1

(א"חדו)' חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי א .בחינה סופית: דרישות הקורס•

dkeren@cs.haifa.ac.il, דניאל קרן' פרופ: מרצה•

.רועי וליץ: מתרגל•

www.cs.haifa.ac.il/~dkeren/hedva: אתר הקורס•

החוג למדעי המחשב, אוניברסיטת חיפה

2

: חשיבותה במדעי המחשב סקירה על אנליזה ועל•

, עבוד אותות, גרפיקה, ראייה ממוחשבת, אופטימיזציה

ולאחרונה גם , תקשורת, (jpg,avi,mp3)דחיסה

סיווג , כגון למידה, "בדידים" -תחומים שנחשבו ל

למרות שהבעיה , מתברר שלעיתים. 'טקסטים וכו

ניתן להציג ולפתור , "עולם הבדיד"-המקורית הינה ב

שבו עוסק –" עולם הרציף"-אותה באופן טוב יותר ב

.א"החדו

תורת , כאוס, פרקטלים: שמושים אזוטריים יותר•

.הקטסטרופות

3

מה ניתן , הסבר: אינדוקציה• ?להסיק מהתוצאות

?האדם אותו צבע עיניים-לכל בני: פרדוקס•

:הגדרות. מושג הקבוצה•

, Qרציונליים , Zשלמים, N טבעיים: קבוצות מספרים•נחשוב על מספר ממשי כפיתוח . Rממשיים , Aאלגבריים

?את הרציונליים( בייצוג זה)מה מאפיין . עשרוני

אזי יש, –אם ממשיים כך ש : משפט•

– כך ש -ו

".צפופים"רציונליים הם -הרציונליים והאי, כלומר

?השלם שווה לחלקו: תכונות מוזרות של קבוצות אינסופיות•

?כמה מספרים ראשוניים יש•

32 kkk

Qq

Qrba ba,

bqabra ,

(.אינו רציונלי, כלומר) :משפט• 4

? ?מה עם •

. קבוצות חסומות ולא חסומות. דוגמאות. חסמים מלעיל ומלרע•חילוק של , כפל, חיבור)פעולות על קבוצות . מקסימום ומינימום

.בהקשר של חסימות( קבוצות

(.'קטע פתוח וכו)קבוצות בסיסיות של הממשיים -תתי•

, סופרמום הוא החסם מלעיל הקטן ביותר .סופרמום ואינפימום•(. קטע פתוח)דוגמאות . אינפימום הוא החסם מלרע הגדול ביותר

Sup, Inf.

לקבוצה אין סופרמום : משפט• .Q –ב

לכל קבוצה חסומה מלעיל של (: אקסיומה –עבורנו )משפט •לכל קבוצה חסומה מלרע של , מספרים ממשיים יש סופרמום .מספרים ממשיים יש אינפימום

}2,0,Q/{ 2 xxxx

Q22

32 123

Qπ

5

מהם הסופרמום והאינפימום של: דוגמאות•

אזי -ו Kהוא הסופרמום של קבוצה Sאם :משפט• . –קיים כך ש

אך זו , Kאזי היה חסם מלעיל של , אם לא :הוכחה -וברור ש , הוא החסם מלעיל הקטן ביותר Sסתירה כי

:סימנים נוספים•

}{ ...5

4,

4

3,

3

2,

2

1

}1{ ...4

1,

3

1,

2

1,}4/{ 2 xx

11 }{ nn

n

1)}7{sin( nn

0ε Kxε Sx

142

1 }{nn

n

εSε SS

קיים לכל

}27/{ 3 xx

6

(Sequences)סדרות סידרה היא פונקציה, פורמלית•

נחשוב על סידרה כעל רשימה אינסופית מסודרת של מספרים •

:ממשיים

, (למשל )י נוסחה "סידרה יכולה להיות מיוצגת ע•

(.n –הוא המספר הראשוני ה , למשל)או חוק

היא 2,2,2,2...., למשל: איבר בסידרה יכול לחזור על עצמו•

. 2,1,2,1....שונה מהסידרה 1,2,1,2....הסידרה . סידרה

, הרמונית מתחלפת, הסידרה ההרמונית: סדרות חשובות•

.הנדסית, חשבונית

: סדרה מונוטונית: הגדרות•

סידרה רקורסיבית. סידרה חסומה

RNf :

......3'2'1 naaaa

nan

1

na

2211

nn

aaa

nn

2

2

)sin( nnn 1 ? ? ?

7

:סידרה של צורות

פתית השלג של קוך

8

של סידרה (Limit)גבול

•L מתקרבים "של הסידרה אם אברי הסידרה גבולהוא

: הגדרה פורמלית. L –ל " יותר ויותר

טבעי Nקיים , לכל , אם Lנאמר שהגבול של הוא •

.כך שאם אז

. Lשל -היא סביבת : הגדרות•

אם כמעט לכל אברי הסידרהנאמר שתכונה מסוימת מתקיימת

–או . -כך שהיא מתקיימת לכל כך ש Nקיים

.התכונה מתקיימת לכול אברי הסידרה פרט למספר סופי

-לכל סביבת , אם Lנוכל לומר לכן שהגבול של הוא

. כמעט כל אברי הסידרה נמצאים בסביבה, Lשל

na

na0ε Nnε|| Lanε)ε,( LLε

naNn

naε

9

אם כל אחת ממספר סופי של תכונות מתקיימת כמעט לכל •אזי גם כולן יחד מתקיימות כמעט לכל אברי , אברי הסידרה

