预测与决策分析 Forecasting and Decision Analysis

陈振

河南农业大学信息与管理科学学院管理科学系

13683807788 ， hnchenzhen@eyou.com

趋势外推法概念 社会经济现象的发展相对于时间推移，常常具有一定的规律性。

若预测对象变化，无明显的季节波动，又能找到一条合适的函数曲线

反映其变化趋势，即可建立其趋势模型： )(tfy 。

当有理由相信这种趋势可能为延伸到未来时，对于未来的某个 t 值就可得到相应时序未来值，这就是趋势外推法。

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，并能找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势，从而推测出事物未来状况的一种常用预测方法。趋势外推法的实质就是利用某种函数分析描述预测对象某一参数的发展趋势。

趋势外推法假定条件 趋势外推法是具有一定前提条件的预测方法。趋势外推法的假设条件

是：

（ 1）假设事物发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化。

（ 2）假设事物的发展因素也决定事物未来的发展，其他条件不变或变化不大。也就是说，假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，即未来和过去的规律一样。

由以上两个假设条件可知，趋势外推法是事物发展渐进过程的一种统计预测方法。通常，把过去的趋势向未来延伸得越远，满足上述两个条件的可能性就越小。所以这种预测方法一般是在短期和中期的预测才有价值。另外，我们对某现象过去的数据掌握得越多，对这一现象观察的时间越长，对未来的预测会越准确。

常用的趋势预测模型 1. 多项式曲线预测模型

很多事物发展的模型可用多项式表示。常用的多项式预测模型有： 1）一次（线性）预测模型： tbby

t 10ˆ

2）二次（二次抛物线）预测模型： tbbby tt

2

210ˆ

3）三次（三次抛物线）预测模型： tbtbbby tt

3

3

2

210ˆ

4）n次（ n 次抛物线）预测模型： tbtbbby n

ntt 2

210ˆ

式中， t 代表时间自变量。

常用的趋势预测模型2. 指数曲线预测模型

常用的指数曲线预测模型有：

1）指数曲线预测模型： eay btt ˆ

2）修正指数曲线预测模型： cbay tt ˆ

3. 对数曲线预测模型 常用的对数曲线预测模型为： tbayt lnˆ

4. 生长曲线预测模型

1）皮尔曲线预测模型：ea

Ly

btt

1ˆ

式中，L 为变量， yt的极限值，a,b为常数，t为时间。

2）龚珀兹曲线预测模型： aky btˆ

趋势模型的选择

趋势外推法主要利用图形识别和差分计算来进行模型的基本选择。 1）图形识加法 这种方法是首先绘制散点图，再观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形比较，以便选择较为适宜的模型。在实际预测过程中，有时由于几种模型接近而无法直观确认，必须同时对几种模型进行试算，最后选择标准误差最小的模型为预测模型。 2）差分法

由于模型种类很多，为根据历史数据正确选择模型，常利用差分法把原序列转换为平稳序列，即利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。将时间序列的差分与各类模型的差分特点比较就可以选择适宜的模型。

多项式曲线趋势外推法

多项式曲线预测模型的一般形式为：

tbtbtbby kkt 2

210ˆ

k=1时，为直线模型；

k=2时，为二次多项式（抛物线）模型； k=n时，为 n 次多项式模型。

直线模型预测 直线模型的表达式为： tbbyt 10ˆ 。

这里，b0代表 t=0 时的预测值；b1为逐期增加量；t 为时间，代表年次、月次等； ytˆ 为预测值。 直线预测模型的特点是：一阶差分为常数， byyy ttt 11ˆˆˆ 。因此，当时间序列{ yt }

