坐標轉換坐標轉換介紹不同坐標系之間的轉換介紹不同坐標系之間的轉換

以以 LSLS平差方式求解坐標轉換參數平差方式求解坐標轉換參數

坐標轉換坐標轉換前言前言二維正形坐標轉換二維正形坐標轉換方程式推導方程式推導最小自乘的應用最小自乘的應用二維仿射坐標轉換二維仿射坐標轉換二維投影坐標轉換二維投影坐標轉換三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換統計的有效參數統計的有效參數

前言前言 在實際的作業中，經常需要進行不同坐標系之間在實際的作業中，經常需要進行不同坐標系之間的轉換，如第的轉換，如第 1616章控制點大地坐標與地心坐標的章控制點大地坐標與地心坐標的轉換。轉換。

台灣地區多年來曾採用不同的坐標系，早期是採台灣地區多年來曾採用不同的坐標系，早期是採用用 UTMUTM坐標系，後來改採坐標系，後來改採 GRS67GRS67地球原子的地球原子的 TTMM二度與三度分帶坐標系，目前則採用二度與三度分帶坐標系，目前則採用 TWD97TWD97坐標系坐標系 (WGS84(WGS84的地球原子，的地球原子， TMTM二度分帶二度分帶 ))。。所有已知控制點的坐標，當坐標系改變時，也需所有已知控制點的坐標，當坐標系改變時，也需要進行坐標轉換。要進行坐標轉換。

前言前言 坐標轉換的種類坐標轉換的種類

– 四參數相似坐標轉換四參數相似坐標轉換 (Four parameters similarity coordinate tr(Four parameters similarity coordinate transformation)ansformation)：正形坐標轉換：正形坐標轉換 (Conformal coordinate transfor(Conformal coordinate transformation)mation)

– 六參數坐標轉換六參數坐標轉換 (Six parameters transformation)(Six parameters transformation) ：仿射坐標轉：仿射坐標轉換換 (Affine coordinate transformation )(Affine coordinate transformation )

– 八參數坐標轉換八參數坐標轉換 (Eight parameters transformation)(Eight parameters transformation) ：投影坐標：投影坐標轉換轉換 (Projective coordinate transformation)(Projective coordinate transformation)

– 多項式坐標轉換多項式坐標轉換 (Polynomial coordinate transformation)(Polynomial coordinate transformation)– 三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換 (3D conformal coordinate transformation(3D conformal coordinate transformation

二維正形坐標轉換二維正形坐標轉換 二維正形坐標轉換二維正形坐標轉換 (Two dimensional conformal (Two dimensional conformal

coordinate transformation)coordinate transformation)又稱為四參數相似又稱為四參數相似轉換，其特色是轉換，其特色是– 形狀維持不變，即角度維持不變。形狀維持不變，即角度維持不變。

此坐標轉換的步驟此坐標轉換的步驟– 調整比例尺調整比例尺 (Scaling)(Scaling) ：使兩坐標系具有相同比例尺。：使兩坐標系具有相同比例尺。

可用一個比例參數來調整。可用一個比例參數來調整。– 旋轉坐標軸旋轉坐標軸 (Rotation)(Rotation) ：使兩坐標系的兩軸相互平行。：使兩坐標系的兩軸相互平行。

可用一個旋轉角度參數來進行。可用一個旋轉角度參數來進行。– 平移坐標原點平移坐標原點 (Translation)(Translation) ：使兩坐標系具有相同的：使兩坐標系具有相同的坐標原點。坐標原點。

有二個平移坐標參數。有二個平移坐標參數。

Scaling

Rotation

Translation

方程式的推導方程式的推導 步驟一：調整比例尺步驟一：調整比例尺

– x’=sxx’=sx– y’=syy’=sy

步驟二：旋轉坐標軸步驟二：旋轉坐標軸– X’=x’cosθ-y’sinθX’=x’cosθ-y’sinθ– Y’=x’sinθ+y’cosθY’=x’sinθ+y’cosθ

步驟三：平移坐標原步驟三：平移坐標原點點– X=X’+TX=X’+TXX

– Y=Y’+TY=Y’+TYY

x’

y’

X’

Y’

θ

y1’

x1’

θ

Y1’ X1’

