線形代数・演習Ⅰ

コンピュータ・グラフィックス，２次曲面と線形代数

指南書第六の巻

固有値・固有ベクトル，対角化・三角化対角化・三角化の応用（行列のベキ乗，数列の一般項）

池 田 勉龍谷大学理工学部数理情報学科

固有値・固有ベクトル

A λ=v v

a bA I

c dλ

λλ

−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2: det( ) ( )( ) ( ) 0A I a d bc a d ad bcλ λ λ λ λ λ− = − − − = − + + − =

固有多項式

00

( ) , det( ) 0

( ) ,

AA A I

A I A IA I

λα α

λλ λ

λ λλ

λ

≠

<

− = ≠

− ≠ −− = ≠

vv v

v vv 0 v 0

v 0 v 0v

を に対応する固有ベクトルという

が固有ベクトルであれば，任意の数 に対して も固有ベクトルである

が の固有値であれば　　

であれば の逆行列が存在し

　　

と の方向は

同じ，ただし，

反対向きになることも

　　　　　　

を満たす は存在

あ

し

ない

したがっ

る ）

て

（

det( ) 0A Iλ− = は の解である

a bA

c dλ

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

v 0が の固有値である とは ，つぎを満たす が存在すること：

固有値・固有ベクトルの計算（１）

1 21 4

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠例 １： 2det( ) (1 )(4 ) 2 5 4 2A Iλ λ λ λ λ− = − − + = − + +固有多項 式：

2 5 6 ( 2)( 3)λ λ λ λ= − + = − −

1 1 1 1

1

02 )

0

1 2 0 1 2 0 2 ( 0)

1 2 0 0 0 0 1

A I

t t

λ λ⎛ ⎞

= − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ = ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v v

v行基本変

に対応する固有ベクトル は の解だから

拡大係数行列の によ

(

　

て形 っ

1

1

1 2 1 21 2 0 0

2 ( 0)

1

A I

t t

λ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

v

行基

　

係数行列の

から固有ベクト

ル

を求め

本変形

　

てもよい

行基本変形

2

2

2

32 2 2 21 1 0 0

1 ( 0)

1

A I

t t

λ

λ

=

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠v

固有値：

　固

ベ

　

　 有 クトル

固有値・固有ベクトルの計算（２）

行基本変形

1 24 8

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 例２： det( ) ( 1 )( 8 ) 8 ( 1)( 8) 8A Iλ λ λ λ λ− = − − − − − = + + −固有多項式 ：

2 9 ( 9)λ λ λ λ= + = +

1

1

1

01 2 1 2

4 8 0 0

2( 0)

1

A I

t t

λ

λ

=

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠v

固有値 ：

　固有ベ ル 　クト

　

行基本変形

2

2

2

98 2 4 14 1 0 0

1( 0)

4

A I

t t

λ

λ

= −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞

= ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

v

　

　

固有値：

　固有ベクトル

固有値・固有ベクトルの計算（３）

2 00 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

： 例３

2det( ) (2 )(2 ) ( 2)A Iλ λ λ λ− = − − = −

固有多項式

　

：

　

2 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

例４：

2 2

det( ) (2 )( ) 12 1 ( 1)

A Iλ λ λ

λ λ λ

− = − − +

= − + = −

固有多項

　

式：

　　

　

1 2 11 1 1 11 1 0 0

1 ( 0)

1

A I

t t

λ λ λ

λ

= = =

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠v

固有値：

固有ベクトル　

　

1 2

2 2

20 00 0

( 0)

1 0

0 1

A I

tt s

s

λ λ λ

λ

= = =

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= + >⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v

固有値：

　すべての非零ベクトルが固有ベクトル

　例えば， と が

　

