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/ 小学数学教师 / 2015.11

□ 曹培英

十个核心词的实践解读，总算写完了。拖

了几年，固然是因为本职工作缠身，更主要的

原因，是在撰写过程中发现了一些新问题，为

使“实践解读”名副其实，只有通过实践加以实

证，才敢初步回答。回溯式研究与探索性研究

相结合，是笔者的研究特点之一，习惯使然。

边探索、边撰写的内驱力，既来自教研工

作的需要，也来自《小学数学教师》编辑部的期

望。记得2012年初夏，蒋徐巍副主编来访，笔

者随手翻出新近出版的一期刊物，指出其中一

组有关数感培养的课例研讨文章，存在数感、

量感混为一谈的问题。蒋主编也非常感慨，十

多年了，这个问题一直未见来稿探讨，于是当

场约稿，并表示编辑部有耐心等待，希望十篇

成一系列。艰辛的“实践解读”之旅，由此

开始。

在陆续刊发过程中，多次有读者问：数感

等名词，到底是“核心概念”，还是“核心词”？

由“数学课程标准研制组”撰写的两部解读专

著，无论是实验稿的解读1还是 2011年版的解

读2，都称其为“核心概念”。笔者冠以“核心

词”，主要依据 2011年版的课标文件本身，其

中评价建议第七条的第2点：“在设计试题时，

应该关注并且体现本标准的设计思路中提出

的几个核心词：数感、……、创新意识。”3这是

“核心词”的出处。

有学者认为：“核心概念”是借鉴西方 bigidea 的提法，在翻译时将 idea译成了概念，不

少数学教育文献中的 idea就是概念的意思。

然而，对于体会不到“核心概念”与“bigidea”异曲同工的数学教师来说，反倒以为是数

学知识中的核心概念。为了避免误解，感觉称

“核心词”更妥当一些。

在持续的研究、撰写过程中，笔者不断产

生以历史的视角梳理我国小学数学课程“核心

词”嬗变的冲动，也断断续续做了一些研究，因

为“以史为鉴，可以知兴替”4。本文的内容，在

近几年应师范院校与教师培训机构邀请所作

的讲座里，已与各地同仁有过多次交流。大家

的认同、期待，给了笔者撰写成文极大的鼓励。

一、回顾

1. 最初形态

在我国，建立小学堂并教授算学，始于清

末。第一部由政府法定并推行的学制“癸卯学

制”即《奏定学堂章程》（1904），基本模仿日本，

对整个学校教育作出了设计。其中，《奏定初

等小学堂章程》提出的算术课程目标，首要的

是“使知日用之计算”；《奏定高等小学堂章程》

1 刘兼，孙晓天主编.全日制义务教育数学课程标准 (实验稿)解读 [M].北京：北京师范大学出版

社，2002.2 史宁中主编.义务教育数学课程标准(2011年版)解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.3 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准 (2011 年)[Z].北京:北京师范大学出版

社，2011.4 宋·欧阳修.新唐史[M]. 北京：中华书局，1975.

