KLASIFIKASI GRAF PETAL BERDASARKANTEOREMA VIZING

olehMARTOPONIM. M0102034SKRIPSIditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelarSarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2006

SKRIPSIKLASIFIKASI GRAF PETAL BERDASARKAN TEOREMA VIZINGyang disiapkan dan disusun olehMARTOPONIM. M0102034dibimbing olehPembimbing I, Pembimbing II,Dra. Diari Indriati, M. Si Abdul Azis, S. KomNIP. 131 805 431 NIP. 132 310 082telah dipertahankan di depan Dewan Pengujipada hari Sabtu, tanggal 16 Desember 2006dan dinyatakan telah memenuhi syaratAnggota Tim Penguji Tanda Tangan1. Drs. Tri Atmojo K., M.S , Ph.D 1. ....................NIP. 131 791 7502. Dra. Mania Roswitha, M.Si 2. ....................NIP. 131 285 8633. Supriyadi Wibowo, M.Si 3. ....................NIP. 132 134 699Disahkan olehFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamDekan, Ketua Jurusan Matematika,Drs. Marsusi, M.S Drs. Kartiko, M.SiNIP. 130 906 776 NIP. 131 569 203ii

ABSTRAKMartopo, 2006. KLASIFIKASI GRAF PETAL BERDASARKAN TEORE-MA VIZING. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, UniversitasSebelas Maret.Berdasarkan teorema Vizing, graf dapat diklasi�kasikan sebagai kelas 1 dankelas 2. Pengklasi�kasian ini termasuk masalah yang rumit. Beberapa ilmuwantelah berusaha menyederhanakan permasalahan ini dengan membuat dugaan danteorema. Cariolaro dan Cariolaro [2℄ kemudian mengklasi�kasikan graf-graf yangmempunyai kesamaan sifat. Graf ini disebut sebagai graf petal karena bentuknyamenyerupai petal.Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah memperkenalkan tentang ukuranpetal. Selain itu, skripsi ini juga bertujuan mengklasi�kasikan graf petal menjadikelas 1 dan kelas 2.Skripsi ini ditulis dengan menggunakan metode studi literatur yaitu de-ngan menuliskan kembali pengklasi�kasian graf petal yang dilakukan oleh Car-iolaro dan Cariolaro [2℄. Beberapa lema pengantar dibuktikan terlebih dahulusebelum membuktikan teorema utama yang digunakan untuk pengklasi�kasiangraf petal. Pada akhir skripsi ini disimpulkan bahwa ukuran petal adalah jarakantarbasepoints di ore dari graf dan bahwa semua graf petal adalah kelas 1ke uali graf petal yang isomor�s dengan graf Petersen yang dihapus salah satuvertexnya.

iii

ABSTRACTMartopo, 2006. PETAL GRAPH CLASSIFICATION BASED ONVIZING's THEOREM. Fa ulty of Mathemati s and Natural S ien es, SebelasMaret University.Based on Vizing's theorem, graphs an be lassi�ed into lass 1 and lass 2.The lassi� ation is a diÆ ult problem. Many s ientists have tried to simplify thisby making onje tures and theorems. Cariolaro and Cariolaro [2℄ then lassi�edsome graphs having the same properties. These graphs are alled petal graphsbe ause the shape is like petal.The aim of this resear h is to introdu e about petal size. Besides, thisresear h is also to lassify petal graphs into lass 1 and lass 2.This resear h was written by a literary study method. It rewrited the petalgraphs lassi� ation given by Cariolaro and Cariolaro [2℄. Some lemmas wereproved �rst before the main theorem and used for lassifying petal graphs. Atthe end of this resear h it is on luded that petal size is the distan e between base-points and that all petal graphs are lass 1 ex ept petal graphs that isomorphi with Petersen graph with one vertex deleted.

iv

MOTTOJika ada usaha maka ada jalan.Energi tidak bisa di iptakan, tidak bisa dimusnahkan,hanya bisa berubah dari satu bentuk ke bentuk lain.Lidah untuk bi ara, telinga untuk mendengarkan.Jika rasio banyaknya lidah pada manusia dengan banyaknya telinga = 1:2maka banyaknya berbi ara : banyaknya mendengarkan = 1:2.

v

PERSEMBAHAN

Kupersembahkan tulisan sederhana ini untukAyahndaku, terima kasih atas harapan yang senantiasa ada.mBak Hartini dan Mas Untoro, ketulusan yang menutupi apa yang telah engkauberikan akan menjadikannya budi yang terukir di atas prasasti.vi

KATA PENGANTARPuji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Yang Mahakuasa atas ijin-Nya sehingga penulisan skripsi ini selesai.U apan terima kasih tidak lupa penulis haturkan kepada :1. Ibu Dra. Diari Indriati, M.Si selaku dosen Pembimbing I dan Bapak AbdulAziz, S.Kom selaku dosen Pembimbing II yang telah membimbing penulisdalam penyusunan skripsi ini.2. Bapak Drs. Y. S. Palgunadi, M.S yang telah membimbing penulis dalampenyusunan proposal.3. Bapak Supriyadi Wibowo, M.Si selaku Pembimbing Akademik.4. Para Dewan Penguji yang memberikan banyak masukan untuk perbaikanskripsi ini.5. Ibu Dra. PurnamiWidyaningsih, M.App.S , yang telah membimbing penulisdalam penulisan menggunakan LATEX.6. David Cariolaro, thanks for the attra tive dis ussions.7. Farid Wibisono, Teknik Sipil Undip, terima kasih atas buku yang telahdipinjamkan.8. Sahabat-sahabatku di MIPA yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Sung-guh halaman ini terlalu ke il untuk menuliskan nama dan sumbangsihmu.Sebagaimana manusia yang di iptakan dengan sempurna namun karyanyatidak mungkin bisa sempurna, kritik dan saran sangat penulis harapkan untukkebaikan skripsi ini. Surakarta, Desember 2006Penulisvii

DAFTAR ISIPENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivMOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vPERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiDAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II LANDASAN TEORI 42.1 Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Pewarnaan Edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Graf Petersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Graf Petal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Beberapa Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14viii

2.6 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15IIIMETODE PENELITIAN 16IVPEMBAHASAN 174.1 Ukuran Petal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Graf Petal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.1 Bukan Graf Petal yang Mempunyai Petal . . . . . . . . . . 184.2.2 Graf Petal dengan Ukuran Petal 1 . . . . . . . . . . . . . . 194.2.3 Graf Petal dengan Ukuran Petal 2 . . . . . . . . . . . . . . 224.2.4 Graf Petal dengan Ukuran Petal 3 . . . . . . . . . . . . . . 244.2.5 Graf Petal dengan Ukuran Petal Tak Terhingga . . . . . . 254.3 Klasi�kasi Graf Petal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.1 Teorema Utama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Beberapa Lema Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.3 Pembuktian Teorema Utama . . . . . . . . . . . . . . . . . 32V KESIMPULAN DAN SARAN 405.1 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40DAFTAR PUSTAKA 41LAMPIRAN 43

ix

DAFTAR TABEL4.1 Keterangan Gambar 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.2 . . . . . . . . 204.3 Keterangan Gambar 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.4 . . . . . . . . 24

x

DAFTAR GAMBAR2.1 Graf G dan Subgraf dari G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Subgraf dari G yang Diindu ed oleh V 0(G) dan E 0(G) . . . . . . . 62.3 Graf G� V 0 dan G� E 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Graf Berhingga Sederhana (a) dan Tidak Sederhana (b) . . . . . . 72.5 Matriks In iden e Graf G pada Gambar 2.3 . . . . . . . . . . . . 72.6 Graf G dan Core dari G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Dua Graf yang Isomor�s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Graf Terhubung dan Tidak Terhubung . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Gabungan (Union) dari Dua Graf H1 dan H2 . . . . . . . . . . . 102.10 Edge Coloring : 4-Edge Coloring dan 3-Edge Coloring . . . . . . 122.11 Graf Petersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.12 Graf Petersen-v3 (a) dan Graf Petal (b) . . . . . . . . . . . . . . 132.13 Graf L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1 Bukan Graf Petal yang Mempunyai Petal . . . . . . . . . . . . . 184.2 Graf Petal dengan Ukuran Petal 1 beserta Corenya . . . . . . . . 194.3 Matriks In iden e dari Graf pada Gambar 4.2 . . . . . . . . . . . 214.4 Graf Petal dengan Ukuran Petal 2 beserta Corenya . . . . . . . . 224.5 Matriks In iden e dari Graf pada Gambar 4.4 . . . . . . . . . . . 234.6 Graf Petal dengan Ukuran Petal 3 beserta Corenya . . . . . . . . 254.7 Graf Petal dengan Ukuran Petal Tak Terhingga beserta Corenya . 264.8 Ilustrasi Pembuktian Lema 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.9 Ilustrasi Pembuktian Lema 4.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.10 Ilustrasi Graf pada Pembuktian Lema 4.3.3 . . . . . . . . . . . . . 31xi

