روش عناصر محدود finite element procedures

روش عناصر محدود

Finite Element Procedures


Finite Element Procedures

کریم عابدیکریم عابدی

فصل دوم

مقدمه اي بنيادي بر روش عناصر محدود و مباني رياضي آن

- تاريخچه روش عناصر 1محدود

گر چ�ه ن�ام عناص�ر مح�دود اخ�يرا ب�ه اين روش اطالق گردي�ده اس�ت، ام�ا اين مفهوم چندين قرن پيش نيز مورد استفاده قرار گرفته است.

براي مث�ال رياض�ي دان�ان ق�ديمي محي�ط داي�ره را ب�ا تق�ريب آن ب�ه ي�ك حس�ب ب�ر آوردن�د. مي بدس�ت محيطي( ي�ا )مح�اطي ض�لعي چن�د الم�ان ي�ك ت�وان مي را چن�د ض�لعي اين ه�ر ض�لع ام�روزي نامگ�ذاري ب�ه ص�ورت ب�ا در نظ�ر گ�رفتن چن�د ض�لعي ه�اي تقري�بي نامي�د. مح�دود مح�اطي و محيطي مي ت�وان ب�ه ت�رتيب ي�ك ح�د پ�ايين ي�ا ي�ك ح�د ب�اال ب�راي

( محيط به دست آورد. Exactمقدار كامل )

ه�ا ج�واب دقت ض�لعي، چن�د اض�الع اف�زايش ب�ا ك�ه اس�ت مش�خص (Accuracy محي�ط كام�ل مق�دار ب�ه تقري�بي مق�ادير و يافت�ه اف�زايش )

(. Convergenceهمگرا مي شوند )

و Closed Form Solution یا Analytical solution یا Exact solution بحثی در مورد •Approximate Solution یا Numerical Solution

Accuracy و Convergenceبحثی در مورد •

روش عناص�ر مح�دودي ك�ه ب�ه ص�ورت ش�ناخته ش�ده ام�روزي اس�ت، در وس�يله 1956س�ال ب�ه Clough، Turner، Top و Martin مقال�ه در

مشهور زير ارائه شده است:

“Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-825 (1956).

اين مقال�ه ك�اربرد عناص�ر مح�دود س�اده )ميل�ه ه�اي مفص�ل ش�ده و ورق مثل�ثي( ب�راي تحلي�ل س�ازه هواپيم�ا را نش�ان مي ده�د و ب�ه عن�وان يكي از پيش�رفت ه�اي كلي�دي در توس�عه روش عناص�ر مح�دود در نظ�ر گرفت�ه

مي شود.


ب�ا توس�عه كامپيوتره�اي ديجيت�الي ب�ا س�رعت ه�اي ب�اال، ك�اربرد هم�راه روش عناصر محدود هم با نرخ فزاينده اي پيشرفت نمود.

بع�د از اينك�ه رواب�ط عناص�ر مح�دود در ح�الت اس�تاتيكي خطي توس�عه ادام�ه ن�يز ديگ�ر ه�اي زمين�ه در مح�دود عناص�ر روش ك�اربرد ي�افت، و دين�اميكي پاس�خ مانن�د ه�ايي زمين�ه ت�وان مي مث�ال ب�راي ي�افت. ح�رارتي، اث�رات م�ادي، و هندس�ي خطي غ�ير كمانش�ي، ارتعاش�ي، ان�دركنش س�ازه و س�يال، ان�دركنش س�ازه و اكوس�تيك، شكس�ت، م�واد م�ركب الي�ه اي، انتش�ار م�وج، دينامي�ك س�ازه ه�اي فض�ايي و هواپيم�ا را

نام برد.


مدل هاي رياضي و روش -2عناصر محدود

مراحل كلي تحليل يك سيستم مهندسي عبارتند از:

مدل هاي رياضي :

(Lumped parameter model- مدل پارامتر متمركز )1

(Discrete system model يا مدل گسسته سيستم )

- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته 2

(Continuum mechanics-based model )

(Continuous systemيا مدل پيوسته سيستم )

انتخاب يك مدل رياضي براي يك مساله فيزيكي.فرمول بندي مدل رياضي و حل آن و يافتن و تفسير نتايج.

در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم :

متغير پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله جواب تعداد محدوديتوصيف مي گردد )بحثی در مورد متغیر حالت(. ( State Variableحالت )

براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعه اي از معادالت جبريبدست مي آيند.

مدل رياضي يك سازه اسكلتي كه با استفاده از مباني تحلیل مثال:ماتريسي سازه ها حل مي شود، يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا

گسسته سيستم است.


در يك مدل رياضي پيوسته سيستم :

پاس�خ واقعي سيس�تم ب�ه وس�يله بينه�ايت متغ�ير ح�الت توص�يف ميگردد.

از مجموع�ه ي�ك ج�اي ب�ه مجه�ول، ح�الت متغيره�اي ي�افتن براي مع�ادالت ج�بري، مع�ادالت ديفرانس�يل ب�ر پاس�خ سيس�تم ح�اكم مي

باشد.

م�دل رياض�ي ي�ك س�ازه پيوس�ته ص�فحه اي ي�ا پوس�ته اي ي�ك م�دل مث�ال:تم�امي ش�رايط رياضي پيوسته سيستم است. ارض�اء ب�ا ديفرانس�يل ك�ه هم�راه - ح�ل كام�ل مع�ادالت

.مرزي باشد، تنها براي مدل هاي رياضي نسبتا ساده امكان پذير است

روش هاي عددي


م�دل ه�اي رياض�ي پيوس�ته سيس�تم را ب�ه ص�ورت روش ه�اي ع�ددي،ب�ه طري�ق توان�د آورن�د ك�ه مي آل س�ازي گسس�ته در مي اي�ده ي�ك

مشابه مدل هاي پارامتر متمركز حل شود.

