דפי נוסחאות hit
DESCRIPTION
formulasTRANSCRIPT
דף נוסחאות באותות אקראיים
יסודות ההסתברות) הסתברות שלמה ) ( / ) ( )n n
nP A P A B P B=∑
) הסתברות מותנית ) ( / ) ( )( / )( ) ( )
P A B P B A P AP A BP B P B
= =I
)()()()( :משפט האיחוד BAPBPAPBAP ∪−+=∩
:משפט בייס∑
==n nn
nnnnn
HAPHPHAPHP
APHAPHP
AHP)|()(
)|()()(
)|()()|(
WWxWdxxwxWCDFעולה
dxxwxwxWxwPDF
x
;0)(;1)(;0)(;)()(:
1)(;1)(;)()(:
=−∞=∞≥=
=≤′=
∫
∫
∞−
∞
∞−
ξξξξξ
ξξξξ
:התפלגויות מיוחדות~),( :גאוסית, נורמלית 2σμξ N
2
2
1 ( )( ) exp22x mw xσσ π
⎡ ⎤−= ⋅ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=Φ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+= ∫ −
2exp)(
2)(;2
121)(
220
2
υσυυ
πσμ
mj
dxexerfxerfxWx
x
~),( :אחידה baUξ
( )
( )
[ ] [ ] ( )2
1,
0 ,
0 ,
,
1 ,
2 12
X
X
a x bw x b aelse
t at aW x a t bb a
t b
b aa bE X Var X
≤ ≤−
<−
≤ ≤−
≥
−+= =
⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩
~)( :מעריכית λξ Exp
21][;1][
)(
)(1)(;0;00;)(
)(
λλ
υ
λλλ
==
=Φ
−−=⎩⎨⎧
<≥−
=
XVarXE
xExpxWxxxExp
xw
:קושי0
2 20
1 1( ) arctan ( )2 ( )
x xW x w xx xγ
π γ π γ⎛ ⎞−
= + =⎜ ⎟ ⎡ ⎤+ −⎝ ⎠ ⎣ ⎦
[ ]υγυυ −=Φ 0exp)( jx
מסדר ראשון ושני להתפלגות קושי אין מומנט~),( :בינומית pnBinξ
( )!( ) (1 ) ;
! !k k n k k
n n nnp x k c p p c
k n k−= = − =
−
[ ]njpep
pnpXVarnpXEυυ +−=Φ
−==
1exp)(
)1(][;][
~)( :פואסון λξ P
( ) ; 1, 1,1 10!
k
w x e n p npk
λλ −= ⋅ >> << < <
[ ])1(exp)(
][;][
−=Φ
==υλυ
λλje
XVarxE
:לוי
( ) ( )( )12
32
exp( )2( ) ; 0
2
exp 1
cc xw x x
x
v C v j sign v
π
φ
−= ⋅ ≥
⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅⎣ ⎦
משתנים אקראיים :פונקציה אופיינית
[ ] [ ]
[ ]
1
( ) exp ( ) exp
1( ) ( ) exp2
*( ) ( ); ( ) 1; (0) 1
( ) ln ( )
( ) ( )N
n
v jv w x jv dx
w x x jv dx
v v v
v v
v v for independent
φ ξ ξ
φ ξπ
φ φ φ φ
ψ φ
φ φ
∞
−∞
∞
−∞
= = ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅
= − < =
=
=
∫
∫
∏
)()(21
υυ ΦΦ=Φ +xx :מומנטים
[ ] 2 22 1( ) ; varn n
nm x x w x dx x m mσ∞
−∞
= = ⋅ ⋅ = = −∫
:סטטיסטיים מומנטים
0
1
( )( ) |
( ) ( ) exp( )
( ) 1 ( )!
kk
k vk
kk k
k
kk
vm jv
v j x w x jvx dxv
mv jvk
φ
φ
φ
=
∞
−∞
∞
∂= − ⋅
∂∂
= ⋅ ⋅ ⋅∂
= + ⋅
∫
∑
dxxwxxmממורכזמומנט nnn ∫
∞
∞−
−>=−=< )()()( μμ
וקטורים אקראייםתלותאיעבור
xWxWxWCDF
xwxwxwPDF
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
)()()(:
)()()(:
ηξξη
ηξξη
:מומנט משותף
( , )
,
k n k nk n
k n k n
m x y x y w x y dx dy
x y x y if x y independent
B xy correlation
∞
+−∞
= = ⋅ ⋅ ⋅
=
=
∫
OrtogonalYXB ⇒⊥⇒= 0ξη
>><<+>><<+>><>=<< 3241423143214321 xxxxxxxxxxxxxxxx
><>≥><< אי שוויון שוורץ 222 yxxy
:קובריאנס
yxxyxy
yxyxxy
mmCB
mmxymymxCYXCov
+=
−>>=<−−≡<= ))((),(
:מקדם מתאם
11 ≤≤− xyρ
xyxy
x y
cρ
σ σ=
!!!הפוך אינו נכון ρ=0: ת אזי"בל x,yאם
0=ρ יקראו אורתוגונאליים אםmx אוmy =0
PDF =
1
דף נוסחאות באותות אקראיים
:קורלציה-קרוס2
11 1 12 21 1 2
11 12
21 22
2
;
;
; ;
0
T
ij ij i j nn n ij i j
Tij i j
ij
B x B B x x
B BB B B
B B
B C mm C C
Q a Ba B a a
σ ρσ σ
= = = ⋅
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠= + = =
= = ≥∑
• Q היא הצורה הריבועית שלB
• B וגםC תוסימטרי ותמטריצ ןה
הראשי מומנטים מסדר שני ןעל האלכסו •
• B אורתוגונאלית אם אלכסונית
• C בלתי מתואמים, אלכסונית אם כל הרכיבים ללא קורולציה.
