Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)»

Кафедра «Строительная механика и геотехнологии»

ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Учебное пособие

Омск ▪ 2016

СибАДИ

УДК 624+539.3 ББК 38.112

М54 Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Г.Л. Горынин (СурГУ); канд. техн. наук, доц. В.Е. Русанов (СибАДИ)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебного пособия.

М54 Основы метода конечных элементов [Электронный ресурс] : учебное пособие / С.А. Матвеев, О.П. Лаптев, Е.А. Мартынов, Н.Н. Литвинов. – Электрон. дан. − Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd163.pdf , свободный после авторизации. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-93204-933-4.

Содержит теоретический материал по основам метода конечных элементов: построение матриц жесткости, векторов узловых сил, построения общих систем уравнений. Приведены примеры расчета балок МКЭ и задания для самостоятельной работы.

Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. Предназначено для аспирантов направления 08.06.01 «Техника и технология строительства» и магистрантов направления

08.04.01 «Строительство». Текстовое (символьное) издание (1,3 МБ)

Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ; 1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader ; Google Chrome

Редактор Т.И. Калинина Техническая подготовка − Т.И. Кукина

Издание первое. Дата подписания к использованию 29.06.2016

Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2016

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит.

СибАДИ

3

ВВЕДЕНИЕ

Метод конечных элементов (МКЭ) относится к современным методам численного анализа. МКЭ получил свое развитие в середи-не XX века. В начальной фазе он развивался по двум независимым один от другого путям – вначале инженерному, а затем математиче-скому. Для развития МКЭ особое значение имели вариационные принципы строительной механики сплошной среды и математиче-ские методы, которые развивались на основе этих принципов. Два подхода позднее слились в один общий, что имело огромное значе-ние для дальнейшего быстрого развития МКЭ и его широкого при-менения.

Появление ЭВМ стимулировало развитие МКЭ, основы кото-рого были сформулированы Р. Курантом в 1943 г. Название "Метод конечных элементов" ввел в 1960 г. Клоуг. С этого времени начина-ется значительный рост числа работ, посвященных вопросам МКЭ. Появление монографии Зенкевича и Ченга позволило подробно рас-крыть основы метода и расширить области практического примене-ния почти для всех задач механики сплошной среды, имеющих ва-риационную формулировку. Дальнейшие работы ученых были на-правлены на проблемы аппроксимации (разбиения) и конвергенции (точности) решений.

Период последних десяти лет особенно характерен для разви-тия и применения МКЭ в таких областях линейной и нелинейной механики сплошной среды, как геометрическая и физическая нели-нейность, динамика конструкций, термодинамика, оптимизация кон-струкций и др.

МКЭ в настоящее время является одним из наиболее популяр-ных методов численного моделирования, применяемых при проек-тировании инженерных сооружений. Имеющиеся в настоящее время современные программы для ЭВМ с высокой степенью автоматиза-ции, например COSMOS(США), ЛИРА (Украина), BASYS(Россия) ТС Midas, Z_Soil (Швейцария) и др., позволяют создавать новые ус-ловия для анализа и расчета сложных инженерных конструкций.

МКЭ относится к методу дискретного анализа. Вместо всего тела основу всех исследований составляет часть области конечных размеров или конечный элемент. Тело, как сплошная среда с беско-нечно многими степенями свободы, заменяется дискретной моделью связанных между собой конечных элементов с конечным числом

СибАДИ

4

степеней свободы. Поскольку дискретных моделей может быть вы-брано большое множество, то основная задача сводится к выбору модели, лучше всего аппроксимирующей расчетную область.

Основные классические зависимости между геометрическими и физическими величинами применяются на элементе дифференци-ально малых размеров. Зависимости между средними значениями этих величин, предполагая их непрерывность, распространяются с бесконечно малых элементов на всю рассматриваемую область. Та-ким образом, процесс описания явления сводится к дифференциаль-ным уравнениям обычным или частным, интегральным или инте-грально-дифференциальным. При этом необходимо заметить, что решение в закрытой форме, особенно частных интегралов и диффе-ренциалов, весьма сложно, поэтому решение сводится к поиску их приближенных решений.

Алгоритм расчета МКЭ можно представить в виде последова-тельности следующих шагов:

-дискретизация сплошной среды; -выбор интерполирующих функций; -вычисление характеристик элементов; -формирование уравнений для сетки конечных элементов; -решение системы уравнений; -анализ напряженно-деформированного состояния. Первые три шага особенно важны. Способ дискретизации, вы-

бор типа элемента и общего числа элементов зависит от природы решаемой задачи и необходимой точности решения. Вместе с тем наряду с выбором числа и типа элементов важен выбор количества степеней свободы в узле, а также вида интерполирующего полино-ма.

Последние шаги имеют большое значение для практических расчетов. В данной области продолжаются исследования, связанные, прежде всего, с уменьшением времени счета при решении больших систем алгебраических уравнений.

В зависимости от способа выбора неизвестных в узлах разли-чают три основных вида МКЭ в следующих формах: метод переме-щений; метод сил; смешанный или гибридный метод.

В данном учебном пособии рассматривается МКЭ в форме ме-тода перемещений.

Существующая литература по МКЭ [1–7] в большей своей части ори-ентирована на специалистов, уже знакомых с основами метода. В данном

СибАДИ

5

пособии сделана попытка изложения основ МКЭ для начинающих изуче-ние метода конечных элементов. При этом перед авторами стояла цель объ-единить в одном пособии и систематизировать материал, имеющийся в раз-личных источниках и позволяющий в наиболее доступном виде изложить основные идеи МКЭ в форме метода перемещений на простых одномерных типах конечных элементов: стержневых и балочных. При этом большое внимание уделено разъяснению механического смысла коэффициентов же-сткости, построенному на использовании расчетных схем метода переме-щений из классического курса строительной механики. На наш взгляд, это должно облегчить восприятие МКЭ, поскольку в учебных программах кур-са строительной механики ему предшествует метод перемещений.

Преследуя методические цели, авторы на примере простейших конеч-ных элементов изложили два способа получения разрешающих уравнений МКЭ, которые основаны на наиболее общих вариационных принципах – принципе возможных перемещений и принципе минимума потенциальной энергии.

В пособии изложены такие существенные вопросы, как процедура формирования глобальной матрицы жесткости и вектора свободных членов при узловом и внеузловом приложении нагрузки, а также учет граничных условий. Излагаются основные принципы расчета простейших одномерных балочных конструкций, работающих на изгиб.

Данное пособие написано на основе курса лекций, в течение ряда лет читаемого студентам строительных специальностей в Сибирской государ-ственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ).

СибАДИ

6

1. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Идея метода перемещений

При расчете конструкции МКЭ рассматриваемое тело делится

на конечное число малых частей – конечных элементов (КЭ), свя-занных между собой в определенном числе точек – узлах. Если пред-положить, что перемещения в любой точке конечного элемента можно вы-разить в зависимости от перемещений в узлах, то задача сводится к вычис-лению перемещений в узлах. Перемещения узлов области и на контуре оп-ределяются системой уравнений, которые представляют собой условия равновесия узлов, а также условия на контуре. Эти уравнения могут быть сформированы несколькими путями, в том числе на основе принципа ми-нимума потенциальной энергии.

1.2. Дискретизация (разбиение) расчетной схемы Сущность дискретизации (разбиения) тела по МКЭ состоит в

следующем: -рассматриваемое тело с помощью воображаемых линий или

поверхностей разбивается на элементы конечных размеров. Эти элементы называются конечными элементами, а их совокупность – сеткой конечных элементов;

-конечные элементы соединены в конечном числе точек, кото-рые находятся на контуре элемента и называются узловыми точками или узлами;

-состояние каждого конечного элемента (перемещение, дефор-мация, напряжение и т.д.) описывается с помощью интерполирую-щих функций и конечного числа параметров в узлах (степеней сво-боды), представляющих основные неизвестные МКЭ (рис. 1.1).

Число узловых перемещений и соответствующих им узловых сил равно числу степеней свободы. Числом степеней свободы называют количество независимых параметров, определяющих положение в пространстве узловой точки конечного элемента и всей дискретной расчетной схемы конструкции. В соответствии с этим различают количество степеней свободы одного узла mу, конечного элемента mэ и всей конструкции m. Если вся расчетная схема имеет n узлов, то общее число степеней свободы определяется по формуле

СибАДИ

7

m = n ⋅ my. (1.1)

Рис. 1.1. Плоская расчетная схема (а) и ее конечно-элементное

представление (б) Степени свободы имеют определенный физический смысл.

Они представляют собой узловые перемещения. На рис. 1.2 представлен пример плоской области, разбитой на

четыре прямоугольных элемента. Каждая узловая точка на плоскости имеет две степени свободы. В качестве степеней свободы произвольной точки k (рис. 1.2,б) рассматриваются линейные перемещения этой точки ик и vк соответственно в направлении осей X и Y. Таким образом, количество степеней свободы одного узла равно двум: my = 2.

Рис.1.2. Конечно-элементная дискретизация области

Так как один прямоугольный конечный элемент содержит

четыре узла, то количество степеней свободы такого элемента равно восьми: тэ = 8. Соседние конечные элементы могут иметь общие узлы.

Полное количество узлов расчетной схемы, представленной на рис. 1.2,а, равно девяти: n = 9. Общее количество степеней свободы всей системы т = n⋅ту = 9×2 = 18.

СибАДИ

8

В методе перемещений основную систему получают путем наложения дополнительных связей на систему заданную. Причем связи накладывают по направлению искомых узловых перемещений или степеней свободы. Для произвольного узла к в дополнительно наложенных связях возникают реактивные силы Rxk и Ryk, которые по существу являются узловыми силами взаимодействия между конечными элементами. Число узловых сил совпадает с числом узловых перемещений и равняется числу степеней свободы.