روش هاي مهم كالسيك عددی:

روشRitz

روشGalerkin به عنوان يك روش باقيمانده وزن دار

روش تفاضالت محدود

روش هاي فوق در واقع شالوده اصلي روش هاي نوين عناصر .محدود را فراهم مي آورند

روش عناصر محدود يك روش عددي است براي گسسته سازی مدل ریاضی پیوسته به مدل ریاضی گسسته )تبدیل معادالت

.دیفرانسیل به معادالت جبری(


- حوزه هاي كاربرد روش 3عناصر محدود:

- فرآيند تحليل عناصر 4محدود

عناص�ر ح�ل روش ي�ك اس�اس ف��يزيكي مس��اله ي��ك مح��دود ي��ك ح��ل و ايج��اد مهندس��ي، مجموع�ه مع�ادالت ج�بري ح�اكم

است.

آل س�ازي مس�اله ف�يزيكي اي�ده نظ�ر در رياض�ي، م�دل ي�ك ب�ه را معي�ني ه�اي ف�رض گ�رفتن ب�ه منج�ر ك�ه كن�د مي ايج�اب ب�ر ح�اكم ديفرانس�يل مع�ادالت ي�ك م�دل رياض�ي مي ش�ود )مانن�د تغي�ير ش�كل ديفرانس�يل معادل�ه

تير(.

اين م�دل تحلي�ل عناص�ر مح�دود رياضي را حل مي كند.

روش عناص�ر مح�دود ي�ك روش ع�ددي اس�ت و باي�د دقت - ح�ل آن م�ورد ارزي�ابي ق�رار گ�يرد. اگ�ر معياره�اي دقت ارض�ا نش�وند، باي�د در اين ص�ورت روش ع�ددي عناص�ر مح�دود ب�ا پارامتره�اي ح�ل تظري�ف ش�ده باي�د تك�رار ش�ود، ت�ا اينك�ه دقت

كافي حاصل گردد.

- روش�ن اس�ت ك�ه روش عناص�ر مح�دود تنه�ا م�دل رياض�ي را بي�ني ب�ه دقت ح�ل خواه�د ك�رد و تم�امي فرض�يات در پيش

پاسخ انعكاس خواهد يافت.

- بن�ابراين انتخ�اب م�دل رياض�ي نقش بني�ادي و كلي�دي در ي�ك روش عناصر محدود ايفا مي كند.

- فرآيند تحليل 4عناصر محدود

- ي�ك نكت�ه مهم اين اس�ت ك�ه نمي ت�وان پاس�خ ي�ك مس�اله ف�يزيكي را ب�ه ( پيش بيني نمود.Exactطور كامل )

جامع كامال رياضي مدل يك توان مي ولي - (very comprehensive

mathematical model) را تعري�ف ك�رد و س�پس پاس�خ م�دل رياض�ي انتخ�ابي توان�د ي�ك ب�ا آن مقايس�ه ك�رد )مثال م�دل رياض�ي بس�يار ج�امع مي را

مدل سه بعدي به همراه اثرات غير خطي باشد(.


تعريف موثر بودن و قابلیت اطمینان يك مدل يك مدل رياضي بسيار موثر و قابل اطمینان مدلي رياضي :

است كه منجر به پاسخ مورد نياز با دقت كافي و با هزينه حداقل شود.

انتخ�اب مي ش�ود و بي�ني پدي�ده م�ورد پيش ب�ه - م�دل رياض�ي بس�ته اص�لي مشخص�ه دو )داراي ب�ودن و (Effectivenessم�وثر ق�ابليت

آن مدل است.(Reliabilityاطمينان )

دنبال�ه اي از م�دل ه�ا ك�ه ب�ه ط�ور فزاين�ده سلسBله مBراتب مBدل هBا:اثرات پيچيده تر را در بر دارند.

1مثال

سازه تيري:

) با اثرات Bernoulliتحليل با استفاده از نظريه تير غير خطي(

) با اثرات Timoshenkoتحليل با استفاده از نظريه تير غير خطي(

نظريه تنش مسطح دو بعدي ) با اثرات غير خطي(

مدل سه بعدي )با اثرات غير خطي(


- فرآيند تحليل 42مثال عناصر محدود

نكات عمده اي كه در يك تحليل عناصر محدود بايد در نظر گرفت

)چالش هاي عناصر محدود(: نح�وه انتخ�اب م�دل رياض�ي ب�ا توج�ه ب�ه ن�وع مس�اله و خواس�ته ه�اي

آن )فرضيات مورد استفاده در مدل سازي ها(

انتخاب نوع عناصر محدود و هندسه آن

ميزان تظريف شبكه عناصر محدود

تعيين ماتريس سختي المان

معياره�اي ارزي�ابي دقت ) بررس�ي م�وثر ب�ودن و ق�ابليت اطمين�انمدل رياضي(


معيارهاي بررسي دقت حل عناصر

محدود:

حل كامل معادله ديفرانسيل حاكم

مدل رياضي كامال جامع

نتايج آزمايشگاهي

بررسي همگرايي جوابها

تجربيات مهندسي در محدوده تحليل


- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با 5تحليل ماتريسي سازه ها

بسط روش هاي ماتريسي تحليل اسكلت

هاي ساختماني

Skeletal structures

تحليل سازه هاي پيوسته

Continum structures


متشكل از مجموعه اي از اعضا كه در تعدادي نقاط –

Nodal points به يكديگر -متصل شده اند.

تيرهاي سرتاسري و قاب ها

سطح سازه به جاي تشكيل يافتن از تعدادي اعضا، به صورت پيوسته

است.

صفحات، پوسته ها، سازه هاي پليسه اي، ديوارهاي سدها

روش عناصر محدود محيط پيوسته

با درجات آزادي نامحدود

مجموعه اي از عناصر محدود كه فقط در نقاط گرهي به همديگر

متصل هستند

يك سيستم با درجات آزادي محدود

در روش عناصر محدود، تقريب طبيعت فيزيكي داشته و احتياج به - هيچگونه تخمين در تحليل رياضي سيستم جايگزين شده نمي باشد. به عبارت ديگر معادالت سيستم تقريبي فيزيكي با روش هاي دقيق

رياضي حل مي شوند.