.הסידרה

. אזי הוא יחיד, אם גבול קיים :משפט•

.סידרה מתכנסת היא חסומה :משפט•

, , , סידרה קבועה: דוגמאות לגבול•

גבול של , מכפלת ומנת סדרות, גבול של סכום :משפט• .שורש של סידרה

•L ם יש כך שאינסוף "הגבול של אם אינולכל –או . איברים של הם מחוץ לקטע

N , ככל –או . -יש כך שעדיין יהיו איברים שאינם שייכים , שנתרחק לכיוון האינסוף

. -ל

n1

)32()2(

nn

)sin( n

na0ε naε)ε,( LL

Nnε)ε,( LLan

ε)ε,( LL

10

: , - הגדרת שאיפה ל•

: סידרת הממוצעים•

.או , נסמן , Lאם הגבול של הוא •

אזי, סידרת הממוצעים -אם ו : משפט•

כך M יש, -יש כך ש . י יה :הוכחה אם. -יש כך ש , שלכל

n

aau nn

...1

naL)lim( naLna

LnanuLnu

0ε 1n2ε||1 naLnn

2

ε2 12

n

Mnnn21,: nnn

|)(...)(

||L...

||L| 11

n

LaLa

n

aau nnn

n

aaaa nnn |L|...|L||L|...|L| 11 11

n

LaLan

||...||11

n

aa nn |L|...|L| 11

||M na n2n

n

2M...2M

n

2ε...

2ε

ε2

ε2

ε2ε)(2 11

n

nn

n

Mn

M|| (נשים לב שאם אז ולכן ) na|L|M 2M|L||||L| ii aa n

MNNM n

an

MNNM n

an

.אז -אם חסומה ו : משפט• 11

אז -אם ו : משפט•

לכן לפי המשפט על סידרת ממוצעים, : הוכחה

וכך -אם סדרות כך ש (: 'כלל הסנדוויץ)משפט • . אז , שהחל ממקום מסוים

הוכחה ממשפט . אז , -אם ו : משפט• .שוויון הממוצעים-ומאי' מכלל הסנדוויץ, קודם

אז, -אם ו : משפט•

לפי משפט קודם . י "נגדיר סידרה חדשה ע: הוכחה

na0nb0nnbaLan 0, LanL

aa

n

n

1...1

1Lan

11

Laan n

1)1...1(

1

1

י לקיחת הפכי"ולכן המשפט נובע מיד ע.

nnn cbaLca nn ,nnn cba Lbn

)0(Lan0naLaan

n ...1

0na

La

a

n

n 1

Lan n

111 1,

n

nn a

abnab

11 limlim...lim

n

nn

nn a

abbb אבל ולכן nn abb ...1

1

limlim

n

nnn a

aa

?אם אז : נכון הכיוון ההפוך האם

.נגדיר : לא

Lan n

La

a

n

n 1

...1,2,1,2na

12 : דוגמאות•

–אם יורדת , לסופרמום –אם היא עולה )כל סידרה מונוטונית וחסומה מתכנסת : משפט• . או -סידרה מונוטונית ולא חסומה מתכנסת ל (. לאינפימום

היא חסומה ומונוטונית יורדת ולכן יש לה גבול : דוגמא• (.אנו יכולים לקבוע שהסידרה מתכנסת, למרות שבשלב זה איננו יודעים למה הגבול שווה)

(באינדוקציה)נוכיח : . סידרה רקורסיבית: דוגמא•

י הצבה "במיקרה זה ניתן לחשב את הגבול ע. ולכן מתכנסת( 2י "ע)שהיא מונוטונית עולה וחסומה , Lאם הגבול הוא : בנוסחת הרקורסיה

. -לכן שואפת ל , מונוטונית עולה ואינה חסומה: דוגמא•

כמו . מונוטונית יורדת כך שלכל -תהי מונוטונית עולה ו: משפט• . יש אותו גבול -ו -אזי ל . -כן ידוע ש

. ומונוטוניות ולכן מתכנסות( י "למשל חסומה ע)ברור שהסדרות חסומות : הוכחה אז. -נסמן את הגבול של ב

. ולכן

nnnn

n

nnnc

2)!(

)!2(!

!

2

n

n

n

nn ...321 3

nnn 2

1...1

11

2211

nn

aaa

n

1...

3

1

2

11

nanbnnn ab 0 nn abnanb

na1bnac

000)()( nnnn abcacb cbn

1 1 04 1

22, 1 LLLLaa nn

תהי סידרת קטעים סגורים כך שלכל (: הלמה של קנטור)משפט • 13

.אז יש נקודה אחת בדיוק בחיתוך של כל הקטעים. וכמו כן

הגבול המשותף שלהן הוא . קל לראות שהסדרות מקיימות את תנאי המשפט הקודם: הוכחה

-לכן ברור ש , ברור שלכל .

