(119878) = tr(119879 + 119878)
(ii) tr(120582119879) = 120582tr(119879)
(iii) tr(119879119905) = tr(119879)
(iv) tr(119879119878) = tr(119879119878) = sum119894119895
119905119895119894119904119894119895 (δείτε Άσκηση )
Από την (iv) προκύπτει άμεσα ότι το ίχνος δεν εξαρτάται από τη
βάση του χώρου αφού tr(119875minus1119879119875) = tr(119879119875119875minus1) = tr119879 Έτσι αν ο 119879είναι διαγωνοποιήσιμος αλλάζοντας κατάλληλα τη βάση του χώρου
συμπεραίνουμε ότι το ίχνος του 119879 είναι το άθροισμα των ιδιοτιμών του
Ο Ένας συμμετρικός 119899 times 119899 πίνακας λέγεται θετικά ορι-σμένος αν για κάθε 119909 isin ℝ119899 ⧵ 0 ισχύει ⟨119879119909 119909⟩ gt 0
Ο Ένας συμμετρικός 119899 times 119899 πίνακας λέγεται θετικά ημιο-ρισμένος αν για κάθε 119909 isin ℝ119899 ⧵ 0 ισχύει ⟨119879119909 119909⟩ ge 0
Φανερά κάθε θετικά ορισμένος πίνακας είναι και θετικά ημιορισμένος
Για ένα θετικά ημιορισμένο πίνακα 119879 από το φασματικό θεώρημα
(δείτε [ΓρΑλγ]) υπάρχει ορθοκανονική βάση 1198911 hellip 119891119899 του ℝ119899 που
αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του 119879 και αντίστοιχες ιδιοτιμές 1205821 hellip 120582119899οι οποίες είναι μη αρνητικοί αριθμοί Συγκεκριμένα ισχύει 119879119891119895 = 120582119895119891119895και 120582119895 ge 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899 Αν ο 119879 είναι θετικά ορισμένος τότε οι
ιδιοτιμές 120582119895 είναι όλες θετικές
Π Το ℰ υποσύνολο του ℝ119899 είναι ελλειψοειδές με κέντροτην αρχή των αξόνων αν και μόνο αν υπάρχει πίνακας 119879 θετικά ορισμένοςώστε ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119879119909 119909⟩ le 1
Απόδειξη Αν το ℰ είναι ελλειψοειδές έστω ότι τα 1198901 hellip 119890119899 και 1198861 hellip 119886119899είναι όπως στον Ορισμό Θέτουμε
119879 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝
119886minus21 0 hellip 00 119886minus2
2 hellip 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 hellip 119886minus2
119899
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Τέτοιους πίνακες στο εξής για εξοικονόμηση χώρου θα τους γράφουμε
ως εξής 119879 = diag(119886minus21 hellip 119886minus2
119899 ) Εύκολα τώρα ελέγχει κανείς ότι ο 119879
hellip
είναι θετικά ορισμένος και
⟨119879119909 119909⟩ =119899
sum119895=1
⟨119909 119890119895⟩2
1198862119895
Συνεπώς ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119879119909 119909⟩ le 1Αντιστρόφως έστω ότι ο 119879 είναι ένας θετικά ορισμένος 119899times119899 πίνακας
και 119870 = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119879119909 119909⟩ le 1 Θα αποδείξουμε ότι το 119870 είναι
ελλειψοειδές Έστω ότι τα 1198911 hellip 119891119899 και 1205821 hellip 120582119899 είναι όπως παραπάνω
η ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσμάτων του 119879 και οι αντίστοιχες θετικές
ιδιοτιμές του Ένα διάνυσμα 119909 είναι στοιχείο του 119870 αν και μόνο αν
⟨119879119909 119909⟩ le 1 Όμως αφού τα 1198911 hellip 119891119899 συνιστούν ορθοκανονική βάση του
ℝ119899 μπορούμε να γράψουμε 119909 = sum119899119895=1⟨119909 119891119895⟩119891119895 οπότε η προηγούμενη
γίνεται
⟨119879(119899
sum119895=1
⟨119909 119891119895⟩119891119895)119899
sum119895=1
⟨119909 119891119895⟩119891119895⟩ le 1
Απλές πράξεις δείχνουν ότι η τελευταία είναι ισοδύναμη με την
119899
sum119895=1
⟨119909 119891119895⟩2
(1radic120582119895)2le 1
ολοκληρώνοντας την απόδειξη σύμφωνα με τον Ορισμό
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν οι 119879 = (119905119894119895)119894119895 και 119878 = (119904119894119895)119894119895 είναι δυο 119899 times 119899πίνακες τότε tr(119879119905119878) = sum119894119895 119905119894119895119904119894119895 (Υπόδειξη Χρησιμοποιήστε τον Ορισμό
και το ότι αν η (119890119895)119899119895=1 είναι ορθοκανονική βάση στον ℝ119899 τότε για κάθε 119909 isin ℝ119899
ισχύει 119879119909 = sum119899119895=1⟨119879119909 119890119895⟩119890119895)
Άσκηση Αποδείξτε ότι το ίχνος ενός πίνακα είναι ανεξάρτητο από την
βάση του χώρου ακολουθώντας την εξής διαδικασία Αποδείξτε με επαγωγή
στη διάσταση του χώρου 119899 ge 2 ότι
det(Id +ℎ119860) = 1 + ℎtr(119860) + 119874(ℎ2)()
όπου η ποσότητα 119874(ℎ2) ικανοποιεί την limℎrarr0 119874(ℎ2)ℎ = 0 Στη συνέχεια
χρησιμοποιήστε την () για να αποδείξετε ότι το ίχνος tr119860 είναι η κατευθυ-
νόμενη παράγωγος της ορίζουσας στη διεύθυνση του πίνακα 119860 στο σημείο Id
hellip
δηλαδή
tr(119860) = limℎrarr0
det(Id +ℎ119860) minus det Idℎ
()
Τέλος χρησιμοποιήστε την () για να αποδείξετε ότι για κάθε αντιστρέψιμο
πίνακα 119875 ισχύει tr(119875minus1119860119875) = tr119860
Άσκηση [Singular Value Decomposition] Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέ-
ψιμο πίνακα 119879 υπάρχουν ορθογώνιοι πίνακες 119880 119881 και διαγώνιος πίνακας
119863 με θετικά στοιχεία διαγωνίου ώστε να ισχύει 119879 = 119880119863119881 ακολουθώντας τα
παρακάτω βήματαμη αντρι-
στρέψιμοι
και θετικά
ημιορισμέ-
νοι
(i) Αποδείξτε ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση 1198901 hellip 119890119899 του ℝ119899 και θετικοί
αριθμοί 1205821 hellip 120582119899 ώστε να ισχύει 119879119905119879119890119895 = 120582119895119890119895 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899
(ii) Θέστε 119907119895 = radic120582119895minus1119879119890119895 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899 και αποδείξτε ότι ta 1199071 hellip 119907119899
συνιστούν ορθοκανονική βάση του ℝ119899
(iii) Αν 119875 ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα 119907119895 και 119876 o πίνακας με στήλες
τα διανύσματα 119890119895 αποδείξτε ότι ισχύει
119875 = 119879119876diag(radic1205821minus1
hellip radic120582119899minus1
)
Άσκηση Χρησιμοποιήστε την Άσκηση για να δείξετε ότι για κάθε
119899 times 119899 πίνακα 119879 υπάρχει ορθογώνιος 119899 times 119899 πίνακας 119880 και θετικά ημιορισμένος
119899 times 119899 πίνακας 119875 ώστε 119879 = 119880119875 Η αναπαράσταση αυτή είναι γνωστή με το
όνομα πολική αναπαράσταση του 119879 (Υπόδειξη 119880119863119881 = (119880119881)(119881lowast119863119881) για κάθε
119881 ορθογώνιο 119899 times 119899 πίνακα)
hellip
Συμβολίζουμε με 119872119899times119899 το σύνολο των 119899times119899 πινάκων με στοιχεία από
το ℝ Τα στοιχεία Τ του 119872119899times119899 τα βλέπουμε και ως γραμμικές απεικονίσεις
από τον ℝ119899 στον ℝ119899 όπου το για κάθε 119909 isin ℝ119899 το 119879119909 είναι το διάνυσμα
στον ℝ119899 που προκύπτει με πολλαπλασιασμό του 119899 times 119899 πίνακα 119879 με το
119899 times 1 διάνυσμα 119909 Στο 119872119899times119899 ορίζουμε μια νόρμα θέτοντας
119879 = sup1198791199092 ∶ 119909 isin ℬ1198992()
Φανερά ο ορισμός είναι καλός αφού το σύνολο ℬ1198992 είναι συμπαγές και η
απεικόνιση 119879 συνεχής Πράγματι η () ορίζει μια νόρμα στο 119872119899times119899
hellip
(i) Φανερά 119879 ge 0 και αν 119879 = 0 τότε 119879119909 = 0 για κάθε 119909 isin ℬ1198992
οπότε για κάθε 119909 isin ℝ119899 ⧵ 0 ισχύει
119879119909 = 1199092 119879 (119909
1199092) = 0
Έτσι 119879 = 0
(ii) Για κάθε 120582 isin ℝ ισχύει
120582119879 = sup119909isinℬ119899
2
1205821198791199092 = |120582| sup119909isinℬ119899
2
1198791199092 = |120582| 119879
(iii) Τέλος αν 119879 119878 isin 119872119899times119899 τότε
119879 + 119878 = sup119909isinℬ119899
2
(119879 + 119878)1199092 le sup119909isinℬ119899
2
(1198791199092 + 1198781199092)
le sup119909isinℬ119899
2
1198791199092 + sup119909isinℬ119899
2
1198781199092 = 119879 + 119878
Π Οι ορθογώνιοι πίνακες έχουν νόρμα ίση με 1 Πράγ-ματι αν 119880 ορθογώνιος τότε (εξrdquo ορισμού) 119880lowast119880 = Id Έτσι για κάθε
119909 isin ℝ119899 έχουμε
11988011990922 = ⟨119880119909 119880119909⟩ = ⟨119880lowast119880119909 119909⟩ = ⟨119909 119909⟩ = 1199092
Άρα 1198801199092 = 1199092 και η () συνεπάγεται αμέσως ότι 119880 = 1
Π Αν υπάρχει 119862 gt 0 ώστε 1198791199092 le 1198621199092 για κάθε
119909 isin ℝ119899 τότε 119879 le 119862 Αυτό προκύπτει αμέσως από την ()
Επίσης για κάθε 119909 isin ℝ119899 ισχύει 1198791199092 le 119879 1199092 Πράγματι αυτό
είναι προφανές αν 119909 = 0 και αν 119909 ne 0 τότε
1198791199092 = 119879(1199091199092)1199092 le 119879 1199092
Π Αν 119879 119878 isin 119872119899times119899 τότε 119879119878 le 119879 119878 Πράγματιαπό την () και την Παρατήρηση για κάθε 119909 isin ℬ119899
2 έχουμε
(119879119878)1199092 = 119879(119878119909)2 le 119879 1198781199092 le 119879 119878 1199092
άρα 119879119878 le 119879 119878
hellip
Π Η απεικόνιση 119983 ∶ 119872119899times119899 rarr ℝ1198992 όπου
119983(119886119894119895)119899119894119895=1 = (11988611 11988612 hellip 1198861119899 11988621 hellip 1198862119899 hellip 1198861198991 hellip 119886119899119899)
είναι γραμμική 1-1 επί συνεχής και η αντίστροφή της είναι συνεχής
Απόδειξη Φανερά η 119983 είναι γραμμική - και επί Μένει να δείξουμε τη
συνέχεια της 119983 και της 119983minus1 Αλλά ο 119872119899times119899 είναι ο ℝ1198992με διαφορετική
νόρμα (την sdot όπως ορίστηκε πριν) Συνεπώς η συνέχεια της 119983 είναι
απλώς η ισοδυναμία δύο νορμών στον ℝ1198992 η οποία ισχύει από την
Πρόταση
Π Ένα σύνολο ℳ sube 119872119899times119899 είναι φραγμένο αν και μόνοαν είναι φραγμένο ως υποσύνολο του (ℝ1198992
sdot 2) (μέσω της 119983 τηςΠρότασης )
Ομοίως ένα ℳ sube 119872119899times119899 είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι συμπαγές(δηλαδή κλειστό και φραγμένο) ως υποσύνολο του (ℝ1198992
sdot 2)
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν ο 119863 = diag(1205821 1205822 hellip 120582119899) είναι διαγώνιος πίνακας
τότε
119863 = max|120582119895| ∶ 119895 = 1 2 hellip 119899
Άσκηση Αν η 119863119898 είναι μια ακολουθία διαγώνιων πινάκων με det(119863119898) = 1για κάθε 119898 isin ℕ τότε η ακολουθία 119863119898 είναι φραγμένη αν και μόνο αν η
ακολουθία 119863minus1119898 είναι φραγμένη
Άσκηση Χρησιμοποιήστε την Άσκηση για να αποδείξετε ότι η
Άσκηση δεν ισχύει μόνο για διαγώνιους πίνακες αλλά και για οποιαδήποτε
ακολουθία 119879119898 119899 times 119899-πινάκων με det(119879119898) = 1 για κάθε 119898 isin ℕ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΕΝΟΣ ΚΥΡΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
Ας θεωρήσουμε ένα κυρτό σώμα 119870 στο ℝ119899 Οποιαδήποτε μεταφορά
του 1199090 + 119870 στο χώρο δεν αλλάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του
σώματος και για αυτό δεν θεωρούμε ότι πρόκειται για ουσιαστικά
διαφορετικό σώμα Λέμε απλώς ότι το σώμα βρίσκεται σε άλλη θέση
Αυτό όμως δεν συμβαίνει μόνο με τις μεταφορές Προφανώς συμβαίνει και
με τις στροφές και τις ανακλάσεις Γενικότερα θεωρούμε ότι ένα κυρτό
σώμα δεν αλλάζει κατά ουσιαστικό τρόπο όταν αλλάζει η βάση του
χώρου Από τη Γραμμική Άλγεβρα γνωρίζουμε ότι η αλλαγή της βάσης
του ℝ119899 γίνεται με έναν πίνακα ο οποίος έχει μη μηδενική ορίζουσα Το
αποτέλεσμα οποιουδήποτε από τους παραπάνω μετασχηματισμούς σε
ένα κυρτό σώμα ή συνδυασμού τους ονομάζεται θέση του σώματος
Για να δώσουμε τον αυστηρό ορισμό υπενθυμίζουμε από την γραμμική
άλγεβρα ότι γράφουμε GL(119899) για τη γενική γραμμική ομάδα στον ℝ119899 το
GL(119899) αποτελείται από όλους τους 119899 times 119899 πίνακες που έχουν μη μηδενικήορίζουσα
Ο Αν το 119870 είναι ένα κυρτό σώμα στον ℝ119899 ονομάζουμεθέση του 119870 οποιοδήποτε σύνολο της μορφής 1199090 + 119879(119870) όπου 1199090 isin ℝ119899
και 119879 isin GL(119899)
Πολλές φορές ταυτίζουμε το κυρτό σώμα με την κλάση όλων των θέσεών
του (θεωρώντας ότι όλες οι θέσεις αναφέρονται στο ίδιο σώμα) Στο
επόμενο αποδεικνύουμε ότι οποιοδήποτε ελλειψοειδές είναι μια θέση της
ευκλείδειας μπάλας ℬ1198992
Π Το σύνολο των θέσεων της ευκλείδειας μπάλας ℬ1198992 είναι
το σύνολο των ελλειψοειδών στον ℝ119899
Απόδειξη Το ℰ είναι ελλειψοειδές στον ℝ119899 με κέντρο την αρχή των
αξόνων αν και μόνο αν υπάρχει ορθοκανονική βάση 1198901 hellip 119890119899 του ℝ119899 και
θετικοί αριθμοί 1198861 hellip 119886119899 ώστε
ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶119899
sum119895=1
⟨119909 119890119895⟩2
1198862119895
le 1
(δείτε Ορισμό ) Ο διαγώνιος πίνακας 119879 = diag(1198861 hellip 119886119899) είναι αντι-
στρέψιμος (αφού τα 1198861 hellip 119886119899 είναι θετικοί αριθμοί) και εύκολα ελέγχουμε
ότι ισχύει 119879(ℬ1198992) = ℰ Οποιοδήποτε άλλο ελλειψοειδές στον ℝ119899 είναι
μεταφορά ελλειψοειδούς με κέντρο την αρχή των αξόνων
Αντίστροφα πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε 119879 isin GL(119899) το
119879(ℬ1198992) είναι ελλειψοειδές Όμως 119909 isin 119879(ℬ119899
2) αν και μόνο αν 119879minus1119909 isin ℬ1198992
δηλαδή αν και μόνο αν ⟨119879minus1119909 119879minus1119909⟩ le 1 Αυτό είναι ισοδύναμο με το
⟨(119879minus1)119905119879minus1119909 119909⟩ le 1 Έτσι από την Πρόταση μένει να δείξουμε ότι
ο πίνακας (119879minus1)119905119879minus1 είναι θετικά ορισμένος Όμως προφανώς για κάθε
μη μηδενικό 119911 isin ℝ119899 ισχύει
⟨(119879minus1)119905119879minus1119911 119911⟩ = ⟨119879minus1119911 119879minus1119911⟩ = 119879minus11199112 ge 0
Μένει να δειχθεί ότι αν 119911 isin ℝ119899 ⧵ 0 τότε 119879minus1119911 ne 0 Αν υποθέσουμε
ότι υπάρχει μη μηδενικό 119911 isin ℝ119899 ώστε 119879minus1119911 = 0 τότε θέτουμε 1198901 =1199111199112 και συμπληρώνουμε σε μια ορθοκανονική βάση με τα διανύσματα
1198902 hellip 119890119899 επιλέγοντάς τα ώστε αυτά να είναι ορθοκανονική βάση του
υποχώρου κάθετου στο 1198901 Τότε ο πίνακας 119879minus1 γραμμένος ως προς
τη βάση 1198901 hellip 119890119899 έχει στην πρώτη στήλη του μηδενικά αφού λόγω
του ότι 119879minus11198901 = 0 ισχύει ⟨119879minus11198901 119890119895⟩ = 0 για κάθε 119895 = 1 2 hellip 119899 Άραdet 119879minus1 = 0 το οποίο είναι άτοπο αφού ο 119879 είναι αντιστρέψιμος
Π Αυτό που πραγματικά κρύβεται πίσω από την
απόδειξη είναι η πολική αναπαράσταση ενός τετραγωνικού πίνακα κάθε
(πραγματικός) τετραγωνικός 119879 παραγοντοποιείται στη μορφή 119879 = 119880119860όπου ο 119880 είναι ορθογώνιος (δηλαδή 119880119905 = 119880minus1) και ο 119860 διαγώνιος
(δείτε [ΓρΑλγ]) Έτσι ο 119860 απεικονίζει την ℬ1198992 σε ένα ελλειψοειδές
με άξονες τους βασικούς άξονες και στη συνέχεια ο 119880 laquoστρέφειraquo το
ελλειψοειδές στο χώρο (ο 119880 ως ορθογώνιος είναι συνδυασμός ανακλάσεων
και στροφών)
Π Παρατηρήστε ότι αν επιλέξουμε ένα ελλειψοειδές
ℰ στο ℝ119899 τότε
(i) το ελλειψοειδές ℰ καθορίζει ένα πίνακα Τ isin GL(119899) από την
ℰ = 119879(ℬ1198992)
(ii) Ο 119879 καθορίζει μια αλλαγή βάσης
(iii) Ο 119879 και η αλλαγή βάσης θέτουν το 119870 σε μια άλλη θέση τη θέση
Τ(Κ)
Έτσι πολλές φορές λέμε ότι η θέση ενός σώματος 119870 καθορίζεται από
την laquoεπιλογή της ευκλείδειας δομής του ℝ119899raquo Δηλαδή την επιλογή του
ελλειψοειδούς ℰ Η χρήση της λέξης laquoδομήraquo στην παραπάνω φράση
προέρχεται από το ότι ένα ελλειψοειδές καθορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Πράγματι αν ως προς την κατάλληλη ορθοκανονική βάση 1198901 hellip 119890119899
ℰ = 119909 = (119909119896)119899119896=1 isin ℝ119899 ∶
119899
sum119896=1
1199092119896
1198862119896
le 1
όπου 119886119896 gt 0 για 119896 = 1 hellip 119899 τότε ελέγχουμε εύκολα ότι το
⟨119909 119908⟩ℰ ∶=119899
sum119896=1
119911119896119908119896
1198862119896
()
είναι ένα εσωτερικό γινόμενο και το σύνολο 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨119909 119909⟩ℰ le 1 είναι
ακριβώς το ℰ
Άσκηση Αποδείξτε ότι οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο στον ℝ2 είναι
μια θέση του τετραγώνου 119862 = [minus1 1]2 Ομοίως αποδείξτε ότι οποιοδήποτε
παραλληλεπίπεδο στον ℝ119899 είναι μια θέση του κύβου 119862 = [minus1 1]119899
Άσκηση Δείξτε ότι η σχέση () ορίζει πράγματι ένα εσωτερικό γινόμενο
στον ℝ119899
Άσκηση Δείξτε ότι αν sdot ℰ είναι η νόρμα που ορίζει ένα ελλειψοειδές ℰστον ℝ119899 τότε ισχύει ⟨119909 119909⟩ℰ = 1199092
ℰ
Άσκηση Εξηγήστε γιατί η επιλογή ενός εσωτερικού γινομένου στον ℝ119899
καθορίζει τη θέση ενός κυρτού σώματος 119870
Η ΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΘΕΣΗ
Η ισοτροπική θέση ενός κυρτού σώματος είναι μια πολύ ιδιαίτερη
θέση η οποία προέρχεται από την Κλασική Μηχανική Ο συνήθης ορισμός
της ισοτροπίας είναι ο ακόλουθος
Ο (Ισοτροπικό σώμα) Ένα κυρτό σώμα 119870 sube ℝ119899 λέμε
ότι είναι ισοτροπικό αν έχει όγκο ίσο με 1 κέντρο μάζας στο 0 και το
ολοκλήρωμα int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 είναι σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο του 120579 isin
120138119899minus1 Η τετραγωνική ρίζα αυτής της κοινής τιμής των ολοκληρωμάτων
ονομάζεται σταθερά ισοτροπίας του 119870 και συμβολίζεται με 119871119870
Θα δούμε παρακάτω ότι κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 έχει ισοτροπική
θέση δηλαδή υπάρχει 119879 isin GL(119899) ώστε το 119879(119870) να είναι ισοτροπικό
Στην επόμενη υποενότητα θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε αυτόν
τον ορισμό Αυτό δεν θα συμβάλει μόνο στην αιτιολόγηση του όρου
laquoισοτροπικόraquo αλλά θα συμβάλει στο να κατανοήσουμε ότι από φυσικής
πλευράς η ισοτροπική θέση είναι η απλούστερη θέση στην οποία μπορεί
να βρεθεί ένα σώμα
Ροπή δύναμης και ροπή αδράνειας
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα αντικείμενο που μπορεί να περιστραφεί
γύρω από έναν άξονα Μπορούμε να φανταστούμε μια σφαίρα και έναν
άξονα που περνάει από το κέντρο της ή μια πόρτα που στρέφεται
γύρω από τον άξονα που διέρχεται από τα σημεία στήριξής της Αν
εφαρμόσουμε μια δύναμη 119865 στο αντικείμενο κάθετα στο επίπεδο που
ορίζει ο άξονας περιστροφής και το διάνυσμα θέσης του σημείου στο
οποίο εφαρμόζεται η δύναμη αυτό θα αρχίσει να περιστρέφεται Ας
θεωρήσουμε ότι η δύναμη εφαρμόζεται στο σημείο 119903 το οποίο ανήκει
στο αντικείμενό μας Ονομάζουμε ροπή της δύναμης 119865 το διάνυσμα
120591 = 119903times 119865 όπου με times συμβολίζουμε το εξωτερικό γινόμενο Παρατηρούμε
ότι όσο πιο κοντά στον άξονα περιστροφής εφαρμόσουμε τη δύναμη
(για παράδειγμα όσο πιο κοντά στον άξονα περιστροφής της πόρτας)
τόσο πιο μικρό είναι σε μήκος το διάνυσμα 119903 οπότε είναι και μικρότερο
το μέγεθος της ροπής (η πόρτα θα στραφεί με μικρότερη ταχύτητα)
Η ροπή μιας δύναμης που εφαρμόζεται σε ένα σώμα που μπορεί ναστραφεί γύρω από έναν άξονα εκφράζει το μέγεθος της ικανότητας τηςδύναμης να στρέψει το σώμα
Άρα το πόσο εύκολα θα στραφεί το σώμα εξαρτάται από τη δύναμη119865 και το σημείο εφαρμογής της δύναμης 119903 Όμως το τι τελικά ακριβώς
θα συμβεί στο σώμα δεν εξαρτάται μόνο από τη δύναμη και το σημείο
εφαρμογής Διότι για παράδειγμα μια μπάλα του μπάσκετ στρέφεται
πολύ πιο εύκολα με την ίδια δύναμη από ότι ο πλανήτης Γη Άρα το τι
ακριβώς θα συμβεί με την ίδια δύναμη 119865 και το ίδιο 119903 σχετίζεται και με
χαρακτηριστικά του σώματος και της διεύθυνσης περιστροφής Αυτά
τα χαρακτηριστικά εκφράζονται στην έννοια της ροπής αδράνειας του
σώματος ως προς τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής
Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εκφράζει το πόσο εύκολα αυτόστρέφεται γύρω από δοθέντα άξονα Εξαρτάται δηλαδή τόσο από το σώμαόσο και από τον άξονα περιστροφής Το ότι η ροπή αδράνειας εξαρτάται
και από τον άξονα περιστροφής φαίνεται εύκολα με το παράδειγμα του
ακροβάτη που περπατάει σε σχοινί κρατώντας κάθετα στο σχοινί μια
πολύ μεγάλη ράβδο (δείτε την Εικόνα ) Για να πέσει από το σχοινί
ο ακροβάτης θα πρέπει η ράβδος που κρατάει να στραφεί με άξονα
περιστροφής παράλληλο στο σχοινί στο οποίο βαδίζει Επειδή ακριβώς
η ράβδος είναι μεγάλη στην κάθετη στο σχοινί διεύθυνση αυτή έχει
πολύ μεγάλη ροπή αδράνειας (δεν laquoθέλειraquo δηλαδή να στραφεί) και για
αυτό ο ακροβάτης δεν πέφτει εύκολα (Το ότι ο ακροβάτης συγκρατεί τη
ράβδο είναι μάλλoν ψευδαίσθηση Η ράβδος συγκρατεί τον ακροβάτη)
Μιλώντας πιο αυστηρά η ροπή αδράνειας ενός σώματος εκφράζει τηροπή που απαιτείται για να αποκτήσει το σώμα μια καθορισμένη γωνιακήεπιτάχυνση Μια σημειακή μάζα 119898 σε θέση 119903 όπου το 119903 είναι κάθετο στον
άξονα περιστροφής της έχει ροπή αδράνειας την ποσότητα 119868 = 119898 11990322
(Βεβαίως η επιλογή αυτού του τύπου δεν είναι αυθαίρετη αλλά βασίζεται
σε πειραματικά δεδομένα Για παράδειγμα διπλασιάζουμε την απόσταση
από τον άξονα περιστροφής και μετράμε τετραπλάσια ροπή για την
απόκτηση της ίδιας γωνιακής επιτάχυνσης)
Αν τώρα μιλάμε για ένα κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 η συνολική του
ροπή αδράνειας υπολογίζεται αν laquoπροσθέσουμε όλες τις ροπές αδράνειας
των σημείων τουraquo δηλαδή αν ολοκληρώσουμε πάνω στο 119870 Για να
απλοποιηθεί η περιγραφή μας ας υποθέσουμε ότι οι laquoσημειακές μάζεςraquo
στο 119870 είναι ίσες με 1 Με άλλα λόγια θεωρούμε ότι η πυκνότητα του
υλικού του 119870 είναι σταθερά ίση με 1 Έτσι αν το διάνυσμα 120579 isin 120138119899minus1
καθορίζει τον άξονα περιστροφής τότε η (συνολική) ροπή αδράνειας
Ε Ο Samuel Dixon διασχίζει τον Νιαγάρα πάνω σε ένα σχοινί
της ίντσας χρησιμοποιώντας τη ροπή αδράνειας μιας μεγάλης ράβδου
(φωτογραφία George Barker Νιαγάρας )
του 119870 είναι η ποσότητα
int119870
11990311990922 119889119909
όπου το 119903119909 είναι το διάνυσμα κάθετο στον άξονα περιστροφής από τον
άξονα στο 119909 isin 119870 Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα η ροπή
αδράνειας του 119870 ως προς τον άξονα που καθορίζει το 120579 είναι ίση με το
int119870(1199092
2 minus ⟨119909 120579⟩2) 119889119909()
Φανερά η ροπή αδράνειας εξαρτάται λοιπόν από τον άξονα τη διεύθυνση
120579 Αν αυτό δεν συμβαίνει αν δηλαδή η ροπή αδράνειας είναι ίδια για
το 119870 ως προς οποιοδήποτε άξονα περιστροφής τότε το σώμα λέγεται
ισοτροπικό Η συνθήκη που μόλις περιγράψαμε είναι φανερά ισοδύναμη
με την συνθήκη η ποσότητα int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 να είναι σταθερή και ανεξάρτητη
από την επιλογή του 120579 isin 120138119899minus1
Έτσι λοιπόν ένα σώμα είναι ισοτροπικό όταν η ροπή που χρειάζεταιγια να αποκτήσει συγκεκριμμένη γωνιακή επιτάχυνση είναι ίδια ως προςοποιοδήποτε άξονα και αν είναι να περιστραφεί
Προσθέτουμε μόνο εδώ ότι η οι επιπλέον απαιτήσεις του Ορι-
σμού δηλαδή να έχει το σώμα κέντρο μάζας στο 0 και να έχει
συνολικό όγκο 1 είναι κανονικοποιήσεις που απλά διευκολύνουν διάφο-
ρους υπολογισμούς και δεν έχουν σχέση με την ισοτροπία ως φυσική
έννοια
Πίνακας αδράνειας και ροπή αδράνειας
Όπως είδαμε παραπάνω η ροπή αδράνειας εξαρτάται τόσο από
το σώμα το οποίο στρέφεται όσο και από τη διεύθυνση του άξονα
περιστροφής Είναι δυνατόν αυτά τα δύο να laquoδιαχωριστούνraquo Μπο-
ρούν δηλαδή κατά μία έννοια να απομονωθούν τα χαρακτηριστικά
του σώματος που καθορίζουν ή επηρεάζουν την περιστροφή από τη
διεύθυνση περιστροφής Η απάντηση είναι θετική και αυτό γίνεται με
τον πίνακα αδράνειας του σώματος
Θα συμβολίσουμε με Id τον ταυτοτικό πίνακα στον ℝ119899 Αν γράψουμε
το τυχόν 119909 isin 119870 ως sum119899119894=1 119909119894119890119894 ως προς την συνήθη ορθοκανονική βάση
του ℝ119899 και ομοίως και για το 120579 από τη σχέση () εύκολα βλέπουμε
με απλές πράξεις ότι
int119870(1199092
2 minus ⟨119909 120579⟩2) 119889119909 = ⟨119868119870120579 120579⟩
όπου 119868119870 είναι ο πίνακας
(int119870
11990922 119889119909) Id minus (int
119870119909119894119909119895 119889119909)
119894119895
=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
int119870(11990922 minus 1199092
1 ) 119889119909 minus int11987011990911199092 119889119909 hellip minus int119870
1199091119909119899 119889119909minus int119870
11990921199091 119889119909 int119870(1199092 minus 11990922) 119889119909 hellip minus int119870
1199092119909119899 119889119909⋮ ⋮ ⋱ ⋮
minus int1198701199091198991199091 119889119909 minus int119870
1199091198991199092 119889119909 hellip int119870(11990922 minus 1199092
119899) 119889119909
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Ο πίνακας 119868119870 ονομάζεται πίνακας αδράνειας του σώματος 119870 (Inertiamatrix) Όταν εργαζόμαστε με ένα σώμα και δεν υπάρχει κίνδυνος
σύγχυσης μπορεί να παραλείπουμε τον δείκτη 119870 και να γράφουμε απλά
119868 Ο 119868 εξαρτάται μόνο από το σώμα 119870 (και το σύστημα συντεταγμένων)
και για κάθε 120579 isin 120138119899minus1 το εσωτερικό γινόμενο ⟨119868120579 120579⟩ υπολογίζει τη ροπή
αδράνειας του σώματος 119870 με άξονα περιστροφής τη διεύθυνση του 120579Για τη Φυσική όπως η μάζα είναι το μέτρο της αδράνειας του 119870 για
την ευθύγραμμη κίνηση έτσι και ο πίνακας αδράνειας είναι το laquoμέτροraquo
της αδράνειας στην περιστροφική κίνηση
Εύκολα βλέπει κανείς ότι αυτός ο συμμετρικός πίνακας είναι θετικά
ορισμένος Αλλά από την πλευρά της Φυσικής αυτό είναι άμεσα αντι-
ληπτό αν κανείς γνωρίζει ότι αν το 119870 στρέφεται με οποιαδήποτε (μη
μηδενική) σταθερή γωνιακή ταχύτητα τότε η κινητική του ενέργεια
είναι ακριβώς η ποσότητα 12⟨119868 ⟩ και ως ενέργεια η ποσότητα αυτή
είναι αναγκαστικά θετική Έτσι ο 119868 είναι διαγωνοποιήσιμος δηλαδή
υπάρχει κατάλληλος ορθομοναδιαίος πίνακας αλλαγής βάσης 119876 ώστε ο
119868 = 119876119905Λ119876 όπου Λ διαγώνιος πίνακας έστω με στοιχεία διαγωνίου τα
1198681 hellip 119868119899 Οι διευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων του 119868 ονομάζονται κύριοι(ή πρωτεύοντες) άξονες του σώματος 119870 Οι ποσότητες 1198681 hellip 119868119899 (οι οποίες
είναι θετικές αφού ο 119868 είναι θετικά ορισμένος) ονομάζονται κύριες (ή
πρωτεύουσες) ροπές αδράνειας του 119870 Τα υπερεπίπεδα που παράγονται
από οποιαδήποτε 119899minus1 από τα ιδιοδιανύσματα του 119868 ονομάζονται κύρια(ή πρωτεύοντα) υπερεπίπεδα του 119870
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι αν επιλέξουμε κατάλληλα την ορθοκανονι-
κή βάση του ℝ119899 ο πίνακας αδράνειας του 119870 είναι διαγώνιος ο διαγώνιος
πίνακας Λ Συνεπώς αν εφαρμόσουμε στο σώμα 119870 κατάλληλο διαγώνιο
πίνακα (ως προς κατάλληλη βάση) ο πίνακας αδράνειας της νέας θέσης
του 119870 έστω 119870prime θα είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού δηλαδή τα
int119870prime 1199092119894 119889119909 θα είναι ανεξάρτητα του 119894 και int119870prime 119909119894119909119895 119889119909 = 0 για κάθε 119894 ne 119895
Εύκολα ελέγχουμε ότι αυτές οι συνθήκες συνεπάγονται ότι στη νέα αυτή
θέση του το 119870 δηλαδή το 119870prime είναι ισοτροπικό