その代表例

行列の対角化・三角化（１） 1 2, A λ λ の固有値：

1 2λ λ≠ の場合 1 1

2

00

A P APλ

λ− ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

は対角 ： 　化できる

( )1 2 1 1 1 2 2 2 1 2P A Aλ λ= = = ≠ ≠v v v v v v v 0 v 0， ， ， ，

1 2 rank( ) 0A Iλ λ λ λ= = − = , の場合 A ははじめか ら対角行列

0 0 0rank( ) 0

0 0 0A I A I A

λλ λ

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

⇒⎠

⇒ 　 　　　 　　

1 2 rank( ) 1A Iλ λ λ λ= = − = , の場合

1

01

A P APλ

λ− ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

は対角化はできないが，三角化はできる 　 ：

( )1 2 1 1 2 1 2 2 1P A Aλ λ= = = + ≠v v v v v v v v 0， ， ，

行列の対角化・三角化（２） 1 2λ λ≠ の場合

1 21 4

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠例 １：

( )21

1

1 1,

11

21

1 2

P P− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vv 　

1 2 21, 1

31

, 2

21

λλ⎛⎛ ⎞

= =⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠

v v 固有値： 固有ベクトル

1

2 22

1 1

2

1 13

1 1

1 11

1 2 1 2,

1 4 1 4

1 2 01 4 0

1 2 0 1 2

1 4 0 1

1

4

2 21

2

3

3

1

P P−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞

−⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

⇒

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

　 　

　 　

　 ：　 　 行列　 の対角化

行列の対角化・三角化（３） 1 2λ λ≠ の場合

1 24 8

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 例２： 12 21 ,

20 9

41,

1λλ

−⎛⎛ ⎞= =

⎞= − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

vv 固有値： 固有ベクトル

1

1 2 1 2,

4 8 4 8

1 2 04 8

2 20

1 1

2 2 01

1 1( 9)

4 4

1 10

1 2 0

4

1

4 4

8 0

9

90

P P A−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −−

⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎠

−⎛ ⎞ ⎛−

⇒

⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎝ ⎠

⇒⎠

　 　

　 　

： 　　 　 　 の対角化

( )1

1

2 , 4

4 111 2

21

1

9

P

P−

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

−

⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

vv 　

2 00 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

： 例３ A は対角行列 1 2 rank( ) 0A Iλ λ λ λ= = − = , の場合

行列の対角化・三角化（４） 1 2 rank( ) 1A Iλ λ λ λ= = − = , の場合

2 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

例４： 1 2 1

11

1λ λ λ

⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v固有値： 固 有ベクトル

2 11 1 1

1

2 2

11

1 1 11

1 1 1

10

1 12 1 2 1,

11

0 0

1 10

1 1 1 1 1 11

0 1 0

2 1 2 11 0 0

0 1 01 01 1

A A

P P

λλ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞=

⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⇒

⇒

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

= + =

⎝ ⎠

⎠

v v v vv v v， ， ，

　 　

　 　 　 　　

　　

　　 A： の三角化

2 1 2 2 12

2

1 1 1 1

( 1 1

1 1 1 0 0 0

)10

A A Iλ λ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

→⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝

= + ⇔ − =

⎛ ⎞= ⎜⇒

⎠⎟

⎝ ⎠

v v v v

v

v vは をみたすもの

　拡大係数行列の行基本変形 　

　　 　　

( )21

1

0 1,

10

11

1 1

P P−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v v 　

行列の対角化・三角化（５） 1 2λ λ≠ の場合

1 2 1 2, , A λ λ v v行列 の固有値 に対応する固有ベク トルをそれぞれ とする：

1 1 1 2 2 2, A Aλ λ= =v v v v

( )1 2 1 2, , p q p q

Pr s r s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v v v v と置く

1

2

00

AP Pλ

λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1

1 2 1

1

1

2

( )( )

, c A A c cA cλ λ λ

λ λ⇒= = = = =

− = ⇒ =⇒

=v v v v v vv

v

0

vv v

0 v

は線形独立で

　　 　　

　 　

　

　　　　　　　 　 　 　

あ ：

　

る

（矛盾）

11

2

00

P AP Aλ

λ− ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

：　行列 の対角化1P−⇔が存在

行列の対角化・三角化（６） 1 2 rank( ) 1A Iλ λ λ λ= = − = , の場合

rank( ) 1 A I Aλ− = ⇒ は対角化不可能，三角　　 　 化は可能

( )21P = v v

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 2

2 2 2

2 2 2

2

1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

2

2

( )