. ברור שאין נקודה נוספת בכולם, 0 –מאחר ואורך הקטעים שואף ל . נמצא בחיתוך כל הקטעים

(. ראו למשל ;המשפט אינו נכון לקטעים פתוחים –הערה )

(.ניתן להוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה)המספר מוגדר כגבול הסידרה •

. שווה גם לגבול של . 2.71828רציונלי וערכו המקורב -הוא אי

.0 –ניתן גם לראותו כגבול של ריבית בזמני עדכון שואפים ל

)" "( . כאשר , מופיע פעמים רבות בחישוב גבולות מהצורה • -הופכים את הגבול ל

. אם אזי הגבול המבוקש הוא , ואז

:לדוגמא

:י חישוב הגבול של "נחשב את הגבול של ע, למשל

1

],[nnn

ban

0 nn ab

nn ba ,

cbaba nnnn )inf()sup()lim()lim(n

cnn acb

)1,0( n

],[],[ 11 nnnn baba

enn)11( )(

)11(n

n

enn

ba )11( nn ba ,

1

nanba nan ])11[( δn

n

a

bδe

2

1

1

21

1

21

1

1n

n

n

n

n

n

n 1

2

n

n

2e

nn

n

nnnb

n

n

n

na

!!n

n

b

b 1

ena

1

14

(sequences-sub)סדרות -תתי אזי. סידרה מונוטונית עולה ממש של מספרים טבעיים -ו , תהי סידרה•

(. - ברור ש –הערה . )של סידרה-תתהיא

–אם סידרה מתכנסת ל . סידרה שלה מתכנסת לאותו גבול-אז כל תת, אם סידרה מתכנסת: משפט•

. -או ל -סידרה שלה מתכנסת ל -אז כל תת, -או ל

. הסידרה אינה מתכנסת, סדרות המתכנסות לגבולות שונים-אם לסידרה יש שתי תתי: משפט•

.סידרה מונוטונית-לכל סידרה מתכנסת יש תת: משפט•

אזי . L -יש אינסוף איברים של הסידרה ששווים ל (א: יש שלוש אפשרויות. נניח : הוכחה

נבחר את . L –יש אינסוף איברים של הסידרה שגדולים מ (ב .סידרה מונוטונית-הם מגדירים תת

חייבים להגיע , מתישהו. L –נמשיך לבדוק את יתר אברי הסידרה הגדולים מ . , הראשון

שכולו גדול " זנב"כי יהיה לה , L –הסידרה לא תוכל להתכנס ל , אחרת) -לאיבר יותר קטן מ

סידרה מונוטונית -נמשיך באופן אינדוקטיבי ונבנה תת(. L –שהוא גדול ממש מ , -או שווה מ

(.כמו ב: L –יש אינסוף איברים של הסידרה שקטנים מ (ג. יורדת

, למשל. -סידרה שלה שמתכנסת ל -של סידרה אם יש תת גבול חלקייקרא : הגדרה•

. 1- -ו 1, לסידרה יש שני גבולות חלקיים

או בניסוח . סידרה מתכנסת-יש תת לכל סדרה חסומה (: Bolzano-Weierstrass)משפט •

.לכל סידרה חסומה יש לפחות גבול חלקי אחד –שקול

na

1}{ kkn

......,21 knnn

aaana

knk

Lna

L1na

1na

1na

aa

nn 1)1(

nx

15 נחצה את הקטע . -נסמן אותו ב . לכן יש קטע המכיל אותה, הסידרה חסומה: הוכחה

אם בשניהם יש מספר סופי אז )לפחות באחד החצאים יש אינסוף נקודות של הסידרה . במרכזו. -נסמן את החצי בו יש אינסוף נקודות ב (. סתירה, בכל הסידרה יש מספר סופי

: -ונמשיך באופן זה לקבלת סידרה אינסופית של קטעים כך ש , נחצה גם אותו

(א

.יש בקטע אינסוף נקודות של הסידרה, לכל ( ב

(.ולכן )אורך הקטע הוא (ג

כ"אח. -נבחר כלשהו כך ש : סידרה של באופן הבא-נבנה תת, כעת

ניתן לבחור כזה מאחר ויש אינסוף) -ו -נבחר כך ש

. -ולכן חייבים להיות שם איברים עם אינדקס גדול מ , -איברים של הסידרה ב

סידרה חייבים להיות מונוטוניים -כי אינדקסים של תת, שימו לב שחייבים לבחור

נשים לב, כעת. -סידרה כך ש -נמשיך באופן זה ונבנה תת(. עולים ממש

לכן יש (. למעלהג , אמתנאים )שסידרת הקטעים מקיימת את הנחות הלמה של קנטור ולכן לפי משפט , אבל. -מספר ממשי כך ש

.ץ 'הסנדווי

שמוש טיפוסי שלו הוא בהוכחות . הוא בעל חשיבות רבה Bolzano-Weierstrassמשפט •בונים סידרה של נקודות יותר ויותר , אינה מתקיימת" טובה"מניחים שתכונה : בדרך השלילה

של הגבול החלקי של סידרת הנקודות( אפשרית-ובלתי" )מאוד רעה"ומגיעים לתכונה , "רעות" (. שהמשפט מוכיח את קיומו" )רעות" –ה

],[ 11 ba nx

],[ 22 ba

...],[...],[],[][ 33221,1 kk babababa],[ kk ba

],[ kk ba12

11

k

abab kk

nx1n],[ 111 baxn 2n12 nn ],[ 22

2baxn 2n

],[ 22 ba1n

12 nn

knx],[ kk

kn bax

0 kk ab

],[ kk baccba nn ,kknk bxa cx

kn

k

16 .ם יש לה בדיוק גבול חלקי אחד"סידרה חסומה מתכנסת אם: משפט•

ולכן יש רק גבול חלקי , סידרה מתכנסת לגבול זה-אז לפי משפט קודם כל תת, אם יש לה גבול: הוכחה