小学数学课程核心词演变的回顾、反思与展望

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小学数学教师 / 2015.11 /

的相应目标继续是“使习四民1必需之算法”。2

辛亥革命后，在我国第二部公布并推行

的“壬子癸丑学制”中，《教育部订定小学校教

则及课程表》（1912）对该目标的表述是“熟习

日用之计算”。3

清末民初的这一目标，非常简练，却已涉

及我们今天所说的两个核心词“应用意识”与

“运算能力”，可以说是小学数学课程这两个核

心词的最初形态。

当时，算术课程的其他目标主要是“兼使

精细其心思”“兼使思虑精确”4，显然只要求兼

顾，还称不上课程的“核心”要求。

之后，由照搬日本转向学习美国，民国期

间其他一系列课程标准，总目标有四条、有三

条，内涵、表述每次也都不尽相同，但强调解决

日常生活问题和计算能力始终没变。

2. 新中国成立后至20世纪末的变化发展

新中国成立后，1950年公布的《小学算术

课程暂行标准（草案）》，与新中国成立前相比，

“日用”与“计算”的教学目标变化不大，最明显

的变化是第一次在算术教学中提出了对儿童

进行思想品德教育的要求：“培养儿童爱国主

义思想，并加强科学、爱护公共财物等国民公

德。”5这是“改造旧教育”的鲜明体现，也是学

科德育的最初表述。

1952年的《小学算术教学大纲（草案）》，将

延续了半个世纪的“课程标准”改称“教学大

纲”，课程“目标”改为教学“任务”“目的”。仅

从名称就能显示由“改造旧教育”到“学习苏

联”的嬗变。实质性的变化是首次提出了掌握

“直观几何知识”的要求，还特别提到了“算术

教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”。6这

是“推理能力”的最初提法。

1963年的《全日制小学算术教学大纲（草

案）》，明确提出“小学算术教学的目的是：使学

生牢固地掌握算术和珠算的基础知识，培养学

生正确地、迅速地进行四则运算的能力·······

，正确

地解答应用题的能力········

，以及初步的逻辑推理的·····

能力··

和空间观念····

，以适应他们毕业后参加生产

劳动和进一步学习的需要”7。（着重号为笔者

所加）它一方面标志着我国小学数学学科开始

进入“双基”时代，开始关注数学学习的“双重

功能”，即适应学生今后的实用需要和学习需

要；另一方面还标志着我国小学数学教学的

“核心词”由三个发展成四个。

同年颁布的《全日制中学数学教学大纲

(草案)》，关于“中学数学教学的目的是：使学生

牢固地掌握代数、平面几何、立体几何、三角和

平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且

迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能

力，以适应参加生产劳动和进一步学习的需

要”8。摘录这段文字是想澄清一个误传，所谓

数学的“三大能力”是指中学，小学从 1963年

起就是“四大能力”。

1978年的《全日制十年制学校小学数学教

学大纲(草案)》，完成了“小学算术”到“小学数

学”的蜕变，并保留了“四大能力”（只是将“解

答应用题的能力”改成“解决简单实际问

题”）。由此一直延续到21世纪初。

“四大能力”的表述，始终不变的是“空间

观念”，自1953年大纲（1952年大纲的修订稿）

在说明几何初步知识教学作用时首次提出后，

一直沿用至今。变化最频繁的是“推理能力”，

从“思虑精确”开始，到“逻辑思维”，再到“逻辑

推理能力”，又回到“逻辑思维能力”（1978～1992），钟摆现象比较明显。

3. 21世纪以来的变化发展

21世纪初开始的新一轮课程改革，丰富了

数学教育的内涵，数学课程的核心词也在增

多。先是六个“数感、符号感、空间观念、统计

1 我国古代对平民职业的基本划分，指士（学者）、农、工、商，但次序历代有所不同.2—8 课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷[M].北京：人民教育

出版社，2001.

