市场微观结构Market Microstructure

曾志钊 2002.12.13

讲稿结构• 第一部分 微观结构概述• 第二部分 不同期交易• 第三部分 买卖价差• 第四部分 离散性

第一部分 微观结构概述• 市场微观结构是指资产交易价格的形成

过程和运作机制，具体化为证券价格形成过程中的微观因素，包括交易品种、证券市场参与者构成、交易场所构成以及参与者行为所遵循的交易制度结构。其中最主要的是交易制度。

• 这里所讲的市场微观结构主要是有集中交易场所市场的微观结构。

• 微观结构理论主要研究：交易制度所导致的证券价格离散（如 1/8 美元的最低变动）；一个交易日内的不均匀交易与无交易现象；买卖价差等等。

• 对于长期投资来说，微观结构导致的影响可以忽略，但短期则不容忽略 。

• 目前微观结构研究不仅仅局限于股票市场，还扩展到债券市场、外汇市场、期权市场、甚至是黄金市场。

第二部分 不同期交易• 不同期交易：通常人们以特定的单位时

间间隔长度（通常为 1 天）来记录资产价格，而事实上这些资产的交易却不是均匀发生的 。

• 那么，如果以规则的时间间隔来计量实际上不规则的资产交易，则不同期交易问题就产生了。

不连续交易的主要研究方面• 早期的文献主要集中于不同期交易对 C

APM 和 APT 在实证中应用的影响 。• 后期的文献则着眼于不同期交易所导致

的伪自相关 。• 这里只介绍后者

对于不同期交易导致的伪自相关的一个直观例子

• 假设股票 A 和 B 独立，但 B 的交易比 A 频繁。如果某一影响整体市场的消息在某一交易日临近收盘的时候到达，则 B 的收盘价比 A 更可能反映这个消息的影响，原因就在于消息到达后至收盘这段期间， A 可能不交易。尽管 A 的价格最终会反映这个消息，但当采用这种收盘报价制度时，这种滞后反映将导致 A 和B 收益率之间的横截面伪自相关。这种滞后反映还将导致 A 的日收益率的伪自相关：在 A 不交易时， A的观察价格为零，但当 A 交易后，它的观察价格将回复向其累积均值，而这种均值回归将产生收益率的负的自相关。这就是由于不同期交易产生的一种伪自相关。

• 在随机游走和有效市场的检验中，这种伪相关必须被考虑到。

不同期交易模型• 该模型由 Lo and MacKinlay （ 1990 ）提出

• 模型的目的：通过对真实收益率和观察收益率的划分来计算观察收益率的矩和协矩，从而描述不同期交易导致的伪自相关。

模型的基本假设• 一、真实收益过程• 1 、真实收益率 为证券 i 在 t 时期的

连续复利收益率 ，这个收益率是不可观察的。在不存在交易摩擦或其他制度刚性的情况下，真实收益率反映了证券基础价格的变动。它不仅反映了公司的特定信息，而且反映了市场的整体状况。

itr

• 2 、真实收益过程

• 这里 是一个均值为零的共同因子，反映了信息的影响；共同因子是 IID的，并且独立于任何的 （对于任意的 ）。而 则是一个均值为零的非系统性噪声。在任何时期都是横截面独立的。

it i i t itr f ( 1,2,..., )i N

tf

itit k , ,i t k

(1)

• 3 、真实收益过程的数字特征：• 根据假设，每一时期的真实收益率都是

随机的，并且反映消息到达和非系统噪声。且有：

( ( ) 0 ( ) 0t itE f E 由于 ，且 ）[ ]it iE r

• 二、观察收益过程• 1、观察收益率 取决于证券 i 在 t 时期

是否交易。如果在 t 时期不交易，则其观察收益率为零，因为其收盘价与前期收盘价相等。如果在 t 时期交易，则其观察收益率等于 t 时期的真实收益率和前一个连续不交易期间内各期真实收益率的和。

0itr

• 2 、例子• 假设证券 i 连续 5 期的交易情况如下：

在第 1 、 2 、 5 期交易，在第 3 、 4 期不交易。则有：

• 则取决于第 1 期以前的交易情况 。

0 0 0 02 2 3 4 5 3 4 5, 0,i i i i i i i ir r r r r r r r

01ir

• 这就抓住了不交易现象作为伪自相关来源的本质：消息首先影响较为频繁交易的股票而滞后影响较不频繁交易的股票。在这种划分中，消息对收益率的影响（ ）由真实收益率反映，而不交易导致的滞后影响（收益累积）则由观察收益率反映 。

tf

• 三、不交易概率• 假设在每一个 t 时期，证券 i 不交易的

概率为 ，证券交易与否独立于真实收益率 ，且独立于任何其他随机变量。这样，不同的证券有不同的不交易概率，而每一种证券的不交易过程可以被视为是一种抛硬币的独立同分布过程（ IID ）。

i{ }itr

模型的推导• 引入两个伯奴力（ Bernoulli ）指示变量：

1

0( 1i

it

i

（即不交易），概率为

即交易），概率为

1 2( ) (1 )it it it it it kX k ， 0k

1 (1 )