Y

X

1

Tx

Ty

方程式的推導方程式的推導

Y

X

vYdbxay

vXcbyax

YX TdTc

SbSa

sincos

令

並加入殘差，則可得坐標轉換的觀測方程式

將步驟一與步驟二的結果代入步驟三，可得將步驟一與步驟二的結果代入步驟三，可得 Y

X

TySxSY

TySxSX

cossin

sincos

最小自乘法的應用最小自乘法的應用 坐標轉換的進行步驟坐標轉換的進行步驟

– 求解轉換參數：求解轉換參數： aa、、 bb、、 cc及及 dd。。利用在兩個坐標系均有坐標值的點來求解。利用在兩個坐標系均有坐標值的點來求解。兩個點可求得唯一解，但坐標含有誤差，故須有多餘觀測，因兩個點可求得唯一解，但坐標含有誤差，故須有多餘觀測，因此，需有三個以上的點。此，需有三個以上的點。

– 其他各點的坐標轉換計算。其他各點的坐標轉換計算。利用已經求得的轉換參數。利用已經求得的轉換參數。

在求解轉換參數時，可利用最小自乘法來求解。在求解轉換參數時，可利用最小自乘法來求解。– 一個點可列二個觀測方程式，若有三個點則可列出六一個點可列二個觀測方程式，若有三個點則可列出六個觀測方程式。個觀測方程式。

最小自乘法的應用最小自乘法的應用

C

C

B

B

A

A

YCcc

XCcc

YBbb

XBbb

YAaa

XAaa

vYdbxay

vXcbyax

vYdbxay

vXcbyax

vYdbxay

vXcbyax

VLAX

10

01

10

01

10

01

cc

cc

bb

bb

aa

aa

xy

yx

xy

yx

xy

yx

A

d

c

b

a

X

C

C

B

B

A

A

Y

X

Y

X

Y

X

L

C

C

B

B

A

A

Y

X

Y

X

Y

X

v

v

v

v

v

v

V

cos

tan 1

aS

a

b

實例實例 測區在任意坐標系測區在任意坐標系 (x, y)(x, y)下進行，並獲得控制點下進行，並獲得控制點 AA、、

BB、、 CC以及點以及點 11、、 22、、 33、、 44之坐標；控制點之坐標；控制點 AA、、BB、、 CC其地面坐標其地面坐標 (E, N)(E, N)，現欲求點，現欲求點 11、、 22、、 33、、44的地面坐標。各點的地面坐標與任意坐標如表的地面坐標。各點的地面坐標與任意坐標如表所示。所示。

點點 EE NN XX yy

AA

BB

CC

11

22

33

44

1049422.40-0.0041049422.40-0.004

1049413.95-0.0041049413.95-0.004

1049244.95+0.0041049244.95+0.004

51089.20+0.02951089.20+0.029

49659.30+0.07749659.30+0.077

49884.95-0.10649884.95-0.106

121.622121.622

141.228141.228

175.802175.802

174.148174.148

513.520513.520

754.444754.444

972.788972.788

-128.066-128.066

187.718187.718

135.728135.728

-120.262-120.262

-192.130-192.130

-67.706-67.706

120.994120.994

實例實例 求解程序求解程序

– 利用控制點利用控制點 AA、、 BB、、 CC的地面坐標的地面坐標 (E, N)(E, N) 與任意坐標與任意坐標(x, y)(x, y) 代入坐標轉換觀測方程式，構成代入坐標轉換觀測方程式，構成 AA、、 LL矩陣。矩陣。

– 將觀測方程式化成法方程式。將觀測方程式化成法方程式。– 解法方程式，得坐標轉換參數解法方程式，得坐標轉換參數 aa、、 bb、、 cc、、 dd。。– 計算參考標準差。計算參考標準差。– 計算轉換參數的標準差。計算轉換參數的標準差。– 計算旋轉角度以及轉換比例尺。計算旋轉角度以及轉換比例尺。– 利用所解得的參數，將其他點利用所解得的參數，將其他點 11、、 22、、 33、、 44的任意的任意坐標坐標 (x, y)(x, y) 代入坐標轉換方程式中，即可求得各點的地代入坐標轉換方程式中，即可求得各點的地面坐標面坐標 (E, N)(E, N) 。。

