به نام خدا محاسبات عددی روش های ریشه...

مقدمهاهداف:خطيغيرمعادالتريشهمحاسبه•ايچندجملههايريشه•غيرخطيمعادالتدستگاه•

عدديهايروشبنديدستهتابعمشتقبهوابستگيعدم•تابعمشتقبهوابسته•

دسته بندي دوم روش هايعددي

دامنه محدود •نامحدوددامنه•

رهيافت هاي محاسباتي :سعي و خطا •( بسته)دامنه محدود •دامنه نامحدود•

رهيافت هاي محاسباتي روش هاي سعي و خطا

فرض جوابx = α محاسبه ،f(α) تكرار آلگوريتم تا ،f(α)≈0

.توقف محاسبه

( بسته)دامنه محدودفرض جواب در محدودهa < x < b ، ، كاهش دامنه بصورت

.سيستماتيك با حفظ جواب در داخل دامنهدو روش متداول: (bisection method)نصف كردن بازه( 1

False position or regula)موقعيت خطا ( 2 falsi)

3

ادامه رهيافت هاي محاسباتينامحدوددامنه

مشخصمحدودهدرريشهحفظعدم.جوابتخمينبرايتابعاطالعاتازاستفاده.متداولروشچهار:ثابت،نقطهروش.1نيوتن،روش.2.سكانتروش.3.مولرروش.4رنظموردنامحدوددامنهيابيريشههايشيوهازاولروشسهتنهااينجادر*

.هستند

4

روش هاي دامنه محدود

(بسته)5

(Bisection)روش نصف كردن بازه بيان رياضي :f(x)=0

يك ريشه در بازه معين: محدوديت هاي روش.فرضيات رياضياتي:

•y = f(x) دربازه[a,b]پيوسته است.

f(a).f(b) < 0 •

f’(x) ≠ 0 •

حالت مناسب:

6

(Bisection)الگوریتم روش نصف كردن بازه

گام اول :

گام دوم:

گام سوم :

گام اولاگر شرط فوق برقرار باشد، به مرحله چهار برو، در غيراينصورت بازگرد به

نمايش : گام چهارمcبه عنوان ريشه و پايان الگوريتم.7

(Bisection)ادامه الگوریتم روش نصف كردن بازه

:معایب:مزایا .نرخ همگرائي كند* روش ساده و محاسبه خطا آسان *

. در موارد خاص روش به جواب نمي رسد* 8

(Bisection)روش نصف كردن بازه matlabبرنامه

9

Bisectionمثال ریشه یابي به شيوه

10

Bisectionمثال ریشه یابي به شيوه

11

رسم تابعf(x)=x3-x2-1 [2 ,1]در بازه

(Bisection)روش نصف كردن بازه درشدهذكرديگرهايفرمولازتوانميخطا،محاسبهبراي:1نكته

:كرداستفادهدرسيكتاباز37يصفحه

يايا

تحويلموعد)درسيكتاب2.1بخشاز6و2،4مسائل:تمرين:93/07/26)

| |n n

n

a b

a

| |n na b

12

2.1مجموعه مسائل بخش

13

False position روش

2 1

3 2 2

2 1

( )( ) ( )

x xx x f x

f x f x

3x

1 1( , ( ))x f x

2 2( , ( ))x f x

تابع غيرخطيf(x) در بازه[a,b]بصورت خطي تقريب زده مي شود.

