МАТЕМАТИКАза 8. клас

Десислава Рачева

Ваня Иванова

Веселка Сиракова

Илейн Мартин

Кийт Фледжър

издателство

СъдържаниеСЪДЪРЖАНИЕ

АПАРАТ ЗА ОРИЕНТИРАНЕ 3

Раздел 1 НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР1.1 Цели изрази 41.2 Уравнения 51.3 Триъгълници 61.4 Еднакви триъгълници 71.5 Видове успоредници 81.6 Подготовка за входно ниво 9

Раздел 2 ОСНОВНИ КОМБИНАТОРНИ ПОНЯТИЯ2.1 Умножение и събиране на възможности 112.2 Пермутации, вариации и комбинации 132.3 Обобщение 16

Раздел 3 ВЕКТОРИ3.1 Вектор 173.2 Събиране и изваждане на вектори. Свойства. 203.3 Умножение на вектор с число. Свойства. 223.4 Обобщение 25

Раздел 4 ТРИЪГЪЛНИК И ТРАПЕЦ4.1 Делене на отсечка в дадено отношение 284.2 Средна отсечка в триъгълник 304.3 Медицентър на триъгълник 344.4 Трапец. Равнобедрен трапец. 364.5 Средна отсечка (основа) на трапец 394.6 Обобщение 41

Раздел 5 КВАДРАТЕН КОРЕН5.1 Ирационални числа. Квадратен корен. 435.2 Свойства на квадратните корени. 455.3 Действия с квадратни корени 475.4 Сравняване на ирационални числа, записани

с квадратни корени 495.5 Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни

корени 515.6 Рационализиране на изрази, съдържащи квадратни

корени 535.7 Обобщение 56

Раздел 6 КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ6.1 Квадратно уравнение. Непълни квадратни уравнения. 576.2 Формула за корените на квадратното уравнение 606.3 Съкратена формула за корените на квадратното

уравнение 636.4 Разлагане на квадратния тричлен на множители 656.5 Биквадратно уравнение 676.6 Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до

квадратни 696.7 Зависимости между корените и коефициентите на

квадратното уравнение. Формули на Виет. 716.8 Приложение на формулите на Виет 736.9 Моделиране с квадратни уравнения 756.10 Обобщение 77

Раздел 7 ОКРЪЖНОСТ7.1 Окръжност. Взаимни положения на точка и окръжност. 787.2 Взаимни положения на права и окръжност 807.3 Допирателни към окръжност 827.4 Централни ъгли, дъги и хорди 847.5 Диаметър, перпендикулярен на хорда 867.6 Вписан ъгъл 887.7 Периферен ъгъл 907.8 Ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжност 927.9 Ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжност 947.10 Взаимно положение на две окръжности 967.11 Общи допирателни на две окръжности 987.12 Обобщение 100

Раздел 8 РАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ8.1 Рационални дроби. Дефиниционно множество. 1028.2 Основно свойство на рационалните дроби.

Съкращаване и разширяване на рационални дроби. 1048.3 Привеждане на рационалните дроби към общ

знаменател 1068.4 Събиране и изваждане на рационални дроби 1088.5 Умножение, деление и степенуване на рационални

дроби 1118.6 Преобразуване на рационални изрази 1148.7 Дробни уравнения 1168.8 Моделиране с дробни уравнения 1198.9 Обобщение 123

Раздел 9 ВПИСАНИ И ОПИСАНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ9.1. Окръжност, описана около триъгълник 1259.2. Окръжност, вписана в триъгълник 1289.3. Външновписани окръжности 1319.4. Ортоцентър на триъгълник. Забележителни точки в

триъгълника 1349.5. Четириъгълник, вписан в окръжност 1379.6. Четириъгълник, описан около окръжност 1409.7 Обобщение 142

Раздел 10 ЕДНАКВОСТИ В РАВНИНАТА10.1 Еднаквости в равнината 14410.2 Транслация 14710.3 Ротация 15010.4 Осева симетрия 15410.5 Централна симетрия 15710.5 Обобщение 159

Раздел 11 ГОДИШЕН ПРЕГОВОР11.1 Основни комбинаторни понятия 16211.2 Вектори 16311.3 Триъгълник и трапец 16511.4 Квадратен корен 16711.5 Квадратни уравнения 16911.6 Oкръжност 17111.7 Рационални изрази 17311.8 Вписани и описани многоъгълници 17511.9 Еднаквости в равнината 177

3

Съдържание Указател на учебното съдържание

154

Раздел 10 Еднаквости в равнината

10.4 Осева симетрия

• какво е симетрична фигура, симетрични точки и ос на симетрия

• коя еднаквост е осева симетрия• свойствата на осевата симетрия• да откривате симетрични фигури• да построявате образи на познати

геометрични фигури при осева симетрия

Художниците често използват осевата симетрия при направата на различни стъклописи.

