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上海 HPM通讯

SHANGHAI HPM NEWSLETTER2019年第 8卷第 5期

海难逃生后的哲学家

（采自格雷戈里《欧几里得全集》，1703年）

《上海 HPM 通讯》2019 年第 8 卷第 5 期

《上海 HPM通讯》编委会名单

主编：汪晓勤

副主编：邹佳晨彭刚栗小妮

责任编辑：雷沛瑶张佳淳纪妍琳

编委（按姓氏字母序）：

姜浩哲纪妍琳栗小妮李卓忱刘思璐雷沛瑶彭刚邵爱娣沈中宇孙丹丹汪晓勤余庆纯

岳增成邹佳晨张佳淳


I

刊首语

近年来，越来越多的大中学教师和数学教育研究者开始学习、研究和实践 HPM，逐渐

形成了 HPM 专业学习共同体（HPMLC）。该共同体主要采取“自下而上”的路径，致力

于以下课题的研究：

（1）HPM理论探讨；

（2）教育取向的数学史研究；

（3）历史相似性的实证研究；

（4）数学史融入教学的实践；

（5）HPM与教师专业发展；

（6）数学史融入数学教材研究。

此外，HPM 与技术、HPM 与数学核心素养、HPM与 STEM教育、HPM 与数学学科德

育等课题也日益受到关注。

一般而言，教育研究分为思辨研究和实证研究两类。思辨研究主要解决“应然”问题，

注重概念、理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来解决概念的、规范的问题，而实证研

究主要关注“实然”问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果。实证研究又分为质性研

究、量化研究与混合研究。长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较

大的争议性、不确定性，呈现“公说公有理、婆说婆有理”的现象，导致越来越多的教育学

者失去了研究兴趣与动力。近年来，随着对教育研究方法的不断探索，人们逐渐摆脱思辨研

究范式的束缚，走进实证研究的新范式。

HPM 领域常见的研究方法有历史研究、行动研究、调查研究、实验研究、叙事研究和

个案研究等研究方法。关于“教育取向的数学史”，研究者往往采用历史研究法，即运用数

学史资料，按照历史发展的顺序对不同主题下的数学史料进行研究的方法，如本刊 2019年

第 3期邵爱娣的“美英早期代数教科书中的负负得正解释方式研究”、第 4期刘思璐的“英

美早期教科书中的函数概念”、本期秦语真的“美英早期解析几何教科书中的圆与椭圆关系”

等。关于“HPM 理论”，研究者一般采用历史研究与调查研究、行动研究等方法相结合，

共同探讨“为何”与“如何”等问题，如本刊 2019年第 3期卢成娴和姜浩哲的“基于数学

史的初中数学批判性思维课例分析”、本期王海雯的“美国数学教育家杨格的数学价值观”

等。在“数学史融入教学的实践”、“HPM 与教师专业发展”方面，研究者多采用调查研

究、行动研究、叙事研究、个案研究等多元的研究方法，如丁倩文的“基于数学史料的问题


II

提出调查研究”、沈中宇的“数学史融入立体几何教学的行动研究”、岳增成的“HPM 对

小学数学教师教学设计能力影响的个案研究”等。

目前，HPM 研究方法仍有很大的发展空间，如 HPM 课例研究中存在研究周期短、浅

尝辄止等情况。因此，可以借鉴教育行动研究，在 HPM 课例研究中进一步规范研究方法，

加强行动循环周期，同时可以采用“三角互证法（triangulation）”，多角度地收集 HPM课

例教学的实证数据，进行对比分析与相互论证。此外，在教师专业发展方面，质性研究较多，

而量化研究相对较少，缺乏对教师专业发展影响因素的深层次分析与论证。因此，对于 HPM

与教师专业发展，需要深入研究测评框架，开发测量量表，收集与整合相关研究数据，生成

测评模型，推动可操作性实证方法的落实。值得注意的是，对于 HPM 视角下研究方法的探

讨，不能脱离研究问题与研究内容，不能为研究方法而研究方法。

数学史融入数学教学的课例研究方法、教育取向的数学史多元教育价值的实证论证、历

史相似性的实证研究、学生数学学习与数学核心素养测评的关系研究、教师专业发展的实证

研究等方面的探索将是未来 HPM 研究的重要方向。为了更有效地开展 HPM 研究，HPM

专业学习共同体需要注重历史学习，夯实理论基础，立足教育现实，加强实证研究。

张奠宙先生曾在《HPM：数学史与数学教育》著作中寄语：“希望 HPM在未来的中国

数学教育中有更大的发展，以至成为繁荣数学文化的一种教学常态。”未来，HPM 学习共

同体将进一步聚焦实证研究方法，朝着更深入、更多元、更实证的目标迈进，促进 HPM研

究方法的创新发展，推动新时代下教育研究范式的转型升级。


III

目录

刊首语..............................................................................................................余庆纯Ⅰ

理论探讨

美国数学教育家杨格的数学价值观..............................................王海雯，汪晓勤 1

历史研究

英美早期解析几何教科书中的圆与椭圆关系..............................秦语真，汪晓勤 9

教学实践

一个中世纪法律问题的解决方案与教育价值............................................汪晓勤 18

HPM视角下的贾宪三角探究..........................................李莹，韩嘉业，沈中宇 25

HPM视角下“平面直角坐标系”的教学......................................张翼翔，余庆纯 35

学术活动

沟通历史与现实，融合数学与人文............................................余庆纯，秦语真 45

领略数学文化之魅，探索锐角三角比之魂................................................余庆纯 47


IV

CONTENT

FOREWORD···································································· Yu Qingchun I

THEORETICALDISCUSSION

J. W.A. Young’s Conceptions of the Values of Mathematics·····························

·································································Wang Haiwen, Wang Xiaoqin 1

HISTORICAL STUDY

The Relationship between the Circle and Ellipse in the Early American and

British Textbooks on Analytic Geometry ·············· Qin Yuzhen, Wang Xiaoqin 9

TEACHING PRACTICE

The Solutions, Educational Values and Extensions of a Medieval Law Problem····

················································································· Wang Xiaoqin 18

The Inquiry-based Teaching of the Arithmetic Triangle from the Perspective of

HPM··················································Li Ying, Han Jiaye, Shen Zhongyu 25

The Teaching of “The Descartes’ Coordinate System” from the Perspective of

HPM·························································Zhang Yixiang, Yu Qingchun 35

ACADEMIC INFORMATION

Teaching of the Concept of Function in East Campus of Shanghai Middle School

·································································· Yu Qingchun, Qin Yuzhen 45

Teaching of the Concept of Trigonometrical Function of Acute Angle in West

Shanghai Junior Middle School ·········································· Yu Qingchun 47


1

理论探讨

美国数学教育家杨格的数学价值观

王海雯，汪晓勤

(华东师范大学教师教育学院, 上海 200062)

1 引言

《普通高中数学课程标准》（2017年版）（以下简称《标准》）在“课程目标”中指出：

通过高中数学课程的学习，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学

学习习惯；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；认识数学的科学价值、应用价

值、文化价值和审美价值[1]。这就要求新时代的数学教师对数学的四类价值要有深刻的理解。

历史上，从古希腊开始，西方学者对数学的价值有过长期的讨论。总括起来，有训练思

维、发展智力、获得真知、知识基础、现实应用、美化心灵、消遣娱乐、惩戒浮躁等[2]。但

关于数学价值的全面、系统的总结和分析并不多见。20世纪上半叶，美国著名数学教育家

杨格（J. W. A. Young, 1865-1948）在《中小学数学教学》中用整整一章的篇幅来论述数学学

习的目的与价值。杨格在博士期间从事数学研究，1892年在克拉克大学获得博士学位，后

来成为了芝加哥大学数学和数学教育学教授[3]。出版于 1907年的《中小学数学教学》奠定

了杨格在数学教育学领域的权威性和影响力，书中不仅研究了基于学生认知需求的数学学科

的逻辑价值和实际应用，而且探索了成为一名成功教师的有效的课堂教学方法。杨格认为，

除非是作为一切知识的载体和一切交流的媒介，任何科目都不能仅仅因为其本身的内容而理

所应当地成为每门中小学课程的基本要素或成为每一个学生的必然要求，每一门学科都有着

更广泛的功能。对于一位教师来说，给学生讲清他所教授学科的价值，可能是一种临时的需

求，但他自己弄清他的学科的功能，却是永久的、必不可少的需求；理想的教学需要教师不

仅知道“教什么”、“怎么教”，还要知道“为何教”[4] 。

那么，杨格总结了数学的哪些价值？本文拟对他的关于数学价值的观点进行深入的考察，

以帮助今天的数学教师更好地理解课程标准中所提及的数学的各种价值。

本文系上海高校立德树人人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地子课题“数学课程与教学

中如何落实立德树人”系列论文之一。


2

2 数学的价值

2.1 科学价值

数学的科学价值是指数学对自然科学的产生与发展的作用和意义[5]。德国哲学家康德（I.

Kant, 1724-1804）在《纯粹理性批判》中指出：“任何一门自然科学，只有当它能应用数学

工具进行研究时，才能算是一门发展渐趋完善的真实科学。”[6]杨格从数学对于探究自然的

重要作用出发，来论述数学的科学价值。杨格认为，中学数学中很少有什么知识不是对自然

界中存在的定量关系进行数学刻画的结果。

杨格指出，如果没有数学知识，哪怕是最简单的自然现象也难以理解；深入探究自然之

秘密，更是离不开数学。他引用数学家哈尔斯蒂德（G. B. Halsted, 1853-1922）关于数学与

自然科学关系的一段话：

“除了显微切片机、显微镜、观察与实验的统计学，这门新科学（生物学）必须使

用什么征服世界的工具呢？答案显而易见：数学。这一科学逻辑之巨钳让牛顿（I. Newton,

1642-1727）看到月球只不过是试图落到他头上的更大的苹果,让看不见的行星——海王

星在亚当斯（J. C. Adams, 1819-1892）的头脑中闪闪发光，告诉瑞利（Rayleigh, 1842-1919）

化学家们一直在呼吸大量的氩气却一无所知，向门捷列夫（Mendelieev, 1834-1907）指

明未知的化学元素的位置。通过亥姆霍兹（H. L. F. von Helmholtz,1821-1894）及其学生

赫兹（H. R. Hertz, 1857-1894），她又给了我们勒纳德射线、伦琴射线、镭以及基于赫兹

波的无线电电报技术。”

这段话充分说明了数学对于物理学、天文学和化学发现的重要作用。

杨格认为，自然现象最显著的特征是变化，而数学中最重要的一个分支——微积分——

就是研究变化的学科。杨格称微积分为“自然之数学”[4]。17世纪科学家们利用微积分探寻

自然规律，取得了斐然的成就。对微积分的初步了解让人们在探索自然规律所取得的成果中

感受到数学的魅力[7]。

杨格断言，自然完全是数学化的，一些更精密的自然科学，特别是天文学和物理学，在

理论阶段基本上都有着数学的特征。当其他科学由于现象的复杂性和数据的不精确性而被迫

停留在描述性和经验性上时，天文学和物理学却朝着数学的理想而发展——以自然现象背后

存在数学关系为基本假设，若没有发现和建立这些关系，任何结果都不足以成为这些学科的

固定知识[4]。可见，如果没有数学，理解自然科学将是非常困难的。

不仅如此，数学也是其他科学探究自然现象的基础和延伸。杨格认为，数学在处理符号

方面所给予的训练为其他科学做了很好的准备。数学符号的出现使数学成为抽象化的科学，


3

符号化的方法作为一种传播思想的媒介在众多学科的研究中发挥了不可或缺的作用。在物理

学、化学和天文学等众多学科中都有着数学的影子，学生在学习其他科目时能够体会到数学

的科学价值。

反过来，理解自然、研究自然科学也同样推动着数学的发展。杨格认为，深入探寻自然

奥秘的尝试促进了数学理论和方法的不断发展。数学上的许多概念、命题、思想、方法和理

论，从最简单的到最抽象的，都是出于研究自然的需要而产生的。这样的例子比比皆是。如，

三角学源于天文计算和航海的需要，而历法的编制导致了许多数学成果的诞生，如分数运算、

勾股测量术、剩余定理、内插法、高次方程理论等。又如，分析和探索遗传规律时需要用到

丰富的数学理论，进而推动了生物学的发展。显然，自然研究中的新问题催生了新的数学工

作，反过来新的数学发现又应用于自然科学的新的研究，促进着自然科学的发展。

2.2 应用价值

杨格认为，数学在人类生活中有着不可替代的实际应用价值。事实上，从历史上看，几

何学就是源于土地丈量；很多的代数和几何理论都源于人们对于量的间接测量。无论把铁器、

蒸汽和电气放到哪里，都会发现数学是先驱；如果数学这一支柱被移除，人类物质文明的大

厦将不可避免地崩塌。

杨格指出，从事各种职业的人们都需要数学。他写道：

“你想当律师吗？倘若你不能学会分析一个简单的几何命题，你又如何学会分析一

个复杂的法律案件呢？你是历史研究者吗？倘若你连一个简单代数关系中某个系数的

影响都确定不了，你又怎能确定拿破仑对世界发展的影响呢？你是语言学家吗？倘若你

不能学会将一个琐碎的‘阅读问题’翻译成相应的数学符号语言，你又怎能够将一部名著

从一种语言翻译成另一种语言呢？你想当医生吗？倘若你缺乏从一个初等方程中诊断

和消去未知量所需的能力，你又怎能根据复杂而模糊的症状诊断和消除疾病呢？”[4]