روشFalse PositionنامبهكهRegula Falsiمشابهاست،مشهورنيزابكهاستبرتريايندارايكهتفاوتاينبامي باشد،Bisectionشيوه ي.مي دهدبدستراجوابقبل،شيوه يازبيشتركميسرعت

تالقيمحلازكهجديدمعادلهنقطهدوبينواصلخط

:شودميحاصلو

14

(False Position)الگوریتم روش موقعيت خطا

گام اول :

گام دوم:

گام سوم :

گام اولاگر شرط فوق برقرار باشد، به مرحله چهار برو، در غيراينصورت بازگرد به

نمايش : گام چهارمcبه عنوان ريشه و پايان الگوريتم.

n

n

n

n

bc

bf

ac

af

nn

nnnn

bfaf

babfbc

an

bn

f(an)

next estimate,

c

f(bn)

F(c)

nnn

nnnn

bbcaotherwise

aacbafcfif

11

11

,

,0)().(

2111 ||/|| ceorandabe nnnn

15

False positionالگوریتم روش

16

False positionروشMatlabبرنامه

function false(f,a,b,tol,n)

% False position method for solving the nonlinear

% equation f(x)=0.

a0=a;

b0=b;

iter=0;

u=feval(f,a);

v=feval(f,b);

c=(v*a-u*b)/(v-u);

w=feval(f,c);

disp('_________________________________________')

disp(' iter a b c f(c) |b-a|')

disp('_________________________________________')

fprintf('\n')

if (u*v<=0)

while (abs(w)>tol)&(abs(b-a)>tol)&(iter<=n)&((v-

u)~=0)

w=feval(f,c);

fprintf('%2.0f %12.4f %12.4f %12.6f %10.6f

%10.6f\n',iter,a,b,c,w,abs(b-a))

17

if (w*u<0)

b=c;v=w;

end

if (w*u>0)

a=c;u=w;

end

iter=iter+1;

c=(v*a-u*b)/(v-u);

end

if (iter>n)

disp(' Method failed to converge')

end

if (v-u==0)

disp(' Division by zero')

end

else

disp(' The method cannot be applied f(a)f(b)>0')

end

% Plot f(x) in the interval [a,b].

fplot(f,[a0 b0])

xlabel('x');ylabel('f(x)'); grid

False Positionمثال ریشه یابي به شيوه

18

(False Position)روش موقعيت خطا

تحويلموعد)درسيكتاب2.2بخشاز3و2و1مسائل:تمرين:93/07/26)

19

1 1

1 1

0,1, ...,

( ) ( )

( ) ( )

( ). ( ) 0, ,

, , .

n n n n

n n

n n n n

n n n

for n ITMAX

f b a f a bc

f b f a

if f a f c set a a b c

otherwise set a c b b


20

روش هاي دامنه نامحدود

21

روش سکانت

و دو تقریب اوليه آن حول صفر تابع Secantشيوه ي αبه نام

22

Bisectionروش هايآنجائيكهاز

Falseو Positionكميسرعتباذالمي كنند،ميلريشهسمتبه

يافتنبرايسريعترايشيوه چنينيك.استنيازريشه

نامSecantشيوه يشيوه اي،Falseشيوه يمشابه.دارد

Position،ربنيزروشايناساسقطريازتابعريشه زدنتقريب

ودكهداردقرارمستقيمخطيكگريكديبهراتابعنمودارازنقطهكهنيستنيازيامامي كند،وصلدارايحتماًاوليهحدسنقاط

.باشندمخالفعالمت

(Secant)الگوریتم روش سکانت

گام اول :

گام دوم:

اگر شرط فوق برقرار باشد، به مرحله چهار برو،: گام سوم: در غيراينصورت داريم

نمايش : گام چهارمxi+1به عنوان ريشه و پايان الگوريتم.

iiii xxxxSet 11 ,

2111 |)(|/|| iniin xfeorandxxe

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx

1

11

23

ریشه یابي به روش سکانتMatlabشبه كد و برنامه شبه كد

24

تابعMatlab براي روش سكانت

مزایا و معایب ریشه یابي به روش سکانتمزايا:همگرايي سريع( 1

به مشتق نيازي ندارد( 2

25

معايبغيرحدازبيشتابعچنانچه(1

حالتي،چنيندرباشد،خطيگامدرشدهيافتهايريشهبههمگراييجايبهبعدي،هاي

راواگشكل،مطابقريشه،سمت.گردندمي

x0 x1r x2

Secantمثال ریشه یابي به شيوه

26

(Secant)روش سکانت

تحويلموعد)درسيكتاب3.2بخشاز4و1مسائل:تمرين:93/07/26)