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观念、应用意识、推理能力”（2001），然后是十

个“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据

分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应

用意识、创新意识”（2011）。对照前面的教学大纲，核心词的数量：由

四个到六个，是有减有加，即去掉了“计算能

力”，增补了三个；由六个到十个，是把“计算能

力”又要回来之后，再追加了三个。核心词的

表述，也有变化，如“解决简单实际问题”换成

了“应用意识”，“逻辑思维能力”演变为“推理

能力”等。当然，更为重要的是词的内涵也在

逐步发展、变化，这在“实践解读”系列里已有

较多阐述，本文就不重复了。

二、反思

1. 回归生活，应当有质的提升

21世纪初启动的新一轮课改，提出了一系

列改革理念，在小学数学教学中，被大家最快

接受并广泛付诸实践的理念当数“回归儿童生

活”。因为它最具操作性，且历来为小学教师

所擅长，只要在原有基础上再多加一点生活

味，给每道例题都编一个生活情境，至少在表

现形式上体现课改理念了。教师们的经验总

结，最为集中的也是“生活数学”。

回顾历史，小学数学的前身小学堂算术从

它诞生之日起，就十分重视应用于生活，学习

算术就是为了“熟习日用计算”。这样的课程

目标，与我国数学以实际问题为载体，研究解

题术的传统一脉相承，也符合当时的社会需

要。要知道，当时每天就着煤油灯记流水账的

是小康人家。一直到新中国成立后，小学算术

课程还在为这一现实需要提供服务，所以珠算

是每个小学生的必修内容。这些都具有特定

历史条件下的合理性。到如今，一百多年过去

了，社会发生了天翻地覆的变化，难道数学这

门学科还要回归油盐柴米的计算吗？

小学数学教育的目的，从根本上讲，是为了

提高公民素养，即自身发展的需要；从实用角度

看，学习的最终目的在于应用，但应用的各种需

要，存在轻重缓急之分。笔者以为，对于小学生

而言，首先应该是满足进一步学习数学以及其他

学科的需要，也差不多等同于满足自身发展的需

要，其次才是满足日常生活的数学需要、就业的

数学需要。因为等待着小学生的是继续学习。

我们不能不顾紧接着的学习生涯的需要、自身发

展的需要，而只考虑眼下儿童生活的需要和若干

年后自谋生计、创业的需要。

事实上，当下儿童生活的数学需要已经发

生不小的变化。比如，元、角、分换算的很多练

习，之所以受到教师的诟病，不就是因为它脱

离了儿童现实生活的需求吗？

再说，小学数学的教学内容，也不全是日

常生活所需要的。

例如，用量角器量角，你在生活中用到过

这一技能吗？对于“生活”来说，它不愧为“屠

龙之技”。

又如，用“底×高÷2”的公式算三角形面

积。笔者记忆中曾看到一个研究数据，表明这

一公式的实际应用率极低，但苦于找不到出

处。于是，请部分学校在给家长的调查问卷中

加一问题：“您在日常生活与工作中使用过

‘底×高÷2’的公式算三角形面积吗？”来自各行

各业200多位家长的有效问卷中，只有一人填

了“√”，占比不到0.5%。

不妨找一个形成强烈对比的数据：医学研

究显示，中国成年人群中糖尿病前期患病率为

50.1%。1

面对“＜0.5%”与“＞50%”这两个统计数

据，如果说“因为生活中要用，所以我们要教”，

那么与其教三角形面积公式，不如教有关糖尿

病的知识。

然而，三角形面积计算能不教吗？即便是

1 刘菁.中国人群糖尿病的患病率及控制情况[EB/OL].http://www.diab.net.cn/news_show.jsp?id=2543.html.