В този урок ще научите Защо трябва да знаем това?

Обобщение | стр. 159

Пеперудатa е симетрична, т.к. ако я прегънем по пунктира двете части на картинката ще съвпаднат абсолютно точно. Може да кажем, че едната половина на картинката е огледалния образ на другата половина.

Пунктираната линия се нарича ос (линия) на симетрия.

Някои фигури имат повече от една ос на симетрия. Например, дадените флагове имата повече от една ос на симетрия.

Лесен начин, за да разпознавате дали една фигура е симетрична и/или да откривате остта на симетрия е като прерисувата фигурата на паус и след това я прегънете. По този начин ще проверите дали всяка от половинките точно съвпада с другата. Друг метод е като използвате огледало.

Ключови знания

Решение: 1 Отбележете симетричните (огледалните

образи на точките (или върховете). Всяка симетрична точка е на същото

разстояние от остта на симетрия като първообраза си, но от другата страна на остта.

2 Съединете точките.

Работен пример 1

На чертежа е дадена половината от една симетрична фигура. Пунктираната права е остта на симетрия на фигурата. Пречертайте дадената част от фигурата и я довършете. 

18_Symmetry_338_346.qxd 8/8/06 11:21 am Page 33818_Symmetry_338_346.qxd 8/8/06 11:21 am Page 338

18_Symmetry_338_346.qxd 8/8/06 11:21 am Page 338

1 На всеки от дадените чертежи пунктираната линия е ос на симетрия. Пречертайте чертежа и довършете фигурата.

а б в

155

Раздел 10 Еднаквости в равнината

A

B

C

A

B

CC�

A�

B�

A

B

CC�

A�

B�

0 1 2 3 64 5

2 Практическа задача.

Стъпка 1. Вземете лист паус и го прегънете на половина. Начертайте линията на прегъване s. Върху едната половина на листа начертайте голям разностранен nABC.Стъпка 2. Сгънете отново листа, така че триъгълникът да е покрит. Прекопирайте триъгълника. Стъпка 3. Разгънете листа. Наименувайте точките, които са съответни на A, B и C съответно с A‘, B‘ и C‘. nA'B'C' е симетричен образ на nABC, а линията на прегъване на листа е остта на симетрия. а Начертайте отсечката AA‘. Нека

AA’ù s = О. Измерете дължината на AO и на A‘O. Какво забелязвате?

б Измерете ъгъла, който сключват AA‘ и s.

в Повторете 1 и 2 за точките B и B‘ и за точките C и C‘.

Направете извод: Каква е връзката между остта на симетрия и отсечките свързващи точките и техните образи?

Точките A и A’наричаме симетрични относно правата s, ако σ е симетрала на отсечката AA’. На всяка точка Х от равнината, X [ s, може да съпоставим т. Х‘, която е симетрична Х относно s. Ако Y [ s, то симетричната точка на Y спрямо s е самата т. Y. Такива точки се наричат неподвижни.

Осева симетрия с ос правата s е геометрично преобразование със следните две свойства: • Ако т. A [ s, то А‘ съвпада с А.• Ако т. B Ó s, то s е симетрала на отсечката BB’.Или казано с други думи, геометрично преобразувание, при което на всяка точка от равнината съпоставяме симетричната ѝ спрямо правата σ се нарича осева симетрия с ос правата s. Прието е осева симетрия с ос правата s да се бележи с σs Ако т. X’ е образа на т. X при осева симетрия σs, пишем X’ = σs (X) или σs : X→X'

Ключови знания

B’

A

σ

B

A’

3 Практическа задача:

Стъпка 1. Върху половината от лист хартия начертайте фигура. Близо до фигурата начертайте ос на симетрията.Стъпка 2. Използвайте пергел и линия, за да построите права перпендикулярна на остта на симетрия през някоя от върховете на фигурата. a Обяснете как като използвате пергел и перпендикуляр-

ната права, която начертахте, ще намерите симетричния образ на избрания от вас връх на фигурата.

б Свържете симетричните образи на останалите върхове на фигурата.

в Проверете точността на симетричния образ като прегънете листа по оста на симе-трия и го вдигнете срещу светлината.

G

D

E

F

D9

D

38

Раздел 4 Триъгълник и трапец

6 Даден е равнобедрен трапец с основи 7 dm и 3 dm и бедро 3 1 __ 3

dm. Намерете дължината на диагоналите на трапеца.

7 Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи АВ = 4 cm и СD = 1 cm. Обиколката на DАВС е 90 mm. Намерете обиколката на DACD.

