ατα - teiwest.gr mathimata/pliroforiki_theor...∆υαδικοί Αριθ µ οί – Αριθ µ...
TRANSCRIPT
11ηηΘ
ήΕό
∆δάΣ
ήΘ
ήΕό
∆δάΣ
ή11ηηΘεµατική Ενότητα
: ∆υαδικά
Συστή
µατα
Θεµατική Ενότητα
: ∆υαδικά
Συστή
µατα
Ψηφιακοί Υ
πολογιστές
Μονάδα
Ελέγχου
Αριθµητική
Μονάδα
Μονάδα
Μνή
µης
Κρυφή
Μνή
µη
∆ιαχείριση
Μονάδων Ι/Ο
∆υαδικά Συστήµατα
2
∆ικτυακές
Μονάδες
∆ίσκοι
Οθόνες
Πληκτρολόγιο,
ποντίκι
∆υαδικοί
Αριθµοί
∆εκαδικό
Σύστη
µα: Β
άση το
10,
ψηφία
10 και συντελεστές
x δυνάµεις του
10
7392
.25
= 7x
103
+ 3x
102
+ 9x
101
+ 2x
100
+ 2x
10-1
+ 5x
10-2
a 3a 2
a 1a 0
.a-1
a -2όπου
0 ≤
a i≤
9,
…+
a ix10
i + ..
.
∆υαδικό Σύστηµα:
Βάση το
2, ψηφία
2 και
συντελεστές
x δυνάµεις του
2
1011
011
230
221
211
200
21
12
2
∆υαδικά Συστήµατα
3
1011
.01
= 1x
23+
0x22
+ 1x
21+
1x20
+ 0x
2-1+
1x2-2
a 3a 2
a 1a 0
.a-1
a -2όπου
0 ≤
a i≤
1,
…+
a ix2i +
...
r-αδικό
Σύστη
µα: Β
άση το
r, ψηφία
r και συντελεστές
x δυνάµεις του
r
a na n
-1...
a 2a 1
a 0.a
-1a -
2…a -
m=
a nrn
+ a n
-1rn-
1+
...a 2
r2 +
a 1r1 +
a 0r0
+ a -
1r-1a -
2r-2…
a -m
r-m
όπου
0 ≤
a i≤
r-1
∆υαδικοί
Αριθµοί
∆υαδικά Συστήµατα
4
∆υαδικοί
Αριθµοί
–Αριθµητικές
Πράξεις
1 0
1 1
0 1
1 0
0 1
1 1
+1
0 1
0 1
0 0
1 0
1 1
1 1
01
0 1
1 0
11
0 0
1 1
1-
0 0
0 1
1 0
00
01
1 0
00
- (0
+ 0)
=
0 0
A
-(B
+Cin) =
C S
0 - (
0 +
1)
= 1
1
0 - (
1 +
0)
= 1
1
0 - (
1 +
1)
= 1
0
1 - (
0 +
0)
= 0
1
1 - (
0 +
1)
= 0
0
1 - (
1 +
0)
= 0
0
1(1
+1)
=1
1
A -
B -
Cin
= C
S
∆υαδικά Συστήµατα
5
1 0
1 1
1 0
1x 1
0 1
10
0 0
01
0 1
11
1 0
1 1
1
1 0
1 0
1 1
01
0 1
1 0
11
0 0
0 1
0 1
1 0
1 0
10
0 1
1 - (
1 +
1)
= 1
1
Μετατροπή
Αριθµού
από
Bάση
rσε
Bάση
10
r-αδικό
σύστη
µα αρίθµησης
:
Πολ
/ζουµε κ
άθε συντελεστή
µε την αντίστοιχη
δύναµη του
rκαι
κάνουµε π
ρόσθεση
(630
.4) 8
= 6
x 82
+ 3
x 81
+ 0
x 80
+ 4
x 8-1
= 38
4 +
24 +
0.5
= (4
08.5
) 10
∆υαδικά Συστήµατα
6
∆υαδικό σύστηµα αρίθ
µησης:
Βρίσκου
µε το
άθροισµα των δυνά
µεων του
2 εκείνων των
συντελεστών που έχουν τι
µή 1
.
(101
0.01
1)2
= 23
+ 21
+ 2-2
+ 2-3
= 8
+ 2
+ 0.
25 +
0.1
25 =
(10.