0 1 (1 )

ki i

ki i

，概率为

，概率为

• 其中， 衡量是否交易 ，且 是独立同分布的（对于 ）； 则作为收益率是否累积的系数 。特别的，定义：

it { }it1,2, ,i N ( )itX k

(0) 11 1

iit it

i

X

0(t期不交易），概率为

t（ 期交易），概率为

• 则观察收益率可以表示成：

• 其中， 为真实收益率加权的随机权重

0

0

( )it it it kk

r X k r

( )itX k

(2)

• 当 期不交易时， ，则任一 均为 0 ，因而有 ；当 期交易时，则假设之前有连续 期不交易，于是对于任一 ，都有 ，而对于 ，则有 ；因而，

t 1 0it ( )itX k0 0itr tl

k l ( ) 1itX k

k l ( ) 0itX k

01

0

l

it it it it l it kk

r r r r r

1 2( ) (1 )it it it it it kX k

观察收益率的另一种表达方式• 定义随机变量

• 则 为 期前连续不交易的期数。

1 1 2 1 2 31 1

{ }k

t it j it it it it it itk j

k

tk

tk t

0

0

tk

it it kk

r r

(3)

• 这说明观察收益率是所有过去真实收益率的随机函数，即 可以表示为随机期数 的随机变量 的和。

• 该等式概率为• 其中，第一个 意味着第 期交易，而

后一个 意味着第 期交易，而 则意味着中间 期均不交易。

0

0

tk

it it kk

r r

( )tk

0itr( )itr

2(1 ) (1 ) (1 )t tk ki i i i i

(1 )i t(1 )i 1tk

tki tk

• 这表明，对于任何的 ， 均有 的概率表示成以往 期的真实收益率的累积，这种可能性确实表明不交易可能导致伪序列相关。

tk0itr

2(1 ) tki i

tk

• 随机变量 的期望和方差为： tk

2[ ] , [ ]

1 (1 )i i

t ti i

E k Var k

(4)

个股收益率的矩• 在我们所假设的真实收益过程和不交易

概率下，观察收益率过程 在一阶和二阶矩上是协方差平稳的。

• 假设 ，可以得到：

0{ }itr

2 2[ ], [ ]i it f tVar r Var f

0[ ] [ ]it i itE r E r

0 2 2 22[ ]

1i

it i i ii

Var r

2

0 02

, 0

[ , ] (1 )(1 ), , 0

1

ni i

it jt n i j ni j f j

i j

i j n

Cov r ri j n

，对于

对于

20 0

2 2

[ , ]2

1

ni i

it it ni

i ii

Corr r r

(5)

(6)

(7)

(8)

• 如果 （通常情况下） ，则不交易并不会影响观察收益率的均值〔（ 5）式〕 ，却会扩大其方差〔（ 6）式〕 。

• （ 8 ）式表明，一个非零的收益率预期导致个股在任何前期和后期的负的序列相关系数（但随着 的增大，相关系数的绝对值呈几何级数衰减）。

• 可以这么理解：在不交易时期，观察收益率为 0 ；而在交易时，观察收益率回归到其累积收益均值，而这种均值回归就导致了负的序列相关系数。

0i

n

伪自相关系数的最值• （ 8 ）式表明，观察收益率的相关系数

是一个 的非正连续函数，且当 时，函数值为 0 ，而当 时，函数值 ，因而在 [0 ， 1] 内，必存在一个 ，使得函数值取得最小值：

i 0i 1i

0

i2

0 0

2 2

[ , ]2

1

ni i

it it ni

i ii

Corr r r

(8)

• 只考虑一阶的情况，令 ，对观察收益率的一阶自相关系数求极值：

• 这个最小值的取得当且仅当

ii

i

0 0 21

{ }[ , ] ( )

1 2i

iit it

i

MinCorr r r

(9)

1

1 2i

i

(10)

• （ 9 ）式中，当 时，我们可以得到一阶自相关系数的下界：

0 0 21

{ }[ , ] ( )

1 2i

iit it

i

MinCorr r r

(9)

i

0 01

{ , }

1[ , ]

2i i

it itInf Corr r r

• 结论 1 ：对于 的下界，实践中是无法取到的。考虑一个交易日的取样间隔，典型的情形是 ，即

，根据（ 9 ）式，一阶自相关系数的最小值为 -0.037% ，而取得这个最小值的不交易概率为 97.2% 。这意味着将存在连续 35.4 天不交易的情况

1

2

0.05%, 2.5%i i 0.02i

0 0 21

{ }[ , ] ( )

1 2i

iit it

i

MinCorr r r

(9)

( [ ] )1

it

i

E k

• 结论 2 ：在我们所假设的真实收益过程中，使取样间隔扩大一倍，会使得 扩大一倍，但却只使 扩大为 倍。因而如果扩大样本间隔 ，不交易导致的自相关系数（绝对值）将被放大，即对于个股长期收益水平来说，更极端的自相关系数是可能产生的 。这还说明，不交易过程是不独立于取样间隔的，这个因素将在时间累积中被考虑。

ii 2

0 0 21

{ }[ , ] ( )