یک نکته مهم در مورد عناصر محدود:

يع�ني يك�ديگر متص�ل هس�تند، ب�ه ه�ا در گ�ره عناص�ر مح�دود فق�ط شرايط پيوستگي فقط در نقاط گرهي ارضا خواهند شد.

ولي، تغي�ير ش�كل عناص�ر ب�ه ي�ك ف�رم خاص�ي مقي�د مي ش�ود. بن�ابراين •نق�اط مش�خص ش�ده گ�رهي ارض�اء مي پيوس�تگي فق�ط در ه�ر چن�د عناص�ر، ب�راي مناس�ب ش�كل تغي�ير تواب�ع انتخ�اب ب�ا ولي ش�ود، پيوس�تگي در تم�ام ي�ا الاق�ل قس�متي از كن�اره ه�اي عناص�ر مج�اور هم

بيان نموده است:Cloughارضاء مي گردد. بنابراين همانطوري كه

“عناص�ر مح�دود ص�رفا قطع�ات بري�ده ش�ده از س�ازه نب�وده، بلك�ه ي�ك ن�وع عناص�ر ارتج�اعي ب�وده و تغي�ير ش�كل آنه�ا ط�وري مقي�د گردي�ده ك�ه

پيوستگي كلي مجموعه حتي االمكان حفظ شود”.


فرق تحليل يك محيط پيوسته با تحليل يك محیط گسسته

تقسيم بندي اوليه به عناصر

) Initial subdivision into elements(

تعيين خصوصيات ماتريس سختي عناصر

) Dirivation of the element stiffness characteristics(

به عب�ارت ديگ�ر در ي�ك سیس�تم گسس�ته مانن�د س�ازه اس�كلتي، م�اتريس س�ختي اعض�ا ب�ا اس�تفاده از رواب�ط ش�يب-افت تع�يين مي ش�ود، ولي در روش عناص�ر مح�دود، م�اتريس س�ختي عناص�ر ب�ه ش�يوه اي خ�اص

بدست مي آيد.

ساير مراح�ل روش س�ختي در تحلي�ل س�ازه ه�اي پيوس�ته دقيق�ا مانن�د تحليل سازه هاي اسكلتي است.


هBاي سBازه تحليBل مشBابه مراحBل اسكلتي و پيوسته:

،نحوه تشكيل ماتريس سختي عنصر یا عضو در مختصات كلي

نحوه تشكيل و سوار نمودن ماتريس سختي كل سازهP=KΔ،

،اعمال شرايط مرزي

.حل معادالت تعادل و بدست آوردن مجهوالت تغيير مكاني


-بسBته هBاي نBرم افBزاري عناصBر محBدود و نحBوه توسBعه 6و حوزه كاركردي آنها

،) ... هدف بسته نرم افزار ) از قبيل عمومي، تجاري، تحقيقاتي، آموزشي و

،نوع كامپيوتري كه بسته نرم افزار مي تواند در آن عمل كند

( نوع ارائه و سند بنديDocumentation،بسته نرم افزار )

،نوع عناصري كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند

،نوع تحليل هايي كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند

،نوع فرمول بندي هاي مورد استفاده

،نوع روش هاي حل كه در بسته نرم افزار مورد استفاده قرار گرفته اند

،نوع بارگذاري هاي ممكن كه بسته نرم افزار اجازه استفاده از آنها را مي دهد

،نوع شرايط مرزي و قيدهاي مورد استفاده در نرم افزار

،نوع رفتارهاي مصالحي كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند

،نوع ظرفيت هاي مدل سازي در بسته نرم افزاري

.نوع عمليات پيش پردازي و پس پردازي مورد استفاده در بسته نرم افزاري

نرم افزاره�اي موج�ود را مي ت�وان از دي�دگاه ه�اي مختل�ف و ب�ا در نظ�ر گ�رفتن محوره�اي گون�اگون م�ورد مقايس�ه ق�رار داد. ب�رخي از محوره�ا

عبارتند از:

- روش هاي حل مدل هاي رياضي 7گسسته سيستم:

اين ی�ا گسس�ته پ�ارامتر متمرك�ز رياض�ي ي�ك م�دل اس�اس ك�ه گف�تيم اس�ت ك�ه ح�الت سيس�تم را مي ت�وان مس�تقيما ب�ا دقت ك�افي ب�ه وس�يله

مقادير تعداد محدودی از متغيرهاي حالت توصيف نمود.براي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم دو روش اساسي مورد

:استفاده قرار مي گيرد (Direct method- روش مستقيم )

Variational- روش وردشي )method)

در روش مستقيم انجام مراحل زير ضروري است:

ب�ه : (System idealization)- اي�ده آل س�ازي سيس�تم 1 سيس�تم واقعي عنوان مجموعه همبسته عناصر محدود ايده آل سازي مي شود.

ش�رايط تع�ادل ه�ر عنص�ر ب�ر : (Equilibrium of elements)- تع�ادل عناص�ر2حسب متغيرهاي حالت ايجاد مي شوند.

اتص�ال متقاب�ل : (Element assemblage)- س�وار ك�ردن عناص�ر 3 ش�رايط عناص�ر م�ورد اس�تفاده ق�رار مي گيرن�د ت�ا مجموع�ه اي از مع�ادالت همزم�ان ب�ر حس�ب

متغيرهاي حالت مجهول ايجاد شود.

مع�ادالت همزم�ان جهت پي�دا ك�ردن متغيره�اي ح�الت ح�ل مي : - محاس�به پاس�خ4شوند و با استفاده از شرايط تعادل عناصر پاسخ هر عنصري محاسبه مي گردد.

