תא ןכו , םיליגרתה רפסל םיאלמ תונורתפ7 -ל וסנכ יה ואדיו...

1

www.GooL.co.il -כנסו לבסרטון וידאו הילפתרון מלא ©ברק קנדל - כתב ופתר

סטודנטים יקרים

.א והסתברות סטטיסטיקהקורס מבוא לתרגילים ב ספרלפניכם

הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה,

.On-lineהמועבר ברשת האינטרנט

וכן את ,התרגילים לספר פתרונות מלאיםהקורס באתר כולל

.ונושאהתיאוריה הרלוונטית לכל נושא

שאתםכך ,בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי הקורס כולו מוגש

את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי יםרוא

שנעשה בשיעור פרטי.

את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים

שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע.

מידה, רוציםאז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות ל

להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אנחנו מזמינים אתכם

חוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכנסו עכשיו לאתר ל

www.gool.co.il

אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות

GooLצוות האתר

ל...רגויל הת ב ש ל, ב גו

2


תוכן

סטטיסטיקה תיאורית - פרק ראשון

3.................................................................סיווג משתנים (סולמות מדידה וסוגי משתנים)

7......................................................................................הצגת נתונים ( טבלאות וגרפים)

14...........................................( ממוצע, ממוצע משוקלל , חציון ושכיח) מדדי מיקום מרכזי

18..................................................(טווח, טווח בין רבעוני ,שונות וסטיית תקן) מדדי פיזור

20........................................................................( ציון תקן ואחוזונים) די מיקום יחסימד

22.........................................................................................................מקדם ההשתנות

23.............................................................................................טרנספורמצייה לינארית

boxplot.............................................................................................25 - תרשים קופסה

27............................................................................................ניתוח פלטים סטטיסטיים

29.........................................................................................................שאלות מסכמות

34...............................................................שאלות אמריקאיות על סטטיסטיקה תיאורית

קשר בין משתנים –פרק שני

43....................................קשר בין שני משתנים כמותיים ( מדד הקשר של פירסון ורגרסיה )

49.........................................................................................משתנים איכותייםקשר בין

50...................................................................................קשר בין משתנה איכותי לכמותי

52..........................................................................תנורמלי התפלגות – שלישיפרק

ומשפט הגבול המרכזי התפלגות הדגימה –פרק רביעי

56..........................................................כללית..................................................קדמה ה

58..............................................................התפלגות ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי

62......................................שאלות אמריקאיות על כל חומר הלימוד - מישיח פרק

3


סטטיסטיקה תיאורית –פרק ראשון

:סיווג משתנים .א

רקע:

תח אותם .אורית הוא ענף בו לומדים כיצד לאסוף נתונים, להציג אותם ולניסטטיסטיקה ת

בסטטיסטיקה תיאורית אנו פונים לקבוצה מסוימת. באותה קבוצה אנו אוספים נתונים על

הישויות באותה קבוצה.

תכונה שיכולה לקבל מספר ערכים : דעה פוליטית, מקום מגורים, גובה של אדם –משתנה

וכדומה.

חלוקה אחת של המשתנים הנמדדים היא לפי סולמות מדידה:

ם לפי סולמות המדידה:מיון משתני

משתנה שלערכיו יש משמעות רק מבחינת הזהות ואין עניין של –(נומינאלי) סולם שמי .1

; אזור מגורים./גרושיותר או פחות לדוגמה: מצב משפחתי רווק/נשוי/אלמן

אפשריות שני ערכיםאותם משתנים שיש להם רק ( הינו מסולם שמי) דיכוטומימשתנה

א מעשן.זכר/נקבה. מעשן/ל

משמעות גם ישנהלערכים של המשתנה בנוסף לשם כאשר – סולם סדר (אורדינאלי) .2

למשל ,דרגה בצבא.. אבל אין משמעות לגודל ההפרש לסדר

משתנה שלערכים שלו בנוסף לשם ולסדר בניהם יש משמעות – סולם רווחים (אינטרוולי) .3

ערכים.לרווחים בין הערכים אבל אין משמעות ליחס בין ה

למשל, קומה בבניין. סולם לא כל כך פופולרי.

משתנה שלערכיו בנוסף לשם , לסדר ולרווח יש משמעות גם ליחס בין – סולם מנה/יחס .4

.םהערכי

למשל, מספר מכוניות למשפחה, משקל אדם בק"ג.

הדרך הקלה ביותר כדי לזהות עם הסולם הוא סולם מנה היא על ידי מבחן האפס.

סולם מנה האפס הוא מוחלט , אבסולוטי, ומייצג אין.ב

4


:סוגי משתנים

נבצע סיווג של המשתנים :

הוא משתנה שלערכיו אין משמעות של יותר או פחות , אין עניין כמותי לערכים משתנה איכותי

המתקבלים.

כמו : מקום מגורים של אדם (רעננה, תל אביב, אשדוד..)

מין האדם (זכר, נקבה)

צב משפחתי ( רווק, נשוי, גרוש ,אלמן)מ

הוא משתנה שערכיו הם מספרים להם יש משמעות כמותית כמו : גובה אדם משתנה כמותי

בס"מ, ציון בבחינה וכדומה.

את המשתנה הכמותי נסווג לשני סוגים:

: משתנה שערכיו מתקבלים מתוך סידרה של ערכים אפשריים .כמו: מספר ילדים משתנה בדיד

..)1,2,3משפחה (ל

) 1בקפיצות של 100ועד 0ציון בבחינה ( מ

: משתנה שערכיו מתקבלים מתוך אינסוף ערכים בתחום מסוים , הערכים מתקבלים משתנה רציף

ברצף וללא קפיצות של ערכים .

ס"מ בקבוצה הגבהים הם 190ועד 150אם למשל, הגובה הנמוך ביותר הוא – כמו: גובה בס"מ

ס"מ הוא גם גובה 16.233ס"מ יש רצף אינסופי של ערכים אפשריים לגובה ( 161ל 160בין ברצף. גם

אפשרי )

משקל בק"ג , מהירות בקמ"ש וכולי.

יכמות איכותי

רציף בדיד

5


תרגילים:

לפניכם רשימה של משתנים:.1

גובה אדם בס"מ. .א

מספר ילדים למשפחה. .ב

מידת חרדה לפני מבחן . .ג

מרוצה מאד) 7כלל לא מרוצה עד 1( 7עד 1לה מ שביעות רצון משירות לקוחות בסק .ד

השכלה . .ה

מספר אוטובוס. .ו

מקום מגורים. .ז

=אישה).2- =גבר ו1מין ( .ח

מידת נעליים. .ט

ציינו באיזה סולם מדידה המשתנה הנחקר ( שמי , סדר, רווחים או מנה)

להלן התפלגות מספר האיחורים לעבודה בחודש של העובדים בחברת "סטאר". .2

עובדים. 200בחברה

מספר מספר האיחורים

העובדים

0 17

1 23

2 85

3 50

4 25

מהו המשתנה הנחקר כאן? .א

האם מדובר במשתנה איכותי או כמותי ? אם הוא כמותי האם הוא בדיד או .ב

רציף? באיזה סולם מדידה המשתנה?

6


ד.לפניכם רשימה של משתנים כמותיים . ציין ליד כל משתנה אם הוא רציף או בדי.3

שכר עובד בש"ח. .א

ציון בחינת בגרות. .ב

תוצאה בהטלת קובייה. .ג

מהירות ריצה בתחרות. .ד

שיעור התמיכה בממשלה. .ה

7


הצגת נתונים: .ב

רקע:

דרכים להצגת נתונים שנאספו:

א. רשימה של תצפיות:

התצפית היא הערך שנצפה עבור ישות מסוימת בקבוצה.

ש מספר מועט של תצפיות.רושמים את התצפיות שהתקבלו כרשומה , יעיל שי

ההצגה הזו רלבנטית לכל סוגי המשתנים.

דירות : 5למשל, להלן מספר החדרים בבניין בן

4 5 3 4 3

ב. טבלת שכיחויות בדידה:

שכיחות יחסית באחוזים Xf)( –שכיחות X -שם המשתנה

X1 1f

1001 ×N

f

X2 2f

1002 ×N

f

X3 3f

1003 ×N

f

M M M

Xk kf

100×N

f k

סה"כ∑=

=k

i

ifN1

100%

תצפיות בטבלה שבה עמודה אחת מבטאת את ערכי המשתנה והשנייה את רושמים את ה

בדיד וכשיש מספר רב של תצפיות.איכותי וכמותי השכיחות. יעיל עבור משתנה

לא יעיל למשתנה כמותי רציף.

8


למשל, להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת:

f-השכיחות –מספר התלמידים X-הציון i

F if

n

5 2 2 2/25=0.08

6 4 6 4/25=0.16

7 8 14 8/25=0.32

8 5 19 5/25=0.2

9 4 23 4/25=0.16

10 2 25 2/25=0.08

השכיחות המצטברת נותנת כמה תצפיות קטנות - iFצבירה של השכיחויות: – שכיחות מצטברת

ת לערך .או שוו

ifהשכיחות מחולקת לכמות התצפיות הכללי : –(פרופורצייה) שכיחות יחסית

nאיזה חלק -

מהתצפיות בקבוצה שוות לערך.

טבלת שכיחויות במחלקות: .ג

רציף או כאשר יש מספר ערכים רב במשתנה הבדיד וטבלת כמותי משתמשים שהמשתנה

די.שכיחויות תהיה ארוכה מי

למשל, נתנו לקבוצת ילדים לבצע משימה מסוימת ובדקו את התפלגות זמן ביצוע המשימה בדקות.

להלן ההתפלגות שהתקבלה:

הילדיםמספר זמן בדקות

0.5-3.5

3.5-9.5

9.5-19.5

19.5-29.5

20

18

14

8

9


:הגמת עוגרדיא .ד

נה מקבל "נתח" בדיאגראמת עוגה כל ערך במשתזהו התיאור הגרפי של משתנה איכותי.

יחסי מהעוגה. הנתח בעוגה פרופורציוני לשכיחות היחסית של ערך המשתנה בנתונים.

דיאגרמת מקלות: .ה

הגובה של המקל מעיד על –הציר האופקי הוא הציר של המשתנה הציר האנכי של השכיחות

השכיחות .

כמו כן לא למשתנה רלבנטי למשתנה כמותי בדיד. לא נהוג להשתמש בתיאור למשתנה איכותי ו

כמותי רציף .

כמו כן בסולמות מדידה עבור משתנה מסולם סדר.

רווק20%

נשוי45%

גרוש25%

אלמן10%

התפלגות המצב המשפחתי

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5 6 7 8 9 10

ם דימילתה

ר פסמ

-f

הציון

התפלגות הציונים

10


היסטוגרמה: .ו

ההיסטוגרמה היא הדרך הגרפית כדי לתאר טבלת שכיחויות במחלקות.

רלבנטית למשתנה כמותי רציף.

בהיסטוגרמה ציר האופקי הוא הציר של המשתנה וציר האנכי הוא הציר של הצפיפות.

שבת בכל מחלקה על ידי חלוקת השכיחות ברוחב של כל המחלקה והיא נותנת הצפיפות מחו

את מספר התצפיות הממוצע בכל מחלקה ליחדה.

