如何利用 HPM來推動數學史之研究

洪萬生國立台灣師範大學數學系教授

台灣數學教育學會 (TAME) 副理事長《 HPM 通訊》發行人

Email ： horng@math.ntnu.edu.tw個人網頁： http://math.ntnu.edu.tw/~horng

個人學術生涯之反思• 1985 年以前：文化史 (cultural history) 進路 /

數學史與科普寫作志業 / 數學史與通識教育

• 1985-1988 ：榮獲科教處獎學金，赴美專攻 HPM 。進入 CUNY 就學科學史博士班課程，學習社會史 (social history) 進路。同年赴美有王道還與徐光台。抵美之後，在哥大認識傅大為。後來，又在新澤西認識洪裕宏。

• 1988-1991 ：在清大歷史研究所以『兼任專家』名義兼課（當時只有『講師證書』，清大之『彈性』可見一斑），採取社會史進路，研究『談天三友』，撰寫『李善蘭』（博士論文）。

個人學術生涯之反思• 1992 年：在遠流出版社之贊助下，與洪裕宏，傅大為，

林正弘與戴華等創辦 Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal ，推動學術國際化。

• 1993 年：參加西班牙舉辦的第 19 屆國際科學史大會。• 1994 年：入選為國際科學史學院 (International Acade

my of the History of Science) 之通訊會員 (corresponding member) 。

• 1994 年： Historia Mathematica （國際數學史委員會之官方刊物）編輯委員。

• 2004 年：應邀擔任 HPM 國際研究群諮詢委員 • 2005 年： International Journal for the History of Mat

hematics Teaching (2006 年出刊 ) ：編輯委員。

個人學術生涯之反思• 1995 年：申請第一個數學教育研究計畫

『數學史與數學學習』。• 1996 年：參加 在葡萄牙舉辦的 HPM 96

Braga ，並接受委託承辦 HPM 2000 Taipei 。首次參與 HPM 國際學術活動。

• 1998 年 10 月：《 HPM 通訊》創刊，邀請蘇惠玉老師擔任主編迄今！

個人學術生涯之反思• 1999 年 8 月 -2001 年 7 月：特別研究計畫

（『文本計畫』），配合 HPM 2000 Taipei 之承辦，鼓勵研究生在國際學術研討會上曝光！

• 2002 年 8 月 -2004 年 7 月：『 HPM 與教師專業發展』特別研究計畫。

• 2001-2004 ：國科會科學教育處『數學教育學門』召集人。

HPM 之 DEMO!

• 1994 ：〈數學史上三個公式積圓面〉 • 1996 ：〈數學史與代數學習〉• 2000 ( 與林倉億合撰 ) ：〈數學史教學與數學觀的改變〉• 2000 ： “ Euclid versus Liu Hui: A Pedagogical Refl

ection” • 2001 ：〈貼近《幾何原本》與 HPM 的啟示：以驢橋定理

為例〉• 2002 ： “ Teaching Experiment with Proposition IX.2

0 of the Elements” • 2002 ： “ Cognitive Dimension of the HPM: Text vs.

Context”

HPM 之 DEMO!

• 2003 ：〈建構主義 vs. 柏拉圖主義：親愛的老師你站在哪裡？〉

• 2003 ： “ Power of Innovation: A Historical View”

• 2004 ：〈教改爭議聲中，證明所為何事？〉 • 2004 ：〈數學史如何呈現？〉 • 2005 ：〈從古今翻譯看數學文化交流〉 • 2005 ：〈 PCK vs. HPM: 以兩位高中數學教師

為例〉• 2005 ：〈從程序性知識看《算數書》〉

國一學生的一則學習札記 (1996)

• 我每天都幾乎有一節數學，我每天都在看黑板，老師寫的，自己慢慢的看，算法怎麼算，所以每天幾乎都可以理解了幾題。

• 假如我有一個題目不懂，就去問□ □ □（略去同學名字）怎麼作，他糾正我的寫法，我也慢慢的懂了。

• 我對數學有困難的是，不能容忍 x, y, z是個數字，並算出一個答案，這是自己面臨（林）到的一個困難，無法突（途）破！

宋金元的天元術：列方程式的方法

• 金元數學家李冶（或李治）《測圓海鏡》卷七第二題：

今有圓城一所，不知周徑。或問丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之，問徑幾何？

草曰：立天元一為半城徑。……⊙立天元一為半城徑，就相當於今日之設 x為圓城之半徑。

明代唐順之、顧應祥之『反應』• 唐順之：『藝士著書，往往以秘其機為奇。

所謂立天元一云爾，如積求之云爾，慢不省其為何語。』

• 顧應祥：『細考《測圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑則以一百二十為天元。既知其數，何用算為？』