375)
10
Μετατροπή
∆εκαδικού
Αριθµού
σε
Bάση
rΑκέραιο
Μέρος
Χ=a
nrn
+ a n
-1rn-
1+
...a 2
r2 +
a 1r1 +
a 0Χ
/r=[a
nrn-
1+
a n-1
rn-2
+ ...
a 2r1
+ a 1
]+a 0
/r (a
0<r)
Χ m
od r
= a 0
(X /
r)αποκοπή
= a n
rn-1
+ a n
-1rn-
2+
...a 2
r1 +
a 1
∆ιαδοχικές
∆ιαιρέσεις
µε r
Οι συντελεστές
είναι τα υπόλοιπα
∆υαδικά Συστήµατα
7
Παράδειγµα:Μετατροπή
του
41στο δυαδικό σύστηµα
41 :
2=
20 +
1 /
220
: 2
= 10
+ 0
/ 2
10 :
2 =
5 +
0 /
2(4
1)10
= (1
0100
1)2
5 : 2
=
2 +
1 / 2
2 : 2
=
1 +
0 / 2
1 : 2
=
0 +
1 / 2
Μετατροπή
∆εκαδικού
Αριθµού
σε Αριθµό σε
Bάση
r
Κλασµατικό Μέρος
Χ=a
-1r-1
+ a -
2r-2+
... +
am
r-m
Χ *
r =
a -1+
a-2
r-1+
... +
am
r-(m
-1)
(X *
r)ακέραιο
µέρος
= a -
1
∆ιαδοχικοί
Πολλαπλασιασµοί
µε
r
Οι συντελεστές
είναι
τα ακέραια
µέρη
∆υαδικά Συστήµατα
8
(X *
r)χωρίς α
κέραιο
µέρος
= a -
2r-1+
... +
am
r-(m
-1)
Παράδειγµα:Μετατροπή
του
.687
5 στο δυαδικό σύστηµα
.687
5 x
2=
1 .3
750
.375
0 x
2 =
0 .7
500
.750
0 x
2 =
1 .5
000
(.687
5)10
= (.1
011)
2
.500
0 x
2 =
1 .0
000
Μετατροπή
8-/1
6-αδικού
Αριθµού
σε
∆υαδικό και αντίστροφα
Κάθε οκταδικό
/δεκαεξαδικό
ψηφίο
αντιστοιχεί
σε
3/4 δυαδικά ψη
φία:
Εύκολη
Μετατροπή
& Συµπίεση∆εδο
µένων
Παράδειγµα:
8-αδικό
σε δυαδικό και αντίστροφα
010
110
001
101
011
. 111
100
000
110
∆υαδικά Συστήµατα
9
Παράδειγµα:
16-αδικό σε
δυαδικό
και
αντίστροφα
2
6
1
5
3
.
7
4
0
6
0010
1100
0110
1011
. 111
100
0001
10
2
C6
B
.
F
0
6
Μετατροπή
Βάσης
Αριθµού
: Ανακεφαλαίωση
1) Μετατροπή
από
r-αδικό σε
δεκαδικό:
Πολ
/ζουµε τους σ
υντελεστές
µε τις α
ντίστοιχες
δυνάµεις της
βάσης
r και
προσθέτουµε.
2) Μετατροπή
από
δεκαδικό σε
r-αδικό :
Χωρίζουµε α
κέραιο
και
κλασµατικό
µέρος.
Ακέραιο
µέρος
: διαιρού
µε συνέχεια
µε r και κρατά
µε το υπόλοιπο
.
∆υαδικά Συστήµατα
10
Κλασµατικό
µέρος:
πολ
/ζουµε σ
υνέχεια
µε r και κρατά
µε το
ακέραιο
µέρος
.3)
Μετατροπή
από
8-αδικό
/16-αδικό σε
δυαδικό
:Αντικαθιστού
µε κάθε ψη
φίο
µε το
ν αντίστοιχο
3-ψήφιο
/4-ψήφιο
δυαδικό αριθ
µό.
4) Μετατροπή
από
δυαδικό
σε
8-αδικό/
16-αδικό
:Ο
µαδοποιούµε τα δυαδικά ψη
φία σε
τριάδες/τετράδες
και
αντικαθιστού
µε κάθε
µία
µε το
αντίστοιχο ψη
φίο του
8-/1
6-αδικού
.