الف( روش مستقیم

از مثBال: ي�ك سيس�تم متش�كل زي�ر افقي 3ش�كل را در ص�فحه گ�اري ص�لب نش�ان مي ده�د ك�ه ب�ه وس�يله سيس�تمي از فنره�اي ارتج�اعي خطي ب�ه هم�ديگر اتص�ال يافت�ه ان�د. تغييرمك�ان ه�اي گ�اري ه�ا را محاس�به نم�وده و نيروه�اي موج�ود در فنره�ا را

براي بارگذاري نشان داده شده محاسبه كنيد.

ب�ا دنب�ال نم�ودن مراح�ل حل: ت�ا 1تحلي�ل را انج�ام مي دهيم. تغي�ير مك�ان ه�اي 4 U1 ،U2، U3 را ب�ه عن�وان متغيره�اي ح�الت ك�ه پاس�خ سيس�تم را مش�خص مي نماين�د

انتخ�اب مي ك�نيم. تغي�ير مك�ان ه�اي م�ذكور از م�وقعيت اولي�ه گ�اري ه�ا ان�دازه گرفت�ه مي ش�وند ك�ه در آن فنره�ا در ح�الت آزاد و ب�دون كش�ش مي باش�ند. عناص�ر انف�رادي

فنري و شرايط تعادل آنها در شكل هاي بعدي نشان داده مي شوند.

آرايش فيزيكي


روابط تعادل عناصر

براي ايج�اد مع�ادالت ح�اكم ب�ه ازاي متغيره�اي ح�الت، ش�رايط اتص�ال متقاب�ل عناص�ر م�ورد اس�تفاده ق�رار مي گيرن�د ك�ه متن�اظر ب�ا تع�ادل ايس�تايي ه�ر ي�ك از س�ه گ�اري مي

باشند:


Fi(j) نیرویی که به فنر =j

Ui در اثر تغییرمکان وارد می شود.

Fiحال مي ت�وان نيروه�اي انته�ايي عنص�ري (j) ، J=1,2,…,5 و i=1,2 را ب�ا اس�تفاده از

ش�رايط تع�ادل عناص�ر ك�ه در ش�كل )ب( نش�ان داده ش�ده اس�ت، جايگ�ذاري نم�ود. تغييرمك�ان ه�اي ب�ا مولف�ه متن�اظر ج�ا اين ب�راي عنص�ر U1 ،U2، U3در ت�وان مي

نوشت:1شماره

يا براي عنصر شماره 2:


به همین ترتیب برای سایر عناصر این مرحله را انجام می دهیم.

ي�ادآوري ش�ود ك�ه م�اتريس ض�ريب باي�د نكت�ه از Kاين ب�ا اس�تفاده ت�وان را مي رابطه زير بدست آورد:

ماتريس هاي سختي عنصري اند. به فرآيند جمع براي يافتن ماتريس K(i)كه در آن سختي كل سازه در رابطه باال با استفاده از جمع مستقيم ماتريس هاي سختي

اطالق مي شود. روش مستقيم سختیعناصر،


اتص�ال بن�ابراين ش�رايط ب��ه عناص��ر متقاب��ل ص�ورت رو ب�ه رو در مي

آيد:

Variational)ب( روش وردشی method)

- مع�ادالت تع�ادل ح�اکم ب�ر ی�ک م�دل ریاض�ی گسس�ته سیس�تم را می ت�وان ب�ر حس�ب متغیره�ای ح�الت ب�ا اس�تفاده از فرم�ول بن�دی اکس�ترمم

یا وردشی بدست آورد.

یک مس�اله اکس�ترموم ش�امل تع�یین مجموع�ه ای از مق�ادیر متغیره�ای ( Functional) اس�ت ک�ه ب�ه ازای آنه�ا ی�ک تابع�کi=1,…,n و Uiح�الت

م�اکزیمم، می�نیمم ی�ا ی�ک نقط�ه زی�نی داده ش�ده (Saddle point).است

در تحلی�ل س�ازه ه�ا هنگ�امی ک�ه تغی�یر مک�ان ه�ای تعمیم یافت�ه ب�ه عن�وان متغیره�ای ح�الت م�ورد اس�تفاده ق�رار می گیرن�د، پتانس�یل کلی

) یا تابعک انرژی پتانسیل کلی ( می باشد، یعنی:

WU

),...,,( 21 nUUU

U =انرژی کرنشی سیستم

W = پتانسیل کلی بارها


در فرمول بندی اکسترموم یا وردشی مسائل سازه ای دو اصل - مطرح است:( Axiom)موضوع

مس�اوی ص�فر ب�ودن مش�تق تابع�ک اصBل موضBوع اول : نس�بت ب�ه ی�ک (Total Potential Energy)ان�رژی پتانس�یل کلی

متغ�یر ح�الت ) ی�ا متغیره�ای ح�الت(، ش�رط الزم و ک�افی ب�رای تعادل یک سیستم سازه ای است.

niU i

,...,2,1,0

معادالت تعادل بر حسب متغیرهای حالت بدست می

آیند.

(Stationary requirement) شرط مانابودن


Minimum Stable

Saddle point Critical state

Maximum Unstable

مینیمم نسبی تابعک انرژی پتانسیل کلی نسبت اصل موضوع دوم:به متغیر حالت )یا متغیر های حالت(، شرط الزم و کافی برای پایداری

می باشد.( Equilibrium state)یک حالت تعادل


ترکیب دو اصل مذکور به عنوان اصل مینیمم انرژی پتانسیل

(Principle of Minimum Potential Energy)

نیز شناخته می شود:

از می�ان تم�امی می�دان ه�ای ( Conservative )برای سیس�تم ه�ای پایس�تارتغی�یر مک�ان ک�ه از نظ�ر س�ینماتیکی قاب�ل قب�ول )ارض�اء کنن�ده ش�رایط س�ازگاری و ش�رایط م�رزی( می باش�ند، آن می�دان ه�ای تغی�یر مک�ان ک�ه ح�الت ب�ا متن�اظر ، کنن�د اکس�ترموم می را کلی پتانس�یل ان�رژی ک�ه تع�ادل سیس�تم می باش�ند. اگ�ر ش�رط اکس�ترموم، ی�ک می�نیمم باش�د ،

در این صورت حالت تعادل پایدار خواهد بود.