晚清華蘅芳的《學算筆談》• 初學天元之人，每不知天元為何物，則心

中存一意見，以為所求之數尚未知，何以能立一天元，遽謂即是此數！

• 立天元之術，其意謂所求之數尚未知，而必有此數則可知，故以所立之天元一即為一個所求之數，亦即以所求之數為一個天元。是天元者，乃是記其所求之數之倍數也。

晚清華蘅芳的《學算筆談》• 所求之數，既能以天元代之，則可視之如已知，而將此數入算耳。故能將所立之天元與題中已知之各數相加減乘除，此天元之術所由立也。

• 天元則視未知之數無異於已知，故可將已知、未知之各數，依題中曲折以相證。則其所注意者，不在未知之數，而專在相等之兩積。

『一元一次方程式』單元：怎麼編寫？怎麼教學？

• 數學知識的『認知』 vs. 『邏輯』兩個面向如何折衷？

• 你（妳）認為老師怎麼教學而導致學生形成此一『迷思』（或『另類』）概念？

• 有很多老師『照本宣科』！你（妳）認為教材的編寫者強調了一元一次方程式單元的哪一個面向？

一位國中實習教師的教室日誌(2005 年 3 月 )

• 教學單元：一元一次方程式• (3 月 2日 ) 如果是平時上課，學生就會吵著要做練習題，但是今天卻沒有，可見大多數的學生對於這個單元都不太了解，我絕得依原一次方程式對這個年紀的學生真的很難！當年我學到未知數也是花了許久才理解，所以想要趕快學會就必須下苦工夫才行！

一位國中實習教師的教室日誌(2005 年 3 月 )

• (3 月 9日 ) 有些數學問題是我在學習過程中不曾遇到的，所以我比較不知道學生是如何思考的？例如：化簡 9x+5-8x 會得到 17x+5 的答案，這當然是錯的啦！正確答案是 9x-8x+5 = (9-8)x+5 = x+5 ，但是學生卻是這樣子看的︰ 9x+8x+5 = 17x+5 ，原本我說正負號要跟好，意思是 8x 前的負號要一起看成 -8x ，但是學生卻是看成 9x+ 後面的東西，難怪怎麼算都錯！但是我平常事〔示〕範例題的時候都有用不同的顏色的粉筆圈起來一再強調，學生卻還是沒有感覺，問題出在哪裡呢？專心度不夠？學生程度不好？

一位國中實習教師的教室日誌(2005 年 3 月 )

• 本週 (3/7-3/11) 與指導老師討論重點︰• 一、 103這個班級學生學習這一個單元的表 現太差、許多學生都需要個別指導才行！我和○ ○老師安排時間加強指導學生，希望能讓更多人跟上學習進度。

• 二、要求學生徹底了解以符號代表數的真意〔義〕很困難，目前我們的目標是期望學生依照規則將題目做對，例如… …

• 三、課本解一元一次方程式用等量公理教學，但是補充的部分是用移項法則，學生的反應普遍都不懂！雖然只不過是省略幾個步驟，就可以更快地解出未知數，可惜學生剛接觸這個單元，就是想讓學生用移項法則〔，這〕似乎太快了，所以教學還是要是〔視〕班級學生程度而定。

一位國中實習教師的教室日誌(2005 年 4 月 )

• 4 月 4日：利用摺紙來看三角形中的角平分線和中垂線，教師在台上示範教學，學生也有附件可以自己動手做，有學生私下反應這樣子的課程比較有趣，因為可以親自參與，並不是只有聽老師說。