杨格还特别强调了数学符号对不同职业的重要意义：

“世界上很多事务都是利用符号来完成的。从电话局里的女接线员到信号塔下的男

指挥员，再到铁路或其他大公司的总裁，都是坐在一间小小办公室里，用符号指导一个

庞大行业的无数活动，世间诸事都需要符号的掌握。只有那些报酬最低、人们最不喜欢

的职业才完完全全与实际事物打交道，职位的责任越大、越受青睐，符号就用得越多。

运货到商店的车夫，只处理实际的事物；但业主却很少不用符号。在二十世纪，使用符

号的能力哪怕对于小小的成功也是不可或缺的。”[4]

数学的思维方式在现实生活中有着广泛的应用。杨格举了一个成功企业家的创业史：他

首先从“水力”开始，认为有了水力，就能吸引制造商，于是，他建造了 15000马力的水渠，


4

但制造商并没有来。于是他又想，水力有了，加上五大湖所提供的运输条件，如果拥有价格

便宜的原材料，就会源源不断地吸引投资。于是，在 15万平方英里的北方原野上，他找到

了原材料——云杉，欧美用于造纸的树木短缺，而那里却有一望无际的云杉林，一千年都采

不完，且三十就能再生，于是，他决定从事纸浆业。但由于价格昂贵，美国造纸商不愿意从

加拿大购买纸浆，而把一半是水的纸浆运往欧洲，成本又太高，于是，他决定制造干浆。由

于没有制造干浆的机器，他决定自造干浆机，最终取得成功。他又想使用亚硫酸来处理原材

料，但需要有硫。于是，在镍矿里，他找到了硫。但硫与黄铁矿石是混合在一起的，当时并

没有将两者分离开来的方法，于是他建了一个实验室，召集世界各地的科学家和工匠做实验，

最终取得了成功。实验室成功合成了镍钢合金，获得了克虏伯钢厂未来五年的订单。由于

矿石中所含的铜损坏了镍钢合金的功效，他又一次诉诸实验室。要去掉铜，需要烧碱，而烧

碱可从普通食盐中提取。……这里，企业家的“如果有……就能……”的思考方式与数学家

“如果证明……就能……”是相似的。

在杨格看来，数学教科书应该充分重视数学的应用价值，且将数学应用于学生易于理解

的现代工业、商业和科学问题之中[8]。对于学生而言，他们热衷于探索能激起他们好奇心的

问题，从中找出相应的问题解决策略，而更重要的是，这些策略能在日常生活中找到用武之

地。

2.3 文化价值

杨格从多元文化的视角论及数学的文化价值。他认为，数学乃是人类头脑中固有的一种

思想，甚至在某种程度上出现在原始民族之中，随着文明的发展而高度发展。无论出现于哪

个文明，数学本质上都是一样的，它可能有不同范围，但总有相同的特征。只要条件相同，

那么所得到的结果必然相同。一个民族求得 67=42，另一个民族不可能求得 67=43；一个

时代人们发现直角三角形斜边上的正方形等于两条直角边上的正方形之和，另一个时代人们

不可能发现直角三角形斜边上的正方形等于另两边上正方形之和的两倍。古代印度人所解决

的问题，欧洲人许多世纪后才独立解决，又过了几个世纪后才发现这些问题很久以前早已经

被更古老的文明所解决。

数学的特点决定了数学文化的多元性。打开数学历史的画卷，相关的例子比比皆是。勾

股定理先后为古巴比伦、中国、埃及和印度人所发现；一元二次方程的解法为古代两河流域、

印度和中国人所熟知；二项系数表（算术三角形）分别出现于中世纪的中国、印度、阿拉伯

和欧洲数学文献中；古希腊数学家阿基米德发现并证明了球体积公式，但 5世纪中国数学家

祖暅、17 世纪德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）、意大利数学教学卡瓦列里（B.

Cavalieri, 1598-1642）、日本数学家关孝和（1642?-1707）等相继独立推导出同样的公式；人


5

们常常说起德国数学家高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）的等差数列的倒序求和法，殊不知 13

世纪中国数学教学杨辉早已用几何方法解决了同样的问题。

对于数学历史的深刻理解，让杨格摈弃了“西方中心论”的偏见。可以说，在科学史家

萨顿（G. Sarton, 1884-1956）之前，杨格已经有了“科学统一性”的思想。数学思想为人类

所共有，因而是不同文明互相交流的工具，为不同文化背景下的人们相互尊重、理解和包容

创造了条件，这正是数学的文化价值之一。

2.4 智育价值

杨格从思维方式的角度来讨论数学的智育价值。他认为，数学乃是最典型、最清晰、最

简洁的思维方式，这种思维方式对于每一个人来说都是至关重要的。杨格的论述实际上已涉

及我们今天所说的数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。

其一，数学有助于培养学生抽象、一般化和分类的能力。初等数学中一般化的最引人注

目的例子是数的概念，从整数概念相继扩大到分数、无理数、负数和虚数。学生如果能从不

同的关系中抽象出这些概念以及概念之间的联系，那么他们便插上了由繁入简、以简驭繁的

翅膀，在日常生活和实践问题的表征中翱翔。代数是对算术方法的一般化处理，几何学中也

有很多分类和一般化的情形。

其二，学生所有的想法和行为都受到有意识或无意识得出的结论的影响。杨格所说的思

维方式是指理解陈述、注意事实和推出结论。他认为，在任何合理的结论中，推理行为本身

总是具有数学性质的，不管表面上有多偶然，实际上是它的先验的必然结果，任何了解这种

先验性的人都可以从中做出合理的假设，并能够在这种条件下理清事件中的复杂关系。

其三，数学可以培养学生的空间想象能力。杨格认为，数学在想象力上有着持续的需要，

它要求在空间中作图，如果没有越来越强的能力去想象一个给定情况下的各种可能性，并使

它们在头脑中浮现出来，就不可能取得相当大的成功。

2.5 审美价值

杨格强调，数学的美——简单、对称、紧致、完整，即使是对儿童来说，可以并且理应

成为典范。学生通常对摆在他面前的东西有足够的鉴赏力，从而可以认识到所讨论问题的重

要性和价值，当该问题恰当而具体地呈现出来时，学生应获得美的享受，而不是对丑陋和不

愉快的厌恶。

数学有其自身的美——通过对过程和方法的精确调整使得结果没有冗余。在杨格眼中，

这非常可贵，并且只有在最美的作品中才能找到。他在书中转引歌德的话来论证自己的观点：

歌德把一座高贵的大教堂称为“凝固的音乐”，这是一种恰如其分的表达，但也许更恰当地

称之为“石化的数学”[4]。确实，无论是建筑中的图案还是音乐中的音符，无不是用抽象的


6

符号语言来表达内容。数学一直是艺术家们取之不尽、用之不竭的宝贵的创造源泉。从斐波

那契数列和圆周率的小数位数字，到四面体和麦比乌斯带，都可以作为艺术家创作的灵感。

在绘画中，世界名画《最后的晚餐》就是以几何图形为基础而设计画面，其中还利用了等边

三角形和透视学原理；在建筑中，举世闻名的古希腊帕特农神庙建造比例就用到了数学中黄

金分割的方法；在版画中，作品《红蚁》中用到了麦比乌斯带的数学知识，将空间之美展现

得淋漓尽致；在音乐中，乐章中的三和弦中的不同音符的频率共同构成了一个等比数列；在

园林设计中，点、线、面、体等要素需要用到数学中的拓扑学的概念，然后对空间进行建模

分析。数学以其独特的对称美、抽象美、简洁美等美学要素，融入在世界的各个角落之中，

在世界艺术宝库中占有着一席之地，有着极高的审美价值。

杨格还认为，如果人们能站在美学的角度思考问题，数学使人在各个方面都能发现不同

的美。的确，数学与美学关系密切、联系深刻，彼此之间互相汲取精神的养料，提升思想的

境界，二者相辅相成，相得益彰。当学生在科学审美的实践活动中具备一定的科学鉴赏力，

他们便可以凭借着数学中的审美原则和美学方法洞察世界，发现世界里独具特色的巧妙之处。

学生在这样的感染和熏陶下一步步地迈入神圣的学术殿堂，最终达到人格气质的升华。因此，

数学在学生逐步形成正确而鲜明的审美观方面有着特别的意义，而这也体现了数学崇高的审

美价值。

2.6 德育价值

杨格认为，数学在形成和发展人的世界观、价值观和人生观等方面具有独特的意义和作

用，他的论述涉及理性、信念、品质和情感等诸多方面。

其一，数学最重要的德育价值在于理性精神的培养。杨格写道：

“数学上并无权威可言，不存在什么人云亦云。每个人都有权利要求自己被说服，

要求事情不半途而废。一个新手的结论和数学家大会的结论是无分轩轾的，其正确与否

只取决于证明的正确或错误，而与其背后的证明者无关。”[4]

