НЕАССОЦИАТИВНЫЕ БИНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

В. Д. Белоусов

В настоящем обзоре рассматриваются работы по теории квазигрупп и луп, а также по другим системам с неассоциа-тивными бинарными операциями, прореферированные в РЖМат за 1Й62—1965 гг. включительно. Мы также здесь рассмат­риваем некоторые работы, опубликованные за этот же пе­риод; но не прореферированные в РЖМат. ,

К этому времени теория квазигрупп и луп уже оформлена как одна из областей общей алгебры, поэтому в обзоре можно было дать некоторую классификацию. Что касается работ, посвященных системам с неассоциативными операциями вооб­ще, в настоящее время затруднительно дать какую-нибудь классификацию. Эта область современной алгебры, на наш взгляд, еще не накопила достаточно результатов, чтобы счи­тать ее установившейся.

§ 1. Теория квазигрупп и луп 1. Общие вопросы. Итог исследований по теории квази­

групп и луп (в основном по теории луп) подводится в извест­ной монографии Брака [48]. Отметим, что в этой книге весьма подробно рассматривается теория гомоморфизмов, нильпо­тентность и некоторые специфические вопросы теории луп, а также подробно изучены лупы Муфанг, в том числе и ком­мутативные. Имеются и другие небольшие работы, посвящен­ные основным понятиям теории квазигрупп и луп: статья Кертеса [82] о квазигруппах, статья Брака [50] о лупах, в которой указывается связь теории луп с другими смеж­ными областями математики, а также обзорная статья Ацеля

63

{32J, в которой рассматривается связь между теорией квази­групп и теорией сетей.

2. Некоторые классы квазигрупп и луп. Гинзбург [60] изучает частные случаи лупы Муфанг из 16 элементов: еди­ницы алгебры Кэли — Диксона и противоположные элементы образуют лупу Gi. Исходя из других алгебр, определяется лупа С2. Доказывается, что лупа 16-го порядка с тремя обра­зующими, удовлетворяющими некоторым определяющим со­отношениям, изотопна либо С-, либо С2. В. Д. Белоусов [11] дает описание луп, ядра которых имеют индекс два, такие лупы являются лупами со свойством ослабленной обрати­мости (т. е. у (ху)~1 = х~1) и одновременно являются G-лупа-ми. Лупа Q(.) называется G-лупой, если из изотопии луп <?(•) и Q(°) следует изоморфизм этих луп. Отметим здесь, что полное описание G-луп до сих пор не найдено. И. А. Флоря [25, 26] изучает квазигруппы и лупы с одно­сторонней обратимостью. Изучение проводится по схеме, близкой к схеме Брака для изучения луп с двухсторонней обратимостью. В квазигруппах с односторонней обратимостью вводятся специальные элементы Муфанг и Бола. Если лупа (или квазигруппа) состоит целиком из элементов Бола, то она называется лупой (или квазигруппой) Бола. Лупа Бола является естественным обобщением лупы Муфанг. Лупы и квазигруппы Бола подробно изучены в работах И. А. Флори [25], Робинсона [107], а также в работе Глаубермана [61]. В последней работе изучаются лупы Бола, в которых любой элемент имеет нечетный порядок, а также выполняется ра­венство {ху)~1 = х-1 у1; указывается, что такие лупы в не­котором смысле можно вложить в группу; точнее, операция в лупе является производной операцией в группе. Это обстоятельство дает возможность изучать лупы Бола с ПО­МОЩЬЮ теории групп. Таким же методом пользуется и Робин­сон [107].

В. Д. Белоусов [4, 10] изучал дистрибутивные квазигруп­пы (с тождествами x-yz = xy-xz, yz-x = yx-zx). Доказано, что любая дистрибутивная квазигруппа изотопна некоторой коммутативной лупе Муфанг.

Это обстоятельство дает возможность доказать ряд тео­рем о дистрибутивных квазигруппах. Как доказал Фишер [59], группа, порожденная всеми правыми трансляциями дистрибу­тивной квазигруппы конечного порядка, является разрешимой группой. Осборн [102] строит дистрибутивные квазигруппы на множестве комплексных чисел; присоединением одного эле­мента к'Этой квазигруппе получается иеотело. Рудин [108] находит необходимые и достаточные условия, чтобы группа

64'

(абелева) была изотопна идемпотентыой медиальной квази­группе (с тождеством xy-uv --= xu-yv), такая квазигруппа, очевидно, является дистрибутивной. Леводистрибутивные ква­зигруппы труднее поддаются изучению. В. Д. Белоусов и И. А. Флоря [13], а также независимо от них Робинсон [107] доказыв нот, что леводистрибутивная квазигруппа с дополни­тельным- условием х-ху = у изотопна лупе Бола. Первые два автора находят также необходимые и достаточные условия, чтобы леводистрибутивная квазигруппа была изотопной лупе Бола.

Подробнее изучен более узкий класс леводистрибутивных квазигрупп, а именно сердцевины. Понятие сердцевины лупы Муфанг введено Браком [48]. В. Д. Белоусов [6] доказывает, что сердцевина лупы Муфанг является леводистрибутивньш группоидом. Если в лупе можно однозначно извлечь квадрат­ный корень из любого элемента, то сердцевина будет лево-дистрибутивной квазигруппой. Аналогичные результаты полу­чены и для сердцевины лупы Бола независимо друг от друга В. Д. Белоусовьш [9] и Робинсоном [107]. Как показал И. А. Флоря [25], понятие сердцевины можно ввести и в квазигруппах Бола. Для них получены те же самые резуль­таты, что и для сердцевин луп Муфанг и Бола.

Леводистрибутивная квазигруппа является частным слу­чаем .Р-квазигруппы, которые определяются тождеством xy-z = x-ySxz, где Sx — взаимно однозначное отображение квазигруппы на себя. .F-квазигруппы изучены В. Д. Белоусо­вьш [2], доказывается, что они изотопны лупам с тождеством xy-z — x-yQXl yz, где QXi,— некоторый автоморфизм лупы, за­висящий от х и у.

Стейн [122] изучает дважды однородные квазигруппы, т. е. квазигруппы, обладающие дважды транзитивной группой автоморфизмов. Если такие квазигруппы порождаются любыми своими двумя элементами, то ее можно получить из некото­рого почти поля.