• 4 月 22日：雖然數學教了圓形，但並非將每一個有官員行的概念都介紹過（國一的學習目標不需要這麼難的程度），學生做題目的時候就會先遇到先備知識不足的情況，例如：只教了圓心角，卻未交圓周角，更別提是否知道其中的角度關係了！可是試卷或是講義（訂購的）就會出現這樣的題目，如果要讓學生明白原因，就必須花很多時間完整教學（將會耽誤到原本的進度），但是讓學生只記得結果或公式又非數學教師的本意，想要兼顧兩方面還真是難！

阿基米德的動手做『功夫』： Eureka ！（取自小天下《圖形的探險》，陳昭蓉翻譯）

希臘史家 Plutarch 評論阿基米德的動手做『功夫』

• 阿基米德的一些動手做發明，只不過是『研究幾何之餘供消遣的玩意』！他的『志氣如此之高，心靈如此之幽深，科學知識如此之豐富，以致於雖然她的這些發明使人們把他看得神乎其技，他卻不削把這些東西寫成書流傳於世，把所有直接為了使用和謀利的機械和技巧都看做是鄙賤之事，而一心一意追求那美妙的，不夾雜俗世需求的學問。』

• 不過，丹麥考據學家 Heiberg 1905 年在伊斯坦堡發現阿基米德的一本十世紀的羊皮手抄稿《方法》 (The Method) ，推翻了 Plutarch 的說法。可見阿基米德也很喜歡『勞作幾何』！

教師努力設計或布置教學活動，教學時數夠嗎？

• 帶領學生利用摺紙來領會幾何概念，是不是一個恰當的教學活動？曾有國內明星大學數學家評論說這是一種『勞作幾何』！

• 從『勞作（或直觀）幾何』到『論理幾何』！從一般學生到資優學生！

• 『卓越追求』與『社會正義』如何兩全？

劉徽注 (263 AD) 的價值與意義

• 根據高樹藩編纂《正中形音義綜合大字典》 ( 台北：正中書局 ) ︰在甲骨文、金文中缺『注』字。小篆注：從水、主聲，其本義根據許慎《說文解字》作『灌』解，乃自彼輸水適此之意，故從水。又以主在古代為元首之略稱，乃臣屬殊途同趨以朝者；諸細流之注湖澤江海，亦係殊途而同歸之，故注從主聲。

• 漢唐宋時，解釋經史子集曰注，明人始改『注』為『註』！

劉徽如何說明『約分術』• 約分術曰：副置分、母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。故以等數約之。

• 劉徽注：其所以相減者，等數之重疊也，故以等數約之。

• 更相減損 vs. 輾轉相除法• 《幾何原本》中的輾轉相除法：『設有不相等的二數，從大數中連續減去小數直到餘數小於小數，再從小數中連續減去餘數直到小於餘數，這樣一直作下去，若餘數總是量不盡其前一個數，直到最後的餘數為一個單位，則該二數互素。』

數學教育家 Keith Weber 『如何』看待證明？

(1) 用以說服的證明 (proofs that convince) – Heine-Borel 定理之證明，可以說服但無法說明。

(2) 用以說明的證明 (proofs that explain) – 『中間值定理』(intermediate value theorem) 之證明，可以說明但無法說服。

(3) 用以核證定義或公設結構的證明 (proofs that justify the use of a definition or axiomatic structure) – 利用 Peano 公設來證明 2+2=4 。

(4) 用以解釋技巧的證明 (proofs that illustrate technique) – 證明函數 f(x) 為連續函數，則被認為是解釋技巧用的證明（譬如如何熟練 epsilon-delta 的極限定義與技巧）。

劉徽注 vs. 數學證明• 劉徽對『約分術』中的『更相減損』之說明手法，就是利

用一個命題『分子、分母之等數重疊』（分子、分母有最大公因數），來解說『更相減損』這個算則 (algorithm) 。

• 歐幾里得的證法當然不是如此，因為他所運用的邏輯推論都是運用在命題之間。

• 如果說劉徽與歐幾里得在分別解說『更相減損』與『輾轉相除法』時，都各自運用了『概念性知識』來進行連結，那麼，劉徽的版本由於出自中算脈絡，在風格上比較接近 David Tall 所謂的『程序成概念』 (procept) 。

