КОМБІНАЦІЇ МНОГОГРАННИКІВ І ТІЛ

ОБЕРТАННЯ

Вписаний многогранник, описана сфера

Многогранник називається вписаним у сферу, а

сфера - описаної біля многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на сфері.

Призма, вписана в кулю

а

а11) Якщо призма похила, то а||а1, точки перетину не існує.2) Якщо призма пряма, а і а1 збігаються, центр описаної сфери - середина відрізка, що з'єднує центри кіл, описаних близько підстав.

Безліч точок, рівновіддалених від вершин нижньої основи - пряма, що проходить через центр описаного біля нього кола перпендикулярно

площини підстави (а)Аналогічно у випадку верхньої

підстави (а1)

Випадки:

ВИСНОВОК :

Біля призми можна описати кулю тоді і тільки тоді, коли ця призма пряма, і біля її основи можна описати окружність.

Наслідок:1) біля будь-якої правильної призми можна

описати кулю;2) при будь-якій прямій трикутній призмі можна

описати кулю.

Піраміда, вписана в кулю Безліч точок, рівновіддалених від

вершини підстави - це пряма, перпендикулярна площині підстави і проходить через центр описаного біля нього кола.

Безліч точок, рівновіддалених від кінців бічного ребра є площина, перпендикулярна до ребра і проходить через його середину.

вписана в кулю піраміда

ВИСНОВОК : Біля піраміди можна описати кулю тоді і тільки тоді,

коли біля її основи можна описати окружність.

Наслідок: Біля будь-якого тетраедра можна описати кулю; Біля піраміди можна описати кулю, якщо її бічні ребра рівні, або її бічні ребра однаково нахилені до основи.

В ОСТАННЬОМУ ВИПАДКУ ЦЕНТР ОПИСАНОЇ КУЛІ ЛЕЖИТЬ НА ПРЯМІЙ, ЩО МІСТИТЬ

ВИСОТУ ПІРАМІДИ!

Теорема

Через коло і точку, яка не належить цій окружності, можна провести сферу, і притому тільки одну.

Центр сфери, описаної біля піраміди, лежить в точці перетину перпендикуляра до площини підстави, проведеного через центр окружності, описаної біля підстави, і площині, перпендикулярній кожному бічному ребру, проведеної через середину цього ребра.

Куля, вписана в призму

Куля називається вписаною у многогранник, якщо він дотикається всіх його граней

Теорема :

В призму можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли в перпендикулярний переріз цієї призми можна вписати окружність, а висота призми дорівнює діаметру цієї окружності

Кулю можна вписати в пряму призму тоді і тільки тоді, коли в основу призми можна вписати окружність, а висота призми дорівнює діаметру цієї окружності

Центр кулі

Центр кулі, вписаного в призму, лежить на прямій, проведеній паралельно бічним ребрам через центр кола, вписаного в перпендикулярний переріз, є серединою відрізка, відсікаємого але цієї прямої основами призми.

Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить на середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Теорема: якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то в

таку піраміду можна вписати кулю.

Куля, вписана в піраміду

Центр кулі

Центр кулі, вписаної в піраміду, лежить в точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного будь-якого кута двогранного кута при основі піраміди, стороною якого є апофема.

!!!

Наслідок :

У будь-який тетраедр можна вписати кулю.

Якщо в основу піраміди можна вписати окружність, а основа висоти піраміди є центром цієї окружності, то в піраміду можна вписати кулю.

Конус у піраміді Куля в кубі Призма в кулі Призма в циліндрі Куля в призмі Куля в піраміді Піраміда в кулі Циліндр у призмі