3. Взаимно обратные квазигруппы. С каждой квазигруп­пой можно связать еще пять квазигрупп (обратных к дан­ной): яг/= z •<->-x\z = y^zly= х и т. д. Переход от квази­группы к одной из обратных к ней называется парастрофией, этот термин введен Садом [HOT В этой работе он изучает поведение тождеств при парастрофии. С помощью обратных операций вводятся дроби, находятся условия, при которых дроби обладают обычными, свойствами. Произведение пара­строфии и изотопии называется изострофиями. В. Д. Белоу­сов [7] и Арци [34] показали, что все лупы, изострофиые данной лупе, можно получить из двух луп. Отождествляя 5—5903 65

изострофные лупы, можно получить известные классы луп [34]. В. Д. Белоусоз [7] доказал, что если одна лупа являет­ся G-лупой, то все изострофные лупы также являются (З-лупами. Арци .[34] изучает изменение . ядер луп при изо-строфш. Как показали Арци [36] и Сад [115], все преобра­зования изострофий лупы образуют группу. Группа изотопии будет нормальным делителем этой группы. Арци [35] указы­вает на то, что преобразования изотопией играют роль парал­лельного переноса, а преобразования парастрофией — отраже­ния и вращения под углом тс/3 в сетях, соответствующих квазигруппе. Изотопия квазигрупп Q(.) и Q (о), где Q (°)— одна из обратных квазигрупп для Q(.), названа Садом [115] аатопаратопией. Все автопаратопии образуют группу; группа автотопий является ее нормальным делителем. В статье Са­да [118] изучаются автопаратопии вида ax.jty — ~(ух)— ан-тиавтотопии. Находятся условия, при которых множество

.всех автопаратопии и автотопий образует группу. 4. Свободные квазигруппы и лупы. Примитивные классы

квазигрупп. Квазигруппу МОЖНО определить как универсаль­ную алгебру с тремя бинарными операциями, удовлетворяю­щими определенным тождествам. Следовательно,, класс ква­зигрупп является примитивным классом. Е. А. Халезов [27] изучает группы автоморфизмов свободной квазигруппы Q (•). Если Q(-).имеет ранг 1, то она обладает только тождест­венным автоморфизмом. Находится строение автоморфизмов для свободных квазигрупп ранга больше двух, а также на­ходится строение автоморфизмов для свободных луп. Хигман [68] доказывает, что если N — нормальная подлупа,1 свобод­ной лупы F, то NJ[N, F] — свободная абелева группа. Пере­сечение членов нижнего центрального ряда для свободной лупы состоит из единицы. Ивэнс [57] показывает, что суще­ствует такой гомоморфизм а свободной лупы F наконечную лупу L заданного порядка, что ахф\ для любых XQL.

Как показала T. М. Баранович [1], для примитивного класса квазигрупп, луп, а также и других универсальных алгебр справедлива теорема о свободе подалгебры свободной алгебры и теорема, описывающая подалгебры свободного произведения алгебр. М. М. Глухов [15] доказывает, что число образующих конечно определенной лупы (а также и для других классов квазигрупп и луп) .равно сумме соответ­ствующих чисел для всех множителей любого из ее свобод­ных разложений. Ивенс [55] изучает свойства лупы некото­рого примитивного кла.сса, доказывает, что если все лупы примитивного класса К гамильтоновы (т. е. все подгруппы коммутативны), то К — примитивный класс абелевых групп. 66

В другой своей работе Ивенс [52J решает положительно проблему изоморфизма для луп, луп со. свойством обрати­мости (IP-лупы) и др.

Стейн [122] изучает примитивные классы квазигрупп V (Ф), удовлетворяющие системе тождеств Ф. Причем тож­дества из Ф можно представить как равенства произведений трансляций. Стейн доказывает, что существуют примитивные классы, которые не определяются своими конечными моделями.

5. Комбинаторные вопросы теории квазигрупп. В ком­бинаторном анализе принято называть таблицу Кэли конеч­ной квазигруппы латинским квадратом. Мы здесь отметим некоторые статьи о взаимно ортогональных латинских квад­ратах, представляющие интерес и для теории квазигрупп. Сад [113] вводит понятие сингулярного произведения квази­групп, что дает возможность построить пары взаимно орто­гональных латинских квадратов (квазигрупп). Еще раз опро­вергается гипотеза Эйлера о несуществовании ортогональных латинских квадратов размерности я --= 4-% + 2, k -т--1. B этой же работе строится пример квазигруппы Стейна (с тождест­вом х-ху—ух) порядка 13, не изотопной группе. Квазигруп­пы Стейна интересны тем, что они ортогональны некоторым своим парастрофам. Денеш и Пастор [52] показывают, что если из латинского квадрата размерности пХ п(п^З) вы­черкнуты три элемента, то его можно восстановить однознач­но. В этой же работе опровергается гипотеза Уолла: если квазигруппа порядка п содержит т подквазигрупп порядка .s, то п > (т + l)s.

Бос, Чакраварти, Кнут [47] строят новый класс взаимно ортогональных латинских квадратов. . Бос, Шрикхенд, Пар­кер 'доказали существование пар взаимно ортогональных ла­тинских квадратов порядка n = 3k + 1, /г — нечетное число. Меной [94] снимает ограничение для чисел k. Стейн [122] указывает на связь между дважды однородными квазигруп­пами с так называемыми блок-схемами.

6. Системы квазигрупп. Наряду с отдельно взятыми ква­зигруппами рассматриваются и • системы квазигрупп, опреде­ленные на одном и том же множестве, причем зачастую эти квазигруппы связаны некоторыми тождественными соотноше­ниями. Таким образом, системы Q (2), 2 — система квазигруп-повых операций определенных на Q, можно рассматривать как универсальные алгебры. Шауфлер вводит понятие обоб­щенного тождества для случая ассоциативности. В общем случае оно дается в [8]. Системы квазигрупп с обобщенным тождеством в дальнейшем были рассмотрены различными ав­торами. б* 67

В. Д. Белоусов [3,5,8] рассматривает системы квазигрупп с различными обобщенными тождествами. Все квазигруппы из системы Q(2) с обобщенным тождеством ассоциативности (УАВбБ) (аС, D6S) (vx, у, гЩ А [В (х, y),z] = C [x, D (у, г)}, ли­нейны над одной и той же группой, т. е. имеют вид А(х, у)= — ух-с-^у, где <р, if- — автоморфизмы группы Q(-), с — фикси­рованный элемент из Q. Аналогичный результат получается для систем квазигрупп с обобщенным тождеством медиаль-ности. Для систем квазигрупп с обобщенным тождество м транзитивности

(VA, BC62) (3D6S) (Vx, у, z6Q) А [В (у, х), С (г, *)] -= D (у, z) получается следующий результат. Любая квазигруппа из Q(2) имеет вид А{х,у)=ху~1с, где с —некоторый элемент из фиксированного смежного класса по некоторой подгруппе центра группы Q(.). Системы вдешотентных квазигрупп с обобщенными тождествами дистрибутивности

(VA, 562) (ЗС, D, G;D'62) (Vx, у, гЩ

(A[x,B(y,z)] = C[D(x,y),D(x,z)], \А [В (у, г), х] = С [£>' (у, х), D' (г, х)],

строятся над системами Q(20), где 20 состоит из коммута­тивных луп Муфанг, причем эти лупы- связаны следующим .сверхтождеством:

(VU, VeS0)(Vx, у, zGQ) U [V (х, x),V(y, г)] -= V[U(x,y), U(x,z)}.

Сверхтождество, определенное в системе Q(2),-—это обоб­щенное тождество, все символы операций которого могут .принимать любые значения из 2. Наконец, изучены S-системы с обобщенными тождествами: .