1.3. Типы конечных элементов

Конечные элементы (КЭ) можно классифицировать по

следующим признакам: - одномерные – стержневые КЭ, используемые для расчета как

плоских, так и пространственных стержневых конструкций (табл. 1.1);

Таблица 1.1

Параметры одномерных конечных элементов

Тип Стержневые элементы Узловые перемещения Узловые силы

І

{ }

=2

1

∆∆

∆ { }

=2

1

FF

F

ІІ

{ }

=

=

2

2

1

1

4

3

2

1

θ

θ

∆∆∆∆

∆w

w

{ }

=

2

2

1

1

z

z

FMMF

F

ІІI

{ }

=

=

2

2

2

1

1

1

6

5

4

3

2

1

θ

θ

∆∆∆∆∆∆

∆

wu

wu

{ }

=

2

2

2

1

1

1

MFFMFF

F

z

x

z

x

СибАДИ

9

- двумерные, треугольной и четырехугольной формы, используемые для решения плоской задачи теории упругости и расчета пластин и оболочек (табл.1.2);

Таблица 1.2

Параметры двумерных конечных элементов

- трёхмерные, объёмные, или пространственные, используемые

для расчета сложных пространственных конструкций и массивных тел (табл. 1.3).

Тип Плоские элементы Узловые перемещения Узловые силы

ІV

{ }

=

=

3

3

2

2

1

1

6

5

4

3

2

1

vuvuvu

∆∆∆∆∆∆

∆ { }

=

3

3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

FFFFFF

F

V

{ }

=

=

4

2

1

1

8

3

2

1

v

uvu

∆

∆∆∆

∆ { }

=

4

2

1

1

y

x

y

x

F

FFF

F

VІ

{ }

=

=

4

2

1

1

1

12

4

3

2

1

y

y

x

w

w

θ

θθ

∆

∆∆∆∆

∆

{ }

=

4

2

1

1

1

y

z

y

x

z

M

FMMF

F

СибАДИ

10

Таблица 1.3 Параметры трехмерных конечных элементов

1.4. Системы координат

В методе конечных элементов используют две системы коорди-нат: локальную (местную) и глобальную (общую) (рис. 1.3). Локальные координаты применяют для описания отдельных элементов, глобальные – для описания всей конструкции.

Рис.1.3. Системы координатных осей

Тип Объемные элементы Узловые перемещения Узловые силы

VIІ

{ }

=

=

4

2

1

1

1

12

4

3

2

1

w

uwvu

∆

∆∆∆∆

∆ { }

=

4

2

1

1

1

z

x

z

y

x

F

FFFF

F

VIІІ

{ }

=

=

8

2

1

1

1

24

4

3

2

1

w

uwvu

∆

∆∆∆∆

∆ { }

=

8

2

1

1

1

z

x

z

y

x

F

FFFF

F

СибАДИ

11

Если системы локальных и глобальных координат не совпадают, то переход от локальных к глобальным выполняется по формуле

{∆} = [J] {∆*}, (1.2)

где {∆} – вектор узловых перемещений в глобальной системе коор-динат; {∆*} – то же в локальной системе координат; [J] – матрица преобразования координат или матрица направляющих косинусов.

Проиллюстрируем применение формулы (1.2) на следующем примере. Рассмотрим стержневой элемент 1-2 фермы, представлен-ной на рис. 1.4,а. В качестве локальных координат выберем коорди-нату Х', направленную вдоль продольной оси стержня (рис. 1.4,б), в качестве глобальных – координаты XY.

Рис. 1.4. Конструкция фермы (а) и конечный элемент 1-2

в местной X' и общей системах координат XY (б)

Обозначим перемещение узла 1 в локальной системе координат как u1'. Перемещение здесь одно, так как в данной системе координат в узле имеется одна степень свободы. Проецируя перемещение u1' на глобальные оси Х и Y, получим перемещения u1 и v1 в глобальной системе координат:

.sin;cos

11

11

αα

uvuu′=

′= (1.3)

СибАДИ

12

Данные преобразования можно записать в матричном виде (1.2):

{ }11

1

sincos

uvu

′

=

αα

, (1.4)

где

{ }

=1

1

vu

∆ ; [ ]

=

αα

sincos

J ; { } { }1* u′=∆ .

1.5. Соотношения между узловыми силами

и перемещениями для элемента

В каждом конечном элементе узловые силы и узловые переме-щения связаны между собой определенными соотношениями. При использовании метода сил эти соотношения называются уравнения-ми податливости, а при использовании метода перемещений – урав-нениями жесткости. В данном пособии будем рассматривать соот-ношения между узловыми силами и узловыми перемещениями в форме уравнений жесткости. Предполагаем, что материал конструк-ции работает в упругой стадии.

Уравнения жесткости для стержневого элемента (тип I, табл. 1.1) имеют вид

F1 = k11 ∆1 + k12 ∆2; F2 = k21 ∆1 + k22 ∆2 . (1.5)

Коэффициенты k11, k12, k21, k22 называются коэффициентами

жесткости элемента. Физический смысл коэффициента жесткости элемента заключается в следующем: коэффициент kij представляет реактивное усилие rij в дополнительно наложенной связи по направ-лению i-й степени свободы от единичного узлового перемещения ∆j = 1. При этом все остальные узловые перемещения должны быть равны нулю. На рис. 1.5, а показаны такие реактивные усилия r12 = k12, r22 = k22, вызванные перемещением ∆2 = 1.

Уравнения (1.5) можно представить в матричном виде

=

2

1

2221

1211

2

1

∆∆

kkkk

FF

(1.6)

СибАДИ

13

или { } [ ]{ }∆kF = , (1.7)

где [k] – матрица жесткости элемента.

Рис. 1.5. Единичные состояния стержневого (а)

и балочного (б) элементов Уравнения жесткости для балочного элемента (тип II, табл. 1.1)

имеют вид

2442431421412

2342331321312

2242231221211

2142131121111

;;

;

θθθθθθθθ

kwkkwkMkwkkwkFkwkkwkMkwkkwkF

z

z

+++=+++=+++=+++=

(1.8)

или в матричном виде

{ } [ ]{ }∆kF = , (1.9)

где {F} и {∆} определяются выражениями для II типа КЭ из табл. 1.1, а матрица жесткости имеет вид

[ ]

=

44434241

34333231

24232221

14131211

kkkkkkkkkkkkkkkk

k . (1.10)

СибАДИ

14

Физический смысл некоторых коэффициентов матрицы (1.10) ясен из рис. 1.5,б.

Уравнения жесткости для других конечных элементов записываются по аналогии.

1.6. Глобальные соотношения между узловыми силами

и перемещениями Рассмотрим балку, разбитую на конечные элементы. Выделим

фрагмент, состоящий из конечных элементов B и C (рис. 1.6,a). На фрагменте показаны узловые перемещения, соответствую-

щие общей или глобальной нумерации степеней свободы конструк-ции. Элементы B и C имеют общую узловую точку, к которой при-ложена внешняя сила Pi в направлении степени свободы ∆i. Помимо внешней силы Pi к заданному узлу приложены узловые силы B

iF и CiF , являющиеся силами межэлементного взаимодействия (рис.

1.6,в).

Рис. 1.6. Перемещения и усилия в общей узловой точке Из условия равновесия внутреннего узла можно записать

0=++ iC

iB

i PFF . (1.11)

Узловые силы BiF и C

iF определяют из уравнений жесткости, записанных для элементов В и С (рис. 1.6,б):

СибАДИ

15

.

;

33,22,11,

11,11,22,

Ci

Cii

Ci

Cii

Ci

Cii

Ci

Cii

Ci

Bi

Bii

Bi

Bii

Bi

Bii

Bi

Bii

Bi

kkkkF

kkkkF

++++++

++−−−−

+++=

+++=

∆∆∆∆

∆∆∆∆

(1.12)

Для внутреннего узла, соединяющего элементы В и С, можно

записать условия совместности перемещений:

.

;

111 +++ ==

==

iCi

Bi

iCi

Bi

∆∆∆

∆∆∆ (1.13)

Для остальных узловых перемещений, рассматриваемого

фрагмента справедливы равенства

;22 −− = iBi ∆∆ ;11 −− = i

Bi ∆∆ ;22 ++ = i

Bi ∆∆ .33 ++ = i

Bi ∆∆ (1.14)

Подстановка зависимостей (1.12) с учетом соотношений (1.13),

(1.14) в выражение (1.11) приводит к глобальному уравнению жесткости, записанному для i- й степени свободы:

0... 33,11,22, =++++ ++−−−− iiiiiiiiii PKKK ∆∆∆ . (1.15)

Коэффициенты жесткости глобального уравнения состоят из

локальных коэффициентов жесткости конечных элементов, имею-щих общие степени свободы. Так, коэффициент жесткости Kii равен сумме коэффициентов жесткости B

iik и Ciik конечных элементов В и

С: C

iiBiiii kkK += . (1.16)

Уравнение (1.13) записано для i-ой степени свободы. Полное

число степеней свободы всей конструкции примем равным m, при этом глобальная система уравнений жесткости должна содержать столько же уравнений.

В матричном виде глобальная система уравнений жесткости имеет вид

[К]{∆} + {P} = 0, (1.17)

СибАДИ

16

где {∆} – вектор узловых перемещений размерности т; {P} – вектор узловых нагрузок размерности т; [К] – глобальная матрица жесткости т×т.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается идея метода конечных элементов? 2. Какие бывают виды конечных элементов? 3. Как определяется число степеней свободы конечного элемента? 4. В чем состоит сущность дискретизации системы? 5. Чем локальные координаты отличаются от глобальных? 6. В чем физический смысл коэффициента k11 в матрице жесткости? 7. Как записывается зависимость между векторами узловых переме-щений и узловых нагрузок?

СибАДИ

17

2. ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ МКЭ

2.1. Аппроксимация перемещений на элементе Функции, с помощью которых определяются перемещения ме-

жду узловыми точками внутри элемента, называются интерполирующи-ми или аппроксимирующими функциями, или функциями формы.

От выбора интерполирующих функций зависит выполнение условий непрерывности функции и ее производных между отдель-ными элементами, а следовательно, точность решения.

Рассмотрим балочный элемент, который представлен в табл. 1.1 (тип II). Он имеет четыре степени свободы (mэ= 4).

