МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ...

3

Напрямки підготовки бакалаврів: 6.060101; 6.060103; 6.050502

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ ЗТЕМ: „ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ”,

„НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ” З КУРСУ ”ВИЩА МАТЕМАТИКА”

Харків 2011

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

В.О.Гаєвська, Г.В.Лисянська

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ ЗТЕМ:

„ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ”, „НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ”

З КУРСУ ”ВИЩА МАТЕМАТИКА” для студентів заочної форми навчання

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики.

Протокол №6 від 12.09.2009

Харків 2011

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з тем:

„Диференціальне числення функції однієї змінної”, „Невизначений і визначений інтеграли” з курсу „Вища математика” для студентів заочної форми навчання напрямків підготовки бакалаврів: 6.060101; 6.060103; 6.050502; / В.О.Гаєвська, Г.В.Лисянська, ─ Харків, ХДТУБА, 2011. ─ 96с.

Рецензент Є.В. Поклонський

Кафедра вищої математики

Навчальне видання

3

Вступ

Володіння математичними методами і прийомами,широке й ефективне застосування їх у різних галузяхнауки і техніки є невід'ємною частиноюсучасної інженерної освіти. Мета методичних вказівок – надати допомогу студентам-заочникам в організації самостійної роботи при вивченні таких розділів курсу вищої математики, як: „Диференціальне числення функції однієї змінної”, „Невизначений та визначений інтеграли”. Навчальне видання містить основні поняття теоретичного змісту відповідних розділів, достатню кількість розв'язаних прикладів, а також задач для самостійної роботи. Приклади і задачі розроблені з метою закріплення теоретичних знань тапрактичних навичок з пройдених тем. Така побудова видання надає студентові широкі можливості для активної й ефективної самостійної роботи. Зміст, повнота і рівень складності задач і прикладів, які запропоновані, відповідають рівню вимог до математичної підготовки студентів технічних спеціальностей.

Контрольна робота № 3

1 ПОХІДНАТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

1.1 Визначення похідної

Нехай функція xfy визначена в деякому околі точки 0x і нехай xx 0 – точка цього околу, 0x . Якщо відношення

x

xfxxfxxf

000 має границю при 0x , то ця границя називається

похідною функції xf в точці 0x і позначається 0xf . Таким чином,

x

xfxxfxxfxf

xx

00

0

0

00 limlim , (1)

тобто похідною функції xf в точці 0x називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції xf в точці 0x до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Якщо функція xf в точці 0x має скінчену похідну, то вона називається диференційовною в цій точці.

Якщо функція xfy диференційовна в кожній точці інтервалу , то

xf

xxf

xfy

y

x0 x xx X

Рисунок 1

Y

4

x

xfxxfxyxf

xx

00

limlim ,

де x – приріст аргументу; y – приріст функції (Рисунок1). Для того, щоб в точці 0x існувала похідна функції xf , необхідно і до-

статньо, щоб в цій точці існували права та ліва похідні цієї функції і щоб права похідна дорівнювала лівій, тобто xfxf

. Якщо xf , то кажуть, що функція xf має в точці x нескінченну

похідну. Для позначення похідної функції xfy використовуються й інші

символи:

dxxdf

dxdyyy x ,,, .

Значення похідної при 0xx позначають так:

dx

xdfxfxy 000 ,, .

Операція знаходження похідної від даної функції називається диферен-ціюванням цієї функції.

1.2 Основні правила диференціювання функцій

constCC 0 ; (2)

wvuwvu ; (3)

vuvuuv ; (4)

uCCu ; (4а)

uCC

u

1 ; (4б)

0,2

v

vuvvu

vu ; (5)

0,2

v

vvC

vC ; (5а)

xux uyy або dx

xdudu

udfdxdy

, (6)

якщо ufy , де xu . Це правило диференціювання складної функції. Слід пам’ятати, що в наведених правилах constC а vuzy ,,, -

диференційовані функції.

5

Таблиця похідних. Таблиця 1

Ці правила та формули слід запам’ятати і використовувати для

xfy ufy , де

xu , тобто xfy

1 nn nxx (7) unuu nn

1 (7а)

x

x2

1

(8) uu

u 2

1 (8а)

211xx

(9) u

uu

2

11 (9а)

xx cossin (10) uuu cossin (10а)

xx sincos (11) uuu sincos (11а)

x

x 2cos1tg (12) u

uu 2cos

1tg (12а)

x

x 2sin1ctg (13) u

uu 2sin

1ctg

(13а)

aaa xx ln (14) uaaa uu ln ; 1,0 aa

(14а)

xx ee (15) uee uu (25а)

x

x 1ln (16) uu

u 1ln (26а)

ax

xa ln1log (17)

uau

ua ln1log

1,0 aa (17а)

21

1arcsinx

x

(18)

21arcsin

uuu

(18а)

21

1arccosx

x

(19)

21arccos

uuu

(19а)

21

1arctgx

x

(20) 21

arctgu

uu

(20а)

21

1arcctgx

x

(21) 21

arcctgu

uu

(21а)

6

знаходження похідних функцій. Зауваження 1 Починати диференціювання треба із застосування

відповідних правил і лише після цього використовувати формули диференціювання основних елементарних функцій (див. таблицю похідних ).

Зауваження 2 Слід мати на увазі, що необов’язково диференціювати задану функцію відразу. Можна попередньо зробити її тотожні перетворення, якщо це доцільно, тобто веде до спрощення диференціювання, а потім продиференціювати.

Зауваження 3 Не рекомендується захоплюватись спрощенням виразів, одержаних внаслідок диференціювання, бо основна мета полягає в опануванні технікою диференціювання, а не в перевірці уміння робити тотожні перетворення.

При знаходженні похідних слід пам’ятати (за означенням):

;0,;0,1;0,10 aaaaa

aaa nm

n mn

n

та знати правила дії із степенями та коренями: nmnm aaa ; nm

n

m

aaa ; mnnm aa ;

0,0,11

bababaab nnnnn ;

0,0,1

1

bab

aba

ba

n

n

n

n

n .

Тут m і n - будь-які раціональні числа.

Розв’язання прикладів

Застосовуючи правила і формули диференціювання, знайти похідні функцій.

Приклад 1 153 2 xxy . Розв’язання. Застосовуючи послідовно правила (3), (2), (5а) і формулу

(7), одержимо:

561523053153 22 xxxxxxy . Приклад 2 cbxaxy 2 . Розв’язання. Як і в попередньому прикладі маємо:

baxbxaxbxacbxaxy 212022 .

Приклад 3 4 312 x

xy .

Розв’язання. Використовуючи послідовно правила (3), (4а), (2) і формули (8) і (9), знаходимо:

7

22224 1111

212012312

xxx

xxxxxx

xxy

.

При знаходженні похідних в подібних прикладах проміжні дії можна виконувати усно, записуючи лише остаточний результат диференціювання.

Наприклад, 352 3 xxy ; x

xy2

56 2 .

Приклад 4 z

zzzzf 132 3 . Знайти

41f .

Розв’язання. Знайдемо спочатку zf , а потім обчислимо її значення при

41

z . Попередньо виконаємо тотожні перетворення zf :

z

zzzf 132 21

2

.

Згідно з правилами (3), (4а), (2) і формулою (7):

223

212 1

214132

zzz

zzzzf

.

При 41

z : 1316414

11

41

21

414

41

2

23

f .

Приклад 5 Знайти y , якщо 1233 22 xxxxy . На основі правил (4), (3), (4а) і формули (7), одержимо:

12331233 2222 xxxxxxxxy 22331232 22 xxxxxx

666622363242 223223 xxxxxxxxxx 9834 23 xxx .

Приклад 6 113 2

tttS . Знайти tS .

Розв’язання. Використовуючи послідовно правила (5), (3), (4а) і формулу (7), одержимо

2

222

1113113

113

ttttt

tttS

2

2

2

22

2

2

1163

11366

111316

t

ttt

tttt

ttt

Приклад 7 55

3 2tt

tS

. Обчислити 0S і 2S .

8

Розв’язання. Спочатку знайдемо tS , використовуючи правила (3), (5а)

і (4а):

5

25

351

553

553

22

2

2 tt

tt

ttt

tS

.

Підставляючи значення аргументу t у вираз для похідної, одержимо:

25

35

0205

30 2

S ; 15

1754

31

522

2532 2

S .

Приклад 8 Знайти 0z , якщо tttz 13 . Розв’язання. Перепишемо задану функцію у вигляді

tttttz 25

43

1 . Тоді 125 2

52

5

ttttz . При 0t одержимо

110250 z .

1.3 Диференціювання складної функції

Нагадаємо, що коли uyy і xuu - диференційовані функції, то складна функція xuyy є також диференційованою, причому

xux uyy або dxdu

dudy

dxdy

.

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченого числа диференційованих функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її складають.


Продиференціювати дані функції. Приклад 1 42 1 xy . Розв’язання. Маємо складну степеневу функцію з проміжним

аргументом 12 xu . Тому функцію можна подати у вигляді 4uy , де

12 xu . За формулою (6): 32324 18241 xxxuxuuyy xuxux . Приклад 2 xy 3sin . Розв’язання. Аргументом даної функції є не x а x3 (функція від x ).

Отже маємо складну функцію, яку можна подати у вигляді uy sin , де xu 3 .

Тоді за формулою (6): xuxuy xux 3cos33cos3sin . Приклад 3 22 lnln xxy . Розв’язання. Це складна степенева функція з проміжним аргументом xu ln . Функція може бути подана у вигляді 2uy , де xu ln . Знаходячи

похідні uy і xu та подставляю чи одержані вирази до формули (6), маємо

9

xxy

xuxuy xxu

ln2,1,ln22 .

Приклад 4 xy sin3 . Розв’язання. Подавши дану функцію у вигляді uy 3 , де xu sin , за

правилом диференціювання складної функції маємо 3lncos3cos3ln3 sin xxy xu

x . Приклад 5 2arctg xy . Розв’язання.Покладемо uy arctg , де 2xu . Тоді

42

2

122

11arctg

xxx

uxuy ux

.

Приклад 6 xey ln . Розв’язання. Подавши функцію у вигляді xvvuey u ln,, і

скориставшись правилом диференціювання складної функції одержимо

xx

exv

exvevuyy xuxvu

uxvux

1ln211

21ln ln

.

Приклад 7 42sin1 xy . Розв’язання. Покладемо xzzvvuuy sin,,1, 24 . Тоді за

правилом диференціювання складної функції

xzuxzvuzvuyy xzvuxzvux cos2104sin1 324 xxxxx 2sinsin14cossin2sin14 3232 .

Приклад 8 44 sinlnsinln xxy . Розв’язання. Застосовуючи послідовно формули (12а), (21а) і (15),

матимемо: xxxx

xy ctgsinln4cossin

1sinln4 33 .

Приклад 9 31

3

43sinln

43sinln

xxy .

Розв’язання. Як і в попередньому прикладі, маємо

3 2

32

43sinln12

43ctg

41

43cos

43sin

14

3sinln31

x

xx

xxy .

Приклад 10 xxy 32 sinsin3 . Розв’язання.Диференцюючи почленно, одержимо

xxxxxxy sinsin3sinsin23sinsin3 232

10

.2sinsin223sin2cossin3cossin3cossin23 2 xxxxxxxxx

Приклад 11 xey x ln2 .

Розв’язання.Задана функція є добутком двох функцій, одна з яких є складною. Тому, скориставшись формулами (4), (15а), (7) і (16), одержимо

xx

xe

xexxexexey xxxxx ln211ln2lnln

22222

.

Приклад 12 xxy sinlog 23 .

Розв’язання. Маємо складну логарифмічну функцію з проміжним аргументом xx sin2 .Продиференціювавши її, одержимо

xxxx

y cos23lnsin

12

.

Приклад 13 x

x

eey

1ln .

Розв’язання. Вираз, що стоїть під знаком логарифма, піддається логарифмуванню. Тому доцільно спочатку виконати логарифмування, тобто записати функцію у вигляді xeeey xxx 1lnln1ln , а потім знайти її похідну. Тоді

11

111ln1ln1ln x

xxx

x

x

ee

xexee

ey

1

11

111

101

1

xx

xx

x

xx

x eeee

eee

e.

Отже, коли під знаком логарифмічної функції стоїть вираз, що піддається логарифмуванню (добуток, частка, степінь, корінь), то спочатку слід виконати логарифмування, бо в такому випадку знаходження похідної спрощується.

1.4Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично,

логарифмічне диференціювання

1.4.1 Диференціювання функцій, заданих неявно

Якщо функція задана рівнянням виду xfy , то кажуть, що функція задана в явному вигляді або є явною. Нагадаємо, що неявна функція y від аргументу x задається рівнянням 0, yxF , не розв’язаним відносно залежної змінної y .

Щоб знайти похідну y від неявної функції, слід продиференціювати по x обидві частини рівності 0, yxF , розглядаючи y як функцію від x , і потім розв’язати здобуте рівняння відносно y .

11


Приклад 1 Знайти похідну dxdyy від неявної функції 0235 3 yx .

Розв’язання. Маємо неявно задану функцію. Продиференцюємо обидві частини по x , враховуючи при цьому, що y є функцією від x : 0315 2 yx або 05 2 yx . Розв’язуючи здобуте рівняння відносно y , знаходимо

25xy . Виражаючи із вихідного рівняння y через x і диференціюючи y як явну функцію, одержимо

2233

5153152

31;

352 xxxyxy

.

Приклад 2 yxy cos . Знайти dxdyy .

Розв’язання. Скориставшись правилом диференціювання неявної функції, матимемо yyxy 1sin або yxyxyy sinsin .

Звідки yx

yxy

sin1sin .

Слід відзначити, що розв’язати рівняння yxy cos відносно y немождиво.

Приклад 3 Знайти y , якщо 2244 yxyx . Розв’язання. Діючи як в попередньому прикладі, будемо мати:

yyxyxyyx 2244 2233 ; yyxxyyyx 2233 22 ;

3223 22 xxyyyxy ;

yxyxxyy23

32

22

.

Приклад 4 Знайти y в точці 1;1M , якщо 312 xyy . Розв’язання. За правилом диференціювання складної функції маємо:

yxyyy 23 32 . При 1x і 1y одержимо: yy 312 . Звідси 11;1 y .

1.4.2 Диференціювання функцій, заданих параметрично

Відомо, що коли функція y аргументу x задана параметричними рівняннями tx , ty , то

t

tx x

yy

, (22)

або в інших позначеннях:

12

tt

dtdxdtdy

dxdy

.


Приклад 1 Знайти xy , якщо

.,1

3

2

ttytx

Розв’язання.Знаходимо ttxt 21 2 і 23 31 tttyt . Підставляючи знайдені вирази для tx і ty до формули (22), дістанемо

tt

tty x 2

13231 22

.

Приклад 2

.sin,cos

3

3

byax

Знайти похідну dxdy .

Розв’язання. Параметром функції є змінна . Тому формула для

знаходження похідної запишеться так:

xy

yx

.

Знаходимо sincos3 2 ax і .31 23

у Отже

tg

sincos3cossin3

2

2

ab

aby x .

1.4.3 Логарифмічне диференціювання

Знаходження похідних від функцій, які допускають операцію логарифмування (добуток, частка, піднесення до степеня і добування кореня) знячно спрощується, якщо ці функції попередньо прологарифмувати, а потім

знайти похідні. Нагадаємо, що вираз

yyy ln , який є похідною від

натурального логарифму функції xfy , називається логарифмічною похідною, а її знаходження носить назву логарифмічного диференціювання.

Логарифмічну похідну будемо знаходити формально, маючи, однак, на увазі, що формула має сенс лише при 0y .

Слід відзначити, що логарифмічне диференціювання застосовується для знаходження похідної степенево-показникової (показниково-степеневої) функції, тобто функції виду xvxuy . Формула для знаходження похідної степенево-показникової функції має вигляд

vuuuuvu vvv ln1 , (23)

13

де xu і xv - диференційовні функції від x . Неважко помітити, що права частина цієї формули є сумою похідних двох

функцій: степеневої unuu nn 1 , показникової uaaa nn ln . Тут доречно нагадати формули логарифмування:

baab lnlnln ;

baba lnlnln

;

ana n lnln ;

an

an ln1ln .


Приклад 1 5 2

43

321

xxxy .

Розв’язання. Спочатку прологарифмуємозадану функцію по основі e

3ln522ln

411ln3ln xxxy .

Потім продиференціюємо обидві частини рівності, враховуючи, що y

функція від x : 352

241

12

xxxyy .

Знаходимо із одержаного рівняння y і замінюємо y на його вираз через

x :

352

241

12

321

5 2

43

xxxxxxy .

Приклад 2 xxy sin2 1 . Розв’язання. Задана функція є степенево-показниковою, бо і основа

степеня 12 x і показник степеня xsin - функції від x . За формулою (28) маємо:

xxxxxxy xx cos1ln121sin 2sin21sin2

1lncos

1sin21 2

2

sin2 xxx

xxx x .

Пропонуємо розв’язати цей приклад, використовуючи правило логарифмічного диференціювання.

Приклад 3 xxy1

. Розв’язання. За формулою (28) знаходимо:

xxxxxx

xxxx

y xxxxx ln1ln1ln11 212121

2

111

.

14

2 ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Нагадаємо, що за означенням

2

2

dxydxfyy - похідна другого порядку,

3

3

dxydxfyy - похідна третього порядку,

4

4)4(

dxydyyy IV - похідна четвертого порядку.

Взагалі похідна від похідної 1n -го порядку функції xfy називається похідною n -го порядку або n -ю похідною цієї функції і

позначається xf n)( або n

n

dxyd . Таким чином, за означенням

)()()( nn

nnn y

dxydxfy .

Зауважимо, що знаходження похідної від похідної називається повторним диференціюванням функції.