4.11 Pewarnaan Graf H�, H, G1 dan G . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.12 Graf G dan Pewarnaan pada G0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.13 Graf G1 dan H beserta Pewarnaannya . . . . . . . . . . . . . . . 344.14 Pewarnaan pada G1 yang Memenuhi (4.3) . . . . . . . . . . . . . 354.15 Pewarnaan pada H1, H dan G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.16 Pewarnaan pada G1 yang Memenuhi (4.4) . . . . . . . . . . . . . 374.17 Graf G1(�; �) dan G1(�; �; f2) serta Pewarnaan G0 dan H . . . . 39

xii

DAFTAR NOTASIV (G) : himpunan vertex di graf GE(G) : himpunan edge di graf Ge : edgev : vertexvivj : edge yang ujung-ujungnya adalah vertex vi dan vjdG(v) : degree vertex v di graf GÆ(G) : degree minimum graf G�(G) : degree maksimum graf GG� : ore dari graf GG[V 0℄ : subgraf dari G yang diindu ed oleh vertex V 0(G)G[E 0℄ : subgraf dari G yang diindu ed oleh edge E 0(G)G� V 0 : subgraf yang diperoleh dengan menghapus vertexdi V 0 dan edge yang in ident dengannya� : fungsi isomor�sme�= : isomor�sdistG(v1v2) : jarak atau distan e vertex v1 dan v2 di G' : fungsi pewarnaan'jE(G1) = '1 : pewarnaan ' dengan domain edge di G1dide�nisikan sebagai '1G1(�; ) : subgraf dari G1 yang diindu ed oleh edge yang diwarnaidengan � dan G1(�; ) : komponen G1(�; �) yang memuat f2�0(G) : edge hromati number atau hromati index graf GPw : petal dengan pusat atau enter vertex wp(G) : ukuran petal graf GSki=1E(Pwi) : gabungan dari edge-edge yang berada pada petaldengan pusat wi, untuk i = 1; 2; : : : kxiii

BAB IPENDAHULUANPada bab pendahuluan ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah,batasan masalah, tujuan, dan manfaat penulisan skripsi ini.1.1 Latar Belakang MasalahJonhsonbaugh [6℄ menuliskan bahwa graf terdiri dari himpunan vertex (titik)V dan himpunan edge (garis) E sedemikian sehingga masing-masing edge e 2 Edihubungkan dengan pasangan tak berurutan dari vertex. Graf yang memenuhisifat-sifat: mempunyai degree maksimum tiga dan degree minimum dua, him-punan vertex yang berdegree tiga indu e 2-regular graph dan himpunan vertexyang berdegree dua indu e empty graph, dide�nisikan sebagai graf petal olehCariolaro dan Cariolaro [2℄. Pemberian nama ini berhubungan dengan bentukgraf yang menyerupai daun mahkota bunga (petal) [7℄.Wilson dan Watkins [4℄ menuliskan teorema dasar Vizing yang menyatakanbahwa untuk graf sederhana G yang mempunyai degree maksimum �(G), maka�(G) � �0(G) � �(G) + 1;dengan �0(G) adalah hromati index dari G.Teorema di atas menunjukkan bahwa untuk setiap graf sederhana G, hro-mati index dari G adalah salah satu dari �(G) atau �(G) + 1.Berdasarkan teorema tersebut, Weisstein [10℄ menuliskan bahwa graf dapatdiklasi�kasikan menjadi kelas 1 dan kelas 2. Graf yang membutuhkan �(G) warnauntuk mewarnai edgenya disebut kelas 1, sedangkan graf yang membutuhkan�(G) + 1 warna untuk mewarnai edgenya disebut kelas 2.Mengklasi�kasikan graf menjadi kelas 1 dan kelas 2 adalah termasuk masalahyang rumit. Cariolaro dan Cariolaro [2℄ menuliskan bahwa Vizing telah mem-1

buktikan untuk graf G yang orenya memiliki paling banyak dua vertex makaG adalah kelas 1. Kemudian Fornier menuliskan bahwa jika ore dari G tidakmemuat y le maka G kelas 1. Oleh karena itu, syarat perlu untuk graf termasukkelas 2 adalah bahwa graf tersebut mempunyai ore yang memuat y le.Pada skripsi ini akan diklasi�kasikan graf yang memenuhi sifat-sifat grafpetal seperti yang dituliskan Cariolaro dan Cariolaro [2℄ menjadi kelas 1 dan kelas2 dengan terlebih dahulu diperkenalkan tentang ukuran petal dan graf petal.1.2 Perumusan MasalahDari hal-hal yang telah diberikan dalam latar belakang masalah, dapat diru-muskan beberapa masalah sebagai berikut.1. Apakah yang dimaksud dengan ukuran petal ?2. Graf petal yang bagaimanakah yang termasuk kelas 1 ?3. Graf petal yang bagaimanakah yang termasuk kelas 2 ?1.3 Batasan MasalahPada penulisan skripsi ini, permasalahan terbatas pada graf tidak berarah,berhingga, sederhana dan terhubung.1.4 TujuanTujuan dari penulisan skripsi ini antara lain sebagai berikut.1. Mengetahui yang dimaksud dengan ukuran petal.2. Dapat menunjukkan graf petal yang termasuk kelas 1.3. Dapat menunjukkan graf petal yang termasuk kelas 2.2

1.5 ManfaatDengan penulisan skripsi ini diharapkan dapat memahami ukuran petal dandapat mengklasi�kasikan graf petal berdasarkan teorema Vizing, yaitu graf petalyang termasuk kelas 1 dan kelas 2.

3

BAB IILANDASAN TEORIDalam bab ini diuraikan beberapa terminologi dan notasi yang digunakandalam pembahasan skripsi ini. Terminologi dan notasi tersebut sebagian besardikutip dari buku yang ditulis oleh Chartrand dan Oellermann [3℄ dan sebagianyang lain dikutip dari beberapa buku tentang teori graf dan tulisan-tulisan parapakar teori graf dalam bentuk jurnal maupun tulisan yang dimuat dalam situsweb. 2.1 GrafBerikut ini diberikan de�nisi graf seperti dituliskan oleh Johnsonbaugh [6℄,dan beberapa istilah yang berkaitan dengan graf yang digunakan dalam pemba-hasan skripsi ini.De�nisi 2.1.1. (Johnsonbaugh, 1990) Graf terdiri dari himpunan vertex(titik) V dan himpunan edge (garis) E sedemikian sehingga masing-masing edgee 2 E dihubungkan dengan pasangan tak berurutan dari vertex.Jika u dan v dua vertex di G, e = uv adalah edge dari G, maka u dengan vdikatakan saling adja ent, dan e dengan u (dan e dengan v) dikatakan saling in i-dent. Harary [5℄ menuliskan bahwa jika dua edge yang terpisah in ident dengansebuah vertex maka dua edge tersebut dikatakan saling adja ent.Pada Gambar 2.1, vertex v1 di G adja ent dengan vertex v2, v3, dan v4, danin ident dengan edge e1, e4, e5. Pada graf yang sama, edge e1 adja ent denganedge e2, e4, dan e5.De�nisi 2.1.2. Degree dari suatu vertex v di G, dilambangkan dengan dG(v),adalah banyaknya edge yang in ident dengan v.4

De�nisi 2.1.3. Barisan degree dari graf G dengan V (G) = fv1; v2; : : : ; vpgadalah barisan bilangan bulat nonnegatif : dG(v1), dG(v2), : : :, dG(vp).Barisan degree ini disusun sedemikian sehingga dG(v1) � dG(v2) � : : : �dG(vp). Nilai terke il dari barisan degree tersebut, yaitu dG(vp), disebut sebagaidegree minimum, dilambangkan dengan Æ(G). Sedangkan nilai terbesarnya, yaitudG(v1), disebut degree maksimum, dilambangkan dengan �(G).Pada Gambar 2.1, graf G mempunyai barisan degree 3, 3, 2, 2, sehinggaÆ(G) = 2, dan �(G) = 3.De�nisi 2.1.4. Sebuah graf H disebut sebagai subgraf dari graf G jika V (H) �V (G) dan E(H) � E(G).Gambar 2.1. Graf G dan Subgraf dari GGraf H pada Gambar 2.1 adalah subgraf dari G pada gambar yang sama.Bondy dan Murty [1℄ menuliskan bahwa untuk V 0(G) adalah subhimpunan takkosong dari V (G), subgraf yang himpunan vertexnya adalah V 0(G) dan him-punan edgenya adalah edge di G yang kedua ujungnya adalah vertex di V 0(G)dinamakan subgraf dari G yang diindu ed oleh V 0(G) dan dilambangkan de-ngan G[V 0℄. Pada Gambar 2.2, H adalah subgraf dari G yang diindu ed olehV 0(G) = fv1; v2; v3; v5g � V (G).Misal E 0(G) adalah subhimpunan tak kosong dari E(G), subgraf G yanghimpunan edgenya adalah E 0(G) dan himpunan vertexnya adalah ujung-ujungdari edge di E 0(G) disebut sebagai subgraf dari G yang diindu ed oleh E 0(G)dan dilambangkan dengan G[E 0℄. Graf I pada Gambar 2.2 adalah subgraf yangdiindu ed oleh E 0(G) = fv1v2; v2v3; v3v4g � E(G).5

Gambar 2.2. Subgraf dari G yang Diindu ed oleh V 0(G) dan E 0(G)Indu ed subgraph G[V n V 0℄, dilambangkan dengan G� V 0, adalah subgrafyang diperoleh dengan menghapus vertex di V 0(G) bersama dengan edge yangin ident dengannya. Sebagai ontoh, graf H 0 pada Gambar 2.3 adalah subgrafhasil penghapusan V 0(G) atau G�V 0. Subgraf yang diperoleh dengan menghapusedge di E 0(G) dilambangkan dengan G � E 0. Pada skripsi ini di ontohkan padaGambar 2.3, graf I 0.Gambar 2.3. Graf G� V 0 dan G� E 0De�nisi 2.1.5. (Bondy dan Murty, 1976) Sebuah edge yang in ident dengansatu vertex yang sama disebut loop, sedangkan edge yang in ident dengan vertexyang berbeda disebut link.De�nisi 2.1.6. (Bondy dan Murty, 1976) Graf disebut sederhana jika graftersebut tidak mempunyai loop dan tidak terdapat dua link yang menghubungkansepasang vertex yang sama.De�nisi 2.1.7. (Bondy dan Murty, 1976) Graf disebut �nite atau berhinggajika vertex dan edge dari graf tersebut berhingga.6