Для приближенного описания перемещений внутри данного конечного элемента используется идея метода Ритца, в соответствии с которой неизвестная функция перемещений w(х) заменяется куби-ческим полиномом с постоянными коэффициентами ai:

w(х)=a1 + a2 x +a3 x2 + a4 x3. (2.1)

Коэффициенты ai не имеют физического смысла, а выражение

(2.1) называется представлением функции прогибов в неявной фор-ме. Функция прогибов в явной форме более удобна, так как коэффи-циенты ai в ней заменены имеющими физический смысл узловыми перемещениями ∆i:

w(х)= ∆1N1(x) + ∆2 N2(x) +∆3 N3(x)+ ∆4 N4(x), (2.2)

где N1(x),…, N4(x) – функции формы, представляющие собой одно-мерные полиномы Эрмита.

( ) ;231231 323

3

2

2

1 ξξ +−=+−=lx

lxxN

( ) ( );2121 22

32

2 ξξ +−=+−= xlx

lxxN (2.3)

( ) ;2323 323

3

2

2

3 ξξ −=−=lx

lxxN

( ) ( ),22

32

4 ξξ −−=+−= xlx

lxxN

где ξ = x / l – безразмерная координата.

СибАДИ

18

Эпюры функций формы представлены на рис. 2.1,б.

Рис. 2.1. Балочный элемент (а)

и эпюры функций формы (б) Эти функции формы полностью совпадают с единичными

эпюрами перемещений балки в основной системе метода перемеще-ний (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Единичные состояния балочного элемента в основной системе метода перемещений

СибАДИ

19

2.2. Общие требования к аппроксимирующим функциям перемещений и рекомендации по их применению

Для приближенного описания перемещений внутри конечного

элемента используется идея метода Ритца, в соответствии с которой неизвестная функция перемещений w(x) заменяется суммой:

)()( xfaxw ii∑= (2.4)

или )()( xNxw ii∑= ∆ , (2.5)

где ai – неизвестные коэффициенты, не имеющие определенного фи-зического смысла; fi(x) – базисные функции, выбираемые с учетом требований и рекомендаций, сформулированных ниже; Δi – неизвест-ные коэффициенты, имеющие физический смысл узловых перемеще-ний; Ni(x) – координатные функции, описывающие перемещения внутри конечного элемента, возникающие от единичных смещений узлов.

Каждая координатная функция Ni(x) должна удовлетворять уравнениям неразрывности в пределах конечного элемента и кинема-тическим граничным условиям в узлах. Следовательно, функции Ni(x) зависят от формы конечного элемента и поэтому они называются функциями формы.

В качестве примера базисных функций и функции формы можно рассмотреть функции, содержащиеся в выражениях (2.4) и (2.5), опи-сывающих прогибы балочного элемента. В выражении (2.4) содер-жатся следующие базисные функции:

f1 = 1; f2 = х; f3 = х2; f4 = х3. (2.6)

В выражении (2.5) содержатся функции формы N1(x), N2(x),

N3(x), N4(x), определяемые по формулам (2.3). Заметим, что для стержня постоянного сечения полученные функции формы являются точными.

Прямое определение функции формы, как в только что рассмот-ренных примерах, возможно лишь для простейших (стержневых) ко-нечных элементов, поэтому в общем случае для трехмерных элемен-тов используют следующий прием:

СибАДИ

20

функции перемещений u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z), составляющие вектор {Z}, аппроксимируют в виде

},]{[}{ afZ = (2.7)

где {Z} – вектор перемещений,

{ }( )( )( )

=

zyxwzyxvzyxu

Z,,,,,,

;

[f] – матрица базисных функций fi(x,y,z); {a} – вектор коэффициентов ai, i = 1…S.

Здесь S – число коэффициентов, как правило, равное числу сте-пеней свободы конечного элемента mэ.

Требования к аппроксимирующим выражениям перемещений.

1. Функции {Z} должны удовлетворять уравнениям совместно-сти деформаций в пределах элемента либо, что предпочтительнее, разрешающим дифференциальным уравнениям в перемещениях для элементов данного типа (при нагрузках, прикладываемых только в уз-лах). Например, для балочного конечного элемента функция прогибов w(x) должна удовлетворять уравнению

04

4

=dx

wd ,

а для элемента изгибаемой тонкой изотропной плиты постоянной толщины приближенное выражение прогибов w(x,у) должно удовле-творять однородному (при q = 0) уравнению

04 =∇ w . Если аппроксимировать функции w(x) и w(x,у) полиномами до третьей степени включительно, то указанные требования выполняют-ся при любых коэффициентах ai.

СибАДИ

21

2. Вычисленные по функциям {Z} деформации {ε} не должны быть тождественно нулевыми. 3. Функции {Z} должны удовлетворять кинематическим гра-ничным условиям в узлах элемента, то есть при подстановке в {Z} координат узлов должно получаться значение узловых перемещений Δi. Из этого следует, что S (число коэффициентов а) должно быть не менее суммарного числа степеней свободы узлов конечного элемента mэ (обычно S= mэ).

Кроме перечисленных требований при построении аппроксима-ции желательно учитывать следующие рекомендации:

1. По возможности выбирать базисные функции так, чтобы {Z} получались инвариантными к преобразованиям системы координат элемента (параллельному переносу и повороту осей). Это достигает-ся, в частности, использованием полных полиномов.

2. Следует стремиться к тому, чтобы по граням элемента пере-мещения, определяемые функциями {Z}, получались бы однозначно зависящими от смещений узлов. Тогда два смежных элемента будут иметь на границе одинаковые перемещения. Элементы, удовлетво-ряющие сформулированным условиям, называются совместными по перемещениям, в противном случае – несовместными. На рис. 2.3,а приведен пример совместных по перемещениям конечных элементов, а на рис. 2.3,б – несовместных.

Рис. 2.3. Совместные (a) и несовместные (б) конечные элементы

Сплошными линиями на рис. 2.3 изображены два смежных эле-

мента в недеформированном состоянии, а штриховыми – в деформи-рованном. В случае совместных элементов поля перемещений приня-ты линейными, о чем свидетельствует прямолинейность сторон де-

СибАДИ

22

формированных элементов, а в случае несовместных – нелинейными, при этом между границами соседних элементов появляется зазор (за-штрихованная область на рис. 2.3,б). В идеале элементы должны быть совместными не только по перемещениям, но и по деформациям и напряжениям, но добиться этого значительно сложнее.

2.3. Механический смысл коэффициентов жесткости

Прежде чем определять коэффициенты жесткости балочного

элемента, выясним их механический смысл. Для этого рассмотрим балочный элемент с наложенными по направлению всех степеней свободы дополнительными связями. По направлению первой степени свободы зададим единичное перемещение ∆1 = 1 (рис. 2.4,а). При этом векторы узловых перемещений и узловых сил принимают вид

{ } { } .;

0001

41

31

21

11

=

=

rrrr

F∆ (2.8)

Подставим данные соотношения в уравнения жесткости (1.7):

=

0001

44434241

34333231

24232221

14131211

41

31

21

11

kkkkkkkkkkkkkkkk

rrrr

. (2.9)

После умножения вектора узловых перемещений на матрицу жесткости получим

=

41

31

21

11

41

31

21

11

kkkk

rrrr

. (2.10)

Полученное равенство позволяет объяснить механический

смысл коэффициентов жесткости, которые по существу являются ре-

СибАДИ

23

акциями в дополнительно наложенных связях в основной системе ме-тода перемещений:

ijij rk = . (2.11)

Рис. 2.4. Единичные (а, б) и грузовое (в)

состояния балочного элемента Каждый коэффициент kij представляет собой реакцию rij в до-

полнительно наложенной связи по направлению i-й степени свободы от единичного перемещения ∆j = 1. Каждый j-й столбец матрицы же-сткости составлен из единичных реакций, соответствующих j-му еди-ничному состоянию элемента. Коэффициенты жесткости, представ-ленные в выражении (2.7), соответствуют первому единичному со-стоянию балочного элемента, вызванному единичным перемещением ∆1= 1.

Механический смысл коэффициентов жесткости других типов элементов тот же самый, что и балочного конечного элемента.

2.4. Определение коэффициентов жесткости

из принципа возможных перемещений

Рассмотрим два единичных состояния балочного элемента: со-стояние 1 (рис. 2.4,а) и состояние 3 (рис. 2.4,б). Состояние 1 примем за действительное, а состояние 3 – за возможное. Рассмотрим работу внешних и внутренних сил первого состояния на возможных пере-мещениях третьего состояния.

СибАДИ

24

К внешним силам первого состояния относятся реактивные си-лы r11, r21, r31, r41. Они совершают работу на возможных узловых пе-ремещениях ∆1, ∆2, ∆3, ∆4 третьего состояния. Но в третьем единич-ном состоянии ненулевым является только одно перемещение ∆3=1, остальные узловые перемещения нулевые: ∆1=∆2=∆4=0. Таким об-разом, возможная работа А13 реактивных сил состояния 1 на переме-щениях состояния 3 равна:

31331

4

1113 rrrA j

jj === ∑

=∆∆ . (2.12)

Возможная работа внутренних сил состояния 1 на перемеще-ниях состояния 3 определяется из выражения:

∫=l

dMA0

3113 ϕ , (2.13)

где М1 – изгибающий момент в балочном элементе в первом единичном состоянии; dϕ3 – угловое перемещение (угол поворота поперечного сечения балки) в третьем единичном состоянии. При использовании выражения (2.13) необходимо помнить, что если рассматривать возможную работу внутренних сил в процессе нагружения балки, то знак правой части выражения (2.13) должен быть «минус», если в процессе разгрузки – то «плюс».