• 劉徽這個注的論證形式可以『翻譯改寫』如下： 因為分子、分母都是等數的重疊，所以，我們可以運用輾

轉相減求出等數，從而可以利用等數來约簡它們。

劉徽注 vs. 數學證明• 在此，我們補上了『求出等數』這個運算結果。

『分子、分母都是等數的重疊』固然是一個命題，後兩者卻是算法而非命題，因此，劉徽在此一脈絡中的註解目的，大概就是利用『分子、分母都是等數的重疊』，來提供『輾轉相減』此一算法的理由。在此一『論證』中，『理由』與『歸結』 (conclusion) 之間，沒有所謂的邏輯必然 (logical necessity) 。

• 如果『所以』之後的第一個命題改成『分子、分母一定存在有最大等數』，那麼，「因為分子、分母都是等數的重疊，所以，分子、分母一定有最大等數」，無疑就是邏輯之必然了。

劉徽注 vs. 數學證明

• 有別於歐幾里得論證的『推演關係』 (derivation relationship) ，劉徽的論證頗像是掌握了『核證關係』 (justification relationship) 。

• 前者是命題 (譬如 A 與 B 之間 ) 的演繹關係，後者則是在比如『論述句』 (argument) A 被宣稱成立的情況下，『論述句』 B 是用以支持 A 或反駁 A 。前者之 A 是當作前提 (premise) 或假設 (hypothesis) 用的，至於後者的 A 則是一個論題 (thesis) 。日常語言中的所謂『推論』 (reasoning) ，大都指後者而言。

• 數學史上一些『數值核證』 (numerical justification) 或『幾何圖形重構』 (geometrical reconfiguration) （譬如劉徽的『出入相補』），嚴格說來都無法構成數學證明，然而，它們卻是不折不扣的『論述句』，可以在引出相關命題之為真時，為我們加強信心。

劉徽注的意義• 『注』是甚麼意思？• 給定 (已知 ) 『方田』面積：『廣從步數相乘為積步』

• 說明『圭田』面積︰『半廣以乘正從』• 方法︰以盈補虛

劉徽注圓田術• 圓面積公式：『半周半徑相乘得積步』• 劉徽注首句︰『按半周為從、半徑為廣，故廣從相乘為積步也。』

• 劉徽的『割圓術』︰『割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣！』

• 劉徽先證明圓面積公式，再據以求圓周率近似值。此一進路與古希臘阿基米德類似。

阿基米德證明圓面積公式的朝鮮版

• 本圖取自朝鮮兩班南秉吉的《九章術解》(約 1860 年代 )

• 南秉吉修訂了傳到中國的《數理精蘊》（清康熙皇帝主編）中的圖形與證法。

劉徽 vs. 阿基米德• 劉徽『直接』進路：割到不可割！• 阿基米德『間接』迂迴，運用了所謂的

『窮盡法』 (the method of exhaustion) 。固然『嚴密』，可惜，失之『直觀』！

• 刻卜勒 (Kepler) 的『直觀』解讀 – 說明為甚麼圓面積長成那個樣子！

• 刻卜勒的能力，稱作『數學洞察力』 (mathematical insight) ！

美國加州公立數學課程綱要『幾何』（ 8-12 年級）

• 此一課程綱要的『論理嚴密』，廣受國內很多數學家推崇：

『數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。

上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。

數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟 (intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。』 (CDSMS, 2000, pp. 72-73)

美國加州公立數學課程綱要『幾何』（ 8-12 年級）

• 『三角形或多邊形與外接圓的關係，應該及早安排教授：

在幾何課程中，似乎沒有人好好考慮將有關圓形的定理趁早引進。譬如說吧，有關在圓形中等弧對等角的一些相當特出的定理，必須在介紹完幾何公理之後三週內就呈現給學生。而這，主要的目的是證明下列兩個定理：

1. 等腰三角形兩底角相等； 2. 一個三角形的外角等於兩個遠內角的和。』

《幾何原本》的邏輯順序• 在《幾何原本》 (The Elements) 中，等弧對等角之相關定理，卻是安排在第 III冊命題 27、 28與 29 ：

III. 27. 在等圓中，等弧上的圓心角或圓周角是彼此相等的。

III. 28. 在等圓中等弦截出相等的弧，優弧等於優弧，劣弧等於劣弧。

III. 29. 在等圓中，等弧所對的弦也相等 （歐幾里得， 1992 ，頁 81-83； Heath, 1956, v

ol. 2, pp. 58-60 ）。

《幾何原本》• 證明 III. 27 ，就依賴了 I. 23、 III. 20 與 III.