:הדטרמיננטה גדולה או שווה לאפס ,B, צת הקורלציהבמטרי •
לא תלויים לינארית תלויים לינארית
ציה אופיינית שוליתקפונ
[ ]( ) exp ( ) expv jvx w x jvx d xφ∞
−∞
⎡ ⎤= = ⋅ ⋅⎣ ⎦∫
:מ אקראי"של מ פונקציות :יאת פונקצית התפלגות המוצא בהינתן הכניסהמצ
:נחלק את האות לקטעים מונוטוניים •
[ ]∑ ′⋅=
=⇒=
kkk yyww
yxxfy
)()(
)()(
ϕϕ
ϕ
ξη
: עבור וקטור אקראי
( )( )( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 2
2 2
1 2
( ) | |
det
w y w y J
y yy y
Jy yy y
η ξ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= ⋅
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟= ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
abyxbaxy :עבור לינארי )( −=⇒+=
( )11( )det | |
w y w A yAη ζ
−= ⋅
:מעבר לקורדינטות פולריות
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 , arctan
cos , sin ,
, cos , sinxy
yr x yx
x r y r J r
w r r w r r
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =
= ⋅
:)קונוולוציה( סכום של משתנה אקראי
( ) ( )1 2
1 2
,
y x u u y x
w y w y u u duη ξ ξ
η ξ ξ
+∞
−∞
= += + → = −
= −∫
:ל"עבור בת
( ) ( ) ( )1 2
w y w y u w u duη ξ ξ
+∞
−∞
= − ⋅ ⋅∫
):קונוולוציה(של משתנה אקראי מכפלה
תלוייםבילתיuduuwu
ywyw
uduuu
ywyw
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
=
=
⋅=
||)()()(
||),()(
21
21
21
ξξη
ξξη
ξξη
:תהליך אקראי:קציה אופייניתונפ
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2, ; , expv v t t E jv t jv tφ ξ ξ= ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦ :התפלגות מותנית
( ) ( )( )
( ) ( )
1 2 1 21 1 2 2
2 2
2 2 1 2 1 2 1
, | ,, | ,
,
, , ; ,
w x x t tw x t x t
w x t
w x t w x x t t dx+∞
−∞
=
= ∫
:קורלציה
( ) ( )11
,...,n
n kk
B t t E tξ ξ=
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭∏
:תוחלת
( ) ( ) ( ),m t E t x w x t dxξ ξ+∞
−∞
= = ⋅∫
:שונות
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
222 ,t E t m t x m t w x t dxξ ξ ξσ ξ
+∞
−∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
:אוטוקורלציה
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ; ,B t t E t t dx dx x x w x x t tξ ξ ξ+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫
. אלי ל אזי אורתוגונ, אם
:אוטוקובריאנס
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
,
, ; ,
C t t E t m t t m t
dx dx x m t x m t w x x t t
ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ+∞ +∞
−∞ −∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
.בלתי מתואמים - אזי ו, אם ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2 21 2
1 2
, ,
,, , ,
B t t C t t m t m t
C t tt t C t t t
t t
ξ ξ ξ ξ
ξξ ξ ξ
ξ ξ
ρ σσ σ
= + ⋅
= =⋅
( )1tξ( )2tξ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
21 2 1 2 2 1
2
1 1 1
2
1 2 1 1 2 2
, 0 , , ,
, 0
, det 0
, , ,
n n n
k k k m k mk k m
k m
B t t t B t t B t t
v t v v B t t
B B t t B
B t t B t t B t t
ξ ξ ξ
ξ
ξ
ξ ξ ξ
ξ
ξ= = =
= > =
⎡ ⎤= ≥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤≡ ⇒ ≥⎣ ⎦
≤ ⋅
∑ ∑∑
( )1 2, 0C t tξ =( )1tξ( )2tξ
0det 0QB=
=0
det 0QB>
>
( )1 2, 0B t tξ =
