لامتحا عیزوت لامتحا یلاگچوcld.persiangig.com/dl/loniow/echapter3.pdf · 83...
TRANSCRIPT
سومفصل
توزیع احتمال
وچگالی احتمال
83 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
یک متغیر تصادفی متغیری است که برای هر برآمد یک آزمایش مقدار عددی منحصر به فرد :تعریف
.دارد
سوال 01یک شرکت به متقاضیان کار یک آزمون چند جوابی می دهد که این آزمون شامل :مثال
متغیر تصادفی می تواند تعداد جواب های صحیح هر شرکت کننده باشد لذا این متغیر می تواند . است
.و ده را به خود بگیرد.... هر یک از مقادیر صفر و یک و
متغیر تصادفی را تعداد مشتریان خانم از . ه انتخاب کنیممیخواهیم سه مشتری از یک فروشگا :مثال
را به 3و1،0،0بنابراین متغیر تصادفی می تواند هر یک از مقادیر . بین این سه مشتری در نظر بگیرید
.خود بگیرد
می توان قد این کودک . شرایط رشد جسمانی یک کودک در ابتدای هر ماه اندازه گیری می شود :مثال
.ی هر ماه به عنوان متغیر تصادفی در نظر گرفترا در ابتدا
تعریف:
متغیری است که مقادیر متمایز متناهی یا مقادیری که قابل شمارش باشند : متغیر تصادفی گسسته
(0و 0مانند مثال ) را به خود می گیرد
مقادیر بی شماری را به خود میگیرد که این مقادیر می تواند با نقاط روی :متغیر تصادفی پیوسته
(3مثال )محوراعداد حقیقی متناظر شوند
می دانیم در آمار استنباطی اغلب به جای استفاده از جامعه یک نمونه مورد : تابع توزیع احتمال
است و باید اطلاعاتی درباره بررسی قرار می گیرد و معمولا حجم نمونه نسبت به جامعه بسیار کوچک
توزیع های احتمال به ما کمک می کنند که . نمونه را همراه با دانش عمومی توزیع جامعه به کار بگیریم
.بتوانیم استنباط آماری را به شکل ساده تری انجام دهیم
83 توزیع احتمال و چگالی احتمال: فصل سوم
.که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید از آنجایی
توزیع احتمال متغیر تصادفی گسسته:
..متغیر تصادفی را می دهد یک توزیع احتمال تابعی است که احتمال مربوط به هر
متغیر تصادفی تعداد بهبود یافتگان می . فرض کنید دارویی برای دو مریض تجویز شده است: مثال
جدول زیر احتمال مربوط به هریک از این متغیر . را به خود بگیرد 0و0و1می تواند مقادیر xلذا . باشد
.ها را نشان می دهد
X P(X) 1 0
4
0 00
0 04
دقت داشته باشید که در این نمودار مساحت زیر . همچنین می توان نمودار مستطیل این جدول را رسم نمود
.مستطیل برابر یک است
اگر متغیر تصادفی تعداد رو شدن شیر باشد، جدول توزیع . سکه سالمی را دوبار پرتاب می کنیم :مثال
.احتمال مربوط به این آزمایش را رسم نمایید
1 00
00
04
0 00
00
00
00
00 0 و
00
00
04
1/4
1/2
1/4
X P(X) 1 0
4
0 00
0 04
04 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
o باشد، جدول 6اگر متغیر تصادفی تعداد رو آمدن عدد . بار پرتاب می کنیم 0تاس سالمی را :تمرین
.توزیع احتمال و نمودار مستطیلی را رسم نمایید
دیدیم که توزیع احتمال یک تابع است که به ازای هر مقدار متغیر تصادفی: تذکرX احتمال وقوع آن را
f(x)خواهیم ببینیم تحت چه شرایطی یک تابع باشد می f(x)اکنون فرض کنیم . مشخص می کند
.می تواند یک تابع توزیع احتمال باشد
برای اینکه تابعf(x) دنتابع توزیع احتمال باشد، باید شرایط زیر برقرار باش:
:داشته باشیم Xبرای هر یک از مقادیر ( الف
0 ( ) 1f x
:همه مقادیر خود را اختیار کند داشته باشیم Xاگر ( ب
( ) 1f x
فرض کنید :مثالX را اختیار کند آیا تابع 3و0و0و1میتواند هر یک از مقادیر
5توزیع یک
احتمال است؟
شرط الف) 1 1
5 0 1
0
5 0 1
0
5 0 1
3
5 0
شرط ب ) 1
5
0
5
0
5
3
5
5
5 0
o آیا تابع :تمرین
01باشد، یک توزیع 4تا 1می تواند هریک از مقادیر صحیح xکه در آن