Αποδείξαμε έτσι ότι κάθε κυρτό σώμα 119870 μπορεί να αλλάξει θέση ώστεη νέα θέση που προκύπτει να είναι ισοτροπική
Παρατηρούμε εδώ ότι πολύ συχνά στη βιβλιογραφία η ισοτροπική
θέση περιγράφεται λέγοντας ότι ο πίνακας αδράνειας του σώματος 119870είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού συν τις συνθήκες κανονικοποίησης
του Ορισμού δηλαδή ότι πρέπει να έχει όγκο ίσο με 1 και κέντρομάζας στο 0
Αν ονομάσουμε 119862 = 119862119870 = Cov(119870) τον πίνακα (int119870119909119894119909119895 119889119909)119894119895 τότε
ισχύει
119868(119870) =tr(119862)119899 minus 1
Id minus119862
Αυτό ελέγχεται εύκολα αφού
tr(119862) =119899
sum119894=1
(int119870
11990922 119889119909 minus int
1198701199092
119894 119889119909) = (119899 minus 1) int119870
11990922 119889119909
Ο πίνακας 119862 = 119862119870 ονομάζεται πίνακας συνδιακύμανσης (Covariance
matrix) του 119870 Συνήθως μελετάμε τον πίνακα 119862 αντί για τον 119868 αφού
ο 119862 είναι απλούστερος και οι ιδιότητες του 119868 που μας ενδιαφέρουν
προκύπτουν άμεσα από τις ιδιότητες του 119862 Για παράδειγμα ο 119868 είναιπολλαπλάσιος του ταυτοτικού Id (και το σώμα 119870 είναι ισοτροπικό) αν
και μόνο αν ο 119862 είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού Με βάση αυτή
την παρατήρηση μπορούμε να δώσουμε τον εξής εναλλακτικό ορισμό
του ισοτροπικού σώματος
Ο (Ισοτροπικό σώμα (εναλλακτικός ορισμός)) Ένα κυρ-
τό σώμα 119870 sube ℝ119899 λέγεται ισοτροπικό αν έχει όγκο ίσο με 1 κέντρο μάζας
στο 0 και ισχύουν οι σχέσεις
(i) int1198701199092
119894 119889119909 = int1198701199092
119895 119889119909 για κάθε 119894 119895 = 1 hellip 119899 και
(ii) int119870119909119894119909119895 119889119909 = 0 για κάθε 119894 119895 = 1 hellip 119899 με 119894 ne 119895
Ο αριθμός 119871119870 = (int1198701199092
119894 119889119909)12 (που είναι ανεξάρτητος του 119894) ονομάζεται
σταθερά ισοτροπίας του 119870
Πρέπει βεβαίως κανείς να ελέγξει ότι η 119871119870 όπως ορίστηκε εδώ ισούται
με την 119871119870 όπως ορίστηκε στον Ορισμό Αυτό είναι απλό και το
διατυπώνουμε στην Άσκηση
Άσκηση Αποδείξτε ότι αν ισχύουν οι σχέσεις (i) και (ii) του Ορισμού
τότε το int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 είναι ανεξάρτητο του 120579 isin 120138119899minus1
Πολική ροπή αδρανείας
Ας υποθέσουμε ότι το αντικείμενο που μελετάμε είναι δισδιάστα-
το (για παράδειγμα ένα τμήμα ενός λεπτού φύλου κάποιου υλικού)
Μπορούμε να θεωρήσουμε τώρα ότι το σώμα αυτό θα περιστραφεί στο
επίπεδο στο οποίο περιέχεται Ο μόνος τρόπος να γίνει αυτό είναι να
περιστραφεί γύρω από κάποιο σημείο 1199090 αυτού του επιπέδου Αυτό
είναι ισοδύναμο με το να θεωρήσουμε το σώμα στον τρισδιάστατο χώρο
και να θεωρήσουμε ότι θα περιστραφεί γύρω από τον άξονα που περ-
νάει κάθετα στο επίπεδο στο οποίο περιέχεται από το 1199090 Η αδράνεια
που επιδεικνύει αυτό το σώμα σε μια τέτοια περιστροφή δίνεται όπως
και πριν από το ολοκλήρωμα πάνω στο σώμα του τετραγώνου της
απόστασης των σημείων του από τον άξονα περιστροφής που σε αυτή
την περίπτωση είναι το σημείο 1199090 Αυτή η ροπή αδρανείας ονομάζεται
πολική και εφόσον η μάζα του σώματος έχει πυκνότητα ίση με 1 και
1199090 = 0 δίνεται από τον τύπο
PI119870 = int119870
1199092 119889119909
Η γενίκευση σε μεγαλύτερες διαστάσεις είναι όμοια Το παραπάνω
ολοκλήρωμα στον ℝ119899 ονομάζεται πολική ροπή αδρανείας όπου τώρα η
περιστροφή είναι γύρω από τον άξονα του ℝ119899+1 που περνάει κάθετα
στον ℝ119899 από το 0Παρατηρούμε εδώ ότι η πολική ροπή αδρανείας σχετίζεται με τα
ίχνη των πινάκων 119868119870 και 119862119870 ως εξής
PI119870 = int119870
11990922 119889119909 = tr(119862119870) =
tr(119868119870)119899 minus 1
()
Διαφορά μεταξύ ισοτροπικού και μη ισοτροπικού σώματος
Είδαμε ήδη ότι για τα ισοτροπικά σώματα η ίδια ροπή προκαλεί
την ίδια γωνιακή επιτάχυνση ως προς οποιοδήποτε άξονα Εδώ θα
εμβαθύνουμε λίγο παραπάνω σε αυτή την κατεύθυνση
Ας υποθέσουμε ότι σε ένα σώμα 119870 στον χώρο τού ασκείται μια ροπή
ώστε να αρχίσει να κινείται και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο χωρίς να
του ασκήται καμία εξωτερική δύναμη (ή η συνισταμένη των εξωτερικών
δυνάμεων ισούται με μηδέν) Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τη
διαφορά στην κίνηση αν το σώμα είναι ισοτροπικό ή όχι
Αν θεωρήσουμε δύο σημεία 119909 119910 isin 119870 με 119909 ne 119910 αφού το σώμα
υποτίθεται στερεό η απόστασή τους παραμένει σταθερή Δηλαδή η
ποσότητα
119909 minus 11991022 =
119899
sum119895=1
(119909119895 minus 119910119895)2
είναι σταθερή ως προς τον χρόνο Συνεπώς η παράγωγός της είναι
μηδέν Υπολογίζοντας την παράγωγο με τον κανόνα της αλυσίδας
παίρνουμε 2⟨119909 minus 119910 119907119909 minus 119907119910⟩ = 0 όπου με 119907119909 και 119907119910 συμβολίζουμε τις
ταχύτητες των σημείων 119909 και 119910 αντίστοιχα Έτσι για να ισχύει αυτό
είτε 119907119909 minus 119907119910 = 0 οπότε 119907119909 = 119907119910 και το σώμα κινείται ευθύγραμμα ομαλά
είτε 119907119909 minus 119907119910 ⟂ 119909 minus 119910 και το σώμα εκτελεί περιστροφική κίνηση Επειδή
εδώ ασκήθηκε ροπή στο σώμα συμβαίνει το δεύτερο Έτσι υπάρχει
διάνυσμα 120596119909119910 ώστε 119907119909 minus 119907119910 = 120596119909119910 times (119909 minus 119910) Μπορούμε να δούμε τώρα
ότι το 120596119909119910 είναι ανεξάρτητο των σημείων 119909 και 119910 Πράγματι αν πάρουμε
τρία σημεία 119909 119910 119911 στο 119870 θα ισχύει
120596119909119911 times (119909 minus 119910) minus 120596119909119911 times (119911 minus 119910) = 120596119909119911 times (119909 minus 119911) = 119907119909 minus 119907119911
= (119907119909 minus 119907119910) minus (119907119911 minus 119907119910)= 120596119909119910 times (119909 minus 119910) minus 120596119911119910 times (119911 minus 119910)
Αλλά η τελευταία μπορεί να ισχύει για κάθε 119909 119910 119911 isin 119870 μόνο αν
120596119909119911 = 120596119909119910 = 120596119911119910 Το κοινό αυτό διάνυσμα 120596 λοιπόν είναι χαρα-
κτηριστικό της κίνησης του σώματος και ονομάζεται γωνιακή ταχύτητα
του σώματος Μπορούμε να ελέγξουμε ότι το μέτρο του μας δείχνει την
γωνιακή μεταβολή των σημείων του 119870 ως προς τον άξονα περιστροφής
προς τον απαιτούμενο χρόνο Η περιστροφική αυτή κίνηση ονομάζεται
ομαλή (αφού υποθέσαμε ότι δεν ασκούνται πλέον δυνάμεις στο σώμα
ή ασκούνται αλλά έχουν συνισταμένη μηδέν) αλλά αυτό δεν σημαίνει
ότι το διάνυσμα 120596 είναι σταθερό Αυτό που γνωρίζουμε σίγουρα είναι
ότι το σώμα διατηρεί την κινητική του ενέργεια (αρχή διατήρησης της
ενέργειας) και τη στροφορμή του (αρχή διατήρησης της στροφορμής)
Η κινητική ενέργεια ενός σημείου του 119909 είναι 119864119909 = 121198981199091199071199092 όπου
119898119909 η σημειακή μάζα στο 119909 και 119907119909 η ταχύτητά του Έτσι αν το σώμα 119870έχει πυκνότητα 1 η κινητική του ενέργεια είναι 119864 = 1
2 int1198701199071199092 119889119909
Η στροφορμή ενός σημείου 119909 isin 119870 ορίζεται ως το διάνυσμα 119871119909 =119898119909119909 times 119907119909 και άρα για το σώμα 119870 με πυκνότητα 1 η στροφορμή του είναι
119871 = int119870119909 times 119907119909 119889119909 Αντικαθιστώντας το 119907119909 με 120596 times 119909 παίρνουμε
119871119909 = 119898119909(11990922120596 minus ⟨120596 119909⟩119909) = 119898119909119868119909120596
όπου 119868119909 ο πίνακας αδράνειας του 119909 δηλαδή
119868119909 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝
11990922 minus 1199092
1 minus11990911199092 hellip minus1199091119909119899minus11990921199091 1199092
2 minus 11990922 hellip minus1199092119909119899
⋮ ⋮ ⋱ ⋮minus1199091198991199091 minus1199091198991199092 hellip 1199092
2 minus 1199092119899
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ολοκληρώνοντας ως προς 119909 isin 119870 παίρνουμε ότι η συνολική στροφορμή
του 119870 είναι 119871 = 119868120596 όπου 119868 ο πίνακας αδράνειας του 119870 Χρησιμοποιώντας
τις ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου ελέγχουμε εύκολα ότι ισχύει
119864 = 12⟨119871 120596⟩
Με αυτές τις εξισώσεις μπορούμε να βγάλουμε τα παρακάτω συμ-
περάσματα
Αν ο ροπή που ασκήσαμε για την έναρξη της κίνησης του 119870 ήταν
κάθετη σε κύριο άξονα του 119870 τότε η στροφορμή 119871 είναι στη διεύθυνση
του κύριου άξονα Αλλά τότε το 119871 είναι ιδιοδιάνυσμα του 119868 και συνεπώς
120596 = 119868minus1119871 = 120582minus1119871 όπου 120582 η ιδιοτιμή του 119868 που αντιστοιχεί στον κύριο
άξονα Δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα είναι παράλληλη με τη στροφορμή
Αυτό σημαίνει ότι το σώμα θα κάνει μια απλή ομαλή περιστροφική
κίνηση γύρω από αυτόν τον κύριο άξονα
Αν η ροπή δίνει στροφορμή που δεν είναι στη διεύθυνση κύριου
άξονα τότε αυτή η γωνιακή ταχύτητα δεν είναι απαραίτητα παράλληλη
με τη στροφορμή 119871 Παραμένει όμως σταθερή η συνιστώσα της στη
διεύθυνση της στροφορμής 119871 αφού 119864 = 12⟨119871 120596⟩ και τόσο η κινητική
ενέργεια όσο και η στροφορμή είναι σταθερές
Έτσι ένα ελλειψοειδές με άνισους ημιάξονες στο οποίο ασκείται ροπή
ώστε να αποκτήσει στροφορμή 119871 η οποία δεν είναι στη διεύθυνση κύριου
άξονα θα κάνει μια σύνθετη κίνηση στον χώρο η οποία περιλαμβάνει
τόσο περιστροφή γύρω από τον άξονα της στροφορμής όσο και περι-
στροφική κίνηση γύρω από τον εαυτό του Τέτοια είναι η κίνηση που
εκτελεί ο πλανήτης μας περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του αλλά
και ο άξονας περιστροφής δεν είναι σταθερός αλλά εκτελεί και αυτός
περιστροφική κίνηση γύρω από τη διεύθυνση της στροφορμής της
Αν τώρα το ελλειψοειδές έχει για παράδειγμα κύριους άξονες με
ίσες ιδιοτιμές τότε αν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο επίπεδο που
παράγουν αυτοί οι δύο άξονες η κίνηση είναι απλή περιστροφική μια
και όπως πριν η στροφορμή είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα αδράνειας
οπότε προκύπτει γωνιακή ταχύτητα στη διεύθυνση της στροφορμής
Τέλος αν το 119870 είναι στην ισοτροπική του θέση κάθε άξονας περι-στροφής οδηγεί σε απλή περιστροφική κίνηση με τη γωνιακή ταχύτηταστη διεύθυνση της στροφορμής Αυτό είναι προφανές από τα παρα-
πάνω αφού στην ισοτροπική θέση ο πίνακας αδράνειας 119868 του 119870 είναι
πολλαπλάσιο του ταυτοτικού
Π Να σημειώσουμε εδώ μια και αναφέρθηκε ότι ο
πλανήτης μας δεν είναι στερεό σώμα αφού έχει ατμόσφαιρα νερό υγρό
πυρήνα κλπ Άρα η κίνηση του δεν είναι και τόσο προβλέψιμη όπως
θα ήταν αν επρόκειτο για στερεό σώμα Οι στρατιωτικοί οργανισμοί
καταγράφουν συνεχώς την τροχιά του άξονα του πλανήτη χρησιμο-
ποιώντας αστρονομικά δεδομένα ώστε να ενοπίζουν τη μεταβολή της
θέσης του Αυτό γίνεται βεβαίως με σκοπό να στοχεύουν με ακρίβεια οι
πύραυλοί τους τις πόλεις μαςhellip
Το ελλειψοειδές αδράνειας και το ελλειψοειδές κινητικής ενέργειας
Ας υποθέσουμε για λόγους απλοποίησης αλλά χωρίς βλάβη της
γενικότητας ότι η κινητική ενέργεια 119864119870 του Κ ισούται με 12 Εφόσονλοιπόν η κινητική ενέργεια 119864119870 = 1
2⟨119868120596 120596⟩ είναι σταθερή η γωνιακή
ταχύτητα 120596 ανήκει στο ελλειψοειδές με εξίσωση ⟨119868120596 120596⟩ = 1 Το ελλειψο-
ειδές αυτό ονομάζεται ελλειψοειδές αδρανείας ή ελλειψοειδές Poinsot καιείναι σταθερό (ακίνητο) ως προς το σώμα 119870 καθώς αυτό περιστρέφεται
Το ότι δεν κινείται σε σχέση με το 119870 προκύπτει εύκολα αφού αν αλλά-
ξουμε στο σύστημα συντεταγμένων των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα
αδρανείας 119868 τότε η εξίσωσή του παραμένει αναλλοίωτη στον χρόνο και
είναι η119899
sum119895=1
1198681198951205962119895 = 1
όπου τα 119868119895 είναι οι κύριες ροπές αδρανείας και 120596119895 οι συντεταγμένες
της γωνιακής ταχύτητας 120596 O Poinsot παρατήρησε ότι η 119864119870 = 12⟨119871 120596⟩
συνεπάγεται ότι 119871 = 2grad120596119864119870 Δηλαδή η στροφορμή 119871 είναι κάθετη
στο εφαπτόμενο επίπεδο του ελλειψοειδούς 119864119870 = σταθερά δηλαδή
στο εφαπτόμενο επίπεδο του ελλειψοειδούς αδρανείας στο 120596 Αυτή
η κατασκευή είναι γνωστή ως κατασκευή Poinsot και περιγράφει με
ακρίβεια την περιστροφική κίνηση του 119870 Πράγματι αφού η στροφορμή
119871 είναι σταθερή για να μπορεί να είναι πάντα κάθετη στο παραπάνω
εφαπτόμενο επίπεδο θα πρέπει το ελλειψοειδές αδρανείας να περιστρέ-
φεται κατάλληλα και μαζί του και το σώμα 119870 Πάλι από το γεγονός ότι
η κινητική ενέργεια 119864119870 είναι σταθερή και το ότι 119864119870 = 12⟨119871 120596⟩ προκύπτει
ότι η προβολή του 120596 στη διεύθυνση του 119871 είναι σταθερή δηλαδή είναι
σταθερή η απόσταση του κέντρου του ελλειψοειδούς αδρανείας από
το εφαπτόμενο επίπεδο στο 120596 Συνεπώς το εφαπτόμενο επίπεδο είναι
αναλλοίωτο στον χρόνο και για αυτό ονομάζεται αναλλοίωτο επίπεδο(invariable plane) Το 120596 είναι το σημείο επαφής του ελλειψοειδούς αδρα-
νείας καθώς αυτό περιστρέφεται και του αναλλοίωτου επιπέδου Κατά
την κίνηση αυτή το 120596 διαγράφει μια καμπύλη πάνω στο ελλειψοειδές
αδρανείας η οποία ονομάζεται πολική καμπύλη (στα αγγλικά ονομάζεται
laquopolhoderaquo από τις λέξεις πόλος+οδός) Αντίστοιχα το σημείο επαφής
διαγράφει μια καμπύλη πάνω στο αναλλοίωτο επίπεδο που ονομά-
ζεται αντιπολική καμπύλη (στα αγγλικά laquoherpolhoderaquo από τις λέξεις
έρπω+πόλος+οδός)
Ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει και η κίνηση του διανύσματος της
στροφορμής 119871 ως προς έναν παρατηρητή που βρίσκεται μέσα στο σώμα
και κινείται μαζί του Για αυτόν προφανώς το 120596 είναι τώρα σταθερό
r
Σ Το ελλειψοειδές Poinsot το σταθερό διάνυσμα στροφορμής 119871η μεταβαλλόμενη γωνιακή ταχύτητα 120596 και το αναλλοίωτο επίπεδο Το 120596παραμένει σταθερά στο σημείο επαφής του ελλειψοειδούς με το επίπεδο
Καθώς το ελλειψοειδές στρέφεται γύρω από τον ευατό του το σημείο
επαφής με το επίπεδο (ισοδύναμα το 120596) διαγράφει πάνω στο ελλειψοειδές
την πολική καμπύλη ενώ καθώς το ελλειψοειδές περιστρέφεται και γύρωαπό τον άξονα του 119871 το σημείο επαφής με το επίπεδο (ισοδύναμα το
120596) διαγράφει την αντιπολική καμπύλη πάνω στο επίπεδο
και αλλάζει το 119871 Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι ως προς το σύστη-
μα συντεταγμένων των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα αδρανείας το 119871βρίσκεται πάντα στο ελλειψοειδές sum
119899119894=1 119868minus1
119894 1198712119894 = 1 Αυτό το ελλειψοειδές
ονομάζεται ελλειψοειδές της κινητικής ενέργειας ή ελλειψοειδές Binet του119870 Επειδή επιπλέον ισχύει sum
119899119894=1 1198712
119894 = 11987122 το οποίο είναι σταθερό συμ-
περαίνουμε ότι το διάνυσμα της στροφορμής 119871 παραμένει στην τομή της
σφαίρας ακτίνας 1198712 και του ελλειψοειδούς Binet Παρατηρούμε τέλοςότι το ελλειψοειδές κινητικής ενέργειας Binet είναι το πολικό ελλειψοειδέςτου ελλειψοειδούς αδρανείας Poinsot
Π Στη βιβλιογραφία της κυρτότητας ως ελλειψοειδές
αδρανείας δεν ορίζεται το ελλειψοειδές Poinsot αλλά κατά παράβαση των
φυσικών εννοιών που περιγράψαμε παραπάνω ένα ελλειψοειδές που
φέρει το όνομα του Legendre και είναι διαφορετικό από το προηγούμενο
αν και έχει τους ίδιους κύριους άξονες Θα περιγράψουμε αυτό το
ελλειψοειδές στην υποενότητα Ομοίως το ελλειψοειδές Binet δεν
ορίζεται σύμφωνα με τις παραπάνω φυσικές έννοιες αλλά ως δυϊκό του
ελλειψοειδούς Legendre Σε κάθε περίπτωση δεν κατέστη εφικτό να
βρω στη βιβλιογραφία από που προκύπτει η απόδοση στον Legendre
Πιθανώς να είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι η πολικότητα μπορεί
να περιγραφεί μέσω του μετασχηματισμού του Legendre Δηλαδή από
τη μία το ελλειψοειδές Binet δεν ορίζεται ως το ελλειψοειδές κινητικής
ενέργειας όπως παραπάνω και από την άλλη το δυϊκό του ονομάζεται
ελλειψοειδές Legendre (δείτε και Άσκηση )
Π Οι όροι polhode και herpolhode προέρχονται από
τον ο αιώνα και βρίσκονται στο Πόρισμα της Πρότασης της
Ενότητας στο πρώτο βιβλίο του Principia του Isaac Newton Με το
πρόβλημα της περιστροφής ενός στερεού σώματος ασχολήθηκε τόσο ο
Newton όσο και ο Leonhard Euler αργότερα ο οποίος παρήγαγε ένα
σύνολο εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση Αφορμή για αυτές τις
μελέτες ήταν η παρατήρηση των Jean drsquo Alembert και Louis Lagrange και
άλλων ότι υπήρχαν μετατοπίσεις του γεωγραφικού πλάτους της Γης
λόγω ταλάντευσής της γύρω από τον πολικό άξονα περιστροφής της
Στα μέσα του ου αιώνα ο Louis Poinsot περιέγραψε γεωμετρικά την
περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος με τη βοήθεια της laquoκατα-
σκευής Poinsotraquo που περιγράψαμε παραπάνω δίνοντας μια γεωμετρική
ερμηνεία των αλγεβρικών εξισώσεων του Euler Περισσότερα για αυτά
τα θέματα μπορεί να βρει κανείς στα [GPS] και [KO]
Άσκηση Για κάθε κυρτή συνάρτηση 119891 ∶ 119883 sube ℝ119899 rarr ℝ όπου το 119883είναι κυρτό σύνολο ορίζουμε τον μετασχηματισμό Legendre της 119891 να είναι η
συνάρτηση ℒ(119891) ∶ 119883lowast rarr ℝ όπου
119883lowast = 119909lowast isin ℝ119899 ∶ sup119909isin119883
(⟨119909lowast 119909⟩ minus 119891(119909)) lt infin
με
ℒ(119891)(119909lowast) = sup119909isin119883
(⟨119909lowast 119909⟩ minus 119891(119909))
Αποδείξτε (χρησιμοποιώντας τεχνικές απειροστικού λογισμού εύρεσης μεγί-
στου) ότι αν το ℰ είναι οποιοδήποτε ελλειψοειδές στον ℝ119899 και ℰ∘ το πολικό
του τότε ισχύει
ℒ (12
sdot 2ℰ) =
12
sdot 2ℰ∘
Συμπεράνεται ότι το ελλειψοειδές Poinsot είναι το Legendre δυϊκό ελλειψοειδές
του ελλειψοειδούς Binet με την έννοια ότι
ℒ (12
sdot 2Binet) =
12
sdot 2Poinsot
Άσκηση Στην άσκηση αυτή γενικεύουμε την Άσκηση για κάθε
σώμα 119870 και το πολικό του 119870∘ Το ζητούμενο δηλαδή είναι να αποδειχθεί ότι
ισχύει
ℒ (12
sdot 2119870) =
12
sdot 2119870∘
για κάθε κυρτό σώμα 119870 με το 0 στο εσωτερικό του (ώστε να ορίζεται το πολικό
σώμα) ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) Δείξτε ότι υπάρχει 119877 gt 0 ώστε για κάθε 119909 isin ℝ119899 με 1199092 gt 119877 η
ποσότητα ⟨119906 119909⟩ minus 121199092
119870 είναι αρνητική Συμπεράνετε από αυτό ότι η
προηγούμενη ποσότητα έχει μέγιστη τιμή έστω στο 1199090
(ii) Αποδείξτε ότι
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) le
12
ℎ119870(119906)
παρατηρώντας ότι
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) = ⟨119906 1199090⟩ minus
12
11990902119870 le max
119903ge0(119903⟨119906
11990901199090119870
⟩ minus12
1199032)
(iii) Για την αντίστροφη ανισότητα
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) ge
12
ℎ119870(119906)
δείξτε ότι υπάρχει 1199090 isin bd(119870) ώστε ℎ119870(119906) = ⟨119906 1199090⟩ και παρατηρήστε
ότι για κάθε 119903 ge 0 θέτοντας 119909 = 1199031199090 ισχύει
ℒ (12
sdot 2119870) (119906) ge max
119903ge0(119903⟨119906 1199090⟩ minus
12
1199032)
Παρατήρηση Είναι δυνατόν να αποδείξει κανείς ότι ισχύει και η ℒ( sdot 119870)(119906) =119906119870∘ αλλά η απόδειξη είναι αρκετά πιο περίπλοκη και απαιτεί επιπλέον
υποθέσεις (να είναι η sdot 119870 κλάσης 1198622 στο ℝ119899 ⧵ 0 καθώς και το 119870 να είναι
γνήσια κυρτό (δείτε [GH] Κεφάλαιο Πρόταση ))
Αν και εξηγήσαμε παραπάνω ότι κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα έχει
ισοτροπική θέση θα γράψουμε μια σύντομη και τυπικότερη απόδειξη
Π Για κάθε κεντρικά συμμετρικό κυρτό σώμα 119870 sube ℝ119899
υπάρχει 119879 isin GL(119899) ώστε το 119879(119870) να είναι ισοτροπικό
Απόδειξη Θεωρούμε την απεικόνιση 119872 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 όπου
119872(119910) = int119870⟨119909 119910⟩119909 119889119909 = (int
119870⟨119909 119910⟩119909119895 1198891199091 hellip 119889119909119899)
119899
119895=1
Η Μ είναι μια γραμμική απεικόνιση με πίνακα τον 119872 = (int119870119909119894119909119895 119889119909)119894119895 Ο
119872 είναι φανερά συμμετρικός αλλά και θετικά ορισμένος αφού αν 119910 ne 0ισχύει
⟨119872(119910) 119910⟩ = int119870⟨119909 119910⟩2 119889119909 gt 0
Οπότε υπάρχει συμμετρικός και θετικά ορισμένος 119899 times 119899 πίνακας 119878 ώστε
1198782 = 119872 Θέτουμε 119870 = 119878minus1(119870) Παρατηρούμε ότι ο 119878minus1 είναι και αυτός
συμμετρικός οπότε ισούται με τον ανάστροφό του (119878minus1)lowast Για κάθε
120579 isin 120138119899minus1 θέτουμε 119910 = 119878119909 και χρησιμοποιώντας τον τύπο αλλαγής
μετβλητής στον ℝ119899 έχουμε
int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 = | det 119878|minus1 int
119870⟨119878minus1119910 120579⟩2 119889119910
= | det 119878|minus1 int119870⟨119910 (119878minus1)lowast120579⟩2 119889119910
= | det 119878|minus1 int119870⟨119910 119878minus1120579⟩2 119889119910
= | det 119878|minus1⟨int119870⟨119910 119878minus1120579⟩119910 119889119910 119878minus1120579⟩
= | det 119878|minus1⟨119872(119878minus1120579) 119878minus1120579⟩= | det 119878|minus1
δηλαδή είναι ανεξάρτητο του 120579 Μένει να κανονικοποιήσουμε τον όγκο
θέτουμε 119879 = vol119899(119878minus1(119870))minus1119899119878minus1(119870)
Το επόμενο που θέλουμε να δείξουμε είναι ότι η ισοτροπική θέση
για ένα συμμετρικό κυρτό σώμα είναι μοναδική εκτός από ορθογώνιους
μετασχηματισμούς (στροφές-ανακλάσεις και συνδυασμούς τους) Για
αυτό θα χρειαστούμε το παρακάτω πόρισμα του Θεωρήματος και
ένα ακόμα λήμμα
Π Αν ο 119879 είναι ένας συμμετρικός θετικά ημιορισμένος 119899times119899πίνακας τότε
tr(119879)119899
ge (det 119879)1119899
με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν ο 119879 είναι πολλαπλάσιο τουταυτοτικού
Απόδειξη Ένας συμμετρικός θετικά ημιορισμένος πίνακας είναι διαγωνο-
ποιήσιμος Αν 1205821 hellip 120582119899 οι (μη αρνητικές) ιδιοτιμές του τότε
tr(119879)119899
=1205821 + ⋯ + 120582119899
119899ge (1205821 hellip 120582119899)1119899 = (det 119879)1119899
Αν ισχύει ισότητα τότε όλες οι ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους ίσες οπότε ο
119879 είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού
Λ Η ισοτροπική θέση ελαχιστοποιεί την πολική ροπήαδρανείας PI119870 το ίχνος του πίνακα αδρανείας 119868119870 και το ίχνος του πίνακασυνδιακύμανσης 119862119870 Ισοδύναμα αν το 119870 βρίσκεται σε ισοτροπική θέσηκαι 119879 isin GL(119899) με det(119879) = 1 ισχύει
int119870
11990922 119889119909 le int
1198791198701199092
2 119889119909()
Απόδειξη Από τη σχέση () αρκεί να αποδείξουμε την () Παρα-
τηρούμε πρώτα ότι για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119878 ισχύει
int119870⟨119909 119878119909⟩ 119889119909 = sum
119894119895(int
119870119909119894119909119895 119889119909) 119904119894119895 = tr(119862119870119878)()
Εφαρμόζουμε την () για 119878 = Id και 119870 ισοτροπικό (οπότε 119862119870 = 1198712119870 Id)
int119870
11990922 119889119909 = int
119870⟨119909 119909⟩ 119889119909 = tr(1198712
119870 Id) = 1198991198712119870()
Εφαρμόζουμε ξανά την () για το σώμα 119879(119870) και αλλάζοντας μετα-βλητή (θέτοντας 119910 = 119879minus1119909) παίρνουμε
int119879(119870)
11990922 119889119909 = int
119879(119870)⟨119909 119909⟩ 119889119909 = int
119870⟨119910 119879lowast119879119910⟩ 119889119910 = tr(119862119870119879lowast119879)
()
Αλλά το 119870 είναι ισοτροπικό οπότε 119862119870 = 1198712119870 Id και από την ανισό-
τητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου tr(119879lowast119879)119899 ge det(119879lowast119879)1119899 = 1(Πόρισμα ) και την () παίρνουμε
int119879(119870)
11990922 119889119909 = 1198712
119870tr(119879lowast119879) ge 1198712119870119899 det(119879lowast119879)1119899 = int
1198701199092
2 119889119909()
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Από το παραπάνω λήμμα προκύπτει άμεσα ότι
αν ένα εξάρτημα μιας μηχανής θα περιστρέφεται στο επίπεδο στο οποίο
ανήκει τότε η ενεργειακά συμφέρουσα επιλογή είναι το εξάρτημα να
βρίσκεται στην ισοτροπική του θέση Διότι τότε θα έχει την ελάχιστη
πολική ροπή αδρανείας δηλαδή απαιτείται μικρότερη ροπή για την
απόκτηση της ίδιας γωνιακής ταχύτητας από οποιαδήποτε άλλη θέση
Π Η σχέση () και το Λήμμα μας δίνουν
άλλους δύο τύπους για τη σταθερά ισοτροπίας 119871119870 Από την () αν
το 119870 είναι ισοτροπικό τότε
119871119870 = (1119899
int119870
11990922 119889119909)
12
Από την () και το Λήμμα
119871119870 = inf⎧⎨⎩
(1119899
int119879(119870)
11990922 119889119909)
12
∶ det 119879 = 1⎫⎬⎭
= inf⎧⎨⎩
⎛⎜⎝
1
vol119899(119879(119870))1+ 2
119899
1119899
int119879(119870)
11990922 119889119909⎞⎟
⎠
12
∶ 119879 isin GL(119899)⎫⎬⎭
Π Η ισοτροπική θέση είναι μοναδική εκτός από ορθογώ-νιους μετασχηματισμούς
Απόδειξη Αν το Κ είναι ισοτροπικό και ο 119879 είναι ένας 119899 times 119899 πίνακας
ώστε το 119879(119870) να είναι και αυτό ισοτροπικό τότε θα δείξουμε ότι ο 119879είναι ορθογώνιος Πράγματι από το Λήμμα τόσο το 119870 όσο και το
119879(119870) ελαχιστοποιούν το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της Ευκλείδειας
νόρμας ανάμεσα σε όλες τις θέσεις του 119870 Συνεπώς ισχύει ισότητα
στη σχέση () Άρα ισχύει ισότητα στην ανισότητα αριθμητικού-
γεωμετρικού μέσου tr(119879lowast119879)119899 ge det(119879lowast119879) και συνεπώς ο 119879lowast119879 είναι
πολλαπλάσιος του ταυτοτικού (Πόρισμα ) Αλλά επειδή πρέπει να
έχει και ορίζουσα ίση με 1 είναι ο ταυτοτικός Έτσι 119879lowast119879 = Id δηλαδή ο
119879 είναι ορθογώνιος
Εύκολα βλέπει κανείς ότι το 119870 είναι ισοτροπικό αν και μόνο αν ισχύει
η ()
Π Αν ισχύει
int119870
11990922 119889119909 le int
1198791198701199092
2 119889119909()
για κάθε 119899 times 119899 πίνακα ορίζουσας 1 τότε το 119870 είναι ισοτροπικό
Απόδειξη Πράγματι όπως και στην απόδειξη της Πρότασης έτσι
και εδώ αν το Τ(119870) είναι ισοτροπικό για κατάλληλο 119879 τότε πάλι θα
ισχύει ισότητα στην () οπότε όπως και πριν ο 119879 είναι ορθογώνιος
δηλαδή το 119870 είναι ισοτροπικό
Ελλειψοειδές Binet και ελλειψοειδές Legendre
Στο κλασικό τους άρθρο [MP] οι V Milman και A Pajor δίνουν
τους ορισμούς του ελλειψοειδούς Binet και του Legendre-δυϊκού του
Όμως αντί να χρησιμοποιήσουν τον πίνακα αδρανείας 119868(119870) χρησιμο-
ποιούν τον πίνακα συνδιακύμανσης 119862119870 Έτσι ορίζουν το ελλειψοειδές
Binet με τη σχέση
() 1205792Binet = int
119870∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909
Αυτό το ελλειψοειδές είναι διαφορετικό από το ελλειψοειδές Binet όπως
ορίζεται στην Κλασική Μηχανική και παρουσιάσαμε νωρίτερα Έχει
βέβαια τους άξονές του στις ίδιες διευθύνσεις με το ελλειψοειδές Binet της
Κλασσικής Μηχανικής αφού οι πίνακες συνδιακύμανσης 119862119870 και αδρανείας
119868(119870) έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσματα λόγω της σχέσης
119868(119870) = (int119870
