Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Институт вычислительной математики и математической

геофизики

Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

Савченко Александр Оливерович

Численные и аналитические методы расчёта

воздействия электромагнитного поля

на проводящее тело

05.13.18 Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация на соискание учёной степени

доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

Ильин Валерий Павлович

Новосибирск, 2018

2

Содержание

Введение ……………………………………………………………………… 6

Глава 1 Проводящий шар в осесимметричном электрическом

поле …………………………………………………………………………. 26

1.1 Электрические характеристики проводящего шара в неоднородном

электрическом поле …..………………………………………………. 27

1.1.1 Потенциал осесимметричного проводника на оси электрического

поля …………………………………………………….............................. 28

1.1.2 Плотность заряда на поверхности проводящего шара …………… 29

1.1.3 Полный заряд и дипольный момент проводящего шара ………… 31

1.1.4 Мультипольные моменты проводящего шара ……………………. 33

1.1.5 Сила, действующая на проводящий шар ..…………………………. 36

1.2 Свойства матрицы моментов от многочленов Лежандра …………. 39

Глава 2 Эллипсоидальные и осесимметричные проводники и

сверхпроводники в осесимметричных электрических и магнитных полях

…………………………………………………………………………………. 46

2.1 Свойства семейства функций, ортогональных к многочленам ……...... 47

2.2 Семейства функций, непрерывно зависящих от параметра, и

ортогональных к многочленам …………………………………………….. 53

2.3 Применение функций, ортогональных к многочленам, при решении задач

физики ……………………………………………………………………….. 61

2.3.1 Плотность поверхностного заряда проводящего эллипсоида в

соосном электрическом поле …………………………………… 62

2.3.2 Токи на поверхности сверхпроводящего эллипсоида в соосном

магнитном поле ………………………………………………….. 68

2.3.3 Сила, действующая на сверхпроводящий эллипсоид вращения в

соосном магнитном поле, и его магнитный момент ………….. 70

3

2.3.4 Начало координат в вершине сверхпроводящего эллипсоида,

соосного внешнему магнитному полю ………………………… 72

2.4 Численный расчёт плотности заряда и поверхностного тока для

осесимметричных проводников ………………………………………. 74

2.4.1 Метод решения …………………………………………………….. 74

2.4.2 Численные эксперименты ………………………………………… 76

Глава 3 Вычисление потенциала и напряжённости электрического поля

заряженного эллипсоида …………………………………………………. 82

3.1 Квадратурные формулы для интеграла от произведения функций …… 84

3.2 Вычисление потенциала эллипсоида ………………………………….. 88

3.3 Вычисление напряжённости поля эллипсоида ……………………….. 90

3.3.1 Составляющая напряжённости поля по координате 0r …………… 90

3.3.2 Составляющая напряжённости поля по координате 0 …………… 91

3.3.3 Составляющая напряжённости поля по координате 0 …………… 93

3.4 Аналитическое вычисление потенциала и напряжённости поля

эллипсоида для функции плотности специального вида …………….. 94

3.4.1 Потенциал эллипсоида ……………………………………………… 94

3.4.2 Компоненты напряжённости поля эллипсоида ……………………. 96

3.5 Численные эксперименты ……………………………………………… 98

Глава 4 Осесимметричный проводник в соосном переменном

магнитном поле ……………………………………………………………. 102

4.1 Проводник в переменном магнитном поле: постановка задачи и идея

решения ……………………………………………………………………… 104

4.2 Метод решения, аппроксимация и сходимость ряда Неймана ……… 109

4.3 Разложение в ряд решения линейных операторных уравнений …….. 111

4.4 Семейство методов для решения уравнения Гельмгольца ..................... 113

4.5 Приведение к интегральному уравнению и нахождение осевой

напряжённости поля …………………………………………………... 115

4

4.6 Выбор первого члена суммы ………………………………………….. 118

4.7 Вычисление компонентов суммы ……………………………………... 121

4.8 Численные эксперименты …………………………………………….. 123

Глава 5 Проводящее тело в переменном магнитном поле при

квазистационарном приближении …………………………………… 128

5.1 Постановка задачи …………………..………………………………… 130

5.2 Введение фиктивной поверхности …………………………………… 134

5.3 Задача для полей, гармонически изменяющихся по времени. Метод

решения. ………………………………………………………………... 135

5.4 Решение уравнения для векторного потенциала …………………… 137

5.5 Нахождение градиента скалярного потенциала по известным значениям

векторного потенциала ………………………………………………. 142

5.6 Численные эксперименты и обсуждение результатов ………………. 145

Глава 6 Решение внешних краевых задач декомпозицией области … 150

6.1 Метод декомпозиции с пересечением подобластей для решения внешних

краевых задач ……………………………………………………………... 153

6.2 Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа декомпозицией

области с пересечением .………………………………………………… 155

6.3 Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа декомпозицией

области без пересечения .………………………………………………… 170

6.4 Решение внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца

декомпозицией области ………………………………………………… 186

Приложение Описание комплексов программ для ЭВМ …………........ 202

П 1 POTELL программа вычисления потенциала эллипсоида вращения .. 202

П 2 FORCELL программа вычисления компонентов напряжённости поля

заряжённого эллипсоида вращения ………………………………………… 205

5

П 3 Свидетельства о государственной регистрации программ POTELL и

FORCELL для ЭВМ …………………………………………………… 211

Заключение ………………………………………………………………… 213

Перспективы дальнейшей разработки темы диссертации …………… 215

Список литературы ………………………………………………………. 217

6

Введение

Диссертация посвящена исследованию математическими методами

проблем, возникающих в теории электромагнетизма, а именно в разработке

математического аппарата и приложению его результатов в теории

воздействия внешнего электромагнитного поля на проводящие тела. Такое

воздействие можно формально рассматривать как частный случай более

общей проблемы преобразования внешнего электромагнитного поля во всём

пространстве неоднородностями с различной проводимостью. Решению

последней проблемы посвящено большое количество работ в

математической теории дифракции (см., например, [42, 45, 46, 72-74, 80, 81,

83, 87]). Работы по дифракции охватывают не только проблему решения

задачи в общей постановке, но также исследование эффективных методов

решения частных случаев общей проблемы, имеющих практическое значение

для решения ряда физических задач. Это задачи дифракции плоских волн [44,

124], расчёт вихревых токов на тонких пластинах и оболочках, дифракция на

диэлектрическом теле в волноводе и резонаторе [47], дифракция на

импедансных и идеально проводящих телах [98], на телах, имеющих

цилиндрическую и конусообразную форму [122].

В настоящей диссертации изучается задача дифракции на проводниках,

имеющих шаровую, эллипсоидальную и осесимметричную форму, а также на

проводниках, ограниченных гладкой поверхностью. Выбор форм

проводников не случаен и связан с проблемой бесконтактного ускорения

проводящих тел внешним электромагнитным полем. Для определения

движения проводника необходимо найти в нём магнитное и электрическое

поле или определить заряд и ток, возникающий на поверхности и внутри

проводника в результате воздействия внешнего поля. Ускоряемые тела

имеют, как правило, шаровую или эллипсоидальную форму, а внешнее поле

в установке является осесимметричным. По этой причине в диссертации

уделяется много внимания определению наведённых электрических

7

характеристик на проводниках таких форм, расположенных соосно оси

внешнего осесимметричного поля. В пятой главе рассматривается более

общий случай, когда в процессе движения ускоряемое тело может сойти с

оси внешнего поля. Для этих задач справедливы условия квазистационарного

приближения.

В диссертации предложены новые эффективные методы решения

рассматриваемых задач с учётом специфики их постановки. Эти методы

базируются на проведённых исследованиях в области линейной алгебры

(свойства матрицы моментов от многочленов Лежандра), математического

анализа (введение семейства функций, ортогональных к многочленам и

исследование свойств производящих их функций), математической физики

(методы решения уравнения Гельмгольца с кусочно-постоянным

коэффициентом в бесконечной области), вычислительной математики

(исследование методов декомпозиции для решения внешних краевых задач,

квадратурные формулы для вычисления объёмных и поверхностных

интегралов с сингулярными ядрами).

Основой для описания процессов электромагнитных колебаний в различных

средах является система уравнений Максвелла

1 4 4

rot , div 0 ,ec t c c

DH j + j B (В 1)

1

rot , div 4 ,c t

BE D (В 2)

где E и H – напряжённость электрического и магнитного поля, D и B –

индукция электрического и магнитного поля, – объёмная плотность

заряда, ej и j – объёмные плотности стороннего тока, возбуждающего

электромагнитное поле, и вихревого тока, индуцированного воздействием

сторонних ЭДС. К этим уравнениям следует добавить материальные

уравнения поля

D = E и B = H , (В 3)

где и – диэлектрическая и магнитная проницаемости.

8

На границе раздела сред S уравнения Максвелла не выполняются, и

заменяются условиями сопряжения

0, 4 , 4 j , 0n S S nS S S Sc E D H B ,

где символ 1 2S A A A обозначает разрыв касательной A или

нормальной nA компоненты вектора на границе раздела, S и jS –

плотности поверхностных зарядов и токов.

На основе этих уравнений в диссертации определяются электромагнитные

характеристики однородного проводника, индуцированные внешним полем,

в объёме, который он будет занимать, или на поверхности, ограничивающий

этот объём, если его поместить в заданное внешнее электромагнитное поле.

Предполагается, что проводник находится в непроводящей среде, а внешнее

поле является гармонической функцией в объёме, занимаемом проводником.

Входными параметрами в задаче являются значения внешнего поля только в

области, где находится проводник, а также геометрия и проводимость

проводника. По этой причине в уравнениях (В 1) – (В 3):

1. Объёмная плотность стороннего тока 0e j в области внутри проводника,

т.к. источник внешнего поля находится вне его.

2. Диэлектрическая и магнитная проницаемость и являются

постоянными величинами.

3. В условиях квазистационарного приближения (глава 5 и раздел 4.8)

пренебрегается током смещения 1

c t

D в (В 1); связь между плотностью тока

проводимости и напряжённостью электрического поля определена законом

Ома j E , где – коэффициент проводимости тела, а заряд распределён

только на поверхности проводника.

Актуальность темы. Решению общей проблемы математической теории

дифракции посвящено большое количество работ. Для численного решения

задач, имеющих сложную структуру в пространственной области,

9

характеризующихся наличием большого количества неоднородностей в

расчётной области, обычно применяют конечно-разностный или конечно-

элементный подход. Известны модификации такого подхода,

аппроксимирующие решение исходной задачи решением системы линейных

алгебраических уравнений, являющихся дискретным аналогом решения

интегрального уравнения Липпмана-Швингера в бесконечной области [1],

что позволяет значительно улучшить сходимость метода [2], [3]. Однако

необходимо отметить, что из-за наличия условий на бесконечности область,

где ищется решение, оказывается чрезвычайно большой, что приводит к

необходимости использовать огромные вычислительные ресурсы. Поэтому

для решения задач моделирования воздействия электромагнитного поля на

объекты, имеющие более простую структуру, например на однородные

проводники, ограниченные кусочно-гладкой поверхностью, целесообразно

применять другие численные методы. Общепринятым методом решения

таких задач является приведение решения исходного операторного

уравнения к решению сингулярного интегрального уравнения в объёме,

ограниченном проводником. Для дискретизации интегрального уравнения

используется метод Галёркина или метод коллокаций. Решение системы

линейных уравнений, получающихся после дискретизации объёмного

интегрального уравнения, производится итерационными методами,

например, методом сопряжённых градиентов с модификациями [4], [5],

методом простой итерации и методом минимальных невязок [6], [42]. Для

решения задачи с идеально проводящим телом, а также с импедансным и

диэлектрическим рассеивателем может быть использован метод дискретных

источников [98].

Вместе с тем, во многих практических задачах физики возникает

необходимость определения электромагнитных характеристик, вызванных

воздействием внешнего поля, только внутри или на поверхности

проводника. Такое сужение общей постановки задачи позволяет применять

10

для её решения высокоэффективные методы специального вида, изложенные

в диссертации.

Цель работы. Разработка и исследование математических методов для

определения воздействия внешнего электромагнитного поля на однородные

проводники определённых форм. А именно, на шаровые, эллипсоидальные,

осесимметричные, и на проводники, ограниченные гладкой поверхностью.

Определение поля вне проводника решением внешних краевых задач

декомпозицией области. Для этого:

– Разработать эффективные численные и аналитические методы определения

индуцированных электромагнитных характеристик осесимметричных

проводников различных форм.

– Определить индуцированные электромагнитные характеристики в

произвольных проводниках, ограниченных гладкой поверхностью, в

квазистационарном приближении.

– Разработать, исследовать и провести анализ методов решения внешних

краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца декомпозицией

области.

– Развить необходимый математический аппарат в математическом анализе,

теории ортогональных многочленов, численном интегрировании, линейной

алгебре, уравнениях математической физике, предназначенный для решения

вышеперечисленных задач.

Методы исследований, достоверность и обоснованность. В

диссертационной работе используется широкий спектр аналитических,

полуаналитических и численных методов исследований. Доказан ряд теорем

линейной алгебры, математического анализа и уравнений математической

физики, которые нашли своё применение в разработанных численных

методах. Выводы и положения, сформулированные в диссертации,

базируются на строгих математических доказательствах и являются

11

обобщением ряда известных результатов. Все предложенные численные

методы проиллюстрированы численными экспериментами, для которых

выбраны наиболее сложные тестовые функции. Достоверность численных

моделей подтверждается сравнением результатов численных экспериментов

с точными значениями для модельных задач. В тех случаях, когда точное

решение неизвестно, достоверность моделей подтверждается сравнением

численных результатов, полученных применением разных методов

вычислений.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

1. Метод определения индуцированных электромагнитных характеристик

на поверхности осесимметричных проводников в осесимметричном

электрическом поле, и осесимметричных сверхпроводников в

осесимметричном магнитном поле, который сводится к решению

одномерного интегрального уравнения.

2. Исследование матрицы моментов от многочленов Лежандра.

Аналитическое определение на основе свойств этой матрицы

поверхностного заряда, мультипольных моментов и силы,

действующей на проводящий шар на оси неоднородного

осесимметричного электрического поля.

3. Исследование свойств семейства функций, ортогональных к

многочленам. На их основе разработан и исследован эффективный

численно-аналитический метод определения плотности

поверхностного заряда эллипсоидального проводника в неоднородном

осесимметричном электрическом поле, и плотности поверхностного

тока эллипсоидального сверхпроводника в неоднородном

осесимметричном магнитном поле. Численный метод определения

электромагнитных характеристик на поверхности осесимметричных

проводников в осесимметричном внешнем поле.

12

4. Численно-аналитический метод вычисления потенциала и

напряжённости поля проводников эллипсоидальных форм с заданной

объёмной плотностью заряда на основе предложенной квадратурной

формулы для вычисления сингулярных интегралов.

5. Предложено семейство методов для определения потенциала и

напряжённости магнитного поля внутри осесимметричного

проводника, расположенного соосно внешнему осесимметричному

переменному магнитному полю, на основе разложения в ряд решения

линейного операторного уравнения. Выбор метода в зависимости от

физических параметров исходной задачи. Определение осевой

напряжённости магнитного поля внутри проводника.

6. Определение векторного и скалярного потенциала проводника,

ограниченного гладкой поверхностью, во внешнем магнитном поле,

гармонически изменяющемся по времени, в квазистационарном

приближении исходной задачи. Введение фиктивной поверхности и

нахождение такого распределения заряда на ней, которое создаёт

электрическое поле внутри проводника равное полю, создаваемому

распределением заряда на исходной поверхности тела.

7. Исследование методов декомпозиции и условий их сходимости при

решении внешних краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца

в расчётных областях со сложной геометрической конфигурацией

кусочно-гладких границ и контрастными материальными свойствами

сред в различных подобластях.

Практическая ценность. Исследование воздействия внешнего

электромагнитного поля на проводящие тела является необходимым этапом в

моделировании движения проводящих тел в переменном магнитном поле.

Попытки организации и использования электромагнитного ускорения

макротел предпринимались с начала ХХ века. Они отражены в

многочисленных патентах, конструктивных разработках и испытаниях

13

опытных образцов, имевших место в США, Англии, Франции, Германии и

Японии. Основные задачи всех этих изысканий были связаны собственно с

достижением сверхвысоких скоростей как для военных целей, так и для

использования при создании испытательных стендов, предназначенных для

изучения прочностных характеристик конструкционных материалов и

моделирования столкновения макро и микротел с космическими аппаратами,

а также с технологиями обработки материалов мощными импульсами

электромагнитной энергии. К одному из первых фундаментальных

теоретических исследований можно отнести монографию [126], в которой

приведены в ряде частных случаев расчеты формирования скин-слоя в

проводниках при воздействии переменного магнитного поля, изучены

возможности применения взрыво-магнитных генераторов для создания

сильных и сверхсильных магнитных полей, используемых для

электромагнитного ускорения. Современное состояние исследований по

электромагнитным ускорителям отражено в трудах конференций 17th

International Symposium on Electromagnetic Launch (EML), San Diego, USA,

July 07 – 11, 2014, и 18th International Electromagnetic Launch Symposium,

Wuhan, China, October 24 – 28, 2016. Тематика конференций достаточно

полно может быть представлена опубликованными докладами, а также

обзорными статьями [94, 95, 119, 120]. Из анализа обзоров и докладов на

конференциях можно заключить, что в настоящее время бесконтактным

ускорением проводящих тел переменным магнитным полем пока

практически не занимаются. На международном семинаре «Гидродинамика

высоких плотностей энергии» (Новосибирск, 2008г.) также был только один

доклад, связанный с бесконтактным ускорением проводящих тел

переменным магнитным полем. В докладе «Проводящее осесимметричное

тело, ускоряемое переменным магнитным полем», А.О.Савченко,

А.Я.Савченко, О.Я.Савченко был разработан и обоснован способ

бесконтактного ускорения тел в двухканальном перераспределителе энергии,

в котором одно тело “выдавливает” из своего канала магнитный поток в

14

другой канал, ускоряющий второе тело. Анализу механизма такого

ускорения посвящена работа [48]. Бесконтактное ускорение тел массой более

1 кг переменным магнитным полем до скорости, превышающей 10км/сек,

связано с созданием установок, стоимость которых очень велика. Поэтому

разработка математической модели такого ускорения – обязательный этап,

предшествующий проектированию таких установок. Необходимо определять

магнитные и электрические поля в движущемся теле, моделировать

движение тела и исследовать устойчивость движения. Такая математическая

модель из-за отсутствия сложных процессов, связанных с контактом

ускоряемого тела с электродами, будет хорошо описывать его реальное

движение. Сейчас такой модели нет. Ее создание – очень сложная задача.

После ее создания можно уверенно определить область практического

использования бесконтактного ускорения проводящих тел переменным

магнитным полем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и

обсуждались на 2-м Международном семинаре "Гидродинамика высоких

плотностей энергии", 13-18 Июля, 2008г., Новосибирск; Международной

конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные

пространства, теория приближений», Новосибирск, 5-12 октября 2008г.;

Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009, 23-

25 июня 2009г, Новосибирск; Международной конференции “Simulation-

2010”, 12-14 мая 2010г, Киев (Украина); Всероссийской конференции по

вычислительной математике КВМ-2011, 29 июня – 1 июля 2011г,

Новосибирск; International Symposium SCAN’2012, 23-28 September,

Novosibirsk; Всероссийской конференции «Актуальные проблемы

вычислительной математики и математической физики», 12–15 июня 2012г,

Новосибирск; Международной конференции “Computer Technologies in

Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), St.Petersburg, 30 June-4 July

2014; XX Всероссийской конференции «Теоретические основы и

15

конструирование численных алгоритмов решения задач математической

физики», Абрау-Дюрсо, 15-21 сентября 2014; семинаре лаборатории

«Параллельных алгоритмов решения больших задач» ИВМиМГ, 28.04.2014г.;

семинаре «Теоретические и вычислительные проблемы задач

математической физики» (руководитель проф.А.М.Блохин), ИМ СО РАН,

17.04.2015г.; семинаре «Математика в приложениях» (руководитель ак.

С.К.Годунов), ИМ СО РАН, 12.11.2015; объединённом семинаре ИВМиМГ

и кафедры вычислительной математики НГУ (руководитель проф. В.П.

Ильин), ИВМиМГ, 17.11.2015; конференции Sixth Conference on Numerical

Analysis and Applications, June 15-22, 2016 Lozenetz, Bulgaria, семинаре

«Численные методы решения условно-корректных и обратных задач»

института нефтегазовой геологии и геофизики и кафедры МЗТ НГУ

(руководитель профессор В.А.Чеверда), 06.10.2016; семинаре

«Математические проблемы геофизики» ИВМиМГ (руководитель член-

корреспондент РАН С.И. Кабанихин) 22.11.2016, 14.11.2017, 19.06.2018;

семинаре по геоэлектрике Института нефтегазовой геологии и геофизики СО

РАН (руководитель акад. Эпов М.И.), 22.06.2017, семинаре

«Информационно-вычислительные технологии» ИВТ СО РАН (руководитель

акад. Шокин Ю.И. и профессор Ковеня В.М.) 29.05.2018.

Работа частично поддержана грантом РФФИ (проект №12-01-00648-а) и

грантом РНФ (3 14-11-00485).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 14 работах,

опубликованных в журналах из Перечня изданий ВАК:

1. Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление токов на поверхности

сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное

магнитное поле. //СибЖВМ, т.10, №3, 2007, с.317-324.

2. Савченко А.О., Савченко О.Я. Поверхностные токи сверхпроводящего

осесимметричного тела, экранирующие внешнее соосное магнитное поле. //

ЖТФ, т.77, №7, 2007,с.130-133.

16

3. Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида вращения

гармоническим векторным соосным полем. //СибЖИМ, т.14, №2, 2011, с.106-

111.

4. Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида гармоническим

векторным полем.// ТМФ, т.170, №3, 2012, стр.381-392.

5. Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление зарядов на поверхности

проводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное

электрическое поле.//СибЖВМ, т.15, №3, 2012, с.321-327.

6. Савченко А.О. Вычисление объёмного потенциала для эллипсоидальных

тел. // СибЖИМ, т.15, №1, 2012, с.123-131.

7. Савченко А.О. Вычисление силы притяжения эллипсоида. // ЖВМиМФ,

т.53, №12, 2013, с.2063-2071.

8. Савченко А.О., Савченко О.Я. Осесимметричное проводящее тело в

соосном электрическом поле. // ЖВМиМФ, т.53,№4, 2013, стр.675-684.

9. Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее осесимметричное тело в

соосном переменном магнитном поле. // ЖТФ, т.84, №1,2014, стр.18-27.

10. Савченко А.О. Функции ортогональные к многочленам, и их применение

в осесимметричных задачах физики.// ТМФ, т.179,№2,2014, стр.225-241.

11. Савченко А.О. Матрица моментов от полиномов Лежандра и приложение

её свойств в задачах электростатики. // ЖВМиМФ, т.57,№1, 2017, стр.163-

175.

12. Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее тело в переменном

магнитном поле. // ЖТФ, т.85,№7,2015, стр.8-12.

13. Савченко А. О., Ильин В. П., Бутюгин Д. С. Метод решения внешней

трехмерной краевой задачи для уравнения Лапласа. / СибЖИМ, том 19, № 2

(66), с.88-99, 2016.

14. Свешников В.М., Савченко А.О., Петухов А.В. Численное решение

трехмерных внешних краевых задач для уравнения Лапласа методом

17

декомпозиции расчётной области без пересечения. // СибЖВМ, т.21, №4,

2018, с.423-436.

Произведена государственная регистрация двух программ для ЭВМ:

1. Савченко А. О. POTELL – программа вычисления потенциала

эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ № 2017662812, 2017г.

2. Савченко А. О. FORCELL – программа вычисления силы притяжения

эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ № 2017662875, 2017г.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав,

приложения, заключения и списка литературы. Общий объём работы

составляет 227 страниц, включая 12 рисунков и 15 таблиц. Список

литературы содержит 133 наименования.

Личный вклад автора. Главы 1, 2, 3 диссертации написаны на основе работ,

опубликованных автором самостоятельно. Главы 4-5 базируются на работах,

опубликованных в соавторстве с Савченко О.Я., которым была выполнена

физическая постановка задач и физическая интерпретация полученных

результатов. Глава 6 написана на основе совместных работ с Ильиным В.П.

и Свешниковым В.М., в которых численные эксперименты были проведены

Бутюгиным Д.С. и Петуховым А.В., а автором выполнены исследования

сходимости методов декомпозиции и реализация трёхмерного интегрального

представления решения.

Краткое содержание диссертации

В диссертации разработаны и исследованы методы решения задачи

воздействия электромагнитного поля на ограниченное однородное

проводящее тело. Отличительной особенностью всех физических задач,

18

рассмотренных в диссертации, является то обстоятельство, что в их

постановке известными величинами являются только физические и

геометрические параметры проводника, такие как его форма, размер и

проводимость, а также значения внешнего электромагнитного поля в объёме,

занимаемом проводником. При этом предполагается, что значения

индуцированных электромагнитных характеристик проводника являются

неизвестными как на его границе, так и в какой-либо другой части

пространства.

Искомые электромагнитные характеристики проводника определяются

значением внешнего поля в объёме, занимаемом проводником, или, при

наличии осевой симметрии внешнего поля и проводника, значением

внешнего поля на его оси внутри проводника. Решение задачи в первом из

рассмотренных случаев находится в виде ряда, каждый член которого

является решением операторного уравнения более простого вида с известной

функцией Грина. Выбор ряда неоднозначен и может варьироваться в

зависимости от постановки задачи. В простейшем случае такой ряд является

решением интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом

итерированных ядер. В общем случае каждый член ряда является интегралом

с особенностью в подынтегральном выражении, и для его вычисления

необходимо применять методы специального вида. Для эллипсоидальных

проводников разработан численно-аналитический метод вычисления

интегралов, в котором квадратурные формулы не только не имеют

особенностей во всех узлах расчётной области, но и не принимают в них

большие значения.

Осесимметричные задачи сведены к решению одномерных интегральных

уравнений. Для проводников, имеющих форму эллипсоида вращения,

предложен эффективный метод их решения, сводящийся к решению системы

линейных алгебраических уравнений малого порядка. Для шаровых

проводников исследованы свойства матрицы этой системы, и определены

19

элементы обратной к ней матрицы. Это позволило найти ряд главных

электрических характеристик таких проводников в аналитическом виде.

Методы, предложенные для решения вышеприведённых задач,

протестированы численными экспериментами, результаты которых хорошо

согласуются с теоретическими значениями, полученными для известных

частных решений. Отметим, что основным приоритетом в разработке

численных методов являлась точность получаемых результатов, по этой

причине вопросы ускорения вычислительного процесса остались за рамками

диссертации.

Структурно диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и

заключения. Главы приведены таким образом, что с увеличением их номера

увеличивается и общность рассматриваемой задачи. По этой причине в

первой главе получены аналитические решения, во второй – численно-

аналитические, в главах с четвёртой по шестую решения только численные,

которые получены и протестированы с учётом результатов, полученных в

первых трёх главах. В третьей главе рассмотрены вопросы численного

вычисления интегралов с особенностями, используемых при решении задач в

следующих главах.

В первой главе для шарового проводника, расположенного в неоднородном

осесимметричном электростатическом поле, аналитически определены его

полный заряд, мультипольные моменты и сила, действующая на него [7].

Разработан и исследован метод определения поверхностной плотности

заряда для проводящего шара, находящегося на оси внешнего

осесимметричного поля, сводящийся к умножению матрицы с найденными

элементами на вектор правой части, определяемой по значению потенциала

внешнего поля на отрезке его оси внутри шара. Вывод формул для

вышеприведённых электрических характеристик проводящего шара

базируется на использовании свойств матрицы моментов от многочленов

Лежандра, которые приведены и доказаны во второй части главы.

20

Во второй главе изучается воздействие внешнего осесимметричного

электрического (магнитного) поля на осесимметричные проводники

(сверхпроводники), расположенные соосно внешнему полю. Целью главы

является определение поверхностной плотности заряда проводника во

внешнем соосном электрическом поле, и определение поверхностной

плотности тока сверхпроводника во внешнем соосном магнитном поле.

Решение исходных задач сведено к решению одномерных интегральных

уравнений Фредгольма 1-го рода.

Доказано, что для эллипсоидальных проводников ядрами этих уравнений

являются производящие функции, которые производят функции,

ортогональные к многочленам [16]. Исследованы свойства таких функций, на

основе которых предложен эффективный метод решения интегральных

уравнений. Доказано, что если внешнее электрическое (магнитное) поле

является многочленом степени n на оси проводника (сверхпроводника), а

сам проводник (сверхпроводник) имеет форму эллипсоида вращения, то

решением интегрального уравнения также будет многочлен степени n ,

коэффициенты которого определяются из решения системы линейных

алгебраических уравнений с матрицей размера n n . Найден явный вид

элементов матрицы алгебраических уравнений в виде гипергеометрических

функций. Разработанные методы были применены в задаче определения

поверхностной плотности заряда осесимметричного проводника,

расположенного соосно внешнему осесимметричному электрическому полю

[10], [11], и в задаче определения токов на поверхности осесимметричного

сверхпроводника, расположенного соосно внешнему осесимметричному

магнитному полю [12]–[15].

Третья глава посвящена вычислению потенциала и напряжённости поля

проводящего эллипсоида. Интегралы, которые необходимо вычислить,

обладают особенностями, связанными с неограниченностью интегрируемой

функции. В этой главе разработан и исследован численно-аналитический

метод, в котором квадратурные формулы на каждом этапе вычисления

21

интеграла по одной из переменных не только не имеют особенностей в узлах

интегрирования, но и не принимают в них больших значений. Численные

эксперименты проведены на сложных тестовых функциях, построенных

автором [8], [9], [43].

Результаты второй и третьей глав диссертации используются в четвёртой

главе. В ней разработан и исследован метод определения векторного

потенциала и напряжённости магнитного поля в осесимметричном

проводнике, расположенном соосно внешнему осесимметричному

гармоническому магнитному полю. Решение ищется в виде ряда, каждый

член которого является решением уравнения Гельмгольца с постоянным

коэффициентом в бесконечной области. Такое разложение является

неоднозначным, так как и коэффициенты, и правые части в уравнениях

Гельмгольца зависят от параметра, что позволяет выбрать подходящий ряд в

зависимости от начальной постановки задачи. Так, при большой

проводимости тела первый член ряда может быть выбран как векторный

потенциал внешнего магнитного поля, возмущённого сверхпроводником.

Значения такого потенциала получены во второй главе диссертации. Членами

ряда являются объёмные сингулярные интегралы, и для их численного

вычисления используются методы, приведённые в третьей главе. Для

нахождения напряжённости магнитного поля на оси проводника уравнение

для векторного потенциала приводится к интегральному уравнению

Фредгольма 2-го рода, что позволяет найти осевую напряжённость поля как

интеграл от уже вычисленного значения векторного потенциала.

Достоверность численных результатов подтверждается их сравнением с

известными точными значениями для более частных случаев, а также

сравнением численных результатов, полученных использованием двух

разных рядов [17].

В пятой главе разработан и обоснован метод определения в

квазистационарном приближении векторного потенциала внутри

однородного проводника, ограниченного гладкой поверхностью, во внешнем

22

магнитном поле, гармонически изменяющемся по времени [18, 49]. Внутри

проводника возникает электрический ток, а на поверхности проводника,

окружённого непроводящей средой, возникает электрический заряд, что

вызывает необходимость рассматривать математическую постановку задачи

определения четырёхмерного потенциала электромагнитного поля. Задача

сводится к решению уравнения Гельмгольца в области, занимаемой

проводником, при условии, что напряжённость электрического поля

тангенциальная на поверхности проводника, а решением задачи с нулевой

проводимостью тела является потенциал внешнего электромагнитного поля.

Решение этого уравнения находится в виде ряда, каждый член которого

определяется из решения уравнения Пуассона при условии, что правые части

этих уравнений тангенциальные на поверхности проводника. Распределение

поверхностного заряда, который обеспечивает выполнение этого условия при

заданном значении векторного потенциала, находится итерационной

процедурой перед вычислением каждого последующего члена ряда.

Разработана и исследована идея определения распределения заряда на

фиктивной поверхности, окружающей проводник, создающего электрическое

поле внутри проводника, равное полю, создаваемому распределением заряда

на исходной поверхности проводника.

В шестой главе разработан метод решения внешней краевой задачи для

уравнений Лапласа и Гельмгольца на основе декомпозиции области.

Исследована сходимость метода в зависимости от параметров при

декомпозиции с пересечением. Для декомпозиции областей без пересечения

предложен метод решения задачи, основанный на непосредственной

аппроксимации операторного уравнения на интерфейсе. При решении

уравнения Гельмгольца проведено исследование сходимости метода для

частного случая рассмотренной проблемы, которое позволило сделать

выводы об ограничении применимости предложенного подхода для решения

общей проблемы с произвольным волновым числом. Методы

проиллюстрированы результатами численных экспериментов.

23

В приложении приведено описание комплексов программ для ЭВМ

вычисления потенциала и компонентов напряжённости поля заряжённого

эллипсоида вращения.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получено полное аналитическое решение задачи воздействия

неоднородного гармонического осесимметричного электрического

поля на проводящий шар на основе построенного аппарата анализа

структурных свойств матрицы моментов от многочленов Лежандра.

Исследования включают явные выражения для полного заряда,

мультипольных моментов различных порядков и для силы,

действующей на шаровой проводник в электрическом поле с

полиномиальным представлением распределения на оси проводника.

Данные результаты обобщают классическое решение задачи о

проводнике в однородном поле.

2. Решена задача о воздействии внешнего осесимметричного

электромагнитного поля на осесимметричный проводник. Она сведена

к решению одномерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го

рода со специального вида параметризированными ядрами. Для

проводников, имеющих форму эллипсоида вращения, построен и

обоснован численно-аналитический метод решения интегральных

уравнений, сводящийся к решению системы линейных алгебраических

уравнений малой размерности. Метод базируется на анализе свойств

введённого класса производящих функций, которые производят

функции, ортогональные к многочленам. Алгоритмы включают явные

представления элементов матрицы и вектора правой части

алгебраической системы, из численного решения которой

определяются все искомые электрофизические характеристики:

плотности поверхностного заряда проводника в электрическом поле и

плотности поверхностного тока сверхпроводника в магнитном поле.

24

Для определения поверхностного заряда и поверхностного тока

произвольных осесимметричных проводников предложен численный

метод решения интегральных уравнений, состоящий в

последовательном применении проекционного подхода с

использованием кубических В-сплайнов, и метода итеративной

регуляризации Фридмана. Сходимость метода иллюстрируется

результатами численных экспериментов.

3. Разработан и исследован эффективный численно-аналитический метод

определения потенциала и напряжённости электрического поля

проводников эллипсоидальных форм с заданной объёмной плотностью

заряда, не имеющий особенностей в узлах интегрирования, на основе

квадратурной формулы для произведения функций, одна из которых

обладает интегрируемой особенностью.

4. Предложено и исследовано семейство методов определения

векторного потенциала осесимметричного проводника в соосном

переменном магнитном поле, с выбором подходящего ряда для

нахождения искомого решения в зависимости от размера,

проводимости тела и частоты колебания внешнего поля. Разработан

эффективный метод определения осевой напряжённости поля.

5. Разработана математическая модель и методы вычисления векторного

и скалярного потенциалов в квазистационарном приближении для

однородного проводника, ограниченного трёхмерной гладкой

поверхностью, во внешнем магнитном поле, гармонически

изменяющемся по времени. Для построенной системы интегро-

дифференциальных уравнений предложены итерационные методы

решения с использованием результатов предыдущих глав. Проведено

численное исследование сходимости метода в зависимости от

использования различных параметров предложенного алгоритма.

6. Разработаны и исследованы методы решения внешних краевых задач

для уравнений Лапласа и Гельмгольца со сложными конфигурациями

25

границ и контрастными материальными свойствами сред с помощью

комбинации сеточных аппроксимаций и интегрального представления

решения на основе алгоритма декомпозиции областей с

параметризованными пересечениями и различными типами

интерфейсных условий на внутренних границах. Проведён

теоретический и экспериментальный анализ точности численного

решения и скорости сходимости итерационных процессов в

подпространствах Крылова для различных значений исходных

параметров, подтверждающие эффективность предложенных

алгоритмов.

26

Глава 1. Проводящий шар в осесимметричном

электрическом поле

Плотность заряда на поверхности проводящего шара и его дипольный

момент в однородном электрическом поле хорошо известны (см., например,

[19]). В данной главе эти результаты обобщены на случай произвольного,

гармонического в объёме шара внешнего электрического поля, что является

посильным вкладом в теорию электростатики. Наряду с аналитическим

определением полного заряда и дипольного момента проводящего шара в

произвольном внешнем неоднородном электрическом поле, найдены

мультипольные моменты и сила, действующая на проводящий шар,

расположенный на оси внешнего осесимметричного электрического поля.

Для нахождения всех вышеуказанных электрических характеристик

используется метод определения поверхностной плотности заряда, а также

свойства матрицы моментов от многочленов Лежандра, доказанные во

второй части главы.

Метод определения поверхностной плотности заряда основан на двух идеях.

Первая из них состоит в том, что проводник экранирует внешнее

электрическое поле внутри себя. По этой причине достаточно рассмотреть

условие, при котором суммарное поле будет равно нулю на оси проводника,

поскольку тогда оно будет нулевым во всём объёме проводника. Это условие

приводит к одномерному интегральному уравнению для определения

искомой плотности заряда. Вторая идея состоит в том, что если внешнее

электрическое поле является многочленом некоторой степени на оси

проводника, то искомое решение интегрального уравнения тоже будет

многочленом такой же степени. Это обстоятельство позволяет свести задачу

решения интегрального уравнения к задаче решения системы линейных

алгебраических уравнений порядка n , где n – степень многочлена,

определяющего внешнее электрическое поле на оси проводника. Правая

27

часть системы линейных уравнений состоит из коэффициентов этого

многочлена, а элементы матрицы являются моментами от многочленов

Лежандра, что позволяет применить результаты, полученные во второй части

главы, для решения системы линейных уравнений. В настоящей главе

рассмотрен проводник шаровой формы. Это обстоятельство позволило не

только получить элементы матрицы системы линейных уравнений в явном

виде, но и найти в явном виде элементы обратной матрицы, причём

произвольного порядка. Таким образом, искомые коэффициенты в плотности

распределения поверхностного заряда находятся путём умножения матрицы

с известными элементами на заданный вектор, состоящий из коэффициентов

многочлена, определяющего потенциал внешнего электрического поля на его

оси.

Вид системы линейных уравнений для определения поверхностной

плотности заряда и её решения в явном виде, а также доказанные свойства

матрицы моментов от многочленов Лежандра позволили найти в явном виде

мультипольные моменты и силу, действующую на проводящий шар,

находящийся на оси внешнего осесимметричного электрического поля.

Найдены значения полного заряда и дипольного момента проводящего шара

в произвольном внешнем электрическом поле, определяемые только

значениями потенциала и напряжённости внешнего поля в центре шара.

Для всех вышеуказанных искомых электрических характеристик

проводящего шара приведены аналитические формулы. Все утверждения

сформулированы в виде теорем, приведены их доказательства.