Συµπληρώ
µατα
Τα συµπληρώ
µατα
απλοποιούν την πράξη της α
φαίρεσης
:
α) Συµπλήρω
µα ως π
ρος Β
άση
β) Συµπλήρω
µα ως π
ρος Β
άση-
1
Συµπλήρω
µα ως π
ρος Β
άση
r –1αριθ
µού
µε n
ψηφία
∆υαδικά Συστήµατα
11
Α΄=
(rn
–1)
–A
∆εκαδικό
σύστη
µα: (για
4 ψη
φία)
Α΄ =
999
9 –Α
=> αφαίρεση κάθε
ψηφίου του Α
από
το 9
(δεν
υπάρχουν κρατού
µενα
)
∆υαδικό σύστηµα:
Α΄ =
11…
1 –Α
=> αντιστροφή κάθε
ψηφίου
1011
0100
11΄=
0100
1011
00
Συµπληρώ
µατα
Συµπλήρω
µα ως π
ρος Β
άση
r
Ασr
= rn
–A
για
Α ≠
0 και Α
σr =
0 για
Α =
0
Ασr
= rn
–A
–1
+1
= [(
rn –
1) –Α
]+1
= A΄+
1
∆υαδικά Συστήµατα
12
Εύρεση
του συ
µπληρώ
µατος ω
ς προς r
-1 και
πρόσθεση του
1
1011
0100
11σ2
=01
0010
1100
+1
=01
0010
1101
Συµπληρώ
µατα
: Ανακεφαλαίωση
Συµπλήρω
µα ως π
ρος B
άση
r –1:
Αφαιρού
µε κάθε ψη
φίο από το
r–
1.
Συµπλήρω
µα ως π
ρος B
άση
r : ∆υαδικά Συστήµατα
13
1) Βρίσκου
µε το
συµπλήρω
µα ως π
ρος r
–1 και προσθέτου
µε 1
.
ή 2) Αφαιρού
µε το
πρώ
το µη-
µηδενικό
λιγότερο ση
µαντικό ψη
φίο
από το
r και όλα
τα υπόλοιπα περισσότερο ση
µαντικά ψη
φία
από το
r –
1.
Αφαίρεση
µε Συµπληρώ
µατα
Η αφαίρεση δύο αριθ
µών Μ
–Ν
σε βάση
r και µε
n ψη
φία γίνεται ω
ς εξής:
1. Προσθέτου
µε στο
µειωτέο Μ
το συµπλήρω
µα ως π
ρος r
του
αφαιρετέου
οπότε
έχουµε Μ
+ (r
n –
N) =
M –
N+
rn
2.Αν
Μ≥Ν
το άθροισµα θα
έχει τελικό κρατού
µενο
rnτο
οποίο
αγνοούµε
3.Αν
Μ<Ν
το άθροισµα δεν έχει
τελικό
κρατούµενο και ισούται
µε
rn
–(N
–Μ
) το οποίο είναι το συ
µπλήρω
µα ως π
ρος r
του Ν
–Μ
. Με
λήθ
ίβί
ΝΜ
∆υαδικά Συστήµατα
14
συµπλήρω
µα ως π
ρος r
του αθροίσ
µατος β
ρίσκου
µε το
Ν –Μ
µε
πρόσηµο
(–) µπροστά
.Μ
–Ν
= 7
2532
–32
5072
532
(Συµπλ
. 10)
+ 9
6750
1692
82(Αγνοώ
κρατ)
–10
0000
6928
2
Μ –Ν
=32
50 –
7253
2 3250
(Συµπλ
. 10)
+ 2
7468
3071
8(∆εν
υπάρχει
κρατ)
.
–69
282
Προση
µασµένοι
∆υαδικοί Α
ριθµοί
Το πρόση
µο δηλώνεται µε την τοποθέτηση
ενός b
it στην
αριστερότερη θέση
(0=+
, 1=-
)
Τρόποι
Απεικόνισης
Προση
µασµένο Μέτρο
: Το αριστερότερο
bit πρόσηµο
και το υπόλοιπο
είναι το
µέτρο
(απόλυτη
τιµή
)Προση
µασµένο Συ
µπλήρω
µα ως προς
1: Το αριστ.
bit πρόση
µο
και όλος ο
αριθµός
(µε το
πρόση
µο) σε συ
µπλ.