因此，学生无需盲目接受教师或书本提出的机械规则，他们可以勇敢地提出质疑。此外，

数学为儿童提供了早期的机会去做出独立的发现，加上它的结论是确定的并且早期的结论是

容易掌握的，因此，它允许学习者从简单的、非常容易的结论开始，并以良好的等级顺序逐

步发展到相当复杂的情形。这样一来，学生从实际发现出发，不被个人情绪和偏见所左右，

才能做出更加理性的思考和判断。在数学学习的过程中，学生还能够提高把握形势、明确事

实、正确感知事态的能力。由此，数学不仅使人通情更使人达理，让人能够尊重但不盲从，

礼赞却不迷信。简言之，数学思维在培养人的理性精神上是大有裨益的。

其二，学生有权尽可能多地被告知学习数学的用途和目的。如上所说，数学和生活息息


7

相关，可以用来解决很多现实问题，是一门有用的学问。学生通过体会数学在实际生活中的

意义和作用，树立一定的数学信念和数学学习信念。这种信念可以是一种目标和追求，有效

的信念促使学生形成自己的人生观和价值观，进而成为其道德行为的内在动因，达到了德育

之效。

其三，数学是一门非常严谨的学科，学生需要对自己完成的工作严格进行审查，即使是

一个微小的失误也会轻而易举地暴露出自己工作中的问题。因此，在某种程度上，学生在学

习这样一门容不得半点差池的学科的过程中，养成专心致志、认真努力、踏实进取的学习习

惯和一丝不苟、严谨求实的科学精神应该是一种必然的结果。学习数学还可以培养自我审视

的习惯，没有哪一个地方比数学更需要对自己的工作进行严格的审查，没有哪一个地方甚至

连轻微的错误行为都能十分轻易地、毫不含糊地推翻结果。此外，学习数学有助于培养整洁

和准确的习惯。从最早学习数学开始，只有时刻保持谨小慎微的态度，坚持整洁、准确的习

惯，才能取得最好的效果。由此看来，数学的学习与人格品质的修炼有着深刻的联系，彰显

着数学的德育价值。

其四，数学有着悠久的历史，教科书中的历史注解有助于激发学生的兴趣，而数学家传

记与画像可以让数学变得人性化[9]。

3 结语

让学生树立正确的数学价值观，乃是数学教学中实施学科德育、落实立德树人的需要，

而这种价值观往往都是通过课堂教学潜移默化地传递给学生的。

要在数学教学中体现数学的多元价值，理想的教学材料不可或缺，而数学史正是这种素

材的宝库。在“相似三角形应用”的教学中，教师可以利用古希腊水利工程奇迹——萨默斯

隧道的设计问题，来揭示几何学的应用价值和文化价值，同时通过让学生设计隧道的方向，

并将学生的方法与古代工程师的方法进行对比，让学生穿越时空与古人对话，让学生亲近数

学，提升自信，并学会倾听，并感悟数学背后的理性精神，从而实现数学的德育价值。在“角

平分线性质”的教学中，教师可以利用中世纪法律问题——淤积地分割问题，来揭示数学的

文化价值、应用价值和德育价值。在“数列概念”的教学中，教师可以利用古代两河流域的

月相表以及谷神星的发现历史来揭示数学的科学价值、应用价值和文化价值，并通过树立学

生积极的数学情感和信念，来达成德育之效。在“对数的概念”教学中，教师可以通过对数

的历史来揭示数学的科学价值、应用价值和文化价值，并通过对数发明者纳皮尔（J. Napier,

1550-1617）的故事，展示数学家身上执着、坚韧、担当、倾听的优秀品质，从而实施数学


8

学科德育。HPM 视角下的数学教学是数学教学中体现数学多元价值的有效途径。

教师需要完善自身的知识结构，树立正确的数学价值观，为教学内容增加情感的基础、

价值的引领和思维的拓展等内涵，增强学生对学习数学的认同感。我们有理由相信，美好的

数学情怀必将成为新时代的一种常态，有温度的数学教学必将成为新时代的一种共识。

参考文献

[1] 中国人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准[M]. 北京: 人民教育出版社, 2018: 8-34,

69.

[2] 汪晓勤, 栗小妮. 数学史与初中数学教学: 理论、实践与案例[M]. 上海: 华东师范大学出

版社, 2019.

[3] Stein, S. L. Young's vision [J]. Mathematics Teacher, 1993, 86(4): 330-333.

[4] Young, J. W. A. The Teaching of Mathematics in the Elementary and the Secondary School [M].

New York: Longmans, Green & Co., 1907.

[5] 杨骞, 涂荣豹. 略论数学教育的科学价值[J]. 中国教育学刊, 2002, (4): 33-35.

[6] 康德. 纯粹理性批判[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 2004.

[7] Young, J. W. A. The Elements of the Differential and Integral Calculus [M]. New York: D.

Appleton & Co., 1900.

[8] Young, J. W. A. Elementary Algebra [M]. New York: D. Appleton & Co., 1908.

[9] Young, J. W. A. A High School Algebra [M]. New York: D. Appleton & Co., 1913.


9

历史研究

英美早期解析几何教科书中的圆与椭圆关系

秦语真，汪晓勤

(华东师范大学教师教育学院, 上海 200062)

1 引言

数学教材是关于一系列数学内容的说明、期望、内容展示和组织的综合体[1]，是教师进

行教学设计的主要材料。随着二期课改的深化，各版本教材的内容都发生了很大的变化。上

海数学新教材拟将圆作为椭圆的特殊形式，归入圆锥曲线章，引发教材编写者、审读者与一

线教师的激烈讨论。讨论的焦点是：圆究竟是否属于圆锥曲线？将圆编入圆锥曲线章是否合

理？

从历史上看，古希腊数学教学梅内克缪斯（Menaechmus）利用垂直于母线的平面去截

具有不同顶角的正圆锥[2]，相应得到锐角圆锥曲线、钝角圆锥曲线和直角圆锥曲线，分别就

是我们今天所说的椭圆、双曲线和抛物线。从圆锥曲线的上述起源来看，圆并不属于圆锥曲

线，因为用垂直于母线的平面截正圆锥，不可能产生圆。后来，数学家阿波罗尼奥斯

（Apollonius）著《圆锥曲线论》，通过用平面以不同方式截同一个正圆锥或斜圆锥得到三类

曲线[3]，通过任一点纵坐标的平方和横坐标与通径乘积的比较，将三类曲线命名为亏曲线、

超曲线和齐曲线，对应于今天的椭圆、双曲线和抛物线。尽管用新的方法可以截得圆，但阿

波罗尼奥斯并未将圆视为圆锥曲线。事实上，古希腊数学家将圆归于平面轨迹，将三种圆锥

曲线归于立体轨迹，其他曲线则归于线轨迹[4]。可见，在他们眼里，圆与圆锥曲线是截然不

同的曲线。

那么，近代解析几何教科书又是如何看待和处理圆与圆锥曲线之间关系的？本文通过对

18-19世纪美英解析几何教科书的深入考察来回答上述问题，以期为今日教材编写和课堂教

学提供参考。

2 研究对象

我们选取 1830-1969年间出版的 50种美英解析几何教科书作为研究对象，其中 45种出


10

版于美国，5种出版于英国，图 1给出了各种教科书的出版时间分布情况。

图 1 50种解析几何教科书的时间分布

我们分别从形式和内容两个方面来考察解析几何教科书对圆与椭圆关系的处理方式。形

式上，考察教科书关于圆和圆锥曲线的编排方式，从中分析教科书是否将圆视为圆锥曲线；

内容上，考察椭圆的定义与椭圆相关概念（离心率、准线等）、方程、切线、面积等，从中

分析教科书对圆与椭圆关系的认识。

3 圆与椭圆的内容编排

50种教科书中，11种将“圆”编入圆锥曲线章节，占比 22%。图 2给出了各时间段的

分布情况。

从图 2可见，各时间段都只有少数教科书将圆和椭圆编排在同一章。将圆与椭圆编排在

同一章的依据有两个，分别是：

图 2 圆与椭圆同章的教科书数量时间分布


11

圆和椭圆一样，也是平面截圆锥所得到的曲线，符合圆锥曲线的原始定义（截线定义）；

圆和圆锥曲线的方程都是二次方程。

多数有关教科书并未对圆和椭圆其他定义的一致性作出讨论。

尽管只有 11种教科书将圆与椭圆编排于同一章，但共有 33种教科书（占比 66%）明确

指出“圆是椭圆的特殊情形”。具体的表述是：

“圆是椭圆的极限情形”[5]；

“圆和椭圆均是平面截圆锥所得到的截线”[6]；

“椭圆是由圆经过压缩变换得到的”[7]。

图 3 给出了持有上述观点的教科书时间分布情况。

图 3 明确提出“圆是特殊椭圆”的教科书时间分布

从图 3可见，1870年以后，随着时间的推移，认为圆是椭圆特殊情形的教科书占比逐年

递增，且在每个时间段中均有教科书明确提到圆是椭圆的特殊情形。而在 1870-1889年前后，

教科书大多采用第二定义，因此，很少有教科书去专门论圆和椭圆之间的关系。

4 从椭圆定义与方程看圆与椭圆之间的关系

4.1 椭圆的定义

在 50种教科书中，共出现了椭圆的四类定义：原始定义、第一定义、第二定义和压缩

变换定义。

有 34种教科书采用了第一定义，其中有 7种明确提出：当两个定点重合时，长、短轴

相等[8]，椭圆将变成一个圆。

有 16种教科书采用了第二定义。在第二定义中，定点为焦点，定直线为准线。圆的准

线位于无穷远处，但准线位于无穷远处的封闭曲线并不一定就是圆，事实上，平面上任何一

条封闭曲线上的点 P到某个定点 ,0F c 的距离与到直线 x m 的距离之比当 +m 或

m时都等于零。因此，根据第二定义，圆不是椭圆的特殊情形。事实上，Murbaghab


12

在《解析几何》（1946）中明确指出：“圆和椭圆在第二定义上存在分歧，圆不符合到平面内

到定点的距离与定直线的距离比是个定值”[9]。

有 3种教科书采用了压缩变换定义，即椭圆是由圆经过压缩变换后得到的曲线。定义压

缩变换τ：在平面直角坐标系中，保持横坐标不变，纵坐标变为原来的ba，则圆的方程

2 2 2x y a 就变成了椭圆的标准方程

2 2

2 2 1x ya b

[10]。根据该定义，圆是椭圆的特殊情形。

16种教科书采用了圆锥曲线的原始定义，即古希腊的圆锥截线定义[11]。圆是圆锥被平

行于底面的平面所截得的曲线，故其中有 6种教科书将圆视为特殊的椭圆，并将其编入圆锥

曲线章。

4.2 椭圆方程

二次曲线的一般方程为2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F ，当 , 0A C B 时，上述

方程就变成了圆的方程[12]。尽管有 34种教科书就此做过分析，但只有 5种教科书据此将圆

编入圆锥曲线章，但这只能说明圆和椭圆的方程的统一性，却并不能说明圆是特殊的圆锥曲

线。

有 19 种教科书给出了圆锥曲线的极坐标方程1 cos

epe

。当 0 1e 时，方程表

示椭圆，当 1e 时，方程表示双曲线；当 1e 时则表示抛物线。由于上述极坐标方程是根

据圆锥曲线第二定义得到的，故无法涵盖圆的情形[13]，从这个角度说，圆并非椭圆的特殊情

形。

椭圆的参数方程cossin

x ay b

（θ为参数）是利用圆的参数方程来推导的。第一种方法是

通过压缩变换定义[7]，第二种则是利用辅圆[14]。如图 4，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画

