ДПА Математика 11 рус Ч-2 c.indd 3 20.01.2014...

ДПА Математика 11 рус Ч-2_C.indd 3 20.01.2014 16:12:17

3

Вариант 1 Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения: 2

549549 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+ .

2.2. Решите неравенство 57147 2 ≤⋅−+ xx .

2.3. Решите уравнение: 2log2log 5

25 =+ xx .

2.4. Найдите промежутки убывания функции 6221

31)( 23 −+−−= xxxxf .

2.5. Найдите первообразную функции xxxf 4cos43sin31)( += , график кото-

рой проходит через точку A( ; )π 3 .

2.6. Двое рабочих изготовили за первый день 100 деталей. За второй день первый рабочий изготовил деталей на 20 % больше, чем за первый день, а второй рабочий — на 10 % больше, чем за первый день. Всего за второй день они изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил за первый день первый рабочий?

2.7. Одна сторона треугольника равна 35 см, а две другие относятся как 3 : 8 и образуют угол 60°. Найдите большую сторону треугольника.

2.8. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 15 см, имеет площадь 64 π см2. Найдите площадь поверхности шара.

Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать

последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если

надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f x x

x( ) = +

3

442 .

3.2. Решите уравнение: sin sin cos cos2 2 2 22 3 4x x x x+ = + .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.

ÓÄÊ 373.5.091.26:51ÁÁÊ 74.262.21

Ñ23

Ñ23 Ñáîðíèê çàäàíèé äëÿ ãîñóäàðñòâåííîé èòîãîâîé àò-òåñòàöèè ïî ìàòåìàòèêå : 11-é êë.: â 2-õ ÷. / À.Ã. Ìåðç-ëÿê [è äð.]; ïîä ðåä. Ì.È. Áóðäû. — Ê. : Öåíòð íàâ÷.-ìåòîä. ë-ðè, 2014. — 208 ñ.

ISBN 978-617-626-173-5. ×. 2. — ISBN 978-617-626-201-5.

ÓÄÊ 373.5.091.26:51ÁÁÊ 74.262.21

© Ìåðçëÿê À.Ã., Ïîëîíñêèé Â.Á., ßêèð Ì.Ñ., 2014

© Öåíòð íàâ÷àëüíî-ìåòîäè÷íîї ëіòåðàòóðè, ñåðèéíîå îôîðìëåíèå, îðèãèíàë-ìàêåò, 2014

ISBN 978-617-626-173-5 (ðóñ.)ISBN 978-617-626-172-8 (óêð.)ISBN 978-617-626-201-5 (×. 2)

Ðåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû

(ïðèêàç Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû îò 27.12.2013 № 1844)

Ï å ð å â å ä å í î ï î è ç ä à í è þ:Çáіðíèê çàâäàíü äëÿ äåðæàâíîї ïіäñóìêîâîї àòåñòàöії ç ìàòå-ìàòèêè : 11-é êë. : ó 2-õ ÷. / À.Ã. Ìåðçëÿê [òà іí.]; çà ðåä. Ì.І. Áóðäè. — Ê. : Öåíòð íàâ÷.-ìåòîä. ë-ðè, 2014. — 224 ñ.

ДПА Математика 11 рус Ч-2.indd 2 21.01.2014 14:22:00

3



2.1. Вычислите значение выражения: 2

549549 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+ .

2.2. Решите неравенство 57147 2 ≤⋅−+ xx .


25 =+ xx .

2.4. Найдите промежутки убывания функции 6221

31)( 23 −+−−= xxxxf .

2.5. Найдите первообразную функции xxxf 4cos43sin31)( += , график кото-

рой проходит через точку A( ; )π 3 .

2.6. Двое рабочих изготовили за первый день 100 деталей. За второй день первый рабочий изготовил деталей на 20 % больше, чем за первый день, а второй рабочий — на 10 % больше, чем за первый день. Всего за второй день они изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил за первый день первый рабочий?

2.7. Одна сторона треугольника равна 35 см, а две другие относятся как 3 : 8 и образуют угол 60°. Найдите большую сторону треугольника.

2.8. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 15 см, имеет площадь 64 π см2. Найдите площадь поверхности шара.





x( ) = +

3

442 .

3.2. Решите уравнение: sin sin cos cos2 2 2 22 3 4x x x x+ = + .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.

4

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать



4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yx a y+ + =− + =

⎧⎨⎩

3 5 042 2,

( )

имеет три решения?

4.2.м Решите неравенство:

12

222log 4 log 88

xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 23)( 3 +−= xxxf

и 2)1()( −= xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. В каком отношении точка K делит сторону BC ?

4




4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yx a y+ + =− + =

⎧⎨⎩

3 5 042 2,

( )



12

222log 4 log 88

xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 23)( 3 +−= xxxf

и 2)1()( −= xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. В каком отношении точка K делит сторону BC ?

5



2.1. Решите систему уравнений:

⎩⎨⎧

=−=−.2

,2422

yxyx

2.2. Чему равен αcos , если 6,0sin =α и π<α<π2 ?

2.3. Вычислите значение выражения log loglog log

9 9

2 2

27 32 6 9

+−

⋅

2.4. Решите уравнение: 033103 12 =+⋅−+ xx .

2.5. Чему равно наименьше значение функции f x x x( ) = + −2 3 2 3 на проме-жутке [–1; 1] ?

2.6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 150 и делятся нацело на 4.

2.7. Известно, что O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (BC || AD). Найдите отрезок BO, если AO : OC = 7 : 6 и BD = 39 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной a, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= −8 2 и прямой y = 4 .

3.2. Решите уравнение: x x+ + − =2 3 2 4 .

3.3. Стороны треугольника равны соответственно 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне треугольника.

6




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции sin( ) cos

xf x a x= − ?

4.2.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие уравнению:

1)62(log)126(log 25

23 =++++ yyxx .

4.3.м Решите систему уравнений: x yy zz x

2

2

2

2 74 76 14

+ =+ = −+ = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ AOC = 120°. Докажите, что ∠C1BO = ∠C1A1O.

6




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции sin( ) cos

xf x a x= − ?


1)62(log)126(log 25

23 =++++ yyxx .


2

2

2

2 74 76 14

+ =+ = −+ = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ AOC = 120°. Докажите, что ∠C1BO = ∠C1A1O.

7



2.1. Упростите выражение 22 )) α−+α+ tg(1tg(1 .

2.2. Решите неравенство:

02

)3)(7(≥

−+−

xxx

.

2.3. Упростите выражение 2

12

144

84

21

21

21

21

−

−⋅

+−

−

x

x

xx

x .

2.4. Решите уравнение: 2)11(log)2(log 66 =−+− xx .

2.5. Вычислите интеграл dxxx∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

1

0 136 .

2.6. Решите неравенство 4 6 2 8 0x x− ⋅ + ≥ .

2.7. Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Чему равно расстояние между серединами ее диагоналей?

2.8. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона осно-вания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равно-сторонним треугольником.




3.1. Постройте график функции f x x x( ) cos cos= − 2 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-

ции 2( )x

f x xe−

= .

3.3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 8 см, а боковое ребро — 2 см. Через сторону AC нижнего основания и середину стороны A1B1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

8




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение

( )2 1sin sin 02 2ax a x− + + =

имеет на промежутке 50; 4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 132 −= xx .

4.3.м Решите систему уравнений: 3,

1 1 1 3,

1.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два треугольника ABC и A1B1C1 расположены так, что точка B — се-редина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точка A — сере-дина отрезка CA1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна S.

8





( )2 1sin sin 02 2ax a x− + + =

имеет на промежутке 50; 4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 132 −= xx .


1 1 1 3,

1.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два треугольника ABC и A1B1C1 расположены так, что точка B — се-редина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точка A — сере-дина отрезка CA1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна S.

9



2.1. Решите уравнение 49 6 7 7 0x x− ⋅ − = .

2.2. Чему равно значение выражения 3log212log 621

681 9 + ?

2.3. Упростите выражение

353 164 2

5 112 6

a a a

a a

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.4. Решите уравнение xx −=− 78 .

2.5. Упростите выражение sin 3 sin 2sin 2cos3 cos 2cos 2

α + α − αα + α − α .

2.6. Найдите первообразную функции xx

xf 2432

3)( −+

= , график которой

проходит через точку (7; 2)A − .

2.7. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили точки M и K соот-ветственно так, что MK || AC и AM : BM = 2 : 5. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 98 см2.

2.8. Основа прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с углом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна l и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение: cos sin sinx x x− =3 2 3 .

3.2. Запишите уравнение касательной к графику функции y x x= − +2 3 2 , которая параллельна прямой x y− = 5 .

3.3. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а ее высота — 12 см.

10




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )2 1 3 0x x a+ − − =

в зависимости от значения параметра a?


( )x x x− + ≤ −3 4 92 2 .

4.3.м Постройте график функции 21

sin (arcctg )y

x= .

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соеди-няющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.

10




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )2 1 3 0x x a+ − − =



( )x x x− + ≤ −3 4 92 2 .

4.3.м Постройте график функции 21

sin (arcctg )y

x= .

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соеди-няющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.

11



2.1. Представьте в виде дроби выражение 11 4

4

+−

− aa

aa .

2.2. Решите уравнение: 027369 =−⋅− xx .

2.3. Решите неравенство: 27log)54(log 33 +<−x .

2.4. Решите уравнение 2sin3cos2 2 += xx .

2.5. Найдите промежутки убывания функции f x x x x( ) = − − −3 2 5 3 .

2.6. Чему равна сумма целых решений неравенства 2 1 13x

x+ ≤− ?

2.7. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его меньшей стороне.

2.8. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности ци-линдра.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= 2 и прямой y x= + 2 .

3.2. Решите уравнение:

( )x x x x2 24 3 5 2 2 0− + − − = .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом β и гипотенузой c. Боковое ребро, проходящее через вершину данного острого угла, перпендикулярно плоскости основания, а боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному куту, наклонена к плос-кости основания под углом γ. Найдите объем пирамиды.

12




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0sin)12(sin 22 >+++− aaxax

выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение: 3|1lg||2lg| =−++ xx .

4.3.м Решите уравнение: 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − .

4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ : MD = 1 : 1 и AN : ND = 1 : 2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.

12




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0sin)12(sin 22 >+++− aaxax



4.3.м Решите уравнение: 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − .

4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ : MD = 1 : 1 и AN : ND = 1 : 2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.

13



2.1. Чему равно значение выражения 13

2 13 3

3

2

a

a a

−

−−

при 5=a ?

2.2. Решите неравенство 1624 12>⋅ +xx .

2.3. Вычислите значение выражения 4log

213log4 555

+.

2.4. Решите уравнение 2 3 133 2 3x x

x x− ++ =+ − ⋅

2.5. Найдите первообразную функции 12( )3 2

f xx

=−

, график которой про-

ходит через точку A( ; )9 30 .

2.6. Моторная лодка проплыла 7 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

2.7. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона — 4 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверх-ности параллелепипеда.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума

функции 2

21( )1

xf xx+=−

.

3.2. Докажите тождество:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3sin 3 cos sin 3 cos2 2 sin 41 cos ( 2 )

π ππ− α − +α + α + π+α= − α+ π− α .

3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а основа-ние — 3 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его боковой стороне.

14




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 2− − =x a

в зависимости от значения параметра a.

4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arctg arctg 2x x

π+ = .

4.3.м Решите уравнение: 0loglog 4

22 =− xx xx .

4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что ∠C1 AP = ∠C1B1P.

14




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 2− − =x a


4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arctg arctg 2x x

π+ = .


22 =− xx xx .

4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что ∠C1 AP = ∠C1B1P.

15



2.1. Найдите значение выражения 5log

2

325 .


31

61

61

6

94:6

32

x

x

x

x −+ .

2.3. Решите уравнение: 766 1 =+ − xx .

2.4. Укажите область определения функции 24 8( )

3 15 36f x

x x= +

− −.

2.5. Найдите первообразную функции 644)( 3 +−= xxxf , график которой проходит через точку (1; 5)A .

2.6. Какие три положительных числа надо вставить между числами 3 и 48, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую про-грессию?

2.7. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

2.8. Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f x x x( ) ,= + −0 4 3 92 , которая параллельна прямой y x= −7 8 .

3.2. Упростите выражение ( )ctg tg cos tg2 2 2 2α α α α− ⋅ , если 4 2π π< α < .

3.3. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 60°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.

16




4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f x x x a( ) ( )= − −2 1 4 .

4.2.м Решите неравенство: x x− + + ≥2 2 5 3 .

4.3.м Постройте график функции: y x x= + −arcsin arcsin 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектри-сы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1 = 2BB1.

16





4.2.м Решите неравенство: x x− + + ≥2 2 5 3 .

4.3.м Постройте график функции: y x x= + −arcsin arcsin 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектри-сы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1 = 2BB1.

17




61

31

61

61

31

31

61

61

31

2:nm

nnmm

m

nmm +−− .

2.2. Решите уравнение: 7 2 7 5 7 2802 1x x x+ +− ⋅ + ⋅ = .

2.3. Упростите выражение ctg α + sin1 cos

α+ α

.

2.4. Первый член арифметической прогрессии равен –3, а разность равна 4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 150?

2.5. Решите уравнение: x x− + =1 5.

2.6. Найдите наименьшее значение функции 4 2( ) 24

xf x x= − на промежут-

ке [0; 4].

2.7. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если AB = 2 3 см, BC= 5 см, ∠ A= 60°.

2.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 12 3 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy 5= и прямы-

ми y x= +4 1 и x = 2 .

3.2. Решите неравенство lg lg2 100 7 8x x− ≥ .

3.3. В прямоугольном треугольнике MNK (∠N = 90°) известно, что MN= 6 см, MK= 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки N, M и точку пересечения биссектрисы угла M с катетом NK.

18




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 17 0x ax bx+ + − = равен 2 1− ?

4.2.м Сколько корней уравнения cos3 cos 01 sinx x

x+ =− принадлежат промежут-

ку ;2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие нера-венству:

63410208 22 ≤+−⋅++ yyxx .

4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

18




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 17 0x ax bx+ + − = равен 2 1− ?

4.2.м Сколько корней уравнения cos3 cos 01 sinx x

x+ =− принадлежат промежут-

ку ;2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие нера-венству:

63410208 22 ≤+−⋅++ yyxx .

4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

19



2.1. Решите уравнение: xx 5262525 ⋅=+ .

2.2. Найдите значение производной функции 24)( xx eexf −+= в точке

00 =x .

2.3. Чему равно значение выражения

14132

1 19 4

8 9

27 4

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟⋅⎝ ⎠?

2.4. Найдите область определения функции 42

10)(x

xf−

= .

2.5. Вычислите интеграл ( )3

1

4 x dxx −∫ .

2.6. Упростите выражение 3 sin 2cos(60 )2sin(60 ) 3 cos

α + °+ α°+α − α

.

2.7. Из точки A, лежащей вне прямой m, проведены к этой прямой наклонные AC и AD, которые образуют с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AD на прямую m, если AC = 4 2 см.

2.8. На расстоянии 12 см от центра шара проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения равна 64π см2. Найдите площадь поверхности шара.




3.1. Решите уравнение 162log =xx .

3.2. Постройте график функции | sin |( ) sinxf x x= ⋅

3.3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плос-кости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

20




4.1.м Решите уравнение: x x− + + =2 6 63 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 27 8 0− + − = имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 3 5 17 1cos cos cos ... cos19 19 19 19 2π π π π+ + + + = ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD ?

20




4.1.м Решите уравнение: x x− + + =2 6 63 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 27 8 0− + − = имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 3 5 17 1cos cos cos ... cos19 19 19 19 2π π π π+ + + + = ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD ?

21



2.1. Найдите значение выражения 1 16 2 6 6 2 6

+− +

.

2.2. Упростите выражение cos 7 cossin 7 sin

α + αα − α .

2.3. Решите уравнение 0126436 =−⋅− xx .

2.4. Вычислите значение выражения 2lg325lg2

1100

−.

2.5. Найдите первообразную функции 26( )

cos 6f x

x= , график которой про-

ходит через точку ( ); 3 318A π .

2.6. Первый тракторист может вспахать поле на 3 ч быстрее, чем второй. Если первый тракторист проработает 4 ч, а затем его сменит второй, то последний закончит вспашку этого поля за 3 ч. За сколько часов может вспахать все поле первый тракторист?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке K. Меньшее основание BC трапеции равно 4 см, BK= 5 см, AB= 15 см. Найдите большее основание трапеции.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии d от центра верхнего основания и которая видна из этого центра под углом ϕ. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол β. Найдите объем цилиндра.





ции 2 6( ) 2

x xf x x+= − .

3.2. Решите неравенство 1 23

1log log 12x

x− > −− .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его меньшего острого угла.

22




4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению 2 2 2 12 2x y xy y x+ − − = − .

4.2.м При каких значениях параметра a функция y f x a= +( ) является

четной, если 4( ) 22

xxf x = + ?

4.3.м Решите систему уравнений: 3sin sin ,43cos cos .4

x y

x y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

4.4.м Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD (AD ≠ BC). Известно, что 1 ( )2MN BC AD= + . Докажите, что

данный четырехугольник — трапеция.

22




4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению 2 2 2 12 2x y xy y x+ − − = − .


четной, если 4( ) 22

xxf x = + ?

4.3.м Решите систему уравнений: 3sin sin ,43cos cos .4

x y

x y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

4.4.м Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD (AD ≠ BC). Известно, что 1 ( )2MN BC AD= + . Докажите, что

данный четырехугольник — трапеция.

23



2.1. Упростите выражение 4 4

42:m mn m mn n

m mn− − + .

2.2. Решите уравнение ( )2 3 2127 9 3xx −

⋅ = .

2.3. Упростите выражение:

( ) ( )3cos cos( ) sin sin( )2 2π π+α π−α + + α π+ α .

2.4. Вычислите значение выражения ( )9lg 3log 8

2 2log 12 log 3 9− + .

2.5. Дана функция 2( ) cosxf x e x−= . Найдите '(0)f .

2.6. Катер прошел 48 км по течению реки и вернулся назад, затратив на путь против течения на 3 ч больше, чем на путь по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 25 см и 17 см. Найдите длины проекций этих наклонных на данную прямую, если они относятся как 5 : 2.

2.8. Диагональ грани куба равна a. Чему равна диагональ куба?




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 2

2( )5

xf xx+=+

.

3.2. Постройте график функции f x x x( ) log ( ) log= − ⋅ −2 22 2 .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого рав-на a и образует с диагональю прямоугольника угол α. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.

24




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение arcsin ( ) arcsin ( ) ( )2 3 3 2 5 4 0x a x a a+ − + − − =

имеет решения?

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку минимума функции:

3 21( ) 73 2x af x x ax+= − + − .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 2x xx+ > − .

4.4.м Точки M, N, P принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC

соответственно. Известно, что AM : AB = BN : BC = CP : CA = 1 : 3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника ABC.

24




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение arcsin ( ) arcsin ( ) ( )2 3 3 2 5 4 0x a x a a+ − + − − =


4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку минимума функции:

3 21( ) 73 2x af x x ax+= − + − .


4.4.м Точки M, N, P принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC

соответственно. Известно, что AM : AB = BN : BC = CP : CA = 1 : 3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника ABC.

25



2.1. Чему равно значение выражения 5 16 6

16

a a

a

+ при 27a = ?

2.2. Решите уравнение: 2sin 3 sin cos 0x x x+ = .

2.3. Решите систему уравнений: 56,

2.xy xx y+ =⎧

⎨ − =⎩

2.4. Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии ( )na , если 10 32a = , а разность прогрессии 4d = .

2.5. Решите неравенство ( ) ( )3 2 7

5 5tg tg12 12

xx x−− −π π≤ .

2.6. Найдите промежутки возрастания функции 4 3 2( ) 2 2 2f x x x x= − − + .

2.7. Площадь ромба равна 120 см2, а его диагонали относятся как 5 : 12. Найдите периметр ромба.

2.8. Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и сере-дину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если образующая цилиндра равна l.




3.1. Решите неравенство 3 3log (2 1) log ( 9) 2x x− + − < .

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой 2 4 5y x x= − + и прямой 5y x= − .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

26




4.1.м Упростите выражение:

a a a a+ + + + − + +2 4 5 2 4 5 .

4.2.м Постройте график функции y x= cos ( arcsin )2 .