Приклад 1 Знайти y , якщо 32 1 xy . Розв’язання. Маємо функцію, задану явно. Послідовно диференціюючи

її, одержимо: 2222 16213 xxxxy .

xxxxxxyy 21261616 22222 165615164116 2422222 xxxxxxx .

Приклад 2 pxy 22 . Знайти 2

2

dxyd .

Розв’язання. Треба знайти другу похідну функції, яка задана неявно. Спочатку знайдемо похідну першого порядку, диференціюючи обидві частини

по x і вважаючи y функцією від x : pyy 22 або pyy , звідки ypy .

Тепер за означенням маємо yypy

yp

ypyy

x

22

1 .

15

Підставляючи в останнє рівняння замість y вираз yp , остаточно

одержимо 3

2

2 yp

yp

ypy .

Приклад 3 Знайти y , якщо yxy arctg . Розв’язання. Продиференціюємо обидві частини рівняння по x ,

вважаючи y функцією від x : yy

y

2111 .

Виконуючи перетворення 11

12

y

yy , 1

111 2

y

y ,

11 2

2

y

yy , знаходимо 1111 222

2

yyy

yy .

Тоді 5

2

2

2

33 12122

yy

yy

yyyy

.

Якщо функція задана параметричними рівняннями

,,

tfytx

то похідні

dxdy , 2

2

dxyd , 3

3

dxyd , ... слід знаходити за формулами

t

tx x

yydxdy

,

t

txxx x

yy

dxyd

2

2

,

t

txxxxx x

yy

dxyd

3

3

і т.д. Похідну другого порядку можна знайти також за формулою 3x

yxxyy

, (24)

де txdtdxx ; ty

dtdyy ; 2

2

dtxdx ; 2

2

dtydy .

Приклад 4 Знайти 2

2

dxyd , якщо

.1,ln

2tytx

Розв’язання. Продиференціюємо x і y по t :

16

txt

1 , tyt 2 . Тоді 221:2 t

tt

xy

dxdy

t

t

,

22

2

2

441

2 ttt

t

txy

dxyd t

t

tx

.

3 АСИМПТОТИ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

Визначення Пряма називається асимптотою кривої xfy , якщо відстань точки xfxM ; , яка лежить на кривій, до цієї прямої прямує до нуля при x (при x ).

Якщо

xfxx 00

lim , або

xfxx 00

lim , або

xfxx 0

lim , то пряма 0xx

(Рисунок 2) називається вертикальною асимптотою. Отже, якщо крива має вертикальні асимптоти, то вони проходять через

точки розриву функції. Асимптоти, рівняння яких записується у вигляді bkxy (Рисунок3), де

xyk

x lim , kxyb

x

lim , називаються похилими асимптотами. При цьому

обидві границі повинні існувати (бути скінченними). Якщо хоча б одна з границь не існує, то крива не має похилих асимптот.

Зауважимо, що асимптота (наприклад, гіперболи) не має з нею спільних точок, тобто не перетинає гіперболи. У загальному випадку асимптота кривої

xfy може перетинатись із цією кривою як у скінченній, так і в нескінченній множині точок. Відзначимо також, що при 0k одержуємо горизонтальну асимптоту by (Рисунок4).

Уміння знаходити асимптоти кривої полегшує побудову графіка функції.


0 x0 x

Рисунок2

y

0xx

0 x

Рисунок3

y

bkxy

0 x

Рисунок4

y

by

17

Приклад 1 Знайти асимптоти кривої 2

352

x

xxy .

Розв’язання. Задана функція не існує при 2x . Оскільки

235limlim

2

22 xxxy

xx,

то пряма 2x є вертикальною асимптотою. Для знаходження похилих асимптот обчислюємо

12

35limlim2

xx

xxxyk

xx,

бо степені многочленів чисельника і знаменника однакові і

x

xxxkxyb

xx 235limlim

2

7237lim

2235lim

22

xx

xxxxx

xx.

Підставляючи значення 1k і 7b в рівняння bkxy , одержимо 7 xy . Таким чином, пряма 7 xy - похила асимптота кривої.


12

xx

y .

Розв’язання. Задана функція визначена на всій числовій осі, оскільки знаменник дробу не обертається в нуль, бо 04201642 acbD , а це означає, що функція неперервна. Тому вертикальних асимптот немає. Обчислюючи значення k і b та підставляючи їх значення в рівняння bkxy ,

знаходимо,що 0154

1limlim2

xxxx

ykxx

,

0154

1limlim2

xx

kxybxx

, 0y .

Отже 0y (вісь Ox ) – горизонтальна асимптота.


arctg2 xxy .

Розв’язання. Задана функція визначена і неперервна на всій числовій осі, тому вертикальних асимптот крива не має. Знаходимо

202222arctg2lim2arctg2

limlim

x

x

x

xx

xyk

xxx,

22arctglim22arctg2limlim

xxxxkxybxxx

.

Тут враховано, що 2

arctg ,

2arctg

, бо

18

xx arctgarctg .

Таким чином, крива має дві похилі асимптоти 2

2 xy і

22

xy .

4 ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ЗА ПРАВИЛОМ ЛОПІТАЛЯ

Відзначимо, що крім елементарних способів дуже ефективним способом знаходження границі функції в зазначених особливих випадках є правило Лопіталя:

якщо функції xf і x диференційовні в околі точки 0x і 0x , а 0lim

0

xfxx

, 0lim0

xxx або

xf

xx 0

lim ,

xxx

0

lim , тобто частка являє собою

в точці 0xx невизначеність виду 00 або

, то

xxf

xxf

xxxx

00

limlim

за умови, що існує (скінченна чи нескінченна) границя відношення похідних.

Суть цього правила полягає у тому, що границя відношення двох нескін-ченно малих або нескінченно великих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує (скінченна чи нескінченна), тобто якщо xf і x одночасно прямують до нуля або до нескінченності при 0xx , то

xxf

xxf

xxxx

00

limlim

Слід відзначити, що це правило застосовується і у випадку, коли 0x . Корисно запам’ятати:

1) безпосередньо правило Лопіталя використовується лише для розкриття невизначенностей двох типів:

00 і

;

2) якщо відношення похідних xxf

являє собою невизначеність того ж

типу, то правило Лопіталя застосовують повторно, доки не усунуть невизначеність;

3) в існуванні потрібних похідних і границь переконуються в ході обчислень;

4) границя відношення двох функцій може існувати в той час, коли відношення похідних не прямує ні до якої границі.

Приклад знайти xxxx

x sinsinlim

.

Розв’язання. При x чисельник і знаменник . За правилом Лопіталя

19

xx

xxxx

xx cos1cos1lim

sinsinlim

.

Але остання границя не існує, бо при x xcos весь час коливається між –1 та 1. Крім того, похідна знаменника xx cos1 при 12 kx , де

Zk , дорівнює нулю, що також є порушенням умови теореми, тому правило Лопіталя тут непридатне, однак зазначену границю можна знайти безпосередньо:

10101

sin1

sin1lim

sinsinlim

xx

xx

xxxx

xx.

Зауважимо, що в деяких випадках правило Лопіталя корисно комбінувати з елементарними способами, які використовують при знаходженні границь функцій.

Зауважимо також, що невизначенності виду 0 і можна звести до невизначенностей виду

00 і

за допомогою алгебраїчних перетворень, а

невизначенності виду 00 0,,1 можна звести до попередніх за допомогою попереднього логарифмування або тотожності

xfxx exf ln .


Обчислити границі.

Приклад 1 x

xx

coslnlim0

.

Розв’язання.При 0x функції в чисельникуі знаменнику дробу прямують до нуля, тобто маємо невизначеність виду

00 . Застосовуючи правило

Лопіталя, находимо

010

1

sincos

1

lim00coslnlim

00

xx

xx

xx.

Приклад 2 xx

x sinln2sinlnlim

0.

Розв’язання. Маємо невизначеність виду , до розкриття якої можна

застосувати правило Лопіталя:

20

0

02sincos

sin2cos2limcos

sin1

22cos2sin

1

limsinln

2sinlnlim000 xx

xx

xx

xx

xx

xxx

1cos

2coslimcossin2cos

sin2cos2lim 200

x

xxxx

xxxx

.

Після застосування правила Лопіталя можна було б обчислення продовжити так:

1cos22cos2lim

00

2sincossin2cos2lim

00

xxxx

xxxx

xx,

бо при 0x xx ~sin , xx 2~2sin , або повторно застосувати правило Лопіталя.

Приклад 3

xxx

x ln1

1lim

1.

Розв’язання. Переконуємося, що має місце невизначеність виду . Правило Лопіталя застосовувати не можна. Тому виконаємо спочатку алгебраїчні перетворення:

xxxxx

xxx

xx ln11lnlim

ln1

1lim

11

.

Тепер після підстановки граничного значення маємо невизначеність виду 00 .

За правилом Лопіталя знаходимо

21

11

1

lim00

11ln

lnlim11ln

11lnlim

00

ln11lnlim

2

1111

xx

x

xx

x

xxx

xxx

xxxxx

xxxx

.

Таким чином, 21

ln1

1lim

1

xxx

x.

Приклад 4

xax

xsinlim .

Розв’язання. Визначивши, що має місце невизначеність виду 0 , бачимо, що правило Лопіталя застосовувати не можна. Тому виконаємо спочатку алгебраїчні перетворення, а потім застосуємо правило Лопіталя. У даному випадку маємо

aaxaa

x

xa

xa

x

xa

xax

xxxx

1coslim

1

coslim

00

1

sinlim0sinlim

2

2

.

21

5 ІНТЕРВАЛИ МОНОТОННОСТІ І ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЇ. НАЙМЕНШЕ І НАЙБІЛЬШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ НА ВЙДРІЗКУ

Кажуть, що функція xfy зростає (спадає) на інтервалі yDba ; , якщо для будь-яких двох значень аргументу baxx ;, 21 із умови 12 xx випливає, що )()( 12 xfxf ( )()( 12 xfxf ).

Щоб знайти інтервали зростання та спадання функції, треба дослідити знак різниці )()( 12 xfxf за умови, що 12 xx . Якщо ця різниця на певному інтервалі додатна, то функція xfy на такому інтервалі зростає, якщо ж різниця )()( 12 xfxf від’ємна, то функція спадає.

Інтервали, на яких функція лише зростає або лише спадає, називаються інтервалами монотонності функції.

Зрозуміло, що встановити безпосередньо знак різниці )()( 12 xfxf не завжди легко, а тому при дослідженні функції на монотонність найчастіше використовують похідну функції.

Функції, з якими ми матимемо справу, мають ту властивість, що їхню область визначення можна поділити на проміжки, в кожному з яких функція диференційовна. Для таких функцій відшукання проміжків монотонності зводиться до дослідження на знак їхніх похідних.

Зауважимо,що відрізок ba; , інтервал ba; , півінтервали або піввідрізки ba; і ba; називають проміжками і позначають ba; .

Якщо неперервна на проміжку ba; і диференційовна на інтервалі ba; функція xf є зростаючою (спадною) на проміжку ba; , то 0 xf ( 0 xf ) для всіх bax ; .

Зауважимо, що похідна зростаючої (спадної) функції може обертатись в нуль в деяких точках. Наприклад, функція 3xxf зростає в інтервалі ; , однак її похідна дорівнює нулю в точці 0x .

Якщо ж 0 xf ( 0 xf ) для всіх bax ; , то в інтервалі ba; функція xfy зростає (спадає).

5.1 Екстремуми функції

Вважають, що функція xf в точці 0x має максимум (мінімум), якщо існує окіл 00 ;xx цієї точки такий, що для всіх 00 ; xxx , 0xx виконується нерівність )()( 0xfxf ( )()( 0xfxf ).

Максимум і мінімум функції в точці називають екстремумом цієї функції в цій точці. Екстремум функції в точці іноді називають локальним (місцевим) екстемумом цієї функції в точці. Слово “локальний” (місцевий) має на меті підкреслити, що значення функції в точці 0x є найбільшим (нійменшим) порівняно не з усіма значеннями цієї функції в області її існування, а лише з

22

тими її значеннями, яких вона набуває в точках, що лежать у досить малому околі точки 0x і відмінні від точки 0x .

Якщо функція xf в точці 0x має екстремум (максимум або мінімум), то похідна функції в цій точці дорівнює нулю або не існує (необхідна умова існування екстремуму).

Точка 0x називається критичною точкою першого роду, або просто критичною, якщо має місце одна із умов:

1) 00 xf ; 2) 0xf ; 3) функція xf в точці 0x визначена, але 0xf не існує.

Геометрично ці умови означають, що в критичній точці дотична або пара-лельна осі Ox , якщо виконується умова 1, або паралельна осі Oy , якщо викону-ється умова 2, або дотичної зовсім не існує (Рисунок5), якщо має місце умова 3. Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними.

Не кожна критична точка функції є точкою екстремуму цієї функції. Так з Рисунок5 видно, що точки 1x ,

2x , 3x , 4x , 6x , 7x і 9x є екстремальними, причому в точках 1x , 3x , 6x і 9x функція xfy має максимум, а в точках 2x , 4x і 7x - мінімум. Що стосується точок 0x , 5x і 8x , то жодна із цих точок не є точкою екстремуму.

Якщо при переході (зліва направо) через критичну точку 0x похідна xf змінює знак з плюса на мінус, то в точці 0x функція xf має максимум, а якщо з мінуса на плюс, то мінімум, якщо ж похідна знака не змінює, то екстремума немає (достатня умова існування екстремуму).

При знаходженні інтервалів монотонності і екстремумів функції доцільно керуватися правилом, яке випливає із сказаного вище:

1) знаходимо область визначення функції; 2) знаходимо xf ;

0 x0 x Рисунок 5

y

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

23

3) знаходимо корені рівняння 0 xf і точки, де xf не існує (критичні точки першого роду);

4) розставляємо одержані точки на числовій осі в порядку зростання; 5) визначаємо знак xf в кожному із одержаних інтервалів (для цього слід

похідну розкласти на множники, якщо це можливо) і тим самим знаходимо інтервали спадання і зростання функції;

6) визначаємо, які із критичних точок є екстремальними (Рисунок6). Зауважимо, що в точці

4x функція має min, якщо xf в цій точці визначена, або в точці

3x екстремуму немає, якщо xf в цій точці невизначена;

7) обчислимо значення функції в екстремальних точках, тобто знаходимо шукані екстремуми.

5.2 Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної

При класифікації екстремальних точок функції xfy можна використати також її другу похідну.

Розв’язки системи

0,0

xfxf

є точками максимуму, а розв’язки системи

0,0

xfxf

є точками мінімуму функції xfy .

Таким чином, для знаходження екстремумів функції за допомогою другої похідної треба: 1) знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких перша похідна дорівнює нулю; 2) обчислити значення другої похідної в одержаних точках; 3) якщо 00 xf , то в точці 0x маємо мінімум, якщо ж 00 xf , то в точці

0x маємо максимум, якщо ж 00 xf , то відповіді немає і тому слід скористатись першим правилом, тобто знайти екстремум в цій точці за першою похідною.

Відзначимо, що у випадку, коли 00 xf і 00 xf , можна скористатись більш загальним твердженням: якщо функція xfy має в околі точки 0x неперервні похідні до n -го порядку ( 1n ) включно і якщо 0xf

00)1(

0 xfxf n , в той час як 00)( xf n , то при n непарному

функція не має екстремуму в точці 0x , при n парному функція має максимум, коли 00

)( xf n , і мінімум коли 00)( xf n .

x

Рисунок 6

x1 x2 x3 x4 x5 xf

xf – + + + – –

min 0

max 0

extr немає

0 ?

extr немає

0

24

5.3 Найменше і найбільше значення функції на відрізку

Відомо, що неперервна на відрізку ba; і диференційовна в усіх точках цього відрізка функція xf досягає свого найбільшого і найменшого значення або в критичних точках, або на кінцях відрізка. Тому для знаходження найбільшого і найменшого значення функції xf на відрізку ba; слід користуватися таким правилом:

1) знаходимо критичні точки першого роду (не вдаючись в дослідження, чи будуть в них екстремуми і якого роду);

2) обчислюємо значення функції в усіх критичних точках, які належать інтервалу ba; і на кінцях відрізка ba; ;

3) із одержаних значень вибираємо найбільше і найменше. Вони і будуть шуканими.


Приклад 1 Знайти інтервали монотонності функції xexy 2 . Розв’язання. Функція визначена на всій числовій осі. Її похідна

xxx exxexxexy 212 2 . Знаходимо критичні точки першого роду: 0 xy , якщо 0x і 2x ,

xy . Точки 0x і 2x ділять числову вісь на три інтервали: 0; , 2;0 і

;2 . Оскільки похідна xexxxy 2 є неперервною в інтервалі ; , то

вона зберігає знак в інтервалах 0; , 2;0 і ;2 . Значення похідної в точці 1x від’ємне, в точці 1x додатне, в точці 3x від’ємне. При визначенні

знака похідної слід врахувати, що 0 xe для будь-яких x . Тому 0 xy для всіх ;20; x і 0 xy для всіх 2;0x . Отже, функція xexy 2 монотонно спадає в інтервалах 0; і ;2 та монотонно зростає в інтервалі 2;0 .

Приклад 2 Знайти найбільше і найменше значення 52 24 xxy на відрізку 2;2 .

Розв’язання. Знаходимо 1444 23 xxxxy . Знаходимо критичні точки першого роду: 0 xy , якщо 014 2 xx , звідки 0x , 1x , 1x і xy . Відзначимо, що всі знайдені точки належать відрізку 2;2 .

Обчислимо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка: 132 y , 41 y , 50 y , 41 y , 132 y .

Із одержаних значень вибираємо найменше і найбільше: 41нм y , 132нб y .