1 2i

iit it

i

MinCorr r r

(9)

组合收益率的矩• 假设对所有证券按照不交易的概率来进

行分组，在此基础上组成等权重的证券组合：组合 A 包含有 个证券（不交易概率均为 ），组合 B 包含有 个证券（不交易概率均为 ）。定义 和 为这两个组合在 时刻的观察收益率。则

aNa

bNb 0

atr0btr

t

0 01

k

kt iti Ik

r rN

, ,k a b (11)

• 当组合 A 和 B 的证券数量无限制地增加 时（即 ），可以渐进得到组合的观察收益率的矩：

,a bN N

0[ ] [ ]kt k ktE r E r

0 2 21[ ] ( )

1

ak

kt k fk

Var r

0 0 2 21

[ , ] ( )1

ank

kt kt n k k fk

Cov r r

0 0[ , ]

an

kt kt n kCorr r r

0 0 2(1 )(1 )[ , ]

1na b

at bt n a b f ba b

Cov r r

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

• 从（ 12 ）式中可以看出，组合的观察收益率与相应的真实收益率有相同的均值（这与个股类似）。而与个股收益率不同的是， 的方差渐进地小于真实收益率 的方差：

0atr

atr2 2 0[ ] [ ]

a

at a f atVar r Var r 1 1

a a

a

at it a a t it a a ti I i Ia a

r r f fN N

• 由于（ 15 ）中不交易导致的自相关系数以几何级数衰减，因而组合的观察收益率遵循一个自回归系数等于不交易概率的 AR(1)过程。

0 0[ , ]a

nkt kt n kCorr r r (15)

个股不交易概率的估计• 考虑到：

• 定义 为 个证券的观察收益率的向量，则自协方差矩阵 为：

2

0 02

, 0

[ , ] (1 )(1 ), , 0

1

ni i

it jt n i j ni j f j

i j

i j n

Cov r ri j n

，对于

对于

0 0 0 0 '1 2[ , ]t t t Ntr r r r N

n

0 0 '[( )( ) ]n t t nE r r 0[ ]tE r

• 定义 为 的第 个元素，则我们可以得到：

( )ij n n ( , )i j

0 0 2(1 )(1 )( ) [ , ]

1i j n

ij it jt n i j f ji j

n Cov r r

i j

• 如果不同证券在同一时期的不交易概率是不同的，即对于 ，有 。则就是非对称的，且有：

i j i jn

( )( )

( )ij j n

ji i

n

n

(17)

2

0 02

, 0

[ , ] (1 )(1 ), , 0

1

ni i

it jt n i j ni j f j

i j

i j n

Cov r ri j n

，对于

对于

• 要估计某种证券的不交易概率 ，可以首先估计一种证券的不交易概率 ： 利用样本的均值 和样本协方差 ，估计出 ；然后通过（ 17）式，利用样本协方差矩阵的 和 ，可以估计出 。

j1

1̂0 0

1 1[ , ]t t nCov r r

1̂

(7)

1 ( )j n

1( )j n

ˆ j

组合不交易概率的估计• 考虑到（ 16 ）式：

• 组合收益率的自协方差矩阵也是非对称的，且有：

0 0 2(1 )(1 )[ , ]

1na b

at bt n a b f ba b

Cov r r

0 0

0 0

[ , ]( )

[ , ]nat bt n b

bt at n a

Cov r r

Cov r r

• 对于任一组合不交易概率 的估计可以通过类似于个股的方法进行。只不过，对于 的估计更简单了：它等于 阶自相关系数的 次方根 。

j

1

0 0[ , ]a

nkt kt n kCorr r r (15)

nn

时间累积 （ Time aggregation ）

• 在上面的模型中，我们对于取样间隔并没有定义，但要利用实证工具检验不交易模型，就必须定义取样间隔的日历时间长度。

• 从前面的分析中我们知道，不交易过程是不独立于取样间隔的。如果一个时期的长度被定义为 1 天，那么月观察收益率的矩可以被描述成日观察收益率过程的参数的函数。

个股收益率的时间累积• 定义 为证券 在 期的观察收益率，一

个 期的时间长度等于 个 期的时间长度。则有：

• 则个股观察收益率的时间累积过程 在一阶和二阶矩上是协方差平稳的：

0 ( )ir q i q t

0 0

( 1) 1

( )q

i itt q

r q r

0{ ( )}ir q

0[ ( )]i iE r q q

0 2 22

2 (1 )[ ( )]

(1 )

qi i

i i ii

Var r q q

2

0 0 2 ( 1) 1 1[ ( ), ( )]

1

qn q i

i i n i ii

Cov r q r q

2 2 10 0

2 2 2

(1 )[ ( ), ( )]

(1 ) 2 (1 )

q nq qi i i

i i ni i i i

Corr r q r qq

2

0 0 2 ( 1) 1(1 )(1 ) 1[ ( ), ( )]