8 Даден е ABCD – равнобедрен трапец с основи AB = a и CD = b, AC > BD = O. Ако знаете, че AC = a + b, намерете големината на \DOC.

9 Докажете, че един трапец е равнобедрен, тогава и само тогава, когато диагоналите му образуват равни ъгли с основата. (Теорема 4)

10 Даден е равнобедрения трапец TRAP, TR = PA. Докажете, че \RTA= \APR.

11 Елементите на моста, показани на изображението, образуват четириъгълника ABCD. Ако знаете, че DAED ù DCDE ù DBEC и \DCB = 120°:

а определете вида на четириъгълника ABCD. Обяснете отговора си.

б намерете големината на останалите вътрешни ъгли на ABCD.

12 Ако KLMN е равнобедрен трапец, възможно ли е KM да е ъглополовяща на \LMN и \LKM? Обяснете отговора си.

T

R A

P

A E B

CD

13 Дължините на бедрата на един трапец са 6 cm и 4 cm, а ъглите при едната му основа са тъпи и ъглополовящите им се пресичат върху другата основа. Намерете основите на трапеца, ако двете ъглополовящи отсичат от средната основа отсечка, 3 пъти по – малка от средната отсечка.

14 Точките M и N са съответно от бедрата AD и BC на трапеца ABCD и са такива, че MN ∥ AB и MN = 1 __

2 (AB + CD). Докажете, че MN е средна отсечка в триъгълника.

15 Ако в трапец отсечката, която съединява средите на основите му, е равна на отсечката, която съединява средите на диагоналите му, то бедрата на трапеца са перпендикулярни.

Задача 13 помощ

Докажете, че голямата основа е равана на сбора от бедрата на трапеца.

39

Раздел 4 Триъгълник и трапец

Трапецът също като триъгълника има средна отсечка.

Отсечката, съединяваща средите на бедрата на трапец, се нарича средна отсечка (основа) на трапец.

Теорема Ако четириъгълникът ABCD е трапец, то1 Средната отсечка на трапеца е успоредна на основите му;2 Дължината на средната отсечка е равна на половината от сумата от дължините на

двете основи.

Доказателство: ABCD – трапец, AB ∥ CD, MN – средна отсечка (основа) на трапеца. Ще докажем, че MN ∥ AB и MN = 1 __

2 (AB + DC).

Построяваме т. P = AB > DN В DBPN и DCDN: 1 BN = CN (т. N – среда на BC)2 \BNP = \CND (връхни)3 \NBP = \NCD (кръстни при AB ∥ CD > BC)⇒ DBPN ù DCDN ⇒ PN = DN (1) и BP = CD (2) От (1) ⇒ т. N е среда на DP.В DAPD, точките M и N са среди ⇒ MN е средна отсечка ⇒MN ∥ AP и ⇒ MN ∥ ABMN = 1 __

2 AP = 1 __

2 (AB + BP) От (2) ⇒ MN = 1 __

2 (AB + CD)

4.5 Средна отсечка (основа) на трапец

• какво е средна отсечка (основа) в трапец• свойствата на средната отсечка в трапеца

и как да ги използвате

Майсторите лесно могат да пресметнат каква да е дължината на дъската, която да отрежат, за да получат правилни стъпала на стълба.

В този урок ще научите Защо трябва да знаем това?

Ключови знания

Работен пример 1

QR е средна отсечка на трапеца PNML. Намерете x.

Решение: Като използваме формулата за средната отсечка, намираме QR = 1 __

2 (LM + PN)

x + 2 = 1 __ 2

[(4x – 10) + 8]

x + 2 = 1 __ 2

(4x – 2)

x + 2 = 2x – 1x = 3

L M

Q R

P N

x 2

8

4x 10

За да проверите, пресметнете LM и QR и проверете дали дължината на QR е средноаритметична на дължините на LM и PN.

Обобщение | стр. 41

D C

N

PBA

M

В началото на всеки урок с кратки изречения е казано какво ще научите. Повечето нови теми започват с отговор на въпроса: „Защо трябва да знаем това?“Примерите в урока са онагледени графично и подкрепени с указания.

Ключовите знания и важните определения са ясно представени.

Многобройните работни примери показват начина на решение на задачите.

Детайли, които ще ви насочат към решението.

Oнова, което трябва непременно да научите.

Сложността на задачите е отбелязана с различно оцветени вертикални маркери. От светъл към тъмен нюанс на маркера е движението от лесни към по-трудни и най-трудни задачи.

АПАРАТ ЗА ОРИЕНТИРАНЕ

Някои задачи изискват допълнителни усилия. Предупреждението „Помислете” е знак, че успехът е скрит в доброто съчетаване на новия материал с придобитата в училище математическа съобразителност.

Отговорите на задачите са на адрес: www.longman-bulgaria.com