量子力学 ii v を のまわりで ... -...

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量子力学 II 14回目 量子力学の基礎概念 (調和振動子) C 山﨑篤志 2011-2016 1 【調和振動子とは】 これまでに学んだ演算子法を使って,具体的な粒子の運動について議論する. 重要な例として,粒子がポテンシャルに束縛され,単振動をしている場合を考える.単振動 を別名,調和振動といい,調和振動を行っている系を調和振動子という. この調和振動子のエネルギー固有値と固有関数を求めることが目標である. 以後,簡単のため,1次元の場合を考える. 古典力学では,バネによる単振動の運動方程式は質点の質量を  ,バネ定数を ,つり合い の位置からの変位量を とすると,      であり,バネによって蓄えられる位置エネ ルギーは, (ただし,    ) であった.このつり合いの位置からの距離の自乗に比例するポテンシャルのことを調和振動 子型ポテンシャルとよぶ. m k x m d 2 x dt 2 = -kx ω 2 = k m V (x) = x 0 - F (x ) dx = x 0 kx dx = 1 2 kx 2 = 1 2 mω 2 x 2 2 【調和振動子,調和振動子型ポテンシャルが重要である理由】 複雑な形をしたポテンシャルであっても,多くの場合,平衡点(極小値)の近傍では調和振 動子型ポテンシャルで近似できるので,適用範囲が広い. を   のまわりでテイラー展開すると, で   が極値を持つ, つまり     とすると, V (x) x = a 調和振動子型ポテンシャル V (x) = V (a +(x - a)) = V (a)+ V (a)(x - a)+ 1 2 V (a)(x - a) 2 + ··· x = a V (x) V (a)=0 V (x) V (a)+ 1 2 V (a)(x - a) 2 = V (a)+ 1 2 mω 2 (x - a) 2 mω 2 > 0 であるので,上式右辺は極値が 極小値である場合に対応する. また,以下では簡単のため, とする. a =0,V (a)= V (0) = 0 3 【消滅演算子と生成演算子の導入】 調和振動子型ポテンシャル中における粒子の運動に関するSchrödinger方程式は, である.ここで後々便利であるエルミート共役な演算子 と  を導入する. をあらわに書くと, また, この時, と は,               の交換関係を満たす(演習). ˆ a ˆ a ˆ a = mω 2 ˆ x + i mω ˆ p = mω 2 ˆ x + i mω × - i d dx = mω 2 ˆ x + mω d dx ˆ p ˆ a = mω 2 ˆ x - i mω ˆ p = mω 2 ˆ x - mω d dx ˆ Hu(x)= - 2 2m d 2 dx 2 + 1 2 mω 2 ˆ x 2 u(x)= Eu(x) ˆ a ˆ a a, ˆ a ]=1, a, ˆ a]=0, a , ˆ a ]=0 ··· (1) ··· (2) ··· (2) ··· (3) ··· (3) 4

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量子力学 II14回目

量子力学の基礎概念(調和振動子)

C 山﨑篤志 2011-20161

【調和振動子とは】

これまでに学んだ演算子法を使って,具体的な粒子の運動について議論する.重要な例として,粒子がポテンシャルに束縛され,単振動をしている場合を考える.単振動を別名,調和振動といい,調和振動を行っている系を調和振動子という.この調和振動子のエネルギー固有値と固有関数を求めることが目標である.

以後,簡単のため,1次元の場合を考える.

古典力学では,バネによる単振動の運動方程式は質点の質量を  ,バネ定数を ,つり合い

の位置からの変位量を とすると,      であり,バネによって蓄えられる位置エネ

ルギーは,

                   (ただし,    )

であった.このつり合いの位置からの距離の自乗に比例するポテンシャルのことを調和振動子型ポテンシャルとよぶ.

m k

x md2x

dt2= �kx

�2 =k

m

V (x) =� x

0

�� F (x�)

�dx� =

� x

0kx�dx�

=12kx2 =

12m�2x2

2

【調和振動子,調和振動子型ポテンシャルが重要である理由】

複雑な形をしたポテンシャルであっても,多くの場合,平衡点(極小値)の近傍では調和振動子型ポテンシャルで近似できるので,適用範囲が広い.