1.1 Электрические характеристики проводящего шара в

неоднородном электрическом поле

28

1.1.1 Потенциал осесимметричного проводника на оси электрического

поля

Потенциал электрического поля r в точке пространства r , когда в него

вносится проводящее тело, равен сумме 0 u r r , где 0 r – потенциал

внешнего электрического поля, а u r – потенциал, создаваемый

поверхностными зарядами тела. Потенциал u r определяется формулой

0

1

4S

dSu

r

rr - r

, (1.1)

где r – координата на поверхности S внесённого тела, r – плотность

поверхностного заряда, которая обеспечивает эквипотенциальность

поверхности S , а 0 – электрическая постоянная. Осесимметричный

потенциал внешнего электрического поля индуцирует на поверхности

осесимметричного проводника осесимметричное распределение

поверхностных зарядов z . Эти заряды создают следующий потенциал на

оси электрического поля в точке s :

2

1

2 20

1

2

z

z

h zu s z dl z

z s h z

, (1.2)

где dl z – элемент длины образующей тела вращения, h z – радиус

поперечного сечения тела на расстоянии z от начала координат, 1z и 2z –

координаты точки пересечения оси симметрии с поверхностью тела.

Заземлённый проводник экранирует внешнее поле таким образом, что

потенциал суммарного поля внутри проводника будет равен нулю. Это

условие будет выполнено, когда электрический потенциал u s

компенсирует начальный потенциал 0 0 ,0s s на оси электрического

поля. В этом случае суммарный потенциал внутри проводника будет равен

29

нулю не только на оси, но и во всем объёме, так как потенциал удовлетворяет

уравнению Лапласа внутри проводника [21].

1.1.2 Плотность заряда на поверхности проводящего шара

Для проводящего шара радиуса r , помещённого вдоль оси внешнего

электрического поля, условие экранировки внешнего поля на оси проводника

с учётом формулы (1.2) примет вид

0 02 2

22

r

r

r zdz s

s r sz

, r s r . (1.3)

Перейдём к безразмерным переменным /s r , /z r . Тогда уравнение

(1.3) можно записать в виде

1

0 02

1

21 2

r rd r

, 1 1 . (1.4)

Если плотность распределения заряда на поверхности проводника является

степенной функцией степени n , nr , где n – натуральное число, то

правая часть уравнения (1.4) также будет многочленом степени n по

переменой .

Действительно, ядро интегрального оператора в (1.4) является производящей

функцией для многочленов Лежандра iP , которые ортогональны к

многочленам меньшей степени на отрезке [-1, 1] [31]. Тогда

1 1 1

20 01 1 11 2

n ni n i n

i i

i i

rd r P d r P d

.

Справедливо также и обратное утверждение. Из линейности интегрального

оператора в (1.4) следует, что, если правая часть в этом уравнении меняется

на оси как полином степени n

1

1

0

1

ni

i

i

r b

,

то ( )r – также полином степени n

30

110

1

2( )

nj

j

j

r cr

,

коэффициенты которого jc могут быть определены из уравнения

Fc b ,

где 1 1 1 1( , , ) , ( , , ) , , , 1, , 1T T

n n ijc c b b F i j n c b F , а матрица F

является верхней треугольной c ненулевыми элементами

1 11

1 21

0

1 1

1 ! 1 2

ij

ij iF d

i

. (1.5)

Тогда обратная к ней матрица 1

ijG G F также будет верхней

треугольной матрицей.

Пусть потенциал внешнего электрического поля меняется на оси как

полином степени n

1

1

0

1

ni

i

i

s b s

. (1.6)

Тогда плотность поверхностного заряда также является полиномом степени

n

1

10

1

2( )

nj

j

j

z c zr

, (1.7)

коэффициенты которого могут быть определены из уравнения

FRc = Rb . (1.8)

Отсюда искомые коэффициенты могут быть найдены в явном виде:

-1c = R GRb (1.9)

или c = Gb , (1.10)

где 1 1( , , )T

nc c c , 1 1( , , )T

nb b b , 1, , , ndiag r rR , а элементы

матрицы G определяются простым равенством j i

ij ijG r G , , 1, , 1i j n .

Явный вид элементов матрицы G будет найден в разделе 2 этой главы,

(формула (1.53)), что позволяет найти плотность поверхностного заряда в

31

явном виде, когда потенциал внешнего электрического поля на оси является

полиномом произвольной степени.

1.1.3 Полный заряд и дипольный момент проводящего шара

Полный заряд Q и дипольный момент D проводящего шара радиуса r

определяются формулами

2 2

r r

r r

Q z h z dl z r z dz

, (1.11)

2

r

r

r z z dz

D , (1.12)

Если потенциал внешнего поля является линейной функцией на оси

симметрии 0 1 2s b b s , то из (1.7) и (1.10) получим

0 01 2 11 1 22 2

2 2z c c z G b G b z

r r

. (1.13)

Из свойства 1.2.8 второго раздела этой главы, определяющего элементы

обратной матрицы G , можно легко найти, что 11

1

2G , 22

3

2G . Таким

образом, из формул (1.11)–(1.13) получим

0 14Q rb , (1.14)

3

0 24 r bD , (1.15)

Теорема 1.1 Полный заряд и дипольный момент шара определяются

формулами (1.14) и (1.15) в любом внешнем осесимметричном поле,

гармоническом внутри шара.

Теорема для шара единичного радиуса была доказана в [11]. Докажем её для

шара произвольного радиуса r .

Доказательство: по индукции. Предположим, что формулы (1.14) и (1.15)

справедливы при условии, что потенциал 0 s является полиномом степени

1n . Это означает, что эти равенства выполняются для полиномов 1n -го

32

порядка z , коэффициенты которых определяются из решения системы

линейных алгебраических уравнений n -го порядка, в которой элементы

матрицы F заданы соотношениями (1.5), а правая часть является

произвольной. Докажем справедливость равенств (1.14) и (1.15), когда

потенциал 0 s в формуле (1.6) является полиномом степени n . В этом

случае коэффициенты полинома (1.7) определяются из системы линейных

уравнений (1.8) 1n -го порядка, в которой матрица F является верхней

треугольной. Тогда последняя компонента вектора c может быть сразу

определена из соотношения

11

1, 1

nn

n n

bc

F

, (1.16)

и систему уравнений (1.8) можно записать в виде системы линейных

уравнений n -го порядка

1

1 1 1 1 1 1 1

1 , 1 1 , 1

n n n n n n n nn n

n n n nc r c r

F R c R b f R b R f , (1.17)

где n

ijFF , , 1, ,i j n ; 1 11, , ,n ndiag r r R ;

1

1 2, , ,Tn

nc c cc ;

1

1 2, , ,Tn

nb b bb ; , 1 1, 1 , 1, ,

T

n n n nF F f ,

и 1nc является уже не искомой переменной, а определяется элементами

матрицы F и правой части b .

Обозначим 1 10

1

2 nn j

j

j

z c zr

и запишем уравнения (1.11) и (1.12) в виде

1

1 1

0 1

1

4n n n

nQ Q c r z dz

, (1.18)

1

1 2 1

0 1

1

4n n n

nc r z dz

D D , (1.19)

где

1 12

rn n

r

Q r z dz

,

33

1 12

rn n

r

r z z dz

D .

Поскольку для системы уравнений (1.17) n -го порядка выполнено

индукционное предположение, то

1

0 1 1 1, 14n n

n nQ r b c r F

, (1.20)

1 3 1

0 2 1 2, 14n n

n nr b c r F

D . (1.21)

Из (1.5) имеем

1

1, 1

1

n

nF d

, (1.22)

1 1

1

2, 12

1 10

1

1 2

n n

n

s

F d ds s s

. (1.23)

Из соотношений (1.18)–(1.23) следует доказательство теоремы.

Следствие: Формулы (1.14) и (1.15) справедливы для любых внешних

гармонических электрических полей, не обязательно осесимметричных.

Доказательство: Электрическое поле, создаваемое точечным зарядом,

всегда является осесимметричным для шара, где ось проходит через центр

шара и заряд. Тогда любое распределение точечных зарядов создаёт

осесимметричные поля, ось которых проходит через центр шара. Поскольку

теорема справедлива также для суммы электрических полей с осями,

проходящими через центр шара, и, поскольку электрическое поле всегда

может быть представлено суперпозицией точечных зарядов, то отсюда

можно заключить, что теорема справедлива для любого электрического поля.

1.1.4 Мультипольные моменты проводящего шара

Перейдём к выводу формулы для мультипольного момента проводящего

шара порядка m , который определяется формулой

34

2

r

m

m

r

r z z dz

D .

Теорема 1.2 Мультипольный момент шара порядка m , когда потенциал

внешнего поля 0 s на оси симметрии является полиномом степени n ,

равен

11 1

0 , 1

, 2

2 2 1m

m i

m i m i

i

r i r F b

D (1.24)

где 1 , если m – чётное и 2 , если m – нечётное; а компоненты

, 1i mF , последнего столбца матрицы, F определены в (1.41).

В формуле (1.24) и далее указатель “(2)” в нижней части знака суммы

означает, что суммирование проводится с шагом, равным 2. Таким образом, в

этом случае суммирование будет проводиться только по нечётным или

только по чётным значениям индекса k , в зависимости от его первого

значения.

Доказательство:

Из (1.7) и теоремы 1.1 следует, что

1

1

0 0 1

1

2 4 4

r r nm m j

m j

jr r

r z z dz c z dz rb

D ,

где 1b – первая компонента правой части в системе уравнений

11 13 1, 1 1

22 24 2, 1 2

233 3, 1 3

44 4, 1 1

11, 1 1

0 0 0

0 0

00 0 0

0 0 0

0 0 0 0

n m

n m

n m

m

n m

n mn mn mn m n m n

F F F b

F F F m rb

F F r b

F F r c

r bF r c

. (1.25)

Из (1.25) следует, что

FRc = Rb (1.26)

где 1 1, ,T

nb b b = , 1, , ,m m n mdiag r r r

R = ,

35

1, 1 1, 2 1, 1

2, 1 2, 2 2, 1

1, 1 1, 2 1, 1

m m n m

m m n m

n m n m n n m

F F F

F F F

F F F

F .

Выразим вектор b через вектор b , воспользовавшись (1.9):

-1FRR GRb = Rb .

Отсюда

mr FGRb = Rb . (1.27)

Следовательно, первая компонента вектора b равна первой строке матрицы

L = FG , умноженной на вектор Rb и число mr . Докажем, что в этой строке

ненулевыми элементами являются только 1, 1, 2 1, 1, , , mL L L .

Поскольку матрица G является обратной к матрице F , то вектора j,g при

2, ,j m n ортогональны векторам ,i f при 1, , 1i m . Из теоремы о

линейной комбинации векторов (раздел 2 главы 1) следует, что вектор

1, 2 1, 1, , ,T

1,m+1 m m nF F F f = является линейной комбинацией векторов

, , , +2, m+1,f f f и, следовательно, он будет ортогонален всем векторам j,g ,

2, ,j m n . Отсюда следует, что 1, 0lL при 1l m .

Найдём первые 1m элементов первой строки матрицы L . Поскольку вектор

f является линейной комбинацией векторов , , , +2, m+1,f f f с

коэффициентами 2 1, , , m , то, в силу ортогональности векторов i,f и

•,lg , при i l и 1l m имеем

1

1 , , ,

, 2

m

l l i i l l

i

L

f ,g f ,g ,

где , 1

2 1

2l l m

lF

(см. формулу (1.54) раздела 2). Тогда из (1.27) следует,

что

11

1 , 1

, 2

2 12

m mi

i m i

i

rb i r F b

,

36

и

11 1

0 , 1

, 2

2 2 1m

m i

m i m i

i

r i r F b

D .

1.1.5 Сила, действующая на проводящий шар

Сила F , действующая на шар радиуса r , находящийся на оси

осесимметричного электрического поля, равна

2

r

r

p z h z dh z

F ,

где p z – электрическое давление, которое определяется формулой [19]

2

02

zp z

. Отсюда

2

0

r

r

z z dz

=F . (1.28)

Теорема 1.3 Сила F , действующая на шар радиуса r , находящийся на

оси осесимметричного электрического поля, потенциал которого

меняется на оси как полином степени n (см. формулу (1.6)), однозначно

определяется коэффициентами этого полинома 1 1, , nb b и равна

2 1

0 1

1

4n

i

i i

i

i r bb

F .

Доказательство: по индукции.

Пусть 1n . Тогда из (1.7) и (1.10) получим

0 01 2 11 1 22 2

2 2z c c z G b G b z

r r

.

Из свойства 1.2.8 раздела 2, определяющего элементы обратной матрицы G ,

следует, что 11

1

2G , 22

3

2G . Тогда

2

01 2 0 1 22

4 1 34

2 2

r

r

z b b z dz rbbr

F .

37

Предположим, что утверждение теоремы верно для 1k n и докажем его

справедливость для k n .

Поскольку интеграл от нечётной функции на промежутке от r до r равен

нулю, то

2 21

1 1 1 1

1

1 1 1

2

r r rn n nj j n j

j j n j

j j jr r r

z c z dz z c z dz c z c z dz

(1.29)

В силу теоремы 1.2,

211 1 1 1 1

, 2

1 1 , 2

2 12

r r nn n nn j n j i

j j i n i

j j ir r

rz c z dz z c z dz i r F b

. (1.30)

Рассмотрим теперь первое слагаемое в правой части (1.29). Так же, как и при

доказательстве теоремы 1.1, отметим, что система уравнений 1n -го порядка

(1.8) эквивалентна системе уравнений n -го порядка (1.17), где последняя

компонента вектора c определена в (1.16). Поскольку i -я компонента

вектора, стоящего в квадратных скобках в (1.17) равна 1

1 , 1

n i

i i n i nb b c r F

,

то, по индукционному предположению,

1

2 2 1

1 0 1

10

4

r ni

n i i

ir

z z dz ir bb

,

где 101

1

2 nj

n j

j

z c zr

. Ввиду того, что , 1 1, 1 0i n i nF F для любых

натуральных значений i и n (свойство 1.2.2 раздела 2)

21

1 2 1 1

1 , 1 1 1 1, 1

1 1

1 12 1 1 1

1 1 1, 1 1 1, 1

1 2 1

1 .

r n nj i n i n i

j i n i n i n i n

j ir

n n ni n i n i

i i n i n i n i n i

i i i

z c z dz ir b c r F b c r F

ir bb i c r F b ic r F b

(1.31)

Продолжим доказательство индукционного утверждения для k n ,

рассмотрев случаи чётных и нечётных значений n .

1. Пусть n - нечётное. Тогда, в силу (1.29) – (1.31), имеем

21 1

11 2 1

1

1 1

r n nj i

j i i n

j ir

z c z dz ir bb S

, (1.32)

38

где

21 2 1 1 1

1 , 2 1, 1 1, 1

1, 2 3, 2 1, 2

2 1 1n n n

n i n i n i

n n i n i i n i i n i

i i i

S c r i r F b i r F b ir F b

.

Отсюда следует

1 2 1

1 1, 2 2, 1 1 , 2 1, 1

21

1 , 2 1, 1 1, 1

3, 2

2 1 1

2 1 1

n n

n n n n n n n n n

nn i

n i i n i n i n

i

S c r F F b n F n F r b

c r b i F i F iF

. (1.33)

Поскольку 2, 1 1, 2n nF F для любых значений n (свойство 1.2.5 раздела 2), то

первое слагаемое в правой части (1.33) равно нулю. Из рекуррентного

соотношения для элементов матрицы F (свойство 1.2.3 раздела 2) имеем

1, 1 , 2 1, 1

2 1 1i n i n i n

i iF F F

i i

, (1.34)

следовательно, третье слагаемое в правой части (1.33) также равно нулю. Так

как последняя компонента вектора c может быть найдена из (1.16), то

1 2 11, 2 1, 1

1, 1

2 1 1nn nn n n n n

n n

b bS r n F n F

F

.

Воспользовавшись формулами (1.42) и (1.43) из раздела 2, получим

2 21

1 2 1

1 2

2 12 11

1

2 2 1 1 ! 2 1 ! 2 2 !

2 2 ! 2 ! 2 ! 1 !

2 1 1 1 2 1 .2

n n

n

n n n n

nnn n

n n

n n n n nS r b b

n n n n

r b bn n n n nr b b

Таким образом, из (1.32) имеем

21

1 2 1

1

1 1

r n nj i

j i i

j ir

z c z dz ir bb

(1.35)

2. Пусть n – чётное. Тогда, из (1.29) – (1.31) получим

21 1

21 2 1

1

1 1

r n nj i

j i i n

j ir

z c z dz ir bb S

,

39

где

22 2 1 1 1

1 , 2 1, 1 1, 1

2, 2 2, 2 2, 2

2 1 1n n n

n i n i n i

n n i n i i n i i n i

i i i

S c r i r F b i r F b ir F b

Отсюда следует

2 2 1

1 , 2 1, 1

21

1 , 2 1, 1 1, 1

2, 2

2 1 1

2 1 1

n

n n n n n n n

nn i

n i i n i n i n

i

S c r n F n F b

c r b i F i F iF

.

Ввиду (1.34) второе слагаемое в правой части равенства равно нулю, и

нетрудно заметить, что в этом случае 2 1

n nS S . Таким образом, равенство

(1.35) выполнено при любых значениях индекса n . Тогда из (1.7), (1.28) и

(1.35) получим

22 1

1 2 100 12

1 10

44

r n nj i

j i i

j ir

z c z dz i r bbr

F ,

и теорема доказана.

1.2 Свойства матрицы моментов от многочленов Лежандра

Матрицей моментов от многочленов Лежандра nP является матрица

ijFF = с элементами

1

1

1

1

j

ij iF P d

. (1.36)

Функция 2

1

1 2 является производящей для многочленов

Лежандра nP , т.е. 2

0

1

1 2

n

n

n

P

. Отсюда

11 2

0

11 !

1 2ii

i P

40

для любых натуральных значений i , и элементы матрицы F определяются

формулой (1.5).

1.2.1 Нечётные наддиагонали матрицы F состоят из нулевых

элементов, т.е. 0ijF , если i j – нечётное число.

Многочлен nP является чётным, если число n чётное, и нечётным – в

противном случае [20].

Поскольку интеграл от нечётной функции на интервале [-1,1] равен нулю,

то отсюда следует справедливость свойства 1.1.2.

1.2.2 Элементы матрицы F удовлетворяют рекуррентному

соотношению

1, 1 2,

2 3 2

1 1ij i j i j

i iF F F

i i

(1.37)

при 3i .

Поскольку для многочленов Лежандра справедлива рекуррентная

формула [20]

1 1

2 1

1 1n n n

n nP P P

n n

, (1.38)

то формула (1.37) следует из (1.36) и (1.38).

1.2.3 Матрица F является верхней треугольной матрицей, т.е.

0ijF при i j .

Поскольку многочлены Лежандра ортогональны к многочленам меньшей

степени, то из (1.36) следует данное утверждение.

1.2.4 Элементы матрицы F

Элементы первой и второй строки матрицы F можно найти

непосредственно из формулы (1.5):

41

1,

2jF

j , если j – нечётное, (1.39)

2,

2

1jF

j

, если j – чётное.

Произвольный элемент матрицы можно найти, используя формулу

Родрига для многочленов Лежандра

211

2 !

nn

n n n

dP

n d

.

Тогда, ввиду (1.36),

1 11

2 11

11 10 1

11

2 1 !

iik i kk j

ij ii ik

dF C d

i d

.

Отсюда

1 2

20

2 2 2 !11

2 ! 1 ! 2 1 ! 2 1

ik

ij ik

i kF

k i k i k i k j

. (1.40)

Формула (1.40) может быть просуммирована. Для этого воспользуемся

известной формулой для интеграла от произведения функции Лежандра

на степенную функцию [20]

11

0

2 1

31

2 2 2

P x x d x

.

Положив 1i , 1j , получим, с учётом (1.36) и свойств 1.2.2,

1.2.4,

12 1 ! !2

! !2

i

ij

j ij

Fj i

j i

, (1.41)

если i j и i j – чётное. В противном случае 0ijF .

Приведём также частные случаи формулы (1.41) для диагональных

элементов и элементов второй наддиагонали матрицы F , которые

использовались в первой части главы.

42

Диагональные элементы матрицы F имеют вид

12 ! 1 !

2 !

i

ii

i iF

i

, (1.42)

а элементы второй наддиагонали матрицы F равны

21

2,

2 1 !

2 2 !

i

i i

iF

i

, 3i . (1.43)

1.2.5 Теорема о линейной комбинации строк

Теорема 1.4 Вектор 1 1 1, 2 1, 1, , ,T

,m+ m m nF F F f = является линейной

комбинацией векторов , , , +2, m+1,f f f , где 1 , если m – чётное, и

2 , если m – нечётное.

Здесь и далее i ,f – вектор с компонентами i -ой строки матрицы,

1 2 , 1, , ,T

i i i i nF F F ,f .

Доказательство.

Запишем формулу (1.40) в виде

2

1, 2

2 !1 21

2 1 ! 2 ! 2 1 ! 1

ii k

ij ik

i kF

k i k i k j k

(1.44)

где 1 , если i – нечётное, и 2 , если i – чётное.

Напомним, что в формуле (1.44) и далее указатель “(2)” в нижней части знака

суммы означает, что суммирование проводится с шагом, равным 2. Тогда, с

учётом (1.39), формулу (1.44) можно записать в виде

1, 1

, 2

i

ij ki j k

k

F F

, (1.45)

где

2

1

2 !11

2 1 ! 2 ! 2 1 !

i k

ki i

i k

k i k i k

. (1.46)

43

Если вектор f является линейной комбинацией векторов , , , +2, m+1,f f f , то

его j -я компонента должна быть равна j -му элементу линейной

комбинации этих векторов

1

, 2

m

k k,

k

f :

1 1 1

1, 1, 1 1, 1

, 2 , 2 , 2 , 2

m k m m

j m k lk j l j l k lk

k l l k l

F F F

. (1.47)

Выберем коэффициенты линейной комбинации 2 1, , , m так, чтобы

равенство (1.47) выполнялось для любых значений j , где , 2, , 1j n .

Для остальных значений j из промежутка от 1 до 1n равенство (1.47)

выполняется автоматически ввиду нулевых значений элементов матрицы

(свойство 1.2.2). Тогда множители перед значениями 1, 1j lF

в (1.47) должны

быть равны нулю при , 2, , 1l m , а 1 1 1m m . Таким образом,

получаем следующую систему линейных уравнений с квадратной матрицей

размера 3 3

2 2

m m

:

, 2 , 4 , 1

2, 2 2, 4 2, 1 2

4, 4 4, 1 4

11, 1

1 0

0 0

0 0

0

10

m

m

m

mm m

(1.48)

Поскольку это система уравнений с матрицей треугольного вида, с

ненулевыми элементами на диагонали, то она имеет единственное решение.

Отсюда следует, что 2 1, , , m являются искомыми коэффициентами

разложения вектора f по векторам , , , +2, m+1,f f f .

Следствие: Вместо системы (1.48) можно рассмотреть систему более общего

вида

Ba = e (1.49)

где 2 3 1, , , ,T

m 1a = , 0,0, 0,1T

e = , а матрица B имеет вид

44

13 15 1, 1

24 26 2, 1

33 35 3, 1

1, 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

m

m

m

m m

B = (1.50)

где 0ij , если i j – нечётное число, а m – произвольное натуральное

число.

1.2.6 Теорема об ортогональности

Теорема 1.5 Для матриц n+1 1

Rn

F из (1.36) и B из (1.50) при m n

имеет место равенство

FB = D (1.51)

где D – диагональная матрица с диагональными элементами, равными

2

2 1iiD

i

. (1.52)

Доказательство.

Так как матрицы F и B – верхние треугольные, то и их произведение будет

матрицей такого же вида. Докажем, что все наддиагональные элементы

матрицы D будут равны нулю. Умножим i -ю строку матрицы F на j -ый

столбец матрицы B , i j . Если i j – нечётно, то произведение равно нулю

в силу свойства 1.2.2 и аналогичного вида матрицы B . Пусть i j – чётное.

Тогда

, , ,

0, 2

j i

ij i j i l j i i l

l

D F

,f ,β ,

где j,β – j -ый столбец матрицы B , 1 2 1,, , ,T

j j j n j ,β .

В силу (1.45)

, 1, 1 , 1, 1

0,(2) , 2 , 2 0, 2

j i j ii i

ij i l j ki i l k ki i l j i l k

l k k l

D F F

,

где 1 , если ,i j – нечётные и 2 , если ,i j – чётные.

45

С другой стороны, в силу свойства 1.2.4,

2

1, 1 1, 1 , 1, 1

, 2 , 2 0, 2

0j j ii

jk mj k m mj k m i l j i l k

m m l

F F F F

.

Тогда

2 2 2

1, 1 1, 1

, 2 , 2 , 2 , 2 , 2

0i i i i i

ij ki mj k m mj ki k m mj im

k m m k m

D F F F

.

Последнее равенство выполнено снова ввиду свойства 1.2.4. Следовательно,

матрица D – диагональная. Для определения значений диагональных

элементов матрицы воспользуемся формулами (1.42) и (1.46). Тогда

1

21

2 ! 1 ! 2 2 !1 2

2 ! 2 2 11 !

i

ii ii ii i

i i iD F

i ii

,

и теорема доказана.

1.2.7 Элементы обратной матрицы

Элементы обратной матрицы -1G = F могут быть определены из уравнения

(1.51) с учётом (1.46) и (1.52). Действительно, -1G = BD , откуда

2 2 1 2 !1

12 1 ! 2 ! 2 1 !

j i

ij j

j j iG

i j i j i

, (1.53)

если i j – чётное и i j . В противном случае 0ijG .

1.2.8 Коэффициенты разложения вектора f по строкам матрицы F

Значения искомых коэффициентов 2 3 1, , , , m 1 определяются из

решения системы линейных уравнений (1.49). Из (1.51) следует, что B = GD .

Тогда из GDa = e следует, что Da = Fe и, так как Fe является последним

столбцом матрицы F , а диагональные элементы матрицы D определены в

(1.52), то

, 1

2 1

2i i m

iF

, (1.54)

где компоненты столбца , 1i mF определены в (1.41).

46

Глава 2. Эллипсоидальные и осесимметричные

проводники и сверхпроводники в осесимметричных

электрических и магнитных полях

Эффективные методы решения многих задач физики основываются на

использовании присущих им особенностей. В настоящей главе такой

особенностью является наличие осесимметричного тела, расположенного в

поле, обладающим свойством симметрии; ось тела направлена вдоль оси

симметрии поля – электрического или магнитного. Задача состоит в

определении физических характеристик явлений на поверхности проводника,

возникающих под воздействием внешнего поля. Такими характеристиками

являются поверхностные заряды или поверхностные токи. Искомые

электромагнитные характеристики могут быть найдены путём решения

одномерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. Как показывают

численные эксперименты, поиск приближённого решения является сложной

задачей, поскольку матрица линейных уравнений, аппроксимирующих

интегральное уравнение, плохо обусловлена.

В данной главе доказано, что для эллипсоидальных проводников ядрами

таких интегральных уравнений являются производящие функции, которые

производят функции, ортогональные к многочленам. Такие функции названы

порождающими (соответствующие определения приведены в начале раздела

2.1). Доказано, что если правая часть интегрального уравнения является

многочленом степени n , то решением интегральных уравнений с такими

ядрами является многочлен такой же степени, а коэффициенты искомого

многочлена находятся из решения системы линейных уравнений порядка n .

Очевидно, что такой метод определения решения чрезвычайно эффективен, и

практически не требует вычислительных затрат.

В первой части главы исследуются свойства порождающих функций.

Доказана теорема о моментах порождающих функций, и теорема об

47

интегральных уравнениях с ядрами, являющимися порождающими

функциями. Во второй части главы исследуются свойства нескольких

семейств функций, непрерывно зависящих от параметра, которые

используются при решении рассматриваемых далее физических задач.

Доказано, что эти функции являются порождающими, и найден явный вид

порождаемых ими функций. Эти функции использованы в дальнейшем для

нахождения элементов матрицы линейных уравнений, определяющих

коэффициенты многочлена искомого решения. В третьей части главы

решены задачи определения плотности поверхностного заряда проводника во

внешнем осесимметричном электрическом поле, и определения плотности

поверхностного тока сверхпроводника во внешнем осесимметричном

магнитном поле для тел, имеющих форму эллипсоида вращения. Для

осесимметричных проводников в четвёртой части главы разработан метод

определения их электромагнитных характеристик путём численного решения

уравнения Фредгольма 1-го рода комбинацией проекционного метода и

метода итеративной регуляризации. Проведены численные эксперименты,

иллюстрирующие сходимость численного метода при увеличении числа

узлов в методе Фридмана и числа узлов интерполяции в проекционном

методе.

В заключение отметим, что доказанные в первой части главы теоремы

математического анализа имеют общий характер, и могут быть применены

для решения интегральных уравнений с ядрами, являющимися

порождаемыми функциями, которые не рассматривались в разделе 2.2 этой

главы.

2.1 Свойства семейства функций, ортогональных к

многочленам

48

Определение. Будем называть счётное множество функций

0 1, , , ,nA x A x A x ортогональным к многочленам, если для любого

0,1,n имеет место ортогональность k

nA x x для всех целых

неотрицательных k n .

Будем рассматривать ортогональность в смысле скалярного произведения в

2 ,L a b с единичным весом. Функциями, ортогональными к многочленам,

являются, например, многочлены Лежандра, рассмотренные в первой главе, а

также другие многочлены Якоби, помноженные на весовые функции.

Однако, если весовые функции не равны единице, то функции,

ортогональные к многочленам, могут быть не ортогональны друг к другу.

Нетрудно показать, используя ортогонализацию Грама-Шмидта в «обратном

порядке» от последней функции к первой, что для любого конечного

множества функций 2 ,nA x L a b , 0, ,n N , ортогональных к

многочленам, существуют взаимно ортогональные функции

0 1, , , NB x B x B x , принадлежащие линейной оболочке функций

0 1, , , NA x A x A x и ортогональные к многочленам.

Для нахождения функций nA x , ортогональных к многочленам, будем

использовать их производящие функции, т.е. такие функции ,G x s , для

которых выполнено равенство

0

, n

n

n

G x s A x s

. (2.1)

Из равенства (2.1) можно выразить любую производимую функцию по

формуле

0

1,

!

n

n n

s

A x G x sn s

. (2.2)

Определение. Назовём производящую функцию ,G x s , заданную

формулой (2.1), порождающей функцией, если производимые ею функции

49

nA x ортогональны к многочленам. Будем называть nA x функцией,

порождаемой функцией ,G x s .

Пусть порождаемые функции ортогональны к многочленам на отрезке [ , ]a b .

Здесь и далее обозначим kp s произвольный многочлен степени k .

Теорема 2.1 Производящая функция ,G x s является порождающей

функцией тогда и только тогда, когда выполнено равенство

,

b

k

k

a

G x s x dx p s (2.3)

для любого целого неотрицательного значения k .

Доказательство: 1. Пусть функция ,G x s является порождающей. Тогда,

поскольку все порождаемые функции nA x ортогональны к kx при n k

0 0

,

b b bkk n k n k

n n k

n na a a

G x s x dx s A x x dx s A x x dx p s

.

2. Пусть равенство (2.3) выполнено для производящей функции ,G x s при

любых целых неотрицательных значениях k . Тогда с учётом (2.1) получим

1

0

b

n k

n

n k a

s A x x dx

(2.4)

для любых значений s из интервала сходимости ряда (2.1), а это может иметь

место только тогда, когда все коэффициенты ряда (2.4) равны нулю,

т.е. 0

b

k

n

a

A x x dx при n k , и, следовательно, производящая функция

,G x s является порождающей.

Следствие. Если функция ,G x s является порождающей, то функция

1 2

,G x sx

s

(2.5)

также будет порождающей для любых значений параметров 1 и 2 .

50

Доказательство: Так как для порождающей функции справедливо

соотношение (2.3), мы имеем

1

,b

k

k

a

G x sx dx p s

s

. (2.6)

Тогда из теоремы 2.1 следует, что функции ,G x s

s

и

,G x sx

s

также

будут порождающими. Очевидно, что линейная комбинация этих функций

также будет порождающей функцией.

Функции 1

nA x , порождаемые линейной комбинацией (2.5), нетрудно

выразить через функции, порождаемые функцией ,G x s . Действительно,

1

1 2 1 2 1 2 1

1 0

,1n n

n n

n n

G x sx x nA x s x n A x s

s

,

откуда

1

1 2 11n nA x x n A x . (2.7)

Заметим, что произведение k -ой производной по переменной s от

порождающей функции и многочлена степени, не превышающей k , также

является порождающей функцией.

Теорема 2.2 Пусть функция ,G x s является порождающей на отрезке

[ , ]a b , а функция f s – многочлен степени N ,

0

Nn

n

n

f s b s

. (2.8)

Тогда решение интегрального уравнения

,

b

a

G x s u x d x f s (2.9)

единственно в классе функций ,u C a b , и является многочленом

0

Nk

k

k

u x c x

степени N , коэффициенты которого удовлетворяют

системе линейных алгебраических уравнений

51

Fc b , (2.10)

где 0, ,T

Nc cc , 0, ,T

Nb bb , F – матрица с элементами

1

1

b

k

nk n

a

F A x x dx

, , 1,2, , 1n k N , (2.11)

а функции 1nA x , 1,2, , 1n N являются порождаемыми функцией

,G x s .

Доказательство: Докажем утверждение теоремы о виде решения

интегрального уравнения. Любой многочлен f s степени N можно

единственным способом представить в виде [31]

0

N

k k

k

f s c p s

, (2.12)

где 0 , , Np s p s – заданная система многочленов такая, что многочлен

kp s имеет степень k для каждого 0,1, ,k N . Отсюда с учётом (2.3) и

(2.12) следует, что

0

,

b Nk

k

ka

f s G x s c x dx

. (2.13)

Таким образом, многочлен 0

Nk

k

k

u x c x

является решением интегрального

уравнения (2.9).

Поскольку функция ,G x s порождающая, то для неё справедливо

разложение (2.1). Тогда с учётом равенства (2.8) уравнение (2.13) можно

записать в виде

0 0 0 0 0

b bN N Nn k n k n

n k k n n

n k n k na a

A x s c x dx s c A x x dx b s

. (2.14)

Данное уравнение справедливо для всех значений s из интервала сходимости

ряда (2.1), отсюда получаем следующую систему линейных уравнений для

определения искомых коэффициентов kc , 0,1, ,k N :

52

0

bNk

k n n

k a

c A x x dx b

, 0,1, ,n N . (2.15)

Эту систему можно записать в матричном виде (2.10).

В заключение докажем утверждение об единственности решения уравнения

(2.9) в классе непрерывных функций. Предположим, что существуют два

решения 1u x и 2u x этого уравнения. Тогда непрерывная функция

1 2v x u x u x является решением однородного уравнения (2.9). Из

теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции

многочленами следует, что

0

n

k k n

k

v x c p x x

, где 0nn

x .

Тогда

0 0

, , , 0,

b b bn n

k k n k k n

k ka a a

G x s v x dx c G x s p x dx G x s x dx c q s s

где kq s – многочлены степени k по переменной s , и

,

b

n n

a

s G x s x dx . Из непрерывности интегрального оператора

следует, что 0nn

s

, откуда 0

0k k

k

c q s

для всех значений переменной

s из интервала сходимости ряда (2.1) для функции ,G x s . Отсюда следует,

что все коэффициенты ряда 0kc и 0v x , т.е. решение интегрального

уравнения (2.9) единственно.

Следствие 1. Матрица F является верхней треугольной.

Доказательство: Функции nA x являются порождаемыми, таким образом,

по определению, k

nA x x при n k . Отсюда с учётом (2.11) мы получаем

утверждение следствия.

Следствие 2. Если a b , а чётность функции nA x совпадает с

чётностью индекса n для всех 0,1, ,n N , то нечётные наддиагонали

53

матрицы F состоят из нулевых элементов, т.е. 0nkF , если n k –

нечётное число.

Доказательство. Следует из формулы (2.11).

2.2 Семейства функций, непрерывно зависящих от

параметра, и ортогональных к многочленам

Рассмотрим несколько семейств функций, ортогональных к многочленам на

отрезке конечной длины и непрерывно зависящих от параметра. Одно из

таких двухпараметрических семейств функций хорошо известно. Это

многочлены Якоби, помноженные на весовые функции вида 1 1x x

,

где 1 , 1 . В настоящей главе будем рассматривать другие семейства

таких функций, имеющие приложения в осесимметричных задачах физики.

2.2.1 Будем рассматривать производящую функцию вида

02 2 2

1,

1G x s

x s x

, 0,1 , 1,1s . (2.16)

Заметим, что при 1 эта функция совпадает с производящей функцией для

многочленов Лежандра.

Теорема 2.3 Производящая функция 0 ,G x s является порождающей на

отрезке 1,1x .

Доказательство: Докажем, что

1

0

1

, n

nG x s x dx p s

, (2.17)

где за np s обозначим, как и ранее, некоторый многочлен степени n .

Доказательство будем проводить по индукции. Положим

2 2 2, 1R R x s x s x .

При 0n имеем

54

2 2

2

1ln 1 1

1

dxR x s

R

,

откуда

1 2

2 21

1 11ln

1 1 1

dx

R

, (2.18)

и интеграл не зависит от значения переменной s .

При 1n имеем

2

1

1

xdx dxR s

R R

.

Нетрудно заметить, что тогда определённый интеграл 1

1

xdx

R

будет линейной

функцией от переменной s .

Пусть равенство (2.17) имеет место при 1n k ; докажем его

справедливость при .n k Воспользовавшись [32], получим

1 1 11 21

1 2 2

2 11 1 1

12 1 1

1

k k kkx dx x dx x dx

x R k s k sR R Rk

.

Поскольку по индукционному предположению первый и второй интегралы в

правой части равенства являются многочленами 1k -й и 2k -й степени

по переменной s , то интеграл в левой части равенства будет многочленом

степени k по переменной s . Таким образом, равенство (2.17) справедливо

для любых значений n и, по теореме 2.1, функция 0 ,G x s является

порождающей.

Найдём явный вид функций nH x , порождаемых функцией 0 ,G x s . Введём

обозначение

2 2 2,0 1Q Q x R x x . (2.19)

Теорема 2.4 Функции nH x , порождаемые функцией 0 ,G x s , имеют вид

1

1n nn

xH x P

Q Q

, (2.20)

55

где nP t – многочлены Лежандра степени n .

Доказательство: Хорошо известно [31], что для многочленов Лежандра

порождающей является функция

2

0

1

1 2

n

n

n

P x ssx s

.

Отсюда

1 22

2 20

1 22

n

n

n

s x s Q x sP

Q Q Q Q QQ sx s

. (2.21)

Последнее равенство в (2.21) имеет место при

1x

Q и 1

s

Q . (2.22)

Для Q заданного в (2.19), первое неравенство в (2.22) справедливо для при

1x , а второе неравенство будет справедливым для всех x при выполнении

условий 1s . Из формул (2.19) и (2.21) следует, что

12 2 2

0

1 1

1

n

nnn

xP s

Q Qx s x

,

таким образом, функции, порождаемые 0 ,G x s , будут иметь вид (2.20).

Следствие 1. Функции nH x удовлетворяют рекуррентному

соотношению

2

1 11 2 1n n nn Q H x n xH x nH x . (2.23)

Доказательство: Равенство (2.23) следует из рекуррентного соотношения

для многочленов Лежандра

1 11 2 1n n nn P x n xP x nP x

и формулы (2.20).

Следствие 2. Функции 2kH x – чётные, а функции 2 1kH x нечётные для

любых целых неотрицательных значений k .

56

Доказательство: Из (2.20) следует, что 0 1H x Q , 3

1H x x Q .

Утверждения получается применением математической индукции к

рекуррентной формуле (2.23).

Следствие 3. Для производной функции nH x справедлива формула

12

1

1n n n

nH x H x xH x

x

. (2.24)

Доказательство: Положим t x Q . Взяв производную от обеих частей

равенства (2.20) получим

1 1

1 1n n

nn n

dH x d P td d tP t

d x d x Q Q d t d x

. (2.25)

Поскольку для многочленов Лежандра справедлива формула [31]

12 1

n

n n

d P t ntP t P t

d t t

,

и

2 2

3

11 xd t

d x Q Q

,

2

1 3

1 11n n

n xd

d x Q Q

,

то из (2.25) получим

2

12 2

12 1 1

1n n nH x x n n Q H x nH x

Q x

.