11990922119889119909) Id minus119862119870
αλλά διαφορετικά μήκη ημιαξόνων Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι
η βάση του χώρου 1198901 1198902 hellip 119890119899 έχει επιλεχθεί να είναι τα ιδιοδιανύσματα
του πίνακα αδρανείας οπότε Ι(Κ) = diag(119868119895)119899119895=1 και 119862119870 = diag(119862119895)119899
119895=1
δηλαδή οι πίνακες αδρανείας και συνδιακύμανσης είναι διαγώνιοι Επίσης
ισχύει 119868119895 + 119862119895 = int1198701199092
2119889119909 Σύμφωνα με την () ισχύει
1198901198952Binet = int
119870∣⟨119909 1198901⟩∣
2119889119909 = int119870
1199092119895 119889119909 = 119862119895 = int
1198701199092
2119889119909 minus 119868119895
Όμως ο ορισμός του ελλειψοειδούς Binet και του ελλειψοειδούς Poinsot
στην Κλασική Μηχανική όπως τον παρουσιάσαμε στην υποενότη-
τα εrsquo δίνει
1198901198952Binet =
1119868119895
και 1198901198952Poinsot = 119868119895
Επίσης ορίζουν το ελλειψοειδές laquoLegendreraquo ℰLegendre θέτοντας
() intℰLegendre
∣⟨119909 120579⟩∣2119889119909 = int
119870∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909
για κάθε 120579 isin ℝ119899 Με αυτούς τους ορισμούς αποδεικνύουν ότι
ΕBinet =radic
119899 + 2vol(ℰLegendre)
ℰ∘Legendre
ταυτότητα που θα αποδείξουμε παρακάτω Από αυτήν εύκολα προκύ-
πτει ότι
1198901198952ℰLegendre
=119899 + 2
vol(ℰLegendre)1119862119895
Συνεπώς βλέπουμε ότι ενώ οι δύο διαφορετικοί ορισμοί δεν συμπίπτουν
εν τούτοις γνωρίζοντας τα ελλειψοειδή από την Κλασική Μηχανική μπο-
ρούμε να υπολογίσουμε και τα αντίστοιχα ελλειψοειδή όπως ορίζονται
στο [MP] και αντίστροφα Επίσης αν το σώμα 119870 είναι ισοτροπικό
τότε τόσο ο πίνακας αδρανείας 119868(119870) όσο και ο πίνακας συνδιακύμανσης
119862119870 είναι πολλαπλάσιοι του ταυτοτικού και όλα αυτά τα ελλειψοειδή
είναι πολλαπλάσια της Ευκλείδειας μπάλας ℬ1198992 Οπότε με τις κατάλληλες
κανονικοποιήσεις τα ελλειψοειδή των δύο ορισμών ταυτίζονται
Π Με τους ορισμούς του [MP] ισχύει
ΕBinet =radic
119899 + 2vol(ℰLegendre)
ℰ∘Legendre
Απόδειξη Για κάθε ελλειψοειδές ℰ και119879 isin GL(119899)ώστε ℰ = 119879(ℬ1198992) εύκολα
ελέγχουμε ότι ισχύει 120579ℰ∘ = 119879lowast(120579)2 για κάθε 120579 isin ℝ119899 Επιπλέον
αλλάζοντας μεταβλητές παίρνουμε εύκολα τον τύπο
1vol(ℰ)
intℰ∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909 =1
vol(ℬ1198992)
intℬ119899
2
∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣2119889119909
Το δεύτερο όμως ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί με αλλαγή σε
πολικές συντεταγμένες ως εξής
1vol(ℬ119899
2)int
ℬ1198992
∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣2119889119909 = 119899 int
120138119899minus1∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣
2(int
1
0119903119899+1119889119903) 119889120590(119909)
=119899
119899 + 2int
120138119899minus1∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣
2119889120590(119909)
=1
119899 + 2119879lowast(120579)2
2 =1
119899 + 21205792
ℰ∘
Δείξαμε έτσι ότι
120579ℰ∘ = radic119899 + 2vol(ℰ) (int
ℰ∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909)12
Αντικαθιστώντας το ℰ με το ελλειψοειδές Legendre και χρησιμοποιώντας
την () και την () καταλήγουμε στο ζητούμενο
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε 119879 isin GL(119899) αν θέσουμε ℰ = 119879(ℬ1198992) τότε
ισχύει1
vol(ℰ)int
ℰ∣⟨119909 120579⟩∣
2119889119909 =1
vol(ℬ1198992)
intℬ119899
2
∣⟨119909 119879lowast(120579)⟩∣2119889119909
για κάθε 120579 isin ℝ119899 Συμπληρώστε όλες τις λεπτομέρειες της απόδειξης της
Πρότασης
Άσκηση Ας συμβολίσουμε με ℰ119875(119870) το ελλειψοειδές αδρανείαςPoinsot
του κυρτού σώματος 119870 Αποδείξτε ότι για την πολική ροπή αδρανείας του
ℰ119875(119870) ισχύει ότι
PI(ℰ119875(119870)) = 119888119899vol119899(ℬ119899minus1
2 )vol119899(ℬ119899
2)vol119899(ℰ119875(119870))
119899
sum119894=1
1119868119894
όπου (119868119894)119899119894=1 οι πρωτεύουσες ροπές αδρανείας του 119870 και
119888119899 =Γ(32)Γ ( 119899+1
2 )
Γ ( 119899+44 )
≃2radic612058711989032
111989932
Επιπλέον ο πίνακας αδρανείας του ℰ119875(119870) είναι διαγώνιος όπου το 119894στοιχείο της διαγωνίου του είναι το
119868(ℰ119875(119871))119894119894= 119888119899
vol119899(ℬ119899minus12 )
vol119899(ℬ1198992)
vol119899(ℰ119875(119870)) sum119895ne119894
1119868119895
όπου 119888119899 η προηγούμενη σταθερά
Συμπεράνετε ότι το ελλειψοειδές αδρανείαςPoinsot δεν είναι πολλαπλάσιο
του ελλειψοειδούς Legendre
(Υπόδειξη Ξεκινήστε από τον υπολογισμό του 119868(ℰ119875(119871))119894119894 ολοκληρώνοντας
ως προς 120596119894 και παρατηρώντας ότι το ℰ119875(119870) cap (120596119894119890119894 + [119890119894]⟂) είναι ελλειψοειδές
με μήκη ημιαξόνων 119868minus12119895 (1 minus 1198681198941205962
119894 )12 όπου τα 119890119894 είναι η ορθοκανονική βάση
που ορίζεται από τους πρωτεύοντες άξονες αδρανείας Για την εκτίμηση για
το 119888119899 χρησιμοποιείστε την Άσκηση Β)
Η γεωμετρία ενός κυρτού συμμετρικού σώματος 119870 στην ουσία
καθορίζει μια κατανομή μάζας στον ℝ119899 όπου η πυκνότητα είναι η
χαρακτηριστική συνάρτηση 120594119870 Κάθε ολοκλήρωμα που χρησιμοποιείται
για τον ορισμό της έννοιας της ισοτροπίας θα μπορούσε αντί να γραφτεί
ως ολοκλήρωμα πάνω στο 119870 να γραφτεί πάνω σε όλο το ℝ119899 με τη
βοήθεια της χαρακτηριστικής συνάρτησης του 119870 Για παράδειγμα το
int119870⟨119909 120579⟩2 119889119909 μπορεί να γραφτεί ως intℝ119899⟨119909 120579⟩2120594119870(119909) 119889119909 Συνεπώς η έννοια
της ισοτροπίας μπορεί να οριστεί και για άλλες συναρτήσεις εκτός
των χαρακτηριστικών συναρτήσεων κυρτών συμμετρικών σωμάτων
Πράγματι αυτό είναι εφικτό για οποιοδήποτε laquoτρόποraquo διαθέτει κανείς
να περιγράψει την κατανομή μιας μάζας στον ℝ119899 Δύο πολύ συνήθεις
τέτοιοι τρόποι παρέχονται από τις λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις και
κατrsquo επέκταση από λογαριθμικά κοίλα μέτρα
Ο Μια συνάρτηση 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin) λέγεται λογαριθμικάκοίλη αν για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 και για κάθε 120582 isin [0 1] ισχύει
119891((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge 119891(119909)1minus120582119891(119910)120582()
Ο Ένα μέτρο 120583 στο ℝ119899 λέγεται λογαριθμικά κοίλο ανγια οποιαδήποτε Lebesgue μετρήσιμα σύνολα 119860 119861 στον ℝ119899 και για κάθε120582 isin [0 1] για το οποίο το (1 minus 120582)119860 + 120582119861 είναι μετρήσιμο ισχύει
120583((1 minus 120582)119860 + 120582119861) ge 120583(119860)1minus120582120583(119861)120582()
Μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση 119891 ορίζει ένα μέτρο 120583119891 μέσω
του τύπου 120583119891(119860) = int119860119891(119909) 119889119909 για κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο
119860 sube ℝ119899 Το μέτρο αυτό είναι λογαριθμικά κοίλο σύμφωνα με την
ακόλουθη πρόταση
Π Αν η 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin) είναι μια λογαριθμικά κοίλησυνάρτηση τότε το 120583119891 είναι λογαριθμικά κοίλο μέτρο
Απόδειξη Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Prekopa-
Leindler (Θεώρημα ) Πράγματι αν τα σύνολα 119860 119861 είναι Lebesque
μετρήσιμα στον ℝ119899 και για 120582 isin [0 1] το σύνολο (1 minus 120582)119860 + 120582119861 είναι
Lebesque μετρήσιμο τότε εύκολα ελέγχουμε ότι για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899
ισχύει
(119891120594(1minus120582)119860+120582119861)((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge (119891120594119860)(119909)1minus120582(119891120594119861)(119910)120582
Συνεπώς ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος οπότε
παίρνουμε
int 119891120594(1minus120582)119860+120582119861 ge (int 119891120594119860)1minus120582
(int 119891120594119861)120582
δηλαδή
int(1minus120582)119860+120582119861
119891 ge (int119860
119891)1minus120582
(int119861
119891)120582
Άρα
120583119891((1 minus 120582)119860 + 120582119861) ge 120583119891(119860)1minus120582120583119891(119861)120582
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Η παραπάνω πρόταση ισχύει και αντίστροφα (η απόδειξη παραλεί-
πεται δείτε [Borel])
Π (Borel) Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 στον ℝ119899 πουδεν φέρεται από κανένα υπερεπίπεδο είναι απολύτως συνεχές ως προςτο μέτρο Lebesque και υπάρχει λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση 119891 ∶ ℝ119899 rarr[0 infin) ώστε 120583 = 120583119891
Η επιλογή αυτών των δύο κατηγοριών γίνεται για τουλάχιστον
δύο λόγους
ndash Μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με πεπερασμένο ολοκλήρωμα
έχει πεπερασμένες ροπές οποιασδήποτε τάξης (Πρόταση
παρακάτω)
ndash Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο αποτελεί ευθεία γενίκευση της έννοιας
του όγκου αφού η () βρίσκεται σε πλήρη αντιστοιχία με
την πολλαπλασιαστική μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski
(Θεώρημα )
Π Μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση 119891 ∶ ℝ119899 rarr [0 infin)με πεπερασμένο ολοκλήρωμα έχει πεπερασμένες ροπές οποιασδήποτετάξης
Απόδειξη Η πρόταση προφανώς ισχύει αν 119891 = 0 Ας υποθέσουμε ότιυπάρχει 1199090 isin ℝ119899 ώστε 119891(1199090) gt 0 Θα αποδείξουμε ότι για κάθε 119898 isin ℕτόσο το ολοκλήρωμα intinfin
1199090119891(119909)119909119898 119889119909 όσο και το int1199090
minusinfin119891(119909)119909119898 119889119909 είναι
πεπερασμένα
Πράγματι υπάρχει 1199091 gt 1199090 ώστε 119891(1199091) le 119890minus1119891(1199090) διότι αλλιώς
το ολοκλήρωμα intinfin1199090
119891(119909) 119889119909 δεν είναι πεπερασμένο άρα ούτε και το
int 119891 το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεση Έτσι για κάθε 119909 gt 1199091 ισχύει
1199091 = (1 minus 120582)1199090 + 120582119909 για 120582 = (1199091 minus 1199090)(119909 minus 1199090) Οπότε αφού η 119891 είναι
λογαριθμικά κοίλη θα ισχύει
119891(1199091) ge 119891(1199090)1minus120582119891(119909)120582
Ισοδύναμα
119891(119909) le 119891(1199090) (119891(1199091)119891(1199090))
1120582
le 119891(1199090)119890minus1120582 le 119891(1199090)119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)
Έτσι
intinfin
1199090
119891(119909)119909119898 119889119909 = int1199091
1199090
119891(119909)119909119898 119889119909 + intinfin
1199091
119891(119909)119909119898 119889119909
le int1199091
1199090
119891(119909)1199091198981 119889119909 + 119891(1199090) int
infin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
le 1199091198981 int
1199091
1199090
119891(119909) 119889119909 + 119891(1199090) intinfin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
le 1199091198981 int
ℝ119891(119909) 119889119909 + 119891(1199090) int
infin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
Εύκολα ελέγχουμε ότι η τελευταία παράσταση είναι πεπερασμένη
Ομοίως αποδεικνύουμε ότι και το int1199090
minusinfin119891(119909) 119889119909 είναι και αυτό πεπε-
ρασμένο
Π Η Προτάση μας επιτρέπει να συμπεράνου-
με ότι η τυπική κατάσταση για τα λογαριθμικά κοίλα μέτρα είναι να
προκύπτουν από λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις που τις έχουν ως
πυκνότητες Επιπλέον η Πρόταση προσθέτει την πληροφορία
ότι αν το μέτρο είναι πεπερασμένο (δηλαδή η πυκνότητά του έχει πε-
περασμένο ολοκλήρωμα) τότε θα έχει και οποιασδήποτε τάξης ροπή
πεπερασμένη Για αυτούς τους λόγους στη συνέχεια θα περιοριστούμε σεπεπερασμένα (και μη μηδενικά) λογαριθμικά κοίλα μέτρα με λογαριθμικάκοίλη συνάρτηση πυκνότητας
Οι κανονικοποιήσεις που θέσαμε στον ορισμό της ισοτροπίας για
ένα κυρτό συμμετρικό σώμα 119870 ήταν ότι αυτό πρέπει να έχει όγκο ίσο
με 1 και κέντρο μάζας στο μηδέν Δηλαδή
1 = int119870
119889119909 = intℝ119899
120594119870(119909) 119889119909
και
0 = int119870
119909 119889119909 = intℝ119899
119909 120594119870(119909) 119889119909
όπου 120594119870 η χαρακτηριστική συνάρτηση του 119870 Οι αντίστοιχες κανονικο-
ποιήσεις τώρα θα είναι
intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = 1
δηλαδή η 119891 είναι πυκνότητα πιθανότητας και το μέτρο που ορίζει είναι
μέτρο πιθανότητας και
intℝ119899
119909 119891(119909) 119889119909 = 0
δηλαδή το μέτρο με πυκνότητα την 119891 έχει κέντρο μάζας στο μηδέν Θα
δούμε παρακάτω ότι για την ισοτροπική θέση των λογαριθμικά κοίλων
μέτρων με πυκνότητα 119891 θα χρειαστούμε άλλη μια κανονικοποίηση (που
δεν φαινόταν στην περίπτωση των κυρτών σωμάτων) και αυτή είναι η
sup119909isinℝ119899
119891(119909) = 1
Για τον ορισμό της ισοτροπίας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε τον
Ορισμό είτε τον εναλλακτικό Ορισμό
Ο Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με πυκνότητα 119891 ∶ℝ119899 rarr ℝ λέγεται ισοτροπικό όταν
supℝ119899
119891(119909) = 1 intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = 1 intℝ119899
119909 119891(119909) 119889119909 = 0
και τα ολοκληρώματα
intℝ119899
⟨119909 120579⟩2119891(119909) 119889119909
είναι ανεξάρτητα του 120579 isin 120138119899minus1
Ισοδύναμα
Ο Ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με πυκνότητα 119891 ∶ℝ119899 rarr ℝ λέγεται ισοτροπικό όταν
sup119909isinℝ119899
119891(119909) = 1 intℝ119899
119891(119909) 119889119909 = 1 intℝ119899
119909 119891(119909) 119889119909 = 0
intℝ119899
119909119894119909119895119891(119909) 119889119909 = 0 αν 119894 ne 119895
και τα ολοκληρώματα
intℝ119899
1199092119894 119891(119909) 119889119909
είναι ανεξάρτητα του 119894 = 1 hellip 119899
Αν ισχύουν τα παραπάνω για την 119891 τότε ο πίνακας συνδιακύμανσης
Cov(119891) = (intℝ119899 119909119894119909119895119891(119909) 119889119909)119894119895 είναι φανερά πολλαπλάσιος του ταυτοτι-
κού Id Ορίζουμε τη σταθερά ισοτροπίας 119871120583
Ο Αν το λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με πυκνότητα 119891είναι ισοτροπικό τότε ορίζουμε τη σταθερά ισοτροπίας 119871120583 να είναι ο
αριθμός
119871120583 = (intℝ119899
1199092119894 119891(119909) 119889119909)
12
Παρατηρούμε ότι
119871120583 = (det Cov(119891))12119899()
Επίσης αν η 119891 είναι η πυκνότητα ενός ισοτροπικού μέτρου 120583 τότε για
κάθε 120582 gt 0 και 119886 gt 0 η συνάρτηση 119892(119909) = 119886120582119899119891(120582119909) δεν αλλάζει
ουσιαστικά τον τρόπο με τον οποία κατανέμεται η μάζα στον ℝ119899 Και
πράγματι εύκολα ελέγχουμε ότι ο πίνακας συνδιακύμανσης της 119892 είναι
και πάλι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού για 119894 ne 119895 και αντικαθιστώντας
με 119910 το 120582119909 ισχύει
intℝ119899
119909119894119909119895119892(119909) 119889119909 = 119886 intℝ119899
1120582
1199101198941120582
119910119895119891(119910) 119889119909 = 0()
και αν 119894 = 119895
intℝ119899
1199092119894 119892(119909) 119889119909 =
1198861205822 int
ℝ1198991199102
119894 119891(119910) 119889119910()
το οποίο είναι ανεξάρτητο το 119894 αφού η 119891 ορίζει ισοτροπικό μέτρο Αλλά
και διαισθητικά το γράφημα της 119892 δεν είναι παρά το γράφημα της 119891όπου κάθε ισοϋψής της 119891 μεγεθύνθηκε κατά 120582minus1 και ανυψώθηκε κατά
119886120582119899 Είναι λογικό λοιπόν να θέλουμε το μέτρο που ορίζει η 119892 να έχει την
ίδια σταθερά ισοτροπίας με το μέτρο που ορίζει η 119891 Από τις () και
() τον ορισμό του πίνακα συνδιακύμανσης και το ότι intℝ119899 119892 = 119886παίρνουμε ότι
det Cov(119892) =1
1205822119899 det Cov(119891)
οπότε
120582(det Cov(119892))12119899 = (det Cov(119891))
12119899 = 119871120583
Όμως supℝ119899 119892 = 119886120582119899 άρα
120582 = (sup
ℝ119899 119892119886 )
1119899
= (sup
ℝ119899 119892
intℝ119899 119892 )1119899
Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη καταλήγουμε στην
(sup
ℝ119899 119892
intℝ119899 119892 )1119899
(det Cov(119892))12119899 = (det Cov(119891))
12119899 = 119871120583
Από αυτή τη σχέση λοιπόν καταλήγουμε στο να επιλέξουμε τον ακόλουθο
ορισμό για τη σταθερά ισοτροπίας οποιουδήποτε λογαριθμικά κοίλου
μέτρου 120583 με συνάρτηση πυκνότητας 119891
Ο Για κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με συνάρτηση
πυκνότητας 119891 ορίζουμε τη σταθερά ισοτροπίας να είναι η ποσότητα
119871120583 = (sup
ℝ119899 119891
intℝ119899 119891 )1119899
(det Cov(119891))12119899
Θα ολοκληρώσουμε αυτή την ενότητα δείχνοντας ότι κάθε λογα-
ριθμικά κοίλο μέτρο 120583 με συνάρτηση πυκνότητας 119891 έχει ισοτροπική
θέση
Θ Για κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο 120583 ne 0 με συνάρ-τηση πυκνότητας 119891 και κέντρο μάζας στο 0 υπάρχει 119899 times 119899 πίνακας 119879 μεdet 119879 ne 0 και σταθερά 119886 gt 0 ώστε το μέτρο 119886120583 ∘ 119879 να είναι ισοτροπικό
Απόδειξη Αφού το κέντρο μάζας είναι στο 0 ισχύει intℝ119899 119909119891(119909) 119889119909 = 0Επίσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι το 120583 είναι μέτρο πιθανότητας δη-
λαδή intℝ119899 119891(119909) 119889119909 = 1 επιλέγοντας 119886 = 120583(ℝ119899)minus1 Θεωρούμε την γραμμική
απεικόνηση 119877 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 με
119877(119910) ∶= int ⟨119909 119910⟩119909 119889120583(119909) = intℝ119899
⟨119909 119910⟩119909119891(119909) 119889119909
και παρατηρούμε ότι είναι θετικά ορισμένη και συμμετρική Συνεπώς
υπάρχει πίνακας 119878 που είναι η τετραγωνική ρίζα του 119877 δηλαδή 119877 = 1198782
Θεωρούμε το μέτρο 120584 = 120583 ∘ 119879 όπου
119879 =119878
(sup 119891)1119899(det 119878)1119899
Ελέγχουμε εύκολα υπολογίζοντας το 120584(119860) για κάθε μετρήσιμο σύνολο
119860 ότι το 120584 έχει πυκνότητα τη συνάρτηση 119892 = (119891 ∘ 119879) supℝ119899 119891 οπότε
φανερά supℝ119899 119892 = 1 Το 120584 είναι βεβαίως μέτρο πιθανότητας αφού
120584(ℝ119899) = 120583(119879(ℝ119899)) = 120583(ℝ119899) = 1
και έχει κέντρο μάζας στο 0 διότι λόγω της γραμμικότητας του 119879 και
με την αντικατάσταση 119910 = 119879119909 ισχύει
intℝ119899
119909119892(119909) 119889119909 =1
supℝ119899 119891
intℝ119899
119909119891(119879119909) 119889119909 =1
supℝ119899 119891
119879minus1 (intℝ119899
119910119891(119910) 119889119910) = 0
Τέλος ελέγχουμε το ότι το ολοκλήρωμα intℝ119899⟨119909 120579⟩2119892(119909) 119889119909 είναι ανεξάρ-
τητο του 120579 isin 120138119899minus1 όπως και στην απόδειξη της Πρότασης
intℝ119899
⟨119909 120579⟩2119892(119909) 119889119909 =1
supℝ119899 119891
intℝ119899
⟨119909 120579⟩2119891(119879119909) 119889119909 = intℝ119899
⟨119879minus1119910 120579⟩2119891(119910) 119889119910
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899 intℝ119899
⟨119910 119877minus1120579⟩2119891(119910) 119889119910
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899 ⟨intℝ119899
⟨119910 119877minus1120579⟩119910119891(119910) 119877minus1120579⟩ 119889119910
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899⟨119878119877minus1120579 119877minus1120579⟩
= (supℝ119899
119891)2119899(det 119877)2119899
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Άσκηση Αποδείξτε ότι το ολοκλήρωμα
intinfin
1199091
119890minus(119909minus1199090)(1199091minus1199090)119909119898 119889119909
στην απόδειξη της Πρότασης είναι πεπερασμένο ανάγοντας τον υπολο-
γισμό του στον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος της μορφής intinfin1199091
119890minus119909119909119898 119889119909
Η ΘΕΣΗ ΤΟΥ JOHN
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει ελλειψοειδέςμεγίστου όγκου μέσα στο 119870
Απόδειξη Κατrsquo αρχάς αφού το 119870 είναι κυρτό σώμα έχει μη κενό εσωτερικό
άρα περιέχει ελλειψοειδή Συνεπώς ο αριθμός
120572 = supvol(ℰ) ∶ exist 119909 isin 119870 με 119909 + ℰ sube 119870
είναι θετικός όπου τα ℰ στον παραπάνω ορισμό του 120572 είναι ελλειψοειδή
με κέντρο το μηδέν Επιπλέον αφού το 119870 είναι φραγμένο σύνολο το 120572 είναι
πεπερασμένο Δηλαδή 0 lt 120572 lt infin Θεωρούμε ακολουθία (119909119898)119898isinℕ με
119909119898 isin 119870 και ελλειψοειδή ℰ119898 με μήκη ημιαξόνων (119886119896119898)119899119896=1 ώστε 119909119898 +ℰ sube 119870
για κάθε 119898 isin ℕ και vol(ℰ119898) rarr 120572 Από τη συμπάγεια του 119870 περνώντας
σε υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι η 119909119898 συγκλίνει έστω στο
1199090 isin 119870 Μεταφέροντας το 119870 κατά minus1199090 μπορούμε να υποθέσουμε ότι η
119909119898 συγκλίνει στο μηδέν Επίσης τα ελλειψοειδή ℰ119898 έχουν συγκλίνουσα
υπακολουθία από το θεώρημα επιλογής του Blaschke (Θεώρημα )
Ας υποθέσουμε ότι ℰ119898 rarr 119864 Από τη συνέχεια του όγκου ως προς
τη μετρική Hausdorff ισχύει vol(119864) = 120572 Μένει να δείξουμε ότι το 119864είναι ελλειψοειδές Παρατηρούμε ότι οι ακολουθίες (119886119896119898)infin
119898=1 είναι άνω
φραγμένες για κάθε 119896 = 1 hellip 119899 (αφού το 119909119898 + ℰ119898 περιέχεται στο Κκαι η 119909119898 είναι φραγμένη ως συγκλίνουσα) Οπότε υπάρχει θετικός 119872ώστε 119886119896119898 le 119872 για κάθε 119896 = 1 hellip 119899 και για κάθε 119898 isin ℕ Επιπλέον είναι
και κάτω φραγμένες από κάποιον θετικό αριθμό 119888 gt 0 αφού αλλιώς
τα ℰ119898 θα είχαν υπακολουθία με όγκο που να συγκλίνει στο μηδέν το
οποίο είναι άτοπο Άρα υπάρχει 119888 gt 0 ώστε 119888 le 119886119896119898 le 119872 για κάθε
119896 = 1 hellip 119899 και για κάθε 119898 isin ℕ
Ας υποθέσουμε ότι
ℰ119898 = 119909 isin ℝ119899 ∶119899
sum119896=1
⟨119909 119907119896119898⟩2
1198862119896119898
le 1
όπου τα (119907119896119898)119899119896=1 είναι ορθοκανονική βάση του ℝ119899 Η ακολουθία των
διανυσμάτων (1199071119898 hellip 119907119899119898 1198861119898 hellip 119886119899119898) για 119898 isin ℕ ανήκει στο συμπαγές
σύνολο (120138119899minus1)119899 times[119888 119872]119899 Άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Επιλέγον-
τας την αντίστοιχη υπακολουθία των ℰ119898 μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς
βλάβη της γενικότητας ότι η ίδια η ακολουθία (1199071119898 hellip 119907119899119898 1198861119898 hellip 119886119899119898)συγκλίνει για119898 rarr infin έστω στο (1199071 hellip 119907119899 1198861 hellip 119886119899) Επειδή lim119898rarrinfin 119907119896119898 =119907119896 για κάθε 119896 = 1 hellip 119899 εύκολα ελέγχουμε ότι τα 1199071 hellip 119907119899 ικανοποιούν
τις ⟨119907119896 119907ℓ⟩ = 1 αν 119896 = ℓ και ⟨119907119896 119907ℓ⟩ = 0 αλλιώς οπότε συνιστούν
ορθοκανονική βάση του ℝ119899 Θεωρούμε τώρα το ελλειψοειδές
ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶119899
sum119896=1
⟨119909 119907119896⟩2
1198862119896
le 1
Θα δείξουμε ότι 119864 = ℰ και έτσι το 119864 θα είναι ελλειψοειδές
Αν 119909 isin int(119864) τότε 119909119864 lt 1 Αλλά 119909ℰ119898rarr 119909119864 συνεπώς υπάρχει
1198980 isin ℕ ώστε 119898 ge 1198980 τότε 119909ℰ119898lt 1 Άρα sum
119899119896=1⟨119909 119907119896119898⟩21198862
119896119898 lt 1 γιακάθε 119898 ge 1198980 Αφήνοντας το 119898 να πάει στο άπειρο οδηγούμαστε στην
sum119899119896=1⟨119909 119907119896⟩21198862
119896 le 1 δηλαδή 119909 isin ℰ Δείξαμε ότι int(119864) sube ℰ Άρα 119864 sube ℰΑντίστροφα αν 119909 isin int(ℰ) τότε sum
119899119896=1⟨119909 119907119896⟩21198862
119896 lt 1 Συνεπώς αφού
lim119898rarrinfin 119907119896119898 = 119907119896 και lim119898rarrinfin 119886119896119898 = 119886119896 για κάθε 119896 = 1 hellip 119898 υπάρχει
1198980 isin ℕ ώστε αν 119898 ge 1198980 να ισχύει sum119899119896=1 ⟨119909 119907119896119898⟩21198862
119896119898 lt 1 για κάθε
119898 ge 1198980 Άρα 119909 isin ℰ119898 και περνώντας στο όριο ως προς 119898 συμπεραίνουμε
ότι 119909 isin 119864 Δείξαμε int(ℰ) sube 119864 άρα ℰ sube 119864 ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 το ελλειψοειδές μεγί-στου όγκου μέσα στο 119870 είναι μοναδικό
Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι τα 1199091 +ℰ1 και 1199092 +ℰ2 είναι δύο διαφορετικά
ελλειψοειδή μέγιστου όγκου μέσα στο κυρτό σώμα 119870 και έστω ότι
vol(ℰ1) = vol(ℰ2) = 120572 Θεωρούμε τους πίνακες 1198791 1198792 isin 119866119871(119899) ώστε να
ισχύει ℰ1 = 1198791(ℬ1198992) και ℰ2 = 1198792(ℬ119899
2) Θέτουμε 119871 = 12(1199091 + 1199092) + 1
2(1198791 +
1198792)(ℬ1198992) Φανερά το 119871 είναι ελλειψοειδές και 119871 sube 119870 διότι το 119870 είναι κυρτό
και
119871 =12(1199091 + 1198791(ℬ119899
2)) +12(1199092 + 1198792(ℬ119899
2))
Άρα θα ισχύει vol(119871) le 120572 Αλλά από την ανισότητα Brunn-Minkowski
βλέπουμε εύκολα ότι
120572 ge vol(119871) ge (12vol(1199091 + 1198791(ℬ119899
2))1119899 +
12vol(1199091 + 1198791(ℬ119899
2))1119899
)119899
ge 120572
Συνεπώς επειδή ο όγκος είναι αναλλοίωτος στις μεταθέσεις
vol (1198791(ℬ1198992) + 1198792(ℬ119899
2))1119899 = vol(1198791(ℬ119899
2))1119899 + vol(1198792(ℬ119899
2))1119899
Δηλαδή ισχύει η ισότητα στην ανισότητα Brunn-Minkowski Έτσι από
το Θεώρημα το 1198791(ℬ1198992) είναι πολλαπλάσιο του 1198792(ℬ119899
2) Αλλά
επειδή και τα δύο έχουν ίδιο όγκο 120572 συμπεραίνουμε ότι είναι ίσα Άρα
1198791(ℬ1198992) = 1198792(ℬ119899
2) και συνεπώς 119879minus12 1198791(ℬ119899
2) = ℬ1198992
Γνωρίζουμε ότι 1199092 + 1198792(ℬ1198992) sube 119870 άρα 119879minus1
2 1199092 + ℬ1198992 sube 119879minus1
2 (119870) Επίσης1199091 + 1198791(ℬ119899
2) sube 119870 οπότε 119879minus12 1199091 + 119879minus1
2 1198791(ℬ1198992) sube 119879minus1
2 (119870) Επειδή όμως
είδαμε ότι 119879minus12 1198791(ℬ119899
2) = ℬ1198992 συμπεραίνουμε ότι 119879minus1
2 1199091 + ℬ1198992 sube 119879minus1
2 (119870)Αν θέσουμε λοιπόν 1199101 = 119879minus1
2 1199091 και 1199102 = 119879minus12 1199092 τότε και το 1199101 + ℬ119899
2και το 1199102 + ℬ119899
2 είναι υποσύνολα του 119879minus12 (119870) Το τελευταίο όμως δεν
μπορεί να περιέχει ελλειψοειδές 1199090 + ℰprime με vol(ℰprime) gt vol(ℬ1198992) διότι αν
αυτό μπορούσε να συμβεί τότε το 11987921199090 + 1198792(ℰprime) θα περιεχόταν στο 119870και θα είχε όγκο γνησίως μεγαλύτερο από τον όγκο του ℰ2 το οποίο
είνα άτοπο
Συνεπώς τα 1199101 + ℬ1198992 και 1199102 + ℬ119899
2 είναι ελλειψοειδή μεγίστου όγκου
στο Τminus12 (119870) Μένει να δείξουμε ότι 1199101 = 1199102 Ας υποθέσουμε ότι αυτό
δεν είναι σωστό Μετατοπίζουμε το Τminus12 (119870) ώστε το μηδέν να βρίσκεται
στο κέντρο του ευθύγραμμου τμήματος [1199101 1199102] Επιπλέον στρέφουμε το
Τminus12 (119870) ώστε το ευθύγραμμο τμήμα [1199101 1199102] να είναι στη διεύθυνση του
πρώτου άξονα του ℝ119899 Έτσι το ευθύγραμμο τμήμα [1199101 1199102] γράφεται