אם המחלקות הן שוות ברוחב , ניתן לשרטט את ההיסטוגרמה לפי השכיחות ואין צורך

בצפיפות.

X צפיפות מצטברת שכיחות אמצע רוחב

3.5 - 0.5 3 2 20 20 6.6667

9.5 - 3.5 6 6.5 18 38 3

19.5 - 9.5 10 14.5 14 52 1.4

29.5 - 19.5 10 24.5 8 60 0.8

צע קצה כל מלבן בקווים ישרים. נותן מראה חזותי לצורה של ממצולעון: אם נחבר את א - פוליגון

התפלגות המשתנה.

11


צורות התפלגות נפוצות

כז וככל שנתרחק מהמרכז יהיו פחות תצפיות רוב התצפיות במר -התפלגות סימטרית פעמונית

.IQבאופן סימטרי. למשל ,ציוני

ישנן התפלגויות סימטריות שאינן פעמוניות:

רוב התצפיות מקבלות ערכים נמוכים ויש מיעוט הולך – התפלגות אסימטרית ימנית ( חיובית)

משק.וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים גבוהים קיצוניים. למשל ,שכר ב

התפלגות אסימטרית שמאלית ( שלילית) רוב התצפיות מקבלות ערכים גבוהים ויש מיעוט הולך

וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים נמוכים קיצוניים. למשל ,אורך חיים

התפלגות

א-סימטרית שמאלית אושלילית

MoMdX

התפלגות א-סימטריתימנית או חיובית

Mo Md X

12


תרגילים:

10רוץ צפו בע 25הראשון, צפו בערוץ 25: . בסקר צפייה בטלוויזיה התקבלו התוצאות הבאות: 1

לא צפו בטלוויזיה בזמן הסקר. 25 -צפו באחד מערוצי הכבלים ו 50צפו בערוץ השני, 75,

את טבלת השכיחות ואת השכיחות היחסית. מורש .א

את הנתונים באופן גרפי. ותאר .ב

בבית הספר "מעוף" '. להלן נתונים על התפלגות המקצוע המועדף של תלמידי שכבה ו2

המקצוע מספר התלמידים

מתמטיקה 44

תנ"ך 20

אנגלית 12

סטוריהיה 26

מהו המשתנה הנחקר? .א

מהי פרופורציית התלמידים שמעדיפים תנ"ך? .ב

להלן התפלגות ההשכלה במקום עבודה מסוים: .3

השכלה מספר העובדים

נמוכה 60

תיכונית 120

אקדמאית 20

הוא? סולםמאיזה ?מהו המשתנה הנחקר .א

באופן גרפי. תארו את הנתונים .ב

תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 20להלן רשימת הציונים של .4

6 ,5 ,8 ,7 ,6 ,9 ,8 ,6 ,7 ,6 ,7 ,8 ,5 ,4 ,6 ,10 ,9 ,8 ,6 ,7

א. מהו המשתנה? האם הוא בדיד או רציף?

ב. תאר את הרשימה בטבלת שכיחויות.

ת לטבלה.ות יחסייוג. הוסף שכיחו

ן גרפי.ד. תאר את הנתונים באופ

13


:מסוימת. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה 5

א. מהו המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף?

בטבלת שכיחויות במחלקות. נתוניםב. תאר את ה

ג. הוסף שכיחות יחסית לטבלה.

.ד. הוסף את הצפיפות של כל מחלקה לטבלה

ההתפלגות של הגבהים?ה. מהי צורת

בק"ג: מסוימת. להלן התפלגות המשקל של קבוצה 6

.ההתפלגות באופן גרפיאת א. תאר

ב. מה ניתן להגיד על צורת ההתפלגות?

מספר מקרים משקל

40-45 10

45-50 20

50-60 30

60-65 20

65-70 10

155 160 165 170 180 190

צפיפות

גובה

1

2

3

14


ום מרכזי:קמדדי מי .ג

רקע:

למדוד את מרכז ההתפלגות של התצפיות. המטרה במדדי המיקום המרכזי

MODE –השכיח

השכיח הוא הערך הנפוץ ביותר בהתפלגות.

.הכי הרבה פעמים והחוזר על עצמ הערך: ברשימה

היא הגבוהה ביותר. ושהשכיחות של הערך: ת בדידהבטבלת שכיחויו

של המקל הגבוה ביותר. X - : שיעור ה בדיאגרמת מקלות

הפלח הגדול ביותר. הערך של בעוגה:

: המחלקה עם הצפיפות הגבוהה ביותר.בטבלת שכיחויות במחלקות

המחלקה הגבוהה ביותר. בהיסטוגרמה

יתכן שלהתפלגות יותר משכיח אחד.

השכיח הוא מדד הרלבנטי לכל סוגי המשתנים.

MEDIAN–החציון

ת גדולות או שוות לו .החציון הוא ערך שמחצית מהתצפיות קטנות או שוות לו ומחצית מהתצפיו

: נסדר את התצפיות בסדר עולה. ברשימה

אם יש מספר אי זוגי של איברים מקומו של החציון יהיה התצפית שמיקומה : 1

2

n +

-אם יש מספר זוגי של איברים החציון יהיה הממוצע של האיבר ה2

n1 - והאיבר ה

2

n+

זוגי של תצפיות החציון יהיה :- כלומר שיש מספר אי1

2

nmd X

+=

ושיש מספר זוגי של תצפיות החציון יהיה : 1

2 2

2

n nX X

md+

+

=

: נעשה תהליך דומה אך נעזר בשכיחות המצטברת.בטבלת שכיחויות בדידה

נית היא המחלקה שמיקומה : המחלקה החציובטבלת שכיחויות במחלקות2

n

החציון אינו רלבנטי למשתנה מסולם שמי ולא רלבנטי למשתנה איכותי.

15


:הממוצע

הנו מרכז הכובד של ההתפלגות.

1: ברשימה

n

i

i

x

xn

==∑

: בטבלת שכיחויות

x f

xn

⋅

=∑

. הממוצע הזה יהיה Xבתור ה רק נתייחס לאמצע המחלקה נשתמש באותה נוסחה: במחלקות

ממוצע מקורב ולא אמיתי.

הממוצע רלבנטי רק למשתנה כמותי.

1 ממוצע משוקלל:

k

j j

j

x n

xN

==∑

מדדי המיקום המרכזי בהתפלגויות המיוחדות:

מטרית פעמונית כל מדדי המרכז שווים זה לזה:יבהתפלגות ס

התפלגות סימטרית

x

Md

Mo

בהתפלגות סימטרית השכיח לא חייב להיות במרכז:

בהתפלגות אסימטרית

התפלגות א-סימטרית שמאלית או

שלילית

MoMdX

התפלגות א-סימטריתימנית או חיובית

Mo Md X

U התפלגות

Mo1 Mo2 X

Md

16


תרגילים:


6 ,5 ,8 ,7 ,6 ,9 ,8 ,6 ,7 ,6 ,7 ,8 ,5 ,4 ,6 ,10 ,9 ,8 ,6 ,7

הציונים. של את החציון, השכיח, והממוצע שבח

3.8ל ממוצע בדירות והתק 5בדקו את מספר החדרים לדירה בבניין בן . 2

. 4, 3, 4, 5 :דירות נמצא מספר חדרים 4לגבי

מה חדרים יש בדירה החמישית?כ .א

מהו השכיח ומהו החציון? .ב

להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים:. 3

מספר מקלטים שפחותמספר מ

22 0

28 1

18 2

22 3

10 4

השכיח של ההתפלגות.ו חשב את הממוצע, החציון .א

הסבר ללא חישוב כיצד כל מדד שחישבת בסעיף א' היה משתנה אם חלק מהמשפחות (לא כולן) שלא היה .ב

היו רוכשים מקלט אחד. הלהם עד היום טלוויזי

"פחה בישוב "הגורןלהלן התפלגות מספר המכוניות למש .4

5 4 3 2 1 משפחהמכוניות למספר

55 140 220 150 65 שכיחות

כמה משפחות יש בישוב? .א

מכוניות? 2מה אחוז המשפחות בישוב עם לכל היותר .ב

שכיח.החציון והממוצע, את ה וחשב .ג

הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם!

17


שקל של קבוצה מסוימת בק"ג:. להלן התפלגות המ5

מהי המחלקה השכיחה והחציונית. .א

חשב אומדן לממוצע. .ב

האם היה ניתן לדעת מהי התשובה לסעיף ב ללא חישוב? הסבר .ג

כבה י' בתיכון:כיתות מתוך ש 3- להלן נתונים לגבי ציונים במבחן באנגלית ב .6

מס' תלמידים ממוצע כיתה

1 76 40

2 68 20

3 82 30

.חשב את הממוצע המשוקלל בשכבה

תשובות סופיות

1שאלה

7החציון:

6השכיח:

6.9הממוצע:

3שאלה 2שאלה

1.7הממוצע: .א 3 .א

1.5החציון: 4חציון: 3,4שכיח: .ב

1השכיח:

תר המדדים לא ישתנו.הממוצע יגדל ויב.

6שאלה 4שאלה

76.22 630א.

34.13%ב.

2.952ממוצע: 3ג. שכיח וחציון :

מספר מקרים משקל

40-45 10

45-50 20

50-60 30

60-65 20

65-70 10

18


מדדי פיזור: .ד

רקע:

המטרה : למדוד את הפיזור של הנתונים כלומר כמה הם רחוקים זה מזה.

:RANGEתחום \הטווח

maxההפרש בין התצפית הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר : minR X X= −

IQR -Inter Quartile Rangeבין רבעוני טווח

).75העליון (אחוזון הרבעון ) עד25(אחוזון התחתוןשבין הרבעון טווח ה

-בהתחתון מסומן הרבעון1Q בהעליון מסומן והרבעון-

3Q :הטווח הבין רבעוני הוא .

3 1IQR Q Q= −.

ת.והתצפיות המרכזי 50%הטווח הבין רבעוני נותן אינדיקציה על הטווח של

:שונות וסטיית תקן

השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע :

עבור סדרת נתונים:

2

2 1

( )ˆ

1

n

i

ix

x x

Sn

=

−

=−

∑

Standard deviation - התקן סטיית

. התקן סטייתהבעיה נחשב את שורש השונות ונקבל את בממדימנת לקבל תוצאה -על

)ˆ -סטיית תקן ב נסמן )S x באמצעות ונחשב2ˆ ˆ( ) ( )S x S x=.