Выразив последнее слагаемое в правой части равенства по рекуррентной

формуле (2.23), получим формулу (2.24).

2.2.2 Рассмотрим ещё одно семейство функций, непрерывно зависящих от

параметра и ортогональных к многочленам. Прежде всего, отметим, что

производная по переменной s от порождающей функции тоже будет

порождающей функцией (следствие из теоремы 2.1). В частности, функция

0

3 2 32 2 2

,

1

G x s x s x s

s Rx s x

(2.26)

является порождающей. Рассмотрим другие порождающие функции.

57

Теорема 2.5 Функция 2

3

1 s

R

является порождающей функцией.

Доказательство: Непосредственным интегрированием получим

1 2

3 2

1

1 2sdx

R

.

Так как функция 0 ,G x s порождающая, из теоремы 2.1 следует, что

1

0

1

,G x s dx const

, 1

0

1

,0

G x sdx

s

.

Отсюда с учётом (2.26), получаем

1 1

3 3 2 2

1 1

2

1

x d x sdx s

R R s

, 1 2

3 2

1

1 2s sxdx

R

.

Предположим, что для некоторого натурального n имеет место равенство

1 2

3

1

1 n

n

sx dx p s

R

(2.27)

и докажем, что будет выполнено равенство

1 2

1

13

1

1 n

n

sx dx p s

R

. (2.28)

Поскольку функция 0 ,G x s порождающая, из соотношений (2.6) и (2.26)

следует, что

1

13

1

n

n

x sx dx p s

R

.

Отсюда

1 11

13 3

1 1

n n

n

x xdx s dx p s

R R

.

В свою очередь, из (2.27) получим

1

3 2

11

nnp sx

dxR s

,

тогда

58

1 1

13 2

11

nn

n

p sxdx s p s

R s

,

откуда и следует равенство (2.28). Таким образом, равенство (2.27)

выполнено для любых значений n , и из теоремы 2.1 следует, что функция

2 31 s R порождающая.

Следствие. Функции вида

2

3

1x s ax bs c d s

R

, (2.29)

где , , ,a b c d – произвольные константы, являются порождающими.

Доказательство: Если функция ,G x s порождающая, то в силу следствия

теоремы 2.1, порождающими будут также функции вида

1 2

,G x sx

s

.

Из равенства (2.6) следует, что порождающей функцией будет и функция

,G x ss

s

. Из теоремы 2.1 следует, что линейная комбинация порождающих

функций также будет порождающей функцией. Положив 0, ,G x s G x s ,

получим, с учётом (2.26) и теоремы 2.5 требуемое утверждение.

Рассмотрим важный частный случай функции вида (2.29). Пусть 1a b ,

0c , 1d . Тогда получим порождающую функцию

2

1 3

1,

xG x s

R

(2.30)

числитель которой не зависит от переменной s .

Теорема 2.6 Функции nH x , порождаемые функцией 1 ,G x s , имеют вид

12

1n n n

nH x H x xH x

. (2.31)

Доказательство: Найдём функции, производимые производящей (не

порождающей) функцией 31 R . Так как функция 0 ,G x s порождает

функции nH x , имеем

59

20

30

, n

n

n

G x s s x xH x s

x R

.

Тогда, с учётом равенства (2.26), получим

210 0

30 0

1

0

, ,

1 .

n n

n n

n n

n

n n

n

G x s G x s xH x s nH x s

x s R

n H x H x s

Далее, с учётом следствия 3 из теоремы 2.4, получим

2

13 2 20

11 1

1 1

n

n n

n

x xn H x H x s

R x x

,

откуда

2

13 20

1 11 n

n n

n

xn H x xH x s

R

. (2.32)

Теорема 2.7 Порождающая функция 2

3

1 s

R

имеет следующее разложение:

2

2 2

13 21

1 1 11 1 1 1 n

n n

n

sn xH x n H x s

R Q

. (2.33)

Доказательство: Искомое разложение получим из равенства

2 2

3 3 3 3

1 1s x x s x sx s

R R R R

(2.34)

и известных разложений для каждого слагаемого в правой части равенства

(2.34). Так как функции nH x порождаются функцией 0 ,G x s , из (2.26)

получим

1

131 0

1n n

n n

n n

x snH x s n H x s

R

.

Тогда из формул (2.32) и (2.34) следует, что

60

2

1 13 20 0 1

0 1 12 2 2 21

1 11 1

1 1 1 11 1 1

n n n

n n n n

n n n

n

n n

n

sn H x xH x s n xH x s nH x s

R

nH x x H x n x H x n H x s

Нетрудно проверить, что сумма первых двух слагаемых в последнем

равенстве равна 31 Q , ввиду того, что 0 1H x Q , 3

1H x x Q (см.

равенство (2.20)), откуда окончательно получаем разложение (2.33).

2.2.3 Функции, ортогональные к многочленам на отрезке [-1,1], можно с

помощью замены переменной свести к функциям, ортогональным к

многочленам на отрезке [0,1]. Рассмотрим одно семейство таких функций,

которое имеет приложение в задачах электромагнетизма.

В порождающей функции 1 ,G x s произведём замену переменных 2 1x t .

Тогда

1 1 3

1

1,

2

t tG x t s s

R

, (2.35)

где

2 2

1 1 1 1, 1R R t s t s t t , 1

1

2

ss

.

Поскольку 1 ,G x s – порождающая функция, то из Теоремы 2.1 следует, что

1

13

10

12 1

2

n

n

t tt dt p s

R

(2.36)

для любых целых неотрицательных значений n . Отсюда следует, что

интегралы

1

3

10

1

2

nt tt dt

R

также являются многочленами степени n по переменной 1s . Таким образом,

в силу Теоремы 2.1 функция 1 1,G t s также является порождающей на

отрезке [0,1].

61

Найдём явный вид порождаемых ею функций. Из соотношений (2.32) и (2.35)

следует, что

1 13 2

01

1 21 2 1 2 1

n

n n

n

t tn H t t H t s

R

,

где

1

1 2 1n nn

tH t P

q q

,

2 22 1 4 1q q t Q x t t t t .

Введём обозначение

2

2

1 1 1

1 1, 12 2

q q t R t t t t

, 1

1 1

1 1 2n nn

th t P

q q

.

Тогда

12q q ,

12

n

n n

h tH t

,

13

01

1 1

2

n

n

n

t th t s

R

,

где

12

1 1

2n n n

nh t h t t h t

. (2.37)

2.3 Применение функций, ортогональных к многочленам,

при решении физических задач

Рассмотрим проводник, имеющей форму эллипсоида вращения, с большой

полуосью единичной длины, и малыми полуосями длиной , 1 .

Обозначим r x радиус поперечного сечения проводника на расстоянии x от

начала координат, dl x – элемент длины образующей тела вращения. Пусть

проводник находится в электромагнитном поле, обладающим свойством

симметрии, причём наибольшая полуось проводника направлена вдоль оси

симметрии поля, а 1x и 2x – координаты точки пересечения оси симметрии с

поверхностью тела (Рис. 2.1).

62

Рис. 2.1 Эллипсоидальный проводник во внешнем поле.

Ось X соосна оси внешнего поля.

Решение всех задач, которые будут изложены ниже, сводятся к решениям

интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с ядрами, являющимися

порождающими функциями. Поэтому, если правые части этих уравнений

являются многочленами степени N , то, согласно Теореме 2.2, их решения

также будут многочленами той же степени, коэффициенты которых могут

быть найдены как решение системы линейных уравнений (2.10). Для

определения элементов матрицы F из (2.10) мы будем использовать

порождаемые функции, которые были получены в разделе 2.2. Элементы

матрицы для всех рассмотренных задач можно выразить через момент или

линейную комбинацию двух моментов от многочленов Лежандра с

некоторым весом.

2.3.1 Плотность поверхностного заряда проводящего эллипсоида в

соосном электрическом поле

63

Осесимметричное электрическое поле индуцирует на поверхности

проводника, имеющего ту же ось симметрии, что и электрическое поле,

осесимметричное распределение поверхностных зарядов x . Эти заряды

создают в точке s на оси (см. Рис. 2.1) потенциал

2

1

2 20

1

2

x

x

r xs x dl x

x s r x

(2.38)

и напряжённость осевого электрического поля поверхностных зарядов

2

1

3 22 2

0

1,

2

x

x

r x x sE s x dl x

x s r x

(2.39)

где 0 – электрическая постоянная. Поверхностные заряды заземлённого

проводника, возникающие под воздействием внешнего электрического поля,

создают внутри него потенциал, равный по величине, но обратный по знаку

потенциалу начального поля, и напряжённость электрического поля, равную

по величине, но обратную по знаку начальной напряжённости

электрического поля. Для достижения этого условия достаточно равенства

нулю суммарного потенциала и суммарного поля только на оси проводника,

так как каждая составляющая напряжённости поля и потенциал

удовлетворяют уравнению Лапласа [21].

Пусть проводник является эллипсоидом вращения с полуосью единичной

длины, направленной вдоль оси внешнего поля, и другой полуосью длины .

Тогда плотность поверхностного заряда x проводника во внешнем

осесимметричном поле с потенциалом 0( )s на оси или с осевой

напряжённостью 0E s , можно определить двумя способами: решая

уравнение

1

0

02 2 2

1 1

xdx s

x s x

, 1 1s , (2.40)

или уравнение

64

1

0 03 22 2 2

1

, 1 1

1

x sx dx E s s

x s x

. (2.41)

Тогда 0ex x x , где

1

00

2 2

22

1 1e

dl xx r x

d x x

.

В интегральном уравнении (2.40) ядро является порождающей функцией

0 ,G x s (см. формулу (2.16)) , а порождаемые функции nH x определены в

(2.20). Согласно Следствиям 2 Теорем 2.2 и 2.4 матрица F системы

линейных уравнений (2.10) имеет нечётные нулевые наддиагонали.

Элементы матрицы F можно выразить через гипергеометрические функции.

Действительно, согласно формулам (2.11) и (2.20),

1 1

1 1

1 1

1 1

1k k

nk n nn

xF H x x dx P x dx

Q Q

,

где 2 2 21Q x . Введём замену переменных z x Q . Тогда получим

k n

nk nkF g ,

где

1 1

1 2

01

k

nk n k n

zg P z dz

Q

, 2 2

0 0 1 1 .Q Q z z (2.42)

Ненулевые значения интегралов nkg можно выразить через

гипергеометрические функции. Положим 1 2n m , где принимает

значения 0 или 1. Тогда, согласно [33],

2 ,

1

2

3 2

1 1 / 2

/ 2

1 1 1, , ; 1, ;1 ,

2 2 2 2 2

m

mm k

m

kg

k

k k k k kF m m m

65

где m

a – символ Похгаммера: 0

1a , 1

1m

ml

a a l

. Поскольку

первый и пятый параметры в обобщённой гипергеометрической функции 3 2F

совпадают, мы имеем

2

2 ,

1

1 1 / 2 1, ; 1;1

/ 2 2 2 2

m

mm k

m

k k k kg F m

k

.

Следуя обозначениям главы 1, введём матрицу, обратную к матрице F :

1

ijG G F . Приведём значения ненулевых элементов этой матрицы 5-го

порядка:

11

1,G

q

2

2

13 2

21 ,

2 6

qG

q q

22 2 4 2 4 2 2

152 2 4 2 2 4 6

3 4 10 11 2 10 9 3 6 1,

4 150 165 86 188 41 3 16 56 30 3

q qG

q q q

2

22

1,

2G

q

2 2

22

24 2 2

3 2 4 31 ,

22 8 6 9 2

qG

q q

22

33 2

2 1,

2 6G

q

32 2 2 2

35 2 2 4 2 2 4 6

12 4 26 3 4 1,

4 150 165 86 188 41 3 16 56 30 3

qG

q q

32

44 2 2

6 1,

22 8 6 9G

q

66

42

55 2 2 4

24 1,

100 110 24 72 9G

q

где

2

2

2

2 1arccos 1 ,

1

1 12ln 1.

1

при

q q

при

(2.43)

Для шара (при 1 ) значения приведённых элементов матрицы G равны

11

1

2G , 13

5

4G , 15

27

16G , 22

3

2G , 24

21

4G , 33

15

4G , 35

135

8G ,

44

35

4G , 55

315

16G .

Напомним, что для шара элементы матрицы G были найдены в явном виде в

главе 1 (см. формулу (1.19)), которые совпадают при соответствующем

выборе индексов с вышеприведёнными значениями элементов матрицы

пятого порядка.

Таким образом, если потенциал является многочленом четвёртой степени

на оси тела

2 3 4

0 0 1 2 3 4s b b s b s b s b s , (2.44)

то 0 x определяется формулой

2 3 4

0 0 1 2 3 4x c c x c x c x c x , (2.45)

где 0 0 11 2 13 4 15c b G b G b G , 1 1 22 3 24c bG b G , 2 2 33 4 35c b G b G , 3 3 44c b G ,

4 4 55c b G , а поверхностный заряд x равен

2 3 400 1 2 3 4

2 2

2

1 1x c c x c x c x c x

x

.

Для шара поверхностный заряд x будет определяться формулой

2 3 4

0 0 2 4 1 3 2 4 3 4

5 27 7 15 9 35 3153

2 8 2 2 2 2 8x b b b b b x b b x b x b x

.

67

Перейдём к решению уравнения (2.41). Ядро этого уравнения является

порождающей функцией 0 ,G x s

s

из (2.26), а порождаемыми функциями

будут 1

11n nH x n H x (см. формулу (2.7)). Поскольку четность

функций nH x совпадает с чётностью индекса (Следствие 2 Теоремы 2.4),

функции 1

nH x будут чётными при нечётном n и нечётными в противном

случае. Тогда

11

1

0k

nH x x dx

, если n k – чётное число, и, в частности,

диагональные элементы матрицы F в (2.10) будут равны нулю. Для того,

чтобы система линейных уравнений (2.10) с треугольной матрицей и нулевой

диагональю была совместна, необходимо выполнение условия 0Nb . Тогда

система линейных уравнений (2.15) может быть записана как

1

1

1 1

Nk

k n n

k

c H x x dx b

, 0,1, , 1n N .

Представим эту систему в матричном виде

1

1 1F c b , где

1, ,T

Nc c1c , 0 1, ,T

Nb b 1b , 1

nkF1

F ,

а матричные элементы задаются формулой

11

1

k

nk nF nH x x dx

. (2.46)

Решение уравнения (2.41) имеет вид

0

0

Nk

k

k

x c x

, (2.47)

где 0c – произвольная постоянная. Наличие произвольной константы в

формуле (2.47) следует также из того, что интеграл от порождающей

функции 0 ,G x s по отрезку [ 1,1] равен константе, не зависящей от

переменной s , и, следовательно, интеграл от функции 0 ,G x s

s

по этому

68

отрезку равен нулю. Матрица 1

F имеет нулевые нечётные наддиагонали

(см. п.2.1). Ненулевые элементы матрицы 1

F определяются, согласно

соотношениям (2.20), (2.42) и (2.46), по формуле

11, 1

k n

nk n kF n g

.

2.3.2 Токи на поверхности сверхпроводящего эллипсоида в соосном

магнитном поле

Осесимметричное внешнее магнитное поле индуцирует на поверхности

сверхпроводника, имеющего ту же ось симметрии, что и магнитное поле,

круговые токи вокруг общей оси, когда проводник помещается в поле.

Согласно формуле Био-Савара [34], эти токи создают следующее магнитное

поле на оси:

2

1

20

3 22 2

( )( ) ( )

2 ( ) ( )

x

x

r xB s j x dl x

x s r x

, 1 2 ,x s x (2.48)

где j x – поверхностная плотность тока, 0 – магнитная постоянная.

Магнитное поле токов на поверхности сверхпроводника компенсирует

внутри него внешнее магнитное поле 0B . Это условие будет выполнено при

нулевом суммарном поле на оси проводника, поскольку компоненты

магнитного поля гармоничны внутри проводника [21]. Поэтому

поверхностную плотность тока j x сверхпроводящего эллипсоида

вращения с большой полуосью единичной длины, направленной по оси

симметрии магнитного поля, и малыми полуосями, равными , можно найти,

решая уравнение

1 2

2

0 03 22 2 2

01

1 2( )

( ) (1 )

xj x d x B s

x s x

, 1 1s . (2.49)

Тогда

0mj x x j x , где

2

2 2

1

1 1m

d x xx

d l x

.

69

В уравнении (2.49) ядром является порождающая функция 1 ,G x s , заданная

равенством (2.30), а порождаемые функции – это nH x из (2.31). Из

формулы (2.31) и Следствия 2 Теоремы 2.4 следует, что чётность функции

nH x совпадает с чётностью индекса n . Таким образом, в силу Следствия 2

Теоремы 2.2, матрица F системы линейных уравнений имеет нулевые

нечётные наддиагонали. Ненулевые элементы матрицы F имеют, согласно

формулам (2.31) и (2.42), следующий вид

1, 1

k n

nk nk n kF n g g

. (2.50)

Приведём значения ненулевых элементов обратной матрицы G 3-го порядка:

2

11 2

1,

2G

q

22 2 2

13 2 2 2 2

1 2 6,

2 2 2 13 6 1.5

qG

q q

22

22 2 2

1,

2 4 3G

q

(2.51)

32

33 2 2 2

1.

2 13 6 1.5G

q

Значение параметра q определено в (2.43).

Таким образом, если осевое магнитное поле является многочленом второй

степени

2

0 0 1 2

0

2B s b b s b s

, (2.52)

то плотность поверхностного тока j x определяется формулой

22

0 0 11 2 13 1 22 2 332 2

1

1 1

xj x x j x b G b G bG x b G x

x

.

70

2.3.3 Сила, действующая на сверхпроводящий эллипсоид вращения в

соосном магнитном поле, и его магнитный момент

При полной экранировке закон Ампера [34] связывает плотность

поверхностного тока j x с магнитным полем lB x вне проводника вблизи

его поверхности равенством

0lB x j x .

Поэтому уравнение (2.48) можно переписать в виде

2

1

2

0 1 20.522

1, ,

2

x

l

x

r x lB s B x d x x s x

xr x s x

а уравнение (2.49) – в виде

1 2

2

0 1.52 2 2

1

1 1, 1 1 ,

2 1l

xB s K x d x s

x s x

где

2 2

2

1 1

1l l l

xlK x B x B x

x x

.

Поэтому магнитное давление p x на поверхность проводника определяется

равенством

2

2

0

0

1

2 2

lB xp x j x

,

а результирующая сила действует на проводник вдоль оси X и определяется

равенством

2 2

1 1

2

2

0

12

2

x x

x x

r xp x r x dr x j x d x

x

F . (2.53)

Для сверхпроводящего эллипсоида вращения с полуосями 1 и в случае,

когда напряжённость внешнего магнитного поля 0B s на оси проводника

71

является многочленом степени n , 0

0

02

ni

i

i

B s b s

, формула (2.53)

принимает вид

2 21

2

0 2 201

1

1 1

ni

i

i

x xc x dx

x

F ,

где ic – компоненты вектора C , удовлетворяющего уравнению FC = B ,

элементы матрицы F определены в (2.50), а вектор B состоит из заданных

коэффициентов многочлена внешнего поля ib .

В случае, когда sB0

является многочленом второй степени, явное значение

для силы F принимает следующий вид:

2 2 22 2

0 1

0 22 2 2

1 4 1 5 22 1

3 2 5 4 1 3 2

qbb b

q q

F , 2.54)

где 0 1 2, ,b b b – коэффициенты в формуле (2.52), определяющие осевое

магнитное поле, в которое вносится сверхпроводящий эллипсоид. Согласно

формуле (2.52), эти коэффициенты связаны с осевым магнитным полем и его

первой и второй производными в центре эллипсоида в точке 0s

равенствами

0 0 1 0 2 0

0 0 0

2 2 10 , 0 , 0b B b B b B

.

Поэтому формулу (2.54) можно переписать в виде

2 22 2 2

0 0 02 2 20

4 1 5 28 1 10 0 0

103 2 4 1 3 2

qB B B

q q

F .

(2.55)

Магнитный момент сверхпроводящего эллипсоида определяется формулой

1 22

0 0 11 2 13 33

1

2 2 2

0 02

0

4 1

3 5

8 1 10 0

103 2

M r x j x dx b G b G G

B Bq

(2.56)

72

При 1 ненулевые элементы матрицы -1G = F , когда внешнее магнитное

поле является многочленом второй степени, равны

11

3

4G , 13

7

16G ,

22

5

4G , 33

35

16G .

Таким образом, сила, действующая на сверхпроводящий шар, равна

0

0

0

00 1

3 0

BB M

B

F , (2.57)

а магнитный момент сверхпроводящего шара равен магнитному моменту

шара в однородном поле, 0M M , где

0 0 02 0 /M B .

Из (2.55) – (2.57) следует, что формула

0 0B MF ,

справедливая для любого осесимметричного сверхпроводника, соосно

помещённого в магнитное поле с постоянным градиентом, неверна, когда

градиент непостоянный.

2.3.4 Начало координат в вершине сверхпроводящего эллипсоида,

соосного внешнему магнитному полю

Рис. 2.2 Эллипсоидальный проводник во внешнем поле.

Ось T соосна оси внешнего поля. Начало координат в точке O .

Если начало координат находится в вершине эллипсоида (Рис. 2.2), то

уравнение (2.48) принимает вид

73

2

0

3 22 2

0

( )( ) ( )

2 ( ) ( )

lr t

B s j t dl tt s r t

. (2.58)

В этом случае поверхностная плотность тока для эллипсоида вращения с

большой полуосью единичной длины и малыми полуосями, равными ,

определяется из уравнения

1

2

0 03 22 2

00

(1 ) 2( )

( ) (1 )

t tj t dt B s

t s t t

. (2.59)

Мы имеем

0mj t t j t , где 2 2

(1 )

(1 ) ( 1 2)m

d t t tt

d l t t t

.

В уравнении (2.59) ядром является порождающая функция (2.35). Для

определения линейной плотности тока 0j t необходимо привести правую

часть уравнения (2.59) к виду 0

1 2N

n

n

n

b s

. В этом случае искомые

коэффициенты многочлена также определяются из формулы (2.10), где

порождаемые функции nh t заданы в (2.37). Для того чтобы матрица F

системы линейных уравнений, отвечающей уравнению (2.59), имела нулевые

нечётные наддиагонали, решение уравнения (2.59) будем искать в виде

суммы 0

0

1 2N

k

k

k

j t c t

. Такое разложение искомого решения позволит

также выразить ненулевые элементы матрицы F через значения интегралов

nkL . Действительно, согласно формуле (2.37),

112

1

0

11

1 1

1 1 1 10

1 2

1 1 2 1 1 21 2 1 2 .

k

nk n

k

n nn n

F h t dt

t tn P t P t dt

q q q q

Совершим замену переменных 1

1 2tz

q

. Тогда получим

74

1, 12

k n

nk nk n kF n g g

. (2.60)

Найдём поверхностную плотность тока, когда правая часть в формуле (2.59)

равна 1. В этом случае 1

0 0 11j t c F . Согласно (2.60), 11 11 22F g g . Из

(2.42) нетрудно получить, что 11g q , 22 2

2

1

qg

, где q определено в (2.43).

Тогда

2

2

1

2mj t t

q

. (2.61)

В заключение раздела отметим, что разработанный в данной главе подход

для решения осесимметричных задач физики, несомненно, не ограничивается

рассмотренными задачами, и может быть применён для нахождения

электромагнитных характеристик других осесимметричных проводников во

внешних полях, обладающих свойством симметрии.

2.4 Численный расчёт плотности заряда и поверхностного

тока для осесимметричных проводников

2.4.1 Метод решения

Целью данного раздела является приближенное нахождение плотности

заряда (поверхностного тока) для проводника (сверхпроводника) с осью

симметрии, принадлежащей этому телу, помещенного во внешнее соосное

электрическое (магнитное) поле, путем численного решения уравнений

(2.38), (2.39), (2.48), (2.58). Эти уравнения являются уравнениями

Фредгольма I-го рода, и для их решения существует большое количество

методов (см. например [28, 35, 36, 68, 70]). В данной главе для решения

уравнения Фредгольма предложена комбинация двух методов:

проекционного алгоритма и метода итеративной регуляризации. Идея

данного подхода состоит в том, чтобы получить достаточно хорошее

75

приближение на редкой сетке проекционным методом, которое затем

уточняется методом итеративной регуляризации на густой сетке.

Рассмотрим подробнее первую часть предложенного метода. В качестве

проектора искомой функции выберем кубические В-сплайны [111, 128]. Для

заданной сетки по переменной интегрирования x с общим числом точек 0n

определим сетку по переменной правой части s с таким же количеством

точек. Поскольку сплайн кубический, доопределим исходную сетку по

координате x двумя дополнительными узлами по обе стороны отрезка

интегрирования. Тогда, подставив в интегральное уравнение вместо искомой

функции ее представление в виде сплайна, получим систему линейных

алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

сплайна с квадратной интерполяционной матрицей. Перед решением

полученной системы линейных уравнений необходимо найти собственные

числа интерполяционной матрицы. Уже при сравнительно малом порядке

эта матрица может быть близка к вырожденной. Таким образом,

максимальное возможное значение порядка матрицы 0n выбирается из

условия, что ее минимальное собственное число по модулю будет

превосходить некоторое заранее выбранное достаточно малое положительное

число . По найденным значениям коэффициентов сплайна производится

восстановление значений искомой функции в 0n узлах интерполяции. Число

0n зависит от спектральных свойств интерполяционной матрицы и, как

правило, небольшое. Таким образом, возникает необходимость нахождения

численного решения на более густой сетке. Так как коэффициенты В-сплайна

уже найдены, то, вполне естественно получить приближенные значения

искомой функции во внутренних точках между узлами интерполяции, исходя

из ее приближенного представления в виде В-сплайна. Эти приближенные

значения и выбираются как начальное приближение для последующего

итерационного метода Фридмана.

Необходимо отметить, что желательно аппроксимировать интегралы

квадратурами в итерационном методе с возможно большей точностью,

76

поскольку невязка метода стремится к нулю значительно быстрее, чем

погрешность метода, что является типичным при численном решении

интегральных уравнений. Это обстоятельство обуславливает выбор как

достаточно большого числа дополнительных узлов между узлами исходной

интерполяции, так и достаточно точных квадратурных формул.

2.4.2 Численные эксперименты

Численные эксперименты были проведены для проводников, имеющих

форму эллипсоида вращения, с полуосью единичной длины, направленной

вдоль оси внешнего поля, и другой полуосью длины . Для таких

проводников интегральные уравнения (2.38), (2.39), (2.48), (2.58) принимают

вид (2.40), (2.41), (2.49), (2.59). В качестве метода итеративной регуляризации

был выбран метод Фридмана [35], который был модифицирован путем

замены квадратурной формулы трапеций на формулу Симпсона. Для

апробации предложенного метода были численно решены задачи (2.40),

(2.59) с различными значениями максимального радиуса сечения эллипсоида

.

2.4.2.1. Вычисление плотности заряда. Рассмотрим максимальное и

среднеквадратичное отклонение от точных значений для выбранного

параметра :

max 0 0

1max ( ) ( )i i

i nx x

,

2

0 0

1

1( ) ( )

n

av i i

i

x xn

,

где 0( )ix – точные значения поверхностной плотности заряда, вычисленные

по формуле (2.45), 0( )ix – приближенные значения поверхностной

плотности заряда, полученные численным методом для n точек ix на оси

эллипсоида, 2

1 1( 1)

ix in

.

Обозначим также за av норму разности между квадратурой,

аппроксимирующей интеграл в (2.40) и правой частью, взятой по точкам js :

77

0

22 21 1

ni

j i

ii j i

xQ D

x s x

,

2

0

1

n

av j j

j

Q s

,

где iD – веса квадратуры Симпсона, 2

0.5 1js jn

.

В таблице 2.1 приведены погрешности av

,

max

и

av

для различных

значений параметра и различного количества значений точек n на оси

эллипсоида. Значения коэффициентов ib в формуле (2.44), определяющие

правую часть уравнения (2.40), были выбраны следующие:

0 1 2 3 41.1, 0.7, 2.3, 1.3, 0b b b b b .

50n 200n 800n

0.2 0 36n

av

max

av

0.6278 e-07

0.1583 e-06

0.1438 e-04

0.1236 e-08

0.4807 e-08

0.2254 e-06

0.8031 e-09

0.5118 e-08

0.5885 e-09

0.5 0 16n

av

max

av

0.1258 e-03

0.5381 e-03

0.2454 e-03

0.5509 e-07

0.2703 e-06

0.4902 e-06

0.6039 e-09

0.1472 e-08

0.4143 e-08

1 0 10n

av

max

av

0.3324 e-03

0.9425 e-03

0.3860 e-01

0.1593 e-05

0.5917 e-05

0.3823 e-03

0.5441 e-06

0.1357 e-05

0.3527 e-05

2 0 6n

av

max

av

0.1653 e-01

0.5421 e-01

0.5695

0.7455 e-03

0.1971 e-02

0.5139 e-01

0.6198 e-03

0.1350 e-02

0.1098 e-02

Табл. 2.1 Погрешности и невязки вычисленной плотности заряда проводящего

эллипсоида в зависимости от числа узлов в методе Фридмана и размера осей эллипсоида.

78

Для каждого значения параметра указано максимально допустимое

количество начальных узлов интерполяции 0n при условии, что минимальное

собственное число интерполяционной матрицы по модулю больше чем ,

где 1.e-05. Результаты, приведенные в таблице, позволяют сделать

заключение о том, что приближенные значения плотности заряда,

полученные применением данного численного метода, хорошо

аппроксимируют точные значения поверхностной плотности заряда,

особенно для эллипсоида вытянутой формы и формы, близкой к шару.

Ухудшение результатов численных расчетов для сплющенного эллипсоида

при 2 , вероятно, связано с увеличением неоднородности распределения

поверхностной плотности заряда при увеличении . Например, экран,

имеющий вид эллипсоида вращения с осью, направленной вдоль

однородного электрического поля, имеет в пределе нулевую поверхностную

плотность заряда в вершинах эллипсоида, а отношение поверхностной

плотности заряда на максимальном удалении от оси к поверхностной

плотности заряда на участках, которые удалены от оси на расстояние в два

раза меньше, равно 21 . Поэтому при 2 плотность заряда на

максимальном удалении от оси более чем в 4 раза превышает плотность

заряда на расстоянии в 2 раза меньшем. При численном решении для

сплющенного эллипсоида с 2 интерполяционная матрица обладала

наихудшими спектральными свойствами 0( 6)n , что означало

восстановление начальных значений для итерационного метода на всем

отрезке интегрирования только по 6 посчитанным значениям функции.

Таким образом, несмотря на значительное уменьшение нормы невязки av

,

значения других погрешностей убывали более медленно. Этот эффект

проявляется тогда, когда матрица системы линейных уравнений

относительно неизвестных коэффициентов сплайна близка к вырожденной

уже для небольшого количества узлов интерполяции.

79

2.4.2.2. Вычисление поверхностного тока. Для характеристики

используемого численного метода бралось среднее и среднеквадратичное

отклонение от точных значений для выбранного параметра :

mod

1

1( ) ( )

nj

i i

i

j t j tn

,

2

1

1( ) ( )

nj

av i i

i

j t j tn

, (2.62)

где ( )ij t – точные значения для плотности тока, вычисленные по формуле

(2.61), когда внешнее магнитное поле на оси эллипсоида в формуле (2.59)

было равно 0

02

B s

, ( )ij t – приближенные значения для плотности тока,

полученные с использованием численного алгоритма для n точек it на оси

эллипсоида, 1

1( 1)

it in

.

В таблице 2.2 приведено среднее отклонение mod

j и среднеквадратичное

отклонение jav для различных значений параметра и различного

количества значений точек n на оси эллипсоида:

2 0.1 )22( 0 n 1 )16( 0 n 2 )12( 0 n 10 )8( 0 n

mod , 100

, 100

j

j

av

n

n

0.1242 e-6

0.2139 e-6

0.2535 e-3

0.3160 e-3

0.3563 e-3

0.5177 e-3

0.6391 e-3

0.8499 e-3

mod , 500

, 500

j

j

av

n

n

0.1018 e-8

0.4054 e-8

0.1133 e-5

0.1401 e-5

0.4124 e-5

0.5353 e-5

0.7788 e-4

0.1253 e-3

mod , 1000

, 1000

j

j

av

n

n

0.1031 e-8

0.4124 e-8

0.3780 e-7

0.4934 e-7

0.3251 e-6

0.4105 e-6

0.8561 e-4

0.1514 e-3

Табл. 2.2 Погрешности вычисленной плотности тока сверхпроводящего эллипсоида в

зависимости от числа узлов в методе Фридмана и размера осей эллипсоида.

80

Для каждого значения параметра указано максимально допустимое

значение начальных узлов интерполяции 0n при условии, что минимальное

собственное число интерполяционной матрицы по модулю больше чем ,

где 2.e-08. Результаты, приведенные в таблице, позволяют сделать

заключение о том, что приближенные значения плотности тока, полученные

применением данного численного метода, хорошо аппроксимируют точные

значения поверхностной плотности тока, особенно для эллипсоида

вытянутой формы и формы близкой к шару. Причина ухудшения результатов

численных расчетов для сильно сплющенного эллипсоида при 2 10

вероятно такая же, как и в предыдущем подразделе 2.4.2.1.

Рассмотрим теперь численное решение задачи (2.59) для шара с различными

значениями правой части. В таблице 2.3 приведены средние и

среднеквадратичные отклонения, вычисленные по формулам (2.62), когда

( )ij t – известные значения искомой функции в точках сетки it , подлежащие

восстановлению.

( )j t 2 1t 4t exp( )t 1 sin(2 )t 1 sin(4 )t

mod , 100

, 100

j

j

av

n

n

0.9029 e-3

0.1685 e-2

0.3301 e-3

0.7586 e-3

0.1122 e-2

0.2168 e-2

0.6095 e-3

0.1075 e-2

0.5255 e-2

0.6687 e-2

mod , 500

, 500

j

j

av

n

n

0.4092 e-5

0.7461 e-5

0.2323 e-5

0.3814 e-5

0.5090 e-5

0.9631 e-5

0.9112 e-4

0.1274 e-3

0.2135 e-2

0.2898 e-2

mod , 1000

, 1000

j

j

av

n

n

0.1753 e-6

0.2922 e-6

0.1395 e-5

0.1875 e-5

0.7336 e-6

0.1047 e-5

0.9019 e-4

0.1222 e-3

0.2136 e-2

0.2899 e-2

Табл. 2.3 Погрешности вычисленной плотности тока сверхпроводящего шара в

зависимости от числа узлов в методе Фридмана и функциональной зависимости внешнего

магнитного поля на диаметре шара, соосного его оси.

Поскольку шар является частным случаем эллипсоида с параметром 1 , а

количество узлов начальной интерполяции зависит только от ядра

81

интегрального уравнения и не зависит от правой части, то в данном случае

0 16n . Данные расчетов свидетельствуют о хорошем восстановлении

искомой функции, являющейся монотонной или обладающей небольшим

числом экстремумов на интервале интегрирования, особенно с ростом числа

узлов сетки для итерационного метода. Более скромный результат для двух

последних функций, вероятно, связан с погрешностями приближения

искомых функций кубическими сплайнами. Кроме того, точное значение

правой части для последних функций было неизвестно и находилось из

квадратуры Симпсона с большим числом узлов.

82

Глава 3. Вычисление потенциала и напряжённости

электрического поля заряженного эллипсоида

Задача нахождения объёмного потенциала является классической и первые

решения для тел простейшей формы были получены ещё Ньютоном. К

настоящему времени известны точные решения для тел многих форм,

обладающих слоисто-неоднородным распределением плотностей.

Достаточно полное изложение таких решений можно найти в монографии

[22]. Для тел эллипсоидальной формы, имеющих произвольную плотность

распределения, получены точные решения в виде рядов Маклорена [23],

которые, к сожалению, малопригодны при численном нахождении объёмного

потенциала.

Наиболее распространённым подходом к численному определению

потенциала является аппроксимация функции плотности базисными

функциями таким образом, чтобы вычисление линейных интегральных

операторов от предложенных базисных функций было доступным, т.е. без

особенностей в подынтегральных выражениях. В качестве базисных функций

можно выбрать сферические гармоники [24], кусочно-полиномиальные

аппроксимации [25, 111], функции экспоненциального вида, зависящие от

расстояния между узлами кубатурной формулы и точкой вычисления

потенциала [26]. Однако кубатурные формулы, полученные применением

данных подходов, предназначены для вычисления потенциала от функции

плотности, обладающей определённой гладкостью во всех точках

пространства nn

R . Если плотность задана ненулевыми значениями только в

объёме некоторого проводника, то применение данных подходов к

вычислению потенциала приводит к существенному искажению решения в

точках области, близких к границе тела. В [27] для решения этой проблемы

вводится пограничный слой, в котором производится дополнительная

аппроксимация. На её основе приводятся и кубатурные формулы для

83

вычисления объёмного потенциала, эффективность которых не

подтверждены какими-либо численными экспериментами. Другим подходом

является представление потенциала как обратного преобразования Фурье от

произведения Фурье-образов сингулярного ядра и плотности [133]. Надо

отметить, что наряду с проблемой вычисления Фурье-образа от сингулярного

ядра необходимо учитывать то обстоятельство, что дискретный аналог

теоремы о свёртке требует условия периодичности подынтегральных

функций.

В данной главе предлагается простой по идее и численной реализации

численно-аналитический метод вычисления потенциала и напряжённости

электрического поля проводников эллипсоидальной формы. В нём

квадратурные формулы на каждом этапе вычисления интеграла по одной из

переменных не только не имеют особенностей в узлах интегрирования, но и

не принимают в них больших значений. Предлагаемый метод не основан на

выделении подобластей с особенностями и потому не требует

дополнительного сгущения узлов в какой-либо части расчётной области.

Основная идея метода состоит в том, что искомая функция представляется в

виде тройного интеграла таким образом, чтобы было возможным вычислить

аналитически внутренний интеграл от ядра, при этом ядро рассматривается в

качестве весовой функции. Для аппроксимации внутреннего интеграла

рассмотрена квадратурная формула для произведения функций, одна из

которых обладает интегрируемой особенностью. Такой подход позволяет

получить подынтегральную функцию, обладающую слабой логарифмической

особенностью при вычислении второго интеграла. Эта особенность может

быть легко учтена путём замены переменных при последующем

интегрировании. При вычислении одной из компонент напряжённости поля

функция, аппроксимирующая внутренний интеграл, обладает более сильной

особенностью. По этой причине в данном случае квадратурная формула для

произведения функций с особенностями применяется повторно и при

вычислении интеграла по второй переменной. Метод иллюстрируется

84

численными экспериментами, для которых построены сложные тестовые

функции, представляющие собой точный потенциал и напряжённость поля

проводящего эллипсоида вращения, обладающего эллиптическим

распределением плотности заряда.

3.1 Квадратурные формулы для интеграла от произведения

функций

3.1.1 Рассмотрим квадратурную формулу для вычисления интегралов вида

b

a

dxxgxf , (3.1)

где 1 ,f x C a b , baxприxg ,0 , а g x принадлежит

пространству функций, от которых существует интеграл Римана 2-го рода по

отрезку ,a b . Предположим, что интегралы ,G g x dx

при

ba,, могут быть вычислены точно, где интеграл понимается в

несобственном смысле. Для получения квадратурной формулы для интеграла

(3.1) будем рассматривать функцию g x в качестве весовой [29]. Зададим

на отрезке ba, сетку с узлами nixi

,,1, , где первый и последний узел

могут не совпадать с концами отрезка. Обозначим

.1,,1,,2

1

1

21

nixxh

xxx

iii

ii

i

Аппроксимируем функцию xf на каждом элементарном отрезке кусочно-

постоянной функцией 0L x следующим образом:

0 1 2 1 2, , 2, , 1i i iL x f x при x x x i n ,

0 1 3 2,L x f x при x a x ,

0 1 2,n nL x f x при x x b .