的一阶差分 ytˆ 近似为一常数，其散点图呈直线趋势时，可配合直线预测模型来预测。

直线预测模型的参数通常可用最小二乘法等来估计。 令 )ˆ(

2ytytQ ，根据最优化原理有：

0)(2

0)(2

101

100

tbbyb

Q

tbbyb

Q

t

t

tbtbyt

tbbny

t

t

210

10

这里，n为时序的项数。

直线模型预测

为简化计算，我们可选取时间序列{ yt }的中点为时间原点，从而可使

0 t 。一般来说，当序列不奇数项时，t分别取…,-2,-1,0,1,2,…；

当序列为偶数项时， t分别取…,-5,-3,-1,1,3,5… 这样，上述方程组可简化为

tbytbny

t

t2

1

0

t

ytb

n

yb

t

t

21

0

ˆ

ˆ

直线模型预测举例

例 某厂某产品过去 9年的销售量如表所示，

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

yt 265 297 333 370 405 443 474 508 541

yt

___ 32 36 37 35 38 31 34 33

试预测第 10年的销售量。

直线模型预测举例解 一阶差分大体接近，与直线预测模型一阶差分为常数的特点相符。因此，

可配合直线预测模型来预测。 设直线预测模型为 tbbyt 10ˆ

为简化计算，将 t值修改为 t: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

这样， 0 t ， 3636 yt ， 2092 yt t ， 602 t

由式

t

ytb

n

yb

t

t

21

0

ˆ

ˆ

可求得 4049

3636ˆ

0 b ， 87.3460

20921̂ b

于是，所求直线预测模型为 tyt 87.34404ˆ

这时，预测第 10年的销售量 35.578587.34404ˆ5 y

二次抛物线模型预测

二次抛物线预测模型的表达式为： tbtbbyt2

210ˆ 。

这里，b0 , b1 , b2是参数，t为时间， ytˆ 为预测值。

二次抛物线预测模型的特点为：二阶差分为一常数，

byXyXy ttt 212 2ˆˆˆ 。因此，当时间序列{ yt }的二

阶差分 yt2 近似为一常数，其散点图呈现一个上凹或下凹

的曲线趋势时，可用二次抛物线预测模型来预测。

二次抛物线模型预测二次抛物线模型的参数，也可用最小二乘法来估计。 令 )()ˆ( 2

210

22

tbtbbytytytQ

0)(2

0)(2

0)(2

22210

2

2210

1

2210

0

ttbtbbyb

Q

ttbtbbyb

Q

tbtbbyb

Q

t

t

t

tbtbtbyt

tbtbtbyt

tbtbbny

t

t

t

42

31

20

2

32

210

2210

为简化计算，也可选取时序{ yt }的中点为时间原点，这样，使 0t ， 03 t ， 05 t 从

而使方程得以简化。

tbtbyttbyt

tbbny

t

t

t

42

20

2

21

220

解三元方程可求得b0 ，b1，b2 三个参数。

二次抛物线模型预测举例

例 某商场某种商品过去九个月的销售量如表所示，

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9

销售量（万件） 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38

试预测第 10月的销售量。

二次抛物线模型预测举例解 描散点图，如图，散点图近似成二次抛物线形。

t

y

计算差分如下表， y t2 波动范围在 0.15.2 之间，大致相等，与二次抛物线预测模型二阶差分为

常数的特点相符。

yt 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38

yt

___ 8 7 5.5 4.5 3.0 2.0 -0.5 -1.5

y t2 ___ ___ -1.0 -1.5 -1.0 -1.5 -1.0 -2.5 -1.0

根据散点图形以及二阶差分序列的特点，可确定选用二次曲线模型。 为简化计算，我们将 t 的取值取为 t: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

这样， 0 t ， 2740 yt ， 602 t ， 7044 t ， 214 yt t ， 5.16132 yt 。

代入

tbtbyttbyt

tbbny

t

t

t

42

20

2

21

220

有

bbb

bb

20

1

20

708605.161360214

609274

69.0

57.3

25.35

2

1

0

b

b

b

从而得二次抛物线的模型为： ttyt269.057.305.35ˆ

所以 10月份的销售量为

65.35569.0557.305.35ˆ 210 y （万件）

三次抛物线模型预测

三次抛物线预测模型的表达式为： tbtbtbbyt3

32

210ˆ 。这里，b0 , b1 , b2，b3是参数，t 为

时间， ytˆ 为预测值。

三次抛物线模型的特点是三阶差分为一常数， byyy ttt 01223 ˆˆˆ 。因此，当时间序列{ yt }

的二阶差分 yt2 近似为一常数，其散点图呈现两个弯曲曲线的发展趋势时，可配合三次抛物线预测模型来预测。 与二次抛物线模型类似，其参数也可用最小二乘法估计，并有下列方程组