圆，并从椭圆上任一点 M分别向 x轴和 y轴引垂线，分别交两个辅圆于点 A和 B，设∠AON

= θ（偏心角），则 M的横坐标为 cosx a ，纵坐标为 siny b 。

从参数方程来看，圆是椭圆在 a b 时的特殊情形。有 20种教科书持有此观点。


13

图 4 椭圆参数方程的辅圆推导法

4.3 离心率

离心率ca是反映椭圆扁平程度的量，其标准定义是圆上任意一点到焦点距离与到准线距

离的比值，也即椭圆焦距与长轴的比值。e越小，椭圆越圆，当 0e 时，两个焦点重合，

椭圆的长轴和短轴相等，椭圆变成了圆[15]。此时，圆是椭圆的特殊情形。24种教科书持有

此观点。

5 从切线和弦看圆与椭圆之间的关系

5.1 利用辅圆切线作椭圆切线

椭圆在其上某一点处的切线可以通过辅圆的切线来作出。如图 5，若要在椭圆上一点 P

处作椭圆的切线，以原点为圆心，以长轴为直径作圆，过点 P作 x轴的垂线交圆于点 Q，作

OQ的垂线得到圆的切线，交 x轴于点 H，联结 HP，即得椭圆的切线。

事实上，设椭圆方程为

2 2

2 2 1x ya b

，通过压缩变换

x xay yb

，得到圆的方程

2 2 2x y a 。设椭圆上一点 P 0 0,x y ，圆上的相应点为 00 ,ayQ xb

，则圆在点 Q处的

切线方程为20

0ayx x y ab

，利用压缩变换得椭圆的切线方程为 0 02 2 1x x y ya b

。因此，

从切线的角度看，圆是椭圆的特殊情形[5]。


14

图 5 P在椭圆上时切线画法

5.2 次切线

如图 6 所示，P 0 0,x y 是椭圆上任一点，PT 所在的直线为椭圆的切线，其方程为

0 02 2 1x x y ya b

。由 P向 x轴作垂线，交 x轴于一点 D，则 DT则为次切线。易得 DT=2 2

0

0

a xx

。

当 a b 时即得圆的次切线20

0

yx

。此时圆是椭圆的特殊情形[5]。

图 6 椭圆的次切线长度

5.3 补弦斜率的乘积

设 P是椭圆上任意一点，PA和 PB称为椭圆的一对补弦，如图 7所示。设直线 PA和 PB

的斜率分别为 s 和 s ，其方程分别为 y s x a ， y s x a ，联立可得

2 2 2y ss x a ，两直线与椭圆相交，必须满足椭圆方程 2

2 2 22by a xa

，通过比较得


15

到

2

2bssa

。圆的补弦斜率乘积则是椭圆补弦斜率乘积当 a b 时的特殊情形， 1ss ，

也即直径所对的角是直角。由此可见，圆是椭圆的特殊情形[5]。

图 7 补弦斜率的乘积

6 从面积看圆与椭圆之间的关系

椭圆的面积可用积分方法获得，但也可以通过类比圆的面积公式得到。定义压缩变换τ：

在平面直角坐标系中，保持横坐标不变，纵坐标变为原来的ba，则圆的方程就由

2 2 2x y a

变为

2 2

2 2 1x ya b

。那么圆的面积就由 2a 变为 2 ba aba

。事实上，早在公元前 3 世纪，

古希腊数学家阿基米德（Archimedes, 前 287-前 212）就已经发现，椭圆面积是其大小辅圆

面积的几何平均数。从面积公式来看，圆是椭圆的特殊情形[5]。

但是，由于椭圆的周长并不存在初等公式，因而从中不能简单地看出圆与椭圆之间的关

系。

7 结论

从以上考察可见，多数美英早期解析几何教科书都明确提出“圆是椭圆的特殊情形”，

且根据椭圆的第一定义、压缩变换定义和截线定义、标准方程和参数方程、离心率、切线、

弦和面积等，可以进一步印证上述结论。然而，只有少数教科书用一般二次方程或椭圆的截

线定义将圆和椭圆统一起来，并将圆与圆锥曲线编排在同一章。绝大多数教科书将直线与圆

安排在圆锥曲线之前，这样的编排既符合历史序（从平面轨迹到立体轨迹），也符合学生的

心理序（研究表明，圆是椭圆的认知基础）。


16

根据椭圆的第二定义以及椭圆的极坐标方程，无法得出“圆是椭圆特殊情形”的结论，

个别教科书明确提出圆不符合椭圆的第二定义。

圆和椭圆之间存在“若即若离”的关系：在古希腊数学家看来，圆与椭圆“形同陌路”；

17世纪以后，随着解析几何的诞生以及椭圆第一定义的采用，人们从椭圆标准方程和二次

曲线的一般方程中看到圆和椭圆原来“亲如一家”；随着椭圆第二定义的登场和极坐标方程

的建立，圆和椭圆又“分道扬镳”了；最后，人们在研究椭圆的切线、弦和面积时，又发现

圆和椭圆之间的惊人的统一性。美英早期解析几何教科书中呈现了这种矛盾、复杂的关系。

今日高中教科书并不讨论一般二次方程，也不涉及圆锥曲线的截线定义，因此，似乎并

不存在将圆编入圆锥曲线章的理由。另一方面，虽然早期教科书从椭圆第一定义、标准方程

以及相关概念中看到圆是椭圆的特殊情形，但由于圆与椭圆第二定义以及极坐标方程之间的

矛盾性，极少有教科书编写者将圆编入圆锥曲线章。

因此，圆锥曲线的历史以及美英早期解析几何教科书的传统都不支持将圆编入圆锥曲线

章。

参考文献

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[16] Young, J. R. Elements of Analytical Geometry [M]. London: Souter, 1830: 118-123.

[17] Hart, W. L. Analytic Geometry and Calculus [M]. Boston: Heath, 1963: 43-57.


18

教学实践

一个中世纪法律问题的解决方案与教育价值

汪晓勤

（华东师范大学教师教育学院, 上海 200062）

1 引言

数学史是一个宝藏，其中蕴含了丰富多彩的问题。将有关问题用于课堂教学，为学生提

供应用所学知识解决问题的机会。在学生解决问题的过程中，教师也获得考察数学史多元教

育价值的机会。

在 14世纪的意大利，曾经产生过这样一个法律案例[1]：如图 1，具有公共边界 OC的甲、

乙两块土地的主人都想获得洪水过后所产生的一块肥沃的淤积地 OAB（其中甲、乙两块土

地与淤积地接壤的边界线 OA和 OB均为线段，河岸线 AB为不规则曲线），双方人争执不下，

最终对簿公堂。假如你是律师，请问你会提出怎样的让两人都能接受的分配方案？

图 1 淤积地分配问题

笔者曾在多个不同场合给不同年级的初中生讲授数学史课，课上让学生解决上述土地分

配问题。学生给出了很多种方案，而低学段学生的方案通常更加丰富多彩。本文对这些方案

进行总结和分类，并对探究活动的德育价值进行分析，最后，对问题进行拓展，为初中平面

几何教学提供参考。

2 淤积地的分配方案

2.1 平均分配

一些学生认为两人应该均分淤积地。但由于淤积地的形状不规则，分割线不易确定，于


19

是他们提出以下方法来完成分割。

（1）共同拥有整块土地，一起种植，收获的粮食平均分；

（2）播撒种子，根据种子的数量进行均分；

（3）将土地分割成许多相同的单元（如三角形、正方形），根据单元的数目进行均分；

（4）制作一块“缩微版”的土地模型，将模型涂上油漆，根据所用的油漆量，来确定

分割线。

2.2 按比例分配

很多学生提出按比例分配的方案。具体有以下几类。

（1）按照甲、乙两块土地的面积之比 :S S甲乙；

（2）按照甲、乙两块土地与淤积地接壤的边界线长度之比 OA:OB；

（3）按照甲、乙两块土地面积之反比1 1:S S甲乙

；

（4）按照甲、乙两块土地边界线长度之反比1 1:OA OB

；

（5）按照甲、乙两块土地主人家的人口数量之比；

（6）按照甲、乙两块土地主人家经济状况之反比。

2.3 补差分配

有学生认为，应该按照所得淤积地与原土地面积之和相等的方式来分配，即若甲、乙主

人所得到的面积 P、Q应满足 S P S Q 甲乙。

2.4 作分割线

一些学生通过几何作图来找分割线。具体有以下几类作图法。

（1）延长甲、乙公共边界 CO，交河岸线于 D，则 OD即为淤积地的分割线（见图 2）；

（2）作淤积地端点连线 AB的中点 D，联结 OD并延长，交河岸线于 E，则 OE即为淤

积地的分割线（见图 3）；

（3）测得河岸线的中点 D，则 OD即为淤积地的分割线（见图 4）；

（4）分别作甲、乙边界线 OA和 OB的垂直平分线，其交点为 D，则 OD即为淤积地

分割线所在的直线（见图 5）；


20

图 2 作图方案之一图 3 作图方案之二

图 4 作图方案之三图 5 作图方案之四

（5）作甲、乙共线的边界线 MN的垂直平分线，分别交甲或乙与淤积地接壤的边界线

以及河岸线于 E、F两点，则 EF为淤积地的分割线（图 6）。

（6）找到淤积地的重心，重心与点 O的连线就是分割线所在的直线。

（7）作AOB的平分线 OD，交河岸线于点 D，则 OD即为分割线（图 7）。

图 6 作图方案之五图 7 作图方案之六

2.5 其他方案

一些学生采用人们十分熟悉的分蛋糕方法：甲、乙两块地的主人中，一人确定分配方案，


21

另一人先挑选。另一些学生提出两家轮流种一年，或通过决斗武力解决问题，或通过抽签的

方式决定谁单独拥有整块淤积地，或通过两家结成儿女亲家而共同拥有淤积地。还有一位学

生则提出：国有土地，不容私分。

3 分配方案的辨析

一个合理的分配方案需要满足以下条件：一是公平公正，双方都能认可；二是可以实施，

具有可操作性。虽然学生给出了各种各样的方案，但是绝大多数方案并不满足上述条件。

平均分配方案虽然表面上看是公平的，但没有考虑与甲、乙两块地的位置关系，两者未

必都能接受。另一方面，由于河岸线是不规则的，要将淤积地准确地二等分，利用 14世纪

人们所知道的数学知识，是不可能完成的；而学生所给出的方法或难以实施或误差太大。

按比例分配诸方案也都存在面积测量的难题。此外，按边界线长度之比或甲、乙两块地

的面积之比的方案虽然考虑了淤积地与甲、乙的位置关系，但可能会产生“多上加多”的结

果，面积小的一方显然不会接受；按边界长度或甲、乙面积之反比来分配，或按两家人口数

之比分配，或按经济收入之反比来分配，只能让其中一方满意，而法律所追求的公平公正并

不等同于济贫扶困。补差分配也存在同样的问题。

几何作图诸方案中，前六种方案所依据的原则并不清楚，无法令人信服。第七种方案的

依据最为清楚：淤积地中的任何一个区域，离谁家原有土地的边界线更近，就归属谁家，因

此，角 AOB平分线的其中一段就是淤积地的分割线。事实上，这正是 14世纪意大利法律教

授巴托鲁斯（Bartolus, 1313～1357）的分配方案。这一分配方案既能为两家所接受，又易于

实施。

“分蛋糕方案”表面上比较合理，但最终还是绕不开如何分割的问题；“决斗”这样的

方案简单粗暴，与法律背道而驰；“和亲”方法虽颇具想象力，但并不现实。

4 德育价值的体现

数学学科的德育价值包含理性、情感、信念、品质等维度。淤积地分配问题用于课堂教

学，有着丰富的德育价值。

首先，分配淤积地时，不能凭感情用事，不能仅看分割的便利性，不能局限于表面的公

平，不能顾此失彼，更不能随心所欲。古希腊哲学家亚里士多德云：“法律所事，在保持群

益。”需要确立一种保持双方利益的公平合理的原则，据此来实施分配。学生所给出的均分

方案、按比例分配方案、绝大多数作图方案都缺乏让双方都感到信服的依据。角平分线方案

之所以令人心服口服，是因为它依据了公平合理的“距离原则”。可见，淤积地分配问题的


22

探究有助于培养学生的理性思维和规则意识。

其次，学科关联乃是基于数学史的数学文化内涵之一[2]，但在传统的平面几何教学中，

由于数学文化的缺失，学生很少感受到数学与人类其他知识领域之间的密切联系，美国学者

Bidwell指出：

“在课堂里，我们常常这样看待数学，好像我们是在一个孤岛上学习似的。我们每

天一次去岛上学习数学，埋头钻进一个纯粹的、洁净的、逻辑上可靠的、只有清晰线条

而没有肮脏角落的书房。学生们觉得数学是封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都已发

现好了的。” [3]

淤积地分配问题揭示了数学与法律之间的联系，可以帮助学生树立积极的数学信念。角

平分线的概念、性质与作图法也因为有了现实应用，变得生动有趣。

再次，关于淤积地分配的探究活动对于培养学生良好的品质也有重要意义。数学课堂上

的探究活动由“准备与聚焦”、“探究与发现”、“综合与交流”以及“评价与延伸”诸环节组

成[4]。在“综合与交流”环节，每一位学生都有机会展示自己的解决方案，每一位学生也都

是倾听者、反思者和获益者。因此，探究活动有助于培养学生倾听、尊重和包容的品质。在

“评价与延伸”环节，教师呈现古今联系，14世纪的法律教授仿佛成了班里的一名“额外”