4.3.м Решите систему уравнений: 2 2

2 22 3 2 14,

5.x xy y

x xy y⎧ − + =⎨ + − =⎩

4.4.м В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 2q. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 2p.

26




4.1.м Упростите выражение:

a a a a+ + + + − + +2 4 5 2 4 5 .

4.2.м Постройте график функции y x= cos ( arcsin )2 .


2 22 3 2 14,

5.x xy y

x xy y⎧ − + =⎨ + − =⎩

4.4.м В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 2q. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 2p.

27



2.1. Чему равно значение выражения 0,6 0,6 2,36(5 ) (0, 2)− −⋅ ?

2.2. Решите неравенство: 23 3 24x x+ − ≤ .

2.3. Найдите значение cosα , если tg 3α = − и 3 22π < α < π .

2.4. Решите уравнение: 3

2 214log log 1x x+ = − .

2.5. Геометрическая прогрессия ( )nb задана формулой общего члена 17 2n

nb −= ⋅ . Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

2.6. Смешав 3-процентный и 8-процентный растворы соли, получили 260 г 5-процентного раствора. Сколько взяли граммов 3-процентного раствора?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Найдите отрезок AM, если AB = 6 см и BC : AD = 3 : 4.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен R.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x x= − +2 6 9 и прямой y x= −5 .

3.2. Упростите выражение: 2 2( 2) 8 ( 2) 8a a a a+ − + − + .

3.3. Основание пирамиды — квадрат со стороной 12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 5 см.

28




4.1.м Сколько критических точек на промежутке [ ; ]a a− имеет функция 3 2

( ) 23 2x xf x x= − −

в зависимости от значения параметра a ( 0)a > ?

4.2.м Докажите тождество:

2arctg arcsin

1xx

x=

+.

4.3.м Решите систему уравнений:

2 2

20 ,

34.

x yx y x y x yx y

⎧ −− + =⎪ + +⎨⎪ + =⎩

4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠AA1C=∠CC1A. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

28




4.1.м Сколько критических точек на промежутке [ ; ]a a− имеет функция 3 2

( ) 23 2x xf x x= − −

в зависимости от значения параметра a ( 0)a > ?


2arctg arcsin

1xx

x=

+.


2 2

20 ,

34.

x yx y x y x yx y

⎧ −− + =⎪ + +⎨⎪ + =⎩

4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠AA1C=∠CC1A. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

29



2.1. Вычислите значение выражения 0,25 0,5 281 9 (0,2)−− − .

2.2. Найдите корень уравнения 19 9 24x x+ − = .

2.3. Упростите выражение 2sin cos sin( )cos( ) 2sin sin

α β− α +βα +β + α β

.

2.4. Решите неравенство: 6 6log ( 1) log (2 1) 1x x+ + + ≤ .

2.5. Найдите первообразную функции 1( ) cos 23 1xf x

x= +

+, график которой

проходит через начало координат.


4 24 1

x xy x−= − .

2.7. В четырехугольнике ABDC, изобра-женном на рисунке, aBDAB == ,

.15°=∠=∠ DA Найдите периметр четы-рехугольника ABDC, если .90°=∠ACD

2.8. Угол при вершине осевого сечения ко-нуса равен α, а расстояние от центра ос-нования до образующей конуса равно a. Найдите площадь боковой поверхности конуса.





функции 2 7( ) 9

x xf x x+=−

.

3.2. Постройте график функции f x x x( ) tg cos= .

3.3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см.

A

C

D

B

a a

30




4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

( )x a x x− ⋅ − ⋅ ≥3 2 2 3 0 .

4.2.м Докажите, что функция )2cos(cos)( xxxf += не является периодической.

4.3.м Вычислите интеграл 2

2

2

sinx xdx

π

π−∫ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b. Отрезки, соеди-

няющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника.

30





( )x a x x− ⋅ − ⋅ ≥3 2 2 3 0 .

4.2.м Докажите, что функция )2cos(cos)( xxxf += не является периодической.


2

2

sinx xdx

π

π−∫ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b. Отрезки, соеди-

няющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника.

31



2.1. Найдите область значений функции 2( ) 10 27f x x x= − + .

2.2. Упростите выражение: 1 1 4: 11 1

x x xxx x

⎛ ⎞+ −−⎜ ⎟ −− +⎝ ⎠.

2.3. Решите уравнение: 6 5 2

4 2 4 1x x− =− +

.

2.4. Двое рабочих, работая вместе, могут изготовить некоторое количество одинаковых деталей за 10 ч. За сколько часом может изготовить эти детали один рабочий, если другому для этого надо 35 ч?

2.5. Найдите наибольшее значение функции 4y x x= + на промежутке [1; 3].

2.6. Решите уравнение: 21 sin 2 (sin 2 cos 2 )x x x+ = − .

2.7. Основания равнобокой трапеции равны 4 см и 6 см, а диагональ является биссектрисой ее острого угла. Вычислите площадь трапеции.

2.8. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MB и MC, образующие с плоскостью углы, равные 30°. Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если ∠BMC= 90°, а длина отрезка BC равна 8 см.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой 24y x= − и прямой 2y x= + .

3.2. Найдите область определения функции 0,31( ) log 5

xf x x−=+

.

3.3. Основание прямой призмы — ромб со стороной a и тупым углом α. Через бóльшую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.

32




4.1.м Найдите уравнение касательной к графику функции 4( ) 3xf x x+=+

,

проходящей через точку (0; 0)O .

4.2.м Решите неравенство: 2 3 18 4x x x− − < − .

4.3.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение 2 2cos 12

xa axπ + =

имеет единственное решение.

4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

32





,

проходящей через точку (0; 0)O .

4.2.м Решите неравенство: 2 3 18 4x x x− − < − .

4.3.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение 2 2cos 12

xa axπ + =


4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

33



2.1. Чему равно значение выражения ( )( )( )232323 4444 ++− ?


x x x2 7 12 6+ + = − .

2.3. Вычислите значение выражения 4log5lg2 74910 − .

2.4. При каком положительном значении x значения выражений 7−x , 5+x , 13 +x являются последовательными членами геометрической про-

грессии?

2.5. Укажите область определения функции 4 5ln 2xy x

−=−

.

2.5. Вычислите интеграл ∫3ln

2ln

3 dxe x .

2.7. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание треугольника.

2.8. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плос-кости основания под углом α. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен a. Найдите объем пирамиды.




3.1. Постройте график функции f xx

x( ) =−

−

2 4

2 4⋅


( )( ) ( )( )2 2

29 5 5 2tg tg ctg ctg4 2 4 sinπ π π+ −α + + π−α =

α.

3.3. Точка пересечения биссектрис острых углов при большем основании трапеции принадлежит меньшему основанию. Найдите площадь тра-пеции, если ее боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.

34




4.1.м Решите неравенство: 2cos 4 3 0x x x⋅ − − ≥ .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции |12|)( 2 ++= xxxf на проме-жутке [–1; 0].

4.3.м Прямая y x= −6 7 касается параболы y x bx c= + +2 в точке M (2; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что SABE = 1 см2, SDCE = 4 см2, SABCD ≤ 9 см2. Найдите площади треугольников ADE и BCE.

34




4.1.м Решите неравенство: 2cos 4 3 0x x x⋅ − − ≥ .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции |12|)( 2 ++= xxxf на проме-жутке [–1; 0].

4.3.м Прямая y x= −6 7 касается параболы y x bx c= + +2 в точке M (2; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что SABE = 1 см2, SDCE = 4 см2, SABCD ≤ 9 см2. Найдите площади треугольников ADE и BCE.

35



2.1. Найдите корни уравнения 3 0sin cosx x− = .

2.2. Вычислите значение выражения 6 6log 11 log 113 2⋅ .

2.3. Упростите выражение 1 1 16 3 3

5 1 16 66

3

3

m m n m

n mm

− −++−

⋅

2.4. Решите уравнение: 2 12 3 2 2 0x x+ + ⋅ − = .

2.5. Найдите первообразную функции 3( ) 22

f x xx

= − , график которой

проходит через точку N (9; –8).

2.6. Лодка, собственная скорость которого равна 8 км/ч, проплыла 15 км против течения реки и вернулась назад, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения реки.

2.7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BM = 4 см, AC = 8 см, AM = MK. Найдите сторону AB.

2.8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофе- ма — 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.




3.1. Докажите тождество 2 2 4

2 2sin 2 4sin tg

sin 2 4sin 4α − α = α

α + α −.

3.2. Постройте график функции 22

2

log( ) log

xf x x= .

3.3. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащая гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

36




4.1.м Решите неравенство: 0cos)2( 2 ≤−− xxx .

4.2.м Решите неравенство: 8 7 4 7 2 8 01x x x− ⋅ + ⋅ − >+ .

4.3.м Сколько критических точек на промежутке [0; 1] имеет функция 3 2

( ) 3 2x axf x = −


4.4.м В треугольнике ABC проведена медиану AA1. Через точку C проведен отрезок FN, равный отрезку AA1 и параллельный ему. Найдите площадь четырехугольника AFNA1, если площадь треугольника ABC равна S.

36




4.1.м Решите неравенство: 0cos)2( 2 ≤−− xxx .

4.2.м Решите неравенство: 8 7 4 7 2 8 01x x x− ⋅ + ⋅ − >+ .

4.3.м Сколько критических точек на промежутке [0; 1] имеет функция 3 2

( ) 3 2x axf x = −


4.4.м В треугольнике ABC проведена медиану AA1. Через точку C проведен отрезок FN, равный отрезку AA1 и параллельный ему. Найдите площадь четырехугольника AFNA1, если площадь треугольника ABC равна S.

37



2.1. Найдите значение выражения

11 46 2

9182

a b

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ при 6=a , 9=b .

2.2. Решите неравенство ( ) ( )2 5 62 3

3 2x x−≥ .

2.3. Упростите выражение sin(30 ) cos(60 )sin(30 ) cos(60 )

° + α − °+ α° + α + °+ α

.

2.4. Решите уравнение 2 6 2x x x− − = − .

2.5. Вычислите значение производной функции f x x( ) ( )= + 1 5 в точке x0 1= .

2.6. Катер прошел 24 км против течения реки и 27 км по озеру, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2.7. На стороне BC прямоугольника ABCD отметили точку М. Найдите пло-щадь четырехугольника AMCD, если AM = 13 см, AB = 12 см, BD = 20 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной 8 2 см на расстоянии 4 см от центра основания. Найдите объем конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°.




3.1. Решите уравнение 2 26sin 3sin cos 5cos 2x x x x− − = .

3.2. При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную графиком функции 8y x= и прямыми 0y = , 2x = , 8x = , на две равновеликие части?

3.3. В равнобедренный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 10 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8 : 5, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь этого треугольника.

38




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 4 3 2 4 4 0x xa a− + ⋅ + − =( )

имеет только один действительный корень?

4.2.м Решите уравнение:

10242 222 loglog =+ xx x .

4.3.м Докажите неравенство: 2 2 1n n> + , n N∈ , n ≥ 3 .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, 1 1 1

AC BC CD+ = . Докажите, что ∠ ACB = 120°.

38





имеет только один действительный корень?


10242 222 loglog =+ xx x .

4.3.м Докажите неравенство: 2 2 1n n> + , n N∈ , n ≥ 3 .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, 1 1 1

AC BC CD+ = . Докажите, что ∠ ACB = 120°.

39



2.1. Вычислите значение выражения ( )( )4646 258258 +− .

2.2. Решите неравенство: 6535 125,016 −− ≥ xx .

2.3. Найдите первообразную функции f x e x( ) = −4 2 1 , график которой проходит через точку A (1; 3e).

2.4. Решите уравнение 31,0lg10lg =⋅ xx .

2.5. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 4, а сумма первых тридцати членов равна 2100?

2.6. Найдите промежутки возрастания функции 4 5( ) 2xf x x−=+

.

2.7. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

2.8. Высота конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения — 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами y x= 2

и y x x= −4 2 .

3.2. Решите уравнение x x+ − − =8 2 1 2 .

3.3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плос-костью одной боковой грани угол α, а с плоскостью другой боковой гра-ни — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

40




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 3x x a− = +


4.2.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству:

(2sin 1)(2cos 3) 15x y+ + ≥ .

4.3.м Докажите, что при 0>x выполняется неравенство xx sin> .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольни-ка CMA.

40




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 3x x a− = +



(2sin 1)(2cos 3) 15x y+ + ≥ .

4.3.м Докажите, что при 0>x выполняется неравенство xx sin> .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольни-ка CMA.

41



2.1. Найдите значение выражения 55

0,75 81216 8 4−− ⋅ ⋅ .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 12555 1 <≤ − x ?

2.3. Решите уравнение: 2 40,5 0,5log 0,25log 2x x− = .

2.4. Чему равно значение tgα , если 1cos 5α = и 3 22π < α < π ?

2.5. Укажите область определения функции 25 4( ) 2

x xf x x− −=+

.

2.6. Вычислите интеграл 1

0

155 4

x dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ .

2.7. В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB = CD = 6 см, BC = 8 см, AD = 12 см. Найдите тангенс угла A трапеции.

2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды — 22 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.





функции 2

21( )1

xf xx−=+

.

3.2. Найдите наибольшее значение выражения 12 5sin cosα α− .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.

42




4.1.м Решите уравнение: sin ( cos sin )x x x4 5 2 02− − = .


11212 ≥−+− xx .


имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что AB + MC = AM + BC.

42




4.1.м Решите уравнение: sin ( cos sin )x x x4 5 2 02− − = .


11212 ≥−+− xx .



4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что AB + MC = AM + BC.

43



2.1. Решите систему уравнений 2 2 91,

13.x yx y

⎧ − =⎨ + =⎩

2.2. Решите уравнение 2 25 5log 0,5log 6x x+ = .

2.3. Укажите наибольшее целое решение неравенства 2 3 04

x xx

+ ≥−

.


3

0

(4 3)x dx−∫ .

2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( )nb , если 1 6b = , 4 162b = .

2.6. Упростите выражение (sin 8 sin 2 )(cos 2 cos8 )1 cos 6

α − α α − α− α

⋅

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AMFK так, что угол A у них общий, а вершина F принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = 10 см, AC = 15 см.

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали C1D его грани отметили точку M так, что DM : MC1 = 5 : 3. Выразите вектор AM через векторы AB ,

AD и 1AA .




3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 3 2( ) 3 8 9f x x x x= − − + наклонена к оси абсцисс под углом 4

πα = .

3.2. Постройте график функции 44( ) ( 2) 2f x x x= − − .

3.3. Основание пирамиды — ромб со стороной a и углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пи-рамиды.

44




4.1.м Найдите первообразную функции f x x x( ) cos cos= 2 , график которой

проходит через точку ( )1;2 12M π .

4.2.м Решите уравнение: 2

3 3 3log (3 4 4) log 3 logx xx x x− + = + .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство 2 (3 4) ( 1)(2 3) 0x a x a a− − + − − >

выполняется при всех положительных значениях x?

4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 1

3 высоты, проведенной к средней по длине стороне

треугольника.

44




4.1.м Найдите первообразную функции f x x x( ) cos cos= 2 , график которой

проходит через точку ( )1;2 12M π .


3 3 3log (3 4 4) log 3 logx xx x x− + = + .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство 2 (3 4) ( 1)(2 3) 0x a x a a− − + − − >

выполняется при всех положительных значениях x?

4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 1

3 высоты, проведенной к средней по длине стороне

треугольника.

45



2.1. Укажите область определения функции 4( ) 2 16f x x= + .

2.2. Решите уравнение: 22 2 5x x−+ = .

2.3. Решите неравенство: log ( ) log ( ), ,0 4 0 45 1 3 2x x+ < − .

2.4. Найдите производную функции 2

26( )4

xf xx

−=+

⋅

2.5. Укажите область значений функции 2 4 10y x x= − − − .

2.6. Из города A в город B выехал товарный поезд. Через 2 ч из города A выехал пассажирский поезд, который прибыл в город B одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами A и B равно 350 км.

2.7. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.

2.8. Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания — 5 см. На расстоянии 4 см от оси цилиндра параллельно ей проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося при этом сечения цилиндра.




3.1. Решите уравнение sin 2 sin 2cos 1x x x+ = + .

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой 4y x= и прямыми 4y = и 4x = .

3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и равна 4 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 2,5 см.

46




4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2)4(log =−axx


4.2.м Докажите, что 1 1arctg arctg3 2 4π+ = ⋅

4.3.м Решите неравенство: 3 4 5x x x+ ≥ .

4.4.м В треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE = DB.

46




4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2)4(log =−axx



4.3.м Решите неравенство: 3 4 5x x x+ ≥ .

4.4.м В треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE = DB.

47



2.1. Чему равно значение выражения ( )321232 19 27 4

−+ − ?

2.2. Вычислите значение выражения 31 log 69 − .

2.3. Решите неравенство 1 25 3 5 122x x+ −− ⋅ < .

2.4. Решите уравнение 2 4 5 1x x x+ − = − .

2.5. Найдите первообразную функции ( ) 2 cos3xf x e x−= + , график которой проходит через точку (0; 2)A .

2.6. Найдите корни уравнения: 2 23 sin sin 2 3 cos 0x x x+ − = .

2.7. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 60°.

2.8. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.




3.1. Докажите тождество: 2 2 2(sin sin ) (cos cos ) 4cos 2

α −βα + β + α + β = .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции ( ) ln

xf x x= .

3.3. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника прове-дена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.

48





8 842log 2 log ( 6 9) 3x x x+ − + = .


( )1 22 1 2 8 0x x x− − + − ≥ .

4.3.м При каких значениях параметра a система

{( 1) 2 2 4 ,( 2) 3

a x ay aax a y− − = −+ + =

имеет бесконечно много решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в од-ной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

48





8 842log 2 log ( 6 9) 3x x x+ − + = .


( )1 22 1 2 8 0x x x− − + − ≥ .


{( 1) 2 2 4 ,( 2) 3

a x ay aax a y− − = −+ + =

имеет бесконечно много решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в од-ной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

49



2.1. Упростите выражение αα+α tg2sin2cos .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 3 2 12 4xx+ ≤+

?

2.3. Решите неравенство 14

log (5 3 ) 1x− ≥ − .

2.4. Решите уравнение: 23 3x x− = − .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции 3( ) 27f x x x= − .

2.4. Найдите первообразную функции 2 4( ) 6 xf x x e= + , график которой

проходит через точку 21 ;2 4

eA ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.7. В равнобокой трапеции ABCD основание BC равно 6 см, высота трапеции равна 2 3 см, а боковая сторона образует с основанием AD угол 60°. Найдите основание AD трапеции.

2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник со стороной a. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β.




3.1. Докажите тождество: 4 4 4

4 45 5 10: 25 5 25

a a aa a a

⎛ ⎞− +− =⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠.

3.2. Постройте график функции 21 42

( ) log log (4 )xf x x−= − .

3.3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BD и AM — высоты тре-угольника, BD : AM = 3 : 1. Найдите cos C.

50




4.1.м Определите количество корней уравнения sin x a= на промежут-

ке ( 2;6 3π π⎤− ⎥⎦



x xx

2 10 55

29 0+ −+

+ ≤ .

4.3.м Решите уравнение 5 4 1x x= + .

4.4.м Из точки M, которая движется по окружности, опускают перпен-дикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от поло-жения точки M.

50




4.1.м Определите количество корней уравнения sin x a= на промежут-

ке ( 2;6 3π π⎤− ⎥⎦



x xx

2 10 55

29 0+ −+

+ ≤ .


4.4.м Из точки M, которая движется по окружности, опускают перпен-дикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от поло-жения точки M.

51



2.1. Вычислите значение выражения cos 43 cos17 sin 43 sin17sin 37 cos 23 cos37 sin 23

° ° − ° °° ° + ° °

.

2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 21 3 2727x−< ≤ ?

2.3. Чему равно значение выражения 7 7

7 7

2 log 4 log 0,5log 18 log 9

+−

?

2.4. Найдите область определения функции 6 113 2

yxx

= +−+

.

2.5. Найдите промежутки возрастания функции 3 2( ) 3f x x x= − .


1

3e

dxx∫ .

2.7. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом 120°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина хорды равна 6 см.




3.1. Чему равно значение выражения 5 2 6 49 20 63 6− ⋅ + ?

3.2. Решите уравнение: 2 3 2sin cosx x− = .