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在平面几何中，掌握了三角形面积计算方法，

就等于解决了一切多边形面积的计算问题。

因为任何一个 n 边形，都可以从一个顶点出

发，将它划分为(n－2)个三角形。

历史地看，先人创办学校的初衷，就是为

了从生活世界中分离出教学世界。因为生活

中的自然学习、口耳相传，无法适应社会发展

的需要。而教学世界本身就是师生之间教与

学的生活。因此，“教学回归生活”在理论上不

能说是伪命题，但是歧义颇多，“容易让人误

判、误读, 甚至误用。”1学界持续数年的争论，

在笔者看来，实乃源于歧义。

应该肯定，“教学回归生活世界”的本意是

好的，它表达了人们对本真教学的期盼。但若

不考虑不同学科、不同学段实际状况的差异，

就难免导致异化。

事实上，我国的小学数学从一开始就非常

重视生活化的算术。而且，整个 20世纪中十

多部课程标准、教学大纲，在课程的总目标、总

任务（要求）中，几乎都强调了日常生活。尽管

在执行过程中有过偏离，但总体上联系生活的

自觉性小学远胜于中学。忽视不同学段的实

际状况，不作区别对待，再加上小学教师自身

的一些特点，自然出现大面积的误区，数学教

学生活化走向了形式化、极端化。

人们经常引用杜威的名言“教育即生活”，

却忽略了杜威的提醒：“现实生活是如此复杂,以致儿童不可能同它接触而不陷入迷乱。”因

此，“学校作为一种制度应当简化现实的社会

生活”，特别是“要把它们转变成发展的手段和

使能力进一步发展的工具”2。而任何手段、工

具都有一定的局限性，生活情境、生活经验也

不例外。如何克服生活情境外在形式的干扰，

引领学生超越生活经验，进入数学世界，恰是

成熟教师的标志之一。

在排除负面影响的基础上，观察、慎思小

学数学生活化的积极意义即教学功能，即刻就

能显现的是激发兴趣、调动学习积极性的功

能，尤其是那些“喜羊羊”“灰太狼”之类拟人化

的童话情境。其后还能感受到，生活化的处理

能够拉近学习内容与儿童经验的距离，激活学

生的思维。而激发兴趣、激活思维的目的在于

促进数学的理解、数学的抽象、数学的问题解

决，到如今还增添了三个功能，促进数学活动

经验的生成、数学思想的感悟、数学应用意识

的培养。这么多的功能，概括起来，无非是促

进眼下的数学理解与长远的素养发展。说来

说去，生活化始终是手段、是工具，而非目的。

说实话，我们很少真的布置学生回家之后

将所学数学知识应用于解决日常生活中的某

一实际问题。这既是生活化流于形式的一种

表现，有待突破；同时也是学校数学没有跟上

日常生活变迁的反映，生活中的数学问题也要

与时俱进，不断更新、开拓。

显然，要想发挥深层次功能，达成其目的，绝

不是学校数学向生活数学的简单回归，而是更高

层次上的整合3，才能实现质的提升。至于提升

的各种策略，笔者在“实践解读之九”（刊于本刊

2015年第4期）一文中已有多方面的介绍与提炼，

这里再补充一点：回归生活既要立足当下，又要

面向未来，让学生为开创今后的新生活，面对现

在还不知晓的新工作做准备。

2. 持续做加法，难免生成累积效应

关于核心词，仅从数量来看，这一百多年

一路走来，从两个到三个、四个，再到六个、十

个，整体走势是在不断地做“加法”。

与此同时，课程的总目标，由“双基”扩展

为“四基”，从“两能”（分析和解决问题的能力）

发展为“四能”（增加“发现和提出问题的能

力”）。过去的“软任务”演变为现在的“硬指

1 罗儒国. 教学回归生活世界的困境与超越[J]. 教育发展研究，2008（8）.2 [美]约翰·杜威，著. 民主·经验·教育[M].彭正梅，译.上海：上海人民出版社，2009.3 郑毓信. 简论数学课程改革的活动化、个性化、生活化取向[J]. 教育研究，2003（6）.