   を   のまわりでテイラー展開すると,

                で   が極値を持つ, つまり     とすると,

V (x) x = a

調和振動子型ポテンシャル

V (x) = V (a + (x� a)) = V (a) + V �(a)(x� a) +12V ��(a)(x� a)2 + · · ·

x = a V (x) V �(a) = 0

� V (x) � V (a) +12V ��(a)(x� a)2 = V (a) +

12m�2(x� a)2

m�2 > 0    であるので,上式右辺は極値が極小値である場合に対応する.

また,以下では簡単のため,

とする.a = 0, V (a) = V (0) = 0

3

【消滅演算子と生成演算子の導入】調和振動子型ポテンシャル中における粒子の運動に関するSchrödinger方程式は,

である.ここで後々便利であるエルミート共役な演算子 と  を導入する.

 をあらわに書くと,

また,

この時, と は,               の交換関係を満たす(演習).

a a†

a =�

m�

2�

�x +

i

m�p

=�

m�

2�

�x +

i

m��

�� i� d

dx

��

=�

m�

2�

�x +

�m�

d

dx

p

a† =�

m�

2�

�x� i

m�p

=�

m�

2�

�x� �

m�

d

dx

Hu(x) =�� �2

2m

d2

dx2+

12m�2x2

�u(x) = Eu(x)

a a† [a, a†] = 1, [a, a] = 0, [a†, a†] = 0

· · · (1)

· · · (2)�

· · · (2)

· · · (3)

· · · (3)�

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 また,  は,

したがって,

が得られる.また,    である演算子 を定義し,これを数演算子と呼ぶ.この演算子は,     (波動関数で書くと,        )という固有値方程式を満たす.すると,

                     また,

と書ける.

a†a

a†a =��

m�

2�

�2�x� i

m�p

��x +

i

m�p

=m�

2�

�x2 +

i

m�xp� i

m�px +

p2

(m�)2

=1

��

12m�2x2 +

i

2� (xp� px) +1

��

p2

2m

=1

��

�p2

2m+

12m�2x2

�+

i

2� · i�

=1

��· H� 1

2

H = ��

�a†a +

12

N

H = ��

�a†a +

12

�= ��

�N +

12

N |n� = n|n� Nun(x) = nun(x)

[x, p] = xp� px = i�

En = ��

�n +

12

N � a†a

· · · (4)

5

この数演算子 の固有値 は,

なので,非負の数である.ここから,調和振動子の基底状態のエネルギーは,     であることがわかる.基底状態においてゼロでない,このエネルギーを零点エネルギーという.(零点エネルギーは不確定性関係を最小にした時のエネルギーであり,例を挙げると,原子が絶対零度でも振動していることを示している零点振動などがある.)

      であることを念頭に置いて,   に を作用させるとどうなるか見てみる.

これは,「   が,固有値を1だけ増加させた の固有ケットであること」を示している. が1だけ増加することは,エネルギー  の量子が1つ創られた事を意味する.このため, を生成(または上昇)演算子という.

N n n =�

dx un(x)�Nun(x)

=�

dx un(x)�a†aun(x)

=�

dx {aun(x)}�aun(x)

=�

dx |aun(x)|2 � 0

n = �n|N |n�= �n|a†a|n�= �an|an� � 0

波動関数で書くと

ノルム(の自乗)は非負

N |n� = n|n� a†|n� N

N a†|n� = (a†a)a†|n� = a†(aa†)|n�= a†(1 + a†a)|n�= a†(1 + N)|n�= a†|n� + a†N |n�= a†|n� + na†|n� = (n + 1)a†|n�

[a, a†] = aa† � a†a = 1

N |n� = n|n�

a†|n� N

n

E0 =12

��

��

a† En = ��

�n +

12

6

   についても同様に,

となり,「   が,固有値を1だけ減少させた の固有ケットであること」を示している. が1だけ減少することは,エネルギー  の量子が1つ消された事を意味する.このため, を消滅(または下降)演算子という.