3.3. Через сторону нижнего основания и середину противоположного боко-вого ребра правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Площадь образовавше-гося сечения равна 16 6 см2. Найдите объем призмы.

52




4.1.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству:

log log ( ) log ( )2 2 2xy x y= − + − .

4.2.м Решите систему уравнений: xy x yx y

( )( ) ,( )( ) .

− − =+ + =

⎧⎨⎩

1 1 721 1 20

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f x x x x( ) = − + −3 3 3

на промежутке [0; 4].

4.4.м На стороне AC остроугольного треугольника ABC найдите такую точку, чтобы расстояние между ее проекциями на две другие стороны было наименьшим.

52





log log ( ) log ( )2 2 2xy x y= − + − .


( )( ) ,( )( ) .

− − =+ + =

⎧⎨⎩

1 1 721 1 20

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f x x x x( ) = − + −3 3 3


4.4.м На стороне AC остроугольного треугольника ABC найдите такую точку, чтобы расстояние между ее проекциями на две другие стороны было наименьшим.

53



2.1. Упростите выражение: 1111 5

34a b−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

0,7 0,4a b⋅ .

2.2. Решите уравнение 33 3 84x x+ + = .

2.3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций 2y x= − и y x= .

2.4. Какое наибольшее значение принимает функция 2 4( ) 6 6f x x x= − − ?

2.5. Найдите третий член геометрической прогрессии, первый член которой

1 3 2b = − , а знаменатель 3 2q = + .

2.6. Катер должен был преодолеть расстояние между двумя портами, рав-ное 80 км, за некоторое время. Поскольку он двигался со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предусматривалось, то опоздал на 24 мин. С какой скоростью должен был двигаться катер?

2.7. Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников BOC и AOD, если BC = 3 см, AD = 7 см.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, а ее диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите объем пирамиды.




3.1. Решите уравнение: 2 2

3log 9 log 4x x x⋅ = .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 2( )

4xf x

x=

−.

3.3. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 20 см и 30 см соответственно. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.

54




4.1.м При каких значениях параметра a функция ( )2 2( ) lnf x a x x= + −

является нечетной?

4.2.м Найдите площадь треугольника, образованного прямой 2y x= − , осью

абсцисс и касательной к параболе 21 2y x x= + − в точке ее пересечения с осью ординат.

4.3.м Найдите значение выражения ( )1 5tg arcsin2 13 .

4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Около данного треугольника описана окружность. Биссектриса угла B пересекает эту окружность в точке D. Докажите, что DJ = DA = DC.

54




4.1.м При каких значениях параметра a функция ( )2 2( ) lnf x a x x= + −

является нечетной?

4.2.м Найдите площадь треугольника, образованного прямой 2y x= − , осью

абсцисс и касательной к параболе 21 2y x x= + − в точке ее пересечения с осью ординат.

4.3.м Найдите значение выражения ( )1 5tg arcsin2 13 .

4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Около данного треугольника описана окружность. Биссектриса угла B пересекает эту окружность в точке D. Докажите, что DJ = DA = DC.

55



2.1. Упростите выражение ( ) ( )tg ctg 2ππ+ α + +α .

2.2. Решите уравнение 8 6 26

xx− − =

−.

2.3. Вычислите значение выражения 6 6

3 3

log 12 log 32log 6 log 4

+−

.

2.4. Решите уравнение 22 3 3 57x x−⋅ + = .

2.5. Найдите точку минимума функции 3 21( ) 2,5 6 13f x x x x= − + − .

2.6. Арифметическая прогрессия )( na задана формулой общего члена 25 −= nan . Найдите сумму двадцати первых членов прогрессии.

2.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 30 см, а радиус описанной около него окружности — 17 см. Вычислите площадь данного треугольника.

2.8. Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости α. Наклонные AB и AC образуют и плоскостью α углы 45° и 60° соответственно, а угол между проекциями наклонных на плоскость α равен 150°. Найдите расстояние между точками B и C.




3.1. Найдите область определения функции f x x xx( ) log ( )= − −+429 8 .


3xy x= − .

3.3. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с углом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону равнобедренного треугольника, равна l и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

56




4.1.м При каких значениях параметра a функция ( ) 4 ln 3f x x ax= + −

не имеет критических точек?


2

2 12 1

x

x dx−

−+∫ .


| sin sin | 1x y = .

4.4.м Точка M принадлежит стороне BC треугольника ABC. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников AMB и MAC, не зависит от выбора точки M на стороне BC.

56




4.1.м При каких значениях параметра a функция ( ) 4 ln 3f x x ax= + −



2

2 12 1

x

x dx−

−+∫ .


| sin sin | 1x y = .

4.4.м Точка M принадлежит стороне BC треугольника ABC. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников AMB и MAC, не зависит от выбора точки M на стороне BC.

57




75 5

25?

2.2. Решите уравнение: 2 8 33 5 0,04 15x x x− −⋅ = ⋅ .


2sin ( ) sin ( )sin ( ) cos ( )

−α − −α−α −α

.

2.4. Упростите выражение 2 3 5log 3 log 5 log 8⋅ ⋅ .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции 3( ) (2 1) xf x x e= − .

2.6. Теплоход прошел 27 км по течению реки и 21 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна 3 км/ч?

2.7. Сумма внешних углов треугольника ABC, взятых по одному при вершинах A и B, равна 250°. Найдите угол ACB.

2.8. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна диаметру основания.




3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y x x= −2 2 , касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 2= , и осью ординат.

3.2. Найдите область определения функции f x x x( ) sin= + −4 2 .

3.3. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а сред-няя линия трапеции — 25 см. Найдите высоту трапеции.

58




4.1.м Решите систему уравнений: 3 3log log

3 3

18,log log 3.

y xx yx y

⎧⎪ + =⎨

+ =⎪⎩


( )2 2 6 02x x x− − − ≥ .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arcsin ( )x x a− − =2 0


4.4.м На одной из сторон угла с вершиной в точке M выбраны точки A и B, а на другой стороне — точки C и D так, что MA ⋅ MB= MC ⋅ MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

58





3 3

18,log log 3.

y xx yx y

⎧⎪ + =⎨

+ =⎪⎩


( )2 2 6 02x x x− − − ≥ .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arcsin ( )x x a− − =2 0


4.4.м На одной из сторон угла с вершиной в точке M выбраны точки A и B, а на другой стороне — точки C и D так, что MA ⋅ MB= MC ⋅ MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

59



2.1. Сократите дробь 21

43

21

3

9

aa

aa

+

− .

2.2. Решите неравенство ( )26 9 164

5 25x x+ −

> .


x x− + + =1 15 2 .

2.4. Чему равно наименьшее значение функции 53231)( 23 −+−= xxxxf на

промежутке [2; 4] ?

2.5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии: ;2,10− –9,6; –9; ... .

2.6. Решите уравнение: 3 2 5 9 0sin cos cosx x x+ − = .

2.7. Из точки D, не лежащей на прямой n, проведены к этой прямой наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной DK на прямую n, если DB = 10 3 см.

2.8. Высота конуса равна 20 см, а расстояние от центра его основания до образующей — 12 см. Найдите объем конуса.




3.1. Решите уравнение 2 lg 1lg(5 4)x

x =−

.

3.2. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и ка-сательной к графику функции 3( ) 2

xf x x+=−

в точке с абсциссой x0 3= .

3.3. Основание прямой призмы — ромб с острым углом α. Площадь диагонального сечения призмы, проходящего через бóльшую диагональ основания, равна S. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

60




4.1.м Решите уравнение: 2 2 5 2 6sin cos sin sinx x x x= − .

4.2.м Определите количество решений системы y a xx y= ++ − =

⎧⎨⎩

,2 1 0


4.3.м Решите уравнение: 4 19 3 2 34 6 0x xx x− − ⋅ + − =( ) .

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются под прямим углом. Докажите, что AC BD R2 2 24+ = .

60




4.1.м Решите уравнение: 2 2 5 2 6sin cos sin sinx x x x= − .

4.2.м Определите количество решений системы y a xx y= ++ − =

⎧⎨⎩

,2 1 0


4.3.м Решите уравнение: 4 19 3 2 34 6 0x xx x− − ⋅ + − =( ) .

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются под прямим углом. Докажите, что AC BD R2 2 24+ = .

61




21

6

3

18

aaa−

+.

2.2. Чему равно значение выражения 3log236log 772

149

−?

2.3. Решите уравнение: 02coscos2 2 =+ xx .

2.4. Решите уравнение: 113 12525)5( +−− ⋅= xxxx .

2.5. Найдите первообразную функции f x e xx( ) cos= −2 , график которой проходит через начало координат.

2.6. Чему равна сумма корней уравнения 4 23 4 0x x− − = ?

2.7. На стороне BC квадрата ABCD отметили точку M так, что ∠ DAM= 60°. Найдите отрезок MD, если AB = 3 см.

2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем цилиндра.




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f x x( ) = −4 3 в точке с абсциссой x0 1= .

3.2. Найдите область определения функции 2( 4)(3 )( )

lg( 1)x xf x

x+ −=

+.

3.3. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее большей боковой стороны на 15 см и 20 см. Вычислите площадь трапеции.

62





2 5 1 5 2⋅ − > −x x .

4.2.м При каких значениях параметра b система 2x y aax y b

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

имеет решения при любом значении параметра a?


(arcsin ) (arccos ) 9x x π= − .

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины C, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке K. Докажите, что сторона AB пересекает отрезок HK в его середине.

62





2 5 1 5 2⋅ − > −x x .

4.2.м При каких значениях параметра b система 2x y aax y b

+ =+ =

⎧⎨⎩

,



(arcsin ) (arccos ) 9x x π= − .

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины C, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке K. Докажите, что сторона AB пересекает отрезок HK в его середине.

63




2 22cos tg

cos sinα α

α − α.

2.2. Найдите значение x, если 7 7 7 7log log 2,5 4 log 2 log 10x = + − .


a a aaa a

⎛ ⎞− +−⎜ ⎟ −+ −⎝ ⎠.

2.4. Решите неравенство 2 16 36

x x− < .

2.5. Найдите первообразную функции 238)( 23 −+= xxxf , график которой проходит через точку )2;1(−A .

2.6. Число 162 является членом геометрической прогрессии 2; 6; 18; ... . Найдите номер этого члена.

2.7. В треугольнике ABC известно, что AC= BC, AB = 2 2 см, ∠BAC= 30°, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AD.

2.8. Площадь боковой поверхности конуса равна 240π см2. Найдите объем этого конуса, если радиус его основания равен 12 см.





10 10 112 2sin cosx x+ = .

3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции 2 4( ) ( 2 1)f x x x= + − в точке с абсциссой 0 0x = .

3.3. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 15 см, а диа-гональ боковой грани — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

64




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arcsin ( 7) 0x a x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: x y y

x y+ + + + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 7 42 5

3 3 ,.

4.3.м Решите неравенство: log ( )x x4 3 2+ > .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние 8 см.

64




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arcsin ( 7) 0x a x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: x y y

x y+ + + + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 7 42 5

3 3 ,.

4.3.м Решите неравенство: log ( )x x4 3 2+ > .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние 8 см.

65




81 27

9

−⋅ ?

2.2. Найдите корень уравнения 0,125 2 4x x= ⋅ .

2.3. Чему равно значение выражения ( )sin 2 3α π− , если sin 0,6α = −

и 32ππ < α < ?

2.4. Найдите множество решений неравенства 8 8log (2 3) log ( 1)x x+ > − .

2.5. Найдите уравнение касательной к графику функции 3( ) 5f x x x= − в точке с абсциссой 0 2x = .

2.6. Решите уравнение 3

334 252

xx

++ =+

.

2.7. В прямоугольной трапеции ABCD известно, что BC || AD, °=∠ 45D , 4== CDAC см. Чему равна площадь трапеции?

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведенной хорды, образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведенной хорды равно a.




3.1. Вычислите интеграл 4 2

2

2

−−∫ x dx .

3.2. Упростите выражение ( ) ( )

2

22cos 2 1

2ctg 2 cos 24 4

α −π π− α + α

⋅

3.3. Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC, если AD : DB = 1 : 2.

66




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a2 22 1 3 0+ − + − =( )

имеет два различных положительных корня?

4.2.м Решите уравнение: log ( ) log2

221 6 2x x x x+ − = − .

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 3 232 xxy += на

промежутке 1 ;18⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четы-рехугольника, равны.

66





имеет два различных положительных корня?


221 6 2x x x x+ − = − .

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 3 232 xxy += на

промежутке 1 ;18⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четы-рехугольника, равны.

67



2.1. Чему равно значение выражения 8125log2

15log36log 444 +− ?

2.2. Решите уравнение: 3 5 3 863 1x x+ −+ ⋅ = .


0)3)(4(2 ≤+−

xxx .

2.4. Вычислите значение выражения: 4 46 6 )72()78( −+− .

2.5. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +6 8 32 , график которой проходит через точку M (–2;10).

2.6. Найдите функцию, обратную к функции 1 76y x= − .

2.7. Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 60°. Найдите площадь параллелограмма.

2.8. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 8 см, проведена плоскость, которая пересекает основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой 120°. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 16 см.




3.1. Составьте уравнение касательной к графику функции

421)( 23 −−= xxxf в точке с абсциссой x0 2= .

3.2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin , sin2 0 5 2 1x x+ = .

3.3. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

68




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a4 2 23 5 0− − + − =( )

имеет три различных корня?

4.2.м Вычислите интеграл:

2 2

1

2

x x dx−∫ .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 15 5 02 1 2 1x x x+ +− ⋅ + ≤ .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

68




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a4 2 23 5 0− − + − =( )



2 2

1

2

x x dx−∫ .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 15 5 02 1 2 1x x x+ +− ⋅ + ≤ .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

69



2.1. Чему равно значение выражения 494 81loglog ?

2.2. Упростите выражение sin 3 cos3sin cos

α α−α α

.

2.3. Решите уравнение: 23 7 4x x x+ − = − .

2.4. Найдите множество решений неравенства 2 2 1 01

x xx+ + <−

.

2.5. Чему равно наибольшее значение функции 2 3( ) 1 3f x x x= + − на проме-жутке [–1; 1] ?


f xx

=+

, график которой

проходит через точку (4; 5)A .

2.7. В трапеции ABCD известно, что BC || AD, K — точка пересечения диагоналей, AK : KC = 9 : 4, DK – BK=15 см. Найдите диагональ BD.

2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а бо-ковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.




3.1. Постройте график функции ( ) cos 1 1f x x= − + .


3 3log (27 ) log 179xx + = .

3.3. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

70




4.1.м Решите уравнение: ( )22 2

cos1 4sin cos5 24 5 5 0

x x xπ −+− ⋅ − = .

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 4f x x= − + , которая перпендикулярна прямой 2 2 0x y− + = .

4.2.м При каких натуральных значениях n многочлен

( )2( ) 12 7n

P x x= − − ( )25 14 nx −

делится нацело на многочлен x − 2 ?

4.4.м Внутри треугольника ABC выбрана точку M так, что площади тре-угольников AMB, BMC, AMC равны. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

70




4.1.м Решите уравнение: ( )22 2

cos1 4sin cos5 24 5 5 0

x x xπ −+− ⋅ − = .

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 4f x x= − + , которая перпендикулярна прямой 2 2 0x y− + = .


( )2( ) 12 7n

P x x= − − ( )25 14 nx −


4.4.м Внутри треугольника ABC выбрана точку M так, что площади тре-угольников AMB, BMC, AMC равны. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

71



2.1. Найдите значение выражения ( )27 4 3 7 4 3− + + .

2.2. Укажите область значений функции sin( ) 3 xf x = .

2.3. Решите неравенство: 2

1 16 6

log ( 4) log ( 2 2)x x x+ > + − .

2.4. Решите уравнение cos sin2 0x x+ = .


212

12 dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

2.6. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой общего члена 7 3na n= − . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 36 см. Точка касания окружности со стороной BC делит ее в отно-шении 2 : 5, считая от точки B, а точка касания со стороной AC удалена от точки A на 4 см. Найдите сторону AB.

2.8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Чему равна площадь треугольника ADC1?




3.1. Составьте уравнение касательной к графику функции f x x( ) cos= 2

в точке с абсциссой 20π=x .

3.2. Докажите тождество ( ) ( )( ) ( )

cos 2 sin 2 ctg4 4 8 tg 87cos cos 3 ctg2 4 4 8

α α απ+ − π+α=

π α α α− + − π⋅

3.3. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

72




4.1.м Решите неравенство: 2 26 6

2 5 4x x x x

x x+ − + −≥+ +

⋅


( )( )23 4 3 3 0x xx a− − ⋅ + =

имеет два различных корня?

4.3.м Постройте график уравнения: 2 2sin sin 2x y+ = .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S p p c= −( ) , где p — полупериметр треугольника, c — длина гипотенузы.

72




4.1.м Решите неравенство: 2 26 6

2 5 4x x x x

x x+ − + −≥+ +

⋅


( )( )23 4 3 3 0x xx a− − ⋅ + =


4.3.м Постройте график уравнения: 2 2sin sin 2x y+ = .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S p p c= −( ) , где p — полупериметр треугольника, c — длина гипотенузы.

73



2.1. Упростите выражение sin sin 3cos cos3

α + αα + α

.

2.2. Решите неравенство 14 4 320x x+ + ≥ .


2 13 2

3 33 3 3

8 2 ( 4 2)

( 3 2 )( 9 6 4 )

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠− + +

?


28 16 0

4x x

x− + ≤

−.

2.5. Вычислите интеграл ( )x x dx2

3

2

2−−∫ .

2.6. Найдите функцию, обратную к функции 2xy x=+

.

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AKPE так, что угол A у них общий, а вершина P принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = 6 см, АC = 3 см.

2.8. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно a.





( ) ( )log log3 34 3 4 1 1x x− + − = .

3.2. Число 60 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

3.3. В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если AO = 6 см, BO = 10 см, ∠С = 60°.

74





( )2 3 0x a x− − ≥ .

4.2.м Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство:

e xx − ≥1 .

4.3.м Найдите корни уравнения: 5cos3 cos 22

xx + = .

4.4.м Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

74





( )2 3 0x a x− − ≥ .

4.2.м Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство:

e xx − ≥1 .

4.3.м Найдите корни уравнения: 5cos3 cos 22

xx + = .

4.4.м Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

75



2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства 2( 1)( 4) 0x x x+ − < ?

2.2. Решите уравнение log log72

72 3 0x x− − = .

2.3. К сплаву массой 150 кг, содержавшему 20 % меди, добавили 10 кг меди. Какое процентное содержание меди в новом сплаве?

2.4. Найдите корни уравнения: 03sin2sinsin =++ xxx .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f x x x x( ) = − − +2 3 12 13 2 на промежутке [0; 3] ?

2.6. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +3 6 42 , график которой проходит через точку (1;4)A .

2.7. Чему равна площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из них перпендикулярна его стороне?

2.8. Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — прямо-угольный треугольник. Найдите объем конуса.




3.1. Решите неравенство: 3 5 5 32 2 2 1 2 1 2 12 2 2 2x x x x x x x x− + − − − + − −− > + .

3.2. Решите уравнение: 2 23 9 26 12 3x x x x− − = + − .

3.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотену-зой c и острым углом α. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.

76




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение cos cos2 2 2 0x a x− =

имеет на промежутке 3;4 4π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

два корня?

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f x x x x( ) = + − +3 2 6 1 в точке с абсциссой x0 1= .

4.3.м Решите уравнение: lg ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( )2 21 1 1 2 1x x x x+ = + − + − .

4.4.м В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются.

76




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение cos cos2 2 2 0x a x− =

имеет на промежутке 3;4 4π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

два корня?

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f x x x x( ) = + − +3 2 6 1 в точке с абсциссой x0 1= .

4.3.м Решите уравнение: lg ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( )2 21 1 1 2 1x x x x+ = + − + − .

4.4.м В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются.

77



2.1. Найдите область определения функции 6 41 xy −= .

2.2. Вычислите значение выражения 2 1 13 4 28 16 49+ − .

2.3. Решите неравенство: 2 7 6

3(0,6) 1x x

x− +− ≤ .

2.4. Решите уравнение: 1 2 15 lg 1 lgx x+ =− +

.

2.5. Найдите первообразную функции f x x x( ) = + −5 3 44 2 , график которой проходит через точку B (–1;12).

2.6. Найдите точку максимума функции f x x x( ) = −4 24 .