ως π
ρος 1
Προση
µασµένο Συ
µπλήρω
µα ως προς
2: Το αριστ.
bit πρόση
µο
και όλος ο
αριθµός
(µε το
πρόση
µο) σε συ
µπλ.
ως π
ρος 2
∆υαδικά Συστήµατα
15
ςρ
µς(
µρ
ηµ)
µς
ρς
Το Προση
µασµένο Μέτρο
χρησι
µοποιείται
στην συνηθισµένη αριθ
µητική
αλλά
δεν
είναι
εύχρηστο για τον Η
/Υ. Π
ιο εύκολη αναπαράσταση
για
τον Η
/Υ
είναι το Προση
µασµένο Συ
µπλήρω
µα ως π
ρος 2
.
Απεικόνιση
µε 8
ψηφία
του
-9
Προση
µασµένο Μέτρο
: 1
0001
001
Προση
µασµένο Συ
µπλ.
ως προς
1:
111
1011
0
Προση
µασµένο Συ
µπλ.
ως προς
2:
111
1011
1
Αριθµητική Πρόσθεση/Αφαίρεση
Αριθµητική Πρόσθεση
(απαιτεί
σύγκριση προσήµων)
1. Αν τα
πρόση
µα είναι
ίδια
προσθέτου
µε τα
µέτρα
µε τελικό
πρόση
µο το
κοινό
.
2. Αν τα
πρόση
µα είναι
διαφορετικά
αφαιρού
µε από
τον
µεγαλύτερο
τον
µικρότερο
µε τελικό
πρόση
µο αυτό του
µεγαλυτέρου
Πρόσθεση Προση
µασµένου
Συµπληρώ
µατος ω
ς προς 2
∆υαδικά Συστήµατα
16
Απλή πρόσθεση
και
το τελικό
κρατούµενο αγνοείται. Αν
το αποτέλεσµα είναι
αρνητικό
θα είναι σε συ
µπλήρω
µα ως π
ρος 2
. Καµία
µετατροπή
ή σύγκριση δεν
απαιτείται
.
Αφαίρεση Προση
µασµένου
Συµπληρώ
µατος
Αφαίρεση Προση
µασµένου
Συµπληρώ
µατος ω
ς προς 2
(8 ψηφίων)
Πχ
(–6)
–(–
13)
6 =
000
0011
0-6
=
1111
1010
13 =
000
0110
1-1
3 =
1111
0011
∆υαδικά Συστήµατα
17
(–6)
–(–
13)=
1111
1010
–11
1100
11 =
1111
1010
+ 0
0001
101
=
0000
0111
= +
7
∆υαδικοί
Κώδικες
Είναι τρόποι αναπαράστασης
πληροφοριών
µε χρήση
δυαδικώ
ν ψη
φίων
(bits
).
∆υαδικά Συστήµατα
18
Mετατροπή
ενός α
ριθµού
στο
δυαδικό
σύστη
µα ≠δυαδική κω
δικοποίηση
395
∆υαδικός
: 11
0001
011
(9 b
its)
∆υαδική Κωδικοποίηση
BC
D:
0011
100
1 01
01 (1
2 bi
ts)
Οι κώδικες e
xces
s-3,
o 2
4 2
1, o
8 4
-2 -1
είναι αυτό-συ
µπληρω
µατικοί: το
συµπλ
. ως
προς
9 βγαίνει
µε αντικατάσταση των
0 -1
.
Ο κώδικας B
iqui
nary
ανιχνεύει
σφάλµατα
Κώδικες Α
νίχνευσης Σ
φαλµάτων
Τα φυσικά
µέσα
µετάδοσης
επηρεάζονται
από
θόρυβο
και
προκαλούν λάθη
. Για αυτό
χρησιµοποιούνται
οι
κώδικεςα
νίχνευσης
∆υαδικά Συστήµατα
19
κώδικες α
νίχνευσης
σφαλ
µάτων
(π.χ
. pa
rity
bits
).
Η µέθοδος
ισοτιµίας
ανιχνεύει περιττό
αριθ
µό λαθών
Κώδικας G
ray
Οι διαδοχικοί αριθµοί
στον
κώδικα
gra
yµεταβάλλονται κατά
ένα
µόνο
bit.