25

6 ОПУКЛІСТЬ І ВГНУТІСТЬ КРИВОЇ. ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ

Графік функції xfy називається опуклим (крива обернена опуклістю вгору) на інтервалі ba; , якщо він розміщений нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу (Рисунок 7).

Графік функції xfy називається вгнутим (крива обернена опуклістю вниз) на інтервалі ba; , якщо він розміщений вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу (Рисунок 8).

Якщо ж 0 xf ( 0 xf ) в інтервалі ba; то графік функції опуклий

(вгнутий) в цьому інтервалі. Це є достатня умова опуклості (вгнутості) графіка функції.

Точка 00 ; xfx графіка функції, яка відділяє опуклу його частину від вгнутої, або навпаки, вгнуту його частину від опуклої, називають точкою перегину (Рисунок 9, а, б).

Якщо );( 00 yxM - точка перегину графіка функції xfy , друга похідна

00 xf або 0xf не існує (необхідна умова існування точки перегину).

Точки, в яких 00 xf або 0xf не існує, називаються критичними точками другого роду.

xfy

0 0x x Рисунок 8

y

a b

xfy

0 0x x Рисунок 7

y

a b

Рисунок 9

xfy

0 0x x

y

а 0 0x x

y

б

26

Якщо при переході через критичну точку 0x друга похідна змінює знак, то точка );( 00 yxM є точкою перегину кривої (достатня умова існування точки перегину).

Виходячи із цих умов, одержуємо правило для знаходження інтервалів опуклості і вгнутості та точок перегину графіка функції, яке пропонуємо застосовувати на практиці.

1) Знаходимо область визначення функції. 2) Знаходимо xf . 3) Знаходимо xf . 4) Знаходимо корені рівняння 0 xf і точки, де xf не існує (критичні

точки другого роду). 5) Визначаємо знак другої похідної xf в кожному інтервалі, на які

знайдені критичні точки розбивають область визначення даної функції, і тим самим знаходимо інтервали опуклості і вгнутості кривої.

6) Визначаємо, які з критичних точок є абсцисами точок перегину (Рис.10).

7) Обчислюємо значення функції в знайдених точках, тобто знаходимо точки перегину графіка цієї функції.


Приклад 1 Знайти інтервали опуклості і вгнутості та точки перегину графіка функції 535 23 xxxy .

Розв’язання. 1) Функція визначена для всіх Rx .

2) 3103535 223 xxxxxxy .

3) 5321063103 2 xxxxxy .

4) 0 xy , якщо 053 x , звідки 35x ; xy .

5) Для 35;x 0 xy , бо, наприклад, 0100 y , а для ;3

5x

0 xy , оскільки, наприклад, 0144 y . Отже, в інтервалі 35;

крива є опуклою, а в інтервалі ;35 - вгнутою.

x

Рисунок 10

x1 x2 x3 x4

xf

xf

+ + + – +

перегин 0

?

перегину немає

0 перегин

0

27

6) В точці 35x друга похідна даної функції дорівнює нулю і при переході

через точку змінює знак, а це означає, що 35x є абсцисою точки

перегину кривої. 7) Обчислюючи значення функції 535 23 xxxy при 3

5x , одержимо

27250

35 y Таким чином, 27

250;35 M - точка перегину графіка даної

функції.

Повне дослідження функції і побудова її графіка

Повне дослідження функції рекомендується проводити за такою схемою: 1) Знайти область визначення функції. 2) Встановити точки розриву та інтервали неперервності функції. 3) Дослідити функцію на парність та непарність. 4) Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. 5) Знайти інтервали знакосталості функції. 6) Знайти асимптоти. Дослідити поведінку функції поблизу точок розриву. 7) Знахйти інтервали зростання і спадання функції та екстремуми. 8) Знайти інтервали опуклості і вгнутості графіка функції та точки перегину. 9) Побудувати графік функції за результатами дослідження.

Зробимо кілька зауважень щодо цієї схеми. 1) Якщо функція виявиться парною або непарною, то дослідження досить

провести лише для невід’ємних значень аргументу, а потім скористатись властивістю симетрії.

2) Якщо в результаті дослідження виявиться, що функція періодична, то наступне дослідження цієї функції досить провести на відрізку довжиною в період. З’ясувавши всі особливості функції на цьому відрізку, встановлюємо (внаслідок періодичності) її особливості в усій області існування.

3) Доцільно наносити на малюнок характерні точки, асимптоти і т.п. паралельно з дослідженням. Це скоротить роботу з накресленням графіка.

4) Щоб якомога точніше накреслити графік функції в тих інтервалах області її існування, в яких немає особливостей цієї функції і які великі за розмірами, треба взяти кілька точок і обчислити значення функції в цих точках.

Розв’язання прикладів Приклад 1 Провести повне дослідження функції xey x

1.

Розв’язання.Задана функція визначена на всій числовій осі, крім точки 0x . Отже, в інтервалах 0; і ;0 функція неперервна, а 0x - точка

28

розриву функції. Функція не ні парною ні непарною, бо xyxexy x 1 і

xyxy . Отже вона несиметрична. Функція неперіодична. Графік функції не перетонає вісь Oy , бо 0x . Розв’язуючи рівняння 0xy , знаходимо точки

перетину графіка з віссю Ox : 01

xe x , xe x 1

, xx ln1 ; звідки 5.1x

(Рисунок11). Таким чином, графік функції проходить через точку 0;5.1 . Знаходимо інтервали знакосталості функції (Рисунок12): 0y при

5.1x ; y

при 0x ; 011 1 ey ;

011 ey ; 022 21

ey . Виходячи з дослідження, робимо

висновок: для 5.1;00; x графік функції розміщений вище осі Ox , бо для цих x 0y , а для ;5.1x графік функції розміщений нижче осі Ox , бо для цих x 0y . Далі досліджуємо функцію поблизу точок розриву і знаходимо асимптоти.

Т. 0x - точка розриву функції. Знаходимо:

eexey x

xx

011

00limlim ;

011limlim 011

00

eeexey x

xx.

Отже, 0x – вертикальна асимптота функції при 0x . Тепер знаходимо похилі асимптоти bkxy , де

11011limlim01

ex

exyk

x

xx,

1limlimlim 011

eexxekxyb x

x

x

xx.

Таким чином, 1 xy - похила асимптота.

Оскільки 011112

1

2

1

xe

xey xx для всіх x із області

визначення, то функція монотонно спадає, а тому екстремумів немає. Знаходимо інтервали опуклості і вгнутості та точки перегину:

xy 1

0 x

Рисунок 11

y

1 1.5

xy ln x

Рисунок12

y 0 1.5

+ – + ∞ 0

29

4

1

4

122

1

2121

xxe

x

xexxey

xxx

;

0y , якщо 021 x , звідки 21

x ; y

при 0x . Зауважимо, що при визначенні знака xy (Рисунок 13) слід враховувати, що 0

1xe і 04 x для всіх значень x із

області визначення функції; 01 y , 041 y , 01 y .

Таким чином, для 21;x крива є опуклою, а для ;00;2

1 x -

вгнутою. 6.05.02перегину ey при 5.0x .

Нанесемо на площину всі характерні точки функції xey x 1

і

x Рисунок 13

y -0.5 0

+ + + ∞ 0 y перегин

точка розриву

Рисунок14

0 x

y

1 1.5

1

-1 -0.5

x=0

0 x 1.5 y + ∞ 0 + –

0 x y – ∞ –

y

-0.5 0 x y – ∞ +

y + 0

перегин

30

використавши всі її згадані вище особливості, накреслимо графік цієї функції (Рисунок14).

Приклад 2 Провести повне дослідження функції 2

3

3 xxy

, побудувати її

графік за результатами дослідження. Розв’язання. Слідуючи запропонованій схемі, маємо: 1) 03 2 x ; 3x ; ;33;33; yD . 2) 3x і 3x – точки розриву. 3; , 3;3 , ;3 –

інтервали неперервності функції.

3)

xyx

xx

xxy

2

3

2

3

33. Отже, xy – функція непарна. Її

графік розташований симетрично відноснопочатку координат, тому подальші дослідження досить проводити для 0x .

4) При 0x 0y , при 0y 0x , тобто графік функції проходить через точку 0;0O – початок координат.

5) 0y при 0x , y при 3x ; 0y в інтервалі 3;0 і 0y в інтервалі ;3 (Рисунок15).

6) 3x – точка розриву функції.

033

03303lim

3limlim 2

3

032

3

0303 xxx xxy ,

.033

03303303lim

33lim

3limlim

3

03

3

032

3

0303

xxxx xx

xx

xy

Отже, 3x – вертикальна асимптота. Знаходимо похилі асимптоти bkxy ,

де 13

lim3

limlim 2

2

2

3

x

xxx

xxyk

xxx,

03

3lim3

3lim3

limlim 22

33

2

3

x

xx

xxxxx

xkxybxxxx

,

оскільки степінь многочлена чисельника менша степеня многочлена знаменника. Отже xy – похила асимптота.

7)

22

22

22

222

22

322

2

3

39

3239

3233

3 xxx

xxxx

xxxxx

xxy

0y , якщо 09 22 xx , звідки 0x ; 3x . y , якщо 03 2 x , звідки 3x ;

x

Рисунок15

y

0 – + 0 ∞

3

31

29

9327

max

y при 3x (Рисунок 16).

8)

42

422223

22

42

392323418

39

xxxxxxxx

xxxxy

42

424222

42

422222

32182692732

39343292

xxxxxxxx

xxxxxxxx

32

2

32

2

396

33272

xxx

xxx

.

0 xy , якщо 0x ; xy , якщо 3x , 0перегин y при 0x

(Рисунок17). Зауважимо, що в зв’язку з тим, що точка 0x знаходиться на межі

півінтервалу );0[ , в якому досліджується функція, виникла необхідність дослідити знак y і y на півінтервалі 0;3 .

x

Рисунок16

3 0 3

y

y

+ – + ∞


мах 0

+

3

екстр. немає

0

x

Рисунок 17 3 0 3 y

y + – – ∞

точка розриву перегин

0

32

9) Будуємо графік функції за результатами дослідження (Рисунок18).

Рисунок18

0 x

y

3

4.5

3 0 3 -3

-4.5

3x

3x

xy

x

y

0 – + 0 ∞

3

x 3 0 3 y

y

+ – + ∞


мах

0 + 3

екстр. немає

0

x 3 0 3 y y

+ – – ∞


перегин

0

33

Індивідуальні завдання

31.01 – 31.30 Знайти похідні dxdy наступних функцій.

31.01 1) 3 35 54x

xxy ; 4) xarctg

xy1

)2(ln ;

2)

1

4sin

23 xy ; 5) 0sincos 33 xyy .

3) )51ln( 2xy ;

31.02 1) 12

x

xy ; 4) x

xy

5ln11

;

2) xy coslog23 ; 5) 3ln

2

yxy .

3) xey2cos ;

31.03 1) 7 3 845 xy ; 4) xxy 3sin)ln(cos ;

2) xxy

sincos2

; 5) 102 yxe y .

3) )1ln(ln 2 xy ;

31.04 1) 3

141xx

y ; 4) xxy1cos

)32( ;

2) tgxxy 10 ; 5) 522

33

yx .

3) xy 3cosln ;

31.05 1) 63

14

xxy

; 4) xtgxexy 232 )( ;

2) 43

3 ctgxctgy ; 5) yxy arcsin33 .

3) xxy lnln ;

34

31.06 1) 3 42

153

1

x

xy ; 4) xxy 3ln ;

2) 23lg5 xy ; 5) yxyx 62 .

3) tt

ysin

1cos3

12 ;

31.07 1) 23 3 11 xxy ; 4) xxy

2sin2 )ln1( ;

2) x

xyln

2 ; 5) 1)sin( 2 yyx .

3) )( 7xexctgy ;

31.08 1) 3 4 33 xxy ; 4) 12

)31( xxy ; 2) xy 2arccos4 ; 5) 4arccos 2 xyy . 3) xxtgy sin2 ;

31.09 1) 5 23 73x

xxy ; 4) xxy1

3 )4sin1( ;

2) )35ln(ln 2xy ; 5) 3)sin( yxyyxarctg .

3) xy sinarcsin ;

31.10 1) x

xxy

1

1 22 ; 4) xxxy

2

)2cos3( .

2) )17ln( xey ; 5) )cos(3 23 xyyx .

3) x

arcctgy 1 ;

31.11 1) 12 xxy ; 4) xx xe 3log2 )cos( ; 2) xtgy cos ; 5) yxarctgy 3 .

3) xy3sin7 ;

31.12 1) 423

5102

xx

xy ; 4) xxxtgy2ln5 )3( ;

2 ) xey x cosln ; 5) yxarctgy sin .

35

3) )3sin( 3 xxy ;

31.13 1) xx

y

1 ; 4) xxy 5cos2 )(ln ;

2) 3 21 xtgy ; 5) 23 xyy .

3) xey ln ; 31.14 1) 34 2 83 xxxy ; 4)

3 2

)ln5( xx xy ;

2) 2

ln xarctgy ; 5) .02arcsin22 xyarctgyyx

3) x

x

eey

12 ;

31.15 1 ) 3 2 8 xxy ; 4)

2ln)( xxarctgy ;

2) xtgey 2 ; 5) xyx 32 sin2 .

3) 3xarcctgy ;

31.16 1) 2

23

11

xxxy

; 4) 12

)1( xxctgy ;

2) )15(sinlog23 xy ; 5) 0)1()1 2222 xyyx .

3) 2

4 xey ;

31.17 1) 35 21 xxy ; 4) x

xxy

3

2

1;

2) 5sin )23( xtgy x ; 5) )cos()( yxxytg . 3) )1ln( 2xexy ;

31.18 1) 4

32

25

11

xxy ; 4) xxy sin)5( ;

2)

4sinln 3 arctgxy ; 5) 0)( 2233 xyyxxy .

3) xtgy 43 ; 31.19 1) xxy 12 ; 4) xxy sin4 )2( ;

36

2) )5log1ln( 3 xy ; 5) 2cos)( 22

x

yxyx .

3) x

xysinln1

sin

;

31.20 1) 42

3

11

xxy

; 4) xe

xy

2

2sin1

;

2 ) 2

6tgxy ; 5) 0)1ln()1ln( 332 xyyx

3) x

y3sin

12 ;

31.21 1) 3 33

131

1

x

xy ; 4)

2

)14( xxarctgy ;

2 ) )(lncos2 2 xy ; 5) 0)(cossin 22 xyy .

3) xtgey 7 ;

31.22 1) 7

310

51

xy ; 4) xxy2ln)sin1( ;

2) 22 sinsin xxy ; 5) 0cossin xeye yx . 3) )9(lg 23 xxy ; 31.23 1) 32 31 xxy ; 4) xtgxy 5sin)(ln ; 2) 1ln xtgy ; 5) 22 ytgyx x . 3) xey 2arcsin3 ; 31.24 1) 23 34 xxy ; 4) xxxy ln3 )2( ;

2) 2

log3xtgy ; 5) yxyx arcsinarcsin .

3) xxy 7 ; 31.25 1) 321 xxy ; 4) )32(cos xy x ;

2) 23ln 7 xy ; 5) 0)3()( 2323 yxxy .

37

3) tty

2cossin2

;

31.26 1) 4

3 376

xxy ; 4) 12

sin xxy ;

2) xy 3cos1 ; 5) 02coscossin2 yyyx .

3) xexy2

;

31.27 1) 3

35

11

xxxy

; 4) xtgxy

2

4sin

;

2) 21

23 xextgy ; 5) 0)(cos 232 yxyyx .

3)

xxy ln3lg2 ;

31.28 1) 32 1 xxy ; 4) xxy 3cos4 )5( ; 2) )32ln(1 xarctgy ; 5) 2yxarctgy .

3) 3sin )15( xy ;

31.29 1) 13

75245

xx

xy ; 4) 22 )1(xtg

xy ;

2) 3 sinln xy ; 5) 5ln

ye xy

. 3) 175 xarctgy ; 31.30 1) xxxy 23 ; 4) tgxxy )23( 2 ;

2) 4

cos

63

tgy x ; 5) 0)cos(sin yxxy .

3) )5lg35cos2(3 xxey x ;

38

32.01 – 32.30 Знайти похідні dxdy та 2

2

dxyd наступних функцій.

32.01 1) xexy 3 ; 2 2 1,.

x ty arcctg t

32.02 1) xy sinln ; 2 3,

.tx e

y t

32.03 1) xarctgey ; 2) sin ,ln cos .

x ty t

32.04 1) arcctgxxy 21 ; 2) 2

31,5.

x ty t

32.05 1) xxy

11 ; 2) 2 2

25 cos sin ,3sin .

x t ty t

32.06 1) 12

2

xxy ; 2)

,1 .