(VA, 562) (ЗС, С62) (V., у, гЩ {̂ ^x^ZV^y) (предполагается, что 2 содержит Е (х, у) = y,F(x, у) = х, связанные с почти полями. Система Q(2) называется полной, если ДЛЯ любых a, b, c6Q, аФЬ, существует такая операция AGS, что А (а, Ь) — с. Если Q(S) — конечная полная S-система, тогда существует такое правое' почти поле£2(+, •), что любая операция AGS имеет вид; А{х, у) — х — а (х— у). В Q(+, •) выполняется правый дистрибутивный закон. Сад ]111], поми­мо обобщенного тождества ассоциативности, рассматривает обобщенные тождества коммутативности: (Vcp16S)(3cp26S), Vx, s/GQ, x">, У~УЪХУ обобщенные тождества (v-p16S)(3p26S) 68

(Vx, у) я.--- (х^у) — у и др. Изучаются системы изотопов групп специального'вида и находятся условия, при которых в них выполняются те или иные обобщенные тождества. Сад [112] также рассматривает системы квазигрупп Q(2) с обоб­щенным тождеством типа ассоциативности:

(v<p-, <p2eS) (Ясрз, <р46-2) (Vx, у, гЩ xcp. (г/ср2г) = (х'ъу') Ч<?', где х', у', г' — некоторое перемещение перемен x,y,z. Как и для случая обобщенной ассоциативности, все квазигруппы из 2 изотопны одной и той же группе. Д. В. Лунгу [21] дает описание сверхтождеств типа ассоциативности, содержащих четыре переменных.

7. Геометрические вопросы теории квазигрупп. В тео­рии квазигрупп рассматриваются и различные геометрические вопросы, в основном они связаны с проективной геометрией и с теорией сетей. Как известно, проективная плоскость ко-ординатизируется с помощью тернаров. С каждым тернаром связаны две лупы — аддитивная и мультипликативная. Пара этих двух луп называется двойной лупой. Уйлкер [130, 131] показывает, что если в двойной лупе уравнение х+а = = хЪ ((Ь Ф 1) — единица мультипликативной лупы) разрешимо. то эта двойная лупа соответствует некоторому тернару. Любая бесконечная лупа может быть аддитивной или муль­типликативной лупой некоторого тернара.

Аффинные плоскости можно координатизировать и с по­мощью планарных полулуп (операция в полулупе не опреде­лена всюду). Такой способ координатизации использован в ря­де работ Острома [103, 104, 105]. Остром [105] доказывает, что если пленарная полулупа L определяет аффинную пло­скость порядка п и гомоморфный образ полулупы L ассоциа­тивен, а порядок ядра меньше п, то L— группа. В другой своей работе Остром [103] находит достаточные условия, чтобы Планерная лупа порядка «2 была' ассоциатив­ной, т. е. группой. »

Н. К. Пухарев [22, 23] изучает конечные аналоги пло­скости Лобачевского—регулярные плоскости. Частными слу­чаями этих плоскостей являются конечные проективные

"и аффинные плоскости. Регулярные плоскости координатизи-руются конечными и идемпотентными квазигруппами поряд­ка п, в которых любые два, элемента порождают подквази-группу порядка k(Ak

n — алгебры). Строятся различные такие квазигруппы, в частности медиальные, квазигруппы c пере­численными выше тождествами.

С каждой квазигруппой можно связать некоторые сети, состоящие из точек и трех семейств линий. Ацель [32] и

Г9

Брак [50] дают обзор результатов по применению теории се­тей в квазигруппах, а также перечисляют условия замыкания в сетях. Как пэказывагт Брак [50], существует связь между преобразованием отражения в сетях и понятием сердцевины лупы- Эту связь использовали в своих работах В. Д. Белоу­сов [6,9], И. А. Флори [26], Робинсон [107]. Арци [35] рассматривает другие преобразования в сетях, они связаны с изострофиями в квазигруппах, В ряде работ Нейман [96, 97,98] изучает условия замыкания в сетях.

8. Топологические квазигруппы и лупы. Элемент g лу­пы G называется делимым, если для Vti Ф 0, 3x6G такой, что хп --= g. Лупа G вполне неделима, если только единица дели­ма. Пусть G-—компактная топологическая лупа, каждая па­ра элементов которой содержится в некоторой коммутатив­ной лупе. Гофман [70] показывает, что множество всех дели­мых элементов лупы G является коммутативной подгруппой центра G, a G/D является вполне неделимой и не содержит не тривиальных подгрупп. Как следствие вытекает, что ком­пактная диассоциативная коммутативная лупа является груп­пой. Джеймс [79] изучает Я-подпространства (топологические квазигруппы в категории гомотопий), результаты даются на языке категорий, в которых понятие квазигруппы появляется более естественно.

Хадсон [75, 76] дает описание луп с инвариантной равно­мерностью и топологией я-мерной сферы Sn. В другой рабо­те, используя группы преобразований, Хадсон [76] находит необходимые и достаточные условия, которые надо наложить на пространство X, чтобы X стало топологической лупой, в частности, с левой инвариантной равномерностью. Обзор ра­бот по топологическим двойным лупам дается Гофманом [70]. В работе Лойбеля [87] развивается систематическая теория топологических квазигрупп и луп; она в значительной мере соответствует теории топологических групп.

9. Различные вопросы теории ивазигрупп и луп. Голомб [63] доказывает, что если в лупе элементы a и & не комму­тируют, то она имеет по крайней мере 8 различных элемен­тов. Вагнер [129] указывает, что из примерно 3/8д3 равенств ab-c=a-bc в квазигруппе порядка п вытекает ассоциатив-* ность этой квазигруппы. Маттене [90] находит необходимые и достаточные условия, чтобы лупа была прямым произведением своих двух нормальных подлуп. Макуортер [93] переносит на квазигруппы результаты Манна (G —группа. А, В— такие два подмножества из G, что для любого x£G имеем x==ab, aQA, bGB. Тогда порядок О равен порядку А плюс порядок 5) . Осборн [101] рассматривает некоторое обобщение линейного

70

пространства — векторные лупы с областью операторов У, являющейся кольцом с делителем. Существует взаимное однозначное соответствие с точностью до подобия между векторными лупами и геометриями порядка' п. Под 'геометри­ей порядка п понимается совокупность точек и прямых, удов­летворяющих двум условиям: две точки однозначно опреде­ляют прямую и на каждой прямой находится га + 1 точка. Эттерингтон [54] и Арци [33] применяют теорию , графов для изучения квазигрупп. Эттерингтон формулирует на языке гра­фов несколько простых теорем о квазигруппах с тождествами, таких как rS-квазигруппы, медиальные полусимметрические квазигруппы (с тождеством х-ух —у). Арци каждому группо­иду ставит в соответствие цветной граф — диаграмма Кэли. Находятся необходимые и достаточные условия, чтобы цвет­ной граф представлял квазигруппу, лупу. Также находятся на языке теории графов необходимые и достаточные условия, чтобы все лупы, изотопные коммутативной лупе, тоже были коммутативными (условие Томсена), а также аналогичные свойства.

Сад [116] из-учает понятие полуавтоморфизма- группоида. Отображение х~>х' называется полуавтоморфизмом группои­да Q(-), если (ху-х)' = х'у'-х'. Группа всех полуавтрморфиз-мов группоида совпадает с группой.автоморфизмов группоида Q(о), х°у—ух-у. В связи с этим изучаются полусимметриче-ские группоиды (с тождеством у-ху — у), которые оказывают­ся квазигруппами. В другой работе Сад [109] перечисляет наиболее употребительные в теории квазигрупп тождества, в частности рассматривает простые свойства квазигрупп с тож­дествами Х'Ху—.у, ух-х—у, rS-квазигруппы и др. Здесь же изучаются конечные квазигруппы, любые два элемента кото­рых порождают подквазигруппы.порядка &, см. [109].