26 。但是， III. 20 的證明依賴了 I. 5 。 III. 26依賴了 III. 24 ，從而 III. 10 ，乃至於 I. 8 ，後者最後還是依賴了 I. 5 。至於 I. 23 則是基於 I. 8 ，於是，最終還是仰賴了 I. 5 。

• I. 5 的（完整）內容為： 『在等腰三角形中，兩底角彼此相等；並且若向下延長兩腰，則在底以下的兩角也彼此相等。』

《幾何原本》• 若想利用 III. 27 來引進『等腰三角形兩底角相等』之命題，而又不想離開歐幾里得的脈絡，那麼，我們勢必無法迴避邏輯推論上的循環謬誤 (circular fallacy) 。

• 再以 III. 28 與 III. 29 的證明為例，前者至少依賴了 I. 8 ，因而一定逆推回 I. 5 ，於是，循環謬誤仍然無法避免。同理，證明 III. 29必須依賴 III. 27 ，於是，循環謬誤依然。

邏輯嚴密 vs. 直觀推論• 加州標準設計者『想當然爾』的及早引進

三角形外接圓的進路，在邏輯嚴密上無法自圓其說。

• 同理，如果利用作頂角平分線的圖形，來證明等腰三角形兩底角相等，則由於角平分線可作圖之命題為 I.9 ，而 I.9 必須依賴 I.8 ，而後者則必須依賴 I.5 。因此，最『直觀』的證法，也陷入邏輯上的循環謬誤。

文本 vs. 脈絡• 數學文本 (text) 的四面向： 1. 數學知識（含認識論面向）（理解古代

文本的起點） 2. 數學知識本質等（數學哲學） 3. 歷史（演化）（數學史） 4. 社會文化（與數學社會學有關）

『數學史』教學反思 (9/30/04)教學目的：培養學生恰當『提問』的能力，這些問題包含 『歷史問題』、『數學問題』與『數學史問題』

等等。主題：《隋書》中有關『祖率』文本（ 1306 年影本）之討論： 古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉

徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，圓周二十二。又設開差冪、開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為綴術，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。

學生所提出來的問題

• 祖沖之怎麼算出來的？• 劉歆等人算到哪？• 祖沖之的動機為何？為何他要算那麼多？• 祖沖之的成就對後世有何意義？• 祖沖之如何確認此一『正數』？• 祖沖之的方法與前人有何關係？• 長度單位如何定義？• 為何學官看不懂？• 密率、疏率如何挑選？• 因為採用了長度單位，所以無法往下算？為何要採用單位？

HM 與 HPM 可以互惠 ⊙ HPM : HM :: Applied Mathematics : Mathematics

HM = History of Mathematics; “::” means “analogous to”; HPM as applied HM.

⊙ HM and the General Education or Liberal Studies: the Humanistic Aspect of Mathematical Knowledge.

⊙ HM Becomes Expertise of Professional Historians. ⊙ HPM Restores One of the Central Themes, which HM

was supposed to do, namely, to Explore the Humanistic Aspect of Mathematics.

⊙ John Fauvel and Jan van Maanen eds. (2000). History in Mathematics -- An ICMI Study Book.

Methods of Research– 如何提問： Asking Historical Questions in t

he Perspective of Mathematical Teaching and Learning; Same Subject (such as Hua Hengfang) with Different Perspectives.

– 如何說明： Explaining the Texts in terms of HPM; Liu Hui’s Methodology.

– 教學面向的反思： Pedagogical Reflections on the Comparative Study of Mathematics in Different Cultures; Liu Hui versus Euclid, Li Rui versus Nam Pyong-Gil.

Methods of Research

– HPM = Applied History of Mathematics; Making Cognitive Conflict by Bringing Texts into Classroom; My Special Project!

– Dual Nature of Mathematical Knowledge (i.e., the procedural and the conceptual) versus Transmission and Transformation of Mathematical Cultures.

– Analysis versus Synthesis: Berggren’s Argument.