Используя выражение

EJ

dxMd 33 =ϕ , (2.14)

равенство (2.13) можно представить в виде

∫=l

EJdxMMA

0

3113 . (2.15)

Из курса сопротивления материалов известна зависимость между из-

гибающим моментом М и кривизной балки ρ при чистом изгибе:

ρEJM −= . (2.16)

Кривизну балки ρ заменяем второй производной функции прогибов ρ = w″. С учетом этой замены получим

СибАДИ

25

wEJM ′′−= . (2.17)

Обозначим функцию прогибов в первом и третьем единичных

состояниях как w1 и w3. Тогда вторые производные этих функций бу-дут соответственно w″

1 и w″3, а выражение (2.17), записанное для пер-

вого и третьего единичных состояний, примет вид

11 wEJM ′′−= (2.18) и

33 wEJM ′′−= . (2.19) Подставляя соотношения (2.18) и (2.19) в (2.15), получим

dxwwEJAl

∫=0

"3

"113 . (2.20)

Чтобы получить выражение второй производной функции про-

гибов w″, необходимо дважды продифференцировать по x выражение (2.2):

( ) ,44332211 NNNNxw ′′+′′+′′+′′=′′ ∆∆∆∆ (2.21)

где

( )

( )

( ) .132

;232

;126

4

2

231

−=′′

−=′′

−=′′−=′′

ξ

ξ

ξ

lN

lN

lNN

(2.22)

Подставляя в (2.21) узловые перемещения первого единичного

состояния ∆1 = 1, ∆2 = ∆3 = ∆4= 0 и третьего единичного состояния ∆3 = 1, ∆1 = ∆2= ∆4 =0, получим

1 1 3 3; .w N w N′′ ′′ ′′ ′′= = (2.23)

Принцип возможной работы в форме принципа возможных пе-

ремещений или вариационный принцип Лагранжа формулируется

СибАДИ

26

так: если элемент твердого деформируемого тела находится в равно-весии, то полная работа всех приложенных к нему сил на возможных перемещениях равна нулю. Следовательно, полная работа всех внешних и внутренних сил состояния 1 на возможных перемещениях состояния 3 должна быть равна нулю. При этом знак возможной ра-боты внутренних сил берем «минус», так как рассматриваем процесс нагружения балки.

Из выражения (2.20) с учетом (2.12), (2.11) и (2.23) получим вы-ражение для вычисления коэффициента жесткости k13:

dxNNEJkl

∫=0

"3

"113 . (2.24)

После подстановки в подынтегральное выражение (2.24) зави-

симостей для "1N и "

3N из (2.22) и последующего интегрирования по-лучим

31312

lEJk −= . (2.25)

По аналогии с формулой (2.24) запишем выражение для произ-

вольного коэффициента kij балочного элемента постоянной жестко-сти EJ:

dxNNEJkl

jiij ∫=0

"" . (2.26)

При вычислении интегралов в формулах (2.24) и (2.26) необхо-

димо произвести замену переменной интегрирования dx на dξ и пре-делов интегрирования [0, l] на [0,1]. При этом должно быть учтено равенство dx=ldξ .

Если в формуле (2.26) индексы i, j поменять местами, то ре-зультат не изменится. Это свидетельствует о том, что коэффициенты жесткости обладают свойством взаимности:

ijji kk = , (2.27) а матрица жесткости симметрична относительно главной диагонали.

СибАДИ

27

2.5. Приведение нагрузки на элементе к узловой Если внешняя нагрузка, действующая на элемент, приложена

не в узловых точках, то ее необходимо заменить статически эквива-лентными узловыми силами. Эти узловые силы формируют вектор {Р}.

Для элемента, изображенного на рис. 2.4,в, вектор узловых сил имеет вид

{ }

=

P

P

P

P

RRRR

P

4

3

2

1

. (2.28)

Для определения узловых сил воспользуемся теоремой о вза-

имности работ. Рассмотрим процедуру нахождения узловой силы Rlp. Для этого исследуем два состояния балочного элемента: единич-ное состояние 1 (рис. 2.4,а) и грузовое состояние Р (см. рис. 2.4,в).

В грузовом состоянии Р на балочный элемент действует сосре-доточенная сила Р в сечении х = а и узловые силы, записанные в ви-де вектора (2.28). Все узловые перемещения в грузовом состоянии отсутствуют, т.е. ∆j= 0 (j=1...4).

В единичном состоянии 1 на балочный элемент действуют только узловые силы, записанные в виде вектора (2.7). Перемещения здесь следующие: ∆1 = 1, ∆2 = ∆3 = ∆4 = 0, а также

( ) ( )aNaw 1= . (2.29)

Работа внешних сил состояния Р на соответствующих им пе-

ремещениях состояния 1

( ) ( )aNPRawPRA Pii

iPP 11

4

11 1+×=+= ∑

=∆ . (2.30)

Работа внешних сил состояния 1 на соответствующих им узло-

вых перемещениях состояния Р

СибАДИ

28

0

4

111 == ∑

=i

iiP rA ∆ . (2.31)

Подставив соотношения (2.30) и (2.31) в выражение теоремы

взаимности работ (теоремы Бетти)

PP AA 11 = , (2.32) получим

( )aNPR P 11 −= . (2.33)

По аналогии может быть получена формула приведения сосредоточенной нагрузки на элементе к узловой:

( )aNPR iiP −= , i = 1,…,4. (2.34)

Для приведения распределенной нагрузки на элементе к узло-

вой (рис. 2.5,а) выделим бесконечно малый участок стержня длиной dx, в пределах которого распределённую нагрузку q будем считать постоянной. Заменяя в пределах этого участка распределённую на-грузку элементарной сосредоточенной силой, равной qdx (рис. 2.5,б), воспользуемся формулой (2.34). В результате получим выра-жение для элементарной узловой силы:

( )xNqdxdR iiP −= . (2.35)

Рис. 2.5. Приведение распределенной нагрузки на балочном элементе к узловой

СибАДИ

29

Полное значение узловой силы получим, интегрируя выражение (2.35):

dxNqRa

aiiP ∫−=

2

1

. (2.35)

При действии на балочный элемент сосредоточенного момента в сечении х = а (рис. 2.6,а) заменим момент М двумя сосредоточен-ными силами Р, расположенными на расстоянии da одна от другой и направленными навстречу друг другу (рис. 2.6,б). Между силами и моментом соблюдается зависимость da

MP = .

Рис. 2.6. Приведение сосредоточенной моментной нагрузки на балочном

элементе к узловой Используя зависимость (2.34) отдельно для каждой из сил, а

затем суммируя, приходим к выражению

( ) ( )daaNdaMaN

daMR iiiP +−= . (2.37)

Учитывая, что ( ) ( ) iii dNaNdaaN =−+ и вводя обозначение

ii N

dadN ′= , (2.38)

выражение (2.37) представим в следующем виде:

( )aNMR iiP ′−= . (2.39)

СибАДИ

30

2.6. Вывод разрешающих уравнений МКЭ из принципа минимума полной потенциальной энергии

Выражение полной потенциальной энергии балочного элемен-

та (рис. 2.7) имеет вид

( ) ( ) ( )dxxwxqdxwEJll

∫∫ −′′=00

2

21Π .

(2.40)

Рис. 2.7. Балочный конечный элемент

Функцию прогибов аппроксимируем в явном виде:

( ) [ ] [ ]{ }∆

∆∆∆∆

∆∆ NNNNNNNxw =

=++=

4

3

2

1

43214411 ... .

(2.41)

Продифференцировав дважды по х выражение (2.41), получим

( ) [ ] [ ]{ }∆

∆∆∆∆

∆∆ BNNNNNNxw =

′′′′′′′′=′′++′′=′′

4

3

2

1

43214411 ... .

(2.42)

Здесь [ ]В – матрица вторых производных функций формы [ ] [ ]4321 NNNNB ′′′′′′′′= . (2.43)

СибАДИ

31

Первый интеграл из (2.40) запишем с учётом соотношения (2.42) в следующем виде:

( ) ( ) ( )

{ } [ ][ ] .

4

3

2

1

4321

4

3

2

1

04321

00

2

dxNNNND

NNNN

dxwEJwdxwEJ

l

ll

′′′′′′′′

′′′′′′′′

=

=′′′′=′′

∫

∫∫

∆∆∆∆

∆∆∆∆ (2.44)

Здесь [D] – матрица упругости, состоящая из одного элемента:

[ ] [ ] EJEJD == 1 . (2.45)

Интеграл (2.44) представим в матричном виде:

( ) { } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ]{ }∆∆∆∆ ΤΤΤ kdxBDBdxwEJll

==′′ ∫∫00

2 , (2.46)

где { }T∆ и [ ]TÂ – транспонированные вектор узловых перемещений и матрица вторых производных соответственно:

{ } { }4321 ∆∆∆∆∆ =T ; [ ]

′′′′′′′′

=

4

3

2

1

NNNN

 T ; (2.47)

[k] – матрица жесткости балочного элемента, определяемая по фор-муле

[ ] [ ] [ ][ ] .0

dxBDBkl

∫=Τ (2.48)

После подстановки в выражение (2.48) соотношений (2.43),

(2.45) и (2.47) и интегрирования с учетом зависимостей (2.22) получим матрицу жесткости балочного конечного элемента:

СибАДИ

32

[ ]

−−−−

−−

=

22

22

3

2333636

3233636

2

llllll

llllll

lEJk . (2.49)

Второй интеграл из (2.36) запишем с учетом соотношения

(2.37) в следующем виде:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ] [ ]{ } .

....

0

4

3

2

1

43210

441100

dxNqdxNNNNq

dxxNxNxqdxxwxq

ll

ll

∆

∆∆∆∆

∆∆

∫∫

∫∫

=

=

=++=

(2.50)

С учетом соотношений (2.46) и (2.50) выражение полной

потенциальной энергии (2.40) можно представить в матричном виде:

{ } [ ]{ } { } { }∆∆∆Π ΤΤ Pk +=21 , (2.51)

где { }ΤP – транспонированный вектор узловых сил,

{ } [ ]dxNqPl

T∫−=0

. (2.52)

Произвольная компонента вектора {Р} определяется по фор-

муле

( ) ( ) .4,...,1,0

=−= ∫ idxxNxqP i

l

i (2.53)

Из условия стационарности полной потенциальной энергии:

{ } 0=∆dÏd или miÏ

i

,...,1,0 ==∂∂∆

(2.54)

СибАДИ

33

получим уравнение жесткости в матричном виде:

[ ]{ } { } .0=+ Pk ∆ (2.55) Уравнение (2.51) получено для балочного конечного элемента,

но может быть использовано также и для других типов элементов. В этом состоит одно из главных преимуществ матричной формы пред-ставления систем разрешающих уравнений. Матричная форма стан-дартна, одинакова для разных типов конечных элементов.