,

0

0

1

1

A A

A A A

A

A Iλ

λ λλ λ

λλ λ

λ

λ

λ λ

λλ

− == = +

= = +

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⎟

⇒

⇒⎝

⇒

⎜⎠

v vv v

v

v

v v vv v v v

v v v v

v v

v

v

v v

v v

v v

固有値 に対応する固有ベクトル

もう１つの非零ベク

　 　　

トル は をみた

　

　

すも

　

　

の

1 1

0

P AP Aλ

λ− ⎛

=⎠

⇒⎞

⎜ ⎟⎝

： 　 列 　 行 の三角化

行列のベキ乗の計算（１）

11 1

2

0 1

0 0A P AP P AP

λ λλ λ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠の対角化： または三角化：

1 12 1 1 2 1

3 1 1 1 1 3

1

1 1

1

( )( )( )( )( ) ( )

( )

( )n n

P AP P APP AP P AP P A

A P P P P AP PA P P P PP P AP

P APA P P

− −

−

− − −

− −

−

− − −

−

= =

= =

=

1 1

2 2

1

0 00 0

10 0

n

n

n n

n

n

n n

λ λλ λ

λ λ λλ λ

−

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2

2 2

2 2 3 2 2 3 2

2 3 3

1 1

21 1 1 20 0 0 0 0

31 1 1 12 2 30 0 0 00 0 0

1 1 1 ( 1)0 0 0

n nn n

λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ

λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λλ λ λ λλ λ λ

λ λ λ λ λλ λ λ

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1

1

100 0

n n n

n n

nλ λ λλλ λ

− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

行列のベキ乗の計算（２）

1 21 4

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠例 １： 11 2 1 1 1

, , 1 1

2 00 3 1 2

P A PP P −− ⎛ ⎞=

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎠

　

11 1 11 2 1 1 12 0 2 3

( )1 1 1 20 3

2 00 3 2 3

n n nn n

n n n

nA P P PP AP P P

+− − −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 12 3 2 2 32 3 2 2 3

n n n n

n n n n

+ +⎛ ⎞− − + ⋅= ⎜ ⎟− − + ⋅⎝ ⎠

1 24 8

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 例２： 1 12 1 4 11, ,

10 0

4 290 9 1P A P PP −− ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

　

1 11 12 1 0 0( ) ( 9)

1 40 00 9 0 1

n n nn

A P P P P PP AP −− − −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎜

⎠ ⎠

⎛⎟−⎝

10 1 4 1 1 2 1 21 ( 9)( 9) ( 9)0 4 1 2 4 8 4 89 9

nn n−− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ( 1,2, )n =

行列のベキ乗の計算（３）

2 00 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

： 例３2 00 2

nn

nA⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

例４： 11 1 1 0 1, ,

1 01

1 1 11

0P A P PP −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎠

　

11 1 11 1 1 1 1 01 10

1( )

1 0 0 11 1 1 1n n

n n nA P P PP AP P P

n− − − − +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎝ ⎠⎠

11

n nn n+ −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

数列の一般項（１）

1

1

n n n

n n n

x ax byy cx dy

+

+

= +⎧⎨ = +⎩

数列 の一般項を　　 　 求めよう

1 2 02

1 2 0

n

n n n n

n n n

a bA A

c d

A

x x x xA A A

y y y y− −

− −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

　と置き， の対角化または三角化を行う

を計算する

　によって一般項を計算する

数列の一般項（２）

1 0

1 0

2 1 1 24 0 1 4

n n n

n n n

x x y xA

y x y y+

+

= + =⎧ ⎧ ⎛ ⎞=⎨ ⎨ ⎜ ⎟= − + ⎠⎩

⇒= −⎝⎩

例１： ，　 　　　 　　 　と置く

1 1 10

0

12 3 2 2 3 2 302 3 2 2 3 2 3

n n n n n nn n

n n n n n nn

x xA

y y

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − + ⋅ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + ⋅ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0