( ) ( ) ( ) ( )[ ]211221 , txtxEttBttB xx =−=
( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
⋅=⋅= φdtSPDFxdxftS x
החלק לפי הפרמטר האקראי בלבד האקראי
( )( ) ( ) ( )∫ ∫∫ = 2211
2dxxfxfdxdxxf אינגרל
עזר
2
דף נוסחאות באותות אקראיים
[ ]
[ ]
( )[ ]
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 22
( ) ( ) exp
( , ) ( ) *( )
( , ) exp ( , )
1( , ) exp ( , )2
w t jwt dt spectral amplitude
w w w w SCF
w w dt dt jw t jw t B t t
B t t dw dw jw t jw t w w
ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
π
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞
∞ ∞
−∞ −∞
= ⋅ − ⋅
Γ ≡ ⋅ →
Γ = ⋅ ⋅ − + ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅Γ
∫
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 21 2
1 2
,
, ,
,,
E t m t E t m t
B t t t t
C t t B t t m t m t
C t tt t
t t
ξ η
ξη
ξη ξη ξ η
ξηξη
ξ η
ξ η
ξ η
ρσ σ
− −
≡ ⋅
= − ⋅ =
= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=⋅
( ) ( )
( ) ( )12
jw
jw
S w B e d
B S w e dw
τξ ξ
τξ ξ
τ τ
τπ
+∞−
−∞
+∞
−∞
= ⋅
= ⋅
∫
∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
22
jw jwS w B e d C m e d
S w m w
τ τξ ξ ξ ξ
ξ ξ
τ τ τ τ
π δ
+∞ +∞− −
−∞ −∞
⎡ ⎤= ⋅ = + ⋅ =⎣ ⎦
= +
∫ ∫%123
:תהליך סטציונרי sss – סטטיסטיקה קבועה בזמן -במובן הצר
( ) ( )1 1 1 1 0 0,..., ; ,..., ,..., ; ,...,n n n nw x x t t w x x t t t t= + +
wss – סטטיסטיקה קבועה בזמן עבור סדר ראשון ושני - במובן הרחב
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
first
0
second
1 2 1 2 1 2 1 0 2 0 1 2 2 1
, ,
, ; , , , , , ; ,
order
order
w x t w x t t w x
w x x t t w x x t t t t w x x t tτ τ
= + =
= + + = = −
678
6447448
( ) ( )1 2,B t t Bξ ξ τ=
.sssאזי הוא , wss אם תהליך הוא גאוסי וגם
:מיצוע בזמן
2
2
1( ) lim ( )
T
T
t x t dtT
ξ−
= ⋅∫
:תהליך ארגודי
מיצוע סטטיסטי = מיצוע בזמן sse -אם נכון לכל התהליך
wse -אם נכון רק לסדר נמוך :יפירוק ספקטרל
:ישרה התמרה
:הפוכה התמרה
:SCFתכונות של ( ) ( ) ( ) ( )
( )
* *1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , ,
, 0
w w w w w w w w
dw dw w w
ξ ξ ξ ξ
ξ
+∞ +∞
−∞ −∞
Γ = Γ Γ − − = Γ
Γ ≥∫ ∫
תהליכים סטציונרים
:פונקצית קרוס קורלציה
- ריאנסקרוס קוב
:תהליכים סטציונרים
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22, ,
CB t t C B m ξξ ξ ξ ξ
ξ
ττ ξ ξ τ τ τ ρ τ
σ= ⋅ + = − =
:תכונות
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 20 0 ,
0 ,
B m C B m
B B B Bξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
σ
τ τ τ
= − = ∞ =
≤ = −
.0: מקסימום ב, סימטרית, זוגית, חיובית :)ין'ווינר קחינצ( PSDספקטרום ההספק
:לא ממורכזעבור תהליך
ספקטרום הקובריאנס
:פונקציות אוטוקורלציה אופייניות
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2
21
2
2
2 2 2
20
22
02
exp
coshcosh
exp exp
sin sin
sin sin
cos
exp cos
c
c
c
c
c
c
B gauss
B
B
B c c
B c c
B w harmonic signal
B w narrowband gauss
B
ξ ξ
ξξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ
ττ στ
στ
ττ
ττ σ
τ
ττ στ
ττ στ
τ σ τ
ττ σ ττ
−
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )20sin cos sin
c