1

x ty

t

32.07 1) xeyx

cos2 ; 2) cos ,sin .

x t ty t t

32.08 1) xxy ln3cos ; 2) 3,.

t

tx ey e

32.09 1) xtgy 3ln ; 2) sin ,

1 .cos

x ty

t

32.10 1) 21

12

xxy ; 2 ) sin ,

cos .x t ty t t

32.11 1) 85 xarcctgxy ; 2) cos ,2sin .

txy t t

32.12 1) 12

x

xy ; 2) 2

33cos ,2sin .

x ty t

32.13 1) xxy ln3 ; 2) sin cos ,sin 2 .

x t ty t

32.14 1) 12 xxy ; 2) 3

2

3

3 ,1

3 .1

txt

tyt

39

32.15 1) 2lnx

xy ; 2) sin ,3 cos .

x t ty t

32.16 1) 3 2 1 xy ; 2) 21 ,

1.x ty

t

32.17 1) arctgxxy ; 2) 3

55 ,4 .

x t ty t t

32.18 1) xctgey 7 ; 2) 26cos ,3sin .

x ty t

32.19 1) xy lncos ; 2) 3

22 ,2 .

x t ty t

32.20 1) 2xexy ; 2) cos ,

sin .t

tx e ty e t

32.21 1) arctgxy ; 2) 2 ,cos .

tx ey t

32.22 1) xey ; 2) ln ,1 1 .2

x t

y tt

32.23 1) xey x sin ; 2) 2arcsin ,

1 .x ty t

32.24 1) 211x

y

; 2) 2,

ln 1 .x arcctg ty t

32.25 1) xexy sincos ; 2) ln cos ,lnsin .

x t ty t t

32.26 1) 1

3

xey ; 2)

3

23 ,3 .

x t ty t

32.27 1) xexy cos ; 2) sin cos ,cos sin .

x a t t ty a t t t

32.28 1) xexyx

62 ; 2) 2arcsin ,ln 1 .

x ty t

32.29 1) xey x ln2

; 2) 3

25cos ,7sin .

x ty t

32.30 1) 83

2

xxy ; 2) 2ln 1 ,

.x ty arcctg t

40

33.01 – 33.30 Методами диференціального числення провести повне

дослідження функції та побудувати її графік.

33.01 1) 92

3

xxy ; 2) 2ln( 2 2)y x x .

33.02 1) 41

2

2

xxy ; 2)

12 xy e .

33.03 1) 4

82

xx

y ; 2) 2( 1) xy x e .

33.04 1) 244

xxy

; 2) ln

1xy

x

.

33.05 1) xxy

11 ; 2) 2ln( 1)y x x .

33.06 1) 1

22

xx

y ; 2) 2lny x x .

33.07 1) 1

13

x

y ; 2) 22( 4) xy x e .

32.08 1) 21

12

xxy ; 2)

2xy xe .

33.09 1) 11

2

2

xxy ; 2) y xarctgx .

33.10 1) 352

x

xy ; 2) 1

x

x

eye

.

33.11 1) 2

3 1x

xy ; 2) 2lny x x .

33.12 1) 322

xx

xy ; 2) lny x x .

33.13 1) x

xy 163 ; 2) 2

11xy

e

.

33.14 1) xx

xy21

2

; 2) 2ln(2 3)y x .

33.15 1) 12

2

xxy ; 2) ln( 1)y x x .

41

33.16 1) 2

3

28

xxy

; 2) 2 xy x e .

33.17 1) 1

222

x

xxy ; 2) ln cosy x .

33.18 1) x

xy 54 3 ; 2)

1ln1

xyx

.

33.19 1) 221

xxy

; 2) 2( 4) xy x e .

33.20 1) 2

12

xxy ; 2) 2 lny x x .

33.21 1) 21

x

xy ; 2) 3 xy x e .

33.22 1) 2

3

12

xxy ; 2) 2y x arctgx .

33.23 1) xx

xy21

2

; 2) 1 ln xy

x

.

33.24 1) x

xy 12 ; 2) xy x e .

33.25 1) 21

12

xxy ; 2) 2y x arcctgx .

33.26 1) x

xy 34 ; 2)

1lny ex

.

33.27 1) 322

3

xxxy ; 2) 2ln( 4)y x x .

33.28 1) 2

3

41

xxy

; 2) 1ln2

xyx

.

33.29 1) 12

x

xy ; 2) xey

x .

33.30 1) 42

2

xxy ; 2) ln(1 )xy e .

34.01 – 34.30 Знайти найбільше і найменше значення функції xfy на проміжку ba; .

34.01 xxy 2cossin2 ;

2;0 .

42

34.02 10249 23 xxxy ; 3;0 . 34.03 263 23 xxxy ; 1;1 . 34.04 52 24 xxy ; 2;2 . 34.05 xxy ln2 ; e;1 . 34.06 xxy 2 ; 4;0 . 34.07 xx eey 22 ; 1;2 . 34.08 3593 23 xxxy ; 4;4 .

34.09 xxy 2cos2 ;

;

43 .

34.10 11

xxy ; 4;0 .

34.11 xxy 44 ; 2;2 . 34.12 2163 34 xxy ; 1;3 .

34.13 2100 xy ; 8;6 .

34.14 235 35 xxy ; 2;0 .

34.15 xtgxy ;

4;

4 .

34.16 223 xy ; 3;1 .

34.17 xxy sin23

;

2;0 .

34.18 133 xxy ;

2;21 .

34.19 xxy cos23

;

2;0 .

34.20 85 35 xxy ; 2;0 . 34.21 xxy ln ; e;1 . 34.22 xxy sin ; ; . 34.23 481 xxy ; 4;1 .

34.24 x

xy 1 ;

2;21 .

34.25 29 xy ; 3;3 .

34.26 2

2

11

xxxxy

; 1;0 .

43

34.27 xxy ln2 ; e;1 . 34.28 7123 xxy ; 3;0 . 34.29 155 345 xxxy ; 2;1 .

34.30 xxy 2sin ;

2;

2 .

35.01 – 35.30 Розв‘язати наступні задачі. 35.01 Число 36 розкласти на два такі множники, щоб сума їх квадратів

була найменшою. 3.502 Потрібно виготовити конічну воронку із твірною, яка дорівнює 20

см. Якою повинна бути висота воронки, щоб її об‘єм був найбільшим? 35.03 Переріз тунелю має форму прямокутника, завершеного зверху

півколом. Периметр перерізу дорівнює 18 м. При якому радіусі півкола площа перерізу буде найбільшою?

35.04 Показати, що потужність N струму, який отримується від гальванічного елемента у зовнішнього ланцюгу буде найбільшою, якщо опір R зовнішнього ланцюга дорівнює внутрішньому опору r самого елемента.

Вказівка: потужність струму визначається за формулою RRrN

2.

35.05 Об‘єм прямого кругового конуса дорівнює V. Знайти радіус основи конуса, при якому він має найменшу повну поверхню.

35.06 В кулю радіуса R вписати круговий конус з найбільшою боковою поверхнею.

35.07 Яке додатне число, складене із зворотним йому числом, дасть найменшу суму?

35.08 Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює С. Якими повинні бути катети цього трикутника, щоб його площа була найменшою?

35.09 Потрібно викопати яму циліндричної форми з круглою основою та вертикальною боковою поверхнею заданого об‘єму V . Якими повинні бути лінійні розміри ями, щоб на облицювання її дна і бокової поверхні була витрачена найменша кількість матеріалу?

35.10 Бокова поверхня прямого колового конуса дорівнює S . Знайти радіус основи конуса, при якому він має найбільший об‘єм.

35.11 Зрошувальний канал має форму рівнобічної трапеції, бокові сторони якої дорівнюють меншій основі. При якому куті нахилу бокових сторін переріз каналу буде мати найменшу площу?

35.12 Вікно має форму прямокутника, який завершується півколом. Периметр вікна дорівнює Р. При яких розмірах сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла?

44

35.13 Через дану точку 4;1P провести пряму так, щоб сума довжин відрізків, які відсічені прямою на додатних напрямках координатних осей, була найменшою.

35.14 У еліпс 12

2

2

2

by

ax вписати прямокутник найбільшої площі.

35.15 З круглої колоди діаметром d потрібно вирізати балку прямокутного перерізу. Якими повинні бути ширина x та висота y цього перерізу, щоб балка чинила найбільший опір на вигин? Вказівка: опір балки на вигін прямо пропорційний добутку ширини перерізу на квадрат його висоти:

2kxyQ , де constk , x - ширина перерізу, y - висота перерізу. 35.16 Якою повинна бути висота конуса, вписаного у кулю радіуса R ,

щоб його бокова поверхня була найбільшою? 35.17 В дану кулю радіуса R вписати циліндр, який має найбільшу

бокову поверхню. 35.18 Секундна втрата води при витікання її через отвір у товстій стіні

визначається за формулою yhcyQ , де y - діаметр отвору, h - глибина його найнижчої точки, с – деяка постійна. При якому значенні y значення Q є найбільшим?

35.19 Із шматка дроту довжиною а зігнути прямокутник так, щоб його площа була найбільшою.

35.20 В точках А та В знаходяться світла сили відповідно 1f та 2f . Відстань між точками дорівнює а. На відрізку АВ знайти найменш освітлену точку М. Вказівка: освітленість точки джерелом світла сили f обернено пропорційна квадрату її відстані r від джерела світла:

2rkfE , де constk .

35.21 Повна поверхня циліндра дорівнює S . Які розміри повинен мати циліндр, щоб його об‘єм був найбільший?

35.22 Знайти співвідношення між радіусом R та висотою H циліндра, який має при даному об‘ємі найменшу повну поверхню.

35.23 Визначити розміри циліндра об‘ємом 10м 3 , який має найменшу повну поверхню.

35.24 Бак з квадратною основою повинен вміщувати 27л. Якими повинні бути його розміри, щоб повна поверхня була найменшою?

35.25 Знайти висоту прямого кругового конуса найменшого об‘єму, який описаний навколо кулі радіуса R .

35.26 У дане півколо радіуса R вписати прямокутник з найбільшим периметром.

35.27 Об‘єм правильної трикутної призми дорівнює V. Яким повинен бути бік основи, щоб повна поверхня призми була найменшою?

45

35.28 У даний прямий круговий конус вписати циліндр найбільшого об‘єму.

35.29 З круглої колоди діаметром d вирізати балку прямокутного перерізу так, щоб площа перерізу була найбільшою. Вказівка: у коло з діаметром d вписати прямокутник найбільшої площі.

35.30 Рівнобічний трикутник, вписаний в коло радіуса R , обертається навколо прямої, яка проходить через його вершину паралельно основі. Якою повинна бути висота цього трикутника, щоб тіло, одержане в результаті обертання, мало найбільший об‘єм?

46

Контрольна робота №4

1 НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

1.1 Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла

Відомо, що однією з основних задач диференціального числення є задача знаходження похідної або диференціала даної функції.

Основною ж задачею інтегрального числення є обернена задача – знаходження функції за заданою її похідною або диференціалом. Ця операція (дія) називається інтегруванням.

Слід відзначити, що як і будь-яка обернена задача, ця задача складніша, ніж задача диференціювання, і розв`язок її не є однозначним.

Шукану функцію називають первісною функцією по відношенню до даної функції.

За означенням, первісною функцією для функції f(x), визначеної на проміжку <a;b>, називають функцію F(x), яка визначена на тому самому проміжку і задовольняє умові )()( xfxF або dxxfxdF )()( . Наприклад, первісною функцією для функції 5х4 буде х5, бо .5)( 45 xx Однак похідна від х5+7 також дорівнює 5х4, а це означає, що і х5+7 буде первісною для 5х4. І взагалі, ,)( 5 CxxF де С - стала, також будуть первісними для

,5)( 4xxf бо .5)( 45 xCx Як бачимо на цьому прикладі, знаходження первісної для даної функції є завдання невизначене.

Доведено, що будь-яка функція, неперервна на проміжку, має в цьому проміжку первісну.

Якщо функція F(x) є якоюсь первісною для функції f(x) на проміжку <a;b>, то множина всіх первісних для цієї функції f(x) на цьому проміжку <a;b> міститься у виразі F(x)+C, де C – довільна стала.

Отже, щоб одержати всі первісні для даної функції, досить знайти будь-яку одну і додати до неї довільну сталу.

Зауважимо, що функція F(x) є первісною для функції f(x) і на будь-якому іншому проміжку ; , що повністю міститься на даному проміжку <a;b>.

Сукупність всіх первісних функції f(x), визначеної на проміжку <a;b>, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається символом ,)( dxxf де - знак інтеграла, f(x) - підінтегральна функція, f(x)dx - підінтегральний вираз, х - змінна інтегрування.

Таким чином, якщо ),()( xfxF то CxFdxxf )()( . Справедливе і обернене твердження. Як уже відзначалося вище, операція

знаходження невизначеного інтеграла від функції називається інтегруванням цієї функції. Інтегрування є операцією, оберненою диференціюванню.

47

Із сказаного випливає, що результат інтегрування можна перевірити диференціюванням.

1.2 Властивості невизначеного інтеграла (правила інтегрування)

1) )())(( xfdxxf ;

2) dxxfdxxfd )())(( ;

3) ;)()( CxFxdF 4) dxxfCdxxCf )()( , де С - const 0 ;

5) dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121 ;

6) ,)()( CuFduuf де )(xu диференційовна функція від незалежної змінної х.

1.3 Таблиця основних інтегралів

Cdxudu x00 (1)

Cudxudu x (2)

1,1

1

Cudxuuduu x (3)

Cuudxu

udu x 2 (4)

Cuu

dxuudu x 1

22 (5)

Cuudxu

udu x ln (6)

Ca

adxuaduau

xuu ln

(7)

Cedxuedue ux

uu (8)

Cudxuuudu x cossinsin (9)

Cudxuuudu x sincoscos (10)

Cudxuuudu x coslntgtg (11)

cudxuuudu x sinlnctgctg (12)

48

Ctguu

dxuu

du x22 coscos

(13)

Cctguu

dxuu

du x22 sinsin

(14)

Cuu

dxuu

du x

2tgln

sinsin (15)

Cu

udxu

udu x

42tgln

coscos (16)

Cau

aaudxu

audu x arctg1

2222 (17)

Cauau

aaudxu

audu x ln

21

2222 (18)

C

au

uadxu

uadu x arcsin

2222 (19)

CAuu

Audxu

Audu x 2

22ln (20)

CAuuAAuudxuAuduAu x 2222 ln22

(21)

,arcsin22

2222222 C

auauaudxuuaduua x (a>0) (22)

Зауважимо, що в формулах (1-22) а, А, і - cталі, u - незалежна змінна або будь-яка диференційовна функція від незалежної змінної.

Кожна із формул цієї таблиці справедлива в будь-якому проміжку, який міститься в області визначення відповідної підінтегральної функції.

Невизначені інтеграли (1-22) називають основними або табличними інтегралами і їх необхідно запам’ятати.

Корисно також запам’ятати, що коли u=ax+b і ,)()( CuFduuF

то CbaxFa

dxbaxF )(1)( (23)

У справедливості цієї формули можна переконатися диференціюванням. Є три основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод

заміни змінної і метод інтегрування частинами. Розглянемо кожний з цих методів.

49

1.4 Безпосереднє інтегрування і метод розкладання

Під безпосереднім інтегруванням розуміють пряме використання таблиці інтегралів. Метод розкладу грунтується на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла. Тут слід також мати на увазі, що даний інтеграл може бути зведений до одного або кількох табличних інтегралів після елементарних тотожних перетворень над підінтегральною функцією.

Розв´язання прикладів

Приклад 1 Знайти .)564( 23 dxxx Розв’язання. Скориставшись властивостями 4) і 5) невизначеного

інтеграла, будемо мати dxdxxdxxdxdxxdxxxx 564564)564( 232323 Далі, застосувавши до перших двох одержаних інтегралів формулу (3), а

до третього – властивість 3) (формула 2), остаточно знаходимо dxdxxdxxdxxx 564)564( 2323

,5253

64

4 3432

3

1

4

CxxxCxCxCx де .321 CCCC

Відзначимо, що додавати довільну сталу після знаходження кожного інтеграла, як це зроблено в даному прикладі, не слід. Досить всі довільні сталі підсумувати і результат, позначений однією буквою C, записати вкінці, тобто після того, як усі інтеграли будуть знайдені.

Приклад 2 Знайти dxxxx 11 .

Розв’язання. Відзначимо, що 1113 xxxx , тоді

dxdxxdxxdxxxx 23

3111

= CxxCxx

251

23

52

123 .

Приклад 3 Знайти dx

xx

2cos1cos1 2

.

Розв’язання. Оскільки 1+cos2x=2cos2x, то

dx

xdx

xxdx

xxdx

xx 1

cos1

21

coscos1

21

cos2cos1

2cos1cos1

22

2

2

22

.tg21

2tg

21

21

cos21

2 CxxCxxdxx

dx

Приклад 4 Знайти dxx19

35 . Розв’язання. Тут підносити двочлен до 19-го степеня недоцільно, так як

50

u=5x+3 є лінійною функцією. Виходячи з табличного інтеграла

Cuduu20

2019 і формули (23), згідно з якою

,)(1)( CbaxFa

dxbaxF одержимо

.

10035

2035

5135

202019 CxCxdxx

1.5 Інтегрування методом заміни змінної (метод підстановки)

Метод заміни змінної застосовують в тих випадках, коли безпосередньо (за допомогою таблиці) не вдається знайти первісну.

При розв`язанні прикладів заміна змінної здійснюється за допомогою підстановок двох видів:

1) ),(tx де )(t - монотонна, неперервно диференційовна функція нової змінної t .

У цьому випадку формула заміни змінної набуває вигляду ;)()()( dtttfdxxf (24)

2) ),(xu де u- нова змінна. Формула заміни змінної при такій підстановці має вигляд

.)()()( duufdxxxf (24а) Передбачається, що після інтегрування буде здійснюватись знову перехід

до початкової змінної х. Відзначимо, що загального правила, яке указувало б, яку підстановку

треба вибрати, не існує. Однак для багатьох видів інтегралів підстановка відома і буде розглянута нами далі. Зауважимо також, що уміння вибрати підстановку так, щоб знаходження інтеграла спростилось, досягається розв`язанням великої кількості вправ.

Розв`язання прикладів

Приклад 1 Знайти 312

5

xdxx .

Розв’язання. Покладемо, що x6=t. Тоді 6x5dx=dt i

Ctttdt

xdxx

xdxx 3ln

61

361

3)(6

61

32

226

5

12

5

.

Як бачимо, за допомогою указанної підстановки даний інтеграл зведений до табличного (формула 20). Повертаючись до початкової змінної, остаточно будемо мати

51

Cxxx

dxx 3ln61

3126

12

5

.

Приклад 2 Знайти 1ze

dz .