στη μορφή [minus119910 119910] για κατάλληλο 119910 και υπάρχει 120583 gt 0 ώστε 119910 = 1205831198901
Θεωρούμε το ελλειψοειδές
ℰ0 =⎧⎨⎩
119909 isin ℝ119899 ∶⟨119909 1198901⟩2
(1 + 1205832)
2 +119899
sum119896=2
⟨119909 119890119896⟩2 le 1⎫⎬⎭
Φανερά vol(ℰ0) = (1+1205832)vol(ℬ1198992) gt vol(ℬ119899
2) οπότε θα έχουμε καταλήξει
σε άτοπο αν δείξουμε ότι ℰ0 sube Τminus12 (119870) Αφού 1199101 +ℬ119899
2 1199102 +ℬ1198992 sube 119879minus1
2 (119870)αρκεί να δείξουμε ότι
bd(ℰ0) sube conv ((1199101 + ℬ1198992) cup (1199102 + ℬ119899
2))
Έστω ότι 1199090 isin bd(ℰ0) Αν ⟨1199090 1198901⟩1198901 isin [minus119910 119910] τότε υπάρχει 119905 isin [0 1]ώστε ⟨1199090 1198901⟩1198901 = (1 minus 119905)(minus119910) + 119905119910 οπότε
1199090 = ⟨1199090 1198901⟩1198901 +119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896
= (1 minus 119905) (minus119910 +119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896) + 119905 (119910 +119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896)
το οποίο είναι φανερά στοιχείο του conv((1199101 + ℬ1198992) cup (1199102 + ℬ119899
2)) αφού
∥119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119896⟩119890119896∥2
2
=119899
sum119896=2
∣⟨1199090 119890119896⟩∣2 le 11990902
2 = 1
Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση ⟨1199090 1198901⟩1198901 notin [minus119910 119910] Ας υποθέ-σουμε ότι ⟨1199090 1198901⟩ gt 120583 gt 0 Θα δείξουμε ότι τότε 1199090 isin 119910 + ℬ119899
2 (Ομοίως
εργαζόμαστε και στην περίπτωση όπου ⟨1199090 1198901⟩ lt minus120583 lt 0 για να
δείξουμε ότι τότε 1199090 isin minus119910 + ℬ1198992)
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 1199090 minus1199102 le 1 Επειδή 1199090 isin bdℰ ισχύει
119899
sum119896=2
⟨1199090 119890119897⟩2 = 1 minus⟨1199090 1198901⟩2
(1 + 1205832)2
και έχουμε
1199090 minus 11991022 = (⟨1199090 1198901⟩ minus 120583)
2 + 1 minus⟨1199090 1198901⟩2
(1 + 1205832)2
Εφόσον θέλουμε η τελευταία ποσότητα να είναι μικρότερη ή ίση του 1αρκεί να ισχύει
(⟨1199090 1198901⟩ minus 120583)2 minus
⟨1199090 1198901⟩2
(1 + 1205832)2 le 0
Αυτό θα ισχύει αν το ⟨1199090 1198901⟩ βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες του πολυω-
νύμου (119905 minus 120583)2 minus 1199052(1 + 1205832)2 Εύκολα ελέγχουμε ότι οι ρίζες αυτού
του πολυωνούμου είναι εκατέρωθεν του διαστήματος [120583 1 + 1205832] στο
οποίο βρίσκεται το ⟨1199090 1198901⟩ ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξη
Ο Λέμε ότι ένα κυρτό σώμα βρίσκεται στη θέση του Johnαν το ελλειψοειδές μεγίστου όγκου στο 119870 είναι η μοναδιαία Ευκλείδειαμπάλα ℬ119899
2
Παρατηρούμε κάθε σώμα 119870 μπορεί να τεθεί στη θέση του John αν
του εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό που απεικονίζει το ελλειψοειδές
μεγίστου όγκου του 119870 στο ℬ1198992 Επίσης η θέση αυτή είναι μοναδική εκτός
από ορθογώνιους μετασχηματισμούς (δηλαδή στροφές ανακλάσεις και
συνδυασμούς τους) Πράγματι αυτό προκύπτει εύκολα από το ότι το
ελλειψοειδές μεγίστου όγκου μέσα στο 119870 είναι μοναδικό
Θ (John) Έστω ότι το 119870 είναι ένα κεντρικά συμμετρικόκυρτό σώμα στη θέση του John Τότε ισχύει
ℬ1198992 sube 119870 sube radic119899ℬ119899
2
Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι 119870 ⊈ radic119899ℬ1198992 Τότε υπάρχει 1199090radic119899ℬ119899
2 ⧵ 119870δηλαδή 1199090 isin 119870 και 11990902 gt radic119899 Επειδή το 119870 είναι συμμετρικό ως προς
το 0 συμπεραίνουμε ότι plusmn1199090 isin 119870 και συνεπώς
conv(plusmn1199090 ℬ1198992) sube 119870
Θα δείξουμε ότι το 119885 = conv(plusmn1199090 ℬ1198992) περιέχει ελλειψοειδές με όγκο
μεγαλύτερο από το vol119899(ℬ1198992) αντιφάσκωντας με το ότι το ℬ119899
2 είναι το
ελλειψοειδές μεγίστου όγκου του 119870
Με κατάλληλη στροφή υποθέτουμε ότι 1199090 = 1205831198901 όπου 120583 gt radic119899Θεωρούμε το ελλειψοειδές
ℰ = 119909 isin ℝ119899 ∶1199092
1
1198862 +119899
sum119896=2
1199092119896
1198872 le 1
όπου τα 119886 gt 1 και 0 lt 119887 lt 1 θα επιλεγούν κατάλληλα ώστε vol119899(ℰ) gtvol119899(ℬ119899
2) και ℰ sube 119870 Το κυρτό σώμα 119885 είναι στερεό που προκύπτει από
περιστροφή του Σχήματος ως προς τον άξονα του 1199090 Η ευθεία που
περνάει από το 1199090 και εφάπτεται στον κύκλο ℬ22 του σχήματος στο
άνω ημιεπίπεδο έχει εξίσωση
119910 =1
radic1 minus 11205832
minus 1199051
120583radic1 minus 11205832
()
eeY
x Y eYy
Y
Σ Το κυρτό σώμα 119885 = conv(plusmn1199090 ℬ1198992) sube 119870 προκύπτει από
περιστροφή του παραπάνω σχήματος στον ℝ119899 ως προς τον πρώτο
άξονα
Θεωρούμε ένα σημείο 119909 = (1199091 hellip 119909119899) isin bd(ℰ) Θα βρούμε συνθήκες για
τα 119886 gt 0 και 0 lt 119887 lt 1 ώστε να ισχύει 119909 isin 119885
1η Περίπτωση Αν 1199091 gt 1120583 τότε για να ανήκει το 119909 στο 119885 αρκεί το
σημείο του (δισδιάστατου) επιπέδου (1199091 (sum119899119896=2 1199092
119896)12) να είναι laquoκάτωraquo
από την ευθεία με εξίσωση την () δηλαδή να ικανοποιεί την
(119899
sum119896=2
1199092119896)
12
le1
radic1 minus 11205832
minus 11990911
120583radic1 minus 11205832
Ισοδύναμα επειδή 119909 isin bd(ℰ) και συνεπώς (sum119899119896=2 1199092
119896)12 = 119887radic1 minus 11990921 1198862
119887radic1 minus1199092
1
1198862 le1
radic1 minus 11205832
(1 minus1199091
120583 )
Από αυτή καταλήγουμε ισοδύναμα με απλές πράξεις ότι το σημείο 119909βρίσκεται κάτω από την ευθεία () αν και μόνο αν ισχύει
1198862
1205832 + 1198872 (1 minus1
1205832 ) le 1()
2η Περίπτωση Αν 0 le 1199091 le 1120583 θέλουμε να ισχύει 119909 isin ℬ1198992 Εύκολα
ελέγχουμε ότι η απαίτηση 1199092 le 1 οδηγεί στην ανισότητα
11205832 (1 minus
1198872
1198862 ) + 1198872 le 1()
Αν θέσουμε
119886 =120583
radic119899gt 1 και 0 lt 119887 = radic1 minus 1119899
radic1 minus 11205832lt 1()
ελέγχουμε με απλές πράξεις ότι ικανοποιείται και η () και η ()
Συνεπώς με αυτές τις τιμές για τα 119886 και 119887 ισχύει ℰ sube 119885 sube 119870 Επιπλέον
όμως ισχύει 119886119887119899minus1 gt 1 που σημαίνει ότι το ℰ έχει όγκο μεγαλύτερο από
τον όγκο του ℬ1198992 που είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου μέσα στο 119870
καταλήγοντας έτσι σε άτοπο
Άσκηση Ελέγξτε ότι οι επιλογές γις τις παραμέτρους 119886 και 119887 στην ()
ικανοποιούν πράγματι τις () και ()
Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
Για απλοποίηση του συμβολισμού στα επόμενα όλες οι συναρτήσεις
που εμφανίζονται θα θεωρούνται μη αρνητικές
-
Η ανισότητα Houmllder μπορεί να γενικευτεί ως προς το πλήθος των
συναρτήσεων που συμμετέχουν σε αυτή εύκολα ελέγχει κανείς με ε-
παγωγή ότι αν 119892119896 isin 119871119901119896(ℝ119899) για 119896 = 1 hellip 119898 με sum
119898119896=1 1119901119896 = 1 τότε
prod119898119896=1 119892119896 isin 1198711(ℝ119899) και ισχύει
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119892119896(119909)) 119889119909 le119898
prod119896=1
119892119896119901119896
Αν θέσουμε 119888119896 = 1119901119896 και 119891119896 = 119892119901119896119896 = 1198921119888119896
119896 τότε οι 119891119896 είναι απλώς
ολοκληρώσιμες (στον 1198711(ℝ119899)) και η ανισότητα γράφεται ως εξής
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(119909)119888119896) 119889119909 le119898
prod119896=1
(intℝ119899
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
(Άσκηση ) Αυτή η ανισότητα μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω με
τις εξής αλλαγές
ndash οι συναρτήσεις μπορούν να ανήκουν στον 1198711(ℝ119899119896) δηλαδή οι 119891119896να είναι συναρτήσεις 119899119896 μεταβλητών αλλά για να έχει νόημα το
αριστερό ολοκλήρωμα στον ℝ119899
ndash να χρησιμοποιηθούν 119899119896 times119899 πίνακες 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896 στα ορίσματα
των 119891119896
Αυτές οι αλλαγές οδηγούν σε μια νέα ανισότητα όπου τώρα εμφανίζεται
μια σταθερά στο δεξιό μέλος που εξαρτάται από τους πίνακες 119861119896 Η
ανισότητα αυτή είναι η ανισότητα Brascamp-Lieb όπως εμφανίζεται στο
παρακάτω θεώρημα
Θ (Brascamp-Lieb Εκδοχή Α) Έστω ότι 119898 isin ℕ 119888119896 gt 0119899119896 isin ℕ για 119896 = 1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 119888119896119899119896 = 119899 και 119891119896 isin 1198711(ℝ119899119896) με 119891119896 ge 0
Αν 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896 γραμμική απεικόνιση (δηλαδή 119899119896 times119899 πίνακας) η οποίαείναι επί για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119898 τότε
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(119861119896119909)119888119896) 119889119909 le 119863minus12119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
με
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119861119905
119896119860119896119861119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899119896 times 119899119896 πίνακες⎫⎬⎭
όπου 119861119905119896 ο ανάστροφος του 119861119896 (και 119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)
Π Εύκολα βλέπει κανείς ότι στην περίπτωση της
ανισότητας Houmllder ο παραπάνω τύπος για τη σταθερά 119863 δίνει 1Πράγματι σε αυτή την περίπτωση 119899119896 = 119899 και 119861119896 = Id για κάθε
119896 = 1 hellip 119898 Οπότε
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119860119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899 times 119899 πίνακες
⎫⎬⎭
ge 1
από την Άσκηση Αλλά ισχύει η ισότητα αν επιλέξουμε 119860119896 = Idδιότι sum
119898119896=1 119888119896 = 1 Οπότε το 119863 ως infimum ισούται με 1 Συμπεραίνουμε
ότι η ανισότητα Brascamp-Lieb πράγματι γενικεύει την ανισότητα Houmllder
Θα δούμε τώρα πώς η ανισότητα Prekopa-Leindler ως ένα είδος
αντίστροφης της ανισότητας Houmllder (δείτε Παρατήρηση ) με τις
ανάλογες όπως πριν γενικεύσεις θα οδηγήσει σε μια επέκτασή της
γνωστή ως ανισότητα Barthe αντίστροφη της Brascamp-Lieb
Η ανισότητα Prekopa-Leindler λέει ότι αν οι 119891 119892 ℎ ge 0 είναι ολο-
κληρώσιμες συναρτήσεις στον ℝ119899 και 0 lt 120582 lt 1 αν
ℎ((1 minus 120582)119909 + 120582119910) ge 119891(119909)1minus120582119892(119910)120582
για κάθε 119909 119910 isin ℝ119899 τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge (intℝ119899
119891(119909) 119889119909)1minus120582
(intℝ119899
119892(119910) 119889119910)120582
-
(δείτε Θεώρημα σελίδα ) Η ανισότητα αυτή μπορεί να γενικευθεί
σε περισσότερες συναρτήσεις με επαγωγή (δείτε Άσκηση ) στην
εξής εκδοχή
Θ (Prekopa-Leindler Εκδοχή Β) Έστω ότι οι ℎ1198911 hellip 119891119898είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις από το ℝ119899 στο [0 infin) και 1205821 hellip 120582119898 gt 0με sum
119898119896=1 120582119896 = 1 Αν για κάθε 1199111 hellip 119911119898 isin ℝ119899 ισχύει
ℎ (119898
sum119896=1
120582119896119911119896) ge119898
prod119896=1
(119891119896(119911119896))120582119896()
τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge119898
prod119896=1
(intℝ119899
119891119896(119909) 119889119909)120582119896
Η περαιτέρω επέκτασή της για συναρτήσεις 119891119896 ∶ ℝ119899119896 rarr ℝ με
119891119896 ge 0 απαιτεί τη χρήση 119899 times 119899119896 πινάκων 119861119905119896 όπου 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896 στη
σχέση () (παρατηρούμε ότι αν ένας πίνακας 119899119896 times119899 είναι μια γραμμική
απεικόνιση από τον ℝ119899 στον ℝ119899119896 ο ανάστροφός του είναι ένας πίνακας
119899 times 119899119896 άρα μια γραμμική απεικόνιση από τον ℝ119899119896 στον ℝ119899) Αυτή η
επέκταση θα μας αναγκάσει να έχουμε μια επιπλέον σταθερά στο δεξιό
μέλος της ανισότητας που εξαρτάται από τους πίνακες 119861119896 όπως και πριν
(στην περίπτωση της ανισότητας Brascamp-Lieb) Η ανισότητα που
προκύπτει ονομάζεται ανισότητα Barthe και την αντιλαμβανόμαστε ως
αντίστροφη της ανισότητας Brascamp-Lieb Για λόγους άμεσης σύγκρισης
των δύο ανισοτήτων επαναδιατυπώνουμε την ανισότητα Brascamp-Lieb
μαζί με την ανισότητα Barthe
Θ Έστω ότι 119898 isin ℕ 119888119896 gt 0 119899119896 isin ℕ για 119896 = 1 2 hellip 119898με sum
119898119896=1 119888119896119899119896 = 119899 και 119891119896 isin 1198711(ℝ119899119896) με 119891119896 ge 0 Αν 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896
γραμμική απεικόνιση (δηλαδή 119899119896 times 119899 πίνακας) η οποία είναι επί για κάθε119896 = 1 2 hellip 119898 τότε(Brascamp-Lieb)
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(119861119896119909)119888119896) 119889119909 le 119863minus12119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb) Αν επιπλέον ℎ isin 1198711(ℝ119899) με ℎ ge 0
και
ℎ (119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896) ge
119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ()
για κάθε 119911119896 isin ℝ119899119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 τότε
intℝ119899
ℎ(119909) 119889119909 ge 11986312119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
όπου 119861119905119896 ο ανάστροφος του 119861119896 119899 times 119899119896 πίνακας και
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119861119905
119896119860119896119861119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899119896 times 119899119896 πίνακες⎫⎬⎭
(119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)Π Όπως και στην Παρατήρηση η σταθερά 119863
είναι ίση με 1 αν 119899119896 = 119899 και 119861119896 = Id Δηλαδή η ανισότητα Barthe
πράγματι γενικεύει την ανισότητα Prekopa-Leindler
Αν αντικαταστήσουμε τις 119891119888119896119896 με 119892119896 και τα 119888119896 με 1119901119896 τότε μπορούμε να
γράψουμε λίγο πιο συνοπτικά τις ανισότητες
Θ Έστω ότι 119898 isin ℕ 119901119896 gt 0 119899119896 isin ℕ για 119896 = 1 2 hellip 119898με sum
119898119896=1 119899119896119901119896 = 119899 και 119892119896 isin 119871119901119896
(ℝ119899119896) με 119892119896 ge 0 Αν 119861119896 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899119896
γραμμική απεικόνιση (δηλαδή 119899119896 times 119899 πίνακας) η οποία είναι επί για κάθε119896 = 1 2 hellip 119898 τότε (Brascamp-Lieb)
∥119898
prod119896=1
119892119896(119861119896119909)∥1198711(ℝ119899)
le 119863minus12119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ119899119896)
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb) Αν επιπλέον ℎ isin 1198711(ℝ119899) με ℎ ge 0και
ℎ (119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896) ge
119898
prod119896=1
119892119896(119911119896)
για κάθε 119911119896 isin ℝ119899119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 τότε
ℎ1198711(ℝ119899) ge 11986312119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ119899119896)
-
όπου 119861119905119896 ο ανάστροφος του 119861119896 119899 times 119899119896 πίνακας και
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896119861119905
119896119860119896119861119896)
prod119898119896=1(det 119860119896)119888119896
∶ 119860119896 θετικά ορισμένοι 119899119896 times 119899119896 πίνακες⎫⎬⎭
με 119888119896 = 1119901119896 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 (119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)
Για την απόδειξη της ανισότητας Barthe διευκολύνει να χρησιμοποι-
ήσουμε την μικρότερη συνάρτηση ℎ που ικανοποιεί την () Άμεσα
βλέπουμε ότι η μικρότερη τέτοια συνάρτηση δεν είναι άλλη από την
ℎ0(119909) = sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899119896 ()
Όμως μια τέτοια συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα μετρήσιμη Για αυτό
τον λόγο η ανισότητα Barthe αποδεικνύεται στη μορφή
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896119861119905119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899119896 119889119909
ge 11986312119898
prod119896=1
(intℝ119899119896
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
υπό τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος όπου το ⨛ είναι το άνω
ολοκλήρωμα
Δεν θα αποδείξουμε αυτές τις ανισότητες σε αυτή τη γενικότητα
Όμως θα αποδείξουμε μια ειδική περίπτωση που χρειαζόμαστε για την
απόδειξη της αντίστροφης ισοπεριμετρικής ανισότητας Συγκεκριμμένα
ενδιαφερόμαστε για την περίπτωση όπου 119899119896 = 1 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899
Άσκηση Αποδείξτε με επαγωγή στο πλήθος των συναρτήσεων 119892119896 την
ανισότητα Houmllder δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε μη αρνητικές συναρτήσεις
119892119896 isin 119871119901119896(ℝ119899) για 119896 = 1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 1119901119896 = 1 η συνάρτηση prod
119898119896=1 119892119896 είναι
στον 1198711(ℝ119899) και ισχύει
intℝ119899
119898
prod119896=1
119892119896 le119899
prod119896=1
119892119896119901119896
Άσκηση Αποδείξτε με επαγωγή στο πλήθος των συναρτήσεων 119891119896 την
ανισότητα Prekopa-Leindler στην Εκδοχή Βrsquo (Θεώρημα ) χρησιμοποιώντας
την βέλτιστη συνάρτηση ℎ0 της σχέσης () δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε
μη αρνητικές ολοκληρώσιμες συναρτήσεις 119891119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 αν 119888119896 gt 0 ώστε
sum119898119896=1 119888119896 = 1 τότε
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899 119889119909 ge119898
prod119896=1
(intℝ119899
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
Υπόδειξη για το επαγωγικό βήμα παρατηρήστε ότι η ποσότητα
sup 119898+1
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896 ∶ 119909 =119898+1
sum119896=1
119888119896119911119896 119911119896 isin ℝ119899
είναι τετριμμένα μεγαλύτερη ή ίση από την ποσότητα
sup⎧⎨⎩
(sup 119898
prod119896=1
119891119896(119911119896)119888119896
1minus119888119898+1 ∶ 119911 =119898
sum119896=1
1198881198961 minus 119888119898+1
119911119896 119911119896 isin ℝ119899)1minus119888119898+1
sdot 119891119898+1(119911119898+1)119888119898+1
∶ 119909 = (1 minus 119888119898+1)119911 + 119888119898+1119911119898+1 119911 119911119898+1 isin ℝ119899
-
Αν στις παραπάνω ανισότητες θέσουμε 119899119896 = 1 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899τότε οι θετικά ορισμένοι πίνακες 119860119896 στη διατύπωση των ανισοτήτων
είναι 1 times 1 δηλαδή θετικοί αριθμοί Θα τους μετονομάσουμε λοιπόν σε
120582119896 gt 0 Έτσι ο παρονομαστής στον ορισμό της σταθεράς 119863 ισούται με
prod119898119896=1 120582119888119896
119896 Επιπλέον οι πίνακες 119861119896 είναι 1 times 119899 οπότε οι 119861119905119896 θα είναι τώρα
πίνακες 119899 times 1 δηλαδή διανύσματα στον ℝ119899 Έτσι θα αντικαταστήσουμε
τους 119861119905119896 με 119906119896 isin ℝ119899 θεωρώντας τους όμως ως απεικονίσεις από το ℝ
στο ℝ119899 Δηλαδή 119861119905119896(120579) = 120579119906119896 για κάθε 120579 isin ℝ Οι ανάστροφοι των 119861119905
119896
δηλαδή οι 119861119896 θα ισούνται με 119906119905119896 Έτσι το άθροισμα στον αριθμητή του
ορισμού του 119863 γίνεται sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896119906119905
119896 Αλλά (εύκολα ελέγχει κανείς ότι)
119906119896119906119905119896 = 119906119896 otimes 119906119896 (δείτε Άσκηση ) Οπότε η σταθερά 119863 αλλάζει στην
-
εξής έκφραση
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
Τέλος επειδή το 119861119896119909 θα γίνει τώρα 119906119905119896 sdot 119909 = ⟨119906119896 119909⟩ και αλλάζοντας τα
119911119896 σε 120579119896 αφού τώρα ανήκουν στο ℝ (αφού 119899119896 = 1) άρα είναι αριθμοί τα
παραπάνω πολυδιάστατα θεωρήματα μετατρέπονται στα εξής
Θ (Εκδοχή Α) Έστω ότι 119898 isin ℕ 119888119896 gt 0 για 119896 =1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 119888119896 = 119899 και 119891119896 isin 1198711(ℝ) με 119891119896 ge 0 Αν 119906119896 isin ℝ119899 για
119896 = 1 2 hellip 119898 τότε(Brascamp-Lieb)
intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 le 119863minus12119898
prod119896=1
(intℝ
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb)
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119896(120579119896)119888119896 ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ge 11986312119898
prod119896=1
(intℝ
119891119896(119909) 119889119909)119888119896
όπου
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
(119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)
Θ (Εκδοχή Β) Έστω ότι 119898 isin ℕ 119901119896 gt 0 για 119896 =1 2 hellip 119898 με sum
119898119896=1 1119901119896 = 119899 και 119892119896 isin 1198711(ℝ) με 119892119896 ge 0 Αν 119906119896 isin ℝ119899 για
119896 = 1 2 hellip 119898 τότε(Brascamp-Lieb)
∥119898
prod119896=1
119892119896(⟨119906119896 119909⟩)∥1198711(ℝ119899)
le 119863minus12119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ)
(Barthe αντίστροφη Brascamp-Lieb)
⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119892119896(120579119896) ∶ 119909 =119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ge 11986312119898
prod119896=1
119892119896119871119901119896(ℝ)
όπου
() 119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
με 119888119896 = 1119901119896 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 (119863minus12 ∶= infin αν 119863 = 0)Π Η τετριμμένη περίπτωση 119863 = 0 και άρα 119863minus12 =
infin δεν μπορεί να αποκλειστεί Για παράδειγμα αν τα 119906119896 δεν παράγουν
όλον τον ℝ119899 τότε οι συναρτήσεις 119891(⟨119906119896 119909⟩) είναι σταθερές για όλα τα
119909 isin (span1199061 hellip 119906119898)⟂ και συνεπώς το αριστερό σκέλος της Brascamp-
Lieb απειρίζεται Έτσι σε αυτή την περίπτωση το 119863minus12 δεν μπορεί να
είναι πεπερασμένο Ισοδύναμα το supremum στο αριστερό σκέλος της ανι-
σότητας Barthe υπολογίζεται σε ένα κενό σύνολο αν 119909 notin span1199061 hellip 119906119898δηλαδή είναι 0 Έτσι η ανισότητα Barthe δεν μπορεί να ισχύει για θετικό
119863 Άρα 119863 = 0 Και πράγματι αυτό το επιβεβαιώνει και ο ορισμός
() της 119863 διότι ο πίνακας sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896 μηδενίζεται σε όλον τον
μη τετριμένο υπόχωρο span1199061 hellip 119906119898⟂ άρα δεν είναι αντιστρέψιμος
και συνεπώς η ορίζουσά του είναι μηδέν για οποιαδήποτε θετικά 120582119896
Συμπεραίνουμε ότι η συνθήκη span1199061 hellip 119906119898 = ℝ119899 είναι απαραίτητη
για να έχουμε μη τετριμμένες ανισότητες Για αυτό τον λόγο στο εξήςθα θεωρούμε ότι τα 1199061 hellip 119906119898 παράγουν τον ℝ119899
Π Αν υποθέσουμε ότι οι ανισότητες ισχύουν με 119863 gt0 η συνθήκη sum
119898119896=1 119888119896 = 119899 δεν μπορεί να παρακαμφθεί Πράγματι αν
αλλάξουμε κάθε 119891119896(sdot) σε 119891119896(120582 sdot) το αριστερό σκέλος κάνοντας την
αλλαγή μεταβλητής 120582119909 = 119910 θα αλλάξει κατά τον παράγοντα 120582minus119899 ενώ
το δεξιό σκέλος κατά τον παράγοντα 120582minus(1198881+⋯+119888119898) Έτσι για να ισχύει η
ανισότητα με 119863 gt 0 είναι απαραίτητη η υπόθεση sum119898119896=1 119888119896 = 119899 (αλλιώς
θα οδηγηθούμε σε άτοπο αφήνοντας το 120582 να πάει στο 0+ ή στο infin)
-
Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι στην Εκδοχή Α των ανισοτήτων
μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το prod119898119896=1 (intℝ
119891119896)119888119896
οπότε
-
μπορούμε να αναχθούμε έτσι σε συναρτήσεις 119891119896 που έχουν ολοκλήρωμα
ίσο με 1 Έτσι αρκεί να δείξουμε ότι
sup intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1 le 119863minus12
και
inf ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1 ge 11986312
Θα αποδείξουμε ότι τα παραπάνω sup και inf επιτυγχάνονται όταν οι
119891119896 είναι Γκαουσιανές της μορφής radic120582119896120587sdot119890minus1205821198961199052 ώστε να ισχύει intℝ119891119896 = 1
Δηλαδή θα δείξουμε ότι
sup intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1
= sup intℝ119899
(119898
prod119896=1
119891119896(⟨119906119896 119909⟩)119888119896) 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1 119891119896(119905) = radic120582119896
120587sdot 119890minus1205821198961199052 =∶ 119860
και
inf ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ∶ intℝ
119891119896 = 1
= inf ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ 119889119909 ∶
intℝ
119891119896 = 1 119891119896(119905) = radic120582119896
120587sdot 119890minus1205821198961199052 =∶ 119861
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί δείχνοντας ότι 119860 = 119861minus1 = 119863minus12
Το ακόλουθο λήμμα είναι το κύριο τεχνικό βήμα για την απόδειξη
των παραπάνω ανισοτήτων Το βασικό εργαλείο της απόδειξής του
είναι η laquoμεταφορά του μέτρουraquo
Λ (Barthe) Έστω ότι 119898 ge 119899 1199011 hellip 119901119898 ge 1 με sum119898119896=1 119901minus1
119896 =119899 119888119896 = 119901minus1
119896 1199061 hellip 119906119898 isin ℝ119899 διανύσματα που παράγουν τον ℝ119899 και οι
1198911hellip 119891119898 ℎ1hellip ℎ119898 ∶ ℝ rarr [0 infin) είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις με
intℝ
119891119896(119905) 119889119905 = intℝ
ℎ119896(119905) 119889119905 = 1
για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119898 Θέτουμε
119868(1198911 hellip 119891119898) ∶= intℝ119899
119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (⟨119906119896 119909⟩) 119889119909
και
119870(ℎ1 hellip ℎ119898) ∶= ⨛ℝ119899
sup 119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (120579119896) ∶ 120579119896 isin ℝ 119909 =
119898
sum119896=1
120579119896119888119896119906119896 119889119909
Τότε119863 sdot 119868(1198911 hellip 119891119898) le 119870(ℎ1 hellip ℎ119898)
όπου
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις
119891119896 και ℎ119896 είναι συνεχείς και θετικές και ότι 0 lt 119863 lt infin (αν 119863 = 0η ανισότητα είναι προφανής) laquoΜεταφέρουμε το μέτροraquo με την εξής
έννοια αφού intℝ119891119896(119905) 119889119905 = intℝ
ℎ119896(119905) 119889119905 = 1 και οι 119891119896 και ℎ119896 είναι συνεχείς
και θετικές για κάθε 119905 isin ℝ υπάρχει μοναδικό 119879119896(119905) isin ℝ ώστε
int119879119896(119905)
minusinfinℎ119896(119904) 119889119904 = int
119905
minusinfin119891119896(119904) 119889119904
Από το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού συνεπάγεται
ότι
ℎ119896(119879119896(119905))119879prime119896(119905) = 119891119896(119905)()
για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119898 Για εξοικονόμηση χώρου ας γράφουμε ℎ0(119909)για την υπό ολοκλήρωση ποσότητα στον ορισμό του 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) Για
-