二維仿射坐標轉換二維仿射坐標轉換 又稱為六參數轉換。又稱為六參數轉換。 與正形坐標轉換有些微差異，在四參數轉換中，調整比例與正形坐標轉換有些微差異，在四參數轉換中，調整比例時，是將雙軸方向的比例調整視為相同；若雙軸方向的比時，是將雙軸方向的比例調整視為相同；若雙軸方向的比例調整不同時，則坐標轉換參數由四個變成六個。例調整不同時，則坐標轉換參數由四個變成六個。

若有三個控制點，則可唯一求解六參數；若有三個以上控若有三個控制點，則可唯一求解六參數；若有三個以上控制點，則有多餘觀測，可利用最小自乘法求解。制點，則有多餘觀測，可利用最小自乘法求解。

求解程序與正形坐標轉換相同。求解程序與正形坐標轉換相同。

Y

X

YYX

XYX

vYfeydx

vXcbyax

TySxSY

TySxSX

cossin

sincos

實例實例 以數化儀數化的像片坐標以數化儀數化的像片坐標 (x, y)(x, y)，必須轉換成框標，必須轉換成框標坐標坐標 (X, Y)(X, Y)。現在有四個框標以及其他兩個像點。現在有四個框標以及其他兩個像點利用數化儀數化，其結果與四個框標的坐標值如利用數化儀數化，其結果與四個框標的坐標值如表所示。求其他兩點的框標坐標。表所示。求其他兩點的框標坐標。

點點 XX YY xx yy SxSx SySy11

33

55

77

306306

307307

-113.000-113.000

0.0010.001

112.998112.998

0.0010.001

0.0030.003

112.993112.993

0.0030.003

-112.999-112.999

0.7640.764

5.0625.062

9.6639.663

5.3505.350

1.7461.746

5.3295.329

5.9605.960

10.54110.541

6.2436.243

1.6541.654

9.3549.354

9.4639.463

0.0260.026

0.0240.024

0.0280.028

0.0240.024

0.0280.028

0.0300.030

0.0220.022

0.0260.026

二維投影坐標轉換二維投影坐標轉換 又稱為八參數轉換。又稱為八參數轉換。 此坐標轉換是由一個坐標系投影到另一個坐標軸不平行的此坐標轉換是由一個坐標系投影到另一個坐標軸不平行的坐標系。坐標系。

此坐標轉換常用於航空測量。此坐標轉換常用於航空測量。 其轉換公式如下其轉換公式如下

1

1

33

222

33

111

bxa

cybxaY

ybxa

cybxaX

二維投影坐標轉換二維投影坐標轉換此轉換與仿射轉換相似，若此轉換與仿射轉換相似，若 aa33與與 bb33等於等於 00，，則與仿射轉換完全相同。則與仿射轉換完全相同。

此轉換有八個參數，因此必須至少有四個此轉換有八個參數，因此必須至少有四個控制點。若多於四個控制點，則須以最小控制點。若多於四個控制點，則須以最小自乘法求解轉換參數。自乘法求解轉換參數。

二維投影轉換為非線性方程式，必須先線二維投影轉換為非線性方程式，必須先線性化。性化。

二維投影坐標轉換二維投影坐標轉換

0

0

3

3

2

2

2

1

1

1

0303020202

0303010101

000

000

YY

XX

db

da

dc

db

da

dc

db

da

b

Y

a

Y

c

Y

b

Y

a

Y

b

X

a

X

c

X

b

X

a

X

y

ybxa

cybxa

b

Xx

ybxa

cybxa

a

X2

33

111

32

33

111

3 11

實例實例已知六個控制點在兩坐標系的坐標，以及已知六個控制點在兩坐標系的坐標，以及其他二點在其中一個坐標系的坐標，求其其他二點在其中一個坐標系的坐標，求其他二點在另一坐標系的坐標。他二點在另一坐標系的坐標。– 求解步驟求解步驟

先假設先假設 aa33與與 bb33為為 00，並以仿射轉換公式，任取三控，並以仿射轉換公式，任取三控制點坐標進行參數求解，即可求得轉換參數的近似制點坐標進行參數求解，即可求得轉換參數的近似值。值。