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标”。由此，在肯定数学教育正在走向实质性

的进步与发展的同时，又不能不承认，教学要

求不断在提高。

从数学学科内部看，每一个核心词的引

进，每一项目标的扩展，都有充分的理由、论据

说明其必要性，且能自圆其说。

但是，跳出学科以全局的视角辩证地看，

学科领域内的完美、精致，并不等于课程整体

的合理、优化。

实施素质教育，“减负”是必须破解的一个难

题。《国务院关于基础教育改革与发展的决定》在

提出“加快构建符合素质教育要求的新的基础教

育课程体系”的同时，还明确要求“继续减轻中小

学生过重的课业负担”。改革的初衷是清晰的，

构建新课程体系与减负双管齐下。

现实是，在小学中高年级普遍增设了外

语、信息技术和综合实践活动等课程门类的背

景下，各门学科都在追求各自发展区间的最大

化，其叠加、累积的效应，无疑构成了一种系统

性误差。1

对于教师来说，我国普遍实施的分科教

学，使一位教师承担一门学科的压力。但对于

学生来说，多门学科要求的提高，最终都将转

嫁、集中到个体身上，结果不言而喻。

以史为鉴，审视当下，洞察未来。我们做了

一个多世纪的加法，也该转入做减法的阶段了。

三、展望

1. 核心词能否精简

华罗庚教授曾把读书的过程归纳为“由薄到

厚”与“由厚到薄”两个阶段。这恐怕是科学研究、

实践研究都要经历的过程。在此过程中，认识也

会伴随研究与实践的深入由博返约。

在十个核心词中，运算能力、空间观念、数

据分析观念，分别是数与代数、图形与几何、统

计与概率三个主要内容领域的核心词；推理能

力、模型思想是三个内容领域共同的核心词。

如果只保留这五个，其余五个怎么办？

运算能力虽不能完全涵盖数感，但毕竟是

小学生数感的重要生成渠道和主要表现途径

之一；几何直观在小学主要体现在数形结合

上，并以空间观念为基础；模型思想内含应用

意识，建模需要符号意识并且也能培养符号意

识。因此，若回归有主有次、突出重点的思想

方法，则数感、几何直观、应用意识与符号意识

这四个，可以由相关的核心词兼顾。

至于创新意识，早在 1999年国务院《关于

深化教育改革全面推进素质教育的决定》中就

明确提出：“实施素质教育……以培养学生创

新精神和实践能力为重点。”显然，两个重点，

我们只取了其一，而且培养创新精神是中小学

所有学科的共同目标，不是数学学科所特有。

因此，不特别列出也要予以足够重视。

如此分析，十个核心词可以精简一半。

它们之间的结构、联系，不妨借用三棱锥来刻

画（如下图）：底部三角形的三个顶点，分别对

应三大内容领域的核心词，推理能力处在三

角形的重心，模型思想则在锥顶。实线、虚线

（反映透视关系）都表示它们之间的联系。

推理能力数据分析观念

运算能力

（数感）

空间观念

(几何直观)

(应用意识)模型思想(符号意识)

2. 核心词有了嬗变为核心素养的契机

为了深化素质教育，教育部在《关于全面

深化课程改革，落实立德树人根本任务的意

见》文件中，提出了创建“核心素养体系”的任

务。核心素养被誉为当代基础教育的DNA。

创建核心素养体系，是社会发展对教育的诉

求，同时也顺应了国际教育改革的共同趋向。

它对于提升我国人才培养质量，增强国家核心

1 曹培英. 试析课程编制过程中的落差——现象学视角[J]. 课程·教材·教法，2011（11）.

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小学数学教师 / 2015.11 /

竞争力具有重要意义。因此，中小学各学科都

应聚焦本学科的核心素养。

抓住这一契机，跳出“核心词”的羁绊，构

建小学数学学科的核心素养，有利于整体提升

学科的育人水平。

将核心词直接改称核心素养未免过于简

单。核心素养具有整体性、综合性和系统连贯

性，需要凸显跨学科的共同素养。进而，笔者

以为：数学的核心素养，必须体现数学学科的

本质，必须具有一般意义，必须承载独特的学

科育人价值。

首先，体现数学学科本质的无疑是数学的基

本思想“抽象、推理和模型”1。这三种基本思想

涵盖了数学的产生、发展，以及数学与外部世界

的联系，又正好对应了数学的三大特征，高度的

抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性，因而在

数学发展历程中起着关键的核心作用。

其次，抽象、推理和模型思想分别对应三

种具有一般意义的能力，即抽象能力、推理能

力和应用能力。无论是文科还是理科，凡是知

识都有不同程度的抽象性，都有从个别到一般

或从一般到个别以及从个别到个别的推理，也

都有自己的模型，如语言模型、物理模型、化学

模型等。由此可以说，抽象、推理和模型有着

跨学科共同素养的特征。

再次，数学的抽象、推理和模型思想又具

有其他学科不可替代的育人价值。

数学抽象所独有的育人价值在于，学生经

历数学的抽象，不仅由此生成数学的研究内

容，还能让学生学习如何从量或形的视角，去

观察、把握周围的现实事物。这一认识客观世

界的独特方式，是每个社会公民不论从事何种

职业都不可或缺的基本素养。

数学推理有别于其他学科的育人价值是，

理、化、生及科学学科都用事实说话，靠实验判

断对错。唯有数学，凭推理辨别真伪。如果一

个人只相信眼见为实，不知道思维的能动性可

以通过推理帮助人类突破感官、经验、常识的

局限性，那就是个人素养的一大缺失。2

数学建模的独特育人价值在于，它是最为

简化、量化的模型，是沟通计算机与社会生活

几乎所有领域各个层面的桥梁。

基于以上简要论述，抽象、推理和模型思

想构成了数学学科第一层次的核心素养。如

前所述，模型思想还内涵了应用意识。而符号

意识则可以并入抽象，因为符号是数学抽象最

主要的语言表征。

同时，这三个最具学科特征的核心素养，又

能生成三个基本的素养，即思维、交流与问题解

决。当然是数学思维、数学交流与数学的问题解

决。它们之间的大致关系，可简单图示如下：

抽象

(符号意识)