学生，而那些给出角平分线方案的学生又仿佛成了 14世纪的法律教授，其自信心得到了提

升。

5 问题的拓展

在淤积地分配问题中，一旦确定了公平合理的“距离”原则，那么，采用有关问题提出

策略，教师可以提出各种不同的问题。

例如，如果采用条件操作策略（即改变已知情境中的一个或若干个条件）或目标操作策

略（改变已知情境中的目标），可以提出一系列数学问题。

问题 1：如图 8，若河岸线 AB为线段，淤积地 OAB为三角形，OA : OB = 2 : 3，则甲、

乙两块地主人所分得的淤积地面积之比为多少？

问题 2：如图 8，河岸线 AB为线段，淤积地 OAB为三角形，已知 AB的中点与点 O的

连线为淤积地的分割线，试判断三角形 OAB的形状。

问题 3：如图 8，河岸线 AB为线段，淤积地 AOB为三角形，作 OA与 OB的垂直平分

线，其交点为 O，淤积地的法定分割线恰为 OO 的一部分，试判断三角形 AOB的形状。

问题 4：如图 9，河岸线 AB为线段，四边形 AMNB为矩形，淤积地 AOB为三角形，其

顶点 O位于 MN上，甲、乙两块地的主人所得淤积地连同原有土地面积之和恰好相等。试


23

判断三角形 AOB的形状。

图 8 三角形淤积地分配问题之一图 9 三角形淤积地分配问题之二

问题 5：如图 10，河岸线 AB为线段，淤积地 AOB为三角形，其顶点 O位于 MN上，

测得AOM = BON，MO: ON = m : n（m > 0, n > 0），问：甲、乙两块地的主人所分得的淤

积地面积之比为多少？

问题 6：如图 11，若边界线 OA和 OB位于同一直线上，则如何分配淤积地？

图 10 三角形淤积地分配问题之三图 11 边界线共线情形的分配问题

问题 7：如图 12，边界线 AOB为线段，且河岸线为半径等于 50米的四分之一圆弧，若

AO : OB = 1: 2，则淤积地的法定分割线有多长？

问题 8：如图 13，若边界线 AOB为圆弧，则如何分配淤积地？（提示：先求圆弧 AOB

的圆心，圆心与点 O的连线即为淤积地的分割线）

图 12 边界线共线、河岸线为圆弧的分配问题图 13 边界线为圆弧情形的分配问题


24

问题 9：如图 14，边界线 AOB为四分之一圆弧，其半径为 80米。若河岸线 AB为线段，

且圆弧 AO和圆弧 OB的长度之比为 1:2。求甲、乙两地主人所分得的淤积地面积之比。

问题 10：如图 15，边界线 AOB与和河岸线为半径相同的圆弧。已知淤积地分割线恰好

位于 CO的延长线上，求甲、乙两块地的主人所分得的淤积地面积之比。

我们甚至可以将边界线换成更一般的曲线（如抛物线），产生更为复杂的问题。

图 14 弓形淤积地的分配问题图 15圆弧所围淤积地的分配问题

6 结语

不同形状的淤积地分配问题蕴含着丰富的平面几何知识，涉及垂线、角平分线的概念与

性质、等腰三角形性质、弧长与扇形面积、梯形面积、垂径定理及其逆定理、相交弦定理、

勾股定理、相似三角形性质定理、平行线分线段成比例定理等，是初三平面几何复习课的理

想素材。教学实践表明，学生对该问题有着浓厚的兴趣，通过有关的探究活动可以实现丰富

的德育价值；同时，该问题又为学生在课堂上提出新问题提供了理想的情境。因此，我们可

以借助该问题的教学，探索初三复习课的新策略，让初三复习课实现知识的融合、营造探究

的乐趣、促成思想的交流、传递创新的精神、洋溢文化的芬芳。

参考文献

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25

HPM视角下的贾宪三角探究

李莹 1 ，韩嘉业 2 ，沈中宇 3

(1. 上海市晋元高级中学, 上海 200333; 2. 华东师范大学教师教育学院, 上海 200062;

3. 华东师范大学数学科学学院, 上海 200241)

1 引言

沪教版高中数学教材第 16章《排列组合与二项式定理》中有一张数表，教材称它为“二

项式系数表”。课程标准要求课堂教学时对该数表进行探究学习活动，发现并掌握组合数性

质，培养观察、分析、归纳能力，结合这一题材对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族

自豪感[1]。教材归纳了数表观察可得的部分规律，同时在单元后的阅读材料中简单说明了该

数表就是贾宪三角，可并未对数表的来龙去脉进行详细介绍。

在现有教学中，教师一般会在课堂上简单介绍“二项式系数表”（即“贾宪三角”），但

通常不会对“贾宪三角”的历史背景作进一步说明；并且课堂上以教师讲授为主，学生对于

“贾宪三角”的探究机会较少[2-4]。上完课后，大部分学生对“贾宪三角”还是一知半解的，

具体表现为：不了解它的发展历程，不知道它与二项式定理的联系。而且，缺乏探究的课堂

教学未能充分培养学生的逻辑推理素养。在提升民族文化自信的同时，学生缺乏对数学文化

多样性的了解。

为了使学生真正认识“贾宪三角”，解决上述 4 个问题，我们可以从 HPM 的视角以拓

展课的形式设计和实施教学。教学设计立足教材，通过选择相关历史资料作为拓展，渗透数

学史的内容，引导学生关注贾宪三角的历史发展过程，理解贾宪三角产生的历史背景和意义。

通过恰当的问题设计，引导学生在已有知识基础上探寻贾宪三角中的数学规律，正确表述这

些规律，体会贾宪三角与二项式定理之间的联系。在课堂教学中设置探究环节，鼓励学生使

用不同于教材的方法证明规律，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生逻辑推理的素养。

古今对照，让学生感受古人对数学发展的贡献，提升民族文化的自信，感受数学中的多元文

化。为此，我们拟订本节课的教学目标如下。

（1）理解贾宪三角产生的历史背景及意义，了解贾宪三角所蕴含的丰富规律，了解二

HPM工作室系列课例之一。上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地

研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）。


26

项式定理的发展过程，理解贾宪三角与二项式定理之间的联系。

（2）经历贾宪三角中数学规律的探究过程，加深对组合数性质及二项式定理的理解，

体会从特殊到一般的数学思想，培养学生观察、分析、归纳及逻辑推理能力。

（3）引导学生在探究过程中感受祖国数学文化的丰富，感受世界数学文化的多元和趣

味，激发学生的探究乐趣和学习热情，树立学生的文化自信，提升学生的科学素养和人文素

养。

2 历史材料及其运用

从“贾宪三角”到“二项式定理”经历了 6个世纪的发展历程。本节课根据贾宪三角的

发展脉络，利用重构的方式将相关的历史素材融入教学之中。

2.1 开方作法本原图

由于三次以上开方的需要，11世纪中叶，中国数学家贾宪给出了直到六次幂的二项式

系数表，如图 1所示[5]。其中第 i层即为 1ia b 展开式的系数。贾宪称整张数表为“开方

作法本原图”。今称“贾宪三角”。但贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一

般正整数次幂的二项式定理。

图 1 开方作法本原图图 2 古法七乘方图

2.2 杨辉三角

13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了图 1，并注明了该图出自贾宪的《释锁算

书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，故今日很多场合称此图为杨辉三角，


27

但这并不正确。开方作法本原图中，每一行恰好与现代求某次幂的二项展开式中的各项系数

一致[6]。

14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》（1303）中复载此图，并增加了两层，添上了两组

平行的斜线，命名为古法七乘方图，如图 2所示[7]。由此可推知，朱世杰已总结出贾宪三角

中相邻两层的关系。

2.3 帕斯卡三角

在欧洲，13世纪德国数学家约丹努斯（Jordanus Nemorarius）在一本未出版的算术书中

给出一张二项式系数表，形状与贾宪三角一样，但有 11层[5]。1544年，德国数学家斯蒂菲

尔（M. Stifel）在这其《整数算术》中给出直到 16次的二项系数表，并引入“二项系数”

这一术语[5]。

到了 1654年，法国数学家帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662）著《论算术三角形》一文，详