2.7. Отрезки AB и CD, изображенные на рисунке, параллельны, 90ABC∠ = ° ,

24=AB см, 10=BO см, 5=CO см. Найдите отрезок AD.

2.8. Основание прямой призмы — прямоуголь-ный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.




3.1. Упростите выражение ( )cos sin cos 6 cos10cos 4 sin 4 sin 3

α α α − α− ⋅α α α

⋅

3.2. Постройте график функции 6 6( ) 2f x x x= − .

3.3. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

O

A B

C D

78





4 2 3 4 2 7x x x− − = ⋅ − .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f x a x a x x( ) ( ) ( )= − + − + +12 3 12 6 73 2

возрастает на R. 4.3.м Докажите тождество:

21cos (arctg )

1x

x=

+⋅

4.4.м Отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит вне этой

окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

78





4 2 3 4 2 7x x x− − = ⋅ − .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f x a x a x x( ) ( ) ( )= − + − + +12 3 12 6 73 2

возрастает на R. 4.3.м Докажите тождество:

21cos (arctg )

1x

x=

+⋅

4.4.м Отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит вне этой

окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

79



2.1. Вычислите значение выражения 77

0,5 81281 27 9−− ⋅ ⋅ .

2.2. Решите неравенство 22 3 3 57x x−⋅ + ≤ .

2.3. Найдите область определения функции 3 1lg 3 1xy x−=+

.

2.4. Решите уравнение 4 6 0x x+ − = .

2.5. Найдите корни уравнения xx cos2cos = .

2.6. Найдите первообразную функции f x x e x( ) = +6 2 4 , график которой

проходит через точку 21 ;2 4

eA ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.7. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

2.8. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости ос-нования и делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды.





6lg5100lg 2 =− xx .

3.2. Вычислите значение выражения: sin cos sin cos sin cos20 70 110 250 290 3402 2 2 2° °+ ° °+ ° ° .

3.3. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом α. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверх-ности цилиндра, если площадь его основания равна S.

80




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax ax( ) = − + +3 2 3 1 возрастает на всей числовой прямой?

4.2.м Решите уравнение: 2 2 sin 1 02

xx x π− + = .

4.3.м Решите систему уравнений: 59 4 3 27 0,

2 3 4 4 .

x y

y x x y

−⎧ − ⋅ + =⎨ − = − +⎩

4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 40°, ∠CBA = 50°. На сторо-не AB построен квадрат, точка M — его центр, точки C и M лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ACM =∠MCB.

80




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax ax( ) = − + +3 2 3 1 возрастает на всей числовой прямой?

4.2.м Решите уравнение: 2 2 sin 1 02

xx x π− + = .

4.3.м Решите систему уравнений: 59 4 3 27 0,

2 3 4 4 .

x y

y x x y

−⎧ − ⋅ + =⎨ − = − +⎩

4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 40°, ∠CBA = 50°. На сторо-не AB построен квадрат, точка M — его центр, точки C и M лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ACM =∠MCB.

81



2.1. Упростите выражение 0,5

0,5 0,55 50

255 5a

aa a− +

−− +.

2.2. Решите систему уравнений 3 32,

56.x yx y− =⎧

⎨ − =⎩

2.3. Упростите выражение 1 tg1 ctg+ α+ α

.

2.4. Сколько целых решений имеет неравенство )12(log3log 4,04,0 +> xx ?

2.5. Решите уравнение 2 1xx

− = .

2.6. Какой номер первого положительного члена арифметической прогрессии –7,2; – 6,7; – 6,2; ... ?

2.7. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD так, что AD = 12 см, CD = 4 см. Найдите сторону BC, если ∠ A = 30°.

2.8. Основание прямой призмы — треугольник со стороной c и прилежащими к ней углами α и β. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу α, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы.





4 9 7 12 3 16 0x x x⋅ − ⋅ + ⋅ = .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции ( ) ( 1)f x x x= − .

3.3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

82




4.1.м Найдите область значений функции 2)cos(sin2 xxy += .


(cos sin )x x x x− − ≥3 02 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) log ( )x a x− − =2 3 7 0


4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и DCB, соответственно равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

82




4.1.м Найдите область значений функции 2)cos(sin2 xxy += .


(cos sin )x x x x− − ≥3 02 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) log ( )x a x− − =2 3 7 0


4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и DCB, соответственно равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

83



2.1. Найдите сумму десяти первых натуральных чисел, кратных числу 7.


3 1 32− = −x x .

2.3. Найдите область определения функции 6 3 83 27x

xy −=−

.

2.4. Решите уравнение: 2 2sin 4sin cos 3cos 0x x x x+ + = .

2.5. Найдите значение производной функции 3( ) lnf x x= в точке 0x e= .


2

16sin 4

dxx

π

π∫ .

2.7. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его осно-ванию как 5 : 6, а высота треугольника, опущенная на основание, рав-на 12 см. Вычислите периметр треугольника.

2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.




3.1. Решите уравнение log ( )5 5 4 1x x− = − .


2, если 1,( )

, если 1.x xf xx x

−⎧ ≤ −= ⎨ > −⎩ Пользуясь постро-

енным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

3.3. Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с плоскостью квадрата угол 45°. Найдите угол между диагональю квадрата и этой плоскостью.

84




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) (tg )x a x− − =1 0

имеет единственный корень на промежутке (0; 2π⎤⎥⎦

?


3 9 4 3 5 3 14 6 3 5 1x x x x+ − + + + − + ≤ .

4.3.м На параболе y x= 2 выбраны две точки с абсциссами x = 1 и x = 3 . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки O и K — центры описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC соответственно. Известно, что точки B, O, K и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

84




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) (tg )x a x− − =1 0

имеет единственный корень на промежутке (0; 2π⎤⎥⎦

?


3 9 4 3 5 3 14 6 3 5 1x x x x+ − + + + − + ≤ .

4.3.м На параболе y x= 2 выбраны две точки с абсциссами x = 1 и x = 3 . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки O и K — центры описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC соответственно. Известно, что точки B, O, K и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

85



2.1. Вычислите значение выражения 4 32 22log36 .


26

9a a

a+ −−

.

2.3. Решите неравенство 1 12x ≥ .


1

2

4 5− +−∫ .

2.5. Решите уравнение: 3 7 5 02cos sinx x+ − = .

2.6. При каком значении a наименьшее значение функции axxxf +−= 2)( 2 равно 2?

2.7. Длины диагоналей ромба относятся как 3 : 1. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 40 см.

2.8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен α. Найдите объем конуса, образованного при вращении этого треугольника вокруг катета, противолежащего данному куту.




3.1. Решите неравенство: log ( ) log ( ), ,0 2 0 21 3 1x x− + + ≥ − .


функции 2

2( )16

xf xx

=−

.

3.3. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AB = BC = 17 см, отрезок BD — высота, BD = 15 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответ-ственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBK.

86





( ) ( )4 0x a x x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: 1sin sin ,4

1tg tg .3

x y

x y

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

4.3.м Решите уравнение: 3 4 5x x x+ = .

4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC= 17 см, а высота трапеции равна 8 см.

86





( ) ( )4 0x a x x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: 1sin sin ,4

1tg tg .3

x y

x y

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩


4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC= 17 см, а высота трапеции равна 8 см.

87



2.1. Чему равно значение выражения 16lg215lg2 + ?

2.2. При каком значении a график функции 3y ax−= проходит через точ-

ку ( )13; 54A ?

2.3. Решите уравнение: 2 32 4 72x x+ + = .

2.4. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 0,8, а сумма первых десяти членов равна 22?

2.5. Найдите корни уравнения: 1 8 4− =cos sinx x .

2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции ( ) ln (2 1)f x x= + в точке с абсциссой 0 1,5x = ?

2.7. Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 5 см, а сумма диагоналей — 14 см.

2.8. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, длины которых равны 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9 : 16.




3.1. Решите уравнение 44 ( 1) 2 3x x+ = − .

3.2. Постройте график функции f x x( ) lg cos= .

3.3. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к плоскости его основания под углом α. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра его основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна m.

88




4.1.м Вычислите интеграл ∫−

++1

1

2 )1lg( dxxx .

4.2.м Найдите корни уравнения: 8sin 2 tg 2 ctg3x x x+ = − .

4.3.м При каких значениях параметра a функция 3 2

( ) ( 1) 2( 1) 93 2x xf x a a x= − − − − −

имеет положительную точку минимума?

4.4.м В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точ-ка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Дока-жите, что отрезки BO и A1C1 перпендикулярны.

88





++1

1

2 )1lg( dxxx .



( ) ( 1) 2( 1) 93 2x xf x a a x= − − − − −

имеет положительную точку минимума?

4.4.м В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точ-ка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Дока-жите, что отрезки BO и A1C1 перпендикулярны.

89



2.1. Найдите область значений функции 2arctgy x= π− .


8.x yx y− =⎧

⎨ − =⎩

2.3. Решите уравнение 0cossinsin 2 =+ xxx .

2.4. Решите неравенство: )311(log)12(log 22 xx −<− .

2.5. Решите уравнение 4 41 3 2

1 1x x+ =

− +.


0

sin 2x dx

π

∫ .

2.7. Прямая a — общая внешняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 8 см, а расстояние между их центрами — 13 см. Найдите расстояние между точками касания прямой a с данными окруж-ностями.

2.8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 2 2( )f x x x= + .


( )1 cos sin 2 2 sin sin2 2 4α α π− α + α = + .

3.3. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 9 см.

90




4.1.м Решите неравенство: 5 3 15 5 8 152 2 1⋅ + ⋅ ≤ ⋅−x x x .

4.2.м Определите количество корней уравнения

( )( )1cos sin 02x x a+ − =

на промежутке [ )0 2; π в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству log ( )x y4 22− ≥ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD. Известно, что AB = 10 см, BC = 12 см, CD = 18 см, DA = 8 см. Найдите угол ADC.

90




4.1.м Решите неравенство: 5 3 15 5 8 152 2 1⋅ + ⋅ ≤ ⋅−x x x .


( )( )1cos sin 02x x a+ − =

на промежутке [ )0 2; π в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству log ( )x y4 22− ≥ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD. Известно, что AB = 10 см, BC = 12 см, CD = 18 см, DA = 8 см. Найдите угол ADC.

91



2.1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 3 37

36 6 1− +.

2.2. Решите неравенство: 39 27 3x x x−⋅ > .

2.3. Найдите корни уравнения: cos sin2 3 2x x+ = .

2.4. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции 2( ) 4 7f x x x= − + .


22 1 02 8

x xx x

− + ≥+ −

.

2.6. В сплаве меди и цинка масса меди составляет 13 массы цинка. Какое

процентное содержание меди в сплаве?

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

2.8. Диагональ прямоугольника равна d и образует с его большей стороной угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны.




3.1. Вычислите значение выражения log log log log4 5 6 75 6 7 32⋅ ⋅ ⋅ .

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy 7= и прямой x y+ = 8 .

3.3. Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани ASD и BSC наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите угол наклона грани CSD к плоскости основания.

92





( )x x x− + − ≥3 2 02 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − = +cos cos sin2x x x .

4.3.м Решите уравнение: 3 1 3 9 8x x− + − = .

4.4.м На диаметре AB окружности с центром в точке O отметили точки M и N так, что MO= ON. Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма XM 2+XN 2 не зависит от выбора точки X.

92





( )x x x− + − ≥3 2 02 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − = +cos cos sin2x x x .


4.4.м На диаметре AB окружности с центром в точке O отметили точки M и N так, что MO= ON. Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма XM 2+XN 2 не зависит от выбора точки X.

93




2 2 21 1 2:6 9 9 9

aa a a a

⎛ ⎞−⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

.

2.2. Решите уравнение 2 13 8 3 3 0x x+ + ⋅ − = .

2.3. Решите неравенство: 2)52(log

31 −>+x .


1

(2 1)x dx+∫ .

2.5. Решите уравнение: xx cos22cos1 =+ .

2.6. Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если 3 7 30a a+ = и 6 16 60a a+ = .

2.7. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, бóльшая диагональ — 17 см, а высота — 8 см. Чему равен периметр трапеции?

2.8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с уг-лом α при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, равна d и образует с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение 2 2 3 1x x+ − − = .

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции 2( ) 5f x x x= − , которая параллельна прямой y x= − .

3.3. Отрезок BM — медиана треугольника ABC, BM = m, ∠ABM = α, ∠MBC = β. Найдите сторону AB.

94




4.1.м Решите неравенство: log ( )x x2 3 2+ ≥ .


5 24 5 24 10+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

x x.

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения 1sin 02x + =

и ( )( )1sin sin 02 2ax x+ − = равносильны.

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке MC отметили точку P. Через точку M проведен отрезок MN, параллельный прямой BP (точка N принадлежит стороне AB). Докажите, что отрезок NP делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры.

94




4.1.м Решите неравенство: log ( )x x2 3 2+ ≥ .


5 24 5 24 10+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

x x.

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения 1sin 02x + =

и ( ) ( )1sin sin 02 2ax x+ − = равносильны.

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке MC отметили точку P. Через точку M проведен отрезок MN, параллельный прямой BP (точка N принадлежит стороне AB). Докажите, что отрезок NP делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры.

95




41

23

027,081325,0 −⋅+−−

.

2.2. Упростите выражение ( )3(1 cos( 2 )) tg 2π+ π+ α −α .

2.3. Решите уравнение 2 x x− = .

2.4. Найдите множество решений неравенства 2

220 0

6 9x xx x+ − ≤− +

.

2.5. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции 12)( += xxf в точке с абсциссой 5,70 =x ?

2.6. Решите систему уравнений 2 225 10 100,

4.x y xyx y

⎧ + + =⎨ − =⎩

2.7. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, AD = a, ∠C = 90°, ∠BAC = α. Найдите отрезок BD.

2.8. Отрезок CE — медиана грани BMC пирамиды MABC, точка K — сере-дина отрезка CE. Выразите вектор AK через векторы AB , AC и AM .




3.1. Решите уравнение: lg 2 1000xx − = .

3.2. Постройте график функции cos( ) 2 2xf x = − .

3.3. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания конуса угол β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.

96





0

| 2 |x dx−∫ .

4.2.м На гиперболе xy 1= , x < 0, задана точка M x y( ; )0 0 такая, что 00 41 xy = .

Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение: 544sin 2 +−=π xxx .

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 6 см, OD = 8 см.

96





0

| 2 |x dx−∫ .

4.2.м На гиперболе xy 1= , x < 0, задана точка M x y( ; )0 0 такая, что 00 41 xy = .

Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение: 544sin 2 +−=π xxx .

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 6 см, OD = 8 см.

97



2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение 1

34a a a .

2.2. Чему равно значение выражения ( )2 232sin 3 5sin 2cos 32πα + −α + α , если

2,0cos =α ?

2.3. Найдите значение выражения 7 7

7 7

log 125 3log 2log 1, 4 log 14

+−

.

2.4. Вычислите значение производной функции f x e ex x( ) = + −5 2 в точке x0 0= .


12cos 2 sin3 3xx dx

π

+∫ .


1( ) log ( 4) 5f x x x= − +−

.

2.7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а разность катетов — 7 см.

2.8. Через две образующие конуса, угол между которыми равен ϕ, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен α.




3.1. Решите неравенство: 0 25 12 0 5 32 0, ,x x− ⋅ + ≥ .

3.2. Решите уравнение: cos cos sin9 5 3 2x x x− = .

3.3. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит его сторону BC на отрезки BM и MC длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

98




4.1.м Решите уравнение 22 23 9x x− = + .

4.2.м Найдите множество значений функции f x x x( ) cos cos= + − 2 3 .

4.3.м Решите неравенство: 2 51 2 log 5 log ( 2)x x++ ≥ + .

4.4.м Прямые, содержащие биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что отрезки CC1 и A1B1 перпендикулярны.

98





4.2.м Найдите множество значений функции f x x x( ) cos cos= + − 2 3 .

4.3.м Решите неравенство: 2 51 2 log 5 log ( 2)x x++ ≥ + .

4.4.м Прямые, содержащие биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что отрезки CC1 и A1B1 перпендикулярны.

99



2.1. Чему равно значение выражения ( )2arccos sin 3π ?

2.2. Упростите выражение ( ) 215 777 16 64

aaa a a−− − ⋅

− − +.


( ) 1xf x x=−

.

2.4. Найдите область определения функции 5( )7 49x

xf x −=−

.

2.5. Вычислите интеграл ( )4 4 13

1

3

x x dx− +∫ .

2.6. Решите уравнение: log ( ) log ( )6 62 1 1x x− + − = .

2.7. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AС биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы треугольни-ка ABC, если ∠ AMB = 117°.

2.8. Площадь полной поверхности конуса равна 200π см2, а его образую-щая — 17 см. Найдите объем конуса.




3.1. Решите уравнение 2 23 5 3 7x x x x− + + = + .


( ) ( )2 2cos 2 cos 2 sin 44 4π π− α − + α = α .

3.3. Основание пирамиды MABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань CMD перпендикулярна плоскости основания, грани AMD и BMC наклонены к плоскости основания под углом α, а грань AMB — под углом β. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

100




4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения пара-метра a:

cos cos ,sin sin .

x y ax y

==

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

1


( ) 5log (2 )3log 10 3 5 xx −− ≥ .

4.3.м При каких значениях b и c прямая 4 1y x= + касается параболы 2y x bx c= + + в точке A (1; 5)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC = d и ∠COD = 30°.

100





cos cos ,sin sin .

x y ax y

==

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

1


( ) 5log (2 )3log 10 3 5 xx −− ≥ .

4.3.м При каких значениях b и c прямая 4 1y x= + касается параболы 2y x bx c= + + в точке A (1; 5)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC = d и ∠COD = 30°.

101




1,26 48 32 4− −⋅ ⋅ ?

2.2. Упростите выражение sin 1 cos1 cos sin

α + α++ α α

.

2.3. Решите неравенство 19 9 24x x−− ≥ .

2.4. Решите уравнение 4 12x x+ = .

2.5. Найдите значение производной функции 123)(

−−

=xxxf в точке 20 =x .

2.6. Найдите область определения функции 4 2 4( ) 20 2f x x x x= + − +−

.

2.7. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

2.8. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, длина которой равна a. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Докажите тождество 2 2cos cos cos( ) cos( ) 1α + β− α +β α −β = .

3.2. Решите уравнение: lg (lg ) lg (lg )x x+ − =4 3 0 .

3.3. Основания трапеции равны 2 см и 6 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см. Найдите площадь трапеции.

102





− + − − ≤x x x227 10 3 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 02cos cosx x+ = ?


⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−=−

.12,33

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

102





− + − − ≤x x x227 10 3 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 02cos cosx x+ = ?


⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−=−

.12,33

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

103



2.1. Вычислите значение выражения:

5 2 6 5 2 62

− + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

2.2. Решите неравенство 27525 11 ≥⋅+ −+ xx .


323 =− xx .

2.4. Найдите промежутки возрастания функции 8331)( 23 +++−= xxxxf .

2.5. Найдите первообразную функции xxxf 5sin52cos21)( −= , график кото-

рой проходит через точку B( ; )π 0 .

2.6. Телевизор и мобильный телефон стоили вместе 1800 грн. После того как телевизор подорожал на 10 %, а телефон подешевел на 10 %, они стали стоить вместе 1840 грн. Найдите первоначальную цену телевизора.

2.7. В треугольнике ABC известно, что AB : AC = 3 2 : 7, =∠BAC 45°. Найдите сторону AC, если BC = 30 см.

2.8. Длина линии пересечения сферы и плоскости, удаленной от ее центра на 12 см, равна 10π см. Найдите площадь сферы.





x( ) = +

3

663 .

3.2. Решите уравнение: sin sin sin sin2 2 2 22 3 4 5 2x x x x+ + + = .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом β при основании. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны α. Найдите объем пирамиды.

104




4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yy a x+ − =− + =

⎧⎨⎩

4 092 2

,( )

имеет одно решение?

4.2.м Решите неравенство: 22

1 33

log 3 log 49xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 12)( 3 ++= xxxf и 2)1()( += xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC медиана BM делит отрезок AK (точка K принад-лежит стороне BC) в отношении 3 : 1, считая от вершины A. В каком отношении точка K делит сторону BC?

104




4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yy a x+ − =− + =

⎧⎨⎩

4 092 2

,( )

имеет одно решение?