Berggren 的觀點• 在『解析方向』， Berggren 認為從現代教育研

究有關證明的文獻出發，（逆向）考察現代教育研究是否『照亮』 (illuminate) 了阿拉伯的相關數學文本。在『綜合方向』， Berggren （意在順向）證明中世紀阿拉伯數學史的研究結果，可以賦予現代相關數學教育研究結論之實質內容。此處 Berggren 所謂的『解析』 (analysis) vs.『綜合』 (synthesis) 取自古希臘的相關方法論。不過，有關這種跨學門 (interdisciplinary) 的相互啟發，我們也不能無限上綱。還有，現代術語的釐清與套用，也必須謹慎從事才好。

『通訊團隊』四大領域及相關研究成果

• HPM

博士論文：蘇意雯碩士論文：王文珮，李秀卿，洪秀敏， 洪誌陽，黃志宏，楊淑芬，

董芳成，顏志成，蘇惠玉， 蘇意雯

東算史

• 碩士論文：吳秉鴻，李建宗，周宗奎，林肯輝，洪宜亭，孫梅茵，張復凱，陳冠良，葉吉海，蕭文俊，謝三寶， 謝佩珍。

漢簡《算數書》• 蘇意雯，蘇惠玉，蘇俊鴻，葉吉海， 黃清揚，陳鳳珠，林倉億，吳秉鴻， 楊瓊茹• 2006 年夏天，本系將主辦『《算數書》及其相關漢簡國際學術研討會』。預料將有美，英，法，日等數學史與醫學史學者15 人應邀來訪，國內論文將有 10 篇之多。中國學者二至三名也在邀訪之列，不過，可以確定他們將『不准』前來與會！

中國明清數學史： 1600-1900

– 台清大碩士論文：周秀娟，許進發， 劉天祥，歐秀娟，鄭鳳凰，羅春暉– 台師大碩士論文：王連發（明），王錫熙，

李俊坤，阮錫琦，林旻志，林倉億， 徐梅芳（明），許雪珍（明），郭慶章，

陳威男（明），陳彥宏，陳啟文，陳敏晧（明），陳鳳珠，黃清揚（明清）， 楊玉星，楊淑玲，楊瓊茹（明），歐士福，蘇俊鴻

中國明清數學史： 1600-1900

• 明末清初 (1600-1722)

• 清中葉前期 (1723-1796)

• 清中葉後期 (1797-1820)• 晚清時期 (1821-1900)

二、明末清初時期 (1600-1722)

• 《幾何原本》 (1607)；《同文算指》• 徐光啟 (1562-1633) ：進士、內閣大學士• 梅文鼎 (1633-1721) ：布衣• 方中通 (1633-1698) ：明末遺老方以智之子，不願出仕

• 程大位：《算法統宗》 (1592)

• 勾股術 (1368-1806)

三、清中葉前期 (1723-1796)

• 康熙主編：《數理精蘊》 (1723)• 梅玦成 (1681-1763) ：賜同舉人出身，算

學大臣，《赤水遺珍》• 明安圖《割圓密率捷法》（ 1774 ），掀起

清中葉三角函數展開式的研究熱潮。• 戴震 (1724-1777) ：《四庫全書‧天文算法類》 (1773) 纂修兼分校官，『館案』！

• 『借根方』與『天元術』之對話 (1723-1820) （林倉億論文）

四、清中葉後期 (1797-1820)

• 借根方與天元術之對話• 談天三友：焦循 (1763-1820)、汪萊 (1768-181

3) 與李銳 (1769-1817)• 乾嘉學派：中法派 vs. 西法派• 駱騰鳳 (1770-1841) ：大挑、縣學訓導• 安清翹 (1756-1829) ：進士• 張作楠 (1772-?) ：進士• 經學家治算 vs. 算學家治算• 《疇人傳》 (1799)

五 晚清時期 (1821-1900)

• 算學作為一種『專門之學』• 李善蘭、華蘅芳 (1833-1902) 與西算的翻譯• 算學與自強：算學的制度化趨勢；算學試題之研

究• 晚清八大家：羅士琳 (1789-1853)、項名達 (178

9-1850)、徐有壬 (1800-1860)、戴煦 (1805-1860)、顧觀光 (1799-1862)、李善蘭 (1811-1882)、鄒伯奇 (1819-1959)、夏鸞翔 (1823-1864)