לפי , אזי. נניח שלא. -ונוכיח ש , Lנניח שיש רק גבול חלקי אחד : כיוון שני. אחד

. קיים כך שיש אינסוף איברים של הסידרה מחוץ לקטע , הגדרת הגבול

-שהיא כמובן גם תת)סידרה מתכנסת -תת Bolzano-Weierstrassלאותם אינסוף איברים יש לפי

ברור שהגבול , -הסידרה הם מחוץ ל -אבל מאחר וכל אברי תת(. סידרה של

.הוא הגבול החלקי היחיד L –סתירה לכך ש , Lשלה לא יכול להיות

הגדול ביותר יקרא . לכל סידרה חסומה יש גבול חלקי קטן ביותר וגבול חלקי גדול ביותר : משפט•

הקטן ביותר יקרא הגבול התחתון ויסומן, הגבול העליון ויסומן או

לכל יש לכל היותר , אז. הגבולות התחתון והעליון של , יהיו : משפט•

. מספר סופי של אברי הסידרה מחוץ לקטע

נניח בלי הגבלת הכלליות שיש , אם יש אינסוף איברים מחוץ לקטע. דומה להוכחה קודמת: הוכחה

, סידרה מתכנסת-יש להם תת Bolzano-Weierstrassלפי . -אינסוף איברים קטנים מ

-סתירה לכך ש , -לכן קטן ממש מ , -והגבול שלה חייב להיות קטן או שווה מ

.הוא הגבול החלקי הקטן ביותר

na

Lna0ε ε)Lε,-(L

ε)Lε,-(L

na sup limlim na

na inf lim או . lim na

na

AAna0ε

ε)Aε,-A(

ε-Aε-AAA

Aε-A

17 . סידרה חסומה הגבולות התחתון והעליון של, יהיו : משפט•

. ם "אז מתכנסת אם

: כיוון שני. ולכן , (ממשפט קודם)יש לה רק גבול חלקי אחד , אם הסידרה מתכנסת: הוכחה

כמעט כל אברי הסידרה נמצאים בקטע, לכל , אז ממשפט קודם, אם

ם "מתכנסת אם. תהי סידרה חסומה(: להתכנסות סדרות Cauchyקריטריון )משפט •

התנאי האחרון . , כך שלכל Nקיים , לכל

.שלה מתקרבים זה לזה" זנב" –ם אברי ה "סידרה מתכנסת אם, כלומר. Cauchyנקרא קריטריון

–כך ש Nיש . נניח ויהי : הוכחה

סדרות המתכנסות לגבולות -יש לה שתי תתי, לפי משפט קודם. אינה מתכנסת -נניח ש : כיוון שני

חייבים: נסתכל בקטע . נניח . B –ו Aנסמנם , שונים

. נסמנם , A –הסידרה המתכנסת ל -להיות בו מספר אינסופי של אברים מתת

הסידרה-מאותה סיבה חייבים להיות בקטע מספר אינסופי של אברים מתת

, -ברור שלכל ו . נסמנם , B –המתכנסת ל

. עבור Cauchyברור שלא ניתן למלא את קריטריון , לא חסומות, -מאחר ו , ולכן

na AAnaAA

AA

AAA 0ε

ε)Aε,-(A , אך זו בעצם ההגדרה לכך שהסידרה מתכנסת ל– A.

nana0ε N, nmε|| nm aa

Ln a0ε ε

2ε

2ε|-L||L|||N)

2ε|L|N( mnmnk aaaam,nak

na0δA-B )

4δA,

4δ(A

......,21 knnn

aaa)

4δB,

4δ(B

......,21 kmmm

aaalnrm2||

lnrmaa

2δε lnrm

:למשל. מאפשר לקבוע אם סדרות מסוימות מתכנסות או לא Cauchyקריטריון • 18

:ניתן לקבוע שהסדרות מתכנסות, מה הגבול( לנו)תמיד ידוע למרות שלא

222

1...

3

1

2

11

nan 222

)sin(...

3

)3sin(

2

)2sin()1sin(

n

nbn

ncn

1...

3

1

2

11 מתבדרת:

n

ndn

)sin(...

3

)3sin(

2

)2sin()1sin(:

mmnnnnmnn

nm aa )1(1

...)2)(1(

1

)1(

12

1...

2)2(

12)1(

1||

nmnmmnnnn

1111

1

1...

2

1

1

1

1

11

לכן קריטריון

Cauchy מתמלא עבור )עבור

תוך , ההוכחה דומה

שיוויון -שמוש באי

(. המשולש

nanb

21

21

21

...1

1|| 2 nnnnnn cc

עבור Cauchyולכן לא ניתן למלא את קריטריון 2

1.