c w narrowband cξττ σ ττ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
:(PSD)תכונות של ספקטרום ההספק
.ביחיו, ממשי, !אזי ממורכזwδ)(אם אינו מכיל
:התחלתי/משפט ערך סופי
( ) ( )0
lim 0; lim 0w ww S w w S wξ ξ→ →∞⋅ = ⋅ =
:נרמול של ספקטרום הספק ממורכז
( )( )
( )2
1; 1
2
Ss s dw
πσ
ξ
ξ
ξ
ωω
∞≡ ω ⋅ =∫ ξ
−∞
:איטנרוול הקורלציה
עבור ( )
( ) ;1
00c B d B
B
+∞
ξ ξ−∞
ξ
τ ≡ τ τ ≥∫
) אם יש גם ערכים שליליים ) ( )2 2
cB d B d
+∞ +∞2 2
ξ ξ−∞ −∞τ ≡ τ τ τ τ τ∫ ∫
cττאם ,1-אז הקורלציה קרובה ל >>cττאם .אז אין קורלציה בין האותות <<
)עבור תהליך ממרוכז( :רוחב הספקטרום
אם ( )
( ) ( ) ( );1
00c S d S S
S
+∞
ξ ξ ξ−∞
ξ
ω ≡ ω ω ω ≤∫
( ) ( )2 2
cotherwiseS d S d
+∞ +∞2 2
ξ ξ−∞ −∞ω ≡ ω ω ω ω ω∫ ∫
2c :עיקרון אי הוודאות c πτ ω =
( )m t m=
[ ] [ ]( ) ( )F t F tξ ξ=1424314243
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
0
2 cos( )
1 cos( )
1( ) 02
S w B w d B is even
B w S w dw S is even
P t B S dw
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
τ τ τ
τ τπ
ξ τπ
+∞
+∞
+∞
= ⋅
= ⋅
= = = ⋅
∫
∫
∫ הספק ממוצע לנגד של 1Ω כאשר( )tξהמתח:
PDF-כ וייחס אלינת במישור התדר
)0()(212 === ∫
∞
∞−
τπ
σ iii BdwwS
3
דף נוסחאות באותות אקראיים
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
jw
j w
S w B e d
Sw
S w S w
S w P w jQ w S w e
τξη ξη
ξηξη
ξ η
ϕξη ξη ξη ξη
τ τ
τγ
∞−
−∞
−
= ⋅
=
= + = ⋅
∫
:WSSרעש לבן של
( ) ( ) ( ) ( )00
1, 2
2 2j NB d e S S Nδ
π
+∞ωτ
ξξ ξ−∞
τ = ω ω = τ ω =∫
( ) 0 ; ; 0t p cμ τξ = = ∞ = .ערכים של התהליך האקראי הנמדדים בזמנים שונים בלתי מתואמים
.SSSהינו ) WGN(רעש לבן גאוסי
1 :תהליך צר סרט0<<Δ
ωω
0ω נגדיר = ω + Ω ( ) ( )0S Sξ ξΩ = ω +Ω%
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0 0
, 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )1 2 2 1 1
cos
cos sin
1
c s
w w w w S w S w
B S d
B b b
πδ πδξ ξ
π
+∞
ξ ξ−∞
ξ +
Γ = − ⋅ = Ω ⋅
τ = Ω Ωτ + ω τ Ω∫
τ = τ ω τ τ ω τ
%
0Ωבלתי מתואם עבור ≠ קרוס קורלציה
( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
1
B t t
C
B B
B B
ξη
ξηξη
ξ η
ξη ηξ
ξη
ξη ξη
τ ξ η τ
τρ τ
σ σ
τ τ
ρ τ
τ τ
= +
=
= −
≤
≠ −
הפונקציה לא חייבת להיות זוגית קרוס ספקטרום
הספק ריאקטיבי הספק ממשי הספק נצפה :תכונות קרוס ספקטרום
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
* *
0
;
1 (cos( ) sin( ) )
( ) 1
S w S w S w
P w P w Q w Q w
B w P w w Q w dw
w
ξη ηξ ξη
ξη ξη ξη ξη
ξη ξη ξη
ξη
τ τ τπ
γ
∞
= = −
= − = − −
= −
≤
∫
מערכות דינמיות עם כניסות אקראיות
( )
( )
0
0
0
0
( ) 1; ( ) ( ) ( )
( ) 1; ( ) ( ) ( )
t
t
t
t
dV tI t C V t V t i t dt capacitordt C
dI tV t L I t I t V t dtdt L
= = +
= = +
∫
∫
jwc :עכבת כבל ; jwl : עכבת סליל1
:LTIיאה במערכת אות יצ
∫ ∫∞
∞−
−=−=0
)()()()()(t
dtxthdttxhty ττττ
פונקציית תמסורת
∫ ∫∞
∞−
−=−=0
)()()()()(t
dtxthdttxhtH ττττ
)()()( jwIn
jwOutjwH = במערכת סרט צר או רחב היציאה היא גם היציאה גיאוסיאנית, אם הכניסה גיאוסיאנית
.גיאוסיאנית בקרובLPF:
קבוע הזמן של המערכת
ורלציהאינטרוול הק
רוחב פס קוהרנטי
ספקטרום המערכתרוחב
:הקונוולוציה
.יש לנו סכום ערכים בלתי מתואמיםבגלל ש נורמליתאות היציאה מפלג בקרוב
Tcאם >>τ אזkξ מתפלג בקרוב נורמלית.