85

Тогда погрешность аппроксимации на каждом элементарном отрезке имеет

второй порядок [29], а общая погрешность 0

b

a

f x L x g x dx

составной формулы центральных прямоугольников с весовой функцией

g x будет удовлетворять неравенству

0 1 gh M M ,

где 0 1

1max , , max

2n i

ih x a b x h

,

1

,maxx a b

M f x

, ,gM G a b и

константы 1M и

gM не зависят от

0h .

При данном выборе аппроксимирующей функции для xf квадратурная

формула для аппроксимации интеграла (3.1) будет иметь вид

0

1

1 3 2 1 2 1 2 1 2

2

, , ,

b b

a a

n

n n i i i

i

f x g x d x L x g x d x

f x G a x f x G x b f x G x x

(3.2)

3.1.2 Пусть baCxf ,2 , а функция g x удовлетворяет тем же

ограничениям, как в пункте 3.1.1. Тогда и функция x g x также будет

интегрируемой в несобственном смысле в промежутке ,a b [107].

Предположим что интеграл dxxgxG

,1

от этой функции может быть

вычислен точно для любых значений ba,, . Тогда для вычисления

интеграла (3.1) возможно применение более точной квадратурной формулы.

Оценка погрешности аппроксимации и в этом случае зависит от

расположения узлов 1x и nx относительно концов отрезка a и b . Поскольку

она не столь очевидна, как в п.3.1.1, то приведём её более подробно.

86

Аппроксимируем функцию xf на элементарном отрезке 1

,ii

xx

интерполяционным полиномом Лагранжа первой степени, построенным по

узлам 1

,ii

xx

1 1 1

1i i i i

i

f x L x x x f x x x f xh

.

Тогда для погрешности аппроксимации интеграла

1

1

i

i

x

i

x

f x L x g x dx

на отрезке 1

,ii

xx справедлива оценка [29]

1

12

i

i

x

ii i i

x

Mx x x x g x dx

, 2,,2 ni ,

где

xfMii xxx

i

1,max .

По формуле среднего значения в обобщённой форме [88] получим

2,,2,,8

110

2

nixxGhMiiiii

.

Для первого и последнего элементарного интеграла погрешность равна

2

1

1 2 1 1,

n

x b

n

a x

f x L x g x dx f x L x g x dx

,

где в первом интеграле 1L x интерполяционный полином, построенный по

узлам 1

x и 2

x , а во втором – построенный по узлам 1n

x и n

x . Оценка этой

погрешности зависит от расположения концов исходного отрезка

интегрирования относительно первого и последнего узлов сетки. Нетрудно

показать, что если

2

1212

1

xxax , (3.3)

то максимум модуля функции 21

xxxx достигается в точке 2

21xx

и

20

2

1,

1,max

8

1

2

xaGhxfxax

, в противном случае – в точке a и

20111,

1,,maxmax

2

xaGhaxaxxfxax

. Аналогично, если

87

2

121

nn

n

xxxb , (3.4)

то максимум модуля функции nn

xxxx 1

достигается в точке 2

1 nnxx

и

bxGhxf

nnbxx

nn

,max8

120

2

1,

12

, в противном случае – в точке b и

bxGhxbxbxf

nnnnbxx

nn

,,maxmax201

,1

2

.

Обозначим

2,

maxx a b

M f x

, i

in

hxbaxh max,,max1

.

Тогда для погрешности аппроксимации интеграла 1

b

a

f x L x g x dx

на отрезке ],[ ba справедлива оценка

2

28

g

hM M ,

если узлы 1

x и n

x расположены достаточно близко к концам отрезка, так что

выполняются условия (3.3) и (3.4), и

2

2 gh M M ,

если хотя бы одно из этих условий не выполнено. В приведённых оценках

константы 2M и

gM не зависят от h .

Квадратурная формула, аппроксимирующая интеграл (3.1), будет иметь вид

1

1

b b n

i i

ia a

f x g x dx L x g x dx c f x

, (3.5)

где

21202

1

1,,

1xaGxaGx

hc ,

3213203

2

21201

1

2,,

1,,

1xxGxxGx

hxaGxaGx

hc ,

1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

1

1 1, , , , ,i i i i i i i i i i i

i i

c x G x x G x x x G x x G x xh h

3, , 2 ,i n

88

bxGbxGxh

xxGxxGxh

cnnn

n

nnnnn

n

n,,

1,,

11110

1

1211202

2

1

,

bxGbxGxh

cnnn

n

n,,

111101

1

.

Отметим, что при доступности точного вычисления моментов от функции

xg более высокого порядка, т.е. интегралов вида

dxxgxn , и при

достаточной гладкости функции xf можно получить более точные

квадратурные формулы для интеграла (3.1), аппроксимируя функцию xf

полиномом Лежандра xLn

.

3.2 Вычисление потенциала эллипсоида

Рассмотрим проводящее тело V с заданной объёмной плотностью заряда ,

ограниченное поверхностью эллипсоида. Выберем систему координат с

началом в центре эллипсоида, оси которой направлены по главным осям

эллипсоида. Потенциал тела в точке 00000

,, zyxMM определяется

формулой

0

0V

MU M dv

M M

, (3.6)

где M – текущая точка интегрирования, dv – элемент объёма тела.

Перейдём к сферическим координатам r,, . Тогда формула (3.6) примет

вид

, 22

02 2

0 0 0 0 0

, ,sin

2 cos

Rr r

U M d d drr rr r

, (3.7)

где – угол между векторами OM и 0

OM ,

000

cossinsincoscoscos , ,R – расстояние от центра

эллипсоида до его поверхности для заданных углов и .

89

Пусть плотность является непрерывной функцией по каждой из

переменной. Тогда для численного вычисления внутреннего интеграла в (3.7)

можно применить квадратуру, изложенную в предыдущем разделе. Для

фиксированных значений переменных 00

,,, обозначим rrf ,, ,

2

0

2

0

2

cos2 rrrr

rrg

. Вычислив интегралы от функции rg , получим

1

1 0 1 0,i

i

r

i i i i

r

G r r g r dr G r G r

, (3.8)

где

2 2

0 0 0

13 cos 3cos 1 ln

2G x x r sq x r w x

, (3.9)

2 2

0 0 02 cos , ( ) cossq x r r x x w x sq x x r . (3.10)

Для вычисления полного внутреннего интеграла в (3.7) воспользуемся

составной квадратурной формулой (3.2), где интегралы по элементарным

отрезкам вычислены по формуле (3.8). Прежде чем приступить к численному

интегрированию второго интеграла в (3.7), необходимо отметить, что после

проведения первого интегрирования в подынтегральном выражении

остаются слагаемые с особенностями в функциях 0 iG r . Однако это уже

слабая логарифмическая особенность, которая может быть учтена при

численном интегрировании путём введения новой переменной.

Действительно, рассмотрим слагаемое с особенностью в точках 0

rri

0 0ln ln 1 cos 2 1 cosw r r

.

Аргумент логарифма обращается в нуль при 0 , т.е. когда 0

и 0

.

Если 0

, то

00000

cos1sin2cos1sinln r ,

и для интегрирования второго из интегралов в (3.7) введём замену

переменной 3

0t . Нетрудно показать, что 0cos1lnlim 32

0

tt

t, а

90

функция 2

0 , ,t G t x непрерывна по новой переменной t . Тогда численное

интегрирование по переменной t будет без особенностей.

Отметим, что 0 для любых значений , если 0

и 00 или

0.

Однако, поскольку при интегрировании по второй переменной значение

первого интеграла помножается на множитель sin (см. формулу (3.7)), то

эта особенность является устранимой. А так как 0

limsin ln sin 0

, то эта

особенность не создаёт проблем и при численном интегрировании.

3.3 Вычисление напряжённости поля проводящего

эллипсоида

Напряжённость электрического поля проводника в сферической системе

координат является вектором

0 0 0 0 0 0

1 1, ,

sin

T

U U U

r r r

E = .

В данном разделе рассмотрим вычисление каждой компоненты этого вектора

для проводящего эллипсоида по отдельности.

3.3.1 Составляющая напряжённости поля по координате 0r

Для фиксированных значений переменных 00

,,, обозначим

rrf ,, , 2

2 20 0 02 cos

rg r

r r rr r

.

Тогда функция 0G x в формуле (3.8) будет иметь следующий вид

2

0 0 3cos 1 lnrG x x r w x , (3.11)

где

2 2 2

0 0cos 1 6cos 3 cosr

x xr rx

sq x

,

91

а sq x и w x определены в (3.10). В формуле (3.11) появилась новая

особенность, так как функция r x стремится к бесконечности при 0 и

0x r .

Однако, если по переменной r заданы равномерные узлы до границы тела и

точки, где вычисляются компоненты силы эллипсоида, расположены

посередине этих узлов, то при 0

0 0 02 2 6r rr r r r r ,

и функции 1,i iG r r в (3.8) не имеют особенностей, кроме логарифмической.

3.3.2 Составляющая напряжённости поля по координате 0

Для фиксированных значений переменных 00

,,, обозначим

rrf ,, , 2

2 20 0 02 cos

rg r

r rr r

.

Тогда функция 0G x в формуле (3.8) будет иметь следующий вид

0 0 0cos 3 cos lnG x r x r w x , (3.12)

где 0

coscos

, а

22 20 0 00 0

2

cos6 cos 3

sin

r x r r sq xx r x rx

sq x sq x

.

По сравнению с формулами (3.9) и (3.11) в (3.12) появилась новая

особенность во втором слагаемом функции x . Эта особенность не может

быть преодолена при последующем интегрировании путём замены

переменных или выбором подходящей сетки. По этой причине при

численном вычислении второго интеграла необходимо применить

квадратуру (3.2) повторно. В этом случае при вычислении первого интеграла

помножим функцию 0G x на множитель 2sin

cos

и обозначим

приближенное значение для первого интеграла, вычисленное с этим

92

множителем для фиксированных значений 0, , за 1 0,I . Тогда, вводя

обозначения

1 0,f I , 2

sin cos

sing

,

можно применить квадратуру (3.2) повторно для вычисления второго

интеграла. Проинтегрировав функцию g по каждому элементарному

отрезку 1,j j

, получим

1

2

1 2 3

1 1 12 2

0 1

sin cos

sin

1, , , ,

1 sin sin

j

j

j j j j j j

d

(3.13)

где 1 0 ,

1

1 0 1 1 1 1, sin 2 sin cos ,j j j jv ,

2 2 2

1 0 1 0 2 1, 0.5sin 1 sin 1 cos ,j j j jv

,

3 2 2

1 0 1 0 1 1, cos cos 1 sin sinj j j j ,

12 2

0 1 0 1

1 1

0 1

1 sin cos 0.5sin 2 cos, arctg

sin sin

j

j

tg

j j

tg

v

, (3.14)

12 2 2 2

0 1 0 1 0

2 1 2

1 sin cos sin 2 cos sin, ln

1

j

j

tg

j j

tg

v

. (3.15)

Интеграл (3.13) и функция 2 1,j jv имеют единственную особенность в

точке 0 0, j , но эта особенность уже логарифмического типа,

которая может быть учтена заменой переменной при последующем

интегрировании (см. п.3.2).

93

3.3.3 Составляющая напряжённости поля по координате 0

Для фиксированных значений переменных 00

,,, обозначим

rrf ,, , 2

2 20 0 02 cos

rg r

r rr r

.

Тогда функция 0G x в формуле (3.8) примет вид

0 0 0 0 0sin sin sin 3 cos lnG x r x r w x ,

где

22 20 0 00 0

2

cos6 cos 3

sin

r x r r sq xx r x rx

sq x sq x

. (3.16)

Так же как и в предыдущем подразделе, во втором слагаемом функции x

имеется особенность, для учёта которой необходимо применить

предложенную квадратуру (3.2) и для вычисления второго интеграла. При

вычислении первого интеграла помножим функцию 0G x на множитель

2

0

sin

sin sin

и обозначим приближенное значение для первого интеграла,

вычисленное с этим множителем для фиксированных значений 0, , за

2 0,I . Тогда, вводя обозначения

2 0,f I , 2

0

2

sin sin

sing

,

можно применить квадратуру (3.2) повторно для вычисления второго

интеграла. Проинтегрировав функцию g по каждому элементарному

отрезку 1,j j , получим

1 2

0 2

1 2 3

1 1 12 2

0 1

sinsin

sin

1, , , ,

1 sin sin

j

j

j j j j j j

d

(3.17)

где 1 0 и

94

1 2 2 2

1 0 1 1 0 0 1 1, sin cos sin cos sin ,j j j jsign v ,

2

1 1 0 0 1 2 1, sin sin cos cos ,j j j jv ,

3 2 2 2

1 1 0 0 1 1, sin cos sin cosj j j j ,

а функции 1 1,j jv и 2 1,j jv

определены в предыдущем подразделе.

Интеграл (3.17) и функция 2 1,j jv имеют единственную

логарифмическую особенность, которая учитывается заменой переменной

при последующем интегрировании.

3.4 Аналитическое вычисление потенциала и

напряжённости поля проводящего эллипсоида для

функции плотности специального вида

Рассмотрим эллипсоид в декартовой системе координат с большой полуосью,

направленной по оси OZ , поверхность которого удовлетворяет уравнению

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x.

Пусть этот эллипсоид имеет эллиптическое распределение плотности заряда,

принимающее постоянное значение на поверхностях подобных эллипсоидов,

удовлетворяющих уравнению

1,0,2

2

2

2

2

2

2

kkc

z

b

y

a

x,

где 0k соответствует центру, а 1k – поверхности исходного эллипсоида.

Тогда плотность будет функцией только одного параметра k

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xkM .

3.4.1 Потенциал эллипсоида

Потенциал эллипсоида с таким распределением плотности равен [30]

95

dssR

kabcMU

2

0 , (3.18)

dkk

1

2

2

, (3.19)

scsbsasR 222 , (3.20)

sc

z

sb

y

sa

xk

2

2

0

2

2

0

2

2

02 , (3.21)

TM

TM

00

0

,

,0

, (3.22)

а 0

удовлетворяет уравнению

10

2

2

0

0

2

2

0

0

2

2

0

c

z

b

y

a

x .

Для иллюстрации изложенного в предыдущих разделах способа численного

расчёта потенциала рассмотрим вытянутый эллипсоид вращения вокруг оси

OZ с наибольшей полуосью единичной длины и другими полуосями,

равными . Функцию плотности выберем так, чтобы интеграл (3.18) мог

быть вычислен аналитически. Пусть

21

1

. (3.23)

Перейдём в сферическую систему координат , ,r . Тогда из (3.23) следует,

что плотность эллипсоида в точке, удовлетворяющей уравнению

22 2

2

sincosr

, будет равна

21

1

. Тогда

2

2

2

12

1

k

kk

, (3.24)

и из формул (3.18), (3.20), (3.21), (3.24) получим, с учётом того, что для

данного случая ba , 1c

2

02

U M s ds

, (3.25)

96

где

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

22 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 sin cos 1

11 1 sin cos

s s s r s rs

s ss s s r s r

.

Интеграл (3.25) можно вычислить аналитически

2 2 22 1 0 0

0 02 2

1 2 2

2 2 221 2 0 0

2 2

1 2 1

1 cos, 1

1 1

cos 11 ,

1 1 1

q s s rU r

s s s

q s s rq

s s s

(3.26)

где 1

s и 2

s – наименьший и наибольший корень параболы

2 2 2 2 2 2 2 2

1 0 0 0 01 sin cosp s s s r r , 1 , 1s , 2 1,0s ,

011

2 1q s s arctg

s

, 0

0

1 11 ln

sq s s

s

,

а 0 – наибольший корень параболы

2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 0 0 01 sin cosp s s s r r .

Нижний предел интегрирования в формуле (3.25) определяется формулой

(3.22), где 0 удовлетворяет уравнению

2 22 0 0

0 2

0 0

sin cos1

1r

.

3.4.2 Компоненты напряжённости поля проводящего эллипсоида

Компоненты напряжённости поля эллипсоида в декартовой системе

координат, имеющего эллиптическое распределение плотности заряда 2k ,

определяются формулами [30]

2

22

k dsUabcx

x a s R s

,

97

2

22

k dsUabcy

y b s R s

, (3.27)

2

22

k dsUabcz

z c s R s

,

где функция R s и определены в (3.20) и (3.22).

Для проведения численных экспериментов будем рассматривать, как и в

предыдущем подразделе, вытянутый эллипсоид вращения с полуосями

ba , 1c .

Необходимо отметить, что далеко не для всякой функции плотности 2k

можно получить аналитическое решение уравнений (3.27). В частности, и

для плотности, определённой формулой (3.23). По этой причине выберем

другую функцию плотности, для которой такое решение может быть

получено:

1

1

. (3.28)

Перейдём к сферическим координатам. Тогда компоненты напряжённости

поля эллипсоида вращения с плотностью, заданной формулой (3.28), в этих

координатах будут равны

2 2 2

0 1 0 2 0

0

2 , sin , cosU

r Q Qr

, (3.29)

2 2

0 0 1 2

0

sin 2 , ,U

r Q Q

, (3.30)

где

1 2

1,

sQ ds

L s s

,

2

1,

1Q ds

L s s

,

2 2 2 2 2 2

0 0 0 01 1 sin cosL s s s r s r s .

98

Так как для эллипсоида вращения потенциал не зависит от переменной 0 , то

0

0U

.

Интегралы 1 ,Q и 2 ,Q могут быть вычислены аналитически

2 2 2

1 1 2 2 1 1 2

1 2

2,

S

Q s q s s q s s s qs s

,

2 1

2

1 2 2 1

2,

1 1

q s q sQ

s s s s

.

Функции q s и q s , а также параметры 1s , 2s , S определены в

предыдущем подразделе.

3.5 Численные эксперименты

В сферической системе координат потенциал эллипсоида вращения является

функцией только двух координат 0

и 0

r .

Для вычисления интеграла (3.7), а также производных от него по

переменным 0r и 0 выберем равномерную сетку по координате r для точек

внутри тела и неравномерную для точек вне тела. По другим координатам

выберем равномерные сетки. Для эллипсоида вращения верхний предел во

внутреннем интеграле будет функцией, зависящей только от координаты ,

222 cossin R . Функция плотности в (3.23) и (3.28) также будет

функцией, зависящей только от переменных и r . Так как потенциал

эллипсоида вращения является функцией, не зависящей от координаты 0

, то

для учёта логарифмической особенности при последующем интегрировании

достаточно произвести замену переменной 2t .

99

Обозначим за

,100 1

,

j k

jk

j k

U r

U r

погрешность вычисления в

процентах в точке kj

r, для приближённого значения потенциала ,j kU r , в

котором внутренний интеграл в (3.7) вычислялся по формуле (3.2),

относительно точного значения потенциала в этой точке kj

rU , ,

вычисленного по формуле (3.26). Значения средней 1 1

1 r NN

av jk

k jrN N

и

максимальной max,

max jkj k

погрешностей для разных значений числа точек

rN по координате r приведены в таблице 3.1. Количество точек

N по

координате было равно r

NN

. Значение во всех численных

экспериментах было равно 0.5, количество точек N по координате

полагалось равным 100, значения 0

r изменялись в промежутке от 0.001 до 10.

Для каждого значения j

количество узлов на отрезках

R,0 и 10,

R

совпадало.

rN 50 100 200 400

av 0.1331 0.0337 0.0090 0.0027

max 0.4835 0.1361 0.0379 0.0105

Табл.3.1 Значения средних и максимальных погрешностей вычисления потенциала

в процентах для разного количества узлов сетки.

Для иллюстрации численного расчёта компонентов напряжённости поля

проводящего эллипсоида в качестве характеристики ошибки вычислений

выберем другую погрешность, поскольку компоненты напряжённости поля,

вычисленные по формулам (3.29), (3.30), могут принимать в некоторых

точках области слишком малые по модулю значения.

100

Обозначим за

0 0

, ,r

jk j k j k

U Ur r

r r

,

0 0

, ,jk j k j k

U Ur r

погрешности вычисления компонентов напряжённости поля эллипсоида в

точке kj

r, для приближённых значений функций 0

,j k

Ur

r

,

0

,j k

Ur

относительно точных значений функций в этой точке

0

,r

jk j k

Uu r

r

,

0

,jk j k

Uu r

, вычисленных по формулам (3.29), (3.30). Средние и

максимальные погрешности для компонентов напряжённости поля

эллипсоида будем вычислять по формулам

2 2

1 1 1 1

r rN NN Nr r r

av jk jk

k j k j

u

,

2 2

1 1 1 1

r rN NN N

av jk jk

k j k j

u

,

max

, ,max max

r r r

jk jkk j k j

u ,

max

, ,max maxjk jk

k j k ju

.

Значения погрешностей вычисления компонентов напряжённости поля для

тех же значений численных параметров, как и при вычислении потенциала,

приведены в таблице 3.2.

rN 50 100 200 400

r

av 0.2694 E-2 0.8454 E-3 0.2919 E-3 0.1180 E-3

max

r 0.1391 E-1 0.6848 E-2 0.3405 E-2 0.1701 E-2

av

0.9187 E-2 0.3699 E-2 0.1586 E-2 0.6930 E-3

max

0.2702 E-1 0.1291 E-1 0.6274 E-2 0.3069 E-2

101

Табл. 3.2 Значения средних и максимальных погрешностей вычисления компонентов

напряжённости поля для разного количества узлов сетки.

При вычислении компоненты напряжённости поля по координате 0 будем

рассматривать потенциал 0 0 0, ,U r как функцию трёх переменных для

эллипсоида вращения. Пусть

1 1 1 0

1, ,

rN NN

av i j k

i k jr

Ur

N N N

,

max, ,

0

max , ,i j kk j i

Ur

.

Тогда 100.2 10av

,

9

max 0.4 10

для всех значений rN .

Значения погрешностей, приведённых в таблицах, показывают увеличение

точности при двукратном увеличении узлов по каждой из координат r и :

в диапазоне от 3.33 до 4-х раз при вычислении потенциала, в диапазоне от 2.3

до 3 раз для среднеквадратичной погрешности компонентов напряжённости

поля, и приблизительно в 2 раза для максимальной погрешности

компонентов напряжённости поля.

Данные расчётов позволяют заключить, что численная апробация

разработанного метода вычисления объёмного потенциала и напряжённости

поля эллипсоида является успешной. Для достижения любой заданной

точности достаточно увеличения количества точек расчётной области, что не

всегда является допустимым при применении стандартных методов из-за

наличия сингулярности в подынтегральном выражении.

Отметим, что идея вычисления потенциала и напряжённости поля

проводящего эллипсоида, разработанная в данной главе, может быть

применима и для осесимметричных проводников другой формы.

Программы вычисления потенциала POTELL и напряжённости

электрического поля FORCELL эллипсоидального проводника на языке

FORTRAN зарегистрированы в Государственном реестре программ для ЭВМ

под номерами 2017662812 и 2017662875 соответственно.

102

Глава 4. Осесимметричный проводник

в соосном переменном магнитном поле

Обязательным этапом разработки новых устройств, в которых на

проводник действует переменное магнитное поле, является создание новых

экономичных способов расчета суммарного магнитного поля, гармонически

изменяющегося по времени. Известным подходом для этой задачи является

сведение решения уравнений Максвелла, описывающих такие поля, к

решению интегральных уравнений относительно искомых полей. Если эти

уравнения являются уравнениями II рода, то для численного решения

используется их аппроксимация системой линейных алгебраических

уравнений, полученных методом Галёркина или коллокаций [6, 46]. Для

решения уравнений I рода используются методы регуляризации и

регуляризирующие алгоритмы. Для численного решения задач дифракции

разработаны методы саморегуляризации, учитывающие специфику ядер

уравнений [50]. При решении интегрального уравнения методом

итерированных ядер [35] получим аппроксимацию искомого решения

конечной суммой, слагаемые которой совпадут с членами частичной суммы,

рассмотренной в данной главе.

В настоящей главе исходная задача сведена к решению уравнения для

векторного потенциала, удовлетворяющего уравнению Гельмгольца с

кусочно-постоянным коэффициентом и граничными условиями, заданными

на бесконечности, и предложен метод его решения. Основная идея этого

метода состоит в том, что решение уравнения Гельмгольца с кусочно-

постоянным коэффициентом может быть представлено в виде ряда, каждый

член которого является решением уравнения Гельмгольца с постоянным

коэффициентом в бесконечной области. При этом члены этого ряда

определяются неоднозначно и зависят от вектора параметров, который

выбирается из условия наиболее быстрой сходимости ряда или из условия

103

минимального количества вычислений при численном нахождении каждого

члена ряда. Выбор подходящих компонент для вектора параметров связан с

результатами главы 2. Последующие члены ряда находятся из предыдущих с

помощью известной функции Грина, если магнитное поле меняется по

времени по гармоническому закону exp( )i t . Это позволяет, разлагая в ряд

Фурье любое зависящее от времени внешнее магнитное поле, определить

значение векторного потенциала внутри проводника для более широкого

класса магнитных полей. Но практическое использование сходящегося ряда

имеет смысл только тогда, когда его частичная сумма невысокого порядка

достаточно точно аппроксимирует этот потенциал. Точность аппроксимации

векторного потенциала частичными суммами n -го порядка численно

определялась для проводника, имеющего форму эллипсоида вращения.

Выбор для такого исследования эллипсоида вращения связан не только с тем,

что это – достаточно разнообразный класс тел, но и с тем, что в главе 2 был

найден векторный потенциал магнитного поля, возмущённого

сверхпроводящим эллипсоидом. Это обстоятельство обусловило

преимущественный выбор двух рядов для нахождения векторного

потенциала. Первый член одного ряда был выбран равный векторному

потенциалу внешнего поля, а первый член другого ряда являлся векторным

потенциалом внешнего поля, возмущённого сверхпроводящим эллипсоидом.

Разница в значениях частичных сумм n -го порядка первого и второго ряда

оценивает сверху точность аппроксимации векторного потенциала этими

суммами не только для эллипсоида, но и для произвольного проводника,

который может быть вписан в этот эллипсоид.

В первых двух разделах главы рассматривается постановка задачи, идея и

метод решения, а также аппроксимация и сходимость ряда Неймана в задаче

определения векторного потенциала проводника во внешнем соосном

магнитном поле. В третьем разделе изложен общий метод решения

линейного операторного уравнения, на основе которого в четвёртом разделе

предложено семейство методов, зависящих от вектора параметров, для

104

решения исходной задачи. В пятом разделе разработан и обоснован метод

вычисления напряжённости магнитного поля на оси проводника на основе

сведения уравнения Гельмгольца в бесконечной области к интегральному

уравнению. Векторный потенциал определяется в виде суммы ряда, в

котором основной вклад дают первые члены, поэтому актуальной является

задача наиболее точного определения первых членов этого ряда. Эти

вопросы обсуждаются в шестом разделе. В работе уделено внимание

проблемам, возникающим при численной реализации предложенных

методов. Поскольку функция Грина имеет особенность в точках

интегрирования, совпадающих с точками, где вычисляются значения

функции, то для вычисления интегралов необходимо применять квадратуры

специального вида, аналогичные рассмотренным в третьей главе

диссертации. Такие квадратуры рассматриваются в седьмом разделе. В

восьмом разделе приведены результаты численных экспериментов по

вычислению потенциала внутри проводника и напряжённости магнитного

поля на его оси.

4.1 Проводник в переменном магнитном поле: постановка

задачи и идея решения

Осесимметричное внешнее магнитное поле, имеющее ту же ось

симметрии, что и проводник, индуцирует круговые токи вокруг его оси.

Поэтому результирующее магнитное поле имеет ось симметрии,

совпадающую с осью симметрии внешнего поля. Если внешнее магнитное

поле меняется по времени по гармоническому закону exp( )i t , то через

достаточно длинный промежуток времени и результирующее магнитное

поле, и его векторный потенциал ( )exp i tA R будут меняться по времени

по тому же закону. Будем считать, что внешний источник создаёт поле,

которое не зависит от наведённых токов в проводнике. В рассматриваемом

случае, как следует из общего уравнения для векторного потенциала при

105

условии Лоренца [38], амплитуда векторного потенциала ( )A R

удовлетворяет уравнению

2

2 2

2 2

4 4Δ ,ek k i

c c c

A A j , (4.1)

где – электрическая проводимость тела, c – скорость света, – угловая

частота, – магнитная проницаемость, ej – плотность источника стороннего

тока, – характеристическая функция, значение которой равно единице

внутри тела и нулю вне тела. Будем в дальнейшем рассматривать

однородный проводник, хотя следует отметить, что приведённые в этой главе

рассуждения могут быть обобщены на случай, когда проводимость тела

осесимметрична, и её ось симметрии совпадает с осью симметрии

проводника.

Рис. 4.1 Сферическая система координат: ,R и – сферические координаты точки, A –

амплитуда векторного потенциала, n – единичный азимутальный вектор. Ось Z

совпадает с осью симметрии проводника.

106

Поскольку в приведённой на рисунке 4.1 сферической системе координат

полярная ось совпадает с осью симметрии, вектор A имеет только

азимутальную составляющую, которая при заданных значениях и R не

зависит от угла . Пусть 0A – амплитуда векторного потенциала в

отсутствие проводника и существует предел 0 0lim

RA = A . Предположим, что

и решение уравнения (4.1) удовлетворяет таким же граничным условиям на

бесконечности 0lim

RA = A . Уравнение (4.1) можно записать в безразмерных

координатах r , равных прежним координатам R , делённым на 0R –

минимальный радиус шара, в который может быть заключён проводник:

2 2Δ ek A A j , 0R

c

,

2

04 R

c

2k i , (4.2)

где 2

0

2

4 R

c

, а Δ – оператор Лапласа в безразмерных координатах r .

Уравнение (4.2) равносильно уравнению

2 2 2

0Δ k k A A A , (4.3)

где функция 0 A A A удовлетворяет нулевому условию на бесконечности

lim

r

A = 0 . Здесь и далее мы будем подразумевать под термином «нулевые

граничные условия на бесконечности» равномерное стремление функции к

нулю при r . Сходящийся ряд Неймана [39]

2

0

j

j

j

k

A r A r (4.4)

будет решением уравнения (4.2), если каждый член ряда (4.4), начиная со

второго, является решением уравнения Гельмгольца

2

1 1Δ , 0, ,j j j j A A A , (4.5)

с нулевыми граничными условиями на бесконечности. Если 2 настолько

мало, что его влиянием на решение уравнения (4.2) можно пренебречь, то

уравнения (4.5) можно заменить уравнениями Пуассона

107

1Δ , 0, ,j j j A A . (4.6)

Из уравнений (4.6) следует, что при нулевых граничных условиях каждый

последующий член ряда (4.4) определяется из предыдущего по формуле

3

1 0, 0,j j j

Q

G dV G dV A r A r A r

R

,

где Q – объём, занимаемый проводником, в евклидовом пространстве 3R ,

r r – расстояние между точками интегрирования и наблюдения, а

функция 0,G является функцией Грина для уравнения Пуассона,

1

0,4

G

. Это решение является единственным в 3R .

В общем случае при положительном значении 2 решение уравнения (4.5)

имеет следующий вид

3

1 , ,j j j

Q

G dV G dV A r A r A r

R

, (4.7)

где функция ,G является функцией Грина для уравнения Гельмгольца,

которая для расходящейся волны равна exp

4

i

. Докажем единственность

решения уравнения (4.3) в области Q , ограниченный гладкой поверхностью

S , при нулевых граничных условиях на бесконечности.

Теорема 4.1 Решение уравнения (4.3) с нулевым граничным условием на

бесконечности единственно в области Q , если компоненты вектора A –

непрерывные функции с непрерывной производной по нормали к

поверхности S , имеющие непрерывные вторые производные в областях

Q и 3 \ QR , и непрерывные первые производные в Q и 3 \ QR .

Здесь, как и ранее, предполагается, что функция A стремится к нулю

равномерно при r .

Доказательство: Предположим, что существуют два различных решения

уравнения (4.3) 1

A и 2

A :

108

2 2 2

1 1 0Δ k k A A A , 2 2 2

2 2 0Δ k k A A A .

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

0CC 22Δ k , 1 2 C A A .

Для вектора *С , комплексно сопряженного с C , справедливо уравнение:

0CC *22*Δ k .

Поэтому для компонент iC и *

iC векторов C и *C ( 3,2,1i ) справедливы

равенства:

0Δ 22* iii

CkCC , 0Δ *22* iii

CkCC .

Вычитая из первого равенства второе, получим:

* * 2 *2 0i i i i i iC C C C k C C .

После интегрирования последнего равенства по бесконечной области,

интеграл от первого слагаемого будет равен нулю. Действительно, интеграл

по бесконечной области равен сумме интегралов по областям Q и 3 \ QR .

Применяя к каждому из интегралов вторую формулу Грина и учитывая

непрерывность производных по нормали для функций iC и *

iC на границе

области Q и нулевые граничные условия для этих функций на

бесконечности, получим требуемое утверждение. Таким образом,

3

* * 0i i i i

Q

CC dV CC dV R

.

Поскольку подынтегральная функция всегда неотрицательна, равенство

интеграла нулю возможно только при выполнении следующего условия:

0C в области Q . Следовательно, решение уравнения (4.3) в области Q

единственно.

Замечание: Существование решения уравнения (4.3) при более сильных

ограничениях задачи приведено в [80].

Отметим, что при добавлении к положительному коэффициенту в уравнении

Гельмгольца сколь угодно малого мнимого слагаемого решение волнового

109

уравнения в бесконечной области с нулевыми граничными условиями будет

единственным (Принцип предельного поглощения) [40]. В условии

вышеприведённой теоремы мнимое слагаемое добавляется к

положительному коэффициенту уравнения Гельмгольца только в подобласти

всего пространства, и этого достаточно для единственности решения в

подобласти.

В частном случае, когда 2 0 , решение уравнения (4.3) будет

единственным во всём пространстве, поскольку значения искомого решения

определяются на границе тела S однозначно, а внешняя краевая задача

Дирихле для уравнения Лапласа имеет единственное решение при нулевых

граничных условиях.

Если каждый последующий член ряда (4.4) определяется из предыдущего по

формуле (4.7), то решением уравнения (4.2) будет

2

0

0

j

j

k L

A r A r , (4.8)

где оператор L определён на множестве векторов с координатами r как

,Q

L G dV P r P r .

Необходимо отметить, что члены ряда, определяющие векторный потенциал,

различаются при разных частотах и проводимостях только постоянными

коэффициентами при одинаковой координатной зависимости, которая для

каждого члена определяется формой тела и конфигурацией внешнего

магнитного поля.

4.2 Метод решения, аппроксимация и сходимость ряда Неймана

Уравнение (4.2) является уравнением Гельмгольца с кусочно-постоянным

коэффициентом и граничными условиями, заданными на бесконечности.

Идея предложенного метода состоит в том, что решение уравнения (4.2)

находится в виде суммы решений уравнений Гельмгольца с постоянными

110

коэффициентами в бесконечной области. Решение каждого такого уравнения

может быть найдено путём интегрирования с известной функцией Грина и

эти интегралы вычисляются по конечному объёму тела. Модификации этого

метода, где будут рассмотрены другие ряды для решения уравнения

Гельмгольца с кусочно-постоянными коэффициентами, позволяющие

получить сходящееся решение при больших значениях коэффициентов 2k ,

будут рассмотрены в следующих разделах.

Найдём достаточное условие сходимости ряда Неймана (4.4). Из формулы

(4.7) получим оценку

3 3

3

1

1sup sup sup

4j j dV

r

A r A rr rR R

R

.

Если область, занимаемая проводником, является шаром единичного

радиуса, то интеграл 3

dV

r r

R

достигает максимума ( 2 ) при 0r .

Поэтому, когда область Q лежит внутри этого шара, получаем следующую

оценку:

3 3

1

1sup sup

2j j A r A r

R R

Следовательно, в этом случае достаточным условием сходимости ряда (4.4)

будет 2 2k . Частичная сумма ряда

2

0

nj

n j

j

k

C r A r (4.9)

аппроксимирует точное решение уравнения (4.2) с ошибкой, значение

которой не превышает 3

12

02

/ 2sup

1 / 2

n

k

k

A

R

. Поэтому при численных расчетах

точность аппроксимации искомого решения суммой (4.9) можно

контролировать с помощью этой величины. Теоретически такой контроль

возможен лишь при 2 2k , хотя, как показывают численные

эксперименты, сумма (4.9) при достаточно больших значениях n сходится и

111

при других значениях 2k , по крайней мере вплоть до 2k =9. Поэтому при

значениях 92 k вычислять векторный потенциал с помощью (4.9) нужно

до тех пор, пока вклад последующего члена в эту сумму не станет

пренебрежимо мал.

4.3 Разложение в ряд решения линейных операторных

уравнений

В данном параграфе изложим общий метод решения линейного операторного

уравнения, который будет применён в следующих подразделах. Основная

идея состоит в том, чтобы представить решение этого уравнения в виде ряда,

каждый член которого является решением другого операторного уравнения,

которое может быть разрешимо более удобным образом.

Пусть nQR – открытая область в n -мерном пространстве nR ,

ограниченная поверхностью Q , Q Q Q . Обозначим за и F ,

C Q , F C Q , подпространства пространства непрерывных функций,

определённых в Q . Определим счётное множество линейных операторов

0 1, , , , , : FnL H H H , таких, что FL C Q , F ,iH C Q

0,1,i для любого . Обозначим за G пространство следов функций

из пространства на границе Q . Определим подмножества пространства

:

| , GQ

D

, 0 | 0Q

D

.

Рассмотрим задачу математической физики в операторной форме

L f в Q , (4.10)

где L – линейный оператор, F, Gf , D , и предположим, что

множества 0,D D не пустые.

112

Решение уравнения (4.10) будем искать по итерационной процедуре

0 0L H f , (4.11)

1 1i i i iL H H , 1i , (4.12)

где одна из функций k D , а все остальные функции 0i D , 0,i i k ,

имеют нулевые граничные условия на Q . Если ряд

0

i

i

(4.13)

сходится, и выполнено условие

lim 0n nn

H

, (4.14)

где – норма в пространстве F , то этот ряд является решением уравнения

(4.10). Нетрудно заметить, что если iH являются линейными ограниченными

операторами, то условие (4.14) выполнено.

Заметим, что итерационная процедура (4.11) – (4.12) может быть

осуществлена в пространстве функций , а из множества полученных

решений выбираются функции D .

Предложенный метод решения имеет очевидную предпосылку для его

применения в том случае, когда для каждого оператора iL H известен

явный вид обратного к нему оператора 1

iL H

.

Для иллюстрации вышесказанного найдём функцию 2C R , когда

оператор L в (4.10) определён формулой

2

2

2

kdL x

dx , (4.15)

где 2 и k – вещественные постоянные. Пусть 2 k

iH x для любых 1i .

Тогда уравнения (4.11) и (4.12) примут следующий вид

2

0

20

d

dx

, (4.16)

2

2

12

kii

dx

dx

. (4.17)

113

Общее решение уравнения (4.15) будет равно сумме общего решения

уравнения (4.16) и частных решений уравнений (4.17)

0 1 2c c x ,

22

1 2

1 2 3 2 1 3 2 5 2 1! 2

i ki

i i

x c c x

k k ik i k k ik ii k

,

где 1c и 2c – произвольные постоянные. Таким образом, общее решение

уравнения (4.10) для оператора L , заданного в (4.15), примет следующий вид

2 2 1

1 2

0 1 2 3 2 1 3 2 5 2 1! 2

i ii k

ii

b x b xx

k k ik i k k ik ii k

,

где 1b и 2b – произвольные постоянные. При 0k решение этого уравнения

определяется очевидным равенством

1 2bch x b sh x .