论算术三角形的性质和应用[8]。该文于他去世后的 1665年在巴黎发表。帕斯卡在文中详论

了 19条算术三角形的性质，以及算术三角形在二项展开式中的应用，他最早建立了一般正

整数次幂的二项式定理。由于帕斯卡的工作在数学史上具有十分重要的意义，所以在西方算

术三角形至今仍以他的名字命名。帕斯卡三角形如图 3所示。

图 3 帕斯卡三角

2.4 二项式定理的形成

1654年，法国数学家帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理[8]。1665年，英

国数学家牛顿（I. Newton, 1642-1727）在研究曲线与 x轴围成图形的面积时，通过插值的方

法将二项式定理推广到有理指数的情形[9]。18世纪，意大利数学家卡斯蒂隆（De Castillon,


28

1708-1791）和瑞士数学家欧拉（L. Euler, 1707-1783）分别采用“先异后同”的方法和待定

系数法证明了实指数情形的二项式定理[10]。

3 教学过程与实施

3.1 结合教材，引入课题

师：我们已经完成“排列组合与二项式定理”这个单元的学习，同学们是否知道课本中

的二项式系数表又叫什么？

生：杨辉三角。

师：你们最早知道杨辉三角大约是几年级？

生 1：六年级。

生 2：四年级。

师：四年级就知道了，好厉害。其实这张数表是历史上的数学家贾宪原创的，所以应更

准确地称之为贾宪三角，我们是否有过这样的好奇，历史上的贾宪三角是什么样子的，它是

怎么产生的，这节内容教材安排在二项式定理，那么它与二项式定理又有什么联系呢？今天

就让我们一起探究贾宪三角。

为了让大家能在较短时间内了解贾宪三角和二项式定理的历史背景及发展历程，教师将

相关历史资料整理制作了一个 3 分钟的微视频，请学生带着问题先看微视频《贾宪三角及二

项式定理的发展历程》。（微视频内容参考上文的部分史料，此处不赘述。）

【设计意图】立足教材内容，从二项式系数表引入贾宪三角，体现了贾宪三角与二项式

定理之间的联系，顺其自然地呈现本课课题。通过微视频学习，让学生在最短的时间内了解

贾宪三角产生的历史背景以及它与二项式定理的内在联系，相关历史展示了数学发展中的多

元文化。

3.2 回顾历史，了解贾宪三角

师：看了视频，我们知道最初这张数表叫做“开方作法本原图”，那贾宪老师当年作这

张表是要干嘛？大家猜猜看。

生：我猜测他是想把一个式子不同的开方的系数列出来作计算用。

师：作什么计算？

生：作开方计算。

师：没错，当年贾宪老师确实是为了解决开方的问题。让我们在课堂中初步感受一下贾


29

宪老师是怎么解决这个问题的。

易知 3 3在(1, 2)之间，不妨设 3 3 1 x

31 3x ，依据贾宪三角中第四层的数字可得 2 31 3 3 3x x x

舍去1次以上的项，可得1 3 3x ，即 32 2 5, 3 13 3 3

x

为了提高精确度，可以再次迭代：

设 333 3 2

25 5 5 53 3 3 33 3 3

5333

x x x x x

舍去1次以上的项，可得125 25 327 3

x ，可得44225

x

3 5 44 1.473 225

3

【设计意图】通过介绍“开方作法本原图”的作用，让学生了解中国古代数学家很早就

利用这张数表解决开方问题，解决学习贾宪三角的动机问题，激发学生的民族自豪感。

3.3 探寻规律，证明命题

师：通过微视频我们发现，不同时期的数学家都研究过这张表，这张表很神奇，因为它

有很多规律。根据我们已经学过的数学知识，你知道多少关于这张表的数学规律，请你写在

任务单上。（以下命题基于教材上提供的二项式系数表，首行为“1 1”）

1. 学生发现规律，表达规律

学生积极思考后，在任务单上写出了他们发现的数学规律。教师总结如下；

（1）数表关于中间的轴对称。

（2）每一行第一个数和最后一个数都是 1。

（3）第 n行有 n+1个项。

（4）一行中相邻两个数相加等于它们下面中间的数。

（5）每行数字先增大，再减小，中间的数为最大值。

（6）每一行的数字排列形成的数是 11的幂。

（7）从第一行起，每行的第二个数字就是行数。

（8）每一行的数字之和为 2n 。

2. 学生证明规律

师：大家完成得非常好！相信如果我们有足够的时间，大家一定会发现更多精彩规律。


30

关于“每一行的数字之和为 2n ”这个结论，我们是学过的，我们之前学习时是怎么证明的？

生：通过组合数，0 1 2n nn n nC C C 。

师：大致的思路说一下。

生：在二项展开式中只要令 a和 b都为 1，右边就是0 1 nn n nC C C ，左边就是 2n 。

师：同学们，如果我们穿越回到了 14世纪，我们发现了这张表的一些规律，但是那个

时候还没有建立二项式定理，我们能不能用不同于教材的方法来证明“每一行的数字之和为

2n ”？

师：我们先把命题用数学语言表达出来。为了表达方便，我们把数表中第 i行第 j列的

数记为��，那么这个命题怎么表达？

学生通过讨论，得出数学命题：1 2 1 2n nn n nT T T ，

教师巡视学生课堂证明情况，发现有同学采用数学归纳法进行证明。

师：我很欣喜地看到同学们都有比较明确的思路，我想请这位同学告诉我，你是怎么想

的，你打算用什么方法证明。

生：我打算用数学归纳法。

师：你为什么用数学归纳法？

生：因为我看到第一行已经列出来了，是符合这个命题的。所以我想可以设 n=k 时符

合这个命题，然后证 n=k+1时符合这个命题。

师：很好，请坐。同学们，你们认同这种作法吗？（学生点头同意），既然大家都同意

用数学归纳法进行证明，请大家把自己的证明过程写在任务单上。

教师巡视课堂，观察学生证明情况，回答学生的问题，并请学生板演证明过程。

学生的证明如下：

当 n=1时，左= 1 21 1 1 1 2T T =右

当 2n 时，假设 n=k时，左= 1 2 3 1+ kk k k kT T T T =右= 2k

则可得当 n=k+1时，

左= 1 2 3 2+1 +1 +1 +1+ kk k k kT T T T

= 1 1 2 2 3 1 1+ k k kk k k k k k k kT T T T T T T T


31

= 1 1 2 2 1 1+ k kk k k k k kT T T T T T

= 1 11 2 22 + 2 2kk k k

k kT T T 右

以上可知，命题成立。

师：通过努力，我们用数学归纳法完成了证明。书上的证明是利用二项式定理，我们的

证明用了数学归纳法。同学们能体会这两种不同证明方法中所蕴含的数学思想吗？（停顿，

让学生思考）

师：我们是先算几项，这叫什么？什么情况？

生：特殊情况。

师：最后证明的是什么情况？

生：一般情况。

师：这种数学思想我们称为？

生：从特殊到一般。

师：我们用二项式定理证明时，只要在二项展开式中取特定值，令 a=b=1 就可以了，

这是从什么到什么？

生：一般到特殊。

师：所以数学归纳法体现的是从特殊到一般的数学思想，而二项式定理本身就是一个高

度概括的结论，体现的恰恰是从一般到特殊的数学思想。

【设计意图】数学归纳法是高中重要的数学方法之一。对同一个命题采用不同于教材的

证明方法可以帮助学生开阔思路，提高他们解决问题的能力。同时，这个命题的两种证明方

法非常巧妙和谐地体现了数学的两种证明思路：从特殊到一般；从一般到特殊。在引导学生

证明的过程中有效培养了学生逻辑推理能力和辩证思维的能力。

3.4 课堂小结，归纳收获

师：同学们，这节课即将结束。课前我提出的三个问题，大家是否知道答案了呢？（学

生纷纷点头）

师：哪位同学说一下？

生：贾宪三角最早是由贾宪提出的，原名是开方作法本原图。

师：第三个问题，贾宪三角与二项式定理什么联系？（停顿，让学生思考）

师：贾宪三角其实就是二项式定理，是数表形式的二项式定理。11世纪，人们不会用

字母表示数，发现规律后只能一行行写下来。到了 17世纪，有了字母表示数，人们就把数


32

表形式的二项式定理用一个代数式高度概括了。所以，贾宪三角的本质就是数表形式的二项

式定理。从数表形式到代数式形式，二项式定理的发展经历了 6个世纪。

师：大家觉贾宪三角在表达形式上的优势是什么？

生：直观。

师：二项式定理在表达形式上的优势是什么？

生：简洁。

师：大家说的非常好！

【设计意图】课堂小结与课题引入形成前后呼应。通过课堂小结引导学生思考贾宪三角

与二项式定理的联系，让学生明白知识的得来并非一蹴而成，而是在前人不断地尝试与努力

下才有今天教材中的定理。

4 学生反馈

为了解本节课教学效果，对全班 41名同学进行了前测和后测。分别从贾宪三角的历史、

贾宪三角的应用、贾宪三角的性质和贾宪三角与其他知识的联系进行检测。

在课前测试中，对于问题“对于贾宪三角，你有什么想要了解的知识？”，48.8%的学

生想了解贾宪三角的历史，14.6%的学生想知道它有哪些应用，7.2%的学生想知道它有哪些

性质，7.2%的学生想知道它和数列、二项式定理等知识的联系，其余同学未给出有效回答。

有关贾宪三角的历史。在课前测试中，对于问题：“数学学习需要结合数学史的内容”，

有 85.4%的同学同意这一观点，而在课后测试中，对于类似的问题，有 94.7%的同学同意这

一观点。在课前测试中，对于问题：“贾宪三角的内容很有趣”，有 73.2%的同学同意这一观

点，而在课后测试中，对于类似的问题，有 89.5%的同学同意这一观点。

有关贾宪三角的应用。在课前测试中，对于问题“你觉得人们为什么要研究贾宪三角

吗？”，学生的回答有“解决乘法问题”、“研究二项式定理”、“找规律”、“探究数学原理”、

“古老、历史悠久”、“解决实际生活中的问题”。而在课后测试中，对于类似的问题，学生

的回答主要为“进行开方的运算”、“解决开方问题”。

有关贾宪三角的性质。在课前测试中，对于问题“组合恒等式1

1m m mn n nC C C

为什么

是正确的？”，70.7%的学生用组合数性质验证，12.2%的学生利用了贾宪三角验证，其余同

学未给出有效回答。而在课后测试中，对于类似的问题，61.1%的学生用贾宪三角验证，27.8%

的学生用组合数性质验证验证，还有 11.1%的学生用数学归纳法验证。


33

有关贾宪三角与其他知识的联系。在课前测试中，对于问题：“当你看到‘贾宪三角’

时，你会想到什么？”，共得到 198条回答，其中 39.9%的回答与贾宪三角的规律有关，15.7%

的回答与贾宪三角的来历与历史有关，12.1%的回答与贾宪三角的几何形状相关，8.1%的回

答联想到了二项式定理，4.1%的回答想知道贾宪三角有何实际应用，其余回答与贾宪三角

和二项式定理无直接联系。而在课后测试中，对于类似的问题，共得到 187 条回答，其中

45.5%的回答与贾宪三角的规律有关，18.2%的回答与贾宪三角的历史有关，15.5%的回答联

系到了二项式定理，4.8%的同学联想到了开方问题，其余回答与贾宪三角、二项式定理和

开方问题无直接联系。

在课后测试中，有关这节课你印象最深的是什么？学生的典型回答如下：

古代开方的运算方法，因为它体现了古人智慧，告诉了我数学发展的探索。

用数学归纳法证明贾宪三角，因为它令我从一个新的角度理解了二项式定理。

11n ，特别神奇的规律。

数学研究历程，充满趣味性。

古人思考问题与现代人应用贾宪三角，二项式定理、开方作法本原图很神奇。

贾宪三角形发展史，让我对数学发展史有新的了解。

5 结语

本节课中，数学史的运用方式有附加式、复制式和顺应式：附加式地制作微视频，展示

贾宪三角的历史起源和二项式定理的发展历程；复制式地再现贾宪通过“开方作法本原图”

求方根的问题；顺应式地利用数学归纳法证明贾宪三角中的数学规律。

数学史的教育价值主要体现在以下几个方面：（1）知识之谐，教学中教师从学生的已有

认识出发，引导学生思考贾宪三角与二项式定理的联系，通过展示二项式定理产生的历史过

程，让学生明白从贾宪三角到二项式定理并非一蹴而成；（2）探究之乐，课堂上教师引导学

生用不同的方法证明命题，在活动过程中不断激发学生的探究兴趣，让学生体会用知识解决

问题的乐趣；（3）能力之助，基于史料的探究活动，让学生体会从特殊到一般的数学思想，

充分培养了学生逻辑推理的核心素养；（4）文化之魅，通过介绍历史上不同时期、不同国家

的数学家对贾宪三角的贡献，让学生认识数学知识发展的趋同性，感悟数学文化的多元性；

（5）德育之效，通过微视频追溯贾宪三角的历史起源，让学生感受中国古代数学家的卓越

智慧，激发学生的民族自豪感，增强学生的文化自信。


34

参考文献

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[5] 汪晓勤, 韩祥临. 中学数学中的数学史[M]. 北京: 科学出版社, 2002.

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[8] Smith, D. E. A Source Book in Mathematics[M]. New York: McGraw-Hill Book Co., 1929:

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[9] Struik, D. J. A Source Book in Mathematics, 1200-1800[M]. Massachusetts: Harvard

University Press, 1969: 284-291.

[10] 方倩.“二项式定理”：在历史中探源、求法、寻魅[J]. 教育研究与评论(中学教育教学),

2016, (09): 37-41.


35

HPM视角下“平面直角坐标系”的教学

张翼翔 1 ，余庆纯 2

（1.上海市杨思中学, 上海 200126; 2.华东师范大学数学科学学院, 上海 200241）

1 引言

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）是数学史与数学教育的简称。HPM 视角下

的数学教学，是指借鉴数学知识的发生发展、再现历史上的数学思想方法、采用适当的方式

运用数学史料以提升教学的有效性、优化数学教育价值的一种教学方式，由此形成的教学案

例简称为 HPM课例[1]。

“平面直角坐标系”是沪教版初中数学教科书七年级下册第十五章第一节的内容[2]，强

调借助平面直角坐标系刻画平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，突出数形结合的

思想方法。《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》指出：理解平面直角坐标系的构成，

建立平面上的点与有序实数对之间的联系，体会直角坐标平面上的点与坐标之间具有一一对

应关系[3]。本节“平面直角坐标系”具有承上启下的重要作用，既承接了学生已经学习的平

面中点的确定、实数、一维的数轴、数轴上两点间的距离公式等内容，又为八年级进一步学

习函数、平面直角坐标系中两点间的距离公式、乃至高中阶段的向量、解析几何等知识做好

基础性的铺垫，开启解析几何学习的新篇章。

实践发现，在沪教版教科书中，借助寻找电影院座位的排数、号数等活动，以开门见山

式的问题“怎样建立平面上的点与实数之间的联系”引导学生思考平面上点与实数的对应关

系，旨在引导学生掌握平面直角坐标系的构成，确定平面内点的位置[2]。另一方面，基于现

有的教学设计发现，本节课的教学重点难点在于如何从一维突破至二维，关注有序实数对的

形成、直角坐标平面上的点与坐标之间的一一对应关系。为了达成教学目标，教学设计者往

往创设国际象棋、做操排队、蜘蛛爬行等位置确定的情景进行直接引入。然而，这些内容没

有很好地基于学生的基本学情，缺乏从一维的数轴到二维的平面直角坐标系等认知内容的过

渡，常常出现无法深刻理解引入有序实数对、构建平面直角坐标系的必要性等认知障碍，影

响解析几何的深入学习。更重要的是，这些创设的情景和平面直角坐标系的真实历史是有差

异的，学生难以领悟到平面直角坐标系的重要作用。

在初中阶段，平面解析几何仅作为一种数形结合思想的良好内容载体，渗透在数轴、直

HPM工作室系列课例之一。上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研

究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）。


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角坐标系、函数、方程等基础内容的学习之中。同时，数学史中，研究方程与曲线之间的关