Gambar 2.4. Graf Berhingga Sederhana (a) dan Tidak Sederhana (b)Graf pada Gambar 2.4 keduanya berhingga. Gambar 2.4 (a) adalah grafsederhana sedangkan (b) tidak sederhana karena terdapat loop dan terdapat dualink yang menghubungkan sepasang vertex yang sama.De�nisi 2.1.8. (Wilson dan Watkins, 1990) In iden e matrix atau matriksin iden e dari graf tanpa loop G dengan n vertex dan m edge adalah matriksn�m yang entri pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah 1 jika vertex i in identdengan edge j, dan 0 jika sebaliknya.Matriks in iden e graf G pada Gambar 2.3 ditunjukkan pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5. Matriks In iden e Graf G pada Gambar 2.3De�nisi 2.1.9. (Cariolaro dan Cariolaro, 2003) Core dari G, dilambangkandengan G�, adalah subgraf dari G yang di indu ed oleh vertex yang berdegree�(G).Pada Gambar 2.6, vertex yang mempunyai degree �(G) adalah v2; v4; v6; v8,sehingga ore dari G, G�, adalah subgraf yang di-indu ed oleh v2; v4; v6; v8.7

v2

v4

v6

v8

v1 v

2v

3

v5

v4

v6

v7

v8 :DGG :

Gambar 2.6. Graf G dan Core dari GDe�nisi 2.1.10. Dua graf G1 dan G2 dikatakan isomor�s jika terdapat fungsisatu-satu � dari V (G1) onto V (G2) sedemikian sehingga uv 2 E(G1) jika danhanya jika �(u)�(v) 2 E(G2).Fungsi satu-satu � dari V (G1) onto V (G2) artinya �(ui) = �(uj)! ui = uj.Graf G1 dan G2 yang isomor�s dituliskan sebagai G1 �= G2. Graf G1 dan G2pada Gambar 2.7 menunjukkan dua graf yang isomor�s. Bukti bahwa kedua graftersebut isomor�s dapat dilihat pada Lampiran 8 skripsi ini.u

2

v2

u4

v5

v1

v4

v3

u1

u3

u5

G1

: G2

:

Gambar 2.7. Dua Graf yang Isomor�sDe�nisi 2.1.11. Sebuah graf G adalah r-regular atau regular dengan degree rjika setiap vertex di G mempunyai degree r.Pada Gambar 2.6 graf G� adalah 2 � regular karena dG�(v) = 2 untuksetiap v 2 V (G�). Sedangkan graf G bukan regular karena vertex -vertexnyamempunyai degree yang berbeda.De�nisi 2.1.12. Walk dari graf G adalah barisan selang-seling antara vertexdan edge, dimulai dan diakhiri dengan vertex, sedemikian sehingga ei = vi�1viuntuk i = 1; 2; : : : n. 8

Walk dari graf G dituliskan sebagaiW : v0; e1; v1; e2; v2; : : : ; vn�1; en; vn:Untuk menyederhanakan penulisan, dalam skripsi ini walk dituliskan se-bagai : v0; v1; v2; : : : ; vn�1; vn. Jika sebuah walk diawali dengan v0 dan diakhiridengan vn maka dinamakan walk v0 � vn, dan mempunyai panjang n.Dalam teori graf, ada beberapa ma am walk diantaranya adalah path dan y le. Path adalah walk yang vertexnya tidak ada yang diulang. Cy le adalahwalk v0; v1; : : : ; vn dengan n � 3, v0 = vn, dan v1; v2; : : : ; vn berbeda. Cy le yangterdiri dari v0; v1; : : : ; vn vertex dituliskan sebagai n- y le.Sebagai ontoh, walk dari graf G1 pada Gambar 2.7 adalahW : v1; v5; v2; v3; v1; v4; v2;path dari G1 adalah v1; v5; v2; v3, sedangkan y le dari G1 adalah v1; v5; v2; v3; v1.De�nisi 2.1.13. Suatu graf G disebut onne ted atau terhubung jika untuk setiapvertex u dan v di G maka terdapat path u � v. Jika tidak terdapat path u � vuntuk dua vertex u dan v maka graf G disebut dis onne ted atau tidak terhubung.De�nisi 2.1.14. (Johnsonbaugh, 1990)Misal G0 adalah subgraf dari G. Kom-ponen ( omponent) dari G yang memuat vertex v adalah subgraf G0 yang memuatsemua edge dan vertex di G yang berada pada path yang diawali vertex v.Lebih lanjut Johnsonbaugh [6℄ juga menuliskan bahwa sebuah graf dikatakanterhubung jika dan hanya jika mempunyai tepat satu komponen. Graf H1 padaGambar 2.8 adalah graf terhubung. Graf H2 pada gambar yang sama adalah graftidak terhubung dan terdiri dari 2 komponen.De�nisi 2.1.15. Distan e atau jarak dua vertex u dan v di G, dilambangkandengan distG(u; v), adalah panjang path u�v terpendek jika terdapat path u�vdi G. Jika tidak terdapat path u� v di G maka distG(u; v) =1.Jarak vertex v1 dan v4 di H1 pada Gambar 2.8 adalah distH1(v1; v4) = 2karena panjang path v1 � v4 terpendek adalah 2. Jarak vertex v1 dan v4 di H2adalah distH2(v1; v4) =1, karena tidak terdapat path v1 � v4 di H2.9

Gambar 2.8. Graf Terhubung dan Tidak TerhubungDe�nisi 2.1.16. Misal G1 dan G2 adalah dua ( vertex-disjoint graphs). Unionatau gabungan dari G1 dan G2, dilambangkan dengan G1 [G2, adalah graf yangmempunyai V (G1 [G2) = V (G1) [ V (G2)dan E(G1 [G2) = E(G1) [ E(G2):Gambar 2.9 menunjukkan gabungan dari dua graf H1 dan H2. Gabungandua graf tersebut memenuhi De�nisi 2.1.16 yaitu V (H1[H2) = fv1; v2; v3; v4; v5g =V (H1) [ V (H2) dan E(H1 [H2) = fv1v2; v2v3; v4v5g = E(H1) [ E(H2).

Gambar 2.9. Gabungan (Union) dari Dua Graf H1 dan H210

2.2 Pewarnaan EdgeDalam teori graf, pewarnaan ada dua ma am, yaitu pewarnaan vertex (ver-tex oloring) dan pewarnaan edge (edge oloring). Karena dalam penulisan skripsiini membahas tentang pewarnaan edge dari suatu graf G, maka diberikan de�nisidan teorema-teorema yang berkaitan dengan pewarnaan edge saja. Selanjutnya,yang dimaksud dengan pewarnaan atau oloring dalam skripsi ini adalah pewar-naan edge atau edge oloring.De�nisi 2.2.1. (Cariolaro dan Cariolaro, 2003) Pewarnaan edge atau edge oloring adalah pemetaan ' : E(G)! C dengan jCj = k, untuk k adalah bilanganbulat positif, dan '(e1) 6= '(e2) untuk e1 dan e2 adalah edge yang adja ent di G.Pewarnaan ' disebut proper jika tidak terdapat edge yang adja ent yangdiwarnai dengan warna yang sama. Jika dalam pewarnaan tersebut digunakan nwarna maka pewarnaan tersebut dinamakan n-edge oloring (selanjutnya dalamskripsi ini dinyatakan sebagai n- oloring). Jika G mempunyai n-edge oloringmaka G dikatakan n-edge olorable.De�nisi 2.2.2. Nilai n terke il dari sebuah graf G yang n-edge olorable disebutedge hromati number atau hromati index, dan dilambangkan dengan �0(G).Pada Gambar 2.10, edgenya membutuhkan minimal n = 4 warna agar edgeyang adja ent mempunyai warna yang berbeda. Graf G1 dikatakan mempunyai4-edge oloring atau G1 disebut 4-edge olorable. Karena n = 4, hromati indexG1 adalah 4 atau �0(G1) = 4. Graf G2 membutuhkan minimal n = 3 warna agaredge yang adja ent tidak memiliki warna yang sama, sehingga grafG2 mempunyai3-edge oloring atau G2 disebut 3-edge olorable dan hromati index G2 adalah�0(G2) = 3.De�nisi 2.2.3. (Harary, 1969) Sebuah graf G disebut kritis atau riti al jika�0(G� v) < �0(G) untuk setiap vertex v.Graf G1 dan G2 pada Gambar 2.10 keduanya adalah graf kritis karena�0(G1 � v) < �0(G1) dan �0(G2 � v) < �0(G2) untuk setiap v.11

1

4

4

3

3

2

2

1

1 2

2

13G

1: G

2:

Gambar 2.10. Edge Coloring : 4-Edge Coloring dan 3-Edge ColoringTeorema 2.2.1. (Wilson dan Watkins, 1990) Untuk sembarang graf seder-hana G yang mempunyai degree maksimum �(G),�(G) � �0(G) � �(G) + 1:Teorema 2.2.1 di atas dikenal dengan nama Teorema Vizing. Berdasarkanteorema tersebut, graf dibagi menjadi dua kelas yaitu kelas 1 dan kelas 2. Grafyang mempunyai �0(G) = �(G) disebut kelas 1, sedangkan graf yang mempunyai�0(G) = �(G) + 1 disebut kelas 2 [10℄.Graf G1 pada Gambar 2.10 mempunyai �(G1) = 4 dan �0(G1) = 4. Olehkarena itu, G1 termasuk graf kelas 1. Graf G2 pada gambar yang sama mempu-nyai �(G2) = 2, tetapi �0(G2) = 3, sehingga graf G2 termasuk kelas 2.2.3 Graf PetersenNama graf ini diambil dari nama penemunya, Julius Petersen (1839-1910),tokoh matematikawan asal Denmark [4℄. Weisstein [9℄ menuliskan graf Petersensebagai graf yang mempunyai 10 vertex yang 3-regular. Graf ini adalah graf yangisomor�s dengan graf seperti pada Gambar 2.11.2.4 Graf PetalPada subbab ini diberikan de�nisi graf petal seperti dituliskan Cariolarodan Cariolaro [2℄. Selain itu diberikan pula salah satu ontoh graf petal yangdiperoleh dengan menghapus salah satu vertex pada graf Petersen.12

v6

v2

v7

v8

v5

v9

v10

v3

v4

v1

Gambar 2.11. Graf PetersenDe�nisi 2.4.1. (Cariolaro dan Cariolaro, 2003) Graf petal adalah graf ter-hubung G yang memenuhi sifat sebagai berikut.1. Mempunyai degree maksimum �(G) = 3, dan degree minimum Æ(G) = 22. Core dari G atau G� adalah 2-regular3. Setiap edge dari G in ident dengan paling sedikit satu vertex di G�.

