الجامعة المستنصرية | mustansiriyah university · web viewطريقة الموضع...

NUMERICAL ANALYSIS تـحـلـيـل عــددي

1


اعــــدادابراهيم نافع سعد.معلي محمد جاسم علي.م

حسين الكريم عبد لقاء م.مكاظم عبدالله رغد م.ماحمد حميد زينب م.م

باشـرافالدين محـي عـزت أ.م.د. فاتــن

2

العــــــــددي التــحـلـيـلNUMeRICal ANALYSIS للمرحلة تعطى الرياضيات في متخصصة مادة

الثانية

الـجـامـعـةالـمـستـنـصـريـة

الـعـل ـــكـلـيـ ـومـــــة

الـفـيـزيـاء قـسـم


الرؤياــبر يتطلع ــ ــددي تحليلال مخت ــ ــيز الى الع ــ ــديم خلال من التم ــ تق

الفيزيــاء بقسم الخاصة للمــواد البرمجية المختبرات من مجموعة مجــــــــال في المرموقة المعيارية المســــــــتويات يحقق بحيث

ومدربة مؤهلة وطنية كفــاءات إعــداد على يســاعد مما الحاسبات المجتمعية للتنمية العلمي والبحث التعليم مجــــال في للولــــوج

.ممتازة بمعايير

الرسالة

،الفيزيــاء قسم رســالة من العــددي تحليلال مختــبر رســالة تنبثق في متمــيزين متخصصــين إعــداد إلى الفيزيــاء قسم يهــدف حيث

ــاء، في الحاسوب مجال والإســهام العلمي، البحث وتعزير الفيزي المجتمع خدمة في وإقليميا محليا الشــاملة الجــودة لمعايير وفقا

خطط اعـــداد خلال من وذلك والمهنيـــة؛ الاخلاقية والمتطلبـــات ،الحاســوب علــوم تخصص في المســتجدات مع تتــواكب دراســيةــوم وتوظيف ــوب عل ــتي في الحاس ــني والتعلم التعليم عملي وتب

ــدث ــتراتيجيات اح ــاء التعلم اس ــدرات المعرفة لبن ــقل والق وص العلمية الكــــوادر وتطــــوير اعــــداد ثم ومن الطلبة مهــــاراتــاء لقسم ليصــبح المختبر في المتخصصة أكاديميا أنموذجا الفيزي

ــدا ــيزا"رائ ــداد خلال من" ومتم ــوق الطلبة إع وتنمية العمل لس لمجتمع وصـــولا الآخـــرين مع والتواصل التفاعل على قـــدراتهم

المعلوماتية.

3


الأهداف

وهو الطالب يتخرج أن ضمان هي للمختبر الرئيسية الأهداف ان:التالية والمعارف المهارات يمتلك

المشاكل حل مهارات - المشاكل حل تقنيات من واسعة لفئة الجوهرية المعرفة -

وتقنيات الاستدلال، المثال: الخوارزميات، سبيل )على.البرمجة(

الحاسبات. علوم لأساسيات جوهري فهم - باستخدام بوضوح الاخرين مع التواصل على القدرة -

.وخطيا شفهيا التقنية المفاهيم.الاخرى التخصصات من الاخرين مع العمل على القدرة -ــوير - ــاهج المناسب التط ــية للمن ــمن بما الدراس دمج يض

.الفيزياء و الحاسبات علوم تكنولوجيا في التغيرات ." وعمليا"علميا المؤهلة بالكوادر يالمحل المجتمع تزويد-

4


مقدمـــــة

استخدام يتم حيث التقريب علم هو العددي التحليل إن بالطرق للحل القابلة وغير المعقدة المسائل لحل عددية طرق

يجب أخطاء العددية الطرق هذه استخدام عن وينشأ التحليلية قبول على نحكم لكي وذلك إجابة أي على الحصول عند معرفتها

رفضها. أو الإجابة هذه

أهمها: الخطأ من أنواع عدة هناك

التي المسائل حل عن الناتجة(DATA) المعطيات خطأ1- كاف بشكل الدقيقة غير العملية التجارب من عليها نحصل

للتسهيل وذلك حقيقية لقيم مقربة نأخذها التي أوالتدوير. قواعد مثل للمستخدمين

رياضية علاقة عن الاستعاضة عن الطريقة: ينتج خطأ2- معقدة استخدام ذلك منها. ومثال أبسط أخرى بعلاقة مثلا المنحرف شبه طريقة التكامل قيمة حساب في مثلا

المحدود.

السلسلة مجموع أن اعتبار عن المقتطع: والناتج الخطأ3- المنتهية غير حدودها. من عدد هو مثلا

نفسه الحاسب عن الآلي: ناتجة الحاسب أخطاء4- فمثلا على يحتوي فيه عدد كل أن بحيث حاسب لدينا أن لنفرض و9.2654 العددين جمع نريد وإننا فقط أرقام خمسة

ستة على يحتوي وهو16.4279 هو المجموع إن7.1625 الأرقام هذه تخزين لايستطيع الحاسب عندئذ أرقام

.16.428 إلى الستة الأرقام بتدوير يقوم وبالتالي

5


عن الناتج الشخصي الخطأ مثل مهملة، أخطاء - هناك5 مقارنة ما لتجربة القياس بعملية يقوم الذي الشخصالتجربة. لذات القياس بعملية يقوم آخر بشخص

بطريقتين: عادة الأخطاء عن نعبر أن يمكن

: Absolute error المطلق الخطأ (1-1)

والقيمة الحقيقية القيمة بين الفرق عن عبارة بأنه ويعرف:- حيثبالشكل: له ويرمز التقريبية

X الدقيقة( الحقيقية القيمة هي(

X1التجريبية التقريبية أو المحسوبة التقريبية القيمة

E بـ المطلق للخطأ )سنرمز التباس هناك يكن لم إذا من بدلاللسهولة(.

الخطاء حساب طريقة يوضح بيسك فجول بلغة كود يلي فيما: المطلق

X=inputbox("Enter Real Value")

X1= inputbox("Enter Rounding Value")

E=Abs(X-X1)

MsgBox "Absolute error= " & E

Or

X = Val(Text1.Text)

X1 = Val(Text2.Text)

6

NUMERICAL ANALYSIS تـحـلـيـل عــدديE = Abs(X - X1)

Text3.Text = E

: Relative error النسبي الخطأ (1-2)

المطلق الخطأ عن عبارة وهو القيمة على مقسوما عن حقيقية فكرة لايعطي المطلق الخطأ إن الحقيقية. حيث

من المسافة وطول غرفة طول قسنا : لو مثلا. القياس دقة أي هو فالسؤال نفسه المطلق الخطأ وكان البصره إلى بغداد

القياسين أدق البصره إلى بغداد من المسافة أدق. طبعا له يرمز والذي السابق التعريف إدخال تم ذلك لمعرفة وبالتالي

بـ:

: مـثـال

D مطلق وبخطاء سم10 = 1ل المقاسة القيمة كانت إذا

لD مطلق وبخطاء م20 = 2ل المقاسة ملم, والقيمة1 = 1ل:- سم2 = 2

القياسين من كل في الخطاءالنسبي أحسب – أ

؟ أدق القياسين أي – ب

: الحـــــــل

%1 = 0.01= = : الأول القياس في الخطاءالنسبي

7


=0.001= = : الثاني القياس في النسبي الخطاء

0.1%

يكون الأول القياس ففي ملم1-أو ملم1+ هو الخطأ مقدارا ملم100 في

هو: الخطأ فمقدار الثاني القياس في أما

سم2000 في سم2– أو سم2+

ملم20000 في ملم20 – أو ملم20أي: +

ملم100 في ملم0.1 – أو ملم0.1أي: +

أن من بالرغم الأدق، هو الثاني القياس أن نجد ومنه أن إلا الأول الخطاءالمطلق من أكبر الثاني الخطاءالمطلق

الأول. من أدق الثاني القياس

بل فقط المطلق الخطأ على القياس دقة تتوقف : لا ملاحظـــه الوحدات تكون أن على المقاسة القيمة وبين بينه النسبة على

الخطاءالنسبي كان كلما دقة أكثر القياس متماثلة. ويكونصغيرا.

فكانت مقاومة طرفي على جهد بقياس متدرب : قام تمرين للجهد المتوقعة القيمة كانت ,اذا49V تساوي المقاسة القيمة ،احسب: 50V تساوي النظرية الحسابات حسب

النسبي - الخطأ2المطلق - الخطأ1

8


الخطاء حساب طريقة يوضح بيسك فجول بلغة كود يلي فيما: النسبي


X1= inputbox("Enter Rounding Value")

E=Abs(X-X1)

Er=E/Abs(X)

MsgBox " Relative error= " & Er

Or

X = Val(Text1.Text)

X1 = Val(Text2.Text)

E = Abs(X - X1)

Er = E / Abs(X)

Text3.Text = Er

: الأعــــداد دقــــة (2-1)

تماما، المضبوطة الأعداد تلك الأعداد، من نوعين عادة يوجد عن الدقة. أمثلة من معينة درجات ذات قيم إلى يشير آخر ونوع . الأعداد3,2,1…, الصحيحة الأعداد التامة، الدقة ذات تلك

المكتوبة الأعداد من وغيرها والأعداد الكسرية

الطريقة. بهذه

9


حيث القيمة عن تعبر التي تلك من واحد هو المقرب العدد إن وهكذا الرقمية السجلات من لعدد فقط تكون الدقة يكون مثلا

من منته كرقم بدقة عنه نعبر أن لايمكن ولكن كتابة مضبوطا نكتبه أن يمكننا الرقمية، الأعداد يكون حيث1.732 بالشكل مثلا

أفضل. كتقريب1.73205 بالشكل كتابته يمكن وكذلك كتقريب معنوية أشكال تسمى عدد عن للتعبير المستخدمة الأرقام إن

significant figuresفي معنى لهم كان إذا الأعداد كل العدد. مثلا العدد في معنوية. بينما أشكال تكون1.73205 في الرقمية

لمكان استخدم0 . الـ معنوية أشكال5 , 7 , 2 فقط0.00572 إضافة يجب العدد، نهاية في0 الـ استخدم العشرية. إذا النقطة

كان إذا فيما لتحديد إضافية معلومات 525.000$ معنويا. مثلا يكون أن يمكن مالي تعبير يكون أن يمكن )مضبوطا( أو دقيقا

تكتب الأعداد كل مطلوبة، الدقة كانت ألف. إذا )نقدي( لأقرب. أومثل: عائمة، نقطة شكل على

ولذلك تحديد عدم إلى الأعداد تقود الرياضية العمليات إن المراد الشكل إلى الأعداد )قطع( هذه حذف الضروري من

. Rounding off بالتدوير الحذف و Chopping القطع هذا ويسمى

الأعداد: على التالية للقواعد يخضع التدوير وهذا

العدد: ليكن

رقمn على يحتوي معنوي عدد إلى العدد هذا لتدوير عندئذيلي: ما وفق متتالي رقم تحذف

كان إذا1-

فتصبح: على1 بزيادة تحذف

10


أرقام4 على يحوي عدد إلى يدور60.73721مثال: معنوية

60.74بالشكل: فيصبح

. تغيير دون تحذف كان . إذا2-

معنوية أرقام لأربعة تدويره بعد يصبح60.7542مثال:

.60.75: بالشكل فيصبح

. أرقام لثلاثة يدور6.33500 مثال: العدد

6.34: العدد يصبح

23.5: العدد إلى أرقام لثلاثة يدور23.4500 مثال: العدد

أرقام خمسة )تدور( إلى تقرب التالية الأعداد مثال: إن: معنوية

31.358 إلى يدور31.35764

10.193 إلى يدور10.19313

14.323 إلى يدور14.32250

14.322إلى يدور14.32150

خطاء حساب طريقة يوضح بيسك فجول بلغة كود يلي فيما : Chopping Error القطع


B= inputbox("Enter How Many No.")

11

NUMERICAL ANALYSIS تـحـلـيـل عــدديC=X*10^B

D=Int( C )

Chop =D/10^B

MsgBox " Copping Value= " & Chop

خطـــاء حســـاب طريقة يوضح بيسك فجـــول بلغة كـــود يلي فيما :Rounding Error التدوير


B= inputbox("Enter How Many No.")

C=X*10^(B+1)

D=Int( C )

E=D+5

F= E/10

G=int( F )

Ron =G/10^B

MsgBox " Copping Value= " & Ron

تماريـــــن

12


العدد ليكن x = 5.3251إلى قربت القيمة هذه أن ولنفرض والخطأ المطلق الخطأ . احسب التقريبية القيمة

النسبي.

معنوية: أرقام خمسة إلى التالية الأعداد دور

38.46235 , 2.37425

0.00237135 , 0.700029

-التالية: الأعداد مجموع احسب

12.3172 , 11.283 , 4.3496 , 2.4875

المرتكب. النسبي الخطأ واحسب

من يحسب إلكترونية دارة في التيار لجريان الحل إن لـ: المحققة التفاضلية المعادلة

أوجد مراتب ثلاثة الى الناتج قرب ثمt = 5 وt = 0.01 عندما التيار قيمة

التدوير. بأستخدام الفارزه بعد

يلي: مما كل في المرتكب النسبي الخطأ أوجد

8.12 + 6.7

8.12 – 4.2

(8.12( )6.7)

8.124/3.113


العملية التطبيقــات خلال تظهر الــتي المعــادلات معظم أن ليس لها روالجذ إيجــاد او المعــادلات هــذه وحل خطية غــير تكــون الجــذور هذه لإيجاد العددية الطرائق نستخدم لذلك السهل بالأمر x قيم عن بــالبحث وذلك الجــذور لهــذه جدا قريبة قيم الاقل على

رذجــ من جــدا القريبةx قيم أصــغر عن البحث أي يمكن مما أصغرالمعادلة.

: المعادلة جذور عزل

عدد للاشتقاق القابلة=y الدالة لدينا أن لنفرض جـــذور عن فيها نبحث والـــتي[a,b] الفـــترة في المـــرات من

عزل ويمكن للمعادلة معزول جذر هوy الجذر ان نقولy المعادلةبطريقتين: الجذر

لها نتعرض لن والتي البيانية : الطريقة الاولى الطريقة

التحليلية : الطريقة الثانية الطريقة

ــاد ــ ــإن رول نظرية على وبالإعتمـ ــ كل بين يوجد فـ

ــالين , جـــذرين وذلك ل وحيد جـــذرل متتـ

: أن بشرط14


: عام وبشكل

[a,b] الفترة في الأقل على واحد جذرل أن يعني فهذا

الشــرط تحقق إذا وذلك[a,b] في فقط واحد جذرول

[a,b] الفترة في

كان إذا أما

[a,b] الفترة ضمن جذر ل ليس أنه يعــني فهــذا

[a,b] في الجذور من زوجي عدد ل أو

: مثال

: المعادلة جذور اوجد

: التالي الجدول سنشكل

310-1-3X

++-++--F(x)

نستنتج ][ , -3- المغلقة الفترة في جذر : لايوجد أولا

: ثانيا

15


[1,-3]- المغلقة الفترة في جذر يوجد

موجب لأنه جذر يوجد لا[1,0 ]-: ثالثا

[0,1] جذر رابعا: يوجد

[1,3]جذر خامسا: يوجد

,] [3+ جذر : لايوجد سادسا

عدة ... هناك نريدها التي وبالدقة المعادلة جذر نعين ولكي تـدعى والـتي المعـاملات هـذه لمثل القريبة الجـذور لإيجاد طرق

من واسع مجـــــال ولها المعـــــادلات لحل التكرارية بـــــالطرق من جــدا قريبة جــذور لإيجــاد عــادة تــؤدي طــرق وهي التطبيقات

الجــذور إلى تــؤدي النــادرة الأحيان بعض وفي المضبوطة الجذورــبوطة ــذه ،المض ــرق وه ــاج التكرارية الط ــية إلى تحت قيمة فرض

المضــبوطة للجــذور الطــرق بعض في أكــثر أو ابتدائية تقريبه

عــدة التكرارية الطريقة صــيغة اســتخدام يكــرر ( ثم ) المعادلة المضــبوط الجــذر إلى اقــرب أو متتابعة قيم على للحصــول مرات

ــتي الدقة إلى نصل ان إلى ــا. ن ال ــار أنحتاجه معينة طريقة اختيــيلها ــ ــدة على يعتمد الاخر على وتفض ــ ــرعة منها عوامل ع ــ الس

أم ,بســــيطة مركبة أم حقيقية الجــــذور كــــانت إذا وما والدقة.. لا أم أبتدائية تقريبية قيم لدينا كانت إذا وما ،متعددة

الفترات صيف ن ت طريقة :

الجــذر ايجاد طرق إحدى هي التنصيف طريقة الرياضيات، فيــتي ــار تكرارية بصــورة ما فــترة تنصــيف يتم بها وال فــترة واختي أنها مع. المعالجة تحســـــين أجل من الجـــــذر عليها يقع فرعية

.نسبيا بطيئة التنصيف طريقة أن إلا ومرنة جدا بسيطة16


الطريقة

=f(x) الدالة كــانت إذا [a,b] الفــترة في ومعرفة مســتمرة 0 ذلك ىمعن فإن الإشارة في مختلفتان أنهما أي f(a)* f(b) < 0 حيث

[a,b] الفــترة نطــاق في يقع الأقل علي f(x) الدالة جــذور أحد ان التالية الخوارزمية نتبع الحالة هـــذه في(.ـــ 1-1 الشـــكل انظر)

:الدالة هذه حل إلي للوصول

ــان متوسط نوجد ــرف a,b القيمت ــدهما المع x1 وليكن الدالة عن

.x1=(a+b)/2 أن حيث

.لها وحلا f(x) للدالة جذر x1 فإن f(x1)= 0 قيمة كانت إذا باتبــاع نقــوم السابق الشرط يتحقق لم إذا

:التالي

a = x1 نضع فإننا f(x1) * f(b)< 0 كانت إذا

.الحل من لنقترب

من لنقترب b = x1 نضع فإننا f(x1) * f(a)< 0 كانت إذا .الحل

f(xi)= 0 فيها تكون لقيمة نصل حتي 2 و 1 الخطوتين بتكرار نقوم

في المطلوبة الدقة درجة تمثل P أن حيث f(xi)=> P فيها تكون أو.الحل

طريقة يوضح بيسك فجــول بلغة كــود يلي فيما: بــرمجي كــود.التنصيف

و left الأولية القيم. أعلاه a and b تقابل rightو left المتغيرات right بحيث الصحيح بالشكل اختيارها ينبغي (f(left و(f(right بحيث

17


يــبين epsilon المتغــير(. الجذر لحصر) مخالفة إشارات ذات تكون.المطلوبة الدقة مدى

'Bisection Method

'Start loop

Do While (abs(right - left) > 2*epsilon)

'Calculate midpoint of domain

midpoint = (right + left) / 2

'Find f(midpoint)

If ((f(left) * f(midpoint)) > 0) Then

'Throw away left half

left = midpoint

Else

'Throw away right half

right = midpoint

End If

Loop

Return (right + left) / 2

: لامثـــ

18


ــتخدام ــنيف طريقة باسـ ــذر اوجد التصـ )أنf(x) المعادلة جـF(x)=-4x+9x3 ,] 2,3 [ رهالفت في خطية( وذلك غير المعادلة

: الحل

F(2)= -9 , F(3)=6

f(2).f(3) < 0

[2,3] الفترة ضمن موجود الجذر أن يعني هذا

F(Xo)=f(2.5)=-30375<0

[2.5,3] الفترة في موجود الجذر فإن f(2.5).f(3)<0 أن وبما

F(X1) =f (2.75) =0.797>0

f (2.5).f (2.75) <0

[2.75 , 2.5] الفترة ضمن موجود الجذر أن أي

F(X2) =f (2.625) =-1.1412<0

f (2.625).f(2.75)<0

[2.625,2.75] الفترة ضمن موجود الجذر إذا

19

x0


F(X3)= f(2.6875)= -0.3391<0

: ومنه

f(2.6875).f(2.75)<0

[ 2.6875,2.75]الفترة ضمن موجود الجذر إذا

F(X4) = f (2.71875) =0.2209>0

ومنه

f(2.6875).f(2.71875)<0


F(X5)=f(2.7031)= -0.0615<0

f(2.703).f(2.718175)<0

[2.7031,2.718175] الفترة ضمن موجود الجذر فإن إذا

20


F(X6)=f(2.7109) =0.0787570

f(2.7031).f(2.7109)<0

] [2.7031,2.7109 الفترة ضمن موجود الجذر إذا

F(X7)=f(2.707)= 0.00847>0

f(2.7031).f(2.707)<0


الشرط.. تحقق

الخاطئ الموقع طريقة False position

False) الكـــاذب وضعمال طريقة position methodأحد (هي .f(x)=0 للمعادلة الحقيقي الجذر لإيجاد العددي التحليل طرق