4.4 Семейство методов для решения уравнения Гельмгольца

При больших значениях 2k (например, для шара при 2 10k ) частичная

сумма (4.9) не может быть использована для аппроксимации решения

уравнения (4.2), так как она хуже аппроксимирует решение с увеличением её

порядка n . В этом случае решение уравнения (4.2) можно представить в виде

другого ряда, выбранного из семейства рядов, зависящих от вектора

параметров j

K , на основе метода, изложенного в предыдущем разделе.

Применим этот метод для решения уравнения (4.2). В этом случае искомое

значение амплитуды векторного потенциала можно записать в виде ряда

0

,j j

j

A r B r K , (4.18)

где 0B r – решение уравнения

2 2

0 0 0Δ ek B B j , (4.19)

114

удовлетворяющее такому же условию на бесконечности, как и A r . Все

последующие члены ряда (4.18) – решения неоднородных уравнений

Гельмгольца с нулевыми граничными условиями на бесконечности:

2 2 2 2

1 1 1Δ , 0,1,j j j j jk k k j B B B . (4.20)

Каждый последующий член ряда (4.18) определяется через предыдущий по

формуле [39]

3

2 2

1 1 1, , ,j j j j j jk k G k dV B r K B r K

R

, 1,2,j , (4.21)

где 2

j

2

jkk , а 0 1, , ,j jk k kK – вектор параметров размера 1j .

Если ряд (4.18), в который входят слагаемые (4.21), сходится, то этот ряд

будет решением уравнения (4.2). Сходимость ряда улучшится, если

использовать мнимые значения jk , в частности jk i k . Это связано с тем,

что наличие убывающих экспоненциальных функций в правой части

формулы (4.21) уменьшает каждый последующий вычисленный член ряда в

большей степени, чем это было в формуле (4.7).

Рассмотрим другой выбор первых двух членов в ряде (4.18). Пусть

2 2

0 0 0Δ ek B B j , (4.22)

2 2 2 2

1 1 1 0 0Δ k k k B B B . (4.23)

где параметр 0k выбирается таким образом, чтобы удовлетворить условию

быстрой сходимости ряда (4.4). На первый взгляд, выбор таких уравнений

является малопривлекательным с практической точки зрения, так как в этом

случае необходимо получить решение уравнения (4.22) в виде ряда Неймана

по формулам (4.7). Однако при таком выборе первых двух уравнений

существует один частный случай, когда решение уравнения (4.22) можно

получить аналитически, а решение уравнения (4.23) свести к вычислению

поверхностного потенциала. Этот случай будет рассмотрен более подробно в

разделе 4.6.

115

4.5 Приведение к интегральному уравнению и нахождение

осевой напряжённости поля

Искомое значение векторного потенциала удовлетворяет интегральному

уравнению, зависящему от параметра 0k , если все коэффициенты вектора

параметров jK одинаковые, т.е.

0jk k для любого значения j .

Действительно, из (4.18) и (4.21) получим:

3

2 2

0 0 0

0

,j

j

k k G k dV

A r = B r B r

R

.

Отсюда

3

2 2

0 0 0 ,k k G k dV A r B r A r

R

. (4.24)

Интегральное уравнение для векторного потенциала можно получить и тогда,

когда два первых члена ряда заданы уравнениями (4.22), (4.23), а все

остальные значения вектора параметров одинаковые, т.е. 1jk k для любого

значения j , 0j . Обозначим 0 A r A r B r . Тогда

3

2 2

0 1 1 1

1

,j

j

k k G k dV

A r = B r + B r B r

R

и 3

2 2

1 1 1,k k G k dV A r B r A r

R

. (4.25)

Интегральное представление векторного потенциала является удобным

инструментом для нахождения модуля напряжённости магнитного поля H

на оси проводника. Поскольку вектор A имеет только азимутальную

составляющую, то модуль напряжённости магнитного поля в произвольной

точке пространства равен

2 2

1 1 sin

sin

rA AH

r r

. (4.26)

Однако формула (4.26) является непригодной для вычисления

напряжённости на оси проводника, поскольку в ней присутствует

116

неопределённость при 0 . Нетрудно показать, что осевая напряжённость

поля равна 0

2 AH r

r

. Тогда из (4.24) следует, что напряжённость

магнитного поля на оси может быть определена по формуле

3

2 2

0 0 0

0

2, , cosH r H r k k A r G k dV

r

R

, (4.27)

где 00

0

2 BH r

r

, когда члены ряда определены формулами (4.19) и

(4.20), при условии, что 0jk k для любого значения j ; и

3

2 2

1 1 1

0

2, , cos

E

H r H r k k A r G k dVr

, (4.28)

где 0 1

1

0

2 B BH r

r

, когда члены ряда определены формулами

(4.22), (4.23) и (4.20), при условии, что 1jk k для любого значения j . Здесь,

а также и в формуле (4.20) 1,2,j .

Формула (4.27) использовалась для вычисления напряженности магнитного

поля на оси шара при 2 6k , для вычисления векторного потенциала

использовались формулы (4.18)–(4.20). На рисунке 4.2 приведены

зависимости амплитуды осевого магнитного поля от осевой координаты z .

117

Рис. 4.2a Зависимости амплитуды осевого магнитного поля от осевой координаты z

при 2k 6 и разных значениях 2 : 2 0 (1); 2 6 (2); 2 30 (3).

118

Рис. 4.2b Зависимость амплитуды осевого магнитного поля

от осевой координаты z при 2k 6 и 2 480 .

Векторные потенциалы внешних полей, бегущих справа налево,

определялись по формуле

0

1sin exp cos

2r i r A r n ,

где

cossinyx

iin единичный азимутальный вектор (рис. 4.1), а 2

принимало значения 0, 6, 30, 480.

4.6 Выбор первого члена суммы

Для ряда (4.20) частичная сумма

0

, ,n

n n j j

j

D r K B r K , (4.29)

119

может быть применена для нахождения приближенного решения при

больших значениях 2k . В последующих численных экспериментах

значением величины 2 пренебрегалось, поскольку в большинстве

практических приложений она существенно меньше чем 2k . Поскольку

основной вклад в сумму (4.29) определяется ее первыми членами, то

необходимо иметь достаточно точное решение уравнения (4.19), чтобы

избежать дополнительных погрешностей при дальнейших итерациях. Один

из очевидных вариантов – выбор в формуле (4.19) значение параметра 0 0k ,

тогда первый член в сумме (4.29) совпадет с потенциалом внешнего

магнитного поля, невозмущенного проводником. В этом случае для

сферической системы координат первый член 0B r в однородном

магнитном поле определяется формулой

0

1sin

2r B r n . (4.30)

Для проводника, помещенного в магнитное поле, амплитуда которого

вдоль оси симметрии пропорциональна осевой координате z , значение

первого члена 0B r в сферической системе координат определяется по

формуле

2

0

1sin cos

2r B r n , (4.31)

а при квадратной зависимости амплитуды вдоль оси от осевой координаты,

значение первого члена ряда будет равно

nrB 1cos5sin8

1 23

0 r . (4.32)

Другой, менее очевидный вариант – выбор 2

0k . Тогда первый член

частичной суммы (4.29) совпадет с векторным потенциалом внешнего

магнитного поля, возмущённого сверхпроводником. В этом случае 0B r вне

тела состоит из суммы потенциалов внешнего поля и поверхностных токов и

определяется формулой

120

0

1 1sin

2 4S

r dS

j

B r nr r

, (4.33)

где S – поверхность тела, а j – приведённая поверхностная плотность

токов проводника. Внутри тела значение 0 B r 0, а следующий член ряда

1B r определяется формулой

1 1,S

G k dS B r j . (4.34)

Необходимо отметить, что если для всех последующих членов частичной

суммы в (4.29) значения параметров будет выбрано из условия jk k ,

1, ,j , то интегрирование в формулах (4.21) будет производиться только

в области 3 \ QR , где Q – область, занимаемая телом.

В главе 2 была определена плотность поверхностного тока сверхпроводящего

эллипсоида вращения с полуосями, соответственно равными 1 и (полуось

единичной длины направлена по оси симметрии), расположенного на оси

осесимметричного магнитного поля, которое изменяется на этой оси как

полином степени n . Для случаев однородного магнитного поля, поля с

амплитудой на оси симметрии пропорционального осевой координате z , и

при квадратной зависимости амплитуды вдоль оси от осевой координаты,

значения плотности поверхностного тока примут следующий вид

соответственно:

0 11

1 22

2

2 13 33

, ,

, ,

, .

G

G z

G G z

j n

j n

j n

(4.35)

где 2 4 2

sin,

sin cos

, значение осевой координаты z связано с

текущими сферическими координатами соотношением

2 2 2

cos

sin cosz

, а значения коэффициентов 11 13 22 33, , ,G G G G

121

определены в (2.51). Для шара 1 значения этих коэффициентов

принимает более простой вид, и они равны:

11 1.5G , 13 0.875G , 22 2.5G , 33 4.375G .

Поскольку векторный потенциал и все члены ряда в его разложении имеют

только азимутальные составляющие, то все поверхностные и объёмные

интегралы от некоторых функций SP r и QP r , заданных на поверхности и

в объёме эллипсоидального проводника, могут быть представлены в

сферических координатах в следующем виде

2 2 4 2

2

22 2 2

0 0

sin cos sin cos,

sin cosS S

S

dS P d d

P r n , (4.36)

2

2

0 0

sin cos , ,

R

Q Q

Q

dV r P r dr d d

P r n , (4.37)

где 2 2 2sin cos

R

. Формулы (4.36) и (4.37) использовались при

вычислении интегралов.

4.7 Вычисление компонентов суммы

Функция Грина имеет особенность в точках интегрирования r = r . По этой

причине для численного интегрирования необходимо применять

квадратурные формулы специального вида, учитывающие эту особенность.

Все интегралы, вычисляемые в формулах (4.7), (4.21), являются объёмными

потенциалами с некоторыми заданными распределениями плотности. Метод

численного вычисления таких интегралов приведён в главе 3. Аналогичный

подход может быть применён и для численного вычисления поверхностных

интегралов. Как уже было отмечено ранее, для более точного вычисления

искомой амплитуды векторного потенциала необходимо получить хорошее

приближение для первого члена суммы в (4.29). Если 2

0k , то

122

необходимо вычислить значение 1B r по формуле (4.34), которая также

имеет особенность в точках r на поверхности тела. Изложим метод

вычисления этого интеграла, основываясь на общем подходе, изложенном в

третьей главе.

Интеграл (4.34) в сферической системе координат для проводника, имеющего

форму эллипсоида вращения, может быть записан в виде

2 21

1 22 2 2

0 0

expsin, cos

2 sin cos

likj

B r d d

, (4.38)

где 1 12

k i (см. формулу (4.2)), 2 2 2 cosr r rr r r ,

2 2 2sin cosr

, cos cos cos sin sin cos , а функции lj ,

0,1,2l , равны второму множителю одной из формул в (4.35), в

зависимости от рассматриваемого случая. Для фиксированного значения

переменной обозначим 1exp( )cosu ik , 1

v

. Зададим по

переменным и равномерную сетку с узлами j и i , несмещённую по

переменной и смещённую по :

11

j jN

, 1, ,j N ,

0.5i iN

, 1

1 22

i ii

, 1 2 0 , 1 2N

, 1, ,i N .

Тогда

1 2

1 2

0 0

1 2 1 2

2i

i

i id V Va b

,

123

где 2 2 2 cos cosa r r rr , 2 sin sinb rr , 0 2

,b

V Fa b

,

1 cosarcsin

2 cos

a b

a b

, а функция F – эллиптический интеграл

первого рода.

Квадратурная формула, аппроксимирующая внутренний интеграл в (4.38),

согласно (3.2), имеет вид

0 0

1 2 1 2

10

2N

i i i

i

u d u V Va b

.

Функция 0

V уже не имеет особенностей, и потому для численного

интегрирования внешнего интеграла в (4.38) применялась квадратурная

формула Симпсона.

4.8 Численные эксперименты

Формулы (4.21), (4.30–4.35) использовались для численного определения

азимутальной компоненты векторного потенциала ,A r при различных

значениях параметра k . Напряжённость магнитного поля на оси проводника

определялась по формулам (4.27), (4.28). Отметим, что постоянные j

k у

вектора параметров jK могут быть произвольными, а потому их выбор

определялся двумя факторами: условием на сходимость частичной суммы

(4.29) к решению уравнения (4.2) и экономичностью численного алгоритма.

Исходя из этих соображений, для однородного магнитного поля эти

постоянные выбирались как 0j

k при 2 6k и 22 kkj при 2 6k , 0j .

Из формулы (4.21) следует, что при таком выборе коэффициентов в первом

случае интегрирование производится только внутри поверхности тела, а во

втором случае – только вне его поверхности. Сходимость ряда во втором

случае будет медленней, чем в первом, но наличие быстро затухающего

124

экспоненциального множителя в правой части уравнений (4.21) позволяет

получить сходящийся ряд при больших значениях 2k . В численных

экспериментах количество точек rN N и N по каждой из координат

выбиралось равным 200, а по координате r была задана неравномерная

сетка со сгущением в точках, близких к границе осесимметричного

проводника.

Точность расчетов определялась либо сравнением значений модулей

азимутальной составляющей векторного потенциала (1)A и (2)A ,

вычисленных с помощью двух разных частичных сумм; либо сравнением

модуля векторного потенциала и модуля напряжённости магнитного поля на

оси с точными значениями для шара [19]. Первый член первой суммы –

векторный потенциал внешнего поля, когда проводник не возмущает

внешнее поле, первый член второй суммы – векторный потенциал

магнитного поля, когда внешнее поле максимально возмущено

сверхпроводником.

Значение квадратичной погрешности модулей амплитуды векторного

потенциала, вычисленных по разным формулам, в расчётных точках области

kr и

j ,

rNk ,,1 ,

Nj ,,1 , определялась формулой

2

(1) (2)

,

1, ,k j k j

k jr

A r A rN N

. (4.39)

Для шара в формуле (4.39) считались квадратичные отклонения

вычисленного модуля векторного потенциала от точных значений в узлах

сетки.

Cходимость метода при вычислении амплитуды осевого магнитного поля

проводящих шаров во внешнем однородном магнитном поле, представлена

на рисунке 4.3. Приведены графики точного и численного решения для

разного порядка частичных сумм в формуле (4.29) и разного выбора

параметра j

k в формулах (4.19), (4.22), (4.23) и (4.20).

125

Рис. 4.3а Зависимость амплитуды осевого магнитного поля

от расстояния r до центра проводящего шара, 2k 6.

1 – точное решение (точки на графике обозначены “х”).

Сплошные линии: 0j

k и 3n (2), 6n (3), 10n (4).

Пунктирные линии: 2 2

jk k и 3n (5), 6n (6), 10n (7).

126

Рис. 4.3b Зависимость амплитуды осевого магнитного поля

от расстояния r до центра проводящего шара, 2k 100.

Точное решение (1); 3n (2), 12n (3), 24n (4).

На рисунке 4.4 представлены графики квадратичных погрешностей

вычисления азимутальной составляющей векторного потенциала для

эллипсоида в зависимости от порядка частичных сумм, иллюстрирующие

сходимость метода. Для однородного поля производилось сравнение с

точным решением, а для неоднородного поля решения, полученные двумя

разными частичными суммами, сравнивались друг с другом. Первый график

демонстрирует типичное монотонное, но более медленное уменьшение

погрешности при выборе параметра j

k из условия 22 kkj . При 0

jk

погрешность уменьшается немонотонным образом.

Рис. 4.4 Убывание среднеквадратичной погрешности в зависимости от порядка

частичной суммы: 1 – 2k 100, 1 , однородное поле;

127

2 – 2k 25, 5.0 , линейное поле; 3 – 2k 25, 5.0 , квадратичное поле.

Обозначим за n среднеквадратичную погрешность для искомых функций,

вычисленных частичной суммой (4.29) с 1n слагаемыми. В таблице 4.1

приведены значения 1n n , характеризующие уменьшение

погрешности с увеличением числа слагаемых частичной суммы.

2

1, 18

6, 0j

n

k k

2 2 2

1, 18

6, j

n

k k k

2 2 2

1, 36

100, j

n

k k k

2

0.5, 18

25

n

k

линейное поле

2

0.5, 18

25

.

n

k

квадратич поле

0.4410 е-03 0.8773 е-02 0.1104 е-01 0.1568 е-03 0.1963 е-02

Табл. 4.1 Относительное уменьшение погрешности в зависимости от значений

коэффициента в уравнении Гельмгольца и вида внешнего поля на его оси.

В первых трёх столбцах таблицы приведены отношения погрешностей от

известного точного решения, в двух последних – отношение погрешностей

амплитуд, вычисленных двумя различными способами. Отметим, что чем

больше сплюснут эллипсоид, т.е. чем меньше параметр , тем больше

значение 2k , при котором можно производить вычисления, полагая 0jk .

Так, при 0.5 такие вычисления были успешно проведены для 2 25k , что

было бы невозможно для шара с 1 .

Данные численных расчетов позволяют сделать вывод о том, что частичная

сумма ряда (4.29), вычисленная разработанными методами, хорошо

приближает искомое значение векторного потенциала в уравнении (4.2), а

выбор параметров j

k позволяет получить сходящееся численное решение для

уравнения (4.2) при различных значениях параметра 2k в уравнении

Гельмгольца.

128

Глава 5. Проводящее тело в переменном магнитном

поле при квазистационарном приближении

В главе 2 аналитически определена плотность тока в виде суммы

конечного числа слагаемых на поверхности сверхпроводящего эллипсоида,

расположенного соосно магнитному осесимметричному полю, которое

изменяется на оси как полином степени n . В главе 4 рассмотрен метод

определения векторного потенциала в виде аналитического ряда в

осесимметричном проводнике, помещенном в соосное магнитное поле.

В настоящей главе разработан и обоснован способ определения в

квазистационарном приближении [19] векторного потенциала в однородном

проводнике, ограниченном односвязной поверхностью с непрерывным полем

нормальных векторов, помещённом в переменное магнитное поле,

гармонически изменяющееся по времени. Особенность задачи состоит в том,

что на поверхности проводника, окружённого непроводящей средой,

возникает электрический заряд. Это обстоятельство вызывает необходимость

рассматривать математическую постановку задачи определения

четырёхмерного потенциала электромагнитного поля.

Исходная задача может быть сведена к решению системы интегральных

уравнений относительно плотности тока вторичных источников,

распределённых по поверхности и в объёме проводника, которые впервые

были сформулированы в [99, 100]. В [101, 102] предложена другая

формулировка задачи, для которой удалось уменьшить количество

интегральных уравнений. В [101, 103] реализована идея различного

интегрального представления решения в области, занятой проводником, и в

области вне её, т.е. для поля в каждой из этих областей вводятся свои

вторичные источники, распределённые по границе раздела сред. Таким

образом, система интегральных уравнений по объёму проводника

преобразована в систему интегральных уравнений по его поверхности.

129

Задача сведена к решению уравнений для напряжённости магнитного поля,

после чего решается задача для напряжённости электрического поля. Однако

даже в последнем случае система интегральных уравнений является

достаточно сложной для её численного решения, и по этой причине в [101]

рассмотрен расчёт плоского электромагнитного поля для бесконечно

длинных цилиндрических проводников (проводов). Решение задачи

дифракции электромагнитного поля на проводящих экранах, тонких

пластинах и оболочках было рассмотрено в [47, 51, 101, 104]. Если

проводник является массивным, и электромагнитная волна, преломляясь на

его границе, проникает в его толщу в направлении, близком к нормали, тогда

на его границе можно поставить приближённые граничные условия

Леонтовича [105], связывающие касательные составляющие вектором

напряжённости электрического и магнитного поля. Использование этого

краевого условия позволяет свести исходную задачу к краевой задаче для

внешней к проводнику области, что значительно упрощает её решение [106].

В этой главе приводится другой метод решения задачи определения

электромагнитного поля в проводнике в квазистационарном приближении.

Задача сводится к решению уравнения Гельмгольца в области, занимаемой

проводником, при условии, что напряжённость электрического поля

тангенциальная на поверхности проводника, а решением задачи с нулевой

проводимостью тела является векторный потенциал внешнего магнитного

поля. Решение этого уравнения находится в виде ряда, каждый член которого

определяется из решения уравнения Пуассона при условии, что правые части

этих уравнений тангенциальные на поверхности проводника. Распределение

поверхностного заряда, который обеспечивает выполнение этого условия при

заданном значении векторного потенциала, находится итерационной

процедурой перед вычислением каждого последующего члена ряда. Для

более эффективного использования численных расчётов разработана и

обоснована идея определения распределения заряда на фиктивной

поверхности, окружающей проводник, создающего электрическое поле

130

внутри проводника, равное полю, создаваемому распределением заряда на

исходной поверхности проводника. Заметим, что предлагаемый метод

фактически является методом последовательных приближений для решения

интегрального уравнения Гаммерштейна, сформулированного в п.5.4 этой

главы.

В заключение отметим, что поле внутри проводника однозначно

определяется векторным потенциалом внешнего поля в области, занимаемой

объёмом проводника.

5.1 Постановка задачи

Пусть в переменное магнитное поле, созданное сторонним током в

непроводящей среде, в которой нет электрических зарядов, помещают

проводящее тело с нулевым зарядом. Предполагается, что в области, куда

помещают проводник, и в самом проводнике нет сторонних источников тока.

При воздействии на него внешнего магнитного поля в проводнике возникает

распределение заряда и начинает циркулировать электрический ток.

Электромагнитное поле внутри проводника определяется уравнениями

Максвелла [19]. Будем считать, что электромагнитное поле и ток в

проводнике удовлетворяют условиям квазистационарности. Первое из них

состоит в пренебрежении током смещения по сравнению с током

проводимости, что можно записать в виде неравенства [19]

,

где – коэффициент проводимости тела, – диэлектрическая

проницаемость, – характерное время изменения магнитного поля. При

увеличении проводимости относительная доля тока смещения уменьшается,

и при достаточно больших значениях доля тока смещения в общем токе

будет настолько мала, что ею можно пренебречь. Второе условие

квазистационарности состоит в пренебрежении эффектами запаздывания

электромагнитных полей, которое можно записать в виде неравенства

131

l c ,

где l – характерный размер тела, c – скорость света. В этом случае связь

между плотностью тока проводимости и напряжённостью электрического

поля можно считать такой же, как в статическом случае [19]

j E ,

а уравнения Максвелла в области внутри проводника переходят в

квазистационарные уравнения [19]:

4rot , div 0 ,

1rot , div 4 ,

c

c t

H j B

BE D

(5.1)

где E и H – напряжённость электрического и магнитного поля внутри

проводника, D и B – индукция электрического и магнитного поля, и j –

плотности зарядов и токов проводника. Доопределим квазистационарные

уравнения решением при нулевой проводимости проводника. Будем считать,

что решением уравнений (5.1) при 0 является известное векторное поле

0E и 0H , индуцированное источником стороннего тока с заданной

плотностью ej .

Квазистационарное поле будем описывать с помощью векторного и

скалярного потенциала, которые введём соотношениями

rotB A , 1

gradc t

AE .

Нетрудно убедиться, что при калибровке div 0A потенциалы

квазистационарного поля в однородном изотропном проводнике будут

удовлетворять уравнениям

4 ,

4,

c

A j (5.2)

где и – диэлектрическая и магнитная проницаемости, D = E , B = H .

Для обратного утверждения о том, что векторный потенциал, определяемый

132

решением уравнений (5.2), является соленоидальным полем, будем

предполагать, что каждая компонента векторного потенциала равномерно

стремится к нулю на бесконечности. Отсюда следует [41], что

lim div 0r

A = . (5.3)

Из квазистационарных уравнений имеем

div 0j . (5.4)

Взяв дивергенцию от обеих частей второго уравнения в (5.2), получим

гармоничность по пространственным переменным для функции divA . Но

тогда из (5.3) следует, что div 0A .

Из (5.4) также следует распределение всего заряда по поверхности

проводника. Действительно, внутри однородного проводника с

проводимостью в переменном магнитном поле нет электрического заряда,

так как в этом случае справедливо равенство

1

div div grad 4 0c t

AE .

Не появляется электрический заряд и вне проводника из-за нулевой

проводимости в этой области. Поэтому заряд возникает только на

поверхности S проводника Q Q S , и векторный потенциал удовлетворяет

уравнению

4 1

gradc c t

AA , (5.5)

где – скалярный потенциал от заряда на поверхности S . Будем считать,

что поверхность S обладает непрерывным полем нормальных векторов. В

рассматриваемом квазистационарном приближении нормальная

составляющая тока в проводнике вблизи его поверхности стремится к нулю

[19], так как плотность нормальной составляющей тока, которая создаёт

заряд на поверхности проводника, при пренебрежимо мала по

сравнению с её тангенциальной составляющей, и выполняется следующее

граничное условие в точках внутри тела, ближайших к его поверхности:

133

Sn

1grad 0

c t

A . (5.6)

Здесь и далее вектор с символом Sn в индексе будет обозначать проекцию

вектора на внешнюю нормаль в точке поверхности S .

Формула (5.6) однозначно определяет градиент скалярного потенциала по

заданным значениям производной от нормальной составляющей векторного

потенциала не только во внутренних точках поверхности, но и везде внутри

проводника. Действительно, скалярный потенциал является решением

второй краевой задачи

Sn int

S

0 ,

, ,n

Q

S

r

U r (5.7)

где 1

c t

AU , intS – внутренняя часть поверхности S . Для её решения

необходимо, чтобы интеграл от правой части второго уравнения в (5.7) по

поверхности S был равен нулю. По условию div 0A , тогда и div 0U ,

откуда следует, что поток вектора U равен нулю, и, следовательно, решение

второй краевой задачи (5.7) существует и определено с точностью до

константы. Таким образом, градиент скалярного потенциала однозначно

определён в области Q .

Ввиду того, что скалярный потенциал от заряда проводника является

гармонической функцией по пространственным переменным внутри и вне

поверхности, из закона Кулона следует, что его градиент может быть

определён из формулы

0 1 01

3

01

gradS

dsr

r r , (5.8)

где 0 – плотность поверхностного заряда, 01r – вектор с началом в точке 0r ,

где находится значение искомого электрического поля, и точкой на

поверхности 1r , где производится интегрирование, 01r – длина этого вектора.

134

5.2 Введение фиктивной поверхности

Формула (5.8) не является удобной для численных расчётов, поскольку

подынтегральное выражение в (5.8) имеет особенность в точках наблюдений,

совпадающих с точками интегрирования, что значительно затрудняет

вычисление интегралов. С другой стороны, как можно заметить из формулы

(5.5), для нахождения векторного потенциала необязательно знать

распределение плотности заряда по поверхности проводника, необходимо

знать только градиент скалярного потенциала от этого заряда. Этот градиент

может быть найден другим образом.

Рассмотрим решение другой задачи, решение которой будет совпадать с

решением предыдущей в области внутри проводника. Будем искать

распределение заряда 1 на поверхности 1S , заключающей в себя исходный

проводник Q , а значения градиента скалярного потенциала по формуле

1

1 1 01

1 13

01

gradS

dsr

r r, 0 Qr , 1 1Sr , (5.9)

при условии

1S

1 1 01

13

01n

10

S

dsr c t

r r A , 0 Sr , 1 1Sr . (5.10)

Значения градиента скалярного потенциала внутри проводника,

вычисленного по формулам (5.8) и (5.9) будут совпадать. Действительно,

скалярные потенциалы и 1 являются решениями второй краевой задачи

для уравнения Лапласа с граничными условиями

S S

S

1

1n nS Sn

1grad grad

n nc t

A,

которая имеет единственное решение с точностью до константы. Отсюда

следует, что 1grad grad .

135

Решение уравнения (5.10) не единственно. Действительно, пусть

гармоническая функция 0 const при

1Qr , где 1Q – область,

ограниченная поверхностью 1S , 1Q Q . Тогда существует такая плотность

0 r , что

1

0

0

1

S

ds

rr

r r, 1Sr .

Тогда

1 1

0

0 0

1 13

1grad grad

S S

ds ds

r r r

r rr r r r

.

Возьмём проекцию на нормаль в точках 0r поверхности S

1

0 0

0 01

12

S 0

cos0

nS

ds

r r

r r, (5.11)

где 01 – угол между внешней нормалью в точке поверхности 0r и вектором

0 r r . Отсюда следует, что решением уравнения (5.10) будет любая функция

вида 0

1 C r r , где C – произвольная константа. Для единственности

решения надо использовать закон сохранения заряда. Итерационный процесс

для определения плотности поверхностного заряда, удовлетворяющий закону

сохранения заряда, разработан в разделе 5.5 данной главы.

5.3 Задача для полей, гармонически изменяющихся по

времени. Метод решения.

Если внешнее магнитное поле меняется по времени по гармоническому

закону exp i t , то через достаточно длинный промежуток времени ток,

поверхностный заряд и векторный потенциал будут меняться по времени по

тому же закону. В квазистационарном приближении вблизи поверхности

проводника S будет выполняться условие:

136

S

1S

01n 13

01n

0S

ids

c r

r

E A , (5.12)

а внутри проводника в области Q будет справедливо следующее уравнение:

1

0113

01

4

S

ids

c c r

r

A A , (5.13)

где 0 0 0, ,r r rE A – амплитуды электрического поля, плотности

поверхностного заряда и векторного потенциала.

Вводя обозначения

2K i , 2

4

c

,

ci

, (5.14)

запишем граничное условие (5.12) и уравнение (5.13) в виде:

1S

0113

01n

0S

dsr

r

A , (5.15)

1

2 0113

01S

K dsr

r

0A A . (5.16)

Введём калибровку для векторного потенциала начального поля 0div 0A .

Тогда

0

4e

c

jA . (5.17)

Для соленоидальности векторного потенциала 0A зададим, как и разделе 5.1,

ограничение на его асимптотическое поведение на бесконечности:

равномерное стремление к нулю его компонент. Тогда 0lim div 0r

=A .

Дополним уравнения (5.15) и (5.16) условием для потенциала поля при

нулевой проводимости тела:

00K A A . (5.18)

Для решения задачи (5.15) – (5.18) предлагается итерационный метод. Идея

его состоит в том, что решение уравнения (5.15) находится в виде суммы

137

решений уравнений Пуассона в проводящем теле. Решение каждого такого

уравнения может быть найдено путём интегрирования с известной функцией

Грина, и эти интегралы вычисляются по конечному объёму тела. Правая

часть каждого уравнения Пуассона является суммой векторного потенциала

и интеграла от плотности поверхностного заряда, полученных на

предыдущей итерации, при условии, что они удовлетворяют граничному

условию (5.15). Значения интеграла от плотности поверхностного заряда,

являющегося гармонической функцией по пространственным переменным

внутри тела и удовлетворяющего граничному условию (5.15), однозначно

определяются нормальной составляющей векторного потенциала на границе

проводника, взятой на предшествующей итерации. На первой итерации

значения векторного потенциала полагаются равными векторному

потенциалу внешнего поля, что обеспечивает выполнение условия (5.18).

5.4 Решение уравнения для векторного потенциала

Вне проводника векторный потенциал является гармонической по

пространству функцией, кроме области, занимаемой источником стороннего

тока. Поэтому будем искать потенциал как решение уравнения в бесконечной

области:

1

2 0113

01

4e

S

K dsr c

r

jA A , (5.19)

где – характеристическая функция, равная единице внутри тела и нулю –

вне тела. Тогда решение уравнения (5.19) можно найти в виде ряда

0 0

0

j

j

r rA A , (5.20)

слагаемые которого удовлетворяют следующим уравнениям:

138

1

1

0

2 0 011 0 13

01

2 011 13

01

4,

,

,

e

S

nn n

S

c

K dsr

K dsr

j

r

r

A

A A

A A

(5.21)

при условии

1S

01

13

01n

0j

j

S

dsr

r

A , 0,1,j (5.22)

а компоненты векторов jA , 0,1j равномерно стремятся к нулю при

r . В справедливости формулы (5.20) нетрудно убедиться, сложив

правые и левые части уравнений (5.21). Поскольку правые части уравнений

удовлетворяют граничным условиям (5.22), то решение уравнения (5.19) в

виде ряда (5.20) будет удовлетворять граничному условию (5.15). Из (5.20) и

(5.21) следует выполнение условия (5.18). Так как каждое уравнение

системы (5.21) является уравнением Пуассона с ненулевой правой частью

только в объёме, занимаемым телом, то его решение может быть найдено по

формуле:

1

21 21

1 0 2 13

02 21

1v

4

j

j j

Q S

Kds d

r r

r r

r rA A , 0,1,j (5.23)

Здесь 02r и 21r – расстояния между текущей точкой интегрирования 2r по

объёму Q и точками наблюдения и интегрирования по поверхности 1S

соответственно. Из формул (5.20), (5.23) следует, что значения потенциала

внешнего поля 0 0rA в области объёма Q , куда помещают проводник,

однозначно определяют решение 0rA в этой области.

139

Отметим, что каждый вектор jA в формулах (5.20) и (5.21) является

соленоидальным. Действительно, хорошо известно [41], что поверхностный

потенциал

1

1

0 1

01

i

i

S

V dsr

rr

является гармонической функцией во всём пространстве, за исключением

поверхности 1S , откуда

0div grad 0iV r , 0 1Sr .

Так как

1

1 01

0 13

01

grad i

i

S

V dsr

r rr , то

1

1 01

13

01

div 0i

S

dsr

r r, и из формулы

(5.23) следует, что если div 0j A , то и 1div 0j A .

Решение уравнения (5.19) является также решением интегрального

уравнения Гаммерштейна (5.27) [35], метод (5.21) – (5.22) является методом

последовательных приближений решения этого интегрального уравнения, а

ряд (5.20) является рядом Неймана. Действительно, хорошо известно, что

интегральное представление

3

2

0

02

1v

4

fu d

r

rr

R

(5.24)

удовлетворяет уравнению

u f . (5.25)

Тогда, из (5.17) следует, что

3

0

02

1ve d

c r

j

R

A . (5.26)

Запишем уравнение (5.19) в виде

1

2 1 01

13

01

4e

S

K dsr c

r r

jA = A , 3

0r R , 1 1Sr .

Тогда из (5.24) и (5.25) следует, что

140

31

2 1 21

13

02 21

1 1 4v

4e

S

K ds dr r c

r r

j

R

A = A , 3

2 r R .

Отсюда, с учётом (5.26) следует, что

1

21 21

0 13

02 21

1v

4Q S

Kds d

r r

r r

A = A A , 2 Qr . (5.27)

Уравнение (5.27) можно получить также из формул (5.19) – (5.23). Из формул

(5.20) и (5.23) следует, что

1 1

2 221 21

0 1 0 13 30 002 21 02 21

1 1v v

4 4

j

j j

j jQ S Q S

K Kds d ds d

r r r r

r rA = A A A A

где 0 2, Qr r , 1 1Sr .

Так как, по условию, S

1S

21

13n21

n

j

j

S

dsr

rA для всех значений индекса j , и

сумма проекций равна проекции суммы, то

SS

1 1S S

21 211 13 3nn

0 0 0 021 21n n

j

j j j

j j j jS S

ds dsr r

r r

A A A .

Тогда

1

2

210 13

02 21

1v

4Q S

Kds d

r r

r

A = A A , где удовлетворяет уравнению

1

S

2113

21n

Sn

S

dsr

rA .

Найдём достаточное условие сходимости ряда (5.20). Определим операторы

D и L , действующие из пространства C Q в себя, в точках 2 0, Qr r

соответственно, следующим образом:

1

1 21

2 2 13

21S

D dsr

r rr rA = A ,

2

0 2

02

1v

4Q

KL D d

r r rA A .

141

Нетрудно проверить, что оператор D линейный. Кроме того, он является

ограниченным, по крайней мере для липшицевых областей, что следует из

ограниченности нормы градиента гармонической функции в задаче Неймана

[125]. Из (5.23) следует, что

2

1 0 2 1 0 0, , , ,n

nL L L LA = A A = A A A = A ,

и ряд (5.20) является рядом Неймана

0 0 0

0

j

j

L

r rA A . (5.28)

Отсюда, с учётом ограниченности оператора L , получаем оценку

0

0

j

C Cj

L

A A ,

где C

– норма в C Q , 0

supC

C

AC

L AL

A

. Аналогично определим норму

оператора D .

Пусть область Q находится внутри шара 0RB радиуса 0R . Поскольку

0

0

2

0

02

1max v 2

RB

d Rr

r (максимум достигается при 0 r 0 ), то

0

2 2 2

0

02

1sup v

4 2C C CQ

Q

K K RL A D A d D A

r

r

.

Отсюда

2 2

0

2

K RL D .

и достаточным условием сходимости будет 2 2

0 2K R D .

Вероятно, для тел простых форм, заключённых в шар единичного радиуса,

норма оператора D меньше единицы. Так, численные эксперименты,

приведённые в разделе 5.6 настоящей главы, демонстрируют сходимость

метода при 2 6K для проводника, имеющего форму эллипсоида.

142

5.5 Нахождение градиента скалярного потенциала по

известным значениям векторного потенциала

Предположим, что слагаемые 0 1, , , jA A A в ряде (5.20) уже найдены. Для

нахождения последующего слагаемого 1jA необходимо найти функцию

j ,

удовлетворяющую граничному условию (5.22). Заметим, что вектор в левой

части равенства (5.22) в каждой точке поверхности имеет определённое

направление, направленное по нормали, и потому его длина будет равна

нулю для функции j , удовлетворяющей решению скалярного

интегрального уравнения

S

1

1 01

1 02 n01

cosj

j

S

dsr

rrA , (5.29)

где 0 Sr , 1 1Sr , угол 01 является углом между вектором 01r и внешней

нормалью к поверхности в точке 0r .

Решение уравнения (5.29) не единственно, и, как следует из анализа,

проведённого в разделе 5.2, может быть представлено в виде

0

j C r r ,

где j r – частное решение уравнения (5.29), 0 r – решение этого

уравнения с нулевой правой частью, а C – произвольная константа. Однако

целью настоящей главы является не поиск единственного распределения

заряда (на фиктивной поверхности!), а определение правых частей в

уравнениях (5.21), удовлетворяющих условиям (5.22). Запишем последнее

равенство в (5.11) в виде

1S

0

0113

01n

0S

dsr

r, 0 1Qr .

Тогда правые части в уравнениях (5.21) определяются однозначно для

любого частного решения уравнения (5.29).

143

Пусть вмещающая поверхность 1S гомеоморфна исходной поверхности S , и

точке Sr соответствует точка 1 1Sr . Приближённое значение искомой

функции j найдём итерационным процессом, который определим

следующим образом:

S

1

0 1 01

1 0 0 12n01

cosj

S

B dsr

rr rA , (5.30)

1

1 1 01

2 0 1 0 12

01

cos

S

B B dsr

rr r , (5.31)

…………….

1

1 1 01

0 1 0 12

01

cosk

k k

S

B B dsr

r

r r , (5.32)

где 0 Sr , функция 0 1 r является проекцией вектора jA на внешнюю

нормаль в точке поверхности r , S

0 1 nj r rA , и 1i iB r r ,

1, , 1i k .

Просуммировав правые и левые части уравнений (5.30) – (5.32), получим:

S

1

010 1 1 02 n

01

cosk

k j j

S

B dsr

r r rA , (5.33)

где

1

1 1

0

kk

j i

i

r r . Сходимость итерационного процесса (5.30) – (5.32)

определяется нормой оператора

1

1 01

12

01

cosA

S

S

L dsr

rA A ,

где 1A r rA , и имеет место при выполнении условия 1SL . Тогда

0kB с ростом числа итераций k , и S

1

010 1 12n

01

cos0

k

j j

S

A dsr

r r .