:א לא סטציונריהאות הוכאשר
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
, ,t t h t t d h t t dμ μ∞ ∞
η ξ0
≡ η = τ ξ − τ τ = τ − τ τ∫ ∫
) :ואות כניסה סטציונרי LTIעבור מערכת )0h dμ μ
∞
η ξ= τ τ∫
:של אות המוצא ACF-פונקצית ה
סטציונרי אות המוצא יהיה גם, ואות כניסה סטציונרי LTIעבור מערכת
( ) ( ) ( ) ( )0 0
B du dvh u h v B u v∞ ∞
η ξτ = τ + −∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B dtR t B t R t duh u h u t+∞ +∞
η ξ−∞ −∞
τ = τ − ⇒ = +∫ ∫
( )( )tR .נקראת פונקצית הקורלציה של המערכת
: לא סטציונרי אות הכניסהאם ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
0 1 20
0 1 20
,
,
B t t t t
du dvh u h v t u t v
du dvh u h v B t u t v
η
∞∞
∞∞
ξ=
≡ η η =
= ξ − ξ − =∫ ∫
− −∫ ∫
ספטרום ההספק של אות היציאה
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
*
0 0
2
j
j
j j v j z
z u v
H j S
S d e B
duh u dvh v d e B u v
due h u dve h v d e B z H j H j S
+∞− ωτ
η η−∞
∞ ∞ +∞− ωτ
ξ−∞
∞ ∞ +∞ω ω − ω
ξ ξ−∞
ξ
τ = − +
= =
= ω ω
ω = τ τ =∫
= ⋅ τ τ+ − = =∫ ∫ ∫
= ⋅ τ ω ω ω∫ ∫ ∫u
מקדם הדדיות
אוטוקורלציה' פונ
)0()(∫∞
∞−
== Hdh xxy μττμμ
ממוצע ממוצע ' אפס בפונ ביציאהבכניסה התמסורת
( ) ( ) ( )TttTB −+=− τξξτξξ&
&
wcw− cw
( )wsε
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ ⟨⟨−
=otherwise
wwwjwH
cc
,0
,1
cscs ww ττ >><< ;
RCRL
s ⋅==τ
cτ
ccw τ
1=
ssw τ
1=
4
דף נוסחאות באותות אקראיים
22 1,
3 2k kP V N E E m v⋅ = =
26
23
, 8.31
, 6.02 10
1.38 10
Jk molg g
gA B A
A
g JkB
A
PV nR T R
RPV nN T Nk T N
NR
kN
⋅
−
= =
= ⋅ ⋅ = = ⋅
= = ⋅
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0t
tt
dv tm mv t qE t
dt
qv t v e E e dm
γ τγ
γ
τ τ− −−
+ = −
= ⋅ − ⋅ ←∫
: גזירה במישור הזמן
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
2 21 2 1 2
1 2 1 2
,
,
dt t
dt
t tB t t t t
t t
t t B t t
t t t t
η
ξ
η = ξ
∂ξ ∂ξ≡ η η = =
∂ ∂
∂ ξ ξ ∂= =
∂ ∂ ∂ ∂
) :WSSעבור אות כניסה ) ( )2
2
BB ξ
η
∂ ττ = −
∂τ
:גזירה במישור התדר
( ) ( ) ( ) ( )2
2
j j jBS d e B d e d e B
+∞ +∞ +∞− ωτ − ωτ 2 − ωτξ
η η ξ−∞ −∞ −∞
∂ τω = τ τ = − τ = ω τ τ∫ ∫ ∫
∂τ
)תהליך אקראי )tξ ניתן לגזירה אם ל-( ) ( )'t tη = ξ יש ממוצע כוח
) - סופי ) ( )lim lim 0S S3η ξω→∞ ω→∞⎡ ⎤⎡ ⎤ω ω = ω ω =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ : אינטגרל במישור התדר
( ) ( )' 't
t t dt−∞
η = ξ∫
2 1( ) ( ); ( )S w w S w H jwjwη ξ
−= =
:צריך להתקיים WSS על מנת שהתהליך יהיה
( ) ( )0 0
lim lim 0S S−1η ξω→ ω→
⎡ ⎤⎡ ⎤ω ω = ω ω =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ :קורלציה בין אות המוצא לאות הכניסה
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0
j j
B t t
duh u t t u duh u B u
S d B duh u d e B u
H j S
ξη
∞ ∞
ξ
∞ +∞ +∞− ωτ − ωτ
ξη ξη ξ−∞ −∞ −∞
ξ
=τ ≡ ξ η + τ
= ξ ξ + τ − = τ −∫ ∫
ω = τε τ = τ τ −∫ ∫ ∫
= ω ω ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
S H j S
S H j S S S
ξη ξ
ξη ξ ξ η
= ω ω
ω = ω ω = ω ω
( ) ( ) ( )2
1 exp jγ γ ϕξη ξηξηω = ⇒ ω = ω⎡ ⎤⎣ ⎦
SCF של אות המוצא : ( ) ( ) ( ) ( )*
2 2, ,H j H jη 1 1 2 ξ 1Γ ω ω = ω ω Γ ω ω ACFסה עם רעש לבן בכני
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0 0
2
2
2 2
NB
NB duh u B u h
N NB duh u h u R
δξ
∞
ξη ξ
+∞
η−∞
τ = τ
τ = τ − = τ∫
τ = +τ = τ∫
קרוס קורלציה כאשר המוצא הוא נגזרת
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22' 1 2 1 2 1
2 22
,,
dt t
dtt t B t ttB t t t t t t tt
ξ
ξξ
η = ξ
∂ ξ ξ ∂∂ξ≡ ξ η = ξ = =
∂ ∂∂
- עבור תהליך סטציונרי ( ) ( )
'
BB ξ
ξξ
ττ
τ∂
=∂
( ) ( ) ( ) ( )' 'j j B