2

2

2

2

1, ,

21

2

0

0

U W U K W P

K P

K P

P K

K

معادله تعادل

سیستم پایدار .است

را در نظ�ر بگیری�د و ب�ا P و ب�ار وارده K ی�ک ف�نر س�اده ب�ا س�ختی مث�ال:استفاده از روش وردشی معادله تعادل را بدست آورید.

یعنی انرژی پتانسیل کلی مینیمم مقدار خود را دارا می باشد.

ایج�اد ب�رای وردش�ی روش از اس�تفاده ک�ه حس�ن اس�ت ذک�ر ب�ه الزم ب�ه ط�ور ب�ودن ب�ا اس�تفاده از ش�رط مان�ا تع�ادل آن اس�ت ک�ه مع�ادالت

خودکار شرایط اتصال متقابل عناصر تامین می شود.



ش�کل زی�ر ی�ک سیس�تم متش�کل از س�ه گ�اری ص�لب ک�ه بوس�یله مثBال:ان�د را سیس�تمی از فنره�ای ارتج�اعی خطی ب�ه هم�دیگر اتص�ال یافت�ه نش�ان می ده�د. تغی�یر مک�ان ه�ای گ�اری ه�ا را ب�ه روش وردش�ی محاس�به نم�وده و نیروه�ای موج�ود در فنره�ا را ب�رای بارگ�ذاری نش�ان داده ش�ده

محاسبه کنید.

- روش های حل مدل های ریاضی 8پیوسته سیستم:

گف�تیم ک�ه در ی�ک م�دل ریاض�ی پیوس�ته سیس�تم، پاس�خ واقعی سیس�تم ب�ه وس�یله بی نه�ایت متغ�یر ح�الت توص�یف می گ�ردد و ب�ه ج�ای ی�ک مجموع�ه مع�ادالت مجه�ول، ح�الت متغیره�ای ی�افتن ب�رای ج�بری مع�ادالت از

دیفرانسیل بر پاسخ سیستم حاکم می باشند.

همانن�د ح�الت تحلی�ل م�دل ه�ای گسس�ته دو روش مختل�ف را می ت�وان برای ایجاد معادالت دیفرانسیل حاکم بر سیستم دنبال نمود:

روش مستقیم )فرمول بندی دیفرانسیلی(

روش وردشیالف( روش مستقیم )فرمول بندی دیفرانسیلی(

در فرم�ول بن�دی دیفرانس�یلی، ش�رایط تع�ادل و رواب�ط مشخص�ه عناص�ر دیفرانسیلی نمونه را بر حسب متغیرهای حالت ایجاد می کنیم.

مالحظ�ات م�ذکور منج�ر ب�ه ی�ک دس�تگاه مع�ادالت دیفرانس�یل ب�ر حس�ب متغیرهای حالت می شوند.

در ح�الت کلی این مع�ادالت بای�د ب�ا مع�ادالت دیفرانس�یل کمکی تکمی�ل ب�ر متغیره�ای را ش�وند. مع�ادالت دیفرانس�یل کمکی قی�دهای مناس�بی

حالت اعمال می کنند تا اینکه تمامی شرایط سازگاری ارضا شوند.

سرانجام ب�رای تکمی�ل فرم�ول بن�دی مس�اله، تم�امی ش�رایط م�رزی ) و در یک تحلیل دینامیکی، شرایط اولیه( نیز بیان می شوند.

مثال: معادالت دیفرانسیل تعادل یک سازه تیری و سازه صفحه ای


ب�ار مث�ال: اث�ر تحت بع�دی ی�ک میل�ه ب�ر ح�اکم دیفرانس�یل معادل�ه در سمت راست را بدست آورید.Rیک بار متمرکز و f B(x)گسترده


شرایط م�رزی تغی�یر م��رزی مکانی شرایط

نیرویی

مع�ادالت دیفرانس�یل ح�اکم ب�ر مس�اله میل�ه ای را ک�ه در ش�کل زی�ر مث�ال:نش�ان داده ش�ده اس�ت بدس�ت آوری�د. میل�ه در ابت�دا در ح�الت س�کون

ناگهان بر انتهای آن وارد می شود. R(t)بوده و بار

با استفاده از اصل داالمبرت داریم:

)الف(


(ب)رابطه مشخصه

با ترکیب )الف( و )ب( رابطه روبرو حاصل می گردد:

Boundary)شرایط مرزی condition)

(Initial condition)شرایط اولیه

تغییر نیروییمکانی

(Boundary value problems)( مسائل مقدار مرزی 1

مش�تقات )ی�ا مجه�ول ح�الت متغیره�ای مس�ائل، گون�ه این در معمولی آنها( در مرز داده می شوند.

جواب در ی�ک نقط�ه عم�ومی داخلی بس�تگی ب�ه اطالع�ات موج�ود درتمامی نقاط مرزی دارد.

مس�ائل ح�الت پای�ا(Steady state) ی�ا مس�ائل اس�تاتیکی از این ن�وع هستند.


ن�وع دو ب�ه ک�ه اس�ت الزم اینج�ا در مساله اشاره شود:

(Initial value problems)( مسائل مقدار اولیه 2

در این گون�ه مس�ائل، زم�ان ب�ه عن�وان ی�ک متغ�یر مس�تقل مط�رح میشود.

