Лекция 15

РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ(продолжение)

5. Перенос нагрузки в узлы

В расчетной модели по МКЭ нагрузка должна быть приложена в узлах. Поэтому внеузловую нагрузку следует переносить в узлы. Порядок переноса нагрузки в простых случаях остается таким же как и ранее. Например, в стержневых системах используется таблица метода перемещений.

В общем случае вектор узловой нагрузки определяется по формуле:

,k 1 2l 2 1

P = q + q2 3 3

.m 1 2l 1 2

P = q + q2 3 3

Если к прямоугольному КЭ действует линейно-распределенная нагрузка, то узловые силы определяются так:

При переносе объемной нагрузки (собственного веса) четырехугольного КЭ, в каждый узел прикладывается четвертая часть его веса G. В треугольном КЭ − в узлы прикладывается его третья часть.

.P HPV

dV

6. Переход к общей системе координат Каждый КЭ в МКЭ вначале рассматривается в местной системе координат. Затем осуществляется переход к глобальной (общей) системе координат. Пусть некоторый узел i в местной системе координат имеет перемещения ,  ,  , которые следует преобразовать в переме-щения узла ,  ,  в общей

системе координат x-y.

1iu 2iu i3u

1iu 2iu i3u

-x y

Поворот координатных осей осуществляется с помощью матрицы преобразования координат (матрицы направляющих косинусов).

Для плоской ортогональной системы координат она имеет вид:

.L

cos x,x cos x,y cos x,z cosa sina 0

cos y,x cos y,y cos y,z sina cosa 0

cos z,x cos z,y cos z,z 0 0 1

.Lcos sin

sin cos

Эти матрицы позволяют преобразовать матрицы и вектора геометрических и жесткостных характеристик КЭ в местной системе координат в их характеристики в общей системе координат.

Например, вектор координат прямоугольного КЭ с четырьмя шарнирными узлами i-j-k-m в местной системе координат в общую

систему координат x-y преобразует матрица

t .K L K L

-x y

i

j

k

m

L

LL

L

L

0

0

Для шарнирного узла с двумя степенями свободы

По матрице жесткости КЭ в местной системе координат опреде-ляется ее матрица жесткости в общей системе координат по формуле

K

блоки которой Li, Lj, Lk, Lm имеют вид (1).

(1)

7. Объединение конечных элементов Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так:

1 2 i n ,u u u u u 1 2 i n .P P P P P

Если известны матрицы жесткостей всех КЭов и вектора узловых нагрузок , из них можно сформировать матрицу жесткости и вектор нагрузки всего сооружения.

1 2 m, , ,K K K1 2 m, , ,P P P

Эта задача решается с помощью матрицы индексов − матрицы соответствия номеров узловых перемещений КЭов узловым перемещениям всей модели. С ее помощью матрица жесткости K получается рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц жесткостей КЭов по информации из матрицы индексов. Рассылка идет суммированием рассылаемого блока с имеющимся блоком в матрице K. Этот метод называется методом сложения жесткостей. Вектор узловой нагрузки P формируется аналогично. В результате формируется разрешающее уравнение МКЭ:

K u = P.Здесь K и P − матрица жесткости и вектор нагрузки всей системы. Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости.

8. Учет граничных условий Разрешающее уравнение МКЭ

K u = Pнельзя решить относительно перемещений u, т.к. матрица жесткости

K является вырожденной (ее определитель равен нулю). Причина в том, что при составлении этой матрицы не учитываются граничные условия закрепления в опорах.

Чтобы избежать вырожденности матрицы жесткости K, все элементы ее строк и столбцов, соответствующие жестким закреплениям, приравниваются нулю, а вместо диагональных элементов ставятся единицы. Тогда разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид:

Здесь индексы “з” и “н” соответствуют закрепленным и

незакрепленным направлениям, E − единичная матрица, 0 − нулевая матрица, и − блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным направлениям.

з

нн н н

.E 0 u 0

0 K u P

ннKнP

9. Определение перемещений, усилий и напряжений

После решения разрешающего уравнения и определения вектора

узловых перемещений u, из этого вектора можно выбирать перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в интересующих точках любого i-го КЭ по формуле:

i i i .u H u Усилия в узлах и напряжения внутри КЭ вычисляются по следующим формулам:

i i i ,S K ui 1 t i .B A Hu

В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить. Например, напряжения ферменного элемента определяются так:

1 11 1

1 1( ).i i

j ij j

u ud x x 1 1 EE 1 E u u

u udx l l l l l

10. Алгоритм расчета сооружений МКЭ

Состоит из следующих этапов:1. Выбор расчетной модели.2. Перенос нагрузки в узлы.3. Определение матриц жесткостей КЭов.4. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат.

5. Сборка глобальной матрицы жесткости K.6. Учет граничных условий.7. Решение разрешающего уравнения .8. Вычисление внутренних усилий.9. Обработка результатов расчета.

PuK

11. Порядок расчета по МКЭ В настоящее время разработаны вычислительные комплексы NASTRAN, ANSIS, ЛИРА, СУМРАК и др., позволяющие рассчитывать сложные и разнообразные сооружения на различные воздействия. Они рассчитаны на использование мощных компьютеров, разнообразной вспомогательной аппаратуры, сложных компьютерных программ, и в основном состоят из следующих трех частей: 1. Препроцессор – предназначен для подготовки и ввода исходных данных в компьютер. Используется для формирования расчетной модели сооружения, определения координат узлов, геометрических и физических характеристик КЭов, проверки правильности и полноты исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в разных ракурсах на мониторе. 2. Процессор – блок математического расчета МКЭ. Входящие в него компьютерные программы предназначены для: составления и решения разрешающего уравнения; вычисления перемещений и деформаций, внутренних усилий и напряжений; проверки на прочность и жесткость; решения задач динамики и устойчивости. 3. Постпроцессор – предназначен для компьютерной обработки результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для анализа табличной, графической и анимационной формах.

Небоскреб высотой 301 м, построен в 1980 г. в США (Техас, Хьюстон)

Мост в Южной Каролине, США

КЭ-ные модели элементов моста и их напряженное состояние

Расчет НДС корабля

Вантовый мост