خصائصها

لكن مباشــرة التنصــيف طريقة وتشبه الأقدم الطريقة هي طريقة من أســرع الخــاطئ وضعمال طريقة في التقــارب معــدل

.التنصيف

21


الحل آلية

الإشارات مختلفةf(x1) وf(x0) بحيثx1 وx0 نقطتين نختار هــذه بينX محور يقطعf(x)=y للدالة البياني الرسم آخر وبمعنى<)0 وبالتــاليx1 وx0 بين يقع الجــذر أن إلى يشــير وهذا النقاط

f(x0).f(x1النقاط بين يصل الذي الوتر معادلة باستخدام ([A[x0،f(x0و ([B[x1،f(x1

(y-f(x0)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)(x-x0

وضع طريق عنAB المنحــنى إســتبدال في الطريقة تكمن إلى تقــترب الــتيX محــور مع الوتر تقاطع نقاط واخذAB الوتر

(y=0محـــور الخط يقطع حيث النقطة الجـــذر. وتقع Xوتعطى ) بالعلاقه

x2=(x0)-((x1-x0)/(f(x1)-f(x0))). f(x0 )………………1

22

الشكل1

الشك1ل


x0 بين يقع الجذر فإن مختلفة باشاراتf(x0،(f(x2) كان فإذا

، x2ــذا ــتبدل وهك ،x1 نس ــ ــذر على ( فنحصل1) فيx2 بـ الج الجــذر على نحصل حــتى الخطــوه هــذه نكــرر وx3 التقريــبي(1) على بناء التكرار وعملية المطلوب

=x3-2x-5 المعادله جـــذر اوجد ذلك مثـــال طريقة باســـتخدام0 (2-3) للفترة الكاذب وضعمال

الحل:

f(x)= x3-2x-5

f(2)= -1 , f(3)= 16

باخذ 3 و2 بين محصور الجذر فان وبالتالي

xo=2 , x1=3

f(x0)= -1 , f(x1)= 16

على نحصل الكاذب وضعمال طريقة في

x2=x0-(x1-x0)/(f(x1)-f(x0)) f(x0 )=2+1/17=2.0588

F(x2)=f(2.0588)=-0.3908 <023


2.0588 و3 بين محصور الجذر اذا

باخذ

xo=2.0588 , x1=3

f(x0)= -1.3908 , f(x1)= 16

على نحصل

x3=2.0588-0.9412/16.3908 (-0.3908)=2.0813

على نحصل العملية هذه وبتكرار

x4=2.0862 , x5=2.0915

x6 =2.0934 , x7=2.0941 , x8=2.0943

. 2.0943 هو الجذر وبالتالي

الخطية غير المعادلات لحل نيوتن طريقة

24


ــوتن طريقة العددي، التحليل في ــة: ني Newton's)بالإنكليزي

methodبالإنكليزيــــة: نيــــوتن-رافســــون طريقة ( أو(Newton–

Raphson methodحقيقي. تابع جذور لإيجاد فعالة خوارزمية ( هي اســتخدامها الجــذور. يمكن إيجــاد لخوارزميــات مثــالا تعتبر لذلك

طريق عن التوابـع، هـذه لمثل الدنيا والحدود العليا الحدود لإيجادللتابع الأول المشتق جذور إيجاد

الحل آلية

المعادلــة". ونغــير "جــذر من قريبة قصــوى قيمة نختــار التقريــبي. صــفر الصــفر ونحسب بالممــاس البيــاني التمثيل

إعــادة يمكن ثم ومن المعادلــة، لجــذر تقريبية قيمة هو الممــاسللجذر. قربا أكثر حل على للحصول الحساب

fل بالنســبة عمليا: العمليــات : [a, b] → Rوقابلة معرفة , دالة ,aالمجال] على للاشتقاق bاعتبارية قيمة [ نختارx0كــانت )كلما