Розв’язання. Виконаємо підстановку ez+1=t2. Продиференціювавши

обидві частини рівності, одержимо ezdz=2tdt. Звідси .1

222

t

tdtetdtdz z Тоді

CeeC

tt

tdt

tttdt

edz

z

z

z 1111ln

11ln

212

12

)1(2

1 22 .

(див. формулу 18 у таблиці інтегралів).

Приклад 3 Знайти

.92xx

dx

Розв’язання.

tttdt

xxxdx

tdtxdxtdtxdxtx

xxdx

)9(922

9

9 222

22

2

CxCtt

dt3

9arctg31

3arctg

31

9

2

2 .

1.6 Метод інтегрування частинами

Як уже відзначалося вище, цей метод, як і метод підстановки, який був щойно розібраний, належить до числа основних методів інтегрування.

Якщо u(x) i v(x) – диференційовні функції від х, то має місце формула vduuvudv . (25)

Формула (25) називається формулою інтегрування частинами, а метод інтегрування, що грунтується на застосуванні цієї формули, - методом інтегрування частинами.

Для застосування цього методу підінтегральний вираз треба подати у вигляді добутку однієї функції на диференціал другої функції. При цьому доцільно в якості u вибрати функцію, яка спрощується при диференціюванні:

.arcctg,arctg,arccos,arcsin,log,ln xxxxxx a Іноді буває корисно обрати в якості u многочлен, а в якості v – функцію,

яка мало змінюється при диференціюванні – показникову, тригонометричну, і т.д.

У деяких випадках для зведення даного інтеграла до табличного формула (25) застосовується декілька разів. Іноді ж шуканий інтеграл визначається із алгебраїчного рівняння, одержаного за допомогою інтегрування частинами.

Укажемо у таблиці 1 деякі види інтегралів, для знаходження яких застосовують метод інтегрування частинами.

52

Таблиця 1

№ п/п Вид інтеграла

Позначення підінтегрального виразу

1) ,)( dxexP ax де Р(х) - многочлен

u=P(x); dv=eaxdx

2) bxdxxP cos)( u=P(x); dv=cosbxdx

3) bxdxxP sin)( u=P(x); dv=sinbxdx

4) xdxxP ln)( u=lnx; dv=P(x)dx

5) xdxxP alog)( ;log xu a dv=P(x)dx

6) arctgbxdxxP )( u=arctgbx; dv=P(x)dx

7) arcctgbxdxxP )( u=arcctgbx; dv=P(x)dx

8) bxdxxP arcsin)( u=arcsinbx; dv=P(x)dx

9) bxdxxP arccos)( u=arccosbx; dv=P(x)dx

10) bxdxeax cos Обидва рази за u вибирають або

показникову функцію, або тригонометричну

11) bxdxeax sin Обидва рази за u вибирають або

показникову функцію, або тригонометричну

Відзначимо також, що за допомогою методу інтегрування частинами можна вивести так звані рекурентні формули, які дають змогу звести деякі інтеграли до інтегралів того самого виду, але більш простих за своєю структурою.


Приклад 1 Знайти .ln2 xdxx Розв’язання. Поклавши, що u(x)=lnx, dv(x)=x2dx i застосувавши

формулу (25), одержимо

53

3;

;lnln 3

22

2

xdxxvdxxdvx

dxduxuxdxx dx

xxxx 13

ln3

33

CxxCxxxdxxxx )1ln3(91

331ln

331ln

33

332

3

.

Приклад 2 Знайти .3sin2 xdxx Розв’язання. Покладемо, що u=x2, dv=sin3xdx. Тоді

du=2xdx, .3cos31)3(3sin

313sin xxxdxdxv

За формулою (25) знаходимо

xdxxxxxdxx 23cos

313cos

313sin 22

.3cos323cos

31 2 xdxxxx

До останнього інтеграла знову застосуємо формулу інтегрування частинами. Для цього покладемо, що u=x, dv=cos3xdx, тоді

xxxdxdxvdxdu 3sin31)3(3cos

313cos,

i .3cos913sin

313sin

313sin

313sin

313sin

313cos xxxxdxxxxdxxxxdxx

Таким чином, остаточно будемо мати

.3cos

913sin

31

323cos

313sin 22 Cxxxxxxdxx

Cxxxxx 3cos23sin63cos9271 2 .

)2sin2(cos)2sin2(cos31 33 xxdeexx xx

dxxxeexx xx )2cos22sin2(31)2sin2(cos

31 33

.)2cos2(sin32)2sin2(cos

31 33 dxexxexx xx

Таким чином,

.2cos2sin942sin2cos

922cos2sin

312cos2sin 3333 dxexxexxexxdxexx xxxx

Розв`язавши одержане рівняння відносно вихідного інтеграла, будемо мати

54

)2sin22cos22cos32sin3(

91)2cos2(sin

941 33 xxxxedxexx xx ,

aбо

).2cos52(sin91)2cos2(sin

913 33 xxedxexx xx

Звідси остаточно одержимо:

Cxxedxexx xx )2cos52(sin131)2cos2(sin 33 .

1.7 Інтегрування раціональних функцій

Нагадаємо, що раціональною функцією називається функція виду

,)()(

xQxP

m

n (26)

де )(xPn і )(xQm – алгебраїчні многочлени з дійсними коефіцієнтами, причому 0)( xQm є тотожними. Якщо ,0)( CxQm то раціональна функція (26) буде цілою раціональною функцією (многочленом). Таку функцію інтегрують безпосередньо:

Cxna

xaxaxadxxaxaadxxQxP nnn

nm

n

13221010 1

...32

)...()()(

.

Раціональний дріб )()(

xQxP

m

n називається правильним, якщо степінь

многочлена )(xPn менший, ніж степінь многочлена )(xQm , тобто якщо mn і неправильним раціональним дробом в противному випадку, тобто якщо .mn

Неправильний раціональний дріб )()(

xQxP

m

n ( .mn ) можна завжди подати у

вигляді

,)()(

)()()(

xQxR

xTxQxP

m

k

m

n (27)

де )(xT – ціла раціональна функція (многочлен) і )()(

xQxR

m

k ( mk ) – правильний

раціональний дріб. У всіх чотирьох випадках вважаємо, що А, В, a,b,c – дійсні числа. Перераховані елементарні дроби називають також найпростішими

дробами І–го, ІІ–го, ІІІ–го і ІV–го типів. Розглянемо інтеграли від найпростіших дробів.

І .ln CaxAdxax

A

Як інтегрується ціла раціональна функція

уже відомо. Тепер розглянемо інтегрування правильного раціонального дробу

55

)()(

xQxP

m

n ( mn ). Насамперед покажемо, як інтегруються елементарні раціональні

дроби наступних типів:

I ;ax

A

II kax

A)(

, де k – ціле число, к>1;

ІІІ ,2 cbxaxBAx

де D=b2-4ac<0, тобто квадратний тричлен не має дійсних

коренів.

IV ,)( 2 kcbxax

BAx

де k– ціле число, k>1 і D=b2- 4ac<0.

II.

Ck

axAdxax

A k

k 1)(

)(

1

, де к≠1.

III.

dx

cbxaxa

AbBbaxa

A

baxcbxaxdxcbxax

BAx2

22

2)2(

22

acx

abx

dxa

AbBa

cbxaxaA

cbxaxdx

aAbBdx

cbxaxbax

aA

2

222 2

1ln22

22

cbxax

aA

ab

ac

abx

dxa

AbBa

cbxaxaA 2

2

222 ln

242

21ln

2

,

42

42ln

42

12

1

,

2

12

1

,

4

2

4

12

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

C

ab

ac

abx

ab

ac

abx

ab

aca

AbBa

C

abxa

AbBa

C

ab

ac

abx

arctg

ab

aca

AbBa

якщо b2-4ac=0

якщо b2-4ac<0

якщо b2-4ac>0.

56

IV.

dx

cbxaxa

AbBbaxa

A

dxcbxax

BAxkk )(

2)2(

222

kk cbxax

dxa

AbBdxcbxax

baxaA

)(2)(2

2 22

.

42

21

1)(

22

22

12

kk

k

ab

ac

abx

dxa

AbBak

cbxaxa

A

Останній інтеграл, як інтеграл виду ,

)( 22 kpudu можна знайти за

рекурентною формулою, згідно з якою

11222 2232

))(1(21

kkk Ikk

puku

pI .

Якщо )()(

xQxP - правильний раціональний дріб, де Р(х) і Q(x) – алгебраїчні

многочлени з дійсними коефіцієнтами і ,)...()()()()( 2

112

111

qxpxqxpxxxxxxQ k

k де kxx ,,1 - дійсні попарно різні нулі многочлена Q(x), а кожний тричлен

))((2iiii zxzxqxpx ),...,2,1( i з дійсними коефіцієнтами

відповідає парі комплексних спряжених нулів zi i iz многочлена Q(x) кратності i , причому ji zz для ji , ,)...(2... 11 nk

,04

2

ii qp ),,,1( i то існують дійсні числа

),,,2,1,,...,2,1()(ii kiA )(

jM i )(jN ),...,2,1,,...,2,1( jj такі, що

K

k

k

k

xxA

xxA

xxA

xxA

xQxP k

k

)()1(

1

)(1

1

)1(1 ...

)(......

)()()( 1

1

qxpxNxM

qxpxNxM

qxpxNxM

qxpxNxM

2

)()(

2

)1()1(

112

)(1

)(1

112

)1(1

)1(1 ...

)(......

)(

11

1

Правила інтегрування раціонального дробу

1) Якщо раціональний дріб неправильний, то виділяємо із нього цілу частину шляхом ділення многочлена чисельника на многочлен знаменника, тобто подаємо у вигляді

57

,)()()(

)()(

xQxRxT

xQxP

де )(xT – многочлен, а )()(

xQxR – правильний раціональний дріб.

2) Розкладаємо знаменник дробу на лінійні і квадратичні множники:

,)()()( 1111

21 qxpxxxxQ де ).,,2,1(,0

4

2

iqpi

i

3) Розкладаємо правильний раціональний дріб на елементарні (найпростіші) дроби.

Зауважимо, що кількість таких дробів буде дорівнювати кількості коренів многочлена Q(x), включаючи їх кратність, причому кожній парі комплексних спряжених коренів буде відповідати один дріб ІІІ– го типу або дробів IV– го типу, якщо - кратність пари комплексних спряжених коренів.

4) Звільняємося від дробових членів, помноживши обидві частини рівності на Q(x).

5) Обчислюємо невизначені коефіцієнти ,,,,,,,,, )()()1()1()(

1)1(

11

NMNMAA для чого прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і

правій частинах одержаної тотожності і розв`язуємо систему лінійних рівнянь відносно шуканих коефіцієнтів (число таких рівнянь повинно дорівнювати числу невідомих).

Зауважимо, що можна визначити коефіцієнти й іншим способом, надаючи в одержаній тотожності змінній х довільних числових значень, причому якщо змінній х надати значень простих коренів функції Q(x), то обчислення будуть найпростішими. Часто буває корисно комбінувати обидва способи обчислення коефіцієнтів.

6 ) Підставляємо знайдені значення коефіцієнтів в схему розкладу. Таким чином, інтегрування раціонального дробу зводиться до

знаходження інтегралів від многочлена і від елементарних (найпростіших) раціональних дробів.

Слід пам`ятати, що інтеграл від будь-якої раціональної функції завжди виражається в скінченному вигляді.


Приклад 1 Знайти .

23xdx

Розв`язання. Маємо інтеграл від елементарного дробу І– го типу. Покладемо 3x+2=t, тоді 3dx=dt i тому

CxCttdt

xdx

xdx 23ln

31ln

31

31

233

31

23.

58


)21( 7xdx

Розв`язання. Маємо інтеграл від елементарного дробу ІІ– го типу.

Оскільки dxdxxxd 2)21()21( i ,)21()21(

1 77

xx

то

)21()21(21)2()21(

21

)21(77

7 xdxdxxx

dx

Cx

Cx

6

6

)21(121

6)21(

21 .


544 2 xxdx

Розв`язання. Маємо інтеграл від елементарного дробу ІІІ – го типу, де А=0, В=1, .06442 acb Виділивши повний квадрат із квадратного тричлена 4х2+4х+5, одержимо табличний інтеграл (17). Дійсно

4)12(2

21

212

4)12(544 222 xdx

dxduxu

xdx

xxdx

CxCx

212arctg

41

212arctg

21

21 .


32287

2 dxxxx

Розв`язання. Як і в попередньому прикладі, маємо також інтеграл від елементарного дробу, де А=-8, В=7, D=b2-4ac=-20<0. Спочатку виділимо похідну знаменника в чисельнику дробу. Для цього чисельник x87 подамо у вигляді 3)24(287 xx .Тоді

322

3322

2423223)24(2

32287

2222 xxdxdx

xxxdx

xxxdx

xxx

41

23

212

3)322ln(2

232

3)322ln(22

2

2

2

x

dxxxxx

dxxx

45

212

3)322ln(2 22

x

dxxx

Cx

xx5

212

arctg5

223)322ln(2 2

Cxxx

5

12arctg5

3)322ln(2 2 .

59

Тут dx

xxx

32224

2 взято за формулою (6) таблиці інтегралів, вважаючи

що u=2x2-2x+3 i враховуючи, що 2х2-2х+3>0 для будь-якого х, а

45

21 2

x

dx – за формулою (17).

Приклад 7 Знайти .4

83

45

dxxx

xx

Розв`язання. Підінтегральний дріб неправильний, бо степінь многочлена чисельника більший, ніж степінь многочлена знаменника. Тому виділимо спочатку цілу частину, поділивши многочлен чисельника на многочлен знаменника

x5+x4-8 x3-4x – x5–4x3 x2+x+4 (ціла частина)

x4+4x3-8 – x4–4x2 4x3+4x2-8 – 4x3–16x

4x2+16x-8 (остача). Далі подамо підінтегральний дріб у вигляді суми цілої частини і

правильного дробу, тобто

.4

816444

83

22

3

45

xxxxxx

xxxx

Тоді

dx

xxxxxxdx

xxxx

481644

48

3

22

3

45

.4

244423 3

223

dxxx

xxxxx

В інтегралі, який залишився, підінтегральний дріб (правильний і нескоротний) розкладемо на елементарні дроби. Оскільки знаменник дробу х3-4х=х(х2-4)=х(х-2)(х+2) має три прості корені: х=0, х=2 і х= -2, то його можна подати у вигляді суми трьох дробів І типу, тобто

.22)2)(2(

242

xC

xB

xA

xxxxx

Звільняючись від дробових членів, одержимо: х2+4х-2=А(х-2)(х+2)+Вх(х+2)+Сх(х-2), або х2+4х-2=(А+В+С)х2+(2В-2С)х-4А. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах

одержаної тотожності, одержимо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів А, В, С:

60

.24,422,1

0

2

ACBCBA

xxx

Розв`язавши цю систему, знаходимо .43,

45,

21

CBA

Слід відзначити, що тут коефіцієнти А, В і С простіше було б знайти способом підстановки в тотожність частинних значень х, в якості яких доцільно взяти корені знаменника, тобто:

)2()2()2)(2(242 xCxxBxxxAxx

звідки: .43,

45,

21

CBA Таким чином,

,2

143

21

451

21

424

3

2

xxxxxxx а шуканий інтеграл

dx

xxxxxxxdx

xxxx

42444

2348

3

223

3

45

dx

xxxxxx

21

43

21

451

2144

23

23

2

32

52423

23

xdx

xdx

xdxxxx

Cxxxxxx 2ln32ln5ln24

23

23

.

1.8 Інтегрування ірраціональних функцій

Інтеграл від будь-якої раціональної функції, як було показано вище, завжди виражається в скінченному вигляді, чого не можна сказати про інтеграл від функції ірраціональної. Однак можна вказати на деякі підкласи ірраціональних функцій, інтеграли від яких виражаються у скінченному вигляді.

Загальний спосіб, за допомогою якого вдається знайти інтеграл від ірраціональної функції, полягає в тому, що внаслідок тієї чи іншої підстановки інтеграл від ірраціональної функції зводиться до інтеграла від функції раціональної. Тому цей спосіб називають раціоналізацією заданого інтеграла.

Розглянемо підкласи ірраціональних функцій, інтеграли від яких виражаються в скінченному вигляді.

1 Інтеграл виду

,,,,, 2

2

1

1

dxxxxxR p

p

nm

nm

nm

де R- раціональна функція, mi i

ni >1- натуральні числа (і=1, 2,…, р). Даний інтеграл раціоналізується за

61

допомогою підстановки х=tk, де к- найменший спільний знаменник дробів i

i

nm

(i=1, 2, …,p).


,,...,,

1

1

dxdcxbax

dcxbaxxR

p

p

n

m

nm

де R- раціональна

функція, mi i ni >1- натуральні числа (і=1, 2,…,р) і визначник 0dcba

(a, b, c,

d- сталі дійсні числа). Цей інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки

,ktdcxbax

де к- найменший спільний знаменник дробів

i

i

nm (і=1, 2,…,р).


.2 cbxax

dx Даний інтеграл зводиться до табличного

шляхом виділення повного квадрата із квадратного тричлена.


.2

dxcbxax

BAx Для знаходження даного інтеграла

спочатку виділяємо в чисельнику похідну квадратного тричлена ах2+вх+с, після чого розкладаємо інтеграл на суму двох інтегралів:

dxcbxax

aAbBbax

aA

dxcbxax

BAx22

2)2(

2

.

22

2 22 cbxaxdx

aAbBdx

cbxaxbax

aA

Перший із одержаних інтегралів є табличний інтеграл (4), а другий розглянутий в п.3.