Gambar 2.12. Graf Petersen-v3 (a) dan Graf Petal (b)Graf P � pada Gambar 2.12 adalah graf yang mempunyai degree maksimumtiga dan degree minimum dua, orenya 2-regular dan setiap edgenya in identdengan paling sedikit satu vertex di ore. Graf ini adalah graf petal dan isomor�sdengan graf P � v3 pada gambar yang sama. Graf P � v3 adalah graf Petersenyang dihapus salah satu vertexnya, yaitu v3.Untuk graf petal G, misal w adalah salah satu vertex yang berdegree duadi G, dan vertex yang adja ent dengan w adalah v1 dan v2, path Pw = v1; w; v2adalah petal dari G. Dalam hal ini, w dinamakan pusat ( enter) dari petal dan13

v1 dan v2 dinamakan basepoints. Graf P � pada Gambar 2.12 mempunyai tigapetal, yaitu Pu2 = u1; u9; u1, Pu8 = u10; u8; u6, dan Pu4 = u5; u4; u7.2.5 Beberapa LemaPada subbab ini diberikan beberapa lema yang berguna dalam pembahasanskripsi ini. Lema-lema tersebut diambil dari jurnal yang ditulis Cariolaro danCariolaro [2℄.Lema 2.5.1. Jika G adalah graf terhubung kelas 2 dengan �(G�) � 2 maka1. Graf G kritis.2. Degree minimum dari ore G, Æ(G�) = 2.3. Degree minimum dari G, Æ(G) = �(G)� 1.4. Setiap vertex di G adja ent dengan paling sedikit satu vertex di G�.Lema 2.5.2. Jika G adalah graf terhubung kelas 2, �(G) = 3 dan �(G�) � 2maka G adalah graf petal.Lema 2.5.3. Jika Ln, untuk setiap bilangan positif n, adalah graf yang diperolehdengan menyisipkan path vi; wi; yi, untuk i = 1; 2; :::; n�1, ke vertex yang beradadi bagian dalam path v0; v1; v2; :::; vn�1; vn, dan dengan memisalkanfi = wiyi;' : fv0v1; f1; f2:::fn�1g ! f�; �; g, dan� 2 f'(fn�1)gmaka ' dapat diperluas menjadi '̂ : E(Ln) ! f�; �; g dan '̂(vn�1vn) 6= �sehingga pewarnaan Ln proper.Notasi � 2 f'(fn�1)g artinya � adalah range fungsi ' dikurangi denganrange '(fn�1). Lema 2.5.3, untuk n = 11, diilustrasikan pada Gambar 2.13.14

Gambar 2.13. Graf L112.6 Kerangka PemikiranBerdasarkan landasan teori yang diberikan, dapat disusun kerangka pemiki-ran sebagai berikut. Disusun graf-graf yang memenuhi sifat-sifat graf petal, yaitugraf yang mempunyai maksimum degree tiga dan minimum degree dua, orenya2-regular dan setiap edgenya in ident dengan paling sedikit satu vertex di ore.Untuk memahami tentang ukuran petal, diberikan beberapa ontoh graf petaldengan berbagai ukuran petal.Untuk mengklasi�kasikan graf petal berdasarkan teorema Vizing, dibuk-tikan teorema utama. Untuk mengantarkan pada pembuktian teorema utamatersebut dibuktikan terlebih dahulu beberapa lema yang menyatakan bahwa grafpetal dengan ukuran petal 1, 2, dan tak terhingga adalah kelas 1.

15

BAB IIIMETODE PENELITIANPenulisan skripsi ini merupakan studi literatur dengan ara mengkaji ulangjurnal yang ditulis oleh Cariolaro dan Cariolaro [2℄. Pembahasan permasalahanyang telah dirumuskan menggunakan referensi berupa buku-buku tentang teorigraf, jurnal maupun tulisan-tulisan yang dimuat di situs web.Langkah-langkah yang digunakan untuk men apai tujuan penulisan skripsiini adalah sebagai berikut.1. Mengumpulkan dan memahami terminologi tentang graf, dan pewarnaanedge.2. Menuliskan kembali terminologi tentang graf yang telah dipahami untukdijadikan landasan teori.3. Mengkaji jurnal utama dan merumuskan permasalahan.4. Membahas rumusan permasalahan dengan menggunakan landasan teori danlema-lema yang mendukung.Pembahasan rumusan permasalahan menggunakan metode sebagai berikut.(a) Mengkaji tentang graf petal dan ukuran petal.(b) Memahami pengklasi�kasian graf berdasarkan teorema dasar Vizing.( ) Memahami graf Petersen untuk digunakan dalam penyusunan graf P �,yaitu graf petal yang disusun dengan menghapus salah satu vertexpada graf Petersen.(d) Membuktikan teorema utama dengan kontradiksi dan induksi sehinggadiperoleh klasi�kasi graf petal.16

BAB IVPEMBAHASANPada bab ini diberikan pengertian tentang ukuran petal seperti yang di-tuliskan oleh Cariolaro dan Cariolaro [2℄ dan beberapa ontoh graf petal denganukuran petal 1, 2, 3, dan tak terhingga, serta klasi�kasi graf petal berdasarkanteorema Vizing. 4.1 Ukuran PetalCariolaro dan Cariolaro [2℄ menuliskan bahwa untuk graf petal G, misalw adalah vertex yang berdegree dua di G, dan vertex yang adja ent dengan wadalah v1 dan v2, path Pw = v1; w; v2 disebut petal dari G. Vertex w dise-but pusat ( enter) dan vertex v1 dan v2 disebut basepoints. Basepoints daripetal Pw tersebut berada di G�. Jarak antarbasepoints di G� pada suatu petaldisebut ukuran petal dan dinotasikan dengan distG�(v1; v2). Pada petal Pw, ji-ka distG�(v1; v2) = k maka ukuran petal Pw adalah k atau Pw adalah k-petal.Menurut De�nisi 2.1.15, jika di G� tidak terdapat path yang menghubungkan an-tarbasepoints pada suatu petal maka ukuran petal adalah tak terhingga. Ukuranpetal dari G adalah nilai minimal dari ukuran petal-petal pada G. Ukuran petaldari G dinotasikan dengan p(G).4.2 Graf PetalDe�nisi graf petal telah diberikan pada De�nisi 2.4.1. Berikut ini diberikan ontoh graf yang bukan graf petal tetapi mempunyai petal dan beberapa ontohgraf petal dengan ukuran petal 1, 2 dan tak terhingga.17

4.2.1 Bukan Graf Petal yang Mempunyai PetalLebih lanjut Cariolaro [7℄ menuliskan bahwa petal tidak hanya dimiliki olehgraf petal saja tetapi juga selain graf petal. Graf G yang mempunyai path yangdibentuk oleh vertex berdegree dua dan dua vertex yang adja ent dengannya(basepoints) yang berada di G�, tetapi tidak memenuhi de�nisi graf petal adalahbukan graf petal yang mempunyai petal. Contoh bukan graf petal yang mem-punyai petal ditunjukkan pada Gambar 4.1.G : v

1

v2 v

3

v4

v5

v6

v7

v8

v2

v1

v3

v5

v4

v6

v7

v8

H :

v2 v

3

v5

v6

v5

v6

v7

v8

:DG :DH

Gambar 4.1. Bukan Graf Petal yang Mempunyai PetalGraf G pada Gambar 4.1 mempunyai degree minimum Æ(G) = 2 dan degreemaksimum �(G) = 3, tetapi G� bukan 2-regular, sehingga G bukan graf petal.Graf G mempunyai vertex yang berdegree dua dan vertex yang adja entdengannya (basepoints) berada di G� sehingga G mempunyai petal. Petal-petaldari G adalah path : v2; v1; v6; v2; v7; v6; v3; v8; v5; dan v3; v4; v5. Ukuran petaldari G adalah tak terhingga karena untuk sembarang petal di G, basepointsnyatidak dihubungkan oleh path di G�.Graf H pada Gambar 4.1 mempunyai degree minimum Æ(H) = 2 dan H�adalah 2-regular, tetapi degree maksimum �(H) = 4. Oleh karena itu, H jugabukan graf petal. NamunH mempunyai petal. Petal-petal tersebut adalah path :18

v5; v1; v6; v6; v2; v7; v7; v3; v8; v8; v4; v5. Ukuran petal dari H adalah satu karenadistH�(v5; v6) = distH�(v6; v7) = distH�(v7; v8) = distH�(v8; v5) = 1.4.2.2 Graf Petal dengan Ukuran Petal 1Graf petal G dengan ukuran petal 1 adalah graf yang mempunyai degreemaksimum �(G) = 3, degree minimum Æ(G) = 2, G� adalah 2-regular dan setiapedge dari G in ident dengan paling sedikit satu vertex di G� dan ukuran petaldari G adalah 1. Graf yang demikian disebut juga graf petal G dengan p(G) = 1.Ukuran petal dari G adalah 1 artinya nilai minimal ukuran petal-petal pada Gadalah 1. Contoh graf petal dengan p(G) = 1 ditunjukkan pada Gambar 4.2.Keterangan Gambar 4.2 ditunjukkan pada Tabel 4.1 dan Tabel 4.2.