1 0

2 1 1 24 8 1 4 8

n n n

n n n

x x y xA

y x y y+

+

= − + = −⎧ ⎧ ⎛ ⎞=⎨ ⎨ ⎜ ⎟= − = −⎝ ⎠⎩ ⎩

⇒，　例２： 　　　 　　 　と置く

10 1

10

1 2 1 ( 9)( 9) ( 1,2, )

4 8 1 ( 4) ( 9)

nn n n

nn

x xA n

y y

−−

−

− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎛ ⎞= = − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⋅ −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

　　

数列の一般項（３）

1 0

1 0

2 5 2 02 3 0 2

n n

n n

x x xA

y y y+

+

= =⎧ ⎧ ⎛ ⎞=⎨ ⎨ ⎜ ⎟= = ⎠⎩

⇒⎝⎩

，　 例３ 　　　 　： 　 　と置く

0

0

52 0 5 230 2 3 2

n nn n

n nn

x xA

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0

1 0

2 2 2 11 1 0

n n n

n n

x x y xA

y x y+

+

= − = −⎧ ⎧ ⎛ ⎞=⎨ ⎨ ⎜ ⎟= =⎩

⇒⎝ ⎠⎩

，　 　　　 　　 例 ４： 　と置く

0

0

1 2 21 1 1

n n

n

x x n n nA

y y n n n+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

複素数平面

O

P( , )x y

x

yrθ

2 2

cos

sin

r x yxryr

θ

θ

= +

=

=

2 3 4

5 6 7

1 11

i i i i ii i i i i

= − = − =

= = − = −

， ， ， ，

， ， ，( 1)i = −

虚軸

x iy x yλ = + ：直交座標表 （ と 示 は実数）

(cos sin ) r iλ θ θ= + ：極座標表示

実軸

λλ

固有値 ：２次方程式の解だから複素数かも知れない

固有値 が複素数であれば，対応する固有ベクトルの成分も複素 数である

ド・モアブルの公式（１）

2 2 2

3 2

1

(cos sin ) cos sin 2 cos sin cos2 sin 2(cos sin ) (cos sin ) (cos sin ) (cos2 sin 2 )(cos sin )

(cos2 cos sin 2 sin ) (cos2 sin sin 2 cos ) cos3 sin3

(cos sin ) (cosn

i i ii i i i i

i i

i i

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

=

+

+ − + = +

+ = + + = + += − + + = +

+ = +

　　

sin ) (cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos cos sin sin ) (cos sin cos sin )cos( 1) sin( 1)

n in i n in n i n nn i n

θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

+= + += − + += + + +

　　

　　

　　

1(cos sin ) cos( ) sin( )i iθ θ θ θ−⇒ + = − + −　　

( 1)i = −

(cos sin ) cos sin ( 0, 1, 2, )ni n i n nθ θ θ θ+ = + = ± ±　　

2 2

(cos( ) sin( )) (cos(cos sin ) (cos sin )(cos sin ) (cos si

sin cos s n )

ni

)1

i ii i

i iθ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ+ = +

= + + −

+ − −

=

−

　　

ド・モアブルの公式（２）

O

1

11−

1−

λ

2λ3λ

4λ

5λ

6λ

7λ

8λ 9λ

( )

2

/ 2

21

2(co

1 11 1 2 cos s

s sin )4 4

2 (cos sin ) 2 (cos sin )

in 4

4

2

4

2

4 4nn n

i

i

n n n ni i

r πθ θ θλ

π πλ

π π π πλ

= +

= +

= + =

⇒ = + = = = =

+

例１： 　 ，　 ，　 より

　

　　

　

　

　

虚軸

実軸

1 ( 3 )2

cos( ) sin( )6 6

(cos( ) sin( )) cos( ) si

3 1 3 11 cos sin 4 4 2 2 6

n( )6 6 6 6

n n

i

i

r

n ni i

πθ θ θ

λ

π πλ

π π π πλ

⇒

= + =

= −

= − + −

= − + −

= = −

−

−

+ −

=

=

例２： 　 　

　　 ，　 ，　 より

　　