Последняя формула, разумеется, не означает, что

0k

j j , ввиду

неоднозначности решения уравнения (5.29). Однако итерационный метод

144

(5.30) – (5.32) позволяет найти некоторое вполне определённое решение

этого уравнения. Возникает вопрос, какое именно решение уравнения (5.29)

им получено. Для ответа на него обобщим итерационный метод (5.30) –

(5.32) на все точки области 1Q . Тогда он примет вид

1

0 1 01

1 0 0 13

01

j

S

dsr

r rr rB A , (5.34)

1

1 1 01

2 0 1 0 13

01S

dsr

r rr rB B , (5.35)

…………….

1

1 1 01

0 1 0 13

01

k

k k

S

dsr

r r

r rB B , (5.36)

где 0 1Qr ,

1 1Sr . Покажем, что векторные поля 1 2, , , kB B B , определённые

формулами (5.34) – (5.36), соленоидальные.

Заметим, что 01

3

01 01

1divgrad div 0

r r

r. Поскольку, по предположению,

0div 0A , то, при условии lim div 0jr

=A , 1,2,j , из (5.21) следует, что

div 0j A , 1,2,j . Тогда из (5.34) – (5.36) следует, что и div 0i B ,

1,2, ,i k . Из соленоидальности векторов 1 2, , , kB B B следует, что их

потоки через поверхность S также равны нулю

S S S

1 2n n n0k

S S S

ds ds ds r r rB B B , Sr .

Итерируемые функции в итерационном процессе (5.30) – (5.32) являются

проекциями итерируемых функций из итерационного процесса (5.34) – (5.36)

для точек поверхности S на нормаль к поверхности, а плотность

распределения на поверхности 1S , полученная из итерационного процесса

(5.30) – (5.32), однозначно определяет плотность и на поверхности S , т.е.

Sni i iB r r rB , Sr .

Тогда

145

1

0k

k

j i

iS S

ds d s

r r .

Таким образом, плотность на поверхности S , полученная итерационным

процессом (5.30) – (5.32), определяется однозначно, и удовлетворяет закону

сохранения заряда на поверхности S .

Если поверхность 1S будет близка к поверхности S , то электрическое поле

заряда участка 1d s с поверхностной плотностью 1i r , где 1 2 ,

компенсирует значение функции 0iB r , 2, , 1i k , на участке ds

поверхности S , расстояние до которого от участка 1d s много меньше его

линейных размеров. Но это поле и поле от остальных зарядов соизмеримы,

поэтому суммарное поле не компенсирует, а лишь уменьшает значения

0iB r , что ведёт к уменьшению нормы iB по сравнению с нормой на

предыдущей итерации. При увеличении расстояния между поверхностями S

и 1S оптимальное значение параметра будет увеличиваться, что

демонстрируют численные эксперименты, приведённые в следующем

разделе.

5.6 Численные эксперименты и обсуждение результатов

Численное решение уравнений (5.21) было подробно рассмотрено в главе 4, а

потому в данном разделе рассмотрим вычисление поверхностного заряда

методом, изложенном в предыдущем разделе. Для численной апробации

метода выберем тело, имеющее форму эллипсоида вращения с большой

полуосью единичной длины, направленной перпендикулярно оси внешнего

осесимметричного магнитного поля, и малыми полуосями длиной (Рис.

5.1).

146

Рис. 5.1 Эллипсоидальный проводник с поверхностью S во внешнем поле.

Вспомогательный эллипсоид с поверхностью 1S подобен исходному

с коэффициентом подобия p .

Найдём плотность поверхностного заряда на подобных ему телах, с

коэффициентом подобия p , 1p , для которой будет выполняться уравнение

(5.22). Для тела с выбранной выше формой значение 01cos из формул (5.29)

– (5.32) будет иметь в сферических координатах следующий вид:

2 2 2 2

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0

012 4 2

01 0 0

cos cos sin sin cos sin coscos

sin cos

r r

r

,

где

2 2

01 1 0 0 1 0 12 cosr r r r r r r , 0 1 0 1 0 1cos cos cos sin sin cos ,

02 2 2

0 0sin cosr

,

12 2 2

1 1sin cos

pr

.

Проекция вектора , ,T

X Y ZA A AA на внешнюю нормаль в точке

поверхности 0r равна

S

2

1 1 1 1

n 2 4 2

1 1

cos cos sin sin

sin cos

Z X YA A A

A .

Интеграл от функции 1 1,F по поверхности эллипсоида имеет вид

147

1

22 4 2

2 1 1 1

1 1 1 1 122 2 2

0 01 1

sin cos sin, ,

sin cosS

F ds F d d

.

На рисунке 5.2 приведена зависимость функции 0 0,kB из формулы (5.32)

от номера итерации k , 1, ,24k при разных размерах подобных

эллипсоидов, характеризующихся коэффициентом подобия p , для значений

углов 0 и 0 в сферических координатах, равных 4 . Значение было

выбрано равным 1 2 . Значение малых полуосей было выбрано

0.25 .

Рис. 5.2. Зависимость функции 0 0,kB от номера итерации для первого члена ряда

(5.20). Графики: p =1.06 (1), p =1.2 (2), p =1.5 (3). S

0 0 0 0 0 0n, , 0.0841B A .

На рисунке 5.3 приведены зависимости функции 0 0,kB от номера

итерации k , 1, ,24k для второго члена ряда (5.20) для разных значений

параметра в формулах (5.30) – (5.32). Значение p для подобного

эллипсоида было равно 1.5, коэффициент из формул (5.14) был равен 6.

148

Рис. 5.3. Зависимость функции 0 0,kB от номера итерации для второго члена ряда

(5.20). Графики: 2 (1), 1 (2), 1 2 (3) .

S

0 0 0 1 0 0n, , 0.0011B A .

Как видно из приведённых рисунков, конечный результат слабо зависит как

от размеров подобных эллипсоидов, так и от выбора параметра в

итерационном процессе (5.30) – (5.32). Особенно это видно из таблицы 5.1, в

которой приводятся значения 96 0 0,B для разных размеров подобных

эллипсоидов также для второго члена ряда (5.20). Для сравнения в этой же

таблице приведено начальное значения S

0 0 0 1 0 0n, ,B A .

p 1.2 1.5 1.8

96 0 0,B

0 0 0, 0.1096 02B e

– 0.1399 e-08 0.6858 e-09 – 0.6636 e-08

Табл. 5.1 Значения члена ряда 0 0,kB из (5.32) при 96k , 0 0 4

для разных значений коэффициента подобия p вспомогательной поверхности 1S .

149

Рисунок 5.2 и результаты таблицы 5.1 иллюстрируют сходимость

разработанного метода для вычисления поверхностного заряда в некоторой

выбранной точке, которая имеет аналогичный характер и для других точек

расчётной области. Из вида графиков функций можно заключить, что

сходимость метода будет более быстрой, если подобное тело расположено

ближе к исходному. Как видно из рисунка 5.3, на скорость сходимости

влияет также и величина параметра в формулах (5.30) – (5.32),

предпочтительным значением которого является 2 .

150

Глава 6 Решение внешних краевых задач

декомпозицией области

В предыдущих главах рассматривалось воздействие внешнего

электромагнитного поля на осесимметричные проводники и на проводники,

ограниченные гладкой поверхностью в квазистационарном приближении.

В этой главе рассмотрим решение задачи определения скалярного

потенциала вне проводника произвольной формы, если на его поверхности

заданы значения скалярного потенциала или его нормальной производной.

Эта проблема сводится к решению внешней краевой задачи для уравнения

Лапласа или Гельмгольца с постоянным волновым числом.

Применение стандартных технологий решения этой проблемы, таких, как

методы конечных элементов или конечных объёмов, сопряжены со

сложностями, связанными с неограниченностью расчётной области и

необходимостью удовлетворять граничному условию на бесконечности.

Существует большое количество численных методов решения внешних

краевых задач в неограниченной области [121]. Широкое распространение

для численного решения внешних краевых задач имеет интегро-

дифференциальный подход, основанный на применении формулы Грина.

Согласно ему искомое решение можно представить в виде комбинации

потенциалов простого и двойного слоя, а плотности потенциалов найти из

решения интегрального уравнения Фредгольма на границе области [52–56,

69, 84, 85, 123, 127]. Для решения внешних краевых задач также

используются метод вспомогательных токов и метод дискретных

источников, согласно которым приближённое решение задачи находится в

виде потенциала от токов или в виде линейной комбинации полей

дискретных источников, локализованных внутри заданной поверхности [98].

Другой подход для решения внешних краевых задач состоит в

комбинированном применении метода конечных элементов и интегрального

151

метода путём декомпозиции области на составляющие, допускающие

применение в них этих методов. Итерационным альтернирующим методам,

основанным на декомпозиции области, их модификациям и анализу

сходимости посвящено достаточно большое количество работ ([57, 75 – 78,

86, 89, 96, 97, 114, 121, 129] и др.). В [112, 113] предложены методы решения

задач электромагнитного рассеяния внешнего поля, основанные на

декомпозиции области.

В 80-х годах прошлого века K.Feng и D.Yu предложили разбить всю область

решения внешней краевой задачи на две подобласти, без пересечения или с

пересечением [58]. При декомпозиции без пересечения (Рис. 6.1a) вся

область вне поверхности тела D разбивается на ограниченную область S

между сферой S поверхностью D , и на область S , ограниченную только

снизу сферой S . При декомпозиции с пересечением (Рис. 6.1b)

ограниченная область находится между поверхностью и

поверхностью D , а неограниченная область , так же как и в

декомпозиции без пересечения, ограничена только снизу сферой S .

Рис. 6.1 a,b Декомпозиция области без пересечения (слева) и с пересечением (справа).

Для решения исходной задачи был предложен альтернирующий метод

Шварца, в котором внутренняя задача решалась методом конечных

элементов, а условия согласования ставились на внешней поверхности. В [58]

и других работах [59, 97, 117] для численного решения задачи было отдано

152

предпочтение декомпозиции области без пересечения (Рис. 6.1а). В

предложенном методе нет необходимости искать решение внешней задачи в

области вне сферической поверхности. Достаточно найти только значения

нормальной производной на этой поверхности, если на ней заданы значения

функции. Производные находятся вычислением значений оператора

Пуанкаре-Стеклова, которые могут быть определены в виде ряда [59].

В настоящей главе разработан другие подходы для численного решения

внешней краевой задачи. В первой части главы декомпозиция области

производится с пересечением (Рис. 6.1b). Такой подход имеет следующие

преимущества. Во-первых, появляется дополнительная степень свободы,

связанная с выбором внешней поверхности , что позволяет варьировать

её выбор в процессе итерационного алгоритма с целью увеличения скорости

сходимости численного метода. Во-вторых, введение дополнительной

внешней поверхности позволяет применить для решения задачи в

бесконечной подобласти для уравнения Лапласа формулу Пуассона, а для

уравнения Гельмгольца – формулу Грина, при этом численное вычисление

интегралов не представляет трудности, ввиду отсутствия сингулярности в

интеграндах.

Такой подход применён во втором разделе к решению внешней краевой

задачи для уравнения Лапласа [60]. Доказана сходимость разработанного

итерационного метода. Условия и скорость сходимости итерационного

процесса для рассматриваемого метода исследуется аналитически, когда все

подобласти представляют собой сферические слои. Для этого модельного

случая проведён анализ влияния параметров алгоритма на эффективность

метода. Эффективность метода иллюстрируется результатами численных

экспериментов при решении внешних задач Дирихле и Неймана со

сложными конфигурациями границ.

В третьем разделе главы предложен другой подход для решения аналогичной

проблемы. В ней рассматривается декомпозиция области без пересечения

(Рис. 6.1a), но метод решения задачи существенно отличен от работ других

153

авторов (см., например, [58, 75, 97, 108]). Основная особенность метода

состоит в отсутствии итерационного процесса для решения исходной

дифференциальной задачи. Конечномерный оператор, аппроксимирующий

оператор исходной задачи, представляется в матричном виде, а для решения

полученной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

применяется один из методов в подпространствах Крылова [109]. Поэтому

итерационный процесс в предлагаемом методе присутствует только на этапе

решения СЛАУ, а выбор подходящего метода решения СЛАУ позволяет

получить быструю сходимость итерационного процесса.

В четвёртом разделе главы разработан численный метод решения внешней

краевой задачи для уравнения Гельмгольца [61]. Получены достаточные

условия сходимости предложенного итерационного метода и оценка для

производной решения уравнения Гельмгольца при отрицательном

коэффициенте в этом уравнении. Проведено исследование сходимости

метода для частного случая рассмотренной проблемы, которое позволило

сделать выводы об ограничении применимости предложенного подхода для

решения общей проблемы с произвольным волновым числом. Метод

иллюстрируется результатами численных экспериментов при решении

внешней задачи Дирихле для широкого выбора тестовых функций.

6.1 Метод декомпозиции для решения внешних краевых задач

Рассмотрим открытую область D в пространстве 3R , ограниченную

липшицевой поверхностью D , на которой заданы значения функции и (или)

её производной. Внешняя краевая задача состоит в нахождении функции,

удовлетворяющей заданному краевому условию на D , являющейся

решением эллиптического уравнения вне поверхности D , и

удовлетворяющей необходимым условиям стремления к нулю на

бесконечности.

154

Выберем сферу S так, чтобы проводник D D D полностью находился

внутри этой сферы. Обозначим за S ограниченную область между сферой

S и поверхностью проводника D , за S – неограниченную область вне

сферы S (Рис.6.1a). В задаче декомпозиции области с пересечением введём

дополнительную поверхность 0 , заключающую в себя сферу S

(Рис.6.1b). Обозначим за 0

область, ограниченную сверху поверхностью

0 , а снизу – поверхностью D .

Рассмотрим сначала реализацию метода с пересечением областей (разделы 2

и 4 настоящей главы). Будем решать внутреннюю краевую задачу в области

0

, при заданных граничных условиях на D и пересчитываемых на каждой

итерации краевых условиях на 0 . На первой итерации метода задаём,

например, нулевые граничные условия на поверхности 0 и решаем

внутреннюю краевую задачу для области 0

. При этом нас будет

интересовать решение этой задачи только на поверхности S . По этим

значениям определим новые граничные условия на внешней расчётной

области 0 , и проведём аналогично вторую и последующие итерации.

Отметим, что на разных шагах этого процесса расчётные области для

внутренних краевых задач можно выбирать динамическим образом, т.е. на

k -ой итерации вместо 0 определить область 1k с границей 1k ,

0,1, ,k K . Количество итераций K определяется из условия сходимости

метода с заданной точностью 1 . Выбор области k

, заключающей в

себя сферу S , на второй и всех последующих итерациях производится из

соображений экономии вычислительных ресурсов и возможности получения

наиболее точного решения на сфере. При этом условие включения kS

остаётся в силе. На всех последующих итерациях решается внутренняя

краевая задача в области k

, и по формуле (6.3) восстанавливаются новые

граничные условия Дирихле на поверхности k .

155

При общепринятой реализации метода без пересечения на внешней

поверхности задаются начальные значения искомой функции (либо её

нормальной производной по нормали). По этим значениям путём решения

внешней и внутренней задачи определяются сначала значения производной

по нормали на внешней поверхности (либо значения функции), а потом

новые значения искомой функции (либо её нормальной производной по

нормали). Далее итерации повторяются с новыми значениями.

В 3-м разделе главы предложена другая идея решения исходной задачи

методом декомпозиции без пересечения. Задача формулируется следующим

образом: найти такие значения нормальной производной на поверхности

вспомогательной сферы, при которых решения внутренней и внешней задачи

на сфере совпадают. Это задача записана в виде операторного уравнения,

которое непосредственно аппроксимируется системой линейных

алгебраических уравнений. Метод решения этой задачи будет изложен в

разделе 3.

6.2 Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа

декомпозицией области с пересечением

6.2.1 Метод решения

Пусть область D ограниченна липшицевой поверхностью D ,

1 2D D D , 2D – гладкая поверхность. Внешняя краевая задача для

уравнения Лапласа состоит в нахождении функции

1 3 2 3\ \u C D C D R R , равномерно стремящейся к нулю на

бесконечности, удовлетворяющей решению уравнения

0u r , 3 \ Dr R , (6.1)

и краевым условиям

u fr r , 1Dr , u

gn

r r , 2Dr . (6.2)

156

Задача (6.1) – (6.2) предполагается решённой, если удастся найти значения

искомой функции Su на сфере S , являющейся границей шара S S S ,

D S . Действительно, в этом случае можно найти значения функции в

произвольной точке пространства 3 \ Dr R в сферических координатах в

виде интеграла Пуассона [62]

2 22

0 0 0 0 03 22 2

0 0

, , sin ,4 2 cos

S

r RRu r u d d

r Rr R

, (6.3)

где R – радиус сферы S , 0 Sr , 2 2

1 0 2 cosr r Rr R r r , – угол

между векторами r и 0r , 0 0 0cos cos cos sin sin cos .

Заметим, что если на сфере найдена нормальная производная искомой

функции nu , то значения функции в произвольной точке пространства

3 \ Sr R находятся по формуле [62]

22

10 0 0 0 0

10 0

1 cos 2, , sin , ln

4 1 cosn

R R r ru r u d d

R r r

, (6.4)

а в точках пространства \S Dr по формуле

22

0 0 0 1 0 0

10 0

1 2, , sin , ln cos

4n

Ru r u R r r d d

R r

.

Формула (6.3) является основой для предлагаемого итерационного метода

решения задачи (6.1) – (6.2), который заключается в последовательном

решении вспомогательных краевых задач в ограниченных областях.

6.2.2 Сходимость итерационного метода

Докажем сходимость предложенного метода. Запишем формулу (6.3) в виде

0 0,S S

S

u u K d s

r r r r .

Тогда итерационный процесс определяется следующим образом:

157

1

1

1

1

1

2

0, ,

, ,

, ,

, , 0,1, ,

k

k

k k

k

k

k

u

u

u f D

ug D k

n

r r

r r r

r r r

r r r

(6.5)

где

0 0 r , 0 0,k k

S S

S

u K d s

r r r r , kr , 0 Sr , 1,2, .k (6.6)

Определим при k

r погрешность метода как

1 1k ku u r r r . (6.7)

Тогда

1

0 0 0 0 0, ,k k k k

S S S S

S S

u u K d s K d s

r r r r r r r r r , (6.8)

и погрешность будет удовлетворять уравнениям

1

1

1

1

1

2

0, ,

, ,

0, ,

0, .

k

k

k k

k

k

k

D

Dn

r r

r r r

r r

r r

(6.9)

Из принципа максимума и принципа Заремба-Жиро [63] для гармонических

функций следует, что максимум погрешности достигается на внешней

границе k области k

, и справедлива оценка

1 1max max maxk kk

k k k

r rr

r r r . (6.10)

Поскольку интеграл Пуассона с единичным весом для сферы радиуса R

равен R r при r R , то из (6.8) следует оценка

0 0

1

0 0 0

0

max max , maxk

k k k

SS S

S

RK d s

R

r r rr r r r r , (6.11)

158

где 0R – максимальный радиус шара, вписанного в

k

, 0R R . Отсюда

следует, что итерационный метод сходится со скоростью геометрической

прогрессии с показателем 0R R .

6.2.3 Исследование сходимости метода для сферических

поверхностей

Предложенный метод при одинаковых для всех значений параметра k

подобластях 0k

может быть интерпретирован как реализация

альтернирующего метода Шварца [64], [65] в пересекающихся областях и

3 \ SR . Исследуем сходимость метода Шварца для разных вариантов

расположения сферических поверхностей.

Обозначим за RS множество внутренних точек шара радиуса R . Будем

искать решение внешней задачи Дирихле

0u , 1R r , 1 1|Ru v , | 0u , (6.12)

где 1 constv , итерационным методом Шварца, разбив область 1

3 \ RQ SR на

несколько подобластей. В каждой подобласти будем решать краевую задачу,

для которой краевые условия определены либо из предыдущей итерации,

либо из решения другой краевой задачи на этой итерации.

6.2.3.1 Метод Шварца без пересечения областей. Разобьём область Q на

две подобласти 2 11 \R RQ S S ,

2

3

2 \ RQ SR , 1 2Q Q Q . Будем искать

решение задачи (6.12) в виде комбинации функций 1u r и 2u r ,

гармонических в областях 1Q и 2Q соответственно. На пересечении областей

1Q , 2Q , т.е. на сфере радиуса 2R , зададим условия согласования значений

функций 1u r , 2u r и их производных. Определим итерационный метод

решения задачи (6.12) следующим образом:

1 2 2

1 1 1

1 1 1 1 1 2: 0, | , | |R R R

n n n n

S S SQ u u v u u

, (6.13)

159

2 2

1 11 12 1

2 2 2: 0, | | , | 0R R

n nn n

S S

u uQ u u

r r

. (6.14)

Фактически в данном случае реализуется метод декомпозиции расчётной

области, когда на смежной границе 1 2Q Q берутся условия Дирихле для

задачи в 1Q и условия Неймана для задачи в 2Q .

Решение задач (6.13), (6.14) будем искать в виде

1

1

n

n nu r a r b , 1

2

n

nu r c r . (6.15)

Условия согласования значений функций и их производных в формулах

(6.13), (6.14) на поверхностях 1RS и

2RS позволяют свести итерационный

метод к нахождению только одного неизвестного коэффициента nc , из

которого могут быть определены коэффициенты na и nb . В качестве

начального приближения выберем 0 0c . Пусть 1 1v . Тогда

1

1

2 1 2

1 11 n

n

cc

R R R

.

Поскольку точное решение задачи (6.12) имеет вид 1u r R r , то

определим погрешность вычисления искомого коэффициента решения в виде

1n nc R . Тогда для погрешностей справедливо неравенство

1n n , (6.16)

где 1

2 1 1R R

, откуда следует сходимость метода при 2 12R R . Из

этой же формулы следует вывод, что сходимость увеличивается с

увеличением значения 2R по сравнению со значением 1R .

6.2.3.2 Метод Шварца с пересечением областей. Пусть радиусы сфер

удовлетворяют неравенствам 1 2 3R R R , и 3 11 \R RQ S S ,

2

3

2 \ RQ SR .

Будем искать решение задачи (6.12) в виде комбинации функций 1u и 2u ,

являющихся гармоническими в областях 1Q и 2Q соответственно.

Итерационный метод декомпозиции будем строить из постановки на

160

интерфейсных границах 2RS и

3RS граничных условий 3-го рода, или

условий Робена:

1

3 3

11 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 2 1: 0, | 1, 1 1R

R R

n nn n n n

S

S S

u uQ u u u u

r r

,

2 2

1 11 1 1 12 1

2 2 2 2 2 2 2 1 2: 0, | 0, 1 1

R R

n nn n n n

S S

u uQ u u u u

r r

,

где 1 20 1, 0 1 , а решение этой задачи в областях 1Q и

2Q будем

искать по формулам (6.15). Исключив из условий на поверхности 1RS

коэффициент nb , получим следующие итерационные уравнения для

оставшихся коэффициентов:

1 1 1 1 1 1 2 1 21 , 1 ,n n n nc a R c a R

где

2

1 3

1

1 3 1 1

R

R

,

2

2 2

2

2 2 2 1

R

R

, а коэффициент уменьшения

погрешности решения 1n nc R из формулы (6.16) примет вид

2 1

1 1

R

R

. (6.17)

Рассмотрим некоторые важные частные случаи значений параметров 1 и 2

в граничных условиях третьего рода.

1. Условие Дирихле на 3RS и Неймана на

2RS . В этом случае 1 1 ,

2 0 и 1

3 1 1R R

. Условие сходимости аналогично

рассмотренному в разделе 6.2.3.1 и имеет вид 3 12R R .

2. Условие Неймана на 3RS и Дирихле на

2RS . В этом случае 1 0 ,

2 1 и 2 1 1R R . Условие сходимости имеет вид 2 12R R .

161

3. Условие Дирихле на обеих поверхностях. Тогда 1 2 1 , 2 1

3 1

R R

R R

,

и сходимость имеет место при любых 2R и

3R , удовлетворяющих

неравенствам 1 2 3R R R .

4. Условие Неймана на обеих поверхностях. Тогда 1 2 0 , 1 2 0 ,

1 , и сходимости нет при любых значениях 2R и

3R .

6.2.3.3 Метод Шварца с пересечением ограниченных областей.

Рассмотрим теперь случай ограниченной расчётной области

1 4Q R r R , представляющий методический и практический

интерес. Пусть после введения двух вспомогательных сфер их радиусы

удовлетворяют неравенствам 1 2 3 4R R R R , и

3 11 \R RQ S S ,

4 22 \R RQ S S . Будем искать решение внутренней задачи Дирихле

0u , 1 1|Ru v ,

4 2|Ru v , (6.18)

где 1 2, constv v . Заметим, что рассматриваемый случай областей сводится к

предыдущему при 4R . Будем искать решение задачи (6.18) в виде

комбинации функций, гармонических в областях 1Q и 2Q . Согласование на

границах подобластей, как и в предыдущем пункте, будем производить для

условий Робена

1

3 3

1 21 1 1 1 1 1 1 1 2 1: 0, | , 1 1 ,

R

R R

S

S S

u uQ u u v u u

r r

(6.19)

4

2 2

2 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2: 0, | , 1 1

R

R R

S

S S

u uQ u u v u u

r r

. (6.20)

Из (6.19), (6.20) следует, что точное решение задачи (6.18) имеет вид

u r c r d , где

1 4

1 2

4 1

R Rc v v

R R

,

2 4 1 1

4 1

v R v Rd

R R

. (6.21)

162

Решение задачи (6.18) с учётом согласования на границах подобластей (6.19),

(6.20) будем искать итерационным методом в виде функций

1

1

n

n nu r a r b , 1

2

n

n nu r c r d ,

для которых определим условия согласования на границах подобластей

1

3 3

11 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1: 0, | , 1 1 ,R

R R

n nn n n n

S

S S

u uQ u u v u u

r r

4

2 2

1 11 1 1 12 1

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2: 0, | , 1 1R

R R

n nn n n n

S

S S

u uQ u u v u u

r r

где границы возможных изменений параметров 1 и 2 такие же, как в

п.6.2.3.2.

Исключим коэффициенты nb и nd из граничных условий на поверхностях

1RS и 4RS , и введём обозначения

2

3 4 1

1 2

1 4 3 3 4 11 1

R R R

R R R R R

,

2

2 4 1

2 2

1 4 2 2 4 21 1

R R R

R R R R R

.

Тогда итерационный процесс для оставшихся коэффициентов может быть

записан в виде

1 1 1 1 1 2 21 , 1 ,n n n nc a c c a c

где коэффициент c определён в формуле (6.21). Определим погрешность

решения итерационного метода в виде n nc c . Тогда коэффициент

уменьшения погрешности из формулы (6.16) равен

2 11 1 . (6.22)

При 4R получим формулу для коэффициента погрешности (6.17).

Из (6.22) следует, что оптимальное значение для коэффициента

достигается при 2 1 или 1 . Тогда метод сходится за одну итерацию.

Определим оптимальные значения параметров 1 и 2 в условиях Робена для

этих случаев.

163

1. 2 1 . В этом случае 0 при 1 1 и

1

2 2

1 1 2 2

R

R R R R

. При

2 1R R

имеем 2 1 . При 2 1R R функция 2 2R является возрастающей и имеет

разрыв, после которого она принимает только отрицательные значения.

Поэтому значений 2 , соответствующих случаю 2 1 , не существует.

2. 1 . В этом случае 0 при 2 и

1

2

1 3 3 41 R R R

. (6.23)

При 4 3R R имеем 1 1 . Функция 1 4R является убывающей и не имеет

разрывов при 4 3R R . При 4R имеем 1

3

1

1 R

, и этот случай

соответствует 1 в формуле (6.17), когда сходимость в пункте 6.2.3.2

также будет достигаться за одну итерацию. Таким образом, для любых

значений радиусов сфер 3R и

4R , существует оптимальное значение

параметра 1 в краевых условиях, когда сходимость метода достигается за

одну итерацию.

Для фиксированного значения параметра 1 в краевом условии из формулы

(6.23) следует, что оптимальное значение радиуса вспомогательной сферы 3R

существует при выполнении условия 1 44 4 R .

6.2.4 Численный метод решения внутренних краевых задач

Для численного решения краевой задачи (6.1) – (6.2) воспользуемся

методом конечных элементов. Уравнение Лапласа 1 0ku r в области k

с краевыми условиями Дирихле на границах ¶Wk и 1D и краевым условием

Неймана на границе 2D может быть переписано в слабой форме в

164

пространствах Соболева (подробнее см. [66]) следующим образом: найти

1 1k

ku H , удовлетворяющую краевым условиям Дирихле

1

1

1

, ,

, ,

k k

k

k

u

u f D

r r r

r r r (6.24)

а также уравнению

2

1

k

k

D

u d g dD

r r r r r , 1

0 1;k kH D , (6.25)

где под 1

0 1;k kH D мы понимаем подпространство функций из

1

kH , имеющих нулевой след на границах ¶Wk и

1D .

Несложно заметить, что функция 1k H D r . Будем дополнительно

полагать, что 1/ 2f H D r , а 1/ 2g H D r . Из теории решения

эллиптических задач (см. например [66]) известно, что билинейная форма в

левой части (6.25) непрерывна и 1H -эллиптична, откуда по лемме Лакса-

Мильграма следует, что решение задачи (6.24), (6.25) существует,

единственно и непрерывным образом зависит от правой части.

Численное решение представленной выше задачи можно провести по

следующей схеме. Будем считать, что в области k

задана тетраэдральная

сетка. Введем стандартный 1H конформный конечный элемент Лагранжа

[66] и соответствующее ему конечномерное подпространство 1

l kQ H ,

являющееся пространством непрерывных кусочно-полиномиальных функций

порядка до l . Подробную информацию о построении базисных функций i ,

1, ,i N высоких порядков в пространстве l iQ span можно найти,

например, в [67].

Приближенное решение задачи (6.24) – (6.25) мы ищем в виде линейной

комбинации базисных функций 1 1

1

Nk k

i i l

i

u x Q

, удовлетворяющей

системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

165

2

1

1k

Nk

i i j j

i D

x d g dD

r r r r r , ,0 1j l kQ D ,

где j – базисные функции, не имеющие степеней свобод, ассоциированных

с граничными элементами (узлами, ребрами и гранями) сетки на границах

k и 1D . При этом степени свободы 1ku , ассоциированные с такими

элементами сетки, фиксируются в соответствии со значениями степеней

свобод функций k r и f r .

Можно отметить, что существование и единственность конечно-

элементного решения вытекает из леммы Вишика-Сеа. Ошибка решения не

превышает

1 1

1 1 1infl

l

k k k

H HQu u C u

,

где C – некоторая константа. В случае, если решение обладает достаточной

гладкостью, можно показать [66], что ошибка конечно-элементного решения

будет

1 1

1 1 1

l

k k l k

H Hu u C h u

,

где h – шаг сетки, а C – константа, не зависящая от 1ku и h .

6.2.5 Численные эксперименты и обсуждение результатов

Будем искать численное решение внешней краевой задачи для функции

, ,u r , выбранной в сферических координатах , ,r в виде

2, , sin cosu r r . (6.26)

Зададим на гранях куба с рёбрами, равными 0.03, граничные условия в

соответствии с точным решением (6.26). Будем полагать, что куб, а также и

все последующие в рассмотрении области, ограниченные выбранными

поверхностями, имеют центр симметрии в начале координат. На первой

итерации выберем границу внешней расчётной области 0 в виде

поверхности куба с рёбрами, равными 2, на поверхности которого зададим

166

нулевые граничные условия. В области 0

, ограниченной поверхностями

этих кубов, решается внутренняя задача Дирихле и находятся значения

функции на сфере радиуса 0.25. По этим значениям определяются новые

граничные условия на поверхности куба с меньшими рёбрами, равными 0.54,

по формуле (6.3). Далее снова решается задача Дирихле в новой расчётной

области 1

, ограниченной поверхностями кубов с рёбрами 0.03 и 0.54, и

определяются новые приближённые значения функции на сфере. На всех

итерациях, начиная со второй, расчётные области, расположенные между

поверхностями кубов, остаются неизменными, т.е. 1k

, 2,3,k .

Поверхность сферы, на которой ищется приближённое решение, является

неизменной на всех итерациях.

Построение конечно-элементных аппроксимаций внутренней задачи Дирихле

и решение получаемых СЛАУ проводилось при помощи пакетов FEniCS

[132] и PETSc [130]. Для решения использовались 1H конформные

конечные элементы Лагранжа 2-го порядка на редкой сетке, состоящей из

315.7 10 тетраэдров ( 31409N ), и на густой сетке из 58.3 10 тетраэдров

( 1151800N ), где N – количество базисных функций (см. раздел 6.2.4). Для

генерации сетки использовался пакет NETGEN [131]. Сетки были близки к

равномерным, и сгущение в окрестности сферы не производилось.

6.2.5.1 Численное решение задачи Дирихле

Обозначим за m

a и m

a среднеквадратичную и максимальную погрешность

отклонения от точного решения на внешней поверхности k и на сфере

S , вычисленные по формулам

2

2

, ,

, , ,m m

a a j i a j i a j i

i j i j

u u u , (6.27)

, ,

max , , max ,m m

a a j i a j i a j ii j i j

u u u , (6.28)

где ,a j iu и ,m

a j iu – точные и приближённые значения искомой

функции в узлах ,j i сетки на поверхности сферы и внешней области.

167

Значения индексов у погрешностей и функций принимают значения 1,2a ,

соответственно 1a для погрешности функции на поверхности сферы, 2a

для погрешности функции на внешней поверхности; 0,1m , соответственно

0m для редкой сетки, 1m для густой сетки.

Результаты расчётов приведены в таблицах 6.1 и 6.2.

N итер. 0

1 1

1 0

2 1

2

1 0.01032 0.01032 0.01034 0.01034

2 0.00622 0.00568 0.00644 0.00588

3 0.00429 0.00342 0.00448 0.00359

4 0.00324 0.00218 0.00338 0.00230

5 0.00264 0.00147 0.00275 0.00155

6 0.00229 0.00105 0.00238 0.00111

7 0.00209 0.00081 0.00216 0.00085

8 0.00197 0.00066 0.00203 0.00069

Табл. 6.1 Зависимость среднеквадратичных погрешностей решения задачи Дирихле от

числа итераций.

N итер. 0

1 1

1 0

2 1

2

1 0.01115 0.01115 0.01058 0.01057

2 0.00909 0.00808 0.00836 0.00753

3 0.00719 0.00563 0.00639 0.00508

4 0.00574 0.00383 0.00500 0.00340

5 0.00478 0.00266 0.00412 0.00234

6 0.00419 0.00194 0.00357 0.00169

7 0.00383 0.00149 0.00324 0.00129

8 0.00362 0.00122 0.00304 0.00105

Табл. 6.2 Зависимость максимальных погрешностей решения задачи Дирихле от числа

итераций

168

Приведённые данные иллюстрируют, наряду со сходимостью метода, явное

преимущество использования более подробной сетки для получения

уточнённых значений искомых функций.

6.2.5.2 Численное решение внешней задачи Неймана

Пусть на поверхности меньшего куба D известно значение нормальной

производной, вычисленное из формулы (6.26). Для численного решения

задачи Неймана была использована новая подробная сетка с 61.015 10

тетраэдрами. Погрешности решения, вычисленные по формулам (6.27) и

(6.28), приведены в таблицах 6.3 и 6.4.

N итер. 0

1 1

1 0

2 1

2

1 0.01059 0.01059 0.01060 0.01060

2 0.00644 0.00582 0.00666 0.00603

3 0.00448 0.00350 0.00467 0.00367

4 0.00342 0.00222 0.00357 0.00234

5 0.00282 0.00149 0.00294 0.00157

6 0.00248 0.00107 0.00257 0.00112

7 0.00228 0.00082 0.00236 0.00086

8 0.00216 0.00067 0.00224 0.00070

Табл. 6.3 Зависимость среднеквадратичных погрешностей решения задачи Неймана от

числа итераций.

N итер. 0

1 1

1 0

2 1

2

1 0.01134 0.01134 0.01076 0.01076

2 0.00925 0.00820 0.00854 0.00767

3 0.00736 0.00571 0.00660 0.00518

4 0.00594 0.00389 0.00525 0.00347

5 0.00501 0.00271 0.00440 0.00240

6 0.00444 0.00197 0.00389 0.00174

7 0.00411 0.00153 0.00358 0.00134

169

8 0.00391 0.00126 0.00340 0.00111

Табл. 6.4 Зависимость максимальных погрешностей решения задачи Неймана от числа

итераций.

Анализ данных, приведённых в таблицах 6.16.4, позволяет сделать вывод,

что полученные погрешности уменьшаются при переходе от редкой к густой

сетке от 3-х до 4-х раз, что соответствует уменьшению линейных размеров

тетраэдров при таком переходе: 3 830/15.7 3.8 . Для выявления вклада

возможных погрешностей в результирующую ошибку численного алгоритма,

были посчитаны значения функции на сфере, когда на внешней поверхности

1 были заданы точные граничные условия, вычисленные по формуле

(6.26). Погрешность полученных значений оказалась такого же порядка, как

и результирующая погрешность метода m

a ( 1,2 ; 0,1a m ) после 8

итераций метода. Отсюда можно сделать вывод, что результирующая

погрешность метода обусловлена, прежде всего, точностью решения

внутренней краевой задачи в 1

и будет уменьшаться при сгущении сетки.

Отметим, что если решение внутренней краевой задачи (6.5) допускает

вычисление нормальной производной на поверхности сферы S , то можно

воспользоваться формулой (6.4) для вычисления значений функции на

внешней поверхности k . Численные эксперименты, основанные на таком

способе решения внешней краевой задачи, были также проведены и успешно

использованы для верификации вычисленных значений функции, когда

точное решение задачи было неизвестно. Причина, по которой результаты

таких численных экспериментов не приведены в данной статье, заключается

в том, что для такого итерационного процесса затруднительно получить

оценку сходимости метода, аналогичную (6.11).

6.3 Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа

декомпозицией области без пересечения

170

6.3.1 Постановка задачи

Для решения трехмерной внешней краевой задачи для уравнения Лапласа

предложен новый метод, основанный на декомпозиции области, суть

которого состоит в следующем [118]. Расчетная область разбивается сферой

на внутреннюю и внешнюю подобласти, сопрягаемые без пересечения (Рис.

6.1a). На сфере вводится специальное операторное уравнение, следующее из

условий сопряжения для искомой функции. Данное уравнение на сетке,

построенной на сфере, аппроксимируется системой линейных

алгебраических уравнений, которая решается итерационными методами в

подпространствах Крылова. Решение внутренней краевой задачи проводится

методами конечных объемов, а внешней – численно-аналитическим

интегральным методом с выделением особенности в подынтегральном

выражении. От известных вариантов метода декомпозиции для решения

рассматриваемой задачи (см., например, [58, 75, 97, 108]) предлагаемый

подход отличается постановкой задачи декомпозиции без представления

итерационного процесса в явном виде. Идея предложенного метода состоит в

том, что конечномерный оператор, аппроксимирующий оператор условия

сшивки функции на границе подобластей, представляется в матричном виде,

а для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ) применяется один из методов в подпространствах Крылова. Поэтому

поиск функции из условий сшивки может быть оптимизирован за счёт

выбора наиболее подходящего метода решения СЛАУ.

Пусть требуется решить внешнюю краевую задачу

30 , \ ,u D r r R (6.29)

, ,u f D r r r (6.30)

lim 0u

r

r

171

в трехмерной открытой области, где D D D – замкнутая область с

кусочно-гладкой границей D , r – радиус-вектор текущей точки, f r –

заданная непрерывная функция, 3 2 3\ \u C D C D R R .

Проведем декомпозицию расчетной области. Для этого построим шар S

такой, что D S , с границей S , являющейся сферой. В результате область

G разобьется на две подобласти: ограниченную подобласть \S S D и

открытую подобласть 3 \S S R , где S S S (Рис 6.1а). Наряду с ,S S

будем рассматривать подобласти S S D S и S S S .