4.2.м Решите неравенство: 22

1 33

log 3 log 49xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 12)( 3 ++= xxxf и 2)1()( += xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC медиана BM делит отрезок AK (точка K принад-лежит стороне BC) в отношении 3 : 1, считая от вершины A. В каком отношении точка K делит сторону BC?

105



2.1. Решите систему уравнений:

⎩⎨⎧

=+=−.9

,2722

yxyx

2.2. Чему равен αsin , если 8,0cos =α и π<α<π 223 ?

2.3. Вычислите значение выражения log loglog log

8 8

6 6

128 23 2 27

−+

⋅

2.4. Решите уравнение: 02252 12 =+⋅−+ xx .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f x x x x( ) = − + +3 26 9 3 на промежутке [0; 2] ?

2.6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 160 и делятся нацело на 3.

2.7. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC ) пересекаются в точке O. Найдите отрезок AO, если AD : BC = 3 : 2, CO = 8 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если расстояние от центра основания до проведенной хорды равно d.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= −6 2 и пря-мой y = 5 .

3.2. Решите уравнение: x x+ + − =3 5 1 4 .

3.3. Две стороны треугольника равны 15 см и 25 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 16 см. Найдите третью сторону треугольника.

106




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции cos( ) sin

xf x a x=+

?


1)74(log)32(log 23

22 =+++− yyxx .


2

2

2

10 496 72 7

− = −+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ ABC = 60°. Докажите, что ∠C1OB = ∠C1A1B.

106




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции cos( ) sin

xf x a x=+

?


1)74(log)32(log 23

22 =+++− yyxx .


2

2

2

10 496 72 7

− = −+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ ABC = 60°. Докажите, что ∠C1OB = ∠C1A1B.

107



2.1. Упростите выражение 22 )) β−+β+ ctg(1ctg(1 .


09

)3)(8(≤

−−+

xxx

.


3

93

25

21

21

21

−

+⋅

+

−

y

y

y

y .

2.4. Решите уравнение: 3)15(log)3(log 44 =+++ xx .

2.5. Вычислите интеграл dxx∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

1

0

218

4 .

2.6. Решите неравенство: 9 12 3 27 0x x− ⋅ + ≤ .

2.7. Большее основание трапеции равно 20 см, а расстояние между середина-ми ее диагоналей — 6 см. Найдите длину меньшего основания трапеции.

2.8. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основа-ния которой равна 6 см, а диагональное сечение является прямоугольным треугольником.




3.1. Постройте график функции f x x x( ) sin sin= + 2 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f x e x( ) = − 2

.

3.3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основа-ния равна 8 2 см, а боковое ребро — 3 см. Через диагональ BD нижнего основания и середину стороны B1C1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

108




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 2 2sin sin 02 2x a x a⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

имеет на промежутке )50; 4π⎡

⎢⎣ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 3 4 1x x= + .


1 1 1 3 ,28.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что точ-ка B — середина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точ-ка D — середина отрезка CD1, точка A — середина отрезка DA1. Найдите площадь параллелограмма A1B1C1D1, если площадь параллелограмма ABCD равна S.

108




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 2 2sin sin 02 2x a x a⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

имеет на промежутке )50; 4π⎡

⎢⎣ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 3 4 1x x= + .


1 1 1 3 ,28.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что точ-ка B — середина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точ-ка D — середина отрезка CD1, точка A — середина отрезка DA1. Найдите площадь параллелограмма A1B1C1D1, если площадь параллелограмма ABCD равна S.

109



2.1. Решите уравнение 64 7 8 8 0x x− ⋅ − = .

2.2. Чему равно значение выражения 16log2log3 23 2

123 − ?

2.3. Упростите выражение

95 1 26 3 77 5

18 7

b b b

b b

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.4. Решите уравнение xx −=−89 .

2.5. Упростите выражение cos3 cos sin 2sin 3 sin cos 2

α − α − αα − α + α .

2.6. Найдите первообразную функции 2327

14)( xx

xf ++

= , график которой

проходит через точку )0;2(C .

2.7. В треугольнике ABC сторона АC разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне AB треуголь-ника. Меньший из отрезков этих прямых, находящихся между сторонами треугольника, меньше стороны AB на 8 см. Найдите сторону AB тре-угольника.

2.8. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащая основание равнобедренного треугольника, накло-нена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение 3 2 3cos sin cosx x x+ = .

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции y x x= − +2 3 , которая параллельна прямой x y+ + =3 0 .

3.3. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если боковая сторона трапеции равна 2 см, а высота трапеции — 1,6 см.

110




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )3 2 2 0x x a− − − =



( )x x x− + ≤ −1 1 12 2 .

4.3.м Постройте график функции:

21

cos (arctg )y

x= ⋅

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырех-угольника.

110




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )3 2 2 0x x a− − − =



( )x x x− + ≤ −1 1 12 2 .

4.3.м Постройте график функции:

21

cos (arctg )y

x= ⋅

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырех-угольника.

111



2.1. Представьте в виде дроби выражение 24 6

6

3

3

+−

− bb

bb .

2.2. Решите уравнение 0322144 =−⋅− xx .

2.3. Решите неравенство: 45log)23(log 22 +<+x .

2.4. Решите уравнение: xx cos3sin2 2 = .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f x x x x( ) = − − +3 2 8 .

2.6. Чему равна сумма целых решений неравенства 3 5 13xx− ≤+

?

2.7. Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его большей стороне.

2.8. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость. Образовавшееся сечение является квадратом и отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверх-ности цилиндра, если радиус основания равен 22 см.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= 2 и пря-мой y x= −2 .

3.2. Решите уравнение ( )x x x x2 26 5 2 8 0− + + − = .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом α. Боковое ребро, проходящее через вершину другого острого угла осно-вания, перпендикулярно плоскости основания и равно h, а боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем пирамиды.

112




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0cos)12(cos 22 >−+−− aaxax



4.3.м Решите уравнение: 5 1 6 2 3 6 2x x x x+ + + = + + − .

4.4.м На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и F так, что BN : NA = 1 : 1 и DF : FA = 3 : 1. Отрезки BF и CN пересекаются в точке M. Найдите отношение NM : MC.

112




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0cos)12(cos 22 >−+−− aaxax



4.3.м Решите уравнение: 5 1 6 2 3 6 2x x x x+ + + = + + − .

4.4.м На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и F так, что BN : NA = 1 : 1 и DF : FA = 3 : 1. Отрезки BF и CN пересекаются в точке M. Найдите отношение NM : MC.

113




3 14 4

4

3

a

a a

−

−−

при 2a = ?

2.2. Решите неравенство 2 3125 5 125x x x− +⋅ < .

2.3. Вычислите значение выражения 6 616log 2 log 2736

+.

2.4. Решите уравнение 3 1 141 3 4x x

x x− ++ =+ −

.


f xx

=−

, график которой про-

ходит через точку (3;18)A .

2.6. Катер прошел 40 км по течению реки и такое же расстояние против течения, затратив на путь против течения на 20 мин больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

2.7. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота — 3 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и тупым углом α. Бóльшая диагональ параллелепипеда наклонена к плос-кости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.





ции 2

24( )4

xf xx+=−

.


( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

3cos 2 sin 5 cos sin 52 2 sin 431 sin 62

π ππ−α + + α −α − π+ α= α

π+ − α.

3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а медиана, проведенная к этой стороне, — 3 см. Найдите периметр треугольника.

114




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 3− + =x a


4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arcctg arcctg 2x x

π+ = .


93

3 =− xx xx .

4.4.м На катете BC прямоугольного треугольника ABC отметили произволь-ную точку M. Из точки M опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что ∠ ANC = ∠ AMC.

114




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 3− + =x a


4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arcctg arcctg 2x x

π+ = .


93

3 =− xx xx .

4.4.м На катете BC прямоугольного треугольника ABC отметили произволь-ную точку M. Из точки M опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что ∠ ANC = ∠ AMC.

115




log 28 .

2.2. Упростите выражение 1 14 2

1 14 2

2 5 4 25:5 5

y y

y y

− − .

2.3. Решите уравнение 14 4 5x x−+ = .

2.4. Укажите область определения функции 25 7( )

4 12 16f x

x x= −

− −.

2.5. Найдите первообразную функции 423)( 2 +−= xxxf , график которой проходит через точку )2;1( −M .

2.6. Какие три положительных числа надо вставить между числами 2 и 162, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

2.7. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

2.8. Объем конуса равен 100π см3, высота — 12 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции

f x x x( ) ,= + −0 2 4 52 , которая параллельна прямой y x= −6 3 .

3.2. Упростите выражение ( )ctg tg ctg tgα α α α− ⋅ ⋅ +2 2 2 2 , если

32 4π π< α < .

3.3. Основанием пирамиды является правильный треугольник со сторо-ной 6 см. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

116





4.2.м Решите неравенство: 2 20 15 5x x− + + ≥ .

4.3.м Постройте график функции y x x= + −arccos arccos 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине равен 108°. В этом треугольнике проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что AA1 = 2BB1.

116





4.2.м Решите неравенство: 2 20 15 5x x− + + ≥ .

4.3.м Постройте график функции y x x= + −arccos arccos 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине равен 108°. В этом треугольнике проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что AA1 = 2BB1.

117




41

41

21

41

41

21

41

41

21

:2

a

baa

ba

bbaa +++ .

2.2. Упростите выражение tg β + cos1 sin

β+ β .

2.3. Решите уравнение: 6 4 6 8 6 1202 1x x x+ +− ⋅ + ⋅ = .

2.4. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а разность равна –2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 30− ?

2.5. Решите уравнение: x x+ − =78 6 .

2.6. Найдите наибольшее значение функции 4 2( ) 92

xf x x= − на промежут-

ке [–1; 2].

2.7. Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK. Найдите отрезок MN, если FK = 6 3 см, MF = 8 см, ∠K = 30°.

2.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 8 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°.





ми y x= +2 1 и x = 3 .

3.2. Решите неравенство lg lg2 10 3x x− ≥ .

3.3. Биссектриса угла A треугольника ABC (∠C=90°) делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, C и точку пересечения данной биссектрисы с катетом BC.

118




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 16 0x ax bx+ + − = равен 2 1+ ?

4.2.м Сколько корней уравнения sin 3 sin 01 cos

x xx

− =−

принадлежит промежутку 7;6 6π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел ( ; )x y , удовлетворяющих неравенству:

2 26 18 14 50 3x x y y− + ⋅ + + ≤ .

4.4.м Докажите, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольную тра-пецию, вычисляется по формуле abr a b=

+, где a и b — длины

оснований трапеции.

118




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 16 0x ax bx+ + − = равен 2 1+ ?

4.2.м Сколько корней уравнения sin 3 sin 01 cos

x xx

− =−

принадлежит промежутку 7;6 6π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел ( ; )x y , удовлетворяющих неравенству:

2 26 18 14 50 3x x y y− + ⋅ + + ≤ .

4.4.м Докажите, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольную тра-пецию, вычисляется по формуле abr a b=

+, где a и b — длины

оснований трапеции.

119



2.1. Решите уравнение xx 3899 ⋅=− .

2.2. Найдите значение производной функции 22)(x

eexf x += − в точке 00 =x .


12 23 32 13 9

16 25

4 125

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟⋅⎝ ⎠?

2.4. Найдите область определения функции 6( )9

f xx

=−

.


1

3 x dxx +∫ .


cos cos( )sin( ) sin

α α

α α

− °+

°+ −.

2.7. Из точки M, не лежащей на прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если длина проекции наклонной MN на прямую l равна 4 3 см.

2.8. Через конец M радиуса OM шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 30°. Площадь образовавшегося сечения равна 36π см2. Найдите площадь поверхности шара.




3.1. Решите уравнение 3log 81xx = .

3.2. Постройте график функции cos| cos |

xy x= .

3.3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

120




4.1.м Решите уравнение: x x+ + + =6 2 43 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 213 27 0− + − =

имеет три действительных корня, образующие геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 2 4 6 20 1cos cos cos ... cos21 21 21 21 2π π π π+ + + + = − ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении отрезок AD делит медиану BM ?

120




4.1.м Решите уравнение: x x+ + + =6 2 43 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 213 27 0− + − =

имеет три действительных корня, образующие геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 2 4 6 20 1cos cos cos ... cos21 21 21 21 2π π π π+ + + + = − ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении отрезок AD делит медиану BM ?

121



2.1. Найдите значение выражения 1 14 2 3 4 2 3

++ −

.

2.2. Упростите выражение cos5 cos3sin 5 sin 3

α + αα + α

.

2.3. Решите уравнение 25 4 5 5 0x x+ ⋅ − = .

2.4. Вычислите значение выражения 1 lg 27 lg 53100

−.

2.5. Найдите первообразную функции 24( )

sin 4f x

x= , график которой про-

ходит через точку ( ); 2 324B π − .

2.6. Первому маляру требуется на 4 ч больше, чтобы покрасить комнату, чем второму. Если первый маляр проработает 3 ч, а затем его сменит второй, то последний докрасит эту комнату за 6 ч. За сколько часов может покрасить всю комнату второй маляр?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Большее основание AD трапеции равно 12 см, AE =15 см, BE =5 см. Найдите меньшее основание трапеции.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна b. Эта хорда видна из центра нижнего основания под углом β, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой проведенной хорды, образует с плоскостью основания угол α. Найдите объем цилиндра.





ции 2 5( ) 4

x xf x x−=+

.

3.2. Решите неравенство 1 32

2log log 11x

x− > −−

.

3.3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из кате-тов — 5 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вер-шины его большего острого угла.

122




4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению:

2 2 2 12 2x y xy y x+ + − = + .


нечетной, если 8( ) 22

xxf x = − ?

4.3.м Решите систему уравнений: sin cos , ,cos sin , .

x yx y

= −=

⎧⎨⎩0 5

0 5

4.4.м Точки M и N — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырех-угольника ABCD (AD > BC). Известно, что 1 ( )2MN AD BC= − .

Докажите, что данный четырехугольник — трапеция.

122




4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению:

2 2 2 12 2x y xy y x+ + − = + .


нечетной, если 8( ) 22

xxf x = − ?

4.3.м Решите систему уравнений: sin cos , ,cos sin , .

x yx y

= −=

⎧⎨⎩0 5

0 5

4.4.м Точки M и N — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырех-угольника ABCD (AD > BC). Известно, что 1 ( )2MN AD BC= − .

Докажите, что данный четырехугольник — трапеция.

123



2.1. Упростите выражение 6 3

6 3 3 6 3:3 6 9

ab aab b a ab b+ + +

.

2.2. Решите уравнение ( )2 321 12 84 2xx⋅ = ⋅ .


( ) ( )3sin cos(2 ) cos sin( )2 2π π−α π−α + −α π−α .

2.4. Вычислите значение выражения ( ) 75

log 2log 614 14log 2 log 7 5+ + .

2.5. Дана функция ( ) sin 3xf x e x= . Найдите '(0)f .

2.6. Катер проплыл 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины проекций которых на эту прямую равны 6 см и 15 см. Найдите длины наклонных, если они относятся как 10 : 17.

2.8. Диагональ куба равна a. Чему равен объем куба?




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-ции 2

1( )3

xf xx+=+

.

3.2. Постройте график функции 93 2( ) log log ( 2)xf x x−= − .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, катет которого ра-вен b, а противолежащий острый угол — β. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.

124




4.1.м Постройте график функции cos (2arccos )y x= .

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку максимума функции:

3 22( ) 2 43 2x af x x ax+= − + + .


4.4.м Точки P, Q, R принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Известно, что AP : AB = BQ : BC = CR : CA = 1 : 4. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника PQR.

124




4.1.м Постройте график функции cos (2arccos )y x= .

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку максимума функции:

3 22( ) 2 43 2x af x x ax+= − + + .


4.4.м Точки P, Q, R принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Известно, что AP : AB = BQ : BC = CR : CA = 1 : 4. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника PQR.

125




81

83

a

aa − при 16=a ?

2.2. Решите уравнение 0cossincos2 =− xxx .

2.3. Решите систему уравнений ⎩⎨⎧

=−=−

.2,30

xyxxy

2.4. Вычислите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии )( na , если 5212 =a , а разность прогрессии 5=d .


6 6(sin1) (sin1)x

x x−+ +≥ .

2.6. Найдите промежутки убывания функции 4 3 2( ) 2 5f x x x x= − + − .

2.7. Периметр ромба равен 60 см, а его диагонали относятся как 3 : 4. Найдите площадь ромба.

2.8. Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и се-редину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен R.




3.1. Решите неравенство: 1)12(log)1(log 66 <+++ xx .

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x x= − +2 3 4 и прямой y x= −4 .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите расстояние от вершины большего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

126




4.1.м Упростите выражение: 2 8 9 2 8 9b b b b− + + + + + + .


22 2,

4.x xy yxy y

⎧ − − =⎨ + =⎩

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение 2arccos (7 7)arccos 2 (5 7) 0x a x a a− − + − =


4.4.м В треугольник ABC, периметр которого равен 2p, вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL, если AC=b.

126




4.1.м Упростите выражение: 2 8 9 2 8 9b b b b− + + + + + + .


22 2,

4.x xy yxy y

⎧ − − =⎨ + =⎩

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение 2arccos (7 7)arccos 2 (5 7) 0x a x a a− − + − =


4.4.м В треугольник ABC, периметр которого равен 2p, вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL, если AC=b.

127



2.1. Чему равно значение выражения 0,7 0,7 3,49(2 ) (0,5)− − ⋅ ?

2.2. Решите неравенство 14 4 80x x+ + ≥ .

2.3. Найдите значение sinα , если ctg 2α = и 32ππ < α < .


4 421log 4log 3xx

+ = − .

2.5. Геометрическая прогрессия ( )nb задана формулой общего члена 15 3n

nb −= ⋅ . Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

2.6. Чтобы получить 50 кг 46-процентного сплава цинка, взяли его 40-про-центный и 50-процентный сплавы. Сколько взяли килограммов 40-про-центного сплава?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите отрезок AB, если AF = 10 см и BC : AD = 2 : 5.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна l.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой 2 2 1y x x= + + и прямой 3y x= + .


( ) ( )2 21 4 b 1 4b b b− + − + − .

3.3. Основание пирамиды — квадрат со стороной 9 см, а две соседние бо-ковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро пирамиды равно 15 см.

128




4.1.м Сколько критических точек имеет функция 3 2

( ) 23 2x xf x x= + −

на промежутке [ ; ]a a− в зависимости от значения параметра a ( 0)a > ?


2arcsin arctg

1xx

x=

−.


2 2

6 ,

41.

x yx y x y x yx y

⎧ ++ − =⎪ − −⎨⎪ + =⎩

4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠A1CC1 = ∠C1AA1. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

128





( ) 23 2x xf x x= + −

на промежутке [ ; ]a a− в зависимости от значения параметра a ( 0)a > ?


2arcsin arctg

1xx

x=

−.


2 2

6 ,

41.

x yx y x y x yx y

⎧ ++ − =⎪ − −⎨⎪ + =⎩

4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠A1CC1 = ∠C1AA1. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

129



2.1. Вычислите значение выражения 120,25 2181 (0,5)9

−−⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2.2. Найдите корень уравнения 28 8 126x x+ − = .

2.3. Упростите выражение: sin( ) 2cos sin2cos cos cos( )

α +β − α βα β− α +β

.

2.4. Решите неравенство: 4 4log ( 3) log ( 15) 3x x+ + + ≤ .

2.5. Найдите первообразную функции 1( ) sin 42 1xf x

x= −

+, график которой

проходит через начало координат.


6 33 1x xy x−=+

.

2.7. Определите величину угла α, изобра-

женного на рисунке.

2.8. Угол при основании осевого сечения конуса равен β, а расстояние от центра основания до середины образующей равно a. Найдите объем конуса.





ции 2 8( ) 1

x xf x x−=+

.

3.2. Постройте график функции f x x x( ) ctg sin= .

3.3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагональ — 20 см.

A

D

E

B

20°

70°

40°

C90°

α

130




4.1.м Для каждого значение параметра a решите неравенство:

( )x a x x− ⋅ − ⋅ ≤6 5 5 6 0 .

4.2.м Докажите, что функция )2cos(cos)( xxxf = не является перио-дической.


1

1

3 cos xdxx .

4.4.м Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны.

130




4.1.м Для каждого значение параметра a решите неравенство:

( )x a x x− ⋅ − ⋅ ≤6 5 5 6 0 .