系是平面坐标系发展的滥觞，法国数学家费马与笛卡儿，英国数学家沃利斯在平面坐标系的

演进历史中均做出了卓越的贡献。

鉴于此，本研究尝试基于解析几何预备课这一理念进行教学设计，基于历史相似性原理，

在教学中重构式地复现了数学家构建与改进平面坐标系的过程，引导学生突破认识障碍。笔

者相信，这些史料内容能够追寻知识本源，丰富学习内容，完善知识体系，揭示平面直角坐

标系产生的必要性，尤其是对于“纵轴是如何产生的”、“为什么需要纵轴”等问题会有更

加深刻的理解。

基于 HPM视角，设计“平面直角坐标系”的教学内容，并付诸实施。拟定的教学目标

如下：

（1）经历从一维的数轴过渡到二维的平面直角坐标系的学习过程，理解平面直角坐标

系的构成，理解坐标平面上的点与有序实数对一一对应的关系；

（2）掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，加强问题解决能力，领悟解析

几何中数形结合的思想方法；

（3）古今对比，了解不同数学家对平面坐标系发展的历史贡献、平面直角坐标系在社

会生活中的重要作用等数学文化，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，提

升数学学习兴趣，提升数学学习信心。

2 史料运用

基于史料研究，发现平面解析几何起源于公元前 3世纪末亚历山大晚期，著名几何学家

帕普斯（Pappus）将轨迹分为三类：（1）平面轨迹，是指直线与圆；（2）立体轨迹，是指

圆锥曲线，如椭圆、双曲线与抛物线；（3）线轨迹，是指上述两类曲线外的曲线，古希腊

数学家大多数研究前两类轨迹问题[4]。德国科学史家冈特（S. Gunther, 1848-1923）曾将平面

解析几何的历史划分为三个重要阶段：第一阶段是引入两条坐标轴，如阿波罗尼斯与圆锥曲

线的性质研究；第二阶段是基于横、纵坐标的曲线作图，如法国数学家奥雷姆（N. Oresme,

1323-1382）首次采用几何图形表示运动；第三阶段是关于横、纵坐标的方程建立，如法国

数学家费马（P. de Fermat, 1601-1665）与笛卡儿（R. Descartes, 1596~1650）借助韦达（F. Viète,

1540~1603）的符号代数工具，研究古希腊轨迹问题[5]。

其中，平面坐标系的发展史大致可以分为三个阶段（如图 1）[5-7]：第一阶段，建立单轴。

数学家费马与笛卡儿在研究方程与曲线的关系时，他们只采用横轴这一单轴，未使用纵轴，

纵坐标通常是斜的，横坐标和纵坐标仅限于正数范围。不同之处是费马主要研究方程的曲线，


37

而笛卡儿主要研究曲线的方程。第二阶段，引入负坐标。英国数学家沃利斯（John Wallis,

1616-1703）对坐标系进行改进，有意识地引入负的横、纵坐标，解析几何的曲线范围得以

扩展到整个平面。第三阶段，建立平面直角坐标系。18 世纪，数学家逐渐开始使用双轴，

但普遍采用斜坐标系。从斜坐标系到直角坐标系的转变是一个漫长的过程，大致在 19 世纪

中叶，人们才普遍使用直角坐标系。

笛卡儿费马

沃利斯

图 1 平面坐标系演变的历史时间轴与主要时期的代表人物

3 教学实践

3.1 提出问题

简介笛卡儿的“普遍数学”的思想，思考问题：几何对象与代数对象能否互相转化？

师：同学们听说过笛卡儿吗？

生：笛卡儿是著名的哲学家，主张“我思故我在”。

师：非常好，同时，笛卡儿也是一名伟大的数学家呢。

生：我听说过，但是不太清楚笛卡儿在数学上的贡献。

师：法国著名数学家笛卡儿曾提出“普遍数学”的伟大设想，即将所有问题转化为数学问

题，一切数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为方程求解问题。“普遍数学”伟大设

想背后所蕴含的数形结合思想，是今后学习解析几何的基本思想之一。

生：这个思想好厉害，真的能做到吗？

师：老师也想知道这个问题的答案。不过这个问题太大，今天在数学课堂上只研究其中


38

一个小方面。既然数学家笛卡儿认为能够将数学问题转化为代数问题，那么我们一起来研究，

数学中的几何问题能否与代数问题进行互相转化？

3.2 分析问题

创设探究情境，通过一个实例“探究方程 5 yx 如何用几何的形式表示”来探索几

何对象、代数对象之间的互相转化，以方程一组解的几何表示引发学生的认知冲突，引导学

生分析问题，突破从一维到二维的认知过渡，渗透数形结合的思想。

师：同学们，代数对象能不能用几何的形式进行表示？

生：我知道，以前学习过数轴，用数轴上的点来表示实数；反过来，不同的实数表示数

轴上不同的点。

师：很好，现在看看二元一次方程 5 yx ，能不能用几何的形式进行表示呢？

生：好像有些困难。

师：困难在什么地方？

生：这个方程有无数个解。

师：很好，那么先表示方程的一组解，可以么？

生：可以，不过也有困难，它的一个解

32

yx

，这里有两个实数。

生：一个实数可以用数轴上的一个点来表示，那么 � t h 可以表示数轴上的一个点。那

么 3y 要怎么表示呢？

生：能不能用数轴上的两个点来表示方程的这组解？

师：那么

23

yx

怎么表示？

生：不对，好像又和前面一样了。

生：表示 3y 时离开原来的数轴，再向上表示可以吗？将原来在数轴上表示 2的这个

点，再向上平移 3个单位长度就好了。

师：很好，那么

23

yx

怎么表示？

生：先用数轴上的点表示实数 3，再将这个点向上平移 2个单位长度。

师：很好！同学们的方法与数学家笛卡儿的方法很相似呢！

3.3 解决问题

借助描点法，重构式地重现数学家笛卡儿建立平面坐标系（不出现纵轴）的过程，在此


39

基础上引入负坐标（负的横、纵坐标），重构式地学习英国数学家沃利斯对坐标系的改进，

将解析几何的曲线范围扩展到整个平面。解决问题，用平面上的点集表示方程 5 yx 的

解，渗透平面上的点与有序实数对一一对应的关系，帮助理解平面直角坐标系构成的必要性。

师：方程的一组解

32

yx

可以表示成原数轴所在平面上的一个点（如图 2）。那么原方

程有无数个解，该如何表示？

生：可以表示成无数个点。

师：那么原方程 5 yx 用几何的形式表示成什么呢？

生：表示成一条直线，把这些点连起来就好（如图 2）。

图 2用平面上的点集表示方程 x + y = 5 图 3 用有序实数对表示平面上的点 F

师：很好！这个过程反过来是否也可以？现给出平面上的一个点 F，能不能反过来用两

个实数来表示出来呢？

生：可以过 F做 x轴的垂线段，垂足相交于数轴上的 2，点 F可以由垂足向下平移 3个

单位来得到，这个点可以表示为

32

yx

。

生：我发现点 F和刚刚用

32

yx

表示的点不是同一个点，向下平移的应该是负的，表

示为

32

yx

。

生：如果可以做一条垂线段，就能获得 y的对应值，那就更好了。

生：对的，可以试试再做一条竖着的数轴。

师：很好！数学家沃利斯也是这样想的。我们可以在公共原点处，由于数对的正、

负号组合情况有四种，而两条相交直线把平面分为四个区域，可使平面内点的分布情况


40

与“数对”的符号组合情况相互联系，两条数轴成为分界线。因而，可以用两条互相垂

直的数轴于原点处建立直角坐标系。

3.4 讲解新知

一般地，在平面内取一点 O，过点 O画两条相互垂直的数轴，且它们以点 O为公共原

点，在平面内建立了一个直角坐标系（如图 4）。对于水平放置的数轴，它的正方向向右，

称为横轴，记作 x轴；另一条垂直放置的数轴，它的正方向向上，称为纵轴，记作 y轴。平

面直角坐标系 xOy中，点 O称为坐标原点（简称原点），x轴与 y轴统称为坐标轴，直角坐

标系所在的平面称为直角坐标平面（简称为坐标平面）。

对于平面内的任意一点 P（如图 4），过点 P作 x轴的垂线，垂足为 M，可得点 M在 x

轴上所对应的实数 a；再过点 P作 y轴的垂线，垂足为 N，可得点 N在 y轴上所对应的实数

b，那么有序实数对（a，b）表示点。有序实数对（a，b）叫做点 P的坐标，记作 P（a，b）。

思考：（1）笛卡儿的坐标定义与课本的坐标定义有什么异同？（2）平面内的每一点都

对应唯一的有序实数对吗？

生：笛卡儿的坐标定义只有横轴，没有纵轴。课本的坐标定义既有横轴，又有纵轴。

师：很好！你更喜欢哪个坐标定义呢？为什么？

生：我喜欢课本里的平面直角坐标系的定义，它有横轴与纵轴，方便描绘出平面上点的

坐标（位置）。

师：当给定一个点，可以用几个坐标来表示这个点？

生：只用一个坐标表示。

师：方程 5 yx 的一组解是

32

yx

，另一组解是

23

yx

，分别用坐标如何表示？

生：第一组解表示为（2，3），另一组解表示为（3，2）。

师：（2，3）与（3，2）表示的是相同的点，还是不同的点？

生：表示不同的两个点。

师：不错，可见有序数对（a，b）的顺序是不能颠倒的。当 ba 时，（a，b）与（b，

a）表示不同的点。反过来，给定一个坐标，能画出几个对应的点呢？

生：只有一个对应的点。

师：为什么？

生（思考停顿）：因为有序数对（a，b）与横轴、纵轴上的点是相互对应的。

师：很好！平面上的点与有序实数对之间，有一一对应的关系。


41

图 4 平面直角坐标系与坐标平面内点的表示图 5 手稿传递中数学家们的位置

3.5 应用提升

“数学家手稿传递活动”：如图 5，笛卡儿位于图中点 O的位置，他的好朋友数学家费

马与其他朋友分别位于图中点 A、B、C、D、E、F的位置。现在，笛卡儿有一些重要手稿，

需要通过助手转交给费马与其他朋友们。请问，笛卡儿应该怎么样向助手描述这些朋友们的

位置呢？

3.6 数学文化

借助 HPM 微视频，首先简介“解析几何之父”数学家笛卡儿的生平与 17世纪的“笛

卡儿之梦”[8]。接着，随着历史画卷的展开，介绍中国“人民科学家”、中国科学院院士吴

文俊先生在数学机械化研究领域的工作，揭示数形结合思想的历史源流与传承。

法国著名数学家笛卡儿曾提出“普遍数学”的伟大设想，即将所有问题转化为数学问题，

一切数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为方程求解问题。笛卡儿创建解析几何，

在空间形式与数量关系之间架起一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化[9]。其蕴含了数形

结合思想，是解析几何的基本思想之一。如果笛卡儿“普遍数学”的伟大设想能够实现，不

仅是数学机械化的实现，更是全部科学机械化的实现。然而，现实情况往往更加复杂，难以

真正实践。

中国“人民科学家”吴文俊院士，在中国传统数学史研究的基础上，继承并发展了中国

古代以“问题解决”为主旨的算法体系，创立了“数学机械化”方法。几何问题的代数化是

几何问题机械化的第一步，为此需要引进数系，构建坐标系，把几何问题转化为代数问题进

行描述。1977年春，吴先生取得初步研究成果，发表了文章《初等几何判定问题与机械化

证明》，在文末附注中进一步阐释了“数学机械化”的思想起源：“我们关于初等几何定理

机械化证明所用的算法，主要牵涉到一些多项式的运用技术，例如算术运算与简单运算消元

法之类。应该指出，这些都是 12-14世纪宋元时期中国数学家的创造，在当时已有相当高度

的发展……事实上，几何问题的代数化与用代数方法系统求解，乃是当时中国数学家主要成

就之一，其时间远在 17世纪解析几何之前。”[10]现今，吴先生的数学机械化方法已经在物


42

理学、计算机学、人工智能等现代数学领域广泛应用。数学机械化的研究是中国当代数学发

展中一个引人瞩目的具有中国传统特色的新里程碑[9]。

3.7 课堂小结

师：通过本节课的学习，大家有什么收获？

生 1：平面直角坐标系有横轴与纵轴，用坐标来表示平面上的点，平面上的点也可以用

坐标来表示。

生 2：平面上的点与有序实数对是唯一对应的。

生 3：平面直角坐标系可以帮助我们将几何问题转化为代数问题。