На границе S должны выполняются условия сопряжения для искомой

функции и её нормальных производных

S S

u u

, (6.31)

n nS S

u u

, (6.32)

где n – нормаль к S , а знаки +, – указывают на подобласти ,S S . Формула

(6.32) может быть записана также в виде

0n n

S S

u u

,

где n и n – внутренняя и внешняя нормаль к сфере S .

Краевую задачу (6.29), (6.30) сведем к решению двух подзадач в

подобластях S и S :

внутренней

0 ,u S

r r , (6.33)

n

S

uw

,

Du f

(6.34)

и внешней

0 ,u S

r r , (6.35)

172

nS

uw

, lim 0u

rr , (6.36)

где 0w w r – след нормальной производной на S , 0 Sr . Поставим

задачу отыскания w . Для этого заметим: если в (6.34), (6.36) задать

некоторую функцию 0w r , то условие (6.32) будет выполняться, а условие

(6.31) – нет. Это обстоятельство наводит на мысль использовать (6.31) как

операторное уравнение для нахождения w . Будем искать решения задач

(6.33), (6.34) и (6.35), (6.36), зависящие от неизвестной функции w , для

которых выполняется условие (6.31). В этом случае можно рассматривать

решения как функции от w , и ввести оператор , действующий на w , такой,

что

S S

w u w u w

. (6.37)

Тогда искомая функция w , как следует из условия (6.31), должна

удовлетворять уравнению

0.w (6.38)

Уравнение (6.38) является основным в рассматриваемом методе

декомпозиции. Можно сказать, что оно отличается от уравнения Пуанкаре–

Стеклова, обычно используемого в методах декомпозиции, тем, что содержит

операторы, обратные операторам Пуанкаре–Стеклова [82]. Такой выбор не

случаен. Он обусловлен следующими соображениями. Во-первых, при

решении уравнения (6.38) нет необходимости прибегать к некорректной

операции численного дифференцирования, достаточно вычислить значения

искомой функции слева и справа от S . Во-вторых, для краевых подзадач

(6.33), (6.34) и (6.35), (6.34) с условием Неймана на сфере разработаны

эффективные методы решения, на чем мы остановимся позже.

Применим метод суперпозиции для решения внутренней краевой задачи

(6.33) – (6.34). Согласно ему решение этой задачи может быть представлено в

виде суммы решений следующих задач:

173

0 *u w u w u ,

где функции *u и 0u w являются решениями уравнений

* 0 , ,u S r r (6.39)

*

0n

S

u

, *

Du f

, (6.40)

0 0 , ,u S r r (6.41)

0

nS

uw

, 0 0

Du

. (6.42)

Определим обратные операторы Пуанкаре-Стеклова следующим образом:

0

0HS

w u

, HS

w u

.

Тогда операторное уравнение (6.38) может быть записано в виде

0 w , (6.43)

где

0 0H Hw w w , *

Su

.

Рассмотрим свойства оператора 0 .

1. Ядро оператора состоит только из нулевого элемента. Для

доказательства этого утверждения используем единственность решения

задачи (6.33) – (6.36). Если в уравнении (6.43) правая часть равна нулю,

то решением задачи (6.41), (6.42), (6.35), (6.36) является тождественный

нуль, а поскольку решение этой задачи единственно, то оператор 0 не

имеет нулевого собственного числа.

2. Оператор 1 2 1 2

0 : H S H S взаимно-однозначный. Если это не

так, то существуют такие 1 2

1w H S и 1 2

2w H S , что

0 1 0 2w w . Так как операторы 0H , H , а значит и 0 линейны, то

отсюда следует, что 0 1 2 0w w , откуда 1 2w w .

174

3. Так как операторы 0H и H ограничены [93], то оператор 0 также

ограничен. Отсюда следует, что множество собственных чисел

оператора 0 ограничено.

6.3.2 Численный метод решения

Уравнение (6.43) будем решать численно. Для этого на S введем сетку

, 1, ,iT S i n , содержащую n узлов iT . В узлах данной сетки

рассмотрим разности

0

, , ,u w u w ,h i h i h h i h (6.44)

где uh , wh – приближенные значения функций ,u w в узлах сетки. Введем

оператор

0, ,w , 1, ,h h h i i n . (6.45)

Вместо уравнения (6.43) будем рассматривать систему уравнений

0, w bh h , (6.46)

где b ib – приближённые значения функции в узлах сетки. Так как

0,h действует в конечномерном пространстве и переводит нуль в себя, то он

может быть представлен в матричном виде

0, w Awh h h , (6.47)

где ,A i ja – вещественная матрица размера ,n n а ,wh h iw –

вектор размерности n . Тогда систему уравнений (6.46) можно записать как

систему линейных алгебраических уравнений

Aw bh . (6.48)

Все величины, входящие в (6.48) неизвестны. Для вычисления вектора b

численно решим краевую задачу (6.39), (6.40). Её решение в узлах сетки

на сфере S и будет вектором b . Вычислять элементы ,i ja матрицы A нет

необходимости, так как для решения уравнения (6.48) будем применять

175

методы в подпространствах Крылова, которые в общем виде можно записать

как

1w w , Apk k k

h h

, (6.49)

где 0,1,...k – номер итерации, – функция, определяющая конкретный

метод, например, метод сопряжённых градиентов, метод сопряжённых

невязок, метод обобщённых минимальных невязок (GMRES). p –

вспомогательный вектор, определяемый выбором конкретного метода

решения. Итерационные методы (6.49) не требуют знания элементов

матрицы A , а требуют знания лишь результата действия Ap матрицы на

вектор, который можно вычислить следующим образом. Присвоим w

значение p в уравнениях, аппроксимирующих условия (6.34), (6.36), и

решим краевые подзадачи в подобластях. Вычислим разности вида (6.44), то

есть найдем 0, p = Aph .

При проведении процесса (6.49) на каждой k -й итерации решаются

подзадачи в подобластях с очередным значением w k

h на интерфейсе, поэтому

он называется итерационным процессом по подобластям.

Внутренняя краевая задача решается методом конечных объемов [9]. При

этом уравнение Лапласа (6.33) заменяется фактически законом Гаусса

0n

ud

, (6.50)

где – любая замкнутая поверхность в S . Уравнение (6.50)

аппроксимируется со вторым порядком на множестве конечных объемов, на

которые разбивается подобласть S , в результате чего уравнение (6.50) с

граничными условиями (6.34) заменяется системой конечно-разностных

уравнений. Из вида (6.50) следует, что условие Неймана при аппроксимации

в приграничных конечных объемах, которые содержат куски границы S

( 0S ), учитывается точно.

Приведем основные технологические этапы предлагаемого метода.

176

1. Задаётся начальное приближение 0wh для правой части в условии

Неймана на сфере (интерфейсе).

2. Решаются краевые подзадачи (внутренняя и внешняя) в подобластях, в

результате чего определяются значения искомой функции по разные

стороны интерфейса.

3. Вычисляются разности вида (6.44) этих значений в узлах сетки на

интерфейсе.

4. Используя эти разности в итерационном методе вида (6.49), находится

очередное значение 1wk

h

правой части условия Неймана.

5. Если сходимость итерационного процесса достигнута, то находится

окончательное решение подзадач в подобластях, если же это не так, то

повторяются пункты 2 – 4.

6.3.3 Решение внешней краевой задачи на сфере

Внешняя задача Неймана заключается в нахождении функции u ,

1 2u C S C S , равномерно стремящейся к нулю на бесконечности,

удовлетворяющей решению уравнения

0u r , Sr ,

и краевому условию

,n

S

uw M w C S

.

Если область S является шаром радиуса R , то решение задачи Неймана в

сферической системе координат может быть представлено в явном виде как

интеграл от нормальной производной [91]

22

0

0 0

cos2 1sin ln

4 1 cos

R rRu M w M d d

R r

, (6.51)

177

где 0 0 0, , ,M r S , ,M R ; – расстояние между точками

0M и M , 2 2

0 2 cosM M R Rr r ; – угол между векторами OM

и 0OM , 0 0 0cos cos cos sin sin cos .

Для точек 0M S вычисление интеграла (6.51) не представляет затруднений,

и для достижения необходимой точности расчётов достаточно выбрать

надлежащие квадратуры и необходимое число узлов в сеточной области

решения. Однако, если 0M S , то в подынтегральном выражении в (6.51)

появляется сингулярность, что приводит к необходимости применения

квадратур специального вида.

Для численного вычисления интеграла (6.51) используется идея, изложенная

в 3-ей главе диссертации. Отличие в области интегрирования (по

поверхности вместо объёма) не вызывает затруднений. Однако то

обстоятельство, что значения подынтегральной функции известны только в

заранее заданных узлах на поверхности сферы, вызывает необходимость

выделять интервал в окрестности точки наблюдения на сфере, на котором

необходимо производить интегрирование с заменой переменной.

Зададим на отрезках 0,2 и 0, равномерные сетки с узлами i , j :

i ih , 2

1h

N

, j j h ,

1h

N

, 1, ,i N , 1, ,j N ,

а также смещённую сетку с узлами 11 2

2

i ii

,

1

1 22

j j

j

. Пусть

значения нормальной производной заданы на смещённой сетке.

6.3.3.1 Интегрирование по координате

Запишем внутренний интеграл в (6.51) в виде

2

0

0

1 1,I P M M d

R

, (6.52)

178

где

0

cos, 2 ln

1 cos

R rP M M w M R

r

. Функция 0,P M M

особенностей не имеет, а функция обращается в 0 при 0M M . Найдём

интеграл от сингулярной части интегранда в (6.52) по отрезку 1,i i

.

Известно [32], что

2

,cos

dF

a b a b

при 0a b , 0 , (6.53)

где 2b

a b

,

1 cosarcsin

2 cos

a b

a b

, а функция F - эллиптический

интеграл 1-го рода.

Искомый интеграл равен

1 1

1 0

0

1, , ,

cos

i i

i i

i i

dd V M

a b

,

где 2 2

02 cos cosa R r Rr , 02 sin sinb Rr . Для его нахождения

произведём замену переменной 0 . В этом случае, ввиду того, что

02 2 2h h , 0 2 , новая переменная будет изменяться на

отрезке 2 2 2 2h h . Таким образом, формулу (6.53)

необходимо обобщить для более широкого интервала изменения переменной

. Нетрудно показать, что в случае вычисления определённого интеграла

такое обобщение имеет вид

1

1

1

1

1

1

1

, , 0, 0

1 22 2, , , ,

, , , .

i i

i

i i

i

i i

i i

i i

i i

F F при

d F F F приa b

F F для других интервалов

Тогда квадратурная формула, аппроксимирующая интеграл (6.52), имеет вид

1

1 2 0 1 0

0

1, , , , ,

N

i i i

i

I P M V MR

. (6.54)

179

6.3.3.2 Интегрирование по координате

Эллиптический интеграл ,F , входящий в квадратурную формулу (6.54),

имеет логарифмическую особенность при 1 , 2

. Это условие

выполняется при a b . Если точка 0M расположена на поверхности, то

отсюда следует, что 0 . Следовательно, квадратурная формула

прямоугольников является неприемлемой при численном интегрировании

внешнего интеграла в (6.51) в окрестности точки 0 . Формула трапеций

также не может быть использована, поскольку значения нормальной

производной заданы на смещённой сетке. В этом случае предлагается

выделять интервал в окрестности точки 0 , на котором производить

интегрирование с заменой переменной.

Рассмотрим интервал 1,j j с центром в точке 0 1 2j . На каждом таком

интервале будем аппроксимировать нормальную производную кусочно-

постоянной функцией

1 2 1, , , ,n

j j j

S

uw при

. (6.55)

Обозначим sing I и введём замену переменных 2

0t при

0,j , 2

0t при 0 1, j . Тогда

1 10

0

2

2 2

0 0

0

2

j j

j j

h

g d g d g d g t g t t d t

. (6.56)

Функции, входящие в подынтегральное выражение в (6.56), ввиду (6.55),

имеют аналитический вид, и поэтому их значения доступны в произвольных

точках интервала 0, 2h

. Кроме того, поскольку функция g имеет в

точке 0 лишь логарифмическую особенность, то подынтегральное

выражение в (6.56) особенностей не имеет.

180

6.3.4 Оценка числа арифметических операций

В экспериментальной части настоящей работы в качестве конкретного

метода вида (6.49) используется стабилизированный метод бисопряженных

градиентов (BiCGSTAB), реализуемый по формулам

0 0 0 0

0

k k0

1 1

k

1 0

k 1 1

0

r b Aw , p r ,

r , r, s r Ap ,

Ap ,r

As ,s, u u p s , r s As ,

As ,As

r ,r, p r p Ap , 0,1,

r , r

h

k

k k k

k

k k

k k k k k k k

k h h k kk k

k

k k k k

k k kk

k

k

(6.57)

Число арифметических операций Q , необходимое для решения

рассматриваемой задачи (6.29), (6.30) в целом можно выразить как

1 2 3Q Q Q Q K , (6.58)

где 1Q – количество операций по реализации внешнего итерационного

процесса (6.57) на одной внешней итерации, 2Q , 3Q – количество операций

по решению соответственно внутренней и внешней подзадач на одной

внешней итерации, K – число внешних итераций.

Для оценки 1Q заметим следующее. Наибольший объем вычислений в (6.57)

приходится на вычисление произведения матрицы на вектор. Для этого

требуется в общем случае 22n операций умножения и сложения, где n –

количество узлов сетки на сфере S . Предлагаемый подход позволяет

значительно (на порядок) уменьшить это число. Действительно, рассмотрим

произведение Apk . Зададим на интерфейсе в качестве граничного условия

pk , и решим внутреннюю (6.41), (6.42) и внешнюю (6.35), (6.36) краевые

181

подзадачи с данным граничным условием в подобластях S и S . Так как

0,Ap pk k

h , то для вычисления искомого произведения надо вычислить

0, pk

h , которое, согласно (6.44), (6.45), равно разности значений функции на

интерфейсе в подобластях S и S , что выполняется за n сложений. Вектор

b вычисляется один раз до проведения итераций. В итоге для вычисления

Apk вместо 22n операций умножения и сложения будем иметь 2n сложений.

Аналогично поступаем и в случае вычисления Ask . Таким образом, из

приведенных выше рассуждений следует, что 1Q O n . Из п.6.3.3 вытекает,

что число операций по решению внешней краевой подзадачи оценивается как

2

3Q O n .

Относительно решения внутренней краевой подзадачи заметим следующее.

Во-первых, метод конечных объемов и решение возникающей при этом

системы сеточных уравнений хорошо изучены (см., например, [92]). Для

выполнения наиболее трудоемкой процедуры решения системы сеточных

уравнений разработаны оптимальные итерационные алгоритмы, которые

требуют 2Q O N операций, где N число узлов сетки, на которой

аппроксимируется внутренняя подзадача. Таким образом, согласно (6.58),

общее число итераций будет 2Q O n O N K . Во-вторых,

положительной стороной проведения итераций в подобластях является то,

что на каждой внешней k -ой итерации для внутреннего итерационного

процесса берется приближение с 1k -ой итерации. Это обстоятельство

значительно уменьшает количество внутренних итераций, необходимых для

достижения заданной точности.

Значительным средством уменьшения времени счета является то, что

решение внутренней и внешней подзадач могут проводиться параллельно на

каждой итерации сшивки решений, что дает возможность эффективной

реализации предлагаемого подхода на многопроцессорных суперЭВМ.

182

Разумеется, как внутренняя, так и внешняя подзадачи, могут подвергаться

дополнительной декомпозиции для распараллеливания по многим

процессорам с целью сокращения времени счета и балансировки загрузки

процессоров.

6.3.5 Решение модельных задач

6.3.5.1 Задача 1

Рассмотрим внешнюю краевую задачу на сфере D радиуса 0R

0, ,

, , lim 0,

u G

u f D u

r

r r

r r r (6.59)

где Constf , имеющую аналитическое решение

0u r f R r .

Декомпозиция расчетной области на внутреннюю и внешнюю подобласти

проводилась сферой радиуса 0R R . Аналитическое решение внутренней

краевой задачи (6.33), (6.34) при Constw будет

2

0

1 1u f wR

R r

, (6.60)

а внешней краевой задачи (6.35), (6.36)

2wRu

r

.

Из условия u R u R найдем, что на решении задачи должно быть

0

2

f Rw

R . (6.61)

Из (6.60) следует, что Constf . Применим в качестве конкретного

итерационного процесса вида (6.59) для решения уравнения (6.58) метод

BiCGSTAB (6.57), и выберем 0w 0h . Тогда вектора b , 0r и 0p имеют

183

компоненты равные f , а вектор 0Ap – компоненты равные 2

0f R R ;

2

0 0R R , и 0s 0 .

Заметим, что в методе BiCGSTAB параметр k является достаточно

произвольным, и выбирается из условия минимума евклидовой нормы

вектора sk . Если s 0k , то при любом выборе k в (6.57) имеем

1

ku u pk k k

h h . Тогда в рассматриваемой задаче 1 0 0

0w w ph h , и

компоненты вектора 1wh равны 2

0f R R , что совпадает с (6.61), то есть 1wh

является точным решением исходной задачи (6.59). Таким образом, метод

BiCGSTAB для решения поставленной задачи, как и следовало ожидать,

сходится за одну итерацию. Этот факт подтверждается результатами

численных экспериментов, которые проводились для решения задачи (6.59) в

трехмерной постановке.

6.3.5.2 Задача 2

Рассмотрим более сложную трехмерную внешнюю краевую задачу на кубе,

на котором поставим граничные условия, соответствующие аналитическому

решению

2

1 1

2 3

1

sin cos sin cos 2, ,u r

r r

,

где новые переменные 1 1 1, ,r соответствуют исходным переменным со

сдвинутым на величину 0x центром по оси x в декартовой системе

координат, т.е. 1 0 1 1, ,x x x y y z z . Нетрудно заметить, что новые

переменные в сферических координатах будут выражены через исходные

переменные в этих же координатах по формулам

2 2

1 0 0 1 1

1 0

cos sin sin2 sin cos , arccos , tg

sin cos

r rr r rx x

r r x

.

184

В расчетах в качестве исходной области D брался куб с ребром 2a ,

константа 0 0.1x . Декомпозиция внешней расчетной области на подобласти

,S S проводилась сферами разного радиуса 3R и 6R . Внутренняя

краевая задача решалась на неструктурированных тетраэдральных сетках

h

,которые строились известным сеточным генератором NetGen [90]. Были

использованы сетки h

трёх видов: грубая, средняя и подробная, которые

имели для сфер каждого радиуса число узлов соответственно 13980, 114723,

926237 с шагами, отличающимися в два раза для соседних сеток. Уравнение

(6.43) решалось в узлах сетки , состоящей из узлов сетки h

, лежащих на

сфере S . Для численного решения внешней краевой задачи по алгоритмам,

описанным в п. 6.3.4, строилась равномерная по , сетка I , в узлы

которой проводилась интерполяция текущих приближенных значений

нормальной производной из узлов сетки со вторым порядком точности.

Внешний итерационный процесс, проводимый по методу BiCGSTAB (6.57),

давал за одну итерацию погрешности решения исходной задачи,

приведённые в таблице 6.5, которые рассчитывались по формуле

max uh

h hu

, где uh – приближённое, а

hu – точное решение в узлах

сетки. Дальнейшее проведение итераций (6.59) не увеличивало точности

решения задачи в целом, что объясняется наличием погрешности

аппроксимации уравнения (6.43) системой линейных алгебраических

уравнений (6.48). Для подтверждения этого предположения были проведены

численные эксперименты с точным значением производной на интерфейсе.

Полученный результат практически совпал с данными таблицы 6.5.

Радиусы Грубая сетка Средняя сетка Подробная сетка

3R 0.02096 0.00842 0.00488

6R 0.04853 0.02372 0.01659

185

Табл. 6.5 Погрешность численного решения в задаче 2 для разных радиусов

вспомогательных сфер и разных сеток h

.

Из данной таблицы следует, что, во-первых, погрешность линейно убывает с

уменьшением шага сетки, во-вторых, увеличение радиуса вспомогательной

сферы приводит к увеличению погрешности, так как при этом возрастают

шаги сетки (для сохранения погрешности требуется большее число узлов

сетки h

).

В таблице 6.6 приведены значения погрешностей для сеток I с разным

числом узлов N N на интерфейсе и разных сетках h

, полученные для

вспомогательной сферы радиуса 3R .

Виды сетки h

N N

Вид сетки h

16 Х 16 32 Х 32 64 Х 64 128 Х 128

Грубая сетка 0.02091 0.02089 0.02096 0.02099

Средняя сетка 0.00844 0.00840 0.00842 0.00813

Подробная сетка 0.01088 0.00557 0.00488 0.00481

Табл. 6.6 Погрешность для разных сеток I и h

.

Из таблицы 6.6 следует, что погрешность решения задачи в целом

определяется погрешностью решения внутренней задачи, несмотря на то, что

формально численный метод решения внешней краевой задачи (6.35) – (6.36)

имеет только первый порядок аппроксимации.

Заметим, что сходимость метода в конечномерной постановке задачи

существенным образом зависит от спектральных свойств матрицы этого

метода. По этой причине в таблице 6.7 приведены приближённые значения

минимального min и максимального max собственного числа матрицы A из

уравнения (6.48) задачи 2 для разных сеток, полученные использованием

186

степенного метода с применением нормировки на каждой итерации этого

метода [110]. В численных экспериментах N N .

Виды сетки h

min max

Грубая сетка, 16N 0.0237 6.7871

Средняя сетка, 32N 0.0180 6.8072

Подробная сетка, 64N 0.0089 6.8123

Табл. 6.7 Минимальное min и максимальное

max собственное число матрицы A в

зависимости от вида сетки h

.

Результаты таблицы демонстрируют незначительное увеличение границ

спектра с его обоих концов при переходе от менее подробной к более

подробной сетке. Как показали численные эксперименты, увеличение или

уменьшение количества узлов сетки I не приводит к значимому изменению

границ спектра матрицы. В целом результаты численных экспериментов,

представленных в таблицах 6.5 – 6.7, иллюстрируют возможность и

эффективность применения предложенного метода решения внешней

краевой задачи для уравнения Лапласа.

Отметим, что рассматриваемый подход может служить основой для создания

масштабируемых параллельных алгоритмов для проведения расчетов на

современных многопроцессорных суперЭВМ. Он имеет общий характер, а

основная идея метода, заключающаяся в замене итерационного метода

решения дифференциальной задачи на непосредственную аппроксимацию

операторного уравнения на интерфейсе, с последующим решением

полученной системы линейных алгебраических уравнений в

подпространствах Крылова, может быть использована для решения других

краевых задач математической физики.

6.4 Решение внешней краевой задачи для уравнения

Гельмгольца декомпозицией области

6.4.1 Постановка задачи и метод решения

187

Рассмотрим открытую область D в пространстве 3R , ограниченную

поверхностью D . Внешняя краевая задача для уравнения Гельмгольца

состоит в нахождении функции 1 3 2 3\ \u C D C D R R ,

удовлетворяющей уравнению

2 0u k u r r , 3 \ Dr R , (6.62)

краевому условию

u fr r , Dr , (6.63)

и условию излучения на бесконечности

lim 0r

ur iku

r

. (6.64)

Задача (6.62) – (6.63) предполагается решённой, если удастся найти

значения искомой функции Su и её нормальной производной nu на сфере S ,

являющейся границей шара S S S , D S . Действительно, в этом случае

можно найти значения функции в произвольной точке пространства

3 \ Dr R по формуле Грина

1

4

ikR ikR

n S

S

e eu u u d s

R n R

r , (6.65)

где 0r – радиус сферы S , 0 Sr ,

2 2

0 0 02 cosR r r r r r r , – угол

между векторами r и 0r , 0 0 0cos cos cos sin sin cos , n

–

производная по нормали к поверхности в точке 0r .

Формула (6.65) является основой для предлагаемого итерационного метода

решения задачи (6.62) – (6.63), который заключается в последовательном

решении вспомогательных краевых задач в ограниченной и неограниченной

области.

6.4.2 Сходимость итерационного метода

188

Исследуем сходимость предложенного метода для решения уравнения

2 0u k u r r (6.66)

с граничным условием (6.63), где k – вещественное число, а решение

уравнения (6.66) равномерно стремится к нулю на бесконечности.

6.4.2.1 Итерационные формулы для искомого приближённого решения и

его погрешности. Запишем формулу (6.65) в виде

0 0 0 0( , ) ( , )S

uu G u G d s

n n

r r r r r r r , 0 Sr ,

где 0

1( , )

4

kReG

R

r r . Тогда итерационный процесс определяется следующим

образом:

1 2 1

1

1

0, ,

, ,

, , 0,1, ,

j j

j

j j

j

j

u k u

u

u f D j

r r r

r r r

r r r

(6.67)

где

0 0 r , 0 0 0 0( , ) ( , )j

j j

S

uG u G d s

n n

r r r r r r r , (6.68)

jr , 0 Sr .

Определим погрешность метода как

j ju u r r r , 1j

r , (6.69)

0 0 0

jj

n

u u

n n

r r r , 0 Sr .

Тогда

1

0 0 0 0( , ) ( , )j j j j

n

S

G G d sn

r r r r r r r r , ,jr (6.70)

и погрешность будет удовлетворять уравнениям

189

1 2 1

1

1

0, ,

, ,

0, .

j j

j

j j

j

j

k

D

r r r

r r r

r r

(6.71)

6.4.2.2 Оценка производной по нормали. Для определения условия

сходимости метода необходимо найти оценку для производной по нормали

от решения уравнения Гельмгольца на поверхности S . Обозначим за 0

расстояние между сферой и границей расчётной области, 0

0 0,

min r r

r r ,

j D r , 0 Sr ; а за lu производную от функции u по направлению

по направлению l , l

uu

l

. Если функция u удовлетворяет уравнению

Гельмгольца, то и функция lu будет удовлетворять такому же уравнению, и

для любых , 0 справедлива теорема о среднем для решения уравнения

Гельмгольца [71]

0

4sinl l

S

u ds u kk

r , (6.72)

где S сфера радиуса с центром в точке 0r . Проинтегрируем уравнение

(6.72) от 0 до по переменной , 00 . Тогда получим

04 ,l l

S

I u d v u k

r , (6.73)

где S – шар радиуса , и

3 2

sin cos,

k kk

k k

. (6.74)

Интегрируя равенство (6.73) по частям, получим

SS

lI u d s

n

,

где Sn – нормаль в текущей точке на сфере S .

Произведём оценку интеграла I , что позволит не только получить искомую

оценку производной в точке 0r , но и уточнить оценку для производной

190

гармонической функции, полученной в [71]. Выберем ось Z в декартовой

системе координат, совпадающей с направлением l . Тогда

2

2

0 0

, sin cosI u d d

.

Для оценки I разобьем промежуток интегрирования по переменной на

интервалы 1 2,3 2 и 2 10,2 \ , на которых

cos знакопостоянная функция. Тогда

1 2

2 2

0

max sin cos cos 8 max .S S

I u d d d u

r r

r r

Отсюда, с учётом (6.73), следует оценка

2

0

2max

,l

Su u

k

rr r , (6.75)

где ,k определено формулой (6.74).

Заметим, что правая часть неравенства (6.75) является функцией, зависящей

от произвольного радиуса шара , 0 , и поэтому естественно выбрать

этот радиус таким образом, чтобы правая часть в (6.75) принимала

минимальное значение. При относительно больших значениях k это можно

сделать достаточно просто. Обозначим x k . Тогда, с учётом (6.74),

2 2

, sin cos

k x

k x x x

. (6.76)

Функция в правой части формулы (6.76) имеет минимум при * 2.08x и

принимает в точке *x значение 2

* *, 2.3k k , где * *x k . Тогда

неравенство (6.75) примет вид

*

0 1.465 maxlS

u k u

r

r r . (6.77)

Если * 0 , то в силу убывания функции в правой части формулы (6.76) на

промежутке *0, x , выбираем 0 и неравенство (6.75) примет вид

191

0 0

2 2

0 00

0 0 0 0

2 2max max

, sin cosl

S S

k xu u u

k x x x

r rr r r , (6.78)

где 0 0x k .

Нетрудно показать, что

2

0

00 0

3lim

,k k

. Отсюда следует, что при 0k

оценка производной для уравнения Лапласа в (6.78) в 2 раз лучше оценки

0

0

3x

Mu

r , приведённой в [71], где M максимальное по модулю

значение функции u r в заданной области.

6.4.2.3 Сходимость итерационного метода. Найдём явный вид производной

по нормали от фундаментального решения, и интегралы от

фундаментального решения и от его нормальной производной по

поверхности сферы.

2 2 2

0

2 3

0

11cos ,

2

kR kRr R rkRG G R kR

e R n en R n R R r

,

0 00

0 0( , )2

k r k rk r

S

rI G ds e e e

k r

r r r , (6.79)

0 0

1 0 0 0

1( , ) 1 1

2

k r k rk r

S

I G ds e k r e k r en k r

r r r , (6.80)

где r r . Нетрудно заметить, что 0 0I r , 1 0I r , и обе функции

убывают по модулю с возрастанием аргумента r .

Оценим норму погрешности метода на 1j -ой итерации через норму

погрешности на j -ой итерации. Ввиду того, что для уравнения Гельмгольца

вида (6.66) применим принцип максимума, из (6.80) следует неравенство

1

0 1max max max max maxj jj

j j j

nS S

I I

r r r rr

r r r r r ,

где интегралы 0I r и 1I r определены формулами (6.79), (6.80). Отсюда,

принимая во внимание формулы (6.77) и (6.78), получаем окончательную

оценку

192

1

1

0 0max , , , maxj j

j jk d r x

r r

r r ,

где

0 0

0 0 0 0 0 0, , , 1 12

k dk r k re

k d r x e k r r e k r rk d

, (6.81)

minj

d

r

r , 0 0x k ,

2

00

0 0 00

0

2, 2.08 ,

sin cos,

1.465 , 2.08 .

k xx

x x xk x

k x

Таким образом, достаточным условием сходимости итерационного процесса

(6.67) будет

0 0, , , 1k d r x . (6.82)

6.4.2.4 Сходимость модифицированного метода. Рассмотрим

модификацию предложенного метода и исследуем его сходимость. Пусть

значения функции 1j и её нормальной производной 1j

n

на сфере S на

1j -ой итерации метода определяются не только решением внутренней

задачи в области j

, но и их значениями на j -ой итерации:

1 1

0 01j j j

j jS

u

r r r , 0 Sr , (6.83)

где j – некоторая константа на j -ой итерации. Аналогичную формулу

определим и для нормальной производной функции 1j на сфере S .

Значения 0 и 0

n

соответствуют решению на сфере S внутренней

краевой задачи в области 0

с нулевыми граничными условиями на 0 .

Формула Грина (6.68) примет в этом случае следующий вид

0 0 0 0( , ) ( , )j

j j

S

G G d sn n

r r r r r r r .

Определим погрешность метода

193

0 0 0

j j u r r r , (6.84)

0 0 0

jj

n

u

n n

r r r , 0 Sr .

Тогда из (6.83) и (6.84) следует, что

1 1

0 0 01j j j

j j r r r . (6.85)

Аналогичное равенство справедливо и для погрешности 0

j

n r . Поскольку

1

0

j r и 0

j

r ограниченные функции при 0 Sr , то существует такое

число 0M , зависящее от входных параметров задачи, что выполняется

неравенство

0 0

1

0 0 0max maxj j

S S

r rr r . (6.86)

Тогда из (6.85) и (6.86) следует, что

0 0

1

0 1 0max maxj j

S S

r rr r ,

где 1 01j j . Нетрудно получить, что для выполнения условия

1 1 необходимо, чтобы 1j и 0 1 . Для таких областей изменения

значений параметров j и 0 минимум числа 1 будет достигаться при

0j , что соответствует изначально рассмотренному в разделе 6.4.2.1

методу решения уравнения вида (6.66) без модификации. Таким образом,

можно сделать вывод, что модификация (6.83) для решения уравнения (6.66)

нецелесообразна.

6.4.3 Анализ сходимости частного решения с произвольным волновым

числом

Проведём анализ сходимости альтернирующего метода Шварца для

решения задачи (6.62) – (6.64) для частного случая, когда поверхность D

194

является сферой радиуса Dr , функция f в формуле (6.63) – константа, а

решением задачи (6.62) – (6.64) является функция ( )i k re

u rr

.

Пусть на сфере S задано некоторое начальное значение искомой функции,

являющейся константой: 0 0 0

0 constR Iu r V iV . Выберем в качестве

области 0 шар, ограниченный сферой радиуса r , 0Dr r r . Исследование

сходимости сведётся к следующим шагам:

1. По заданному начальному значению искомой функции на сфере S

решим внешнюю задачу и найдём значение функции на сфере 0 .

2. Решим внутреннюю задачу в области 0

с учётом полученного

значения на 0 и заданного на D , и найдём новое значение для

искомой функции на сфере S .

3. Сравним новые и начальные значения на сфере S с точным

значением и определим условия для убывания погрешности решения.

1. Решением внешней задачи для уравнения Гельмгольца вне сферы S

является функция i k r

R I

eC i C

r , где

0 0

0 0 0cos sinR R IC r V k r V k r , 0 0

0 0 0sin cosI R IC r V k r V k r ,

поэтому

1 0 0 0 00 { cos sin sin cos }.R I R I

ru r V V i V V

r

(6.87)

где 0k r r .

2. Решением внутренней задачи для уравнения Гельмгольца в области 0

с граничными условиями 1

R Iu r U iU и 1

D R Iu r u iu является

функция

1

1cos sin cos sin

sin D

u r

a k r b k r i c k r d k rr k r r

, (6.88)

195

где sin sinD R R Da r u k r r U k r , cos cosR D D Rb r U k r r u k r ,

sin sinD I I Dc r u k r r U k r , cos cosI D D Id r U k r r u k r .

Если значения RU и IU определены формулой (6.87), а значения функции на

сфере D равны cos D

R

D

k ru

r ,

sin D

I

D

k ru

r , то функция 1u r из формулы

(6.88) примет на сфере S значение

1 1 1

0 R Iu r V iV ,

где

1 0 0

1 0 0

sin ,

sin ,

R R R R I R D

I I R I I I D

V a V b V c k r r

V a V b V c k r r

(6.89)

0sin cosR Da k r r , 0sin sinR Db k r r ,

0sin sinI Da k r r , 0sin cosI Db k r r ,

0sin cosR Dc k r r , 0sin sinI Dc k r r .

3. Перейдём к уравнениям для погрешностей решения. Обозначим

0 0cosi i

R RV k r r , 0 0sini i

I IV k r r , 0,1i . (6.90)

Тогда 1 0 0 sinR R R R I Da b k r r , 1 0 0 sinI I R I I Da b k r r ,

или

1 0 0

1 0 0

cos sin ,

sin cos ,

R R I

I R I

(6.91)

где

0sin

sin

D

D

k r r

k r r

. (6.92)

Формула (6.91) задаёт преобразование вращения, помноженное на

постоянный множитель , который и определяет сходимость метода для

рассмотренного частного случая.

Условие сходимости 1 для рассмотренной простейшей задачи имеет

непростую структуру ввиду наличия бесконечного количества интервалов

196

расходимости. Для более общего случая условия сходимости, скорее всего,

примут ещё более сложный вид. По этой причине автор не рекомендует

решать уравнение Гельмгольца с произвольным волновым числом, отличное

от вида (6.66), предложенным методом.

Рассмотрим условие сходимости модельной задачи с модификацией

предложенного метода вида (6.83). Пусть constj . Формулы (6.89) для

данной модификации метода будут:

1 0 0 0

1 0 0 0

1 ,

1 .

R R R R R I R

I I I R I I I

V V a V b V c

V V a V b V c

Перейдя к погрешностям решения i

R и i

I в формулах (5.90), получим

1 0 0 0

1 0 0 0

1 cos sin ,

1 sin cos .

R R R I

I I R I

Выберем параметр так, чтобы модуль погрешности

2 2

1 1 1

R I был минимальным. Нетрудно показать, что оптимальное

значение параметра opt не зависит от 0 и равно

2

2

cos

1 2 cosopt

. (6.93)

Преобразовав формулу (6.93) получим, с учётом явного вида параметров и

:

0

0

sin cos

sin

D D

opt

k r r k r r

k r r

.

Рассмотрим убывание погрешности метода. Условие 1 0 1

равносильно

22 21 2 1 cos 1 . (6.94)

Выбрав в качестве параметра в формуле (6.94) значение opt из (6.93),

получим

197

2

sin

1 2 cosopt

.

Воспользовавшись явным видом параметра в формуле (6.92), получим

окончательно

0sinopt Dk r r .

Таким образом, преимущество более общего подхода (6.93) для решения

задачи состоит в том, что в нём существует оптимальное значение параметра

0, , ,Dk r r r в (6.83), обеспечивающее сходимость метода при любых

значениях входных параметров 0, , ,Dk r r r , за исключением случаев, когда

0 2Dk r r n , где n – любое целое нечётное число.

Полученные значения интервалов и скорости сходимости метода позволяют

предположить, что в случае произвольной исходной поверхности решение

внешней задачи предложенными методами имеет аналогичный характер или

удовлетворяет ещё более сложным условиям. А именно: сходимость метода

(6.67) – (6.68) для решения задачи (6.62) – (6.64) имеет место только на

интервалах, где выполняются определённые соотношения между входными

параметрами, характеризующими поверхности D и , волновым числом

k , и радиусом вспомогательной сферы 0r . Для модификации метода с

использованием формулы (6.83) сходимость будет иметь место при

некоторых значениях параметров j этого метода. Выбор соотношений для

исходных параметров в первом варианте метода и оптимального значения

параметра для второго варианта, необходимых для их сходимости в общем

случае, является пока открытой проблемой.

6.4.4 Численные эксперименты и обсуждение результатов

198

Будем искать численное решение внешней краевой задачи (6.66) с

граничными условиями (6.63), (6.64), где k – вещественное число, имеющее

следующее точное решение:

1 2

1 2, ,k r k r

u x y z e r e r

, (6.95)

или 2, , 1/k ru x y z ze k r r , (6.96)

где 2 2 2r x y z , 2 2 2

1 0r x x y z , 2 2 2

2 0r x x y z ,

0 0.1x . Зададим на гранях куба с рёбрами, равными 0.4, граничные условия

в соответствии с точным решением (6.95) или (6.96). Будем полагать, что куб,

а также и все последующие в рассмотрении области, ограниченные

выбранными поверхностями, имеют центр симметрии в начале координат.

Выберем границу внешней расчётной области 0 , которую оставим

неизменной на каждой итерации, в виде поверхности куба с рёбрами,

равными 2, на поверхности которого зададим нулевые граничные условия. В

области 0

, ограниченной поверхностями этих кубов, решается внутренняя

задача Дирихле и находятся значения функции и её нормальной производной

на сфере, лежащей в этой области. По найденным значениям определяются

новые граничные условия на поверхности 0 по формуле (6.65). Далее

снова решается задача Дирихле в расчётной области 0

, и определяются

новые приближённые значения функции и её нормальной производной на

сфере. Поверхность сферы, на которой ищется приближённое решение,

является неизменной на всех итерациях в каждом численном эксперименте,

однако может варьироваться в разных экспериментах.

Построение конечно-объемных аппроксимаций внутренней задачи Дирихле

[79] проводилось на последовательности трех равномерных сгущающихся

сеток. Приведем число узлов и конечных элементов для каждой из сеток:

редкая сетка L = 29666, Ltet = 160704;

средняя сетка L = 225650, Ltet = 1285632;

густая сетка L = 1759794, Ltet = 10285056.