4.2.м Докажите, что функция )2cos(cos)( xxxf = не является перио-дической.


1

1

3 cos xdxx .

4.4.м Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны.

131



2.1. Найдите область значений функции 2( ) 8 3f x x x= + − .


m m mmm m

⎛ ⎞− +−⎜ ⎟ −+ −⎝ ⎠.

2.3. Решите уравнение 8 6 35 3 5 1x x− =

− +.

2.4. К бассейну подведены две трубы, через которые его можно наполнить за 4 ч. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, если открыть только вторую трубу?

2.5. Найдите наименьшее значение функции 9y xx= + на промежут- ке [– 4; –1].

2.6. Решите уравнение 21 sin 2 (cos 2 sin 2 )x x x− = + .

2.7. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой ее тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

2.8. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, которые образуют с плоскостью углы, равные 60°. Найдите расстояние между точками B и C, если ∠BAC= 90°, а расстояние от точки A до плоскости α равно 3 см.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой 24y x= − и пря-мой 2y x= − .

3.2. Найдите область определения функции 0,62( ) log 3

xf x x+=−

.

3.3. Основание прямой призмы — ромб с большей диагональю d и острым углом α. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы.

132





,

которая проходит через точку (0; 0)O .

4.2.м Решите неравенство: 2 3 5x x x− < − .

4.3м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2 3cos | | 12

xa a xπ − =


4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диа-метре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности равен R.

132





,

которая проходит через точку (0; 0)O .

4.2.м Решите неравенство: 2 3 5x x x− < − .

4.3м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2 3cos | | 12

xa a xπ − =


4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диа-метре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности равен R.

133



2.1. Чему равно значение выражения ( )( )( )4 4 4 47 5 7 5 7 5+ + − ?

2.2. Решите уравнение 2 5 24 4x x x+ − = − .

2.3. Вычислите значение выражения 6 52 log 9 log 36 25− − .

2.4. При каком отрицательном значении x значения выражений 2 3x − , 4x − , 2x + будут последовательными членами геометрической прогрессии?

2.5. Найдите область определения функции 2 3log 3xy xπ

−=−

.

2.6. Вычислите интеграл ln 4

ln3

xe dx−∫ .

2.7. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см и делит ее на две части, одна из которых, прилежащая к вершине равнобедренного треугольника, равна 6 см. Найдите осно-вание треугольника.

2.8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с плос-костью основания угол β. Отрезок, соединяющий середину высоты пира-миды и середину бокового ребра, равен b. Найдите объем пирамиды.




3.1. Постройте график функции | 3 27 |( )27 3

x

xf x −=−

.


( )( ) ( )( )22

213 17 7 2ctg tg 2 tg ctg4 4 2 cosπ π π+ π−β + + −β =

β.

3.3. Точка пересечения биссектрис тупых углов при меньшем основании тра-пеции принадлежит большему основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

134





045sin 2 ≤−−⋅ xxx .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции |12|)( 2 −+= xxxf на проме-жутке [0; 1].

4.3.м Прямая y x= +4 1 касается параболы y x bx c= + +2 в точке M (1; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что SBCO = 1 см2, SAOD = 9 см2, SABCD ≤ 16 см2. Найдите площади треугольников ABO и COD.

134





045sin 2 ≤−−⋅ xxx .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции |12|)( 2 −+= xxxf на проме-жутке [0; 1].

4.3.м Прямая y x= +4 1 касается параболы y x bx c= + +2 в точке M (1; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что SBCO = 1 см2, SAOD = 9 см2, SABCD ≤ 16 см2. Найдите площади треугольников ABO и COD.

135



2.1. Найдите корни уравнения sin 3 cos 0x x+ = .

2.2. Вычислите значение выражения lg 7 lg 72 5⋅ .


7 1 18 88

7

7

a a a b

a ba

+ −−−+

⋅

2.4. Решите уравнение: 2 13 8 3 3 0x x+ + ⋅ − = .

2.5. Найдите первообразную функции 5( )2

f x xx

= + , график которой

проходит через точку M (4; –3).

2.6. Лодка, собственная скорость которой равна 6 км/ч, проплыла 8 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем такое же расстояние против течения реки. Найдите скорость течения реки.

2.7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BK = 2 см, AC = 12 см, MK = KC. Найдите сторону BC.

2.8. Высота правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а апофема —17 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.




3.1. Докажите тождество: 2 2 4

2 2sin 2 4cos ctg

sin 2 4cos 4α − α = α

α + α −.

3.2. Постройте график функции 23( ) log log 3xf x x= .

3.3. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотену-зой с и острым углом α. Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около дан-ной призмы.

136




4.1.м Решите неравенство: 2( 2) sin 0x x x+ − ≤ .

4.2.м Решите неравенство: 127 13 9 13 3 27 0x x x+− ⋅ + ⋅ − > .


( ) 3 2x axf x = +

на промежутке [–2; 0] в зависимости от значения параметра a?

4.4.м Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведен отре-зок EF параллельно стороне AB. Найдите площадь четырехугольника ABFE, если EFAB = и площадь треугольника ABC равна S.

136




4.1.м Решите неравенство: 2( 2) sin 0x x x+ − ≤ .

4.2.м Решите неравенство: 127 13 9 13 3 27 0x x x+− ⋅ + ⋅ − > .


( ) 3 2x axf x = +

на промежутке [–2; 0] в зависимости от значения параметра a?

4.4.м Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведен отре-зок EF параллельно стороне AB. Найдите площадь четырехугольника ABFE, если EFAB = и площадь треугольника ABC равна S.

137




31

61

31

8

nm

nm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

при 14=m , 16=n .

2.2. Решите неравенство ( ) ( )2 8 674

7 4x x−≤ .

2.3. Упростите выражение sin (45 ) cos ( 45 )sin (45 ) cos ( 45 )

° + α + °+ α°+ α − °+ α

.

2.4. Решите уравнение 2 16 5x x x+ − = − .

2.5. Вычислите значение производной функции )4ln()( 2 xxxf −= в точке x0 5= .

2.6. Катер прошел 24 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 3 км/ч.

2.7. На катете AC прямоугольного треугольника ABC (∠A = 90°) отметили точку K. Найдите площадь треугольника KBC, если AK = 8 см, BK = 17 см, BC = 25 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной 12 см, которая видна из центра основания под углом 120°. Найдите объем конуса, если его обра-зующая равна 8 см.




3.1. Решите уравнение 5 3 4 32 2sin sin cos cosx x x x+ + = .

3.2. При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную графиком функции xy 4= и прямыми y = 0 , x = 4 , x = 9 , на две равно-великие части?

3.3. В равнобедренный треугольник вписана окружность, центр которой удален от вершины равнобедренного треугольника на 51 см, а точка каса-ния делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8 : 9, считая от вершины угла при основании. Найдите площадь этого тре-угольника.

138




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 225 ( 1) 5 2 0x xa a a+ − ⋅ + − =

имеет два различных действительных корня?

4.2.м Решите уравнение: 23 3log log3 162x xx+ = .

4.3.м Докажите неравенство: 12 2 3n n+ > + , n N∈ , 2n ≥ .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, ∠ ACB = 120°. Докажите, что 1 1 1

AC BC CD+ = .

138




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 225 ( 1) 5 2 0x xa a a+ − ⋅ + − =

имеет два различных действительных корня?

4.2.м Решите уравнение: 23 3log log3 162x xx+ = .

4.3.м Докажите неравенство: 12 2 3n n+ > + , n N∈ , 2n ≥ .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, ∠ ACB = 120°. Докажите, что 1 1 1

AC BC CD+ = .

139



2.1. Вычислите значение выражения ( )( )6 64 449 125 49 125+ − .

2.2. Решите неравенство: 7 5 3 125 0,008x x− −≤ .

2.3. Найдите первообразную функции 3 2( ) 6 xf x e −= , график которой проходит через точку A (1; 5e).

2.4. Решите уравнение 2 2log 4 log 54xx ⋅ = .

2.5. Чему равна разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –8, а сумма первых десяти членов равна 190?

2.6. Найдите промежутки возрастания функции 3 2( ) 3xf x x−=+

.

2.7. Одна из диагоналей трапеции и ее основания равны соответственно 40 см, 18 см и 30 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

2.8. Высота конуса равна 10 см, а угол между образующей конуса и плос-костью основания — 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами y x= 2 и

y x x= −2 2 .

3.1. Решите уравнение 2 14 3 1 2x x+ − + = .

3.3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плос-костью основания угол α, а с плоскостью боковой грани — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

140




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 5x a x− = −



( cos )( sin )3 1 3 2 10x y− + ≥ .

4.3.м Докажите, что при 0<x выполняется неравенство xx sin< .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Докажите, что прямая, содержащая медиа-ну MK треугольника DMB, также содержит высоту треугольника CMA.

140




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 5x a x− = −



( cos )( sin )3 1 3 2 10x y− + ≥ .

4.3.м Докажите, что при 0<x выполняется неравенство xx sin< .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Докажите, что прямая, содержащая медиа-ну MK треугольника DMB, также содержит высоту треугольника CMA.

141




2,25 3 9625 25 125−− ⋅ ⋅ .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 31 6 366x−< ≤ ?

2.3. Решите уравнение: 2 20,2 0,2log 0,5log 2x x+ = .

2.4. Чему равно значение ctgα , если 1sin 3α = и 2π < α < π ?

2.5. Найдите область определения функции 28 2( ) 3

x xf x x− −=+

.


0

14 27 9

dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ .

2.7. В прямоугольной трапеции ABCD (BC || AD, ∠ A = 90°) известно, что AB = 4 см, BC = 7 см, AD = 10 см. Найдите синус угла D трапеции.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см, а высота пирамиды — 22 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.





ции 2

2( )1

xf xx

=−

.

3.2. Найдите наименьшее значение выражения 15 8sin cosα α+ .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

142




4.1.м Решите уравнение: cos ( sin cos )x x x8 5 2 2 0+ − = .


12312 ≥−+− xx .



4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что AB + MC = AM + BC. Докажите, что окружности, вписанные в тре-угольники ABM и MBC, касаются.

142




4.1.м Решите уравнение: cos ( sin cos )x x x8 5 2 2 0+ − = .


12312 ≥−+− xx .



4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что AB + MC = AM + BC. Докажите, что окружности, вписанные в тре-угольники ABM и MBC, касаются.

143



2.1. Решите систему уравнений 2 2 12,

2.x yx y

⎧ − = −⎨ − =⎩


1log log 22x x− = .

2.3. Укажите наименьшее целое решение неравенства 26 05

x xx− ≤+

.


4

1

(2 1)x dx−

+∫ .

2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( )nb , если 1 12b = , 4 96b = .

2.6. Упростите выражение (sin 2 sin 6 )(cos 2 cos6 )1 cos8

α + α α − α− α

⋅

2.7. В треугольник ABC вписан ромб CMKD так, что угол C у них общий, а вершина K принадлежит стороне AB. Найдите сторону BC, если AC= 12 см, а сторона ромба равна 4 см.

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали AD1 его грани отметили точку E так, что AE : ED1 = 2 : 7. Выразите вектор BE через векторы BA , BC

и 1BB .




3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f x x x x( ) = − − +3 2 2 7 наклонена до оси абсцисс под углом 4

3π=α .

3.2. Постройте график функции f x x x( ) ( )= + +3 266 .

3.3. Основание пирамиды — ромб с углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны ϕ. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

144




4.1.м Найдите первообразную функции ( ) sin 3 cos 2f x x x= , график которой

проходит через точку ( )30; 5K − .


2 2 2log (2 3 3) log 2 logx xx x x− + = + .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство 2 (4 1) ( 2)(3 1) 0x a x a a− + + + − >

выполняется при всех отрицательных значениях x?

4.4.м Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 31 одной из его

высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифме-тическую прогрессию.

144




4.1.м Найдите первообразную функции ( ) sin 3 cos 2f x x x= , график которой

проходит через точку ( )30; 5K − .


2 2 2log (2 3 3) log 2 logx xx x x− + = + .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство 2 (4 1) ( 2)(3 1) 0x a x a a− + + + − >

выполняется при всех отрицательных значениях x?

4.4.м Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 31 одной из его

высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифме-тическую прогрессию.

145



2.1. Укажите область определения функции f x x( ) = +3 96 .

2.2. Решите уравнение: 3 3 102x x+ =− .

2.3. Решите неравенство: log ( ) log ( ), ,0 3 0 32 3 5 1− > −x x .

2.4. Найдите производную функции 72)( 2

2

−

−=

xxxf ⋅

2.5. Укажите область значений функции 2 2 3y x x= − − + .

2.6. Расстояние между пунктами A и B составляет 40 км. Автобус проехал из A в B и вернулся назад. Возвращался он со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной и потратил на обратный путь на 20 мин больше, чем на путь из A в B. Найдите первоначальную скорость автобуса.

2.7. Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB = 10 2 см, AC = 26 см, ∠B = 45°.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 8 см, находящаяся на расстоянии 3 см от центра этого основания. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его высота равна 6 см.




3.1. Решите уравнение: sin cos sin2 2 1x x x− = − .


ми y = 3 и x = 3 .

3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 12,5 см.

146




4.1.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение log ( 9) 2x ax − =



4.3.м Решите неравенство: 5 12 13x x x+ ≤ .

4.4.м Касательная в точке A к окружности, описанной около треугольни-ка ABC, пересекает прямую BC в точке D, отрезок AE — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AD = DE.

146




4.1.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение log ( 9) 2x ax − =



4.3.м Решите неравенство: 5 12 13x x x+ ≤ .

4.4.м Касательная в точке A к окружности, описанной около треугольни-ка ABC, пересекает прямую BC в точке D, отрезок AE — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AD = DE.

147



2.1. Чему равно значение выражения ( ) 11 0,532 136 10009

−+ − ?

2.2. Вычислите значение выражения 51 log 225 + .

2.3. Решите неравенство 23 4 3 15x x−− ⋅ > .

2.4. Решите уравнение: 2 8 7 1x x x+ + = + .

2.5. Найдите первообразную функции 3( ) 3 sin 2xf x e x= + , график которой проходит через точку (0; 3)B .

2.6. Найдите корни уравнения: 2 23 sin sin 2 3 cos 0x x x− − = .

2.7. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 30°.

2.8. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Бóльшая диагональ призмы равна 50 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.




3.1. Докажите тождество: 2 2 2(sin sin ) (cos cos ) 4sin 2

α −βα − β + α − β = .


ции 2

( ) lnxf x x= .

3.3. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

148





27 2722log 3 log ( 4 4) 3x x x+ − + = .


( )2 23 1 2 8 0x x x− − − − ≥ .


{( 3) 4 3 5,( 1) 2

a x y aax a y+ + = −+ − =

не имеет решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, пересекающая окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для любой секущей, проходящей через точку B. (Рассмотрите случаи расположения точек C и D в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

148





27 2722log 3 log ( 4 4) 3x x x+ − + = .


( )2 23 1 2 8 0x x x− − − − ≥ .


{( 3) 4 3 5,( 1) 2

a x y aax a y+ + = −+ − =

не имеет решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, пересекающая окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для любой секущей, проходящей через точку B. (Рассмотрите случаи расположения точек C и D в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

149



2.1. Упростите выражение αα−α ctg2sin2cos .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 3 8 22xx− ≤−

?


log (1 2 ) 2x− ≥ − .

2.4. Решите уравнение: 19 2 2x x− = − .

2.5. Найдите промежутки убывания функции 3( ) 48f x x x= − .

2.6. Найдите первообразную функции 3 2( ) 8x

f x x e= − , график которой про-

ходит через точку (1; 2 )B e− .

2.7. В равнобокой трапеции ABCD основания AD и BC соответственно рав-ны 18 см и 12 см. Боковая сторона трапеции образует с ее основанием угол 30°. Найдите диагональ трапеции.

2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник с диагональю d. Угол между стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости осно-вания под углом β.




3.1. Докажите тождество: 4 4

4 44 4 4 64 1: 24 4 16

b b bb b b

⎛ ⎞+ − ++ = −⎜ ⎟− + −⎝ ⎠.


( ) log log ( 1)xf x x+= + .

3.3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, отрезки BD и CK — высоты треугольника, cos A = 7

3 . Найдите отношение CK : BD.

150




4.1.м Определите количество корней уравнения cos x a= на промежут-

ке )50; 4π⎡

⎢⎣ в зависимости от значения параметра a.


x xx

2 8 34

18 0− −−

+ ≤ .


4.4.м Внутри угла AOB отметили точку M, проекциями которой на прямые OA и OB являются точки M1 и M2. Докажите, что M M OM1 2 ≤ .

150




4.1.м Определите количество корней уравнения cos x a= на промежут-

ке )50; 4π⎡

⎢⎣ в зависимости от значения параметра a.


x xx

2 8 34

18 0− −−

+ ≤ .


4.4.м Внутри угла AOB отметили точку M, проекциями которой на прямые OA и OB являются точки M1 и M2. Докажите, что M M OM1 2 ≤ .

151



2.1. Упростите выражение sin128 cos 68 cos128 sin 68cos 44 cos16 sin 44 sin16

° ° − ° °° ° − ° °

.

2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 31 2 816x−≤ < ?


5 5

log 18 log 0,5log 12 2log 2

+−

?

2.4. Найдите область определения функции 5 127 3

yxx

= −−+

.

2.5. Найдите промежутки убывания функции 2 4( ) 2f x x x= − .


2e

edxx∫ .

2.7. Найдите длину окружности, описанной около треугольника со сторона-ми 13 см, 14 см и 15 см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра нижнего основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен 4 см.




3.1. Чему равно значение выражения 1 2 3 2 23 6+ ⋅ − ?

3.2. Решите уравнение: 5 6 5sin cosx x− = .

3.3. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Площадь образовавше-гося сечения равна 8 3 см2. Найдите объем призмы.

152





log log log log22

22

2 22 2x y x y+ = + .


( ) ( ) ,( ) ( ) .

+ + =− − = −

⎧⎨⎩

1 1 722 2 5

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f x x x x( ) = − −3 2 2


4.4.м Около треугольника ABC описана окружность. Из произвольной точки M окружности проведены перпендикуляры MN и MK к прямым AB и AC соответственно. Найдите положение точки M, для которого длина отрезка NK является наибольшей.

152





log log log log22

22

2 22 2x y x y+ = + .


( ) ( ) ,( ) ( ) .

+ + =− − = −

⎧⎨⎩

1 1 722 2 5

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f x x x x( ) = − −3 2 2


4.4.м Около треугольника ABC описана окружность. Из произвольной точки M окружности проведены перпендикуляры MN и MK к прямым AB и AC соответственно. Найдите положение точки M, для которого длина отрезка NK является наибольшей.

153



2.1 Упростите выражение 3,55 2 1

1 74 14x y x y−

−− ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.2. Решите уравнение 25 5 130x x+ + = .

2.3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций 3 2y x= − и y x= .

2.4. Какое наибольшее значение принимает функция 3 6( ) 4 1f x x x= − + ?

2.5. Найдите третий член геометрической прогрессии, первый член которой

1 2 3b = + , а знаменатель 2 3q = − .

2.6. Бригада рабочих должна была изготовить 900 деталей. Из-за болезни одного из рабочих каждому из тех, кто работал, пришлось изготовить на 10 деталей больше, чем планировалось. Сколько рабочих в полном составе бригады?

2.7. Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC, если AO = 8 см, OC = 5 см.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, а ее диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите объем пирамиды.




3.1. Решите уравнение: 25log 125 log 4x x x⋅ = .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-ции 2( )

1xf x

x=

−.

3.3. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 24 см и 40 см соответственно. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.

154




4.1.м При каких значениях параметра a функция ( )2 2( ) lnf x a x x= + + явля-

ется нечетной?

4.2.м Найдите площадь треугольника, ограниченного осью ординат, прямой 7y x= − и касательной к графику функции 2( ) 2 4f x x x= − + в точке

с абсциссой 0 3x = .

4.3.м Найдите значение выражения 1 3ctg arccos2 10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅

4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Точка J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Биссектриса угла B пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что DJ = DJ1.

154




4.1.м При каких значениях параметра a функция ( )2 2( ) lnf x a x x= + + явля-

ется нечетной?

4.2.м Найдите площадь треугольника, ограниченного осью ординат, прямой 7y x= − и касательной к графику функции 2( ) 2 4f x x x= − + в точке

с абсциссой 0 3x = .