1 1

qi j n q i

i j n i j f ji j i

Cov r q r q

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

• 由（ 18 ）式可知，时间累积的收益率均值是线性的，但方差却不是这样的。由于 的序列负相关，和的方差小于方差的和，即 。

• 时间累积会导致（ 21 ）式的自相关系数的绝对值随着 q的增长而衰减，但却不会影响其符号。

• （ 21 ）式是一个在 上的 的非正连续函数，在 时，自相关系数等于 0；而当 时，自相关系数趋近于 0。因而它有最小值。

0{ }itr

0 0[ ( )] [ ]i itVar r q qVar r

[0,1) i0i 1i

组合收益率的时间累积 • 定义 为组合 A的观察收益率，同样的，

一个 期的时间长度等于 个 期的时间长度。则有：

• 则组合观察收益率的时间累积过程 在一阶和二阶矩上是协方差平稳的：

0 ( )ar q

q t

0 0

( 1) 1

( )q

a att q

r q r

0[ ( )]a

k kE r q q

0 2 21[ ( )] [ 2 ]

1

qak

k k k fk

Var r q q

2

0 0 1 2 21 1[ ( ), ( )]

1 1

qanq qk k

k k n k k fk k

Cov r q r q

0n

(23)

(24)

(25)

2 10 0

2

(1 )[ ( ), ( )]

(1 ) 2 (1 )

q nq qak k

k k n qk k k

Corr r q r qq

0 0[ ( ), ( )]a b nCov r q r q

22 2

2

1 2

(1 )(1 ) (1 )(1 ), 0

(1 )(1 ) 1

(1 )(1 ) 1, 0

1 1

q qa b fa a b b b a

a a b a b

qnq qa b ba a b f

a b b

q n

n

0n

(27)

(26)

• 与个股的时间累积过程不同的是，对于特定的 ，当 时，（ 26 ）式趋向于 1 ，因而其最大的自相关系数是 1 （而个股自相关系数则趋近于 0 ）。

• （ 21）式和（ 26）式除了符号不同以外，在任何给定的不交易概率下，组合的自相关系数会大于个股自相关系数的绝对值。

q 1k

2 10 0

2

(1 )[ ( ), ( )]

(1 ) 2 (1 )

q nq qak k

k k n qk k k

Corr r q r qq

2 2 10 0

2 2 2

(1 )[ ( ), ( )]

(1 ) 2 (1 )

q nq qi i i

i i ni i i i

Corr r q r qq

(26)

(21)

实证检验• Lo and MacKinlay （ 1990 ）证实了下列重要

结论：• 1 、随着 q 的增长，时间累积使得个股收益率

的自相关系数（绝对值）减小；也就是说，对于个股的长期收益率来说，不交易的影响很小。

• 2 、随着 q 的增长，时间累积使得个股收益率的自相关系数取得更小的最小值，但最小值的取得却要求更高的概率（大于 0.9 ），因而这种影响也很小。

• 3 、随着 的增大，在任何概率和任何 q 上的自相关系数的绝对值均增大。

• 4 、随着 q 的增大，时间累积会减小组合收益率的自相关系数。

• 5 、在任何不交易概率上，组合的自相关系数的量值均大于个股自相关系数的量值。

• 综上，不交易导致的影响最可能在组合的短期收益率上发现。

• 另外， Lo and MacKinlay （ 1990 ）还通过对按规模大小进行排序的 20 个组合的样本协方差矩阵进行计算，估算出日收益率、周收益率和月收益率所隐含的不交易概率和连续不交易期间。得出结论：

• 不交易可以解释部分组合自相关现象，却不是自相关的唯一根源。

不交易模型的扩展和一般化• 1 、放宽真实收益率 IID 的假设 ：允许共同因子是自相关的，例如，允许 是一个平稳的一阶自相关过程，则这会把自相关分解成两个部分：一个与共同因子联系，而另一个与不交易联系。

it i i t itr f

tf

• 2 、允许扰动项的横截面相关性 、多因子、扰动项的时间序列相关和共同因子与扰动项的相关等都是可以考虑的。

• 3 、考虑不交易过程本身的相关性：例如假定 是马尔科夫链（ Markov chains ），即明天的交易概率依赖于今天交易是否发生 。

it

• 4 、考虑不交易本身和真实收益率过程相关的可能性（即 和 的相关性） 。如果真实收益率本身是一个新的信息，则交易者依赖于这个新信息来决定是否交易、何时交易。

it itr

最后一个值得考虑的问题• 如果收益自相关确实是由基于信息的不

交易导致的，那么，在多大程度上这种自相关是伪自相关？也就是说，如果不同期交易是有目的的且是信息驱动的，那么它在资产收益中导致的序列相关性应该被认为是真实的，因为它更是经济力量的结果，而非计量的错误。

第二部分 买卖价差• 做市商制度：为了保持证券流动性，许多交易所采用了做市商制度。做市商就是不管公众是否有买卖的意愿，随时做好买卖准备的个人。作为提供流动性的回报，做市商获得交易所赋予的权利，即对买和卖提供不同的价格：他们报出的买价 低于报出的卖价 。