В своей работе Брак [49]. продолжает изучение кольца нормальных эндоморфизмов луп. Сумма двух нормальных эндоморфизмов будет эндоморфизмом тогда и только тогда, когда в лупе выполняется тождество (ху)2 = х^у1. B статье изучается лупа с этим тождеством, а также некоторые ча­стные случаи (коммутативные диассоциативные лупы). Матте-не [89, 91, 92] изучает регулярные сократимые отношения эквивалентности на квазигруппах,строит примеры таких отно­шений. Маттене [92] рассматривает и такие конгруэнции, относительно которых все классы являются группами, даёт способ построения квазигрупп с таким свойством. Хос-•су [71] вводит понятие однородного группоида над группой <)(•)• Группоид Q(-) однороден над Q(-), если х°у = ха(х~1у), где о—некоторое взаимно однозначное отображение Q на

71

себя. Находятся условия, чтобы Q(o) был квазигруппой. В. Г. Лемлейн [20] дает полную классификацию конечных примариых квазигрупп с левой единицей, в которых выпол­няется тождество xy-z—zy-x. П. И. Грамма [16] с помощью внутренних подстановок вводит понятие центра квазигруппы— их может быть несколько, доказывает несколько простых

' свойств центра. Ацель [31] и Хоссу [73] изучают функциональные уравне­

ния, в частности, функциональные уравнения на квазигруппах. Рассматриваются функциональные уравнения общей ассоциа­тивности, медиальности, дистрибутивности. Последнее урав­нение

Аг[х, А2(у, z)} = Л3[Л,(х, у), As(x, г)], [1] в частности, на квазигруппах не решено, см., например, Ацель [31]. Как показали В. Д. Белоусов и Хоссу [38], урав­нение (1), в случае когда все At (i — 1, . . . , 5) -— квазигруппы, можно привести к более простому виду и для некоторых частных случаев можно найти решение этого уравнения. С другой стороны Арци [37] рассматривает уравнения в лу­пах. Доказывает, что специальные уравнения с общим неиз­вестным, заданные в лупе L, можно решить в некотором расширении лупы L. Расширению луп посвящены,две работы Нишигори [99, 100]. B них описываются с помощью групп го­мологии лупы Бола, являющиеся расширениями; 1) группы' с помощью группы, 2) группы с помощью лупы Бола. Некото­рое отношение к теории квазигрупп имеет статья Коскаса [84], в которой доказано следующее предложение. Пусть А — ас­социативное подмножество квазигруппы G, т. е. из того, что ахаф5 . . . a,fcA (при некоторой расстановке скобок), следует, что аха2йъ ... ап при любой расстановке скобок тоже принад­лежит А. Пусть хру означает, что для любого ассоциатив­ного подмножества А имеем лгбД-.-* убА. Тогда G/p—группа. В заключение отметим статьи Сада [117, 119], в которых формулируется ряд задач по теории квазигрупп.

§ 2. Другие системы с неассоциативными бинарными операциями

B этом разделе мы рассмотрим работы, посвященные си­стемам с одной или несколькими неассоциативными операция­ми. Множество элементов с одной операцией, вообще говоря, неассоциативной, называется группоидом. Некоторые общие сведения относительно группоидов можно найти в монографин Брака [48], а также в книге Борувка [46]. Как мы уже отме-

72

тили выше, систематизировать результаты по общей теории группоидов в настоящее время затруднительно. Поэтому мы ограничимся перечислением этих результатов, однако попы­таемся объединить их в группы, сходные по тематике. Эле­ментарное введение в теорию группоидов (и в общую алгеб­ру) дается в статье Глейхгевихта [62]. Седлачек [120] по­дробно рассматривает простейшие свойства группоидов с опе­раторами. Расширениям группоидов с операторами посвящена статья Тамура и Бэрнела [126]. Дойл и Уорн [53] дают об­зор по топологическим группоидам. В этой же статье дока­зывается, что если А — подгруппа топологического группоида и А* (замыкание) компактно, то А* — топологическая группа. Прешич [106] находит некоторые зависимости между числами конечных группоидов порядка /г, в которых выполняется тож­дество <?(аи а2, а3, . . . , а„)= ф(al5 a2, а3, . . . , ап). Борувка[45] рассматривает простейшие свойства разбиений группоида на подмножества. Хенке [69] вводит понятие допустимых систем подмножеств частичного группоида и находит необходимое и достаточное условие, чтобы некоторые системы подмножеств были допустимыми. Для группоидов эти условия упрощают­ся. Работа Хиггинса [67] посвящена свободным группоидам и свободным группам с определяющими соотношениями. Полу­ченные результаты применяются к упрощению доказательств теорем А. Г. Куроша, Нильсена — Шрейера. Тамура [124] изу­чает специальный случай прямого произведения группоидов. Как показывает Хоссу [72], функциональное уравнение Пек-сидера можно рассматривать как гомотопшо двух группоидов Q(.) и Q(+): f(x, y)=g(x)+h(y), где Д g, h-- отображения Q на G. При дополнительных условиях доказывается, что G(+) является гомоморфным образом группоида Q(.). В [74] Хоссу изучает функциональные уравнения с алгебраической точки зрения, в частности даются различные обобщения ассоциа­тивного закона.

Несколько работ посвящены упорядоченным группоидам. Бигар [39] изучает упорядоченные группоиды с квазиделением (т. е. Ъх < а, уЬ < а всегда имеют решение). В работах Вли­та [40,41] рассматривается следующее отношение эквива­лентности R в частично упорядоченном группоиде G с деле­нием: а == b (R) *-*• а — аь а2, .. ,,ав = Ь, а и Ъ сравнимы. Отно­шение R является конгруэнцией и если С-группоид с делением, то G/R- — квазигруппа. Леви-Брюл [85] изучает частично упорядоченные группоиды с некоторыми дополни­тельными аксиомами и доказывает для них теорему типа Жордана—Гёлдера.

73

В следующих работах изучаются группоиды, близкие к группам. Группу можно определить как группоид, в котором выполняется некоторая система аксиом, причем эти системы могут быть различными. Исходя, из этих систем, можно прийти к различным обобщениям группы и полугруппы, ко­торые и рассматривают Хащимото [66], Тамура [123, 125], Тамура, Меркел, Латимер [127, 128], Грэем [64]. Следуя идеям Девиде, Зеленко [132] рассматривает группоиды М (•), в которых выполняется ^-ассоциативность: xy-z = <px.(-[.г/.&z), V-коммутативность: xy = ly-\ix, где ?, ф, X, |j, принадлежат некоторому множеству V отображений множества М в себя. Изучаются различные группоиды, для которых множество V является множеством всех подстановок множества М, всех автоморфизмов группоида М(-) и др.

Несколько работ посвящены вопросам о независимости условий ассоциативности, дистрибутивности и др. Если для троек элементов а, Ъ, с выполняется равенство аЪ'С — a -be, то говорят, что для тройки элементов а, Ь, с выполняется условие ассоциативности. Гаврилов и Чобанов [14] доказывают суще­ствование бесконечных группоидов с наперед заданной мощ­ностью множества ассоциативных троек. (Для конечного случая этот результат получен Климеску). Трпеновский [24] определяет независимость троек элементов относительно тождеств типа ассоциативности xy-z = x-zy, xy-z = xz-y и др. и находит минимальный порядок группоидов, для ко­торых все тройки элементов группоида независимы. Хайек [65] изучает группоиды Саса, в которых.все тройки ассоциа­тивны, за исключением одной (a be). Доказываются простые свойства группоидов Саса и дается классификация примитив­ных группоидов Саса (без собственных подгрупп) типа (ааа), (aab), (baa). Аналогичные вопросы для условий дистрибутив­ности a-bc= ab-ac были рассмотрены Боччони [43, 44].