Вопросы для самопроверки

1. Сколько степеней свободы имеет балочный конечный элемент? 2. В чем заключается принцип минимума полной потенциальной энергии? 3. В чем механический смысл коэффициентов жесткости? 4. Сколько узловых сил в балочном конечном элементе? 5. Какова размерность локальной матрицы жесткости балочного ко-нечного элемента? 6. Как распределенная нагрузка приводится к узловой? 7. Каковы размерности коэффициентов матрицы жесткости?

СибАДИ

34

3. ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

3.1. Глобальная матрица жесткости

3.1.1. Плоская задача

Формирование общей или глобальной системы уравнений МКЭ в виде уравнений жесткости (1.17) по существу сводится к определе-нию общей матрицы жесткости [К] и вектора узловых внешних сил {Р}.

Матрица [К] составлена из матриц жесткости отдельных ко-нечных элементов ( )[ ]ik , которые размещены в общей матрице жест-кости в определённом порядке. Этот порядок определяется взаим-ным расположением конечных элементов. Рассматривая поочерёдно каждый конечный элемент, вычисляют его локальную матрицу же-сткости ( )[ ]ik и размещают ее в общей матрице жесткости [К]. Затем переходят к следующему элементу.

Рассмотрим формирование глобальной матрицы жесткости на примере плоской задачи. Представим матрицу жесткости конечного элемента 2 (рис. 3.1,а) в блочном виде:

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( )[ ]

=

244

234

233

224

223

222

214

213

212

211

2

kkkkkkkkkk

k , (3.1)

где

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] .,...,,8887

7877244

2423

1413212

2221

1211211

=

=

=

kkkk

kkkkk

kkkkk

k (3.2)

Верхний индекс 2 соответствует номеру конечного элемента.

Локальная нумерация узлов плоского прямоугольного конечного элемента представлена в табл. 1.2 (тип V).

Блочное представление матрицы жесткости удобно тем, что ко-личество блоков в строке или столбце матрицы ( )[ ]ik равно количе-ству узлов элемента. Для нумерации узлов обычно используются две системы отсчета: местная (локальная) и общая (глобальная). Местная

СибАДИ

35

система отсчёта применяется при вычислении матрицы жесткости элемента ( )[ ]ik , а общая – при формировании глобальной матрицы жесткости [К]. Для того чтобы увязать между собой эти две системы отсчета, составляется матрица преобразований. Эту матрицу удобно представить в виде таблицы индексов. Для схемы, изображенной на рис. 3.1,а, таблица индексов имеет вид табл. 3.1.

Рис. 3.1. Размещение элементов матрицы жесткости второго

конечного элемента (а) в общей матрице жесткости (б) (звездочками отмечены ненулевые элементы матрицы)

С учетом табл. 3.1 размещение матрицы жесткости (3.1) второ-

го элемента в общей матрице жесткости [К] представлено на рис. 3.1,б.

а)

б)

СибАДИ

36

Таблица 3.1 Взаимосвязь индексов в системах отсчета

Номер элемента

Узловые индексы в местной системе отсчета 1 2 3 4

Узловые индексы в общей системе отсчета 1 1 2 3 4 2 2 3 5 6 3 4 5 8 7 4 5 6 9 8

Элементы матрицы ( )[ ]ik помещаются в те клетки матрицы [К],

которые лежат на пересечении номеров строк и столбцов, указанных во второй строке табл. 3.1 и соответствующих конечному элементу 2. Последовательность строк и столбцов матрицы ( )[ ]ik при этом не изменяется.

При размещении матриц жесткости других элементов в общей матрице жесткости необходимо использовать информацию, содер-жащуюся в тех строках табл. 3.1, которые соответствуют указанным элементам. Если в одну клетку матрицы [К] попадают элементы не-скольких локальных матриц жесткости, то их значения необходимо суммировать. Например, для клетки [ К55] имеем

[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]4

113

222

331

4455 kkkkK +++= . (3.3) Верхние индексы в правой части выражения (3.3) указывают

номера соответствующих конечных элементов. Общая размерность матрицы [К] определяется количеством не-

известных узловых перемещений, равным произведению количества узлов на число неизвестных в одном узле. Для системы, представ-ленной на рис. 3.1,а, матрица [K] имеет размерность 18×18, а вектор {Р} – 1×18.

Учитывая симметрию и ленточный характер матрицы жестко-сти, для хранения её в оперативной памяти ЭВМ целесообразно ис-пользовать двумерный массив, количество строк которого совпадает с количеством строк матрицы [К], а количество столбцов равно чис-лу диагоналей полуленты матрицы [К]. На рис. 3.2 показан такой двумерный массив, в котором хранится верхняя полулента матрицы [К], изображенной на рис. 3.1,б.

СибАДИ

37

Рис. 3.2. Двумерный массив

Если исходная область разбивается на прямоугольные конеч-

ные элементы, то ширина полуленты матрицы жесткости определя-ется следующим образом. Номер четвёртого узла первого конечного элемента в общей системе отсчёта (последняя цифра первой строки табл. 3.1) умножается на количество узловых перемещений одного узла. Для схемы, представленной на рис. 3.1,а, номер четвёртого уз-ла первого элемента равен 5, количество узловых перемещений ту=2, следовательно, ширина полуленты равна 5×2 = 10.

3.1.2. Изгиб балки

Рассмотрим формирование глобальной матрицы жесткости на

при расчёте балки (рис. 3.3,а). Локальная матрица жесткости произвольного балочного эле-

мента (рис. 3.3,б) имеет вид

( )[ ] .2;

2333636

3233636

3

22

22

i

iii

i

lEJd

llllll

llllll

dk =

−−−−

−−

= (3.4)

Локальную матрицу жесткости балочного конечного элемента

(3.4) можно представить в блочном виде по аналогии с матрицей (3.1):

СибАДИ

38

( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] .

2221

1211

= ii

iii

kkkk

k (3.5)

Рис. 3.3. Балка, разбитая на два элемента (а),

и балочный элемент (б)

Число строк и число столбцов в матрице (3.5) определяется ко-личеством узлов балочного элемента. Поскольку данный элемент имеет два узла (см. рис. 3.3,б), то число строк и столбцов равно двум. Блоки матрицы (3.5) с учетом (3.4) имеют следующий вид:

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] .2336

;3

36

;3

36;

2336

222221

212211

−

−=

−−=

−−

=

=

ii

ii

i

ii

ii

i

ii

ii

i

ii

ii

i

lll

dkll

ldk

lll

dklll

dk (3.6)

Размерность каждого из блоков 2×2, так как в каждом узле

имеется по две степени свободы. Матрицу преобразования можно записать либо в виде таблицы

индексов степеней свободы, либо в виде таблицы узловых индексов. Табл. 3.2 узловых индексов балки, состоящей из двух элементов (рис. 3.3,а), составлена по аналогии с табл. 3.1 для плоской задачи и соответствует блочному представлению матрицы жесткости (3.4).

Матрица преобразования в виде таблицы индексов степеней свободы для этой же балки записывается в форме табл. 3.3 и соот-ветствует обычному виду матрицы жесткости (3.3).

Элемент 1 Элемент 2

СибАДИ

39

Таблица 3.2 Взаимосвязь индексов в системах отсчета

Номер элемента Узловые индексы в местной системе отсчета

1 2 Узловые индексы в общей системе отсчета

1 1 2 2 2 3

Таблица 3.3

Взаимосвязь индексов в системах отсчета

Номер элемента

Узловые индексы в местной системе отсчета 1 2 3 4

Узловые индексы в общей системе отсчета 1 1 2 3 4 2 3 4 5 6

При составлении глобальной матрицы жесткости балки, со-

стоящей из двух конечных элементов (см. рис. 3.3,а), представим ло-кальные матрицы жесткости первого и второго конечных элементов схематично в следующем виде:

( )[ ] ( )[ ]

ΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟ

=

××××××××××××××××

= 21 ; kk . (3.7)

Размерность каждой из локальных матриц жесткости 4×4. Учитывая матрицу преобразования в форме табл. 3.3, изобразим

схематично глобальную матрицу жесткости всей балки в следующем виде:

[ ]

ΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟ⊗⊗××ΟΟ⊗⊗××

××××××××

=K . (3.8)

СибАДИ

40

Размерность глобальной матрицы 6×6, что соответствует об-щему числу степеней свободы всей балки (m = 6). Рассмотрим неко-торые элементы третьей строки глобальной матрицы жесткости:

( )

( ) ( )

( ) ( ) .66

;1212

;6

22

221

1212

13434

32

231

1211

13333

21

113232

lEJ

lEJkkK

lEJ

lEJkkK

lEJkK

+−=+=

+=+=

−==

(3.9)

3.2. Вектор свободных членов

Вектор свободных членов общей системы уравнений МКЭ за-

висит от характера, места приложения и величины внешней нагруз-ки, а также от степени дискретизации конструкции. Рассмотрим формирование вектора свободных членов на конкретных примерах.

Так, для всех балок, изображенных на рис. 3.4, количество ко-нечных элементов равно двум, количество узлов – трем, а количест-во степеней свободы – шести. Поэтому вектор свободных членов для всех этих конструкций состоит из шести элементов:

{ } { }654321 PPPPPPP T = . (3.10)

Ненулевыми элементами вектора (3.10) для схем, изображен-ных на рис. 3.4, являются следующие:

а) P5 = P , б) P1 = P; в) P6 = M , г)P2 = - М, P3 = P; (3.11)

д) P3 = P, P6 = М;

е)2

11

lqP = , 12

21

2lqP = ,

21

3lqP = ,

12

21

4lqP = .