S d e B d e j S+∞ +∞
− ωτ − ωτ ξ
ξξξ ξξ−∞ −∞
∂ τω = τ τ = τ = ω ω∫ ∫
∂τ
*( )'Sξξ
ω היא פונקציה מדומה טהורה
*( ) ( )' 'B Bξξ ξξ
τ = − −τ
*( ) ( )'' 0 0 0B Bξξξ
= =
.אקראי לבין הנגזרת שלו באותו רגעאין קשר בין תהליך
)עבור תהליך סטציונרי * )2 tξ)- ו )2 tξ&
:הם ערכים קבועים לכן
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 0
2 0
dt t t
dtd
t t tdt
2
2
ξ = ξ ξ =
ξ = ξ ξ =
&
& && &
)ציה בין אין קורל )tξ& לבין( )tξ אבל יש קורלציה בין( )tξ לבין( )tξ&&
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
0d
t t t t tdt
t t t
ξ ξ = ξ + ξ ξ =
⇒ ξ ξ = − ξ
& & &&
&& &
:רעש תרמי0w ספקטרום הספק רק עבור תדרים חיוביים <
:ה קינטיתתיאורי
נפח לחץ' מס מולקולות
- אבוגדרו' מס
- אנרגיה קינטית עבור דרגת חופש אחת :מודל דרוד
מקדם חיכוך אפקטיבי
השפעת ההתנגשות
מהירות אלקטרון
:)אין תאוצה( DCעבור
:נקבל ביטוי עבור התנגדות2
2
m LRNqγ
=
:בהנחה שבמוליך השדה הוא תהליך סטציונרי
2
2, Bm k TAqγ
=
5
דף נוסחאות באותות אקראיים
0
0
2ESNRN
⇒ =
( ) ( )
( ) ( )
1 1
22
0
lim ,..., ; ,...,
1exp2
n nn
T
w x t w x x t t
w x t A x t dt
ξ ξ
ξ σ
→∞≡⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦∫
:פונקצית הקורלציה של מתח תרמי ( ) ( )2v BB k TRτ δ τ=
:קשר ניקוויסט
קספקטרום ההספ
ספקטרום ההספק החיובי
שונות במתח
על נגד ' בטמפ( RMSמתח
:עקבה מתואמת
הספק רגעי על העומס
הספק ממוצע על העומס LRכאשר העומס מתואם R= ההספק לא תלוי בR.
:עכבה מרוכבת
- חיבור טורי
- חיבור מקבילי
:מקבילי RCמעגל
-אנרגיה אגורה בקבל
כאשר המגניטודה ורוחב הפס של R-האנרגיה של הרעש לא תלויה ב
.R-ספקטרום הרעש תלויים ב :טורי RLCמעגל
אנרגיה חשמלית ממוצעת בקבל אנרגיה מגנטית ממוצעת בסליל
ברכיבים ריאקטיבים רגיה האגורהאנ
מספר דרגות חופש :סיכום רעש תרמי
:רעש לבן גאוסיאני
אוטוקורלציה קומולנט
:חוק פלנק עוצמה של קרינה אלקטרומגנטית
:פונקציונל הסתברות
יונל של אות גאוסיאניפונקצ ל"סטציונרי עם איברים בת
:מגבר אופטימלי
אות שהתקבל רעש
-יחס פונקציונל הסבירות
:יחס סבירות עבור רעש לבן גאוסי
, רעש מידע אות
שהתקבל
, 0בהנחה שהאנרגיות שוות 1S S=
-ההסתברות לשגיאה 0 0
0s sE Eq qN N
= − ≥ → ≥l
:מקלט קורלציה .הם משתנים גאוסיאנים
החלטה
SNR – יחס אות לרעש:
qהספק ממוצע של
ACהספק של
אנרגיה של האות
סטציונרי.1 בעל התפלגות גאוסיאנית.2 m=0ממורכז .3 ספקטרום הספק אחיד.4
הערכים ברעש הם בלתי מתואמים.5 )הצרבמובן (הערכים בלתי תלויים .6
η>
( ) ( )2oNS w PSD=
( ) ( )2oNB τ δ τ=
1 2,q q
2
2q
q
mSNR
σ=
( )
( )( )
12
0
0
2
2
22
4
4
4
v B
v B
v B
RMS
NS w k TR
G w N k TR
V G w f k TR f
V V nV f
= =
= =
= ⋅Δ = ⋅Δ
≡ = ⋅ Δ
2vHz⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
16.7o1Ω
Bk T f= ⋅ ⋅Δ
1YZ
=
2RMSV V=
2 BNW K T
N
=
→
( )3
2
2 1,exp 1
B
hfI f TC hf
K T
= ⋅⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
6
דף נוסחאות באותות אקראיים
( ) ( ) 0* jwtH jw k S jw e−=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
20
0 22
12
jwt
n
S jw H jw e dws t
SNR tn S w H jw dw
π
+∞
−∞+∞
−∞
= =∫
∫
%
%
:מסנן מתואם
( ) ( )0h t ks t t= − 0tכדי שהמערכת תהייה סיבתית חייב להתקיים T≥.
:פונקצית תמסורת
ספקטרום צמוד :אות יציאה
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 00
0
t
s
s
s t k s t s t d kB t t
when B t t is the ACF of the signal
τ τ τ= − − = −
−
∫%
0tב t= אות היציאה מקסימלי
sB()- שACF רצוי עבור למספר מינימלי של ישאף
.sidelobes
:מסנן לינארי
אות במוצא t0בזמן
השונות של הרעש במוצא
מחפשים יחס אות לרעש מקסימלי
:צריך להתקיים מקסימלי SNRשעבור ונקבל
:רעש לבן גאוסיאני במסנן מתואם
0t ב SNRמסנן מתואם ממקסם את t=.