. אך קשה יותר להוכיח זאת, מתכנסת

כמו ) Cauchyיישום ישיר של קריטריון

nn .לא עובד( -ל ba ,

דוגמאות לחישוב גבולות 19

קובעות רק החזקות הדומיננטיות . -הגבולות הפשוטים ביותר הם מנות של פולינומים ב •

נסמן: במונה ובמכנה

,

:ואז

n

0

1

1 ...)( anananPk

k

k

k

0

1

1 ...)( bnbnbnQl

l

l

l

)(

)(lim

nQ

nP

)0,(

)0,(

)(

)(0

l

k

l

k

l

k

b

alk

b

alk

lkb

a

lk

2

1

2004.02

1010

2004.02

803

23

2

nn

nn

nn

n

2004.02000

101

2004.02

800071.03

24

2

6

nn

nn

nn

n:למשל

למשל. ניתן להפעיל את הכללים של חזקות דומיננטיות גם בגבולות אחרים• 20

י כפל "לעיתים ניתן לפתור אותם ע. גבולות יותר מסובכים הם מהצורה או • : של סכום או הפרש שורשים" צמוד" –ב

3

4

3

0091

3

1391

3

139 4

2

342

nn

n

nnn

( -כ " נכנס לשורש" –ש ) -חלוקת מונה ומכנה ב

2n4n

0bababa ))((

53

)53)(53()53(

nn

nnnnnnnn

411

8

51

31

18

53

8

nn

nn

n

nn ( -כ " נכנס לשורש" –ש ) -חלוקת מונה ומכנה ב

3

1

03

01

7

43

7

51

473

57

n

n

nn

nn

עיקרון דומה:

חלוקת מונהn7 -ומכנה ב

21 עם שורשים ניתן להפעיל כפל בצמוד גם על גבולות מהצורה או •

:שלישיים

0

3 233 2

33

baba

baba

3 2)

23(

3)

23)(

22

3(

3 2)

22

3(

)23

()2

23

(3 233 22

3

nnnnnnnn

nnnnnnnn

3 2

)23

(3

)23

)(2

23

(3 2

)2

23

(

2

nnnnnnnn

n לפתוח את כל בשלב זה לא כדאיעדיף . יתקבל ביטוי מסובך –הסוגריים

: בחזקה הדומיננטית של המונה לחלק, -כ " נכנס לשורש שלישי" –ש

.ואז לבדוק רק חזקות דומיננטיות

2n6n

32

)23

(3

)23

)(2

23

(3

2)

22

3(

1

666 nnn

nnnnnnnn

3

1

111

1

333

22

3 233 223 nnnnnnn

3 2

)23

(3

)23

)(223

(3 2

)223

(

2

nnnnnnnnnnnn

n

32

)23

(3

)23

)(223

(3

2)2

23(

1

666 nnn

nnnnnnnnnnnn

3

1

:באופן דומה

23 Heineגבול של פונקציות לפי

. -נרצה להבין את ההתנהגות של פונקציה כאשר מתקרב ל •

אבל אם -ש " ברור" , -אם ו •

, 0 –י סדרות השואפות ל "ע 0 –אם מייצגים התקרבות ל . המצב מורכב יותר, -ו

,למשל: מתנהגת באופן שונה לסדרות שונות -נראה ש

תהי פונקציה : כדי למנוע כפל משמעות כזה נגדיר". 1וגם 0גם "לכן נקבל שהגבול הוא

הוא L –נאמר ש (. -לא מוגדרת ב -יתכן ש )המוגדרת בסביבה מסוימת של

סידרה מתקיים לכלהגבול של כאשר אם

. Heineנסמן או זוהי הגדרת הגבול לפי

כך גם . נובעים מיידית מהמשפטים המתאימים לסדרות' מכפלה וכו, משפטים על גבול של סכום•

. תוגדר כמו לגבי סדרות( של או שניהם)שאיפה לאינסוף . 'משפט הסנדוויץ

:גבול חשוב•

)(xf0x x)( 0xx

2x2)( xxf 4)(. xf)1sin()( xxf

0x)1sin(

x

0)1sin(1

n

n xnx

1)1sin(

)2

12(

1

nn xn

x

)(xf

0x)(xf0x)(xf

0xx00 , xxxx nn Lxf n )(.Lxf

xx

)(lim

0

Lxfxx )(. 0

1)sin(

lim.0

x

x

x

xxf ),(

)(xf תהיה –מדוגמא זו מובן מדוע לא דורשים ש ניתן לפתור גבולות טריגונומטריים -מוגדרת ב