احتمال است؟
04 توزیع احتمال و چگالی احتمال: فصل سوم
.که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید از آنجایی
اگر :تعریفx یک متغیر تصادفی گسسته باشد تابعی با ضابطه زیر را تعریف می کنیم:
را تابع توزیع تجمعی یا به طور خلاصه تابع توزیع متغیر F(x)تابع.می باشد xمقدار احتمال f(x)که در آن
.می نامیم Xتصادفی
فرض کنید سکه سالمی را دوبار پرتاب می کنیم تابع توزیع تعداد کل شیرهایی که در این دو :مثال
.پرتاب رو می آیند را بدست آورید
X f(x) F(x)
1 04
04
0 00
34
0 04 0
اگر :قضیهF(x) تابع توزیع متغیر تصادفیx باشد به ازای هر دو عدد حقیقیa , b به طوریکه
:همواره داریم
اگر . مهره بیرون می آوریم 0مهره سیاه به صورت متوالی 3مهره سفید و 5از کیسه ای محتوی :مثال
.تابع توزیع تجمعی آنرا بدست اورید. متغیر تصادفی تعداد مهره های سفید بیرون آمده باشد
1 38
07
656
0 38
57
58
37
3156
0 58
47
0156
X f(x) F(x)
1 656 6
56
0 3156 36
56
0 0156 0
04 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
تابع توزیع تجمعی به ازای بیشترین مقدار متغیر همواره برابر یک دقت داشته باشید که مقدار : تذکر
.است
تابع چگالی احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته
فرض کنید در یک کارخانه نوشابه مقدار واقعی نوشابه ای که ماشین بطری پر کنی در بطری :مثال
نوشابه پر شده در هر بطری یک واضح است که چون مقدار.ریزد متغیر تصادفی باشد می 311ccهای
.عدد حقیقی است متغیر تصادفی پیوسته می باشد
. گرد کنیم، در این صورت متغیر تصادفی گسسته خواهد بود 0ccاکنون فرض کنید مقادیر نوشابه بطری ها را تا
.می توان مقادیر این متغیر تصادفی را با نمودار زیر نمایش داد
.گرد شوند نمودار فوق به نموداری شبیه زیر تبدیل می گردد 1.0ccا اگر مقادیر نوشابه ت حال
299 300 301
299 300 301
08 توزیع احتمال و چگالی احتمال: فصل سوم
.که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید از آنجایی
یا بیشتر گرد شوند شکل فوق رفته رفته به منحنی 1.110ccو 1.10ccواضح است که اگر این مقادیر به اندازه
.زیر نزدیک می شود
تابع :تعریفf(x) که روی مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده است را تابع چگالی احتمال متغیر
: داشته باشیم به طوریکه bو aمی نامیم هرگاه به ازای دو عدد حقیقی xتصادفی پیوسته ی
اگر :قضیهx یک متغیر تصادفی پیوسته باشد وa وb دو عدد حقیقی باشند به طوریکه
:آنگاه
P(a)=1 :در نتیجه
تابع :2قضیهf را می توان به عنوان تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته مانندX در نظر
:دارای شرایط زیر باشد fگرفت هرگاه
: داریم برای هر (0
1
00 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
:یعنی.است 0احتمال کل فضای نمونه برابر با ( 0
0
اگر متغیر تصادفی :مثالX ل زیر باشددارای چگالی احتما:
1سایرنقاط 1
.را بیابید kمقدار ( الف
1 ( ب 0
0 .را بدست آورید
-حل-
0 می دانیم(الف
:پس داریم
1
1
1
1
1 0
(ب
1 00
001
00 1
00
00
1
0
00
1
04 توزیع احتمال و چگالی احتمال: فصل سوم
.که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید از آنجایی
اگر :تعریفx متغیر تصادفی پیوسته باشد که مقدار چگالی احتمال آن به ازائt برابرf(t) باشد، انگاه
:را به صورت زیر تعریف می کنیم Fتابع
.می نامیم Xیا به طور خلاصه تابع توزیع Xرا تابع توزیع تجمعی Fتابع
اگر :قضیهf(x) وF(x) به ترتیب مقادیر تابع چگالی و تابع توزیعX باشند آنگاه به ازا هر دو عدد
:داریم که bو aحقیقی
:و نیز
1 تابع توزیع متغیر تصادفی مثال قبل را بیابید و سپس با استفاده از آن :مثال 0
