• 例：设整数集 I 上的模 2 同余关系为 R,这是 I 上的等价关系。

• 在 R 下，把 I 中所有与 0 有关系即与 0等价的整数划分为一类，记为 E；

• 与 1 等价的所有整数划分为一类，记为O

• 集合 I 中的元素或者属于 E ，或者属于O, 且它们互不相交。

• 由关系 R把 I 分为两类： E和 O，• 这就是 I 的一个划分。

• 三、等价关系与划分• 定义 2.14 ：设 R 是 A 上的等价关系 ,

对于每个 aA,与 a 等价的元素全体所组成的集合称为由 a 生成的关于 R 的等价类 , 记为 [a]R, 即 [a]R={x|xA,xRa},a 称为该等价类的代表元。

• 在不会引起误解的情况下 , 可把 [a]R 简记为 [a]。

• 定义 2.15 ：设 R 是 A 上的一个等价关系 , 关于 R 的等价类全体所组成的集合族称为 A 上关于 R 的商集 , 记为 A/R, 即 A/R={[a]|aA}。

• 例：整数集 I 上的模 2 同余关系 R ，其等价类为 [0],[1] 。

• 其 中 [0]={…,-4,-2,0,2,4,…}=[2]=[4]=[-2]=[-4]=…

• [1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=…• 因此 A/R={[0],[1]}• 例 : 整数集 I 上的模 n 同余关系是 I 上的等价

关系。 I 上关于 R 的等价类为：• [0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…}• [1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…}• …• [n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…}• 这些类又称 I 上模 n 同余类。• I 上关于 R 的商集 I/R={[0],[1],…,[n-1]}

• 定理 2.13 ：设 R是 A 上的等价关系 , 则• (1) 对任一 aA,有 a[a];

• (2)若 aRb, 则 [a]=[b];

• (3)对 a,bA, 如果 (a,b)R, 则 [a]∩[b]=;

AaAa

][)4(

此定理的 (1) 说明 A 中每个元素所产生的等价类是非空的定理的 (2) 、 (3) 说明：互相等价的元素属于同一个等价类，而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素定理的 (4) 说明： A 上等价关系 R 所对应的等价类的并就等于 A. 由此定理说明 A 上等价关系 R 所对应的等价类集合是A 的一个划分。该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。

• 证明： (1) 对任一 aA ，因为 R是 A 上的等价关系，所以有 aRa(R 自反 ) ，则 a[a]。

• (2) 对 a,bA, aRb, 分 别 证 明 [a][b] ，[b][a]。

• 对任意 x[a]( 目标证明 x[b] ，即 xRb)。• 下面证明 [b][a]

• 对任意 x[b]( 目标证明 x[a] ，即 xRa)。• (3)对 a,bA, 如果 (a,b)R, 则 [a]∩[b]=• 采用反证法。假设 [a]∩[b]≠ ，则至少存在

x[a]∩[b]。

AaAa

][)4(

AaxAaaxAa

][,,][ 使得必存在某个对任意的

AaAa

][所以

Aa

axxAx

][][,有又对任意的

Aa

aA

][所以

AaAa

][因此有

• 例 ： 设 A={1,2,3,4} ， R={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1), (4,2)} 为等价关系。