生 4：原来我们想的方法与数学家那么相似，特别开心。

生 5：我喜欢数学家吴文俊，他的方法非常了不起。

通过课堂小结，指出本节课的核心内容“平面直角坐标系”，突破从一维的数轴过渡到

二维的平面直角坐标系构建的必要性，让人惊喜的是学生指出直角坐标系的重要作用——坐

标平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，数形结合思想昭然若揭。

4 教学反思

本节“平面直角坐标系”教学以解析几何预备课的课型切入：首先，基于历史相似性原

理，在教学中重构式地复现了数学家笛卡儿、费马、沃利斯数学家构建与改进平面坐标系的

过程，经历从一维的数轴过渡到二维的平面直角坐标系的学习过程，揭示纵轴产生的原因、

平面直角坐标系诞生的必要性，突出平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，领悟解析

几何中数形结合的思想方法，培育问题解决能力。简介“解析几何之父”数学家笛卡儿故事，

中国“人民科学家”吴文俊院士在数学机械化研究领域的工作，古今对比，了解中外不同数

学家对平面坐标系发展的历史贡献、平面直角坐标系在数学内部（如解析几何）、数学外部

（如社会生活）的重要作用，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，培育学

生的爱国主义情怀与文化自信，感受跨时空的数学文化交融。

5 结语

实践表明，HPM 视角下的“平面直角坐标系”教学深刻地揭示数学史的知识之谐、探

究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效的重要价值。

（1）知识之谐：以史为源，重构式地融入平面直角坐标系的发展历史，引导学生自然

地经历平面直角坐标系的产生过程，理解从一维的数轴到二维的平面直角坐标系过渡的自然

性、必要性，理解坐标平面上的点与有序实数对的对应关系，掌握平面内点的位置与坐标表


43

示之间的相互转化，揭示解析几何发展的历史演进。

（2）探究之乐：以教育取向的数学史为蓝本，巧妙设计数学探究活动，引导学生探寻

数学家发现平面坐标系的历史足迹，经历提出问题、分析问题、解决问题的过程，最后以“数

学家手稿传递活动”引导学生学以致用，巩固平面直角坐标系的重要作用，激发数学学习兴

趣。

（3）能力之助：平面直角坐标系是学生基于已有的实数、数轴等知识进行认知迁移，

帮助掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，提升问题解决能力，领悟解析几何中

数形结合的思想方法；

（4）文化之魅：借助历史时间轴，引导学生经历平面坐标系的发展史的三个重要阶段：

数学家费马与笛卡儿基于正数范围的单轴，研究方程与曲线的关系；英国数学家沃利斯对坐

标系进行改进，有意识地引入负坐标；19 世纪中叶至今，人们普遍使用直角坐标系，吴文

俊先生古为今用，进行“数学机械化”的开拓创新。另外，创设“数学家手稿传递活动”，

让课堂学习变得富有人文性。可见，数学史能让课堂充满数学文化的芬芳。

（5）德育之效：本节课学生感受到数学学科的德育芬芳。情感方面，比较学生方法与

历史上数学家方法的一致性，提升数学学习的成就感，提升数学学习信心，吴文俊先生的事

迹有助于增加学生的民族自豪感和文化自信。精神方面，感悟数学家们探寻与改进平面坐标

系的理性精神。信念方面，了解到平面直角坐标系的前世与今生、继承与发展，感悟数学来

源于生活、服务于生活的道路。品质方面，在分析、解决问题的过程中，锻炼了学生的倾听

他人、交流合作等良好品质。

此外，本节课融合微视频等教育信息技术，带动数学史内容的可视化呈现，承接“平面

直角坐标系”的数学史从学术形态到教育形态的转变过程，展示学生喜闻乐见的数学，激发

数学学习兴趣，顺应“互联网+HPM”的教育发展趋势。

参考文献

[1] 汪晓勤. HPM:数学史与数学教育[M]. 北京: 科学出版社, 2017: 19-23.

[2] 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会. 九年义务教育课本数学七年级第二学期（试

用本）[M]. 上海: 上海教育出本社, 2007: 121-128.

[3] 上海市教育委员会. 上海市中小学数学课程标准[M]. 上海: 上海教育出版社, 2002: 57.

[4] 汪晓勤, 柳笛. 平面解析几何的产生(一) ——古希腊的三线和四线轨迹问题[J]. 中学数

学教学参考, 2007, (17): 58-59.

[5] 汪晓勤, 柳笛. 平面解析几何的产生(二) ——费马与解析几何[J]. 中学数学教学参考,


44

2008, (1-2): 122-123.

[6] 汪晓勤. 平面解析几何的产生(三) ——笛卡儿与解析几何[J]. 中学数学教学参考, 2008,

(9): 61-62.

[7] 汪晓勤. 平面解析几何的产生(四)[J]. 中学数学教学参考, 2008, (11): 56-59.

[8] 李大潜等. 数学文化小丛书[M]. 北京：高等教育出版社, 2013: 57.

[9] 纪志刚. 吴文俊与数学机械化[J]. 上海交通大学学报(社会科学版), 2001, (3): 13-18.

[10] 吴文俊. 初等几何判定问题与机械化证明[J]. 中国科学, 1977, (6): 507-516.


45

学术活动

沟通历史与现实，融合数学与人文

——上海中学东校“变量与函数”教学观摩与研讨活动

2019年 10月 15日，正值上海中学东校十周年校庆之际，华东师范大学 HPM 研究团队、

HPM 工作室成员与广东省乡村中小学骨干教师高端研修班团队，一同前往上海中学东校参

加 HPM 工作室教学观摩与研讨活动。本次教学观摩活动在华东师范大学 HPM 研究团队的

指导下，以 HPM 视角展示初中“变量与函数”课例的精彩教学，授课教师为 HPM 工作室

成员、上海中学东校的牛德军老师。

牛老师首先以“汽车环绕滴水湖行驶”的现实情境引出生活中的数量关系，介绍变量、

常量等概念；接着对情境进行分类讨论，思考汽车行驶在“路况较好的市郊高速公路上”与

“路况较拥挤的市区道路上”两种情形，引导学生探究汽车行驶过程中变量与常量之间的关

系，揭示运动与变化是生活中的常见现象，其中蕴涵着变量之间的某种联系。

图 1 牛德军老师在上课图 2 认真听课的同学们

为进一步研究变量之间的关系，师生借助坐标系来研究篮球运动的过程，思考什么是函

数？牛老师通过多媒体向学生展示了课前对“函数概念”认识的学生调查，有些学生认为函

数是代数式、函数是坐标系图像、函数就是方程，有些学生认为函数是变量与常量的某些关

系。随后，牛老师抛出疑问：“数学家眼中的函数概念又是什么呢”，进一步激发学生们的

学习兴趣，引发探究的好奇心。牛老师借助 HPM 微视频，带领同学们穿越时空来到“函数

博物馆”，展示不同时期数学家眼中“函数的概念”，指出核心关键词，并给出现实例子加

以阐释。该微视频展示了函数概念由“幂、代数运算”到“变量依赖关系”，再到“变量对

应关系”的发展，引导学生穿越古今，游历中外，追溯函数概念不断演进的历史源流，体会

函数概念的思想本质。然后，牛老师巧妙地借助时间轴来展示不同时期函数概念的重点，点


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明同学们对函数概念的理解与历史上数学家的理解具有相似之处，引导学生穿越时空，与数

学家们进行对话。接着，教师对函数的概念进行归纳，并以例题、练习巩固函数概念的认识。

最后，师生共同归纳，总结本节课的学习收获。

在课后研讨中，牛德军老师与上海浦东新区教研团队、上海 HPM研究团队、广东省中

小学乡村数学骨干教师高端研修班等老师们开展全面深入的研讨交流。牛老师先从思考探索、

设计准备、试讲改进、授课心得等方面分享了宝贵的教学经验。在研讨过程中，浦东区教研

员齐敏老师充分肯定了牛老师史料引入的新颖性与课堂教学的连贯性，指出微视频的使用在

一定程度上帮助学生认识函数概念的历史演变，提高对函数概念的认识，且充满多元文化的

数学教学丰富数学学习，渗透学科德育。同时，齐老师也指出本节课存在一定的学习难度，

对学生的认知水平要求较高。

来自HPM研究团队的上海市市西初级中学王进敬老师认可牛老师教学内容的详实精彩，

赞赏课前调查、课后数学写作等形式的新颖丰富，有助于及时捕捉学生的所思所想，凸显学

情分析的重要性。王老师进一步指出本节课借鉴数学史构建历史与现实、数学与人文的两座

桥梁，让学生感受探究与思考的乐趣。岭南师范学院的齐春燕老师赞同本节“变量与函数”

的教学，指出牛老师较好地从不同角度培养学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力，

展示数学课堂上“函数概念”的精彩历史对话与火热的思维碰撞。

图 3 部分老师合影留念

未来，HPM 将给数学课堂带来崭新宽广的视角，促进立德树人与一线教学的深度融合，

为数学教育带来无限的可能！

（余庆纯、秦语真撰稿）


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领略数学文化之魅，探索锐角三角比之魂

——上海市市西初级中学 HPM教学观摩与研讨活动

2019年 10月 14日，华东师范大学 HPM 研究团队、HPM 工作室成员以及广东省乡村

中小学骨干教师高端研修班团队，来到上海市市西初级中学参加 HPM 工作室教学观摩与研

讨活动。本次活动以 HPM视角展示初中“锐角三角比的意义”课例教学，授课教师为一线

优秀数学教师王进敬老师。

王老师首先基于学生视角，提出校园生活中的“不可测量”问题，引导学生从构造中位

线（或平行线）、全等三角形、相似三角形等多角度思考解决问题的方法，即如何将“不可

测量”问题转化为“可测量”问题，揭示相似三角形与锐角三角比之间的密切联系，突出学

习锐角三角比的必要性、重要性，渗透从一般到特殊、从特殊到一般的数学思想方法。

图 1 王进敬老师授课时

沿着古人的足迹，师生共同进行探究，发现：在直角三角形中，当锐角α固定时，锐角α

的对边与邻边之比是定值；当锐角α变化时，角α的对边与邻边之比也随之变化，渗透函数思

想，揭示锐角三角比是三角函数的基础。在新知讲解中，介绍正切、余切的概念，以图表的

形式帮助学生对比两个概念之间的差异，并进行概念辨析，得出正切和余切定量地刻画了直

角三角形中锐角的大小与两直角边长度的比值之间的关系。接着，以锐角三角比概念的简单

应用进行巩固练习，借助微视频介绍锐角三角比在测定时间、天体距离、测量高度等方面的

实际生活应用，展示数学文化之魅，突出“数学来源于生活，服务于生活”的本质。最后，

师生共同归纳，总结本节课的学习收获与心得。


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图 2 课堂中，师生交流图 3 播放 HPM微视频

课后，王老师与上海 HPM研究团队、广东省中小学乡村数学骨干教师高端研修班的老

师们进行深入的交流与研讨。王老师先从前期准备、设计思路和授课感想三个方面分享了宝

贵的经验，详细阐述了在备课、磨课等过程中的心路历程。在研讨过程中，岭南师范学院的

齐春燕博士充分地肯定了王老师的课堂教学，认为本堂课史料翔实、逻辑清晰、重点突出，

彰显出数学史的多元价值。此外，研修班的老师们一致认为本节课是一节精彩的优质课，学

生合作交流、认真探究、解决问题；教师教学思路清晰、逻辑严谨、重点突出。最后，上海

HPM 研究团队的老师们指出 HPM 课例生动地展现数学知识的来龙去脉，深刻地揭示数学

思想的火热本质，展示数学文化的精彩魅力；同时传递数学的人文精神，渗透立德树人的德

育元素，助力学生数学学习与教师专业发展。

图 4 部分老师合影留念

（余庆纯撰稿）

上海 hpm -...

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