0را
.محاسبه کنید
-حل-
1 1
1 1
1
1
1
0
04 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
0 11 1
1 00
00 1
00 0 1 0
00 0
برای متغیر تصادفی :مثالx که تابع توزیع آن به صورت زیر می باشد:
1 1 1 00 0
.کنیدتابع چگالی احتمال را بیابید و نمودار آنرا رسم
-حل-
1 10 1 01 0
0 1 0 سایرنقاط 1
04 توزیع احتمال و چگالی احتمال: فصل سوم
.که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید از آنجایی
میانگین واریانس و امید ریاضی
اگر :تعریفX یک متغیر تصادفی باشد که تابع چگالی یا تابع توزیع احتمال آنf(x) است میانگین
X که با𝜇 تعریف می شود به صورت زیر است:
𝜇 گسسته
𝜇 پیوسته
:به صورت زیر می باشد Xهمچنین واریانس
0 𝜇 0
گسسته
0 𝜇 0
پیوسته
:برابر است با Xمی توان ثابت نمود که به طور معادل واریانس متغیر تصادفی
0 0 𝜇0 گسسته
0 0 𝜇0 پیوسته
0 :برابر است با Xلذا انحراف معیار
03 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
سکه سالمی را دوبار پرتاب می کنیم میانگین و واریانس تعداد دفعاتی که شیر رو بیاید را حساب :مثال
.کنید
𝜇 1 04 0
00 0
04 0
0 10 04 00
00 00
04 00
00
امید ریاضی یا مقدار مورد انتظار متغیر :تعریفX در این حالت همان میانگین است و باE نمایش داده
:یعنی.میشود
گسسته
پیوسته
بازی با اعداد سال ها پیش به وسیله گروهی از تبهکاران شروع شد و اکنون در بسیاری از :مثال
هر شرکت کننده می تواند یک عدد سه رقمی انتخاب . دنیا به طور قانونی جریان دارد کشورهای
سپس عددی سه رقمی به تصادف . و روی آن شرط بندی کند( رقم سمت چپ می تواند صفر باشد)کند
ی شود و اگر این عدد همان عدد فرد شرکت کننده باشد او برنده در غیر این صورت بازنده انخاب م
فرض کنید هر فرد برای شرکت در این بازی مقدار یک دلار پرداخت کند و در صورت برنده شدن . است
این فرد شرکت کننده یا می برد که در. برآمد ساده وجود دارد 0دلار جایزه برای این شرط بندی 511
همچنین میدانیم احتمال برد هر . دلار سود می کند و یا یک دلار ضرر می کند =0-444511صورت
فرد0
0111و احتمال باخت او
444
0111 : در این صورت در جدول زیر خواهیم داشت. است
X f(x)
1 04
0 00
0 04
03 توزیع احتمال و چگالی احتمال: فصل سوم
.که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید از آنجایی
4440111
4440111
5110111
1 5
این بدان معناست که اکر شما به دفعات زیاد در این بازی شرکت کنید به طور متوسط نیم دلار خواهید باخت
به عبارت دیگر اگر در این بازی در یک قمارخانه انجام شود صاحب قمارخانه به طور متوسط از هر بازی نیم دلار
.سود خواهد کرد
خاصی از فاصله بین دو دندانه یک پیچ دارای چگالی احتمال زیر می اندازه گیری کدگذاری :مثال
.مقدار مورد انتظار این متغیر تصادفی را پیدا کنید.باشد
4
1 0
سایرنقاط 1
1
1
4
0
1
1
0
4
01
4
انجام پروازهای به موقع یک شرکت هواپیمایی از مشهد به تهران در جدول زیر داده شده است :مثال
میانگین، واریانس و انحراف معیار را . تعداد پروازهای به موقع در سه پرواز مستقل است xکه در آن
.برای این متغیر تصادفی بنویسید
x f(x) 1 1664
0 16008
0 16430
3 16006
P(x) (سود) X برآمد
دلار 444 برد 00111
دلار -0 باخت 4440111
44 جزوه آمار و احتمالات مقدماتی
.از آنجایی که این جزوه آزمایشی است،لطفا نظرات خود را به آدرس زیر ارسال نمایید
:می توان جدول فوق را به صورت زیر کامل نمود -حل-
x f(x) xf(x) 0 0 1 1664 1 1 1
0 16008 16008 0 16008
0 16430 16864 4 06708
3 16006 16748 4 06406
36780 ------- 06741 ------ جمع
:پس داریم
𝜇 0674 𝜇0 3 1076
0 3 780 361076 167544
1 7544 0 3006