　

　　

　

ド・モアブルの公式（３）

O

1

11−

1−

ω

2ω

3ω

2

2 4 2

1 01 1 0

ω ω

ω ω ω ω

+ + =

+ + = + + = 2

1 ( 3) 3 1211 3( 3 1) 3( 3 3)2

ii iii

ωω

− − − −= = =

− − −− −

2

3

4 3

2 3 1 1 1

4 4 1cos sin ( 1 3)3 3 2

6 6cos sin 13 3

11

i i

i

π πω

π πω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω− − −

= + = − −

= + =

= = ⋅ =

= = ⋅ =

1 3 1 3 21 cos sin1 ( 1 3)22 2cos sin3 32 2 2 2(cos sin ) cos s

in3 3 3 3

4 4 2 2 3

n n

i

n i

ri

ni

ω

π πω

π π π πω

πθ θ θ⇒ = + = = − = == − +

= +

= + = +

例３： 　 　 ，　 ，　 より

　　

　　

　　

虚軸

実軸

行列のベキ乗の計算（４） 固有値が複素数の場合

1 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠例 ：

2det( ) ( 1 )( ) 1 11 1( 1 3) ( 1 3)2 2

A I

i i

λ λ λ λ λ

λ λ

− = − − − + = + +

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

　

　　

項式：

　

固有多

1

1

2

1

1 ( 1 3)2

1 11

11 1

1 10 1 0 0

( 0)1

i

A I

t t

λ ω

ωλ

ω

ωω

ω ωω ω

ω

= − + =

− −⎛ ⎞− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞→ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟−⎝ ⎠

v

固有値：

固有ベク

　

　　　

　　　

　

トル

2 12

2

2 2

2

2

2 4

2

1 ( 1 3)2

1 11

11 1

1 10 1 0 0

1( 0)

i

A I

t t

λ ω ω

ωλ

ω

ωω

ω ωω ω

ω

−= − − = =

⎛ ⎞− −− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞→ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠v

固有値：

固有ベクト

　

　　　

　　　

ル

2 2cos sin3 3

iπ πω = +

行列のベキ乗の計算（５） 固有値が複素数の場合

( )

1 11

2 1

2

2 1

1 ,

1 1

1

11 111 13

1

1 1

P

Pi

ω ω ωωω

ωω

ω ω ω ω

− −−

− −

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

−

⎠

−v v 　

1 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

22 2

2

2

1 1, ,

1 1 1 1,

1 0 1 0

1 1 01 0

1

1

1

1 1

1 1 01

1

1

P

λ ωω

ωω ω

ωλ ω

ω ωω

ωω

ω ωω ω

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠− −⎛ ⎞ ⎛

⎛

⇒

⇒

⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − ⎠

−

⎠⎝

−

vv

　

　　

　

　 　

固有値

： 固

　

有ベクトル

21

1

1 1 0 0

1 0 0 0 P A

ω ωω ω

−−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

　 　 ： の対角化

1 11

11

2

1 1 11 1, , 11 1

00 1 3

P PPi

P Aω ω ω

ωωω

ωω ω

−−−

− −

− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −

⎛

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎟⎝ ⎠ ⎝

⎞⎜

⎠　

行列のベキ乗の計算（６） 固有値が複素数の場合

1 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 11

100

( )n

n nA P P PP PAPω

ω−

−− −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

1 11

1 1

1 0 111 0 13

n n n

n n nPi

ω ω ω ω ωω ω ω ω ω

+ − −−

− − + −

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 2 2cos sin cos( ) sin( ) 2 sin3 3 3 3 3

p p p p p p pi i iπ π π π πω ω− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1

1 1

2( 1) 2si13

n sin2 3 3

2 2( 1)3 sin sin3 3

n n n n

n n n ni

n n

n n

π π

πω ω ω ωω ω ω πω

+ − − −

− − +

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎜ ⎟− −

⎛ ⎞− −=

⎜

=⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎟⎝ ⎠

　

2 3 4 5 2 60 1 1 01 1 0 1

A A I A A A A A I−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠， ， ， ， ，