סמינר מדמ"ח יוני 2004 1

השאריתהשארית % ,MOD% ,MOD

AA השארית השלמה הנותרת מחלוקתהשארית השלמה הנותרת מחלוקתBB- - בב

השאריתהשארית MOD, %MOD, %

AA השארית השלמה הנותרת מחלוקתהשארית השלמה הנותרת מחלוקתBB - -בב

שירלי רוזנברג-כהן ואיתן ראט

סמינר מדמ"ח יוני 2004 2

רקעהשארית נלמדת לראשונה בכיתות נמוכות של •

( 1 )5 = 3: 16בי"ס יסודי )לפני שבר(:

ט"ב במסגרת לימודי חלעיתים – נלמדת ב• )שעון, ימים בשבוע( Modulo"מחזוריות"

למידי מדעי המחשב לומדים שארית בתיכון ת•כחלק

Integer מהפעולות של טיפוס נתונים שלם

סמינר מדמ"ח יוני 2004 3

לה במספרים לה במספרים ווהחילוק בשלמים הוא פעהחילוק בשלמים הוא פעטבעיים, ובשימוש יומיומי.טבעיים, ובשימוש יומיומי.

ילדיה. 5 סוכריות אותן חילקה ל-14לאמא היו כמה סוכריות קיבל כל ילד? כמה סוכריות נשארו

לאמא?

ימים? 10היום יום שני. איזה יום בשבוע יהיה בעוד

תלמידי השכבה נוסעים לטיול. כמה אוטובוסים 210 תלמידים? 50יש להזמין, אם בכל אוטובוס נכנסים

Mother = mod

סמינר מדמ"ח יוני 2004 4

ם מתקשים בהבנת השארית יתלמיד השלמה והכרת תכונותיה.

– לזהות אמונות, תובנות, קשיים מטרה הפיסות מוטעות של תלמידים על תכונות תו

שארית. ה

סמינר מדמ"ח יוני 2004 5

מה הם אומרים?מה הם אומרים? בכלל: modעל •

"זה מיושן" :

למדנו את זה בכיתה ב' / אין את זה

במחשבון.

: אפשר לחשב "לא צריך את זה"

Frac(A/B)אחרת:

A – ( trunc(A/B) *

B)

סמינר מדמ"ח יוני 2004 6

זה לא פייר! למה לאמא יש

יותר?

מה הם אומרים?מה הם אומרים?על הבעיות המילוליות:

ילדיה. 5 סוכריות אותן חילקה ל-14לאמא היו כמה סוכריות קיבל כל ילד? כמה סוכריות נשארו

לאמא?

תלמידי השכבה נוסעים לטיול. כמה 210 50אוטובוסים יש להזמין, אם בכל אוטובוס נכנסים

תלמידים?

מה הם אומרים?מה הם אומרים?

ילדים נזמין עוד 10בשביל אוטובוס? שיצטופפו!

סמינר מדמ"ח יוני 2004 7

שאלת מתכונת:; X:=A mod B בתכנית נמצאת ההוראה:

הבאים:B ו-A עבור ערכי Xמה יהיה ערכו של 1 .A=5 B=2

2.A=2 B=33.A=6 B=3

מה הם אומרים?מה הם אומרים?

0 אז גם 0אם המנה

השארית...

הוא מספר שלם A ו-B =4 יכול לקבל אם Xמהו תחום הערכים ש-חיובי?

בתחום? 0מה פתאום לא מספר / לא מוגדר 0

סמינר מדמ"ח יוני 2004 8

השאלון המחקריהשאלות עוסקות בנוסחה

C = A mod BC = A mod B כאשר כל אחד מהמשתנים יכול לתפקד

כנעלם:

X = A mod BC = X mod BC = A mod X

סמינר מדמ"ח יוני 2004 9

מהלך המחקרהמשתתפים: תלמידי מדעי המחשב בכיתות י - יב •

התשובות נותחו לפי תכונות השארית•

תלמידים רואיינו במהלך הפתרון, וקיבלו עזרה, על •מנת לעמוד על תפיסות מוטעות ותובנות.