. י רדוקציה לגבול זה"רבים ע0.x

)1

sin( x

0x

,

],)(,)(,,,,[ 212100 LLLyfLxfxyxxyx nnnnnn -אין ל

גבול כאשר

)(xf

0xx

24

Cauchyגבול של פונקציות לפי

:נגדיר•

אזי ניתן , ( -בלי להיות שווה ל ) -אם כופים על להיות קרוב מספיק ל : כלומר

.L –לכפות על להיות קרוב כרצוננו ל

–אינה מוגדרת ב -יתכן ש

. כמו באיור" קופץ" -או שערכה ב

.שקולות Cauchy –ו Heine הגדרות הגבול לפי: משפט•

אזי, Cauchyאם אין התכנסות לפי . נראה תחילה כי : הוכחה

-שלכל קיים כך ש כך קיים

–ואז נקבל סידרה כך ש , ( לכל )נבחר

Lxfxx

)(lim0

ε|)(|δ||0,0δ0,ε 0 Lxfxxx0x0x

)(xf

0xδ0 x

εL

L

εL

δ0 x

)( 0xf )(xf0x

0x

Heine.Cauchy

0ε0 0δ x00 ε||δ,||0. f(x)-Lxxn

nn1δ nx00 ε||,1||0. )-Lf(xnxx nn

Lxfxxxx nnn )(,, 00 / .Heineלפי L –ולכן אין התכנסות ל ברור

נוכיח נניח ויהי נתון לפי : כיוון שני

Cauchy אזי , אבל אם -יש כך ש

-אבל אז ברור ש , -כך ש Nקיים

00 , xxxx nn 0.ε

Heine)(Cauchy)(

0δ ε|)(|δ||.0 0 Lxfxx0xxn δ||N 0 xxn nε|)(|N, Lxfn n

.Heineולכן יש התכנסות לפי

25 .כמו עבור סדרות: שאיפה לאינסוף•

.אז יש סביבה של שבה חסומה. נניח : משפט•

שבה( -פרט אולי ל )אז יש סביבה של . נניח : משפט•

-ב )צמצום : דוגמאות לגבולות •

דוגמאות לגבולות•

:שוויון מועיל לחשוב גבולות מסוימים-אי•

-שוויון זה מאפשר להוכיח ש -אי

MxfxxM )(δ||0,0δ, 0Lxf

x

)(lim ε|)(|,0,ε LxfMxM

LxfLxx

)(lim,00

0x

)(xf

0x0)(. xf

0x Lxfxx

)(lim0

4

1

2

1lim

0

0

4

23lim

22

?

2

2

x

x

x

xx

xx2( x

0

0

1:aexf

axf

xf

xxxx

)(

)(1lim)(lim

00.כמו עבור סדרות

x

xexx

1

1110

ax

axe

x

1lim.

0

)(lim0

xfxx

26

של הגבול השמאליהוא L –נאמר ש , אם מוגדרת בקטע : צדדיים-גבולות חד•

אם –ב

.ם הגבולות השמאלי והימני קיימים ושווים"גבול קיים אם :משפט•

אם הגבול השמאלי הוא והגבול הימני הוא: דוגמא•

-אזי קיימים ו , אם מונוטונית בסביבת : משפט•

:נסמן :נסמן. גבול ימני מוגדר באותו אופן בדיוק

)(xf),( 0xa)(xfε|)(|δ0,δ0,ε. 00 Lxfxxx 0x

)2ln(1

)2ln(

0lim

12

0lim)12(lim

t

te

tt

t

t

xxx

Lxfxx

)(lim.0

xxf

1)(, .

)(xf0x)(lim

0

xfxx

)(lim.0

xfxx

:דוגמאות

eex

x

x

x

x

x

xxx

2

12

1

22

21

21

2

21

2lim

2

21

2lim

22lim

Lxfxx

)(lim.0

x

t1

27

Cauchy חישוב גבול לפי, Dirichletפונקצית : דוגמאות והשלמות

י"נגדיר פונקציה ע•

קיימת סידרה של רציונליים וסידרה של, לכל ממשי

–רציונליים ברור ש -אי

. הגבול אינו קיים, לכל , ולכן

Qx

Qxxf

0

1)(

0xnn qxq ,0

nn rxr ,. 01)(,0)(, nn qfrf0x)(lim

0

xfxx

: ל"צ -נוכיח ש : Cauchyדוגמא לחישוב גבול ישירות מהגדרת •

4lim. 22

xx

ε|4|δ|2|0,0δ0,ε. 2 xx)5

ε,1min(δ:

ε5

ε5

5

ε|2||22||4|

5

ε|2|δ|2| 2 x||xxxxx

5|2|523311|2|δ|2| xxxxx

נבחר

-ו

ממלא דרישה שכל אחד מהם)ולכן בוחרים את המינימום בין , ימלא שתי דרישות -רוצים ש , כלומר

(. השתמשנו ברעיון דומה עבור סדרות) -כאן הדרישות הן ו (. בודדתδ21 δ,δ

5|2| x5ε|2| x

של פונקציות( Continuity)רציפות 28

–רציפה ב -נאמר ש , אם פונקציה מוגדרת בסביבה מסוימת של •

–או -קיים ושווה ל שאם הגבול

)(xf0x

)(. 0xf

)(xf0x

)(lim0

xfxx

)()(lim. 000xfxxf

x

.נובעים מיד מהמשפטים המתאימים לגבולות' מכפלה וכו, משפטים על רציפות של סכום •

)(xf0x

)(. 0xf

)(xf

0x

–רציפה מימין ב -נאמר ש , אם פונקציה מוגדרת בסביבה ימנית מסוימת של •

Lxf . באותו אופן נגדיר רציפות משמאל -קיים ושווה ל שאם הגבול xx

)(lim0

. מימין ומשמאל -ם היא רציפה ב "אם -רציפה ב : משפט •

בנקודת קצה נדרוש רציפות . רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה שלו -נאמר ש