tbtbtbtbyttbtbtbtbyt

tbtbtbtbyttbtbtbbny

t

t

t

t

63

52

41

30

3

53

42

31

20

2

43

32

210

332

210

为简化计算，也可取时序{ yt }的中点为时间原点，使 0 t , 03 t , 05 t ，使上述方程简化为：

tbtbyt

tbtbyt

tbtbyt

tbbny

t

t

t

t

63

41

3

22

20

2

43

21

220

曲线趋势预测中置信区间确定

曲线趋势预测中，也可确定预测的置信区间： 为确定预测的置信区间，先必须估计标准误差。

mn

ytytS y )ˆ(

2

， n为总项数，m为模型参数个数。

近似的预测置信区间为

)(

)(11ˆ

2

0

2

20

tt

tt

nStyt y

或为n

Styt y

11ˆ

20

指数曲线趋势外推法

常用的指数曲线预测模型有：

一般指数曲线预测模型

修正指数曲线预测模型

一般指数曲线模型预测 一般指数曲线预测模型的基本形式为： eay bt

t ˆ 或 bay tt ˆ ， 0a 。式中， ba, 是参数，t为时间。

一般指数曲线预测模型的特点是环比发展速度为一常数。环比发展速度也称为一阶差比率。

ey

y b

t

t 1

或 by

y

t

t 1

我们对模型 eay btt ˆ ，两边取对数，有

btayt lnˆln

对模型 bay tt ˆ ，两边取对数，有

tbayt )(lnlnˆln

可见，在半对数坐标图中，指数曲线变为一条直线，其特点是：对数的一阶差分为常数， byt )ˆ(ln或 lnb。

因此，当时间序列{ yt } 的环比发展速度大体相等或对数一阶差分 )(ln yt 近似为一常数时，可配合

指数预测模型来预测。

一般指数曲线模型预测举例

例 某商品过去 9年投入市场，市场需求量统计资料如下，

年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总需求量（件） 165 270 450 740 1220 2010 3120 5460 9000

试预测今年的总需求量。

一般指数曲线模型预测举例

解 描散点图，如图，散点图近似成二次抛物线形。 计算环比发展速度如表。 yy

tt 1波动范围在 75.155.1 之间，大致相等，与一般指

数曲线预测模型可环比发展速度大致相等的特点相符。

t

y

y

t 165 270 450 740 1220 2010 3120 5460 9000

yytt 1

___ 1.64 1.67 1.64 1.65 1.65 1.55 1.75 1.65

根据散点图形以及环比序列的特点，可确定选用模型 eay btt ˆ

一般指数曲线模型预测举例下面求模型参数， btayt lnˆln btAY t

将原数据作变换，见下表。

年份（t） 1 2 3 4 5 6 7 8 9

yY tt ln 5.11 5.60 6.11 6.61 7.11 7.61 8.05 8.61 9.11

9n , 45t , 2852 t , 92.63Y t , 89.4682Y t , 51.349 Yt t ，

51

tn

t ， 10.71

Yn

Y t

根据直线模型参数估计公式

5.059285

10.75951.349222

tnt

YntYtb

t

6.455.010.7 tbYA

因为 aA ln ，所以 48.996.4 eea A ， ey tt

5.048.99ˆ

预测今年的需求量为 14.1476448.99ˆ 105.010 ey (件)

修正指数曲线模型预测 修正指数曲线预测模型为： cbay t

t ˆ ，式中，t为时间，a,b,c为参数。

1.模型特征

对模型求一、二阶导数，有 ccby tt )ln(ˆ ' , ccby t

t )(lnˆ 2''