חישוב שונות וסטיית תקן בטבלת שכיחויות :

2

2

( ) ( )ˆ

1

xx

x x f x

Sn

−

=−

∑

19


תרגילים:


6 ,5 ,8 ,7 ,6 ,9 ,8 ,6 ,7 ,6 ,7 ,8 ,5 ,4 ,6 ,10 ,9 ,8 ,6, 7

של הציונים.והטווח סטיית התקן השונות, חשבו את

"להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן .2


55 140 220 150 65 שכיחות

תקן.הסטיית וחשב .א

רבעוני של הנתונים. - חשבו את הטווח ואת הטווח הבין .ב

ף מה משמעות התוצאה שקיבלתם!הקפידו להסביר לגבי כל סעי

התקבל שממוצע שנות בחברה העוסקת בטלמרקטינג בדקו עבור כל עובד את מספר שנות הוותק שלו. .3

שנים וסטיית התקן היא שנתיים. 4הוותק הוא

יתווספו שני האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר .א

להתפלגות? שנים 4עובדים עם וותק של

יתווספו שני ע האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר .ב

שנים להתפלגות? 8שנים והשני עם וותק של 0ובדים אשר אחד עם וותק של .ג

מהן נרשמו הסטיות שלהן מהממוצע: 4תצפיות , אך רק עבור 5נתונה רשימה של .4

של חמש התצפיות.. חשב את השונות 2, 3, 2, 1-

פתרונות:

2שאלה 1שאלה

2.305השונות:

1.518סטיית תקן:

6טווח:

1.106. סטיית תקן :א

2טב"ר: 4. טווח: ב

4שאלה 3שאלה

13.5תשובה: ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תקטן .א

ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תגדל .ב

20


מדדי מיקום יחסי: .ה

רקע:

תצפית ממוקמות יחסית לשאר התצפיות בהתפלגות. המטרה למדוד איך

א. ציון תקן:

הנוסחה לציון תקן של תצפית היא : ˆ

X XZ

S

−=

ציון התקן נותן כמה סטיות תקן סוטה התצפית מהממוצע.

כלומר, ציון התקן מעיד על כמה סטיות תקן התצפית מעל או מתחת לממוצע.

פית מעל הממוצע.ציון תקן חיובי אומר שהתצ

ציון תקן שלילי אומר שהתצפית מתחת לממוצע.

ציון תקן אפס אומר שהתצפית בדיוק בממוצע.

/מאונים.אחוזוניםב.

pשעד אליו יש % כזאתהוא הערך בנתונים המחלק את הנתונים בצורה p - ה האחוזון

. מהנתונים

.Xp -ב p - את האחוזון ה מסמנים

האחוזון מתוך נתונים בטבלה חישוב

היחסית המצטברת (באחוזים) גדולה או שווה השכיחותהוא הערך שבו בפעם הראשונה האחוזון

.%p -ל

21


גילים:תר

תלמידי כיתה ח' נגשו למבחן בלשון ולמבחן במתמטיקה. .1

בלו:להלן התוצאות שהתק

במתמטיקה. 70בלשון ו 68עודד קיבל:

א. באיזה מקצוע עודד טוב יותר באופן יחסי לשכבה שלו?

ב. איזה ציון עודד צריך לקבל במתמטיקה כדי שיהיה שקול לציונו בלשון?

. להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן"2


55 140 220 150 65 ותשכיח

חשבו את:

א. העשירון התחתון.

.30- ב. האחוזון ה

מהתצפית גדולות ממנו. 20%-ג. הערך ש

ד. רבעון עליון.

פתרונות:

2שאלה 1שאלה

1 .א לשון .ג

2 .ב 72תשובה: .ד

4 .ג

4 .ד

סטיית תקן ממוצע המקצוע

12 74 לשון

16 80 מתמטיקה

22


מקדם ההשתנות .ו

Coefficient of Variation– ההשתנות מקדם

ר קבוצות בעלי ממוצע שונה, השוואת מידת פיזור הנתונים למספ תקןמחשבים סטיית כאשר

הנתונים (לממוצע למשל). על מנת לתת מדד פיזור המתחשב בממוצע מרכזאינה מתייחסת לערך

:Coefficient of Variation - ההשתנות מקדםהנתונים נחשב את

( )S XCV

X=

וככל שמקדם הממוצעכז יותר סביב נמוך יותר המשתנה מרו ההשתנותשמקדם ככל

ההשתנות גבוהה יותר, מידת הפיזור סביב הממוצע גבוהה יותר.

תרגילים:

כיתות מתוך שכבה י' בתיכון: 3- להלן נתונים לגבי ציונים במבחן באנגלית ב .1

סטיית תקן מס' תלמידים ממוצע כיתה

1 76 40 12

2 68 20 15

3 82 30 10

ות בכל כיתה.חשבו את מקדם ההשתנ .א

מהי הכיתה הכי הטרוגנית? .ב

נתונות שתי קבוצות: .2

.100והשונות 100בקבוצה א הממוצע

.400והשונות 500הממוצע בקבוצה ב

?יחסית קטן יותרבאיזו קבוצה מידת הפיזור

פתרונות:

2שאלה 1שאלה

2קבוצה ב. כתה ב

23


טרנספורמציה לינארית: .ז

רקע:

י מסוג הוספה של קבוע ( או החסרה ) והכפלה של קבוע ( או חילוק) לכל מצב שבו מבצעים שינו

yהתצפיות: b x a= ⋅ +

: וכך יושפעו המדדים השונים

yMo b Mo a= ⋅ +

y b x a= ⋅ +

y xMd b Md a= ⋅ +

p py b x a= ⋅ +

ˆ ˆ| |y xs b s=

2 2 2ˆ ˆy xs b s=

y XIQR b IQR=

y XR b R=

שלבי העבודה:

נזהה שמדובר בטרנספורמצייה לנארית ( שינוי קבוע לכל התצפיות). .1

ורמצייה לפי נתוני השאלה.נירשום את כלל הטרנספ .2

.bו aנפשט את הכלל ונזהה את ערכי .3

נציב בנוסחאות שלעיל בהתאם למדדים שנשאלים. .4

24


תרגילים:

עבור סדרת נתונים התקבל: .1

80

ˆ 15

70

X

S

MO

=

=

=

. חשב את המדדים הללו 5ולהחסיר מהתוצאה 4-הוחלט להכפיל את כל התצפיות פי

לאחר השינוי.

לשעה. ₪ 5לשעה עם סטיית תקן של ₪ 40מסוימת השכר הממוצע הוא בחברה .2

, אך זה לא סיפק את העובדים ולכן הם 10% -הוחלט להעלות את כל המשכורות ב

לשעה. מה הממוצע ומהי השונות של השכר לשעה ₪ 2קיבלו לאחר מכן תוספת של

לאחר כל השינויים.

פתרונות:

2שאלה 1שאלה

46ממוצע: ה 315הממוצע:

30.25השונות: 60סטיית התקן:

275השכיח:

25


boxplot -תרשים קופסא .ח

רקע:

תרשים קופסא הינו תרשים שבעזרתו ניתן לבחון:

)�Qאת המרכז של ההתפלגות על ידי החציון ( .1

את הפיזור של הנתונים (הטווח והטווח הבין רבעוני) .2

מנית או אסימטרית שמאלית)אסימטרית י\את צורת ההתפלגות (סימטרית .3

MAX Q3 Q21Q MIN

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

תרגילים:

בעיר אשדוד. 2009להלן התפלגות מספר החדרים לדירות שנבנו בשנת . 1

הרבעון התחתון והרבעון העליון של ההתפלגות. מצא את החציון, .א

שרטט דיאגרמת קופסא להתפלגות. .ב

מה ניתן לומר על צורת ההתפלגות? .ג

1568

136

204

89

40 32

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7

תרודיה

ר פסמנ

מספר החדרים

26


. להלן דיאגרמת קופסא המתארת את התפלגות הגיל בשנים באוכלוסייה מסויימת:2

מהו בערך הגיל החציוני באותה אוכלוסייה? .א

מה בערך טווח הגילאים? .ב

צורת ההתפלגות? מה ניתן להגיד על .ג

פתרונות:

2שאלה 1שאלה

4חציון .א

3רבעון תחתון

5רבעון עליון

40חציון

70טווח

התפלגות אסימטרית ימנית

כמעט סימטרית .ב

27


ניתוח פלטים .ט

להלן פלט על התפלגות הגילאים באוכלוסייה מסוימת. .1

Statistic

Age of Respondent Mean 45.63

Median 41.00

Variance 317.140

Std. Deviation a

Minimum 18

Maximum b

Range 71

Interquartile Range 28

. b ו aמצא את הערכים בטבלה המסומנים ב .א

נתון שההתפלגות היא אסימטרית האם היא נוטה ימינה או שמאלה? .ב

28


ת "מתאר":להלן התפלגות ההשכלה של העובדים בחבר .2

years of education

Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent

Valid 8.00 7 12.7 12.7 12.7

9.00 4 7.3 7.3 20.0

10.00 2 3.6 3.6 23.6

11.00 14 25.5 25.5 49.1

12.00 10 18.2 18.2 67.3

13.00 2 3.6 3.6 70.9

14.00 4 7.3 7.3 78.2

15.00 7 12.7 12.7 90.9

16.00 4 7.3 7.3 98.2

18.00 1 1.8 1.8 100.0

Total 55 100.0 100.0

Statistic

years of education Mean ?

Median 12.0000

Variance ?

Std. Deviation 2.54786

Minimum ?

Maximum ?

Range ?

Interquartile Range ?

הערכים המסומנים בסימני שאלה.מלא את

פתרונות:

2שאלה 1שאלה

a=17.81 .א

b=89

11.909הממוצע:

6.492שונות:

10טווח :

3טב"ר:

אסימטרית ימנית .ב

29


שאלות מסכמות: .י

בפקולטה להנדסה אספה מזכירות הסטודנטים נתונים לגבי מס' הקורסים שכל סטודנט .1

. 2008ת סיים בשנה הראשונה ללימודיו בשנ

להלן התוצאות שהתקבלו:

מה המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? .א

מהי צורת ההתפלגות? .ב

תאר את הנתונים בטבלת שכיחויות. .ג

חשב את השכיח, החציון והטווח . .ד

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6

מספר הקורסים

ם טידנטוסה

ר פסמ

30


להלן התפלגות הציונים בבחינה בלשון שנעשתה עבור תלמידי כיתות ד'. .2

תלמידים. 150השתתפו במחקר

נים שהתקבל: ממוצע הציו1

715

X=

השלם את השכיחויות החסרות בטבלה. .א

.חשב את הציון החציוני, השכיח .ב

חשב שונות וסטיית תקן להתפלגות הציונים. .ג

יהפוך 8. למשל, ציון 10-הוחלט לשנות את סקלת הציונים ולהכפיל את הציון ב .ד

. מה הממוצע ומהי השונות של הציונים בסקלה זו?80ות להי

מספר התלמידים ציון

4 12

5 16

6

7 38

8

9 14

10 10

31


להלן התפלגות מספר האיחורים לעבודה בחודש של העובדים בחברת "סטאר". .3

עובדים. 200בחברה

שכיחות יחסית מספר האיחורים

(פרופורציה)

שכיחות

0 15%

1 20%

2 30%

3 20%

4

השלם את הטבלה. .א

והממוצע של התפלגות . חשב את החציון, השכיח, .ב

מהי סטיית התקן של ההתפלגות. .ג

מה העשירון העליון של ההתפלגות? .ד

רבעוני?ן מהו הטווח והטווח הבי .ה

מה ציון התקן של רינה שאיחרה פעמיים ? .ו

4כיצד ישתנה החציון, הממוצע וסטיית התקן אם מסתבר שאלה שאיחרו .ז

הסבר. פעמים? 3פעמים בפועל איחרו

32


עבור כל אדם נבדק מידת שביעות הרצון של הלקוח אנשים. 200דגמה חברה סלולארית .4

שביעות רצון גבוהה) להלן ההתפלגות 5שביעות רצון נמוכה ועד – 1מהחברה(

שהתקבלה:

מספר האנשים שביעות רצון

1 40

2 60

3 50

4 30

5 20

מה אחוז האנשים עם רמת שביעות רצון נמוכה? .א

איזה סוג הוא?מה המשתנה הנחקר ומ .ב

מהי הדרך הגרפית המתאימה ביותר לתיאור הנתונים? .ג

i. סטוגרמה.יה

ii. .דיאגרמת מקלות

iii. עוגהדיאגרמת

חשבו את המדדים הבאים: .ד

. טווח 1

. שכיח2

. חציון3

33


פתרונות:

2שאלה 1שאלה

40-ו 6תלמידים קיבלו ציון 20 .א מספר הקורסים. בדיד. .א

.8תלמידים קיבלו ציון

מטרית שמאלית התפלגות אסי .ב

(שלילית)

7החציון: .ב

8השכיח: 5ד. השכיח:

5הטווח:

2.533השונות: .ג 4החציון:

1.592סטיית התקן:

70.67הממוצע: .ד

253.3השונות:

4שאלה 3שאלה

20%תשובה: .א 2ב. החציון:

שביעות רצון ( סדר) .ב 2השכיח:

2תשובה: .ג 2הממוצע:

2.5חציון: 2שכיח: 4טווח: .ד 1.27ית תקן: סטי .ג

4תשובה: .ד

2טב"ר: 4טווח : .ה

0תשובה: .ו

חציון לא ישתנה, ממוצע יקטן .ז

וסטיית התקן תקטן.

34


שאלות אמריקאיות: . אי

מתייחסות לקטע הבא: 1-3שאלות

חרו לפניך שתי עקומות המתארות את התפלגות ההכנסות החודשיות של שתי משפחות שנב

באקראי:

1 שאלה

לאיזו משפחה הכנסה שכיחה גבוהה יותר?

משפחה א' .א

משפחה ב' .ב

לשתיהן אותה הכנסה שכיחה .ג

אין מספיק נתונים –לא ניתן לדעת .ד

2 שאלה

באיזו משפחה ההכנסה החציונית שווה להכנסה הממוצעת?

משפחה א' .א

משפחה ב' .ב

עתבשתיהן ההכנסה החציונית שווה להכנסה הממוצ .ג

אין מספיק נתונים –לא ניתן לדעת .ד

3 שאלה

באיזו משפחה סטית התקן של ההכנסה החודשית גבוהה יותר?

משפחה א' .א

משפחה ב' .ב

לשתיהן אותה סטית תקן .ג

אין מספיק נתונים –לא ניתן לדעת ד.

הכנסה יתחודש

ש"ח 8000 ש"ח 6000

משפחה ב' משפחה א'

35


4-6הנתונים הבאים מתייחסים לשאלות

להלן נתונים חלקיים של טבלת שכיחויות:

x f(x)

0

1

2

3

4

?

10

6

15

?

50 סה"כ

1.66הממוצע הוא כמו כן נתון:

4 שאלה

השכיח של הנתונים הוא:

0 .א

15 .ב

3 - ו 0ישנם שני שכיחים: .ג

על סמך הנתונים החלקיים אי אפשר לקבוע מה יהיה ערכו של השכיח. .ד

5שאלה

חציון הנתונים הוא:

2 .א

1.5 .ב

25.5 .ג

לקבוע מה יהיה ערכו של החציון. על סמך הנתונים החלקיים אי אפשר .ד

6שאלה

הטווח של הנתונים

11 .א

3 .ב

4 .ג

על סמך הנתונים החלקיים אי אפשר לקבוע מה יהיה ערכו של החציון. .ד

36


7שאלה

, ציון התקן 30 -, הערך המתאים למאון הימנית של משתנה כמותי רציףבהתפלגות אסימטרית

:בהכרחהוא שלו

שלילי א.

ב. חיובי

ג. אפס

. לא ניתן לדעת ללא ידיעת הנתונים.ד

8שאלה

תצפיות. נתון כי סדרת הנתונים סימטרית סביב הממוצע. 10סדרת נתונים סטטיסטיים מונה

.100 - ושונות הסדרה 40 - ממוצע הסדרה

.30 -ו 50בשלב מאוחר יותר נוספו שתי תצפיות נוספות לסדרה:

התצפיות היא: 12השונות של

תקטן א.

תגדל ב.

לא תשתנה ג.

לא ניתן לחשב את השונות ללא ידיעת התצפיות.ד.

37



ש"ח וסטיית התקן של משכורת זו הינה 4,600המשכורת הממוצעת היא בחברת "טיק"

וחיותלרו 1.5ש"ח. לאחר מו"מ עם ועד עובדי ההנהלה סוכם כי המשכורת תוכפל פי 200

9שאלה

מהי המשכורת הממוצעת החדשה :

. 2,300 .א

. 6,900 .ב

.4,650 .ג

.4,600 .ד

חסרים נתונים כדי לדעת. .ה

10שאלה

?מהי סטיית התקן של המשכורת לאחר יישום המו"מ לגבי השכר

200 .א

300 .ב

675 .ג

לא ניתן לדעת .ד

11שאלה

הוספת גודל קבוע לכל תצפיות סדרת נתונים.

את סטיית התקן.תגדיל .א

תקטין את סטיית התקן. .ב

לא תשנה את סטיית התקן. .ג

לא ניתן לדעת. .ד

38



להלן נתונים על ציוני תלמידים שנבחנו במועדים שונים בסטטיסטיקה :

שם

התלמיד

ממוצע הציונים במועד בו ציון

נבחן

סטיית התקן של הציונים במועד בו

בחןנ

12 50 50 צבי

5 80 82 סטף

15 60 65 שרית

1.5 63 60 לובה

10 70 70 מיטב

12שאלה

התלמיד הטוב ביותר ביחס לנבחנים באותו מועד בו נבחן הוא :

מיטב. .א

צבי. .ב

לובה. .ג

שרית. .ד

.סטף .ה

13שאלה

: הוא השווה לציון התקן של שרית לכן ציונ הפנינה נבחנה עם סטף וציון התקן של

80.55 .א

65 .ב

80 .ג

81.66 .ד

14שאלה

איזו כיתה היא ההומוגנית ביותר . הכיתה של

מיטב. .א

צבי. .ב

לובה. .ג

שרית. .ד

.סטף .ה

39



בבדיקת פתע של משרד הבריאות במפעל שוקולד נמצא ש:

שוקולד

פגום

0 1 2 3 4 5 6 7

מס'

קופסאות

35 63 48 12 13 11 10 8

15שאלה

:מהו החציון של מספר הפגומים בקופסא

.1 .א

.2 .ב

.4 .ג


16שאלה

מהו הרבעון התחתון של מספר הפגומים בקופסא ?

.1 . א

2 .ב

.3 .ג

.4 .ד

לא ניתן לדעת. .ה

17שאלה

מספר הפגומים בקופסא הוא משתנה:

סדר. .א

שמי. .ב

כמותי בדיד .ג

כמותי רציף .ד

18שאלה

ח של מספר הפגומים בקופסא:השכי

63 .ה

1 .ו

200 .ז

לא ניתן לדעת. .ח

40


19שאלה

סימטרית ימנית נמצאים:- ביחס לציר המספרים רוב הערכים בהתפלגות א

בערכים הגבוהים. .א

בחלוקה זהה בין הערכים הגבוהים והנמוכים. .ב

בערכים הנמוכים. .ג


אף לא תשובה מהנ"ל נכונה. .ה

20שאלה

ר העובדים בחברות מזון לעומת חברות תקשורת.על מספמחקר בוצע

. איזה מהטענות הבאות היא הנכונה והמלאה ביותר:8החציון והממוצע בשתיהן שווה

.8החברות זהה אך שונה מ 2השכיחות ב .א

החברות זהה אך לא ניתן לדעת מהו. 2השכיח ב .ב

.8השכיח בשתי חברות הינו בהכרח .ג

8הוא ובשנייה 8שכיח בחברה אחת שונה מ .ד

אף תשובה אינה נכונה .ה

25עד 21הנתונים הבאים מתייחסים לשאלות

יזיה הנמצאים בבית.ווסקר על מספר מקלטי הטל נערך

תוצאות הסקר נתונות בדיאגרמת

מקלות הבאה :

21שאלה

המשתנה הנחקר כאן הוא:

משתנה שמי. .א

משתנה מסולם סדר. .ב

משתנה כמותי בדיד. .ג

ציף.משתנה כמותי ר .ד

0 1 2 3 4

5 10 15

30

40

מס' מקלטי

יזיהווטל

מס' משפחות

41


22שאלה

הטווח של ההתפלגות הוא:

35 .א

4 .ב

3 .ג

2 .ד

23שאלה

ממוצע מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה הוא:

1.65 .א

1.5 .ב

1 .ג

2 .ד

24שאלה

השכיח של התפלגות זו היא:

40 .א

1.5 .ב

1 .ג

2 .ד

25שאלה

משפחות נוספות שאין להם מקלטי טלוויזיה. ויש לצרף את המשפחות 5 - ל 2מסתבר שיש בין

כיצד הנתון זה ישפיע על סטיית התקן? הללו להתפלגות .

יקטין אותו. .א

יגדיל אותו. .ב

לא ישנה אותו. .ג

אין לדעת .ד

42


פתרונות

תשובה שאלה

א 1

ג 2

ג 3

ג 4

ב 5

ג 6

א 7

ג 8

ב 9

ב 10

ג 11

ה 12

ד 13

ג 14

ב 15

א 16

ג 17

ב 18

ג 19

ה 20

ג 21

ב 22

א 23

ג 24

ב 25

43


קשר בין משתנים –רק שני פ

קשר בין שני משתנים כמותיים – הלינארימדד הקשר

רקע

שני משתנים כמותיים. בין של קו ישר המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה, מתאם)

למשל, תלוי).ההוא המשתנה המוסבר ( Yבלתי תלוי) ו ההוא המשתנה המסביר ( Xבדרך כלל,

. Yמסבירה את ההכנסה שלו X– לה של אדם הנמדדת בשנות לימוד נרצה להסביר כיצד השכ

במקרה זה שנות ההשכלה זהו המשתנה המסביר ( או הבלתי תלוי ) ואנחנו מעוניינים לבדוק כיצד

שינויים בשנות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השינויים שלו בהכנסה , ולכן רמת ההכנסה

מסביר אותו.זהו המשתנה המוסבר התלוי במשתנה ה

זו דיאגרמה שנותנת אינדיקציה ויזואלית על טיב לשרטט דיאגרמת פיזור. נהוג ,בשלב הראשון

הקשר בין שני המשתנים.

בודק עד כמה קיים קשר לינארי בין ש מקדם המתאם ( מדד הקשר ) בשלב השני , מחשבים את

את מה שניראה בשלב הראשון המדד ( ניקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת שני המשתנים .

רק בעין.

בודק את כיוון הקשר ( חיובי או שלילי).המדד

ואת עוצמת הקשר ( חלש עד חזק).

.1ל 1-מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין

אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי 1או 1-מקדם מתאם

yהנוסחה : bx a= +.

