复习回顾(1) 等差数列的通项公式 :

已知首项 a1 和公差 d, 则有 : an=a1+ (n-1) d

已知第 m 项 am 和公差 d, 则有 : an=am+ (n-m) d, d= （ an-am ） / （ n-

m ） (2) 等差数列的性质 : 在等差数列﹛ an﹜ 中 , 如果 m+n=p+q (m,n,p,q N),∈ 那么 : an+am=ap+aq

例：如图为一堆八层钢管，起每一层的数目分别 为： 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ，求这堆钢管的数目中总和？解：方法 (1)由累加法可得：sn =4+5+6+7+8+9+10+11=60

方法 (2) 4+11=5+10=6+9=7+8=15满足等差数列的性质sn =4 ×15=8/2 （ 4+11 ） =60

问题 2 ： 1+2+3+…+100= ？ 这个问题，德国著名数学家高斯（ 1777 年— 1855

年） 10 岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）

这个问题，可看成是求等差数列 1 ， 2 ， 3 ，…， n ，…的前 100 项的和。

假设 1+2+3+ +100=x, (1)

那么 100+99+98+ +1=x. (2)

由 (1)+(2) 得 101+101+101+ +101=2x,

100 个 101

所以 ,1001012 x x=5050.

设等差数列 a1,a2,a3,…它的前 n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由 (1)+(2) 得 2sn=(a1+an ） +(a1+an ） +(a1+an)+..

即 Sn=n(a1+an)/2

因为 an= a1+ （ n-1 ） d

所以 Sn=na1+n (n-1)d/2

下面将对等差数列的前 n 项和公式进行推导

即前 n 项的和与首项末项及项数有关若已知 a1 ， n ， d ，则如何表示 Sn 呢？

由此得到等差数列的 {an} 前 n项和的公式

2)( 1 n

naanS

即：等差数列前 n 项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。

上面的公式又可以写成dnnnaSn 2

)1(1

由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d

解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

（ 2 ） 1+3+5+……+ （ 2n-1 ） =

（ 1 ） 1+2+3+……+n=

（ 3 ） 2+4+6+……+2n=

上面习题的答案在以后会经常用到。

n （ n+1 ） /2

n （ n+1 ）n2

例 1 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放 120 支。这个 V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个 V 形架上共放着 120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为 {an}, 其中 a1=1 , a120=120. 根据等差数列前n 项和的公式，得

260 72

)1201(120120

S

答： V 形架上共放着 7 260 支铅笔。

例 2 ：在等差数列 {an}中，（ 2 ） a1=14.5 ， d=0.7 ， an=32 ，求 Sn

（ 2 ）由等差数列的通项公式，得14.5+(n1)0.7=32 n=26

5.6042

26)325.14(26

S

（ 1 ） a3= -2 ， a8=12 ，求 S10

解：（ 1 ） a1+a10 = a3+a8 = 10

502

10102

10)( 10110

aaS

由以上例题可以得出 : 在求等差数列的前 n 项的和时 ,当知道首项和公差 , 或者是知道首项和末项 , 均可以得出 . 已知等差数列 an 中 , 已知 a6=20, 求 S11=?

例 3: 已知等差数列 an 中 a2+a5+a12+a15=36. 求前 16 项的和 ?

解 : 由等差数列的性质可得 : a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn= （ 16/2 ） × 18=144 答 : 前 16 项的和为 144 。

分析：可以由等差数列性质，直接代入前 n 项和公式

例 4 等差数列 10 ， 6 ， 2 ， 2 ，…前多少项的和是 54 ？解：设题中的等差数列为 {an} ，前 n 项和是 Sn ， 则 a1= 10 ， d= 6(10) 4, 设 Sn=54 ， 根据等差数列前 n 项和公式，得

5442

)1(10

nnn 02762 nn

n19 ， n23 ( 舍去 )

等差数列 -10 ， -6 ， -2 ， 2 ，…前 9 项的和是 54 。

巩固练习

2 、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10º ，最小内角为 100º ，则 n 等于（ ）（ A ） 7 （ B ） 8 （ C ） 9 （ D ） 8 或 9

由题意，得 : 180)2( 102

)1( 100

nnnn

解得 n=8 或 n=9

B

( 舍)

1: 在等差数列 {an} 中， d=2,an=1,Sn=-8. 求n.

3 ：在 a ， b 之间插入 10 个数，使它们同这两个数成AP, 求这 10 个数的和。

)(52

)(10,2

)(5)(2

)(12)(1

101101 baxxSbaxx

babababaSS n

：解法

：解法

已知一个梯形梯子，两底边分别长为 a,b. 中间还有 10蹬，且蹬之间距离相等。求这中间 10 级的长度的之和

并求这些元素的和。

的元素个数，且求集合 100,,7.5 mNnnmmM

.n.8,1,2:4 求中， nnn SadaAP

本节课主要讲述了等差数列的前 n 项和公式： ① s n=n （ a1+an ） /2 ② s n=na1+n （ n-1 ） d/2

以及他们的推导过程，在具体使用时 , 不一定完全套用公式 , 要灵活变通 .

...)(2

)(2 121 nnn aanaans

小结

③

等差数列的 {an} 前 n项和的公式

2)( 1 n

naanS

梯形面积公式

nandnnas ddnn 21

2221 1

观察上面的式子 , 我们可以看出它是关于 n 的二次函数 , 从而等差数列的前 n 项和可以写成形如 :

bnansn 2)2( a其中公差为

y = Ax2+ Bx

bannSn

y = Ax+ B

nandnnas ddnn 21

2221 1

)2(,2 abnansn 其中公差为

将等差数列的前 n 项和公式写成上述形式 , 有利于求其前 n 项和的极值 :

a1<0,d>0 a1>0, d<0

极大值 无 有极小值 有 无

n

sn

n

sn

a1<0, d>0, 极小值

a1>0,d<0, 极大值

例 2: 一个首项为正数的等差数列中 , 前 3 项的和等 于前 11 项的和的 . 问此数列前多少项的和最大 ?分析： S3=S11, 这里可以找出 a1 与 d 的关系 , 则 Sn 是 d的函数 若条件改为 S3=S12 呢？

练习 1: 已知一个等差数列前 4 项的和为 21 ，末 4 项的和为 67 ，前 n 项的和为 286. 求项数 n.

2. 已知两个等差数列前 n 项和的比为 4n+6:2n+5,求它们相应第 8 项的比。3. 等差数列 {an} 中， S12=354, 前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 33 ： 27 ，求公差 d.

4. 项数为奇数的等差数列 {an} 中， S 奇 =60 ， S 偶 =45 ，求中间项及项数 .

是等差数列。）求证数列（

求它的通项。项的和为的前已知数列

n

nn

a

nnSna

2

)1(,23.5 2

若 Sn=16n2+12n-1 呢？结论： P85

Ca1=1100

6 、有 30 根水泥电线杆，要运往 1000m 处放一根，以后每 50m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米。

MA B

解：如图，假定 30 根电线杆均在点 M 处， |MA|=1000 ， |MB|=1050 ， a1=|MC|=1100a2 =|MF|= a1+150=1250, … … a10=a1+1509

由于一辆汽车每次只能装 3 根，所以每次运输只能到达 C 、 F… 这些地方，这样组成公差为 150 、首项为 1100 的等差数列，再考虑往返，故 5.35)150

291010(2)(2 11021

aaaaS (km)

所以行程共 35.5 km

D E F1000 a2=125050 50 50 50 50