27

for n=1,2,…, ITMAX

1

1

1

( )[ ]( ) ( )

n n

n n n

n n

x xx x f x

f x f x

1

1

1

| || ( ) | , | |

| |

n n

n n n

n

x xf x x x or

x


28

روش نيوتناستجوابنزديكاوليهفرضكهموارديكليهدرتقريباًكهقويروشي

.همگراستمنحنيبرمماستابعريشهازاستفادهمبنايبرآلگوريتم

29

(Newton-Raphson)الگوریتم روش نيوتن

گام اول :

گام دوم:

اگر شرط فوق برقرار باشد، برو مرحله چهار،: گام سوم: در غيراينصورت داريم

نمايش : گام چهارمxi+1به عنوان ريشه و پايان الگوريتم.

1 ii xxSet

2111 |)(|/|| iniin xfeorandxxe

i

iii

xf

xfxx

1

30

ایرادات روش نيوتن

انتخابعدمصورتدرواگراييايبرمثالًمناسب،شروعنقطههيچگاهشده،دادهنشانحالتهاxمحورمشتقازحاصلخط

.كندنميقطعرا

همحاسبغيرقابلياومشكلازهبنقاطدرتابعمشتقبودن

شدهدادهاي

31

Newtonمثال ریشه یابي به شيوه

32

(Newton)روش نيوتن تحويلموعد)درسيكتاب2.4بخشاز4و1مسائل:تمرين:

93/07/26)

33

(Fixed-Point)روش تکراري نقطه ثابت .كندميمشخصرا

بهوقفپروسهوپيوستهتابعيكgاگربهnاگريعنيشود،همگراαمقدار=pnوكردهميل،∞سمت αگرديدصفحههمينمعادلهفرمبهمعادلهجوابابتثنقطه،هندسيبطور.آيدميبدست

pتابعازgخطبرخوردمحلy=xو.باشدميy=g(x)تابع

34

موردحالبهتاكهييروش هاتماميازمثال هاييگرفتندقراربررسيوبحث

ايندر.بودندعملياتتكرارروش هايعملياتازديگرمهميشيوهيكبخشg(x)=xفرمبهمعادالتحلبرايراتكرار

رايبكهثابتنقطهروش.نماييمميمعرفيكاربهgتابعازثابتاينقطه تعيينp0مثلاوليهحدسيكازابتدادر،مي رود

سرييك،اوليهحدساينكهمي شودآغازروشطريقازآمدهبدستمقاديراز

1 ( ), 0,1, 2...n np g p n

ادامه روش تکراري نقطه ثابت

و Fixed-Pointتکرار -2.9شکل واگرایي آن از نقطه

35

Fixed-Pointروش تکرار -2.8شکل

و همگرایي آن به نقطه

شبه كد ریشه یابي به روش نقطه ثابتشبه كد

36

Fixed-Pointمثال ریشه یابي به شيوه

37

(Fixed-Point)روش نقطه ثابت (93/07/26:تحويلموعد)درسيكتاب2.5بخشاز4و3مسائل:تمرين

38

(Fixed-Point)روش نقطه ثابت (93/07/26:تحويلموعد)درسيكتاب2.5بخشاز4و3مسائل:تمرين

39

مرتبط با ریشه یابيMatlabبرخي دستورات

40

مرتبط با ریشه یابيMatlabادامه برخي دستورات

41


42


43


44

(93/07/26:تحويلموعد):تكليفعدديمحاسباترهيافتچهاز،MATLABافزارنرمدرشودبررسي1)

rootsدستورتوسطايجملهچنديكهايريشهكردپيدابراي

شود؟مياستفادهافزارنرمدرديگريتوابعودستوراتچهrootsدستورازغير2)

MATLABشود؟مييافتغيرخطيمعادالتيابيريشهبراي

به نام خدا محاسبات عددی روش های ریشه...

Documents