СибАДИ

41

Рис. 3.4. Формирование вектора свободных членов

а) а)

в) г)

б)

а) е) д)

СибАДИ

42

3.3. Учет граничных условий

При работе любой конструкции необходимо учитывать условия ее опирания, или так называемые граничные условия. На первом этапе конечно-элементной дискретизации конструкции на узловые перемещения не накладывается никаких ограничений. Учет гранич-ных условий является следующим этапом. При этом на расчетную схему накладываются дополнительные связи по направлению тех степеней свободы, узловые перемещения которых необходимо ис-ключить в соответствии с условиями опирания конструкции. Так, на схемах (а) и (в) (см. рис. 3.4) опорные связи накладываются по на-правлению 1-й и 2-й степеней свободы, на схемах (б) и (г) – по на-правлению 5-й и 6-й степенен свободы, на схемах (д) и (е) – по на-правлению 1-й и 5-й степеней свободы.

Учет граничных условий заключается в таком преобразовании общей системы уравнений, в результате которого решение преобра-зованной системы даёт нулевые перемещения по направлению за-данных опорных связей. Изложим три способа учета граничных ус-ловий.

При первом способе из общей системы уравнений исключают-ся уравнения с номерами, совпадающими с номерами нулевых узло-вых перемещений. Предварительно все уравнения в общей системе (1.15) должны быть пронумерованы в соответствии с общей нуме-рацией всех узловых перемещений системы. Затем должны быть ус-тановлены номера нулевых узловых перемещений. Далее, из общей матрицы жесткости нужно исключить строки и столбцы, номера ко-торых совпадают с номерами нулевых перемещений, а из вектора свободных членов – элементы с теми же номерами.

Так, для всех балок, изображённых на рис. 3.4, система уравне-ний (1.15) принимает вид:

0

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

=

+

PPPPPP

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

∆∆∆∆∆∆

. (3.12)

СибАДИ

43

При первом способе учета граничных условий общая система уравнений (3.11) для схемы, представленной на рис. 3.4,а, преобра-зуется к виду

0

0

00

6

5

4

3

66656463

56555453

46454443

36353433

=

+

PKKKKKKKKKKKKKKKK

∆∆∆∆

, (3.13)

а для схемы, представленной на рис. 3.4,д, – к виду

00

0

6

4

3

2

66646362

46444342

36343332

26242322

=

+

M

P

KKKKKKKKKKKKKKKK

∆∆∆∆

. (3.14)

Преимуществом данного способа является существенное со-

кращение размерности преобразованной системы уравнений по сравнению с размерностью исходной системы.

К недостаткам способа можно отнести затраты, связанные с пе-ренумерацией элементов преобразованной матрицы жесткости и вектора свободных членов, а также переход от полученного вектора решения преобразованной системы к вектору узловых перемещений в исходной системе координат.

При втором способе преобразование общей системы уравне-ний выполняется без изменения её размерности.

Пусть задано перемещение ∆i = 0, тогда i-я строка и i-й столбец в общей матрице жесткости заменяются нулями, коэффициент жест-кости, стоящий на главной диагонали Кii = 1, а свободный член Pi = 0. Таким образом, вместо вычеркнутого уравнения с номером i

0......2211 =+++++ iiiiii PKKK ∆∆∆ (3.15)

автоматически вписываем уравнение

1 × ∆i = 0. (3.16)

СибАДИ

44

После решения уравнения (3.11) получим ∆i = 0. (3.17) При втором способе приходится решать систему уравнений

большей размерности, чем при первом, но зато нет необходимости выполнять перенумерацию элементов матрицы жесткости и вектора свободных членов.

При третьем способе учета граничных условий преобразова-ния исходной системы − самые минимальные. Заключаются они в том, что для выполнения условия ∆i = 0 в уравнение (3.15) нужно подставить значение Кii = ∞, не меняя при этом других коэффициен-тов и свободного члена.

Особенностью МКЭ является то, что главный коэффициент Кii всегда положителен и принимает наибольшее значение среди коэф-фициентов канонического уравнения (3.15). Пусть Кii имеет порядок n. На практике, чтобы выполнить условие Кii = ∞, достаточно увели-чить порядок числа на 10, то есть задать Кii = 10n+10 .

3.4. Определение перемещений и усилий в балке

Общая система разрешающих уравнений МКЭ является систе-

мой линейных алгебраических уравнений. Для её решения обычно используют прямые и итерационные численные методы такие, как метод исключения Гаусса, метод Холецкого, метод Гаусса - Зейделя и др.

В результате решения системы уравнений (1.15) находим узло-вые перемещения ∆1, ..., ∆т , формирующие вектор {∆} в общей сис-теме отсчета. Зная узловые перемещения, легко определить переме-щения w(x) и θ(х) внутри любого конечного элемента по формулам:

( ) ( )

( ) ( ) .0,

;

4

1

4

1

jii

i

ii

i

lxxNx

xNxw

≤≤′=

=

∑

∑

=

=

∆θ

∆ (3.18)

Здесь ( )xNi′ − первая производная i-й функции формы

СибАДИ

45

( )xd

NdxN ii =′ ; (3.19)

lj – длина j-го конечного элемента.

Для вычисления изгибающих моментов в балке воспользуемся основной зависимостью теории изгиба (2.14):

wEJM ′′−= . (3.20)

Продифференцируем дважды первое уравнение (3.18):

( ) ( ) ;4

1i

ii xNxw ∆∑

=

′′=′′ (3.21)

где ( )xNi′′ – вторая производная i-й функции формы,

( ) 2

2

xdNdxN i

i =′′ . (3.22)

Подставив зависимость (3.19) в (2.14), получим формулу для

вычисления изгибающих моментов в балочном конечном элементе:

( ) ( ) .4

1i

ii xNEJxM ∆∑

=′′−= (3.23)

Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется определить пере-

мещения и изгибающий момент в сечении k балки, изображённой на рис. 3.5,а. Это сечение расположено в пределах второго конечного элемента.

Нагрузка на балку может быть произвольной. В результате выпол-нения процедуры формирования глобальной матрицы жесткости и вектора свободных членов, учета граничных условий и решения системы уравнений в форме (1.17) имеем вектор узловых перемещений {∆}.

Перемещения и изгибающий момент в сечении k определяем по формулам (3.18) и (3.23). Но прежде чем воспользоваться этими формулами, необходимо помнить, что они записаны для местной системы нумерации степеней свободы (см. рис. 3.5,б). Узловые перемещения, найденные в результате решения системы уравнений, получены в общей системе

СибАДИ

46

отсчёта. Рассматриваемая балка разбита на 3 конечных элемента с полным числом степеней свободы m = 8. Поэтому в общей системе отсчета имеем 8 узловых перемещений: ∆1 , . . . , ∆8 . Перемещения и изгибающий момент в сечении k определяем по формулам (3.18) и (3.23), изменив в них узловые перемещения в местной системе нумерации узловыми перемещениями, записанными в общей системе отсчёта:

w(х) = ∆3N1(x) + ∆4 N2(x) + ∆5 N3(x) + ∆6 N4(x);

θ(х) = ∆3N΄1(x) + ∆4N΄2(x) + ∆5N΄3(x) + ∆6N΄4(x); (3.24) M(х) = - EJ [∆3N˝1(x) + ∆4N˝2(x) + ∆5 N˝3(x) + ∆6 N˝4(x)].

Рис. 3.5. Общая (а) и местная (б) системы нумерации узлов и

степеней свободы 2-го конечного элемента Если учесть, что функции формы N1(x),..., N4(x) описываются

выражениями (2.3), представляющими собой кубические полиномы, то эпюра прогибов балочного элемента будет иметь вид кубической параболы. Соответственно эпюра углов поворота θ будет иметь очертание квадратной параболы в пределах одного конечного элемента. Вторые производные функций формы N˝1(х),...,N˝4(x) описываются выражениями (2.22). Они являются линейными функциями координаты х, следовательно, линейной в пределах одного конечного элемента будет и зависимость М(х). Это приводит к тому, что очертание эпюры изгибающих моментов в пределах

СибАДИ

47

одного конечного элемента будет всегда прямолинейным независимо от вида нагрузки на балку. В этом заключается один из главных недостатков МКЭ.

Чтобы преодолеть этот недостаток и построить более точную эпюру М, обычно уменьшают размеры одного конечного элемента, одновременно увеличивая общее число элементов в конструкции.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается идея формирования глобальной матрицы жест-кости? 2. В чем заключается идея формирования глобального вектора узло-вых нагрузок? 3. Как учитываются граничные условия системы? 4. Что подразумевается под граничными условиями? 5. Как определить число разрешающих уравнений? 6. Как определяется число степеней свободы всей системы? 7. Каким способом можно увеличить точность метода конечных элементов?

СибАДИ

48

4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛОК

4.1. Общая схема алгоритма расчета МКЭ

Представим алгоритм МКЭ в форме метода перемещений ос-

новными блоками. 1. Задание исходной информации, которая должна включать:

- количество элементов и узлов; - координаты узловых точек конструкции в общей системе ко-

ординат; - взаимное расположение конечных элементов и узлов в местной

и общей системе координат; - внешние узловые, поверхностные и объемные силы; - условия опирания конструкции (граничные условия); - геометрические и жесткостные параметры каждого элемента

конструкции. 2. Построение матрицы жесткости конечного элемента в местной

системе координат. 3. Формирование матрицы преобразования координат для перехо-

да от местной системы координат к общей. 4. Определение матрицы жесткости общей конструкции в общей

системе координат. 5. Приведение поверхностных и объемных внешних сил, дейст-

вующих на элемент, к статически эквивалентным узловым силам (формирование локального вектора узловых сил).

6. Определение суммарных узловых сил в каждом узле всей конст-рукции (формирование глобального вектора узловых сил).

7. Учет граничных условий. 8. Определение узловых перемещений конструкции в общей сис-

теме координат. 9. Определение внутренних узловых усилий и напряжений в от-

дельных элементах конструкции. Решение приведенных ниже задач выполняется по описному

выше алгоритму. В отдельных задачах некоторые пункты могут не использоваться.

СибАДИ

49

4.2. Расчет статически определимой балки МКЭ

Рассмотрим простую шарнирно опертую балку постоянного се-

чения (ЕJ = const) длиной l = 10 м, загруженную равномерно распре-деленной нагрузкой q = 1 кН/м (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Расчетная схема

Требуется определить узловые перемещения и построить эпюру прогибов и изгибающих моментов.