Кеннеди [81] вводит и изучает понятие ассоциативного отображения — однозначные отображения группоида в себя, которые сохраняют порядок скобок в любом из произведений л + 1 элементов. С другой стороны, Чупона [29] изучает ассоциативные конгруэнции а такие, что xy-zax-yz для любых1

х, у, z. Все эти конгруэнции образуют полную структуру. Мулен [96] изучает свойства мутанта группоида; это такое подмножество М группоида, что из x, убМ следует xyGM (дополнение к М). Зельмер [133] вводит понятие псевдогруп­пы, являющееся частным случаем медиального группоида (с тождеством х y-uv = xu-yv). Как указал Б. М. Шайн [30], операция псевдогруппы Q(°) является производной операции группы, определенной на том же множестве: х°у = ху1. 74

Несколько работ близки по тематике к теории квазигрупп. Так, Лойбел [68, 88] рассматривает группоиды с левой еди­ницей, в которых уравнение .ш = Ь разрешимо однозначно (/-системы). Ивенс [56] доказывает ряд предложений, экви­валентных медиальному закону, и применяет полученные результаты к лупам.

В следующих статьях рассматриваются системы с не­сколькими бинарными операциями. Сад [114] доказывает ряд простых предложений о группоидах Q(-) и <2(-), находящих­ся в «ассоциативном» положении, т. е. x°(yz)— x-(yz). Си­стемы из двух группоидов Q(-) и Q(-), в которых операции <•) и (°) находятся В' другом ассоциативном положении, рас­смотрены Казимом и Хусейном [78]

(x-y)oz = x-(y°z), (2) Если добавить еще требование ху = z*->z°y — х, то Q(-,°) называется субстрактивной группой. Авторы [78] рассматри-, вают также и случай, когда в (2) х, у, г, а также (•) и (°) меняются местами соответственно. Хусейн [787] доказывает, что группоид Q(.) тогда и только тогда будет обратным к абелевой группе, когда в Q (•) выполняется тождество у = x{xz-yz). Заметим здесь, что результаты, более сильные в этом направлении, получены еще в 1952 г. Хигманом и Нейманом (Publ. Math. Debrecen, 1952, 2, №3 — 4, 215—221).

В. Д. Белоусов [12] рассматривает системы группоидов Q(S), в которых выполняется сверхтождество медиальности:

(VA£~£)(Vx, у, и, vGQ) А(х + у, и + v) = А(х, и) + А (у, v), где Q(+) — некоторый медиальный группоид. Если Q(2) со­держит квазигруппу, то все группоиды из Q (2) гомотопны одной лупе. Чупона [28] рассматривает систему Q(~h •) и находит условия, накладываемые на операцию (.), чтобы опе­рации (+) и (•) были связаны тождествами типа дистрибу­тивности: х(у + z) •= ху + xz, х(у + z) — ху + г и т. д. Кли-меску [51] показывает, что любую алгебру с финитарными операциями можно представить как алгебру «схез», где схеза—группоид с нулем хО = Ox — 0 для всех х, и ху — О или ху — х или ху = у, если хФО, у¥*0.

Ряд работ посвящен системам с одной неоднозначной операцией (гипергруппоиды, гипергруппы, сверхгруппы). Р. И. Искандер [17, 18, 19] доказывает,, что пересечение сверхгрупп Раутера тоже сверхгруппа Раутера, а также на­ходит некоторые элементарные свойства эндоморфизмов сверх­групп. Конгецов [83] строит гипергруппы, исходя из некото­рого частичного группоида, с помощью бинарного отношения

75

определенности. Боччони [42] изучает условия ассоциативно­сти для гипергруппоидов по той же схеме, как это делает­ся для обычных группоидов с однозначной операцией.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Баранович Т. М., Свободные разложения в некоторых примитив-пых классах универсальных алгебр. Резюме докл. на VII Всесоюзный коллоквиум по общей алгебре, Кишинев, 1965, 9

2. Белоусов В, Д., Об одном классе квазигрупп, Уч. зап. Бельцк. пед. шн-т, I960, вып. 5, 29—46 (РЖМат, 1962, ЗА2Л5)

3. —, Транзитивные в целом системы квазигрупп, Изв. Молд. фил. АН СССР, 1960, № 10(70), 22—30 (РЖМат, 1962, 4А222)

4. —, О структуре дистрибутивных квазигрупп, Матем. сб., 1960, 50, № 3, ,267—298 (РЖМат, 1962, 6А185)

б. —, Ассоциативные в целом системы квазигрупп, Матем. сб., 1961, 55, № 2, 221—236 (РЖМат, ,1-962, 5А218)

6. —, Об одном классе леводистрибутивных квазигрупп, Изв. высш. уч.. зав. Матем. 1963, 1(32), 16—20 (РЖМат, 1963, 7А177)

7. —, Взаимно обратные квазигруппы 'и лупы, Изв. АН МССР, 1963.. №'11,3—10

8. —, Системы квазигрупп с обобщенными тождествами. Успехи матем» наук, 1965, 20, № 1, 75—146 (РЖМат, 1965, 8А194)

9. —, Сердцевина лупы Вола. В сб. «Исслед. по общ. алгебре», Кишинев,. 4965, 53—66 (РЖМат, 1966, ЗА197)

10. —, Две задачи теории дистрибутивных квазигрупп. В сб. «Исслед. по-•алгебре и матем. анализу», Кишинев, Картя Молдовеняскэ, 1965, 109— 11S'(РЖМат, 1965, 9А228)

11. —, Лупы с ядром индекса два. В сб. «Исслед. по алгебре и матем. анализу», Кишинев, Картя Молдовеняскэ, 1966, 11—21 (РЖМат, 1965.. 9А227)

12. —, О сопряженных операциях. В об. «Исслед. по общ. алгебре», Ки­шинев, 1966, 37—52 (РЖМат, 1966, ЗА'1'96)

16. —, Ф л о р я И. А., О леводистрибутивных квазигруппах. Бул. Акад.. Штиинце РСС Молд., «Изв. АН МолдССР, Сер. физ.-техи, и матем. н.»„ 1965, № 7, 3—13 (РЖМат, ,19'66, 3A199)

14. Гаврилов М., Ч о б а н о в И., Индекс на неасоциативиостта на мултипликативии структури. Годишник Софийск. уи-т. Физ-матем.. фак., 1961—11962 ('1963). "56, кн. I, 23—26 (РЖМат, 1964, 9А.199)

15. Глухов М. М., Теорема о минимальном числе образующих свобод­ного произведения некоторых мультипликативных систем (луп, ква­зигрупп и др.), Резюме докл. на VII Всесоюзный коллоквиум по-общей алгебре, Кишинев, '1965, 25

16. Грамма П. И., К понятию центра в квазигруппах. В сб. «Исслед. по общей алгебре», Кишинев, 1965, 81—88 (РЖМат, 1966, ЗА202)

17. Искандеров Р. И., Пересечение сверхгрупп. Тр. Самарканда.;.. ун-та, 1960 .(1981), вып. ,107, 3 - 7 (РЖМат, 1962, 4А232)

1в, —, Пересечение сверхгрупп. В сб. «Материалы 3-й Объедин, научи. конференции ученых г. Самарканда. Сер. гуманитарн. и естеств. и.», Самарканд, Самаркандск. уи-т, 1961, 271 (РЖМат, 1963, ЗА214)

19. —, Эндоморфизмы и автоморфизмы сверхгрупп, Тр. Самаркандск. ун-та, ,196.2, вып. 'Н9, 19—24 (РЖМат, 1963, 8А185)

20. Лемлейн В. Г., Строение конечных антиассоциативных квазигрупп,

76

Резюме доклада на VII Всесоюзный коллоквиум по общей алгебре, Кишинев, 1965, 65

21- Лунгу Д. В. Уравновешенные несократимые сверхтождества пер­вого рода длины 4. В сб. «Исслед. по общей алгебре», Кишинев, 1965, 89—98 (РЖМат, 1966, 5А193).