v2 v

3

v5

v6

:DG

v2

v3

v5

v6

:DH

v1

v2

v3

v4

v5

v6

:DI

v1

v2 v

3

v4

v5v

6v

7

v8

:DJ

v11

v1

v6

v4

G:

v2 v

3

v5

H: v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

I:v

1

v2

v3

v4

v5

v8

v9

v6

J:

v1

v2 v

3

v4

v5v

6v

7

v8

v9

v10

v12

Gambar 4.2. Graf Petal dengan Ukuran Petal 1 beserta CorenyaTabel 4.1 menunjukkan bahwa graf G;H; I dan J pada Gambar 4.2 mem-punyai degree maksimum 3 dan degree minimum 2, dan ore dari masing-masinggraf membentuk subgraf 2-regular ( y le).Untuk menunjukkan bahwa setiap edge pada graf G;H; I dan J in identdengan paling sedikit satu vertex di orenya, dibuat matriks in iden e dengan19

Tabel 4.1. Keterangan Gambar 4.2Graf Barisan Degree � Æ CoreG 3; 3; 3; 3; 2; 2 3 2 v2; v3; v5; v6; v2H 3; 3; 3; 3; 2; 2 3 2 v2; v3; v5; v6; v2I 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 2; 2 3 2 v1; v2; v3; v4; v5; v6; v1J 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 2; 2; 2 3 2 v1; v2; v3; v4; v5; v6; v7; v8; v1elemen-elemen kolom adalah semua edge di masing-masing graf dan elemen-elemen baris adalah vertex di ore dari masing-masing graf pada Gambar 4.2.Matriks in iden e dari graf G;H; I; J ditunjukkan pada Gambar 4.3.Setiap kolom pada matriks in iden e mempunyai sedikitnya satu elemenbernilai 1. Hal ini menunjukkan bahwa setiap edge di graf in ident dengan pa-ling sedikit satu vertex di ore.Tabel 4.2. Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.2Graf Petal Basepoints Ukuran petal Ukuran petal dari grafG v2; v1; v6; v2 dan v6 1 1v3; v4; v5 v3 dan v5 1H v3; v1; v5; v3 dan v5 1 1v2; v4; v6 v2 dan v6 1I v1; v7; v2; v1 dan v2 1 1v3; v8; v4; v3 dan v4 1v5; v9; v6 v5 dan v6 1J v2; v9; v3; v2 dan v3 1 1v4; v10; v5; v4 dan v5 1v6; v11; v8; v6 dan v8 2v7; v12; v1 v7 dan v1 2Ukuran petal dari graf pada Gambar 4.2 ditunjukkan pada Tabel 4.2. Uku-ran petal dari masing-masing graf di ari dengan memilih nilai minimal dari uku-ran petal-petal pada graf. Dari tabel tersebut tampak bahwa ukuran dari sem-20

Matriks incidence graf HMatriks incidence graf G

÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççççç

è

æ

110000000100

101100000000

000110100000

000001110000

000000011010

000000000111

69vv54vv 65vv95vv61vv71vv 32vv 43vv 83vv72vv 48vv21vv

3v

6v

1v

4v

2v

5v

Matriks incidence graf I

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

11010000

01101000

00001011

10000110

42vv31vv 64vv 15vv 65vv53vv 26vv32vv

3v

5v

6v

2v32vv

21vv 43vv 54vv 62vv53vv16vv65vv

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

10110000

01011000

01000110

10000011

3v

5v

6v

2v

21vv 92vv32vv 39vv43vv 104vv 510vv54vv 65vv 76vv 87vv 116vv

3v

6v

1v

4v

2v

5v

8v

7v

811vv 127vv112vv18vv

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççççççç

è

æ

0010000011000000

0100000001100000

0001000000110000

0000100000011000

0000010000001100

0000001000000110

0000000100000011

1000000010000001

Matriks incidence graf JGambar 4.3. Matriks In iden e dari Graf pada Gambar 4.2barang petal pada graf G;H; I adalah 1, sehingga p(G) = p(H) = p(I) = 1.Sedangkan pada graf J distJ�(v2; v3) = distJ�(v4; v5) = 1dan distJ�(v6; v8) = distJ�(v7; v1) = 2;sehinggap(J) = minfdistJ�(v2; v3); distJ�(v4; v5); distJ�(v6; v8); distJ�(v7; v1)g = 1:21

Dari keterangan Tabel 4.1 dan matriks in iden e pada Gambar 4.3 dapatdisimpulkan bahwa graf G;H; I; J pada Gambar 4.2 adalah graf petal. Keterang-an Tabel 4.2 menunjukkan ukuran petal dari graf pada Gambar 4.2 adalah 1.Sehingga dapat disimpulkan bahwa graf pada gambar tersebut adalah graf petaldengan ukuran petal 1 atau graf petal dengan p(G) = 1.4.2.3 Graf Petal dengan Ukuran Petal 2Graf petal G dengan ukuran petal 2 adalah graf yang mempunyai degreemaksimum �(G) = 3, degree minimum Æ(G) = 2, G� adalah 2-regular dan setiapedge dari G in ident dengan paling sedikit satu vertex di G� dan ukuran petaldari G adalah 2. Graf yang demikian disebut juga graf petal G dengan p(G) = 2.Ukuran petal dari G adalah 2 artinya nilai minimal dari ukuran petal-petal padaG adalah 2. Contoh graf petal dengan p(G) = 2 ditunjukkan pada Gambar 4.4.Keterangan Gambar 4.4 ditunjukkan pada Tabel 4.3 dan Tabel 4.4.H:

v2

v4

v6

v1

v3

v5

G:

v3

v1

v2

v4v

5

v6

:DH

v2

v4

v1

v3

:DG

v3

v1

v2

v4v

5

v6

v8

v9

v7

Gambar 4.4. Graf Petal dengan Ukuran Petal 2 beserta CorenyaGraf G dan H pada Gambar 4.4 mempunyai degree maksimum 3, degreeminimum 2 dan orenya membentuk subgraf 2-regular ( y le) sehingga memenuhidua syarat pertama graf petal (De�nisi 2.4.1). Untuk menunjukkan bahwa grafG dan H memenuhi syarat ketiga graf petal, dibuat matriks in iden e.22

Tabel 4.3. Keterangan Gambar 4.4Graf Barisan Degree � Æ CoreG 3; 3; 3; 3; 2; 2 3 2 v1; v2; v3; v4; v1H 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 2; 2 3 2 v1; v2; v3; v4; v5; v6; v1Setiap kolom pada matriks in iden e pada Gambar 4.5 mempunyai palingsedikit satu elemen bernilai 1. Hal ini menunjukkan bahwa setiap edge dari grafpada Gambar 4.4 in ident dengan paling sedikit satu vertex di ore sehinggasyarat ketiga graf petal terpenuhi.Matriks incidence graf G

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

01001100

00100110

10000011

00011001

32vv21vv 43vv 25vv54vv36vv61vv

14vv

3v

1v

4v

2v

Matriks incidence graf H

÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççççç

è

æ

100000110000

001000011000

010000001100

000010000110

000100000011

00000110000132vv

21vv 43vv 92vv38vv81vv54vv 65vv 16vv 59vv 74vv 67vv

3v

6v

1v

4v

2v

5v

Gambar 4.5. Matriks In iden e dari Graf pada Gambar 4.4Ukuran petal dari graf pada Gambar 4.4 ditunjukkan pada Tabel 4.4. Uku-ran petal di ari dengan memilih nilai minimal dari ukuran petal-petal yang ter-dapat pada masing-masing graf.Tabel 4.4 menunjukkan bahwa nilai minimal dari ukuran sembarang petalpada graf G dan H adalah 2 sehingga graf tersebut mempunyai ukuran petal 2.Dari keterangan pada Tabel 4.3, matriks in iden e pada Gambar 4.5, dan23