• 买卖价差（ bid-ask spread ）：bP aP

a bs P P

• 对于买卖价差存在的原因、组成部分、对资产收益的时间序列性质的影响等方面构成了市场微观结构理论的主要研究对象。

买卖价差研究的发展脉络• Demsetz （ 1968 ）最早提出了关于买卖

价差的模型，他当时是基于对科斯产权理论的关注来研究买卖价差。

• 对买卖价差的分解构成了之后研究的主流。前期对买卖价差组成部分的研究主要从存货成本角度来进行；后期则引入信息不对称和博弈论，从逆向选择成本角度进行分析。

• 尽管实际中买卖价差不会很大，通常为1/8 美元或者 1/4 美元；但它对资产收益的时间序列性质产生一定的影响。

• 为了考察这种微小价差对资产收益时间序列性质产生的影响， Roll（ 1984）提出了买卖价格跳跃模型（ Bid-Ask Bounce)。

买卖价格跳动模型• 模型假设：• 1 、资产在一个信息强有效市场里交易。• 2 、在短期（如两个月）内，观察价格

变动的概率分布是稳定的。

• 定义 为无摩擦经济中某一证券在 时期的基础价格， 为买卖价差，这样，观察的市场价格 为：

*tP t

s

tP

*

2t t t

sP P I

1 1/ 2

1 1/ 2tI IID

，概率为 （买方驱动）服从

，概率为 （卖方驱动）

(28)

• 假设没有新的信息到达，在 时刻交易以买价成交。则此后可能的交易路径如下：

• 每一条路径都是等可能的。

1t

• 在一个有效市场里，资产的基础价格随机变动。 为了单独考察买卖价差的影响，这里假设基础价格保持不变： ，则价格变动 可以表示为：

• 在 是 IID 的假设下，价格变动的矩为：

* *tP P

tP

*

2t t t

sP P I (28)

*1 1( ) ( )

2 2t t t t t t

s sP P I I I I

tI

2

[ ]2t

sVar P

2

1[ , ]4t t

sCov P P

[ , ] 0t k tCov P P

1

1[ , ]

2t tCorr P P

1k

(29)

(30)

(31)

(32)

• 在模型的假设下：• （ 31 ）表明买卖价差并不造成任何的高阶序列相关。

• （ 29）、（ 30）、（ 32）表明由于价差的变动会造成方差和一阶自协方差同时成比例变动，因而一阶自相关系数保持固定的 。 1/ 2

s

负的序列相关的直观理解• 如果 是固定的，则价格 只有两个值：

买价或卖价。如果现在的价格为卖价，则现在价格与上期价格相比，其变动必然为 0或 ，且下一期的价格变动必然为0或 。

*tP tP

ss

重要的是协方差• 考虑到模型假设的放宽，我们应关注的

是协方差，而非方差或是自相关系数。这是因为，观察价格变动的方差可能会被新的信息影响，而如果市场是有效的话，信息是不会影响观察价格相邻变动的协方差的。

模型条件的放宽• 1 、允许基础价格变动，则观察价格变

动 可以被划分为两个部分：基础价格的变动 和价差存在造成的变动 ：

t̂P*tP tP

*t̂ t tP P P

1( )2t t t

sP I I

• 在有效市场的假设下，有：

• 并且由于买卖价差是由于交易制度造成的，因而它既不能预测基础价格变动，也不能由基础价格变动所预测，即：

0j

*[ , ] 0t t jCov P P j

* *[ , ] 0t t jCov P P

• 这样：

• 即，尽管观察价格变动的方差变动了，其协方差仍然没变。

* *1 1 1

* * * *1 1 1 1

2

1

ˆ[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

[ , ]4

t t t t t t

t t t t t t t t

t t

Cov P P Cov P P P P

Cov P P Cov P P Cov P P Cov P P

sCov P P

• 2 、考虑更长的时间间隔 ，令一个 T 期包括 N 个 t 期，则：

• 这里 和 分别表示 N期 和 的简单加总。

*

( 1) 1ˆTN

T t T TT NP P P P

*TP TP *

tPtP

• 由于 的 IID ， 具有和 同样的分布，因而：

• 在有效市场的假设下，同样有

tI TP tP

2

1 1[ , ] [ , ]4T T t t

sCov P P Cov P P

* * *[ , ] [ , ] 0T T j T T jCov P P Cov P P

• 即：

• 这说明对于长期价格变动来说，其一阶协方差仍然不变。

* *1 1 1

2

1 1

ˆ[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]4

TT T T T T

T T t t

Cov P P Cov P P P P

sCov P P Cov P P

• 3、考虑信息对价差的影响：事实上，信息的到来不仅会影响基础价格，也可能会影响价差的大小。这里假设信息影响价差的扩大是对称的。即：

• 上图表明了信息到来后，价差从 扩大到 。

• 在有效市场和价差对称的假设下，仍然有：

1ts

ts

* *[ , ] 0t t jCov P P

* *1 1[ , ] [ , ] 0t t t tCov P P Cov P P

• 因而对观察价格变动起决定作用的仍然是 。而 和 的联合分布表明，

• 不同的是，由于价差的扩大，这里起决定作用的是现在的价差 。

1[ , ]t tCov P P 1tP tP

ts

21 1

ˆ[ , ] [ , ] / 4T T t t tCov P P Cov P P s

• 放宽假设的三种情况说明，在有效市场和价差对称的假设下，观察价格变动的一阶自相关系数是稳定的，为：

• 将（ 30 ）式加以转换，可得：

• 这样，通过样本价格变动的自协方差，我们可以估计出价差来。

2 / 4s

2

1[ , ]4t t

sCov P P (30)