22. Пухарев Н- К., Некоторые свойства регулярных конечных плоско­стей Лобачевского. Уч. зап. Пермск. ун-т, 1963, № 103, 61—63 (РЖМат, 1964, 12А453)

23. —, Об .4 л''-алгебр ах и регулярных конечных плоскостях, Сибирск. матем. ж., И965, VI, № 4, '89:2-399 (РЖМат, 1966, 1А290)

24. Трпеновски Б., За независноста на некой релации. Годишен зб. Природио-матем. фак. Ун-т CKonje, I960, 13, 33—43 >(РЖМат, 1966, 1А214).

25. Флоря И. А., Квазигруппы Бола. В сб. «Исслед. по общей алгебре», Кишинев, 1965, 136—154 (РЖМат, 1966, ЗА198)

.26. —, Лупы с односторонней обратимостью Бул. Акад. Штаинце РСС Молд., Изв. АН МолдССР. Сер. физ.-техи. и матем. н., 1965, № 7, 68—79 (РЖМат, 1966, 5АЛ92)

'27. Халезов Е. А. Автоморфизмы примитивных квазигрупп. Матем. сб., 1961, 53, № 3, 329—342 (РЖМат, 1Q62, 4А228).

.28. чупона Г., За некой релации мегу бинарните операции, Билтен Друшт, матем. и физ. Н. Р. Македони]а, /1959, 10, б—.27 (РЖМат, 1962, 2А250)

.29. —, За асоцщ'ативните конгруенции. Билтен Дружт. матем. и физ. НРМ, 1962, 13, 5 -12 (РЖМат, 1965, 2А328).

;30. Шайн Б. М., Замечание о статье В. Зелмер, An stiint., Univ. Iasi, 1964, Ser. la, 10, № 2, 265—268 (РЖМат, 1965,1OA207).

31. Aczel J., Ein Blick auf Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen. Berlin, VEB Dtsch. Verl. Wiss., 1962, 22 S. (РЖМат, 1963, 3A215)

32. —, Kvazicsoportok-halozatok-noimogramok. Mat.lapok, 1964, XV, 1—3, 114—162 (РЖМат, 1965, 2A694)

33. Artzy R., Cayley diagrams of binary systems. Duke Math. J., 1961, 28, № 4, 491.—495 (РЖМат, il9'63, 2A223)

.34. —, Relations between loop identities. Proc. Amer. Math. Soc, ,1960, 11, № 6, «47—851 (РЖМат, 1962, 4A230)

:35. —, Net motions and loops. Arch. Math., 1963, 14, № 2, 95—101 (РЖМат, 1964, 3A192)

.36. —, Isotopy and paiastrophy of quasigroups. Proc. Amer. Math. Soc, 1963, 14, № 3, 429—431 (РЖМат, 1964, 3A193)

.37. —, Solution of loop equations by adjunction. Pacif. J. Math. 1963, 13, № 2, 361—363 (РЖМат, 1964, 7A259)

.38. Belousov V. D., H o s s e z u M., Some reductioni theorems of the functional equation of generalized distributwity. Pubis. Math. 1965, 12, 1--4, 175—130 (РЖМат, 1966, 10A183)

.39. Bigard A., Sur quelques equivalences remarquables dans un grou-poide quasi-residue. C. r. Acad, sci., 1964, 253, № 13, 344(4-— 34!l6, (РЖМат, 1964, 11A196)

40. Blyth T. S. La forme generale des structures algebriques residuees. С r. Acad, sci., 19Q2, 254, №42, S1U2—2114 (РЖМат, .1962, 11A180)

41. —, La forme generale des structures algebriques resiiiduees. С. г. Acad. sci., 1962, 254, № 14, 2506—2508 (РЖМат, 1964, 4A217)

42. Boccioni D., Condizioni di associatiwta negli Apergrupoide commu-taitivi. iRend. Seminar, mat. Univ. Padova, 1959, 29, 215—226 (РЖМат,

1963, 2A220) 43. —, Condizioni di distributive con almeno una operazione commuta-

tiva. Rend. Seminar, mat. Univ. Padova, 1961, 31, № 1, 87—103 (РЖМат, 1963., 2A221)

77

!

44. — Condizioni di autodistributivita. Rend. Seminar, mat. Univ. Pa~ dova, 1961, 31, № 1, 171—197 (РЖМат, 1963, 2A222)

45. Baruvka 0., Decompositions dans les ensembles et theore des groupoi-des. Semin,. P. Dubreil, M.-L. Dubre.il — Jacotin et С Pfeot; Fac. Sci . Paris. 1960—1961, 14 annee fasc. 2. Paris, 1963, 22/19—22/35 (РЖМат, 1964, 6A203)

46. —, Zaklady teorie gruppoidu a grup. Praha, NCSAV, 1962, 216 s., 18,20 Kcs (РЖМат, U963, 11A136)

47. Bose R. C, C h a k r a v a r t i J. M,, K n u t h D. E., On methods of constructing sets of mutually orthogonal Latin squares using a com­puter. II. Technometrics, 1061, 3, № :1, 111-117 (РЖМат, 1963, 2A162) •• .

48. Brack R. H., A survey of binary systems. Berlin—Gottingen—Heidel­berg, 1958 (РЖМат, <19б9, 6667K)

49. —, Sums of normal endomorphisms. II. Acta scient. math., 1961, 22 , № 1—2, 6—30 (РЖМат, 1963, 2A218)

50. —, What is a loop? Studies in Math., V. 2, 59—99 51. Climescu A., Une definition unitaire des .algebres a operations fini­

te ires, Bui. Inst, politehn. Iasi, I960, 6, № ,3-4, 1—4 (РЖМат, 19Б2, 5A220)

52. Denes J., P a s z t o r E. A kvazicsoportok nehany problemajarol Magyar tud. akad. Mat. es fflz. tud. oszt. kozl., 4963, 13, № 2, 109—118 (РЖМат, 1964, 4A220)

53. Doyle P. H., W а г n e R. J. Some properties of groupoids, Amer.. Math. Monthly, 1963., 70, № 10, 1051'—1057 (РЖМат, 1964, 9A194)

54. Etherington J. M. N., Note on quasigroups and trees. Proc. Edinburg-Math. Soc, Л963,. 13, № 3, 219—222 (РЖМат, 4965, 1A212)