この生成・消滅演算子を使って,任意の状態   を基底状態  によって表してみよう.まず, と    の関係を調べる.    の規格化定数は,

したがって,         である.これは,          であっても良いの

で,          と書ける.同様に,        であることも簡単に求まる(演習).

a|n�

N a|n� = a†aa|n�= (aa† � 1)a|n�= aN |n� � a|n�= (n� 1)a|n�

N

n ��

a|n�

a

|n�

(�n � 1|a)(a†|n � 1�) = �n � 1|(1 + a†a)|n � 1�= �n � 1|n � 1� + �n � 1|a†a|n � 1�= 1 + (n � 1)�n � 1|n � 1�= n

a†|n� 1� a†|n� 1�

|n� =1�n

a†|n� 1� |n + 1� =1�

n + 1a†|n�

a†|n� =�

n + 1|n + 1� a|n� =�

n |n� 1�

|0�|n�

a|0� = 0基底状態については,

�� �n|n� = 1

N = a†a

N |n� 1� = (n� 1)|n� 1�

7

また,更に,

となる.ここから, が整数であるべきだと結論され,非負であることと合わせて,        であることがわかる.つまり,エネルギー準位の間隔      は,等間隔であり,その大きさは  である.

n

n = 0, 1, 2, 3, · · · En+1 � En

En = ��

�n +

12

��

a|3�

(a†)2|1�

粒子の消滅

2つの粒子の生成

· · · (5)

|n� =1�n

a†|n� 1� =1�n

a†1�

n� 1a†|n� 2� =

1�n

a†1�

n� 1a†

1�n� 2

a†|n� 3�

=1�n

a†1�

n� 1a†

1�n� 2

a† · · · 1�2a†

1�1a†|0�

=1�n!

(a†)n|0�

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つぎに,実際にSchrödinger方程式の解である波動関数   を求めてみよう.基底状態の波動関数   が求まれば,任意の状態の波動関数は,           から得られる.

まず,基底状態について    を使って,

これを変形して,解くと

un(x)

u0(x)

a|0� = 0

= a

un(x) = �x|n�au0(x) =�

m�

2�

�x +

�m�

d

dx

�u0(x) = �x|a|0� = 0

xu0(x) = �x|x|0� = (�x|x)|0�= x��x|0� = x�u0(x) = xu0(x)演算子

固有値

��

2m�

�d

dx+

1�m�x

�u0(x) = 0

du0(x)dx

+1�m�xu0(x) = 0

du0(x)dx

= �1�m�xu0(x)

�1

u0(x)du0(x) = �1

�m�

�x dx

log |u0(x)| = �1�m�

�12x2 + C

u0(x) = N0 exp�� m�x2

2�

� N0 � ± exp�� m�

� C

x|x� = x|x�x|x� �� x��x|

un(x) =1�n!

(a†)nu0(x)

a|0� = 0

9

規格化条件より

                         (ただし,   を選んだ)

従って,基底状態の波動関数は,

であることがわかった.この   と関係式           から,   を求める.

� +�

��dx |u0(x)|2 = 1

N20

� +�

��dx exp

�� m�x2

�= 1

N20

� +�

��dx e�(x�0)2/( �

m� ) = 1

N20 ·

���m�

= 1

N20 =

�m�

��

N0 =�

m�

��

�1/4

積分公式を使う

積分公式(証明略)� +�

��dx e�(x��)2/� =

���

N0 > 0

u0(x) =�

m�

��

�1/4

exp�� m�x2

2�

�· · · (6)

u0(x) un(x)un(x) =1�n!

(a†)nu0(x)

10

まず,    を求めておく.