• 其等价类为 [1]={1,3}• [2]={2,4}• [3]={1,3}• [4]={2,4}• 划分 ={[1],[2]}

• 前面是给定等价关系唯一确定划分，反过来，给定一个划分，也可唯一确定一个等价关系。

• 设非空集 A 上划分 ={A1,A2,…,An} ，定义A 上二元关系 R： aRb 当且仅当存在 Ai,使得 a,bAi。

• 即 R=(A1A1) (A∪ 2A2) … (A∪ ∪ nAn)• 容易证明 R 是等价关系。• 定理 2.14 ：集合 A 上的任一划分可以确定

A 上的一个等价关系 R。• 例 ： 设 A={a,b,c} 的 一 个 划 分 ={{a,b},

{c}}, 由确定 A 上的一个等价关系 R：• R=({a,b}{a,b}) ({c}∪ {c})={(a,a),(a,b),

(b,a),(b,b), (c,c)}

• 定 理 2.15: 设 R1 和 R2 是 A 上 的 等 价 关系 ,R1=R2 当且仅当 A/R1=A/R2。

• 定理 2.13 和定理 2.15 说明集合 A 上的任一等价关系可以唯一地确定 A 的一个划分。

• 定理 2.14 和定理 2.15 说明集合 A 的任一划分可以唯一地确定 A 上的一个等价关系。

• 集合 A 上给出一个划分和给出一个等价关系是没有什么实质区别的。

• 设集合 A 上的等价关系为 R1和 R2, 它们通过并和交运算而得到的关系是不是等价关系 ?

• 若是 , 其对应的划分与原来的两个划分有何联系。

• 四、划分的积与和• 1. 划分的积• 定理 2.16 ：设 R1和 R2是 A 上的等价关系 ,则 R1∩R2是 A 上的等价关系。

• 定义 2.16 ：设 R1和 R2是 A 上的等价关系 , 由 R1和 R2 确定的 A 的划分分别为 1 和 2,A 上的等价关系 R1∩R2 所确定的 A 的划分 , 称为 1 与 2 划分的积 , 记为 1·2 。

• 定义 2.17 ：设和 ' 是 A 的划分 , 若 ' 的每一块包含在的一块中 , 称 ' 细分 , 或称 ' 加细。

• 例 ： '={{1},{2},{3,4}} ， ={{1,2}, {3,4}}

• 因为 {1}{1,2} ， {2}{1,2} ，• {3,4}{3,4} ，• 所以 ' 细分• 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系

R'和 R 它们之间有何联系？

• (1) 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系 R'和 R 满足 R'R。

• 证 明 ： 对 任 意 (a,b)R‘ ， 目 标 是(a,b)R

• (2)若 R'R ，是否有 ' 细分？• 证明：对任意 S‘’, 目标是 S• S‘S• 定理 2.17 ：设 ',是 A 的划分 , 它们

确定 A 上的等价关系分别为 R,R', 则 ' 细分当且仅当 R'R。

• 定理 2.18 ：设 1,2是 A 的划分 , 则• (1)1·2 细分 1 与 2 。• (2) 设 ' 是 A 的划分 , 若 ' 细分 1 与 2, 则

' 细分 1·2 。• 证明： (1) 设 1 和 2 分别对应的 A 上关系是 R1

和 R2 ，则 1·2 对应的关系为 R1∩R2。• (2) 设 ' 对应 A 上关系是 R'， 1 和 2 分别对

应的 A 上关系是 R1和 R2 ，则 1·2 对应的关系为 R1∩R2。

• 2. 划分的和• 设集合 A 上的等价关系为 R1和 R2, 容易

证明 R1 R∪ 2是 A 上的自反和对称关系 ,但不是 A 上的等价关系。然而 R1 R∪ 2 的传递闭包是 A 上的等价关系。

• 定理 2.19:设 R1和 R2 是集合 A 上的等价关系 , 则 (R1 R∪ 2)+是 A 上的等价关系。

• 定义 2.18:设 R1和 R2是 A 上的等价关系 , R1和 R2 确定 A 的划分分别为 1 和 2 。 A 上的等价关系 (R1 R∪ 2)+ 所确定 A 的划分称为 1 与 2 划分的和 , 记为 1+2 。

• 定理 2.20 ：设 1,2是 A 的划分 , 则• (1)1 与 2 细分 1+2 ；• (2) 设 '是 A 的划分 , 若 1 与 2 细分 ',

则 1+2 细分 ' 。• 证明： (1) 设 1 和 2 分别对应的 A 上关系是 R1 和 R2 ， 则 1+2 对 应 的 关 系 为(R1 R∪ 2)+

。

• (2) 设 ' 对应 A 上关系是 R'， 1 和 2 分别对应的 A 上关系是 R1和 R2 ，则 1+2 对应的关系为 (R1 R∪ 2)+

。

2.7 次序关系

• 集合中还有一种重要的关系：次序关系。它可用来比较集合中元素的次序 , 其中最常用的是偏序关系和全序关系。

• 1. 偏序关系• 定义 2.19,2.20:设 R 是集合 A 上的二元

关系 , 若 R 是自反的 , 反对称的和传递的 , 则称 R是 A 上的偏序关系。又记为≤ ( 注意 , 此符号在这里并不意味着小于或等于 ) 。若集合 A 具有偏序关系 R, 则称 A 为偏序集 , 记为 (A,R)。