4.2.1. Расчет балки, представленной

одним конечным элементом

1. Рассмотрим балку в виде одного конечного элемента с двумя узлами, с 4 степенями свободы (по две в каждом узле) и с заданным направлением глобальных осей (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Конечный элемент балки

2. Локальная матрица жесткости имеет размерность 4×4 (коли-чество узлов элемента умножается на количество степеней свободы в узле):

[ ]

=

44434241

34333231

24232221

14131211

kkkkkkkkkkkkkkkk

k .

3. Коэффициенты матрицы жесткости определяются по формуле (2.23):

dxxNxNEJk jil

ij )()( ""0

××= ∫ ,

СибАДИ

50

где )(),( "" õNxN ji – вторые производные функций формы в i-м и j-м единичных состояниях (i, j =1,…,4), определяемые выражениями (2.19).

Функция прогибов задается выражением (2.2):

44332211 ∆∆∆∆ (x)N(x)N(x)N(x)Nw(x) +++= ,

где Ni(x) –координатные функции, определяемые выражениями (2.3); ∆ i – неизвестные узловые перемещения (i = 1,…,4). Рассмотрим вычисление одного из коэффициентов локальной матрицы жесткости:

30

2210 111

12)12(6)()(lEJdx

lx

lEJdxxNEJxNk

ll =

−=″××″= ∫∫ .

Полностью локальная матрица жесткости имеет вид (2.45):

[ ]

−−−−

−−

=

22

22

3

2333636

3233636

2

llllll

llllll

lEJk .

Подставляя численное значение l =10 м в выражение (2.45), по-лучим

[ ]

−−−−

−−

=

04,006,02,006,006,0012,006,0012,02,006,004,006,0

06,0012,006,0012,0

EJk .

4. Поскольку конструкция представлена одним конечным эле-ментом, глобальная матрица жесткости совпадает с локальной:

[ ] [ ]kK = .

5. Вектор узловых сил имеет размерность 1×4 (совпадает с чис-лом степеней свободы балочного элемента):

СибАДИ

51

{ }

=

4

3

2

1

FFFF

F ,

где Fi – узловые силы, определяемые по формуле

∫ ==l

ii idxxNxqF0

4,...,1,)()( . (4.1)

Рассмотрим вычисление одного компонента вектора { }F :

2)321( 2

2

03

3

1qldx

lx

lxqlF

l

=−+= ∫ .

Аналогично определяем остальные компоненты локального век-тора:

12;

2;

12

2

43

2

2qlFqlFqlF −=== .

Полностью локальный вектор узловых сил можно представить так:

{ }

−

=

12

2

12

2

2

2

lq

ql

lq

ql

F . (4.2)

Подставив численные значения q=1 кН/м, l=10 м в выражение (4.2), получим

{ }

−

=

333,80,5

333,80,5

F .

6. Так как конструкция представлена одним конечным элемен-

том, то глобальный вектор узловых сил { }P совпадает с локальным:

СибАДИ

52

{ } { }FP = .

7. Определим номера степеней свободы в глобальной системе, в которых перемещения отсутствуют. Это номера 1 и 3. В глобальной матрице жесткости столбцы и строки с данными номерами вычерки-ваются или обнуляются:

[ ] ,

4,002,0000002,004,00

0000

= EJK

и тогда матрица жесткости всей системы может быть записана в сле-дующем виде:

[ ]

=

4,02,02,04,0

EJK .

8. Общая система уравнений в матричном виде записывается

так:

[ ] { } { } 0=−∆ PK , (4.3)

или после учета граничных условий (перемещения отсутствуют) раз-мерность задачи уменьшается:

.0

333,8333,8

4,02,02,04,0

4

2 =

−

−

×

∆∆

EJ (4.4)

9. Для решения системы уравнений можно применять метод Га-

усса, Холецкого, Зейделя и др. После решения системы уравнений (4.4), получаем значения узловых перемещений:

−

=

=

EJEJ/665,41

/665,41

4

2

4

2

θθ

∆∆

.

СибАДИ

53

4.2.2. Расчет балки, разбитой на два конечных элемента

1. Рассмотрим задачу, приведенную на рис. 4.1, разбив балку на два конечных элемента с двумя степенями свободы в узле и с задан-ным направлением глобальных осей (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Конечные элементы балки

2. Локальные матрицы жесткости [ ]1k и [ ]2k определим, подста-

вив численные значения l1 = l2 = 5 м в выражение (2.45):

[ ] [ ] .

8,024,04,024,024,0096,024,0096,04,024,08,024,0

24,0096,024,0096,0

21

−−−−

−−

== EJkk

3. Взаимосвязь между локальной и глобальной нумерацией ко-

нечных элементов, узлов и степеней свободы представим в табличной форме.

Таблица 4.1 Взаимосвязь локальной и глобальной нумераций

Номер

элемента Номера узлов Номера степеней свободы

локальные глобальные локальные глобальные

I 1 2

1 2

1,2 3,4

1,2 3,4

II 1 2

2 3

1,2 3,4

3,4 5,6

4. Глобальная матрица жесткости формируется путем объедине-

ния общих степеней свободы соседних элементов. Глобальная матри-ца жесткости имеет размерность 6×6 и имеет вид

СибАДИ

54

[ ] .

8,0024,04,024,000024,0096,024,0096,00024,024,08,08,024,024,04,024,024,024,0024,0024,0096,0096,024,0096,00040,024,08,024,00024,0096,024,0096,0

−−−−

−+−−−+−−

−−

= EJK

5. Для построения локальных векторов узловых сил используем

выражение (4.2), в котором произведем замену l на l1 = l2 = 5 м:

{ } { }

−

==

083,25,2

083,25,2

III FF .

6. Формирование глобального вектора свободных членов осу-

ществляется по принципу объединения компонентов локальных век-торов соседних конечных элементов, соответствующих общим степе-ням свободы. Глобальный вектор свободных членов { }P имеет раз-мерность 1×6 и состоит из локальных векторов первого и второго элементов { }IF и { }IIF :

{ } .

083,25,20,00,5

083,25,2

12

2

1212

22

12

2

22

2

22

21

21

21

1

−

=

−

+−

+=

lq

lq

lqlq

lqlq

lq

lq

P

СибАДИ

55

7. Определим номера степеней свободы в глобальной системе, внаправлении которых невозможно перемещение конструкции. Это номера 1 и 5. В глобальной матрице жесткости столбцы и строки с этими номерами вычёркиваются:

[ ] .

8,0024,04,024,000024,0096,024,0096,0004,024,06,104,024,024,024,00192,024,0096,00040,024,08,024,00024,0096,024,0096,0

−−−−

−−−−

−−

= EJK

8. Система разрешающих уравнений (4.3) принимает вид

.0

083,205083,2

04,04,024,004,06,104,0

24,00192,024,004,024,08,0

6

4

3

2

=

−

−

−

−

∆∆∆∆

EJ

В результате решения этой системы получаем значения узловых перемещений, составляющих вектор { }∆ :

{ } .

665,410020,130

665,410

3

3

2

2

1

1

6

5

4

3

2

1

−

=

=

=

EJ

EJEJ

w

w

w

θ

θ

θ

∆∆∆∆∆∆

∆

Для построения эпюры прогибов воспользуемся формулой (2.2), в которую подставим полученные значения узловых перемещений:

СибАДИ

56

,665,41)(0)(0)(2,130)()(

;0)(2,130)(665,41)(0)()(

2423222122

1413121111

−++=

+++=

EJxNxNxN

EJxNxw

xNEJ

xNEJ

xNxNxw

где w1(х1) – прогиб на первом участке (0 < x1 < l1); w2(х2) – прогиб на втором участке (0 < x2 < l2).

Рис. 4.4. Эпюра прогибов w⋅EI

9. Из курса сопротивления материалов известна зависимость

.2

2

EJM

xdwd

−= (4.5)

Для построения эпюры моментов воспользуемся формулой (3.23):

[ ]44332211 )()()()()( ∆′′+∆′′+∆′′+∆′′−=′′−= xNxNxNxNEJxwEJM , где N”

i(x) – вторые производные функций формы, определяемые по формулам (2.22).

Учитывая найденные значения узловых перемещений, запишем выражения для изгибающих моментов в пределах первого и второго конечных элементов в следующем виде:

.665,41)(0)(0)(2,130)()(

;0)(2,130)(665,41)(0)()(

2423222122

1413121111

′′−′′+′′+′′−=

′′+′′+′′+′′−=

EJxNxNxN

EJxNЕJxM

xNEJ

xNEJ

xNxNЕJxM

Так как вторые производные координатных функций являются функциями линейными, то и выражения для изгибающих моментов в

СибАДИ

57

пределах каждого элемента являются линейными функциями коорди-наты х. Поэтому для построения эпюры моментов на каждом элемен-те достаточно иметь значения изгибающих моментов в узловых точ-ках:

Рис. 4.5. Эпюра изгибающих моментов М∆, кН⋅м

Изображенная на рис. 4.5 эпюра М∆ является узловой, так как она является результатом узловых воздействий, то есть перемещений ∆1,…,∆6. Поскольку балочный элемент испытывает кроме узловых воздействий еще и воздействие равномерно распределенной нагруз-ки, то это должно быть учтено при построении окончательной эпюры изгибающих моментов. Эпюра Мр от распределенной нагрузки стро-ится в основной системе метода перемещений (рис. 4.6).

Для получения суммарной эпюры моментов ординаты эпюры М∆ от узловой нагрузки суммируются с ординатами эпюры Мр от ме-стной нагрузки:

рMMM += ∆ . (4.5)

Рис. 4.6. Эпюра Мр от распределенной нагрузки

Окончательная эпюра М представлена на рис. 4.7.

СибАДИ

58

Рис. 4.7. Окончательная эпюра М, кН⋅м

4.3. Расчет статически неопределимой балки МКЭ Рассмотрим неразрезную трехпролетную балку постоянной же-

сткости ЕJ = const с пролетами l1 = l2 = l3 = 5 м, загруженную нагруз-кой q= 1 кН/м, F = 10 кН, М = 5 кН⋅м (рис. 4.8).

Требуется определить вектор узловых перемещений и построить эпюру изгибающих моментов.