.)( 2 cbxaxx

dxm

Підстановкою t

x 1 зводять

даний інтеграл до розглянутого в п. 3. 6 Інтеграл виду ,)( dxbxax pnm де m, n i p- раціональні числа, 0a i

0b називають інтегралом від диференціального бінома. Даний інтеграл виражається в скінченному вигляді у таких трьох випадках:

1) р- ціле число;

2) n

m 1 ціле число;

3) pn

m 1 ціле число,

причому в усіх трьох випадках ціле число може бути додатним, від`ємним, або дорівнювати нулю.

62

Перший випадок: р- ціле число. Підстановка x=tk,де к- найменший спільний знаменник дробів m i n, раціоналізує інтеграл.

Другий випадок: n

m 1 ціле число. У даному випадку інтеграл

раціоналізується підстановкою a+bxn=ts, де s- знаменник числа р.

Третій випадок: pn

m 1 ціле число. У цьому випадку для

раціоналізації інтеграла застосовують підстановку ,sn tbax де s- знаменник числа р.

7 Інтеграл виду ,, 2 dxcbxaxxR де R- раціональна функція. Шляхом виділення повного квадрата з квадратного тричлена ax2+bx+c цей інтеграл зводиться до одного із трьох інтегралів:

1) ;, 22 dzzmzR

2) ;, 22 dzzmzR

3) ., 22 dzmzzR Дані інтеграли знаходять відповідно за допомогою підстановок:

1) z=m sint; 2) z=m tgt;

3) .cos t

mz



.43 2 xx

dxx

Розв`язання. Підінтегральна функція є раціональною функцією від дробових степенів х. Отже, маємо інтеграл першого типу від ірраціональної функції. Тут n1=2, n2=3, n3=4, тому к=12 (найменше спільне кратне чисел 2, 3 і 4). Покладемо, що x=t12. Тоді

1

12)1(

121212 5

14

53

1711

38

6

11

12

43 2 tdtt

ttdttdtt

ttt

dttdxtx

xxdxx

63

4

49

9

49

5

914

14

_

1

t

ttt

ttt

ttt

1

55112

112 5

449

5

449

tdttdttdttdt

tttt

.1ln22561ln

51

51012 55105

510

CtttCttt

Повертаючись до змінної х, остаточно будемо мати

Cxxxxx

dxx 1ln2256 12 512 56 5

43 2.


.12)12(3 2 xx

dx

Розв`язання. Маємо інтеграл другого типу від ірраціональної функції. Тут: n1=3, n2=2, тому к=6. Використовуючи підстановку 2x+1=t6, звідки

)1(21 6 tx i dx=3t5dt, одержимо

dtt

tt

dtttt

dttxx

dx1

1131

3312)12(

22

34

5

3 2

Ctttdt

tt 1ln

23

1113

2

.

Оскільки ,126 xt то повертаючись до змінної х, будемо мати

.112ln12

2123

12)12(66

3

3 2Cxxx

xxdx


.25

1182

dxxx

x

Розв`язання. Спочатку в чисельнику виділимо похідну підкореневого виразу, після чого розкладемо інтеграл на суму двох інтегралів. Тоді

dxxx

x225

118

.

253

25224

22 xxdxdx

xxx

Перший з одержаних інтегралів є табличним інтегралом (4), а другий зведеться до табличного інтеграла (19) шляхом виділення повного квадрата з квадратного тричлена 5+2х-х2. Виділяючи повний квадрат, будемо мати

64

5+2х-х2=-(х2-2х-5)=-(х2-2х+1-6)=6-(х-1)2, отже,

222 )1(6

325

22425

118x

dxdxxx

xdxxx

x

Cxxx

61arcsin3258 2 .


.23)1( 2xxx

dx

Розв`язання. Покладемо, що ,11t

x тоді 11

tx i .2t

dtdx Отже,

121223111123123)1(2

2

2

2

tttt

dt

ttt

tdt

xxxdx

1)2(

221

1)2(1414222

2

tdt

tdt

tdt

tt

dt

.1232ln

211

114

12ln

21142ln

21 22

2 Cx

xxCxx

Ctt

1.9 Інтегрування тригонометричних функцій

Інтеграли від тригонометричних функцій, як і від функцій ірраціональних, не завжди можна знайти. Однак можна вказати на підклас таких функцій, інтеграли від яких виражаються в скінченному вигляді. До цього підкласу тригонометричних функцій входять тригонометричні функції, що є раціональними функціями від sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx. Оскільки tgx, ctgx, secx, cosecx самі виражаються раціонально через sinx i cosx, то цей підклас можна охарактеризувати як підклас тригонометричних функцій, які є раціональними функціями від sinx i cosx.

І Інтеграл виду ,)cos,(sin dxxxR де R –раціональна функція від sinx i cosx за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки

tx

2tg x

зводиться до інтеграла від раціональної функції. При цьому:

65

,1

2

2tg1

2tg2

sin 22 t

tx

x

x

2

2

2

2

11

2tg1

2tg1

costt

x

x

x

, 21

2,arctg2t

dtdxtx

.

Слід також відзначити, що в силу своєї універсальності підстановка

tx

2tg часто приводить до занадто громіздких викладок, що ускладнює

знаходження інтеграла. Тому в окремих випадках доцільно застосовувати інші підстановки, які також раціоналізують інтеграл.

Нижче вкажемо випадки, коли мета буде досягнута за допомогою більш простих підстановок.

ІІ Інтеграл виду ,)cos,(sin dxxxR де R – раціональна функція від sinx і cosx.

А) Якщо виконується рівність R(-sinx, cosx) - R(sinx, cosx),то вигідно застосувати підстановку cosx=t. Б) Якщо виконується рівність R(sinx, -cosx) - R(sinx, cosx) то доцільно застосувати підстановку sinx=t. В) Якщо виконується рівність R(-sinx, -cosx)R(sinx, cosx) то застосовують підстановку tgx=t або ctgx=t, при цьому, якщо tgx=t, то

,1tg1

tgsin22 t

tx

xx

,1

1tg11cos

22 txx

21

,arctgt

dtdxtx

Зокрема, А) xdxxR cos)(sin підстановкою sinx=t зводиться до .)( dttR

Б) xdxxR sin)(cos підстановкою cosx=t зводиться до .)( dttR

В) dxtgxR )( підстановкою tgx=t зводиться до .

1)( 2t

dttR

ІІІ Інтеграл виду xdxx nm cossin . А) Якщо m i n –цілі числа і принаймні одне з цих чисел є непарним

додатним числом, наприклад m=2k+1, то xdxxxxdxx knnm sinsincoscossin 2

xdxxdxxx knkn coscos1cossincos 22

.)1(cos 2 dttttx kn Якщо ж непарним буде число n=2p+1>0, то треба застосувати

підстановку t=sinx. Тоді xdxxxxdxx pmnm cos)(cossincossin 2

.)1(sin)sin1(sin 22 dtttxdxx pmpm Б) Якщо обидва показники m i n –парні невід`ємні числа(зокрема, один із

них може бути рівним нулю), то доцільно застосувати формули:

66

,2cos121sin 2 xx .2cos1

21cos2 xx

В) Якщо обидва показники – парні, причому принаймні один із них від`ємний, то потрібно виконати заміну tgx=t або ctgx=t.

Зауважимо, що інтеграли виду xdxx nm cossin дуже зручно знаходити за допомогою рекурентних формул.

IV Інтеграл виду xdxmtg або ,ctg xdxm де m - ціле додатне число. Для знаходження такого інтеграла застосовують формулу

1cos

11sectg 222

xxx (або 1

sin11cosecctg 2

22 x

xx ),

за допомогою якої послідовно знижується степінь тангенса або котангенса.

V Інтеграли виду ,cossin bxdxax ,coscos bxdxax .sinsin bxdxax Щоб знайти ці інтеграли, треба перейти від добутку тригонометричних

функцій до суми за відомими формулами:

,)sin()sin(21cossin xbaxbabxax

,)cos()cos(21sinsin xbaxbabxax (28)

.)cos()cos(21coscos xbaxbabxax


Приклад 1 Знайти .cossin

4

2

dxxx

Розв`язання. Тут маємо інтеграл ІІІ-го типу (випадок В), де m=2, n=-4<0 i парне, тому

2

22

2

2

22

2

22

2

4

2

1)1(

11

11cos,

1sin

1,arctg,tg

cossin

tdt

t

tt

tx

ttx

tdtdxtxtx

dxxx

CxCtdtt3

tg3

332 .

Приклад 2 Знайти .tg 5 xdx Розв`язання. Маємо

2

5

2

5

11

arctg,tg

tdtt

tdtdx

txtxxdxtg

67

t5 t2+1 t5+t3 t3–t –t3 = = – –t3–t

t

CxxxCtttdt

tttt )1ln(tg

21

2tg

4tg)1ln(

21

2412

242

24

23

CxxxCx

xx 224

2

24

)ln(cos21

2tg

4tg

cos1ln

21

2tg

4tg

Cxxx cosln

2tg

4tg 24

.


)cos1(sinsin1 dx

xxx

Розв`язання. Підінтегральна функція є раціональною функцією від sinx i

cosx. Тому, виконавши підстановку ,2

tg tx одержимо

2

2

2

2

11cos,

12sin

12,

2tg

)cos1(sinsin1

ttx

ttx

tdtdxtx

dxxx

x

dttt

dtttt

tt

tt

tt

tdt

tt

2121

)11(21

111

12

12

121

22

2

2

2

2

22

CxxxCttt

2

tg2

tg41

2tgln

212

2ln

21 2

2

.

Приклад 4 Знайти .3sincos xdxx Розв`язання. Маємо інтеграл V-го типу.

xdxxdxdxxxxdxx 2sin214sin

212sin4sin

213sincos

Cxx 2cos414cos

81 .

68

2 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

2.1 Поняття інтегральної суми і визначеного інтеграла

Нехай на відрізку ba; )( ba осі Оx задана неперервна функція f(x). Відрізок ba; розіб`ємо на n частин, довжини яких можуть бути довільними. Кожний такий відрізок будемо називати частковим. Абсциси точок розбиття позначимо через .... 1210 bxxxxxa nn

Довжину часткового відрізка, рівну різниці хк-хк-1 (к=1,2,…,n), позначимо через kx : .1 kkk xxx

На кожному частковому відрізку оберемо довільну точку, абсцису якої позначимо через k (к=1,2,…,n), обчислимо )( kf – значення заданої функції f(x) в цій точці. Знайдемо добуток числа )( kf на довжину kx відрізка, на якому взято точку k , тобто kk xf )( . Складемо суму таких добутків:

.)()(...)()(1

2211

n

kkknn xfxfxfxf (29)

Така сума називається інтегральною сумою для функції f(х) на відрізку .;ba .

За означенням, границя інтегральної суми (29), тобто

n

kkk

nx

xfk 1)(

0max,)(lim

якщо вона існує і не залежить ні від способу розбиття відрізка ba; на часткові, ні від вибору на них точок k , називається визначеним інтегралом функції f(x) на відрізку ba; і позначається символом

b

a

dxxf .)(

Таким чином,

n

k

b

akk

nx

dxxfxfk 1)(

0max,)()(lim

де, як і у невизначеному інтегралі, f(x) – підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз,

x – змінна інтегрування. Число а називають нижньою межею інтегрування, число b – верхньою

межею інтегрування. Відзначимо, що величина визначеного інтеграла залежить лише від виду

підінтегральної функції і від меж інтегрування а і b. Нічого не зміниться, якщо змінну інтегрування позначити іншою буквою, тобто

b

a

b

a

b

a

b

a

dzzfdttfduufdxxf .)()()()(

69

Гарантом існування цієї границі, тобто визначеного інтеграла b

a

dxxf )( , є

неперервність функції f(x) на відрізку ba; .

2.2 Формула Ньютона –Лейбніца

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; і F(x) – будь-яка первісна для f(x) на цьому відрізку, то має місце формула

b

a

aFbFdxxf ).()()( (30)

Формула (30) має назву формули Ньютона – Лейбніца. Вона є основною формулою інтегрального числення. Для зручності користування формулу (30) записують у вигляді

).()()()( aFbFab

xFdxxfb

a

2.3 Властивості визначеного інтеграла

1) За означенням a

b

b

a

dxxfdxxf .)()(

2) За означенням a

a

dxxf 0)( .

3) Якщо 0)( xf для x ba; , то b

a

b

a

dxdxxf 00)( .

4) Якщо 1)( xf для х ba; , то b

a

b

a

abdxdxxf )( .

5) Якщо f(x) – інтегровна функція на відрізку ba; і с– стала, то на цьому

відрізку інтегровна і функція сf(x), причому b

a

b

a

dxxfcdxxcf ,)()( тобто сталий

множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

6) Якщо f1(x) і f2(x) – інтегровні функції на відрізку ba; , то на цьому

відрізку інтегровні і функції f1(x) f2(x), причому

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxfxf .)()()()( 2121

70

7) Якщо f(x) – інтегровна функція на відрізку ba; і f(x) 0 для

bax ; , то

b

a

dxxf .0)(

8) Якщо f(x) і )(x – інтегровні функції на відрізку ba; і )()( xxf для

bax ; , то

b

a

b

a

dxxdxxf .)()(

9) Якщо f(x) – інтегровна функція на відрізку, то на цьому відрізку інтегровна і функція )(xf , причому

b

a

b

a

dxxfdxxf .)()(

10) Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку ba; і a<c<b, то ця функція інтегровна і на відрізках ca; і bc; , причому

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( .

Зауважимо, що має місце й обернене твердження. Цю властивість називають адитивною властивістю визначеного інтеграла.

11) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; , де a<b, і Mxfm )( для bax ; , то

b

a

abMdxxfabm ).()()(

Тут m – найменше, а М –найбільше значення функції f(x) на відрізку ba; . Ці нерівності дають змогу оцінити значення визначеного інтеграла.

12 Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; , то існує точка bac ; така, що

b

a

abcfdxxf ).)(()( (31)

При цьому значення функції f(x) в точці с називають середнім значенням цієї функції на відрізку ba; .


Приклад 1 Обчислити

16

0

.9 xxdx

71

Розв`язання. Згідно з формулою (30) і властивостями 5 і 6 визначеного інтеграла, будемо мати

16

0

16

0

16

0 99

)9)(9()9(

9dx

xxxxdx

xxxxxx

xxdx

0

1632)9(

32

919

91 2

32316

0

16

0

xxdxxdxx

12)2764125(27291625

272

016

)9(272 2

323

23

23

23

xx .

34ln

51

83ln

21ln

51

25.0ln

51

3

2

x

x .

2.4 Заміна змінної у визначеному інтегралі

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; і )(tx -функція неперервна зі своєю похідною першого порядку на відрізку ; , причому

bta )()()( для t , то

b

a

dtttfdxxf

.)()()( (32)

Формулу (32) називають формулою заміни змінної для визначеного інтеграла.

Із сказаного випливає, що функція )(tx на відрізку ; повинна бути монотонною або іншими словами всі значення функції )(t повинні знаходитися на відрізку ba; .

Зауважимо, що заміна змінної у визначеному інтегралі вимагає обережності і обов'язкового виконання всіх перерахованих умов, накладених на функцію

).(tx Відзначимо також, що виконавши заміну змінної у визначеному інтегралі

для його обчислення, немає необхідності переходити до початкової змінної, як це робиться при знаходженні невизначеного інтеграла, а досить лише перерахувати межі інтегрування для нової змінної.

Для цього до рівності )(tx замість х підставляємо по черзі нижню межу a і верхню межу b інтегрування і розв`язуємо рівняння )(ta і )(tb . Знайдені значення t і будуть відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування для нової змінної інтегрування. Якщо кожне з рівнянь )(ta і

)(tb задовольняє не одно, а декілька значень t, то за і можна прийняти будь –яке із них. Однак вільність вибору обмежується вимогою, щоб значення функції )(t не виходили із відрізка ba; , на якому визначена і неперервна підінтегральна функція f(x).

72

Застерігаємо, що невиконання всіх указаних вимог, накладених на функцію )(t , може привести до грубих помилок. У багатьох випадках доводиться замість підстановки )(tx , покладати, що

)(xt . У цьому випадку новими межами інтегрування є )(a і )(b . Якщо з )(xt випливає, що )(tx , то для функції )(t повинні виконуватися всі вказані вище умови.


Приклад 1 Обчислити інтеграл 1

0

22 .1 dxxx

Розв`язання. Покладемо, що х=sint, .2

;0

t Тут функція 22 1)( xxxf

неперервна на відрізку ,1;0 а функція х=sint неперервна разом зі своєю

похідною tx cos на відрізку

2;0 причому 1

2sinsin0sin0

t для

.2

0 t Тому

2

0

2

0

2221

0

2

0

2222 2sin41cossincossin1sin1

tdttdtttdtttdxxx

160

28104sin

410

81

24sin

41

2814sin

41

81)4cos1(

81 2

0

2

0

ttdtt

Зауважимо, що тут можна було б взяти і інші межі інтегрування,

наприклад, 2 і 2

5 , бо 1sin0 t для 2

52 t і не можна взяти,

наприклад і 2

3 бо для 2

3 t функція sint змінюється від 0 до –1.

2.5 Інтегрування частинами для визначеного інтеграла

Якщо функції u(x) і v(x) неперервні разом із своїми похідними першого порядку на відрізку ba; , то

b

a

b

a

b

avduuvudv . (33)

Формулу (33) називають формулою інтегрування частинами для визначеного інтеграла.

Застосування формули (33) мало чим відрізняється від застосування відповідної формули для невизначеного інтеграла. Тому обмежемося

73

роз`язанням кількох прикладів.


Приклад 1 Обчислити 1

0

.dxxe x

Розв`язання. Функції u=x і v=-e-x неперервні разом із своїми похідними 1u і xev на відрізку 1;0 , отже за формулою (33)

1

0

1

0

1

0;;

dxeexedxevdxedv

dxduxudxxe xx

xxxx

.2112 10111

0

1

eeeeeee x

2.6 Обчислення визначених інтегралів, яке грунтується на

властивостях підінтегральної функції

1) Якщо f(x) непарна функція, тобто f(-x)=-f(x), то

a

a

dxxf 0)( .