τον υπολογισμό του 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) αλλάζουμε τις μεταβλητές θέτοντας
119909 = 119882(119910) ∶=119898
sum119896=1
119888119896119879119896(⟨119910 119906119896⟩)119906119896()
Φανερά 119909119896 = ⟨119882(119910) 119890119896⟩ όπου 1198901 hellip 119890119899 η συνήθης βάση του ℝ119899 άρα η
Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχει στοιχεία τα
119908119894119895 = 119889119909119894119889119910119895 =119889
119889119910119895
119898
sum119896=1
119888119896119879119896(⟨119910 119906119896⟩) ⟨119906119896 119890119894⟩
=119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) ⟨119906119896 119890119895⟩ ⟨119906119896 119890119894⟩
= ⟨(119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) sdot 119906119896 otimes 119906119896) 119890119895 119890119894⟩
Αυτό δείχνει ότι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι ο πίνακας
119869119882 =119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) sdot 119906119896 otimes 119906119896
Επειδή η 119879119896 είναι γνησίως αύξουσα ισχύει 119879prime119896 gt 0 Επίσης 119888119896 gt 0
και κάθε 119906119896 otimes 119906119896 είναι φανερά θετικά ημιορισμένος Επειδή για κάθε
119907 isin ℝ119899 δεν μπορεί να συμβαίνει ⟨119906119896 otimes 119906119896(119907) 119907⟩ = ⟨119907 119906119896⟩2 = 0 αφού τα
119906119896 παράγουν τον ℝ119899 συμπεραίνουμε ότι ο 119869119882 είναι θετικά ορισμένος
και συνεπώς η 119882 είναι - (δείτε Άσκηση ) και έτσι μπορούμε
να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αλλαγής μεταβλητών στα παρακάτω
ολοκληρώματα
⨛ℝ119899
ℎ0(119909) 119889119909 ge ⨛119882(ℝ119899)
ℎ0(119909) 119889119909 = ⨛ℝ119899
ℎ0(119882(119910))| det 119869119882(119910)| 119889119910
ge intℝ119899
119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (119879119896(⟨119910 119906119896⟩)) det (
119898
sum119896=1
119888119896119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩) 119906119896 otimes 119906119896) 119889119910
()
διότι
ℎ0(119882(119910)) = sup 119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (120579119896) ∶ 119882(119910) =
119898
sum119896=1
120579119896119888119896119906119896
και η ανασύσταση του 119882(119910) στην προηγούμενη ισχύει για 120579119896 =119879119896(⟨119910 119906119896⟩) από τον ορισμό της 119882 (σχέση ()) Συνεχίζοντας από
την () και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ποσότητας 119863 παίρνουμε
⨛ℝ119899
ℎ0(119909) 119889119909 ge intℝ119899
(119898
prod119896=1
ℎ119888119896119896 (119879119896(⟨119910 119906119896⟩)) sdot 119863 sdot
119898
prod119896=1
(119879prime119896(⟨119910 119906119896⟩))
119888119896
) 119889119910
και με τη βοήθεια της ()
⨛ℝ119899
ℎ0(119909) 119889119909 ge 119863 intℝ119899
119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (⟨119910 119906119896⟩) 119889119910
που είναι η ζητούμενη
Έχοντας αποδείξει λοιπόν ότι
119863 sdot 119868(1198911 hellip 119891119898) le 119870(ℎ1 hellip ℎ119898)
αν πάρουμε supremum ως προς τις 119891119896 και infimum ως προς τις ℎ119896 θα
συμπεράνουμε ότι
119863 sdot 119860 le 119863 sdot sup 119868(1198911 hellip 119891119898) le inf 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) le 119861()
όπου 119860 και 119861 οι ποσότητες που ορίστηκαν στη αρχή της Ενότητας
και τα sup και inf είναι ως προς όλες τις 119891119896 και ℎ119896 με ολοκλήρωμα 1 (όπως
στη διατύπωση του Λήμματος ) Συνεπώς για να ολοκληρωθεί η
απόδειξη της ανισότητας Brascamp-Lieb και της ανισότητας Barthe αρκεί
να αποδείξουμε ότι
(i) 119861 = 11986312 οπότε η () συνεπάγεται
119868(1198911 hellip 119891119898) le sup 119868(1198911 hellip 119891119898) le 119863minus12
δηλαδή την ανισότητα Brascamp-Lieb και
(ii) 119860 = 119863minus12 οπότε η () συνεπάγεται
11986312 le inf 119870(ℎ1 hellip ℎ119898) le 119870(ℎ1 hellip ℎ119898)
δηλαδή την ανισότητα Barthe
Οι ποσότητες 119860 και 119861 όμως είναι ποσότητες που υπολογίζονται σε
γκαουσιανές συναρτήσεις και αυτό κάνει τον υπολογισμό τους εφικτό
-
Θα χρειαστούμε τον τύπο
intℝ
119890minus1205821199052 119889119905 =radic120587radic120582
()
ο οποίος ισχύει για κάθε 120582 gt 0 και αποδυκνύεται εύκολα με την αλλαγή
μεταβλητής 119904 = radic2120582 sdot 119905 και το γεγονός ότι intℝ119890minus11990422 = radic2120587
Απόδειξη του (ii) Έστω ότι οι 119892119896 είναι Γκαουσιανές συναρτήσεις της
μορφής 119892119896(119905) = 119890minus1205821198961199052 για 120582119896 gt 0 119896 = 1 hellip 119898 Θέτουμε 119880 να είναι η
γραμμική απεικόνιση
119880 =119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896
και έχουμε
intℝ119899
119898
prod119896=1
119892119888119896119896 ⟨119909 119906119896⟩) 119889119909 = int
ℝ119899exp (minus
119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2) 119889119909
= intℝ119899
exp (minus⟨(119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896) (119909) 119909⟩) 119889119909
= intℝ119899
exp(minus⟨119880119909 119909⟩) 119889119909
= intℝ119899
exp(minus1198801211990922) 119889119909
όπου 11988012 η τετραγωνική ρίζα του 119880 η οποία υπάρχει μια και ο 119880είναι φανερά θετικά ορισμένος αφού 119888119896 gt 0 120582119896 gt 0 119906119896 otimes 119906119896 θετικά
ημιορισμένος για κάθε 119896 = 1 hellip 119898 και τα 119906119896 παράγουν τον ℝ119899 (δείτε
Παρατήρηση ) Αλλάζοντας μεταβλητές και συγκεκριμμένα θέτοντας
119910 = radic211988012(119909) και χρησιμοποιώντας το ότι η ιακωβιανή αυτού του
μετασχηματισμού είναι (radic2119899 det 11988012)minus1 = 1(radic2119899radicdet 119880) η τελευταία
ποσότητα παραπάνω ισούται με 1205871198992radicdet 119880 Καταλήξαμε δήλαδή
στην
intℝ119899
119898
prod119896=1
119892119888119896119896 ⟨119909 119906119896⟩) 119889119909 =
1205871198992
radicdet 119880()
Για να προκύψει το ζητούμενο πρέπει να διαιρέσουμε κάθε 119892119896 με το ολο-
κλήρωμά της ή ισοδύναμα να διαιρέσουμε την () με την ποσότητα
prod119898119896=1(intℝ
119892119896(119905))119888119896 Αλλά χρησιμοποιώντας την () βλέπουμε ότι
119898
prod119896=1
(intℝ
119892119896(119905))119888119896
=119898
prod119896=1
(radic120587radic120582119896
)119888119896
=1205871198992
radicprod119898119896=1 120582119888119896
119896
()
Διαιρώντας την () με την () παίρνουμε ότι
119860 = sup⎧⎨⎩
radicprod119898119896=1 120582119888119896
119896
radicdet 119880∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
=1
inf det 119880
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
12 = 119863minus12
ολοκληρώνοντας την απόδειξη του (ii)
Απόδειξη του (i) Για τον υπολογισμό του 119861 παρατηρούμε ότι αν
119891119896(119905) = 1radic120582119896120587 sdot 119890minus1199052120582119896 (ώστε intℝ119891119896 = 1) τότε
sup 119898
prod119896=1
119891119888119896119896 (120579119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ
= sup⎧⎨⎩
1
radic120587119899 prod119898119896=1 120582119888119896
119896
sdot exp (minus119898
sum119896=1
1198881198961205792119896120582119896) ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896
⎫⎬⎭
=1
1205871198992radicprod
119898119896=1 120582119888119896
119896
sdot exp (minus inf 119898
sum119896=1
1198881198961205792119896120582119896 ∶ 119909 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896)
Για 119880 = sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896 όπως και πριν επειδή ο 119880 είναι θετικά
ορισμένος η ποσότητα
119909 = ⟨119880119909 119909⟩12 = (119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2)12
ορίζει μια νόρμα στον ℝ119899 Για να συνεχίσουμε την απόδειξη χρειαζόμαστε
ένα ακόμα τεχνικό λήμμα
-
Λ Η δυϊκή νόρμα της sdot είναι η sdot lowast με
1199102lowast = ⟨119880minus1119910 119910⟩ = inf
119898
sum119896=1
1198881198961205792119896120582119896 ∶ 120579119894 isin ℝ ώστε 119910 =
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896
Αναβάλουμε την απόδειξη του προηγούμενου λήμματος και συνεχί-
ζουμε τον υπολογισμό του 119870(1198911 hellip 119891119898) Από τα προηγούμενα προκύ-
πτει ότι
119870(1198911 hellip 119891119898) =1
1205871198992radicprod
119898119896=1 120582119888119896
119896
intℝ119899
119890minus⟨119880minus1119909119909⟩ 119889119909
Αν συμβολίσουμε με 119880minus12 την τετραγωνική ρίζα του θετικά ορισμένου
119880minus1 και αλλάξουμε μεταβλητές στο τελευταίο ολοκλήρωμα θέτοντας
119910 = radic2119880minus12119909 με ορίζουσα Ιακωβιανής radic(det 119880)2119899 θα πάρουμε
119870(1198911 hellip 119891119898) =1
1205871198992radicprod
119898119896=1 120582119888119896
119896radic
det 1198802119899 int
ℝ119899119890minus1199102
22 119889119910
=radic
det 119880
prod119898119896=1 120582119888119896
119896
= ⎛⎜⎜⎝
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896
⎞⎟⎟⎠
12
Παίρνοντας infimum ως προς όλες τις Γκαουσιανές με ολοκλήρωμα ίσο
με 1 δηλαδή ως προς όλα τα 120582119896 gt 0 καταλήγουμε στο ότι
119861 = ⎛⎜⎜⎝
inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
⎞⎟⎟⎠
12
= 11986312
που είναι η ζητούμενη
Απόδειξη του Λήμματος
Κατrdquo αρχάς έχουμε ότι
119910lowast = sup119909ne0
⟨119909 119910⟩119909
= sup119909ne0
⟨119909 119910⟩radic⟨119880119909 119909⟩
= sup119909ne0
⟨11988012119909 119880minus12119910⟩
radic⟨11988012119909 11988012119909⟩= sup
119909ne0⟨
11988012119909119880121199092
119880minus12119910⟩
= 119880minus121199102 = radic⟨119880minus12119910 119880minus12119910⟩ = radic⟨119880minus1119910 119910⟩()
Επειδή τα 119906119896 παράγουν τον ℝ119899 για κάθε 119910 isin ℝ119899 υπάρχουν 120579119896 ώστε
119910 = sum119898119896=1 119888119896120579119896119906119896 Έτσι από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουμε ότι
για κάθε 119909 isin ℝ119899
⟨119909 119910⟩ = ⟨119909119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896⟩ =119898
sum119896=1
119888119896120579119896⟨119909 119906119896⟩ =119898
sum119896=1
radic119888119896
120582119896sdot 120579119896 sdot radic119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩
le (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
(119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2)12
= (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
⟨119880119909 119909⟩12
= (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
119909
Άρα
119910lowast = sup119909ne0
⟨119909 119910⟩119909
le inf⎧⎨⎩
(119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
∶ 119910 =119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 120579119896 isin ℝ⎫⎬⎭
Όμως ισχύει η ισότητα αν επιλέξουμε 119909 = 119880minus1119910 και 120579119896 = 120582119896⟨119909 119906119896⟩Πράγματι για αυτά τα 120579119896 ισχύει
119898
sum119896=1
119888119896120579119896119906119896 =119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩119906119896 = 119880119909 = 119880119880minus1119910 = 119910
και
(119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205792
119896)12
= (119898
sum119896=1
119888119896
1205821198961205822
119896⟨119909 119906119896⟩2)12
= (119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119909 119906119896⟩2)12
= radic⟨119880119909 119909⟩ = radic⟨119910 119880minus1119910⟩
= 119910lowast
από την () ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Άσκηση Ελέγξτε ότι για κάθε 119906 isin ℝ119899 ισχύει 119906 otimes 119906 = 119906119906119905 όπου το 119906νοείται ως πίνακας 119899 times 1 (στήλη) και η 119906 otimes 119906 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899 είναι η γραμμική
απεικόνιση 119906 otimes 119906(119909) = ⟨119906 119909⟩119906Άσκηση Έστω ότι η 119891 ∶ Ω rarr ℝ119899 έχει πεδίο ορισμού το κυρτό υποσύνολο
Ω του ℝ119899 Αποδείξτε ότι αν ο Ιακωβιανός πίνακας της 119891 είναι θετικά ορισμένος
τότε η 119891 είναι - ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα
(i) Αν 119909 119886 isin Ω με 119909 ne 119886 θέτουμε ℎ = 119909 minus 119886 ne 0 και θεωρούμε την
119909(119905) = 119886 + 119905ℎ ∶ [0 1] rarr Ω
(ii) Ορίζουμε Φ ∶ [0 1] rarr ℝ με
Φ(119905) = ⟨ℎ 119891(119909(119905)) minus 119891(119886)⟩ =119899
sum119896=1
ℎ119896(119891119896(119909(119905)) minus 119891119896(119886))
όπου 119891119896 οι συντεταγμένες συναρτήσεις της 119891 δηλαδή 119891119896 ∶ Ω rarr ℝ με
119891 = (1198911 hellip 119891119899)
(iii) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα της αλυσίδας για να δείξετε ότι Φprime(119905) =⟨119869119891ℎ ℎ⟩ gt 0 όπου 119869119891 ο Ιακωβιανός πίνακας της 119891
(iv) Συμπεράνετε από το Θεώρημα Rolle ότι αφού Φ(0) = 0 δεν μπορεί να
ισχύει Φ(1) = 0 οπότε 119891(119909) ne 119891(119886)
Έστω ότι το κυρτό συμμετρικό σώμα 119870 είναι στη θέση του John
Τότε τα σημεία επαφής του συνόρου του 119870 με την ευκλείδεια μπάλα
είναι αρκετά ώστε να αναπαριστούν την ταυτοτική απεικόνιση με την
εξής έννοια
Θ (F John) Αν το κυρτό και κεντρικά συμμετρικό σώμα119870 βρίσκεται στη θέση του John τότε υπάρχουν 119898 σημεία επαφής 1199061 hellip 119906119898του συνόρου του 119870 με την εγγεγραμμένη 120138119899minus1 ώστε να ισχύει
Id =119898
sum119896=1
119888119896119906119896 otimes 119906119896()
για κατάλληλους αριθμούς 119888119896 gt 0 Το 119898 μπορεί να επιλεγεί μικρότερο ήίσο του 1 + 119899(119899 + 1)2
Π Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα 119906119896 ικανοποιούν
την 119906119896119870 = 1199061198962 = 1 αφού είναι στο σύνορο τόσο του 119870 όσο και της
ℬ1198992
Π Παίρνοντας το ίχνος στη σχέση () και χρη-
σιμοποιώντας και την Άσκηση βλέπουμε ότι
119899 = tr Id = tr(119898
sum119896=1
119888119896119906119896 otimes 119906119896) =119898
sum119896=1
119888119896tr(119906119896otimes119906119896) =119898
sum119896=1
11988811989611990611989622 =
119898
sum119896=1
119888119896
Δηλαδή ισχύει sum119898119896=1 119888119896 = 119899 και άρα sum
119898119896=1 119888119896119899 = 1 Αυτό σημαίνει ότι η
ζητούμενη σχέση () μας λέει ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι ο πίνακας
119899minus1 Id ανήκει στην κυρτή θήκη των πινάκων 119906 otimes 119906 για 119906 σημείο του
bd(119870) cap 120138119899minus1
Π Οι πίνακες 119906 otimes 119906 επειδή είναι συμμετρικοί έχουν
τόσα ανεξάρτητα στοιχεία όσα τα στοιχεία στη διαγώνιο και κάτω από
αυτή Δηλαδή συνολικά 1+2+hellip+119899 = 119899(119899+1)2 Άρα αν δειχθεί ότι ο
119899minus1 Id είναι στην κυρτή θήκη των 119906 otimes 119906 με 119906 isin ℝ119899 τότε από το Θεώρημα
Καραθεοδωρή (Θεώρημα ) αρκούν 1 + 119899(119899 + 1)2 στοιχεία της
μορφής 119906 otimes 119906 (αντιλαμβανόμενοι τα 119906 otimes 119906 ως στοιχεία του ℝ1198992) Αυτό
αποδεικνύει ότι 119898 le 1 + 119899(119899 + 1)2
Απόδειξη του Θεωρήματος Σύμφωνα με τις παραπάνω πα-
ρατηρήσεις αρκεί να αποδείξουμε ότι ο πίνακας 119899minus1 Id βρίσκεται στην
κυρτή θήκη των πινάκων 119906otimes119906 όπου 119906 σημείο επαφής του bd(119870) και του
120138119899minus1 Θέτουμε 119880 = 119906 isin 120138119899minus1 ∶ 119906119870 = 1 και θέλουμε να δείξουμε ότι
119899minus1 Id isin conv119906 otimes 119906 ∶ 119906 isin 119880 Υποθέτουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει και
επειδή το τελευταίο σύνολο είναι φανερά συμπαγές εργαζόμενοι στον
ℝ1198992και εφαρμόζοντας το Θεώρημα υπάρχει στοιχείο 119860 του ℝ1198992
που διαχωρίζει το 119899minus1 Id από το conv119906 otimes 119906 ∶ 119906 isin 119880 (Παρατηρούμεότι τα στοιχεία του ℝ1198992
τα μεταχειριζόμαστε και ως διανύσματα και ως
πίνακες 119899 times 119899) Έτσι υπάρχει 120598 gt 0 ώστε να ισχύει
⟨119860 119899minus1 Id⟩ lt minus120598 lt 0 le ⟨119860 119906 otimes 119906⟩()
για κάθε 119906 isin 119880 Επειδή οι πίνακες 119899minus1 Id και 119906 otimes 119906 είναι συμμετρικοί
ελέγχουμε εύκολα ότι ⟨119860119905 119899minus1 Id⟩ = ⟨119860 119899minus1 Id⟩ και ⟨119860119905 119906otimes119906⟩ = ⟨119860 119906otimes119906⟩Συνεπώς η () συνεχίζει να ισχύει αν στη θέση του 119860 βάλουμε τον
συμμετρικό πίνακα (119860 + 119860119905)2 Άρα μπορούμε να υποθέσουμε εξrdquo αρχής
ότι ισχύει η () με 119860 συμμετρικό
Θέτουμε 119861 = 119860 minus (tr119860119899) Id και παρατηρούμε ότι ⟨119861 119899minus1 Id⟩ =tr119861119899 = 0 Έτσι έχουμε
0 = ⟨119861 119899minus1 Id⟩ = ⟨119860 119899minus1 Id⟩ minustr119860119899
lt minus120598 minustr119860119899
lt minustr119860119899
le ⟨119860 119906 otimes 119906⟩ minustr119860119899
⟨Id 119906 otimes 119906⟩
= ⟨119861 119906 otimes 119906⟩
όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ⟨Id 119906 otimes 119906⟩ = 11990622 = 1
Υποθέτοντας λοιπόν ότι ο 119899minus1 Id δεν ανήκει στην κυρτή θήκη των
119906 otimes 119906 για 119906 isin 119880 καταλήξαμε να βρούμε ένα πίνακα 119861 isin ℝ1198992και θετικό
αριθμό 119904 ∶= minus120598 minus tr119860119899 ώστε να ισχύουν τα εξής
(i) 119861 = 119861119905 και 119861 ne 0
(ii) tr119861 = ⟨119861 119899minus1 Id⟩ = 0 lt 119904 le ⟨119861 119906 otimes 119906⟩ για κάθε 119906 isin 119880
Για 120575 gt 0 αρκετά κοντά στο μηδέν ο πίνακας Id +120575119861 είναι θετικά
ορισμένος συνεπώς έχει τετραγωνική ρίζα έστω τον πίνακα 119879120575 Θεωρούμε
τα ελλειψοειδή
ℰ120575 = 119879minus1120575 (119861119899
2) = 119909 isin ℝ119899 ∶ ⟨(Id +120575119861)119909 119909⟩ le 1
Ο όγκος του ℰ120575 ισούται με det 119879minus1120575 |ℬ119899
2| Αλλά εύκολα ελέγχουμε ότι
o Id +120575119861 δεν είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού Συνεπώς από την
Πρόταση η ακόλουθη ανισότητα είναι γνήσια
(det 119879120575)2119899 = det(Id +120575119861)1119899 lttr(Id +120575119861)
119899= 1
Άρα |ℰ120575| gt |ℬ1198992| με μόνο περιορισμό το 120575 gt 0 να είναι αρκετά μικρό
ώστε ο Id +120575119861 να είναι θετικά ορισμένος
Θα καταλήξουμε λοιπόν σε άτοπο αν δείξουμε ότι υπάρχουν κατάλ-
ληλα μικρά 120575 gt 0 ώστε να ισχύει ℰ120575 sube 119870 (διότι αυτό θα σημαίνει ότι το
ℬ1198992 δεν είναι το ελλειψοειδές μεγίστου όγκου μέσα στο 119870 αντιφάσκοντας
με την υπόθεση)
Για να το επιτύχουμε αυτό θέτουμε 119881 = 119907 isin 120138119899minus1 ∶ dist(119907 119880) ge1199042119861 όπου 119861 η νόρμα του119861ως πίνακας δηλαδή 119861 = sup
1199062=11198611199062
Αν 119870 = ℬ1198992 το 119881 είναι μεν κενό αλλά δεν έχουμε τίποτα να απο-
δείξουμε αφού μπορούμε να θέσουμε 119888119896 = 1 και 119906119896 = 119890119896 τα βασικά
διανύσματα του ℝ119899 και η () προφανώς ισχύει
Υποθέτουμε ότι 119870 ne ℬ1198992 οπότε μικραίνοντας αν χρειαστεί το 119904 gt 0
το σύνολο 119881 είναι μη κενό και φανερά συμπαγές υποσύνολο του 120138119899minus1
Αν 119907 isin 120138119899minus1 ⧵ 119881 έστω ότι 119906 isin 119880 με 119907 minus 1199062 lt 1199042119861 Έχουμε
∣⟨(Id +120575119861)119907 119907⟩ minus ⟨(Id +120575119861)119906 119906⟩∣ = 120575∣⟨119861119907 119907⟩ minus ⟨119861119906 119906⟩∣
= 120575∣⟨119861119907 119907⟩ minus ⟨119861119907 119906⟩ + ⟨119861119907 119906⟩ minus ⟨119861119906 119906⟩∣
le 120575(∣⟨119861119907 119907 minus 119906⟩∣ + ∣⟨119861(119907 minus 119906) 119906⟩∣)
le 1205752119861 1199072119907 minus 1199062 lt 120575119904
Άρα
⟨(Id +120575119861)119907 119907⟩ gt ⟨(Id +120575119861)119906 119906⟩ minus 120575119904 = 1 + 120575⟨119861119906 119906⟩ ge 1 + 120575119904 minus 120575119904 = 1
Δηλαδή
1 lt ⟨(Id +120575119861)119907 119907⟩ le ⟨(Id +120575119861)119907
119907119870
119907119907119870
⟩
διότι 119907119870 le 1199072 = 1 αφού ℬ1198992 sube 119870 Συμπεραίνουμε ότι 119907119907119870 isin
bd(119870) ⧵ ℰ120575
Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε διεύθυνση 119907 isin 120138119899minus1 ⧵ 119881 η ημιευθεία
με αρχή το 0 που περνάει από το 119907 αναγκαστικά τέμνει πρώτα το
bd(ℰ120575) και μετά το bd(119870) Αν δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για τις
διευθύνσεις 119907 isin 119881 θα έχουμε δείξει ότι ℰ120575 sube 119870 καταλήγοντας σε άτοπο
και ολοκληρώνοντας την απόδειξη Αυτό όμως προκύπτει ως εξής λόγω
της συμπάγειας του 119881 και κατά συνέπεια της θετικής του απόστασης
από το bd(119870) (αφού δεν το τέμνει) υπάρχει 120598 gt 0 ώστε
(1 + 120598)119881 cap bd(119870) = ()
Αλλά τα ℰ120575 συγκλίνουν (με τη μετρική Hausdorff (δείτε Άσκηση ))
στο ℬ1198992 Οπότε υπάρχει 1205750 gt 0 ώστε για κάθε 0 lt 120575 lt 1205750 να ισχύει
ℰ120575 sube (1 + 120598)1198611198992 Έτσι για κάθε 119907 isin 119881 χρησιμοποιώντας την ()
ισχύει
(ℝ+119907) cap ℰ120575 sube (ℝ+119907) cap (1 + 120598)ℬ1198992 sube (ℝ+119907) cap 119870
Σκοπός μας στη συνέχεια είναι να δείξουμε ότι αν χρησιμοποιηθούν
στην ανισότητα Brascamp-Lieb τα 119906119896 που αναπαριστούν τον ταυτοτικό
πίνακα όπως παραπάνω τότε η σταθερά 119863 της ανισότητας ισούται με 1Για να το καταφέρουμε αυτό χρειαζόμαστε μια επέκταση της ανισότητας
Hadamard Η ανισότητα Hadamard λέει ότι για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119860ισχύει
det 119860 le119899
prod119896=1
1198601198901198962
όπου τα 1198901 hellip 119890119899 είναι η συνήθης βάση του ℝ119899 Δεν χρειάζεται να
αποδείξουμε αυτή την ανισότητα αφού θα αποδείξουμε την ακόλουθη
επέκτασή της
Π (Ανισότητα Hadamard) Αν τα 119906119896 και 119888119896 αναπαριστούντον ταυτοτικό πίνακα όπως παραπάνω τότε για κάθε 119899 times 119899 πίνακα 119860ισχύει
det 119860 le119898
prod119896=1
1198601199061198961198881198962
Απόδειξη Παρατηρούμε ότι η ζητούμενη ανισότητα είναι αναλλοίωτη
στους ορθογώνιους πίνακες οπότε αντικαθιστώντας τον 119860 με τον 119876119860όπου ο 119876 ανήκει στην ορθογώνια ομάδα μπορούμε να υποθέσουμε ότι
ο 119860 είναι συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος (δείτε Άσκηση )
Επειδή αν η ορίζουσα του 119860 ισούται με μηδέν τότε η ανισότητα είναι
προφανής υποθέτουμε ότι ο 119860 είναι θετικά ορισμένος Συνεπώς είναι
διαγωνοποιήσιμος με θετικές ιδιοτιμές δηλαδή ισχύει
119860 =119899
sum119896=1
120572119896119890119896 otimes 119890119896
με 119886119896 gt 0 για κάθε 119896 = 1 2 hellip 119899 Επειδή sum119899119896=1⟨119906119896 119890119896⟩2 = 1199061198962
2 = 1
εφαρμόζοντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου παίρνουμε
ότι
11986011990611989622 =
119899
sum119896=1
1205722119896⟨119906119896 119890119896⟩2 ge
119899
prod119896=1
1205722⟨119906119896119890119896⟩2
119896
Πολλαπλασιάζοντας για όλα τα 119894 έχουμε119898
prod119896=1
1198601199061198961198881198962 ge
119898
prod119896=1
119899
prod119896=1
120572119888119896⟨119906119896119890119896⟩2
119896
=119899
prod119896=1
120572sum119898119896=1 119888119896⟨119906119896119890119896⟩2
119896
=119899
prod119896=1
120572⟨(sum
119898119896=1 119888119896119906119896otimes119906119896)119890119896 119890119896⟩
119896
=119899
prod119896=1
120572⟨Id 119890119896119890119896⟩119896 =
119899
prod119896=1
120572119896 = det 119860
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Αν τα διανύσματα 119906119896 για 119896 = 1 2 hellip 119898 με 1199061198962 = 1ικανοποιούν την Id = sum
119898119896=1 119888119896119906119896 otimes 119906119896 για κατάλληλες σταθερές 119888119896 isin ℝ
τότε η σταθερά 119863 στην ανισότητα Brascamp-Lieb ισούται με 1
Απόδειξη Η σταθερά 119863 είναι η ποσότητα
119863 = inf⎧⎨⎩
det (sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 120582119888119896
119896∶ 120582119896 gt 0
⎫⎬⎭
Αν επιλέξουμε 120582119896 = 1 για κάθε 119896 = 1 hellip 119898 θα έχουμε φανερά ότι
119863 ledet (sum
119898119896=1 119888119896119906119896 otimes 119906119896)
prod119898119896=1 1119888119896
= det Id = 1
Για την αντίστροφη ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 120582119896 gt 0ισχύει
det (119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896) ge119898
prod119896=1
120582119888119896119896
Ας θέσουμε 119860 = sum119898119896=1 119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896 Εύκολα ελέγχουμε ότι ο 119860 είναι
συμμετρικός και θετικά ορισμένος συνεπώς είναι αντιστρέψιμος και ο
αντίστροφος ως θετικά ορισμένος έχει τετραγωνική ρίζα την οποία θα
συμβολίσουμε με 119860minus12 Ολοκληρώνουμε την απόδειξη δείχνοντας ότι
det 119860 ge prod119898119896=1 120582119888119896
119896
1 =1119899tr(119860minus1119860) =
1119899tr(119860minus1
119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes 119906119896)
=1119899tr(
119898
sum119896=1
119888119896120582119896119906119896 otimes (119860minus1119906119896)) =1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896tr(119906119896 otimes (119860minus1119906119896))
=1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119906119896 119860minus1119906119896⟩ =1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896⟨119860minus12119906119896 119860minus12119906119896⟩
=1119899
119898
sum119896=1
119888119896120582119896119860minus1211990611989622 =
119898
sum119896=1
119888119896
119899 (120582119896119860minus1211990611989622)
(χρησιμοποιούμε την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου αφού
sum119898119896=1 119888119896119899 = 1)
ge119898
prod119896=1
(120582119896119860minus1211990611989622)
119888119896119899
= (119898
prod119896=1
120582119888119896119899119896 ) sdot (
119898
prod119896=1
119860minus121199061198961198881198962 )
2119899
ge (119898
prod119896=1
120582119888119896119899119896 ) sdot (det 119860minus12)2119899
όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε την ανισότηταHadamard
(Πρόταση ) ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Τo επόμενο θεώρημα θα μας δώσει αμέσως την αντίστροφη ισοπερι-
μετρική ανισότητα
Θ (K Ball) Ανάμεσα σε όλα τα κυρτά συμμετρικά σώμα-τα στη θέση του John ο κύβος έχει μέγιστο όγκο Δηλαδή αν 119876119899 = [minus1 1]119899
ο μοναδιαίος κύβος στον ℝ119899και 119870 κεντρικά συμμετρικό κυρτό σώμα στονℝ119899 στη θέση του John τότε vol119899(119870) le 2119899 = vol119899(119876119899)
Απόδειξη Έστω ότι τα 119906119896 είναι σημεία επαφής του συνόρου του 119870 με
την Ευκλείδεια σφαίρα και 119888119896 isin ℝ ώστε να ισχύει Id = sum119898119896=1 119888119896119906119896 otimes 119906119896
Από την προηγούμενη πρόταση η ανισότητα Brascamp-Lieb ισχύει με
119863 = 1 Φανερά
119870 sube 119872 ∶= 119909 ∶ ∣⟨119909 119906119896⟩∣ le 1 119896 = 1 hellip 119898
Άρα εφαρμόζοντας την ανισότητα Brascamp-Lieb παίρνουμε
vol119899(119870) le vol119899(119872) = intℝ119899
(119898
prod119896=1
1119888119896[minus11](⟨119909 119906119896⟩)) 119889119909