Tabel 4.4. Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.4Graf Petal Basepoints Ukuran petal Ukuran petal dari grafG v1; v6; v3; v1 dan v3 2 2v4; v5; v2 v4 dan v2 2H v1; v8; v3; v1 dan v3 2 2v2; v9; v5 v2 dan v5 3v4; v7; v6 v4 dan v6 2Tabel 4.4 jelas bahwa graf G dan H pada Gambar 4.4 merupakan graf petaldengan ukuran petal 2.4.2.4 Graf Petal dengan Ukuran Petal 3Graf petal G dengan ukuran petal 3 adalah graf yang mempunyai degreemaksimum �(G) = 3, degree minimum Æ(G) = 2, G� adalah 2-regular dan setiapedge dari G in ident dengan paling sedikit satu vertex di G� dan ukuran petaldari G adalah 3. Graf yang demikian disebut juga graf petal G dengan p(G) = 3.Ukuran petal dari G adalah 3 artinya nilai minimal dari ukuran petal-petal padaG adalah 3.Cariolaro dan Cariolaro [2℄ menggambarkan graf petal dengan ukuran petal 3dengan menghapus salah satu vertex pada graf Petersen. Graf tersebut diberinama P � dan dalam skripsi ini digambarkan kembali pada Gambar 4.6. Padagambar yang sama, penulis memberikan salah satu ontoh graf petal G denganp(G) = 3.Graf P � dan G pada Gambar 4.6 mempunyai degree maksimum 3, degreeminimum 2 dan orenya membentuk subgraf 2-regular. Dari gambar tersebut jugatampak bahwa setiap edge di graf in ident dengan paling sedikit satu vertex di ore. Keterangan Gambar 4.6 dalam bentuk tabel ditunjukkan pada Lampiran 1dan Lampiran 2, sedangkan matriks in iden enya ditunjukkan pada Lampiran 3dan Lampiran 4.Basepoints dari sembarang petal pada graf P � dihubungkan oleh path di24

G:

v1

v2

v3 v

4

v5

v8

v6

v7

v9v

10

v11

v12

v13

v14

v16

v17

v18

v15

v1

v2

v3

v4

v5v

6

v7

v8

v9

:*P

:*DP v

1

v2

v3

v4

v5v

6

v1

v2

v3 v

4

v5

v8

v6

v7

v9v

10

v11

v12

:DG

Gambar 4.6. Graf Petal dengan Ukuran Petal 3 beserta CorenyaP �� dengan jarak 3 sehingga p(G) = 3. Sedangkan pada graf G, distG�(v1; v4) =distG�(v7; v10) = 3 dan distG�(v2; v6) = distG�(v5; v9) = distG�(v8; v12) = 4sehingga p(G) = 3.4.2.5 Graf Petal dengan Ukuran Petal Tak TerhinggaAnalog dengan graf petal dengan ukuran petal 1, 2, dan 3, untuk grafpetal dengan ukuran petal tak terhingga adalah graf yang mempunyai degreemaksimum �(G) = 3, degree minimum Æ(G) = 2, G� adalah 2-regular dansetiap edge dari G in ident dengan paling sedikit satu vertex di G� dan ukuranpetal dari G adalah tak terhingga. Graf yang demikian disebut juga graf petalG dengan p(G) = 1. Ukuran petal dari G adalah tak terhingga artinya nilaiminimal dari ukuran petal-petal pada G adalah tak terhingga. Contoh graf petaldengan ukuran petal tak terhingga ditunjukkan pada Gambar 4.7 dan diterangkandalam bentuk tabel dan matriks in iden e yang ditunjukkan pada Lampiran 525

dan Lampiran 6 dan Lampiran 7 skripsi ini.Graf G pada Gambar 4.7 mempunyai degree maksimum 3, degree mini-mum 2 dan orenya membentuk subgraf 2-regular yang tidak terhubung. Setiapedge di G in ident dengan paling sedikit satu vertex di ore. Dengan demikiangraf tersebut adalah graf petal.Graf G mempunyai ore yang tidak terhubung. Sembarang petal padagraf G basepointsnya tidak dihubungkan oleh path di G� sehingga jarak an-tarbasepoints adalah tak terhingga atau ukuran sembarang petal pada graf Gadalah tak terhingga. Hal ini mengakibatkan ukuran petal graf G adalah takterhingga.

Gambar 4.7. Graf Petal dengan Ukuran Petal Tak Terhingga beserta Corenya4.3 Klasi�kasi Graf PetalDalam skripsi ini, graf petal akan diklasi�kasikan menjadi kelas 1 dan ke-las 2 seperti yang dituliskan oleh Cariolaro dan Cariolaro [2℄. Pengklasi�kasiantersebut berdasarkan teorema Vizing seperti telah dituliskan pada Teorema 2.2.1.Dalam bab ini teorema tersebut dituliskan kembali pada Teorema 4.3.1.26

Teorema 4.3.1. Untuk sembarang graf sederhana G,�(G) � �0(G) � �(G) + 1:Jika graf G mempunyai hromati index �0(G) = �(G) maka G termasukkelas 1, tetapi jika hromati index pada G, �0(G) = �(G)+1 maka G termasukkelas 2 [10℄. 4.3.1 Teorema UtamaTeorema yang dituliskan Cariolaro dan Cariolaro [2℄ yang berguna untukmengklasi�kasikan graf petal, dalam skripsi ini dituliskan pada Teorema 4.3.2 dibawah ini.Teorema 4.3.2. Jika G adalah graf petal dan G � P � maka G adalah kelas 1.Dalam hal ini, P � adalah graf hasil penghapusan salah satu vertex padagraf Petersen seperti telah ditunjukkan pada Gambar 4.6.Pada skripsi ini, dibuktikan Teorema 4.3.2 di atas dengan induksi dan meng-gunakan beberapa lema yang telah dituliskan pada subbab 2.5. Sebelum teorematersebut dibuktikan, terlebih dahulu dibuktikan lema-lema yang menyatakan bah-wa graf petal dengan ukuran petal 1, 2 dan tak terhingga adalah kelas 1 sepertidituliskan pada Lema 4.3.1, 4.3.2 dan 4.3.3.4.3.2 Beberapa Lema PengantarBerikut ini dibuktikan bahwa graf petal dengan ukuran petal 1, 2 dan takterhingga adalah kelas 1 seperti dituliskan oleh Cariolaro dan Cariolaro [2℄. Lema-lema tersebut dibuktikan dengan kontradiksi.Lema 4.3.1. Jika G adalah graf petal dengan p(G) = 1 maka G kelas 1.Bukti. Dibuktikan Lema 4.3.1 dengan kontradiksi. Andaikan G adalah graf petalkelas 2. Karena G kelas 2 dan �(G) = 3, �0(G) = 4 atau G adalah 4- olorable.Misal path Pw = v1; w; v2 adalah petal dari G dengan ukuran 1 (diilustrasikan27

Gambar 4.8. Ilustrasi Pembuktian Lema 4.3.1pada Gambar 4.8), dan u1v1; u2v2 adalah dua edge yang adja ent dengan edgev1v2 di G�.Karena G kelas 2, Lema 2.5.1 mengatakan bahwa G kritis. Jika G kritis danG1 = G� w� v1v2 maka �0(G) > �0(G1). Karena dimungkinkan masih terdapatpetal yang lain selain Pw sehingga �(G1) = 3, G1 adalah 3- olorable.Dari G1 dibuat G� yaitu graf hasil modi�kasi dari G1 dengan menyatukanvertex v1 dan v2, dan vertex hasil penyatuan tersebut diberi nama v�, seperti padaGambar 4.8. Dimisalkan terdapat korespondensi satu-satu antara pewarnaanG� dan pewarnaan G1. Tampak bahwa G� bukan graf petal tetapi terhubung,�(G�) = 3 dan �(G��) � 2. Dengan menerapkan Lema 2.5.2, G� adalah kelas 1.Karena v� adalah hasil penyatuan v1 dan v2, maka u1v� dan u2v� adalah duaedge yang adja ent. Oleh karena itu, u1v� dan u2v� harus diwarnai dengan warnayang berbeda. Karena terdapat korespondensi satu-satu antara pewarnaan padaG� dan pewarnaan pada G1 maka dua edge u1v1 dan u2v2 pada G1 harus diberiwarna yang berbeda pula. Karena G� kelas 1 maka G1 juga kelas 1. Dengan katalain, G1 adalah graf yang 3- olorable. 28

Pewarnaan padaG1 dapat dianalogkan untuk mewarnaiG. Dengan demikianG juga merupakan graf yang 3- olorable. Sehingga pengandaian salah. Graf Gbukan 4- olorable tetapi 3- olorable. Karena �(G) = 3, G adalah kelas 1.Istilah yang perlu diketahui yang digunakan dalam pembuktian selanjut-nya diberikan sebagai berikut. Vertex v dikatakan terhindar dari warna � jikaedge yang in ident dengannya tidak ada yang diwarnai dengan �. Dua ver-tex dikatakan terhindar dari warna yang sama, misal �, jika edge yang in identdengan masing-masing vertex tidak ada yang diberi warna �. Sebaliknya, duavertex dikatakan terhindar dari warna yang berbeda jika edge yang tidak in identdengan vertex pertama mempunyai warna yang berbeda dengan edge yang tidakin ident dengan vertex kedua.Lema 4.3.2. Jika G adalah graf petal dengan p(G) = 2 maka G kelas 1.Bukti. Dibuktikan bahwa jika G adalah graf petal dengan p(G) = 2 maka Gkelas 1 dengan kontradiksi. Pembuktian lema ini diilustrasikan pada Gambar 4.9.Andaikan G kelas 2. Lema 2.5.1 mengatakan bahwa G kritis. Misal Pw = v1; w; v2adalah 2-petal dari G dengan pusat w dan u1; v1; x; v2; u2 adalah path di G�, danPt = x; t; y adalah petal dari G yang memuat vertex x dengan ukuran sembarangdan lebih besar 2.Karena G kelas 2 dan �(G) = 3, G adalah 4- olorable. Karena G kritis dan4- olorable, G�w adalah 3- olorable. Seperti sebelumnya, karena masih terdapatpetal lain selain Pw, �(G� w) = 3. Graf G� w adalah kelas 1.Kasus pertama, jika pewarnaan pada G�w vertex v1 dan v2 terhindar dariwarna yang berbeda maka pewarnaan dengan kasus seperti ini dapat dianalogkanlangsung untuk mewarnai G sehingga G adalah graf yang 3- olorable.Kasus kedua yaitu jika pewarnaan padaG�w vertex v1 dan v2 terhindar dariwarna yang sama. Misal pewarnaan pada G� w adalah '(u1v1) : �, '(v1x) : �,'(xv2) : �, '(v2u2) : �, '(u2y) : �, '(xt) : , '(ty) : �.Pewarnaan pada G�w tersebut dapat dianalogkan untuk mewarnai G de-ngan menukar terlebih dahulu '(xv2) dengan '(xt) sehingga diperoleh G yang29