• 羅士琳《疇人傳續編》 (1840)、諸可寶《疇人傳三編》 (1886)、黃鐘駿《疇人傳四編》 (1898)

五 晚清時期 (1821-1900)

• 丁取忠 (1810-1877) ：幕友• 張之洞《書目答問》 (1875) ：本書推薦『天文算法』書目；也推舉『算學專門名家』。 1820 年代之後，董祐城是唯一兼有『胼體文家』頭銜的數學家。

• 晏聯奎 (1820-1890?) ：大挑，司鐸。• 梅啟照 (1830-1898) ：進士，東河河道總督。• 張文虎 (1808-1885) ：幕友、（官）書局編輯• 汪康年 (1860-1911) ：舉人，《時務報》 (1896-

1898) 總經理

參考文獻：研究生習作• 王連發 (2002). 《勾股算學家－明顧應祥及其著

作研究》 • 王錫熙 (2003). 《清代算學家梅啟照及其算學之

研究》 • 李俊坤 (2003). 《 (晏聯奎 ) 《中西算學合訂》內容之研究》

• 林旻志 (2003). 《清代算學家張作楠及其算學研究》

• 林倉億 (2002). 《中國清代 1723-1820 年間的借根方與天元術》

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• 徐梅芳 (2005). 《顧應祥《測圓海鏡分類釋術》之分析》

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• 黃清揚 (2002). 《中國 1368-1806 年間勾股術的勾股術發展之研究》

參考文獻：研究生習作• 楊玉星 (2003). 《清代算學家方中通及其算

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• 陳威男 (2002). 《明代算書《算法統宗》內容分析》

參考文獻：研究生習作• 陳敏皓 (2002). 《李之藻《同文算指》之研究》• 陳鳳珠 (2001). 《清代算學家駱騰鳳及其算學研

究》• 陳彥宏 (2003). 《清代算學家安清翹之《矩線原

本》內容分析》• 郭慶章 (2005). 《羅士琳及其算學研究》• 歐士福 (2005). 《從算學試題看中國晚清 1870-1

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華蘅芳》

參考文獻：研究生習作• 楊淑玲 (2005). 《顧觀光《九數存古》之內容分析》

• 鄭鳳凰 (1996). 《李銳對宋元算學的研究－從算書校注到算學創作》

• 蘇俊鴻 (1996). 《焦循《加減乘除釋》內容分析》

結論 (Concluding Remarks)

‧ 整合資源： Integrating Resources of Mathematics Education and History of Mathematics in the Context of Department of Mathematics at the Normal University, say NTNU. ‧ 推動研究： Promoting Research on Teacher

Profession Development in terms of HPM. Master Program in HPM, one which created at NTNU, for In-service Primary and High School teachers.

結論 (Concluding Remarks)

‧ 江河不擇細流： Inviting Mathematicians to Join the HPM Community. The Example of New Mexico State University: R. Laubenbacher and D. Pengelley’s Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers. ‧ 恰當地提問： Encouraging Historical Resear

ch in terms of HPM; Exploring HPM Problems on the Same Subjects. ‧ 批判性反思： Critical Re-evaluation of the C

urrent Historiography of Mathematics in light of Transmission Issues.

餘音裊裊 (Epilogue)

• Mathematics + Taiwan Cuisine = Enjoyment of HPM ?

• TAME (Taiwan Association for Mathematics Education ，台灣數學教育學會 ):

We are going to “tame” mathematics in terms of HPM!

中國數學史家終於『覺悟』 ?!

• 2005 年 5 月 1-4 日，由中國全國數學史學會、西北大學主辦的『第一屆全國數學史與數學教育會議』在西北大學萃園賓館召開。主旨是探討如何將數學史與數學教育相結合；如何在數學教學中運用數學史；並組建我國數學史與數學教育學術團隊。

• 理論探討：數學史的教育價值• 實踐開發：數學史在教學中的運用• 時代呼喚：數學史走進新課程• 關注焦點： HPM案例的研製• 組織建設：成立『全國數學史與數學教育學會』