4.3.м Найдите значение выражения 1 3ctg arccos2 10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅

4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Точка J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Биссектриса угла B пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что DJ = DJ1.

155



2.1. Упростите выражение ( ) ( )3cos sin2π −α + π−α .


9x

x− − =

−.

2.3. Вычислите значение выражения 7 7

6 6

log 28 log 43log 3 log 8

−+

.

2.4. Решите уравнение: 24 3 4 52x x−− ⋅ = .

2.5. Найдите точку максимума функции 3 21( ) 8 73f x x x x= + − + .

2.6. Арифметическая прогрессия ( )na задана формулой общего члена 6 1na n= − . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

2.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиана, проведенная к гипотенузе, — 6,5 см. Вычислите площадь этого тре-угольника.

2.8. Точка K находится на расстоянии 2 см от плоскости α. Наклонные K A и K B образуют с плоскостью α углы 45° и 30° соответственно, а угол ме-жду наклонными равен 135°. Найдите расстояние между точками A и B.




3.1. Найдите область определения функции f x x xx( ) log ( )= + −−4214 5 .


2xy x= − .

3.3. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, накло-нена к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

156




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax( ) ln= − +3 4



3

3 13 1

x

x dx−

−+∫ .


cos cosx y = 1 .

4.4.м Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.

156




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax( ) ln= − +3 4



3

3 13 1

x

x dx−

−+∫ .


cos cosx y = 1 .

4.4.м Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.

157




53 3

9?

2.2. Решите уравнение: 3 9 27 2 0,125 14x x x− −⋅ = ⋅ .


2cos( ) cos ( )

sin( )cos−β − −β−β β

.

2.4. Найдите значение выражения 3 6 7log 6 log 7 log 9⋅ ⋅ .

2.5. Найдите промежутки убывания функции 2( ) (3 1) xf x x e= − .

2.6. Комбайнер должен был собрать урожай с поля площадью 60 га. Он собирал ежедневно урожай с площади на 2 га большей, чем планировал, а поэтому закончил уборку урожая на 1 день раньше срока. За сколько дней комбайнер собрал урожай?

2.7. Сумма внешних углов треугольника ABC, взятых по одному при вершинах A и C, равна 230°. Найдите угол ABC.

2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна диаметру основания.




3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y x x= −3 2 , каса-тельной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 3= , и осью ординат.

3.2. Найдите область определения функции: f x x x x( ) cos ( )( )= + + −2 1 .

3.3. Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 12 см и 16 см. Найдите высоту трапеции.

158





2 2

16,log log 2.

y xx yx y

⎧⎪ + =⎨

− =⎪⎩


( )3 9 2 8 02x x x− − − ≤ .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arccos( )x x a− − =1 0


4.4.м Известно, что M — точка пересечения отрезков AB и CD, MA ⋅ MB= MC ⋅ MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

158





2 2

16,log log 2.

y xx yx y

⎧⎪ + =⎨

− =⎪⎩


( )3 9 2 8 02x x x− − − ≤ .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arccos( )x x a− − =1 0


4.4.м Известно, что M — точка пересечения отрезков AB и CD, MA ⋅ MB= MC ⋅ MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

159



2.1. Сократите дробь 0,5

0,75 0,549

7b b

b b−−

.

2.2. Решите неравенство ( )28 4 82

3 27x x+ −

< .

2.3. Решите уравнение 7 10 3x x+ + + = .

2.4. Чему равно наибольшее значение функции 3 2( ) 3 5 73

xf x x x= − + − на

промежутке [0; 3] ?

2.5. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 10,5; 9,8; 9,1; ... .

2.6. Решите уравнение 2 cos5 sin 3 sin 7 0x x x+ − = .

2.7. Из точки K, не лежащей на прямой a, проведены к этой прямой наклонные KA и KB, которые образуют с ней углы 45° и 30° соот-ветственно. Найдите длину проекции наклонной KB на прямую a, если

8 6KA = см.

2.8. Радиус основания конуса равен 2 5 см, а расстояние от центра его основания до образующей — 4 см. Найдите площадь боковой поверх-ности конуса.




3.1. Решите уравнение 2 lg 1lg(4 3)x

x =−

.

3.2. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и ка-сательной к графику функции 2( ) 1

xf x x+=−

в точке с абсциссой x0 2= .

3.3. Основание прямой призмы — ромб с острым углом α, площадь которого равна S. В призме проведено диагональное сечение, проходящее через меньшую диагональ основания. Диагональ этого сечения наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверх-ности призмы.

160




4.1.м Решите уравнение: 2 2 6 5 2cos cos cos sinx x x x= + .

4.2.м Определите количество решений системы 3 2 0x yy a x+ − == +

⎧⎨⎩

,


4.3.м Решите уравнение: 9 14 3 33 3 0x xx x− − ⋅ + − =( ) .

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две пересекающиеся хорды AB и CD. Известно, что AC BD R2 2 24+ = . Докажите, что хорды AB и CD перпендикулярны.

160




4.1.м Решите уравнение: 2 2 6 5 2cos cos cos sinx x x x= + .

4.2.м Определите количество решений системы 3 2 0x yy a x+ − == +

⎧⎨⎩

,


4.3.м Решите уравнение: 9 14 3 33 3 0x xx x− − ⋅ + − =( ) .

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две пересекающиеся хорды AB и CD. Известно, что AC BD R2 2 24+ = . Докажите, что хорды AB и CD перпендикулярны.

161



2.1. Упростите выражение 1 12 2

16 2

8b b b−

+.

2.2. Чему равно значение выражения 6 61 log 64 3log 2336

−?

2.3. Решите уравнение: 22sin cos 2 0x x− = .

2.4. Решите уравнение: 1 2 2(2 ) 32 8x x x x− + += ⋅ .

2.5. Найдите первообразную функции 3( ) sin xf x x e= − , график которой проходит через начало координат.

2.6. Чему равна сумма корней уравнения 4 28 9 0x x+ − = ?

2.7. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку K так, что ∠ ABK= 60°. Найдите отрезок AK, если BC = 6 см.

2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и образует с образующей цилиндра угол α. Найдите объем цилиндра.




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции ( ) 2 3f x x= − в точке с абсциссой 0 2x = .

3.2. Найдите область определения функции 2( 5)(2 )( )

lg( 1)x xf x

x+ −=

+⋅

3.3. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удален от концов ее боковой стороны на 12 см и 16 см. Вычислите площадь трапеции.

162





20 3 11 3 4⋅ − > −x x .

4.2.м При каких значениях параметра b система 4x ay bx y a

+ =+ =

⎧⎨⎩

,


4.3.м Решите уравнение: 22 2 5(arcsin ) (arccos ) 36x x π+ = ⋅

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая AH во второй раз пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что BD = HB.

162





20 3 11 3 4⋅ − > −x x .

4.2.м При каких значениях параметра b система 4x ay bx y a

+ =+ =

⎧⎨⎩

,


4.3.м Решите уравнение: 22 2 5(arcsin ) (arccos ) 36x x π+ = ⋅

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая AH во второй раз пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что BD = HB.

163



2.1. Упростите выражение 2sin ctgsin 2α α

α.

2.2. Найдите значение x, если 0,6 0,6 0,6 0,6log 2log 6 log 12 log 1,5x = − + .

2.3. Упростите выражение: 5 54 100 :25 5 5

b bbb b b

⎛ ⎞+ −+ +⎜ ⎟− − +⎝ ⎠.


x x− > .

2.5. Найдите первообразную функции 2 3( ) 2 6 4f x x x x= − − , график которой проходит через точку ( 1; 3)B − − .

2.6. Число 192 является членом геометрической прогрессии 6; 12; 24; ... . Найдите номер этого члена.

2.7. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 15°, AC = 3 3 см, отрезок CM — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AM.

2.8. Площадь боковой поверхности конуса равна 20π см2. Найдите объем этого конуса, если его образующая равна 5 см.




3.1. Решите уравнение 2 2 1

tg1

cos64 8 9 8x x−

+ = ⋅ .

3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 3 22f x x x= − в точке с абсциссой 0 1x = − .

3.3. Боковое ребро правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равно 161 см, а диагональ призмы — 17 см. Найдите площадь четырехугольни-ка AB1С1D.

164




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arccos( )x a x− + =5 0


4.2.м Решите систему уравнений: x y x yx y+ + − + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 2 32 7

3 3 ,.

4.3.м Решите неравенство: log ( )x x2 3 2+ < .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов в отношении 1 : 2, считая от вершины прямого угла. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно 18 см. Найдите стороны треугольника.

164




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arccos( )x a x− + =5 0


4.2.м Решите систему уравнений: x y x yx y+ + − + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 2 32 7

3 3 ,.

4.3.м Решите неравенство: log ( )x x2 3 2+ < .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов в отношении 1 : 2, считая от вершины прямого угла. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно 18 см. Найдите стороны треугольника.

165




115

25 5125

− ⋅ ?

2.2. Найдите корень уравнения 0,0016 5 25x x= ⋅ .

2.3. Чему равно значение выражения ( )cos 2 2πα − , если cos 0,8α = −

и 2π < α < π ?

2.4. Найдите множество решений неравенства 7 7log (4 6) log (2 4)x x− > − .

2.5. Составьте уравнение касательной к графику функции 31( ) 4 3f x x x= −

в точке с абсциссой 0 3x = .

2.6. Решите уравнение 3

31 9 42 2

xx

+ + =+

.

2.7. На катете BC треугольника ABC ( °=∠ 90ACB ) отметили точку D. Найдите площадь треугольника ABD, если 25=AB см, 17=AD см,

15=AC см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом β. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой этой хорды, равен l и образует с плоскостью основания угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.





2

3

9 x dx−

−∫ .

3.2. Упростите выражение ( ) ( )

2

22sin 3 1

2ctg 3 cos 34 4

α −π π+ α − α

.

3.3. Окружность, центр которой принадлежит стороне MK треугольника MKE, проходит через точку K, касается стороны ME в точке E и пере-секает сторону MK в точке F. Найдите больший угол треугольника MKE, если сторона ME равна радиусу данной окружности.

166





имеет два различных отрицательных корня?


231 12 3x x x x+ − = − .

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 3 232 xxy −= на

промежутке 11; 8⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырех-угольника перпендикулярны.

166





имеет два различных отрицательных корня?


231 12 3x x x x+ − = − .

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 3 232 xxy −= на

промежутке 11; 8⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырех-угольника перпендикулярны.

167



2.1. Чему равно значение выражения 2log75log278log3

1555 −+ ?

2.2. Решите уравнение: 2 14 6 4 70x x+ −+ ⋅ = .

2.3. Решите неравенство 2( 5)( 2) 0

( 1)x x

x+ − ≤

−.

2.4. Вычислите значение выражения 6 86 8(6 5) (1 5)− + − .

2.5. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +3 4 52 , график которой проходит через точку M (2;–7).

2.6. Найдите функцию, обратную к функции 1 23y x= + .

2.7. Стороны параллелограмма равны 24 см и 30 см, а угол между его высотами — 30°. Найдите площадь параллелограмма.

2.8. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 6 2 см, проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь сечения, если угол между диагональю сечения и указанной хордой равен 60°.




3.1. Составьте уравнение касательной к графику функции 42

1)( 23 +−−= xxxf в точке с абсциссой x0 2= .

3.2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos , sin2 0 5 2 1x x− = .

3.3. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

168




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a4 2 22 3 0+ + + + =( )



4 2

0

2x x dx−∫ .

4.3.м Решите неравенство: 2 5 6 3 02 1 2 1x x x+ +− ⋅ + ≥ .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую прямой AB (но не отрезку AB), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках K и L, вторую — в точках M и N. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

168




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a4 2 22 3 0+ + + + =( )



4 2

0

2x x dx−∫ .

4.3.м Решите неравенство: 2 5 6 3 02 1 2 1x x x+ +− ⋅ + ≥ .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую прямой AB (но не отрезку AB), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках K и L, вторую — в точках M и N. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

169



2.1. Чему равно значение выражения 5827 32loglog ?

2.2. Упростите выражение cos3 sin 32sin 2cos

α α+α α

.


4 5 22x x x− − = − .

2.4. Найдите множество решений неравенства 2 4 4 01

x xx− + >+

.

2.5. Найдите наименьшее значение функции 3 21 1( ) 63 2f x x x x= + − на проме-

жутке [0; 3].


f xx

=+

, график которой

проходит через точку M ( ; )5 7 .

2.7. В трапеции ABCD известно, что AD || BC, O — точка пересечения диагоналей, AO : OC = 5 : 2, средняя линия трапеции равна 7 см. Найдите большее основание трапеции.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.




3.1. Постройте график функции ( ) 2 sin 1f x x= − − .


2 2log (4 ) log 88xx + = .

3.3. Бóльшая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см, а бóльшая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

170




4.1.м Решите уравнение: ( )2

22sin3 4sin

4 15 4 4 0x xπ−−+ ⋅ − = .

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 3f x x= − − , которая перпендикулярна прямой 3 0y x− − = .


( ) ( )22( ) 1 2 3 8n nP x x x= − + −


4.4.м На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили ее со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

170




4.1.м Решите уравнение: ( )2

22sin3 4sin

4 15 4 4 0x xπ−−+ ⋅ − = .

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 3f x x= − − , которая перпендикулярна прямой 3 0y x− − = .


( ) ( )22( ) 1 2 3 8n nP x x x= − + −


4.4.м На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили ее со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

171



2.1. Найдите значение выражения ( )28 3 7 8 3 7− + + .

2.2. Укажите область значений функции cos( ) 7 xf x = .


log ( 2) log ( 1)x x x+ > − − .

2.4. Решите уравнение cos 2 cos 0x x+ = .


213

1 3 dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

2.6. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой общего члена 5 12na n= − . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, ра-вен 30 см. Точка касания окружности со стороной AB делит ее в отно-шении 3 : 2, считая от точки A, а точка касания со стороной BC удалена от точки C на 5 см. Найдите сторону AC.

2.8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что 24=AD см, 5=CD см, 101 =AA см. Найдите площадь прямоугольни-

ка CDBA 11 .




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f x x( ) tg= 2 в точке

с абсциссой 80π=x .

3.2. Докажите тождество ( ) ( )( ) ( )

cos sin tg2 4 2 4 8 tg 85sin sin 3 tg2 4 4 8

π α π α α− − −α=

π α α α+ − − π.

3.3. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образую-щая с двумя другими сторонами треугольника углы по 45°. Найдите угол между плоскостью треугольника и проведенной плоскостью.

172




4.1.м Решите неравенство: 2 23 2 3 2

8 2 1x x x x

x x− − − −≤+ +

⋅


( )( )22 10 2 16 0x xx a− − ⋅ + =


4.3.м Постройте график уравнения: 2 2cos cos 2x y+ = .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S p a p b= − −( ) ( ) , где p — полупериметр треугольника, a и b — длины катетов.

172




4.1.м Решите неравенство: 2 23 2 3 2

8 2 1x x x x

x x− − − −≤+ +

⋅


( )( )22 10 2 16 0x xx a− − ⋅ + =


4.3.м Постройте график уравнения: 2 2cos cos 2x y+ = .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S p a p b= − −( ) ( ) , где p — полупериметр треугольника, a и b — длины катетов.

173



2.1. Упростите выражение sin 5 sincos cos5

α − αα + α

.

2.2. Решите неравенство 25 5 130x x++ ≤ .

2.3. Чему равно значение выражения 3 3 3

1 12 2

( 2 1)( 4 2 1)

9 5 (3 5)

+ − +⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

?


26 9 0

1x x

x+ + ≤−

.


1

3

4+−∫ .

2.6. Найдите функцию, обратную к функции 3xy x−= .

2.7. В треугольник ABC вписан ромб DMNA так, что угол A у них общий, вершина M принадлежит стороне BC, CM = 6 см, BM = 4 см, AB = 20 см. Найдите сторону ромба.

2.8. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Найдите площадь его сечения, проходящего через ребро DC и середину ребра AB.





( ) ( )log log4 45 4 5 1 1x x− + − = .

3.2. Число 48 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.

3.3. В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если BO= 2 3 см, CO =3 см, ∠A=120°.

174





( )3 2 0x a x− − ≤ .

4.2.м Докажите, что при всех 1x > − выполняется неравенство: ln( 1)x x+ ≤ .

4.3.м Найдите корни уравнения: 3cos 2 cos 24

xx + = .

4.4.м Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.

174





( )3 2 0x a x− − ≤ .

4.2.м Докажите, что при всех 1x > − выполняется неравенство: ln( 1)x x+ ≤ .

4.3.м Найдите корни уравнения: 3cos 2 cos 24

xx + = .

4.4.м Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.

175



2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства 2( 1) ( 6)( 2) 0x x x+ + − < ?

2.2. Решите уравнение log log32

32 8 0x x− − = .

2.3. К раствору массой 180 г, содержавшему 15 % соли, добавили 20 г воды. Какое процентное содержание соли в новом растворе?

2.4. Найдите корни уравнения: 03cos2coscos =++ xxx .

2.5. Чему равно наименьшее значение функции f x x x x( ) = − + +2 15 24 33 2 на промежутке [0; 2]?

2.6. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +4 2 33 , график которой проходит через точку A (1; 8).

2.7. Чему равна площадь параллелограмма со сторонами 9 см и 15 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне?

2.8. Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — равносто-ронний треугольник. Найдите объем конуса.




3.1. Решите неравенство: 2 3 3 2

2 2 2 21 1x x x x x x x x+ + + + − +− > − .

3.2. Решите уравнение: 2 22 6 40 3 8x x x x− + = − + .

3.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом b и противолежащим ему углом β. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.

176




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение sin sin2 2 2 0x a x− =

имеет на промежутке ;2π⎡ ⎤π⎢ ⎥⎣ ⎦

два корня?

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат

и касательной к графику функции f x x( ) = −2 42 в точке с абсциссой x0 2= .

4.3.м Решите уравнение: 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2lg ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( )x x x x− = + − − ⋅ + .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD провели диагональ AC. Окруж-ности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

176




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение sin sin2 2 2 0x a x− =

имеет на промежутке ;2π⎡ ⎤π⎢ ⎥⎣ ⎦

два корня?

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат

и касательной к графику функции f x x( ) = −2 42 в точке с абсциссой x0 2= .

4.3.м Решите уравнение: 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2lg ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( )x x x x− = + − − ⋅ + .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD провели диагональ AC. Окруж-ности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

177



2.1. Найдите область определения функции 8 61 xy −= .

2.2. Вычислите значение выражения 2 3 13 2 2216 16 25− + .


4(1,3) 1x x

x− +− ≥ .

2.4. Решите уравнение: 1 2 1lg 3 3 lgx x+ =+ −

.

2.5. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +3 4 52 , график которой проходит через точку A( ; )2 6 .

2.6. Найдите точку минимума функции 4241)( xxxf −= .

2.7. Отрезки AC и BD, изображенные на рисунке, параллельны, °=∠ 90BDM ,

10=BM см, 8=BD см, 24=AC см. Найдите длину отрезка CD.

2.8. Основание прямой призмы — прямо-угольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.





( )cos5 sin 5 sin10 sin 6sin cos cos 4

α α α − α+ ⋅α α α

⋅

3.2. Постройте график функции 4 4( ) 2f x x x= + .

3.3. Основания равнобокой трапеции равны 6 см и 18 см, а диагональ — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

M

A

BC D

178





1 3 9 4 3 3+ − = − ⋅x x x .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f x a x a x x( ) ( ) ( )= − − − − +8 3 8 12 53 2

убывает на R.


2sin(arctg )

1xx

x=

+⋅

4.4.м Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках M и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников MFB и ABC, если ∠ ABC = 45°.

178





1 3 9 4 3 3+ − = − ⋅x x x .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f x a x a x x( ) ( ) ( )= − − − − +8 3 8 12 53 2

убывает на R.


2sin(arctg )

1xx

x=

+⋅

4.4.м Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках M и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников MFB и ABC, если ∠ ABC = 45°.

179




31

100010000010 25,0 ⋅⋅−− .

2.2. Решите неравенство 35 2 2 82x x−⋅ + ≥ .

2.3. Найдите область определения функции 1 2lg 1xy x

−=+

.

2.4. Решите уравнение 42 3 0x x− − = .

2.5. Найдите корни уравнения 0sin2cos1 =+− xx .