（1）当 10,0,0 cba 时，有 0ˆ,0ˆ ''' yy tt ， ytˆ 递增， ytˆ '是递减的。

因而 ytˆ 的图形是凹的。当 t=0时， )0(ˆ bbayt ； ayt t ˆ,

所以， ayt 是它的渐近线， ytˆ 随着 t的增加而增加，增长速度先快后

慢，最后接近于高限 k。其图形如图所示。

t

y

a

a+b

当经济变量的变动规律是初期增长较快随后逐渐放慢，最后趋向于某一正数极限。可用该修正指数曲线来描述。

修正指数曲线模型预测（2）当 10,0,0 cba 时， 0ˆ,0ˆ ''' yy tt

ytˆ 递减， ytˆ ' 递增，因而 ytˆ 的图形是凸的。

当 0t 时， )0(ˆ bbayt ，当 ayt t ˆ,

所以 ayt ˆ 是它的渐近线, ytˆ 随着 t的增加而减少，递减速度是先快后慢，最后接近于 k。

其图形如图所示。

t

y

a

a+b

图 5-4

可见，该修正指数曲线可用来描述初期减少较快，随后减少较缓慢，最后趋向某一正常数极限的经济变量。 另外，由于修正指数曲线预测模型的一阶差分

ccbcbacbay tttt

11 )1()()(ˆ 是指数函数形式。

可知，修正指数曲线预测模型的差分特征为：一阶差分的环比为一常数。

根据这一特征当时间序列 { yt }一阶差分 ytˆ 的环比近似为常数时，可配合修正指数曲线预测模型来预测。

修正指数曲线预测模型参数估计

修正指数曲线预测模型参数 a,b,c的估计，我们通常采用三段法（或分组法）， 首先设时间序列{ yt }有 N=3n个数据。

t 0 1 … n-1 n … 2n-1 2n … 3n-1

yt y0 y1 … yn 1 yn … y n 12 y n2

… y n 13

如果通过分析，序列{ yt }的发展趋势可用修正曲线来描述，则可近似认为每个 yt值满

足模型 cbay tt 13,1,0 nt 。

修正指数曲线预测模型参数估计我们把序列分为 3 段（组），每段含有n个数据，对各段求和，得

cbcbbcbnayyn

n

ttt

121

01

= )1( 12 cccbna n =1

1

ccbna

n

同理， cbcbcbcbnayynnnn

n

nttt

122112

2

= )1( 12 ccccbna nn =1

1

cc

cbnan

n

cbcbcbcbnayynnnn

n

nttt

132212213

23

= )1( 122 ccccbna nn = )1

1(2

cc

cbnan

n

于是， 1

)1(2

12

c

cnbyy tt

1

)1(2

23

c

cncbyy

n

tt

从而有，

yy

yyc

tt

ttn

12

23 n

tt

tt

yy

yyc

12

23ˆ

)1ˆ(

1ˆ)(

212

cn

cyyb

tt

1ˆ1ˆˆ1

ˆ 1ccby

na

n

t

修正指数曲线预测举例

例 某商品九个月来的销售量资料如下表，

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 销售量（万吨） 50 60 68 69.6 71.1 71.7 72.3 72.8 73.2

试预测十月份的销售量

修正指数曲线预测举例解 第一步：选择模型 1）描散点图，初步确定模型

t

y

5 91

70

60

50

图 5-5

由如图 5-5散点图可以初步确定选用修正指数曲线预测模型， cbay tt ˆ （ 10,0 cb ）

来进行预测。 2）计算一阶差分环比

yt 50 60 68 69.6 71.1 71.7 72.3 72.8 73.2

yt ___ 10 8 1.6 1.5 0.6 0.6 0.5 0.4

yy

t

t

1 ___ ___ 0.8 0.2 0.94 0.4 1.0 0.83 0.8

一阶差分环比大致相等，结合散点图分析，确定选用修正指数曲线预测模型比较獗适合。

修正指数曲线预测举例

第二步：求模型参数

时序（t） 1 2 3 4 5 6 7 8 9

销售量 yt

50 60 68 69.6 71.1 71.7 72.3 72.8 73.2

yi t 1781 yt

4.2122 yt 3.2183 yt

用前面推得的计算公式（5-11）、（5-12）、（5-13）进行计算：

5556.0)0.1784.212

4.2123.218()(ˆ

3

1

12

23

1

ytyt

ytytcn

272.22)15556.0 3(

15556.0)1784.212(

1ˆ

1ˆ)(ˆ

212

c

cyyb

ntt

174.73)15556.0

15556.0272.22178(3

1)