عدد لكل بالنسبة بالترجع أفضل(. نحدد كان كلما الحل من قريبة:nطبيعي صحيح

.f للدالة المشتقة الدالة هيf' حيث

والجـــذر متصـــلة دالةf' كـــانت إذا أنه نـــبين أن نســـتطيع قيم لكل حيثα ل مجــــاور يوجد معــــزول, فإنهα المجهــــول

ذلــك, من . أكــثرα من ( تقــتربxn) للجوار, المتتاليةx0 الانطلاق

25


f كــانت إذا '(α) ≠ الأرقــام عــدد أن أي ربــاعي التقــارب , فــإن0 مرحلة. كل في تتضاعف تقريبا الصحيحة

: نيوتن طريقة على مثال

[:2,1] الفترة في الدالة جذر أوجد نيوتن طريقة باستخدام

F(x)= x2-x-1

الحل:

ــتقة نوجد أولا f'(x) الدالة مشـ = 2x-1في نقطة نفـــرض لاx0 عند الدالة مشـــتقة أن نتأكدx0=1.5: أن ولنفـــرض الفـــترةصفر يساوي

f'(1.5) = 2×1.5-1 = 2 ≠0

: نيوتن قانون باستخدام

26


: آخر مثال

: الدالة فيx0=2 عندما نيوتن طريقة فشل سبب علل

f(x) = (x-2)2-1

الحل:

: الدالة نشتق أولا

(f'(x)=2(x-2

النقطة عند المشتقه نختبر

f'(2)= 2(2-2) = 0

مع للماس تقاطع قاطن يوجد لا لذلكx محور يوازي المماسنيوتن طريقة فشلت لذلكx محور

: تمرين

للدالة نيوتن بطريقة تكرارين أوجد

f(x)=x2-8 , x0=3

27


المعادلة حل في رافسون – نيوتن طريقة الخطية الغير

على رافســون – نيــوتن طريقة بيانيا: تستند المعادلة ايجاد الممــاس نرسم ثمxi هوf(x)=0 لجــذر أولي احتمــال فــرض مبــدأ

ــنى ــبرxi,f(xi))) عند الدالة لمنح ــاطع نقطة ونعت ــاس تق مع المم

28


ومنهاx=xi عند للدالة الميل تعريف . باســتخدامxi+1 هيX محور-:

(2 )

خطية الغير المعادلات لحل نيوتن صيغة ( تسمى2) المعادلةf(x)=0 بالشكل

على الحصــول لنا يمكنxi الأولي الاحتمــال من بــدءا لــذلك.2) المعادلة باســتخدامxi+1 التــالي الاحتمال نكــرر أن يمكننا (ـ

عند النقطة عند للدالة الممــاس تقاطع نقطة بإيجاد العملية هذه(xi+1,)f(xi+1)محور ( مع Xهي xi+2.

جبريا: المعادلة ايجاد

إلى الوصول نستطيع البياني التمثيل إلى بالنظر لها نيوتن طريقة أن كما نيوتن لطريقة المناسبة الخوارزمية

التقريبي. للجذر للوصول الطرق باقي عن أسرع إمكانيه

للدالة تايلر مفكوك على استندت نيوتن طريقة فإن يبدو وكما ولكنها : لنفرض الآن موضح هو كما التقريب بخطأ ملزمة أيضا

أن29

2الشكل


[f∈ c2[a, b

ولنفرض

[p0∈ [a, b

fل تقتربpبحيث f(p0)≠0و |P-P0صغيرة |

P0 حولf(x) لـ تايلور مفكوك لبداية ننظر

x=p وقيمة

ومنها p0 وp بين الأقل القيمةe(p: ) حيث

ــوتن طريقة p │انه تفــترض ني _ p0│الحد صــغيره, إذن P-P0)2) الحد فإن , وعليه اصغر يكون

على لنحصل يهمل لذا الصفر من قريبه

30


f(p0)+(P -P0) f'(p0) ≈ 0

فإن: ومنها

p≈ ≡ P1

المتتابعة تتولد النتيجة هذه من

pn}∞n=0 }

: في

ــكل ــ 2 الش - ــول كيفية وضحي ــريب على الحص ــتخدام التق باس . التقــريبp0 ل الاولي التقــريب من بدايــة المتتابعه المماسات

p1المماس نقطة من الاسقاط هو ((p1,f(p1)

31


32

الجامعة المستنصرية | mustansiriyah university · web viewطريقة الموضع...

Documents