2.6 Найдите первообразную функции 3 2( ) 16x

f x x e= + , график которой про-

ходит через точку ( )B e1 2; .

2.7. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведенная к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

2.8. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины пирамиды.





4lg8100lg2 =− xx .

3.2. Вычислите значение выражения: cos sin sin cos sin sin10 80 280 100 170 3502 2 2 2° °+ ° °+ ° ° .

3.3. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основу цилиндра по хорде, которая видна из центра этого ос-нования под углом α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна S.

180




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax ax( ) = + − +3 2 2 3

возрастает на всей числовой прямой?

4.2м Решите уравнение: 4 4 8 1 02x x x− + =cos π .

4.3.м Решите систему уравнений: 4 2 12

3 2 5 3

x y

x y x y+ =− = + −

⎧⎨⎩

,.

4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 20°, ∠CBA = 40°. На стороне AB построен равносторонний треугольник ABM, точки M и C лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ ACM = ∠MCB.

180




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax ax( ) = + − +3 2 2 3

возрастает на всей числовой прямой?

4.2м Решите уравнение: 4 4 8 1 02x x x− + =cos π .

4.3.м Решите систему уравнений: 4 2 12

3 2 5 3

x y

x y x y+ =− = + −

⎧⎨⎩

,.

4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 20°, ∠CBA = 40°. На стороне AB построен равносторонний треугольник ABM, точки M и C лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ ACM = ∠MCB.

181



2.1. Упростите выражение 0,5

0,5 0,53

9 3 3b b

b b b− +

− + −.


26.x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩

2.3. Упростите выражение 1 ctg1 tg− β− β

.

2.4. Сколько целых решений имеет неравенство: )419(log)4(log 7,07,0 xx −>+ ?

2.5. Решите уравнение 6 5xx

− = .

2.6. Какой номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии 3,4; 3; 2,6; ... ?

2.7. Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, если CF = 13 см, ∠ ABC = 60°, а сторона AB равна 18 см.

2.8. Основание прямой призмы — треугольник со стороной a, противо-лежащим этой стороне углом α и прилежащим углом β. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилежат уг-лы α и β, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы.




3.1. Решите уравнение 5 4 7 10 2 25 0⋅ − ⋅ + ⋅ =x x x .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-ции ( ) (2 )f x x x= − .

3.3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

182




4.1.м Найдите область значений функции | |sin cos3 x xy = .


(sin cos )x x x x− − − ≥5 4 02 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) log ( )x a x+ − =3 2 5 0


4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Биссектрисы прямых углов треугольников ACD и DCB соответственно равны l1 и l 2. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины его прямого угла.

182




4.1.м Найдите область значений функции | |sin cos3 x xy = .


(sin cos )x x x x− − − ≥5 4 02 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) log ( )x a x+ − =3 2 5 0


4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Биссектрисы прямых углов треугольников ACD и DCB соответственно равны l1 и l 2. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины его прямого угла.

183



2.1. Найдите сумму двенадцати первых натуральных чисел, кратных числу 6.

2.2. Решите уравнение 22 4 4x x− = + .

2.3. Найдите область определения функции 4 7 24 16x

xy −=−

.

2.4. Решите уравнение: 2 2sin 2sin cos 3cos 0x x x x+ − = .

2.5. Найдите значение производной функции 2ln( ) xf xx

= в точке 0x e= .

2.6. Вычислите интеграл 20 cos 3

dxx

π

∫ .

2.7. Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте, опу-щенной на основание, как 8 : 3, боковая сторона треугольника равна 40 см. Вычислите периметр треугольника.

2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотену-зой 8 см и углом 30°. Объем призмы равен 48 3 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.




3.1. Решите уравнение: log ( )3 3 8 2x x− = − .


2, если 1,( ), если 1.

x xf xx x−

⎧ ≤= ⎨ >⎩ Пользуясь построен-

ным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

3.3. Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с его диаго-налью угол 30°. Найдите угол между плоскостью квадрата и проведенной плоскостью.

184




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) (tg 3) 0x a x− + =

имеет единственный корень на промежутке );02π⎡−⎢⎣

?

4.2.м Решите неравенство: 5 8 6 5 1 5 24 10 5 1 2x x x x+ − − + + − − ≤ .

4.3.м На параболе 24y x= − выбраны две точки с абсциссами 1x = − и 3x = . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки H и O — соответственно ортоцентр и центр вписанной окруж-ности остроугольного треугольника ABC. Известно, что точки B, H, O и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

184




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) (tg 3) 0x a x− + =

имеет единственный корень на промежутке );02π⎡−⎢⎣

?

4.2.м Решите неравенство: 5 8 6 5 1 5 24 10 5 1 2x x x x+ − − + + − − ≤ .

4.3.м На параболе 24y x= − выбраны две точки с абсциссами 1x = − и 3x = . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки H и O — соответственно ортоцентр и центр вписанной окруж-ности остроугольного треугольника ABC. Известно, что точки B, H, O и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

185



2.1. Вычислите значение выражения 5 47 77log12 .


216

12b

b b−

+ −.

2.3. Решите неравенство 1 13x ≤ .


2

1

2 4− +−∫ .

2.5. Решите уравнение: 4 11 1 02sin cosx x− − = .

2.6. При каком значении a наибольшее значение функции axxxf ++−= 2)( 2 равно 3?

2.7. Длины диагоналей ромба относятся как 5 : 2. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 36 см.

2.8. Катет прямоугольного треугольника равен a, а прилежащий угол равен α. Найдите площадь боковой поверхности конуса, образовавшегося при вращении этого треугольника вокруг данного катета.




3.1. Решите неравенство: log ( ) log ( ), ,0 5 0 51 2 1x x− + − ≥ − .


ции 2

2( )9

xf xx

=−

.

3.3. В равнобедренном треугольнику ABC известно, что AB = BC = 13 см, AC = 24 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках F и N соответственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник FBN.

186





( ) ( )9 0x a x x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: 3cos cos ,4

tg tg 1.x y

x y

⎧⎪ =⎨= −⎪⎩


4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите пло-щадь трапеции, если AC = 12 см, а средняя линия трапеции равна 10 см.

186





( ) ( )9 0x a x x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: 3cos cos ,4

tg tg 1.x y

x y

⎧⎪ =⎨= −⎪⎩


4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите пло-щадь трапеции, если AC = 12 см, а средняя линия трапеции равна 10 см.

187



2.1. Чему равно значение выражения 64log313log2 66 + ?

2.2. При каком значении a график функции 5y ax−= проходит через точ-

ку ( )1 ;1922B ?

2.3. Решите уравнение: 19 9 270x x+ + = .

2.4. Чему равна разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –2,5, а сумма десяти первых членов равна 110?

2.5. Найдите корни уравнения: 1 8 4+ =cos cosx x .

2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции ( ) ln (5 4)f x x= + в точке с абсциссой 0 5x = ?

2.7. Вычислите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.

2.8. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, длины которых относятся как 25 : 26. Найдите расстояние от точки M до плос-кости α, если длины проекций наклонных MN и MK на эту плоскость равны 7 см и 10 см.




3.1. Решите уравнение 24 ( 2) 3 4x x− = − .

3.2. Постройте график функции f x x( ) log sin= 2 .

3.3. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем конуса, если его образующая равна а.

188




4.1.м Вычислите интеграл: 1

2

1

ln( 1 )x x dx−

+ −∫ .



( ) ( 2) 3( 2) 13 2x xf x a a x= − + − + −

имеет отрицательную точку максимума?

4.4.м Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. Пря-мая BF — касательная к окружности, описанной около треугольни-ка ABC. Докажите, что прямые MN и BF параллельны.

188




4.1.м Вычислите интеграл: 1

2

1

ln( 1 )x x dx−

+ −∫ .



( ) ( 2) 3( 2) 13 2x xf x a a x= − + − + −

имеет отрицательную точку максимума?

4.4.м Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. Пря-мая BF — касательная к окружности, описанной около треугольни-ка ABC. Докажите, что прямые MN и BF параллельны.

189



2.1. Найдите область значений функции 2arcctg2y xπ= − .


12.x yx y+ =⎧

⎨ − =⎩

2.3. Решите уравнение 0coscossin 2 =− xxx .

2.4. Решите неравенство xx 6log)287(log21

21 >− .

2.5. Решите уравнение 3 31 2 1

1 3x x+ =

+ +.


0

cos3x dx

π

∫ .

2.7. Прямая m является общей внешней касательной двух окружностей, радиусы которых равны 10 см и 2 см, точки A и B — точки касания прямой m с данными окружностями, AB = 15 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

2.8. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-ции 9( )f x x x= + .


( )1 cos sin 2 2 sin sin2 2 4α α π− α − α = − .

3.3. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее тупых углов и точкой пересечения делятся в отношении 11 : 25. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 120 см.

190




4.1.м Решите неравенство: 2 127 2 5 6 8 9 0x x x+⋅ − ⋅ + ⋅ ≥ .


( )( )1cos sin 02x x a− − =

на промежутке ( ]0; 2π в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству 2log (9 ) 2y x− ≥ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD является бис-сектрисой угла ABC. Известно, что AB = 9 см, BC = 14 см, CD = 12 см, DA = 13 см. Найдите угол BCD.

190




4.1.м Решите неравенство: 2 127 2 5 6 8 9 0x x x+⋅ − ⋅ + ⋅ ≥ .


( )( )1cos sin 02x x a− − =

на промежутке ( ]0; 2π в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству 2log (9 ) 2y x− ≥ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD является бис-сектрисой угла ABC. Известно, что AB = 9 см, BC = 14 см, CD = 12 см, DA = 13 см. Найдите угол BCD.

191



2.1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 3 34

25 5 1+ +.

2.2. Решите неравенство ( ) ( ) ( )29 5 2725 3 125

x x x−⋅ > .

2.3. Найдите корни уравнения 6 5 7 02cos sinx x+ − = .

2.4. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции 2( ) 14 43f x x x= + + .


24 4 0

12x xx x− + ≥− −

.

2.6. В растворе соли в воде масса соли составляет 14 массы воды. Сколько

процентов массы раствора составляет масса соли?

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 13 см и 15 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

2.8. Диагональ прямоугольника равна a и образует с его меньшей стороной угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны.




3.1. Вычислите значение выражения log lg log log9 11 1210 11 12 27⋅ ⋅ ⋅ .

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy 5= и пря-мой x y+ = 6 .

3.3. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD. Боковая грань BMC перпендикулярна плоскости основания, грань AMD наклонена к плоскости основания под углом 30°, грани AMB и CMD образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол наклона грани AMB к плоскости основания.

192





(x x x− − − ≥4) 2 02 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − = −cos cos sin2x x x .


4.4.м Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

192





(x x x− − − ≥4) 2 02 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − = −cos cos sin2x x x .


4.4.м Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

193




2 2 22 1 1:

25 10 25 25b

b b b b⎛ ⎞−⎜ ⎟

− + + −⎝ ⎠.

2.2. Решите уравнение 2 1 16 6 4 03x x− − ⋅ − = .

2.3. Решите неравенство: 12

log (3 1) 3x − > − .


1

(4 1)x dx−

−∫ .

2.5. Решите уравнение: xx sin22cos1 =− .

2.6. Найдите разность арифметической прогрессии (an), если 5 12 41a a+ = и 10 14 62a a+ = .

2.7. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см, а меньшая диагональ — 58 см. Чему равен периметр трапеции?

2.8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием b и углом β при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение 3 1 1 2x x+ − + = .

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции 2( ) 3f x x x= + , которая параллельна прямой y x= .

3.3. Отрезок AK — медиана треугольника ABC, AC = a, ∠ BAK = α, ∠CAK = β. Найдите медиану AK.

194




4.1.м Решите неравенство: log (4 3) 2x x − ≤ .


( ) ( )3 8 3 8 6x x

+ + − = .

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения 1cos 02x − =

и ( )( )1 2cos cos 02 2ax x −− + = равносильны.

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AB и MC отметили соответственно точки N и P так, что отрезок NP разбива-ет треугольник ABC на две равновеликие части. Докажите, что MN || BP.

194




4.1.м Решите неравенство: log (4 3) 2x x − ≤ .


( ) ( )3 8 3 8 6x x

+ + − = .

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения 1cos 02x − =

и ( )( )1 2cos cos 02 2ax x −− + = равносильны.

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AB и MC отметили соответственно точки N и P так, что отрезок NP разбива-ет треугольник ABC на две равновеликие части. Докажите, что MN || BP.

195




31

31

162216,0125,0−−

⋅−+ .

2.2. Упростите выражение ( )3(1 cos( 2 2 )) ctg 2π+ π− α +α .

2.3. Решите уравнение 10 3x x− = − .

2.4. Найдите множество решений неравенства 2

25 14 02 1

x xx x− − ≤− +

.

2.5. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции 15)( += xxf в точке с абсциссой 30 =x .?

2.6. Решите систему уравнений 2 216 8 81,

1.x y xy

x y⎧ + + =⎨ − =⎩

2.7. На стороне BC треугольника ABC отметили точку D. Найдите отре-зок BD, если ∠C = 90°, ∠BAC = α, ∠BAD = β, AB = c.

2.8. Диагонали грани 1 1BB C C призмы 1 1 1ABCA B C пересекаются в точке O.

Выразите вектор AO через векторы AB , AC и 1AA .




3.1. Решите уравнение: x xlg − =3 10 000 .

3.2. Постройте график функции f x x( ) sin= −16 .

3.3. Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом β. Плоскость сечения образует с высотой конуса угол ϕ. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.

196





2

| 1 |x dx−

+∫ .

4.2.м На гиперболе xy 1= , x > 0, задана точку M x y( ; )0 0 такаю, что

00 91 yx = . Найдите площадь треугольника, образованного касательной

к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение: 1782cos 2 ++=π xxx .

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 12 см, CD = 20 см.

196





2

| 1 |x dx−

+∫ .

4.2.м На гиперболе xy 1= , x > 0, задана точку M x y( ; )0 0 такаю, что

00 91 yx = . Найдите площадь треугольника, образованного касательной

к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение: 1782cos 2 ++=π xxx .

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 12 см, CD = 20 см.

197



2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение 63

1bbb .

2.2. Чему равно значение выражения ( )3tg 7 ctg 7 2cos 2πα α − +α , если

25,0sin =α ?

2.3. Найдите значение выражения 3lg 4 lg 0,5lg 9 lg18

+−

.

2.4. Вычислите значение производной функции 23 4 1( ) x xf x e − += в точке

0 1x = .


0

13sin 3 cos2 2xx dx

π

−∫ .


1( ) log (9 ) 1f x x x= − ++

.

2.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а другой катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите площадь треугольника.

2.8. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен R, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен β.




3.1. Решите неравенство ( ) ( )2 11 18 1 07 7x x−

− + ≤ .

3.2. Решите уравнение sin sin cos2 8 2 3x x x+ = .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит диагональ на отрезки длиной 30 см и 40 см. На отрезки какой длины делит эта биссектриса сторону прямоугольника?

198





4.2.м Найдите множество значений функции f x x x( ) cos sin= − − 2 3 .

4.3.м Решите неравенство: 2 3 3 11 3+ ≥ ++log log ( )x x .

4.4.м Продолжения высот остроугольного треугольника ABC, проведенных к сторонам BC, AC и AB, пересекают описанную около этого тре-угольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника A1B1C1 совпадает с орто-центром треугольника ABC.

198





4.2.м Найдите множество значений функции f x x x( ) cos sin= − − 2 3 .

4.3.м Решите неравенство: 2 3 3 11 3+ ≥ ++log log ( )x x .

4.4.м Продолжения высот остроугольного треугольника ABC, проведенных к сторонам BC, AC и AB, пересекают описанную около этого тре-угольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника A1B1C1 совпадает с орто-центром треугольника ABC.

199



2.1. Чему равно значение выражения ( )2arcsin cos 3π ?

2.2. Упростите выражение ( )2 14 49 13: 66 6c c cc c+ + − +

+ +.


( ) 2xf x x=+

.

2.4. Найдите область определения функции 3( )3 1x

xf x −=−

.

2.5. Вычислите интеграл ∫ −−2

1

2 )163( dxxx .

2.6. Решите уравнение: log ( ) log ( )3 33 1 1x x− + − = .

2.7. В равнобедренном треугольнике MKE (MK = KE) биссектриса угла E пересекает сторону MK в точке C. Найдите углы треугольника MKE, если ∠KCE = 126°.

2.8. Площадь полной поверхности конуса равна 90π см2, а его образующая больше радиуса основания на 8 см. Найдите объем конуса.




3.1. Решите уравнение 2 23 4 20 4 10x x x x− + + = + .


( ) ( )2 2sin 2 sin 2 sin 44 4π π− α − + α = − α .

3.3. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани CSB и ASD наклонены к плоскости основания под углом β, а грань CSD — под уг-лом ϕ. Найдите объем пирамиды, если AB = 2a.

200





sin cos ,sin cos .

x y ay x

==

⎧⎨⎪

⎩⎪ 1


( ) 3log (3 )2log 9 2 3 xx −− ≥ .

4.3.м При каких значениях a и b прямая 7 3y x= − касается параболы 2 1y ax bx= + + в точке B (1; 4)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если ∠BOA = 60°, а высота трапеции равна h.

200





sin cos ,sin cos .

x y ay x

==

⎧⎨⎪

⎩⎪ 1


( ) 3log (3 )2log 9 2 3 xx −− ≥ .

4.3.м При каких значениях a и b прямая 7 3y x= − касается параболы 2 1y ax bx= + + в точке B (1; 4)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если ∠BOA = 60°, а высота трапеции равна h.

201



2.1. Чему равно значение выражения 55 3812 427 9 81

−⋅ ⋅ ?

2.2. Упростите выражение cos 1 sin1 sin cos

α + α++ α α

.

2.3. Решите неравенство 28 8 126x x−− ≤ .

2.4. Решите уравнение 42 8x x+ = .

2.5. Найдите значение производной функции 4 3( ) 2xf x x−=−

в точке 30 =x .

2.6. Найдите область определения функции 4 2 5( ) 18 3 4f x x x x= + − −−

.

2.7. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) катет AC равен 5 см, а медиана AM — 13 см. Найдите гипотенузу AB.

2.8. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, длина которой равна b. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 120°. Угол между образующими в полу-ченном сечении равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Докажите тождество 2 2sin sin cos( )cos( ) 1α + β+ α +β α −β = .

3.2. Решите уравнение: lg (lg ) lg (lg )x x+ − =3 2 0 .

3.3. Основания трапеции равны 2 см и 7 см, а ее диагонали — 10 см и 17 см. Найдите площадь трапеции.

202





− + − − ≤x x x236 5 2 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 3 02cos cosx x− = ?


⎩⎨⎧

=+−−=−

.9,lglg

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и одной из вневписанных окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

202





− + − − ≤x x x236 5 2 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 3 02cos cosx x− = ?


⎩⎨⎧

=+−−=−

.9,lglg

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и одной из вневписанных окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

Бланк ответов государственной итоговой аттестации

по математике

ученика / ученицы 11 ______ класса

____________________________________________________________ название учебного заведения

____________________________________________________________ фамилия, имя, отчество ученика (ученицы)

Вариант № ______

Внимание! Отмечайте только один вариант ответа в строке вариантов ответов к каждому заданию. Любые исправления в бланке недопустимы.

Если Вы решили изменить ответ в некоторых заданиях, то правильный ответ можно указать в специально отведенном месте, расположенном внизу бланка ответов.

В заданиях 1.1–1.16 правильный ответ обозначайте только так:

1.1А Б В Г

1.41.31.2

1.5А Б В Г

1.81.71.6

1.9А Б В Г

1.101.111.12

А Б В Г

1.141.151.16

1.13

В заданиях 2.1–2.8 впишите ответ. 2.1. _______________________ 2.5. ______________________ 2.2. _______________________ 2.6. ______________________ 2.3. _______________________ 2.7. ______________________ 2.4. _______________________ 2.8. ______________________

Чтобы исправить ответ к заданию, запишите его номер в специально отведенных клеточках, а правильный, по Вашему мнению, ответ — в соответствующем месте. Задания 1.1 – 1.16

А Б В Гномерзадания

1.1.1.1.

Задания 2.1 – 2.8

номер задания

2. ________________________________

2. ________________________________

2. ________________________________

2. ________________________________

ДПА Математика 11 рус Ч-2 c.indd 3 20.01.2014...

Documents