יהיה חיובי ואילו b) אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע 1מתאם חיובי מלא ( מקדם מתאם

).1-שלילי ( מקדם מתאם bמתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע

44


מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל Y -ל Xלינארית שמקשרת את נוסחה

Y -ל Xשמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את באופן מוחלט.

ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס נאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם

צמת הקשר חזקה יותר.רחוק מהאפס נאמר שעו

. r– סומן באות מקדם המתאם י

כדי לחשב את מקדם המתאם , יש לחשב את סטיות התקן של כל משתנה ואת השונות המשותפת.

:שונות משותפת ( )( )

cov( , )1

i iX X Y Y

x yn

− −=

−

∑

:Xשונות של המשתנה

2

2( )

ˆ1

i

X

X XS

n

−=

−

∑

:Yשונות המשתנה

2

2( )

ˆ1

i

Y

Y YS

n

−=

−

∑

נארי : ימקדם המתאם הל,

cov( , )

ˆ ˆx y

X Y

x yr

S S=

⋅

בשלב השלישי, במידה וקיים קשר חזק בין שני המשתנים נהוג לבצע ניבויי. לבנות קו ניבויים

הנקרא גם קו רגרסיה המנבא משתנה אחד על סמך האחר.

ריבועים נקראת שיטת ה קו הנ"להשיטה למציאת ה . Xעל סמך Yאת א מדובר בקו שמנב הפחותים והקו המתקבל נקרא קו הרגרסיה או קו הניבויים או קו הריבועים הפחותים.

a - בעצם נותן את ערךY כאשרX על גבי קו הניבויים. הוא ניקרא החותך של הקו. הנו אפס b - נותן בכמה בעצם הוא שיפוע הקוY משתנה כאשרX על גבי קו הניבויים. גדל ביחידה אחת

:הפרמטרים של קו הרגרסיהלהלן המשוואות למציאת

ˆ

ˆY

X

Y bX a

Sb r

S

a Y bX

= +

=

= −

%

לינארית והשפעתה על מקדם המתאםטרנספורמציה

, או בין אם נעשית על שניהם, yעל יתובין אם נעש Xעל יתאם נעש טרנספורמצייה לינארית בין

אם השיפועים של שתי עוצמת הקשר . היא עלולה רק לשנות את כיוונו אינה משנה את

הטרנספורמציות שוני סימן.

45


תרגילים:

. בדקו לגבי כל תלמיד את הציון שלו תלמידים שנגשו למבחן שישהלהלן נתונים לגבי .1

מספר החיסורים שלו מהקורס.בסוף הקורס וכמו כן את

ציון מספר חיסורים

2 80

1 90

0 90

2 70

3 70

4 50

הקשר טיב לנתונים. מה ניתן להסיק מהדיאגרמה על שרטט דיאגראמת פיזור .א

ביו מספר החיסורים של תלמיד לציונו? מיהו המשתנה הבלתי תלוי ומיהו

המשתנה התלוי?

חשב את מדד הקשר של פירסון. האם התוצאה מתיישבת עם תשובתך לסעיף .ב

א'?

הסבר ללא חישוב כיצד מקדם המתאם היה משתנה אם היה מתווסף תלמיד .ג

?80פעמים וקיבל ציון 4ר שהחסי

את ההוצאות של משפחה Y-נסמן ב₪. את ההכנסה של משפחה באלפי X-נסמן ב .2

משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: 20נלקחו ₪. באלפי

20

1

240i

i

X=

=∑ 20

1

200i

i

Y=

=∑

20

2

1

( ) 76i

i

X X−

− =∑ 20

2

1

( ) 76i

i

Y Y−

− =∑

20

1

( )( ) 60.8i

i

X X Y Y=

− − =∑

מיהו המשתנה התלוי? .Y-ל Xחשב את מדד הקשר הלינארי בין .א

הסבר מצא את קו הרגרסיה לניבוי ההוצאה של משפחה על סמך הכנסה שלה. .ב

את משמעות הפרמטרים של קו הרגרסיה.

מה ההוצאה הצפויה שלה?₪, 15,000משפחת כהן הכניסה .ג

46


₪. את הכנסתו באלפי Y-למוד. נסמן באת ההשכלה של אדם בשנות X-נסמן ב .3

במחקר התקבלו התוצאות הבאות:

ˆ 2X

S = ˆ 5Y

S =

14X = 8Y =

( , ) 7.5COV X Y =

חשב את מדד הקשר של פירסון בין ההשכלה להכנסה. .א

שנים? 12יה לאדם שהשכלתו מה ההכנסה הצפו .ב

₪? 10,000מה ההשכלה הצפויה לאדם שהכנסתו .ג

מיהו המשתנה התלוי ומיהו המשתנה הבלתי תלוי? .ד

עם סטית 100מבחן בנוי מחלק כמותי ומחלק מילולי. ממוצע הציון בחלק המילולי הנו .4

שני . מקדם המתאם בין15עם סטיית תקן 90ובחלק הכמותי ממוצע הציון 20תקן

.0.9הציונים הוא

ציוני שני חלקי הבחינה.חשבו את השונות המשותפת בין .א

, מה יהיה מקדם המתאם בין 20% - אם יעלו את כל הציונים בחלק המילולי ב .ב

הציון המילולי החדש לציון הכמותי ובין הציון המילולי הישן לציון המילולי

החדש?

ק של הציון בחשיבה מילולית מהציון להיות המרח Wנגדיר משתנה חדש ג.

ובין W -. מצא את מקדם המתאם בין הציון המילולי ל150 -המקסימאלי בבחינה

W לציון הכמותי.-ל

להלן רשימת טענות, לגבי כל טענה קבע נכון/לא נכון ונמק! .5

אם ₪. 3.5מתווך דירות המיר מחירי דירות מדולר לשקל. נניח שדולר אחד הוא .א

רות יחשב את מדד הקשר של פירסון בין מחיר הדירה בשקלים למחיר מתווך הדי

.1הדירה בדולרים הוא יקבל

6Xלסדרה של נתונים התקבל .ב Y= = 1X Y

S S= לכן מדד הקשר של פירסון =

.1יהיה

אז בהכרח גם מקדם המתאם של 0הינה Yושל Xאם השונות המשותפת של .ג

.0ירסון יהיה פ

47


) לבין כוח הסוס Engine sizeבמחקר רצו לבדוק את הקשר בין גודל המנוע של מכונית( .6

:) להלן הפלט שהתקבלHorsepowerשלו (

מצא את קו הניבויים לניבוי כוח הסוס על סמך גודל המנוע. .א

?3מה יהיה הניבוי לכוח הסוס של מכונית עם גודל מנוע .ב

תר הומוגנית. זו של התפלגות כוח הסוס של המכונית או זו של איזו התפלגות יו .ג

גודל המנוע? הסבר באמצעות חישוב.

48


Xבמחקר רפואי רצו לבדוק האם קיים קשר בין רמת ההורמון .7

את רמת מדדו שלו. לצורך כך Yבדם החולה לרמת ההורמון

ההורמונים ההלו עבור חמישה חולים.

ה:להלן הפלט שהתוכנה הוציא

Descriptive Statistics

Mean N

X 16.00 5

Y 15.40 ?

Correlations

X Y

X Pearson Correlation 1 ?

Sum of Squares and Cross-products 44.000 49.000

Covariance 11.000 ?

N 5 5

Y Pearson Correlation 1

Sum of Squares and Cross-products 49.000 59.200

Covariance 12.250 14.800

N 5 5

מלא את המספרים החסרים בפלט ( במקום סימני השאלה).א.

.Xעל סמך ההורמון Yמצא את קו הניבוי לניבוי ההורמון ב.

. חזור על סעיףXלכל ערכי ה 1ג. התברר ונפלה טעות ויש להוסיף הקודם לאחר השינוי.

49


משתנים איכותייםקשר בין שני

רקע

כשנרצה לבדוק האם קיים קשר בין שני משתנים איכותיים. נבנה טבלת שכיחות משותפת.

נזהה את המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה התלוי.

לפי ההתפלגות של המשתנה התלוי. 100%כל קטגוריה של המשתנה הבלתי תלוי תהיה

ש קשר בין שני המשתנים.נאמר שי 5%אם ניראה לפחות פעם אחת פער שגדול מ

ניתן גם להמחיש זאת על ידי שרטוט של דיאגרמת מקלות.

.בציר האופקי אנו מציבים את המשתנה התלוי

בציר האנכי אנו מציבים את אחוז השכיחות היחסית.

תרגילים:

להלן תוצאות מחקר שבדק את הקשר בין מין לדעה מסוימת. לגבי כל נחקר נבדק המין שלו .1

האישית בדבר סוגיה מסוימת. הנחקרים היו צריכים לענות האם הם בעד, נמנעים או ודעתו

שהוצגה להם. להלן התוצאות: סוגיה נגד ה

דעה

מין

בעד

נמנע

נגד

20 40 120 גבר

80 20 20 אישה

מהו המשתנה הבלתי תלוי ומהו המשתנה התלוי? .א

הגיד שבקרב הגברים יש נטייה בולטת יותר להיות בעד החוק?האם ניתן ל .ב

האם קיים קשר בין מין לדעה? הסבר. .ג

הצהירו שהם עוסקים בפעילות גופנית סדירה. מתוך 60אנשים שמתוכם 200נלקחו .2

נמצאו במצב בריאותי תקין. מתוך אלו 50אלו שעוסקים בפעילות גופנית סדירה

נמצאו במצב בריאותי תקין. 90סדירה שלא עוסקים בפעילות גופנית

בנה טבלת שכיחות משותפת לנתונים שהוצגו בשאלה. .א

מהו המשתנה התלוי ומהו המשתנה הבלתי תלוי? .ב

האם קיים קשר בין המשתנים? הסבר. .ג

תאר את הנתונים על ידי דיאגרמת מקלות מתאימה. .ד

50


קשר בין משתנה איכותי למשתנה כמותי.

רקע

א כמותי ואחד הוא איכותי ניתן לבצע השוואה בין המשתנים על ידי אם משתנה אחד הו

השוואות של תרשימי קופסה.

עבור כל ערך של המשתנה האיכותי נשרטט תרשים קופסה באותה מערכת צירים.

ניתן להשוות בין תרשימי הקופסה באספקטים הבאים:

מרכז ההתפלגות (חציון) .1

פיזור (טווח בין רבעוני) .2

ת (סמטרית , אסמטרית ימנית או אסמטרית שמאלית)צורת ההתפלגו .3

:תרגיל

במטרה לבדוק האם קיים קשר בין המין לציונים בבחינה שרטטו את תרשימי הקופסה הבאים:

מהי צורת ההתפלגות של הציונים בקרב הגברים? .א

מהו הטווח הבין רבעוני של התפלגות הציונים בקרב הגברים? .ב

? מיהו הבלתי תלוי ומיהו התלוי?מהם המשתנים הנחקרים בשאלה .ג

האם קיים הבדל בצורת ההתפלגות של הציונים בין גברים לנשים? .ד

האם קיים הבדל במידת הפיזור של הציונים בין גברים לנשים? .ה

האם יש השפעה של המין על הציונים? .ו

51


פתרונות

מדד הקשר הלינארי –מדד הקשר של פירסון

2שאלה 1שאלה

0.8 א. בהקלטה א.

0.8ב. 0.9325-ב. 0.4Y X= +%

12.4ג.