Χρησι
µοποιείται
όταν κατά
τη
άδάβ
ί
∆υαδικά Συστήµατα
20
µετάδοση
η µετάβαση γίνεται σε
γειτονικούςαριθ
µούς
και
θέλου
µε
να µειώσουµε την
αβεβαιότητα
κατά
την εναλλαγή
.
Αλφαριθ
µητικοί Κ
ώδικες
Κώδικας A
SCII
Περιλαµβάνει:
τα 1
0 δεκαδικά
ψηφία
,
τα 2
6 γράµ
µατα
του
αλφαβήτου
(x2)
,
32 ειδικού ς
∆υαδικά Συστήµατα
21
ςχαρακτήρες
(&,*
,+),
34 χα
ρακτήρες
ελέγχου
Χαρακτήρες
Ελέγχου
∆ιαµορφω
τές Μ
ορφής Κ
ειµένου
(bac
kspa
ce, t
ab)
∆ιαχωριστές
Πληροφορίας
(∆ιαχωριστής
Αρχείων)
Ελέγχου Επικοινωνίας
(STX
, ETX
)
∆υαδική Αποθήκευση και Κ
αταχωρητές
Τα διακριτά στοιχεία
πληροφορίας
αποθηκεύονται σε δυαδικά κύτταρα
(bin
ary
cells
).
Καταχωρητής :
είναι
µία
οµάδα
από
δυαδικά κύτταρα.
01
00
11
00
11
00
∆υαδικά Συστήµατα
22
Το περιεχό
µενο
του καταχωρητή
µπορεί
να ερ
µηνευτεί
µε αρκετούς
διαφορετικούς τρόπους
: Ακέραιος:
9829
, Αλφαριθ
µητικά
: &
eκλπ
∆υαδική Αποθήκευση και Κ
αταχωρητές
Η επεξεργασία
των δεδο
µένων απαιτεί
εκτός α
πό τα
κυκλώ
µατα
επεξεργασίας,
κυκλώ
µατα
αποθήκευσης
των
πληροφοριών.
∆υαδικά Συστήµατα
23
Η επεξεργασία
γίνεται
µε ψη
φιακά
λογικά
κυκλώ
µατα
, ενώ
η συχνότερα
χρησιµοποιού
µενη
δοµήαποθήκευσης
πληροφοριών είναι ο
καταχωρητής
∆υαδική Λογική
Ασχολείται µε
µεταβλητές
που
µπορούν να
έχουν
δύο
µόνο
διακριτές
τιµές, και µε
λογικές π
ράξεις
.Λογικές
Πράξεις
:ΚΑΙ (
AN
D):
X. Y
=1 όταν Χ
=Υ=1
Η (O
R):
X+Y
=1 όταν Χ
=1 ή
Υ=1
ΟΧΙ (ΝΟΤ)
: X΄=
1 όταν
Χ=0
∆υαδικά Συστήµατα
24
Το αριθµητικό Χ
+Υ είναι
διαφορετικό
από
το λογικό Χ
+Υ:
1+1=
10 (αριθµ
), 1+
1=1
(λογικό)
Κυκλώ
µατα
∆ιακοπτών και ∆
υαδικά
Σήµατα
∆υαδικά Συστήµατα
25
Οι χειροκίνητοι διακόπτες
παριστάνουν
δυο
δυαδικές µ
εταβλητές A
και
B
Ο λαµπτήρας
L παριστάνει µία
τρίτη δυαδική
µεταβλητή
Τα δύο
κυκλώ
µατα
εκφράζονται
σε δυαδική λογική
µε τις π
ράξεις
AN
D και
OR
Κυκλώ
µατα
∆ιακοπτών και ∆
υαδικά
Σήµατα
Τα κυκλώ
µατα
ανάλογα
µε τον
τρόπο
κατασκευής
τους
και
τις συνθήκες
λειτουργίας
τους
επηρεάζονται
από
θόρυβο
καθώς η
λειτουργία τους
δεν
είναι απόλυτα
σταθερή
.
∆υαδικά Συστήµατα
26
Πραγµατική εικόνα
λογικών
τάσεων και αντιµετώπισης α
πό τα
λογικά
κυκλώ
µατα
Λογικές
Πύλες
∆υαδικά Συστήµατα
27
∆ιαγρά
µµατα Λογικής
συµπεριφοράς
σηµάτων στον
άξονα του χρόνου
.