le 1 sdot119898
prod119896=1
(intℝ
1[minus11])119888119896
=119898
prod119896=1
2119888119896 = 2119899 = vol119899(119876119899)
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Η ισοπεριμετρική ανισότητα (δείτε Άσκηση ) λέει ότι για κάθε
κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 ισχύει
(|119870||ℬ119899
2|)1119899
le (120597119870120597119861119899
2)
1(119899minus1)
(όπου υπενθυμίζουμε ότι με | sdot | συμβολίζουμε τον 119899-διάστατο όγκο vol119899)
η οποία με απλές πράξεις συνεπάγεται ότι
120597119870 ge (119899 sdot |ℬ1198992|1119899) sdot |119870|(119899minus1)119899 ≃ radic119899 sdot |119870|(119899minus1)119899
Η αντίστροφη ανισότητα γενικώς δεν ισχύει όπως εύκολα βλέπει κανείς
θέτοντας 119870 ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με όλες τις ακμές του
μεγάλες και μία πολύ μικρή (ώστε να διατηρείται ο όγκος ίσος με 1 αλλάνα μπορεί να μεγαλώσει ανεγξέλεκτα το εμβαδόν επιφανείας) Όμως από
τα προηγούμενα προκύπτει ότι θα ισχύει μια αντίστροφη ανισότητα
αν το 119870 βρίσκεται σε κατάλληλη θέση
Θ (Αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα) Για κάθε κυρ-τό κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870 υπάρχει θέση 119870 ώστε
120597119870 le 2119899 |119870|(119899minus1)119899
και η ποσότητα 2119899 στην προηγούμενη ανισότητα είναι βέλτιστη
Απόδειξη Θεωρούμε ότι το 119870 είναι στη θέση του John Έτσι ℬ1198992 sube 119870
και από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε |119870| le 2119899 Οπότε
120597119870 = lim119905rarr0+
|119870 + 119905ℬ1198992| minus |119870|119905
le lim119905rarr0+
|119870 + 119905119870| minus |119870|119905
= |119870| sdot 119899 = |119870|(119899minus1)119899|119870|1119899 sdot 119899 le 2119899 sdot |119870|(119899minus1)119899
Επειδή ισχύει η ισότητα όταν το 119870 είναι ο κύβος 119876119899 = [minus1 1]119899 συμπαι-
ρένουμε ότι η ποσότητα 2119899 είναι βέλτιστη
Π (Αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα) Από όλα τακυρτά κεντρικά συμμετρικά σώματα 119870 που βρίσκονται στη θέση του Johnκαι έχουν ίδιο εμβαδόν επιφανείας με τον κύβο 119876119899 τον ελάχιστο όγκο τονέχει ο κύβος
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι το 119870 είναι κεντρικά συμμετρικό και κυρτό
σώμα στη θέση του John και επιπλέον ότι
120597119870 = 120597119876119899 = |119876119899| sdot 119899
Αφού 120597119870 le 2119899|119870|(119899minus1)119899 έχουμε
|119870| ge (1
2119899120597119870)
119899119899minus1
= (1
21198992119899119899)
119899119899minus1
= 2119899 = |119876119899|
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Ανάλογο αποτέλεσμα υπάρχει και για κυρτά
σώματα που δεν είναι απαραίτητα κεντρικά συμμετρικά Εκεί η σύγκριση
γίνεται με το simplex Δεν θα ασχοληθούμε με αυτή την περίπτωση
Άσκηση Αποδείξτε ότι τα ελλειψοειδή ℰ120575 που ορίστηκαν στην απόδειξη
του Θεωρήματος συγκλίνουν ως προς τη μετρική Hausdorff στην Ευκλείδεια
μπάλα ℬ1198992 Αυτό μπορείτε να το κάνετε αποδεικνύοντας ότι
1radic1 + 120575119861
ℬ1198992 sube ℰ120575 sube
1radic1 minus 120575119861
ℬ1198992
για κάθε 0 lt 120575 lt 1119861 Για να το επιτύχετε αυτό θα πρέπει πρώτα με τη
βοήθεια του φασματικού θεωρήματος για τον πίνακα 119879120575 να αποδείξετε ότι
119879minus2120575 = 119879minus1
120575 2 και ότι (Id +120575119861)minus1 = suminfin119896=0(minus120575)119896119861119896
Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε κυρτό κεντρικά συμμετρικό σώμα 119870στον ℝ119899 υπάρχει θέση 119870 ώστε να ισχύει
(120597119870120597119876119899
)1(119899minus1)
le (|119870||119876119899|)
1119899
Συγκρίνετε με την Άσκηση
Η ΘΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ
Θ Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει θέση ελα-χίστου μέσου πλάτους Δηλαδή υπάρχει 1198790 isin SL(119899) ώστε το 1198790(119870) ναέχει ελάχιστο πλάτος
119908(1198790(119870)) = inf119908(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)
Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι
για κατάλληλο 119886 gt 0 ισχύει 119886ℬ1198992 sube 119870 sube ℬ119899
2 πολλαπλασιάζοντας με
κατάλληλο συντελεστή το 119870 και χρησιμοποιώντας το ότι για κάθε 120582 gt 0ισχύει 119908(120582119870) = 120582 119908(119870) Θέτουμε 1199080 = inf119908(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)Έστω ότι η (119879119898)119898isinℕ ακολουθία γραμμικών απεικονίσεων στο SL(119899)ώστε lim119898rarrinfin 119908(119879119898(119870)) = 1199080 Θα δείξουμε με απαγωγή στο άτοπο ότι
η (119879119898)119898isinℕ είναι φραγμένη στον 119872119899times119899 με την νόρμα sdot Πράγματι ανδεν είναι φραγμένη τότε υπάρχει ακολουθία (119906119898)119898isinℕ στη σφαίρα 120138119899minus1
ώστε 1198791198981199061198982 rarr infin για 119898 rarr infin Έτσι το ελλειψοειδές ℰ119898 ∶= 119879119898(ℬ1198992)
με μήκη ημιαξόνων 1198861119898 hellip 119886119899119898 gt 0 έχει τουλάχιστον ένα ημιάξονα
μεγαλύτερο του 1198791198981199061198982 έστω τον 119886119895119898119898 Δηλαδή lim119898rarrinfin 119886119895119898119898 = infin
Από την Άσκηση ισχύει
119908(119879119898(ℬ1198992)) = 119908(ℰ119898) = int
120138119899minus1ℎℰ119898
(119906) 119889119906 = int120138119899minus1
(119899
sum119895=1
11988621198951198981199062
119895 )12
119889119906
ge 119886119895119898119898 int120138119899minus1
|119906119895119898| 119889119906 = 119886119895119898119898 int
120138119899minus1|1199061| 119889119906 rarr infin
όπου 119906119895 οι συντεταγμένες του 119906 ως προς ορθοκανονική βάση του ℝ119899
στη διεύθυνση των κύριων αξόνων του ελλειψοειδούς ℰ119898 Αλλά από την
άλλη μεριά η ακολουθία 119908(119879119898(ℬ1198992)) είναι φραγμένη αφού
119908(119879119898(ℬ1198992)) le 119886minus1119908(119879119898(119870)) rarr 119886minus11199080
καταλήγοντας σε άτοπο
Άρα η (119879119898)119898isinℕ είναι φραγμένη και από την Πρόταση και το
Πόρισμα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Ας συμβολίσουμε πάλι με
(119879119898)119898isinℕ αυτή την υπακολουθία και έστω ότι συγκλίνει στο 1198790 Δηλαδή
119879119898 minus 1198790 rarr 0 Παρατηρούμε ότι για κάθε 119906 isin 120138119899minus1
∣ℎ119879119898119870(119906) minus ℎ1198790119870(119906)∣ = ∣ℎ119870(119879119905119898119906) minus ℎ119870(119879119905
0119906)∣()
le ℎ119870((119879119905119898 minus 119879119905
0)(119906)) = sup119910isin119870
⟨(119879119905119898 minus 119879119905
0)(119906) 119910⟩()
le sup119910isinℬ119899
2
⟨119906 (119879119898 minus 1198790)(119910)⟩
le sup119910isinℬ119899
2
1199062119879119898 minus 1198790 1199102 le 119879119898 minus 1198790
όπου στην () χρησιμοποιήσαμε την Άσκηση και στην ()
χρησιμοποιήσαμε την κάτω τριγωνική ανισότητα αφού κάθε συνάρτηση
στήριξης είναι νόρμα (του πολικού σώματος) από την Πρόταση
Συνεπώς η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη πάνω στο 120138119899minus1 οπότε
119908(119879119898(119870)) = int120138119899minus1
ℎ119879119898(119870)(119906) 119889119906 rarr int120138119899minus1
ℎ1198790(119870)(119906) 119889119906 = 119908(1198790(119870))
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Στη συνέχεια θέλουμε να αποδείξουμε ότι η θέση του ελαχίστου
μέσου πλάτους είναι στην ουσία μοναδική Για αυτό θα χρειαστούμε
δύο λήμματα
Λ Θεωρούμε ένα γνήσια κυρτό σώμα 119870 του οποίου ησυνάρτηση στήριξης ℎ119870 είναι διαφορίσιμη Έστω ότι το 119909 είναι το μοναδικόσημείο τομής του επιπέδου στήριξης του 119870 στη διεύθυνση 119906 isin 120138119899minus1 με το119870 Τότε nablaℎ119870(119906) = 119909
Απόδειξη Αφού η ℎ119870 είναι διαφορίσιμη συμπεραίνουμε ότι για κάθε 119907 isinℝ119899 ⧵ 0 και για κάθε 119906 isin 120138119899minus1 υπάρχει η κατευθυνόμενη παράγωγος
120597119907ℎ119870(119906) στη διεύθυνση 119907 Παρατηρούμε πρώτα ότι
120597minus119907ℎ119870(119906) = lim120582rarr0
ℎ119870(119906 + 120582(minus119907)) minus ℎ119870(119906)120582
= minus lim120582rarr0
ℎ119870(119906 + (minus120582)119907) minus ℎ119870(119906)minus120582
= minus120597119907ℎ119870(119906)()
Επιπλέον από τον ορισμό της συνάρτησης στήριξης το ότι ℎ119870(119906) = ⟨119909 119906⟩και 119909 isin 119870 παίρνουμε
120597119907ℎ119870(119906) = lim sup120582rarr0
ℎ119870(119906 + 120582119907) minus ℎ119870(119906)120582
= lim sup120582rarr0
ℎ119870(119906 + 120582119907) minus ⟨119909 119906⟩120582
ge lim sup120582rarr0
⟨119909 119906 + 120582119907⟩ minus ⟨119909 119906⟩120582
= ⟨119909 119907⟩()
Άρα αν 119890119894 119894 = 1 hellip 119899 τα διανύσματα της συνήθους βάσης του ℝ119899 θα
έχουμε 120597119890119894ℎ119870(119906) ge ⟨119909 119890119894⟩ για κάθε 119894 = 1 hellip 119899 Αλλά από την () και
την () συνεπάγεται ότι
120597119890119894ℎ119870(119906) = minus120597minus119890119894
ℎ119870(119906) le minus⟨119909 minus119890119894⟩ = ⟨119909 119890119894⟩
Άρα 120597119890119894ℎ119870(119906) = ⟨119909 119890119894⟩ για κάθε 119894 = 1 2 hellip 119899 οπότε nablaℎ119870(119906) = 119909
Λ Ένα κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 με διαφορίσιμη συνάρτησηστήριξης ℎ119870 έχει ελάχιστο μέσο πλάτος αν και μόνο αν
int120138119899minus1
⟨nablaℎ119870(119906) 119879119906⟩ 119889119906 =tr(119879)
119899119908(119870)()
για κάθε γραμμική απεικόνιση 119879 ∶ ℝ119899 rarr ℝ119899
Απόδειξη Αν το 119870 έχει ελάχιστο μέσο πλάτος τότε για 120598 gt 0 αρκετά
μικρό η απεικόνιση 119878 = (Id +120598119879)119905(det(Id +120598119879))1119899 είναι καλά ορισμένη
και έχει ορίζουσα 1 Συνεπώς 119908(119878(119870)) ge 119908(119870) οπότε
int120138119899minus1
ℎ119878(119870)(119906)119889119906 ge int120138119899minus1
ℎ119870(119906)119889119906
Απλές πράξεις οδηγούν στην
int120138119899minus1
ℎ119870(119906 + 120598119879119906) 119889119906 ge det((Id +120598119879))1119899 int
120138119899minus1ℎ119870(119906)119889119906
Αντικαθιστώντας τις ℎ119870(119906 + 120598119879119906) και (det(Id +120598119879))1119899 με τα Taylor ανα-
πτύγματά τους πρώτης τάξης οδηγούμαστε στην
int120138119899minus1
(ℎ119870(119906) + 120598⟨nablaℎ119870(119906) 119879119906⟩ + 119900(120598)) 119889119906 ge (1 + 120598tr(119879)
119899+ 119900(120598)) 119908(119870)
όπου γράψαμε με 119900(120598) τα υπόλοιπα του αναπτύγματος Taylor τα οποία
ικανοποιούν την lim120598rarr0+ 119900(120598)120598 = 0 Αφήνοντας το 120598 να πάει στο 0 από
δεξιά οδηγούμαστε στην
int120138119899minus1
⟨nablaℎ119870(119906) 119879119906⟩ 119889119906 getr(119879)
119899119908(119870)
Αλλά η τελευταία ισχύει για κάθε 119879 οπότε αν την ξαναγράψουμε για
τον minus119879 στη θέση του 119879 παίρνουμε την αντίστροφη ανισότητα δηλαδή
το ζητούμενο
Αντίστροφα έστω ότι ισχύει η () και ο 119879 έχει ορίζουσα 1Από την Άσκηση υπάρχουν ορθογώνιοι πίνακες 119880 και 119881 και
διαγώνιος πίνακας 119863 = diag(1205821 hellip 120582119899) με 120582119895 gt 0 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899ώστε να ισχύει 119879 = 119880119863119881 Οπότε (119880119881)119905119879 = 119881119905119863119881 Επειδή ο πίνακας
(119880119881)119905 είναι ορθογώνιος ισχύει 119908((119880119881)119905119879(119870)) = 119908(119879(119870)) συνεπώς
αρκεί να αποδείξουμε ότι το σώμα 119878(Κ) για 119878 ∶= (119880119881)119905119879 = 119881119905119863119881ικανοποιεί την 119908(119878(119870)) ge 119908(119870) Αλλά ο πίνακας 119878 είναι συμμετρικός
και θετικά ορισμένος οπότε από το Πόρισμα ισχύει η ανισότητα
tr(119878)119899 ge det(119878)1119899 = 1 Από αυτό και το ότι nablaℎ119870(119906) isin 119870 (Λήμμα )
έχουμε ότι
119908(119878(119870)) = int120138119899minus1
ℎ119878(119870)(119906) 119889119906 = int120138119899minus1
ℎ119870(119878119905119906) 119889119906
ge int120138119899minus1
⟨nablaℎ119870(119906) 119878119905119906⟩ 119889119906 =tr(119878)
119899119908(119870) ge 119908(119870)()
Δηλαδή το 119870 βρίσκεται στη θέση ελάχιστου μέσου πλάτους
Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της θέσης
ελάχιστου μέσου πλάτους
Π Αν το κυρτό σώμα 119870 βρίσκεται στη θέση ελάχιστουμέσου πλάτος και το ίδιο συμβαίνει και για το 119879(119870) όπου 119879 isin SL(119899)τότε o 119879 είναι ορθογώνιος
Απόδειξη Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ℎ119870 είναι διαφορίσιμη συνάρ-
τηση αλλιώς προσεγγίζουμε το 119870 με μια ακολουθία σωμάτων που έχουν
διαφορίσιμες συναρτήσεις στήριξηςmdashπαραλείπουμε τις λεπτομέρειες
Αν 119908(119879(119870)) = 119908(119870) τότε 119908(119878(119870)) = 119908(119870) όπου 119878 ο πίνακας που
προκύπτει από τον 119879 όπως στην απόδειξη του Λήμματος Από
τη σχέση () θα ισχύει tr(119878)119899 = (det 119878)1119899 Οπότεmdashσύμφωνα με το
Πόρισμα mdashο 119878 είναι ορθογώνιος άρα και ο 119879
Η ΘΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ
Σε αυτό το κεφάλαιο θα αποδείξουμε ότι κάθε κυρτό σώμα 119870 στον
ℝ119899 έχει μια στην ουσία μοναδική θέση ελάχιστου εμβαδού επιφανείας Η
απόδειξη χρειάζεται το γεγονός ότι το εμβαδό επιφανείας ως συνάρτηση
από τα κυρτά σώματα στο ℝ είναι συνεχής Η κυρτότητα δεν είναι
απαραίτητη μόνο για την ύπαρξη του εμβαδού επιφανείας διότι εύκολα
μπορεί να δει κανείς ότι η συνάρτηση αυτή δεν είναι συνεχής σε μη
κυρτά σύνολα όπως βλέπουμε στο Σχήμα Η συνέχεια του εμβαδού
Uuml c
a
4
Σ Η περιφέρεια του 119870119898 είναι 4 για κάθε 119898 isin ℕ τα 119870119898 συγκλί-
νουν με τη μετρική Hausdorff στο 119870 το οποίο έχει περίμετρο 2+radic2 ne 4
επιφανείας στα κυρτά σώματα έχει αρκετή δουλειά για να αποδειχθεί
και την αποδεικνύουμε στην Ενότητα Για τα επόμενα υποθέτουμε
ότι η συνέχεια είναι δεδομένη
Θ Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει θέση ελάχι-στου εμβαδού επιφανείας Δηλαδή υπάρχει 1198790 isin SL(119899) ώστε το 1198790(119870)να έχει το ελάχιστο εμβαδό επιφανείας
120597(1198790(119870)) = inf120597(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)
Απόδειξη Χρησιμοποιώντας το ότι 120597(120582119870) = 120582119899minus1120597(119870) μπορούμε να
υποθέσουμε πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο 120582 gt 0 ότι 119870 sube ℬ1198992
Θέτουμε
1205970 = inf120597(119879(119870)) ∶ 119879 isin SL(119899)
και θεωρούμε ακολουθία 119879119898 isin SL(119899) ώστε lim119898rarrinfin 120597(119879119898(119870)) = 1205970 Αρκεί
να δείξουμε ότι η 119879119898 έχει συγκλίνουσα υπακολουθία διότι αν αυτή
η υπακολουθία συγκλίνει έστω στον 1198790 τότε από τη συνέχεια του
εμβαδού επιφανείας θα πάρουμε ότι 1205970 = 120597(1198790(119870)) ολοκληρώνοντας
την απόδειξη
Από την Άσκηση υπάρχουν ορθογώνιοι πίνακες 119880119898 119881119898 και
διαγώνιος πίνακας 119863119898 = diag(1205821198981 hellip 120582119898119899) με 120582119898119895 gt 0 για κάθε 119898 isin ℕκαι για κάθε 119895 = 1 2 hellip 119899 ώστε 119879119898 = 119880119898119863119898119881119898 Επιπλέον εύκολα
ελέγχουμε με τον ορισμό ότι το εμβαδό επιφανείας είναι ανεξάρτητο
από ορθογώνιους μετασχηματισμούς δηλαδή
120597(119879119898(119870)) = 120597(119880119898119863119898119881119898(119870)) = 120597(119863119898119881119898(119870)) = 120597(119863119898(119871119898))()
όπου θέσαμε 119871119898 = 119881119898(119870)
Για να αποδείξουμε ότι η 119879119898 έχει συγκλίνουσα υπακολουθία αρκεί να
δείξουμε ότι είναι φραγμένη Για αυτό αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία
των 119863119898 είναι φραγμένη διότι οι ακολουθίες 119880119898 και 119881119898 είναι φραγμένες ως
ακολουθίες ορθογώνιων πινάκων (Παράδειγμα Παρατήρηση
και Πόρισμα ) Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία 119863minus1119898
είναι φραγμένη (Άσκηση )
Αν η 119863minus1119898 = diag(11205821198981 hellip 1120582119898119899) δεν είναι φραγμένη εύκολα ε-
λέγχουμε ότι υπάρχουν δείκτες 119895119898 ώστε 0 lt 120582119898119895119898rarr 0 Αλλά τότε
έχουμε
120597(119863119898(119871119898)) = lim119905rarr0+
|119863119898(119871119898) + 119905ℬ1198992| minus |119863119898(119871119898)|119905
ge lim119905rarr0+
|119863119898(119871119898) + 119905ℒ119898| minus |119863119898(119871119898)|119905
ge |119871119898| lim119905rarr0+
det(119863119898 + 119905 Id) minus det(119863119898)119905
ge |119870| det(119863119898) lim119905rarr0+
det(Id +119905119863minus1119898 ) minus 1
119905ge |119870| sdot 1 sdot tr(119863minus1
119898 ) ge |119870|120582119898119895119898rarr infin (Άσκηση )
το οποίο είναι άτοπο αφού από την () ισχύει
120597(119863119898(119871119898)) = 120597(119879119898(119870)) rarr 1205970
καθώς 119898 rarr infin ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της θέσης (εκτός από ορθογώ-
νιους μετασχηματισμούς) χρειαζόμαστε ένα τύπο για το πώς μεταβάλεται
το εμβαδό επιφανείας αν εφαρμοστεί ένας μετασχηματισμός 119879 isin SL(119899)Η απόδειξη αυτού του τύπου απαιτεί πολύ ισχυρά μετροθεωρητικά
εργαλεία και για αυτό θα την παραλείψουμε Οι σχετικές λεπτομέρειες
υπάρχουν στις Ενότητες και του [Gru] Όμως επειδή δεν
υπάρχει αυτούσιος ο τύπος που χρειαζόμαστε στο παραπάνω θα
δείξουμε πώς προκύπτει παραπέμποντας σε διάφορες προτάσεις στο
παραπάνω βιβλίο
Πρώτα ορίζουμε την απεικόνιση Gauss ΝΚ από το bd(119870) στα υπο-
σύνολα του 120138119899minus1 όπου απεικονίζει κάθε σημείο 119909 isin bd(119870) στο σύνολο
119906 isin 120138119899minus1 ∶ το 119909 + 119906⟂ είναι επίπεδο στήριξης του 119870 στο 119909
Η απεικόνιση 119873119870 αντιστρέφει υποσύνολα Borel της 120138119899minus1 σε υποσύνολα
Borel του bd(119870) ([Gru] Πρόταση )
Στη συνέχεια για κάθε κυρτό σώμα 119870 ορίζουμε ένα μέτρο 120590119870 πάνω
στην Ευκλείδεια σφαίρα 120138119899minus1 με τη βοήθεια της αντίστροφης εικόνας
μέσω της απεικόνισης του Gauss για κάθε Borel υποσύνολο 119860 της 120138119899minus1
θέτουμε
120590119870(119860) = 120583119899minus1(119873minus1119870 (119860))
όπου το 120583119899minus1 είναι το διάστασης 119899 minus 1 μέτρο Hausdorff πάνω στο bd(119870)(διαισθητικά το εμβαδόν επιφανείας του 119873minus1
119870 (119860) ως υποσύνολο του
bd(119870)) Φανερά 120590119870(120138119899minus1) = 120583119899minus1(119870) το οποίο μπορεί να δειχθεί ότι
ταυτίζεται με το 120597(119870)
Λ Για κάθε 119879 isin SL(119899) και για κάθε κυρτό σώμα 119870 ισχύει
() 120597(119879(119870)) = int120138119899minus1
(119879minus1)119905(119906)2 119889120590119870(119906)
laquoΑπόδειξηraquoΌλες οι αναφορές σε αυτή την απόδειξη είναι στο [Gru]
Από το Πόρισμα η ποσότητα 119899119881(119871 119870 hellip 119870) ισούται με
int120138119899minus1
ℎ119871(119906) 119889120590119870(119906)
Η ποσότητα 119899119881(119871 119870 hellip 119870) είναι ίση με την 119899119881(119870 hellip 119870 119871) (Θεώρη-
μα ) η οποία ισούται με το εμβαδόν επιφανείας του 119870 όταν 119871 = ℬ1198992
(ορισμός του εμβαδού επιφανείας και Θεώρημα ) Τέλος επειδή για
κάθε 119879 isin SL(119899) ισχύει 119881(Τ(Κ1) hellip 119879(119870119899)) = 119881(Κ1 hellip 119870119899) (Πρότα-
ση (ii) και η επόμενη Παρατήρηση) θα έχουμε
120597(119879(119870)) = 119899119881(119879(119870) hellip 119879(119870) ℬ1198992) = 119899119881(119870 hellip 119870 119879minus1(ℬ119899
2))
= int120138119899minus1
ℎ119879minus1(ℬ1198992)(119906) 119889120590119870(119906) = int
120138119899minus1ℎℬ119899
2((119879minus1)119905(119906)) 119889120590119870(119906)
= int120138119899minus1
(119879minus1)119905(119906)2 119889120590119870(119906)
Για την απόδειξη της επόμενης πρότασης ακολουθούμε το [AMG]
Π (Petty) Ένα κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 έχει ελάχιστοεμβαδόν επιφανείας αν και μόνο αν ισχύει
() int120138119899minus1
⟨119906 120579⟩ 119889120590119870(119906) =120597(119870)
119899
για κάθε 120579 isin 120138119899minus1
Απόδειξη Υποθέτουμε πρώτα ότι το 119870 έχει ελάχιστο εμβαδόν επιφανείας
Για κάθε γραμμική απεικόνιση 119879 στο ℝ119899 εφαρμόζουμε το Λήμμα
για τον (119860minus1)119905 όπου 119860 = (Id +119903119879)(det(Id +119903119879))1119899 ο οποίος για 119903 σε
μια περιοχή του μηδενός είναι καλά ορισμένος και ανήκει το SL(119899) Έτσι
από την () και επειδή 120597((119860minus1)119905(119870)) ge 120597(119870) παίρνουμε ότι
() int120138119899minus1
(Id +119903119879)(119906)2 119889120590119870(119906) ge (det(Id +119903119879))1119899120597(119870)
Εύκολα ελέγχουμε ότι η συνάρτηση
120593(119903) = (Id +119903119879)(119906)2 = radic1 + 2119903⟨119906 119879(119906)⟩ + 1205982⟨119879(119906) 119879(119906)⟩
είναι παραγωγίσιμη στο 119903 = 0 με παράγωγο ⟨119906 119879(119906)⟩ Έτσι από το
Θεώρημα Taylor υπάρχει συνάρτηση 1205931 με lim119903rarr0 1205931(119903) = 0 ώστε
() 120593(119903) = 1 + 119903⟨119906 119879(119906)⟩ + 1199031205931(119903)
Ομοίως η συνάρτηση 120595(119903) = (det(Id +119903119879))1119899 είναιmdashσύμφωνα με την
Άσκηση mdashπαραγωγίσιμη στο 119903 = 0 με παράγωγο tr(119879)119899 Άρα και
πάλι από το Θεώρημα Taylor υπάρχει συνάρτηση 1205951 με lim119903rarr0 1205951(119903) = 0ώστε
() 120595(119903) = 1 + 119903tr(119879)
119899+ 1199031205951(119903)
Αντικαθιστώντας τις () και () στην () και παίρνοντας όρια
μια φορά για 119903 rarr 0+ και μια φορά για 119903 rarr 0minus προκύπτουν οι
int120138119899minus1
⟨119906 119879(119906)⟩ 119889120590119870(119906) getr(119879)
119899120597(119870)
και
int120138119899minus1
⟨119906 119879(119906)⟩ 119889120590119870(119906) letr(119879)
119899120597(119870)
αντίστοιχα δηλαδή
int120138119899minus1
⟨119906 119879(119906)⟩ 119889120590119870(119906) =tr(119879)
119899120597(119870)
Αντιστρόφως αν ισχύει η () και 119879 isin SL(119899) τότε επειδή από
την ανισότητα Cauchy-Schwartz ισχύει (119879minus1)119905(119906)2 ge ⟨(119879minus1)119905(119906) 119906⟩ =⟨119906 119879minus1(119906)⟩ για κάθε 119906 isin 120138119899minus1 θα έχουμε
120597(119879(119870)) = int120138119899minus1
(119879minus1)119905(119906)2 119889120590119870(119906)
ge int120138119899minus1
⟨119906 119879minus1(119906)⟩ 119889120590119870(119906) =tr(119879minus1)
119899120597(119870)
ge (det 119879minus1)1119899120597(119870) = 120597(119870)()
όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα αριθ-
μητικού-γεωμετρικού μέσου Άρα το 119870 βρίσκεται σε θέση ελάχιστης
επιφάνειας
Θ Η θέση ελάχιστης επιφάνειας είναι μοναδική εκτός απόορθογώνιους μετασχηματισμούς
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι το 119870 βρίσκεται σε θέση ελάχιστης επιφάνειας
και το ίδιο συμβαίνει και με το 119879(119870) για κάποιον 119879 isin SL(119899) οπότε120597(119879(119870)) = 120597(119870) Εφαρμόζοντας έναν ορθογώνιο μετασχηματισμό στο
119879(119870) και στο 119870 μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο 119879 είναι θετικά ορισμένος
(Άσκηση ) Έτσι η () δίνει ότι tr(119879minus1)119899 = det(119879minus1)1119899 και από
το Πόρισμα ο 119879minus1 οπότε και ο 119879 είναι ορθογώνιος
Π Για κάθε κυρτό σώμα 119870 στον ℝ119899 υπάρχει ακολουθίαπολυτόπων 119875119898 η οποία συγκλίνει στο σώμα 119870 ως προς τη μετρικήHausdorff
Απόδειξη Θέτουμε 119875119898 να είναι οι κυρτές θήκες των κορυφών των πολυ-
παραλληλεπιπέδων της Άσκησης
Π Έστω ότι τα 1198751 και 1198752 είναι πολύτοπα Τότε για κάθε119905 119904 gt 0 το 119875 = 1199051198751 + 1199041198752 είναι πολύτοπο Επιπλέον υπάρχει πεπερασμένοσύνολο 119880 sube 120138119899minus1 ώστε για κάθε 119905 119904 ge 0 για τα οποία το 119875 = 1199051198752 + 1199041198752είναι κυρτό σώμα τα εξωτερικά μοναδιαία κάθετα διανύσματα των εδρώντου 119875 ανήκουν στο 119880
Απόδειξη Αν το 119911 isin 119875 είναι ακραίο σημείο και 119911 = 1199051199111 + 1199041199112 όπου
1199111 isin 1198751 και 1199112 isin 1198752 τότε τα 1199111 και 1199112 είναι ακραία σημεία των 1198751 και
1198752 αντίστοιχα διότι αν για παράδειγμα το 1199111 είναι γνήσιος κυρτός
συνδυασμός δύο σημείων του 1198751 τότε εύκολα βλέπουμε ότι το 119911 είναι
γνήσιος κυρτός συνδυασμός δύο σημείων του 119875 οπότε δεν είναι ακραίο
σημείο Επειδή καθένα από τα 1198751 και 1198752 έχουν πεπερασμένος πλήθος
ακραίων σημείων (τις κορυφές τους) συμπαιρένουμε ότι το ίδιο ισχύει
και για το 119875 συνεπώς το 119875 είναι πολύτοπο
Για το δεύτερο σκέλος αποδεικνύουμε πρώτα τον ισχυρισμό
Ι Για κάθε 119906 isin 120138119899minus1
119875 cap 119867119875119906 = 119905(1198751 cap 1198671198751119906) + 119904(1198752 cap 1198671198752119906)
[Πράγματι αν 119911 isin 119875 cap 119867119875119906 υπάρχουν 1199111 isin 1198751 και 1199112 isin 1198752 ώστε
119911 = 1199051199111 + 1199041199112 Θα δείξουμε ότι 119911119894 isin 119875119894 cap 119867119875119894119906 για 119894 = 1 2 Αν αυτό δεν
συμβαίνει για παράδειγμα για το 1199111 τότε ⟨119911 119906⟩ lt ℎ1198751(119906) Αλλά τότε
ℎ119875(119906) = ⟨119911 119906⟩ = ⟨1199051199111 + 1199041199112 119906⟩ lt 119905ℎ1198751(119906) + 119904ℎ1198752
(119906) = ℎ1199051198751+1199041198752(119906) = ℎ119875(119906)
το οποίο είναι άτοπο Συνεπώς
119875 cap 119867119875119906 sube 119905(1198751 cap 1198671198751119906) + 119904(1198752 cap 1198671198752119906)
Αντιστρόφως αν 1199111 isin 1198751 cap 1198671198751119906 και 1199112 isin 1198752 cap 1198671198752119906 έχουμε
⟨1199051199111+1199041199112 119906⟩ = 119905⟨1199111 119906⟩+119904⟨1199112 119906⟩ = 119905ℎ1198751(119906)+119904ℎ1198752
(119906) = ℎ1199051198751+1199041198752(119906) = ℎ119875(119906)
οπότε 119911 = 1199051199111 + 1199041199112 isin 119867119875119906]
Από τον παραπάνω ισχυρισμό αν τα 1198651 και 1198652 είναι έδρες των 1198751και 1198752 αντίστοιχα αν υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το
μηδέν ανήκει στα σχετικά εσωτερικά των 1198651 και 1198652 και το 1199051198651 + 1199041198652 είναι
έδρα του 119875 διάστασης 119899 minus 1 τότε το 1198651 + 1198652 είναι διάστασης 119899 minus 1 αφούέχει την ίδια γραμμική θήκη με το 1199051198651 + 1199041198652 Άρα ανεξάρτητα των 119905 και
119904 gt 0 το 119875 έχει το πολύ τόσες έδρες διάστασης 119899 minus 1 όσοι το πλήθος
των ζευγών εδρών του 1198751 και 1198752 δηλαδή πεπερασμένο πλήθος
Από το γεγονός ότι η σχετική διάσταση του 1198651 + 1198652 είναι πάντα
μεγαλύτερη ή ίση με τη σχετική διάσταση του 1198651 όπου 119865119894 έδρα του 119875119894(119894 = 1 2) άμεσα προύπτει το ακόλουθο