.جواب این مساله به شرایط اولیه بستگی دارد ب�ه توان�د می داخلی نقط�ه ی�ک در ج�واب مس�ائل، گون�ه این در

از می�دان اولی�ه در بخش�ی از م�رز و ش�رایط ش�رایط م�رزی بخش�ی داخلی بستگی داشته باشد.

مس�ائل ح�الت انتش�ار(Propagation) ی�ا مس�ائل دین�امیکی از این ن�وع مسائل هستند.

آن بن�دی وردش�ی هم�ان گون�ه ک�ه عن�وان ش�د، اس�اس روش فرم�ول است که پتانسیل کلی

ب�ودن ب�ا اس�تفاده از ش�رط مان�ا سیس�تم محاس�به می ش�ود و (stationary ) مش�تق آن نس�بت ب�ه متغیره�ای ح�الت ص�فر ق�رار داده ،

مع�ادالت دس�تگاه ی�ا و دیفرانس�یل معادل�ه نتیج�ه در و ش�ود می دیفرانسیل بدست می آیند.

روش وردش�ی مک�انیزم م�وثر و نیرومن�دی را ب�رای تحلی�ل سیس�تم ه�ای پیوسته فراهم می نماید.

علت اص�لی م�وثر و نیرومن�د ب�ودن روش وردش�ی، در چگ�ونگی ایج�اد ش�رایط م�رزی و نح�وه در نظ�ر گ�رفتن این ش�رایط در هنگ�ام اس�تفاده

از روش وردشی نهفته است.

اطالق می ش�ود. (Functional)به پتانس�یل کلی تابع�ک مس�اله mف�رض کنی�د ک�ه در تابع�ک ب�االترین مش�تق ی�ک متغ�یر ح�الت از مرتب�ه

می نامیم.Cm-1است، در این صورت مساله مذکور را مساله وردشی


ب( روش وردش�ی )ی�ا فرم�ول بن�دی وردشی(

شرایط مرزی بر دو نوع هستند:

)هندسی(الف( اساسی مرزی Essential boundaryشرایط condition) (

تغی�یر مک�ان ه�ا و دوران ه�ای از پیش تع�یین ش�ده )دارای مش�تقات (m-1حداکثر با مرتبه

(Natural boundary conditions)شرایط مرزی طبیعی )نیرویی( ب(

نیروه�ا و متغیره�ای م�رزی از پیش تع�یین ش�ده )دارای مش�تقات از (2m-1 تا mمرتبه


معادل�ه دیفرانس�یل ح�اکم ب�ر مس�اله میل�ه ای را ک�ه در ش�کل زی�ر مث�ال:نشان داده شده است، با استفاده از روش وردشی بدست آورید.


ب�ر مث�ال( ح�اکم ط�بیعی م�رزی ش�رایط و ح�اکم دیفرانس�یل معادل�ه کمانش ایستایی ستون شکل زیر را بدست آورید.

22

21

22

2 2 22

0

,2

1

2

1 1( )

2 2

L

l

L

U W

M d wU dx M EIdxEI

U kw

d wU EI dx kwdx

2

02

lP dwW dx

dx


m=2تابعک انرژی پتانسیل کلی , C1

شرط م�رزی اساس�ی ی�ا m-1=1دارای حداکثر مشتق از مرتبه هندسی

اکن�ون ش�رط مان�ا ب�ودن را م�ورد اس�تفاده قرار می دهیم:


نکت�ه مهم این اس�ت ک�ه تغی�یرات در متغیره�ای ح�الت و مش�تقات آنه�ا بای�د در ش�رایط م�رزی اساس�ی ص�فر باش�ند، ب�ه عب�ارت دیگ�ر

صفر هستند.5 و 3 ، بنابراین عبارات 0

0

0

0

w

w

در باش�ند، wتغی�یرات اختی�اری می نق�اط در س�ایر آن و مش�تقات بنابراین باید داشته باشیم:

معادل�ه دیفرانس�یل ح�اکم )دارای ح�داکثر مش�تق از x =Lشرط تعادل لنگر در ((2m، )4مرتبه

در برش تعادل xشرط =L

شرایط مرزی نیرویی

- روش های حل مدل های ریاضی 8با اس�تفاده از انتگ�رال گ�یری ج�زء ب�ه ج�زء در نه�ایت ب�ه رواب�ط زی�ر پیوسته سیستم:

می رسیم:

((2m-1، )3)دارای حداکثر مشتق از مرتبه

در هر دو مثال یک نکته بارز به چشم می خورد:

ب�ه ط�ور )ن�یرویی( م�رزی ط�بیعی ک�ه ش�رایط اس�ت این نکت�ه مهم ض�منی در وارد می ش�وند، در ح�الی ک�ه ش�رایط م�رزی اساس�ی

)هندسی( به طور جداگانه بیان می گردند.

ایج�اد 1 ب�رای را ای س�اده نس�بتا روش توان�د می وردش�ی روش -مع�ادالت ح�اکم ب�ر سیس�تم ف�راهم نمای�د. س�هولت م�ذکور در اس�تفاده از ی�ک اص�ل وردش�ی عم�دتا در نتیج�ه این واقعیت اس�ت ک�ه در فرم�ول بن�دی وردش�ی ب�ه ج�ای اینک�ه کمیت ه�ای ب�رداری نظ�یر )نیروه�ا، تغی�یر مک�ان ه�ا و ...( اس�تفاده ش�وند، کمیت ه�ای اس�کالر )نظ�یر ان�رژی ه�ا ،

پتانسیل ها و ...( در نظر گرفته می شوند.

- ی�ک روش وردش�ی می توان�د ب�ه ط�ور مس�تقیم منج�ر ب�ه مع�ادالت 2حاکم بر سیستم و شرایط مرزی شود.


بن�دی وردش�ی ب�ه نک�ات زی�ر در فرم�ول نه�ایت در -روش وردش�ی در فهم عمی�ق مس�اله ب�ه ط�ور م�وثری کم�ک می کن�د 3می توان اشاره نمود:

و نیز کنترل مستقلی را در فرمول بندی مساله فراهم می کند.