v1

x v2

u2

y

u1

w

t

v1

x v2

u2

y

u1

t

v1

x v2

u2

y

u1

t

b

a

ab

a

g

b

v1

x v2

u2

y

u1

t

b

a

a

b

a

g b

w

g

Pewarnaan G Pewarnaan G-w

G G-w

a

Gambar 4.9. Ilustrasi Pembuktian Lema 4.3.2merupakan graf 3- olorable. Karena �(G) = 3 maka G adalah kelas 1 sehinggapengandaian salah.Lema 4.3.3. Jika G adalah graf petal dengan p(G) =1 maka G kelas 1.Bukti. Dibuktikan Lema 4.3.3 dengan kontradiksi. Diandaikan bahwa G adalahgraf petal kelas 2. Karena �(G) = 3, G adalah graf yang 4- olorable. Dari de�nisigraf petal, G� membentuk graf 2-regular atau membentuk y le. Misal y leC = v0; v2; : : : ; vk; v0 di G� dan petal-petal dari G adalah path Pwi = vi; wi; yidengan i = 0; 1; 2; : : : ; k dan fi = wiyi. (Diilustrasikan pada Gambar 4.10 untukG dengan G� adalah dua komponen masing-masing 4- y le).Dibuat dua subgrafG yaituG1 = G�V (C) danH = G[E(C)[Ski=1E(Pwi)℄.Graf G1 adalah graf yang diindu e oleh himpunan vertex di G dikurangi him-punan vertex di C, sedangkan H adalah graf G yang diindu e oleh gabunganhimpunan edge di C dan himpunan edge di petal-petal dari G dengan pusat wiuntuk i = 1; 2; : : : ; k. 30

Gambar 4.10. Ilustrasi Graf pada Pembuktian Lema 4.3.3Berdasarkan Lema 2.5.1, G kritis. Oleh karena itu �0(G) > �0(G1) sehinggaG1 kelas 1. Karena G1 kelas 1 dan �(G1) = 3, G1 adalah graf yang 3- olorable.Misal pewarnaan pada G1 adalah '1 : E(G1)! f�; �; g.Dari graf H dibuat graf H� dengan meme ah vertex v0 2 V (H) menjadidua. Vertex yang adja ent dengan v1 diberi nama z1 dan yang adja ent dengan vkdiberi nama zk. Dimisalkan terdapat korespondensi satu-satu antara pewarnaanpada H dan H� dengan z1v1 dan zkvk memperoleh warna yang berbeda.Tampak bahwa H� �= Lk+1 dengan Lk+1 adalah graf seperti dide�nisikanpada Lema 2.5.3. Berdasarkan lema tersebut H� dapat diwarnai sehingga properdengan '� : E(H�) ! f�; �; g dan memenuhi '�(z1v1) = �; '�(fi) = '1(fi)dengan i = 1; 2; : : : k dan '�(zkvk) 6= �. Dalam hal ini '1 adalah pewarnaanpada G1.Telah dimisalkan terdapat korespondensi satu-satu antara pewarnaan pa-da H dan H�. Oleh karena itu, pewarnaan pada H� dapat dianalogkan untukmewarnai H dan tetap dapat dinyatakan dengan '�. Pewarnaan pada H juga31

Gambar 4.11. Pewarnaan Graf H�, H, G1 dan Gmemenuhi '�(fi) = '1(fi) dengan i = 1; 2 : : : k dan '�(v0v1) = �.Pewarnaan pada G1 dan H dapat dianalogkan untuk mewarnai G (diilus-trasikan pada Gambar 4.11) sehingga G adalah graf yang 3- olorable (sehing-ga kontradiksi dengan pengandaian) dengan 'jE(G1) = '1, 'jE(H) = '� dan'(v0w0) 2 f'�(v0vk); �g.4.3.3 Pembuktian Teorema UtamaDengan pembuktian Lema 4.3.1, 4.3.2, dan 4.3.3 terbukti bahwa graf petaldengan ukuran petal 1, 2 dan tak terhingga adalah kelas 1. Untuk graf petal G �P � dengan ukuran petal p(G) = p sedemikian sehingga 3 � p < 1 dibuktikankelas 1 dengan teorema utama yaitu Teorema 4.3.2 sebagai berikut.32

Bukti. Andaikan G kelas 2. Untuk graf G dengan p(G) = 4 diilustrasikan padaGambar 4.12. Misal u0; v0; v1; v2 : : : vp; up (Gambar 4.12 : y5; v0; v1; v2; v3; vp; y1)adalah path dengan panjang p+2 di G� dan memuat path Y = v0; v1; v2 : : : vp de-ngan panjang p, Pw0 = v0; w0; vp adalah p-petal dari G dan Pwi = vi; wi; yi, untuki = 1; 2; : : : p � 1, adalah petal dari G yang memuat vi dan fi = wiyi. KarenaG kelas 2, �0(G) = 4. Berdasarkan Lema 2.5.1, G kritis. Untuk G0 = G � w0,�0(G0) = 3. Graf G0 adalah kelas 1 dan 3- olorable.

Gambar 4.12. Graf G dan Pewarnaan pada G0Misal pewarnaan pada G0 adalah '0 : E(G0) ! f�; �; g. Diambil duakasus pewarnaan G0. Kasus pertama, jika vertex v0 dan vp terhindar dari warna33

yang berbeda maka pewarnaan pada G0 dapat dianalogkan pada pewarnaan G,sehingga G kelas 1. Kasus kedua, jika vertex v0 dan vp terhindar dari warnayang sama. Dibuktikan bahwa pada kasus ini pewarnaan G0 dapat dianalogkanuntuk mewarnai G sehingga kelas 1. Pengandaian yang terus digunakan padapembuktian ini adalah jika G0 3- olorable maka vertex v0 dan vp terhindar dariwarna yang sama (Gambar 4.12(a)).Selanjutnya ditentukan sifat-sifat yang berhubungan dengan pewarnaan G0.Diandaikan 3- olorable pada G0 memenuhi '0(f1) = '0(u0v0) atau '0(fp�1) ='0(upvp). Dengan menukar '0(v0v1) dengan '0(v1w1) atau '0(vpvp�1) dengan'0(vp�1wp�1) menghasilkan G0 tetap 3- olorable tetapi vertex v0 dan vp terhin-dar dari warna yang berbeda (Gambar 4.12(b)). Penukaran ini menghasilkan pe-warnaan pada G0 yang dapat dianalogkan untuk mewarnai G sehingga G adalah3- olorable. Namun, hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa vertex v0dan vp terhindar dari warna yang sama. Karena G0 tetap 3- olorable, pewarnaanpada G0 memenuhi'0(f1) 6= '0(u0v0) dan '0(fp�1) 6= '0(upvp): (4.1)

Gambar 4.13. Graf G1 dan H beserta PewarnaannyaDibuat dua subgraf dari G0, yaitu G1 dan H. Graf G1 dide�nisikan se-bagai G1 = G0 � fv1; v2; : : : ; vp�1g (diilustrasikan pada Gambar 4.13). Graf G134

ini adalah kelas 1 dan dimisalkan G1 diwarnai dengan ara yang sama, yangdinyatakan dengan '1, dengan pewarnaan pada G0 yang memenuhi (4.1). Misal'1(u0v0) = �. Andaikan 3- oloring pada G1 memenuhi '1(upvp) 6= � (misal �).Graf H dide�nisikan sebagai H = G0[E(Y ) [ Sp�1i=1 E(Pwi)℄ (diilustrasikanpada Gambar 4.13). Tampak bahwa H �= Lp dengan Lp adalah graf yang dide�-nisikan pada Lema 2.5.3. Dengan menggunakan lema tersebut, H dapat diwarnaidengan 3 warna (3- olorable). Misal pewarnaan pada H dide�nisikan sebagai'̂ : E(H) ! f�; �; g sedemikian sehingga '̂(v0v1) = , '̂(fi) = '1(fi) untuk1 � i � p� 1 dan '̂(vpvp�1) 6= �.Pewarnaan pada G0 kini dapat dide�nisikan sebagai~'(e) = 8><>:'1(e) untuk e 2 E(G1);'̂(e) untuk e 2 E(H): (4.2)Pewarnaan dengan ara ini v0 terhindar dari warna � tetapi vp tidak sehinggakontradiksi dengan pengandaian. Oleh karena itu, disimpulkan'1(upvp) = '1(u0v0) = �: (4.3)Pewarnaan pada G1 yang memenuhi (4.3) ditunjukkan pada Gambar 4.14.

Gambar 4.14. Pewarnaan pada G1 yang Memenuhi (4.3)Selanjutnya diandaikan 3- oloring pada G1 memenuhi '1(fp�2) 6= '1(fp�1).Dengan menggunakan (4.1) dan (4.3) diperoleh '1(fp�1) 6= �. Misal '1(fp�1) =35

. Dengan pengandaian sebelumnya, dapat disimpulkan '1(fp�2) 6= . DibuatH1 = H � fvp; wp�1; yp�1g (diilustrasikan pada Gambar 4.15).