(.אם מדובר בקצה שמאלי או ימני בהתאמה)מימין או משמאל

)(xf0x 0x

)(xf

: רציפות-סוגים שונים של נקודות אי •

–נאמר ש -אינה מוגדרת ב -או ש -אם קיים ושונה מ

י "רק ע -של ניתן להפוך את לרציפה ב רציפות סליקה-נקודת איהינה

–הגדרתה מחדש ב

)(lim0

xfxx

)(, 0xf)(xf0, x0x

)(. xf)(xf0x

0.x

29 : דוגמא•

25

2)(

0undefined

0)sin(

)(2

x

xxxg

x

xx

x

xf

2 –ואת לרציפה ב , 1 –י הגדרתה שם כ "ע 0 –ניתן להפוך את לרציפה ב

.4 –י הגדרתה שם כ "ע

)(xf)(xg

של אם היא מוגדרת בסביבה מסוימת של רציפות מסדר ראשון-נקודת אינקראת

:דוגמא. קיימים אך שונים -והגבולות מימין ומשמאל ב , (עצמה -פרט אולי ל )0x)(xf

0x 0x0x

0undefined

0||

)(

x

xx

x

xf

מאחר , רציפות סליקה-יותר מאי" גרועה"רציפות -זוהי אי

ולא ניתן לתקן זאת , בנקודה( סופית" )קפיצה"והפונקציה מבצעת

לפונקציה מונוטונית ומוגדרת . י שינוי ערך הפונקציה בנקודה"ע

.הרציפות האפשרית היחידה-זו אי, בסביבה של הנקודה

של אם היא מוגדרת בסביבה מסוימת של רציפות מסדר שני-נקודת אינקראת

:דוגמא. אינו קיים -ולפחות אחד מהגבולות מימין או משמאל ב , (עצמה -פרט אולי ל )0x)(xf0x

0x0x

0undefined

01

sin)(

0undefined

0)(

1

x

xxxg

x

xexfx

30

05

0)(

2

x

xxxf

0undefined

0)(

1

x

xexfx

0undefined

01

sin)(

x

xxxf

2x-7

2)(

2

x

xxxf

2x-6.1

22

1sin)2(

)(2

x

xx

xxxf

-אי

רציפות

סליקה

-אי

רציפות

מסדר

ראשון

רציפות -אי

מסדר

ראשון

:שימו לב)

הגבול

משמאל

(.קיים

-אי

רציפות

מסדר

שני

אין )

גבול

(.מימין

-אי

רציפות

מסדר

שני

אין )

גבול

מאף

(.כיוון

31

, כלומר)אם . תהי פונקציה רציפה בקטע סגור : משפט•

, , אז יש נקודה , (ערכים בעלי סימנים הפוכים בקצוות הקטע -ל

–כך ש

אם נורמלינקרא לקטע . Bolzano-Weierstrassמזכירה מאוד את ההוכחה של : הוכחה

-נסמן את אמצע הקטע ב (. הוא נורמלי -לכן ברור ש ) ד

, ברור שאחד מהקטעים הוא נורמלי –אם לא , אם סיימנו

-או ל -סימן הפוך ל -ולכן ל , סימנים הפוכים -כי ל

, והפונקציה לא תתאפס באף נקודת אמצע, אם נמשיך לחצות את הקטעים הנורמליים באופן זה

בדיוק כמו בהוכחה . 0 –שאורכם שואף ל , נקבל סידרה יורדת של קטעים נורמליים

-מאחר ו -יש נקודה כך ש , Bolzano-Weierstrassשל

ולכן מאחר ולכל , רציפה

ולכן הגבול של אינו יכול להיות אז , קטע נורמלי

שכמובן לכן בהכרח -אבל גבול זה שווה ל

, ניתן להסיק ממשפט זה על קיום של פתרון למשוואה בתוך הקטע כמו כן•

מזכיר מאוד )י חציות חוזרות של קטעים נורמליים "ע, ההוכחה מציעה דרך מהירה לקרוב הפיתרון

(. חיפוש בינארי

( או להיפך)אז . זוגית-יהי פולינום ממעלה אי•

ולכן ברור שיש נקודות בהן ונקודות בהן לכן יש נקודה בה

.זוגית יש שורש-לכל פולינום ממעלה אי –מסקנה ; הפולינום מתאפס

)(xf],[ ba0)()( bfaf)(xfcbca

0)(. cf],[ qp

0)()( qfpf],[ ba],[ bam.0)( mf],[],,[ bmma

)(),( bfaf)(mf)(. bf )(af

],[ nn ba],[ baccba nn ,.)(xf

)()(),(, cfbfaf nn nba nn ],,[0)()(, nn bfaf

)()()(. 2 cfbfaf nn )()( nn bfaf0.

)(2 cf0.0)(0)(. 2 cfcf

0)( xf],.[ ba

)(xp

)(lim,)(lim xpxpxx

0)( xp0)(, xp

32 אז -אם רציפה בקטע ו :משפט

נובעת מיד מהפעלת המשפט הקודם לפונקציה : הוכחה

)(xf],[)(],[, baxfbax ccfbacc )(],,[,.xxf )(.

הוא ערך מסוים בין –אם רציפה בקטע ו : Cauchyמשפט ערך הביניים של •

–יש נקודה בקטע כך ש -ו ס

-נניח למשל נגדיר אז ו : הוכחה

)(xf],[, ba)(af)(, bf0xFxf )(. 0

•

F

)()(. bfFaf Fxfxg )()(.0)( ag0)(, bg 0 ולכן יש נקודה בקטע בה אבלx0)(. 0 xgFxfxg )()( 00

Fxf ולכן )(. 0

.אם רציפה בקטע אזי היא חסומה בקטע: משפט •

יש, אזי לכל טבעי. אינה חסומה מלעיל -נניח למשל ש . בדרך השלילה :הוכחה

)(xf],[ ba

)(xfn

nxfbax nn סידרה -תת -יש ל , .],,[)( Bolzano-Weierstrass לפי משפט }{ nx

, רציפה -נסמן מאחר ו , מתכנסת 00 ]),[(. xxbax kn )(xf)()(. 0xfxf kn לא ייתכן גם )אבל סתירה