4שאלה 3שאלה

270א. 0.75א.

1בין הציון המילולי הישן לחדש :ב. אלפי ש"ח 4.25ב.

0.9ביון הציון המילולי החדש לכמותי :

- 1ל ציון המילולי : Wבין ג.

-0.9לציון הכמותי : Wבין

6שאלה 5שאלה

45.43א. 46.89Y X= +%

לא נכון .ג

נכון .ד

183.18 .ב

כוח סוס .ג

7שאלה

בהקלטה א.

1.11 .ב 2.36Y X= −%

קשר בין שני משתנים איכותיים

2שאלה 1שאלה

בהקלטהא. המין הוא הבלתי תלוי א.

כןב.

ג. כן

ב. הבלתי תלוי הוא פעילות הגופנית.

ג. כן

בהקלטה. ד

קשר בין משתנה איכותי לכמותי.

1שאלה

המין הוא הבלתי תלוי.. ג סימטרית א.

20טווח בין רבעוני 40טווח ב.

ד. לא

52


התפלגות נורמלית – שלישיפרק

רקע

יה , זמן ייצור יה , משקל של אוכלוסיהתפלגות זו מאפיינת משתנה רציף כמו גובה של אוכלוסי

וכדומה.

של ההתפלגות וככל שמתרחקים מהמרכז אחוז זו רוב האוכלוסייה נמצאת במרכז בהתפלגות

המקרים הולך וקטן באופן סימטרי. צורת העקומה של ההתפלגות הנורמלית היא זו:

לעקומה זו קוראים גם עקומת גאוס ועקומה אחת נבדלת מהשנייה באמצעות הממוצע וסטיית

.התקן שלה

נרשום , 100וסטיית תקן 500יכומטרי מתפלגים נורמלית עם ממוצע שציוני פס, למשל ,אם נתון

:נתון זה בצורה הבאה

~),( נרשום זאת כך : ,ובהכללה 2σµNX

.השטח שמתחת לעקומה יבטא את ההסתברות או הפרופורציה של המקרים המבוקשים

פלגות נורמלית סטנדרטית .כדי לחשב שטחים אלה נמיר כל התפלגות נורמלית כלשהי להת

התפלגות נורמלית סטנדרטית היא התפלגות נורמלית שהממוצע שלה הוא אפס וסטיית התקן

~)Z. )1,0היא אחת והיא תסומן באות 2NZ

תהליך התקנון מבוצע על ידי הנוסחה הבאה :

וצע.נותן בכמה סטיות תקן אנו סוטים מהממההערך המתקבל הוא ציון התקן

.לאחר שמצאנו את ציון התקן נעזר בטבלה שבסופו של דבר תיתן לנו את ההסתברות הרצויה

באופן כללי נתאר את הסכמה הבאה לתהליך:

2

500

100

(500,100 )X N

µ

σ

=

=

�

XZ

µ

σ

−=

2( , )X N µ σ�

2(0,1 )Z N�

XZ

µ

σ

−=

P

שימוש

בטבלה

53


תרגילים

ס"מ 170הגובה של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של . 1

ס"מ . 10וסטית תקן של

ס"מ.? 182.4 -מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל א.

ס"מ? 190מה אחוז האנשים שגובהם מעל ב.

ס"מ? 173.6מה אחוז האנשים שגובהם בדיוק .א

ס"מ? 170 - מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל .ב

ס"מ? 170מה אחוז האנשים שגובהם לכל היותר .ג

ק"ג 60מוצע של . המשקל של אנשים באוכלוסיה מסוימת מתפלג נורמלית עם מ2

ק"ג . 8וסטיית תקן של

ק"ג? 55 -מה אחוז האנשים שמשקלם נמוך מ א.

ק"ג? 50מהי פרופורציית האנשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות ב.

ק"ג? 70 -ל 60מהי השכיחות היחסית של האנשים באוכלוסייה שמשקלם בין ג.

4 -ממוצע בלא יותר מלאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל ה ד.

ק"ג?

ק"ג? 140 –מה אחוז האנשים באוכלוסיה הזו ששוקלים מתחת ל ה.

. 225ושונות 100. ציוני מבחן אינטיליגנציה מתפלג נורמלית עם ממוצע 3

מה העשירון העליון של הציונים במבחן האינטיליגנציה? א.

מה העשירון התחתון של ההתפלגות? ב.

מהנבחנים מקבלים מעליו? 20% - מהו הציון ש ג.

?20 - מהו האחוזון ה ד.

מה הרבעון התחתון? ה.

500 -אורך חים של מכשיר מתפלג נורמלית . ידוע שמחצית מהמכשירים חים פחות מ .4

שעות. 544 -מהמכשירים חים פחות מ 67% - שעות , כמו כן ידוע ש

מהו ממוצע אורך חיי מכשיר? א.

אורך חיי מכשיר?מהי סטית בתקן של ב.

שעות? 460 - מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ ג.

מהו המאיון העליון של אורח חיי מכשיר? ד.

מהמכשירים בעלי אורך החים הקצר ביותר נשלח למעבדה לבדיקה 1% ה.

מעמיקה. מהו אורך החים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה?

54


דקות וסטית 40ו מתפלג נורמלית עם ממוצע של . הזמן שלוקח לאדם להגיע לעבודת5

דקות. 5תקן של

מה ההסתברות שמשך הנסיעה של האדם לעבודתו יהיה לפחות שלושת רבעי א.

השעה?

. 09:00מביתו. הוא צריך להגיע לעבודתו בשעה 08:10אדם יצא לעבודתו בשעה ב.

מה הסיכוי שיאחר לעבודתו?

דקות וסטיית 3.5נורמלית עם תוחלת של ג ר ברדיו מתפלשודאורך שיר אקראי המ .6

תקן של שלושים שניות.

דקות? 2.5ל 3מה ההסתברות שאורך של שיר אקראי המנוגן ברדיו יהיה בין .א

מהו הטווח הבין רבעוני של אורך שיר המשודר ברדיו? .ב

55


גות נורמליתהתפלתשובות סופיות

2שאלה 1שאלה

26.43% .א 89.25% .א

89.44% .ב 2.28% .ב

39.44% .ג 0 .ג

0.383 .ד

100% ה. 50% .ד

4שאלה 3שאלה

500 .א 119.2 .א

80.8 .ב

112.6 .ג

87.4 .ד

89.95 .ה

100 .ב

0.3446 .ג

733 .ד

267 .ה

6שאלה 5שאלה

0.1587 .א

0.0228 .ב

0.1359 .א

0.67 .ב

56


יפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזהת -רביעי פרק

: כללית מההקד

קבוצה שאליה מפנים שאלה מחקרית. – היאוכלוסי

למשל , חברת תרופות שמעוניינת לפתח תרופה למחלת

הסכרת מתעניינת באוכלוסיית חולי הסכרת בעולם.

חלק מתוך האוכלוסייה. – מדגם

אנשים מתוך חולי הסכרת אז 10למשל , אם נדגום באקראי

כרת.זהו מדגם מתוך אוכלוסיית חולי הס

הקורס עוסק ביחסי הגומלין בין המדגם לבין האוכלוסייה :

במקרים רבים אין אפשרות לחקור את כל האוכלוסייה כיוון שאין גישה לכולה, היא גדולה מידי ,

אנו מוגבלים בזמן ובאמצעים טכניים ולכן מבצעים מדגם במטרה לבצע הסקה סטטיסטית

ה.ימהמדגם לאוכלוסי

הכוונה לדגימה שבה לכל תצפית באוכלוסייה יש את אותו דגימה מקרית ייה הדגימה בקורס תה

סיכויי להיכלל במדגם.

גודל המחושב על המדגם. –סטטיסטי

גודל המתאר את האוכלוסייה. –פרמטר

הסימונים לפרמטר וסטטיסטי בקורס הם שונים והדבר מאד משמעותי למשל,

ה)פרמטר (אוכלוסיי סטטיסטי (מדגם)

X ממוצעµ

p פרופורציה (שכיחות יחסית))

P

: פרמטר הוא גודל קבוע גם אם אנו לא יודעים אותו סטטיסטי הוא משתנה ממדגם למדגם הערה

ולכן נדון בהתפלגות שלו שזה נושא המפגש.

57


תרגילים :

ודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים. נתון מתוך כלל הסט .1

.15עם סטיית תקן של 78שממוצע הציונים של כלל הסטודנטים היה

מי האוכלוסייה? .א

מה המשתנה? .ב

מהם הפרמטרים? .ג

מהו גודל המדגם? .ד

200מאזרחי המדינה תומך בהצעת החוק של חבר כנסת מסוים . הוחלט לדגום 58% .2

ומתוכם לבדוק מהו אחוז התומכים בהצעת החוק. אזרחים

מי האוכלוסייה? .א

מה המשתנה? .ב

מה הפרמטרים? .ג

מהו גודל המדגם? .ד

מהו הסטטיסטי שמתכננים להוציא מהמדגם? .ה

האם הפרמטר או הסטטיסטי הוא משתנה מקרי? .ו

58


התפלגות ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי

התפלגות ממוצע הדגימהn

xx

i∑=

µממוצע האוכלוסייה:

2σשונות אוכלוסייה: σסטיית תקן של אוכלוסייה:

xתכונות התפלגות .א

: 1תכונה ממוצע כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לממוצע האוכלוסייה.

xµ µ=

: 2תכונה

2

2

xn

σσ =

תכונה זו נכונה רק - n -שונות כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לשונות האוכלוסייה מחולק ב במדגם מקרי.

יש יחס הפוך בין גודל המדגם לבין שונות ממוצעי המדגם. אם נוציא שורש לשונות נקבל סטיית תקן :

nn

xσσ

σ ==2

)(

דגימה מהתפלגות נורמלית ב.

ממוצע 2σושונות µאם נדגום מתוך אוכלוסייה שהמשתנה בה מתפלג נורמלית עם ממוצע המדגם גם יתפלג נורמלית:

n

xZ

nNx

x σµ

σµ

−=

),(~2

משפט הגבול המרכזי ג.

) n≤30אזי עבור מדגם מספיק גדול ( 2σושונות µאם אוכלוסייה מתפלגת כלשהו עם ממוצע

ממוצע המדגם גם מתפלג נורמלית 2

~ ( , )x Nn

σµf.

59


תרגילים :

גרם וסטיית תקן של 3400עם ממוצע תמשקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלי .1

גרם. 400

גרם? 3800-ההסתברות שתינוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ מה א.

תינוקות. 4נתון שביום מסוים נולדו

ק"ג ? 4מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על ב..

ק"ג? 2.5-מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל ג.

ל התינוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא מה ההסתברות שהמשקל הממוצע ש ד.

גרם? 50-יותר מ

דקות 16דקות עם שונות של 30הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו .2

פעמים. לצורך פתרון הניחו שזמן 5רבועיות. האדם נוסע לעבודה במשך שבוע

.תהנסיעה לעבודה מתפלג נורמאלי

דקות? 33יהיה מעל מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הנסיעה הממוצע .א

ממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה פחות ממנו? 90%מהו הזמן שבהסתברות של .ב

דקות בלפחות 30- מה ההסתברות שממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה מרוחק מ .ג

דקות? 2

10סמ"ק וסטיית תקן של 750עם תוחלת של תנפח היין בבקבוק מתפלג נורמאלי .3

סמ"ק.

מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בקבוקי יין. 4בארגז א.

סמ"ק? 755בדיוק

בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה 4בארגז ב.

סמ"ק? 755יותר מ

בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז 4בארגז ג.

סמ"ק? 755יהיה לפחות

שבארגז נמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר. מה בקבוקיי היין ד.

ההסתברות שהיין יגלוש מהקערה?

60


. 4וסטיית תקן 80עם תוחלת תמשתנה מתפלג נורמאלי .4

מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל א.

?9המדגם הוא

תו בלא יותר מיחידה שגודל מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחל ב.

?16המדגם הוא

הסבר את ההבדל בתשובות של שני הסעיפים. ג.

עם ₪ 8000לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא .5

עובדים השכר 100מה ההסתברות שבמדגם מקרי של ₪. 3000סטיית תקן של

₪? 8500 -הממוצע יהיה יותר מ

. מה ההסתברות הפעמים בכל פעם מתבוננים בתוצאה של הקוביי 50 המטילים קוביי .6

ההטלות? 50 - ב 3.72שהממוצע של התוצאות יהיה לפחות

ס"מ 10ס"מ וסטיית תקן של 70אורך צינור שמפעל מייצר הינו עם ממוצע של .7

68מוטות, מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין 100נלקחו באקראי .א

ס"מ? 78ל

ס"מ. 7200בניינים באמצעות מוטות. המרחק בין שני הבניינים הינו 2לחבר יש .ב

המוטות יספיקו למלאכה? 100מה ההסתברות ש

ממוצע 5%מה צריך להיות גודל המדגם המינימאלי, כדי שבהסתברות של .ג

ס"מ. העזר במשפט הגבול המרכזי. 69- המדגם יהיה קטן מ

61


תשובות סופיות להתפלגות הדגימה

התפלגות ממוצע מדגם ומשפט הגבול המרכזי

2שאלה 1שאלה

0.8413 .א

0.0013 .ב

0 .ג

0.1974 .ד

0.0465 .א

32.29 .ב

0.2628 .ג

4שאלה 3שאלה

0 .א

0.1587 .ב

0.1587 .ג

0.5 .ד

0.5468 .א

0.6826 .ב

5שאלה

0.0475

7שאלה 6שאלה

0.9772 .א 0.1814

0.0228 .ב

271 .ג

62


שאלות אמריקאיות על כל חומר הלימוד - חמישי פרק


ילדים בגן חובה. לאחר מכן נאלצו לדווח על 28פסיכולוגים צפו במשך שבוע שלם בהתנהגותם של

1-נחשב לרמת בטחון עצמי גבוהה ו 5. כאשר 5עד 1רמת הביטחון העצמי של כל ילד בסקלה של

מי נמוכה.לרמת בטחון עצ

להלן סיכום התוצאות:

מספר הילדים בטחון עצמי

1 6

2 7

3 10

4 4

5 1

1שאלה

מהו סולם המדידה של המשתנה הנחקר?

שמי. .א

סדר. .ב

רווח. .ג

מנה. .ד

2שאלה

מהי הדרך הגרפית המתאימה ביותר כדי לתאר את הנתונים?

טבלת שכיחויות. .א

דיאגרמת מקלות. .ב

היסטוגרמה. .ג

דיאגרמת עוגה. .ד

3שאלה

מהו השכיח של התפלגות הנתונים שנאספו?

2 .א

1 .ב

3 .ג

10 .ד

63


4שאלה

התווסף עוד ילד עם רמת בטחון עצמי נמוכה לכן סטיית התקן של המשתנה הנחקר כתוצאה

מההוספה:

תגדל .א

תקטן .ב

לא תשתנה .ג

אין לדעת .ד

5שאלה

כלה בשנים של אם נרצה לבדוק האם המוצא ( אסיה, אירופה ,אפריקה ,אמריקה ) משפיע על ההש

העובדים נעשה זאת על ידי.

מדד הקשר הלינארי. .א

טבלת שכיחות משותפת. .ב

תרשימי קופסא. .ג

דיאגרמת פיזור. .ד


להלן שלוש התפלגויות נורמליות של שלוש קבוצות שונות ששורטטו באותה מערכת צירים.

ההתפלגויות מוספרו כדי להבדיל בניהן.

6שאלה

לאיזו התפלגות הממוצע הגבוה ביותר?

1 .א

2 .ב

3 .ג

אין לדעת. .ד

64


7שאלה

לאיזו התפלגות השכיח הגדול ביותר?

1 .א

2 .ב

3 .ג

אין לדעת .ד

8שאלה

זהות? 2ו 1במה התפלגות

בעשירון העליון. .א

בממוצע. .ב

בשונות. .ג

אף אחת מהתשובות אינה נכונה. .ד

9שאלה

?3פר איזה מהמשפטים הבאים נכון לגבי התפלגות מס

הממוצע שווה לחציון בהתפלגות. .א

הטווח שווה לטווח הבין רבעוני. .ב

העשירון התחתון שווה לעשירון העליון. .ג

סטיית התקן היא אפס. .ד

10שאלה

לאיזו התפלגות סטיית התקן הקטנה ביותר?

1 .א

2 .ב

3 .ג

אין לדעת. .ד

65


: 15-11הנתונים הבאים מתייחסים לשאלות ים שבחנות שלו.הנחה לכל המוצר 20%מוכר החליט לתת

את המחיר של המוצר אחרי ההנחה בש"ח. Y-בש"ח וב המחיר של מוצר לפני ההנחה X -נסמן ב

המוכר חישב את המדדים הבאים לפני ההנחה:

80 ממוצע

70 חציון

300 שונות

48 טווח

.Yכמו כן הוא חישב גם את כל הנתונים לגבי המשתנה

11שאלה

רים בש"ח אחרי ההנחה?מה יהיה הממוצע של המחי

16 .א

64 .ב

80 .ג

70 .ד

12שאלה

מה יהיה טווח המחירים בש"ח אחרי ההנחה?

9.6 א.

38.4ב.

48 .ג

70 ד.

13שאלה

מה תהיה השונות של המחירים אחרי ההנחה?

300 א.

60ב.

240 .ג

192 ד.

66


14שאלה

של המחירים לפני ההנחה?(CV) מהו מקדם ההשתנות

3.75 .א

0.267 .ב

0.2165 .ג

4.619 .ד

15שאלה

התוצאה שתתקבל תהיה? Yו Xאם המוכר יחשב את מקדם המתאם על

0 .א

1 .ב

1- .ג

אין לדעת . .ד

16שאלה

בהתפלגות אסמטרית ימנית סטיית התקן יותר גדולה מאשר בהתפלגות אסמטרית שמאלית.

ה.הטענה תמיד נכונ .א

הטענה תמיד אינה נכונה בהכרח. .ב

אין מספיק נתונים כדי לדעת. .ג

17שאלה

סימטרית ימנית נמצאים:- ביחס לציר המספרים רוב הערכים בהתפלגות א

בערכים הגבוהים. .א

בחלוקה זהה בין הערכים הגבוהים והנמוכים. .ב

בערכים הנמוכים. .ג


67


18שאלה

תצפיות סדרת נתונים. הוספת גודל קבוע לכל

תגדיל את סטיית התקן. .א





חוקר רצה לאפיין את הקשר בין מספר השעות בשבוע שסטודנט מקדיש לבילויים לבין הציון

סטודנטים ויצר בעזרת האקסל 15נתונים של הממוצע שלו בסוף הסמסטר. לשם כך הוא אסף

דיאגרמת פיזור. החוקר אף הוסיף לדיאגרמה את קו המגמה המתאים לנתונים.

19שאלה

מיהו המשתנה הבלתי תלוי?

ציון ממוצע. .א

מספר שעות לבילוי. .ב

מספר הסטודנטים. .ג

68


20שאלה

עיות לבין הציון הממוצע של מה ניתן לומר על כיוון הקשר בין מספר שעות הבילוי השבו

הסמסטר?

(הסתמכו על הנתונים ולא על דעתכם האישית...)

ככל שמבלים יותר הציון נוטה לרדת. .א

אין קשר בין שעות הבילוי לציון. .ב

ככל שמבלים פחות הציון נוטה לרדת. .ג

ככל שהציון יורד הסטודנט מבלה פחות. .ד

21שאלה

לתיאור הקשר בין שני המשתנים?איזה מהמתאמים הבאים הוא המתאים ביותר

0.85 .א

0.15 .ב

– 0.85 .ג

– 0.15 .ד

22שאלה

לפי הקשר הוחלט לבצע טרנספורמציה למשתנה . 2הייתה - Xמשתנה מסוים סטיית התקן של .הבא :

אחרי הטרנספורמציה היא: Yשונות

4א.

6ב.

10ג.

12ד.

36ה.

Y X= −3 2

69



נבחנו במבחן באנגלית ובמבחן בסטטיסטיקה . 30סטודנטים אותם 30בכיתה

להלן פלט לגבי ציונים:

סטטיסטיקה אנגלית

80 90 ממוצע

100 121 שונות

23שאלה

באיזה מקצוע להתפלגות הציונים פיזור יחסית יותר גבוה?

אנגלית. .א

סטטיסטיקה .ב

אותו פיזור בשני המקצועות באופן יחסי. .ג

ין מספיק נתונים כדי לענות על השאלה.א .ד

24שאלה

בסטטיסטיקה. באיזה מקצוע היא יותר טובה יחסית לכיתתה? 82באנגלית ו 92יערה קיבלה

אנגלית. .א

סטטיסטיקה .ב

אותו דבר יחסית. .ג

אין מספיק נתונים כדי לענות על השאלה. .ד

25שאלה

ש את השונות של הציונים בסטטיסטיקה העתיק בבחינה. הוחלט לחשב מחד 80עודד שקיבל

בסטטיסטיקה בלעדיו. השונות החדשה :

תקטן .א

תגדל .ב

לא תשתנה .ג

אין לדעת .ד

70


26שאלה

חושב הטווח הבין רבעוני עבור התפלגות מסוימת והתקבלה התוצאה אפס. לכן:

מהתצפיות זהות. 50%לפחות .א

סטיית התקן היא אפס. .ב

ההתפלגות היא סימטרית. .ג

מצב זה כלל לא יתכן. .ד

27לה שא

נתונה התפלגות של משתנה כלשהו.

התצפיות הנמוכות 20%התצפיות הגבוהות ביותר שווה לטווח של 20%הטווח של .א ביותר.