Рис. 4.8. Расчетная схема трехпролетной балки

Решение

1. Разобьем балку на три конечных элемента с двумя узлами в каждом. Данная расчетная схема имеет 4 узла с восемью степенями свободы (по две в каждом узле) и направление глобальных осей, представленное на рис. 4.9. .

Рис. 4.9. Конечные элементы балки

2. Локальные матрицы жесткости определяются по формуле

(2.49) при l1 = l2 = l3 = 5 м:

СибАДИ

59

[ ] [ ] [ ] .

8,024,04,024,024,0096,024,0096,04,024,08,024,024,0096,024,0096,0

321

−−−−

−−

=== EJkkk

3. Взаимосвязь между локальной и глобальной нумерациями

представлена в табл. 4.2.

Таблица 4.2 Взаимосвязь между глобальной и локальной нумерациями узлов

Номер

элемента Номера узлов Номера степеней свободы

локальные глобальные локальные глобальные

I 1 2

1 2

1, 2 3, 4

1, 2 3, 4

II 1 2

2 3

1, 2 3, 4

3, 4 5, 6

III 1 2

3 4

1, 2 3, 4

5, 6 7, 8

4. Глобальная матрица жесткости формируется путем объедине-

ния общих степеней свободы соседних элементов. Глобальная матри-ца жесткости имеет размерность 8×8 и принимает вид

[ ]

−−−−

−−−−

−−−−

−−

=

8,024,04,024,0000024,0096,024,0096,000004,024,06,104,024,00024,0096,00192,024,0096,000004,024,06,104,024,00024,0096,00192,024,0096,000004,024,08,024,0000024,0096,024,0096,0

EJК

5. Локальный вектор свободных членов имеет вид (2.28). При действии сосредоточенной силы используется формула приведения сосредоточенной нагрузки на элементе к узловой (2.34):

( ) .4,...,1, =−= iaNPR iiP

. СибАДИ

60

При действии распределённой нагрузки можно воспользоваться формулой (2.36)

dxNqRa

aiiP ∫−=

2

1

, i = 1,…,4.

в которой необходимо произвести замену а1 = 0, а2 = l. При действии сосредоточенного момента (рис. 2.6) узловые си-

лы определяются по формуле (2.39):

( )aNMR iiP ′−= , i = 1,…,4.

Нагрузка на первый элемент представлена сосредоточенной си-лой, приложенной в середине пролета а = l1/2. Подставив численные значения в формулу (2.34), получим век-тор узловых сил для первого элемента:

{ } .

25,60,525,60,5

625,05,0

625,05,0

−

=

−

=

PP

PP

FI

Для вектора узловых сил второго элемента можно записать, ис-пользуя формулу (4.2):

{ } .

083,25,2

083,25,2

12

2

12

2

22

2

22

2

−

=

−

=

lq

lq

lq

lq

FII

Нагрузка на третий элемент представлена сосредоточенным мо-ментом, приложенным в середине пролета а = l3/2. Окончательно вектор узловых сил третьего элемента запишется в следующем виде:

СибАДИ

61

{ } .

25,15,125,15,1

25,02/3

25,02/3

3

3

−

−−

=

−

−−

=

MlMM

lM

FIII

6. Глобальный вектор свободных членов состоит из локальных

векторов трех элементов. Формирование глобального вектора произ-водится путем объединения узловых сил, действующих в направлени-ях общих степеней свободы:

{ }

−

−

−=

−

−−−+−+

=

25,15,1333,30,1162,45,725,60,5

25,15,1

25,1083,25,15,2083,225,65,20,5

25,60,5

P .

7. Определяем номера степеней свободы в глобальной системе,

в направлении которых перемещения в конструкции отсутствуют. Это номера 1, 3, 5, 7. В глобальной матрице жесткости соответствующие столбцы и строки вычёркиваются:

[ ]

−−−−

−−−−

−−−−

−−

=

8,024,04,024,0000024,0096,024,0096,000004,024,06,104,024,000

24,0096,00192,024,0096,000004,024,06,104,024,00024,0096,00192,024,0096,000004,024,08,024,0000024,0096,024,0096,0

EJK

Матрица жесткости [K] принимает вид

.

СибАДИ

62

[ ] .

8,04,0004,06,14,00

04,06,14,0004,08,0

= EJK

Здесь уже просматривается ленточный характер матрицы жест-

кости всей системы. 8. Общая система уравнений имеет вид

.0

25,1333,3162,425,6

8,04,0004,06,14,00

04,06,14,0004,08,0

8

6

4

2

=

−−−

−

×

θθθθ

EJ

Решая систему уравнений, получим значения узловых переме-

щений:

.

/319,1/487,0/066,5/345,10

8

6

4

2

−−−

=

EJEJEJEJ

θθθθ

9. Для построения эпюры моментов воспользуемся формулой

(3.23), которую запишем для каждого из трех пролетов:

.139,1)(0)(487,0)(0)()(

;487,0)(0)(066,5)(0)()(

;066,5)(0)(345,10)(0)()(

3433323133

2423222122

1413121111

′′−′′+′′+′′−=

′′−′′+′′−′′−=

′′−′′+′′+′′−=

EJxNxN

EJxNxNEJxM

EJxNxN

EJxNxNEJxM

EJxNxN

EJxNxNEJxM

Для построения узловой эпюры изгибающих моментов М∆ дос-

таточно иметь значения изгибающих моментов в узловых точках:

СибАДИ

63

М1(x1=0) = 6,25 кН⋅м; М1(x1=l1) = -0,085 кН⋅м; М2(x2=0) = -4,248 кН⋅м; М2(x2=l2) = 2,416 кН⋅м; М3(x3=0) = -0,917 кН⋅м; М3(x3=l3) = 1,25 кН⋅м.

Окончательный вид эпюры М∆ представлен на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Эпюра изгибающих моментов М∆, кН⋅м

Эпюра изгибающих моментов от местной нагрузки Мр строится в основной системе метода перемещений (рис. 4.11,а) и имеет вид, изображённый на рис. 4.11,б.

Рис. 4.11. Основная система (а) и эпюра Мр (б), кН⋅м

а)

б) СибАДИ

64

Для получения окончательной эпюры изгибающих моментов в неразрезной балке ординаты эпюры М∆ суммируются с ординатами эпюры Мр от местной нагрузки:

pMMM += ∆ . Окончательная эпюра изгибающих моментов в неразрезной бал-

ке представлена на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Окончательная эпюра изгибающих моментов М, кН⋅м

4.4. Задания к самостоятельной работе

Задание. Построить эпюры прогибов и изгибающих моментов

методом конечных элементов для балки постоянной жесткости (EJ = const).

Исходные данные принять по табл. 4.3, расчетную схему – по табл. 4.4.

Порядок выполнения задания

1. Для рассматриваемой задачи выбрать аппроксимирующий КЭ и показать его.

2. Для всей расчетной схемы выбрать глобальную систему коор-динат.

3. Разбить конструкцию на два конечных элемента (КЭ) в гло-бальной системе координат.

4. Пронумеровать КЭ, узлы, степени свободы в глобальной сис-теме.

5. Сформировать матрицы жесткости в локальной системе коор-динат для каждого КЭ.

6. Сформировать локальные векторы свободных членов для КЭ. 7. Сформировать матрицу перехода от локальной системы коор-

динат к глобальной.

СибАДИ

65

8. Сформировать матрицу жесткости всей конструкции. 9. Сформировать вектор узловых сил в глобальной системе ко-

ординат (глобальный вектор свободных членов). 10. Провести учет условий опирания системы (описать гранич-

ные условия). 11. Вычислить узловые перемещения балки в общей системе ко-

ординат. 12. Вычислить внутренние усилия (моменты) в балке. 13. Построить эпюры прогибов и моментов для данной расчет-

ной схемы. 14. Выполнить анализ полученных результатов (сравнить ре-

зультаты с решениями, полученными другими методами расчета).

Таблица 4.3 Исходные данные

Строка l1, м l2, м q, кН/м F, кН М, кН⋅м

1 6.0 4.5 14 12 30 2 4.8 5.0 16 15 24 3 4.2 5.5 18 18 14 4 5.4 6.0 20 20 28 5 3.6 3.5 22 24 18 6 3.0 4.0 24 30 21 7 7.2 4.2 26 10 12 8 4.8 4.8 28 16 24 9 4.2 3.4 30 20 28 10 6.0 3.8 10 15 18 11 5.4 5.2 12 14 36 12 3.6 5.8 14 12 12 13 4.8 3.2 16 30 27 14 6.6 3.6 18 18 22 15 3.0 6.2 20 16 15 16 5.4 6.4 22 25 25

СибАДИ

66

Таблица 4. 4 Расчетные схемы

СибАДИ

67

Библиографический список

1. Матвеев, С. А. Метод конечных элементов в приложении к расчету ба-лок и плит : учеб. пособие / С. А. Матвеев ; СибАДИ. – Омск : СибАДИ, 1996. – 151 с.

2. Сидоров, В. Н. Методы конечных элементов в расчете сооружений :учеб. пособие / В. Н. Сидоров, В. В. Вершинин. – М. : Изд-во АСВ, 2015. – 288 с.

3. Агапов, В. П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устой-чивости конструкций : учеб. пособие / В. П. Агапов. – 2-е изд., испр. и доп. – М. : АСВ, 2004. – 247 с.

4. Молотников, В. Я. Механика конструкций. Теоретическая механика.Сопротивление материалов : учеб. пособие / В. Я. Молотников. – СПб. [и др.] : Лань, 2012.

5. Серпик, И. Н. Метод конечных элементов в решении задач механикинесущих систем : учеб. пособие / И.Н. Серпик. – М. : АСВ, 2015. – 200 с.

6. Фокин, В. Г. Метод конечных элементов в механике деформируемоготвердого тела : учеб. пособие / В.Г. Фокин. – Самара : Самар. гос. техн. ун-т, 2010. – 131 с.

7. Константинов, И. А. Строительная механика : учебник / И. А. Констан-тинов, В. В. Лалин, И. И. Лалина ; СПбГПУ. – М. : Проспект, 2015. – 432 с.

СибАДИ