12 [ , ]t ts Cov P P

考虑不完全信息后的价差• Roll （ 1984 ）里所指的价差被定义为

有效价差（ effective spread ），它其实上只包含了输单成本（ order-processing costs) 和存货成本（ inventory costs ）。

• 但还必须考虑逆向选择成本（ adverse-selection costs ）。

价差里的逆向选择成本•逆向选择成本是这样产生的：对于某个

证券的价值，某些投资者了解的信息比做市商更多，做市商与这些投资者交易将导致损失。由于做市商无法区别了解信息的投资者与不了解信息的投资者，但他们又必须进行这些注定亏本的交易，因而他们要获得补偿。这样，做市商的买卖价差的一部分可以被看作是接受潜在信息知情者的交易的补偿。

Glosten （ 1987 ）的分解 • 定义 为真实的或公共信息的市场价格，

这个价格是所有不具备私人信息的投资者（ uninformed investors ）形成的。定义 为公共的信息集 ， 为当所有人都知道所有信息时形成的价格。则在风险中性的情况下，公共信息价格可以表示为

P

*P

*[ | ]P E P (33)

• 买价和卖价可以表示为：

b b bP P A C

a a aP P A C

( ) ( )a b a b a bS P P A A C C

(34)

(35)

(36)

• 其中， 组成了价差的逆向选择部分， 则包括了输单成本和存货成本以及做市商的合理利润（ Glosten称之为总收益部分， gross-profit component ）。

a bA A

a bC C

• 假设所有潜在的做市商都只能知道公共信息，他们制定了针对不同的交易的调整规则：

• {investor buys at

• {investor buys at

• 这样，逆向选择成本可以由下列式子决定：

*( ) [ |a x E P }]x*( ) [ |b y E P }]y

( )a aA a P P ( )b bA P b P

• 通过对 和 的适当限定，在互相竞争的做市商之间的均衡会导致买价和卖价的产生，这样形成的期望做市利润刚好弥补了所有成本，包括 和

( )a ( )b

a bC C a bA A

( ) [ ( ) ]a a a a a a aP a P C P a P P C P A C

( ) [ ( )]b b b b b b bP b P C P P b P C P A C

(37)

(38)

对成交价的影响• 为了探讨这两种组成因素对成交价的影

响，定义 为第 n笔交易成交的价格，则：

• 其中， 是一个指标函数，如果交易在卖价（买价）成交，其值为 1 ，否则其值为 0 。

n̂P

n a a b bP P I P I

( )a bI I

(39)

• 定义 TA代表交易在卖价成交的事件，TB代表交易在买价成交的事件。将（ 37 ）、（ 38 ）代入（ 39 ）得：

* *[ | ] [ | ]n a b a a b b

n n n

P E P TA I E P TB I C I C I

P C Q

(40)

n n n nP P C Q

* *[ | ] [ | ]n a bP E P TA I E P TB I

an

b

CC

C

，如果交易是买方驱动的

，如果交易是卖方驱动的

1

1nQ

，如果交易是买方驱动的，如果交易是卖方驱动的

(40)

和 之间的相关• 注意到 是第 n笔交易之后的公共信息

价格，定义 是第 n笔交易之前的公共信息价格。且令

nP nQ

nPP

1

1a n

b n

A QA

A Q

，当，当

• 由于 ，且 是期望的调整（？），即 。因而

2

[ , | ] [( ) | ] [( ) | ] [ | ]

[ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ]

n n n n n n

n n n n n

Cov P Q P E P AQ Q P E P AQ P E Q P

E AQ P PE Q P PE Q P E AQ P E Q P

2 1nQ nAQ

[ | ] 0nE AQ P

[ , | ] [ | ]n nCov P Q P E A P (41)

• （ 41 ）式表明， 和 ，即第 n笔交易之后的公共信息价格和第 n笔交易是买方或卖方驱动的信息是相关的。

• 如果 ，即在做市商的卖价成交的交易会形成向上调整的预期。

• 如果 ，即在做市商的买价成交的交易会形成向下调整的预期。

[ , | ] [ | ]n nCov P Q P E A P (41)

nP nQ

1n aQ A A ，则

1n bQ A A ，则

动态成交价• 定义 为当新的公共信息在第 笔交易和

第 笔交易之间到达时真实价格 的调整，则第 笔交易后的真实价格可以写成：

• 将 （ 42 ）代入（ 40 ）并求一阶差分得：

n 1n n 1nP

n

1n n n n nP P A Q (42)

1 1 1 1( ) ( )n n n n n n n nP P P P C Q C Q

1 1( )n n n n n n nA Q C Q C Q (43)