• 实数集 R 上的小于或等于关系≦；• 正整数集 Z+ 上的整除关系；• 集合 A 的幂集 P(A) 上的包含关系。• 由 于 它 们 都 是 偏 序 关 系 ， 因 此 (R,≦)

(Z+,|), (P(A),) 都是偏序集。• 偏序集必须有一个具体给定的偏序关系• 例 ： A={1,2},P(A)={,{1},{2},

{1,2}}, 则 A 的幂集 P(A) 上的包含关系

{(,),(,{1}),(,{2}),(,{1,2}), ({1},{1}),({1},{1,2}),({2},{2}), ({2},{1,2}),({1,2},{1,2})}

• 定义：对于集合 A 上的偏序关系 R, 如果 A中两个元素 a,b有 aRb, 则称 a与 b 是可比较的。

• 在上例中，与 ,{1},{2} 与 {1,2} 都是可以比较的，而 {1} 与 {2} 无包含关系，故不可比较

• 由此可见：偏序集合中任意两个元素不一定可比较的。

• 但对于实数集上的小于或等于关系≦，对任意两个实数 x,y, 或者 x y,≦ 或者 y x≦ ，必有一个成立，故 x和 y 是可以比较的。

• 全序关系

• 定义 2.22,2.23 ：设≤是集合 A 上的二元关 系 , 如 果 对 于 A 中 任 意 两 个 元 素a,bA, 必有 a≤b或 b≤a, 则称≤是 A 上的全序关系 ( 或称线性次序关系 ) 。而该集 合 称 为 全 序 集 或 线 性 次 序 集 , 记 为(A,≤)。

• 整数集 I 上的小于或等于关系≦是全序关系 , 但 I 上的整除关系 / 不是全序关系。而前面给出的幂集 P(A) 上的关系也不是全序关系。

• 2．Hasse 图• 偏序集 (A,R) 可以通过图形表示 , 该图叫哈

斯图。是对关系图的简化。• (1) 由于偏序关系是自反的，即对每个元素

a, 都有 aRa ，因此在图上省去自环• (2) 由于偏序关系是传递的，即若有 aRb,

bRc 则必有 aRc, 因此省去 a与 c 之间的连线• (3) 对于 aRb, 规定 b在 a 的上方，则可省去

箭头。• 这样的图称为哈斯图。

• A={1,2}, 画出 A 的幂集 P(A) 上的包含关系的哈斯图

• P(A)={,{1},{2},{1,2}}

• 例 A={2, 3, 6, 12, 24, 36}, 画出偏序集 (A, /) 的哈斯图。

• 设 A 上的小于等于关系≦ ,A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, 画出偏序集 (A, )≦ 的哈斯图。

• 3. 拟序关系• 定义 2.21: 集合 A 上的二元关系 R 是反

自反的和传递的 , 称 R为 A 上的拟序关系 。 称 (A, R) 为 拟 序 集 , 或 记 为 (A,<)( 注意 , 此符号 < 在这里也不意味着小于 ) 。

• 常见的拟序关系有：实数集 R 上的小于关系 < ；集合 A 的幂集 P(A) 上的真包含关系。

• 定理 2.22: 集合 A 上的二元关系 R 是拟序的 , 则 R 必为反对称的。

• 证明：假设 R 不是反对称的• 由此定理 , 我们可知拟序关系实际上是满

足反自反的 , 反对称的和传递的。• 定理 2.23 ：设 R是 A 上的二元关系 , 则• (1) 若 R 是 A 上 的 拟 序 关 系 , 则

r(R)=R I∪ A是 A 上的偏序关系。• (2)若 R是 A 上的偏序关系 , 则 R-IA是 A

上的拟序关系。

• 作业 :p42 19,25(2),26,28,35,38, 39