利用轉換參數的近似值以及各控制點在兩坐標系的利用轉換參數的近似值以及各控制點在兩坐標系的坐標，組成觀測方程式。坐標，組成觀測方程式。

接下的求解程序與前數最小自乘法求解程序相同。接下的求解程序與前數最小自乘法求解程序相同。

表17.3 例17.3之資料點 X Y x y Sx Sy1 1420.407 895.362 90.0 90.0 0.3 0.32 895.887 351.398 50.0 40.0 0.3 0.33 -944.926 641.434 -30.0 20.0 0.3 0.34 968.084 -1384.138 50.0 -40.0 0.3 0.35 1993.262 -2367.511 110.0 -80.0 0.3 0.36 -3382.284 3487.762 -100.0 80.0 0.3 0.37 -60.0 20.0 0.3 0.38 -10.0 -10.0 0.3 0.3

轉換參數a1= 25.00274 ± 0.01538

b1= 0.80064 ± 0.01896

c1= -134.71526 ± 0.37695

a2= -8.00771 ± 0.00954

b2= 24.99811 ± 0.01350

c2= -149.81543 ± 0.39789

a3= 0.00400 ± 0.00001

b3= 0.00200 ± 0.00001

控制點點 Adj.X Adj.Y vX vY1 1420.165 895.444 -0.242 0.0822 896.316 351.296 0.429 -0.1023 -944.323 641.710 0.603 0.2764 967.345 -1384.079 -0.739 0.0595 1993.461 -2367.676 0.199 -0.1656 -3382.534 3487.612 -0.250 -0.150

轉換點點 x y X Y ±Sx ±Sy7 -60.0 20.0 -2023.678 1038.310 1.717 0.6028 -10.0 -10.0 -417.837 -340.142 0.660 0.619

Q矩陣8,80.000676151 0.000803033 -0.002907035 0.000324416 0.000492864 -0.001709011 0.000000458 0.000000593

0.000803033 0.001026928 -0.003478558 0.000412277 0.000612682 -0.003555519 0.000000569 0.000000726

-0.002907035 -0.003478558 0.405992544 0.001287902 0.000355578 -0.168923103 0.000000292 -0.000000947

0.000324416 0.000412277 0.001287902 0.000259976 0.000337663 -0.004535961 0.000000264 0.000000323

0.000492864 0.000612682 0.000355578 0.000337663 0.000520596 -0.005986673 0.000000384 0.000000482

-0.001709011 -0.003555519 -0.168923103 -0.004535961 -0.005986673 0.452354471 -0.000003162 -0.000002578

0.000000458 0.000000569 0.000000292 0.000000264 0.000000384 -0.000003162 0.000000000 0.000000000

0.000000593 0.000000726 -0.000000947 0.000000323 0.000000482 -0.000002578 0.000000000 0.000000001

三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換又稱為七參數相似轉換。又稱為七參數相似轉換。由一個三維坐標系轉換到另一個三維坐標由一個三維坐標系轉換到另一個三維坐標系。系。

此坐標轉換應用於此坐標轉換應用於 GPSGPS 測量與航空測量。測量與航空測量。此轉換有七個參數，包含三個旋轉參數、此轉換有七個參數，包含三個旋轉參數、三個平移參數與一個比例參數。三個平移參數與一個比例參數。

三個旋轉參數是分別繞三個旋轉參數是分別繞 xx 、、 yy、、 zz 軸的一連軸的一連串二維旋轉。串二維旋轉。

下列是以矩陣式表示的方程式推導下列是以矩陣式表示的方程式推導

三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換

z

y

x

z

y

x

X'MX

XMX

11

11

cossin0

sincos0

001

'