2) Якщо f(x) парна функція, тобто f(-x)=f(x), то

a

a

a

dxxfdxxf0

.)(2)(

3)Якщо функція f(x) періодична з періодом Т, тобто f(x+T)=f(x), то

b

a

nTb

nTa

dxxfdxxf ,)()(

де n – ціле число.


Приклад 1 Обчислити

7

76

4

.2

sin dxx

xx

Розв`язання. Оскільки

2

sin)( 6

4

xxxxf функція непарна, бо

),(2

sin2)(

)sin()()(6

4

6

4

xfx

xxx

xxxf

а відрізок інтегрування 7;7 – симетричний, то відразу робимо висновок, що заданий інтеграл дорівнює нулю.

74

3 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

3.1 Поняття невласногоінтеграла

Невласними інтегралами називають інтеграли з нескінченними проміжками інтегрування (інтеграли з нескінченними межами інтегрування) і інтеграли від необмежених функцій (інтеграли від функцій, які мають нескінченний розрив).

3.2 Невласні інтеграли з нескінченними проміжками інтегрування

Нехай функція f(x) визначена на проміжку ;a і інтегровна на відрізку

ba; при всякому b>а. Тоді визначений інтеграл b

a

dxxf )( існує при всякому

ab і, отже, він є деякою функцією від b, визначеною на проміжку );a ,

тобто b

a

dxxfbI .)()(

Якщо функція I(b) при b має скінченну границю А, то цю границю називають невласним інтегралом від функції f(x) на проміжку ;a і

позначають наступним чином:

a

dxxf .)( Таким чином, за означенням

b

ab

a

dxxfdxxf .)(lim)( (34)

При цьому вважають, що невласний інтеграл

a

dxxf )( збігається (до

числа А).

Якщо ж функція b

a

dxxfbI )()( при b не має скінченної границі,

то в такому разі вважають, що невласний інтеграл

a

dxxf )( розбігається.

Аналогічно визначається невласний інтеграл вигляду

b

dxxf .)( Якщо

функція f(x) визначена на проміжку b; і інтегровна на відрізку ba; при всякому а<b, то за означенням

b

aa

b

dxxfdxxf .)(lim)( (35)

Невласний інтеграл

b

dxxf )( називають збіжним, якщо існує скінченна

границя, що стоїть у правій частині рівності (35) і розбіжним, якщо такої скінченної границі не існує.

75

Нарешті, якщо функція f(x) визначена на проміжку ),;( то за означенням,

b

aba

c

c

dxxfdxxfdxxfdxxf .)(lim)()()( (36)

де с – будь-яке стале число, причому невласний інтеграл

dxxf )(

називають збіжним, якщо збігаються обидва невласних інтеграли, які стоять у правій частині рівності (36). Якщо ж принаймні один з цих інтегралів

розбігається, то невласний інтеграл

dxxf )( називають розбіжним.

3.3 Ознаки збіжності невласних інтегралів з нескінченними

проміжками інтегрування

1) Якщо f(x) і )(x –дві невід`ємні функції на проміжку ,;a інтегровні на відрізку ba; при всякому b>a і якщо )()( xxf для

,1 xaa то із збіжності невласного інтеграла

a

dxx ,)( випливає

збіжність невласного інтеграла

a

dxxf ,)( а із розбіжності невласного інтеграла

a

xdxf )( випливає розбіжність невласного інтеграла

a

dxx .)(

2) Якщо при x cxfx

x

)()(lim , причому c>0, c і 0)( xf для

всіх достатньо великих х, то невласні інтеграли

a

dxxf )( i

a

dxx)( або

обидва збігаються, або обидва розбігаються.

3) Якщо збігається

a

dxxf ,)( то збігається і

a

dxxcf ,)( де с – величина

стала. 4) Якщо функція f(x) визначена на проміжку ;a і інтегровна на

відрізку ba; при всякому b>а, то із збіжності невласного інтеграла

a

dxxf )(

випливає збіжність і невласного інтеграла

a

dxxf ,)( причому

aa

dxxfdxxf .)()(

76

Зауважимо, що невласний інтеграл

a

dxxf )( називають абсолютно

збіжним, якщо збігається інтеграл

a

dxxf )( .

Якщо ж невласний інтеграл

a

dxxf )( збігається, а інтеграл dxxfa

)(

розбігається, то невласний інтеграл

a

dxxf )( називають умовно збіжним.

5) Нехай функція f(x) невід`ємна на проміжку ;a (a>0) і інтегровна на відрізку ba; при будь-якому b>a. Якщо

xcxf )( для ,1 xaa

де с – константа, а число ,1 то невласний інтеграл

a

dxxf )( збігається.

Якщо ж x

cxf )( для ,1 xaa де с –константа, а число ,1

то невласний інтеграл

a


3.4 Заміна змінної у невласному інтегралі

Нехай функція f(x) визначена і неперервна при .ax Якщо функція )(tx , яка визначена на проміжку t ( і можуть бути і

нескінченними), має неперервну похідну 0)( t і att

)(lim0

,

)(lim0

tt

, то

a

dtttfdxxf .)()()(


Приклад 1 Обчислити невласний інтеграл

23lne xx

dx .

Розв`язання. За означенням,

.81

81

ln21lim

ln21lim

lnlim

ln 2233222

bxxxdx

xxdx

b

b

eb

b

eb

e

Отже, даний інтеграл збігається.


0

sin xdxx .

Розв`язання. За означенням,

77

b

b xvxdxdvdxduxu

xdxxxdxx00 cos;sin

;sinlimsin

b

b

b

bxxxxdxxx

00sincoslimcoscoslim .sincoslim bbb

b

Оскільки остання границя не існує, то невласний інтеграл розбігається.

Приклад 3. Дослідити на збіжність невласний інтеграл

14

.1 xdx

Розв`язання. Підінтегральна функція 01

1)(4

xxf на проміжку ;1

(a=1>0) i 2

42

44

4

111

1

111

11)(

xx

xx

xxxf

при .x

У силу ознаки 5 збіжності невласних інтегралів, вихідний інтеграл

141 x

dx збігається, бо 24

11

1)(xx

xf

i c=1 (c=const), .12

3.5 Невласні інтеграли від необмежених функцій

Якщо функція f(x) не обмежена в будь-якому околі точки c відрізка ba; і неперервна при cxa і ,bxc то за означенням

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf2

1

21

.)(lim)(lim)(00

(37)

Де 1 і 2 змінюються незалежно одне від одного. У випадку с=в або с=а:

b

a

b

a

dxxfdxxf )(lim)(0

, (38)

або

b

a

b

a

dxxfdxxf

.)(lim)(

0 (39)

Якщо границі, які стоять у правих частинах рівностей (37), (38), (39),

існують і скінченні, то невласний інтеграл b

a

dxxf )( називають збіжним.

Якщо ж ці границі не існують або дорівнюють нескінченності, то

невласний інтеграл b

a


Підкреслимо, що невласний інтеграл b

a

dxxf )( , виражений рівністю

(37), називають збіжним лише в тому випадку, коли обидві границі правої частини існують і скінченні.

78

Якщо ж принаймні одна з цих границь не існує або дорівнює

нескінченності, то невласний інтеграл b

a


Зауважимо, що позначення невласного інтеграла від необмеженої функції за формою нічим не відрізняється від позначення визначеного інтеграла. Тому,

щоб розрізнити, яким буде інтеграл b

a

dxxf )( : визначеним чи невласним, треба

перевірити, чи буде функція f(x) інтегровною на відрізку ba; . Якщо функція f(x) необмежена на проміжку da; або на проміжку ,;ba

або в будь-якому околі точки c відрізка ,;ba то інтеграл b

a

dxxf )( буде

невласним. Відзначимо також, що коли функція f(x) необмежена в будь-якому околі

точки c відрізка ba; й існує неперервна на ba; функція F(x) така, що )()( xfxF при ,cx то

b

a

aFbFdxxf ).()()( (40)

3.6 Ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених функцій

1) Якщо f(x) і )(x – дві невід`ємні необмежені функції на піввідрізку ,;ba інтегровні на кожному відрізку ,; ba де ,0 ab і якщо

)()( xcxf для ,1 bxaa

де с–константа, то зі збіжності невласного інтеграла b

a

dxx)( випливає

збіжність невласного інтеграла ,)(b

a

dxxf а з розбіжності невласного інтеграла

b

a

dxxf )( випливає розбіжність невласного інтеграла b

a

dxx)( .

2) Нехай f(x) невід`ємна і необмежена на піввідрізку ba; і інтегровна на кожному відрізку ba; , де ab 0 .

Якщо існують такі числа baa ;1 , M>0 і 10 , що

xbMxf

)(0 для bxa 1 , то невласний інтеграл b

a

dxxf )(

збігається.

Якщо існують такі числа baa ;1 , M>0 i 1 , що xb

Mxf

)(

79

для bxa 1 , то невласний інтеграл b

a


3) Нехай f(x) визначена на проміжку ba; , необмежена на цьому проміжку і інтегровна на кожному відрізку ba; , де ab 0 .

Якщо збігається невласний інтеграл b

a

dxxf )( , то збігається і невласний

інтеграл b

a

dxxf )( . Відзначимо, що в цьому випадку невласний інтеграл

b

a

dxxf )( називають абсолютно збіжним. Якщо ж невласний інтеграл b

a

dxxf )(

збігається, а невласний інтеграл b

a

dxxf )( розбігається, то невласний інтеграл

b

a

dxxf )( називають умовно збіжним.

Як бачимо, ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених функцій багато в чому аналогічні відповідним ознакам збіжності невласних інтегралів з нескінченними проміжками інтегрування.



1

12

.1 xdx

Розв`язання. Підінтегральна функція 21

1)(x

xf

не визначена в

точках x1= –1 і x2=1, причому при 1x і 1x функція 21

1)(x

xf

необмежено зростає. Таким чином, маємо невласний інтеграл від необмеженої функції. За означенням

0

1

1

02020

1

1

0

1

1

0222

1

2

21 1lim

1lim

111

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

2

211

1

00

0

10arcsinlimarcsinlim

xx

0arcsin)1arcsin(lim)1arcsin(0arcsinlim 2010 21

.2

21arcsin21arcsin1arcsin

Зауважимо, що замість точки x=0 можна було б взяти будь-яку іншу внутрішню точку відрізка .1;1

80

4 ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

4.1 Площа плоскої фігури

Нагадаємо, що плоска фігура, обмежена прямими у=0, х=а, х=b і графіком неперервної і невід`ємної на відрізку ba; функції y= f(x) (рисунок1), називається криволінійною трапецією.

Площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

b

a

dxxfS .)( (41,a)

Якщо плоска фігура обмежена двома кривими: yB=f2(x) і yH=f1(x), причому на відрізку ba; f2(x) >f1(x) і двома прямими: х=а і х=b (рис.2), то її площа обчислюється за формулою

b

aHB dxyyS . (41,б)

Зауважимо, що формула (41,а) є окремим випадком формули (41,б) за умови, що ун=0 .

Якщо плоска фігура обмежена кривими: ),(2 yxn )(1 yxl і прямими: y=c i y=d, причому c d і )()( 12 yy на відрізку dc; (рисунок 3), то її площа обчислюється за формулою

d

cлп dyxxS . (41,в)

Якщо плоска крива задана параметричними рівняннями

)(),(tytx

i ,21 ttt

то площа фігури обчислюється за формулою

2

1

.)(t

tt dtxtyS (41,г)

y

x b a 0

Рисунок 1

)(xfy

y

x b a 0

115

)(1 xfy

Рисунок 2

y

x

d

c

0 )(1 yx )(2 yx

Рисунок 3

81

I. В

А

О

Рисунок 4

І, нарешті, якщо неперервна крива задана в полярних координатах рівнянням

),(rr то площа криволінійного сектора ОАВ (рис.4), обмеженого

дугою кривої ),(rr і двома радіусами ОА і ОВ, які відповідають значенням 1 і 2 , обчислюється за формулою

.)(21 2 drS (41,д)

Зауважимо, що розв`язання геометричної задачі необхідно починати з побудови рисунка.

Розв´язання задач

Задача 1 Обчислити площу фігури, обмеженої лінією у=х(х–1)2 і віссю Оx.

Розв`язання. Функція у=х(х–1)2 визначена для всіх дійсних значень х. Точки перетину графіка функції з віссю Оx знаходимо із системи рівнянь

,0

,)1( 2

yxxy

звідки х1=0, у1=0 і х2=1, у2=0.Таким чином, графік функції у=х(х–1)2 перетинає вісь Оx в точках (0;0) і (1;0). Не важко переконатися в тому, що функція у=х(х–1)2 має екстремум в

точках

274;

31 і (1;0), а також точку

перегину

272;

32 . Читачеві пропонуємо перевірити це самостійно.

На основі цих даних будуємо графік функції (рисунок 5).Із рисунка5 видно, що фігура обмежена зверху лінією у=х(х–1)2, знизу у=0 і проекціюється на вісь Ох у відрізок 1;0 . Отже, ув=х(х–1)2, ун=0, а=0, b=1. Таким чином, за формулою (41,б) маємо

1

0

1

0

1

0

234232 .

121

21

32

41

232

42)1( xxxdxxxxdxxxS

4.2 Об`єм тіла

y = 0 1 x

у=х(х–1)2

Рисунок 5

y

82

Якщо Q(x) – площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі Оx в точці з абсцисою х (рис.6), то об`єм тіла обчислюється за формулою

b

a

dxxQV ,)( (42,a)

де а і b – абсциси крайніх перерізів тіла.

Для обчислення об`ємів тіл

обертання відносно координатних осей слід застосувати одну з наступних формул:

b

ax dxxyV )(2 (42,б)

d

cy dxyxV )(2 (42,в)

b

aНВx dxyyV 22 (42,г)

y

x a x b 0

Рисунок 6

y = f (x) y

a b x 0

Рисунок 7

yB=f2(x)

yH=f1(x)

y

x 0 a b

Рисунок 9

x=x(y)

0

c

d

x

y

Рисунок 8

83

d

cлпy dyxxV 22 (42,д)

dxyyxVb

aнвy 2 (42,е)


Задача 1 Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням параболи у2=4х навколо своєї осі (параболоїд обертання) і площиною, перпендикулярною до його осі і віддаленою від вершини параболи на відстані, рівній одиниці.

Розв’язання. Побудуємо тіло (рисунок12). Враховуючи, що ,2 xyb ун=0, а=0 і b=1, за формулою (42,г) будемо мати

1

0

1

0

2 224 xxdxVx .

Отже, шуканий об’єм дорівнює 2 . Задача 2 Обчислити об’єм тіла, одер-

жаного обертанням фігури, обмеженої параболою у=2х-х2 і віссю абсцис, навколо осі ординат.

Розв’язання. Побудуємо тіло обер-тання (рисунок13). Для обчислення об’єму тіла обертання скористаємось формулою

(42,е): b

anby dxyyxV .2

xп=2(y) y

xл=1(y)

x

c

d

Рисунок 10

y

Рисунок 11

x

yв=f2(x)

yн=f1(x)

b a

y

x

1

2

Рисунок 13 1311813

0

84

Враховуючи, що ув=2х–х2, ун=0 і ,20 x одержимо

2

0

2

0

2

0

43322

38

43222222 xxdxxxdxxxxVy .

4.3 Довжина дуги плоскої фігури

Якщо плоска лінія задана в прямокутній системі координат: y=f (x) на відрізку ba; то довжина іі дуги обчислюється за формулою:

21b

a

L y dx (43,а)

Якщо плоска крива задана параметричними рівняннями

)(),(tytx

i ,21 ttt

то довжина іі дуги обчислюється за формулою:

2

1

2 2t

t tt

L x y dt (43,б)

І нарешті, якщо неперервна крива задана в полярних координатах рівнянням ),( rr то довжина іі дуги між двома радіусами ОА і ОВ, які відповідають значенням 1 і 2 , обчислюється за формулою:

22L r r d

(43,в)


Задача 1 Обчислити довжину дуги півкубічноі параболи 2 3y x від її вершини до точки М(3;4).

Розв`язання. Продиференціюємо задане рівняння 22 3yy x та

відшукаємо похідну : 32

y x .

Вершина параболи співпадає з початком координат,тому 32

4 32

0

919 9 841 10 14 4 3 27

xL xdx

.

85

4.3 Площа поверхні обертання

Якщо поверхня утворена обертанням дуги кривої y= f(x) навколо осі Оx,

площа поверхні обертання обчислюється за формулою:

dxxfxfSb

aп 21)(2 (43,а)

У випадку, коли віссю обертання є вісь Оу, формула приймає вигляд:

dxxfxSb

aп 212 (43.б)


Задача 1 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням дуги параболи 21 ху 10 х навколо осі Оу.

Розв`язання. Обчислюємоємо похідну : xy 2 та визначений інтеграл

1556

416

4121

0

23

22 хdxхxS

b

aп .

86

Індивідуальні завдання 41.01 – 41.30 Обчислити невизначений інтеграл. У перших двох

випадках перевірити отриманий результат диференціюванням.

41.01 1 2cos 3 1

dxx tgx ; 3 3 8

dxx ; 5

2sin 2cosdx

x x .

2 2

2cos

tgxdx

x

; 4 2

4 2

( 3)5 6

x dxx x

;

41.02 1 23

sincos

x dxx ; 3 2 3( 2) xx e dx ; 5

3

dxx x .