-اگ�ر تحلیلگ�ر ب�ه ج�ای فرم�ول بن�دی دیفرانس�یلی مس�اله در روی 4فرم�ول بن�دی وردش�ی عم�ل کن�د، در این ص�ورت ب�رای راه ح�ل ه�ای ع�ددی تقری�بی، در ح�االت زی�ادی می توان�د رده ه�ای بیش�تری از تواب�ع آزم�ون را ب�ه ک�ار گ�یرد، ب�ه عن�وان مث�ال الزم نیس�ت ک�ه تواب�ع آزم�ون ش�رایط م�رزی ط�بیعی را ارض�ا نمای�د، زی�را این ش�رایط م�رزی ب�ه ط�ور

ضمنی درتابعک در نظر گرفته شده اند.

در حل Ritz( روش 10معادالت دیفرانسیل

مع�ادالت Ritzروش - تقری�بی ح�ل ب�رای ک�ه اس�ت ع�ددی روش ی�ک دیفرانسیل بکار می رود.

)ن�ه روی Ritzروش - پتانس�یل کلی عم�ل می کن�د ان�رژی تابع�ک روی معادله دیفرانسیل مساله(.

آن اس�ت ک�ه ج�واب مس�اله ب�ه ص�ورت ت�ابع آزم�ون زی�ر Ritzگام اساس�ی در روش - :(Trial function)است

ai ضرایب مجهول =Ritz

fi توابع = Ritz را در جایگ�ذاری می ک�نیم و ب�ا در این روش تواب�ع آزم�ون استفاده از شرط مانا بودن

، n معادل�ه همزم�ان ج�بری را ب�ر حس�ب پارامتره�ای مجه�ول ai به صورت زیر بدست می آوریم:

niai

,...,3,2,1,0

بای�د ب�ه گون�ه ای انتخ�اب ش�وند ک�ه Ritz (fi)نکت�ه مهم این اس�ت ک�ه تواب�ع ش�رایط م�رزی اساس�ی )و ن�ه ط�بیعی( را ارض�ا نماین�د. دلی�ل این ش�رط س�اده در تواب�ع آزم�ون این اس�ت ک�ه ش�رایط م�رزی ط�بیعی ب�ه ط�ور

ضمنی در تابعک منظور شده اند. پاس�خ کم�انش ایس�تایی س�تون اش�اره ش�ده در مث�ال قب�ل را ب�ا مثBال(

به دست آورید.Ritzاستفاده از روش

در w ف�رض می ک�نیم ک�ه ت�ابع آزم�ون زی�ر را ب�رای متغ�یر ح�الت حل:نظر می گیریم:

ت�ابع آزم�ون م�ذکور فق�ط ش�رایط م�رزی اساس�ی مش�خص اس�ت ک�ه )تغییر مکان و شیب صفر در انتهای گیردار ( را ارضا می نماید.


در تابعک انرژی پتانسیل کلی ، رابطه زیر wبا جایگذاری حاصل می شود:

( a2 و a1یک دستگاه معادالت جبری )بر حسب بدست می آید:

را نتیجه می دهد. کوچک ترین Pحل این ویژه مساله دو مقدار برای جواب تقریبی کمترین بار کمانش سازه را بدست می دهد.Pمقدار


، در واقع Ritz (fi )توجه شود که در روش عناصر محدود، توابع هستند که در ماتریس ( Shape functions)همان توابع شکل

(Displacement interpolation matrix)درون یابی تغییر مکان جای می گیرند.

H) ماتریس تابع شکل ،(Shape function) یا ماتریس درون یابی تغییر مکان(


توجه شود که در روش عناصر محدود تابع آزمون یا متغیرهای حالت، همان توابع تغییر مکان تعمیم یافته درون هر عنصر می

. u(m))باشند)

، در Ritz (ai)توجه شود که در روش عناصر محدود، ضرایب مجهول واقع همان تغییرمکان های تعمیم یافته مجهول گرهی هستند، که در

Uجای می گیرند .

در حل معادالت Galerkin( روش 11دیفرانسیل

ی�ک روش ع�ددی اس�ت ک�ه ب�رای ح�ل تقری�بی مع�ادالت Galerkin- روش دیفرانس�یل بک�ار می رود. این روش روی معادل�ه دیفرانس�یل عم�ل می

کند نه روی تابعک انرژی پتانسیل کلی.

را ب�ا اس�تفاده از فرم�ول (Steady state)- تحلی�ل ی�ک مس�اله ح�الت پای�ا بندی دیفرانسیلی زیر در نظر می گیریم:

L2m عملگ�ر دیفرانس�یلی = (Differential operator) ب�االترین مرتب�ه مش�تق( است(2mدر آن

(State variable) = متغیر حالت

r تابع نیرویی =(Force function)

مثال معادل�ه دیفرانس�یل ح�اکم ب�ر میل�ه ی�ک بع�دی را تحت اث�ر ب�ار گس�ترده f B(x) و یک بار متمرکزR:در سمت راست آن را در نظر بگیرید

2

2( )Bu

EA f xx

این مساله L2mبنابراین عملگر دیفرانسیلی عبارت است از:

2

2 2

( )

m

B

L EAx

u

r f x

در حل Galerkin( روش 11معادالت دیفرانسیل

روش -Galerkin مس�اله ب�ر ح�اکم دیفرانس�یل معادل�ه روی مس�تقیما عمل می کند) نه روی تابعک مساله(.

- دراین روش نیز جواب مساله را به صورت زیر فرض می کنیم:

باید به گونه ای انتخاب شوند که هم شرایط fi مشخص است که توابعمرزی اساسی و هم شرایط مرزی طبیعی را تامین نمایند ) چون

مستقیما روی معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله Galerkinروش عمل می کند نه روی تابعک(.