התצפיות המרכזיות הינו הטווח הבין רבעוני. 50%הטווח של .ב

הרבעון העליון שווה לרבעון התחתון. .ג

.הטווח הבין רבעוני הוא מחצית מהטווח .ד

28-29סים לכל השאלות הנתונים הבאים מתייח

חוקר רצה לחקור את הקשר הקווי שבין הציון במבחן הרשות בסטטיסטיקה ומימון לבין מספר

סטודנטים שנבחנו בקורס נרשמו התוצאות 100שעות ההכנה של הסטודנטים למבחן. במדגם של

נה . מספר שעות ההכ27עם סטיית תקן של 65הבאות : הציון הממוצע של הסטודנטים היה

.0.8. מקדם המתאם בין הציון לשעות ההכנה היה 18עם סטיית תקן של 30הממוצע היה

28שאלה

על פי משוואת הרגרסיה של שעת הכנה נוספת משפרת את ציון המבחן ב:

נקודות. 1.5 .א

נקודות. 0.53 .ב

נקודות. 0.66 .ג

נקודות 1.20 .ד

נקודת. 0.96 .ה

71


29שאלה

למבחן ללא שעות הכנה כלל יקבל ציון : על פי משוואת הרגרסיה תלמיד שייגש

.29 .א

.0 .ב

.33 .ג

.24 .ד

.26 .ה

30שאלה

אם מקדם המתאם בין שני משתנים הוא שלילי אזי:

הערכים של המשתנים הם שליליים. .א

ככל שמשתנה אחד עולה השני עולה. .ב

ככל שמשתנה אחד יורד השני יורד. .ג

קיימת טרנספורמציה לינארית שלילית בין שני המשתנים. .ד

נה אינה נכונה.אף טע .ה

31שאלה

חדה וצרה יותר במרכזה אזי: תככל שההתפלגות הנורמאלי

השונות שלה יותר גבוהה .א

הממוצע שלה יותר גבוה .ב

היא מייצגת אנשים גבוהים יותר .ג

השונות שלה נמוכה יותר .ד

החציון שלה גבוה יותר .ה

32שאלה

מדידות שלא כולן זהות. Nנתונה סדרה של

תשנה ו לסדרה ושתיהן זהות לממוצע הסדרה. האם וכיצדנניח ששתי מדידות נוספות צורפ

הוספת שני הערכים החדשים את שונות הסדרה?

שונות הסדרה תקטן .א

שונות הסדרה תגדל .ב

לא ניתן לדעת, זה תלוי במספר התצפיות .ג

.לא ניתן לדעת, זה תלוי בערכו של הממוצע .ד

72


33שאלה

3שנים. בעוד 8ית התקן של הוותק שנים וסטי 12הוותק הממוצע של עובדי מפעל מסוים הוא

נקבל כי: –אם כל העובדים ימשיכו לעבוד במפעל ולא יתווספו עובדים חדשים –שנים

שנים 8שנים וסטיית התקן 15הממוצע .א

שנים 11שנים וסטיית התקן 12הממוצע .ב

שנים 11שנים וסטיית התקן 15הממוצע .ג

שנים 8שנים וסטיית התקן 12הממוצע .ד

34שאלה

. כיצד ני סטודנטים עזבו את החוג לכלכלה. הציון של כל אחד מהם היה שווה לציון הממוצעש

80אם הממוצע לפני העזיבה היה תשפיע עזיבתם על הממוצע ושונות ציוני התלמידים הנותרים ?

.100והשונות

הממוצע לא ישתנה והשונות תגדל. .א

הממוצע לא ישתנה והשונות תקטן. .ב

השונות לא תשתנה.הממוצע לא ישתנה ו .ג

.הממוצע יקטן והשונות תגדל .ד

הממוצע יגדל והשונות תקטן. .ה

35שאלה

, לכן החציון:20 - ו 100. הוסיפו שתי תצפיות נוספות: 90החציון של סדרת נתונים מסוימת הוא

יקטן. .א

יגדל. .ב

לא ישתנה. .ג


36שאלה

לשכר אז:₪ 200אם נוסיף לכל עובדי החברה ₪ 3000סטיית התקן של המשכורות בחברה הנה

סטיית התקן תגדל אך אין לדעת בכמה. .א

₪. 200 –סטיית התקן תגדל בהכרח ב . ב

סטיית התקן לא תשתנה.ג.

ד. סטיית התקן תקטן.

.לא ניתן לדעת. ה

73


37 שאלה

סטיית 50אם נוסיף עוד שתי תצפיות שערכן . 10וסטיית התקן 50ממוצע של סידרת נתונים הנה

התקן :

תקטן.א.

תגדל.ב.

לא תשתנה.ג.

אין לדעת.ד.

38 שאלה

בהתפלגות אסימטרית עם זנב ימני ציון התקן של הרבעון התחתון:

בהכרח שלילי. .א

בהכרח חיובי. .ב

אפס. .ג


39שאלה

יתן לומר על המשתנה?אם השונות של המשתנה שווה אפס. מה נ

א. עולה.

ב. יורד

ג. קבוע

ד. נורמלי

ה. לא ניתן לדעת

40 שאלה

. 10עם שונות Wנתון משתנה מקרי

? 2פי Wמה תהיה השונות אם נכפיל את ערכי המשתנה

20א.

10ב.

400ג.

40ד.

0ה.

74


41שאלה

נמצא שקיים מקדם מתאם חיובי בין הציון בעברית לציון בחשבון בבחינה לכן :

הדבר מעיד שהציונים בכתה היו חיוביים. .א

ככל שהציון של תלמיד יורד בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית. .ב

רדת בעברית.ככל שהציון של תלמיד עולה בחשבון יש לו נטייה ל .ג

אף אחת מהתשובות לא נכונה. .ד


Y - בציר האופקי) ו-(משתנה בלתי תלוי Xיאגרמת פיזור של שני משתנים בגרף הבא מתוארת ד

(משתנה תלוי), כמו כן הועבר קו הרגרסיה וחושב ריבוע מקדם המתאם.

42שאלה

לאור הנתונים המופיעים בדיאגרמה איזה מבין הערכים הבאים מתאים להיות התוצאה של

מקדם המתאם שתופעל על הנתונים?

0.52 .א

0.52- .ב

0.72- .ג

0.72 .ד

R² = 0.52

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

75


43שאלה

ברגרסיה? bמה תהיה התוצאה הכי מתאימה לפרמטר

0.52 .א

2.79 .ב

2.79- .ג

0.52- .ד

44 שאלה

?X–מהו טווח התפלגות התצפיות של המשתנה הבלתי תלוי

5 .א

12 .ב

6.5 .ג

7 .ד


מספר מצברים במאות) ימים את התפוקה היומית ( 40במפעל לייצור מצברים לרכב בדקו במשך

ואת מספר הפועלים שעבדו באותו היום.

להלן טבלה המסכמת את האינפורמציה שנאספה על שני המשתנים:

מספר פועלים תפוקה

15 48 ממוצע

2 10 סטיית תקן

45שאלה

איזו טענה מהטענות הבאות נכונה?

עובדים. 17המספר המקסימלי של העובדים במפעל הוא .א

מצברים. 192,000ימים הללו הייתה 40 - וללת במשך ההתפוקה הכ .ב

מאות. 20הטווח של התפלגות תפוקת המצברים הוא .ג

אף אחת מהטענות לא נכונה. .ד

76


46שאלה

( מקדם ההשתנות ) CVלפי קריטריון

הפיזור באופן יחסי שווה בין התפוקה היומית לכמות הפועלים העובדים ביום. .א

ור התפוקה היומית מאשר עבור מספר הפועלים ביום.הפיזור יחסית יותר גדול עב .ב

הפיזור יחסית יותר גדול עבור מספר הפועלים ביום מאשר עבור התפוקה היומית. .ג

.CVאין מספיק נתונים כדי לחשב את .ד

47שאלה

13מאות מצברים ובאותו היום עבדו 50באחד הימים מתוך כלל הימים שנבדקו התפוקה הייתה

פועלים.

יותר חריג באותו היום יחסית לשאר הימים שנבדקו נתוני התפוקה או כמות הפועלים?מה

חריגים באותה מידה. .א

כמות הפועלים. .ב

התפוקה. .ג

חסרים נתונים כדי לדעת זאת. .ד

48שאלה

התפלגות הציונים במבחן מסוים היא סימטרית לכן:

סטיית התקן של הציונים היא אפס. .א

מוצע.הציון החציוני שווה לציון המ .ב

העשירון העליון שווה לעשירון התחתון של הציונים. .ג

כל הטענות בשאר הסעיפים לא נכונות. .ד

49שאלה

. אם חל גידול של 0.7משפחות חושב והתקבל 10מקדם המתאם בין ההכנסה לבין ההוצאה של

בהוצאה שלה, אזי מקדם המתאם בין ההכנסה 7%יה כולה וגידול של יבהכנסת האוכלוס 5%

המשפחות הנ"ל: 10שה של החד

.0.7שאר ילא ישתנה וי .א

. - 0.7יהפוך להיות .ב

אין מספיק נתונים כדי לדעת מה יהיה מקדם המתאם. .ג

יה כולה.יאפשר לדעת רק מה יהיה מקדם המתאם באוכלוס .ד

.0.7- -ל 0.7בין .ה

77


50שאלה

איזה מהמשפטים הבאים אינו נכון?

ר לא משפיע על פיזור הנתונים.אם מוסיפים קבוע לתצפיות הדב .א

בהתפלגות סימטרית הממוצע שווה לשכיח. .ב

אם כל התצפיות זהות סטיית התקן בהכרח אפס. .ג

הכפלה בקבוע משנה את סטיית התקן. .ד

51שאלה

איזה מהמשפטים הבאים נכון?

הטווח הבין רבעוני הוא אפס רק אם כל הצפיות זהות. .א

ן בהתפלגות סימטרית.הרבעון העליון שווה לרבעון התחתו .ב

בהתפלגות סימטרית החציון שווה לממוצע. .ג

מהתצפיות נמצאות מעל האחוזון התשעים. 90% .ד

52שאלה

מעוניינים למצוא את הסיכוי לאיחוד שני מאורעות. מותר לחבר הסתברויות אלה בשביל זה ,רק

אם המאורעות:

זרים. .א

לא זרים .ב

תלויים .ג

בלתי תלויים .ד

53שאלה

הכפלה בגודל קבוע לכל תצפיות סדרת נתונים.

תגדיל את סטיית התקן. .א




78


54שאלה

מ"מ וסטיית 10רמלית עם תוחלת בעיר "חולית", בקיץ, כמות הגשם היורד בחודש מתפלג נו

.3מ"מ וסטיית התקן 10, ובחורף עם תוחלת 2התקן

מ"מ גשם? 12איפה יש יותר סיכוי שירד יותר מ

בקיץ .א

בחורף .ב

סיכוי שווה. .ג


55שאלה

שווה לממוצע. ציון התקן של הממוצע יהיה: 40-בהתפלגות שבה המאון ה

חיובי. א.

שלילי. ב.

אפס. ג.

לא ניתן לדעת. ד.

79


פתרונות:

ב 47 א 38 ד 31 ג 21 ב 11 ב 1

ב 48 ג 39 א 32 ה 22 ב 12 ב 2

א 49 ד 40 א 33 ב 23 ד 13 ג 3

ב 50 ב 41 א 34 ב 24 ג 14 א 4

ג 51 ג 42 ג 35 ב 25 ב 15 ג 5

א 52 ג 43 ג 36 א 26 ג 16 ג 6

ד 53 א 44 א 37 ב 27 ג 17 ג 7

ב 54 ב 45 ד 28 ג 18 ב 8

ג 55 ב 46 א 29 ב 19 א 9

ה 30 א 20 א 10

תא ןכו , םיליגרתה רפסל םיאלמ תונורתפ7 -ל וסנכ יה ואדיו...

Documents