סמינר מדמ"ח יוני 2004 10

(C)מציאת :1שאלה והפלט שלה Aכתוב תכנית הקולטת מספר שלם חיובי

. 7 ב-Aהוא השארית מחלוקת

.4 התשובה היא A=18עבור למשל:

ידע בסיסי

תשובה:

Readln(A);

Writeln(A mod 7);

A mod B = X

סמינר מדמ"ח יוני 2004 11

(A)מציאת :2 שאלה והפלט שלה הוא כל Xכתוב תכנית הקולטת מספר שלם חיובי •

ששארית חלוקתם 100המספרים השלמים החיוביים הקטנים מ-. X היא 5ב-

, מספר נוסף 7 אחד המספרים בפלט יהיה X=2למשל: עבור 92יהיה :

A:=x ;While A<=100 do

Begin Write(A,’ ‘);

A:=A+5;End;

המטרה: סדרה חשבונית שהיא

קבוצת השאריות השקולות

האיבר הראשון

המחלק הוא ההפרש

X mod B = C

2 ,7 ,12 ,17 ,22…,97

ForA:= 1 to 100 do

if A mod 5 = x then write)A(;

סמינר מדמ"ח יוני 2004 12

(B)מציאת : 3אלה ש

והפלט שלה הוא Aכתוב תכנית הקולטת מספר שלם חיובי •כל המספרים השלמים והחיוביים אשר שארית החלוקה של

A 5 בהם היא., מספר 6 אחד המספרים בפלט יהיה A=41למשל: עבור

9 נוסף יהיה

Num :=A-c;For B:=c+1 to num do

If (num mod B = 0) then write(b,’ ‘);המטרה:

מחלקים טבעיים של A-c

cהגדולים מהשארית

A mod X = C

מחלק גדול מהשארית

6 ,9 ,12 ,18 ,36

"המספר האמיתי"

For B := 1 to A do

if A mod B = 5

then write)B(

סמינר מדמ"ח יוני 2004 13

(B)מציאת : 3אלה ש

והפלט שלה הוא Aכתוב תכנית הקולטת מספר שלם חיובי •כל המספרים השלמים והחיוביים אשר שארית החלוקה של

A 5 בהם היא ., מספר 6 אחד המספרים בפלט יהיה A=41למשל: עבור

9נוסף יהיה

המטרה: מחלקים טבעיים של

A-c cהגדולים מהשארית

Num := A – C;limit := trunc)sqrt)Num(;For B := 1 To limit Do    If )Num mod B = 0( Then     Begin          If )B > C( Then Write)B,' '(; temp := Num div B;          If )temp > C( Then Write)temp,' '(;     End;

יותר יעיל

A mod X = C

"המספר האמיתי"

מחלק גדול מהשארית

בן הזוג" של המחלק"

בדיקה עד השורש בלבד!

36 ,18 ,12 ,9 ,6

סמינר מדמ"ח יוני 2004 14

רמזים שעזרו:רמזים שעזרו:

מתמטיקה:לגבי הנוסחה

כל פעם שני משתנים נתונים

ומוצאים את השלישי.

A mod B = C

חישוב ידני:מה המספר הבא? תן לי דוגמא...

הצגה גרפית:

הצגת התבנית:-Aטבעיים של המספר מחלקים

C... ...Cסדרה חשבונית המתחילה ב-

סמינר מדמ"ח יוני 2004 15

מוטיבציה – בעיות מענינותמוטיבציה – בעיות מענינות :"מתמטיקת שעון" - מודולו•

ימים. 10אם היום יום שני, איזה יום יהיה בעוד – דקות.200 שעות. ו-100כמה ימים, שעות, ודקות הם –

מעבר מבסיס • לבסיס:

?2 בבסיס 3010 כמה זה

30 : 2 = 15( 0)

15 : 2 = 7( 1)

7 : 2 = 3( 1)

3 : 2 = 1( 1)

1 : 2 = 0( 1)

פירוק מספר לספרותיו.•

)השארית היא הספרה(

סמינר מדמ"ח יוני 2004 16

בעיות מענינותבעיות מענינותhashingמערך מעגלי : תור, •

N=8 0 :1קידום אינדקס ב-•

1

2

…

7

I:= (I + 1) mod N

if I=N then I :=1 else I:= I+1

קידום אינדקס מעגלי•) רולטה, שחקנים במשחק, ריבוע קסם(

סמינר מדמ"ח יוני 2004 17

בעיות מענינותבעיות מענינות אוטומט סופי דטרמיניסטי: )חיבור שאריות(•

הקלט: מספר עשרוני באורך כלשהו. .2 עם שארית 3המילים בשפה: מספרים המתחלקים ב-1,4,7

1,4,7

0,3,6,9 0,3,6,9

0,3,6,9

2,5,8

0 1

2

1,4,72,5,8

2,5,8

סמינר מדמ"ח יוני 2004 18

תודהתודההמשך נעיםהמשך נעים

שירלי ואיתןשירלי ואיתן