Gambar 4.15. Pewarnaan pada H1, H dan G1Tampak bahwa H1 �= Lp�1. Dengan menggunakan Lema 2.5.3, H1 dapatdiwarnai dengan '̂1 : E(H1) ! f�; �; g sedemikian sehingga '̂1(v0v1) = �,'̂1(fi) = '1(fi) untuk i = 1; 2; : : : p�2 dan '̂1(vp�2vp�1) 6= . Jika pewarnaan inidianalogkan untuk mewarnai H dengan memisalkan '̂(vpvp�1) = , '̂(fp�1) = ,dan '̂(vp�1wp�1) 2 f'̂(vp�1vp�2); gmaka pewarnaan padaG0 dapat dide�nisikanseperti pada (4.2).Akan tetapi, pewarnaan dengan ara ini vertex vp terhindar dari warna �dan v0 tidak. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian sehingga '1(fp�2) = atau bisa dituliskan sebagai '1(fp�2) = '1(fp�1).36

Gambar 4.16. Pewarnaan pada G1 yang Memenuhi (4.4)Selanjutnya dibuktikan bahwa pewarnaan pada G1 selalu memenuhi'1(fp�i) = '1(fp�1) untuk semua i = 1; 2; : : : p� 1 (4.4)dengan induksi sebagai berikut.Untuk i = 1, persamaan (4.4) menjadi'1(fp�1) = '1(fp�1):Jelas merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar. Diasumsikan benar untuki = k. Persamaan (4.4) menjadi'1(fp�k) = '1(fp�1): (4.5)Persamaan (4.5) benar jika pewarnaan pada G0 dapat dide�nisikan sebagai~'(e) = 8><>:'1(e) untuk e 2 E(G1);'̂k(e) untuk e 2 E(Hk); (4.6)dengan Hk adalah graf yang isomor�s dengan Lk. Untuk i = k + 1, dibuatHk+1 = Hk � fvp�k; wp�(k+1); yp�(k+1)g. Graf Hk+1 ini adalah subgraf dari Hk.Graf Hk+1 diwarnai dengan warna yang sama dengan pewarnaan pada Hk. Pe-warnaan G0 selanjutnya dapat dide�nisikan seperti pada (4.6), sehingga disim-pulkan '1(fp�(k+1)) = '1(fp�1). Terbukti bahwa '1(fp�i) = '1(fp�1) untuksemua i = 1; 2; : : : p� 1. 37

DibuatG1(�; ), yaitu subgraf dariG1 yang diindu ed oleh edge yang diwar-nai dengan � dan . Dengan menukar warna-warna pada G1(�; ; f2), yaitu kom-ponen G1(�; ) yang memuat f2 (diilustrasikan pada Gambar 4.17), pewarnaanG1 dapat dianalogkan untuk mewarnai G0 untuk selanjutnya dianalogkan kem-bali untuk mewarnai G sehingga diperoleh 3- oloring pada G. Karena �(G) = 3,hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Graf G bukan kelas 2 tetapi kelas 1.

38

Gambar 4.17. Graf G1(�; �) dan G1(�; �; f2) serta Pewarnaan G0 dan H39

BAB VKESIMPULAN DAN SARAN5.1 KESIMPULANDari uraian pada Bab IV dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut.1. Ukuran petal adalah jarak antarbasepoints di ore graf. Ukuran petal darigraf G adalah nilai minimal dari ukuran petal-petal pada G.2. Graf petal G adalah kelas 1 untuk semua G � P �, dengan P � adalah grafyang isomor�s dengan graf Petersen yang dihapus salah satu vertexnya.3. Graf petal G adalah kelas 2 jika G �= P �.5.2 SARANBagi pemba a yang tertarik, pembahasan skripsi ini bisa dikembangkanuntuk graf yang memenuhi dua sifat terakhir dari graf petal tetapi berdegreemaksimum n dan berdegree minimum n�1, dengan n > 3, atau men ari sifat-sifatgraf tertentu yang bisa digunakan untuk menyederhanakan masalah pewarnaanedge.

40

DAFTAR PUSTAKA[1℄ Bondy, J. A. dan U. S. R. Murty, Graph theory with appli ation, The Ma mil-liam Press Ltd., 1976.[2℄ Cariolaro, David dan Gianfran o Cariolaro, Colouring the petals of graph,The Ele troni Journal of Combinatori s 10 (2003), no. R6, 1{11.[3℄ Chartrand, Gary dan Ortrud R. Oellermann, Applied and algorithmi graphtheory, International Series in Pure and Applied Mathemati s, M Graw-HillIn , 1993.[4℄ Wilson, R. J. dan John J. Watkins, Graphs an introdu tory approa h, JohnWiley And Sons, In , 1990.[5℄ Harary, Frank, Graph theory, third printing ed., Addison-Wesley Series inMathemati s, Addison-Wesley Publishing Company In , 1969.[6℄ Johnsonbaugh, Ri hard, dis rete mathemati s, 2nd ed., Ma millan PublishingCompany In ., 1990.[7℄ Diskusi penulis dengan David Cariolaro melaluiemail:david ariolaro�hotmail. om.[8℄ Weisstein, E. W. , Empty graph, From MathWorld { A Wolfram Web Re-sour e, http://mathworld.wolfram. om/EmptyGraph.html.[9℄ Weisstein, E. W. , Petersen graph, From MathWorld { A Wolfram WebResour e, http://mathworld.wolfram. om/PetersenGraph.html.41

[10℄ Weisstein, E. W. , Vizing's theorem, From MathWorld { A Wolfram WebResour e, http://mathworld.wolfram. om/VizingsTheorem.html.

42

LAMPIRANLampiran 1 : Tabel Keterangan Gambar 4.6Lampiran 2 : Tabel Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.6Lampiran 3 : Gambar Matriks In iden e Graf P � pada Gambar 4.6Lampiran 4 : Gambar Matriks In iden e Graf G pada Gambar 4.6Lampiran 5 : Tabel Keterangan Gambar 4.7Lampiran 6 : Tabel Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.7Lampiran 7 : Gambar Matriks In iden e Graf pada Gambar 4.7Lampiran 8 : Bukti Bahwa Graf G1 dan G2 pada Gambar 2.7 Isomor�s

43

Lampiran 1 : Tabel Keterangan Gambar 4.6Graf Barisan Degree � Æ CoreP � 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 2; 2 3 2 v1; v2; v3; v4; v5; v6; v1G 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 2 v1; v2; v3; v4; v5; v6;3; 3; 2; 2; 2; 2; 2; 2 v7; v8; v9; v10; v11; v12; v1Lampiran 2 : Tabel Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.6Graf Petal Basepoints Ukuran petal Ukuran petal dari grafP � v1; v8; v4; v1 dan v4 3 3v2; v7; v5; v2 dan v5 3v6; v9; v3 v6 dan v3 3G v1; v14; v4; v1 dan v4 3 3v2; v15; v6; v2 dan v6 4v3; v13; v11; v3 dan v11 4v5; v16; v9; v5 dan v9 4v7; v17; v10; v7 dan v10 3v8; v18; v12 v8 dan v12 4Lampiran 3 : Gambar Matriks In iden e Graf P � pada Gambar 4.621vv 84vv32vv 18vv43vv 96vv 39vv54vv 65vv 16vv 72vv

3v

6v

1v

4v

2v

5v

57vv

÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççççç

è

æ

010000110000

000010011000

000100001100

100000000110

000001000011

001000100001

44

Lampiran 4 : Gambar Matriks In iden e Graf G pada Gambar 4.63v

6v

1v

4v

2v

5v

9v

12v

7v

10v

8v

11v

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççççççççççççç

è

æ

001000000000110000000000

010000000000011000000000

000010000000001100000000

000000100000000110000000

000100000000000011000000

000001000000000001100000

000000001000000000110000

000000010000000000011000

000000000010000000001100

100000000000000000000110

000000000100000000000011

00000000000110000000000121vv 109vv32vv 1110vv43vv

1211vv 141vv54vv 65vv 76vv 87vv 98vv 165vv 916vv 177vv 1017vv414vv 152vv 615vv 188vv 1218vv 1311vv 313vv

112vv

Lampiran 5 : Tabel Keterangan Gambar 4.7Graf Barisan Degree � Æ CoreG 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 2 v1; v2; v3; v4; v1;2; 2; 2; 2 v5; v6; v7; v8; v5Lampiran 6 : Tabel Petal dan Ukuran Petal dari Graf pada Gambar 4.7Graf Petal Basepoints Ukuran petal Ukuran petal dari grafG v1; v10; v6; v1 dan v6 1 1v2; v11; v5; v2 dan v11 1v3; v12; v8; v3 dan v8 1v4; v13; v7 v4 dan v7 1

45

Lampiran 7 : Gambar Matriks In iden e Graf pada Gambar 4.7

Lampiran 8 : Bukti Bahwa Graf G1 dan G2 pada Gambar 2.7 Isomor�sBukti. Dibuktikan bahwa terdapat fungsi satu-satu � : V (G1)! V (G2) sedemikiansehingga vivj 2 E(G1) jika dan hanya jika �(vi)�(vj) 2 E(G2), i = 1; 2; : : : ; 5 se-bagai berikut.�(v1) = u1;�(v2) = u2;�(v3) = u3;�(v4) = u4;�(v5) = u5; sedemikian sehinggav1v5 $ �(v1)�(v5) = u1u5;v1v4 $ �(v1)�(v4) = u1u4;v1v3 $ �(v1)�(v3) = u1u3;v2v5 $ �(v2)�(v5) = u2u5;v2v4 $ �(v2)�(v4) = u2u4;v2v3 $ �(v2)�(v3) = u2u3:

46