1

1

1

y

y1

z1z

ω

繞 x軸旋轉 ω角度

三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換

z1z2

x2

x1

φ

繞 y軸旋轉 φ角度

cos0sin

010

sin0cos

2

2

2

22

122

MX

XMX

z

y

x

三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換

MX'X'MMMX

MX

XMX

123

3

23

100

0cossin

0sincos

Z

Y

X

x2

y2

X

Y

繞 z軸旋轉 κ角度

κ

三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換

coscos

cossin

sin

coscossinsinsin

sincos

sinsincossincos

sincoscossinsin

coscos

33

32

31

22

21

13

12

11

333231

232221

131211

m

m

m

m

m

m

m

m

mmm

mmm

mmm

M z

y

x

TzmymxmSZ

TzmymxmSY

TzmymxmSX

333231

232221

131211

三維正形坐標轉換三維正形坐標轉換 同樣的，七參數轉換為非線性方程式，必須先予同樣的，七參數轉換為非線性方程式，必須先予以線性化。以線性化。

0

0

0

0000

0000

0000

100

010

001

ZZ

YY

XX

dT

dT

dT

d

d

d

dS

ZZZ

S

Z

YYY

S

Y

XXX

S

X

z

y

x

統計上的有效參數統計上的有效參數 坐標轉換方程式除了上述的方程式外，還有很多坐標轉換方程式除了上述的方程式外，還有很多轉換方程式，如不同階次的多項式方程式。轉換方程式，如不同階次的多項式方程式。

多項式的項次愈多，應該與已知的資料集有較佳多項式的項次愈多，應該與已知的資料集有較佳的擬合。但須注意的是，太多的參數不盡然都具的擬合。但須注意的是，太多的參數不盡然都具有統計上的意義，因此必須對這些參數進行統計有統計上的意義，因此必須對這些參數進行統計檢驗，以判斷參數是否具有顯著性。檢驗，以判斷參數是否具有顯著性。– 如有四個控制點，採四參數轉換時，各轉換參數必然如有四個控制點，採四參數轉換時，各轉換參數必然會有殘差出現；但若採八參數轉換時，則僅能得到參會有殘差出現；但若採八參數轉換時，則僅能得到參數的唯一解，參數的殘差為數的唯一解，參數的殘差為 00。。

– 此情形我們不能說八參數轉換優於四參數轉換。此情形我們不能說八參數轉換優於四參數轉換。– 參數的多寡優勢，必須判斷各參數是否具有統計上的參數的多寡優勢，必須判斷各參數是否具有統計上的意義。意義。

統計上的有效參數統計上的有效參數要判斷參數的統計意義，可採用統計子要判斷參數的統計意義，可採用統計子 tt ，，即參數的絕對值除以參數標準差。即參數的絕對值除以參數標準差。– t=t=｜參數值︱｜參數值︱ /S/S– tt值必須大於值必須大於 ttα/2, να/2, ν，該參數方具有統計意義。，該參數方具有統計意義。

前述的六參數轉換例子，有四個控制點，前述的六參數轉換例子，有四個控制點，共有八個方程式，而有六個未知數，故有共有八個方程式，而有六個未知數，故有二個多餘觀測，在二個多餘觀測，在 95%95% 的信心水準下，的信心水準下， tt0.00.0

25,225,2=4.303=4.303。。

統計上的有效參數統計上的有效參數 左列各參數的左列各參數的 tt值均大於值均大於

4.3034.303，因此，我們可說，因此，我們可說這六個參數均具有統計上這六個參數均具有統計上的意義，換言之，這六個的意義，換言之，這六個參數均為統計上的有效參參數均為統計上的有效參數。數。

八參數轉換的實例中，多八參數轉換的實例中，多餘觀測為餘觀測為 44，同樣在，同樣在 95%95%的信心水準下，的信心水準下， tt0.025,40.025,4=2.7=2.77676。各參數的。各參數的 tt值均大於值均大於2.7762.776，因此各參數均為，因此各參數均為統計上的有效參數。統計上的有效參數。

參數 S t Valuea= 25.3697 ± 0.0242 1050.2b= 0.8221 ± 0.0242 34.0c= -137.1844 ± 0.2084 658.4d= -0.8079 ± 0.0242 33.4e= 25.4033 ± 0.0242 1050.1f= -150.7387 ± 0.2084 723.5

參數 S t Valuea 1 = 25.00274 ± 0.01538 1625.3

b 1 = 0.80064 ± 0.01896 42.2

c 1 = -134.71526 ± 0.37695 357.4

a 2 = -8.00771 ± 0.00954 839.5

b 2 = 24.99811 ± 0.01350 1852.0

c 2 = -149.81543 ± 0.39789 376.5

a 3 = 0.00400 ± 0.00001 358.1

b 3 = 0.00200 ± 0.00001 141.5

作業作業 17.117.1、、 17.617.6