1ˆ1ˆˆ(

1ˆ

3

1

ccby

na

n

t

所求模型为 5556.0272.22174.73ˆ tty

第三步：进行预测：

06.735556.0272.22174.73ˆ 99 y （万吨）

生长曲线趋势外推法

生长曲线又叫成长曲线。生物界经过长期研究发现，一般生物，发生初期成长速度相对慢一点，以后由慢变快，经过高成长成熟后，则速度由快逐渐变慢，生物的生长过程的曲线形状象 S

一样。

所以，生长曲线也叫 S 曲线。经大量的观察，社会、经济和科技领域的许多事物的成长过程也类似于生物的成长过程。

生长曲线数学模型的一般形式 生长曲线数学模型的一般形式为：

)( yLKydt

ydtt

t 或 )( ybaydt

dytt 式中， L 是 yt 的极限值， kLyt , 是常数

)( yLKydt

ydtt

t

对照指数曲线模型 Kydt

ydt

t ， eay btt ˆ ， eab

dt

yd btt

可见，生长曲线与指数曲线不同，其相对增加速度不是一个常数，而是其自身 yt的函数。

随着 yt逐渐逼近 L，其增长速度越慢。

在初始时刻，生长曲线和指数曲线基本一致，事实上， yt 很小时, LyL t ，从而 KLydt

dyt 。

若设初始条件为 yyt t 0,0 ，解微分方程，可得

ey

yLL

yat

t

0

01

， )( kLa

这就是生长曲线的一般数学模型。

皮尔曲线模型皮尔（R.Peare）是美国生物学家和人口统计学家，他在统

计研究过程中，找到了一种比较好的描述生长过程的数学模型——皮尔曲线，也叫推理曲线或逻辑曲线

模型的基本形式

ea

Ly

btt

1ˆ 或

baKy

tt

1ˆ

式中，L是变量 yt 的极限值， ba, 是参数，t 是时间变量。

)( yLyL

b

dt

ydtt

t

皮尔曲线模型特点

从上面的式子可看到： 0, yt t ； Lyt t ,

令 yt"

=0，得曲线拐点为 bat ln ， 2Ly 。曲线相对于拐点对称。

1 baL 时，皮尔曲线如图所示。

t

y1

0. 5

皮尔曲线模型参数估计

方法一：ea

Ly

btt

1 e

L

a

Lybt

t

11

可见，皮尔曲线的倒数是修正指数曲线，因此，我们可用修正指数曲线的参数估计三段法估计参数。 方法二：利用时间序列相邻两项的倒数之差建立方程式：

)11

(2

1

111

11 yyLe

eyy tt

b

b

tt

变换得y

eL

ey t

bb

t

111

1

因此，我们可利用系数Le

eb

b

1, ，建立

yt 1

1

对yt

1的回归方程。

龚珀兹曲线模型预测 龚珀兹曲线是美国统计学家和数学家龚

珀兹（B.Gompartz）提出的用于控制人口增长率的一个数学模型。后来发现，很多经济现象的发展趋势近似龚珀兹曲线。

模型的基本形式 龚珀兹曲线模型的一般形式为：

))exp(exp( ktbLe be ktLyt

或 abtKyt 。

龚珀兹曲线是双层指数模型，所以又称双指数模型。

龚珀兹曲线模型特点象皮尔曲线模型一样，当 Lytyt tt ,;0, ，

其拐点为 Kbt )(ln ，这时 eLyt ，但龚珀兹曲线不对称。

1 kbL 时，龚珀兹曲线如图所示。

t

y1

图 5-7

另外，龚珀兹曲线模型的对数一阶差分的环比为常数，即

Kyy

yy

y

y

tt

tt

t

t

21

1

1 lnln

lnln

ln

ln

龚珀兹曲线模型参数估计

对 ))exp(exp( ktbLe be ktLyt

或 abtKyt 两边取对数，得

e ktbLytlnln 或 abky t

t lglnln

可见，龚珀兹曲线的对数是修正指数曲线，

因此，我们也可用三段法来估计其参数值。