וגם

)()(,knkkn

xfknxf

)()(.( 0xfxf kn

)(kn

xf

],[ ba

המשפט אינו נכון לקטעים שאינם סגורים. למשל, רציפה ב - אך אינה חסומה

. בו xxf

1)( ]1,0(

33 ,],[xf)( -אם רציפה בקטע אז יש נקודות כך ש : משפט• ba],[, 21 bacc

)}({inf)()},({sup)(.],[],[

21 xfcfxfcfbaxbax

. המקסימום והמינימום של ערכי הפונקציה קיימים ומתקבלים –כלומר

קיים, מאחר וממשפט קודם חסומה בקטע. קיימת -נראה ש : הוכחה

-קיימת נקודה כך ש , נובע שלכל טבעי, ממשפט קודם

1c)(xf)}({sup.],[

xfMbax

n

],[,)(1

. baxMxfn

M nn

nx

}{ , סידרה מתכנסת-תת -יש ל Bolzano-Weierstrassממשפט nx00 ],,[. xxbax kn

ברור , ( -ומאחר ו )' לכל מתקיים ממשפט הסנדוויץ

רציפה ולכן -אבל נתון ש -ש

kMxfn

Mkn

k

)(1

.kn

Mxfkn)(.)(xf)()()(. 00 xfxfMxf kn

המשפט אינו נכון לקטעים שאינם סגורים. למשל, רציפה ב - אך אינה מקבלת

.בו מקסימום ומינימום

2)( xxf )1,0(

34 (Uniform Continuity)רציפות במידה שווה

:בתחום אם רציפה במידה שווהתיקרא : נגדיר מושג חזק יותר מרציפות•

כאשר -על קצב ההתקרבות של ל -ב גלובלייש חסם , כלומר•

.רציפות במידה שווה גוררת רציפות: משפט•

. אם רציפה בקטע סגור אזי היא רציפה במידה שווה בקטע: משפט•

אז. אך לא רציפה בו במידה שווה -רציפה ב -נניח ש . בדרך השלילה: הוכחה

)(xfD

ε|)()(|δ||,,0,δ0,ε 212121 xfxfxxDxx

D)( 1xf)( 2xf21. xx

)(xf)(xf],[, ba

02121210 ε|)()(|δ,||,,0,δ0,ε. xfxfxxDxx

:לכל טבעי, בפרט n0ε|)()(|,||],,[,1 nnnnnn yfxfyxbayx n

}{ , סידרה מתכנסת-תת -יש ל Bolzano-Weierstrassממשפט nx00 ],,[. xxbax kn

0000 0001

|||||||| xyn

xxxyxxxykn

kknknknknkn

אבל אז , רציפה -מאחר ו )(xf)()(),(. 0xfyfxf knkn 0)()(, knkn yfxf

-סתירה לכך ש 0ε|)()(|. knkn

yfxf

35

המשפט אינו נכון לקטעים שאינם סגורים. נוכיח למשל ש - אינה רציפה במידה

אם -שווה בקטע נבחר ויהי נתון נבחר כך ש x

xf1

)(

]1,0(:1ε, 0δ. nn

1δ.

nx

nx

2

1,

1, 21 אז δ

2

1|| 21

nxx אבל ε|)()(|, 21 nxfxf

. למרות שהיא רציפה בו, ולכן אינה רציפה במידה שווה בקטע )(xf

למרות , אינה רציפה במידה שווה באותו קטע -באופן דומה קל להראות ש

. שהיא רציפה בו

xxf

1sin)(

36

דוגמאות והשלמות: פונקציה שהינה רציפה רק באי-רציונליים

-נגדיר פונקציה דומה שרציפה ב . אינה רציפה באף נקודה Dirichletברור שפונקצית •

(.קל להכליל את ההגדרה לכל הישר)ם נגדיר אותה רק בקטע "אם

:נבנה סידרה של רציונליים כך שכל רציונלי בקטע מופיע בה פעם אחת בדיוק, תחילה

xQx.]1,0[

...5

1,

4

4,

4

3,

4

2,

4

1,

4

0,

3

3,

3

2,

3

1,

3

0,

2

2,

2

1,

2

0,

1

1,

1

0

/ / / / / / / 1q 3q 4q 5q 6q 7q ...8q2q

רושמים תחילה את כל

הרציונליים בקטע עם מכנה

'; וכו 2כ עם מכנה "אח, 1

לא רושמים אחד שכבר

.הופיע

:כעת נגדיר פונקציה כך

nqx

n

Qx

xf 1

0

)(

היינו חייבים לפסול רציונליים שכבר

אחרת היו מקרים בהם, הופיעו

ואז לא היה ניתן להגדיר את

mn qqx

)(. xf

-אם אז יש סידרה לכן אבל ולכן ברור ש

-רציונליים ואי)נניח ותהי סידרה כלשהי של ממשיים -אינה רציפה ב

אם אז ולכן נותר רק לבדוק את התנהגות עבור אותם (. רציונליים

לכן -שעבורם נסמן אותם אבל ברור ש

Qx,Qrxr nn ,,0)( nrf0)( xf)(xfx.Qx,xrn

0)(, nrf

Qrn ,0)(, nrf)( nrf Qrn ,n

kn.kn,01

)( kn

rfkn .xfx)( -ולכן כלומר רציפה ב