199

Обозначим за v , d и v , d среднеквадратичные и максимальные

погрешности отклонения от точного решения и от точной нормальной

производной на сфере S , вычисленные по формулам

2

2

, ,

, , ,v j i j i j i

i j i j

u u u ,

, ,

max , , max ,v j i j i j ii j i j

u u u ,

2 2

, ,

, , ,d j i j i j i

i j i j

u u u

n n n

,

, ,

max , , max ,d j i j i j ii j i j

u u u

n n n

,

где ,j iu , ,j i

u

n

и ,j iu , ,j i

u

n

– точные и приближённые

значения искомой функции и её нормальной производной в узлах ,j i

сетки в сферических координатах на сфере.

В таблице 6.7 представлены погрешности вычисления функции и её

нормальной производной на сфере радиуса 0 0.5r при 2 1k , 17N N

после проведения 5 итераций метода. Точное решение определялось

формулой (6.96). Вычисления проводились на редкой, средней и подробной

сетках, в которых длина ребра элементарного тетраэдра в методе конечных

объёмов уменьшалась приблизительно в 2 раза при переходе к более

подробной сетке. Вычисления показали, что дальнейшее увеличение числа

итераций не приводит к существенному изменению погрешности. Заметим,

что увеличение количества точек на сфере также не приводило к

существенному уменьшению вычисляемых погрешностей, однако требовало

дополнительных временных затрат. Это обстоятельство иллюстрирует то, что

погрешность решения задачи обусловлена, прежде всего, погрешностью

решения её внутренней части.

200

Погрешность v v d d

Редкая сетка 0.0192 0.0383 0.1782 0.3721

Средняя сетка 0.0055 0.0077 0.0761 0.1310

Густая сетка 0.0011 0.0018 0.0389 0.0596

Табл. 6.7 Зависимость погрешностей решения и нормальной производной от вида сетки.

Результаты, приведённые в таблице, демонстрируют квадратичную

сходимость полученного приближённого решения и линейную сходимость

для его производной.

В следующем численном эксперименте определялась погрешность метода

при разных значениях радиуса вспомогательной сферы 0r и разных

коэффициентах 2k в уравнении Гельмгольца. Вычисления проводились на

подробной сетке, точное решение было задано формулой (6.95), результаты

погрешностей приведены после 5 итераций метода. Максимальная

погрешность приближённых значений функции и её производной на сфере

при разных значениях вышеуказанных параметров приведена в таблице 6.8.

0r 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

2, 1v k 0.0020 0.0008 0.0011 0.0015 0.0095 0.0566 0.2090

2, 10v k 0.0032 0.0025 0.0019 0.0016 0.0086 0.0444 0.1420

2, 1d k 0.0564 0.0492 0.0440 0.0413 0.0561 0.1389 1.1966

2, 10d k 0.0710 0.0619 0.0608 0.0585 0.0586 0.0892 0.7608

Табл. 6.8. Зависимость погрешностей решения задачи от радиуса сферы и коэффициента

в уравнении Гельмгольца.

Для анализа полученных значений воспользуемся формулой (6.81) для

коэффициента уменьшения погрешности 0 0, , ,k d r x при переходе к

следующей итерации метода. При заданных значениях параметров исходной

задачи этот коэффициент будет меньше единицы при 0 0.658r для 2 1k , и

201

при 0 0.83r для 2 10k . Полученные значения для погрешностей позволяют

сделать вывод, что сходимость метода имеет место при больших значениях

радиуса вспомогательной сферы, вплоть до 0 0.95r . Это обстоятельство не

противоречит условию сходимости метода (6.82), поскольку оно является

достаточным. Значения погрешностей при больших радиусах сферы при

увеличении 2k убывают, что соответствует уменьшению коэффициента

0 0, , ,k d r x c увеличением 2k при фиксированных значениях других

параметров.

202

ПРИЛОЖЕНИЕ

Описание комплекса программ на ЭВМ

В приложении прилагается описание программного комплекса,

предназначенного для вычисления потенциала и напряжённости поля

заряжённого эллипсоида вращения согласно методам, представленным в 3-ей

главе диссертации. Для программ получены свидетельства о государственной

регистрации [115], [116], копии которых приведены в конце приложения.

П 1 POTELL – программа вычисления потенциала эллипсоида

вращения

Программа предназначена для вычисления потенциала эллипсоида

вращения с заданной плотностью. Потенциал вычисляется в узлах сетки в

шаре, вмещающем эллипсоид, радиус сферы задаётся пользователем. Одна из

осей эллипсоида равна единице, длины других осей, а также количество

узлов по всем сферическим координатам, задаётся пользователем.

Результаты расчётов сохраняются в массиве POT. Программа включает

тестовые подпрограммы DENS – задание эллиптического распределения

плотности для произвольного размера полуосей, и PSOL – точное значение

потенциала для плотности, заданной в DENS. Алгоритм метода и результаты

численных экспериментов с вышеуказанными тестовыми функциями,

приведён в 3-ей главе диссертации. Программа написана на языке Fortran в

операционной системе Windows, реализована на РС ЭВМ, объём программы:

6.6 Kб.

Описание программы

1. В головной программе POTENTIAL определяются следующие параметры:

NTH – количество узлов по координате ,

203

NFI – количество узлов по координате ,

NRGR – количество узлов по координате r ,

NR – количество узлов по координате r для точек внутри эллипсоида,

G – длина меньшей полуоси эллипсоида ,

REND – максимальное значение координаты r .

Вводятся следующие массивы с динамической памятью:

R(NRGR) – массив узлов по координате r в сферических координатах.

DEN (NR, NTH) – массив плотности заряда в точках внутри эллипсоида,

POT (NRGR, NTH) – массив узлов, в которых вычисляются значения

потенциала.

Производится вызов подпрограммы DENS.

2. Подпрограмма DENS (NTH, NR, NRGR, G, REND, R, DEN) осуществляет

запись в массив DEN значений плотности внутри эллипсоида в узлах сетки,

индуцированной подпрограммой RGID. В подпрограмме предложены

тестовые значения плотности, определённые по формуле (3.23).

Пользователю необходимо ввести вместо них свои значения плотности.

В программе POTENTIAL осуществляется вызов подпрограммы POTELL.

3. Подпрограмма POTELL (NR, NRGR, NTH, NFI, G, REND, DEN, POT)

вычисления потенциала эллипсоида.

В программе предусмотрена равномерная сетка по координатам и .

Вводится цикл по переменной J = j для определения текущего значения

координаты TH0 = j . Определяется

BT – расстояние от начала координат до поверхности эллипсоида, находится

по формуле 1 2

2 2 2sin cosj jbt

. (П 1)

Определяются узлы сетки в массиве R(NRGR) подпрограммой RGRID.

4. Подпрограмма RGRID (NR, NRGR, BT, REND, R).

В подпрограмме для текущего значения координаты j определяется

равномерная сетка по координате r внутри эллипсоида, и неравномерная

204

сетка вне эллипсоида с возрастанием расстояния между узлами при

увеличении координаты r .

В подпрограмме POTELL вводится цикл по переменной K = k и

определяется текущее значение координаты R0 = kr . Вызывается

подпрограмма AINT1.

5. Подпрограмма AINT1 (K, J, NR, NRGR, NTH, NFI, R0, TH0, G, DEN, S)

вычисления потенциала S в точке с координатами R0, TH0.

Вводится цикл по переменной J = j для определения текущего значения

координаты THJ = j . Определяется BT по формуле (П 1), и узлы R(NRGR)

по координате r подпрограммой RGRID. Для текущего значения J

определяется массив F(NR) плотности эллипсоида при j , F(K) =

DEN(K, J), K=1,…,NR. Для численного вычисления интеграла (3.7) по

переменной применяется формула прямоугольников в предположении, что

приближённое значение двойного интеграла по двум другим переменным

найдено функцией FI.

6. Функция FI (NR, NRGR, NFI, R0, TH0, THJ, BT, R, F) вычисляет двойной

интеграл в (3.7) по переменным и r .

При интегрировании по координате вводится замена переменной 2t

(см. раздел 3.5). Вводится цикл по переменной I = i для определения

текущего значения координаты it . Производится интегрирование по

координате r введением цикла по переменной K = k . В нём производится

суммирование по квадратурной формуле (3.2) с учётом того, что значения

1,i iG r r из этой формулы, определяемые формулами (3.8) и (3.9), найдены

функцией G0. Определяется B1 =cos (см. раздел 3.2).

7. Функция G0 (X, B1, R0) вычисляет функцию 0G x по формуле (3.9).

После вызова подпрограммы AINT1 в подпрограмме POTELL производится

запись полученных приближённых значений потенциала в файл POT

последовательным доступом в бесформатном виде. В подпрограмме POTELL

205

предусмотрено сравнение вычисленных значений потенциала для тестовых

значений плотности, заданных в подпрограмме DENS, c точными

значениями потенциала для этой плотности, вычисленными по формуле

(3.26). Эти значения вычисляются функцией PSOL.

8. Функция P

SOL (TH0, R0, G, BT) определяет точный потенциал эллипсоида с тестовой

плотностью, заданной в подпрограмме DENS, по формуле (3.26).

Блок-схема программы представлена на Рис. П1.

Рис. П1 Блок-схема программы POTELL

П 2 FORCELL – программа вычисления компонентов напряжённости

поля заряжённого эллипсоида вращения

Программа предназначена для вычисления компонентов напряжённости

поля проводящего эллипсоида вращения с заданной плотностью заряда.

Компоненты напряжённости поля вычисляется в узлах сетки в шаре,

вмещающем эллипсоид, радиус сферы задаётся пользователем. Одна из осей

эллипсоида равна единице, длины других осей, а также количество узлов по

всем сферическим координатам, задаётся пользователем. Результаты

расчётов сохраняются в массивах RFORCE и THFORCE. Программа

включает тестовые подпрограммы DENS – задание эллиптического

распределения плотности заряда для произвольного размера полуосей, и

PRR, PRTH – точные значения компонентов напряжённости поля по

206

координатам R и THETA для плотности заряда, заданной в DENS. Алгоритм

метода и результаты численных экспериментов с вышеуказанными

тестовыми функциями, приведён в 3-ей главе диссертации. Программа

написана на языке Fortran в операционной системе Windows, реализована на

РС ЭВМ, объём программы: 11.8 Kб.

Описание программы

1. В головной программе FORCE определяются следующие параметры:

NTH – количество узлов по координате ,

NFI – количество узлов по координате ,

NRGR – количество узлов по координате r ,

NR – количество узлов по координате r для точек внутри эллипсоида,

G – длина меньшей полуоси эллипсоида ,

REND – максимальное значение координаты r .

Вводятся следующие массивы с динамической памятью:

R(NRGR) – массив узлов по координате r в сферических координатах.

DEN (NR, NTH) – массив плотности заряда в точках внутри эллипсоида,

THFOR (NRGR, NTH) – массив узлов, в которых вычисляются значения

составляющей напряжённости поля по координате .

RFOR (NRGR, NTH) – массив узлов, в которых вычисляются значения

составляющей напряжённости поля по координате r .

Производится вызов подпрограммы DENS.

2. Подпрограмма DENS (NTH, NR, NRGR, G, REND, R, DEN) осуществляет

запись в массив DEN значений плотности внутри эллипсоида в узлах сетки,

индуцированной подпрограммой RGID. В подпрограмме предложены

тестовые значения плотности, определённые по формуле (3.28).

Пользователю необходимо ввести вместо них свои значения плотности.

В программе FORCE осуществляется вызов подпрограммы FORCELL.

3. Подпрограмма FORCELL (NR, NRGR, NTH, NFI, G, REND, DEN, RFOR,

THFOR) вычисления компонентов напряжённости поля эллипсоида.

В программе предусмотрена равномерная сетка по координатам и .

207

Вводится внешний цикл по переменной J = j для определения текущего

значения координаты TH0 = j . Определяются STH0 = sin j , CTH0 =

cos j , GSQ = 2 . Определяется BT – расстояние от начала координат до

поверхности эллипсоида, по формуле (П 1). Определяются узлы сетки в

массиве R(NRGR) подпрограммой RGRID (см. I.4).

Вводится внутренний цикл по переменной K = k и определяется текущее

значение координаты R0 = kr . Производится вызов подпрограмм AINTH и

AINFI.

4. Подпрограмма AINTH (K, J, NR, NRGR, NTH, NFI, R0, TH0, STH0, CTH0,

GSQ, DEN, ATH) вычисляет составляющую напряжённости поля ATH по

координате в точке с координатами R0, TH0.

Производится интегрирование по координате с заменой переменной 2t

(см. раздел 3.5). Вводится цикл по переменной I = i для определения

текущего значения координаты it . Определяются CZZ = 2cos it , SZZ = 2sin it .

Для численного вычисления интеграла по переменной применяется

формула прямоугольников в предположении, что приближённое значение

двойного интеграла по двум другим переменным найдено функцией FITH.

5. Функция FITH (K, NR, NRGR, NTH, R0, GSQ, STH0, CTH0, CZZ, SZZ, R,

DEN) производит численное интегрирование по координатам и r для

определения напряжённости поля по координате .

Вводится внешний цикл по переменной J = j , определяются значения THJ0 =

j , THJ1 = 1j , STHJ = sin j , CTHJ = cos j , TGTH0 = tg j , TGTH1 = 1tg j .

Для текущего значения переменной J строится сетка по переменной r

подпрограммой RGRID. Для интегрирования по координате используется

квадратурная формула (3.2) при условии, что функции 1,i iG из этой

формулы определены точной формулой (3.13), а приближённое значение

интеграла по переменной r уже найдено. Для определения интеграла (3.13)

используется функция G1.

208

6. Функция G1 (THJ0, THJ1, TGTH0, TGTH1, CTH0, CZZ, STH0, SZZ)

определяет значение интеграла (3.13).

Если STH0 < 1.е-10, то полагается 1 2

1 1, , 0j j j j в формуле

(3.13). В подпрограмме производится вызов функций RTG и RRR.

7. Функция RTG (TGTH, CTH0, CZZ, STH0, SZZ) определяет функцию в

квадратных скобках формулы (3.14). Параметр TGTH принимает значение

TGTH0 или TGTH1.

8. Функция RRR (TGTH, CTH0, STH0, CZZ) определяет функцию, от

которой берётся логарифм в формуле (3.15). Параметр TGTH принимает

значение TGTH0 или TGTH1.

В функции FITH во внутреннем цикле по переменной K =k реализуется

квадратурная формула (3.2) для нахождения интеграла по переменной r .

Определяется параметр

B1=CTHJ*CTH0+STHJ*STH0*CZZ, (П 2)

B1=cos из формулы (3.7). Определяются R1= 1 2kr , и R2= 1 2kr . Для

определения функций 1 2 1 2,i iG r r из этой формулы используется функция

GTH0.

9. Функция GTH0 (X, B1, R0) определяет 0G x по формуле (3.12). Параметр

X принимает значения R1 и R2.

В подпрограмме FORCELL после вызова подпрограммы AINTH и

определения составляющей напряжённости поля ATH по координате в

выбранной точке наблюдения, производится вызов подпрограммы AINFI.

10. Подпрограмма AINFI (K, J, NR, NRGR, NTH, NFI, R0, TH0, GSQ, DEN,

AFI) вычисляет составляющую напряжённости поля AFI по координате r в

точке с координатами R0, TH0.

Вводится цикл по переменной J = j , определяется значение THJ = j . Для

текущего значения переменной J определяется значение BT по формуле (П

1), и массив F(NR) плотности эллипсоида при j , F(K) = DEN(K, J),

209

K=1,…,NR. Строится сетка по переменной r подпрограммой RGRID. Для

численного вычисления интеграла по переменной применяется формула

прямоугольников в предположении, что приближённое значение двойного

интеграла по двум другим переменным найдено функцией FIR.

11. Функция FIR (K, NR, NRGR, NFI, R0, TH0, THJ, BT, R, F) производит

численное интегрирование по координатам r и для определения

напряжённости поля по координате r .

Вводится внешний цикл по переменной K = k , и, согласно разделу 3.3.2,

задаются узлы смещённой сетки по координате r , R1=1 2kr

, и R2=1 2kr

.

Производится численное интегрирование по координате r по формуле

прямоугольников для значений функций, определённых в узлах смещённой

сетки, при условии, что приближённое значение интеграла по переменной

уже найдено. Для определения интеграла по переменной производится

замена переменной 2t , и вводится внутренний цикл по переменной I = i .

Определяется параметр B1 по формуле (П 2), B1=cos из формулы (3.7).

Интеграл вычисляется по квадратурной формуле (3.2) с использованием

функции GR0.

12. Функция GR0 (X, B1, R0) определяет 0G x по формуле (3.11). Параметр

X принимает значения R1 и R2.

В подпрограмме FORCELL после конца работы внутреннего и внешнего

циклов производится запись вычисленных компонентов напряжённости поля

эллипсоида по координатам и r в файлы THFOR и RFOR соответственно

последовательным доступом в бесформатном виде.

В подпрограмме FORCELL предусмотрено сравнение вычисленных значений

компонентов напряжённости поля для тестовых значений плотности,

заданных в подпрограмме DENS, c точными значениями компонентов

напряжённости поля для этой плотности. Эти значения вычисляются

функциями PRTH и PRR.

210

13. Функция PSTH (TH0, R0, GSQ, BT) определяет точный потенциал

эллипсоида с тестовой плотностью, заданной в подпрограмме DENS, по

формуле (3.29).

14. Функция PRR (TH0, R0, GSQ, BT) определяет точный потенциал

эллипсоида с тестовой плотностью, заданной в подпрограмме DENS, по

формуле (3.30).

Блок-схема программы представлена на Рис. П2.

Рис. П2 Блок-схема программы FORCE.

211

212

213

Заключение

Диссертационная работа посвящена развитию аналитических, численно-

аналитических и численных методов исследования воздействия внешнего

электромагнитного поля на шаровые, эллипсоидальные и осесимметричные

проводники, а также на произвольные проводники, ограниченные гладкой

поверхностью, в квазистационарном приближении. В работе получены

следующие основные результаты, выносимые на защиту.

1. Определены плотность заряда, полный заряд, мультипольные моменты

и сила, действующая на проводящий шар в неоднородном

осесимметричном электрическом поле на основе исследованных

свойств матрицы моментов от многочленов Лежандра.

2. Решена задача о воздействии внешнего осесимметричного

электромагнитного поля на осесимметричный проводник. Она сведена

к решению одномерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го

рода. Для проводников, имеющих форму эллипсоида вращения,

построен и обоснован численно-аналитический метод решения

интегральных уравнений, сводящийся к решению системы линейных

алгебраических уравнений малой размерности. Метод базируется на

анализе свойств введённого класса производящих функций, которые

производят функции, ортогональные к многочленам. Алгоритмы

включают явные представления элементов матрицы и вектора правой

части алгебраической системы, из численного решения которой

определяются все искомые электрофизические характеристики:

плотность поверхностного заряда проводника в электрическом поле и

плотность поверхностного тока сверхпроводника в магнитном поле.

3. Разработан и исследован численный метод определения потенциала и

напряжённости электрического поля проводников эллипсоидальных

форм с заданной объёмной плотностью заряда на основе квадратурной

214

формулы для произведения функций, одна из которых обладает

интегрируемой особенностью. Эффективность метода иллюстрирована

численными экспериментами со сложными тестовыми функциями.

4. Предложено и исследовано семейство методов определения векторного

потенциала осесимметричного проводника в соосном переменном

магнитном поле, с выбором подходящего ряда для нахождения

искомого решения в зависимости от проводимости тела и частоты

колебания внешнего поля. Разработан эффективный метод определения

осевой напряжённости поля.

5. Разработана математическая модель и методы вычисления векторного

и скалярного потенциалов однородного проводника, ограниченного

трёхмерной гладкой поверхностью, во внешнем магнитном поле,

гармонически изменяющемся по времени, в квазистационарном

приближении. Для построенной системы интегро-дифференциальных

уравнений предложены итерационные методы решения с

использованием результатов предыдущих глав.

6. Разработаны и исследованы методы решения внешних краевых задач

для уравнений Лапласа и Гельмгольца со сложными конфигурациями

границ на основе декомпозиции области. Проведено исследование

сходимости методов в зависимости от параметров декомпозиции.

Проведён теоретический и экспериментальный анализ точности

численного решения и скорости сходимости итерационных процессов в

подпространствах Крылова для различных значений исходных

параметров, подтверждающие эффективность предложенных

алгоритмов.

215

Перспективы дальнейшей разработки темы диссертации

Создание, исследование и обоснование математической модели

бесконтактного ускорения проводящих тел переменным магнитным полем на

основе полученных индуцированных электрических характеристик на

поверхности и внутри проводника.

Построение и исследование математической модели воздействия

переменного магнитного поля на движущееся в нем проводящее тело на базе

решения нестационарных задач для уравнений Максвелла, разработка

численных алгоритмов, математическое и программное обеспечение

численной модели.

По главам:

Глава 1 Аналитическое решение задачи определения плотности тока на

поверхности сверхпроводящего шара во внешнем неоднородном магнитном

поле.

Глава 2 Построение порождающих функций для других классов

осесимметричных проводников. Определение поверхностного заряда и

плотности тока для других осесимметричных проводников и

сверхпроводников.

Глава 3 Вычисление потенциала и напряжённости электрического поля для

других осесимметричных заряжённых тел. Модификация метода для случая,

когда значения плотности заданы только в узлах сетки внутри проводника.

Глава 4 Выбор оптимального ряда для определения искомого векторного

потенциала в зависимости от значения волнового числа. Теоретическое

исследование сходимости ряда при решении задачи с большими значениями

коэффициента в уравнении Гельмгольца.

Глава 5 Применение других рядов в уравнении (5.20) для определения

векторного потенциала на основе разложения в ряд линейный операторных

уравнений п.4.3 для задач с большими волновыми числами.

216

Глава 6 Построение и анализ новых методов декомпозиции для решения

внешних краевых задач на основе непосредственной аппроксимации

дифференциального оператора конечномерным, и применения методов в

подпространствах Крылова для решения задачи в конечномерной постановке.

Применение более экономичных методов решения задач в подобластях, в

частности, кубатурных формул для сферы высокого порядка точности при

численном решении внешней краевой задачи.

217

Список литературы

[1] Lippmann B.A., Schwinger J. Variational principles for scattering processes.

//Physical Review, 79, N3, 1950, p.469-480.

[2] Druskin V., Knizhnerman L., Lee P. New spectral Lanczos decomposition

method for induction modeling in arbitrary 3-D geometry. // Geophysics, 64,N3,

1999,p.701-706.

[3] Zaslavsky M., Druskin V., Davydycheva S., Knizhnerman L., Abubakar A.,

Habashy T. //Hybrid finite-difference integral equation solver for 3D frequency

domain anisotropic electromagnetic problems. Geophysics, Vol.76,N2,2011,

p.F123-F137.

[4] Sarkar T.K. Application of conjugate gradient method in electromagnetics and

signal analysis. // New-York, Elsevier, 1991.

[5] Sarkar T.K., Arvas E., Ponnapalli S. Electromagnetic scattering from dielectric

bodies. // IEEE Trans.Vol.AP-37,N5,1989,p.673-676.

[6] Самохин А.Б. Объёмные интегральные уравнения: методы и алгоритмы. //

М. МИРЭА, 2011.

[7] Савченко А.О. Матрица моментов от полиномов Лежандра и приложение

её свойств в задачах электростатики . // ЖВМиМФ, т.57,№1, 2017, стр.163-

175.

[8] Савченко А.О. Вычисление объёмного потенциала для эллипсоидальных

тел. // СибЖИМ, т.15, №1, 2012, с.123-131.

[9] Савченко А.О. Вычисление силы притяжения эллипсоида. // ЖВМиМФ,

т.53, №12, 2013, с.2063-2071.

[10] Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление зарядов на поверхности

проводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное

электрическое поле.//СибЖВМ, т.15, №3, 2012, с.321-327.

[11] Савченко А.О., Савченко О.Я. Осесимметричное проводящее тело в

соосном электрическом поле. // ЖВМиМФ, т.53,№4, 2013, стр.675-684.

218

[12] Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление токов на поверхности

сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное

магнитное поле. //СибЖВМ, т.10, №3, 2007, с.317-324.

[13] Савченко А.О., Савченко О.Я. Поверхностные токи сверхпроводящего

осесимметричного тела, экранирующие внешнее соосное магнитное поле. //

ЖТФ, т.77, №7, 2007,с.130-133.

[14] Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида вращения

гармоническим векторным соосным полем. //СибЖИМ, т.14, №2, 2011, с.106-

111.

[15] Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида гармоническим

векторным полем.// ТМФ, т.170, №3, 2012, стр.381-392.

[16] Савченко А.О. Функции ортогональные к многочленам, и их применение

в осесимметричных задачах физики.// ТМФ, т.179,№2,2014, стр.225-241.

[17] Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее осесимметричное тело в

соосном переменном магнитном поле. // ЖТФ, т.84, №1,2014, стр.18-27.

[18] Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее тело в переменном

магнитном поле. // ЖТФ, т.85,№7,2015, стр.8-12.

[19] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.// М.,

Наука, 1992.

[20] Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol.1 //McGraw-

Hill Book Company, New York, 1953.

[21] Erdelyi A. Singularities of Generalized Axially Symmetric Potentials.//

Communications on Pure and Applied Mathematics, 1956, Vol.IX, p.403-414.

[22] Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с

решениями..// М. «Мир», 2007.

[23] Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида.// М. «Атомиздат», 1976.

[24] Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической

физики.// М. «Наука», 1978.

219

[25] Beylkin G., Cramer R., Fann G., Harrison R.J. Multiresolution separated

representations of singular and weakly singular operators.//Appl. Comp. Harm.

Anal. 23 (2007), 235-253.

[26] Maz’ya V., Schmidt G. Approximate Approximations.// Math. Surveys and

Monographs vol.141, AMS 2007.

[27] Ivanov T., Maz'ya V., Schmidt G. Boundary layer approximate

approximations and cubature of potentials in domains.// Advances in

Computational Mathematics, Volume 10, Numbers 3-4, (1999), 311-342.

[28] Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближённые методы решения

дифференциальных и интегральных уравнений.//М.: Наука, 1965.

[29] Бахвалов Н.С. Численные методы.// М.: Наука, 1973.

[30] Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.// М.:

Наука, 1968.

[31] Суетин П.К.. Классические ортогональные многочлены.//М.: Наука,

1976.

[32] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и

произведений.// М., ГосИзд. физ-мат. литературы , 1963.

[33] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.

Специальные функции.//М., Наука, 1983.

[34] Орир Дж. Физика. // М.: Мир, 1981.

[35] Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: Методы, решения,

алгоритмы. //Киев, Наукова Думка, 1986.

[36] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.// М.:

Наука, 1979, 288стр.

[37] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в

вычислительной электродинамике.// М.: Макс-Пресс, 2008, 316с.

[38] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.// М.: Наука, 1973.

[39] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.// М.: Наука, 1981.

[40] Свешников А.Г. Принцип излучения. // ДАН СССР, 1950.Т.73.№5.С.917-

920.

220

[41] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. //М.,

Наука,1972.

[42] Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в

электромагнитном рассеянии. // М. Радио и связь, 1998.

[43] Savchenko A. Computation of potential and attraction force of an ellipsoid.//

Reliable Computing, V.19, Issue 3, p.318-329, 2014.

[44] Соболев С.Л. Теория дифракции плоских волн // Л.: Изд-во АН СССР,

1934. - 23 с. - (Труды Сейсмического института; N 41).

[45] Соболев С.Л. Общая теория дифракции волн на римановых

поверхностях // Труды Математического института АН СССР им.

В.А.Стеклова. - 1935. - Т.9. - С.39-106.

[46] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в

вычислительной электродинамике. // М., Макс Пресс, 2008. [47] Смирнов Ю.Г. Математические методы исследования задач

электродинамики. // Пенза, ИЦ ПензГУ, 2009.

[48] Савченко А.Я., Савченко О.Я. Ускорение металлических тел

переменным магнитным полем. //Вопр. оборон. техн., Сер. №11, 1990.

[49] Savchenko Alexander. Conducting body in a varying magnetic field. //

Proceedings of International conference “Computer Technologies in Physical and

Engineering Applications (ICCTPEA), St.Petersburg, 30 June-4 July 2014, p.156-

157.

[50] Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции. // М., Радио

и Связь, 1982.

[51] Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на

проводящих тонких экранах. // М.,:ИПРЖР, 1996.

[52] Atkinson K. A survey of boundary integral equation methods for the

numerical solution of Laplace’s equation in three dimensions, in Numerical

solution of integral equations.//Plenum Press, New York,1990,pp.1-34.

221

[53] Engleder S. , Steinbach O. Stabilized boundary element methods for exterior

Helmholtz problems. // Numer. Math., Volume 110, Issue 2, (2008), pp. 145-160.

[54] Kleefeld A., Lin Tsu-Chu. Boundary element collocation method for solving

the exterior Neumann problem for Helmholt’s equation in three dimensions. //

Electronic Transactions on Numerical Analysis, V.39, pp.113-143, 2012.

[55] Aziz A., Dorr M., Kellogg R. A new approximation method for the

Helmholtz equation in an exterior domain.// SIAM J.Numer.Anal., V.19, N5, 1982.

[56] Ильин В.П.. Численные методы решения задач электрофизики

//М.,Наука,1985, 334стр.

[57] Dolean V., Jolivet P., Nataf F. An Introduction to Domain Decomposition

Methods: algorithms, theory and parallel implementation.// Master, France,

https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01100932v3, 2015.

[58] Yu De-hao. Natural Boundary Integral Method and Its Applications. //

Springer, Netherlands, 552 pages, 2002.

[59] Chen Q., Liu B., Du Q. A D-N Alternating Algorithm for Solving 3D

Exterior Helmholtz Problems // Mathematical Problems in Engineering, V.2014,

http://dx.doi.org/10.1155/2014/418426, 2014.

[60] Савченко А. О., Ильин В. П., Бутюгин Д. С. Метод решения внешней

трехмерной краевой задачи для уравнения Лапласа. // СибЖИМ, том 19, № 2

(66), с.88-99, 2016.

[61] Savchenko Alexander, Petukhov Artem. An Overlapping Domain

Decomposition Method for the Helmholtz Exterior Problem. // Numerical Analysis

and Its Applications, NAA 2016, Lecture Notes in Computer Science, vol. 10187,

pp. 591-598, Springer, Cham, 2017.

[62] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные

дифференциальные уравнения математической физики.// М., Гос. изд-во

физ.-мат. лит., 1962, 767стр.

222

[63] Бицадзе А.В.. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго

порядка //М.,Наука,1966, 203стр.

[64] Sсhwarz Н. // Ges. math. Abh., Bd 2, В., 1890.

[65] Курант Р.. Уравнения с частными производными//М., Мир, 1964, 830стр.

[66] Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stockes equations //

Springer, New York, 1986.

[67] Karniadakis G.E., Sherwin S.J. Spectral/hp element methods for CFD. //

Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford University Press,

New York. 1999.

[68] Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных

уравнений.// М.: Факториал, 1999.

[69] Белых В.Н. Ненасыщаемый численный метод решения внешней

осесимметричной задачи Неймана для уравнения Лапласа.//Сиб.Мат.Журнал,

Т.52, №6, 2011.

[70] Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И.

Гарантированная точность решения систем лилейных уравнений в

евклидовых пространствах.// Новосибирск: Наука, 1988, 456стр.

[71] Курант Р., Гилберт Д. Методы математической физики. Том 2. //М., Мир,

1964, 830 стр.

[72] Cotton D., Kress R.. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering

Theory.// Springer Verlag, Berlin, 1992.

[73] Doien A., Eremin Y., Wriedt T. Acoustic Electromagnetic Scattering Analysis

Using Discrete Sources.// Academic Press, San Diego, San Francisco, New Boston,

London, Sydney, Tokyo, 2000.

[74] Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории

дифракции. //М., Изд-во МГУ, 2012.

[75] Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial

Differential Equations.// Oxford Science Publications, 1999.

223

[76] Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods – Algorithms and

Theory. // Springer, Vol.34 of Springer Series in Computational Mathematics,

2005.

[77] Chan T., Mathew T. Domain Decomposition Algorithms. //Cambridge

University Press, Acta Numerica, p.61-143, 1994.

[78] Gander M.J. Optimized Schwarz Methods.// Siam J.Numer.Anal., 44(2),

p.699-731, 2006.

[79] Ильин В.П. Математическое моделирование. Часть 1. Непрерывные и

дискретные модели.// Изд-во СО РАН, Новосибирск, 2017.

[80] Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории

рассеяния.// М., Мир, 1987, 311 стр.

[81] Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции.// Владивосток,

Дальнаука, 1995, 175 стр.

[82] Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре–Стеклова и их

приложения в анализе. // М., ОВМ АН СССР, 1983.

[83] Воронин В.В. Численное решение двумерной задачи дифракции упругой

волны на упругом теле методом потенциалов. // Новосибирск, Препринт ВЦ

СО РАН №123, 1978, 26стр.

[84] Burdon A., Miller G. The application of integral equation methods to the

numerical solution of some exterior boundary-value problems. //Proc.R.Soc.Lond.

A. Math.Phys. Eng.Sci. 323(1553), 1971, p.201-210.

[85] Takahashi T., Coulier P., Darve E. Application of the inverse fast multiple

method as a preconditioner in a 3D Helmholtz boundary element method. // J.

Comp. Phys., 341, 2017, p.406-428.

[86] Gillis T., Winckelmans G., Chatelain P. Fast immersed interface Poisson

solver for 3D unbounded problems around arbitrary geometries. // J. Comp. Phys.,

354, 2018, p.403-416.

[87] Ваганов Р., Каценеленбаум Б. Основы теории дифракции. // М., Наука,

1982, 272 стр.

224

[88] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.//М.,

Наука, 1971

[89] Kirsch A., Monk P. A finite element method for approximating

electromagnetic scattering from a conducting object. // Numer.Math.V.92, Issue 3,

2002, p.501-534.

[90] http://sourceforge.net/projects/netgen-mesher/

[91] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных

производных математической физики. // М., Высшая школа, 1970.

[92] Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для

эллиптических уравнений. // Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2001.

[93] Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика.//

М., Физматлит, 2005, 295с.

[94] Fylladitakis E., Theodoridis M., Moronis A. Review on the History,

Research, and Applications of Electrohydrodynamics.//IEEE Transactions on

Plasma Science, V. 42, Issue 2, 2014.

[95] Ma Weiming , Lu Junyong. Thinking and Study of Electromagnetic Launch

Technology. //IEEE Transactions on Plasma Science, V. 45, Issue 7, 2017.

[96] Farhat C., Macedo A., Lesoinne M. A two-level domain decomposition

method for the iterative solution of high frequency exterior Helmholtz problems.//

Numer.Math. V.85, Issue 2, 2000, p.283-308.

[97] Du Qikui, Yu De-hao. Schwarz alternating method based on natural boundary

reduction for time-dependent problems on unbounded domains.// Commun.

Numer. Math. Engng. 20, 2004, p.363-378.

[98] Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах

электромагнитной дифракции. // М., Изд-во МГУ, 1992, 182с.

[99] Петрушенко Е.И. Постановка задачи по расчёту вихревых токов в телах

произвольной формы. // Изв.Вузов, Электромеханика, №11, 1966.

[100] Петрушенко Е.И. К расчёту вихревых токов в проводниках сложной

формы. // Изв.АН СССР, Энергетика и транспорт, №1, 1968.

225

[101] Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчёт трёхмерных электромагнитных

полей. // Киев, Изд-во «Техника», 1974, 353с.

[102] Тозони О.В., Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчёта

трёхмерного квазистационарного электромагнитного поля. // Известия Вузов,

Электромеханика, №3, 1972.

[103] Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчёта трёхмерного

квазистационарного электромагнитного поля. // Известия Вузов,

Электромеханика, №7, 1972.

[104] Астахов В.И. Квазистационарные электромагнитные поля в

проводящих оболочках. // М., Физматлит, 2013, 329с.

[105] Леонтович М.А. О приближённых граничных условиях для

электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел. // М., Изд-

во АН СССР. В сб. «Исследования по распространению радиоволн», 1948.

[106] Маергойз И.Д. Использование приближённых граничных условий на

поверхностях проводящих тел для расчёта квазистационарного

электромагнитного поля. // Киев, «Наукова Думка», В сб. «Кибернетика и

вычислительная техника. Методы расчёта электромагнитных полей на

ЭЦВМ», Вып.22, 1973.

[107] Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл: теория и

практика вычислений. // М., Макс Пресс, МГУ, 2008, 266 с.

[108] Yu De-hao, Wu Ji-ming. A nonoverlapping domain decomposition method

for exterior 3-D problem. // Journal of Computational Mathematics, V.19, No.1,

2001, p.77–86.

[109] Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов. // Новосибирск:

ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2007.

[110] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной

алгебры.// М., Физматлит, 1963, 734с.

[111] Ильин В.П. Численный анализ. Часть1.// Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ)

СО РАН, 2004, 334с.

226

[112] Monk P. Finite element methods for Maxwell’s equations. / Clarendon Press,

Oxford, 2003.

[113] Bossavit A. Computational Electromagnetism. // Academic Press, Boston,

1998.

[114] Лаевский Ю.М., Мацокин А.М. Методы декомпозиции решения

эллиптических и параболических краевых задач.// СибЖВМ, т.2, №4, с.361-

372, 1999.

[115] Савченко А. О. POTELL – программа вычисления потенциала

эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ № 2017662812, 2017г.

[116] Савченко А. О. FORCELL – программа вычисления силы притяжения

эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ № 2017662875, 2017г.

[117] Jia Z., Wu Ji-ming, Yu De-hao . A coupled natural boundary element and

finite element method for solving a 3-dimensional exterior Helmholtz problem. //

Mathematica Numerica Sinica, V.23, No.3, 2001, pp.357-368.

[118] Свешников В.М., Савченко А.О., Петухов А.В. Численное решение

трехмерных внешних краевых задач для уравнения Лапласа методом

декомпозиции расчётной области без пересечения. // СибЖВМ, т.21, №4,

2018, с.423-436.

[119] Fair H.D. Advances in Electromagnetic Launch Science and Technology and

Its Applications // IEEE Transactions on Magnetics, Volume 45, Issue 1, 2009.

[120] Rutberg Ph., Shvetsov G., Kumkova I. New Steps in EML Research in

Russia.// IEEE Transactions on Magnetic, V. 45, No. 1, 2009, p. 231-236.

[121] Givoli D. Numerical methods for problems in infinite domains.// Elsevior,

Amsterdam, Netherlands, 1992.

[122] Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. // М., Радио и Связь, 1987,

271с.

227

[123] Huber M. Numerical solution of the wave equation in unbounded domains.//

University of Zurich, 2011.

[124] Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. Линейные уравнения

математической физики.//М.: Наука, 1964.

[125] Cianchi A., Maz’ya V. Global gradient estimates in elliptic problems under

minimal data and domain regularity. //Communications on Pure and Applied

Analysis, V.14, N1, 2015, p.285-311.

[126] Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. // М.: Мир,

1972. – 391 с.

[127] Каширин А.А. Смагин С.И. О численном решении задач Дирихле для

уравнения Гельмгольца методом потенциалов.//ЖВМиМФ, т.52, №8, 2012,

стр.1492-1505.

[128] Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера.

Руководство по сплайнам для пользователей. // М., Диалог-МИФИ, 1996.

[129] Mathew T. Domain Decomposition Methods for the Numerical Solution of

Partial Differential Equations.// Springer-Verlag Berlin, 2008.

[130] PETSc Web page: http://www.mcs.anl.gov/petsc.

[131] Schöberl J. NETGEN An advancing front 2D/3D-mesh generator based on

abstract rules // Computing and Visualization in Science, V.1, N.1, pp.41-52,1997.

[132] Logg A., Mardal K.-A., Wells G. N. et al. Automated solution of differential

equations by the finite element method // Springer, 2012.

[133] Хокни Р., Иствуд Дж.. Численное моделирование методом частиц..// М.

«Мир», 1987.