ספקטרום
האות ביציאה
שונות רעש ביציאה
:הלבנה .יש לעשות הלבנה, הרעש אינו לבןכאשר
:זהויות
( ) ( )
( ) ( )2 2
2
22
2 2
2
1exp2
aax
ax
ax ax
df xx f x
dx
e f x e f x a
e a x
x e a x e
σ
σ
σ
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ +
⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
⋅ = ⋅ ⋅
( )
( ) ( )
2 2
2
0
22
2 1 !
2x x
x k xmd Im n knd
e dx x e dx
dx x e x e dx
Iα α
α
π
α
α
πα+∞ +∞
− −
−∞ −∞
+∞ +∞− −
−∞= − =
= = =∫ ∫
⋅ ⋅∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
T T
r t h r t d
h t s T
r T s T r T d s t r t dt
τ τ τ
τ
τ τ τ
∞
= −
= −
= − − =
∫
∫ ∫
%
%
7
דף נוסחאות באותות אקראיים
סוף הבנה .צורה אסימפטוטית של התפלגות בינומית היא התפלגות פואסון •אי תלות לינארית לא , אי תלות סטטיסטית לא תמיד גורר אי תלות לינארית •
.סטיתגורר אי תלות סטטילהיפך לא (משתנים נורמלים במשותף הם בעלי התפלגות שולית נורמלית •
)תמיד .השונות גדלה עם הזמן, בלתי תלויים) הפרשים(לתהליך עם אינקרימנטים • ".הווה"לא תלוי בעבר בתנאי שידוע ה" עתיד"בתהליך מרקוב ה •פות י מספר סופי של פונקציות צפי"ע nמסדר ניתן לבנות פונקצית צפיפות •
: במודלים הבאים תהליך מרקוב .א עם אינקרמנטים בלתי תלויים תהליך .ב
.קודם לו כדי לאפיין את כל התהליךתלוי רק באירוע אחד וה תהליך מרקוב •לאפיון מלא של תהליך פואסון יש צורך להגדיר רק התפלגות מסדר ראשון •
.בלבד .פרקטלי,גאוסי, סטנדרטי הוא תהליך מרקובי wienerתהליך • ...0תוחלת ,ס וגיאוסיאנים"אניקרמנטים בת - תהליך וינר • .מטריצת הקורלציה של משתנים התלויים לינארית היא תמיד סינגולארית •
: מתאימים לתהליך לוי •
( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2
, exp 1
, exp
, exp
jvv t t e
v t t v v
v t t v
φ
φ
φ
⎡ ⎤⋅ −⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⋅ +⎣ ⎦
⋅
לאפיון מלא של תהליכים אקראיים יש צורך להגדיר התפלגויות מסדר ראשון • :ושני עבור קרמנטים בלתי תלוייםתהליכים בעלי אינ .א תהליכים גאוסים .ב תהליכי מרקוב .ג
:לא כך עבור תהליכים בעלי ערכים בלתי תלויים .א )צריך רק סדר ראשון( תהליך פואסון .ב טיסות לוי .ג
כמות המומנטים להגדרה של פונקציית צפיפות של שני משתנים נורמלים • .3במשותף הוא
אי לעבוד עם ספקטרום ממורכזלציה כדאם יש בשאלה אינטרוול קור •• Erf 1של אינסוף היא אי תלות סטטיסטית גוררת אי תאימות •אלכסון , באלכסון ראשי איברים חיוביים, :מטריצת קובריאנס •
משני סימטרי• B,C ע חיוביים"מטריצות סימטריות עם ע. משתנה משתנים בלתי תלויים שסכומם הוא n: משפט הגבול המרכזי •
1 אקראי עם תוחלת ... nm m m= + ושונות + אזי
וביות גיאוסיאני או במילים אחרות קונבולציה של מספר גדול של פונקציות חי .בקרוב
להתפלגות קושי אין מומנט מסדר ראשון ושני • .משתנים אקראיים ממורכזים ובלתי מתואמים הם תמיד ניצבים •בלתי מתואמים רק (הם לא תמיד בלתי מתואמים משתנים אקראיים ניצבים •
).כאשר התהליך ממורכז
ידוע כי בלתי מתואמים ולכן: דוגמא2
2
2
0 00 00 0
i
i
i
Cσ
σσ
⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,
ij ij ijB C m= . 0כאשר התוחלות ) ניצבים(רלציה תהיה אלכסונית ולכן מטריצת הקו +
:cov-מטריצת קורלציה ו11 1
1
N
N NN
C CC
C C
⎛ ⎞⎜ ⎟≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
K
M O M
L
11 1
1
N
N NN
B BB
B B
⎛ ⎞⎜ ⎟≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
K
M O M
L
.שתי המטריצות הן סימטריות • .הוא שונות של משתנה מסוים Cהאלכסון על מטריצה • .הוא מומנט מסדר שני של משתנה מסוים Bהאלכסון על מטריצה • .היא אלכסונית אם המשתנים הם אורתוגונלים אחד לשני Bמטריצה • ).נכון להפךלא בהכרח (היא אלכסונית אם המשתנים לא מתואמים ביניהם Cמטריצה • .אי תלות סטטיסטית לא בהכרח גוררת אי תלות לינארית •