次に,   は,

a†u0(x)

�2 =m�

{f(x)g(x)}� = f �(x)g(x) + f(x)g�(x)

とおく.

un(x)

a†u0(x) =�

m�

2�

�x� �

m�

d

dx

�u0(x)

=�

m�

2� · �m�

�m�

� x� d

dx

�u0(x)

= � 1�2

��

m�

�d

dx� m�

� x

�u0(x)

= � 1�2�

�d

dx� �2x

�u0(x)

= � 1�2�

e�2x2

2

�(��2x)e�

�2x22 u0(x) + e�

�2x22

du0(x)dx

= � 1�2�

e�2x2

2d

dx

�e�

�2x22 u0(x)

un(x) =1�n!

(a†)nu0(x)

=1�n!

(a†)n�1 a†u0(x)

=1�n!

(a†)n�1

�� 1�

2�

�e

�2x22

d

dx

�e�

�2x22 u0(x)

· · · (7)

式= (7)11

= u0(x)

= a†

un(x) =1�n!

(a†)n�1

�� 1�

2�

�e

�2x22

d

dx

�e�

�2x22 N0e

��2x22

=N0�n!

(a†)n�1

�� 1�

2�

�e

�2x22

d

dx

�e��2x2

=N0�n!

(a†)n�2

�� 1�

2�

�a† e

�2x22

d

dx

�e��2x2

=N0�n!

(a†)n�2

�� 1�

2�

� �� 1�

2�

��d

dx� �2x

��e

�2x22

d

dx

�e��2x2

��

=N0�n!

(a†)n�2

�� 1�

2�

� �� 1�

2�

�e

�2x22

d

dx

�e�

�2x22

�e

�2x22

d

dx

�e��2x2

���

=N0�n!

(a†)n�2

�� 1�

2�

�2

e�2x2

2d2

dx2

�e��2x2

= · · ·

=N0�n!

(a†)n�n

�� 1�

2�

�n

e�2x2

2dn

dxn

�e��2x2

=�

n!�

�1/2

(�1)n

�1�2�

�n

e�2x2

2dn

dxn

�e��2x2

�d

dx� �2x

�u0(x) = e

�2x22

d

dx

�e�

�2x22 u0(x)

�前ページ

N0 =�

m�

��

�1/4

=�

���

�1/2

�2 =m�

= 1

12

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エルミート多項式

はエルミート微分方程式

の解である.

�1�2

�n

=�

12n

�1/2

� Nn(定数) = H(�x)

Hn(�) = (�1)n e�2 dn

d�ne��2

:エルミート(Hermite)多項式

d2H(�)d�2

� 2�dH(�)

d�+ 2nH(�) = 0

(n = 0, 1, 2, · · · )

x x

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

un(x) |un(x)|2粒子の存在確率粒子の波動関数

un

(x) =

✓↵p

⇡ 2n n!

◆1/2

(�1)n✓1

◆n

e↵

2x

2

2

⇢d(↵x)

dx

�n

dn

d(↵x)ne�↵

2x

2

=

✓↵p

⇡ 2n n!

◆1/2

(�1)n e↵

2x

2

2

⇢dn

d(↵x)ne�↵

2x

2

=

✓↵p

⇡ 2n n!

◆1/2

(�1)n e(↵x)2

⇢dn

d(↵x)ne�(↵x)2

�e�

(↵x)2

2

= Nn

Hn

(↵x) e�(↵x)2

2

= ↵n

13

最後に,調和振動子を古典的に取り扱った場合との比較を行う.(1)量子論では,粒子の存在確率    は古典論での粒子の存在確率   とは異なる   場所で最大となる.また,原点での   は( が奇数の場合には)0になっている.(2)量子数 が増えると,   の平均値は,   に近づく.(3)   は,ポテンシャル障壁よりも外側にも有限の値を持つ(赤領域).これは   トンネル効果と呼ばれており,純粋に量子力学的な効果である.

w(x)

古典論

古典論

量子論

量子論

粒子の存在確率 粒子の存在確率古典的転回点

xclmax = ±

�3�m�

xclmax = ±

�31�m�

xqumax = ±

��

m�

(     の極大値)|u1(x)|2

wqu(x) wcl(x)

wqu(x)

wqu(x) wcl(x)n

wqu(x)

n

14