55. Evans Т., Properties of algebras, almost equivalent to identities, J. London Math. Soc, 1962, 37, № 1, 53-59 (РЖМат, 1963, 3A25B)

56. —, A condition for a group to be commutative. Amer. Math. Monthly, 1961, 68, № 9, 898-899 (РЖМат, 1962, 6A184)

.57. —, The isomorphism problem for some classes of multiplicative systems., Trans. Amer. Math, Soc, 1963, 109, № 2, 303—342 (РЖМат, 19165, 2A327)

58. —, A remark on a paper by Higman, Quart. J. Math., 1965, VB, №62, 191 (РЖМат, 1966, 12A261)

69. Fischer В., Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math. Z. , 1964, 83, № 4, 267—303i (РЖМат, 1966, 4A284)

60. Ginzburg A., A note on Cayley loops. Canad. J. Math., 1964, 16, № 1, 77-81 (РЖМат, 1966, 1A213)

61. Glauberman G., On loops of odd Order., J. Algebra, 1964, 1, № 4, 374—3S6 (РЖМат, 1966, 1A286)

62. Gleichgewicht В., О dzialaniach i grupoidoch. Matematyka, 1964, 17, № 1, 1—IS (РЖМат, 1965, 1A018)

63. Golomb S. W., Distinct elements in non-commutative groups and 'loops. Amer. Math. Monthly, 1963, 70, № 5, 541—544 (РЖМат, 1964, 9A197)

64. Graham N., Note on M-groupoids. Proc. Amer. Math. Soc, 1964, 15, № 4, 525-627 (РЖМат, 1965, 4A194)

66. Hajek P., Die Szaszschen Gruppo.ide. Math.-fyz. casop., 1965, 15, № 1, 15-42 (РЖМат, 1965, 12A260)

66. Hashimoto H., Algebraic systems with an operator. Math. Japan., 1962, 6, № 2, 59-64 (РЖМат, 1965, 2A304)

£f. Hlggins P. J,, Presentations of groupoids with applications to groups. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1964, 60, № 1, 7—20 (РЖМат, 1964.

68. Higman G., The lower central series of a free loop. Quart. J. Math., 196,3, 14, № 54, '131—140 (РЖМат, 1966, 2A326)

69. Hoehnke H. J., Charakterisierug der Kongruenzklassen-Teilsysteme in binaren partiellen Algebren. Math. Nachr., 1963, 25, № 1, 59—64 (РЖМат, 1964, 4A218)

70. Hofmann К. Н., Ober die topologische und algebraische Struktur to- • pologischer Doppelloops und einiger topologischer projektiver Ebenen., Algebraic and Topol. Foundat. Geometry. Oxford — London — New York— Paris, Pergarnon Press, 1962, 57—67 (РЖМат, 1962, 11A17.9)

71. Hosszii M., Homogeneous groupoids. Ann. Math., 1960—1961, 3-4, 95—99 (РЖМат, 1963i, 3A208)

72. —, Remarks on the Pexider's Functional Equation, Studia Univ. Ba­bes—Bolyai. Ser. Math.-phys., 1962, 7, № 1', 99—102 (РЖМат, 1964, 6A205)

73. —, Algebra* rendszereken ertelmezett fiiggvenyegyentetek. I. Algebrai modszerek a fuggvenyegyenletek elmeleteben. Magyar tud. akad. Math., 6s fiz. tud. oszt. kozl., 196.2, 12, № 4, 303—316 (РЖМат, 1963, 10A183)

74. —, Algebrai rendszereken ertelemezett fuggvenyegyeletek. II. Az as-iszociativitas fuggvenyegyenleteinek altalanositasai. Magyar tud. akad.

, Mat. es fiz. tud. oszt. kozl., 1963, 13, № 1, 1-—15 (РЖМат, 1964, 2A281)

75. Hudson S. N.. Topological loops with invariant uniformities. Doot diss. Tulane Univ, 1963, 47 pp. Dissert. Abstrs, d964, 25, № 6, 35—95 (РЖМат, 1965, МА230Д)

76. —, Transformation groups an the theory of topological loops, Proc. Amer. Math. Soc, 1964, 15, № 6, 872—877

77. Husain F., Characterization of Abelian groups. Nieuw arch, wiskunde, 1064, 12, № 1,1—4 (РЖМат, Ш64, 12A207)

78. Husain F., K a z i m M. A., Contribution to associative laws in sub-tractive group. J. Indian Math. Soc, 1964, 28, № 2, 83—97 (РЖМат, 1965, 9A225)

79. James J. M., Quaaigroups and topology. Math. Z., 1964, 84, № 4, 329—342 (РЖМат, 1965, 1A219)

80. Kazim M. A., H u s a i n F., On the postulates defining a Subtractive Group. Math. Student., .1963 (1964), 31, № 1-2, 95—107 (РЖМат, 1064, I2A206)

81. Kennedy H. C, Associomorphic mappings of groupoids. Amer. Math, i Monthly, 1968, 70, № 7, 734—735 (РЖМат, 1964, 9АШ6)

82. Kertesz A., Kvazicsoportok. Math, lapok, 1964, 15, № 1-3, 87—113 (РЖМат, 1966, 3A246)

83. Konguetsof L., Construction d'hypergroupes, к partir a' ensembles munis d operations partielles. Definition et construction a' hypergroupes a operateurs. С. г. Acad, sci., 1964, 258, № 7, 1961-1964 (РЖМат, 1964, 8A209)

84. Koskas M., Demi-groupes homomorphes a un graupoide, groupes ho-momorphes a un quasi-groupe. C, r. Acad, sci., 1963, 256, № 23, 4804-4807 (РЖМат, 1963, 12A226)'

85. Levy-Bruhl J., Le theoreme de Jordan - Holder dans certains groupoi-des ordonnes. С r. Acad, sci., 1964, 258, № 4, 1Ы4-1116 (РЖМат, 1964, 9A200)

86. Loihel G. F., Algunas observaQ6es sobre /-sistemas. Anuario Soc, paran. math., 1960, 3, № 2, 32-07 (РЖМат, 1962, 4A229') •

87. —, S6bre quase-grupos topologicos. Bol. Soc. mat. SSo Paulo, 1958, 1961, 13, № 1-2, 1-42 (РЖМат, 1963, 9A198)

88. - , Ober topologiische Losungssysteme. Ann. math, pura ed apll., 1962, 58, 359-377 (РЖМат, 1964, 7A324)

79

89. Mattenet G., Exemple d'equivalence reguliere et simplifiable dans un quasi-groupe. С r. Acad, sci., 1962, 225, № 23, 3092—3094 (РЖМат, 1965, 5A201)

90. —-, Product direct de boucles С r. Acad. sci.. 1962, 255, № 25, 3340—3342 (РЖМат, 1965, 5A202)

91. —, Quasi-groUpes, reunions de groupes С. г. Acad, sci., 1963, 256, № 24, 5028—6G30 (РЖМат, 1965, 6A196)

92. —, Sur les quasi-groupes. Semiki P. Dubreil, M.-L. Dubreil, Jacotin et С Pisot, Fac. soL Paris., 1961—1962, Ю annee, fasc. 2, Paris, 1963, 12/01—12/28 (РЖМат, 1964, 6A204)