2 2sin (3 2 )dx

x ; 4 3(9 )dx

x x ;

41.03 1 2sin (2 3 )dx

x ctgx ; 3 2ln( 1)x x dx ; 5 2cos 3 1

dxx tgx ;

2 2

2cos

tgxdx

x

; 4 2

4 2

( 3)5 6

x dxx x

;

41.04 1 2(1 )dx

x arctgx ; 3 (2 )cos3x xdx ; 5 3

51 5

x dxx

.

2 sin(5 2)x dx ; 4 2

(2 )8 2

x dxx x

;

41.05 1 2

23 5x dx

x ; 3 2( 1) xx e dx ; 5 4 2sin

dxx .

2 3 5xe dx ; 4 2

22 5x dx

x x ;

41.06 1 2cos( 1)x x dx ; 3 ( 1)cos2x xdx ; 5 31 1dx

x .

2 3 ln xdxx

; 4 4

21

x dxx ;

41.07 1 2 6( 4)x dx

x ; 3 (2 )cos3x xdx ; 5 21 sindx

x .

2 sin1 2cos

x dxx ; 4

3(9 )dx dx

x x ;

41.08 1 2cos (3 1)dx

x tgx ; 3 ln( 1)x x dx ; 5 2 2sindxx tg x .

.

87

2 2

sin2 3cos

x dxx

; 4 2

(1 )3 2

x dxx x

;

41.09 1 2

2cos 2tg x dx

x ; 3 2

3

2 3 11

x x dxx ; 5

cos2dx

tgx x .

2 2

31 5x dx

x ; 4 2 2sin cosx x dx ;

41.10 1 25 4x x dx ; 3 3( 2) xx e dx ; 5 2 2sindxx tg x .

2 2

2cos

tgxdx

x

; 4 3 2

( 3)2

x dxx x x

;

41.11 1 2sin sin 2xe xdx ; 3 ln( 1)x x dx ; 5

4

34

1( 4)

x dxx x

2 ln( 1)

1x

dxx

; 4

2

32 3

dxx x

;

41.12 1 2

1 2cos3sin 3

xdxx

; 3

2

4 2

12

x x dxx x ; 5 21 3cos

dxx .

2 5 24x x dx ; 4 23 1x dx

x ;

41.13 1 2

2

arcsin1

xdxx

; 3 sin cosx x xdx ; 53 2sin cos

dxx x .

2 23 ln

dxx x ; 4

2

53 2

dxx x

;

41.14 1 3 23 8x x dx ; 3 ( 1)ln( 1)x x dx ; 5 sin

dxx tgx .

2 2

sin2 3cos

x dxx

; 4 2

(2 1)cos

x dxx

;

41.15 1 2

2

arcsin1

xdxx

; 3 3 2

(3 7)4 4 16

x dxx x x

; 5

1dxtgx .

2 43 3xe x dx ; 4 2sin

x dxx ;

41.16 1 2

31x dx

x ; 3 3

ln(2 1)x dxx

; 5 3 2sin

dxx .

2 23 4

x

x

e dxe ; 4

2sin cos 2dx

x x ;

88

41.17 1 4 ln xdxx

; 3 2

lnx xdx ; 5 2 sin2 cos

xdxx

.

2 2

arcsin1

x xdxx

; 4 21

dxx x ;

41.18 1 2cos (3 5)dx

x ; 3 (2 1)lnx xdx ; 5 3

2

cossin

x dxx .

2 2

2cos

tgxdx

x

; 4 3cos 4sin

dxx x ;

41.19 1 43

sin3cos 3

x dxx ; 3 ( 2)sin(5 1)x x dx ; 5 2 2sin

dxx tg x .

2 2sin (3 2 )dx

x ; 4 3 2 1 1

dxx ;

41.20 1 2( )x xe e dx ; 3 3 1arctg x dx ; 5 4tg xdx .

2 21 3

x dxx

; 4 cos1 cos

x dxx ;

41.21 1 3

sin3 2cos

x dxx ; 3 3

sincosx x dx

x ; 5 2 1 1

x dxx .

2 32 xx e dx ; 4

4 2sindx

x ;

41.22 1 29 8dx

x ; 3 ( 1)cos7x xdx ; 5233 ( 3)

dxx x

.

2 ln(1 3 )x xe e dx ; 4 3

29x dx

x ;

41.23 1 2

21 3

x

x

e dxe ; 3 3 2 2 2

dxx x x ; 5 sin 7 cos5x xdx .

2 2

arcsin1

xdxx

; 4 2

44x dx

x ;

41.24 1 ( )x xctg e e dx ; 3 2 11

x dxx

; 5

3

dxx x .

2 2 2

( 1)xxe x dx

; 4 3 1

x dxx ;

41.25 1 cos2sin 5

x dxx ; 3

2

3 25 8 4x dx

x x x ; 54 4

dxtgx ctgx

89

2 29 4dx

x ; 4 arctg xdx ;

41.26 1 22 3x dx

x ; 3 cos5x xdx ; 5 21 5sin

dxx .

2 2

4 81x dx

x ; 4 6

23

( 1)( 1)x x dxx

;

41.27 1 44

x dxx

; 3 ( 1)x arctgxdx ; 5 3 2sin

dxx .

2 23

4x dx

x ; 4 2

3x dx

x x ;

41.28 1 cos34 sin3

x dxx ; 3 1arcsinx dx

x ; 5 2 sin2 cos

xdxx

.

2 cos3sin3

xdxx ; 4 1

2x dx

x x ;

41.29 1 2

22

x

x

e dxe ; 3 (2 1)x arctgxdx ; 5

2dx

tgx .

2 cos3sin3

xdxx ; 4 1 xdx

x x

;

41.30 1 (1 )

arctg x dxx x ; 3 arctgxdx ; 5

3 2cosdx

x .

2 sin1 3cos

x dxx ; 4

2

3

11

x x dxx

;

42.01 – 42.30 Обчислити площу фігури, яка обмежена такими лініями:

42.01 1) 2

23 ,3 ;

y xx y

2) 5 1 sinr .

42.02 1) 2 2

21 ,

9 ;y x xy x

2) 4cos2r .

42.03 1) 2 6 9,

1;3 12

y x xx y

2) 5cos ,4sin .

x ty t

42.04 1) 22 ,4 ,0;

y xy xy

2) 12cos 5sin ,5cos 12sin ,

x t ty t t 0; 2t .

90

42.05 1) 2 6 0,4;

x yxy

2 )

2

33 ,3 ,

x ty t t

3; 3t .

42.06 1) 25 ,1;

y xy x

2) 1 2sinr .

42.07 1) 2 2 3,3 1;

y x xy x

2) 22 2 3x y ax .

42.08 1) 25 ,1;

y xy x

2)

sin ,1 cos ,

x a t ty a t

0; 2t .

42.09 1)

2

2

,2

1 ;1

xy

yx

2)

6 sin ,6 1 cos ,0.

x t ty ty

42.10 1) 2

2,

6 ;y xy x x

2) 4 1 s3 , 0; 2r co .

42.11 1) 23 1,3 7;

y xy x

2)

2 2 cos2 ,2 2sin sin 2 .

x cost ty t t

42.12 1) 2 9 ,2;

y xy x

2) 3 sinr .

42.13 1) 2 2 21y x x ; 2 ) 2

3cos ,sin .

x ty t

42.14 1) 2 ,2 ,1;

x

xyyx

2) 5cos3 , 0;6

r .

42.15 1) 6,7 ;

xyy x

2) 5sin3r .

42.16 1) 22 ,4 ;

y xy x

2) r ae , 0; .

42.17 1) 24 ,4 ;

y xy x

2) 2 sinr .

42.18 1) ,,

1;

x

xy ey ex

2) 2 cosr .

42.19 1) 2

2

,2 ;

1

y xy

x

2) 2 2r sin .

91

42.20 1) 2

2

4 ,8 ;

4

x yy

x

2)

2

3

1 ,

3 ,3

x a tay t t

0; 3t .

42.21 1) 1 2 ,0;

y x x xy

2) cos ,sin ,

x a ty b t 0;

2t

.

42.22 1) 2 ,

;y xy x

2) cos2r a .

42.23 1) 2 ,2;

y xx y

2 ) 3sin3r .

42.24 1) 2 21y x x ; 2 ) cos3r .

42.25 1) 2 3 ,3 4;y x xx y

2 )

6

4

,64 ,

4

tx

ty

0; 2t .

42.26 1) 210 16,0;

y x xy

2 ) 1 cosr a .

42.27 1) 12 ,

4 ,0;

x

xyyx

2) 2cos2 , 0;4

r .

42.28 1) 2

29 ,9 ;

y xx y

2 )

2

3,

,3

4.

x tty

x

42.29 1) 4,5;

xyx y

2) 2 cos ,

cos .rr

42.30 1) 24 ,0;

y x xy

2) sin ,cos .

x a ty b t

43.01 - 43.30 Зробити малюнок. 43.01 Обчислити довжину дуги кривої 2(1 cos )r , 0 .

43.02 Обчислити довжину дуги кривої (cos2 ln ),sin 2 ,

x a t tg ty a t

8 4t

.

43.03 Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох

92

кривої 3

3

4sin ,4cos .

x ty t


фігури, яка обмежена кривою 2

3

1,.

x ty t t

43.05 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням навколо осі

Ох кривої 23y x , 106

x .

43.06 Обчислити довжину дуги кривої 32

x xe ey

, 0 2x .

43.07 Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями 22y x x та 2y x .

43.08 Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох

фігури 2

,,

x ty t

2 2t .

43.09 Обчислити довжину дуги кривої 2

2

( 2)sin 2 cos ,(2 )cos 2 sin ,

x t t t ty t t t t

0 t .

43.10 Обчислити довжину дуги кривої 6( sin ), 02

r l .

43.11 Обчислити довжину дуги кривої 3sin3

r a , 0 3 .

43.12 Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, яка обмежена лініями 2 9y x та у= - х.


Ох дуги кривої sin , 02

y x x .

43.14 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням навколо осі Оу кривої 2 4 0,y x 2 2y .


фігури, яка обмежена лінією 2cos ,3sin .

x ty t

43. 16 Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, яка обмежена лініями 2xy , 4xy та у = 1.

93

43.17 Обчислити довжину кривої 24

32r e

, 2 2 .

43.18 Обчислити довжину дуги кривої 2arcsin 1 , 0 1y x x x . 43.19 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням навколо осі

Ох кривої 2 4y x , 4 0x . 43.20 Обчислити довжину спіралі 5r , яка знаходиться всередині

круга 10r . 43.21 Обчислити об’єм тіла, яке утворене обертанням навколо осі Ох

фігури, обмеженої лініями y tgx , у = 0 та 4

x .


фігури, яка обмежена лініями 2

14xy та у = 0.

43.23 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням навколо осі Ох кривої 3 24 , 0 2y x x .

43.24 Обчислити довжину дуги кривої lnsin ,y x 23 3

x .

43.25 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням навколо осі Ох

кривої lncos , 04

y x x .

43.26 Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОY фігури, обмеженої лініями ху = 4, у = 1, у = 2 та х=0.

43.27 Обчислити довжину дуги кривої (cos sin ),(cos sin ),

t

t

x e t ty e t t

0 t .

43.28 Обчислити довжину дуги кривої lnx

x

l eyl e

, 1 2x .


Ох дуги кривої 3

3x , 2 2x .

43.30 Обчислити площу поверхні, яка утворена обертанням навколо полярної осі кривої 2 2 cos2r a . 44.01-44.30 Дослідити на збіжність невластивий інтеграл.

94

44.01 2 4 15dx

x x

.

44.02 2 22 ( 1)

dxx

.

44.03 1

0

ln nx dx .

44.04 2

2

sin xdxx

.

44.05 2

2

2 sin xdxx

.

44.06 1

2

0

lnx xdx .

44.07 5

0 1x dx

x

.

44.08 5

0 1x dx

x

.

44.09 30 (1 )

x dxx

.

44.10 21 sin

dxx x

.

44.11 2

42 1

x dxx

.

44.12 1 3

430 1

x dxx

.

44.13 2

0

xe dx

.

44.14 0

n xx e dx

.

44.15 2

230

cos1

x dxx

.

44.16 2

12 arcsin

1x dx

x x

.

44.17 30 4

x dxx

.

44.18 1

2(1 cos )dxx

.

44.19 41 1

x dxx

.

44.20 1

30 4

dxx x .

44.21 3

1

0 1x

dxe .

44.22 2 21 sin

dxx x

.

44.23 2

3lne

dxx x

.

44.24 1

0 (2 ) 1dx

x x .

44.25 30

cos2xdxx

.

44.26 1

4(2 cos )dxx

.

44.27 3

242

32 4

x dxx

.

44.28 4

0 1xarctgx dx

x

.

44.29 2

1 lndx

x .

44.30 3

2 1dx

x

.

95

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ

1 Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики – М.: Наука, 1975. 2 Щипачёв В.С. Курс высшей математики – Изд. МГУ, 1981. 3 Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая мате-матика. Под ред. П.Ф. Овчинникова – К.: Высш. Шк., 2001. 4 Мелентьєв Б.В., Оранська А.І., Харченко А.П.. Вища математика у прикладах і задачах. – Київ УМК ВО, I ч., 1992. 5 Мелентьєв Б.В., Оранська А.І., Харченко А.П.. Вища математика у прикладах і задачах. – Київ УМК ВО, II ч., 1994.

6 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.-М.: Наука, 1987.

ЗМІСТ

Вступ------------------------------------------------------------------------------ 3 Контрольна робота №3------------------------------------------------------- 3 1 Похідна та її застосування-----------------------------------------------

1.1 Визначення похідної-------------------------------------------------- 1.2 Основні правила диференціювання функцій-------------------- 1.3 Диференціювання складної функції------------------------------- 1.4 Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично,

логарифмічне диференціювання-------------------------------------- 1.4.1 Диференціювання функцій, заданих неявно----------------- 1.4.2 Диференціювання функцій, заданих параметрично------- 1.4.3 Логарифмічне диференціювання-------------------------------

2 Похідні вищих порядків----------------------------------------------------- 3 Асимптоти графіка функції------------------------------------------------ 4 Обчислення границь за правилом Лопіталя---------------------------- 5 Інтервали монотонності і екстремуми функції. Найбільше та

найменше значення функції на відрізку--------------------------------- 5.1 Екстремуми функції----------------------------------------------------- 5.2 Дослідження функції на екстремум за допомогою другої

похідної---------------------------------------------------------------------- 5.3 Дослідження функції на екстремум за допомогою другої

похідної--------------------------------------------------------------------- 6 Опуклість і вгнутість кривої. Точки перегину------------------------ Індивідуальні завдання--------------------------------------------------------- Контрольна робота №4-------------------------------------------------------- 1 Невизначений інтеграл-----------------------------------------------------

1.1 Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла----------

3 3 4 8 10 10 11 12 14 16 18 21 22 23 24 25 34 47 47 47

96

1.2 Властивості невизначеного інтеграла і правила інтегрування- 1.3 Таблиця основних інтегралів------------------------------------------ 1.4 Безпосереднє інтегрування і правило розкладання--------------- 1.5 Інтегрування методом заміни змінної (метод підстановки)--- 1.6 Метод інтегрування частинами --------------------------------------- 1.7 Інтегрування раціональних функцій--------------------------------- 1.8 Інтегрування ірраціональних функцій------------------------------ 1.9 Інтегрування тригонометричних функцій-------------------------

2 Визначений інтеграл------------------------------------------------------- 2.1 Поняття інтегральної суми і визначеного інтеграла------------ 2.2 Формула Ньютона─Лейбниця--------------------------------------- 2.3 Властивості визначеного інтеграла--------------------------------- 2.4 Заміна змінної у визначеному інтегралі--------------------------- 2.5 Інтегрування частинами у визначеному інтегралі--------------- 2.6 Обчислення визначених інтегралів, яке грунтується на

властивостях підінтегральної функції------------------------------ 3 Невласні інтеграли-----------------------------------------------------------

3.1 Поняття невласногоінтеграла----------------------------------------- 3.2 Невласні інтеграли з нескінченими проміжками інтегруваня 3.3 Ознаки збіжності невласних інтегралів з нескінченними

проміжками інтегрування--------------------------------------------- 3.4 Заміна змінної у невласному інтегралі----------------------------- 3.5 Невласні інтеграли від необмежених функцій-------------------- 3.6 Ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених

функцій------------------------------------------------------------------- 4 Застосуваннявизначеного інтеграла-----------------------------------

4.1 Площа плоскої фігури-------------------------------------------------- 4.2 Об'єм тіла----------------------------------------------------------------- 4.3 Довжина дуги плоскої фігури---------------------------------------- 4.4 Площа поверхні обертання-------------------------------------------

Індивідуальні завдання---------------------------------------------------------- Список джерел інформації-------------------------------------------------------

48 48 50 51 52 55 62 66 69 69 70 70 72 74 74 75 75 75 76 77 78 79 81 81 83 85 85 86 95

Зміст---------------------------------------------------------------------------------- 95

97

Навчальне видання

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з тем: „Диференціальне числення функції однієї змінної”, „Невизначений і

визначений інтеграли” з курсу „Вища математика”

для студентів заочної форми навчання напрямків підготовки бакалаврів: 6.060101; 6.060103; 6.050202

Укладачі: Гаєвська Вікторія Олексіївна Лисянська Ганна Володимирівна Відповідальний за випуск О.О.Аршава Редактор Л.І. Христенко

План 2011р., поз. 18 Формат 60х84 1/16. Папір друк. № 2 Підп. до друку Обл.-вид. арк. 5.0 Безкоштовно.

Надруковано на ризографі. Ум. друк. арк. 4.8 Тираж 150 прим. Зам. № 1937

ХДТУБА, Україна, 61002, Харків, вул. Сумська, 40

Підготовлено та надруковано РВВ Харківського державного технічного університету

будівництва та архітектури

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ...

Documents