1 1 1( )n n n n n n n n nP P A Q C Q C Q

• （ 43 ）式表明，成交价变动是由总收益因素和逆向选择因素构成的。并且，逆向选择因素的影响是长期的。

(43)

• 在 Glosten 的模型里，通过假定连续复利的收益率是独立的以及买方价差等于卖方价差，可以近似得到（证明从略）：

• 其中， 为连续复利的每期市场收益率 ;为比例价差，即 ,且

2

1 ˆ[ , ]4

k k

sCov r r

(44)

kr

s( ) / 2

a b

a b

P Ps

P P

C

C A

与 Roll(1984) 的比较• Roll 的结论是：• 而将（ 44 ）式转化后， Glosten 的结论

是：

• 由于 ，因而 。也就是说， 可能是总价差的一个偏小估计值，也可能是对有效价差（总收益部分）的偏大估计值。原因就在于 Roll没有考虑逆向选择成本。

12 [ , ]t tS Cov P P

1 ˆ2 [ , ]k ks Cov r r

1 s s s 12 [ , ]t tCov P P

实证检验• Glosten and Harris （ 1988 ）利用 Gloste

n （ 1987 ）对买卖价差的分解，利用 NYSE250 只股票的交易数据，证实了逆向选择成本的存在。

• Stoll （ 1989 ）利用 NASDAQ 里的证券交易数据，将买卖价差分解为： 43％为逆向选择成本， 10％为存货成本， 47％为输单成本。

• George,Kaul and Nimalendran （ 1991 ）利用NYSE 、 AMEX 和 NASDAQ 的股票数据，将买卖价差分解为： 8％～ 13％为逆向选择成本， 87％～ 92％为输单成本，存货成本基本为 0 。

• Huang and Stoll （ 1995 ）则利用 Major Market Index 里的 19 只股票数据，分解为： 21％为逆向选择成本， 14％为存货成本， 65％为输单成本。

实证结果差异的解释• 对于买卖价差组成部分的实证结果差别很大，原因可能有两个：

• 1 、对于买卖价差的动态性质的定义不同。

• 2 、使用了不同的数据库。

第三部分 离散性• 离散性产生的制度原因：最小价格变动。

如 NYSE 中， 1 美元以上价格的股票的最小价格变动是 1 tick （即 1/8 美元）。

• 当价格或收益不是连续的时候，将对那些以连续价格或收益作为假设的经济模型产生影响。

离散性的表现形式• 1 、价格离散性的表现形式：价格集聚效应

（ Price Clustering) ，即价格更经常地表现为一些特定的值，而不是其他的值。

• 对 NYSE五只股票从 1990年 1月 2 日到 1992年 12月 31 日三年期间的日收盘价小数部分的直方统计图显示，价格小数为 0（即为 1美元的整数倍）的样本比小数是 0.5美元的样本多；小数部分是 0.5美元的样本比 0.25美元的样本多；小数是 1/8美元的偶数倍的样本比奇数倍的样本多。

• 2 、收益离散性的表现形式：如果最小的价格变动是 1/8 美元，那么一只现在每股价格为 10 美元的股票不可能获得在 之间的收益率。

• 离散性与收益率的实证关系很大程度上取决于持有期和价格水平。当价格水平较高而且易变，或者如果时间跨度够长（这意味着价格随机游走模型下的更高的价格波动），交易收益率的离散性将不会那么明显。

1.25%

取整模型• 为了衡量离散性造成的影响。我们通常利用取整模型估算离散过程收益率和连续过程收益率的误差。

• 取整误差：取整模型通常从“真实的”但无法观测的连续价格过程入手，通过某种方式将连续价格过程离散化，得到观察价格过程。这个过程所产生的偏差就是取整误差。

• 为了衡量取整误差，假设 为 期和 期之间的连续状态过程 的总收益率，即 。我们可以通过比较 和基于离散价格过程 的总收益率 来衡量离散造成的影响。

• 最经常使用的离散化方法就是将 以最小价格变动增量 为倍数进行取整。

tX 1t t

tP1/t t tX P P

tX0tP

0 0 01/t t tX P P

tPd

• 引入上限函数和下限函数，有三种取整方法：

0 tt

PP d

d

0 tt

PP d

d

0 1

2t

t

PP d

d

• 这里只考虑第一种取整方法。• 定义 和 分别代表连续状态和离散价

格状态的净单利，即 和• 为了衡量离散性造成的偏差程度，现在

要构造出 的上界。

tR0tR

1t tR X 0 0 1t tR X

0 0t t t tX X R R

•注意到对于任何非负实数 和 ，有：

• 同减 可得：

• 即有：

x ( 1)y y

1

1

xx x

y y y

/x y

1

( 1)

x x x

y y y y y

1,1

1

x x xMax

y y y y

(45)

• 假设在任何时期都有 ，则在（ 45 ）式中我们令 ， ， 则可以得到下面的上界：

1,1

1

x x xMax

y y y y

(45)

tP d/tx P d 1 /ty P d 1 1/t td P

0 11 1

1

[ ,1 ] ( , )1

tt t t t t t

t

R R Max X L X

(46)