93. Mcworter W. A., On a theorem of Mann. Amer. Math. Monthly, 1964, 71, № 3i, 285—286 (РЖМат, 1964, 11A199)

94. Menon P. K-, Method of constructing two mutually orthogonal latin squares of order 3n+l . Sankhya Indian J. Statist., 1961, A23, № 3, 281—,282 (РЖМат, 1963, 3A152)

95. Mullin A. A., Some remarks on relative anti-closure property. Z. math. Logik und Grundl. Math., 1961, 7, № 2, 99—103 (РЖМат, 1962, 6A219)

96. Neumann M., Asupra unor teoreme de inchidere. Lucrarile §tiin{. Inst. ped. Timisoara, Mat.-riz., 1959. Timisoara, 1960, 85—93 (РЖМат, 1962, 12A335)

97. —, Unele consecinte ale unei introduced geometrice a quasiigrupului. Lucrarile stiinj: Inst. Timisoara Mat.-fiz., 1961 (1962), 99—102 (РЖМат, 1964, 9A343)

98. —, Albu A., Asupra conditiei diagonalelor paralele si a conditilor lui Bol. An Univ. Timisoara Ser $tiinte mat.-fiz., 1963, № 1, 199—206 (РЖМат, 1966, 1A776)

99. Nishig-6ri N., On loop oxtensions of groups and jM-cohomology groups. J. Sci. Hiroshima Univ., 1968, Ser. A, Div. 1, 27, № 2, 161—165 (РЖМат, 1966, 3A200)

100. —, On loop extensions of groups and M-cohomology groups., II. J. Set. Hiroshima Univ., 1965, Ser. A. Div. 1, 29, № 1, 17—27 (РЖМат, 1966, 3A201')

101. Osborn J. M., Vector loops. Illinois J. Math,, 1961, 5, № 4, 565—584 (РЖМат, 1963, 2A224)

102. —, New loops from old geometries, Amer. Math. Monthly, 1961, 68, № 2, 103—107 (РЖМат, Г962, 4A231)

103. Ostrom T. G., Homomorphisms of finite planar half-loops. Arch. Math, 1961, 12, № 6, 462—169 (РЖМат, 1963, 1A274)

104. - , Planar holf-loops. Arch. Math., 1961, 12, 151-158 (РЖМат, 1962, 9A164)

105. - , Planar loops as direct sums. Arch. Math., 1963, 14, № 6, 369-372 (РЖМат, 1964, 9A198)

106. Prcsic S., SUT le nomhre de centaines algebres. Publ. Elektrotechn. fak. Univ. Beogradu. Mat. iii fiz., 1960, № 44-48, 22--26 (РЖМат, 1962, 7A183)

107. Robinson D. A., Bol loops. Doct. diss. Univ. Wisconsin, 1964, 83, pp. Dissert. Abstrs, 1964, 25, № 6, 3600-3601 (РЖМат, 1966, 1A286)

108. Ruedin J., Sur une classe quasigroupes idempotents. C. r. Acad, sci., 1963, 257, № 3, 579-682 (РЖМат, 1964, 1A262)

109. Sade A., Quasigroupes obeissant a certaines lois. Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, 1957, A22, 151-184 (РЖМат, 1964, 2A278)

110. Quasigroupes parastrophiques. Expressions e-t identites. Math. Nachr., 1959, 20, №> 1-2, 73-106 (РЖМат, 1962, 4A223)

111. —, Theorie des systemes demosiens de groupoides. Pacif. J. Math., 1960, 10, № 2, 625—660 (РЖМат, 1962, 4A224)

112. —, Dernosian systems of quasigroups. Amer. Math. Monthly, 1961, 68, № 4, 329—33)7 (РЖМат, 1962, 4A225)

113. —, Produit direct singulier de quasigroupes orthogonaux et anti-abeliens. Ann. Soc. scient. Bruxelles, 1960, Ser. 1, 74, № 2, 91—99 (РЖМат, 1962, 4A226)

114. —, Groupoides en relation associative et semigroupes mutuelement assooiiaMfs. Ann. soc scient. Bruxelles, 1961, Ser. 1, 75, № 1-2, 52—57 (РЖМат, 1962, 4A227)

115. —, Paraitopie et autoparatopie des quasigroupes. Ann. Soc, scient. Bruxelles, 1962, Ser. 1, 76, № 3, 88—96 .(РЖМат, 1963., 8A183)

116. —, Semi-automorphisme de groupoides. et de quasigroupes. Ann. Soc. scient. Bruxelles, 1962, Ser. 1, 76, № 3, 97—104 ,(РЖМат, 1:963, 8A184)

117. —, Quelques problemes non resolus dans la theorie des groupes. Math. bibliot, 1963, № 25, 71—72 (РЖМат, 1964, 7A260)

118. —, Le groupe d'anti-autotopie et 1'equation Q{X, X~l, 1)- -QP I 2=Q. J. reine und angew. Math., 1964, 216, № 3-4, 199—217 (РЖМат, 19(55, ©A 195)

119. —, Plusieurs problemes non resolus de la theorie des groupes. Матем, весн., 1964, Kn. 1, № 2, 161—162 (РЖМат, 1965, 9А226)

120. Sedlacek L., Grupoidy a gropy s operatory. Acta. Univ. palack. olomuc, 1961, (1962), 7, 33—36 (РЖМат, 1964, 8A207)

121. Stein S. K.., Finite models of identities. Proc. Amer. Math. Soc, 1966, 14, № 2, 216—,222 (РЖМат, 1963, 12A232)

122. —, Homogeneous quasigroups. Pacif. J. Math., 1964, 14, № 3, 1091'—.1102 (РЖМат, 1966, 8A193)

123. Tamura Т., Certain charaeterizartion of singular semigroups. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, JMe 4, 402—404 (РЖМат, 1963, 3A206)

124. —, Examples of direct products of semigroups or groupoids. Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, № 3, 419—422 (РЖМат, 1964, 4A21S.)

125. —, Some special groupoids. Math, japon, 1963, 8, № 1-2, 23—31 (РЖМат, 1966, 2A325)

126. —, B u r n e l l D. G., Extension of groupoids with operators. Amer. Math. Monthly, 1964, 71, № 4, 385—391 (РЖМат, 1965, 4A183)

127. —, M e r k e l R. В., L a t i m e r J. F., Note on the direct product of certain groupoids. Proc Japan. Acad., 1961, 37, № 8, 482—-484 (РЖМат, 1963, 2A219)

128. —, —, —, The direct product of right singular semigroups and certain groupoids. Proc Amer. Math. Soc, 1963, 14, № 1, 118—123 (РЖМат, 1963, 11A190)

129. Wagner A., On the associative law of groups. Rend. mat. e applic, 1962, 21, № 1-2, 60—76 (РЖМат, 1963, 8A182)

130. Wilker P., Double loops and ternary rings. Bull. Amer. Math. Soc, 1964, 70, № 4, 543—647 (РЖМат, 1965, 4A236)

131. —, Doppeloop's und Ternarkorper. Math. Ann., 1965, 159, № 3, 172—196 (РЖМат, 1966, 1A384)

132. Zelenko В., Schwach assozMive Gruppoide. Glasnik mat.-fiz. i astron., 1961, 16, № 1-2, 31—73 (РЖМат, 1963, 5A236)

133. Zelmer V., Pseudogrupuri An. stiint. Univ. lasi, 1963, Ses. 1, 9, № 2, 323—356 (РЖМат, T964, 9A195)

6-5903 81