مساله مورد نظر را به صورت زیر تعیین می ( Residual)باقیماندهکنیم:


کام�ل ج�واب ازای ب�ه -(Exact Solution) ص�فر م�ذکور باقیمان�ده ،(R=0 )است

ی�ک تق�ریب مطل�وب ب�ه ج�واب کام�ل می توان�د ب�ه ط�ور ض�منی داللت - در تمام نقاط میدان حل، باید مینیمم باشد. Rبر این نکته نماید که

ه�ای - الگ�وریتم دار، وزن باقیمان�ده متن�وع ه�ای روش از ی�ک هر ارائه می دهند.Rمختلفی را برای مینیمم سازی

روش - جمل�ه از ( دار وزن باقیمان�ده متن�وع ه�ای روش تف�اوت Galerkin مربع�ات کم�ترین روش ،(Least square method) روش ،

مک��ان(Sub-domain)زیرمی��دان هم روش ،( Collocation) در ) ب�ه ک�ار می aiمعیاره�ایی نهفت�ه اس�ت ک�ه آن روش ه�ا ب�رای محاس�به

مینیمم شود. Rبرند به گونه ای که معادله زیر n از aiپارامترهای ، R با مینیمم سازی Galerkinدر روش

تعیین می شوند: میدان جواب Dکه در آن

است.


یک دستگاه معادالت خطی بر حسب Galerkinبنابراین در روش ایجاد می شود.aiپارامترهای

روی تابع�ک عم�ل می نم�اییم، در ح�الی ک�ه در Ritz- در روش 1می Galerkinروش عم�ل مس�اله ب�ر ح�اکم دیفرانس�یل معادل�ه روی نماییم.

در روش 2 -Ritz بای�د آزم�ون تواب�ع m باش�ند چ�ون پ�ذیر ب�ار مش�تق باالترین مرتبه مشتق در

2m تواب�ع آزم�ون بای�د Galerkin اس�ت، در ح�الی ک�ه در روش mبراب�ر ب�ا معادل�ه در مش�تق مرتب�ه ب�االترین زی�را باش�ند، پ�ذیر مش�تق ب�ار

است. 2mدیفرانسیل از مرتبه

روش 3 در -Ritz را اساس�ی م�رزی تنه�ا ش�رایط بای�د آزم�ون تواب�ع تواب�ع آزم�ون بای�د تم�امی Galerkinت�امین نماین�د، در ح�الی ک�ه در روش

شرایط مرزی اساسی و طبیعی را ارضا نمایند.


روش روش Ritzمقایس��ه و Galerkin

Principle of virtual)اصل تغییر مکان های مجازی (12Displacements)و رابطه آن با روش وردشی

کرنش ها عبارتند از:

تنش های متناظر با کرنش ها عبارتند از:

یک جس�م س�ه بع�دی عم�ومی را در نظ�ر بگیری�د. جس�م در ی�ک دس�تگاه - قرار گرفته است.X, Y, Zمختصات ثابت

دارای Su- اگ�ر ناحی�ه س�طحی جس�م را در نظ�ر بگ�یریم، جس�م در س�طح می تکی�ه گ�اه ه�ای ب�ا تغی�یر مک�ان ه�ای از پیش تع�یین ش�ده

سطحی ناحیه در سطحی Sfباشد. نیروهای اثر تحت (Surface Tractions) ، ناحی�ه س�طحی( اس�ت. همچ�نین جس�م )نیروه�ای

)نیروه�ای واح�د f B (Body forces)تحت اث�ر نیروه�ای حجمی خ�ارجی Rcحجم( و بارهای متمرکز

i .می باشند

USUfSf

تعریف اصل تغییر مکان های مجازی تعادل جسم ایجاب می کند که به ازای تغییر مکان های مجازی

کوچک سازگار که به جسم در حال تعادل اعمال می شوند )به گونه ای که شرایط مرزی اساسی را تامین و ارضا نمایند(، کل کار مجازی

داخلی مساوی با کل کار مجازی خارجی باشد.


اصل وردشی

اعمال شرط مانا بودن تابعک انرژی پتانسیل کلی

با توجه به اينکه کرنش ها ی مجازی اختیاری می باشند، لذا می توان فرض کرد:

تغييرمکان های مجازی کرنش های مجازی

نيرو های حقيقی تنش های حقيقی


نتیجه گیری مهم

بنابر این اصل تغییر مکان های

مجازی معادل مانا بودن تابعک

انرژی پتانسیل

کلی سیستم

می باشد.

ان�رژی مث�ال: تابع�ک مج�ازی ه�ای مک�ان تغی�یر اص�ل از اس�تفاده ب�ا پتانسیل کلی سازه شکل زیر را بدست آورید.

0 0

2

0

2

0 0

. |

| 02

1|

2

l lB

x L

lB

x L

l lB

x L

d u duEA dx f u dx R u

dx dx

EA duf dx Ru

dx

duEA dx uf dx Ru

dx

اصل کار مجازی


نتیجه گیری مهم

اص�ل تغی�یر مک�ان ه�ای مج�ازی و مان�ا ب�ودن تابع�ک ان�رژی پتانس�یل کلی سیس�تم ک�امال مع�ادل هم�دیگر هس�تند و تم�امی نت�ایج حاص�له در بحث

) ک�ه در روی تابع�ک عم�ل می کن�د( و روش Ritzمقایس�ه روش ه�ای Galerkin ک�ه در روی معادل�ه دیفرانس�یل عم�ل می کن�د( در م�ورد اص�ل(

تغییر مکان های مجازی نیز صادق است.

بر روش Ritzبه عبارت دیگر با توجه به برتری نسبی روش Galerkin می توان پایه استخراج فرمول بندی عناصر محدود را ،

. قرار دادRitzاصل تغییر مکان های مجازی و استفاده از روش


روش عناصر محدود finite element procedures

Documents