11 1

1

( , ) [ ,1 ]1

tt t t t

t

L X Max X

• 尽管（ 46 ）是一个严格的不等式，但事实上它是一个最小的上界，也就是说，它衡量了 偏离 的最大程度。

• 上界函数是 的增函数（即是 的减函数），因而（ 46）式解释了离散化对于高价股影响较小的现象。

0tR tR

1t

1 1/t td P

1tP

必须注意的一个问题•取整模型将不可观察的连续价格称为“真实价格”，而观察到的离散的价格只是所谓“真实价格”的近似。但事实上恰恰相反：连续状态模型是离散的市场价格的近似，而这个离散的价格才是真实的。当连续状态模型内含的近似误差被忽略时，会产生误导，特别是对于交易数据。

有序 Probit模型• 取整模型仅仅集中于价格本身的因素，而排除了其他可能影响价格行为的经济变量的作用，如买卖价差、波动率、交易量等等。

• 为了克服这个缺点，更为常用的模型是有序 probit模型（ ordered-probit model)

• 有序 probit模型通常被用在因变量有限且被自然排序的实证研究。

有序 probit模型的基本原理• 设变量 是不可观测的，但是我

们能够区别 值的大小所属的区间。则我们可以根据某种已知分布，将 与所处区间的概率相关联，然后利用各个区间的样本概率，通过最大似然估计获得对参数 和 的估计。

i iZ X

iZ

iZ

基本定义 •考虑在时间 取样的交易价格序列

，定义 为相应的价格变动， 为某个因子，比如说 1/8 美元的整数倍。定义为不可观察的连续随机变量，即：

0 1, , , nt t t

0 1( ), ( ), , ( )nP t P t P t 1 2, , , nY Y Y

1( ) ( )k k kY P t P t

*kY

* 'k k kY X [ | ] 0k kE X

k INID 2(0, )kN

(47)

• 这里（ ）向量 是 的解释变量向量。

• 有序 probit模型的核心在于假设观察价格变动 与连续变量 以以下方式联系：

1q '1[ ]k k qkX X X *

kY

kY*kY

*1 1

*2 2

*

,

,

,

,

k

kk

m k m

s Y A

s Y AY

s Y A

状态空间及分割• 定义连续状态空间 ，并且，对于

，有 。则集合 构成对 的状态空间 的分割。

• 则是组成 的状态空间 的离散值。• 实证中， 被取成最小价格变动的整数倍，

如：

*

1

m

jjS A

i ji jA A jA

*kY

*S

js kY S

js

1 1 2 20, , , , ,

8 8 8 8

• 而集合 通常被定义为：jA

1 1( , ]A

2 1 2( , ]A

1( , ]i i iA

1( , )m mA

条件异方差• 更一般地，我们假设 是向量 的函数，替代了（ 47 ）的假设，即：

• 这里条件波动系数 被取平方，以保证条件波动率为非负。

2k '

1[ ]k k LkW W W

[ | , ] 0k k kE X W

k INID 2(0, )kN 2 2 2 2

0 1 1k k L LkW W

{ }j

* 'k k kY X

(48)

观察价格变动的条件分布•

'( | , ) ( | , )k i k k k k i k kP Y s X W P X A X W '

1

'1

'1

( | , ), 1

( | , ),1

( | , ),

k k k k

i k k i k k

m k k k k

P X X W i

P X X W i m

P X X W i m

'1

' '1

'1

, 1( )

,1( ) ( )

1 ,( )

k

k k

i k i k

k k k k

m k

k k

Xi

W

X Xi m

W W

Xi m

W

最大似然估计• 上式的 是标准正态累积分布函数。•令 为一个指示变量，当第 个观察值

位于第 个状态 时， 值为 1 ，否则为 0 。• 以解释变量 和 为条件、价格

变动向量 的对数似然函数 L 可以表示为：

( )

( )kI i kkY i is ( )kI i

'1 2[ ]nX X X X '

1 2[ ]nW WW W '

1 2[ ]nY YY Y

• '

1

1

' '11

2

'1

( | , ) (1) log( )

( ) log( ) ( )

( ) log 1

nk

kk k k

mi k i k

ki k k k k

m kk

k

XL Y X W I

W

X XI i

W W

XI m

三个问题• 在利用有序 probit模型进行可能的估计之前，首先必须解决三个问题：（ 1 ）状态 的数量；（ 2 ）自变量 的定义；（ 3 ）条件方差 的定义。

• 在选择 时，我们必须权衡价格分辨度和实践限制。如果我们令 为 101 ，因而对称地定义状态 和 分别为 -50ticks 和 +50ticks 的价格变动，我们将发现在通常的 NYSE 股票交易里没有 落在这两个状态里。

mkX

2k

mm

1s 101s

kY

• 另外两个问题必须根据模型的目的和变量的特点决定。

• 不管怎么说，在现有关于股票价格离散性的模型中，有序 probit 是唯一能够很轻易地在描述解释变量对价格变动影响的同时还能反映价格离散性以及非规则交易间隔的模型。因而在实证中得到大量应用。