模型思想

(应用意识)推理

问题解决数学思维

数学交流

如此对应的理由：数学思维的本质特点是

抽象与推理；数学交流更加强调逻辑性且常用

模型表达数学与现实的联系；数学的问题解决

首先是抽象，如将实际问题抽象成数学问题，

关键是建模。

针对三个内容领域的运算能力、空间观念和

数据分析观念，则构成数学学科第二层次的核心

素养。它们的学科本质、一般意义与育人价值，

“实践解读”系列已经分别展开讨论，不再赘述。

1 史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学,2011（7）.2 曹培英. 从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想[J]. 课程·教材·教法，2015（9）.

（下转第57页）

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教学探讨Jiaoxue tantao

小学数学教师 / 2015.11 /

师：你们提了很好的问题。现在，请你们

自己选择一个问题来研究。

学生先独立思考，再在小组里交流研究问

题的过程与结论，最后在全班交流汇报。

生：我研究了面的个数和顶点的个数有什

么关系，算式是4×6÷3=8（个）。因为每个面有

4个顶点，6个面就是 24个顶点，3个顶点重合

在一起，所以长方体有8个顶点。

生：也可以用顶点数来计算棱的条数，8×3÷2=12（条）。

师：怎么解释？

生：长方体的 1个顶点是由 3个点合在一

起的，8个顶点可以看作24个点，每一条棱是2个点（端点），除以2就是12条棱。

学生汇报用棱的条数计算顶点个数等。

（略）

师：其实，不仅是长方体，其他立体图形

（简单多面体）的面、棱、顶点之间都有密切的

关系。

呈现阅读材料如下：

简单的多面体，如果用V表示顶点数，用E

表示棱数，用F表示面数，那么V+F=E+2，这是

拓扑学普遍适用的数学定理。在 17世纪，著

名的数学家欧拉发现了这个关系，因此，这个

定理被称为欧拉定理。

空间比平面更具体，平面比空间更便于作

逻辑分析。在平面图形与立体图形之间进行

转化，通过数量关系与空间形式两个方面的研

究，探索发现长方体各元素之间隐秘的关系。

发现这种关系，不仅有利于学生深入地理解图

形特征，而且提高了学生研究图形性质的能

力。特别强调，要达到这个思维层次，仍然需

要操作实验的直观作为支撑，而不能在抽象层

面上借助算法或形式推演灌输给学生。

几何课程的教学方法，包括用具体材料及

模型进行实验、分类、定义，并分析某些关系的

原因，使用基本的数学定理及逻辑推论来构建

整合的关系系统1。操作实验就是用具体的材

料及模型思考并建构图形的基本特征，关系推

理就是用逻辑的方法确认并深化对图形特征

的理解。

（浙江省新思维教育科学研究院）

1 来什，兰多等，著.数学概念的程序与获得[M].孙昌识，译.济南：山东教育出版社，1991：201.

为求直观，利用三棱台来描述两个层次的

层级关系（如第 9页图）。第一层次的三个核

心素养整体作用于第二层次的核心素养，因此

无需一一连线表示它们之间的联系。

尽管“抽象”目前还不在核心词之列,但是

它在数学学科与小学数学教学中的核心价值、

核心地位是无人置疑的。各地教师长期的实

践也已表明，它和其他几个核心素养，都是可

教、可学的。

期望以上个人拙见成为引玉之砖。相信

核心素养研究的推进与核心素养体系的建构，

将有助于克服学科本位与教学中的短期行为，

有助于不同学科、学段育人目标的彼此衔接，

上下贯通，进而使小学数学教学真正为学生的

终身发展奠基。

（上海市静安区教育学院）

（上接第9页）

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