左順序付き柔軟ラベリングの実装 implementation of left-part ordered flexible labeling

1東北大学情報科学研究科システム情報科学専攻TOKUYAMA Lab.

左順序付き柔軟ラベリングの実装Implementation of Left-part ordered Flexible Labeling

東北大学大学院情報科学研究科◎ 小池敦徳山豪


地図へのラベル配置問題とは ?

地図上の点 , 辺 , 領域に対しラベル ( 文字情報 ) を付加する

東北大学

広瀬川仙台駅

今回は点へのラベリングを扱う

地理情報処理の重要問題

⇒ ユーザの要求毎に迅速にラベリングする必要性

青葉城址


ラベリングに対する要求1. ラベルは標的点の近くに貼りたい

⇒予め各標的点に対しラベル候補集合を定める

2. ラベル同士が重なって欲しくない3. 障害物と重なって欲しくない

青葉城址東北大学

バス停

ここにはラベルを貼って欲しくない( 道が判らない )

文字が重なると読めない

ラベル配置問題 = 2,3 を満たすようにラベル候補集合からラベルを選ぶ


とうほく各標的点にどちらかのラベルを配置とうほく

とうほくとうほく

とうほくとうほくとうほく

ラベル候補集合


背景

ラベル配置問題は多くの場合 NP-hard である

⇒ ラベル候補集合に強い制限が必要本論文ではラベルの形状に自由度を持たせたモデル(LOFL;Left-part Ordered Flexible Labeling) を扱う

東北大学

東北大学

東北大学


本論文の成果

1. LOFL のアルゴリズムに対する Red-black tree を用いた高速実装実用的なラベル配置問題ではより自由度の高いラベル候補集合に対してヒューリスティクスを用いて高速に解く必要性がある⇒ 2. LOFL を組み合わせた two-positionLOFL モデルに対する高速ヒューリスティクス


発表の流れ

LOFL について⇒ ラベル候補集合が left-part ordered set

である時のラベル配置問題定式化アルゴリズムと計算時間の解析 two-position LOFL モデルに対するヒューリスティクス実験


LOFL の定式化

ラベルの left-part の標的点の左側の部分

lll

l

2l

1l 1l2l

のとき ≤ と定義する1l 2l 21 ll


LOFL の定式化

ラベル候補集合 L が left-part ordered set Lll

21, 21 ll 12 llor

つまりどの 2 つのラベルの left-part も包含関係にある

left-part ordered set left-part ordered set ではない


LOFL(Left-part Ordered Flexible Labeling) の定式化

入力 n 個の標的点集合各標的点に対し

left-part ordered set であるようなラベル候補集合合計 m 辺からなる多角形障害物の集合

出力各標的点に配置されるラベルスケール係数 σ の最大値( 各ラベルは σ により拡大 / 縮小され配置される )

⇒ σ の最大値は σ での配置可能判定問題を用いて二分探索を行うことで求める

目的 : できるだけ大きなラベルを配置すること


とうほく

入力•標的点集合•各標的点に対するラベル候補集合•障害物集合

とうほく

left-part ordered set

とうほく

とうほく

とうほく


とうほく

とうほく

より大きいラベルを配置したい

障害物


とうほく

入力•標的点集合•各標的点に対するラベル候補集合•障害物集合

とうほく

left-part ordered set

とうほく


とうほく

とうほく

とうほくとう

ほく

スケール係数 σ により拡大

出力•ラベル配置•スケール係数


判定問題に対するアルゴリズム平面走査法を用いる

できるだけleft small なラベルを配置する

left small = 左の標的点に与える影響が少ない⇒ これによりアルゴリズムの正当性を証明できる

例 2種類のラベル候補で考える

smallerlarger


計算時間の解析各標的点での交差判定 ( 障害物無しの時 )

⇒frontier を定義するデータ構造にred-black tree を用いる•交差判定 O(log n)•更新 O(log n)

更新回数 O(n) 回⇒全体で O(n log n) 時間

障害物があるときは O((n+m)log(n+m))同様に


LOFL を用いたヒューリスティクス

left-part ordered set ではない

⇒ これを用いてヒューリスティクスを設計する

これらはleft-part ordered set

two-position モデル


LOFL を用いたヒューリスティクス

1. 各標的点のラベル候補を 6枚に限定し LOFL を解き ,σ の最大値を求める2. 各標的点で得られたラベルに対し

two-position モデルのラベル候補集合を作る

3. two-position を解き , σ の最大値を求める4. 3. で得られたラベルに対し新たにラベル候補集合を作る

5. 1. から 4. を繰り返す


実験(LOFL と two-LOFL のスケール係数を比べる )

50000×50000 の領域上のランダムなn 個の標的点に以下のモデルでラベリング( 障害物は無し )1. fixed model : 3 σ ×4 σ

2. two-position model3. LOFL : 1×12,2×6 3×4,4×3,6×2,12×1

4. two-position LOFL


実験計算機環境

CPU : Intel Pentium4 1.6GHz Memory : 256MB プログラミングには C++ のライブラリである LEDA を使用


0

500

1000

1500

2000

0 200 400 600 800

fixed 2- position LOFL 2- LOFL

100 回の平均値

•fixed model と比べ•2-position は 6倍•LOFL は 3倍•2-LOFL は 9倍くらい大きい

n = 800 の時

ヒューリスティクスの方が2-position より 1.5倍くらい大きい

[標的点の数 ]

[スケール係数 ]

実験結果 ( スケール係数 )


実験結果 ( スケール係数 )100 回の平均値

•fixed model と比べ•2-position は 20倍•LOFL は 7倍•2-LOFL は 22倍くらい大きい

n = 12800 の時

ヒューリスティクスの方が2-position より 11%くらい大きい

ヒューリスティクスは n が小さい時は特に有効である

0

20

40

60

80

100

800 3800 6800 9800 12800


[スケール係数 ]

[標的点の数 ]


0200400600800

1000

0 4000 8000 12000


実験結果 ( 計算時間 )100 回の合計値

データ構造にred-black tree を用いず単純な list を用いた場合との比較 n=1600 の時 (sec)

理論値 O(n log n) の曲線になっている

[sec]

[標的点の数 ]⇒ 大幅に計算時間が短縮された

list red-blackLOFL 300 6.72-LOFL 2094 92


結論

LOFL のアルゴリズムをred-black tree を用いて高速実装することにより計算時間の大幅な改善を行ったLOFL でないより一般的な問題に対しLOFL の解法を用いたヒューリスティクスを設計し解の品質 ( ラベルサイズ ) が向上することを示した

今後の課題様々なラベル候補集合で実験を行い，より品質の良いものを見つける．

左順序付き柔軟ラベリングの実装 implementation of left-part ordered flexible labeling

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