Π Αν 1198651 έδρα (όψη διάστασης 119899 minus 1) ενός πολυτόπου 1198751και 1198652 όψη ενός πολυτόπου 1198752 με 1198651 = 1198751 cap 1198671198751
(119906) και 1198652 = 1198752 cap 1198671198752(119906)
για κατάλληλο 119906 isin 120138119899minus1 τότε το 1198651 + 1198652 είναι έδρα (όψη διάστασης 119899 minus 1)του 1198751 + 1198752
Π Έστω ότι τα 1198751 και 1198752 είναι πολύτοπα στον ℝ119899 με το1198752 να έχει μη κενό εσωτερικό Τότε για κάθε 119905 gt 0 ο όγκος vol119899(1198751 + 1199051198752)είναι πολυώνυμο ως προς 119905 βαθμού 119899
Απόδειξη Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε πλήρη επαγωγή στο 119899Για 119899 = 1 αν 1198751 = [1198861 1198871] και 1198752 = [1198862 1198872] τότε 1198751+1199051198752 = [1198861+1199051198862 1198871+1198872]οπότε vol1(1198751 + 1198752) = (1198871 minus 1198861) + 119905(1198872 minus 1198862) δηλαδή πολυώνυμο του 119905πρώτου βαθμού Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει για πολύτοπα στον
ℝ119896 για κάθε 119896 le 119899 minus 1 και 119875 = 1198751 + 1199051198752 για πολύτοπα 1198751 1198752 στον ℝ119899
Χρησιμοποιώντας την Πρόταση έχουμε ότι
vol119899(119875) = vol119899(1198751 + 1199051198752) =1119899 sum
119906isin119880ℎ119875(119906)vol119899minus1(119875 cap 119867119875119906)
=1119899 sum
119906isin119880ℎ1198751+1199051198752
(119906)vol119899minus1(1198651 + 1199051198652)
όπου 119865119894 = 119875119894 cap 119867119875119894119906 για 119894 = 1 2
=1119899 sum
119906isin119880(ℎ1198751
(119906) + 119905ℎ1198752(119906))120601(119906 119905)
όπου τα 120601(119906 119905) είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ 119899 minus 1 ως προς 119905 από
την υπόθεση της πλήρους επαγωγής Έτσι το vol119899(119875) είναι πολυώνυμο
του 119905 το πολύ βαθμού 119899 Αλλά αφού υποθέσαμε ότι το 1198752 δεν έχει κενό
εσωτερικό αν υποθέσουμε ότι το vol119899(1198751 + 1199051198752) έχει βαθμό μικρότερο ή
ίσο το 119899 minus 1 τότε από τη συνέχεια του όγκου έχουμε
0 lt vol119899(1199051198752) = lim119904rarr0+
vol119899(1199041198751 + 1199051198752)
= lim119904rarr0+
119904119899vol119899 (1198751 +1199051199041198752) = lim
119904rarr0+119904119899
119899minus1
sum119895=0
119886119895 (119905119904)
119896
= 0
(όπου 119886119895 κατάλληλοι συντελεστές) το οποίο είναι άτοπο
Λ Έστω ότι τα 119901119898(119905) είναι ακολουθία πολυωνύμων βαθμού119899 που συγκλίνει στην 119891(119905) για κάθε 119905 ge 0 Τότε και η 119891 για 119905 ge 0 είναιπολυώνυμο βαθμού το πολύ 119899
Απόδειξη Απο τη μοναδικότητα του ορίου αρκεί να αποδείξουμε ότι η
ακολουθία
119901119898(119905) = 1198860119898 + 1198861119898119905 + 11988621198981199052 + ⋯ + 119886119899119898119905119899
συγκλίνει σε πολυώνυμο για 119905 ge 0 Για αυτό όμως αρκεί να αποδείξουμε
ότι οι συντελεστές 119886119895119898 συγκλίνουν σε κάποιον αριθμό 119886119895 για κάθε
119895 = 1 2 hellip 119899 καθώς 119898 rarr infin Παρατηρούμε ότι
1198860119898 = 119901119898(0)1198860119898 + 1198861119898 + 1198862119898 + ⋯ + 119886119899119898 = 119901119898(1)1198860119898 + 21198861119898 + 221198862119898 + ⋯ + 2119899119886119899119898 = 119901119898(2)1198860119898 + 31198861119898 + 321198863119898 + ⋯ + 3119899119886119899119898 = 119901119898(3)
⋮1198860119898 + 1198991198861119898 + 11989921198863119898 + ⋯ + 119899119899119886119899119898 = 119901119898(119899)
Λύνοντας το παραπάνω σύστημα από τους τύπους του Cramer κάθε
συντελεστής 119886119895119898 είναι γραμμικός συνδυασμός των 119901119898(0) 119901119898(1) hellip 119901119898(119899)τα οποία συγκλίνουν στα 119891(0) 119891(1) hellip 119891(119899) αντίστοιχα υπό την
προϋπόθεση ότι η ορίζουσα του συστήματος είναι φραγμένη laquoμακριάraquo
από το μηδέν καθώς 119898 rarr infin Αλλά η ορίζουσα αυτή είναι ορίζουσα
Vandermonde
∣∣∣∣∣
1 0 0 hellip 01 1 1 hellip 11 2 22 hellip 2119899
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 119899 1198992 hellip 119899119899
∣∣∣∣∣
η οποία είναι ανεξάρτητη του 119898 και θετική (Άσκηση για 119886119896 = 119896με 119896 = 1 hellip 119899) ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Π Για κάθε 119870 κυρτό σώμα στον ℝ119899 και για κάθε 119905 gt 0ο όγκος vol119899(119870 + 119905ℬ119899
2) είναι πολυώνυμο βαθμού 119899
Απόδειξη Προκύπτει άμεσα από την Προτάση το Λήμμα
προσεγγίζοντας τα 119870 και ℬ1198992 με πολύτοπα σύμφωνα με την Πρότα-
ση
Θ Το εμβαδό επιφανείας είναι συνεχής συνάρτηση στακυρτά σώματα
Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι τα 119870119898 είναι κυρτά σώματα που συγκλίνουν
με την μετρική Hausdorff στο 119870 Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση
τα vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) και vol119899(119870 + 119905ℬ119899
2) είναι πολυώνυμα του 119905 βαθμού 119899Έστω ότι
vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) = 1198860119898 + 1198861119898119905 + 11988621198981199052 + ⋯ + 119886119899119898119905119899
και
vol119899(119870 + 119905ℬ1198992) = 1198860 + 1198861119905 + 11988621199052 + ⋯ + 119886119899119905119899
για κατάλληλους συντελεστές 119886119895119898 και 119886119895 1198951 hellip 119899 Από τη συνέχεια του
όγκου η ακολουθία των πολυωνύμων vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) συγκλίνει στο
πολυώνυμο vol119899(119870 + 119905ℬ1198992) συνεπώς 119886119895119898 rarr 119886119895 για κάθε 119895 = 1 hellip 119899 καθώς
119898 rarr infin Αλλά επειδή 1198860119898 = vol119899(119870119898) και 1198860 = vol119899(119870) έχουμε
120597119870119898 = lim119905rarr0+
vol119899(119870119898 + 119905ℬ1198992) minus vol119899(119870119898)119905
= 1198861119898 rarr 1198861 = lim119905rarr0+
vol119899(119870 + 119905ℬ1198992) minus vol119899(119870)119905
= 120597119870
ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Άσκηση Αποδείξτε ότι
119863119899 =
∣∣∣∣∣
1198861 11988621 hellip 119886119899
11198862 1198862
2 hellip 1198861198992
1198863 11988623 hellip 119886119899
3⋮ ⋮ ⋱ ⋮
119886119899 1198862119899 hellip 119886119899
119899
∣∣∣∣∣
= (119899
prod119894=1
119886119894) prod1le119894lt119895le119899
(119886119895 minus 119886119894)
(Υπόδειξη Παρατηρούμε ότι 119863119899 = 119865119899(119886119899) prod119899119894=1 119886119894 όπου
119865119899(119909) =
∣∣∣∣∣∣
1 1198861 11988621 hellip 119886119899minus1
11 1198862 1198862
2 hellip 119886119899minus12
1 1198863 11988623 hellip 119886119899minus1
3⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 119886119899minus1 1198862
119899minus1 hellip 119886119899minus1119899minus1
1 119909 1199092 hellip 119909119899minus1
∣∣∣∣∣∣
και έτσι αρκεί να δείξουμε ότι 119865119899(119886119899) = prod1le119894lt119895le119899(119886119895 minus 119886119894) Η απόδειξη αυτή
μπορεί να γίνει επαγωγικά στο 119899 Για το επαγωγικό βήμα παρατηρούμε ότι το
πολυώνυμο 119865119899(119909) έχει ρίζες τα 1198861 hellip 119886119899minus1 Άρα από το θεώρημα παραγοντοποί-
ησης ισχύει 119865119899(119909) = 119862 prod119899minus1119894=1 (119909 minus 119886119894) για κατάλληλη σταθερά 119862 Όμως από την
τελευταία έκφραση το 119862 είναι ο συντελεστής του 119909119899minus1 αλλά από τον ορισμό του
119865119899(119909) ο συντελεστής του 119909119899minus1 είναι το 119865119899minus1(119886119899minus1) Εναλλακτικά αν ονομάσουμε
με 119863119899(1198861 hellip 119886119899) την ζητούμενη ορίζουσα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
τη 119899 minus 1 στήλη με 1198861 και να την αφαιρέσουμε από τη 119899-στη στήλη ώστε να
μηδενιστεί το στοιχείο στη θέση του 1198861198991 Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με
1198861 τη 119899 minus 2 στήλη και την αφαιρούμε από τη 119899 minus 1 στήλη ώστε να μηδενιστεί
το στοιχείο στη θέση του 119886119899minus11 Συνεχίζουμε μέχρι να μηδενιστεί όλη η πρώτη
γραμμή εκτός από το στοιχείο στη θέση του 1198861 Τότε βλέπουμε άμεσα ότι η
ορίζουσα ισούται με 1198861 prod119899119895=2(119886119895 minus 1198861) sdot 119863119899minus1(1198862 hellip 119886119899))
Μέρος III
Το φαινόμενο της συγκέντρωσης τουμέτρου
Όταν σε ένα μετρικό χώρο έχουμε τη δυνατότητα να έχουμε και
ένα μέτρο (συχνά πιθανότητας) τότε η αλληλεπίδραση της μετρικής
και του μέτρου αποδεικνύεται πολύ παραγωγική κυρίως διότι είναι
διαφορετική η έννοια του laquoμεγάλουraquo και του laquoμικρούraquo ως προς τη
μετρική και ως προς το μέτρο Ένα laquoμικρόraquo ως προς τη μετρική σύνολο
(για παράδειγμα με μικρή διάμετρο σε σχέση με τη διάμετρο του
χώρου) μπορεί να έχει laquoσχεδόνraquo πλήρες μέτρο (πολύ laquoκοντάraquo στο
μέτρο όλου του χώρου) Το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι ο
χώρος ℝ εφοδιασμένος με τη συνήθη απόσταση 119889(119909 119910) = |119909 minus 119910| και τοκανονικό (γκαουσιανό) μέτρο πιθανότητας 1205741 με πυκνότητα ως προς
το μέτρο Lebesgue την 119891(119909) = 119890minus11990922radic2120587 Δηλαδή
1205741(119860) = int119860
1radic2120587
119890minus11990922 119889119909
για κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο 119860 sube ℝ Η διάμετρος του χώρου
είναι άπειρη συνεπώς κάθε σύνολο της μορφής [minus119886 119886] ως υποσύνολο
του μετρικού χώρου (ℝ | sdot |) έχει laquoμικρόraquo μέγεθος (το ποσοστό της
διαμέτρου του ως προς τη διάμετρο του χώρου είναι μηδέν) αλλά ως
υποσύνολο του χώρου μέτρου (ℝ 1205741) έχει σχεδόν πλήρες μέτρο αφού
εύκολα βλέπουμε ότι
1205741([minus119886 119886]) = 1 minus2
radic2120587int
infin
119886119890minus11990922 119889119909 ge 1 minus 119890minus11988622
όπως προκύπτει εύκολα μετά από την αλλαγή μεταβλητής 119905 = 119909minus119886 στο
τελευταίο ολοκλήρωμα Αυτό το φαινόμενο γίνεται πολύ πιο ενδιαφέρον
όταν ο χώρος στον οποίο εργαζόμαστε βρίσκεται μέσα σε ένα γραμμικό
χώρο διάστασης 119899 Τότε στις εκτιμήσεις επεισέρχεται και η παράμετρος
119899 η διάσταση του χώρου Ας δούμε το παράδειγμα του ℝ119899 εφοδιασμένο
με την ευκλείδεια μετρική sdot 2 και το κανονικό (γκαουσιανό) μέτρο
δηλαδή το μέτρο 120574119899 με
120574119899(119860) =1
radic2120587int
119860119890minus1199092
22 119889119909
για κάθε Lebesgue μετρήσιμο σύνολο 119860 Θα δούμε στη συνέχεια ότι για
κάθε 0 lt 120598 lt 1 ισχύει
120574119899 (radic119899
1 minus 120598ℬ119899
2) ge 1 minus 119890minus12059821198994
Έτσι όταν η διάσταση 119899 είναι μεγάλη σχεδόν όλο το μέτρο 120574119899 βρίσκεται
μέσα στην ευκλείδεια μπάλα ακτίνας περίπου radic119899 Αυτό είναι ένα είδος
συγκέντρωσης του μέτρου (μέσα στην ευκλείδεια μπάλα κατάλληλης
ακτίνας) αλλά στην πραγματικότητα ισχύει κάτι ακόμα πιο εντυπωσια-
κό Το μέτρο της μπάλας radic(1 minus 120598)119899ℬ1198992 είναι laquoαμελητέοraquo Συγκεκριμένα
ισχύει
120574119899 (radic(1 minus 120598)119899ℬ1198992) le 119890minus12059821198994
Άρα η μεγάλη μάζα του μέτρου 120574119899 βρίσκεται στο σύνολο
119909 isin ℝ119899 ∶ radic(1 minus 120598)119899 le 1199092 le radic119899
1 minus 120598
δηλαδή σε μια laquoμικρή ζώνηraquo γύρω από την ευκλείδεια σφαίρα ακτίνας
radic119899
ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ
ΣΦΑΙΡΑ
ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ GAUSS
ΑΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ
ΣΩΜΑΤΩΝ
Παρακάτω βλέπουμε μερικά βασικά κυρτά σώματα του ℝ3 μέσα
στον κύβο [minus1 1]3
Σ Α Τα σύνολα 119909 isin ℝ119899 ∶ (sum119899119895=1 |119909119895|119901)
1119901 le 1 για 119901 = 06 και
119901 = 08 δεν είναι κυρτά
Σ Α Τα σύνολα 119909 isin ℝ119899 ∶ (sum119899119895=1 |119909119895|119901)
1119901 le 1 για 119901 = 1 και
119901 = 2
Σ Α Τα σύνολα ℬ119899119901 για 119901 = 4 και 119901 = 10 Όσο το 119901 μεγαλώνει
το σώμα προσεγγίζει τον κύβο
Σ Α Για 119901 = 20 το ℬ119899119901 είναι ήδη laquoπολύ κοντάraquo στον κύβο
ΒΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γ
Σε αυτό το παράρτημα θα παρουσιάσουμε τις βασικές ιδιότητες της
συνάρτησης Γ η οποία ορίζεται με το ολοκλήρωμα
Γ(119909) = intinfin
0119905119909minus1119890minus119905 119889119905
για 119909 isin ℝ ⧵ 0 minus1 minus2 minus3 hellip Το γράφημα της συνάρτησης Γ(119909 + 1)δίνεται στο Σχήμα Β
YY
Y
Y Y Y
ΣΒ Το γράφημα της συνάρτησης Γ(119909+1) ∶ ℝ⧵minus1 minus2 minus3 hellip rarrℝ
Η συνάρτηση Γ ορίστηκε από το Euler το ως το απειρογινόμενο
Γ(119909 + 1) =1 sdot 2119909
1 + 119909sdot
21minus1199093119909
2 + 119909sdot
31minus1199094119909
3 + 119909⋯
=infin
prod119899=1
(1 +1119899)
119909
(1 +119909119899)
minus1
και μελετήθηκε στη μορφή του ολοκληρώματος int10(minus log 119905)119909 119889119905 στην
προσπάθειά του να ορίσει μια έννοια παραγοντικού για πραγματικούς
αριθμούς Επίσης και ο Gauss από το μελέτησε τη συνάρτηση Γ στη
μορφή
Π119909 = lim119896rarrinfin
1 sdot 2 sdot 3 ⋯ 119896 sdot 119896119909
(119909 + 1)(119909 + 2) ⋯ (119909 + 119896)δεδομένου του ότι Π119899 = 119899 (Άσκηση Β)
Β
Πριν προχωρήσουμε στη μελέτη της συνάρτησης Γ υπενθυμίζουμε
ότι το ολοκλήρωμα της γκαουσιανής συνάρτησης είναι ίσο με 1
1radic2120587
intinfin
minusinfin119890minus11990922 119889119909 = 1
Π Β Η συνάρτηση Γ ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες
(i) Γ(119909 + 1) = 119909Γ(119909)
(ii) Για κάθε φυσικό αριθμό 119899 ισχύει Γ(119899 + 1) = 119899
(iii) Γ(12) = radic120587
Απόδειξη (i) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες
(ii) Αποδεικνύεται εύκολα από το (i) με επαγωγή
(iii) Γ(12) = intinfin0
119905minus12119890minus119905 119889119905 Αλλάζουμε μεταβλητές θέτοντας 119905 =11990922 οπότε παίρνουμε
Γ(12) = intinfin
0
radic2119909minus1119890minus11990922119909 119889119909 = radic2 intinfin
0119890minus11990922 119889119909 = radic2
12
radic2120587 = radic120587
Ο υπολογισμός τιμών της συνάρτησης Γ είναι πολύ δυσχερής Ό-
μως αυτό που συχνά είναι χρήσιμο να ξέρουμε είναι η ασυμπτωτική
συμπεριφορά των τιμών της Γ Συγκεκριμένα ισχύει ο ακόλουθος τύπος
lim119909rarr+infin
Γ(1 + 119909)radic2120587119909(119909119890)119909
= 1
Μια άμεση συνέπεια του τύπου αυτού είναι ο τύπος του Stirling ο οποίος
μας λέει πόσο είναι περίπου το 119899 για μεγάλα 119899 isin ℕ Αυτός προκύπτει
από το γεγονός ότι Γ(119899 + 1) = 119899 Οπότε
lim119899rarr+infin
119899radic2120587119899(119899119890)119899
= 1
Δηλαδή για μεγάλα 119899
119899 ≃ radic2120587119899 (119899119890)
119899
Αυτό συνεπάγεται και την (119899 )1119899 ≃ 119899119890Το υπόλοιπο αυτού του παραρτήματος θα αφιερωθεί στην παρουσί-
αση μια απόδειξης για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης
Γ (υπάρχουν διάφορες στη βιβλιογραφία)
Β
Το ο Laplace παρουσίασε μια μέθοδο για τον υπολογισμό
του ορίου ολοκληρωμάτων της μορφής int119887119886
119890119899119891(119909) 119889119909 καθώς 119899 rarr infin(δείτε [Lap]) την οποία θα παρουσιάσουμε εδώ και θα την χρησι-
μοποιήσουμε για την εκτίμιση της συνάρτησης Γ Η μέθοδος αφορά σε
συναρτήσεις 119891 οι οποίες έχουν μέγιστη τιμή σε ένα και μόνο σημείο 1199090στο διάστημα [119886 119887] και επιπλέον 119886 lt 1199090 lt 119887 και η 119891 έχει συνεχή η
παράγωγο στο σημείο αυτό
Η ιδέα του Laplace είναι η εξής Αν η 119891 έχει μέγιστο σε ένα μόνο σημείο
1199090 τότε ενώ ο πολλαπλασιασμός 119899 επί 119891(119909) θα μεγαλώσει ανάλογα όλες
τις τιμές της 119891 στο διάστημα [119886 119887] κατά τον παράγοντα 119899 (συμπε-
ριλαμβανομένης της 119891(1199090)) δηλαδή 119899119891(1199090)119899119891(119909) = 119891(1199090)119891(119909) Ανόμως υψώσουμε σε εκθέτη μετά τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμμένα
αν θεωρήσουμε την 119890119899119891(119909) οι αντίστοιχοι λόγοι μεγενθύνονται εκθετικά
119890119899119891(1199090)119890119899119891(119909) = 119890119899(119891(1199090)minus119891(119909)) Αυτή η μεγέθυνση κάνει το ολοκλήρωμα
της 119890119899119891(119909) να εξαρτάται πολύ περισσότερο από τις τιμές κοντά στο 1199090παρά από αυτές που είναι πιο μακριά Αλλά για τις τιμές κοντά στο
1199090 μπορούμε να προσεγγίσουμε την 119891 από μια κατάλληλη γκαουσιανή
καμπύλη (καμπύλη της μορφής 119890minus119886(119909minus1199090)2) Αυτό είναι πράγματι εφικτό
διότι έχοντας η 119891 μέγιστο στο 1199090 έχει πρώτη παράγωγο στο 1199090 ίση
με το μηδέν Οπότε στο ανάπτυγμα Taylor της 119891 με κέντρο στο 1199090 δεν
υπάρχει γραμμικός όρος Δηλαδή μετά τον σταθερό όρο του αναπτύγ-
ματος ο επόμενος είναι ο 119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)22 όρος ο οποίος θα δώσει
την κατάλληλη γκαουσιανή
Το φαινόμενο αυτό το βλέπουμε στο Σχήμα Β όπου έχουμε σχεδιάσει
τη συνάρτηση exp(05((sin 119909)119909)) και στη συνέχεια την exp(3((sin 119909)119909))(μαύρη καμπύλη) σε σμίκρυνση ώστε να χωράει στη σελίδα Στη δεύτερη
περίπτωση η καμπύλη προσεγγίζεται πολύ καλά από την γκαουσιανή
(γκρι καμπύλη) Η προσέγγιση αυτή αιτιολογεί τόσο την εμφάνιση του
αριθμού 119890 όσο και την εμφάνιση του αριθμού 120587 στο αποτέλεσμα
13
Σ Β Η ιδέα της μεθόδου Laplace
Θα ξεκινήσουμε με την υπενθύμιση του Θεωρήματος Taylor από τον
απειροστικό λογισμό με το υπόλοιπο στη μορφή Peano
Θ Β (Taylor) Αν μια συνάρτηση 119891 ∶ ℝ rarr ℝ έχει συνεχήδεύτερη παράγωγο στο 1199090 isin ℝ τότε υπάρχει συνάρτηση ℎ2 ∶ ℝ rarr ℝώστε
119891(119909) = 119891(1199090) + 119891prime(1199090)(119909 minus 1199090) +12
119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)2 + ℎ2(119909)(119909 minus 1199090)2
και lim119909rarr1199090ℎ2(119909) = 0
Απόδειξη Η απόδειξη είναι απλή θέτουμε
ℎ2(119909) =119891(119909) minus 119891(1199090) minus 119891prime(1199090)(119909 minus 1199090) minus 1
2119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)2
(119909 minus 1199090)2
και υπολογίζουμε το όριο για 119909 rarr 1199090 με τον κανόνα Lrsquo Hospital
Λ Β1
radic2120587int
infin
minusinfin119890minus11991022 119889119910 = 1
Απόδειξη Θέτουμε 119868 = intinfinminusinfin
119890minus11991022 119889119910 και παρατηρούμε ότι
1198682 = (intinfin
minusinfin119890minus11990922 119889119909) (int
infin
minusinfin119890minus11991022 119889119910) = int
infin
minusinfinint
infin
minusinfin119890minus(1199092+1199102)2 119889119909 119889119910
Αλλάζουμε σε πολικές συντεταγμένες και παίρνουμε
1198682 = int2120587
0int
infin
0119890minus11990322119903 119889119903 119889120579
= 2120587(minus119890minus11990322) ∣infin
0
= 2120587
Έτσι 119868 = radic2120587 ολοκληρώνοντας την απόδειξη
Λ Β
lim119905rarrinfin
1radic2120587
int119905
minus119905119890minus11991022 119889119910 = 1
Απόδειξη Επειδή η 119890minus11991022 είναι άρτια συνάρτηση καιradic2120587minus1intinfin
minusinfin119890minus11991022 119889119910 =
1 αρκεί να αποδείξουμε ότι
lim119905rarrinfin
intinfin
119905119890minus11991022 119889119910 = 0
Αλλά η αλλαγή μεταβλητής 119911 = 119910 minus 119905 δίνει
intinfin
119905119890minus11991022 119889119910 = 119890minus11990522 int
infin
0119890minus11991122119890minus1199111199052 119889119911 le 119890minus11990522 int
infin
0119890minus11991122 119889119911 =
radic21205872
119890minus11990522
η οποία έχει όριο το 0 για 119905 rarr infin
Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε το γενικό θεώρημα
Θ Β (Μέθοδος Laplace) Έστω ότι η 119891 ∶ [119886 119887] rarr ℝ είναιδύο φορές παραγωγίσιμη στο 1199090 με την 119891Prime συνεχή στο 1199090 το οποίο είναιτο μοναδικό σημείο στο [119886 119887] στο οποίο έχει μέγιστο Υποθέτουμε επίσηςότι 119891Prime(1199090) lt 0 και 1199090 isin (119886 119887) Τότε
(Β) lim119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
= 1
Απόδειξη (Κάτω φράγμα) Από το Θεώρημα Taylor όπως διατυπώθηκε
στο Θεώρημα Β για κάθε 120598 gt 0 υπάρχει 120575 gt 0 ώστε αν |119909 minus 1199090| lt 120575τότε |ℎ2(119909)| lt 1205982 δηλαδή minus1205982 lt ℎ2(119909) lt 1205982 Επιλέγουμε 120575 gt 0ώστε να ικανοποιούνται τα προηγούμενα και επιπλέον (1199090 minus120575 1199090 +120575) sube[119886 119887] Άρα από το Θεώρημα Taylor και το ότι 119891prime(1199090) = 0 αφού στο 1199090η 119891 έχει μέγιστο θα έχουμε
119891(119909) = 119891(1199090) +12
119891Prime(1199090)(119909 minus 1199090)2 + ℎ2(119909)(119909 minus 1199090)2
ge 119891(1199090) +12
(119891Prime(1199090) minus 120598)(119909 minus 1199090)2
Άρα
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909 ge int
1199090+120575
1199090minus120575119890119905119891(119909) 119889119909
ge 119890119905119891(1199090) int1199090+120575
1199090minus120575119890119905(119891Prime(1199090)minus120598)(119909minus1199090)22 119889119909
(αλλάζοντας μεταβλητή με 119910 = radic119905(minus119891Prime(1199090) + 120598)(119909 minus 1199090))
ge 119890119905119891(1199090)radic
1119905(minus119891Prime(1199090) + 120598)
int120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)
minus120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)119890minus 1
2 1199102119889119910
Έτσι
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
ge ⎛⎝
1radic2120587
int120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)
minus120575radic119905(minus119891Prime(1199090)+120598)119890minus 1
2 1199102119889119910⎞
⎠ radicminus119891Prime(1199090)
minus119891Prime(1199090) + 120598
Όμως σύμφωνα με το Λήμμα Β η τελευταία παρένθεση συγκλίνει στο
1 για 119905 rarr infin Οπότε παίρνοντας lim inf ως προς 119905 rarr infin συμπεραίνουμε
ότι
lim inf119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
ge radicminus119891Prime(1199090)
minus119891Prime(1199090) + 120598
για κάθε 120598 gt 0 Συνεπώς (για 120598 rarr 0+)
(Β) lim inf119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
ge 1
(Άνω φράγμα) Επιλέγουμε 120598 gt 0 ώστε 119891Prime(1199090) + 120598 lt 0 (θυμηθείτε ότι
119891Prime(1199090) lt 0) Εφαρμόζοντας το θεώρημα Taylor όπως και πριν παίρνουμε
ότι υπάρχει 120575 gt 0 ώστε για κάθε 119909 με |119909 minus 1199090| lt 120575 να ισχύει
119891(119909) le 119891(1199090) +12(119891Prime(1199090) + 120598)(119909 minus 1199090)2
Από την υπόθεση ότι η 119891 έχει μέγιστο μόνο στο 1199090 συμπεραίνουμε ότι
για κάθε 120575 gt 0 υπάρχει 120579 gt 0 ώστε αν |119909 minus 1199090| ge 120575 να ισχύει 119891(119909) le119891(1199090) minus 120579 Πράγματι αρκεί να θέσουμε 120579 = 119891(1199090) minus max|119909minus1199090|ge120575 119891(119909)το οποίο είναι θετικό εφόσον η 119891 έχει μοναδικό σημείο μεγίστου στο
1199090 Έτσι έχουμε
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909 = int
1199090minus120575
119886119890119905119891(119909) 119889119909 + int
1199090+120575
1199090minus120575119890119905119891(119909) 119889119909 + int
119887
119909+120575119890119905119891(119909) 119889119909
le ((1199090 minus 120575) minus 119886)119890119905(119891(1199090)minus120579) + 119890119905119891(1199090) int1199090+120575
1199090minus120575119890
1199052 (119891Prime(1199090)+120598)(119909minus1199090)2
119889119909
+ (119887 minus (1199090 + 120575))119890119905(119891(1199090)minus120579)
le (119887 minus 119886)119890119905(119891(1199090)minus120579) + 119890119905119891(1199090) int1199090+120575
1199090minus120575119890
1199052 (119891Prime(1199090)+120598)(119909minus1199090)2
119889119909
Αλλάζοντας μεταβλητές όπως και στο κάτω φράγμα καταλήγουμε στην
ανισότητα
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909 le (119887 minus 119886)119890119905(119891(1199090)minus120579) + 119890119905119891(1199090)
radic2120587
119905(minus119891Prime(1199090) minus 120598)
Παίρνοντας lim sup καθώς 119905 rarr infin οδηγούμαστε στην
lim sup119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
le radicminus119891Prime(1199090)
minus119891Prime(1199090) minus 120598
για κάθε 120598 αρκετά κοντά στο μηδέν (ώστε minus119891Prime(1199090)+120598 lt 0) Αφήνονταςτο 120598 να πάει στο μηδέν από δεξιά καταλήγουμε στην
(Β) lim sup119905rarrinfin
int119887
119886119890119905119891(119909) 119889119909
119890119905119891(1199090)radic
2120587119905(minus119891Prime(1199090))
le 1
Οι (Β) και (Β) μαζί δίνουν το αποτέλεσμα
Η μέθοδος του Laplace μπορεί να εφαρμοστεί τώρα ώστε να υπολογίσουμε
την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης Γ
Π Β Για τη συνάρτηση Γ ισχύει
lim119909rarrinfin
Γ(119909 + 1)radic2120587119909(119909119890)119909
= 1
Απόδειξη Στο ολοκλήρωμα που ορίζει τη συνάρτηση Γ κάνουμε την
αλλαγή μεταβλητής 119905 = 119909119903 οπότε παίρνουμε
Γ(119909 + 1) = 119909119909+1 intinfin
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903
Διαιρούμε με 119909119909+1 και παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα στα δεξιά μπορεί
να εκτιμηθεί από τη μέθοδο Laplace πράγματι η συνάρτηση 119891(119903) =log 119903 minus 119903 έχει μέγιστο μόνο στο σημείο 1199090 = 1 και 119891Prime(1199090) = minus1 lt 0Έχουμε όμως να λύσουμε άλλο ένα πρόβλημα Η απόδειξη που κάναμε
στη μέθοδο Laplace χρησιμοποίησε κατά ουσιαστικό τρόπο το ότι
το πεδίο ολοκλήρωσης ήταν πεπερασμένο Τώρα το άνω άκρο του
ολοκληρώματος είναι +infin Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα
χωρίζουμε το ολοκλήρωμα σε δύο ολοκληρώματα το ένα μέχρι 2 και το
άλλο από 2 και πάνω Εύκολα βλέπουμε ότι για 119903 ge 2 ισχύει log 119903 le 119903119890(η (log 119903)119903 έχει μέγιστο στο 119903 = 119890) Γράφουμε τώρα
Γ(119909 + 1)119909119909+1 = int
2
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 + int
infin
2119890119909(log 119903minus119903) 119889119903(Β)
Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε ότι
intinfin
2119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 le int
infin
2119890minus119903119909(1minus119890minus1) 119889119903 = (119909(1 minus 119890minus1))
minus1119890minus2119909(1minus119890minus1)
Επιστρέφοντας στην (Β) και διαιρώντας με 119890minus119909radic2120587119909 παίρνουμε
1119890minus119909radic2120587119909
int2
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 le
Γ(119909 + 1)119909119909+1119890minus119909radic2120587119909
le1
119890minus119909radic2120587119909int
2
0119890119909(log 119903minus119903) 119889119903 +
1radic2120587119909(1 minus 119890minus1)
119890minus119909(1minus2119890minus1)
Το όριο των ολοκληρωμάτων για 119909 rarr infin είναι ίσο με 1 από τη μέθοδο
Laplace ενώ το όριο του τελευταίου όρου είναι 0 Οπότε
lim119909rarrinfin
Γ(119909 + 1)119909119909+1119890minus119909radic2120587119909
= 1
δηλαδή το ζητούμενο
Π Β (Τύπος του Stirling) Ισχύει
lim119899rarrinfin