• 2, ,ij ij i j nn n ij ij i jB C mm C Cσ ρ σ σ= + = =
:Riceהתפלגות ) עבור וקטורים גיאוסיאנים בלתי תלויים ) ( )2 2, ,x yv vσ σ
)v=0כאשר ( Rayleighהתפלגות
( )2
2 2exp2
r rw rσ σ
⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
: פתרון בעיה לא סימטרית( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1
,..., |M N
M N NN M N k k
k
w y w y w y y y w y y g yη η η η δ−
+ +=
= ⋅ = ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦∏
מצא : דוגמה :הקשר בין היציאות
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 2
2
, |
arcsin, 1
1
w x y w x w y x
w xw x y y x
xδ
= ⋅
⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦−m
: פתרון בעיה לא סימטרית
מציבים בנוסחה הראשונה בדף ומוצאים , סה בעזרת היציאהמבטאים את הכני .התפלגות שולית
: נתון: דוגמה
( ) ,1,z x y
zw z w y dyy y
+∞
−∞
⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
:התמרות פורייה חשובות
2 2 2
1 ... nσ σ σ= + +
( ) ( )2
2
1exp
22n
z mw zξ σσ π→∞
−= −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )det 0C ≥
2 2
2 2
2 232
0 00 00
i i i j i j
i j i i i j
i j i i
m m m m mB m m m m m
m m a m
σσ
σ
⎛ ⎞+ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟
= + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ +⎝ ⎠
( )2 2
03 2 2
2 2
, exp2
bessel function
x y
r r v vrw r I
v v v
ϕσ σ σ
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= +
14243
( ) ( )2 2, , ,x yv vσ σ
output input
M N>
( ) ( ) ( ), sin , cos , ,x yϕ ϕ ϕ π π= = ∈ −( ),w x y
2
2 2
2
1 , | |21
1 , | |2
xx y y
x
πϕ
πϕ
⎧+ − <⎪⎪+ = ⇒ = ⎨⎪+ − >⎪⎩
output input
M N<
zyx
z xy=( ) ( )1' , ,zzx x w y w x
y y ξ ξ= = ←
( ) 1↔τδ( )ωπδ21↔( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+↔
+++
−+↔
↔
++−↔
+−
−−−
−
−−
αβω
αβω
ατ
τα
αω
ατ
απβτ
βωαα
βωααβτ
π
βωπδβωπδβτ
44
2222
4
22
2
2
2
cos2
cos
2
cos
eee
e
ee 222ωα
ατα
+↔−e
2
2
2sin4
,0
,1
ω
ω
τ
ττ
T
T
T
TT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
↔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<−
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
<↔
σω
σω
πτστ
,0
,1sin( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−+= ωωωπ
ωωωπ
ε dsjHdsjH n222 1
21
21
π2 - בהפוכה נדרש לכפול להתמרה
αω
τα
απ 4
2
22 −− ↔ ee
8
7
(2008מגן וארז גוטליב -י גיא ברנהרט"שופץ ונערך ע) דף נוסחאות באותות אקראיים
9
8
(2008מגן וארז גוטליב -י גיא ברנהרט"שופץ ונערך ע) דף נוסחאות באותות אקראיים
10
9
(2008מגן וארז גוטליב -י גיא ברנהרט"שופץ ונערך ע) דף נוסחאות באותות אקראיים
11
10
(2008מגן וארז גוטליב -י גיא ברנהרט"שופץ ונערך ע) דף נוסחאות באותות אקראיים
נוסחאות שימושיות
𝑆𝑦𝑦 𝜔 = 𝐻 𝜔 2𝑆𝑥𝑥 𝜔 ; 𝑆𝑦𝑦 𝜔 2
= 𝐻 𝜔 2 𝑆𝑥𝑥 𝜔 2
= 𝑆𝑥 𝜔 𝑆𝑦 𝜔
𝑆𝑥𝑥 𝜔 = 𝑗𝜔𝑆𝑥 𝜔
𝐵𝑦 𝜏 = −𝜕2
𝜕𝜏2 𝐵𝑥 𝜏 ; 𝐵𝑥𝑥 𝑡 =𝜕
𝜕𝜏𝐵𝑥 𝑡
𝐵𝑥𝑥 0 =𝜕
𝜕𝜏𝐵𝑥 0 = 0; 𝐵𝑥𝑥 𝑡 = −𝐵𝑥 𝑥 𝑡
𝐵𝑥𝑦 𝑡 = −𝐵𝑦𝑥 𝑡
= 𝐻 𝑗𝜔פונקציית תמסורת של מעגל גזירה 𝑗𝜔; 𝑆𝑦 𝜔 = 𝜔2𝑆𝑥 𝜔
= 𝐻 𝑗𝜔פונקציית תמסורת של מעגל אינטגרטור 1
𝑗𝜔; 𝑆𝑦 𝜔 =
1
𝜔2𝑆𝑥 𝜔
= 𝐻 𝑗𝜔פונקציית תמסורת של מעגל השהייה 𝑒−𝑗𝜔 𝑡
= 𝐻 𝑗𝜔פונקציית תמסורת של מעגל הגברה 𝐾
= 𝑃 𝐻1\𝐴 –נוסחת בייס 𝑃 𝐻1 𝑃 𝐴\𝐻1
𝑃 𝐻0 𝑃 𝐴\𝐻0 +𝑃 𝐻1 𝑃 𝐴\𝐻1
12
דף נוסחאות באותות אקראיים
13