119899radic2120587119899(119899119890)119899
= 1
Δηλαδή για μεγάλα 119899 isin ℕ ισχύει
119899 ≃ radic2120587119899 (119899119890)
119899
Πιο συγκεκριμμένη εκτίμηση για το 119899 είναι η ακόλουθη
Π Β Για κάθε 119899 isin ℕ ισχύει
radic2120587119899 (119899119890)
119899
119890(12119899+1)minus1lt 119899 lt radic2120587119899 (
119899119890)
119899
119890(12119899)minus1
Απόδειξη Θεωρούμε την ακολουθία
119889119899 = log(119899 ) minus (119899 +12) log 119899 + 119899 = log
119899 119890119899
119899119899radic119899rarr log radic2120587
όπως αποδείχθηκε στο Θεώρημα Β Επίσης ως προς τη μονοτονία
αυτής της ακολουθίας έχουμε
119889119899 minus 119889119899+1 = (119899 +12) log
119899 + 1119899
minus 1
= (119899 +12) log
1 + (2119899 + 1)minus1
1 minus (2119899 + 1)minus1 minus 1
( 12
log 1+1199051minus119905
= 119905 + 1199053
3+ 1199055
5+ 1199057
7+ ⋯)
=1
3(2119899 + 1)2 +1
5(2119899 + 1)4 +1
7(2119899 + 1)6 + ⋯
Η τελευταία έκφραση είναι μικρότερη από
13(2119899 + 1)2 +
13(2119899 + 1)4 +
13(2119899 + 1)6 + ⋯
που ως γεωμετρική σειρά έχει άθροισμα
112119899(119899 + 1)
=1
12119899minus
112(119899 + 1)
και μεγαλύτερη από τον πρώτο της όρο (3(2119899 + 1)2)minus1 ο οποίος ελέγ-
χουμε με απλές πράξεις ότι είναι γνήσια μεγαλύτερος από
112119899 + 1
minus1
12(119899 + 1) + 1
Δείξαμε έτσι ότι η ακολουθία 119889119899 minus(12119899)minus1 είναι γνησίως αύξουσα με όριο
το log(radic2120587) άρα 119889119899minus(12119899)minus1 lt log radic2120587 και η ακολουθία 119889119899minus(12119899+1)minus1
είναι γνησίως φθίνουσα με όριο πάλι το log(radic2120587) άρα 119889119899 minus(12119899+1)minus1 gtlog radic2120587 Οι 119889119899 minus (12119899)minus1 lt log radic2120587 και 119889119899 minus (12119899 + 1)minus1 gt log radic2120587είναι οι ζητούμενες
Ανάλογη εκτίμηση ισχύει και για τη συνάρτηση Γ
Θ Β Για κάθε 119909 ge 0 ισχύει
Γ(119909 + 1) = 119909119909119890minus119909radic2120587119909 exp(120583(119909))
όπου η 120583(119909) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση μη αρνητική για 119909 ge 1 και
120583(119909) =1
12119909minus
13
intinfin
0
1199013(119905)(119905 + 119909)3 119889119905
όπου η 1199013(119905) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 1 η οποία στο[0 1] δίνεται από τον τύπο 1199013(119905) = 1199053 minus 3
21199052 + 1
2119905
Η απόδειξη ξεφεύγει από τους σκοπούς του παρόντος και μπορεί να
βρεθεί στο [Rem] (σελίδα ) όπου διατηρήσαμε τον συμβολισμό
το συγκεκριμμένου βιβλίου
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι
Γ(119899 + 1) = 119899 = lim119896rarrinfin
1 sdot 2 sdot 3 ⋯ 119896 sdot 119896119899
(119899 + 1)(119899 + 2) ⋯ (119899 + 119896)
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι Γ(119909 + 1) = int1
0(minus log 119905)119909 119889119905
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι η συνάρτηση Γ είναι λογαριθμικά κυρτή δηλαδή
ότι η συνάρτηση log Γ είναι κυρτή
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι
Γ (119899 +12) =
(2119899)4119899119899
radic120587
Άσκηση Β Χρησιμοποιείστε τη συνάρτηση Γ για να αποδείξετε ότι
intinfin
0119890minus119905119886 119889119905 =
1119886Γ (
1119886)
όπου 119886 gt 0Άσκηση Β Η συνάρτηση laquoβήταraquo 119861 δίνεται από τον τύπο 119861(119909 119910) =int1
0119905119909minus1(1 minus 119905)119910minus1 119889119905 για 119909 gt 0 και 119910 gt 0 Αποδείξτε ότι
119861(119909 119910) =Γ(119909)Γ(119910)Γ(119909 + 119910)
ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα Γράψτε το γινόμενο Γ(119909)Γ(119910) ως διπλό
ολοκλήρωμα με δύο μεταβλητές 119906 119907 στο [0 infin) times [0 infin) Αλλάξτε μεταβλητές
θέτοντας 119906 = 119911119908 και 119907 = 119911(1 minus 119908) ώστε να οδηγηθείτε στο γινόμενο Γ(119909 +119910)119861(119909 119910)Άσκηση Β Αποδείξτε χρησιμοποιώντας την ασυμπτωτική συμπεριφορά
της συνάρτησης Γ ότι ασυμπτωτικά (για 119909 και 119910 μεγάλα) ισχύει
119861(119909 119910) ≃ radic2120587119909119909minus 1
2 119910119910minus 12
(119909 + 119910)119909+119910minus 12
Άσκηση Β Υποθέστε ότι 119891(119909 + 1) = 119909119891(119909) και 119891(1) = 1 Αποδείξτε ότι αν
lim119899rarrinfin
119891(119909 + 119899)(119899 minus 1) 119899119909 = 1
τότε
119891(119909) = lim119899rarrinfin
(119899 minus 1) 119899119909
119909(119909 + 1) hellip (119909 + 119899 minus 1)
Άσκηση Β Αποδείξτε ότι για κάθε 119899 119896 isin ℕ με 119896 le 119899 ισχύει
(119899119896)
119896le (
119899119896) lt
1119890 (
119890119899119896 )
119896
Υπόδειξη Για το κάτω φράγμα παρατηρήστε ότι
(119899119896) =
119899119896
119896minus1
prod119894=1
119899 minus 119894119896 minus 119894
και119899 minus 119894119896 minus 119894
ge119899119896
για κάθε 119894 = 1 2 hellip 119896 minus 1 Για το άνω φράγμα
(119899119896) lt
119899119896
119896και 119890119896minus1 ge
119896minus1
prod119894=1
(1 +1119894)
119894=
119896119896
119896
από τη μονοτονία της (1 + 1119894)119894 (Παρατηρήστε επίσης ότι αν αντί για την
τελευταία ανισότητα χρησιμοποιηθεί η 119896119896119896 le suminfin119899=119900 119896119899119899 = 119890119896 θα πάρουμε
ασθενέστερη ανισότητα κατά τον παράγοντα 1119890)
Π Β Το άνω φράγμα για τον διωνυμικό συντελεστή δεν είναι
ακριβές όταν το 119896 είναι κοντά στο 119899 Για αυτό χρησιμοποιώντας το ότι
(119899119896) = ( 119899
119899minus119896) μπορούμε να γράψουμε την ακριβέστερη ανισότητα
max (119899119896)
119896 (
119899119899 minus 119896)
119899minus119896
le (119899119896) lt
1119890
min (119890119899119896 )
119896 (
119890119899119899 minus 119896)
119899minus119896
Επίσης και η κάτω ανισότητα είναι γνήσια αν 119896 lt 119899
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[ΠρΑναλ] Μιχάλης Ανούσης Αντώνης Τσολομύτης Βαγγέλης Φελου-
ζής Πραγματική Ανάλυση
[ΓρΑλγ] Δημήτριος Βάρσος Δημήτριος Δεριζιώτης Ιωάννης Εμμα-
νουήλ Μιχαήλ Μαλιάκας Αντώνιος Μελάς και Ολυμπία
Ταλέλλη Μια εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα τόμος ΙIΣοφία
[Για] Απόστολος Γιαννόπουλος Κυρτή γεωμετρική ανάλυση Ση-μειώσεις Μαθήματος Αθήνα
[ΘΜ] Στυλιανός Νεγρεπόντης Γεώργιος Κουμουλλής ΘεωρίαΜέτρου Συμμετρία
[ΕΓ] Πάρις Πάμφιλος Έλασσον Γεωμετρικόν ΠανεπιστημιακέςΕκδόσεις Κρήτης
[AMG] Shiri Artstein-Avidan Apostolos Giannopoulos and Vitali
Milman Asymptotic Gemetric Analysis Mathematical Surveys
and Monographs vol
[Bal] Keith Ball Some remarks on the geometry of convex setsGeometric aspects of functional analysis volume of LectureNotes in Math Springer-Verlag Berlin New York pp
--
[Borel] Christer Borel Convex set functions in 119889-space Period Math
Hung Vol () () pp ndash
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[BGVV] Silouanos Brazitikos Apostolos Giannopoulos Petros Valettas
and Beatrice-Helen Vritsiou Geometry of Isotropic ConvexBodies Mathematical Surveys and Monographs vol
[GH] Mariano Giaquinta and Stefan Hildebrandt Calculus ofVariations volume II Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
York
[GPS] Herbert Goldstein Charles Poole and John Safko ClassicalMechanics rd edition Addison Wesley
[Gru] Peter M Gruber Convex and discrete geometry volume
of Grundelehren der mathematischen Wissenschaften Springer-
Verlag Berlin Heidelberg New York
[KO] Owe Krey and Anthony Owen Basic Theoretical PhysicsSpringer-Verlag Berlin Heidelberg New York
[Lap] Pierre Simon Laplace Memoir on the probability of causesof events tome sixiegraveme of Meacutemoires de Matheacutematique et dePhysique English translation by S M Stigler Statist Sci
()--
[MP] Vitali Milman and Alain Pajor Isotropic position and inertiaellipsoids and zonoids of the unit ball of a normed 119899-dimensional space Lecture Notes in Mathematics
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York σελ
ndash
[Rem] Reinhold Remmert Classical Topics in Complex FunctionTheory volume of Graduate Texts in Mathematics SpringerVerlag
[Sch] Rolf Schneider Convex Bodies The Brunn-MinkowskiTheory volume of Encyclopedia of Mathematics and itsApplications Cambridge University Press
Ευρετήριο Ελληνικών Όρων
Ααδράνεια
καμπύλη
αναλλοίωτο επίπεδο
ανάστροφος πίνακας
ανεξάρτητα σημεία
affine
ανισότητα
Blaschke-Santaloacute
Brunn-Minkowski
Brunn-Minkowski (αθροιστι-
κή μορφή)
Brunn-Minkowski (πολλαπλα-
σιαστική μορφή)
Cauchy-Schwartz
Hadamard
Houmllder
Houmllder για αθροίσματα
Houmllder για ολοκληρώματα
Jensen
Minkowski για αθροίσματα
Minkowski για ολοκληρώμα-
τα
Prekopa-Leindler
Young
αντίστροφη ισοπεριμετρική
αριθμητικού-γεωμετρικού μέ-
σου
ισοπεριμετρική
ανιστότητα
Barthe
Brascamp-Lieb
ανοικτή μπάλα
αντιπολική καμπύλη
αντίστροφη ισοπεριμετρική ανι-
σότητα
απόλυτα συνεχής συνάρτηση
απόσταση
Hausdorff
ευκλείδεια
αρχή του Brunn
Ββαρύκεντρο
Γγενική θέση σημείων
γνήσια κυρτή συνάρτηση
γνήσια κυρτό σύνολο
γνήσιος διαχωρισμός
Δδιαχωρισμός
γνήσιος
Εελάχιστη επιφάνεια
ελλειψοειδές
Binet
Legendre
Poinsot
αδρανείας
κινητικής ενέργειας
μεγίστου όγκου
εμβαδόν επιφανείας
συνέχεια
εσωτερικό γινόμενο
συνέχεια
εσωτερικό σημείο
εσωτερικό συνόλου
ευθύγραμμο τμήμα
ευκλείδεια απόσταση
ευκλείδεια μπάλα
ευκλείδεια νόρμα
συνέχεια
ευκλείδειο μήκος
Ηημίχωρος
Θθεση
ισοτροπική
Θέση
του John αναπαράσταση ταυ-
τοτικής
θέση
ελάχιστης επιφάνειας
ελαχίστου μέσου πλάτους
ισοτροπική μοναδικότητα
κυρτού σώματος
του John
θετικά ημιορισμένος πίνακας
θετικά ορισμένος πίνακας
θετική ομογένεια
θεώρημα
Fubini
αναπαράστασης ταυτοτικής
(John)
επιλογής του Baschke
Καραθεοδωρή
σφαιρικότητας του Gross
Ιιδιότητες όγκου
ισοπεριμετρική ανισότητα
ισοτροπική θέση
ίχνος πίνακα
Κκαμπύλη αδρανείας
κάτω τριγωνική ανισότητα
κεντρικά συμμετρικό σύνολο
κλειστή θήκη
κυκλικό πολύτοπο
κυρτή θήκη
κυρτή συνάρτηση
κυρτό σύνολο
κυρτό σώμα
θέση
κυρτός συνδυασμός
Λλήμμα του Borel
λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση
λογαριθμικά κοίλο μέτρο
λωρίδα
Μμέθοδος Laplace
μετασχηματισμός Legendre
μετρήσιμο
Jordan
μετρήσιμο σύνολο
μέτρο
ισοτροπικό
λογαριθμικά κοίλο
μέτρο Lebesgue
μήκος
ευκλείδειο
μοναδιαία ευκλείδεια μπάλα
μοναδιαία μπάλα
μοναδιαία σφαίρα
μοναδικότητα ισοτροπικής θέ-
σης
μπάλα
ανοικτή
ευκλείδεια
μοναδιαία ευκλείδεια
Ννόρμα
Οόγκος
ιδιότητες
κυρτού σώματος
παραλληλεπιπέδου
πολυπαραλληλεπιπέδου
του ℬ119899119901
ορθογώνια προβολή
ορίζουσα Vandermonde
Ππαράγωγο σύνολο
παραλληλεπίπεδο
πίνακας
singular value decomposition
ανάστροφος
θετικά ημιορισμένος
θετικά ορισμένος
ίχνος
πολική αναπαράσταση
πίνακας αδράνειας
πίνακας αδρανείας
πολική αναπαράσταση
πολική καμπύλη
πολική ροπή αδρανείας
πολικό σώμα
πολύτοπο
119896-neighborly κυκλικό
πρόβλημα των Busemann-Petty
προβολή
Ρροπή
αδρανείας
δύναμης
πολική αδρανείας
ροπή αδράνειας
Σσημεία
σε γενική θέση
σημείο
εσωτερικό
συσσώρευσης
σταθερά Lipschitz
σταθερά ισοτροπίας
λογαριθμικά κοίλου μέτρου
συμμετρικοποίηση Steiner
συμπαγές σύνολο
συνάρτηση
Lipschitz
απόλυτα συνεχής
Γ γνήσια κυρτή
κυρτή
λογαριθμικά κοίλη
στήριξης
συνεχής
συνέχεια εμβαδού επιφανείας
συνέχεια εσωτερικού γινομένου
συνέχεια ευκλείδειας νόρμας
συνεχής συνάρτηση
σύνολο
γνήσια κυρτό
εσωτερικό
κεντρικά συμμετρικό
κλειστή θήκη
κυρτό
μετρήσιμο
παράγωγο
συμπαγές
σύνορο
σχετικό εσωτερικό
φραγμένο
σύνορο συνόλου
σφαίρα
μοναδιαία
σχετικό εσωτερικό συνόλου
σώμα
μη ισοτροπικό
Ττετράεδρο (simplex)
τριγωνική ανισότητα
τύπος του Stirling
Υυπερεπίπεδο
υπερεπίπεδο στήριξης
υπερκύβος
Φφραγμένο σύνολο
Χχώρος
119862[119886 119887] 119871119901[119886 119887]
Ευρετήριο ξενόγλωσσων όρων
BBall Keith
Blaschke θεώρημα επιλογής
Blaschke-Santaloacute ανισότητα
Borel λήμμα
Brunn αρχή
Brunn-Minkowski ανισότητα
Brunn-Minkowski ανισότητα α-
θροιστική μορφή
Brunn-Minkowski ανισότητα πολ-
λαπλασιαστική μορφή
EEuler
FFubini
GGross θεώρημα σφαιρικότητας
Hherpolhode
Houmllder ανισότητα
Iinvariable plane
JJohn Fritz
Jordan μετρήσιμο
K119896-neighborly polytope
LLaplace μέθοδος
Lebesgue μέτρο
Nneighborly polytope
Ppolhode
Prekopa-Leindler ανισότητα
RRadon
Ssimplex
singular value decomposition
Steiner συμμετρικοποίηση
Stirling τύπος
Στοιχειοθεσία LuaLTEX
Postscript producer dvips
PDF distiller Ghostscript
Γραμματοσειρές GFS NeoHellenic
d-γραφικά PStricks
d-γραφικά PStricks amp Inkscape
Persistent Ray Tracer Povray
Ακολουθίες amp Σειρές
Αντώνης Τσολομύτης
Σάμος 2012ndash2017
sumlimnrarrinfinan
lim suplim suplim suplim suplim suplim sup(1+ 1
n
)n
(1+ 1
n
)n
(1+ 1
n
)n
Α Τσολομύτης Σάμος 2012ndash2017
Περιεχόμενα
I Ακολουθιες 5
1 Γενικά περί ακολουθιών 7
11 Ακολουθίες και υπακολουθίες 7
12 Πράξεις ακολουθιών 9
13 Εφαρμογές και παραδείγματα 11
2 Μονότονες ακολουθίες 15
21 Ορισμοί και ιδιότητες 15
22 Εφαρμογές και παραδείγματα 17
3 Φραγμένες ακολουθίες 19
31 Ορισμοί και ιδιότητες 19
32 Εφαρμογές και παραδείγματα 21
4 Σύγκλιση ακολουθιών 25
41 Μηδενικές ακολουθίες 25
42 Ιδιότητες μηδενικών ακολουθιών 26
43 Συγκλίνουσες ακολουθίες 30
44 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών 32
45 Κριτήρια σύγκλισης 37
46 Ακολουθίες με όριο το +infin ή minusinfin 39
47 Βασικά όρια 40
5 lim sup και lim inf 47
51 Το σύνολο των υπακολουθιακών ορίων 47
52 Ιδιότητες των lim sup και lim inf 49
6 Αριθμητικοί γεωμετρικοί και αρμονικοί μέσοι 53
61 Η ακολουθία των αριθμητικών μέσων 53
62 Ο αριθμητικός-αρμονικός μέσος 56
63 Ο αριθμογεωμετρικός μέσος 58
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
II Σειρες 61
7 Γενικά περί σειρών 63
71 Ορισμοί 63
72 Πράξεις με σειρές 66
8 Θεωρητικά κριτήρια σύγκλισης σειρών 67
81 Το κριτήριο φράγματος 67
82 Το κριτήριο Cauchy 68
83 Το κριτήριο σύγκρισης 71
84 Τηλεσκοπικές σειρές 73
841 Το κριτήριο Dini-Kummer 74
85 Το κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy 76
86 Το ολοκληρωτικό κριτήριο 79
9 Εφαρμογές του κριτηρίου σύγκρισης 81
91 Σύγκριση με τη γεωμετρική σειρά 82
911 Το κριτήριο λόγου 82
912 Το κριτήριο n-στης ρίζας του Cauchy 84
92 Σύγκριση με την ακολουθία 1np 86
93 Σύγκριση με την ακολουθία 1(n(logn)p) 88
94 Δεν υπάρχει καθολικό κριτήριο σύγκρισης σειρών 90
10 Εναλλάσουσες σειρές 95
101 Το κριτήριο Leibniz 95
102 Το κριτήριο Dirichlet 96
11 Αναδιατάξεις σειρών 99
111 Αναδιατάξεις των φυσικών αριθμών 100
112 Αναδιατάξεις σειρών 100
113 Το θεώρημα Riemann 102
Βιβλιογραφία 107
Ευρετήριο Ελληνικών Όρων 108
Μέρος I
Ακολουθίες
Κεφάλαιο 1
Γενικά περί ακολουθιών
11 Ακολουθίες και υπακολουθίες
Ορισμός 111 Κάθε συνάρτηση f A sube N ֏ R όπου το A είναιάπειρο σύνολο λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή απλά
ακολουθία
Για τις ακολουθίες δεν χρησιμοποιούμε το γράμμα f αλλά γράμ-ματα όπως a b c x y z α β γ κλπ Επίσης αντί να γράφου-με a(n) για την τιμή της a στο n isin N γράφουμε an Αν θέλουμενα αναφερθούμε σε μια ακολουθία δεν γράφουμε laquoη ακολουθία
a A rarr Rraquo αλλά laquoη ακολουθία (an)nisinAraquo Αν A = N εκτός από
laquoη ακολουθία (an)nisinNraquo μπορεί να γράψουμε και (an)infinn=1 Αν δεν
υπάρχει λόγος να δηλώσουμε το πεδίο ορισμού γράφουμε laquoη α-
κολουθία (an)raquo Τέλος αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης γιααπλοποίηση του συμβολισμού γράφουμε ακόμα και laquoη ακολουθία
anraquo παραλείποντας και τις παρενθέσεις Συχνά (αλλά όχι πάντα)το πεδίο ορισμού θα είναι όλο το σύνολο N
Παράδειγμα 112 Η συνάρτηση (an)nisinN με an = 1n είναι μια ακο-
λουθία Έχουμε a1 = 1 a2 = 12 a3 = 1
3 κλπ Μια άλλη είναι η
ακολουθία bn = n όπου b1 = 1 b2 = 2 = 1middot2 = 2 b3 = 3 = 1middot2middot3 = 6
b4 = 4 = 1 middot 2 middot 3 middot 4 = 24 κλπ
Ορισμός 113 Οι αριθμοί an δηλαδή οι τιμές της ακολουθίας(an)nisinA για κάθε n isin A λέγονται όροι της ακολουθίας Ο όρος an(δηλαδή η τιμή της ακολουθίας στο n) ονομάζεται n-στός όρος ήγενικός όρος της ακολουθίας (an)nisinA Το σύνολο an n isin A ονο-μάζεται σύνολο των όρων της ακολουθίας ενώ για κάθε m isin Nκάθε σύνολο της μορφής an n isin A και n gem ονομάζεται τελι-κό τμήμα της ακολουθίας
8 Γενικά περί ακολουθιών
Μια ακολουθία ορίζεται είτε με έναν τύπο για τον n-στό τηςόρο (όπως an = 1n) είτε αναδρομικά (για παράδειγμα a1 = 1 και
an+1 = an2 για κάθε n isin N) είτε με άλλο τρόπο με τον οποίο κα-θορίζονται με ακρίβεια όλοι οι όροι της και όχι με την παράθεση
λίγων όρων Με το τελευταίο εννοούμε ότι δεν έχει νόημα η φράση
laquoθεωρούμε την ακολουθία 11
21
31
4 raquo
διότι δεν είναι σαφές αν πρόκειται για την ακολουθία με τύπο
1n ή για την ακολουθία με τύπο
1
n+ (nminus 1)(n minus 2)(nminus 3)(n minus 4)
οι οποίες διαφέρουν από τον πέμπτο όρο και μετά ή κάποια άλλη
που ξεκινάει με αυτούς τους όρους
Αν περιορίσουμε μια ακολουθία σε ένα άπειρο υποσύνολο του
πεδίου ορισμού της τότε ο περιορισμός αυτός λέγεται υπακολου-
θία της αρχικής ακολουθίας
Ορισμός 114 Υποθέτουμε ότι η ακολουθία an είναι ορισμένη γιακάθε n isin A sube N Αν B άπειρο υποσύνολο του A τότε η ακολουθίαan|nisinB ονομάζεται υπακολουθία της an
Παράδειγμα 115 Θεωρήστε την ακολουθία an = 1n Αν αντί για
όλα τα n isin N χρησιμοποιήσουμε μόνο τους άρτιους n θα πάρουμεμια υπακολουθία της αρχικής Αυτή η υπακολουθία είναι η anμε n άρτιο Επειδή κάθε άρτιος είναι της μορφής 2n για n isin Nμπορούμε να πούμε ότι αυτή η υπακολουθία είναι η a2n = 1
2n
Έτσι ενώ η an έχει όρους τους
11
21
31
41
51
61
71
8
η υπακολουθία a2n έχει τους όρους
1
21
41
61
8
Παράδειγμα 116 Θεωρούμε ένα (σταθερό) m isin N και μια ακολου-θία (an)nisinN Ορίζουμε την ακολουθία bn = am+n για κάθε n isin NΗ bn είναι υπακολουθία της an αφού φανερά
bn = an∣∣nisinN ngtm
Παρατηρώντας ότι το σύνολο των όρων της bn είναι το σύνολο
am+1 am+2 am+3
συμπεραίνουμε ότι κάθε τελικό τμήμα της an είναι υπακολουθίατης
12 Πράξεις ακολουθιών 9
Ορισμός 117 (Ισότητα ακολουθιών) Δυο ακολουθίες (an)nisinAκαι (bn)nisinB λέγονται ίσες αν A = B και an = bn για κάθε n isin A
Ασκήσεις
Άσκηση 111 Περιγράψτε τις υπακολουθίες των laquoάρτιων όρωνraquo των
ακολουθιών
n (minus1)n
Άσκηση 112 Δείξτε ότι η φράση
laquoθεωρούμε την ακολουθία 4143475361718397113131 raquo
δεν αναφέρεται απαραίτητα σε μια υπακολουθία των πρώτων φυσικών
αριθμών εξετάζοντας τους όρους της an = n2minusn+41 μέχρι τον τεσσαρα-
κοστό πρώτο όρο
Ομοίως ελέγξτε ότι η ακολουθία bn = n2minus79n+1601 παράγει πρώτους
αριθμούς μέχρι τον ογδοηκοστό όρο αλλά b81 = 1763 = 41 middot 43
Άσκηση 113 Αν an είναι το πλήθος όλων των διαγωνίων ενός κυρτούn-γώνου δείξτε επαγωγικά ότι an = (n2 minus 3n)2
12 Πράξεις ακολουθιών
Αν δυο ακολουθίες an και bn ορίζονται για κάθε n isin A sube N ορίζο-ναι και όλες οι πράξεις μεταξύ τους με τον αναμενόμενο τρόπο
Ορισμός 121 Η ακολουθία sn όπου sn = an + bn για κάθε n isin Aονομάζεται άθροισμα των ακολουθιών an και bn Η ακολουθίαdn = an minus bn ονομάζεται διαφορά των ακολουθιών an και bn Ηακολουθία pn = anbn για κάθε n isin A ονομάζεται γινόμενο τωνακολουθιών an και bn
Αν an = 1n3 και bn = n2 τότε
an + bn = 1
n3+n2 = 1+n5
n3
an minus bn = 1
n3minusn2 = 1minusn5
n3
anbn = 1
n3middotn2 = 1
n
Ειδικά για το πηλίκο δύο ακολουθιών θα πρέπει να προσέξουμε
ώστε η ακολουθία στον διαιρέτη να μην έχει μηδενικούς όρους
10 Γενικά περί ακολουθιών
Ορισμός 122 Αν οι an και bn είναι ακολουθίες με n isin A sube N καιεπιπλέον bn ne 0 για κάθε n isin A τότε η ακολουθία qn = anbnονομάζεται πηλίκο των ακολουθιών an και bn
Αν an = 1n3 και bn = n2 όπως παραπάνω τότε ισχύει bn = n2 ne 0
για κάθε n isin N οπότε ορίζεται το πηλίκο anbn = 1n5
Τέλος ορίζεται και η σύνθεση ακολουθιών ως εξής
Ορισμός 123 Αν η kn είναι μια ακολουθία kn A rarr B όπου AB sube N και xn μια ακολουθία με πεδίο ορισμού το B τότε ορίζεταιη ακολουθία cn = xkn ονομάζεται σύνθεση των ακολουθιών kn καιxn
Παρατήρηση 124 Αν για την ακολουθία kn του προηγούμενουορισμού ισχύει
k1 lt k2 lt k3 lt
δηλαδή kn lt kn+1 για κάθε n isin N τότε η σύνθεση με την xn είναιμια υπακολουθία της xn Πράγματι αυτό είναι φανερό αφού
xkn = xn∣∣kn nisinN
Αυτό ισχύει και αντίστροφα έστω ότι η yn = xn|B μια υπακολου-θία της xn Χρησιμοποιώντας την καλή διάταξη του N το σύνολοB γράφεται στη μορφή B = kn n isin N με k1 lt k2 lt k3 lt α-φού το B έχει ελάχιστο στοιχείο έστω το k1 και στη συνέχεια το
B k1 έχει ελάχιστο στοιχείο έστω το k2 και ούτω κάθrsquo εξής
Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τις ακολουθίες kn = n2 isin N καιxn = 1n με πεδίο ορισμού το σύνολο N Η σύνθεσή τους είναι ηακολουθία cn = xkn = xn2 Δηλαδή πρόκειται για υπακολουθία της
xn η xn έχει όρους
1
11
21
31
41
51
61
71
81
9
1
10
1
11
ενώ η cn = xn2 έχει όρους
1
12= 1
1
1
22= 1
4
1
32= 1
9
Παρατήρηση 125 Αν θεωρήσουμε μια kn N rarr N η οποία δεν
ικανοποιεί την k1 lt k2 lt τότε δεν είναι απαραίτητο η xkn ναείναι υπακολουθία της xn Για παράδειγμα θεωρούμε την k1 = 2
k2 = 1 lt k1 kn = n για κάθε n ge 3 και την ακολουθία xn = 1nΤο πεδίο τιμών της cn = xkn είναι το ίδιο με αυτό της xn Έτσιαν ισχύει cn = xn|B για κάποιο B sube N ο μόνος τρόπος να ανήκειτο 12 στο πεδίο τιμών της cn είναι να ισχύει 2 isin B (αφού η xnισούται με 12 μόνο για n = 2 Αλλά τότε θα έπρεπε να ισχύει
c2 = x2 το οποίο είναι ψευδές αφού
c2 = xk2 = x1 = 1 ne1
2= x2
13 Εφαρμογές και παραδείγματα 11
13 Εφαρμογές και παραδείγματα
Πολλές φορές παρόλο που πεπερασμένο πλήθος όρων δεν μπο-
ρεί να ορίσει μια ακολουθία όπως είδαμε στην Ενότητα 11 ο-
ρίζουμε ακολουθίες ως αθροίσματα για παράδειγμα της μορφής
xn = 1+ 12+ 1
3+ + 1
n στο οποίο εμφανίζονται πεπερασμένο πλήθος
όρων Τέτοιες εκφράσεις όμως είναι σαφείς από τον γενικό προ-
σθετέο που φαίνεται στον τελευταίο όρο της έκφρασης Δηλαδή
ο υπολογισμός της xn απαιτεί να προσθέσουμε όλα τα κλάσματα1k για k isin N και k le n Έτσι για να καταλάβουμε μέχρι ποιοκλάσμα προσθέτουμε κάθε φορά κοιτάμε τον τελευταίο όρο του
αθροίσματος
Παράδειγμα 131 Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της ακολου-θίας xn = 1+ 1
2+ + 1
n
Για να βρούμε τον πρώτο όρο κοιτάμε με τι ισούται το 1nόταν n = 1 Επειδή αυτό ισούται με 11 = 1 συμπεραίνουμε ότι
το άθροισμα θα σταματήσει στο 1 δηλαδή x1 = 1 Για να βρούμε
τον x2 παρατηρούμε ότι το 1n ισούται με 12 όταν n = 2 άρα
το άθροισμα θα σταματήσει στο 12 δηλαδή x2 = 1+12 Ομοίωςx3 = 1+ 12+ 13
Υπάρχουν περιπτώσεις όπου μας δίνεται μια ακολουθία η ο-
ποία ορίζεται αναδρομικά για παράδειγμα a1 = 2 και an+1 =2 + an3 για κάθε n isin N και πρέπει να βρούμε τον n-στο όροτης an ως συνάρτηση του n Στις απλούστερες αυτών των προ-βλημάτων η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικαταστήσουμε τό-
σο την an όσο και την an+1 με x η οποία ονομάζεται laquoεξίσωσηαναδρομήςraquo έχει λύση Τότε ακολουθούμε το τέχνασμα που πα-
ρουσιάζεται στα παρακάτω παραδείγματα Μια γενικότερη θεω-
ρία των γραμμικών αναδρομικών ακολουθιών παρουσιάζεται στο
βιβλίο [5]
Παράδειγμα 132 Βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας που ο-ρίζεται αναδρομικά θέτοντας a1 = 4 και an+1 = 2+ an3 για κάθεn isin NΣχηματίζουμε την εξίσωση αναδρομής x = 2+x3 η οποία έχει
μοναδική λύση την x = 3 Στη συνέχεια αφαιρούμε τον αριθμό 3
και από τα δύο μέλη του αναδρομικού τύπου
an+1 minus 3 = (2+ an3)minus 3 = 1
3(an minus 3)
Έτσι
anminus3 = 1
3(anminus1minus3) =
(1
3
)2
(anminus2minus3) = middotmiddot middot =(
1
3
)nminus1
(a1minus3) =(
1
3
)nminus1
12 Γενικά περί ακολουθιών
(Ο σωστός εκθέτης στην προτελευταία ισότητα είναι πράγματι
n minus 1 το βρίσκουμε παρατηρώντας ότι ο εκθέτης του κλάσμα-
τος 13 σε κάθε ισότητα αθροίζεται στο n όταν του προστεθεί οδείκτης του όρου της ακολουθίας που είναι στην παρένθεση (για
παράδειγμα 2+ (nminus 2) = n))Άρα ο γενικός όρος της an είναι an = 3+ (13)nminus1
Παράδειγμα 133 Βρείτε τον γενικό όρο της an με a1 = 5 και
an+1 = 5minus 6an
Η εξίσωση αναδρομής x = 5 minus 6x έχει δύο λύσεις τις 2 και
3 Αφαιρούμε από την αναδρομική εξίσωση της ακολουθίας τό-
σο τον 2 όσο και τον 3 Αφαιρώντας τον 2 μετά από πράξεις
παίρνουμε
an+1 minus 2 = 3
an(an minus 2)
και αφαιρώντας το 3
an+1 minus 3 = 2
an(an minus 3)
Τώρα θέλουμε να διαιρέσουμε κατά μέλη αλλά για να το κάνουμε
αυτό πρέπει να γνωρίζουμε ότι κανένας όρος της an δεν ισού-ται με 3 Αυτό όμως προκύπτει άμεσα από την τελευταία Αν
an+1 = 3 για κάποιο n τότε an = 3 Δηλαδή αν κάποιος όρος της
ακολουθίας ισούται με 3 τότε ισούται με 3 και ο προηγούμενος
Επαγωγικά θα καταλήξουμε σε άτοπο αφού a1 = 5 ne 3
Διαιρώντας λοιπόν κατά μέλη οδηγούμαστε στην
an+1 minus 2
an+1 minus 3= 3
2
an minus 2
an minus 3
Άρα
an minus 2
an minus 3= 3
2
anminus1 minus 2
anminus1 minus 3=(
3
2
)2 anminus2 minus 2
anminus2 minus 3= middotmiddot middot =
(3
2
)nminus1 a1 minus 2
a1 minus 3=(
3
2
)n
Λύνοντας ως προς an (αφαιρούμε αριθμητές από παρονομαστές )παίρνουμε αμέσως
an =3n
3n minus 2n
Παράδειγμα 134 Βρείτε τον γενικό όρο της an με a1 = 5 και
an+1 = 4anminus9anminus2
Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση αναδρομής x = (4xminus9)(xminus2) είναι ισοδύναμη με την (x minus 3)2 = 0 δηλαδή έχει διπλή ρίζα το
3 Σε αυτές τις περιπτώσεις κάνουμε το εξής τέχνασμα πρώτα
αφαιρούμε τη διπλή ρίζα για να καταλήξουμε στη σχέση
an+1 minus 3 = an minus 3
an minus 2
13 Εφαρμογές και παραδείγματα 13
Τώρα αντιστρέφουμε τους όρους
1
an+1 minus 3= an minus 2
an minus 3= an minus 3+ 1
an minus 3= 1+ 1
an minus 3
Συνεπώς
1
an minus 3= 1+ 1
anminus1 minus 3= 2+ 1
anminus2 minus 3= nminus 1+ 1
a1 minus 3= nminus 1
2
Αντιστρέφοντας τους όρους της εξίσωσης και λύνοντας ως προς
an παίρνουμε
an = 3+ 2
2nminus 1
Κεφάλαιο 2
Μονότονες ακολουθίες
21 Ορισμοί και ιδιότητες
Ας θεωρήσουμε την ακολουθία με γενικό όρο an = (n minus 1)n Πα-ρατηρούμε ότι
an+1 =(n+ 1)minus 1
n+ 1= 1minus 1
n+ 1gt 1minus 1
n= nminus 1
n= an
Δηλαδή για κάθε n isin N ισχύει an lt an+1 Για μια ακολουθία anμε αυτή την ιδιότητα λέμε ότι η an είναι γνησίως αύξουσα Έτσιδίνουμε τον ακόλουθο ορισμό
Ορισμός 211
bull Μια ακολουθία an λέγεται γνησίως αύξουσα και γράφουμεan αν για κάθε n isin N ισχύει an lt an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται αύξουσα και γράφουμε an rarr ανγια κάθε n isin N ισχύει an le an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται γνησίως φθίνουσα και γράφουμεan
αν για κάθε n isin N ισχύει an gt an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται φθίνουσα και γράφουμε an
rarr
αν
για κάθε n isin N ισχύει an ge an+1
bull Μια ακολουθία an λέγεται γνησίως μονότονη αν είναι είτεγνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα
bull Μια ακολουθία an λέγεται μονότονη αν είναι είτε αύξουσαείτε φθίνουσα
Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι μια γνήσια μονότονη α-
κολουθία είναι και μονότονη μια γνήσια αύξουσα είναι και αύξου-